1. Maggiorante, estremo superiore e massimo (minorante, estremo inferiore e minimo)
● y è un maggiorante (minorante) dell’insieme X se ∀𝑥 ∈ 𝑋 si ha che 𝑦 ≥ 𝑥 (𝑦 ≤ 𝑥)
● y è l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme X se y è il più piccolo (grande) dei
maggioranti (minoranti) di X
● y è il massimo (minimo) di X se y è l’estremo superiore (estremo inferiore) di X con 𝑦 ∈ 𝑋
2. Funzione iniettiva e invertibile
● Una funzione è iniettiva se ogni 𝑥 ∈ 𝐷 è immagine di al più un elemento di f(x)
−1
● Una funzione iniettiva è detta anche invertibile, ovvero, ∃𝑓
tale che:
−1
−1 (𝑥))
−1
𝑓 (𝑓(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑓( 𝑓
= 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷( 𝑓 )
3. Funzione monotona e strettamente monotona + enunciato del teorema di invertibilità di essa
● 𝑓(𝑥) è monotona crescente se ∀𝑥1 , 𝑥2 con 𝑥1 < 𝑥2 risulta che 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) in un intervallo del D
● 𝑓(𝑥) è str. monotona crescente se ∀𝑥1 , 𝑥2 con 𝑥1 < 𝑥2 risulta che 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) lungo tutto il D
● Una funzione , continua in un intervallo I, è invertibile se e solo se la funzione è str. monotona in I
4. Funzione simmetrica e funzione periodica
● Una funzione è pari se il suo D è simmetrico rispetto all’asse y e se vale 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷
● Una funzione è periodica se esiste un periodo T > 0 tale che ∀𝑥 ∈ 𝐷 vale 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥)
5. Limite finito ed infinito
● Un limite è finito se 𝑓(𝑥), al tendere di 𝑥 a 𝑥0 (punto di accumulazione), tende ad un valore 𝑘 ≠ ∞
● Un limite è infinito (es. : lim 𝑓(𝑥) = +∞) se ∀𝑀 > 0, ∃𝑟 > 0 tale che se 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ (𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 + 𝑟)
𝑥→𝑥0
allora 𝑓(𝑥) > 𝑀
6. Teorema del confronto per limiti di una funzione
● Sia 𝑥0 ∈ 𝐷 punto di accumulazione delle funzioni 𝑓, 𝑔, ℎ definite in un intorno 𝐼 di 𝑥0
e supponendo che:
1. 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼
2. lim 𝑓(𝑥) = lim ℎ(𝑥) = 𝐿, con 𝐿 ∈ 𝑅
𝑥→𝑥0
●
𝑥→𝑥0
Allora risulta che lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑥0
7. Limite di successione, successioni convergenti, divergenti e irregolari
● Si dice che il lim 𝑎𝑛 = 𝐿, se ∀𝜀 > 0 esiste N tale che ∀𝑛 > 𝑁 si ha che  |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀
𝑛→+∞
1. Se lim 𝑎𝑛 = 𝑘  la successione è convergente
𝑛→+∞
2. Se lim 𝑎𝑛 = +∞ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 − ∞  la successione è divergente
𝑛→+∞
3. Se lim 𝑎𝑛 = ∄  la successione è irregolare
𝑛→+∞
8. Asintoto verticale, verticale e obliquo
● L’asintoto verticale è una retta (𝑥 = 𝑥0 ) che approssima (lim 𝑓(𝑥) = ±∞, lim 𝑓(𝑥) = ±∞)
+
𝑥→𝑥0−
●
𝑥→𝑥0
la funzione nell’intorno di 𝑥0
L’asintoto orizzontale è una retta (𝑦 = 𝑘) che approssima (lim 𝑓(𝑥) = 𝑘) la funzione all’infinito
𝑥→±∞
●
L’asintoto obliquo è una retta (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 con 𝑚 = lim 𝑓(𝑥)⁄𝑥 e 𝑞 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) che
𝑥→±∞
𝑥→±∞
approssima (lim 𝑓(𝑥) = ±∞) la funzione all’infinito
𝑥→±∞
9. Funzione continua e punti di discontinuità
● Una funzione è continua nel punto 𝑥0 (punto di accumulazione) se lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
I punti di discontinuità sono:
1. A salto: se lim− 𝑓(𝑥) ≠ lim+ 𝑓(𝑥) ma entrambi finiti
●
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
2. Infinitesima: se lim− 𝑓(𝑥) = ∞ / ∄ oppure lim+ 𝑓(𝑥) = ∞ / ∄
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
3. Eliminabile: se lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) ma sono ≠ 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
La discontinuità di 3a specie si dice eliminabile perché, tramite prolungamento della continuità, è
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 𝑥0
possibile definire una nuova funzione 𝐹(𝑥) = {
𝑘 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑥0
●
10. Dimostrazione lim sin 𝑥⁄𝑥 = 1
𝑥→0
Considerando un cerchio con 𝑟 = 1 e sia 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2) di ampiezza 𝑥, allora:
1. Poiché 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2)  sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥, se 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2)
2. Dividendo per sin 𝑥 > 0 e passando ai reciproci  cos 𝑥 < sin 𝑥 ⁄𝑥 < 1, se 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2)
3. Poiché lim cos 𝑥 = 1, segue che, dal teorema del confronto, il lim sin 𝑥 ⁄𝑥 = 1
●
𝑥→0
𝑥→0
11. Funzione continua in un intervallo e teorema dei valori intermedi
● Una funzione è continua in un intervallo (I) se per ogni punto 𝑥0 (punto di accumulazione) ∈ I
il lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
Teorema dei valori intermedi: sia 𝑓 una funzione continua in un intervallo I, se 𝑓(𝑥) assume due
valori distinti 𝑦1 < 𝑦2 in I, allora, 𝑓(𝑥) assume tutti i valori compresi tra 𝑦1 e 𝑦2
12. Teorema di Weierstrass
● Sia 𝑓(𝑥) continua in [𝑎, 𝑏], allora, la funzione raggiunge il suo massimo e il suo minimo in [𝑎, 𝑏]
13. Derivata di una funzione in 𝑥0 e equazione della retta tangente a 𝑓 nel punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ))
′
● La derivata (𝑓 (𝑥0 )) di una funzione in punto 𝑥0 ∈ 𝐷 è lim (𝑓(𝑥0 + h) − 𝑓(𝑥0 )) ⁄ℎ
●
ℎ→0
L’equazione della retta tangente è 𝑦 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
14. Funzione derivabile in un punto e relazione fra continuità e derivabilità
●
●
●
Una funzione è derivabile in un punto (𝑥0 ) ∈ 𝐷 se lim−
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
= lim
ℎ
ℎ
𝑥→𝑥 +
=𝑘
0
Dimostrazione: vogliamo provare che lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ovvero lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
ℎ→0
1. Consideriamo l’uguaglianza per ℎ ≠ 0  𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) + 𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 +ℎ)+𝑓(𝑥0
∗ℎ
ℎ
𝑓(𝑥 +ℎ)+𝑓(𝑥0 )
lim 𝑓(𝑥0 ) + lim 0
∗ lim ℎ
ℎ
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
2. Che riscriviamo come  𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) +
3. Passiamo al limite  lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) =
ℎ→0
4. Essendo 𝑓 derivabile in 𝑥0 allora i limiti sx e dx del rapporto incrementale esistono finiti e uguali:
lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑘 ∗ 0  lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ→0
15. Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
ℎ
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
lim
ℎ
𝑥→𝑥 +
●
La derivata sinistra 𝑓−′ (𝑥0 )) di una funzione in un punto 𝑥0 è lim−
●
La derivata destra 𝑓+′ (𝑥0 )) di una funzione in un punto 𝑥0 è
●
I punti di non derivabilità sono:
1. Punto angoloso: se lim−
𝑥→𝑥0
2. Flesso verticale: se lim+
0
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
≠ lim
almeno uno
ℎ
ℎ
𝑥→𝑥0+
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
= ±∞ 𝑒 lim
ℎ
𝑥→𝑥0−
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
3. Cuspide: se lim+
= lim−
=+
ℎ
ℎ
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥
′ (𝑥)
𝑥
ℎ
finito
= ∓∞
∞ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 − ∞
16. Dimostrare che la derivata di 𝑓(𝑥) = 𝑒 è 𝑓
=𝑒
𝑥
1. Consideriamo 𝑓(𝑥) = 𝑒 , per trovare la sua derivata calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
𝑒 𝑥+ℎ − 𝑒 𝑥
ℎ
ℎ→0
2. Sostituiamo 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥  𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑒𝑥 ∗ 𝑒ℎ − 𝑒𝑥
ℎ
ℎ→0
3. Usiamo la proprietà delle potenze e raccogliamo 𝑒 𝑥  lim
𝑒 𝑥 (𝑒 ℎ − 1)
ℎ
ℎ→0
= lim
𝑒 ℎ −1
ℎ→0 ℎ
4. 𝑒 𝑥 essendo indipendente da h scriviamo  𝑒 𝑥 ∗ lim
𝑒 ℎ −1
ℎ→0 ℎ
5. Essendo lim
= 1 (limite notevole), scriviamo  𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 ∗ 1 = 𝑒 𝑥
17. Teorema della derivata della funzione inversa
′
● Sia 𝑓(𝑥) biunivoca e derivabile in 𝑥0 e supponendo inoltre che 𝑓 (𝑥) ≠ 0, allora, la funzione inversa è
1
derivabile nel punto 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) e la sua derivata in tale punto è  (𝑓 −1 )′ (𝑦0 ) = 𝑓′ (𝑓−1 (𝑦 ))
0
18. Dimostrare che la derivata di 𝑓(𝑥) = log 𝑥 è 𝑓 ′ (𝑥) = 1/𝑥
1. Consideriamo 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , per trovare la sua derivata calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
log(𝑥+ℎ) − log 𝑥
ℎ
log((𝑥+ℎ)⁄𝑥 )
logaritmi  lim
ℎ
ℎ→0
2. Sostituiamo 𝑓(𝑥) = log 𝑥  𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
log(1+ℎ⁄𝑥)
ℎ
log(1+𝑡)
1
log(1+𝑡)
4. Poniamo 𝑡 = ℎ⁄𝑥  lim 𝑡∗𝑥 ed essendo 𝑥 indipendente da t scriviamo  x ∗ lim
𝑡
𝑡→0
𝑡→0
log(1+𝑡)
1
1
5. Essendo lim
= 1 (limite notevole), scriviamo  𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ∗ 1 = 𝑥
𝑡
ℎ→0
19. Dimostrare che la derivata di 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥 è 𝑓 ′ (𝑥) = 1⁄√1 − 𝑥 2
3. Usiamo la proprietà del rapporto dei
= lim
ℎ→0
𝜋 𝜋
2 2
1. Consideriamo 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥, se 𝑥 ∈ [−1,1] 𝑒 𝑦 ∈ [− , ] , allora, 𝑦 = arcsin 𝑥 ↔ 𝑥 = sen 𝑦
1
1
2. Per il teorema di derivazione della funzione inversa  (arcsin 𝑥)′ = (sin 𝑦)′ = cos 𝑦
3. Usando (sin 𝑦) 2 + (cos 𝑦) 2 = 1 isoliamo cos 𝑦  cos 𝑦 = √1 − (sin 𝑦) 2 per 𝑦 ∈ [−𝜋⁄2, 𝜋/2]
1
1
1
4. Scriviamo, quindi, che
=
e ricordando che 𝑥 = sen 𝑦  (arcsin 𝑥)′ =
2
2
cos 𝑦
√1−𝑥
√1−(sin 𝑦)
20. Dimostrare che la derivata di 𝑓(𝑥) = arctan 𝑥 è 𝑓 ′ (𝑥) = 1⁄(1 + 𝑥 2 )
𝜋 𝜋
1. Consideriamo 𝑓(𝑥) = arctan 𝑥, se 𝑦 ∈ [− 2 , 2 ], allora, 𝑦 = arctan(𝑥) ↔ 𝑥 = tan 𝑦
2. Per il teorema di derivazione della funzione inversa  (arctan 𝑥)′ =
3. Usando (cos 𝑦) 2 =
1
1+(tan 𝑦)2
1
(tan 𝑦)′
= (cos 𝑦) 2
1
1+(tan 𝑦)2
1
1+𝑥 2
scriviamo  (arctan 𝑥)′ =
4. Ricordando che 𝑥 = tan 𝑦, scriviamo  (arctan 𝑥)′ =
21. Massimo e minimo locale e teorema di Fermat
● 𝑥0 è un punto di massimo locale per 𝑓(𝑥) se esiste almeno un intorno (I ∈ 𝐷(𝑓))
tale che ∀𝑥 ∈ I vale 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 )
● 𝑥0 è un punto di minimo locale per 𝑓(𝑥) se esiste almeno un intorno (I ∈ 𝐷(𝑓))
tale che ∀𝑥 ∈ I vale 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 )
● Teorema di Fermat: sia 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓) un punto estremante per 𝑓 e derivabile in 𝑥0 ,
allora, si ha che 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 e la dimostrazione del teorema è la seguente:
1. Dato 𝑥0 , punto di massimo relativo, il limite del rapporto incrementale vale
𝑓(𝑥 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
lim+ 0
≤ 0 (lim dx → 𝑓+′ (𝑥0 )) 𝑒 lim− 0
≥ 0 (lim sx → 𝑓−′ (𝑥0 ))
ℎ→0
ℎ
ℎ→0
ℎ
2. Essendo 𝑓(𝑥) derivabile in 𝑥0  𝑓+′ (𝑥0 ) = 𝑓−′ (𝑥0 )
3. Essendo 𝑓+′ (𝑥0 ) ≤ 0 e 𝑓−′ (𝑥0 ) ≥ 0 l’unico caso possibile è  𝑓+′ (𝑥0 ) = 0 = 𝑓−′ (𝑥0 ) ovvero 𝑓 ′ (𝑥) = 0
22. Teorema di Lagrange
● 𝑓(𝑥) continua in [𝑎, 𝑏] e derivabile in (𝑎, 𝑏), allora, esiste almeno un punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che:
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
23. Criterio di monotonia
● Sia 𝑓(𝑥) derivabile in (𝑎, 𝑏), allora:
1. 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ↔ 𝑓(𝑥) è crescente in (𝑎, 𝑏)
2. 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ↔ 𝑓(𝑥) è decrescente in (𝑎, 𝑏)
3. 𝑓 ′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) → 𝑓(𝑥) è strettamente crescente in (𝑎, 𝑏)
4. 𝑓 ′ (𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) → 𝑓(𝑥) è strettamente decrescente in (𝑎, 𝑏)
′
● Dimostrazione: supponiamo che sia 𝑓 (𝑥) ≥ 0 in (𝑎, 𝑏) e siano 𝑥1 < 𝑥2 due punti di (𝑎, 𝑏).
1. Per il teorema di Lagrange esiste un punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che  𝑓′(𝑥0 ) =
𝑓(𝑥2 )−𝑓(𝑥1 )
𝑥2 −𝑥1
2. Dato che 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora, 𝑓′(𝑥0 ) ≥ 0 con 𝑥1 < 𝑥2  𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) ≥ 0
3. Quindi ∀𝑥1, 𝑥2 con 𝑥1 < 𝑥2  𝑓(𝑥2 ) ≥ 𝑓(𝑥1 ) dimostrando che 𝑓(𝑥) è crescente in (𝑎, 𝑏)
24. Funzione convessa e criterio di convessità
● Una funzione è convessa in un intervallo (𝑎, 𝑏) se ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏) e ∀𝜆 ∈ [0,1] vale:
𝑓(𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆) 𝑥2 ) ≤ 𝜆𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝜆) ∗ 𝑓(𝑥2 )
′′
● Criterio di convessità: sia 𝑓 (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ↔ 𝑓(𝑥) è convessa in (𝑎, 𝑏)
25. Teorema di Taylor
(1)
(𝑥0 ), 𝑓 (2) (𝑥0 ), … , 𝑓 (𝑛−1) (𝑥0 ), allora, preso
● Sia 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) e supponendo che esistano le derivate 𝑓
h tale che 𝑓(𝑥) sia definita in [𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ] vale  𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑘=0
26. Serie convergente, divergente e irregolare
+∞
● Sia lim 𝑎𝑛 = 𝑘  ∑𝑛=1 𝑎𝑛 è una serie convergente
𝑓(𝑘) (𝑥0 )
(𝑥
𝑘!
− 𝑥0 )𝑘 + 𝑜(𝑥 𝑛 )
𝑛→+∞
●
Sia lim 𝑎𝑛 = +∞ 𝑜 − ∞  ∑+∞
𝑛=1 𝑎𝑛 è una serie divergente positivamente oppure negativamente
●
Sia lim 𝑎𝑛 ∄ , allora, diremo che ∑+∞
𝑛=1 𝑎𝑛 è una serie irregolare
𝑛→+∞
𝑛→+∞
27. Serie geometrica
+∞ 𝑛
● Si dice serie geometrica di ragione 𝑥 la serie ∑𝑛=0 𝑥 , tramite il valore s si può dire che:
1. Se −1 < 𝑥 < 1, la serie geometrica converge ed ha per somma  1⁄(1 − 𝑥)
2. Se 𝑥 ≤ −1, la serie geometrica è irregolare
3. Se 𝑎 ≥ 1, la serie geometrica diverge
𝑁=+∞ 𝑛
2
𝑁
● Dimostrazione: ∑𝑛=0 𝑥 per definizione può essere riscritta come  𝑆𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥 +. . . +𝑎
1. Moltiplichiamo l’equazione per 𝑥  𝑥𝑆𝑛 = 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 +. . . +𝑥 𝑁+1
2. Sommiamo 1 all’equazione  𝑥𝑆𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 +. . . +𝑥 𝑁+1 − 1 ovvero 𝑥𝑆𝑛 = 𝑆𝑛 + 𝑥 𝑁+1 − 1
3. Isolando 𝑆𝑛 troviamo  𝑆𝑛 =
1−𝑥 𝑁+1
1−𝑥
28. Condizione necessaria per convergenza di una serie
+∞
● La condizione necessaria affinché la serie ∑𝑛=1 𝑎𝑛 converga è che il lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→+∞
●
Dimostrazione: sia 𝑠𝑡 = ∑𝑡𝑛=0 𝑎𝑛 per definizione  ∑+∞
𝑛=0 𝑎𝑛 = 𝑘 ↔ lim 𝑠𝑡 = 𝑘
𝑡→+∞
1. ∀𝑡 ∈ 𝑁>0 si ha che 𝑎𝑡 = 𝑠𝑡 − 𝑠𝑡−1 quindi  lim 𝑎𝑡 = lim 𝑠𝑡 − lim 𝑠𝑡−1 = 𝑘 − 𝑘 = 0
𝑡→+∞
●
𝑡→+∞
𝑡→+∞
Il viceversa invece non è vero, se lim 𝑎𝑛 = 0 non si può dire nulla sul carattere della serie, es:
1
𝑛→+∞
Consideriamo ∑+∞
𝑥=1 𝑛 , in questo caso lim 𝑎𝑛 = 0 ma la serie diverge positivamente
𝑛→+∞
29. Proprietà delle serie a termini postivi
+∞
● Data una serie ∑𝑛=0 𝑎𝑛 a termini positivi, allora è converge o divergente ma MAI irregolare
● Dimostrazione: Mostriamo che (𝑆𝑛 )𝑛 è successione monotona crescente ovvero  𝑆𝑛+1 ≥ 𝑆𝑛 , ∀𝑛
1. 𝑆𝑛+1 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +. . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 e 𝑆𝑛+1 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +. . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
2. 𝑆𝑛+1 ≥ 𝑆𝑛  𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +. . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +. . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
3. Risulta quindi  𝑎𝑛+1 ≥ 0 che è VERO perché la serie è a termini positivi
30. Criterio del rapporto e della radice
𝑎𝑛+1
+∞
● Criterio del rapporto: data una serie ∑𝑛=0 𝑎𝑛 a termini positivi e sia lim
= 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≥ 0 ∀𝑛
𝑛
𝑎𝑛
1. 𝑘 > 1  la serie diverge positivamente
2. 0 ≤ 𝑘 < 1  la serie converge
3. 𝑘 = 1  NON si hanno informazioni
𝑛
+∞
● Criterio della radice: data una serie ∑𝑛=0 𝑎𝑛 a termini positivi e sia lim √𝑎𝑛 = 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≥ 0 ∀𝑛
𝑛
1. 𝑘 > 1  la serie diverge positivamente
2. 0 ≤ 𝑘 < 1  la serie converge
3. 𝑘 = 1  NON si hanno informazioni
31. Serie armonica generalizzata
1
Si dice serie armonica generalizzata la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑛𝛼 , serie a termini positivi che:
1. Se 𝛼 > 1  la serie converge
2. Se 𝛼 ≤ 1  la serie diverge positivamente
●
32. Criterio del confronto asintotico
𝑎𝑛
+∞
+∞
● Siano ∑𝑛=1 𝑎𝑛 e ∑𝑛=1 𝑏𝑛 due serie a termini positivi e supponendo che esista lim ( ) = 𝑘, vale:
𝑏
+∞
1. Se 𝑘 ∈ (0, +∞) allora le serie ∑+∞
𝑛=1 𝑎𝑛 e ∑𝑛=1 𝑏𝑛  hanno lo stesso carattere
𝑛→+∞
𝑛
+∞
2. Se 𝑘 = 0 e la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑏𝑛 converge  ∑𝑛=1 𝑎𝑛 converge
+∞
3. Se 𝑘 = +∞ e la serie ∑+∞
𝑛=1 𝑏𝑛 diverge  ∑𝑛=1 𝑎𝑛 diverge
33. Convergenza assoluta e rapporto tra convergenza assoluta e semplice
+∞
+∞
● Una serie ∑𝑛=1 𝑎𝑛 si dice assolutamente convergente se la serie ∑𝑛=1 | 𝑎𝑛 | è convergente, ovvero:
+∞
1. Se ∑+∞
𝑛=1 | 𝑎𝑛 | converge  ∑𝑛=1 𝑎𝑛 converge semplicemente
+∞
2. Se ∑+∞
𝑛=1 | 𝑎𝑛 | NON converge  ∑𝑛=1 𝑎𝑛 potrebbe sia convergere semplicemente che divergere
34. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz
+∞
𝑛
● Si dice serie a termini di segno alterno la serie ∑𝑛=1(−1) ∗ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 ≥ 0 ∀𝑛
+∞
𝑛
● Criterio di Leibniz: sia ∑𝑛=1(−1) ∗ 𝑎𝑛 una serie a termini di segno alterno e se vale:
1. {𝑎𝑛 }𝑛 è una successione infinitesima, ovvero esiste il lim (𝑎𝑛 ) = 0
𝑛→+∞
2. {𝑎𝑛 }𝑛 è una successione decrescente, ossia esiste 𝑛0 tale che ∀𝑛 ≥ 𝑛0 risulta che 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛
35. Teorema della media integrale
𝑏
1
● Sia 𝑓 una funzione continua in [𝑎, 𝑏], allora esiste un punto 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] tale che 𝑓(𝑐) =
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏−𝑎 𝑎
36. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale
𝑥
● Sia 𝑓 continua in [𝑎, 𝑏] si dice funzione integrale la funzione 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑎
● Teorema fondamentale del calcolo integrale: Sia 𝑓(𝑥) continua in 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏), allora la funzione
integrale è derivabile in 𝑥0 e risulta  𝐹 ′ (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 )
𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)
′
● Dimostrazione: usando la definizione di derivata possiamo scrivere  𝐹 (𝑥) = lim
ℎ
1. Usiamo la definizione di integrale definito  𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) =
2. Quindi 𝐹
′ (𝑥)
1
ℎ
= ∗
𝑥+ℎ
lim ∫
𝑓(𝑡) che
ℎ→0 𝑥
𝑥+ℎ
∫𝑎 𝑓(𝑡)
−
ℎ→0
𝑥
∫𝑎 𝑓(𝑡)
′ (𝑥)
per il teorema della media integrale  𝐹
𝑥+ℎ
= ∫𝑥
𝑓(𝑡)
= 𝑓(𝑥)
37. Primitiva di funzione e teorema sulle primitive di una funzione
′
● Sia 𝐹(𝑥) derivabile nell’intervallo [𝑎, 𝑏] è una primitiva di 𝑓(𝑥) se 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
● Teorema 1: Sia 𝑓(𝑥) una funzione, se 𝐹(𝑥) è una sua primitiva in [𝑎, 𝑏] allora: 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘
è una primitiva di 𝑓(𝑥) su [𝑎, 𝑏]
′
′
′
● Dimostrazione: Se 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] allora  𝐺 (𝑥) = [𝐹(𝑥) + 𝑘] = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
● Teorema 2: Siano 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) primitive di 𝑓(𝑥) in [𝑎, 𝑏] allora esiste un valore 𝑘 tale che:
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
′
′
′
● Dimostrazione: Poniamo 𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥), quindi 𝐻 (𝑥) = 𝐺 (𝑥) − 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0
1. Applicando il teorema di Lagrange ∃𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che 𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑎) = 𝐻 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑎) = 0
2. Essendo 𝐻 ′ (𝑥0 ) = 0 possiamo riscrivere  𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑎) = 0 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝐻(𝑥) = 𝐻(𝑎)
3. Essendo 𝐻(𝑥) = 𝑘 riscriviamo 𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) come 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝑘  𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘
38. Corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale
𝑏
● Sia 𝑓 una funzione che ammette una primitiva 𝐺(𝑥) in [𝑎, 𝑏] allora vale  ∫ 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎)
𝑎
● Dimostrazione: Poiché 𝐹(𝑥) è una primitiva di 𝑓 e tutte le primitive differiscono di una costante 𝑐
𝑥
→
𝑎
1. 𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑥) + 𝑐 ponendo 𝑥 = 𝑎  𝐹(𝑎) = ∫𝑎 𝑓(𝑡) 0 = 𝐺(𝑎) + 𝑐 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝐺(𝑎) = −𝑐
𝑥
𝑏
2. Esprimiamo ∫𝑎 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑥) − 𝐺(𝑎) e ponendo 𝑥 = 𝑏  ∫𝑎 𝑓(𝑡) = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎)
39. Integrale generalizzato su intervalli illimitati
● Sia 𝑓 una funzione integrabile in [𝑎, 𝑐],definiamo l’integrale generalizzato della funzione 𝑓 in [𝑎, +∞)
+∞
𝑐
il limite dell’integrale definito di 𝑓 in [a,c]  ∫𝑎 𝑓(𝑥) = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)
𝑐→+∞
40. Criterio del confronto asintotico per integrali generalizzati
● Siano 𝑓, 𝑔 due funzioni integrabili e tali che  0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, +∞), allora vale:
+∞
+∞
0 ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥) = ∫𝑎 𝑔(𝑥) per cui possiamo affermare che:
+∞
𝑔(𝑥) converge  ∫𝑎
+∞
𝑓(𝑥) diverge  ∫𝑎
1. Se ∫𝑎
2. Se ∫𝑎
+∞
+∞
𝑓(𝑥) converge
𝑔(𝑥) diverge
41. Per quali 𝛼, 1/𝑥 è integrabile in senso generalizzato in [1, +∞)
𝛼
●
+∞ 1
𝑥𝛼
Consideriamo l’integrale ∫𝑎
1
𝑡 1
1
1
e calcoliamo lim ∫𝑎 𝑥 𝑛  lim [(𝛼−1)𝑡 𝛼−1 − (𝑛−1)𝑎𝛼−1], quindi:
𝑡→+∞
𝑡→+∞
1. Se 𝛼 > 1 il lim [(𝛼−1)𝑡 𝛼−1 ] = 𝑘  l’integrale converge
𝑡→+∞
1
2. Se 𝛼 ≤ 1 il lim [(𝛼−1)𝑡 𝛼−1 ] = +∞  l’integrale diverge
𝑡→+∞
42. Derivata parziale e gradiente di funzione a due variabili
● Una funzione è derivabile parzialmente rispetto alla variabile 𝑓 in (𝑥0 , 𝑦0 ) se esiste finito:
𝜕𝑓
(𝑥0 , 𝑦0 )
𝜕𝑥
●
𝑓(𝑥0 +ℎ, 𝑦0 )−𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
ℎ
ℎ→0
= lim
oppure
𝜕𝑓
(𝑥0 , 𝑦0 )
𝜕𝑦
𝑓(𝑥0 , 𝑦0 +𝑘)−𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑘
𝑘→0
= lim
𝜕𝑓
𝜕𝑓
Si dice gradiente della funzione f nel punto (𝑥, 𝑦) il vettore  ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝜕𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝜕𝑦 (𝑥, 𝑦))
43. Funzione differenziabile e equazione del piano tangente al grafico della funzione
● Una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) è differenziabile in un punto (𝑥0 , 𝑦0 ) se e solo se ∃ una forma lineare 𝐿(ℎ, 𝑘):
𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝐿(ℎ, 𝑘) + 𝑜(√(ℎ2 + 𝑘 2 )
● Il piano tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) nel punto (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) è definito dalla funzione
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑧 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝜕𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝜕𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 )
44. Derivata direzionale e formula del gradiente
● Si dice derivata direzionale di 𝑓(𝑥, 𝑦) lungo la direzione 𝑣 il limite, se esiste finito:
𝜕𝑓
(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑣
= lim
𝑡→0
𝑓(𝑥+𝑡𝑣1 ,𝑦+𝑡𝑣2 )−𝑓(𝑥,𝑦)
𝑡
𝜕𝑓
Sia 𝑓(𝑥, 𝑦) differenziabile in (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ D allora vale la formula  𝜕𝑣 (𝑥0 , 𝑦0 ) = ∇𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ∗ 𝑣
45. Punto critico di una funzione a due variabili
𝑛
● Sia 𝐴 ⊆ 𝑅 aperto, un punto 𝑥 ∈ 𝐴 si dice punto critico della funzione 𝑓 se 𝑓 è differenziabile in 𝑥 e
se ∇𝑓(𝑥) = 0
46. Criterio dell’Hessiana
● Sia (𝑎, 𝑏) punto critico di 𝑓, ovvero 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = 0, definiamo matrice Hessiana H in (𝑎, 𝑏)
𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) 𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏)
𝐻=[
] che secondo il criterio dell’Hessiana dice che:
𝑓𝑦𝑥 (𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏)
●
1. Se det(𝐻) > 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) > 0  (𝑎, 𝑏) è un minimo locale
2. Se det(𝐻) > 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) < 0  (𝑎, 𝑏) è un massimo locale
3. Se det(𝐻) > 0  (𝑎, 𝑏) è un punto di sella
4. Se det(𝐻) = 0  non si può dire niente sul punto (𝑎, 𝑏)