Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Mecánica
ME4140 – Transferencia de Calor
Formulario Transferencia de Calor
Formulas y Contenidos Controles/Ejercicios
Autor: Fernando Navarrete
Profesor: Álvaro Valencia
1.
Termodinámica y conceptos
Se conoce de termodinámica: Q es la cantidad de calor transferido y Q̇ es la tasa de calor
transferido. El calor es transferido debido a una
diferencia de temperatura entre dos sistemas. El
flujo promedio de calor Q̇ que pasa por un
área transversal A de manera uniforme se define
como q̇ = Q̇/A.
1.1.
1era Ley de la termodinámica
En el análisis de la transferencia de calor,
queremos centrarnos en las transferencias de
energía como resultado de una diferencia de temperatura. Considerando la transferencia de
calor (Q) y que las energías nuclear, química,
mecánica y eléctrica transfieren energía por generación de calor (Egen ), el balance de energía
se expresará como:
∆Esistema = Qe − Qs + Egen [kJ]
dE
= Q̇e − Q̇s + Ėgen [kW ]
dt sistema
Conducción del calor: Ley
de Fourier
La conducción se da por la transferencia de
energía desde las partículas mas energéticas a
las adyacentes menos energéticas. La Ley de
Fourier de la conducción del calor se define
como:
dT
Q̇cond = −kA
[W ]
(3)
dx
Donde k[W/mo C] es la conductividad térmica del material; A[m2 ] es el área perpendicular al
flujo de calor; dT /dx es el gradiente de temperatura.
Se define la difusividad térmica como la razón
de difusión del calor por un material:
α=
Calor conducido
k
=
Calor almacenado
ρcp
Los metales poseen altos valores de difusividad
térmica.
1.3.
Convección del calor
(1)
(2)
Para sistemas cerrados y estacionarios:
∆E = ∆U = mcv ∆T . Para el caso de sistemas
de flujo estacionario, debemos usar el flujo másico ṁ = V̇ /v, de forma aproximada unidimensionalmente ṁ = ρVprom A. Si solo hay transferencia de calor: Q̇ = ṁ∆h = ṁcp ∆T . En una
superficie, se cumple que: Eneto,entra = Eneto,sale .
Formulario Transferencia de Calor
1.2.
La convección se da por la transferencia de
energía desde una superficie solida hacia un fluido adyacente en movimiento. Existen 2 tipos de
convección:
•
Convección forzada: se da cuando el fluido
es forzado a fluir sobre la superficie utilizando medios externos.
•
Convección natural (o libre): se da cuando el movimiento del fluido es causado por
las diferencias de densidades debido a la
variación de temperatura de ese fluido.
1
La Ley de Newton del enfiramiento ó
de la convección se define como:
Q̇conv = hAs (Ts − T∞ ) [W ]
(4)
Donde h[W/m2o C] es el coeficiente de transferencia de calor por convección; As [m2 ] es
el área superficial a través de la cual ocurre la
transferencia de calor; Ts [o C] es la temperatura
de la superficie y T∞ es la temperatura del fluido
alejado de la superficie (ambiente).
1.4.
Radiación del calor
La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas electromagnéticas
como resultado de cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. Este
modo de transferencia es un fenómeno volumétrico.
La tasa de transferencia de calor máxima que
un cuerpo puede emitir desde una superficie se
conoce como la Ley de Stefan-Boltzmann:
Q̇emitida,max =
σAs Ts4
[W ]
[W ]
(6)
Q̇absorbida = αQ̇incidente
Donde Q̇incidente es la tasa a la cual la radiación
incide sobre la superficie y α es la absortividad
de la superficie (0 ≤ α ≤ 1).
Considerando superficies circundantes alrededor de la superficie de emisividad, la Ley de
Stefan-Boltzmann se ajusta:
4
Q̇emitida,max = ϵσAs (Ts4 − T∞
) [W ]
Ecuación del Calor
Formulario Transferencia de Calor
Para la generación de calor debido a energías: eléctrica, química, nuclear, etc. Se define
la generación de calor por unidad de volumen
ėgen [W/m3 ], entonces:
ZZZ
Ėgen =
Donde Ė es la energía por unidad de tiempo
generada; V es el volumen del cuerpo que genera energía. Para el caso de generación uniforme:
Ėgen = ėgen V .
Generación eléctrica del calor: Ėgen = I 2 R.
2.2.
Ecuación
del calor
unidimensional
Considerando la Ley de Fourier para la
conducción del calor y k, A constantes:
Coordenadas cartesianas
∂2T
∂T
+ ėgen = ρc
2
∂x
∂t
[W/m3 ]
(9)
Donde T := T (x, t) (unidimensional).
Coordenadas cilíndricas
k
∂T
r
r
∂r
+ ėgen = ρc
∂T
∂t
[W/m3 ]
(10)
Donde T := T (r, t) (unidimensional).
2.3.
Ecuación general del calor
Para el caso multidimensional en distintos tipos de coordenadas, considerando α = k/ρc la
difusividad térmica.
Coordenadas cartesianas
ėgen
1 ∂T
=
k
α ∂t
∂2T
∂2T
∂2T
ėgen
1 ∂T
+
+
+
=
2
2
2
∂x
∂y
∂z
k
α ∂t
∇2 T +
Coordenadas cilíndricas
k ∂
∂T
r
r ∂r
∂r
(7)
(8)
ėgen dV
V
(5)
Donde ϵ es la emisividad de la superficie
(0 ≤ ϵ ≤ 1). La razón a la cual una superficie
absorbe radiación es:
2.
Generación del calor
k·
Donde σ = 5.67·10−8 [W/m2o K 4 ] es la constante
de Stefan-Boltzmann. Este valor de tasa se realiza en una superficie de cuerpo negro. Para el
caso general:
Q̇emitida,max = ϵσAs Ts4
2.1.
k ∂
∂T
r
2
r ∂θ
∂θ
∂T
+ėgen = ρc
∂t
+
+k
∂2T
∂z 2
2
2.4.
•
Condiciones específicadas
Régimen estacionario (Ecuación de Pois∂
son): tenemos que ∂t
=0
•
Régimen estacionario y sin generación de
calor (Ecuación de Laplace): ∇2 T = 0
•
Régimen transitorio y sin generación de calor (Ecuación de Difusión): tenemos que
ėgen = 0
2.5.
Condiciónes de frontera: flujo convectivo
y radiativo
Para el mismo caso de la pared de largo L:
∂T (0, t)
= h1 (T∞,1 − T (0, t))
∂x
∂T (L, t)
= h2 (T (L, t) − T∞,2 )
−k
∂x
∂T (0, t)
4
−k
= ϵ1 σ(T∞,1
− T (0, t)4 )
∂x
∂T (L, t)
4
−k
= ϵ2 σ(T (L, t)4 − T∞,2
)
∂x
−k
Condiciones iniciales y de
frontera
Condiciones de frontera en la interfase
Condición de frontera: temperatura específica
Para el caso de una pared de largo L y transferencia unidimensional:
Sí en x = a existe una interfase que separa
dos medios (1 y 2), deben cumplir las siguientes
condiciones:
T (0, t) = T1
T (L, t) = T2
T1 (x = a, t) = T2 (x = a, t)
∂T1 (x = a, t)
∂T2 (x = a, t)
−k1
= −k2
∂x
∂x
Condición de frontera: flujo específico de
calor
Donde k1 , k2 son las conductividades térmicas
de los medios 1 y 2 respectivamente.
Si tenemos flujo de calor ingresando/saliendo
de una pared de largo L:
2.6.
∂T (0, t)
= +q̇
∂x
∂T (L, t)
−k
= −q̇
∂x
−k
Notar que en x = 0 el flujo de calor entra a la
pared q̇ > 0 y en x = L el flujo de calor sale a
la pared q̇ < 0 (convención de signos).
Condición de frontera: aislada
Para un borde adiabático en x = a, se cumple que:
−k
∂T (a, t)
=0
∂x
Generación de calor en un
solido
Para una pared plana de espesor 2L, cilindro largo sólido (radio r, largo L), esfera sólida (radio r) y definiendo T0 = T (r = 0) y
∆Tmax = T0 − Tsup (elevación máxima de temperatura):
Elevaciones de temperatura máximas
ėgen L2
2k
ėgen r2
∆Tmax,cilindro =
4k
ėgen r2
∆Tmax,esf era =
6k
∆Tmax,pared =
(11)
(12)
(13)
Caso especial: simetría térmica.
∂T (L/2, t)
=0
∂x
Formulario Transferencia de Calor
3
3.
Conducción del calor estacionario
Se supondrá conducción del calor de forma estacionaria y conductividad térmica
constante.
Paredes planas
3.1.
Rc =
1
∆Tinterf ase · A
=
hc
Q̇
Donde hc es la conductancia térmica por contacto; ∆Tinterf ase la diferencia efectiva de temperatura en la interfase.
Cilindros y esferas
Resistencia térmica
Resistencia térmica cilindros
Las resistencias térmicas para cada tipo de
modo de transferencia de calor en una pared plana son:
L
[o C/W ]
kA
1
Rconv =
[o C/W ]
hAs
1
Rrad =
[o C/W ]
hrad As
2
= ϵσ(Ts2 + Talred
) · (Ts + Talred ) [W/m2 K]
Considerando un cilindro de radio interno r1
y externo r2 , de largo L, se tiene que:
Rcond =
hrad
Obs: Q̇cond,conv,rad ≈ I; ∆T ≈ ∆V y hrad es el
coeficiente de transferencia de calor por radiación. Luego, pueden expresarse las transferencias de calor como:
T1 − T2
Rcond
Ts − T∞,alred
=
Rconv,rad
Q̇cond =
Q̇conv,rad
Rserie,i−j =
j
X
Rconv,rad,cilindro
Obs: sí es radiación se debe trabajar temperatura en K.
Resistencia térmica esferas
Considerando una esfera de radio interno r1
y externo r2 , se tiene que:
(14)
(15)
Rk

−1
j
X
1

=
k=i
Rk
Rtotal,i−j = Rserie + Rparalelo
Resistencia térmica por contacto
En los sólidos (paredes) de capas múltiples,
el contacto no es perfecto. Se define la resistencia por contacto Rc .
Formulario Transferencia de Calor
r2 − r1
[o C/W ]
4πr1 r2 k
1
1
=
=
[o C/W ]
As · h
(4πr2 ) · h
Resf era =
k=i
−1
Rparalelo,i−j
ln(r2 /r1 ) o
[ C/W ]
2πLk
1
1
=
[o C/W ]
=
As · h
(2πrL) · h
Rcond,cilindro =
Rconv,rad,esf era
Resistencias en serie y en paralelo
3.2.
[o C · m2 /W ] (16)
Obs: sí es radiación se debe trabajar temperatura en K.
3.3.
Resistencia térmica en capas múltiples
Conocido Q̇, se puede determinar una temperatura superficial Tj a partir de una temperatura
conocida Ti y la contribución de la resistencia
total Rtotal,i−j entre los lugares i y j.
Q̇ =
Ti − Tj
Rtotal,i−j
(17)
4
3.4.
Radio crítico de aislamiento
El aislamiento en un tubo cilíndrico o capa
esférica es complejo de tratar. A mayor aislamiento, incrementa Rcond pero disminuye Rconv .
El radio crítico de aislamiento para cuerpos
cilíndricos y esféricos resulta:
2. Aleta infinitamente larga:
θ(L) = T (L) − T∞ = 0 L −→ ∞
θ(x) = θb e−mx
p
dT
Q̇aleta = −kAc
|x=0 = hpkAc (Tb − T∞ )
dx
3. Punta de la aleta adiabática:
k
rcr,cilindro =
h
2k
rcr,esf era =
h
(18)
(19)
Para r2 < rcr , aumenta la transferencia de calor. Para r2 = rcr , alcanza su máximo la transferencia de calor. Para r2 > rcr disminuye la
transferencia de calor.
3.5.
Transferencia de calor en
aletas
dθ(x)
|x=L = 0
dx
cosh(m(L − x))
θ(x)
=
θb
cosh(mL)
dT
Q̇aleta = −kAc
|x=0
dx
p
= hpkAc (Tb − T∞ )tanh(mL)
4. Temperatura específica en la punta
de la aleta:
θ(L) = θL = TL − T∞
Ecuación de la aleta
Suponiendo área de la sección transversal Ac
uniforme y conductividad térmica k constantes.
Definiendo θ(x) = T (x) − T∞ se tiene que la
ecuación de la aleta es:
d2 θ
− m2 · θ = 0
dx2
hp
m2 =
kAc
(20)
(21)
Donde p es el perímetro de la aleta y h el coeficiente convectivo del medio que rodea la aleta.
La solución general viene dada por:
θ(x)
=
θb
1. Base de la aleta:
+ senh(m(L − x))
senh(mL)
dT
Q̇aleta = −kAc
|x=0
dx
p
cosh(mL) − θθLb
= hpkAc (Tb − T∞ )
senh(mL)
5. Convección y/o Radiación en la punta de la aleta:
−kAc
θ(x) = C1 emx + C2 e−mx
Condiciones de frontera aletas
θL
θb senh(mx)
dT
|x=L = hAc (T (L) − T∞ )
dx
θ(x)
=
θb
cosh(m(L − x)) +
cosh(mL) +
h
mk
· senh(m(L − x))
h
mk
· senh(mL)
dT
|x=0
dx
p
= hpkAc (Tb − T∞ )...
Q̇aleta = −kAc
θ(0) = θb = Tb − T∞
Donde Tb es la temperatura en la base de
la aleta.
senh(mL) +
cosh(mL) +
... ·
· cosh(mL)
· senh(mL)
h
mk
h
mk
Se puede realizar una aproximación considerando el largo corregido de la aleta,
Formulario Transferencia de Calor
5
cuando mL ≥ 1:
de la aleta, tenemos que:
Ac
p
t
Lc,rectangular = L +
2
D
Lc,cilíndrica = L +
4
Lcorregida = L +
ϵaleta =
Eficiencia de la Aleta
Q̇total = Q̇libre,aletas + Q̇aletas
= h(Alibre,aletas + ηaleta Aaleta )(Tb − T∞ )
Además, se define la efectividad total para un
sistema con múltiples aletas:
La máxima transferencia de calor de la aleta
está dada cuando (k −→ ∞).
(22)
La eficiencia de la aleta está dada entonces
por:
ηaleta =
Q̇aleta
Q̇aleta,max
q
2h/kt
1
mL
Observación: para mas valores y geometrías,
ver el final del formulario.
Efectividad de la aleta
Se define como:
Q̇aleta
Q̇aleta
=
hAb (Tb − T∞ )
Q̇sin,aleta
(24)
Donde Ab es el área de la aleta en la base (sin
considerarla). Sí la relacionamos a la eficiencia
Formulario Transferencia de Calor
4.
Conducción
transiente
del
calor
Análisis de sistemas concentrados
Suponiendo cuerpos solidos con temperatura uniforme y propiedades termofísicas constantes, se cumple que:
Esta eficiencia tambien es válida para el caso de
punta aislada con Lc = L. En el caso particular
de la aleta larga:
ϵaleta =
Alibre,aletas + ηaleta Aaleta
Asin,aletas
Obs: Asin,aletas es el área sin aletas; Alibre,aletas es
el área que no es ocupada por las aletas; Aaletas
es el área ocupada por las aletas. Todas estas
áreas en contacto con el ambiente al considerarse.
4.1.
Lc = L + t/2
Aaleta = 2wLc
tanh(mLc )
ηaleta =
mLc
ηaleta,larga =
ϵaleta =
(23)
Para aletas rectangulares rectas de dimensión
L · w · t:
m=
(25)
La transferencia de calor total para una superficie que contiene n aletas es:
Este largo corregido se reemplaza en los
resultados obtenidos en la condición de
punta de aleta adiabática.
Q̇aleta,max = hAaleta (Tb − T∞ )
Aaleta
· ηaleta
Ab
T (t) − T∞
= e−bt
Ti − T∞
hAs
b=
ρV cp
(26)
(27)
Donde: Ti es la temperatura inicial del cuerpo;
As el área superficial; ρV es la masa del cuerpo;
cp el calor específico del cuerpo.
La transferencia de calor se rige bajo la Ley
de enfriamiento de newton:
Q̇ = hAs (T (t) − T∞ )
(28)
La máxima cantidad de calor transferido ocurre cuando el cuerpo alcanza la temperatura del
6
medio circundante, es decir:
adimensionalrespectivamente como:
Qmax = mcp (T∞ − Ti )
(29)
θ(x, t) =
Criterios
A continuación, se mencionan los criterios
para utilizar el análisis anterior.
Donde F o = τ = αt/L2 es el número de Fourier. De esta forma, la ecuación del calor junto
a sus condiciones inicial y de borde queda como:
V
As .
•
Longitud característica: Lc =
•
h
Número de Biot: Bi = k/L
. Esta represenc
ta la razón de convección en la superficie
del cuerpo y la conducción dentro del cuerpo.
Se acepta que el análisis de sistemas concentrados es aplicable si:
Bi ≤ 0.1
4.2.
T (x, t) − T∞
θ
=
∈ [0, 1]
θi
Ti − T∞
x
X = ∈ [0, 1]
L
αt
τ = 2 = Fo
L
(30)
∂2θ
∂θ
=
2
∂X
∂τ
Cond. inicial adim: θ(X, 0) = 1
∂θ(0, τ )
=0
Cond. de borde adim:
∂X
∂θ(1, τ )
= −Bi · θ(1, τ )
Cond. de borde adim:
∂X
Ecuación adimensional:
La solución final es:
Conducción transiente unidimensional
Se considerará coeficiente h(convección y/o
radiación) uniforme y constante. Este problema
se resolverá de forma adimensional. No se considera generación de calor.
Análisis adimensional
Considere una pared plana de largo 2L simétrica respecto a x = 0. La ecuación a resolver es
la ecuación del calor:
∂2T
1 ∂T
= ·
(31)
∂x2
α ∂t
Esta ecuación posee las siguientes condiciones
inicial y de borde:
θ=
T (t) − T∞
= e−bt = e−Bi·F o
Ti − T∞
(32)
hAs
Donde b = ρV
cp . Al final del formulario se muestran las Gráficas de Heisler, los cuales otorgan una solución gráfica al problema de transferencia de calor, para los casos de pared plana,
cilindro largo y esfera. Estas gráficas son validas solo cuando τ > 0.2
Qmax = mcp (T∞ − Ti ) = ρV cp (T∞ − Ti )
4.3.
Conducción transiente en
solidos semiinfinitos
Definición de sólido semiinfinito: es aquel
cuerpo que posee una sola superficie plana y se
extiende al infinito en todas direcciones. ConsiCond. inicial: T (x, 0) = Ti
derando un sólido semiinfinito con propieda∂T (0, t)
des termofísicas constantes y sin generación
Cond. de borde:
=0
∂x
de calor y con temperaturas: inicial (Ti ) y de su∂T (L, t)
Cond. de borde: − k
= h(T (L, t) − T∞ ) perficie (Ts ), la ecuación y sus condiciones ini∂x
ciales y de borde que describe el problema son
unidimensionales:
Vamos a adimensionalizar, se define una variable espacial adimensional y una variable de temperatura adimensional y una variable temporal
Formulario Transferencia de Calor
7
Caso 2: Flujo de calor en la superficie
constante qs
∂2T
1 ∂T
= ·
∂x2
α ∂t
Cond. inicial: T (x, 0) = Ti
Cond. de borde: T (0, t) = Ts
Cond. de borde: T (x −→ ∞, t) = Ti
Utilizando la variable de semejanza η =
√ x , las nuevas ecuaciones resultan:
4αt
d2 T
dT
= −2η
2
dη
dη
T (0) = Ts
T (η −→ ∞) = Ti
"r
!
4αt
x2
...
· exp −
π
4αt
x
... −x · erf c √
2 αt
q̇s
T (x, t) − Ti =
k
Caso 3: Convección sobre la superficie
q̇s = h(T∞ − T (0, t))
De esta forma:
x
T (x, t) − Ti
= erf c √
...
T∞ − Ti
2 αt
!
√ !
x
h αt
hx h2 αt
· ef c √ +
+ 2
... − exp
k
k
k
2 αt
Cuya solución, aplicando las condiciones de borde, es:
2
T − Ts
=√ ·
Ti − Ts
π
Z
η
2
e−u du = erf (η) = 1 − erf c(η)
0
(33)
Donde erf (η) y erf c(η) son las funciones
error y función error complementaria respectivamente. Al final del formulario se muestra
una tabla con los valores de estas funciones según η. Además se muestra una gráfica para el
caso en que el solido se expone a convección.
El flujo de calor está dado por:
q̇s = −k
∂T
k(Ts − Ti )
|x=0 = √
∂x
παt
(34)
Contacto de dos solidos semiinfinitos
Ente dos solidos, A y B, que están en contacto, se cumple que:
q̇s,A = q̇s,B =⇒ −
Ti,A − Ts
=
Ts − Ti,B
q
Ts =
Formulario Transferencia de Calor
(kρcp )A Ti,A +
q
(kρcp )A +
4.4.
x
T (x, t) − Ti
= erf c √
Ts − Ti
2 αt
k(Ts − Ti )
q̇s (t) = √
παt
s
(kρcp )B
(kρcp )A
Entonces, la temperatura superficial resulta:
Existen 3 casos para obtener soluciones:
Caso 1: Temperatura superficial constante
Ts
kA (Ts − Ti,A )
kB (Ts − Ti,B )
√
√
=
παA t
παB t
q
(kρcp )B Ti,B
q
(35)
(kρcp )B
Conducción transiente en
sistemas multidimensionales
La solución para una configuración geométrica multidimensional es el producto de las soluciones de las geometrías unidimensionales cuya
intersección es el cuerpo multidimensional. De
esta forma, conociendo las soluciones unidimensionales:
8
Caso 3D
Q
Q
T (x, t) − T∞
=
θpared (x, t) =
Qmax total,3D
Qmax 1
Ti − T∞
pared plana
Q
Q
T (r, t) − T∞
+
1−
θcilindro (r, t) =
Qmax 2
Qmax 1
Ti − T∞
cilindro inf inito
Q
Q
Q
T (x, t) − T∞
+
1−
· 1−
θsolido semiinf (x, t) =
Qmax 3
Qmax 1
Qmax 2
Ti − T∞
solido semiinf inito
Al final del formulario se muestran las distintas configuraciones geométricas posibles a utilizar con este método.
La transferencia de calor para los cuerpos
multidimensionales (1,2 y/o 3) es:
Caso 2D
Q
Q
=
Qmax total,2D
Qmax 1
Q
Q
+
1−
Qmax 2
Qmax 1
Formulario Transferencia de Calor
5.
Convección
Proximamente..
6.
Conversiones útiles
•
1[bar] = 100[kP a] = 105 [P a]
•
Presión Total:=Ptotal = Pmanométrica +
Patmosf érica .
•
Presión Hidrostática:= P (h)
(Patm = 101.023[KP a]).
•
Conversión de temperaturas: x[o C] = x +
273[K]
•
1[hp] = 0.746[kW ].
=
ρgh.
9
170
CONDUCCIÓN DE CALOR
TABLA 3-3
Eficiencia y áreas de superficie de configuraciones comunes de aletas
Aletas rectangulares rectas
h
haleta
m
22 h/kt
Lc L t /2
Aaleta
2 wLc
tanh mL c
mL c
t
w
x
L
Aletas triangulares rectas
m
AA
aleta
22 h/kt
h
haleta
2
2 w2L
(t /2)
2
y = (t/2) (1– x/L)
1 l1 (2 mL )
mL l0 (2 mL )
t
w
L
L
Aletas parabólicas rectas
22 h/kt
m
AA
wL 3C1
aleta
C1
21
(L /t) ln(t /L
hh
aleta
C1 )4
y = (t/2) (1 x/L)2
2
2(2 mL )2
1
1
2
(t /L)
t
w
L
Aletas circulares de perfil rectangular
22 h/kt
m
t/2
r2 c r2
2 p(r22c
AA
aleta
hhaleta
r12 )
C2
C2
K1 (mr 1 )I1 (mr 2 c )
I0 (mr 1 )K1 (mr 2 c )
I1 (mr 1 )K1 (mr 2 c )
K0 (mr 1 )I1 (mr 2 c )
t
r1 L
r2
2 r1 /m
r22c
r12
Aletas de espiga de perfil rectangular
m
24 h/kD
Lc L D/4
Aaleta
pDLc
h
haleta
tanh mL c
mL c
D
L
Aletas de espiga de perfil triangular
m
Aaleta
A
24 h/kD
pD
L2
2L
2
(D/2)22
(D/2)
haleta
h
2 l2 (2 mL )
mL l1 (2 mL )
I2 (x)
I0 (x)
y = (D/2) (1 x/L)
D
(2 x)I1, (x) donde x
2 mL
L
Aletas de espiga de perfil parabólico
m
24 h/kD
pL
L
3C C
ln(2 DC4 /L
8D 3 4 2D
1
2( D/L)2
21 (D/L)2
3
AA
aleta
C3
C4
C3 )4
h
haleta
y = (D/2) (1 x/L)2
2
1
2(2 mL /3) 2
1
D
L
Aletas de espiga de perfil parabólico
(punta truncada)
m
AA
aleta
24 h/kD
pD4
e316( L /D)2
96 L2
h
haleta
1 4 3/2
1f
3 l1 (4 mL /3)
2 mL l0 (4 mL /3)
y = (D/2) (1 x/L)1/2
D
L
172
CONDUCCIÓN DE CALOR
1
Lc = L
Ap = Lct/3 y = (t/2) (1x/L)z
Eficiencia de la aleta, H aleta
0.9
Lc = L
Ap = Lct/2
0.8
t
w
0.7
L
x
Lc = L + t/2
Ap = Lct
0.6
t
0.5
w
t
0.4
L
w
L
0.3
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
J = Lc3/2(h/kAp)1/2
FIGURA 3-43
Eficiencia de aletas rectas de perfiles rectangular, triangular y parabólico.
1
0.9
Eficiencia de la aleta, H aleta
0.8
0.7
0.6
0.5
1 = r2c /r1
2
0.4
r2c = r2 + t/2
Lc = L + t/2
t
0.3
r1 L
r2
0.2
3
4
Ap = L2t
5
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
J = Lc3/2(h/kAp)1/2
FIGURA 3-44
Eficiencia de aletas circulares de espesor constante t.
miento en la transferencia de calor comparado con el caso en el que no se usan
aletas. El desempeño de las aletas, expresado en términos de la efectividad de
la aleta aleta se define como (figura 3-45)
Razón de la transferencia de calor
Q· aleta
desde la aleta de área de la base Ab
Q· aleta
aleta ·
Razón de la transferencia
calor
transferecia dedecalor
Q sin aleta hAb (Tb T)
desde
desdelalasuperficie
superficiede
deárea
áreaAAbb
(3-78)
240
CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO
q0 =
T0 – T
Ti – T
1.0
0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
k
hL = 1
Bi =
1.0
35
7
6
25
30
3
2.5
2 1.8
1.6 1.4
1.2
0.05
2
50
40
20
18 16
5
4
0.2
0
1
45
9
8
0.6
0.4
0.7 0.5
0.3
0.1
0
12
10
0.
8
0.01
0.007
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
100
80 90
60 70
14
0.1
0.07
0.05
0.04
0.03
0.02
Placa
3
4 6 8 10
14
18
22
26
30
t=
50
70
100
120
150
300
400 500
600 700
at/L2
T Inicialmente T
h
h
T = Ti
a) Temperatura del plano medio (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and
Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización
de ASME International).
0
x
L
2L
T – T
u
=
T0 – T
u0
1.0
0.9
0.4
0.8
0.3
0.2
0.4
0.8
50
20
10
5
0.3
0.9
0.1
1.0
0
0.01
0.1
2
0.5
0.4
1
0.5
0.5
0.6
0.05
0.1
0.2
0.7
0.6
0.6
0.00
5
0.01
0.02
0.7
Bi = hL/k
0.8
0.00
1
0.00
2
0.9
x/L = 0.2
Bi =
1.0
Q
Qmáx
0.2
Placa
1.0
10
100
1
k
=
Bi
hL
b) Distribución de temperatura (tomada de M. P. Heisler,
“Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947,
pp. 227-236. Reimpreso con autorización de
ASME International).
0.1
0
10–5
Placa
10– 4
10–3
10–2
10–1
1
10
102
103
104
Bi 2t = h2 α t/k 2
c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.).
FIGURA 4-16
Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para una pared plana de espesor 2L, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, sujeta a convección desde ambos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T, con un coeficiente de convección de h.
241
CAPÍTULO 4
q0 =
T o – T
Ti – T
1.0
0.7
Cilindro
0.5
0.4
0.3
5
0.2
0.1
k
2.
4
3
5
16
90
18
70
12
14
10
0
80
9
60
50
10
7
0.8
0 .6
8
45
35
30
0.3
0.1
0
0.5
6
40
0.4
0.2
0.01
0.007
0.005
0.004
0.003
25
20
2
0.02
= 1
Bi =
o
1.6
8
1.
1.2
1.4
1.0
0.1
0.07
0.05
0.04
0.03
hr
0.002
0.001
0
1
2
3
4 6 8 10
14
18
22
26
t = at/ro2
30
50
70
100
120
a) Temperatura de la línea central (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and
Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización
de ASME International).
140 150
Q
Qmáx
1.0
0.9
0.4
0.4
0.8
50
20
10
5
2
1
0.5
0.5
0.4
0.2
0.00
1
0.00
2
0.00
5
0.01
0.02
0.6
0.05
0.1
0.2
0.7
0.6
0.5
0.3
Bi = hro /k
0.8
0.7
0.6
ro r
Bi =
0.8
0.9
350
T Inicialmente T
h
h
T = Ti
0
u
T – T
=
u0
To – T
1.0 r/ro = 0.2
250
0.3
0.9
0.2
0.1
1.0
0
0.1
0.01
Cilindro
1.0
10
100
1
k
=
Bi
hro
b) Distribución de temperaturas (tomada de M. P. Heisler,
“Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947,
pp. 227-236. Reimpreso con autorización
de ASME International).
0.1
0
10–5
Cilindro
10–4
10–3
10–2
10–1
Bi 2t
=
1
10
102
103
104
h2 α t/k 2
c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.).
FIGURA 4-17
Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para un cilindro largo de radio ro, inicialmente
a una temperatura uniforme Ti, sujeto a convección desde todos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T,
con un coeficiente de convección de h.
242
CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO
q0 =
T0 – T
Ti – T
1.0
0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
12 14
4
3.5
0.5
0.35
0.2 0.1 .05
0
0
0.01
0.007
0.005
0.004
0.003
0.002
2.0
2.2
1.6
1.8
.2
1.4 1
1.0 0.75
2. 2
6 .8
2.
4
0.02
50
40
45
0
35 3
25 20
18 16
10
9 8
7 6
5
3.0
0.1
0.07
0.05
0.04
0.03
0.001
100
80 90
60 70
Esfera
k
hr = 1
o
Bi =
0
0.5
1.0
1.5
2
2.5
3 4 5 6 7 8 9 10
20
30
40
50
100
150
200
250
t = at/ro2
a) Temperatura en el centro (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and
Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización
de ASME International).
T – T
r/ro = 0.2
1.0
0.9
0.4
r
0.3
0.8
0.3
0.2
0.9
0.2
0.1
1.0
1.0
10
50
20
0.1
Esfera
0.1
10
0.4
5
0.5
0.4
2
0.6
0.6
0.5
1
0.7
0.5
0
0.01
ro
0.8
0.7
0.6
0
Bi = hro /k
0.05
0.1
0.2
0.8
0.9
0.00
5
0.01
0.02
1.0
T
h
Q
Qmáx
T0 – T
0.00
1
0.00
2
u0
=
Inicialmente
T = Ti
Bi =
u
T
h
100
1 = k
Bi hro
b) Distribución de temperaturas (tomada de M. P. Heisler,
“Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947,
pp. 227-236. Reimpreso con autorización
de ASME International).
0
10–5
Esfera
10–4
10–3
10–2
10–1
1
10
102
103
104
Bi 2t = h2at/k 2
c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.).
FIGURA 4-18
Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para una esfera de radio ro, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, sujeta a convección desde todos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T, con un coeficiente de convección
de h.
qxd
2/22/11
3:19 PM
Page 251
251
CAPÍTULO 4
TABLA 4-4
Función de error complementaria
h
erfc (h)
h
erfc (h)
h
erfc (h)
h
0.00
1.00000
0.38
0.5910
0.76
0.2825
1.14
0.02
0.9774
0.40
0.5716
0.78
0.2700
0.04
0.9549
0.42
0.5525
0.80
0.06
0.9324
0.44
0.5338
0.08
0.9099
0.46
0.10
0.8875
0.12
erfc (h)
h
erfc (h)
h
erfc (h)
0.1069
1.52
0.03159
1.90
0.00721
1.16
0.10090
1.54
0.02941
1.92
0.00662
0.2579
1.18
0.09516
1.56
0.02737
1.94
0.00608
0.82
0.2462
1.20
0.08969
1.58
0.02545
1.96
0.00557
0.5153
0.84
0.2349
1.22
0.08447
1.60
0.02365
1.98
0.00511
0.48
0.4973
0.86
0.2239
1.24
0.07950
1.62
0.02196
2.00
0.00468
0.8652
0.50
0.4795
0.88
0.2133
1.26
0.07476
1.64
0.02038
2.10
0.00298
0.14
0.8431
0.52
0.4621
0.90
0.2031
1.28
0.07027
1.66
0.01890
2.20
0.00186
0.16
0.8210
0.54
0.4451
0.92
0.1932
1.30
0.06599
1.68
0.01751
2.30
0.00114
0.18
0.7991
0.56
0.4284
0.94
0.1837
1.32
0.06194
1.70
0.01612
2.40
0.00069
0.20
0.7773
0.58
0.4121
0.96
0.1746
1.34
0.05809
1.72
0.01500
2.50
0.00041
0.22
0.7557
0.60
0.3961
0.98
0.1658
1.36
0.05444
1.74
0.01387
2.60
0.00024
0.24
0.7343
0.62
0.3806
1.00
0.1573
1.38
0.05098
1.76
0.01281
2.70
0.00013
0.26
0.7131
0.64
0.3654
1.02
0.1492
1.40
0.04772
1.78
0.01183
2.80
0.00008
0.28
0.6921
0.66
0.3506
1.04
0.1413
1.42
0.04462
1.80
0.01091
2.90
0.00004
0.30
0.6714
0.68
0.3362
1.06
0.1339
1.44
0.04170
1.82
0.01006
3.00
0.00002
0.32
0.6509
0.70
0.3222
1.08
0.1267
1.46
0.03895
1.84
0.00926
3.20
0.00001
0.34
0.6306
0.72
0.3086
1.10
0.1198
1.48
0.03635
1.86
0.00853
3.40
0.00000
0.36
0.6107
0.74
0.2953
1.12
0.1132
1.50
0.03390
1.88
0.00784
3.60
0.00000
Si se conoce la distribución de temperaturas, se puede determinar el flujo de
calor en la superficie, con base en la ley de Fourier, como
k(Ts Ti)
T
dT h
1
2
#
qs k `
k
kC1e h
`
`
x x0
dh x h0
24at h0
2pat
(4-44)
Las soluciones de las ecuaciones 4-42 y 4-44 corresponden al caso en el que
la temperatura de la superficie del medio expuesta se eleva (o disminuye) de
manera repentina hasta Ts en t 0 y se mantiene en ese valor durante todo
momento. En la práctica, se tiene una aproximación muy cerrada del caso de
la temperatura especificada en la superficie cuando tiene lugar condensación
o ebullición sobre la superficie. Al utilizar un procedimiento semejante o la
T − Ti
Ts − Ti
1.0
0.8
Formulario Transferencia de Calor
16
258
CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO
TABLA 4-5
Soluciones multidimensionales expresadas como productos de soluciones unidimensionales para cuerpos que están
inicialmente a una temperatura uniforme Ti y expuestos a convección desde todas sus superficies hacia un medio a T
x
0
ro
r
r
x
q(r,t) = qcil(r, t)
Cilindro infinito
r
q(x, r, t) = qcil (r, t) qpared (x, t)
Cilindro corto
q(x, r, t) = qcil (r, t) qsemiinf (x, t)
Cilindro semiinfinito
y
x
x
y
z
q(x,t) = qsemiinf (x,t)
Medio semiinfinito
q(x,y, t) = qsemiinf (x, t) qsemiinf (y, t)
Medio un cuarto de infinito
x
q(x, y, z, t) =
qsemiinf (x, t) qsemiinf (y, t) qsemiinf (z, t)
Región de la esquina de un medio grande
2L
2L
y
0
x
L x
y
z
q(x,t) = qpared(x,t)
Placa infinita (o pared plana)
q(x, y, t) = qpared (x, t) qsemiinf (y, t)
Placa semiinfinita
x
q(x, y, z, t) =
qpared (x, t) qsemiinf (y, t) qsemiinf (z, t)
Placa un cuarto de infinito
y
x
z
y
x
z
y
x
q(x, y,t) = qpared(x,t)qpared( y,t)
Barra rectangular infinita
q(x, y, z, t) =
qpared (x, t) qpared (y, t) qsemiinf (z , t)
Barra rectangular semiinfinita
q(x, y, z, t) =
qpared (x, t) qpared (y, t) qpared (z, t)
Paralelepípedo rectangular