35. Derivata di funzioni
composte.
35. Derivata di funzioni composte
Regole di calcolo delle derivate
Abbiamo già visto come si comporta
l’operazione di derivazione rispetto alle
operazioni algebriche di somma,
differenza, prodotto e quoziente.
Vediamo ora come si comporta
l’operazione di derivazione rispetto alle
operazioni di composizione e di
inversione.
35. Derivata di funzioni composte
Teorema derivate funzioni composte
Sia assegnata la funzione composta
f (g ( x )) mediante le due funzioni f ( x ) e g ( x ).
Sia la funzione g derivabile in x e
sia la funzione f derivabile in g(x)
f ( g ( x )) è
anche la funzione composta
derivabile e vale la seguente formula:
( f o g ) = f (g (x )) ⋅ g (x )
'
35. Derivata di funzioni composte
'
'
Derivata funzione composta: esempi
sia f ( x) = (3 x + 1)
2
f ' ( x) = 2 ⋅ (3 x + 1)
2 −1
Esempio 2:
(
sia f ( x) = 1 + 2 x
)
2 3
2 3−1
f ' ( x) = 3(1 + 2 x )
⋅3
⋅ [2 ⋅ 2 x
2 −1
]
f ' ( x) = 3(1 + 2 x 2 ) 2 ⋅ [4 x] = 12 x ⋅ (1 + 2 x 2 ) 2
35. Derivata di funzioni composte
Derivata funzione composta: esempi
sia f ( x) =
(4 x + 3)
f ( x) = (4 x + 3)
1/ 2
f ' ( x) = 1 / 2 ⋅ (4 x + 2 )
1 / 2 −1
f ' ( x) = 2 ⋅ (4 x + 2 )
−1 / 2
Esempio:
=
( )
sia f ( x) = log x
2
1
2
f ' ( x) = 2 ⋅ 2 x =
x
x
35. Derivata di funzioni composte
⋅4
2
4x + 3
Regole di derivazione
Così, a partire da dal teorema sulla derivazione delle funzioni
composte ed inverse e dalle derivate delle funzioni elementari, si
deduce che:
• D[ f ( x )] = αf ( x )
α
α −1
⋅ f (x )
'
1
'
• D f (x ) =
⋅ f (x )
2 f (x )
1
1
'
•D
= − 2 ⋅ f (x )
f (x )
f (x )
35. Derivata di funzioni composte
Regole di derivazione
• Da
f (x)
• De
f (x)
=α
=e
f (x)
f (x)
log a ⋅ f ( x )
'
⋅ f (x )
'
1
1
'
• D log a f ( x ) =
⋅
⋅ f (x )
f ( x ) log a
1
'
• D log f ( x ) =
⋅ f (x )
f (x )
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