פרופ' יורי לוריא Prof. Yuri Lurie Dept. of Electrical and Electronics Engineering Tel: 972 3 9066 674 Fax: 972 3 9066 238 המחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה e-mail: ylurie@ariel.ac.il Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace היקף הקורס 3 :ש"ש 1 +ש"ש (שעות שבועיות) נקודות זכות3.5 : דרישת קדם :חשבון אינפיניטסימלי 2 תוכן הקורס: מספרים מרוכבים :פעולות ותכונות .מישור מרוכב .עקומות במישור מרוכב. פונקציות מרוכבות :גבולות ורציפות ,נגזרת של פונקציה מרוכבת .תנאי קושי-רימן .פונקציות אנליטיות ,טורי חזקות .פונקציות אלמנטריות .אינטגרל של פונקציה מרוכבת. משפט קושי :נוסחת קושי .פיתוח של פונקציה לטור טיילור ולטור לורן .אפסים ונקודות סינגולריות של פונקציה אנליטית. טורי חזקות :התכנסות ,טור ,Taylorטור ,Laurentסיווג של נקודות סינגולריות. משפט השארית :הגדרת השארית .חישוב שאריות .חשוב אינטגרלים ממשיים בעזרת משפט השארית. התמרת :Fourierהגדרה של התמרת פורייה ישירה והפוכה ,תכונות בסיסיות של התמרת פורייה. טור :Fourierטור פורייה מרוכב וממשי ,תכונות ,חישוב מקדמי טור פורייה. התמרת :Laplaceהתמרת לפלס חד ודו-צדדית ,מישור לפלס ,תחום התכנסות ,קשר להתמרת פורייה ,התמרת לפלס הפוכה ,תכונות בסיסיות של התמרת לפלס. Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace :מקורות ספרותיים 1. R.A. Silverman: “Complex Analysis with Applications”. Dover Publications Inc. New York 1984. 2. M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton, L. Sabalka: “A First Course in Complex Analysis”. Open Textbook Initiative by the American Institute of Mathematics, http://math.sfsu.edu/beck/complex.html. 3. G. Arfken, H. Weber, F.E. Harris: “Mathematical Methods for Physicists”. 7th edition, Elsevier Inc. , 2012. 4. J.W. Dettman: “Mathematical Methods in Physics & Engineering”. Dover Publications Inc. New York 1988. Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace . מבוא למספרים מרוכבים.I Introduction to complex numbers :מספר מרוכב ℝ𝟐 : 𝒙, 𝒚 , 𝒙 ∈ ℝ, 𝒚 ∈ ℝ ⇒ ℂ: 𝒛 = 𝒙 + 𝒊 𝒚 ) מספר ממשי- ℝ( 𝒊 = −𝟏 𝒊𝟐 = −𝟏 𝒙 = 𝐑𝐞 𝒛 , 𝒚 = 𝐈𝐦 𝒛 ℂത ≡ ℂ ∪ ∞ 4 : ∞ אינם כוללים נקודתℂ מספרים מרוכבים Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I מישור של מספרים מרוכבים (מישור מרוכב) מערכת צירים קרטזית /Agrand diagram/ 𝒛 𝐦𝐈 𝒊 = 𝒚 𝒊 𝒛 (ייצוג קרטזי של מספר מרוכב) 𝒚𝒊𝒛=𝒙+ 𝒛 𝐞𝐑 = 𝒙 𝒛 𝐦𝐈 𝒊 = 𝒚 𝒊 מערכת צירים פולרית /קוטבית/ 𝒛 (ייצוג פולרי של מספר מרוכב) 𝒛∡ 𝒊𝒆 ⋅ 𝒛 = 𝒛 𝒛 𝐞𝐑 = 𝒙 5 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟎 𝒙 = 𝒛 𝐜𝐨𝐬 ∡𝒛 ⇒ Part I 𝐭𝐠 ∡𝒛 = 𝒚Τ𝒙 𝒚 = 𝒛 𝐬𝐢𝐧 ∡𝒛 𝒛 ⋅ 𝒆𝒊 ∡𝒛 = 𝒛 𝐜𝐨𝐬 ∡𝒛 + 𝒊 𝒛 𝐬𝐢𝐧 ∡𝒛 𝒆𝒊 𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 Euler נוסחת :דוגמאות 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒛 =𝒓 𝐑𝐞 𝒛 6 𝐑𝐞 𝒛 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I :נדגיר 𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 ⇒ ቊ𝒚 = 𝒚 𝟏 𝟐 𝐑𝐞 𝒛 = 𝟎 𝒙 = 𝐑𝐞 𝒛 = 𝟎 if: 𝒛 = 𝟎 ⇒ ቊ 𝒚 = 𝐈𝐦 𝒛 = 𝟎 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝐈𝐦 𝒛 = 𝟎 𝐑𝐞 𝒛 7 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Arithmetic operations 𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 Part I פעולות אריתמטיות 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 :פעולת חיבור או חיסור 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒊 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 𝐑𝐞 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝐑𝐞 𝒛𝟏 + 𝐑𝐞 𝒛𝟐 𝐈𝐦 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝐈𝐦 𝒛𝟏 + 𝐈𝐦 𝒛𝟐 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 + −𝒛𝟐 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒊 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 𝒊 𝒚 = 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒛𝟐 𝒊 𝒚 = 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒛𝟏 −𝒛𝟐 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 𝒛𝟐 𝒙 = 𝐑𝐞 𝒛 𝒛𝟏 𝒙 = 𝐑𝐞 𝒛 8 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 כלל הקיבוץ Associative low Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I :פעולת כפל 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 = 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒊 𝒚𝟏 𝒙𝟐 + 𝒊 𝒙𝟏 𝒚𝟐 + 𝒊ณ𝟐 𝒚𝟏 𝒚𝟐 = −𝟏 = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 + 𝒊 𝒙𝟏 𝒚𝟐 + 𝒚𝟏 𝒙𝟐 𝐑𝐞 𝒛𝟏 ⋅𝒛𝟐 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 ⋅ 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 ⋅ 𝒛𝟑 9 𝐈𝐦 𝒛𝟏 ⋅𝒛𝟐 כלל הקיבוץ Associative low Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I :פעולת הצמדה 𝒛ത = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒙 − 𝒊𝒚 𝒛∗ 𝐑𝐞 𝒛ത = 𝒙, 𝐈𝐦 𝒛ത = −𝒚 𝒊 𝒚 = 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒛 ∡𝒛 −∡𝒛 𝒙 = 𝐑𝐞 𝒛 𝒛ത 𝒛ത ⋅ 𝒛 = 𝒛 ⋅ 𝒛ത = 𝒙 − 𝒊𝒚 ⋅ 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛 𝟐 :פעולת חילוק 𝒛𝟏 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐 = = = 𝒛𝟐 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐 + 𝒊 𝒙𝟐 𝒚𝟏 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 10 /𝒛𝟐 ≠ 𝟎/ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I 𝒛𝟏 = 𝒓𝟏 𝒆𝒊 𝝋𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 𝒆𝒊 𝝋𝟐 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 ➔ 𝒓𝟏 = 𝒓𝟐 , 𝝋𝟏 = 𝝋𝟐 + 𝟐𝝅 𝒍, 𝒍 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ⋯ 𝒛 = 𝒓 𝒆𝒊 𝝋 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝐚𝐫𝐠 𝒓 𝒆𝒊 𝝋 = 𝝋, 𝝋 ∈ ሾ𝟎, 𝟐𝝅) / 𝟎 ≤ 𝝋 < 𝟐𝝅/ 𝐀𝐫𝐠 𝒛 = 𝐀𝐫𝐠 𝒓 𝒆𝒊 𝝋 = 𝝋 +𝟐𝝅 𝒍, 𝒍 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ⋯ 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒊 𝐀𝐫𝐠 𝒛 𝒛ത = 𝒓 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒓 𝒆−𝒊 𝝋 (𝝋 → −𝝋) 11 !אין סוף ערכים Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝟏 𝒛ത 𝒛ത 𝒓 𝒆−𝒊 𝝋 𝒆−𝒊 𝝋 = = 𝟐= = 𝒛 𝒛 ⋅ 𝒛ത 𝒛 𝒓𝟐 𝒓 ➔ 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 𝒛𝟏 𝒓𝟏 𝒆𝒊 𝝋𝟏 𝒓𝟏 𝒊 = = 𝒆 𝒛𝟐 𝒓𝟐 𝒆𝒊𝝋𝟐 𝒓𝟐 ➔ 𝒛𝒏 = 𝒛 ⋅ 𝒛 ⋅ … ⋅ 𝒛 = 𝒓 ⋅ 𝒓 ⋅ … ⋅ 𝒓 𝒆 ➔ 𝝋𝟏 + 𝝋𝟐 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 = 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟏 + 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟐 𝝋𝟏 − 𝝋𝟐 𝒛𝟏 Τ𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 Τ 𝒛𝟐 𝒏 𝟏 𝐚𝐫𝐠 = −𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒛 ➔ 𝒛𝟏 ⋅ 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒆𝒊 𝝋𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 𝒆𝒊𝝋𝟐 = 𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟏 Τ𝒛𝟐 = 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟏 − 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝟐 𝒊 𝝋+𝝋+⋯+𝝋 𝒏 = 𝒓𝒏 𝒆𝒊 𝒏𝝋 𝒏 𝒛𝒏 = 𝒓𝒏 𝒆𝒊 𝒏𝝋 𝒛𝒏 = 𝒛 Part I 𝒏 DeMoivre נוסחת 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝒏 = 𝒏 ⋅ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒘= 𝒏 𝒛 /𝒘 ∈ ℂ/ 𝒘 = 𝝆 𝒆𝒊 𝝍 Part I 𝒛 = 𝒘𝒏 ➔ 𝒘𝒏 = 𝝆𝒏 𝒆𝒊 𝒏𝝍 = 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊 𝝋 𝒓 = 𝝆𝒏 𝝆= 𝒏 𝒛 = 𝐚𝐫𝐠 𝒏 𝒏 𝒓 𝝍= 𝝋 𝟐𝝅 𝒍 + 𝒏 𝒏 𝒛 𝒛 = 𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒏 𝐀𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒊 𝝋 ➔ 𝒏 𝒛 = 𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒏 𝒛 = 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 + 𝟐𝝅 𝒍 𝒏 , 𝝋Τ𝟐+ 𝟐𝝅 𝒍Τ𝟐 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒆𝒊 𝝋 𝝋 𝒆𝒊 𝝅 = −𝟏 13 𝒏 𝝋 + 𝟐𝝅 𝒍 = 𝒏𝝍 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟐 𝐑𝐞 𝒛 𝝋Τ𝟐+𝝅 𝒍 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏 − 𝟏 𝒍 = 𝟎, 𝟏 :דוגמה Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝟑 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟑+ 𝟐𝝅 𝒍Τ𝟑 Part I :דוגמה 𝒍 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 𝟑 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟑+𝟐𝝅Τ𝟑 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒆𝒊 𝝋 𝟑 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟑 𝐑𝐞 𝒛 𝟑 𝟒 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟒+ 𝝅 𝒍Τ𝟐 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝒍 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝟒 𝒆𝒊 𝝋 𝝋Τ𝟑+𝟒𝝅Τ𝟑 = 𝝋 𝝅 𝒊 𝟒 +𝟐 𝒆 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝒆𝒊 𝝋 𝟒 𝟒 14 𝒆𝒊 𝝋 = 𝝋 𝒊 𝟒 +𝝅 𝒆 𝒆𝒊 𝝋 = 𝒆𝒊 𝝋Τ𝟒 𝐑𝐞 𝒛 𝟒 𝒆𝒊 𝝋 = 𝝋 𝟑𝝅 𝒊 𝟒+ 𝟐 𝒆 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒛 = 𝒆𝒘 /𝒘 ∈ ℂ/ ➔ 𝒘 = 𝒖 + 𝒊 𝒗 = 𝐥𝐧 𝒛 𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒛 = 𝒛 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 Part I = 𝒆𝒖+𝒊 𝒗 = 𝒆 ด𝒖 𝒆𝒊 ฎ 𝒗 𝒛 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒛 ➔ ቊ 𝒗 = 𝐚𝐫𝐠 𝒛 + 𝟐𝝅 𝒍 𝒘 = 𝐥𝐧 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒛 + 𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒖 𝒗 𝐋𝐧 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒛 + 𝒊 𝐀𝐫𝐠 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒛 + 𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 + 𝟐𝝅 𝒍 ערכיות- פונקציות רב- 𝐋𝐧 𝒛 , Multi-valued functions 15 𝒏 𝒛 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒛𝒘 = 𝒆𝒘 𝐥𝐧 𝒛 = 𝒆𝒘 𝐥𝐧 𝒛 +𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒘 𝐥𝐧 Part I 𝒛 𝒆𝒊 𝒘 𝐚𝐫𝐠 𝒛 𝒛𝒘 ➔ 𝒛𝒘 = 𝒛 𝒘 𝒆𝒊 𝒘 𝐚𝐫𝐠 𝒛 :דוגמה 𝒘=𝟐 𝒛𝟐 = 𝒛 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛𝒊 = 𝒆𝒊 𝐥𝐧 𝒆𝒊 𝛗 16 𝒊 𝒛 𝒛 ⋅ 𝒛 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 = 𝒆𝒊 𝐥𝐧 𝒛 +𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒊 𝐥𝐧 𝒆𝒊 𝛗 𝒆−𝐚𝐫𝐠 𝒆𝒊 𝛗 𝒛 = 𝒛 𝟐 𝒆𝒊 𝟐 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒊 𝐥𝐧 𝒛 𝒆−𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝒆𝒊 𝐥𝐧 𝟏 𝒆−𝛗 = 𝒆−𝛗 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I :דוגמה 𝟔 𝟏+𝒊 𝟓 𝟑−𝒊 𝟏+𝒊 𝟔 𝟑−𝒊 𝟏+𝒊 𝟑−𝒊 17 −? = 𝟏+𝒊 𝟓 𝟔 𝟓 = 𝟔 𝒆𝒊 𝟔⋅𝐚𝐫𝐠 𝟏+𝒊 𝟑−𝒊 𝟓 𝒆𝒊 𝟓⋅𝐚𝐫𝐠 𝟔 𝟐 𝒆𝒊 𝟔⋅𝝅Τ𝟒 = 𝟐𝟑 𝒆𝒊 𝟑𝝅Τ𝟐 = 𝟑−𝒊 𝟐𝟑 𝒆𝒊 𝟑𝝅Τ𝟐 = 𝟓 −𝒊 𝟓𝝅Τ𝟔 = 𝟐−𝟐 𝒆𝒊 𝟐 𝒆 = 𝟐𝟓 𝒆𝒊 𝟓⋅ 𝟑𝝅Τ𝟐+𝟓𝝅Τ𝟔 −𝝅Τ𝟔 = 𝟐𝟓 𝒆−𝒊 𝟓𝝅Τ𝟔 𝟏 𝒊 𝝅Τ𝟑 = 𝒆 𝟒 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I :דוגמה 𝟔 −𝟏 = 𝒏 𝒛= 𝒏 𝟔 −𝟏 𝒆𝒊 𝒛 𝒆𝒊 𝐚𝐫𝐠 −𝟏 Τ𝟔 + 𝟐𝝅 𝒍Τ𝟔 = 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟔 + 𝝅 𝒍Τ𝟑 , 𝒍 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 −𝟏 = 𝒆𝒊𝝅 ⇒ 𝐚𝐫𝐠 −𝟏 = 𝝅 𝐚𝐫𝐠 𝒛 Τ𝒏 +𝟐𝝅 𝒍Τ𝒏 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝝅 Τ𝟑 𝝅 Τ𝟔 𝐑𝐞 𝒛 𝒊 𝒆𝝅 𝟏+𝒊 =𝒆 =𝒆 𝟏+𝒊 𝐥𝐧 𝒊 𝒆𝝅 𝟏+𝒊 𝝅+ 𝒊 𝝅Τ𝟐 =𝒆 =𝒆 𝟏+𝒊 𝐥𝐧 𝒊 𝒆𝝅 + 𝒊 𝐚𝐫𝐠 𝒊 𝒆𝝅 𝝅−𝝅Τ𝟐 +𝒊 𝝅+𝝅Τ𝟐 = = 𝒆𝝅Τ𝟐 𝒆𝒊 𝟑𝝅Τ𝟐 𝒊 𝒆𝝅 = 𝒆𝝅 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟐 ⇒ 𝐚𝐫𝐠 𝒊 𝒆𝝅 = 𝝅ൗ𝟐 18 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I סדרת מספרים 𝒛𝒏 ∈ ℂ דוגמה: 𝒏 𝒊 𝒛𝒏 = 𝟏 + Number sequence … = 𝒛𝟎 , 𝒛𝟏 , 𝒛𝟐 , …𝒏=𝟎,𝟏, 𝒛𝒏 ቚ 𝒊 𝒛𝟎 = 𝟏 𝒛𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐 = −𝟐 + 𝒊𝟐 = 𝟐= 𝟐𝒆𝒊 𝝅Τ 𝟐 𝟒𝒊 𝝅Τ 𝟐= 𝟐 𝟑 Τ 𝟑 𝟒𝒊 𝝅Τ 𝟒𝒆𝒊 𝟑𝝅Τ 𝒆𝟐 𝒆𝟐 = = 𝟐 𝒊 𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝒊 𝒛𝟑 = 𝟏 + 𝟐 −𝟏Τ 𝟐+𝒊Τ … נקודה 𝒛 נקראת נקודת הצטברות ( )Limit pointשל סדרה 𝒏𝒛 ,אם לכל 𝟎 > 𝜺 𝜺 ∈ ℝ,קבוצה 𝜺 < 𝒛 𝒛𝒏 −כוללת אין-סוף אלמנטים. דוגמה :סדרה …1,0,3,0,5,0,7,0, נקודה 𝟎 = 𝒛 – נקודת הצטברות סדרה … – 1,2,3,אין נקודת הצטברות 𝟒 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 סדרה … 𝟏, , , , , , , ,נקודות 𝟎 = 𝒛 ו – 𝒛 = 𝟏 -נקודות הצטברות 19 Part I Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒚𝒊 סדרה 𝒏𝒛 נקראת מוגבלת ,אם: 𝒏∀ 𝑴 < 𝒏𝒛 𝑴 𝟔𝒛 ∃𝑴 ∈ ℝ, 𝑴 > 𝟎: משפט :Bolzano-Weierstrass 𝒙 𝟓𝒛 𝟑𝒛 𝟏𝒛 𝟐𝒛 𝟒𝒛 לכל סדרה 𝒏𝒛 מוגבלת ,קיימת נקודת הצטברות אחת לפחות. סדרה 𝒏𝒛 נקראת מתכנסת ( )convergent sequenceעם גבול 𝒛 ,אם: 𝟎 > 𝜺 ∀𝜺 ∈ ℝ, ➔ ∃𝑵 = 𝑵 𝜺 , 𝑵 ∈ ℕ: 𝑵 > 𝒏∀ 𝜺 < 𝒛 𝒛𝒏 − 𝒛 = 𝒏𝒛 𝐦𝐢𝐥 ∞→𝒏 סדרה 𝒏𝒛 נקראת מתכנסת לנקודת אין-סוף ,אם: 𝟎 > 𝜺 ∀𝜺 ∈ ℝ, ➔ ∃𝑵 = 𝑵 𝜺 , 𝑵 ∈ ℕ: 𝑵 > 𝒏∀ 𝜺𝒛𝒏 > 𝟏Τ ∞ = 𝒏𝒛 𝐦𝐢𝐥 ∞→𝒏 20 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒛𝒏 , 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝒏 = 𝑨 𝒏→∞ 𝝎𝒏 , 𝐥𝐢𝐦 𝝎𝒏 = 𝑩 𝒏→∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝒏 ± 𝝎𝒏 = 𝑨 ± 𝑩 Part I :לשתי סדרות מתכנסות 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝒏 ⋅ 𝝎𝒏 = 𝑨 ⋅ 𝑩 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒛𝒏 𝐥𝐢𝐦 = 𝑨ൗ𝑩 𝒏→∞ 𝝎𝒏 𝒛𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒊𝒃𝒏 , 𝒂𝒏 , 𝒃𝒏 ∈ ℝ: 𝐥𝐢𝐦 𝒛𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 + 𝒊 𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏→∞ : להתכנסות סדרהCauchy קריטריון אם ורק אם,סדרה 𝒏𝒛 מתכנסת ∀𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎 ➔ ∃𝑵 = 𝑵 𝜺 , 𝑵 ∈ ℕ: 21 𝒛𝒎 − 𝒛𝒏 < 𝜺 ∀𝒏, 𝒎 > 𝑵 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I טור מספרים Number series ∞ ⋯ 𝒛𝒏 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 + 𝒛𝒏 ∈ ℂ 𝟏=𝒏 טור 𝒏𝒛 נקראה מתכנס ,אם קיים מספר 𝒛 כזה ש: ∞σ 𝒏=𝟏 𝒛𝒏 = 𝒛 , ∞< 𝒛 𝑵𝑺𝑵 = σ נגדיר סכום חלקי𝒏=𝟏 𝒛𝒏 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 + ⋯ + 𝒛𝑵 : טור 𝒏𝒛 מתכנס ,אם𝐥𝐢𝐦 𝑺𝑵 = 𝒛 : ∞→𝑵 דוגמה :טור הנדסי אם 𝟏 < 𝒛 : 𝟏≠ 𝒛 𝟏 𝒛𝟏− 𝟏𝟏−𝒛𝑵+ , 𝒛𝟏− = 𝑵𝒛 + ⋯+ 𝒏 ∞σ = 𝑵𝑺 𝐦𝐢𝐥 = 𝒛 𝟏=𝒏 ∞→𝑵 𝟑𝒛 + 𝟐𝒛 =𝒛+ 𝒏 𝑵σ 𝒛 𝟏=𝒏 = 𝑵𝑺 22 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part I טור 𝒏𝒛 נקראה מתכנס אבסולוטי ,אם: ∞< 𝒛 ∞σ 𝒏=𝟏 𝒛𝒏 = 𝒛 , ➔ ∞σ ∞ < 𝒏𝒛 𝟏=𝒏 ∞. σ תנאי 𝟎 = 𝒏𝒛 𝐦𝐢𝐥 הנה תנאי הכרחי אך לא מספיק להתכנסות הטור 𝒏𝒛 𝟏=𝒏 ∞→𝒏 דוגמה :טור הרמוני 𝑵 ∞ ∞→𝑵 … 𝟒 𝟏ൗ𝒏 = 𝟏 + 𝟏ൗ𝟐 + 𝟏ൗ𝟑 + 𝟏ൗ 𝟏=𝒏 𝟎 = 𝒏𝐥𝐢𝐦 𝟏ൗ ∞→𝒏 23 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace פונקציות מרוכבות.II Complex functions :פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב 𝒘=𝒇 𝒛 𝒛 ∈ 𝑮 ⊆ ℂ , 𝒘 ∈ 𝑮′ ⊆ ℂ 𝒇 𝒛 : 𝑮 → 𝑮′ 𝒇 𝒛 ) של פונקציהdomain of definition( תחום 𝑮 – תחום ההגדרה 𝒇 𝒛 ) של פונקציהrange( 𝑮 – טווח′ תחום 𝒇 𝒛 𝑮 24 𝒛 𝑮′ 𝒘 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II • פונקציה חד-ערכית (:)single valued לכל ערך של 𝒛 קיים רק ערך יחיד 𝒛 𝒇 = 𝒘 אחרת (מספר ערכים שונים של 𝒛 𝒇 = 𝒘) ,פונקציה רב-ערכית. • פונקציה חד-חד-ערכית :לכל 𝟐𝒛 ≠ 𝟏𝒛 𝒇 𝒛𝟏 ≠ 𝒇 𝒛𝟐 • פונקציה הפיכה :קיימת פונקציה הפוכה 𝒛 𝟏= 𝒛 𝒇− 𝑮′ 𝒛 𝒇 𝟏∀𝒛: 𝒇− 𝒛 𝒇 𝑮 𝒛 𝒛 𝒇=𝒘 𝒘 𝟏𝒇− 25 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II : אם,) 𝒛𝟎 ∈ 𝐢𝐧𝐭 𝑮 ( 𝑮 נקודה 𝑮 ∈ 𝟎𝒛 – פנימית של תחום ∀𝜹 ∈ ℝ, 𝜹 > 𝟎, 𝜹 → 𝟎: 𝒛 − 𝒛𝟎 < 𝜹 ∈ 𝑮 :) אםcontinue( 𝒛𝟎 פונקציה 𝒛 𝒇 רציפה בנקודה 𝒇 ∈ 𝑪 𝒛𝟎 ∀𝜺 ∈ ℝ, 𝜺 > 𝟎 ⇒ ∃𝜹 = 𝜹 𝜺 ∈ ℝ, 𝜹 > 𝟎: 𝒛 − 𝒛𝟎 < 𝜹 ⇒ 𝒇 𝒛 − 𝒇 𝒛𝟎 <𝜺 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒛 = 𝒇 𝒛𝟎 𝒛→𝒛𝟎 𝒇 𝒛 𝑮 𝜺 𝒛𝟎 𝑮′ 𝜹 26 𝒘𝟎 = 𝒇 𝒛𝟎 𝜹→𝟎 ⇒ 𝜺→𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II אם , 𝒇 ∈ 𝑪 𝒛 , ∀𝒛 ∈ 𝑮 :פונקציה 𝒛 𝒇 רציפה בתחום 𝑮 ( 𝑮 𝑪 ∈ 𝒇 ). אם , 𝒇 ∈ 𝑪 𝒛 , ∀𝒛 ∈ ℂ :פונקציה 𝒛 𝒇 רציפה בכל המישור המרוכב ( .) 𝒇 ∈ 𝑪 ℂ 𝒚 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 , 𝒘 = 𝒇 𝒛 = 𝐮 𝒙, 𝒚 + 𝒊 𝐯 𝒙, 𝐮, 𝐯: ℝ𝟐 → ℝ 𝒙, 𝒚, 𝐮, 𝐯 ∈ ℝ , 𝒛, 𝒘 ∈ ℂ , פונקציה 𝒛 𝒇 רציפה פונקציות ממשיות 𝒚 - 𝐯 𝒙,𝒚 ,𝐮 𝒙,רציפות 27 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II נגזרת של פונקציה מרוכבת 𝒛𝟎 ∈ 𝐢𝐧𝐭 𝑮 ⊆ ℂ , 𝒇′ 𝒛𝟎 𝒇 𝒛 : 𝑮 → 𝑮′ ⊆ ℂ , 𝒇∈𝑪 𝑮 𝒇 𝒛𝟎 + ∆𝒛 − 𝒇 𝒛𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒛→𝟎 ∆𝒛 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟎 + ∆𝒛 = 𝒇 𝒛𝟎 + 𝒇′ 𝒛𝟎 ⋅ ∆𝒛 + 𝜶 ∆𝒛 ⋅ ∆𝒛𝟐 , ∆𝒛 → 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝜶 ∆𝒛 < ∞ 𝜶 ∆𝒛 : ቐ ∆𝒛→𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝜶 ∆𝒛 ⋅ ∆𝒛 = 𝟎 ∆𝒛→𝟎 𝒇′ 28 𝒛𝟎 𝒇′ 𝒛𝟎 ⋅ ∆𝒛 + 𝜶 ∆𝒛 ⋅ ∆𝒛𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒇′ 𝒛𝟎 + 𝜶 ∆𝒛 ⋅ ∆𝒛 ∆𝒛→𝟎 ∆𝒛→𝟎 ∆𝒛 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒇 𝒛𝟎 +∆𝒛 −𝒇 𝒛𝟎 ∆𝒛 ∆𝒛→𝟎 𝒇′ 𝒛𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 , ∆𝒛 ∈ ℂ Part II ∆𝒛 = ∆𝒙 + 𝒊 ∆𝒚 → 𝟎 ∆𝒛 = ∆𝒙 + 𝒊 𝟎 : ′ 𝒇 𝒛𝟎 𝐮 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 − 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 + 𝒊 𝟎 = 𝐮 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 − 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 𝐯 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 − 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐥𝐢𝐦 = ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 ∆𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐮′𝒙 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯𝒙′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 𝒊𝒚 ∆𝒛 = 𝒊∆𝒚 𝒛𝟎 ∆𝒛 = ∆𝒙 ∆𝒛 = 𝟎 + 𝒊 ∆𝒚: 𝒇′ 𝒛𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚→𝟎 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + ∆𝒚 + 𝒊 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + ∆𝒚 − 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 𝟎 + 𝒊∆𝒚 𝒙 = 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + ∆𝒚 − 𝐮 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + ∆𝒚 − 𝐯 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐥𝐢𝐦 = ∆𝒚→𝟎 ∆𝒚→𝟎 𝒊 ∆𝒚 𝒊 ∆𝒚 = 𝐥𝐢𝐦 = −𝒊 𝐮′𝒚 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝐯𝒚′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II פונקציה מרוכבת 𝒛 𝒇 נקראת גזירה (במובן מרוכב) בנקודה 𝟎𝒛 אך ורק אם הנגזרת שלה 𝟎𝒛 𝒇′איננה תלויה בבחירה של 𝒛∆ . 𝟎𝒚 𝐮′𝒙 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯𝒙′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 = −𝒊 𝐮′𝒚 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝐯𝒚′ 𝒙𝟎 , 𝟎𝒛 𝒇 𝒇 𝒛𝟎 + ∆𝒛 − 𝐦𝐢𝐥 = 𝟎→𝒛∆ 𝒛∆ (לכל בחירה ב)∆𝒛- 𝟎𝒚𝐮′𝒙 𝒙𝟎 ,𝒚𝟎 = 𝐯𝒚′ 𝒙𝟎 , תנאי :Cauchy-Riemann ቐ 𝟎𝒚𝐮′𝒚 𝒙𝟎 ,𝒚𝟎 = −𝐯𝒙′ 𝒙𝟎 , = 𝟎𝒚 𝒇′ 𝒛𝟎 = 𝐮′𝒙 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯𝒙′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 = 𝐯𝒚′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 − 𝒊 𝐮′𝒚 𝒙𝟎 , 𝟎𝒚 = 𝐮′𝒙 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 − 𝒊 𝐮′𝒚 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 = 𝐯𝒚′ 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 + 𝒊 𝐯𝒙′ 𝒙𝟎 , Part II Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace דוגמה: 𝒇 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒛ത = ณ 𝒙−𝒊 ณ 𝒚 𝐮 𝐯− תנאי Cauchy-Riemannאינו מתקיים: 𝟏𝐮′𝒙 = 𝟏 ≠ 𝐯𝒚′ = − 𝟎 = −𝐯𝒙′ = 𝟎= 𝒚𝐮′ ቐ הפונקציה אינה גזירה דוגמה: 𝟎=𝐯 𝟐𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝟐 𝒛 = 𝒚𝒊 𝒇 𝒛 = 𝒙 + 𝐮 תנאי Cauchy-Riemannאינו מתקיים: 𝟎 = 𝐮′𝒙 = 𝟐𝒙 ≠ 𝐯𝒚′ 𝟎 = −𝐯𝒙′ ≠ 𝒚𝟐 = 𝒚𝐮′ ቐ הפונקציה אינה גזירה דוגמה: הפונקציה אינה גזירה 𝟎=𝐯 הפונקציה אינה גזירה 𝟎=𝐯 𝒇 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝐈𝐦 𝒛 = ณ 𝒚 𝐮 𝒇 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝐑𝐞 𝒛 = ณ 𝒚 𝐮 31 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II :כללי גזירה של פונקציה מרוכבת ′ 𝒇 𝒛 +𝒈 𝒛 ′ 𝒇 𝒛 ⋅𝒈 𝒛 𝒇 𝒛 ′ ൘𝒈 𝒛 𝒈 𝒇 𝒛 32 ′ = 𝒇′ 𝒛 + 𝒈′ 𝒛 = 𝒇′ 𝒛 ⋅ 𝒈 𝒛 + 𝒇 𝒛 ⋅ 𝒈′ 𝒛 𝒇′ 𝒛 ⋅ 𝒈 𝒛 + 𝒇 𝒛 ⋅ 𝒈′ 𝒛 = 𝒈 𝒛 𝟐 = 𝒈′ 𝒇 𝒛 ⋅ 𝒇′ 𝒛 𝒈 𝒛 ≠𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II ✓ קבוצה 𝑮 ⊆ ℂנקראת קבוצה פתוחה ,אם כול הנקודות שלה הן פנימיות: 𝑮 𝐭𝐧𝐢 ∈ 𝒛 ∀𝒛 ∈ 𝑮: ✓ קבוצה 𝑮 ⊆ ℂנקראת קבוצה קשירה ,אם כל זוג של נקודות הקבוצה ניתן לחבר בקו שכולו יימצא בתוך הקבוצה. 𝟏𝒛 𝟐𝒛 𝑮 קבוצה קשירה 𝟏𝒛 𝑮 𝟐𝒛 קבוצה לא קשירה ✓ קבוצה 𝑮 ⊆ ℂשהיא פתוה וקשירה נקראת תחום (.)domain ✓ഥ 𝑮 ̶ תחום 𝑮 +הגבולות. 33 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II ✓ פונקציה מרוכבת גזירה (במובן מרוכב) בתחומה נקראת פונקציה הולומורפית ( .) holomorphic function ✓ פונקציה מרוכבת שניתן להציג אותה כטור חזקות (טור )Taylorנקראת פונקציה אנליטית ( .) analytic function holomorphic function ➔ analytic function ✓ פונקציה מרוכבת גזירה (אנליטית \ הולומורפית) ,היא גזירה אין-סוף פעם: 𝒇∈𝑪 𝑮⊆ℂ גזירה מסדר ראשון / Lemma Goursat / 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮 ⊆ ℂ ➔ 𝒇 ∈ 𝑪𝟐 𝑮 ⊆ ℂ … 𝒇 ∈ 𝑪∞ 𝑮 ⊆ ℂ 34 Part II Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace דוגמה: (תבעי) 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … – natural 𝒏𝒛 = 𝒛 𝒇 𝒏𝒛 𝒏 − 𝒛 + 𝒛∆ 𝐦𝐢𝐥 = 𝒇′ 𝒛 = 𝒛𝒏 ′ = 𝟎→𝒛∆ 𝒛∆ 𝟐 𝟐𝒏 𝒏 − 𝟏 𝒏− 𝒛 𝒏𝒛 ∆𝒛 + ⋯ − 𝟐 𝟏= 𝒏 𝒛𝒏− 𝒛∆ 𝒛𝒏 + 𝒏 𝒛𝒏−𝟏 ∆𝒛 + 𝐦𝐢𝐥 = 𝟎→𝒛∆ פונקציה אנליטית בכול המישור המרוכב ➔ דוגמה: 𝒚 𝐧𝐢𝐬 𝒙𝒆 = 𝐯 ➔ 𝐮 = 𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 , תנאי Cauchy-Riemannמתקיים: 𝒚 𝐧𝐢𝐬 𝒊 𝒇 𝒛 = 𝒆𝒛 = 𝒆𝒙 𝒆𝒊𝒚 = 𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒚 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒆 = = 𝐯𝒚′ 𝒚 𝐧𝐢𝐬 𝒛𝒆 ̶ פונקציה אנליטית בכול המישור המרוכב ➔ 𝒙𝒆− = −𝐯𝒙′ = 𝒚 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒆 = 𝒙𝐮′ 𝒚 𝐧𝐢𝐬 𝒙𝒆− = 𝒚𝐮′ ൞ 35 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝐜𝐡 𝒛 𝒆+𝒛 + 𝒆−𝒛 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 = 𝟐 𝒆+𝒊𝒛 + 𝒆−𝒊𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝒛 = 𝟐 𝐬𝐡 𝒛 Part II 𝒆+𝒛 − 𝒆−𝒛 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 = 𝟐 𝒆+𝒊𝒛 − 𝒆−𝒊𝒛 𝐬𝐢𝐧 𝒛 = 𝟐𝒊 +𝒛 − 𝒆−𝒛 𝒆 𝐜𝐨𝐬𝐡′ 𝒛 = = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 𝟐 𝒆+𝒛 + 𝒆−𝒛 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 = = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝟐 ′ +𝒊𝒛 −𝒊𝒛 +𝒊𝒛 −𝒊𝒛 𝒊 𝒆 − 𝒊 𝒆 𝒆 − 𝒆 𝐜𝐨𝐬′ 𝒛 = =− = −𝐬𝐢𝐧 𝒛 𝟐 𝟐𝒊 +𝒊𝒛 + 𝒊 𝒆−𝒊𝒛 +𝒊𝒛 + 𝒆−𝒊𝒛 𝒊 𝒆 𝒆 𝐬𝐢𝐧′ 𝒛 = = = 𝐜𝐨𝐬 𝒛 𝟐𝒊 𝟐 36 הפונקציות הן אנליטיות בכול המישור המרוכב Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part II 𝒆+𝒊𝒛 + 𝒆−𝒊𝒛 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒊𝒛 = = 𝐜𝐨𝐬 𝒛 𝟐 𝒆+𝒊𝒛 − 𝒆−𝒊𝒛 𝒆+𝒊𝒛 − 𝒆−𝒊𝒛 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒊𝒛 = =𝒊 = 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒛 𝟐 𝟐𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝒊𝒛 = 𝐬𝐢𝐧 𝒊𝒛 = 𝒆+𝒊 𝒊𝒛 𝒆+𝒊 𝒊𝒛 + 𝒆−𝒊 𝟐 𝒊𝒛 𝒆−𝒛 + 𝒆+𝒛 = = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝟐 − 𝒆−𝒊 𝒊𝒛 𝒆−𝒛 − 𝒆+𝒛 = = 𝒊 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 𝟐𝒊 𝟐𝒊 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒛 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒛 = 𝟏 +𝒛 + 𝒆−𝒛 𝒆 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒛 − 𝐬𝐢𝐧𝐡𝟐 𝒛 = 𝟐 37 𝟐 𝒆+𝒛 − 𝒆−𝒛 − 𝟐 𝟐 =𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝐮′𝒙 = 𝐯𝒚′ ቐ 𝐮′𝒚 = −𝐯𝒙′ ′′ 𝐮′′ 𝒙𝒙 = 𝐯𝒚𝒙 ➔ ቐ :Cauchy-Riemann תנאי ′′ = 𝐯𝒙𝒚 ′′ 𝐮′′ 𝒚𝒚 = −𝐯𝒙𝒚 ∆ 𝟐 ′′ 𝐮 = 𝐮′′ 𝒙𝒙 + 𝐮𝒚𝒚 = 𝟎 ∆ 𝟐 ′′ + 𝐯 ′′ = 𝟎 𝐯 = 𝐯𝒙𝒙 𝒚𝒚 מימדיות- דוLaplace משוואות ) harmonic functions ( 𝐯 – פונקציות הרמוניות,𝐮 38 Part II Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace .IIIאינטגרציה של פונקציות אנליטית מרוכבות Integration of analytic complex functions • עקומה 𝚪: 𝒛 = 𝒛 𝒕 , 𝒕 ∈ ℝ, 𝒕: 𝒕𝟎 , 𝒕𝟏 , 𝒃 = 𝟏𝒕 𝒛 𝒛 ∈ ℂ, 𝒛 𝒕𝟎 = 𝒂, נקראת עקומה חלקה (רגולרית) ,אם: 𝟎≠ 𝟐 𝒚𝐝 𝒕𝐝 + 𝟐 𝒙𝐝 𝒕𝐝 ⇒ 𝟎≠ 𝒛𝐝 𝒕𝐝 𝒚𝐝 𝒊 , 𝒕𝐝 𝟏𝒕= 𝒛ሶ ≠ 𝟎 ∀𝒕: 𝒕𝟎 , 𝒙𝐝 + 𝒕𝐝 = 𝒛𝐝 𝒕𝐝 ⇒ 𝒛𝐝 𝒕𝐝 𝒕 𝒚𝒊𝒛 𝒕 =𝒙 𝒕 + • עקומה 𝟏𝒕 𝚪: 𝒛 = 𝒛 𝒕 , 𝒕: 𝒕𝟎 ,נקראת סגורה ,אם 𝟏𝒕 𝒛 = 𝟎𝒕 𝒛 . • עקומה 𝟏𝒕 𝚪: 𝒛 = 𝒛 𝒕 , 𝒕: 𝒕𝟎 ,נקראת פשוטה ,אם חד-חד-ערכית. • עקומה פשוטה וסגורה עקומת Jordan 𝒕 𝒛 היא פונקציה 39 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III • עקומה 𝚪 נקראת חלקה למקוטעין ,אם היא חלקה פרט ממספר סופי של נקודות אי-רציפות עקומות חלקות𝚪𝟏 ,𝚪𝟐 ,𝚪𝟑 , … ,𝚪𝒏 : = 𝚪𝟏 ∪ 𝚪𝟐 ∪ 𝚪𝟑 ∪ ⋯ ∪ 𝚪𝒏 𝒏 𝟏=𝒋 𝒋𝚪 ∪ = 𝚪 𝟐𝚪 … 𝒏𝚪 𝟑𝚪 𝟏𝚪 40 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III יהיה 𝟏𝒕 - 𝚪: 𝒛 = 𝒛 𝒕 , 𝒕: 𝒕𝟎 ,עקומה חלקה למקוטעין שנמצאת בתחום , 𝑮 ⊆ ℂ יהיה - 𝒇: 𝚪 ⊂ 𝑮 → ℂפונקציה מרוכבת רציפה על עקומה 𝚪 , 𝒕 𝒚𝒊𝒛 𝒕 =𝒙 𝒕 + 𝒚 𝒇 𝒛 = 𝐮 𝒙, 𝒚 + 𝒊 𝐯 𝒙, = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝚪 𝒚𝐝 𝐮 = න 𝐮 + 𝒊 𝐯 𝐝𝒙 + 𝒊 𝐝𝒚 = න 𝐮 𝐝𝒙 − 𝐯 𝐝𝒚 + 𝒊 න 𝐯 𝐝𝒙 + 𝚪 𝚪 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 𝚪 41 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III )(אינטגרציה בפרמטר න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒙 + 𝒊 𝐝𝒚 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒙 + 𝒊 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒚 = 𝚪 𝚪 𝒕𝟏 𝐝𝒛 𝚪 𝚪 𝒕𝟏 = න 𝒇 𝒛 𝒙′ 𝒕 𝐝𝒕 + 𝒊 න 𝒇 𝒛 𝒚′ 𝒕 𝐝𝒕 = 𝒕𝟎 𝒕𝟏 𝒕𝟎 𝒕𝟏 = න 𝒇 𝒛 𝒙′ 𝒕 + 𝒊 𝒚′ 𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒇 𝒛 𝒛′ 𝒕 𝐝𝒕 𝒕𝟎 42 𝒕𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III :תכונות בסיסיות של אינטגרציה න 𝜶 𝒇 𝒛 + 𝜷 𝒈 𝒛 𝐝𝒛 = 𝜶 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 + 𝜷 න 𝒈 𝒛 𝐝𝒛 𝚪 𝚪 𝚪 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 + න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 𝚪𝟏 ∪𝚪𝟐 𝚪𝟏 𝚪𝟐 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 ≤ න 𝒇 𝒛 𝚪 𝐝𝒛 𝚪 ! כיוון העברת עקומה באינטגרציה משפיע:הערה 𝒕𝟏 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝒛′ 𝒕 𝐝𝒕 43 𝚪+ 𝒕𝟎 𝒕𝟎 =− න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝒛′ 𝒕 𝐝𝒕 𝚪− 𝒕𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝑰= න 𝒛−𝒂 𝒏 𝐝𝒛 , Part III :דוגמה 𝒏 = ⋯ , −𝟐, −𝟏, 𝟎, +𝟏, +𝟐, ⋯ 𝚪𝑹 𝒂 𝒂∈ℂ 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝚪𝑹 𝒂 𝚪𝑹 𝒂 = 𝒛: 𝒛 − 𝒂 = 𝑹 𝑹∈ℝ 𝒂 𝑹>𝟎 𝒛 = 𝒛 𝒕 = 𝒂 + 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 𝒕 ∈ 𝟎, 𝟐𝝅 𝒛′ 𝒕 = 𝒊 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 𝐑𝐞 𝒛 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝑰=න 𝒛 𝒕 −𝒂 𝒏 𝒏 𝒛′ 𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒂 + 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 − 𝒂 𝟎 𝒛′ 𝒕 𝒊 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 𝐝𝒕 = 𝟎 𝟐𝝅 = 𝒊 𝑹𝒏+𝟏 න 𝒆𝒊 𝟎 44 𝒛 𝒕 𝟐𝝅 𝒏+𝟏 𝒕 𝐝𝒕 = 𝒊 𝑹𝒏+𝟏 න 𝐜𝐨𝐬 𝒏 + 𝟏 𝒕 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏 + 𝟏 𝒕 𝟎 𝟎, 𝒏 ≠ −𝟏 =ቊ 𝟐𝝅 𝒊, 𝒏 = −𝟏 𝐝𝒕 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III Cauchy משפט Cauchy's integral theorem .𝑮 ⊂ ℂ מסביב לתחוםJordan יהיה 𝚪 – עקומת 𝒇 𝒛 : 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮 , 𝒇 ∈ 𝑪 𝚪 𝚪 𝒊𝒚 𝑮 יהיה פונקציה .)𝚪 (אנליטית בתחום 𝑮 ורציפה על העקומה :אז 𝒙 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟎 𝚪 න 𝑷 𝐝𝒙 + 𝑸 𝐝𝒚 = ඵ 𝑸′𝒙 − 𝑷′𝒚 𝐝𝒙 𝐝𝒚 𝚪 𝑮 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝐮 𝐝𝒙 − 𝐯 𝐝𝒚 + 𝒊 න 𝐯 𝐝𝒙 + 𝐮 𝐝𝒚 = 𝚪 𝚪 = ඵ −𝐯 𝑮 ′ 𝒙 :Green משפט 𝚪 − 𝐮′𝒚 𝐝𝒙 𝐝𝒚 + 𝒊 ඵ 𝐮′𝒙 − 𝐯𝒚′ 𝐝𝒙 𝐝𝒚 = 𝟎 𝑮 :Cauchy-Riemann תנאי 𝐮′𝒙 = 𝐯𝒚′ , 𝐮′𝒚 = −𝐯𝒙′ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III יהיה 𝟎𝚪 – עקומת Jordanסגורה .יהיה 𝒏𝚪 - 𝚪𝟏 ,𝚪𝟐 , … ,עקומות Jordanסגורות ללא חפיפות בינן .גבול 𝒏𝚪 ∪ ⋯ ∪ 𝟐𝚪 ∪ 𝟏𝚪 ∪ 𝟎𝚪 = 𝚪 מגדיר תחום 𝑮. כיוון העברה של תחום הנה חיובי אם התחום נמצא בצד שמאל .חתך עוברים פעמיים (שני חופים של חתך). 𝒏 𝟎 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 + න 𝒋=𝟏 𝚪 + 𝒋 𝚪𝟎+ 𝚪 𝟎𝚪 – לכל פונקציה אנליטית בתחום 𝑮. 𝑮 𝟏𝚪 להוכחה :מוסיפים חתכים על מנת לחזור לתחום פשוט כמו שקודם .כול חתך עוברים פעמיים (לוך ושוב) ,כך 𝒏𝚪 𝟐𝚪 𝟑𝚪 שאינטגרציות על החתכים שוות אפס. 46 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III :דוגמה 𝒇 𝒛 = 𝟏ൗ𝒛 = 𝒛ത 𝒙 − 𝒊𝒚 = 𝒛 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝐮= 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝐯=− 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 𝟐 − 𝒙𝟐 𝒙 + 𝒚 − 𝒙 𝟐𝒙 𝒙 + 𝒚 − 𝒚 𝟐𝒚 𝒚 𝒚 𝐮′𝒙 = = 𝟐 = 𝐯𝒚′ = − = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 +𝒚 𝒙 +𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 𝒙 + 𝒚𝟐 𝟐 𝐮′𝒚 = −𝒙 𝟐𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 = −𝟐𝒙𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = − 𝐯𝒙′ = − 𝟐 −𝒚 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 = 𝟐𝒙𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 . ℂ/ 𝒛 = 𝟎 הפונקציה אנליטית בתחום 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝑹 𝚪𝑹 𝟎 න 𝐑𝐞 𝒛 𝚪 𝐝𝒛 𝒛 =𝟎 : 𝒛 = 𝟎 לכל עקומה 𝚪 שאינה עוקפת את הנקודה :𝑹∈ℝ 𝑹 > 𝟎 , 𝚪𝑹 𝟎 = 𝒛: 𝒛 = 𝑹 לעקומה 𝒛′ 𝒕 = 𝒊 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 , 𝒛 = 𝒛 𝒕 = 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 𝒕 ∈ 𝟎,𝟐𝝅 න 𝚪𝑹 𝟎 𝐝𝒛 𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 𝐝𝒕 𝟎 𝑹 𝒆𝒊 𝒕 = 𝒊 𝟐𝝅 ➔ න 𝚪 𝐝𝒛 𝒛 𝟎, 𝒛 = 𝟎 𝐧𝐨𝐭 𝐢𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞 𝚪 =ቊ 𝟐𝝅 𝒊, 𝒛 = 𝟎 𝐢𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞 𝚪 Part III Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace נוסחה אינטגרלית של Cauchy Cauchy's integral formula יהיה – 𝑮 ⊂ ℂתחום עם גבול 𝚪 שנתון ע"י עקומת .Jordan יהיה פונקציה 𝚪 𝑪 ∈ 𝒇 𝒇 𝒛 : 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮 , (אנליטית בתחום 𝑮 ורציפה על הגבול 𝚪). אז: 𝑮 ∈ 𝟎𝒛∀ 𝟏 𝒛 𝒇 = න 𝒛𝐝 𝟎𝒛 𝟐𝝅 𝒊 𝒛 − 𝟎𝒛 𝒇 𝚪 𝚪 𝟎𝒛 𝑮 𝒚𝒊 (ערך של פונקציה אנליטית בכל נקודה בתוך תחום מוגדרת ע"י ערכי הפונקציה על גבול התחום). 𝒙 48 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III 𝚪 הוכחה: הפונקציה 𝒛 𝒇 𝟎𝒛𝒛− − 𝑹𝚪 היא אנליטית בכל תחום 𝑮 חוץ מין הנקודה 𝟎𝒛 = 𝒛 . 𝑹 𝟎𝒛 𝑮′ נוסיף עיגול 𝑹𝚪 ברדיוס Rמסביב לנקודה 𝟎𝒛 ונגדיר תחום 𝑹𝚪 𝑮′ : 𝑮/ הפונקציה 𝒛 𝒇 𝟎𝒛𝒛− 𝒛 𝒇 𝒛𝐝 𝟎𝒛𝒛− היא אנליטית בתחום .𝑮′ 𝒛 𝒇 𝚪 ➔ 𝟎 = 𝚪 + = 𝒛𝐝 𝒛𝒛− 𝟎 𝑹 לפי דוגמה משקף = 𝟐𝝅 𝒊 :44 𝒛𝐝 𝟎 𝟎→𝑹 𝑮 𝟎𝒛 𝒇𝒇 𝒛 − 𝟎𝒛𝒛− 𝜺𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 𝜺 𝑹 𝚪 + = 𝑹 𝚪 + ≤ 𝑹 𝒛𝐝 𝟎𝒛𝒛− 𝑹 ( නלא תלויה ברדיוס .)Rלכן: 𝟎𝒛 𝒛𝐝 𝟎𝒛𝒛− 𝜺≤ 𝒛 𝒇 𝒛𝐝 𝟎𝒛𝒛− 𝚪 − + 𝒛 𝒇 𝒛𝐝 𝟎𝒛𝒛− 𝚪 = 𝒛 𝒇 𝒛𝐝 𝒛𝚪∪𝚪 − 𝒛− 𝟎 𝑹 + 𝑹𝚪 𝒛𝟎 න 𝟎𝒛 𝑹𝚪 𝒛 𝒇 𝒇 𝐝𝒛 − 𝟎𝒛𝒛− 𝚪 + = 𝑹 𝑹𝚪 𝑪 ∈ 𝒛 𝒇 𝟎𝒛 𝒇 = 𝑹 ≤ 𝜹 → 𝒇 𝒛 − 𝟎𝒛 𝒛 − 𝒛 𝒇 𝒛 𝒇 𝐝𝒛 = න 𝟎𝒛 𝒇 𝒊𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 𝟎𝒛 𝒛 − 𝟎𝒛 𝒛 − + 𝑹𝚪 𝟎𝒛 𝒇 𝒊𝝅𝟐 න 𝚪 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 𝐝𝒛 − 𝟎𝒛𝒛− 𝟎𝒛 𝒇𝒇 𝒛 − 𝟎𝒛𝒛− 𝚪 + 𝑹 𝚪 + ≤ 𝑹 Part III Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace יהיה 𝚪 – עקומת Jordanסגורה וחלקה למקוטעין שמגדירה תחום .𝑮 ⊂ ℂ יהיה פונקציה 𝑮 𝟏𝑪 ∈ 𝒇 ( 𝒇 𝒛 :אנליטית בתחום 𝑮). האינטגרל 𝒛 𝑭 𝒛 = න 𝒇 𝒛′ 𝐝𝒛′ 𝚪 𝒂 אינו תלוי בעקומה 𝜸 שלאורכה הוא מחושב. כלומר𝜸′ 𝒇 𝒛′ 𝐝𝒛′ = 𝟎 , 𝜸 𝒇 𝒛′ 𝐝𝒛′ + לכל 𝜸 ו.𝜸′- 𝒛 𝜸′ 𝜸 𝑮 𝒂 נגזרת של פונקציה קדומה 𝒛 𝑭.𝑭′ 𝒛 = 𝒇 𝒛 : 𝑭 שאת הנגזרת שלה 𝒛 𝒇 = 𝒛 ෩ ′ כל פונקציה 𝒛 ෩ 𝑭 שונה מ 𝑭 𝒛 -רק בקבוע: 𝐭𝐬𝐧𝐨𝐜 ෩ 𝒛 = 𝑭 𝒛 + 𝑭. 50 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III יהיה – 𝑮 ⊂ ℂתחום עם גבול 𝚪 שנתון ע"י עקומת .Jordan יהיה פונקציה 𝚪 𝑪 ∈ 𝒇 𝒇 𝒛 : 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮 , (אנליטית בתחום 𝑮 ורציפה על הגבול 𝚪). נוסחה אינטגרלית של :Cauchy 𝑮 ∈ 𝟎𝒛∀ 𝚪 𝟎𝒛 𝟏 𝒛 𝒇 = න 𝒛𝐝 𝟎𝒛 𝟐𝝅 𝒊 𝒛 − 𝑮 𝟎𝒛 𝒇 𝚪 לפי ( Lemma Goursatראה פרק ,)IIפונקציה אנליטית גזירה אין סוף פעם. 𝒛𝐝 𝟏𝒏+ !𝒏 𝒛 𝒇 = න 𝒊 𝝅𝟐 𝟎𝒛 𝒛 − 𝟎𝒛 𝒏 𝒇 𝚪 51 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III משפט Morera יהיה פונקציה ( 𝒇 𝒛 : 𝒇 ∈ 𝑪 𝑮 ⊂ ℂרציפה בתחום .)𝑮 ⊂ ℂ יהיה 𝟎 = න 𝒇 𝒛′ 𝐝𝒛′ 𝚪 לכל עקומה 𝚪 סגורה וחלקה למקוטעין בתחום 𝑮. אז הפונקציה 𝒛 𝒇 אנליטית (הומוגנית) בתחום 𝑮. להוכחה: 𝒛 נגדיר עקומה 𝚪: 𝜸 ∪ 𝜸′כפי שבאיור ,ונגדיר פונקציה קדומה במסלול 𝜸: 𝒛 𝜸 𝒂 𝒇 𝒛′ 𝐝𝒛′ห = 𝒛 𝑭 .את הפונקציה 𝒛 𝑭 – היא אנליטית, לכן גם פונקציה 𝒛 𝒇 = 𝒛 – 𝑭′היא אנליטית בתחום 𝑮. 𝜸′ 𝜸 𝑮 𝒂 52 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III דוגמה: ∞ ∞ 𝒙𝐝 𝟐𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝟎 = 𝟏𝑰 אינטגרציות 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐 𝐝𝒙 Fresnel = 𝟐𝑰 𝟐 אינטגרציה מפונקציה אנליטית 𝒛 𝒊𝒆 לאורך עקומה סגורה 𝜸 ∪ 𝑹𝑪 ∪ 𝑹 𝟎,שווה ל:0- 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚𝒊 𝑹 𝟎 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒊𝒆 න 𝒆𝒊 𝒙 𝐝𝒙 + න 𝒆𝒊 𝒛 𝐝𝒛 + න 𝑹𝑪 𝜸 𝜸 𝑹𝑪 𝟎 𝒙 𝑹 נגדיר פרמטריזציה (תיאור פרמטרי) לעקומה 𝑹𝑪𝒛 = 𝑹 𝒆𝒊𝝋 , 𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝝅Τ𝟒 : 𝝋𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝑹 𝒊 ➔ 𝒛𝟐 = 𝑹𝟐 𝒆𝒊𝟐𝝋 = 𝑹𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝋 + 𝝋𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟎 ∞→𝑹 𝟎≥ 𝝋𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟎 𝟐 𝑹= 𝒆− 𝝋𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝑹𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝋 − 𝟐 𝑹 𝒊𝒆 = 𝟐 𝒛 𝒊𝒆 𝟐 ∞→𝑹 𝒛𝐝 𝒛 𝒊𝒆 𝑪 ➔ 𝑹 53 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part III :המשך הדוגמה :𝜸 נגדיר פרמטריזציה (תיאור פרמטרי) לעקומה 𝟐 𝟐 𝒛 = 𝒓 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟒 , 𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝑹 ➔ 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟐 = 𝒊 𝒓𝟐 ➔𝒆𝒊 𝒛 ቚ = 𝒆−𝒓 𝜸 𝟎 𝟐 𝑹 𝟐 𝟐 𝒆 𝑹 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒊𝒆 𝜸−𝒓 𝐝 𝒓 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟒 = −𝒆𝒊 𝝅Τ𝟒 𝒆 𝟎−𝒓 𝐝𝒓 𝑹 𝟐 𝟐 𝟐 න 𝒆𝒊 𝒙 𝐝𝒙 = − න 𝒆𝒊 𝒛 𝐝𝒛 − න 𝒆𝒊 𝒛 𝐝𝒛 𝟎 𝑪𝑹 𝜸 ∞ 𝑰𝟏 = න 𝐜𝐨𝐬 ∞ 𝒙𝟐 𝟎 𝟎 ∞ ∞ 𝟐 𝑰𝟐 = න 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟎 54 𝐝𝒙 = 𝐑𝐞 න 𝟐 𝒊 𝒙 𝒆 𝐝𝒙 𝐝𝒙 = 𝐈𝐦 න 𝒆 𝟎 𝒊 𝒙𝟐 𝑹→∞ 𝑹→∞ − 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟒 𝒆𝒊 𝝅Τ𝟒 𝝅 = = 𝟐 𝟐 𝝅ൗ 𝟐 𝟏 𝝅ൗ 𝟖 𝟏 𝝅ൗ 𝟖 𝝅 𝐝𝒙 = = 𝟐 𝟐 𝝅ൗ 𝟐 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace VI.טורי חזקות Power series ∞ 𝒏 𝒂 + ⋯ = 𝑪𝒏 𝒛 − 𝟐 𝒂 𝑪𝟎 + 𝑪𝟏 𝒛 − 𝒂 + 𝑪𝟐 𝒛 − 𝟎=𝒏 אם הטור מתכנס בנקודה 𝟎𝒛 ,הוא מתכנס בכל נקודה 𝒂 𝒛: 𝒛 − 𝒂 < 𝒛𝟎 − תחום התכנסות של הטור הנה עיגול בעל רדיוס 𝒛 𝟎𝒛 נקודת התכנסות 𝑹 = 𝐬𝐮𝐩 𝒛 − 𝒂 : 𝒛 ∈ ℂ − 𝒂 משפט :Cauchy-Hadamard יהיה 𝒏𝑪 𝒏 𝐦𝐢𝐥 = 𝒍 (נקודת הצטברות העליונה של מקדמי טור החזקות). ∞→𝒏 רדיוס של תחום ההתכנסות של הטור הנה𝑪𝒏 : 𝒏 𝐦𝐢𝐥 . 𝑹 = 𝟏Τ𝒍 = 𝟏ൗ ∞→𝒏 55 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace :אם קיים הגבול 𝑪𝒏 𝑹 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝑪𝒏+𝟏 :דוגמה ∞ 𝟏+𝒊 𝒏 𝒏 𝒛 𝒏 𝟑𝒏 𝒏=𝟎 𝒍 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟏+𝒊 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏 𝒏→∞ 𝒏𝟑 𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 = 𝒆 𝒏→∞ 𝟑 𝒏 Τ𝒏 𝑪𝒏 𝒏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 −𝐥𝐧 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒆 𝒏 𝟑𝒏 𝟑 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟑 𝒏→∞ 𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 = 𝒆 𝒏→∞ 𝟑 𝟏Τ𝒏ൗ 𝟏 𝑹= 56 = 𝟐ൗ𝟑 𝟏 𝟑 = ൗ 𝒍 𝟐 𝒏 Τ𝒏 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV Taylor טור Taylor series ∞ 𝒇 𝒛 = 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 𝒏 𝒏=𝟎 . מתכנסTaylor פונקציה 𝒛 𝒇 היא אנליטית בכל התחום בו טור 𝒇′ȁ𝒛=𝒂 = 𝑪𝟏 𝒇′′ȁ𝒛=𝒂 = 𝟐𝑪𝟐 … :Taylor מקדמי טור 𝑪𝒏 = 57 𝒇 𝒏 𝒛=𝒂 𝒏! Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV : לפונקציות חשובותTaylor טורי ∞ 𝒛𝟐 𝒏 𝒛 𝒆𝒛 = 𝟏 + 𝒛 + + ⋯ = 𝟐! 𝒏! 𝒏=𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒛 = 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝒛 = 𝒛 − 𝒛𝟐 𝟐! 𝒛𝟑 𝟑! + + 𝒛𝟒 𝟒! 𝒛𝟓 𝟓! ∞ − ⋯ = −𝟏 𝒏 𝒛𝟐𝒏 𝟐𝒏 ! 𝒏 𝒛𝟐𝒏+𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏 ! 𝒏=𝟎 ∞ − ⋯ = −𝟏 𝒏=𝟎 ∞ 𝒆+𝒛 + 𝒆−𝒛 𝒛𝟐 𝒛𝟒 𝒛𝟐𝒏 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 = =𝟏+ + −⋯= 𝟐 𝟐! 𝟒! 𝟐𝒏 ! 𝒏=𝟎 ∞ 𝒆+𝒛 − 𝒆−𝒛 𝒛𝟑 𝒛𝟓 𝒛𝟐𝒏+𝟏 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒛 = =𝒛+ + +⋯= 𝟐 𝟑! 𝟓! 𝟐𝒏 + 𝟏 ! 𝒏=𝟎 58 .ℂ 𝒛 𝐡𝐧𝐢𝐬 הן אנליטיות בכול התחום- 𝒛 𝐡𝐬𝐨𝐜 ו,𝐬𝐢𝐧 𝒛 ,𝐜𝐨𝐬 𝒛 ,𝒆𝒛 הפונקציות Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV טור Laurent ∞ 𝒏 𝒂 + 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒏 𝟎=𝒏 Laurent series ∗ 𝐬𝐞𝐢𝐫𝐞𝐬 𝐫𝐨𝐥𝐲𝐚𝐓 טור ∗ מתכנס בתחום: ∞ 𝒏𝑪− = 𝒂𝒛− 𝑹< 𝒂𝒛− ∞+ 𝒏 𝒂 𝑪𝒏 𝒛 − ∞𝒏=− 𝟏=𝒏 ∗∗ 𝑪𝒏 , טור ∗∗ מתבדר בנקודה 𝒂 = 𝒛 ומתכנס בתחום: 𝒏 𝐦𝐢𝐥 𝑹 = 𝟏ൗ ∞→𝒏 𝒓> 𝒂𝒛− 𝑪−𝒏 , 𝒏 𝐦𝐢𝐥 = 𝒓 ∞→𝒏 טור Laurentמתכנס בתחום: 𝑹 < 𝒂 ( 𝒓 < 𝒛 −אם 𝑹 < 𝒓) אם 𝑹 ≥ 𝒓 ,טור Laurentאו שלא מתכנס, 𝒓 𝑹 𝒂 או מתכנס רק בנקודות בודדות. 59 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV בתחום ההתכנסות של טור ,Laurentפונקציה ∞+ 𝒏 𝒂 𝒇 𝒛 = 𝑪𝒏 𝒛 − ∞𝒏=− מתכנסת ,הנגזרת ∞+ 𝟏𝒏− 𝒂 𝒇′ 𝒛 = 𝑪𝒏 𝒏 𝒛 − ∞𝒏=− מתקיימת הפונקציה אנליטית בתחום בו טור Laurentמתכנס 𝑹 < 𝒂 . 𝒓 < 𝒛 − 𝒛 𝒇 𝒂 𝒏𝒇 = 𝒛𝐝 𝟏𝒏+ 𝒂𝒛− !𝒏 න 𝒂 + 𝟏 = 𝒏𝑪 𝒊 𝝅𝟐 𝝆𝚪 𝑹<𝝆<𝒓 𝝆 = 𝒂 𝚪𝝆 𝒂 = 𝒛 − 𝑹 𝒓 𝒂 𝝆 𝒂 𝝆𝚪 60 Part IV Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace נקודה ( 𝒂 ∈ ℂതמספרים מרוכבים כולל אין-סוף) היא נקודה סינגולרית של פונקציה 𝒛 𝒇 ,אם הפונקציה היא אנליטית בסביבה של נקודה 𝒂 ,רציפה בסביבתה ובנקודה 𝒂 עצמה ,אך הפונקציה אינה אנליטית בנקודה 𝒂 עצמה: ∃ 𝜹∈ℝ >𝟎, ∃ 𝜺∈ℝ >𝟎, 𝜺>𝜹: 𝜹 < 𝒂 𝒇 𝒛 ∈ 𝑪𝟏 𝜹 < 𝒛 − 𝒂 < 𝜺 , 𝒇 𝒛 ∉ 𝑪𝟏 𝒛 − • נקודה 𝒂 מבודדת מנקודות סינגולריות אחרות. • נקודה 𝒂 יכולה להיות באין סוף (∞ = 𝒂). 61 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace : 𝒇 𝒛 = σ+∞ 𝒏=−∞ 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 𝒏 Part IV סיווג נקודות סינגולריות של פונקציה ) Removable singularity ( א' נקודה סינגולרית סליקה • ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒛 = 𝑨 , 𝑨 ∈ ℂ / 𝑨 < ∞/ 𝒛→𝒂 • 𝒇 𝒛 = σ+∞ 𝒏=𝟎 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 62 𝒏 , 𝑪−𝒏 = 𝟎 𝒏 = 𝟏, 𝟐, ⋯ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV ) Pole ( ב' נקודת קוטב • ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒛 = ∞ 𝒛→𝒂 • ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒛 − 𝒂 𝒎 𝒛→𝒂 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝒎 ≠ 𝟎 𝑪−𝒏 = 𝟎 𝒏 > 𝒎 ➔ 𝒎 קוטב מסדר 𝑪−𝒎 𝒇 𝒛 = 𝒛−𝒂 +∞ 𝑪−𝟏 + ⋯+ + 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 𝒎 𝒛−𝒂 𝒏=𝟎 𝒉 𝒂 ≠𝟎 𝒉 𝒛 ∈ 𝑪𝟏 𝒛 − 𝒂 < 𝜹 ) 𝒂 ( אנליטית בסביבה של נקודה 63 𝒏 𝒉 𝒛 = 𝒛−𝒂 𝒎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV הגדרה :נקודה 𝒂 ∈ ℂנקראת נקודת התאפסות מסדר 𝒎 לפונקציה 𝒛 𝒇 ,אם הפונקציה 𝒛 𝒇 אנליטית בסביבה של נקודה 𝒂 ואם: 𝟎≠ 𝒂 𝒎 𝒇 𝟏𝒎− 𝟎= 𝒂 𝜹 < 𝒂 𝒉 𝒛 ∈ 𝑪𝟏 𝒛 − 𝒇 = ⋯ = 𝒂 𝒇 𝒂 = 𝒇′ 𝒂 = 𝒇′′ 𝟎≠ 𝒂 𝒉 𝒎 𝒂𝒛− 𝒛 𝒉= 𝒛 𝒇 יהיה 𝒛 𝒈 = 𝒛 𝒇 𝒛 𝒉 ונקודה 𝒂 – נקודת התאפסות מסדר 𝒍 לפונקציה 𝒛 𝒈 ונקודת התאפסות מסדר 𝒎 לפונקציה 𝒛 𝒉: 𝟎≠ 𝒂 ෩ 𝒉 𝟎≠ 𝒂 𝒈 𝒎 𝒂𝒛− 𝒛 ෩ 𝒉= 𝒛 𝒉 𝒍 𝒂𝒛− 𝒛 𝒈= 𝒛 𝒈 𝒍 𝒂 𝒛 𝒛− 𝒈 = 𝒛 𝒇 𝒎 𝒂෩ 𝒛 𝒛− 𝒉 • אם 𝒍 > 𝒎 – נקודה 𝒂 היא קוטב מסדר 𝒍 𝒎 −לפונקציה 𝒛 𝒇; • אם 𝒍 ≤ 𝒎 – נקודה 𝒂 היא נקודת סינגולריות סליקה לפונקציה 𝒛 𝒇. 64 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace ) Essential singularity ( Part IV ג' נקודה של סינגולריות עיקרית • ∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒛 𝒛→𝒂 • 𝒇 𝒛 = σ+∞ 𝒏=−∞ 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 𝒏 )𝒏 < 𝟎 סוף איברים של-(הטור מכיל אין 65 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part IV ∞→𝒛 𝟎→𝝎 ∞+ ⇒ ൜ ∞+ 𝒏𝑪 𝒏 𝟏 𝒏 𝒇 𝒛 = ൗ𝝎 = 𝑪𝒏 𝒛 = 𝝎 ∞𝒏=− ∞𝒏=− נקודה סינגולרית ∞ = 𝒂 (נקודה בדידה) של פונקציה אנליטית 𝒛 𝒇 היא: א' נקודה סינגולרית סליקה ,אם 𝒏𝒛 𝒏𝑪 ∞𝒇 𝒛 = σ𝟎𝒏=− ( הטור מתכנס ב) 𝒛 → ∞ : ב' קוטב מסדר 𝒎 ,אם 𝒏𝑪 ∞𝒛𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝑪−𝟏 𝒛 + σ 𝒏𝒛𝒏=𝟎 ൗ 𝒎𝒛 𝒛 𝒉 = 𝒛 𝒇 𝟏𝒎− 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝒎 𝒛𝒎 + 𝑪− 𝒎𝐥𝐢𝐦 𝝎𝒎 𝒇 𝟏Τ𝝎 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛−𝒎 𝒇 𝒛 = 𝑪− ∞→𝒛 𝟎→𝝎 ∞ = 𝒛 𝒇 𝐦𝐢𝐥 ∞→𝒛 𝒏 ∞( 𝒇 𝒛 = σ+אין סוף איברים) ג' נקודת סינגולריות עיקרית ,אם 𝒛 𝒏𝑪 ∞𝒏=− 66 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace .Vמשפט שאריות (Cauchy) Residue theorem שאריות Residues שארית – מה ש"נשאר" בפונקציה חוץ מין ה"אנליטיות" שלה. 𝟏න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝑪− 𝒂 𝒛 𝒇 𝒛𝐝 𝟏𝒛 − 𝒂 𝒏+ න 𝒂 + 𝝆𝚪 𝟏 = 𝒏𝑪 𝒊 𝝅𝟐 + 𝟏 = 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 𝒂=𝒛 𝒊 𝝅𝟐 𝝆𝚪 𝒂 𝝆𝚪 𝒂 𝝆 אם 𝒂 – נקודת סינגולריות סליקה של 𝒛 𝒇𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝟏 = 𝟎 : 𝒂=𝒛 67 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝒎 𝒛−𝒂 𝒇 𝒛 :𝒇 𝒛 אם 𝒂 – קוטב מסדר 𝒎 של +∞ + ⋯+ 𝒎 𝒛−𝒂 𝐝𝒎−𝟏 𝒇 𝒛 𝐝 𝒛𝒎−𝟏 𝑪−𝟏 + 𝑪𝒏 𝒛 − 𝒂 𝒛−𝒂 𝒏 𝒏=𝟎 𝒎 = 𝑪−𝒎 + 𝑪− 𝒛−𝒂 𝒎 𝒎−𝟏 𝒛 − 𝒂 + ⋯ + 𝑪−𝟏 𝒛 − 𝒂 𝒈 𝒂 ≠𝟎 𝒉 𝒂 = 𝟎 𝒉′ 𝒂 ≠ 𝟎 𝒎−𝟏 +⋯ = 𝑪−𝟏 𝒎 − 𝟏 ! + 𝑪𝟎 𝒎! 𝒛 − 𝒂 + ⋯ 𝟏 𝐝𝒎−𝟏 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒛 𝒎−𝟏 𝒛=𝒂 𝒎 − 𝟏 ! 𝒛→𝒂 𝐝 𝒛 𝒇 𝒛 = 𝒈 𝒛 𝒉 𝒛 𝟏 𝒈 𝒛 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛−𝒂 𝒛=𝒂 𝟎! 𝒛→𝒂 𝒉 𝒛 68 Part V 𝒎 :𝒇 𝒛 אם 𝒂 – קוטב מסדר 𝟏 = 𝒎 של = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒂 𝒈 𝒛 𝒉 𝒛 −𝒉 𝒂 𝒛−𝒂 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝒈 𝒂 Τ𝒉′ 𝒂 𝒛=𝒂 𝒛−𝒂 𝒈 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒂 𝒉′ 𝒛 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :𝒇 𝒛 אם ∞ = 𝒂 – נקודת סינגולריות (בדידה) של 𝟏 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 𝒛=∞ 𝟐𝝅 𝒊 𝚪𝝆 − 𝑪−𝟏 Laurent מקדם טור 𝒂 = 𝟎 עם න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = − 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 𝒛=∞ + 𝚪𝝆 𝒂 :𝒇 𝒛 אם ∞ = 𝒂 – נקודת סינגולריות סליקה של 𝒇 𝒛 → ∞ = σ𝟎𝒏=−∞ 𝑪𝒏 𝒛𝒏 = 𝑪 ด𝟎 + 𝒇 ∞ 𝑪−𝟏 𝒛 + 𝑪−𝟐 𝒛𝟐 +⋯ ➔ 𝐳 𝒇 𝒛 − 𝑪𝟎 = 𝑪−𝟏 + 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = −𝑪−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝐳 𝒇 ∞ − 𝒇 𝒛 69 𝒛=∞ 𝒂=∞ 𝝆 𝚪𝝆 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒊 − 𝒛→∞ 𝑪𝟎 𝑪−𝟐 𝒛 +⋯ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝒇 𝒛 = 𝟏Τ𝒛 𝒇 𝒛 = 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝑪−𝟏 = 𝟏 𝒛=𝟎 𝒈 𝒛 𝒉 𝒛 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝒛=𝟎 𝒈 𝒛 =𝟏 𝒈 𝟎 𝒉′ 𝟎 𝒈 𝟎 ≠𝟎 𝒉 𝒛 =𝒛 𝒉 𝟎 =𝟎 𝒉′ 𝟎 ≠ 𝟎 𝟏 𝟏 = =𝟏 :דוגמה 𝒛𝟐 𝒇 𝒛 = 𝒛−𝟐 𝒎 = 𝟏 𝟐 = 𝒛 – קוטב מסדר 𝒇 𝒛 = 𝒈 𝒛 ൘ 𝒉 𝒛 𝒈 𝒛 = 𝒛𝟐 𝒈 𝟐 ≠𝟎 𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = ′ = =𝟒 𝒛=𝟐 𝒉 𝟐 𝟏 70 𝒉 𝒛 =𝒛−𝟐 𝒉 𝟐 =𝟎 𝒉′ 𝟐 ≠ 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝒛−𝟏 𝒇 𝒛 = 𝟐 𝒛 +𝟏 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝒛=+𝒊 𝟐 = 𝒛−𝟏 𝒛+𝒊 𝒛−𝒊 𝟏 𝐝 𝒛−𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝟏! 𝒛→+𝒊 𝐝𝒛 𝒛𝟐 + 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛+𝒊 𝟐 𝒛→+𝒊 𝟏 = 𝟐𝒊 𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→+𝒊 𝐝 𝒛−𝟏 = 𝟐 𝐝𝒛 𝒛 + 𝒊 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→+𝒊 𝟏 𝒛+𝒊 𝒛−𝟏 −𝟐 = 𝟐 𝒛+𝒊 𝟑 𝒊−𝟏 𝟏 𝒊−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒊 −𝟐 =− +𝟐 = − + − = ൗ𝟒 𝟐 𝟐𝒊 𝟑 𝟒 𝟖𝒊 𝟒 𝟒 𝟒𝒊 𝒛−𝒊 𝟐 𝒛→−𝒊 71 𝒛−𝒊 − 𝒛−𝟏 𝟐 𝒛+𝒊 𝒛+𝒊 𝟒 𝟏 𝐝 𝒛−𝟏 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛=−𝒊 𝟏! 𝒛→−𝒊 𝐝𝒛 𝒛𝟐 + 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝟐 𝟐 𝒛−𝟏 = 𝒛+𝒊 𝟐 𝒛−𝒊 𝟐 𝒎 = 𝟐 = 𝒛 – קוטב מסדר±𝒊 𝒛+𝒊 − 𝒛−𝟏 𝟐 𝒛−𝒊 𝒛−𝒊 𝟒 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝒛=𝒂 𝟐 𝟐 𝐝 𝒛−𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝒛→−𝒊 𝐝𝒛 𝒛 − 𝒊 𝟐 = − 𝒊ൗ𝟒 𝟏 𝐝𝒎−𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒎−𝟏 ! 𝒛→𝒂 𝐝 𝒛𝒎−𝟏 𝒇 𝒛 𝒛−𝒂 𝒎 :m לקוטב מסדר Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟏Τ𝒛 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟑 𝟏Τ𝒛 𝟏− 𝟐! 𝒂=∞ 𝟐 𝟏Τ𝒛 + 𝟒! 𝟒 𝟏Τ𝒛 − 𝟔! 𝟔 + ⋯ = 𝒛𝟑 − 𝒛 𝟏 𝟏 + − +⋯ 𝟑 𝟐! 𝟒! 𝒛 𝟔! 𝒛 ⇒ 𝑪−𝟏 = 𝟏ൗ𝟒! 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = −𝑪−𝟏 = − 𝟏ൗ𝟒! = − 𝟏ൗ𝟐𝟒 𝒛=∞ :דוגמה 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒛 𝒛𝟐 𝒂=∞ 𝐥𝐧 𝒛 𝒇 𝒛 → ∞ = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→∞ 𝒛𝟐 𝟏Τ𝒛 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 =𝟎 𝒛→∞ 𝟐𝒛 𝒛→∞ 𝟐𝒛𝟐 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝐳 𝒇 ∞ − 𝒇 𝒛 𝒛=∞ 72 𝒛→∞ 𝟏Τ𝒛 = − 𝐥𝐢𝐦 =𝟎 𝒛→∞ 𝟏 𝐥𝐧 𝒛 = 𝐥𝐢𝐦 𝐳 𝟎 − 𝟐 𝒛→∞ 𝒛 𝐥𝐧 𝒛 = − 𝐥𝐢𝐦 𝒛→∞ 𝒛 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V )Cauchy( Residue theorem משפט שאריות יהיה ̶ 𝑮 ⊂ ℂതתחום במרחב מרוכב (יתכן וכולל נקודת ∞ = 𝒛) עם גבול 𝚪 חלק למקוטעין. יהיה 𝑮 𝟏𝑪 ∈ 𝒇 ̶ פונקציה אנליטית בתחום 𝑮 ורציפה על הגבול 𝚪 פרט ממספר סופי של נקודות סינגולריות 𝑮 ∈ 𝒏𝒂: 𝒂𝟏 ,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑 , ⋯ , 𝒏𝒂 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮\ 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , ⋯ , 𝚪 𝑪∈𝒇 אז: 𝒏 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝒌𝒂 𝟏=𝒌 𝚪+ 73 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V להוכחה: אם 𝑮 ∉ ∞ :נוסיף גבולות 𝒌𝜸 מסביב לכל נקודה סינגולרית 𝒌𝒂 ונקבל תחום ෩ 𝑮 שאינו כולל נקודות סינגולריות ,כך שבתחום ෩ 𝑮 הפונקציה 𝒇 היא רק אנליטית .לכן לפי משפט :Cauchy 𝒏 𝟎 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 + න − 𝒌𝜸 𝟏=𝒌 𝚪+ න − 𝒏ڂ 𝚪 + 𝒌𝜸 𝟏=𝒌 𝒏 𝚪 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = − න − 𝒌𝜸 𝟏=𝒌 − 𝟏𝒂 𝚪+ 𝟏𝜸 𝑮 − 𝟐𝒂 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 𝒊 𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝒌𝒂 כיוון חיובי לתחום הפנימי מסביב לנקודה 𝒌𝒂 𝒏 + 𝒌𝜸 𝟑𝒂 𝟐𝜸 ෩ 𝑮 − 𝟑𝜸 − 𝒏𝒂 𝒏𝜸 𝒏 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = + න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝒌𝒂 𝟏=𝒌 + 𝒌𝜸 𝟏=𝒌 𝚪+ 74 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V המשך ההוכחה :אם תחום 𝑮 אינו מוגבל — 𝑮 ∈ ∞ (נקודת ∞ בתוך התחום) ,עקומה 𝚪 – הגבול של התחום (תחום 𝑮 נמצא מבחוץ לגבולות 𝚪) .נסמן ∞ = 𝒏𝒂 ונוסיף גבול 𝒏𝜸 מסביב לנקודת 𝒏𝒂 שמגדיר תחום ෩ 𝑮 מוגבל .לפי ההוכחה מין השקף הקודם: + 𝒏𝜸 𝟏𝒏− 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 + න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝒌𝒂 𝟏=𝒌 + + 𝒏𝜸 𝟏𝒂 𝚪 𝟐𝒂 𝟏𝒏− 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 + න 𝒌𝒂 − 𝒏𝜸 𝟏=𝒌 + 𝚪 ෩ 𝑮 + 𝟑𝒂 𝟏𝒂𝒏− 𝚪 ∞ = 𝒏𝒂 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 𝒊 𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න ∞= 𝒏𝒂 − 𝒏𝜸 𝟏𝒏− 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 𝒊 𝝅𝟐 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 + ∞= 𝒏𝒂 𝒌𝒂 𝟏=𝒌 + 𝚪 75 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :אם 𝒇 ∈ 𝑪𝟏 𝑮\ 𝒂𝟏 ,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑 , ⋯ ,𝒂𝒏 :)סוף ותחום 𝑮 הנו מוגבל- 𝟏𝒂 אינן כוללות נקודת אין,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑 , ⋯ ,𝒂𝒏 (נקודות 𝒏 𝚪 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 𝒂𝟏 𝒌=𝟏 𝚪+ 𝒂𝒏 𝒂𝒌 𝒂𝟐 𝑮 න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = − න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 ∞ 𝒂𝟑 𝚪− 𝚪+ 𝒏 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 + 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 = 𝟎 𝒌=𝟏 76 𝒂𝒌 ∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V דוגמה :לחשב אינטגרציה 𝒛𝐝 𝒏 𝒛 𝐦𝐈 𝒊 𝒛𝒆 න 𝟏𝒛− 𝟐= 𝒛 𝟐= 𝒛 לפונקציה 𝒛𝒆 𝒏 𝟏𝒛− 𝒏 = יש קוטב מסדר 𝒏 בנקודה 𝟏 = 𝒛. 𝒛𝒆 𝐬𝐞𝐫 𝒊 𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 𝟏 𝒛=𝟏 𝒛 − 𝒏 𝟏𝒛− 𝒏 𝒛𝒆 𝟏𝒛− 𝒏 𝒛 𝐞𝐑 𝟏 = 𝒛 𝒛𝒆 න 𝟏𝒛− 𝟐= 𝒛 𝟏 𝟏𝐝𝒏− = 𝐦𝐢𝐥 𝟏𝒏 − 𝟏 ! 𝒛→𝟏 𝐝 𝒛𝒏− 𝒏 𝒛𝒆 𝐬𝐞𝐫 𝟏 𝒛=𝟏 𝒛 − 𝟏 𝒛 𝟏𝐝𝒏− 𝟏𝒆 = 𝐦𝐢𝐥 = 𝒆 𝟏𝒏 − 𝟏 ! 𝒛→𝟏 𝐝 𝒛𝒏− ! 𝟏𝒏− 𝟏𝒆 𝒊 𝝅𝟐 = 𝒛𝐝 ! 𝟏𝒏− 𝒏 𝒛𝒆 න 𝟏𝒛− 𝟐= 𝒛 הערה :אינטגרציה מפונקציה זאת בכל עקומה מסביב לקוטב 𝟏 = 𝒛 תיתן את אותה התוצאה77 . Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 න +𝒊 𝒛−𝒊 =𝟏Τ𝟐 𝐝𝒛 𝒛𝟐 + 𝟏 𝐑𝐞 𝒛 න 𝒛−𝒊 =𝟏Τ𝟐 𝐝𝒛 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟐 𝒛=+𝒊 𝒛 + 𝟏 𝒛𝟐 + 𝟏 න 𝒛−𝒊 =𝟏Τ𝟐 𝐝𝒛 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒊 =𝝅 𝟐 𝒛 +𝟏 𝟐𝒊 න 78 𝒛+𝒊 =𝟏Τ𝟐 𝐝𝒛 = −𝝅 𝟐 𝒛 +𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝐝𝒛 න 𝟖 𝒛 +𝟏 𝒛 =𝟐 .)1 𝟖𝒛 (הקטבים מסדר+ 𝟏 = 𝟎 ➔ 𝒛 = 𝒆𝒊 𝝋𝒌 , 𝝋𝒌 = 𝝅 𝟖 + 𝟐𝝅 𝒌 ,𝒌 𝟖 = 𝟎,𝟏, ⋯ ,𝟕 𝟕 න 𝒛 =𝟐 𝐫𝐞𝐬 𝒊𝝋 𝒆 𝒌 𝐝𝒛 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟖 𝒛𝟖 + 𝟏 𝒆𝒊 𝝋 𝒌 𝒛 + 𝟏 𝒌=𝟎 𝟏 𝒈 𝒛 =𝟏 𝟏 𝟏 −𝒊 𝟕𝝋 𝒌 = ቤ = ቤ = 𝒆 𝟖 ′ 𝟖 ′ 𝟕 𝒛 +𝟏 𝒉 𝒛 = 𝒛 + 𝟏 𝒛=𝒆𝒊 𝝋𝒌 𝟖𝒛 𝒛=𝒆𝒊 𝝋𝒌 𝟖 𝟕 𝟏 −𝒊𝟕𝝅 𝒆 𝟖 𝟏 𝐫𝐞𝐬 = 𝟖+𝟏 𝒊 𝝋 𝒛 𝟖 𝒌 𝒆 𝒌=𝟎 න 𝒛 =𝟐 79 𝟕 𝟐𝝅 𝒌 −𝒊 𝟕 𝟖 𝒆 𝒌=𝟎 𝐝𝒛 =𝟎 𝟖 𝒛 +𝟏 =𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דרך אחרת 𝟕 𝟏 𝟏 𝐫𝐞𝐬 + 𝐫𝐞𝐬 𝟖 =𝟎 𝟖+𝟏 𝒊 𝝋 ∞ 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒌 𝒆 𝒌=𝟎 𝟕 𝟏 𝟏 𝐫𝐞𝐬 = − 𝐫𝐞𝐬 𝟖 𝟖+𝟏 𝒊 𝝋 ∞ 𝒛 +𝟏 𝒛 𝒌 𝒆 𝒌=𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = = 𝟏 − 𝟖 + 𝟏𝟔 − ⋯ 𝒛𝟖 + 𝟏 𝒛𝟖 𝟏 + 𝟏Τ𝒛𝟖 𝒛𝟖 𝒛 𝒛 𝟏 𝟏+𝜺 𝟏 𝒛𝟖 +𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟖 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 − ⋯ 𝒛 𝒛 𝒛 = 𝟏 − 𝜺 + 𝜺𝟐 − 𝜺𝟑 + ⋯ 𝒏 + σ+∞ = σ+∞ 𝑪 𝒛 𝒏 𝒏=𝟎 𝒏=𝟏 𝟕 𝑪−𝒏 𝒛𝒏 ➔ 𝑪−𝟏 = 𝟎 = − 𝐫𝐞𝐬 ∞ 𝟏 𝒛𝟖 +𝟏 𝐝𝒛 𝟏 𝟏 න 𝟖 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 = −𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟖 =𝟎 𝟖+𝟏 𝒊 𝝋 ∞ 𝒛 +𝟏 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒌 𝒆 𝒛 =𝟐 80 𝒌=𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V Improper real integral אינטגרל ממשי לא אמיתי (מוכלל) אינטגרל מסוים (הגדרת :)Riemann 𝒃 ∞< ∞< 𝒃 𝒂, 𝒌𝒙 𝒇 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ 𝒌𝒙∆ 𝒌𝒙 𝒇 න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒌 𝟎→𝒙∆ 𝒂 • אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון: 𝑹+ 𝒃 𝒙𝐝 𝒙 𝒇 𝐥𝐢𝐦 න ∞→𝑹 𝒃 𝐥𝐢𝐦 න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 or 𝑹− ∞𝒃→+ 𝐥𝐢𝐦 න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 or 𝒂 ∞𝒂→− 𝒂 • אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני: 𝒙𝐝 𝒙 𝒇 𝒃 𝒂 כאשר ∞ < 𝒃 , 𝒂 ,אבל 𝒃 ≤ 𝟎𝒙 ≤ 𝒂 → ∞, 𝟎𝒙 𝒇 . 81 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V יהיה 𝒛 𝒇 – פונקציה אנליטית במישור מרוכב 𝒇 𝒛 ∈ 𝑪𝟏 ℂאו במחצית העליונה של מישור מרוכב 𝟎 > 𝒛 𝐦𝐈 𝟏𝑪 ∈ 𝒛 𝒇 ,פרט ממספר סופי של נקודות סינגולריות 𝟎 > 𝒛 𝐦𝐈 ∈ 𝒏𝒂. 𝒂𝟏 ,𝒂𝟐 ,𝒂𝟑 , ⋯ , יהיה פונקציה 𝒛 𝒇 מתכנסת באין סוף= 𝟎 : 𝒛 𝒇 ⋅ 𝒛 𝐦𝐢𝐥 ∞→ 𝒛 אז: 𝑹+ 𝒏 𝒛 𝒇 𝐬𝐞𝐫 𝐥𝐢𝐦 න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 + න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝒌𝒂 𝟏=𝒌 ∞→𝑹 𝑹− + ∞→𝑹𝚪 𝒛 𝐦𝐈 𝒊 כאשר: 𝑹𝚪 𝟎 = 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 න 𝒏𝒂 𝐦𝐢𝐥 ∞→𝑹 𝒛 →∞ 𝚪 + 𝑹 𝒛 𝐞𝐑 𝟐𝒂 𝑹 𝟏𝒂 82 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V הערה א': ניתן לסגור את התחום בחצי מישור שלילי 𝟎 < 𝒛 𝐦𝐈 (אם הנקודות הסינגולריות נמצאות בחצי מישור שלילי). הערה ב': התנאי 𝟎 = 𝒛 𝒇 ⋅ 𝒛 𝐦𝐢𝐥 מתקיים לכל פונקציה בתבנית 𝟐𝒎≥𝒏+ ∞→ 𝒛 𝟎𝒂 𝒂𝒏 𝒛𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒛𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒛 + = 𝒛 𝒇 , 𝒎 𝟏𝒎− 𝒛 𝟏𝒃𝒎 𝒛 + 𝒃𝒎− 𝟎𝒃 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒛 + 83 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V הערה ג': אם לפונקציה 𝒛 𝒇 קיימת נקודה סינגולרית ( 𝒂𝒌 ∈ ℝממשית) ,ייתכן ואת האינטגרציה 𝒙𝐝 𝒙 𝒇 ∞+ ∞− 𝒙𝐝 𝒙 היא אינה חסומה ערך .אם הערך 𝜺𝒂 − ∞+ 𝒇 𝜺+ 𝒌 𝒌 ∞− 𝐥𝐢𝐦+ 𝒂 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 + 𝟎→𝜺 הוא סופי ,ערך זה נקרא ערך של האינטגרציה במובן Cauchy principal value ∞+ 𝜺𝒂𝒌 − 𝒙𝐝 𝒙 𝒇 න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 + න 𝜺𝒂𝒌 + ∞+ 𝐩. 𝐯. න 𝒇 𝒙 𝐝𝒙 = 𝐥𝐢𝐦+ 𝟎→𝜺 ∞− ∞− דוגמה: = 𝟎= 𝜺 𝐧𝐥 + 𝐥𝐧 𝑹 − 𝒙𝐝 𝑹+ 𝒙 𝜺 + 𝒙𝐝 𝜺− 𝒙 𝑹− = 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐢𝐦+ 𝟎→𝜺 ∞→𝑹 𝒙𝐝 ∞+ 𝒙 𝑹 𝐧𝐥 = 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐢𝐦+ 𝐥𝐧 𝜺 − 𝟎→𝜺 ∞→𝑹 ∞− = 𝐩. 𝐯. 𝒙𝐝 ∞+ 𝒙 ∞− 84 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 +∞ 𝒙𝟐 න 𝟒 𝐝𝒙 𝒙 +𝟏 𝚪𝑹 𝑹 −∞ 𝒇 𝒛 = 𝐑𝐞 𝒛 𝒛𝟒 𝒛𝟐 𝒛𝟒 +𝟏 +𝟏=𝟎 𝒇 𝒛 ȁ𝒛=𝒙∈ℝ = 𝒂𝒌 = 𝒆 +∞ 𝒊 𝝅 𝝅𝒌 + 𝟒 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟒 +𝟏 , 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 න 𝟒 𝐝𝒙 + න 𝒇 𝒛 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 𝒂𝒌 𝒙 +𝟏 𝑹 → ∞ 𝒌=𝟏 + −∞ 𝚪𝑹 +∞ 𝒙𝟐 −∞ 𝒙𝟒 +𝟏 𝐝𝒙 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝒂𝟏 = 85 𝝅 𝒊𝝅 𝒆ด𝟐 𝟐 𝒊 𝒆 𝒛𝟐 𝒛𝟒 +𝟏 𝝅 −𝒊 𝟒 + + 𝐫𝐞𝐬 𝒂𝟐 𝟑𝝅 𝒆−𝒊 𝟒 = 𝒛𝟐 𝒛𝟒 +𝟏 𝝅 𝟐 𝒆 = 𝝅 +𝒊 𝟒 +𝒆 𝝅 −𝒊 𝟒 = 𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝝅Τ𝟒 = 𝝅Τ 𝟐 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace :דוגמה 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝑹 +∞ 𝚪𝑹 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 න +𝒊𝒂 −∞ 𝟏 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟐 +𝒂𝟐 𝐑𝐞 𝒛 𝒛𝟐 + 𝒂𝟐 −𝒊𝒂 +∞ න −∞ +∞ න −∞ Part V 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 = 𝒂∈ℝ 𝒂>𝟎 𝟑 𝒇 𝒛 ȁ𝒛=𝒙∈ℝ = 𝟑 𝒛 − 𝒊𝒂 𝒛 + 𝒊𝒂 𝐝𝒛 + න 𝟐 𝟑 𝒛 + 𝒂𝟐 + 𝟑 𝟑 +𝒊𝒂 𝟏 𝒛𝟐 + 𝒂𝟐 𝟑 𝒙𝟐 +𝒂𝟐 𝟑 𝟑 =𝟎 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟐 +𝒊𝒂 𝒛 + 𝒂𝟐 𝚪𝑹 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟏 = 𝟑𝝅 𝟖𝒂𝟓 𝟑 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace :דוגמה 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝑹 +∞ 𝚪𝑹 න 𝒛𝟏 −∞ 𝒇 𝒛 = 𝐑𝐞 𝒛 න −∞ 𝒙 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 𝒛 𝒛𝟐 +𝟒𝒛+𝟏𝟑 𝟐 𝒛𝟐 + 𝟒𝒛 + 𝟏𝟑 = 𝟎 𝒛𝟐 +∞ 𝒙 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 Part V 𝒛 𝐝𝒛 + න 𝟐 𝟐 𝒛 + 𝟒𝒛 + 𝟏𝟑 + 𝟐 𝟐 𝒇 𝒛 ȁ𝒛=𝒙∈ℝ = 𝒛𝟏,𝟐 = −𝟒± 𝟒−𝟏𝟑 𝟐 න −∞ 𝒙 𝐝𝒙 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 𝟐 𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟏𝟑 𝝅 𝒊 = 𝟐𝝅 𝒊 ถ ൗ𝟓𝟒 = − 𝟐𝟕 𝐫𝐞𝐬 𝒇 𝒛 𝒛𝟏 𝟐 = −𝟐 ± 𝟑𝒊 𝒛 = 𝟐𝝅 𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟐 𝒛𝟏 𝒛 + 𝟒𝒛 + 𝟏𝟑 𝚪𝑹 +∞ 𝒙 𝟐 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V Jordan’s lemma יהיה 𝒛 𝒇 – פונקציה רציפה בחצי-מישור העליון 𝟎 > 𝒛 𝐦𝐈 𝑪 ∈ 𝒛 𝒇 , כאשר לעקומה 𝝅𝚪𝑹 : 𝒛 = 𝑹𝒆𝒊𝝋 , 𝑹 ∈ ℝ, 𝑹 > 𝟎, 𝝋 ∈ 𝟎, 𝒛 𝒇 𝐦𝐢𝐥 𝟎= ∞→𝑹 𝚪𝑹 : אז: 𝒛 𝐦𝐈 𝒊 𝟎 ∞→𝑹 𝑹𝚪 𝒛𝐝 𝒛 𝒇 𝒛 𝜶 𝒊𝒆 න לכל 𝟎 > 𝜶 𝛂 ∈ ℝ, 𝑹 𝑹𝚪 𝒛 𝐞𝐑 𝒛 𝒚𝜶= 𝒆𝒊 𝜶𝒙 × 𝒆−𝜶𝒚 = 𝒆− 𝒚𝒊𝒙+ 𝜶 𝒊𝒆 הערה :אם 𝟎 < 𝜶 ,תוצאה דומה מתקיימת לחצי-מישור התחתון 𝟎 < 𝒛 𝐦𝐈 . Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה +∞ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 න 𝟐 𝐝𝒙 = න 𝟐 𝐝𝒙 𝒙 + 𝒂𝟐 𝟐 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝑹 +∞ 𝚪𝑹 𝟎 −∞ +𝒊𝒂 𝒆 𝐑𝐞 𝒛 𝒊𝒛 𝒇 𝒛 = 𝒆𝒊 𝒛 𝒛𝟐 +𝒂𝟐 𝐑𝐞 𝒆𝒊 𝒛 𝒇 𝒛 ห𝒛=𝒙∈ℝ = 𝒛𝟐 + 𝒂𝟐 = 𝒛 − 𝒊𝒂 𝒛 + 𝒊𝒂 = 𝟎 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝚪𝑹 : 𝑹→∞ 𝒛𝟐 +𝒂𝟐 −𝒊𝒂 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 > 𝟎 =𝟎 ➔ 𝒛𝟏,𝟐 = ±𝒊 𝒂 𝒆𝒊 𝒛 𝟎 𝟐𝒛 𝚪+𝒂𝟐 𝐝𝒛 𝑹 𝑹→∞ +∞ 𝒆𝒊 𝒙 𝒆𝒊 𝒛 𝒆𝒊 𝒛 න 𝟐 𝐝𝒙 + න 𝟐 𝐝𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 𝐫𝐞𝐬 𝟐 = +𝒊 𝒂 𝒛 + 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒛 + 𝒂𝟐 −∞ + 𝚪𝑹 𝒆𝒊 𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 𝟐 อ 𝒛 + 𝒂𝟐 ′ +∞ +∞ 𝒛=+𝒊𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒆𝒊 𝒙 𝝅𝒆−𝒂 න 𝟐 𝐝𝒙 = 𝐑𝐞 න 𝟐 𝐝𝒙 = 𝟐 𝟐 𝒙 +𝒂 𝒙 +𝒂 𝒂 −∞ −∞ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙𝟐 +𝒂𝟐 𝝅𝒆−𝒂 = 𝒂 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V :דוגמה +∞ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙 න 𝐝𝒙 = න 𝐝𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝒊 𝐈𝐦 𝒛 𝑹 𝚪𝑹 𝟎 𝒆𝒊 𝒛 𝜸𝒓 −𝒓 +𝒓 −𝒓 −∞ 𝒇 𝒛 = 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝚪𝑹 : 𝑹→∞ 𝒛 𝐑𝐞 𝒛 𝒆𝒊 𝒙 +∞ 𝒆𝒊 𝒛 𝒛 𝐈𝐦 𝒆𝒊 𝒛 𝒇 𝒛 ห𝒛=𝒙∈ℝ = =𝟎 ➔ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝒆𝒊 𝒛 𝟎 𝒛𝐝 𝒛 𝚪 𝑹 𝑹→∞ +∞ 𝒆𝒊 𝒛 𝒆𝒊 𝒙 𝒆𝒊 𝒛 න 𝐝𝒙 + න 𝐝𝒛 + න 𝐝𝒙 + න 𝐝𝒛 = 𝟎 𝒙 𝒛 𝒙 𝒛 −∞ න + 𝜸𝒓 𝒆𝒊 𝒛 𝒛 +𝒓 + 𝜸𝒓 𝟎 𝐝𝒛 = න 𝝅 𝒆𝒊 𝒓 + 𝚪𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝝋 +𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐝 𝒓𝒆𝒊𝝋 = 𝒓𝒆𝒊𝝋 𝝅 = −𝒊 න 𝒆𝒊 𝒓 𝟎 𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝝋 +𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐝𝝋 𝒓→𝟎 − 𝒊 න 𝐝𝝋 = −𝒊𝝅 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part V )(המשך דוגמה −𝒓 න −∞ 𝒆𝒊 𝒙 𝒙 +∞ 𝐝𝒙 + න 𝒆𝒊 𝒙 +𝒓 𝒙 +∞ 𝒆𝒊 𝒙 𝒆𝒊 𝒛 = 𝐩. 𝐯. න 𝐝𝒙 = − න 𝐝𝒛 = +𝒊𝝅 𝒙 𝒛 𝐝𝒙 ተ −∞ 𝒓→𝟎 +∞ + 𝜸𝒓 +∞ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒆𝒊 𝒙 න 𝐝𝒙 = 𝐈𝐦 𝐩. 𝐯. න 𝐝𝒙 = 𝝅 𝒙 𝒙 −∞ +∞ −∞ +∞ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙 න 𝐝𝒙 = න 𝐝𝒙 = 𝝅ൗ𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟎 91 −∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Fourier התמרתIV. Fourier transform :Fourier התמרת +∞ 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 +∞ 𝝎 ฑ = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 −∞ −∞ : הפוכהFourier התמרת +∞ 𝒙 𝒕 = 𝓕−𝟏 𝑿 𝒇 = න 𝑿 𝒇 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = −∞ +∞ 𝟏 = න 𝑿 𝝎 𝒆+𝒊 𝝎𝒕 𝐝𝝎 𝟐𝝅 92 −∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace +∞ 𝓕𝒙 𝒕 Part VI +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 ≤ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝐝𝒕 = −∞ −∞ −∞ +∞ If: න 𝒙 𝒕 𝐝𝒕 < ∞ ➔ 𝓕𝒙 𝒕 <∞ −∞ +∞ 𝓕−𝟏 𝓕 𝒙 𝒕 = න +∞ ′ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = −∞ −∞ +∞ +∞ = න 𝒙 𝒕 න 𝒆𝒊 𝟐𝝅𝒇 −∞ 𝒕′ −𝒕 𝐝𝒇 𝐝𝒕 = 𝒙 𝒕′ −∞ 𝜹 𝒕′ −𝒕 +∞ 𝜹 𝒕 − 𝒕′ න 𝒙 𝒕 ⋅ 𝜹 𝒕 − 𝒕′ 𝒅𝒕 = 𝒙 𝒕′ 1 ∀𝒙 𝒕 ∈ 𝑪 𝒕 = 𝒕′ −∞ 93 𝒕′ 𝒕 +∞ −∞ 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI Fourier תכונות בסיסיות של התמרת :• לינאריות 𝓕 𝑪𝒏 𝒙𝒏 𝒕 = 𝑪𝒏 𝑿𝒏 𝒇 𝒏 𝒏 +∞ +∞ න 𝑪𝒏 𝒙𝒏 𝒕 −∞ 𝒏 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝑪𝒏 න 𝒙𝒏 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝑪𝒏 𝓕 𝒙𝒏 𝒕 𝒏 𝒏 −∞ :• הפוך שעורים 𝓕 𝒙 −𝒕 = 𝑿 −𝒇 +∞ +∞ න 𝒙 −𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = − න 𝒙 −𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 −∞ −𝒇 −𝒕 𝐝ถ −𝒕 = 𝝉 −∞ +∞ = න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 94 −∞ −𝒇 𝝉 𝐝𝝉 = 𝑿 −𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• הצמדה 𝓕 𝒙∗ 𝒕 = 𝑿∗ −𝒇 ∗ +∞ +∞ න 𝒙∗ 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 −∞ ∗ +∞ = −∞ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 −𝒇 𝒕 𝐝𝒕 −∞ : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 מפונקציה ממשיתFourier • התמרת 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 = 𝓕 𝒙∗ 𝒕 𝑿∗ −𝒇 𝑿 𝒇 𝑿 𝒇 𝒆𝒊∠𝑿 𝑿 𝒇 = 𝑿∗ −𝒇 𝒇 = 𝑿 −𝒇 𝒆𝒊∠𝑿 = 𝑿 −𝒇 −𝒇 ∗ = 𝑿 −𝒇 𝒆−𝒊∠𝑿 ∠𝑿 𝒇 = −∠𝑿 −𝒇 −𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 = 𝒙 −𝒕 מפונקציה ממשית וזוגיתFourier • התמרת = 𝓕 𝒙∗ 𝒕 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 = 𝓕 𝒙 −𝒕 𝑿∗ −𝒇 𝑿 𝒇 𝑿 𝒇 𝒆𝒊∠𝑿 𝑿 𝒇 = 𝑿∗ −𝒇 𝒇 = = 𝑿 −𝒇 𝑿 −𝒇 𝒆−𝒊∠𝑿 = 𝑿 −𝒇 𝑿 −𝒇 −𝒇 = 𝑿 −𝒇 𝒆𝒊∠𝑿 −𝒇 ∠𝑿 𝒇 = −∠𝑿 −𝒇 = ∠𝑿 −𝒇 = 𝟎, ±𝝅 : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 = −𝒙 −𝒕 זוגית- מפונקציה ממשית ואיFourier • התמרת 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 = 𝓕 𝒙∗ 𝒕 𝑿∗ −𝒇 𝑿 𝒇 𝐑𝐞 𝑿 𝒇 + 𝒊 𝐈𝐦 𝑿 𝒇 = 𝑿∗ −𝒇 = 𝐑𝐞 𝑿 −𝒇 − 𝒊 𝐈𝐦 𝑿 −𝒇 =𝟎 = −𝑿 −𝒇 −𝑿 −𝒇 𝑿 𝒇 𝐑𝐞 𝑿 −𝒇 = −𝓕 𝒙 −𝒕 𝒊 𝐈𝐦 𝑿 𝒇 = −𝐑𝐞 𝑿 −𝒇 − 𝒊 𝐈𝐦 𝑿 −𝒇 −𝑿 −𝒇 = −𝒊 𝐈𝐦 𝑿 −𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• הזזה בזמן 𝓕 𝒙 𝒕−𝝉 +∞ = 𝑿 𝒇 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝉 +∞ න 𝒙 𝒕 − 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝝉 න 𝒙 𝒕 − 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇 −∞ 𝒕−𝝉 𝐝 𝒕−𝝉 𝝊 −∞ 𝑿 𝒇 :)• אפנון (הזזה בתדר 𝓕 𝒙 𝒕 𝒆𝒊 𝟐𝝅 𝒇𝟎 𝒕 = 𝑿 𝒇 − 𝒇𝟎 +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 𝒆𝒊 𝟐𝝅 𝒇𝟎𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 𝒇−𝒇𝟎 𝒕 𝐝𝒕 −∞ 97 −∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• דואליות 𝓕𝑿 𝝉 = 𝒙 −𝒇 +∞ 𝑿 𝒇 = −∞ 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 +∞ 𝓕𝑿 𝝉 ➔ +∞ 𝒇→𝝉 න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 = න −∞ 𝑿 𝝉 ฎ 𝝉 𝒕 𝐝𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝉 𝐝𝝉 = −∞ +∞ +∞ = න 𝒙 𝒕 න 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 −∞ 𝒕+𝒇 𝝉 𝐝𝝉 𝐝𝒕 = 𝒙 −𝒇 −∞ 𝜹 𝒕+𝒇 𝓕 𝒙 𝒕ൗ𝑻 +∞ +∞ :• שינוי קנה מידה = 𝑻 𝑿 𝒇⋅𝑻 𝒕 ฏ න 𝒙 𝒕ด ൗ𝑻 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝉𝑻 𝐝 𝝉 𝑻 −∞ 𝝉 −∞ +∞ = 𝑻 න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 −∞ 𝒇𝑻 𝝉 𝐝𝝉 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• גזירה 𝓕 𝒙′ 𝒕 = 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝑿 𝒇 𝐝𝒏 𝒙 𝓕 = 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝒏 𝐝𝒕 +∞ 𝒏 𝑿 𝒇 +∞ න 𝒙′ 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒙 𝒕 = −∞ −∞ +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 𝐝𝒕 < ∞ = 𝒙 𝒕 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 −∞ מוגבלת בזמן- 𝒙 𝒕 𝒙 𝒕 ቚ 𝒕→±∞ =𝟎 𝒕→−∞ − න 𝒙 𝒕 −∞ +∞ = 𝒊 𝟐𝝅𝒇 න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 −∞ 99 ቚ 𝒕→+∞ −𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝐝𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• גזירה במישור התדר 𝒊 = 𝑿′ 𝒇 𝟐𝝅 𝓕 𝒕𝒙 𝒕 𝓕 𝒕𝒏 𝒙 𝒕 𝒊 = 𝟐𝝅 +∞ 𝓕−𝟏 𝑿′ 𝒇 +∞ −∞ න 𝑿 𝒇 𝐝𝒇 < ∞ −∞ −∞ = 𝑿 𝒇 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 מוגבלת בתדר- 𝑿 𝒇 𝒇→±∞ 𝐝𝒏 𝑿 𝒇 𝐝𝒇𝒏 = න 𝑿′ 𝒇 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = න 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝑿 𝒇 = +∞ 𝑿 𝒇 ቚ 𝒏 =𝟎 ቚ 𝒇→+∞ 𝒇→−∞ +∞ − න 𝑿 𝒇 𝒊 𝟐𝝅𝒕 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = 𝐝𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 +∞ = −𝒊 𝟐𝝅𝒕 න 𝑿 𝒇 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = −𝒊 𝟐𝝅𝒕 𝒙 𝒕 −∞ 100 −∞ 𝓕−𝟏 𝑿 𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• אינטגרציה 𝒕 𝓕 න 𝒙 𝝉 𝒅𝝉 = −∞ 𝒕 +∞ 𝓕 න 𝒙 𝝉 𝒅𝝉 = න −∞ +∞ = න −∞ −∞ 𝟏 𝟏 𝑿 𝒇 + 𝑿 𝟎 ⋅𝜹 𝒇 𝒊𝟐𝝅𝒇 𝟐 𝒕 න 𝒙 𝝉 𝒅𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = −∞ +∞ න 𝒙 𝝉 𝐮 𝒕 − 𝝉 𝐝𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ 𝒕 = න 𝒙 𝝉 න 𝐮 𝒕ถ − 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝝉 = න 𝒙 𝝉 න 𝐮 𝝊 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇 −∞ −∞ 𝝊 −∞ 𝓕𝐮 𝝊 +∞ = න 𝒙 𝝉 −∞ +∞ 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝊 𝐝𝝉 න 𝐮 𝝊 −∞ 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 −∞ 𝓕𝐮 𝝊 𝟏 𝟏 𝐝𝝊 = 𝑿 𝒇 + 𝜹 𝒇 𝒊𝟐𝝅𝒇 𝟐 𝝉+𝝊 𝐝𝝊 𝐝𝝉 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :פעולת קונבולוציה +∞ 𝒙 𝒕 ∗ 𝒚 𝒕 ≡ න 𝒙 𝝉 𝒚 𝒕 − 𝝉 𝐝𝝉 x(t) y)t( −∞ t t y)t-τ( x(τ) t τ x(t) * y(t) 102 t Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI y)t-τ( x)τ( t τ x(t) * y(t) t 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕Τ𝑻 ∗ 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕Τ𝑻 = 𝑻𝚲 𝒕ൗ𝑻 𝟏 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕ൗ𝑻 𝚲 𝒕ൗ𝑻 𝟏 𝑻 103 − 𝑻Τ𝟐 + 𝑻Τ𝟐 𝒕 −𝑻 +𝑻 𝒕 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :• קונבולוציה 𝓕 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 =𝑿 𝒇 ⋅𝒀 𝒇 𝓕 𝒙 𝒕 ⋅𝒚 𝒕 =𝑿 𝒇 ∗𝒀 𝒇 +∞ +∞ 𝒙 𝒕 ∗ 𝒚 𝒕 = න 𝒙 𝝉 𝒚 𝒕 − 𝝉 𝐝𝝉 𝑿 𝒇 ∗ 𝒀 𝒇 = න 𝑿 𝝋 𝒀 𝒇 − 𝝋 𝐝𝝋 −∞ −∞ +∞ +∞ 𝓕 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 𝝊 = න න 𝒙 𝝉 𝒚 𝒕ฑ − 𝝉 𝐝𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = −∞ −∞ 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 +∞ = න 𝒙 𝝉 −∞ +∞ +∞ 𝒕 න 𝒚 𝝊 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝝉+𝝊 𝒅𝝊 𝐝𝝉 = −∞ +∞ = න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝉 𝐝𝝉 න 𝒚 𝝊 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝝊 𝒅𝝊 = 𝑿 𝒇 ⋅ 𝒀 𝒇 104 −∞ −∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI :דוגמאות ➔ 1. 𝒙 𝒕 =𝑨 2. 𝒙(𝒕) = 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 +∞ 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝑨 = −∞ 𝑨 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝑨 𝜹 𝒇 +∞ = න 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕𝟎 −∞ 𝟏 𝑿 𝒇 ∠𝑿 𝒇 𝟐𝝅𝒕𝟎 𝒇 𝒇 3. 𝒙(𝒕) = 𝒆±𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 +∞ +∞ 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝒆±𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 = න 𝒆±𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒆−𝒊 𝟐𝝅 −∞ −∞ 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 = 𝜹 𝒇 ∓ 𝒇𝟎 1 105 𝒇𝟎 𝒇 𝒇∓𝒇𝟎 𝒕 𝐝𝒕 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 4. 𝒙(𝒕) = 𝑨𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = 𝑨𝟎 𝟐 Part VI 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 + 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 𝑨𝟎 +𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝒕 𝟎 + 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝑨𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = 𝓕 𝒆 = 𝟐 𝑨𝟎 𝑨𝟎 𝑨𝟎 +𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝒕 −𝒊𝟐𝝅𝒇 𝒕 𝟎 𝟎 = 𝓕𝒆 + 𝓕𝒆 = 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 + 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 ∠𝑿 𝒇 𝑿 𝒇 𝑨𝟎 Τ𝟐 𝑨𝟎 Τ𝟐 −𝒇𝟎 5. +𝒇𝟎 𝒇 𝒙(𝒕) = 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = 𝑨𝟎 𝟐𝒊 −𝒇𝟎 +𝒇𝟎 𝒇 𝒆+𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 − 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 𝑨𝟎 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐𝒊 ∠𝑿 𝒇 𝑿 𝒇 𝑨𝟎 Τ𝟐 106 −𝒇𝟎 + 𝝅Τ𝟐 𝑨𝟎 Τ𝟐 +𝒇𝟎 𝒇 −𝒇𝟎 − 𝝅Τ𝟐 𝝅 𝟏 ∓𝒊 𝟐 ± = ∓𝒊 = 𝒆 𝒊 +𝒇𝟎 𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 6. Part VI 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕Τ𝑻 +∞ 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕ൗ𝑻 = න 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕ൗ𝑻 ⋅ 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = −∞ +𝑻Τ𝟐 =𝑨 න 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 −𝑻Τ𝟐 𝑨 +𝒊𝟐𝝅𝒇𝑻ൗ𝟐 −𝒊𝟐𝝅𝒇𝑻ൗ𝟐 = 𝒆 −𝒆 = 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝑨 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒇𝑻 = 𝑨𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒇𝑻 𝝅𝒇 ( T) sinc t 1 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝜶 𝝅𝜶 − 3T − 2T 107 −T +T + 3T + 2T t Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 7. Part VI 𝒙 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝐮 −𝒕 𝒕 +∞ 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝐮 −𝒕 = න 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝒖 −𝒕 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒕 = −∞ 𝒆𝟑𝒕 𝒆−𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝟎 =𝟐 න 𝒆 𝟑−𝒊𝟐𝝅𝒇 𝒕 𝐝𝒕 −∞ 𝓕 𝒚 𝒕 = 𝒕 𝒆− ൗ𝝉 𝑿 𝒇 = 𝟐𝓕 𝒆 − 𝝉 = =𝒀 𝒇 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 𝐮 𝒕 −𝒕 𝟏Τ𝟑 𝐮 −𝒕 𝒚 −𝒕 108 𝟐 = 𝟏−𝒆 𝟑 − 𝒊𝟐𝝅𝒇 𝟑−𝒊𝟐𝝅𝒇 𝒕 ቤ 𝒕→−∞ = 𝓕 𝒚 −𝒕 𝟏Τ𝟑 𝟐 =𝟐 = 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅 −𝒇 𝟏Τ𝟑 𝟑 − 𝒊𝟐𝝅𝒇 𝒀 −𝒇 𝟐 𝟑 − 𝒊𝟐𝝅𝒇 = 𝒀 −𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 8. 𝒙 𝒕 = 𝒆− 𝒕 Τ𝝉 = 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐮 𝒕 + 𝒆𝒕Τ𝝉 𝐮 Part VI 𝒙 𝒕 −𝒕 𝒕 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝒆− 𝒕 Τ𝝉 = 𝓕 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐮 𝒕 + 𝓕 𝒆𝒕Τ𝝉 𝐮 −𝒕 = 𝝉 𝝉 𝝉 𝟏 − 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 + 𝝉 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 = + = = 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 𝟏 − 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 ⋅ 𝟏 − 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 𝟐𝝉 = 𝟏 + 𝟐𝝅𝒇𝝉 𝓕 𝒚 𝒕 = 109 𝒕ൗ − 𝒆 𝝉 𝐮 𝒕 𝟐 𝝉 = =𝒀 𝒇 𝟏 + 𝒊𝟐𝝅𝒇𝝉 𝓕 𝒚 −𝒕 = 𝒀 −𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 9. 𝒙 𝒕 = 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝒕ൗ𝑻𝟎 ➔ 𝒚(𝒕) = 𝚲 𝒕Τ𝑻 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝒕ൗ𝑻𝟎 Part VI -? 𝒀(𝒇) = 𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻𝒇 :לפי תכונת דואליות 𝓕𝒀 𝒕 = 𝒚 −𝒇 𝓕 𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻 ⋅ 𝒕 𝓕 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻⋅𝒕 𝒇 𝒇 = 𝚲 − ൗ𝑻 = 𝚲 ൗ𝑻 𝟏 𝒇 = 𝚲 ൗ𝑻 𝑻 𝑻 ⇔ 𝟏ൗ𝑻 𝟎 𝑿 𝒇 = 𝓕 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝒕ൗ𝑻 𝟎 110 = 𝑨𝟎 𝑻𝟎 𝚲 𝒇𝑻𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 10. 𝒙 𝒕 = 𝟐 ൗ 𝟐𝝈𝟐 𝟏 − 𝒕 𝒆 𝟐𝝅𝝈 𝑿 𝒇 =𝒆 − 𝟏 𝟐 𝟐𝝅𝝈𝒇 𝟐 𝓕 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 𝟏 −𝟏 = 𝒆 𝟐 𝟐𝒊 = 𝟏 − 𝟐 𝟐𝝅𝝈𝒇𝟎 𝟐 𝒆 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 𝟏 𝟐𝒊 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟏 − 𝟐 𝟐𝝅𝝈𝒇 𝟐 𝒆 𝟏 −𝟏 − 𝒆 𝟐 𝟐𝒊 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 -? 𝟏 ⋅ 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐𝒊 𝟐𝝅𝝈 −𝒇𝟎 𝟐 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 = 𝟏 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐𝒊 𝓕−𝟏 =𝒆 111 𝒀 𝒇 = =𝑿 𝒇 ⋅𝒀 𝒇 = 𝟐𝝅𝝈𝒇𝟎 𝟐 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 = 𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 Part VI − 𝟏 − 𝟐 𝟐𝝅𝝈𝒇𝟎 𝟐 𝒆 𝟏 𝟐𝝅𝝈𝒇𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = Part VI Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace סיכום תכונות של התמרת Fourier 𝒕 𝒙𝓕= 𝒇 𝑿 לינאריות: 𝒕 𝒙 𝒔 𝒏𝑿 𝒏𝑪 𝒏σ 𝒕 𝒏𝒙 𝒏𝑪 𝒏σ הפוך שעורים: 𝒇𝑿 − 𝒕𝒙 − הצמדה: 𝒇𝑿∗ − 𝒕 ∗𝒙 𝒇𝑿 𝒇 = 𝑿 − 𝒇∠𝑿 𝒇 = −∠𝑿 − 𝒕 ∗𝒙 = 𝒕 𝒙 𝒇𝑿 𝒇 = 𝑿 − 𝝅∠𝑿 𝒇 = 𝟎, ± 𝒕𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 = 𝒙 − 𝝉𝒇𝝅𝟐 𝒊𝑿 𝒇 𝒆− 𝝉𝒙 𝒕− פונקציה ממשית פונקציה ממשית וזוגית הזזה בזמן: אפנון (הזזה בתדר): דואליות: 𝟎𝒇 𝑿 𝒇 − 𝒕𝟎𝒇 𝝅𝟐 𝒊𝒆 𝒕 𝒙 𝒇𝒙 − 𝝉 𝑿 112 Part VI Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace סיכום תכונות של התמרת ( Fourierהמשך) 𝒕 𝒙𝓕= 𝒇 𝑿 שינוי קנה מידה: גזירה: 𝒕 𝒙 𝑻⋅𝒇 𝑿 𝑻 𝑻𝒙 𝒕Τ 𝒇 𝑿 𝒇𝝅𝟐 𝒊 𝒕 𝒙′ 𝒇 𝑿 גזירה במישור התדר: 𝒏 𝒇 𝑿′ 𝒇 𝒇𝝅𝟐 𝒊 𝒙 𝒏𝐝 𝒏𝒕𝐝 𝒊Τ 𝝅𝟐 𝒕 𝒙𝒕 𝑿 𝒏𝐝 𝒏 𝒏𝒇𝐝 𝒊ൗ 𝝅𝟐 𝒕 𝒙 𝒏𝒕 𝒕 אינטגרציה: 𝟏 𝟏 𝒇 𝜹⋅ 𝟎 𝑿 𝑿 𝒇 + 𝒇𝝅𝟐𝒊 𝟐 קונבולוציה: 𝒇 𝒀⋅ 𝒇 𝑿 𝒕 𝒚∗ 𝒕 𝒙 𝒇 𝒀∗ 𝒇 𝑿 𝒕 𝒚⋅ 𝒕 𝒙 𝝉𝒅 𝝉 𝒙 න ∞− 113 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VI Fourier טבלה של התמרות 𝒙 𝒕 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 𝒙 𝒕 𝑿 𝒇 =𝓕𝒙 𝒕 𝟏 𝜹 𝒕 𝒆±𝒊 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 𝜹 𝒇 ∓ 𝒇𝟎 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒆−𝒊 𝟐𝝅𝒇𝒕𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 𝟏 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 + 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐 𝟏 𝒊 𝝅𝒇 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 𝟏 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 − 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐𝒊 𝟏Τ𝝅𝒕 −𝒊 𝐬𝐠𝐧 𝒇 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐮 𝒕 𝝉 𝟏+𝒊𝟐𝝅𝝉𝒇 𝐮 𝒕 𝟏 𝟏 + 𝜹 𝒇 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝟐 𝒆 − 𝒕 Τ𝝉 𝟐𝝉 𝟏+ 𝟐𝝅𝒇𝝉 𝟐 +𝟏, 𝐬𝐠𝐧 𝒕 = ቊ −𝟏, 𝒕>𝟎 𝒕<𝟎 𝟏ൗ 𝟐 𝝅𝒇 𝒕 𝟏 𝟐 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕Τ𝑻 𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒇𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒕Τ𝑻 𝑻 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒇𝑻 𝒕 𝒕 𝟏 − 𝚲 =ቐ 𝑻 𝑻 𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝒕Τ𝑻 𝒕 <𝑻 𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻𝒇 𝒕 >𝑻 𝑻𝚲 𝒇𝑻 𝟐𝝅𝝈 𝟐ൗ 𝒆− 𝒕 𝟐𝝈𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟐𝝅𝝈𝒇 𝟐 𝒆 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace IIV.טור Fourier Fourier series פונקציה מחזורית: … 𝒎 = ±𝟏, ±𝟐, ±𝟑, 𝟎𝑻𝒎 𝒙 𝒕 = 𝒙 𝒕 + 𝑻𝟎 = 𝒙 𝒕 + 𝟎𝑻 ̶ זמן מחזור (בסיסי) 𝟎𝑻 ̶ 𝒇𝟎 = 𝟏ൗתדר מחזוריות /תדר בסיסי כל פונקציה מחזורית ניתנת להצגה בצורה: 𝑻+𝒊 𝟐𝝅 𝒎 𝒕ൗ 𝟎 ∞+ 𝒆 𝒎𝑪 𝒙 𝒕 = ∞𝒎=− טור ( Fourierטור Fourierמרוכב) 115 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 −𝒊 𝟐𝝅𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 −𝑻𝟎 Τ𝟐 +𝑻𝟎 Τ𝟐 𝐝𝒕 = න − 𝑻𝟎 Τ 𝟐 +∞ Part VII +𝒊𝟐𝝅 𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝑪𝒎 𝒆 𝟎 𝒆 −𝒊𝟐𝝅 𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝐝𝒕 = 𝒎=−∞ 𝒙 𝒕 +∞ = 𝑪𝒎 𝒎=−∞ +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 +𝒊 𝟐𝝅 𝒎−𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝟐𝝅 𝒎−𝒏 𝑻𝟎 +𝒊 𝑻𝟎 𝐝𝒕 = 𝒆 𝒊 𝟐𝝅 𝒎 − 𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝜶 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝜶 = 𝝅𝜶 𝐝𝒕 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝒎 − 𝒏 = 𝑻𝟎 𝝅 𝒎−𝒏 116 +𝒊 𝟐𝝅 𝒎−𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 𝑻 ⋅ 𝟐𝟎 − 𝟐𝝅 𝒎−𝒏 𝑻𝟎 −𝒊 ⋅𝟐 𝑻𝟎 𝒆 = = 𝑻𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒎 − 𝒏 = 𝑻𝟎 ⋅ 𝜹𝒎,𝒏 𝟏, 𝒎 = 𝒏 𝜹𝒎,𝒏 ≡ ቊ 𝟎, 𝒎 ≠ 𝒏 Kronecker סימן Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 +∞ 𝐝𝒕 = 𝑪𝒎 𝒎=−∞ −𝑻𝟎 Τ𝟐 + 𝑻𝟎 Τ 𝟐 න Part VII +𝒊 𝟐𝝅 𝒎−𝒏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 𝐝𝒕 = −𝑻𝟎 Τ𝟐 +∞ = 𝑪𝒎 𝑻𝟎 ⋅ 𝜹𝒎,𝒏 = 𝑪𝒏 𝑻𝟎 𝒎=−∞ :Fourier מקדמים של טור 𝟏 𝑪𝒎 = 𝑻𝟎 117 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝒙 𝒕 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝐝𝒕 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝟏 𝑪𝒎 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න Part VII +∞ 𝒙 𝒕 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝟎 𝟏 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 ⋅ 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝑻𝟎 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝐝𝒕 −∞ 𝒙𝟎 𝒕 = 𝒙 𝒕 ⋅ 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟏 𝟏 𝒕 𝑪𝒎 = 𝓕 𝒙𝟎 𝒕 ቚ 𝒎 = 𝓕 𝒙 𝒕 ⋅ 𝐫𝐞𝐜𝐭 อ 𝑻𝟎 𝑻𝟎 𝑻𝟎 𝒇= ൗ𝑻 𝟎 𝒇=𝒎ൗ𝑻 𝟎 𝒙 𝒕 𝒙𝟎 𝒕 𝑿𝟎 𝒇 = 𝓕 𝒙𝟎 𝒕 𝑻𝟎 118 𝑻𝟎 𝒕 𝑻𝟎 𝒕 𝟏 𝑪𝒎 = 𝑿𝟎 𝒇 = 𝒎ൗ𝑻 𝟎 𝑻𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 לפונקציה ממשית 𝑪𝒎 ∗ 𝟏 = 𝑻𝟎 𝟏 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙∗ 𝒕 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝒆 𝟎 −𝑻𝟎 Τ𝟐 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 −𝒊 𝟐𝝅 −𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 ∗ 𝟏 𝐝𝒕 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝐝𝒕 = 𝑪−𝒎 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝑪𝒎 ∗ = 𝑪−𝒎 𝑪𝟎 ∗ = 𝑪−𝟎 = 𝑪𝟎 )(מקדם ממשי 119 𝒙 𝒕 𝒆 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝐝𝒕 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒂𝒎 = 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 𝟐 = 𝑻𝟎 𝒃𝒎 = −𝟐 𝐈𝐦 𝑪𝒎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 𝒙 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝐝𝒕 𝟎 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝟐 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 𝒙 𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝐝𝒕 𝟎 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝑪−𝒎 = 𝒂𝒎 𝑪𝒎 = ด 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 − 𝒊 𝒃𝒎 ด 𝟐 − 𝐈𝐦 𝑪𝒎 𝑪𝒎 ∗ 𝒂−𝒎 𝒃−𝒎 −𝒊 𝟐 𝟐 𝒂𝒎 𝒃𝒎 = +𝒊 𝟐 𝟐 𝑪𝒎 ∗ = 𝑪−𝒎 120 Part VII 𝒂𝒎 = 𝒂−𝒎 𝒃𝒎 = −𝒃−𝒎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace +∞ 𝒙 𝒕 = 𝑪𝒎 𝒆 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 Part VII = 𝒎=−∞ +∞ = 𝑪𝟎 + +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝑪𝒎 𝒆 𝟎 + 𝑪−𝒎 +𝒊 𝟐𝝅 −𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 = 𝒎=𝟏 +∞ = 𝑪𝟎 + 𝒎=𝟏 𝒂𝒎 𝒃𝒎 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 −𝒊 𝒆 + 𝟐 𝟐 𝒂𝒎 𝒃𝒎 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 +𝒊 𝒆 = 𝟐 𝟐 𝑪−𝒎 =𝑪𝒎 ∗ 𝑪𝒎 +∞ 𝒂𝒎 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟎 = 𝑪𝟎 + 𝒆 +𝒆 𝟐 𝒎=𝟏 +∞ 𝒃𝒎 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟎 + 𝒆 −𝒆 𝟐𝒊 𝒎=𝟏 121 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII לפונקציה ממשית 𝒕 ∗𝒙 = 𝒕 𝒙 : ∞+ ∞+ 𝑻+ 𝒃𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ 𝟎 𝟏=𝒎 𝟎𝑪 𝟎ฏ 𝒂 = 𝒕 𝒙 𝑻+ 𝒂𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ 𝟎 𝟐 𝟏=𝒎 חלק זוגי חלק איזוגי טור Fourierממשי פונקציה זוגית: 𝒕𝒙 𝒕 = 𝒙 − פונקציה אי-זוגית: 𝒕𝒙 𝒕 = −𝒙 − 122 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 = 𝒙 −𝒕 לפונקציה ממשית וזוגית 𝑪−𝒎 𝟏 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 𝒕 −𝒊 𝟐𝝅 −𝒎 𝑻𝟎 𝒆 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝟏 𝐝𝒕 = − 𝑻𝟎 𝟏 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න +∞ +𝑻𝟎 Τ𝟐 123 𝐝ฑ −𝒕 = න ′ 𝒙 𝒕′ −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕 ൗ𝑻 𝟎 𝒆 𝐝𝒕′ = 𝑪𝒎 −𝑻𝟎 Τ𝟐 :מקדמים ממשיים וזוגיים 𝒃𝒎 = −𝟐 𝐈𝐦 𝑪𝒎 = 𝟎 𝒂𝟎 𝒙 𝒕 = + 𝒂𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟐 𝒎=𝟏 𝒕′ − 𝑻𝟎 Τ 𝟐 𝑪𝒎 ∗ = 𝑪−𝒎 = 𝑪𝒎 𝒂𝒎 = 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 𝒙 −𝒕 −𝒕 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝑻𝟎 𝒆 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII : 𝒙 𝒕 = 𝒙∗ 𝒕 = −𝒙 −𝒕 זוגית- לפונקציה ממשית ואי 𝑪−𝒎 𝟏 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 𝒕 −𝒊 𝟐𝝅 −𝒎 𝑻𝟎 𝒆 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝟏 𝐝𝒕 = + 𝑻𝟎 𝟏 =− 𝑻𝟎 𝑪𝒎 ∗ = 𝑪−𝒎 = −𝑪𝒎 𝒂𝒎 = 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 = 𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝒕 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝑻𝟎 𝒆 𝒙 −𝒕 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න ′ 𝒙 𝒕′ −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕 ൗ𝑻 𝟎 𝒆 𝐝𝒕′ = −𝑪𝒎 −𝑻𝟎 Τ𝟐 :זוגיים-מקדמים מדומים ואי 𝒃𝒎 = −𝟐 𝐈𝐦 𝑪𝒎 𝒙 𝒕 = 𝒃𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 124 𝐝ฑ −𝒕 = −𝑻𝟎 Τ𝟐 +∞ 𝒎=𝟏 𝒕′ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII :דוגמה 𝟐𝝅𝒕 𝑨 +𝒊 𝟐𝝅𝒕ൗ𝑻 −𝒊 𝟐𝝅𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟎 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 = 𝒆 +𝒆 𝑻𝟎 𝟐 𝟏 𝑪𝒎 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝑨 = 𝟐𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න 𝟎 𝑨 𝐝𝒕 = 𝑻𝟎 −𝒊 𝟐𝝅 𝒎−𝟏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 −𝑻𝟎 Τ𝟐 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝑨 𝐝𝒕 + 𝟐𝑻𝟎 𝑻𝟎 𝜹𝒎,+𝟏 𝟐𝝅𝒕 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝐝𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝒆 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝒊 𝟐𝝅 𝒎+𝟏 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝒆 𝐝𝒕 = −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝑻𝟎 𝜹𝒎,−𝟏 𝑨 = 𝜹𝒎,+𝟏 + 𝜹𝒎,−𝟏 𝟐 𝑪𝒎=±𝟏 = 𝑨ൗ𝟐 𝑪𝒎≠±𝟏 = 𝟎 125 𝑨 +𝒊 𝟐𝝅𝒕ൗ𝑻 𝑨 −𝒊 𝟐𝝅𝒕ൗ𝑻 𝟎 + 𝟎 𝒙 𝒕 = 𝒆 𝒆 ณ ณ 𝟐 𝟐 𝑪±𝟏 𝑪−𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII x (t ) גל ריבועי:דוגמה A0 k T0 +∞ 𝒕 − 𝒏 𝑻𝟎 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒌 𝑻𝟎 T0 𝒏=−∞ k T0 kT + T0 + 0 2 2 k ― duty cycle − T0 𝟏 𝑪𝒎 = 𝑻𝟎 𝑨 = 𝑻𝟎 − +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝒙 𝒕 𝒆 𝟎 −𝑻𝟎 Τ𝟐 +𝒌𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝒌𝑻𝟎Τ𝟐 𝒆 𝟏 𝐝𝒕 = 𝑻𝟎 +𝑻𝟎 Τ𝟐 න −𝑻𝟎 Τ𝟐 𝒕 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒌𝑻𝟎 𝒆 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟐𝝅𝒎 𝒌𝑻𝟎 𝟐𝝅𝒎 𝒌𝑻𝟎 𝑨 𝑻𝟎 +𝒊 𝑻 −𝒊 𝟐 −𝒆 𝑻𝟎 𝟐 𝟎 𝐝𝒕 = 𝟎 𝒆 = 𝑻𝟎 𝒊 𝟐𝝅𝒎 −𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒎𝒌 = 𝒌𝑨 = 𝒌𝑨 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒎𝒌 𝝅𝒎𝒌 126 t 𝟎 𝐝𝒕 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII x (t ) A0 k T0 T0 − T0 − k T0 kT + 0 2 2 𝒂𝒎 = 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 = 𝟐𝒌𝑨 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒎𝒌 + T0 t 𝒃𝒎 = −𝟐 𝐈𝐦 𝑪𝒎 = 𝟎 +∞ 𝒕 − 𝒏 𝑻𝟎 𝒙 𝒕 = 𝑨 𝐫𝐞𝐜𝐭 = 𝒌 𝑻𝟎 𝒏=−∞ +∞ 𝟐𝝅𝒎𝒕 = 𝒌𝑨 ด + 𝟐𝒌𝑨 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒎𝒌 𝐜𝐨𝐬 𝑻𝟎 𝒂 Τ𝟐 𝒂 𝟎 127 𝒎=𝟏 𝒎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII x (t ) גל משולש:דוגמה A +∞ 𝒕 − 𝒏 𝑻𝟎 𝒙 𝒕 =𝑨 𝚲 𝑻𝟎 Τ𝟐 𝒏=−∞ t T0 𝒕 𝒕 𝒙𝟎 𝒕 = 𝒙 𝒕 ⋅ 𝐫𝐞𝐜𝐭 ൗ𝑻 = 𝑨 𝚲 𝟎 𝑻𝟎 Τ𝟐 𝟏 𝒕 𝑪𝒎 = 𝓕 𝑨𝚲 𝑻𝟎 𝑻𝟎 Τ𝟐 ተ 𝒙𝟎 𝒕 𝟏 𝑻𝟎 = ⋅𝑨 𝑻𝟎 𝟐 𝒇=𝒎ൗ𝑻 𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻𝟎 𝒎 = 𝟐 𝑻𝟎 𝓕 𝒙𝟎 𝒕 ȁ𝒇=𝒎ൗ 𝑻𝟎 𝑨 𝒎 𝟐 = 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝟐 128 𝓕 𝚲 𝒕ൗ𝑻 = 𝑻 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝑻𝒇 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VII x (t ) A 𝒂𝒎 = 𝟐 𝐑𝐞 𝑪𝒎 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝟐 𝒎 𝟐 t T0 +∞ +∞ 𝒕 − 𝒏𝑻𝟎 𝒎 𝟐 𝑨 𝒙(𝒕) = 𝑨 𝚲 =ต 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒎𝒇𝟎 𝒕 ൗ𝟐 + 𝑨 𝐬𝐢𝐧𝐜 Τ 𝑻𝟎 𝟐 𝟐 𝒏=−∞ 𝒂 𝟎 Τ𝟐 𝒎=𝟏 :אות ממשי וזוגי 𝑪𝒎 = 𝑪𝒎 ∗ = 𝑪−𝒎 +∞ 𝒙 𝒕 = 𝒎=−∞ 129 +𝒊 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝑪𝒎 𝒆 𝟎 +∞ 𝒂𝟎 = + 𝒂𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒎 𝒕ൗ𝑻 𝟎 𝟐 𝒎=𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Laplace התמרת.VIII Laplace transform :צדדית- חדLaplace התמרת +∞ = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝑿 𝒔 =𝓛𝒙 𝒕 𝟎 𝒔 = 𝝈 + 𝒊 𝟐𝝅𝒇 ถ = 𝝈 + 𝒊𝝎 𝝎 𝒙 𝒕 כל ערכי הפונקציה,צדדית- חדLaplace בשימוש בהתמרת .בזמן שלילי 𝟎 < 𝒕 נאבדים :צדדית- דוLaplace התמרת +∞ 𝑿 𝒔 =𝓛𝒙 𝒕 130 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 −∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :לפונקציות חצי מוגבלות בזמן 𝒙 𝒕 =𝒙 𝒕 ⋅𝐮 𝒕 𝒙 𝒕<𝟎 =𝟎 +∞ +∞ 𝑿 𝝈 + 𝒊𝝎 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 𝟎 −∞ = 𝓕 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 +∞ זההLaplace התמרת Fourier להתמרת 𝑿 ณ 𝟎 + 𝒊𝝎 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 = 𝓕 𝒙 𝒕 𝝈 −∞ מישור Laplace 𝒊𝝎 𝝈 131 ,על הציר המדומה Laplace התמרות זהותFourier-ו Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :) מתכנסתLaplace (תחום בו התמרתLaplace תחום התכנסות של התמרת 𝑿 𝒔 = 𝓛𝒙 𝒕 +∞ 𝑿 𝒔 = 𝝈 + 𝒊𝝎 +∞ = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 ≤ න 𝒙 𝒕 ⋅ 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 = 𝟎 𝟎 𝒂 + 𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃 :כלל משולש 𝒃 𝒂 <∞ +∞ = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝐝𝒕 𝟎 אם,𝒔 = 𝝈 + 𝒊𝝎 מתכנסת בכלLaplace התמרת +∞ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝐝𝒕 < ∞ 𝟎 132 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII +∞ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝒅𝒕 < ∞ 𝟎 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝝈 > 𝝈𝟎 < 𝟎 𝓛𝒙 𝒕 = 𝑿 𝒔 = 𝝈 + 𝒊𝝎 <∞ ∀𝝎 𝒕 𝒙 𝒕 : 𝝈 = 𝟎 עבור 𝒆−𝝈𝒕 𝝈 > 𝝈𝟎 > 𝟎 +∞ 𝑿 𝟎 + 𝒊𝝎 133 ≤න 𝒙 𝒕 𝒅𝒕 → ∞ 𝟎 𝒕 ,) יכולה להתכנס (בתחום מסויםLaplace התמרת אינה מתכנסתFourier גם במקרים בהם התמרת Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒙 𝒕 =𝐮 𝒕 : אינה מתכנסתFourier התמרת 𝓕𝐮 𝒕 𝟏 𝟏 = + 𝜹 𝒇 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝟐 +∞ 𝓕𝐮 𝒕 = 𝑼 𝟎 + 𝒊𝝎 +∞ ≤ න 𝐮 𝒕 𝐝𝒕 = න 𝐝𝒕 → ∞ 𝟎 𝟎 : 𝝈 > 𝟎 מתכנסת בתחוםLaplace התמרת +∞ 𝑼 𝝈 + 𝒋𝟐𝝅𝒇 ≤න 𝐮 𝒕 𝒆 +∞ −𝝈𝒕 𝟎 𝟎 +∞ 𝑼 𝒔 =𝓛𝐮 𝒕 =න 𝐮 𝒕 𝒆 𝟎 134 𝐝𝒕 = න 𝒆 −𝒔𝒕 −𝝈𝒕 𝟏 𝐝𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝝈𝒕 ቚ <∞ 𝝈>𝟎 𝝈 𝒕→∞ 𝟏 𝟏 −𝒔𝒕 𝐝𝒕 = 𝟏 − 𝒆 ቚ = 𝒔 𝒔 𝒕→∞ 𝝈 = 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII נניח שהתמרת Laplaceשל פונקציית 𝒕 𝒙 ממכנסת עבור 𝟎𝝈 = 𝝈 : ∞+ ∞ < 𝒕𝒅 𝒕𝟎𝝈≤ න 𝒙 𝒕 𝒆− 𝝎𝒊 𝑿 𝝈𝟎 + 𝟎 𝟏≤ לכל 𝟎𝝈 > 𝝈 : 𝒕𝐝 𝒕 𝟎𝝈𝝈− 𝝈−𝝈𝟎 𝒕 ቚ 𝟎≥𝒕 ∞+ 𝒆− ⇒ 𝟎𝝈 > 𝝈 ∞+ ≤ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝟎 𝒕 𝒆− 𝟎 𝝎𝒊 𝑿 𝝈 + 𝟎 ∞+ ∞ < 𝒕𝐝 𝒕 𝟎𝝈< න 𝒙 𝒕 𝒆− 𝟎 תחום התכנסות של התמרת Laplace התמרת Fourier 𝝎𝒊 אם התמרת Laplaceשל פונקציה מתכנסת בנקודה 𝟎𝝈, היא מתכנסת לכל 𝟎𝝈 > 𝝈 𝟎𝝈 𝝈 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :נניח שלפונקציה 𝒕 𝒙 מוגבלת בזמן 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒙 𝒕 = 𝒙 𝒕 ⋅ 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝜟𝑻 : 𝝈 = 𝝈𝟎 ממכנסת עבורLaplace התמרת 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 +∞ 𝑿 𝝈𝟎 + 𝒊𝝎 ≤ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝟎𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝟎𝒕 𝐝𝒕 𝒕𝟎 −𝜟𝑻Τ𝟐 𝟎 𝒙 𝒕 𝒕𝟎 𝜟𝑻 𝒕 < ∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝒆+ Part VIII 𝝈𝟎 −𝝈 𝒕 𝒆+ 𝝈𝟎 −𝝈 𝒕 ቚ 𝒕𝟎 −𝜟𝑻Τ𝟐 ≤ 𝒕 ≤ 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 ≤ 𝒆+ 𝝈𝟎 −𝝈 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 𝒕 : 𝝈 < 𝝈𝟎 לכל 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 +∞ 𝑿 𝝈 + 𝒊𝝎 ≤ න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝐝𝒕 = 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝟎 𝒕 𝒆+ න 𝒕𝟎 −𝜟𝑻Τ𝟐 𝟎 < 𝒆+ 𝝈𝟎 −𝝈 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 𝝈𝟎 −𝝈 𝒕 𝐝𝒕 𝒕𝟎 +𝜟𝑻Τ𝟐 න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝟎 𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 −𝜟𝑻Τ𝟐 , של פונקציה מוגבלת בזמן מתכנסתLaplace אם התמרת Laplace-היא מתכנסת בכל מישור ה < ∞ Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII הפוכהLaplace התמרת +∞ 𝓛𝒙 𝒕 = 𝑿 𝝈 + 𝒊𝝎 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕 𝟎 +∞ ′ ′ 𝒆𝝈𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑿 𝝈 + 𝒊𝝎 = 𝒆𝝈𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕 න 𝒙 𝒕′ 𝒆−𝝈𝒕 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝐝𝒕′ = 𝟎 +∞ = න 𝒙 𝒕′ 𝒆 𝝈 𝒕−𝒕′ 𝒆𝒊𝝎 𝒕−𝒕′ 𝐝𝒕′ 𝟎 +∞ +∞ න 𝒆𝝈𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑿 𝝈 + 𝒊𝝎 𝐝𝝎 = න −∞ −∞ +∞ = න 𝒙 𝒕′ 𝒆𝝈 −∞ +∞ 𝒕−𝒕′ 𝝎 ฑ 𝒕−𝒕′ න 𝒆𝒊𝟐𝝅𝒇 𝟎 +∞ න 𝒙 𝒕′ 𝒆 𝝈 𝒕−𝒕′ 𝒆𝒊𝝎 𝒕−𝒕′ 𝐝𝒕′ 𝐝𝝎 = 𝟎 𝐝𝝎 +∞ 𝟐𝝅 𝐝𝒇 𝐝𝒕′ = 𝟐𝝅 න 𝒙 𝒕′ 𝒆𝝈 𝒕−𝒕′ 𝜹 𝒕 − 𝒕′ 𝐝𝒕′ −∞ 𝟐𝝅 𝜹 𝒕−𝒕′ 138 = 𝟐𝝅 𝒙 𝒕 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII התמרת Laplaceהפוכה ∞+ 𝟏 = = 𝝎𝐝 𝝎𝒊 න 𝒆𝝈𝒕 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑿 𝝈 + 𝝅𝟐 𝝎𝒊 𝑿 𝝈 + 𝟏− 𝓛= 𝒕 𝒙 ∞− ∞+ 𝝎 ฑ 𝒇𝝅𝟐 𝒊 = 𝒆𝝈𝒕 න 𝑿 𝝈 + 𝒊 𝟐𝝅𝒇 𝒆𝒊𝟐𝝅𝒇𝒕 𝐝𝒇 = 𝒆𝝈𝒕 𝓕−𝟏 𝑿 𝝈 + ∞− אינטגרציית \ Bromwichאינטגרציית Fourier–Mellin עקב שימוש בהתמרת Laplaceחד-צדדית, 𝟎= 𝟎<𝒕 𝒙 𝝎𝒊 𝝈 סגירת התחום לחישוב התמרת לפלס הפוכה בעזרת שאריות 𝝈 139 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒙 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝐫𝐞𝐜𝐭 𝒕 − 𝟏ൗ𝟐 𝜟𝑻 𝜟𝑻 𝒕 +∞ 𝑿 𝒔 =න 𝒙 𝒕 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 +∞ 𝜟𝑻 𝟎 𝟎 𝒕 𝒅𝒕 = න 𝐫𝐞𝐜𝐭 − 𝟏ൗ𝟐 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = න 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = 𝜟𝑻 𝟏 = 𝟏 − 𝒆−𝒔⋅𝜟𝑻 𝒔 𝑿 𝒔 𝟏 + 𝒆−𝒔⋅𝜟𝑻 𝟏 − 𝒆−𝒔⋅𝜟𝑻 𝟏 + 𝒆−𝝈⋅𝜟𝑻 = ≤ = 𝒔 𝒔 𝝈𝟐 + 𝝎𝟐 𝟏 − 𝟏 − 𝒔𝜟𝑻 + 𝒔𝜟𝑻 𝟐 Τ𝟐! − 𝒔𝜟𝑻 𝟑 Τ𝟑! ⋯ 𝒔𝜟𝑻 𝒔𝜟𝑻 𝑿 𝒔 = = 𝜟𝑻 𝟏 − + 𝒔 𝟐! 𝟑! 𝟐 −⋯ 𝝈 < 𝟎, 𝝈 < ∞ 𝒔 𝑿 מתכנסת לכל 𝟎 > 𝝈 או,)𝑻𝜟 = 𝟎 𝑿 (נקודה סליקה 140 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII Laplace תכונות בסיסיות של התמרת :• לינאריות 𝓛 𝑪𝒏 𝒙𝒏 𝒕 = 𝑪𝒏 𝑿𝒏 𝒔 𝒏 𝒏 +∞ +∞ න 𝑪𝒏 𝒙𝒏 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = 𝑪𝒏 න 𝒙𝒏 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = 𝑪𝒏 𝓛 𝒙𝒏 𝒕 𝒏 𝟎 𝒏 𝒏 𝟎 :• שנוי קנה מידה 𝓛 𝒙 𝒕ൗ𝑻 +∞ +∞ Τ𝑻 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒔 න 𝒙 𝒕ต 𝟎 141 = 𝑻 𝑿 𝒔𝑻 𝝉 𝟎 𝑻>𝟎 +∞ 𝝉𝑻 𝐝 𝝉𝑻 = 𝑻 න 𝒙 𝝉 𝒆− 𝟎 𝒔𝑻 𝝉 𝐝𝝉 = 𝑻 𝑿 𝒔𝑻 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :• הכפלה בזמן 𝓛 𝒕𝒙 𝒕 = 𝐝𝑿 𝒔 − 𝐝𝒔 𝒕𝒏 𝓛 +∞ +∞ 𝟎 𝟎 𝐝𝑿 𝒔 𝐝 − = − න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝐝𝒔 𝐝𝒔 𝒙 𝒕 = −𝟏 𝒏 𝒏𝐝 𝑿 𝒔 𝐝𝒔𝒏 +∞ 𝐝 −𝒔𝒕 − 𝒆 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝒔 𝟎 :• חלוקה בזמן ∞ 𝓛 𝒙 𝒕 ൗ𝒕 = න 𝑿 𝒛 𝐝𝒛 𝒔 ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ න 𝑿 𝒛 𝐝𝒛 = න න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒛𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝒛 = න 𝒙 𝒕 න 𝒆−𝒛𝒕 𝐝𝒛 𝐝𝒕 = 𝒔 𝒔 𝒔 𝟎 𝟎 +∞ =න 𝒙 𝒕 142 𝟎 − 𝒆−𝒛𝒕 𝒕 ∞ อ 𝒔 +∞ 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝐝𝒕 𝒕 𝟎 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 ➔ 𝒆−𝒔𝒕 ȁ𝒕→∞ = 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :• הזזה בזמן 𝓛 𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎 𝐮 𝒕 − 𝒕𝟎 +∞ = 𝑿 𝒔 𝒆−𝒔𝒕𝟎 / 𝒙 𝒕 < 𝒕𝟎 = 𝟎 / +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎 𝐮 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝝉 𝐮 𝝉 𝒆−𝒔 𝟎 𝝉+𝒕𝟎 𝐝𝝉 = 𝒆−𝒔𝒕𝟎 න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒔𝝉 𝐝𝝉 −𝒕𝟎 𝟎 :) 𝒕 𝟎𝒔𝒆 (אפנון-• הכפלה ב 𝓛 𝒙 𝒕 𝒆𝒔𝟎 𝒕 = 𝑿 𝒔 − 𝒔𝟎 +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 𝒆𝒔𝟎 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒙 𝒕 𝒆− 𝟎 143 𝟎 𝒔−𝒔𝟎 𝒕 𝐝𝒕 = 𝑿 𝒔 − 𝒔𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :• גזירה 𝐝𝒙 𝒕 𝓛 𝐝𝒕 +∞ = 𝒔𝑿 𝒔 − 𝒙 𝒕 = 𝟎 +∞ 𝐝𝒙 𝒕 −𝒔𝒕 න 𝒆 𝐝𝒕 = න 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒙 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕 𝒙 𝒕 ቚ 𝐝𝒔 𝟎 𝟎 +∞ 𝟎 = 𝒆−𝒔𝒕 𝒙 𝒕 ቚ 𝒕→+∞ +∞ − න 𝒙 𝒕 𝐝𝒆−𝒔𝒕 = 𝟎 +∞ −𝒔𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 − 𝒙 𝒕 = 𝟎 + 𝒔 න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝟎 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 ➔ 𝒆−𝒔𝒕 ȁ𝒕→∞ = 𝟎 𝐝𝒏 𝒙 𝒕 𝓛 𝐝𝒕𝒏 = 𝒔𝒏 𝑿 𝒔 −𝒔𝒏−𝟏 𝒙 𝒕 = 𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐 𝒙′ 𝒕 = 𝟎 − … − 𝒙 144 𝒏−𝟏 𝒕=𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :• אינטגרציה 𝒕 𝟏 𝓛 න 𝒙 𝝉 𝐝𝝉 = 𝑿 𝒔 𝒔 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 𝟎 +∞ 𝒕 +∞ +∞ න න 𝒙 𝝉 𝐝𝝉 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න න 𝒙 𝝉 𝐮 𝒕 − 𝝉 𝐝𝝉 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = 𝟎 𝟎 𝟎 +∞ =න 𝒙 𝝉 𝟎 𝟎 +∞ 𝟎 න 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝝉 = 𝟎 𝝉 − 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝒔 +∞ อ 𝝉 +∞ 𝐝𝝉 = න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒔𝝉 𝒔 𝟎 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 ➔ 𝒆−𝒔𝒕 ȁ𝒕→∞ = 𝒆− 𝐑𝐞 145 +∞ න 𝐮 𝒕 − 𝝉 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝝉 = න 𝒙 𝝉 +∞ =න 𝒙 𝝉 +∞ +∞ 𝐝𝝉 = 𝒔 𝒕 −𝒊 𝐈𝐦 𝒔 𝒕 𝒆 𝟏 න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒔𝝉 𝐝𝝉 𝒔 𝟎 ห𝒕→∞ = 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :• קונבולוציה 𝓛 𝒙 𝒕 ∗𝒚 𝒕 =𝑿 𝒔 ⋅𝒀 𝒔 +∞ 𝓛 𝒙 𝒕 ⋅𝒚 𝒕 = න 𝑿 𝒛 𝒀 𝒔 − 𝒛 𝐝𝒛 = 𝑿 𝒔 ∗ 𝒀 𝒔 −∞ +∞ +∞ න 𝒙 𝒕 ∗ 𝒚 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝟎 𝟎 +∞ +∞ න 𝒙 𝝉 𝒚 𝒕 − 𝝉 𝐝𝝉 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = −∞ +∞ = න 𝒙 𝝉 −∞ න 𝒚 𝒕 − 𝝉 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 𝐝𝝉 = න 𝒙 𝝉 𝟎 +∞ = 𝒀 𝒔 න 𝒙 𝝉 𝒆−𝒔𝝉 𝐝𝝉 = 𝒀 𝒔 ⋅ 𝑿 𝒔 𝟎 146 +∞ 𝟎 𝒀 𝒔 𝒆−𝒔𝝉 𝐝𝝉 = 𝒙 𝝉<𝟎 =𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒙 𝒕 = 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝜶∈ℂ +∞ +∞ +∞ 𝑿 𝒔 = න 𝒙 𝒕 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝟎 𝟎 𝟏 = 𝟏 − 𝒆− 𝒔−𝜶 𝒆− 𝒔−𝜶 𝒕 = 𝒆− 𝒔−𝜶 𝒕 𝐝𝒕 = 𝟎 𝒔−𝜶 𝒕 ቚ 𝒕→+∞ 𝐑𝐞 𝒔 −𝐑𝐞 𝜶 𝒕 𝟏 𝑿 𝒔 = , 𝒔−𝜶 147 𝒆−𝒔𝒕 𝐝𝒕 = න 𝒆− 𝒆−𝒊 𝐈𝐦 𝒔 −𝐈𝐦 𝜶 𝒕 𝐑𝐞 𝒔 > 𝐑𝐞 𝜶 𝒕→+∞ 𝟎 if: 𝐑𝐞 𝒔 − 𝐑𝐞 𝜶 > 𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝟏 +𝒊𝝎 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆 𝟎 + 𝒆−𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 𝟐 𝟏 +𝒊𝝎 𝒕 𝑿 𝒔 =𝓛 𝒆 𝟎 + 𝒆−𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝟐 𝜶 𝜶 𝟏 𝟐 𝟏 = 𝓛 𝒆+𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 + 𝓛 𝒆−𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 + 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝒔 = + = = 𝟐 𝟐 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝟐 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝝎𝟎 𝟐 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 𝟏 +𝒊𝝎 𝒕 𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆 𝟎 − 𝒆−𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 𝟐𝒊 𝒀 𝒔 =𝓛 𝟏 +𝒊𝝎 𝒕 𝒆 𝟎 − 𝒆−𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝟐𝒊 = 𝟏 𝓛 𝒆+𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 − 𝓛 𝒆−𝒊𝝎𝟎𝒕 𝐮 𝒕 𝟐𝒊 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 − 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝝎𝟎 = − = = 𝟐 𝟐𝒊 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝟐𝒊 𝒔 − 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝒊𝝎𝟎 𝒔 + 𝝎𝟎 𝟐 148 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒓 𝒕 = 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝑹 𝒔 =𝓛 𝒆 𝟐 = 𝟏 𝓛 𝒆 𝟐 𝟏 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆 𝟐 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 +𝒆 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 −𝟏Τ𝝉−𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝜶𝟏 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 −𝟏Τ𝝉−𝒊𝝎𝟎 𝒕 +𝒆 𝐮 𝒕 = 𝜶𝟐 𝐮 𝒕 +𝓛 𝒆 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝟏 𝟏 𝟏 = + 𝟏 𝟏 𝟐 𝒔 − − + 𝒊𝝎 𝒔 − − − 𝒊𝝎𝟎 𝟎 𝝉 𝝉 𝐮 𝒕 = = 𝒔 + 𝟏ൗ𝝉 𝒔 + 𝟏ൗ𝝉 𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝐑𝐞 𝒔 > − 𝟏ൗ𝝉 𝒒 𝒕 = 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐬𝐢𝐧 𝑸 𝒔 =𝓛 149 𝟏 𝒆 𝟐𝒊 𝟏 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆 𝟐𝒊 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 −𝒆 −𝟏Τ𝝉+𝒊𝝎𝟎 𝒕 −𝟏Τ𝝉−𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 −𝒆 = −𝟏Τ𝝉−𝒊𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝝎𝟎 𝒔 + 𝟏ൗ𝝉 𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝐑𝐞 𝒔 > − 𝟏ൗ𝝉 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒚 𝒕 = 𝒕𝒏 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝓛𝒆 𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝟏 , 𝒔−𝜶 = 𝐝𝒏 𝟏 = −𝟏 𝒏 𝐝𝒔 𝒔 − 𝜶 𝒏 𝐑𝐞 𝒔 > 𝐑𝐞 𝜶 𝒏 𝒏! 𝒔−𝜶 𝓛𝒕 𝒙 𝒕 = −𝟏 𝒏 𝒏𝐝 𝑿 𝒔 𝐝𝒔𝒏 𝒏+𝟏 𝑿 𝒔 𝒀 𝒔 =𝓛 𝒕𝒏 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 = −𝟏 𝒏 −𝟏 𝒙 𝒕 𝒏 𝒏! 𝒔−𝜶 𝒏+𝟏 𝒏! = 𝒔−𝜶 𝒏+𝟏 𝐝𝒏 𝑿 𝒔 𝐝𝒔𝒏 𝐑𝐞 𝒔 > 𝐑𝐞 𝜶 𝒏 𝓛𝒕 𝒆 −𝒕Τ𝝉 𝐮 𝒕 𝒏! = 𝒔 + 𝟏Τ𝝉 𝒏+𝟏 𝐑𝐞 𝒔 > − 𝟏ൗ𝝉 150 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝟎𝒂 𝒂𝒏 𝒔𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + ? − 𝟎𝒃 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏 𝒔𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝟏𝓛− לפתרון יעיל ,ניתן לפרק את שבר לשברים חלקיים (ראה מאמר פירוק לשברים חלקיים): 𝒔 𝑷 𝟎𝒂 𝒂𝒏 𝒔𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + 𝒔 𝑹 𝑨= 𝒔 + ถ 𝒃 ➢ 𝑸 𝒔 = 𝒃 𝒔𝒎 + 𝒃 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃 𝒔 + 𝒔 𝒔 𝑸 𝒎 𝟏𝒎− 𝟏 𝟎 חלק שלם 𝒔 𝑸 𝐠𝐞𝐝 < 𝒔 𝑹 𝐠𝐞𝐝 𝒎 𝟎 = 𝒔 𝑨 if 𝒏 < 𝒎, 𝒎 𝒍𝒔 ➢ 𝑸 𝒔 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏 𝒔𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝒃𝟎 = 𝒃𝒎 ෑ 𝒔 − 𝟏=𝒍 𝒎 𝒔 𝑹 𝟏 𝒍𝜶 = 𝒔 𝑸 𝒎𝒃 𝒍𝒔 𝒔 − 𝟏=𝒍 151 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝑷 𝒔 𝒂𝒏 𝒔𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + 𝒂𝟎 𝑹 𝒔 = =𝑨 𝒔 + ถ 𝑸 𝒔 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏 𝒔𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝒃𝟎 𝑸 𝒔 חלק שלם Euclidian division 𝑨 𝒔 =𝟎 𝑹 𝒔 = 𝑷 𝒔 = 𝒂𝒏 𝒔𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + 𝒂𝟎 While 𝐝𝐞𝐠 𝑹 𝒔 ≥𝒎: 𝐥𝐞𝐚𝐝 𝑹 𝒔 𝑨 𝒔 =𝑨 𝒔 + 𝒃𝒎 𝒔𝒎 𝐥𝐞𝐚𝐝 𝑹 𝒔 𝑹 𝒔 =𝑹 𝒔 − 𝒃𝒎 𝒔𝒎 End do 𝒌 𝐥𝐞𝐚𝐝 𝒓𝒍 𝒔𝒍 = 𝒓𝒌 𝒔𝒌 152 𝒍=𝟎 𝑸 𝒔 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 = 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝑨 𝒔 =𝟎 𝐝𝐞𝐠 𝑹 𝒔 𝑹 𝒔 = 𝑷 𝒔 = 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 =𝟑 ≥ 𝒎=𝟐 : 𝒔𝟑 𝑨 𝒔 =𝑨 𝒔 + 𝟐=𝒔 𝒔 𝟑 𝒔 𝑹 𝒔 = 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 − 𝟐 𝒔𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟒 𝒔 𝐝𝐞𝐠 𝑹 𝒔 = 𝟐 ≥ 𝒎 = 𝟐 : 𝟐𝒔𝟐 𝑨 𝒔 =𝑨 𝒔 + 𝟐 =𝒔+𝟐 𝒔 𝟐𝒔𝟐 𝟐 𝟐 𝑹 𝒔 = 𝟐𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟒 − 𝟐 𝒔 + 𝟏 = 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 𝐝𝐞𝐠 𝑹 𝒔 = 𝟏 ≱ 𝒎 = 𝟐 : stop 𝑹 𝒔 𝑨 𝒔 153 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝟐𝒔 + 𝟐 = =𝒔+𝟐+ 𝟐 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔 +𝟏 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 = 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝟐𝒔𝟐 Τ𝒔𝟐 𝒔𝟑 Τ𝒔𝟐 ฎ 𝒔 + 𝒔𝟑 𝟐 𝒔 +𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔𝟐 𝟐 𝒔 +𝟏 𝒔𝟐 ฎ 𝟐 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 − 𝒔𝟑 + 𝒔 − 𝒔𝟐 + 𝟏 𝟐𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟒 𝟐𝒔𝟐 + 𝟐 𝟐𝒔 + 𝟐 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝟐𝒔 + 𝟐 = = 𝒔+𝟐 + 𝟐 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔 +𝟏 154 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝟎 = 𝟎𝒃 𝑸 𝒔 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏 𝒔𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝒍𝒌 𝒍𝒔 𝑸 𝒔 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏 𝒔𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝒃𝟎 = 𝒃𝒎 ෑ 𝒔 − 𝒍 𝒍𝒌 -הריבוי של שורש 𝒍 𝒍𝜶 𝒍𝒔 𝒔 − 𝟏 = 𝒍𝒌 𝒍𝝁 𝝀𝒍 𝒔 + = 𝟐 𝒍𝒔 𝒔 − 𝟐 = 𝒍𝒌 𝟑 = 𝒍𝒌 𝒍𝜺 𝝀𝒍 𝒔𝟐 + 𝝁𝒍 𝒔 + = 𝟑 𝒍𝒔 𝒔 − 𝟑 𝟐 𝒍𝜶 𝒍𝜷 + 𝒍𝒔 𝒔 − 𝒍𝒔 𝒔 − 𝒍𝜸 + 𝟐 𝒍𝒔 𝒔 − 𝒍𝜶 𝒍𝜷 + 𝒍𝒔 𝒔 − 𝒍𝒔 𝒔 − 𝒔 𝑹 = 𝒔 𝑸 𝒍 סכום של שברים חלקיים ⋯ מקדמי הפירוק 𝒍𝜶 : ... 𝜸𝒍 ,𝜷𝒍 ,פתרון ישיר של מערכת משוואות אלגבריות, … )𝟐 = 𝒍𝒌( 𝟐𝑹 𝒔 ฬ 𝒔=𝒔 𝒔 𝑸 𝒍 𝒍𝒔 𝜷𝒍 = 𝒔 − )𝟏 = 𝒍𝒌( 𝒔 𝑹 ฬ 𝒔=𝒔 𝒔 𝑸 𝒍 𝒍𝒔 𝜶𝒍 = 𝒔 − Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :המשך דוגמה 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝟐𝒔 + 𝟐 𝜶𝟏 𝜶𝟐 = = 𝒔+𝟐 + = 𝒔+𝟐 + + 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝟐𝒔 + 𝟐 𝜶𝟏 = 𝒔 − 𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 ቮ 𝑹 𝒔 Τ𝑸 𝒔 𝟐𝒊 + 𝟐 = =𝟏−𝒊 𝟐𝒊 𝒔=+𝒊 𝟐𝒔 + 𝟐 𝜶𝟐 = 𝒔 + 𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 ቮ 𝑹 𝒔 Τ𝑸 𝒔 −𝟐𝒊 + 𝟐 = = 𝟏 + 𝒊 = 𝜶𝟏 −𝟐𝒊 𝒔=−𝒊 𝑹 𝒔 Τ𝑸 𝒔 𝑨 𝒔 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 = = =𝒔+𝟐+ + 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 156 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝑨 𝒔 𝑹 𝒔 Τ𝑸 𝒔 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝜶𝟏 𝜶𝟏 = = = 𝜸𝒔 + 𝜹 + + = 𝟐 𝑸 𝒔 𝒔 +𝟏 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝒔𝟐 +𝟏 𝜸𝒔 + 𝜹 𝒔 − 𝒊 𝒔 + 𝒊 + 𝜶𝟏 𝒔 + 𝒊 + 𝜶𝟐 𝒔 − 𝒊 = = 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝜸𝒔𝟑 + 𝜹𝒔𝟐 + 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 + 𝜸 𝒔 + 𝒊𝜶𝟏 − 𝒊𝜶𝟐 + 𝜹 = 𝒔𝟐 + 𝟏 ➔ 𝜸=𝟏 𝜹=𝟐 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 + 𝜸 = 𝟑 𝒊𝜶𝟏 − 𝒊𝜶𝟐 + 𝜹 = 𝟒 ➔ 𝜸=𝟏 𝜹=𝟐 𝜶𝟏 = 𝟏 − 𝒊 𝜶𝟐 = 𝟏 + 𝒊 𝑹 𝒔 Τ𝑸 𝒔 𝑨 𝒔 𝑷 𝒔 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 = = =𝒔+𝟐+ + 𝑸 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 157 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace 𝓛−𝟏 𝑷 𝒔 𝑸 𝒔 = = 𝓛−𝟏 𝓛−𝟏 𝒔 + Part VIII 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 𝒔+𝟐+ + = 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 𝓛−𝟏 𝟐 + 𝟏−𝒊 𝓛−𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 + 𝟏+𝒊 𝓛 = 𝒔−𝒊 𝒔+𝒊 = 𝜹′ 𝒕 + 𝟐𝜹 𝒕 + 𝟏 − 𝒊 𝒆𝒊𝒕 𝐮 𝒕 + 𝟏 + 𝒊 𝒆−𝒊𝒕 𝐮 𝒕 = 𝓛−𝟏 𝒔 = 𝜹′ 𝟐𝓛−𝟏 𝟏 𝓛−𝟏 𝒕 + 𝟐𝜹 𝒕 + 𝒆𝒊𝒕 + 𝒆−𝒊𝒕 𝟏 𝒔−𝒊 𝓛−𝟏 𝟏 𝒊𝒕 𝐮 𝒕 + 𝒆 − 𝒆−𝒊𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒊 = 𝜹′ 𝒕 + 𝟐𝜹 𝒕 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 + 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝐮 𝒕 𝓛−𝟏 𝟏 = 𝜹 𝒕 𝓛−𝟏 𝒔 = 𝜹′ 𝒕 158 𝟏 𝒔+𝒊 𝓛−𝟏 𝒔𝒏 = 𝜹 𝒏 𝒕 𝒏>𝟎 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII :דוגמה 𝒔𝟐 + 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟐𝒔 + 𝟏 𝑯 𝒔 = 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 =𝟏− 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔𝟐 Τ𝒔𝟐 ฎ 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔𝟐 𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 −𝟐𝒔 − 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 = 𝟎 ➔ 𝒔𝟏,𝟐 = −𝟐± 𝟐𝟐 −𝟒⋅𝟐 𝟐 = −𝟏 ± 𝒊 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟐𝒔 + 𝟏 𝜶𝟏 𝜶𝟐 = = + 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔 𝟐 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 𝜶𝟏 = 𝒔 − 𝒔𝟏 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟐𝒔𝟏 + 𝟏 ቤ = = 𝟏 + 𝒊ൗ𝟐 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 𝒔=𝒔 𝒔𝟏 − 𝒔𝟐 𝟏 𝜶𝟐 = 𝒔 − 𝒔𝟐 159 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟐𝒔𝟐 + 𝟏 ቤ = = 𝟏 − 𝒊ൗ𝟐 = 𝜶𝟏 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 𝒔=𝒔 𝒔𝟐 − 𝒔𝟏 𝟐 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝒔𝟐 + 𝟏 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟏 + 𝒊Τ𝟐 𝟏 − 𝒊Τ𝟐 𝑯 𝒔 = 𝟐 =𝟏− 𝟐 =𝟏− − 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 + 𝟐𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 −𝟏 𝒉 𝒕 =𝓛 = −𝟏 𝑯 𝒔 𝓛−𝟏 =𝓛 𝟏 + 𝒊Τ𝟐 𝟏 − 𝒊Τ𝟐 𝟏− − = 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 𝟏 − 𝟏 + 𝒊Τ𝟐 𝓛−𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 − 𝟏 − 𝒊Τ𝟐 𝓛 = 𝒔 − 𝒔𝟏 𝒔 − 𝒔𝟐 𝒔𝟏 = 𝜹 𝒕 − 𝟏 + 𝒊Τ𝟐 𝒆 ถ =𝜹 𝒕 − 160 𝐮 𝒕 − 𝟏 − 𝒊Τ𝟐 𝒆 𝟏 𝓛−𝟏 𝒔−𝒔 𝟏 𝓛−𝟏 𝟏 =𝜹 𝒕 − −𝟏+𝒊 𝒕 𝒔𝟐 −𝟏−𝒊 𝒕 𝟏 𝓛−𝟏 𝒔−𝒔 𝟐 𝟏 + 𝒊Τ𝟐 𝒆+𝒊𝒕 + 𝟏 − 𝒊Τ𝟐 𝒆−𝒊𝒕 𝒆−𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆 +𝒊𝒕 +𝒆 −𝒊𝒕 𝟏 +𝒊𝒕 − 𝒆 − 𝒆−𝒊𝒕 𝟐𝒊 = 𝜹 𝒕 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒆−𝒕 𝒖 𝒕 𝐮 𝒕 = 𝒆−𝒕 𝐮 𝒕 = Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII פתרון משוואה דיפרנציאלית בעזרת התמרת Laplace משוואה לינאריות לא הומוגנית עם מקדמים קבועים: 𝒚 𝒏𝐝 𝒚 𝟏𝐝𝒏− 𝒚𝐝 𝒙 𝒎𝐝 𝒙𝐝 𝟏𝒂 𝒂𝒏 𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝟏𝒃 + 𝒂𝟎 𝒚 𝒕 = 𝒃𝒎 𝒎 + ⋯ + 𝒕 𝒙 𝟎𝒃 + 𝒕𝐝 𝒕𝐝 𝒕𝐝 𝒕𝐝 𝒕𝐝 = 𝒔 𝒀 𝟎𝒂 + ⋯ + 𝒔 𝑿 𝟎𝒃 + ⋯ + 𝟎=𝒕 𝟏𝒎− 𝟎=𝒕 𝟏𝒏− 𝒚 𝒂𝒏 𝒔𝒏 𝒀 𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏 𝒚 𝒕 = 𝟎 − ⋯ − 𝒙 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 𝑿 𝒔 − 𝒔𝒎−𝟏 𝒙 𝒕 = 𝟎 − ⋯ − 𝟎= 𝟎=𝒕 𝟏𝒎− 𝒙 = ⋯ = 𝟎 = 𝒕 𝒙 𝒕 = 𝟎 = 𝒙′ 𝟎= 𝟎=𝒕 𝟏𝒏− 𝒚 = ⋯ = 𝟎 = 𝒕 𝒚 𝒕 = 𝟎 = 𝒚′ 𝒔 𝑿 𝟎𝒃 𝒂𝒏 𝒔𝒏 𝒀 𝒔 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 𝒀 𝒔 + 𝒂𝟎 𝒀 𝒔 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 𝑿 𝒔 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 𝑿 𝒔 + 𝒔 𝑿 𝟎𝒃 𝒂𝒏 𝒔𝒏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + 𝒂𝟎 𝒀 𝒔 = 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + 𝟎𝒃 𝒃𝒎 𝒔𝒎 + ⋯ + 𝒃𝟏 𝒔 + = 𝒔 𝒀 𝒔 𝑿 𝒏 𝟎𝒂 𝒂𝒏 𝒔 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒔 + 161 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII סיכום תכונות של התמרת Laplace 𝒕 𝒙𝓛= 𝒔 𝑿 לינאריות: 𝒔 𝒏𝑿 𝒏𝑪 𝒏σ שנוי קנה מידה: 𝑻𝒔 𝑿 𝑻 𝒕 𝒙 𝒕 𝒏𝒙 𝒏𝑪 𝒏σ 𝑻𝒙 𝒕ൗ 𝟎>𝑻 הכפלה בזמן: 𝒏 𝒔 𝑿 𝐝𝒏 𝒏𝒔𝐝 𝟏− 𝒕 𝒙 𝒏𝒕 חלוקה בזמן: 𝒛𝐝 𝒛 𝑿 𝒔 𝒕𝒙 𝒕 Τ הזזה בזמן: 𝟎𝒕𝒔𝑿 𝒔 𝒆− 𝟎𝒕 𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎 𝐮 𝒕 − 𝟎𝒔 𝑿 𝒔 − 𝒕 𝟎𝒔𝒆 𝒕 𝒙 𝟎 = 𝒕 𝒙 𝒔𝑿 𝒔 − 𝒕 𝒙𝐝 𝒕𝐝 ∞ הכפלה ב( 𝒆𝒔𝟎 𝒕 -אפנון): גזירה: 𝟎=𝒕 אינטגרציה: קונבולוציה: 𝟏𝒏− 𝒙 𝒔𝒏 𝑿 𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏 𝒙 𝒕 = 𝟎 − ⋯ − 𝒔 𝟏 𝑿 𝒔 𝒔 𝒀⋅ 𝒔 𝑿 𝒕 𝒙 𝒏𝐝 𝒏𝒕𝐝 𝒕 𝝉𝐝 𝝉 𝒙 𝟎 𝒕 𝒚∗ 𝒕 𝒙 Prof. Yuri Lurie ― Advanced Analysis, Fourie & Laplace Part VIII Laplace טבלה של התמרות 𝒙 𝒕 𝐮 𝒕 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 , 𝒕𝟎 ≥ 𝟎 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝒕𝒏 𝒆𝜶𝒕 𝐮 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 163 𝒆−𝒕Τ𝝉 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 𝒕 𝐮 𝒕 𝑿 𝒔 =𝓛𝒙 𝒕 𝟏Τ𝒔 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 𝒆−𝒔𝒕𝟎 ∀𝒔 𝟏Τ 𝒔 − 𝜶 𝒏! 𝒔 − 𝜶 𝒏+𝟏 𝒔 𝒔𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝝎𝟎 𝒔𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝒔 𝒔𝟐 − 𝝎𝟎 𝟐 𝝎𝟎 𝒔𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝒔 + 𝟏Τ𝝉 𝒔 + 𝟏Τ𝝉 𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝝎𝟎 𝒔 + 𝟏Τ𝝉 𝟐 + 𝝎𝟎 𝟐 𝐑𝐞 𝒔 > 𝐑𝐞 𝜶 𝐑𝐞 𝒔 > 𝐑𝐞 𝜶 𝐑𝐞 𝒔 > 𝟎 𝐑𝐞 𝒔 > 𝝎𝟎 𝐑𝐞 𝒔 > − 𝟏ൗ𝝉
