Les vecteurs et la géométrie de l’espace
Le repère cartésien (9.1)
Les vecteurs (9.2)
Le produit scalaire (9.3)
MAT165
(sections : 9.1, 9.2 et 9.3)
Mounira Groiez PhD et Alain Régnier, PhD
École de technologie supérieure
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1 Le repère cartésien (9.1)
2 Les vecteurs (9.2)
3 Le produit scalaire (9.3)
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Le produit scalaire (9.3)
L’ensemble des nombres réels, noté R est représenté par une droite graduée,
croissante de gauche à droite. Un point a est représenté par ce nombre.
−3 −2 −1
0
a
•
2
1
x
3
4
Dans le plan, tout point P du plan se représente par un couple de nombres (a,
b) où a est l’abscisse du point et b est son ordonnée. Le plan est noté R2 .
y
ll
l
2
• (P(2, 1)
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
−2
lll
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lV
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Tout point de l’espace, noté R3 peut être représenté par un triplet (a, b, c) où a
est la valeur d’abscisse (axe des x), b la valeur d’ordonnée (axe des y) et c la
cote (axe des z).
z
c
• P(a, b, c)
b
a
y
• P 0 (a, b, 0)
x
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Le produit scalaire (9.3)
Le repère cartésien de dimension 3, R3 , est construit en utilisant la règle de la
main droite. Quand vous parcourez l’angle formé par les axes des x et des y
dans le sens antihorraire en refermant votre main, le pouce indique da direction
positive de l’axe des z (voir la figure 2, p.634).
L’espace R3 est divisé en 8 octants. Les quatre premiers sont au dessus du plan
x0y (le sol). Ils sont numérotés dans le sens anti-horaire. Les quatre derniers
sont sous le plan x0y et sont numérotés de la même façon.
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Voici différents repères cartésiens de R3 qui respectent la règle de la main
droite. Dans ce cours, nous utiliserons toujours celui qui est en haut à gauche.
y
z
θ
y
x
θ
x
z
x
x
y
θ
z
θ
z
y
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Une équation apparemment semblable dans R2 et dans R3 représente des
objets géométriques très différents. Prenons la simple équation y = 3
a) Dans R2 cette équation représente une droite horizontale.
y
y =3
x
Il s’agit de tous les points de la forme (x, 3) où x peut prendre n’importe quelle
valeur.
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b) Dans R3 cette équation représente un plan vertical.
z
y =3
y
x
L’équation y = 3 dans R3 regroupe tous les points de la forme (x, 3, z).
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Notion de distance
Soit deux points de R2 , P1 (x1 , y1 ) et P2 (x2 , y2 ). Par Pythagore, la distance
entre ces deux points est
p
d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
De façon similaire la distance entre deux points de R 3 , P1 (x1 , y1 , z1 ) et
P2 (x2 , y2 , z2 ) est
d(P1 , P2 ) =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Exemple: Soit P(3, −2, −3) et Q(7, 0, 1). Alors
distance(P, Q) =
p
√
(7 − 3)2 + (0 + 2)2 + (1 + 3)2 = 36 = 6
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Équation des sphères
Par définition, une sphère de rayon r et de centre (x0 , y0 , z0 ) regroupe tous les
points situés à une distance r du centre. Soit un point P(x, y , z) qui est sur la
sphère. Alors, en utilisant la notion de distance dans R3 on a que
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r .
Donc tous les points (x, y , z) qui satisfont l’équation
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r appartiennent à la sphère. Une autre
façon habituelle d’écrire l’équation d’une sphère est d’élever au carré chaque
terme de l’égalité. On obtient alors une deuxième forme équivalente de
l’équation d’une sphère
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r 2
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Exemple
a) Quelle est l’équation de la sphère de rayon 6 centrée en (2, −6, 4) ?
b) Quelle est la sphère décrite par l’équation x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y = 0
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Définition: un vecteur est une grandeur orientée représentée par une flèche. Il
possède une mesure (norme) une orientation et un sens.
B
~
u~ = AB
A
a) La longueur de la flèche est appelée la norme du vecteur, noté k~
u k.
b) La droite qui supporte le vecteur est appelée la direction du vecteur.
c) Le sens est déterminé par la pointe de la flèche.
N.B. Le vecteur ~(0) est le vecteur nul qui n’a ni direction, ni sens et dont la
norme est 0.
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Opération sur les vecteurs
B
~
v
C
u~
u~ + ~
v
A
~ représente le déplacement du point A au point B.
• u~ = AB
~ représente le déplacement du point B au point C .
• ~
v = BC
~ représente le déplacement du point A au point C .
• u~ + ~
v = AC
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Addition vectorielle
Géométriquement, il y a deux façons de procéder.
1- Méthode du parallélogramme: on fait coı̈ncider l’extrémité initiale des
deux vecteurs. On complète le parallélogramme. u~ + ~
v est le vecteur qui
correspond à la diagonale du parallélogramme originant du point initial.
u~
u~ + ~
v
~
v
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Addition vectorielle (suite)
2- Méthode du triangle: on fait coı̈ncider l’extrémité finale du premier
vecteur (~
u ) avec l’extrémité initiale du deuxième vecteur (~
v ). u~ + ~
v est le
vecteur reliant le point initial de u~ et le point final du vecteur ~
v.
~
v
u~
u~ + ~
v
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Multiplication par un scalaire
Soit c ∈ R un nombre réel différent de 0 et u~ un vecteur. On définit c u~ comme
étant le vecteur dont
a) la norme est |c| · k~
u k.
b) la direction est la même que u~.
c) le sens est
~ si c > 0
• le même que u
~ si c < 0
• le sens opposé à u
Exemple:
u~
2 u~
1
2
u~
−2 u~
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La soustraction de deux vecteurs
Soit u~ et ~
v , deux vecteurs. La différence u~ − ~
v est définie par u~ + −~
v . En
pratique, on change ~
v en −~
v et ensuite on fait l’addition.
Exemple:
−~
v
~
v
u~
~
u~ + −v
~
−v
u~
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Les composantes des vecteurs
~ est nommé le vecteur position de
Soit P(a, b) un point de R2 . Le vecteur OP
P. Les coordonnées a et b sont les composantes du vecteur.
~ allant du point A(x1 , y1 ) au point B(x2 , y2 ),
Si on considère un vecteur AB
~ = (x2 − x1 , y2 − y1 ). Le point
alors le vecteur position correspondant est 0P
initial du vecteur position est toujours l’origine (0,0).
Exemple: Si u~ va du point A(4, 3) au point B(6, 7). Alors le vecteur position
est (4 − 2, 7 − 3) = (2, 4)
~
AB
~
0P
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Les composantes des vecteurs (suite)
N.B. On peut généraliser ce calcul du vecteur position à R 3 . Si un vecteur u~ va
d’un point A(x1 , y1 , z1 ) à un point B(x2 , y2 , z2 ), alors le vecteur position
~ = 0P
~ = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
correspondant est AB
En utilisant le vecteur position, la norme d’un vecteur devient facile à
~ = (a, b, c) est le vecteur position, alors
déterminer. Si 0P
p
~ = a2 + b 2 + c 2 .
0P
Exemple: soit u~ = (2, 2, 1). Alors
p
√
k~
u k = 22 + 22 + 12 = 9 = 3
.
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Les opérations d’additions vectorielles et de multiplications par un scalaire sont
très simples à effectuer en utilisant les composantes d’un vecteur. Soit
u~ = (x1 , y1 , z1 ), ~
v = (x2 , y2 , z2 ) deux vecteurs et c ∈ R, c 6= 0. Alors
1- u~ + ~
v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ).
2- c u~ = (cx1 , cy1 , cz1 ).
N.B.Ce qui est vrai dans R3 pour l’addition vectorielle et pour la multiplication
par un scalaire est aussi applicable à R2 . D’ailleurs, règle générale, à moins que
ce ne soit autrement spécifié, les concepts applicables à R2 sont aussi
applicables à R3 et vice-versa.
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La base canonique
Dans R2 , deux vecteurs particuliers méritent qu’on s’y attarde. Il s’agit de
~i = (1, 0) et ~j = (0, 1).
y
~j
x
~i
Ces vecteurs ont certaines propriétés remarquables.
1- Ils sont de longueur 1.
2- Ils sont perpendiculaires
Ces deux vecteurs forment la base canonique de R2
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La base canonique (suite)
Puisque {~i, ~j} forment une base, alors tous les vecteurs de R2 peuvent
s’exprimer comme une combinaison de ces deux vecteurs.
Exemple: Le vecteur u~ = (7, 2) peut s’écrire 7 ~i + 2 ~j.
Les vecteurs de la base canonique de R3 sont semblables. ~i = (1, 0, 0),
~j = (0, 1, 0), et ~
k = (0, 0, 1) forment la base canonique de R3 . Tout vecteur de
3
R peut être exprimé comme une combinaison des vecteurs de la base.
Exemple: Le vecteur u~ = (−3, 4, −1) peut s’écrire −3 ~i + 4 ~j − ~
k.
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Vecteur unitaire
Un vecteur de longueur 1 est appelé un vecteur unitaire. Il est souvent utile de
rendre unitaire un vecteur de longueur quelconque. Pour rendre unitaire
n’importe quel vecteur (sauf le vecteur ~0), il suffit de diviser ses composantes
par la norme du vecteur. Le vecteur qui en résultera aura la même direction et
le même sens que le vecteur d’origine.
Exemple: Soit u~ = (2, 2, 1). Ce vecteur est de longueur 3. Le vecteur unitaire
sera donc u~unit = ( 23 , 23 , 13 ).
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Applications
Regardons l’exemple 5 de la page 645. Deux cables soutiennent un poids de
100 N (voir schéma). On veut connaı̂tre les tensions T1 et T2 .
50◦
32◦
T~1
T~2
100 N
Les tensions T1 et T2 sont dirigées vers le haut puisqu’elles contrebalancent le
poids de 100 N qui est dirigé vers le bas.
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Solution
Nous avons
T~1
=
T~1 cos(130) ~i + T~1 sin(130) ~j
T~2
=
T~2 cos(32) ~i + T~2 sin(32) ~j
Puisque l’effet des tensions est de contrebalancer le poids de 100 N, on obtient
le système d’équation suivant
T~1 cos(130) + T~2 cos(32) ~i = 0 ~i
= 100 ~j
T~1 sin(130) + T~2 sin(32) ~j
En résolvant, on trouve T~1 = 85.638 et T~2 = 64.91.
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En physique, le travail W est défini comme étant la force F~ appliquée dans le
~ Il y a bien des situations où la force n’est pas
sens du déplacement D.
appliquée directement dans le sens du déplacement. Le diagramme suivant
illustre cette situation.
F~
~
D
63◦
Ici, seule une portion de la force est appliquée dans le sens du déplacement. Le
travail sera défini comme étant cette portion de la force appliquée dans le sens
du déplacement. Ça donne l’équation suivante pour le travail
~ cos(θ),
W = F~ · D
~
où θ est l’angle formé par F~ et D.
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Definition
Le produit scalaire entre deux vecteurs ~
a et ~
b, noté par un point, est défini de
cette façon.
~
b = k~
ak · ~
b cos(θ)
a·~
Remarque 1:L’angle formé par deux vecteurs est le plus petit angle formé par
ces vecteurs lorsque l’extrémité initiale de ces deux vecteurs est au même point.
Ainsi, l’angle θ est toujours compris entre 0 et π.
Remarque 2: Le résultat d’un produit scalaire est un nombre (contrairement au
résultat d’un produit vectoriel qui est un vecteur)
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Le produit scalaire en terme de composantes
Tout comme c’était le cas pour l’addition vectorielle, il est très facile de
calculer le produit scalaire de deux vecteurs lorsqu’on connait les composantes.
Théorème
b = (b1 , b2 , b3 ) est égal à
Le produit scalaire de ~
a = (a1 , a2 , a3 ) et ~
~
a·~
b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Bref, on calcule le produit scalaire en faisant le produit des composantes
correspondantes des deux vecteurs et on additionne ensuite le tout.
Exemple: Faites le produit scalaire de ~
a = (6, −2, 3) et ~
b = (2, 5, −1).
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Quelques aspects particuliers du produit scalaire
b = 0 c’est donc dire que
a·~
Puisque ~
a·~
b = k~
ak · ~
b cos(θ), alors si ~
cos(θ) = 0 (la norme d’un vecteur n’est jamais 0, sauf pour le vecteur nul). Or
cos(θ) = 0 uniquement lorsque l’angle θ = π2 . Le théorème suivant découle de
cette constatation.
Théorème
Deux vecteurs ~
a et ~
b sont orthogonaux si et seulement si ~
a· ~
b=0
Exemple: Calculer le produit scalaire de ~
a = (−1, 2, 5) et ~
b = (3, 4, −1).
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Quelques aspects particuliers du produit scalaire
(suite)
La formule du produit scalaire donne une méthode simple et efficace, qui
fonctionne tout le temps, pour calculer l’angle formé par deux vecteurs.
~
a·~
b
Puisque ~
a·~
b = k~
ak · ~
b cos(θ), alors k~ak·
= cos(θ). Par cette formule on
k~bk
obtient le théorème suivant.
Théorème
L’angle θ formé par deux vecteurs est


~
~
a
·
b
=θ
arccos 
b
k~
ak · ~
.
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Les projections orthogonales.
Dans différentes circonstances il est utile de connaı̂tre la composante d’un
vecteur dans la direction d’un autre vecteur. Le schéma suivant illustre la
composante du vecteur ~
v projeté sur le vecteur u~.
~
v
•P
O
u~
Proj~u ~
v
Definition
Le vecteur projection de ~
v sur u~ est le vecteur originant du point initial commun
et allant jusqu’au point P, le point P étant le pied de la perpendiculaire
abaissée à partir du point terminal de ~
v sur la droite soutenant le vecteur u~.
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Déterminer le vecteur Proju~ ~v .
Le vecteur projeté s’obtient par la formule du produit scalaire. Une
démonstration est donnée dans votre livre (p.652)
Definition
Proj~u ~
v
=
~
u ·~
v
k~
u k2
u~
Le vecteur Proj~u ~
v suit la même direction queu~. Il est dans le même sens que u~
si l’angle θ entre u~ et ~
v est aigu 0 < θ < π2 . Il est de sens opposé à u~ si
l’angle θ entre u~ et ~
v est obtu π2 < θ < π .
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Déterminer la longueur du vecteur Proju~ ~v .
Si on ne s’intéresse qu’à la longueur du vecteur projeté Proj~u ~
v , alors nous
disposons d’une formule simple (v. p. 652 du livre de cours).
Definition
La longueur du vecteur projeté, nommée comp~u ~
v
kProj~u ~
vk =
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u~ · ~
v
k~
uk
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Distance d’un point à une droite.
On cherche à déterminer la distance entre ∆ et le point Q. Le point R, dont
les coordonnées sont inconnues, est le point de ∆ le plus rapproché de Q.
Fondamentalement, on cherche donc la longueur du segment QR. Cette
longueur serait simple à calculer si on connaissait les coordonnées du point R.
C’est donc ces coordonnées que nous allons commencer à chercher.
z
∆ : (3, −2, 10) + k(1, 5, −2)
Q(2, 6, 5)
•
R •
y
• P(6, 13, 4)
x
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Formule pour déterminer le point R d’une droite le
plus rapproché d’un point extérieur Q.
Rappelons la formule pour déterminer le vecteur résultant de la projection
~ sur le vecteur directeur d~ de la droite ∆.
orthogonale de PQ
~
OR
=
=
=
~ + PR
~
OP
~ + Proj ~PQ
~
OP
d ~
~
~ + PQ·d2 d~
OP
kd~k
~ correspondent aux coordonnées du
Les composantes du vecteur position OR
point R cherché.
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Distance d’un point à une droite (suite)
~ = OP
~ + PR.
~ OP
~ est
Les principes d’additions vectorielles établissent que OR
~ il correspond
connu. Ça correspond aux coordonnées du point P. Quant à PR,
~ (voir
à la projection orthogonale, sur le vecteur directeur de ∆, du vecteur PQ.
rappel de la formule, page précédente) Cela établit que


~
~
d · PQ  ~
~ =
Projd~PQ
d

2 
d~
~ = (−4, −7, −1), on calcule
Avec d~ = (1, 5, −2) et PQ
=
=
Donc
~ =
OR
(1,5,−2)·(−4,−7,1)
(1, 5, −2)
30
−41
(1,
5,
−2)
30
( −41
, −41
, 41
)
30
6
15
−41 −41 41
,
,
30
6
15
Mounira Groiez PhD et Alain Régnier, PhD
~ = ( 139 , 37 , 101 )
+ OP
30 6 15
MAT165 (sections : 9.1, 9.2 et 9.3)
Les vecteurs et la géométrie de l’espace
Le repère cartésien (9.1)
Les vecteurs (9.2)
Le produit scalaire (9.3)
Distance d’un point à une droite (suite)
La distance entre Q et R devient facile à calculer.
r
139 2
37 2
101 2
(2 −
) + (6 −
) + (5 −
) = 3.157
30
6
15
Quand nous aurons vu le produit vectoriel, nous pourrons valider cette réponse
avec une autre méthode de calcul. En observant le graphe précédent, on
~ sin(θ) où θ est l’angle entre les
constate que cette distance correspond à PQ
~ et d.
~ Or la méthode de calcul du produit vectoriel est proche de
vecteurs PQ
ce que nous cherchons. Reportons donc la discussion sur ce point.
Mounira Groiez PhD et Alain Régnier, PhD
MAT165 (sections : 9.1, 9.2 et 9.3)