Uploaded by Morris ZandonΓ 

Teoria analisi1

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1. Maggiorante, estremo superiore e massimo (minorante, estremo inferiore e minimo)
● y è un maggiorante (minorante) dell’insieme X se ∀π‘₯ ∈ 𝑋 si ha che 𝑦 ≥ π‘₯ (𝑦 ≤ π‘₯)
● y è l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme X se y è il più piccolo (grande) dei
maggioranti (minoranti) di X
● y è il massimo (minimo) di X se y è l’estremo superiore (estremo inferiore) di X con 𝑦 ∈ 𝑋
2. Funzione iniettiva e invertibile
● Una funzione è iniettiva se ogni π‘₯ ∈ 𝐷 è immagine di al più un elemento di f(x)
−1
● Una funzione iniettiva è detta anche invertibile, ovvero, ∃𝑓
tale che:
−1
−1 (π‘₯))
−1
𝑓 (𝑓(π‘₯)) = π‘₯, ∀π‘₯ ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑓( 𝑓
= π‘₯, ∀π‘₯ ∈ 𝐷( 𝑓 )
3. Funzione monotona e strettamente monotona + enunciato del teorema di invertibilità di essa
● 𝑓(π‘₯) è monotona crescente se ∀π‘₯1 , π‘₯2 con π‘₯1 < π‘₯2 risulta che 𝑓(π‘₯1 ) < 𝑓(π‘₯2 ) in un intervallo del D
● 𝑓(π‘₯) è str. monotona crescente se ∀π‘₯1 , π‘₯2 con π‘₯1 < π‘₯2 risulta che 𝑓(π‘₯1 ) < 𝑓(π‘₯2 ) lungo tutto il D
● Una funzione , continua in un intervallo I, è invertibile se e solo se la funzione è str. monotona in I
4. Funzione simmetrica e funzione periodica
● Una funzione è pari se il suo D è simmetrico rispetto all’asse y e se vale 𝑓(−π‘₯) = 𝑓(π‘₯), ∀π‘₯ ∈ 𝐷
● Una funzione è periodica se esiste un periodo T > 0 tale che ∀π‘₯ ∈ 𝐷 vale 𝑓(π‘₯ + 𝑇) = 𝑓(π‘₯)
5. Limite finito ed infinito
● Un limite è finito se 𝑓(π‘₯), al tendere di π‘₯ a π‘₯0 (punto di accumulazione), tende ad un valore π‘˜ ≠ ∞
● Un limite è infinito (es. : lim 𝑓(π‘₯) = +∞) se ∀𝑀 > 0, ∃π‘Ÿ > 0 tale che se π‘₯ ∈ 𝐷 ∩ (π‘₯0 − π‘Ÿ, π‘₯0 + π‘Ÿ)
π‘₯→π‘₯0
allora 𝑓(π‘₯) > 𝑀
6. Teorema del confronto per limiti di una funzione
● Sia π‘₯0 ∈ 𝐷 punto di accumulazione delle funzioni 𝑓, 𝑔, β„Ž definite in un intorno 𝐼 di π‘₯0
e supponendo che:
1. 𝑓(π‘₯) ≤ 𝑔(π‘₯) ≤ β„Ž(π‘₯), ∀π‘₯ ∈ 𝐼
2. lim 𝑓(π‘₯) = lim β„Ž(π‘₯) = 𝐿, con 𝐿 ∈ 𝑅
π‘₯→π‘₯0
●
π‘₯→π‘₯0
Allora risulta che lim 𝑔(π‘₯) = 𝐿
π‘₯→π‘₯0
7. Limite di successione, successioni convergenti, divergenti e irregolari
● Si dice che il lim π‘Žπ‘› = 𝐿, se ∀πœ€ > 0 esiste N tale che ∀𝑛 > 𝑁 si ha che οƒ  |π‘Žπ‘› − 𝐿| < πœ€
𝑛→+∞
1. Se lim π‘Žπ‘› = π‘˜ οƒ  la successione è convergente
𝑛→+∞
2. Se lim π‘Žπ‘› = +∞ π‘œπ‘π‘π‘’π‘Ÿπ‘’ − ∞ οƒ  la successione è divergente
𝑛→+∞
3. Se lim π‘Žπ‘› = βˆ„ οƒ  la successione è irregolare
𝑛→+∞
8. Asintoto verticale, verticale e obliquo
● L’asintoto verticale è una retta (π‘₯ = π‘₯0 ) che approssima (lim 𝑓(π‘₯) = ±∞, lim 𝑓(π‘₯) = ±∞)
+
π‘₯→π‘₯0−
●
π‘₯→π‘₯0
la funzione nell’intorno di π‘₯0
L’asintoto orizzontale è una retta (𝑦 = π‘˜) che approssima (lim 𝑓(π‘₯) = π‘˜) la funzione all’infinito
π‘₯→±∞
●
L’asintoto obliquo è una retta (𝑦 = π‘šπ‘₯ + π‘ž con π‘š = lim 𝑓(π‘₯)⁄π‘₯ e π‘ž = lim 𝑓(π‘₯) − π‘šπ‘₯) che
π‘₯→±∞
π‘₯→±∞
approssima (lim 𝑓(π‘₯) = ±∞) la funzione all’infinito
π‘₯→±∞
9. Funzione continua e punti di discontinuità
● Una funzione è continua nel punto π‘₯0 (punto di accumulazione) se lim 𝑓(π‘₯) = 𝑓(π‘₯0 )
I punti di discontinuità sono:
1. A salto: se lim− 𝑓(π‘₯) ≠ lim+ 𝑓(π‘₯) ma entrambi finiti
●
π‘₯→π‘₯0
π‘₯→π‘₯0
2. Infinitesima: se lim− 𝑓(π‘₯) = ∞ / βˆ„ oppure lim+ 𝑓(π‘₯) = ∞ / βˆ„
π‘₯→π‘₯0
π‘₯→π‘₯0
3. Eliminabile: se lim− 𝑓(π‘₯) = lim+ 𝑓(π‘₯) ma sono ≠ 𝑓(π‘₯0 )
π‘₯→π‘₯0
π‘₯→π‘₯0
π‘₯→π‘₯0
La discontinuità di 3a specie si dice eliminabile perché, tramite prolungamento della continuità, è
𝑓(π‘₯) 𝑠𝑒 π‘₯ ≠ π‘₯0
possibile definire una nuova funzione 𝐹(π‘₯) = {
π‘˜ 𝑠𝑒 π‘₯ = π‘₯0
●
10. Dimostrazione lim sin π‘₯⁄π‘₯ = 1
π‘₯→0
Considerando un cerchio con π‘Ÿ = 1 e sia π‘₯ ∈ (0, πœ‹/2) di ampiezza π‘₯, allora:
1. Poiché π‘₯ ∈ (0, πœ‹/2) οƒ  sin π‘₯ < π‘₯ < tan π‘₯, se π‘₯ ∈ (0, πœ‹/2)
2. Dividendo per sin π‘₯ > 0 e passando ai reciproci οƒ  cos π‘₯ < sin π‘₯ ⁄π‘₯ < 1, se π‘₯ ∈ (0, πœ‹/2)
3. Poiché lim cos π‘₯ = 1, segue che, dal teorema del confronto, il lim sin π‘₯ ⁄π‘₯ = 1
●
π‘₯→0
π‘₯→0
11. Funzione continua in un intervallo e teorema dei valori intermedi
● Una funzione è continua in un intervallo (I) se per ogni punto π‘₯0 (punto di accumulazione) ∈ I
il lim 𝑓(π‘₯) = 𝑓(π‘₯0 )
π‘₯→π‘₯0
Teorema dei valori intermedi: sia 𝑓 una funzione continua in un intervallo I, se 𝑓(π‘₯) assume due
valori distinti 𝑦1 < 𝑦2 in I, allora, 𝑓(π‘₯) assume tutti i valori compresi tra 𝑦1 e 𝑦2
12. Teorema di Weierstrass
● Sia 𝑓(π‘₯) continua in [π‘Ž, 𝑏], allora, la funzione raggiunge il suo massimo e il suo minimo in [π‘Ž, 𝑏]
13. Derivata di una funzione in π‘₯0 e equazione della retta tangente a 𝑓 nel punto (π‘₯0 , 𝑓(π‘₯0 ))
′
● La derivata (𝑓 (π‘₯0 )) di una funzione in punto π‘₯0 ∈ 𝐷 è lim (𝑓(π‘₯0 + h) − 𝑓(π‘₯0 )) ⁄β„Ž
●
β„Ž→0
L’equazione della retta tangente è 𝑦 − 𝑓(π‘₯0 ) = 𝑓′(π‘₯0 )(π‘₯ − π‘₯0 )
14. Funzione derivabile in un punto e relazione fra continuità e derivabilità
●
●
●
Una funzione è derivabile in un punto (π‘₯0 ) ∈ 𝐷 se lim−
π‘₯→π‘₯0
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
= lim
β„Ž
β„Ž
π‘₯→π‘₯ +
=π‘˜
0
Dimostrazione: vogliamo provare che lim 𝑓(π‘₯) = 𝑓(π‘₯0 ) ovvero lim 𝑓(π‘₯0 + β„Ž) = 𝑓(π‘₯0 )
π‘₯→π‘₯0
β„Ž→0
1. Consideriamo l’uguaglianza per β„Ž ≠ 0 οƒ  𝑓(π‘₯0 + β„Ž) = 𝑓(π‘₯0 ) + 𝑓(π‘₯0 + β„Ž) + 𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)+𝑓(π‘₯0
∗β„Ž
β„Ž
𝑓(π‘₯ +β„Ž)+𝑓(π‘₯0 )
lim 𝑓(π‘₯0 ) + lim 0
∗ lim β„Ž
β„Ž
β„Ž→0
β„Ž→0
β„Ž→0
2. Che riscriviamo come οƒ  𝑓(π‘₯0 + β„Ž) = 𝑓(π‘₯0 ) +
3. Passiamo al limite οƒ  lim 𝑓(π‘₯0 + β„Ž) =
β„Ž→0
4. Essendo 𝑓 derivabile in π‘₯0 allora i limiti sx e dx del rapporto incrementale esistono finiti e uguali:
lim 𝑓(π‘₯0 + β„Ž) = 𝑓(π‘₯0 ) + π‘˜ ∗ 0 οƒ  lim 𝑓(π‘₯0 + β„Ž) = 𝑓(π‘₯0 )
β„Ž→0
β„Ž→0
15. Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
β„Ž
π‘₯→π‘₯0
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
lim
β„Ž
π‘₯→π‘₯ +
●
La derivata sinistra 𝑓−′ (π‘₯0 )) di una funzione in un punto π‘₯0 è lim−
●
La derivata destra 𝑓+′ (π‘₯0 )) di una funzione in un punto π‘₯0 è
●
I punti di non derivabilità sono:
1. Punto angoloso: se lim−
π‘₯→π‘₯0
2. Flesso verticale: se lim+
0
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
≠ lim
almeno uno
β„Ž
β„Ž
π‘₯→π‘₯0+
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
= ±∞ 𝑒 lim
β„Ž
π‘₯→π‘₯0−
π‘₯→π‘₯0
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯0 +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
3. Cuspide: se lim+
= lim−
=+
β„Ž
β„Ž
π‘₯→π‘₯0
π‘₯→π‘₯0
π‘₯
′ (π‘₯)
π‘₯
β„Ž
finito
= βˆ“∞
∞ π‘œπ‘π‘π‘’π‘Ÿπ‘’ − ∞
16. Dimostrare che la derivata di 𝑓(π‘₯) = 𝑒 è 𝑓
=𝑒
π‘₯
1. Consideriamo 𝑓(π‘₯) = 𝑒 , per trovare la sua derivata calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
𝑓 ′ (π‘₯) = lim
β„Ž→0
𝑓(π‘₯+β„Ž)−𝑓(π‘₯)
β„Ž
𝑒 π‘₯+β„Ž − 𝑒 π‘₯
β„Ž
β„Ž→0
2. Sostituiamo 𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ οƒ  𝑓 ′ (π‘₯) = lim
𝑒π‘₯ ∗ π‘’β„Ž − 𝑒π‘₯
β„Ž
β„Ž→0
3. Usiamo la proprietà delle potenze e raccogliamo 𝑒 π‘₯ οƒ  lim
𝑒 π‘₯ (𝑒 β„Ž − 1)
β„Ž
β„Ž→0
= lim
𝑒 β„Ž −1
β„Ž→0 β„Ž
4. 𝑒 π‘₯ essendo indipendente da h scriviamo οƒ  𝑒 π‘₯ ∗ lim
𝑒 β„Ž −1
β„Ž→0 β„Ž
5. Essendo lim
= 1 (limite notevole), scriviamo οƒ  𝑓 ′ (π‘₯) = 𝑒 π‘₯ ∗ 1 = 𝑒 π‘₯
17. Teorema della derivata della funzione inversa
′
● Sia 𝑓(π‘₯) biunivoca e derivabile in π‘₯0 e supponendo inoltre che 𝑓 (π‘₯) ≠ 0, allora, la funzione inversa è
1
derivabile nel punto 𝑦0 = 𝑓(π‘₯0 ) e la sua derivata in tale punto è οƒ  (𝑓 −1 )′ (𝑦0 ) = 𝑓′ (𝑓−1 (𝑦 ))
0
18. Dimostrare che la derivata di 𝑓(π‘₯) = log π‘₯ è 𝑓 ′ (π‘₯) = 1/π‘₯
1. Consideriamo 𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ , per trovare la sua derivata calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
𝑓 ′ (π‘₯) = lim
β„Ž→0
𝑓(π‘₯+β„Ž)−𝑓(π‘₯)
β„Ž
log(π‘₯+β„Ž) − log π‘₯
β„Ž
log((π‘₯+β„Ž)⁄π‘₯ )
logaritmi οƒ  lim
β„Ž
β„Ž→0
2. Sostituiamo 𝑓(π‘₯) = log π‘₯ οƒ  𝑓 ′ (π‘₯) = lim
β„Ž→0
log(1+β„Ž⁄π‘₯)
β„Ž
log(1+𝑑)
1
log(1+𝑑)
4. Poniamo 𝑑 = β„Ž⁄π‘₯ οƒ  lim 𝑑∗π‘₯ ed essendo π‘₯ indipendente da t scriviamo οƒ  x ∗ lim
𝑑
𝑑→0
𝑑→0
log(1+𝑑)
1
1
5. Essendo lim
= 1 (limite notevole), scriviamo οƒ  𝑓 ′ (π‘₯) = π‘₯ ∗ 1 = π‘₯
𝑑
β„Ž→0
19. Dimostrare che la derivata di 𝑓(π‘₯) = arcsin π‘₯ è 𝑓 ′ (π‘₯) = 1⁄√1 − π‘₯ 2
3. Usiamo la proprietà del rapporto dei
= lim
β„Ž→0
πœ‹ πœ‹
2 2
1. Consideriamo 𝑓(π‘₯) = arcsin π‘₯, se π‘₯ ∈ [−1,1] 𝑒 𝑦 ∈ [− , ] , allora, 𝑦 = arcsin π‘₯ ↔ π‘₯ = sen 𝑦
1
1
2. Per il teorema di derivazione della funzione inversa οƒ  (arcsin π‘₯)′ = (sin 𝑦)′ = cos 𝑦
3. Usando (sin 𝑦) 2 + (cos 𝑦) 2 = 1 isoliamo cos 𝑦 οƒ  cos 𝑦 = √1 − (sin 𝑦) 2 per 𝑦 ∈ [−πœ‹⁄2, πœ‹/2]
1
1
1
4. Scriviamo, quindi, che
=
e ricordando che π‘₯ = sen 𝑦 οƒ  (arcsin π‘₯)′ =
2
2
cos 𝑦
√1−π‘₯
√1−(sin 𝑦)
20. Dimostrare che la derivata di 𝑓(π‘₯) = arctan π‘₯ è 𝑓 ′ (π‘₯) = 1⁄(1 + π‘₯ 2 )
πœ‹ πœ‹
1. Consideriamo 𝑓(π‘₯) = arctan π‘₯, se 𝑦 ∈ [− 2 , 2 ], allora, 𝑦 = arctan(π‘₯) ↔ π‘₯ = tan 𝑦
2. Per il teorema di derivazione della funzione inversa οƒ  (arctan π‘₯)′ =
3. Usando (cos 𝑦) 2 =
1
1+(tan 𝑦)2
1
(tan 𝑦)′
= (cos 𝑦) 2
1
1+(tan 𝑦)2
1
1+π‘₯ 2
scriviamo οƒ  (arctan π‘₯)′ =
4. Ricordando che π‘₯ = tan 𝑦, scriviamo οƒ  (arctan π‘₯)′ =
21. Massimo e minimo locale e teorema di Fermat
● π‘₯0 è un punto di massimo locale per 𝑓(π‘₯) se esiste almeno un intorno (I ∈ 𝐷(𝑓))
tale che ∀π‘₯ ∈ I vale 𝑓(π‘₯) ≤ 𝑓(π‘₯0 )
● π‘₯0 è un punto di minimo locale per 𝑓(π‘₯) se esiste almeno un intorno (I ∈ 𝐷(𝑓))
tale che ∀π‘₯ ∈ I vale 𝑓(π‘₯) ≥ 𝑓(π‘₯0 )
● Teorema di Fermat: sia π‘₯0 ∈ 𝐷(𝑓) un punto estremante per 𝑓 e derivabile in π‘₯0 ,
allora, si ha che 𝑓 ′ (π‘₯0 ) = 0 e la dimostrazione del teorema è la seguente:
1. Dato π‘₯0 , punto di massimo relativo, il limite del rapporto incrementale vale
𝑓(π‘₯ +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
𝑓(π‘₯ +β„Ž)−𝑓(π‘₯0 )
lim+ 0
≤ 0 (lim dx → 𝑓+′ (π‘₯0 )) 𝑒 lim− 0
≥ 0 (lim sx → 𝑓−′ (π‘₯0 ))
β„Ž→0
β„Ž
β„Ž→0
β„Ž
2. Essendo 𝑓(π‘₯) derivabile in π‘₯0 οƒ  𝑓+′ (π‘₯0 ) = 𝑓−′ (π‘₯0 )
3. Essendo 𝑓+′ (π‘₯0 ) ≤ 0 e 𝑓−′ (π‘₯0 ) ≥ 0 l’unico caso possibile è οƒ  𝑓+′ (π‘₯0 ) = 0 = 𝑓−′ (π‘₯0 ) ovvero 𝑓 ′ (π‘₯) = 0
22. Teorema di Lagrange
● 𝑓(π‘₯) continua in [π‘Ž, 𝑏] e derivabile in (π‘Ž, 𝑏), allora, esiste almeno un punto 𝑐 ∈ (π‘Ž, 𝑏) tale che:
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(π‘Ž)
𝑏−π‘Ž
23. Criterio di monotonia
● Sia 𝑓(π‘₯) derivabile in (π‘Ž, 𝑏), allora:
1. 𝑓 ′ (π‘₯) ≥ 0, ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏) ↔ 𝑓(π‘₯) è crescente in (π‘Ž, 𝑏)
2. 𝑓 ′ (π‘₯) ≤ 0, ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏) ↔ 𝑓(π‘₯) è decrescente in (π‘Ž, 𝑏)
3. 𝑓 ′ (π‘₯) > 0, ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏) → 𝑓(π‘₯) è strettamente crescente in (π‘Ž, 𝑏)
4. 𝑓 ′ (π‘₯) < 0, ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏) → 𝑓(π‘₯) è strettamente decrescente in (π‘Ž, 𝑏)
′
● Dimostrazione: supponiamo che sia 𝑓 (π‘₯) ≥ 0 in (π‘Ž, 𝑏) e siano π‘₯1 < π‘₯2 due punti di (π‘Ž, 𝑏).
1. Per il teorema di Lagrange esiste un punto π‘₯0 ∈ (π‘Ž, 𝑏) tale che οƒ  𝑓′(π‘₯0 ) =
𝑓(π‘₯2 )−𝑓(π‘₯1 )
π‘₯2 −π‘₯1
2. Dato che 𝑓 ′ (π‘₯) ≥ 0, ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏), allora, 𝑓′(π‘₯0 ) ≥ 0 con π‘₯1 < π‘₯2 οƒ  𝑓(π‘₯2 ) − 𝑓(π‘₯1 ) ≥ 0
3. Quindi ∀π‘₯1, π‘₯2 con π‘₯1 < π‘₯2 οƒ  𝑓(π‘₯2 ) ≥ 𝑓(π‘₯1 ) dimostrando che 𝑓(π‘₯) è crescente in (π‘Ž, 𝑏)
24. Funzione convessa e criterio di convessità
● Una funzione è convessa in un intervallo (π‘Ž, 𝑏) se ∀π‘₯1 , π‘₯2 ∈ (π‘Ž, 𝑏) e ∀πœ† ∈ [0,1] vale:
𝑓(πœ†π‘₯1 + (1 − πœ†) π‘₯2 ) ≤ πœ†π‘“(π‘₯1 ) + (1 − πœ†) ∗ 𝑓(π‘₯2 )
′′
● Criterio di convessità: sia 𝑓 (π‘₯) ≥ 0 ∀π‘₯ ∈ (π‘Ž, 𝑏) ↔ 𝑓(π‘₯) è convessa in (π‘Ž, 𝑏)
25. Teorema di Taylor
(1)
(π‘₯0 ), 𝑓 (2) (π‘₯0 ), … , 𝑓 (𝑛−1) (π‘₯0 ), allora, preso
● Sia π‘₯0 ∈ (π‘Ž, 𝑏) e supponendo che esistano le derivate 𝑓
h tale che 𝑓(π‘₯) sia definita in [π‘₯0 − β„Ž, π‘₯0 + β„Ž] vale οƒ  𝑓(π‘₯) = ∑π‘›π‘˜=0
26. Serie convergente, divergente e irregolare
+∞
● Sia lim π‘Žπ‘› = π‘˜ οƒ  ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› è una serie convergente
𝑓(π‘˜) (π‘₯0 )
(π‘₯
π‘˜!
− π‘₯0 )π‘˜ + π‘œ(π‘₯ 𝑛 )
𝑛→+∞
●
Sia lim π‘Žπ‘› = +∞ π‘œ − ∞ οƒ  ∑+∞
𝑛=1 π‘Žπ‘› è una serie divergente positivamente oppure negativamente
●
Sia lim π‘Žπ‘› βˆ„ , allora, diremo che ∑+∞
𝑛=1 π‘Žπ‘› è una serie irregolare
𝑛→+∞
𝑛→+∞
27. Serie geometrica
+∞ 𝑛
● Si dice serie geometrica di ragione π‘₯ la serie ∑𝑛=0 π‘₯ , tramite il valore s si può dire che:
1. Se −1 < π‘₯ < 1, la serie geometrica converge ed ha per somma οƒ  1⁄(1 − π‘₯)
2. Se π‘₯ ≤ −1, la serie geometrica è irregolare
3. Se π‘Ž ≥ 1, la serie geometrica diverge
𝑁=+∞ 𝑛
2
𝑁
● Dimostrazione: ∑𝑛=0 π‘₯ per definizione può essere riscritta come οƒ  𝑆𝑛 = 1 + π‘₯ + π‘₯ +. . . +π‘Ž
1. Moltiplichiamo l’equazione per π‘₯ οƒ  π‘₯𝑆𝑛 = π‘₯ + π‘₯ 2 + π‘₯ 3 +. . . +π‘₯ 𝑁+1
2. Sommiamo 1 all’equazione οƒ  π‘₯𝑆𝑛 = 1 + π‘₯ + π‘₯ 2 + π‘₯ 3 +. . . +π‘₯ 𝑁+1 − 1 ovvero π‘₯𝑆𝑛 = 𝑆𝑛 + π‘₯ 𝑁+1 − 1
3. Isolando 𝑆𝑛 troviamo οƒ  𝑆𝑛 =
1−π‘₯ 𝑁+1
1−π‘₯
28. Condizione necessaria per convergenza di una serie
+∞
● La condizione necessaria affinché la serie ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› converga è che il lim π‘Žπ‘› = 0
𝑛→+∞
●
Dimostrazione: sia 𝑠𝑑 = ∑𝑑𝑛=0 π‘Žπ‘› per definizione οƒ  ∑+∞
𝑛=0 π‘Žπ‘› = π‘˜ ↔ lim 𝑠𝑑 = π‘˜
𝑑→+∞
1. ∀𝑑 ∈ 𝑁>0 si ha che π‘Žπ‘‘ = 𝑠𝑑 − 𝑠𝑑−1 quindi οƒ  lim π‘Žπ‘‘ = lim 𝑠𝑑 − lim 𝑠𝑑−1 = π‘˜ − π‘˜ = 0
𝑑→+∞
●
𝑑→+∞
𝑑→+∞
Il viceversa invece non è vero, se lim π‘Žπ‘› = 0 non si può dire nulla sul carattere della serie, es:
1
𝑛→+∞
Consideriamo ∑+∞
π‘₯=1 𝑛 , in questo caso lim π‘Žπ‘› = 0 ma la serie diverge positivamente
𝑛→+∞
29. Proprietà delle serie a termini postivi
+∞
● Data una serie ∑𝑛=0 π‘Žπ‘› a termini positivi, allora è converge o divergente ma MAI irregolare
● Dimostrazione: Mostriamo che (𝑆𝑛 )𝑛 è successione monotona crescente ovvero οƒ  𝑆𝑛+1 ≥ 𝑆𝑛 , ∀𝑛
1. 𝑆𝑛+1 = π‘Ž0 + π‘Ž1 + π‘Ž2 +. . . +π‘Žπ‘›−1 + π‘Žπ‘› + π‘Žπ‘›+1 e 𝑆𝑛+1 = π‘Ž0 + π‘Ž1 + π‘Ž2 +. . . +π‘Žπ‘›−1 + π‘Žπ‘›
2. 𝑆𝑛+1 ≥ 𝑆𝑛 οƒ  π‘Ž0 + π‘Ž1 + π‘Ž2 +. . . +π‘Žπ‘›−1 + π‘Žπ‘› + π‘Žπ‘›+1 = π‘Ž0 + π‘Ž1 + π‘Ž2 +. . . +π‘Žπ‘›−1 + π‘Žπ‘›
3. Risulta quindi οƒ  π‘Žπ‘›+1 ≥ 0 che è VERO perché la serie è a termini positivi
30. Criterio del rapporto e della radice
π‘Žπ‘›+1
+∞
● Criterio del rapporto: data una serie ∑𝑛=0 π‘Žπ‘› a termini positivi e sia lim
= π‘˜ π‘π‘œπ‘› π‘˜ ≥ 0 ∀𝑛
𝑛
π‘Žπ‘›
1. π‘˜ > 1 οƒ  la serie diverge positivamente
2. 0 ≤ π‘˜ < 1 οƒ  la serie converge
3. π‘˜ = 1 οƒ  NON si hanno informazioni
𝑛
+∞
● Criterio della radice: data una serie ∑𝑛=0 π‘Žπ‘› a termini positivi e sia lim √π‘Žπ‘› = π‘˜ π‘π‘œπ‘› π‘˜ ≥ 0 ∀𝑛
𝑛
1. π‘˜ > 1 οƒ  la serie diverge positivamente
2. 0 ≤ π‘˜ < 1 οƒ  la serie converge
3. π‘˜ = 1 οƒ  NON si hanno informazioni
31. Serie armonica generalizzata
1
Si dice serie armonica generalizzata la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑛𝛼 , serie a termini positivi che:
1. Se 𝛼 > 1 οƒ  la serie converge
2. Se 𝛼 ≤ 1 οƒ  la serie diverge positivamente
●
32. Criterio del confronto asintotico
π‘Žπ‘›
+∞
+∞
● Siano ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› e ∑𝑛=1 𝑏𝑛 due serie a termini positivi e supponendo che esista lim ( ) = π‘˜, vale:
𝑏
+∞
1. Se π‘˜ ∈ (0, +∞) allora le serie ∑+∞
𝑛=1 π‘Žπ‘› e ∑𝑛=1 𝑏𝑛 οƒ  hanno lo stesso carattere
𝑛→+∞
𝑛
+∞
2. Se π‘˜ = 0 e la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑏𝑛 converge οƒ  ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› converge
+∞
3. Se π‘˜ = +∞ e la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑏𝑛 diverge οƒ  ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› diverge
33. Convergenza assoluta e rapporto tra convergenza assoluta e semplice
+∞
+∞
● Una serie ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› si dice assolutamente convergente se la serie ∑𝑛=1 | π‘Žπ‘› | è convergente, ovvero:
+∞
1. Se ∑+∞
𝑛=1 | π‘Žπ‘› | converge οƒ  ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› converge semplicemente
+∞
2. Se ∑+∞
𝑛=1 | π‘Žπ‘› | NON converge οƒ  ∑𝑛=1 π‘Žπ‘› potrebbe sia convergere semplicemente che divergere
34. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz
+∞
𝑛
● Si dice serie a termini di segno alterno la serie ∑𝑛=1(−1) ∗ π‘Žπ‘› π‘π‘œπ‘› π‘Žπ‘› ≥ 0 ∀𝑛
+∞
𝑛
● Criterio di Leibniz: sia ∑𝑛=1(−1) ∗ π‘Žπ‘› una serie a termini di segno alterno e se vale:
1. {π‘Žπ‘› }𝑛 è una successione infinitesima, ovvero esiste il lim (π‘Žπ‘› ) = 0
𝑛→+∞
2. {π‘Žπ‘› }𝑛 è una successione decrescente, ossia esiste 𝑛0 tale che ∀𝑛 ≥ 𝑛0 risulta che π‘Žπ‘›+1 ≤ π‘Žπ‘›
35. Teorema della media integrale
𝑏
1
● Sia 𝑓 una funzione continua in [π‘Ž, 𝑏], allora esiste un punto π‘₯0 ∈ [π‘Ž, 𝑏] tale che 𝑓(𝑐) =
∫ 𝑓(π‘₯)
𝑏−π‘Ž π‘Ž
36. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale
π‘₯
● Sia 𝑓 continua in [π‘Ž, 𝑏] si dice funzione integrale la funzione 𝐹(π‘₯) = ∫ 𝑓(𝑑)
π‘Ž
● Teorema fondamentale del calcolo integrale: Sia 𝑓(π‘₯) continua in π‘₯0 ∈ (π‘Ž, 𝑏), allora la funzione
integrale è derivabile in π‘₯0 e risulta οƒ  𝐹 ′ (π‘₯0 ) = 𝑓(π‘₯0 )
𝐹(π‘₯+β„Ž)−𝐹(π‘₯)
′
● Dimostrazione: usando la definizione di derivata possiamo scrivere οƒ  𝐹 (π‘₯) = lim
β„Ž
1. Usiamo la definizione di integrale definito οƒ  𝐹(π‘₯ + β„Ž) − 𝐹(π‘₯) =
2. Quindi 𝐹
′ (π‘₯)
1
β„Ž
= ∗
π‘₯+β„Ž
lim ∫
𝑓(𝑑) che
β„Ž→0 π‘₯
π‘₯+β„Ž
∫π‘Ž 𝑓(𝑑)
−
β„Ž→0
π‘₯
∫π‘Ž 𝑓(𝑑)
′ (π‘₯)
per il teorema della media integrale οƒ  𝐹
π‘₯+β„Ž
= ∫π‘₯
𝑓(𝑑)
= 𝑓(π‘₯)
37. Primitiva di funzione e teorema sulle primitive di una funzione
′
● Sia 𝐹(π‘₯) derivabile nell’intervallo [π‘Ž, 𝑏] è una primitiva di 𝑓(π‘₯) se 𝐹 (π‘₯) = 𝑓(π‘₯) ∀π‘₯ ∈ [π‘Ž, 𝑏]
● Teorema 1: Sia 𝑓(π‘₯) una funzione, se 𝐹(π‘₯) è una sua primitiva in [π‘Ž, 𝑏] allora: 𝐺(π‘₯) = 𝐹(π‘₯) + π‘˜
è una primitiva di 𝑓(π‘₯) su [π‘Ž, 𝑏]
′
′
′
● Dimostrazione: Se 𝐹 (π‘₯) = 𝑓(π‘₯), ∀π‘₯ ∈ [π‘Ž, 𝑏] allora οƒ  𝐺 (π‘₯) = [𝐹(π‘₯) + π‘˜] = 𝑓(π‘₯), ∀π‘₯ ∈ [π‘Ž, 𝑏]
● Teorema 2: Siano 𝐹(π‘₯) e 𝐺(π‘₯) primitive di 𝑓(π‘₯) in [π‘Ž, 𝑏] allora esiste un valore π‘˜ tale che:
𝐺(π‘₯) = 𝐹(π‘₯) + π‘˜, ∀π‘₯ ∈ [π‘Ž, 𝑏]
′
′
′
● Dimostrazione: Poniamo 𝐻(π‘₯) = 𝐺(π‘₯) − 𝐹(π‘₯), quindi 𝐻 (π‘₯) = 𝐺 (π‘₯) − 𝐹 (π‘₯) = 𝑓(π‘₯) − 𝑓(π‘₯) = 0
1. Applicando il teorema di Lagrange ∃π‘₯0 ∈ (π‘Ž, 𝑏) tale che 𝐻(π‘₯) − 𝐻(π‘Ž) = 𝐻 ′ (π‘₯0 )(π‘₯ − π‘Ž) = 0
2. Essendo 𝐻 ′ (π‘₯0 ) = 0 possiamo riscrivere οƒ  𝐻(π‘₯) − 𝐻(π‘Ž) = 0 π‘œπ‘£π‘£π‘’π‘Ÿπ‘œ 𝐻(π‘₯) = 𝐻(π‘Ž)
3. Essendo 𝐻(π‘₯) = π‘˜ riscriviamo 𝐻(π‘₯) = 𝐺(π‘₯) − 𝐹(π‘₯) come 𝐺(π‘₯) − 𝐹(π‘₯) = π‘˜ οƒ  𝐺(π‘₯) = 𝐹(π‘₯) + π‘˜
38. Corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale
𝑏
● Sia 𝑓 una funzione che ammette una primitiva 𝐺(π‘₯) in [π‘Ž, 𝑏] allora vale οƒ  ∫ 𝑓(𝑑) = 𝐺(𝑏) − 𝐺(π‘Ž)
π‘Ž
● Dimostrazione: Poiché 𝐹(π‘₯) è una primitiva di 𝑓 e tutte le primitive differiscono di una costante 𝑐
π‘₯
→
π‘Ž
1. 𝐹(π‘₯) = ∫π‘Ž 𝑓(𝑑) = 𝐺(π‘₯) + 𝑐 ponendo π‘₯ = π‘Ž οƒ  𝐹(π‘Ž) = ∫π‘Ž 𝑓(𝑑) 0 = 𝐺(π‘Ž) + 𝑐 π‘œπ‘£π‘£π‘’π‘Ÿπ‘œ 𝐺(π‘Ž) = −𝑐
π‘₯
𝑏
2. Esprimiamo ∫π‘Ž 𝑓(𝑑) = 𝐺(π‘₯) − 𝐺(π‘Ž) e ponendo π‘₯ = 𝑏 οƒ  ∫π‘Ž 𝑓(𝑑) = 𝐺(𝑏) − 𝐺(π‘Ž)
39. Integrale generalizzato su intervalli illimitati
● Sia 𝑓 una funzione integrabile in [π‘Ž, 𝑐],definiamo l’integrale generalizzato della funzione 𝑓 in [π‘Ž, +∞)
+∞
𝑐
il limite dell’integrale definito di 𝑓 in [a,c] οƒ  ∫π‘Ž 𝑓(π‘₯) = lim ∫π‘Ž 𝑓(π‘₯)
𝑐→+∞
40. Criterio del confronto asintotico per integrali generalizzati
● Siano 𝑓, 𝑔 due funzioni integrabili e tali che οƒ  0 ≤ 𝑓(π‘₯) ≤ 𝑔(π‘₯), ∀π‘₯ ∈ [π‘Ž, +∞), allora vale:
+∞
+∞
0 ≤ ∫π‘Ž 𝑓(π‘₯) = ∫π‘Ž 𝑔(π‘₯) per cui possiamo affermare che:
+∞
𝑔(π‘₯) converge οƒ  ∫π‘Ž
+∞
𝑓(π‘₯) diverge οƒ  ∫π‘Ž
1. Se ∫π‘Ž
2. Se ∫π‘Ž
+∞
+∞
𝑓(π‘₯) converge
𝑔(π‘₯) diverge
41. Per quali 𝛼, 1/π‘₯ è integrabile in senso generalizzato in [1, +∞)
𝛼
●
+∞ 1
π‘₯𝛼
Consideriamo l’integrale ∫π‘Ž
1
𝑑 1
1
1
e calcoliamo lim ∫π‘Ž π‘₯ 𝑛 οƒ  lim [(𝛼−1)𝑑 𝛼−1 − (𝑛−1)π‘Žπ›Ό−1], quindi:
𝑑→+∞
𝑑→+∞
1. Se 𝛼 > 1 il lim [(𝛼−1)𝑑 𝛼−1 ] = π‘˜ οƒ  l’integrale converge
𝑑→+∞
1
2. Se 𝛼 ≤ 1 il lim [(𝛼−1)𝑑 𝛼−1 ] = +∞ οƒ  l’integrale diverge
𝑑→+∞
42. Derivata parziale e gradiente di funzione a due variabili
● Una funzione è derivabile parzialmente rispetto alla variabile 𝑓 in (π‘₯0 , 𝑦0 ) se esiste finito:
πœ•π‘“
(π‘₯0 , 𝑦0 )
πœ•π‘₯
●
𝑓(π‘₯0 +β„Ž, 𝑦0 )−𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 )
β„Ž
β„Ž→0
= lim
oppure
πœ•π‘“
(π‘₯0 , 𝑦0 )
πœ•π‘¦
𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 +π‘˜)−𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 )
π‘˜
π‘˜→0
= lim
πœ•π‘“
πœ•π‘“
Si dice gradiente della funzione f nel punto (π‘₯, 𝑦) il vettore οƒ  ∇𝑓(π‘₯, 𝑦) = (πœ•π‘₯ (π‘₯, 𝑦), πœ•π‘¦ (π‘₯, 𝑦))
43. Funzione differenziabile e equazione del piano tangente al grafico della funzione
● Una funzione 𝑓(π‘₯, 𝑦) è differenziabile in un punto (π‘₯0 , 𝑦0 ) se e solo se ∃ una forma lineare 𝐿(β„Ž, π‘˜):
𝑓(π‘₯0 + β„Ž, 𝑦0 + π‘˜) = 𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 ) + 𝐿(β„Ž, π‘˜) + π‘œ(√(β„Ž2 + π‘˜ 2 )
● Il piano tangente al grafico della funzione 𝑓(π‘₯, 𝑦) nel punto (π‘₯0 , 𝑦0 , 𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 ) è definito dalla funzione
πœ•π‘“
πœ•π‘“
𝑧 = 𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 ) + πœ•π‘₯ (π‘₯0 , 𝑦0 )(π‘₯ − π‘₯0 ) + πœ•π‘¦ (π‘₯0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 )
44. Derivata direzionale e formula del gradiente
● Si dice derivata direzionale di 𝑓(π‘₯, 𝑦) lungo la direzione 𝑣 il limite, se esiste finito:
πœ•π‘“
(π‘₯, 𝑦)
πœ•π‘£
= lim
𝑑→0
𝑓(π‘₯+𝑑𝑣1 ,𝑦+𝑑𝑣2 )−𝑓(π‘₯,𝑦)
𝑑
πœ•π‘“
Sia 𝑓(π‘₯, 𝑦) differenziabile in (π‘₯0 , 𝑦0 ) ∈ D allora vale la formula οƒ  πœ•π‘£ (π‘₯0 , 𝑦0 ) = ∇𝑓(π‘₯0 , 𝑦0 ) ∗ 𝑣
45. Punto critico di una funzione a due variabili
𝑛
● Sia 𝐴 ⊆ 𝑅 aperto, un punto π‘₯ ∈ 𝐴 si dice punto critico della funzione 𝑓 se 𝑓 è differenziabile in π‘₯ e
se ∇𝑓(π‘₯) = 0
46. Criterio dell’Hessiana
● Sia (π‘Ž, 𝑏) punto critico di 𝑓, ovvero 𝑓π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) = 𝑓𝑦 (π‘Ž, 𝑏) = 0, definiamo matrice Hessiana H in (π‘Ž, 𝑏)
𝑓π‘₯π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) 𝑓π‘₯𝑦 (π‘Ž, 𝑏)
𝐻=[
] che secondo il criterio dell’Hessiana dice che:
𝑓𝑦π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) 𝑓𝑦𝑦 (π‘Ž, 𝑏)
●
1. Se det(𝐻) > 0 𝑒 𝑓π‘₯π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) > 0 οƒ  (π‘Ž, 𝑏) è un minimo locale
2. Se det(𝐻) > 0 𝑒 𝑓π‘₯π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) < 0 οƒ  (π‘Ž, 𝑏) è un massimo locale
3. Se det(𝐻) > 0 οƒ  (π‘Ž, 𝑏) è un punto di sella
4. Se det(𝐻) = 0 οƒ  non si può dire niente sul punto (π‘Ž, 𝑏)
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