SÉANCES 3 et 4
LES OBLIGATIONS :
DURÉE ET CONVEXITÉ
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Plan des 2 prochaines séances

Volatilité des prix

Durée d’une obligation:




Calcul
Propriétés
Utilisations: gestion passive et gestion active
Convexité d’une obligation:



Calcul
Propriétés
Utilisations
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1
Relation Prix-Rendement : rappel
Les graphiques qui suivent illustrent 5 règles de base:
1. Le prix et le TRE évoluent en sens inverse.
2. Convexité: Pour une même variation dans le rendement, les
augmentations de prix sont plus grandes que les diminutions
de prix (en %).
3. Échéance: Prix des obligations LT est plus sensible aux
variations de taux d’intérêt que le prix des obligations CT
4. Taux de coupon: Prix des obligations avec un taux de coupon
plus bas est plus sensible aux variations de taux d’intérêt
5. Taux d’intérêt: Prix des obligations avec un taux d’intérêt
plus bas est plus sensible aux variations de taux d’intérêt
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2
Relation Prix-Rendement
1. Le prix et le TRE évoluent en sens inverse.
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3
Relation Prix-Rendement : Convexité
2. Convexité: ↑ taux d’intérêt entraine ↓ du prix plus basse que
l’augmentation du prix suite à une ↓ équivalente du taux
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4
Relation Prix-Rendement : Échéance
3. Échéance: Prix des obligations LT est plus sensible aux
variations de taux d’intérêt que le prix des obligations CT
B
A
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5
Relation Prix-Rendement : Taux Coupon
4. Taux de coupon: Prix des obligations avec un taux de coupon
plus bas est plus sensible aux variations de taux d’intérêt
C
B
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6
Relation Prix-Rendement : TRE
5. Taux d’intérêt: Prix des obligations avec un taux d’intérêt
plus bas est plus sensible aux variations de taux d’intérêt
D
C
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7
Relation prix-rendement
Variation du prix dépend de l’échéance mais aussi de
tous ces autres facteurs…
Comment peut-on exploiter toutes ces relations?
 Si on anticipe une hausse des taux (donc une baisse des
prix), pour avoir le minimum d’effet indésirable, on doit
choisir des obligations:
 de courte maturité
 avec des taux de coupon élevés.
 Si on anticipe une baisse des taux (donc une hausse des
prix), pour maximiser les gains suite à ces variations, on
doit choisir des obligations:
 de longue maturité
 avec des taux de coupon faibles.
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8
Exemple Numérique
 Pour chaque obligation (taux de coupon fixe):
On peut comparer l’impact de l’échéance (règle #3).
 Pour chaque colonne (échéance fixe):
On peut comparer l’impact du taux de coupon (règle #4).
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9
Obligations et échéance des FMs comme
portefeuille zéro-coupon
 Une obligation peut-être vue comme un portefeuille de FMs
(des coupons et une valeur nominale)
 Une obligation zéro coupon a un seul FM, sa valeur nominale
 Pour une obligation avec coupons, chaque FM a donc sa
propre échéance
 L’échéance d’une obligation n’est pas une bonne mesure
de l’échéance moyenne de ses FMs
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10
Obligations et échéance des FMs comme
portefeuille zéro-coupon
Considérer cette obligation suivante:
 Valeur Nominal: $1,000
 Maturité: 5 ans
 Coupon: 15%
 1 paiement par année
C’est un portefeuille de ZCs:
 Obligation 1-an avec VN = 150
 Obligation 2-ans avec VN = 150
 Obligation 3-ans avec VN = 150
 Obligation 4-ans avec VN = 150
 Obligation 5-ans avec VN = 1150
Plusieurs grandes institutions financières s’engagent dans le “bond
stripping”:
• Ils achètent des obligations avec coupon , et…
• Vendent les flux monétaires individuellement sous forme d’obligation
zéro-coupon. POURQUOI?
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11
Obligations et échéance des FMs comme
portefeuille zéro-coupon
 Basé sur ce que vous avez appris concernant la relation prixrendement et les changements selon les caractéristiques de
l’obligation, on suppose que:
La relation exacte entre le rendement d’une obligation et son prix
dépend de ses flux monétaires et de comment ils sont distribués
dans le temps.
 Comprendre qu’une obligation à coupon est comme un
portefeuille de ZCs, nous aide à mieux comprendre la relation
prix-rendement.
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12
Risque des obligations

Les gestionnaires de fonds obligataires, les arbitragistes et les
traders doivent avoir une mesure de sensibilité du prix de
l’obligation par rapport aux changements de taux.


Établir des stratégies de couverture et de trading.
Les deux mesures les plus utilisées sont :
• La valeur monétaire ($) d’un point de base: PV01
PV01 = Py - Py+0.01
• La durée (ou duration)
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13
Durée
 Macaulay suggère une méthode pour évaluer la sensibilité
d’une obligation, qui représente l’échéance effective du titre.
LA DURÉE (notée D)
• Correspond à la moyenne pondérée des échéances des
différents paiements (flux monétaires) de l’obligation.
• La pondération est proportionnelle à l’importance du CF
dans le prix.
CFt /(1  y ) t
wt 
Prix
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14
Durée
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15
Macaulay Duration
 La durée est une moyenne des

échéances des flux monétaires
pondérée par les valeurs
actualisées des flux monétaires
Typiquement, avec les obligations
à coupon normal, le
remboursement de la VN donne un
poids important à l'échéance.
 Intuition:
Si les VA des FMs étaient des
bouteilles d'eau posées sur une
planche, la durée vous indiquerait où
placer un pivot sous la plnche afin
qu’elle tienne en équilibre.
 Qu’est-ce qu’il arrive pour:


Plus bas/Plus haut taux de coupon?
Plus bas/Plus haut rendement à
échéance?
Flux monétaires d’une obligation 5 ans
avec C=15% et 1 paiement par année,
et la valeur actuelle avec y = 5%.
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16
Durée
Exemple #1
 Obligation d’échéance 2.5 ans versant un coupon de 8%
et se transigeant au pair.
Flux
monétaires
VA(CF) @ 8%
Période
4.00
1
4.00
2
4.00
3
4.00
4
104.00
5
VA(CF) x
Période
 D = 462.99/100.00 = 4.63 semestres.
 Alternativement: calcul en terme d’années (à éviter?)
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17
Calcul de la durée
Calcul de la durée
 La durée pour une obligation à coupons est
1+ y (1+ y) + T(c - y)
D=
y
c[(1+ y)T -1] + y
•
•
•
•
T le nombre total de périodes
y le TRE sur une base par période
c le taux coupon sur une base par période
F la fréquence des paiements de coupon (# de pmt par
année)
Notes
 La formule s’applique seulement si nous sommes au moment
du versement du coupon.
 Fonction Excel: « Durée ».
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18
Calcul de la durée
 La durée d’une dette perpétuelle est
1 y
D
y
 Exemple #2: Une perpétuité qui paie 100$ par année
 Durée si TRE =10% ?
 Durée si TRE = 8% ?
 La durée pour une annuité avec 1 seul paiement par année est:

1 y 
T
D


y
 (1  y)T  1
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19
Durée: Exemples
Exemple #3
 Obligation 1: Quelle est la durée de l’obligation ayant les
caractéristiques suivantes:
• Maturité: 2 ans
• Coupon annuel: 8%; TRE= 10%
Attention: lorsqu’on calcule la durée d’une obligation à coupons
semestriels, il faut ajuster y et C adéquatement.
 Obligation 2: Quelle est la durée de l’obligation ayant les
caractéristiques suivantes:
• Maturité: 2 ans
• Coupon semestriel: 0%; TRE= 10%
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20
Durée
 La durée est une estimation de la variation du prix par rapport
au taux (pente de la droite tangente)
300,00 $
250,00 $
200,00 $
150,00 $
100,00 $
50,00 $
19%
17%
15%
13%
11%
9%
7%
5%
3%
1%
0,00 $
9%25
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21
Durée de Macaulay
 La durée (D) d’une obligation est une mesure approximative
de la sensibilité de l’obligation aux taux d’intérêt
 La relation entre le prix et la durée satisfait l’équation
suivante:
 Donc, cette équation dit que le changement (%) dans le prix
de l’obligation est égal à la durée négative multipliée par le
changement (%) du taux d’intérêt de l’obligation (1+y).
 Sachant que la durée permet de déterminer l’impact d’un
changement de taux d’intérêt sur la valeur de votre
portefeuille obligataire!
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22
Durée modifiée
P
D
  D * y avec D* 
P
(1  y )
FINA 20201 Placements
23
Durée modifiée
 On peut aussi utiliser la durée modifiée pour évaluer le
changement dans le prix d’une obligation pour un certain
changement dans le taux
Exemple #4:
 Pour une obligation ayant une durée modifiée de 3.99 et P =
$100, une hausse de un point de base dans le taux conduit à
une baisse de prix de
P = (-3.99) x $100x (+0.0001)
P = $-0.0399 ou 3.99 cents
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24
Commandes Bloomberg
 Obtenir la durée modifiée d’une obligation
gouvernementale et corporative de même maturité
et taux de coupon différent.





ATDBCN 3,6 06/02/2025 <Corp> (F3) <GO>
COMB <GO>
Cliquez sur “Close”
À la place de “Add Security” écrivez NGB 1 ¾ 03/13/2025 puis cliquez sur Norway
Government Bond
Aussi intéressant:
 Ticker d’une compagnie (ex: ATDBCN) et appuyez sur <Corp> <GO>
 Choisir une obligation et cliquez sur celle-ci
 YAS <GO>
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25
Propriétés de la durée
 Les relations prix-rendement vues précédemment montrent le
lien entre le prix des obligations et différentes caractéristiques
 La durée nous permet de quantifier ces relations
 Si nous souhaitons spéculer sur les taux d’intérêt, la durée
nous dit à quel point notre position est agressive
 Si nous souhaitons immuniser notre portefeuille, la durée
nous indique le niveau d’exposition que nous avons au
risque de changement des taux d’intérêt.
 Si nous souhaitons répliquer un indice obligataire, la
durée de notre portefeuille devrait être égale à celle de
l’indice!
 La durée dépend de l’échéance, du taux de coupon et du
TRE
FINA 20201 Placements
26
Propriétés de la durée
 Plus la durée est grande, plus le prix est sensible aux
variations de taux d’intérêt.
 La durée d’une zéro-coupon est égale à sa maturité.
 La durée d’une obligation à coupons est toujours plus petite
que sa maturité.
 À échéance constante, la durée est plus élevée lorsque le taux
de coupon est plus bas
 À taux de coupon et maturité constants, la durée est plus
élevée lorsque le TRE diminue
FINA 20201 Placements
27
Propriétés de la durée
 La durée d’une zéro-coupon est égale à sa maturité.
 Pour une obligation à coupon:
 La durée est toujours plus petite que la maturité
 Si C > y, la durée est positivement corrélée à la maturité.
 Pour les échéances très longues, la durée se rapproche de celle d’une
annuité.
FINA 20201 Placements
28
Propriétés de la durée
 À échéance constante, la durée est plus élevée lorsque le taux
de coupon est plus bas
FINA 20201 Placements
29
Propriétés de la durée
 À taux de coupon et maturité constants, la durée est plus
élevée lorsque le TRE diminue
FINA 20201 Placements
30
Propriétés de la durée
 La durée est proportionnelle à la maturité.
 À taux de coupon constant, la durée est (généralement) plus
élevée lorsque l’échéance augmente
 Peut différer pour des obligations vendues fortement à
escompte
 Toujours vrai pour des obligations au pairs ou à prime
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31
Utilisation de la durée
Indexing
 Répliquer la performance et le risque d’un indice obligataire.
 Aussi appelé gestion indicielle ou gestion passive.
Immunisation
 Couverture du prix (hedging)
Protéger la valeur d’un portefeuille obligataire en prenant une
position courte (short) sur un instrument de couverture.
 Les mouvements du taux d’intérêt n’affectent pas le
portefeuille.
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32
Utilisation de la durée
Immunisation (suite)
 Immunisation du bilan (gap management)
Les actifs sont une position longue (long) et les passifs sont
une position courte (short) et nous essayons de réduire l’écart
(gap) entre les deux.
 Immunisation de portefeuille
S’assurer qu’un certain montant soit disponible dans le futur
 Montant indépendant des taux d’intérêt.
FINA 20201 Placements
33
Couverture du prix
 La valeur d’un portefeuille obligataire varie en fonction des
fluctuations de taux d’intérêt.
• L’effet de la variation peut être estimé à partir de la durée
modifiée du portefeuille.
 Une façon de protéger la valeur du portefeuille est de prendre
une position courte sur un instrument de même durée que le
portefeuille.
• Le but est de s’assurer que les pertes éventuelles sur le
portefeuille obligataire seront compensées par les gains
réalisés sur l’outil de couverture.
 Attention: il faut continuellement rééquilibrer la couverture car
la durée change avec le temps et le taux d’intérêt.
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34
Immunisation du bilan
 Immunisation du bilan: application de la couverture du prix.
 Exemple d’une banque.
• La position longue correspond aux actifs
(exemple: prêts bancaires).
• La position courte correspond aux passifs
(exemple: dépôts faits par les clients).
• Problème: la durée des actifs n’est pas nécessairement égale
à celle des passifs (plus longue pour actifs, habituellement)
• Donc, si les taux d’intérêt montent, la valeur des actifs
diminue davantage que celle des passifs.
• Cela diminue le capital (ou fonds propres) de la banque
FINA 20201 Placements
35
Immunisation du bilan
Exemple #5
Bilan
Actifs
1000M$ VF de
prêts à 12%, de
maturité moyenne
de 5 ans, avec
valeur au pair
(1000M$)
Passifs
950M$ VF de dépôts à
6%, de maturité
moyenne de 2 ans, avec
valeur marchande au pair
(950M$), capital de 50M$
 Si les paiements effectués sont semi-annuels:
 Durée (modifiée) des actifs = 3.68 ans
 Durée (modifiée) des passifs = 1.86 ans
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36
Immunisation du bilan
Exemple #5 (suite)
 Qu’arrive-t-il au capital si les taux d’intérêt augmentent de
100 points de base?
• Puisque capital (ou FP)= Pactifs – Ppassifs
• En utilisant la durée modifiée, on obtient:

capital   DA*  PA  y   DP*  PP  y


FINA 20201 Placements
37
Immunisation du bilan
 La différence dans les mouvements de prix est appelée l’écart
de durée (ou duration gap).
PP
Duration Gap  D  D 
PA
*
A
*
P
 L’idée est de minimiser l’écart de durée.
 L’écart est géré en ajustant les actifs et/ou les passifs:
 Réduire la durée des actifs (hypothèques à taux variable,
etc.) et/ou
 Augmenter la durée des passifs (certificats de dépôt non
encaissables, etc.)
FINA 20201 Placements
38
Immunisation de portefeuille
 Une variation de taux d’intérêt affecte le rendement total d’une
obligation de 2 façons :
• Effet prix : Impact sur le prix de revente
• Effet revenu : Impact sur la VF des coupons
 Ces deux effets sont en sens opposés.
 Si horizon de placement = durée, ces deux effets
s’annulent et le portefeuille est immunisé.
 Si horizon de placement > durée, effet revenu > effet prix.
 Ceci est bon si on anticipe une hausse des taux.
 Si horizon de placement < durée, effet revenu < effet prix.
 Ceci est bon si on anticipe une baisse des taux.
FINA 20201 Placements
39
Immunisation de portefeuille
Exemple #6
 Considérons un investisseur avec un horizon de 5 ans:
•
Celui-ci veut s’immuniser contre le risque de taux d’intérêt.
Il doit choisir entre 2 obligations de coupons annuels de 8%,
avec une VN de 10,000$:
1. Échéance de 5 ans
2. Échéance de 6 ans
•
Les deux ont un TRE de 8% et se transigent au pair.
 Dans les deux cas, quel est sont rendement total si…
 … les taux ne varient pas?
 … les taux augmentent de 1%?
 … les taux diminuent de 1%?
FINA 20201 Placements
40
Immunisation de portefeuille
Exemple #6
Valeur au temps t=5 si achat d’une obligation 5 ans à t=0
Taux
Prix (VN)
Coupons réinvestis
Valeur T=5
9.00%
8.00%
7.00%
10,000.00
10,000.00
10,000.00
4,787.77
4,693.28
4,600.59
14,787.77
14,693.28
14,600.59
Valeur au temps t=5 si achat d’une obligation 6 ans à t=0
Taux
9.00%
8.00%
7.00%
Prix
9,908.26
10,000.00
10,093.46
Coupons réinvestis
4,787.77
4,693.28
4,600.59
14,696.03
14,693.28
14,694.05
Valeur T=5
FINA 20201 Placements
41
Immunisation de portefeuille
Exemple #6
 La raison pour cette différence provient de la durée:
• Pour l’obligation 5 ans: D = 4.31
• Pour l’obligation 6 ans: D = 4.99
 Lorsque Durée=Échéance, le rendement total est immunisé
face aux petites variations dans les taux d’intérêt.
FINA 20201 Placements
42
Immunisation de portefeuille
 Cela veut-il dire que nous pouvons nous assurer un
rendement spécifique éternellement?
 Non, il y a quelques restrictions:
• Tout d’abord, on peut seulement "fixer" un rendement en
ligne avec les taux actuellement disponibles (8% dans
l’exemple).
• Ensuite, au fur et à mesure qu’on avance dans le temps,
on devra rééquilibrer le portefeuille pour accorder le
nouvel horizon (en baisse) avec la nouvelle durée
(également en baisse).
• Si la stratégie est correctement implantée, le rendement
réalisé sera très près du rendement "fixé" ou immunisé.
FINA 20201 Placements
43
Rendement et durée d’un portefeuille
obligataire
 Le rendement et la durée d’un portefeuille obligataire se
mesurent comme suit:
• Rp = WaRa + Wb Rb
• DP = WaDa + WbDb (estimation de la durée)
 La durée d’un portefeuille est la moyenne pondérée des
durées d’obligations.
FINA 20201 Placements
44
Utilisation de la durée dans le cadre d’un
portefeuille obligataire
Exemple #7
Un gestionnaire a un horizon de placement de 2 ans: il a pour
objectif de disposer de 1 000 000$ dans 2 ans et a accès à
deux titres (dont les coupons sont annuels):
• Obligation A : n= 3 ans, TC=8%, TRE = 10%
• Obligation B : n= 1 an, TC=7%, TRE = 10%
Comment peut-il s’assurer d’avoir 1 000 000$ dans deux ans?
FINA 20201 Placements
45
Durée et convexité
 La durée est une approximation linéaire.
Erreur d’approximation
Erreur d’approximation
FINA 20201 Placements
46
Calcul de la convexité
n
é FM t
ù
1
2
Convexité =
2 ´ åê
t ´ (t + t) ú
P ´ (1+ y)
(1+ y)
û
t =1 ë
FINA 20201 Placements
47
Calcul de la convexité
Exemple de calcul
 Obligation d’échéance 3 ans versant un coupon de 12%
annuel, VN de 1,000$ et un TRE de 9%.
t
FM
VA(CF) @ 9%
t2+t
VA(CF) x (t2+t)
1
120
120/1.09=110.09
2
2x110.09=220.18
2
120
120/1.092=101.00
6
6x101.00=606.00
3
1,120
1,120/1.093=864.85
12
12x864.85=10,378.20
Prix
110.09+101.00+864.85
=1,075.94
220.18+606.00+10,378.20
=11,204.38
o 1/(1+0.09)2=0.84
 Convexité = (11,204.50*0.84)/1,075.95 = 8.75
FINA 20201 Placements
46
Propriétés de la convexité
 La convexité et le TRE ont une relation inversée.
 Ceteris paribus, plus le coupon est petit, plus la convexité est
grande.
Estimation du changement de prix à l’aide de la durée et de la
convexité :
P
1
2
 (Durée modifiée)  (y )  Conv. y 
P
2
Même chose qu’avant
FINA 20201 Placements
Nouveau terme
49
Durée et convexité pour l’approximation
de la variation du prix
Exemple #8
 Soit une obligation ayant les caractéristiques suivantes :
•
•
•
•
Valeur nominale : 1000$
Taux de coupon, versement annuel : 8%
TRE : 8%
Maturité : 30 ans
 Quelle est la variation de prix (en $ et en %) si les taux
augmentent à 10% ?
FINA 20201 Placements
50
Importance de la convexité pour les
investisseurs
Prix
A
B
TRE
 L’obligation B est plus convexe. La variation de prix est plus
favorable pour les investisseurs (hausse plus rapide et baisse
moins rapide du prix)
FINA 20201 Placements
51
Importance de la convexité pour les
investisseurs
 Cet effet positif de la convexité est pris en compte par les
investisseurs.
 Ils vont payer une prime de convexité pour ces obligations
(ils vont accepter un TRE plus faible, donc payer un prix
plus élevé).
 Mais cette prime n’est payée que si on anticipe des
variations importantes de taux.
 Autrement, la convexité n’a pas de valeur pour
l’investisseur.
FINA 20201 Placements
52
Convexité dans Bloomberg
 Obtenir la convexité d’une obligation dans
Bloomberg:

2 façons de faire:
 Seulement le chiffre:
 Inscrire le ticker de l’entreprise (eg ATDBCN) et entrer sur <Corp>(F3) <GO>
 Clicker sur l’obligation désirée
 YAS <GO>
 Analyse de la convexité:
 Inscrire le ticker de l’entreprise (eg ATDBCN) et entrer sur <Corp>(F3) <GO>
 Clicker sur l’obligation désirée
 CVXA <GO>
 Modifier les variables pour voir leurs effets sur la convexité (chaque rectangle
orange représente une variable qui peut être modifiée)
FINA 20201 Placements
53
Gestion active de portefeuille obligataire
Certains gestionnaires ont pour objectif non pas de répliquer un
indice, mais plutôt de battre cet indice. Différentes stratégies
actives s’offrent à eux.
Parmi celles-ci:
Swaps de substitution : Profiter d’un écart de taux entre 2
obligations similaires.
Swap d’écart intermarché : Profiter d’un écart de taux entre
2 marchés différents (par exemple Québec vs Canada).
FINA 20201 Placements
54
Gestion active de portefeuille obligataire
Suite…
 Swap d’anticipation de taux : positionner le portefeuille en
fonction des anticipations de taux.
 ’’Pure yield pickup swap’’ : Augmenter le rendement espéré
du portefeuille en investissant dans des obligations à taux
élevé.
Note: de nombreuses autres stratégies sont possibles.
• Stratégies de courbes
• Stratégies d’écarts entre différents pays
• etc…
FINA 20201 Placements
55
Examen A2014
 Vous travaillez au service de la gestion des risques
de taux d’intérêts chez Mackenzoo. Vous êtes
chargé(e) de suivre l’exposition des fonds propres
aux changements de taux d’intérêt. Les actifs de la
compagnie ont une valeur de marché de 1089 M$
(valeur au pair) et un taux de rendement à
échéance de 15%, flux monétaires annuels,
maturité 4 ans. Le passif a une valeur marchande
de 1010 M$ (valeur au pair) et un taux de
rendement à échéance de 10 %, flux monétaires
annuels, maturité de 8 ans.
FINA 20201 Placements
56
Examen A2014
 1) Calculez la durée des actifs et des passifs, selon les deux
définitions connues. Y-a-t-il un écart de durée entre les actifs et
passifs?
 2) Calculez le duration gap, expliquez si les fonds propres sont plus
vulnérables à une petite hausse ou à une petite baisse des taux
d’intérêt.
 3) Quel sera l’effet sur les fonds propres, en $ et en pourcentage,
d’une baisse des taux d’intérêt de 60 points de base?
FINA 20201 Placements
57
Examen A2014
 4) Vous avez la possibilité d’investir ou d’emprunter via des
obligations zéro-coupon avec valeur marchande de 990$, valeur
nominale de 1000$, et maturité de 2 ans. Combien d’obligations
devez-vous acheter ou vendre pour immuniser les fonds propres
contre de faibles mouvements des taux d’intérêt? Pour simplifier,
vous pouvez supposer que les fonds utilisés pour cette opération
n’affectent ni le passif ni l’actif.
 5) Les fonds propres sont maintenant un portefeuille (1) des anciens
actifs, (2) du zéro coupon, et (3) du passif. Un nouveau problème
survient: En incorporant la position dans le zéro coupon, vous
calculez que le portefeuille a maintenant une convexité négative (!),
en fait égale à -300. Quel serait en fait l’impact en pourcentage
d’une baisse des taux de 60 points de base sur le rendement des
fonds propres? Quel serait l’impact en pourcentage d’une diminution
de 300 points de base.
FINA 20201 Placements
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