Problema 4
Espacio de estados
17 de febrero de 2024
Encuentre las ecuaciones de estado y la función de transferencia para el circuito indicado.
Teniendo nuestras variables de estado X1 y X2 que son iguales a . . .
Z
1
i(τ )dt + V0
X1 = V c =
C
Z
1
X2 = IL =
v(τ )dt + I0
L
Es un sistema inicialmente relajado, por lo tanto las condiciones iniciales son 0. Por lo tanto
V0 = 0 y I0 = 0.
Derivando las variables de estado tenemos.
1
i(t)
C
1
Ẋ2 = v(t)
L
Ẋ1 =
La nomenclatura utilizada de Ẋn es la derivada de ese espacio de estado sobre el tiempo,
dt.
1
Espacio de estados de un circuito RLC
7CV6
Por la Ley de voltaje de Kirchof en la malla.
−u + Vc + VL = 0
Como X1 = Vc y Ẋ2 = L1 VL (t) despejando y sustituyendo en la ecuación anterior.
1
VL (t)
L
VL (t) = LẊ2
Ẋ2 =
VL = LẊ2
−u + X1 + LẊ2 = 0
Despejando a la ecuación y dejando a Ẋ2 a un lado de la ecuación.
Ẋ2 =
1
1
u − X1
L
L
Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchof en el nodo II tenemos.
2
(1)
Espacio de estados de un circuito RLC
7CV6
−IR1 − IC + IL + IR2 = 0
La corriente del capacitor es
1
ic (t)
C
iC = C Ẋ1
X2 = IL
Ẋ1 =
Sustituyendo estas variables.
−IR1 − C Ẋ1 + X2 + IR2 = 0
(2)
Sacando los valores de las corrientes de IR1 y IR2 con la ley de Ohom.
IR1 =
V
Vc
X1
=
=
R1
R1
R1
IR2 =
V
VL
L
Ẋ2
=
=
R2
R2
R2
Sustituyendo estas nuevas variables en la ecuación 2 tenemos.
−
L
1
X1 − C Ẋ1 + X2 +
Ẋ2 = 0
R1
R2
(3)
Sustituyendo la ec 1 en la ec 3.
1
L
− X1 − C Ẋ1 + X2 +
R1
R2
1
1
u − X1
L
L
=0
Agrupando la ecuación con los terminos semejantes.
1
1
1
+
X1 + X2 + C Ẋ1 +
u=0
−
R1 R2
R2
3
Espacio de estados de un circuito RLC
7CV6
Dejando la ecuación igualada a Ẋ1 .
1
1
1
1
Ẋ1 =
+
X1 − X2 −
u
CR1 CR2
C
CR2
Y teniendo a Ẋ2 que es.
Armamos la forma matricial
1
Ẋ
1
R
1C
=
Ẋ2
1
1
Ẋ2 = − X1 + u
L
L
+
1
R2 C
− L1
1
1
− C X1 − R2C
+
u
1
X2
0
L
La salida de nuestro sistema es y la obtenemos de
LẊ2 = X1 + u
y = LẊ2
y = X1 + u
La matris de y es
y= 1
X1
0 +u
X2
4
Espacio de estados de un circuito RLC
Siendo la matris A, B, C y D
1
−
R
1C
A=
7CV6
− R12C
− C1
1
L
C=
0
h
1
0
1
−
R
2C
B=
i
1
L
D=1
Usando la ecuación de la Función de transferencia para matrices.
G(S) = C{sI − A}−1 B + D
Sustituyendo en la ecuación.
1
− R1 C −
0
−
1
s
L
s
0
0
G(s) = 1
s +
0
= 1
1
R1 C
+
1
R2 C
1
C
− L1
s
−1 1
− R2 C
− C1
+1
1
0
L
1
R2 C
−1 1
− R2 C
+1
1
L
La matris de {sI − A}−1
1
{sI − A}−1 =
s2 + s
1
R1 C
+
1
R2 C
+
1
LC
− C1
s
1
L
s+
G(s) = 1
1
0
s2
+s
1
R1 C
+
1
R2 C
5
+
1
LC
1
R1 C
+
1
R2 C
− C1
s
1
L
s+
1
R1 C
+
1
R2 C
1
− R2 C
+1
1
L
Espacio de estados de un circuito RLC
7CV6
El producto de dos matrices
− C1
s
1
L
1
−
R2 C
s + R11C + R12C
=
1
−s R12C − LC
1
1
+ Ls + LCR
+ R21LC
− LCR
2
1
1
L
Ahora el producto de
1
−s R12C − LC
h
1
i
0
1
1
− LCR
+ Ls + LCR
+ R21LC
2
1
1
s
1
1
−
+0
+
= −s
CR2 CL
L LCR1
= −s
1
1
−
CR2 CL
Entonces escribiendo la función de transferencia es
1
1
1
+
G(s) =
−s
+1
1
R2 C CL
s2 + s R11C + R21C + LC
1
−s R21C + CL
=
s2 + s R11C + R21C +
1
−s R21C + CL
=
1
1
2
s + s R1 C + R2 C +
1
LC
+1
1
LC
s2 + s R11C
=
s2 + s
1
R1 C
+
1
R2 C
+
1
LC
6
s2 + s
1
R1 C
s2
1
R1 C
+
+s
+
1
R2 C
+
1
LC
+
1
R2 C
+
1
LC
Espacio de estados de un circuito RLC
7CV6
La función de transferencia de el circuito es
s s + R11C
G(s) =
s2 + s R11C + R21C +
7
1
LC
