Cours d’économie Industrielle L3 SEG MC FAGART 2022
THEORIE DES JEUX 1: LES JEUX SOUS FORME NORMALE
Qu’est ce qu’un jeu ?
Représentation formelle d’une situation d’interdépendance stratégique :
- les préférences d’un agent dépendent des décisions prises par les autres;
- la décision optimale d’un agent dépend des décisions des autres;
Prise en compte des externalités engendrées par les comportements.
Les ingrédients d’un jeu :
- un ensemble de joueurs;
- les règles du jeu: qui décide, à quelles dates, quelles sont les décisions possibles;
- l’issue du jeu : ensembles des décisions e¤ectivement jouées;
- les paiements des joueurs: représentent les préférences des joueurs sur l’ensemble
des issues possibles.
Postulat de base : tous les joueurs connaissent la structure du jeu, ils savent que les
autres joueurs savent... on dit que le jeu est à connaissante commune.
Un exemple, le jeu du centime : deux joueurs posent simultanément une pièce, soit
sur pile, soit sur face. Si les pièces sont du même côté, le joueur 1 donne 1 euro au joueur
2, sinon c’est l’inverse.
1
Forme extensive/Forme normale
La représentation la plus naturelle d’un jeu …ni est la forme extensive : qui consiste
à représenter le jeu sous la forme d’un arbre de décision, donc des noeuds reliés par des
branches.
Cet arbre commence par un seul noeud (le noeud initial) qui représente la situation
du premier joueur : de ce point partent des branches correspondant à toutes les décisions
possibles au début du jeu. Le joueur 1 ne choisira qu’une seule branche.
Les noeuds suivants sont constitués de la même manière : après le joueur 1, c’est
au joueur 2 de jouer: les noeuds de décision du joueur 2 sont suivis par les branches qui
représentent les décisions du joueur 2.
Le long de l’arbre, un noeud représente l’histoire passée du jeu, en un noeud de
l’arbre on sait exactement toutes les actions qui ont été choisies précédemment.
Exemple le jeu Pile/Face
La forme extensive est très naturelle dans les jeux dynamiques …nis d’information
parfaite, en e¤et, chaque fois qu’un joueur doit jouer, dans ce cas il sait quel est le "passé"
du jeu. Toutefois on peut aussi l’adapter aux jeux simultanés ou aux jeux à information
incomplète en utlisant la notion d’ensemble d’information.
A chaque joueur on associe un ensemble d’information chaque fois qu’il doit prendre
une décision. Cet ensemble d’information regroupe des noeuds de l’arbre, et si deux noeuds
(disons A et B, qui résument une histoire passée a et b) sont dans le même ensemble du
joueur disons 2, ceci signi…e que le joueur 2 ignore si l’histoire passée est a ou b: ceci peut
être du au fait que le jeu est simultané, ou à un défaut d’observation du joueur 2.
Dans un jeu à information complète, les ensembles d’information ne contiennent
qu’un seul point..... on les oublie souvent.
Les jeux sous forme stratégique (normale)
Une stratégie est un plan complet d’actions.
Exemple du jeu Pile Face.
Une stratégie pour un joueur lui dicte son comportement dans le jeu (ses décisions)
chaque fois qu’il doit jouer dans un jeu.
- Si le joueur ne joue qu’une fois, stratégie et action peuvent être confondues (jeu
du centime, car il est simultané).
- Mais, dès lors qu’un joueur joue après avoir observé le choix d’un autre joueur,
il joue en réaction (ie en réponse) au comportement de ce joueur, et stratégie et actions
di¤èrent. En d’autres mots, dès que le jeu inclut une dynamique, stratégie et actions sont
di¤érentes.
- Une stratégie décrit ex ante comment le joueur va se comporter, en fonction de
l’histoire du jeu. Une fois la stratégie choisie, le joueur peut con…er l’exécution de cette
stratégie à une machine, aucune prise de décision n’est plus nécessaire.
Un jeu est alors totalement décrit par
- l’ensemble des joueurs, par exemple f1; 2g
2
- les ensembles de stratégies des joueurs, S1 ; S2
- les gains des joueurs comme fonctions des stratégies, soient deux fonctions
ui (s1 ; s2 ); i = 1; 2 dé…nies sur S1 S2 :
2
L’équilibre de Nash
Jeu sous forme normale.
Deux idées clefs :
- les joueurs anticipent le comportement des autres;
- ils sont rationnels (et jouent dans leur propre intérêt) : un concept d’équilibre
non coopératif.
2.1
Stratégie dominante, stratégie dominée
Le dilemme du prisonnier, ou quand la théorie des jeux.... est très simple
J1/J2 NA
A
NA
-2,-2 -10,-1
A
-1,-10 -5,-5
Avouer est une stratégie dominante, quel que soit ce que fait l’autre prisonnier, le
prisonnier i préfère strictement avouer plutôt que ne pas avouer....les deux joueurs avouent
donc, on dit que l’équilibre est un équilibre en stratégies dominantes.
La stratégie sb1 est dominante dans le jeu J = ff1; 2g; S1 ; S2 ; u1 (); u2 ()g si pour tout
s1 2 S1 ; s1 6= sb1
u1 (b
s1 ; s2 ) > u1 (s1 ; s2 ) pour tout s2 2 S2 :
En mots, quel que soit ce que fait J2 , J1 préfère toujours (strictement ) jouer sb1 : le
meilleur choix de J1 ne dépend pas du comportement de J2:
si :
La stratégie sb1 domine la stratégie s1 (ou encore s1 est dominée par sb1 ) dans ce jeu
u1 (b
s1 ; s2 ) > u1 (s1 ; s2 ) pour tout s2 2 S2 :
En mots, quel que soit ce que fait J2 , J1 préfère toujours (strictement ) jouer sb1 plutôt
que s1 .
Une dé…nition moins exigente : une stratégie dominante pour un joueur domine toutes
les autres stratégies de ce joueur.
S’il n’existe pas toujours de stratégie dominante dans un jeu, il peut exister (plus
fréquemment) des stratégies dominées. Par exemple :
3
J1/J2 L
R
U
1,-1 -1,1
M
-1,1 1,2
D
-2,5 -3,2
D est dominée dans ce jeu.
Une stratégie dominée ne sera jamais jouée dans un jeu. Or les joueurs sont capables
de l’anticiper. Dans le jeu ci-dessus, J2 sait que J1 ne jouera pas D. Mais s’il considère
que D n’est pas possible, alors pour lui L devient dominée.
Bien sûr, J1 peut faire le même raisonnement : J2 sait que J1 ne joue jamais D, par
conséquent, il ne joue pas L..... ce qui …nalement fait que U ne sera pas jouée non plus,
l’équilibre est (M,R).
On appelle ce raisonnement " processus itératif d’élimination des stratégies dominées".
Quand un tel processus converge vers une unique issue, cette issue doit être un équilibre.
Ce concept est très intéressant, simple et robuste....mais il ne converge pas toujours.
Autre exemple de convergence
J1/J2 C
D
E
A
7,3 3,1 0,5
B
5,1 5,3 2,2
2.2
Elimination des stratégies qui ne sont pas des meilleures
réponses
Dé…nition des meilleures réponses
- On peut s’intéresser au meilleur choix d’un joueur quand il anticipe le comportement de l’autre (ou des autres). C’est ce qu’on appelle la meilleure réponse. C’est une
fonction. Ainsi dans le jeu précédent M R1 (L) = U et M R1 (R) = M:
- s1 est la meilleure réponse du joueur 1 à une stratégie s2 du joueur 2 si, s2 étant
donnée,
u1 (s1 ; s2 )
u1 (s1 ; s2 ) pour tout s1 :
- On a aussi, si l’on note fM R1 (s2 ); s2 2 S2 g l’ensemble des meilleures réponses
du joueur 1, pour tout s2 2 S2 ;
u1 (M R1 (s2 ); s2 )
u1 (s1 ; s2 ) pour tout s1 2 S1 :
4
Si un joueur anticipe le comportement des autres joueurs, alors il ne peut jouer lui
même qu’une stratégie qui est une meilleure réponse pour lui. Par conséquent comme
chaque joueur sait que les autres joueurs anticipent le comportement des autres joueurs,
il sait qu’eux mêmes ne joueront que les stratégies qui sont des meilleures réponses.
On peut alors appliquer le même raisonnement que le processus d’élimination itératif
des stratégies dominées aux stratégies qui ne sont pas des mailleures réponses. Ce processus d’élimination est puissant, mais ne converge pas toujours lui non plus....
Un exemple de convergence
J1/J2 L
C
R
T
0,4 4,0 5,3
M
2,0 5,4 3,3
B
1,5 3,5 4,6
Quand le processus converge, chaque joueur joue sa meilleure réponse au comportement des autres, et il anticipe correctement une situation stable... au sens où, anticipant
cette issue, aucun des joueurs n’a intérêt à devier. L’équilibre est un équilibre de Nash.
2.3
L’équilibre de Nash
Un équilibre de Nash est une situation dans laquelle chaque joueur joue sa meilleure
réponse au comportement des autres.
(s1 ; s2 ) est un équilibre de Nash du jeu ff1; 2g; S1 ; S2 ; u1 (); u2 ()g si s1 = M R1 (s2 ) et
s2 = M R2 (s1 ) ou encore :
u1 (s1 ; s2 )
u1 (s1 ; s2 ) pour tout s1 2 S1 :
u2 (s1 ; s2 )
u2 (s1 ; s2 ) pour tout s2 2 S2 :
Un équilibre de Nash peut être vu comme le point …xe d’une situation dans laquelle
les joueurs communiquent avant le début du jeu et annoncent leurs stratégies (et les
modi…ent) : un accord qui sera respecté (stable).
Propriétés
- pas d’existence (jeu pile /face)
- pas d’e¢ cacité (dilemme du prisonnier)
- pas d’unicité (le jeu de rencontre).
Existence :
- pour les jeux …nis : il existe un équilibre en stratégies mixtes
5
- quand les ensembles de stratégies sont convexes et compacts, et si la fonctions de
gain d’un joueur est quasi-concave par rapport à sa stratégie, alors l’existence est garanti
.
- Exemple de l’équilibre en stratégie mixtes (Jeu Pile/Face)
Unicité :
L’absence de l’unicité pose le problème de la coordination. Comment les agents se
coordonnent ? Parfois la solution semble évidente....parfois non.
3
Exercices
Exercice 1 - Déterminer les équilibres en stratégies mixtes du jeu Pile/Face
Exercice 2 - Les enchères de Vickrey.
Un bien est à vendre et n agents sont présents. Le mécanisme d’enchères (sous pli
cacheté au second prix) est le suivant: chaque individu fait une o¤re de prix "secrète".
L’organisateur des enchères vend le bien à l’individu qui a o¤ert le plus grand prix, mais
lui fait payer le bien au deuxième plus haut prix. Chaque individu i a par ailleurs une
utilité s’il achète le bien au prix p :
i
p et 0 s’il n’achète pas le bien. Les joueurs
ignorent de plus les valeurs prises par les des autres joueurs.
Montrer que ce jeu admet un équilibre de Nash dans lequel chaque agent i "dit la
vérité" c’est à dire fait une o¤re p =
i:
Si un joueur annonce sa véritable évaluation ou type, , il obtient le bien si l’enchère
la plus élevée des enchères des autres ( que l’on note ici x) est plus faible que et il paye
le bien à ce prix x: Cela lui donne une utilité max(
x; 0): S’il ment et annonce x0 < ,
deux cas son possibles, soit x0 > x et il obtient le bien qu’il paye x donc son utilité est
x mais c’est aussi ce qu’il aurait obtenu s’il avait annoncé ; soit il n’obtient pas le bien
car x0 < x et son utilité est 0. Or max(
x; 0) 0 et en particulier quand x0 < x < ,
l’o¤reur aurait eu le bien en disant la vérité et aurait une utilité
x > 0 alors qu’il a
0 en mentant.
6
L’OLIGOPOLE 1
Modélisation des interactions entre entreprises
Vision la plus ancienne : opposition concurrence parfaite et monopole
Notion d’équilibre utilisée : chaque acteur prévoit le comportement des autres et agit
au mieux de ses intérêtsc’est à dire que la recette marginale du monopole est égale au
coût marginal de production.
4
Concurrence en quantités : l’oligopole à la Cournot
Antoine Augustin Cournot (1838)
Exercice 3 - Concurrence à La Cournot.
n entreprises se livrent une concurrence à la Cournot sur le marché d’un bien. Le coût
marginal de production de chaque entreprise est constant et égal à 10: La fonction de
demande est donnée par Q = 110
p, où Q désigne la quantité demandée et p le prix de
vente du bien.
1 - Dé…nir puis déterminer l’équilibre de Cournot.
2 - Que se passe-t-il sur ce marché si le nombre d’entreprises augmente ?
3 - Comment varie le surplus agrégé du consommateur si le nombre d’entreprises
augmente ?
4.1
Un exemple pour deux entreprises (n=2)
4.2
Le cas général. Plus d’entreprises = plus de concurrence
Détermination de l’équilibre
Chaque entreprise joue sa meilleure réponse aux choix des entreprises concurrentes.
P
Si l’on note qi la quantité produite par l’entreprise i et Q i =
qj la totalité de la
j6=i
production pour les entreprises concurrentes, le pro…t d’une entreprise i est
i (qi ; Qj )
= (P (qi + Q i )
= (100
qi
c)qi
Q i )qi :
La meilleure réponse de l’entreprise i est alors donnée par l’équation suivante:
100
qi
Q
7
i
qi = 0:
A l’équilibre, Q
i
=Q
qi où Q désigne la quantité totale. Comme les entreprises sont
identiques, on en déduit qu’elles produisent toutes la même quantité q c qui véri…e :
100
(n + 1)q c = 0:
Par conséquent on a à l’équilibre,
pc = 10 +
100
100 c
;q =
et
n+1
n+1
c
=(
100 2
):
n+1
L’équilibre de concurrence parfaite
Si la concurrence était parfaite (situation dans laquelle les entreprises considèrent que
leur comportement de production n’a pas d’in‡uence sur le prix), L’o¤re des entreprises
est nulle si le prix est strictement inférieur au coût marginal de production (p < 10)
et in…nie si le prix est strictement supérieur au coût marginal de production (p > 10):
Comme la demande en cas de prix strictement inférieur au coût marginal de production
est strictement positive, et qu’elle n’est pas in…nie si le prix est …ni, le seul équilibre
(situation dans laquelle l’o¤re est égale à la demande) est obtenu si le prix est égal au
coût marginal de production. Dans ce cas, on peut véri…er que produire la demande est
une solution qui maximise le pro…t des entreprises.
Statique comparative de l’équilibre
Quand le nombre d’entreprises augmente, le prix diminue (donc la quantité totale
produite par le groupe d’entreprises augmente). Le consommateur gagne à cette augmentation de quantité, d’une part car les prix baissent, et d’autre part car la quantité totale
se rapproche de la quantité concurrentielle.
Quand n tend vers l’in…ni, le prix tend vers 10 (donc le coût marginal). La concurrence
en quantités conduit alors les entreprises à se comporter comme si elles étaient en situation
de concurrence pure et parfaite. On véri…e qu’alors la somme des pro…ts totaux tend vers
0, comme en concurrence parfaite.
La vision selon laquelle ”plus d’entreprises = plus de concurrence”peut être appliquée
ce modèle : quand le nombre d’entreprises augmente, le bien être du consommateur
(représentatif) augmente.
Explication du mécanisme
On pourrait penser que les entreprises se comportent de façon plus concurrentielle car
elles se partagent un marché dont la taille est de plus en plus réduite. Il n’en est rien.
Pour préciser l’analyse, on peut comparer l’équilibre de Cournot avec ce qu’il se passerait
sur un marché segmenté, sur lequel les n entreprises présentes se partagent la demande.
8
Exercice 4 - Les entreprises de l’exercice 3 se partagent le marché en n parts égales.
Ecrire le pro…t de chaque entreprise puis montrer que chaque entreprise facture sur son
marché le prix de monopole. Comparer alors l’issue du processus concurrentiel quand les
entreprises segmentent leur territoire avec l’issue de concurrence à la Cournot.
La demande totale est Q = 110
p. Donc si les entreprises segmentent le marché
chacune fait face à une demande :
110 p
;
n
Di (p) =
ou encore une fonction de demande inverse p = 110
chaque partie segmentée du marché est :
m
(Q) = (100
nQ: Le pro…t de monopole sur
nQ)Q
et il choisit la quantité
100
< qc;
2n
ce qui conduit à un prix de 60. Ce dernier ne dépend pas du nombre d’entreprises. Ce n’est
Qm
i =
donc pas la réduction de leur marché quand n augmente qui réduit le prix de Cournot,
mais le fait que toutes les entreprises interagissent ensemble. Quand n augmente, le poids
relatif d’une entreprise sur le marché (vis à vis du groupe des ses concurrentes) est réduit.
Elle perd son pouvoir de …xation des prix.
5
La concurrence en prix
5.1
La guerre des prix, le paradoxe de Bertrand
Bertrand, 1878, une réponse à Cournot. Si les entreprises ont des rendements d’échelle
constants, aucune limite de capacité de production, et produisent un bien homogène, la
concurrence en prix conduit les entreprises à se comporter comme en concurrence parfaite
: elles …xent un prix de vente égal au coût marginal de production.
Le mécanisme de la concurrence en prix.
La concurrence en prix est modélisée de la façon suivante : il existe deux entreprises,
notées 1 et 2. Chacune choisit son prix de vente. Les consommateurs observent les deux
prix et choisissent d’acheter à l’entreprise dont le prix est plus faible.
9
Si l’on note D(p) la demande des consommateurs les pro…ts des deux entreprises sont
donnés par
c)D(p1 ) et
(p1
2 (p1 ; p2 ) =
1 (p1 ; p2 )
= (p1
1 (p1 ; p2 )
=
1 (p1 ; p2 )
= 0 et
2 (p1 ; p2 )
= 0 si p1 < p2 ;
c)D(p1 )
si p1 = p2 ;
2
c)D(p2 ) si p1 > p2 :
2 (p1 ; p2 ) = (p2
On étudie l’équilibre de Bertrand en supposant que les deux entreprises choisissent leurs
prix de façon simultanée. La notion d’équilibre retenu est alors celle de l’équilibre de
Nash.
On montre que
(i) (p1 ; p2 ) = (c; c) est un équilibre de Nash symétrique du jeu;
(ii) il n’existe aucun équilibre dans lequel l’une des entreprises facture
pi > c, pour i = 1 ou 2:
La meilleure réponse d’une entreprise est donc toujours de "casser" le prix de sa
concurrente, tant que sa marge est positive, et ceci conduit les entreprises à …xer un prix
égal au coût marginal de production.
Même si les entreprises sont "faiseurs de prix", une concurrence violente fait qu’elles
perdent ce pouvoir.
La concurrence en prix ne conduit pas aux mêmes résultats que la concurrence en
quantités : d’où un paradoxe. Plus d’ entreprises ne conduit à "plus de concurrence"
(c’et à dire à une baisse des prix) , la nature de l’interaction stratégique est clef pour
comprendre le processus concurrentiel.
6
La di¤érenciation des produits
Le modèle de concurrence en prix à la Bertrand montre que deux entreprises qui produisent
et vendent le même bien sans limite de capacité et avec des rendements constants facturent
un prix à l’équilibre qui au coût unitaire de production. De ce fait ces entreprises en
situation de concurrence imparfaite se comportent comme si la concurrence était parfaite
(d’où le terme de paradoxe de Bertrand).
Le modèle
10
Les consommateurs sont répartis de façon uniforme sur une plage, ils ont chacun une
adresse, notée x, comprise entre 0 et 1, et leur nombre (très grand) est normalisé à 1.
Ceci signi…e que le nombre de consommateurs à gauche d’une adresse x est x.
Deux entreprises sur cette plage sont situées en x0 = 0 et x1 = 1 , elles vendent le
même bien aux prix p0 et p1 , leur coût marginal de production est c (qui est souvent
supposé nul). Le pro…t d’une entreprise i est donc (pi c)qi si elle vend la quantité qi :
Chaque consommateur doit choisir entre acheter ou non une unité de bien, et acheter
à l’entreprise E0 ou à l’entreprise E1 . Il subit un coût (de transport) quand il achète à
une entreprise qui re‡ète la distance parcourue, c’est à dire que, s’il achète en E0 au prix
p0 son utilité est S p0 tx, s’il achète en E1 au prix p1 , son utilité est S p1 t(1 x).
S’il n’achète pas, son utilité est nulle. Le paramètre t est un coût de transport, x et (1 x)
sont les distances parcourues. De plus il n’achète que si le coût total (prix plus coût de
transport) qu’il subit est plus faible qu’un "prix maximum" noté S, identique pour tous
les consommateurs.
Les prix sont observables, les entreprises se font concurrence en prix.
Exercice 5 - Dans le modèle de Hotelling ,
1 - Déterminer la demande qui s’adresse à chaque entreprise en supposant que les prix
sont tels que tous les consommateurs de la plage achètent une unité de bien.
2 - Ecrire les pro…ts des entreprises.
3 - En déduire l’équilibre de Nash du jeu de concurrence en prix avec bien di¤érenciés.
Détermination de la fonction de demande avec marché couvert
On suppose que tous les consommateurs du segment [0; 1] achètent une unité de bien
à l’une ou l’autre des entreprises. On note x le consommateur indi¤érent entre les deux
entreprises, on a
= S p1 t(1 x ) ,
1 p1 p0
x =
+
:
2
2t
Dans ce cas, tous les consommateurs à gauche de x préfèrent acheter à l’entreprise E0 ,
tous ceux qui sont à droite de x préfèrent acheter à l’entreprise E1 , les pro…ts sont donnés
S
p0
tx
par
0 (p0 ; p1 )
= (p0
c)x et
0 (p0 ; p1 )
=
et
1 (p0 ; p1 )
0 (p0 ; p1 )
= 0 et
1 (p0 ; p1 )
c) si x
= (p1
1 (p0 ; p1 )
= (p1
= (p1
11
c) si x
c)(1
0
1:
x ) si x 2 [0; 1]
On cherche l’équilibre de Nash de ce jeu de concurrence en prix.
Recherche de l’équilibre
Si l’on suppose que l’équilibre véri…e x 2 ]0; 1[, la meilleure réponse de chaque entreprise véri…e
@
0 (p0 ; p1 )
= x + (p0
@p0
@ 1 (p0 ; p1 )
= 1
@p1
x
@x
p0 c
=x
= 0:
@p0
2t
@x
p1 c
(p1 c)
=1 x
= 0:
@p1
2t
c)
L’équilibre de Nash (pe0 ; pe1 ) est alors la solution de ce système de deux équations à deux
inconnues. Pour résoudre simplement ce système, on peut résoudre le système suivant
p0 c
=0
2t
p1 c
1 x
=0
2t
1 p1 p0
x = +
:
2
2t
x
Et l’on obtient
1
et pe0 c = pe1 c = t:
2
On peut remarquer que le marché est e¤ectivement couvert à l’équilibre dès lors que
chaque consommateur obtient une utilité positive (ie préfère acheter le bien que ne pas
x
e
=
acheter) c’est à dire si
S
c
3
t
2
0:
Conclusion
(1) La di¤érenciation horizontale permet de "relâcher" la concurrence en prix (et de
facturer un prix au dessus du coût unitaire). Plus t augmente (les biens sont de plus en
plus di¤érents pour le consommateur) plus les prix augmentent et plus le pro…t que réalise
chaque entreprise augmente.
(2) L’équilibre est dit " e¢ cace" au sens du critère utilitariste. Si l’état pouvait
choisir les prix à la place des entreprises qui maximisent l’utilité agrégée consommateurs
et entreprises, il choisirait les prix solutions de
Z x
Z 1
W
(S p0 txdx +
(S p1
0
x
Z x
Z 1
= S t
xdx +
(1 x)dx
0
x
12
t(1
c
x))dx +
0
+
1
Or maximiser W par rapport aux prix revient à chercher quel niveau de x minimise la
distance agrégée parcourue (et on véri…e facilement que le meilleur x est 1/2). Le critère
du bien être agrégé ne dépend pas du niveau des prix (à condition bien sûr que la marché
3
t 0):
soit couvert c’est à dire que S c
2
13
THEORIE DES JEUX 2 - LES JEUX DYNAMIQUES
Exercice 7
On s’intéresse aux équilibres de Nash du jeu suivant:
"Une entreprise entrante (joueur 1) choisit d’entrer et de ne pas entrer sur le marché.
Si elle entre, l’entreprise en place (joueur 2) décide de combattre cette entrée ou de
l’accommoder."
Les gains pour les entreprises sont (0; 2) si l’entreprise entrante choisit de ne pas entrer,
et si elle entre, ( 3; 1) si l’entreprise en place combat et (2; 1) si l’entreprise en place
accommode.
1 - Représenter l’arbre du jeu.
2 - Ecrire la forme normale du jeu et déterminer tous les équilibres de Nash de ce jeu.
3 - Discuter les équilbres obtenus dans la question 2 puis déterminer les équilibres de
Nash parfaits en sous jeu de ce jeu.
7
Equilibre de Nash dans les jeux de forme développée.
7.1
Induction vers l’arrière dans les jeux …nis d’information
complète
- Si l’on suppose que chaque fois qu’un joueur pourrait jouer dans un jeu, il joue sa
meilleure réponse, on impose que tous les joueurs anticipent des comportements "séquentiellement rationnels". En d’autres termes, aucun joueur ne souhaite dévier du comportement que lui dicte sa stratégie en tout point de l’arbre du jeu, même si ces points ne sont
pas atteints à l’équilibre.
- Quand le jeu est …ni, une méthode de recherche d’un équilibre qui véri…e une telle
propriété est l’induction vers l’arrière. On s’intèresse en premier lieu à la dernière étape du
jeu, puis on détermine quel sera le comportement du dernier joueur. A l’étape précédente,
c’est ce comportement qui doit être anticipé. On détermine alors, compte tenu de ces
anticipations, quel sera le comportement de l’avant dernier joueur, et on recommence.....
- L’équilibre de Stackelberg apparaît alors comme un équilibre de Nash séquentiellement rationnel, ou ce qui est équivalent, qui repose sur le fait que l’entreprise leader
anticipe que quelle que soit la production qu’elle choisit, l’entreprise suiveur choisira en
seconde période de produire sa meilleure réponse.
Equilibre de Nash séquentiellement rationnel (parfait en sous jeux)
14
Un équilibre de Nash est séquentiellement rationnel si les stratégies d’équilibre induisent des choix qu’aucun joueur ne souhaite modi…er à la date où il doit les jouer.
Un dé…nition équivalente : Un équilibre de Nash est parfait en sous jeu si les stratégies
d’équilibre induisent un équilibre de Nash dans chaque sous-jeu du jeu. (Un sous jeu est
un jeu inclus dans le jeu initial).
Idée : absence de regret le long du sentier d’équilibre, absence d’engagement.
Un équilibre de Nash séquentiellement rationnel est un équilibre de Nash.
Le long du sentier l’équilibre, aucun joueur ne souhaite évidemment dévier de son
comportement d’équilibre. Mais aucune décision qu’un joueur aurait pu souhaiter modi…er
au moment de l’appliquer ne peut faire partie de la stratégie d’équilibre. Ceci revient à
dire que des comportements (qu’un joueur souhaiterait modi…er s’il devait les adopter)
sont considérés comme les autres joueurs comme non crédibles.
Exercice 9- Le jeu du pirate
Cinq pirates cherchent à se partager 100 pièces d’or. Le plus vieux pirate du groupe
(le chef) impose la règle de partage suivante: "Le plus vieux pirate du groupe propose une
répartition des pièces entre les pirates du groupe. Chaque pirate du groupe vote pour ou
contre la proposition. Si la proposition est votée à la majorité (partie entière de la moitié
du groupe plus 1 voix), la répartition a lieu et le jeu se termine. Si la proposition est
rejetée, le pirate qui l’a proposée est tué et le plus vieux pirate restant fait une nouvelle
proposition."
Déterminer l’équilibre de Nash parfait en sous jeu de ce jeu en supposant qu’un pirate
indi¤érent entre accepter et refuser une proposition vote contre.
Exercice 10- Le jeu du centipède
On s’intéresse aux équilibres de Nash parfaits en sous jeu du jeu suivant:
Un joueur 1 et un joueur décident chacun à leur tour soit de continuer une relation de
production soit de l’arrêter. Plus précisément :
A la date 1, le joueur 1 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu se termine
et les gains sont (1; 1):
S’il continue, en date 2, le joueur 2 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu
se termine et les gains sont (0; 3):
S’il continue, en date 3, le joueur 1 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu
se termine et les gains sont (2; 2):
S’il continue, en date 4, le joueur 2 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu
se termine et les gains sont (1; 4):
15
S’il continue, en date 5, le joueur 1 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu
se termine et les gains sont (3; 3):
S’il continue, en date 6, le joueur 2 décide d’arrêter ou de continuer. S’il arrête, le jeu
se termine et les gains sont (2; 5):
S’il continue les gains sont (4; 4) et le jeu se termine.
Déterminer l’équilibre de Nash parfait en sous jeu de ce jeu. Commenter.
7.2
Rendre les menaces crédibles.
Dans certaines situations, des choix (stratégiques) ex ante peuvent rendre crédibles les
menaces qui ne seraient pas séquentiellement rationelles. On a un exemple très ancien
de ce genre de pratiques, Guillaume le Conquérant en 1066 quand il envahit l’Angleterre
brûle ses vaisseaux en débarquant sur le sol anglais.
Ce genre de décisions peut sembler très bizarre. A votre avis, pourquoi Guillaume le
Conquérant brûle-t-il ses bateaux ?
L’exercice suivant illustre le même genre de pratiques. Il utilise une méthode qui va
être développée dans l’exercice 13 de de la section suivante. Les deux exercices 12 et 13
doivent être travaillés ensemble.
Exercice 11 - Choix technologique et entrée bloquée.
Une entreprise en situation de monopole sur son marché (avec une demande égale à
Q = 110 p) a le choix entre deux technologies. La première lui donne un coût marginal
égal à 10 et un coût …xe nul, la seconde réduit son coût marginal qui devient égal à 10 "
(100 + ")2
(50)2 :
mais l’oblige à payer un coût …xe F (") >
4
1) Montrer que l’entreprise préfère la première technologie.
2) On suppose maintenant qu’il existe un autre entreprise (l’entreprise entrante), qui
décide après avoir observé le choix technologique de l’entreprise 1, d’entrer ou non sur le
marché. Si elle entre, les deux entreprises se font concurrence en quantité. L’entreprise
2
100 "
entrante (ou entreprise 2) subit un coût …xe d’entrée, noté FE et véri…ant
<
3
FE < (100=3)2 et son coût marginal de production est de 10: Si elle n’entre pas, son pro…t
est nul.
a) Déterminer l’équilibre de Cournot qui fait suite à l’entrée.
b) Montrer que l’entreprise 2 entre sur le marché si l’entreprise 1 a choisi la première
technologie (associée au coût marginal 10 c’est à dire si " = 0).
c) Montrer que l’entreprise 2 ne rentre pas si l’entreprise 1 a choisi la technologie
innovante (qui réduit le coût marginal de production c’est à dire qui a " > 0).
16
d) En déduire le choix technologique de l’entreprise 1. Commenter.
Correction de l’exercice 11.
1) L’entreprise est en situation de monopole. Si elle adopte la technlogie réduisant
le coût marginal, elle choisira la quantité (de monopole) notée Qm (") qui maximise son
pro…t
1 (Q; ")
= (110
Q
(10
= (100 + "
Le pro…t
1 (Q; ")
")) Q
Q) Q
F (")
F (")
est maximum par rapport à Q en
100 + "
, ce qui donne un pro…t de monopole
2
2
100 + "
(")
=
F ("):
m
2
Qm (") =
On peut remarquer que si le monopole ne change pas de technologie alors tout se passe
comme si " était égal à 0 (avec F (0) = 0), par conséquent le monopole préfère la technlogie
innovante si
1 (Qm ("); ")
>
100 + "
2
1 (Qm (0); 0)
c’est à dire ssi
2
100
2
F (") >
2
.
Cette inégalité nous permet de conclure que la technologie innovante n’est pas préférée.
2) a) Si l’entreprise concurrente (joueur 2) est rentré, alors les deux entreprises se font
concurrence en quantité et les pro…ts sont donnés par
1 (Q1 ; Q2 ; ")
2 (Q1 ; Q2 )
= (100 + "
= (100
Q1
Q1
Q2 ) Q1
Q2 ) Q2
F (")
FE
Comme on va chercher à déterminer l’équilibre parfait en sous-jeu de ce jeu, en seconde période (suite à l’entrée), les stratégies de l’équilibre dynamique doivent dicter un
comportement "robuste à la déviation", ou encore qui forment un équilibre de Nash
dans chaque sous-jeu du jeu. Or le point du jeu "l’entreprise 1 choisi sa technologie et
l’entreprise 2 est rentrée" est le début de la seconde période et est donc le début d’un
17
sous jeu. Ce sous-jeu est simplement le jeu de Cournot associé aux pro…ts donnés juste
au dessus
sous jeu.
1 (Q1 ; Q2 ; ")
et
2 (Q1 ; Q2 ).
On doit donc déterminer l’équilibre de Nash de ce
La méthode est usuelle, parce que les pro…ts sont des fonctions concaves, les deux
quantités d’équilibre (Q1 ("); Q2 (")) sont les solutions du système d’équations suivant.
@
1 (Q1 ; Q2 ; ")
= 100 + " Q1 Q2 Q1 = 0
@Q1
@ 2 (Q1 ; Q2 )
= 100 Q1 Q2 Q2 = 0:
@Q2
La solution de ce système nous donne (on somme et on trouve la valeur de (Q1 + Q2 ) que
l’on reporte dans chaque équation).
Q1 + Q2 =
Q1 (") =
200 + "
3
100 + 2"
100 "
et Q2 (") =
:
3
3
On reporte pour calculer les pro…ts d’équilibre d’équilibre de seconde période:
100 + 2" 2
)
F (")
3
100 " 2
)
FE :
2 (") = (
3
1 (")
= (
b) Si l’entreprise 1 choisit la première technogie (associée à " = 0), alors l’équilibre de
100 100
seconde période est (Q1 (0); Q2 (0)) soit (
;
) les pro…ts sont
3
3
100 2
)
3
100 2
)
2 (0) = (
3
1 (0)
= (
F (")
FE :
Par conséquent l’entreprise 2, si l’entreprise 1 a choisi la technlogie " = 0 entre ssi son
pro…t 2 (0) 0 c’est à dire si son pro…t quand elle entre est plus grand que si elle n’entre
pas. Par conséquent elle rentre à l’équilibre de Nash parfait en sous jeu si et seulement si
FE
(
100 2
):
3
2c) Si l’entreprise a choisi la tcehnlogie avec " > 0, alors l’entreprise entrante entre ssi
0, c’est à dire si et seulement si
2 (")
2 (")
0 , FE
18
(
100 " 2
)
3
Compte tenu des hypothèses faites donc l’entreprise 2 préfère ne pas rentrer si l’entreprise
1 a choisi " > 0: On a donc modélisé une situation dans laquelle la technologie qui réduit
le coût marginal de l’entreprise 1 dissuade l’entrée de l’entreprise concurrente.
2d) On a modélisé la concurrence de la façon suivante : en première étape, l’entreprise
1 choisit entre les deux technlogies, puis en étape 2, l’entreprise 2 entrante décide d’entrer
ou non, puis en troisième étape, les entreprises choisissent leurs quantités, l’entreprise 1
étant en monopole si l’entrée n’a pas eu lieu et étant en concurrence si l’entrée a eu lieu.
On sait déjà que si l’entreprise 1 choisit la technlogie " = 0, l’entreprise 2 rentre et donc
100 2
) : Si elle choisit la technologie innovante (" >
le pro…t de l’entreprise 1 est 1 (0) = (
3
0), l’entrée est bloquée ou dissuadée et l’entreprise 1 est donc en situation de monopole
2
100 + "
F ("): Par conséquent elle préfère
sur son marché et son pro…t est m (") =
2
bloquer l’entrée en choisissant la technologie " > 0 si et seulement si
m (") >
1 (0) , F (") <
2
100 + "
100 2
(
) et F
2
3
< F : On a donc trois cas:
Notons F =
F
- Si F (")
F
=
100 + "
2
2
100 + "
2
2
(
100 2
):
3
100
2
2
. On constate que
l’entreprise en place préfère la technlogie " > 0 (et la choisit
à l’équilibre), mais la technlogie " > 0 est "e¢ cace" au sens où l’entreprise même sans
concurrence préfère ce choix technique, l’entrée est bloquée pour des raisons technlogiques.
- Si F < F (") F , si l’entreprise 1 en place ne subissait pas de concurrence,
elle choisirait la technologie " = 0; elle ne met donc pas en place la technlogie qui réduit
le coût marginal, mais par contre elle préfère utiliser la technologie "innovante" pour
bloquer l’entrée. La technologie innovante (" > 0) est choisie à l’équilibre, et l’entreprise
2 ne rentre pas. La technologie innovante est choisie pour des raisons stratégiques, (avoir
un coût marginal plus faible change la fonction de meilleure réponse de l’entreprise 1 en
cas de concurrence voir la suite du cours la prochaine section), à l’équilibre il n’y as pas
d’entrée mais un "gaspillage collectif" puisque l’entreprise 1 produit avec une technlogie
trop coûteuse à l’équilibre;
- En…n si F (") > F , l’entreprise 1 en place ne choisit pas la technologie innovante
et l’entrée a lieu à l’équilibre.
Cet exercice illustre comment en économie des choix technologiques peuvent se comporter comme des menaces crédibles pour dissuader les entreprises concurrentes ici dans
cet exemple d’entrer sur le marché. Dans certains cas de …gure, choisir la mauvaise
19
technologie permet de réduire le pro…t de l’entreprise entrante si elle entre, avec comme
conséquence le fait que si cette technologie est utilisée, l’entreprise entrante obtient des
pro…ts si faibles suite à l’entrée qu’elle préfère ne pas entrer. Le choix technologique ex
ante peut rendre crédible une menace du type "si tu rentres je produirais tellement que
ton pro…t va être très très faible".
20
L’OLIGOPOLE 2
8
Les relations verticales
8.1
Le problème de la double marge
Considérons une entreprise (aval, distributeur) et son fournisseur (entreprise amont).
L’entreprise aval est au contact du consommateur. La fonction de demande de ce dernier
est:
Q = D(p) = A
p:
On suppose que le coût de production unitaire de l’entreprise aval est cD , et celui de
l’entreprise amont est égal à cP . On note c = cD + cP le coût total de production du bien.
L’entreprise amont vend son bien à l’entreprise aval au prix de gros w. L’entreprise
aval choisit le prix de vente (ou prix de revente), noté p:Les pro…ts des entreprises pour
des prix de gros et des prix de revente donnés sont:
P
= (w
cP )Q
D
= (p
w
cD )Q où Q = A
p:
Fusion des deux entreprises
Si les deux entreprises fusionnent, le pro…t joint des deux entreprises est:
P
+
D
= (p
c)(A
p):
Le prix de gros devient un prix de transfert interne à l’entreprise, il n’a¤ecte pas le prix
de revente du bien. Le prix …xé par l’entreprise fusionnée est alors
pF =
A + cD + cP
:
2
Fixation du prix de revente par l’entreprise aval
Pour un prix de gros donné, le meilleur prix de revente maximise le pro…t du distributeur:
A + w + cD
A w cD
, QD (w) =
:
2
2
Le producteur anticipe la règle de …xation du distributeur, il choisit alors le prix de gros
qui maximise son pro…t
pD (w) =
P
= (w
cP )QD (w)
21
ce qui nous donne le prix de gros et de revente :
we =
A
cD + cP e 3A + cD + cP
; p =
:
2
4
Le "paradoxe" vient de la comparaison des deux situations. La solution décentralisée engendre des prix de vente du bien trop élevés et une quantité vendue trop faible.
Par ailleurs les pro…ts joints des deux entreprises sont plus élevés en cas de fusion (ou
intégration verticale).
sans fusion
3A + c
prix de revente
4
A c
ventes
4
3(A c)2
pro…t joint
42
avec fusion
A+c
(-)
2
A c
(+)
2 2
(A c)
(+)
4
Les relations verticales résultent de l’interaction de deux monopoles en chaîne : la
fusion augmente l’e¢ cacité du marché.... elle favorise la "concurrence", réduit le prix
de revente et augmente les pro…ts. Cet exemple de relation verticale montre que deux
entreprises en chaîne en situation de monopole ne sont pas en concurrence mais re‡ète un
mode d’organisation (ine¢ cace) d’une …lière de production. Dans ce contexte l’intégration
verticale domine au sens de Pareto et doit être encouragée.
8.2
Quelques solutions
Des modes d’organisation di¤érents de la …lière peuvent aussi résoudre le problème.
Plus de concurrence
La concurrence aval : Imaginons qu’il existe deux distributeurs identiques qui se
font concurrence à la Bertrand. Ce mode de concurrence très intense conduit les deux
distributeurs à choisir le même prix de revente, le plus faible possible, c’est à dire celui
annule leur marge, pecb = w + cD : Le producteur anticipe ce jeu de concurrence, et prévoit
donc que ses ventes seront D(w + cD ) = A
l’objectif de l’entité intégrée verticalement:
(w
cP )(A
(w + cD ): Son pro…t devient alors égal à
(w + cD )) = (pecb
c)(A
pecb ):
Fixer le prix de gros revient à …xer le prix de revente qui sera choisi égal au prix fusionné.
Dans cette situation, tous les pro…ts de la …lière sont accaparés par le producteur, la
concurrence à la Bertrand détruisant les pro…ts des distributeurs.
22
La concurrence amont : On peut imaginer en utilisant le même raisonnement une
situation dans laquelle il existe deux producteurs identiques et un seul distributeur en
situation de monopole qui choisit le prix de revente. Dans ce cas, la concurrence à la
Bertrand pousse les deux producteurs à …xer un prix de gros égal à leur coût de production
wecb = cP et c’est le distributeur qui se retrouve dans la situation du manager de l’entité
fusionnée puisque son pro…t quand il choisit le prix de revente peut être écrit
(p
wecb
cD )(A
p) = (p
c)(A
p):
On note que cette fois ci tout le distributeur s’accapare tout le pro…t de la …lière de
production.
Ces deux exemples très simples montrent que la concurrence a un rôle redistributif
entre les entreprises de la …lère mais ne réduit pas forcèment les prix de la …lière (si l’on
compare au cas où producteurs et distributeurs sont intégrés verticalement).
Question : Les conclusions seraient-elles di¤érentes si les distributeurs se font concurrence en quantité ?
Des contrats plus complexes
Le contrôle des prix de revente par le producteur, la …xation de quotas (minimums) de
vente ou de prix plafond (toujours par le producteur) sont des moyens pour résoudre le
problème de la double marge dans le cadre du monopole (le montrer). Pourtant de telles
"restrictions verticales" sont pour la plupart d’entre elles interdites.
L’utilisation de tarif binôme permet ici aussi de résoudre le problème. En e¤et, dès
lors que le producteur propose un tarif binôme dans lequel le distributeur doit payer un
tarif forfaitaire (ou franchise F ) et un prix de gros w = cP , le distributeur choisit le prix
de revente "e¢ cace" (c’est à dire celui de la structure fusionnée). La franchise redistribue
(A c)2
le pro…t entre le producteur et le distributeur, prise égale à F =
, le distributeur
4
est indi¤érent entre commercialiser ou ne pas commercialiser le bien. Ce contrat est le
meilleur du point de vue du producteur, il maximise son pro…t sous contrainte que le
distributeur, qui …xe le prix de revente, obtienne au moins un pro…t nul, c’est à dire qu’il
est la solution de
max (w
F;w;p
sc (p
w
cD )(A
(p
p)
w
cP )(A
(p0
w
cD )(A
23
p)
cD )(A
p)
0:
p0 ) pour tout p0
Exercice 12
1 Montrer que le contrat proposé w = cP et F =
incitations à choisir le prix de la structure fusionnée.
c)2
(A
4
donne au distributeur les
2 - Puis montrer qu’il accepte de commercialiser le bien.
3 - En déduire les pro…ts obtenus dans cette situation par chaque entreprise.
4 - Résoudre le programme proposé ci dessus.
5 - Que se passerait-il si le distributeur obtenait un pro…t
quand il refuse de com-
mercialiser le bien ?
9
Les e¤ets stratégiques dans le modèle de Cournot
Qu’est ce qu’un e¤et stratégique ?
De…nition 1 On appelle e¤et stratégique une situation dans laquelle une décision prise
ex ante (avant un jeu concurrentiel) a¤ecte la façon dont l’entreprise qui prend cette
décision joue dans un jeu concurrentiel.
Une entreprise 1 peut prendre une décision (choisir un niveau " 2 E) avant le
processus concurrentiel. Ce processus concurrentiel par exemple est le fait que deux
entreprises ((1 et 2) choisissent des variables x1 ; x2 2 R+ après avoir observé le niveau
de " choisi par l’entreprise 1. Le gain de l’entreprise 1 est
1 (x1 ; x2 ; ")
et celui de de
l’entreprise 2 est 2 (x1 ; x2 ):
Quand on analyse l’équilibre parfait en sous jeu, on étudie l’équilibre du jeu de
concurrence (choix de x1 et choix de x2 ) une fois que " a été choisi, et donc pour toutes
les valeurs possibles de ":
Dans ce jeu de seconde période, comme le pro…t de l’entreprise 2 est indépendant
de ", la meilleure réponse de l’entreprise ne dépend pas de ", donc le niveau choisi par
l’entreprise 1 a¤ecte seulement la meilleure réponse de l’entreprise 1. La décision " change
donc uniquement le comportement (en réaction ) de l’entreprise 1. Si on représente les
meilleures réponses dans un plan, on assiste à un changement de la courbe de meilleure
réponse de l’entreprise 1 (prenez un exemple);
Par conséquent l’équilibre (point d’intersection des meilleures réponses) change
(puisque seule la courbe de meilleure réponse de l’entreprise 1 dépend de la valeur de " :
Notons ce point d’équilibre de deuxième période (x1 ("); x2 (")).
Quand on s’interroge sur la décision que prendra l’entreprise 1 au début du jeu (choix
de ") le pro…t de l’entreprise 1 s’écrit
1 (x1 ("); x2 ("); "):
24
La variable " a¤ecte le pro…t de trois façons di¤érentes: (1) et (2) elle a¤ecte l’équilibre,
donc elle change ce que fait l’entreprise 1 à l’équilibre (e¤et (1)), et elle change ce que fait
le concurrent (e¤et (2)). Ces deux e¤ets sont indirects, c’est à dire qu’ils sont dus au fait
que l’équilibre (via les quantités (x1 ("); x2 (")) dépend de ": Le troisième e¤et est un e¤et
direct : si x1 et x2 était …xé la décision " a¤ecte le pro…t.
Cette ré‡exion est très générale. Elle signi…e qu’un décideur doit se poser les trois
questions suivantes. Imaginons que la décision " soit de changer de manager (" = 0 on ne
change pas ou " = 1 on change). Trois questions se posent. L’e¤et (3) : si les quantités
produites ne changeaient pas est ce que le changement de manager augmente le pro…t de
l’entreprise? On voit qu’il s’agit d’une question d’e¢ cacité interne à l’entreprise. Imaginez
que la réponse soit non. (Par exemple : non ce manager est agressif il veut trop doper
la production et choisit des technologies excessives). Il faut aussi regarder comment la
présence du manager (fou) va changer l’équilibre sur le marché. Par exemple en Cournot
le pro…t de l’entreprise est une fonction décroissante de la quantité du concurrent. Mais
peut être que l’attitude trop agressive du manager déplace l’équilibre dans un sens où le
concurrent produit moins, ce qui pourrait être une bonne nouvelle pour l’entreprise 1 ? Et
s’il augmente la propre production de l’entreprise 1 est ce bon pour le pro…t de l’entreprise
1 ou non ?
La décision revèle d’un arbitrage : la décision peut augmenter le pro…t pour l’e¤et (2)
mais le réduire pour un autre, donc il faut quanti…er la taille des e¤ets en présence avant
de prendre la décision.
Mathématiquement si toutes les variables sont continues et
1
dérivables et si les choix
d’équilibre (x1 ("); x2 (")) dont eux aussi dérivables, dériver le pro…t par rapport à " donne
d
1 (x1 ("); x2 ("); ")
d"
=
@ 1 0
@ 1 0
@ 1
x1 (") +
x2 (") +
:
@x1
@x2
@"
On reconnaît les trois e¤ets. La troisième dérivée est l’e¤et direct (3) et les deux premiers
@ 1 0
sont les e¤ets (1) et (2). On voit que le signe de l’e¤et (2) dépend du produit
x ("),
@x2 2
@ 1
c’est à dire que ceci revient à chercher le signe de
(c’est à dire poser la question
@x2
comment varie le pro…t de l’entreprise 1 si x2 augmente), et celui de x02 (") (c’est à dire
poser la question comment le choix d’équilibre de mon concurrent dépend de la décision
"). Quand on s’intéresse à l’e¤et (1), un point intéressant est de constater que cet e¤et est
nul si les choix sont continus et 1 dérivable (par exemple ce sera le cas en concurrence
à la Cournot). En e¤et, comme x1 (") maximise le pro…t de l’entreprise 1
25
1 (x1 ; x2 ("); ")
par rapport à x1 on a toujours
@
1 (x1 ("); x2 ("); ")
@x1
pour l’analyse seule compte les e¤ets (2) et (3).
= 0: On voit que
On va prendre un exemple. Le joueur 1 peut choisir " = 0 ou " = 1:Suite au choix
de ", J1 et J2 jouent le jeu simultané suivant.
J1/J2 si " = 0 C
A
1,3
B
1,2
et
J1/J2 si " = 1 C
A
1+",3
B
1+",2
D
1,2
0,3
D
1-",2
0-",3
Dans cette situation, on voit que la meilleure réponse de J1 n’est pas a¤ectée par
l’introduction de ": Il n’y a pas d’e¤et stratégique. Quel que soit le choix de J1 l’équilibre
est (A,C). L’entreprise 1 choisit " = 1 mais uniquement parce que cela augmente son
pro…t (e¤et direct).
Maintenant supposons que la matrice si " = 1 soit
J1/J2 si " = 1 C
D
A
1,3
1-",2
B
1+",2 0,3
Cette fois ci, la variable " change l’équilibre : (A,C) est un équilibre si " = 0 et (B,D)
est un équibre si " = 1: Le choix " exerce un e¤et stratégique. Si le joueur 1 choisit " = 0,
il obtient 1 et s’il choisit " = 1 il obtient 0. Il préfère " = 0:
Exercice 14 - Les e¤ets stratégiques d’une baisse du coût.
2 entreprises se livrent une concurrence à la Cournot sur le marché d’un bien. La
fonction de demande est donnée par Q = 110 p, où Q désigne la quantité demandée et
p le prix de vente du bien. Les entreprises di¤èrent par leur coût marginal de production
(supposé constant), le coût de l’entreprise 1 est 10
", où " > 0 et celui de l’entreprise 2
est égal à 10:
1 - Déterminer les fonctions de meilleure réponse de chaque entreprise puis représenter
les sur un graphique. Que se passe-t-il si " augmente ?
2 - En déduire l’équilibre de Nash. Comparer avec la situation dans laquelle " =
0: Quels sont les e¤ets en présence ?
26
Correction exercice 14
1- Ecrire les pro…ts des joueurs donne 1 (Q1 ; Q2 ; ") = (100 + " Q1
Q1 Q2 ) Q2 : On détermine les meilleures réponses
2 (Q1 ; Q2 ) = (100
@
Q2 ) Q1 et
(100 + " Q2 )
@Q1
2
(100 Q1 )
@ 2 (Q1 ; Q2 )
= 0 , Q2 =
@Q2
2
1 (Q1 ; Q2 ; ")
= 0 , Q1 =
La meilleure réponse de l’entreprise 2 n’a pas changé (son pro…t ne dépend pas de "):
Par contre celle de l’entreprise 1 est une fonction croissante de ": Choisir deux valeurs
de " et faire une représentation graphique. Une réduction de coût rend l’entreprise 1 plus
agressive.
2 - Déterminer l’équilibre donne
(100 + 2")
(100 ")
et Q2 (") =
3
3
(100 ")2
(100 + 2")2
et 2 (") =
1 (") =
9
9
Q1 (") =
Parce que l’entreprise 1 est plus agressive, l’entreprise 2 produit moins à l’équilibre et
l’entreprise produit plus. Suite à la réduction de coût le béné…ce de l’entreprise 1 est de
@ 1 (Q1 ; Q2 ; ")
> 0, et ceci est
deux ordres : elle pro…te d’une réduction du coût puisque
@"
indépendant des quantités produites. Elle béné…cie aussi une baisse de la production de
@ 1 (Q1 ; Q2 ; ")
l’entreprise 2 puisque
< 0 et Q02 (") < 0:
@"
Imaginons que l’entreprise 1 peut choisir le niveau de " et qu’elle subisse un coût …xe
(100 + 2")2
(par rapport à la production) F (") = (")2 : Elle tire un pro…t 1 (") =
F (")
9
de son investissement, donc si est su¢ samment grand ( pour le pro…t soit une fonction
concave de ", elle investissera le montant qui maximise sont pro…t donc qui véri…e:
4 (100 + 2")
9
F 0 (" ) = 0 () " =
200
9
4
:
Supposons désormais que l’entreprise 1 et l’entreprise 2 aient segmenté le marché (en
2 parts égales) de telle sorte que chacune soit un monopole sur son (demi) marché.
L’entreprise 1 produit alors
Qm
1 (") =
100 + "
et
4
m
1 (")
= 2(
100 + " 2
)
4
F ("):
Peut-on dire que ses incitations à entreprendre la RD sont plus fortes en situation concurrentielle qu’en monopole et pourquoi ? Sur le marché segmenté (donc sans concurrence et
27
sans e¤et stratégique), la décision optimale d’investissement véri…era
"m =
100
8
1
<" =
200
9
4
.
La pro…tabilité marginale de l’investissement peut être mesurée par la dérivée du pro…t
par rapport à ": Or celle-ci est toujours plus importante en situation concurrentielle (dans
le modèle de Cournot) que pour notre demi-monopole. L’explication est simple. D’une
part, l’entreprise 1 produit une quantité plus grande en Cournot que sur un marché
segmenté (il y a plus de concurrence). Par conséquent, l’impact d’une réduction de coût
est plus forte, puisqu’elle s’applique à une production plus élevée. De plus, si l’entreprise
est concurrencée, la production de l’entreprise 2 diminue si le coût de l’entreprise 1 est
réduit : c’est l’e¤et stratégique (qui bien sûr n’existe pas en marché segmenté).
Exercice 15 - Les e¤ets stratégiques de la recherche et développement
2 entreprises se livrent une concurrence à la Cournot sur le marché d’un bien. Le
coût marginal de production de chaque entreprise est constant et égal à 10: La fonction
de demande inverse est donnée par p = 110 Q, où Q désigne la quantité demandée et
p le prix de vente du bien. L’une des entreprises (l’entreprise 1) peut décider d’investir
dans un processus technologique (faire de la recherche et développement qui conduit à un
innovation de processus) qui lui permet de réduire son coût unitaire de production (qui
devient égal à 10 ") moyennant le paiement d’un coût …xe F (") = (")2 :
1) Déterminer l’équilibre de Cournot dans cette nouvelle situation.
2) Représenter dans un graphique les meilleures réponses des deux entreprises dans
les situations des questions 1 et 2 et commenter.
3) Quel niveau d’investissement est choisi ?
4) On suppose désormais que le nombre d’entreprises est égal à n: Déterminer l’équilibre
de Cournot si l’entreprise 1 investit dans le processus technologique, les autres entreprises
ayant toujours un coût unitaire de production égal à 10:
6) Quel sera le niveau d’investissement de l’entreprise 1 "n ?
7) Déterminer le surplus agrégé.
8) Montrer que le surplus agrégé est une fonction décroissante de " en " = "n si
est
su¢ samment grand:
Correction exercice 15
Les premières questions que celles de l’exercice 13.
pour les entreprises
(100
Q1
1 (Q1 ; Q2 ; ")
= (100 + "
Q2 ) Q2 :
28
Q1
Ceci nous donne des pro…ts
Q2 ) Q1
F (") et
2 (Q1 ; Q2 )
=
L’équilibre de Nash du jeu de choix de quantités est
(100 ")
(100 + 2")
et Q2 (") =
3
3
2
(100 + 2")
(100 ")2
F (") et 2 (") =
:
1 (") =
9
9
Q1 (") =
3 - L’entreprise 1 choisit d’investir et maximise
1 (")
ce qui nous donne
4 (100 + 2")
= F 0 (") = 2 "
9
4 - Si on a n entreprises, les pro…ts peuvent être écrits
0
1
(") = 0 soit
1
= (100 + "
k
= (100
QT )Q1
F (")
QT )Qk pour k > 1
QT = Q1 + Q2 + ::: + Qn :
Les meilleures réponses des entreprises véri…ent
100 + "
100
QT
QT
Q1 = 0
Qk = 0 pour k = 2; :::; n:
On somme ces équations pour obtenir QT et on reporte cette valeur pour en déduire les
quantités individuelles, ainsi que les pro…ts. On obtient :
n100 + "
n+1
100 + n"
100 "
Q1 =
et Qk =
, k = 2; ::::; n
n+1
n+1
100 " 2
100 + n" 2
)
F (") et k (") = (
):
1 (") = (
n+1
n+1
QT =
6 - Au début du jeu l’entreprise 1 choisit le niveau d’investissement qu’elle préfère,
c’est à dire celui qui maximise
1 ("):
Sous nos hypothèses il s’agit d’une fonction concave
par conséquent le maximum est obtenu au point où
0
1
("n )
100 + n"n
= F 0 ("n ) = 2 "n
(n + 1)2
n100
n2
() "n =
si
>
:
(n + 1)2 n2
(n + 1)2
=
0 () 2n
7 - Le surplus agrégé du consommateur est
(n100 + ")2 (n
S(") =
+
2(n + 1)2
29
1) (100 ")2
+
(n + 1)2
1 ("):
Au point "n ,
0
1
("n ) = 0 on a donc
(n100 + "n ) 2(n 1) (100 "n )
(n + 1)2
(n + 1)2
(2 n)100 + "n (2n 1)
(n 2)100
=
c’est à dire si
< 0 si "n <
2
(n + 1)
2n 1
n(2n 1)
n2
>
+
:
(n 2)(n + 1)2 (n + 1)2
S 0 ("n ) =
L’entreprise 1 fait trop de recherche et dévelopement à l’équibre.
10
Les fusions dans le modèle de Cournot
10.1
Le rapprochement de deux entreprises
Deux entreprises ont-elles intérêt à se rapprocher (fusion, collusion) ? Quels sont les e¤ets
en jeu ?
Exercice 16 - Le paradoxe des fusions
3 entreprises se font concurrence en quantités sur le marché d’un bien homogène pour
lequel la fonction de demande est Q = 110 p: On suppose que le coût marginal de chaque
entreprise est constant et égal à 10:
1 - Déterminer l’équilibre de Cournot.
2 - Si les trois entreprises fusionnent, que se passe-t-il à l’équilibre ? Les entreprises
ont-elles intérêt à fusionner ?
3 - On suppose que deux des trois entreprises fusionnent. Déterminer l’équilibre de
Cournot.
4 - Comparer les trois situations, du point de vue des entreprises et du point de vue
des consommateurs.
5 - On suppose que les entreprises qui fusionnent pro…tent après la fusion d’une réduction de leur coût marginal de production qui devient égal à 10
": Comment ceci change
-t-il les résultats des questions 3 et 4?
Correction de l’exercice 16
1 - Le pro…t de l’entreprise j (j=1,2,3) est donné par j = (100
Qj : Les meilleures réponses des entreprises sont données par
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q1 = 0 pour l’entreprise 1
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q2 = 0 pour l’entreprise 2
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q3 = 0 pour l’entreprise 3
30
(Q1 + Q2 + Q3 ))
Et la solution de ce système d’équations est Q1 = Q2 = Q3 =
100
= 25: Le prix de vente
4
sera égal à 35 et le pro…t de chaque entreprise est (25)2 :
2 - Imaginons que les 3 entreprises fusionnent. L’unique centre de décision dans ce jeu
doit choisir Q1 et Q2 et Q3 qui maximisent le pro…t agrégé
m
=
1
+
2
+
3
= (100
(Q1 + Q2 + Q3 )) (Q1 + Q2 + Q3 )
Comme les entreprises sont identiques, choisir Q1 et Q2 et Q3 est équivalent à choisir la
production agrégée de la nouvelle entité (qui est un monopole) Qm = Q1 + Q2 + Q3 .
En e¤et, si Qm maximise le pro…t écrit comme dans l’équation ci dessous, toutes les les
combinaisons (Q1 ; Q2 ; Q3 ) qui véri…ent Qm = Q1 + Q2 + Q3 maximisent le pro…t agrégé
m:
En d’autres mots, si les trois entreprises forment des départements distincts au sein
de l’entreprise qui a fusionné, la répartition de la production entre les départements n’a
pas d’importance, seule compte la production des trois divisions ensemble.
max
Qm
m
= (100
Qm ) Qm
La solution est bien connue, on aura Qm = 100=2 = 50; le prix pm = 60 et le pro…t
m
= (50)2 :
3 - L’entreprise 1 et 2 fusionnent. Elles doivent donc choisir Q1 et Q2 qui maximisent
le pro…t agrégé
F
=
1
+
2
= (100
(Q1 + Q2 + Q3 )) (Q1 + Q2 )
Comme les entreprises sont identiques, choisir Q1 et Q2 est équivalent à choisir la production agrégée de la nouvelle entité Q1+2 = Q1 + Q2 . En e¤et, si Q1+2 maximise le pro…t
écrit comme dans l’équation ci dessous, toutes les les combinaisons (Q1 ; Q2 ) qui véri…ent
Q1+2 = Q1 + Q2 maximisent le pro…t agrégé F : En d’autres mots, si les entreprises 1 et
2 forment des départements distincts au sein de l’entreprise qui a fusionné, la répartition
de la production entre les départements n’a pas d’importance, seule compte la production
des deux divisions ensemble.
max
F
Q1+2
= (100
(Q1+2 + Q3 )) Q1+2
Autrement dit, on peut faire le changement de variables dans le jeu en notant Q1+2 = Q1 +
Q2 , le pro…t de l’entreprise fusionné qui choisit Q1+2 est
et le pro…t de l’entreprise 3 qui choisit Q3 est
2
= (100
F
= (100
(Q1+2 + Q3 )) Q1+2
(Q1+2 + Q3 )) Q3 : Les meilleures
réponses sont données par
100
100
(Q1+2 + Q3 )
(Q1+2 + Q3 )
Q1+2 = 0 pour l’entreprise fusionnée
Q3 = 0 pour l’entreprise 3.
31
Tout se passe comme si une entreprise avait disparu. C’est d’ailleurs exactement ce
qu’il s’est passé puisqu’une entreprise dans le jeu de Cournot est un centre de décision
(qui décide de construire ses usines).
Après fusion le jeu devient un jeu de Cournot à deux entreprises et l’on a donc Q1+2 =
Q3 = 100=3 et p = 10 + (100=3) et les pro…ts des entreprises sont
F
=
3
= (100=3)2 :
4 - Résumons les résultats de l’exercice dans un tableau
Non fusion fusion 1 et 2 monopole
100
100
100
prix
10 +
10 +
10 +
4
3
2
100
100
100
quantité individuelle
4
3
2
100 2
100 2
100 2
pro…t
(
)
(
)
(
)
4
3
2
- Le premier résultat est que la fusion augmente le prix du bien. Le prix avec 3
entreprises est plus faible que celui où les entreprises 1 et 2 fusionnent et plus faible
encore que le prix de monopole.
Comme on sait que le surplus agrégé du consommateur diminue quand le prix augmente à condition que celui ci soit plus grand que le coût marginal (ici 10), le consommateur préfère la situation non fusionnée aux deux autres, et entre les deux fusions (qui
conduisent au duopole et au monopole) il préfère le duopole. La fusion est dite "anticoncurrentielle" : ce qui signi…e qu’elle réduit le surplus et elle n’est donc pas souhaitable
du point de vue collectif. Elle doit être interdite ( cela a longtemps été le cas, désormais
les entreprises pour pouvoir avoir l’autorisation de fusionner doivent prouver que la fusion
réduit leurs coûts de façon importante ce qui pourrait changer le résultat selon lequel la
fusion réduit le surplus agrégé.
- Le second résultat est que la fusion pro…te au concurrent. Considérons la situation
100
dans laquelle 1 et 2 fusionnent. Avant la fusion le concurrent entreprise 3 produisait
4
100
et après la fusion il produit
: La fusion augmente à la la fois sa part de marché et
3
augmente sa production. On a le même résultat sur son pro…t puisque ce dernier passe de
100 2
100 2
(
) à(
) : il augmente. la fusion est donc une très bonne nouvelle pour l’entreprise
4
3
.... qui ne fusionne pas.
Ce résultat est observé empiriquement.
- Suite à la fusion la capacité de production des entreprises qui fusionnent se réduit.
Concrètement la fusion conduit à fermer les usines (ce fait est aussi observé emprique-
32
ment). Dans le résultat on a :
100
100 100
+
=
avant fusion
4
4
2
100
Q1+2 =
après fusion
3
100
100
>
:
2
3
Q1 + Q2
=
Mais on l’a aussi dans la situation de monopole: les entreprises 1 , 2 ,3 dans le jeu sans
fusion produisent ensemble une quantité plus grande que le monopole:
Q1 + Q2 + Q3 =
100 100 100
100
100
+
+
=3
> Qm =
:
4
4
4
4
2
- En…n le dernier résultat est que la fusion n’est pas toujours pro…table pour les entreprises qui fusionnent.
Un premier point est que la fusion est pro…table quand elle concerne toutes les entreprises en e¤et on a
m
=(
100 2
) >
2
1
+
2
+
2
=3 (
100 2
):
4
Mais ce résultat n’est pas vrai quand on fusionne deux entreprises sur 3, en e¤et
=(
1+2
100 2
) <
3
1
+
2
=2 (
100 2
):
4
Donc dans cette situation la fusion donc réduit les pro…ts des deux entreprises qui ont
fusionné. Elle ne devrait donc pas être mise en place (par les conseils d’administration) car
elle nuit aux actionnaires. On a là une question : pourquoi dans la réalité les entreprises
fusionnent-elles ?
Un élément de réponse est que peut être que les fusions augmentent les pro…ts à court
terme mais réduisent les pro…ts à long terme et elles sont initiées par des PDG qui auraient
des objectifs à court terme.
5 - On suppose désormais que les entreprises qui fusionnent béné…cient d’une réduction
de coût. Si la fusion concerne le monopole, la quantité de monopole devient
max
Qm
m
= (100 + "
Qm ) Qm :
On a donc Qm = (100 + ")=2:
Un premier résultat est que la réduction de coût peut conduire à un prix suite à la
fusion qui sera inférieur au prix sans fusion 35. Ceci arrive si
33
100 + "
> Q1 + Q2 + Q3 = 3
2
() " > 50
Qm
=
100
4
Dans notre exercice ceci revient à avoir des coûts négatifs. Mais dans un modèle où
A = 180 et c = 80, on aurait exactement les mêmes résultats et cette fois ci la réduction
de coût 50 est pertinente.
La fusion est béné…que pour l’économie si elle augmente le surplus agrégé, c’est à dire
si
(Qm )2
+
2
(Q1 + Q2 + Q3 )2
+ 1 + 2 + 3 ()
m
2
100 2
)
9(
100 2 15(100)2
(100 + ")2
4
>
+ 3(
) =
()
3
2 4
2
4
2(4)2
p
" > 50 5 100:
>
On peut donc en conclure que si la réduction de coût est su¢ samment importante, la
fusion peut augmenter le surplus agrégé et donc être béné…que pour le consommateur
....l’économiste dirait que la fusion est concurrentielle....
Il est est de même si deux sur trois fusionnent. Supposons que suite à la fusion le pro…t
de l’entité fusionnée est 1+2 = (100 + " Q1+2 Q3 )Q1+2 et celui de l’entreprise 3 est
3
= (100 + "
Q1+2
Q3 )Q3 : A l’équilibre de Nash on a
100 + 2"
100 "
et Q3 =
3
3
100 " 2
100 + 2" 2
) et 3 = (
)
1+2 = (
3
3
Le surplus suite à la fusion est
Q1+2 =
(Q1+2 + Q3 )2
+ 1+2 + 3
2
(100 + ")2
100 + 2" 2
100 " 2
=
+(
) +(
)
2 9
3
3
et le surplus avant fusion est
SF =
(Q1 + Q2 + Q3 )2
+ 1+ 2+
2
9(25)2
15 (25)2
=
+ 3 (25)2 =
2
2
SNF =
34
3
La fusion augmente donc le surplus si S F > S N F c’est à dire si
S F > S N F , (100 + ")2 + 2(100 + 2")2 + 2(100
")2 > 9 15 (25)2 :
Pour montrer qu’un tel seuil existe on peut observer que le terme de gauche est une
fonction croissante de ", en e¤et si l’on appelle f (") = (100+")2 +2(100+2")2 +2(100 ")2 ,
on a
f 0 (") = 2(100 + ") + 8(100 + 2")
4(100
") > 0 si "
0
Et calculer f (0) puis f (100). On a
f (0) = 5 (100)2 < 9 15 (25)2 car (4)2 < 9 3
f (100) = 22 (100)2 < 9 15 (25)2 car 22 16 < 9 15
Par conséquent il existe " compris entre 0 et 100 tel que S N F > S F si et seulement si
" > " : On aurait aussi pu développer f (") qui est un polynôme de degré 2 et chercher
les racines de l’équation S F = S N F .
Dans le paragraphe qui vient, on cherche à comprendre pourquoi la fusion réduit les
pro…t des entreprises qui fusionnent quand elle concerne deux entreprises sur trois. Pour
se faire, imaginons que les deux entreprises fassent partie du même groupe. Dans ce
groupe on a deux possibilités : on trouve deux PDG (un pour chaque entreprise) et on
leur demande de maximiser le pro…t de l’entreprise qu’il dirige ( cette solution conduit à
l’équilibre avec trois …rmes identiques) ou un seul PDG gère les deux entreprises ensemble
(et on obtient le modèle où les deux entreprises ont fusionné).
Finalement, le problème de la décision de fusion d’un point de vue ex ante est un
problème qui relève d’un e¤et stratégique. Si on a un seul PDG, alors les meilleures
réponses dans le jeu sont
100
(Q1+2 + Q3 )
100
(Q1+2 + Q3 )
Q1+2 = 0 pour l’entreprise fusionnée
Q3 = 0 pour l’entreprise 3.
alors que si les entreprises sont gérées de façon autonome, les meilleures réponses véri…ent
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q1 = 0 pour l’entreprise 1
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q2 = 0 pour l’entreprise 2
100
(Q1 + Q2 + Q3 )
Q3 = 0 pour l’entreprise 3.
35
F
Et bien on peut réécrire ces meilleures réponses de la façon suivante en posant QN
1+2
= Q1 + Q2 et en sommant les deux première équations
200
F
2(QN
1+2 + Q3 )
100
F
QN
1+2 = 0 pour l’entreprise 1+2 non fusionnée
F
(QN
1+2 + Q3 )
Q3 = 0 pour l’entreprise 3
F
QN
1+2 = Q1 + Q2 :
On peut alors tracer sur un graphique (en abscisse Q3 et Q1+2 en ordonnée), la courbe
de meilleure réponse de l’entreprise 3 qui est identique que les entreprises 1 et 2 soient
fusionnées ou non, et les deux courbes de meilleure réponse, celle en cas de fusion 100
(Q1+2 + Q3 )
Q1+2 = 0 et celle en cas de non fusion 200
F
2(QN
1+2 + Q3 )
F
QN
1+2 = 0: Cette
dernière courbe mesure en fait comment réagit la production agrégée des entreprises 1 et
2 quand elles sont gérées de façon autonome en réponse à la production de l’entreprise 3.
Ces courbes de meilleure réponse sont
Q1+2 =
F
QN
1+2 =
100
Q3
2
200
en cas de fusion
2Q3
3
si la fusion n’a pas lieu.
Or on peut noter que
F
QN
1+2 =
200
2Q3
3
> Q1+2 =
100
Q3
2
si Q3
100:
La fusion rend l’ensemble des entreprises 1 et 2 (ou le groupe d’entreprises) moins agressif,
au sens où pour un niveau de production Q3 donné, le groupe d’entreprises 1 et 2 produit
moins quand elles sont fusionnées que si elles sont gérées de façon autonomes. On a bien
un déplacement de la courbe de meilleure réponse de ce groupe, c’est un e¤et stratégique.
Mais en fait on a vu dans l’exercice où l’une des entreprises pouvait réduire son coût
qu’augmenter son "agressivité", (pouvoir déplacer sa courbe de meilleure réponse dans
un sens où l’entreprise produit plus), est une bonne nouvelle pour l’entreprise (cela réduit
à l’équilibre la production du concurrent). Ici c’est le contraire qui se passe, parce que
l’entité fusionnée produit moins en réaction, à l’équilibre la fusion augmente la production
du concurrent ce qui réduit les pro…ts de l’entreprise fusionnée. L’e¤et stratégique réduit
les pro…ts.
Il reste à montrer que l’ajustement de la production des entreprises prenant peut-être
du temps (modi…er la quantité produite peut signi…er pour certaines industries construire
des usines), la fusion est pro…table tant que le concurrent ne réagit pas. Pour ce faire supposons que l’entreprise 3 continue à produire (100/4) après la fusion. Les entreprises qui
36
fusionnent modi…ent les premières leurs capacités (et ferment des usines), leur meilleure
réponse est alors
b1+2 = 100
Q
Q3
2
b 1+2 = ( 75 )2 >
2
=
1
100
+
25
2
2
= 75=2
= 2 (25)2 :
On a là un élement d’explication : si le concurrent réagit moins vite que l’entreprise
fusionnée, alors tant qu’il n’a pas modi…é sa capacité de production la fusion augmente
les pro…ts des entreprises du groupe, donc à court terme.
10.2
Extensions sur la fusion des entreprises
Pour conclure dans le cadre d’une concurrence à la Cournot
- La fusion rend les entreprises fusionnées moins agressives, ce qui augmente leur pro…t
si les entreprises concurrentes ne réagissent pas (e¤ets positifs à court terme).
- Les entreprises concurrentes face à une entreprise moins agressive produisent plus à
l’équilibre, ce qui nuit à l’entité fusionnée.
- La fusion réduit la production des deux entreprises qui ont fusionné (réduction de
capacité de production) et augmente celle des concurrents.
- La fusion est anticoncurrentielle, elle réduit la quantité totale (augmente le prix de
vente du bien), elle est néfaste pour la collectivité.
- La fusion pro…te aux entreprises concurrentes (qui voient leur pro…t augmenter),
mais réduit le pro…t des entreprises qui l’initient.
- Une réduction de coût de production (synergie) rend l’entreprise plus agressive: la
baisse du coût de production s’oppose donc aux résultats précédents.
- Une synergie de coût su¢ samment importante peut alors rendre la fusion pro…table,
et la rendre aussi économiquement défendable.
Dans la réalité
Pourquoi les entreprises fusionnent? Les raisons des professionnels : (1) Economies
d’échelle, la fusion est e¢ cace du point de vue interne; (2) La cible est mal gérée ou souscôtée; (3) Diversi…cation des pro…ts /Economies d’impôts (4) Gains de parts de marché
(croissance externe).
La fusion est considérée comme anticoncurrentielle
Les fusions ont longtemps été interdites par principe, (loi anti-trust aux EU). L’a¤aire
Brown Shoes en 1962 aux Etats Unis concernait la fusion (qui sera interdite) de deux
fabriquants de chaussures dont les parts de marché cumulées étaient inférieures à 5%.
37
L’argument avancé par le juge à cette époque a été le suivant "Economies cannot be used
as a defense to illegality".
La remise en cause de Williamson (1960)
Les fusions peuvent conduire à une concentration du marché et augmenter le prix,
mais si elles réduisent les coûts de production, l’e¤et total peut être béné…que pour le
consommateur. En e¤et, l’augmentation des pro…ts découlant de la réduction des coûts
de production peut compenser les e¤ets de l’augmentation des prix pour le consommateur.
Particulièrement si la fonction de demande d’un bien est très élastique (la demande se
contracte fortement en pourcentage quand le prix augmente), le pouvoir de …xation des
entreprises est réduit, et les augmentations de prix suite à la concentration réduite. La
conclusion est que les opérations de fusion devraient être considérées au cas par cas.
Le contrôle des concentrations, deux types de contrôle:
- par les autorités boursières (protection des actionnaires lors des prises de contrôle
par OPA, véri…ent l’absence de délit d’initiés pour les opérations de fusions-acquisitions),
- par les autorités en charge de la politique de la concurrence (contrôle des concentrations).
dé…nition du marché pertinent;
mesure de la concentration du marché (di¤érents indices);
évaluation de l’évolution des prix après fusion, et chi¤rage des conséquences
de telles augmentations.
11
Acquérir une position stratégique: le leader de
Stackelberg
Dans une situation de concurrence en quantité, la meilleure situation pour l’entreprise
1 est celle où elle peut choisir la quantité de sa concurrente, à condition que celle-ci soit
sa meilleure réponse.
En e¤et, l’entreprise 2 (où les entreprises concurrentes), ne sont pas contrôlées par
l’entreprise 1, donc in …ne leur règle de décision leur appartient. Elles décideront toujours
ce qui est le mieux pour elles, donc la quantité qui rend leur pro…t maximum compte tenu
des choix des entreprises rivales.
Acquérir un avantage stratégique ne conduit pas à modi…er ce comportement des
entreprises concurrentes. L’e¤et est indirect, en modi…ant sa propre fonction de meilleure
réponse (donc son propre comportement), l’entreprise 1 déplace le point d’équilibre en sa
faveur, compte tenu de la réaction de ses rivales.
38
Le fait que certaines entreprises pouvaient avoir un avantage stratégique a été
reconnu très tôt. Stackelberg (1905/1946).
Un comportement limite. Sans se soucier des moyens ou des raisons pour lesquelles
l’entreprise 1 peut modi…er son comportement, l’analyse du leader de Stackelberg pose la
question de la nature de l’équilibre en supposant que l’une des entreprises a le pouvoir de
changer son propre comportement en réponse sans limite.
Il s’agit en fait d’une idée d’engagement. L’une des entreprises peut s’engager à
agir (dans le futur) d’une façon di¤érente.
Cette possibilité peut être due à un avantage de "premier joueur" (lecture traditionnelle). Stackelberg suppose que l’entreprise leader choisit la première et que les
autres entreprises observent les choix de l’entreprise leader avant de prendre leur propre
décisions.
Ce faisant, au moment où le leader prend sa décision, il anticipe, non pas le niveau
produit par ses concurrentes, mais leur réaction à son propre choix. Ainsi en concurrence
en quantité, il anticipe la fonction de meilleure réponse de l’entreprise concurrente (disons
l’entreprise 2), anticipant ainsi que plus sa production est grande, plus la production de
l’entreprise 2 sera faible.
Exercice 17 - Le leader de Stackelberg
2 entreprises produisent un bien homogène. Le coût marginal de production de chaque
entreprise est constant et égal à 10: La fonction de demande est donnée par Q = 110
p,
où Q désigne la quantité demandée et p le prix de vente du bien. L’entreprise 1 exerce une
position de leader de Stackelberg sur ce marché. On représente cette situation stratégique
par un jeu dynamique dans lequel l’entreprise 1 choisit la première la quantité qu’elle
produit, puis, dans un second temps, l’entreprise 2 observe la production de l’entreprise
1 et choisit alors sa propre quantité.
1 - Déterminer la meilleure réponse de l’entreprise 2 à une quantité de l’entreprise 1.
2 - En déduire la quantité choisie par l’entreprise leader, puis l’équilibre du jeu.
3 - Comparer avec la situation de Cournot (avec deux entreprises).
4 - Existe-t-il d’autres équilibres de Nash dans ce jeu ? Lesquels ? Pourquoi ne sont-ils
pas parfaits en sous-jeu ?
Exercice 18 - Les subventions à l’exportation.
On considère 2 pays, A (national) et B (l’étranger). Deux entreprises produisent un
bien, une dans chaque pays, et se font concurrence en quantités sur le marché de ce bien,
mais seuls les consommateurs de B sont concernés par ce bien. La demande du pays B
est Q = 110
p: Le coût marginal de production de chaque entreprise, constant, est égal
39
à 10: Du point de vue de A, l’entreprise du pays A est donc exportatrice (elle ne vend
rien à l’intérieur des frontières). Le pays A envisage de mettre en place une politique de
subventions à l’exportation, le gouvernemement du pays A paye donc à son entreprise une
somme s par unité vendue.
On s’intéresse au jeu suivant. Dans une première étape, le gouvernement du pays
A choisit la subvention s: Les deux entreprises observent cette subvention puis se font
concurrence en quantités.
1 - Ecrire les pro…ts de chaque entreprise puis déterminer l’équilibre de Cournot pour
un niveau de subvention donné, s:
2 - L’objectif du pays A est le surplus agrégé dans son pays, c’est à dire la di¤érence
entre le pro…t de l’entreprise A et la somme versée à l’entreprise A. Quel niveau de
subvention maximise l’objectif du pays A ?
3 - Que se passerait-il si le pays A ne donnait pas de subvention mais si l’entreprise
du pays A était leader de Stackelberg sur le marché du bien ?
Correction exercice 18
1 - Les pro…ts des deux entreprises
1
= (100 + s
2
= (100
Q1
O = (100 + s
Q1
1
et
2
et l’objectif de l’état noté O sont
Q2 )Q1
Q2 )Q2
Q1
Q2 )Q1
sQ1 = (100
Q1
Q2 )Q1 :
Pour un niveau de suvention s donné, les deux entreprises qui se font concurrence à la
Cournot jouent à l’équilibre de Nash :
Q1 (s) =
100 + 2s
100 s
et Q2 (s) =
:
3
3
2) L’état anticipe que suite à s donné, les entreprises choisiront Q1 (s) et Q2 (s): Par
conséquent pour s donné son objectif est
H(s) = O = (100
Q1 (s)
Q2 (s))Q1 (s):
Remplaçer Q1 (s) et Q2 (s) par leur valeur et maximiser H(s) donne s = 25; Q1 = 50 et
Q2 = 25: On en déduit que
H(s ) = 25 50 et
2
= (25)2 :
3) Si l’entreprise 1 ne reçoit pas de subventions et joue comme dans le jeu de Stackelberg, l’entreprise 1 étant le leader et l’entreprise 2 le follower, la quantités et pro…t sont
40
les mêmes: l’entreprise produit 50, l’entreprise 2 produit 25, le pro…t de l’entreprise 1 est
25 50 et celui de l’entreprise 2 (25)2 : La subvention conduit au même équilibre que le
leader de Stackelberg.
En e¤et (le montrer graphiquement), augmenter la subvention conduit à déplacer la
courbe de meilleure réponse de l’entreprise 1 et donc le point d’équilibre. Or tous les points
qui sont sur la courbe de meilleure réponse de l’entreprise 2 sont réalisables à condition
que la subvention soit adaptée. Comme l’objectif de l’Etat de ce pays qui n’a pas de
consommateur pour ce bien est le pro…t de l’entreprise 1 (hors subvention), il choisit la
subvention qui maximise le pro…t de cette entreprise donc la subvention qui rend possible
le pro…t de leader de Stackelberg.
Cet exercice illustre comment des politiques commerciales peuvent avoir des e¤ets
stratégiques.
12
Conclusion - la nature de la concurrence
Pratiques concurrentielles diverses
qui dépendent du contexte, ‡exibilité de la capacité de production, absence de
coût à augmenter sa production peuvent déclencher des guerres de prix.
Mesure de la concurrence imparfaite: pas le nombre d’entreprises, pas le parallélisme de prix (etc) mais le taux de marge,
La recherche et développement, le rapprochement d’entreprises ( joint ventures,
coopération sur un projet commun, entreprises possédées en commun, prises de participations...) peuvent constituer des moyens de relâcher la concurrence,
et/ou être utilisée à des …ns stratégiques.
41