ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ
Предположим, что функции спроса и предложения имеют линейный вид. Количество
блага, на которое предъявляется спрос в момент времени 𝑡 (𝑄𝑡𝐷 ), зависит от цены в тот же момент
времени (𝑃𝑡 ); количество блага, которое предлагают на рынке производители в момент времени 𝑡
(𝑄𝑡𝑆 ), зависит от цены блага, которая сложилась в предыдущем периоде времени 𝑡 − 1 (𝑃𝑡−1 ) –
ввиду наличия производственного временного лага:
𝐷: 𝑄𝑡𝐷 = 𝑎 − 𝑏𝑃𝑡
𝑆: 𝑄𝑡𝑆 = 𝑐 + 𝑑𝑃𝑡−1
Предположим, что экономика отклонилась от своего равновесного состояния (например,
ввиду шока спроса). Если новое равновесие окажется устойчивым, то рынок блага с каждой
итерацией будет приближаться к новому равновесному значению, т.е. при 𝑡 ⟶ ∞ 𝑃𝑡 ⟶ 𝑃∗ .
Определим параметры этого равновесия, приравняв функции спроса и предложения, избавляясь от
индексов времени 𝑡:
𝑄 𝐷 = 𝑄 𝑆 → 𝑎 − 𝑏𝑃 = 𝑐 + 𝑑𝑃 ⟶ 𝑃(𝑑 + 𝑏) = 𝑎 − 𝑐 ⟶ 𝑃∗ =
𝑎−𝑐
𝑏+𝑑
Теперь исследуем, при каких условиях это новое равновесие окажется устойчивым. Для
этого, приравняв функции спроса и предложения (с учетом индексов времени 𝑡), получим
зависимость цены в момент времени 𝑡 от ее предыдущих значений:
𝑄𝑡𝐷 = 𝑄𝑡𝑆 → 𝑎 − 𝑏𝑃𝑡 = 𝑐 + 𝑑𝑃𝑡−1 ⟶
𝑏𝑃𝑡 = 𝑎 − 𝑐 − 𝑑𝑃𝑡−1 ⟶
𝑃𝑡 =
𝑎−𝑐
𝑑
+ (− ) 𝑃𝑡−1
𝑏
𝑏
Введем следующие обозначения:
𝑎−𝑐
𝑑
= 𝛼; − = 𝛽
𝑏
𝑏
Таким образом:
𝑃𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑃𝑡−1
Распишем зависимость цены от своих предыдущих значений для нескольких периодов
времени (при предположении, что параметры 𝛼 и 𝛽 неизменны во времени):
𝑃1 = 𝛼 + 𝛽𝑃0
𝑃2 = 𝛼 + 𝛽𝑃1 = 𝛼 + 𝛽(𝛼 + 𝛽𝑃0 ) = 𝛼 + 𝛼𝛽 + 𝛽 2 𝑃0 = 𝛼(1 + 𝛽) + 𝛽 2 𝑃0
𝑃3 = 𝛼 + 𝛽𝑃2 = 𝛼 + 𝛽[𝛼 + 𝛼𝛽 + 𝛽 2 𝑃0 ] = 𝛼 + 𝛼𝛽 + 𝛼𝛽 2 + 𝛽 3 𝑃0 = 𝛼(1 + 𝛽 + 𝛽 2 ) + 𝛽 3 𝑃0
По индукции:
𝑃𝑡 = 𝛼(1 + 𝛽 + 𝛽 2 + ⋯ + 𝛽 𝑡−1 ) + 𝛽 𝑡 𝑃0
Умножаем левую и правую части на (1 − 𝛽)
𝑃𝑡 (1 − 𝛽) = 𝛼(1 − 𝛽)(1 + 𝛽 + 𝛽 2 + ⋯ + 𝛽 𝑡−1 ) + 𝛽 𝑡 𝑃0 (1 − 𝛽) ⟶
𝑃𝑡 (1 − 𝛽) = 𝛼(1 + 𝛽 + 𝛽 2 + ⋯ + 𝛽 𝑡−1 − 𝛽 − 𝛽 2 − 𝛽 3 … − 𝛽 𝑡 ) + 𝛽 𝑡 𝑃0 (1 − 𝛽) ⟶
𝑃𝑡 (1 − 𝛽) = 𝛼(1 − 𝛽 𝑡 ) + 𝛽 𝑡 𝑃0 (1 − 𝛽) ⟶
𝑃𝑡 =
𝛼(1 − 𝛽 𝑡 )
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
+ 𝛽 𝑡 𝑃0 =
−
𝛽 𝑡 + 𝛽 𝑡 𝑃0 =
+ (𝑃0 −
)𝛽 𝑡
1−𝛽
1−𝛽 1−𝛽
1−𝛽
1−𝛽
𝛼
Выразим дробь 1−𝛽 через значения 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑:
𝛼
𝑎−𝑐
1
𝑎−𝑐
1
𝑎−𝑐
𝑎−𝑐
=
•
=
•
=
=
= 𝑃∗
𝑑
𝑑
𝑑
1−𝛽
𝑏
𝑏
𝑏
+
𝑑
1 − (− )
1+
𝑏(1 + )
𝑏
𝑏
𝑏
𝛼
Таким образом, учитывая, что 1−𝛽 = 𝑃∗ , получаем:
𝑃𝑡 = 𝑃∗ + (𝑃0 − 𝑃∗ )𝛽 𝑡
𝑃∗ =
𝑎−𝑐
𝑏+𝑑
(см. выше), т.е. является величиной постоянной.
𝑃0 – равновесная цена в нулевой период времени, т.е. тоже некоторая определенная
величина (константа).
Таким образом, 𝑃𝑡 ⟶ 𝑃 ∗, если второе слагаемое (𝑃0 − 𝑃∗ )𝛽 𝑡 ⟶ 0, и при 𝑃0 ≠ 𝑃∗ это
означает, что 𝛽 𝑡 ⟶ 0 при 𝑡 ⟶ ∞.
Последнее условие выполняется при |𝛽| < 1.
𝑑
Т.к. 𝛽 = − 𝑏 , 𝑏, 𝑑 > 0, то условие |𝛽| < 1 означает, что устойчивое равновесие, при
котором цена с каждым моментом времени приближается к равновесному значению 𝑃∗ ,
достигается при 𝑑 < 𝑏.
Условие 𝑑 < 𝑏 означает, что линия предложения должна быть круче к оси абсцисс, нежели
линия спроса.
При нарушении этого условия (𝑑 > 𝑏, линия предложения более пологая по отношению к
оси абсцисс, нежели линия спроса; 𝑑 = 𝑏, линия предложения и линия спроса имеют одинаковые
наклоны по отношению к оси абсцисс) равновесие будет неустойчивым.