I. INTÉGRALE DOUBLE Analyse 3 Chapitre 1 : Intégrales multiples. I Intégrale double A Intégrale double sur un rectangle Subdivision Définition 1 On appelle subdivision de l’intervalle ra, bs toute suite pxi q finie telle que a “ x0 ă x1 ă . . . ă xn “ b. Quadrillage Définition 2 Soit P “ ra, bs ˆ rc, ds un rectangle de R2 où a ă b et c ă d. On appelle quadrillage de P le produit cartésien Q d’une subdivision pxi q0ďiďn de ra, bs et d’une subdivision pyj q0ďjďp de rc, ds. On pose Pij “ rxi´1 , xi s ˆ ryi´1 , yj s σij “ airepPij q “ pxi ´ xi´1 qpyj ´ yj´1 q Somme de Darboux Soit f une fonction numérique bornée sur un rectangle P. Soit Q un quadrillage de P. Pour tout sous rectangle Pij on pose mij “ inf f px, yq Mij “ sup f px, yq px,yqPPij px,yqPPij Ces nombres existent et sont finis car f est bornée sur P. Définition 3 Les sommes spQq “ ÿ mij σij et SpQq “ 1ďiďn 1ďjďp ÿ Mij σij 1ďiďn 1ďjďp sont appelées respectivement somme de Darboux inférieure et somme de Darboux supérieure associée au quadrillage Q. Abdallah Talhaoui 1 ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE Intégrabilité Définition-Proposition 1. Soit f une fonction numérique bornée sur un rectangle P. On a les propriétés suivantes : § L’ensemble L “ tspQq; Q quadrillage quelconque de P u est une partie majorée de R elle admet donc, une borne supérieure notée I` . § L’ensemble H “ tSpQq; Q quadrillage quelconque de P u est une partie majorée de R elle admet donc, une borne inférieure notée I´ . On dit que f est intégrable sur P si I` “ I´ . Son intégrale sur P est alors le nombre réel I` “ I´ “ I. On la note żż I“ f px, yqdxdy. P Exemple 1. Fonctions constantes Soit f une fonction constante et égale à λ sur un rectangle P “ ra, bs ˆ rc, ds. Alors f est intégrable sur P et on a żż f px, yqdxdy “ λpb ´ aqpd ´ cq. P Théorème 1 Une fonction f continue sur un rectangle P “ ra, bs ˆ rc, ds est intégrable sur P. B Intégrale double sur un domaine mesurable de R2 Intégrabilité sur un domaine borné Définition 4 Soit f une fonction continue sur un domaine D borné de R2 . Choisissons un rectangle P contenant D et prolongeons f par 0 en dehors de D. On définit alors l’intégrale de f sur D par żż żż f px, yqdxdy “ f px, yqdxdy. D şş R P f px, yqdxdy ne dépend que de f et D et non du rectangle P considéré. P Définition 5 On dit qu’un domaine borné D de R2 est mesurable si la fonction constante f “ 1 est intégrable sur D. Exemple 2. Domaine régulier ␣ ( D “ px, yq P R2 ; a ď x ď b, g1 pxq ď y ď g2 pxq y “ g2 pxq D y “ g1 pxq a x b où g1 et g2 sont continues sur ra, bs, est un domaine mesurable de R2 . Abdallah Talhaoui 2 ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE Intégrabilité des fonctions continues Théorème 2 Soit D un domaine mesurable de R2 . Toute fonction f continue sur D est intégrable sur D. Propriétés de l’intégrale double Proposition 3 şş şş şş § pf ` gqpx, yqdxdy “ f px, yqdxdy ` gpx, yqdxdy. D D D şş şş § pλf qpx, yqdxdy “ λ f px, yqdxdy. D D şş § Si f ě 0 sur D, alors f px, yqdxdy ě 0. D ˇ ˇ ˇ şş ˇşş § ˇˇ f px, yqdxdy ˇˇ ď |f px, yq| dxdy. D D § Si ş Dş 1 X D2 “ H alors şş şş f px, yqdxdy “ f px, yqdxdy ` f px, yqdxdy. D1 YD2 C D1 D2 Théorème de Fubini Théorème de Fubini sur un réctangle Théorème 4 Soit P “ ra, bs ˆ rc, ds un rectangle de R2 et f une fonction continue sur P. Alors ¨ ˛ ¨ ˛ żż żb żd żd żb f px, yqdxdy “ ˝ f px, yqdy ‚dx “ ˝ f px, yqdx‚dy. a P c c a De plus si f px, yq “ hpxqgpyq alors żż ¨b ˛¨ d ˛ ż ż f px, yqdxdy “ ˝ hpxqdx‚˝ gpyqdy ‚ a P Exemple 3. Calculons l’intégrale I “ şş c ex`y dxdy où P “ r0, 1s ˆ r0, 2s. P y 2 1 P 1 x On a żż I“ P Abdallah Talhaoui ¨1 ˛¨ 2 ˛ ż ż ex ey dxdy “ ˝ ex dx‚˝ ey dy ‚ “ pe ´ 1qpe2 ´ 1q. 0 0 3 ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE Théorème de Fubini sur un domaine régulier Théorème 5 Soit f une fonction continue sur un domaine régulier ␣ ( D “ px, yq P R2 ; a ď x ď b, g1 pxq ď y ď g2 pxq où g1 et g2 sont continues sur ra, bs. Alors żb żż f px, yqdxdy “ şş ˛ g2żpxq ‹ f px, yqdy ‚dx. ˚ ˝ a D Exemple 4. Calculons l’intégrale I “ ¨ g1 pxq x2 ydxdy où D est ’interieur due triangle de sommets A “ O “ p0, 0q, B “ p1, 0q et D C “ p0, 1q. Le domaine D s’exprime sous la forme ␣ ( D “ px, yq P R2 ; 0 ď x ď 1, 0 ď y ď 1 ´ x y 1 g2 pxq “ 1 ´ x g1 pxq “ 0 x 1 En appliquant le théorème de Fubini on obtient ¨ ˛ ż1 1´x ż ż1 1 2 2 I“ ˝ x ydy ‚dx “ x px ´ 1q2 dx 2 0 “ 1 2 0 0 ż1 „ px4 ´ 2x3 ` x2 qdx “ 1 1 5 1 4 1 3 p x ´ x ` x q 2 5 2 3 0 R Si D est donné sous la forme ȷ1 “ 0 1 . 60 ␣ ( D “ px, yq P R2 ; c ď y ď d, g1 pyq ď x ď g2 pyq d D y c x “ g1 pyq alors żd żż f px, yqdxdy “ D Abdallah Talhaoui x “ g2 pyq ¨ g2żpyq ˚ ˝ c 4 ˛ ‹ f px, yqdx‚dy. g1 pyq ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE şş Exemple 5. Calculons l’intégrale I “ px ` yqdxdy où D est l’interieur du triangle de sommets A “ O “ p0, 0q, B “ p2, 0q D et C “ p1, 1q. ␣ ( D “ px, yq P R2 ; 0 ď y ď 1, y ď y ď 2 ´ y 1 D y 1 g1 pyq “ y 2 x g2 pyq “ 2 ´ y ˛ ¨ ż1 2´y ż ż1 4 ‚ ˝ I“ px ` yqdx dxy “ p2 ´ 2y 2 qdy “ . 3 0 D y 0 Changement de variables Formule de changement de variables Soit φ : ∆ Q pu, vq ÞÑ px, yq P D une fonction bijective de classe C 1 , où D et ∆ sont deux domaines mesurables de R2 . Théorème 6 Sous les conditions ci-dessus on a żż żż f px, yqdxdy “ pf ˝ φqpu, vq |det pJφ pu, vqq| dudv D ˜ où Jφ pu, vq “ Bx Bu By Bu Bx Bv By Bv ∆ ¸ est la matrice jacobienne de φ. Coordonnées polaires Si le domaine D ou la fonction f est en x2 ` y 2 , le calcul de l’intégrale est souvent plus facile en passant en coordonnées polaires, via l’application φ : R‹` ˆ r0, 2πr Ñ R2 pr, θq ÞÑ px, yq “ pr cos θ, r sin θq cos θ, ´r sin θ “r r sin θ r cos θ En notant ∆ “ φ´1 pDq , on obtient det pJφ pr, θqq “ żż żż f px, yqdxdy “ D Exemple 6. Calculons l’intégrale I “ şş f pr cos θ, r sin θqrdrdθ ∆ ␣ ( xydxdy où D “ px, yq P R2 telque x2 ` y 2 ď 1, x ě 0 et y ě 0 . D ´1 ∆“φ ! π) pDq “ pr, θq P R‹` ˆ r0, 2πr; 0 ă r ď 1, 0 ă θ ď . 2 y 1 D 1 x π ż1ż2 r3 sinpθq cospθqdrdθ “ I“ 00 Abdallah Talhaoui π ż1 r3 dr 0 5 ż2 1 1 sinp2θqdθ “ . 2 8 0 ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE E Interprétation géométrique de l’intégrale double § L’intégrale I “ şş f px, yqdxdy s’interprète comme le volume V du corps cylindrique délimité par D, et la surface Gf D graphe de la fonction z “ f px, yq. z Gf y x § Lorsque f “ 1, l’intégrale I “ şş D 1dxdy “ airepDq. D Exemple 7. Calculons l’aire du domaine délimité par l’ellipse centrée en O=p0, 0q et d’équation x2 y2 ` “ 1, a2 b2 a ą 0, b ą o. ␣ D “ px, yq P R2 ; ´a ď x ď a, g1 pxq ď y ď g2 pxq ( b g2 pxq x a ´a g1 pxq ´b b où g2 pxq “ ´g1 pxq “ b 1 ´ x2 a2 . En appliquant le théorème de Fubini on a ża żż airepDq “ 1dxdy “ D ¨ g2żpxq ża ‹ dy ‚dx “ ˚ ˝ ´a ˛ ´g2 pxq c 2b 1 ´ x2 . a2 ´a Par le changement de variable x “ a sin t, on obtient airepDq “ πab. F § Applications Centre de gravité Si on note µpx, yq la densité surfacique d’une plaque ∆, sa masse est donnée par la formule żż M“ µpx, yqdxdy. ∆ Les coordonnés du centre de gravité G de ∆ sont données par $ şş 1 ’ & xG “ M xµpx, yqdxdy, ∆ şş 1 ’ % yG “ M yµpx, yqdxdy. ∆ Abdallah Talhaoui 6 ENP-ORAN I. INTÉGRALE DOUBLE R Ces formules se simplifient lorsque µpx, yq est constante $ ’ & xG “ ’ % yG 1 A 1 A “ şş ∆ şş xdxdy, ydxdy. ∆ où A “ airep∆q. Exemple 8. Centre de gravité d’un demi disque homogène ∆ limité par Ox et le demi cercle y “ ? R2 ´ x2 . y ‚G R x xG “ 0 1 yG “ A żż (symétrie) 1 ydxdy “ A dx § ydy 0 ´R ∆ 1 “ 2A ż ?R2 ´x2 żR żR pR2 ´ x2 qdx “ ´R 4R 3π pA “ πR2 q. 2 Moment d’inertie Le moment d’inertie d’une plaque D par rapport à un point ou une droite de son plan est définie par żż µpP qr2 pP qdxdy I“ D ou µ est la densité surfacique de D et r est la distance d’un point P de D au point ou à la droite. Exemple 9. Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à son centre. b y P ‚ r a x o a ´b ża żb I“ ża żb 2 2 px ` y qdxdy “ ´a “ ża żb 2 ´b y 2 dxdy x dxdy ` ´a ´b ´a ´b 4ab 2 M 2 pa ` b2 q “ pa ` b2 q. 3 3 où M est la masse du rectangle. Exemple 10. Moment d’inertie d’un disque par rapport à un diamètre. P ‚ y r o x żż y 2 pP qdxdy IOx “ D En utilisant les coordoonnées polaires, on obtient ż R ż 2π ż R4 2π 1 ´ cos 2θ πR4 2 2 I“ pr sin θqprdrdθq “ dθ “ . 4 0 2 4 0 0 Abdallah Talhaoui 7 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES II Intégrales triples A Intégrabilité Soit D un domaine borné de R3 et f : D Ñ R une fonction continue sur D. On notera l’intégrale triple de f sur D par żż ż f px, y, zqdxdydz. D Le principe des intégrales triples est le même que pour les intégrales doubles. Théorème de Fubini dans R3 B § Sur un parallélépipède Théorème 7 Si D “ ra, bs ˆ rc, ds ˆ re, gs, alors żb żż ż f px, y, zqdxdydz “ dx a D żg żd dy c f px, y, zqdz. e On peut proceder dans l’ordre des variables que l’on veut. R şş Exemple 11. I “ ş px2 ´ 2yzqdxdydz. r0,1sˆr1,2sˆr2,3s D’après le théorème de Fubini on a I “ “ “ “ z ş3 ş2 ş1 dz 1 dy 0 px2 ´ 2yzqdx 2 ş3 ş2 1 dz p ´ 2yzqdy ş23 1 1 3 p ´ 3zqdz 2 3 ´ 43 6 . 3 2 1 1 0 x § 2 y 1 Sur un domaine régulier Théorème 8 Si D : g1 px, yq ď z ď g2 px, yq, px, yq P ∆ Ă R2 z z “ g2 px, yq D y x alors şşş f px, y, zqdxdydz “ D Abdallah Talhaoui şş ∆ dxdy g2 px,yq ş ∆ z “ g1 px, yq f px, y, zqdz. g1 px,yq 8 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES R 1. ∆ est la projection de D sur le plan xOy. 2. On peut proceder dans l’ordre des variables que l’on veut. şşş 1 Exemple 12. Calculons I “ p1`x`y`zq 2 dxdydz ␣ ( où D “ px, y, zq P R3 ; px ` y ` zq ď 1 . D z 1 D y 1 x 1 D peut être exprimé comme l’ensemble des points de R3 tels que 0 ď z ď 1 ´ x ´ y, px, yq P ∆, où ∆ est le triangle défini par ␣ ( ∆ “ px, yq P R2 ; 0 ď y ď 1 ´ x, 0 ď x ď 1 . En appliquant le le théorème de Fubini on a ż 1 ż 1´x ż 1´x´y 1 I“ dx dy dz p1 ` x ` y ` zq2 0 0 0 ˙ ż 1 ż 1´x ˆ 1 1 ´ ` dx “ dy 2 x`y`1 0 0 ˙ ż1ˆ 3 1 “ ´ ln 2 ´ p1 ´ xq ´ lnp1 ` xq dx “ ´ ln 2. 2 4 0 Théorème 9 Si D : a ď x ď b, py, zq P Dx Ă R2 z D y a Dx x x alors şşş b şb şş f px, y, zqdxdydz “ dx f px, y, zqdydz. D a Dx R 1. Dx est l’intersection de D avec le plan passant par px, 0, 0q et parallèle à yOz. 2. On peut proceder dans l’ordre des variables que l’on veut. şşş Exemple 13. Calculons I “ p1 ´ 2yzqdxdydz D ␣ ( où D est le cylindre plein de hauteur h “ 3 et de base le disque D0 “ px, y, zq P R3 ; px2 ` y 2 q ď 1, z “ 0 . z 3 z Dz y 1 x D peut être exprimé comme ␣ ( px, y, zq P R3 ; 0 ď z ď 3, px, yq P Dz . ␣ ( où Dz “ px, y, zq P R3 ; px2 ` y 2 q ď 1, z “ constant Abdallah Talhaoui 9 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES D’après le théorème de Fubini on a ż3 żż dz I“ p1 ´ 2yzqdxdy 0 Dz En utilisant les coordonnées polaires on a ż 1 ż 2π ż3 p1 ´ 2rz sin θqrdrdθ “ 3π. dz I“ 0 0 0 Changement de variables dans R3 C Formule de changement de variables dans R3 Soit φ : ∆ Q pu, v, wq ÞÑ px, y, zq P D injective de classe C 1 . Théorème 10 Sous les conditions ci-dessus on a żż ż żż ż f px, y, zqdxdydz “ pf ˝ φqpu, v, wq|det pJφ q |dudvdw D ¨ Bx Bu ˚ By où Jφ “ ˝ Bu Bz Bu Bx Bv By Bv Bz Bv ∆ ˛ Bx Bw By ‹ est Bw ‚ Bz Bw la matrice jacobienne de φ. f ˝φ φ ∆ Ă R3 f D Ă R3 pu, v, wq px, y, zq R f ˝ φpu, v, wq Coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques d’un point M px, y, zq sont définies par le changement de variables φ : R‹` ˆ r0, 2πrˆR Ñ R3 pr, θ, zq ÞÑ px, y, zq “ pr cos θ, r sin θ, zq z M y La matrice jacobienne dans ce cas est donnée par ¨ Bx Jφ “ Bu ˚ By ˝ Bu Bz Bu r θ x Bx Bv By Bv Bz Bv ˛ Bx Bw By ‹ “ Bw ‚ Bz Bw ¨ cos θ ˝ sin θ 0 ´r sin θ r cos θ 0 ˛ 0 0‚ 1 et donc det pJφ pr, θ, zqq “ r. Si φp∆q “ D alors żż ż żż ż f px, y, zqdxdydz “ D Abdallah Talhaoui f pr cos θ, r sin θ, zqrdrdθdz ∆ 10 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES şşş 2 2 Exemple 14. Calculons I “ z x `y dxdydz où D ␣ ( D “ px, y, zq P R3 ; px2 ` y 2 q ď 1, 0 ď z ď 1 . z 1 y 1 x ␣ ( ∆ “ pr, θ, zq P R3 ; 0 ă r ď 1, 0 ď θ ă 2π, 0 ď z ď 1 . “ 0 dθ 0 0 0 0 0 ż1 ż 2π 2 z r rdz “ dr dθ ż 2π ż1 ż1 ż 2π I“ r2 r dr `1 1 ln 2dθ “ π ln 2. 2 Coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques d’un point M px, y, zq sont définies par le changement de variables φ : R‹` ˆ r0, 2πrˆr0, πr Ñ R3 pr, θ, φq ÞÑ px, y, zq “ pr cos θ sin φ, r sin θ sin φ, r cos φq z M r φ y θ x La matrice jacobienne dans ce cas est donnée par ¨ ˛ Bx Br ˚ By Jφ “ ˚ ˝ Br Bz Br Bx Bθ By Bθ Bz Bθ Bx Bφ ‹ By ‹ Bφ ‚ “ Bz Bφ ¨ cos θ sin φ ´r sin θ sin φ ˝ sin θ sin φ r cos θ sin φ cos φ 0 ˛ r cos θ cos φ r sin θ cos φ ‚ ´r sin φ d’où l’on tire det pJφ pr, θ, φqq “ r2 sin φ. Si φp∆q “ D. Alors on a żż ż żż ż f pr cos θ, r sin θ, φqr2 sin φdrdθdφ f px, y, zqdxdydz “ D ∆ ␣ ( şşş Exemple 15. Calculons I “ z 2 dxdydz où D “ px, y, zq P R3 ; x2 ` y 2 ` z 2 ď R2 . D z R R y R x Abdallah Talhaoui 11 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES En passant aux coordonnées sphériques on a ␣ ( ∆ “ pr, θ, φq P R3 ; 0 ă r ď R, 0 ď θ ď 2π, 0 ď φ ď π . ż 2π ż π cos2 φ sin φdφ dθ r3 dr 0 0 0 „ ȷπ πR4 1 πR4 “ ´ cos3 φ “ . 2 3 3 0 żR I“ D § Applications Calcul de volume şşş Le volume d’un corps est donné par V “ dxdydz, où D est le domaine délimité par ce corps. D ␣ ( Exemple 16. Calcul du volume V de la sphère D “ px, y, zq P R3 ; x2 ` y 2 ` z 2 ď R2 . ż 2π ż π żż ż żR 4πR3 sin φdφ “ dθ r2 dr V “ dxdydz “ 3 0 0 0 D § Centre de gravité Soit µpx, y, zq la densité volumique d’un solide qui occupe la région D, sa masse est donnée par la formule żż ż M“ µpx, y, zqdxdydz. D Les coordonnés du centre de gravité G de D sont données par şşş $ 1 xG “ M xµpx, y, zqdxdydz, ’ ’ ’ D ’ şşş & 1 yG “ M yµpx, y, zqdxdydz, Dş ’ şş ’ ’ z 1 ’ % G “ M zµpx, y, zqdxdydz, D R Ces formules se simplifient lorsque µpx, yq est constante $ xG ’ ’ ’ ’ & yG ’ ’ ’ ’ % zG “ “ “ 1 V şşş D şş ş 1 V D şş ş 1 V xdxdydz, ydxdydz, zdxdydz, D où V “ volumepDq. ␣ ( Exemple 17. Centre de gravité d’une demi-boule D “ px, y, zq P R3 ; x2 ` y 2 ` z 2 ď R2 , z ě 0 . z R ‚G R y R x Abdallah Talhaoui 12 ENP-ORAN II. INTÉGRALES TRIPLES Par raison de symétrie on a xG “ yG “ 0. Un passage en cordonnées sphériques fournit 1 zG “ V “ V “ Or § 2πR3 3 ˜ż R ¸ ˆż ˙ ˜ż 2π 3 r dr dθ 0 ¸ π 2 sin φ cos φdφ 0 0 πR4 4V donc zG “ 83 R. Moment d’inertie Le moment d’inertie d’un solide D par rapport à un point, une droite ou un plan est l’intégrale triple żż ż I“ µpP qr2 pP qdxdydz D ou µ est la densité volumique de D et r est la distance d’un point P de D au point, à la droite ou au plan. Exemple 18. Moment d’inertie d’un cylindre par rapport à son axe żż ż I“ r2 pP qdxdydz D On utilise les coordonnées cylindriques żh I“ dz 0 “ żR ż 2π r3 dr dθ 0 0 2 MR πR4 h “ . 2 2 où M est la masse du cylindre. Abdallah Talhaoui 13 ENP-ORAN
