FORMULARIO – CALCULO I
ING. RICHARD IGNACIO CALLE HUALLPA
C. PARÁBOLA
1. GEOMETRIA ANALÍTICA
Distancia entre dos puntos
=√
−
+
División en un segmento en
una razón dada P(x,y)
+�
+�
; =
=
+�
+�
y
(0,b)
P1(x1,y1)
b
P2(x2,y2)
0
a
(a,0)
Pendiente
= tan �
=− |
x
Ecuación general (implícita)
+
+ =
Ecuación punto – pendiente
− =
−
Ecuación pendiente - ordenada al
origen b (explicita)
=
+
Ecuación cartesiana
−
−
=
−
−
Ecuación reducida u
ordenada-abscisa
−
−
=
+
=
Angulo entre dos rectas
−
tan � =
+
∙
Ordenada al origen
Rectas Paralelas
=
Rectas Perpendiculares
∙
=−
En forma implícita
+
+
=|
|
√ +
Área de polígono de n lados
:
:
:
Baricentro de un triangulo
,
SECCIONES CONICAS
+
Parábola:
Elipse:
Hipérbola:
+
B. CIRCUNFERENCIA
y
T
P(x,y)
r
P1(x1,y1)
x
Tangente T en el Punto
P1(x1,y1)
=
r −
−ℎ
−�
−ℎ
−
−
−
+
=
+
+
+
+
+ =
= (Cero)
< (Negativo)
> (Positivo)
Ecuación Cartesiana
−ℎ + −� = �
Ecuación Reducida
+
=�
C(h,k)
0
+
{
=
+�
F(h+a,k)
P1(x1,y1)
L
x
Tangente T en el Punto
P1(x1,y1)
−�
−
−ℎ
=
D. ELIPSE
y
b
P
LR
-a
F2
F1
-c
c
C(h,k)
a
Focos: ℎ − , � , ℎ + , �
Vértices Primarios:
� ℎ − ,� ,� ℎ + ,�
Vértices Secundarios:
ℎ + ,�
ℎ − ,� ,
Tangente T en el Punto
P1(x1,y1)
=−
∙
−
−�
Ecuación Reducida
=
Ecuación General
+
+D +E +F=
Semieje Mayor: ̅̅̅̅
�=
Semieje Menor: ̅̅̅̅ =
Excentricidad: = ⁄ <
⁄
Latus Rectum: � =
Directriz: = ± ⁄
x
−ℎ
Ecuación Cartesiana
−�
−ℎ
+
=
+
-b
0
Distancia focal
=√
+
−
ELIPSE (si los focos están sobre el eje y)
Ecuación Cartesiana
Ecuación General
−�
−ℎ
+D +E +F=
+
=
Ecuación Reducida
+
Focos: ℎ, � − , ℎ, � +
Vértices: � ℎ, � − , � ℎ, � +
=
E. HIPERBOLA
Ecuación Cartesiana
−�
−ℎ
−
=
y
T
b
F2
-c
P1
Centro C(h,k) y Radio r
√ 2+ 2−
+
PARÁBOLA (con eje paralelo al eje de las ordenadas)
Ecuación Cartesiana
Ecuación General
−�
−ℎ =±
+D +E +F=
Ecuación Reducida
Foco: ℎ, � +
=±
Directriz: − � + =
Ecuación General
+
+D +E +F=
Donde D=-2h; E=-2k; F=h2+k2-r2
ℎ = − |� = − |� =
Foco: ℎ + , �
Directriz: − ℎ + =
Vértice: � ℎ, �
Latus Rectum: � =
T
0
T
En forma explicita
−
−
=|
|
√ +
|
LR
V(h,k)
=−
Distancia Punto P(xe,ye) a Recta Ax+By+C=0
= |
P
M
Punto medio de un segmento
P(x,y)
+
+
; =
=
A. RECTA
Ecuación Cartesiana
−ℎ
−� =
Ecuación Reducida
=
Ecuación General
+D +E +F=
y
−
0
-a
a
C(h,k)
P
Ecuación Reducida
F1
c
−
-b
x
−
=
Ecuación General
+D +E +F=
FORMULARIO – CALCULO I
ING. RICHARD IGNACIO CALLE HUALLPA
Directriz: = ± ⁄
Asíntotas: = ± ⁄
Excentricidad: = ⁄ >
⁄
Latus Rectum: � =
Focos: ℎ − , � , ℎ + , �
Vértices: � ℎ − , � , � ℎ + , �
Semieje Real: ̅̅̅̅ =
Semieje Imaginario: ̅̅̅̅ =
Tangente T en el Punto
P1(x1,y1)
=
−ℎ
∙
−
−�
B. CONTINUIDAD
1.
+
→
lim =
= � ; lim
→
→
lim
→
=
+
lim[
→
→
]=
lim [
→
lim[
→
�
lim √
→
lim
→
] = lim
] = lim
3. DERIVADAS
′
∙ lim
→
lim
→
] = [lim
Límite de un producto, es el
producto de los límites.
→
;
≠
Límite de una potencia, es la
potencia del límite.
Límite de una raíz, es la raíz del
límite.
�
= √ lim
→
= √�
∞+
=
−
=∞
=∞
∞
∞−
∞
=∞
(a>1)
s�n
∞
=
∙
=
=∞
∞∙
=
(a<1)
=
∞+
cos =
=
tan
lo� = − ∞
lo�
=?
∙ ∞ =?
=
+
=
=
∙
∞+∞=∞
∞
=∞
=∞
∞−
=
lo�
=
csc
=
=
∞
∞∙∞=∞
=∞
∞
∞
=∞
=∞
s�c
=
∞ =∞
=
∞ =∞
=∞
=
∞
cot = ∞
=
lo� ∞ = ∞
∞ =?
∞
∞ − ∞ =?
=?
=?
→∞
lim
→
s�n
=
lim
→
lim
→
+
− cos
Se utiliza productos
racionalización, etc.
′
′
′
arcs�n
+
′
+
=
′
′
=
tan�
′
s�n�
cot
csc
√
+
= cos�
= s�c�
=
lim
→
=
lim
→
−
= ln
− cos
=
;
Limites Exponenciales.
∞
Se debe llevar a los límites conocidos.
Limites Trigonométricos.
Se debe llevar a los límites conocidos.
;
; ∞∙
lim
→
lim
→
−
tan
=
′
=
factorización,
′
′
−
=
∙
∙
s�c
′
arcs�n
=
−
cos�
cot�
arctan
′
=
√ −
=
+
′
csc�
{
′
′
′
∙
′
∙
′
′
′
′
cos
cot
csc
′
=
ln
=
−
√ −
=
=
√
−
+
−
−
= − s�n�
= − csc�
= − csc� ∙ cot�
]}
=
ln
′
′
ln +
= − csc
′
′
′
′
′
= − s�n
′
[
−
= − csc ∙ cot
arccsc
= s�c ∙ tan ∙
′
′
arccot
′
∙
ln
s�n ′ = cos ∙
tan ′ = s�c ∙
lo�
′
′
∙
′
′
es una
ln +
arccos
= s�c� ∙ tan�
=
=
′
=
′
=
ln
cos
√ −
=
=
′
=
′
ln
= s�c
′
′
′
′
=
=
′
= cos
=
′
∙
−
′
arcs�c
′
′
= s�c ∙ tan
arctan
s�c�
′
+
+
lo�
=
s�n
′
′
′
ℎ
A. REGLA DE LA CADENA
∞
; ∞−∞
∞
notables, cocientes notables,
Limites Algebraicos.
=
′
lo�
=
=
′
=
tan
A. LIMITES ESPECIALES
lim ( + ) =
′
′
INDETERMINACIONES
∞
=?
∞
′
+
s�c
OPERACIONES CONOCIDAS
+
∙
ℎ→
Límite de un cociente, es el
cociente de los límites.
] =�
→
′
Límite de una suma, es la suma de
los límites.
+ℎ −
= lim
El límite de constante es la misma
constante.
→
Para que una función sea continua
→
Si f(x), u, v, w son funciones reales de variable real;
constante.
El límite es único.
+ lim
→
lim
�
= lim
Es la constante por el límite de la
función.
→
∙
lim[
=� ⟹� =�
Existe.
→
3.
+
2. LIMITES
Siendo f(x), g(x) Son funciones, c es constante.
lim
lim
2.
Distancia focal
=√
Existe.
′
′
′
=
′
=
∙
ln ∙
′
′
′
′
= − s�n ∙
= − csc ∙
′
= − csc ∙ cot ∙
arccos
arccot
′
′
=
−
√ −
=
−
+
∙
∙
′
′
′
FORMULARIO – CALCULO I
ING. RICHARD IGNACIO CALLE HUALLPA
arcs�c
′
tan�
′
s�n�
′
s�c�
=
′
√
−
′
= cos� ∙
= s�c�
′
∙
′
∙
cos�
cot�
′
= s�c� ∙ tan� ∙
csc�
′
B. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
(
(
′
′
′′
′
=
′
…=
=
′′′
) =
n
′
′
=
√
−
−
= − s�n� ∙
= − csc�
∙
∙
′
′
′
= − csc� ∙ cot� ∙
∫ cos
′
=
Segunda derivada
=
Tercera derivada
n
=
=
∫ s�n�
4. INTEGRALES
→
∫
∫
=
=
′
=
⇒
′
′
∫
′
∫
�
′
= lim
′
→
→
′′
�
= lim
′′
→
={∞
′′′
′′′
∫
∞
∫√
=⋯
Si x es la variable a, b, c son constantes; m, n son números
naturales.
ALGEBRAICAS Y EXPONENCIALES
∫x
∫
=
x
x
+
+
=
;
ln
x
∫�
≠−
x
∫
=�
x
= ln
TRIGONOMETRICAS
∫ s�n
∫ tan
∫ s�c
∫ s�c
= − cos
= − ln|cos |
= ln|s�c + tan |
∫ s�c tan
∫ s�n
∫ s�n
=
= tan
= s�c
− s�n cos
=−
s�n
;
∫ cos�
≠
= s�n�
= ln|s�n� |
∫ cot�
= arctan s�n�
−
∫ cos
−
+ ∫ tan
= ln|cos� |
∫ s�c�
Enésima derivada
n
Para indeterminaciones de la forma: lim
→
tan −
−
−
+
∫ csc�
= ln |tan� |
FORMAS CUADRATICAS
⇒{
= lim
=
s�n
= cos�
∫ tan�
D. REGLA DE L’HOPITAL - BERNOUILLI
lim
cos
HIPERBOLICAS
C. DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Si {
=
∫ tan
Primera Derivada
′′
) =
′
arccsc
−
−
∫ cos
∫ cot
∫ csc
∫ csc
= s�n
= ln s�n
= ln|csc − cot |
∫ csc cot
∫ cos
cos
+
= −cot
=
−
∫ s�n
= −csc
+ s�n cos
−
∫
∫√
√
∫
∫
√
√
−
∫
+
+
√
−
∫√
−
+
=
−
−
−
=
arctan
ln |
=
−
=
= ln | + √
+
| = arcs�n�
= ln | + √
−
| = arccos�
= arcs�n
√
+
=
√
√
+
−
=−
√
√
−
=
= − arccot
+
| = arctan�
−
−
ln |
| = − arccot�
+
=
−
√
√
=
+
√
−
−
+
8
8
+
= − arccos
−
−
√
+
8
√
+
+
ln | + √
+
|
ln | + √
−
|
√
−
arcs�n
−
−
−
8
8
ln | + √
+
8
+
|
arcs�n
ln | + √
−
|
A. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en efectuar un cambio de variable, de
manera que la función a integrar se simplifique.
 MÉTODO DE POR PARTES
∫
=
−∫
Se aplica para integrar producto de funciones de
distinta naturaleza.
 MÉTODO DE CUADRÁTICAS
∫
′
= ln
FORMULARIO – CALCULO I
ING. RICHARD IGNACIO CALLE HUALLPA
∫
=
+
arctan
Se aplica sobre funciones algebraicas que poseen
expresiones cuadráticas en su denominador.
cos
∫ cot
csc
∫ tan
METODO DE DISCOS
= �[ radio
s�c
 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
√
√
√
−
+
−
⇒
⇒
⇒
= sin �
= tan �
= s�c �
 MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES
Si la integral ∫ �
donde el grado de
es
�
menor que
. Factorice el denominador
completamente como sea posible y encuentre la
fracción parcial descompuesta de la expresión
racional. Integre la fracción parcial descompuesta
FPD, para cada termino factorizado en el
denominador.
Factorice el �
+
+
+
+
Termino en F.P.D.
+
�
+
+
+
�
+
+
+
+
+
+
+
+
�
+ ⋯+
+ ⋯+
APLICACIONES DE INTEGRALES
 AREA
�
+
+
+
�
+
=∫
 AREA ENTRE CURVAS
=
=
⇒
⇒
= ∫ [�uncion sup�rior − �uncion in��rior]
= ∫ [�uncion d�r�c�a − �uncion i�qui�rda]
 VOLUMEN REVOLUCION
�=∫
METODO DE ANILLOS
= �[ radio �xt�rior
 MÉTODO DE TRIGONOMÉTRICAS
∫ sin
�=∫
�
�
− radio int�rno
∙ altura ]
]
Rich v17