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LAB No1

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Teoria de Mecanismos – VI Ciclo
Escuela de Ingeniería Mecánica
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LABORATORIO No 1
MODELADO Y SIMULACION DE UN SISTEMA MECANICO EN MATLAB
OBJETIVOS
a. Introducir al estudiante al Modelado Físico-Matemático y Simulación usando MATLAB.
b. Mostrar al estudiante el modelado Analítico.
PROCEDIMIENTOS INCIALES
1. Descargar y leer los archivos de trabajo los archivos de trabajo en la plataforma virtual
2. Seguir las instrucciones del docente para el desarrollo del laboratorio
CONCEPTOS GENERALES
MATLAB
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, «laboratorio de matrices») es un sistema de cómputo
numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de
programación propio
(lenguaje
M).
Está
disponible
para
las
plataformas Unix, Windows, macOS y GNU/Linux. (https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB)
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Universidad Nacional de Trujillo
Dr. Jorge A. Olórtegui Yume, Ph.D.
Teoria de Mecanismos – VI Ciclo
Escuela de Ingeniería Mecánica
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MODELADO ANALITICO FISICO-MATEMATICO
Sistema Físico Real
𝐹(𝑑) = πΉπ‘œ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)
Figura No1 : Sistema Vibratorio Armonicamente Forzado de 1 GDL
Fuente: Hibbeler, R. C. (2005). Principles of Dynamics. Prentice Hall. p.661
Donde:
πœ”: πΉπ‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘’π‘›π‘π‘–π‘Ž 𝑑𝑒 𝐸π‘₯π‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘› 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž πΉπ‘’π‘’π‘Ÿπ‘§π‘Ž π΄π‘Ÿπ‘šπ‘œπ‘›π‘–π‘π‘Ž (π‘Ÿπ‘Žπ‘‘/𝑠)
πΉπ‘œ : π΄π‘šπ‘π‘™π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž πΉπ‘’π‘’π‘Ÿπ‘§π‘Ž 𝐸π‘₯π‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ž (𝑁)
𝐹(𝑑): πΉπ‘’π‘’π‘Ÿπ‘§π‘Ž 𝑒π‘₯π‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ž π‘Žπ‘Ÿπ‘šπ‘œπ‘›π‘–π‘π‘Ž 𝑒𝑛 π‘“π‘’π‘›π‘π‘–π‘œπ‘› 𝑑𝑒𝑙 π‘‘π‘–π‘’π‘šπ‘π‘œ (𝑁)
π‘˜: πΆπ‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘§ 𝑑𝑒𝑙 π‘Ÿπ‘’π‘ π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’ (𝑁/π‘š)
𝑐: πΆπ‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘šπ‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘£π‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘œ (𝑁.
𝑠
π‘œ π‘˜π‘”. π‘š2 /𝑠)
π‘š
π‘š: π‘€π‘Žπ‘ π‘Ž 𝑒𝑛 π‘šπ‘œπ‘£π‘–π‘šπ‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘£π‘–π‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘œ (π‘˜π‘”)
Hipotesis simplificatorias
•
•
El bloque se asume como una partícula (no es un cuerpo rígido). No estamos interesados
en efectos rotatorios del bloque
El resorte no tiene masa
• El resorte es lineal, es decir, se comporta según la ley de Hooke. Esto está asociado al
supuesto de que las vibraciones no son de gran amplitud.
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Universidad Nacional de Trujillo
Dr. Jorge A. Olórtegui Yume, Ph.D.
Teoria de Mecanismos – VI Ciclo
Escuela de Ingeniería Mecánica
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𝑭𝒔 = π’ŒπœΉ
Donde:
π‘˜: πΆπ‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘§ 𝑑𝑒𝑙 π‘Ÿπ‘’π‘ π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’ (𝑁/π‘š)
𝛿: π·π‘’π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘› π‘π‘Ÿπ‘œπ‘‘π‘’π‘π‘–π‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ 𝐹𝑠
𝐹𝑠 : πΉπ‘’π‘’π‘Ÿπ‘§π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ž π‘’π‘—π‘’π‘Ÿπ‘π‘–π‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘Ÿπ‘’π‘ π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’ π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’ 𝑒𝑙 π‘π‘™π‘œπ‘žπ‘’π‘’ (𝑁)
Subíndice “s” proviene del vocablo inglés “spring” que significa resorte
•
•
El amortiguador no tiene masa
El amortiguador se comporta linealmente respecto de la velocidad, es decir se asume que el
exponente es n = 1 en la ecuación general de arrastre viscoso:
𝑭𝒅 = 𝑭𝒅 (𝒗, 𝒏) = 𝒄𝒏 𝒗𝒏
Asumimos entonces
𝑭𝒅 = 𝒄𝒗
Donde:
𝑠
π‘œ π‘˜π‘”. π‘š2 /𝑠)
π‘š
𝑣: π‘‰π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘ π‘–π‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Žπ‘›π‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘Žπ‘ π‘Ž "m" (π‘š/𝑠)
𝐹𝑑 : πΉπ‘’π‘’π‘Ÿπ‘§π‘Ž π‘Žπ‘šπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ž π‘’π‘—π‘’π‘Ÿπ‘π‘–π‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘Žπ‘šπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿ π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’ 𝑒𝑙 π‘π‘™π‘œπ‘žπ‘’π‘’ (𝑁)
Subíndice “d” proviene del vocablo inglés “damping” que significa amortiguamiento
𝑐: πΆπ‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘šπ‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘£π‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘œ (𝑁.
•
•
No existe fricción entre el bloque y el piso (πœ‡ = 0)
La oscilación es en el vacío.
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Modelo Físico Esquemático
F(t) = Fosen(t)
Modelo Fisico-Matematico
Para poder hacer nuestro modelo tratable matemáticamente realizamos los siguientes supuestos:
•
•
•
Identificamos la POSICION ESTATICA DE EQUIIBRIO (PES)
PES: Posición en la cual, en ausencia de F(t), el resorte y el amortiguador no ejercen fuerza
alguna sobre el bloque (Fs = Fd = 0). Esto ocurre porque el resorte está en su posición de
longitud libre (no deformado -  = 0) y no existe velocidad (v = 0)
En la PES ubicamos nuestro origen de coordenadas identificando el sentido positivo de la
coordenada (+x). Al hacer esto se consiguen los siguientes beneficios:
o Los sentidos positivos de velocidad y aceleración coinciden con el sentido positivo de
(+x).
o Cualquier deformación coincidirá con la posición “x”
β–ͺ =x
Se introduce la notación de puntos para las derivadas de modo tal que ahora
π‘₯: π‘ƒπ‘œπ‘ π‘–π‘π‘–π‘œπ‘› π‘–π‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘áπ‘›π‘’π‘Ž 𝑑𝑒𝑙 π‘π‘™π‘œπ‘žπ‘’π‘’ π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž 𝑆𝐸𝑃 (π‘š)
π‘₯Μ‡ : π‘‰π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘ π‘–π‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘áπ‘›π‘’π‘Ž 𝑑𝑒𝑙 π‘π‘™π‘œπ‘žπ‘’π‘’ π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž 𝑆𝐸𝑃(π‘š/𝑠)
π‘₯̈ : π΄π‘π‘’π‘™π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘–ó𝑛 π‘–π‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘áπ‘›π‘’π‘Ž 𝑑𝑒𝑙 π‘π‘™π‘œπ‘žπ‘’π‘’ π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž 𝑆𝐸𝑃(π‘š/𝑠 2 )
𝑭𝒔 = π’ŒπœΉ = π’Œπ’™
𝑭𝒅 = 𝒄𝒗 = 𝒄𝒙̇
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+x
F(t) = Fosen(t)
SEP
Deducir el modelo físico matemático usando Leyes o Principios Fundamentales
Determinación de la Ecuación de Gobierno o Ecuación de Movimiento (EDM)
Usaremos la Segunda Ley de Newton. Para esto debemos realizar el siguiente procedimiento:
•
Dibujar el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) en una posición representativa. Para el caso
vibratorio la posición representativa generalmente se escoge en un instante del movimiento
vibratorio en que el bloque este a la derecha de la PES ( +π‘₯) y moviéndose hacia la derecha
(+π‘₯Μ‡ )
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•
Aplicar la Segunda Ley de Newton para traslación
 F =m•x•οƒΆοƒ·
οƒ₯

οƒΈ
••
−Fs −Fd +F(t) = mx
−kx−c x+ Fo sin(t) = mx
•
••
mx+cx+kx= Fo sin(t)
••
•
Esta la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de este sistema mecánico
vibratorio. Se le llama Ecuación de Movimiento (EDM).
Determinación de la solución de la Ecuación de Movimiento (EDM)
A continuación, usaremos métodos analíticos conocidos para encontrar la solución a la
ecuación de gobierno. En particular se usarán los métodos aprendidos en los cursos de
Ecuaciones Diferenciales.
mx+cx+kx= Fo sin(t)
••
•
o
2 orden, no-homogenea, lineal, Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO)
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Metodo de solucion Conocido
Solucion General es la suma de la Solucion Homogenea y la Solucion Particular
x(t) = xH (t)+ xP(t)
Solución Homgenea (xH(t))
••
•
mx+cx+kx=0
xH(t)= N1e
n−+ 2−1οƒΆοƒ·οƒΈt
n−− 2−1οƒΆοƒ·οƒΈt
+N2e
0<ξ<1 → Subamortiguada → Vibracion con decaimiento → la mas comun de los 04 casos
xH(t)= XHe−nt sin(dt +H)
Solución Homogenea/Transitoria (eventualmente desaparece)
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Solution Particular (xP(t))
Eliminar todas las derivadas de la función
xP(t)= Fo sin(t)
k
Esta solucion es simple pero no es general
Esta solucion particular es general y satisfice la EDM
xP(t) = XP sin(t −P )
Solucion Particular / Estacionaria (Se mantiene)
Solucion General Total
x(t) = xH (t)+ xP(t)
x(t)= XHe−nt sin(dt +H)+XP sin(t −P)
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x(t)= Xtre−nt sin(dt +tr)+Xss sin(t −ss)=xtr(t)+xss(t)
π‘‘π‘Ÿ: "π‘‡π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘ π‘–π‘’π‘›π‘‘" π‘œ π‘‡π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘ π‘–π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘Ž
𝑠𝑠: "Steady-State" π‘œ πΈπ‘ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œ πΈπ‘ π‘‘π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘œ
Solución Homogenea/Transitoria (eventualmente desaparece)
Solucion Particular / Estacionaria (Se mantiene)
Entonces la solución general a la EDM es:
x(t) = xss(t) = Xss sin(t −ss) = X sin(t −)
Para hallar la solución
INDETERMINADOS:
particular
usaremos
el
METODO
DE
LOS
COEFICIENTES
EDM
mx+cx+kx= Fo sin(t)
••
•
Solucion/Respuesta
en Estado
Estacionario
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Reemplazando
Determinación de Constantes (X, πœ™)
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RESUMEN DEL MODELO FISICO MATEMATICO
ECUACION DE MOVIMEINTO (EDM)
mx+cx+kx= Fo sin(t)
••
•
x(t)= X sin(t −)
SOLUCION O RESPUESTA
X=
Fo
(k −m ) +(c)
2 2
tan = c 2
k −m
2
AMPLITUD
ANGULO DE FASE EN ESTADO ESTACIONARIO
SIMULACION DEL MODELO FISICO-MATEMATICO DEL SISTEMA MECANICO
EN MATLAB
Seguir las instrucciones del Docente
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Elaborar el programa MATLAB usando el Código que se brinda a continuación
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Archivo de PROGRAMA en MATLAB
NOTA: El programa bien ejecutado debe mostrar las siguientes graficas
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