DERIVATE FONDAMENTALI
1) D(k) = 0 dove k è una costante
2) D(x) = 1
3) D(xn) = nxn-1
4) D(√𝑥) = 1
2√𝑥
5) D(ex) = ex
6) D(ax) = axln(a)
7) D(ln(x)) = 1
𝑥
8)
D(sinx) = cosx
9)
D(cosx) = -sinx
10) D(tanx) = 1 (= 1 + tan2x)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
11) D(cotanx) = − 1 (= -1 - cotan2x)
𝑠𝑖𝑛2𝑥
12) D(arcsinx) =
1
√1−𝑥2
13) D(arccosx) = −
1
√1−𝑥2
14) D(arctanx) = 1
1+𝑥2
15) D(arccotanx) = − 1
1+𝑥 2
REGOLE DI DERIVAZIONE
1) La derivata della SOMMA di due (o più) funzioni è la somma delle derivate delle due (o
più) funzioni.
2) D[k*f(x)] = k*D[f(x)] dove k è una costante.
3) La derivata del PRODOTTO di due funzioni si svolge con la seguente formula:
D[f(x) · g(x)] = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
4) La derivata del RAPPORTO tra due funzioni si svolge con la seguente formula:
𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
]=
𝐷[
𝑔(𝑥)
𝑔2 (𝑥)
5) Derivata della FUNZIONE INVERSA:
1
𝐷(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝐷(𝑓(𝑥)) se f(x) è continua e invertibile in intervallo I, derivabile in un punto x
dell’intervallo e D(f(x)) è diversa da zero.
DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Per eseguire la derivata di una funzione composta devi procedere come se stessi aprendo
delle “scatole cinesi”, nel senso che conviene derivare prima la funzione “più esterna”
come se fosse la scatola più esterna, poi moltiplicare per la derivata della funzione interna e
poi per la derivata della funzione ancora più interna e così via fino alla funzione più interna
(la scatola più piccola/interna che puoi trovare).
Esempi:
1) D[sin(5x)] = cos(5x) · 5 = 5cos(5x)
infatti la derivata del seno di un angolo (scatola più esterna in questo caso) ti dà il coseno di quell’angolo e
la derivata di 5x ti dà 5; le due derivate si moltiplicano.
1
2ln(𝑥+1)
2) D[𝑙𝑛2 (𝑥 + 1)] = 2 ln(𝑥 + 1) ∙ 𝑥+1 ∙ 1 =
𝑥+1
infatti la funzione “più esterna”, in questo caso, è la potenza del ln(x) e seguiamo la regola di derivazione
numero 3, poi moltiplichiamo per la derivata del ln(x+1), seguendo la regola di derivazione numero 7, poi
moltiplichiamo per la derivata di (x+1).
3) 𝐷[ln(2𝑥 2 − 𝑥 − 1)] =
1
2𝑥 2 − 𝑥− 1
∙ (4𝑥 − 1) = ....