Дискретные системы
Дискретные АСУ - системы, в состав которых, помимо
типовых динамических звеньев, входят одно или несколько звеньев,
производящих квантование непрерывного сигнала в дискретный.
Дискретные АСУ делятся на:
•
импульсные,
•
релейные
•
цифровые.
Квантование сигнала осуществляется в импульсных АСУ
- по времени,
в релейных -по уровню,
в цифровых -по времени и по уровню.
Структура и классификация
импульсных систем
Квантованные по времени величины при
помощи импульсной модуляции преобразуются в последовательность импульсов, которые
воздействуют на непрерывную часть системы.
Процесс квантования и импульсной модуляции осуществляется импульсным элементом.
Импульсная АСУ состоит из импульсного
элемента (ИЭ) и непрерывной части (НЧ),
составленной из типовых динамических
звеньев.
Процесс импульсной модуляции состоит в
изменении по определенному временному закону
какого-либо параметра периодически
повторяющихся импульсов:
1) Амплитуды импульса А;
2) Длительности или
ширины импульса Тимп =  ;
3) Периода повторения
(дискретности) или периода
квантования импульсов Т;
4) Скважности импульсов
γ= Тимп / Т=   .

Виды импульсной модуляции
1) амплитудно-импульсная модуляция - АИМ (амплитуда
импульса пропорциональна входному сигналу: A = f(x) при
T = const, Тимп = const);
2) широтно-импульсная модуляция - ШИМ (длительность
импульса пропорциональна входному сигналу: Тимп = f(x)
при A = const, T = const);
3) временная импульсная модуляция - ВИМ, включающая в
себя:
• фазо-импульсную модуляцию - ФИМ (фаза, т.е.
временной сдвиг импульса относительно начала периода
дискретности T, пропорциональна входному сигналу:
ϕ = f(x) при A = const, T = const, Тимп = const);
• частотно-импульсную модуляцию -ЧИМ (частота
дискретности пропорциональна входному сигналу:
ω0 = f(x) при A = const, Тимп = const).
Величина, определяющая закон модуляции, называется
модулирующей величиной.
Квантование по времени
x(t)
АИМ
= nT
0
1T 2T 3T
nT
n - номер такта (периода) квантования
Если в системе есть только квантование по
времени, то она линейная.
Квантование по уровню
X(t)
5

4

3 
2 
1

0
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T
t =nT
АСУ с квантованием по уровню - нелинейные
Квантование смешанное:
по времени и уровню
Такое квантование используется в
цифровых системах ЭВМ
X(t)
4∆x
3∆x
2∆x
∆x
0 1T
2T
3T 4T 5T 6T 7T
8T 9T 10T 11T 12T 13T
nT
Пример квантования сигнала
X(t)
5
4 
3
2 
1
0
0
1T
2T
Квантование по уровню
по времени
смешанное
3T
4T
5T
6T
7T
nT
Достоинства импульсных АСУ
• Возможность управления большими
мощностями с высокой точностью;
• Возможность разделения во времени
информационных сигналов при
многоканальной передаче (ТП);
• Обеспечение согласованной работы
непрерывных устройств с ЦВМ;
• Повышенная помехозащищенность.
Математическое описание
дискретных систем
Дискретные АСУ удобно описывать функцией
дискретной переменной, когда все величины
рассматриваются в дискретные равноотстоящие
моменты времени - решетчатой функцией (РФ) и
разностным уравнением.
Решетчатая функция времени x[nT], или в сокращенной записи x[n] - это математическая функция,
значения которой определены в дискретные равноотстоящие друг от друга моменты времени t = nT,
где n -целое положительное число 0, 1, 2 ...;
Т - период дискретности (квантования).
РФ представляет собой числовую
последовательность:
x[0], x[1T], x[2T], x[3T], ... ,x[nT], ... .
Если период дискретности T
задан, то РФ однозначно
формируется из исходной
непрерывной. Операция
замены непрерывной
функции решетчатой
x[nT] = x[n] = x(t)
t = nT
Конечные разности
решетчатых функций
Дискретными аналогами производных и
интегралов непрерывных функций для РФ
являются конечные разности (КР):
•прямые (упреждающие)
•обратные (отстающие).
∇x[2]
Первая прямая разность:
Δ x[n] = x[n+1]−x[n]
Δx[2]
Первая обратная разность:
∇x[n] = x[n]−x[n-1].
Разности произвольного порядка k
определяются по рекуррентным
соотношениям:
Δk x[n] = Δ{Δk-1 x[n]} = Δk-1 x[n+1] − Δk-1 x[n]=
k

k!
= ∑ (-1)
x[n+k -  ], (*)
!(k   )!
 0
∇k x[n] = ∇{∇k-1 x[n]} = ∇k-1 x[n] − ∇k-1 x[n-1]=
k

k!
= ∑ (-1)
x[n-  ],
 0
!(k   )!
Непрерывные АСУ
x(t)
dx
dt
Дискретные АСУ
x[nT] или
x[n]
dkx
k
dt

 x(t )dt
0
Δx[nT]
или
Δkx[nT]
или
неполная сумма
Δx[n]
Δk
x[n]
n1
x [n]   x[ ]
или полная сумма
 0
n
x [n]   x[ ]
x[nT]
 0
nT (n+1)T
nT
Разностные уравнения
Разностные уравнения (РУ) - (уравнения в
конечных разностях) связывают между собой
решетчатые функции и их конечные разности.
РУ - аналоги дифференциальных
уравнений, описывающих непрерывные АСУ.
При использовании прямых разностей
неоднородные линейные РУ m-го порядка
имеют вид:
m 1
a0  y[n]  a1 y[n]  ...  am1y[n]  am y[n] 
m
b0 k x[n]  b1k 1 x[n]  ...  bk 1x[n]  bk x[n];
k  m;
x  входное воздействи е; у  выходная величина.
РУ при использовании (*) можно записать через
значения решетчатой функции:
a y[n  m]  a y[n  m  1]  ...  a y[n  1]  a y[n] 
*
0
*
1
*
m 1
*
m
b x[n  k ]  b x[n  k  1]  ...  b x[n  1]  b x[n].
*
0
*
1
*
k 1
*
k
При х[n] = 0 это уравнение становится однородным
РУ, решением которого будет y[n].
Общее решение однородного РУ при некратных
корнях характеристического уравнения может быть
m
записано:
y[n]   C z
i 1
n
i i
где Ci -постоянные коэффициенты;
zi -корни характеристического уравнения:
a0 z  a1 z
m
m 1
 ...  am1 z  am  0
Задача формирования непрерывной функции
из РФ не может быть решена однозначно без
дополнительных сведений о поведении
функции в интервале между точками t = nT, т.к.
РФ, заданной в дискретные моменты времени,
может соответствовать бесконечное множество
непрерывных функций.
x[nT]
Возникает вопрос, при
x[(n+1)T]
каких условиях возможно
точное восстановление
x[nT]
квантованной функции.
0 nT (n+1)T
nT
Ответ на него дает теорема КотельниковаШеннона.
Теорема КотельниковаШеннона:
непрерывный сигнал x(t), частотный спектр
которого ограничен полосой 0 < fs< fс,
полностью определяется последовательностью своих дискретных значений, если
период квантования Т удовлетворяет условию:
Т < 1 /2fс
или Т < π /ωс ,
где fс[Гц], ωс [с-1] - частота спектра.
Частота квантования:
ω  2ωс
При
выполнении этого условия потери информации
не происходит и из квантованного сигнала
можно без потерь восстановить исходный
непрерывный сигнал.
• Частота спектра входного сигнала – ωс
определяется при разложении x(t) в ряд
Фурье с заданной точностью.
• При выборе частоты квантования ω следует
учитывать и свойства непрерывной части (НЧ)
АСУ (частоту пропускания НЧ – ωнч).
Если:
ωс >ωнч
НЧ является фильтром
Анч(ω)
сигналов высокой частоты, к
частоту квантования можно
%
определить: ω=2 ωнч.
ωнч
Методы исследования
дискретных АСУ
Для получения возможности
исследования решений РУ в общем виде
широко используются:
• дискретное преобразование Лапласа,
• z-преобразование,
• w-преобразование,
• частотные методы.
Z -преобразование
Z-преобразованием РФ - x[nT] называется
функция комплексного аргумента z - X(z) ,
определяемая выражением:
при z > R=1/ρ , где ρ -радиус сходимости ряда.
Функция x[nT] - оригинал,
а функция X(z) - изображение или
z-преобразование функции x[nT].
Z-преобразование дает возможность получить из
X(z) значение ординат РФ - x[nT] в моменты
квантования.
Z - преобразования функций
времени
Для нахождения zизображений РФ по
оригиналу и наоборот
имеются специальные
таблицы.
Преобразование, в
котором
ze
sT
введено Я.З.Цыпкиным
под названием
“дискретное
преобразование
Лапласа”.
Вычисление Z-преобразований
Способ 1:
X(t)
(по определению)
Пример:z- изображение
X[n]
A
ступенчатой функции
x(t)=A*1(t)
t
t
x[n]  A *1[n]  A;

X ( z )   x[n] * z
n 0
n

  A *1[n] * z
n 0
n

 A z
n
n 0
 A( z 0  z 1  z  2  ...)  A(1  z 1  z  2  ...) 
1
A
A* z
 при  1 

.
1
z
1 z
z 1

Способ 2 : (с помощью вычетов)
Если известно преобразование Лапласа X(s)
исходной непрерывной функции x(t), то можно
вычислить Z -преобразование X(z):
x(t) квантование x[nT]
m
z
Z –преобра- зование
X ( z)  
Re s( X ( sk ))
sk
X(s) переход к Z -преобразованию X(z)
i 1
z eT
sk – полюса (простые) преобразования
Лапласа X(s) непрерывной функции x(t).
В случае кратных корней формула
усложняется (можно найти в справочниках).
Пример: x(t) = 1(t); X(s) = 1/s. Вычисляем с
z
помощью таблиц справочника:
X ( z) 
z 1
*1
Свойства z-преобразования
1. Свойство линейности: изображению
линейной комбинации РФ соответствует
такая же линейная комбинация
z-изображений:
a1x1[n]  a2 x2[n]  a1 X1 ( z)  a2 X 2 ( z)
2. Свойство смещения аргумента в
области оригинала: сдвиг аргумента [nT]
в РФ на целое число периодов  kT
соответствует умножению изображения X(z)
k
на z  k :
x[( n  k )T ]  z X ( z )
3. Свойство смещения независимой
переменной в области изображения :
сдвигу аргумента в z- изображении на целое
число периодов в комплексной области
aT
соответствует умножение z на e
e
 aT
x[nT ]  X (e
 aT
z)
4. Правило дифференцирования
изображения: умножение РФ x[nT ] на nT
соответствует дифференцированию ее
z- изображения X(z), результат которого
dX
(
z
)
умножается на (-Tz): nT  x[nT ]  Tz
dz
5. Связь начальных и конечных значений:
начальное значение оригинала РФ равно
конечному значению z- изображения :
lim ( xnT )  lim X z 
n 0
z 
Конечное значение РФ:
 z 1

( xnT )  lim 
X  z 
lim

n 
z 1  z
6. Изображение разностей:


z  xnT    z  1 X  z 
k
k
Тренировочное задание
Прямая конечная разность 2-го порядка:
 x[n]  xn  1  x[n]  x[n  2]  x[n  1] 
2
 x[n  1]  x[n]  x[n  2]  2 x[n  1]  x[n].
 x[n]  ( z  1) X ( z )  ( z  2 z  1) X ( z ) 
2
2
x[n  2]  2 x[n  1]  x[n].
2
Передаточная функция
импульсной АСУ в
z- изображении
Разностное уравнение (РУ) АСУ:
a0 y[n  m]  a1 y[n  m  1]  ...  am1 y[n  1]  am y[n] 
b0 x[n  k ]  b1 x[n  k  1]  ...  bk 1 x[n  1]  bk x[n].
Выполнив z – преобразование РУ, получим
передаточную функцию АСУ в z-изображении:
k 1
Y ( z ) b0 z  b1 z  ...  bk
W ( z) 
 m
.
m 1
X ( z ) a0 z  a1 z  ...  am
k
Представление импульсного
элемента
ИЭ часто представляют последовательным
соединением простейшего импульсного элемента
(ПИЭ) и формирующего элемента (ФЭ).
ПИЭ преобразует непрерывный сигнал в мгновенные
импульсы в виде δ-функций, а ФЭ формирует из них
импульс заданной формы выходного импульса
реального импульсного элемента (РИЭ).
Передаточная функция ФЭ


На выходе ПИЭ ширина импульса : → 0;
<< T;
A*  1 . Действие ПИЭ сводится к умножению
отсчётов квантуемой функции x(t) на дельтафункцию δ(t-nТ). Форма импульса РИЭ определяет
весовую функцию ФЭ - kФЭ(t). Поэтому,
передаточную функцию ФЭ определим как
изображение формы импульса по Лапласу, т.е.
WФЭ(s)=L {kФЭ(t)}.
ФЭ объединяется с непрерывной частью (НЧ) АСУ в
приведенную непрерывную часть (ПНЧ),
передаточная функция которой
WПНЧ(s) = WФЭ(s)*WНЧ(s).
В большинстве случаев РИЭ формирует
прямоугольные импульсы
длительности Tимп = γТ=
,
т.е. весовая функция ФЭ имеет вид:
Kфэ(t)


k
В этом случае передаточная функция ФЭ:
WФЭ(s)
Отсюда:
WФЭ(s)
порядком
формы
интервале
Это экстраполятор нулевого
порядка.
Порядок экстраполятора
определяется
производной от
импульса на

Передаточные функции типовых
импульсов
• Треугольный импульс

x(t)
s
2 2
(1  e )
Wфэ (s)  2 A
s2
• Синусоидальный импульс
t

T
T x(t)
 (1  e s )
W фэ( s)  AT
 [s 2T 2(  ) 2 ]

• Экспоненциальный импульс
Wфэ ( s) 

T
x(t)
AT
sT 
3


T
t
t
Определение передаточной
функции Wпнч(s)
Рассмотрим при наличии формирователя прямоугольных
импульсов:
(s)
s W
нч
Wпнч(s)= WФЭ(s)*WНЧ(s)
WНЧ(s)= (1  e )
.
s
Переходя от непрерывного преобразования Лапласа
к z-преобразованию:
Wпнч(z)=
Wнч( s ) 


 s 
Wнч ( s ) 
(1  z ) Z 
.
 s 
1
Выражение
необходимо представить как сумму элементарных дробей
(например, по теореме разложения, используя метод
неопределенных коэффициентов ), а затем выполнить zпреобразование каждой из дробей (справочник).
Теорема разложения
R( s)
W ( s) 

Q( s )


i 1
r
C j  Djs
Ai
Bk

 2 2
i
s
k 1 Tk s  1
j 1 T j s  2 T j s  1
q
Ai , Bk , C j , D j
- коэффициенты разложения,
определяются:
• методом неопределенных коэффициентов;
• методом предельных значений;
• методом подстановки численных значений.
Тренировочное задание
Пример. Определить дискретную
передаточную функцию импульсной АСУ, у
которой ИЭ формирует прямоугольные
импульсы длительности  = 1с периодом
дискретности T=1 c, а непрерывная часть

задана передаточной функцией:
Решение
Дискретную передаточную функцию разомкнутой
импульсной системы находим, представляя дробь
W
нч( s )  в виде суммы элементарных дробей:



s

W
нч ( s ) 

=
 s 
k
A1 A2
B1
  2 

2
s (T1s  1) s s
T1s  1
( A1T1  B1 ) s  ( A1  A2T1 ) s  A2

s 2 (T1s  1)
0
s A2  k ,
2
s1 A1  A2T1  0,
s A1T1  B1  0.
2
A1  kT1 ,
B1  kT .
2
1
С помощью таблицы соответствий найдем
z-преобразование для каждого из слагаемых в
правой части полученного выражения:

Tz
T1 z
T1 z
Wнч( s ) 

z


  k
2
T
s
z

1

z  1



z  e T1

 при форми ровании
 прямоугольных
импульсов:
z  1 Wнч( s) 
W
(
z
)

z

W
(
z
)



р
пнч
z  s 
Структурные схемы и передаточные
функции замкнутых дискретных АСУ
ПНЧ
Изображение РФ - y[n]
Y(z) = W(z) X(z)
W(z) = Z{WФЭ(s)W1(s)W2(s)}.
Уравнение z-изображения
рассогласования:
Тогда z-изображение выходной координаты:
Y(z) = {W(z) /[1+ W(z) ]} G(z)
Передаточная функция
замкнутой АСУ
y( z)
Wпр ( z )
W фэ ( z )Wнч.пр( z )
W ( z) 



x( z ) 1  W р ( z ) 1  W фэ ( z )Wнч.р( z )
z  1 Wпнч.пр( s) 
Z

z
s 


z  1 Wпнч.р ( s ) 
1
Z

z
 s 
Частотные характеристики
импульсных систем
Выражения для ЧХ импульсных систем
получаются из W(z) путем замены оператора
z на e j .
Т.к. частота ω входит в показатель степени,
то ЧХ являются периодическими
функциями частоты, период изменения
которых равен ±π/ ω или (2π/ ω).
e
jT
 cos T  j sin T
Следовательно, нельзя различить
составляющие, частоты которых кратны
частоте квантования импульсного элемента
ωо = 2π/Т.
ЧХ импульсных систем описываются
трансцендентными выражениями:
j
A(ω) = mod W( e ) - АЧХ;
j
ψ(ω) = arg W( e
) - ФЧХ;
j
U(ω) = Re W( e ) - ВЧХ;
V(ω) = Im W( e j ) - МЧХ;
j
W( e
) = W(z) - АФЧХ.
z = e j
ЧХ импульсной АСУ строятся по точкам в
интервале частот 0 ≤ ω ≤ π⁄ Т.
Свойства ЧХ импульсных АСУ
1. В соответствии с периодичностью АФЧХ
j
W( e ) полностью определяется своими
значениями в интервале −π⁄ Т ≤ ω ≤ π⁄ Т.
2. Т.к. ВЧХ является четной функцией, а МЧХ нечетной, то достаточно рассматривать интервал
частот 0 ≤ω ≤ π⁄ Т.
3. В крайних точках интервала 0 ≤ ω ≤ π⁄ Т АФЧХ
принимает вещественные значения.
4. При уменьшении периода дискретности T, т.е. при
увеличении частоты квантования ω0 = 2π/Т,
ЧХ импульсных АСУ приближаются к ЧХ
непрерывных систем, а частотный интервал
0 ≤ ω ≤ π⁄ Т растягивается на всю ось ω при T → 0.
Периодичность ЧХ
При гармоническом входном сигнале Аsinωt на
РИЭ выходной сигнал АСУ не изменится при
изменении частоты входного сигнала ω на любую
величину, кратную частоте квантования ω0=2π/Т,
т.е. выходной сигнал будет одним и тем же при
частотах, равных ω +к ω0. При снятии ЧХ путем
неограниченного увеличения частоты входного
сигнала ω→∞, получается периодическая
характеристика:
А(ω)
ω0≥2 ωнч
ω0≤2 ωнч
А(ω)
ω0→∞
ω
ωнч
ω0
ω
W- преобразование
Определение ЧХ связано со сложными расчетами,
поэтому на практике применяются ЧХ относительно
абсолютной псевдочастоты λ. Переход к
псевдочастоте основан на переходе от
z-преобразования к
1 w
w-преобразованию
z
1 w
с помощью подстановки:
c последующей заменой комплексной переменной w
на абсолютную псевдочастоту:
j T
Такая замена и есть
w

w –преобразование.
2
Реальная частота ω и псевдочастота λ связаны
T
соотношением
2
  T tg
2
Удобство псевдочастоты в том, что на частотах, где
ωT < 2, она приближенно равна угловой частоте, т.е.
λ ≈ ω. При изменении частоты от −π⁄ Т <ω <+π⁄ Т
псевдочастота принимает значение −∞ <λ< +∞.
Для перехода от дискретной передаточной функции
разомкнутой АСУ Wр (z) к АФЧХ - Wр (jλ) сделаем
замену z  [1  jT 2]
[1  jT ]
2
Это уравнение используется для построения ЛАЧХ.
W ( j )  W ( z ) z  [1  jT 2]
[1  jT ]
2
Построение ЛЧХ импульсных
АСУ
ЛАЧХ строятся отдельно для областей низких
(НЧ) и высоких частот (ВЧ). Границей,
разделяющей частотные области, служит
частота среза ωср в предположении, что
ωср* T< 2 ,
где Т - период дискретности.
Это условие необходимо выполнять для
обеспечения запаса устойчивости и точности
работы системы, и оно согласуется с
теоремой Котельникова-Шеннона.
Построим ЛАЧХ АИС, с
экстраполятором нулевого порядка и
непрерывной частью с передаточной
функцией:
m
Wнч ( s) 
k  (T j s  1)
s

j 1
n
 (T s  1)
i
i 1
Принятые допущения:
1. Величина, обратная периоду дискретности
T, больше половины частоты среза ωср, т.е.
ωср < 2/T.
2. На частоте среза ЛАЧХ непрерывной части
имеет наклон −20 дБ/дек.
3. Постоянным времени Тj (j = 1, 2, ..., m)
соответствуют частоты сопряжения
меньшие, чем частота среза ωсj < ωср.
4. Имеется l(l< n) постоянных времени Ti (i = 1,
2,..., l), которым соответствуют сопрягающие
частоты меньшие, чем частота среза.
При принятых допущениях для области низких
частот передаточная функция непрерывной части:
m
н
Wнч ( s) 
k  (T j s  1)
s

j 1
l
 (T s  1)
i
i 1
а для области высоких частот;
cp
W нч ( s) 
в
n
s
 (T s  1)
i
i l 1
Wфэ(s)Wнч (s)→Wпнч (z) = z{Wфэ(s)Wнч(s)} →
→W(jλ)
ЧХ разомкнутой импульсной АСУ для области
m
низких частот:
k
(1 jT )

j

T
j 1
W ( j )  (1 
)
2 ( j ) r l (1 jTi )

н
i 1
и для области высоких частот:
T

(
1

j

(

T
)
cp

j

T
в
2
W ( j )  (1 
)
2
j

T
( j )(1 
)
2
j
Выводы:
В НЧ области АФЧХ импульсной АСУ получим
из Wнч (s) подстановкой s = jλ и умножением
на множитель (1 − jλT/2). В этой области λ ≈ω.
Влиянием дополнительного множителя в НЧ
области можно пренебречь, т.к. ωср < 2/T.
В области низких частот ЧХ импульсной
АСУ совпадают с ЧХ ее непрерывной
части.
Начало ЛАЧХ в ВЧ области совпадает с
концом ЛАЧХ, построенной в НЧ области.
Выражение результирующей АФЧХ разомкнутой
АИС представляет собой произведение
элементарных типовых сомножителей, его легко
использовать для построения ЛАЧХ импульсных
АСУ.
m
W ( j ) 
k
 (1 jT j )
j 1
( j ) r
l
 (1 jTi )
i 1
T  T )
(
1

j

(
j

T
2
* (1 
)
2
j

T
(1 
)
2
Результирующий фазовый сдвиг:
 ( )   r *
 2arctg T

2
m
  arctg jT j  arctg (T
j 1
l
2
  arctgTi
i 1
2
 T ) 
Пример. Построить ЛАЧХ АИС с
экстраполятором нулевого порядка и
периодом дискретности ИЭ T = 4 с,
передаточная функция непрерывной части:
Решение
Выбираем частоту среза ωcр < 2/T < 0.5 c-1. В
соответствии с заданными постоянными времени
определяем сопрягающие частоты:
ωc1=1/25=0.04 c-1 – НЧ диапазон;
ωc2=1/0.5=2 c-1 - ВЧ диапазон;
ωc3=1/0.3=3.33 c-1 – ВЧ диапазон.
Следовательно, получаем:
Асимптотические ЛАЧХ и ЛФХ,
соответствующие полученным выражениям:
λс1=1/25=0.04;
λс2=1/2=0.5;
λс3=1/1.2=0.8 .
Наклон
последней
асимптоты
0 дБ/дек
Устойчивость импульсных АСУ
Линейная импульсная АСУ устойчива, если
свободная составляющая переходного процесса
yп[n] затухает с течением времени: lim yп[n]  0.
Она определяется решением однородного РУ
замкнутой импульсной АСУ
n 
a0y[n] + a1y[n−1] + ... + amy[n−m] = 0,
где m - порядок системы.
При некратных корнях характеристического
m
уравнения:
n
y п [ n ]   Ci z i
i 1
где zi - корни характеристического уравнения
Для устойчивости импульсной АСУ необходимо и достаточно,
чтобы все корни характеристического полинома
удовлетворяли условию
zi  1
i = 1, 2, ..., m.
Если хотя бы один корень zi  1, система будет неустойчивой.
Значение корня zi  1
при всех остальных zi  1
определяет границу устойчивости АСУ.
Графически область устойчивости на
плоскости z корней характеристического
уравнения изображается
единичным кругом.
Области устойчивости
на плоскости Z
e jT  cos T  j sin T
Исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического полинома замкнутой
импульсной АСУ относительно единичной окружности.
Для пользования критериями Гурвица и
Михайлова в обычной формулировке внутренность
круга единичного радиуса плоскости z отображают
на левую полуплоскость комплексной переменной w
с помощью конформного преобразования:
Все корни уравнения zi, лежащие внутри единичного
круга, перейдут в левую полуплоскость w.
После подстановки
в характеристическое уравнение
получим:
Преобразованное характеристическое уравнение импульсной
АСУ:
При использовании этого уравнения для устойчивости
импульсной АСУ необходимо и достаточно, чтобы все корни
wi (i = 1, 2, ...,
m) имели отрицательные вещественные
части. Границей устойчивости служит мнимая ось.
Для анализа устойчивости импульсных АСУ могут применяться также ЛАЧХ в формулировке для непрерывных АСУ.
Критерии устойчивости
используются для исследования устойчивости
импульсных АСУ без нахождения корней
характеристического уравнения.
Аналог критерия Рауса-Гурвица. Wз (z)→Wз (w)
Степень характеристического уравнения
Условия устойчивости
Используется
характеристический
полином,
полученный
после
W-преобразования Wз (w)
Аналог критерия Михайлова
Для устойчивости линейной импульсной АСУ m-го
порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение
jT
аргумента функции D(e ) при изменении частоты ω
от 0 до π/T равнялось бы значению mπ , то есть
Δ arg D(e jT ) = mπ , 0 ≤ ω ≤ π/T.
j
Здесь D(e jT ) получается путем замены z на e
в характеристическом полиноме замкнутой АСУ
j
m
m 1
D( z )  a0 z  a1 z
 ...  am 1 z  am , z = e .
На рис. аналоги
кривых Михайлова для
устойчивой и неустойчивой
импульсной АСУ при m = 3.
Аналог критерия Найквиста
Если разомкнутая АСУ устойчива, то для
устойчивости замкнутой АСУ требуется, чтобы АФЧХ
j
разомкнутой АСУ- Wр ( e
) не охватывала точку с
координатами (−1, j0 ).
Для устойчивости замкнутой АСУ при
неустойчивой разомкнутой цепи требуется,
чтобы АФЧХ разомкнутой цепи охватывала точку
(−1, j0) на угол pπ, где p-число полюсов
разомкнутой цепи,
вне единичного
j
круга z = e
.
На рис. АФЧХ
устойчивых
импульсных АСУ.
Точность импульсных АСУ
Установившаяся ошибка импульсной АСУ определяется по предельному значению решетчатой
функции:
z 1
 ()  lim  [n]  lim
E ( z )   g ( )   f ( ) 
z
n 
z 1

ze
sT
в уст.
s  0  z  1

режиме
Установившиеся ошибки
 () 
{
установившаяся ошибка пропорциональна
величине задающего воздействия и периоду
дискретности.
Астатизм АСУ
Представим передаточную функцию импульсной
разомкнутой АСУ
при r = 0 АСУ статическая,
при r = 1 - астатическая первого порядка и т.д., и
W(1)→ ∞.
 ()  0 от задающего воздействия, если
степень астатизма r  ()  0, если k  r ;
превышает степень
k
g
T
k
полинома k входного  () 
, если k  r ;
W (1)
воздействия.
 ()  , если k  r.
Сигнал ошибки при
непрерывном входном сигнале
C1 '
C2 "
 [nT ]  C0 g[nT ] 
g [nT ] 
g [nT ]  .... 
1!
2!
Ck ( k )
g
[
nT
]

g
(
t
)
t  nT

g [ nT ],
k!
где С0 , С1 , С2 ,...Сk  коэффициенты ошибок.
C0  E (1);
(k )
d E( z)
E (1) 
k
dz
(k )
C1  T * E (1);
'
C2  T 2 [ E " (1)  E ' (1)];


C3  T E (1)  3E (1)  E (1) .
3
'"
"
'
z 1
Сигнал ошибки при
дискретном входном сигнале
C1
C2 2
 [nT ]  C 0 g[nT ]  g[nT ]   g[nT ]  .... 
1!
2!
Ck k
  g[nT ],
k!
C1
C2
где C0  С0 ; C1 
; C2 
2 ;...
T
T
Ck
Ck 
k.
T
Переходные процессы в
импульсных АСУ
определяются с помощью :
• обратного z-преобразования,
• ряда Лорана,
• решения разностного уравнения,
• частотных методов, основанных на
использовании ВЧХ или МЧХ замкнутой АСУ.
Обратное z-преобразование
Для расчета переходного процесса можно найти
обратное z-преобразование изображения выходной
1
величины АСУ y[n]  Z Y ( z) ,используя формулу
обращения, согласно которой
k
y[ n]   Re sY ( z ) z
n 1
z  zi
i 1
где zi - полюсы выражения Y(z); i = 1, 2, ..., k.
Вычет в простом полюсе:
Re sY ( z ) z n1  lim( z  z )Y ( z) z n1
i
z  zi
Re sY ( z ) z
n 1
r 1
в полюсе кратности r:
1
d
r
n 1 ]

lim r 1 [( z  zi ) Y ( z) z
(r 1)! dt
z  zi
Из определения z-преобразования:

Y ( z )   y[nT ]  z  Y (0)  Y (T ) z  Y (2T ) z  ...Y [nT ]z
n
1
2
n 0
B( z )
Y ( z) 
A( z )
– дробно-рациональная функция.
m
B( zk ) m 1
Y [nT ]   '
zk ,
k 1 Az ( z k )
где zk 
m
- для простых полюсов zi.
корни характеристического уравнения A(z)=0;
общее количество корней;
A ( z )  производная полинома A(z) по z.
'
z
n
Разложение изображения Y(z)
в ряд Лорана
Дискретные значения переходного процесса можно
найти путем разложения Y(z) в ряд Лорана по
1
степеням z :
1
2
3
n
Y ( z )  Y0  Y1 z  Y2 z  Y3 z  ...  Yn z .
Коэффициенты Yi определяют выходную величину
АСУ в дискретные моменты времени t =nT.
Y(z) представляет собой отношение двух полиномов,
поэтому коэффициенты ряда Y0, Y1, Y2, ... можно
получить делением полинома числителя на полином
знаменателя.
При Т→0 ряд сходится медленно и объем
вычислительной работы значителен.
Вычисление коэффициентов
ряда Лорана
Z- изображение выходной координаты:
k 1
b0 z  b1 z  ...  bk 1 z  bk
B( z )
Y ( z) 


m
m 1
A( z ) a0 z  a1 z  ...  am 1 z  am
k

пусть k  m
:z
m
1

 m 1
m
b0  b1 z  ...  bk 1 z
 bk z

.
1
 m 1
m
a0  a1 z  ...  am 1 z
 am z
Коэффициенты разложения в
ряд Лорана:
Y [ 0] 
b0
a0
;


b

a
Y
[
0
]
1
1
Y [1] 
a0
;


b

a
Y
[
1
]

a
Y
[
0
]
2
1
2
Y [ 2] 
a0
;
....................................................

bn  a1Y [n  1]  ...  an 1Y [1]  anY [0]
Y [ n] 
n  m  bn  an  0.
a0
.
1
Метод разностного уравнения
Дискретная АСУ представлена передаточной
функцией:
k 1
R( z ) b0 z  b1 z  ...  bk 1 z  bk
W ( z) 
 m

m 1
Q( z ) a0 z  a1 z  ...  am1 z  am
k

пусть k  m
:z
m
1

 m 1
m
b0  b1 z  ...  bk 1 z  bk z
Y ( z)


.
1
 m 1
m
a0  a1 z  ...  am1 z  am z
g ( z)
Разностное уравнение в этом случае:
a0 y[n]  a1 y[n  1]  ...  am 1 y[n  m  1]  am y[n  m] 
 b0 g[n]  b1 g[n  1]  ...  bm 1 g[n  m  1]  bm g[n  m] 
 при
m
g[n]  1   bi .
Решение уравнения:
i 1
Y [0] 
b0
a0
;

b0  b1  a1Y [0]
Y [1] 
a0
;

b0  b1  b2  a1Y [1]  a2Y [0]
Y [ 2] 
a0
;......... ..........
 n

 bi  a1Y [n  1]  a2Y [n  2]  ...  ak Y [0]

Y [ n]   i  0
2
a0
Рекуррентные зависимости 1 и 2
используются и для расчета
переходных процессов в
непрерывных АСУ после
дискретизации их
дифференциальных уравнений.
Коррекция импульсных систем
КУ обеспечивают заданные требования по
точности и по качеству процесса управления,
исходя из которых составляются желаемые
характеристики АСУ.
Для коррекции импульсных АСУ имеется
большее разнообразие технических средств,
чем для непрерывных АСУ, т.к. кроме
непрерывных КУ можно вводить импульсные и
цифровые.
Находит применение:
•Непрерывная коррекция;
•Импульсная коррекция.
Непрерывная коррекция
В этом случае изменяют характеристики
непрерывной части АСУ введением
• последовательных или параллельных КУ,
• местной отрицательной или положительной
обратной связи.
При расчете непрерывных КУ
целесообразно перейти от желаемой
характеристики импульсной АСУ к желаемой
характеристике ее непрерывной части.
Задача синтеза решается так же, как она
решалась для обыкновенных линейных АСУ.
Импульсная коррекция
выполняется введением в АСУ импульсного фильтра.
Он преобразует входной сигнал x(t) в k
последовательность импульсов
u[n]   k k [n  i ]x[i ],
i 0
сформированных путем амплитудно-импульсной
модуляции x(t) с необходимыми для коррекции АСУ
преобразованиями.
Здесь kk [n] -импульсная функция непрерывной части
импульсного фильтра.
Передаточная функция импульсного фильтра
определяется как
Wk(z) = Z{ kk [n] }.
По передаточной функции из таблиц выбирают
импульсные корректирующие цепи.
Наиболее просто импульсные КУ реализуются в
виде импульсных RC-цепей.
Различают три структуры импульсных RC-цепей:
• последовательную,
•с обратной связью и
•с каскадным соединением импульсных цепей
первых двух структур.
Цифровые корректирующие фильтры
реализуются с помощью цифрового вычислителя.
Входной сигнал фильтра x(t) преобразуется в АЦП,
далее - решение разностного уравнения на
цифровом вычислителе u выводится x[n] в
непрерывную часть импульсной АСУ через ЦАП.
Широкое распространение получили цифровые
системы, в которых функцию вычислительного
устройства выполняют микропроцессоры и
компьютеры.
Синтез цифровых систем
сводится к включению цифрового корректирующего фильтра последовательно с
непрерывной частью, включающей в себя
объект управления, регулирующий орган,
исполнительный механизм, усилитель мощности и датчик. В качестве желаемых характеристик используют аналоговые эквиваленты:
импульсные функции, переходные функции и
частотные характеристики, что обосновано
при достаточно высокой тактовой частоте
работы цифрового вычислителя и большой
разрядности преобразователей.