Matemática II
Derivada de orden superior
CONTENIDOS
Notacion simbólica de derivada de orden superior
Segunda derivada de funciones reales
Derivada de orden superior de relaciones implicitas
ANALICE Y RESPONDA
En la figura se muestra la construcción incompleta de un puente. Notemos que cada
tramo permite ubicar progresivamente estructuras con una mayor altura hasta llegar a
un punto más alto.
Si los puntos de cada tramo de la base del
puente definen una función, ¿qué valor debe
tomar la derivada de dicha función al llegar
al punto más alto?
Extraı́do de: Tópicos de Matemática II. (Benazic Tomé, C. Huarcaya, & Reyna Medina, 2022,p.55)
LOGROS DE LA SESIÓN
Calcula la derivada de orden superior de funciones explicitas e implı́citas
haciendo uso pertinente de las propiedades de los logaritmos y las reglas
de derivación.
• La derivada de orden superior permite justificar la optimización de
funciones económicas.
DESARROLLO TEÓRICO
Consideremos f una función cuya regla de correspondencia es
y = f (x) = x 5 − x 3 + 1
Entonces, al calcular su primera derivada tenemos y ′ = f ′ (x) = 5x 4 − 3x 2 . Como f ′ también es una
función que depende de x, podrı́amos calcular su segunda derivada, al derivar nuevamente ambos
miembros de la igualdad anterior, y se obtiene (y ′ )′ = (f ′ (x))′ = 20x 3 − 6x.
A la segunda derivada de f la denotaremos por f ′′ . Luego podemos escribir:
y ′′ = f ′′ (x) = 20x 3 − 6x
Notemos que f ′′ es también una función de x. Entonces podemos derivar nuevamente ambos miembros de la igualdad anterior y se obtiene la tercera derivada. A la tercera derivada de f la denotaremos por f ′′′ . Luego podemos escribir:
y ′′′ = f ′′′ (x) = 60x 2 − 6
Y ası́, en adelante, podemos obtener la cuarta derivada, es decir, la derivada de la tercera derivada;
o la quinta derivada, es decir, la derivada de la cuarta derivada, etc.
Extraı́do de: Tópicos de Matemática II. (Benazic Tomé, C. Huarcaya, & Reyna Medina, 2022,p.56)
Ejercicio 1
Si f (x) = x 2 ln x) + x 3 + 2, determine la
tercera derivada de f respecto de x
Ejercicio 2 (6.2.1)
Determine la segunda derivada respecto
de x, de la función definida por:
y = f (x) = (x 2 + 1)5
Fuente: Tópicos de Matemática II. (Benazic Tomé, C. Huarcaya, & Reyna Medina, 2022,p.57)
DESARROLLO TEÓRICO
Notación En general, si y = f (x), entonces tenemos:
dy
dx
d 2y
′′
′′
La segunda derivada de f que se denota por y , f (x) o
dx 2
3
y
d
La tercera derivada de f que se denota por y ′′′ , f ′′′ (x) o
dx 3
d 4y
La cuarta derivada de y que se denota por y (iv ) , f (iv ) (x) o
.
dx 4
En general, la derivada de orden n de f que se denota por
• La primera derivada de f que se denota por y ′ , f ′ (x) o
•
•
•
•
y (n) , f (n) (x) o
d ny
dx n
Extraı́do de: Tópicos de Matemática II. (Benazic Tomé, C. Huarcaya, & Reyna Medina, 2022,p.56)
Ejercicio 3
Sean A y B dos constantes reales, y
sea f una función f definida por:
y = f (x) =
Determine E = x 2
A
+ Bx 2
x3
d 2y
dy
− 6y .
+ 2x
2
dx
dx
Ejercicio 4
Si x 3 –2x 2 y 2 + 5x + y –5 = 0
Calcule y ′′ en el punto (1; 1).
Ejercicio 5 (6.2.4)
Determine
d 3y
, Si x 2 + y 2 = r 2 , r ∈ R.
dx 3
Fuente: Tópicos de Matemática II. (Benazic Tomé, C. Huarcaya, & Reyna Medina, 2022,p.58)
Ejercicio 6
Si f (x) = xex , determine
d n f (x)
dx n
CONTROL DE E-PORTAFOLIO I
SEMANA
3
“
Plataformas virtuales
Recomendamos utilizar las siguientes plataformas
• Geogebra: https://www.geogebra.org/graphing
• CalcMe: https://calcme.com/
• Wolfram alpha: https://www.wolframalpha.com/
• Symbolab: https://www.symbolab.com/
“
REFERENCIAS
• Benazic Tomé, R., C. Huarcaya, J., & Reyna Medina, J. (2022).
Tópicos de Matemática II. Lima: Universidad San Ignacio de Loyola
Fondo Editorial.
• Eyzaguirre Espino, L. E., & Luyo Sánchez, J. R. (2017). Tópicos
Matemática I. Lima: Fondo Editorial USIL
• Arya, J.; Lardner, R. & Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la
administración y a la economı́a (5a ed.). México, D.F. : Pearson
Educación.
• Haeussler, E.; Paul, R. & Wood, R. (2008). Matemáticas para
administración y economı́a (12a ed.). México, D.F. : Pearson
Educación.