GUÍA DE TRABAJO
FACTORIZACIÓN
Métodos de factorización
Expresiones racionales
Simplificación de expresiones racionales
Problemas de aplicación
Competencia específica.
Utiliza propiedades y técnicas algebraicas en la solución de problemas
en diversos contextos que requieren el lenguaje del álgebra.
Resultados de aprendizaje
1. Factoriza expresiones algebraicas empleando diversos métodos de factorización.
2. Racionaliza expresiones racionales a partir de los métodos de factorización.
3. Resuelve problema de aplicación empleando los métodos de factorización.
Estudia las técnicas de factorización, las cuales son insumo para el desarrollo del curso y
para cursos de la línea matemática como cálculo en la estimación de límites o interpretación
de derivadas o integrales. Así, es importante fortalecer este proceso de descomposición
para mejorar los niveles de éxito en la solución de ejercicios y problemas.
MOMENTO 1: SABERES PREVIOS
Espacio que incluye ejercicios y problemas que se sugieren resolver antes de llegar a la clase
1. ¿Considera que el producto 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 es una descomposición correcta de 100?Justifica.
2. ¿Consideras que (𝑥 − 3)(𝑥 + 9) es una descomposición correcta de 𝑥 2 + 5𝑥 − 27?
3. ¿Consideras que (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) es una descomposición correcta de 𝑎2 − 𝑏2 ?
𝑥−2
4. ¿Se puede afirmar que 2−𝑥 = 1?
5. Determine el resultado de factorizar el −1 en la expresión −𝑥 2 + 5𝑥 − 2.
𝑥+3
6. Simplifica si es posible la expresión −𝑥−3.
2
7. Considera el número 5. Transforma este racional en otra que sea equivalente, pero con
denominador 20. Este proceso, hará que el numerador cambie también.
8. El mínimo común múltiplo es el menor múltiplo de un conjunto de números. Este se halla
a través del producto de los factores comunes y no comunes de cada una de sus
descomposiciones elevados al mayor exponente. Con base en esta definición, halle el
mínimo común múltiplo de los números 20, 35, 50.
9. Con base en la definición de mínimo común múltiplo anterior, halle el mcm de las
expresiones siguientes:
a) 2𝑥 2 − 𝑥 − 1; 2𝑥 + 1
b) 𝑥 2 − 9; 𝑥 2 + 6𝑥 + 9; 𝑥 − 3
45
MOMENTO 2: TRABAJO DE CLASE GUÍADO POR EL DOCENTE
Espacio de ejercicios y problemas, cuya solución es guiada por el docente e involucra ejes temáticos de la clase.
Objetivo de ejercicio. Explorar técnicas de factorización
1. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
a) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛: 3𝑥 2 𝑦 + 12𝑥𝑦 2 =
b) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛: 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 =
c) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛: 2𝑥 2 𝑦 − 8𝑥𝑦 + 12𝑥 3 𝑦 3 =
d) 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 16𝑎4 − 9𝑏6 =
𝑥 2 − 3𝑥 − 70 =
e) 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 1:
f) 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 =
g) 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 ≠ 1:
2𝑥 2 + 6𝑥 − 36 =
h) 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 ≠ 1:
4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 =
i) 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠:
8𝑥 3 + 27 =
j) 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠:
𝑦 12 − 8 =
k) 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑥 13 𝑦 − 𝑥𝑦 13 =
l) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 =
𝑥 2−9
2. Analiza y procede de acuerdo a los pasos, para simplificar la expresión racional 𝑥 2−6𝑥−27
Paso 1. Factoriza numerador y denominador. Escribe la factorización en la línea.
𝑥2 − 9
=−−−−−−−−−
𝑥 2 − 6𝑥 − 27
Paso 2. Identifica y cuenta los factores en el numerador y denominador.
# Factores en numerador: ____
# Factores en denominador: ____
Paso 3. A la expresión del paso 1, escribe y simplifica los factores que son comunes.
𝑥2 − 9
=−−−−−−−−−
𝑥 2 − 6𝑥 − 27
Paso 4. Escribe el resultado de tal simplificación.
𝑥2 − 9
=−−−−−−−−−
𝑥 2 − 6𝑥 − 27
46
1
3
2
3. Realiza la operación 𝑎2 −4 + 𝑎−2 − 𝑎+2.
A. En la solución, se busca que las tres fracciones tengan el mismo denominador.
B. Escribe los denominadores factorizados en la siguiente expresión.
1
3
+
_________
2
−
___________
_____________
C. A partir de la factorización, busca que todos los denominadores sean iguales.
Amplifica para ello. No siempre amplificas todas las fracciones. Recuerda amplificar
significa multiplicar numerador y denominador por el mismo factor.
1
+
_______________
3
−
__________________
2
________________
D. El paso C, permite tener las fracciones con el mismo denominador. A partir de esto,
deja el mismo denominador y suma o resta los numeradores, haciendo uso de la
simplificación de expresiones algebraicas.
E. En el numerador, eliminas paréntesis y reúnes términos semejantes; y en el
denominador, no eliminas nada. Escribe el resultado.
4. Resuelve las siguientes operaciones o ecuaciones:
1
3𝑥
2
a) 𝑥 2−16 − 𝑥 2+5𝑥+4 + 𝑥 2−3𝑥−4
b)
c)
𝑥−2
×
𝑥 2+10𝑥+9
𝑥 2−4
𝑥 2+𝑥
2𝑥+2
𝑥 2+5𝑥+4
𝑎+1
𝑥 2 +9𝑥
÷ 𝑥 3 +64
𝑎−1
𝑎+1
𝑎−1
d) (𝑎−1 + 𝑎+1) ÷ (𝑎−1 − 𝑎+1)
e)
f)
𝑥+2 𝑥−1
+
3
2
1
1+
𝑥+1
=
√5𝑥+5ℎ+3−√5𝑥+3
ℎ
47
MOMENTO 3: CONSOLIDACIÓN DE RESULTADOS
Espacio que incluye ejercicios o problemas que permiten determinar el alcance de tus competencias en clase.
1. Factoriza las siguientes expresiones algebraica:
a) 3𝑥 2 + 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 =
b) 3𝑎2 𝑏 + 18𝑎𝑏2 =
c) 16𝑎4 + 2𝑎 =
d) 4𝑥 2 − 25𝑦 4 =
e) 25𝑥 2 𝑦 2 − 100 =
f) 4𝑥 2 − 25𝑦 4 =
g) 𝑥 8 − 𝑦 8 =
h) 𝑥 8 − 1 =
i) 𝑎4 + 𝑎2 − 2 =
j) 𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − 8𝑎 =
k) 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 =
l) 𝑥 6 − 2𝑥 3 + 1 =
m) 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2𝑥 =
n) 8𝑚2 − 2𝑚 − 6 =
o) 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5 =
p) 3𝑥 2 − 2𝑥 − 8 =
q) 6𝑥 2 − 5𝑥 − 6 =
r) 6 + 5𝑎 − 6𝑎2 =
s) 𝑎6 + 8 =
t) 8𝑥 3 − 27 =
u) 5 − 27𝑧 6 =
𝑥 2−1
2. Al simplificar la expresión 𝑥 2−𝑥 , se obtiene:
a)
𝑥−1
b)
𝑥+1
𝑥−1
c)
𝑥−2
3. Simplifica las siguientes expresiones:
a)
b)
6𝑥 3 𝑦 2 −6𝑥 3
3𝑥 3 𝑦 3 −3𝑥 3
𝑥+5
𝑥 2−𝑥
=
3
− 𝑥 2−1
48
𝑥+1
𝑥
d)
𝑥+1
𝑥−1
MOMENTO 4: CONSTRUCCIÓN DE MARCO CONCEPTUAL
Espacio de estudio independiente, donde predomina la lectura y compresión. Consolidar a través de los conceptos es su propósito.
En la era escolar, los estudiantes tuvieron que explorar la descomposición en factores
primos, es decir, expresar un número compuesto como producto de números primos. Por
ejemplo,
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
Los números primos, al tener únicamente dos divisores, no se pueden descomponer como
producto de otros factores primos, lo cual si es posible cuando el número es compuesto.
La descomposición en factores primos trasciende al campo algebraico en las expresiones
algebraicas. Este proceso en adelante será considerado la factorización.
Factorización. Factorizar es descomponer una expresión algebraica como producto de
factores que no se pueden descomponer más, es decir, factores irreducibles, los cuales
serían el paralelo a los números primos en aritmética. Observa el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Observa la descomposición del número y de la expresión algebraica.
30 = ⏟
2⋅3⋅5
𝑇𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)
𝑥 2 + 5𝑥 + 4 = ⏟
𝐷𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Ejercicio 1. Examina si la descomposición (𝑥 + 7)(𝑥 − 1) es válida para 𝑥 2 + 6𝑥 − 7.
Existen diversas técnicas para factorizar (descomponer) expresiones algebraicas, pero en
esta guía solo estudiarás las más representativas. Puedes consultar tutoriales en la web si
requieres profundizar y mejorar en ellas. El propósito es que estudies las técnicas a través
de los ejemplos propuestos y resuelvas ejercicios a partir de lo leído.
Factor común. Dentro de la expresión algebraica, en cada término se identifica factores
que sean comunes, es decir, que se repiten.
Ejemplo 2. Factorizar 2𝑥 2 𝑦 3 𝑧 − 18𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 𝑤 + 28𝑥 2 𝑦 2 𝑧.
Para factorizar se tiene en cuenta lo siguiente:
1. El factor común de los coeficientes es 2, pues divide a cada uno de los coeficientes.
2. El factor común de las variables, es la común que tenga menor exponente. La variable
𝑥 es factor común y el menor exponente es 2, es decir, 𝑥 2 , en los otros casos, 𝑦 2 y 𝑧. La
variable 𝑤 no es factor común pues no está en todos los términos.
2𝑥 2 𝑦 3 𝑧 − 18𝑥 3 𝑦 2 𝑧 2 𝑤 + 28𝑥 2 𝑦 2 𝑧
= 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝑦𝒛 − 𝟐 ⋅ 9𝒙𝟐 𝑥𝒚𝟐 𝒛𝑧𝑤 + 𝟐 ⋅ 14𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛
= 2𝑥 2 𝑦 2 𝑧(𝑦 − 9𝑥𝑧𝑤 + 14)
49
Ejercicio 2. Factoriza obteniendo un factor común la expresión
3𝑥 2 + 18𝑥 2 𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 =
Diferencia de cuadrados. Este es un caso en donde se factoriza la diferencia de dos
monomios, cada uno de los cuales, en general tiene raíz cuadrada exacta. Se extrae la raíz
cuadrada a cada término y se factoriza multiplicando la diferencia y suma de cada una de
estas raíces cuadradas.
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Ejemplo 3. Factorizar 4𝑥 6 − 100𝑦 8 con la técnica de diferencia de cuadrados.
Solución. Dentro del método, se debe extraer la raíz cuadrada de cada uno de los términos.
4𝑥
⏟6 − 100𝑦
⏟ 8 = (2𝑥 3 + 10𝑦 4 )(2𝑥 3 − 10𝑦 4 )
√4𝑥 6
√100𝑦 8
Ejercicio 3. Factoriza como una diferencia de cuadrados la expresión
25𝑥 2 𝑦 − 9𝑦 5 =
Trinomio 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Su factorización consiste en buscar dos números que multiplicados
den como resultado el número 𝑐, y que sumados o restados de como resultado el coeficiente
𝑏. El que sea sumado o restado depende de los dos signos del trinomio.
Ejemplo 4. Factorizar 𝑥 2 − 5𝑥 − 14.
𝑥
⏟2 − 5𝑥 − 14 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 2)
√𝑥 2=𝑥
− ⋅ −= +
El signo del primer factor es el primer signo (siempre) del trinomio, y el signo del segundo
factor es el producto de los dos signos. Como los signos son contrarios, entonces se buscan
dos números que multiplicados de 14 y restados de 5.
7 ⋅ 2 = 14
7−2 =5
Ejercicio 4. Factoriza, aplicando primero factor común y luego el caso anterior, la expresión
𝑥𝑦 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑥 =
Trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. El procedimiento, se reduce a un método que lo convierte en un
trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Ejemplo 5. Factorizar el trinomio 7𝑥 2 + 12𝑥 − 4.
Solución. Este trinomio no se puede factorizar de la misma forma del anterior, dado que 𝑥 2
tiene coeficiente distinto de 1, en este caso es 7. Observa detalladamente el procedimiento:
50
Dividir entre el coeficiente principal, en este caso dividir entre 7. Se abren dos paréntesis.
)(
)
7
La raíz cuadrada de la variable 𝑥 2 es 𝑥, la cual se multiplica por el coeficiente principal,
entonces 7𝑥 será el primer término en cada factor.
(7𝑥
)(7𝑥
)
7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 =
7
7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 =
(
Ahora deben incluirse los signos, de la misma forma como lo hiciste con el trinomio anterior.
7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 =
(7𝑥+ )(7𝑥− )
7
Ahora multiplicas el coeficiente principal, en este caso 7, por el término independiente 4, es
decir, resulta el número 7 ⋅ 4 = 28.
Buscas dos números que multiplicados de 28 y restados en este caso (aquí análogamente
al trinomio anterior) dé como resultado 12. Los números son 14 y 2.
(7𝑥 + 14)(7𝑥 − 2)
7
Aquí se busca extraer factor común de ambos factores si es posible, lo anterior para
cancelar el factor 7 del denominador.
7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 =
7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 =
(7𝑥 + 14)(7𝑥 − 2) 7(𝑥 + 2)(7𝑥 − 2)
=
= (𝑥 + 2)(7𝑥 − 2)
7
7
La factorización es 7𝑥 2 + 12𝑥 − 4 = (𝑥 + 2)(7𝑥 − 2), lo cual puedes verificar aplicando la
propiedad distributiva al término derecho y verificando la igualdad.
Ejercicio 5. Ejecuta los pasos anteriores para factoriza el trinomio
2𝑎2 + 7𝑎 + 5 =
Suma de cubos. Se emplea la siguiente regla para la factorización de 𝑥 3 + 𝑦 3.
𝑥
⏟3 + 𝑦
⏟3
3
√𝑥 3 =𝑥
3
√𝑦 3=𝑦
=⏟
(𝑥 + 𝑦) (𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒
𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠
𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎
El primer factor incluye la suma de las raíces cúbicas de los términos. En el segundo factor,
se toma el “primer término se eleva al cuadrado”, el “segundo término es el producto de las
dos raíces cúbicas” y el “tercer término, es el segundo término del primer factor al cuadrado”.
Los signos son intercalados.
51
Ejemplo 6. Factoriza 27𝑎6 + 64𝑏12
27𝑎6 +
⏟
3
3
√27𝑎 6 =3𝑎 2
=
=
64𝑏
⏟ 12
√64𝑏12 =4𝑏4
(3𝑎2 + 4𝑏4 )((3𝑎2 )2 − (3𝑎2 )(4𝑏4 ) + (4𝑏4 )2 )
(3𝑎2 + 4𝑏4 )(9𝑎4 − 12𝑎2 𝑏4 + 16𝑏8 )
Ejercicio 6. Factoriza 𝑎6 𝑐 + 𝑏6 𝑐. [Aplica primero factor común y luego suma de cubos]
Diferencia de cubos. Se emplea la siguiente regla para la factorización de 𝑥 3 − 𝑦 3 .
𝑥
⏟3 − 𝑦
⏟3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
3
√𝑥 3 =𝑥
3
√𝑦 3 =𝑦
En el primer factor, se escribe la “diferencia de las raíces cúbicas de los términos”. En el
siguiente factor, se repite “la regla de la suma de cubos, pero con signos positivos”.
Ejemplo 7. Factoriza 8𝑎3 − 125𝑏6
8𝑎
⏟3 + 125𝑏
⏟ 6
= (2𝑎 − 5𝑏2 )((2𝑎)2 + (2𝑎)(5𝑏2 ) + (5𝑏2 )2 )
3
√8𝑎 3 =2𝑎
3
√125𝑏6 =5𝑏2
= (2𝑎 − 5𝑏2 )(4𝑎2 + 10𝑎𝑏2 + 25𝑏4 )
Ejercicio 7. Factoriza 27𝑥 3 − 8𝑎3 𝑏6 empleando la diferencia de cuadrados.
27𝑥 3 − 8𝑎3 𝑏6 = (
)(
)
Los métodos de factorización, serán empleados en la solución de ecuaciones, operaciones
entre expresiones racionales y en temas asociados al cálculo diferencial e integral.
Racionalización.
El racionalizar es un proceso algebraico que permite transformar expresiones racionales
con raíces. El uso de productos notables y técnicas de factorización es importante en la
racionalización. A continuación, se presentan ejemplos, donde se busca que, a partir de la
lectura y su solución, logres resolver los ejercicios que se proponen.
Ejemplo 8. Racionalizar las siguientes expresiones. Observa algunos ejemplos.
4
4 ⋅ √𝑥
4 √𝑥
4 √𝑥
=
=
=
2
𝑥
⏟𝑥 ⋅ √𝑥
√𝑥
√
(√𝑥)
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜
Ejercicio 8. Racionaliza la siguiente expresión
2
√2
=
52
Ejemplo 9: Racionalizar la expresión −
1
.
√𝑥+√3
Solución. En este caso, se emplea la diferencia de cuadrados para racionalizar.
−
1
√𝑥 + √3
=−
1(√𝑥 − √3)
(√𝑥 + √3)(√𝑥 − √3)
⏟
=
−√𝑥 + √3
2
(√𝑥) − (√3)
2
=
−√𝑥 + √3
𝑥−3
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜
Ejercicio 9. Racionaliza la expresión:
1
2−√𝑥
= ---------------------
EXPRESIONES RACIONALES
Una de los usos de la factorización, es que permite simplificar y realizar operaciones entre
expresiones fraccionarias, en donde aparecen involucrados los polinomios y cuya
simplificación requiere de la factorización como mecanismo de identificación de factores
comunes. Veamos en la aritmética como opera:
Ejemplo. En la aritmética e incluso álgebra, se nos pide que simplifiquemos al máximo la
60
expresión 90 . Para esto, hacemos divisiones sucesivas entre factores primos para
transformar la fracción inicial en una fracción equivalente en donde no haya mas divisor
60
30
10
2
común que el 1. Es decir, 90 = 45 = 15 = 3. Aquí, se ha dividido entre 2,3 y 5 respectivamente.
Es decir, en este caso lo que hacemos es cancelar los factores comunes entre el
denominador y denominador. Es decir
60 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2
=
=
=
90 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3
Debe ser claro que lo único que podemos cancelar son los factores que son comunes. El
ERROR es cancelar sumandos o factores que hagan parte de los
sumandos. Un par de ejemplos de falsas simplificaciones son:
✓
2𝑥+𝑥𝑦
✓
3𝑦
2𝑥+3𝑦+𝑧
5𝑥𝑦𝑧
Queremos simplificar la siguiente expresión empleando la factorización. Descomponemos
numerador y denominador y cancelamos factores comunes.
𝑥2 − 𝑥 − 6
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 + 2
=
=
2
𝑥 − 7𝑥 + 12 (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 𝑥 − 4
Ejercicio. Simplificar las expresiones siguientes:
a)
b)
2𝑥 2 +6𝑥−8
c)
8−4𝑥−4𝑥 2
𝑥 2+3𝑥+2
d)
𝑥 2+5𝑥+6
53
2𝑥−2𝑥 2
𝑥 2 −1
1−𝑎 2
𝑎 3 −1
El anterior constituye uno de los ejercicios más simples en cuanto la simplificación pues toda
operación entre expresiones racionales tiene como resultado un número racional. Veamos
lo que significa una expresión racional. Una expresión racional es una expresión de la forma:
𝐸1
𝐸2
En la expresión anterior, 𝐸1 , 𝐸2 son expresiones algebraicas.
Ejercicio 10. Determine, entre las siguientes expresiones, cuáles son expresiones
racionales:
a) [ ] 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1
b) [ ]
𝑥 2 +3
𝑥−1
2
c) [ ] 𝑥 3 −5𝑥+3
d) [ ] 3𝑥 + 3
Objetivo: Dentro de los objetivos que se plantean con expresiones racionales están:
1. Simplificar expresiones racionales.
2. Realizar operaciones de suma, diferencia, producto y cociente de expresiones
racionales.
Prerrequisitos ¿Qué necesitas para llevar a cabo los procedimientos anteriores? Marca el
prerrequisito que tienes claro para iniciar
1. Efectuar de forma correcta operaciones entre números reales. [
2. Simplificar operaciones entre expresiones algebraicas. [ ]
3. Factorizar expresiones algebraicas. [ ]
]
Operaciones entre expresiones racionales se presentan en la práctica. Estas se pueden dar
en situaciones o solución de ecuaciones que resuelven problemas. La solución de este tipo
de operaciones depende mucho de la habilidad en la solución de operaciones entre números
reales y factorización de expresiones algebraicas.
Las operaciones que puedes llevar a cabo son la de suma, diferencia, producto y cociente.
Para la suma y diferencia a continuación, te enfrentas a un ejercicio donde tú, a partir de lo
que conoces hasta el momento y haciendo uso de tu compresión lectora, seguirás los pasos
descritos para el desarrollo del ejercicio. En el caso del producto y cociente, se lleva a cabo
el algoritmo como en el caso aritmético.
Ahora requerimos efectuar sumas o productos y para ello, iniciamos indicando la forma de
obtener el mínimo común múltiplo de una serie de polinomios.
Ejemplo. Halla el mínimo común múltiplo de las expresiones siguientes:
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2 − 4
Se descompone cada una de las expresiones y queda:
𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
𝑥 2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
54
Se toma de las descomposiciones, el producto de factores comunes y no comunes elevados
al mayor exponente. Por lo que:
𝑚. 𝑐. 𝑚(𝑥 2 + 𝑥 − 2, 𝑥 2 − 4) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
Ejemplo. Halla el mínimo común múltiplo de las expresiones siguientes:
𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥
𝑥 3 − 6𝑥 2
𝑥−2
Se descompone cada una de las expresiones y queda:
𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
𝑥 3 − 6𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 − 6)
𝑥−2= 𝑥−2
Se toma de las descomposiciones, el producto de factores comunes y no comunes elevados
al mayor exponente. Por lo que:
𝑚. 𝑐. 𝑚(𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥, 𝑥 3 − 6𝑥 2 , 𝑥 − 2) = 𝑥 2 (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 6)
Ejercicio. Hallar el mínimo común múltiplo de las expresiones indicadas:
a) 𝑥 2 + 𝑥, 𝑥 2 + 2𝑥 + 1, 𝑥 2 − 1
b) 𝑥 3 − 𝑥 2 , 𝑥 2 − 1, 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥
c) 3𝑥 3 − 14𝑥 2 − 5𝑥, 𝑥, 𝑥 2 − 5𝑥
Suma o Diferencia entre expresiones racionales
En la suma o diferencia, se procede a aplicar la regla de la suma en el contexto de los
racionales, excepto quizá cuando se tenga que hallar el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
Ejemplo. Efectuar la suma de las siguientes expresiones racionales. Se procede con el
método del denominador común, siendo este el mínimo común múltiplo de los
denominadores dados.
𝑡
4
𝑡(𝑡 − 1)
4(3𝑡 + 2)
−
=
−
3𝑡 + 2 𝑡 − 1
(3𝑡 + 2)(𝑡 − 1) (𝑡 − 1)(3𝑡 + 2)
𝑡(𝑡 − 1) − 4(3𝑡 + 2)
=
(𝑡 − 1)(3𝑡 + 2)
2
𝑡 − 𝑡 − 12𝑡 − 8
=
(𝑡 − 1)(3𝑡 + 2)
𝑡 2 − 13𝑡 − 8
=
(𝑡 − 1)(3𝑡 + 2)
Ejercicio 11. Realiza la siguiente operación entre expresiones fraccionarias.
𝑥−2
𝑥−2
− 𝑥 2 −9
𝑥 2+6𝑥+9
Producto entre expresiones racionales
El producto sigue la misma regla del producto entre números racionales.
𝑎 𝑐 𝑎𝑐
⋅ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑑
55
El anterior resultado, se simplifica si es posible.
Ejemplo 10. Simplifica, de ser posible, el producto
𝑥 2−𝑥−6
𝑥 2+2𝑥
𝑥 3+𝑥 2
⋅ 𝑥 2 −2𝑥−3.
Solución: La solución del problema, requiere la factorización de las expresiones
involucradas. En este caso, se aplica el producto, escribiendo la factorización de cada
elemento y luego se simplifica si es posible. Observa a continuación el procedimiento.
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑥3 + 𝑥2
𝑥 2 (𝑥 + 1)
⋅
=
⋅
=
⏟𝑥 2 + 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
⏟ 𝑥 (𝑥 + 2)
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜,𝑠𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
𝑥2
=𝑥
𝑥
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
Ejercicio 12. Realiza la siguiente operación entre expresiones racionales.
𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
⋅
=
𝑥+𝑦
𝑦−𝑥
Cociente entre expresiones racionales.
El cociente de expresiones racionales, sigue la regla del cociente entre números racionales.
𝑎 𝑐 𝑎𝑑
÷ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑐
El anterior resultado, se simplifica si es posible.
𝑥 2+2𝑥
𝑥 2 −𝑥−6
Ejemplo 11. Simplifica la expresión 3𝑥 2−18𝑥+24 ÷ 𝑥 2−4𝑥+4.
Solución. Como en el caso del producto, se factoriza los elementos de la división en cada
expresión racional, se ejecuta la división y luego se simplifica.
𝑥 2 + 2𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 6
(𝑥 2 + 2𝑥)(𝑥 2 − 4𝑥 + 4)
÷
=
3𝑥 2 − 18𝑥 + 24 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
(3𝑥 2 − 18𝑥 + 24)(𝑥 2 − 𝑥 − 6)
𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)
=
3(𝑥 − 4)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥 (𝑥 + 2)2
=
3(𝑥 − 4)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
En la anterior división, el único factor que se cancela es 𝑥 + 2, no te preocupes, quizá tengas
en el camino expresiones tan robustas en las que no se pueda simplificar ningún factor.
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MOMENTO 5: TRABAJO DE MONITORÍA
Espacio que incluye ejercicios propuestos para estudiar en el espacio de monitoria o de atención a estudiantes.
1. Racionaliza
𝑥−1
a) 5 3 =
b)
c)
√𝑥
13
√2𝑥 3
4
d)
=
√2+√5
e)
=
1
2+√3
𝑥−1
√𝑥−1
=
+
4
√𝑥−1
=
2. Simplifica las siguientes expresiones.
a)
b)
𝑥 −1−2−1
𝑥 −1+2−1
𝑎 −1
c) 1 +
=
𝑎 −2
− (𝑎+2)−2
(𝑎+1) −1
d)
e)
1
1
2+
𝑥
4
𝑥
𝑥−2
𝑥 2+6𝑥+9
4𝑥 2−9
𝑥 2+3𝑥−4
=
𝑥+2
− 2(𝑥 2−9) =
2𝑥+3
÷ 1−𝑥 2
MOMENTO 6: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
Problemas sugeridos al estudiante para fortalecer sus competencias matemáticas y dar alcance a los resultados de aprendizaje.
1 3 2
1. Toma el conjunto de fracciones {2 , 5 , 7} y realiza lo siguiente:
a) Halla el mínimo común múltiplo de los tres denominadores.
b) Transforma este conjunto de fracciones en otro conjunto con tres fracciones pero que
sus denominadores sean todos iguales al mínimo común múltiplo encontrado. Este
paso, hará que sus numeradores cambien también.
c) Escribe fracciones equivalentes a las dadas con el nuevo numerador y denominador.
d) Suma las fracciones obtenidas en el ítem anterior, este resultado será tal que el
denominador será igual al mínimo común múltiplo hallado.
2. Justifica la validez o no de la siguiente igualdad.
𝑥+3
5𝑥 + 15
5(
)=
𝑥−1
5𝑥 − 5
3. Represente: “El cociente entre dos números disminuido en 2, multiplicado por la
semisuma de los mismos dos números”.
2
2
4. Demuestre que si 𝑥 + 𝑦 = 4 entonces −
𝑥
𝑦
𝑦−𝑥(− )
𝑦2
4
= − 𝑦3.
5. En óptica, la distancia focal es la distancia desde el centro de la lente a cualquier punto
focal. Si la distancia del objeto a la lente es 𝑑, la distancia de la imagen a la lente es 𝑖 y
𝑓 es la longitud focal, entonces estas tres variables están relacionadas por la expresión:
1
𝑓=
1 1
𝑑+𝑖
Simplifica al punto de dejar como resultado una expresión racional con único numerador
y único denominador.
57
6. Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
𝑥−5
𝑥−3
2
𝑥
=
4𝑥𝑦 2 𝑧
8𝑥 2 𝑦−4𝑥𝑦 2
𝑎 3 −27
𝑎 2 −6𝑎+9
=
3𝑎 2 +𝑎−10
5𝑎−3𝑎 2
𝑥 3−𝑥
𝑥 3−2𝑥 2+𝑥
4
𝑦
⋅
=
− 2𝑥 2 −9𝑥+4 =
𝑏−𝑎
𝑎+𝑏
𝑥
=
𝑥
2𝑥 2 −7𝑥−4
1
=
2𝑎−𝑏
− 𝑏(𝑏+𝑎) − 𝑏2−𝑎2 =
𝑥𝑦−𝑦
𝑥 3−𝑥
𝑥+1
𝑥 2−𝑥−6
⋅ (𝑥 + 1) =
𝑥−4
𝑥+4
− 𝑥 2−4𝑥+3 + 𝑥 2 +𝑥−2
2(𝑥+ℎ)2+3(𝑥+ℎ)−1−(2𝑥 2+3𝑥−1)
ℎ
𝑎 2 +2𝑎𝑏+𝑏2
𝑎 2 −𝑏2
,ℎ ≠ 0
𝑎 2+3𝑎𝑏+2𝑏 2
÷ 𝑎2−3𝑎𝑏+2𝑏2 =
(𝑥−2) 2(𝑥−1)−3(𝑥 2−2𝑥+1)(𝑥+1)
𝑥 2−1
7. Demuestra que si 𝑎2 + 𝑏2 = 5𝑎3 , entonces
−𝑏
)
𝑎
2
𝑎
𝑎−𝑏(
= 5.
Conceptos básicos para afianzar
Número primo
Número compuesto
Descomposición
Propiedad distributiva
Factor común
Diferencia de cuadrados
Raíz cuadrada
Trinomio
Coeficiente
Suma de cubos
Diferencia de cubos
Raíz cúbica
Expresión racional
Mínimo común múltiplo
Racionalización
Suma de expresiones racionales
Producto de expresiones racionales
Cociente de expresiones racionales
Enlace de interés
https://youtu.be/32EUxrHKmZM
https://youtu.be/U7SbL_-J2BA
https://youtu.be/0sfDAnnlNzg
https://youtu.be/Ndpl-7XiP7U
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