ALGEBRA I
A R M A N D O
0.
Editorial E l Ateneo
R O J O
A LG EB R A II
EÍ50áC¡O& V&ütCn tai&í. McitiiCttá.
Trasformaciones lineales.
Ciagonalización.
álgebra I
Armando O. Rojo
Ex Profesor Titular del Departamento
d e Matemática, Facultad de Ingeniería,
Universidad de Buenos Aires
Decimoctava edición
1I 1I I I I I
LIBRERIA-EDITORIAL
11111111 E L ATENEO
512 (075)
ROJ
Rojo, Armando
Algebra I - 18a. ed. * Buenos Aires: Ei Ateneo, 1996.
489 p.; 23 x 16 cm.
¡SBN 950-02-5204-X
i Tiajìa - L Matemàtica ■ Enssftanzs Sétcundaria
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concordantes del Código Penal (arts. 2 ,9 ,1 0 , 71, 72 ley 11.723).
Oiísfla hecho el deocsiio que establece la \e j N5 11.723.
•a 1972,1974, 1975 Í3J y 4* e d ). 1976,1978 »6* y 7· ed } 1981 f8* y 9* ed.),
:383.1984, 198¿, 1556. :S33, ‘391 1992. 1994. 1996, “EL A T E N EO ' Pbüto García 8. A.
l*rsria, Editorial e inmobiliaria, Florida 340. Buenos Aire*
Fundada en S912 por d on Pedro G a ra s .
Se te/minó de imprimir s i 2 ’ de junio de " 396
en Impresiones Avellaneda, Manuel Ocantos253,
Avellaneda, provincia de Buenos Aires.
Tirada: 2.000 ejemplares.
IMPRESO EN LA ARGENTINA
PR O LO G O
La enseñanza de los contenidos fundamentales del álgebra actual y el uso de su
peculiar term inología son una realidad en todos Jos cursos básicos a nivel universitario
Y profesoral. Creo que hay dos razones principales que dan crédito a esa determ i­
nación: una asociada al progreso de las ciencias, a la unidad conceptual y, en últim a
instancia, ai mundo de la inteligencia; ¡a otra vinculada estrechamente a sus aplica­
ciones en casi todas las disciplinas de interés práctico y de vigencia cotidiana.
N o escapan a estas consideraciones las dificultades que se presentan inicialm ente
ante lo que es, de alguna manera, nuevo. Precisamente esa constancia me ha m ovido a
redactar este texto elemental de álgebra, en el que he procurado desarrollar sus conte­
nidos con una metodología que estimo apropiada. Se han intercalado ejemplos que,
además de ilustrar la teoría, hacen posible la adquisición de métodos adecuados de
trabajo. Un detalle que juzgo de interés para los lectores es la respuesta que se da a ios
problemas propuestos, o aI menos la sugerencia de pautas para las demostraciones que
figuran en los trabajos prácticos.
D o y testimonio de m i agradecimiento a los amigos que me han ayudado y
estimulado en esta tarea, y a ¡a E dito ria l EL A TENEO, cuyo personal no ha escati­
mado esfuerzos para resolver ¡as dificultades inherentes a la publicación del texto.
A R M A N D O O. RO JO
C O NTENIDO
"C apítulo 1 NOCIONES DE LOGICA
1. 2. Proposiciones
1. 3. Notaciones y conectivos
! 4, Operaciones preposicionales
1. 5, Condiciones necesarias y suficientes
l. 6 . Leyes lógicas
1. 7. Implicaciones asociadas
1. 8 . Negación de una implicación
1. 9, Razonam iento deductivo válido
1.10. F u n d o n es proporcionales
1.11. Circuitos lógicos
Trabajo Práctico I
¿C apítulo 2 . CONJUNTOS
2. 2. Determinación de conjuntos
2. 3. Inclusión
2. 4. Conjunto de partes
2. 5. Complementación
2. 6 . Intersección
2. 7. Unión
2. 8 . Le£es distributivas
2. 9. Leyes de De Morgan
2.10. Diferencia
2.11. Diferencia simétrica
2.12. Producto cartesiano
2.13. Operaciones generalizadas
2.14. Uniones disjuntas
Trabajo Práctico II
í
i
2
2
7
8
II
12
13
14
18
.22
25
25
30
34
36
38
42
45
46
48
50
53
56
58
60
^Capítulo 3 - RELACIONES
64
3.
3.
64
65
2. Relaciones binarias
3. Representación de relaciones
3. 4. Dominio, imagen, relación inversa
3. 5. Composición de relaciones
3. 6 . Relaciones en un conjunto
3. 7. Propiedades de las relaciones
3. E. Relaciones de equivalencia
3. 9. Relaciones de orden
Trabajo Práctico III
.* Capítulo 4, FUNCIONES
4. 2, Relaciones funcionales.
4, 3. Representación de funciones
■ - 4. 4. Clasificación de funciones
4. 5. Funciones especiales
4. 6 . Composición de funciones
4. 7. Funciones inversas
4, S. Imágenes de subconjuntos del dominio
4. 9. Preimágenes de partes del codominio
4.10.
Restricción y extensión de una función
Trabajo Práctico IV
Capítulo 5 LEYES DE COMPOSICION
5.
5.
5.
5.
2.
3.
4.
5.
Leyes de composición interna
Propiedades y elementos distinguidos
Homomorfismos
Compatibilidad de una relación de equivalencia con una ley
interna
5. 6. Ley de composición externa
Trabajo Práctico V
66,
68
69
71
77
90
98
102
!02
105
110
114
117
121
128
131
13 7
138
142
142
144
151
154
158
160
Capítulo 6 . COORDLNABILIDAD. INDUCCION
COMPLETA, COMBINATORIA
6. 2. Conjuntos coordínateles o equipolentes
6 . 3. Conjuntos finitos y numerables
6. 4. inducción completa
6 . 5. El símbolo de sumatoria
6 . 6 . La función factorial
> 6 . 7. Números combinatorios
<Só. 8 . Potencia de un binomio
a 6 . 9. Funciones entre intervalos naturales
^6.10. Combinatoria simple y con repetición
Trabajo Práctico VI
362
164
167
170
176
177
179
186
-1 9 7
204
Capítulo 7. SISTEMAS AXIOMATICOS
7. 2. Sistemas axiomáticos
7. 3. Algebra de Boole
7. 4, Sistema axiomático de Peano
7. 5. Estructura de monoide
7. 6 . Estructura de semigrupo
Trabajo Práctico VII
Capítulo 8. ESTRUCTURA DE GRUPO
». 2, Ei concepto de grupo
8. 3, Propiedades de los grupos
8 . 4. Subgrupos
8 . 5. Operaciones con subgrupos
8 . 6 . Homomorfismos de grupos
8 . 7. Núcleo e imagen de un irjorfismo de grupos
8 , 8 . Relación de equivalencia compatible
8. 9. Subgrupos distinguidos
8.10. Subgrupos normales o invariantes
8 . 11. Grupo cociente asociado a un subgrupo
8.12. Grupos cíclicos
8.13. Traslaciones de un grupo
8.14. Grupos finitos
T rabajo Práctico VIII
Capítulo 9. ESTRUCTURAS DE ANILLO
Y DE CUERPO.
ENTEROS Y RACIONALES
9. 2. Estructura de anillo
9. 3. Propiedades de los anillos
9. 4. Anillo sin divisores de cero
9. 5.·Dominio de integridad
9, 6 . Subanillos e ideales
9. ?. Factorización en un anillo
9. 8, Anillo ordenado
9. 9. Estructura de cuerpo
9 10. Dominio de integridad de los enteros
9.11. Isomorfismo de los enteros positivos con N
9.12. Propiedades del valor absoluto
>9,13. Algoritmo de la división entera
9.14. Algoritmo de Euclides
9.15. Números primos
'9.16. El cuerpo de los racionales
208
208
210
212
219
220
223
225
225
228
231
235
237
240
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248
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258
259
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264
264
266
267
272
272
274
276
278
280
284
285
287
288
290
293
9.17. Isomorfismo de una parte de Q en Z
9.18. Relación de orden eri Q
9.19. Numerabilidad de Q
T rabajo Práctico IX
Capítulo Í0 . NUMEROS REALES
^ 1 0 . 2. El número real
10. 3. Operaciones en R
10. 4. Isomorfismo de una parte de R en Q
10. 5. C uerpo ordenado y completo de los reales
10. 6 . Cortaduras en Q
10. 7. C om pletitud de R
10. 8 . Potenciación en R
10. 9. Logaritmación en R +
10.10.
Potencia del conjunto R
Trabajo Práctico X
C apítulo 11. EL CUERPO DE LOS
*
NUMEROS COMPLEJOS
11. 2. El número complejo
11. 3. Isomorfismo de los complejos reales en los reales
1 1 .4 .
Form a binómica de un complejo
11. 5. La conjugación en C
1 1 . 6 . Módulo de u n complejo
1 1 . 7 . R aíz cuadrada en C
1 1 .8 . F orm a polar o trigonométrica
1 1 . 9 . Operaciones en forma polar
11.10. Radicación en C
11.11. Form a exponencial en C
11.12. Logaritm ación en C
11.13. Exponencial compleja general
11.14. R aíces primitivas de la unidad
Trabajo Práctico XI
C apítulo 12 POLINOMIOS
I
12. 2. Anillo de polinomios formales de un anillo
12. 3. Anillo de polinomios de un cuerpo
12. 4. Divisibilidad en el dominio K [X]
12. 5. Ideales de K fX]
'
12. 6 . Factorización en K [X]
12. 7. Especialización de X y raíces de polinomios
298
301
301
303
308
308
315
321
321
321
326
329
333
335
338
341
341
347
347
349
351
354
356
358
362
366
367
369
370
373
378
378
383
384
388
389
396
12. 8 . Raíces múltiples
12. 9. Polinomio derivado y raíces múltiples
12.10. N úmero de raíces de polinomios
12.11. Raíces de polinomios reales
12.12. Relaciones entre raíces y coeficientes
12.1?. Fórmula de Taylor y Método de Homer
Trabajo Práctico XII
403
401
403
407
409
414
BIBLIOGRAFIA
417
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
419
INDICE
473
399
Capítulo 1
N O C IO N E S DE L OG IC A
1.1. INTRODUCCION
Todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de cosas
trascendentes y particularmente abstracta! Hay que comenzar por eliminar las
ambigüedades del lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso
adecuado descarte las contingencias, aporte claridad y economía de pensamiento. En
este capítulo introducimos el concepto de proposición, las operaciones preposiciona­
les y sus leyes, reglas de inferencia, y la cuantifk ación de funciones preposicionales,
cuyo uso estará presente en todo el texto.
1.2. PROPOSICIONES
Consideramos las siguientes oraciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Quién viene?
Deténgase
El caior dilata los cuerpos
4 es un número impar
Juan ama la música
La música es amada por luán
Se traía de seis oraciones diferentes, una interrogativa, »na orden y cuatrodeclarativas.. De las dos primeras no podemos decir que sean verdaderas ni falsas;
una pregunta puede formularse o no, y una orden puede ser cumplida o no. En
cambio, de las cuatro últimas, que son declarativas, tiene sentido decir sí son
verdaderas o falsas. A éstas las llamamos proposiciones.
Definición
Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o
falsa.
Es decir, proposición es toda oración declarativa. Toda proposición está asociada
a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V ) o bien falso (F ). Las oraciones
( 5) y ( 6 ) son diferentes desde el punto de vista gramatical; el objeto directo de la
( 5) es el sujeto de la ( 6 ), pero am bas tienen el mismo significado, y las
consideramos como la misma proposición. Podem os decir entonces proposición es el
significado de toda oración declarativa.
1.3. NOTACIONES Y CONECTIVOS
Las proposiciones genéricas son denotadas con las letras p, q, r, etc. A partir de
nrorMisiriones simples e$ posible generar otras, simples n compuestas Es decir, se
pue-de operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos
símbolos, llamados conectivos lógicos.
Conectivo
Operación asociada
-
Negación
C onjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Im plicación
Doble implicación
Diferencia simétrica
A
V
O
2L
Significado
no p o no es cierto que p
p y a
p
p
p
p
o q (en sentido incluyente)
implica q o si p, entonces q
si y sólo si q
o q (en sentido excluyen te)
1.4. OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas
una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar
ia proposición resultante a través de su valor de verdad. Se supone que en la
elección de estos valores se tiene en cuenta el b u en sentido.
1.4.1. N eg adó n '<
D e finición
Negación de la proposición p es la proposición ~ p (no p ), cuya tabla de
valores d e verdad es
P
V
F
~p
F
V
Se trata de una operación unitaria, pues a p a rtir de una proposición se obtiene
. tra, que es su negación.
Ejem plo 1-1.
La negación de
es
0 bien:
P
~~P
~p
-p
- ,p
:
:
:
:
:
tod o hom bre es honesto
n o to do hom bre es honesto
n o es cierto que todo hombre es honesto
hay hom bres que no son honestos
existen hom bres deshonestos
la cual es V, ya que la primera es F.
1.4.2.
Conjunción
D efinición
Conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p ' q (p y ¡7 ), cuya
tabla de valores de verdad es
P
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
p
a
q
V
F
F
F
La tabla que define la operación establece que la conjunción sólo es verdadera si
lo son las dos proposiciones com ponentes. En tod o otro caso es falsa.
Ejem plo 1-2.
Si declaramos
i ) 3 es u n núm ero impar y 2 es un número primo
se trata de la conjunción de las proposiciones
*
p : 3 es un número impar
£/ : 2 es un número primo
y por ser ambas verdaderas, la proposición compuesta es V.
ii) hoy es lunes y m añana es jueves
esta conjunción es F, ya que no coexisten las verdades de p y q.
1.4.3.
Disyunción
D efinición
Disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p v q (p o q ) cuya
tabla de valores de verdad es
p
P
V
V
F
F
V
F
V
F
v
V
V
V
F
q
'
La conjunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la
disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea V. En e!
lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido excluyeme o incluyente.
La ambigüedad se elimina con ¡a elección del símbolo adecuad«.
En matemática se utiliza la disyunción definida por ia tabla precedente la cual
agota toda posibilidad.
La disyunción sólo es F en el caso en que las dos proposiciones componentes
sean falsas.
Ejemplo 1-3.
i ) hoy es tunes o martes
representa la disyunción de las proposiciones p: hoy es lunes y q: hoy es martes, fci
sentido de la'conjunción 'o es exlcuyente, ya que p y q no pueden ser sim ultáneamente verdaderas. No obstante, la proposición com puesta puede analizarse a la luz
de la tabla propuesta, a través de los tres últimos renglones, y será falsasólo si las
dos lo son.
i i ) regalo los libros viejos o que no me sirven
es la disyunción de las proposiciones
p : regalo los libros viejos
q : regalo los libros que no me sirven
El sentido del o es incluyente, pues si en efecto regalo un libro que es viejo, y
jn c además no me sirve, ento nces p v q es V,
tul 3 es un numero impar o 4 es un número primo
es una prupoposición V, pues la primera es V.
1.4.4. Implicación o Condicional
D efinición
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p => q ( p implica q,
si p entonces q ) cuya tabla de valores de verdad es
P
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p
=*■ q
V
F
V
V
Las proposiciones p y q se Maman antecedente y consecuente de la implicación o
condicional. La implicación usual en matemática es formal en e! sentido de que
no es necesario que e! consecuente se derive lógicamente del anteceden te ; cuando
esto ocurre, la implicación se llama material y queda incluida en la primera,
Las tablas de valores de verdad se definen arbitrariamente, pero respetando el
sentido com ún. Enunciamos la siguiente proposición:
“ Sí apruebo el examen, ENTONCES te presto el apunte” (1)
Se trata de la implicación de las proposiciones
p : apruebo el examen
q : te presto el apunte
interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación (1), en térm inos de la V o
F de las proposiciones p y q. El enunciado (1) puede pensarse com o un
compromiso, condicionado por p. y podemos asociar su verdad al cumplim iento del
compromisó. Es obvio que si p es F , es decir, si no apruebo el exam en, quedo
liberado del com prom iso, v preste o n o preste ej apunte la proposición f I) es V, Es
decir, si el antecedente es F, la implicación es V.
Si p es V , en cuyo caso apruebo el examen, y no presto el ap un te, el compromiso
no se cumple, y la proposición (1) es entonces F. Si p y q son V, entonces la
implicación es V porque el compromiso se cumple.
De este m odo, la implicación sólo es falsa cuando el antecedente es V y el
consecuente es F.
Ejemplo i~ i.
í ) si hoy es lunes, entonces mañana es martes
es la implicación de tas proposiciones
p : hoy es lunes
q : mañana es martes
Como no puede darse antecedente V y consecuente F, la im plicaciones V.
ii)
i
= —i
=»
es V por ser el antecedente F.
l 2 = (—l )2
1,4.5.
Doble Implicación o bicondicional
D efinición
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p « q [p si y
sólo si q ), cuya tabla de valores de verdad es
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La doble implicación o bicondieionai sólo es verdadera si ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad.
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su
'e·; ¡proca. De este m odo, la tabla de valores de verdad de p ■*» q , puede obtenerse
,u.díam e la tabla de ( p =* q ) a {q =*■ p ) , como sigue
P
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
P
** <1
V
F
V
V
q
=> p
(p
V
V
F
•V
=» q )
a
{q
=*■ p )
V
F
F
V
¡te m p lo 1-5.
i ) T es equilátero si y sólo si T es equiángulo
es -a dobíe implicación de las proposiciones
p :: T es equilátero
q : T es equiángulo
Toda vez que p sea V, también lo es q. y análogamente, si p es F, q es F. De
m udo que la doble implicación es V.
ii) a = b si y sólo si
a2 = b 2
las proposiciones son
p : a —b
q : a2 = b 2
la doble implicación propuesta es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.
1.4.6. Diferencia simétrica
D efinición
Diferencia simétrica o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la
proposición p a q (p o q,e n sentido excluyente) cuya tabla de valores de
verdad es
P
q
V
V
F
F
V
F
V
F
pzq
F
V
V
F
La verdad de p x q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las
proposiciones componentes.
,
Es claro que p a. q equivale a la negación de p o q.
1.5. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES
Consideramos la tabla de valores de verdad de la implicación
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Hay tres casos en que p =*· q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el
cual resulta q verdadera Es obvio que nos referimos al primer renglón de la tabla, y
se tiene que si p =» q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el
antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.
En cambio, si fPes-F, nada podemos decir de q, puesto que puede ser V o F. Por
otra parte, cuando p => q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para
que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria__
para p.
Resumiendo, si p => q es V, entonces p es condición suficiente para í ¡ y q
condición necesaria para p.
Estas condiciones suelen expresarse así:
q si p (condición suficiente)
p sólo si q (condición necesaria)
Ejemplo 14,
La siguiente implicación es V:
“ SI T es equilátero, ENTONCES T es isósceles”
En este ¿aso
p : T es equilátero
q : T es isósceles
y p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es
suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es
isósceles; es decir, que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.
Sea ahora la doble implicación p *> q, es decir ( p =» q) * ( q =* p) Si
p
q es V, entonces p =*■ q es V y q => p es V. Se tiene, atendiendo a la
primera, que p es condición suficiente para q; y, teniendo en cuenta la segunda
implicación, ocurre que p es condición necesaria para q.
Es decir, si p o q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y
suficiente para el consecuente q.
Análogamente, en el caso de doble implicación verdadera, el consecuente q es
también condición necesaria y suficiente para el antecedente p.
Ejemplo 1-7.
La proposición
‘T es equilátero SI Y SOLO SI T es equiángulo”
es la doble implicación de las proposiciones
p : T es equilátero
q : T es equiángulo
Aquélla es V, y cualquiera de las dos proposiciones es condición necesaria y
suficiente para la otra.
1.6. LEYES LOGICAS
Consideremos la proposición
[(P ® q)
■'· p j =*■ q
A>)
cuya tabla de valores de verdad es:
P
q
p ** q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
íp ^ q)
-
V
F
F
F
a p
[Ep =» q ) * P l **■ 9
V
V
V
V
La proposición compuesta (1) es V, independientemente de los valores de verdad
de las proposiciones componentes. Se dice entonces que tal proposición es una
tautología o ley lógica.
La proposición p =» p es V cualquiera que sea el vaior de verdad de p. Es otro
ejemplo de una ley lógica.
En cambio p A
es F, cualquiera que sea p. Se dice que es una contra­
dicción.
En el cáicuio preposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya
demostración se reduce a la confección de la correspondiente tabla de valores de ,
verdad:
1.6.1, Involución
~ ( ~~P) «*■ P
el m odo de leerla es: “no, no p, equivale a p ” .
f
1.6.2, Idempotencia
(P
A p ) ** p
(p
v
p
) *> p
1.6.3. Conmutatividad
a) de la disyunción
p
vq o
q v
p
b) de laconjunción
p
Aq
Q *
p
1.6.4. Asociatividad
a) de la disyunción
( p v q )
y
r * > p \ f { q v r )
h) De :a conjunción
¡n
.i)
.·
r
P
‘i
i ü
■'·
rl
Í. 6 .S. Distributividad
a) de la conjunción respecto de la disyunción
(p V
q)
a
r
«· ( p
a
r)
V (q
A r)
b) de la disyunción respecto de la conjunción
(p a
q) V r
o (p
v r)
a (4 ' v
r)
1.6.6. Leyes
d e De
Morgan
a) Lanegación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones
v
~ (p
b )L a negación
negaciones
de un a conjunción
~ (p
Ejem plo
A ~q
-p
q)
es equivalente a la disyunción de las
a q ) <*
v -q
-p
1-8.
Tabla de valores de verdad de la distributividad de la conjunción respecto de h
dijv uiicióll.
ip
V q)
'
r-»(p
A r)
v
'
r)
q)
A
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
r
·»
V
F
V
F
V
F
V
F
(P
V
V
V
V
V
V
V
V
A
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
1*"»
v
•V
V
V
V
F
F
F
F
íT
>
(p
<
Cada valor de verdad de p puede asociarse a dos valores de verdad de q, y por
cada uno de estos pares de valores se tienen dos posibilidades para r; en
jonsecuencia. resultan 2 } = 8 renglones en la tabla. Si se dan n proposiciones, en la
tabla hay que analizar 2 " renglones.
Por otra parte, es posible simplificar la confección de la tabla, com o se indica a
continuación
Ejem plo 1-9,
C onfeccionam os la tabla de valores de verdad de la siguiente ley de De Morgan:
~ (P
~
!
\
!
!
F
v
V
v
'
(p
S V
j V
Í F
1 f
-i-......
■
A <7) -»■ r p . v
A ?)
o
-p
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
v
V
p
V
F
~q
i
i
·
!
1
V
~q
F
V
V
V
F
V
F
V
1MPLICACiONLS ASOCIADAS
Ejemplo 1-10.
La proposición
(P
* q) ^
P
es una ley lógica, pues la tabla
(P
A <?)
=>
P
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
rt
V
F
V
F
nos muestra que es una tautología.
0
1.7. IMPLICACIONES ASOCIADAS
Sea el condicional p
q , que llamamos directo; en conexión con éi, se
presentan otro s tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y
consecuente:
recíproco
contrario
contrarrecíproco
q => p
—p =* ~-q
~ q =» - p
Las cuatro implicaciones propuestas se llaman conjugadas, y cualquiera de ellas
puede tomarse com o directa. El siguiente esquema nos proporciona la relación que
las vincula:
recíprocos
p
4
p =*■ q
-CP
C
q
,
tr.
r,
C
C
X *
^
-n
ti
·:
—
i
cv>’
r°C/L ·
55
^
- p => ~~q
recíprocos
- t { => - p
Es fácil verificar que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es
decir, los siguientes b¡condicionales son tautologías:
(p =* q )
(~</ => ~~p)
(q => p ) <*· ( ~ p => - q )
Si la implicación directa es V, también lp es la contrarrécíproca, y no podemos
afirmar la verdad de larecíproca
6 de la contraria. Pero si son verdaderos un
condicional y su reciproco o contrario, entonces son verdaderos los cuatro, y las
proposiciones antecedente y consecuente son equivalentes.
Se presenta continuam ente la necesidad de dem ostrar la verdad de p =$■ q , y de
acuerdo con lo expuesto se presentan dos m étodos:
i ) d ire d a Si p es F, nada hay que probar, pues en este caso p => q es V. Si p
es V hay que establecer que el valor de verdad de q es V.
ii) indirecto. Si q es V queda establecida ía verdad de p => q. Pero si q es F
hay que examinar p y llegar a establecer que su valor de verdad es F.
1,8, NEGACION DE UNA IMPLICACION
Las prop orcion es p **■ q y *-(p a ~-q) son equivalentes, como lo muestra la
siguiente tabla
(P
*+
V
v
F
F
R)
i V j
: f ;
; V 1
! V ¡
__ 1____ ,—L.
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
(p
A
--q)
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
En consecuencia, la negación de la primera equivale a la negación de la segunda,
es decir
~~í p => q) <=> ~[ -~(p ' ~<7)J
y por 1 .6.1 , se tiene
~ ( p ^ q ) <*■ ( p a
~q)
Es decir, la negación de una implicación no es una implicación, sino la
conjunción del antecedente con !a negación del consecuente.
Ejemplo M í ,
Sean las implicaciones
i ) Si hoy es lunes, entonces mañana es miércoles.
ii)
i =
~1
=> i 2 = ( - l ) 2
Sus negaciones son, respectivamente,
“ Hoy es lunes y mañana no es miércoles”
“ 1= - 1 a
l 2 = £ ( - l )2 ”
1.9;· RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO
En matemática interesa el tip o de razonamiento llamado deductivo. Llamamos
razonamiento a un par ordenado ( { p ¡ } ; q), siendo ( p , } un conjunto finito de
proposiciones, llamadas premisas, y q una proposición, llamada conclusión, respecto
de la cual se afirma que deriva de las premisas.
Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la
verdad de la conclusión, es decir, si p x. p 2......... p „ son verdaderas, entonces q
verdadera. Un razonamiento deductivo es válido si no es posible que las premisas
sean verdaderas y la conclusión falsa. De un razonamiento no se dice que es V o F.
smu que es válido o no.
Llamamos regla de inferencia, a to d o esquema válido de razonam iento, indepen­
dientemente de la V o F de las proposiciones componentes. De este m odo, toda
regla de inferencia es tautológica.
Un razonamiento deductivo es válido cuando el condicional cuyo antecedente es
la conjunción de las premisas, y el consecuente es la conclusión, es tautológico.
Son ejemplos de reglas de inferencia:
a) Ley del m odm ponens:
SI p y p => q, ENTONCES q
La notación clásica es
P
P => Q
<7
b) Ley del modas tolem :
P =» <7
~q
~p
Este esquema es la notación clásica del condicional
U n s» q \
\
'•q I =>
¿I Ley del silogismo hipotético:
p =*>q
q => r
P =* r
Es decir, la proposición [{p => q ) a (q => r)] =» (p => r ) es una tautología.
En cambio, el condicional [ ( p => q ) A q ] => p no es una form a válida de
razonam iento, ya que la correspondiente tabla de valores de verdad nos muestra que
no es tautológico.
Ejem plo 1-12.
a)
Justificar la validez del razonamiento
p =>q
~-r =? ~<y
A
t
~ í)
=» S
~-r
s
En lugar de confeccionar la tabla del condicional entre la conjunción de las premisas
y la conclusión, harem os uso de las leyes del cálculo proposicional, a fin de simplificar
la situación. La segunda premisa es equivalente a la contrarrecíproca q =*· r \p o r Ja ley
del silogismo h ipotético, de la primera y de ésta, resulta p => r. La últim a premisa es
V. y en consecuencia / es F, y como p =* r e s V resulta necesariamente q u e p es F. La
tercera premisa equivale a p v t. de acuerdo con una ley de De Morgan, y por ser p
falsa resulta ta verdad de t. Ahora bien, siendo r y f =>s verdaderos, resulta la verdad
de s, por 1.9 a).
b) Justificar la validez del razonamiento cuyas premisas son:
Hoy llueve o hace frío.
Hoy llueve o no hace frío,
y
conclusión: Hoy llueve.
En lenguaje simbólico se tiene
la
P
v q
p v '"q
P
q, o bien
es F ; cualquiera que sea el caso, por ser las disyunciones verdaderas,
resulta que p es V. De otro modo, la conjunción de ambas disyunciones, por la
íistríbutividad, es equivalente a p V (q a ~^q), La verdad de aquéllas asegura la
verdad de ésta, y com o q
~~q es F, resulta la verdad de p.
1.10. FUNCIONES PROPOSICIONALES. SU CUANTIFICACION
El sím bolo P (.x) es la representación de un predicado o propiedad relativos al
objeto indeterm inado x, perteneciente a cierto universo o conjunto. Si nos referimos a
los números enteros y estamos interesados en la propiedad de ser impar, entonces la
traducción de P (x) consiste en: x es impar, y se escribe
P (x) : x es impar
Es claro que el enunciado: “x es impai” no es una proposición, ya que a menos que
se especifique a x no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad. Ocurre, sin
embargo, que para cada asignación dada al sujeto x dicho enunciado es una
proposición. A expresiones de este tipo se las llama funciones o esquemas
preposicionales.
D efinición
Función preposicional en una variable o indeterminada x es toda oración en 1a
que figura x como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición
para cada especificación de x.
En nuestro ejemplo resultan proposiciones' como
P (—4 )
P ( 5)
;— 4 es impar
: 5 es impar
(F)
(V), etc.
Se presentan también funciones preposicionales con dos variables o indeterminadas.
Sea, por ejemplo
P (x , y ) : x es divisor de y
Lo mismo que en el caso anterior, si x e y son enteros, P (x , y ) no es proposición,
ya que no podemos afirmar laverdad o falsedad del enunciado. Mas para cada
particularización de valores se tiene una proposición
P (— 2 , 6) :— 2 es divisor de 6
P ( 1 2 ,6 ) :
12 es divisor de 6
(V)
(F )
A partir de funciones preposicionales es posible obtener proposiciones generales
mediante un procesó llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x,
introducimos los símbolos V x y 3 x, llamados cuantificadores universal y existencia!
en x, respectivamente. Las expresiones
Para todo x, se verifica P (x)
Existe x, tal que se verifica P (x)
se denotan medíante
V x : P (j )
3 i / P (x )
(1)
(2)
y corresponden a una función preposicional P (x ) cuarítificada universalmente en el
primer caso, y existencialmente en el segundo. Una función preposicional cuantificada
adquiere el carácter de proposición. En efecto, retom ando el prim er ejemplo, si
decimos
“Todos los números enteros son impares” .
( 1’)
es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los números
enteros, cuyo valor de verdad es F. Una traducción más detallada de esta proposición
consiste en
"Cualquiera que sea x, x es impar” .
Es decir
V x : x es impar
Sí cuaruificamos e.xistencialmente !a misma función preposicional, se
tiene
3 x / .x es impar
0 sea
0 bien
0 más brevemente
“ Existe x. tal que x es impar” .
“ Existen enteros que son impares” .
( 2 ’)
“ Hay enteros impares” .
£! valor de verdad es V, y en consecuencia se trata de una proposición. El
cuantificador existencial se refiere a, por lo menos, un x.
Es obvio que una función preposicional cuantificada umversalmente es V si y sólo si
son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquélla. Para asegurar la verdad
de una función proposicional, cuantificada existencialm ente, es suficiente que sea
verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Un problema de interés es la negación de funciones preposicionales cuantificadas.
La negación { !’) es
'‘No todos los enteros son impares”
es decir
y en símbolos
“ Existen enteros que no son impares”
3 x / ~ P (x)
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se
cambia el cuantificador en existencial, y se niega la funcióti proposicional.
La negación de {2') ··-&
“No existen enteros impares".
Es decir
“ Cualquiera que sea el entero, no es impar*’
o lo que es lo mismo
“Todo entero es par” .
En símbolos
V -i :
(.v)
Vale entonces la siguiente regla: para negar una función preposicional cuantificada
existencialmente se cambia el cuantificar en universal, y se niega la función
proposícional.
Se tienen las siguientes equivalencias
~ [ V x : P (x )] ·*> 3 x / ~ P ( x )
~ [ 3 x / P (x)] <=> V x : '-P (x)
Ejemplo 1-13,
Sea la proposición:
Todo el que la conoce, ia admira.
Nos interesa escribirla en lenguaje simbólico, negarla, y retraducir ía negación al
lenguaje ordinario.
La proposición dada puede enunciarse:
/
Cualquiera que sea la persona, si la conoce, entonces la admira.
Aparece ciara la cuantificación de una implicación de las funciones preposicionales
P íx í : x la conoce
Q ( x ) : x la admira
Se tiene
V x : P ( x ) =* O fx )
Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada
universalmente y una implicación resulta
3x/P(x)
a
- Q (x)
Y pasando al lenguaje ordinario:
Hay personas que la conocen y no la admiran.
Ejemplo í-¡4.
Consideremos ia ni tima cuestión t i l el siguiente caso:
Todo entero admite un inverso aditivo.
Es decir
“ Cualquiera que sea el entero, existe o tro que sumado a él da cero ”.
Intervienen dos variables y la función proposicional
P (x ,.v) : x + y = 0
La expresión simbólica es entonces
Va- 3 y ¡ x + y = 0
Su negación es
3 x / ~ [ 3 y / x + y = 0]
Es decir
3x/\fy:x+y¥=0
La traducción ai lenguaje com ún es
"‘E xiste uíi Cíuciü Cuya SiUTiü Cüú wual^üici o t r o . es» Ul&üiU«* de c ciu . \ F )
E jem plo 1-15.
Sea la proposición
Hay alum nos que estudian y trabajan.
Su enu nciad o sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales
P ( x ) : x estudia
Q ( . r ) : x trabaja
En fo rm a simbólica se tiene
3 jc/ P ( jc)
a
Q ( jí )
Su negación es
V x : ~ [P (x )
a 0 (jc)]
Y p o r ley de De Morgan
V * : ~ P (x) v
~ Q (x )
T raduciendo al lenguaje ordinario
“Cualquiera que sea el alum no, no estudia o no trabaja” .
1.11 CIRCUITOS LOGICOS
La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito
eléctrico con un interruptor.
Para representar a p, si es V , se tiene
Y para p, si es F
O
-O
Es decir, el interruptor se cierra si p es V y se abre sip es F.
Las operaciones preposicionales pueden representarse mediante circuitos con tantos
interruptores com o proposiciones com ponentes, combinados en serie o paralelamente,
i ) Conjunción
Este circuito admite el pasaje de co m en te, es decir, la verdad de p
dos son V.
ii ) Disyunción. Está representada p o r un íireuito en paralelo
\
q, sólo si las
P
-o
O
La falsedad de p v q, es decir, el hecho de que no pase corriente, sólo se verifica
en el caso de la falsedad simultánea de p y q,
iii)
Implicación. Como
(P =* Q) **· ~ ( P
A
de acuerdo con 1.8, aplicando una ley de De Morgan y la doble negación, se tiene
(p => q ) o (~ p v
q)
En consecuencia, el circuito asociado es
o
■o
iv) Diferencia simétrica.
Utilizando sucesivamente 1.4.6., 1.4.5.. una ley de De Morgan, la negación de
implicaciones y la distribu tividad de la disyunción respecto de la conjunción, se tienen
las equivalencias
~ ( p ·& q ) o
(p
·& ~ ÍO =* q) A (q =* p)\ **
<=> ·’-( p => q )
v
<=* ( p
A —£7) V
*» ( p
v
·» ( p v
9)
p) <=>
—(q
A ~p) o
<\ ( p
¡/ ) A ( ~p
y
~ p)
v
(
a
v
g)
a
(
v
'-v*
y resulta e! circuito
P
-O
Ejemplo 1-16.
i ) El circuito correspondiente a la proposición
(p a
q) v
(~<y)
es
P
■O
O-
0 bien, luego de sim plificar aquéi
P
O
Para que pase corriente es suficiente o t e /1 o —q sean V.
■o
ii) La operación proposiciona! que caracteriza al siguiente circuito
<7 ’
es
I<] >/ t'¡
TRABAJO PRACTICO I
/- /7 . E n el libro Hijos en libertad, de A. S. Neill, están escritas las siguientes
proposiciones
p : Mis m aestros hacen que todas las lecciones sean aburridas,
q : No aceptan las respuestas que no figuran en ios libros.
r i im ponen un cúmulo de normas estúpidas
C onstruir las proposiciones
p
.*
q
,
~q
v
r
,
(p
a
q ) =* r
i -18. Escribir en forma simbólica la siguiente proposición com puesta que figura en el
mism o texto:
“ La chatuia y el tedio de ciertas disciplinas escolares se trasm iten a los maestros,
y las escuelas se llenan de hombres y mujeres de m entalidad estrecha, vanidosos,
cu y o horizonte está lim itado po r el pizarrón y el libro de te x to ” .
1-19. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las proposiciones
i ) (p
A q ) => r
ii ) ~ (p v
q)
~p
\
~q
1-20. Negar las proposiciones construidas en el ejercicio 1-17.
1-21. P roponer las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y retraducir­
las al lenguaje común:
i ) No es justa, pero m antiene el orden.
i i ) Los alum nos conocen a los simuladores y los desprecian.
iii) Si los alumnos conocen a los simuladores, entonces los desprecian.
1-22. D eterm inar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas:
i ) P a
«Ufe
q
q
i i i ) [(p => q)
a
iii) p =* p
A
q
iv ) p => p
v
q
(q -*· r)j = > (p =*■/·)
1-23. Simplificar las siguientes proposiciones:
i ) ~ (~ p
v
ü ) ~ (p
V q)
1-24. Sabiendo que p
~<7)
-
V (~p
v
A q)
? e s V y que
V q) a
[(P
-
es V, determinar el valor-de verdad de
=> q
1-25. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer
el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso
afirmativo, justificarlo.
i \ I p => q \ =» r
i¡ ) ( p
·
r ?s V
v <?) «· ( ~ p a
iii) ( p
a
iv) p
'■ {¿i => r) ;
q ) => ( p v
~<?)
;
q es V
; pesVyresF
r)
=* r es V
p
,
/-26. Los valores de verdad de las proposiciones p , q , r y s son,respectivam ente, V, F,
F, V. O btener los valores de verdad de
i ) [(p
v
i i ) r => s
iii) p
v r]
q)
a
s
n p
v r o r
a
/-27. Negar las proposiciones
i ) 3 x / P (x)
v
(.t)
ii) V
Jf : P (je) => Q (,v)
iii) V
-t3 y ¡ x . y = 0
1-28. Verificar que para probar la equivalencia de las proposiciones p. q, r y j es
suficiente dem ostrar las siguientes implicaciones:
p =*■,
q =* r
.
r=*s
y
s =*■ p
/-29. Dadas las proposiciones
i ) El cuadrado de todo número real es m ayor que 2.
i i ) Existen enteros cuyo cubo aum entado en 1 es igual al cubo del siguiente,
iii) Todo el que estudia triunfa,
expresarlas simbólicamente, negar las expresiones obtenidas y retraducirlas al
lenguaje ordinario.
1-30. Construir un circuito correspondiente a la proposición
(P
a
~<7) v
(~ p
a <7)
v
(-p
a
-q )
1-31. Se tiene el siguiente circuito:
P
q
i ) determ inar la proposición correspondiente
ü ) simplificar ésta, y construir el circuito asociado.
1-32, Expresar simbólicamente el siguiente teorem a: “ si un número es impar, entonces
su c.ladrado es im par” .
Enunciar ei contrarrecíproco, el contrario y el recíproco. Demostrar el primero.
1-33. Siendo
p : a . b es im par
q : a y b son impares
Demostrar
p => q
1-34. Justificar el razonamiento
p V -q
~ q «. r
v
p
~r
P
¡•35. Lo Tiismo en es siguiente caso:
trrt
ip
■% /1*
q ) ■=* r
T ^
5
S
1-36. investigar Ja validez del razonamiento siguiente:
Si el interés n o es egoísta, entonces es J a fuerza vital de las personas y es
espontáneo.
El interés no es la fuerza vital de las personas y es espontáneo ·
El interés es egoísta
Capítulo 2
C O N J U N T O S
2.1. INTRODUCCION
El propósito de esta sección es el estudio de'la teoría intuitiva de conjuntos. En
este sentido, ¡os térm inos "co n ju n to ", "pertenencia” y "elem ento” son considerados
como primitivos. Sobre esta base se definen ¡a inclusión y ¡a igualdad, y se estudian sus
propiedades. El mismo tratam iento se hace corresponder a las operaciones entre
conjuntos. El capítulo se completa con el desarrollo de ejemplos en los que se pretende
mostrar un m étodo adecuado de trabajo.
2.2. DETERMINACION DE CONJUNTOS
2.2.1. Notaciones
Para denotar conjuntos utilizaremos generalmente letras mayúsculas, y para
especificar elementos se usarán letras minúsculas, a menos que dichos elementos sean,
a su vez, conjuntos. Para indicar la pertenencia de u n elemento a un conjunto será
utilizado el símbolo e.
La proposición “a e
se lee. “a pertenece a A” , o bien "el elem ento a pertenece
al conjunto A” ,
Su negación es " a i A ’\ que se lee: '"a no pertenece a A".
Sí el conjunto A *sst¡¡ form ado por ios elementos a, b y c, escribimos
en este caso se nombran todos los elementos del conjunto, y se dice que está
determinado por extensión.
Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:
N conjunto de los números naturales
Z conjunto de los números enteros
Q conjunto de los números racionales
R conjunto de los números reales
C conjunto de los números complejos
La representación por extensión del conjunto cuyos elem entos son — 1 , 0 y 1, es
Es fácil ver que se trata del conjunto de los núm eros enteros cuyo valor absoluto es
m enor que 2; en este enunciado hacem os referencia a elem entos del conjunto Z, de los
núm eros enteros, el cual se llama referencial o universal; además, estamos interesados
en aquellos que satisfacen la propiedad de ser, en valor absoluto, m enores que 2.
La notación correspondiente es
A = <¡ x e Z / ¡x| < 2 j>
y se dice que el conjunto ha sido determ inado p o r comprensión.
El conjunto universal depende de la disciplina en estudio, se fija de antem ano, y
está form ado por todos los elem entos que intervienen en el tem a d e interés. En general
se d en o tará con U.
D e fin ició n
Un conjunto se determ ina p or extensión si y sólo si se enum eran todos los
elem entos que lo constituyen. Un conjunto se define por com prensión si y sólo
si se da la propiedad q ue caracteriza a sus elem entos.
El conjunto cuyos elem entos verifican la propiedad P se indica
A = < x e U / P (x)}
o más brevem ente, sí U está sobrentendido
A ={*/P(*)}
y se lee: “A es el conjunto form ado p o r los elem entos x , tales que P ( x ) ’\ P (x ) es una
función proposicional, y u n objeto del universal pertenece al conjunto si y sólo si
verifica la propiedad, es decir
a e A ■»· P {a)
es V
En consecuencia
ai A
P (a) es F
2.2.2. Conjuntos especiales
E xtendem os la noción intuitiva de conjunto a k>s easoü de carencia de elementos y
de unicidad de elementos, mediante la introducción
los conjuntos vacío y unitario.
n Un conjunto vacío es aquel que carece de elementos. Un conjunto unitario está
form ado por un único elemento.
Una propiedad o función proposicional, que se convierte en proposición falsa para
todos los elementos del universal, caracteriza por comprensión un conjunto vacío.
Designaremos con <¡>al conjunto vacío, y puede definirse simbólicamente así
0 = ( x / x # x j1
En este caso la propiedad relativa a x es P ( x ) : x ¥= x. la cual resulta falsa cualquiera
que sea x.
Si A es el conjunto cuyo único elemento esa. escribiremos
A= { a
— i x ' x —a )
Ejem plo 2-1.
Determinar simbólicamente y por extensión los siguientes conjuntos definidos por
comprensión:
i ) A es el conjunto de los números enteros cuyo cuadrado es igual a I .
En este caso la propiedad que caracteriza a los elementos de A es la conjunción de
P (x): x e Z
y
Q (x) : x 1 = 1
Entonces
^
\
A= | x/x eZ
a
x 2 = ¡ í>
y como universal puede sobrentenderse el conjunto de los números reales o racionales.
Si proponemos a Z como universal, puede escribirse
A = { x e Z ¡ x 2 = l j>
Obviamente, la determ inación por extensión es
i i ) B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a
6.
Considerando a N como universal, la propiedad característica de los elementos de B
es la conjunción de
P(x):x >2
que podemos expresar
y
Q(x) : x < 6
R ( x): 2 < x < 6
y se tiene
B= ( x e N / 2< x < 6}
Por extensión nos queda
B = { 3 ,4,5,6}
iii)
C es el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a — 1.
Se tiene:
Como eí cuadrado de ningún número rea! es negativo, P {.*) : x 2 - - ! es F para
rodo real, y resulta € = éEjem plo 2-2.
La determinación de conjuntos por extensión no es posible en el caso de infinitos
elementos, y hay que limitarse a la definición p or comprensión, La matem ática trabaja
casi con exclusividad en este sentido, a través de propiedades.
Caracterizamos simbólicamente los siguientes conjuntos:
i ) Pes el conjunto de los números enteros pares.
Por definición, un entero es par si y sólo si se identifica con el duplo de algún
entero. Es decir
a es par <=> 3 k e Z ¡ a = 2 k
Entonces
=( x e Z l x = 2k
a
keZ
Es claro que P consiste en el conjunto de los múltiplos de 2.
A veces, acudiendo a un abuso de notación, suele proponerse una aparente
d eterm iradón por extensión de un conjunto infinito, con la adjunción de puntos
suspensivos. Así
¡i ) A es el conjunto de los números naturales que son m últiplos de 3.
En N iio incluimos al cero, y se «ene
A= l 3,6,9,
Es decir
A = { o , 3 , 6 , 9 .............. }
•Cómo se determina la pertenencia de un elem ento a B? De acuerdo con la
definición de B, dado u n número natural, se analiza su cuadrado; si dicho cuadrado es
par. el número pertenece a 8 ; si su cuadrado es impar, no pertenece a B. Es decir
iv) C es el conjunto de los puntos del plano cuyas distancias a u n punto 0 son
iguales a 1.
Entendemos que el conjunto universal es el d* los puntos del plano a. Si bien 0 es
un elemento, como es usual en geometría, lo denotam os con mayúscula. Indicamos la
distancia entre A y 0 mediante d (A . 0). Entonces
es la definición simbólica de la circunferencia de centro 0 y radio 1.
v ) D es el conjunto d e los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos A
yB .
D consiste en la m ediatriz del segmento AB.
Ejemplo 2-3.
El conjunto S está firm ad o po r los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos
monedas. Los resultados para la primera moneda son c (cara) y s (sello) y por cada uno
de ellos se tienen las mismas posibilidades para la segunda, es decir
c
Entonces
2.3. INCLUSION
2.3.1. C oncepto
Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elem ento de A pertenece a B,
diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o que A es u n subconjunto de
B, y escribim os A C B.
D e fin ició n x'
A C B » V í :x e A =>xe B
Esta definición tiene el siguiente significado: si sabemos que A C B , entonces la
proposición V . v r j c e A => .v e B es V; recíprocam ente, si esta proposición es V.
entonces se verifica que A C B .
En repetidas ocasiones se necesitará dem ostrar que un conjunto es parte de otro;
entonces, de acuerdo con la definición, será suficiente dem ostrar que cualquier
elem ento del prim ero pertenece al segundo.
Teniendo en cuenta la equivalencia entre una implicación y la contrarrecíproca, la
definición anterior puede expresarse así
ACB
V * : j e # B => x 4 A
A demás, considerando la equivalencia entre p =*· q y
traducir la misma definición de la siguiente m anera
ACB o 3 x / x eA
\ .t¿B
~ (p a
~~q), podem os
esF
Es decir, en lainclusión no puede darse que haya un elem ento de A que no
pertenezca a B.
S obrentendiendo el cuantificador universal, para descargar la notación, escribi­
remos
A C B o x e A =»JceB
2.3.2. Diagramas de Venn
Existe una representación visual de los conjuntos dad» por diagramas llamados de
Venn. En este sentido, el conjunto universal suele representarse p or un rectángulo, y
los conjuntos p or recintos cerrados. Es claro que to d o elem ento de A pertenece a U, es
decir, A C U. Sean A, B y C subconjuntos de U, com o indica el diagrama
INCLUSION DE CONJUNTOS
En este caso se verifica A C B .
Ejem plo 2-4.
Sean U = N y los conjuntos
A ={jc/jc|6 }
B = ^
x
C = [ x
Co
lo
Ha
tjijpp
j
X
/ x
I8 y
< 2 }
/>i\níiintQc
/4 j g g r ^ p i *1e.
4®
V ano
Definimos la relación de divisor en N mediante
a|b
si y sólo si 3 n e N / b ~ a . n
Teniendo en cuenta esta definición, y ia relación de m enor o igual, la representación
por extensión de tales conjuntos es
A = { 1,2 ,3 ,ó}
B = { 1,2 ,4 .8 }
f
")
C “ 1 1 ’ 2 „?
y en términos de diagramas de Venn
Ejem plo 2-5.
Consideremos el conjunto U de todos los triángulos; si I denota el conjunto ds los
triángulos isósceles, E de los equiláteros y R de los triángulos rectángulos, se tiene
Ya que todo triángulo equilátera tiene los tres lados iguales, en consecuencia tiene
dos iguales, es decir, es isósceles. Además existen triángulos isósceles que son
rectángulos, pero ningún triángulo equilátero es rectángulo,
2.3.3, Igualdad de conjuntos
Es claro que dos conjuntos son iguales si son idénticos, es decir, si tienen los mismos
elementos. Entonces, todo elemento del primero pertenece al segundo, y iodo
elemento de éste pertenece al primero.
D efinición
A ~ B «A CB
a
B C k.
Ejem plo 2-6.
Los conjuntos de números reales
A = ( x i x 2 = x j>
B = í x / (x — 1) . .y = 0 )■
son iguales ya que
x e A ·**■ x 2 — x » x 2 —x = 0
x . (x — 1) = 0
x eB
El Incondicional se desdobla en las dos implicaciones que prueban la doble
inclusión, y en consecuencia la igualdad.
Ejemplo 2· 7.
Sean los conjuntos de números enteros
A = | x / x 1= 1
}
B = { * / M= í
}
Teniendo en cuenta que el cuadrado de un número entero es igual al cuadrado de su
valor absoluto, resulta
x íA
« x ‘ - i «* Lxl’ - 1 -*► be! = ! ** x e 8
En consecuencia» A = B.
Ejemplo 24.
Demostrar que el conjunto de los números naturales impares es igual al conjunto de .
los números naturales cuyo cuadrado es impar.
Hipótesis) A =
B=
Demostración)
í * e N / jc es impar j>
| x e N / . x J es impar j
Tesis)
A= B
N o ta previa:
Por definición, un número natural x es im par si y sólo si existe k e N tal que
x = 2 k - 1.
Por otra parte, es fácil ver que el producto de dos naturales consecutivos es impar, y
que la diferencia entre un número par y uno im par es impar. Vamos ahora a nuestra
demostración, la cual consiste en probar las dos inclusiones que definen la igualdad
Io)
A C B. En efecto: se a* e A.
Se tiene x e A =* x es impar
.y = 2 k — ! con k e N =s>
=» x 2 ~ 4 k 2 — 4 k + i con k e N
x 3 = 2 . ( 2 k 2 — 2 k) + 1 — I ■»
x 1 ~ 2 . (2 k 2 — 2 k -- !) - ’ —· .v· ~ 2 k ' — ! siendo k ' e N =»
=> ,v: es impar =» .v t B
Hemos utilizado sucesivamente, la definición de A, la definición de número
impar, cuadrado de un binom io, la distributividad de la m ultiplicación, la
sustitución de ! por ( 2 — 1"), nuevamente la distributividad. la definición de
número im par, y finalmente la definición de B.
2°) B C A, Es claro que x - x , {x + 1) —
.
Ahora bien
j c e B =* .y2 es im par =»· .y . (.y + 1> —-y2 es im par =>
= » x es impar = > x e Á
En consecuencia A = B.
2.3.4. Propiedades d e !a inclusión
i
) REFLEXIVIDAD. Todo conjunto es parte de sí mismo.
En efecto, si A es un conjunto, la implicación
V x : X e A => x e A es V
En cosiseeuencS. por definición, se tiene A C A,
¿ i) T R aN S IT ÍV JD aD Si un conjunto es pane de otro y éste es parte do un
tercero, «¡tunees ei primero esíd incluido en .·! tercero
Hipótesis) A C B
BC C
Tesis) A C (’
Demostración)
Sea x e A . Por hipótesis se tiene
x e A => x ¿ B
y
x e B => x eC
Entonces, por ley del silogismo hipotético
.x e A => x e C
Y, en consecuencia, por definición de inclusión AC C.
iii)
ANT1SIMETRIA. Si un conjunto es parte de otro y éste es p arte del primero,
entonces son iguales.
ACB
A
B C A =>A = B
es una consecuencia de la definición de igualdad.
2.3.5. Caracterización del conjunto vacío
i ) Propiedad. El conjunto vacío está incluido en cualquier otro.
■'b re te sis) A es un conjunto.
Tesis) 0 C A.
D emostración) Consideramos la siguiente proposición:
V x : x e <p => -v e A
‘a c jal es V por ser el antecedente F. En consecuencia, de acuerdo con la definición de
inclusión, se tiene <t>C A.
So ti:
Eí teorem a es válido cualquiera que sea A; en particular, A puede ser vacío.
ii ) Propiedad. El conjunto vacío es único.
En efecto, suponem os que. además de <¡>, existe é' tam bién vacío. Entonces, de
acuerdo con i ). es verdadera la proposición
C <¡¡
<pC <f
y. por definición de igualdad, resulta <js' = <j>
Ejem plo 2-9,
D emostrar
A C $ =*■ A =
Como se trata de una igualdad se requieren dos inclusiones.
Io )
<b C A por 2.3.5. i ).
2o ) A C <p. Se verifica por "hipótesis,
Luego
A = 0.
© 2 .4 . CONJUNTO DE PARTES
P ado un conjunto A, podem os formar un nuevo conjunto constituido por todos los
iubconjuntos Je A, el cual recibe el nombre de conjunto de partes de A.
D e finición /
Conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos subconjuntos
de A.
P {A ) = { X / X C
a}
Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, y, en consecuencia, P (A)
es un conjunto de conjuntos.
De acuerdo con la definición, se tiene
X e P (A) « X C A
F! problema de decid ir si un objeto es un elemento de P (A ) se reduce a determinar
si dicho objeto es un subconjunto de A.
De acuerdo con la propiedad reflexiva de la inclusión, cualquiera que sea A, se tiene
A C A, y en consecuencia A e P (A ) por definición de conjunto de partes.
Además, por 2.3.5. i) se sabe que <p C A, y p o r la misma definición <p e P (A), Es
decir, cualquiera que sea A. el mismo A y el vacío son elementos de P ( A ).
Ejem plo 2-JO.
f
\
Determinar el conjunto de partes de A = { 2 , 3 ,4 ¡
Los elementos de P ( A) son todos los subconjuntos de A, es decir
4>
A
Y la notación po r extensión es
Ejem plo 2-11.
,
i ) El conjunto de partes del vacío es el conjunto cuyo único elemento es el
vacío.
i i ) La pertenencia relaciona elemento a conjunto, mientras que la inclusión
relaciona conjuntos entre sí. Desde este punto de vista, damos los valores de
verdad de las siguientes proposiciones relativas al ejemplo 2- 10.
V
4>e A
F
4>eP( A)
V
(¡>C P (A)
V
e P ( A)
V
2eP (A )
F
{ 2 } eP (A )
V
A eP (A )
V
Ae A
F
A
^
(2,3)
A
Ejemplo 2-12,
Si A tiene n elementos, entonce» P (A) tiene 2" elementos. Se trata de computar el
número de subconjuntos de A. Uno de ellos es el vacío. C onjuntos unitarios hay
exactamente n = ( n ) , es decir, tantos como combinaciones de n elementos, de orden
\ 1/
1.
Ei número de subconjuníos de dos elementos es el de combinaciones de n
■ti
elementos de orden 2 , es decir i , ¡ ,
Subconjuntos ternarios hay ( 'l i .·
Y así sucesivamente, hasta obtener el único subconjunto de n elementos.
El número to tal está dado por la suma
1 + (Ü) + Í T ¡ + . . . + í'n ” ,j + 1 = ('" ) + j'" 1 + ( '" ) + . . . 4 ¡ ” \ =
n
:n \
n
.
= s
(,·;= 2
( ¡ j r . r - * = o + i r = 2n
¡= 0
i- 0
En este desarrollo hemos aplicado la fórmula del binom io de Newton, que se
justificará en el Capitulo 6.
'2.5. COMPLEMENT -XION DE CONJUNTOS
Sean A y B subconjuntos de U,
í.5.1. Definición
Complemento de A es el conjunto formado por los elem entos de U que no
pertenecen a A.
El complemento de A se denotará por Ae; suelen usarse tam bién A ’ y A.
En símbolos
Ac = I jccU/jc^a}
o b ie n
Ac = { x / x î a )
Se tiene
.v c Ac «· .v f A
El duii'rama »1«; Vcnn correspondiente es
La complementación es una operación unitaria, en el sentido de que a partir de un
conjunto se obtiene o tio .
Es usual tam bién obtener el complemento de un conjunto A, respecto de o tro B, en
cuyo caso ¡a definición es
C%A - \ x e ü ¡ x $ A >
En particular se tiene
i ) El com plem entario del vacio es el universal.
x e U => jc £<¡í> =» x € óc
9
O
V
se-i
.o rn o
V C if
9 C C U, resulta # r - f.:
t¡ ) Ei com plem entario del universal es ei vacie.
i ,c =· í x f . x e V
i.
2.5.2.
A xi\j
\ =<t>
Propiedades de ia complementación
- í) INVOLUCION. (A c)r = A
D emostración)
x e (A e )c « . t í Ar
~ ( . r e Ac) <*· ~ (x 4 A)
x eA
En esta dem ostración hemos utilizado la definición de com plem ento y la ley
involutiva del cálculo proposicional.
II) A C B =* Bc C Ac
D em ostración) U tilizando sucesivamente las definiciones de complemento, de
inclusión y de com plem ento, se tiene
Ac
x t
Luego
,
Be C A c
Ejem plo 2-13.
Demostrar A = B =*· Ac = Bc
x e V
o x € A ·» x 4 B « s e Bc
En virtud de las definiciones de com plem ento, igualdad y com plem ento.
E jem plo 2-14.
i
) Si r es una recta incluida en el plano a, entonces su com plem ento es el par de
semiplanos opuestos abiertos, de borde r.
i i ) El com plem entario del conjunto de los números naturales pares es el
conjunto de los naturales impares,
iü) El complem entario de Q en R es el conjunto de los núm eros irracionales.
.<2.6. INTERSECCION DE CONJUNTOS
Sean A y B subconjuntos de U.
2.6.1. Definición
Intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado po r los elementos
que pertenecen a A y a B.
El diagrama de Venn correspondiente es
En símbolos se tiene
An B=
£ U ,/ x e A
a
x
e Bj
O bien, sobrentendido U .
AOB = |.v/xeA
a
jre B j·
La intersección entre conjuntos es una operación binaria, porque a partir de dos
conjuntos se obtiene un tercero.
La propiedad que caracteriza a los elem entos de la intersección es la de pertenecer
simultáneamente a los dos conjimtns y se establece en términos de una m u junción
La definición de intersección establece
jceAHB « ,? e A
a
*eb
Si la intersección de dos conjuntos es vacía dichos conjuntos se llaman disjuntos.
A y B son disjuntos <=> A O B = <t>
Ejem plo 2 -/5 .
i )S¡ r y r ’ son dos rectas distintas incluidas en un plano, entonces su
intersección puede ser vacía, o bien reducirse a un punto. En el primer caso
son paralelas, y en el segundo caso se llaman incidentes,
i i ) Sean dos rectas AC y AB, donde A. B y C son tres puntos no alineados
pertenecientes al plano a . Quedan definidos los conjuntos
S (AB , C ) : semiplano de borde AB que pasa por C
S (AC , B ) : semiplano de borde AC que pasa por B
Entonces el conjunto S (AB , C) n S (AC , B) es el ángulo convexo BAC
iii) considerem os tres puntos distintos A, B y C pertenecientes a la recta r:
A
B
C
r
Las semirrectas S (A , B) (de origen A que pasa por B), S (A , C) y S (C , B) son
subconjuntos de r, tales que
S ( A , C ) n S ( C , B ) = AC
S ( A , C ) n S ( A , B ) = S (A , C) = S (A , B)
iv) La intersección entre el conjunto de los números enteros pares y el conjunto
de los núm eros impares es vacia, ya que no existe ningún entero que sea
simultáneamente par e impar.
v ) En Z, la intersección entre el conjunto de los números pares y el conjunto de
los números prunos es eí conjunto «J — 2 , 2 ;
2.6.2. Propiedades de la intersección
1) 1DEMPOTENCÍA: A O A = A.
En efecto
x e A n A ■» x e A
a x eA xeA
II) ASOCIATIV1DAD: (A n B) n c = A O (B O C).
Utilizando la definición de intersección, y la asociatividad de la conjunción, se
tiene
x e (A n B )D C « jceAUB a
** (x e A a x e B) a x e C
x eA a
x
e C ·»
x e A a (.v e B a x e C ) ·»
x e Bn C « x e A n (B O C )
III) CONMUTATIVIDAD: A n B = B n A.
La demostración es obvia aplicando la definición de
conmutatividad de la conjunción.
intersección y la
IV) ELEMENTO NEUTRO PARA LA INTERSECCION ES EL. UNIVERSAL.
La intersección opera sobre elementos de P (U ),es decir, ¡obre subconjuntos üs
-U. Interesa determinar si existe un subconjunto de U cuya intersección con
cualquier otro no lo altere. Tal elemento de P ( V ) se llama neutro para
la
intersección,y en nuestro caso es el mismo U. En efecto
cualquiera que sea A C U, se verifica A n
Ejemplo 2-16.
.
La propiedad IV es un corolario del siguiente teorem a
A C B ■» A H B = A
U—U O A = A
Por tratarse de una condición necesaria y suficiente realizamos las demostraciones
de las dos implicaciones:
i ) A C B => A H B = A
Con la información proporcionada por la hipótesis A C B, tenem os que
dem ostrar la igualdad A n B = A. Por definición de igualdad hem os de
probar dos inclusiones:
a) Sea x e U tal que x e A n B. Ahora bien
x e A n B =&■ x e A /.
x e B =» x e A
por definición de intersección, y ley ¡óg¡ca p
q =» p.
En consecuencia A O B C A i 1 1,
La relación (1 ) nos dice que la intersección entre dos conjuntos está
incluida en cualquiera de ellos.
b) Sea ahora
x e A =* x e A
\'xeB
=>íeAOB
por la hipótesis y por definición de intersección.
Entonces se verifica A C A B (2).
De (1) y (2) resulta A n B = A.
ii)
A O B = A **ACB
Para demostrar que A C B, consideramos
x e A => x e A n B => x e A
a xeB =fjeB
pues po r hipótesis A = A ri B; hemos utilizado además la definición de
intersección y ia ley lógica p '■ ü =* <?·
Queda probado asi que A C B.
Nótese que en í ) a) no hemos hecho uso de la hipótesis, pero sí en b). Esto nos
dice que la proposición A O B C A es independiente d e toda condición, es decir, es una
propiedad intrínseca de 1a intersección.
Ejem plo 2-17.
*
Demostraremos que si dos conjuntos están incluidos en un terceto, entonces ia
intersección de los dos primeros es parte del tercero.
Esto se ''ve’" en el dsagrarr¡a
ACX
a'
BC X
AH BC X
Lo dem ostram os así
x t A O B =>.veA
a
jreB=*xeX
λ
x e X => x e X
Hemos aplicado sucesivamente la definición de intersección, la hipótesis y la ley
'· >gÍC3 p Λ p => p.
i.je m p lo 2-18.
D em ostrar que el conjunto de partes de la intersección es igual a la intersección de
los conjuntos de partes.
’ /* (A Π B) = i* (A) Π P (B)
En efecto: teniendo en cuenta que los plemenmc de fe« parte? de un conjunto son
.beanj a n te s , consideramos
X e P l Α Π 3) «· X C A . n B
XC a
'
X CB»X e?(A )
\
XeP(B)
<=» Xe/>(A)ni>(B)
•i definición de conjunto de partes; teniendo
en cuenta i ) a) del ejemplo 2-16, la
•
ansitsvidad de la relación de inclusión, la definición de conjunto de partes y la
c.'fsnición de intersección.
2.7. UNION DE CONJUNTOS
1.7.1. Definición
L nión de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado p or los elem entos que
pertenecen a A o a B.
S im bólicam ente se indica
Ί
f
A U B = i x e U / x eA
^
v
x e B ¡>
J
Prescindiendo del universal
AUB = | í
/ x e A v x e B j>
La u nión de conjuntos, lo mismo que la intersección, es u na operación binaria
definida en el conjunto de partes de U.
De acuerdo con la definición, podem os escribir
a e A U B => a e A v
a eB
El " o ” utilizado es incluyente, y pertenecen a la unión aquellos elem entos de U
ra los cuales es verdadera la disyunción; entonces u n elem ento pertenece ¿ la unión
/ se lo si pertenece a alguno de los dos conjuntos.
El diagrama correspondiente es
A la unión pertenecen todos los elementos de los conjuntos dados. En el caso
disjunto se tiene
U
donde ia parte -sombreada es A u B.
Es claro q¡.o todo conjunto está contenido en su unión con cualquier otro. En
efecto
x e A => x e A
v
x e B =» x e A u B
en virtud de la ley lógica p => p v q, y de la definición de unión. Entonces
A C A U B como queríamos.
Ejemplo 2-19.
í ) La unión d e un par de rectas r y r ’ contenidas en un plano es el p ar de rectas.
i i ) La unión de dos semiplanos opuestos y cerrados es el plano.
iii) Sean los puntos A, B y C, como en el ejemplo 2-15. iii). Se tiene
S (B , A ) U S ( B , C) = r
S | A , B ) U S ( B , C ) = S ( A , B)
2.7.2.
Propiedades d e la unión
I) 1DEMPOTENCIA. Cualquiera que sea A. se verifica
AU A = A
Pues
-v e A u A
x eA v
x e\ o x €A
por definición de unión, y la ley lógica p v p o p.
!J) ASOCIATIV1DAD. Cualesquiera que sean A, B y C'
(AUB)UC = AU(BUC)
La demostración es análoga a la propuesta en el caso de la asociatividad de la
intersección, utilizando ahora la definición de unión y propiedades de la
disyunción.
I I I ) CONMU7ATIVIDAD. Para todo par de subconjuntos de li
se verifica
AU B= BU A
pues
-v € Á u B ^ x e A v
x e B «· a e B v
x eA
x e B
A
IV) ELEMESTO NEUTRO PARA LA UNION ES EL CONJUNTO VACIO.
Es decir, cualquiera que sea A C U, se tiene
AU0=0UA=A
Tratam os sólo el caso A U Q = A, ya que la conm utatividad nos exim e de la otra
situación.
S abem ospor 2.7.1. que A C A u 0
(1)
Sea ahora .v e A U <f> =*■ x e A v x e<p = » . t e A
por definicwn de unión, y po r ser falso x e <p .
Luego A U 0 C A
(2)
Por (1) y (2) resulta la igualdad propuesta.
Ejemplo 2-20.
Demostrar A ~ B * A U B = B.
Seguimos el mismo esquema empleado en el ejemplo 2-16.
i ) Hipótesis) A C B
Tesis) A U B = B
Demostración) Como cada conjunto está contenido en su unión con
cualquier otro, según 2.7.1,, se tiene
B ·; A U B
· l)
Consideremos ahora
x e A u B => x e A
v ie B
v x e B =»xeB
por definición de unión, por hipótesis y por la ley p v p =» p.
Entonces:
De ( 1) y (2) resulta A U B = B ■
ii)
AUBCB
Hipótesis) A U B = B
Tesis) A C B
Demostración) i e A =» x e A U B » x é B
(21
PROPIEDADES DE LA UNION
45
porque si un elemento, pertenece a un conjunto, entonces pertenece a su unión con
cualquiera y además por hipótesis, ya que A U B = B,
Es decir: A C B.
Ejemplo 2-21.
i ) Demostrar X C A
a
X C B =>XC AUB.
En efecto, sea
x e X =* x e A v
,v e B => .v e A u B
lo que es cieno por hipótesis y definición de anión.
i í ) La implicación anterior no admite recíproca verdadera, ya que puede darse
que X C A B, y sin embargo X -- A y X ‘Z B, como puede verse en el
diagrama siguiente
JL
iii) Demostrar / * ( A ) U ¿ , ( B ) C Í ( A U B ) ,
f onsideremos
XeP(A)uP(B) ^X e P (A )
=*XC A
v
X e P { B ) =>
V X C B = > X C A U B => X e f l A U B )
por definición d e , unión, de conjunto de panes, propiedad i ), y definición de
conjunto de paites
2.S.- LEYES DISTRIBUTIVAS
La unión e intersección de conjuntos pueden conectarse a través de dos propiedades
fundamentales, llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las fórm ulas
(A u B) n C = (A n c) u (B n o
( A n B ) U C =(AUC)n(BU'C)
Vamos a verificar, mediante diagramas de Venn. ia primera de estas leyes. Los
dibujos corresponden al primero y al segundo miembro de la igualdad.
(AUBl^c
(A n c) u (B n c)
Las dem ostraciones formales son las siguientes:
2.5.1.
Distributividad de la intersección respecto de la unión
xe (A ü B )n c « s e A U B
<*{xe A
a xeC)
v
a
(xeB
x
e C ■*> (x e A
v
jc e B)
a j c eC ) « x e A O C v
x
e C «*·
* eBn
c ■*=*·
a
« -jc e (A n c ) u ( B n c )
por definiciones de intersección y de unión, y distributividad de la conjunción respecto
de la disyunción.
2 .3 .2 .
Distributividad de la unión respecto de la intersección
x e (A n
B) u C
x eAo B
« (x e A
a
xeB)
v
x eC o
«(xeA
v
xeC)
a
(xeB
«
í
£ A U C
a
x
e B U
€
v
v
x eC
xeC )<*
*»
« - . r e ( A U C ) n (B U C)
S í han utilizado las definiciones de unión, de intersección, y la ley distributiva de la
disyunción respecto de la conjunción.
2.9. LEYES DE DE MORGAN
Estas leyes, de gran aplicación, perm iten relacionar la compiem entación con la
unión e intersección.
'.9 .1 . Teorema. El com plem ento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersec­
ción de sus complementos.
LEYES DE DE MORGAN
47
Tesis) (A U B)c = Ac O Bc
Demostración) x e ( A U B)c o x 4 A U B
«~(xeA U B )^~(xeA
o x t A a
.v 4 B
v
xeB)
x e A c a x c Bc o
<» x e Ac n b c
Por definición d e complemento, de unión, negación de una disyunción, y definición
de intersección.
2.9.2. Teorema. El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la
unión de sus complementos.
Tesis) (A n B)c = Ac U Bc
Demostración) x e (A n B)c » x í A H B
«· ~ (x e A n B)
o
~ (x
x i A v x i B o x e
e A .\ x e B)
A c v x e Bc o
x e A c U Bc
De acuerdo con las definiciones de complemento, de intersección, negación de
una conjunción y definición de unión.
Ejem plo 2-22.
Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
AC B
;
Bc C A c
;
AUB=B
;
An B = A
De acuerdo con ío establecido en el Capítulo 1, para demostrar la equivalencia de
una cadena de n proposiciones, es suficiente probar « implicaciones. En nuestro caso
p => q =* r
Io)
2o )
=> s => p
A C B => Bc C Ac
En efecto x e B c = > x í B = > x í A = > x e A c
por definición de com plem ento, p or hipótesis y definición de complem ento.
Bc C A c = » A U B = B
SeaxeAUB =*xeA
v
ac e B =>
= » x ¿ A c v x e B => x ^ Bc v x e B =*
=>xeB
v
x f B =^xeB
.p o r definiciones de unión y de complemento, por hipótesis, definición de
complemento y ley lógica p v p =¡> p.
Así
AUBCB
(l>
Por atra parte
B C AU B
(2)
ya que todo conjunto es parte de su unión con cualquier o tr o .
De (1) y (2) resulta A U B = B
3o)
A U B = B =» A n B = A
a) Coìto la intersección está incluida en cualquiera de los d os conjuntos, se tiene
An BC A
ID
b) Sea x e A **'x e A U B =* x e B
pues - A :J B v por hipótesis
Enonces
x e A => x e A
Es decir
a x e B =» x e A n B
ACÂOB
P o r ( l ) y ( 2) resulta
An b = A
4o ) A n B — A = > A C B
Esiá demostrado en el ejemplo 2-16 i i )
2.10. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
2.10.1, Definición
Diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto form ado por los elementos
de A que no pertenecen a B.
El díagarna correspondiente es
Es clara que A — B =£ B — A; es decir, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Ejemplo 2-23.
i ) Considerando como universal al conjunto d e los puntos del plano, la
diferencia entre la recta r y el segmento AB es la unión de las semirrectas
abiertas AM y BN
A
B
r
-------------- S------------- ^— ------- i--------------- !-------------M
-
N
n ) La diferencia entre e! conjunto de los núm eros pares y el conjunto de los
números primos es el conjunto de los núm eros enteros del tipo x — 2 , k
siendo k ^ i 1 .
2.10.2. Propiedad. La diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del
primero con el com plem ento del segundo. '
Se trata de probar qu e A — B = A ñ Bc.
En efecto, aplicando sucesivamente las definiciones d e diferencia, complementación
e intersección, se tiene
A —B = | i / í e A
a
x é Bj =
/x eA
a
x e Bc j = A n Bc
Ejemplo 2-24.
Demostrar
BC A # fA -B )U B = A
(A — B) U B = ( A n Bc) U B = (A U B) H ( Bc U B) =
= (A U B )nU = AUB = A
Por 2.10.2, distributiv'idad de la unión respecto de la intersección, por ser
BCU B = U, por neutro para la intersección y lo dem ostrado en el ejemplo 2-20.
Ejemplo 2'25.
Demostrar h distríbutivtdad de la intersección respecto de la diferencia, es decir
A n (B - C) · (A n B) - (A n o
En lugar de seguir el m étodo general de probar las dos inclusiones, vamos a
trasformar cada m iem bro d e la igualdad utilizando las propiedades demostradas.
Así
A n ( B - C ) = A O ( B n c c) = A P i B O C 0
'
(1)
por 2.10.2 y asociatividad de la intersección. Considerando el segundo m iem bro y
aplicando 2.10,2, ley de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la
unión
(A n B) - (A n C) = (A n B) n (A n
c')c =
=· (A n B) O (A c U Cc) =
= (A n
b
= $ u (a
n a c) u (a n b n ce) =
o b n ce) = A n b n c c
(2)
De ( 1) y (2) resulta
A n (B — C) = (A n B) - (A n
c)
2.11.
DIFERENCIA SIMETRICA
Sean A y B dos subconjuntos de U.
2.11.1. Definición
Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A — B y
B - A.
La notación es
A A B = (A — B) U (B — A)
(1)
y el diagrama correspondiente
Otra identificación de la diferencia simétrica es
A A B = (A n Bc) U (B n Ac)
(2 )
que se deduce com o consecuencia inmediata de la definición, teniendo en cuenta que
la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del prim ero con el
com plem ento del segundo, según 2 . 10.2 .
Resulta tam bién
A A B = (A U B) — (A n B)
(3 )
En efecto
A A B = (A — B) U (B — A) = (A n Bc) U (B n Ac) =
= [(A n Bc) UB]n [(A n Bc) u Ac] =
= (A U B) n (Bc U B) n (A U Ac) n (Bc U Ac) =
= ( A u B ) n u n u n ( A c u B c) —
= ( A U B ) n ( A c U B c) = ( A U B ) n ( A n B ) c = ( A üB)-(AnB)
De acuerdo con (2), por ley distributiva de la unión respecto de la intersección, por
ser BC U B = A U A C = U, por ser U neutro para la intersección, por conmutatividad
de la unión, por ley de De Morgan y por 2.10.2.
Las expresiones alternativas para la diferencia simétrica son
A A B = (A — B) U (B — A) = (A n Bc) U (B n Ac) =
= (A ü B ) - ( A n B) = (A UB) O (A í~¡ B)c
t
2.11.2. Propiedades de la diferencia simétrica
I) CONMUTATIVIDAD
A A B = (A — B) U (B — A ) = (B — A) U ( A — B) = B A A
II) EXISTENCIA DE NEUTRO. En P (U), el vacío es neutro para la diferencia
simétrica. E n efecto
A A ^ = ( A - 0) U ( ^ - A ) = A U ^ = A = ^ ñ A
III) EXISTENCIA DE INVERSOS. E n una operación entre elem entos de un
conjunto (en este caso el conjunto es P (U), los elementos son los subconjuntos
de U y la operación es la diferencia simétrica), interesa determ inar si, dado un
conjunto, existe otro cuya diferencia simétrica con él es el neutro. Afirmamos
que to d a conjunto A C U admite al mismo A como inverso respecto de la
diferencia simétrica.
En efecto
*
A A A = ( A — A ) U ( A - A)~(¡)U<I> = <¡¡
IV) ASOCIATIVIDAD. Cualesquiera que sean A, B y C pertenecientes a P (U) se
verifica
-
(A A B) A C = A A (B A C)
Demostración)
. (A A B) A C = [(A A B) n Cc] U [(A A 8)e n C] —
= { [ ( A n B c)u (A c n B )] n c c} u {[(A U B )n (A n B )ef n c } =
= ( A n b c o c c) u (A c n b n c c\ f f<au B)c u ( A n B ) ] n c }
'=
= (A n b c n cc)u(Acn b n c°) u (Ac n b c ric) u (a o b n C) =
= ( A n B n c ) u ( A n B cn c c) ü ( A ' n B n c c)u(Acn B cnc)
(i)
En este desarrollo se han utilizado las consecuencias de la definición de diferencia
simétrica, leyes de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la unión y
la corm utatividad.
Desarrollamos ahora el segundo miembro aplicando la conmutatividad de la
diferencia simétrica y utilizando el resultado anterior
A A(B & C) = (B A C)A A =
= íB n
c n'A) u (B o cc n
ac) u (Bc n c n ac) u (b c n cc n A) =
= Í A O B n C) u (Ac í*ibo cc)u (Ac n bc n C) u (A n bc n ce)
(2)
De (1) y (2) resulta
(A A B) A C = A A (B A C)
Ejemplo 2 -2 6 .
i ) La diferencia simétrica entre los intervalos reales
|1 , °°) A (—00 ,3] = (3 ,« )U (- « »,1 )
i i ) En cambio
(1 , °°) A (—00,3) = [3 , °°) U
, 1]
Ejemplo 2-27.
Demostrar la ley cancelativa de la diferencia simétrica, es decir
A A B = A A C =>B = C
En efecto
AAB = A A C = » A A (A A B ) = A ¿ (A ¿ C ) »
=* (A A A) A B = (A A A) A C =>
=» p A B —
^ B= C
Ejemplo 2-28.
Demostrar la distributividad de la intersección respecto de la diferencia simétrica.
Tesis) (A A B) O C = (A n C) A (B ri C)
Demostración) Desarrollamos los dos m iem bros p o r separado
( A A B ) n c = [ ( A n B e) ü ( A c n B ) ] n c =
= (A n
bc n
c) u (Ac n B n c)
(i)
(A n c) A (B n c) = [(A n c) n (b n c)c] u f(A n c )c n (B o c )] =
= [(A n C) n (b c u c °)] u [(a c u c c) n (B n c)] =
= (A n c n b °) u (a n c n c °) u (Ac n b n c) u (cc n b n c) =
==(AnBc n c ) u 0 u ( A en B n c ) u 0 =
= (A n b c o c ) u ( a c n b n c)
(2)
Hemos utilizado las alternativas de la definición de diferencia simétrica, la
distributividaá de la intersección respecto de la unión, una iey de De Morgan, la
conmutatividad de la intersección, la definición de conjuntos disjuntos y la neutralidad
del <t>para la unión.
2.12. PRODUCTO CARTESIANO
2.12.Í Par ordenado
»
Dados dos elementos a y b interesa form ar un conjunto que dependa de dichos
elementos y del orden en que se consideran.
D efinición
Par ordenado (a , b) es el conjunto cuyos elementos son
j y
/ a , fe 'j>
( j , 6) =
a y b son la primera y la segunda com ponentes del par ordenado.
En particular se tiene
(«,«) =
j{ a )
» {*>*}}
=
{ { a }}
S i a ^ b , entonces ( a , b) ^ (b , a)
'Q ueda como ejercicio la siguiente propiedad; dos pares ordenados son iguales si y
sólo si tienen sus componentes respectivamente iguales,
2.12.2. Definición *
Producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son
todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda
aB .
En símbolos
A X B = ^(a , b ) ¡ a e A
a
¿eB }
E n particular
A X A = A 2 = | ( a , 6) / í z e A
a
6 e Aj
Ejem plo 2-29.
i ) P roducto cartesiano de A = ^ 1 , 2 , 3 |
y
B = <£l , 2 /
A X B = {"(1 ,1 ), (1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) }
i i ) Por ser pares ordenados, los elem entos del pro d ucto cartesiano de dos
conjuntos pueden representarse m ediante p u n to s del p lano cuya abscisa y
Ordenada SOn, ICSpCÍ aVaHiCntC, la pti¿riCía y la seguíiuá cOmpUíiCuic.
Los vértices de la cuadrícula obtenida son los elem entos del p ro d u c to cartesiano,
iii) El producto cartesiano no es conm utativo, pues
(3 , l ) e A X B y (3 , 1 ) * B X A **
=> A X B = £ B X A
Ejem plo 2-30.
Sean los intervalos cerrados de números reales
[ a , b ] = ^ x e R I a < ,x <
fe , d] = ^ y e R / c < / < d ^
Entonces
[a , é ]X [c , d ] = ^ (x , y ) e R 2 l a < x
es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.
a
c<
y<.d}
Ejemplo 2-31.
Sean A = ^ x e R / ¡x ¡< i ]
y
B= R
Entonces
AXB = { (.v j)eR J / - l < i < ]
es la faja abierta de la figura
* j e r )
Ejemplo 2-32.
El producto cartesiano es distributivo respecto de la unión
( A U B ) X C = ( A X C ) U ( B X C)
En efecto
( x , y ) f ( A U B ) X C « x e A U B A y eC o
« (,ve A v .t e B) a y eC o
(jee A a v e C ) v í.r e B a v e C ) »
** (x , ,f ) e A X, C v (,t , y ) € B X C *>
·» {a- . f 'HMA X € ) ü IB X C)
Hemos aplicado, sucesivamente: definiciones de producto cartesiano, de unión,
distributividad de ia conjunción respecto de la unión, definiciones de producto
cartesiano y de unión.
El producto cartesiano de tres conjuntos se define mediante
A X B X C = (A X B) X C
Sus elementos son ternas ordenadas.
Como caso particular, se tiene
A3 = A X A X A = ^ ( x j ' , : ) / J r e A
a
ye A a
zeAj
En este caso, la representación es espacial.
13. OPERACIONES GENERALIZADAS
Sea
(
A)t A j,. .. , A„ ^
un conjunto finito de conjuntos; en este caso podemos
formar la unión e intersección de dicha familia, es decir
n
A. U A: U . . . u
A„
=
U A,
»= l
n
A,
; A2 ' ’ . .. <1 A„ =
0 A,
donde los segundos miembros denotan abreviadamente tales operaciones.
Si consideramos l„ = | 1 , 2 , . . . , n ) , entonces escribimos
H
U A, =
le in
U A,
í= l
n
n a, =
i e I«
n a,
¡= 1
¡ n es un intervalo natural inicial (conjunto de los n prim eros números naturales) y
se llama un conjunto de índices.
Si el conjunto de índices I se identifica con N, es decir,
I= ^ 1,2 ,3
, entonces la familia de conjuntos <^A, , A 2 , . . . , Af¡, . . , \
se llama sucesión de conjuntos y la notación es
U a, =
ieI
U a,
*·= 1
.·*»
n a, =
i
c- I
D
a,
I = 1
También puede abreviarse la natación de la familia de conjuntos
{ Aj , A2 , . . . , A„ ^
2.13.1. Sea < A,· }
^ Aj j> ¡ e l
^ ^ una familia de conjuntos.
Definición
Unión de la familia ^ Aj j
e ¡ es el conjunto
U a ¡ = f x / 3 ¡'e I
¡el
A
^
xeA,·!
·*
Es decir, u n elem ento pertenece a la unión de la familia si y sólo si pertenece a
alguno de los conjuntos de dicha familia.
2.13.2. Definición
Intersección de la familia
A¡ j· ,· e ¡ es el conjunto
H a , = ( X !x e A ¡, V*X
i€ i
j
I
l 'n elemento pertenece a la intersección si y sólo si pertenece a todos Ies conjuntes
de dicha familia.
Para Sas uniones eintersecciones generalizadas subsisten ías propiedades de! cas:?
binario. En particular las leyes de De Morgan son
u a
¿el
/r W
I¡el
Y =
/
)^
/
n v
*€ I
u a ,c
¡el
Ejemplo 2-33.
Operaciones co n intervalos reales
i )
Ü [/ — 1 , 0
= [0,1) ü [1,2) U [2,3) U , . . . =
i=1
= iru
| o } = [o ,« )
donde R 4 d en o ta el conjunto de los núm eros reales positivos.
10
,C \f T ·
n,)
t)
-<-■·')'·'f
= (o .i)■"* (o, 4 )
ñ j o , - jj
i
.y )
" - · = { < > }
n fo,-£!
n .... = ^
2.14. UNIONES DISJUNTAS
En Probabilidades se utilizan uniones d e conjuntos disjuntos y en lugar de utilizar
las notaciones
AUB
para el caso
A O B = 4>
es usual escribir
A+ B
sím bolo que indica una unión disjunta.
Si se tiene u n a unión arbitraria de conjuntos, ésta puede expresarse com o unión
disjunta de la siguiente manera
A U B = A + AC(1B
Consideremos ahora la unión de tres conjuntos A ¡ , A 2 y A 3 ; la podem os expresar
com o unión disjunta mediante
3
U
a,
í= 1
=
a
, + Af n
a
2+
aí
n
aí
n
a
3
Indicando con el sím bolo Z la unión en el caso disjunto, la expresión anterior en el
caso de una sucesión de conjuntos puede escribirse así
U a , = Ai +
^ Ai n a § n . . . n A j , n Ay
Se trata de probar esta igualdad.
a) El segundo miembro es u na unión disjunta.
Sean dos térm inos de la sumatoria con i =£/, por ejemplo: i < j. Se tiene
(A f n . . . n A£ i n a,·) n (A f n
. . . n Af n . . .
n A /.t n
a ¡)
=
= <p pues A¡ n A¡ = <p
b ) Todo elemento del prim er miembro pertenece ai segundo.
Sea
x e
( J A,· => 3 i e N i x e A,
ie N
t
Si k es e! m enor entero positivo para el cual x € A *. se tiene x i A( U A 2 U ...
U A , ya que x no pertenece a ningún A¡ con i < k .
Luego
x e(A, U A 2 U . . . U A j . , ) ' =>
=> x e A f n A j n . . . n Aft.i y com o
x e A k =>
=* x e A \ n a $ n . . . d a | . , n Afc
y en consecuencia x pertenece al segundo miembro.
c) Sea ahora un elem ento del segúrelo miembro. Por ser una unión disjunta, dicho
elem ento pertenece a uno y sólo uno de los términos, es decir
a * / X e Af n Al n . . . n Ac
k. , n a* =>
=> x e A h para un único k =>
=> x e
*
U A,
i e N
TRABAJO PRACTICO II
2-34, Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si una
moneda cae cara, se anota 1, y si cae sello se anota 0. Form ar el conjunto cuyos
elementos son los posibles resultados del experim ento.
2-35. Con relación ai ejercicio anterior, determ inar por extensión los siguientes sub-
conjuntos:
51 : se dan más caras que sellos.
52 : sí obtienen al menos dos caras.
5 3 : se obtiene el mismo resultado en las tres monedas.
2-36. Con los conjuntos definidos en 2-30, obtener:
Sf ;S 2 - S 3 '.Sj n s 3 ;( S 2 U S 3) n S ,
2-37, Sean ¡os conjuntos
determinar A H B . A U B . A — B , B - A , A A B
2-38. Dados
Obtener A n B . A U B , Bc
2-39. Siendo
obtener A n B , (A U B )1
2-40. Si
A=|xeZ/lxl<4|
y ^
B =|xeZ/.x|6j
determinar
A U B . A D B . A — B, B — A , A A B
2-41. Formar to do s los subconjuntos de
A = { ( 0 , 0 ) , ( 1,0)}
2-42, Siendo A — ( a , b^{
, o b te n e rP (A 2)
2-43, Demostrar
(A n B) c A c (A u B.)
2-44. Demostrar
AC B
A
ACC
AC(BOC)
2’ 45. Demostrar que si dos conjuntos están incluidos en un tercero, entonces su unión
también lo está.
2-46. Demostrar
A C $ => A = $
2-47. Demostrar
A - B = A - ( A n B ) = (A U B )- B
2-48. Demostrar
(A U B )- C = (A - C )U (B - C )
2-49. Demostrar
(A O B) —C = (A —C) n (B —C)
2-50, Demostrar
*
(A — B'i
C = A — ( B U C)
2-5!, Demostrar
A —(B —C) = (A — B) U (A n C)
2-52. Demostrar
(A - B )- C C A - (B - C )
2-53. Demostrar
A U (B - C) = (A U B) - (C - A)
2-54. D em ostrar
A = (A n B) U (A n Bc)
2-55. D em ostrar
B C A « · (A - B )U B = A
2-56. D em ostrar
( A - B )U B = A U B
2-57. D em ostrar
A áB = í o A = B
2-58. D em ostrar
AXB = í « A = í
VB = 0
2-59. D em ostrar
ACB
CCD o A XC C BXD
a
2-60. D em ostrar
( A r'B ) X C = (A X C ) n ( B X C )
2-61. D em ostrar
(A —B) X C = (A X C) —(B X C)
2-62. D em ostrar
i ) A C B =» ( A U C ) C ( B U C )
ü) A C B *» ( A n c ) C ( B n c )
2-63. D em ostrar
ACB
A C C < > A C (B n C )
a
2-64. D em ostrar
ACC
a
B C C <* ( A U B ) C €
a
A U B = C =»A = C - B
2-65. D em ostrar
AflB=í
2-66. D em ostrar
i ) Uc = 4>
iii) A n Ac = (f>
ii) u
iv) A U A ' = U
= <¡>c
2-67. D em ostrar
Á U B= U
a
A n B = 0 = > B = Ac
2-68. Demostrar
i) A - (A - B ) = A n B
ii) A *J (B — A) = A U B
2-69. Demostrar ¡a equivalencia de
AUB= U
y
A'CB
2-70. Demostrar la equivalencia de
A C Bc
y
A n B = (f
2-71. Si A tiene n elem entos escribimos C (A) = n (cardinal de A es igual a «). Si A y B
son finitos, entonces el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales,
menos el cardinal d e la intersección, es decir
C ( A U B) = C (A) + C (B) — C (A H B)
D em ostrar
C (A U B U C) = C (A ) + C (B) + C (C) — C (A H B) —
- c (A n c ) - c (B n c) + c (A n
b
n c)
2-72. Sean U =£ 0 y A una familia no vacía de subconjuntos de U, es decir: A CP( U) ,
Por definición, A es un álgebra de Boole de partes de U, si y sólo si A es
cerrada para la complementación, para la unión, y contiene al vacío. Es decir
i ) h e A =*■Ac e A
ii)
A t e A , i e l =*■
iii)
$eA
U
t€ l
A, e A
donde I denota un conjunto de índices a lo sumo numerable.
D em ostrar que A contiene a U , y que es cerrado para la intersección.
2-73. Sean: Í2 =# <f¡, A & B dos álgebras de Boole de partes de Í2. D em ostrar que A ^ B
es un álgebra de Boole.
Capítulo 3
R E L A C IO N E S
3.1. INTRODUCCION
Se desarrolla aquí u n tema de fundam ental im portancia en el esquema de la
matemática actual: las relaciones binarias. M ediante ellas es posible vincular elementos
de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y según sea el tipo de conexión se
tienen las distintas clases d e relaciones. En este capítulo se estudiarán con adecuado
detalle las relaciones de equivalencia y de orden.
3.2. RELACIONES BINARIAS
Sean \ y B dos conjuntos y P (x , y ) una propiedad relativa a los elementos x e A e
y e B, en ese orden. Esto sugiere naturalmente la consideración del producto cartesiano
AXB, y la determinación de los pares ordenados (a , b) para los cuales P {a , b) es una
proposición verdadera. De este modo queda definido un subconjunto R C AXB,
llam ado relación.
Para fijar ideas consideremos el conjunto A form ado po r las personas a . b , c y d , y
el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas semanales obtenidas en una
asignatura: 1, 2, 3, 4 y 5, correspondientes a insuficiente, aprobado, bueno,
distinguido y sobresaliente E s decir
A=[ a .i.c .jj
y
B = { l ,2 ,3 , 4 , s ]
Los elementos de A quedan vinculados con los del conjunto B mediante la
propiedad
P (x , j ) : x obtuvo la n ota .y
Supongamos que la situación al cabo de u na semana queda especificada mediante el
siguiente diagrama
Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados
* = { ( a , 2 ) , ( a , 4 ) , (b , 4 ) , (d , 5 )}
como c no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que no ha sido clasificado
en la semana. Se tiene
i x ,y ) e R
P (x , y )
es V
Definición
Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano AXB.
En símbolos
R es una relación entre A y B -«· /J C AX B
Para indicar que u n par ordenado (a , b) pertenece a la relación suele escribirse
a R b , lo que equivale a ( a , b) e R .
*
3.3, REPRESENTACION DE RELACIONES
Sea R una relación entre A y B, es decir, R C AXB. En el caso de conjuntos finitos
se utilizan los siguientes tipos de representación:
i ) Mediante diagramas de Venn, com o en el ejemplo anterior,
i i ) Mediante u n gráfico cartesiano. E n este caso se consideran com o abscisas los
elementos del prim er conjunto, y com o ordenadas los del segundo.. Mediante
paraLlas a los ejes trazadas p o r los puntos de división se form a una
cuadrícula cuyos vértices son los elem entos del producto cartesiano AXB; de
éstos se señalan los que pertenecen a R.
Considerando el ejemplo propuesto en 3,2, se tiene:
A XB
R
iii) Mediante un m atriz. Sobre una columna se an o tan los elem entos de A, y
sobre una fila los de B. En el ángulo superior izquierdo, el significado de la
relación. Se asigna a cada elem ento del pro du cto cartesiano AXB un 1 o bien
un 0 , según que el par ordenado correspondiente pertenezca o no a la
relación. Con el m ia ñ o ejem plo, resulta
R
1
a
0
b-
0
c
0
d
0
3
4
5
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
}
3.4. DOMINIO, IMAGEN, RELACION INVERSA
C onsiderem os una relación R entre los conjuntos A y B.
Si (x . y ) e R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es un
antecedente o preimagen de y por R.
D e finición y
Dominio de R es la totalidad de los elem entos de A, que adm iten imagen en B
fe
fe
D efinición Y
Imagen de R es el conjunto de los elem entos de B, que admiten un antecedente
en A
IR = { y e B ¡ ( x , y ) e R ^
D efinición
4
Relación inversa de R es el subconjunto de BX A definido por
= {(y ,x )j(x ,y)eR}
Ejemplo i - / .
Con relación al caso estudiado en 3.2» se tiene
t
D/t = ( a - b - d '}
' * " { 2 .‘ .5}
La relación inversa es
R - 1 = { (2 . a) . (4 , a) , (4
, (5 , d ) }
y corresponde a la propiedad
P iy ■ x) : y es la nota obtenida p or x
El gráfico cartesiano de esta relación inversa es
1
2
3
4
5
3.5. COMPOSICION DE RELACIONES
A partir de las relaciones R C AXB y S C BXC, es posible definir una relación entre
A y C, llamada composición entre R y S, mediante
S °R
=
{(x,z)¡3yeB
a
(x
,y)eR
a
(y
,z ) e s j
La composición de relaciones admite las siguientes propiedades:
i ) Asociatividad.
(r*s)°ji=*ro(so/i)
i i ) La relación inversa de la composición es igual a la composición de las
relaciones inversas, en orden permutado.
( S°R)~l =R~* o 5 “ 1
Las demostraciones quedan como ejercicios.
Ejemplo 3-2.
Consideremos los siguientes conjuntos y relaciones:
A = { -1 , 0 , l j
B= { 1 ,3}
C = {3/2, 5/2,0}
R C AXB está definida por: la imagen de x es su cuadrado.
S C BX C caracterizada por: el correspondiente de y es su m itad aum entada en 1.
Se tiene:
{ ( - 1 , 1) , ( 1 , 1) }
S ° R = { (_ 1 ’ 4 )
’ (i’ l) }
COMPOSICION DE RELACIONES
La relación compuesta S ° R C AXC está determinada así:
X2
( x , z ) e S ° R o z = —— + 1
3.6. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Sea R una relación entre A y B, donde B = A, En este caso la relación está definida
en A, y se identifica con un subeonjunto de A 2 — AXA,
Definición
■
R es una relación definida en A, si y sólo s i R C A i .
Como todo subeonjunto de A 2 es un elem ento de las partes de A 2, podem os decir:
R es una relación definida en A si y sólo si i? € P (A 2 )
*
Es claro que el conjunto vacío y el mismo A 2 son relaciones definidas en todo
conjunto A, ya que son subconjuntos de A 2.
Si A tiene n elementos, entonces A 2 tiene n 2 elementos, y el conjunto
de partes de
A’ tiene 2(" J) elem entos, es decir, existen 2(ní ’ subconjuntos
de A2 , o lo que es lo
mism o, relaciones en A.
Ejem plo 3-3.
Se trata de form ar todas las relaciones que es posible definir en el conjunto
'I
> = { * » · <*2 j
« 1-
ai
a2
RELACIONES
D eterm inam os prim ero el producto cartesiano
A1 = { (¿j , a j ) ,(ffi ,fi2) , ( a 2 , a , ) , ( a 2 , a s ) |
C om o A 2 tiene cuatro elem entos, existen 2 4 relaciones en A, y son las siguientes:
J?i = 0
_
/?J = { («1 . f l l ) }
,/?3 = { (a, , a 2) J
R t = / (j-* . /?« ’I \
f
II
R
(a
2
f
/ (flj ,<?l) ,(¿U «2> }
*6 —
~ l
R i
(«i , « l ) ,(ú2 a i) }
-{
f
-<
r
9
R
10
R u
(«1 >a l) >(^2 a2) }
- { í<¡\ , a2) , ( a 2 « i) }
-{ (ai , a2) , (a2 a2) }
- { 6*2 >ff,),(aj *a2) }
K t2 = { (ai - a i ) . ( « i , a2)
.(<*2
,«i)}
= { («i , a ¡ ) . ( a i ,« 2 ) »(«j
»a2) }
Kx4 = { (*i , « i ) . ( a 2 , « i ) , ( a j
, « 2) }
^15
>*2) }
^1 3
= { («1 . “ 2 ) >(02 .f l l ) .(«2
R 16 = A2
Ejem plo 3-4.
G ráfico cartesiano de la relación definida en R , m ediante
(x,y)eR o x 3 - y 1
( 1)
La relación es un subconjunto de R 2 , y pertenecen a ella los pares ordenados de
núm eros reales que satisfacen a (1). A hora bien
x 1 - v 2 ■e>x2 —y 1 — 0 ■O’Cx + y ) . (x —y ) = 0
Sabemos que en R, si el producto de dos factores es cero, alguno de los factores es
nulo, es decir
x + y = 0 V x —y = 0 * > y = —.x
V y —x
Cada una de estas ecuaciones es la representación analítica de una recta del plano;
en este caso, se trata del par de bisectrices del sistema de ejes.
Si A = { (.v , v) / y = - x }
y B= [(x ,y )ly =
x}
entonces la relación
R = { ( x , y ) / x 2 = y 2 J = A U B, es decir es la unión de ambas bisectrices.
3.7. POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS
EN UN CONJUNTO
Sea R una relación definida en A, es decir, R C A2 , Dicha relación puede
clasificarse de acuerda co n las siguientes propiedades:
3.7.1. Reflexividad
R es reflexiva »
V x : x £ A ^ (x , x ) e R
La reflexividad de R se caracteriza porque todo elemento de A forma pareja consigo
mism o, y el par así o btenido pertenece a la relación.
Llamamos diagonal de A 2 al conjunto D = { (x , x ) / * e A j
es decir, la diagonal
de A 2 es el conjunto de los pares de componentes iguales. La reflexividad se tradu­
ce en el hecho siguiente: la diagonal de A 2 está contenida en la relación, es decir
R es reflexiva o D C R
3.7.2. No reflexividad
Consiste en la negación de 3.7.1.
R es no reflexiva «· 3 v / x e A
a
(x
,x )
4 R
La no reflexividad de R queda especificada por la existencia de al m enos un
elemento de A que no esté relacionado consigo mismo.
En un diagrama cartesiano ocurre que la diagonal de A 2 no está contenida en la
relación, o sea:
R es no reflexiva ·«· R
D =£ D
3.7.3. Amflexividad
R es arreflexiva
V x: x e A =» (x . x ) i R
Es decir, ningún elem ento de A está relacionado consigo mismo, o lo que es igual,
ningún elenento de la diagonal de A 2 pertenece a la relación o equivalentemente
R es arreflexiva
R í'i D - 0
Es claro que toda relación arreflexiva es no reflexiva.
Ejemplo 3-5.
EnA =| 1,2,3}
consideramos las siguientes relaciones:
i ) R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 2 , 3 )}
De acuerdo con la definición dada en 3.7.1., resulta R una relación reflexiva
i i ) En cambio S = { (1 , 1 ) , (2 , 3) , (3 , 2) J es n o reflexiva, pues
2e A
a
{2 , 2 ) 4 R
iii)
{(1,2),(2,1),(3,1)}
Es arreflexiva, ya que ningún elementó de A forma pareja consigo mismo en
la relación.
3-7.4. Simetría
R ís simétrica **· ^ x
.> t A; (.v , >:\ c R =» í;r , x ) f R
Es decir, si un par pertenece a la relación, el par que resulta de perm utar sus
componentes tam bién pertenece, y en consecuencia el diagrama cartesiano es simétrico
respecto de la diagonal d e A 2.
'
3.7.5. No simetría
Es la negación d e la sim etría.
R es no simétrica « 3 x 3 y I (x , y ) e R
h
(y , x ) i R
La no sim etría no im pide que dos pares de com ponentes perm utadas pertenezcan a
la relación, pero exige que haya al m enos un par en la relación, y que el que resulta de
perm utar sus com ponentes no pertenezca a ella.
3.7.6. Asim etría
R es asimétrica o V x y y : (x , y ) e R =» { y , x ) 4 R
En este caso debe ocurrir que si u n par pertenece a la relación, entonces el que se
deduce por perm utación no pertenece.
Ejemplo 3-6.
En A = | 1 . 2 , 3 J clasificamos desde este p u nto de vista las relaciones:
i ) S = { ( 1 , 1 ) . < 2 , 3 ) , < 3 , 2 )}
es simétrica,
i i ) 7 = { (1 , 2 ) , < 2 , 1 ) , ( 3 , 1 ) }
es no simétrica, ya que
(3 ,1 ) e T
a
(l , 3 ) ¿ T
üi) 6 = { ( I , 2 ) , < 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) }
es una relación asimétrica en A.
3.7.7. Transitividad
R es transitiva
V x V y V z: (x , y ) e R
(y , z ) e R =*· (x , 2 ) e R
a
Es decir, si un elem ento está relacionado con o tro (n o necesariam ente distin to ), y
éste está relacionado con un tercero, entonces el prim ero está relacionado con el
tercero.
3.7.8. No transitividad
Por ser la negación de la transitividad, decimos
R es no transitiva «*· 3 x 3 y 3 z / ( x ,y ) e R
a
(y , z) e /?
a
a
( y , z ) e R => ( x , z ) 4 R
(x , z ) 4 R
3.7.9. A transitividad
R es a transitiva <* V x V y V 2 : (* , y ) e R
Ejem plo 3-7.
Considerando el mismo conjunto A de los ejem plos 3-5 y 3-6 se tiene:
i ) R y U son transitivas.
i i ) V = {" (1 , 2) , (2 , 3 ) , (1 , 3) , (3 , 1) } es no transitiva, ya que
(l,3)eF
iii) W — | (1 , 2) , (2 ,3 )}
( 1 , 2 )e W
a
(3,l)eF
a
(1 ,1 )^
es a transitiva, ya que
a
(2 , 3 ) e W => (1 , 3 ) 0 W -
3.7.10. Antisimetría
R es antisimétrica « V . r V v : (x , y ) e R
(y , x ) e R => x = y
a
En cite taso, si dos pares de com ponentes permutadas pertenecen a !a «-elación,
entonces dichas com ponentes se identifican.
De este m odo, la relación R del ejemplo 3-5 es antisimétrica, pero no lo es S puesto
que es F ¡a proposición
(2 , 3 ) e S
'·. (3 , 1 ) e S = » 2 = 3
E jem plo 3-8.
En R se considera la relación R definida por
{x , y ) e R
(1)
x —y e Z
Estamos interesados en la clasificación y representación de R.
La definición (1) se traduce en estos términos: dos reales están relacionados, si y
sólo si su diferencia es un entero.
i ) Reflexividad.
N
a e R =* a — a = 0 e Z => (a , a ) e /?
i i ) Simetría.
{ a , b ) e R => a — b e Z => b —a e Z -*■ (b , a) e R
Por (1), porque si u n núm ero es entero, su opuesto tam bién lo es, y p o r(l).
iii) Transitividad.
(a, b)e R
a
(b.c)eR
=>
a
—
b eZ
a
b —c e Z
=*■
=> (a — b) + (b — c) e Z =» a — c e Z => ( a , c ) e R
iv) R no es antisim étrica, pues
(3 , 2 ) e R a (2 , 3 ) e R =>2 = 3 es F
v ) Gráfico de R.
A R pertenecen los pares de reales (jc , y ) tales que x —y e Z
Ahora bien
.r —y e Z =*· x —y = k / k e Z => r - x — k
con
keZ
Para cada entero k se tiene una recta paralela a la primera bisectriz.
La relación consiste en todos los pares (x , y ) e R J pertenecientes a la familia de
rectas, es decir:
R = k e Z^ ^ ’-v ) e R 2 ‘ y = * “
Ejemplo J-?.
Sea A u r conjunto. Como el vacío es parte de cualquier o tro , la proposición 0 C A 2
es verdaden y . en consecuencia, 0 es una relación en A. Tal relación verifica las
propiedades:
i ) Aireflexividad. La proposición
V t :x t A
(. t . x ) i é
es verdadera, ya que el consecuente de !a implicación es V.
i i ) Simetría. Se verifica po r ser V !a proposición
y x y y : (x ,y)e<¡> =» (y , x ) e<j>
iii) Tiansitividad
(jc ,y)e<t¡
a
(y , 2) e 0 **>(x ,z)e<i>
es V porque el antecedente es F.
iv) Como la implicación
v
(x, y)e4>
0 > , z)e4> =* x = y
a
es verdadera por tener el antecedente falso, la relación es antisimétrica.
Es decir, la relación vacía definida en un conjunto, es arrefiexiva, simétrica,
transitiva, y antisimétrica.
Si A = 4>, entonces la misma relación es además reflexiva, pues
V .v : x e A => (x . x ) e <p
es verdadera.
3.8. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Las relaciones binarias definidas en un conjunto, que verifican las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva, se llaman de equivalencia y desempeñan un papel
im portante en álgebra.
3.8.1. C oncepto de relación de equivalencia
Definición
La relación R C A2 es de equivalencia en A si y sólo si es reflexiva, simétrica y
transitiva.
Por razones de simplificación se utiliza el símbolo
y los elem entos de to d o par
perteneciente a la relación se llaman equivalentes.
La notación a '-/> se iee "a es equivalente a b " . y significa que e! par {a . b) pertene­
ce a la relación. En este sentido, las relaciones de equivalencia satisfacen:
i ) REFLEXIVIDAD. T odo elemento de A es equivalnte a sí mismo.
V x : x e A => x
x
t i ) SIMETRIA. Si un elem ento es equivalente a otro, entonces éste es
equivalente ai’primero.
V x V y : ,v ~-y =» y —x
iiii TRANSITIVIDAD. Si un elemento es equivalente a otro, v éste a
equivalente a un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero.
V je V y V ; : x *»y
a
y —3 ** x —r
Ejemplo 3-10.
En A = <j l , 2 , 3 j , la relación
-=
·
{ (1 . 1 ) . ( 2 . 21 . (3 . 3) .(1 . 2 ) , ( 2 , 1) }
es de equivalencia. Clarificamos las siguientes proposiciones:
1 ~1
V
1 ~2 V
3 ~1 F
2 ~2
3 -3
V
2
2~3F
V
1 ~3 F
~1 V
3-2 F
En virtud de las fres primeras queda asegurada la reflexividad. E n cuanto a la
sim etría es suficiente ver que
1 —2 =*> 2 —2 es V
Más aun. si el antecedente es falso la implicación es verdadera
1 ~ 3 =» 3 ~1
Para la transitividad, descartando los casos de antecedente falso, es suficiente
verificar:
1 ~1
A 1 ~ 2 =* 1 - 2
V
1 —2
A 2 ~1 => 1 - 1
V
2 -1
A 1 ~ 2 = » 2 —2
V
1 -1
1 ~ l =*> 1 ~1
V
El diagram a de Venn es
donde cada arco orientado está asociado a un p ar perteneciente a la relación. En forma
caitesiana:
3.8,2. Clases de equivalencia y conjunto cociente
Sea ~ una relación de equivalencia en A ^ 0. Un problema de interés es la
determinación de to d o s los elem entos de A qúe son equivalentes a uno dado, es decir,
que forman pareja con é l La respuesta conduce en cada caso a un subconjunto de A,
llamado clase de equivalencia del elemento.
D efinición
Clase de equivalencia dei elemento a e A es el conjunto de todos los elementos
de A equivalentes a a.
Ka = ^ j c e A / j c ~ a j
Con relación al ejem plo 3-10:
K, = { 1 .2 } = K :
K>- { 3 }
Es decir, hay dos clases de equivalencia, que son subconjuntosde A.
Podemos avanzar un poco m ás y preguntam os p o r el co n ju n to cuyos elementos' son
las clases de ¡quivalencía: K t y K 3.
Para denotarlo, podemos elegir un único elem énto en cada clase de equivalencia,
digamos 1 y 3, con lo que queda caracterizado un conjunto de índices I = / 1 , 3 ) ,
de m odo tal que a cada elem ento de éste le está asociada u n a clase de equivalencia. El
conjunto fornado p o r las clases de equivalencia se llama co n ju nto cociente de A por la
relación de equivalencia, y la notación es
o bien, mediarte el conjunto de índices
Las clases áe equivalencia constituyen una partición de A, en el sentido siguiente:
son n o vacías, disjuntas de a pares, y su unión es A. Este concepto será precisado en los
párrafos sigufentes, y es u n hecho com ún a toda relación de equivalencia definida en
un conjunto ro vacío.
E jem plo 3-1 i
E n el conjm to Z de los enteros introducim os la relación de congruencia módulo n.
mediante la sijuiente
D e finición
Dos entíros son congruentes módulo n, si y sólo si n es divisor de su diferencia.
En símbolos
a y b son congruentes módulo n o n \ a — b
Adelantándonos al hecho de que la congruencia es una relación d e equivalencia
podem os eseritir
a~b
n | a —b
O)
Por definición, el núm ero natural n es divisor del entero x si y sólo si éste es igual al
prim ero por un entero, es decir
n ! x « -3 k € l j x = n .k
Especificamos ias siguientes propiedades de ia relación de divisor, que utilizaremos:
i ) Si un número divide a un entero, divide al producto de éste p o r cualquier
i i ) Si un núm ero divide a otros dos, entonces divide a su suma o diferencia.
n \x
/\
n \ y => n \ x ± y
Demostración)
A plicándola definición de divisor a las dos proposiciones de la hipótesis, sum ando
y restando en Z aplicando la distributividad del producto respecto de la suma y resta,
y la definición de divisor, tenem os
n |x
=>
x ±y
a
=
n \ v => x = n k
a
y - r t k ’ =¡>
n k ± n k’ => x ±y -■ n (k i k’) =»
=» n ! x ± v
iii) Si u n núm ero divide a u n entero, entonces divide a su opuesto.
Es una consecuencia de la propiedad i ), ya que
n I x =* n | (— 1) . x '=* n | —x
Retomamos ahora nuestro propósito de probar que ( l ) es una relación de
equivalencia,
a) Reflexividad.
Como n | 0, se tiene
y a : a e Z => n \ a —a => a ~a
b) Sim etría. Sean los enteros a y b tales que
a~~b => m ¡ a — b *=> n \ — (a — b) =*■ n \ b — a =» b~~a
por ( 1), propiedad iii), por opuesto dea — b y p o r ( 1)
c) Transitividad. Sean los enteros a, b y c, tales que
a ~-b
a
b ~ c => n { a — b A n \ b — c =» « | (a — b ) + (b — c) =*
=*■ n \ a — c => a ~ c
de acuerdo con (i)* la propiedad i i ), reducción de térm inos, y í !).
Vamos a determ inar las ciases de equivalencia de losenteros. S e t a e Z: entonce?·
= | x eZ / x
>
Ahora traducim os la propiedad que define al conjunto Ka ;
x ~ a ■=> « \ x ~ a =* x — a - n . k
=*►x = a + ‘n . k
con k e Z =>
con k e l
Es decir, a K„ pertenecen todos los enteros del tipo a + n . k , donde a y n están
dados, y k recorre Z. E n o tras palabras, a K„ pertenecen las sumas de a con todos los
m últiplos de n. En particular:
K0 ~ |
............ , — 2 n , — n , 0 , n , 2 n , 3 n , ..............j
K i = { ............ , 1 — 2 ? i , l — n , l , 1 + n , \ 4- 2 n , 1 4- 3 n ,
K 2 = [ ............ , 2 - 2 n , 2 ~ n , 2 , 2 + n , 2 + 3 n
Kn . (
={
............... \
— l “ 2 n , — 1 — n , — l , — 1 + « , — 1 + 2 n , ............ }
Verificamos que no es posible obtener o tras clases distintas de éstas; si querem os
K„ = |
— 2 n , ~ n , Q , n , 2 n , 3 n ..............j = K0
Análogamente: Kn + 1 = K j = K 2n+1 = K ,.„ = etc.
Los subíndices de las clases de equivalencia son los posibles restos de la división de
un entero p o r n, es decir: 0 , 1, 2 ,
1, ya que de acuerdo con el algoritm o de la
división entera el resto es n o negativo y m en o r que el divisor. Por este motivo reciben
el nom bre de clases de restos m ódulo n, y suelen denotarse mediante
0 , 1 , 3 , .......... , n - 1
El conjunto cociente es
"
= { 0 , 1 , 2 , .......... , ~ i
}=Z„
O bien
Zn
Ku / 0 < u < n )
Lo mismo que en el ejemplo 3-10, las n clases de equivalencia son no vacías,
disjuntas dos a dos, y su unión es Z.
V amos a considerar el caso particular de las clases de restos m ódulo 3, en cuyo caso
el conjunto cociente es
Z3 = { o , T , 2 } = { K „ , K , , K j )
donde 0 es el conjunto de todos los m últiplos de 3, o lo^que es lo mismo, el conjunto
de los enteros que divididos por 3 dan resto nulo; a 1 pertenecen los enteros que
divididos p o r 3 dan resto 1, y análogamente 2.
La partición de Z es
Z
Realizamos la representación cartesiana de la relación. De acuerdo con (1 ), se trata
del subconjunto de Z 2 cuyos elem entos son los pases ordenados de enteros ( x , y ), que
satisfacen
3 j x —y =* x —y
3 k con k e Z ==> y =
x
— 3 k con k e Z
Para cada entero k quedan determ inados los puntos de coordenadas enteras de la
recta y = x — 3 k, y en consecuencia, la relación consiste en el siguiente conjunto
discreto de puntos del plano
k =
0 =>y —x
= —1 =*_}>= x + 3
k -
1=*> j/ = x -- 3
k -
2 =>y —x — 6 , etc.
La ríiación es
U
R -
HeZ
3.8.3.
/ (X ) y ) e X 2 / y ~ X ~ 3 k ' ]
'
’
J
Partición de un conjunto no vacío
Seai dos conjuntos A * <¡>e l =£ <¡> tales que, cualquiera que sea el elemento u e í,
existe in subconjunto Ku C A.
D efinirían
£1 conjunto ( K u ¡ u e l ' j
es una partición de A si y sólo si
i ) V u : u e l => Ku * <¡>
i ) u 4 v =» Ku n K„ = $
ii) V a e A , 3 u e I / a e Ku
Los elementos Ku de la partición son subconjuntos no vacíos de A, y están
asociacos ai conjunto de índices I; además, elem entos distintos del conjunto de índices
detenrinan subconjuntos disjuntos de A; finalm ente, la condición iii) significa que la
unión le los subconjuntos de A que son elem entos de la participación, es A.
Ejemplo 3-¡2.
i )Sea r una recta contenida en el plano a. El plano queda particionado en tres
subconjuntos K , , K2, K 3, siendo I = £ 1 , 2 , 3 J> un conjunto de índices.
/
/
-/
1
.
K:
.
¡i) Las relaciones de equivalencia de los ejemplos 3-10 y 3-11 conducen a las
particiones indicadas en éstos.
jjj) Investigamos la partición asociada a la relación de equivalencia del ejemplo
3 -8 . E n este caso, la relación está definida en R m ediante
a
o a —b e Z
Sea a e R ; entonces, p o r definición de clase de equivalencia
Ka = ^ x e R / x ~a }
Ahora bien
x
=> x —a e Z => x — a — k con k e Z
Entonces a K , pertenecen todos los reales de! tipo
x - a + k
siendo
k e Z
Es decir, todos los elem entos equivalentes a a, se obtienen sumando a a todos los
enteros. En consecuencia, si elegimos como conjunto de índices al intervalo semiabierto
I = (0 , 1), la partición R es
•5" = {
2
3.8.4.
Teorem a fundamental de tas relaciones de equivalencia definidas en un
conjunto no v a cío .
Vamos a dem ostrar lo que ya hemos verificado a través de ejemplos anteriores, a
saber, que toda relación de equivalencia definida en un A njunto no vacío determ ina
una partición de éste en clases de equivalencia.
TEOREMA
Si ~ es una relación de equivalencia definida en el c o tu rn o A ¥= t¡>, entonces existe
un subconjunto I C A, tal que cualquiera que sea u en 1, existe K u C A , de m odo que
se verifican las siguientes proposiciones:
i )
U
€ 1 =* Ku # 0
ii) a ~a'
a y a ’ pertenecen al mismo K u
iii) Ku n K„ í <t> => K„ = K„
iv) u 4=v => Ku n k „ = <j>'
V) V a e A , 3 u e I / a e K u
NOTA
I es un conjunto de índices que se form a eligiendo un único elem ento en cada clase
de equivalencia.
D em ostración)
i
) A to d o elem ento del conjunto de índices le corresponde una clase no vacía.
Por hipótesis, reflexividad v definición de clase de equivalencia'
A ± 4> = » 3 n e A =*■ a ~ a =»■ a e Ka = » K , , i ^ V a e A
A hora bien, como I C A
u e l = » u e A => Ku =£$
i i ) Dos elem entos de A son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase.
a) a ~ a ’ =*· a ’ e K a a a e K a
S i« e ÍQ entonces a y a ’ e K u
b) a y a ’ e K u *+ a ~u
=* a ~ u
a
a j ’ ~ u ·*■
u ~ a ’ = * a ~~a'
iii) Clases no disjuntas son idénticas.
Ku n
k
„ ^ <p => k „ — Kt,
En efecto, por hipótesis:
Ku
K, ^
f
==>3 x e A I x e K u a
=> .r ~ w
a
Sfi3
x
~v
Ku
Ky **
x e K „ =>
=> u
<
y e Ku => v ~ a
a
jf ~ v
*
(2)
(l)
*
De ( ! ) y (2), por transitividad
y e K u => y r-r =* y e Kt,·
O sea Ku C K„
,
A nálogam ente Kv C Ku , y resulta
K„ = K„
.
iv) Elem entos distintos del conjunto de índices determinan clases disjuntas.
u ^ v => Ku n K„ = $
Suponemos K u H K ,,
=> x ~w
=* 3 x e K u a
A x ~ v =► w ~ x
x e K v =*■
a x ~ v =*
=* h ~i> => « e K„. Absurdo porque contradice la definición de I.
v ) Todo elemento de A pertenece a una clase, o lo que es lo mismo, las clases de
equivalencia "cubren” a A.
1/
A =* a ~U ¿Zr U C- Ka
V/i1)\
Si u e Ko»entonces K*, = Ku , y resulta a e K u .
NOTA
Las proposiciones i ), iv) y v ) significan que to d a relación de equivalencia, definida
en conjunto no yació, determ ina una partición de éste en clases de equivalencia.
Precisamente, las clases son los elem entos de la partición.
3,8,5. Partición y relación de equivalencia
Sea ^ Ku / u e I J un a partición de A. E ntonces queda inducida en A una relación
de equivalencia.
Para demostrar esta propiedad definimos prim ero una relación en el conjunto no
vacío A, mediante
“ dos elem entos de A están relacionados, si y sólo si pertenecen al mismo
subconjunto de la partición”.
En símbolos
( a , b ) e R * ¡ > a y b pertenecen al mismo Ku
Vamos a probar que<es de equivalencia.
i ) Reflexividad,
Por definición de partición
a e A = > 3 u e I / a e K u =*· a y a pertenecen a Ku
Entonces, p o r (1 ) ( a , a) e R
ii ) Sim etría. Sean a y b en A, tales que
(a , b ) e R - > a y i pertenecen al mismo Ku =*
=> b y a pertenecen al mismo K„ => (b , a) € R
(1)
iii) Transitividad. Sean a , b y c en A, tales que
(e,b)eR
*
(b , c) eR => a , b y c pertenecen al mismo Ku
=> a y c pertenecen al mismo Ku => (a , c) e R
Ejem plo 3-13,
Se considera e n A = { 1 , 2 , 3 ^ la siguiente partición:
( f 1- 3 ) · í 2 ) }
La relación de equivalencia correspondiente es, entonces
{ íl .1 ),( 3 .3 ),(I,3 ) .(3 .1 ).Í 2 .2 )}
D e acuerdo con 3.8.4 y 3.8.5, los conceptos de partición y de relación de
equivalencia son identificables. Es claro que en un conjunto no vacío es posible definir
tantas relaciones de equivalencia como particiones.
A continuación proponem os todas las relaciones de equivalencia definibles en el
conjunto A.
a)
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } es la igualdad en A, es decir
(x,y)eRi -*>x=y
En este caso
(x , y ) e R 2 * > x = y
V
x +y = 3
<0
0
^ 3 = { í! » 1 ) , ( 3 , 3 ) , (1 , 3 ) , ( 3 , 1) , ( 2 , 2 ) }
O sea
(x , y ) e R 3 o x = y
v
d)
R* = { f I , i ) , Q , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , (3 , 2 ) }
Siendo
i x . y ) e R ¿ t» x - y
v
x +y - 4
O
Rs = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) . (3,3) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) . ( 1 , 3 ) , (3,1) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) } = A2
Es decir
( x , y ) e R s *> ( x , y ) e A2
A quí la partición consiste e n un único subconjunto: el mismo A.
3 3 . RELACIONES D E ORDEN
Es usual en m atem ática y e n la vida cotidiana ordenar los elem entos de un conjunto
de acuerdo con algún criterio conveniente. El orden queda especificado a través del
térm ino “ preceder” , y decir
“jc precede a y " significa ( x , y ) e R
Lo esencial de toda relación de orden es la transitividad, y según se cum plan o no
otras propiedades se habla de orden am plio o estricto, y en cada caso, de o rden parcial
o total.
3.9.1. O rden am plio
Sea R C A2.
D e fin ició n '<
R es una relación de orden amplio en A si y sólo si es reflexiva, antisim étnca y
transitiva.
O bviando los cuantificadores universales tenem os:
i ) Reflexividad.
a e A => (a , a) e R
í i ) Antisimetría.
(a , b ) e R
a
(b , a ) e R *=> a = b
iii) Transitívidad.
(a , b ) e R
a
( b , c ) e R => (a , c) e R
3.9.2., Orden parcial y total
Sea R una relación de orden en A.
i ) R es de orden parcial si v sólo si existen pares de elementos incomparables, es
decir
3
a , 3 b i (a , b) i R
\
( b , a) € R
ü ) El orden es to tal en caso contrario, es decir
*
a + b => (a . b ) e R
v
(b . a) eR
Ejemplo 3-14
i ) En N la relación d e divisor es de orden amplio y parcial.
Por definición
nía < * 3 m e N /a = n.m
a) Reflexividad.
s e N ^ a = a . 1 =>ala
b) A ntisim etría.
Sean a \ b
a
b \ a =>
n y m en N / b = a . n
A a = b , m =>
=> a . b = a . n . b . m => 1 — n . m => n = m = 1
Luego a = b.
c) Transitívidad.
Sean
Entonces
a \b
a
fe ¡ c =*■
= a.«
t e
= b.m
b . c — a . n . b . m => c — a . {n . m j =» c = a . p => a ! c .
Por otra parte, este orden amplio es parcial, pues existen pares de naturales que no
son comparables po r la relación de divisor. Un contraejemplo está dado por 2 y 3, ya
que 2|3 y 312 son proposiciones falsas.
Es claro que u n par ordenado de núm eros naturales pertenece a la relación si y sólo
si la primera com ponente es divisor de la segunda.
Esta relación está representada p o r los puntos del primer cuadrante de coordenadas
naturales que tienen abscisa natural, y para cada una las ordenadas son todos los
m últiplos naturales de aquéllas.
N 6
-{y
{
5
4
3
2
1
N
í|
2
3
4
5
6
Si consideramos la relación de divisor en Z, n o se tiene un orden amplio, pues la
antisimetría no se cumple. En efecto
3|-3
ii)
a
En A = { l , 2 , 3 }
- 3 ¡ 3 => 3 = - 3
es F
la relación
R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 . 3 ) , (1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , (2 , 3 ) }
es un orden amplio
y total. Se trata evidentemente de la relación de m enor o igual.
3.9.3.
Orden estricto.
Sea R C A2 .
Definición
R es una relación de orden estricto s» y sólo ú es arreífexíva, asimétrica y
transitiva.
En símbolos
i ) Arreflexividad. Ningún elemento del conjunto está relacionado consigo
mismo.
a e A = * ( a , a) 4 R
ii)
Asimetría. Si u n elemento está relacionado con o tro , entonces éste no lo está
con el primero.
(a , b ) e R => {b >a) 4 R
iii) Transitividad.
(a , b ) e R
h
(b , c ) e R *=> (a , c ) e R
Lo m iaño que el orden amplio, el orden estricto puede ser parcial o total.
Ejemplo 3-15.
i ) La relación de m enor en R es un orden estricto y total.
i i ) Por definición, un conjunto está estrictamente incluido e n otro ú y sólo si
todo elem ento del primero pertenece al segundo, pero existen elem entos de
éste que no pertenecen ai prim ero. La notación y símbolos son los siguientes:
A C B o ACB
a
A* 8
E n P (ü ) la inclusión astricta es una relación de orden estricto y parcial, com o puede
verificarse sencillamente.
iii) En A = { a , b , c J la relación
,
es de orden estricto y total.
3.9.4. El signo de preceder
Si R es una relación de orden definida en A, y dos elem entos a y b están vinculados
por dicha relación, al escribir (a, b ) e R v a R b suele decirse que “a precede a b " , y
la notación es a < ib .
Con esta no tació n se tiene:
i ) Reflexividad.
a e A =* a < a
ü ) A ntisim etría.
a<C.b A 2><Ta => a = ¿
iii) Transitividad.
’
a<Cb
a
b < L c ■* a<Le
Iv) Lmealidad
a^ b
** a ^ b
v
ó 'C a
Análogamente, para la arreilexividad, asim etría, orden parcial y total, teniendo en
cuenta que “ a n o precede a b ” puede escribirse a < t¿ .
3.9.5. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Sea A un conjunto ordenado p o r una relación de orden < .
i ) P rim er elemento. El elem ento a e A se llama primer elem ento si y sólo sí
precede a todos los demás.
a £ A es el primer elem ento # x e A
=>■ a < ix
¡i) U ltim o elemento. El elemento b € A se llama últim o elem ento si y sólo si
todo elem ento de A precede a b.
b e A es el último elem ento ·» x e A =>
De estas definiciones no se deduce q u e to d o co njunto ordenado deba tener
necesariamente prim ero o últim o elem ento; puede ocurrir que carezca de ambos, que
tenga prim ero o bien últim o, o que tenga prim ero y últim o.
iii) Elementos tñinimales. El objeto m de A es u n elem ento minim al si y sólo si
no existe un elem ento distinto que lo preceda.
m e A es minimal
V x e A ; x < ™ = » m = .í
iv) Elem entos maximales. El objeto n es un elem ento maximal si y sólo si no
existe en A un elem ento distinto que lo siga.
n e A es maximal *> V x e A : m < * = » * = «
Puede ocurrir que e n u n conjunto ordenado no existan elem entos minimales o
maximales, y si existen pueden no ser únicos.
v ) Cotas inferiores. El elemento s e A es una cota inferior del subconjunto
X C A si y sólo si precede a to d o elem ento de X.
a € A es cota inferior d e X C A
x e X => a < . x
v i ) Cotas superiores. El elem ento b e A es una cota superior d el subconjunto
X C A si y sólo si sigue a to d o elem ento de X.
b e A es cota superior d e X C A <=> jc e X =» x <^b
vii) Supremo o cota superior mínima. El elem ento s e A es el supremo del
subconjunto X C A si y sólo si es el prim er elem ento del conjunto de las
cotas superiores.
viii) In fim o o cota in fe rior máxima. El elem ento r e A es el ínfim o del
subconjunto X C A si y sólo si es el últim o elem ento del conjunto de las
cotas inferiores.
Las cotas de u n conjunto, si existen, no son necesariam ente únicas. En cambio, el
ínfimo o suprem o, aunque el conjunto no sea acotado, pueden no existir, ya que un
conjunto ordenado puede carecer de prim ero o últim o elem ento; pero si existen, son
únicos. Precisamos los conceptos anteriores en los ejem plos siguientes.
Ejem plo 3-16.
i ) Consideramos el intervalo abierto (— 1 , 1) C R , donde se define la relación
de m enor o igual.
Esta relación en R es de orden amplio y to tal, pues
a) Reñexividad.
a eR =>s<s
b ) Antisimetría.
tíK b
a
b
=> a = b
a<b
a
b<c
=>
c) Transitividad.
a<c
d) Linealidad.
b => a < b
v
b<a
No existen en (— 1 , 1) ni primero ni últim o elemento, ya que los extrem os — 1 y 1
no pertenecen al intervalo abierto. Tampoco existen elem entos minimales ni
maximales. Es claro que cotas inferiores de (— 1 , 1) hay infinitas: to d o s los reales
menores o iguales que — 1. Análogamente sori cotas superiores todos los números
reales m ayores o iguales que 1. E l ínfim o es — 1 y el supremo es 1, y ninguno
pertenece al conjunto (— 1 ,1 ).
i i ) Con la misma relación de m enor o igual el intervalo semiabierto {— ! , ! )
tiene primer elemento — 1, que es tam bién minimal, cota inferior e ínfimo.
Carece de últim o elem ento, de elem entos maximales, de cotas superiores y de
supremo.
iii) Sea ahora el conjunto A = { 2 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 3 6 }
ordenado por la
relación de divisibilidad. Se h a visto que el orden es amplio y parcial. Como
no existe en A ningún elem ento que sea divisor de todos los demás carece de
primer elem ento, pero tiene últim o y es 36. Este es elem ento maximal, y
tanto 2 como 3, son minimales. No hay cotas inferiores n i ínfim o, pero la
cota superior y el supremo son 36.
3.9.6.
Diagramas de Hasse
Sea A un conjunto ordenado.
i ) Elementos consecutivos. Los elem entos a y & de A son consecutivos si y sólo
si
a) a < . b
b ) a < . x < .b =* a = x
v
b = x
i i ) Representación de conjuntos ordenados. Es posible representar un conjunto
ordenado y finito, m ediante u n diagrama llamado de Hasse, asignando a cada
elem ento del conjunto un p u n to del plano o bien del espacio, y uniendo cada
par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado en el
sentido de x a v, si .x· < r.
Así, el diagrama de Hasse correspondiente al conjunto A - { 2 , 3, 6, 9, 12, 3 6 } ,
ordenado por la relación de divisor, es
Toda poligonal orientada determina un subconjunto totalm ente ordenado por la
misma relación, y constituye una cadena.
Ejemplo 3-17.
Dado A = <{a , f> , c ^ , en P (A) consideramos la relación de inclusión, definida
por
X<Y
XCY
De acuerdo con 2.3.4,, este relación es de orden amplio y parcial en P (A).
El correspondiente diagrama de Hasse es la siguiente representación espacial
( a ,b , c }= A
{ «,c}
El conjunto P (A) tiene primer elemento y últim o elem ento: <j>y A , respectivamen­
te. Ambos son el elemento minimal y maximal. A dos elem entos cualesquiera de P (A)
les corresponde una cota inferior máxima y una cota superior m ínim a, es decir, un
ínfim o y un supremo. A sí, dados ^ a , b j> y
{ a , c } el ínfim o es { c - } y d
supremo es {<?, £, <■} . Cuando esto ocurre para to d o p a r-d e elem entos de un
conjunto ordenado, se dice que el conjunto tiene una estructura de red o de reticulado,,
o de iattice.
3,9.7. Conjuntos bien ordenados
Sea < una relación de orden en A .
Definición
Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden si y sólo si está
totalm ente ordenado, y además to d o subconjunto no vacío tiene prim er
elemento.
Ejemplo 3-18.
i ) El conjunto de Sos números reales, ordenado por la relación de “ m enor o
igual*', está totalm ente ordenado, pero no es un conjunto bien ordenado,
pues no to d o subconjunto no vacío de R tiene primer elem ento. En efecto, el
intervalo abierto (— 1 , 1) es una parte no vacía de R, pero carece de prim er
elemento.
i i ) El conjunto Z de los enteros está totalm ente ordenado po r la misma relación,
pero com o carece de primer elem ento nó está bien ordenado.
iii) El conjunto N de los números naturales está bien ordenado p o r la relación de
menor o igual, ya que se halla totalm ente ordenado, y toda p arte no vacía de
N tiene prim er elemento.
iv) El conjunto cuyos elementos son <¡>, { 3 j
· { a ·^j
> [ a , b , c j está
bien ordenado por la relación de inclusión.
v ) El conjunto A = { 2 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 3 6 } propuesto en 3.9.6. i i ), ordenado
por la relación de divisor, no está bien ordenado, p o r no ser totalm ente
ordenado.
TRABAJO PRACTICO III
3-19. S e a n A = { x e N / 1 < x « 5 ]
y B = { 3, 4, 5 }
Se define R C A X B mediante
(x , y) e .R o· x + y < 5
i ) D efinir R p o r extensión.
i i ) R epresentar A X B y ü .
iii> Determinar R ' 1,
3-20. Se consideran A = { l , 2, 3, 4 , 5 } b = { í , 4,
6, 1 6 }c = { 2 , 3, 8, lo] y las
relaciones R C AX B, S C BX C, definidas por
(x
·<* y = x J
( y , z ) e S **>z =
Se pide:
i ) D eterm inar R y S por extensión,
i i } D efinir ia com posición S<>R C A X C por extensión.
iii) D eterm inar Jos dom inios e imágenes de las tres relaciones.
3-21. O btener los gráficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R:
i ) {x , y ) e R o - y = 3
ii) ( í j ) e S ' » x + ^ = 1
iii) (x , 7 ) e T
x +y < 1
3-22. E n Z se define i? m ediante
(a , b ) e R
a2 + a = b 2 + b
Clasificar R.
3-23. En R 2 se define la relación
m ediante
(x , y ) ~ ( x ' , y l ·*■ y = y ’
P robar que es de equivalencia, determ inar las clases de equivalencia, un conjunto
de índices y el conjunto cociente.
3-24. En A = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 } se define la siguiente relación
. (,r , y ) e R ■» 3 | x + /
i ) Definir a R por extensión,
-
J .
i i ) F orm ar el diagrama de R.
·
; ;
iii) Clasificar/?.
jl
-■’
+'
’5* $
3-25. En N2 se considera la siguiente relación
(a , b ) ~ ( a’ , b ’) <*■ a + b ’ — b + a ’
D em ostrar que es de equivalencia, obtener las clases de equivalencia, u n conjunto
de índices, el conjunto cociente, y representar las clases.
3-26. El conjunto
a j>,(jb , c} , { d
es una partición de A = { a , b , e , d \ . Obte­
ner la relación de equivalencia asociada.
f
1
3-27. fcn A = ^ 1 , ¿ , j , 4 j
. . . .
se considera a reiacíon
R = {(.v , v ) € A 2 ¡ x = y
V ,t 4- y = 3 ]>
Definir R por extensión, probar que es de equivalenvia
correspondiente partición de A.
,
y determinar la
3-28. Clasificar la relación R definida en 7? m ediante
ifl,b ) R ( a ' , b ' )
a b ' —b a ’
3-29. En el conjunto de los números reales se define
R = { { * , v ) e R 5 / br — 1! = iv — 11}
D em ostrar que es de equivalencia, y representarla.
3-30. Una relación R definida en un conjunto A es circular si y sólo si
(a , b ) e R a (b , c ) e R =* ( c , a) e R
D em ostrar que una relación es reflexiva y circular si y sólo si es de equivalencia.
3-31. En R se define
mediante
x
~ y o x * —x = .y2 —y
D em ostrar que es de equivalencia, determ inar las clases, un conjunto de índices,
el cociente, y representar la relación.
3-32. Sean R y S dos.relaciones definidas en A. Demostrar:
¿
S i R y 'S s o n reflexivas,entonces R U S y R H S son reflexivas.
J,-,
3-33. En R se define
R = { ( x , y ) e R 2 / U I + 2 |vI = 1 /
Obtener el dominio, la knagen y el gráfico cartesiano de R.
3-34. Sea R C A 2 . Demostrar que la relación R U R _l es simétrica.
3-35. Clasificar y representar la relación /? C R 2 definida por
(x , y ) e R o x — v e R+
. ' .,
f
_ .
4033*4^
3-36. E n A = [ - 1 , 1 ] se considera la relación
R
= {(-*■.y) eA 2/xJ = / J
i ) R epresentar/!.
i i ) Probar que es de equivalencia.
iü) Obtener la partición de A.
3-37, Sea R una relación definida en A.
Demostrar:
i ) R ss simétrica =*· R ~1 es simétrica.
Ii) jR es transitiva => R " 1 es transitiva.
3-38. Sean R y R ’ dos relaciones transitivas en A.
Demostrar que R O ü ’ es transitiva.
3-39. Si R y R’ son dos relaciones antisimétricas en A, entonces R n / ¡ ’ es antisi­
m étrica.
3-40. Sean ‘w ’ una relación de equivalencia
definida en
y X C A. Por
definición, se llama saturado de X por k relación de equivalencia al conjunto de
los elementos de A que son equivalentes a los elem entos de X,
La notación es:
X*={xeA/;c~y,V.yex}
Demostrar:
i )XCX*
i i ) (X ü Y)* = X* U Y*
3-41. Clasificar las siguientes relaciones definidas en el conjunto de las rectas del
plano
i ) (a , b ) e R * * a
i i ) (a , b ) e R o a I b
3-42« Clasificar todas las relaciones del ejemplo 3-3.
3-43, Clasificar la relación R definida en R mediante
ÍX . y i e R ·» \ x
,3-44. E n A = { l , 2 , 3 , 4 , 5 }
- 2
se considera la relación de m enor o igual.
Determinar los elem entos maximales y minimales.
_ 3?45. Definir por extensión la relación de divisor en el conjunto del ejercicio 3-44, y
o btener los elem entos maximales y minimales.
3-46. Con relación al ejercicio 3-45, determinar una cota superior y una inferior del
subconjunto í 2 , 3 }
./ j . 4 7 . En R, ordenado por la relación de m enor o igual, se considera
A =jxeR /x = “
a
neis}
Investigar si A tiene primero o último elem ento, si está bien ordenado, y si
admite cotas, ínfim o o supremo.
Capitulo 4
FUNCIONES
4 .1. INTRODUCCION
Dada la im portancia del tem a a desarrollar hem os preferido asignarle un capítulo
especial, co n abundante ejercitación y ejemplos. P or otra parte, en virtud del carácter
elem ental d eí tex to , y la conveniencia de que en primera instancia el concepto sea
utilizado con dinamismo y seguridad, se ha prescindido del estudio de las co­
rrespondencias. Se estudian las funciones o aplicaciones especiales, la composición
de funciones, y el álgebra de las imágenes y preimágenes.
4.2. RELACIONES FUNCIONALES
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, que llamaremos dom inio y ccdom inio
respectivam ente. Entenderem os por función de A en B toda regla que hace
corresponder a cada elem ento del dom inio un único elem ento del codom inio. Más
precisam ente, una función es u n conjunto de pares ordenados tales que la primera
com ponente pertenece a A y la segunda a B, es decir, un subco njunto de A X B, de
m odo que to d o elem ento d e A sea prim era com ponente de un p a r y sólo de uno. Esto
nos dice q u e toda función de A en B es úna relación especial entre A y B.
L sualm ente, los signos que indican funciones so n / , g, h, etcétera. A sí, para denotar
q u e / e s una función de A en B, se escribe:
/: A
B
y se lee: “/ es una función o aplicación de A en B” , o bien " f es u n a función con
dom inio A y codom inio B” .
En particular, si A = { — 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { o , l , 2 , 3 , 4 j > y / e s la relación
definida p o r
(x ,y) e f
y = x2
entonces se tiene
/ “ { ( ~ 1 » 1) >(0 i 0 ) , (1 , 1) , (2 , 4 ) }
ya que cada segunda componente es el
cuadrado de la primera.
El diagrama de V enn correspondiente es
T anto en la definición de / po r extensión com o en el diagrama es fácil advertir que
todo elemento del dom inio tiene un correspondiente o imagen en el codominio; y
además tal correspondiente es único, en el sentido de que no se tienen dos pares
ordenados distintos con la m ia ñ a prim era componente. Resulta entonces que / es una
función de A en B. Observamos aq uí las siguientes situaciones: elem entos distintos de
A pueden tener la mism a imagen en B, como ocurre con — 1 y 1, cuyas imágenes son
1; además, puede darse qu e elem entos de B no tengan u n antecedente en A, es decir,
que pueden existir en B elem entos que no sean correspondientes de ningún elemento
de A, com o ocurre con 2 y 3.
D efinición %
f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f e s una relación entre A y B,
tal que to d o elem ento de A tiene un único correspondiente en B.
O bien:
»
D efinición y
f es una función o aplicación de A en B si y sólo s i / e s un subconjunto de A X B
que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:
i ) V a e A , 3 b e B / (a , b ) e f
ii) ( a , b ) e f
a
{a,c)ef=>b = c
Si (a , b) e f decim os que b es el correspondiente o imagen de a, por f , y suele
escribirse b —f (a), es decir, b es el trasform ado de a por la función / .
Para denotar la mism a cosa, algunos autores utilizan la notación 3 izquierda:
af=b
U na función queda especificada si se dan el dom inio A, el codominio B, y además la
re la c ió n /C A X B, que satisface las condiciones i ) y i i ) de Ja definición.
Por ser un conjunto, / puede estar dado po r extensión, es decir, com o conjunto de
pares ordenados, o bien por comprensión, m ediante una fórm ula o ley de correspon­
dencia que permita asignar a cada objeto del dominio su imagen en el codominio.
Ejem plo 4-1.
Determinamos sí las siguientes relaciones son funciones.
i ) Setn A ~ <f a , b , c . d '!■>, B = ^ i . 2 , 3 > y !a relación
Se cumplen las condiciones de la definición, y re s u lta /u n a función tal que
/00=1
f(b ) = 2
fie) = 2
f(d)= 1
El diagrama es
ii)
Con los mismos A y B, la relación
{ ( a , !),(«, 2),(6,2), (c.l)}
no es una función p o r las siguientes razones: no se cumple i ), ya que no
todo elem ento del dominio 4 tiene rnag en en el codom inio B, pues tí carece
de tranformado. También d q a de verificarse i i ), puesto que un mismo
elemento de A tiene dos imágenes en B, com o ocurre corsa El diagrama de la
relación es
iii) Si A es el conjunto de las personas y / es la relación en A definida por
( x , .1·) e f < * x es hijo d e /
entonces f e s una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y éste
es único.
En cambio la relación definida en el mismo A m ediante
( x . y ) e f * * x es padre de>’
no es una función de A en A , ya que existen en A personas que no son padres, es decir,
elem entos del dom inio qu e carecen de imagen en el codom inio: p o r otra parte,
tam poco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de más de un
hijo. Esto significa que si u n a relación es función, ía relación inversa no lo es
necesariamente.
4.3. REPRESENTACION CARTESIANA DE FUNCIONES
Lo mismo que las relaciones, tas funciones pueden representarse m ediante un
sistema de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio, según que el dominio
sea unidimensional o b¡dimensional, respectivamente. En el caso de representaciones
planas, el dominio es un subconjunto del eje horizontal, y ei codominio. de¡ eje
vertical.
Ejemplo 4-2.
Representación cartesiana de ía función propuesta en 4.2.
E jem plo 4-3 .
Sean A = j - 2 , - 1 , 0 ,1 , 2 j , B = N y / : A -> N tal que
/ (x ) = i.x| + l
resu lta/ = { ( - 2 , 3 ) , ( - 1 , 2) , ( 0 , 1 ) , (1 , 2 ) , (2 , 3 )}
Cada elem ento (a , b ) e f es un punto del plano de coordenadas a y b. La
representación cartesiana es
tN
4
E jem plo 4-4.
Sea / : Z - * Z tal que la imagen de cada entero es su opuesto aum entado en 1, es
decir
No es posible representar completam ente a f , p o r ser Z un conjunto infinito; no
obstante, la representación de algunos puntos nos sugiere el com portam iento de la
aplicación. En éste, y en los ejemplos anteriores, el hecho de que cada elem ento tfel
dominio tenga una única imagen en el codominio se traduce en que a una misma
abscisa le corresponde una sola ordenada.
Ejemplo 4-5.
S i£ : R -* R es tal q u e g (x) = —x + 1
Su representación es un subconjunto continuo de R2, consistente en una recta del
piaiív-
Es fácil notar que, aunque se m antenga la ley de correspondencia o asignación, al
variar el dominio o ei codom inio, la función cambia. En nuestro caso, g ¥ = /aunque se
cumple f C g . Es conveniente insistir entonces en el hecho de que la caracterización de
una aplicación se da a través del dom inio, codominio y la ley de asignación. En la
terminología clásica, erelem ento genérico x del dom inio se llama variable independien­
te, y su im a g e n / = f ( x ) es lo que se conoce com o variable dependiente.
Ejemplo 4-6.
Consideremos A = { 1 , 2 } , B = | 1 , 2 ,3 , 4 } y la función
/ : A J ->B
que asigna a cada elem ento del dominio A2, la suma de sus com ponentes, es decir
/< x , y ) = v + >·
a)
Podem o; confeccionar una tabla de simple entrada que especifique la imagen de
cada p u n to d d dominio
(*,y)
f(x,y) = x + y
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2,2)
2
3
3
4
Ei elemento 1 de B carece de antecedente o preimagen en A.
b) O tra representación de las imágenes se tiene mediante una cabla de doble entrada
/
| l
2
1 2
3
2 i 3 4
c) El diagrana de Venn es
d)
La repre*ntación cartesiana es en el espacio, y a que cada elem ento del dominio
determ ina u n punto del plano, y su imagen debe tom arse sobre o tro eje.
e)
La mism a función puede representarse de la siguiente m anera, desconectando el
dominio del codominio
#
Ejemplo 4-7.
S e a /: R
R definida por f (x ) = x 2
Como cada número real tiene un cuadrado y sólo uno, se cumplen las condiciones
de la definición. El gráfico cartesiano es una línea continua de puntos del plano,
llamada parábola. Hemos señalado algunos pares ordenados de / , los que se han unido
mediante un trazo continuo. Com o el cuadrado de ningún núm ero rea! es negativo, las
imágenes son reales no negativos.
Ejem plo 4-8.
Representación de / : R-»■Z definida de la siguiente manera
i— 1 s i x < 0
/ ( x ) = <^
0
s ix = 0
[_ 1 si x > 0
z. t
1«
0
-1
R
1
t s la llamada función “ signo de x ' \ v su representación consiste en la unión de dos
senn:rrectas abiertas (sin origen), con el conjunto cuyo único elem ento es el origen de
coordenadas.
4.4. CLASIFICACION D E FUNCIONES
Sea u n a función f : A -* B
Si ocurre que elem entos distintos del dom inio tienen imágenes distintas en el
codom inio, entonces/ se llama función inyectiva, biunívoca, o uno a uno.
Por o tra parte, si todo elem ento del codom inio es imagen de algún elem ento del
dom inio, la función se llama sobreyectiva.
Cuando se presentan ambas situaciones sim ultáneam ente, la función se llama
bivectiva o correspondencia biunívoca.
i ) D e fin ició n X
f : A - * B es inyectiva ·«* V x ’ W x " e A : x ’ =£x ” => / ( * ' ) = £ / ( * ”)
Equivalentem ente, m ediante la implicación contrarrecíproca, podem os decir
f : A -*■ B e s inyectiva - o V x ’ V x ” e A : f ( x ’) = f ( x ” ) »> x ’ = x ”
En la inyectividad no puede darse que elem entos distintos del dom inio den la
misma imagen. Las funciones estudiadas en los ejemplos 4-1 i ) y 4-1 iii) no son
inyectivas. T am poco lo son las correspondientes a 4-2 y 4-3. En cam bio son inyectivas
las funciones de los ejemplos 4-4 y 4-5.
En el diagrama de Venn correspondiente a una aplicación inyectiva no puede
presentarse ninguna bifurcación de elem entos del dom inio hacia el codom inio. En la
representación plana cartesiana n o puede ocurrir q u e una ordenada corresponda a más
de una abscisa.
ii)
D e finición /
/: A
B es sobreyectiva o V y e B , l x e A / v = / ( * )
En el caso de sobreyectividad, el conjunto de las imágenes se identifica con el
codom inio de la función.
Los ejemplos 4-2 y 4-3 corresponden a funciones no sobreyectivas. En cambio lo
son en 4-4 y 4-5.
Es usual nom brar a las funciones sobreyectivas con las palabras "sobre” o
“ suryectiva” ,
iü ) D e finición X
/ : A -*B es biyectiva o / es inyectiva y / es sobreyectiva.
Las funciones propuestas en los ejem plos 4-4 y 4-5 son biyectivas.
N egando el antecedente y consecuente de la doble implicación se tiene
/: A
B no es biyectiva
/ no es inyectiva o / no es sobreyectiva.
E jem plo 4-9,
R epresentam os y clasificamos la función
/ : N -*■ N tal que f { x ) = 2 x
t
E sta función asigna a cada núm ero natural su duplo. El conjunto de las imágenes es
el de los números naturales pares, y está incluido en N, com o codominio.
Su representación es u n conjunto de puntos aislados de! primer cuadrante.
Na
4·.3- . 2■
-
N
Vamos a probar la inyectividad de f. Sean x ’ y a· ” en N tales que / ( x ' ) = / (x
'
E sto significa que 2 x ’ = 2 x ” y, en consecuencia, x ' — x ”. De modo que / es
inyectiva o 1 -1 (u n o a uno).
Además / no es sobreyectiva, pues los elementos del codom inio que son impares
carecen de antecedente en N. Resulta que / no es biyectiva.
Ejemplo 4-10.
Consideremos ahora el conjunto P de los números naturales pares, y
/ : N -*■ P tal que f ( x ) = 2x
La ley de asignación es la misma que en 4-8, pero el codom inio se ha “ restringido” a
los naturales pares.La inyectividad se m antiene y probam os la sobreyectívidad.
Hay q u e determinar si para to d o / e P existe x en N ta l que / ( * ) = y. Esto significa
que debe ser, de acuerdo con la definición de / ,
2.x = v
Resulta
pues la m itad de un número natural p ar es un número natural.
De m odo que V.ve P, 3 * =
tal q u e/ ( * ) = /
= 2 · —· = / .
S iendo/inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva.
Ejemplo 4-11 .
Sean A = { 1 , 2 , 3 }
y B = | 1 , 2 j>
Definimos f : P (Á )- + P (B) m e d ia n te /(X ) = X n B
Es decir, la imagen de todo subconjunto de A es su intersección con B.
El siguiente diagrama nos m uestra que f es sobreyectiva, pero n o inyectiva.
Ejemplo 4-12.
Se lanza una moneda tres veces. Los posibles* resultados de este experim ento
aleatorio son todas las tem as formadas por “ caras” y “ sellos” , o bien p o r “unos” y
“ ceros” , y son los siguientes:
A = { ( 1 , 1 ,1 ) ,( 1 ,1 ,0 ) ,( 1 ,0 3 ) , ( 0 , 1, 1) , ( 1,0 ,0) ,( 0 ,1 ,0 ) ,( 0 ,0 ,1 ) .(0 ,0 ,0 )}
El conjunto A de tales elementos, se llama espacio muestral asociado al.
experimento.
Definimos ahora la función de A en R , que asigna a cada elem ento la diferencia
entre el número de caras y el número de sellos. Damos la siguiente representación de /
Ejemplo 4-13.
Sea/ : R - + R definida p o r / ( x ) = x 2 .
i ) / es 1- 1. E n efecto, sean x x y x 2 en R tales que f (* ¡ ) = / ( . r 2) es decir
x \ = x \ . P or pasaje de ténninos
x\ ~ x \ = 0
factorizando la diferencia de cubos
(X| ™X2> [x] + X \ X l + A*j) =
I
- X l = 0 =*■ Xl ~ x 2
O bien
Jfj + JCj x 2 + X j = o
La relación que vincula a x i con x 2 está dada por
0
Es decir
Si ,v2 = 0 entonces Ai = 0 y resulta -*i = .v 2
Estos so r los únicos valores reales que satisfacen (1 ) y, en consecuencia, / es
inyectiva.
^
ii)
/ es sobreyectiva, pues
Vv e R . 3 x = \ f y
tal que
f i x ) = f ( V y ) = í v 7 )3 = y
O curre entonces q u e } es biyectiva.
Ejem plo 4-14.
Sea / : R -* R : tal q u e /'{ r) = (t, — t).
Si en R : consideramos e je s.r e d e acuerdo con la definición, se tiene
i, V = ~1
que corresponde a un sistema de ecuaciones param étricas de una línea del plano xv.
Elim inando el parám etro t resulta y = - x . que es la ecuación de la segunda bisectriz.
t s claramente una función inyectiva. pero no sobreyectiva.
4 .5.
4.5.1.
FUNCIONES ESPECIALES
Función constante
La función / : A -+ B. qu e asigna a todos los elem entos del dom inio el elem ento
h e B, se llama constante.
Hstá definida p o r/(.v ) = b para todo .v e A
Se tiene
.
f
.
/ = { ( * , ¿) / x e A }
A m enos que A sea unitario, la función constante no es inyectiva, y es sobreyectiva
sólo si B se reduce a u n único elemento.
4.5.2. Fundón identidad
Identidad en A es la aplicación
í'A : A -*■ A tal que i A (x ) = x
La identidad en A es entonces la función que asigna a cada elem ento de A el mismo
elemento, es decir, deja invariantes a los objetos de A.
A cada conjunto le corresponde una función identidad, y a veces en lugar de
denotarla m ediante iA se utiliza el símbolo 1a ,
Se tiene
ia = { ( * , * ) / * € a }
Es decir, la identidad en A es la diagonal de A2 . Es fácil verificar que, como
relación, es reflexiva, simétrica y transitiva, o sea, de equivalencia en A; además es
antisimétrica, y e n consecuencia de orden amplio. L a función i A es obviamente
biyectiva.
4.5.3, Función proyección
Consideremos A X B, y las funciones
P!
:AXB A
?2 ' A X B -+
P,
(« ,* ) = «
B definidas por
y
?2 ( a , b ) = b
Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano, y
asignan a cada par ordenado la primera y segunda com ponente, respectivamente.
En un gráfico cartesiano se tiene
4.5.4. Función canónica
Sea ~ una relación de equivalencia definida en el conjunto no vacío A. Por el
teorem a fundamental de las relaciones de equivalencia queda determ inado el conjunto
cociente — . cuyos elementos son las clases de equivalencia.
Definición
Aplicación canónica es la función
que asigna a cada elemento de A. su cíase de equivalencia, es decir, tal que
4p<.c( = Kx
Dos elementos equivalentes pertenecen a la misma clase y en consecuencia admiten
la misma imagen, es decir, la aplicación canónica no es inyectiva, salvo en el caso de
ciases unitarias. Por otra parte, como cada clase es no vacía, ocurre que siempre es
sobreyecttva, es decir
V K ,e ~
, 3.y e A ' ijSí.v) = Ku
Vale la siguiente proposición
a~~ b ■*> i f ( a ) = i p( b)
La función canónica en el caso de la congruencia módulo 3 definida en Z es
£ : Z -*■ Z 3 tal que
= ÍCU. siendo u el resto de la división de x por 3.
E jem plo 4-15.
En R 2 consideramos la relación definida p o r
(a
. b) ~ ( a \ b ")
a= a’
Es decir, d os pares ordenados de reales están relacionados si y sólo si tienen la
misma primera componente. Puede verificarse fácilmente que la relación es de
equivalencia. y el propósito consiste en caracterizar Sa aplicación canónica. Las ciases
de equivalencia son del tipo
{ ( * · > ') '* = * }
y están representadas por paralelas al eje de ordenadas. Para definir el conjunto
cociente necesitamos un conjunto de índices, y al elegir un único elemento en cada
clase, lo Tomamos sobre el eje de abscisas, de m odo que
Entonces la función canónica es »p; R 2 -» ~
tp(a,b)-
tal que
K (u>0> si
u = a
4.6. COMPOSICION DE FUNCIONES
Bajo ciertas condiciones es posible definir, a partir de dos funciones / y g. una nueva
función, llamada la compuesta de aquéllas.
Sears
/'■ A -*B
y
g ■ B -*C
donde coinciden el codominio de la primera con el
consideram os este caso más usual, es suficiente que
parte del dominio de la segunda, es decir: B - B\
Nuestro propósito es asignar a cada elemento de
camino natural consiste e n determ inar la imagen
continuación obtener la imagen d e / (x ) e B, porg.
dominio de la segunda. Si bien
el codominio de la primera sea
A un único elem ento de C, y el
de cualquier x e A por / , y a
D e finición v
t
Composición de las fu n c io n e s /: A — B y e : B -* C es la función g » f : A -*■ C ,
definida por
ig· v / ’i i x i = g [j i.vji para túdt: ,v ¿ A
El símbolo "g u / ” denota la función compuesta de f c o n g . o la composición d e /
con g. Puede leerse “/ compuesta c o n g " . o "g cerito / ' ' o bien "g *
Ejemplo 4-16.
Sean A = { l , 2 , 3 } ,
g : B -*C definidas así
B=
, b , c , d},C = ^5 , ó) y las funciones / : A
B y
/= { (1 , a ) , ( 2 , b ) , ( 3 , d ) }
g = [ ( a , 5) , (b , 5) , (c , 5 ) , ( d , 6 )}
Resulta
áro/={(l,5),(2,5),(3,6)}
El diagrama correspondiente es
A
B
C
Debe notarse que no coexisten g o / y / o g, ya que en este caso el codom inio d e £
es C y el dominio de fe s A. A mbas composiciones existen si C C A.
E jem plo 4-17.
Sean ahora las funciones
f : R -* R
tal que / ( x ) - 2 x
g : R -+ R
tal que £ ( x ) = * 2
Entonces
1 ) g o f : R - » R está definida por
(g °f)(x )= g lf(x )]= g (2x)=
(2x)2 = 4 x 2
i i ) f o g : R -* R está definida por
( / o g) (* ) = / \g (*)] = / ( * 2 ) = 2 x 1
Ambas funciones com puestas, a pesar de tener el m ism o dom inio y codom inio, son
distintas, por diferir en la ley de asignación.
D efinición x
Dos funciones / ' . A -+ B y g : A -* B son iguales si y sólo si para to d o x de A se
verifica f ( x ) ~ g (-*).
Con relación al ejem plo se tiene: g o / ^ / a g.
4.6.2. Asoclatívidad de la composición
S ean / : A - > B , g : B-*-C y h : C ->D.
Entonces se verifica
(h o g) o f - h o ( g o / )
Las dos composiciones son funciones de A en D , y se trata de probar la igualdad.
Interpretam os la situación en el siguiente diagrama
Con relación al primer miembro se tiene
/ : A-*B ]
>=>(/tog)o/:A->D
h a g : B -*D
J
Para el segundo miembro es
g o /:A -*c ]
> =» h o (g o / ) : A -* D
h:C-+ D j
Siendo (h o g ) ° f y h o ( g o f ) dos aplicaciones con el mismo dominio y codominio,
para probar la igualdad, de acuerdo co n la definición expuesta en 4.6.1., hay que
verificar la igualdad delm ágenes para to d o elem ento de A, dadas por dichas funciones.
Sea x e A; aplicando reiteradam ente la definición de composición
( i h o g ) o / ) ( * ) = (A o g ) [ f ( x ) j = h [ g [ f (jc)]}
(I)
( ^ h ° { g ° / ) J ( x ) = h ( ( g o / ) ( x ) ^ = h <¡V{ /(* )]}
( 2)
P or o tra parte
De ( 1) y ( 2 ) se deduce
( ( h o g ) o f j ( x ) = f h o ( g o f ) j ( x ) VjcéA
Y por definición de igualdad de funciones resulta
( h ° g ) ° f = h o ( g 0f )
4.6.3. Composición de funciones inyectivas
S i / : A~-*B y g : B - > C son inyectivas,entonces g o / : A - + C esinyectiva.
De acuerdo con la definición de inyectividad 4 .4. i ) debem os probar que si a:’y x”
son elementos de A que tienen la misma imagen p o r g = f , entonces.v ’ = x ’’
Sea pues
·
íg = f ) ( x ’ ) ~ i g « / ) i x ” I ■
Por definición de composición
Por serg inyectiva resulta
/ ( * ’) = / < * ” )
ya que estos elementos de B tienen la misma imagen porg. Y por ser /in v e c tiv a :
jr’ = jr”
Queda probado, asi, que la composición de funciones inyectivas es inyectiva.
4.6.4. Composición de funciones sobreyectivas
S i / : A -*B y g ’ B ~»C son sobreyectivas, en to n cesg o / : A -*C es sobreyectiva.
Según 4.4. ii ) hay que probar que para todo z e C existe x e A tai que
<* = /)(·*) = *.
Por serg: B -*C sobreyectiva,
V zeC ,3yeB /g(y) = z
Ahora bien, dado y e B, por s e r / : A -*B sobreyectiva,
Jxe A! f(x )~ y
De aquí se deduce que
g\f(x)]~giy) = -
Entonces. dado cualquier 2 € C, 3 x e A tal que {g o / ) ( x) = z. de acuerdo con la
definición de composición.
En consecuencia, la composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva.
4.6.5. Composición de funciones biyectivas
S i/ : A -*■ B y g : B -> C son biyectivas, entonces la com posicióng ° / : A -*■ C
es biyectiva.
Este enunciado es una consecuencia de 4.6.3. y 4.6.4.
Ejemplo 4-18.
En 4.6.3. se ha dem ostrado que la composición de dos aplicaciones inyectivas es
inyectiva. La inyectividad de la composición no implica la de cada función, pero s í la
de la prim era. Es decir, si / : A - > B y g : B - » C son tales q u e g - o / : A -* C es 1—1,
e n to n c e s /e s inyectiva.
Sean x ’ y x ’’ en A tales q u e / ( x ’) - /(*"). Hallando la imagen de este elem ento de
B p o rg , se tiene
g [/(*’)] = £ [/(*'’)]
ya que cada elemento del dominio B tiene imagen única en C. por definición de
función. Por definición de composición
(g »/)(·*’) = { gof ) í x ” I
y, por ser g o / inyectiva, resulta x' = x".
En co n secu en cia,/es inyectiva.
De m odo análogo el lector puede demostrar que si la composición de dos
aplicaciones es sobreyectiva, entonces la segunda es sobreyectiva.
4.?. FUNCIONES INVERSAS
T oda función / : A -* B es una relación; cabe preguntarse si la relación inversa es
una función. En general, la respuesta es negativa, como se ve a través del ejemplo 4-2,
donde A = <j— 1 , 0 , 1 , 2} , B = {o , 1 , 2 , 3 , 4} y / : A -* B es tal que f ( x ) = x2 ,
es decir
/ = { ( - 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 ,4)}
La inversa d e esta relación es el subconjunto de B X A:
{ ( 1 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2)}
Se ve claram ente que esta relación no es una función de B en A, pues los elem entos
2 y 3 de! eventual dominio carecen de imágenes en A. y además no se cum ple la
condición de unicidad, va que 1 tiene dos correspondientes en A.
Sea en cambio el siguiente caso
A = ^ 1 , 2 . 3) , B —| a . b . c / y
una función de A en B. La relación inversa es
£= {(0 ,l),(b ,3),(c,2)}
es claram ente u na función de B en A , llamada función inversa d e /. La composición
g ° f —{(1 » 1) >(2 ,2), (3 ,3)} = iA
/ o g = { ( a , a) , (b , b) , (c , c)} = íb
D e fin ic ió n '·(
La función / : A -> B adm ite inversa si y sólo si existe g : B -> A tal que g ° f — i a
y f ° g = iB
E jem plo 4-19.
La fu n ció n / : R -> R definida por / (x) = x + 2 adm ite inversa g : R -* R tal que
g (x ) = x — 2, pues
ig 3 / ) (*) = g 1/ (·*)] = g (■* + 2 ) = x + 2 - 2 = x = ík (x )
( / ’ 1 ) ( * ) = f \ g (-*)] = / ( * — 2) = JC — 2 i 2 - x = ík {á)
según las definiciones de com posición, de f
funciones resulta
,
Í°/=ÍR
de £ y de identidad, Por igualdad de
y f°g=ÍR
La representación cartesiana de dos funciones inversas conduce a gráficos simétricos
respecto de la prim era bisectriz:
La fu n ció n f es biyectiva, como puede probarse fácilm ente, y este hecho es
necesario y suficiente para q u e adm ita inversa.
4.7,2. Propiedad
Una fu nció n adm ite inversa si y sólo si es biyectiva.
í) Si u n a función adm ite inversa, entonces es biyectiva.
Hipótesis)/ : A -> B es tal que existe g : B ->A siendo g ° ' f ~ i A
y f a g = /B
Tesis) / e s biyectiva.
Demostración)
a) Vemos p rim ero la inyectividad de f.
Sean x ’ y x ” en A tales que / (x ’) = / ( x ” ). La im iten de este elem ento de B por g es
ir [ / ( * ’) ] = ¿ r [ / ( * ” )]
Por definición d e composición, esto se traduce en
( g ° f) ( x ’) = ( g ° f ) { x ” )
y siendo por hipótesis £ o / = ¡A, se tiene
i A <*’) = i A (-*” )
Es decir: x ’ = x " , lo que demuestra q u e / e s 1 - 1,
b ) D em ostram os ahora q u e / e s sobreyectiva'.
De acuerdo con la definición, debemos probar la verdad de la proposición siguiente
V y eB
, 3 x e A / f(x) = y
Sea entonces cualquier elem ento y e B; por definición de identidad en B se tiene
} ’ — *b ( y )
> y com o por hipótesis i % = f ° g
se tiene
y = (f ° g ) ( y )
Por definición de composición
y=f\g{y)]
Es decir, a expensas d e y e B, hem os determ inado x = g ( y ) e n A, tal que / (x j = y
Siendo /in y e c tiv a y sobreyectiva resulta biyectiva.
II) Si una función esbiyectiva, entonces admite inversa.
Hipótesis) / : A ->B es biyectiva.
Tesis)
: B-»-A ta l que £ « / = íA y / ° g = ¡B.
Demostración) N ecesitam os proceder en tres etapas.
a) Primero se tra ta d e definir una función g : B -»A, de modo que se verifiquen las
restantes proposiciones de la tesis.
En este sentido, definim os
g : B -*A
mediante g ( y ) = jc si f í x ) = y
(0
Tenemos q u e ver que (1 ) satisface la definición de función. En efecto:
i ) T odo elem ento y del dominio B tiene u n correspondiente x en A, ya que, por
ser / sob reyectiva, todo y e B proviene de algún x e A.
.J K £ ,
ii)
El correspondiente x asociado a y es único, p o r ser / inyectiva.
En efecto, si x y x ’ fueran antecedentes distintos de y por / se tendría
x = é x ’ a f { x ) ~ f ( x ’ ) —y, lo que es absurdo por la inyectividad d e /
b) Hay que probar queg o f ~ i A .
Cualquiera que sea x en A se tiene, por definición de composición, por (1 ), y por
definición de identidad en A
(g » f ) (-V) = g \ f ( x ) ] = g (.V) = * = ¡A (*)
Entonces, por definición de funciones iguales
g o f = ‘A
c) Finalmente, demostramos que f ° g — ÍB·
Como / o j : B -*■ B, para todo y e B, tenemos, p o r definición de composición, por
(1) y por identidad en B
( f = g ) ( y ) = f \ g( y) ] = f <x) = y - i B (y )
Es decir
/ o g — í'b
4.7.3, Consecuencia
Si / : A -> B es biyectiva, entonces la función g : B - > A a que se refiere el teorema
anterior es única y, además, biyectiva.
Si existieran dos funciones g y g ‘ que cumplieran las condiciones de 4.7.2. II) se
tendría
g ’ = g ’ o Í B ~ g ’ o ( f o g ) = ( g’ o f ) !> g = i A O g = g
por ser íB neutro a derecha e igual a / o
por asociatividad de la composición, p o r ser
g ’ * f = i A . y porque i A es neutro a izquierda. En consecuencia.# es única.
i’or otra parte, de acuerdo con 4.7.2. í) se tiene esta situación: g ■ B — A es tal que
eraste / . A -*B. siendo f o g - i B y g f - íA . En consecuencia,g es biyectiva.
La función g se llama !u inversa é e / y se denote con el s ím b o lo /" 1.
Ejemplo 4-20.
Se trata de probar que
/ :r
i,i)
f(x) ~ —
w
X
I + M
definida por
admi t e inversa.
De acuerdo c j r el teorema anterior es suficiente probar que / e s biyectiva.
Previamente, uecesitamos precisar algunos conceptos relativos a la función valor
absoluto, y su conexión con la función signo.
i ) Función valor absoluto es la aplicación
] | : R ->Ro
( siendo Ro = R + U { o })
definida por
f
w =
x si x > 0
<
I —x
si x < 0
Su representación cartesiana consiste en el par de bisectrices de! prim ero y segundo
cuadrante. La función valor absoluto es sobreyectiva. pero n o invectiva
i i ) Función “ signo de x " es la aplicación
sg : R - + Z
f
sg (x l =
definida por
1 si -ir > 0
si x = 0
S - 1 si x < 0
0
fcsta función y a fue graneada en el ejemplo 4-S.
iii) Cualquiera que sea el núm ero real x, se cumple
!x| = x . sg (x)
lo que es fácil de verificar teniendo en cuenta las definiciones de valor
absoluto y de signo de x.
Retom am os nuestro propósito inicial:
a) / e s inyectiva.
Sean x ’ y x ” en A, tales que
/ ( * ’) = / ( * ” )
x-
*
*”
T+FT = T+TrT
con
Jf’ + x ’ l x”! = x ” + x " \ x ’\ y s ^ ( x ’) = jg(.xr” )
x +x .x
+X
sg( x ) = x
. x sg \ x ) por íiij
»
x' —x ”
O sea: / e s I — l.
b) / es sobreyectiva.
Sea y e {— l , l ). Si 3 x e R / / ( x ) = y , entonces debe ser
X
i + W
-
y
con j s ( x ) = s£ 0 0
O perando
x = y +y W
Por(l)
*
x = y +yxsg(x)
P oriii)
*
x = y -¡-xysg(y)
t
P o r( l)
■
x — x y sg ( y ) = y
Por trasposición
4
x ( l — |yt) = y
Por distributividad y iii)
r
x -
Pues l - M > o ya que \y\ < l
Es decir
V y e ( — l , l ) , 3 jc =
l-W
(l)
tal que
m - t f i^
r )
“
l-iy!
y
-
l ~ W _____ = ______ 1 _______
. ,
1
l - M + !.vl
\y\
■ p q jr
7
Esto prueba que / es sobreyectiva.
Por a) y b ) resulta que / es biyectiva y en consecuencia admite inversa. La inveì sa
es
f ~ l ■ (—1 , 1 )-* R
/ 1 (*) =
tal que
j _
c) Verificamos q u e # ° / = í r
En efecto
V x e R : ( £ o /) ( * ) = j ? [/(* )] =
’ * frrsrJ - .
j
= * = '»<*>
1+ W !
d ) Además, ' f a g = í ( - i , d
Pues
x e i<_ ,,,)=!■ ( / o g) ( x) = / [ # (x)y=
x
= / ( — * — .)
1 l l- w J
= ___ L z W _____
=JC =
I JC I
11 - w I
= í{ - i , i ) ( * )
Ejem plo 4-21.
La fu n c ió n / : A -* B es inyectiva si y sólo si existe g : B -*■ A tal.que g ° / = i a
I) Hipótesis) / : A -*■ B es 1 -1 .
Tesis) 3 g : B -+A ta íq u e # o / = iA .
Demostración) La función / no es necesariamente sobreyectiva, de modo que
eventualmente existen elementos del codominio sin preimagen en el dominio. Nos
ayudamos con el siguiente diagrama
Definimos una función g ■ B -> A m ediante la siguiente asignación
j
g ( v' ) ~ S
x
si f í x t =
x'
(Cualquier elemento fijo de A) si no
existe x e A tal que f ( x ) = y.
De este modo, todo elemento de B tiene un correspondiente en A, y además es
único, por ser / invectiva.
.Ahora bien, utilizando las definiciones de composición, de g, y de identidad en
A, se tiene, cualquiera que sea x e A
( g ° f ) ( x ) = g [/(-v )] = g ( y ) = x = i A (*)
y por definición de funciones iguales resulta
g ° f = Í A
II) Hipótesis) / : A -*■ B es tal que existe g : B -*■ A de m odo que g o f = i A
Tesis) f es inyectiva.
Demostración) Sean x ’ y x " en A tales que / ( x ' ) = f í.-t” ).
Entonces:
=
Por definición d e composición: (g » / ) ( x ’ ) = ( g ° f ) ( x ” )·
Por hipótesis: / A (jc') = i A ( x ” ).
Esto implica x ’ — x" , y en consecuencia / es 1—1.
4.8. IMAGENES DE SUBCONJUNTOS DEL DOMINIO
4.8,1. Sean / . X -*· Y y A un subconjunto de X. Las imágenes de iodos ios
elementos de A determinan un subconjunto de Y, llamado imagen de A por f.
Definición
Imagen del subconjunto A C X es el conjunto cuyos elem entos son las
imágenes de los elem entos de A.
En símbolos
/ ( A ) = { /■ ( * ) /* € A j
0 bien
/ ( A ) = { >' € Y / 3 x € A a f { x ) = y
El sím bolo / ( A ) se íee "imagen de A” .
De acuerdo con la definición
y e f ( A)
3 x e A ! y = /(* )
En particular, si A = X, entonces / (X) se »llama imagen del dominio por / o
directamente imagen de f Además. / ( $ ) =
<¡>.
Se tiene obviamente q u e / e s sobreyectiva si y sólo s i / ( X ) = Y.
4.8,2. Propiedades de la imagen
Sean / : X - + Y y A y B subconjuntos del dominio.
a) Si u n subconjunto del dom inio es parte de o tro , entonces la misma relación vale
para sus imágenes.
Es decir, si / : X -»-Y , A C X . B C X y A C B , entonces e s / ( A ) C / ( B).
En efecto, sea
z ef(A)
*·
3 X e A / f(x) = z
Por definición de imagen
*■
3 x e B ! f ( x ) —z
·■e / <B >
Por ser A
B
Por dei’intción de imagen
b) La imagen de la unión de dos subconjuntos del dominio, es igual a la unión de
sus imágenes.
Hipótesis) / : X ~ * Y
A C X y B.C X
Tesis) / ( A U B )= / (A ) U / (B)
Demostración)
’robam os la doble inclusión.
i ) Sea
ze/(A U B )
4
3 í e A U B / / (x) —z
I
3x>(xeA
v
xeB)
f(x)-z
a
4
( 3 .y ! x e A
" f ( x ) = z)
v
( 3x
/ jc e B a f ( x ) = z )
ze/(A)
v
z e /( B )
z e f ( A)U/(B)
Es decir
f ( A U B) C / ( A ) U / ( B )
(1)
2o) Usando propiedades de 3a inclusión y a)
A C A U B =* / ( A ) C / ( A U B )
B C A U B => / ( B ) C / ( A U B)
=>/(A)U/(B)C/(AUB)
( 2)
De ( 1) y ( 2 ) resulta
/(A U B )=/(A )U /(B )
c)
La im igen de la intersección de dos subconjuntos del dom inio está incluida en '
¡r.tersección de sus imágenes.
Se trata de ver que si / : X -*· Y, A C X y B C X, entonces
/( A H B ) C / ( A ) H / ( B )
En efecto, sea
2 e f ( A n B)
^
Y
3x e A H B / f ( x ) —z
( 3 x e A / / ( ; c ) = z)
a
( 3 x e B / / ( x ) = z)
4
ze/(A)
a
z e /(B )
1Szef(Á)nf(B)
Entonces
/ ( A n B) C / ( A ) n / (B)
El siguiente ejemplo prueba que no es válida la inclusión en el otro sentido.
Sean / : Z - * N definida por
/ (x) = x 3
y los subconjuntos de 2
A = { - 2 , - 3 , 4 } yB={j2,3, 4,5 }
Se tiene A H B = | 4 j
y
/(A O B )= {l6 }
/ ( A ) n / ( B ) = { 4 , 9 , 1 6 } n { 4 , 9 , 16 , 2S} = { 4 , 9 , 16 }
Resulta
/(A A B ) C /(A)n/(B)
4.9.
IMAGENES INVERSAS DE SUBCONJUNTOS DEL CODOMCS'IO
4.9.1. Concepto
Sean / : X -*· Y y A una parte del codominio Y. Un problem a de interés consiste en
determ inar los elem entos del dominio cuyas imágenes pertenecen a A. Tales elementos
forman un subconjunto d¿ X, llamado imagen inversa o preimagen de A p o r / .
Definición
im agen inversa o pie imagen del subconjunto A C Y, es el co n jun to de los
elementosdel dominio cuyas imágenes pertenecen a A.
La notación para indicar la preimagen de A por f . es f 1 (A) y no debe entenderse
que se indica la función inversa, la cual puede no existir, ya que nada se prefija acerca
de f.
En sím bolos
Es claro quii
x e f ' 1 (A ) o / ( x ) e A
Es decir, un elem ento del dominio pertenece a la pre imagen de A si y sólo si su
imagen perteneie a A.
Ejem plo 4-22.
Sea / : R -*R definida p o r f ( x ) = x 2.
Determínanos las preímágenes de los siguientes subconjuntos del codom inio
Se tiene
Ahora bien
f { x ) e (—« = , — 1] o x 1 < — 1 <& x e<p
Resulta
i i ) En el segundo caso
x e f 1 ( - 1 , lj
0
jf(x ) e (— 1 ,13
Por definición de preímagen
♦
x 1 e (— 1 »1}
*
- | < r <S
t
x2 < 1
*
\x\2 < 1
$
—1 < * < I
$
* € [— 1 , ! ]
Por definición de f
Por definición de intervalo
Pues . r > -
l , V x
Porque x 2 = ¡x |2
Por ser Ifl < 1
Por definición de intervalo cerrado
Entonces / " ' (— 1 , 1 ] = [— 1 , 1 )
¡ii) Se tiene
x e f 1 ( - 1 , 1)
*
/ ( x ) e ( - 1 , 1)
$
x 1 e ( - 1 , 1)
*
** < 1
»
Ixf < i
t
—1< x < 1
í
x e ( - 1 , 1)
Luego / - * ( - 1 , 1) = ( - 1 , 1)
¡v) Finalm ente
xé
/ - ’ [4,9]
♦
f( x ) e [4,9]
♦
x 2 e [4,9]
♦
4<x2<9
♦
x2
>4
a x 2 <, 9
a
lt| > 2 a |x| < 3
♦
x e [—3 , — 2] v x e [2 , 3]
$
x e [ - 3 , — 2 ] U [ 2 , 3]
Entonces
/ - > [4 , 9] = [— 3
2 ] U [2 , 3 ]
4.9.2. Propiedades d e la p re imagen
Sean / : X -* Y y los subconjuntos A C Y , B C Y
a) La preimagen de la unión es igual a la unión de las preím ágenes.'
Se trata de probar que / 1 (A U B)
(A) U / _1 (B)
Utilizamos sucesivamente las definiciones de preimagen, de unión y de preimagen:
«
x e / “ 1 ( A U B ) » / ( x ) e A U B «►
«· / ( x ) 6 A v / ( x ) e B ·»►
« • í f / " l (A) v
x e / ' 1 (B)'«
« x e / ' 1 (A) u / - ' fB\
b) La preirnagen de la intersección es igual a la intersección de las preirnágenes, es
decir
r 1 (A n B) = / " ' ( A ) n / -1 (B)
R azonando análogamente, se tiene
x e / " 1 (A n B)
o f(x) e A
a
«· x e / ~ l (A)
/ ( x ) ¿ A n B <*·
í.
-
f { x ) e B «■
a
x e f ' 1 (B ) »
*»■ x e f ' 1 (A) O / ' 1 (B)
c) La imagen inversa del com plem ento de un subconjunto del codom inio
com plem ento de su preirnagen
rgüai ¿I
r i ( a c) = \ f ~ i ( a ) | c
En efecto
'
x e / -i (Ae) ^ > f ( x ) e A c o / ( x ) é A ■»
*
/>
■
4
« ~ [ / ( x ) e A ] o ~ [ x e r 1 (A)i <».
O x f / - ‘ (A ) O x e [ / _1 (A )]c
Ejem plo 4-23.
El conjunto Q, consiste en los posibles resultados que se obtienen al lanzar una
m oneda, es decir
0 = |c,s}
Se define f : í2-*-R mediante
m
=
1
/(* ) = 0
En un diagrama, ía situación es
SI
Determinar f ' 1
,x], Vx eR
Por definición de preimagen
/-'
-|w eíí//(w )< x ^.
Entonces
{
r 3
i= <
si x < 0
$
si o < x < i
($ }
·, f f , s } s i
1 « íx
Ejemplo 4-24.
Sea una aplicación
/
Demostrar
VxeR:
A -R
QP
U / “’ (— « , x ~ 2~n J = / ~ I ( ~ o e,.'*‘)
•l = !
Para cada x e R , el primer miembro denota la unión de una sucesión de conjuntos
del dominio A. cuya identificación con la preimagen de (~ °° , x ) debemos probar.
OO
i )S e a v e U / " l (— ° ° , x - 2 " )
n~ 1
Por definición de unión, 3 m e N tal que
w e / -1
, x — 2 ’m j
Por definición de preimagen
f ( w ) < x - 2~m
( 1)
Y com o
Q<
(2)
2~m
Sumando (l'í y t2)
< ,c
es decir: / ( w ) e (— 00.
,
y por definición de preimagen resulta
w e / * 1 (— 00, x )
Luego
OO
U
n* 1
f~x
(~"001 “ 2~n] C
/ _1
(—
(3)
ii)
Sea ahora
w e f ~ l (— 00, x)
Por definición de preimagen
f(w )< x
Es decir: x ~ f ( w ) > 0
Y siendo x —/ ( w ) un núm ero real positivo existe m e N tal que
x - f ( w ) > 2~m
Por trasposición de térm inos
f(w) < x - 2 'm
O sea
3 m e N //(w )e (-
° ° , x
—
2 ' m]
f
Y por definición de preimagen
i m e N / w e / * 1 (— « , x — 2 "m ]
Por definición de unión resulta
we
U / '■ ( - « , x - 2 ' n]
n= i
Es decir
r
i < - ° ° , X) c
OO
u
r
l {-* = ,* -
2
~n ]
( 4)
n = I
Las inclusiones (3 ) y (4) demuestran la igualdad propuesta.
4.10. RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNCION
*
Sean f : X
Y y A u n subconjunto de X- Definimos ia función g : A -* Y mediante
Sa asignación g (je) = J\x) cualquiera que sea x e A, Decimos que g es la restricción de la
ap licació n /ai subconjunto A, y la denotemos g ~ f i A.
Si g es la restricción d i / al subconjunto A» e n to n c e s /: X - * Y e s una extensión de
la función g sobre el conjunto X. Es claro que la restncción de / : X -* Y ai
subconjunto A es única; mientras que, dada una fu n c ió n g : A -»-Y, ésta adm ite m ás de
una extensión sobre el conjunto X que contiene a A. En efecto, s i # : A - * Y y A C X,
entonces podem os definir una extensión d e # al conjunto X, de la siguiente m anera, sea
.yo un elem ento cualquiera de Y ; definimos:
í g (x )
/:X ->Y
si x e A
mediante / ( * ) = <
jKo
si x e X — A
TRABAJO PRACTICO IV
4-25.
D ados A = <j 1 , 2 . 3 j y B = | G , ! , 2 , 3 , s )
definir p o r extensión
la
función / : A -*B , que asigna a cada elem ento de! dom inio su cuadrado
dism inuido e n i . R epresentar y clasificar f
4-26.
Siendo A = ^ ~ 2 , — 1 , 1 , 3 1
representar y clasificar la aplicación / : A -* Z.
tal q u e la imagen de cada elem ento de A es el resto de su división p o r 3.
4-27. Por definición, parte entera de un núm ero real x es el m ayor entero que no
supera a x. Si e es la parte entera de x se verifica
e < x < e +1
Para d en o ta r la parte entera del núm ero real x , se usan las notaciones ent (x )
o
M
E studiar, representar y clasificar la función / : R - » Z , definida por
/ ( x ) = e n t (x )
4-28. R epresentar y clasificar la función m antisa, que se d eno ta por
m a n t : R -* R
y se define m ediante m an t (x) = x — en t (x )
4-29. R epresentar y clasificar las siguientes funciones:
i
) / : R -»-R tal que f { x ) = x — 1
n ) / : R —»- [ 1 , <*>) tal que f ( x ) = x 2 + 1
iii) / : Z -* Q
definida p or f ( x ) =
.4-30. Sean A = { 1 , 2 , 3 } y
X ^ --
B = { 2 , 3}
R epresentar y c la s ific a r/': A X B - * Z definida por
f(a,b)=3a~b
4-3 i . D ados A = ^ l , 2 , 3 ^ y
B = |l,2 ,3 ,4 ^
/ : /* ( A ) -*· i* (B )
definir por una tabla y clasificar
tal que / ( X ) = B - X
4-32. Definir aplicaciones no constantes, con los dominios y codominios que se
indican:
i ) / : Q -* Z
i i ) g : Z ->N (que sea biyectiva)
iii) h : R ~ * | o ,
4-33. Sean / : Z
N definida por f {x ) = x 2 , y los subconjuntos del dominio
A = { - 1 , - 2 , - 3 , 4 } y B = { 1 , 2 , 3 , 4 }.
Verificar las propiedades de la imagen.
4-34. Se considera la f u n c i ó n /: R J -*-R tal que f ( x , y ) = y.
Dar dos subconjuntos A y B del dominio, tales que B C A y / ( A — B)=¿
#/(A )-/(B )
4-35. Proponer dos conjuntos X e Y, una parte A C X y una función / : X -*■Y tales
que
i ) / ( X — A) C Y —/ (A)
ii ) Y ~ / ( A ) C / ( X - A )
iii) /{ X — A ) n [Y —/ (A)] = 4>
4-36. Sea / : R -»•R definida por f ( x ) = x 1 + 1. Determinar las preimágenes de los
siguientes subconjuntos del codominio:
4-37. S e a / : X -»■Y. D em ostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a) / e s iñyectiva.
b )V A ,A C X ^ /-'[/(A )] = A
4-38. Las funciones / : Z - + Q y g : Q - + Z son tales que
• / ( * ) = - 3 - + 1 y í W = e n t ( x)
z
j
Definir g ° /, / « g, y determ inar (£ o f ) (— 2 ) , ( f o g) ( ~ —■ ).
4-39. Las funciones / : A - + B y g : B - * C son tales q u eg =>/ es sobreyectiva. Demostrar
que g es sobreyectiva.
4-40. Las funciones / : A ->■ B, g : B - * C y f t : C - * D son tales que g ° f y h o g son
biyectivas. D em ostrar que / g y h son biyectivas.
4-41. Las funciones / : A -* B , g : B -»■€ y h : G -» A son tales que h ° g ° f y / « h ° g
son sobreyectivas, m ientras que g a f a h e s iñyectiva. Demostrar que f . g y h son
biyectivas.
4-42. Sean / : X -> Y una función, y los subconjuntos A C X y B C Y , D emostrar las
siguientes relaciones:
a) A C / ' 1 [/( A ) ]
c) f ( X ) —f (A ) C / ( X - A)
b) f i r 1 (B)] C B
d) f 1 (Y - B) = X - f ~ l (B)
e) / ( A n / - ‘ ( B ) ) = / ( A ) n B
4-43. D ado el subconjunto A C X definimos la aplicación
Xa : X -» R mediante
í 1 si x e A
Xa (-t) = {
10
si x e X — A
XA se llama función característica de! subconjunto A C X.
Verificar que para todo elemento x de un conjunto X se cumplen las siguientes
relaciones entre las funciones características de los subconjuntos de X:
¡ ) X a h b ( * ) = X a W X b (*)
ü) X a u b Í* ) = X a W + Xb M
~ X a (·*) ■X b (■*)
4-44, Se considera la función / : XJ -* X2 definida p o r f ( a , b ) = (b , a)
Demostrar que f ° d = d, siendo d : X -» X2 la función diagonal.
4-45. La fu n c ió n /: R -* R 2 está definida por f ( x ) = ( x , —x) . Demostrar:
i ) f<x+y)=f(x) + f(y )
ii)
f { k . x ) = k . f ( x ) , d o n d e fc e R
N ota: las condiciones i ) y i i ) confieren a / e l carácter de función lineal.
4~46. Sea / una función arbitraria de un conjunto A en R, Demostrar que para todo
núm ero real x se verifica
n
r 1 ( - ” , x + 2 - n) = r i
n = i
4-47. Sea A es un álgebra de Boole de subconjuntos de
R que satisface:
i 1
P (A) > 0
ii )
P (O) = 1
tói)
p ( l
\i=l
cualquiera que sea A
A,) = I
J
y P es una función de A en
i-í
P (A,·)
La aplicación P, que verifica las condiciones anteriores, se llama función de
probabilidad; los elementos del dominio son sucesos, y .a imagen de cada uno de
ellos es su probabilidad.
Demostrar:
a) La probabilidad del vacío es igual a 0.
b ) La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la sum a de sus
probabilidades m enos la probabilidad de su intersección.
c) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a 1 m enos la
probabilidad de dicho suceso.
t-48. Sean un álgebra de sucesos de O y X una función de S ien R . D em ostrar que p ara
todo x e R
X~» (— o o , x ) e A o X " 1 (— ° ° » x ] e A
4-49. En las mismas condiciones del ejercicio anterior dem ostrar
X ' 1 (—■»,.?]£,4
X ” 1 [jr,®°)e.4
4-5(>. Fn el mismo caso, dem ostrar
X 'i
(~~aot x ] e A
X “!
{ x . qo) e A
4-51. Sea / : X- +Y. D em ostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones cuales­
quiera que sean A C X y B C X
i i / ' 1 [ / (A )] = A
ii) / ( A n B ) = / ( A ) n / ( B )
iii) A n B - 0 =*· / ( A ) n / ( B ) = 4>
iv) B C A =» / ( A - B) = I (A) - / ( B )
Capítulo 5
LEYES DE COMPOSICION
5.1. INTRODUCCION
En este capítulo definirnos, desde el punto de vista funcional, el concepto de ley de
com posición interna en un conjunto no vacío. Luego de prop o n er algunos ejemplos, se
estudian las posibles propiedades que pueden presentarse y la eventual existencia de
elem entos distinguidos. Se introduce a q u í el tem a de hom om orfísm o entre conjuntos,
y su culm inación en el teorema fundam ental de com patibilidad de una relación
de equivalencia con una ley interna. Con vistas a su utilización en la estructura de
espacio vectorial, se definen las leyes de com posición extem a.
5.2. LEYES DE COMPOSICION INTERNA
L oa ley de com posición interna, definida en u n conjunto no vacío A, consiste en
una operación que asigna a cada par ordenado de elem entos d e A u n único elem ento
de A. E sto significa que a cada objeto de A X A le corresponde un único elem ento de
A.
D e fin ició n
Ley de com posición interna definida en u n co njunto no vacío A, es toda función
de A X Á en A.
En sím bolos
* es una ley interna en A o · , * : A 2 -*■ A
Es decir
ae A /\ 6 e A = » a * 6 e A
La unicidad de a * b está dada por la definición de función. La imagen a * b, del
par ( a ; b ), es el com puesto de a con b.
|
l i :yi
s
d i ; c o m p o s i c i o n ints k n a
U3
Son ejemplos de leyes de composición interna, la adición y multiplicación en N Z
Q,RyC.
Ejem plo 5-1.
Las siguientes tablas de doble entrada definen leyes de composición interna en el
conjunto A = j a , b , c}
*
a b c
a
L
U
c
a b c
ui. c a
€ a b
ii)
*
a b c
a
b
c
a b b
r a
b c a
E n i ) es b * c — a, p ero en i i ) se tiene b * ,c = c. ¿Cuántas leyes de composición
interna es .posible definir en este conjunto A? Es obvio que tantas como funciones
existan de A2 en A; com o A2 tiene 9 elementos, se trata de todas las variaciones con
repetición de 3 elem entos de orden 9, es decir, 39.
Ejem plo 5-2.
E n R 2 se define * m ediante
(a , b) * (c ,d ) = (a + c ,b + d )
E sta ley interna es llam ada sum a ordinaria de pares y se efectúa sumando en R.
com ponente a com ponente. C om o cada par ordenado de números reales caracteriza un
vector del plano aplicado e n el origen de u n sistema cartesiano, resulta que el
significado geom étrico de esta ley de composición interna en R 2 consiste en la
diagonal del paralelogram o cuyos lados son los vectores dados.
SaSOáíí:·.
¡jem plo 5-3.
Dado A = { 1, 2, 3 } se considera el conjunto T(A) cuyos elementos son todas las
•unciones biyectivas de A en A, es decir
T (A) =={/} : A
A i f ¡ es biyectivaj
Nos interesa cefinir en T(A) la composición de aplicaciones, que es obviamente una
-*y de composición interna.* puesto que la composición de aplicaciones biyectivas de A
¿n A conduce a aplicaciones biyectivas de A en A.
El conjunto TIA) tiene 6 elem entos, que caracterizamos a través de lus correspon­
dentes conjuntos imágenes de las aplicaciones
fx = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) 4 3 , 3)} = za
/ 4 = { ( 1 , 2 ) , ( 2 . 3 ) , ( 3 , !)}
= 4 ( 1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 2 )}
fs = { ( l , 3 ) , ( 2 , I ) , (3 , 2)1
A «{(1,2), (2, 1),(3,3)}
/ . * { ( 1 , 3 ) , ( 2 . 2 ) , ( 3 , 1 )}
h
Para componer f 2 c o n / 3 determ inam os /3 ° / 2 mediante:
( / 3 » / 2) ( l ) = / 3 [ / 2 ( l ) ] = / 3 ( l ) = 2
i f i “ / 2) (2) = / 3 [/2 (2)] = / 3 (3) = 3
( f 3 c / 2 ) (3) = 1
Resulta asi / 3 o f 2 = / * .
El lector puede com pletar la tabla de la composición de las funciones biyectivas de
A en A, com een el caso del ejemplo 5-1.
5.3, PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
DE LAS LEYES DE COMPOSICION INTERNA
Sea * una ley de composición interna en A, es decir, * : A 1 — A
5.3.1. Asociatividad
* : A‘ ^ A es asociativa <* (a * b) * c = a * (b * c) cualesquiera que sean a. B y c
en A.
'
5.3.2. Conmutatividad
* : A 3 -* A es conm utativa ■ e > a * b ~ b * a para todo par de elem entos a y b de A.
5.3.3. Existencia de elemento neutro
Cabe preguntarse si existe en el conjunto A un elemento e, que com puesto a
izquierda y a derecha con cualquiera otro no lo altere. Si u n elemento tal existe se lo
llama neutro o identidad respecto de la ley * de acuerdo con la siguiente definición
e e A es neutro respecto de* o
VaeA:a*e~e*a=c¡
5.3.4. Existencia de inversos en una íey con neutro
Sea * una ley interna en A, con elemento neutro e. Dado a e A interesa investigar si
existe a ’ c A, tal que compuesto a izquierda y a derecha con a dé por resultado e. El
neutro es un elemento del conjunto relativo a todos. El inverso, si existe, es relativo a
cada elemento. Proponemos la siguiente definición
a ’ e A es inverso de a e A respecto de * < ¡ > a * a ’ ~ a ’ * a — e
Los elementos dé A que admiten inversos respecto de * se llaman inversibles.
Ejemplo 5-4.
i ) La adición es una ley interna en N, conm utativa y asociativa.
i i ) La adición es ley interna en Z, asociativa, conmutativa, con n eu tro 0, y con
inverso aditivo para cada entero.
iii) En R la multiplicación es ley interna, asociativa, conmutativa, co n neutro 1,
y con inverso multiplicativo para cada elem ento no nulo.
iv) En el co n jun to T( A) de! ejemplo 5-3, la composición de aplicaciones es ley
interna, asociativa (la composición de funciones es asociativa), con n eu tro
/ , = ¡a , y con inverso para cada elem ento. Estas propiedades son vetificabies
sencillamente m ediante la tabla de la composición.
5.3.5. Unicidad del neutro
Si existe neutro en A respecto de *, entonces es único.
Supongamos que e y e' son neutros respecto de *; entonces. por ser e neutro y por
serlo e \ se tiene
e ’ = e ’ * e —e » e ’ ~ e
5.3.6. Unicidad del inverso respecto de una ley asociativa
Si un elem ento a e A adm ite inverso respecto de la ley asociativa *, entonces dicho
inverso es único.
Supongamos que a ’ y a ” son inversos de a. Aplicando consecutivam ente la definí-
ción de neutro, el hecho de que a ’ es inverso de a, la asociatividad, el supuesto de
que a " es inverso de a, y la definición de n eu tro se tiene
a ” = a " * e = a ” * (a * a ') — ( a " * a) * a ’ — e * a ’ = a ’
5.3.7,
Regularidad d e un elemento respecto de una ley interna
La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste
en que es cancelable o simplificable a izquierda y a derecha en los dos m iem bros de
u n a igualdad.
D e fin ició n
f a * b —a * c =*fc = c
1 b * a = c * a => b — c
La regularidad bilateral se llama regularidad a secas; si es preciso distinguir, habrá
que especificar si lo es a izquierda o a derecha.
La regularidad es relativa a la ley de com posición, y, lo mism o que la inversión,
depende de cada elem ento. Así com o existen elem entos que adm iten inverso, y otros
que no, aqu í puede ocurrir que un elem ento sea regular o no. Si todos los elem entos de
un conjunto son regulares respecto de cierta ley de composición interna, se dice que
vale la ley cancelativa o de simplificación.
E jem plo 5-5.
i }
ii )
En (Z , + ) todos los enteros son regulares.
En (N , .} todos los naturales son regulares. -
iii)
En (R . ) todos los reales, salvo el cero, son regulares.
iv)
En (R 1 , + ) todos los elem entos son regulares. En este ejem plo de ley de
composición interna valen la asociatividad, conm utatividad, existe neutro
(0 , 0 ) y el inverso aditivo u opuesto de todo par (a , b) es (— a , — b).
E jem plo 5-6.
Se define * : Q J ->· Q mediante a * b = a - >r b \ a . b (1 )
Se entiende que 4- y. son la sum a y el p ro d u cto ordinarios de racionales,.de modo
que ( 1) caracteriza una ley de composición interna en Q.
El problem a consiste en analizar las propiedades de * en Q.
f ) Asociatividad. Aplicando reiteradam ente la definición (1)
( a * b ) * c = ( a + b ± a . b ' ) * c = a + b + a . b + c + (a + b + a . b ) . c =
= a + b 4■ c + a é + flc 4- é í + abe
(2)
a * { b * c ) = a * ( b + c + b . c ) = : a + b + c + b . c + a . ( b + c + b . c) =
= a + b + c + a b + a c + bc + abe
(3)
De (2) y (3 ) resulta (a * b) * c - a * ( b * c ) y la ley es asociativa.
ii ) Conmutatividad. Se verifica aplicando (1) y la conm utatividad de la adición
y multiplicación en Q
a * b = a + b + a . b = b + a + b . a —b * a
iii) Existencia de neutro. Si existe e, para to d o a e Q debe cumplirse
a *e = a
Por(l)
a + e + a . e = a , es d e c ir : e + a . e = 0 .
Luego (1 + a) . e = 0 y cualquiera que sea a ¥= — 1, resulta e — 0.
* j| «* —
. ti ,
iJC «««a
iiC Iiw
* ·'"» t..·* —
- /
u
j. \nj —
—■' 4? ii nu i< r^ in;
*—
. n
v —
ti
Resulta entonces que existe e = 0. Por la conm utatividad, sólo hem os analizado con
e a derecha.
iv) Elementos de Q que admiten inverso respecto de *. Si a e Q admite inverso,
debe existir a e Q , tal que
a * a =e
es decir
n + a ’ + a. a ’ = 0 =*■ a ’ , (1 +¡r) = —a ,
Luego, si a =£ — 1, existe a ' = -r~ r—
c
1+ a
Es decir, todos los racionales, salvo — 1, adm iten inverso respecto de *.
v ) Elementos regulares. Investigamos qué racionales a son regulares a izquierda.
Sea entonces
a * b = a * c
Por ( l )
a 4- b + n . b — a + c + a . c
Cancelando a en (Q , + ) tenemos
b + a . b =c + a . c
Por distributividad
b (1 + a ) = c ( l + <z)
Si a
—1, entonces
b=c
Luego, todos los racionales, salvo —1, son regulares respecto de *. O bien, vale
la ley cancelativa de * para to d o racional distinto de —1 .
Ejem plo 5-7.
Se considera el p ar (A , .) siendo
el producto ordinario de números reales, y A
el subconjunto de núm eros reales del tipo a + b \ ¡ 2 con a y b racionales. Estamos
interesados en caracterizar las propiedades de esta ley de composición en A.
i ) El producto es ley interna en A, o equivalentemente, A es cerrado para el
producio. En efecto, sean
a = sfíii/IeA
r- (J = c + d \ f 2 e h =>
=*■ a , 3 — {a + b \ f 2 ) . { c + d \ f 2 ) = (ac + 2bd) -f (ad + be) \ f l
y comcff, b, c, d e Q, resulta a . p e A.
i i ) El producto en A es asociativo, p o r ser A un subconjunto d e R, donde se sabe
que la multiplicación es ley asociativa. Debe quedar claro que las igualdades
que se verifican para todos los elementos de un conjunto se siguen
cumplfendo en cualquier subconjunto áe él. Sólo es preciso probar las
propie lades relativas a la existencia.
iii) Por las razones expuestas en i i ), el producto en A es conm utativo
V aiV íeA :a.|¡= p,a
iv) Neutrc es e = 1 + 0 . y/2, pues
(ú + b s Í 2 ) { l
O
0 V I ) —a + b V I
bien, si exists neutro en A debe ser del tipo e = x + y V 2, tal que para todo
a — a + b •\/2 debe cumplirse
(a + 6 V 2 ) . ( x + y \ / l ) = ü + 6 V 2
O)
c o n x e y a determinar. Efectuando operaciones:
(ax + 2 by ) +■( bx + ay) \ [ 2 ~ a . + b s / 2
n
í ax + 2 by = a
l bx + ay = b
Sia = b = 0 (1) se cumple obviamente. Supongamos entonces que a y b no son
simultáneamente nulos y utilicemos el m étodo de Crám er para resolver (2)
r
ib
- 2 b2 * Q
a >
son «nteros no simultáneamente nulos por lo supuesto.
pues a y fy
Entonces
.
A
Ax
,
t\y
„
x = ------ = 1 , v - — — = 0
A
A
Es decir, existe e = 1 + 0 s f l
v ) T odo real no nulo adm ite inversa multiplicativo. Se trata de ver aquí que si
a ~a + b
0 + 0... s/2, entonces su recíproco pertenece a A. Si existe será
del tipo x + y s/2 tal que
(x + v > / l ) . ( a + b y T s ^ ! + 0 V i
II
{ax + 2 bv i + ( hx + tí·.· I V ? = 1 + 0 %/ l
*
; ax + 2 by — 1
i bx -r av = 0
*
U
11 2 b \
á~a2 ~ 2 b 2^0
C
·
.
Es decir
x=
, A r= j
i0
j---- r r »
a !
=* a , A v =
. y= ■
= —¿
— *·
a2 - 2
y resulta
vi)
1 !
¡60!
b2
^
E n cuanto a la ley de simplificación, todo elem ento no nulo de A es regular,
pues ú a ^ Q y < x $ = c i y , entonces
a £3— « 7 = 0
=*· a (¡3 — 7 ) = 0
= > 0 - 7 = 0 =>/ 3 = 7
Ejemplo 5·$.
Sea R ',xm el con ju n to de las matrices reales de n filas y m columnas.
Definimos la adición de matrices en R " xm mediante
A + B -- [tfy j + [b¡¡ j - C tal que c¿¡ — a,¡ +■ b¡j Vi y/
Es decir, dos m atrices n X m se suman elemento a elem ento. Resulta claro que es­
ta definición caracteriza'una ley de composición interna en R ', *m . que verifica las
siguientes propiedades:
i ) Asociatividad. Basándonos en la asocíatividad d e la adición en R
(A + B) + C = ((ai í J + t % ] ) + tc,v } =
= f a j + * / / ] + [ c i j ] ~ í(a¿/ + b u ) + c i j l =
= [ a i i + (fe <7 +
= [a i j \ + { b i j + Cíj] =
= [ % ] + ([¿ u I + M ) = A + ( B + C)
ii XConmuíatividad. Con el mismo criterio anterior.
A + B = [ai }] + [ b j j ] = [a a + % ] =
= [b¡j + a¡¡] = \b ¡¡\ +
[ a¡j]
= B+ A
H em os utilizado, sucesivamente, la definición de adición de m atrices, la conm utatividad de la suma en R , y nuevamente la definición de adición de matrices.
iii) Elem ento neutro es la m atriz nula N e R " xm definida por
pues cualquiera que sea A en dicho conjunto
= 0, Vi V/,
A+N=N+A=A
iv) ínvsrss aditivs de toda íTiStriz A €
b u - - ay V (í ; / ) , pues
es Iü rnstriz B 6
d^Onids por
A+B=B+A=N
La m atriz B, inversa aditiva de A, se llama opuesta de A, y se denota por — A
v ) Toda m atriz n X m e s regular respecto de la adición. En efecto
A + B = A + C , y sum ando —A
- A + (A + B) = - A + (A + C)
asociando
por iv )
y por iii)
5.3.8.
( - a + A) + B = { - A + A) + C
N + B = N + C
B= C
D istributividad de una ley de composición
interna respecto de otra
C onsiderem os el caso d e dos leyes de composición interna
y “o” , definidas en
un m ism o conjunto A. Interesa caracterizar el com portam iento relativo de dichas leyes
internas en el sentido de o b ten er elem entos del tip o (a * ti) ° c, o bien ( a ° b ) * c.
D e fin ició n
“ o” es distributiva a derecha respecto de
si y sólo si
(a * b ) ° c = (a ° c) * {b
° c}
p ara toda tem a de elem entos a, b y c en A,
La distributividad
a izquierda de “ o” respecto de queda definida p o r
a , b , c e A => c o (a * b ) = (c o a) * (c o b)
Se dice que *V’ es distributiva respecto de *
derecha.
Análogamente se define la distributividad de
siy sólo si loes a izquierda y a
respecto de “ o".
E jem plo 5-9,
i ) La adición y multiplicación son leyes de composición interna en R , y la
segunda es distributiva respecto de la primera. Pero la adición no lo es
respecto de la multiplicación,
i i ) En el conjunto N la potenciación no es distributiva respecto de la adición.
A quí se define
a * b — an y se tiene (a + b )n i^ a n + b n.
Tampoco existe distributividad a izquierda, pues
iii) Pero ia potenciación en N es distributiva a derecha, respecto de ia
multiplicación, ya que
(a. b ' f = a n, . b n
Sin embargo, no lo es a izquierda, pues
n ta,b)
nb
iv) En P (U) la unión e intersección son leyes de composición interna, y cada una
es distributiva respecto de la otra.
v ) En P (U ) se consideran la diferencia simétrica y la intersección. En el ejemplo
2-28 se ha probado la distributividad de la intersección respecto de aquélla.
5.4. HOMOMORFISMOS ENTRE CONJUNTOS
Sean (R , +·) y (R * . ), donde R es el conjunto de los reales, R + el conjunto de los
reales positivos y las operaciones indicadas son la suma y el producto usuales.
Consideremos ahora’la función
/ : R -» R +
definida por / ( x ) = 2*
Se tiene entonces
( 1).
/(je + y ) ~ 2x+y = 2*.. 2y =/(*) ./(>-)
Basándonos en la definición (1), el producto de potencias de igual base, y utilizando
de nuevo la definición (1), hemos probado que la imagen de la suma en R es igual al
producto de las imágenes en R*.
Una aplicación/ , que satisface esta propiedad, se dice un homom orfism o de R en R
respecto de las correspondientes leyes de com posición interna.
5.4.1.
Homemorfismo entre dos conjuntos respecto de u n a ley interna en cada uno
Sean los conjuntos no vacíos A, A’, y las leyes de composición interna
* : A 2 -+ A
*’ : A ’ 2 -* A’
Definición
La función / ; A -* A’ es un homomorfismo respecto de * y *’ si y sólo si la
imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A’.
En símbolo?
/ : A- »A' es homomorfismo respecto de * y *'
f i a * b ) - ] \ a ) * ] i b)
cualesquiera que sean a y b en A.
El concepto de homomorfismo es fundamental en álgebra, y su interpretación es la
siguiente:
i ) Hemos definido homomorfismo entre dos conjuntos respecto de sendas leyes
de composición interna. Las leyes internas y los conjuntos no son
necesariamente distintos. Además, el concepto de homomorfismo es aplicable
también respecto de relaciones que no son necesariamente operaciones. Se
tienen, p o r ejemplo, los homomorfismos de orden.
i i ) Un homom orfism o, como objeto, es una función que respecta la propiedad
que lo define.
iii) El homom orfism o / : A -*■ A’ proporciona un a alternativa para obtener la
imagen de la composición en A, a saber:
a)
a eA
a
beA=>a*beA=>·
b)
ae A
a
6 f A = > /(a )e A ’
=*· / (a * b) £ A’
a
«*/»*7(& )eA ’
f ( b ) e A’ =>
El hom om orfism o establece la igualdad de los o b je to s/ (a * b ) y f ( a ) * ' f ( b ) , y las
dos posibilidades son: componer en A y hallar la imagen, o bien, hallar cada imagen y
com poner éstas en A’. Como sinónimo suele utilizarse el vocablo morfismo.
5.4.2. Homomorfismos especiales
Sea / : A -*-A’ un homom orfism o respecto de * y
i ) f e s un m onom orfism o si y sólo s i / e s inyectiva.
ii ) f e s un epimorfismo si y sólo si / es sobreyectiva.
iii) fa s u n isomorfismo si y sólo s i / e s bivectiva.
iv) / e s un endom orfism o si y sólo si A ~ A’.
v ) / e s un autom orfism o si y sólo si f e s un endom orfism o biyectivo.
Ejemplo 5-10.
Sean (R 3 , + ) , (R 2* 2 , + ) y / : R 3 - * R 2 x 2 tal que
Las operaciones consideradas son ía suma de ternas ordenadas de núm eros reales
definida por
(x , , x 2 , x 3) + ( j i , v 2 , V3> =
x + 7 1 -*2 + y i ’ x 3 + y 3 )
y la adición en R 2 * 2 es la definida en el ejemplo 5-8. Vamos a probar que /
caracteriza un homom orfism o.
Sea
f l ( x l , x i . x s í + t yi , y i , . v 3 ) l = / ( - v i +>'1 ,.v j +>'2 , -t j + i ' j ) =
*2
+ y 2
Jfs+J'sj
|_ * 2
x í
\
[v2 y 3
Además f e s un monomo.d‘isnio;i es decir, invectiva. En efecto, sean
ÍX n , X
L
”* (*1 »X 2
,*3
) = (Fi , V2 ,JM3)
l i m p i o 5-1!.
S e a / : R ->R tal que f ( x ) — — 3 x.
Resulta / un autom orfism o de R en sí mismo, respecto de la adición, pues
i ) f ( a + b) - - 3 . (a + b) - - 3 a - 3 b = f ( a ) + f { b )
i i ) / e s biyectiva, lo qu e se prueba siguiendo el esquema del ejemplo 4-9.
El lector podrá com probar fácilmente que / : R -> R definida por f { x ) = x + 1, no
es un hom om orfism o respecto de la adición.
S.S. COMPATIBILIDAD DE UNA RELACION DE EQUIVALENCIA
CON UNA LEY INTERNA
Sean A =?= 4> , ~ una relación de equivalencia definida en A, y * una ley de
com posición interna en A. Cabe preguntarse si la composición de pares de elem entos
respectivamente equivalentes conduce a resultados equivalentes. S i la respuesta es
aírm a tiv a , se dice que la relación de equivalencia es compatible con la ley de
composición interna.
D e fin ició n
~ es com patible con * «■ a ~ a ’
sean a, b, a y ¿ ’ en A.
a
b ~ b ' =*■ a * b — a ’ * b ’ cualesquiera que
E jem plo 5-12.
Investigamos ia com patibilidad de la congruencia m ódulo n, respecto de la adición
en Z.
Sean a —a ’ a
b ~ b ‘ =*· n i« —a ’ *
n } b — b ’ =» n | (a —a ) + (b — b ’) -*·
=*· « I (a + 6 ) — (a ’ + 6 ’) => a + i> ~ a ’ + b ’
Hemos utilizado sucesivamente la definición de la congruencia m ódulo n, el hecho
de que si un núm ero es divisor de otros dos es divisor de su suma, suma de dos
diferencias, y finalm ente la definición de la misma relación de equivalencia. ,
E jem plo 5-13.
De manera sem ejante com probam os la com patibilidad de la congruencia m ódulo n,
respecto de ja m ultiplicación en Z.
j "a
a
b ~ b ’ =* n | a — a ‘ a n | b — b ’ =*· a = a + n k ’ a
b = b ’ + n k ” =!>·
=> ab = a 'b r + a ’n k ” + n k ’b ’ + n k ’n k ” => ab — a ’b ’ + n ( a ’k ” + k V + k ’n k ”)
=> ab — a ’b ' + n k => ab — a V - n k =*· n [ ab — a ’b ' =»■ ab ~ a’b ‘
E n el conjunto N 2 de to do s los pares ordenados de números naturales se considera
la relación de equivalencia estudiada en el ejercicio 3-25, y la suma ordinaria de pares,
definida por
( a , b) + ( c , d ) = (a + c, b + d )
( 1)
Sean (a , b) ~ ( a ', b ’ )
a
(c , d ) ~ ( c ’ , d ’) => a + b ’ —b + a ’
c + d , =zd + c ’ =*
A
=* (a + c) + ( b ’ + d ’) — {b + d ) + ( a’ + c ’) => (a + c , b + d ) ~ ( a ' + c ’ , b ’ + d ’ ) =>
=»· ( a , b)
( c , d) ~ (a ’ b ’) + ( c ' . d ' )
De este m odo resulta que la relación de equivalencia definida en N 2 es compatible
con la adición definida en ( 11.
5.5,1. Teorema fundam ental de com patibilidad
El hecho de que una relación de equivalencia sea compatible con u n a ley de
composición interna definida en un conjunto es de notable im portancia, porque induce
una ley de composición interna en el conjunto cociente, es decir, perm ite operar con
ciases de equivalencia.
Teorem a
Sí ~ es una relación de equivalencia compatible con la ley de com posición interna *
en el conjunto no vacío A, entonces existe en el conjunto cociente ~
de composición interna * \ tal que la aplicación canónica <p: A
A
mo. Además, ias propiedades de * en A se transfieren a *’ en — .
una única ley
es un homomorfis-
Para dem ostrar este enunciado consideramos ias siguientes etapas:
A, * ,~
_A
i ) Sean K u y K„ dos elem entos de
Com o la aplicación canónica
, es decir, dos clases de equivalencia.
A
: A -*■ — es sobreyectiva existen x e A. y e A tales
que ip ( x) = Ku y <p{y) — K,, (1). Con esto hem os logrado pasar del conjunto cociente
al conjunto A, donde * es una ley de composición interna, y por lo tan to x * y e A.
A
Ahora bien, por definición de aplicación canónica, íp ( x * y ) e —
, es' decir,
<p(x * y ) = K w (2).
De este modo, a partir de d os clases Ku y Ku hem os obtenido u n a clase resultante
. Para que esta asignación sea una ley de composición in tern a en — hay que
demostrar que K^, depende exclusivamente de K„ y K„, y n o de la elección de sus
preimágenes en A. En efecto, sean x ’ e y ’ en A, tales que <p( x ’) = K U y < p ( y ’ ) = Kt, (3).
Entonces, por (!) y (3) se tiene
i p ( x ) = f (x ) y <p ( y ' ) z z i f ( y ) ·» x ’ ~ x
a
y*
x ’* y ' ~ & * y
por la hipótesis de !a compatibilidad; y por la definición de aplicación canónica resulta
<p(x, * y ’ ) ~ i p í x * y ) = K w, con lo que nuestro propósito queda satisfecho.
Definimos ahora
—
X —
~*· —·***■
^
mediante
Ku *’ K„ = <p(x) * ’ ¡p(y) - <p(x * y ) = Km
Esta definición es la traducción de lo anterior, y además queda establecido el hecho
de que la aplicación canónica es u n hom om orüsm o de A en — respecto de
i i ) Veamos ahora que esta ley de composición interna *’ es única, con la
condición de que la aplicación canónica sea un hom om orfism o. Para ello,
A
supongamos que adem ás existe *” e n— , con dicha condición. Entonces
Ku *” K„ = >p(x) *” <piy) = <p(x * y ) - *pí x) »’ \ p {y ) - K tt * ' K„
Es decir: *” = *’ p o r definición de igualdad de funciones.
iii) Además de la existencia y unicidad de la ley
inducida en A por fa relación
de equivalencia compatible con *, veamos que las propiedades de * en A se
A
verifican para *' e n — .
a! j'siKiíitividad, Supongamos que * sea asociativa en Á, Entonce;
í k u *' k „ ) *· k w = M * ) *’ v i y f t * ' v»(-) = *>(* * y ) * ' <?<-) =
= ip [ ( x * y ) * z ] = \p[x * ( y * z ) ] = ' P Í x ) * ' iP ( y * - ) = <p (x ) *’ y ( y ) *’ v i * ) ] = K„ *’ (K„ *’ K » )
b) Conmutatividád. Si * es,conmutativa, *’ tam bién lo es. En efecto
K„ *’ Kt, = $ ( x ) **
= KU*’ KU
= <p(x * y ) = <p(y * x ) =
* ’ <P(x) =
c) Existencia de neutro. Si e e A es neutro, entonces ip (e) = Ke es neutro en
A
Sea Ku *’ Ke = i f ( x ) * ' >p(e) — <p(x * e) = ip ( x ) = K„
Y análogamente se verifica Ke *’ Ku = Ku .
d) Existencia de inversos. Supongamos que x ’ sea inverso de x respecto de *.
Entonces las correspondientes clases K„- y K u son inversas respecto de
pues
Ku
Ku · = <p(x) * ’ <p( x’ ) ~
( x * x ' ) = <£ (e) = Ke
Análogamente se tiene K. *’ K B = K ,
Ejemplo 5-15.
Consideremos en Z la adición y la multiplicación. Sabemos que la congruencia
módulo n es compatible con estas leyes internas, de acuerdo con los ejemplos 5-12 y
5-13. Fijemos en particular n — 3; el conjunto cociente es ahora el de las clases de
restos módulo 3, es decir, Z 3 = { 0, 1, 2 }
OI
0
0
1 2
I
1 2
0
2
2
1
0
10
©
;"i
| fol
De acuerdo con el teorem a fundam ental de compatibilidad, existen en Z 3 sendas
leyes de composición interna, únicas, tales que la aplicación canónica : Z - * Z 3 es un
homomorfísmo. Las leyes inducidas se llaman, respectivamente, suma y producto de
clases, que simbolizamos con ® y ©. Las tablas de estas leyes internas en el conjunto de
las clases son
0
1 2
0
0
0
1
0
1 2
2
0
2
0
1
La construcción de éstas se basa en el teorema fundam ental; po r ejemplo
T * 3 = V í l ) ® ¡p(2) = * 0 + 2 )- *('3 ) - sPÍGí =' Ó
: i I = # < 2 K ' V ? í ' ) = *<2 · 2) —tp(4) ~
T
En lapráctica, dadas dos ciases, se suman sus preimágenes en Z (a bien
se
multiplican, según sea el caso); la suma obtenida se divide por 3, y se propone com o
resultado en Z 3 la clase correspondiente al resto de la división. El esquem a que
proporciona la validez de este mecanismo consiste en la aplicación del teorem a
anterior.
Ejem plo 5-16,
Con análogo criterio construim os las tablas de adición y multiplicación de las clases
de restos m ódulo 4 , y obtenem os
+
0
0
1
2
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
3
1 2 3
0
0
í
2
3
1 2 3
0 Ó 0 0
0 í 2 3
0 2 0 2
0 3 2 1
Nos decidimos p o r d enotar con los símbolos + y . la suma y el producto de clases, y
nos interesa caracterizar las propiedades de estas operaciones en Z 3 y en Z4 . De
acuerdo con el teorem a fundam ental, toda propiedad de la suma en Z se trasfiere a la
sum a en Z 3 y Z 4 y lo mismo ocurre con el producto. Sabiendo entonces que la adición
'í conmutativa y asociativa en 2, también lo es la suma de ciases, y nada hay que
dem ostrar. Además, com o 0 es neutro para la adición en Z. resulta 0 neutro para la
suma en Z 3 y Z4 . Por o tra parte, como todo en tero tiene inverso aditivo, la misma
situación se presenta con toda clase de Z 3 y de Z4 . La multiplicación en Z es
conm utativa, asociativa y co n neutro igual a I; en consecuencia, lo m ism o ocurre para
la m ultiplicación en Z 3 y Z 4 , siendo el neutro 1. Avanzando un poco más en la
interpretación del teorem a fundam ental, se dice que to d a propiedad de * en A, se
trasfiere a *’ en A ; pero el teorema no establece q u e si un a propiedad n o se cum ple en
A
A entonces no se cumple e n — . Veamos esto a la luz de los dos ejemplos 5-15 y 5-16.
Se sabe que, en Z, elem entos no nulos dan p rod u cto no nulo, o lo que es lo mism o: si
el p ro d ucto de dos factores es cero, entonces alguno de los dos es cero. E sto se traduce
diciendo que en Z no existen divisores de cero. Pero, p or lo anterior, si en Z no existen
divisores de cero n o se deduce que no existan en el cociente. E n efecto, basta analizar
la tabla de ja m ultiplicación de clases para ver la existencia de divisores de cero en Z 4,
ya que 2 . 2 = 0. Es decir, existen elementos no nulos que dan producto nulo. En
cam bio es fácil constatar que en Z 3 no existen divisores de cero. Más adelante
dem ostrarem os que para la no existencia de divisores de cero es condición necesaria y
suficiente que el m ódulo de la congruencia sea prim o.
5.6. LEY DE COMPOSICION EXTERNA
Se presenta a m enudo la necesidad de operar con elem entos de dos conjuntos, de
m odo que la com posición sea un elem ento de uno de ellos. Esta situación es una de
las características de la estructura de espacio vectorial.
Sean dos conjuntos A y SZ este últim o llamado de operadores.
D efinición
Una ley de com posición externa definida en A, con operadores de Í2, es toda
función de Í2 X A e n A.
Usualmente, una ley de composición externa en A con operadores en £2 se denota
mediante
y suele llamarse pro d ucto de operadores de í2 p o r elem entos de A.
En sím bolos se tiene
es ley externa en A con operadores en Í2 «■ . : Í2 X A -»A
Mediante esta función, la imagen del p ar ( a ; a) se escribe a . a.
Ejemplo 5-17.
Si A es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y N es el conjunto de
los números naturales, u na ley de com posición externa en A con operadores o escalares
en N es el producto de núm eros naturales p o r segmentos del plano.
Ejem plo 5-18.
Sean R J y Q. Definimos producto de núm eros racionales por pares ordenados de
números reales, m ediante
a . (a , b ) = ( a .« , a . b)
La igualdad anterior determ ina u n a ley d e composición externa en R 2 con
operadores en Q. N otam os aquí que el m ism o signo
aparece en la definición
anterior con dos significados distintos: en el prim er miembro se trata del producto de
racionales p o r pares ordenados de reales, y en el segundo miembro consiste en el
p roducto de racionales p o r reales.
E n particular, si el co njunto A se identifica con ÍL, la ley externa se vuelve interna.
Ejem plo 5-19.
Consideremos ahora Rnxm y R. Vamos a definir una ley de composición externa en
R " xm con escalares u operadores reales, m ediante
a . A = a . [a¡j ] = [a . ai } ] cualesquiera que sean a e R y A € R nxm
Se tiene así
el
producto de núm eros reales por matrices w X m,
m ultiplicando cada elem ento de la m atriz por el número real.
Ejem plo 5-20.
*
Si R [X] d en o ta el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, y el
conjunto de operadores es R , entonces el producto usual de números reales por
polinom ios es una ley de composición externa en R [X] con escalares en R.
Pero si el conjunto de operadores es el de los números complejos, el producto usual
de complejos p o r polinom ios de R [X ] no es una ley de composición externa, pues
dicho p roducto no es siempre un polinom io real.
y serealiza
TRABAJO PRACTICO V
5-21. En Z se define * por medio de a * b - 2 (a + b). Estudiar las propiedades y la
existencia de elementos distinguidos.
•V
5-22. Demostrar que si existe elemento neutro respecto de una ley d e composición
interna, entonces es único.
5-23. Form ar la tabla de la composición de aplicaciones biyectivas de A = { l , 2 , 3 }
en sí mismo.
5'24. Demostrar que el inverso del inverso de un elem ento, si existe, se identifica con
dicho elemento.
5-25. Demostrar que si a y b admiten inversos respecto de una ley asociativa, entonces
se verifica
(a * b )' — b ’ * a ’
5-26. Estudiar las propiedades de * : Z 2 -*■ Z tai que a * b = a + t + 4 .
5-27. Determinar si la congruencia m ódulo 2 es compatible con *, en el caso del
ejercicio anterior,
5-28. Analizar las propiedades y elementos distinguidos de * : R 2 -»■ R definida por
a * b = 0.
5-J9. Realizar«) misino análisis co» relación a 1: Q* X Q* -*Q *. tal que x i r * x
t
~
.
siendo Q* ~ Q — \ 0 j .
5-30. En R se considera la ley de composición interna * que asigna a cada par
ordenado de reales el mínim o de ios dos. Estudiar sus propiedades.
5-31. El conjunto R 1, donde 1 es el intervalo cerrado [ 0 , 1 ] , consiste en todas
funciones de I en R, es decir
R1 = { / / / : 1 - R >
En R 1 se define la suma de funciones mediante ( / + g) (x) = f ( x ) + g (x)
para todo .y e I. Estudiar las propiedades de esta ley interna.
las
5-32. Confeccionar la tabla de la composición de funciones del conjunto Ss, donde
S =<ja ,
5-33. La función / : R 2
R es una ley interna en R definida p o r / {a , b) = a + t i 1.
Verificar que no es asociativa ni conmutativa, ni admite neutro.
5-34. Se sabe que * es una ley de composición interna en A, que satisface
V a , V b , V c , V d : (a * b ) * (c * d ) ~ (a * c) * {b * d)
D em ostrar que * es asociativa y conmutativa, si existe neutro.
5-35, En 0 * se define * tal que a * b ~ 3 a b . Verificar que * es asociativa, con neutro,
conm utativa, y además todos tos elementos son inversibles.
5-36. En R 1 se define el producto de funciones por medio de ( / ' . g) í.v) - f ( x ) . g <x)
cualquiera que sea r e ! . Demostrar la asocia tivi dad, conm utatividad, existencia
de neutro, y la distributividad respecto de la suma de funciones definida en el
ejercicio 5-31.
t
5-37. * es una ley de composición ex tem a en C con escalares reales, es decir:
* : R X C -» C tal que a
~ a . z, Verificar las siguientes propiedades:
i ) a * {b * . ) = ( a . b) * z
i i ) (a + b) * z — (a * z) + {b * z}
iii) a * (z +■ w ) = (a * z) 4- (a * w)
5-38. Se consideran R + con el producto y R con la suma. Probar que la función
/ : R * -*■ R , tal q u e / (x) = log 2 x , es u n morfismo biyectivo.
5-39. D em ostrar que la aplicación /■
1 , 0 , 1'} es un m orfism o respecto del
producto en ambos conjuntos, siendo f ( x ) = sg (x).
5-40. En N se definen las leyes de composición interna * y o m ediante
x *y= x
X o V = X + V
Investigar las distributividad es de * respecto de o.
Capítulo 6
C O O R D IN A B IU D A D . IN D U C C IO N COMPLETA.
COMBINATORIA
6.1. INTRODUCCION
En esta sección se propone al lector el estudio de la relación de coordinabdidad o
equipotenda entre conjuntos, sobre la base de un tratam iento funcional, y se
introduce como derivación natural el concepto d e núm ero cardinal de un conjunto.
Por esta vía se define el número natural, p ero el estudio d e las operaciones y
propiedades se desarrollará sobre la base del sistema axiom ático de Peana, en el
capítulo siguiente. En conexión con N , se da ei principio de inducción com pleta con
vistas a la dem ostración d e propiedades en las que tod o estudiante de un curso básico
úebe ejercitarse. Asimismo, se trata un tem a de vastas aplicaciones en m atem ática
dem enta! y en Probabilidades; tal es el caso de la com binatoria simple y con
repetición, lo que se reduce, en última instancia, a la n o fácil tarea de saber co n tar los
elem entos de un conjunto.
6.2. CONJUNTOS COORDINABLES 0 EQUIPOTENTES
6.2.1. Concepto
Sea U un conjunto. E n P (U) definimos la siguiente relación: “ dos elem entos de
/MU), es decir, d os subconjuntos de U, son coordinables si y sólo si existe una
bivección del prim ero en el segundo".
Simbólicamente
A ~ B # 3 / : A ^ B / / es biyectiva
(l)
Esta relación satisface
i ) Reflexividad. T o d o conjunto es coordinable a s í mismo.
Sea A e P (U). Com o existe
i
a : A -» A , y es biyectiva,'por (1 ) resulta A ~A .
ii ) Simetría. Si un conjunto es coordinable a otro, entonces éste es coordinable
al prim ero.
Sea A HB. Entonces 3 / : A - » B / / e s biyectiva.
Por 4.7.2, II), sabemos q u e /a d m ite inversa, es decir
3 / " ' : B -> A I f ~ l
es biyectiva,
lo que significa, po r ( 1), que B~A.
iii) Transitividad. Si un conjunto es coordinable a otro, y éste es coordinable
con un tercero, entonces el prim ero es coordinable con el tercero.
Se trata de probar
A ~b
y
B ~ C => A ~C
Demostración)
A ~B
3 /: A
B
a
B ~C
a
Por hipótesis
g : B -> C / / y g son biyectivas.
Por (1 )
4
3 g o / : A -*C / g o /
es biyectiva.
Porque la composición de funciones
bivectivas es biyectiva, según 4.6.5.
$
Por(l)
A ~C
Ahora bien, de acuerdo con el teorem a fundamental de las relaciones de
equivalencia, existe una partición de P (U ) en clases de equivalencia, las cuales reciben
e¡ nombre de núm eros cardinales de los subconjuntos de U.
D efinición
N úm ero cardinal del subconjunto A C U, es la totalidad de los subconjuntos de
U que son cooitiinables a A.
En sím bolos
e ( A) = | X e P (U) / X ~A }
Se tiene
c ( A) = c (B) ■*> A ~ B
E n particular c (0 ) = 0, es decir, denotam os con 0 el número cardinal del conjunto
vacío.
S i <2 e U, entonces c ( ( a ) ) = 1.
Si a y b e U , enton ce s^ ( { a , b } ) — 2.
Es decir, los números cardinales de las partes finitas y no vacías de U son números
naturales.
Con No denotamos el conjunto N u { o ) .
Ejemplo 6-1.
Se trata de probar que N y Z son conjuntos coordinables.
De acuerdo con la definición, es suficiente proponer una función biyectíva de N en
Z, o lo que es lo mismo, de Z en N, por la simetría de la relación. Para ello definimos
/ : Z ~*N mediante
i2x
si x > 0
/( * )*
+ 1 si x < 0
La representación cartesiana d e /e s
y ei lector puede com probar que / e? bsyeeíiva, fcn consecuencia, Z y N son
coordinables o equipolentes,
6.3. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES
6.3.1. Conjunto finito
i ) Definición
Intervalo natural inicial Irt es el conjunto de los n prim eros núm eros naturales.
I„={l , 2 ,...
n)
ii ) D efinición
Un conjunto es finito si y sólo si es vacío, o coordinable a un intervalo natural
inicial
A es finito
iii)
A — <t> V 3 n e N / A —I„.
D efinición
Un conjunto es infinito si y sólo si n o es finito.
Los núm eros cardinales asociados a los conjuntos finitos son el 0 o los números
naturales. Los números cardinales correspondientes a los conjuntos infinitos se llaman
trasíinitos. E¡ núm eio cardinal de un conjunto especifica la “ num erosidad” de Sos
elementos del conjunto, o lo que es lo mism o, su potencia. En el caso de los conjuntos
infinitos existe una jerarquización relativa a sus números cardinales, com o veremos más
adelante.
6.3.2. C onjunto numerable y sucesión
i ) Definición
Un conjunto es numerable si y sólo si es coordinable a N.
A es numerable <=» A ~ N
3 / : A -»•N / / e s biyectiva.
Un conjunto infinito no coordinable a N se llama no numerable. Para indicar que un
conjunto puede ser finito o coordinable a N, suele decirse que es “ a lo sumo
numerable” .
ii ) Propiedad. Un conjunto es num erable si y sólo si sus elem entos constituyen
la imagen de una sucesión.
Si A es num erable es coordinable a N, y esto significa que existe una función
biyectiva de N en A, es decir, u n a sucesión de elementos de A cuyo conjunto imagen es
exactamente A.
La representación de A es entonces
R ecíprocam ente, si
es del tip o ( I ) , entonces es coordinable a N m ediante b
a sig n ac ió n /(n ) — a „ , y en consecuencia es numerable.
Ejemplo 6-2.
i ) El conjunto
numerable, por ser la imagen de
la sucesión
/ : N -*·A definida por / (n) = ' n \ ' í
ii ) La unión de dos conjuntos disjuntos, uno finito y el otro num erable, es nu­
merable.
Sean A finito, y B numerable, tales que A n B = <p.
a) Si A es vacío, A U B = B, y po r lo tan to la un ión es numerable,
fc) Considerem os el caso en que A es finito y no vacío. Entonces es coordinable a un
intervalo natural inicial ln , y puede denotarse
_
A = ( a , . 03 .
B
br .
Se tiene
A U B = | í | , í ¡ .......... a n, b t , b 2. . . . )
Definimos
/ : A U B -*■ N por medio de
f i
/« =
si x = a¡
<
I « + i si .x = b¡
E-; fácil ver que f es biyectiva y , en consecuencia, AU B —N, con lo que la propiedad
queda dem ostrada.
Ei m ism o N es num erable, teniendo en cuenta la reflexivjdad de la relación de
coordinabilidad. De acuerdo con el ejem plo 6*1, tam bién Z es num erable, es decir,
ambos tien en el mismo núm ero cardinal trasfinito, o sea, tienen “ ei mismo
núm ero de elem entos” . El núm ero cardinal de N, introducido p o r George Cantor, es
C'c aleph cero, lo denotarem os con a. y escribimos
c (N) = c (Z) = a
n el ejem plo 4-10 se dem ostró la biyectividad entre N y P, siendo P el conjunto de
los núm eros pares positivos, es decir: P ~ N , y por consiguiente tienen el mismo
núm ero cardinal. Puede escribirse c (P) = a, y se dice que el co n ju nto de los números
naturales pares es equipotente a N , a pesar de ser una parte propia de N.
Esta propiedad es característica de to d o co njunto infinito, en el sentido siguiente:
“un co njunto es infinito si y sólo si es coordinable a una parte propia del mismo” .
A es infinito « 3 X ^ A / X ~ A
i
(
\
\
6.4. INDUCCION COMPLETA
6.4.1. Concepto.'
El principio de inducción completa proporciona un m étodo de demostración por
recurrencia, de vastas aplicaciones en m atemática. No es constructivo, en el sentido de
generar propiedades; pero hace posible la dem ostración de éstas cuando son relativas al
conjunto de los núm eros naturales.
A fin de tener una idea intuitiva de dicho principio, consideremos el siguiente caso:
supongamos alineado el conjunto de todos los alum nos de una escuela; se sabe además
que. si un alumno habla, entonces habla el siguiente. Interesa determ inar cuál es la
condición para asegurar que, en un m om ento dado, estén hablando todos los alumnos.
Es obvio que para que se dé esa situación es suficiente ver que el primero está hablando.
En este caso se trata de investigar ¡a propiedad que podemos enunciar así: “ todos los
alumnos están hab lan d o", y para asegurar su verdad se requieren las siguientes
condiciones:
i ) El primer alum no habla.
i i ) Si un alum no habla, entonces habla el siguiente.
Extendiendo el caso a una propiedad P, relativa al conjunto d e los números
naturales, queda asegurada la verdad de P para to do n e N , si se verifican las dos
condiciones anteriores, que se traducen m
i )P(l)esV.
i i ) Si P ( h) es V, entonces P (h + 1) es V.
Llegaremos a la dem ostración de este principio, llamado de inducción completa,
sobre la base del principio de buena ordenación, que según 3.9.7. adm ite el siguiente
enunciado: “to d o subconjunto no vacío de N tiene prim er elem ento"
6.4.2. Teorema d e inducción completa
Si S es un subconjunto de N que satisface
i ) 1 eS
i i ) / ! £ S = s > - / j + l*eN
entonces S = N.
En otras palabras: '‘todo subconjunto de N que incluya al 1, y al siguiente de h
siempre que incluya al h, es igual a N ".
Hipótesis) S C N
i ) 1e S
ii)/¿eS=>/j + IeS
Tesis) S = N.
Demostración) Es suficiente ver que N C S, y para esto basta probar que el
subconjunto S’ de núm eros naturales no pertenecientes a S es vacío; o sea, de acuerdo
con la definición de inclusión es falso que haya algún natural que no pertenezca a S.
Suponemos que S’ ¥= $>. Por tratarse de un su b co n ju n to no vacío de N, de acuerdo
con el principio de buena ordenación, existe el e lem e n to m ínim o m e S' (1).
Por hipótesis, 1 e S, y como los elementos de S n o p ertenecen a S, es m # 1. Por
otra parte, siendo m natural y distinto de 1, se tiene
m> 1
y, en consecuencia
m —1> 0.
Como m — K m , poi ser m el mínimo de S \ resu lta m - 1 e S .
Ahora bien, de acuerdo con 3a hipótesis ü )
m — í e S =*· ( m — Ü + í e S «*■ m ,·
Esta proposición es contradictoria con. ti). Lue§v\ N
S C N , resultaS = N.
s. y com o p o r hipótesis
6.4,3. Principio d e inducción completa
Sea P ( n) «na función proposicional. donde n e N. Si ocurre que P ( l ) e s verdadera,
y, además, de la verdad de P (h) se deduce la verd ad de 1’ (j| -t- ¡ ^ entonces P (n) es
verdadera para to d o n.
Hipótesis) P ( l ) e s V
V Íí : P ( h) =» P (/í + 1)
Tesis) V n : í («) es V.
Demostración)
El subconjunto S de números naturales para ios cuales P (n ) es verdadera,
contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a h. Luego, por
el teorema 6.4.2., S = N. Es decir, P (n ) es V para to d o n c N .
Nota:
La demostración de una propiedad relativa a N po r inducción com pleta, se realiza
probando la verdad de las dos proposiciones de la hipótesis del teorem a anterior.
Ejemplo 6-3.
Demostramos p o r inducción completa:
^^
a) La suma de los n primeros números naturales es
^
Es decir. V n e N se verifica
Sn = ! + 2 + . . . + « =
n
{n + n
—4 ··
~
i ) Debemos probar que la propiedad se verifica para « ~ 1. En este caso,
suma se reduce al primer término, y se tiene
la
ii ) Demostramos la verdad de la implicación de la hipótesis del principio de
inducción completa, es decir, el siguiente teorema
Hipótesis)
Sh = l + 2 + . . . + / t = A _ ^ L ± i L
Tesis)
Sh + 1 = 1 + 2 + . . . + h + (h + 1) =
'
Demostración) Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva, el prim er m iem bro de la tesis
se trasforma en
s„*, = s + : ■*-... + /i + i ' t + í ) - sft +(/j + 11 = ...1.·$ t i l + t h + i >
Reduciendo a común denominador, y por distributividad
h
(/1 + 1) + 2 ( h + i )
_
(h + 1) ( h + 2)
2
De
S
2
Resulta entonces la fórm ula anterior, válida para to do núm ero natural n.
acuerdo con ella, la suma de los 10 primeros núm eros naturales es
=
IQ
H
- 55
b) Probaremos ahora
S„=
1
1 .2
• \
ii)
i
c
+
+
1
1
2 .3
+
.
3 .4
1
1
1
n ( n + 1)
n +1
1
P {h) es V =* P( / t + l ) e s V
h
h + 1
Hipótesis) Su =
_
c
_ /1 + 1
Tesis) bh + l - ”^ ~ £ T
Demostración) Procediendo com o en el caso anterior
S i,.| * y ^ y
~2 _ j" *
¡¡ (h
1
= sh +
~
+ l ) ( I T 2T “
h [h + 2) + 1
(h + l ) ( / t + 2)
+ 2)
k
h + 1 +
h2 + 2 h + 1
(h + l ) ( h + 2 )
(h + l f
~
t i)
h + l
h+2
yh ■+■ í ) i h + 2}
_ J ____
(h + 1) (h + 2 )
_
T
6.5. EL SIMBOLO DE SUMATORIA
(6.5.1. C oncepto.
En m uchas situaciones se presenta la conveniencia de abreviar la notación de una
suma cuyos térm inos adm iten cierta ley d e formación. En este sentido es útil la
introducción del sím bolo de sumatoria: 2 .
Si a¡ es u n núm ero real que depende del índice i, para indicar la sum a a x + a 2 + a 3
s
+ 34 + a ¡ escribim os S a¡.
n
Si el índice es variable desde 1 a rt, la notación 2
i~ 1
íes n térm inos
a¡ significa la suma abreviada de
+ a2 + · · · + a„ , y se lee: "sum atoria de a¡ con i variando desde 1 a
n"
El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada un o de los sucesivos
valores de su rango de variación, y sum ando los térm inos así obtenidos. Por ejemplo
á /2 = l 2 + 22 + 3 2 + 4 2
í=l
Ejem plo 6-4.
D esarrollar las siguientes sumatorias:
a) í
i-
í
= ^ + i = i > Í + i = i H + i = j r 1
2
3
4
i
—
b) S
, + J . __L + X
2
3
4
A L . = ^ J _ + _ I ^ l_ + _ 2 ^ _ + . . . + _2»_
1 =1 i + 1
1+1
2 + 1
3
= i + 4 - + 4 -+ ···+
3
4
+ 1
2"
n+ 1
c) S (/ — 1) = ( 1 —l ) + (2 — l ) + ( 3 - l ) =
!= 1
= 0+ 1 + 2 = 3
d) 2
í= i
f l= a + a + ... + a = «a
ñ
'
n + 1
=
A q u í se tiene a¡ — a V i.
100
e) 2
.
1 = ,1 + 1 + . . . + 1 = 1 0 0
■=i
700
*>?,„ - T T T = T + 0
4
5
Ejem plo 6-5.
Expresar com o sum atorias las siguientes sumas indicadas:
s
·%
· ■
/,
O
■,n
2}
t O to i
tu —— - i
?= i
b )! + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 = 2
1=1
V ■» ;
(2 r - 1) = 2 <2 < + 1)
¡ =o
/
4
c) 1 + 8 + 27 + 64 = 2
i3
3 , 4
, 5 , 6
J,
d) 2H— r- -)----r- + “T" + ~ = 2
2
3
4
5
¡= t
1+ ^
—:---i
Propiedades de la sum atoria
6.5.2.
i
) 2
i -1
(a,· + b¡) = 2
a, + 2 b¡
i =l
i=l
En efecto, p or definición de sumatoria, conm utatividad y asociatividad de la suma
en R, se tiene
2
i” 1
(a¡ + b¡) = (a , + b ¡ ) + (tz2 + b2) + . . . + ( a n + bn ) =
= Ja, + a 2 + . . . + a „ ) +
«
+ b2 + . . .
n
= 2 fl; + 2 6,
¡ »-i
¡= i
n
ii)
n
2 (aa¡) =
»=1 -
a 2 a¡ donde a es constante.
/= i
'
P o r definición de sum atoria y distributividad resulta
n
2
(aa¡) = a a x + a
a2 + . . .
+aa„ =
= a (a, + a 2 + . . . + an) = a 2
;=i
a¡·
+ ¿>n) ~
E jem plo 6-6.
Reducir
2
i- i
> ¿ + l )2 = 2
i- 1
( ; e ? + 2 * t + l) =
2
1=1
1=1
2.X-,·+ 2
1*1
1=
= 2 x ? + 2 2 x¡ + n
i=l
¡=1
Ejem plo 6-7,
Dados n mineros reates x 3, x 2, ■ ■ ■ , x „ . se define e! promedio X ( x rava) mediante
_r. + v , +
X — — ----- -—
i=l
( 1)
n
Comprobai que
2 (Xf - X)2 = 2 x¡ — n X 2
i =1
i=î
Se tiene
2 (x¡ - X )2 = 2 (x- - 2 X x , + X 2) =
i- 1
í=I
n
^
= 2
x2
H
■>
i=1
‘
i=l
= 2
n _
2 X.v¡ + 2
n
- 2
i -1
i=l
- 2.
— 2 X 2 i,· +·wX*
¡- 1
X 2=
i 2)
H emos aplcado el desarrollo de un binom io, las propiedades i ) y ü ), y el ejemplo
6-4 d).
Ahora bier, p o r ( l )
i=i
que sustituidc en ( 2 ) conduce a
2 (x í ~ - X ) 2 = 2 x f — 2 X n X + n X 2 =
i* 1
I=i
= 2
i= 1
x2- n X 2
Esta fóim ila es de aplicación frecuente en Estadística.
Nota:
En términos de sumatorias, las fórmulas demostradas en el ejemplo 6-3 se traducen
en
M Í
/=i
1
i ( i + 1)
r-
"
n + 1
Ejemplo 6-8.
Demostrar por inducción completa
v
1
i)
¿ 3 ---_
i»
+ lf
i
----4
» - i = * 2 .3 = 13 = , ^ J L ^ _ _
i= i
4
l i . f i + i)2
4
y la fórmula es válida para n — 1.
»•■^u·
) Hipótesis)\
-
T eas)
v /-3
Z
i= l
^+1, 3 _
2l l i
h 2 (k-----+ i r—
·+
(h +
l? (h + 2 f
-------------- 4
Demostración)
h+1
h
t,2 ( h 4- i V*
Z /3 = Z I 3 + (/1 + 1)3 = + (/t + !>3 =
¡= 1
>= 1
4
=
^ ( j i + l ) 2 + 4 (/i + l )3 ..
2 /i2 + 4 (A + 1)
4
4
+ i >S J l!J L ÍÍL ± ± . = <ft + I >J(h + zf
Ejemplo 6-9.
Demostrar que la suma de los n primeros números naturales impares, e s « 2.
La expresión de un número natural impar es del tipo (2 i — 1) con i e N.
Entonces
S„ = 2 (2 i — 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n — 1)
i=l
siendo (2 n — 1) el «-simo número impar.
i
)
i => Sl = 2 ^ ( 2 1 - 1) = 1 = l 2
i i ) Demostramos
S/, = h2 ^ S¿,+1 ~ (h + 1)"
En efecto
Sh+ j = Sh + (2 h + 1), donde (2 h + I ) e s e l núm ero im par de lugar (h + t).
Aplicando la hipótesis y efectuando operaciones
Sh + , = A2 + (2 fc + 1) = (A + l )2
Ejem plo 6-10.
D em ostrar
g _ ¿
i~ í
i)
n — \ =* Si = ¿
2' = 2” +1 — 2
2 ' = 2 1 = 2 = 4 — 2 = ,:¡
- i
Es decir, P { 1) es V.
i i ) Se trata d e probar que
Sh = 2*+l - 2 =» S h+1 = 2h+2 — 2
Demostración)
= IT* 2i = 2 + 21 + . . . + 2 h + 2 hTl
1= 1
= S* + 2h + 1 — 2h+1 — 2 + 2 h + i
=* Sh + i = 2h + l + 2h+ l - 2
La reducción d e los dos primeros términos conduce a
Sft+i — 2 . 2 h+l — 2
y p o r producto de potencias de igual base resulta
Sft+i
como queríamos.
Ejem plo 6-1J.
Demostrar que
1 > ”
*>( 1 + \
n
j
V«>3
Debemos probar que P («) es V, cualquiera que sea n, a partir de 3. E n este caso, es
posible aplicar él principio de inducción, dem ostrando
i ) P (3) es V
ü
) p (;o => p<7i + i)
a) Sea ti — 3.
t
(
h
*\
1+
Ttesis
■'
- t i·) B
/ i r ,1 ;. , 1,
"\h+1
n + l y
V
r !
Demostración)
1
"\ h* 1
(.1 + J T T )
'
I
*- h r
“ U + TTtT J
1
l 1+ F T T ,
(1)
Por o tra parte
Th T+ Ti
^ ~1Th **■ 1 + 7 h~ ~+ r 1 < 1 + 4 -h =*
\
~\ h
·"
I
h
+ ~hTTJ
< LI + t t J
1
· h ·
!
/'
1
=> ( t + - r r r !
( i+
7 > < 1+ ~ ) ( 3+
v
h + 1 j \.
h -r \ y
h - v
r
“ U
|
"
) (2)
h + Ì y
D e ( l ) y (2)
L._)
- í i* +■ -T1- V!
+ Th -+r —
l yI
<1\
.
1
(V 1 + h + 1 j
h y
Por hipótesis
i "\ h
t 1+
t
3
<*
Multiplicando las dos últimas desigualdades, después de cancelar, nos queda
/*
1
“N í**!
( !+ t í t )
/*
|
\
*'
<h 0 + t + t J
Por distributividad
í
( f +
1
^ h 1
)
<
h
^
t t t
Como h < h + 1 =>--- - - < 1 «» A +
- < A+ 1
/? + 1
h + 1
<3>
(4)
Por transitividad, d e (3) y (4) resulta
“
,h + l
■
( 1+ t tt J
<h + '
6 .6 . LA FUNCION FACTORIAL
6.6.1. Definición
Función faitorial es la aplicación
/ : No -* N definida por
(/« > ) = i
<j / (O = 1
(, / (h + 1} = (/1 + l).f(h) sih> i
El símbolo característico de la función factorial es !, en lugar de f y se escribe h !
para indicar f \ h ) . De este modo, lo anterior se traduce en
f O! = 1 ,
< 1! = 1
( (/¡ + 1)! = (h + 1 ). h'·
La expresión hl se lee “ factorial de A” o “ k factorial” .
La función factorial, es no inyectiva, pues 0=^ 1 y O! — 1!
o,6.2. Propiedad
El factorial del número natural n > 2 es igual al producto de los n primeros
números naturales.
n\ = 1 . 2 , 3 ..........« = n . (m - ! ) . ( « - 2 ) ............3 . 2 . 1
Lo demostramos po r inducción completa
s ) Si n - 2, entonces por definición se tiene
2 ! ==2 . 1! - 2 . í
í i ) Hipótesis) h \ = 1 . 2 . 3 ......... (h - 1) . h
Tesis) (h + 1)! = 1 . 2 . 3 ......... h . (h + i y
D em ostrador)
Aplicando al primer miembro de la tesis la definición de factorial, y la hipótesis
inductiva, se nene
(ft + 1)! = (h + 1) ■ h ! = ( h + l ) . h . ( h - l ) ..........3 . 2 . 1
con lo que el teorema queda demostrado.
Nota:
■■>
Es claro que la función factorial no e s sobreyectiva, pues existen naturales que no se
identifican con el factorial de ninguno; tal es el caso de 7, que carece de preimagen en
N0.
Por otra parte, para el cálculo, es m uy útil tener en cuenta, de acuerdo con la
definición, que el factorial de un número es igual al producto de dicho núm ero por el
factorial del anterior.
Así, 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5!
Ejemplo 6-12.
Verificar la igualdad
(n + 1)!
(n + 1
ni
En efecto
1
1
n + 1
1
n!
(n + 1)!
(n+l)n'.'
(n+1)!
i¡ + 1
(« + 1)!
1
n 4- 1
(n + 1)!
—i
(n + 1)!
(« + l )!
6.7. NUMEROS COMBINATORIOS
6.7.1. D efinición
Sean los enteros no negativos n y k, tales que n > k . Llamamos núm ero combina­
torio “ « sobre k " , al símbolo ( n ) definido por
v J
ni
¡ > i r ( n - k )!
Los elementos de u n número combinatorio se llaman numerador y denominador.
, - f 7
rl4í3J
_
~
7!
_
~
3 !'""4"·'
7 .6 . 5 .4 !
J T 4!
7.6.5
-3'. 2 . !
_
Se presentan los siguientes casos especiases.
( 0 ', _
lo J ~
0!
0! 0!
ni
____ nj______
' ! ! ( « - '! ) !
f n\
U )
í n ) - »*·
vOy
0! n i
_ 1
f n')
\ n j
-
.
n[
n\
+■ (« + 0 ! - (« + 1)« 1
· =n + l
V.
n
J
n\
1!
ni
0!
= 1
i - 1 )!
n (n
(n
' — 1)!
’ ■
_
6.7.2.
Propiedades de los núm eros combinatorios
Si dos números com binatorios de igual num erador son tales que la suma de sus
denom inadores coincide con aquél, se llaman núm eros com binatorios de órdenes
complementarios. Por e j e m p l o ^ 1 y f ^ ) ■
i ) Dos núm eros combinatorios de órdenes com plem entarios son iguales
í n 1 —
»!
kl
_
ni
(re - k) l
_
(n — k) \ k \
/'
n
\n - k y
i i ) Lasuma d e dos números
combinatorios no es, en general, un número
combina torio; p^ro si ti^tifn igual num erador v denom inadoras consecutivo«
vale ¡a fórmula
.'re - i , , fn - 1
u-1,
+ l. *
fn
J= U J
En efecto
C n - 1 ')
- k - iy
+ f n - H
v k J
= ___________ (n ~ 1>!_________ _ .
(«-!>!
( k - 1)! [(« ~ l ) - ( k ~ l )]!
-k ! ( n - ! - *)!
= _____( » - 1)!
<* - 1)! (re - k ) l
+ ____ (n - 1)!
_ _______ k ( n - 1)!
k
( f c - 1)! (re- k) l
k
=
kl
(re ~ 1 )?
( n - k ) ’.
( n - k - 1)!
k\
{n kl
+
(re - k) {n - 1)!
k l (re - k) ( n - k - 1)!
k) (n (n - k ) ' .
=
k ( n - i )· + ( n - k ) (re ~_l Jí
kl(n -k)l
~
'
_
n
kl
(re-
1)!
(r e - * ) !
1
)!
_
(n - 1 ?! (M + n - H\
k l ( ñ ~ k) l
ni
. /re'-,
k l (n - k ) \ l . k )
E je m plo 6-13.
i
) Form am os el “ triángulo" de Pascal
CS)
C!)
( ti
G)
Q)
(D
(D
‘ CD
G)
Gj
Los elementos extrem os de cada fila valen 1, y cada número combinatorio restante
de acuerdo con la propiedad ii ), es la suma de los dos que figuran sobre él.
i i ) Probar
V. n
J
{
n - 1J
n ~ 1J
v n - 1J
n - 1/
Es decir
ím ^
·, n J
_ m y + 1 f m - i '|
i= \ ■. n - I ./
Aplicando reiteradamente la propiedad ii ) se tiene
=
f m\
í m — 1", , ,"m — 1 ,
■. n j
\ n — 1.
J -t-j
,
n
«,
"m — 1 '·.,, >« - - , . , >« ~ 2
j=i
, ,-r!
, M
'··.. n — l .■
— 1n ,
- m _ | \ ,'m — 2 ’·, ( 9 1 - 3 j f m — 3 ,
. i+ l
, l+ l
, 1+
;
1=
, n — I j \ n — L·
-- n — 1y , n ..
'm —l \ ,
—f m — 3 V
- · . » - i j n , „ - , m . „ _ i.·
“ l. n - \ ;
. f
>
n
·
y...
n)”
l n - \ J
l n-1.
iii) Demostrar
f n ''1
n (a — 1) (n — 2) . . . (n — k + 1)
Vk j
k ’.
Aplicando la definición y la nota que figura en 6 .6 .!, tenemos
,
' kj
n (« — i ) ( n — 2) . . . (n — k +- 1 U n —A)!
k',(n-k){
ni
k\ (n - k)\
Después de simplificar queda
fn \
■ Vk j
n {n — \ ){n — 2). . A n — k + \ )
k\
6.8. POTENCIA DE UN BINOMIO
6.8.1. Binomio d e N ew íon
Una aplicación inm ediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo
de la potencia de un binom io, con exponente natural, conocido como fórmula del
binomio de N ewton, y está dada por
( d + b f = ( ¡ 5 ) « " t>° + ( ? ) * " ' 1 1)1
2 & 2 + · ■■+ C Q a° 6 "
Utilizando el símbolo de sumatoria, se reduce a
<“ + í *"= L ( I > " ' V
y la demostramos por inducción completa.
ti
n — 1 =*■ (a + &) ‘ = a +· ¿ ™¿?!
= 1„>■
ii)HiP<¡BSÍS
6" + ( ¡
Tesis)
¡«° 6 '
í ^
v
+a° =
- ‘ i*
k=oVfc/
£ Y A.
+fe=1>
0 ·- +kI~***
J
Demostración) Aplicando la definición de potenciación y la hipótesis inductiva, se
tiene
(a + b) h + 1 = { a + b ) . { a + b f =
= {a+b).
2 ( h )ah ~ k ¿fe
Je =0 Vk j
Por distributívidad
ía + b f*1=a
2 ( f! ) a h - k b h + b
k=0 \ Ks
í
f h, ) a h~ k bk
fe= o \ K J
l\>¡ ó .5.2. ii ; introducimos a y í* en cada sumatoria
=
Í
( f! ) a h ~ k * 1 b k + I (
k=Q\ L· '
fe=ovfcy
6**'
Efectuando operaciones
(a + ¿ ) A+I = f * ) a ft+I fr° + ¿
\ US
( í ) « * “* +1 ** +
k=t \ f cs
Teniendo en cuenta que el índice de la sumatoria puede tom ar cualquier nombre,
en la segunda cambiamos k p o r/
(a + ft)h+1 = ( J ) a * +I b° + |
+
( ¿ V “ * * 1 bk +
+ Q ) a ° 6h+I
Para reducir ambas sumatorias hacemos / = A' - 1 =* A = / + i , y sustituyendo en
la misma sumatoria
i a + b f ' 1 = | T f « A"
b ° ^ % ( ¡! ) a h - k ^ 6* +
k - i ■■ k /
\ 0.
+ í
f , h , ) ü h - ft+1
fe=i ‘x í - 1 /
fh \
com o
fh + r¡
o
\hy
V
2>h+1
f hh +■ \. \
fh \
J - y U ^ U
+ i
después de sustituir y aplicar 6.5.2 i ), nos queda
c +m· · ' - ( * ; ' >
· ■ * · ♦ t , [cí > g í ,) ] ■ * " · ■ * '
Teniendo en cuenta por 6.7.2 ¡ i ) que
(¡t)+ G - i ) * 0 D
re” lia
i a + b ) H*' í = ( h + r \a h * 1 b° +
V 0
+? * ^ ! Í j °
,h
\
/
¿
fe-1
*
1 U h - fe" 1
-■
‘1
Es decir
(a + b)h "
como se quería.
E jem plo 6-J4.
Desarrollar (—x + 2 j ) s .
=
k -0 · k
! ) a h" ' h b h
y
+
Aplicamos la fórmula demostrada
(~ .r
+ 2 F)s - (o) ( ~ x f (2y)° + Q ) (- x)4 (2 y ) 1 + Q ) (~*)3 {2 y ? +
f ÍJ )
vy
? +(D
(~x?
(2^)4 + C D (~ x)° (2y)S =
x 5 + 10 x 4 y - 40 x 3 y 1 + 80 x 2 y 3 - 80 * y * + 32 y s
6.S.2. Observaciones
Sea
i ) El desarrollo de la potencia «-sima de u n binomio tiene n + 1 términos, según
lo
indica la variación de k, desde 0 hasta n.
i i ) Cada térm ino del desarrollo tiene como coeficiente un núm ero combinatorio
de num erador igual al exponente del binom io, y el denom inador es variable
desde 0 hasta n.
ni) El exponente de a es la diferencia entre el num erador y denom inador, y el de
b es igual al denominador. Es decir, la suma de am bos exponentes es igual a
n, para todos los términos,
iv)El término de lugar h en el desarrollo, es
v ) Los términos equidistantes de los extrem os tienen igual coeficiente, por ser
números combinatorios de órdenes complementarios.
E jem plo 6-15.
Determ inar la sum a del 49 y 69 términos de! desarrollo de
_
5„8
( 2 a ~ a 2)
(.'amo
=*■
T j + T6 ~
~S ,| * I ( 4 f 7 u
- u 13)
Ejemplo 6-16.
á) D emostrar
n
s-n -\
i- 0 V i s
^
Trasformamos la sumatoria en el desarrollo de la potencia de un binom io
n /-n \
n r,,'\ n-i
i
n
n
SoOSoCD1 -1 - 0 + 0 =2
b)
Z M ) '( ”)= 0
í=o
\iy
Procediendo análogamente
i /'ti'
m-í
n
~ I1 ". " 1
2- i - l i ■¡ , n. |' = Z
i ~0
i
■'
l■ - 1 J —U
n
n
1) = 0 = 0
-!_/|=0 s.*-·
Ejemplo 6-17.
Determinar el térm ino central del desarrollo de
i -\ in
j x 2· + — )
y-
con x + 0
El número de térm inos es
2 « + ! —« + w + l = n + l + ft
El térm ino central esta precedido p o r n términos, y en consecuencia ocupa el lugar
(n + 1), Se tiene
T
= r
n+i
t
( j - í
v n y y
n +1
= f 2 ”V
n. H J
\
x j
n~
n
Es decir
-Tt
n ■+■J
= (í l n '\I -t "
\ n y
En cuanto al coeficiente
•(2 n i
l n J
_____
( n ! )2
(2«)!
n ! (2 n - «)!
2 n ( 2 n ~ 1 ) ( 2 n - 2) . . . [ 2 n - ( n - 1 » . n\
(n\ )2
2 n { 2 n - 1 ) ( 2 « — 2) . . . (« + 1)
n\
_
Ejemplo 6-18.
O btener el término de grado 14 del desarrollo de'
(je3 — 3 x ) 10
El desarrollo adm ite 11 términos y se trata de ubicar aquel en el cual el exponente
de x sea 14, Este término ocupa un lugar h, a determinar basándose en la condición
anterior
/
•T =1.
sn \
, ío—h+i
, kv»)
10 \ 33-3 h
f
- U - I >
ft-t
(~3x)
"■h - I*
h
fc-i
<-«
=
ñ 1
v
-
■ ' - » ' ‘G - J * " · “
Debe ser: 32 - 2 /i = 14 => 2 A — 18 =* h — 9
Es decir, el 99 término tiene grado 14.
Lo calculamos
T 9 = ( g 0) x 3 (—3 x )9 = —39 . 1 0 * “
Ejemplo 6-19
l\ ”
r
Desarrollar | 1 + — J
Llegaremos a una expresión que se utiliza en ¡a determinación del número e, en ios
cursos básicos de análisis.
o ^ f - ^ ) i +G ) e y < 3)© ,+
/- „
+
sS I ·
■>n - .
i <·H. tn .■!
r » ¥ - L ‘)
+
Después de haber omitido las potencias de I. Operando y utilizando la fórmula del
ejemplo 6-13 iii), tenemos
fi + — )
ti J
= i + jt. — +
o. ” ( « - ! ) ( « - 2)
3!
+
2!
jr
1
n3
+
'' ’
\
,+
n
+ n (n - 1) (ti - 2) . . . [n - (n - 2)]
(n — 1)!
1) ( » ~ 2 ) . . . [ « - ( « - 1)1
n!
1
ti
n
1,
n
n -i
+
A partir del tercer término dividimos cada factor del num erador por el factor n que
figura en cada denominador
(, + X )
it— i , i«_i_L n -- +
„ 1+ 1+
ti
(« --1)!
+
1
n - 1
n
« - 2
n
n
n
n - (n - 1 )
Resulta
(i+t ) ':+3 G-t ):Ít
r T F O - T J O - D - O - ^ T 1)*
_L
ii!
i" t - ~
.{ i . . . ("i ~
V
n J v
n y
V.
«
^ 1
v
Ejem plo 6-20.
Determinar x e R de m odo que la suma de los términos 32 y 82 del desarrollo de
r
j
2
x3—
i '«
I sea igual a 0,
Debe verificarse
T j + T8 = O
O sea
í . U l x 1'}1 * - — I + ! i ! {2 .v3 ! - — i = 0
x -■
■
-y .··
Los números com binatorios son iguales y pueden cancelarse
—1n _ -.3
X‘
~
ft
■‘
2 ' . x i9
—l 2 .—
= 0
-v7 r :t
Multiplicando p o r
2S . x 20 — 1 = 0
1
X1
esulta
„20
* -
1
25
Es decir
2° / j
x = ±^ / —
en R
Por distributividad y simplificación
x= ±
1
VT
Racionalizar¡do
Y= ±
VT
2
Ambos valores de x satisfacen la condición dada.
6 .9 .
FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURALES INICIALES
A fin de tratar el tema de la Combinatoria simple y con repetición desde un punto
le vista funcional, proponem os algunos conceptos y propiedades relativos a funciones
:uyos dom inio y codom inío son conjuntos finitos, no vacíos y p o r consiguiente
dentificables, en cuan to a su cardinalidad, con intervalos naturales iniciales l n e l m .
6.9.1. Aplicaciones inyectivas de I„ en Im (n < m )
Sea el con ju nto cuyos elementos son todas las aplicaciones inyectivas de I„ en lm , y
que denotam os con
I« (Ir, J m ) ={/'■· l n
l m / / e s invectiva]
Se necesita la restricción n < m, ya que en caso contrario habría dos elem entos del
lom inio con la misma imagen en el codominio, y ninguna aplicación sería 1-1.
El elem ento 1 de I„ puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementos del
codom inio I m , es decir, existen m posibilidades para el 1 e l „ . Una vez asignada la
•magen, para construir una función inyectiva, el 2 e ln adm ite ( m — 1) imágenes
posibles en l m. Seleccionadas sendas imágenes para el 1 y el 2, se presentan ( m — 2)
posibilidades para la imagen de 3 e I„. Suponiendo hecha la selección de imágenes para
1,
— I , el elemento n e l n puede proyectarse sobre cualquiera de los
·.*! — ,n — 1) elem entos restantes del codominio, y en consecuencia el núm ero total de
ipikaciones inyectivas de I„ en Im es
m . ( m - 1 ). ( m — 2) . . . [ m - (n — 1)]
Es decir, el cardinal de \ n (1„ , l m) es igual al producto de n factores decrecientes en
una unidad, a partir de m.
D enotando tal núm ero cardinal con el símbolo Vm
se tiene
Vm ,„ = m . ( m - 1) . ( m - 2) . . . (m - n + 1)
(1)
Multiplicamos y dividimos el segundo miembro de esta expresión por
( m — n ) ( m — n — l ) ............2 .1 = (m — «)!
_
m ■ ( m - 1) . Ow - 2) . . . ( m - n + 1) . ( m - n) l
( m - «)!
v resulta
V
m-n
= ___ _______
(2)
( m - n)l
Demostraremos ahora esta fórmula por inducción sobre n.
*
i ) Si n — 1, entonces el número de funciones inyectivas de Ij en Im es
exactamente m, y se tiene
_
_ m . ( m - 1 ) ! _____ m i ___
v m ,i ~ m —
~ (to — 1)!
ii ) Probaremos que si la fórmula (2) vale para h, también es válida para h + 1.
Hipótesis)
..
mi
m' h ~
(m-hy.
v
________ m i
v m>h+l
[m —(fc + 1)]!
Tesis)
Demostración)
Supongamos definida una función ínyectiva de l h en Im . Si
extendem os e! dom inio a l h+ 5, el elem ento agregado, h + 1, puede hacerse
corresponder con cualquiera de los (m — h ) elementos restantes del codominio. Es
decir, cada función inyectiva de lh en Im origina (m — h) funciones inyectivas de Ih + l
en Jm, y en consecuencia se tiene
+1 ~ ^m ,h . (iTl — ti)
Usando ¡a hipótesis inductiva llegamos a
mi
y m, h +l = - 7 ^ r - r r r
(m - h)\
,
i.
-(m -fi)=
'
m i (m - h)
■·
mi
------------(m - h) . ( m - h ~ 1)! ~ [ m —
( h + l )J!
Ejemplo 6-21.
¿Cuántos núm eros de tres cifras distintas pueden formarse con 1, 2, 3 , 4 ?
Cada núm ero pedido corresponde al conjunto imagen de una aplicación inyectiva
(ya que no pueden repetirse) de I 3 en l4 . Es decir, existen tatitos números de tres
cifras distintos elegidas entre 1, 2, 3 y 4 como funciones inyectivas de I3 en I4 , y
resulta
V<?,3 — 4 . 3 . 2 ~ 24 según la fórmula (1)
6.9.2. Relacón de equivalencia en 1« (I„, Im ) (n < m)
D efinición
Dos fmciones invectivas de ¡„ en lñ, son equivalentes si y sólo si admiten el
mism cconjunto imagen,
1 </) = I s e l
f-'g
Esta defirición caracteriza una relación de equivalencia en In (I„. I m ). como puede
verificarse ccn facilidad.
De acuerco con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una
partición dd conjunto de las aplicaciones inyectivas de I„ en Im , en clases de
equivalencia
En el casc del ejemplo 6-21, las funciones
/={íM ),(2,3),(3,4)}
y
g = {<l , 3 ) , (2 , 1) , (3 .4 )}
son equivalentes, ya que ambos conjuntos imágenes se identifican. A manera de ejem­
plo nos preponemos exhibir la partición de 1« (I„, Im)c o n la siguiente simplificación:
C om o tedas las funciones inyectivas admiten el mismo dominio l 3 es suficiente,
para caracterizarlas, dar el conjunto ordenado de sus imágenes. Así
134 corresponde a /
314 corresponde a g
S i consideramos como imagen a 213, se trata de la función inyectiva
Í( 1 , 2 ) . f 2 . n , ( 3 , 3 ) l
V
"
' ¿
Con este criterio, ia partición de 1« (13 , !4) es
123
132
213
231
312
321
i 24
142
214
241
412
421
134
i 43
314
341
413
431
234
243
324
342
423
432
En cada clase de equivalencia hay tantas funciones como aplicaciones inyectivas de
I3 en 13> es decir, 3 . 2 . 1 = 3! elementos.
El nú miro de clases de equivalencia es naturalmente igual al número to tal de
funciones inyectivas de 13 en !4 , dividido por el núm ero de elementos de cada clase, es
decir
__4!__
(4-3)!
3!
_
41
3! ( 4 - 3 ) !
f 4 'i
K.3J
Si denotam os con C4>3 el número de clases de equivalencia se tiene
C4>3= ( J j
= 4
En general, e! núm ero de clases de equivalencia determ inado por la relación i !> en
el conjunto de las funciones invectivas de
en l„ ,, está dado por
c
m·”
-
,
'm .
.n '
En efecto, sea Vm „ el número de funciones inyectivas de I„ en I*,, donde está
definida la relación de equivalencia (1). E n 'c a d a clase de equivalencia hay tantas
funciones como aplicaciones inyectivas de l „ en I„ . lasq u e son, además, sobreyectivas.
es decir, biyeetivas. Este núm ero es. precisamente
V
"•n
(n-n)í
El número de clases es, entonces
„
171!
Vm, n __
m -n " ‘ n!
"
ím
n\ <m - n)\ ”
6.9.3. Funciones estrictam ente crecientes de
' ~n
|
J
en l m ( «<»»>
Definición
f : l„ -*-lm es estrictamente creciente si y sólo si
x < v ^ f ( x ) < / ( > ’)
*
La fu n c ió n /d e l párrafo anterior es estrictamente creciente, peo,!? n<» lo es,
Volviendo al ejem plo propuesto en 6 A 2 ., si elegimos un uihco elemento en cada
clase de equivalencia, se lo puede lom ar como representante de dicha ciase. La eieccioi;
natural está dada p o r la función estrictamente creciente que figura en cada clase, y se
tiene
123
124
134
234
El número de clases de equivalencia está dado po r el número de funciones
estrictamente crecientes de I3 en I4 . Realizando esta identificación de clases de
equivalencia con funciones estrictamente crecientes, podem os decir que existen tantas
clases como subcoiijuntos de 3 elementos pueden extraerse de I4 .
Ejemplo 6-22.
¿Cuántas comisiones de 3 personas pueden formarse con 4 personas? R otulando a
las cuatro personas con 1 , 2 ,3 y 4 , las selecciones
123
132
213
231
312
321
corresponden a la misma comisión (se supone que n o hay distinción de jerarquías), y la
«elección natural es 123, Esta corresponde a una función estrictamente creciente de I 3
en I4 , y en consecuencia el núm ero total de comisiones es
i 'femplo 6-23.
. C uántos números d e tres cifras distintas pueden formarse con las cifras 1, 2 y 3"?
A !ii luz de lo que hem os visto en el ejem plo 6-21, se tienen tantos núm eros como
■artcones inyectivas de I3 en 13, las cuales son, además, biyectivas.
Entonces dicho núm ero es
V3l3 = 3 ! = 6
6.9,4. Funciones de In en Im
Sean n y m números naturales cualesquiera. Se presenta el problema de determ inar
•c! núm ero de funciones de I„ en I m .
Es claro que, elegida una de las m posibilidades pata la elección de la imagen de
1e
para el 2 tam bién se presentan m, ya que n o hay restricciones de inyectividad.
' ' aun-ero total de tales funciones, que denotam os con V ’m rl> es m . m . , . m - m n .
n
D emostramos, p o r inducción sobre n , la fórmula V'm^„ =
·
i ) Si n = 1, entonces se tienen m funciones de I , en lm, es decir
= m = m 1, con lo que la fórmula es válida en este caso.
i i ) Supongamos que se verifica para n = h, es decir V’m h = m h . Debemos
probar que V¡ri ft+1 = m h + i .
áea una función de Ih en l m ; si el dominio es ahora lh + i , entonces ei elemento
h + l puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementos del codom inio. Pódeme»
decir que cada aplicación de l h en Im caracteriza m funciones de lh+1 en l m, y ei
u·. aiero de éstas es
Aplicando la hipótesis y la definición de potenciación, se tiene
Ejemplo 6-24.
¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 1, 2, 3 y 4?
Como no hay restricciones en cuanto a que las cifras deban ser diferentes, los
números 134, 143, 112, 222, etc., figuran entre los pedidos. Cada uno de ellos puede
considerarse como el conjunto ordenado de las imágenes de una función de 13 en 14.
En consecuencia existen tantos números de tres cifras formados con 1, 2, 3 y 4 como
funciones de I 3 en I4 , es decir
V4>3 = 4 3 = 6 4 .
6.9.S.
Funciones crecientes de I„ en Im
Sean n y m núm eros naturales cualesquiera.
D efinición
La función/ : 1„ -►Im es creciente si y sólo sí
x < y => / (x) < / (>’)
Ejem plo 6-25.
i ) Las imágenes de todas las funciones crecientes de 13 en I4 son
111
112
113
114
122
123
124
133
134
144
222
223
224
233
234
244
333
334
344
444
Hemos seguido una ley de formación a partir de 11, 12,13, 14, 22, etcétera,
i i ) Las funciones crecientes de I3 en í 2 tienen las imágenes
111
122
222
112
Llamando Cm n al núm ero de funciones crecientes de l„ en Im, se tiene, para los
casos anteriores
Q , 3 =20
C’2 i 3 = 4
Observamos que el núm ero de funciones crecientes de I m en I„ se identifica con el
número de funciones estrictam ente crecientes de
en í„ , ya que
Teorema El número de funciones crecientes de In en Im es igual al de funciones
estrictam ente crecientes du I„ en Im+n _ i ·
Tesis) C m M—Cm+n.|
Demostración) Sean A el conjunto de todas las funciones crecientes de l n en I m, y B el
conjunto de las funciones estrictamente crecientes de I„ en Im + n _ j . Nuestro
propósito es probar que c (A) = c (B), es decir, que A y B son coordinables. Para esto
es suficiente ver que existe una aplicación biyectiva de A en B.
Para d efin í! tal aplicación hay que asignar a cada función de A una única función en
B
Sea j e A. La im a g e n de / e s
f i i K/ í-), - . - . f i n )
tal que para todo i = 1 , 2 , . . . , n se verifica 1 < / ( ¡ ) < m
(1).
A expensasde/ , definim os# : In -M m + „ _ j mediante las asignaciones
[ g(i)=/(D
¡ g(2) = / ( 2 ) + 1
(2)<¡ * ( 3 ) = / ( 3 ) + 2
g ( n ) = f ( n ) + ( , n ~ 1)
De este mcdo, los valores extremos que puede tom ar g son, de acuerdo con (1 j
m + n - 1. Además, teniendo en cuenta (1) y la definición de g, se verifica
f e A =» / ( 1 ) < / ( 2 ) , y como 0 < 1, sumando resulta
/( 1 ) + 0 < / ( 2 ) + 1 .
Es decir
f{u<f(2) + I .
Luego
árfiKí(2).
Procediendo análogamente vale la proposición
1 < / ( 1 ) < / ( 2 ) + 1 < / ( 3 ) + 2 < . . . < / ( « ) + ( « - 1)
Es decir
1« £ (l)< g ( 2 )< £ (3 ) < ... < g (n )< m + » - 1
+ « —l
1.a asignación propuesta en (2) permite definirla aplicación
F : A -> B tal que F (/') —g
Falta probar que F es biyectiva. Para ello estudiamos
i ) Inyectividad de F. S e a n / y f en A, tales que F ( f ) — F { / ’ ), es decir, tales que
g —g’. Esto significa que los conjuntos
f/(l),/(2)+l ,
{ . f ílí , / ’(2)+
,/(«)+(«-
1 ,
1 )}
+ < « -!)>
son iguales, y en con secu en cia/(i) ~ j " ( i ) cualquiera quesea i = 1 ,2 ,
Resulta entonces f - f ; y por lo tanto, F es inyectiva
. n.
¡ i ) Sobreyectividad de F. S ea,?e B.
Entonces £ : I„ -> fm + n —t es estrictamente creciente, y se tiene
1 < # ( ] ) < £ ( 2 ) < £ ( 3 ) < .. , ' < g ( n ) < m + n — l
Ahora bien, g i l ) > ? ( 1 ) =* £ ( 2 ) - £ < l ) > 0 =» g ( 2 ) - g { 1 ) > 1. ya que to d o
número natural es m ayor o igual que 1. Resulta £ « 1 ) < £ ( 2 ) — i, y procediendo
análogamente tenemos
Esta situación permite definir la f u n c i ó n / : I„ - + \ m , creciente, con la asignación
/ ( O = g (0 - (i ~ 1)
Entonces, cualquiera que se a g e B. e x is te / e A tal que F ( / ) = g.
Las partes i ) y ii ) prueban que F es biyectiva, es decir, A ~B, y en términos de
números cardinales vale la fórmula
Ejemplo 6~2§.
*
„De cuántas maneras pueden entrar 4 alumnos en 3 auia¡>. si no se hace distinción
de personas*8
Rotulemos a los alumnos con: 1, 2, 3, y 4, y las aulas con: 1, 2 y 3. Es claro que
una distribución de las cuatro personas en las tres aulas está asociada a una función de
I4 en I 3; por no haber distinción de personas, el hecho de que entren dos personas en
el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3 está dado por una función cuya imagen es
cualquiera de las siguientes:
1123
3121
3211, etc.
2
1
3
V
Al no haber distinción, estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la
ir,i nía. De ellas elegimos naturalmente la que define a una función creciente de I4 en
I,
-í.j distribución tiisciaia e», p ot ejem plo, 1113, que significa; tres alumnos
·.·;·.-raroa -¿n el aula 1 y el cuarto en el aula 3,
De m odo que existen tantas distribuciones posibles de 4 personas en 3 aulas, sin
i: '¡nción de las personas, ccmo funciones crecientes de 14 en I 3, es decir
c;.
3-4
6 ,4
6 .5 . 3 . 4
4 .3 .2. I
= 15
6.9.6. Aplicaciones estrictam ente crecientes por trazos de l m en lm
Sean
los núm eros naturales m, m t , m 2 ......... m n , tales que
ti
rr¡ — m %+ m 2 + . . . + m n = 2
i-
1
m¿
(1)
Asociada a la descomposición {1), queda especificada la siguiente partición de Im en
intervalos naturales cerrados
l m = [ 1 , m l j 4- [ m x + 1 , m t + m 2] + [nti + m 2 + 1 ,
ffc- 1
i
+ ¡ Z ra¡ + I , m \
(2 )
L‘~l
+ m 2 + m 3] + . .. +
J
donde el signo + denota una unión disjunta,
i ) D e fin ició n
La f u n c i ó n / : l m
l m es estrictam ente creciente p o r trazos, respecto de la
‘ partición (2), si y sólo si es estrictam ente creciente su restricción a cada
subco njunto de la partición.
t emplo 6-27.
En correspondencia con la descomposición 9 = 2 + 4 + 3 se tiene la siguiente
: mcion estrictam ente creciente por trazos de I9 en I9.
81 '
7?
6'
5 '1
4'
3
71
Se tiene aquí la partición l 9 = [1 , 2f + [3 , 6 ] + [7 , 9 |, es decir
I9 = { l . 2 } + { 3 , 4 , 5 , ó} + { 7 , 8 , 9 }
Y
la restricción d e / a cada elem ento de la partición es estrictamente creciente.
Ejemplo 6-28.
Determinamos el núm ero de aplicaciones estrictamente crecientes p o r trazos de Ien I 7. respecto de la partición de I 7 asociada a la descomposición 7 = 3 +■ 4. De
acuerdo con la definición, la restricción de cada una de las funciones a los
subconjuntos I 3 e 14 debe ser estrictam ente creciente.
Se sabe que el núm ero §e aplicaciones estrictamente crecientes de I , en I 7 es
: 7 ‘3 “ (- 3
3.J
Además, es claro que cada función estrictam ente creciente de I 3 eff
define
unívocamente una función estrictam ente creciente de 4, 5. 6, 7 en I7. Por ejemplo, si
g : 13 - * 17 está definida por
¿r(l)=2
#(2)=5
* (3 ) = 7
queda determinada h : ( 4 , 5 , 6 , 7 j - * I 7 estrictam ente creciente y única, a saber
^
s
h
(4) = 1
h
(5) = 3
h
(6) = 4
h
(7) = 6
Hn consecuencia, el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de
I7 en 17 es el de funciones estrictamente crecie'ntes de I 3 en I 7 , q u e denotamos
mediante
’
3! 4!
En el caso del ejemplo 6-27, tal número es
^
^ __
2’ 3' 4 ’
>
íi ) Propiedad El número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos
de l m en l m, respecto de la partición f 2), está dado p o r
m'·.
P-.
— "m
m ,i !’1m 2l . . . m n .’
Para cada m fijo hacemos inducción sobre el número n de elementos de la partición
de l m.
a) Si n = 1, entonces la partición tiene como único elem ento Im, y la única función
estrictamente creciente de l m en l m lo es estrictamente creciente por ira/o s. es decir
_/n.
,
mi
mi
P
- 1 = — — — ----- m
mi
mtl
y a q u e m = m,
'
^
b) Suponemos que la fórmula es válida para n = h, y demostramos su validez para
n = h f l.
Cada función estrictamente creciente por trazos de
en sí mismo
determina Cmm h + ¡ funciones estrictamente crecientes p o r trazos de l m en tm ,
respecto de la partición asociada a la descomposición
m —m¡ + m 2 + . . . + mh + ,
Entonces
p
_ ¿n t .m ......>nh
m
ín -iR i,*»
Aplicando k hipótesis inductiva, se nene
'
m ,n th * %
¿Cuántos números distintos pueden formarse perm utando las cifras dei número
112223333?
Cada número que resulte de intercambiar las cifras de 112223333 define una
aplicación estrictamente creciente por trazos de I9 en I9 , y recíprocamente. Así, por
ejemplo, el número 133221323 determina la aplicación de I9 en l9 , asociada a la
partición correspondiente a la descomposición 9 = 2 + 3 + 4:
/(1)=1
/(2) = 6
/ ( 6) = 2
/(3) = 4
/ (7) = 3
/(4) - 5
/ ( 8) = 7
/(5) = 8
/(9) = 9
la manera de determinarla es ía siguiente; a cada elemento del dominio ie
asignamos como imagen, respecto de la partición dada, el lugar que ocupa en el
número propuesto.
Recíprocamente, a toda función estrictamente creciente por trazos respecto de la
partición, le corresponde un núm ero que se deduce del dado, intercam biando las cifras.
Así. s i / ; 1, —*l 9 es tal que
/«1) = 2
/(2 ) = 9
/ ( 6)=1
/(3 ) = 5
/(?)= 3
/(8 ) = 4
/(4 ) = 6
/(5)-7
/(9 ) = 8
y el número resultante es 313322231.
Entonces el número total de números pedidos es igual al de funciones estrictam en­
te crecientes por trazos de I9 en I9, respecto de la partición dada, es decir
p2'3·4 - __ ?!----- —
«
2! 3! 4!
§ zJ—’Á jJL l J lL · - 9 4 7 5 = P60
1 . 2 . 1 . 2 . 3 . 4!
6.10. COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION
6.10.1. Concepto
Identificando un conjunto finito y no vacío con un intervalo natural inicial,
respecto de la coordinabilidad, la respuesta a Sa determinación det número cardinal de
ciertos subconjuntos del mismo puede lograrse a la luz de cierto tipo de funciones
entre intervalos naturales iniciales, ya estudiadas en o.9. Los problemas que se
presentan dependen del tipo de función que pueda diagnosticarse en relación co n si
problema, y son los seis que se tratan a continuación.
6.10.2. Variaciones am pies de m elementos de orden n . ( n < m )
D efinición
Variaciones simples de m elem entos de orden n, o variaciones «-arias de m
■ elementos, son todas las funciones inyectivas de I„ en 1,„.
f uno todas las funciones inyectivas de I„ en l m tienen el mismo dom inio I„,
ctsal ju ie r variación simple queda determ inada por las segundas com ponentes de los
[- - ·» o: denados correspondientes a la función. Desde este p u n to de vista, toda
v
‘ion «-aria de m elementos es un subconjunto ordenado de n elem entos de Im , Es
claro que la inyectividad exige que no se repitan elementos en la imagen, es decir, dos
variaciones simples son distintas si difieren en algún elem ento, o bien, si constan de los
mismos, deben diferir en el orden.
Ds. acuerdo con 6 . 9 . 1 su número está dad o p o r la fórmula
mi
(m — n)l
'5
—n
Perm utaciones de n elem entos
í '' -'.:.-ncián ·.
n
.
Perm utaciones de n elementos son todas las funciones biyectivas de I„ en l „ .
'■ m ü toda función biyectiva de 1„ en í„ es inyectiva, se tiene u n caso particular de
va rejones simples, donde m — n.
Teniendo en cuenta el conjunto imagen, cada perm utación de n elem entos es un
con .unto estrictam ente ordenado de I n . Su núm ero, de acuerdo con 6 . 9 . 1 está dado
por ¡a fórmula
p = v
n.n
- — 2!—
(„_„)»
_ JlL _ ni
0!
ü decir perm utaciones de ti elementos se debe entender que son simples, en el
ieü .ídü de que no hay repetición, p or la inyectividad.
6 .!0 .4 . Combinaciones simples de m elementos de orden
D e fin ició n ¡
Combinaciones simples de m elem entos de orden n, o com binaciones «-arias de
m elem entos, son todas las aplicaciones estrictamente crecientes de l n en Jm .
Una tal aplicación estrictam ente creciente identifica un subconjunto de n elementos
de I,.,. de m o d o único. Al mismo concepto puede llegarse en virtud de la relación de
equivalencia definida en el conjunto de las funciones inyectivas de 1„ en l m, de acuerdo con 6 .9 .2 .
Ei número de combinaciones simples está dado por
6.10.5. Variaciones con repetición de m elementos de orden n
D efinición
Variaciones con repetición de m elementos de orden n son todas las funciones de
¡n en !m .
En este caso no existen restricciones do n respecto de m . Identificando cada
variación con repetición con el correspondiente conjunto ordenado de las imágenes,
ocurre que cada una es una n-upla de elementos de
. Su número está dado, de acuer­
do con 6.9.4., poi
V"m, rt = mn
6.10.6. Combinaciones con repetición de m elem entos de orden n.
D efinición
Combinaciones con repetición de m elementos de orden n , son todas las funcio­
nes crecientes de I„ en l m .
En este caso, m y n son núm eros naturales cualesquiera.
De acuerdo con 6.9.5., su núm ero está dado por la fórmula
„
Cm , n = C m ^^n
.
— \ ,n
,'m + « — 1\
= ·
n
1
I
6.10.7. Permutaciones con repetición
En muchas situaciones, los elementos de un conjunto están clasificados en tipos:
digamos, p o r ejemplo, u n conjunto de 9 libros, entre los cuales hay 2 de álgebra. 3 de
geometría y 4 de filosofía. E n cada caso se supone que son del mismo autor, edición,
etc., es decir, indistinguibles. Un problema de interés consiste en la determinación de
las distintas maneras según las cuales pueden ordenarse dichos libros en un estante.
Una ordenación posible es GAFAFGFFG. Es claro que si se permutan entre sí
dos libros de filosofía, el ordenam iento es el mismo. Una distribución distinta de los 9
libros en el estante puede lograrse si se permutan libros de distinto tipo. Ahora bien, si
rotulamos los libros asignando el 1 a los de álgebra, el 2 a los de geometría y el 3 a los
de filosofía, la ordenación propuesta es
213132332
El problema consiste en determ inar cuántos números pueden obtenerse intercam­
biando las cifras del propuesto, lo que se identifica con el número de aplicaciones
estrictamente crecientes por trazos de I9 en 19, respecto de la partición asociada a la
descomposición t> = 2 + 3 + 4 , Tales aplicaciones se llaman permutaciones con
repetición de 9 elem entos, entre los cuales hay 2 del tipo A. 3 del tipo G y 4 d«?l tipo
F.
D efinición >:
Perrnuta«iones con repetición de m elementos, entre los cuales hay m¡ del tipo
A,· ( i = 1, 2 ,. . . , « ) , siendo m - m ^ + m 2 + . . . + m n (1) son todas las aplica­
ciones estrictamente crecientes por trazos de Im en Im , asociadas a la partición
de Im correspondiente a la descomposición (l ) .
Según 6.9.6. i i ). su número es
m
m\
m } \ f?j2! . . . m „'
Ejemplo 6-3Q
Seis persoias viajan en un vehículo que tiene 10 paradas. cDe cuánt 3 S maneras
pueden b ajara en los siguientes casos?
i ) Si a o sumo baja una persona po r parada,
i i ) Sin estricciones.
En ambos casos, considerar la situación con distinción y sin distinción de personas.
Obsérvame? que cada distribución de las 6 personas en las 10 paradas define una
función de I 6 en 11 o . Así, 122279 indica esta situación: una persona desciende en la
primera parada, tres en la segunda, una en la séptima y una en la novena,
i ) A lcsum o baja una persona p o r parada.
Significa cue personas distintas bajan en paradas distintas, y, si se hace distinción
de personas, iístribuciones como 134679 y 371496 son diferentes. Cada distribución
de las 6 persanas en las 10 paradas, con distinción de personas, define una función
inyectiva de
en í , 0 y, en consecuencia, el número total.es el de variaciones simples
de 10 elementos de orden 6
Vio,6 = 1 0 . 9 . 8 . 7. 6. 5
Si no se hace distinción de personas, las distribuciones 134679 y 371496
corresponder a la misma situación y se selecciona la que está asociada a una función
estrictam entí creciente de l 6 en l , 0 En consecuencia, si no se hace distinción de
personas, haj tantas distribuciones como combinaciones simples de 10 eleínentos de
orden 6. es d;cir
y io, 6
Cío,6 ”
6!
i i ) Sin restricciones.
En este ctso puede bajarse más de uria persona por parada, y, si se hace distinción
de personas, cada distribución define u na función de I6 en 1, 0 : es claro que se trata de
las variación« con repetición de 10 elementos de orden 6, y su núm ero es
Vio >6 = IQ6
Si hay distinción de personas, 122279 y 721229 corresponden a situaciones
diferentes. Pero si no se hace distinción de personas definen la misma distribución, y se
elige la que corresponde a una función creciente de Ia en I¡ 0 - El núm ero total, en este
caso, es el de combinaciones con repetición de 10 elementos de orden 6, es decir
f"
..p
Cío,6 ~ C-10 + 6 -
1 ,6
_p
_
~ Ci 5 , 6 -
51
Ejemplo 6-31,
¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n lados?
E) número de vértices es n. y , por definición, tres cualesquiera no están alineados.
En consecuencia, cada par de vértices determina una recta.
El número total de rectas distintas está dado p o r el número de funciones
estrictamente crecientes de I 2 en [„, ya que. por ejemplo, las rectas 13 y 31 son la
misma. Entre estas rectas figuran los lados y las diagonales. En consecuencia, el
núm ero de diagonales está dado por
n (n — V)
n2 — 3n
Cn 2 - n = ------ , ------- - « = ------ ^------Ejemplo 6-J2.
t De cuántas maneras pueden alinearse H) personas, si o es de e lk s han de ís'sjr
juntas?
Una posible form ación de las 10 personas es
0 1 <*2 «3
fls . . . üio
Si no se especificaran condiciones,, el número total sería el de funciones biyectivas
de I , q en I 10, es decir, P 10 = 10!
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las tres primeras permanecen
juntas, y en primera instancia pueden considerarse como un solo objeto, con lo que el
número total se reduce a 8 , y se tienen P 8 arreglos distintos. Ahora bien, en cada uno
de éstos, las tres personas que están jun tas puedeft permutarse entre sí, originando P 3
alineaciones diferentes. Entonces el número total es
P8 · P 3 = 8 ! 3!
Ejemplo 6-33.
En una urna hay 5 bolillas blancas y 6 bolillas negras numeradas. Se extraen
maestras de tam año 7. ¿Cuántas de tales muestras pueden extraerse.’ ¿En cuántas de
el¡-¡> figuran exactam ente 3 bolillas blancas?
i > El experim ento consiste en extraer al azar 7 bolillas de la urna, sin reposición.
Es decir, se extraen una por una y no se reintegran hasta com pletar las siete.
Dos muestras como
b i b 2 r¡ 2 n¡ n 4 n s n b b3
n 3 &3 n 6 n4 n5 b2 b x
son la misma, y existen tantas como subconjuntos de 7 elem entos pueden
formarse con 11 dados, es decir
C u .7 = C U ,4 =
v u, 4
4!
II . 1 0 . 9 .
4 . 3 . , 2. 1
= 330
íi ) Considerem os ahora las 330 muestras aleatorias de tam año 7 que pueden
obtenerse. Estamos interesados en saber cuántas de tales muestras contienen
exactam ente 3 bolillas blancas.
Hay C s ,3 m ineras de elegir 3 bolillas blancas entre las 5 que existen. Por cada una
de estas posibilidades se presentan C6 4 maneras de seleccionar 4 bolillas negras entie
las 6 q u e hay. En consecuencia, el número total de muestras que tienen, exactam ente 3
boliitais blancas as
Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plata y 4 de cobre. ¿De cuántas maneras
pueden distribuirse entre 9 personas, si a cada persona le corresponde una y sólo una?
Cada distribución de las 9 medallas entre las 9 personas define una aplicación
estrictamente creciente p o r trazos de I 9 en 19 , respecto de la partición asociada ala
descomposición 9 = 3 + 2 + 4. Se trata, entonces, de las permutaciones con repetición
de 9 elementos, entre los cuales hay 3 del tipo 0 . 2 del tipo P y 4 del tipo C, y su
número es
Ejemplo 6-35.
¿Cuántos térm inos tiene un polinomio com pleto y homogéneo de grado 2 cor 3
variables!
Sean éstas .r ,, x z >' ·'".»· Como el polinomio es hom ogéneo, todos los té mimos son
de grado 2. Ahora bien, cada función creciente de 1; en 13 determina uno de los
tem im os del polinom io, ya que las imágenes .r,.v 3 y x 3.xt corresponden al mismo
térm ino, y se considera la que es creciente.
El núm ero total es el de combinaciones con repetición de 3 elementos de orden 2.
es decir
c;
. 2 = c 3 ^ . - 1. , = c 4.2 = -± 21 ^
6
El polinomio puede escribirse
P l.Vj. Xj, t_,) = a u
+ «22 x “-> + t í =í
-*-«12 X | *2 +«13 .Vi X i +«23 .*2 x i
TRABAJO PRACTICO VI
é-3é. Demostras por inducción completa
1.
2.
5
= —---------
Z
i= 0
£
-L
= 2~ - ^ 2"
2'
3.
si
I — X
¿
+ l ) ( 2 w + l)
i= i
4.
6
f
(»*-!)
5.2 3i=i
* » 4 <3"
“ 0
2
v
nnt 1
3"
7.
o" - 1
( a — 1)
si
ot> 1
8.
{1 fjc)” > 1 + « j f
si
jc> 0
£
10.
±
i ^ _L
3 \ ÍO "*1 + 10" + I
11.
2 ,n2 +rt
12.
3 8"-5"
13.
an —bn = a ( a —
14.
2 i . i ! = (n + 1)! - 1
¡=í
b)
15.
£ f «
í=i
(È
\í=i
O 2
J
6-37, S e a n x j , Xj,
números reales.
D emostrar que la suma de sus desvíos respecto del prom edio es 0, es decir
2 (x¡ — x ) = 0
1-1
6'38. Demostrar que
í¿
V i= I
xt
J
f ~£
x j + f xpe,·
'
imj
¡=l
6-39. Sabíendo que .v ,P.x2, , . . , x s 0 son tales que
i=Í
t
i-l
x 1 = 100
y
{
x = — 20,
calcular
(x¡ - 2 ) 1
'
6~40. Demostrar
i)
.. x
1}
2 ni — (n ~ ! ) { « — 1)! ~ n \ + ( « — !)!
n ________ 1__________ ]___
(n + 1)! ~ ni
(n + 1)!
6-41. Hallar x sabiendo que
f
7
V f
l_ x 2 —x j
7
1
V2 x — ~LJ
6~42. Desarrollar las siguientes potencias
i ) { —2a2 + — V
V
a “ ) b fi+ > J y f
6-43. i ) Sabiendo que | + g = l , calcular
|í;w
n -k
r
ItJ
6-44. Hallar la suma de ios términos 56 y 79 del desarrollo de ( ~ 2 je + x z )
6-45. Determinar x sabiendo que el térm ino central del desarrollo d e f x + - y - J
'
G)
vale
fi-46. S e a ( j - 2.y 4-
-
J
. D eterm inara sabiendo que T3 + T 6 = 0.
j X .0
r
(—47. Hallar el térm ino de grado 5 de! desarrollo de ^ x 2 ----- — i
/
iV *
6-48 Hallar los térm inos de grado natural del desarrollo de (je + —r J
6-49, ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante, si tres de ellos
deben estar juntos'1’
O „De cuántas maneras se pueden alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellas no
pueden estar juntas'*
•’>•51. Calcular ia suma de todos los números de 4 cifras no repetidos que pueden
formarse con 1 , 2 . 3 y 4.
,,Cuán tas distribuciones circulares pueden formarse con 6 personas?
‘>•53. O cho puntos de! plano son tales que 3 cualesquiera no están alineados, salvo 4 de
ellos que sí lo están. ¿Cuántas rectas determinan?
f)-54. „Cuántas comisiones de 6 personas pueden formarse con 8 varones y 9 mujeres,
sabiendo que al menos un varón integra cada comisión11
fk55. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 100 botellas de leche entre 10
comercios?
•i-56. ^Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con 0. 1, 2, 3. 4 y 5 .’
1-57. ^Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 0, 1. 2, 3 . 4 y 5?
6-5S. De un mazo de naipes franceses (52 cartas) se extraen cinco cartas sin reposición.
¿De cuántas maneras pueden obtenerse exactam ente dos ases?
6-59. E ntre 36 cartas hay 4 ases. Se retiran tres cartas sin reposición. ¿Cuántas
colecciones de tres cartas contienen exactamente 2 ases?
0-60. ¿En cuántas números de k cifras elegidas al azar entre l, 2, 3. . . . , 9. aparece
exactam ente 4 veces el número 1’’ (k > 4)
6 -6 /. Se consideran n personas alineadas al azar. 0En cuántos, de dichos arreglos, hay
exactam ente k personas entre dos determinadas?
ñ-ú2. ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquie­
ra n o están alineados?
o-a i . ¿De cuantas maneras pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de m odo que
aparezcan alternados?
'>-4-/, ¿Cuántas n-uplas pueden formarse con los números 1, 2 y 3?
¿En cuántas aparece exactamente k veces d 1?
6-65. Determ inar el núm ero de pronósticos posibles que corresponden a una fecha de
los 13 partidos del juego llamado Prode. En cada partido puede apostarse a local
em pate o visitante. ¿Cuántos de tales pronósticos tienen k aciertos?
6-66. Demostrar que to do suheonjunto infinito de un conjunto numerable es nume­
rable.
6-67. D em ostrar que la unión de un núm ero fin ito de conjuntos numerables y
disjuntos dos a dos es numerable.
6-68. Doce alumnos cursan una asignatura que se dicta en 4 horarios distintos, ¿De
cuántas maneras pueden distribuirse los 12 alumnos en los 4 horarios?
¿Cuántas distribuciones determinan el mismo número de estudiantes en los 4
horarios?
6-69. Una persona apuesta 10 S en una carrera en la que intervienen 5 caballos.
¿Cuántas apuestas distintas puede hacer si cada vale cuesta 2 S ?
6-70. Para formar un com puesto se dispone de 6 sustancias del tipo A y de 8 del tipo
B. El com puesto requiere 3 del primer tipo y 4 del segundo. ¿De cuántas mane­
ras puede realizarse la experiencia en los siguientes casos?
i ) Sin restricciones.
ü ) Una sustancia determ inada del tipo A debe ser incluida,
iii) Dos sustancias determinadas del tipo B no pueden incluirse.
Capítulo 7
SIST E M A S
A X IO M A T IC O S
7.1. INTRODUCCION
E! desarrollo le la m atemática actual es principalmente abstracto y se realiza, en
gran parte, por k vía de los sistemas axiomáticos, cuyo concepto se expondrá en el
presente capítulo. Este punto de vista representa el avance natural del desarrollo
científico, entronca los casos particulares y concretos en situaciones generales de las
cuales aquéllos » derivan, y esencialmente permite conocer m ejor lo que antes se sabía
de un m odo fragmentario. C om o ejemplo de sistema axiomático se desarrollan el
álgebra de Bool< y una introducción al sistema axiomático de Peano que conduce al
estudio del número natura!. Finalmente se presentan las estructuras algebraicas de
monoide y semigrupo.
7.2. SISTEMAS AXIOMATICOS
7.2.1.
Concepto
Un sistema aiiomático, en matemática, consiste en los siguientes objetos:
i stérmíms prim itivos constituidos por elementos, conjuntos o relaciones.
cuya mturaleza no queda especificada de antemano.
ii ) axioma, que son funciones preposicionales cuam iñcadas, relativas a las
variables que representan a los términos primitivos; es decir, son propiedades
a las cue deben satisfacer dichos términos primitivos. Los axiomas definen
implícitamente a éstos.
iii) definiciones de todos los términos no primitivos.
iv) teoremas, es decir, propiedades que se deducen de los axiomas.
Anexada al sistema axiom ático se admite la lógica bivalente, con cuyas leyes es
posible demostiar los teoremas de la teoría.
Cuando se sustituyen las variables o términos primitivos por significados concretos,
se tiene una interpretación del sistema axiomático; si esta interpretación es tal que los
axiomas se convierten en proposiciones verdaderas, entonces se tiene un m odelo de)
sistema axiomático. E n este caso, todo lo demostrado eri abstracto en el sistema es
válido para el m odelo, y nada hay que probar en particular.
Ejem plo 7-1.
Consideramos el siguiente sistema axiomático.
i ) términos primitivos. Un conjunto A, y una relación R definida en A, es decir,
R C A X A
No se especifica aquí cuál es el conjunto ni se define la relación.
¡i 1axiomas:
A. R es reflexívrt en A
A» : R es antisimetrica en A
A3 : R es transitiva en A
Los tres axiomas pueden resumirse en el siguiente: R es una relación de orden
amplio en A.
i
iii> definición: en A se considera la relación S. tal que
{ a , b ) e S ■» 0 , a) e R
ív) teoremas. Demostramos la siguiente propiedad relativa a SS es reflexiva en A.
V a : a € A => (a . a ) e R
por A i
(a , a) e R => ( a , a) e S por iii)
Entonces, po r la ley del silogismo hipotético, resulta
V a : a e A =» (a , a ) e S y en consecuencia, S es reflexiva en A.
Con procedim iento análogo, se demuestra que S es antisimétrica y transitiva en A.
Esto significa que la relación 5 . inversa de R, determina un orden amplio en A.
Damos las siguientes interpretaciones para este sistema axiomático:
a)
Si A es ei conjunto de los números reales, y R es la relación de “m enor o
igual" se verifican A ¡ . A; »y A j La relación S es, en este caso, la de “m ayor o igual” .
Se tiene un modelo dei sistema axiomático.
ñ¡ Sí A es el con ju nto de las partes de un conjunto U. y R es ia relación de
inclusión, entonces valen los axiomas v se tiene o tro m odelo de! sistema.
7.2.2.
Propiedades de Sos sistemas axiomáticos
No toda colección arbitraria de térm inos primitivos y de propiedades relativas a ’
éstos caracteriza un sistema axiomático. Es necesario que de los axiomas no se derive
ninguna contradicción, es decir, debe cumplirse la propiedad de compatibilidad o no
contradicción. Sí esto no ocurre, o sea, si en el desarrollo del sistema aparecen dos
axiomas o teoremas contradictorios, entonces el sistema es incompatible o inconsisten­
te. La compatibilidad es eventualmente imposible de probar, ya que habría que agotar
todos los teoremas de la teoría y com probar su no contradicción. La compatibilidad de
un sistema axiom ático puede probarse indirectam ente exhibiendo un m odelo.
O tras propiedades son aconsejables en tod o sistema axiom ático, aunque 110
necesarias, Sin entrar en detalles, mencionamos las siguientes: independencia del
sistema, en el sentido de que ningún axiom a pueda probarse a expensas de los demás.
La no independencia de un axioma no niega la consistencia del sistema. Sea un
axioma A, de u n sistema com patible. Diremos que A,· es independiente si y sólo si el
sistema que se deduce del dado sustituyendo a A¡ por su negación, es compatible.
Si un sistema axiom ático compatible es tal. que de sus axiomas se deduce la
verdad o ia falsedad de todo enunciado relativo a la teuiut. entonces se dice que es
com pleto o saturado.
Por otra parte, si dos modelos cualesquiera de un sistema son isomorfos respecto
Je las relaciones y operaciones definidas en los mismos, entonces se dice que dicho
sistsma es categórico. Se dem uestra que la categoricidad de un sistema implica la
saturación del mismo.
7.3. ALGEBRA DE BOQLE
7 .3.1. C oncepto
El sistema axiomático que conduce al álgebra de Boole consiste en
i ) términos prim itivos son: un conjunto B #
denotan con + y .
y dos funciones que se
ii ) axiomas
Bj : + y . son dos leyes de composición interna en B.
B2 : + y . son conmutativas.
B3 : + y . son asociativas.
B4 + y . son distributivas, cada una respecto de la otra.
B¡ : Existen n eutros en B, respecto de + y de . que se d enotan con 0 y 1,
respectivamente.
B6 : T odo elem ento a e B adm ite un com plem entario a ’, tal que
a+a’= 1
y
a. c ’ = 0
E je m p lo 7-2
Los siguientes son modelos del álgebra de Boole:
a)
Si U es un conjunto, entonces el co n ju n to P (U ), de las partes de U, c a í la unión
e intersección, constituye un modelo de álgebra de Boole. siendo el conjunto 0 y el
mismo U ios neutros para dichas operaciones. Además, todo subconjunto de U admite
un complementario que satisface B6 .
b)
Si B —j ” 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 3 o } = ( . r e N ¡ x | 3 o ) , + = V denota el
m ínim o común múltiplo, y . = a significa el máximo común divisor, entonces resulta
otro modelo de álgebra de Boole, donde los neutros son, respectivamente, 1 y 30.
7.3.2. Dualidad en el álgebra de Boole
Se llama proposición dual correspondiente a una proposición del álgebra de Boole, a
la que se deduce de ella intercambiando los signos de las operaciones + y . , y sus
elem entos ñtíuuüs 0 > i .
Así. los duales de los seis axiomas relativos a la operación + son los seis
correspondientes de la segunda operación.
El principio de dualidad establece que el dual de un teorema del álgebra de Boole es
también un teorema del mismo sistema axiomático. *
7.3.3. Propiedades del álgebra de Boole
Sea ( B . + . . ) un álgebra de Boole. Demostramos los siguientes teoremas··
1) Idempotencia
a e B => a . a = a
a e B =*■ a . 1 = a
por Bs
=» a . (a + a ' ) —a
por Bfi
=> a . a + a . a ’ =fl
por B<,
=* a . a + 0 = a
por B6
=* a . a = a
por Bj
Por el principio de dualidad se tiene
*
1’)
aeB=*a+a=a
11)<!+1 = 1
En efecto, por B6 , B3> I’ y B6 tenemos
a + 1 = a + (a + a*) = (a + a) + a ’ —
= a + a ’= 1
Por dualidad resulta
II') a . 0 = 0
III)
Ley involutiva.
a e B => ( a ’)’ = a
aplicando sucesivamente Bs , B6. B2, B4 , B , , B6 , B6 , B4 , B6 y B5 resulta
(a') = (a’)’ + 0 = (a') + (a . a’) =
= (a’)’ + ( a’, a) = [(a’)’ + a ’] . {{a’)’ + a} =
= [«' + (*’)’].[« + (<?’)’] = I . [a + (a’)’] =
- ( a + a'), [a + (a‘)'] = a + (a’ , (a’)’] - a 4 -0 = a
IV ) Le\ le De Morgan
i a + b)' —a . b ‘
CunsideErmos
(a + b ) . ( a \ b ’) = ( a ’ . b ’) . ( a + b) =
= [(a ’, b' ) , a \ + [(«’. b ’) . b\ =
= {{!>’. a ’) · a ] + [(a ’ · b ’) . b } =
[ b ' . ( a’ , a)] + [a ’. (&'. b )] =
-
= ( b ' . 0) + ( a ' . 0) = 0 + 0 = 0
O sea
( a + b ) . ( a ’ . b ’) = 0
(1)
( a + 6 ) + («’ . & ’) = 1
(2)
Análogsmente. se llega a
De ( 11 j (2) resulta
(a 4- b f = a ’. b ’
La »urna dual es
IV*’.
7.4.
i a . b ) '~ a + b~
SISTEMA AXIOMATICO DE PEANO
7.4.1. Teoría de Peano
El sistema axiomático de Peano es esencialmente ordinal, y define al conjunto de
los números naturales algebrizado con las operaciones de adición y multiplicación,
salvo isonorfismos. Consiste en
i ) términos prim itivos:
un objeto, que se denota con 1
un conjunto N # $
una función, llamada “siguiente” o “sucesor” , que se simboliza con “s” .
ii ) axiomas
Aj : el objeto 1 es un elemento de N, es decir
1 eN
A; : la función ' siguiente ' es una aplicación invectiva de N en N - i i ;.
s ■ N -* N —-.i i f·
es
1-1
Este axioma establece
a) todo elem ento de N tiene un sucesor y sólo uno.
b) el 1 no es sucesor de ningún elemento de N.
c) si dos elem entos de N tienen el mismo sucesor, entonces son iguales.
Aj : Principio de inducción completa. Si S es un subconjunto de N que
contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a /?,entonces S =
N,
Es decir» si S C N es tai que satisface
le S
h e S =*■ s (h) e S
, entonces S = N
Coincide con 6.4.2., y puede expresarse, de acuerdo con 6.4.3. de la siguiente
manera: si P es una propiedad relativa a los elem entos de N que satisface
i ) P ( I ) es V
ü ) P {h) es V =>F (s (/i)) es V, entonces P («) es V para todo « e N .
iii)
definiciones
I) de adición
a) a + 1 = s (a) cualquiera que sea a 6 N.
b'l a + $ (b ) = s (a + b) cualesquiera que sean a y b en N.
ü iife m ultiplicación
a ’* a \ - a para sodo J í N .
b» <i . s ib ) - a . b
a cualesquiera que sean a y b en N.
El sistema axiom ático se completa con otras definiciones y teoremas, de tus cuales
demostraremos algunos a manera de ejemplos.
Interesa ver que las definiciones propuestas en 1) y II) caracterizan leyes de
composición interna en N. Lo verificamos en el caso de la adición, para lo cual hay que
proDar, de acuerdo con la definición de ley interna, que la suma de dos elementos
cualèsquieia de N es u n único elemento de N, és decir
aeN
a
neN =»a+n
está unívocamente
determ inado en N, para to d o n e N.
En efecto, si S es el subconjunto de N form ado por los elementos n para los cuales
existe y es único a + n, se tiene
j ) n = i => a + i = s (ff) p0r I a) y por A2 , está unívocam ente determinado, es
decir, 1 e S.
i i ) Hipótesis) h e S.
Tesis) s (h ) e S.
D emostración)
h e S => a + h está unívocamente determ inado por la definición de S.
Por A 2 y por la definición I b), s (a + h ) = a + .? (h ) está unívocamente
determ inado, y en consecuencia s (h ) e S.
Luego. S = N, y por consiguiente, la adición definida en I) es una ley de
composición interna en N.
Con criterio análogo puede probarse que II) satisface la definición de ley de
composición interna.
De acuerdo con lo demostrado, si denotam os
2 = s (1)
3 - s (2 ), etc., para efectuar 3 + 2, procedem os así:
3 + 2 = 3 + s ( l ) = s (3 + I) = s <s(3)) = s { 4 ) = 5
teniendo en cuenta la definición de 2 , 1 b), 1 a), la definición de 4, y la definición de 5.
E jem plo 7-3.
Si consideramos las sucesiones
1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , ..........
1 , 1 / 3 , 1 / 9 , 1/27
vemos que satisfacen los axiomas de Peano, pero si los algebrizamos de acuerdo con su
teoría, se tiene
11 + 1 0 = 12
1/3 + 1 = 1/9
siendo estos resultados distintos de los de la aritm ética ordinaria. Se tienen, así, dos
modelos del sistema axiom ático, los cuales son isomorfos a N = ^ 1 , 2 , 3 , . . . j . En
últim a instancia son dos representaciones distintas de N.
7.4.2. Propiedades
Demostramos los siguientes teoremas de la teo ría de Peano.
1.
L a fu n ció n sucesor es sobreyectiva. En otras palabras, to do número natural
distinto de 1 es el siguiente de otro.
Hay que probar que la imagen de la función sucesor es el conjunto N —
Sea S el conjunto de las imágenes de los elementos de N.
i ) 2 = x (1) pertenece a S.
ii) Si h e S, entonces s (Ii) e S. En efecto:
h e S => h e N => i { h ) e S
2. La adición es asociativa en N
(a + b) + n = a + (b + n ) .
Demostración)
i ) h = J =» (a + b \ + 1 = s (fl + b) =
1)
= a + s ib ) = a + {b
Por i
i i ) {a +
b) y I
a)
b) + h = a + ib + h ) ^
(a + b ) + s ( h) = a + [b + s (/»)]
En efecto
(a + b) + s (A) = s [(a + 6 ) + h j
=
= s {a + (b + /(}] = a + s (b + h)
=
= a +¡6 + s (/i)]
Por I b ) , hipótesis y I b).
3. La adición es conmutativa en N.
Lo demostramos en dos situaciones:
I) n + ! = 1 -+ n
i ) « = 1=>1 + 1 = 14- 1
i i ) h + 1= 1 + h => s (A) + 1 = 1 + s (h )
En efecto
1 + s (/i) = 1 + ( h + i ) = ( l + h ) + 1=
= s(h) + 1
Aplicando la definición I a), la asociatividad y I a).
II)
a + n - n +a
i
ii)
) n = 1= * a + l = l + a
por I)
a + h = h + a =» a + s ( h) = s (h ) + a
Demostración)
a + s (fi) = a + (h + 1) = (a + //) + 1 —
= (h + a) + 1 = h + (a + 1) =
= /? + (! + a) — (h + 1) + a = i ( h) + a
En virtud Je I a), asociatividad, hipótesis, asociatividad, i ), asociatividad y I a).
4. E l 1 es neutro para la multiplicación, es decir, n . 1 = 1 . n = n.
En efecto,
i )//= 1 =»!.)=].] = ]
ii ) //. i = í . /i => s (h) . 1 = 1 , s (h)
Sea
s (/ i ). 1 = s (fi) = h + í =
= h .1 + S= ! ,h
+ 1=
= i , i Oí )
Se han utilizado íí a), la hipótesis y II b).
5. La muUplicación es distributiva respecto de la adición.
Se trata di probar que cualquiera que sea n e N
(a + b) , n —a . n + b . n
i ) n - 1 =>( a + 6 ) . l = a + 6 = a . 1 + 6 . 1
poilla)
i i ) (a \ - b ) . h = ¿ a . h + b . h => (a + b ) s { h ) = a . s ( h) + b . s ( h )
En efecto
(a + b ) . s (h) = (a + b ) . h + (a + b)
=
= ( a . h + b , h) + (a + b) — (a . k + a) + (¿s. h + b) —
= a . s ( h) + b . ${h)
donde hemos aplicado 11 b), la hipótesis, conmutatividad y asociatividad de
la sdición, y II b).
6. La muUplicackón es asociativa.
Id . b) , n ~ a ( b . «)
I ¡ n ~ i * \u . í » . ¡ ~ a . s - a . i b . i )
de acuerdo con II a),
i i ) (a b) , h - a . ( b . h) => (a. b ) . s (h) ~ a . [Z>. s(7i)j
Sea
(a. b ) . s ( h ) = (a. b ) . h + ( a . b) =
=■ a . ( b . h) + a . b —a . ( b . h + b') =
po¡ aplicación de II b), la hipótesis, distributividad y II b).
7.4.3. Otra forma equivalente de la teoría de Peano
En el conjunto N no figura como elemento el 0. Peano mismo lo introdujo en otra
versión de su sistema axiomático, y muchos autores prefieren incluirlo. En este caso no
se modifican los axiomas esencialmente, salvo que el 1 se sustituye p o r el símbolo 0.
Sin embargo, hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación, las cuales
adoptan las siguientes expresiones:
!) Adición
a)
a+0= a
b)
a + $ (b) -
a)
a. 0 ~ 0
b)
a . s ( b) ~ a . b + a
$ (a + b)
í l ) M u ltip licac ió n
En este caso se define 1 = s (0).
Ejemplo 7-1,
Demostrar
a, n = a + a + . . . + a =
y
L
¡=1
n
Hacemos inducción sobre n.
i
X a
i =l
i ) « = 1 =*> a . I = a =
h
a. h — ¿ a
i -1
i í ) Hipótesis)
Tesis)
Demostración)
a. (h + l ) -
r
í=l
a
1
Por definición fi b í
a , (h + l ) ~ a h -f-a
Por hipótesis
a . ( h + I) =
£ a +a
¡=i
Por propiedad de la sum atoria
a.(/i + l ) =
2 1 a
i«!
a
De este m odo queda demostrada la expresión habitual de producto de un número
nauiral a. p o r n e N, que se da como definición en la escuela secundaria.
E jem plo 7-5.
Se define la potenciación en N, mediante
a)
a1 —a
b)
«*<*> = a * . «
Demostramos las siguientes propiedades por inducción com pleta,
i ¡ D is trib u th iü a d respecto del producto.
l a . b )n = a ".b "
i ) n = 1 =» < a. b ) ‘ = a . b = a x . b x
por la definición ai
it ) ( a . b f = a h . b h =» { a . b f m = as W - ¿ !<h)
Por definición b). hipótesis inductiva, conm utatividad y asociatividad del
producto, y nuevamente por definición b ), resulta:
(a . b f <h) = (a. b)h , { a . b ) = ah . b h . a . b =
■■as
11) Regla del p ro du cto de potencias de igual base
am . a ” = a m * n
Hacemos inducción sobre n
i )
n — 1 =* a m . a { = am
por las definiciones a) y b).
nj
am . a h = a m * h
En efecto, si aplicamos sucesivamente la definición b), asociatividad del
producto, la hipótesis y las definiciones b) de potenciación v adición, resulta
am . a*i h) = am (ah . a) = (am . a h ) . a =
= c¡m-*-h
a
_
a s{m +h) = ¡¿m + s ( h
)
E jem plo 7-6.
En N s e define la relación de menor, mediante
a < b < *3 x e N / b = a + x
D em ostram os las siguientes propiedades:
í) T odo núm ero natural es m enor que su sucesor, es decir
n < s (n)
(1 )
i ) n = 1 => 5 (1) = 1 + 1 => 1 < s (1)
p o r las definiciones a) de adición, y (1).
i i ) h < s ( h ) => h + 1 < s (h + 1)
En efecto
s(/¡ + 1) = s (1 + / i ) = 1 + s ( h ) =
= 1 + (h + 1) = (/2 + 1) + 1
Entonces, por (1)
h + I < s ( h + 1)
i*I
*? ~
¡’I.«
114 f L4Í IViaWlVIl \j.v
ai rmfifítít.'a
U U < I u i w« v i ü . ^ i v j í «
a<b
y
b < c =* a < c
En efecto, por (1)
a<b
y
6 < c =»
'
=» 3 x , >· e N / 6 = a + x *\ c = i» + y =>
=> c = (a 4- .v) + y => c = a + (x + v)
=* a < c
■IV) Leyes de m onotonía
a)
b)
=*a+c<6+c
a< b
n c < d =>a + c < b + d
Demostramos a)
a < b =» 3 - t f N ¡ b = a + x =>
=> 6 + c — (a + x~) + c
=» b + c = ( a + c ) + x => b + c < a + c
La parte b) queda com o ejercicio.
7.5. ESTRUCTURA DE MONOIDE
7.5.1. C oncepto de estructura algebraica
En su forma más simple, una estructura algebraica es un ob jeto matemático
consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna
definidas en él. En situaciones más complicadas puede definirse más de una ley de
composición interna en el conjunto, y también leyes de composición externas. Según
sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición, se tienen los
distintos tipos de estructuras algebraicas, que s o n , exactamente, sistemas axiomáticos.
7.5.2. Estructura de monoide
No existe un criterio uniforme en cuanto a la definición de monoide. Claude
Chevalley, er Fundamental Concepts o f Algebra, lo introduce como un conjunto
dotado de ina ley de composición interna, asociativa y con elem ento neutro.
Adoptamos h definición que expone Enzo R. Gentile, en Estructuras algebraicas,
monografía b° 3 de la O.E.A., en la que se exigen m enos condiciones.
Definición
El par M , »}. donde M ^ í , y * es ana función, es un monoide si y sólo si * es
una ley de composición interna en M.
En este sstema axiomático los términos primitivos son M y * , y ei único axioma
establece que * es una función de MJ en M.
Son modelos de monoides los conjuntos N, Z, Q, R y C, con la adición ordinaria de
números.
En cambio, el par (N, - ) no es un monoide, ya que la sustracción no es ley de
composicióninterna en N.
El par (N *), donde * está definida mediante
a * b - máx f a , b \
tiene estructura de monoide.
7.6. ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO
Definición
El par (A, *), donde A ¥= <¡>y * es una función, es un semigrupo si y sóio si * es
ley interna y asociativa en A.
En otras palabras, un semigrupo es un monoide asociativo.
En parti«ular, si la ley de composición es conm utativa, entonces el semigrupo se
iiama conm ita tivo: y si existe elemento neutro, se dice que el semigrupo tiene unidad.
El e¡em enteneutro sueie llamarse identidad.
Ei par (fl , + j es un semigrupo conmutativo, sin neutre·. En cambie (N„ , +* '>ene
elemento neutro 0.
El objeto (N , .) es un semigrupo conmutativo, c o i elemento neutro o identidad
igual a 1.
Ejemplo 7-7,
Sea (M ,* ) un monoide. Se definen los elementos identidad (o neutro) a izquierda o
derecha, mediante
i ) f t ' M e s identidad a izquierda ·«· V a : a e M => e * a = a
i i ) e ; M es identidad a derecha « · V í : a e M => a * e — a
Es claro que los elementos de identidad, si existen, lo son respecto de *.
Demostrar que si c ’ y e ” son identidades a izquierda y a derecha del m onoide,
entonces e ’ = e ”.
e ” = e ’ H=e” = e '
Por ser e ' neutro a izquierda, y e " neutro a derecha.
Si un m onoide tiene identidad a izquierda y a derecha, se dice q u e tiene
identidad.
E! monoide (Z. ■-) tiene sólo identidad a derecha, y es 0. pues
V x · x e Z «· x ~ 0 - x
Ejemplo 7-8.
Sean A =£ <¡¡. y Aa e! conjunto de todas las funciones de A en A. es decir
AA = [ / ■ / / : A -* A }
Entonces, si "o" denota la composición de funciones, el par (A a . «) es un
semigrupo con elemento neutro o identidad. En efecto
A t : f e A A a g e Aa =» / : A -*A
a g : A -» A => g « / : A -*A
Es decir, la composición es ley interna en A a .
A2 : asociatividad
/ , g , h e Aa =» (h o g ) * f = h o ( g a f )
ya que la composición de funciones es asociativa.
A 3 : Neutro es fA £ Aa , ya que
fA ° f ~ f ° ¡A ~ f
Ejemplo 7-9,
cualquiera que sea
/ e Aa .
»
Sea (M. *) un monoide con neutro o identidad e e M
Por definición
i ) a t eM es inverso a izquierda de a e M, respecto de *, si y sólo sí
a,
*a = e
i i ) a2 e M es inverso a derecha de a e M, respecto de *, si y sólo si
a * a 2 —e
ii
i ) a ’ es inverso de a respecto de *, si y sólo si lo es a izquierda y a derecha, es
decir
a’* a = a * a ' = e
í.n este caso, se dice que a e M es un elem ento inversible del monoide
Sea el monoide definido por la siguiente tabla:
a
b
c
d
i
b c d
a
á
b
c
a
b
c
d
a
c
d
b
a
d
c
b
De la observación de la tabla surge que el neutro es b.
Determinamos los inversos:
c k ïïicn iu s
a
b
c
d
inversos a izquierda
c
b
d
d
a derecha
-
b
a
c
inversos
_
b
-
d
TRABAJO PRACTICO VII
7-10. Sea un sistema axiomático compatible, con los axiomas A l( Aa , . . . , A„. Par
definición, el axioma A, es independiente si y sólo si el sistema cuyos axiomas
son A , , A2, . . , , A,_ 1, — A i , . . , , A„, es compatible.
Demostrar la independencia de los tres axiomas del ejemplo 7-1.
7-11. Se considera el siguiente sistema axiomático
i ) términos primitivos: A # 0 y R C A2'
i i ) axiomas
A i - a ^ b => ( a, b ) e R
A 2
'■ ( a ,
b)
e
R =» a
A3 ( a , b ) e R
v
(b , á ) e R
£>
(b , c) £ R => {a , c) £ R
a
A 4 : c (A) = 4
D emostrar
í.
(a.b)eR =*(b,a)0R
II.
x¥=a
a
a
(a
, b)eR
=* (a , x ) €
R
* ( x
, b)
£
R
7-12. Sea (B , + , . ) un álgebra de Boole. Demostrar
I. 1’ = 0 A 0 ’ = 1
II. El complementario de a e B, es único.
III. a + ( a . b ) — a ·
a
a . (a + b) = a
7-13. D em ostrar que en N n o existe neutro para la adición, es decir
aeN
a
b e t i = * a + bJ=a
7-14. D em ostrar en N
a^b
=>a+n¥=b+n
7-15. D em ostrar que la multiplicación es conmutativa en N en las siguientes etapas:
i ) n. 1 = 1 . n
ii) s(b). n = b . n + n
iii) a. n = n . a
7-16. D em ostar en N
i ) i < b => a . c < h . c
i i ) j< . b a c < , d = > a . c < b . d
iii) <. 2> = 1 =» a = 1 a 6 = 1
7-/7, Ver¡fie:r si (M , * )es un monoide en los siguientes casos
i ) M= N
a * b —a ~ b
ii) M = 1
a * b —a - b
iii) M = R 2 *2
A * B = A —2 . B
7-18. Demostrar que en todo semigrupo se verifica
i | (a * b ) * c * d = a * ib * c) * d —a * b * (c · d )
ii
] am * a n = a m+n
siendo am = a * a * . . . * a y m f N
y neN
7-19. Sean (A , *) un semigrupo y tj> ¥= S C A. Por definición <S , *) es un
sub-senigrupo de (A , *) si y sólo si (S , *) es un semigrupo.
Demostrar que la intersección de toda familia de sub-semigrupos de A. es un
sub-s*migrupo de A.
7-20. Sean (A , *) un semigrupo y S una parte no vacía de A. La intersección de todos
los sib-semigrupos que contienen a S se llama sub-semigrupo generado por S, y
dome cada S¡¡ es un sub-semigrupo que contiene a Y
Si S= A, entonces se dice que A esta generado por S,
Verilear, para (N , + ) y (2 , +)
Capítulo
ESTRU C TU R A
DE
8
G R U P O
8.1. INTRODUCCION
*
La estructura de grupo es un sistema axiom ático básico y fundamental de la
matemática y puede ser encarada imponiendo condiciones a las estructuras de m onoide
o de semigrupo, introducidas en el capítulo anterior. No obstante, como es habitual, la
proponem os a q u í independientem ente de aquellos conceptos, los cuales suelen
obviarse en los cursos básicos. Después de encarar las propiedades generales y exponer
ejemplos, se estudian los subgrupos, grupos finitos, grupos cíclicos, los homomorfismos de grupos y el concepto de grupo cociente.
8.2. EL CONCEPTO DE GRUPO
8.2.1. Definición d e grupo
Sean un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *) es un grupo si y sólo si
* es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite
inverso respecto de * . .
fin forma simbólica, se tiene
Defmieion
(G , *) es un grupo si y sólo si se verifican los axiomas
Gj
* : G - ~*G
G 2 . Asociatividad
V a V b V c : a , b , c e G =*■ [a * b) * c = a * (b * c)
G 3 . Existencia de elem ento neutro o identidad
3 e e G / Va : a eG = > a * e = e * a = a
I:STRUC'1URA 1)1·: GRUPO
G_¡ . E xistencia de inversos
V a e G , 3 a ' e G / a * a ’ = a ' * a —e
Si además se verifica
G s . Conm utatividad
V aV 6:a,6eG =>a*b=b*a
entonces el grupo se llama conm utativo o abeliano.
Ejemplo 8-1.
En el conjunto Z de los enteros se define * mediante
~
~
¡
\*l
Ei par (Z. *1 es un grupo abeliano. En efecto, se verifican:
G¡ . * es ley interna en Z. por (1)
G, , * es asociativa, pues
( a * b ) * c —( a + b + 3 ) * c = a + b + 3 + c + 3 =
—
a + b + c + 6
(2)
a * ( b * c ) = a * ( b + c + 3) — a + b + c + 3 + 3 =
= a + b+ c + 6
(3)
De (2) y (3) resulta
(a * b) * c = a * (b * c)
C3
Existe neutro en Z respecto de *
Si e es neutro, entonces a * e = a.
Por d ) a + e + 3 = a y resulta e = — 3.
Análogamente se prueba que —3 es neutro a izquierda.
G4 . T o d o elem ento de G es inversible respecto de *
Si a ' e s inverso de a. entonces debe verificarse
a * a ’= e
Teniendo en cuenta (1) y que e = — 3
a + a ’ + 3 '= — 3
Luego
a ’ = — 6 —a
De m odo análogo se prueba que es inverso a izquierda.
Ci, . * es conmutativa, ya que
a* b = a + b + 3 = b + a + 3= b *a
ele acuerdo con (1) y con la conmutatividad de la suma ordinaria en Z.
E jem plo 8-2.
i ) Las siguientes interpretaciones constituyen modelos de grupos abelianos:
(Z , + ) , (Q , + ) , (R , + ) , (C , + )
como la operación es la suma, se llaman grupos aditivos.
i i ) En cambio no son modelos las interpretaciones
(N, + ) pues no existen neutro en N, ni inverso de cada elemento.
(N0 , + ) ya que si bien existe neutro 0, los demás elementos carecen de
inverso aditivo.
<Q . . ) no verifica G * , porque 0 carece de inverso multiplicativo.
(R , . ) p o r la misma razón.
iii) Son grupos
(Q — { o } . .)
y
(R —{ o } , .)
E je m p lo , 8-3.
Sean A #= <¡>, y T (A ) el conjunto de todas las funciones bíyectivas de A en A, es
decir
T (A ) = <j"/: A -» A / / es biyectiva j·
Entonces (T (A ) , °) es un grupo, donde
es la composición de aplicaciones.
En efecto
G , . La composición de aplicaciones es ley interna en T (A), pues
/
a
g e T (A) => g a f e T (A)
ya q ue la composición de aplicaciones biyectivas de A en A es una función biyectiva de
A en A, según 4.6.5.
G 2 · La composición de funciones en T (A) es asociativa
h . g , f e T (A ) =* h o (g o / ) = (h o g·) o f
por lo demostrado en 4.6.2.
G 3 . La función i A e T (A) es neutro para la composición.
La función identidad en A, definida en 4.5.2. mediante
ia
(*) = x
para todo
x
e A,
es neutro a izquierda y a derecha, ya que es biyectiva de A en A, es decir, es un elemento
de T (A), y satisface
/ o íA = i A a f —f
cualquiera que sea f e T (A)
■ ¡rWmmmsmr: -asgae. -
.
ESTRUCTURA DE GRUPO
228
como es fácil verificar usando la definición de composición y de funciones iguales.
G4 . T odo elemento de T (A) admite inverso respecto de la composición.
S i / e T (A ),entonces es una función biyectíva de A en A, y admite in v e r s a /'1, por
4.7.2. II, la cua! es también biyectíva de A en A, es decir, un elem ento de T (A).
El grupo (T (A) , *) se llama grupo de las transformaciones de A.
8.2.2. Cuestiones de notación
Sea (G , *) sin grupo. .
i ) Si la '.ey de composición es aditiva, suele denotarse con el signo + , y si a e G.
entonces su inverso aditivo suele llamarse opuesto y se indica a ’ = -a,
ü ) Si la ¡ey * es multiplicativa se la indica con
el inverso multiplicativo de
cada elemento a se escribe a’ ~ a l y se dice que es el recíproco de a.
iii) En ocasiones, al referimos al grupo (G , *), cometiendo u n abuso de lenguaje,
diremos el grupo G, sobreentendiendo la referencia a la ley de composición
interna.
8.3. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS
8.3.1. Unicidad del neutro y del inverso
De acuerdo con lo demostrado en 5.3.5. y 5.3.6., el elem ento neutro es único y el
inverso de cada elemento es único.
8.3.2. Regularidad
Los elementos de todo grupo son regulares.
Hipótesis) (G , *) es grupo
a · b —a * c
b* a ~ c *a
Tesis) b — c
Demostración)
Por hipótesis
a* b~a *c
■·
Componiendo a izquierda con a \ inverso de a
a ’ * (á * b ) = a ’ * (a * c)
Por asociatividad
(a’ * a) * b = {a * a) * c
P or G4
e* b= e* c
Por G 3
b= c
Análogamente se prueba la regularidad a derecha.
La regularidad significa que la ley cancelativa es vàlida para todos los elementos del
grupo,
8.3.3. Ecuaciones en un grupo
Sea (G . *) un grupo. Entonces, cada una de las ecuaciones b * x - a y x * b ~ a
admite solución única.
Componiendo los dos miembros de la primera ecuación a izquierda con b \ se tiene
b' * i b * x ) — b ’ * a
Por Gs
( b ’ * b) * x — b ’ * a
Por G 4
e * x ~ b' * a
Por G 3
x = h'*a
La unicidad de la solución se debe a la unicidad del inverso, y al hecho de que * es
una función de G 2 en G.
El trabajo es análogo considerando la segunda ecuación.
En particular, se presentan estos casos:
i ) Si el grupb es aditivo, ia ecuación x * b —a se traduce en
*1?- u
y ia solución hallada, es .v = «/->· ( - j>), ¿onde
-x e! inverso de b
Por definición, la suma de un elemento con ei opuesto de o tro se fiama diferencia
entre los mismos, y se escribe
x = a —b
Vinculando este resultado con la ecuación propuesta, queda justificada la
trasposición de términos de un miembro a o tro de una igualdad.
ii ) Supongamos un grupo multiplicativo, y la segunda ecuación, que se convierte
en
/»3 com poner a derecha con el inverso multiplicativo de b, resulta la solución
x = a . b~l
í , - definición, el producto de u n elem ento del grupo p o r el inverso multiplicativo
le i i: »se llama cociente y se expresa
E ntonces, en los grupos multiplicativos numéricos es lícito el pasaje de factores
10 nulos de un miembro al otro, com o divisores.
*3.4. Inverso de la composición
c
Ln todo grupo, el inverso de la composición de dos elem entos es igual a la
r -sicián de los inversos en orden perm utado.
Se 'rata de p ro b ar que
(a * b )' = b ' * a '
A rres de entrar en el detalle de la demostración, proponem os dos resultados útiles
i » Cualquiera de las ecuaciones a * x = a
ó x * a = a admite la so lu ció n x = e
Si consideramos la primera, después de com poner a izquierda con a \ se llega a
■: = e, y análogamente en el segundo caso componiendo a derecha con el mism o a ’.
íi) Cualquiera de las ecuaciones a * x = e ó x * a = e admite la solución x - a ’,
a * x - e; luego de componer a izquierda con a ’, se tiene x = a ’. El mismo
•es.'.: :do se obtiene a partir de ia segunda ecuación, después de com poner a derecha
'' -1-J .
«i) Demostramos ahora la proposición inicial,
rlipóíesis) {G , *) es grupo
Tesis) (a * b )' —b ’ * a ’
Demostración)
Una traducción de la propiedad i i ) es la siguiente: si la composición de dos
tíos as el neutro, entonces cada u no es el inverso del otro.
Sea entonces
(a * b) * ( b ’ * a ’ )
Aplicando sucesivamente G 2, G4 , G 3 y G4 , resulta
(a * b) * ( b ’ * a ’ ) = a * (b * b ’ ) * a ’ * e * a = a ’ * a = e
f p er i¡ ), se tiene
(a*by = b’ * a ’
Y también
( ¿ ’ * a ’ )’ = a * b
8.4. SUBGRUPOS
I
i
8.4.1.
S
]
Definición
|
El subconjunto no vacío H, del grupo G, es un subgrupo de (G , *) si y sólo si
(H , *) es grupo.
Ejemplo 8-4.
'
i ) Todo grupo (G , *) admite como subgrupos al mismo G, y ai conjunto cuyo
único elemento es e. Ambos se llaman subgrupos triviales de (G , *).
i i ) ( Z . + ) es subgrupo de ( Q , +).
'
iii) El conjunto de los enteros pares, con la adición, es un subgrupo de (Z , +).
En cambio no lo es el conjunto de los enteros impares con lamisma ley, ya
que la suma de dos enteros impares es par y no se verifica G ! .
iv) E! grupo de los cuatro elementos de Klein consiste en el conjunto
A=
. b , c , d~ j , con la ley de composición definida por la tabla
a b c d
a
b
c
d
a
b
c
d
b
a
d
e
c d
d c
a b
b a
Su construcción es simple, observando las diagonales y la sim etría que se presenta
respecto de ellas.
Es fácil verificar que el grupo es abeliano, y que cada elemento se identifica con su
inverso, siendo el neutro a.
Un subgrupo de (A , *) es H = < ./ . b j .
En cambio, no lo es el subconjunto H' = ( a , b , c j ya que b * c = d 4 H \
8.4.2. Condición suficiente para la existencia de subgrupo
En el ejemplo 8-4 se ha verificado que no toda parte no vacía de un grupo es un
subgrupo. Además de ser una parte no vacía, la definición exige que tenga estructura
de grupo con la misma ley de composición. Ahora, bien, esto obliga a la investigación
de los cuatro axiomas, y resulta conveniente disponer de alguna condición más
económica, que permita decidir si se trata de un subgrupo.
j
j
|
i
1
Teorema
Si H es u r subconjunto no vacío del grupo (G , *), que verifica
aeH a
b e H =*■ a * ft’ e H
entonces ( H , *) es un subgrupo de (G , *).
Hipótesis) (C , *) es grupo
0ÉHCG
<ríH a
b e l i =>a *£>’ e H
Tesis) ÍH , * i es subgrupo de (G , *)
Oemostraciói)
Debemos probar que se cumplen los axiomas de grupo para H,
I) La asoíiatividad de * en H se verifica por ser H C G,
II) El neutro pertenece a H. En efecto
H^ ( ¡ > = > B a e H
Por hipótesis y definición de inverso
aeH
/
a e ü = » a » í ’ e H ·» e e H
III) Todo elemento de H admite su inve n o en H.
Sea a e H .
Por II y por hipótesis
e e H a aeH =>e*a’ e H =>s'eH
IV) H es ¿errado para la ley *.
Sean a zì i a b e H.
Por III, por hipótesis y p o r inverso del inverso, se tiene
aeH
a
¿eH
=»aeH
a
b ’ e H = > a * ( b ’ Y e H=*
=* a * b e H
Lo demostrado en I, II, III, IV prueba que (H , *) es un subgrupo de (G , *). Esta
condición suficiente es obviamente necesaria. Se la utiliza en la práctica de la siguiente
manera: de acuerdo con la hipótesis del teorema, para que H sea un subgrupo de
(C , *) debenos probar
i )H±0
ii)HCG
iii)
Si dos elementos cualesquiera pertenecen a H, entonces el primero,
compuesto con el inverso del segundo, debe pertenecer a H.
Ejemplo 8-L
En R3 definimos la suma de pares ordenados de números reales
(a,b) + ( c , d ) = ( á + c , b + d )
(1)
Comprobamos que (R 2 , + ) tiene estructura de grupo abeliano, ya que se verifican:
G t . La suma de pares definida en (1) es ley de composición interna en R 2 .
G2 . Asociatividad.
[ ( a , b) 4- ( c , d )] + ( e , / ) = (a + c , h + d ) + ( e , / ) =
= ((a + c) + e , ( b + d) + / ) = (a + (c +· ( ) , b + ( d + / )) —
= ( a . b ) + ( c + e . d + / ) = ( a , b ) + {(c , d ) + ( e , f )
Por (1), asociatividad de la suma en R y (1).
G3 . Neutro es el par (0 , 0) , ya que
te . b) + ( 0 , 0 ) * i 0 . 0) + (a , b ) - i a . b )
G4
Inverso aditivo u apuesto del par ( a , b), es el par (—a . —b), pues
(a , b) + (— a , — b) — (— a , — b) + (a , b) = (0 ,0 )
G s . Conmutativídad.
(a . b) + ( c , d ) = (a + c , b + <I) = (c + a , d + b) =
= ( c , d ) + ( a , b)
Por (1), conmutativídad de la suma en R , y (1).
(R 2 , +) es el grupo abeliano de los pares ordenados de números reales con la suma
ordinaria de pares.
Ejemplo 8-6.
Sean el grupo (R 2 , + ), y
Es claro que un elem ento de R 3 pertenece a H si y sólo si la segunda com ponente es
el duplo de la primera.
Comprobaremos que (H , + ) es un subgrupo de (R J , +).
Verificamos las hipótesis de la condición suficiente demostrada
i i Hsé 0, ya que ( i . 2i e H,
s i ) H C G p o r la definición de H.
iii) Sean ( a . h ) e H y (c , d ) e H; debemos probar que
( a . í») + (— c’ , - d) e H.
En efecto:
(a , b)
6
H
a
( c .
d) e H =» b = 2 a
a
d = 2
=» (a - c , b — d) e H =» ( a , b) + (— c , —d ) £ H
=» b
e
—
d = 2
(a —
c) =*
'
Hemos utilizado la definición de H, la sustracción en R, la definición de H, y la de
suma de pares.
jiá lic a m e n íe , H consiste en la recta que pasa por el origen, de ecuación
y = 2x
y
E je m p lo 8-7.
En el ejem plo 5-8 está comprobado que el conjunto R * xm de las matrices reales de
n alas y m colum nas, con la adición de m atrices, es un grupo abeliano. En particular, si
m = n , las m atrices se llaman cuadradas, y se tiene que (R "* " , + ), es el grupo abeliano
de las m atrices cuadradas n X n, con la adición.
C onsiderem os el conjunto H de las matrices cuadradas, tales que at j = a¡ ¡, llamadas
sim étricas, es decir
H = { A e R " x" / « » = * * }
^Esto significa que los elementos que son simétricos respecto de la diagonal a¡ ,·, con
í = l , 2 , . . . , n , son iguales.
R esulta (H , + ) un subgrupo de ( R n * " , + ) . En efecto
i ) La m atriz nula N f H =* H & 0
i i ) H C R n *n por definición de H.
iii) Sean
A eH
a
B e H => a( í —Uj i
a
b f j - b j i ■**·
=> a¡¡ - b u = ají - bj¡ => A + (— B) e H
Hemos aplicado la definición de H, la sustracción en R y las definiciones de suma de
matrices y de matriz opuesta.
(H , + ) es el subgrupo de matrices simétricas n X n.
Ejem plo 8-8.
Sean (G , *) un grupo, a un elem ento fijo de G, y H el conjunto de los elementos de
G que conm utan con a , es decir
H = | .v € G / a * x = x * a j>
Resulta H un subgrupo de (G . *),
i ) como a * e - = e * a = > e e H => H =?=0
i í ) H C G por definición de H.
*
iii)
Sean m y n elementos de H, Debemos probar que m * n ' e H.
Por definición de H
m eH
a
n e H = *a*m = m*a
=*a*tn = m * a
a
a
a * n = n * a =>
n ' * a ’ — a ’ * n ’ =>
=> (a * m) * ( n ’ * a ’ ) = ( m * a) * ( a’ * n ’ ) =»
=> a * ( m * n ’ ) * a ’ = m * (a * a ’ ) * n ’ =*■
=» a * (m * n’ ) * a ’ = m * n ’ **
=> a * ( m * n ’ ) = { m * t i ’ ) * a =*■
=» m * íi 'e H .
Además de la definición de H hemos utilizado inverso de la composición, la
asociatividad, G4 , y la composición a derecha con a.
8.5.* OPERACIONES CON SUBGRUPOS
8.5.1. Intersección de subgrupos
Sean (G , *) un grupo, y ^G,j> ¡eJ una familia de subgrupos de (G , *),
Teorema
La intersección de toda familia no vacia de subgrupos de (G , *) es un subgrupo.
Hipótesis) (G , *) es grupo.
{ c , } es tal que ( G ¡ , *) es subgrupo de G, V i e I
Tesis) ^ i í
G, , * j es subgrupo de (G , *)
Demostración)
i ) Vi
G,·, pues ( G , , * ) es grupo
entonces, po r definición de intersección
e e C lG j => H G í # ^
leI
iel
ii) 0
Gj C G por definición de inclusión
iií) Sean
n
a y
b e» IG, *> a eG ¡
Í€l
a
b e G j , V i =*
=** a * b ' e G,·. V i => a * h ' e f \ G¡
¡el
Por las definiciones de intersección y de subgmpos.
8.5.2. U nión de subgmpos
La propiedad anterior no se verifica en el caso de la unión. Para ello basta un
coatraejetnplo: sean H , y H2 dos subgrupos distintos de (R 5 , +), y no triviales, como
lo muestra ia figura
Si x e H ,
a
y e H j , entonces
xeH , UH2
a
jie H j U H 2
y sin embargo
x + y $[H, U H j
Es decir, la unión no es cerrada para la suma de pares, y por lo tanto no es m i '-.- iu í .
d e (R 2 ,+ ) .
Ejemplo 8-9.
Sean ((i' , *) y (G” , **| grupos, En ei producto cartesiano
G = G’ X G”
se define la ley de composición “ · ” mediante
( a , b) · (c , d ) — (a * c , b * ’ d )
(!)
Entonces (G . · ) es un grupo, llamado producto de los dados.
Ver itleamos ios axiomas:
G , . · es ley interna en G — G' X G " por (1)
(, , , · es asociativa, pues
[(a , b ) · (c , cf)] · (e , / ) = ( a * c . b * ' d ) ·
(e ,/) =
= ((a * c) * e , (b * ' d ) * ' f ) = (a * ( c * e) , b * ' ( d * ' / ) ) =
= (a , b ) * (c * e , d * ' / ) - (a , b ) · ((c . d) · {e , f ) \
Hemos utilizado sucesivamente: ia definición (1). G ; en G' y G ” , y la definición
( 1).
G 3 . Neutro es ( e ’ , e "), es decir, el par ordenado de los neutros de G' y de G".
En efecto, p o r (1 ) y G 3 en G ’ y G "
(« . b) * ( e’ , e ” ) = ( e ’ , e ” ) · (a , b ) = (a , b)
G4 . Inverso de (a . b) es (a 1 . b '*), donde a ' 1 y b~l son los inversos de a y b en
G' y G " respectivamente, pues
( a , ¿) · (a * 1 . b ~ l ) = (a~' , b ~l ) · (a , b) = (e‘. e ”)
*
8.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
8.6 !. Concepto
Retomamos, en el caso particular de ¡as « stíu a u ra s de grupo. !c expuesto en 5 4 ?n
relación con los morftsmos.
Sean ahora los grupos (G . *) y ( C , *'),
Definición
La función / : G -*■ G ' es un homomorfismo si y sólo si 1a imagen de la
composición en G es igual a· la composición de las imágenes en G \
En símbolos
/ : G -*G '
es homomorfismo ·**■ f (a * h ) = f ( a ) *' f ( b )
l n un diagrama
f i a * b ) = f (a) * ' f ( b )
l
¡v.rticular, el morfismo puede ser monomorfismo, epimortlsmo, endomortismo,
isotr. ■í,' »rao o autom orfism o, de acuerdo con las definiciones 5.4.2.
Ejemr'.o 8-10,
S- ,:s !c*s grupos aditivos (R 2 x í . + ) v ( R . +).
Lú ,n e i ó n / : R 2 * 2 - » R definida por
= { a + d ) + i > t ¡ + ({ ) = f \ J ^
d
b l J + f {! ; m
-Lf>
11: I
(tj.
= /(A )+ /ÍB ).
Hemos aplicada la definición de suma de matrices, de f
a s o c i a , dad de la suma en R y la definición de / .
conmutatividad y
8.6.2. Propiedad
Si / : G -*■ G' es un hom om orfism o de grupos, entonces la imagen del neutro del
primer grupo es el neutro del segundo grupo.
Se traía de probar que f i e ) = e\ donde e’ denota el n eutro de G’.
En efecto cualquiera que sea x e G, por G3 , se tiene
x * e= x
Fn ion jes
f ( x * e) = f ( x )
l».vr definición de homorfismo
J ix) *'f (e) ~ f (x)
Por G 3 en el grupo (G ’ , *')
f{x) *'f(e) = f{x)*'e’
Y por ley cancelativa en G’ resulta
f(e) = e’
8.6.3. Propiedad
Si / ; G -* G' es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen de! inverso de
todo elem ento de G es igual al inverso de su imageti.
Es decir
Cualquiera que sea .r en G, por G4
x * jf~ ' = e
Entonces
f{x*x~l)=f(e)
Por definición de homom orfism o y po r 8.6.2. se tiene
f(x) *'f(x'l)= e’
Por 8.3.4. i i ) resulta
/(* '* ) = [A *)]'1
, En un diagrama
«
.8.7. NUCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS
8.7.1. Núcleo de un hoinom orfbino de grupos
Sea / : G -* G' un morfismo de grupos. La determinación de los elementos del
primer grupo, cuyas imágenes por / son el neutro del segundo grupo, conduce a un
subconjunto de G, llamado núcleo del honromorfismo.
Definición
Núcleo del homomorfismo / G -* G' es la totalidad de los elem entos dte G.
cuyas imágenes p o r / 'se identifican con el neutro de G \
Es decir
N (/)= (.ie G //W
= « '}
Es claro que el núcleo de / e s la preimagen de
De acuerdo con !a definición, se tiene
x e N ( / ) o /( jc ) = e‘
Esto significa que para verificar que un elem ento pertenece al núcleo es suficiente
probar que su imagen es e’.
Ejemplo 8-1/.
El núcleo del homomorfismo del ejemplo 8-10 consiste en las matrices 2X2 tales
que
En consecuencia, al núcleo de / pertenecen todas las matrices del tipo
[a
b]
Lr - a j
En este
los ¿Semen tos tle ¡a diagonal son opuestos o de suraa cero, a de íra/.a
nula, ssenúo por definición la tra/a de una matriz la sum a de los «iem enu» de
la diagonal. En general, la notación para la traza de una matriz A e R ” x" es
8.7.2. Propiedad
El núcleo de todo homomorfismo de grupos es u n subgrupo del primero.
Hipótesis) (G , *) y (G’ , *’) son grupos.
/ : G ->G ' es un homomorfismo.
Tesis) (N ( / ) , * ) es subgrup o de (G , *).
Demostración)
i ) Por 8.6 .2 ./ ( e ) = e ' => e e N ( / )
N ( / ) ,* = 0
i i ) N ( / ) C G por definición de núcleo.
iii) Sean
a y í> e N (/) = > /( a ) = e ’
~ / ( « ) = * ' /·
= > f(a )-e ’
a
/(£>) = e '* >
| / ( » ] * ‘ = e " ‘ =*
a
=
=»
*» f i a * 6 " 1) = e' *» .·? * b ~ l e N i f l
Por definición de núcleo, imagen del inverso (8.6.3 .), inverso del neutro, com­
posición en G’, homom orfism o y definición de núcleo.
En virtud de la condición suficiente 8.4.2., resulta (N ( / ) , *) un subgrupo de
( G , *).
8.7.3. Propiedad
El homomorfismo / G ·* C es invectivo, es decir, un monomorfismo si y sólo si ei
núcleo es unitario.
Sea N ( f ) el núcleo del homomorfismo f : G -* G'
La demostración es inmediata, porque si en el núcleo hubiera otro elemento
distinto de e, entonces dos elementos distintos de G tendrían la misma
imagen p o r/ , y no seria una función inyectiva.
En efecto, sean x, y e G tales que f ( x ) = / ( y ) .
Componiendo con el inverso ú e f ( y ) , en G’
/ ( * ) *’ [/<>>)}-* = / ( > ) * ’
P or 8.6.3.. y p o r C4 en ÍG ’ . *')
f í x ) * ' f i y ~ > i - e‘
Por definición de homom orfism o
f ( x * y ~ l ) = e’
P o r definición de núcleo
x * y ~ l e N (/)
Por ser N ( / ) =
resulta
x *y~x = e
Com poniendo a derecha con
x * y ~1 * y = e * y
O sea
x - y
y / e s inyectiva.
8.7.4. Imagen de un hom om orfism o de grupos
Sea / : G - * G ' un m orfism o de grupos.
D efinición
Imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los
elem entos del primer grupo.
La imagen de un m orfism o de grupos es la imagen de la función que lo define, es
decir
I { / ) = ( / < * ) eG’ /xeG j·
O bien
l(/)
=\yeG'i"3xeG
a
f ( x) = y \
Es claro que si el morfismo es un epimorfismo, es decir, si / es sobreyectíva.
entonces 1 ( / ) = G ’. En el siguiente diagrama se tiene una representación de N ( / ) y
de l ( f )
<G , *)
(G’ . *’)
En el caso del ejemplo 8-10, / e s un epimorfismo, pero no es monomorfismo.
8.7.5. Propiedad
La imagen de todo homom orfism o de grupos es un subgrupo del segundo,
Hipótesis) (G , *) y (G’ , *’) son grupos.
/ : G -*-G’ es un homomorfismo.
Tesis) (1 ( / ) , * ' ) es subgrupo de (G1, *)
Demostración)
i ) C o m o /( e ) —e ' => e 'e 1 { / ' ) => I ( f ) · * · <j>
n ) l ( / ) C G · por definición de 1 { / )
ni) Sean v,
a y2 e I(/)
Entonces, por definición de imagen,, 3 t ¡ y x 2 en G, tales que
/ ( * , ) = Vi
'■ /(-V2 ) = F2
Por inversos en G"
/ ' Í X i ) = J ,
A
[ / ( X
2) r
'
=
V
’1
Por inverso de la imagen
Por composición en G ’
f { x i ) * ' f i x ¡ >) = } \ * ' y ¡ '
Por homomorfismo
r,
-I.
. ”1
/(X, * x 2 ) = J 1 * Vj
y com o X\ * x ¡ ! € G. p o r definición de imagen, se tiene
r , *'>■*' e I ( / )
En consecuencia, según 8.4.2., resulta que
(I ( / ) . * ’)
es un subgrupo de (G ’ , *’)
E jem plo 8-12.
Sea G 3 el conjunto de las tres raíces cúbicas de la unidad, es decir, de las soluciones
complejas de la ecuación
x3- 1= 0
El factoreo del primer miembro conduce a
U - l ) . ( x 2 + x + 1) = 0
Entonces
x - 1 = 0 ó x 2 + .x + 1 = 0
La resolución de estas ecuaciones conduce a las tres raíces cúbicas de 1:
-Y! = 1
.
X 2 = ----- ,
. V3
+ /
x3= -
“
1
. x/3
- I —~
que llamamos, respectivamente, Zo.Zi y z 2. En el capítulo i l veremos que las n raíces
«-simas de la unidad están dadas por la fórmula
2 k r > ,
2kr.¡, — eos —----- -5- 1 s e n -----------= e
n
n
n
donde k toma los valores enteros 0 .1 , 2 ,. . . , w ~ 1.
En el caso particular de las raíces cúbicas, la fórmula anterior adopta la expresión
2kn , .
2k n
ii r i zfe = eos — ------- ( - 1 sen — -— = e
H
3
3
donde k = 0, S, 2. Por definición de raíz cúbica se verifica
zh e G j ·» -^ = 1
Nos proponemos probar que G3 es un grupo multiplicativo abeliano. y además
obtener un método para el producto.
i ) (G 3 . . ) es grupo conmutativo.
i) El producto es ley interna en G 3. En efecto
3
i .
zh e G 3 a z, e G j =»
= 1 a
3
1,
= 1 =*= i**
=» (Zh . Z¡f = 1 => Zft , 2; e Gj
II) El producto es asociativo en C 3. A quí nada hay que demostrar, pues
G , C C, y el producto es asociativo en C.
IIIí Existe neutro para el producto en G 3. y
es
zr, ~ « e 0 + .*sen 0 - !
IV)
Todo elemento de G 3 tiene inverso multiplicativo en C¡3
-i
h
(z
v h)
= 1 =>
■ * ^ ') 3 = l - s " ' e G j
V) El producto es conmutativo en G 3, por serlo en C.
i i ) Vamos a establecer un método para obtener el produ cto de dos raíces cúbicas
de k unidad.
Sean
Zi e G 3
=> z , = e
zm e C 3
a
, 2 In
3
a
zm = e
donde
0 < /< 3
a
0<m <3
Entonces
2 i h m} n
( 1)
Si dividimos i +■ m por 3, se obtienen ? y r, únicos, tales que
!+ m = 3q + r
(2)
0<r<3>
De (1) y (2 )
2(3q*r)n
-
2rn
z ,. zm = e
, 2rw
2rn
= (eos 2 <7 *r + / sen 2 <7 » ). e 3 = 1 . e 3 =
2rir
I.-rr= e
= z r donde 0 < r < 3
La tabla de la composición es, entonces
Ejemplo 8-13,
•
Zo
Zl
Zo
2-1
Zo
Z¡
Z2
Zl
z2
Zo
22
z2
Zo
Zl
Z2
,
Sean ¡os grupos íZ , +') y (G.t . ). y la función
/ ■
2 -* G 3
definids por 5a asignación
/ (a-)= r r, siendo r el resto de la división d e .t por 3, es decir, el entero no negativo
que satisface las condiciones
{ .x = 3 . q + r
0 < r< 3
Vamos a probar que tal aplicación es un homomorfismo, es decir
f \ r la definición de /
í f ( x ’ ) = zr .
0 ) < / ( * " ) = *,··
donde
[ f ( x ’ + x " ) = zr
1'
f x ’ = 3 q’ + r ’
A
(2) < x ” = 3 q " + r ”
’ U ’ + x ” = 3¿7 + r
0 < r ’< 3
h, Q < r ” < 3
a
0 < r< 3
Pur ser |G 3 , . ) un grupo, de acuerdo cor ei ejemplo 8-12, tenemos
I
zT- . : r ·· = v
siendo
r ’ + r ” = 3 ? ’" + /·’" A
0 < /·"’ < 3
(3)
S um ando las dos primeras relaciones de (2)
x ’ + x " — 3 ( q' + ¿?” ) + ( r ’ + /■")
(4)
Por (3 ) y (4)
x ’ + x ” = 3 ( q ’ + <?” ) + 3 <jr” ’ + r ’” =*·
=» x ’
= 3 ( ? ’ + <?” +<?” ’) + r*” A 0 < r ” ’ < 3
(5)
Por la unicidad del cociente y resto, de (5) y de la última igualdad que figura en (2)
se tiene
a r = r“’
,
1
Es decir
zr ·” = r .
Se verifica entonces
/ ( x ’ + x ” ) = z r = zr .» = zr·. z r - = f ( x ’ ) . f ( x " )
y el hom om orfism o está probado.
E jem plo 8-14.
Determ inaremos el núcleo y la imagen del homomorfismo del ejemplo anterior.
x e Z => 3 q
a
r
únicos ¡ x — 3 q + r
a
0 < r< 3
Por definición de /
/ ( x ) = zr
Por definición de N ( / )
x e N ( / ) «> / (x ) = z0 = 1
r= 0
k
Luego
x e N (/)
x = 3 q « -3 Ix
Es decir
N ( / ) = { . t 62 / 3 l x )
Por otra parte, obviamente» es I ( / ) = G 3 y el homomorfismo es un epimorfismo.
Ejemplo 8-15.
Verificar que los grupos (G 3 , .) y (R , °) son isomorfos, siendo R el conjunto de
las rotaciones de! triángulo equilátero, alrededor de! centro, que llevan la figura sobre
sí misma.
En R se tienen las rotacion es R 0, R x y R 2 . que son la identidad, y las rotaciones de
120° y 240°.
En G 3, los elem entos son r 0. z i y - 2 , oon el significado dado en los ejemplos
anteriores.
La fu n c ió n / : G 3 - * R , tal que
f ( Z i ) = R¡
es un isomorfismo respecto del producto e n G 3 y d e la composición en R pues
f{zt ,zm) = f ( r ) = R r
8.8. RELACION DE EQUIVALENCIA COMPATIBLE
8.8.1. Concepto
Sean (G , *) un grupo, y
una relación de equivalencia en G.
La definición 5.5. establece que ~ es compatible con * si y sólo si
a ~ b '\ c ~ d = * a * c ~ !b *d
8.8.2. Teorema fundamental de compatibilidad
Si ~ es una relación de equivalencia compatible con la iey interna del giupo (G , *),
Q
entonces existe en el conjunto cociente— una única ley de composición interna
que la aplicación canónica / : G
tal
es un homom orfism o, y adem ás^— , * J es
grupo.
Este teorema es un corolario de lo dem ostrado en 5.5.1.
Definición
Q
El grupo — a que se refiere el teorema se llama grupo cociente de G por la
relación de equivalencia compatible con *.
Ejemplo 8-16.
Consideremos el grupo aditivo de las clases de restos módulo rt En este caso
Z „ = { C , T , . . . ,h~—~í }
De acuerdo con e¡ ejemplo 5-12, se sabe que la congruencia módulo n es compatible
con la adición in Z: entonces, p o r el teorema fundamental de compatibilidad, se tiene
en el conjunto cociente Z 3 una única ley de composición interna inducida, llamada
suma de clases, tal que la aplicación c a n ó n ic a /: Z - * Z n es un hom om orfism o, siendo
i Z n , ©) el grupo aditivo de las clases de restos módulo n.
Para sum ar dos clases en Z„ procedemos así
® V a f i u ) & f { v ) = f ( u + J')
(1 )
Dividiendo u + v y n se obtienen q y r. tales que
u+ v~ nq+ r
a
0
< r< n
(2 )
De (2) y (1 ¡
u ^ v ~ f ( n q -t-r) = / ( r ) - r
ya que
( u 4- v ) - r — n q =» n\{u + v) — r ·»
=> u + v ~ r
8.9, SUBGRUPOS DISTINGUIDOS
8.9,1. Concepto
Sean (Z , + ) el grupo aditivo de los enteros y el subconjunto H de los múltiplos de
3. es decir
H = íie Z / 3 ¡x j
Si consideramos la congruencia módulo 3 en Z, entonces la aplicación canónica
/ : Z -*■ Z 3
es un homomorfismo de (Z , + ) en (Z 3 , + ) cuyo núcleo es, precisamente, H. En este
caso, decimos que H es un subgrupo distinguido de G.
D efinición
P! cnhgrupo (H . *) de (G , *) es distinguido si y sólo si existe un grupo (G ’ , *’)
y un hom om orfism o/ : G - > G \ cuyo núcleo es H.
En símbolos
H C G es distinguido « - 3 G ' grupo, y / : G -»■ G’ hom om ofism o / N ( / ) = H
Subgrupos distinguidos de todo grupo (G , *) son el mismo G y
. En efecto, en el
primer caso. la aplicación
/ : G -*G
definida po r /(.y) = e para todo x e G ,
es un homomorfismo. ya que
/ ' ( a * b } ~ e ~ e * e - f i a ) ~ /< h )
Además, se verifica que N ( f ) = G ,
En el segundo caso, basta definir / : G -* G mediante f ( x ) = x, cualquiera que sea x
en G, y se tiene un hom om orfism o, pues
,
f i a * b) = a * b - f { a ) * f { b )
y com o N ( / ) = <j e> , resulta <j e ^ un subgrupo distinguido de G.
Sean ahora un grupo (G , *} y ~ una relación de equivalencia compatible con *. Por
/• q
el teorema fundam ental de compatibilidad sabemos que) — ,
'
Jes el grupo cociente
de G por la equivalencia, y que la aplicación canónica
G
fr : rG -*■ —
es un homomorfismo respecto de * y
Por lo que antecede es obvio que el subgrupo
(N ( / ) . * ) es distinguido, y queda caracterizado en términos de la relación de
equivalencia compatible con la ley del grupo G. Existe una estrecha conexión entre las
relaciones de equivalencia compatibles con la ley de composición interna de un grupo
y los subgrupos distinguidos de éste. El teorema que sigue aclara la situación.
8,9,2Teorema. E l’conjunto £ de todas las relaciones de equivalencia definidas en
G, compatibles con ia ley interna de! grupo (G , *). es coordinable al cortiuiUo € de
todos los subgrupos distinguidos de fG , * j.
Hipótesis) (G , *) es grupo
E = | £ i I £ ¡ es de equivalencia en G . compatible con * )
G = { H, / H, es subgrupo distinguido de G }
x
*
Tesis) E es coordinable a G
Demostración)
Definimos í> : E ->G mediante la asignación
$ ( £ ,) = N (/( )
(1)
G
’iido N (/,·) el núcleo del hom om orfism o f ¡ : G->· -— asociado a la equivalencia £ /·
' .'heñios probar que 4>es biyectiva.
i ) lnyectividad.
Sean £ ,· y £ / e E tales que £* =£ £ ;.
C om o £,· y £ ; son subconjuntos distintos de G 2 , existe (x , j ’) e G 2 tal que
(x,j>)e£i
a
(x,y)<j£j
<r
a
( x ..v ) e £ j
o bien
v\éíi
R azonam os sobre el primer caso, es decir, suponiendo
x £¡ y
a x £ ,-.y
-,r ia com patibilidad de las relaciones de equivalencia, com poniendo a izquierda con
'1
( v * 1 * x ) Z j { y ~ l *>■)
a
( y " 1 * x ) j £¡ ( y ' 1 * y )
Entonces, por G 4
( y ' ' * x ) £ , <? ^ ( ,v_i * x )
e
Por definición de aplicación canónica e imagen del neutro
/ , ( v' 1 * x ) = f ¡ ( e ) = e ‘ a f j ( y ' y* x ) ^ f j ( e ) = e '
Por definición de núcleo resulta
O·"1 * x ) e N ( / i )
a
(jT ‘ * * )< N (/} )
Es decir
N (/,)* N U } )
Y de acuerdo con (1) se tiene
$ (£ ,·) * $ ( £ ; )
En consecuencia 4>es inyectiva.
ii)
Sobreyectividad
Sea H e G. es decir, un subgrupo distinguido de (G , *). Entonces, por
definición, existe un grupo (G’ , *’) y un hom om orfism o
/ : G ~*-G’ tal que
N ( f ) ~ H = f x e G ! f ( x ) = e ’}
Se trata de probar que existe £ e E, tal que
«!>(£) = H
Para esto definimos la siguiente relación de equivalencia en G
Xj Z x 2
( x 2)
(1)
£ es compatible con *, pues
£x2
y t Z y 2 = * f ( x i ) = f ( x 2)
a
a
/ ( J i ) = / ( > ' 2) =>
= > f ( x ¡ ) * ' f ( y t ) = f ( x 2 ) * ' f ( y 2 ) =*
= > /(*
1
* > 'l) = / ( X
2
*>’2 )
por composición en G ’ y p o r ser / un homomorfismo.
Por (1 ) resulta
( x. *.Vj) £ (.v2 * y 2 )
Es decir: £ e E, y se verifica
$ f £ ) = N (/)« = H
Entonces 4» es sobreyectiva.
De i ).y si) $ resulta bíyectiva, y en consecuencia
E~G
Notación
Si £ es una relación de equivalencia compatible con la ley del grupo (G , *), y H el
G G
subgrupo distinguido asociado, escribimos— = — , y se tiene el cociente de G por el
subgrupo distinguido H.
Ejem plo 8-17.
Investigamos los subgrupos distinguidos de (Z , +). Si H es un subgrupo distinguido
genérico, de acuerdo con la definición, existen un grupo G ’ y un hom om orfism o
*
/ : Z -+ G ’ tal que N ( / ) = H
Una posibilidad es H = ÍO > según 8.9.1.
f ^
Si H
, entonces existe x # 0, tal que x e H , y resulta 0 - . r = - j r e H , es
decir, en todo subgrupo no unitario de Z coexisten los elementos rió nulos x y —x, lo
que significa que en H hay enteros positivos. Entonces, por el principio de buena
ordenación, hay en H un elemento mínim o positivo, que llamamos n.·
Consideramos ahora el conjunto A de todos los múltiplos enteros de n, y afirmamos
que H = A. En efecto
i ) Sea x e H; lo dividimos por n y se verifica
x = n. q + r
Entonces
r = x - n . q
a
0 < r<«
(1)
Por definición, s i « e N y ? e Z , entonces
si q > 0
n . q = n + n + ... + n
9
n , q = ( - « ) + ( - n) + . . . + (— n )
si q < 0
q
n.q
0
si q —0
Es decir, en todo caso n . q e H. y^por <I) resulta r € H. y siendo n e! mínim o
entero positivo de H necesariamente es r = 0, es decir
x-n .q
=> x e A
Así se tiene H C A.
i i ) Sea j e A . Por la definición de A se tiene x — n . m con m e 2 .
Ahora bien
+
si m > 0
m
« .« 7 = 0
si m = 0
En todo caso, se verifica x = « . m e H, es decir, A C H.
Luego H — A.
Esto significa que todo subgrupo distinguido de (Z , + ) se identifica con el conjunto
{ o | , o bien con el conjunto de los múltiplos de un entero positivo.
8,10... SUBGRUPOS NORMALES O INVARIANTES
8.10.1. Definición
El subgiupo (H , * )d e (G , *)es normal o invariante, si y sólo si se verifica
jc e G
a
y e H =>x * y * x ~ ¡ e H
Ejemplo 8-18.
Todo subgrupo de un grupo conmutativo, es invariante.
Sea (H , * i un subgrupo de (G , *), y éste conmutativo. Entonces
V yV xixe G
A yeH
= í * j c '1 * ; =
= e *y = y e H
y p o r definición
(H , *) es invariante.
8,10.2. Teorema.Un subgrupo es distinguido si y sólo si es invariante.
I) (H , *) es distinguido *» (H , *) es invariante.
Sea ~ h relación de equivalencia en G, compatible con *. asociada al subgrupo
distinguido H. Entonces
H = N ( / ) = !„* e G f f ( x ) = e ’j = \ i x e G ¡ x - e '
(ii
P o r (1)
Por la compatibilidad
x e G ^ x
* y ~ x * e = * x * y ~x=>
=* x * y * x~l ~ x * x~l =» x * y * x~l ~ e =»
=*x * y * x ' 1 e H
y en consecuencia (H , *) es distinguido.
» ) ( H , · ) es invariante =>· (H , *) es distinguido.
C om o (H , *) es invariante sabemos que
jc e G
a y e H =*■ x * y * x ~ * e H
a ) Definimos en G la relación ~ mediante
x t ~ x 2 ■» Xi * x ~2 e H a x \ l * x 2 e H
(2)
*
Se verifica:
i ) Reilexividad.
x e G =#■ x * x * ! e H a a·
t i ) Simetría.
-1
Xi ~ x 2 =».V( * x 2 e H
x~ l
= > x2
* x i
*x~2 l
fH
* x j f H
a
a x
A
' 1
_!
x2
* x e H => x ~ x
* x 2 e H =»
* X~t
*
x t l * x i e H => x 2 ~ x ¡
Por (2), por ser H invariante, po r G 4 y definición (2).
x2
* X2
e H *
iii) Transitividad
X¡ ~ X2 A Xi ~ X3 =>
eH
a
=>x, * x ’ ! e H
a
-1
=> „r j *
x 12 * x 2 e H a x 2 * x 3 1 e H a j - j 1 * x 3 e H =>
-1
-1
-i
* x 2 * x 3 e H a x t * x 3 * x 2 * ^ 3 e H =»
X j 1 * x 3 e H =>x x ~ x 3
P o r (2), com posición en H, G 4 y (2)
b ) ~ es com patible co n * en G , pues
x t ~ jí2 *=*■ Xi ♦ x~2 e H
x[
a¡
~ x ’2
(3 )
P o r (2)
‘ £ H -*·.■? i *(.v j * r ’ ' ) * r ' 1 e H
P or (2 ) y por ser H invariante.
De Í3) y (4)
x¡ * ( x ’ * x ’2 ) * x t * Xi * x ,
C ,
-i „
= >x ¡ m \ x l * x 2 j * x 2 e t t =>
(4)
e H =*·
=*■ (x , * x l’ ) * ( x 2
’ l * X j l ) e H *»
** (*i
* * 2)-* e H
Por G4 , G 2 , e inverso de la composición.
Análogamente se prueba que
( x , * x ¡ ) _1 * (x j * * í ) e H
Luego
xt * x\
~ x 2 * x 'j
c) C om o E es coordinable a C , existe u n subgrupo distinguido G ’, asociado a ~ tal
,ue
G’ = N ( /) = { x e G / x ~ e } = H
Luego H es distinguido.
8.11. GRUPO COCIENTE ASOCIADO A UN SUBGRUPO
$.11.1. Relación de equivalencia y cociases
Sea (H , *) un subgrupo de (G , *). Definimos en G la relación ~ mediante.
a~b<*a’ *be H
(1)
Es decir, dos elem entos están relacionados si y sólo si la composición del inverso del
prim ero con el segundo pertenece a H.
La relación (1 ) es de equivalencia pues verifica
i
) Reflexividad
a e G = > a ‘ * a ~ e e H =*■ a ~ a
i i ) Simetría.
= > a ’ * b e H =* ( a ’ * b f € H = > b ’ * a e H = > b ~ a
De acuerdo con (1), por ser H un grupo, por inverso de la composición,
inverso del inverso, y por (1).
iii) Transí tividad.
a -~b a
6 ~e
a ¡)’ * c e H => a ’ * b * b ’ · e e H =*
= > a '» c e H = » a ~ c
Por e! teorema fundam ental de las relaciones d e equivalencia, existe una partición
de G en clases de equivalencia, siendo
Ku = ( x e G / u
Ahora bien
u ~~x =* u ’ * x = a e H
x —u * a
En consecuencia
Ku = ^ x e G ! x = u · a
a
a eH j
Ku recibe el nombre de cocíase a izquierda del subgrupo H en G. Si denotam os con
los símbolos « H y H a los conjuntos
■ «H
Ha =
* x /A :e H j
*u f x e h}
G
entonces es fácil verificar que K u = «H, y el conjunto cociente— es el de las coclases a
izquierda de H en G.
8.11.2. Compatibilidad y grupo cociente
Sea H un subgrupo del grupo conmutativo G. La relación de equivalencia definida
en G es compatible con la ley de composición *, pues
a ~b
a
c ~~d =*■ a ’ * b
eH
a
c’* d e U
=*
=> a ’ * b * c' * d e H = > c ’ * a ‘ * b * d e H *=>
^ Ui
* cY * ( b * d) e H =*■ a * c ~~b * d
G
De acuerda con el teorema fundamental de compatibilidad, existe e n 77 una única
G
ley de composición interna
tal que la aplicación canónica / : G -*■— es un
r q
H
epim orfism oyf 73-, *’ ) es un grupo conmutativo.
(T
El conjunto 7 7 . dotado de la ley de composición inducida, se llama grupo cociente
H
de G por la relación de equivalencia (1).
La m anen de operar con las coclases es la siguiente:
(hH ) *' (vH) = / ( u ) * ’ / ( v ) = f ( u * v) = (u * u) H
Ejemplo 8-19.
Sean elg-upo abeliano(R 2 , + ) y el subgrupo H = |( x , x ) / x e
G eom étrcam en te, H corresponde a la bisectriz del primer cuadrante. La relación de
equivalencia(¡) se traduce en
( a , ¿) ~ (t·, d ) (—a , — b) + ( c , d ) € H *> ( c , d ) = ( a , b) + ( x , x)
Se tiene entonces
K(a,&) ~ ( a . b) H = ( ( a + x . b + x ) / x e r }
Vamos £ determinar la cocíase de (1 , 2) € R 2. A ella pertenecen los pares i x . y )
que satisfa:en f.v . y ) = (1 , 2i + (a . a) con a e R . Resulta el .sistema de ecuaciones
paramétricas
x = 1+a
y —2 + a
y eliminardo el parámetro a se tiene y — 2 = x - 1, es decir, y - x + 1, que
corresponde a la recta paralela a la primera bisectriz
que pasa p o r el p u n to ( 0 ,1 ) .
El conjunto cociente, que representamos a continuación, consiste en el haz de
rectas del plano cuya dirección coincide con la de la primera bisectriz. Un conjunto de
índices es ■= ( (0 , v) / v e r ) , o sea, el eje de ordenadas.
En el grupo cociente, la ley inducida es la suma de coclases, y se efectúa así
^"(0,y )
^{0,y')
^ (0 ,c + 1'1)
O bien
(0 , v) H + (0 , i'*) H = (0 , v + v ') H
Es claro que la cocíase neutra es K.(0 0) = H y la opuesta de t>H es (— v) H.
8.12. GRUPOS CICLICOS
8.12.1. G eneradores de un grupo
t
Sea S una parte no vacía del grupo G,
Definición
Subgrupo generado por el conjunto no vacío S C G es la intersección de todos
los subgrupos que contienen a S.
Si S es el suhgrupo generado por S, entonces podemos escribir
S=
H
a,os
Hí
donde H,· es un subgrupo de G que contiene a S.
Es claro que el subgrupo generado por S es el m ínim o subgrupo, en el sentido de
inclusión, que contiene a S.
Si S = G, entonces se dice que S es un generador de G.
.'■.12.2. G rupo cíclico
Sea (G , * ) un grupo.
definición
El grupo G es cíclico si y sólo si es generado p o r un elem ento.
Es decir
___
G es cíclico ** 3 a e G / G = ^ a
D’tsmos que el grupo cíclico G, generado por a , es infinito si y sólo si no existe un
.'•’tero positivo ni tal que am = a * a * _ _ * a = e .
Si n es el m enor e n tero positivo que verifica a~ = e, entonces ei grupo G consiste en
■ ie le m e n to s distintos
se dice que es cíclico de orden n.
Es obvio que el subgrupo de (G . *). siendo G un grupo arbitrario, generado por
.· e G. es cíclico,
D efinición
El elem ento a e G es de orden infinito si y sólo si el subgrupo generado p o ra es
infinito.
El elem ento a e G es de orden n (natural) si y sólo si el subgrupo generado por a
es de orden n.
r.iem plo 8-20.
t ) El grupo (Z , + ) es cíclico, pues está generado por el entero 1. y su orden es
infinito, pues no existe ningún número natural n que verifique
1 + 1 + g. . . + 1 = 0
i i ) El grupo (Z„ . + ) es cíclico, ya que está generado por 1, y d e orden n pues
T + T + ... + j =6.
n
8.13. TRASLACIONES DE UN GRUPO
Sea a un elem ento del grupo G.
D efinición
Trasiación a izquierda del grupo (G , *) por el elemento a e G es la función
fa · G -»■ G tal que f a { x ) ~ a * x
Puede demostrarse fácilmente que toda traslación a izquierda del grupo G es
biyectiva.
Análogamente se define la traslación a derecha.
Si T (G ) = { / : G + G / / es biyectiva^ , entonces de acuerdo con el ejemplo 8-3,
(T ( G ) , o) es un grupo, llamado de las trasformaciones de G.
Toda traslación a izquierda de G es una trasformación de G, es decir
aeG
=> /„ e T (G )
Si G es finito, entonces el conjunto T (G) es el de permutaciones de G,
E ie m p b 8-21.
Sea G un grupo. Entonces la función
g : G -*■ T (G ) tal que g ( a ) = f a para todo a e G ,
es un morfismo inyectivo de G en T (G).
'
i ) g es un m orfismo pues
Va Vb Vx e G : (¿ (a * b ) ) ( x ) = / 0„ b ( x ) ~ a * b * x ~
= /a
[fb
(*)1 =
(fa
°
fb
Hx)
y po r definición de funciones iguales resulta
g(a* b)= fa° f b
ii ) g es 1 — 1.
Sea a e N (g). E ntonces g (a) = f a = iG por definición de núcleo.
Como
a * a = f a (a)~ iG (a)=a
Se tiene
a *a= a *e
*
Y cancelando resulta
a-e
Es decir: N (g) = | eJ y en consecuencia g es 1 — 1.
8.14. GRUPOS FINITOS
8.14.1.
Indice de un subgrupo
Sea G un grupo. Por definición, G es finito si y sólo si c (G) = n. O rden de un giupo
finito es el número cardinal del mismo.
Sea H un subgrupo ,del grupo finito G. El grupo cociente — , de lascoclases a
izquierda de F, es finito y su cardinal se llama índice del subgrupo H en G.
8.14.2, Teorema Si H es un subgrupo de orden k del grupo finito G, entonces toda
cocíase a izquerda de H tiene k elementos.
Hipótesis) (G , *) es grupo finito.
ÍH . *) es sibgrupo de (G . *), de orden k.
Tesis} c
k para todo u e G .
Demostración!
Debemos probar que H y «H son coordinables, y para ello definimos
/ : H -*í/H mediante / ( a ) = u * a
i ) / e s i a restricción de Ja traslación a izquierda f u : G
en onsecuencia es inyectiva.
G al subconjunio H. y
i i ) /essobreyectiva. pues para todo.i- e u H existe x = u ’ * y . tal que
/
íX ) = , / '( « ’ * V) - U * U ' * X ~ X
En consecuencia,/es biyectiva y
c (uH) = c (H) = k.
8.14.3. T eonm a de Lagrange. El orden de tod o subgrupo de un grupo finito es
divisor del orden del grupo.
En efecto, si H es un subgrupo de G y o (H) = k, por 8.14.2. el cardinal de toda
cocíase a izquierda de H es k, y como éstas son disjuntas resulta
o (G) — m . k = m . o (H)
F.s decir
o (H) i o (G).
TRABAJO PRACTICO VIII
8-22. Determinar en cada caso si el par (G , *) ss grupo
a)
G = | x ¡ x — 2k + 1
a
k e Z j*
* es el producto ordinario
b)
G=
/ x = 3k,
a
fc e z j1
* es la adición en Z
c)
G = { a + b s f 2 / aeQ
a
í> £ q }
* es el producto habitual
d)
G = ^ x / x = 2k
a kez}
* es el producto
8-23. Verificar que los siguientes conjuntos son grupos cíclicos multiplicativos, y
determinar sus generadores
i ) G = { S,-1
ii)
G = <[ 1 , z , z 2 }
siendo z = -
+ i
8-24. En R * se define * mediante
a * b —2 a b
Verificar que (R * , *) es grupo abeliano.
*
8-25, En el conjunto C de los números complejos se considera · definida por
a*b -a + b ~ i
Probar que ( C , «} es grupo abeliano
& 26. En R1 = { / / / : [ 0 , l j - > R } se define la suma de funciones p o r medio de
( f + g ) ( * ) = / ( * ) + *(·*)
Demostrar que (R 1 , + ) es grupo abeliano.
8-27. Demostrar que (R " , + ) es grupo abeliano, siendo R ” el conjunto de todas las
n-uplas de núm eros reales, y la suma definida por
(x, , x2 , . . . ,.xn)+ o , , y2 , ... ..yn)= (xi +^j , X 2 + y 2 , ■ ■ ■ , *n + y n)
8-28. Form ar el conjunto de todas las simetrías y rotaciones del triángulo equilátero
que lo transform an congruentemente, y verificar que dicho conjunto con la
composición de funciones es un grupo. Form ar la tabla.
8-29. Determinar todos los subgruposen el caso del ejercicio anterior.
x n ) e R'1 / x ¿ — O) . D em ostrar que (H , + ) es un
subgrupo de (R " , +).
8-31. Verificar que (R 2x2 , + ) es un grupo abeliano y que (H , + ) es un subgrupo,
siendo H <1 conjunto d e las matrices reales de dos filas y dos columnas que
verifican A = — A*.
Tales matrices se llaman antisimétricas y satisfacen a¡ ¡ = —a¡ ¡ V i V /.
8-32. Sean A = R ~ { 0} y la función / : A -* A tal que / (jc) = x 2 , Demostrar que / es
un morfismo del grupo (A , . ) en sí mismo, y determ inar su núcleo y su imagen.
8-33. Investigar si / : A -* A definida por / ( x ) = x 3 es u n morfismo, en el mismo caso
del ejercicio anterior.
8-34. Demostrar que / : R + -*· R tai q u e/ ( x) = log2 x es un isomorfismo de ( R + , . ) en
iR.+).
& 35. Sean / un hom om orfism o del grupo G en el grupo G \ y H un subgrupo de G \
Demostrar que su p re imagen / -I (H) es un subgrupo d e G.
8-36. Sean (G , *) un grupo con la propiedad siguiente:
V * e G : x * x —x
Demostrar que G es unitario.
8-37. Si (G , *) es un grupo que verifica x * x =
e para todo x e G , entonces es
conm utativo.
8-38. Sean (G , *) un grupo y a un elemento fijo de G . Se define
f a : G -*· G mediante / (jr) = a~l * x * a
Demostrar que / „ es un automorfismo en G . Tal autom orfism o. definido por
a e G , se Uama autom orfism o interno.
8-39. Demostrar que la composición de dos hom om orfism os de grupos es un
homom orfism o.
8-40. Sea A ut (G ) el grupo de los automorfismos del grupo (G , *), con la composición
de funciones. Demostrar que la función
F : G -v A u t(G ) definida por F ( a ) — / a
es u n morfismo.
8-41. Sea (G , *) un grupo. En G se define la operación o mediante
ao h = b * a
Demostrar que (G , °) es un grupo y que am bos se identifican si y sólo si * es
conmutativa.
8-42. Con relación a los grupos del ejercicio anterior, demostrar que la función
/ : (G , * )
(G , o) definida por / ( x ) — x ’
es un isomorfismo.
8-43. En Q 2 se considera * definida por
(a , b ) * ( c , d ) = (ac , be + d )
Determinar si Q2 tiene estructura de grupo con *.
8-44. Sean S y T dos subgrupos del grupo aditivo (G , +). Se define
S +T
OtriíiGSÍí ¿U"
S
=
+y
¡
xeS
a
j e l j
T es u !'su bgrupo de G.
8-45. Demostrar que en todo grupo el único elemen to idempotente es el neutro.
8-46. Demostrar que el semigrupo (X , *) es un grvipo si y sólo si las ecuaciones
x * a — b y a * x - b son resolubles en X. *
8-47. Sean los grupos (C , * ) y (G ’ , *’) y / : G -+ G ’ un homomorfismo.
Demostrar que f e s un epim orfism o si y sólo 1 ( / ) = G ’.
8-48. Sean los grupos (Z , + ) y (G , *) y la función / : Z -*> G tai que f (n ) =■ a " con
a e G. D em ostrar que / es un morfismo y que su imagen es el subgrupo cíclico de
G ,generado p o r a
8-49. Sean los grupos (R 3 , +} y (R 2 , +). Probar que / : R 3 - * R 2 definida por
f ( X i , x 2 , jc3) = (jc i - x ± , x - i ) es un homomorfismo. Determinar su núcleo
y su imagen.
8-50. El subgrupo H de G es normal, si y sólo si «H = Hu.
8-51. Sean los grupos (G 3 , .) y (G4 , .). Demostrar que la función / : G 3 -* G4
definida por / ( 2 ) = z v* es un hom om orfism o, y determinar N ( f ) e I ( / ) .
8-52. Demostrar que el subgrupo H de G es normal si y sólo si la imagen de H es igual a
H para cada autom orfism o interior de G. Tal subgrupo se llama invariante.
Capítulo 9
E STRUC TU R A S D E A N IL L O Y D E C U E R P O .
ENTERO S
Y
R A C IO N A LE S
9.1. INTRODUCCION
Con el agregado de una ley de composición interna sujeta a ciertas condiciones, se
enriquece la estructura de grupo abelíano y la terna asi obtenida constituye otro
sistema axiomático. Se definen aquí la estructura de anillo y el caso particular de
cuerpo. Lo mismo que en el caso de la estructura de grupo, se estudian sus propiedades
básicas y se introduce el concepto de ideal. Después de tratar la factorización en los
dominios de integridad principales, se introducen el anillo de los enteros y el cuerpo de
los racionales.
9.2. ESTRUCTURA DE ANILLO
Sean un conjunto no vacío A, y dos funciones: * y ·.
Definición
La tema (A , * , · ) es un anillo si y sólo si
1 . El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano.
2. Ei conjunto con k segunda ley es un semigrupo.
3. Li segunda ley es doblemente distributiva respecto de 3a primera.
Reformulamos la definición teniendo en cuenta que las dos leyes de composieion se
llaman aditiva y multiplicativa, y que se las suele denotar con + y . , respectivamente.
Definición
La tema (A , + ,
es un anillo si y sólo si
1. (A , + ) es un grupo abeliano.
2. (A , . ) es un semigrupo.
3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma.
Estas condiciones se traducen en los siguientes axiomas:
A ] : La adición es ley de composición interna en A.
Va V i : 2 e A
a
b e A => a + b e A
A 2 r La adición es asociativa en A.
Va V2> Ve e A : (a + b) + c = a + (b + c )
A 3 : Existe n eu tro en A. que denotam os con 0 , respecto de la adición
30eA /V a€A :a+0 = 0+a=a
\ 4 : I o d o elem ento de A admite inverso aditivo u opuesto.
Va e A , 3 — a e A / a + (— a ) = ( —«} + a — 0
As : La adición es conmutativa
Va Vb e A : a + b — b + a
$
Aé : El producto es ley de composición interna en A.
Va Vb : a e A
a
b e A => a. b e A
A7 : El p roducto es asociativo en A.
Va
Ve £ A : ( a . b ) . c = a . ( b . c)
Ag : El p roducto es doblemente distributivo respecto de la suma.
{
a . (b + c) = a. b + a . c
(b+c).a = b .a + c .a
Si, además, ocurre que la segunda ley de composición es conmutativa diremos que
el anillo (A , + , . ) es conmutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del
producto, que denotamos con 1, entonces se llamara anillo con identidad o con
unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama
anillo de división.
«
ijem piu 9·!,
Clasificamos las siguientes temas
i ) (N , + ,
no es anillo, pues no existe neutro para la adición.
i i ) ( N 0 , + , .) no es anillo, porque los elementos n o nulos de N0 carecen de
inverso aditivo.
iii)
(Z , + , . ) es anillo conmutativo y con unidad.
iv) (R 1 , + , .) es el anillo conmutativo y con unidad de las funciones reales
definidas en I = [ 0 , 1 ] con la suma y el producto de funciones, llamadas
leyes de composición punto a punto, definidas en los ejercicios 5-31 y 5-36.
9.3. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS
9.3.1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el n eu tro para la primera ley
es igual a éste.
Hipótesis) (A , + , es anillo.
Tesis) a . 0 = 0 . a — 0
Demostración)
€ ualquiera que sea x e A, por A 3 se verifica
x + 0 =x
P,-¿multiplicando por a
a . Ot + 0) = a . x
Por la distributividad
a. x + a. 0 — a . x
*
En virtud de A 3
a. x + a. 0 = a. x + 0
F jt ley cancelativa en el grupo (A , + )
a,
0 = 0
Análogamente se prueba que 0 .a = 0.
Esta propiedad suele enunciarse así: en todo anillo, el p roducto por 0 es 0.
9.3.2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elem ento, por o tro , es igual al
¿puesto de su producto.
Por distributividad, A* y producto por 0, se tiene
(—a) . b + a . b = (— a + a ) . b = 0 . b = Q
Es decir
(—a ) . b + a , 6 = 0
Entonces
(-a).b--(a.b)
De manera similar se prueba que a . (— b) ~ — (a. b).
9.3.3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elem entos es igual· al
producto de los mismos.
Aplicando reiteradamente la propiedad 9.3.2., y p o r opuesto del opuesto, resulta
( _ a y ( _ by = ~ | 0 . ( - ¿)] = - [— ( a . b ) ] = a . b
9.3.4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia.
Se trata de probar que (a — b ) . c — a . c — b . c
Por definición, se sabe que a — b == a + (—b). Entonces, aplicando A 8 y 9.3.2.
(a — b) . c = [ff + (— b ) \ . c —a. c + (—b ) . c —a . c + [— (b, e)] = a . c ~ b . c
9.4. ANILLO SIN DIVISORES DE CERO
9.4.1. C oncepto
Fn el ejemplo 5-15 hemos analizado las leves de composición interna, llamadas
suma y producto de clases, inducidas en el conjunto cociente de Z por la relación de
congruencia m ódulo n = 3. De acuerdo con 9.2 resulta (Z 3 , + , . ) el anillo
conmutativo y con unidad de las clases de restos módulo 3. En los ejemplos 5-15 y
5-16 hem os confeccionado las tablas de la adición y multiplicación en Z s y Z4 , En el
primer caso hem os observado que elem entos no nulos dan producto no nulo; pero en
el segundo caso ocurre que hay' elementos no nulos cuyo producto es nulo. En
(Z} , + ,
elem entos no nulos dan producto no nulo, y se dice que no existen
divisores de cero. En (Z4 . +
en cambio, hay divisores de cero.
D efinición
El anillo ( A , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan
producto no nulo.
En símbolos
(A , + , . ) carece de divisores de cero * * V x V j u ^ O
a
y
=> x . y
0
Equivalentem ente, por medio de la implicación contrarrecíproca se tiene
(A . + , . ) carece de divisores de cero
V x V y : x . y = Q =» x = 0
v ^ = 0
E sto significa que, para dem ostrar que en un anillo no existen divisores de cero, es
suficiente probar que si el producto de dos elementos cualesquiera es cero, entonces
alguno de los factores ¿s cero.
Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólica­
mente la definición, resulta
(A , + , . ) tiene divisores de cero o 3 x 3 v
/ x^O
a
y^O
a
x.y = 0
D efinición
El anillo (A , + , . ) tiene divisores de cero si y sólo si existen elem entos no nulos
que dan producto nulo.
9.4.2. Propiedad. El anillo (Z„ , + , . ) no tiene divisores de cero si y sólo si n es primo.
Por definición, el número natural >i ^ ! es primo si y sólo si los únicos divisores
naturales que admite son 1 y n. Decimos que n > 1 es compuesto si y sólo si n = x . y ,
siendo l < x < « y l < j ’ < n .
I) Si (Z„ , + , no tiene divisores de cero, entonces n es primo.
Suponemos que n es compuesto, es decir
n= x.y
donde
\ <x<n
y
1<_y< n
( 1)
S i / : Z ~*'Zn es la aplicación canónica, se tiene
/ {«) = f
( x , v)
Como / es un morfismo respecto de! producto
f (n) ~ f ( x ) - f i y )
De acuerdo con (1)
f(x ) = x
y
f(y)= y -
Además, como n ~ 0, por definición de aplicación canónica e imagen del neutro
por un homorfismo, es
f <«) = / (0) = ó
Sustituyendo en la Igualdad anterior resulta
0 = 3c . v
a
x=£Q
a
v =£ 0
lo que nos dice que en Z„ hay divisores de cero, contra la hipótesis.
11} Si n es primo, entonces (Z„ , + . no tiene divisores de cero.
Sean x y y en Z„ tales que x . J = 0. Se tra ta de probar que ,7 = 0 v y — 0.
Por definición de aplicación canónica, la igualdad anterior puede escribirse
/ ( * ) - / ( v ) = / ( 0)
Por ser f u n morfismo
f
í x
. v) = / ' í Ü )
Y por definición de función canónica
x . y ·* 0
Por definición de congruencia módulo n
n\x.y
Anticipamos el uso de una- propiedad que dem ostrarem os en 9.7.7., a saber: si un
número primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno de los factores.
En consecuencia
« ¡ jc v
n\y
Es decir
\/
v ~Q
y
~Q
En consecuencia
x-0
V y =0
9.4.3. Ley cancelativa del producto
En el anillo (Z . + .. ! se verifica la ley cancelativa del producto para to d o elemento
no nulo
*
a.h=a.c
En cambio en ( Z t2 , + ,
?= 0 => b - c
es falsa ¡a proposición
3 . 4 = 3 .8 =>4 = 8
por ser V ei antecedente y F el consecuente. Es decir, en Z 12 no es válida la ley
cancelativa del producto para todo elem ento no nulo del anillo. L a ñ o existencia de di­
visores de cero es condición necesaria y suficiente para la validez de ía ley cancelativa
dei producto.
«
Propiedad. Un anillo no tiene divisores de cero si y sólo si vale la ley cancelativa del
producto para to d o elem ento no nulo del mismo.
1) Hipótesis) (A , + , . ) carece de divisores de cero.
,X. -
~ A z # 0
Tesis) x —y
Demostración)
Por hipótesis es
x , z = y . z.
Por trasposición en (A , +)
x .r
y .r =
0
Por distiibutívídad
í.r —>·). r = 0
C om o no existen divisores de cero y ; ^ 0 resulta
x —y = o
Es decir
lí) Hipótesis) (A , + , . ) es tal que a . c = b . c
x. y - 0
a
c =£ 0 => a = 6
Tesis) x —0 V y = 0
Demostración)
Suponemos que y & 0. Debe ser necesariamente x = 0.
Por A 3, cualquiera que sea 2 6 A, se verifica
z . y = z .y + 0
Como por hipótesis x . y = 0, se tiene
z . y —z . y + x . v'
Por distributividad
z , y — (z + x ) . v
Por !ey cancelativa, ya que y # 0, resulta
z —z + x
Es decir
x = 0
Ejem plo 9-2.
En el conjunto R '3 x n, de todas las matrices reales de n filas y n columnas, se define
la multiplicación por medio de la siguiente regla: si A y B son dos m atrices n x n, en­
tonces la matriz producto C = A , B es tal que el elem ento genérico c¡j es igual a la
suma de productos de los elem entos de la fila i de A, por los correspondientes elemen­
tos de la colum na / de B, es decir
Cu = a n . b u + ai2 . b 2 í + . . . + a in . b n¡ =
'- 1
Por ejemplo, si A =
.
2
fe- i
a ik . b
2 0'
' 2
1 -1 *
3
0 1 y b =
0
4
3 , entonces la matriz
.- 1 - 2 - 3 .
0 - 1 1 .
producto C = A . B pertenece a R 3*3 , y es tal que
c n = ( — 1) . 2 + 2 . 0 + 0 . (— 1) = —
05
II
II
>
n
c 12= ( - l ) . 1 + 2 . 4 + 0 . ( - 2 ) = 7
■- 1
2 0'
0 1
3
. 0 - 1 1.
2
0
L •1
etcétera. Entonces
1-1 ]
4
3
- 2 —3i
f-2
=5
1 -1
7
7
1 -6
-6
-6
Al desarrollar el trabajo práctico que se propone al térm ino del capítulo, el lector
p eerá comprobar que el producto de matrices es asociativo, no conmutativo, con
neutro, y distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma.
El elem ento neutro es la matriz identidad I e R " Kn, tal que
a¡¡ = 1
si i —j
a¡j = 0
si i ¥ - j
Es decir, está formada por unos en la diagonal y por ceros fuera de ésta.
De acuerdo con lo expuesto, y teniendo en cuenta el ejemplo 5-8, la terna
(R nxn , + , . ) satisface
Al
A e R " x"
Aj
(A + B) + C = A + (B + C)
A,
3 N e R nM / V A e R " xn : A + N = N + A = A
a
B e R nxn => A + B e R nxn
a4
V A e R " x" , 3 — A e R ” x" / A + (— A) = ( ~ A) 4- A = N
As
A + B= B+ A
A«
A e R ,x "
'
B e R nxn =» A / B e Rnxr>
AT (A . B ) . C = A . (B . C)
li
A . ( B + C) = A . B + A . C
<
A^
<
3 í e R” *n / V A c R” xn : P
II
Ag
( B + C ) . A = B. A + C . A
a
Se trata del anillo no conmutativo, con identidad, de las matrices cuadradas n x n .
Podemos verificar la existencia de divisores de cero en el caso particular
{R2 x2 , +
m ostrando que matrices no nulas pueden dar producto nulo. En efecto
r l
A= j
— 11
0j*N
y
r — 1 0]
B = |^ j 0j
A .B=
Ejem plo 9-3.
^ sin embargo
0 0]
LO 0 J
*
- La terna (P (U) , A , n ) es un anillo conmutativo, con identidad y con divisores de
cero. En efecto
1. (P (U ) , A) es grupo abeliano, como está justificado en 2.11.2.
2. (P ( U ) , n ) es un semigrupo conmutativo, con identidad.
3. La intersección es distributiva respecto de la diferencia simétrica.
A n (B A C) = (B A C) n A = (B n A) A (C H A)
La dem ostración figura en el ejemplo 2-28.
4 . Existen divisores de cero, pues si A y B son disjuntos y no vacíos se cumple
A# 0
a
B =#$
a
AHB = 0
9.5. DOMINIO DE INTEGRIDAD
Todo anillo conm utativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de
integridad.
Las ternas (Z , + , , (R , + , . ) y (Z 3 , + , .) son dominios de integridad. Si P
denota el conjunto de los enteros pares, entonces (P , + , . ) es anillo conmutativo, sin
divisores de cero y sin elemento unidad; en consecuencia no es dominio de integridad.
9.6. SUBANILLOS £ IDEALES
9.6.!. Concepto de subanilio
Sea (A , + , un anillo. Un subanilio de (A , + , . ) es una parte no vacía de A que
lisne estructura de anillo con las mismas leyes de composición.
Definición
El subconjunto no vacío S C A es un subanilio de (A , + · , . ) si y sólo si (S +) es
subgrupo de (A . +), y además S es cerrado para el producto.
Resulta obvio que una parte no vacía S C A es u n subanilio de (A , + , .> si y sólo si
para todo par de elementos a e A y b e A se verifica a — b e A y a . b e A.
Ejemplo 9-4.
Sea a e Z. Entonces el conjunto de todos los m últiplos enteros áea
S ^k .a : kez)
es un subanilio de ( Z , + ,.).
En efecto, si.v e S a y e S, entonces x = k , a * y = k ' . a.
Luego
.v —y — k . a — k ’ . a —( k ~ k ’) . a — k ” . a
f% decií
„t — _r e S
Por otra parte
jc e S
a
yeS=>x = k.a
a
y = k ’, a = *
=> x . y = ( k . a . k ’) . a => x . y — k ” . a =» x . y € S
9.6.2. Concepto de ideal
Sea ( I , + , un subanilio de (A , + ,.).
Definición
El subanillo I de A es un ideal a izquierda de A si y sólo si
xe A
a
ael=^x.ael
El subanillo I de A es un ideal a derecha de A si y sólo si
a eI
a
x eA =>«.xel
D efinición
El subanillo í de A es un ideal de A si y sólo si es un ideal a izquierda y a derecha
de A.
En el caso de anillo conmutativo no es preciso distinguir entre ideales a izquierda o
a derecha.
Las condiciones que se imponen al subconjunto f C A. para que sea un ideal, son las
siguientes
t
i ) ¡¥=4>
ü ) a el
a
b e l => a — b e l
iii) a e l
a
b e l => a b e l
iv) a e 1
a
x e A => a . x e l
ax . ael
Ejemplo 9-5,
El subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de Z.
En cambio, Z no es un ideal de R.
T odo anillo (A
, + , . ) admite dos ideales: el
mismo A y { 0 } , y son llamados
ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no
9.6.3.
trivial.
Ideal generado por un subconjunto de un anillo
Sea S ~ - X i , x 2. ·
un subconjunto no vacío del anillo conm utativo A.
Todo elemento de la forma
se llama combinación lineal de los elem entos de S, con coeficientes en A.
Consideremos ahora el conjunto de todas las combinaciones lineales de los
elementos de S, que denotam os por
El conjunto S C A satisface las siguientes condiciones:
i ) S # <p pues P = 0 . x j + 0 . x 2 + . . . + 0 . x n e S
i i ) jc e S
a
y € S =*>" x —y e S
iii) x e S
a
j 'e S = » j c .je S
iv) x e S
a
a e A => a . x e S
a
a eS
jc.
Es decir: (S , + , .) es
un ideal de A.Este ideal se dice generado por la familia S.
En particular, el ideal generado por un único elemento x € A se fiama ideal
principal. Si ocurre que to d o ideal de A es principal, entonces el mismo A se llama
anillo principal. Este es el caso de los enteros, que está generado p o r x = 1.
El lector puede verificar las condiciones iii) y iv). A m anera de ejemplo
comprobamos i i )
x eS
a
y e S => x — Ü a ¡ . x¡
i= 1
a
y = S b ¡ . x ¡ *»
i= l
=> x - y = t i (ai . x i - b i . x i) =*
=> x —y = Ü (a¡ - b¡) . x¡ »» x —y = 2 c¡ x¡ =»
1=1
(=1
=> x —y e S
9.7. FACTORIZACION EN UN ANILLO
Sea {A , + , un dominio de integridad principal. En este caso, to d o ideal de A está
generado por u n único elem ento.
9.7.1.
Máximo com ún divisor
En A definimos la relación de divisor mediante
jc I y **■ 3 z e A i y = x . z
Si d es tal que d I a y d I b, entonces se dice que d es un divisor com ún de a
o bien que a y b son múltiplos de d.
de 6,
D efinición
El elem ento d e A es un máximo com ún divisor de a y b si y sólo si d es
divisor de a y i , y además múltiplo de tod o divisor com ún a ellos.
Es decir
{d\a a d\b
d es un M.C.D. de a y b <»(
[ d ’ \a a d ‘ \b = * d ’ \ d
En Z, tanto 2 como — 2, son un M.C.D. de 4 y .6.
9.7.2. Propiedad. Todo elemento inversible de A es divisor de todo elemento del
mismo.
En efecto, sea a e A un elemento inversible.
Entonces
V x e A : x = x . 1 = x ( a~l . a) =
= ( x . a ~ 1) . a
y por definición de divisor resulta
a\x
9.7.3. Propiedad. Todo M.C.D. de los elementos a y b de A es una combinación lineal
de los mismos con coeficientes en A.
Demostración)
Sea I el ideal de A generado por los elementos a y b. Como to do ideal de A es
principal, ocurre que 1 está generado por un único elemento d. Por otra parte, como
a = l . a + 0 . b A ô = 0 .a + 1 . b
se tiene a
eIa b e I. En consecuencia, existen p
b — q . d, es decir, d es un divisor común de a y b.
Además, com o d e 1, existen 5 y t en A, tales que
y q en A,tales que a —p . d y
d = s . a + 1. b
Sea ahora d ' un divisor común de a y b; entonces a = x . d ’ y b = y , d
Sustituyendo se tiene
d — s . x . d ’ + í . v . d ’ = (s . x + { . _>’) . d '
o sea, d ’ | d. Hemos probado que d = s . a + í . 6 e s u n M.C.D. de
a y b.
9.7.4. Elementos coprimos
En Z, los enteros 2 y 3 admiten a — 1 y a 1 como divisores comunes. Estos son los
únicos elementos inversibles en Z, y se dice que 2 y 3 son coprimos o primos entre sí.
Definición
Dos elementos a y b de A son coprimos si y sólo si todo común divisor de a y b
es inversible.
9.7.5. Propiedad. Si dos elementos a y b de
A, tales que 1 = s . a + t . b.
Demostración)
La unidad de A verifica 1 Ja y 1 | £>; es
Sea ahora d un divisor común de a y b.
A son coprimos, entonces existen s y f en
■
j
decir. 1 es un divisor común de a y b.
Por ser éstos coprimos, d es inversible y
por lo tanto es divisor de 1, de acuerdo con 9.7.2. Esto prueba que 1 es un M.C.D. de a
y b, y por 9.7.3., existen s y t en A, tales que
1 = s . a + /, b
9.7.6. Elementos primos o irreducibles
En Z, el entero 3 es no inversible y admite únicamente las descomposiciones
3 = 3 .1
y
3 = (— 3) , (— 1)
donde ! y — ! son inversibles. Se dice que 3 es primo o irreducible.
Definición
El elemento no inversible a € A es primo o irreducible si y sólo si toda
descomposición a —x . y es tal que alguno de los factores es inversible.
9.7.7. Propiedad. Si un elemento primo es divisor de un producto, entonces es divisor
de alguno de lo; factores.
Hipótesis) a es primo y a ¡ b . c
Tesis) a \ b v i \ c
Demostración)
Si a | b, nada hay que probar, porque la disyunción de la tesis es verdadera.
Consideremos el caso en que a i b es F. Como a es primo, se tiene que a y b son
coprimos, y por 9.7.5. es
1 = s . a + t. b
Multiplicando por e
1 ,c = s . a . c + t . b . c
Es decir
c = s. a . c + t . a . x
ya que
a \b .c = * b .c = a .x
Por distributividad
Luego
a le
9.8. ANILLO ORDENADO
9.8.1. Concepto
El anillo (A , + , .) está ordenado por la relación de orden total que indicamos cón
el sím bolo < si y sólo si dicha relación es compatible con la adición y multiplicación
en A, en el sentido siguiente:
i ) * < v =*■ x + z < y + z
ii)
0<x
A
0<y=*0<xy
Que el orden es total o lineal significa
xeA =>x<0
V 0<x
v jc = 0
Si el anillo no es trivial, es decir, si no se reduce al único elemento 0, entonces los
elementos x que satisfacen la condición 0 < x se llaman positivos y pertenecen al
subconjunto
Los opuestos de los elementos positivos se llaman negativos y definen al
subconjunto
'
A* = | x € A / — x e A* j = ( x e A / 0 < —x \
Queda caracterizada así una partición de A en los sufcconjuntos A +, A * y {0 ¡ , y en
consecuencia
xeA=>xeA+ v
xeA~
v x = 0
9.8.2. Propiedades. Sea (A , + . . ) un anillo ordenado por la relación < .
I) El producto de dos elementos positivos es positivo.
xeA*
a y e A* «* 0 < x
a
0 < v =*·
=> 0 < x . y = > x y e A *
Por definición de A + y i i ).
En consecuencia, A + es cerrado para el producto.
II) El producto de d&s elementos, uno positivo y el otro negativo, es negativo.
x €A'
a y e A~ =» 0 < ,v a
0 < —y ■»
** 0 < x (—>-) => 0 < ~ ( x y ) =>· x y e A"
Por las definiciones de A + y de A “» i i ), 9.3.2., y p o r definición de A ".
III) El producto de dos elementos negativos es positivo.
X €
A~
A
y e A ~ = > —x e A *
=*■ (— x ) ( ~ y ) e A *
Por definición de A ", III) y 9.3.3.
IV) x < y < * y - x e A *
x y e A*
A
—y € A *
E n efecto
x < y o x + (— x ) < y + (— x ) « 0 < j - x
V) x < y
a
z e A * => x z < y z
Pues
t
x<y
a
z e A + = * 0 < y —x
/\
0 < z =*■
=*► 0 < Cv ~ x ) z a* 0 < y z — x z = > x z < y z
V I) x ^ v
A f f 4" ^
x < y
vz <Cx2
a
z e
A~
=» 0
< v —x
a
—
z eA*
*=»
*
=» 0 < ( . y —x ) { — 2 ) =*· 0 < —„vz + x~ =*· >-z< x z
N ota
La relación inversa se denota por > , y se define mediante
* > > ’ <* j > < x
y ambas caracterizan un orden estricto en A.
Un orden amplio y total en. A se define mediante
x < v •«>x< }'
v
x =j
9,9. ESTRUCTURA DE CUERPO
t
9.9.1. Concepto de cuerpo
Un anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles, se llama anillo de
división. T odo anillo de división conmutativo es u n cuerpo.
D e fin ició n
i
La terna (K , + , .) es un cuerpo á y sólo si es un anillo conm utativo, con
unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.
Los axiomas que caracterizan la estructura de cuerpo son
1. (K , + ) es grupo abeliano.
2. (K — { o } ,.) es grupo abeiiano." ■'
·
3. El producto es distributivo respecto de la suma.
Ejem plo 9-6.
La terna (Z , + , .) no es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten
inverso multiplicativo son — 1 y 1.
En cambio (Q , +
(R
(C , + . .) . (Z„
con n prim o, son cuerpos.
*
e s t r u c t u r a de cu erpo
279
9.9.2. Propiedades de los cuerpos
Sea (K , + , . ) un cuerpo.
I) Los cuerpos no admiten divisores de cero.
Sean x e K A y e K tales que x y - 0 (1).
Si x = €, nada hay que demostrar porque la proposición x = 0 v y = 0 e s V .
Consideremos el caso x # 0. Por definición de cuerpo existe x ' 1.
Multiplicando (1) por x
x " 1 (x>») = x " 1 . 0
Por asociatividad y p roducto por 0 en el anillo, se tiene
1 v = 0 , es decir: y = 0
II) En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no milo
dei mismo.
Es una consecuencia de 1 y de 9.4,3.
III) Si b =£ 0, entonces la ecuación b x = a admite solución única en K.
Sea bx = a con b
0.
Multplicando por b ~ l
b ' 1 (6x) = b~ l a
Pot asociatividad y conmutatividad resulta
(b ~ l b ) x = a b ~ l
Es decir
1x = a b ~ l
Entonces
x=ab~l
es la solución única de la ecuación propuesta. En efecto, sea y o tra solución; esto
significa que
*
by = a . y como bx — a se tiene
¿y — bx = 0 =* b ( y — x) = 0
y com o b # o resulta y —x = 0, es decir, y = x.
N ota
El producto de un elem ento de K por el inverso multiplicativo de otro no nulo se
denota con el símbolo
y suele llamarse cociente entre a y b.
IV) El recíproco del opuesto de todo elemento ño nulo es igual al opuesto de su
rec,proco.
Di acuerdo con 9.3.3, y por inverso multiplicativo, se tiene
[ - ( x - l) ] . ( - x ) = x - 1x = l
Multiplicando por (—je)-1
~ ( x ~ í ) ( ~~x) (—JC)“ ! = 1 ( ~ x Y l
Por asocia tvidad e inversos multiplicativos resulta
- ( jc' ! ) = ( -je)"'
V) En todc cuerpo se verifica
y
y
'
En efecto
X
X
y
y
x y - 1 = x ’ y " 1 o x y ~ l y y ’ = x ’y ’ ~ly y ' ·»
xy’=yx’
S.10. DOMINIO DE INTEGRIDAD DE LOS ENTEROS
9.10.1. Relación de equivalencia en N2
El lector hi tenido oportunidad de probar, en el ejercicio 3-2S, la equivalencia de la
relación en N2 definida por
( a , b ) ~ ( a ’ , b ’ ) «*· a + b ’ = b + a ’
La clase de equivalencia del elemento genérico ( a , b ) , es, p or definición
K u .b ) = { ( * . v )e N * / ( x . y ) - ( a . b) \
Ahora bien
( . t . y ) ~(a « b)
+¿> ~ y + a
Se presentan tres casos
i
) a = b = ^ K (atl>)^ ^ ( x , y ) £ N 2 / y = x J
ü ) a < b => K(a -b )= ^(x : j ) e N J ¡ y - x + b - a j
iii) a > b => K ía by = ^(x , y ) e N 2 / y = x + a —
E n particular
K<i ,1) = { ( 1 . 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , . . . }
K(1 i 2 ) = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , . . . }
K(2, d = { ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , . . . }
La representación de las clases en N2 es la siguiente
N
K<1.5) K(1.4) K(1.3) K(1>2) K(1<1)
y
y
y
6 ■
y
y
4
y
y
y
y
*
✓
J
y
4
y
y
y
y
y
, ' K < 3 .1 )
/
y
t
-- i'
y
y
y
f
y
y
1
>
y
, ' K 5 . n
y
/
/
/
y
y
y
/
,/
y
y
f
y
y
y
y
y
y
y
y
y _
y
'y
y
y
y
y
1..
y
y
('
^ 4 ,1 )
y
y
y
3··
y
/
y
y
r
2 ■■
d
y
y
y
y
·
y
y
, ' K ( 2 ,1 )
y
/
y
y
.y
y
4
/
y
y
/
y
y
5
/
y
f
-)
y
y
y
/
N
Eligiendo un único elemento en cada clase de equivalencia, se obtiene un conjunto
de índices
I
=1
(íí , 1 )! U ·’ (! , n
!) -■
con s f N
N2 es el conjunto
Cada clase de equivalencia se llama número entero, y el cociente__
Z de los números enteros.
Definición
,
Número entero es to d a clase de equivalencia determinada por la relación definidá
en N J .
N2
Conjunto de los números enteros es Z = - — .
BSTRUCTUKA DI·, ANILLO Y DE CIH RPO. I.N 11 RUS ’l RAt'lüNALl-.S
/ definición
N úm ero entero 0 es la clase
Entero positivo es toda clase del tipo K(„ d con n > 1.
Entero negativo es toda clase
con n > 1.
Para denotar los enteros utilizaremos los símbolos
( 1 , 1)
si n > 1
= ~ ( w " *)
Así» K(1 2 ) - - l .
si n > 1
= +· 2 , etcétera.
9.10.2. Operaciones en N 2 y compatibilidad
En N3 definimos la adición y multiplicación mediante
1 . ( a , b ) + ( « ’ , b' ) = (a + a ’ , b + b r)
2 . ( a , b ) , ( a ’ , b ’ ) — (aa’ + b b \ a b ‘ ■¥ b a ')
La relación de equivalencia definida en 9.10.1. es compatible con estas leyes de
composición interna en N2 . En efecto
i ) Por definición de la relación de equivalencia, conmutatividad y asociatividad
de ia adición en N, y por la definición 1.. se tiene
(a . b ) ~~ (a ’ . b ‘ )
=>
a
+
b’= b
+
a’
{c , d)~~ ( c ’ . d ’ ) =*
a
a
c
-¥d’ = d
=»·
=* (a + c ) + (¿>' + £?’)=» ( b + d ) + ( a ’ + c ’) **■
=> (a + c , b + d ) ~ (a’ + c ’ , b ’ + d ’ ) =>
=*■(a , b) + (c , d) ~ (a’ , b ’ ) + ( c’ , d ’ )
ii ) Sean
(a . b) ~ (a’ , b ’ )
a
=> a + b ’ ~ b j r a ’ a
(c
, d) — ( c ' . d ’ ) =>
c + t/’= í í + c ’
Multiplicamos la primera igualdad por c y luego p o rd
ac + b ’c = be + a ’c
bd + a ’d ~ a d + b ’d
Sumando
ac + bd + a ’d + b'c = be + ad +
í
’c + b ’d
(1)
Multiplicando la segunda igualdad por a ’ y por b ’
a’c + a ’d ’ —a ’d + a ’c ’
b ’d + b ’c ’ — b ’c + b ’d '
Sumando
a ’c + b ’d + a ’d ’ + b ’c ’ = a ’d + b ’c + a ’c ’ + b ’d ’
(2)
Sumando (1) y (2), después de cancelar resulta
(ac + b d ) + ( a ’d ’ + b ’c ’) = (ad + be) + ( a ’c ’ + b ’d ’)
Por definición de ls rckicicn ds equivalencia
tac + bd , ad + b e ) ~ {a’c ’ + b ’d ’ , a ’d ’ + b ’c ’ )
Por definición de producto resulta
(a , b) . (c , d ) ~ (¿’ , b ’ ) . ( c‘ , d ’ )
9.10.3. Adición y multiplicación en Z
De acuerdo con el teorem a fundamental de compatibilidad existen en el conjunto
cociente
N2
— = Z
dos leyes de composición interna inducidas, llamadas suma y
producto de enteros, únicas, tales que la aplicación canónica / : N2 -**Z es un
homomorfismo.
Veamos cóm o se realizan la adición y multiplicación en Z
( -3) + < + : ) = / < ! , 4 ) + / ( 3 , 1) = / [(! , 4 ) + (3 , 1) j = / { 4 , 5) = / { 1 , 2 ) = - l
( - 3 ) . ( + : ) = / ( ! . 4 ) . / ( 3 , ! ) = / [ ( ! , 4 ) . (3 , l ) j = / ( 7 , 1 3 ) = / ( 1 , 7) = - 6
Hemos utilizado la definición de aplicación canónica, el hecho de que es un
homom orfism o y las definiciones de adición y multiplicación en N2 .
Es fácil verificar que la adición es conmutativa y asociativa en N2 , y en virtud del
teorem a fundamental de compatibilidad lo es en Z.
Además, neutro para la adición en Z es 0 =
pues
K (* ,i , , + ° = / ( * > * ) + / U , !) = / [ ( « . & ) + ( ! > 1)1 =
= f ( a + l , b + l ) = f ( a . b ) = K ( ab}
El entero opuesto de K(o í)) es K(ÍJ O) pues
K«
6) +
K (6 a)
= f ( a . b ) + f ( b , a ) = f [ a + b , b + a ) = f ( l , 1)
=
’ - K(.,«> = 0
Resulta entonces que el par (Z , + ) es un grupo abeliano.
El lector puede comprobar que la multiplicación es conmutativa y asociativa en N 2,
y poi el homomorfismo canónico estas propiedades se trasfieren a la multiplicación en
Z.
Neutro parael producto en Z es 4 1 = K( 2 ,i) pues
K(a b) . K( 21} = / (a , * ) . / (2 , 1 ) = / t( fl , b ) . ( 2 , 1)] = f ( 2 a + b , a + 2 b ) = f ( a , b ) = K (t<bl
De m anera análoga se comprueba la distributividad de la multiplicación respecto de
la adición en Z
Por lo tanto, sa terna iZ , + , . ) es un anillo conmutativo y con unidad.
Este anillo ;arece de divisores de cero. En efecto
Sean ios enteros Kf.r v , y tL( x - y ·, tales que
K.
. . K, . _ = K.,. n
(x%y)
(* , y )
íl» l)
donde K, , .. * 0
\x ,>* )
Por aplicaciór canónica
f ( x , y ) . f ( x ' , y ’) = * f ( i , i)
Por ser j un feomomorfismo
/ [ { . v , v ) . ( . v ’ ) v ’) ] = / ( l , 1)
Por producto en N2
f ( x x ’ + y y ’ , x y ’ + y x ’) = f (1 , 1)
Por definición de aplicación canónica
( x x ’ + y y ' , x y ’ + y x ' ) - (1 , 1)
Teniendo sn cuenta la definición de la relación de equivalencia resulta
x x ’ + y y ’= x y ’ + yx'
si x ’ > y ’
x x ’ —x y ' = y x ’ —y y ’
es decir
r i.v’ ■- ? ’\ = y {x ' - y ’}
En consecuencia . :x = v, y resulta
= 0.
Se tiene así el dominio de integridad de los números enteros.
9.11. ISOMORF1SMO DE LOS ENTEROS POSITIVOS CON N
Sea Z + el conjunto de los enteros positivos. Definimos
F : Z + -*■ N
mediante la asignación F (+ a) = a
Se verifica
i
) F es inyectiva, pues
-t- a ^ + b = ^ a ^ b = ^ F ( + a ) ^ F ( + ¿ i )
i i ) F es sobreyectiva, ya que
V a e N , 3 + c r e Z + / F ( + a ) —ü
íii) F es un morfismo respecto de la adición en Z + y en N.
F [( + a) + (+£>)] = F [+ ( a + />)] =
a
h — F (·+' a ) . F ( + h )
iv) F es un morfismo respecto de la multiplicación en Z * y en N.
F [i + ¡ i ) . (+ b j \ — F [ + ( a , ft)3 =
= a . 6 = F(+a).F(+fc)
En consecuencia. F es un isomorfismo de Z + en N, es decir, ambos conjuntos son
indistinguibles algebraicamente y pueden identificarse.
9.1 2. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
9.12,1. Función valor absoluto
Es la aplicación
f : T -» Z — Z"
f
i* i*/(*> H
definida por
x
l-jc
si x > 0
.
,n
si x < 0
Su representación está dada por los puntos de coordenadas enteras de las bisectrices
del prim ero y segundo cuadrantes
9.12.2. Propiedades del valor absoluto
I) T o do entero está comprendido entre su valor absoluto y el opuesto de éste.
-Ix K x C Ix l
Se presentan tres casos
a) x — 0 =>
=
= |x l
b ) j c > 0 =► — Ijc| < x = 1*1
• c) x < 0 =*· — | jc| = jc < | jc|
II) l x ! < « => - a < x < a
En efecto
Por l)
x < 1x i
Por hipótesis
Ijc I< a
Por transitividad resulta
(1)
Multiplicando los dos miembros de la hipótesis p or — 1
- \ x \ > —a
Por I)
-
\x \ < x
Entonces, por transitividad
-a<x
(2)
De (1) y (2) resulta
—a
III) — a < x
=> \ x | < a
Si x > 0, entonces por definición de valor absoluto y p o r hipótesis
\x\=x<a
(1)
Si x < 0, por definición de valor absoluto, y multiplicando por — 1 los dos
primeros miembros de la hipótesis
Ijc 1=
—x < a
(2)
En ambos casos, (1 ) y (2), se tiene
U i<a
IV) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
íibsolutos.
T-sis) ¡jc +y I < Ijc ¡ +
\y ¡
Demostración) Por 1)
—U | < x < | x |
— | y | < y < Iy (
Sumando se tiene
— (l-v I + !>’ I)
+ . y < | x | + \y |
Por III) resulta
l.v +„v ! < !.v I + ¡v I
V) Ei vaior absoluto de un producto ei igual al p ru d u itu d t Sus valores absolutos de
ios factores.
.
, . , . .
\ x . y ¡ = \ x !. !y i
La demostración queda como ejercicio, y basta aplicar la definición de valor
absoluto a los casos que se presentan,
'
9.13. ALGORITMO DE LA DIVISION ENTERA
Teorema. Dados dos enteros a y b, siendo b > 0, existen dos enteros q y r. llamados
cociente y resto, que verifican
i
) a = bq ■+· r
íi ) 0 < r < 6
Demostración)
C om o b es un entero positivo, se tiene b > 1
Multiplicando (1 ) por — | a \
( 1).
- \ a \ b < — \ a\
Por 9 .1 2 .2 .1)
—| a i < a
De estas dos relaciones se deduce
— ia | b < a
En consecuencia
a-{-\a \.b\> 0
.
(2)
·
Sea C el conjunto de todos los enteros no negativos del tipo a — xb, con x e Z. De
acuerdo con (2), para x = — I a I , se tiene
a ~ x b — a — [— ¡a 1 b ] > 0
y en consecuencia C es no vacío.
Por el principio de buena ordenación existe en C un elem ento m ínim o r, para cierto
valor q, de x. Es decir, existen q y r tales que
a — bq = r > 0
Entonces existen dos enteros, q y r que satisfacen
a-bq+r
0<r
a
(3)
Falta probar que r < b . Suponemos r > 6 ; e n este caso
r — b > ‘0 =»■ a —bq — b > 0 * * a — b ( q + 1 ) > 0
(4)
¿ —b ( q + l ) e C
Y como
a — bq — a — bq
a
b > 0 =* a — b ( q + l ) < a — bq =
r
( 5)
De (4) y (5) se infiere que C admite un elemento m enor que el mínimo, lo que es
absurdo. Fntonces e s r < b
(5).
Las proposiciones (3) y (5) constituyen la tesis del teorema.
Queda como ejercicio la demostración de que los enteros q y r, a que se refiere ei
teorema, son únicos.
9.14. ALGORITMO DE EUCLIDES
9.14.1. Máximo com ún divisor en Z
El máximo común divisor positivo de dos enteros a y b. no simultáneamente nulos,
será denotado por
d = a * b
= m . c . d (a, b)
Para el máximo com ún divisor rige la definición 9.7.1.
Se tiene
3
•----- jk.
a o= A
3
a o= 3
Í — ----(Ka
^
---
A
----------------------------------------------------------
9.14.2. Propiedad. El máximo común divisor positivo de a y b, siendo b > 0, se
identifica con el máximo común divisor positivo entre b y el resto de la división de a
por b.
Sean
A= |xeZ /x|a
a
y
.
B = |.r e Z / x \b a
x
|rj
3 ™^—
Siendo
a= b q + r
0 ^ r < b
a
La propiedad queda satisfecha si demostramos que A = B.
Sea entonces
x e A
a
=> x \ a
A
=* x \ b
x ¡ b =>
x Ia
a
a
x\r
x \ a — b q => x ¡ b
.y | b
a
x \bq
=>
=»
=* x e B
Luego
AC8
<i )
Sea ahora
x e B=* x |
=>
x
¡bq ~ r
b
■' x ¡ r => x i .64
x
a
¡ b => x \ a
a
=» x e A
'
x ¡r
a
h =»
a* ; b =>
,
Es decir.
BCA
(2)
De ( l ) y (2! resulta A = B ,
9.14.3.
Determinación del m.c.d. por el algoritmo de E udides
Sean los enteros a y
tales que
b,
con
b
> 0. Por
el algoritmo de la división existen
a
a = bql + r l
0 < r i < h
P or 9.14,2. se tiene 3 - b = b a r , . Si r 1 = 0. entonces a a ¿ — 6.
Suponemos que r ¡ > 0, y que se llega a un resto nulo al cabo de n + 1 etapas, en
cada una de las cuales se divide el divisor por el resto. Se tiene
b = r xq 1 + r 2
a
r[ = r 2q 3 + r 3 \
0 < r 2 <r,
0 < r 3< r 2
r „ _ j = r„-\Q„ ~ r„
«*r3 - j
·
0
< r., O » , ...,
rt ’ i
De acuerdo con las relaciones de la derecha podemos escribir
0<r„ </·„_, < r „ _ 2 < ... < r 3 < r 2 O í < 6
donde los sucesivos restos disminuyen y son enteros no negativos. Por consiguiente se
llega a un resto nulo, que aquí hemos supuesto r n+ j .
Teniendo en c u e n ta 9.14.2. resulta
a
a
/,= &
A rx=r,
a
r2 = ...
a
rn = r „
a
0=/·,,
q¡
y r¡,
Es decir, el máximo común divisor positivo de dos enteros no simultáneamente
nulos, es igual al último resto no nulo que se obtiene por la aplicación del algoritmo de
í rd id e s.
t i esquem a de las divisiones sucesivas es
a
<?2
<?3
b
ri
*1
>2
■r3
tf.n
r n- i
rn
n+ 1
rn
0
Ejem plo 9-7.
i ) El cociente y resto de la división de — 7 por 3 son — 3 y 2
-7 ti—
ii)
2
-3
Si el divisor es negativo, el cociente y resto satisfacen
a = bq + r
0 < r < \b\
Así
7 1 ~~3
1
_1
i i ) El m.c.d. de 606 0 y 66 por divisiones sucesivas se obtiene asi
91
i
4
6060
66
54
12
120
54
12
6
0
6
Luego
6060
a
66 = 6
9-15. NUMEROS PRIMOS
Como ( Z , + , . ) es un dominio de integridad principal trasladamos a este caso Ja
e o n a desarrollada en 9.7.
9.15.1. E nteros primos o irreducibles
D efinición
El entero no nulo p 4= ± 1 es primo si y sólo si los únicos divisores que admite
son + l , - l . p y ~p-
Definición
Dos enteros son coprimos si y sólo si su máximo común divisor positivo es igual
a 1.
Ejemplo 9-8.
í ) Sí un número primo es divisor de un producto de dos factores, entonces es
divisor de uno de ellos.
Está demostrado en 9.7.7.
>;) Sí un número es divisor de un producto de dos factores, y primo con uno de
ellos,entonces es divisor del otro.
c ¡ab
a
ay
coprimos => c \ b
Demostración)
Como a y c son coprimos, se tiene a '·■ c = 1. '
Por 9.7.5.
I =
sa +
t e =>
=> b ~ sab + teb =* b = sqc + tbc
=»
=> b = (sq + t b I c =* c \ b
ni) Si dos enteros coprim os son divisores de un tercero, entonces su producto es
divisor de éste.
Hipótesis) a I n
b in
a
\
6=1
Tesis) a b i n
Demostración)
a i n =»· n = a x
(1)
Como
b \ n =» b \ a x
y siendo a y b coprimos, po r ii ) resulta
b \ x = >x = by
De(l)y(2)
n = a í by ) = (ab) i
O sea a b [ n
(2)
KSTRUC1U K D f c ANILLO V DI. CfhRPO. KN’I l-.ROS V li.ACIONALLS
9.15.2. Factoiización en Z
Teorema. Todo entero mayor que 1 puede descomponerse en e! producto de I por
factores primos positivos. Salvo el orden en que se consideren los factores, esta
descomposición es única.
Hacemos uso del segundo principio de inducción completa, cuya demostración se
pide como ejercicio. Este principio establece
Si V h < m : P ( h) =» P (m ), entonces P («) es V, V n e N.
Consideremos ahora la proposición
P (a) : “ El entero a > 1 puede descomponerse en un p roducto de factores primos
positivos” .
S uponem os que P (h) es V para todo k < a
(!)
Debemos probar que P (a) es V.
St a es primo, nada hay que demostrar.
Si a no es primo, entonces
a
=
be
con
b
< a a
c
< a
Por (I), P (¿) y P (c) son proposiciones verdaderas, y por ío tan to
r
b - K
;= i
p\
a
S
c = 7r
¿ -i
Luego a = b c = n
,
p' l siendo p¡ y p ” e n teros prim os positivos.
p¡, donde n = r + s.
i= 1
Entonces: P (a) es V.
Tal descomposición, salvo el orden de ios factores, es única. Si existieran dos
descomposiciones se tendría
a = p¡ p 2 . . p n = q t q 2 - . . qm
Como P i es prim o y p x |a, por 9.7.7.. se tiene p %\q¡\ en consecuencia, p¡ = q¡, ya
que son primos positivos.
Por ley eancelativa y conmutatividad
Pt P-3 ■
P n ~ <?J $3 ■ ■ ■<4m
de ordenar d segundo miembro para que
sea el primer íacior.
Reiteramos *1 proceso hasta agotar los factores primos de un m ie m b ro , en cuyo
caso quedan agotados los del otro. Entonces m = n y la descomposición es única.
9.15.3. Teorema de Euclides. Existen infinitos números primos positivos.
Hipótesis) S = ( p i / p ¡ es primo
Tesis) S es infinito.
Demostración)
a
p, > 0 }
Suponemos que S es finito. Entonces
S = | p i , p 2......... P « )
Sea
a = f n p>¡Y
i+l
v*~i
y
Por 9.15.2. 3 p¡ e S ¡ p¡\ a
Si Pj = a. entonces existiría un número primo m ayor que todo p¡. lo que es
absurdo.
Sea
Pj -fr a =*■ a - p j , m
A m > i
Luego
p¡. m
I */> ,·) =
V*=i, y
y como
se tiene
pj ™ - P j Q = 1
O sea
Pj ("i - ?) = 1 =» P; 11 => py = ± 1 ,
lo que también es absurdo.
9.16. EL CUERPO DE LOS RACIONALES
9.16.1. Relación de equivalencia en Z X Z*
Sea Z * ~ 2 — -' 0 / ef conjunto de los enteros no nulos. Consideramos
7 y Z* = ■ {a , h *. :í e 2
'
b í" Z * 1
Es decir, la totalidad de ios pares ordenados de enteros de segunda com ponente no
nula.
En Z X Z* definimos la siguiente relación
(a , b ) — (a ’ , b ’ ) ° ab" = ba
(1)
Esta relación es de equivalencia, pues verifica
i
) Reflexividad.
(a , b) e Z X Z * => ah = ba
(a , b )
(a , b )
ii ) Simetría.
(a , b ) ~ ( a ‘ , b ’ ) => ab’ = ba’ => arb = b ’a => ( a ’ , b ’) ~ (a , b )
iii)
Transi tividad.
(a , b ) ~ ( a ' , fe’)
a
(a ’ , Z>’) ~ (a” , b ” ) =* (a , b) ~ ( a ” , b ’’ )
Se cumple tiivialm ente si alguna de las primeras com ponentes es 0.
Sea el caso en que ninguna es 0. Por ( I ) , y ley cancelativa después de multiplicar, se
(a , b ) ~ (a ' , b ’ )
a
(a , b ’) - (a ” , b ” ) => a b ’ = ba'
a
a 2»” = b ’a ” =>
=» a H> i ' b " ~ b 4 ’ $ ’ a ” =* a b ” — b a " => ( a , b) ~ ( a” , ¿ " )
Por el teorema fundam ental de las relaciones de equivalencia existe una partición de
Z X Z* en clases de equivalencia, cada una de las cuales se llama número racional.
La clase de equivalencia de un elemento genérico (a , b ) es
K , ,, — ( ( x , v ) e Z X Z * / <jc s v ) ~ ( a , & ) ^
ta ,o» i, '
/
K(1 2) = | ( j c , j ) í Z X Z * ¡ y ~ 2 x j = <^{x , 2 x ) í x e Z* j
donde x puede tom ar todos los valores enteros n o nulos, y resulta
K
= { · · . , ( — 2 , - 4) , ( — 1 , —2) , ( — 1 , — 2) , (1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 . 6 ) , . . . }
Análogamente
Es decir
K (0,1 )
( 0 , - 2 ) , ( 0 , - 1 ) , (0,1) ,(0,2), (0,3), ...}
Es claro que, dado un elemento de ZXZ*, sus equivalentes se obtienen multipli.ar.do ambas componentes por todos los enteros distintos de cero.
La representación de las clases de equivalencia es la siguiente
tk Z *
■ i
i
I
\1
\
“
\ \
l
\
. _
•- T , ‘
I
_' 1
k —
I
1
r
i
I
:/ / '
-Jr- -
--i
/1 /
- J 1'
S,A-
il
i 1
M
u <
*
! \t
! y \
i/
» / S!
. - a - y _ #✓*
» / *
/ i
*, /' 1Z1
i
V \
Í *
í
V
-------%- - T .
I
I
r* ~ r
»/
i(
J
- i
i
Un conjunto de índices está dado p o r la totalidad de los pares (/3 , q ) de elementos
coprimos, tales q u e p e Z y q e Z +.
D efinición
Número racional es toda clase determinada por la relación de equivalencia
definida en Z X Z*.
Conjunto de los números racionales es el cociente de Z X Z* por la relación de
equivalencia
Q=
z x z*
Para denotar los números racionales, es decir. las clases K(p
definición delconjunto de índices, se escribe ~
de acuerdo con la
.
9.16.2. Operíciones en Z X Z* y compatibilidad.
En Z X Z* definimos la adición y multiplicación mediante
1. (a , b) + (a ' , b') = (ab’ + ba’, bh*)
2. (a , b) ■ (<?’. b*) = (aa'. b h ’ )
Es simple k verificación de que estas leyes de composición interna en Z X Z* son
asociativas, conmutativas, y la segunda distributiva respecto de la primera.
Por otra parte, la relación de equivalencia definida en 9.16.1. es compatible con la
adición y multiplicación en Z X Z*. En efecto
i ) Por la definición de la relación de equivalencia en Z X Z*
(a.b)~(c ,<f) a (a' , b")~ (c\d’) => ad = be \a'd’- b ’
c'
Multiplicando estas igualdades por b ’d ’ y bd, respectivamente, tenem os
adb’d ’ = beb’d ’
a
a ’d ’bd = b ’c ’bd
Sumando
adb’d ’ + a ‘d ’bd — bcb’d ’ + b ’c ’bd
Por distributividad en (Z , + , . )
(ab’ + ba’) d d ’ = (cd’ + d e’) b b ’
Por definición de la relación de equivalencia en ZXZ*
(ab ’ + b a', bb ) '■ ied ’ + d e '. d d ")
Por definición 1 de adición en 2 X Z*
(a . b) + (a', b')~~(c , d) + (t
d ’)
Lo que prueba la compatibilidad de la relación de equivalencia respecto de la
adición en Z X Z*
ii ) Aplicando la definición (1) de 9.16.1., la conmutatividad y asociatividad del
producto en Z. nuevamente (1) y la definición de producto en Z X Z * ,
resulta
( a , b ) ~ (a’ , b ’)
A
(c , d ) ~ ( c ‘ , d ’ )
ab’ = b a ’
a
cd’ — dc’
a
a b ’c d ’ = b a ’d c ’
4
( ac) ( b ' d ’ ) = (b d ) ( a 'c ’ )
íl
(ac
, b d ) ~ - { a ’c ’ , b ’d ’ )
ia . b) , (c . d ) ~ ( a ' , b ’) „ ( V . d ’ i
Es decir, vale la compatibilidad de
respecto del producto en Z X Z*.
9.16.3. Leyes inducidas en Q
/
D ado que la relación de equivalencia 9.1 6.1 es compatible con las leyes de
composición interna definidas en Z X Z*. de acuerdo con el te o re m a fundam ental de
c om patib ilid ad, existen en el c onjunto cociente Q dos leyes de composición inte rna
inducidas, llamadas suma y producto de racionales, únicas, tales q u e la aplicación
c a n ó n ic a /: Z X Z* ->Q es un morfismo que preserva las propiedades.
, La realización de la adición y multiplicación en Q es la siguiente:
t
)
+ T
= K ( - 2 , 3 ) + K (5 , 6 ) = / ( " 2 s3 ) + / ( 5 , 6 ) =
= / [ ( - 2 , 3 ) + ( 5 , 6 ) ] = / ( 3 . 18) = / ( 1 .6) = KU .6 ) = -g-
J-)
—f (
= / ( “ 2 , 3 ) . / ( 5 , 6 ) = / [ ( - 2 , 3 ) . (5 , 6 ) ] =
10 , 18) = / ( — 5 , 9 ) =
|-
*
de acuerdo con. la definición de aplicación canónica, el homomorfismo y las
definiciones de adición y multiplicación en 2 X ¿~.
Por ei mismo teorema fundamenta!, las operaciones inducidas en Q son con ­
mutativas y asociativas. Además, ia multiplicación es distributiva respecto de la
adición.
Investigamos la existencia de elemento neutro para la adición en Q. Se trata de
determinar, si existe, K (Xryj tal que cualquiera que sea K.(a b) se verifique
+ K(x y ) = K (a, 6)
Por definición de aplicación canónica
f ( a , b ) + f ( x , y ) = f ( a , b)
Por s e r / u n hom om orfism o
f\(a ,b ) + ( x , y ) ]= f ( a , b )
Por adición en Z X Z*
f (ay + bx , by ) - f ( a , b)
Por definición de aplicación canónica
(ay + bx , ¿>v) ~ ( a . b)
Por 9.16.1,
ar¿iv 4» A 2 y = tf/n/
Cancelando en (Z , +) se tiene b 2 x -- 0, y como b =£ 0 resulta .v = 0, y en
consecuencia neutro para la adición en Q. es
- A
k
Inverso aditivo u opuesto de K(o (j) es K(_ a>6) ya que
+ K(_ Ui6) = /< « . 6 ) + / ( - « . fe) =
= / [{ a, 6 ) + {— a , 6 )j = f ( a b — a b , ¿ 6 ) =
= / ( 0 , M ) = / ( 0 , l ) = K (O, i > = y
Concluimos asi que (Q , + ) es un grupo abeliano.
Con relación a la multiplicación en Q, ya hemos visto que es una ley de
composición interna asociativa y conmutativa. Existe elemento identidad o unidad:
=
y
y todo racional no nulo K fa b¡ admite inverso m ultiplicativo o
recíproco K(i a ): la comprobación queda como ejercicio.
Entonces (Q — { 0 } , . ) es grupo abeliano.
Teniendo en cuenta, además, la distributividad de la multiplicación respecto de la
adición, resulta
(Q , + , . )
el cuerpo de los núm eros racionales.
9.17. ISOMORFEMO DE UNA PARTE DE Q EN Z
Con Q , denotam os el conjunto de los racionales de denominador 1, es decir, todas
las clases del tipo K(o t) = ^
1
, donde a e Z.
Es fácil comprobar que la aplicación
/ : Qi
que asigna a cada elemento de Q , , el numerador, es un morfismo biyectivo respecto de
la adición y multiplicación.
Esto significa que los conjuntos Q j y Z son isomorfos y, en consecuencia,
identificables algebraicamente.
En virtud del isomorfismo escribimos —■ = a .
9.18. RELACION DE ORDEN EN Q
9.18.1. Concepto
De acuerdo con la elección del conjunto de índices hecha en 9.16.1., todo racional
puede representarse como una fracción de denominador positivo.
Definimos en Q la relación < mediante
y
O)
y
Es claro que
La relación ( 1) satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva ; además
es total. En consecuencia (1 ) caracteriza un orden amplio y total en Q.
La relación < es compatible con la adición y multiplicación en Q, en el sentido
siguiente
c
d
La justificación de estas proposiciones se deja a cargo del lector. Además
Resulta entonces que la terna (Q , + , .) es un cuerpo ordenado por la relación <.
En consecuencia, son válidas las propiedades de los anillos ordenados demostradas en
9.8.2.
9.18.2. Densidad de Q
D efinición
(Relación de menor)
Definición
Un cuerpo K es denso respecto de la relación < si y sólo si
.v < y =» 3 z e K I x < z < y
Propiedad. El conjunto Q es denso con la relación < .
Se trata de probar que entre dos racionales distintos existe otro. Para esto demostra­
mos que, sumaido los numeradores y denominadores de dos racionales distintos, se
obtiene otro comprendida entre los mismos.
Hipótesis)
ÍL
-.i-..
b
Tesis)
a
T
Demostración)
a
^
v
d
a + c
b-rd
c
~d
c
< ~j -
Por hipótesis
i*
ad < be
Por (1) de 9.18.1
4
ad
+ ab < be + ab
a ( b + d ) < b \a + c )
a
ad + cd < be + cd
(a + c ) d < ( b + d )
a
Por compatibilidad en (Z , + , . )
Por distributividad en (Z , + , . )
c
4
1 < -í-± £ b
í -r d
A
4 ± ib-rd
< 4
Por (1) de 9.18.1
a
i
b
1
"’y <
b -rd
Por transitividad
a
Ejemplo 9-9,
Una consecuencia inmediata de la propiedad anterior, es decú, de la densidad de Q,
es que entre Jos racionales distintos se pueden intercalar infinitos si si orden está
dado por la reiición < .
Es claro también que no existen dos racionales consecutivos.
Podemos aplicar reiteradamente el teorema anterior "en los siguientes casos:
1
2
i ) Proponer cuatro racionales entre — y —
.
Resulta
1 . 3 , 5
^ 7
^ . 9 ^ , 2
Otra intercalación es
JL <
± < J. < A < A < 2
5
13
19
8
11
3
3
ii) Idem entre — 3— y —
Se tiene
i
4
1
4
<
-
t
< - i< ·- 4
3
< o <
—
9 1 9 , NUMERABIL1DAD DE Q
En 6.2. hemos introducido el concepto de coordinabilidad o equipotencia entre
conjuntos. De acuerdo con 6.3.2. sabemos que'un conjunto es numerable si y sólo si es
coordinable a N- En el ejemplo 6-1 hemos demostrado que Z es numerable. Nos
interesa llegar ahora a la conclusión de que Q tam bién es un conjunto numerable. Con
este propósito enunciamos a continuación las siguientes propiedades que se proponen
como ejercicios en los Trabajos Prácticos VI y IX.
I) Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es numerable.
A~ N a
M es infinito
a
M C A => M es numerable
II) La unión de un número finito de conjuntos numerables, disjuntos dos a dos, es
numerable
n
A,· — N a
¡e ln
<\ A ¡H A / = <j> si /= £ / ■* 2 A ¡ es numerable.
«= i
III) La unión de toda familia numerable de conjuntos finitos, disjuntos dos a dos es
numerable.
OG
A, ~ I„«. “v A ,· n A;- = 4>si / #7 => 2 _ k f es num era ble.
i v t La unión a e tmia familia nu m eiabk de conjunto» »lumerabie», «isiunioi dos. a
dos, es numerable.
OQ
A, ~ N A A. n A, = 0 si / # / =*■ S A i es numerable.
i= i
Con estos elem entos de juicio vamos a dem ostrar que Q es numerable, en las
siguientes etapas
i ) Q + es numerable.
Demostración)
Sea la sucesión de conjuntos
con i e N
Cada At- es coordinable a N y en consecuencia es numerable. Por ejemplo
De acuerdo con IV) resulta numerable el conjunto 2 A,
i=I
Ai prescindir de las fracciones reducibies resuita ei subcunjuiito Q*-» que as
numerable por l), ya que consiste en un subconjunto infinito de un conjunto
numerable.
ii) Q ' es numerable, por ser coordinable a Q*.
iii) Q es numerable.
En efecto, si denotam os con + la unión en el caso disjunto, tenem os
Y teniendo en cuenta II y el ejemplo 2-6 resulta la numerabilidad de Q.
Nota
Los conjuntos numéricos infinitos tratados con cierto detalle hasta ahora, a saber:
N, Z, enteros pares, enteros impares, enteros prim os, y Q, son todos numerables, es
decir, “tienen el mismo número de elementos” . Pero no todo conjunto infinito es
coordinable a N; en efecto, esta “ tradición” no se mantiene en el caso de Sos números
reales, conjunto que estudiaremos en el capítulo 10 , donde llegaremos a la conclusión
de que R es no numerable.
TRABAJO PRACTICO IX
9-10. En 7 } se definen la adición y la multiplicación medíante
( x , y ) + { .r ',;> ’) = (* + x ’ . v + v ’)
í.x . v ) , ( . x ' , j ’) ~ ( x x ’ , 0 )
Verificar que (Z 2 , + ,
es un anillo y clasificarlo.
$
9-11. Sí (A , + ) es un grupo abeíiano, y se define
.; A 2 -*■ A tal que a. b = 0 , entonces (A , + , . ) es u n anillo.
9-12. En 7 } se consideran la suma habitual de pares ordenados y el producto definido
^°r
(a , b ) . ( a ’ , b ’ ) = (aa’ , a b ‘ + ba’ )
Comprobar que (Z 2 , + ,
es un anillo conmutativo con identidad.
9-13. Sea A = { x e K f x - a + b s/~2
a
a eZ
a
b e Z j . C om probar que A es un
anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinarios de
números reales. Investigar si admite divisores de cero.
9-14. Con relación al anillo del ejercicio anterior, verificar que
/ : A -*■ A tal que f (a + b \ [ 2 ) = a - b \ f í
es un isomorfismo de A en A, respecto de la adición y de la multiplicación.
9-15. En A = ÍO , 1 , 2 ,, 3} se definen la adición y multiplicación mediante las tablas
+
0
0
1
2
0 1 2 3
1 0 3 2
JL 3 0 1
3 2 1 0
3
0 1 2 3
1 2 3
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
0
2
0
2
0
3
0
3
Comprobar que (A , + , . ) es un anillo no conmutativo y sin identidad.
9-/6. Demostrar que la intersección de dos subanillos del anillo (A , + ,
subanillo.
es un
9-17. Por deficirión, el elem ento x del anillo A es nilpotente si y sólo si existe n e N tal
que x n = x . x , . . x — 0. Demostrar que el único elem ento nilpotente de todo
dominio de integridad es 0 .
9-18. Demostrar que dos enteros son congruentes módulo « si y sólo si admiten el
mismo resto al dividirlos po r n.
9-19. Demostrar que en todo anillo ordenado se verifica
i ) a K b ==> - b <
i i ) ae A =*>· 0 < a 2
9-20. Sea ei arillo ordenado (Z , 4 ,
i
Demostrar
) U ~ v | > ¡.tí - i>*í
ü )jiii ~ !.v|| < |.v + y \
iii) i¡.y
a y
¥=0
^
l . x K l j ’l
9-21. Sea A un anillo. Demostrar que I = ¡j x e A ¡ nx = 0 a n e Z j es un ideal de A.
9-22. Demostrar que todo anillo de división carece de ideales propios no triviales.
9-23. En R 4 si consideran la suma ordinaria de cuaternas ordenadas y la multiplicación
definida por
(a , , a 2 , a 3 , a 4 ) . ( ¿ i , b 2 , b 3 , b A) = ( c i , c 2 , c 3 , c 4)
c¡ — cti b{
siendo
—a 2 b 2 —o 3 b 3 — a^b^
c2 ~ & \ b 2
\
c 3 — otj b 3
u 3 bA ~ a^b 3
a 3b\ "t· ¿I4b 2 —u 2 b^
C4 = a 164+ 24^1
+«263 —a-¡b2
Verificar que R 4 es u n anillo de división no conm utativo, con identidad
(I , 0 , 0 , 0 ) . Se trata del anillo de división de los cuatemiones.
En algunos textos se considera la existencia de cuerpos a o conmutativos, y en
consecjencia se habla del cuerpo de los cuatemiones.
9-24. Resolver ei siguiente sistema de ecuaciones en (Z s , + ,.)
i 3x + 4y = 3
9-25. Demostrar que si dos enteros coprimos son divisores de un tercero, entonces su
producto tam bién lo es.
9-26. Demostrar en (Z , + , . )
m c d (a ,b )= d
a
a\c
a
b \c = > a b \c d
9-27. Expresando to d o entero positivo en la forma n = 10 d + u, donde u denota la
cifra de las unidades y d el número de decenas, demostrar los siguientes criterios
de divisibilidad
i )
2 | u => 2 | n
ii )
3 I <i + m => 3 | n
iii) 111 d - u => 1 1 1 «
9-28. Determinar el m.c.d. positivo por divisiones sucesivas, en los siguientes casos
i)
10324 y 146
ti l 1 5 6 0
iii) 21. 3423
125
iv) 2 1 5 .
15.325
9-29. En el anillo ordenado de los enteros se verifica
a|b
a
i b ¡ < a =* b = 0
9-30. Demostrar que el cociente y el resto de la división entera son únicos.
/
9-31. Expresar el m.c.d. positivo de los enteros a y b como una combinación lineal
adecuada de los mismos, sabiendo que se identifica con r 2 ■
9-32. Por definición, el entero m es un mínim o com ún múltiplo de a y b si y sólo si
i)
ai m
a b\ m
i i ) a 1 m ’ a b\ m ’ => m \ m ’
Si a y b son enteros positivos y d y m denotan respectivamente el m.c.d. y el
m.c.m. positivos, entonces se verifica d . m = a . b.
9-33. Demostrar que si a y b son enteros congruentes módulo
congruente a b k para todo k e Z *.
n, entonces a* es
9-34. Demostrar que (R nxn , + ,.) es un anillo.
9-35. Demostrar el segundo principio de inducción completa citado en 9.15.2.
9-36. Demostrar que si ac es congruente con be módulo n, y c es coprim o con n,
entonces a es congruente con b módulo n.
'•¡-37, Sea n un entero positivo Por definición, si cuniuiitu . a ,, a : , , . . . a„ ' es una
ciase com pleta de residuos módulo n si y sólo si cada elem ento pertenece a una
clase de equivalencia determinada por la congruencia módulo n en Z.
Así, los enteros — 3. 5 y 7 constituyen una clase completa de residuos m ódulo 3,
pues - 3 eO , 5 e 2 y 7 e 1.
Demostrar
i
) n enteros constituyen una clase com pleta de residuos m ódulo n si y sólo si
dos elementos distintos cualesquiera no son congruentes m ódulo n.
ii) Si a y n son coprimos y ( « i , a2, . . . , 0«} es una clase com pleta de
r e sidu os m ó d u lo n, e n to n c e s j a a i , a a 2, . . . , aa,,^ es u n a clase com pleta
d e residuos m ó d u lo n.
9-38. D e m o s t r a r el siguiente teorem a de Fe rm at: si el e n te ro p rim o p n o es divisor de
a e Z , e n to n c e s ¡ f ~ 1 es congruente con 1 m ó d u lo p,
9-39. Sean los enteros a . b y n , tales que n e Z * y a y n son coprimos. Demostrar
i ) La ecuación de congruencia ax = b (m ód n) tiene solución.
i i ) D os enteros son soluciones de la ecuación si y sólo si son congruentes
m ód ulo n. .
iii) Si n es primo, entonces x — a n ~ 2 b es solución.
9-40. Resolver las siguientes ecuaciones de congruencias
i )
3x = 7
(m ód 4)
ii )
x -
(m ód 12)
iii) ~
2
x=
6 = 0
(m ód 11)
12
9-41. Sea (K , + , . ) u n cuerpo. Si b =£ 0 , entonces ab~
a
¡ ) ~b
c
~d ~
b
d
—
¿2
, Dem ostrar
ad + be
bd
a + b
b
iii) £L = 4 -
i
c + d
d
a+ b
a- b
c+ d
c —d
9-J2. D em ostrar que la intersección de dos subcuerpos de K es u n subcuerpo.
9-43. Sea (Q , + , . ) el cuerpo ordenado de los racionales. D em ostrar
m éN
a
xeQ +
a
y e Q * => x n + y n > — ·— ·■··
2 rt-l
9-44. El sím bo lo Q ( v ^ ) denota el subconjunto de núm eros reales del tipo a + b V*3,
siendo a y b números racionales. Investigar si (Q ( V ? ) , + , . ) es un cuerpo.
9-45. Sean (K , + , . ) un cuerpo y n un entero positivo. Se definen
0.e = 0
1.e= e
n . e = e + e + ...
+ e
si n > I
donde e es la unidad del cuerpo.
D em ostrar
i ) (n x ) ( m y ) = ( nm ) (xy) donde
de K.
i i ) ( ne ) (me) = (nm ) e
n
y m son naturales y x e y son elementos
9-46. Por definición, el menor entero positivo p que satisface pe = 0 se llama
característica del cuerpo. Demostrar
i ) Si p es la característica de (K , + , .)> entonces se verifica p x = 0
cualquiera que sea x e K.
i i ) p es primo,
9-47. Si p es la característica del cuerpo K, entonces se verifica:
(x + y )p - x p +y”
9-48. Sea (K , + ,
un cuerpo ordenado. Por definición, K es com pleto si y sólo si
to d o subconjunto no vacío y acotado de K tiene supremo.
Por otra parte se dice que K es arquime diano si y sólo si
0 < x < y => 3 x e N / n x 5 * y
Verificar que Q no es com pleto y sí es arquimediano.
9-49. Demostrar
i ) T odo subconjunto infinito de un c 9 njunto numerable es numerable,
i i ) La unión de un núm ero finito de conjuntos numerables, disjuntos dos a
dos, es numerable.
9-50. Demostrar
i ) La unión de toda familia numerable de conjuntos finitos disjuntos dos a
dos, es numerable.
i i ) La unión de to da familia numerable de conjuntos numerables, disjuntos
dos a dos, es numerable.
Capítulo 10
NUM EROS
R E ALES
10.1. INTRODUCCION
De acuerdo con el m étodo genérico empleado hasta ahora, se estudia en este capí­
tulo el número real siguiendo dos vías alternativas: los encajes de intervalos cerrados
racionales, y las cortaduras de Dedekind; se mencionan, además, los pares de
sucesiones monótonas contiguas de racionales. Se llega a establecer que (R , + ,.) es un
cuerpo ordenado y completo. Asimismo, se encaran con cierto detalle la potenciación
y la logaritmación en R. Se demuestra, finalmente, que R es no numerable.
10.2. EL NUMERO REAL
10.2.1. Ecuaciones sin soluciones en Q
La medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1es y 2 .
número que satisface la ecuación
x2
2
—0
( 1)
Demostraremos que si un racional es raíz de (1), entonces dicha raíz es entera.
En efecto, sea ~
¡? Q raíz «Je f l ). y p y q coprimos.
Entonces
2
- ~ j - — 2 = 0 => p 2 - - 2 q 2 = 0
p 2 — 2 q 2 => q 2 \ p 2
Ahora bien
q I q2
a
q 2 I p 2 => q I p 2 =* q 1 p . p
y siendo p y q coprimos, p o r 9-8 ii) resulta q I p y en consecuencia q ~ ±
decir —
Q
eZ.
1, es
Por consiguiente es válida la implicación contrarrecíproca: si la ecuación ( 1) no
admite raíces enteras, entonces dichas raíces no son racionales.
Precisamente (1 ) no tiene raíces enteras, pues
V a e Z : U | < 1 =*■ a1 ~ 2 < 0
V a e Z : | a ¡ > 2 =s> a 2 - 2 > 0
y en consecuencia carece de raíces racionales, es decir, \/~ 2 $ Q.
Situaciones de este tipo plantean la necesidad de ampliar elconjunto Q, de m o d o
que una parte del nuevo conjunto, que llamaremos R, sea isomorfa a Q. La vía que
elegimos para este fin es el método de ios intervalos encajados de racionales, a través de
los cuales se tiene una representación geométrica de interés intuitivo, y, com o
alternativa, el de las cortaduras de Dedekind.
10.2.2. Encaje de intervalos cerrados racionales
Definición
Intervalo cerrado racional de extrem os a y b (siendo a < b ), es el conjunto
[a , b ] ~ ^ x e Q ! a < x < í > ^
De acuerdo con 9.18.2, el conjunto \a , 6 ] C Q es infinito, porque en tre dos
racionales distintos existe otro, salvo el caso a = b en que el intervalo se llama
degenerado y se reduce a un único elem ento.
Am plitud del intervalo cerrado [ a , b ] es el núm ero racional b — a.
Sucesión de intervalos cerrados racionales es toda función/ , con dom inio N , y cuyo
codominio es el conjunto de todos los intervalos cerrados racionales.
Una tal sucesión queda determinada por el conjunto de las imágenes
[ai t
] > \&2 >^ 2 ] j · · · t í & n >
donde f ( r í ) =
] > · · ·
[a n , < ] C Q
Ejemplo í tí- l.
Los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo
F
i
11
2 — - r , 2 + — i son ios intervalos cerrados racionales
L
i
i j
r,
,,
fA
J L ]F A
11 , ¿ l , L 2 * 2 1 ’
\±
elemento genérico es
-1 1
A l
L3 ’ 3 J ’ L4 ’ 4 J
y su representación en un sistema de abscisas es
9_1_
_5_
4 3
2
3
----------- ®------------------- « ------ *— »--------------------------------- 1------------------------ e-©_
1
3_
_5_ T_
2
3 4
E sta sucesión es tal que cada intervalo está contenido en el anterior, es decir
U ,3 ]D
[4
—
■
n ' 5
.3
5‘
2 .
.
7'
3.
nv-tivo p o r el cual se dice que es decreciente.
Además, la correspondiente sucesión de amplitudes a t —a, es convergente a 0, ya
que
3 - 1
=
±2 - 22 =
2
i
1
JL _ JL = 1
3
±
3
_
4
1
4
3
=
1
2
Es decir, a partir de cierto índice, todos los intervalos de la sucesión tienen
am plitud m enor que cualquier número positivo, prefijado arbitrariam ente.
f
1
n
La familia j 2 ----- —, 2 + — j
con i e N es u n encaje de intervalos cerrados de
racionales, concepto que precisamos a continuación.
Definición
Encaje de intervalos cerrados racionales es toda sucesión de intervalos cerrados
racionales [¡z¡, a ’¡] C Q, con i e N, que satisface las siguientes condiciones:
i ) Es decreciente, en el sentido de que cada intervalo contiene al siguiente
·
i e N =* [ a ¡ , a¡] D [a ¡+1 , a/+, ]
O bien
t e N =» í ,+1 C l¡ siendo I¡ = [a ¡ , a¡]
i i ) La sucesión de am plitudes es convergente a 0.
V
£ > 0 , 3 n 0 ( £ ) I n > no =>a'n - a n < Z
Es decir, prefijado cualquier número positivo £ , es posible determ inar un número
«o que depende de £ , tal que para to do índice de la sucesión que supere m 0 ocurre
que la amplitud del intervalo correspondiente es menor que £ .
La sucesión ^ 2 ----- j~ , 2 + ~~ j
define un encaje de intervalos, pues
i ) Es decreciente. Debemos probar i e N => Ii+ 1 C 1¡.
En efecto
F
1
x e l ¡ + i = > jc e ¡ 2 — , , ,
'L
í +1
=5. 2 -
1
1
,2 +
’
í +1 J
1
1
— < x < 2 + — t—r
Í+ 1
'
"
1+ i
=» - — “
<x~2 =
1+ i
'
=> - ~ < - —~
l
1 + 1 < X - 2 < - I~+ ri < —
1
i
t
2- — < x < 2 + —
i
i
r
= *-4-<x~2<4~
l
i
1
*>xc, 2 - j l , 2 + 4
L
1
1 +i
i t
=»
1
i
= > .íe i;
i i ) La sucesión de amplitudes es convergente a 0.
Sea £ > 0 . Hay que determinar n 0 tal que
n > n 0 =» a „’ ~ a n < £
Ahora bien
an
’ ~ an <
£ => f 2 + — ( — ( 2 -----— 1 < £
V
ny
\
n '
=* — < £ => n > —
«
£
2
Afirmamos que V £ > 0 ,3 «o = -g- tal que
« > « o => a ’n - an < Z
En efecto
* > 4 * =* — < - | * =*
~ £
n
2
i
r
=»2 + , ^ < 2 + j a
2~
i
c
« > 2~ -y
=>
- ( 2 + i ) - G - t ) < (2 + t ) - ( 2 - t ) =*
- *n < £
Analizamos algunas cuestiones de nomenclatura en conexión con los encajes de
intervalos cerrados racionales.
.Sea fa¡ , a/] con / e N un encaje de intervalos cerrados racionales. Entonces se
verifican las condiciones
i ) I, 2 1 a D l 3 D . . . D l n ‘3 -■ ·
i i ) lím ampl
l„ - 0
n ~ * 00
Los extremos inferiores a¡ de los intervalos del encaje se llaman aproximaciones
por defecto, y ¡os extremos superiores a¡, aproximaciones p o r exceso.
Se verifica que las primeras constituyen una sucesión creciente de racionales. En
efecto, sea / > i.
Por definición de encaje se n e n e !, C I,
y como a¡ e h, resulta a¡ e I¡, es decir. a¡ < a¡ < u \ por la definición de i,.
Luego
/ > i =* a¡ < a7En consecuencia
a¡ < a ; < a 3 < . . . < a n < . . .
lo que nos dite que la sucesión de aproximaciones po r defecto es creciente.
Análogamente se prueba el decrecimiento de la sucesión de las aproximaciones por
exceso
a i > a\ > a 3’ > . . . > a ’„ > . . .
De m odo que u n encaje de intervalos cenados racionales es equivalente a un par de
sucesiones í a ¡ j y j a / J de racionales, que verifican
i ) Condición de monotonía.
í a ¡ \ e s creciente
S J
es decreciente
i i ) i e N => a¡ < a '
iiii Coadición de contigüidad.
V£
0 . 3 «y i C- 5
"o ** i’rt ~ 2;i <
?
Se dice que { a¡ }y { a ¡ }constituyen un par de sucesiones m onótonas contiguas de
racionales.
Si los intervalos son no degenerados, de la condición i ) se deduce que toda
aproximación por defecto del encaje es m enor que cualquier aproximación por exceso.
Distinguimos tres casos
1. / = /
=> a ¿ < a¡ =*
a¡ < a¡
2. / < /
=> a¡ < a¡ a
a¡ < a) =*■a f < aj
3. i > / => a ¡ < a
a
a ’¡ < a j => a, < a/
Se tiene la siguiente representación geométrica de un encaje de intervalos cerrados
racionales
----- 1-------- 9---- ·---------- 0—--- e------ -e------ >
c¡
a ¡ --------------------- a %
’
a%
a ’t
a[
< ----------- *3------------?►
------ —
I 2 _ ------ -------- ------ > .
_
La intersección de todos los intervalos del encaje puede ser vacia o no en Q, En el
caso de! ejemplo 10-2, se tiene
oo
,0,[2- t
•-+ r ]
<
2)
0
En cambio, el encaje asociado a las aproximaciones racionales de s[ 2 tiene
intersección vacia en Q
l«i . « ' , ] = [1 <21
[ « , . « ; ] = 11 - 4 , 1 . 5 ]
[a 3 , a ’3 ] = U . 4 1 , 1 . 4 2 ]
[aA , a \ \ = [ \ . 4 1 4 , 1 .4 1 5 ]
n
1=1
10.2.3.
[ a ¡ . a¡] =
Relación de equivalencia en el conjunto de los encajes
de intervalos cenados racionales. El número real.
Sea A e! conjunto de todos los encajes de intervalos cerrados racionales. Cada
elemento de A es una sucesión decreciente de intervalos encajados, que denotam os con
[a. . a ’, i
En A se define la relación mediante
A b j< a ¡
>b¡\
V iV /
( 1)
Es decir, dos encajes de intervalos cerrados racionales están relacionados si y sólo si
las aproximaciones p o r defecto de cada uno no superan a las aproximaciones por
exceso del otro.
La relación definida en (1 ) es de equivalencia, pues satisface
I. Refiexividad.
Ia¡ . a ’¡ ] e A =*· a¡ < a\
a
a¡ < a¡ => [ a , , a¡] ~ [ a ¡ , a¡]
II. Sim etría.
[ a ¡ , o·] -[/),· , b ¡ ] => a i < b ¡’
=4- ¿>,· < <7¡
a
bj < a¡ =>
a
a, < ¿>/ => [£>/ , b ¡ ] —
. a¡]
III. Transitividad.
{ a i . a¡]
~ [ b ¡ , b¡]
=> [a, . a ’]
a
[b¿ , b¡]
~ [c k
,
c ’h } * >
,c ¿ ]
■Vmostrarión)
Debemos probar
V/ . VA‘ :
a¡
< «.·’* \ c* < a ’,·
Suponem os que existen dos índices m y n, tales que am > c n
’
Por hipótesis
(2)
[ a , , a¡] - [ b ¡ , 6j] => v i , V / : at < ¿>/
V / : ü m < bj
(3)
[bj , b¡\ ~ [c k ,c'k } ^
\fi
k : b j < c ’k
(4)
=> V i : bj < c ’n
G ráficamente la situación es
Cn
bj
—i
-* b¡
De (3) y (4)
V/ : b · > am
a
b¡ < cn
Restando miembro a miembro
V/ : b] — bj > am - c „
y tom ando £ < am — c „’ , resulta
V/ : o] — bj > £
En consecuencia [b¡ , b ’j ] no es un encaje, contra la hipótesis.
De acuerdo con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una
partición de A en clases de equivalencia, cada una de las cuales se llama número rea].
Definición
Número real es toda d ase de equivalencia determinada por la relación (1) en el
conjunto de todos los encajes de intervalos cerrados racionales.
C onjunto de los núm eros reales es el cociente de A p or la relación de
equivalencia.
La notación a = K¡0. 0 !¡ denota el número real asociado a la clase de equivalencia
del encaje [ a , , a¡].
Un real se llama racional si y sólo si el encaje representativo de su clase tiene
intersección no vacía. Si tal intersección es vacía, el real se llama irracional.
Definición
Número real 0 es la clase de equivalencia de todo encaje cuyas aproximacior.es
por defecto no son positivas, y cuyas aproximaciones por exceso no son
negativas.
>
r
1
11
El encaje
. 4 1 , y todos ios equivalentes a el, definen ei numero real O
i.
i
11
es decir
0 =
i j]
f ¡ ' ij
Definición
Un num era real es positivo si y sólo si todos los encajes de su clase admiten
alguna aproximación por defecto positiva.
Un número real es negativo si y sólo si alguna aproximación por exceso de todos
los encajes de su clase es negativa.
En símbolos
a < O <*■ a = K|a¡ ¡7i:] i 3 a¡ < O
a > O * * ce = K |a¡>a:j / 3 a¡ > O
*
10.3. OPERACIONES EN R
10.3.1. Operaciones en A
En ei conjunto A, cuyos elementos son todos los encajes de intervalos cerrados
racionales, definimos las operaciones habituales.
I. ADICION.
[a¡ , a¡] + [ b ¡ , b ’i ] = [a¡ 4- b ¡ , a¡ + b¡)
La suma de dos encajes se realiza sumando las correspondientes aproximaciones por
defecto y por exceso.
Esta defirición satisface las condiciones que caracterizan un encaje de intervalos. En
efecto
i ) Monotonía. Por ser [a,·, a¡] y [¿>¡, 6 /] encajes, se verifica
i
a¡
b¡ < b ¡+1
Luego
a¡ + b¡
1 + b jt ¡
( 1)
Análogamente
a¡-1
bLs < +
b’
f ?.)
Sea ahora
x € [aiT i + 6 ,* i , a/+ j + b¡+ x j
ai+ 1 + bi~ i < x < a
’i + 1
+ b¡+ ¡
(3)
De (1), (2l y (3) resulta
+ b¡ < x < a
O sea
1
+ b[
x € [a¡ + b ¡ , a¡ + b\\
En consecuencia
[a¡+! + 6 ,.. i ,a,’* s + & ¡+ i]C [a,· + b ¡ , a¡ + b¡ ]
i i ) Contigüidad. Sea £ > 0. Por ser [a ¡ , ¿>¡] y
tales que
n’ > n
’0
= >ar í ~ a n- <
n" >
, b¡\ encajes, existen n 0’ y n'ó
e
—
c
s* 6 /,,, “■b n.· < ·—-
Para « > «¿ = max <; « ¿ , n ¿
’ ) se tiene
s; - a n < ~ -
y
ó; -
< —
Sumando
( a ’n + b ’„ ) - ( a n + b n )
£
< 2
*
. — = £
II. MULTIPLICACION. El producto de dos encajes queda definido por
a)
[ai , a ¡ ] . [ b i , b ¡ ] = [ai b ¡ , a ¡ b ¡ ]
si
fl¿ > 0 y
í^ X J .V ,·
b)
[ a ¡ , a ¡ ] . [b¡ , ¿ ¡ ] = [a¡b¡ , a t b¡]
si
« ¡> 0 y
¿ / < 0 , V,·
c)
(a, , a ¡ ] ■ [ b ¡ , b ¡ ] = [ b ¡ , b ¡ \
si
[ b ¡ , b ¡ ] ~~ y
,
y ]
Procediendo com o en el caso I, se prueba que las definiciones II definen encajes de
intervalos.
Ejemplo ¡0-3.
Determinar !a suma y e! producto de los siguientes pares de encajes
¡ i k ,« ;i-
[2-
i
j j
T~r . 3 +
t f
] ·
Resulta
k . */] + [ * , , * ; ] = L 5 - - f -
, 5+ 7
+ - ¿ j
Por otra parte, como
1
2_
10 *'
a,bi = 6 ~ - y -
,
3
ai b¡ = 6 + — +
■T W
2
1
í 10'
se tiene
^
ü)
fá
3
JL
k
.«;],= [ 2 -
[éi,éf]»¡r - 3 Se tiene
*
;
1
i,° " T "" 30' * / 10'
j- ,2
3
+ y ]
4 -,-3 +
4-1
J
,
:
,
i
~ 10' ~ ; ¡(V
Y de acuerdo con II b) el producto es
Ui
, a ’}.
[bj
, b¡]
= f_ 6 — r—
L
i
L
i
pues a¡ > 0
=
[ a ¡ b ¡ , a¡ b ¡ ] =
--------í r
i
._ 6 + 4- + —
r
t
i
* ] -
6+
r
b¡ < 0
iii) Si las aproxím'aciones por defecto de ambos encajes son negativas, la
multiplicación se reduce al caso II a) de la siguiente manera
Iaí - a¡ 1 · I b, . b ¡ \ = { ~ a ¡ . - a, ] . (
b ¡ . - b¿ ]
Así
. - 2 + - L 1 J - 3 - 4 - . i J L
i
+ i]
/ J
! J
.[3-4-.3 +4-1
L
!
I1
__
j. __
1 _ 5 T
· _1.1
Si a partir de cierto índice las aproximaciones p o r defecto son positivas, el
problema se reduce a los casos anteriores considerando
[a,-. a ¡ ] . [ b t . b ¡ ] = [ a j . a} ] , ( b¡ , b j ]
siendo, para i < / , a¡ < 0
a a¡ > 0
a
b ¡> 0
Si los encajes son, por ejemplo
l - 3 , 2 ]. [ - 3 + 4
. -] ·[ - 3 + 4
3 H— — ]
i J
+ ¿
4
,1 r _ 3 +
■- J ■L
, es decir
el producto se reali/;i .i partir de i = 3 aplicando II a).
i. + ± + 1
2
1
8
'
"J
10.3.2. Compatibilidad
La relación de equivalencia definida en 10.2.3. es compatible con la suma y el
pro du cto definidos en 10.3.1. Lo dem ostram os para la adición
[at , a¡] ~ { b i , b ¡ ] =* ai < b ¡
a
[ci , C;] ~ [ d j , d j ] => C¡ < d j
A dj < c¡
=> a¡ + Cj < b j 4-
a
b ,< a ¡
b¡ + d¡ ^ a¡ + c¡ =>
=* [a¡ + c¡ , a¡ + c¡] ~ [b¡ + d¡ , b j + d j ] =>
^ í “i “ í ] ' í<-'i » <■'}} “í¿ / , b j ] + [ d j , d j ]
10.3.3. Operaciones en R
Por ser la relación de equivalencia 10.2.3. compatible con la adición y la
multiplicación en A, de acuerdo con el teorem a fundamental de compatibilidad,
existen en el conjunto cociente R sendas leyes de composición interna, llamadas suma
y prod ucto de reales, únicas, tales que la aplicación canónica / : A~>R, es un
hom om orfism o. Esto nos dice que para operar con dos reales se considera un encaje en
cada clase de equivalencia, y se opera con éstos en A. Luego se determina la clase
correspondiente al encaje obtenido.
La adición en A es asociativa y conmutativa. Estas propiedades se trasfieren a los
reales con la suma.
N eutro para la adición es 0 = K T 1 11 pues V a = Kja¡ £1ij se verifica
L / *¡J
a + 0 = 0 + a = K(o.ia:j + Kj-_ j | =
± .
-f])
· 13)
*
= / ([«,· >a ¡] ) = K-[aj>a'j = a
r pues j^a¡
-
- '( [ « - r
■ ‘ <+ f l )
-1 ,a ¡ + y1- j1 ~ [ a i , a ¡ ]
Inverso aditivo u opuesto de a = K[aj a ¿j es — a = K (_ a ·__ 0fj
En efecto
a + (~~o¡) = (—a) + a = K[a¡a ;j + K [ _ _ a¡j =
= /([a ¡,a /]) + / ( [ - a ¡ , a,]) = /([<r¡ - a ¡ , a¡ - a,·]) =
= 4 - T '- f ] ) * 0
En consecuencia ( R , + ) es grupo abeliano.
-
Por otra parte, el producto en A es asociativo y conm utativo. Estas propiedades son
válidas en R. Neutro para el producto es
1 = K[Q, c ;j
Así
tal que
a¡
1 = Kjy _ 4. jl + 4_jj
> 1 a a¡< 1
y se tiene
p . I = i . 0 = K ( M , ; | . K|j _ ^ , + Ij= Kí 6 .i6 .-( = P
Todo real no nulo admite inverso multiplicativo. En efecto, dado
a — K.(a .<0í! >
entonces
a ''= K ¡ - j _
L«¿ ’ « í J
0
con
a¡ >
0
es el recíproco de or. pues
a . a ' 1 = a _1 .o ^ K ía ,.
,,
= 1
La i ’ c ¡ j
Luego (R - i 0 r , . )es un grupo abeliano.
Análogamente se prueba la distributividad de la multiplicación respecto de la
adición en R, lo que confiere a la terna (R , + ,
estructura de cuerpo.
Ejemplo 10-4.
Sl
« = K [a(.oí!< 0
entonces
a"1 = K
L J L ,_ -U
o» J
L a¡
Sea
f ~ 2‘- 1
L
i
- 2 i+ l
'
Se tiene
Oí - K ¡ —a : ._ 0 i ¡ — K
2 i·* i i .> 0
Î. ; ~ r i i
é f 1 — K i' _i
v
_ j __1
L î î + i ’ ï»—U
-i 1
Laí—i ’ 2¡+i J
=» q ~ ‘ = K r - i
El encaje asociado a esta clase es
í - f - i - l
L
En este caso
r
31 ’ L
2 1
-2
r^ z l.
-“ - 3 .1
3 ’ 5 j ’L 5 ’ 7 a
y
aT 1 =
2- '
i
Sea R q el conjunto de los núm eros reales definidos por clases de equivalencia
asociadas a encajes de intervalos con intersección no vacía en Q. La función
/ ■R q
Q
que asigna a cada elem ento de R q el número racional correspondiente es un morfismo
biyectivo respecto de la adición y multiplicación, y en consecuencia es un isomorfismo
que permite identificar algebraicamente a los conjuntos R q y Q.
10.5.
CUERPO ORDENADO Y COMPLETO DE LOS NUMEROS REALES
En R se define la relación < mediante
a < 0 <*■ 3 7 > ,0 / /3 = a + 7
Esta definición caracteriza un orden amplio y total en R, compatible con la adición
y multiplicación, es decir
i ) a < ¡3 =*■ a + 7 < 0 + 7
ii )
a< 0 a
y S * 0 => a ¡ y < ¡ 3 y
La relación < se define de la siguiente manera
a<|3
o
a< |3
a
a^P
En R se verifica la propiedad de Arquím edes
0 < a < ¡3 =* 3 n e N / 0 < n a
Por otra parte, R es completo en el sentido de que todo encaje de intervalos reales
define un único núm ero real, y en consecuencia, to do subconjunto no vacío de
núm eros reales, acotado superiormente, tiene extrem o superior.
Las condiciones anteriores conducen a la siguiente proposición: el cuerpo (R , + ,.)
es ordenado, arquimsdiano y completo.
10.6. CORTADURAS EN Q
10.6.1. Concepto
Introducim os ahora un m étodo alternativo para definir el número real a partir de Q,
basado en las cortaduras de Dedekind.
Definición
El subconjunto A C Q es una cortadura en Q si y sólo si verifica
i )
A # 0
a
A ^ Q
ii )
Xe A A
iii)
y < x , ~> y e A
x e A = 5- 3 j | e A
/ x<y
La condición i ) significa que una cortadura en Q es una parte propia y no vacía de
Q. Ln iii) queda especificado que A carece de máximo.
Es claro que toda cortadura en Q caracteriza una partición de Q que denotamos
m ediante | a , Acj>. Los elem entos de Ac son cotas superiores de A.
Ejemplo 10-5.
Los siguientes subconjuntos de Q son cortaduras
a¡ A —i x e Q ; x <
?
1
í : \ este caso — e Ac es el extremo superior de A , es decir, el primer elemento del
conjunto de las cotas superiores de A.
b) A *
Q -u (o J u |.x e Q ·' I x
2
<2>
Las condiciones i ) y i i ) se satisfacen obviamente. Com probam os que A carece de
mL.»;mo utilizando la función de Dedekind
/ ; Q -* Q
definida por
i)
x ( x 2 + 6)
~ 3 x 2 + 2'
y - x
~ X
_
4x - 2 x 3
3x2 + 2
ii)
y 2_ ? -
_
x3 +
6
x —3 x
3 r
X ~
2
3
—2x
+ 2
x ( 2 - x 2)
3x2 +2
x 2 ( x 2 + 6 )2 _ ? =
(3 x 2 + 2 )2
x : ( x * + 3 6 + 12 x 2) - 2 ( 9 x 4 4 - 4 + 12 jc2 )
( 3 x 2 + 2)2
x
6
- 6/
+ 12 x 2 - 8
(X2 ~ 2 ) 3
(3 x 1 + 2 )2
(3 Xa + 2 ) 2
iii)A ño tiene máximo. En efecto, sea
x>0
a x e A => x
2
< 2 => x
2
Siendo v > 0. de acuerdo con i ) y ii ) se tiene que
y - x
> 0
a y
2 - 2
< 0
- 2< 0
Es decir
3y eA / y >x
En consecuencia, A carece de máximo.
De modo análogo se prueba que B no tiene mínimo.
10.6.2. Propiedad. Si A es una cortadura en Q, entonces todo elemento de A es menor
que todo elemento de A c.
xeA
a
y e A c => x < y
En efecto, si fuera v <.*, como x £ A, entonces por ia condición ii ) de la definición
resultaría v e A, lo que es contradictorio con la hipótesis.
Ejemplo 10-6.
,
Todo racional a determina una cortadura en Q, definida por
El número a se llama frontera racional de la cortadura y se identifica con el mínimo
de Ac . En el caso b ) del ejemplo 10-5, no existe frontera racional.
10.6.3. El número real
En el conjunto de todas las cortaduras en Q se define ¡a siguiente relación de
equivalencia
A ~ B «· A = B
Las clases de equivalencia se llaman números reales, y por ser unitarias se las
identifica con la correspondiente cortadura, es decir
K a
= A
Suele utilizarse la notación KA = a.
En este sentido podemos decir que número real es toda cortadura en Q. Si la
cortadura tiene frontera racional queda definido un real racional, y en caso contrario el
real se llama irracional. La cortadura b) del ejemplo 10-5 define al núm ero irracional
Los conjuntos de los números reales racionales y de los reales irracionales son,
respectivamente
R q =<! A¡ / A¡ es cortadura
a
A¡ tiene mínimo j>
U
a
A'j- carece de mínimo
=<fA¿ / A,· es cortadura
La cortadura definida por el número racional 0 es el número real 0
0=[*eQ I x < o ]
Definición
El número real a es positivo sí y sólo si 0 < a
Se verifica que la definición anterior determina un orden estricto y total en R.
10.6.5.
Adición en R
Sean A y B las cortaduras que definen a ios números reales a y ß. El conjunto
C —{ a + b ¡ a e A
a
b e Bj
es ana cortadura en Q.
En efecto
i ) Por definición, es C =£ 4>
Además, como existen -x £ Ac a y e Bc , por 10.6.2. se tiene
aKx
a
b < > ’ =*· a +· b < jc 4-y
x + y i C => x t- v e C*
Luego Cc # <p y en consecuencia C *£ Q
i i ) Sean
jreC
a y < x . Entonces x = a ± b j a e h
a
b e B.
Considerenios ; f Q / y = : + b. Como y < x se tiene
—k < s
iii)
b =* ' < a * * z e A y resulta y € C
jc e C =►x = a + b tales que a e A a b e B, Por ser A una cortadura, existe
2 e A tal que z > a, y en consecuencia existe y = z + b en C, tal que v > x
El número reai 7 correspondiente a la cortadura C se llama suma de a y /3, y puede
escribirse
La definición propuesta caracteriza una ley de composición interna en R , asociativa,
con neutro igual a 0 , con inverso aditivo para to d o elem ento de R , y conmutativa. O
sea (R , + .) es grupo abeliano.
La cortadura correspondiente al opuesto de a es
B = - A = ; x e Q / - x es cota superior no m ínim a de A
10.6.6. Multiplicación en R
Dados los números reales no negativos a y 0, definidos por las cortaduras A y B,
respectivamente, consideramos el conjunto
C = R~ U (ab l a e A
a
be B a
<t>0 a b > Q>
Procediendo como en í 0.6,5. se prueba que C es una cortadura en Q y e! numero
real que se obtiene se llama producto de a y 0 .
Esta definición se completa de la siguiente manera
Se demuestra que esta ley de composición interna en R es tal que (R — ( 0 ) , , ) es
grupo abelianü. y además, distributiva respecto de la adición, es decir, (R , + , , ) es un
cuerpo.
Por otra parte, la relación de orden definida en 10.6.4. es compatible con ¡a adición
y multiplicación en R .
Es de advertir que la operatoria con números reales sobre la base de cortaduras es
inadmisible; en este sentido se recurre al m étodo de los intervalos o de los pares de
sucesiones m onótonas contiguas. La ventaja de las cortaduras es esencialmente teórica.
10.6.7. El cuerpo ordenado de ios núm eros reales
El orden definido en 10.6.4. es compatible con la adición y multiplicación en R.
pues verifica
í)
a<(3 =>a + 7 </J + 7
ii)
0 < st < 3
'
0 < y =» & y < 3 y
Demostramos w primera teniendo en cuenta que
a < $ =>«+7<í3+y
Si fuera
a + 7=
+ y
Por ley cancelativa en (R , +), resultaría a =
Luego
o + y <¡3 + 7
, contra la hipótesis.
10.6.8. Densidad de Q en R
El conjunto Q es denso en R, pues entre dos reales distintos existe un racional, es
decir
a<¡¡ =>3 r e Q ¡ c t< r < &
Por definición 10.6.4.
a < p =» A C B
A ^ B =>
a
=> 3 6 e Q / 6 e B a
b
*
b i A
r
♦
.R .
Sea r > b a
r e B. Considerando la cortadura R asociada a r. corno
re B
a
*> r<
r {
R =» R C
B
a
R
b $ A =» A C R
a
A
=*
(!)
0
Por o tra parte
beR
a
=>a<r
R =*
(2)
De (1 ) y (2) resulta
3
reQ / a < r < ¡ ¡
10.7. COMPLETITUD DE R
19.7.1. Concepto
Nos proponem os dem ostrar que R es completo, i o que equivale a afirmar que todo
subeonjunto no vacío y acotado de R tiene extrem o superior en R. Esta propiedad no
es válida en Q, pues el subeonjunto no vacío
A = ( x e Q* I x
carece de extrem o superior en Q.
2
< 2} C Q
10.7.2. Teorema de Dedekind. Si { A , B )
aeA
a
es una partición de R que verifica
0 e B => oc<0
entonces existe y es único el número real y que satisface
a<y<0
y aeA
V0eJ?
A
B
a) Existencia.
Sea
C = .4 o Q = < x e Q / x e .i
C esuna cortadura en Q. En efecto
i)
-
^
Por ser { A , B } una partición de R , es
A=£<¡> => 3 x e A / í e Q => ^ H Q #
^
=> C * ( ¡ > .
Además, si 0 £ B
x 4 B, entonces x é A cualquiera que sea a e A , pues a < ¿3.
Luego x 4 C. y com o x e Q, resulta C ^ Q.
iij x e C
-*■ K x
=» 3 a e , 4 / x £ A =>
=> 3 a s A ! y e A =* y e C
iii) x e C => 3 a e A / x e A =#■
=> 3 >· e .4 / x <>· =» >’ e C
Resulta, de acuerdo con 10.6.1., que C es una cortadura en Q , y en consecuencia
queda probada la existencia dei número real y.
b) a < y < 0
VaeA V0eB
Es obvio que a < 7 »Por otra parte, si existiera 0 e B talque 0 < y, entonces existiría
x e Q tal que x e C a x e B.
Ahora bien
xeC
3 ae/1 ! x e A
y en consecuencia 0 < a , contra la hipótesis.
c) Unicidad. Supongamos que 7 y 7 '· satisfacen las condiciones del teorem a, siendo
7 < y \ Como entre dos reales distintos existe otro 7 ” , se tiene
7 < 7 ” =» y " e B \
'
> => A n
7 ” < 7 ’ => 7 ” e A i
lo que es contradictorio con la definición de partición.
b
* <¡>
Una consecuencia inmediata del teorema es que A tiene máximo, o bien B tiene
mínimo, pues
yeR^-ye/1
7 6 # =>7
V
es el máximo de A , o 7 es el mínimo de B.
Ambas situaciones no pueden presentarse, pues A O B = <¡>
10.7,3. Teorema. Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene
extremo superior.
D ado < ¡ > ~ X Z R definimos
,4 = ; >- e R ,·' v < x
a
x e X ··
y sea ,4e = B.
Se tiene, entonces, que ningún elemento de .4 es cota superior de X. y, en cambio,
todos los elementos de B son cotas superiores de X. El teorem a se reduce a probar que
B tiene mínimo. Observamos primero que A y B satisfacen las hipótesis dei teorema de
Dedekind
ai ; e R = * : e.4
b) .4 n B =
v
:e fi
4
e) X =t= <¡> =>3 x e X
Luego
y < x => y e A =» A =£ <p
Por otra paite, como X está acotado superiormente,
3 j e R / ' x e X =*■ * < 7 =*■ y e B =>
Estas tres condiciones establecen quej^4 , JS^es una partición de R.
d) Sea ahora a e A . Entonces
r. X e X ; £5 < X
Si 0 e B. entonces x < 3- En co n s e c u e n c ia , a < í¡, o sea
a e A '· Q e B
a<0
Por el teorema mencionado existe un único núm ero real que es el máximo de .4. o
bien el mínimo de B. Se trata de probar que vale esta-última situación. En efecto, sea
' a e A: entonces existe x e X tal que ce < x. Ahora bien
a < a < x => ot e A
y en consecuencia A no tiene máximo.
Luego B tiene m ínim o y es el extremo superior de X.
10.8.
POTENCIACION EN R
10.8.1. Potenciación con exponentes enteros
Definición
i ) a° — 1
si
ii) a1 = a
VaeR
iii) a " * 1 - a n . a
iv) a~n - ( ■■- - 'i
·. a .·
a eR
a
si
a =£
neN
si
0
1
n>
a
a-f-Q
iteN
10.8.2. Radicación de índice natural
Teorema. Dados a e R " y n € N, existe un único número real positivo 0 que verifica
0n = a .
Demostración)
'
Es suficiente probar el teorema en el caso en que a < 1. Si oe > 1, entonces existe
k e 1 * tal que k > a , por la propiedad de Arquímedes. Ahora bien
k > a => k n > a =*■
< 1
k"
a
Sea ----- = a ' (1). Como a ’ < 1, si 0' es tal que /}’" = a ’, entonces para 0 = k 0’ se
kn
tiene
0" = k n (3m = k n o¿
(2 )
Por (1)
(3)
a ~ kn a
De (2) y (3) resulta
í>n = a
Basta considerar pues la situación para a < 1.
Sea
S = fxeR/^rt
Cúítso S está acotado superiormente por I . admite supremo. Sea éste: 3
Probaremos que ¿T * a. Consideremos a € R tal que ¡ai < l , y sea
(0 + a)n —
£
f ^ } 0n ~ ‘ a‘ =
Í=0\lj
- r
+ l t f y
= 0" + a
t
- s
-
( rt) 0 n - ‘ ai - 1
«=1 V* J
¡/ntonccs
(¡3 4-a)" - r = a £ f 7 V
i= 1V I J
~ 1a‘~ 1
Tornando módulos
¡(0 + a)n - p | = |a | . 11
~ 1a¡~ 11
Por módulo de la suma y del producto se tiene
1(0 4-a>" ~(3n ‘ <i¿r| í f n 10"
t- 1VI j
¡a!‘~ l
Y com o a. < 1. resulta
H i S + o f
- f K
í f l i
£
( ' ?
i- 1 \
V
^
*
-
Haciendo Z I . }0n ~ ‘ = b nos queda
lífl+ a í" - j 3 " ! < * i a l
Si fuera 0" < a. definiendo
ino a < t y b > !. resulta 0 < a < i.
Entonces
O < 0 + a )n - F
<b-
o
= a — 0n =>
=> (0 + a\n - 0" < OL- 0" =>
=» (0 + j ) n < a => ¡3 + a e S
L·, decir, a S pertenece el número real 0 + a. que es mayor que el supremo 0. lo que
i-.->urdo.
De inodo que no es posible que
0" < a
Xnüogamente se deduce la imposibilidad de que
0" > a
R
Milla
entonces
0” = a
'
Ahora bien, j3 es único, pues si existiera 0’ =£ 0 en R + , tal que ¡}'n = a, se
presentarían dos alternativas
i)
0<ff</3
=»
a = 0 ’n < 0 n
=» a < a
ií)
0 < j3 < /3’ => a =@n <@ m = a
=> a: < a
lo que es absurdo. Luego, /3 es el único número real positivo que verifica
0" = a
Definición
0 es la raíz «-sima aritmética exacta de a e K*
La notación es
_
1
¿3= \ / a ~ c t "
Se presentan ios siguientes casos:
a) Si a > 0 y n es par. entonces existen dos raíces «-simas en R.
0i =
vúí
{¡2 = — \ / a
a
b) Si a < 0 y « es par. no existe v'cT
c) Si a < 0 y « es impar, entonces
0 = — \A -· a
es tal que
/3 < 0
'
fin = a
10.8.3. Propiedades de la radicación con índice natural
Sean
a e R*
* 0eR+
y/a=x
*·
Vp=y
a
0 =yn
1. V « 0 = v ' a
En efecto
a = xn
11
a ^ = (x v )”
<1
n 1 7¡
V # p = -v 3’
#
por 1 0 .8 .2 .
2
NUMhRGS REALES
11. ¿a : P =
7
: ¡3 = Vr«~ '· V ^ "
=>
a '■ 0 = 7
7 . j3 = a
¡¡ / y \ / P = y/ci
\jy = \ f a : m
y a ■ 0 = v 'tt : v ¡3
f II. V v'a"= my/a
iv . t f r = nW hp
si p e N
Las demostraciones de estas dos propiedades se proponen como ejercicios.
10.8.4. Potenciación con exponente racional
Definición
si —
oP = \ / c¡ F
“
n
eQ*
y a e R ’.
m
if a < 0 . entonces existe a n para n impar.
Definición
m
-23
r I N n
f
a " = í -M
= ~ ~ =
\ a J
si
a* 0
y -2 e Q \
n
V a a < 0 vale la restricción; n impar
Ejemplo 10-7.
Demostrar la regla del producto de potencias de igual base.
m
_
_
a" . 0 “» = t y á * . V ° ? =
- n^ / ^ W n^/gpíT - rtqj^mq+pn _
■ m l +P n
= a
nq
m
P
=an * q
10.8.5. Potenciación con esp o n en íe real
Sean
a > 0
y
0 e R.
i ) a > 1
¡} está definido por el encaje de intervalos cerrados racionales [ b ¡ , b ¡j
Se tiene
b l < b 2 < 6 3 < . , , < b ’3 < b 2 < b [
Com o f /’> I . resulta
a ° ‘ < a b‘ € a b* < . . . < a bj < a b* < a b'
Además. V £ > 0. 3 n 0
tal que
f
n > n 0 => a b 'n - a bn = otbn (cxbk~ bn - 1) < £
En consecuencia
[a 6, , a*1']
es un encaje de intervalos cerrados en R que define al único número real ai3,
ii ) Para a < 1, el encaje
10.9. LOGARITMACION EN R*
«
10.9.1:, Concepto
liados d 6 K . ó í R y e · ? í, éAíáítf un único numero reui -t tai
bx = a
x se llama logaritmo de a en base b.
Definición
logb a ~ x ·» bx = a
10.9.2. Propiedades. Sean m e R +, n e R +, b e R * y b # 1.
I. Logaritmo del producto.
Sean
lo g b m = x
A
lo g ¡, n ~ y
4
bx ~ m a b y — n
4
bx * y = m n
4
h g b (m n) = x + y
4
Íí\r* (*’··
i>i ji \
·*/
*■*■·» «i*
—e>b ·■
· írtrt
— ***t
íi. Logaritmo del cociente.
Iogb ( m : n ) = !og& m - log6 n
iíí. Logaritmo de una potencia.
iogft m a — a logft m
IV. Invarianza
los,
-h m = x
'
a ¥= 0 =* loa- bo¡ ma = x
10.9.3. Cambio de base
Si b = 10. Jos logaritmos se llaman decimales y la notación es
íogio m - iog m
Si la base es b = e = 2 , 7 1 8 2 8 1 . . . . los logaritmos se llaman naturales y se denotan
oor
ioge m = ¡n m = ig m
Dado el In a , nos interesa obtener log;, a.
Sea
log, a = x => bx => a
.* in í> = ln a => jc = —- i In b
loh a =
-
. !n a
i - 1™
En el caso b = ¡0. se tiene
—
q- = 0 . 434 294 · ..
v resulta
log a = 0,434294. . A n a
10.10. POTENCIA DEL CONJUNTO R
Nos proponem os demostrar lo que hemos anticipado en 9.19: el conjunto de ¡os
números reales es no numerable. El núm ero cardinal correspondiente a R se llama
potencia del co ntinu o y se denota por c.
10.10.1. Teorem a. El intervalo cerrado [0 ,1 ] es no numerable.
Suponemos que [0 , 1] es numerable. Esto significa que N ~ [0 , 1], y en
consecuencia, p or definición de coordinabilidad, existe
/ : N -* [0 . 1] tal que f es biyecíiva,
Por ser / sobreyectiva, la imagen de N se identifica con [0 , 1 ], es decir
[ O . l H n i K / l Z K / ' í S ) . ...V
*
Sea [0 . 1 ] = U . Mediante los puntos de abscisas 1/3 y 2/3 subdividimos a U en tres
subintervaios de igual amplitud
/ ( 1)
— i—
0 t—
-ti
23
1/3
Ahora bien: / U ) pertenece a lo sumo a dos de los tres subintervaios. En este caso,
seleccionamos aquel subintervaJo al cual no p erten ece/ ( 1 ) . Pero si pertenece a u n ó
solo, elegimos, entre los dos a los que no pertenece, al de la izquierda. Queda así
caracterúado Ui tal que
*'
Subdividimos a éste en tres partes iguales, y con el mismo procedimiento
seleccionamos U 2 tal qpe
f(2 )< tV 2
Análogamente, para/ ( 3 ) queda definido U 3 de modo que
/ ( 3 ) 4 U3
U t—»
0 1— i— · --------· -------- i---------------------------- 1----------------------------11
/(2)
„
1/3
2/3
Se tiene asi una sucesión de intervalos U t , U2 , U3, . . . que verifica
i ) U, D U 2 15 U 3 D . . .
tales que
V n : / ( « ) i Un
ii) Como la amplitud de U„ es
. se tiene que la sucesión de las amplitudes
es convergente a 0 .
En consecuencia, se traía de un encaje de intervalos cerrados en R , que como
abemos define aun único número real * 0 e U, siendo
C o r n o / e s biyectiva, dado x 0 e U, existe n 0 e N tal que
/ ( n 0 ) = x 0 e U„
para tod o n e N
Pero por ia elección de ios U„, f ( n 0 ) = x 0 é U„ . proposición que es contradictoria
con la anterior. Luego, [0 . I] es no numerable.
10.10.2.
Teorema.
Si a < b. entonces [a . b] es coordinable a [0 , 1 j.
Basta definir
/ : [0 , 1 ] -* [a , b ]
mediante
/ (jc) = a + x ( b - a )
Es inm ediato que / resulta biyectiva, y en consecuencia [a , b] ~ [0 , 1 ].
10.10.3. Potencia de R
Por definición, el conjunto A tiene potencia c si y sólo si A es coordinable a [0 , 1J.
Se proponen como ejercicios, las demostraciones de las siguientes propiedades:
i ) Si a < b, entonces (a , b) ~ [0 , 1J
i i ) La unión disjunta de un número finito de conjuntos de potencia c tiene
potencia c,
<j l A, i - « ’ =» 2
i
A. ■' ¡0 . 1]
iii) Toda unión numerable de conjuntos disjuntos de potencia c tiene potencia c.
c ( A ¡ ) = c =» 2
íeN
A, ~ [0 , 1|
En el ejemplo 4-20 hemos demostrado que la f u n c i ó n /: R - > ( — 1 , 1 ) definida por
f w
es biyectiva.
- r h r
Luego
R ~ ( ~ 1 , 1)
Por i )
( - 1 , 1) ~ [ 0 , 1 ]
Por transitividad resulta R ~ [0 , 1 J y en consecuencia
c (R ) = c ([0 , 1j) - c-
TRABAJO PRACTICO X
!Q-H
Dem ostrar que si la ecuación con coeficientes enteros
x” + ¥
ai x i = 0
i~ O
tiene raíces racionales, entonces dichas raíces son enteras.
10'9.
Utilizando el contrarrecíproco del teorem a anterior, dem ostrar
i ) y/5 no es racional
i i ) La razón entre la diagonal de un cubo y su arista no es racional.
10-10. D em ostrar que to d a raíz entera de la ecuación del ejercicio 10-8 divide al
térm ino independiente.
10-11. D em ostrar que la ecuación 3 x 3 —x = 1 carece de raíces en Q,
10-12. D em ostrar que %/~2 + \/~5~ es irracional.
10-13. Verificar que
,
, . 1 1
!\
i
, ,
i 1
3 , 3 + — i y ! 3 -------- . , 3 +- — - ¡
1 1
L
10*
10‘ J
sor
encajes de
J
intervalos cerrados racionales equivalentes.
10-14. D eterm inar las tres primeras aproximaciones por defecto y p or exceso de los
encajes que definen a y/2 y VT, y efectuar
y/T+yíS,y/2-y/T,yn.yÍ5y V2: y/T
10-15. O btener las cortaduras en Q que definen a y/3 y a y/T.
10-16. O btener los subconjantos de R que satisfacen a
i)¡x+2|<2
iii) x 2 < 5
v ) x3 < x
ii)ix + 2 | > l
,iv) x 2 > 5
vi) ( x + 2 ) ( x - l ) O ~ 2 ) x < 0
D eterm inar en cada caso la existencia de cotas y de extremos.
10-17. Com parar los números y/2 + \/3 y -</5, y si son distintos determ inar el menor.
1
10-18. Sea X =
= — / n e N j . Verificar que X está acotado y determ inar, si
existen, el suprem o y el ínfimo en Q.
10-19. Estudiar la acotación y la existencia de extremos de los conjuntos
i
) A = { x e R + / x2 <2}
ii) B = { x e R / x 2 > 2 }
iii) C = { x e R + / x 2 > 2}
10-20. Sean A y B dos subconjuntos acotados de R tales que a = sup A y b = sup B.
Demostrar que el supremo de
C = v + v / x e A '■ v e B ;
es a + í>.
10-21. Determinar los extremos de
A= x e R i 3x2 - 2x - i < 0 '
10-22. Sea A C R y acotado. Demostrar
a = Sup S r
£ >0
=*· 3 x e A / a - £ < x < a
10-23. Demostrar las propiedades 111 y IV que figuran en 10.8.3.
10-24. Demostrar las propiedades i ), ii ) y iii) enunciadas en 10.10.3.
10-25. i ) Efectuar
V ( vj +vj +vt) iyy- vj - vs) (vj - vi - vs) (vi+vj - vsj
ii
) Comparar
10-27. Resolver las ecuaciones en R
log —x + log 3 _ ( 2 x ) — 2 log 2 x
V2
V2
-I
ii)
10-28. Resolver en R
4y + 1 - 3 . 4 y - 1 = 0
10-29. Determinar x e R + sabiendo que
xV ^ -(V x Y = Q
1
10-30. Resolver el sistema
4
f log* .V + lOgy X = -J \ x . y = 16
Capítulo 11
EL
C U E R PO
DE
L O S
N U M E R O S
C O M P L E JO S
11.1 INTRODUCCION
*
Presentamos en esta unidad la teoría y la ejercitación básicas relativas al estudio de
los números complejos. La generación del conjunto C y de las operaciones en él es la
habitual: una relación de equivalencia en R 3 que presenta la ventaja de caracterizar
clases unitarias y la consiguiente identificación con C. Se definen las operaciones de
adición y de multiplicación, se destaca el ísomorfismo de una parte de C en R , y
además de la form a binómica se introducen las formas trigonom étrica y exponencial.
Queda resuelto el problema de la radicación y de la logaritmación, no siempre posibles
en R. Se introduce, además, el concepto de raíces primitivas de la unidad.
1 1.2. EL NUMERO COMPLEJO
11.2.1. Ecuaciones sin soluciones en R
El ejemplo más conspicuo de una ecuación sin raíces reales es
x ‘ ·¥ 1 = 0
ya que. cualquiera que sea x € R. se verifica x 2 > 0. y en consecuencia
x 2 + 1> 0
De un modo más general, la ecuación ax2 + bx + c - 0 con coeficientes reales no
tiene soluciones en R si el discriminante b 2 —4 ac es negativo.
Se hace necesaria la ampliación de R a un conjunto en el cual puedan resolverse
situaciones del tipo anterior, de manera que R sea isomorfo a una parte de él. Tal
conjunto es el de los números complejos.
11,2.2. ReJación d e equivalencia en R 2 y números complejos
En el conjunto R 2 , de todos los pares ordenados de números reales, definimos la
relación ~ mediante
(a , b ) ~ ( c , d ) o a = c
a
b —d
Esta relación es la identidad, y obviamente es de equivalencia; se traduce en el
siguiente enunciado: “dos pares ordenados de núm eros reales son equivalentes si y sólo
si son idénticos” .
Cada clase de equivalencia es unitaria, y se la identifica con el par ordenado
~v::¿spor.dicntc, es decir
La identificación que proponem os, en virtud del unitarism o de las clases nos
perm ite escribir
Definición
Número complejo es to d o par ordenado de números reales.
El conjunto de los números complejos es C = R 2 .
Es decir
C = i (a , b ) í a e R
a
eR j
La notación usual para los números complejos es r = (a , b).
y Definición
P an e real de un número complejo es su prim era com ponente. Parte imaginaria.
su segunda com ponente.
Conviene advertir que las partes real e imaginaria de un complejo son números
reales. Las notaciones son
Re (z) = a
a
I m (z) = b
Introduciendo un sistema cartesiano, los núm eros com plejos se corresponden con
los puntos del plano. La abscisa de cada punto es la parte real, y la ordenada es la parte
imaginaria. Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con origen en el
origen del sistema, y cuy o extrem o es el p unto determ inado p o r el par ordenado
correspondiente.
Los compiejos de p ane imaginaria nula, es
íos pares ordenados del tipo
(a , 0), son puntos del eje de abscisas. Los complejos de parte real nula caracterizan ei
eje de ordenadas.
Definición
#
Un complejo es real si y sólo si su parte imaginaria es cero.
Un complejo es imaginario si y sólo si su parte real es cero.
Ejemplo l l - l .
Determinamos analítica y gráficamente los complejos : = (x , y ) que verifican
i ) Re (z) = 2
Resultan todos los pares ordenados para los cuales x = 2, es decir, z = (2 , y). La
ecuación x ~ 2 corresponde a la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el
punto de abscisa 2 .
ii ) I m (z) < 3
La condición anterior se traduce en>· < 3, y corresponde al semiplano que contiene
al origen, cuyo borde es la recta de ecuación v = 3.
I,
iii) Re (2 ) + í m (z) = 1
y
Se trata de los complejos z = (x , y), tales que x + y ~ 1. Queda definida así la
recta del plano que pasa por los puntos (1 ,0 ) y (0 , 1).
11.2.3. Operaciones en C
En C = R 5 se definen la adición y multiplicación mediante
1.
(a , b ) + (c
,d)
= (a + c , b
+ d )
2 . (a , b ) . (c , d ) = ( a c - b d , a d + b c)
Estas leyes de composición interna en C verifican las siguientes propiedades:
I) (C , + )e s un grupo abeliano. La justificación está dada en los ejem plos 5-2 y 5-5.
Complejo nulo es el par (0 , 0), y el inverso aditivo de tod o complejo z = ( a , b) es
~z = (~ a ,-b )
II) (C —
, . ) es un grupo abeliano. El sím bolo 0 denota el complejo nulo (0 , 0).
Verificamos ¡os axiomas
G v : El producto es ley de composición interna en C, por la definición 2.
z eC
a
z ’ e C =» z . z ’ eC
G j : Asociatividad.
= [i a , b) . ( a \ k ’ Ü .( a” , b " ) — {aa’ — b b \ a h' + bu ’ ) ( a ” . b ” ) =
-
{a aa " - bb'a” - a b 'h ” - b a ’b ” , s a 'b ” - b h ’b ” + a b 'a " + b o a " )
ir·', r ” ) = ( a , b )
ii ■
. ( « " , 6 ” )J = ( a » b ) (a ’a ” - b ' b " , a ’b ” + b ’a " ) ~
= íaa’a ” - ab’b " - be’b ” - bb'a” ,aa’b ” + a b 'a " + ba’a ” - b b ’b ’ ’)
(2)
De (1) y (2) resulta
(zz’) z ” = z ( z ’ z ” )
G j : Elemento neutro es el complejo (1 ,0 ) . En efecto, s iz ~ ( x , y ) es neutro para
el producto, debe satisfacer
(a , b) . (x ,j>) = (x , y ) . (a , b) = (a , b )
V {a , b ) e C
Por definición de multiplicación
(ax — by , ay + bx) = {a , b)
Por igualdad de complejos
fax — by = a
I bx + ay = b
Resolviendo el sistema
A = \ a, “ * 1
_o
a :
-
= 0
Si (a , fc) =# (0 , 0) entonces
A jc — 1, A
, y ^ --A,v
_x - --- = 0A
'
A
Resalta íx , v) = ( 1 , 0 ) que satisface G 3 para todo (a , b) e C , pues en ei caso
( a , b) = (0 ,0 ) se tiene
(0 , 0 ) .(1 , 0 } = (0 . 1 - 0 . 0 , 0 ' . 0 + 0. í) = (0, 0)
G4 : Todo complejo no nulo admite inverso multiplicativo.
Sea z = (a , b ) ¥= (0 ,0 ). Si existe z ' 1 = (x ,
debe satisfacer
z.z ' 1 = z ' 1 . z — (1 , 0 )
Es decir
(a , b ) . (.v , y ) = (.t , v ) . (a , b) = (1 , 0)
Efectuando el producto
(ax —by , ay + bx) = ( 1 , 0 )
Por igualdad de números complejos resulta el sistema
f a x — b y ■■■ i
bx
ay - 0
Resolviendo ei sistema
A= u
^ i = a2 + b 2 # 0
b
Ax =
a
AH
a\
1 -b \
0 ’a T *
Ia
¡ ,
M-
t
O ” “ 4
Luego
X
0
_
_
¿_ i
_____
a _^_
^
y
y
__
A y- __
^
—b
sea
-i
_
/'
a
U J +{J
A
a2 + b2 J
__________________
'
G s : ConmutatividaiJ.
( a . b) . ( a ’, b ’) = (aa’ — b b ’, ab' + ba’) —
— (a’a — b ’b , b ’a + a ’b) = ( a ’, b ’) (a , b) —
de acuerdo con la definición de multiplicación en C y la conm utatividad del producto
en R.
III)
El producto es distributivo respecto de la suma. En efecto
(c + ;
[( a . b) + ( a ' . b ’ ) ] ( a " , b ” ) = (a + a \ b + b ‘ ) ( a ” , b ” ) =
=
= (aa” + a ‘a " — b b ” — b ’b ” , a b ” + a ’b ” + ba ” + b ’b ” ) =
= (aa” — b b ” , a b ” + ba” ) + ( a ’a ” — b ’b ” , a ’b ” + b ’b " ) =
= (a , b) . ( a ” , b ” ) + (a ’, b ’ ) (a” , b ” ) = z z ” +
Por adición en C, nultiplicación en C y conmutatividad de la suma en R.
En consecuencia, la tem a (C , + , .) es un cuerpo. La diferencia esencial que
presenta con relación al cuerpo de los números reales consiste en que es no ordenado.
En efecto , si fuera ordenado, como i # 0 , caben dos posibilidades:
•/> 0
ó
i< 0
En el prim er caso, p or la compatibilidad de la relación respecto del producto, se
tiene i 2 > 0 , es decir, — 1 > 0 , lo que es absurdo.
En el segundo caso es 0 < i, y en consecuencia, — i < 0 , y po r la compatibilidad con
el p ro du cto resulta — i2 < 0 , o sea, 1 < 0 , lo que también es absurdo.
Ejemplo 11-2.
Sean z ¡ = ( — 2 , 3 )
,
z2 = ( l , 2 )
y
r3=(-3
1). E fectuar ( z , - z 2) . s 3
( - , - z j ) - 3 =[( t - , 3 ) - ( 1 . 2)] ( - 3 , - 1 ) =
= ( - 3 , 1 ) ( - 3 , - 1 ) = ( 9 + 1 , 3 — 3) = ( 1 0 , 0)
Sea CK = ^ (a , b) e C./ b — OJ el conjunto de los complejos de parte imaginaria
nula. La función / : CR -> R , definida por f (a , 0 ) = a. asigna a cada complejo real su
primera componente.
La aplicación f es obviamente bivectiva. y además un mcrt'ismo de C B er. R
respecto de la adición y multiplicación. En efecto, sean z = (a ,0) y z ’ = ( a ’,0);
entonces
f ( z + z ' ) = / [ ( « , 0 ) + ( a ’ , 0 )] = f ( a + a* 0 ) =
= a + a ’ = / (a , 0 ) + / ( a * , 0 ) = / ( z ) + f ( z ’ )
Por otra parte
f ( z z ’) = / í ( a ,
0) ( a ’ , 0 )] - f ( a a ’ , 0) = aa’ =
—f i f i , 0 ) / { a ’ , 0 ) = / ( z ) / ( í ’)
En consecuencia, / es un isomorfismo de C R en R respecto de la adición y
multiplicación; o sea, £ K y R son conjuntos indistinguibles desde el punto de vista
algebraico.
El isomorfismo permite identificar cada complejo real con el real correspondiente,
es decir, ( a , 0 ) = a.
11.4. FORMA BINOMICA DE UN COMPLEJO
11.4.1. Unidad imaginaría
El número complejo imaginario de segunda componente igual a 1, se llama unidad
imaginaria y se den ota po r
i = ( 0 . 1)
La multiplicación de un complejo real p o r la unidad imaginaria perm uta las
componentes ¿e aquél, es decir, lo trasforma en un complejo imaginario. En efecto
(¿>, 0 ) . / = (2>, 0 ) . ( 0 , 1 ) = ( ¿ . 0 — 0 . 1 , b . 1 + 0 . 0 ) = (0 , é )
y por el isomorfismo de los complejos reales con los reales, se tiene
bi = ( 0 , b)
Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria son
i° ~ l
i1 = i
12 = (Q , 1) . ( 0 , 1) = ( - 1 , 0 ) = - 1
13 = i 2 . i = (— 1) . / = — i
Análogamente
i4 = i
r
_ ¡
í6= - 1
¿*=-i
Si el expolíente es de la forma 4 k con k e Z, se tiene /4k = O4 )* — l k = 1
En general, si el exponente de / es a € N, al efectuar la división por 4 se tiene
a = 4 q + r , donde 0 < r < 4. En consecuencia
í» = i 4«+r = í 4« . i r = i . r = ¡ r
y este cálculo se reduce a uno de los cuatro considerados en primer término.
11.4.2. Forrea binómica de los complejos
Sea 2 = ( a , b) un número complejo.
Por definición de suma
z ~ (a . 0 ) + «0 . bi
Por el isomorfismo de los complejos reales con ¡os reales, y por
forma binómica
resulta la
z = a + bi
La conveniencia de la forma binómica se pone de manifiesto al efectuar operaciones
con núm eros complejos, evitando el cálculo con pares ordenados, que es más laborioso.
Ejemplo 11-3.
Sean z t = (— 2 , 3) , z 2 = ( ¡ , 2 )
y
Con la representación binómica se tiene
z 3 = (— 3 , 1). Calcular ( z t — z2) z \
(z, - 2a ) z § «= [ ( - 2 + 3 0 - ( l + 2 / ) ] ( - 3 + i ? =
= ( - 3 + ó (9 + i 2 ~ 6 i ) = ( ~ 3 + í ) (9 - 1 - 6 i ) =
= ( - 3 + 0 (8 - 6 i) = - 24 + 18 i + 8 / - 6 i 2 =
= - 2 4 + 2 6 / + 6 = - 18 + 2 6/
11.5. LA CONJUGACION EN C
! 1.5.1. Complejos conjugados
Sea z — a - r bi.
Definición
Conjugado de z = a + bi es el núm ero complejo z - a ~ bi.
El sím bolo z se lee “conjugado de z " o “z conjugado”.
Si z — — 1 + 3 i, entonces z = — 1 — 3í.
El conjugado de z — | — , — 1J es z = 1^™ , 1
Dado z = a + b i se tiene r = a — bi y z = a + b i = z, es decir, que el conjugado del
conjugado de un número complejo es iguai a éste. Los complejos z y ? se llaman
conjugados.
Definición
Dos complejos son conjugados si y sólo si tienen la mism a parte real, y sus partes
imaginarias son números opuestos.
Dos complejos conjugados caracterizan puntos simétricos respecto del eje real.
11.5.2. Propiedad. La suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte
real. El producto de dos complejos conjugados es un número real no negativo.
En efecto, sea z = a + bi. Entonces.
z + z = (a + bi) + (a — bi) = 2 a = 2 Re (z)
Por o tra parte
z , 7 = (a + bi) . (a — bi) = a2 — (bi) 2 ~ u 2 + b 2
Como a y b son números reales, resulta
z.zeR
a
z . z 5* 0
1 1.5.3. Propiedad. Un núm ero complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado.
2 e R -«■ - = ?
•
>- = R =* : = a - 0 i ==> z = a a z - a =* z — z
ii
) z — z =» a + bi = a — bi =► bi = — bi => 2 bi ~ 0 => ¿ = 0
Entonces
11.5.4.
z ~ a,
o Jo que es lo mismo,
:e R
Automorfismo en C
La función / : C -*C definida por / ( z ) = I es un automorfismo en C. En efecto
i ) f e s invectiva. Sean z y z ’ en C, tales q u e / ( z ) = / (z ’)
/ < z ) = / ( z ’ ) => z = z ’ => a — bi = a ' — b ’i
y po r igualdad de complejos resulta a —a ’ a b = b \ o sea r = r ’.
ii ) / e s sobreyectiva. Para todo w = a + bi e C, existe z = a — bi, tal que
f ( z ) — f i a — bi) = a + bi — w
iii) / es un moifismo respecto de la adición, pues
f ( z + z ' ) = z + 2 ’=
= (a + bi) + (a’ + b l ) = (a + a ') + (b + b ’ ) i —
— (a + a ' ) — (b + b ’ ) i = (a — bi) -t- ( a ’ — b ’i ) —
= z + r = / ( z ) + / ( z ’>
Por definición d e / y suma en C .
iv) f e s un morfismo respecto de la multiplicación, ya que
f ( z z ') = zz ’ = (a + 6í) ( a ' + 6 í ) =
= (o a '— 6 6 ’) + (ab‘ + b a ') i = (aa’ — bb ’ ) — (a£>' + b a ’ ) i =
= ( a - b i ) ( a ’ - b ’i ) = z z ’ = f ( z ) f ( z ’ )
Las propiedades iii) y iv) se traducen en el siguiente enunciado: “el conjugado de la
suma es igual a la suma de ios conjugados, y el conjugado del producto es igual al
prod ucto de los conjugados” .
f+ T -z +F
Ejemplo 11-4.
Determinar los complejos z = x + y i que satisfacen
i
) z = —z
En la form a binómica se tiene
X
4*y i = - (.V —y i ) =*> x + y i = —x + y i => x - —x =*■ * = 0
Los complejos que verifican la condición dada son de la forma z = yi, es decir,
imaginarios puros, y corresponden al eje de ordenadas,
ii) z . z = 1
Esta condición se traduce en
Ix + y i ) , (x — v i) = 1
Luego, .v2 + v 2 = 1, y corresponde a la circunferencia de radio 1 con centro en el ori­
gen.
11.6. MODULO DE UN COMPLEJO
11.6.1. Sea z =¡z + b í
Definición
Módulo de un complejo es la raíz cuadrada no negativa de la suma de los
cuadrados de las p a rtes real e imaginaria.
La notación es í z ! = y a 2 + b 2 .
El módulo de un complejo es ¡a distancia del punto correspondiente, al origen.
Si z = * 3 + 4 i, entonces | z I = s j { — 3) + 4 2 = \ ¡ 2 5 = 5.
11.6.2. Propiedades del módulo
I) El módulo de todo complejo es mayor o igual qué su parte real
Sea z = a + bi. E ntonces
¡a\2 = a 2 => \a\2 < a 2 + b2 =*· ¡a\2 < | z |2 =» \a\ < |zl
Como a e R *=» a < lai, de esta relación y de la! < b l resulta b l > a, es decir,
R e { z) < Izl.
Análogamente Im (z) < I z \
il) El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual al cuadrado del
mòdulo.
Tesis) z . z — ¡z ¡2
Demostración)
Efectuando el producto y aplicando la definición, de módulo, resulta
z . z - ( a + bi i . \ a - b i ) - <r - (bi f
- a 2 i - b 1 - i-í 2
III) El módulo dei producto de dos complejos es igual al producto de los módulos
Tesis) \ z z ' \ = ¡z ! | z ’ i
Demostración)
A partir del cuadrado del primer miembro aplicamos II, conjugado del producto,
conmutatividad y asociatívidad del producto en C y la propiedad II
Resulta
1« ’I* = (bl Iz'l ) 2
Y como las bases son no negativas, se tiene
|z z ’| = b! |z ’¡
ÍV) El módulo de la suma de dos complejos es menor o igual que la suma de los
módulos.
Tesis) i z + z ’| < | z ¡ + I 2 ’ 1
<· Demostración)
Por cuadrado del módulo, conjugado de la suma, distributividad del producto
respecto de la suma en C y por la propiedad II se tiene
j- + z ’\2 = ( r + 1 " ) ( 7 + 7 ) ~
(2
4 : ' s ( F + T') =
— zz + z z ’+ ; ’z + : ' z ' = \z\* + zz ’ + zz ‘ + \z ’f
= f z ’ = zz ’
Como los términos centrales son complejos conjugados, su suma es el duplo de la
parte real, es decir
z z ’ + z z ’ = 2 R e (z z ’)
Sustituyendo en la igualdad inicial tenemos
|z + z ' l 2 = b l 2 + 2 R e ( z z ’) + ¡z’ ¡7
(l)
Ahora bien, teniendo en cuenta que la parte real es m enor o igual que el m ódulo'
2R e(zT)< 2\zF \
Por m ódulo del producto
2 Re ( z p ) < 2 ¡z| \T]
y como U ’ | = I z ’ I, es
2 /? < ? (z ? )« 2 fz|lzÍ
( 2)
Sumando (1) y (2)
\z + z ‘ |2 + 2 R e í z z ' ) < ¡ z ! 2 + 2 Re i z z ’ ) + ?-']2 4- 2 jzi !z]
Después de cancelar y factorear el segundo miembro
j z + z '|2 < ( |z ¡ 4- ¡z ’|)2
y como las bases son no negativas, resulta
,
|Z + Z ’ ¡ < ¡2 | 4· ¡z’ i
V) El módulo de una potencia de exponente natural es igual a la potencia del
módulo
|zn | = |z . z . . . z | = |z| | z l . . . \z\ = jzj”
n
n
Ejemplo 11-5.
Al dividir dos complejos, siendo el segundo distinto de cero, puede evitarse la
determinación del inverso multiplicativo del divisor multiplicando por el conjugado de
éste, y se obtiene
z
W
_
z w _ zw
WW
¡Wj2
En particular
- 1 + 2 1 2 . íf ' L +
- ~ 2 + 3 i 4 - 4 / - 6 t2
2+ 3 i
~ ~ ( 2 + 3 /)¿2 — 3 i ) ' ~
2J + 3 2
' ~“
— 2 +* 7 / + 6 4 + 7 ¿ _
~
¡y
Ejemplo 11-6.
Determinar los complejos z que satisfacen
i ) iz = 1 + i
1+i
(1 + 0 ( ~ 0
4
“ “ 3...' = U
-i-i2
7
+ U
*' -
ii ) \z - 1 + 2 /1 = 2
Si ¿ = x 4 j / , entonces
\x + y i — 1 + 2 i| = 2 =»
=H(jc — 1) + (y + 2 ) /| = 2 =>
=>
T 2)5 = 2 =*
=> ( x - l )2 + (>> + 2 )2 = 4
Es la ecuación de la circunferencia de radio 2, con centro ( 1 , - 2 ) .
IU)
¡- —
(2)1 = [ I m (z)]2
= x + y i => |x + y i — x\ = y 2 =>
2
=> !>·(] - y 1 =» ( yV/ y^1)'
f = y ‘ =*
=*■ iy i = >-2 => y 2 —y con >■ > 0 =»
=*· >’2 - y =
0
=#· .v ( j — i) = o =>
=>v = G v y — l => z = x
v z = x 4- ¿
Se obtienen los complejos correspondientes a los puntos de las rectas de ecuaciones
y = 0 v y = 1.
iv) : =
z — x ~t~ v i => z + z = 2 =*■
= * 2 j c = 2 = * x = 1 =* z = 1
Es la recta de ecuación x = 1
v ) (a + bi) z — {a2 + b 2 ) i con (a , b)¥ = (0 , 0 )
Se tiene
(a2 + b 2) i
(a2 + b 2) i (a — bi)
a + bi
(a + bi) (a — bi)
(a2 + b2) i ( a - b í )
= ---- --------= 1
~ ai~~
=
= b + ai
11.7. RAIZ CUADRADA EN C
Sea z = a + bi. Por definición, la raíz cuadrada de z es u n complejo jc + y i que
satisface
(x + vi ) 2 = a + b i
( 1)
Aplicando módulos
¡(x + y i) 2\ - \a + b i
Por 11,6.2. v ) y por definición de módulo
|.r + y í |2 = "Ja2 + b2
Por cuadrado del módulo
x 2 + y 2 = V&M-
Es decir
x2 + y 2 = M
( 2)
Desarrollando ( í )
x 2 —y 2 + 2 x y i — a + b i
Por igualdad de complejos
x 2 —y 2 = a
(3)
2 x y —b
(4)
Sumando y restando (2) y (3)
*
f x 2 + y 2 = !z¡
Í 2
^
(.x
~y
-a
2 x* = \ z \ + a
2 y 2 = iz \ ~ a
Resulta
/ ¡z¡ + a
X = ± y j-
7
Ambos radicandos son no negativos, pues i z >> a, y se obtienen cuatro pares de
valores reales, de los cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4): si
& > 0 , entonces x e y jse eligen con el mismo signo, y si b < 0 , se eligen con distinto
signo.
Ejemplo 11-7.
Calcular las raíces cuadradas de los siguientes complejos
i ) z = —4 — 3 í
Como b < 0 , A ren se eligen con signos distintos, y las soluciones son
's/2
~
-3V 2^j f
~
J
2
>/2
2
’
3 s /l
2
Es decir
( s fí
r ____ _
\ f - 4 — 3 i = ± I —-z
V
3 \/2
------- -z—
1
1
i i } z = —2 /
a
= o , b = - 2 . b! = :
'
2+0
X = ± -y '— —
= ± 1 =
y
Como b = ~ 2 < 0 , las soluciones son
(1 , - 1)
y
( - 1 , 1)
Luego
V ^ T 7 = ± '( i - í )
iií) z — ~ 9
a = - 9 , 6 = 0, ¡2S = 9
9 —9
2
„
= 0
r.
/9 + 9
y =t"\'— 2—
£n este cas», ios cuatro pares de valores se reducen a dos
(0 ,3 )
y
(0 ,- 3 )
y se tiene
N ^ 9 = V - 9 + 0 í = ± ( 0 + 3 í) = t 3 i
Análogamente
\
' t
= x y
1
■yCTJ = - v 3 i
11.8. FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA
Sea z = a + b i un complejo no nulo. Las coordenadas polares del punto de
coordenadas cartesianas a y b son: el radio vector p y el argum ento <p, o cualquiera de
los congruentes a <p, m ódulo 2 ir.
Las fórmulas de pasaje de las coordenadas polares a cartesianas son
a ~ p eos ip
b = p sen <p
Il
■A
a
donde p = w
Se tiene
+ è 2 — ir!
y
«p=argz.
z = a + bi = p eos
+ p i sen
es decir
z = p (eos <p+ / sen ¡p)
Esta es la llamada form a polar o trigonométrica del complejo z.
Es claro que p y <p definen unívocamente a i . Pero z caracteriza unívocam ente a p,
y no a sp= argr,
Definición
Argumento principal del complejo no nulo z es el número real
i ) a = ¡z| eos tp a
que satisface
b = |zj sen <p
ii > 0 < i p < 2 ir ,
Para denotar el argum ento principal escribiremos *p ~ Arg ",
Dados dos complejos en forma polar : ~ p icos p + i sen
y
:t ' —p ' (eos vp,+ i sen t f ) direm os que son iguales si y sólo si tienen el mismo m ódulo y
sus argumentos son congruentes m ódulo 2 ff. En símbolos
z — z ’ o p ~ p'
a
= ip + 2 & ir con k e l
Ejemplo //-&
Determinar la forma polar de los siguientes complejos
i ) z = —2 +
2 1
p = > / ( - 2)2 + 2 2 =
= 2 \/2
t ara el argum ento principal.consideramos
Resulta yJdel segundo cuadrante e igual a 135°.
Luego : = 2 v 2 (eos 135° + i sen 135°)
ii ) 2 = — 3 i
p = V 0 J + (— 3)2 = 3
i¿5= v
Luego 2 = 3 (eos n + i sen ir)
2= -3 i
11.9 OPERACIONES EN FORMA PO LA R
11.9.1. Multiplicación
El producto de dos complejos en forma polar tiene p o r módulo el producto de
los módulos, y por argumento la suma de los argumentos.
‘ ,
Sean z = p(co s <p+ i sen.i¿) v z ’ = p ' (eos
/ sen $ )
E ntonces
zz' = pp' (eos p + i sen
(eos <f¡ + i sen ip’) =
= p p ' [(eos ip eos ^ ~ sen
= pp ’ [eos [ifi +
sen <$) + i (sen
eos
+ eos <p sen i/?)]
+ i sen (ip + <(?)]
11.9.2. Cociente
El cociente de dos complejos en forma polar, siendo el segundo distinto de cero,
tiene por módulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los
argumentos.
z
•---- =
—w
tv =
=>
> 2: ~ Z W =*
Z
11.9.3. Potenciación de exponente natural
La potencia K-sima de un complejo en forma polar tiene por módulo la potencia
«-sima de su módulo, y p o r argumento el producto de su argumento p or n,
z - p (eos <p + í sen ip) => zn = p n (eos m p + i x a n <p)
Lo demostramos por inducción completa
I o) n = 1 =*■ z l = z = p (e o s tp + i sem¿?) =
V
= p l (eos 1 . if + i sen 1 . <¿)
2 o) zh = ph (eos h ip + i sen h y ) =►.z h+1 = ph + 1 [eos (h + 1) <p+ i sen (h + 1)^1 .
En efecto, por definición de potencia, hipótesis inductiva y 11.9.1., se tiene
z hz'= p h (eos h y + i sen h y?) p (eos <p+ i sen sp) =
= p h+1 [eos (h + 1) ip + i sen (h + 1) <p]
La fórmula zn = p" (eos n p + i sen n <p) se llama de De Moivre.
11.9.4. Determinación geométrica del producto y del cociente
Sean z ■= p (eos ¡p + i sen <¿>) y z ’ — p' (eos
+ 1 sen <$).
i ) Producto, En un sistema cartesiano consideramos li (1 , 0 ) y los puntos A y
B representantes de los complejos z y z', es decir, de coordenadas polares
(<P >P) y (tf »P ’)> respectivamente.
Considerando a OB como homólogo de OU, construimos OBC ~ OUA. Resulta C
de coordenadas polares (<p + ^ , R ), y por la proporcionalidad de lados homólogos
d (
0,C)
d ( 0
, A)
_
rf(0,B)
0,ü)
d (
es decir
En consecuencia, el vector OC representa el producto de los complejos z y z
í í ) Cociente. Razonando sobre la misma figura, suponem os dados los puntos C
y B asociados al dividendo y divisor respectivamente. Construim os sobre OU,
A
A
como homólogo de OB, el triángulo OUA semejante a OBC, y obtenem os el
vector OA, es decir, el cociente.
3 y/3 .
+ — ^— l ’ rea^ zar en form a polar las
3
Siendo z — — 1 + / v 3
y z — —
siguientes operaciones
-A
z .z ' ,
z
Expresamos z y z ' en forma polar
a — y í-··! )3 '+ í V j ' r — s i A — 2
¿
V3
sen «p — — =· — - - = » i p = 120 ° pues r caracteriza un punto del se g u n d o
cuadrante.
Luego
r = 2 (eos 120° +· / sen 120° )
Por otra parte
+
^
sen ijí
V v2 ,
^
\
>/5
= — = —^— =>
P
~
2
-·'
í
±
\
7
4
j i
„
4
j
,3
k
V
4
= 6 0 ° , ya que z ’ corresponde a un p unto del primer
cuadran te.
Entonces
z ’ = 3 (eos 6 0 ° + i sen 60°)
Aplicando las fórmulas deducidas tenemos
6 (eos 180° + / sen 1 8 0 ° ) = 6 ( - 1 + 0 /) = - 6
i )
i i )—
= ~
-
tii)
(eos
60° + i sen 6 0 ° ) =
j ’ i
= 2 C (eos 6
^
. „ l
+ x T ¡
! 20" +■¡ sen 6 . 120° ) ■= 2'5 icos “ 20u + ’ sen ? 20 l’> -
= 2 6 (eos 0 ° + i sen Qu ) = 2 6 (1 + 0 . í ) = 26 = 6 4
Ejemplo 11-10.
Mediante la fórm ula de De Moivre, obtener sen 2 <py eos 2
Sea z un complejo de módulo 1 y argum ento <A es decir
2 = eos i
i sen
Elevamos al cuadrado de dos maneras: por cuadrado de un binomio
z1 - (eos <p + i sen <¿>)2 = cosa ip - sen 2 < p + 2 i sen >peos p
( 1)
y p o r la fórmula de De Moivre
z 2 *= (eos <p + / sen \ p f = eos 2 1p + i sen 2 y?
( 2)
De (1 ) y (2) resulta
eos 2 íf = eos2 <p - sen 2
sen 2
— 2 sen yscos <p
11.10. RADICACION EN C
Por definición, el complejo w es raíz «-sima de r si y sólo s i zn = w.
T íorem a. Todo complejo n o nulo admite n raíces «-simas distintas dadas por
n,—f
w+lkir
w h ~ \ f p I eos —----------*
v r v
n
donde * = 0 , 1 , 2 , . . .
.& + 2k 71
+ t sen —------------ i
n
.« - 1
,
y
¿ - arg r
D emostración)
Sean z = p (eos *p + i sen «p>
y
w = R (eos <l>+ / sen <í>)
Por definición de raíz, debe ser
wn = z
Es decir
R" (eos n 4» 4- / sen n <£) = p (eos •p ■+ i sen <p)
Por igualdad de complejos
R"=p
y
n $ = ^+2i:ir
Luego
R =
iv
— vV rp
K
J
y
,_
2 £ ?r
$* —
= — — —— ——
fl
Se obtiene la fórmula
n/
■
; :
r
n ¡— f
V p (eos ip + i sen <£) = v P ( e o s
& + 2 kn
, .
ip + 2 k n \
— ------ ------ + / s e n --------- ------J
Todas las raíces de z tienen el mismo módulo, y difieren en el argumento que es
-Jg. + A h .
n
n
con k e Z
-
De los infinitos valores enteros de k es suficiente considerar 0, 1, 2 , . . . ,n -- 1 para
obtener las n raíces distintas.
ARGUMENTOS
RAICES
■f
n
l‘í
n
n
*
Wj
JL
W'3
*p
n
n .
n
—
w n-l
n
n
+3 .
+ (n
2
n
n
- 1)
rt
Si k = n entonces la correspondiente raíz w n tiene argumento
J L +n
n
Que es congruente a ~
21
n
n
+
y se vuelve a obtener w0 .
En general wJ+n = Wj y sólo existen n raíces distintas.
N ota
Las n raíces n-simas, distintas de un complejo no nulo, se identifican con los
vértices de un polígono regular de n lados inscripto en ¡a circunferencia de radio
R = \/A
»•5*4Ejemplo 11-11.
Calcular y Epresentar
)
V -4 + 4 i V 3
z = ~ 4 + 4 j V ’ 3 =» p ~ 'V i - 4 ) J + t 4 \ ¡ 3 ) 3 ~ v f 6 4 = :
a
cos¿=~
—4
—1
= - T = - r
-
*
2 st
^ = 120« = -~T
p u e s: corresponde a un punto del segundo cuadrante.
El argumento de wfc es
^ r + 2 kT!
.
< k = _ 3 ________ = J L + ± L
^
4
6
2
y se tienen los cuatro argumentos
ir
= 30°
$0 = T
■n
4* = T
n
2
+
+
TI
O
o
<*>
11
ir
T
+ 90° = 120°
= 30° + 180° = 210°
# 3 = - L · + 3 JL = 3QO f 2 7 0 ° « 300°
o
2
Las cuairo raíces son
(eos 30°' +■/ sea 3 0 °) = \ / ’»
+ 4" i)
wj = VT(eos 120° + i sen 120°) =
= \ í j ( - eos 6 0 ° + i sen 6 0 °) = V ~8 ( " - 4 - + i
h ¡2 = \ Í 8 (eos 210 ° + / sen 210 ° ) =
= V 8 ( - eos 3 0 ° - i sen 30°) = V ¿ S-
1
- ~ i )
2 y
w3 = V s"(e o s 300° + i sen 300°) =
J
= ^ 8 (eos 60° - i sen 6 0 °) = V "8
ii) V T
; = ! +■ 0 / =>■ p — 1
—0
=> \ / 1 (eos 0 + i sen 0 ) = v'HT^cos
2kn
—eos — j —
, .
~^
+ i sen -
2 k it
+ i sen — ^—
*
Entonces
•4-c, —- eos 0 + i sen O = !
*· n
2n
w¡ = eos —-j- +/ sen —j ~ = eos 120° + i sen 120° =
1
= — eos 60° + ¿ sen 60° = — ^
v /T
+ i — j-
4 it
4 n
w 2 = eos —j - 4 i sen —j - = eos 240° + / sen 240° —
i
= — eos 60 ° - / sen 60° = — —
/T
- í —- j -
~
11.11. FORMA EXPONENCIAL EN C
11.11.1. Exponencial compleja
En los cursos de Análisis se demuestra que la exponencial real é* admite el
desarrollo en serie
x2
x3
00 x k
e* = l + x + - i r + - w + . . . = J o T T
y satisface las propiedades básicas e° = 1 y e* ey = ex * y ,
A fin de preservar estas propiedades definimos la exponencial compleja mediante
eix = eos x + i sen x
Se verifica
eix . ety — (eos x + i senx ) (cos>> + i se n _>>) =
= (eos x eos y - sen * sen y ) + i (sen x eos y + c o s x sen y ) —
= eos (x + j>) + i sen (x + y ) = e'<Jí+y)
Sea z = p (eos <p + i sen ¡p). Entonces z = p e,ip es la forma exponencial del
com plejo z.
11.11.2. Operaciones en form a exponencial
La traducción de las fórmulas relativas al producto, cociente y potenciación,
obtenidas en Ja form a polar son las siguientes
i ) z . z ’ ^ p é * p ’ e ,*,, = p p ’ eí^ +*’,>
ii ) —,
Z
p ' ei f
iii)
= -A
p
zn = { p e i* y ~ f f ein*
Ejemplo 11-12.
Demostrar
i ) z = e ‘v =■> I-! = í
En afecto
z — el* =#· z = eos ifi 4- i sen ¡p =»
=» |z¡ = Veos 2 ¿ + sen; tp =
ii)
ez= i =» z
= 2nv i
con
1
ne Z
Sea z = x + )¿i
Entonces
e 2 — ex ~vi = ex eyt = e* (eos v + i sen v) =
= ex eos y + ex i sen y = 1 +
0i
Por igualdad de complejos es
ex eos .y = 1
a
ex sen y — 0
Como ex 4* 0 resulta sen y = 0 y en consecuencia y = k i t
Ahora bien
y = k n => eos y — eos k n = (— l ) ft
Luego
e x ( - l ) fe = l = ( - l ) 2fe
Es decir, e* = (— 1)fe , y comoe* > 0, se tiene k = 7n.
. A s í . ex = 1 => x = 0
Resulta
z = x - lr y i = 0 - lr 2 n ' n i = 2 m t i
11.12. LOGARUMACION EN C
Sea r ^ 0 . Por deñnición ln z = w si y sólo si e w =
con k e Z
Para determinar los complejos w que satisfacen w — ln z, proponem os la ícrm a
exponencial para el complejo z y la forma binómica para w, es decir
z —p e '*
y
w = u + iv
Hay que determinar u y v tales que
e“ +“’ = p e '*
♦
eu . eiv = p é *
I
e“ — p
v = if+ 2 k n
I
u — ln p a
i* = ^ + 2 k
tí
Resulta
¡n z = l n p + i( * p + 2 k T !)
con
k eZ
fórmula que permite obtener los infinitos logaritmos de un com plejo no nulo.
Como la parte real del ln r es independiente de k, todos los logaritmos corresponden
a puntos de la paralela al eje de ordenadas que pasa p o r (ln p , 0 )
Valor principal de ln z es el que se obtiene para k — 0, o sea
V.p. ln z = ln p + /
Ejemplo 11-13,
Hallar ln z en los siguientes casos
i ) 2 = -- 2
: = - 2 + 0 / =* p = 2
a
<p = v
Luego
i n ; ·- ln 1 - 2 t ~ ln 2 + i (n + 2 k t j =
— ln 2 + (S + 2 k ) n i
e
e
11) - = ~ ~rnr~
\nr
V T ~ V
T '
D- J ¿
P~ \
2
+ -£
-
= e
a
= 2^5° = 5 4
4
Entonces
í
ln 2 = ln e + i ! 5
??
= 1+i^5 \
.
2k n j —
+ 2 fcff)
Los valores principales son, respectivamente, ln 2 + í n y
1 + 5 -7 - 1
4
11.13. EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL
Sean z , y z 2 tales que z ¡ 4= 0. Estam os interesados en la determinación de la
exponencial compleja
w -z?
Aplicando logaritmos en ta se natural
ln w —z? ln z t
Por definición de logaritmo
*, ta i,
w=eEjemplo 11-14.
Hallar el valor principal de la exponencial
1
Calculamos
l - i
1+ /
(1 - 0 *
(l+/)(l-í)
_
1 - 2/-- 1 ____.
. —
— ~7
2
Entonces
z = ( ~ 0 " = > l n z = í l n (--/)
A! complejo
( 1)
- i te corresponden
7T
Entonces
r
*\
L-. { - ¡ ) = Ir. ¡ + / ¡ 3 - - * 2 í r U
--1 | 3 ~
+ 2 k it !
Sustituyendo en í 1) tenemos
- 2 k ti
ln z = — 3
Por definición de logaritmo resulta
- 3·
z = e
Siendo eí valor principal
3_
2
V.p. z = e
11.14. RAICES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD
11.14.1. Concepto
En el ejemplo 11-11-ii) hemos determinado las raíces de orden 3 de la unidad, es
decir, las tres raíces cúbicas de 1. Tales raíces son
H'o = 1
i ( . V3
vv, = ----- T + i ----y -
Vt '2
=
¿
-
. VT
- l ------—
Las dos últimas no son raíces de la unidad de un orden m enor que 3, pero la
primera sí lo es. puesto que
VT = 1
y
VT=±1
Por este motivo se dice que w¡ y w¡ son raíces primitivas de orden 3 de la unidad:
en cambio, w 0 = 1 no es raíz primitiva de orden 3 ni de orden 2, sino de orden 1.
Sea G„ el conjunto de las n raíces n-simas de la unidad. Un elemento genérico de
eS
2 k fi , .
2 k it
1
wfe = eos -------- + i s e n -------- = e
K
n
n
2kn
ñ
donde k = 0, 1, 2,
1. Por definición de raíz H-sima, los complejos wk
satisfacen la condición w" = 1, y son tales que (G„ ,.) es un grupo multiplicativo
abeliano. Esta situación ha sido tratada en el ejemplo 8-12. en el caso particular en que
n = 3.
Definición
El elemento wk e G„ es una raíz primitiva de oraen n de ia unidad »i > sü'tu si nu
es raíz de 1 de un orden menor que n.
El conjunto de las raíces cuartas de la unidad es G 4 = 1 , i . — 1 . — i . De acuerdo
con ia definición y con el conocimiento de G t , G ; # G 3. podemos decir que i y - i son
raíces primitivas de orden 4 de la unidad. Los resultados 1. i. - 1 y - / se obtienen de
la fórmula general ai tom ar k los valores 0. 1. 2 y 3, respectivamente. Observarnos aquí
que si k es coprimo con n. entonces la raíz wfc es primitiva. Tal es el caso de iv·, y w;i.
para n = 4. La demostración de esta propiedad es el objeto de lo que sigue.
11.14.2. Propiedad. El complejo
e G„ es raíz m-sima de la unidad si y sólo si
n km.
Demostración)
. ,
, ,
2fe.
k
2 k n
i ** ·
Sea Wk = eos —------ + 1 sen — — — e n e G„. Entonces
K
n
n
m rr
m
.
\%k = v 1 <=» M'b = 1
2k m x
n
^
2 fc m n
,
·» e o s ------ -------= 1 a
n
2 k ni ti
- o -----------<= 2~7Ta
n
km
n
44. ---------- — q
,
2 k m ir
n
eos ---------- - i - 1 s e n ------------= ! <=>
2k m n
.
sen ——— — = o <=>
n
a n e Z -r »
, ,
% m — n a «=> n 1 k ni
11.14.3. Propiedad. Sea 0 < k < n . Entonces wh e G„ es una raíz primitiva de o rd e n n
de la unidad si y sólo si n y fe son coprimos.
I) n y k son coprimos =>■ wh es raíz «-sima primitiva de 1.
Sea w k una raíz m-sima de la unidad. Entonces, por 11.14.2.. se tiene que n I km y
como n y k son coprimos, resulta n ¡ m, de acuerdo con lo demostrado en el ejemplo
9-8-ii). Ahora bien, siendo n y m números naturales y n I m, es n < m , y en
consecuencia w k no es raíz de la unidad de un orden menor que ti. o lo que es lo
mismo, w k es raíz primitiva de orden n de 1.
II)
\vk es raíz //-sima primitiva de 1 =>■ m.c.d. ( ; i , k) = 1
Supongamos que n y k no son coprimos, y sea d su m.c.d. positivo. Por definición
de m.c.d. se tiene
d | n
A
d
| k =* n ~ d n ’
k = d k ’ donde m.c.d. (/;’ ,
a
k’) =
1
Sustituyendo estos valores en la expresión de w* resulta
2d k ’n , .
2d k ’n
wh =¡ e o s ------. V + 1 sen — ·;—;— =
*
an
an
_ ^
2 k 'n
a'
^
' '
fí
Como n y k ' son copnmos se deduce que wk es raíz de la unidad de orden n ’ < n,
lo que contradice la hipótesis. Luego debe ser med in . k) — 1
Ejemplo 11-15.
Determinar las raíces primitivas de orden 6 de la unidad.
Las seis raíces sextas de 1 están dadas por
2kn
2kn
wh = eos —----
con k = 0 , 1 , . . . . 5
De acuerdo con 11.14.3. I) elegimos k de modo que m.c.d. ( n . 6 ) = 1 y se obtiene
k — 1 o k = 5. Las raíces primitivas pedidas son, entonces
m\
2
n
2 ti
= eos ——- + ¡ sen ——- =
6
ó
= eos - j + í sen - y = eos 6 0 ° + / sen 60 ° =
í sen -
io ~
— eos —— + i sen —y
= eos 60° - i sen 60° = \
- - eos 3 0 0 ° + i sen 300° =
v T
TRABAJO PRACTICO
! /-16. Dados ios núm eros c o m í
-i
11-17. Determinar los complejos z en cada uno dj; los siguientes casos
a)
(1
b)
; = i ( l + s)
r = —i
c)
: = {— ¿} (1 + /)
dS
/r = <t + /) ¡ ¡ - í)
11-18. Obtener r en los siguientes casos
a)
r = (1 + V 5 /) (V 3 + 0
b)
7 = ( V T + v T q 2 -y /6 ¿
c)
z = (V ^ + V 3 0 ( v ^ - V 2 0
1
í
v^3V
+' " J
d)
11-19. Resolver las siguientes ecuaciones en ;
al
/2 = 1
c) (?.
b)
(1 + i ) z = 1d)
i); - i
4 = /
11-20. Expresar : en la forma binómica
/> !
/-¡T"
V - ~r' V ~ ■-
v - " V J‘
hi
ii ..
(3 — r) {2 + / )
: ---------------------- --
1+ —
í
i
11-21. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones en C
a)
z2 = 2¡
b)
= ~ 3 4¡
c) z2 = ...2 ^ +
11-22. Obtener la forma polar de los siguientes números complejos
a) z i - \ / 3 + i
b)
= — 2 — 2 \/3 /
_
c) z 3 = - 1 - i
d ) z 4 = — 3/
2i
Xi
11-23. Efectuar en forma polar las operaciones que se indican con relación a los
complejos del ejercicio anterior
11-24. Calcular
a 'i
)
~6
,Vi
)
b)
Zl 5 j
d)
—
23
2;°
siendo
2
| - l + /¡ + V 2 ¡
/ ¡'25. Probar que si / (.vj = ax2 + b x + c donde a. b y c son números reales y z e C es
!u:
! 1r) = 0. '“ntonces f' (~ > = 0
/ / 0 6 Dado r = 1 + sen a + i
coi
a, determinar : 2 ~ : |
<7-27, Determinar ios números reales a y b sabiendo que
í— 1 + i) a + (1 + 2 i) b ~ i
i !-28. Resolver ia ecuación en €
j -... | —i) (j· — j + /) (r + 1 +■ i) (: + 1 — i ) - 5
/ 1-29. Revilver la ecuación en C
x 2 + (— 2 — 2 /) x = 3 —6 i
¡1-30. Resolver ei siguiente sistema de ecuaciones en C
n i + / ) v — iy = 2 + i
{{2 + ¡ ) x + < 2 - 0 v = 2 /
/ 1-3!. Demostrar
a) fci conjugado del opuesto de todo complejo es igual al opuesto de su
conjugado.
b) 1:1 conjugado de la diferencia de dos complejos es igual a 1a diferencia de
los conjugados.
c) E! módulo de la diferencia de dos complejos es mayor o igual que la
diferencia de los módulos.
d) El conjugado del cociente de dos complejos es igual al cociente de sus
conjugados.
e) t i módulo del cociente de dos complejos es igual al cociente de sus módulos.
11-32. Sean los complejos no nulos z y z \ Demostrar
. ¡r¡
í z — z ’ \ \z 1 ! = ¡ Z~‘ — z ’ " 1 ¡
11-33. Demostrar
|r
+ |z - z
r
11-34. Demostrar por inducción completa
í eos ,v + i sen x ) n = eos n x + i sen n x
11-35. Utilizando la fórmula de Do Moivre dem ostrarlas siguientes fórmulas
i ) sen 2 x ~ 2 sen x eos x
eos 2 x = eos 2 x - sen 2 x
" ) sen 3 jc = 3 eos 2 x sen x - sen 3 x
eos 3 x — eos 3 x - 3 eos x sen 2 x
11-36.
Sabiendo que los complejos 1, w y w2 satisfacen la relación x 3= 1, verificar
i ) (1 + H’2)
= W
ü ) (1 — w + vv2 ) (1 + w - w 2 ) = 4
11-37. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de los siguientes complejos
i ) z — - 15 - 8 i
i i ) z = 5 - 12/
iü) 2 = 8 + 4 y / T i
11'38. Resolver las siguientes ecuaciones en C
i
) x 2 —(2 +
í) x + 3 + í = 0
ü ) x 2 -+ ( - 3 + 2 i ) x - i = 0
11-39. Determinar y representarlas raíces que se indican
i )V i - i
ii ) V~^~i
iii) n /s "
iv)
+ i
11-40. Determinar los logaritmos naturales de los siguientes complejos
i ) z = y T -- s/~3 i
i i ) z = - ei
iii) z = 4
11-41. Determinar los valores principales de las exponenciales siguientes
i ) w = ( > / T - i ) 1■'
ii ) w = (3 i )2 ‘
iii) w = ( I - i V 5 )wi
11-43. Resolver las siguientes ecuaciones
i ) x 2i - 2 x + 2 = 0
11-44. D eterm nar los conjuntos de puntos del plano que satisfacen a las siguientes
relaciones
i ) Re(z) = - 2
i i ) - 2 < l m (z) < 3
iii)
i 4 11 > 2
iv)
- 0,5 < R e (2 ) < 0 , 5
v ) ~ < A rg ; < 3
vi i
z
a
a
\z\ - 2
|r| < 2
- I + ·" i — ,?
/ 1-45. D eterm nar analíticamente y gráficamente los subeonjuntos de € que verifican
i ) >: + I ¡ "H r - 1S ~ 3
i i ) ir + 1-! | ’ - f | = c *
11-46 Calculaf
1 + 2 eos x + 2 eos 2 x + . . . + 2 eos n x
11-4/. Verifica la identidad
: + w
i . I z+w
,
i
j — t ----- - z w - + | — ^------- + - vv j = ¡ ' i + i H ’|
11-48. D ado z - - j — 1 + 2 i ] + y / l l , hallar l n z .
11-49. Demostrar
z
w
e —e
_ .
< & z -w = 2 n ir i
—
a ne Z
/ Mfl. Se definen
Demostrar
i ) eos z = eos x ch y - i sen x sh y
i i ) sen r = sea .v ch y + i eos .v sh y
lí-5!. Determinar ¡os conjuntos áe pumos des plano que verifican
ii ) Iri1 =
2
+3
iii) I - z ' 8 = 0
iv) 2 ' + 2 = 0
v ) 2 + í 1· e R
vi) 2 = Z 2
vii) \:+ / 1 = \z+ 2 i 1
11-52. Obtener ios siguientes complejos
a)\ z =
b) z = 100
n ■
ik
fe=i
2 r-k
k-o
11-53. Los complejos no nulos z x y z 2 son tales que
U i + z 2 | = | zt l + | z2 l
Demostrar que z¡ —a z 2 para algún ce e R +
11-54. Calcular z& siendo
a
sen « —/ sen a
i
n i) : - — ■ = = .
v j - i
con
jfR
+ i
11-55. Demostrar
i
=*· 0 < a· < 2 w
»
) Re íriv + JW) ~ : w + Fvv
t i } ¡m {:%v — z w ) ~ z w - : w
¡1-56. Demostrar que si w es raíz cúbica primitiva de i , entonces
{1 — w ) (1 —w 2 ) = 3
11-57. Sea w una raíz «-sima primitiva de 1 y n > 1. Demostrar
n -1 b
2
w
6= 0
= 0
11-58. Sabiendo que n = 3 ¡c. dem ostrar que
r
i
C
2
i . V3 V
r
2 j
v
2
1
2
)
_
Capítulo 12
POLI NOM IOS
12.1. INTRODUCCION
A partir de la definición de polinomio formal de un anillo con identidad, se Siega al
. ¿ncepto de anillo de polinomios formales de un anillo con una indeterm inada, y al
; iso particular de dominio de integridad de polinom ios de un cuerpo. En esta
.-jtructura se estudian la divisibilidad, los ideales y la factorización. E! capítulo se
.om pleta con el tratam iento de los polinomios reales y complejos,
12.2. ANILLO DE POLINOMIOS FORM ALES DE UN ANILLO
12.2.1. Concepto
Sea (A , + , .) un anillo con identidad.
. Definición
Polinomio formal del anillo A es toda función P : N 0 -* A que verifica P («) = 0,
salvo para un número finito de elementos de N0 ,
El dom inio de la función es N0 = | o , 1 , 2 , . . .j , > la imagen de todo i e N 0 se
escribe P (/) = a¡. La definición dada caracteriza a todo polinom io form al como una
sucesión de elem entos de A cuyos términos son nulos a p a rtir de cierto índice .lEs usual
identificar a un polinomio formal en términos del conjunto ordenado de las imágenes,
lo que conduce a la siguiente notación
P = (tf0. S i ..........a „ , 0 , 0 , . . . )
El hecho de que P (n ) = a „ sea distinto de cero no significa que deba ser P (/) = «,·
distinto de cero para i < n.
En particular, la función nula, definida por P ( i ) = 0 cualquiera que sea i e N 0 se
llama polinomio nulo, y lo indicaremos así:
0 = (0 , 0 . . . . )
Definición
- Grado de un polinomio no nulo es el m ayor entero n que satisface P (¡i) ?■ 0,
El grado de todo polinomio no nulo se identifica con el índice del últim o término
distinto de ceio de la sucesión que lo define. Convenimos, además, que el polinomio
nulo carece de grado. Algunos autores le atribuyen grado — 1. En otros casos se le
asigna grado infinito.
Ejemplo 12-1.
Determinamos los grados de ios siguientes polinomios de los anillos que se indican
i ) El polinomio P : N 0 -> Z 5 definido por
P (0) = T , P (;) = P ( / — 1) - T
si
i . 2, 3. P</) = cT si i > 3
es P = ( 1 , 7 , T , T , 0 , 0\ . . . i
siendo grado de P = g P = 3
*
ii ) El polinomio Q : N 0 - * Z tal que
f - 2 si n = 4
Q (n) ~ <
j
0 si n * 4
es la sucesión
Q = ( 0 , 0 , 0 , 0 , — 2 , 0 , 0 ___ )
y tiene grado 4. Todo polinomio con a lo sumo un término no nulo se llama
monomio.
iii)
Si el anillo es ( R 2 xi , + .
y definimos
R : N 0 ->-R: x2 mediante
R < 0 , =
P
°
y R (n ) =
]
=
‘
R ( „ —[ ¡
J
·
]
—
A
para todo « > 1, entonces
R = (I , A , N , N ___ )
tiene grado 1.
12.2.2. Anillo de polinomios formales del anillo A
Sea P el conjunto de todos los polinomios formales del anillo A. Es decir
? = { P / P : N 0 -*Aj>
En P definimos la adición y multiplicación mediante
I. P + Q : Nc ~> A es ta! que
(P + Q) («) = P (n) + Q (n)
II. P . O : N 0 -=►A es tal que
(P ■Q) (n) = í P ( 0 Q (« - 0
i=0
Ejemplo 12-2.
Sean P ~ (a, , a¡ , a 2 , 0 , O . O , . , .) y Q = (6 0 , £>i . b 2 - ¿>3 , 0 , 0 , . . J .
donde gP = 2 y gO = 3, De acuerdo con las definiciones dadas se tiene
i > S = P+ Q
siendo c, = S ( / ) = (P + Q) ( i ) = P (i) + Q (/) = a¡ + b¡ para todo / e Nd.
Entonces
S = P + Q = (a0 + b 0, a l + i j , a 2 + b 2, b3. 0, 0 , , . . )
Siendo g (P + Q) =■ 3
i i ) R = P . Q se obtiene de la siguiente manera:
c0 = R (0) = (PQ) (0) = 2 P (i) Q (0 — i) = í* (0) Q (0 ) = a<¡ b 0
i =o
c. = R ( 1) = (P Q )(1 ) = ¿ P ( i ) Q ( l - 0 =
i=O
= P ( 0 ) Q (1) + P (1) Q (0) = a0 b i + a x b 0
c2 = R (2) = (PQ) (2) = ¿ P (0 Q (2 - i ) =
1=0
= P ( 0 ) Q ( 2 ) + P ( 1) Q ( 1) + P ( 2 ) Q( O) = a 0 b2 + «, b , + «2 b 0
El término genérico de! producto es
Ck - £ P w i Q ( k ~ ñ ~
t - ·■·
Z a¡ bh_,·
«=o
Por ejemplo
c s = a 0 65 + a . 64 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b ¡ + a s b 0
En nuestro ciso se reduce a
c 5 = a2 63
Pero c 6 = c 7 = . . . = O
. El grado del producto es 5 si a 2 Z>3 # 0, es decir, si el anillo no tiene divisores de
cero.
Ejemplo 12-3.
E fectuar la suma y el producto de los polinomios de Z 6
P = (2 , 3 , ' 6 , 0 , 0 , . , . )
y
Q = (Ü,T, 2 , 0 , 0 , . . . )
i ) P + Q = ( 2J 4J T , q j Ó , . . . )
ii ) PQ = ( 0 , 2 , 1 , 0 , 0 , , . . )
y
y
í ( P + Q) — 2
g (P Q) - 2
Se verifica que (P , + ) tiene estructura de grupo abeliano siendo
neutro para la
adición el polinom io nulo, y s i inverso aditivo u o p u e s to d e cada p o l i n o m i o
P e s el
polinomio — P definido por (— P ) (n) ~ — Pin).
El producto es asociativo en P, con identidad
1 : N 0 - * A tal que
f 1 si n = 0
1 («) =
<
'
[ 0 si n ¥=■ 0
Es decir
1=(1 , 0 , 0 ,...)
ya que P e í => P1 = 1P = P
A demás, ei producto es distributivo respecto de la suma a izquierda y a derecha
(P + Q ) R = PR + QR
R (P + Q) = RP + RQ
En efecto, utilizando las definiciones de multiplicación, de adición, propiedades de
la sum atoria, y del anillo A se tiene
[(P + Q) R ] («) = ¿ (P + Q ) (i) R (n - i ) =
f» 0
= i
¿=o
| F ( 0 + Q (i’)j R (n —i ) — S [P í/i R I n — i ) + O (fi R í n — í ¡1 =
'
'
'
«*o
= 2 PtA R (« - i) + 2 Q (0 R (« — 0 = (PR) (n ) + (QR) (n) =
i= 0
i= 0
= (PR + QR) 0 0
Las consideraciones anteriores nos perm iten afirmar que la tem a (P , + , .) es un
anillo con identidad, llamado anillo de los polinomios formales del anillo A.
El polinom io X = ¿ Q , 1 , 0 , 0 , . . . ) recibe el nombre de indeterm inada. Nos
proponem os expresar a tod o polinomio formal del anillo A, e n función de la
indeterm inada X y de los elementos de A.
Definimos primero ia función
/ : A ~>P
mediante
f ( a ) ~ (a , 0 , 0 , . . .)
Esta definición caracteriza un morfismo inyectivo de A en P, es decir, un
m onom orfism o. En consecuencia, / es un isomorfismo de A en / ( A ) C P, lo cual
perm ite identificar a cada elem ento a e A con su imagen/ (a) e P. Desde este p unto de
vista, podem os decir que A es un subanillo de P.
D e fin im o s Xo = (1 , 0 , 0 , . . . )
y
=XhX
Resulta
X: = XX —( 0 . 0 . 1 , 0 , 0 ___ )
t; -;lo significa que ' i m g N0 se tiene
X" 1 : A - * P
i 1 si n ~ m
Xm («) = <
| 0 si n ^ m
tal que
E ntonces, teniendo en cuenta las definiciones de adición y de multiplicación, las
suc-'iivas potencias de ia indeterminada X y el isomorfismo indicado, todo polinomio
P e P puede expresarse
P = (c/0. a , ............ an . 0. i ) . . . . » =
= <a0. 0 . 0 , . . .) + ( 0 . J , . 0. 0
.
4-( 0 , . . . , a n, 0 , 0 ------) =
= (<70 , 0 , 0 . . . . ) ( 1 , 0 . 0 ..... ) + ( a , . 0, 0. . . . ) ( 0 , 1 , 0 , 0 , . . . ) +
_
+ (¿z: . 0 . 0 ) < 0 . 0 . 1. 0 . 0 ------------) + . . . + (an , 0 . 0 , . . . ) ( 0 .......... 0 , 1, 0 . 0 . . . . ) =
=j 0 X‘
X' +a-, X 1 + . . . + a „ X" = f a¡ X¡
¡=o
En lo sucesivo, en lugar de Xo = ( l , 0 , 0
térm inos del tipo 0X " y IX ” será sustituido por X"
Se tiene
1 escribiremos 1, omitirem os los
Í a¡ X‘ = an X* + a „ _ i Xn _ l K . . + í , X + j 0
i= O
Siendo an el coeficiente principal y aQ el término independiente.
El anillo de polinomios de A en la indeterminada X suele indicarse mediante el
sím bolo P = A [XJ. Los elementos de A [X] se llaman polinomios en X con
coeficientes en el anillo A. En particular, los elementos de A C A [X] se llaman
constantes. Si gP — n. entonces a „ se llama coeficiente principal. Un polinomio con el
coeficiente principal igual a 1 se dice que es mónico.
De acuerda con las definiciones de las operaciones en A [X], se verifican las
siguientes proposiciones:
i ) El grado de to d o polinomio no nulo es igual al grado de su opuesto,
*<-P)=fP
i i ) El grado de la suma de dos polinomios no nulos es m enor o igual que
mayor de los grados.
g (P + Q) < máx
, ¿íq}
iii) El grado del producto de dos polinomios, si es no nulo, es m enor o igual que
la suma de los grados.
£ (PQ) < £ ? + gQ
Ahora bien, si A es un dominio de integridad, entonces A[X] también ¡o es, y se
verifica que el grado del producto de dos polinomios ao nulos es igual a la suma de los
grados, o sea
^ ( P Q í ^ f P + 'g Q
Ejemplo 12-4.
En Z¡ [X] se consideran los polinomios
a = I x 2+T x+T
b = Ix + T
y
c= T x3+Tx + I
O btener el polinomio AB — C. La mecánica de las operaciones entre polinomios en
la indeterminada X con coeficientes en el anillo se realiza en la forma habitual
aprendida en la escuela secundana.
A:
3X 2 + T X
+T
B:
2X
+T
Tx3+
2 X2 + 4 X
l x 2
AÍ5:
+7x + 2
1 X 3 + 0 X 2 + 0 X +"
El inverso aditivo de C es — C = 4X 3 + IX + 3
Y resulta AB - C = ÔX3 + Ô X 2 + T X + Ô
Es decir, AB - C = X.
12.3. ANILLO DE POLINOMIOS DE UN CUERPO
Como todo cuerpo K es un dominio de integridad, el anillo de polinomios de K, que
denotamos con K [X], es un dominio de integridad, pero no es un cuerpo. En efecto,
no todo polinomio no nulo admite inverso multiplicativo. Demostramos a continua­
ción que únicamente los polinomios de grado cero son inversibles.
Teorema, Un polinomio de K [X] admite inverso multiplicativo si y sólo si es de grado
cero.
Demostración)
Sea P e K [X] un polinomio con inverso multiplicativo. Entonces, existe Q e K [X]
tal que
PQ = QP = 1
·
Por ser K [X] un dominio da integridad, se tiene
gP -t-gQ ~ g l —0
Y como los grados son enteros no negativos, resulta
gP = gQ = 0
Recíprocamente, si jrF = 0 entonces P = a0 =£ 0.
Y, como ¿r9 es un elemento no nulo de K, admite inverso multiplicativo a ^ 1· Es
decir, existe
P'' =aó‘
12.4. DIVISIBILIDAD EN EL DOMINIO K [X]
12.4.1. División de polinomios
Teorema. Dacos dos polinomios A y B en K [X], siendo B no nulo, existen -y son
únicos dos polinomios Q y R, que verifican
i )A=BQ + R
i i ) R = 0 v # R <¿rB
Demostración)
SeagB -m - Se presen!, n los siguientes casos:
S. A — 9
íCSiS.
v
gA < m ~ 0 - 0
R - A sa tis f a c e n las c o n d i c i o n e s d e la
iLgA =«>«~gB
Sean
AEntonces
n
2 a{ X'
í=0
a„ =£ 0
y
y
m
B .= 2 b¿ X' -
i=0
bm ^ 0
A expensas de A y de B podemos generar un polinomio de grado menor que A o
bien el polinomio nulo, restando de A el producto de B p o r un polinomio
conveniente del tipo cp Xp .
En efecto, sean
Q, = 4 r~
Prn
X"~m
y
A, = A - Q , B
Resulta A j = 0 v gA ( < g A , pues el polinomio Q¡ B es de grado n y su
coeficiente principal es a „.
Si A | # 0 y gA i > g B , el procedim iento puede reiterarse obteniéndose A¡ tal
que
A; = 0
En general, si A,
0
V
gA; <gA -
· g \ , > g & . llamando
A¡ = Z t'i X'
con
Qj*1 ~
xf
í-0
i t 4■ 0
se definen
Aj'+i — A¡ —Q j+1 B
Los enteros no negativos gA , g A x, g A 2 , . . . forman una sucesión decreciente y
en consecuencia se llega a la existencia de A h tal que
A* = 0
V gAh < m
Resulta
A», = A h - 1 - Oh B = A h - 2 ~ (Qh + Q h - i ) B = . . .
—
= A — (Q ! + Q 2 + . . . + Qh ) B
Entonces. llamando R a \ h v 0 a Z Q-, se verifica
/-1
A =B(irR
¡R - 0
v
y R < ¿*BI
La demostración de las unicidades de O y R se proponen como ejercicio.
Los polinomios Q y R, que verifican el teorema, se llaman el cociente y el resto
de la división de A por B.
Ejemplo 12-5.
O btener el cociente y el resto de las divisiones de los siguientes polinomios de
R [X]
B = X2 + X + 1
La operación so realiza en la forma habitúa! ordenando ambos polinomios según las
potencias decrecientes de X y com pletando el dividendo.
X4
+ X2
+ 1 I X2 + X + 1
X 4 + X 3 + X2
X 4 1
• X3
+1
- X 3 - X2 - X
X2 + X + 1
X2 + X + 1
o
V
1
,
—- X·
' 4
X-’ - 4 X :
- ; X2 + 16 X - 1ZS
4 X'
4 X 2 4- 32 X
-3 2 X
- 32 X - 256
256
12.4.2. Caso particular
Si el dividendo A es de grado n y el divisor es de grado 1, es decir B = &t X + b 0,
. ••■mees, de acuerdo con el algoritmo de la división, el cociente Q es de grado n — 1 y
el resto es e! polinomio nulo o bien de grado cero, es decir, puede identificarse con una
c m stan te en K, y se tiene
A = B .Q + r
En el caso en que el divisor sea de primer grado y m ónico es posible obtener e l .
cociente y el resto, mediante el procedimiento conocido como Regla de Ruffini.
Sean k = a „ X n + a „ _ j X " “ 1 + a 71_ 2X n- 2 + . . , + ^ X + ^ T
y B = X + b(¡ - X - a, siendo a = - b 0 Entonces, los coeficientes del cociente y el resto, que se 'obtienen utilizando el
procedimiento indicado en 12.4.1., son
cn - 1
—2 ~ &n ~ 1
^n —1 &
f„_ 3 = tf„_ 2 + c „ - 2 a
c0
= « , +C, a
y r = «o + co a· Estos resultados pueden lograrse con la siguiente disposición práctica
an
an ~ l
a
0<-'n- 1
t n —
l
L n — 2
an - 2 ■ ■ ■
a>
a° -r,
Ol'n - 2 . . . a 'l
í n ~ 3 ,.
at'o
í O
|
'**
Ejemplo 12-6.
Mediante la regla de Ruffini, obtener el cociente y el resto de la división de
A = — X 3 + 2 por B = X — 2
- 1
0
*>
0
_t
-4
-8
- 1 -2
-4
-ó
2
Resulta
Q = —X3 — 2 X - 4
y
r = —ó
12.4.3. Relación de divisor en K [X]
Por definición, el polinom io B es divisor de A si y sólo si existe C tal que A = BC.
Se dice también que A es múltiplo de B. Si B ¥* 0, entonces la definición anterior
equivale a decir que el resto de la división de A por B es el polinomio nulo.
Se verifican las siguientes propiedades
I. Si un polinomio es divisor de otro, entonces es divisor de su producto por
cualquier polinomio.
A¡B =*■ A¡BC
II. Si un polinomio es divisor de otros dos, entonces es divisor de su suma.
A|B
a
A|C =>■ AIB + C
III. Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo polinom io no aulo,
entonces el cociente no varia, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.
Hipótesis)
A
R
C 9¡=0
O
Tesis) AC | BC .
RC
Q
Demostración)
Por hipótesis
A = BQ + R
y
R = 0
V gR <^B
Multiplicando la primera igualdad por C, utilizando la distributividad, asociatividad
y·. conmutatividal en K fX], se tiene
AC = BQC + RC = (BC) Q + (RC)
( i)
Por otra partí
g I RC i = g R +■ gC < g B - gC - g i BC i ·.
R€ - 0
i 1' ?
Las proposiciones (1) y (2) verifican la tesis.
Ejemplo 12-7.
Dados A = í X 3 + 2 X + 1 y B = 2 X - 4 . obtener el cociente y el resto
4ilizando ia regia de Ruffíni. Teniendo en cuenta la propiedad III. podem os apl'car la
regla dividiendo A y B por 2. es decir, multiplicando a ambos por el polinom io 1. 2, a
fin de que el divisor sea mónico.
Entonces
A = 2 X3 + X + 4 2
2
2
y
4* B = X
0
1
1
2
4
8
18
4
9
2
37
•y
Resulta
Q = 2X 2 + 4 X + 9
y
i
— R=
es decir
K -3 1
12,5, IDEALES DE K, [Xj
De acuerdo con 9.6.2., el subanülo I de K. [Xj es un ideal si y sólo si
AeI
A
P e K [X] =*· AP e I
Ideales triviales del anillo K [X] son el mismo K[X] y el conjunto cuyo único
elem ento se reduce al polinomio nulo. Este se llama ideal nulo de K [X].<
Teorema. T odo ideal de K [X] es principal.
Demostración)
Se trata de probar que todo ideal de K [X] está generado por un único polinomio.
Distinguimos dos casos ‘
i ) Si I es el ideal nulo, entonces está generado por el polinomio nulo, y en
consecuencia es principal.
i i ) Sea I =7^ 0 ^ un ideal no nulo de K [X]. Entonces existe en 1 un polinomio no
nulo. Como los grados son enteros no negativos, de acuerdo con el principio de
buena ordenación, I contiene a un polinomio de grado mínim o. Sea éste B . Ahora
bien, si A e I, por el algoritmo de la división, existen en K [ Xj d o s polinomios Q y
E. únicos. íales que
A - BQ + R
y
R= O v
gR < i'B
O sea
R = A — BQ
i
Por definición de ideal
A el
a
B e l =* A e 1 a B Q e í -
A - B Q e l =» R e í
Como B es de grado mínim o en í, no puede ser gR < g f i, y en consecuencia R = 0.
Es decir
A = BQ
Esto significa que I está generado por el polinomio B, de grado mínim o, o, lo que es
lo mismo, I es un ideal principal.
12.6. FACTORIZACION EN K[X]
12.6.1. Máximo com ún divisor
Sean A y B dos polinomios no simultáneamente nulos dei dominio de integridad
principal K [Xj.
Definición
E! polinomio D es un máximo com ún divisor de A y B si y sólo si ss divisor de
ambos y. además, múltiplo de todo divisor común.
[DIA
D es un m.c.d. de A y B ■»<!
[ D IA
a
D |B
a D’|B => D’|D
Teorema. Todo máximo com ún divisor de dos polinomios A y B es una combinación
(ineal de los mismos con coeficientes en K [X].
Demostración)
Sea I el ideal de K [X] generado por los polinomios A y B.
Es decir
l= [PA + QB/PeK[X]
a
QeK[X]}
C om o to d o ideal de K [X] es principal, I está generado por un polinomio D de
grado mínim o, es decir, existen S y T en K [X] tales que
D = SA + TB
(1)
r u í KJiíá pdJlC
A = 1 . A + O .b
B = G . A + 1 . B =*- A e l
a
a
B el
O sea. A y B son múltiplos de D, o lo que es lo mismo, D es un divisor común de A
> S,
Sea ahora
D’iA
D ’IB =*· A = MD’ a B = ND’
Sustituyendo en ( t )
D = SMD’ + TND’ = (SM + TN) D ’
Luego
D’iD
En consecuencia, D = SA + TB es un máximo común divisor de A y B.
Propiedad. Si D y D’ son m áxim os comunes divisores de A y B, entonces existe
a e K.
tal que
D = a D ’.
Demostración)
Por ser D’ un m.c.d. de A y B, se verifica
D’|A
a
D’IB
Y como D también lo es, se tiene
D’iD
Por definición de divisor existe R en K [X] tal que
. D = D’R
*
Por grado dei producto
gD=gD’ +gR
Y como los grados son enteros no negativos, resulta
gD>gD'
(1)
Análogamente
g V ’ > gD
(2)
De (1) y (2), por la antisimetría de la relación de mayor o igual, es
gD = gD O
sea. gR = 0. Esto nos permite identificar al polinomio R de grado 0, con una
constante no nula a, de K.
Luego
D = aD’
Siendo todos los m.c.d. de A y B de! mismo grado, convenimos en llamar máximo
común divisor de A y B ai único m.c.d. mónico. y escribiremos m.c.d. (A , B).
Ejemplo 12-8.
t
Determinamos el m.c.d. de A y B en los siguientes casos
i ) A = 3·X3-
B = 4 X 2 enZs [\\.
Resulta m.c.d. (A y B) = X2.
¡i) A = - 2 X 2 + 2 X
B = V f X-V3"
en R [Xj
Se tiene m.c.d. (A y B) = X — i.
12.6.2. Determinación del m.c.d. por divisiones sucesivas
La propiedad demostrada en 9.14.2. es válida en K [X] y nos perm ite afirmar que el
m.c.d. de los polinomios A y B es igual al m.c.d. entre B y el resto de la división de A
por B, siendo B 5* 0.
El esquema de las divisiones sucesivas propuesto para los enteros en 9.14.3. adopta
aquí la forma análoga siguiente
Qi *
q2
A
B
R.
Ri
Rj
Q n-l
Rn
Qn
Qn +l
R n -1
K
0
En consecuencia
m.c.d. (A , B) = m.c.d. (B , R ¡) = m.c.d. (R j , R 2 ) = . . . = m.c.d. ( R „ _ i , Rn) =
= m.c.d. (R,¡ . 0) = R„
siendo R„ el últim o resto no nulo de las divisiones sucesivas.
Determinar el m.c.d. de A = X5 + X 3 — 2 X 2 + X — 1 y
por divisiones sucesivas.
X2 + X + 1
X
X
X5 + X 3 - 2X 2 + X - 1
X 4 - 2X + 1
X3
X5
X4 -
X 3 - X2
- 2X 2 + X
X3
- 1
-
X
B = X4 —2 X + 1
-1
x +■ i
X:
X~ i
A- - X
X - i
- I
X- I
X - 1
0
Resulta m.c.d. (A . B) - X - l.
12.6.3, Polinomios coprimos
Sean A y B dos polinomios no simultáneamente nulos de K [X].
Definición
Los polinomios A y B de K [X ] son coprimos si y sólo si todo divisor común de
A y B es inversible.
Equivalentemente, podemos decir que A y B son coprimos si y sólo si todo m.c.d.
de A y B es de grado cero. Como el polinomio m ónico de grado cero es 1, se tiene
A y B coprimos
m.c.d. (A y B) = 1
En consecuencia, de acuerdo con el teorema 1 2 . 6 . 1 resulta
A y B coprimos «*· 3 S y T en K [X j
SA + T 6 — i
Ejemplo 12· 16.
En R [X] se consideran los polinomios
A = X3 + x 2
y
B = X —1
Por el algoritmo de ia división existen
Q = X2 - 2 X + 2
y
R =2
tales que
.
X 3 + X = (X2 + 2 X + 2) (X - 1) + 2
Entonces
(X 3 + X) - (X 2 + 2 X + 2) (X - 1) = 2
O sea
Y
(X 3 + X) + { - \
X 2 - X - 1J ( X - 1) = 1
Es decir, hemos expresado al polinomio 1 como combinación lineal de A y B con
coeficiente'. S -
y T - —
X2 -■ X - 1. de lo que se d educe q u e A y 8 son
copamos.
12.6.4. Polinomio prim o o irreducible
Sabemos que los únicos polinomios inversibles de K [X] son las constantes no nulas
de K. Dado A = X + 1, ocurre que las únicas descomposiciones de A en el producto de
dos polinomios P y Q son tales que P es inversible o Q es inversible Es decir, no es
posible descom poner a A en el producto de dos polinomios de grados positivos. Se dice
entonces que A es prim o o irreducible en R [X]·
Definición
El polinomio no inversible A e K [X] es prim o o irreducible si y sólo si toda
descomposición A = PQ es tal que alguno de los factores es inversible.
O bien
A es irreducible si y sólo si no existen P y Q tales que
A = PQ
con
gP > 0 a
gQ>0
Ejemplo 12-11.
i ) T odos los polinomios de grado 1 son irreducibles en K [X], pues ningún
polinomio del tipo A = a i X + «o con a¡ ^ 0 puede descomponerse en el
producto de dos polinomios de grado mayor que cero.
ii ) No todo polinomio de grado 2 es irreducible en R }XJ.
En efecto. A -- jX* + bX t c con b~ - 4 ic < 0 es irreducible, pero si
b ‘ — 4-uc > 0, entonces A es reducíbie» es decir, puede expresarse carne- el
producto de dos polinomios reales de grado 1 ,
12.6.5. Propiedades. En el dominio principal K [X] se verifican las siguientes
proposiciones, cuyas demostraciones son análogas a las desarrolladas en elCapítulo 9:
l.
Sí un polinomio primo es divisor de u n producto, entonces es divisor de alguno de
los factores.
P es primo
^
P|AB =*■ P|A
v
P|B
II.
Si un polinomio es divisor de un producto y es coprimo con uno de los factores,
entonces es divisor del otro.
P|AB
m.c.d. (P y A) = 1 =* P¡B
a
12.6.6. Teorema fundam ental de la descomposición factorial. Todo polinom io no nulo
en K [X] puede expresarse como el producto de una constante por polinomios
mónicos irreducibles. Tal descomposición es única, excepto el orden de los factores. '
Demostración)
Distinguimos dos casos:
1.
Si A es una constante no nula o un polinomio irreducible en K [X], el teorema se
.-.-:np!e obviamente, pues
A -a ~ a , 1
O bien
n
.
n
¿3T,
A = 2 a¡ X‘ = a„ E — X‘
¿=o
¡=o an
I!. Sea A de grado m, reducible en K [X]. Entonces existen en K [X] dos polinomios
P¡ y P; de grados positivos, tales que
A = P ,P 2
(1)
Supongamos que la descomposición es válida para todo k < m, es decir
Pi
P’u
y
P2 = a 2 £
Py
donde a¡ y
son constantes y los polinomios P’u y P*2/ son mónicos irreducibles.
Multiplicando las dos últimas relaciones se tiene
Pi P: =
“R P i A f ”
\i= t
.■'
j-
i
P 2J )
_
Teniendo en cuenta ( 1) resulta
A = a 7r P”
h- 1
siendo a una constante h = t + u y los P>, polinomios mónicos irreducibles, O sea, la
descomposición es válida para m, y en consecuencia lo
es para todo n e N, de acuerdo
con el segundo principio de inducción completa.
Para probar la unicidad de la descomposición factorial, suponem os que A admite
dos descomposiciones
A = a P j P 2 . .. Pr
y
A = b Q, 0 2 . . . Q,
Como a y b son el coeficiente principal de A, se tiene a ~ b . Entonces
■ P ,P 2 . . . P r = Q, Q 2 . . . Q ,
(2)
Ahora bien
PxIA
y
P, primo =»Pi l Q¡
para algún i por 1 2 .6 .5 .1.
Entonces, Q,· = R P i , pero como Q¡ es irreducible debe ser R una constante, y
además igual a 1, ya que ambos son polinomios mónteos. En consecuencia, Pi
= Q¡.
Luego de dividir (2) por esta igualdad resulta
P; P 3 . . , P r = 7T Q,
;=i
Reiterando el proceso, de acuerdo con e! segundo principio de inducción completa,
los Pj, son iguales dos a dos a los Q¡, y ¡a descomposición es única.
Ejemplo ¡2-12.
t
Descomposición factorial de los siguientes polinomios en R [X] y en C [X j.
i ) P = X 6 - Xs + Xa - X3 = X 3 (X 3 - X 1 + x - 1) =
= X 3 [X 2 < x - 1» -MX - D] = X3 <X2 + ! M X - 1)
Esta es la descomposición de P en cinco factores mónicos irreducibles en R [XJ. El
exponente 3 del factor irreducible X es el mayor entero que satisface X 3 ¡P. Además,
X2 + 1 es irreducible en R [X], pues b2 — 4 a c = 0 —4 < 0.
En cambio, en C [X] la descomposición factorial es
P = X3 < X - + - O i X - 0 { X ~ l )
ii ) Q = X4 + X 2 + 1 = X 4 + 2 X 3 + 1 - X 2 = (X 2 + l )2 ~ X2 =
= (X 2 + X + 1 ) ( X 2 — X + 1)
que son irreducibles en R [X], pero no en C [Xj, pues
i
V
2
4-
4-
1 =
Análogamente
X
2
+
X
+
—
3
+
----
=
12.7.1. Especialización de la indeterminada X
SeanPeKfX]
a6K
y
Definición
Especialización de X por a es el elemento de K
n
r |ty, } ~
Ul Q:
y,
¿\r ^
ÍJ
/«0
P (a) = P
si
P(a) = 0
si
g P— 0
P= 0
Ejemplo 12-13.
Determinar las espeeiafeaciones de X en los siguientes casos
i
) a = VT
y
P = 2 X4 - X* + I
en R [X]
Se tiene
P (y /2) = 2 (\/2 )4 — ( y / i ) 2 + 1 = 7
i i ) a = 1 +■ i
y
P = ¿X + i
en C [Xl
Resulta
P ( i + i ) ~ i ( l + i) + i = 2 i - 1
¡.i) a = y
y
P —T
e n Z s [XJ
Entonces
P (-) = 3
iv) De modo más general, si P e K [X], la especialización de X por a define una
función de K [X j en sí mismo. Si P —X 2 — ! . y a - X — 1, entonces
pla] = íX - i r — I —X2 — 2
a
12.7.2. Raíces de polinomios
Sean P e K [X]
y
a e K.
Definición
a e K es raíz de P si y sólo si la especialización de X por a es 0.
O sea
a es raíz de P o P (a ) = 0
Propiedad, a es raíz de P si y sólo si X — a es divisor de P.
I. a es raíz de P => X — aJP
Dividiendo P por X — a , se tiene
P = (X — a ) Q + r
(1)
Especializando X por a se tiene
P ( a ) = (a — ce) Q ( a ) + r ~ r
Y como « es raíx de P. por definición resulta P (a) = 0 ~ r
sustituyendo en ¡ I )
P = (X — a ! Q
y en consecuencia
X-ajP
t
II. X —aj P =» a e s r a í z d e P
Por hipótesis
X — aj p
Por definición de divisor, 3 Q tal que
P = (X - a) Q
Especializando X por
P !íi‘! - (a - a¡) Q (a) = 0
Es decir, a es raíz de P.
12.7.3. Teorem a del resto. El resto de la división de P por X - a es P (a).
Demostración)
*
Dividiendo P pe? \ — a. w ¡ieue
P = (X - a » Q
Especializando X por a. resulta
P ( a ) = ( a — a ) Q (a ) + r
O sea
r = P (ce)
Una consecuencia inmediata del teorem a del resto es la siguiente
X — ce|P
P (a) = 0
i ) Determinar si P = Xn — an es divisible por X —a.
Como r = P (a) = an - an = 0 , resulta X - alP.
ii ) O btener el resto de la división de P = 3 X2 — 6 X + 1 por (3 X + 6 ).
Dividiendo ambos polinomios por 3, se tienen
X2 - 2 X + y
y
X + 2
El resto de su división es
J
r ’ — (~ -2 )2 - 2 ( - 2 ) 4-
3
— é2"
3
De acuerdo con 12.4.3. III.
r
T=r
O
sea
r = 25
12.7.4. Raíces distintas de P e K [X]
Si a ¡ . a ; ..........a n son raíces distintas de P e K [X], entonces
n (X —
i= i
¡P
I. La propiedad es válida para n = 1. pues
n
i= 1
(X — a,·) = X —a t |P
ya que a ¡ es raíz de P.
II. Demostramos ahora
t t ( X - a¿)¡P =>h7Tl (X — a¡)!P
í
i~ X
Por hipótesis y definición de divisor 3 Q tal que
P = Q ir ( X - a ¡ )
1=1
ll)
t i resto de la división de O por (X — aíl + 1) es r - Q ( 0Lh + l ).
Especializando en (1) X por a h + j .
P (« h + i ) = Q (a íl + i) n ( a h + 1 - a , ) = 0
is 1
por ser a ;¡ + , raíz de P. Como las raíces son distintas
oth+i — a ^ O
Vz = 1 ,
resulta 0 (ah + \ ) - 0
O sea, r = 0
Entonces, X — a ,¡ + jlQ => Q = S (X — a h + j)
De (1) y (2)
,h
(2)
P = S ( X — a h + i ) re ( X - a J
i- 1
y por lo tanto
hTTl < x ~ a ()¡p
i=l
Consecuencia. Todo polinomio de grado n en K [X] tiene a lo sumo n raíces distintas.
Demostración)
·
Sean a , , a 2 , . . . , a m todas las raíces distintas de P Por el teorema anterior se
verifica
f
i- !
(X —a,)|P
Entonces
P= Q
tt
i=l
(X -^)
Luego
n —gp = gQ + m > m
Es decir
m < n
12.8. RAICES MULTIPLES
Sea a raíz de P e K [X].
Definición
a tiene multiplicidad p e N si y sólo si P es múltiplo de (X — a f pero no lo es de
(X — a ) p + 1 .
En este caso se dice que a es raíz múltiple de orden p.
O sea
a es raíz múltiple de orden p e N <=> (X — a ) p ]P
a
(X —á f * 1 \ P
La definición dada puede traducirse de la siguiente manera
a es raíz múltiple de orden p o P = (X — C íf Q
a
Q (a) =# 0
Las raíces de multiplicidad 1 se llaman simples.
Por ejemplo, 0 es raíz doble de P = X2 ; 1 es raíz triple de Q = X (X - 1) 3 y 0 es
ai z simple.
12.9, POLINOMIO DERIVADO Y RAICES MULTIPLES
£ 9 .1 . Operador derivado
La función D : K ¡X¡ -*■ K [X¡
iefinida por
D (P) = ü f ¿ <z¡ x 0 = £ ta¡ X ‘ ~ 1 — P’
v.f=o
D (P) = 0
si
-·'
í- 1
si
^P>0
P = 0 v g P -0
feibe el nombre de operador derivado en K fXj, y la imagen por D de iodo polinomio
fte llama polinomio derivado de P.
El operador derivado satisface las reglas usuales de la derivación
i
) (P + O)’ = F + Q’
ii ) (aPY = aP’
iii) (PQV ~ P ’Q + PQ’
iv) (P " ) - = ,ÍP'1 1 P’
12.9.2. Propiedad, a e K es raíz múltiple de orden m > 1 dei polinomio P si y sólo si a
*s raí? de P y de P\
¡. Sea a ra í/ de P con u¡uitip¡k¡dad m > 1. Entonces, por definición l .18. es
? -(X -ü fO
O (ai
0
Derivando
P ’ = m (X - <*)m " 1 Q + (X - &)m Q’
Especializando X por a resulta
P’ (a ) =
0
ya que
m>
1
O sea, a es raíz de P’.
II.
Sea a raíz de P y de P \ Hay que probar que a es raíz de P con multiplicidad
mayor que 1.
Por hipótesis
P (a) = 0 => X — a |P => P = (X — a) Q
(1)
P’ (a) = 0 => X — a¡F' => P' = (X — a ) S
(2)
Derivando (1)
P’ = 0 + (X ~ a) Q ’
Sustituyendo en (2)
O + Í X —a) 0 ‘ ~ ( X - o) S
0
“ (X ~ o) f S — 0 ') - l X — a i T (3)
De U ) y (3) resulta
P = Í X - a)2 T ,
0 sea. a es raíz de P con multiplicidad m > 2.
12.10.
NUMERO DE RAICES DE POLINOMIOS
Sea P e K [X] un polinomio de grado n, y sean o¡!, a 2, . . . , a k todas sus raíces
distintas con multiplicidades m i , m 2, . ■ ■ , m k , respectivamente.
Teorema. La suma de las multiplicidades de las raíces distintas de todo polinomio de
grado .<! es menor o igual que n.
k
2
m¡ < g ? - n
i=l
Lo demostramos por inducción sobre k.
i | Sea k - 1. es detfr. que la única raí?, es a ¡ con multiplicidad w , . Entonces,
por 12 .8 . se tiene
p — i v ..a , \m' o
-
n ■>«, í * 0
Luego
¿ m¡ = m ¡ = £ ( X — o¡|) m ' < m l + gQ ~ g? = n
1= t
i i )Debemos probar que si la propiedad se cumple para k = h, entonces se
verifica para k = h + 1, o sea
h
h +-1
2 m¡ < n => S. m¡ < n
Sin efecto, siendo a j , a 2, . . . , ah raíces distintas de P con multiplicidades m lt
m 2 ....... .. mí/, - se tiene
h
m¡
P = 7T (X — a¿) . Q
Q ( a ,· )^ 0 para/' = 1, 2, . . . , h
y
i- 1
Debe ser Q divisible p or (X — a /, +1)m|l+1. Sean H y R el cociente y'el resto de la
división, es decir
Q = ( X - a h+1) mft+1 H + R
Si R = 0. entonces
P=
U■* Í
>Y! ·
7T (X —
*H
í
v en consecuencia
h+l
n —gp = £
m. +gH >
h -\
Z
í= í
í= I
Si R ^ 0. entonces
r·*
P=
.h ^
1
· »
·
¡r ( X - O j )
¡=1
* íT '
^ £\ /
v
‘ . H -I- n (X — a ,)
s=i
J r«
R
C orno
(X - ah~i )h + i 1 P
Resulta
i
X - a¡,» j ^ ” 1iR n (X — a ,)m‘
i= l
y en consecuencia
( X - a h +i y +1IR
O sea
R = (X ~ a ft + 1)h+1 s
Luego
? = h i t l (X - a ,)" '' (H + S) =
i- 1
i= 1
(X ~ a ,) m‘ T
Entonces
h|+ 1
hi+ 1
n = g ? = 2. nij + g T > £
i= 1
¡= l
mt
·
Consecuencia. Todo polinomio de grado n en K [X] tiene, a lo sumo, n raíces.
En efecto, si o¡j, a 2 , -. . . , ak son todas las raíces distintas de P con multiplicidades
m ¡, m 2, . . , , m h , respectivamente,entonces el número total de raíces es
h
2
i- 1
«
Ejemplo 12-15.
El polinomio P = X 4 — 4 X 3 + 5 X 2 — 4 X + 4 en R [X] admite la raíz 2. pues
P (2) = 0.
El polinomio derivado P" = 4 X 3 - 12 X 2 + 10 X - 4 es tai que P ' (2) - 0, y en
consecuencia 2 es, al menos, raíz doble de P.
4 .*1:------4
, í
..... - . t... ____».. _t .
£*£*· . ·
."ipíicdüuv/ i c itc i a u t íi ii c in c id icgia Ut? í\UliHU
1 -4
5
-4
1 -2
4
-* 1
-4
1
” 2
-4
1
0
0
1
0
1 1
0
Resulta
P = (X - 2 f
(X 2 + 1)
Es decir P admite en R [X] la única raíz doble 2, y la forma propuesta es la
descomposición factorial de P en R.
12.11. RAICES DE POLINOMIOS REALES
Sea P e R [X], de grado*«.
12.11.1. Teorema de Gauss. Si el polinomio real P, de grado n, con coeficientes
enteros, admite una raíz racional — (siendo p y q coprimos), entonces p es divisor
del término independiente y q lo es del coeficiente principal.
i
n
Hipótesis) P = 2 a,· X
¡=o
—
Tesis) p\aQ
a
q\an
es tal que a ¡ e Z
y
eQ
an ¥= 0
es raíz de P
y
m.c.d. (p , q ) = 1
Demostración)
Como — € Q es raíz de P, se verifica
Q
(i)
O sea
n
2
t P lt
„
«, (—
i-0
=0
V « /
Entonces
q " 2 -T-- ~ 0 =» I
1=0
£}>‘
JJ
a¡p· q"
.'=0
■ a0 q n + p ( 2 í,? * " V ' J - O
U =1
=> a o q n ~ P \ -
£ a¡ P' 1 <?" ‘ j =*
i 15I
=> a0 qn = p . s
con
( 1)
s e l
Distinguimos dos casos
i ) a 0 = 0 y el teorema se cumple con p ~ 0
y q = 1
i i ) a0 # 0
Entonces p =£ 0, pues si fuera p = 0, como ¿7 =£ 0, por (1) sería a 0 = 0, contra lo
supuesto.
En este caso, de ( 1). resulta
p\3(¡ q n
y como p y q son coprimos, se tiene p \a 0 por 9-8 ii)
Por otra parte
2 <¡, v ‘ qn~ ‘ ~ 0 =»( 2 a¡ p ' q n " ' I + an v n = 0 =>
2=0 “
;·. i~0
=» an p n - q s - 2 a, p %q n ~ %
"~% ¡ =*·
\ !“ 0
-» an p n —q ■ t
con
/ e Z =*■
q\“ n Pn =**· q\an
Ejemplo 12· 16.
Determinar, sí existen, las raíces racionales de
P = 8 X3 + 10 X 2 - 11 X + 2
Si existenraíces racionales
, debe ser p\2
a
<7¡8
Los divisores de 2 son:
1, —1, 2 y - 2 ,
Los divisores de 8 so n :1, 2, - 2 , 4 , - 4 , 8 y —8 .
De los 10 núm eros racionales, — 2,
y
son las rafees de P, y en
consecuencia la descomposición factorial es
P = 8 (X + 2)1 X -
' ^ x ~ \
~
)
12.11.2. Raíces complejas de polinomios reales
Sea P e R (X) un polinom io de grado n
Teorema. Si un polinomio real admite una raíz compleja, entonces admite a su
conjugada.
Hipótesis) P = 2 a¡ X'
¿=o
es tal que
s.eR
y
eC
es raíz
Tesis) 1 es raíz de P
Demostración)
Debemos probar que
P(2)=0
Por hipótesis
1* I D = 0
l
2 a¡ z ’ = 0
1=0
¡l
2 a¡ z' = 0
1=0
4
S ai
i=0
= 0
I
2 ai r¡ = 0
í=0
por conjugado de la
sania y de 0 .
por conjugado del
producto,
4
t
i-O
a¡ (z f = 0
#
.
P (Z ) = 0
z es raíz de P
por conjugado de una
potencia y por ser a¡ e R
Nota:
Una consecuencia inmediata de este teorema es que tó d o polinomio real de grado
im par admite una raíz real.
12.11.3. Teorema fundam ental del álgebra. Todo polinom io real de grado positivo
admite una raíz en C.
La demostración de este teorema exige recursos no algebraicos y la omitimos,
12.11.4. Descomposición factorial de polinomios reales
Sea P e R [ X] , de grado n > 0.
Teorem a. Si P es un polinomio real de grado n > 1, entonces existen n complejos a t ,
a z . . . . , a n. tales que
i
) Si gP = n - !, entonces
Luego
P = <z, ir (X — «¡)
donde
a, = — Î 1
¡= i
ai
i i ) Suponemos que la propiedad se verifica para g? = h < n.
Sea P de grado h + 1 y a A+i raíz de P, la cual existe por el teorema
fundamental.
Entonces
O)
siendo gQ = h .
Por la hipótesis inductiva se tiene
Q = a h+l
Y sustituyendo en (1)
tí
i—1
(X — a¡)
Ejemplo 12-17.
E fectuarla descomposición factorial del polinomio
P ^ 4
X3 -
4
X= + 2 X - 1
en C [X].
P = 4 - (X 3 - 3 X 2 + 4 X - 2)
rorno n , = | (»s rs i? de
Q = X 3 ~ 3 X2 + 4 X - 2
entonces (X — 1) es divisor de Q.
Efectuando la división por la regla de Ruffini,
1 -3
!
1
_ -Ì
4
__1
1 -2
7
2
1
0
el cociente es
S = X- - 2 X 4 - 2
y sus raíces son
a, 3 = 1t i
Luego
P= y
(X — 1) ( X — 1 —/) (X — 1 + j)
12.12. RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES
Sea P = Z a,Xf ( 1) un polinomio de grado n en C [X]. Su descomposición facto¡=o
rial es, en consecuencia
P = a„ 7T ( X - a , )
i- 1
Es decir
P = a„ (X ~ « i ) (X —
(X — a n)
donde a¡ con / = 1, 2, . . . , « son todas sus raíces complejas, simples o múltiples.
Efectuando el producto de los polinomios mónicos irreducibles, se tiene
P = an [X" - (a , + o* + . . . + a „ ) X— 1 +
+ ( a , a 2 + ( í 1 e 3 + . . . + « „ - i « n) X n _ 2 -
~-(a¡ o¡2 a3 + a , o¡2 a4 + . . . + an_ 2 an_ j an) X " ' 3 + , . . +
+ ( - l ) " o ¡ , a 2 . . .o¡f!]
(2)
De í I) y (2) resulta
- a„ (ai + a2 + ... + a„) =
t
an ( a , a» + a¡ a¡ + . . , + &,¡-i # „ ) —^ « - 2
—
ün
(ú .
(x-i
3+
Ó
C
ü
5 0-2 S 3 T- „ . , +
2
—i
~ *
( - l / 1 <*„ a , a 2 . . . a „ = a0
Entonces
a, + Oít + , . . + a„ = ■
1
fln - 2
0 fi-3
«¡ €»2 «3
« n - ¡ «n = (“ »)
«o
~r
“n
O sea
■S
n —1
2 a , = -----------i=l
«n
a, a¡,:
w
t<j<k
fr
&¿ G¡j
" ’
~l
«I = ( - 1)"
tffj
«o
Expresando
P = a„ X " + a n_ 1 X " - 1 + . . . + a 1 X + 40
las relaciones anteriores se traducen en
J
i ) La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo,
dividido por el coeficiente principal.
ii ) La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente
dividido por el coeficiente principal.
Las mismas reglas valen para las sumas de productos ternarios, cuaternarios,
etcétera, con signos — o +, alternativamente.
El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el
coeficiente principal, con signo + o —, según que n sea par o impar, respectivamente.
Ejemplo J2-I8.
D eterm inar el polinomio m óníeo de grado 3 cuyas raíces son
a¡ -
1
<x¡ ~ — 1
,
,
a3 - 2
Hay que obtener a 2 , a l y a0 tales que
P = X 3 + a 2 X2 + a u X + a 0
Como
üi
a , a 2 + a ! a 3 + a 2 a 3 = - 1 = ----- = a t
a3
a l
a 2 a 3 = —
2=
a2 ~ - 2
,
a°
-----------“ 3
~ ~
a0
Se tiene
ax= —1
,
a0 = 2
Luego
P - X3 - 2 X2 -
X+ 2
12,13, FORMULA DE TAYLOR Y
METODO DE HORNER
Sea P = 2 a¡ X' en K [X] un polinomio de grado positivo.
i= 0
Pensando P como una. función de K en K respecto de la especialización de X, si
efectuam os una traslación definida por a e K, al referir a P respecto del nuevo origen,
la indeterminada Y está vinculada con X m ediante X = Y + a
-------------- — ,------------------ 1---------------------i------- :-------- k
0
< --------------------Y ------- »
O sea Y = X ™a
Entonces se tiene
P = «·—¿ b¡ (X - a Y
donde P queda expresado en potencias de \ — a — Y, y cuyos coeficientes b¡ serán
determinados a continuación.
12.13.1. Fórm ula de Taylor
A partir del polinomio P = 2 b¡ (X —a)! ( i) de grado n > 0. determinamos las n
i =o
derivadas sucesivas:
P’ =
iib ^ X - a f1
i- 1
P" =
Í i {i — 1) (X - a )1' 2
>=2
P’” =
í / { / - l ) ( / - : ) ( X - a ) !·-3
i=3
P( nl >=
P<") =
I
í ( í - 1 ) (í — 2) . . . [ f - ( n - 2 ) ] ( X - f l ) i-(,*-!)
Z í (i - I) (i - 2) . . . fi - (n - 1)] (X - a f n
i=n
Especializando X por a
P y en las n derivadas, se tiene
P (a) = b 0
P’ (a) = í . b¡ = 1! fej
P” (a) = 2 . 1 .
= 2!
P” ’(a) = 3 . 2 . 1 , & 3 = 3 !
P<")(a) = n\ bn
E ntonces
b o = P (a)
¿»=7,
P ’ (<0
2!
L _
"n _
1
„i
nfn) /_\
1
V“ >
Y sustituyendo en (1) resulta la fórmula de Taylor
n
<p(i)
P= P(a)+2
i=l
/Vi
*-
Si convenimos en llamar a P (a), la derivada de orden o de P en a, podemos escribir
P (a) = i — ig l
o!
Y la fórmula anterior se expresa así
P= 2
«=o
12.13.2. Método de Horaer
Para obtener los coeficientes b¡ de la fórmula (1) efectuamos las n + 1 divisiones
sucesivas siguientes, hasta obtener un cociente nulo
P
X -a
b0
Qn-l
bx
X -a
Q n -2
X~a
b2
Qn-
Q2 ]
X ~a
b n -2
Oí
Qo
donde gQ¡ = i , Vi = 0 , 1, . . . , n — 1
X -a
Por el algoritmo de la división se tiene
P = & o + ( X - f l ) Q n- i = * o + ( X - « ) [ 6 i + ( X - a ) Q n . 2 ] =
= b 0 + b ¡ (X - a) + (X - a f Q „ . 2 = b0 + b , (X - a) + b2 (X - a f + (X - a f Q „_3 =
= . . . = b0 + b ¡ ( X - a ) + b 2 (X - a f + . . .
+ b n (X - a f
cuyos coeficseflk-s son ¡os sucesivos restos que resultan de las divisiones sucesivas
indicadas,
E irm plv 12-19.
Expresar el Dolinomio P = X 3 — 3 X2 + 2 X + 1 en potencias de X + I utilizando
los métodos anteriores,
i ) Fórmula de Taylor. Obtenemos los polinomios derivados
P’ = 3 X 2 - ó X + 2
P” = 6 X - 6
P’” = 6
Especializamos X por — 1
P ( ~ l ) = - l - 3 - : + l = - S
P’ ( - 1 ) = 3 + 6 + 2 = 11
P” ( - 1) = - 6 - 6 = - 12
P’" ( - - 1) = 6
Luego
p=
■5 P '1·
í 'i
s --.. ex + n* =
i=Ü
1'■
= —5 + 11 (X + 1) — ~ - < X + I ) 2 + - | r ( X + l ) 3 =
= - 5 + 11 ( X + 1 ) ~ 6 ( X + l ) 2 + ( X + l )3
ii ) Método de Horner. Efectuamos
la regla de Ruffini
las
divisiones indicadas en 12.13.2. mediante
“ 1
__ J
1
- 3
2
1
- 1
4
1
-4
6
1
-1
5
-5
1 11
1
“ Î
1
- 6
1 —5
- 1
1
j -6
y los coeficientes son b¡ = — 5 , é¡ = ì I , b 2 - — 6 y d 3 = 1.
Se tiene
P = — 5 + 11 (X + 1) - 6 (X + l )2 + (X + I ) 3
TRABAJO PRACTICO
XI!
i ) 9 X2 - 16 X + 4 = a ( X ~ 1) Í X - 2 ) + b X (X -- 2) + fX (X ~ 1)
ii ) X + 2 = a ( X2 + X + 1) + (bX + c) «X -
!)
! 2-21. Dados en Z 6 [XJ los polinomios
P =2X* + X 3+ 4 X + 3
Q =3XJ + 5X+T
Determinar
i )?P-Q
ii ) PQ
iii) P; f Q
iv) el grado de XP + 2 Q
¡2-22. O btener el núm ero de polinomios en Z [X]
coeficientes a¡ tales que \a, — 1 ¡ < 3
degrado menor que
4 con
/ 2-23. Determinar si existen polinomios A e R [X] de grado positivo, tales que
A2 - A = 0,
12-24. Obtener el cociente y el resto de la división de A por B, pertenecientes a Q [X],
en los siguientes casos:
i ) A = —X
B= 4- X - 1
ü ) A = X 4 - X2 + 2
B = —X 4 + 2 X — 1
iii)
B = X3 - X
A = 2 X2 - 1
/ 2-25. Dados A = X J + 2 m X + m y
para que A sea divisible p o r B.
B = X2 + m X — 1 en R [X j. determinar m
12-26. Mediante la regla de Ruffini, determinar el cociente y el resto de la división de"
A por B en cada uno de los siguientes casos
i )A = - a X 3 + a 3 X - l
ii)
B = X —a
A = 3 X4 + X 2 + 4 X + 1 B = X + 2
en Zs [X]
iii) A = / X 4 “ 2 Xa + i
iv) A = 3 X 3 - 6 X + 1
B = x + ; en C [X]
B — 3 X —9
12-27. Determ inar el m.c.d. de los pares de polinomios que se indican
i
) A = X 4 + X 3 - X 2+ X - 2
y
B = X 4 + X 3— 3 X2 — X + 2
i i ) A == X 4 — 16
y
B = X2 + 4
iii) A = X u — 1
y
B = X 33 — 3
iv) A = X 3 + 2 X 2 - X - 2
y
B = X’ + 2 X 1 - 3
12-28. Sean P y O en K [X] y a e K. Demostrar que P . Q (a) — P ( a ) . Q es múltiplo de
X —a.
12-29. Realizar la descomposición factorial de P = X 3 + 4 X 2 ~ 4 X — 16 en Q [X],
R [X] y C [X],
12-30. Verificar que P = X 4 - 5 X 5 + 6 carece de 'raíces racionales.
12-31. O btener todas las raíces de P = X 4 — 10 X + 1
12-32. El polinomio P = X 3 + 2 X 2 — 4 X — 8 admite
una raíz doble. O btener la
descomposición factorial en Q [X],
12-33. Expresar en la forma X4 + £
i-
X 1 el polinomio P = % (X — a ¡) tal que
3
í= l
a¡ e R para i — 1 , 2 , 3 , 4
12-34. Determinar el polinomio mónico de grado 4 , cuyas
raíces son — 2, — 1, 1 y 2.
12-35. Investigar si los siguientes polinomios son irreducibles en Q [Xj y en
i
) A = X3 - 3
ii
) B = 5 X2 + 4
R [Xj
iii) C = X 6 - 1
12-36. Demostrar que P =
%
A=
£
a¡ X ' es irreducible en
R[ XJ
si y sólo si
í= 0
— 4 a 0 a-¡ < 0.
12-37. Proponer un polinomio irreducible en Q [X] del tipo a X2 4- b X + c, tal que
b 2 —4 a c > Q .
12-38. Determinar en Z5 [X] un polinomio P de grado 2, tal que
P (T ) = 3 ,
P (3) = 0
y P (2 )= T .
12-39. Sea
.
B ^ 0 en K [X]. En
[Xj
sedefine la relación de congruencia módulo B
mediante
A ~ A’
B¡A — A ’
Demostrar que tal relación es de equivalencia y determinar las clases de
equivalencia.
12-40. Demostrar que la congruencia módulo B =£■ 0 en K [X] es compatible con la
suma y el producto.
12-41. Sean A y B en K [X], Demostrar que
I = { S A + TB / S y T e K [X] }
es un ideal de K [Xj.
12-42. Demostrar que la intersección
de toda familia de ideales
de K[X] es un ideal.
12-43. Demostrar que el ideal generado por A t y A 2 en K [X ] es igual a la intersección
de todos los ideales que contienen a A, y A; .
12-4-1. Determinar todas las raíces de las siguientes ecuaciones
i ) X4 + 16 i = 0
i i ) XJ + X 2 + X + 1 = 0
i i i ) / X3 + 1 = 0
12-45. Dado F = 8 m X2 + 7 im - 1) X + 1 con m # 0, determ inar m en los sip ien tes
casos
i ) Las raíces son opuestas.
i i ) Las raíces son recíprocas.
iii) Las raíces son reales e iguales.
C -· J -
-
12^16. Resolver las siguientes ecuaciones
i ) X3 + 2 X 2
+ 3
X + 2 = 0 siendo ce» + a 2 — oc3 = 0
i i ) 2 X 3 — X2
—5
X —2 = 0 siendo a , a 2 +
1= 0
12-47. Resolver las siguientes ecuaciones
i ) ab X —b X (a + b + X) = a X (a + b + X) + ab (a + b + X)
ii)
X8 + 2X 4 + 1
= 0
12-48. Dada la ecuación X 3 - 7 X + m = 0, determinar m para que a ¡ — 2 a 2 = 0.
12-19. Determinar la suma Je Sos cuadrados de ias raíces de la ecuación
XJ - 3 X J +
X2 ~ - X
+
t
=0
12-50. Dado P = X 3 — 3 X 2 + 2 X en R [Xj, determ inar el polinomio cuyas raíces
exceden en 3 a ¡as anteriores.
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TRABAJO PRACTICO
i
1-17. · Mis maestros hacen que todas ¡as lecciones sean aburridas y n o aceptan ¡as
respuestas que no figuran en ios libros.
• Aceptan las respuestas que no figuran en los libros o imponen un cúmulo de
normas estúpidas.
• Si mis maestros hacen que todas las lecciones sean ab unidas y no aceptan las
respuestas que no figuran en los libros, entonces imponen un cúmulo de
normas estúpidas.
1-18. La proposición com puesta es la conjunción de 8 proposiciones simples:
Pi
A Pi
-A · * - A Ps
donde p x : “la chatura de ciertas disciplinas escolares se trasmite a los maestros”,
etcétera.
1-19, Adoptando la combinación de valores de verdad que figura en el texto, los
,
renglones para las tablas propuestas son:
i ) VF VVV VVV
ii)V V VV
1-20, · Mis maestros hacen que algunas lecciones no sean aburridas.
• Aceptan las respuestas que no figuran en los libros.
• No imponen un cúm ulo de normas estúpidas.
I '2 I . i ) ~ p
a q. Su negación equivale a p
no mantiene el orden” .
V
~ q, y la re traducción es: “es justa o
ii ) p a q ; ~ p v — q\ “los alumnos no conocen a los simuladores o no los
desprecian” .
iii) p = * q ; p a ~ q ·,- ’i o s alumnos conocen a los simuladores y no los
desprecian” .
1-22. i ) sí. ü ) sí.
üi) no.
1-23.
ü )
i
)
p
a
q.
p
iv) sí.
a
(q
V ~
q).
1-24. F.
/-25. i )
'
sí; V.
i i )sí; F.
1-26. i ) V. i i ) V.
iii)
iii) F.
sí; V,
iv) no.
¡•27. i ) Vx : ~ P (x)
Q (x )
A
ii ) 3 x /P (x) A
~Q(x).
iii) 3 x / V y : x y & 0
1-28. Utilizar li ley del silogismo hipotético.
1-29. i ) V x e R : x 2 > 2; 3 x e R/x 2 < 2 ; existe algún número real cuyo cuadrado es
m en o 1o igual que 2 .
ii ) 3 x e Z / x 3 + 1 = (x + l ) 3 ; V x e Z : x 3 + 1 ¥ = ( x + 1)3 ; to do núm ero entero
es tal jue su cubo aumentado en uno, es distinto del cubo del siguiente,
iii) Vx : í (x) => Q (x) ; 3 x /P (x ) a
~ Q (x); existen personas que estudian y
no triwifan.
1-30. Utilizand) leyes lógicas, se llega a la proposición equivalente
p v ~ q cuyo
circuito e,
1-31. i ) [ ( p
a
q)
V
(~ p
a
~?)
V
q]
a
p
i i ) Utilizaido una ley de De Morgan y el hecho de que la disyunción entre una
proporción y su negación es una tautología, se llega a p a q, cuyo circuito
es
O·— .,,
---- ^
.......... ”"·"·^
......
■-...-O
/-52. Vx € Z ·. x e s im par => x 2 es impar.
Contrarre:íproco: si el cuadrado de un entero es par, entonces dicho entero es
par.
C ontrario Sí un entero es par, entonces su cuadrado es par
R ecíproce: Si el cuadrado da un entero «s impar, entonces dicho entero ss
im par, P a a demostrar el teorema contrarrec i proco, considera.« = x 2 — x <x — 1).
1-33. Suponer qie a es par o que b es par; se llega a que ab es par.
1-34. De las do; primeras resulta p v r, considerando esta y la tercera proposición,
por ser ambas verdaderas, resulta la verdad de p.
1-35. De la verdid de las dos primeras se infiere la verdad de r. y p o r la ley del modus
ponens, resulta la verdad de s.
1-36. La form a simbólica del razonamiento es
~ p => r a
~ r
a
s
s
P
La validez se justifica teniendo en cuenta la equivalencia entre una implicación y
la disyunción entre l a negación del antecedente, y el consecuente.
2-34. S = {(1 ,1 .1 ) »(1,1,0), (1,0,1) , (0,1,1) , (1 ,0,0) , (Ü, i ,ú) , (0,0 ¡ ) , (0,0,0) l
2-35. S¡ = { ( 1 ,1 ,1 ) ,( 1 ,1 ,0 ) , (1 ,0 ,1 ), (0 ,1 ,1 )}
s,=s,
S3 = { (1 ,1 ,1 ), (0,0,0)}
2-36. $1 = { ( 0 , 1,0 ) , ( 1 ,0 ,0 ), (0,01) , (0 ,0 ,0 )}
S 2 - S 3 = {(1 ,1,0) ,( 1 ,0 ,1 ) , (0,1,1)}
Si n s 3 = { ( 1, 1, 1)]
(s2 u s 3) n s , = s t
2-37. A = { ~ 3, — 2 , — 1, 0, 1 ,2 ,3 }
y
B = { - 2 , - l , 0 , 1 ,2 ;
A n B = B , A U B = A , A - B = { —3 , 3 } , B - A = í , A A B = A - B
Í-----3
2
5 1
’ ~2 \
r
i
5n
~2 ’ ^
J
SOÍi <*°S interva^os cerrados reales.
A n B = B;AU B = A;Bc = R - B = [ - “ ,-
y )
U O f
’ °°}
2-39. A = { - 1 , l} y B = [ - 1 , 1] .
A n B = A ,(A U B)c = Bc = R - B = { * e R / M > l } = (-«,-] )U(J,°°)
2-40.
A U B = { — 6 , — 3, — 2, — 1,0, 1 ,2 , 3, ó }
A n B = { ~ 3 , - 2 , - 1, 1, 2 , 3} , A - B = { o } , B - A = { - 6 , 6 } ,
A A B = { - 6 , 0 ,6 }
2-41. <j>, { (0 /0 ) } , { ( b , 0)} , A
2-42. A2 = { (a ,a ), (a,b ) , ( b,a ) , ( 6 ,6 )} , los elementos de P (A2 ) son: <p , {(a,a)}
{ (a ,i)} , {( 6 ,a)} , {(&.*)} , {(a,a) , (a,i>)}, { (a ,a ), (fe,a)} ,
j(a ,a ) , (&,6 ) | . {(#.¿) »(ó.a)j. , {(a,é) , (6 ,¿ )j , {(£*,a ) , ( 6 .6 )j ,
?m®sss~
{ ( a , a ) , (a,b) , (fe,a)} , {(a,a) , (a,b) , (fe,fe)} , {(«,6 ) , (fe,a) , ( 6,fe)} ,
{ ( a ,a ) , (b,a ) , (fe,fe)} , A2 .
2-43. i ) x e A P i B =* x e A a
x e B = ^ x e A . Luego, A n B c A.
Usar el mismo procedim iento para demostrar A C A U B .
2-44. Considerar x e A, utilizar la hipótesis y la definición de intersección,
2-45. Sea x e A U B =*■ x e A v
ie B
=»xeC
V xeC=>xeC.
2-46. En el texto está dem ostrado: <¡>CA ,y como por hipótesis A C tp , resulta A = 4>,
por definición de igualdad.
2-47. Considerar A — (A O B), tener en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es
igual a la intersección del primero con el complementario del segundo, utilizar
una ley de De Morgan y la distributividad de la intersección respecto de la unión,
para obtener A ~ B. El mismo procedimiento se sigue para probar (A U B) — B = A — B.
2-48. Se aplica el mismo m étodo que en el ejercicio anterior.
2-49. \ A H 8 ) —C = ( A ñ B ) n C c = A nBnC 'D C * = (AHCc) D (BO Ce) =
= (A -C )n (B -C ).
2-50. ( A - B ) - C = (A n B c ) n C c = A n (Be n Cc) = A n (B U C)c = A -(B U C ).
2-51. A - (B - C) = A n (B n Cc)c = A n (Bc U C) = (AOBc) U (A n C) =
= (A -B )U (A nC ).
2-52. Expresando en términos de intersecciones ambos miembros de la inclusión, hay
que demostrar
A n B c n c c C A n ( B c UC)
S e a jr e A O B 'n C ' = * x e A a x e B c * * x eA a x e B e UC
¡
A n (B cUC)
2-53. A U (B ~ C) = A U ÍB O Ce ) = (A U B) n (A U Cc) =
= ( A U B ) n ( C n A c)í = ( A U B ) - ( C - A } r '
2-54. (A n B) U (A n Be) = A n (B U Bc ) = A n U = A.
2-55. Como (A - B) U B = (A n Bc) U B = (A U B ) n (Bc U B) = (A U B )n U =
= A U B , hay que probar B C A o A U B = A, lo que está realizado en el
texto.
2-56. Está demostrado en el ejercicio anterior.
(A — B) U (B —A) = $
2-57. AAB-<¡>
#A C B
a
A~ B=0 a
a B ^(¡> ·» 3 j c e A a 3 y e B
Luego A X B = 0 ■*> A - 4 v B —<¡>.
‘ 2-58. A * < b
B ~ A = <£·*>
B C A «A = B
3 (x,y) e A X B
A X B ¥=<¡>.
2-59. i ) ( x j ') e A X C => x e A
a
y e C =* x e B
i i ) Sean x e A a y e C =*· (x,y ) e A X C
=> x e B * y e D.
a
(xj
j· e D => (x,y) e B X D
’) e B X D =»
2*60. (x.jy) e ( V O B) X C => x e A a x e B a
je C = * (x e A a
a
(x e 3 a y e C) =*■ (x ,y ) e A X C a (x j>) e B X C =»
= M x jO e (A X C )n (B X C ).
2-6/. ( x , / ) e ( A —
A
(X ÍI
B) X C * > x e A
v
a
x^B
.^ C )» (x „ v )e A X C
je C
a
a
o (x e A
(x .j-)^ B X C
a
je C )
a
veC)
a
»
(x ,v )e (A X C) ·*- (B X C).
2-62. i ) x e Á t C =» v € A v x t ‘ C «* x € B v
i i ) Seguir el mismo procedimiento.
x e D =»xeB U D
2-63. i ) x e .' =» x e B a x e C =* x e B rs C
ii) x e A = > x e B n c => x e B a x e C
2-64. Se sigue d esquema del ejercicio anterior.
2-65. x e A o x e A
a x £ B o x e C a x¿B o x e C -B .
2-66. i ) x e l c o x e U c
i i ) U = (Uc) c = 0 e
x eU
a
x e Uc n
u ■*> x e <f>
iii) A n Ac = A — A = 0
iv) A U Ac = (A c n A)c = 0C = U
2-67. x e B
« x ¿A
x e Ac
2-68. i ) A — (A — B) = A H (A n Bc) c = A n
(Ac U B) =
= ( A n Ac) U (A n B) = 0 U (A n B) = A n B,
i i ) A U (B — A) - AU (B n Ac) = (A U B) O ( A U Ac) = (A U B) n U = A U B.
2-69. i ) x e A c = * x 4 A = > x e B
i i ) Se sabe que A U B C U. Además
x e U => x e A v x e Ac *> x e
A v x e B => x e
AUB.
2-70. i ),v e A n B =» x € A a í ( B
8e a
x e B => x e <p
Luego A H B C <p y com o # C A O B, resulta 4 H B = 0.
u i x e ñ =» x # B =*■ ,í e Be,
2-7/. c (A U BU C) = c (A) + c (B U C) - c [A n (B U C)] =
= c (A) + c (B ) + c ( C ) - f ( B n C ) - f [ ( A n B ) U ( A n C ) ] =
= c (A ) + c ( B ) + c ( C ) - c ( B n C ) - c ( A n B ) - c ( A n C ) + c ( A n B n C ) .
2-72. a) 0 e A =►<¡>c e A =*■ U e A
b) A¡ eA => A C
j e A «*■U A f e A
¡el
=>( U A f \
Viel J
e A => H A¡ e A .
‘«I
TRABAJO PRACTICO II
2-73. i ) A e A O B =*■ A e /1
i i ) A ¡ e A n B => A , e A
=> U A¡ e A C\B.
A A e B =* A c e A
a
A ¡ e B =*■ U A ,·e A
iel
leí
iii)
4>eA
a
<¡>eB
=*
a
<¡>e A CtB.
Ac e B =* Ac e A r\B .
a
U A ¡ e B =>
íeI
>/*>. i ) R = ^ i , 3 ) , (1,4), (2,3) j
ií )
> R
iii)
R ~ l = { ( 3 , 1 ) , (4,1) , (3,2)}
* 2 0 . i ) R = {(1,1) , (2,4) , (4,16)}
» = {(4,2) , (16,8) , (6.3))·
■i ) S o ^ = {(2,2) ,(4,8)}
iii) Dfi = ( i , 2 , 4}
Ds = { 4 , 6 , 16}
D.c
- =
JSoR
3-21.
í2 ’ 4}
»Ji = { l , 4 , 16}
1s = { 2 , 3 , 8 }
*S= R ~ { 2 >&}
3-22. R es reflexiva, simétrica y transitiva
3-23. a) Refkxividad.
e R 2 => v = y => ( x y ) ~ (x.y)
,
b l Simetría.
(x ,y ) - ( x \ y ’ ) = > y = y ' => y ’ - y =* (* \ v ’) - (x,y)
c) Transitividad.
( p e a
( x ' j ' ’) ~ ( J f ”,.J; ’') =* y = y ‘ a
■*· ( x , y ) ~ ( x ’ ’, y ’’ )
á) K ^ ) = {(jc,j) ! y = b \
f)
^
,r' = „r'
e) I = R
= {K<0 ,y) / y e R }
3-24. i ) R = {(1,2) , (2,1) , (1 ,8 ), (8,1) , (2,4) , (4,2))
u)
iii) R es a-reflexiva, simétrica, a-transitiva y no antisimétrica.
3-25. a) Reílexividad.
(a,b) e N2 =*· a + b = ¿> 4- a => (a,b) ~ (a,£>)
y =. y
=»
b) Sime tríe.
(a ,6 ) ~ te’,£>’) =*■ a + b ’ = b 4- a ’ => a ’ + b = b ’ + a =» (a ’,b ’ ) ~ (a,fe)
c) Transitiiidad.
(a,fe) ~
a (fi’,b ‘) ~ (a ”,£>” ) = > a + & ’ =£> + « ’ a a ’ + f e ” =
= ¿ ’ + a” =* a + ¿ ’ + a ’ + ¿ ” = ¿ + d ’ -l-¿' + í5 r" = ^ s 4 -¿ ’’ = ¿? 4-
= » (a ¿ ) ~ ( a ”¿ ” )
d) Clases di equivalencia.
K(„,6)= { ( .r j O € N2 / x + b ~ y + aj>
e> Conjunta de índices, í = ■{(n , 1 )p U <J(i, n + l)i> con
Ver 9.JÍ!
n eN
3-26. R = {( a fl) , ( b , b ) , (c£) , (d,d), i b ¿ ) , (cM)}
3-27. a) R = {(1,1), (2 ,2 ) , (3 ,3 ) , (4 ,4 ), (1 ,2 ) . (2,1)}
b) Reflexividad.
x e A => x = x =#· (x,x) e R
c) Simetría.
( x j O e í =».í =>· v x + v = 3 = * y = x v v + x = 3 =»· ( .v j f ) e i ?
d) Transitiiidad.
z + v
( x j ) e R a (_y^) e ü => (x —y v x +>» = 3) a
(v
= 3 ) = * - x = 2 v x + 2 = 3 => (x,z) e R
e) La partición de A es
=
1 . 2 ,3
3-28. R es de equivalencia.
1-29. i ) x e R =>
11 = ! x
1 i =* x ~ :
x ~y
x |= y | =* y “
=
=► y - x
üi) x ~~y a y ~~ z => x ~ z
iv) A R pertenecen los pares ( x ,y ) que verifican
I x — 11 = | y - 1 1 =*· x - 1= ± ( y - 1) => x - 1 = y - 1
= - y +■ 1 =» x = y v x - h y
= 2
ü)
|
1 1
1
j
5! |x 1¡
v x - 1
3-30. i ) Simetría.
(a , b ) e R
=*■ ( a , b ) e R
a
(b,b)eR
«*· ( b , á ) e R
Transitividad.
(a J b )e R
a
(b,c) e R => (c/¡) e R =» (a,c) e R
¡ i ) Si R es de equivalencia, entonces es reflexiva y circular, pues
( a ,b ) e R
a
( b , c ) e R => {a ,c )e R =* (c ,a )e R
i - i / , i ) R es de equivalencia. Se prueba siguiendo los esquemas anteriores,
i i ) (x, y ) e R <*■ x 2 - x = v2 - y
x 2 - y 2 = x - y <*·
lx+ y') ( x - y ) - (x->·) =« 0 o ( x - v) Cx+.y—i ) = 0
■«· .t ~ y v x + y ~ i
iii) K a = { x e R / x ~ a }
____
x----------~ a => x„ 22 —x
= „2
a 2.— a =* x = a
0 seaK „ = { a .l- fl}
V x = i - a
E
v > — = <¥,
·"*■'
!>
3-32. i ) x e A =*> (jc.jc) e /?
ii) x « A => ( x , x ) e R
(x ,.x ) e /í U S
a
( x , x ) e S =*· ( x ,* ) e it n s
J-jtf. w + 2 M = 1 => ± x ± 2 y = l =* * + 2 j = 1 v * - 2 y = l
V —* + 2 y = 1 v
— x — 2 y = \ =>
= 1 V x+ —
-Vi
con | x | < 1 a
l^l <
~2
= 1,
- 1
„
¥¡
V -
v
D , = [ - 1 ,1 ]
.
_ r
L
i
11
2 ’ 2J
3-34. (a,b) e R u R ~ l
(a ,b )e R
=> (b .a ) e R ~ l u R
v
(a ,b )e R ~ l = > ( b ,a ) e R ~ l
v
(¿,a) e R
.Í-J5. i ) i? es a-reflexiva, a-simétrica, transitiva y antisimétrica,
i i ) (x ,v ) e R
x — y e R * o x —y > 0
3·36. i ) (x,y) e R o· x 1 = y 2 ·» x * —y 2 = 0 <¡* (x + y ) ( x - y ) = 0 o
x + y = 0 v x — j> = 0 con |jc| < 1 a | j ' | < 1
ii ) /{ es de equivalencia, pues:
a) x e Á **> x 2 = x 2 = > x ~ x
b) x ~ y =* x 2 = >'2 =* y 2 = x 2 => y ~ x
c) x ~ y a y ~ z => x z- y 1 a y 2 — z2 =*■ x 2
iii)K „ = { x e A ¡ x 2 = a2 j
A
= z 2 =*■ x ~ z
a , a}
= { K U/ « e [ 0 , 1]}
3-37. i ) ( a , b ) e R ~ l = > (b,a)eR = * ( a , b ) e R =>
ii ) ( a , b ) e R ~ l a
=* ( i . c ) « / ? ' 1
i- JS.
3-39.
( 6 , c ) e ü _l ^ (
6
,a )e ü
(a,5 ) e R H R ’ * a ( 6 ,c) e R H R ’ ·*
· * (a,b) e i? a (d,c) e / í a (a, 6 ) e / í ’ a
= > (a ,c )e R a ( a , c ) e / i ’ => (a,c) e R n / T
(a , b ) e R C \ R ' a ( M e i n « ’ =>
=¡> (a,ó) e / í a (b , a ) e R a ( a . b ) e R ’ a
a
( c , b ) e R = > ( c , b ) e R =>
(¿,c) e ü ’
=»
( b , á ) e R ’ => a
3-40. i ) a e X = » ü f A = > a ~ s = > u e X *
=>
ii) a e ( X U Y ) * o a ~ b , V feeX U Y
( a ~ & , V6 e X ) v ( a ~ 6 , V6 e Y ) -»>
■«· a e X * v a e Y* *> a e X * U Y *
3-41. i ) R e s reflexiva, simétrica, no transitiva y no antisimétrica,
i i ) jR es a-reflexiva, simétrica, a-transitiva y no antisimétrica.
= b
3-42.
2 *3
*1
r
Ré
Rf
R%
R
no
no
no
no
no
no
no
sí
no
S
sí
Si
no
no
sí
no
no
sí
Sí
no
no
sí
T
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
no
sí
sí
no
Á
sí
sí
sí
si
. sí
sí
sí
sí
no
sí
sí
no
R*
r
9 Rio Rn
no
no
R\2
no
¿?13 * 1 4
* ,s
no
*1 6
sí
no
no
sí
SÍ
sí
sí
no
sí
Si
sí
no
no
sí
sí
■v-í3. R es no reflexiva, simétrica, no transitiva y no antisimétrica.
3 4 4 . R = { ( 1 ,1 ) ,(1 ,2 ) ,(1 ,3 ) ,( 1 .4 ) . (1,5) ,(2 ,2 ) ,12,3) / 2 , 4 ) ,(2 ,5 ) ,( 3 .3 ) .< 3 .4 ) ,
(3,5) , ( 4 , 4 ) , ( 4 ,5 ) , (5,5)}
Elementos minimales: 1
Elementos maximales: 5
*4 5 - R = { ( 1 ,1 ) , ( 1 ,2 ) , (1 .3 ), (1 .4 ), (1,5) , (2.2) , ( 2 ,4 ) , (3,3) . ( 4 ,4 ), (5,5)}
Elemento minimal: 1
Elementos maximales: 4, 5 y 6
3¿f6. Cota inferior: 1.
Cota superior: 6 .
3-47. i ) A no tiene prim er elemento, pero el último es 1.
i i ) No está bien ordenado pues el mismo A carece de primer elemento.
iii) Cotas inferiores son todos los reales no positivos. Cotas superiores son los
reales mayores o iguales que 1iv) El ínfimo o extrem o inferior es 0 4 A. El supremo o extrem o superior es
1 e A.
*
4-25. i ) / =
J .O j, ( 2, 3) , ( 3 ,8 ) j
ü)
üi) / es inyectiva, no sobreyectiva ni biyectiva.
4-26. i )
i
‘Z
m
—
¡,
;
-2
i
1
1
i
-1
0
i
1
3
i i ) / e s no inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva.
X
4-27. i )
é' Z .
i
1
«
r
f
t
i
i
-2}
-1 !
0
i
i
!
. -------- -
l
I
”¡
i
'
L
2
8
J
i
i
« ---
ii ) f n o e s in y e c tiv a , es so b reyectiva y n o b iy ectiv a.
4-28. i )
4-29. i )
biyectiva.
3
i
no inyectiva, sobreyectiva, no biyectiva,
iii)
4 q
•1
h-------- 1-
0
l
2
— 1
—2
/ es inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva.
4-30. Representando / p o r una tabla
(a,b)
( 1, 1)
( 1,2)
(1,3)
( 2 , 1)
( 2 , 2)
(2,3)
2
1
0
5
4
.3
Puede hacerse un gráfico en tres dimensiones. / es inyectiva, no sobreyectiva, ni
biyectiva.
4-31.
X
f 1}
{2.3.4} {1,3,4}
í 1·2·4 } {3,4}
B
/(X )
{ '• 2)
{1.3}
{2,3}
A
{2,4}
{1,3}
W
/ es inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva.
4-32. Se presentan infinitas posibilidades.
4-33. / { A ‘ =M l .4 . o . ¡ó -
/ 1B 1 = -h . 4
/ ( A n B) = f-t]
. íc 1
/ ( A U B) = *| 1 , 4 , 9 , l ó j
Resulta /< A U B) = / t A) U / ( B)
y
/ ¡ A n B) C / ( A) O f \ B)
4-34. Verificar tom ando A = | ( 1,2), ( 2,2) , (3 ,3 )| y B = | ( 1 ,2) j>
4-35. i ) Considerar X = f 1 , 2 . 3} . Y = { 1 , 2 , 3 , 4 } , / : X - * Y definida per
fix)=x
y
A = (l ,2}cx.
i i ) Tomar, por ejemplo, X = {1 , 2 , 3 ) , Y = { 1 , 2 } , / ': X -» Y
tal que
/ 1 1 ) = 1 , / ( 2 ) = 2 , / ( 3 ) = 2 , y A = { l ,2 }
iii) Proponer una situación del tipo anterior.
4 - 3 6 . f ' i [ - í , l ) = 4>
/ “‘ ( - “ . 7 ]
f ' 1 [0 ,3) = [— V 2 , V 2 )
=*
/ " ‘ [ 0 , 3 ] = [— v ^ , V 2 ]
/ - ‘ [1 ,1 0 ] = [ - 3 , 3]
4-37. i ) . t e A = * / ( . v ) e / ( A ) ==> x e f ~ l [ / < A)j
Osea A C / “ [ / ( A ) ]
(1)
Suponemos cue existe y e /
[ / (A)] a y 4 A pero como existe
x e A/ / ( * ) = f ( y ) , r e s u lta /n o inyectiva, lo que es absurdo. Luego
/ - 1 [ / ( A )]C A
(2 )
De (1) y (2) resulta la igualdad.
ii. 1Si existen v ·-# v talss <ius f í.v$ ™ f f. v).
ííd-n-·»
4 = ; Xj 3= , x ty·· r f
r f IA Jj
4-38, i ) g ° f : Z - * Z / ( ? » / ) Qt) = ent ^ ~
•
ii) / ° 5:
Q -*Q i í f
iii)(W )(-2 ) = 3
4-39. Como por hipótesis:
=> V z e C ,
fent ( x ) f
= g) ( * ) =
------ 2---------+
0
1
( /' · » ) ( - 1 )
-
V z e C , 3 x e A I (g ° f ) ( x ) = g [ f ( x ) ] = z
y = / ( x ) e B / ^ ( v ) = z resu lta£ sobreyectiva.
4-40. g f es biyectiva => / e s inyectiva A g e s sobreyectiva.
h o g es biyectiva => g es inyectiva a /j es sobreyectiva.
Luego, g
es biyectiva
y
en
consecuencia g " 1 es biyectiva. Entonces
g ~ ‘ o ( g ° / ) = (g " 1 » í ) « / = «B ° / = / es biyectiva y (fc « g ) o g _l = /¡ o ?c = / ;
es biyectiva.
4-41. Como h ° g 0 f = ( h ° g ) ° f = h ° (g ° / ) e s sobreyectiva resultan h ° g y h.
so-
breyectivas p o r 4-39. Análogamente
f ° h ° g sobreyectiva =»/ e A y / sobreyectivas.
g ° f ° h inyectiva =*· ft y f ° h invectivas.
R e s u lta f=> h b iy e c tiv a y h b iy e c tiv a .
Luego ( / = h ) = h
— / e s biyectiva.
Como h - g y h~ l son sobreyectivas. es h~l ®(/i ° g) — g sobreyectiva. Por
otra parte, com o g » </ « h I y ( / « /i )”' son invectivas, su composición g tam ­
bién lo es.
Luego g es también biyectiva.
4-42. a) x e A => / ( x ) e / ( A ) => x e f ~l [ / ( A ) ]
O sea A C / “ 1 [ / ( A ) ]
b) j e / i / ' *
(B)J => 3 x e / ’ 1
= /« x ie /f/
í B ) j =*
=* v = / ( x ) e B.
c) / ( X ) - / ( A ) = / ( X ) n [ / ( A ) ] c c / ( X ) n / (Ac) C / ( X
n a c) =
/ ( X - A)
d) / - * ( Y - B ) = / · ' (Y n Bc) = / -1 ( Y ) n / ' 1 (Bc) =
= x n [ / · ' (B)]e = X - / - ‘ (B)
e) / ( A n / * 1 ( B ) ) C / ( A ) n / [ / - ‘ ( B ) ] C / ( A ) n B por b)
Además
>· e / ( A ) r >B => y e / ( A ) *
=» 3 x e A / j = f ( x ) e A a f { x ) e B =»
=> x e A a x e / ’ * (B) => x e A n / ~1 (B) =>
=> f ( x ) e f ( A n f ~ l (B))
4-43. i ) Sea X e A n B = » .x e A
XA n B < x ) = l
a x e B.
Luego
XA (-v)= 1 A X8 (x ) — 1 . o sea
Análoga mente <¡e ansli?:» el caso
i An B
ii } Para la función característica de la unión se procede en forma similar.
4-44. ( f o d ) (a) = f [ d (a)} = f ( a , a ) ~ {a.a) = d (a)
Luego f o d = d
4-45. i ) f ( x + y ) - (x + y , - x - y ) = ( x , ~ x ) + ( y , - y ) = f ( x ) + f i y )
ii)
/ (kx) = ( kx , - kx) = k ( x , — x ) = k f ( x )
4-46. i ) w e H / " * ( - « , í + 2 '" ) = » w e f ~ l (—°°, x + 2 ~ " ) , Vk =>
n- 1
-
=> Vk : / ( h ’) e (— « , x + 2 "") =>■ V/j : / (vv) < x + 2 ~n
Resulta / (w) < x ya que si fuera / (w) > x =►
= > f ( w ) - x > Q =*> 3 «o e N I f ( w ) —x > 2 ' ” ° =►
=*■ ^ «o / / ( w ) > x + 2~n< , contradictorio con ( 1).
Entonces / ( w ) e ( ~ °° ,x ] => w e / ( - «», x]
(])
i i ) w e / _1 (— °°, * ] = > / (w) < x y como Vn e N : 0 < 2 ”", se tiene
/ (w) < x + 2~n, Vn. Luego
/ ( w ) e ( — x + 2~n ) = > w f / ' ‘ (—
=> w e H /
o-· i
_1
(— °o x +
2
5
x + 2 '" ) , V« =>
' ”)
4-47. a) Í2 + 0 = Í2 =>P(í2)+ P(á>) = P (í2 ) =* P (0) = □
b) A U B = A + AC B = » P ( A U B ) = P (A ) + P (A C B)
(i)
B = AB + Ac 8 => P (AB) + P (Ac B) = P (B)
(2)
Sumando ( l ) y (2)
P (A U B) + P (AB) +_E4Afi'ffJ = P (A) + ^ ^ 5 7 + P (B) = > P ( A U B ) =
= P (A ) + P ( B ) - P ( A B )
c) A + Ac = a
=> P ( A ) + P (A c) = P(£2) =* P (A c) = 1 - P ( A )
4-48. a) V i e R : X ' 1 ( - ° ° , x ) e A
=*■ X ' 1
( - » , x + 2 ' " ) e A ·>■
*
=> n X -1 (— x + 2 '" ) = X -1 (— x j e ¿ » por 4-46
Ft= 1
b) V x e R : X -1 (— °°, x ] e A => X -1 (— °°, x — 2~n ] e A =*
n X -1 (—°°, x — 2~"] = X “ 1(—°°, J f ) e A , por 4-24.
B=1
)
4-49. X ' 1 (—
x ] e ¿ l ■*> X ” ! (— x ) e A (por 4-48) **■
·«·[X _l ( x ) f e A (por 2-72)
X ' 1 ( - ' » x )0 e A p o r 4.9.2 c) «*■
o X~l [x , ° ° ) e A
4-50. X ' 1 ( ~ ^ , x ] e A <#■ (X _l ( - « , x ] f e A
o X ” 1 (x , ° ° ) e A
X' 1( -
x f eA o
■
4-51. i ) =* i i ) La condición i ) equivale a la inyectividad de / , por 4-37. Entonces
/ ( x ) e / ( A n B) ^ X e / · ' [ / (A n B)] « X e A n b «■
a x e B * > / ( x ) e / ( A ) a, f ( x ) e / ( B ) < * / ( x ) e A n B.
■*» x e A
i i ) = » ü i ) / ( A ) n / ( B ) = / ( A n b ) = / {<¡>) = <¡>
iii)
=> iv) ( A — B) O B = $ = > / ( A —B ) n / ( B ) = 0 (1)
( A - B ) U B = A ^ / ( A - B ) U / ( B ) = / ( A ) (2)
De (1) y (2), p o r 2 -6 5 ,resulta / ( A - B) = / ( A - B) = / ( A ) - / ( B )
iv) =*■ i ) Suponemos f ' 1 [ / ( A ) ] =£ A => 3 x ? A a
SeaM = A U { x } = » A C M =»
=> / ( M — A) ' = / (M) —/ ( A ) = > / - ( { x } ) = ^ =>
/( x )e /( A )
«
5-21. i ) Conmutatividad.
a * b — 2 {(i + b) — 2 ( o 4 a) — u * a
t i ) * no e s asociativa, pues
( 3 * 2 ) * ( - 2) = 10 * ( - 2 ) = 16
3 * [2 * ( - 2 ) ] = 3 * 0 = 8
iii) No existe neutro e ya que
a * e — a = * 2 (a + e ) = a =* 2 a + 2 e = a =* e ~ -----—
iv) Los elementos de Z no admiten inverso porque no existe neutro;
v ) Regularidad.
a * b — a * c =» 2 (a + A) = 2 (a + c ) =* a + b = a + c =» i> = c
O
sea, todos los enteros son regulares respecto de *.
5-22. Está dem ostrado en 5.3.5.
5-23. Siendo / , = { ( 1 ,1 ) , (2 ,2 ), (3,3)} , / 2 = {(1,1) , (2 ,3 ), (3,2)} ,
/ 3 = {(1,2) , (2,1) , (3,3)} , U * {(1 -2) , (2,3) , (3,1)} ,
/ s = { ( 1 ,3 ) , (2,1) ,( 3 ,2 ) } , f 6 = {(1,3) >(2,2) , (3,1)} , resulta
0
fx
/2
h
/4
/5
/6
fx
fx
/2
A
/4
fs
/«
/2
h
fx
/4
/3
u
/3
/3
fs
/1
U
/2
/4
/4
/4
fe
/í
fs
/1
/3
u
fs
/3
/6
fx
/4
/2
/*6
h
/4
/5
/2
/3
/l
5-24. a * a ’— a ’ * a = e => a es inverso d e a ' => a = (a’)’
5-25. ( b ’ * a ’) * (a * b) — b ’ * {a * a) * b = b ’ * e * b = b ’ * b — e — (a * b) * ( b ’ * a ’ )
= (a * tí) * ( b ’ * a ’ ) => (a * b) ’ = b ’ * a ’
‘•26. * es conmutativa, asociativa, con neutro e = —-4 , con inverso a' — - a — 8 para
todo a e Z. Además, todos los elementos son regulares. Seguir el procedimiento
del ejemplo 5-6.
5*27. a — b a c —d
=>21a — b a 2\c — d =* 21(a — 2>)
=* 21(a + c ) ~ (fc 4-=> 2 ¡(a + c + 4) - (b + d + 4) =*
=> 21(a * c*) —(b * d ) = > a * c ~ ~ b * d .
+ (c — d)
=>
x-28. * es asociativa, conmutativa, no existen neutro ni inversos, y ningún real es
regular.
Í'í2^. i no es asociativa no conmutativa; no existen neutro ni inversos: sin em hirso.
todos los elementos de Q* son regulares.
5-30. Por definición a * b - mía í a.b) . Esta lev interna es conmutativa v asociativa.
I i
é
No existen neutro ni inversos, y ningún elemento es regular.
j»J/. La suma de funciones en R 1 es conmutativa, asociativa, con neutro e : I- + R
definida por e (x) = 0 , Vx e l , y el inverso aditivo de todo elemento f e R1 es
tal que (—/ ) C.v) = ~ f ( x ) . Además, todos los elementos son
regulares. Demostramos la conmutatividad
( / + £ ) < * ) = / ( * ) + £ ■ (x) = g (x) + f i x ) - (g + f ) <*) =» / + g = g + /:
5-32. / , = {(a ,a ), ( b, b) } ,
} \ = {(a ,b ) , ( b.b )} ,
f 2 = {( a .u ), (b.a)} ,
f ^ { ( a , b ) Á b ,a \
r>
h
/2
/3
/4
f X
i\
/2
/3
/4
h
J2
/2
/3
/4
h
/3
/2
/3
/2
h
/4
/2
/3
/l
5-33, f no es ¿osmuialíva, pijes / f ! .3 1 = ¡0 ^ = / l 3 , !) ~ 4;
/ n o ?« asociativa y a q u e f í l ía b ' i . t ! ~ f \ a , b \ ·+■ c~ =
f{a,f{b,c¡\ - f i a ,
a
b~ r· t "
y
b + c l ) - a - ib
No existe neutro, pues f (a , e) - a =* a + e2 — a =» e = 0
y
f ( e , a) —a =«* e + ü2 —«/ =* e ~ u — a2
Sólo existe neutro a derecha, y es 0. Todos los elem entos son regulares a
derecha, pero no a izquierda.
5-34. i ) Asociatividad.
(a * b ) * c - (a * b) * (e * c) = (a * é) * {b * c ) = a * (b * c).
i i ) Conmutatividad.
a * b = (e * a) * (b * é) = (e * b) * (a * e) = b * a.
5-35. Seguir el procedim iento indicado en 5-26. El neutro es e —
1
to do elem ento a, es a ' = —— .
9a
y el inverso de
5-36. Demostramos la asociatividad
t f i s /1)1 ( * ) = / ( * ) ( g h) (X) = / ( x ) tír ( * ) h ( x )3 = [ / ( x ) y ( x )j
= ( f g ) (x) h !-v) = [ ( f g ) h ) ( v ) -
(X ) =
/(* * ) = (/» /i.
5-J7. i ) a * { J b * z ) ^ a * { b z ) - a { b z ) ^ { a b ) z - ( a b) * z.
Análogamente se prueban li i y íii).
3-M. ! ! / es un moríismo. pues
/ \a b ) ~ log; (ab) ~ log; a + log 2 b ~ f i a )
f\b)
i i ) f e s 1 — 1, pues s i x ’ y x ” son reales positivos que verifican/ ( * ' ) - f ( x " ),
entonces log 2 x ’ — log2 x " = y => x ' = x ” = 2y
iii) / e s sobreyectiva, pues
'
V y e R , 3 x - 2y / / f x ) = logi .x = log 2 2y = y
5-39. f { x y ) ~ sg ( x j ) - s g x . sgy = * f ( x ) f { y ) considerando todas las alternativas.
5-40. (x o y ) * x = (x + y ) * z = x + y = (x.* z) 4- ( v * z) — (x * z ) ° ( y * z)
Z * (x o y ) = 2 * (x + y ) = 2 =£(3 * x ) O(z *_)') = Z o z = Z + Z = 2 2.
E ntonces * es distributiva a derecha respecto de o , pero no lo es a izquierda.
>6 Demostramos ios siguientes casos
2 ( A 4 - 2 ) - ( f t + 1)
h+ 3
I
jh+l
.i )n = 1
(I + * ) ’ = 1 + x = 1 + I , x > l 4- 1
ii ) (1 + x ) h > ! + f c c = » (1 + * ) ' ,+ 1 » 1 + (A +
D ) ( 1 + x f * 1 — (1 4 - x )h <1 + x ) X l + h x ) ( 1 + .< )
= 1 4- ,t 4- A.r 4- t e 2 = 1 + ·(A + 1) x + h x 2 > 1 +
8
11
. i ) „ = i => 2 1 1 J + 1
ü ) h2 4- h = 2 k -*■ (A + I ) 2 + (A +
1)
.*
l ) jc
=
(A 4- l ) *
= 2 *'
D ) (h + l ) 2 4- (A + 1) = A2 + 2 h + 1 + h + 1 = (A2 4- A) 4- 2 (A + ! ) =
= 2 f c 4 - 2 ( f t + l ) = 2(& + A + l ) = 2 f c ’
D)
^
1
i3 = í
= —
^
¡3
1)2
„
+ ( A + l )3 » ^ 2
i ) * + ( A 4-1 ) 3 =
+ (A 4- l ) 3 = (A + l )2
h2 + á .h + A
.
- + (A + 1)J =
(h + 1)2 (h + 2 ?
T
(h + l ) ( h
4- 2)
6-37. 2
(x¡ ~ x ) = 2 x ¡ ~ 2 x = n x — n ' x - 0
i= 1
i= i
¡= i
6-J& i ) n = 2 =*■( ¿ x,·')
u=i y
=
í
1= 1
I¡
S h
+
+ 2 x ¡ x-> -
1
X;
Jx
2
M
/ ’h+ l
\ 2
*
ft+ 1
= ¿ *¡ + 2 X j X ; = > ( 2 x ¡ ) = 2
x¡ + 2 x f x;·
1=1 ‘ i * i
v /= 1 y
/=1
i* /
J
\ 2 /■ h
\
2
/· h
>. 2ft
,
\ 2
i i ) ( 2 *■)
1¡~1 / ’
S h+t
D ) ( .4
V í =i
T;)
V
h
=
¿
= (x¡ + x 2)2 = x .
={ 2
Ví= i
ñ
x¿ + r¡. ; , I
V
- í 2
·.,¿= i
*
Jl
x,-l + 2 .V h * . 2
v
‘ - i—i
h
x ,+ x , . =
;· ' ;
f
*ji + iJ* .j *¿‘ ■*>
+ 2, x, Xfc+1 + 2 x h,
1 ¡~1 ■ ‘ " 1
" ·t *,· + x h+1
h +1 =
= 2 x. + 2
i= 1 1 ¡
*
x.:Xi
6-39. 2? (x, - 2)2 = £ (x2 - 4 x¡ + 4 ) = £ x. - 4 f x , + 1? 4 =
<-1
í= 1 *
i= 1 !
i®1
i- 1
= 100 - 4 . 10 x + 40 = 140 - 40 ( - 20) = 140 + 800 = 940
6-40. Utilizar la definición de la función factorial.
6-41. Considerar las dos posibilidades
x2 x
2x
2
x2 x
2x
Resulta x = 2 v x = 1
—=
— v
6-42. i > 6 4 a 12 -
ii)
—2 = 7
1 9 2 a9 + 2 4 0 a 2 - 160 + 8 0 a ' 2 - 1 2 a ' 4 + a " 6
x 2 + y 1 + 6 x y + 4 (x + j>) s/xy
6-43. i ) J T
..
—+
( " ) p n- k qk = ( ? + « ) " = l n = 1
í2 + t \
u > l—
"·
J
6-44. T5 + T 7 = 210 ( 6 4 x 14 + 1 6 x 16)
6-45. x = ± 2
v
x = ±2 i
6-46. Soluciones reales son x = 0
V
jc —
4
6-48. Los términos de grado natural son los 5 primeros: T 1? T 2, . . . , T s .
6-49. 10! 3!
6-50. Con las cbs personas juntas se tienen 9! 21 posibilidades. Con tales personas
separadas,resultan 10! — 9! 2! = (10 — 2) 9! = 8 , 9! casos.
6 - 5 /. 66 , 660.
6-52.
5!
f r 5 i. C 8i2 - C ^ 2 + 1 - 23
6-54. Con i varcnes y 6 — i mujeres se pueden formar Cg,* · £ 9 , 6 - 1· El número total es
— ‘'■'S.í ■ '-9,ó-í·
6-55. Hay tantas distribuciones posible« rom o funciones crecientes de I l00 en l 10 . o
sea C 100 ¡0 = C log [0
6-56. V 6 3 — V5 2 = 6 , 5 . 4 — 5 . 4 = 125. Los números cuya primera cifra
(centenas'es 0. son Vs>- .
6*57. Como no ¡e exige que las cifras sean distintas, resulta Vg_,
, = ó 3 —ó 2 =
= 6 J . 5 = 180
6-58. C 4f2 · C4 j ,3 es el número de muestras de tam año 5 que contienen exactamente
2
ases.
6-59. C4 f 2 . C n i = 6 . 32 = 1 9 2
« « p» ' “
4 · ’ m - . - -í m F T f
8* ' 4 “ C í ) ' 8* ' 4
6 - 6 l A n - k - l'ji k\ 21
k +
k +3
A
N o se piden r e striccio n es en cuan i o a convexidad, y p u e d e n f o r m a r s e
.,
triángulos
V |Q JQ
hasta ^ d e c á g o n o s .
6- 6 J. 2 . 5! 5!
6-64. i ) Tantas como funciones de rí en I3,
o sea V"3, n = 3"
·*
■
—~
VjQ ¡
El núm ero total es Z —-r— po-
lígonos.
Ü ) P " ’ " ‘ fc · V V „ - A
10 3
10
ii ) P^_13
13
.v;
2,13—fe
= --- ^ 1 —
■213
A:! (13 — A)!
6-66. Sean A = { x ¡ , x 2, . , . , x „ , . . . } numerable y M C A, infinito.
Consideramos x¿t el prim er elemento de A perteneciente a M, el cual existe po r
el principio de buena ordenación; de los que le siguen en A, elegimos el primero.
x, , perteneciente a M. Siempre es posible obtener uno porque M es infinito.
Resulta
M - : x, , x ; . x . ,
^
h
J
numerable.
6-ó7. Sean A¡=· la . . a - . , . . . a. . . . . ) con
'
l
h
hi
/
Consideramos la unión disjunta
ie
Z A,· y la función
1=1
f:
Í
i= 1
A ¡~ * N
definida por / (a „ ) = ( / — 1) n + i (según una ordenación por columnas). Como
/ e s biyectiva, resulta 2 A¡ ~ N.
í=0
,3,3,3,3
6-68. i ) V 4 12 4
ii ) ? a
12!
3! 3! 3! 3!
6-69. CL 5 = C9 .
6-70.1 ) C 6>3 .C 8t4
¡>)C5 2 .C8 4
ü O C 6 >3 . C 6>4
"'19, Se niega cada axioma del sistema dado. Como A j : Va : a e A =* (a,a) e R , su
neg aciones ~ A j : 3 a /a e A a (a.d) i R . E! sistema ~ A t , A2 , A 3 debe ser
compatible, para lo cual es suficiente exhibir un m odelo. La interpretación
A = | l , 2 , 3 j , R = {(1,1) ,( 2 , 2 ) | es un modelo. Esto prueba la independencia
de A , . Análogamente se procede respecto de la independencia de A 2 y A 3.
I. (a,b) € R => a ^ b =*■ (a,b ) e R v (b.d) € R en virtud de A 2 y de A ,.
Resulta (b.d) i R, porque en caso contrario, por A 3 y A 2
(a .b ) e R
( b j ¡ ' ) e R =>■ ( a a ) e R => a¥=a
lo que es absurdo.
7-12. I.
a) 1’ = 0. En efecto 1’ = 1’ . 1 = 1 . 1’ = 0
p o r B s , B 2 y Bs .
b ) 0 ’ = 1 po r el principio de dualidad.
II. Suponemos que a admite dos complementarios a ’ y a " . Entonces.
a — «* + 0 — a ' - f (a .a " ) = ( a '+ a ) . (a '+ a ” ) =
= {a + a ’ ) . ( a ’+ a ” ) = 1 . (a ’+ a ” ) = ( a ’+ a ” ) . 1 —a ' + a ”.
Análogamente a ” = a ” + a ’ y en consecuencia a ’ = a".
III. a + (a .b ) = (at.l) + (a.b) = a. (1 +b) = a . ( b + 1 ) = a. 1 —a
Por dualidad resulta a. (a+b) — a.
7-¡3. Probam os que n + b ^ n
i ) « = l = * ' l + Z > = 6 + l = s(2»)#l
ii)
h + b # h => s (h) + b
D) s ( h } + b = b + s ( h ) = s (b+h)=£s (h)
s (h ¡
744. i ) h = L =»<! + l = s ( 2) # a # f i # s ( ¿ ) = H 1
ü ) a + h ^ b + h => a + s ( h) =£b + s(h)
D) a = s ( h) - s (a+h) =£ s (b + h ) - b + s( h)
7-/5. i ) 1 ]« = 1 => 1 . 1 = 1 . 1
2 ] l . h = h . 1 -> l . $ ( h ) = s ( h ) . 1
En efecto: 1 . s ( h) = 1 . h + 1 = h . 1 + 1 = h + 1 = s (h) = s (h) . 1
ü ) l ] n = I =*· s ( b ) . 1 = I . s ( b ) = l . b + 1 = b . I + i
2 ] s (b) . h — b . h + h =¡> s ( b ) . s (h) — b . s (h) + s (h)
D ) s (b) . s ( h ) = s ( b ) . h + s { b ) = (bh + h ) + s ( b } =
= bh + (h + s ( b)) = bh + (s ( b ) + h ) ~ bh + s (b + ft) = W2 + b + s (h) =
= b . s ( h ) + s( h)
3] Es consecuencia inmediata de i ) y i i ).
7-16. i ) a < b =* h - a - í x =*■ be — ( a + x ) c
=> be = ac + x c =* ac < be
i i ) a < b a c < d =*■ ac < be a be < bd =$■ ac < bd
iii) Si a í* 1 entonces 1 < a. Luego
1< a
a~ I
^
~ (1 4· jc) b
& b ~ b + x b ■*
=» l ~ b + x b
b < l, absurdo.
7-1 7. i ) (N,*) no es monoide.
i i ) (Z,*) es monoide.
iii) (R 2x2 ,*) es monoide.
'
7-18. i ) (a* 6) * c * d = ( ( a * b ) * c ) * d =
= (a * (b *c)) * d = a * (b * c ) * d
^ — „ m ** ¿z
„ — . „ m +1
u;; j\ a } «v· *— il — ^
—£
b)¿2^i * Qh = am -+-h =>
^ 1 =3 Qm * ¿jh * a —
—
¿¡JTi - ¥ h
$ q
s r Q t n + h -h 1
7-79. Sea S = {S ¡J i e 1} u na familia de sub-semigrapos de A y sea X = p S¡ la
intersección de dicha familia.
Consideramos a e X a b e X =►a eS ¡
= > a * 6 e S j , V / e I => a * b e X
Luego X es un subsemigrupo de A.
a
b eS i , V i e l
**
7-20. i ) Probar que S es el conjunto de los múltiplos naturales de 1, o sea
S= {l.a/aeN>
i i ) Demostrar que S = ( l . a + (—1). 6 / a e N } ,definiendo 1 . a = 1 s ia = 1
y l.f f = 1+ 1
. . . 4-1
d)
No,
b¡ Si.
c) No.
di S>.
8-23. t ) l ’n venerador es i.
ii ) Un generador es z (obsérvese que z~ = z ).
1
1
. y el inverso de a es a = — .
2
a
8-24. El neut;o es e =
8-25. El neutro es e — i. y e! inverso de a es a ’ — 2 i — a.
8-26. Está tratado en 5-31.
8-27. N eutro es (0,0, . . . , 0) y (—-.xi, — x 2, . . .
, — x n) es el inverso aditivo de
( x u X i ■ ■ ■ , x n)·
8-28. Sean f 0, / i20 . / 2 * 0 las rotaciones de 0 o, 120° y 240° respectivam ente;/A, / B y
f c las simetrías respecto de BC, AC y AB. Proceder como en el caso 5-23.
8-29. Tener en cuenta 8.14.3. para obtener los subgrupos
H, = { j0) , H j = {/o , f A} , H 3 = {/o , / B} , H 4 = {/o . / c } ,
Hs = {■
*"<>»/120 ./moJ» >H6 =G.
8-30. Como (0 , 0 , .
Seáis <,Vi . .T; ,
=» x¿ y¡ = 0
=» Ú í . ’- i. .
Luego, (H , + )
. . , 0) e H, es H ¥=4· y por definición de H se verifica H C G.
. . . . r „ ) e H ' f y , . n .· - · · . O € H ^ x¡ 4 ( —
=*
. x ¡¡} + ( " V i . " >·;, · - - . ~
»€ H
es subgrupo de (R n , +).
.t, = 0 - y,
8-31. W^<¡> y H C R 2*2 . Sean
=0
A e H a B e H =>
=»‘A = - A f a B = — Bf => A + (— B) = — Af + Bf =*
=> A + ( - B ) = - ( A * - B f) = - [ A + ( - B ) l f ·*
=>■ (H ,+ ) es el subgrupo de las matrices antisimétricas de (R 2 * 2 , + ). Pruebe el
lector que A = — A f => a{ ¡ = 0 , V/.
8-32. i ) f ( a b ) = ( a b ) 2 = a2 b2 = / 0 0 / ( 6 )
m M N ( f ) pertenecen los elementos de A que satisfacen x 2 = 1 =>
=> jc = 1 V x = — 1 =» N ( / ) = { “ 1 , l } ·
I
( / ) - R + pues í i) ' e R t , 3 j c = v 5'7 / ( x ) = )'■
8-33. Es un morfisrao biyectivo, con N ( / ) = { 1) , I ( / ) = A.
8-34. Está tratado en 5-38.
8-35. i ) f ( e ) = e ’ e H => c e / ' 1 (H) = > / “ 1 ( H ) í ¿ 0
ii ) /
1 ( í[ ) C G poi definición de preimagen.
iii) x e f " 1 (H)
=» f i x i’ e H
a ■ y e f ~ i (H) = » / ( i ) e H
·· / < v i e H ’»
·' [ / ( v )j* e H » f i x ) *’ f C r ’ ) e H
■ * f { x * y ' ) e H =» x * y ' e j
(Hí.
8-36. x e C *»■ x * x —x => x ■* x * a*” 1 = x * x ~ l =*■ .v * t>= e ** x = e.
Luego G = { e j .
*
8-37. Sean a y b en G. Se tiene:
(a*b) * (a*b)= e = e * e = (a*a) *
* * 4 * (h*á) * $ = 4 * (a * b ) * $
b * a —a * b
8-38. i ) f a es morfismo, pues: f a ( x*y) - a 1 * ( x * y ) * a =
= a l * x * (a * a 1) * y * a = ( a l * x * a) * ( a 1 * y * a) = / 0 (x) * f a ( y)
ii ) / e s 1 — 1. Sean x e >> tales q u e /a ( x ) = f a ( y )
E ntonces ^ 1 * x * 4 = sCI * y * 4 ^ x —y
iii) / es sobreyectiva, pues V y e G , 3 x = a * y * a 1 tal que f ( x ) = y.
8-39. Sean / : G -*■ G’ y g : G ’ -+G ” homomorfismos respecto de *, *’ y
Entonces
g o f : G -> G ” verifica
( g ° f ) ( a*b ) = g { f ( a * b ) \ = g { f ( a ) * ' f { b ) \ =
= «{/(«)]*”£ [/(&)]- { s Qf ) { a ) * " (r/)(¿).
8 4 0 . F ( a * 6 ) = /a *6 = f b ° / « = F ( ¿ ) » F (a)
En efecto: / 0, 6 (jc) = { a * b j x * x * (a*bS =
= &1 * á' 1 * x * a * b ~ b ~ l * /„ í.v> *d = / 5 f /a (,v)] - i f 0- f j (Vi
8 - 4 I . i ) Verificar ios axiomas de grupo.
i i ) Sea * conmutativa- Entonces a ® b = b * a = a * 6 - b * a
conmutativa, y recíprocamente.
-■ ..es
<¥-¿2. i ) / e s un morfismo, ya que/(a*£?) = (a*b)' ~ b ’ * a ’ ~ a ’ ° b ' - f { a ) ° f ( b )
i i ) / e s 3 - 1, pues si f ( x ) = / ( > · ) e n to n c e s * '= y ‘ => x =_y.
iii)/ es sobreyectiva porque V ^ e G . 3 x = y ’ e G t a l que f ( x ) = y
El grupo (G ,°) se llama reciproco de (G, *).
8-43. Neutro es e = (1 , 0), pero los pares del tipo (0 , b ) carecen de inverso. No es
grupo.
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
450
8-44. ¡ ) e e S
a
e e T = » e = e + e e S + T = * - S + T=7t 0
i i ) S + 1 C G p o r definición de S + T
iii) a e S + T a 6 e S + T =* a = x + >’ a b = z + u / x e S , z eS, y e l ,
u e T = > x - z e S a y - u e l = > ( x - z ) + ( ^ - M ) e S + T =>
=* (x+>>) —(z + u ) e S + T
8-45. Ver 8-36.
8-46. I . Sí (X , *) es un ¿ u p o , entonces las ecuaciones x * a - b y a * x = b admiten
las soluciones ú n icas x — b * a ~ 1 y x = a~l * b.
2. Sea (X , *) un semigrupo en el cual son resolubles las ecuaciones x * a = b y
a · x = b, cualesquiera que sean a y & en X. Entonces se verifica la existencia
de un elem ento e e X tai que e * a = a . Sea x e X; por hipótesis, existe y e X
de m odo que a * y — x.
Luego
e * x - e * {a *y ) — (e*a) * y —a * y = x
O sea, e es neutro a izquierda.
Sea xe X. Por hipótesis, existe c € X tal que c * x ~ e y en consecuencia c es
inverso a izquierda de x e X. El lector puede probar que la existencia de
neutro y de inversos a izquierda implica que ( X , *) es grupo.
8-47. Aplicar 5.4.2.
8-48. i ) f { x + y ) = a * 'i"y = .a * g » . . . * a - ax * ay = f ( x ) * f ( y )
x +y
ü ) I ( / > = { / ( * ) /' x e z j = { a * / x e Z
a
a e G } = (í]
8-49. i ) / [ < x i s i - x 3) + ( ^ 1, ^ 2 .y a)] = f ( x i + y i , x 2 + y 2 , x 3 + y ¡ ) =
= ( x i + y i ~ x s ~ y 3, x3+ y 3 - x 3 - y 3 ) = (x i - x 3 - * 3) + (.y i
= / ( x l vx 2 , x 3) + f ( y i , y t , y s )
)=
i i ) (xj ,x 2 . X j ) e N ( / ) ^ / ( X 1,X2 ,X3) = (0,0) «*■ ( x 1- x 3 ,x 2 - x 3) = ( 0 , 0 ) ·**■
< * x , - x 3 = 0 a x 2 - x 3 = 0 ·» Xj = x 3 a x 2 = x 3 ·» x i = x 2 = x 3
O
sea N ( / ) = ^ (a .a ,a ) / a e R j
iü) I ( / ' ) = { / ( x i , x 2 ,x 3) / ( x i , x a , x j ) e R 3}
= * ■ [(/) = ( (xj
x 3 ,x 2 - x 3 ) / (x 1,x 2 ,x 3) e R 3}
(x 1 - x 3 , x 2 - x 3) = ( y 1 , ^ 2) = » X l - X 3 =>' l
** * 1 ~ y i + a , x 2 —y i + ce, x 3 = a c on a e R
O s e a I ( / ) = R2
A
X2 —x 3 = > ’2 =>
8-50. i ) Sean H C G un subgrupo normal y u 6 G.
a e ü : u * a * u l e H . Entonces b - u * a * ü l => u * a = b * u =>
=*· u * a e H u -*> u H C H u
(1)
Sea v = u 1 = > c — v * a * v ~ l e H.
Como c = u 1 * a * u, se tiene a * u = u * c, o s e a a * u e u H =>
=> H u C u H
(2)
De ( 1) y (2) r e s u l t a u H = H u .
i i ) Como u * a e u t i a u H = H «, se tiene ¡ i * a e H « y e n consecuencia
existe b e H tal que u * a — b * u. Luego u * a * u ~ % = 6 e H , y H es normal,
8-51. f no es un homomorfismo.
8-52. i ) Sean H normal y f a un automorfismo interior de G.
f a (H) = ( f a (jc) / x e ñ } = ^ y = a * x * a l / x e t i j = ^ y / y e t i )
TRABAJO PRACTICO IX
•%19> Analizar ios axiomas siguiendo A método habitual. (Z2
es anillo conmuta
tivo, sin identidad, con divisores de cero.
9-11. i ) Asociatividad: (aí>) c = 0 c = 0 = a 0 = a (5c)
i i ) Distributividades: (a+ b) c = 0 = 0 + 0 = ac + be. Análogamente c (a + b ) —
= ca + cb.
9-12. Seguir el procedimiento indicado en ejemplos anteriores. N eutro es (1,0).
%13. Considerare1 ejemplo 5-7. No tiene divisores de cero.
■•914. i ) / e s un morfismo, pues:
1 .f[(a + b s f l ) + 0c+d V I ) ] = f [ ( a + c ) + ( b + d ) \/~ 2] =
= (tf+c) - ( b + d ) y / 2 = { a -b > / 2 ) + ( c - d V I) = f ( a + b y / l ) +
2.
+f(c+ds/l)
f [{a+b y / 2 ) (c + d y /2 ] = / [(ac+1 b d ) + (ad + b c) s / l ] =
= ( a c + 2b d) - (ad+bc) % / l
f (a+b s f 2 ) . f ( c + d V T ) = ( a - é Va! ) ( c - d > / 2 ) =
= (ac + 2 ¿ d ) —(ad+bc) %/T.
i i ) / e s biyectiva.
9?/5. Verificarlos axiomas.
i>. i ) 0 e Aj a 0 e
ü í
A
=> 0 6 As n A* =» Aj n A-j =* 0
A-¿ w A
A * i ; A^ CI A
¡ii) íl é Aj r i Aj
b c A] r,
=» a + b’ e A¡ n a 2
-i«» a fb' € A |
'· 3
i ’S ,-'c ~
Esto prueba que (Ai n A2 , + )e s subgrupo de (A , + )
iv) El producto es ley interna en A, pues a e A t n A 2 a fo e A¡ n a 2 =»
= » iifA ,
a b e A 2 =>■ a b e A t O A 2.
v ) La asociatividad y distributividades se verifican por ser Ai n A 2 C A.
9~17. Si en A existiera x
0 tal que x " ~ 0 o sea x . x . . . x = O, entonces habn'a
divisores de cero, lo que es absurdo.
9· 18. i ) Sea a
b módulo n => n \ a ~ b => a — b = n k
(1)
Además b — nq + r
=> a = ( k + q ) n + r
a
a
0 < r < m. Sustituyendo en (1): a — nq — r — nk =>
0 < r < n. 0 sea, r es el resto de la división de a por n.
ii ) Sean a y b tales que a = nq +
=> n\fi — b => a ~ b.
r
a
b — n q ’ + r => a — b = n (q — q ' ) =>
9-19. i ) a < b =*· 0 < 2 > ~ a => - b + Q < ( - b + b ) - a
ii ) a = 0 => a2 — 0 =* 0 < a2
a e Af =* ¿r e ¿C = > 0 < a 2 =* o < i
a c A ' =¡> a 1 £ A* =*· 0 < ¡r
Tener en cuenta 9,8
=*~b<~a
9-20. i >Se sabe que \ a + b \ < \ a \ + \ b \
Sea x - y = z => x = z + y => ! jt ! = i r 4· y i =» | x | < ¡ 2 ¡ + | v i =»
^ ¡ x l - O
’ K U
l
=5
" i x ! ~ - ¡ v | < i jc — >·
1=
* \ x - y \ > \ x \ - \ y \
ii )Por un error tipográfico, el enunciaüo se corrige así IUI — í>’l!
Utilizari ) y 9.12.2.
iii) x ! y a y =?=0 =* y = x k
=> \ y \ \ k \ > \ x \ { k \ **
a
¡v
k i= 0 =» I y i - i x ! i k i * · i k ! > i
=*■
\ > \ x¡
i i ) ;t e I a y e l =* n x - 0
a
=> nx - n y = 0 => n ( x - y ) = 0 => x - y e I
jcel
a y e l => nx = Q a ny = 0 =» ( nx) ( ny ) =
ny = 0 =>
9-21. i ) 0 e 1 =*· I # 0
iii)
~ .vl-
n ( x y ) = 0 => x y e A
iv) x e 1 a a e A =» n x - 0 a s e A =>
= > .ta e ! a a x e l
0 =>
n [n
(x y )] = 0
=>
=>
n (xa) = 0
a
n ( a x ) = 0 =>
9-22. Sean A un anillo de división e 1 cualquier ideal propio no trivial. La tarea se
reduce a probar que A C I pues por definición, se sabe que l C A. C o n o l es no
trivial, existe un elem ento no nulo a e I y por ser A un anillo de división, a es
inversible;en consecuencia, a a ' 1 = 1 es un elem ento de I.
Sea x e A; com o 1 e I, se tiene .v 1 € I, y por lo tanto x e I. Luego A C I.
9-2J.
í
»
} Teniendo eii cuenta 8-27. resulta \ K* ,
i
un grupo jfeesiano.
p r o d u c id es k > de c o m p o s ic ió n interna e n R * p o r i;i ¿ le liiiíc /ó n
dada.
Falta probar-que es asociativo, que el neutro es !l . 0 , 0 , 0 ) , que toda
cuaterna no nula tiene inverso multiplicativo (emplear los m étodos habitua­
les). La no conmutativídad se verifica con un contraejemplo.
ti
iii) Se com pleta demostrando las dos distributividades del producto respecto de
la suma.
Referencia: Vectores y Tensores, por, Luis A. Santaló, pág. 87. Editorial
Eudeba, 1961.
9-24. Sum ándolas ecuaciones Ojc + Oy = Oy el conjunto de soluciones es Z s .
9-25. Sean a\e
a
b\e
a
m c d ( a , 6 ) = l ;a|c = > e = a x
(1)
RESPUESTAS A LOS
4:14
TRABAJOS PRACTICOS
Por hipótesis y (1) es b\ax. P or 9-8 ü ) se deduce b\x, o sea a-= by.
en ( 1) queda c — ( a b ) y *=> ab\c.
9-26. Sean mcd (a,b) = d a ale a b\c. Entonces d - sa + tb
Luego de — saby + tbax — (sy + t x ) a b => ab\dc
a
Sustituyendo
r = ax — by.
9-27. i ) 2| 10 =*· 2|10 d Como 2|m, resulta 2 |1 0 d + u, o sea 2|n.
ü ) 319 => 3)9 ¿
Luego 31«.
n i) 1 l i l i J
·.
Como 3 Id + «, se tiene 3|9 c? + d + «, es decir 3|10<i + «.
ll\á -u
* ♦ l l i l l d — ( d ~ u ) «* U | ! 0 r f + « -*· 111«.
Por ejemplo, si n = 132 como 11113 —^2 resulta 111132.
;
9-28. i ) 2
ii) 5
;
íii)2 l
;
iv) 5
(•-29. alb => b = ax => \b\ = ia¡ bel = a bel pues a > 0 ya que i¿| < a , o sea a > |¿ ¡ > 0.
De
¡¿í
=
a
a > |¿ |
\x\ a
resulta a > a lx| => M < 1 =* x = 0. Luego
b = ax ~ 0 .
9-i0, Supongamos que a — bq + r a 0 < r < ¿> y a — b q ’ + r ’ a 0 < r ' < 6.
E n to n c e s bq + r — b q ’ + r ’y b ( q — q ’ ) = r ’—r =»· dj r ’—r
( 1)
Por otra parte r ’ < 6
A d e m ásf< 6
r > 0 = > r ’—r < b
A
a r ’ > Q = * r —r ’ < b
De (2 ) y (3) resulta Ir’ — r \ < b .
(2)
(3 )
(4)
De acueido con 9-29, de ( 1) y (4 ) se deduce r ’ - r - 0, sea r ’ = r. Entonces
b (q — q " ) = f — r - 0 = * q — q ’ — 0 => q ’ ~ q.
9-31. El algoritmo de Euclides se reduce a
<71
?a
a
b
/•1
rt
r2
0
</3
mcd ( a , b) = r2 . Por el algoritmo de la división entera, se tiene
a-bq^+r,.
y b = r t qt + r2 =#■ r2 = b = b - q z a + q t q t b = ( ~ q 2) a + (1 + q x q 2) b
q2 = 6 - q 2 ( a - b q ¡ ) =
'M-?. Mediante 9-26, como mcd ( a , 6 ) = d. a\m y b\m, resulta ab\dm. Probar que
dm\ah.
9-33. a ~ b => n \ a ~ b =>,a - b ~ n h =*> a = b + nh => a* — ( b+ n h )h —
= ¿ fe + £
« M hl-nq =»
=*■ afe - ¿>fe = « 2
n \ a k - b h =* tP ~ b k
9-34. En 5-8 está comprobado que (Rnxn , + ) es grupo abeliano. Verificamos entonces
A6 : El producto es ley de composición interna en R " xn, de acuerdo con 9-2.
A 7 : Asocíatividad. Sean A , B y C en R " x", y los productos A (BC) y A (BC).
La fila i de A es: at l , a l2 . . . . , ain. La columna j de BC es
n
n
n
2 b u , Cf,j , S b2h £'k¡ · · ■ · ■ > 2 b nf¡ t ’hj
Je~1
k=l
*=I
Entonces el elemento ( i , /) de A (BC) es
=
f
t
h=i. *= i
a¡h bhk ck i =
2
n
2 aih
h~ 1
( Í a m bh k ] c k¡
ft=i \ft=i
y
n
2 bhk ck¡ =
k ~1
que es el elem ento( / , / !
de (AB) C.
A8: El elem ento genérico de í es 5 a (delta de Kronecker) definido por
i =£/ y 8¡j = 1 si i — j. E! elemento ( i , j ) de A I es ^
+ <r¡2 ¿ 2/ + . . .
mente I A = A.
Sjj + . · · +
= 0 si
a ¡fc Skj - a¡¡ 6 ¡ +
8 nj· = fly 1 = ay => A I = A, y análoga­
A9: Sea C (A + B). La fila i de C es: c¡ i , c¡2, . . . , cin
La colum na; de A + B es: a \¡ + b \ ¡ . a2¡ +
. . . , a n¡ + b n¡.
n
Entonces, el elemento (/ . /) de C (A + B) es
2
k~l
c ih
(ahj + bkj ) =
n
n
= 2 c ífe ah¡ + 2 c,* bkj, que corresponde al elemento ( i , f ) de CA + CB.
*=i
k=l
O sea C (A + B) = CA + CB. Análogamente se prueba (A + B) C = AC + BC.
9-35. Hipótesis) Para cada m se verifica
V h < m : ? (h ) es V
P (m) es V
Tesis) P (m ) es V, V « e N
Demostración)
Suponemos que H = { i e N / P (x ) es F } # 0 · Por el.principio de .buena
ordenación, existe en H el elemento m ínim o m, tal que P (m ) es F (1), y
K m = » P ( í i ) e s V . Ahora bien, por hipótesis resulta P (m) es V, lo que es
contradictorio con (1), o sea H = <f¡.
9-36. ac ~ be => n\ac — BC =*> n\(a — b ) c =*> n\a — b (porque si un entero es divisor
de un producto y es primo con uno de los factores, entonces es divisor del otro).
Luego a ~ h
9-37, i ) S e a n |o j, £¡¡2, . . . , an j una clase completa de residuos m ódulo n y a¡ =£ a¡. Si
a¡ ~ fl;, entonces a¡ y aj pertenecen a la misma clase de equivalencia, lo que es
contradictorio con la hipótesis.
Recíprocamente, si a¡ t 6 a¡ , Vi # /', entonces dos elementos cualesquiera y
distin ¡os no pertenecen a la misma clase de equivalencia, y en consecuencia
( a , . a·,......... a „ \ es una clase completa de residuos m ódulo a
i i ) En efícto. supongamos que aa¡ aa¡ para algún /¥=/. Entonces nlaa¡ —aaj. o
sea rru (a, — a,\. y com o a y n son copam os, se deduce que
- a,, es decir
a¡ -“’a . Esío
contradictono con la hipótesis.
9-38. Sea !a clase de restos módulo p : 0, 1, . . . , p — ¡. Como a ^ 0 ya que a no es
m últiplo de p, aQ, a l , a 2 , . . . , a ( p — 1) constituyen una clase completa de
restos módulo p, por 9-38 i i ). Entonces cada elemento de la primera clase es
equivalente a uno de la segunda, y recíprocamente. Como 0 pertenece a las dos,
p o r la compatibilidad de la relación respecto del producto, se tiene
l . 2 . . . ( p ~ i) ~ (a 1} (a 2 ) . . . (a ( p — 1))
O sea ( p - IV. ~ a " - 1 ( p — l ) ! , o l o que es lo mismo, p \ ( c f ~ l — 1 ) ( p — 1)!.
C o m o p y ( p — 1)! soncoprimos, resulta p [(o13-1 — 1) => ap ~ 1 ~ 1.
9-39. i
) a y n son coprimos => mcd (a,ti) = 1 => 1 = sa + t n = > b = s a b + t n b
=> b - ( sb) a = (íi>) n => n 1b - ( sb) a => a ( sb) ~ 6 =*■ s 6 es solución de
ecuación.
=>
la
i i ) Sean s. y s 2 soluciones de ax = b (mód. n ), Entonces asx ~ b a as2 ~ b f>
=> as, ** as2 , por la simetría y transítividad de la relación. Se tiene
n\a(sl — s2) y a coprim o con n => n |j| — s2 =*■ Sj ~ s 2
iii) Siendo a y n coprimos, y n primo, por 9-38 se tiene an~ 1 ~ 1 =>
=»■ a ' - 1 b ~ b =*aan ~ 2 b~*b =»x = a n~ 2 b es solución de ax
(mód. n).
9-40. i
) Come 3 y 4 son coprimos, es mcd (3 ,4) = 1 = (— 1 ) 3 + 1 . 4 =>
“·> ib ■· 1 i 7 = —7 es solución. Todos ios congruentes a - 1 módulo 4,
son sjlucwne» {vei 9-39).
ü ) I2Lt - ó =» x = 6 + 12 k
k e Z son soluciones,
iii) De acuerdo con 9-36, — 2 x — 12 =»· x ~ — 6 luego de cancelar — 2, que es
coprino con 11. Por 9-39 iii) es x — \ n ~ 2 .(— 6 ) = ~ 6 una solución.
Resulta K 3 el conjunto de las soluciones
9-41. i ) j
* j
= ab '1 + c d ~ l = ab~l d ' 1 d + cd~l b"1 b = (a d ^b c ) (b d Y 1 =
ad + b c
bd
ii) y
■ ~
- a b ' c d 1 = (c c ) (bd) 1 ~
« 9 xb
- -§d
-
íb +
bT
- dÍ
+ dÍ
-
d
b
9-42. Sean K , y K 2 subcuerpos de K. Como 1 e Kj a 1 e K2 , es 1 e
n K2 , o sea
K j H R j # 0 . Además K , C K a K 2 c K => K , n K 2 C K. Mediante la con­
dición suficiente 8.4.2., e! lector puede dem ostrar que (K , n K-, . + ) y
« K , n K2 ) —( o ) . . ) son subgrupos de (K , + ) y de ( K — ( o ) , . ) , respectiva­
mente. La disírihutividad es consecuencia de que Ki O K2 C K .
.....
.
l .
1
,
<. V '
—
9-fJ. ! .!>'?■" ( =» X -TV' = X -r V — —
ii ) X h + v H > i —
2^'^
=> x h* 1 + y h* i >
"
~ih
En efecto, ( xH - y h) ( x - y ) > 0 =*· x h r i + y h * 1 - y x h - x y h > 0 ==·
=> .vy h + x h y < je** 1 + y *** => x H* 1 +· x y h + x n y + y h~ l < 2 x h ^ 1 +
+ 2 y »* 1
(x h + y h ) + .V ( x h + y h ) < 2
*1 + y
=» (.*+>·) (xh +yh } < 2 \ x '
Por la hipótesis inductiva
v * · + ,»
*■ > ( * » + /) ^
J
2
* i n£h -il ! ^
K
2
1- -
i í ± £ ^ -~>h
9-44. ÍQ ( %/3) , + , es u n subcuerpo de (R . + .
Basta probar que (Q ( y/ 3) , + ) y
(Q ( \/3 ) —10 } , . ) son subgrupos de (R + ) y de (R — 0 } ,.), respectivamente.
(Ver 5-7).
9-45. i ) (rae) (m„v) = {x-bc+ . . . + x ) (>’+>■+ . . . +>’) =
n
m
= (nm ) ( xy)
ii ) ine) {me) = ( nm) (ee) = (nm) e
x y + xy + . . . + x y =
nm
9-46, i t p x ~ ( p i ) (ex) - í pe) i i x I - ü x - 0
Debe notarse que p y 1 s . c i í elsnitriio? dé N y no· de K
i i ) Si p n o fuera pr:.,..o. admitiría ía descomposicior. p =p-¡ v 2. con I < p t ■' p
y i < P i < pEntonces p e - ( p , p 2) t· = í p¡ r·: 1 < ? > - { p t e) j p z e) = 0. Y como no
existen divisores de cero, resulta p¡ e — 0 v p z e — 0 : o sea. la característi­
ca es p x o p 2 , lo que es contradictorio con la hipótesis.
9-47 (x + v f = xp +
sumatoria
2 ( ^ ¡ ') xP~ ' -v' + >J ’· Todo término del desarrollo de la
tiene coeficiente
P i P ' 1)
--------------- :,
l P ~i + i)
, , ,
................. — , donde la
,,-í
característica p es u n factor. Por 9-46 i ), tales térm inos se anulan y resultan
(x = y ' f = x p + y p .
9-48. i ) El conjunto j x e ( J / jc2 < 2 j carece de supremo en Q,
ii ) Sean x
= ~
c¡
e y
= — .
Tomando n > q r
s
se tiene
=* n p s ~ q r > 0 => ——— — > 0 => n — — — > 0 = > n x >
,
qs
q
s
n p s > q r =>
—
s
9-J9. Ver 6-66 y 6-67.
9-59. i ) Sean A,· = a n . a j2, . . . , a <ní con i e N, tales que i # / =» a,· O A,· = 0.
Definimos
oe
/:
S A,· -»-N mediante
i- 1
i~ 1
/(% )=
ii ) Sean
*oo
E n h + /. Como / e s biyectiva, resulta S A ( numerable.
h- l
1= ‘
i
A ]:
Aí :
A3 :
#12
Gzí'
¿?32
y
«*f
a ir.
«23
a 2n
«33
*’
’
^3 n
Ordenando según el proceso diagonal de Cantor, resulta 2 A, igual a la
¡= i
unión de una familia numerable de conjuntos finitos, que es numerable por
IOS. Sea
—
e Q una raíz, con mcd ( p,<?) = 1. Se tiene T . E l
<7
v. <77
=> p n + <?" (a0 + «l
?
+ ...+
+ ¿ a< f — ) = Q=>
í= o
v ?y
a „ . j 0 =» p " + <z0 <j” +
q n. i J t
+ a¡ p<7n ;* + . .. + a „ . i p ” ’ 1 ¿ ? = 0 => p n + q (a0 q n' x + a r p q n~2 + . . .
4
+ a „ ., p ” ' 1) = 0 =>· p n + ¡j s = 0 =*■-<? s = p " =** q | p n y siendo p y <y copri­
mes, es q 1p , es decir <? = ± 1. Luego -2- e Z.
/ 0 · 9. i ) Considerar la ecuación x 2 — 5 = 0 y verificar que carece de raíces enteras,
i i ) Si d es la diagonal y a la arista, se verifica d 2 — h a 2 =*· ( j ~
=3.
Haciendo — = x . considerar x 2 — 3 = 0 .
a
10-10. Sea p e Z raíz de la ecuación. Entonces
p " +«„_! p ” -1 + a n.2 p n' 1 + . . . + aj p + a 0 = 0 =>
=> p . í + a 0 = 0
con
s = a n. i p ” "2 + . . . + a%
p ( —s) = a o
PI
<*·
/ 0 - / / . Considerar — e Q con mcd ( p , q ) = 1. Si fuera raíz, al sustituir se llega a
Q
_
*
1
= ± —- , valores que no satisfacen a la ecuación.
q
3
— = ± 1o —
q
J0-/2. Sea s/2f + % /J = x => 2 + 5 + 2 V lO = x 2 => 2 VT5 = x 2 - 7 => x 4 — 14.v2 + 9 = 0 tiene como raíz a \ / 2 + y/5, pero carece de raíces enteras.
10-13. En efecto V,· \f¡ se verifica:
1
= b)
“ = 3 < 3 * w 10=' " ' i
1
2
Para V*3:
1
2
1,4
1,5
1,7
1,8
y
V
b¡ = 3 -
»/“ 3 - - w
1,41
1,42
1,73
1,74
< 3+ W
“ *!
Resulta:
V T-V 3:
2
4
3,1
3,3
1
1
- 0 ,4
- 0 ,3 ,
V T .-A 5 :{ J
2,38
2,70
Parí v " ’ · V 3 , obtener
10-15, i ) A = Q ' u %
3,14
3,16
-0 ,3 3
-0,31
2,4393
2,4703
“ Como se indica «n
V 3
e Q r / jc* < 3 >
ií ) A = Q ' U ( o j U |.r e Q* / x 2 < 5/
10-16. i ) [ - 4 ,9 ]
i i ) ( —00 , - 3 ) U {—1 , +°°>
iii) f - v l , \ r í >
iv) (-°= , - V 5 ) U (% /T , +<*>)
v) De x 3 < x resulta
x íx-H ) ( x - l ) < 0 => x € ( - « , - i ) U (0 ,1 )
ÍMítMiíMU O-
-1
-O iM M WW0
1
vi ) ( x + 2 ) ¡a1-1 } (¿c-2) x < 0 =* x e í - 2 ,0 ) U {1,2)
— o w m m tím M w m m w m ----------- -m m m m m p —
-2
0
1
2
Extremos inferiores o ínfimos: —4. no tiene. ~ s ¿ 5 , no tiene, no tiene, —2
Extremo; s u p e r ite s o supremos: 0 . no tiene, v ' C- . uo tiene. 1, 2 .
1(1-17
É0-IS.
< s fl
v ~ .
Jtas inferiores son los racionales menores o iguales que 0; colas superiores.sur.
ios mayores o iguales que 1. El supremo es 1 y el ínfim o es 0.
10-19. i ) Cota superior es todo real mayor o igual que s/2.
C ota inferior es todo real menor o igual que 0.
Supremo es y/ 2; ínfim o es 0.
ii) B =
— v 2 ] U [ \ ¡ 2 , + °°). ts¡q está acotado y carece de extremos.
iii) C = | V 2 , + «>). No tiene cotas ni extrem o superiores; está acotado
inferkrm ente por todo real menor o igual que \ j2 , y el ínfim o es \ /2 .
10-20. Sea c e C =s· c = x + y con
a y < í b ^ > c * í a + b=* · a + b e s cota su­
perior de C.
V £ > 0 , 3 x e A a 3 y e B / « < x + £ , a b < > ’ + £ , y si c ’ es otra cota
superior de C, entonces a + b — 2 £ < jc + y < c \ o sea a + b < c ' + 2 .
Luego a + b < c \
10-21. 3 x 2 - 2 x - 1 < 0 = » 3 ( x - 1) f x + 4 -) < 0 => x € I —
Infimo es — ^
, y supremo es 1
10-22. St Uxk' -Ve A verifica x < a
¡ 0-23. m . \ ' á = x
J■
£ <
■% y f c t z y *»<x = x n
e! >upreTno no sería a. lo que es absurdo.
\
x
*· a = ( vm r = v m " «*·
m n /·""
ss> V =
v »
10-24. i
=
— <|a.6 j· ~ [a.éj ~ (O.J]
Porque la diferencia entre un conjunto no numerable y un conjunto a lo
sumo numerable, es c oo rd in a b le al primero,
í i ) Dividimos el intervalo (0,1) en n partes:
o i
0 K
«i
a2
n
Se tiene [0,1) = 2 Í£tf. t , a ¡ ) = S B¡
V¡ = 1,2, . . . , n es A,· ~ B, = > 3 f ¡ : A¡ -*■ Bt biyectiva. Definimos
n
n
2 A i ^ 2 B¿ mediante f ( x ) = f i ( x ) si x e A,·, la que es biyectiva.
rt
í' i
Luego X A¿ "‘í i [0*1 f-
f:
í- í
i) Conádeíumus
[Qj
í
lie
- i succsión a*, = l < a-t < . -
■O 1
i 2
3/4
7/8
Se tiene A¡ ~ [i2(_ t , a¡) V i e N y con el mismo procedimiento utilizado en
■
·.·■ám,£i,¡»·.A.
yEm m zM sm s
462
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
10-25. i ) 2 nAÉT
ii ) log 2 5 = log^ ~ -
/0-26. i ) 2 V 1
ii ) \ f i + s p l ; - - i (1 + v^ 2 + V T ) (2 - V T )
/0-27. i ) Aplicando 10.9.2 iv)
¡9gr * 3" + log 2 (2 x)* - i o g r ^ = 1
( 2 jc) 3 = 2 « * * =
ú ) ( \ l ) x = il +
;'0 ‘2 8 .
1 => x = 1
4 . 4V- 3 , 4*= 1=> 4y = I => v = 0
¡0-29. x * x = x xl 2
a
*#1
=> V T = -y-
=> 4 x ~ x 2 => x = 0
V
x=4
En R’ son soluciones 4 y 1.
¡0 ~ M Sustituir log, x por
—
— -— en la primera ecuación y se llega a 3 (log* y ) 2 —
1ob* y
4 log* y + 3 = 0, que carece de raíces en R porque & = b 2 — 4 ac = — 20.
Si la primera ecuación tiene segundo miembro igual a
las soluciones ( 2 , 8) y ( 8 ,2 ).
- , el sistema admite
11-16. (8 4-2 >/3) M 2 + 3 v § ) /
11-17. a) z ~ — 1— 2 i
11-18. a )z = 4 í
b) z = — 1 + i
c) z — 1 — i
b) — 1 + s/6 i
b ) : = - ~ ------- i
11-19. a) z —— i
//-2 0 . a) z = -----1- + ■— s/6 i
11- 21. a ) z = ± { l + / )
c) 2
c)z= —
+ /
- y 4· ~ - /
b )z = 1 — 7 /
b)z=±(l - 2 Í)
d) z — — 2 ¡'
d) 1
d) z
= - i
c ) z = y - + -y- /
c) z = ± ( v ^ - V T + i \ / 2 + v l )
//-2 2 . a) Zi = 2 (eos 30° + / sen 30°)
b ) z 2 = 4 (eos 240° + i sen 240°)
c) z 3 = \/T ( c o s 225° + i sen 22 5 °) d) z 4 = 3 (eos 270° + i sen 270°)
11-23. a)z* = — 64
b ) z 2 z 3 = 4 \ f l (eos 10S° + 2sen 105°)
d)«r-32/
11-24. z 2 —4 i
11-25. f ( ! ) = a z 2 + 6 z + c = a z
+ 5z + c = a z 2 + ó z + c = (J = 0
/ / - 2 4 ¡z2 — ?| = [(senv — eos 2 a f + ( 3 cosa + sen 2 a) 2 Jh
//-27. « = - - 1 , b = - i / / - 2 4 1,/,
11-29. z \ = 3 , z 2 = —1 + 2 /
, f 3«
^
11-30. x - - j j
-
3
13 2 , J -
1 6 , 1 1 .
j3
i3 1
11-31. á) - z + z = 0 = ü = - z + z = - z + z = '^r z
Cancelando Y resulta - T = — z
b) z t - z 2 = z j + ( —z 2) = z"¡ + ( - z 2 ) = r ,
C) I z J = l z ¡ - Z j + z 2 | < | z , - Z 2 \ + |Z 2I
Luego | z , | - ]z2¡ < | z i - z2\
— _ zi_ - - Í J ± \ J- =* J l
2
e) 2l = ÍL Z2
■= f-ÍL
z2
z2¡,
|Ii_| \z2\ => _íi_ =j-~
1■--z ’ —z
1 z · z
11-31 |z~‘ — z ’"1! = !— - —.
f z ’ - zl
ir ¡
¡2 |
/ / - J J . |z + : ’\z + \z ~ .z ’\* = ( ; + : ‘) i F + ? ) + ( - - : ’ í ! ; - : ‘) =
- s ? + 0 + y j + r f * + « - z / ~ z !z + z ’z r = 2 |z|2 + 2 ¡ z f
/ /-J*¿ i ) n = 1 => (e o s ,r + i sen .v) 1 = c a s x + i sen x — e o s 1 x + 1 sen 1 x
ii ) ( e o s x + i s e n x ) h = eo s t e + 1 sen hx =*■ ( e o s .y + i sen x ) íl't 1 =
= c o s (ft+ l);r + í sen (f t+ 1) jc
Aplicar al primer miembro de la tesis la definición de potenciación, y luego
la hipótesis inductiva. Ver 11.9.3.
li- 3 5 . i ) Está resuelto en 11-10.
i i ) Aplicar 11-34. y cubo de un binomio. Igualar después las partes real e
imaginaria.
11-36. i ) Siendo ], w y w 2 las raíces deje 3 - 1 = 0, es w = w 2 y además
1 + vv -I- w 2 = 0 . Entonces 1 + w 2 = — w =»(1 + h ·2 )4 = Í - w ) 4 =
= vv3 w — 1 vv = w
ii ) (1 — w + vv* ) (1 + iv — w2) = [l + (w — vi?)] [I - (vv - w )] =
=
1 — (h> — w j 2 = 1
—w1 + 2 w w — w2 =
1 — w 2 + 2 w i v 1 — vv4 =
= 1 —H!J - vf + 2 w 3 = 1 + 1 + 2 = 4
11-37. i ) w = ±(1 - 4¡)
¡¿'Ja.
2
m-jv.i
i i ) w = ± {3 ~ 2 /)
)-r¡ = I ·*■ _ i
,
rr
~ v - ·
,
x¡ -
,
,v.
1
- i
s ·■·—
^ ,v -
iii) vv = ± ( V T o + y / l i)
3 - 2¡ ± V f - 3 + 2 T F + 4 7
n j x — -----
-------~—
¡' 3 i 5o 4- 2 k it
. .
“ ·— -----------3: ' · * - 1
-jc^í-------- ............... r ,· *t¡ ■■
■4
.
4
.->■
con k = 0, 1, 2. 3,
. 1 1f = 1 . »>= 2 7 0 « . « , = « *
+ ,
i í í l l i l
con k ~ 0 , 1. 2.
iii) p = 8 , i p = 0 , wh = 2
iv) P = 2 ,
cos ^ - - | W + i sen
= 30° , w k = y / 2
= 0 , 1, 2.
c o s f ^ l± l|_ T f
, k = 0 , 1, 2 .
+ .^
30^_+ 2 k n \
=
11-40. i ) p = \ / 6
, >p— 31 5o =■
ii ) p - e , <p =
n
, ln
7r , ln 2 = ln \ f h + i
z=
I + /
tí +
2¿
rt + 2 k ' n ' \
j
iii) p - 4 , (¿?=0 , In z = ln 4 + 2 k ti i
En todos los casos k e Z , y el valor principal se obtiene para k - 0.
11-41. i ) !n vv ~ (1 ~ i) ln ( V T — i). Para el logaritmo es p = \ Í 3 , tp— src
- vT
fg
----- en el cuarto cuadrante.
Luego vv = e' 1
r
7T1
ii ) ln w = 2 i ln 3 i = 3 /! ln 2 + ¿ t I =
L
2j
3
-~jT-3¡in:
= — — 7t + 3 / ln 2 => vv = e
,
iii ) ln vv = - r- ln 1 1 — j %/3!
i
- - i (
'
W= e
11
11-42. i ) z = 0
!n 1-*-; !! — · = 1 1 —~ - i in
“
h/
' h
6
-¡ln 2
i i ) z ln ( ~
+ i
= ln / => z =
11-43. i ) Resolviendo la ecuación cuadrática en x ‘ , se obtiene x ‘ = i + i
= 1 — i. de donde, después de aplicar logaritmos, resulta
¡
11- 44, i )
v
x‘
V ,‘s
Es la recta, jc = — 2
ü ) {.v.v ) / - 2 < v < 3 )
iii) ¡z + 1| > 2 =* (jc + l )2 + y 2 > 4. Es el exterior de la circunferencia de
centro (— 1 , 0) y radio 2 .
í v ) | ( j c , j / ) / ------ j
< x <
a
x2 + y 2 =
4}
v ) |( < p , p) / 45 °
135°
a
p<2}
vi) ¡x + y i — 1 + ¿1 = 2 => (x — l )2 + ( y
centro (1
1) y radio 2 .
+
l )2
= 4. Es la circunferencia d
11-45. i ) |z + 1 ¡2 = ( i + l )2 + y 2 (1) , Iz — 1|2 = (x —l )2 + y 2 .
estas igualdades: \z + 1|2 — \z — 1 |2 = 4 x =>
Restando
■ • 3 ( 2 + l | - | z - l | ) = 4 x =*· |z + 1| — |z — 11 = ~ x
(2)
Como \z + II + \z — II = 3 (3) , sumando (2) y (3) se tiene
i
2
,
x2
v2
-t-II = ~~
+ —x, que sustituido en v i; conduce a g + ' ^ = l . E s
T
la elipse de semidiámetros a —
i i ) Luego
de
3
I
,b —
IT
VT
¿
elevar al cuadrado y operar algebraicamente
se llega a
resulta
( x 2 + y 2 ) — 2 c 2 (x2 — y 2) ~ 0
y en
coordenadas polares
¡? — 2 c2 eos 2 ¡p — 0. Es la lemniscata de Bemouilli.
/1-46, Tener en cuenta que eos kx ~
E fectuar 2
2
*= 1
eos kx =
gihx ± g - i k x
2
£ e x +
fc = l
2
'
e-
* mediante las sumas de ios n
*1= 1
primeros términos de las dos sucesiones geométricas. Luego d e operar se llega a
n
¡(n+l)x _ -Í M
1 + 2 É eos fcr = ------- :--------------j»=i
ex —1
11-47. No es una identidad. Basta dar un contraejerplo: z — 2, w = 8 .
11-48. z ~ —y/ 5 + s ¡ 2 i => z = —
y/2
=*■ p = \ / 7 , ¡p = are tg —
en el tercer
V5
cuadrante. Se aplica la fórmula ln z = In s / l + / (i¿>+ 2 £ ir)
11-49. i
e* e‘y = eu e,v => x = u a y = i» + 2
n ff=>z = x + y i =
= w + (v + 2 n ») i = ii + iv + 2 n n i = w + 2 n n i =*■z — w = 2 « ti / con
n e Z.
) e* = ew
i i ) z — w = 2 nft i = » z = w + 2 flit¡ =>
=* e* = e “ 1
= ew+2nni => g* = g“ . £ =»
Í /-5 A i ) 2 eos z =
+ <?-** = ei(x+,y> + e~ i(-x * yC> =
= e y (eos x + 1 sen x) +
(eos x — i sen x ) =
= eos x (ey + e~y ) — i sen x (ey — e ' y ) =
= 2 eos x ch y — 2 i sen x sh y =>■ eos z = eos x c h y — i sen x sh y.
ii
) Utilizar el mismo procedimiento para sen z.
11-51. i ) z —z ~ i =>_y= ■— .R esulta
v)
ii ) ¡z¡2 — z + J => x 2 + y 1 — 2 x => x 2 — 2 x + y 2 — 0 =» x 2—2 x + 1 +
+ y 2 = 1 => (x — \ f + y 2 = 1. Es la circunferencia de centro (1,0)
y
radio 1.
ii í) F —z ~ x = 0 =* z F — 1 = 0 = * |z¡2 = 1 => x 2 + y 2 =1. Es la circunferercia centrada en el origen, de radio 1.
iv) z _1 + z = 0 =*· z2 + 1 => 0 =» x 2 — v2 + 1 + 2 x v i = 0 =>
=>■ x 2 —y 2 + 1 = 0 a 2 x v — 0 =*
=*· y 1 — x 2 = 1 a (.v = 0 v y = 0) =*
f ;.2 _ V: “T
IA Y = 0) V ( J ·2 ~ X 2 = 1 Ay
=* ( y ~ í 1 a x — 0) v (— x 2 = 1 > y = O) =>
~
0) =*·
z —^ i
v i ; ’ 1 + : e R » ( i # 0 a y = 0) v x 2 + y : = 1.
Es Sa unión de la circunferencia de radio ! con centro en e! origen, y el ye
real, salvo el origen.
*
vi) - = z 2 =*· x + y i = (x —y i)2 « ► x + y i = x 2 —y 2 — 2 x y i «*■
=> (x2 — v2 — x ) + (— 2 x v — v) í = 0 =>
=> x 2 — x —y 2 — 0 a y (2 x + 1) = 0
vij) \z + ii = ¡r + 2 i\=> ¡x + ( y + 1) /'i = ¡x { y + 2 í ¿¡
=5·
=>X + í v + 1 !2—y ? + i v + 2 r
y r ~ 2 y + I ~/y y ■+ 4 r -M =>
=> 2 v + 3 = 0 => v = —~
2
. Resulta /(x .v )
^
v= — ~ f
-
11-53. Sabiendo que |zj + z 2 1 = iz¡ f + \z2 1 hay que probar que existe a > 0 en R, tai
que z¡ = c* z¡. Si alguno es 0, la propiedad se cumple obviamente. Supongamos
entonces z t # 0 y z2 =#=0 .
=s> R e l z i z 2) = a z 2\
(1)
Sean 2 1 = x + y i
sz ~ tt + i v
se tiene:
(xu+yv )2 = (xw+yv )2 + ( y u - x v f
posibles consideramos v =# 0 =*■ x =
= (xM+yv) + i ( y u - x r ) y por (1),
~
=* y u - x r = 0 => y u = xv. De los casos
=>· Zj = x + y i = ~ y + y / =
Aliora bien, como Rí" (zj ¿ 2) —lz i I lz 2 l => R f ( « 2·2
=> a Izjl 2 = | a | |z 2¡2 =» | a | = a => a e R * i U
) == 1ctz21 I^ 2 1
.
//-M i
A
=? 2
f 1
*
¡v
s4
) (eos 840° + i sen 840°) =
(- e o s 60° + i sen 60°> =
lo
\.
~
(eos 120° + i sen 120°) =
~
^
w
a ·
__
a
1
_
a
sen a - 1 jen a
sen a i - /
sen a
i
i- ;· es p = V 2 , ^ = 4 5 °. Luego
__
4
<p— 210°
\
*>—
+/ ^
J +J_
V 4
-¿ --icos ]gQO _ 1 sen 180°) = -- 4sen a
iii) 2 =
sen a
1+'
s/3 -i '
P a r a l + / es p - s f í y ^?= 4 5° ; para v ^ T - / es p = 2 y <¿=330°.
t —
(cos 4 5 ° i sen 4S°)
4_
4 (eos 9 0 ° + 1 sen 9 0 °)_____
Z ~ 2 (eos 330° + i sen 330°) ^ 2 “ 16 (cos 1320° + 1 sen 1320°)
_ _1_ _________ i __________ _ _1_ _________ i _______ __
4 eos 240° + i sen 240°
4
—cos 60° — i sen 60°
_ J __________i_________ i
_
s/1
1 .
4
_ J_
y¿^ ~ ~ ^ 2^ 2¡V T
2
2 l
2
1
2
1 /-55. i ) : w + ¡ » = ; ü ' t : w
= ’ i?<e» (2 w) «* /?e (;w + z w) — z w + z w.
ii ) z w —z w —z w ~ z w = 2 i l m (z w ) =>¡m (z w — z w ) = - j- (z w ~ z w)
11-56. Si w es raíz cúbica primitiva de 1, entonces w 2 tam bién lo es pues
m e d ( 2 , 3 ) = 1. Teniendo en cuenta que 1 + w + w2 = 0 (ver 1 1-57), resulta
í I — w) (I — v ¿) — I — h '2 -· iv -f w 3 - 1 — (w 3 t t f ) T i = ] - ¡— 1 j = 3
11-57. Para « > í, si w ¡ís raíz »-sima primitiva de I. ;-¿ l ~ w # G, y usai«;
j1+
+ H·"“ + . „ . + Wn ~ * ) ( 1 — H··) » í — Hr"' = 0
resulta 1 + w + w 2 4- , . . 4- wn~ 1 = 0
>«
( 11-58. ^
1
2
■·
1
7 '
v
1
. V 3 j"
1
t
~
1 2 -2 0 . 1 ) 3 = 2
,
6 —3
,
<' = 4
ii)j = 1
,
b — - i
»
c = —1
12-21. i ) 2 P - Q = 4 X4 + 2 X 3j + T X + 5
_
_
i i ) P . Q = T X 5 + T X 4 + 3 X 3 + 5_X2 +T_X + 3 _
_
üi) P2 - Q = 4 X 8 + 4 X 7 + X 6 + 4 Xsy+ 2X4 + 5 X + 4
iv) £ (XP + 2 Q) = 5
12-22. 6 + 6 . 7 + 6 . 72 + 6 . 7 3
/2-21, N o existen ya que en R [X] si A es de grado positivo, entonces de A2 = A se
deduce ,gA + g-A’ = gA =* ¿A = 0, lo que es imposible.
/2-24. i ) C
ii) C
üi) C
= -2 ;
R = -2
= —1; R = —X 2 — 2 X + 3
= 0 ; R = 2 X2 — 1
12-25. Imponiendo ai resto (m 2 + 2 m + 1) X la condición de ser el polinomio nulo,
resulta m — — 1
12-26. i ) C = - a X 2 - a2 X
; R = - l _
_
i i ) Tener en cuenta que el opuesto de 2 es 3. Se obtienen
C = 3 X3 + 4 X 2 + 3 X + 3
; R=T
iü) C = / X 3 + X2 + ( - 2 - / ) X + ( - 1 + 2 i )
; R = 2 + 2/
iv> Después de dividir el dividendo y divisor p o r tres se obtienen
C = XJ _ 3 X + 7
y
~
= ~ ~ . o sea R = 64.
12-27. Aplicando í 2.6.2 se obtienen:
i
)X + 1
ii ) Xs + 4
iü ) X " - 1
12-28. Especializando X p o r a, se obtiene
R = P ( a ) Q ( a ) - P O ) Q (a) = 0, es decir X - a | P . Q (a) ~ P (a) ,Q
12-29. En los tres anillos de polinomios se obtiene P = (X + 2 ) ( X - 2 ) (X + 4).
12-30. Puede aplicarse 12.11.1, o bien por cóm puto directo las raíces son ± y/ 2,
±
\/3 ·
r i -s p u h s t a s a
ío s
thabajo s
p r á c t ic o s
'A Las raíces de P = X4 — 10 X 2 J,- 1 son
i V5 ± 2
= ±VÓ7f± s/3 y = ± 0 /2 ± VT)
í 2. De acuerdo co n 12.9.2., si a es raíz doble de P , es raíz de P ’ = 3 x 1 + 4 x — 4.
De P ’ son raíces — 2 y ^
.L a primera es raíz doble de P y resulta P = (x +
+ 2 f ( x - 2).
33. Baita efectuar P = ( X - a , ) ( X-oe2) ( X - t t 3) (.X -a« ) =
— X4 í - ú j X 3 + a2 X2
X -ran .d o n d e
:ii
~
■ - t Cx .
4- Ci-i
+· a 3
+
ttj )
j 2 = oí ¡ a j 4- a x ttj + . . . -f a 3 04
7
. ,
~
—í a ,
Gj
a 3' +
. . .
+ a 2
a 3 ou)
a<\ — a, a 2 ü t a*. Ver 12.12.
■4, P = X"“
5 X= + 4
í .''. i ) A es irreductible en Q [X] pero no en R [X] pues A = ( X —\ / 3 ) ( X 2 +
+ Í '3 X
v'5)
ii s B ss irreducible en ambos anillos pues b2 — 4 ac < 0.
iii) C = <X + l ) f X — 1>(X2 4 - X + D ( K 2 — X + 1) es reducible en Q (XI v e n
R[ X] ·
2
36. Si a2 = 0. es trivial. Considerando a2 =f 0 , se tiene P = a 2
¡V
ü\
\
| X + —-----J
—
A ^
— ---- Si A > 0, entonces P es reducible. Luego P irreducible implica A < 0.
44 j
R ecíprocam ente si A < 0. entonces P es irreducible en R [X J.
■37. P = X 2 + 2 X - 4 6 Q [X] con A = 4 + 16 = 20 > 0 , y es irreducible.
■38. P = 3 X 2 + 4 X + 1 \
39. i ) Reñexividad: B|0 => Bl A — A => A ~ A
Sim etría: A ~ A' => B| A — A’ => BIA’ — A =*■ A ’ ~ A
Transitividad: A ~ A’ a A’ ~ A ” = > B 1 A ~ A ‘ a B| A’ ~ A ” =>
. =* BIA- — A” . => A’ ~ A” .
ü >
—( P e K. [X] / P ~ A } y como P ~ A =*· B¡P — A => P — A = CB =*
=» P = A + CB. Luego KA = { A + CB / C e K [X ]}
•40. Probar, com o en 5-12 y 5-13
i ) A ~ A’ a C - C =* A + C ~ A’ + C’
i i )A - A’ a
C ~~ C => AC
A’C’
-41. Demostrarlo sn las siguientes etapas
i ) I es un subanillo de K [X]
ii) Q e 1 a
P e K [X] =* Q P e í
1 se llama ideal generado por A y B.
12-42. Sea{ I j ) con i e U una familia de ideales de K [X], Con el criterio utilizado eri
9-16 se prueba que H I, es un subanillo de K [X], Falta demostrar, de acuerdo
¿eU
con 12.5
Ae n
íeU
lo
!· A P e K l x j =* A P e n i ,
ifü
que es inmediato.
12-43. Sean i = { S A ¡ + T A ¡ / S
a
T e K [X] ) , y f í I¡ la intersección de todos ’-oí
ideales que contienen a A t y A2 . A i = 1 A i +
0 A 2·1. A» - 0 A¡ +
+ 1 A j =*· A j e l a A 2 e l , o sea I es un ideal que contiene a A 2 y aA2. En
consecuencia H I¡ C I. Falta probar que i c f l l , - y para ello es suficiente
demostrar: P e í « » P e n i,..
12-44. i ) x = — 2 \ T . Las cuatro raíces cuartas de i se obtienen mediante
,
wh = v p
dondep - l ,
ftp+2kn
co s^--“ —
■— y
k
<f+2k-n\
+ i sen — — ----- j
— 0 , 1 , 2 . 3.
ii ) X 3 + X 2 + X + 1 = X 2 (X + 1) + (X + 1) = (X +
1) ( X 2+ 1) — 0
Resulta x¡ = — 1 , x 2 ~ i , x ^ ~ ~ i
iii) / X* + 1 = 0 => X 3 = — j - = — i => x - y / — i. En este caso p - i \
= 3y
-
.S e aplica la fórmula de la parte i ) para k = 0 , 1, 2 .
*
7 (m — 1)
12-45. i I x , + .v ·. ·= 0 « · --------- -----------= 0 => m = l
Bm
ü ) - v l .r2 = l = ^ - ¿ - = 1
iii)
-f-
A = b z ~ 4 a c = 0 =» 49 (m - l ) 2 - 3 2 m = 0
se resuelve esta ecuación en m
12-46. i ) Como a 3 = « i + a 2 y <*i + a 2 + a 3 = - 2 se tiene a 3 = — 1. Por otra parte,
de <*i + a 2 = — l y a 2 a 2 = 2, se deduce que c*i y a 2 son las raíces de la
• ecuación t 2 + / + 2 = 0 y resulta
+ j i v r
.
V7.
ii ) De o¡! a 2 « 3 = 1 y a , a ¡ = - I se obtiene a 3 = — 1. Entonces P es
divisible por X + 1. La aplicación de la regla de Ruffini determina el
codente C = 2 X 2 — 3 X —2, cuyas raíces son a j = 2 y a ¡ = -----~
.
12-47. i ) Operando convenientemente se obtiene
—
bx (b + x ) ~ a {a + b + x ) (x + b) =*·
=> C¡2 + a b + ax ) (x + b) + bx (b + x ) = 0 =»
=> & + b) (a2 + ab + ax + bx) —0 =>
=> .* + ¿> = 0 v (a 4 b )x + a (a + b) = 0 => .t = — b v
Si
i +
x = —a
b r O .
i i ) Haciendo x 4 — y , se resuelve y 2 + 2 v + í = 0 y se obtiene v, =,v2 = ~ 1.
Lufgo x = \ J ~ 1, siendo p — 1 y
n.
12-48. Considerando la condición a , = 2 <x2 y las relaciones entre coeficientes y raíces,
se obtiene m =
± 6.
12-49. Como
4
3
4
la, + a-»+ a¡i + a 4 )2 = 2 a ‘ + 2 2 a,· a», se tiene ( —3 )2 = I
1*1 ‘
í<j
4
2
a, +
¡-i
<
12-50. El camlio de variable .*= .y —SconduceaC .y — 3)3 —3 ( y — 3)2 + 2 ( y — 3) =
= y 3 - 1 2 y 2 + 4 5 .y - 6 0 .
ÌN D IC E
Adición en C, 344
en N . 213
en Q, 29?
en R, 319
en Z. 283
Algebra de Boole, 63, 210
Algoritmo de Euclides. 288
Amplitud de intervalos, 309
Anillo, 264
con identidad, 265
conmutativo, 265
de clases residuales, 267
de división, 265
de polinomios, 378, 383
ordenado, 276
propiedades, 266
sin divisores de cero, 267
Antisimetría, 75
Aplicación o función, 103
canónica, 116
A-reflexividad, 72 .
Argumento principal. 3 5 “
A-simetría. 74
4-íransitividad. H
Automorfismo, 153
En C , 350
Axiomas, 208,
de Peano, 212
Bicondicíonal, 6
Binomio de Newton, 179
Buena ordenación, 9 7 ,1 6 7
C am bia de base. 334
Circuitos lógicos. 18
Clases de equivalencia, 79
residuales, 82. 157
< Coclases, 255
Codominio, 102
Coeficiente principal, 382
Combinaciones con repetición, 199
simples, 198
Combinación lineal, 273
Combinatoria con. repetición, 1 9 9 ,2 0 0
simple, 1 9 7 ,1 98
Compatibilidad, 154, 2 4 7 ,3 1 9
Complejos conjugados, 349
Complejo imaginario, 343
real, 343, 350
Com plem entario», 36
Com pletiiud de R, 326
Composición de funciones, 117
de relaciones, 68
Condición necesaria y suficiente. 7
Conectivos lógicos. 2
Congruencias e s Z . SO
Conjunción, 3
Conjunto, 25
acotado, 94, 328
bien ordenado, 97
cociente, 7 9 ,8 0
coordinables, 162
complementario, 36
de índices, 57
de partes, 34
diferencia de, 48
diferencia simétrica de, 50
•,-qu ¡potentes, 362
finito, 164
igualdad, 32
infinito, 165
inclusión, 30
-.raersección de. 38
..amerable, 165, 301
aeraciones gca«i<úkoda¿, 56
.silición de, 84
reducto cartesiano de, 53
, nitario. 27
_:úversal. 26
vjcío. 26. 34
C - r j d u r a s , 321
.-rpo. 278
completo, 321
,k ios complejos. 341
de los racionales. 293
de los reales. 320
ordenado, 321
propiedades, 279
D.. '.iidad de Q, 299
de Q en R. 326
D>: .composición factorial en Z, 292
ie polinomios, 406
Diagramas de Hasse, 95
de Venn, 30
Diferencia de conjuntos, 48
-¡métrica, 7, 50
Disiributividíd, 150
División de polinomios, 384
entera, 287
Disyunción. 3
Doble implicación, 6
Dominio de relaciones, 66
de funciones, 102
de integridad, 272, 280
Dualidad, 211
Ecuaciones en u n cuerpo, 279
?n u n grupo, 229
Elementos de un conjunto ordenado, 93
consecutivos, 95
coparnos, 275
inversos, 145, 221
maximales, 94
minimales, 94
neutro, 145, 220
primos, 276
regulares, 146
Encaje de intervnlns 3(19
Endomorfismo. ¡ 53
Epimcrfismo. 153
Especialización, 396
E structura algebraica. 219
de anillo. 264
de cuerpo, 278
de grupo, 225
de monoide, 220
de semigrupo. 220
Extrem o superior, 9 4 ,3 2 8
inferior, 94
Exponencial compleja, 366, 369
Factoriales, 176
Factirización en un anillo, 274
en Z. 292
de polinomios. 389
Form a binótnica, 347
exponencial, 366
polar. 356
Fórm ula de De Moivre, 359
de Taylor, 409
Función, 102
biyectiva, 1 1 1 ,
canónica, 116
característica, 140
clasificación de 110, 111
compuesta, 117
constante 4 114'
creciente, 191
de probabilidad. 140
entre intervalos, 186
estrictamente creciente, 189, 194
extensión de, 137
identidad, 115
inversa, 121, 127
myectíva, 110
factorial, 176
mantisa, 138
parte entera, 138
proposicional, 14
proyección, 115
representación de, 105
restricción de. 137
signo. 109
sucesor, 213
valor absoluto, 125,285
Grado de polinomios, 379
Grupo, 225
abeliano. 226
aditivo, 229
cíclico, 257
cociente, 251, 254
de automorfismos. 262
de raíces cúbicas, 243
de raíces de la unidad, 371
de transformaciones, 228
finito, 259
generadores de, 257
morfismo de. 237, 239
multiplicativo, 229
propiedades, 228
•
Inducción completa, 167
Infimo, 94
Intersección, 38
Intervalos, 164, 309
Inverso, 230
Involución, 9
lsomorfismo, 153, 284, 298, 321. 347
Ley cancelativa, 269
de composición interna, 142, 144
de composícion externa. i5e
de De Morgan. Í 0 . 4 o , 4~
distributiva, 9, 46, 150
^inducida, 155, 283, 29·
lógica. 8
Logaritmación en C, 333
en R. 367
Matrices. 149, 1 5 3.27 0
simétricas. 234
Máximo común divisor, 274. 288. 38S
Método de Horner, 411
Homomorfismes. 151
de grupos, 237
Módulo en C, 351
propiedades del. 351
Monoide, 220
Monomorfismo, 153
Morfismo, 151
de grupos, 237
Multiplicación en C, 344
en Q, 297
e n N, 213
,
en R, 320, 325
en Z , 283
Ideal, 272,388
Idempoteneia, 9
imagen, 66 , 128, 242
inversa, 131
Implicación, 4
Implicaciones asociadas, 11
inclusión, 3 0 ,3 3 , 34
Indeterminada, 381
Indice de un grupo. 260
Negación de implicaciones, 12
de proposiciones* 2 , 16
No reflexividad, 72
No simetría, 73
No transitividad, 74
Núcleo, 240
Numerabilidad de Q, 301
de Z, 164
Número cardinal, 163
combinaí>rio, 177
com plejo.341
entero, 2S1
irracional 315
primo, 29)
racional, 295
real, 308,315, 323
Orden amplié, 90
de un grujo, 259
estricto. 91
parcial. 9 1
total, 91
Operaciones ¡on subgrupos, 235
en forma exponencial, 367
en forma jolar, 358
Par ordenado, 53
Partición, 84,87
Permutaciones simples, 198
con repetición, 199
Polinomio,
adición de 380
coprimos, J92
derivado, ¿00
división d e 384
grado de, 379, 383
multiplicarión de, 380
nulo, 378
primo, 393
raíz de, 397
Potencia de u i binomio, 179
Potencia de R 335
Pe :cnc¡ac;ón ¡n C, 335
en R, 359
Preímágenes, 131
Primer elemeito, 93
Principio de buena ordenación, 167
de indueewn completa, 168
Producto cartesiano, 53
Proposición, 1
Radicación e rC , 329
en R, 3 5 4 ,3 6 2
Raíces de polinom ios, 397, 403,
405,
múltiples, 399
Razonamiento deductivo, 13
Reflexividad, 71
Regla de H omer, 411
de Ruffini, 387
Regularidad, 146
Relación binaria. 64
circular, 99
composición de, 68
de equivalencia, 7 7 , 8 8 , 313
de orden, 9 0 ,2 1 8 ,2 9 9 ,3 2 4
dominio de, 6 6 ,
en un conjunto, 69
funcional, 102
imagen de. 67
inversa, 67
propiedades, 71
representación de, 65
Relaciones entre coeficientes y raíces, 407
Restricción, 137
Semigrupo, 220
Silogismo hipotético, 13
Sistemas axiomáticos, 208
Sistema deP eano, 213
Subgrupos, 231
de matrices, 234
distinguidos, 248
intersección de, 235
normales o invariantes, 252
unión de, 236
Sucesión, 165
m onótona contigua, 312
Subanillos, 272
Sumatorias, 170
Supremo, 94
Traslaciones de un grupo, 258
Términos primitivos, 208
Teorema de compatibilidad, 155, 247
de descomposición factorial, 292, 394
de Euclides, 292
de Gauss, 403
de inducción completa, 167
de Lagrange, 260
de las relaciones de equivalencia, 85
del resto, 397
fundam ental del álgebra, 406
Ultimo elem ento, 94
Unidad imaginaria, 347
Unión de conjuntos, 42
disjunta, 58
Valor absoluto, 285
Variaciones con repetición, 199
simples, 197