Cálculo en Varias Variables - Escuela de Matemáticas
Universidad Nacional, sede Medellín
Parte I – Cálculo diferencial en varias variables
Clase 1. Funciones de varias variables. Dominio, rango y gráficas.
Funciones de varias variables
En la vida diaria nos encontramos con fenómenos naturales o sociales que dependen del
comportamiento de algunos otros. Por ejemplo,
• sabemos que la temperatura (T) de un punto en nuestro planeta, depende (entre otras
posibilidades) de la latitud (x) y la longitud (y) del punto. En este caso podemos decir
que la temperatura es una función de dos variables y escribimos T = f ( x, y).
• Ahora, si también suponemos que la temperatura depende de la hora del día (t) en la
que nos encontremos entonces T = f ( x, y, t), y tendremos una función de tres variables.
Definición
Una función (escalar) de dos variables es una regla f que asocia a cada punto ( x, y)
en un conjunto D ⊆ R2 = {( x, y) |∈ R}, un único número f ( x, y) ∈ R. El conjunto
D = Dom( f ) se llama el dominio de f . El rango es el conjunto de valores que f toma,
es decir, R = { f ( x, y) | ( x, y) ∈ D } ⊆ R. Simbólicamente se acostumbra escribir:
f : D ⊆ R2 → R
( x, y) 7→ z = f ( x, y)
Nota. De forma análoga consideramos funciones (escalares) de tres variables
f : D ⊆ R3 → R
( x, y, z) 7→ w = f ( x, y, z)
El volumen de un cono es una función (escalar) de dos variables (el radio de la base
πr2 h
y la altura). Podemos escribir V (r, h) =
. Es claro que Dom(V ) = (0, ∞) × (0, ∞) .
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Ejemplo.
Ejemplo.
Encontremos el dominio de la función
f ( x, y) = p
x−1
x 2 + y2 − 1
.
Así como en funciones de una variable lo que necesitamos ver es cuando la función tiene
sentido. Por lo tanto hay que ver donde el denominador existe y es distinto de cero. Como se
trata de una raíz cuadrada en el denominador, esto equivale a pedir que x2 + y2 − 1 > 0; es
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decir, x2 + y2 > 1. Geométricamente esta expresión representa el exterior del disco de cemtro
en (0, 0) y radio 1. Escribimos, Dom( f ) = D = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}. Gráficamente:
Figura 1: Dominio de z = f ( x, y)
donde el dominio D corresponde a la región azul celeste de la Figura 1 (la línea punteada
indica que la región D no incluye el borde del disco).
Ejemplo.
Encontremos el dominio de la función g( x, y) =
√
xy · log(y − x2 ). En este caso
tenemos el producto de dos funciones. Así que el dominio de la función g corresponde al
conjunto de puntos donde ambos factores existen.
Para el factor
√
xy, sabemos que éste existe cuando xy ≥ 0; es decir x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 o
x ≤ 0 ∧ y ≤ 0, lo que corresponde al primer y tercer cuadrante del plano XY.
Para el factor log(y − x2 ), necesitamos que y − x2 > 0. Por lo tanto, y > x2 , es decir, la
región en el primer y segundo cuadrante del plano por encima de la parábola y = x2 .
Si graficamos ambas regiones y las interceptamos se obtiene que el dominio es la región
sombreada en la Figura 2:
Figura 2: Dominio de z = g( x, y)
Podemos concluir que Dom( g) = D = {( x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ x ≥ 0}.
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Ejercicio.
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Halle el dominio y el rango de la función f ( x, y) =
x2 + 5y2
.
x 2 + y2
Gráficas de funciones de dos variables
Veamos como representar R3 : Así como R2 se representa por medio de dos ejes (x y y)
formados por dos líneas perpendiculares que se interceptan en el origen (punto (0, 0)), representamos R3 por medio de tres ejes (x, y y z) que se interceptan en el origen (punto (0, 0, 0)) y
que dan la “sensación” de ortogonalidad. La forma más usual se ilustra en la Figura 3a.
Ejercicio.
Ubicar un punto en el espacio el punto (1, 2, 3) (Ver Figura 3b).
(a) Espacio R3
(b) Ubicación de un punto en R3
Figura 3: Representación del espacio R3
Definición
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el
conjunto S de todos los puntos ( x, y, z) ∈ R3 tales que z = f ( x, y), ( x, y) ∈ D, es decir
gráfica de f = S = {( x, y, z) | ( x, y) ∈ D
y
z = f ( x, y)} ⊆ R3 .
La gráfica de una función de dos variables se llama superficie con ecuación z = f ( x, y).
Figura 4: Gráfica de z = f ( x, y)
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Ejemplo.
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Las gráficas de las constantes son completamente similares a lo que pasa en cálculo
diferencial.
Figura 5: Gráfica de z = c, x = h, y = k
Ejercicio.
Dibujar casos particulares x = 2, y = 4 y z = −2.
Ejemplo.
La función f ( x, y) = − ac x − bc y + dc , tiene la misma gráfica que el plano ax + by +
cz = d, la cual intercepta los ejes x, y y z en d/a, d/b y d/c, respectivamente (si a, b, c 6= 0).
Figura 6: Gráfica de f ( x, y) = − ac x − bc y +
d
c
En particular, para graficar la función f ( x, y) = 4 − x − 2y observamos que si hacemos
z = f ( x, y) = 4 − x − 2y, obtenemos x + 2y + z = 4 que es la ecuación de un plano con
a = 1, b = 2, c = 1 y d = 4.
Cuando una de las variables no aparece, su coeficiente es cero. Así esta variable es libre
(puede tomar cualquier valor). En particular, la gráfica de y = x se ilustra en la Figura 7.
Ejemplo: Cilindro parabólico.
Para gráficar la función f ( x, y) = 2x2 , hacemos z = 2x2 que es la ecuación de una parábola en
el plano xz y como y no aparece puede tomar cualquier valor, luego dicha parábola se mueve
a lo largo del eje y. La gráfica de este cilindro se ilustra en la Figura 8.
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Figura 7: Gráfica de y = x
Figura 8: Cilindro
parabólico :
f ( x, y) = 2x2
De forma análoga a lo hecho en cálculo diferencial, podemos considerar gráficas de ecuaciones
que no provienen de una función.
Ejemplo.
Consideremos la ecuación x2 + y2 = 1. En este caso tendremos un cilindro circular
recto que se forma al “mover” la gráfica de la circunferencia x2 + y2 = 1 (hecha en el plano
xy), a lo largo del eje z (la variable que no aparece en la ecuación).
(a) Circunferencia x2 + y2 = 1 en el plano XY
(b) Superficie generada
Del mismo modo podemos generar cilindros como los mostrados en la siguientes figuras:
Figura 10: Cilindro
elíptico :
y2 /4 + z2 = 1
Figura 11: Cilindro
sinusoidal :
x = sen(8z)
En la Figura 10, la elipse en el plano yz se mueve a lo largo del eje x. Mientras que, en la
Figura 11, la función seno en el plano xz se mueve a lo largo del eje y.
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