UNIVERSIDAD EL VALLE DE MÉXICO
Ingeniería Industrial.
Asignatura: Algebra.
Actividad: Programación lineal.
Docente: Diego Uribe García.
Alumno: Francisco Rosas López.
Mayo 2018
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Ejercicio 1 - Minimizar costo
Un distribuidor de reproductores de discos compactos tiene dos almacenes, W1 y
W2. Hay 80 unidades almacenadas en W1 y 70 unidades en W2. Dos clientes, A y
B, solicitan 35 unidades y 60 unidades, respectivamente. El costo del envío desde
cada almacén a A y B está determinado de acuerdo con la tabla siguiente. ¿Cómo
debe despacharse el pedido para minimizar el costo total de envío?
¿Cuantas reproductores deben de despacharse de cada almacén para minimizar el
costo?
ALMACÉN
CLIENTE
W1
W1
W2
W2
A
B
A
B
COSTO DE ENVÍO POR
UNIDAD $
8
12
10
13
En el problema planteado hay dos almacenes W1 y W2
X = número de unidades entregadas al cliente A desde W1
Y = número de unidades entregadas al cliente B desde W1
35 - x = número de unidades entregadas al cliente A desde W2
60 - y = número de unidades entregadas al cliente B desde W2
Función objetivo: 𝑝 = 8𝑥 + 12𝑦
No. De restricción
1
2
3
4
Ecuación
𝑥 + 𝑦 ≤ 80
(35 − 𝑥) + (60 − 𝑦) ≤ 70
𝑥≥0
𝑦≥0
Desarrollo para:
𝑥 + 𝑦 ≤ 80
2
𝑥 + 𝑦 = 80
𝑥 + (0) = 80
𝑥 = 80
𝑥 = 80
(80,0)
𝑥 + 𝑦 = 80
(0) + 𝑦 = 80
𝑦 = 80
𝑦 = 80
(0,80)
Ahora para: (35 − 𝑥) + (60 − 𝑦) ≤ 70
(35 − 𝑥) + (60 − 𝑦) = 70
(35 − 𝑥) + (60 − 0) = 70
(35 − 𝑥) + 60 = 70
35 − 𝑥 + 60 = 70
95 − 𝑥 = 70
−𝑥 = 70 − 95
−𝑥 = −25
𝑥 = 25
(25,0)
No. De vértice
1
2
3
4
(35 − 𝑥) + (60 − 𝑦) = 70
(35 − 0) + (60 − 𝑦) = 70
35 + 60 − 𝑦 = 70
95 − 𝑦 = 70
−𝑦 = 70 − 95
−𝑦 = −25
𝑦 = 25
𝑦 = 25
(0,25)
Puntos (x,y)
(80,0)
(0,80)
(25,0)
(0,25)
Valor de 𝐶 = 8𝑥 + 12𝑦
8(80) + 12(0) = 640
8(0) + 12(80) = 960
8(25) + 12(0) = 200
8(0) + 12(25) = 300
Como podemos ver en la tabla anterior el valor mínimo se presenta en el vértice 3
cuando X=25 y Y=0, dando como resultado $200, pero con esos valores no se
cumplen todas las restricciones, entonces podemos tomar también el vértice 4
cuando x=0 y Y=25.
Con estos valores estamos cumpliendo las restricciones 1,3 y 4
Falta cumplir la restricción número 2
Desarrollando:
(35 − 𝑥) + (60 − 𝑦) ≤ 70
(35 − 25) + (60 − 25) ≤ 70
10 + 35 ≤ 70
Resultado:
3
El pedido se debe surtir de la siguiente manera para poder minimizar el costo del
envío
Cantidad de reproductores
25 reproductores del almacén W1
al cliente A
25 reproductores del almacén W1
al cliente B
10 reproductores del almacén W2
al cliente A
35 reproductores del almacén W2
al cliente B
Costo $
25 ∗ 8 = 200
25 ∗ 12 = 300
10 ∗ 10 = 100
35 ∗ 13 = 455
Costo total $ =1050
Solución con Geogebra.
El área más oscura es la región factible.
4
Ejercicio 2 - Un problema de dieta
Mi dieta requiere que todos los alimentos que ingiera a uno de los cuatro grupos
“básicos de alimentos”, (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas
carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos:
barras de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de
queso con piña.
Cada barra de chocolate cuesta 50 centavos, cada bola de helado de crema de
chocolate cuesta 20 centavos, cada botella de bebida de cola cuesta 30 centavos y
cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta 80 centavos.
Todos los días debo ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate 10
onzas de azúcar y 8 onzas de grasa.
El contenido nutricional de cada alimento se proporciona en la siguiente tabla.
Plantee un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para cumplir con
mis necesidades nutricionales al mínimo costo.
TIPO DE
ALIMENTO
barras de
chocolate
helado de
crema de
chocolate (1
bola)
bebida de
cola (1
botella)
CALORIAS
400
CHOCOLATE
(ONZAS)
3
AZUCAR
(ONZAS)
2
GRASA
(ONZAS)
2
200
2
2
4
150
0
4
1
5
Pastel de
queso con
piña
(1rebanada)
500
0
4
El planteamiento del problema es:
X1: número de barras de chocolate.
X2: número de helados de chocolate (de 1 bola)
X3: número de botellas de refresco de cola.
X4: número de rebanadas de pastel de piña.
Función objetivo: 𝑝 = 50𝑥1 + 20𝑥2 + 30𝑥3 + 80𝑥4
Para lo cual debemos de cumplir un consumo diario de 500calorías
Restricciones:
400𝑥1 + 200𝑥2 + 150𝑥3 + 500𝑥4 ≥ 500
3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 6
2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 4𝑥4 ≥ 10
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 ≥ 8
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
𝑥4 ≥ 0
Para este tipo de ejercicio el resultado es el siguiente:
X1=0 (número de barras de chocolate)
X2=3 (bolas de helado de chocolate)
X3=1 (1 botella de refresco de cola)
X4=0 (rebanadas de pastel de piña)
P=90 (costo mínimo en centavos)
6
5
Entonces podemos decir que para cumplir con las cuatro restricciones dabas
basadas en el consumo de calorías y cantidad de onzas por alimento, además de
reducir el costo al mínimo debemos comer diariamente:
3 bolas de helado de chocolate.
1 refresco de cola.
Para que el costo sea de 90 centavos.
Para la resolución de este problema se utilizó el complemento solver de Excel.
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