Fenómenos Transitorios
Unidad nº 9
UTN – FRCU
TERCER AÑO-ELECTROTECNIA AÑO 2021
Conocimientos previos:
• Potencia: se puede definir como flujo de energía o la velocidad con que se
transfiere energía.
• Elementos básicos en función de la acumulación de energía.
1. Resistencia, es un elemento disipador que no acumula energía.
2. Capacitor y inductancia: son elementos acumulativos pero no
disipativos.
• Estado estable:
En corriente continua pura: Cuando todas las variables eléctricas ya no
cambian y permanecen estables.
En corriente alterna: cuando las variables se vuelven periódicas, no cambian
en magnitud, ni en fase.
Cuando dentro de un circuito cualquiera, hay elementos que contienen energía
y se produce un cambio de un estado permanente(o estable) a otro, se
produce un «fenómeno transitorio», debido a la variación de energía.
En general la duración del fenómeno es pequeña, pero relevante en casos
donde los tiempos cortos son importantes.
Analizaremos diferentes componentes básicos de un circuito eléctrico….
COMPONENTES
(va-vb)
i
R.i
va −vb
R
L.
di
dt
1
. න 𝒊 dt
C
NO
1.
2.
: No es posible
Energía y potencia
(va-vb)
Almacenada
Disipada
ε=0 ;
P=0
ε= න R. 𝑖 2 𝑑𝑡
(va-vb)
P = R. 𝑖 2
P
ε=
1
.
2
2
L. i
di
P = L. i.
dt
1
. න va −vb dt
L
d v −v
C. a b
dt
i
1
2
ε = .C. va − vb
P = C. va − vb .
ε=0 ;
P=0
d va − vb
dt
ε=0 ;
P=0
SI
SI
P
∞
i
(va-vb)
∞
P
2
i
(va-vb)
P
PSI
NO
SI
∞
∞
i
NO
P
Leyes de conmutación:
En un capacitor, la diferencia de potencial no varia a saltos sino en forma continua,
debido a esto la potencia nunca va ser infinita.
En una inductancia (o bobina), la corriente varia en forma continua no a saltos,
debido a esto la potencia nunca va ser infinita
Definiciones:
– Repuesta libre, Natural o Transitoria -(Régimen libre o propio):
es el régimen que se establece, cuando se considera un instante inicial, donde se
anulan todas las fuentes de excitación, cortocircuitando las fuentes de tensión y
abriendo las de intensidad. Las energías almacenadas en los elementos inductivos y
capacitivos se van disipando en las resistencias, siguiendo las leyes que establece
cada circuito hasta que se anulan totalmente, instante en el que el circuito alcanza el
reposo. Es la solución de la ecuación general homogénea (función complementaria).
-Repuesta forzada o Régimen forzado:
es la solución particular de la
ecuación diferencial completa, originada por las fuentes de excitación aplicadas,
considerando que el régimen libre no existe o dejo de existir. Se denomina también
estacionario o permanente.
Régimen transitorio
de un circuito eléctrico, se determina aplicando el principio
de superposición, es decir, adicionando el régimen libre y el régimen forzado. Y
decimos que existe solo cuando existe el régimen libre, si este es difícil de detectar
(de baja amplitud o de muy poca duración) se omite y se estudia solo el régimen
forzado.
Formulación matemática;
Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes:
d2 i
di
a 2 . 2 +a +a 0 .i=f t
dt
dt
Según el valor del termino f(t):
f(t)=0 régimen libre;
f(t)= cte. establecimiento de CC,
f(t)=( 2.U. sin (ω.t)) establecimiento en CA
La solución de la ecuación: i=ip+it
it: es la corriente transitoria o libre→ Solución transitoria: se propone una
solución y luego se verifica, primero mediante sustitución en la ecuación
diferencial y luego con las condiciones iniciales dadas: it =K.emt (solución
propuesta ecuación reducida u homogénea )
Donde k y m son constantes que se deben determinar.
ip: la corriente en estado permanente → Solución particular, cuando la
corriente no cambia.
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Cuando se cierra el interruptor la corriente esta limitada únicamente por la R, pero a medida
que el capacitor se va cargando crece la tensión entre placas (se opone a la corriente). Hasta
que finalmente, cuando esta completamente cargado, su tensión es igual y opuesta a la de la
red y la corriente cesa.
Es decir, s=0→1 en t=0 ; uc=0
 Solución particular(permanente o forzada): ip=0
 Solución transitoria: it =K.em.t (1)
Para obtener de la ecuación diferencial planteamos Kirchhoff:
1
uR+uc =E → R.i+ . න i.dt =E
c
Derivando m.a.m. y reemplazando la ecuación (1)
R.
di 1
1
1
+ .i=o→R.K.m.em.t + .K.em.t =o → R.m. + K.em.t =0
dt c
c
c
−1 .t
1
1
R.m. + =0⇛ m=−
⇒ it =K.eRC
c
RC
− 1 .t
− 1 .t
i=ip +it =0+K.e RC =K.e RC
T=R.C
1
− .0
E
E
En t=0 ⟹ uR +uc =E⇒R.i(0) +0=E ⇒i(0) = = K.e RC ⇒ K=
R
R
−1
E RC.t
Solución Completa: i= .e
R
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Graficando….
−1
E (RC).t E (−1
i= .e
= .e τ ).t
R
R
( −1 ).t
uR =i.R= E.e RC
uR +uc =E
−1 .t
−1 .t
→ uc =E−uR = E−E.eRC = 1−e RC .E
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Una vez extinguido el transitorio de cierre, la corriente se torna nula y el capacitor queda
cargado con la tensión de la red. Si abrimos el circuito no sucede absolutamente nada, pero si
cerramos el circuito sobre si mismo, existe un régimen transitorio cuya ecuación diferencial es
igual a la anterior, pero las condiciones iniciales varían.
En S=0→1 en t=0 ; uc=E
1
• uR +uc =0 → R.i+ . ‫ ׬‬i.dt =0
c
• i=ip +it
⇒ Derivando m.a.m. R.
di 1
+ .i=o (2)
dt c
di
1
 Solución particular(estado estable =0 ) : R.0+ .i=o⇒iP =0
dt
c
di
 Solución transitoria: it =K.em.t ⇒ = m. Kem.t (3)
dt
1
1
Remplazando (3) en (2) ⇛ R.m+ . Kem.t =0 ⇒R.m+ =0 ⇒ m = −
𝐶
−1 .t
i= K.eRC
𝐶
− 1 .0
E
−E
En t=0 ⇒ uR (0) +uc (0) =0⇒R.i(0) +E=0 ⇒i(0) = − = K.e RC ⇒K=
R
R
−1
E RC.t
Solución Completa i= − .e
R
1
RC
Régimen transitorio en corriente continua- Circuito R-C:
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
El interruptor de la figura se cierra en t=0 en ese momento el capacitor tiene una carga
𝑄0 = 500𝜇𝐶 con la polaridad indicada. Obtener i y q para t>0.
Resolución:
La carga inicial tiene el siguiente voltaje:
𝑢
𝑄 500𝜇𝐶
0 = 0=
=25𝑉
𝐶 20𝜇𝐹
𝑢𝑅 + 𝑢𝐶 = 𝐸 ⇾ 𝑅. 𝑖 +
1
න 𝑖𝑑𝑡 = 𝐸
𝐶
Derivamos m a m
𝑑𝑖 1
𝑅 + 𝑖=0
𝑑𝑡 𝐶
Solución 𝑖 = 𝑖𝑃 + 𝑖𝑡
𝑖𝑃 = 0
𝑖𝑡 = 𝑘𝑒 𝑚𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = −
1
𝑅𝐶
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales en t=0
𝑢𝑅(0) + 𝑢𝐶(0) = 𝐸 → 𝑢𝑅(0) − 25𝑉 = 50𝑉
𝑢𝑅(0) = 75𝑉 → 𝑅. 𝑖 = 75𝑉 = 𝑅. 𝑘𝑒 𝑚𝑡
En t=0
75𝑉
75𝑉
𝐾=
=
= 0,075𝐴 = 75𝑚𝐴
𝑅
1000Ω
𝑚=−
1
1
=−
= −50
𝑅𝐶
1000Ω × 20. 10−6𝐹
𝑖 = 0,075𝐴𝑒 −50𝑡
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Obtenemos la q para t>0
𝑞 = 𝐶. 𝑢𝑐
𝑢𝑅 + 𝑢𝐶 = 𝐸 → 𝑢𝐶 = 𝐸 − 𝑢𝑅
𝑞 = 𝐶 × 𝐸 − 𝑢𝑅 = 𝐶 × 𝐸 − 𝑅. 𝑖
𝑞 = 20𝜇𝐹 50𝑉 − 1000Ω × 0,075𝐴𝑒 −50𝑡
𝑞 = 0,001𝐶 − 0,0015𝐶𝑒 −50𝑡
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-L:
En el primer instante cerramos el interruptor en la posición 1, S=0→1 en t=0 ; I(0)=0
di
uR +uL=E→ R.i+L. =E (4)
dt
E
 Solución particular (estado permanente): iP =
R
 Solución transitoria: it =K.em.t (1)
reemplazando la ecuación (1) en (4 reducida)
di
d2 i
R. +L. 2 =0 → R.Km.em.t +L.K.m2 .em.t =o → R +Lm m.K.em.t =0
dt
dt
R +Lm=0⇛ m=−
R
1
=−
L
L
R
⇒ constante de tiempo : 𝛕 =
Solución completa: i = ip +it =
L
t
⇒it =K.e− ൗ𝛕
R
t
E
+ K.e−𝝉
R
0
E
E
para determinar k, partimos t=0 ⟹ i(0) =0 ⇒ +K.e− 𝜏 =0 ⇒K= −
R
R
Solución completa final:
i=
−RൗL .t
E
(1−e
)
R
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-L:
Si una vez que la corriente llego al valor final (E/R), colocamos el interruptor en la posición 2,
S=1→2 en t=0 I(0)=E/R ;
di
R.i+L. =0 (5)
dt
 Solución particular (estado permanente): iP =0
 Solución transitoria: it =K.em.t (1)
reemplazando la ecuación (1) en (5)
R.i+L.
di
=0→R.K.em.t +L.K.m.em.t =o → R +Lm K.em.t =0
dt
R
1
R +Lm=0⇛ m=− = − R
L
⇒constante de tiempo : 𝛕 =
L
R
L
t
⇒it =K.e− ൗ𝛕
t
t
Solución completa: i=ip +it =𝟎+K.e−𝝉 = K.e−𝛕
0
E E
E
−
para determinar k, partimos t=0 ⟹ i(0) = ⇒ =0+K.e 𝜏 =0 ⇒K=
R R
R
Solución completa:
i=
E −RൗL .t
e
R
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-L:
Graficando…
E
i= R 1−e
−RൗL .t
E −RൗL .t
i= R e
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Para el circuito de la figura obtener la corriente que circulara por el mismo cuado t=2s.
Teniendo en cuenta que la corriente inicial es de 5A
Resolución:
Aplicando Kirchorft
𝑢𝑅(0) + 𝑢𝐿(0)
𝑑𝑖
= 𝐸 → 𝑅. 𝑖 + 𝐿 = 𝐸
𝑑𝑡
Derivamos m a m
𝑑𝑖
𝑑𝑖 2
𝑅 +𝐿 2 =0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Solución 𝑖 = 𝑖𝑃 + 𝑖𝑡
𝑖𝑃 =
𝐸
𝑅
𝑅
𝐿
𝑖𝑡 = 𝑘𝑒 𝑚𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = − =
𝒊(𝒕) =
𝑬
𝑹
+ 𝒌𝒆
−𝑹
𝒕
𝑳
−10
2
= −5
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito R-C:
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales en t=0 tenemos que i=5A
𝑖(0𝑠) = 5𝐴 =
𝐸
𝑅
+ 𝑘𝑒
−𝐿
0𝑠
𝑅
→ 5𝐴 =
8𝑉
10𝛺
+𝐾
𝐾 = 5𝐴 − 0,8𝐴 = 4,2𝐴
𝑖(𝑡) = 0,8𝐴 + 4,2𝐴𝑒 −5𝑡
Para t=2s
𝑖(2𝑠) = 0,8𝐴 + 4,2𝐴𝑒 −5.2𝑠
→
𝒊(𝟐𝒔) =0,8A
SITUACIONES IDEALES :
• CARGA DE UN CAPACITOR CON UNA FUENTE IDEAL:
Si conectamos una fuente de tensión ideal en forma directa a un capacitor descargado, el
capacitor queda instantáneamente (en un tiempo nulo) la tensión de la fuente, lo que
contradice una de las leyes de la conmutación. Además, para ello sería necesario que el
capacitor reciba una cierta carga en un tiempo nulo, lo que implicaría una corriente infinita.
Esto se debe a no haber considerado ninguna resistencia entre la fuente y el capacitor.
Fundamentalmente debería considerar la resistencia interna de la fuente, con lo cual la
corriente queda limitada y la carga del capacitor es gradual.
• DESCARGA DE UN INDUCTOR:
Supongamos un circuito RL, con el interruptor cerrado, Si abrimos el interruptor en un
instante, la corriente por el inductor se haría cero en forma inmediata, y además, como
di
VL =L. , la tensión en el inductor sería infinita. En la realidad existe un equilibrio entre la
dt
velocidad con que disminuye la corriente y la tensión que aparece sobre el inductor. Si la
disminución de corriente tiende a ser muy rápida, provoca la aparición de una gran tensión
en el inductor, la que al quedar aplicada sobre los contactos del interruptor, crea un arco que
se opone al rápido decrecimiento de la corriente. Lo cierto es que los contactos del
interruptor deben estar preparados para soportar ese arco eléctrico que disipará parte de la
energía almacenada en el inductor (el resto se disipa en el resistor)
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
Sea el circuito de la figura, al cerrar el interruptor
di
1
S=0→1 la ecuación de equilibrio es: R.i+L. + ‫𝑖 ׬‬. 𝑑𝑡 =E
dt
𝑐
Condiciones iniciales (cant. 2)
Para t<0 ⇒ I0=0;
⇒ UC=0
Derivando m.a.m la ecuación planteada..
di 1
d2i
di 1
d2i R di 1
R.i+L. + ‫ ׬‬i.dt =E ⇛ L. 2 +R. + i=0 ⇒
+ . + i=0
dt c
dt c
dt
dt 2 L dt LC
Por lo que vemos que la ecuación diferencial es de segundo orden y por lo tanto tendrá dos
soluciones.
Llamando;
R
2.𝛂= ; donde α se denomina frecuencia de Neper o el coeficiente de amortiguamiento
L
exponencial,
1
1
ωo 2=
⇒ ωo =
, se denomina frecuencia resonante.
CL
CL
remplazando …
d2i
di
2 i=0
+𝟐.
𝜶.
+
ω
o
dt
dt2
Es la ecuación diferencial homogénea con términos de α y ωo
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
 Solución particular (estado permanente): iP = 0
 Solución transitoria:
dit
d2it
m.t
m.t
it =K.e
⇒
=K.m.e
⇒
=K.m2 .em.t
2
dt
dt
d2i
di
Remplazando en el ecuación homogénea; ( 2 +2. α. + ωo 2 i=0)
dt
dt
d2 i
di
+2. α. + ωo 2 i = K.m2 .em.t + 2. α.K.m.em.t + ωo 2K.em.t =0
dt
dt 2
⇒ m2 + 2. α.𝑚 + ωo 2 K.em.t = 0
−b± b2−4ac
Recordando x=
=
2a
−2.𝛂± 4.𝛂2 −4.ωo 2
m1−2 = −𝛂 ± 𝛂2 −ωo 2 = −𝜶 ± 𝝎
2
La forma general de la respuesta natural (transitoria) será:
m1−2=
⇒
m .t
m .t
it =K 1 .e 1 +K 2 .e 2
Donde K1 y K2 son dos constantes que deben satisfacer las dos condiciones iniciales.
Además observar que existirán dos constantes m1 y m2 que dependiendo de sus valores
originarán 3 tipos de soluciones …
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie :
Tipos de soluciones dependiendo de los valores de m1 y m2
m .t
m .t
; it =K 1.e 1 +K2.e 2 ⇒ m1−2= −𝛂 ± 𝛂2−ωo 2
1. Critica o limite: α =ω0 → m1=m2=-α→R=Rc resistencia critica recordando definicion:
R
R
1
1
1
L
2.α= ; ωo 2 =
⇒ ωo =
⇛ C =
⇒ R C =2.
L
CL
CL
2.L
CL
C
Solución: i=it =K1 .e−α.t +K2 .t.e−α.t
2. No Critica:
a) No oscilatoria o no periódica: α>ω0 ⇛ R> RC → m1 y m2 ( raíces reales distintas)
R
1
L
>
⇒ R>2.
=R C ⇛R> RC
2.L
CL
C
«Si la resistencia del circuito es mayor a la resistencia critica es un caso no oscilatorio o
sobreamortiguado»
b) Oscilatoria o periódica : α<ω0 ⇛ R< R C → m1 y m2( raíces complejas conjugadas)
R
1
L
<
⇒ R<2.
=R C ⇛R< R C
2.L
CL
C
«Si la resistencia del circuito es menor a la resistencia critica es un caso oscilatorio»
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
Solución Critica: (caso limite entre oscilatorio y no oscilatorio). Cuando se cierra el interruptor, en
t=o, la i(0) =0 ; uc(0) =0 (condiciones iniciales).
Por lo tanto: i(0) = K1 e0 + K2 .0.e0 = 0 ↔ K1 = 0; ⇒ i=K2 .t.e−𝜶.t
Planteando Kirchhoff:
di
E
uL(0) +uR(0) +uC(0) =L. ቤ
+ R.i(0) +0 = E ⟹ L.(K2 .e−α.(0) −a.K2 .(0).e−α. 0 ) = E ⇒ K2 =
dt t=0
L
Solución final:
E
i= .t.e−α.t (para estas condiciones iniciales)
L
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
2) Solución No critica: Cuando se cierra el interruptor, en t=o, la i(0) =0 ; uc(0) =0 (condiciones
iniciales).
Por lo tanto: i(0)=K1 e0 +K2 .e0 = 0 ↔ K1 = K= −K2 ; ⇒ i = K. em1 .t −em2 .t
di
di
𝐄
Planteando Kirchhoff: uL(0) + uR(0) + uC(0) = L. ቚ +R.i(0) +0=E ⟹ ቚ
=
dt t=0
dt t=0
𝐋
E
E
K.m1 . em1.0 −K.m2 .em2 .0 = ⇒ K =
L
m1 −m2 .L
Recordando: m1−2 = −α ± 𝜔
m1−2 = −α ± α2 − ωo 2 ⇒ m1 − m2 = 2 α2 − ωo 2 = 2.𝜔
a) No Oscilatoria (m1, m2 reales distintas , 𝐦𝟏−𝟐 = −𝛂 ± 𝛚)
• Solución general No oscilatoria: it =K1 .em1 .t+K2 .em2 .t donde m1 y m2 son números reales.
•
Solución para las condiciones iniciales planteadas
E
E
it = K. em1.t −em2.t =
. em1.t −em2.t =
. e −𝛂+𝛚 .t −e −𝛂−𝛚 .t
2.ω .L
m1 −m2 .L
E.e−α.t eω.t −e−ω.t
i=
.
ω.L
2
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
2-b) Solución oscilatoria (m1, m2 complejas conjugadas)
Recordando m1−2 = −α ± α2 − ωo 2 ..,
En este caso α < 𝜔𝑜 ⟹ α2 − ωo 2 <0 ⇒ −(ωo 2 − α2 ) = (−1) (ωo 2− α2 ) = j (ωo 2 − α2 ) = 𝐣𝝎𝒅
m1−2 = −α ± j ωd
•
Solución general oscilatoria :
E
E
it = K. em1 .t −em2.t =
. em1.t −em2 .t =
. e −𝛂+𝐣 𝝎𝒅 .t −e −𝛂−𝐣 𝝎𝒅 .t =
m1 −m2 .L
2.j.𝝎𝒅 .L
E. e−α.t
it =
. e 𝐣 𝝎𝒅 .t −e −𝐣 𝝎𝒅 .t = K.e−α.t . e 𝐣 𝝎𝒅 .t − . e −𝐣 𝝎𝒅 .t
2.j.𝝎𝒅 .L
Donde K es una constante compleja… Genéricamente k= +jb
Con la formula de Euler : e±jωt = cos ω.t ± j.sin ω.t
it =K.e−α.t. e 𝐣 𝝎𝒅 .t − . e −𝐣 𝝎𝒅 .t = K.e−α.t . (cos 𝝎𝒅 .t + j.sin 𝝎𝒅 .t ) − (cos 𝝎𝒅 .t − j.sin 𝝎𝒅 .t )
j.ω .t −j.ωd.t
E.e−α.t e d −e
E
i=
.
⇛ i=
.e−α.t . sin ωd t
ωd.L
2.j
ωd.L
Solución para las condiciones iniciales planteadas
Solución general:
• it = e−α.t . C1. cos 𝜔𝑑 −C2. sin 𝜔𝑑
Donde:
 𝝎𝒅 se denomina frecuencia resonante natural;
 C1 y C2, son ctes. que se determinan con las cond. iniciales
Régimen transitorio en corriente continua - Circuito RLC Serie:
En la práctica, muchas veces resulta deseable conseguir que la respuesta transitoria tienda a
cero tan rápido como sea posible. Se define como tiempo de establecimiento «ts» al tiempo que
se requiere para que los valores permanezcan o se establezcan menores que el 1% de su valor
absoluto máximo.
Régimen transitorio en corriente Alterna - Circuito R-L:
Si aplicamos una tensión sinusoidal en el circuito de la figura, la corriente que se establece
inmediatamente dependerá del valor instantáneo de tensión al momento de cerrar el interruptor.
u(t) = Umax sin ωt + φo
Donde φo es el desfaje entre la onda de tensión con respecto al origen de los tiempos
La ecuacion de equilibrio electrodinámico para el circuito es:
di
uR +uL =u→ R.i+L. =Umax sin ωt + φo
dt
U
 Solución particular (estado permanente): iP = max sin ωt + φo − φz
z
Donde φz es el desfaje entre la tensión y la corriente
 Solución transitoria: it =K.em.t
di
R.i+L. =0→R.K.em.t +L.K.m.em.t =o → R +Lm K.em.t =0
dt
R +Lm=0⇛ m=− RൗL
Régimen transitorio en corriente Alterna - Circuito R-L:
𝐔𝐦𝐚𝐱
−R.𝐭
𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗𝐨 − 𝛗𝐳 +K.e L
 Solución completa: i=ip +it =
z
U
para determinar k, partimos t=0 ⟹ i(0) =0 ⇒ max sin φo − φz +K.e−0 =0 ⇒ K= −
z
𝐔𝐦𝐚𝐱
𝐬𝐢𝐧 𝛗𝐨 − 𝛗𝐳
z
Solución completa final: i=
Umax
z
sin ωt + φo − φz −
Umax
z
−R.t
sin φo − φz . e L
Se observa que el transitorio se extingue exponencialmente.
Ahora analicemos el segundo sumando
−R.t
Umax
it =
sin φo − φz . e L ⟹ si φo −φz = 0 ⇒ it = 0 el transitorio es nulo
z
𝜋
𝜋
El transitorio es máximo, cuando sin φo − φz = ±1; es decir, φo − φz = ± ↔ φo = φz ±
2
Si observamos la grafica, vemos que los
valores máximos sobrepasan los valores de
la corriente permanente, por lo que se
puede afirmar que existe posibilidad
sobreintencidad
El peor caso que se podría dar es tener
una corriente pulsante del doble valor
2
Régimen transitorio en corriente Alterna - Circuito R-C:
Si aplicamos una tensión sinusoidal en el circuito de la figura, la corriente que se establece
inmediatamente dependerá del valor instantáneo de tensión al momento de cerrar el interruptor.
Supondremos que el capacitor esta descargado.
u(t) = Umax sin ωt + φo
La ecuación de equilibrio es:
1
uR +uC =u→ R.i+ . න 𝑖𝑑𝑡 =Umax sin ωt + φo
𝐶
di 1
+ .i=ω. Umax cos ωt + φo
dt c
U
 Solución particular (estado permanente): iP = max sin ωt + φo − φz
z
Derivando m.a.m. R.
 Solución transitoria: it =K.em.t
di 1
1
1
1
1
+ .i==0→+R.m.K.em.t + .K.em.t =o → R.m. + K.em.t =0 ⇛ R.m. + =0⇛ m=−
dt c
c
c
c
RC
− 1 .𝐭
𝐔𝐦𝐚𝐱
Solución completa: i=ip +it =
𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗𝐨 − 𝛗𝐳 +K.e RC
z
R.
En t=0 ⇒ uR (0) +uc (0) =Umax sin φo =R.i(0) +0 ⇒i(0) =
Umax sin φo
R
= ⟹ i(0) =
Umax
z
sin(φo −
Régimen transitorio en corriente Alterna - Circuito R-C:
 Solución transitoria: it =K.em.t
Umax sin φo
Umax R
Umax sin φo
Umax
⇒ K=
−
. sin φo − φz =
−
. cos 𝜑𝑍 sin φo − φz =
R
𝑅 𝑍
R
𝑅
Umax
⇒K=
. sin φo − cos 𝜑𝑍 sin φo − φz
R
calculo auxiliar:
sin φo = sin φo − φZ + φ𝑍 = sin(φo − φz ) cos φz + cos φo − φz sin φz
Reemplazando…
U
K= max . sin(φo − φz ) cos φz + cos φo − φz sin φz − cos 𝜑𝑍 sin φo − φz
R
U
U
K= max . sin φz . cos φo − φz = max . tang φz . cos φo − φz
R
Z
Solución completa final:
i=
Umax
(𝜑𝑍 es negativo)
z
sin ωt + φo − φz +
Umax
La componente transitoria, es nula cuando:
R
. sin φz . cos φo − φz
𝜋
𝑖𝑡 = 0 ⟺ cos φo − φz = 0 ⇒ φo − φz = ±
2
𝜋
⇛ φo = φz ±
2
− 1 .t
. e RC
Régimen transitorio en corriente Alterna - Circuito R-C:
 La componente transitoria, es máxima cuando:
it es maxima ⟺ cos φo − φz = 1 ⇒ φo = φz (1)
Si analizamos la ecuación:
it =
Umax
Z
. tan φz . cos φo − φz
− 1 .t
. e RC
Bibliografía:
• Circuitos Eléctricos y Magnéticos – Marcelo Antonio SobrevilaCapitulo Nº 9.
• Circuitos eléctricos – Joseph Edminister –capitulo Nº 5
• Internet: