1
L3 Physique et Mécanique
Mécanique Lagrangienne
(Version du 23 mars 2016)
Luc PASTUR
Table des matières
1 Repères historiques
1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Un
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
nouveau principe fondamental
Principe de Hamilton . . . . . . .
Equations de Lagrange . . . . . .
Exemple : la particule libre . . .
Déplacements et travaux virtuels
Principe de d’Alembert . . . . .
3
3
4
7
en
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mécanique
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4 Théorèmes de conservation
4.1 Lagrangiens équivalents . . . . . . . .
4.2 Moment conjugué et variable cyclique
4.3 Energie et translation dans le temps .
4.4 Impulsion et translation dans l’espace
4.5 Moment cinétique et rotation . . . . .
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5 Un principe fondamental en physique
5.1 Vers une théorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Force de Lorentz et équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
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3 Systèmes sous contraintes
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . .
3.2 Une classification des contraintes
3.3 Multiplicateurs de Lagrange . . .
3.4 Forme d’une corde pesante . . . .
3.5 Fonction dissipation . . . . . . .
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2
Chapitre 1
Repères historiques
Si c’est une convention de dire que la Terre tourne, c’est également
une convention de dire qu’elle existe, et ces deux conventions se justifient par des raisons identiques.
Paul PAINLEVÉ
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.1
Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
7
Cinématique
La cinématique est la science qui permet de décrire le mouvement (position, vitesse, accélération)
des corps, relativement à d’autres corps qui servent de référentiel (le sol, le soleil, les étoiles fixes),
tandis que la dynamique s’attache à expliquer le mouvement des corps et les causes qui lui ont
donné jour. On se donne un repère, pour la mesure des longueurs, et une horloge, pour la mesure
des durées. Selon le problème considéré, on utilise l’un ou l’autre des repères suivants :
• Le système de coordonnées cartésiennes (ex , ey , ez ), fixe dans le référentiel choisi.
• Le système de coordonnées cylindriques (eρ , eθ , ez ), particulièrement adapté lorsque le
système présente un axe de symétrie. C’est le cas par exemple du mouvement des corps
célestes dans le plan de l’écliptique.
• Le système de coordonnées sphériques (er , eθ , eφ ), adapté pour les problèmes qui présentent
une symétrie sphérique.
• Le système de coordonnées curvilignes, attaché au corps solide et qui l’accompagne dans
son mouvement.
L’étude du mouvement des corps, par la détermination de leur accélération, suggère déjà le
principe fondamental de Newton et permet de révéler des constantes du mouvement.
L’étude de la chute libre des corps, lâchés suivant la verticale ou sur un rail incliné, permet de
3
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
4
mettre en évidence les mouvement uniformément accélérés, tels que
a(t) = a0
v(t) = v0 + a0 (t − t0 )
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + 21 a0 (t − t0 )2
Il apparaı̂t en outre une constante du mouvement G = 12 v 2 − a0 x qui n’est autre que l’énergie
mécanique du système :
dG
dv
=v
− a0 = 0.
dt
dt
L’étude du mouvement des planètes permet également d’établir empiriquement les lois du mouvement qui deviendront par la suite des conséquences du principe fondamental de la dynamique
lorsque la force appliquée est centrale et inversement proportionnelle au carré de la distance entre
le Soleil et la planète. Johannes Kepler, reprenant plus précisément l’analyse du mouvement de
la planète Mars commencée par son maı̂tre et ami Tycho Brahé, et supposant que la trajectoire
de la Terre est circulaire autour du Soleil, établit par l’observation les lois suivantes :
Première loi : les centres des planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyers est
occupé par le soleil
Seconde loi : les rayons vecteurs balaient en des temps égaux des aires égales
Troisième loi : les cubes des grands axes des orbites sont proportionnels aux carrés des
temps de révolution.
Du point de vue de la Dynamique, les deux premières lois impliquent une force centrale variant
en 1/r2 ; la troisième loi permet quant à elle d’établir que la constante de gravitation ne dépend
pas des planètes.
1.2
Dynamique
On peut raisonnablement considérer le principe de causalité comme la base de la science moderne [9]. Dans son expression la plus simple, ce principe peut s’énoncer de la manière suivante :
(A) “Si à deux instants, les mêmes conditions sont réalisées, transportées seulement
dans l’espace et le temps, les mêmes phénomènes se reproduiront, transportés seulement
dans l’espace et le temps.”
Cet énoncé “intuitif” repose en fait sur notre habileté à définir l’espace et le temps, et notre
capacité à mesurer des longueurs et des durées. Cette mesure ne peut porter, en pratique, que sur
des quantités relatives, c’est-à-dire rapportées à un étalon, de longueur ou de temps. Ainsi, si la
règle utilisée se racourcit ou s’allonge quand on se déplace dans l’espace (par rapport au mètreétalon), ou qu’on mesure le temps à l’aide d’une horloge qui prend de l’avance ou du retard (par
rapport à l’horloge sidérale), les deux phénomènes comparés, identiques dans le premier système
de mesure, apparaı̂tront différents dans le second. En langage positif, le principe s’énoncerait ainsi
d’une manière légèrement remaniée :
“On peut mesurer la distance et le temps de telle façon que l’énoncé (A) soit vrai.”
Implicitement, le principe de causalité suppose l’existence d’un système de référence absolu dans
l’espace et le temps, par rapport auquel les lois de la mécanique doivent être rapportées. C’est sur
ce postulat fondamental — que les mouvements absolus satisfont rigoureusement au principe de
causalité — que s’est construite la Mécanique. Du principe de causalité, il devait résulter que l’état
initial du système suffisait à déterminer son mouvement. Les scolastiques 1 et les coperniciens 2
acceptaient le principe de causalité ; les premiers pensaient que l’état initial du système était
1. Ecole de pensée reposant sur les idées aristotéliciennes, intégrées au dogme de l’Eglise.
2. Adeptes de la doctrine de Copernic dans laquelle le Soleil occupe le centre du monde et les planètes tournent
autour de lui.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
5
entièrement donné par les positions de ses éléments à un instant donné, les seconds que les positions
seules ne suffisent pas et que les vitesses initiales de chacun des éléments doivent être également
connues. La prise en compte des vitesses initiales du système, résulte de cette observation que
le mouvement d’un corps isolé tend à rester le même. Le principe de causalité ainsi interprété
conduit donc à la conclusion qu’un élément matériel infiniment éloigné de tous les autres reste
absolument fixe si la vitesse initiale est nulle, et décrit une droite s’il est animé d’une vitesse
initiale. Pour certaines raisons de simplicité, appuyées sur des observations astronomiques, les
coperniciens admettaient de plus que le mouvement absolu du système est non seulement rectiligne,
mais également uniforme, qui donnera le principe de l’inertie repris par Galilee puis posé comme
première loi par Newton. La force se définit alors comme l’action qui fait dévier un corps de son
mouvement rectiligne uniforme. La grandeur dirigée qui représente mathématiquement la force doit
donc avoir le sens de la déviation et être proportionnelle à la fois à la grandeur de cette déviation
et à la quantité de matière déviée. Le changement de la vitesse d’un corps par une force, durant
un temps infiniment petit, conduit Galilée à définir la notion d’accélération et ses successeurs
à “inventer” le calcul différentiel. L’opération de différentiation est ainsi capable de résoudre les
phénomènes les plus complexes du mouvement en actions élémentaires, c’est-à-dire en actions qui
s’exercent entre éléments de matière pendant un temps infinitésimal. A l’inverse, le calcul intégral
permet d’effectuer l’opération inverse et de calculer le mouvement fini d’un coprs matériel à partir
de la connaissance des forces qui s’exercent sur lui à chaque instant, et des conditions initiales
proprement définies. Le principe de composition des forces, établi en Statique depuis l’antiquité,
Galillée et Newton l’admettent pour la Dynamique ; elle permet de décomposer la force totale
qu’un corps quelconque S exerce sur un élément matériel P en forces exercées sur P par les divers
éléments de S. La troisième loi, dite de l’action et de la réaction, résulte de l’acceptation que la
force qui s’exerce entre deux corps ne dépend que de leurs positions et non de leur vitesses absolues.
Cette hypothèse, acceptée comme “évidente” par Galilée, n’est pas dictée par l’expérience mais
est héritée des anciens principes scholastiques. Ce postulat a néanmoins singulièrement contribué
au développement de la Mécanique.
Toutes les définitions supposent que les éléments matériels sont formés d’atomes (au sens
éthymologique du terme) identiques. Cette hypothèse, longtemps restée invérifiable, peut être
remplacée par l’adjonction d’un nombre, défini comme la masse, qui répond aux conditions suivantes : i) il reste le même quelles que soient les transformations subies par l’élément, pourvu que
celui-ci ne perde ni n’acquière aucune parcelle de matière ; ii) toutes les propositions énéoncées
jusqu’ici reste vraies en regardant la masse d’un élément comme le nombre de ses atomes. Le corps
des axiomes de la mécanique se trouve ainsi constitué indépendamment de toute arrière-pensée
sur la composition de la matière.
Newton fait la distinction entre mouvements relatifs — ceux auxquels nous avons accès —,
et absolus — rapportés à l’espace absolu. Un référentiel est donc nécessaire, par rapport auquel
est rapporté le mouvement d’un corps, et dans ce référentiel un repère, fixe ou attaché au corps,
est choisi qui permet de mesurer les caractéristiques du mouvement au cours du temps. Il s’agit
d’énoncer une ou plusieurs lois sur les causes du changement du mouvement. La grandeur fondamentale introduite par Descartes est la quantité de mouvement p = mv, qui résulte du produit de
la masse de l’objet par sa vitesse. Les lois de la mécanique, selon Newton 3 , s’énoncent selon les
trois principes suivants :
3. Robert Hooke revendiquait aussi la paternité de l’énonciation des principes fondamentaux de la Dynamique ;
malgré son indéniable contribution aux principes énoncés par Newton, ce dernier refusa toujours à Hooke les
remerciements qu’il lui réclamait.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
6
1. Principe d’inertie
Tout corps isolé subsiste dans son état de repos ou de mouvement rectiligne
uniforme.
2. Principe fondamental de la dynamique
La variation de la quantité de mouvement d’un corps est directement proportionnelle à la somme de toutes les forces externes appliquées :
dp X
=
F app
dt
(1.1)
3. Principe de réaction mutuelle
Deux corps en interaction exercent l’un sur l’autres des actions égales en intensité
et opposées en sens.
Il est utile ici de faire un certain nombre de remarques :
• La masse qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique est la masse inerte,
qui s’oppose à la mise en mouvement d’un corps ou à un changement de mouvement. Il
est important ici de remarquer que la masse grave, ou masse pesante, qui intervient dans
la force d’attraction gravitationnelle, est à priori différente de la masse inerte. C’est un
fait d’expérience que le rapport des masses graves de deux corps est égal au rapport de
leurs masses inertes (à moins de 10−12 ). La coı̈ncidence de ces deux grandeurs, toujours inexpliquée, est à la base du principe d’équivalence énoncé par Einstein en relativité générale.
• L’état de repos correspond à un mouvement rectiligne uniforme à vitesse nulle, ce qui peut
simplifier encore l’énoncé du premier principe.
• Lorsque la masse d’un corps est constante, le second principe se réduit à
X
ma =
F app
(1.2)
où a est le vecteur accélération. La question de la constance de la masse inerte est à la
base des développements de la Mécanique, en ce que l’on reconnaı̂t aux corps une qualité
qui se conserve au cours du temps, tantôt assimilée à sa quantité de matière (le premier à
définir la masse de cette manière fut Newton), tantôt définie comme le rapport inverse des
accélérations mutuellement induites par deux corps qui interagissent (ce que fit E. Mach
pour éviter le piège de la quantité de matière qu’il jugeait vide de sens) [8].
• La force de Lorentz est un cas “étrange”, en ce sens que cette force ne dépend plus seulement
de la position relative de la particule chargée mais aussi de sa vitesse : F = q(E + v × B).
Une conséquence est que l’action mutuelle que deux corps chargés en mouvement exercent
l’un sur l’autre ne se trouve pas portée par l’axe qui relie les deux particules, comme c’est
généralement le cas des forces gravitationnelle mg ou électrostatique qE. Le principe de
l’action et de la réaction reste valable, mais dans une forme faible. Une autre conséquence est
que la force de Lorentz, adjointe aux équations de Maxwell, ne sont pas invariantes lors du
passage d’un référentiel d’inertie à un autre. Woldemar Voigt, George Fitzgerald,
Hendrik Lorentz, Henri Poincaré et Albert Einstein, ont contribué, à des degrés
divers, à développer la théorie nouvelle, (improprement) dénommée relativité restreinte [12].
La transformation de Lorentz-Poincaré laisse les équations de l’électromagnétisme invariantes par changement de référentiel inertiel [5].
• Bien qu’Ernst Mach reconnaisse pleinement le génie intellectuel d’Isaac Newton, et
notamment des concepts clairement formulés dont la Mécanique lui est redévable, il n’en
est pas moins très critique à l’égard de sa formulation des principes de base de la Mécanique.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
7
Ainsi, selon Mach, une formulation appropriée, économique pour reprendre son expression,
serait la suivante [8] :
A. Principe expérimental. — Deux corps en présence l’un de l’autre déterminent l’un sur
l’autre, dans des circonstances qui doivent être données par la physique expérimentale,
des accélérations opposées suivant la direction de la droite qui les unit. (Le principe de
l’inertie se trouve déjà inclu dans cette proposition).
B. Définition. — On appelle rapport des masses de deux corps l’inverse, pris en signe
contraire, du rapport de leurs accélérations réciproques.
C. Principe expérimental. — Les rapports des masses des corps sont indépendantes des circonstances physiques (qu’elles soient électriques, magnétiques ou autres) qui déterminent
leurs accélérations réciproques. Ils restent aussi les mêmes, que ces accélérations soient
acquises directement ou indirectement.
D. Principe expérimental. — Les accélérations que plusieurs corps A, B, C, . . . déterminent
sur un corps K sont indépendantes les unes des autres. (Le théorème de la composition
géométrique des forces est une conséquence immédiate de ce principe).
E. Définition. — La force motrice est le produit de la valeur de la masse d’un corps par
l’accélération déterminée sur ce corps.
1.3
Energie
Une formulation équivalente de la Mécanique repose sur les notions historiques de travail et
force vive, regroupées sous le vocable moderne d’énergie. Le premier a en avoir perçu la portée
fut le physicien néerlandais Christiaan Huygens dans la résolution du “problème du centre
d’oscillation”. Par-delà sa pertinence en Mécanique, elle permet en plus de rapprocher différents
champs de la physique en posant comme principe que celle-ci puisse subir des transformations,
qui la font changer de qualités, de sorte que la quantité totale d’énergie se conserve. Parmi ses
formes, la plus subtile et inattendue révélée par les développements de la science au XXe siècle,
réside dans l’équivalence entre masse (inertielle) et énergie, liées par une constante fondamentale
de la physique, c, qui apparaı̂t dans la transformation de Lorentz-Poincaré et a les dimensions
d’une vitesse 4 :
E = mc2 .
Parmi toutes les formes prises par l’énergie, il en est une qui reçut très tôt la plus grande
attention de la Mécanique. La force vive, aujourd’hui appelée énergie cinétique, permet à un corps
animé d’une vitesse de s’élever jusqu’à une hauteur égale (ou légèrement inférieure) à celle de
laquelle il avait été lâché sans vitesse initiale. Huygens remarqua que la hauteur h variait comme
le carré de la vitesse du corps. Cette force vive étant par ailleurs proportionnelle à la masse
inertielle des corps, elle s’écrit naturellement mv 2 . Remarquant que la relation entre la hauteur
de chute et la vitesse acquise est exactement h = v 2 /2, il s’ensuit la définition bien connue de
l’énergie cinétique :
1
1
(1.3)
T = mv · v = mv 2 ,
2
2
Changer l’état de mouvement d’un corps sur la distance d` implique l’action d’une force qui
travaille selon :
δWF = F · d`,
(1.4)
qui a la dimension est celle d’une énergie, exprimée en Joule :
[W ] = J = ML2 T −2 .
Une force perpendiculaire au mouvement ne peut pas être à l’origine de ce mouvement.
4. Vitesse qu’on assimile à celle de la lumière.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
8
Remarque : Le mouvement étant relatif au référentiel choisi, l’énergie cinétique ou le travail
d’une force sont également relatifs à ce référentiel.
L’énergie étant une grandeur additive, l’énergie d’un système est la somme des énergies de
chacune de ses parties.
La puissance P d’une force est l’énergie susceptible d’être forunie par la force sur une durée
infinitésimale :
δW
P=
.
(1.5)
dt
L’unité de puissance est le Watt,
[P] = W = J · s−1 = ML2 T −3 .
Dans le système d’unités international, l’unité de temps est la seconde. Si l’on choisit l’heure pour
unité de temps, le kW pour l’unité de puissance, alors l’énergie s’exprime en kWh — utilisée pour
quantifier la consommation d’électricité :
1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 MJ.
Un théorème extrêmement important peut être établi lorsqu’on s’intéresse à la manière dont le
travail d’une force modifie le mouvement d’un corps :
Z B
WA→B =
F · d`
A
Z
B
=
m
A
Z
B
1 v2
m
· dt
2 dt
=
A
=
v
· v dt
dt
1
2
2
m(vB
− vA
)
2
La variation d’énergie cinétique est égale au travail des forces appliquées au cours du mouvement
entre A et B :
∆T = TB − TA = WA→B
(1.6)
qui est le théorème de l’énergie cinétique.
Certaines forces dérivent d’une fonction scalaire, l’énergie potentielle V :
F = −∇V.
(1.7)
C’est par exemple le cas de la force de pesanteur :
mg = −∇V
avec
V = mgz.
Dans un tel cas de figure, le travail des forces s’écrit :
Z B
WA→B = −
∇V · d`
A
= VA − VB
= −∆V
La variation d’énergie potentielle du corps est égale à l’opposé du travail des forces appliquées
durant le mouvement. Le théorème de l’énergie cinétique se réduit alors à :
∆T + ∆V = 0
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES
9
c’est-à-dire que la somme T + V est égale à une constante, que l’on définit comme l’énergie
mécanique totale du système. La force F , dans ce cas, est dite conservative car elle ne dissipe pas
l’énergie.
Chapitre 2
Un nouveau principe fondamental
en mécanique
L’action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse
et par l’espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de
l’Être suprême : lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature,
la quantité d’Action employée pour ce changement est toujours la
plus petite qu’il soit possible.
Pierre Louis Moreau de MAUPERTUIS
Sommaire
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.1
Principe de Hamilton . . . . . . .
Equations de Lagrange . . . . . .
Exemple : la particule libre . . .
Déplacements et travaux virtuels
Principe de d’Alembert . . . . . .
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12
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Principe de Hamilton
Dans sa Méchanique Analitique, Lagrange propose de considérer les problèmes de mécanique de
la façon suivante. Au lieu de déterminer la position r(t) et la vitesse v(t) d’une particule à l’instant
t connaissant son état initial r(0), v(0), il demande : quelle est la trajectoire effectivement suivie
par la particule si, partant de r1 à l’instant t1 , elle arrive en r2 à t2 ? Pour simplifier, considérons
d’abord le cas d’une seule dimension d’espace. Parmi l’infinité de trajectoires possibles, quelle est
la loi qui détermine la bonne ? Lagrange sait qu’on peut répondre à cette question par le principe
d’économie naturelle de Fermat, repris par Maupertuis. Le principe variationnel comme nous le
présentons ici n’a pas la forme utilisée par Lagrange. Il a été reformulé par Hamilton en 1834.
Nous l’exposons sous cette forme, plus générale que celle proposée par Lagrange (NB : L dépend
de coordonnées q et dérivées) :
La trajectoire d’un système de l’instant t1 à l’instant t2 est tel que l’intégrale d’action S
Z t2
S=
Ldt,
(2.1)
t1
où L = T − V , a une valeur stationnaire pour la trajectoire vraie du mouvement.
10
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE
11
Autrement dit, de tous les chemins possibles que le point-système pourrait emprunter entre ses
positions aux temps t1 et t2 , il empruntera effectivement le chemin qui rend S stationnaire, c’està-dire pour lequel S conserve sa valeur, au premier ordre en les différences infinitésimales entre
trajectoires voisines, qui diffèrent de la trajectoire optimale par des déplacements infinitésimaux.
Autrement dit encore, la trajectoire est telle qu’une variation de la ligne intégrale S, pour des
temps t1 et t2 fixés, est nulle :
Z t2
L(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n , t) dt = 0,
(2.2)
δS(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n , t) = δ
t1
2.2
Equations de Lagrange
Le principe de moindre action stipule que le chemin {q ? (t)} emprunté par le système est celui
qui optimise l’intégrale d’action, c’est-à-dire tel que
Z t2
δS = δ
L(q1? , . . . , qn? , q̇1? , . . . , q̇n? , t) dt = 0.
t1
On différencie des trajectoires voisines, dans l’espace des configurations, en introduisant un paramètre tel que q(t) = q(t, ). La trajectoire optimale est définie par q ? (t) = q(t, 0), qui est le
chemin solution que l’on cherche. Un chemin voisin du chemin optimal est alors défini par
q1 (t, ) = q1 (t, 0) + η1 (t)
..
.
qn (t, )
(2.3)
= qn (t, 0) + ηn (t)
où les ηi (t) sont des fonctions arbitraire du temps, indépendantes, qui s’annulent aux points
extrêmes du chemin (en t1 et t2 ) et sont dérivables jusqu’à l’ordre 2. On recherche donc la solution
q(t, 0) ≡ q ? (t) pour laquelle
dS
d = 0,
(2.4)
δS ≡
d =0
qui se traduit par :
dS
=
d
t2
Z
t1
∂L ∂q ∂L ∂ q̇
+
∂q ∂
∂ q̇ ∂
dt = 0.
(2.5)
Or,
Z
t2
t1
∂L ∂ q̇
dt =
∂ q̇ ∂
Z
t2
t1
t
Z t2
∂L ∂ 2 q
∂L ∂q 2
d ∂L ∂q
dt =
−
dt.
∂ q̇ ∂t∂
∂ q̇ ∂ t1
∂ q̇ ∂
t1 dt
c’est-à-dire
dS
=
d
t2
Z
t1
∂L
d ∂L
−
∂q
dt ∂ q̇
∂q
dt = 0.
∂
La condition de stationarité (2.5) est alors équivalente à :
Z t2 ∂L
d ∂L
∂q
−
dt = 0.
∂q
dt ∂ q̇
∂ =0
t1
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Ainsi,
Z
t2
δS =
t1
∂L
d ∂L
−
∂q
dt ∂ q̇
δq dt = 0.
en ayant défini le déplacement infinitésimal δq par :
∂q
δq ≡
d.
∂ =0
(2.9)
(2.10)
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE
Les fonctions
∂q
∂
12
= η(t), ou δq, étant arbitraires, sauf aux extrémités, et continues par hypothèse,
l’équation (2.9) est vérifiée, sur tout le chemin, si et seulement si
∂L
d ∂L
−
= 0.
∂q
dt ∂ q̇
(2.11)
qui sont les équations d’Euler-Lagrange. La notation δ est utile pour définir des variations
intégrales lors de la manipulation de familles paramétriques de chemins variables tels que définis
par l’équation (2.3).
2.3
Exemple : la particule libre
Une particule libre n’étant soumise à aucun potentiel, toute son énergie est cinétique et L =
mv 2 /2. En coordonnées cartésiennes, les équations d’Euler-Lagrange se réduisent trivialement à
mẍ = 0,
mÿ = 0,
mz̈ = 0.
Nous retrouvons le principe d’inertie : tout corps libre persiste dans son mouvement rectiligne
uniforme. Exprimé en coordonnées sphériques, le Lagrangien devient :
1 L = m ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2 ,
2
et les équations d’Euler-Lagrange :
r̈ = rθ̇2 + r sin2 θφ̇2 ,
θ̈ = φ̇ sin θ cos θ,
φ̈ = 0.
Une solution évidente est φ̇ = 0, θ̇ = 0, r̈ = 0, qui représente bien un mouvement rectiligne
uniforme depuis (ou vers) le point O, mais cela n’épuise à priori pas toutes les solutions.
2.4
Déplacements et travaux virtuels
Un déplacement virtuel, infinitésimal, d’un système, traduit un changement dans la configuration du système dû à un changement infinitésimal des coordonnées δr i cohérent avec les forces
et les contraintes appliquées au système à un instant t. Ce changement est dit virtuel pour le
distinguer d’un déplacement réel du système se produisant sur un intervalle de temps dt, durant
lequel les forces et les contraintes peuvent changer.
(a)
(c)
À l’équilibre, la résultante F i des forces appliquée (F i ) et de contraintes (F i ), sur chaque
(a)
(c)
particule, est nulle, F i = F i + F i = 0. Le travail virtuel de la force F i , au cours d’un
déplacement δr i , est alors nul. Il en va de même du travail virtuel total du système :
X
X (a)
X (c)
F i · δr i =
F i · δr i +
F i · δr i = 0.
(2.12)
i
i
i
On se restreint alors aux systèmes pour lesquels le travail virtuel total des forces de contraintes
est nul. Cette condition est valable pour les corps rigides, mais l’est également pour de nombreux
autres systèmes et contraintes. Ainsi, si une particule est contrainte de se déplacer sur une surface,
la force de contrainte est perpendiculaire à la surface, tandis que le déplacement virtuel doit
être tangent à la surface, de telle sorte que le travail virtuel s’annule. Ce n’est plus vrai si des
forces de frottement sont présentes, et de tels systèmes doivent être exclus de la formulation.
Cette restriction n’est néanmoins pas rédhibitoire, puisque le frottement est essentiellement un
phénomène macroscopique. D’autre part, les forces de frottement associées au roulement ne violent
pas cette condition, puisque ces forces agissent en un point momentanément au repos et ne peut
fournir aucun travail durant un déplacement infinitésimal cohérent avec la contrainte de roulement.
Il est à noter que si le point est contraint sur une surface qui bouge elle-même dans le temps,
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE
13
la force de contrainte est instantanément perpendiculaire à la surface et le travail durant un
déplacement virtuel reste nul, même si le travail durant un déplacement dans le temps dt n’est
pas nécessairement nul. Ainsi, le principe du travail virtuel stipule qu’un système est à l’équilibre
lorsque le travail virtuel des forces appliquées est nul :
X (a)
F i · δr i = 0.
(2.13)
i
(a)
Les coefficients des δr i ne peuvent pas, en général, être annulés, F i 6= 0, car les δr i ne sont
pas tous indépendants. Pour pouvoir annuler les coefficients, il est nécessaire d’écrire le principe
sous une forme faisant intervenir les déplacements virtuels des qi , qui sont indépendants. Les
déplacements virtuels δr i et δqi sont reliés par :
X ∂r i
δqj .
(2.14)
δr i =
∂qj
j
Les variations temporelles dt n’interviennent pas ici puisque les déplacements virtuels, par définition,
ne font intervenir que des variations dans les coordonnées. C’est à cette seule condition que le
déplacement virtuel peut être perpendiculaire à la force de contrainte si celle-ci évolue dans le
temps. Le principe du travail virtuel se réécrit, dans le système de coordonnées généralisées (qj ) :
X
F i · δr i =
i
X
Fi ·
i,j
X
∂r i
δqj =
Qj δqj ,
∂qj
j
(2.15)
où les Qj sont les composantes de la force généralisée, définie comme :
Qj =
X
Fi ·
i
∂r i
.
∂qj
(2.16)
De la même façon que les q n’ont pas la dimension d’une longueur, les Q n’ont pas nécessairement
la dimension d’une force. En revanche, le procduit Qj δqj doit toujours avoir la dimension d’un
travail.
2.5
Principe de d’Alembert
L’équation (2.13) ne concerne que les équilibres statiques. Le principe du travail virtuel est
généralisé au mouvement général d’un système par le principe de d’Alembert. L’équation du
mouvement, écrite sous la forme :
dp
(2.17)
F i − i = 0.
dt
indique que les particules d’un système sont à l’équilibre sous l’action d’une force égale à la force
effective plus une force renversée effective −ṗi . L’Eq. (2.13) se généralise en
X (a)
F i − ṗi · δr i = 0,
(2.18)
i
en supposant toujours que le travail virtuel des forces de contrainte est nul. L’Eq. (2.18) est souvent
appelée principe de d’Alembert. Pour l’exprimer en fonction des coordonnées généralisées qj , on
fait emploi de l’Eq. (2.18) et on transforme ṗi · δr i en :
X
ṗi · δr i =
i
X
mi r̈ i ·
i,j
∂r i
δqj .
∂qj
(2.19)
Il faut remarquer que
X
i
X
∂r i
mi r̈ i ·
=
∂qj
i
d
dt
∂r i
mi ṙ i ·
∂qj
d
− mi ṙ i ·
dt
∂r i
∂qj
.
(2.20)
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE
Le dernier terme de cette équation se développe en :
X 2
d ∂r i
∂ r i ∂qk
∂ 2 ri
∂ X ∂r i
∂r i
=
+
=
.
q̇k +
dt ∂qj
∂qj ∂qk ∂t
∂t∂qj
∂qj
∂qk
∂t
k
14
(2.21)
k
On reconnaı̂t, dans le dernier terme de cette équation, la vitesse v i de la particule i :
∂r i
dr i (q, t) X ∂r i
=
q̇k +
vi =
dt
∂qk
∂t
(2.22)
k
de laquelle on déduit également l’égalité :
∂r i
∂v i
=
,
∂ q̇j
∂qj
ce qui permet de transformer encore l’équation (2.20) en :
X d X
∂v i
∂v i
∂r i
=
mi v i ·
− mi v i ·
.
mi r̈ i ·
∂qj
dt
∂ q̇j
∂qj
i
i
(2.23)
(2.24)
Le principe de d’Alembert s’écrit alors en fonction des coordonnées généralisées sous la forme :
!!
X
∂ X1
d ∂ X1
2
2
Qj −
mi vi −
mi vi
δqj = 0.
(2.25)
dt ∂ q̇j i 2
∂qj i 2
j
P
c’est-à-dire, en identifiant i 12 mi vi2 à l’énergie cinétique T du système :
X
d ∂T
∂T
Qj −
−
δqj = 0.
(2.26)
dt ∂ q̇j
∂qj
j
Remarque : en coordonnées cartésiennes, la dérivée partielle de T par rapport à qj s’annule,
de sorte que ce terme résulte de la “courbure” des coordonnées qj . En coordonnées polaires, par
exemple, la force centrifuge (accélération centripète) résulte de la dérivation partielle de T par
rapport à l’une des coordonnées angulaires.
Les qj étant des variables indépendantes, tout déplacement virtuel δqj est indépendant du
déplacement virtuel δqk , si k 6= j, de sorte que la seule manière de satisfaire l’équation (2.26) est
d’annuler chacun de ses coefficients, simultanément :
d ∂T
∂T
−
= Qj ,
dt ∂ q̇j
∂qj
(2.27)
conduisant à n équations indépendantes. Lorsque les forces F i dérivent d’une fonction potentiel
scalaire V (r 1 , . . . , r N , t) :
F i = −∇i V
(2.28)
les forces généralisées Qj s’écrivent :
X
X
∂r i
∂r i
∂V
=−
∇i V ·
=−
,
Qj =
Fi ·
∂q
∂q
∂q
j
j
j
i
i
(2.29)
et les équations (2.27) se ré-écrivent :
d ∂(T − V ) ∂(T − V )
−
= 0,
dt
∂ q̇j
∂qj
(2.30)
dans la mesure où ∂V /∂ q̇j = 0. On définit alors une nouvelle fonction scalaire, le Lagrangien, par :
L = T − V,
(2.31)
et le système (2.27) prend la forme des equations de Lagrange :
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇j
∂qj
(2.32)
Chapitre 3
Systèmes sous contraintes
Il ne faut pas attendre de la mécanique analytique de nouveaux éclaircissements de principe sur la nature des phénomènes
mécaniques. Bien plus, la connaissance de principe doit être achevée
dans ses traits essentiels avant qu’il soit possible de songer à la constitution d’une mécanique analytique, dont le seul but est la domination pratique la plus simple de tous les problèmes que l’on peut
rencontrer. Celui qui méconnaı̂trait cette situation ne pourrait comprendre l’importante contribution de Lagrange, qui est essentiellement économique.
Ernst MACH
Sommaire
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . .
Une classification des contraintes
Multiplicateurs de Lagrange . . .
Forme d’une corde pesante . . . .
Fonction dissipation . . . . . . . .
.
.
.
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.
.
15
16
16
19
20
Introduction
Dans certains cas, des contraintes s’appliquent sur le système de telle manière que les coordonnées ne peuvent pas varier indépendamment les unes des autres. C’est par exemple ce qui se
produit dans le problème dit isopérimétrique, qui consiste à chercher dans le plan la courbe fermée
qui a la plus grande aire pour un périmètre donné. Dans le plan muni d’un repère cartésien, on
cherche donc l’equation y(x) de cette courbe telle que l’aire
I
A[x, y] = y dx
soit maximale pour un périmètre donné :
p[x, y] =
I p
15
1 + y 02 dx.
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES
3.2
16
Une classification des contraintes
Il est souvent possible d’établir des relations entre différentes coordonnées du système. Certaines sont évidentes, comme dans les corps solides, où les contraintes imposent aux différents
points qui composent le solide de rester à une distance constante les uns des autres. D’autres le
sont moins, par exemple lorsqu’un principe de conservation s’applique au système. En fait, une
certaine habileté et surtout une bonne pratique sont requises pour poser, et résoudre, efficacement
un problème.
Les contraintes peuvent être classées de différentes manières. Une contrainte est dite holonome
s’il est possible d’établir une relation entre les coordonnées, et éventuellement le temps, sous la
forme :
f (r 1 , r 2 , ..., r N , t) = 0
(3.1)
La distance entre deux points A et B d’un corps solide, de cordonnées respectives (xA , yA , zA ) et
(xB , yB , zB ), s’écrit ainsi (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 = AB 2 , qui est une contrainte de
la forme (3.1).
Les contraintes non holonomes peuvent elles-mêmes être de deux natures différentes :
— elles sont dites bilatérales lorsqu’elles s’écrivent sous la forme d’une égalité,
— unilatérales lorsqu’elles font intervenir une inégalité.
Les parois d’un récipient imposent une contrainte non holonome aux molécules de gaz contenues
à l’intérieur :
r2 − a2 ≤ 0
(3.2)
où a est le rayon du récipient sphérique.
Une contrainte ne faisant pas intervenir explicitement le temps :
∂f
=0
∂t
(3.3)
est dite scléronome. Sinon elle est dite rhéonome. Un corps tournant à vitesse angulaire Ω constante
autour d’un axe impose la contrainte θ = Ωt, si θ est la coordonnée utilisée pour repérer la position
angulaire du corps dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation. La contrainte est dans ce cas
holonome rhéonome.
Les contraintes introduisent deux types de difficultés dans la résolution de problèmes de
mécanique :
— Les coordonnées ri ne sont plus indépendantes puisqu’elles sont liées par des équations de
contraintes, de sorte que les équations du mouvement ne sont pas indépendantes ;
— les forces de contraintes ne sont pas données à priori. Elles font ainsi partie des inconnues
et doivent être obtenues à partir de la solution recherchée. En effet, imposer des contraintes
au système est une autre façon de dire que des forces sont présentes dans le problème qui ne
peuvent être directement spécifiées, mais qui sont plutôt connues en fonction de leur effet
sur le mouvement du système.
Dans le cas de contraintes holonomes, la première difficulté est résolue par l’introduction des
coordonnées généralisées. Pour surmonter le second problème, on aimerait pouvoir énoncer la
mécanique de telle sorte que les forces de contraintes disparaissent, afin de n’avoir plus qu’à
considérer les forces appliquées connues. Une façon de procéder est de remarquer, par exemple dans
le cas de contraintes internes, que le travail des forces internes s’annule. C’est l’idée développée
dans le cadre du travail virtuel du chapitre ??.
3.3
Multiplicateurs de Lagrange
Le principe de Hamilton peut être étendu, du moins formellement, à certains types de systèmes
non holonomes. En dérivant les équations de Lagrange soit à partir du principe de Hamilton,
soit du principe de d’Alembert, le recours à des contraintes holonomes n’apparaı̂t qu’à la dernière
étape, lorsque les variations des qi sont supposées indépendantes les unes des autres. Dans le calcul
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES
17
variationnel, δq représente un déplacement virtuel depuis un point du chemin réel vers un point
du chemin voisin. Avec des coordonnées indépendantes, c’est le chemin variationnel final qui est
important, et pas la façon de le construire. Lorsque les coordonnées ne sont pas indépendantes,
mais liées par des relation de contraintes, il devient important de considérer si le chemin est
construit en adéquation avec les contraintes.
Il s’avère que des systèmes non holonomes peuvent être étudiés sur un principe variationnel
seulement si les q peuvent être reliés par des relations différentielles de la forme :
X
alk dqk + alt dt = 0.
(3.4)
k
Les coefficients alk , alt peuvent être des fonctions des q et de t. On supposera qu’il existe m relations
de ce type, l = 1, 2, . . . , m. Les déplacements menant aux chemins voisins doivent satisfaire les
équations (3.4). Or, aucun chemin ne peut être construit selon ces prescriptions, à moins que les
équations (3.4) soient intégrables, auquel cas les contraintes sont holonomes. Les équations de
contrainte pour des déplacements vituels s’écrivent :
X
alk δqk = 0,
(3.5)
k
et les chemins construits ne vérifieront pas en général les équations (3.4). La procédure, pour
réduire le nombre de déplacements virtuels afin de les rendre indépendants les uns des autres, est
d’introduire des multiplicateurs de Lagrange, λ. Les équations (3.5) peuvent se ré-écrire :
X
λl
alk δqk = 0,
(3.6)
k
où les λl , avec l = 1, 2 . . . , m, sont des grandeurs indeterminées, fonctions en général des coordonnées q et du temps t. D’autre part, le principe de Hamilton
Z t2
δI = δ
L(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n , t) dt = 0,
(3.7)
t1
est supposé rester valable pour les systèmes non holonomes, ce qui implique :
Z t2 X d ∂L
∂L
−
δqk = 0.
dt
∂qk
dt ∂ q̇k
t1
(3.8)
k
On peut combiner les équations (3.8) avec les m équations de contrainte sur les déplacements
virtuels δqk , en sommant les équations (3.6) sur l et en intégrant le résultat par rapport au temps
entre les points 1 et 2 :
Z t2 X
λl alk δqk = 0.
(3.9)
t1
k,l
En sommant les équations (3.8) et (3.9), on obtient :
Z
t2
dt
t1
n
X
k=1
d ∂L X
∂L
−
+
λl alk
∂qk
dt ∂ q̇k
!
δqk = 0.
(3.10)
l
Les δqk ne sont toujours pas indépendants : n − m d’entre eux sont indépendants, tandis que m
sont reliés par les équations (3.5). Néanmoins, les λl étant arbitraires, on peut en choisir certains
tels que :
∂L
d ∂L X
−
+
λl alk = 0, k = n + m + 1, n + m + 2, . . . , n,
(3.11)
∂qk
dt ∂ q̇k
l
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES
18
de sorte que maintenant, seules les n − m coordonnées indépendantes interviennent dans les
équations (3.10)
!
Z t2 n−m
X ∂L
d ∂L X
dt
−
+
λl alk δqk = 0.
(3.12)
∂qk
dt ∂ q̇k
t1
l
k=1
Les δqk sont cette fois indépendants, ce qui conduit à :
d ∂L X
∂L
−
+
λl alk = 0,
∂qk
dt ∂ q̇k
k = 1, 2, . . . , n − m,
(3.13)
l
soit au final, en combinant les équations (3.11) et (3.13) :
X
∂L
d ∂L
−
=
λl alk = Q0k ,
dt ∂ q̇k
∂qk
k = 1, 2, . . . , n,
(3.14)
l
qui sont les équations de Lagrange pour les systèmes non holonomes. Nous avons donc n − m
inconnues, les n coordonnées qk et les m multiplicateurs de Lagrange λl , alors que l’on ne dispose,
selon (3.13), que de n équations. Les n − m équations manquantes sont les équations de contrainte
liant les qk , (3.4), écrites sous la forme d’équations différentielles ordinaires du premier ordre :
X
alk q̇k + alt = 0.
(3.15)
k
P
De la forme (3.14), on voit que les termes l λl alk = Q0k sont les forces généralisées de contrainte :
ces forces ne sont donc pas éliminées de la formulation, mais font partie de la solution.
En fait, le principe de Hamilton adopté ici pour les systèmes non holonomes requiert que les
contraintes ne travaillent pas lors des déplacements virtuels. Cela peut se voir en ré-écrivant le
principe de Hamilton sous la forme :
Z t2
Z t2
Z t2
δ
L dt = δ
T dt − δ
U dt = 0,
(3.16)
t1
t1
qui peut se mettre sous la forme
Z t2
Z
δ
T dt =
t1
t2
t1
ou encore :
Z
t1
X ∂U
∂qk
k
t2
Z
t2
T dt = −
δ
t1
t1
−
X
d ∂U
dt ∂ q̇k
δqk dt,
Qk δqk dt.
(3.17)
(3.18)
k
Ainsi, la différence dans l’intégrale temporelle de l’énergie cinétique entre deux chemins voisins
est opposée à l’intégrale temporelle du travail fourni lors des déplacements virtuels entre les deux
chemins. Le travail est celui produit par les forces qui dérivent du potentiel généralisé. Le principe de Hamilton ne peut rester valide pour les systèmes non holonomes que si les forces de
contrainte non holonomes ne travaillent pas durant le déplacement virtuel δqk . En pratique, cette
restriction est peu contraignante, car la plupart des problèmes dans lesquels le formalisme non
holonome est utilisé est liée aux roulements sans glissement, où les contraintes ne travaillent pas.
En fait, si l’hypoyhèse de contraintes sans travail est faite dès le départ, les arguments physiques qui conduisent aux équations (3.14) peuvent être directement étendus pour dériver la forme
complète des équations de Lagrange non holonomes, cf équations (3.14). La condition de forces
de contraintes à travail nul peut s’écrire
X
Q0k δqk = 0.
(3.19)
k
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES
19
Dans le même temps, les équations de contraintes impliquent que
X
λ`
alk δqk = 0, l = 1, 2, . . . , m.
(3.20)
k
Ainsi, l’équation (3.19) est satisfaite si les forces de contrainte sont telles que :
X
Q0k =
λl alk ,
(3.21)
l
où les λl sont les multiplicateurs de Lagrange. Le reste de l’analyse procède des équations (3.13)
et suivantes. Les contraintes non holonomes ne se réduisent pas toutes à la forme (3.4), comme
c’est le cas par exemple des contraintes qui s’écrivent sous la forme d’inégalités. D’autre part, la
forme (3.4) inclut aussi les contraintes hohlonomes. En effet, une contrainte holonome s’écrivant
sous la forme :
f (q1 , q2 , ..., qn , t) = 0
(3.22)
est équivalente à la forme différentielle :
X ∂f
∂f
dt = 0,
dqk +
∂qk
∂t
(3.23)
k
c’est-à-dire que l’on a
X
alk =
k
∂f
,
∂qk
alt =
∂f
∂t
(3.24)
dans l’équation (3.4). Ainsi, la méthode des multiplicateurs de Lagrange peut également être
employée pour des contraintes holonomes lorsque i) il n’est pas approprié de rendre toutes les
coordonnées indépendantes, ii) on veut déterminer les forces de contraintes.
3.4
Forme d’une corde pesante
Considérons une corde de masse linéique µ constante et de longueur L, dans le plan (xOz).
La corde est fixée à ses extrémités en A(0, 0) et B(xB , zB ). On veut déterminer la forme de
la corde à l’équilibre. La corde étant supposée non élastique, on doit imposer la contrainte
2
≤ L2 . La position d’équilibre z(x) de la corde correspond à la configuration d’énergie
x2B + zB
potentielle
p minimale. L’élément de longueur de la corde, sur l’intervalle [x, x + dx],
√ gravitationnelle
est d` = dx2 + dz 2 = 1 + z 0 (x)2 dx. L’énergie potentielle de la corde est dV = µgzd`, où g est
l’accélération de la pesanteur. Il s’agit maintenant de minimiser l’intégrale :
Z xB
p
V =
µgz(x) 1 + z 0 (x)2 dx,
0
sous la contrainte
Z
L=
xB
p
1 + z 0 (x)2 dx.
0
On cherche donc à minimiser la quantité :
Z xB
p
V + λL =
µg(z − zλ ) 1 + z 02 dx,
0
où l’on a introduit le multiplicateur de Lagrange λ = −µgzλ . L’équation d’Euler-Lagrange devient :
(z − zλ )z 00 = 1 + z 02 ,
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES
dont la solution est du type
20
chaı̂nette :
z(x) = zλ + c cosh
x − x0
c
.
Elle dépend des trois paramètres zλ , c, et x0 , qu’on peut exprimer en terme des conditions aux
limites et de la contrainte sur la longueur L. En effet, z(0) = 0 de sorte que zλ = −c cosh(x0 /c) ;
z(xB ) = zB impose zB = c [cosh((xB − x0 )/c) − cosh(x0 /c)],
Z xB
Z xB p
x − x0
xB − x0
1 + z 0 (x)2 dx =
cosh
dx = c sinh
+ sinh (x0 /c) .
L=
c
c
0
0
La solution présente une symétrie par dilatations : si l’on multiplie toutes les quantités homogènes
à une longueur par le même facteur κ on obtient une solution pour une corde de longueur κL
qui passe par les points (0, 0) et (κxB , κzB ). Dans ce cas, c est remplacé par κc. C’est donc c
qui caractérise les unités de longueur choisies. Cette symétrie est due au fait que le lagrangien ne
dépend pas d’une échelle de longueur explicite. Nous trouvons pour le rapport zB /L :
xB − 2x0
cosh ((xB − x0 )/c) − cosh (x0 /c)
= tanh
.
zB /L =
sinh ((xB − x0 )/c) + sinh(x0 /c)
2c
Le minimum de la chaı̂nette est situé au point x0 qui peut ou non se trouver dans l’intervalle [0, a].
Par ailleurs, pour c = 1, x0 = xB /2 − arctanh(zB /L), ce qui implique x0 → −∞ pour zB /L → 1
(corde verticale orientée vers le haut), x0 = xB /2 pour zB = 0 (corde symétrique par rapport à
xB /2), et x0 → +∞ pour zB /L → −1.
3.5
Fonction dissipation
Lorsque certaines forces ne peuvent pas être dérivées d’un potentiel, la forme des équations de
Lagrange est donnée par le système d’équation (2.27) :
∂L
d ∂L
−
= Qj ,
dt ∂ q̇j
∂qj
(3.25)
où L contient le potentiel des forces conservatives et Qj représente les forces qui ne dérivent pas
d’un potentiel. C’est ce qui se produit par exemple en présence de forces de frottement. Néanmoins,
lorsque ces forces sont proportionnelles à la vitesse de la particule, c’est-à-dire si :
Ff x = −kx vx ,
alors ces forces dérivent d’une fonction F, dite fonction de dissipation de Rayleigh, définie par :
1X
2
2
2
F=
kx vix
+ ky viy
+ kz viz
,
(3.26)
2 i
où la sommation s’effectue sur toutes les particules du systèmes. Ainsi,
F f = −∇v F
(3.27)
Physiquement, le travail fourni par le système contre les forces de frottement est
2
2
2
dWf = −F f · dr = −F f · vdt = kx vix
+ ky viy
+ kz viz
dt
de sorte que 2F représente le taux de dissipation de l’énergie due aux frottements. La composante
de la force généralisée résultant de la force de frottement est alors donnée par :
X
X
X
∂r i
∂ ṙ i
∂F
∂r i
Qj =
F if ·
=−
∇v F ·
=−
∇v F ·
=−
.
(3.28)
∂q
∂q
∂
q̇
∂
q̇j
j
j
j
i
i
i
Les équations de Lagrange deviennent dans ce cas :
d ∂L
∂L
∂F
−
+
= 0,
dt ∂ q̇j
∂qj
∂ q̇j
(3.29)
et deux fonctions scalaires, L et F, doivent être spécifiées pour obtenir les équations du mouvement.
Chapitre 4
Théorèmes de conservation
Among the successors of those illustrious men, Lagrange has perhaps done more than any other analyst, to give extent and harmony
to such deductive researches, by showing that the most varied consequences respecting motions of systems of bodies may be derived from
one radical formula ; the beauty of the method so suiting the dignity
of the results, as to make of his great work a kind of scientific poem.
William Rowan HAMILTON
Sommaire
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1
Lagrangiens équivalents . . . . . . . . .
Moment conjugué et variable cyclique
Energie et translation dans le temps .
Impulsion et translation dans l’espace
Moment cinétique et rotation . . . . .
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
21
21
22
23
23
Lagrangiens équivalents
Pour un système d’équations du mouvement donné, il n’existe pas un choix unique du lagrangien L. En effet, si F (q, t) est une fonction différentiable quelconque des coordonnées généralisées
et du temps, alors
dF
L0 (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +
,
(4.1)
dt
est un nouveau Lagrangien conduisant aux mêmes équations du mouvement. En effet,
d ∂L0
∂L0
d ∂L ∂L
d ∂ dF
∂ dF
−
=
−
+
−
.
dt ∂ q̇
∂q
dt ∂ q̇
∂q
dt ∂ q̇ dt
∂q dt
4.2
Moment conjugué et variable cyclique
Lorsque le Lagrangien d’un système ne dépend pas explicitement d’une coordonnée qi , alors
qu’il peut dépendre de q̇i , la coordonnées est dite cyclique ou ignorable. Dans ce cas, les équations
du mouvement
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q̇
∂q
21
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION
se réduisent à
22
d ∂L
= 0.
dt ∂ q̇
(4.2)
En définissant le moment généralisé pi , associé à la coordonnée qi , par :
pi =
∂L
,
∂ q̇
(4.3)
on voit que l’équation (4.2) impose à pi d’être une constante du mouvement. Le moment généralisé
pi est également souvent appelé moment conjugué ou moment canonique. De sorte que (théorème
de Noether 1 ) :
Le moment généralisé conjugué d’une coordonnées cyclique se conserve.
Il est à noter que le moment conjugué d’une coordonnée cartésienne est la quantité de mouvement,
dans la direction de la coordonnée 2 ; le moment conjugué d’une coordonnée angulaire est le moment
cinétique associé à l’angle autour duquel la variable angulaire permet de décrire la rotation du
système, etc. Une telle constante du mouvement peut être formellement utilisée pour éliminer la
coordonnée cyclique du problème, qui peut être entièrement résolu en fonction des coordonnées
généralisées restantes. La procédure, initiée par Routh, consiste à modifier le Lagrangien de telle
manière qu’il ne dépende plus de la vitesse q̇i associée à la coordonnée cyclique qi , mais de son
moment conjugué pi . C’est la formulation Hamiltonienne.
4.3
Energie et translation dans le temps
Considérons la dérivée totale du Lagrangien par rapport au temps :
∂L ∂qi
∂L ∂ q̇i
∂L
dL
=
+
+
dt
∂qi ∂t
∂ q̇i ∂t
∂t
(4.4)
D’après l’équation de Lagrange :
∂L
d ∂L
=
∂qi
dt ∂ q̇i
d’où
dL X d ∂L X ∂L
∂L X d
=
q̇i
+
q̈i +
=
dt
dt ∂ q̇i
∂ q̇i
∂t
dt
i
i
i
Il en résulte :
d
dt
X ∂L
q̇i − L
∂ q̇i
i
!
+
∂L
= 0.
∂t
∂L
q̇i
∂ q̇i
+
∂L
∂t
(4.5)
On voit apparaı̂tre une nouvelle grandeur, souvent définie comme la fonction énergie ou invariant
de Jacobi :
X ∂L
h(q, q̇, t) =
q̇i − L,
(4.6)
∂ q̇i
i
dont la variation temporelle, donnée par :
dh
∂L
=−
,
dt
∂t
(4.7)
1. Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 - 14 avril 1935) est une mathématicienne allemande spécialiste d’algèbre
et de physique théorique. En physique, le théorème de Noether explique le lien fondamental entre symétries et lois
de conservation.
2. En électromagnétisme, lorsque φ et A ne dépendent ni l’un ni l’autre de x, x est une variable cyclique, et le
moment conjugué prend la forme px = mẋ + qAx /c.
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION
23
est nulle si le Lagrangien ne dépend pas explicitement du temps : ∂L
∂t = 0. Par un changement
de variables approprié, la fonction énergie est assimilable au Hamiltonien H du système, exprimé
en fonction des n variables indépendantes qj et de leurs dérivées q̇j (le hamiltonien étant défini
comme fonction des 2n variables indépendantes qj et pj ). Dans la plupart des cas h peut se
réduire à l’énergie mécanique du système. Notons également que, bien que L soit défini comme
L = T − V , h dépend en amplitude et pour sa forme fonctionnelle du choix spécifique des coordonnées généralisées, de sorte que pour un système donné, différents h, de significations physiques
différentes, peuvent être définis. Si par ailleurs les forces dissipatives dérivent d’une fonctionnelle
F :
X ∂F
,
Q=
q̇j
∂ q̇j
j
alors
dh ∂L X ∂L
+
=
q̇j
= −2F
dt
∂t
∂ q̇j
j
(4.8)
si F est quadratique en qj , de sorte que, si ∂L/∂t = 0, alors −2F représente le taux de variation
de h.
4.4
Impulsion et translation dans l’espace
Supposons que le problème est invariant par translation dans l’espace. C’est le cas d’une particule libre, mais c’est également le cas d’un système de particules dont les interactions ne dépendent
que des coordonnées relatives : V (|ri − rj |). Dans cette hypothèse, pour toute transformation infinitésimale ri → ri + , le lagrangien est invariant
δL =
X ∂L
· = 0 ∀,
∂ri
i
ce qui implique :
X ∂L
∂ri
i
=
|{z}
Eq. Euler-Lagrange
d X
d X ∂L
ṗi = 0.
=
dt i ∂ ṙi
dt i
L’invariance par translation dans l’espace implique la conservation de la quantité de
mouvement totale d’un système de particules.
Remarquons que l’invariance par translation dans une direction donnée implique la conservation
de la composante de la quantité de mouvement selon cette direction.
4.5
Moment cinétique et rotation
Considérons maintenant les rotations. Une rotation infinitésimale d’un angle δφ autour d’un
axe porté par le vecteur unitaire ez transforme les positions et vitesses comme :
ri → ri + δφ ez ∧ ri ,
ṙi → ṙi + δφ ez ∧ ṙi .
Dans cette transformation, la variation du lagrangien est :
X ∂L
∂L
δL =
· (δφ ez ∧ ri ) +
· (δφ ez ∧ ṙi ) ,
∂ri
∂ ṙi
i
ou encore :
δL =
X
i
∂L
∂L
ri ∧
+ ṙi ∧
∂ri
∂ ṙi
!
· ez δφ.
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION
24
S’il y a invariance par rotation, alors δL = 0 quel que soit ez δφ. En revenant à la définition des
moments conjugués et de leurs dérivées, on obtient, en utilisant les équations du mouvement :
X
(ri ∧ ṗi + ṙi ∧ pi ) = 0,
i
Soit :
d X
d
d X
ri ∧ pi =
Ji = J = 0,
dt i
dt i
dt
où le moment cinétique (généralisé) Ji de chaque particule et le moment cinétique (généralisé)
total J sont définis par
X
Ji = ri ∧ pi , J =
Ji .
i
L’invariance par rotation correspond à la conservation du moment cinétique total.
Chapitre 5
Un principe fondamental en
physique
Comme la construction du monde est la plus parfaite possible et
qu’elle est due à un créateur infinement sage, il n’arrive rien dans
le monde qui ne présente des propriétés de maximum ou de minimum. C’est pourquoi aucun doute ne peut subsister sur ce qu’il soit
également possible de déterminer tous les effets de l’univers par leurs
causes finales, à l’aide de la méthode des maxima et des minima,
aussi bien que par leurs causes efficientes.
Leonhard EULER
Sommaire
5.1
5.2
5.1
Vers une théorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . .
Force de Lorentz et équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . .
25
27
Vers une théorie lagrangienne des champs
Il nous faut étendre le formalisme lagrangien aux systèmes continus, donc aux systèmes à un
nombre infini de degrés de liberté. Le prototype de système physique qui permet d’étudier la
transition vers le continu en mécanique est la corde vibrante.
On considère une corde élastique tendue horizontalement entre les points d’abscisses x = 0
et x = `. Sa masse linéique ρ est uniforme. On ne tient pas compte ici de la pesanteur, et on
ne considère que les déformations de la corde dans le plan transverse (ondes transversales). On
note ψ(x, t) l’élongation transverse du point d’abscisse x par rapport à sa position d’équilibre à
l’instant t. On suppose, pour simplifier, que cette élongation se produit dans une seule direction
— l’axe vertical. On peut, par la pensée, considérer la corde comme l’ensemble d’un grand nombre
d’éléments de longueur individuelle d` obéissant chacun aux lois de la dynamique. A la limite, cela
se transforme en un système à nombre infini de degrés de liberté. Considérons un élément de la
corde de longueur d`. Son énergie cinétique est
2
2
1
1
∂ψ
1
∂ψ
2
dT = dm v = ρ d`
' ρ dx
,
2
2
∂t
2
∂t
lorsque la déformation peut être considérée comme petite, (∂ψ/∂x)2 1. Notons γ la tension de
la corde. La corde est élastique ; d’après la loi de Hooke, l’énergie potentielle dV associée à une
25
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE
26
élongation de la corde est proportionnelle à cette élongation et vaut :
s

2
p
∂ψ
dV = γ
ψ(x + dx) − ψ(x))2 + dx2 − dx = γ  1 +
− 1 dx
∂x
Dans l’hypothèse de petites déformations, l’énergie potentielle V de la corde se réécrit :
V =
1
γ
2
Z `
0
∂ψ
∂x
2
dx.
Le lagrangien de la corde :
1
L=
2
2
2 #
Z `" ∂ψ
∂ψ
ρ
−γ
dx.
∂t
∂x
0
est la somme des lagrangiens élémentaires dL = dT − dV , dans laquelle apparaı̂t la densité de
lagrangien L de la corde :
2
2
∂ψ
∂ψ
∂ψ ∂ψ
,
=ρ
−γ
,
L ψ,
∂t ∂x
∂t
∂x
Ici, L ne dépend pas de ψ. Nous verrons la signification physique d’une telle indépendance.
L’équation du mouvement de la corde est obtenue en minimisant l’action de la corde :
" 2
2 #
Z
Z
Z
∂ψ
1
∂ψ
S = L dx dt =
dt dx ρ
−γ
.
2
∂t
∂x
Le problème fait intervenir deux variables x, t, dont dépend la fonction inconnue ψ(x, t). Nous
connaissons parfaitement les états initial, ψ(x, t1 ) = 0, et final, ψ(x, t2 ) = 0, de la corde, ainsi que
les conditions aux deux extrémités, ψ(0, t) = 0 et ψ(L, t) = 0. La solution que nous recherchons
doit rendre l’action S stationnaire :
Z
Z
∂L
∂L
∂L
δS = dt dx
δψ +
δψt +
δψx = 0,
∂ψ
∂ψt
∂ψx
où ψt = ∂ψ/∂t et ψx = ∂ψ/∂x. En intégrant par parties les deux derniers termes de l’intégrant,
et en annulant les termes de bord, il vient :
Z
Z
∂L
∂ ∂L
∂ ∂L
δS = dt dx
−
−
δψ = 0, ∀ δψ,
∂ψ ∂t ∂ψt
∂x ∂ψx
de sorte que l’on obtient l’équation d’Euler-Lagrange :
∂ ∂L
∂ ∂L
∂L
−
−
= 0.
∂ψ ∂t ∂ψt
∂x ∂ψx
Dans le cas présent, ∂L/∂ψ = 0, l’équation du mouvement devient donc :
∂2ψ
∂ψ
− c2 2 = 0,
2
∂t
∂x
où c2 = γ/ρ est la célérité des ondes. L’équation d’onde dérive donc du principe variationnel
de Hamilton. Notons qu’un terme linéaire en ψ dans L aurait donné un terme constant dans le
membre de droite de cette équation, représentant l’action d’une force constante sur la corde.
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE
5.2
27
Force de Lorentz et équations de Maxwell
La force exercée sur une charge électrique q, en mouvement à la vitesse v dans le référentiel
choisi, s’écrit :
1
(5.1)
F = q E + (v × B) ,
c
c’est la force de Lorentz, qui ne dérive pas simplement d’une fonction scalaire V . Les équations de
Lagrange peuvent néanmoins garder leur forme (2.32), même si la force ne dérive pas simplement
d’une énergie potentielle V : il suffit que les forces généralisées puissent s’écrire en fonction d’une
fonction potentiel généralisé U (q, q̇), ou potentiel dépendant des vitesses, tel que :
d ∂U
∂U
−
;
(5.2)
dt ∂ q̇j
∂qj
R
Le Lagrangien est alors donné dans ce cas par L = D dT − dU . C’est ce qui se produit dans un
champ de force électro-magnétique obéissant aux équations de Maxwell :
Qj =
∇×E+
∂B
=0
∂t
∂E
∇ × B − 0
= µ0 j
∂t
∇·E =
ρ
0
(5.3)
∇·B =0
où E, B sont respectivement les champs électrique et magnétique, ρ la densité de charge et j la
densité de courant électriques. Le produit de la permittivité 0 et de la perméabilité µ0 du vide
est égal à l’inverse de la vitesse c de la lumière. Dans l’expression du Lagrangien, il sera nécessaire
de définir l’énergie “cinétique” élémentaire dT du champ électromagnétique.
Le champ B étant solénoide, il dérive d’un potentiel vecteur A :
B = ∇ × A.
La première des quatre équations de Maxwell peut donc se mettre sous la forme :
∂A
∇× E+
=0
∂t
c’est-à-dire que du potentiel scalaire φ dérive la quantité :
E+
∂A
= −∇φ.
∂t
Les potentiels scalaire φ et vecteur A sont maintenant les champs fondamentaux de notre formulation, les champs E et B étant définis à partir de φ et A par les relations précédentes. La force
de Lorentz s’écrit en fonction des potentiels φ et A comme :
∂A
F = q −∇φ −
+ (v × (∇ × A)) .
(5.4)
∂t
En remarquant que :
v × (∇ × A) = ∇(v · A) − (v · ∇)A,
il vient :






∂A

F = q −∇(φ − v · A) −
+ (v · ∇)A 
.
| {z }
∂t

|
{z
}
U/q
dA/dt
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE
28
La dérivée du potentiel généralisé U = q (φ − v · A) par rapport à la vitesse conduit à :
∇v U = −qA,
de sorte que :
−q
dA
d ∂U
· ej ≡
dt
dt ∂vj
et la force de Lorentz se met bien sous la forme :
F =
d
∇v U − ∇r U.
dt
Les équations de Maxwell peuvent dès lors être dérivées du principe de Hamilton. La densité de
Lagrangien s’écrit dans ce cas :
1
B2
2
L=
0 E −
− dU,
2
µ0
avec dU = ρφ − j · A. Les coordonnées généralisées sont à présent les champs φ et A. L’équation
d’Euler-Lagrange pour la variable φ :
∂ ∂L
∂ ∂L
∂L
−
−
= 0,
∂φ ∂t ∂φt ∂x ∂φx
|{z}
|{z}
|{z}
−ρ
0
0 E·ex
donne la loi de Gauss :
−ρ + 0 ∇ · E = 0.
De façon analogue, les équations d’Euler-Lagrange pour le potentiel vecteur A conduisent à la loi
d’Ampère :
1
∂E
j + 0
−
∇ × B = 0.
∂t
µ0
Les deux autres équations de Maxwell proviennent simplement de la définition des champs E et
B en fonction des champs φ et A.
Bibliographie
[1] Joseph BERTRAND “Théorème relatif au mouvement d’un point attiré vers un centre
fixe.” Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences, Paris, 77 (1873) 849-853.
[2] Herbert GOLDSTEIN, “Classical Mechanics”, second edition, Addison-Wesley Publishing compagny, 1980.
[3] Christian GRUBER, Willy BENOIT, “Mécanique générale”, Presses polytechniques
et universitaires romandes, 1998.
[4] Jean HLADIK, “Introduction à la relativité restreinte de Poincaré”, éditions Dunod,
2001.
[5] Jean HLADIK, “Comment le jeune et ambitieux Einstein s’est approprié la relativité
restreinte de Poincaré”, éditions Ellipses, 2004.
[6] Christoph KOPPER, “Principes variationnels et Mécanique analytique”, Cours de
l’Ecole Polytechnique (2014).
[7] Lev LANDAU, Evgueni LIFCHITS, “Mécanique”, cinquième édition en france, Mir Ellipses, 1994.
[8] Ernst MACH, “La Mécanique — exposé historique et critique de son développement”,
éditions Jacques Gabay, 1987 ; réimpression de la traduction français publiée par A. Hermann en 1904.
[9] Paul PAINLEVÉ, “Les axiomes de la Mécanique — examen critique”, éditions Jacques
Gabay, 1995 ; réimpression de l’édition originale publiée par Gauthier-Villars en 1922.
[10] Henri POINCARÉ, “Sur la dynamique de l’électron”, Comptes-Rendus de l’Académie
des Sciences, Paris, CXL, no 23, 1905, pp. 1504-1508 ; “Sur la dynamique de l’électron”,
Rend. Circ. Matem. Palermo XXI (1906) pp. 129-176 ; “La dynamique de l’électron”,
Revue des Sciences 1908, pp. 386-402 ; “La dynamique de l’électron”, Supplément aux
Annales des Postes, Télégraphes et Téléphones, Mars 1913, editions A. Dumas.
[11] Henri POINCARÉ, “La valeur de la Science”, édition Ernest Flammarion, 1905.
[12] http ://www.diffusion.ens.fr/index.php ?res=conf&idconf=710#
[13] Nicolas SATOR, “Introduction au principe variationnel et à la mécanique analytique”,
cours de l’Ecole Normale Supérieure de Cachan (2011).
[14] John R. TAYLOR, “Classical Mechanics”, University Science Book, 2005.
29