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Transferencia de
Calor
Transferencia de
Masa
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TuxInfo
VideoTutoriales
Windows
zoología
MATEMÁTICA BÁSICA 2
VECTORES Y MATRICES
CON N Ú M ERO S CO M PLEJO S
0
3
3
X
0
3
QUINTA EDICIÓN
2005
D a d a la gran a co gid a qu e le d isp e n sa ro n los estu d ian tes a
la e d icio n e s prelim inares de e sta obra, explica la aparición de esta
© Impreso en:
E d ic io n e s
n ue va edición am pliada a n ue ve capítulos, en la qu e se han h e cho
las m od ificacion e s n e c e sa ria s con el p ropósito de h ace r m á s
a se q u ib le s u lectura, p u e s la obra proporciona una excelente
Jr. Loreto 1696 Breña Telefax: 423-8469
e-mail: e d ic io n e s_ 2 @ h otm a il.co m
p reparación para el e stud io de c u r so s su p e rio re s c o m o el A n á lisis
M atem ático y so b re todo, el A lg e b ra Lineal.
El
estudiante
q ue
ha
llegado
a
este
c u rso
ya
tiene
co n ocim ien tos del A lge b ra y la G e o m e tría elem ental E s a s i que
en el prim er capítulo se d esarrolla la relación q u e existe entre
e s to s d o s g ra n d e s c a m p o s de la m atemática, esto es, el estudio
de la técnica de los ve ctore s en el plano (siste m a bidim ensional).
E n este capitulo, an te s de definir un vector bidim ensional, se
Todos los derechos reservados conforme al
Decreto Ley N° 26905
p resenta el e sp a c io num érico b id im ensional d en o tad o por R J E n
los cap ítulos 2 y 3 se estudian, por se p a ra d o, las rectas en el
plano y s u s aplicaciones, respectivam ente
E n el capítulo 4
el
sistem a b idim ensional s e extiende al tridim ensional, el cual se
H E C H O E L D E P Ó S IT O L E G A L N° 1501052001-3466
R A Z Ó N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA
D O M I C I L I O : Jr. Loreto 1696 Breña
denota por R : L o s cap ítulos 5 y 6 p rop orcionan una introducción
vectorial a la geom etría analítica sólida al estu d iar rectas y p la n os
en R 3 E n el capítulo 7 s e introduce el e stud io de los n ú m e ro s
com plejos, qu e si bien e s cierto, tienen gran se m e ja n za con los
vectores en R \ no s e d eb e confundir con e sto s d o s conjuntos de
Prohibida su reproducción por cualquier medio,
total o parcialmente, sin el previo permiso escrito
del autor.
p a re s
o rd e n a d o s
m atrices
que
tienen
naturaleza
cualitativamente
E n el capitulo 8 s e hace referencia al estudio de las
diferentes
de
acu e rd o
co n
su
d im e n sió n
o
tam año
y
su s
a plicacion e s a la solu ción de e c u a c io n e s lineales. Finalmente, en
el capítulo 9 s e e xp o n e la teoría de los determ inantes de particular
im portancia
aplicacion e s
en
la teoría
de
las
m atrices
y
su s
n u m e ro sa s
IN
V
P ró lo g o
Con
este
c a p a c id a d
del
libro s e
tiene
la intensión
e stu d ia n te
y
en
cre a
él
de
d esarrollar la
h á b ito s
de
rutina
m atem ática; e sto es, la e xp o sició n teórica e s a c o m p a ñ a d a de
n u m e ro s o s e jem plos ilustrativos y ejercicios co n s u s re sp u e sta s
d a d a s al final del libro, lo s cuales, indudablem ente, a y u d a rá n al
C O N T EN ID O
estudiante a adquirir d estre za y afirm ar el dom in io de la materia.
P o r ello, s e re co m ie nd a qu e lo s ejercicios p ro p u e sto s s e re su e lva n
sistem áticam ente, toda v e z que s u so lu c ió n o b e d e c e a un criterio
de aprendizaje progresivo.
Mi
tuvieron
reconocim iento a to d o s
la
gentileza
o b s e r v a c io n e s
a
la s
de
h acerm e
e d ic io n e s
lo s
a m ig o s
llegar
p ro fe so re s
su s
p re lim in a re s.
que
s u g e re n c ia s
Sus
y
Q
c rít ic a s
co n stru ctiva s hicieron posible corregir, m ejorar y am pliar e sta
nueva
e d ic ió n .
A sí
m is m o
d ese o
e x p re sa r
un
e s p e c ia l
V E C T O R E S EN E L PLA N O
1
1.1
1 .2
C o o rd e n a d a s re ctangulare s
1
R J c o m o e sp a c io vectorial
5
1.3
R e p re se n ta ció n geom étrica de un vector en el plano
1.4
M a gnitu d y dirección de un vector en el plano
e sfu e rz o s para resolver la s dificultades in he re n te s a la publicación
1.5
A d ición de ve cto re s en el plano
16
del texto.
1.5.1
17
1.6
R e p re se n ta ció n gráfica de la s u m a de ve ctore s en el plano
M ultiplicación de un e sc a la r por un vector
20
1.7
V e cto re s parale los
29
1.8
P roducto e sc a la r de ve ctore s
36
1.9
A n g u lo entre d o s vectores
51
1.10
1.11
1.12
D e sc o m p o sic ió n de vectores
59
P roye cción orotogonal
66
A re a del p arale logra m o y del triángulo
82
1.13
D e p e n d e n c ia e inde p en d e ncia lineal de vectores
90
1.14
L o s vectores y la geom etría elem ental
106
1.15
L o s vectores y la física
116
reconocim iento a E d ic io n e s R F G c u y o p e rso n a l n o ha e sca tim a d o
El autor
G
9
12
R E C T A S EN E L PLA N O
125
2.1
2.2
Re cta que p a s a por d o s p u ntos
125
S e g m e n to s de recta
127
129
2.3
D ivisión de un se gm e n to en una razón d ada
2.4
P u n to s q ue e stá n so b re una recta
133
2.5
Pendiente de una recta
137
2.6
F orm a ge n e ral de la e cu a ción de una recta
148
2.7
F orm a punto pendiente
150
2.8
F orm a pendiente y o rd e n a d a al origen
151
2.9
F orm a a b sc isa y o rd e n a d a al origen
151
2 .10
F orm a sim étrica
152
Contenido
VII
7.2
R c o m o su bconjun to de C
308
7.3
F orm a ca rte sia n a de un núm ero com plejo
309
7.4
R e p re se n ta c ió n geom étrica de los n ú m e ro s com plejos
311
7.4.1
R e p re se n ta c ió n gráfica de la su m a y diferencia
311
171
7.5
M ó d u lo d e un n úm ero com plejo
3 12
180
7.5.1
P ro p ie d a d e s del m ódulo d e un n úm ero com plejo
3 23
7.6
La raíz cu a d ra d a de un núm ero com plejo
3 28
7.7
L u g a re s ge o m é tric o s en C
332
7.7.1
La línea recta
332
7.7.2
La circunferencia
333
A P L IC A C IO N E S D E LA R E C T A
163
3.1
Distancia d e un punto a una recta d ad a
163
3.2
Intersección de rectas
3.3
A n g u lo entre d o s rectas
V E C T O R E S EN E L E S P A C IO
Contenido
193
4.1
El e sp a c io tridim ensional
193
7.7.3
La p arábola
4.2
V e ctore s en el e sp a c io
194
334
7.7.4
La elipse
4.3
D irección de un vector en el e sp a c io
199
336
7.7.5
La hipérbola
4.4
Producto e sc a la r de d o s ve ctore s en ele sp a c io
202
337
7.8
4.4.1
A n g u lo entre d o s ve cto re s en R 1
204
4.5
P roye cción ortogonal y co m p o n e n te s
212
7.9
7.10
F orm a polar de un n úm e ro com plejo
Poten ciació n de n ú m e ro s com plejos
345
351
R a d ic a ció n de n ú m e ro s com plejos
3 55
4.6
C o m b in a ció n lineal de ve ctore s en R '
218
7.10.1
E c u a c io n e s cu a d rá tica s con coeficientes com plejos
3 57
4.7
El producto vectorial
223
7.10.2
R a íc e s primitivas de la unidad
3 54
4.8
El producto mixto de ve cto re s
238
7.11
La e xp one n cial com pleja
361
4.8.1
P ro p ie d a d e s del producto mixto de ve cto re s
239
4.8.2
Interpretación geom étrica del producto mixto
240
M A T R IC E S ___________________________________
379
8.1
8.2
Introducción
379
Definición
379
R E C T A S EN E L E S P A C IO
249
5.1
E c u a c ió n vectorial de una recta en el e sp a c io
249
8.3
O rd e n de u n a matriz
5.2
P o sic io n e s relativas d e ve ctore s en el e sp a c io
254
380
8.4
Igu ald ad de m atrices
5.3
A p lica cio n e s d e la recta en el e sp a c io
262
381
8.5
T ip o s de m atrices
382
8.6
S u m a de m atrices
383
8.7
P rod ucto de un e sca la r por una matriz
3 85
8.8
M ultiplicación de m atrices
3 87
8.9
P ro p ie d a d e s de la multiplicación de m atrices
3 92
8.10
8 .10 .1
8 .10.2
M atrice s c u a d ra d a s e sp e c ia le s
404
M atrice s sim étricas
404
Matriz antisimétrica
405
8.10.3
Matriz identidad
406
8.10.4
Matriz dia go n a l
409
8.10.5
Matriz e sca la r
409
8 .10.6
Matriz triangular superior
410
410
P LA N O S EN E L E S P A C IO
269
6.1
E c u a c ió n vectorial de un plano
269
6.2
D istancia de un punto a un plano
277
6.3
In te rse ccio n es de p la n o s
281
6.4
Fam ilia de p la n o s q ue p a sa n por la intersección
de d o s p la n o s
6.5
In te rse ccio n es de rectas y p la n o s
L O S N U M ER O S C O M P L E J O S
7.1
285
290
___________________________301
El conjunto de los núm eros complejos
301
8.10.7
M atriz triangular inferior
8 .10.8
M atriz periódica
410
8.10.9
Matriz tran sp u e sta
4 14
8 .1 0 .10
M atriz herm itiana
416
vni
□
Contenido
M atriz inversa
417
In ve rsa de una matriz triangular
419
T ra n sfo rm a c io n e s elem entales
427
T ra nsfo rm ació n elem ental fila 0 colum na
427
Matriz e sc a lo n a d a
428
8.11.3
M a trice s e quivalentes
429
8.11.4
R a n g o de una matriz
430
8.11.5
M a trice s elem entales
431
8 .11 . 6
In ve rsa de una matriz por el m étodo de las m atrices
8 .1 0 . 1 1
8 .1 0 . 1 2
8 .11
8 .1 1 . 1
8 .1 1 . 2
elem entales (M é tod o de G a u s s - Jo rd á n )
434
8 .12
S is te m a s de e c u a c io n e s lineales
440
8.13
R a n g o de un siste m a de e c u a c io n e s lineales
449
8.14
S is te m a s h o m o g é n e o s de e c u a c io n e s lineales
456
D E T E R M IN A N T E S
VECTORES
Eíl El PUMO
A]
' o—
^
465
( l . 1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S ____________________
9.1
Definición
465
9.2
P ro p ie d a d e s de los determ inantes
466
9.3
Existe ncia de los determ inantes
473
elem entos, introducir u n a notación para representar tales p a re s y definir y estudiar
9.3.1
M e n o r de una com p onente
474
o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s so b re
9.3.2
C ofactor de una com p on e nte
475
9.4
C á lcu lo de determ inantes de cualquier orden
479
9.5
O tra s a p lic ac io n e s y p ro p ie d a d e s de lo s d eterm inantes
499
9.5.1
R e g la de S a rru s
C á lcu lo de determ inates m ediante la reducción a la form a
499
e sc a lo n a d a
501
P ro p ie d a d e s multiplicativas
511
9.5.4
R a n g o de una matriz
516
9.5.5
Adjunta d e una matriz
523
9.5.6
In ve rsa d e una matriz
525
9.5.7
538
9.5.8
M atrices no sin g u la re s
R e so lu c ió n de siste m a s de e c u a c io n e s en d o s variab le s
9.5.9
R e so lu c ió n de siste m a s de e c u a c io n e s de tres variab le s
5 44
R e s p u e s t a s a lo s e je rc ic io s p r o p u e s t o s
552
B ib lio g ra fía
572
9.5.2
9.5.3
El p ropósito de e sta se c c ió n e s el de definir el concepto
de par ordenado de
pares ordenados de n ú m e ro s reales. E m p e c e m o s
e n to n ce s a definir el producto carte sian o de d o s conjuntos.
DEFINICION 1.1 E l producto cartesiano de dos conjuntos
S i A y B s o n d o s conjuntos dad os, e n to n ce s el
543
producto car­
tesiano de A y B , d en otad o por A x B , e s el conjunto de to d as las p o sib le s
parejas o rd e n a d a s {a , b) p ara las c u a le s la prim era com p one n te e s un elem ento
de A y la s e g u n d a co m p one n te e s un elem ento de B. E n sím b o lo s e scrib im os :
A x B = { (a , b )\a e A , b e B }
_________________________________
V
P o r ejem plo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , e n to nce s
A x B = { (2 , a ) , (2 , b ) , (3 . a ) , (3 , b ) , (5 , a ) , (5 ,
b )}
El producto carte sian o co n el que tratarem os en este libro e s R x R, denota­
do m ediante R 2, que s e define c o m o el conjunto infinito de parejas o rd e n a d a s de
n ú m e ro s reales. E n sím b o lo s :
R x R = { (x , y) | x e R . y e
R}
A s í c o m o el conjunto R de los n ú m e ro s reales e s rep resentado geom étricam ente por
una
recta real, el conjunto R 2 s e representa geom étricam ente m ediante un plano
plano real.
llam ado
Capítulo I: Vectores en el plano
ejes de
coordenadas, y s u punto de intersección O s e llam a origen de coordenadas. L a s
cuatro re gio n e s en los q ue los ejes de c o o rd e n a d a s dividen al plano s e llam an cua­
drantes, y s e n u m e ran I , II, III y IV c o m o s e m uestra en la Figu ra 1.1.
El plano real c o n sta de d o s rectas p erpe n d iculare s entre si, lla m a d o s
L a s d istan cia s d e sd e O a los p u ntos so b re lo s ejes s o n
DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados
L a igualdad d e p a re s (a , b) y (c , d) s e define co n
{a ,b ) - { c ,d ) <=> a = c y b = d
v_
distancias dirigidas,
e s decir p ositiva s a la d erecha y n e ga tivas a la izquierda so b re el eje X y p ositivas
hacia arriba y n e ga tiv a s h acia abajo so b re el eje Y. La F igu ra 1.1 m uestra lo s s ig n o s
Ejemplo
1^
P a ra q u é valor o va lo re s de x s e tiene qu e
(2 x 2 - 7 x + 1 . 3 x - 1) = (-2 , 8 )
de los c o m p o n e n te s de c a d a par (x , y) en los cuatro cuadrantes.
Solución.
f
11
(2 x: - 7x + 1 = -2)
Yi k
I
(+.+)
D e la Definición 1.2 , s e sig u e que :
-\
c
Yii
3
Sección 1.1: Coordenadas rectangulares
yy
h________
¡
1
1
u b s c i s i J ________ ^
de d o n d e : (2 x 3 - 7x + 3 = 0)
a
a
(3x - 1 =
8)
(3x - 9 = 0) <=> (x = 3 ó x = 1/2)
a
(x = 3)
El n úm ero q ue b u sc a m o s e s la solu ció n co m ú n , esto es, x = 3
f
■
• >')
1
1
F A
o(
III
Ejemplo
2
J
Hallar los ele m e n tos del conjunto
A = { (x , y) I (2 x 2 + 7 x , 4 y 2 - 1 9y) = (x , -12) }
¡ i
IV
(+. -)
Solución.
o
V
X
V
F IG U R A 1.1
J
F IG U R A 1.2
S e g ú n la Definición 1.2, s e d eb e cum plir que
:
(2 x: + 7x = x)
a
(4y: - 19y = -12)
(2 x 2 + 6x = 0)
a
(4y: - 19y + 12 = 0) <=> (x = 0 ó x = -3)
<=>
P o r lo tanto :
a
(y = 3/4 ó y = 4)
A = { (0 , 3/4) , (0 . 4 ). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) }
■
U n a propiedad importante qu e d eb e recordarse e s q u e si s e e m p le a una
E sta b le z c a m o s ah ora u na co rre sp o n d e n c ia b iu n ívo ca entre los p u ntos P d e l
m ism a e sc a la en a m b o s ejes co o rd e n a d o s, e n to n ce s la d istancia qu e se p a ra a d o s
plano y los ele m e ntos (x , y) de R :. El a so c ia r a ca d a p ar ord e n a d o (x , y) un punto P
p untos A ( x , , y,) y B ( x , , y :) en el plano es. por definición, la longitud del se g m e n to de
s e lleva a ca b o c o m o sig u e :
recta q ue los une. El siguiente teorem a establece u n a fórm ula de la distancia en
1.
térm inos de la s c o o rd e n a d a s de los d o s puntos.
P o r el punto q ue co rre sp o n d a al núm ero x so b re el eje horizontal (eje de a b s c i­
s a s ) s e traza u na recta paralela al eje vertical.
2.
P o r el punto qu e c o rre sp o n d a al n ú m e ro y so b re el eje vertical (eje d e o rd e n a ­
d a s) s e traza u n a recta paralela al eje horizontal.
3.
Al punto de intersección P de e sta s rectas s e le a so c ia n las c o o rd e n a d a s (x , y).
TEOREMA 1.1 Fórmula de la distancia
D a d o s d o s p untos A ( x ( , y,) y B ( x . , y,) en el plano, la distancia
entre lo s d o s p untos viene d a d a por la fórm ula
d ( A , B ) = V(x, - x,): + ( y , - y , ) :
P se llam a “la gráfica de (x , y )” o sim plem ente “el punto (x , y )”.
O b s é rv e s e que todo P del plano determ ina un par (x , y) de n ú m e ro s reales, que s o n
su a b s c is a y s u ordenada, y recíprocam ente, todo par (x , y) determ ina un punto P
(F igu ra 1.2). E ste m edio de establecer una co rre sp o n d e n c ia u n o a u n o (biunívoca)
s e llam a
.________________________________________________________________
D em ostración. L a d em ostración s e b a s a en el teorem a de P itágoras. E n efecto, en
el triángulo rectángulo A C B de la F igu ra 1.3
I A"B I -’ = I Á C I - + I C B I
sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
= I x 2 - x, 1 2 + 1 y, - y , | 2
D e b id o a que existe esta co rre sp o n d e n c ia uno a uno, si d o s p a re s o rd e n a d o s c o ­
rresp on d e n al m ism o punto, los p are s d eb en se r iguales. T e n e m o s e n to n ce s la s i­
guiente definición.
y de a q u í o b te n e m o s :
d{ A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2
4
Capitulo 1: Vectores en el plano
E je m p lo
3
)
D e m u e stre que el triángulo A B C co n vértices A (1 , -3), B (3 , 2)
9.
10 .
Dem ostración. L a fórm ula de la distancia da
D e te rm ín e se gráficam ente las c o o rd e n a d a s del punto I de intersección de la
recta qu e p a s a por A (2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta q ue p a s a por C(-1 , 0) y D(-2 , 3).
I A B I = V(3 - 1 ): + (2 + 3)-’ = \Í29
I B C | = V(3 + 2)’ + (2 - 4)- = V29
11.
A C j = V (1 + 2): + (-3 - 4)- = V58
12.
D a d o q ue I A B I = j B C I , q u e d a p rob ado que el triángulo A B C e s isó sce le s.
C o m o I A B I -’ + I B C 12 = I A C 1 2 , la
S e a n lo s p a re s o rd e n a d o s A = (2x + y - 3 , 5 y - x - 8 ) y B = (x + 3 y - 11 , 2 x +
3 y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4 x + 5 y
y C (-2 , 4) e s un triángulo isó sce le s.
I
5
Sección 1.2: R: como espacio vectorial
D e m u e stre que los p u ntos A (-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) s o n los vértices de un
triángulo isó sce le s.
recíproca del teorem a de P itá go ra s im plica a d e ­
m á s q ue A B C e s un triángulo rectángulo.
Hallar x de m od o que la distancia de A (2 , -1) a B (x , 2) s e a 5.
■
13.
P ro b a r q ue lo s p untos A (4 , 0), B (2 , 1) y C(-1 , -5) s o n vértices de un triángulo
rectángulo.
14.
U sa r la fórmula de la distancia para determinar q ue los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1)
y C (4 , 3) e stán so b re u na recta.
15.
D e m u e stre que M
m o s s o n lo s p untos
I^ T )
R2
^
t,
e s punto m edio del se gm e n to c u y o s extre­
A(a , b) y B(c , d)
C O M O E S P A C IO V E C T O R IA L ________________________
T o m a n d o al conjunto R de n ú m e ro s re ale s h e m o s construido el producto
carte sia n o R x R, al cual sim b o liza m o s por
R- = { (x , y) I x e R , y € R }
Un h e ch o de fundam ental im portancia en este conjunto e s que p o d e m o s
definir en él d o s op e ra cio n e s entre s u s ele m e n tos sim ila re s a la adición y multiplica­
E JE R C IC IO S : Grupo
1
ción de n ú m e ro s reales. E ste h e ch o h a c e q u e tal conjunto te n ga u n a estructura
alge b raica llam ada
espacio vectorial y que, por tanto, n o s p o d a m o s referir a él no
so lo c o m o el “el conjunto R 2”, sin o c o m o el “e sp a c io R :”. L a s o p e ra cio n e s que defini­
E n los ejercicios 1 - 6 , determ ine para qu é n ú m e ro s reales la e cu a ció n e s válida. S i
m o s en R 2 s o n :
no existe solución, indíquelo.
DEFINICION 1.3 Adición de pares ordenados de núm eros reales
1 . (x - 2 y , 2 x + y) = (-1 , 3)
4.
(x 2 + 2 x , 2 x 2 + 3x) = (-1 , - 1 )
2 . (2x + 3 y , x + 4 y ) = ( 3 , - 1 )
5.
(x 2 - y 2 , 4) = (12 , x y * y 2)
3.
(x 2 - 2 x , x 2 - x) = (3 , 6 )
6 . (x 2 - x y , 3) = (12 , x y - y 2)
7.
H allar los elem entos del conjunto
S = {(x , y) I (x 2 + 2 x y , 3 x 2 + 2 y 2) = (16 , 4 x y + 6 )}
S i A = (a, , a:) y B =
definim os s u
(bl , b2) s o n d o s p a re s o rd e n a d o s en R 2,
sum a co m o
A + B = (tf, + 6 , , a z , b2)
A la operación que a ca d a p ar le h a ce c o rre sp o n d e r s u s u m a la llam are m os
adición de p a re s ordenados.
8 . H allar los elem entos del conjunto
S = {(x , y) I (x3 - y3 , 6) = (19 , x2y - xy2)}
P o r ejemplo, si A = (3 , 5) y B (l , - 8) , e n to n ce s :
A + B = ( 3 + l , 5 + (- 8)) = (4 , -3)
6
Capítulo I: Vectores en el plano
DEFINICION 1.4 M ultiplicación de un núm ero real por un pa r ordenado
Si A =
7
Sección 1.2: R: como espacio vectorial
DEFINICION 1.5 E l espacio vectorial
El espacio vectorial V e s un conjunto de elem entos, llam ados
vectores , junto co n un conjunto de elem entos, lla m a d o s escalares, con d o s o p e ­
ra cio n e s lla m a d a s adición vectorial y multiplicación cscalar\a\es q ue para cad a
(at , a,) e s un elem ento de R 2 , y r e s un núm ero real
(llam ado escalar), definim os s u producto c o m o
rA = ( r a , , rtí,)
A la op eración que h a ce co rre sp o n d e r a c a d a nú m e ro real y ca d a p ar ord e n a d o
p ar d e ve cto re s A y B en V y para todo e sca la r r, un vector A + B y un vector i A
m ultiplicación d e un núm ero real por un par
está n d efinidos de tal form a que la s p ro p ie d a d e s del T e o re m a 1.2 s e satisfacen.
s u producto e sca la r la llam arem os
ordenado.
El T e o re m a 1.2 n o s d em uestra que el conjunto R 2 e s un e sp a c io vectorial
so b re R. d eno tad o por V,. P o r tanto a lo s p a re s re p re sen ta d o s por ( x , y) tam bién los
P o r ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , e n to n ce s :
lla m a re m o s vectores.
r A = y (-2 , 6) = ( y (2 ), y (6)) = (-1,9)
DEFINICION 1.6 Vectores en el plano
O b s é rv e s e que, s e g ú n e sta s definiciones, tanto la s u m a de p a re s c o m o la
multiplicación de un e sc a la r por un par ordenado, s o n n u e vam en te ele m e ntos de R 2.
P o r ello s e dice qu e e sta s o p e ra cio n e s s o n
U n vector en el plano e s un p ar ord e n a d o de n ú m e ro s reales
cerradas en R 2.
de la form a <x . y), d on d e x e y s o n las
componentes del vector.
E s t a s d o s o p e ra cio ne s g o z a n de p ro p ie d a d e s m uy im portantes qu e s e indi­
can en el siguiente teorema.
P a ra d enotar ve ctore s s e utilizan letras en negritas tales c o m o A, B, C, a, b,
—) —)
c, v, x, y, z. E n la escritura a m an o s e u sa n los sím b o lo s c o m o A , a , de tal form a que
TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados
D a d o s los p a re s o rd e n a d o s A, B, C e R 2 y los e sc a la re s r, s e R, s e
un vector A de co m p o n e n te s e sc a la re s x e y s e escribirá A = (x , y), para distinguirlo
cum plen las sig u ie n te s p rop ie d a d e s para la adición de p a re s o rd e n a d o s y la multipli­
del punto A (x , y). P a ra denotar lo s n ú m e ro s o e sca la re s, s e u sa rá n letras m in ú scu ­
cación de e sc a la re s por p a re s orde nad os.
la s tales c o m o
A,
:S i
A 2 :S i
A 3 :S i
A, B e R : ■=* (A + B) e R 2
(C la u sura )
A, B e R : => A + B = B + A
A, B, C € R 2 <=> (A + B) + C = A + (B + C )
D a d o d o s ve cto re s en V ,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , p o d e m o s definir
<=> (x, = x,)
(C onm utatividad)
1.
Si A = B
(A sociativid ad )
2.
A + B = (x, + x , , y, + y,)
(Definición 1.3)
3.
r A = (r x, , r x,)
(Definición 1.4)
A 4 :P rop ie da d del elem ento identidad para laadición de p a re s
3 ! 0 e R 2 |A + 0 = 0 + A = A , V A e R :
a, b, c, r, s, t, x, y, z, c o m o contraste co n los vectores.
a
(y, = y,)
(Ig u a ld a d de vectores)
(0 = (0 ,0))
A s : P rop ie da d del elem ento inverso para la adición de p a re s
3
M, : S i r g R y A e R 2 <=> r A e R 2
M 2 : 3 l e R I lA = A , VA e R2
D,
Ejemplo
! - A 6 R 2 1A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2
(C la u su ra )
1 ]
(Le y distributiva)
D 3 :r(sA ) = (rs)A , V r , s e
(Le y distributiva)
R, VA e R2
S e deja al lector la d em ostración de c a d a u na de e sta s p ro p ie d a d e s hacie ndo u so
de la s p ro p ie d a d e s respectivas de los n ú m e ro s reales.
, 3) y B
= (4
, -1), hallar el vector V
= (-4 + 1 2 ,6 -3 )
(Le y distributiva)
D 2 :(r + s )A = rA + s A , V r , s e R , V A e R 2
= (-2
Solución. S i V = 2(-2 , 3 ) + 3(4 , - 1 ) <=> V = (-4 , 6) + (12 , -3)
(E x iste n c ia del elem ento neutro)
:r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2
Si A
= 2A + 3B
(D e f. 1.4)
(Def. 1.3)
= (8 , 3)
1 Ejemplo
2
j
Hallar el vector x en la ecu ación
2(-1 , 2) + 3 x = (4 , -5)
Solución. S u p o n g a m o s que x = (x, , x,), e n to n ce s en la e cu a ción d ad a :
■
8
Capítulo l: Vectores en el plano
2<-l , 2) + 3<X, . x2> = (4 , -5)
7.
=>
(-2 , 4) +
<3x, , 3x,) = <4 , -5)
(Def. 1.4)
«=*
<-2 + 3x,
, 4 + 3x,) = <4 , -5)
(Def. 1.3)
P o r la igualdad de vectores : -f - +
^x i - 4 ^ x i *- 4 + 3x, = -5 <=> x, = -3
9
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano
S i A = <2 , 3 ) , B = <3 , -2) y C = <4 , -1 ), re solve r la e cu a ción
2 A - 3( — (B - 3 C ) + ^ X ] = l x + 3 C
2
4
4
8 . Hallar los elem entos del conjunto
-
V = { <m , n) e R : I < 12m - 1 |, 12m + 1 |) = <5 , 9 )}
P o r tanto, el vector b u sc a d o e s : x = (2 , -3)
■
9.
D a d o s los vectores A = <3x - 5 , x - 2 y + 2) y B = (x - y - 2 , 3 - 2 y ) , hallar x e y
tales que 3 A = 4 B
Cjcmplo
3
J
10. S i A = <2m - 3n , 4n - m) y B = <2 , -3 ), hallar lo s v a lo re s de m y n que hacen que
Hallar to d os lo s n ú m e ro s reales r y 4 tales que
A = 5B.
r (4 , - 6 ) + 4 (5 , -2) = <7 , 6 >
Solución. <4r , - 6r) + <54 , -2ó> = <7 , 6>
(Def. 1.4)
<4r + 54 , -6r - 24> = <7 , 6>
1-3 ) R E P R E S E N T A C IO N G E O M E T R IC A D E UN V E C T O R EN E L PLANO
(Def. 1.3)
P o r la iguald ad de vectores : -f 4r + 54 _ 7
l -6r * 24 = 6
G eom étricam ente, cualquier par de p untos distintos S y T en el plano deter­
R e so lv ie n d o el siste m a ob te n e m o s los n ú m e ro s : r = - 2 , 4 = 3
■
m inan un
segmento de recia orientado S T de S a T. S i re p re se n ta m o s este se gm e n to
vector geomé­
de recta por un vector V = <x , y ) , m ediante u n a flecha, éste s e llam a
trico cu y o punto inicial e s S ( x , , y,) y tiene co m o punto final T (x + x, , y + y t). D e este
E J E R C IC IO S : Grupo
2
m od o un vector V e R : p ued e interpretarse c o m o un a traslación descrita por un par
de n ú m e ro s reales (x , y ) , la prim era com p one n te indica un d esp la za m ie n to paralelo
al eje X y la se g u n d a co m p on e nte un d e sp la za m ie n to paralelo al eje Y. L a Figu ra 1.5
ilustra s e is re p re senta cion e s del vector V = <x , y). E n c a d a c a s o , V traslada el punto
D a d o s A = (3 , -4 ), B = (8 , -1) y C = (-2 , 5 ), hallar el vector V. s i :
a) V = 3 A - 2 B + C
c) V = 2 (A - B ) + 3 C
, e n to n ce s a V s e le llama
b) V = 4 A + 1 ( B - C )
d) V = 2 (A + C ) +
r
1 (B -2 C )
vector cero y s e denota m ediante O = <0 , 0 ).
2.
Hallar el vector X en las sig u ie n te s e c u a c io n e s :
J*
a) 3 <0 , -2) + 2 X - 5 <1 , 3) = (-3 , -5>
k
>
-
p,
j
>
\ ■y'U
A
v
—
.Vi
A
b) <15 , -12) + 2[ (-6 , 5) + X] = 4(1 ,-2 )
c) 2 X - 3 <1 , -2) = 5 <-1 , 3) - X
3.
>
■N
Yi
>
1.
(x ^ , y ) en el punto (x t + x , y + y). S i a m b o s p u ntos , el inicial y el final s o n el origen
s(
a) r <-2 , 3) - s (8 , 1) = <16 , 15)
c) r <-2 , 3) + s <4
d) r <4 , 3) + s
, - 6) = <0 , 2)
V
S i <1 , 5) + 2 x = <7 , -3 ), hallar r y t , tales que (-3 , 2) = r x + t<2 , -4)
5.
S i A = <n , m ) , B = <1 , -2 ), C = <-1 , -3) y m A + n B - C = <0 , m 2) , hallar el valor
de 3m + 2n
6 . S i A = (m , n ) . B = <2 , -3) y C = <-1 , 1), hallar m y n p ara que s e cum pla
m A + n B + C = 2n<1 , 0)
\
J
r
i'
A
I T
F IG U R A 1.5
S
p \
Vy
O
<-1 ,2 ) = <2 , -26)
4.
T
w
V
E n las sig u ie n te s relaciones hallar, si existen, to d o s lo s n ú m e ro s reales r y s
b) r <5 , 1) + s <-3 , 5) = <-2 , 8 )
J
0\
/
V
F IG U R A 1.6
El se g m e n to de recta dirigido O P que va del origen al punto P(x , y) e s una
representación ordinaria del vector V = (x , y) y s e dice q ue la flecha o vector tiene
vector de posición
o radio vector del punto P(x , y).
p osición ordinaria o estandar. P o r e sta razón, el vector V s e llam a
10
Capítulo I: Vectores en el plano
E je m p lo
DEFINICION 1.7 Vector Localizado
Un
Hallar el vector localizado de P ,P 2 si P, = (5 , -2) y P 2 = (2 , 3).
2^|
Interpretar geom étricam ente el resultado.
—)
vector localizado en R : e s u n a pareja d e p u ntos P t y P,
qu e s e indican con P P, para los c u a le s P, e s el punto inicial o d e partida y P, e s
11
Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano
Solución. S e g ú n la Definición 1.7 : V = P,P, = P, - P,
= < 2 ,3 > -< 5 ,-2 >
el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i u n a flecha tiene c o m o punto inicial a
= ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5)
p ,(x , . >',) Y a p2(x r ’ >'i) co m o punto final, e n to n e s la flecha P,P, e s u na re p re se n ­
L a gráfica de P,P, s e m uestra en la F igu ra 1.8 , en ella se p ued e ob se rva r la equiva­
tación geom étrica del vector V = (x . y ) , d on d e :
<x J \> = < \; - \ 1
(1)
lencia del vector localizado P,P: y del vector de p osición V = P, - P,
■
S i c o n sid e ra m o s a P l y P, co m o ve ctore s de p o sició n de lo s p u ntos ?! y P,
entonces, se g ú n la Definición 1.7 :
V = p p
12
= p - p
*2 *1
de d o n d e :
i'v + p, = «*.)
(2)
E sta ecua ción n o s permite co n o ce r analíticam ente el punto final P, del vector V c o ­
nociendo, d e sd e luego, el punto inicial y las co m p o n e n te s del vector V.
I O B S E R V A C I O N 1.1
U n vector en R : p u e d e s e r c o n sid e ra d o c o m o u n a función
cu yo dom inio y ra n go e s el conjunto de p u n to s en el plano.
E je m p lo
3 ]
P,. A s í si P,(x, , y,) e s el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado
PtP„
Solución. S e a n
: V = A B = B - A = <x , y ) - (3 , 5) = (x - 3 , y
- 5)
W = B C = C - B = <8 , 1> - (x , y) = <8 - x , 1
- y>
e n to n ce s
V (P.) = (x, + x , y, + y) = P 2
i
S i V = W <=> <x - 3 , y - 5) = <8 - x , 1 - y>
i
Dominio
representa al m ism o
vector qu e va de B (x , y) a C (8 , 1). Hallar B (x , y)
E n efecto, si V e s el vector que traslada el punto P, en el punto P, e scrib im o s V(P,) =
—>
U n vector que va de A (3 , 5) a B (x , y)
c=*
r X - 3 = 8 - X <=> X = 11/2
|
y - 5 = 1 - y ■=> y = 3
P o r tanto, el punto b u sc a d o e s B ( 1 1/2 , 3)
Rango
D e b e m o s notar q ue si V (P,) = P, <=> V = (0 , 0)
4 }
E n la F igu ra 1.9, s e tiene
f
:
k
O P = x 3 y O Q = x 2y . ,
Cjemplo
Solución.
1 ]
Hallar V ( P l). d a d o s P,
= (-2 , 1) y V = (3 , 4).
S e g ú n la ecu ación ( 2 ) :
G raficar P ,P ,
= d .5 )
L a gráfica de P,P, s e m uestra en la Figura 1.7
i
S i b = (y 3 + 19 , 6 + x y 2) y a = b , hallar el valor de x + y.
—>
—>
Solución. L a s c o m p o n e n te s del vector a s o n O P y O Q
V (P,) = P, <=> P 2 = (x, + x , y, + y)
= (-2 + 3 , l + 4)
p
■=> a = < x * , x 2y)
/
r x ’ = y J + 19 <=> xJ - y- = 19
L u e g o , si a = b <=>
<
,
,
I x :y = 6 + xy- «=> x*y -xy- = 6
R e s o lv ie n d o (1)
y (2) por sim u ltá n e a s
’o
/
,
(1)
(2 )
o b te n e m o s
f
,,
,
c
Ejemplo
A
: x =3 ,
F IG U R A 1.9
y = 2 ó x = -2 , y = -3. D a d o q u e en la Figu ra 1.9, O P y O Q
so n negativos, d e sc a rta m o s la prim era alternativa. P o r tanto : x + y = -5
^
12
Capítulo I: Vectores en el plano
E J E R C IC IO S : Grupo
Cjemplo
3
13
Sección 1.4: Magnitud y dirección de un vector en R2
1 ^
Hallar la m agnitud del vector de e xtrem os A(1 , 3) y B(-2 , 7).
Solución. S i V e s el vector que va de A a B, e n to n ce s
E n los ejercicios del 1 al 4, hallar V ( P , ) , d a d o s V y P,. S i P 2 = V ( P , ) , graficar
P 2‘
1P 1*
1.
V = (2 , 6 ) , P, = (1 ,3 )
3.
V .= (-3 , 5 ) , P, = (-5 , -2)
2.
V = <-4 , 1 ) , P, = (-2 , -3)
4.
V = <5 , -1 ), P, = (-2 , 4)
se n ta cio n e s del m ism o vector
7.
P (0 , 3 ) , Q (5 , -2 ), R (7 , 0)
8 . P (-2 , 0 ) , Q (-3 , -4 ), R (4 , 2)
El ve ctor V = (3 , 2 ) e s el ve ctor lo ca liza d o del s e g m e n t o A B c u y o p unto m e ­
dio e s C (3 , 1). Hallar las c o o rd e n a d a s de lo s e xtre m o s de A B .
10.
■
V
N, : V A e
A , B e R : , y V r e R s e cum plen la s sig u ie n te s p ro
R- , 11A ¡| > 0
N 2 : || A I I = 0 <=> A = O
P (2 , 5 ), Q(1 , 6 ) , R (-3 , 2)
6 . P (-1 , 4) , Q (2 , -3 ), R (-5 , -2)
9.
11V11 = V(-3): + (4)- = 5
TEOREMA 1.3 Propie<' des de la norma de un vector en R-
E n lo s ejercicios del 5 al 8 , hallar el punto S (x , y) tal que P Q y R S s e a n repre­
5.
V = Á B = B - A = (-2 - 1 , 7 - 3) = (-3 , 4>
Luego, s e g ú n la fórm ula (3 ):
S e a n lo s p u ntos P(5/2 , 5 ) , Q(1/3 , 13/4) , R(-16/5 , 7/2) y S ( x , y). S i P Q y R S
representan el m ism o vector, calcular el valor de 3 0 x + 80y.
N3:
V re
N4 :
V A ,B e R : , |
R . V A e R - , 11 r A 11 = I r 1. 11 A11
a
+ B | | < | | a || + 11 B 11
(D e sig u a ld a d triangular)
V________________________________________________________________
D em ostración de N 1:
E n efecto, si A = (x , y> <=> ! A 11 = \ ’x : +
Si x * 0
y *
c=> 11 A 11
y2
0
S a b e m o s q u e si existe la raíz cu a d ra d a de un núm ero, ésta e s positiva, por
11.
S e a V = (7 , - 6 ) el vector localizado del se g m e n to A B y C(5/3 , 3) el punto de
trisección m á s ce rc an o de B, de dicho se gm e n to. H allar las c o o rd e n a d a s de A
y B.
D em ostración d e N2 :
x = y = 0 , esto e s , A = (0 ,0 ) = O
(H
S e a n A (a , -2) , B (2 , 4 ) , C (8 , -3) y
S i A = O t=> A = (0 , 0) <=> 11A 11 = \'0 : + 0 2 = 0
P o r co n siguie n te : I A ! I = 0
D = { (x , y) I y = 2 x + 1}
S i A B = C D , hallar el valor de
tanto, 1 1 A 11 > 0
(■=>) S i II A II = 0 => 11 A 11 = vx - + y : = 0 . L a iguald ad s e cum ple si
1 2 . E n la Figu ra 1.10 s e tiene : O P = x 3 , O Q = 6 - x
Hallar a , si b = (9 x y - y 3 , y) y a = b.
13.
lo
<=> A = O
D em ostración de N3 :
a-x
E n efecto , si A = (x , y ) ■=> r A = (rx , ry)
y 11 rA 11 = V(rx): + (ry): = \ r:(x 2 + y :) = \ r 2 . V x : + y :
11 rA11 = I r I V x : + y :
1.4 ) M A G N IT U D Y D IR E C C IO N D E U N V E C T O R E N R2
P a ra ca d a vector V e
R - , V = (x , y ) , existe un e sc a la r o núm ero llam ado
DEFINICION 1.8 Dirección de un vector en R :
A ca d a vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le c o rre sp o n d e una
norma . módulo o magnitud de V, denotado por 11V 11, tal que :
dirección d a d a p or la m edida del á n gu lo a (án gu lo de dirección de V) que form a
II V||
=
V x2+ y:
el vector co n el sem ieje positivo de las X, p ara el cual
(3)
Sena = —
11 V 11
L a fórm ula (3) e s coincidente co n la noción intuitiva
de longitud de un se gm e n to deriva del teorem a de
V.\- + v 2
,
C o s a = — -L— = ■ ■ ,x : 11 V 11 V x : + y
(4)
y 0 o < m (a) < 360°
P itágoras. L a F igu ra 1 . 1 1 ilustra esta propiedad.
D e la s e c u a c io n e s (4) s e sig u e que
V = (x , y ) = 11 V 11 ( C o s a , S e n a )
FIGURA 1.11
(5)
14
Capítulo 1: Vectores en el plano
P o r tanto, un vector en
R: q u e d a
15
Sección 1.4: Magnitud v dirección de un vector en R '
Luego, m (a) = 360° - 60° = 300°
determ inado por s u m agnitud y dirección.
P o r lo que, s e g ú n la e cu a ció n (5 ):
I O B S E R V A C I O N 1.2
La dirección m (a) del vector V s e obtiene de la m ane ra
V = 6( C o s
300°, S e n 300°)
siguiente
M ed iante un á n gu lo de referencia a, y hacie n do
DEFINICION 1.9 Vector unitario
u so de una tabla de va lore s s e halla el valor de
D a d o un vector no nulo
con 0o < m ía,) < 90° para el cual
T g a, = |y|
Si x > 0 , y > 0 o
.
un vector u que tiene la m ism a dirección
x *0
m (a) = m (a,)
u=
V
/
i i vil
(Cuad. I)
V = <x , y), lla m a m o s vector unitario
de V tal que :
x...
(6)
_ > !_ \
i i vti
a
iivir
o bien
x < 0 , y > 0 «=* m (a) = 180° - m (a,) (Cuad. II)
u = (C o sa , Se n a )
x < 0 , y < 0 => m (a) = 180° -t- m(a,) (Cuad. III)
(7)
x > 0 , y < 0 t=> m (a) = 36(T - m (a () (Cuad. IV )
D e s d e luego, si x = 0 pero y * 0, e n to n ce s m (a) = 90° ó m (a) = 270° respectivam ente
p ara y > 0 ó y < 0 .
Ejemplo
4J
H allar un vector unitario qu e tiene la m ism a dirección y sentido
del vector
Ejemplo
2
J
Hallar la m agnitud y dirección del vector V
Solución.
= <-3 , 4 )
La norm a del vector d a d o e s : 11 V i ! = V(-3)’ + (V7): = 4
P o r la fórm ula (6 ):
Solución. S e g ú n la fórm ula (3), la m agnitud del vector V e s
V = <-3 , V7)
u- ^
^
)
■
II V|| = V (-3): + (4 )3 = 5
P o r las e cu a cio n e s (4) la dirección del vector e stá d ad a
por
í
Sena = |
y
Ejemplo
5 j
H allar un vector de m ódulo 10, que tenga la m ism a dirección y
sentido o p u e sto al vector que va de S ( 4 , 2) a T(1 , 6 ).
C osa = - j
Solución. S e a A = S T = T - S = (1 - 4 , 6 - 2) = (-3 , 4)
D a d o que S e n a > 0 y C o s a < 0 , e n to n ce s a e stá en el
II cuadrante.
U n vector unitario en la dirección de
A n g u lo de referencia : T g a , = |-|| = - i
P o r lo q ue : m (a) = 180° - 53°8’ = 126°52’
Ejemplo
3
J
E x p re sa r el vector
.
A
es :
u=
< -3 ,4 )
— ^—
<=> a, = 5398’
Lu e go , el vector b u sc a d o e s :
■
V=
(3 , - 3 \3 ) en térm inos de s u m agnitud y
de s u á n gu lo de dirección.
í
Solución. S e g ú n (3 ): 11V11 = \'(3 )2 + (-3 \3 )2 = 6
(Ejemplo
6 j
V=
- 11V I !
u
<=>
V = <6 , - 8)
Hallar un vector unitario en la dirección del vector
■
V de
longitud
5 , qu e tiene s u punto inicial en (1 , - 1 ) y s u punto terminal tiene
YÁ
u
a b s c is a 4.
Solución. S i P,(I , -1) y P, = (4 , y) => V = P,P, = P2- P,
y por la s e c u a c io n e s (4 ):
= <4 , y) - (I , -l)
Sena = - ^
y
C osa = ^
= <3 , y + i>
C o m o 11 V11
C o m o S e n a < 0 y C o s a > 0 , e n to n ce s a está en el IV c u a ­
drante.
A n g u lo de referencia : T ga , = |-¿| = V3
=> m (a,) = 60°
v
u
FIGURA 1.14
= 5 <=» V9 + (y + I )2 = 5
.=> (y + 1): = 16 <=> y + 1 = 4 ó y + 1
J
<=> y = 3 ó y = - 5
= -4
(1)
16
Capítulo I: Vectores en el plano
Luego, en (1) :
Sección 1.5: Adición de vectores en R2
r
V = (3 , 4) ó V = (3 , - 4)
TEOREMA 1.4 Propiedades de la adición vectorial
S i A , B y C s o n ve cto re s en R 2, e n to n ce s s e cum plen las s i­
guie n te s p ro p ie d a d e s
C la u su ra
A, : S i A y B e R 2 <=> (A + B ) € R
E J E R C IC IO S : Grupo
4
Conm utatividad
A., : A + B = B + A
Asociatividad
A 3 : (A + B ) + C = A - ( B + C )
A
E n lo s ejercicios del 1 al 4, s e d an las c o o rd e n a d a s de lo s p u nto s A y B. E x p re ­
s a r el vector V = A B en térm inos de s u m agnitud y de s u á n g u lo de dirección.
A (-3 , 4 ) , B (-5 , 6 )
1.
3.
2 . A (\ 12 , -3 ), B (V 2 7 , -4)
5.
A 5 : V A e R 2 , 3(-A ) € R 2 ! A + (-A) = (-A) + A = 0
. .
A(3>/5 , - V Í 5 ) , B (V 2 0 , -V60)
■J
E n efecto, si A = (x, , y,) y B = ( x , , y , ) , entonces, por (8 ):
A + B = (x, + x , , y, + y2)
P u e sto qu e la adición e s ce rrad a en R «=> (x, + x,) e R y (y, + y,) e R
H a lla r un ve c to r de m ó d u lo 10 q u e fo rm a un á n g u lo d e 3 7 9 c o n el eje
X
positivo. (Suge ren cia : U s a r C o s 3 7 2 = 3/4)
7.
O p u e sto de un vector
D em ostración de A, :
4.
Hallar un vector V cuya m agnitud e s igual a la del vector A = (4 , -2) y cu ya
6.
Ele m e n to neutro para la adición
A (5 V 3 „ 4 ) , B (V 4 8 , 5)
dirección e s la m ism a q ue la del vector B = (1 , \ 3 )
P o r lo tanto ,
D em ostración de A4 :
H a lla r un v e c to r de m ó d u lo 15 q u e fo rm a un á n g u lo d e 5 3 s c o n el eje
Y
positivo. (Su g e re n c ia : U s a r C o s 5 3 9 = 3/5)
(x, + x , , y, + y,) e R 2 «=> (A + B ) e R !
C o n s ta de d o s partes : E xiste n cia y Unicidad
Existencia. S i A = ( x , , y,> , s e tiene
A + O = <x, , y,) + <0 , 0) = <x, + 0 , y, + 0) = < x , , y,> = A
8 . Hallar un vector que tenga la m ism a m agnitud del vector que v a de A (-2 , 3) a
B (-5 , 4) y que tenga el sentido o p u e sto al vector qu e va de S ( 9 , -1) a T (1 2 , - 7 ).
9.
v
: 3 !0 6 R 2 , V A € R 2 I A + 0 = 0 + A = A
Hallar un vector V de longitud 6 \ 3 y qu e tiene la m ism a dirección de un vector
q ue form a un á n gu lo de 3 0 9 co n el sentido positivo del eje X.
A n á lo g a m e n te s e d em u e stra q ue : O + A = A
Unicidad. S e a O i otro elem ento de R 2 q u e tam bién cum ple
A + 0 , = 0 1+ A = A
E sta iguald ad e s cierta VA e R :, en particular s e A = O , e n to n ce s
+ 0 , = O, + 0 = 0
0
10.
S i V = <x , y ) , cu ya norm a e s 6 e y = \ 3 x , hallar dicho vector.
11.
Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 17, que tiene su
A n á lo ga m en te , h a cie n d o A = O , , en A 4 s e sig u e que
punto de a p o yo en (3 , -12) y s u punto terminal tiene o rd e n a d a 3.
O, + 0 = 0 + 0 , = O,
Luego, las d o s ig u a ld a d e s anteriores pru e ban que
o, = o
P o r lo tanto, q u e d a d e m o stra d o q u e : 3 ! O e R 2 , VA s R 2 A + 0 = 0 + A = A
O P E R A C IO N E S V E C T O R IA L E S F U N D A M E N T A L E S ^
11.5
A D IC IO N D E V E C T O R E S E N R-_________________________
D a d o s d o s vectores A y B e n R- tales qu e A = <x, , y,) y B = ( x , , y,>, defini­
m o s la adición del m odo siguiente :
A + B = (x, , y,) + <x2 , y,) = <x, + x , , y, + y,)
P o r ejemplo, si A = (5 , -7) y B = (-3 , 2 ), e n to n ce s :
A + B = <5 - 3 , -7 + 2 > = <2 , -5)
í j . 5 . l ) R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A D E L A S U M A D E V E C T O ­
__________________________ _ _
R E S EN R 2
S e a n lo s v e cto re s A y B en R 2, la flecha q ue representa a la s u m a A + B s e
obtiene del m o d o siguiente
(8 )
R e p re se n ta m o s u n a traslación a lo largo de u na flecha cualquiera que represente al
vector A = (x, , y,) se g u id a de u n a traslación del punto final de e sta flecha a lo largo
de la flecha q u e rep resenta al vector B = ( x , , y,). L a traslación total correspondiente
18
Capitulo I: Vectores en el plano
al vector A + B. e s una flecha q ue tiene c o m o punto inicial el del vector A y co m o
punto final el del vector B (F igu ra 1.15).
Sección 1.5.1: Representación gráfica de una suma de vectores en R2
----------------k
P o r ejemplo, el n e gativo del vector A = (-3 , 2) e s
Y1
-A = (3 , -2).
| O B S E R V A C I O N 1.3
D a d o el vector A s
R : su
i
i
0' r \ \ - A
negativo - A e R : e s colineal, de la m ism a m a g n i­
\
tud, esto es, 11 - A 11 = 11A11, pero de sentido opuesto
•
l
i
que el vector A.
P u e sto q u e p ara cualquier vector V = (x , y) s e
F IG U R A 1.18
tiene q u e :
V
+ (-V) = <x , y> + <-x , -y) = <x + ( - x ) , y + (-y)> = (0 , 0) = O
E sto n o s lleva a la definición natural de
diferencia de d o s vectores.
DEFINICION 1.11 Diferencia de vectores
L a s u m a A + B o B + A s e c o n o ce c o m o el
D a d o s d o s v e c to re s A , B e R - , ta le s q u e A = <x, , y,) y
vector resultante y e s la d ia g o ­
nal de un p aralelogram o q ue tiene c o m o la d o s a d y a c e n te s a los ve ctore s A y B. La
obtención de la s u m a A + B sig u ie n d o este p rocedim iento recibe el nom bre de
B = <x, , y 2>, definim os la diferencia A - B del m od o siguiente :
A - B = A + (-B ) = <x, , y,) +.<-x: , -y,)
ley
A - B = (x, - x , , y, - y,>
del paralelogramo, que s e ilustra en el sigu ien te ejemplo.
C jo m p lo
1 )
D a d o s los ve ctore s A = (-1 , 4 ) y B = (3 , 2), hallar A + B y
construir u na gráfica que m uestre la s re p re sen ta cion e s ordina­
rias co rre spo n die nte s a los vectores.
Solución.
¡C je m p lo
2J
Si A
= (4
, 2) y B
= <-3 , 3) , hallar la diferencia
(9)
A - B y trazar una
gráfica que m uestre la representación ordinaria de los tres v e c ­
tores.
P o r definición :
Solución.
A + B = (-1 + 3 , 4 + 2)
S e g ú n la Definición 1.11 :
A - B = <4 , 2) - (-3 , 3) = <4 - (-3), 2 - 3> = <7 , -1>
= ( 2 , 6)
E n la Figura 1.17, o b sé rv e se que la flecha que
■
L a re p re sen tación ordinaria de ca d a u no de los ve ctore s s e m uestran en la F igu - -
va de S a T representa al vector A y la flecha que
ra 1.19. D e b e m o s d e sta c a r que el in ve rso aditivo de (-3 , 3) e s <3 , -3) (negativo del
va de R a T representa a B (por s e g m e n to s de
vector B), q u e e s colineal y de la m ism a m agnitud que (-3 , 3> , pero de sentido
paralelas).
opuesto.
L a re p re se n ta ció n ge o m é trica d e A - B p u e d e o b te n e rse a p lican d o la regla del
■
p a ra le lo g ra m o a la s u m a A + (-B). L a F ig u ra 1.20 n o s m ue stra otra m an e ra de
re p re se n ta r la diferencia A - B , q u e c o n siste en unir los p u n to s finales de los
v e c to re s B y A.
DEFINICION 1.10 Negativo de un vector en Raditivo
S i A e R :, tal qu e A = (x , y), s e d en o m in a
de A al vector
-A = (*x , -y)
negativo o inverso
| O B S E R V A C I O N 1.4
S i A , B e R 1, e n to n ce s la diferencia A - B sa tisfa ce la c o n ­
dición B + (A - B ) = A, lo qu e explica porque a lg u n a s v e c e s
s e dice q u e la diferencia A - B e s el vector qu e va de B a A (Figura 1.20).
20
Capítulo I: Vectores en el plano
21
Sección 1.6: Multiplicación de un escalar por un vector
Asociatividad
M 2 : (r s) A = r (sA )
N eutro multiplicativo
M 3 : 1A = A
M4:
iA
= 0
C e ro multiplicativo
<=> r = 0 ó A = 0
In v e rso multiplicativo
M 5 : - 1 A = -A
D, : r(A + B ) = rA + rB
Distribuidad respecto a la adición de vectores
D 2 : (r + s )A = r A + s A
Distribuidad respecto a la adición de e sc a la re s
M agnitud respecto a múltiplos e sca la re s
M 6 : l l r A l l = | r l . Il A l l
D em ostración de D,. S i r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x 2 , y,)
d e m o stra re m o s q u e : r (A + B ) = r A + rB
E n efecto :
r (A + B ) = r « x, , y,) + <x 2 , y,))
= r « x, + x 2 , y, + y 2»
I j Q M U L T IP L IC A C IO N D E U N E S C A L A R P O R U N V E C T O R
r y,
= (rx , + r x , ,
D a d o un vector V = (x , y) € R 2 y un e sc a la r r e R, el producto del e sc a la r por
el vector e s otro vector rV para el cual
L a m agnitud de rV e s 11 rV 11 = I r I . 11 V i I y s u dirección e s la m ism a q ue la de V,
(Múltiplo e sc a la r)
D em ostración d e D 2. S i r , s e R y A e R 2, tal qu e A = (x , y), d e m o stra re m o s que:
rA + s A = (r + s )A
múltiplo escalar de V
E n efecto :
R E P R E S E N T A C I O N G R A F IC A .
(Múltiplo e sc a la r)
(Adición de ve cto re s)
= r A + rB
a un q u e s u sentido p ued e se r opuesto, e s decir, lo s ve cto re s V y rV s o n paralelos.
Al vector rV se denomina
+ r y 2>
= <r x, + r y,) + (r x, + r y 2)
= r <x, , y,) + r <x, + y 2>
rV = r(x , y) = (rx , ry)
I Nota.
(Adición de ve cto re s)
= <r (x, + x 2) , r (y, + y 2)>
r A + s A = r <x , y) + s (x , y)
S e g ú n qu e r s e a positivo o negativo la gráfica de
= <r x , r y> + (s x , s y>
rV p u e d e se r
= < rx + s x
(Múltiplo esca la r)
, ry + sy)
(A dición de vectores)
= ( ( r + s ) x , ( r + s)y >
(D istrib u id a d en R )
= (r + s) <x , y)
(Múltiplo esca la r)
= (r + s )A
í EJEM PLO S ILUSTRATIVOS^
Ejemplo
1 )
D em ostración.
D e m o stra r qu e
V A e R 2 : -(-A) = A
E n efecto, s e g ú n la p ropiedad A s :
V A e R 2 , 3! - A e R 2 1A
TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector
S i A y B so n vectores en R 2 y r, s e R (escalares), s e cum plen las
y p ara el vector - A s R : , 3! [-(-A)] I (-A) + [-(-A)]
E n (2), por la propiedad A 2, s e tiene
(1 )
= 0
=0
: [-(-A)] + (-A )
= 0
(2 )
(3)
P o r (1) y (3) y la unicidad del in ve rso aditivo s e sig u e qu e :
sig u ien te s p rop ie dade s
M, : i A e R ;
+ (-A)
C la u su r a
-(-A )
=A
■
22
Capítulo 1: Vectores en el plano
C jc m p lo
2 ^
D e m o stra r qu e s i : A = B c=> A + C = B +
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
23
= ( - 2 + 1 8 + 1 0 , 2 - 1 2 - 10 )
C ,V C e R :
= (26 , - 20) •
D em ostración. P o r la propiedad A 4 s e s a b e qu e
X = (13 , -10)
3! O e R 1 1B = B + O , V B e R 1
P o r hipótesis : A = B ,
(1 )
e n to n ce s , A = B + O
P o r la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R :
Ejemplo
(2)
5 J
Su stituy e n d o (2) en ( 1 ) s e sig u e qu e :
M ed ian te s e g m e n to s orien tado s d em ostrar la propiedad A 3
:
(a + b) + c = a + (b + c)
A = B => A = B + [C + (-C)]
D em ostración.
<=> A = (B + C ) + (-C)
( A 3)
<=> A - (-C) = (B + C ) + [(-C) -
(-C)]
(Ejem plo 1 y A 5)
c=> A + C = (B + C ) + 0
A = B <=> A + C = B + C , V C € R !
■
S e a n los se g m e n to s orientados
PT = a , T S = b , SR = c , PR = X
H a cie n d o u so de la ley del p aralelogram o p ara
(F igu ra 1.23)
r
la s u m a de ve ctore s s e tiene :
E n el A P T S : S
= PT + T S = a + b
>
E n e lA T S R : TR = TS + SR = b + c
Ejemplo
3
J S e a x un vector tal q ue (3 , -4> = x
E n el A P S R : P R = P S + S R
+ (1 , - 6 >.
Solución.
<3 * *4) • <1 , - 6) = X + [ <1 , - 6) -
p
V
E n el A P T R : P R = P T + T R
E n la prim era e cu a ción s e tiene :
(1 ,
<=> x = a + (b + c)
- 6) ]
<=> (3 - 1, -4 - (-6)) = x + O
(Definición 1.11 y A 5)
/'
(1 )
■=> x = (a + b) + c
6t
S i (3 , -2) = tx + r(-2 , 1 ), hallar el valor de 3r +
J
FIGURA 1.23
(2)
P o r lo tanto, de (1) y (2) s e sig u e que : (a + b) + c = a + (b +
c)
<=> (2 , 2) = x
Luego, si
(3 , -2) = t<2 , 2> + r <-2 , 1 >
= ( 2 t , 2 t) + <-2r , r)
(Múltiplo e sca la r)
= (2t - 2 r , 2t + r>
I
Ejemplo
6^ j
S e a n los v e c to re s A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). U n se gm e n to diriO
I
...
g id o q u e re p re se n ta a - | A B tie n e p o r p u n t o in ic ia l
O
O
(Adición de ve cto re s)
D e la igualdad de vectores s e sig u e que : 3 = 2t - 2r y -2 = 2t + r
R e so lv ie n d o el sistem a ob ten e m os :
S ( 5 , -3/2), hallar el punto final.
r =-5/ 3 , t= - 1/6
—>
3r + 6t = -6
■
Solución. S e a T (x , y) el punto final del se g m e n to S T
S i S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2)
3
6
3
6
E je m p lo
4
j
Resolviendo una ecuación vectorial
*
D a d o s : A = <-2 ,2 ), B = (3 , -2) y C = (-1 ,1 >, resolver la ecuación
3 A - 2 [3 (B - 2 C ) + 2 A j + 3 X = 2 C + X
Solución.
E nton ce s, si : ( x - 5 , y +
S
= (-2 , -y)
r xX - 5 = -2 t=>
= x = 3
o
-1^
^
^
5
y + -f = ?2 ■=> y = i
P o r tanto el punto final e s T(3 , 1).
R e sta n d o 2C + X a c a d a extrem o de la e cu a ción d ad a s e tiene :
3 A - 6(B - 2C) - 4 A + 3 X - ( 2C + X ) = (2 C + X) - (2 C + X)
<=> (3 - 4)A - 6 B + 12 C + (3 - 1)X - 2 C = O
Ejemplo
=> -(A + 6 B - 10C) + 2 X = O
7
J
S e t ie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7 ) y C e stá so b re la recta
J ’ : y = x + 2. S i A (3 , 5) y B (-2 , 6 ) , hallar el punto P tal que
C
<=> (A + 6B - 10C) - (A + 6 B - 10C) + 2 X = (A + 6B - 10C)
P C = -A B .
■=> 2 X = A + 6B - 10 C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10<-l . 1>
Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)
= (-2 , 2 ) + (18 , - 12 ) + (10 , - 10 )
E n la e cu a ción d ad a : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)
24
Capitulo I: Vectores en el plano
de d on d e : (x , x + 2 ) =
Luego
(a - 1 , 8)o
-f X
ü '
^ x + 2 = 8=>
Ejemplo
S e a el e x á g o n o regular de lado
a , m ostrad o en la Figu ra 1.25.
Al su m a r lo s s e g m e n to s orientados BA, A C , D C y
—►
A E s e obtiene un vector S, hallar la norm a de S.
. C = <6 , 8>. S i P = ( x , , y,) y K ! = - A B => C - P = -(B - A ) = A - B
==> <6 - x, , 8 - y,) = (3 + 2 , 5 - 6) <=> {
10J
= 6
x
25
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
6 - x, = 5 <=> x, = 1
Solución. S i r e s el radio de la circunferencia cir­
-y, = - i => y, = 9
cunscrita al e x á g o n o regular, entonces :
P o r tanto, el punto b u sc a d o e s : P(1 ,9 )
f:b = r = a y t } = r V3 , esto e s , 11 A C 11 = 11 A E 11 = <zn'3,
por se r la d o s de un triángulo equilátero.
T ra s la d a m o s los ve cto re s in d ica d o s a un siste m a
bid im e nsio nal co n origen en A, cu yo eje X s ig a la
I € jc m p lo
Solución.
8 J
L o s v e c to re s A , B y C e R 2, c u m p le n q u e : A + 2 B = C y
dirección de A D (F igu ra 125a). Ahora, aplicando la
A - 3 B = 2 C . S i A e s un vector unitario, hallar la norm a de B + C.
e cu a ción (5) te n e m o s :
D e la s e c u a c io n e s d a d a s s e tiene :
A = C - 2B
(1 )
A = 2C + 3B
(2)
L u e g o , s i : C - 2 B = 2C + 3 B <=> C = -5B
B A = I I b a || ( C o s 2 4 0 ", S e n 2 4 0 ° ) =
a (- \
D C = I I D C II ( C o s 120° , S e n 120 ° ) = a <’ 7 -
Su stituy e n d o en (1) o b te n e m o s : B = - J r A = > C = ^ A
A C = 11 A C 11 ( C o s 30° , S e n 30° ) =
=> B + C = y A , implica qu e : 11 B + C 11= -^ 11A 11
rV3
<W5<f
,l> = « < 2 .f>
C o m o A e s un vector unitario , e n to n ce s : 11 B + C11 =
■
A E = II A E ! ! ( C o s 330°, S e n 330° ) = aV3
P o r tanto, si S = B A + A C + D C + A E =
Ejemplo
9 )
.............
Yi
E n la Figu ra 1.24, s e tiene :
|| A l l = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V ÏÔ
m A + 3B = nC
A
Solución. S i T g a = 1/3 t=> S e n a = 1 /VTÔ y C o s a = 3/vlO
TgP = 3 c > S e n p = 3/VTÔ y C o s P = 1/VTÔ
v
U n vector unitario en el sentido de A e s (l ,0 ) c=> A = 3(1 , 0)
FIGURA 1.24
B = 11 B 11 ( - C o s a - S e n a ) = 2VTÔ (-3/VTÔ, -1/VÏÔ) => B = {- 6 , -2)
r 3m - 18 = n
'- 0 - 6 = 3n <=> n = -2
Su stitu ye n d o el valor de n en la prim era ecu ación o b te n e m o s : m = 16/3
Ejemplo
11
]
a (J - , - - Ç )
(2a , 0) <=> 11 S 11 = 2 a
Puntos de trisección de un segmento
D e m o stra r que si P, * P 2 e n to n ce s los p u ntos P y Q que trise­
c a n al se g m e n to que v a de P, a P 2 tienen por vectores de p osición a :
>"
P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2 P ,)
j
C = 11 C 11 (C o s P , S e n p ) = VTÔ ( 1 /VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3)
Luego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3) <=>
(
/
S i T g a = 1/3 y T g p = 3, hallar el valor de m de m od o que
=
Demostración. E n efecto, si P y Q so n los puntos
—>
de trisección de P,P2, entonces:
1. f } =
ip ) ,
c* 3 (P -P ,) = P ; -P ,
=> 3 P - 3 P , = P ; - P ,
de d ond e : P = -L (2P, + P,)
—7
9
P,Q= 3 P,P: =>
3(Q - P,) = 2 (P , - P.)
=> 3 Q - 3 P , = 2 P : - 2 P ,
c * Q = 1 ( P , + 2 P :)
FIGURA 1.26
26
Capítulo I: Vectores en el plano
E je m p lo
12^
EJERCICIOS ;
:
E n la F ig u ra 1.27, el trián g u lo
Ejemplo
27
Grupo 5
14]
E n el ro m b o de d ia g o ­
n a le s D
O A B e s isó sc e le s con O A = A B
y d e s tal co m o
y P H e s perpendicular a O B y mide 6 unidades. S i
s e indica en la Figu ra 1.29, hallar la norm a
11AQ 11 = 2 11Q B 11, hallar el m ódulo de PQ .
del vector
v = v 1+ v 2 + v 3 + v 4
Solución. S e a O H = x <=> P(x , 6)
=>
d on d e lo s vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a
OM
AM
PH
A O M A = AOHP
OH
8
2
t6 ~ x
los p u ntos m e d io s de los la d os del rombo.
3
=* x = 42
Solución. C o n s id e ra n d o un siste m a carte­
-
sia n o co n s u s ejes X e Y so b re
—)
—>
la s d ia g o n a le s P R y SQ , respectivam ente, te­
Luego, si P(3/2 , 6) e n to n ce s :
P A = A - P = <2 , 8) - (3/2 , 6> = (1/2 , 2)
A d e m á s : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) =
P o r lo que ,s i : 11 A Q 11 = 2 11 Q B 11
(2 , -8)
F IG U R A 1.27
nem os :
A B = -=- (2 , - 8)
AQ =
1
C o m o : P Q = P A + A Q = (1/2 , 2> + 42^/->
( 2 , - 8) = 1 _ov
(11—, -20)
o
i
=* IIp a II = ¿ - V (ll)2+ (-20)- =
V52I
V, = R F = F - R
=
v,=
p
=
< § . 4 > - < - f '° >
V, = Q E = E - Q
=
<- f
V 4= 0 H = H - Q
= ( £ , - | ) -
Luego :
Ejemplo
13^
p o
=
q
= < l D -4 >
(0 , | > = < £ , - j d )
d) => 11V11 = d
E n la Figura 1.28, si P e s tal que
E JE R C IC IO S : Grupo
doble del áre a del triángulo C P B , hallar 11 C P 11.
5
P o r la geom etría plana s e sa b e qu e :
a (A A P C ) = A P x P C
a (A C P B )
C om o,
,£ )
. -| > -< 0 , 4> = < - f '
V = V, + V, + V, + V 4 = ( 0 , -
el áre a del triángulo A P C e s el
Solución.
-
,0 ) = (-| D
PB x PC
a (A A P C ) = 2 a (A C P B )
E n los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C s o n ve ctore s en R :, dem u e stre la validez de
_ AP
c a d a afirmación.
PB
(A 2 : P ro p ie d a d conm utativa)
1. A + B = B + A
= 2
2 . A + (-A) = (-A) + A = O
(A s : In ve rso aditivo)
de d on d e : A P = 2 P B => P - A = 2(B - P)
c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y ) «
J
í
x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0
l y - 2 = 2 ( 1 0 - y ) = > y = 22/3
L u e g o : C P = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)
II C P II = ¿ V ( - 3 ) : + 8- = | V 7 3
3.
Si A + B = C
A = C - B
4.
S i A + B = B <=> A = O
5.
Si A + B = O
*=> A = -B
(U n icid ad del idéntico aditivo)
(U nicidad del inverso aditivo)
6 . M e diante se g m e n to s orientados d em uestre la propiedad A 2 : A + B = B + A
7.
S e a P Q una representación del vector A. Q R u n a representación del vector B y
—>
—> —>
—>
R P una representación del vector C. P ro b a r que si P Q , Q R y R P s o n los lad os
de un triángulo, e n to n ce s A + B + C = O
28
Capítulo l: Vectores en el plano
8 . D a d o s los vectores A = (5 , 2 ) , B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), re solve r la e cu a ción
los la d o s O A , A B , B C y C D respectivam ente. Hallar 11 S T + B H 11 si T e s punto
2X + 5A - 3B = 4C
9.
S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + <1 , -8 )
S i <-5 , 3) = t x + r <2 , - 1 ), hallar el valor de 2t + r
10.
29
Sección 1.7: Vectores paralelos
m edio de P Q y H e s punto m edio d e 'Q R .
20.
E n la Figu ra 1.35, si S = A + B + C, hallar S sa b ie n d o que su s e g u n d a c o m p o ­
nente e s cero, que 11 B 11 = 2 0 , 11A 11 = 10V2 y q ue la prim era com p on e n te de
R e so lv e r la ecua ción v e c to ria l: 3 (1 , -2) + 2 x = (2 , -1) - x
C e s 20, (A su m ir S e n 3 7 9 = 3/5).
1 1 . D a d o s lo s p u ntos A (5 , 1 ) , B (-2 , 3 ) , C (-3 , -2) y D(1 , -4), d eterm inar el punto
P (x , y ) tal que : 3 A B - P D = 3 A P - ^ C D + B C
12.
S e tiene : 2( <5 , -1) + C ) = 3 <1 , 3) - (-1., a > . S i A ( 2 , 3) , B (3 , -1) y el p unto
final del vector C, e n p o sició n ordinaria, e stá s o b re el co n ju nto P = { (x , y ) I
—)
—>
—>
y = x 2 - 1} ; hallar la s c o o rd e n a d a s de un punto P tal q u e : A P +
2PC = AB
13.
S i A = (5 , -2), B = (2 ,
-5) y C = (-3 , 1), hallar un vector unitario en la dirección
y sentido de V = 2 A - 3 B + 4 C
14. S e a n A y B ve c to re s en R : tales qu e B e s el o p u e sto de A. S i B tiene el m ism o
se n tid o q u e el ve c to r C = <-1/3 , 1/4) y la n o rm a d e A e s 5 , h a lla r el ve c to r
V = 2B + A
15.
E n la F igu ra 1.30 s e tiene : O M = 5x/2 y O P = 27/2. S i A = <2x 3 , 4 x 2 + 4 y 2) y
B = ( i x y 2 » ' 4 x y > , hallar x - y de m odo q ue : 2 S = 1 A - 2 B
o
o
O
16.
E n la F igu ra 1.31, A B C D E F e s un e x á g o n o re gu lar de lado a , hallar la norm a
o
de S, sa b ie n d o qu e : S = ^ (A D +
17.
( 1.7 J V E C T O R E S P A R A L E L O S
1
~*
DE) +
1
—
>
EB
D a d o el e x á g o n o re gu lar A B C D E F (F ig u ra 1.32) , h a lla r el v a lo r d e p + 3 q ,
—>
—>
j —>—)
—)
sa b ie n d o que : B C + C F + ± E F = p A B + q E F
D o s vectores A y B, no nulos, s o n parale los o prop orcionale s si y só lo si uno
de ellos e s un múltiplo e sc a la r del otro, esto e s
A || B <=> A = r B
I O B S E R V A C IO N E S
a)
, V r e R
1.5
S i r > 0 y B * O = > A y r B tienen la m ism a dirección y sentido.
S ir < 0
y B * O => A y r B tienen la m ism a dirección y se n tid o s op uestos.
B
b)
B
A = r B
A = r B
r> 0
r< 0
E s conveniente establecer que el vector nulo O e s paralelo a todo vector, esto es:
0|| A ó A l l O , V A e
E n efecto, si O 11 A <=> O = r A = 0 A
18.
E n la Figu ra 1.33, P e s un punto tal que el triángulo de áre a A, e s tres v e c e s el
á re a del triángulo de áre a
19.
Hallar la norm a del vector V.
E n la F igu ra 1.34 , O A B C e s un cuadrado, P , Q , R y S s o n p u ntos m e d io s de
c)
R:
,0 e R
T o d o vector e s paralelo a si m ism o.
E n efecto, si l e R
■=> A = l A . por lo que A
A , V A e R-
^2__________________ __________________________ Capítulo I: Vectores en el p lano
Sección 1.7: Vectores paralelos
f--------------{ EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )--------------- *
í Ejemplo
3 J
31
=B +C
D e m o stra r que s i D
-------------------------
y B
Dem ostración.
(<=>) D e m o stra re m o s que si D
A <=> C ! A
E n efecto, si D 11 A <=> Br e R
¡
Ejemplo
1 ^
Determ inar si los ve cto re s d a d o s s o n parale los
P o r hipótesis, B | | A = > 3 s e R
1.
A = < 4 ,-1 ) , B = (-1 2 ,3 )
Luego, si C = D - B = r A - s A = (r - s )A => C
2.
A = <3 , - 6) , B = <1 , 2 )
1 . S i A|| B => <4 ,-1 ) = r <-12 , 3)'<=> -f 4 = * I2 r = * r = *1/3
L -i = 3 r =>
P o r h ipótesis , B l : A
r = -1/3
A
A
C = tA
<=> 3 s e R B = s A
L u e g o , s i D = B + C = s A + i A = (s
C o m o r e s único y r < 0 , A y B s o n paralelos, tienen la m ism a dirección y senti­
D = rA
B = sA
(<=) A h o ra p rob a re m o s que s i : C !; A t=> D
E n efecto, s i C | A « = > B l e R
Solución.
A , en to nce s
D 11A <=> C 11 A
+ t)A => D A
®
d o s opuestos.
2.
Ejemplo
S i A 11 B = * <3 . - 6 > = r<l , 2) <=> -T 3 = r = * r = 3
L -6 = 2 r t=> r = -3
C o m o r n o e s ú n ic o o A
K
2
)
Si A
= <1 - 2m , 1 ) y B = <-7,
m + 2 ), hallar los valores de m , de
m od o que A s e a paralelo a B.
B , e s d e c ir , n o e x iste n in g ú n r e R q u e c u m p le
<3 , - 6) = r<l , 2 ), p u e s esto im plicaría q ue 3 = r = -3 , lo cual e s absurd o.
E je m p lo
4 J
D e m o stra r que si A . B e R : s o n ve cto re s parale los y B
■
* O
Solución. S i A
B « = > 3 re R | A = rB
.
r 1 - 2m = -7 r
~ < , - 2 m . » = * 7 - . m + 2 > « { i = r(m + 2)
Al dividir (1) entre (2)
ob te n e m os la ecuación
2m : + 3 m - 9 = 0 o
e n to n ce s existe un e sc a la r r para el cual s e tiene : A = r B.
(1)
(2)
m = -3 ó m = 3/2
B
D em ostración. S e a n A = <x, , y,) y B = < x , , y , ) , y s e a n a, y a , lo s á n g u lo s de di­
rección de A y B respectivam ente. P o r las e c u a c io n e s (4) s e tiene:
[
Ejemplo 5 J
S i al vector A
= <1
, 1 8) lo e x p re sa m o s co m o A
=X +Y
, donde
X11 B e Y 11C . S i B = <-1 , 4) y C = <2m , 3m), hallar el vector X.
S e n a ' = TTXTT
'
Cosc<l =
,
C osa = —
:
||A||
íía
TT
Solución.
y
Sena, = —
llA ll
Si X
B c=> 3 r e R ! X = r<-1 , 4)
Y
11C <=>
3 s e R I Y = s<2m , 3m) = sm<2 ,
Luego, si A = X + Y => <l , 18) = r<-l , 4) + t<2 , 3) «
{
3) = t<2 , 3)
^
P o r hipótesis A e s paralelo a B, e n to n ce s :
R e so lv ie n d o (1) y (2) por sim u ltán e as o b ten e m os : r = 3 y t = 2
m (a,) = m (a 2) ó m (a,) = m (a,) ± 180°
X = 3<-1 ,4 ) = <-3 , 12)
S i m (a.) = m (a,) c=> =
llA ll
=>
II B 11
y = I M y
y' IIB II
T a m b ié n , por h ip ó te sis , I B
I *
’
■
Xl
= —
|| A ||
M B ||
f
x -U A Ü x
IIB II
••
0 , p o r lo q u e
e n to n ce s: x, = r x , , y, = r y ,
L u e g o , < x , , y,) = r < x , , y , ) , e sto e s : A = r B
llAll
Ejemplo 6
^
Si
A=
<m , 2 m ) , A
- B = <2m
, p ) , A11 B y la norm a de A - B e s
20, hallar la norm a de B.
Solución.
e s un n ú m e ro real r ,
IIB II
S i B 11 A => B = r A = r<m , 2m) => B = rm<l , 2)
A - B = <2m
, p) <=> (m , 2m) - rm<l , 2) = <2m
(1)
, p)
c=> <m - rm , 2 m - 2 ) = <2 m , p)
. ■
P o r la igu ald ad de vectores se sig u e que : m - r m = 2 m , de d ond e , r = -1
32
Capítulo 1: Vectores en el plano
Luego, en (1 ): B = -m (l ,2 ) => 11 B ! | = | -m | V Í T 4 = m V5
(2)
Ejemplo
[
9 )
S e a el A A B C y s e a n M (2 , 5) y P (4
S i A - B = (m , 2m ) + m (l , 2) = 2m (l , 2) => 11 A - B 11 = 2mV5
,2 ) p u n to s m eceos de lo s
la d o s A B y B C respectivam ente. S i A B 11 (3 , 1) y C B 11 (1 ,4),
C o m o 11 A - B 11 = 2 0 ^=> 2m>/5 = 20 => m = 2^5
P o r lo tanto, en (2), s e tiene : 11 B 11 = (2\í5)\í5 = !0
33
Sección 1.7: Vectores paralelos
■
hallar los vértices del triángulo.
Solución. C o m o los puntos A, M y B s o n colineales, e n ­ r
tonces: M B 11 A B 11 (3 , l) => M B = r (3
El vector A = (3 , 0) s e d e sc o m p o n e en d o s ve cto re s B y C
paralelos a lo s ve cto re s < 2 r , -3r/2) y (p , -3p) respectivam ente,
A n á lo ga m e n te :
don d e r * 0 y p * 0. Hallar las longitudes de B y C.
(1)
P B = s (1 , 4) <=> B = (4 , 2) + s (1 , 4)
i
(2)
OK4.2)
(1) = (2) = * (2 . 5) + r (3 , 1) = (4 , 2 > + s (1 , 4>
Solución. S i B 11 <2r , -3r/2> => B = ^ <4 , -3> = s<4 , -3>
-2 = s - 3r
=
3 = 4s - r
c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1) <=>
C || <p . -3p> => C = p ( l , -3)
S i A = B + C «=* ( 3 , 0 ) = s<4 , -3) + p(l , -3) <=> -f 3 = 4s + P
L 0 = -35 - 3p
R e so lv ie n d o el siste m a o b te n e m o s :
c
7 j
, 1)
r= s = 1
C
Enton ce s, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) <=> B(5 , 6)
—¥
—>
—>
<=> A M = M B
R e so lv ie n d o el siste m a de e cu a cio n e s obtenem os, s = 1 y p = - I
J
r
E je m p lo
L u e g o : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1)
>
FIGURA 1.37
M e s punto m edio d e A B
L u e g o : B = (4 , -3) ■=> 11 B 11 = V(4): + (-3)- = 5
C = -<1 ,-3> = <-l ,3 ) => ||C II = V (-l)2 + (3)2 = V IO
c=> M - A = B - M => A = 2 M - B
■
=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c * A ( -l , 4)
P e s punto m edio d e C B
Ejemplo
8 J
<=> C P = P B => P - C = B - P <=> C = 2 P - B
>=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C (3 , -2)
E n la F igu ra 1.36 s e tiene
un e x á g o n o re gu lar c u y o
lado m ide a unidades. S i II V, II =|| V 2I| = || V 3||
= 11 V 4 11 = 11 V s 11 =
!
a , hallar 11S11, d o n d e . S =
Ejemplo
10
J
El punto P (-3 , 1) e s un vértice del rom bo P Q R S , tal que P Q =
(4 , 2) y el lado P S s e h a obtenido del lado P Q m ediante un giro
V 1 + V 2 + V J + V 4 + V 5.
de 6 0 9 en el sentido antihorario. Hallar los d e m á s vértices del rombo.
Solución. V, = V 4 y V 2 = V, p or se r p a ra le lo s y
Solución. S i a e s el á n gu lo de dirección del vector
de la m ism a m agnitud, dirección y
—
»
sentido. E n to n c e s : S = 2 V, + 2 V, + V £
P Q = (4 , 2 ), e n to n ce s , T g a =
o
4
i
= —
L
de d on d e s e tiene : S e n a = 1V5 y C o s a = 2/V5
FIGURA 1.36
T ra sla d a n d o e sto s vectores a un siste m a d e ejes
rectangulares (F igu ra 1.36a) se tiene
a (C o s
90°, S e n 90°) =
a <0 , I)
V: =
a (C o s
60°, S e n 60°) =
a (1/2 , V3/2)
V5=
a (C o s
180°, S e n 180°) =
Luego : S =
=
=> Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3 )
:
V, =
e s el vector de p osición del punto Q, por lo qu e : Q(1 ,3 )
P o r se r la d o s de un rom bo :
11 PS 11= 11 PQ 11 = V(4y + (2)2 = 2 V5
—>
S e a u un vector unitario en la dirección de P S c u y o á n gu lo
a (-1 , 0)
2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0 )
a (0 , 2 + V3> => 11 S11 = a(2 + \Í3)
S i P Q = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2)
de dirección e s a + 60°, e n to n ce s :
■
FIGURA 1.38
u = ( C o s ( a + 60°), S e n ( a + 60°)>
Cos(a + 60°) = Cosa CosftO" - Sena Sen60”= A )(4 ) ' (^=)(^r) = -jf (2- V3)
(1)
34
Capitulo 1: Vectores en el plano
S e n ( a + 60°) = S e n a C os60° + C o s a S e n 6 0 " = (J L ) (JL) +
Luego, en (1 ):
u = ( ^ ( 2 - V3) ,
^
=
b) A = (3 , 2 ) , B = (2 , 4/3)
(i + 2 V3 )
(1 + 2 \Í3 ))
35
EJERCICIOS : Grupo 6
2.
D e m o stra r que s i A Ü C , B i C y C ? t O
3.
D e m o stra r que p ara ve cto re s no n u lo s A , A , , B y B,
A
Ahora, si P S = 11 P S 11 u
=> S - P = 2>/5 ( y | ( 2
=> S
+ 2 nÍ3)>
2 + 2V 3 )
vértice S <=* S (-l - V3 ,
<=>R
II A,
<=> A l
, 1/2)
B
. B l l B , y A I I B «=* A ,||B,
4.
D e m o stra r qu e si A y B tienen la m ism a dirección y sentido e ntonces
5.
S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5 ), determ inar los va lo re s de m de m od o que
IIA + B ll
= (-3 , 1) + (2 - V3 , 1+ 2\Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>
e s el vector d e p osición del
C om o SR = PQ = (4 ,2 )
- V3) , ^y¡5
-(1
d) A = (4 , -2 ), B = (-1
=
II
A11 + 11 B 11
A y B s e a n paralelos.
- S = (4 , 2)
■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2\Í3)
P o r lo que : R (3 - \Í3 , 4 + 2V 3 )
6.
7.
S i A = (m , 5) + (3 , 3 ) , B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2 ) y A 11 B , hallar el valor de m.
D a d o s los ve cto re s A = (a , 3m ) y B = (-2m , b) , hallar a
+ b tales q ue A + B =
(8 , -4) y s e a A 11 B.
ejemplo
11J
S i M ( 1 1/2 , 7/2), N (8 , 6) . P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) s o n lo s p u ntos
8.
m ed ios de los la d os del trapecio A B C D y 11 DC11 = vT o , hallar
9.
los vértices del trapecio.
S e a n los ve cto re s A y B, tales que : A =
(a , 2a ) , A - B = (2a , p) , A
B y la
n orm a de A - B e s \ 112. Hallar la norm a de B.
El vector A = (x , y) e s paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/ \5 , y/\ 5) e s
un vector unitario paralelo a a m b os. H allar el vector A.
Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)
10. S e a n A y B d o s ve ctore s en R 2, tales que B e s el in ve rso aditivo de A. S i B tiene
U n vector unitario en la dirección de
el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2 B ,
de Q N e s
u=
QN
(6 ,2 )
(3 ,1 )
I I q n II
V3o
Vio
11.
Hallar la n orm a de la s u m a de los ve cto re s unitarios u y v . s i u
C o m o D C II Q N ==> D C = 11 D C 11 11 = ( 3 , 1 )
12.
L o s v e c to re s A y B s o n ta le s q u e A e s del m ism o se n tid o q u e B = (1 , 3) y
D P = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)
A
A
«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6)
13.
D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2 Q - D
A n á lo g a m e n t e :
F IG U R A 1.39
A M = M B c=> B = 2 M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)
P o r lo tanto, los vértices del trapecio s o n :
14.
15.
Determ ine si lo s sig u ie n te s p ares de vectores s o n paralelos. C u á le s tienen el
m ism o sentido y cu á le s sentido opuesto.
a) A = (-8 , -7 ), B = (32 , 2 8)
c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)
\.
m II m . a| tio ln r
Ov _ J
; U
hallar
el valor de 2
x - \ y
2
El punto P (2 , -3) e s extrem o del vector P R , el punto Q(1 , -2) alineado co n P y
Si A =
(a , b) y B = (1/2, - 4/3) so n d o s ve cto re s en R \ hallar a + b sa b ie n d o que
El vector C = (2 , -1) e s e x p re sa d o c o m o C = A + B , d o n d e los vectores A y B
s o n paralelos a X = (3m , 4m ) e Y = (-3n , -n), respectivam ente, sie n d o m # 0 y
n
6
Y
V40
11A11 = V73/3 y que A y B tiene se ntid o s op u e stos.
A(1 , 2) , B(10 , 5) , C (6 , 7) y D(3 , 6)
EJER C IC IO S : Grupo
_ / X
=
(-]==■,
V40
R, dista de P la quinta parte de 11 P R 11. Hallar R.
Ñ C = B N «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)
1.
A y v i B
sa b ie n d o q ue A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)
16.
17.
* 0. Hallar A - B.
D a d o s lo s vé rtice s c o n se c u t iv o s de un p a ra le lo g ra m o A ( 7 , -1) , B (-3 , 1) y
—>
C (-5 , 5 ); determ inar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD .
E n la F igu ra 1.40, s e a O la intersección de las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o
A B C D . S i O e s el baricentro del triángulo isó s c e le s A P D co n 11AP 11 = 11 P D 11,
—>
hallar el vector NQ .
36
Capítulo 1: Vectores en el plano
18. S i M (9 / 2 , -3 ), N (2 , 6 ) , P(-7/2 ,9 ) y Q(-1 , -1) s o n lo s p u ntos m e d ios de lo s la d o s
TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR
del trapecio A B C D y 11AD 11 = \ 52, hallar lo s vértices del trapecio.
19.
20.
S i A, B y C s o n ve cto re s en R J y r e R e s un escalar, e nto n ce s
E n la F igu ra 1.41, A B C D e s un cu a d ra d o de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cu a d ra d o
s e cu m plen las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s :
de lado a , si la norm a de D 'D e s a, hallar el vector B ’P.
I’E, : A • B = B • A
—>
S e a el triángulo A B C y s e a n M(1 , 9) y N (6 , 2) p u n to s m e d ios de los la d o s A B
P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B
—
►
—)
~>
—> ..
-> , i
C onm utatividad
A so cia tivid ad e sca la r
P E . : C • (A + B ) = C • A + C • B
y B C respectivam ente. S i A B M <1 , 1) y B C II <3 , 1), hallar lo s vértices del
Distribuidad
}
(A + B ) - C = A - C B * C
triángulo.
21.
37
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
P .E 4 : A - A = | | A | | -> 0
D a d o s los ve ctore s A =
el valor de a n +
(2a , 2 ) , B = (6 , n ) , C = (c , 3 n > , si A11 B I C, calcular
P .E C
c.
:
A
• A =0 «
A
M a g n itu d re sp e cto al producto e sca la r
=O
L a p ru e ba de e sta s p ro p ie d a d e s s o n m uy sim p le s, p or lo que d em ostrare ­
m o s la prim era y la cuarta, dejando c o m o ejercicio las d e m o stra cio n e s restantes.
la prim era propiedad, s e a n A = (a, , a,) y B =
P a ra d em ostra r
<=> A • B =
(bt , 6,)
a p t + a,b2 = b xa x + b,a^ = B • A
P a ra la cuarta propiedad, s e a A = (a, , a , > , e n to n ce s
A • A = <a, , a 2> • ( a , , a 2> = (a,)2 +
(a2)2
a 22)2 = 11A 112
= (Va,2 +
IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R :
S e a n A y B d o s vectores y A - B (el vector que v a de B a A). S i A e s
perpendicular a B , ocurre que la representación geom étrica de los vectores A , B
y
A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorem a de
P itá go ra s s e tiene que :
||a -
1.8 ) P R O D U C T O E S C A L A R D E V E C T O R E S
||2 = ||a ||2 + | I b I| j
b
=> (A - B ) • (A - B ) = 11 A 112 + 11 B 112
D a d o s los vectores A = ( a , , a,} y B = <6,, 6,), el producto e sca la r o interno de
, b 2> =
a p {+ a p :
( 10 )
I O B S E R V A C I O N E S 1.6
1.
*
a
-
a
*
b
-
b
*
a
+
b
-
b
= | I a ||2 + ||b I|2 (p
||b I|2
e
,)
(p e 4)
de d o n d e : -2 A • B = 0 ■=> A • B = 0
C o m o h e m o s establecido la condición de ortogonalid ad para A y B. e n to n ce s p o d e m o s dar la siguiente
definición.
El producto e sc a la r de vectores e s u na op e ració n cu y o resultado e s u na e sca la r
DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES
y no un vector.
P o r ejem plo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), e n to n ce s s e g ú n (10)
A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5
2.
a
= * I| a ||2 - 2 A * b + ||b ||2 = ||a I I 2 +
A y B s e denota por A • B y s e define p o r :
A • B = (a ,, a ) •
<=>
(P E J
S i A , B e R " , e n to n ce s
D o s vectores A y B s o n o rto go n a le s si y s ó lo si A • B = 0 (El
vector nulo O s e co n sid e ra ortogonal al cualquier vector)
S i e s el c a s o qu e A y B s o n a m b o s n o nulos, e n to n ce s s e dice que los vectores
s o n orto go n ale s y a n o ta re m o s :
A l
B <=> A • B = 0
(11)
38
Capítulo I: Vectores en el plano
39
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
P o r ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), e n to n ce s s e g ú n (10)
TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz
A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0
S e a n A y B ve ctore s en R 2 , e n to n ce s s e cum ple
C o m o A y B no s o n nulos, e n to n ce s A 1 B
DEFINICION 1.13 E l vector A x
P a ra c a d a vector A = (a, , a,) e R :, definim os un c o rre sp o n ­
diente vector A 1 e R 2 , que s e lee
ortogonal a A. m ediante
A 1 = <-a2 . a x)
(12)
II A II II B II
| = II A 11 II B II ^
1.
IA - B I <
2.
IA
-B
A||B
D em ostración.
1.
S i A = 0 ó B = 0 , e n to n ce s s e nota claram ente q ue el teorem a e s válido.
S u p o n g a m o s que A * O y B * O y c o n sid e re m o s la función p ara un núm ero r e R
/(r) = 11 A + r B 112 = (A + r B) • (A + r B )
y ocurre qu e / (r) > 0 , V r e R
G eom étricam ente el vector A x s e obtiene h a cie n d o
D e sarro lla n d o (1) n o s dá el polinom io de s e g u n d o grad o :
rotar el vector A, so b re s u punto inicial, un á n gu lo
/(r) = (B • B )r 2 + 2 (A • B )r (A • A)
de 9 0 a en dirección contraria a las a g u ja s del reloj.
E n efecto,
C om p le ta n d o el cu a d ra d o para r s e tiene :
± A x >=* A • A x = 0
A • A x = (al , a :) • <- a 1 , a )
= - a ta : + a :a { = 0
S e verifica lu e go que si
(1)
A
/(r) = (B - B ) r
n l '
'L
« ^ 5 1
(B -B )
r+
(B -B )¡J
- < * ! § > : ♦ (A • A)
(B -B )
= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B );
v
7V
B •B /
B •B
o- u
/ v
Si hacem os ( g = -
TEOREMA 1.7 D a d o s los vectores A = (al , a } y B = (b] , b ,),a m b o s diferentes
de O, s e tiene que :
A •B
,/ ,
=> / ( g = i ------------
(A • B )(B • B ) - (A • B ) 2/ox
-------
bT~¿
C o m o / (r()) > 0 y B * B = | | B | | 2 > 0 , implica que
A 1 B => A l l B 1
(A • A ) ( B • B ) - (A • B ) 2 > 0 =>
(13)
(A • B ) 2 < (A • A ) (B • B )
<=> I A • B |2 < 11 A 112 11 B 112
D em ostración. E n efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=>
S u p o n g a m o s que b{* 0
* o y
=> I A - B | <
b ,* 0
2.
I A - B I = 11 A 11 II B ||
P ro b a re m o s que
A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • ( b , , b2) =
a p x + a 2b2 = 0 <=> a, = -
a
h . a 2 , a 2) ' =
A =
i
A=
-f
b
Bx
M
a
A||B
« B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B
E n efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B ) 2 = 11A 112 11 B 112
2
P o r lo q ue :
s
|| A II llB | |
■=> (A • B ) 2 = (A • A ) (B • B)
<- b 2 , bt)
“i
Su stitu ye n d o en
=>
= r B x => A l l B 1
(2) ocurre que : / ( r j = ; A + r0B I = 0
A + r,B = A - ( A l | ) B =
0 => A = r B ^
A || B
P ro b a re m o s a h ora q u e si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I
TEOREMA 1.8 S e a n A y B d o s vectores en R :, a m b o s diferentes de O, entonces
A | | B <=> A • B x = A x • B = 0
(14)
E n efecto, si A 11 B ^
A = i B
Luego, I A • B I = I (r B ) - B | = |r(B - B ) | = I r I
II B I I 2
= lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B||
La demostración se deja com o ejercicio.
= l lAl l
II B ||
■
40
41
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
Capítulo 1: Vectores en el plano
c * (A + B) • (A - B ) = 0
TEOREMA 1.10 D esigualdad triangular
o
S e a n A y B vectores en R :, e n to n ce s
IIA + B ll <
II A
|| +
II B
A * A - A * B + B * A - B * B = 0
c * ||a ||2 -| | b ||2 =
||
^
o
Il A I I 2 =
Il A l l = II B II
M á s a ún : ||A + B|| = ||A|| + | l B | | s i y só lo si un vector e s un múltiplo e sca la r
no negativo del otro.
[
Ejemplo
j
3
D e m o stra r qu e : (A + B ) x = A 1 + B x
D em ostración. E n efecto :
Dem ostración.
11 A + B 112 = (A + B ) • (A + B)
= ||a I I 2 + 2 A *
b
+ ||b I| 2
E n ton ce s:
.
< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2
( A • B < |A • B |)
P o r la definición 1.12 :
A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2>
(A + B )x = <- a, - 6 ,, a, +
2|I A
11
II B II
b t)
= (r a 2, a l) + (-b 2 ,b l)
P o r la d e sigu a ld a d (1) del teorem a de Schw artz. s e sig u e que
11 A + B 112 < 11 A 112 +
(bt , b2)
E n efecto, s e a n : A = (a, , a,) y B =
+ 11 B 112
(A + B )1 = A 1 + B x
< ( l l A l l + 11 B 11 )2
Extrayendo la raíz cu ad rada en a m b o s m iem bros obtenem os lo d eseado, esto e s :
II a + b II í 11a 11 + IIb II
■
( Ejemplo
4 ]
D e m o stra r q ue si A, B y C s o n ve cto re s en R :, e n to n ce s el
vector V = ( B x • C ) A - (A x • C ) B e s paralelo al vector C.
D em ostración.
-í EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )
P o r el teorem a 1.8 s a b e m o s que A 11 B <=>A 1 * B = A * B J- = 0
=>
1
V x •C =
=
[ (B 1 • C ) A - (A-1 • C ) B ] 1 • C
[ ( B 1 • C ) A X - (A 1 • C ) B X] • C
(Ejem plo 3)
= ( B x • C ) ( A X • C ) - (A x • C ) ( B X • C )
E je m p lo
1 ]
P o r lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C
D e m o stra r qu e : | | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 + 2 A * B
D em ostración. E n efecto : 11 A + B
112 = (A + B) • (A + B )
(PE,)
I| 2 = ||a ||2 + ||b ||2 + 2 A *
b
[
Ejemplo
5 J
■
S i i = (1 , 0) y j
= (0
, 1), resolver la ecua ción
2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x
(PE,)
(PE,)
= A * A + B * B + 2 A * B
b
■
(P E 4)
= A • (A + B ) + B • (A + B)
= A *A + A *B + B * A + B * B
||a +
(PE,)
Solución. S e a el vector x = (x, , x 2) , e n to n ce s
( p e 4)
2( (1 / 2
,
6>+ (1 , 0>x -
= (0 ,
( x , , x 2> )
1>X
- 2( x,
, x /
c=> (1 , 12) + ( 0 , 2> - 2 ( x , , x , ) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x, )
=> (2 , 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,)
E je m p lo
2
D em ostración.
J
D e m o stra r que A + B y A - B s o n o rto go n ales <=> 11A11 = I ! B11
D e m o stra re m o s prim ero la ortogonalidad
E n efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B
I = * | | A | | 2 = ||b H 2
<=> ( 1 , 7 ) = (x + x , , x, - x ) <=> \
*
X| + X-’
1 7 = x, - x,
R e so lv ie n d o el sistem a de e c u a c io n e s ob ten e m os : x, = -3 , x, = 4
<=> IIa I|2-I| b I|2= o
x = (- 3 , 4)
•
■
=> (A + B ) • (A + B ) = 0
P o r tanto, s e g ú n (11), A + B y A - B s o n ortogonales.
A h o ra d e m o stra re m o s la igu ald ad de las m agnitudes.
E n efecto, por hipótesis , A + B y A - B s o n o rto go n ales
[ Cjemplo
6j
Sean A , B e
R:, d em ostrar
A + B e s ortogonal a A - B.
que si 2 A X
- B = 2 B X - A,
e nto n ce s
42
Capítulo I: Vectores en el plano
D em ostración.
E n efecto, si 2 A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2 (B X - A 1)
(1)
Ejemplo
10]
D a d o s tres ve ctore s unitarios a . b y c que satisface n la co n d i­
A p lica n d o el ortogonal a ca d a m iem bro de (1) s e tiene :
ción a + b + c = O. H allar el valor d e a * b + b * c + a * c
(A - B )1 = 2 (B X - A Y ; pero c o m o , (A + B )1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A
<=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de d ond e : 4 (A - B ) = 2 (A X - B 1)
S u m a n d o (1) y (2) o b te n e m o s : 5 (A - B ) = O
P o r lo tanto,
(2)
Solución. S i a + b + c = O >=>
=>
(a + b + c )2 = O-
c=> 11 a 112 + 11 b 112 + 11 c 112 + 2a • b + 2b • c + 2a • c = 0
«=> A - B = 0
(A + B ) • (A - B ) = (A + B ) • O = 0
43
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
(A + B ) _ L ( A - B )
■
C o m o a, b y c s o n unitarios >=>
i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a *c ) = 0
< = > a *b + b * c + a * c = - 3 / 2
E je m p lo
7 ]
Hallar la norm a del vector B = (- 3m , m), sa b ie n d o q ue ha sid o
d e sc o m p u e sto en el vector A = <- 5 ,3 ) y en otro vector paralelo
Ejemplo
11 ]
D a d o vector B
= (2
, 3) y la función f
■
:R:=* R /( P) = P •
B. El
vector A e s tal que / (A ) = -16 y A 1 1 C = (1,2). C a lcu la r 11A11.
al vector C = <1 , 1)
Solución. S i B = m(- 3 , 1> <=> I B 11 = I m I V(-3)2 + ( l) 2 = I m IV ÍO
(1)
Solución.
S i / (P) = P • B <=> /(A ) = A • B t=» A • B = -16
<=> A = r C = r ( l ,2 ) <=> 11 A 11 = |r| V5
A 11C
y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1)
A • B = -16 c=> r (1 , 2 ). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 ) = - 1 6
Multiplicando escalarm ente, ca d a m iem bro por (1 , l) 1 , s e tiene :
P o r lo tanto, en (1 ):
m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1>
(1)
r = -2
11A 11 = 2V5
■
<=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r ( 0 ) , de d o n d e : m = 2
P o r tanto, en (1), s e obtiene lo d e se a d o : 11 B
I = 2V k I
■
Ejemplo
12 J
D a d o s lo s ve ctore s A
=
(m , 3p) y B
=
<-2p , n) , calcular la
norm a de A - B 1 , sa b ie n d o q ue A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0.
E je m p lo
8^j
S i A = (-6 ,1 5), B = (-2 , 9 ) y C = <- 2 m , 3 m ) y s e s a b e q ue
X + Y = A , X II B e Y
,,
, .
.
.
.
m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8
K
^
L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4
.
r
II C ; hallar X • Y x
y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=>-m n - 6 p : = 0 <=> m n = - 6p:
Solución. S i X 11 B => X = t<-2 , 9 ), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3)
L u e g o si X + Y = A
„ ,
Solucion. S i <m , 3p) + <- 2p , n) = (8 , -4)
=> t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,1 5 )
(1)
U s a re m o s un m étodo m á s directo para calcular i y m.
t<-2,9> • < - 3 , - 2 > + m ( 0 ) = < - 6 , 15) • <-3, 2) »
t=
=1
Luego, en (1) y (2) ob ten e m os : m = 6 y n =
[Ejem plo
13
J
P a ra calcular m , m ultiplicam os escalarm ente la ecu ación (1) por (-2 , 9)x
t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • ( - 9 , - 2 )
=> m =
(2)
(3)
Su stitu ye n d o (1) y (2) en (3) s e tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de d on d e , p = -1
1, e n to n ce s , A = (6 , -3) y B =
P o r tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5\Í2
P a ra calcular t , m ultiplicam os escalarm ente la ecu ación (1) por <-2 , 3)x
(1)
S i a y b s o n vectores tales que 11 a 11 < 1
(2,-1)
■
y l l b l l < 1.d e m o stra r
que V t g [0 , 1 ] , 11 a + t (b - a) 11 < 1
D em ostración. E n efecto , si 11 a + t(b - a) 11 = 11 (1 - t)a + i b ! | ,e n to n c e s p or la
9~ -2) = 2
d esigu a ld a d tria n g u la r:
L u e g o , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = -24
■
l l a + t (b -a )| |
< 11(1 -t )a II + l l t b l l
=> 11 a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11 a 11 +
E je m p lo
~^T)
S i A + B + C = O y | | A l| = 2 , 1i B 11 = 5 , 11 C11= 8; hallar A - B
Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=>
A + B l
0<t<l
- l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l
P or hipó te sis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11 a 11 < I - 1 , co n t
= 11 -C 11
E le v a n d o al cu a d ra d o a m b o s m ie m bro s s e tiene :
11 b 11 < 1 <=> t | | b | | < t ,
||A||J + 2 A - B + | lB | | : = ||C||: c= > 4 + 2 A - B + 25 = 64
<=> A • B = 35/2
11 1 11 b 11
C o m o t e [0 , 1] , e sto e s , t > 0 => 111 = t ,
=> 11 - 11 = 1 - 1 ,
*
I
co n t * 0
P or lo tanto , en (1) p o d e m o s escribir
■
11 a + t(b - a) 11 < ( I - 1 ) + t <=> 11 a + t(b - a) 11 < 1
■
44
Ejemplo
Capítulo 1: Vectores en el plano
14
D em ostración.
J
45
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
D e m o stra r que si A + B = ( 11 B 11 , | | A | | ), e n to n ce s A e s
E F = 11 E F 11 (C o s 120°, S e n 120°) = 5 (-1/2 , V3/2)
ortogonal a B.
C D = 11 C D 11 ( C o s 240°, S e n 240°) = 4(-l/2 , -V3/2)
P o r hipótesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I | ) , e n to n ce s m ultiplicando
L u e g o : S = (3 , 0> + (-5/2 , 5V3/2) + (-2 , -2V3> = (-3/2 ,
e scalarm e nte ca d a m iem bro por si m ism o, s e tiene :
\Í3/2>
S • U = i (-3 , V3> • 2(1 , V3> =
-3 + 3 = 0
(A + B ) • (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) • (| | B | | ,| | a ||)
<=* 11 A + B
= * | | a ||2 + 2 A de d o n d e o b t e n e m o s :
Ejemplo
15 J
! : + I j A 11:
•' = 11 B
b
(P E 4 y Producto escalar)
+ |! b I|: = ||b ||- + ||a ||2
A -B = 0 o
A 1
B
-
■
D a d o s los vectores A y B tales que A - B * O , d em ostra r que:
l l Al l - IIB II
llA-B
<l
D em ostración. S i e scrib im o s ! A ! = || ( A- B) + B I , e n to n ce s por la d e sig u a ld a d
tria n g u la r: | | A | | < | | A - B | | + | | b | |
=> l l Al l - I I BI I < I I A - B l l
B
C o m o I ! A - B ; I e s positivo , e n to n ce s :
(1)
< I
A- B
Ejemplo
17 )
A n á lo ga m e n te si e scrib im o s : 11 - B 11 = 11 - B + A - A 11
y dado que
11 - B i I= 11 B 11 => l l B i l
<
<=> IIBII
II A - B || + | | -A
- II A || < || A - B
Multiplicando por -1 s e tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | |
D e (1) y (2) se s ig u e que : -1 <
A - B
^
Ejemplo
16
^
||
Solución. E n el A D E F : D F = D E + E F
||
<=> ^ A ^ - 11 B| I >
A- B
<1 o
B
A- B
^ (2)
/,/^ E
5
r
O
„= <ii^>
12
B >X
>
V.
13
FIGURA 1.45
E n to n c e s : D E = 3 u = ( y j . -j-^)
E F = "> u 1 = 2 /- — . — \ = /- —
—)
¿ \ 13 1 3 '
' 13 ’ 1 3 '
P o r lo tanto , en (1 ): D F = ( | | . | | )
Ejemplo
^
Solución. T ra sla d a m o s los se g m e n to s A B , C D y E F so b re un siste m a cartesiano
de m od o que s u s puntos iniciales coincidan co n el origen. E n to n c e s
A B = 11 A B 11 ( C o s 0o , S e n 0°) = 3 (1 , 0)
A
+ (-
, ||)
= (2 , 3>
IlÉ F il = 5
S i S = A B + C D + E F y U = ( 2 , 2v3> , hallar S • U
—
^ ^
F
A. 2
(1)
I l Ó A l l = V (5 )- + (12)’ = 13
—)
U n vector unitario en el sentido d e O A e s :
<1
vértices de un triángulo equilátero inscrito y los se g m e n to s A B ,
—>
—>
C D y E F s o n ta n g e n te s a la circu n fe re n cia ta le s q u e
IIC D ll = 4 ,
k
m o s e m uestra en la Figu ra 1.45. Hallar el vector D F
E n la F ig u ra 1 .4 4 , A . C y E s o n p u n to s c o rre s p o n d ie n te s a
_J|A B || = 3 ,
r
tra so b re un plano inclinado c o ­
= 11 (A - B ) + (-A) 11
<=> ||B||
. ,
U n triángulo D E F de e n c u e n ­
18J
E n la F igu ra 1.46 , m (<£ A B C ) = 9 0 - y 1 1 O B II = 3. Hallar el valor
de x , si :
x
=
ó b
-
ó c
+
ó a
-6
b
-
ó a
*6
Solución. E n la figura d ad a s e tiene : O C = O B + B C
c
46
Capítulo 1: Vectores en el plano
S i P S = P B + B S c=> P S = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4)
=> x = O B • (O B + B C ) + O A • Ó B - O A • (Ó B + B C )
- I | 6 b I|- + 6 b - bc + ó a *ó b - ó a *6 b - 6 a *bc
= 11OB 112+ BC • (Olí - ÓA) = 11<5b 112+ BC • ÁB
Como BC1AB c=* BC • AB = 0
.% x = 11 OB 112 = (3)2 = 9
47
Sección 1.8: Producto escalar de vectores
U n vector unitario en el sentido de P S e s : v = —
= <0 , 1)
E n to n c e s : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0>
■
Ejemplo
21 ]
FIGURA 1.46
E n la F ig u ra 1.49, A B C D e s
un cu a d ra d o y A B E un trián­
gulo equilátero. S i A (4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector
Ejemplo
19 J
e xtre m o s A (-6 , 1) y C (-2 , 8). S i lo s la d o s d e m a y o r longitud
tienen elm ism o sentido del vector S = (2
Solución.
V
S e a A B C D un rectángulo, u n a de c u y a s d ia g o n a le s tiene por
Solución. S i C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5)
, 1 ) , hallar lo s vértices B y D.
Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4
,7 )
= DE + AB
=> C A = (-2 , 14)
I I c a I I = V(- 2)2 + (14)2 = 10 V 2
S i Á B || S c=> Á B = r<2 , I>
II D A || = 11C A || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10
—)
U n vector unitario en el sentido de C A e s :
lie 11 S x => B C = t<-l , 2)
D a d o que : A C = A B + B C
■=> < 4.7 > = r<2, l ) + t < - l ,2 )
u=—
D e donde ob ten e m os : r = 3 y t = 2
—►
Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3 ), e n to nce s
B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4)
| | ¿ a ||
= — ’ l4 ^ = ¿ J - lI} ^
I0V2
5^/2
-^
„ í - ¿ L id }
FIGURA 1.49
5>/2
1
M e s punto m edio d e C A <=> M = -y (A + C ) = <5 , 2>
B (0 , 4)
M D = ||MD|| ir1 = 5^2
B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4)
(' 7 ’
5V2
= ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + ( - 7 , - 1 ) ^
D = (-2 , 1>
T a m b ié n : M = - ± - ( B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3>
Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6>
Ejemplo 20 ]
E n la Figu ra
1.48
, los triángu­
U n vector unitario en el sentido de A B e s : v = —
los O C B , P B S y R S T s o n to—)
d o s ellos sem ejantes. Hallar R T si P y R s o n p u ntos
—)
—)
m e d io s de O B y P S , respectivam ente.
11 P E 11 e s la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11 P E 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3
Solución. L a F ig u ra 1.48 m u e stra tres triá n g u lo s
L u e g o : P E = 11 P E 11 v 1 = 5 V J
llA B lI
10
= V3 <3 , 4)
rectángulos isó sce le s, en d on d e :
11 O B 11 = 4>/2 y
II S
i l = V (2 \'2 )2 + (2V2)2 = 4
U n vector unitario en el sentido de O B e s :
u=
J£^4>
V2
4^
y
• '
Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , B S = 2V2 u 1 = 2<-l , 1)
P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + \Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3)
D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4\Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3>
V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)
5
48
Capítulo I: Vectores en el plano
Ejemplo 22 ]
r
E n la Figura 1.50, A B C D
a) (A x)x = - A
Yi k
b) A 1 • B = - A • B 1
e s un trapecio, el A A D B
e s isó sc e le s ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C
Bo — —
e s rectángulo en D y tiene la h ip o te n u sa B C
/ ^
de longitud 10V2 unidades. S i el á n gu lo B C D
/
mide 3 7 9 (co n sid e rar T g 3 7 9 = 3/4), B (-2 , 4) y
—>
D (4 , -2 ), hallar el vector A C .
—
3 7 °V ^
4.
f
k X
Wy
<1 , - 1)
A y B tienen el m ism o sentido
D e d u cir de la d e sig u a ld a d triangular qu e si A y B e stán en R 2, e n to n ce s
A + B II
<11 A II + 11 B 11
V2
triangular)
D e m o stra r q ue si A y B s o n ve ctore s parale los en R 2 , e n to n ce s
| A - B | = 11 A 11 II B II
<1 . O
7.
E n el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 C o tg 37° = 6 \ 2 (4/3) = 8V2
S i A y B s o n ve ctore s en R 2 , d em ostrar que
a) l A - B ^ - l < || A II II B II
b) | A - B X I = II A || II B ||
8>/2 (
II
(S u g e re n c ia : escribir A = B - (B -A ) y aplicar la d e sigu a ld a d
6.
<6 , - 6)
6 -ñ
ux =
I «
I l l A l l - 11 B 111 £ II
J
FIGURA 1.50
II BD II = \'(6): + (-6): = 6V2
D C = 11DC 11
d) 11 A 1 11 = I I A
D a d o s lo s ve ctore s A y B en R : , d em ostrar que :
b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B
5.
A
u=
B
'° i
Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6)
Un vector unitario en el sentido de B D e s :
.
c) A 1 • B 1 = A •
a) A • B = - I I A || II B II <=> A y B tienen sentido o p u e sto s
D
V
49
Ejercicios de ¡a Sección 1.8
<=> A 1 B
) = 8 (1 , 1)
8.
S i D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6)
A = C , ni q u e A = O
B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1)
BC
U n vector unitario en el sentido de B C e s : v =
.
II B C II
2 < 7 ,1 )
< 7 ,1 )
_
5^2
10^2
El A A D B e s isó s c e le s , e n to n ce s : 11 A D 11 = 11 B D 11 = 6V2
D e m o s tra r m ed iante un co n tra e je m p lo q u e A • B = B • C no im plica ni que
9.
A •B
D e m o stra r q ue el vector V = B - „
. A , e s p erpendicular al vector A
IIA II2
10.
D e m o stra r q ue A + B y A - B s o n perpe n d icu lare s si y só lo si 11A 11
= 11B 11.
11.
S i A = <2 ,-3 ) , B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ) , hallar un vector unitario ortogonal al
vector V = 5 A - 3 (B + C).
y c o m o A D 11 B C => A D = 11 A D 11 v = 6V2
= j
<7 , 1)
12.
A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5)
A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5)
E J E R C IC IO S : Grupo
1.
13.
S i u y v son, ve ctore s unitarios y parale los , hallar la norm a de ir 1 + v
14.
S i a , b y a + b s o n vectores unitarios , hallar la norm a del vector a - b
15.
S i A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en d ond e x e s un núm ero real; hallar
la s u m a de los elem entos del conjunto M = {(x , y) I (A - C ) • B = A • C - 1}
7
S e a n A y B vectores en R :. Utilizando las p ro p ie d a d e s del producto e sca la r
S i A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3 ), hallar lo s v a lo re s de m tales que A s e a
perpendicular a B.
16.
S e a n A , B e R 2 , a m b o s unitarios, d em ostrar que 11
17.
S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3 m ) e s un vector unitario , hallar el valor
d e m o s t ra r:
A +
B 11
<1
de
11 m (u + 2 u 1) + 2 u 1 11
a) ||a +
b
||2 -| | a -
b) ||a +
b
||2 + ||a -
b
b
I|2 = 4 A *
b
||2 = 2 ( I |
a
I|2 + ||b ||2 )
18.
S e a n los v e cto re s A = <x , x + 4 ), B = < 5 x - 5 , x - 4). S i x > 0 y A • B = - 1 0 , hallar
la n orm a de A + B.
2.
D e m o stra r que los vectores A y B e n R ! s o n ortogonales, si y só lo si
11A
+ b
I|2=
||a||2 +
IIb ||2
19.
S e a n lo s vectores A . B y C tales qu e 11A 11 = V 2 6 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12.
S i A = B - C , hallar la norm a de C.
3.
D a d o s los vectores A y B en R : , dem ostrar que :
50
20.
Capítulo 1: Vectores en el plano
r
S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , h a lla r la s lo n g itu d e s de lo s v e c to re s
2 A - 3 B y 4 A + B.
21.
S e a n los ve cto re s A = <m2 - 3 , m - 1 ),
51
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores
B = (4/m2 , 4/m) , d o n d e m * 0 e s un
R ELA C IO N ES EN T R E V E C T O R E S
>
n úm ero real positivo. S i A y B s o n o rto go n a le s , hallar V = 9 B - 4 A
22.
S i ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1 ), resolver p ara x
3(-2 , -3)x + 1 [ x +
23.
S e a n lo s
f 1 . 9 ) AN GULO EN T R E DOS V E C T O R E S
\L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2 X 1
vectores A , B y C tales q ue A
S e a n A y B d o s v e c to re s n o n u lo s q u e tienen el m ism o o rig e n y s e a
,11B I i= 2 ^ 5 y
9e [0 , 7C] el m e n o r d e lo s á n g u lo s p o sitiv o s fo rm a d o p or s u s re sp e c tiv o s v e c to re s
= B + C , IiA
II
= 5
+ 1 ), d o n d e x
>0 y
si (A + B ) • C =
B * C = 1 0 ; hallar ||C ||.
24.
S i A = (2
de p osición norm ales, c o m o s e ilustra en la Figura 1.51. El teorem a siguiente m u e s ­
, x ) . B = <x , -2 x) y C = (x - 2 , x
tra c o m o calcu lar este á n gu lo m ediante el producto escalar.
A • B + 1 , hallar el vector V = A + B + C.
25.
H allar los va lo re s de m para que lo s ve cto re s
TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores
A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> s e a n paralelos.
26.
S i 0 e s el ángulo entre d o s vectores no n ulo s A y B, en to n ce s
S e a O A B el triángulo c u y o s vértices s o n O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0 ) y B = (0 , 6). S i
—>
—>
O M e s la altura relativa al vértice O, hallar el vector O M .
27. S e a el rectángulo A B C D
C o s 0 = ----- -----------11A 11 11B II
de áre a 4 8 u2 y c u y o s d o s vértices c o n se c u tivo s so n
A (-2 , 5) y B (2 ,1). S i la d iago n al A C tiene el m ism o sentido del vector v = < 5 ,1 >,
D em ostración. E n efecto , los ve ctore s A , B y
hallar los vértices C y D.
28.
S e a n A (3 , 2) y C (1 0 , 6) vértices o p u e sto s de u n a p arale logram o A B C D . S i s e
s a b e q ue
11 B D II = V5 y 111 B D 11 - 11 (-2 , 4) 111 = 11 B D + <2 , -4) 11,hallar
los
—)
—)
—>
E n el cuadrilátero P Q R S , s e a n a = P Q , b = Q R , c = R S y
si s e s a b e que : 11 a +
30.
b 11 =
32.
7,
||c|| =
3y
||di|
d
—>
= S P . Hallar
y \
11A 11 , 11 B 11 y
c • d,
= 5
'
u e s un vector unitario y A . B s o n ve cto re s cualesquiera, dem ostrar que :
(A • u )(B • u) + (A • ux)(B • ir 1) = A • B
( S u g e re n c ia : co n sid e ra r u = ( C o s a , S e n a ) . A = (a} , a 2) y B = (b, , b2) )
-4
S e a A (6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . S i A B tiene la m ism a dirección y
—>
sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido qu e el
vector (3 , 4) tal que 11 A B 11 = 3 \ 5 y 11 A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M e s
V 8
\
/
U s a n d o p ro p ie d a d e s del producto escalar, p o ­
O
-----------------------i b
A
FIG U R A 1.51
d e m o s reescribir el prim er m iem bro co m o
11A - B 112 = (A - B ) • (A - B) = (A - B ) • A - (A - B ) • B
b) C = (A • B)BL - ( A 1 • B )C
Si
\
* y
y
|| A - B 11.
| | A -B | | 2= ||A||2 + ||B||2-2||A ||||B||C os0 (1)
S i A = (-3 , 5) y B = (4 , -3 ), hallar la norm a del vector C , s i :
a) C = (A + B ) • (A - 2 B ) B X
31.
triángulo c u y o s la d o s m iden
P o r la ley de lo s c o s e n o s , te n e m os
vértices B y D.
29.
r
la diferencia A - B form an un
= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a | | 2 - 2 A * b +
I| b II2
que sustituido en (1) n o s lleva a
| |a||2 - 2 A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b li c o s e
Cos 0 =
A »B
(15)
Il A ll I I B I I
I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11
en la forma
la m ed ian a del triángulo trazada d e sd e el vértice A.
A •B = I A
B :¡ C o s 0
obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.
(16)
52
Capítulo 1: Vectores en el plano
53
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores
Solución. S i (A - B ) 1 A => (A - B ) • A = 0
EJEM PLO S ILU STRA TIV O S^
=> A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112 = A • B
U s a n d o la form a alternativa del producto e sca la r te n e m o s :
|! A 11 - = 11 A 11 || B || C o s 30° «=> I I A II = I I B || C o s 30
Ejemplo
1
J
Hallar el valor del á ngulo qu e form a el vector
A que
v a de P (4 ,
P o r lo qu e :
4^3 = 11 B
I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8
■
5) a Q (6 , 4), con el vector B que v a de S (-3 , 1 ) a T(-2 , -2).
Solución. A = P Q = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5> = (2 , -l> => || A i | = \ 5
Ejemplo
5
J
L o s ve cto re s A y B form an un á n gu lo de rc/6 radianes. S a b ie n ­
d o qu e 11 A11 = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el á n gu lo entre los vecto-
B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ
res U = A + B y V = A - B.
L u e g o , por la fórm ula (1 5 ):
Cos 8 =
* 11 ’
(V5)( nOÓ)
= 1±J
5V2
= _L
V2
Solución.
E n c o n se c u e n c ia , 0 = 45°
H a cie n d o u s o de la fórm ula (16) te n e m o s :
A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2
■
U • V = I | U II II V i l C o s 0
= * (A + B ) • (A - B ) = 11 A + B 11 11 A - B 11 C o s 0
Ejemplo
2 j
Hallar el norm a del vector D , sa b ie n d o que A y -B form an un
á n gu lo de 6 0 9 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5.
‘
■=> 11A 112 - 1 1 B 112 = V 11A + B 112 11 A - B 112 C o sQ ____________________
^
Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |
(V 3)2 - ( l) 2 = n/( 11A 112 + 2 A • B + 11 B 112) ( 11 A 112 - 2 A • B + 11 B 112) C o s 0
c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C o s 0
=> IId || 2= | | a | | 2+ 2 A - b + | | b | | 2
de d on d e :
C o s 0 = 2/V7 => 0 = are C o s(2 / V 7 )
■
Ahora, u sa n d o la form a alternativa del producto e s c a la r , s e tiene :
IId ||: = | | a II: + 2| | a ||
11b 11 C o s 0
+ | | b || 2
i
= (3 )2 + 2 (3 )(5 )(l/ 2 ) + (5 )2 = 49
II D || =7
Ejemplo
6
J
■
L o s ve c to re s A . B y C fo rm a n
sa b ie n d o que [ I A
11 =
4 , 11B
I
dos a
d o s un á n g u lo d e 6 0 9 ,
!I
= 2 y
C 11
= 6 , deter
norm a del vector V = A + B + C.
C alcu lar A • B. d on d e A y B
Solución.
i= > | | v
s o n v e c to re s de la F ig u ra
C
||2 = ||a ||2 + I| b ||2 + ||c I I 2 + 2 A *
|2
b
+ 2 A *
c
+ 2B*
c
C om o el á n gu lo entre lo s vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, e n to n ce s
1.52, para lo s cuales. 11 A 11 = 4 y 11 B 11 = 2\\3
S o lu c ió n .
S i V = A + B + C <=> ||V||2 = | ÍA + B +
S i 0 e s el á n g u lo q ue form an a m b o s
1IvI|2= ||aI|2+ | | b| | 2+ | | c | | 2+ 2(IIa|| 11b11 +I|aII 11c114-11bII IIC11) Cos60°
= 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100
vectores, e nto n ce s :
I I V I I = 10
■
0 = 90°- (12°+ 18°) = 60°
Luego, h acie n do u s o de la fórm ula (16) s e tiene :
A *B = | |
a
|| I I b II C o s 0 = (4) (3 V 3 )C o s 60°
A • B = 4V3
Ejemplo 7
J
L o s vectores A y B tienen igual longitud y form an un ángulo de
60®. S i la longitud d e A + B e s 4 u n id a d e s m ayo r que la longitud
■
de uno de ellos, hallar la longitud de A.
Ejemplo
4 J
Solución.
L o s vectores A y B form an entre si un á n gu lo de 3 0 9 y la norm a
de A e s \4 8 . Hallar la norm a de B sa b ie n d o que A - B e s p er­
p endicular al vector A.
Si
A -B
=||A|| ||B|| C o s 0 y 11 A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11 A 11 -(1)
A d e m á s :||A +
||a ||2 + 2 A *
b
B|| = 4 + 11A 11 , e le va n d o al cu a d ra d o s e tiene
+ ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112
54
Capítulo J: Vectores en el plano
T e n ie n d o en cuenta (1) , resulta que:
d e d on d e : H
a
I|2 - 4 | | a I| -8 = 0
Demostración.
3 I I A I I 2 = 16 + 8
«
55
Sección 1.9: Angulo entre dos vectores
(<=>)
P ro b a re m o s prim ero que ¡ ' A + B
i =1
E n efecto, p or h ipó te sis 0 = 120° e s el á n gu lo entre los vecto­
11 A 11 = 2 ± \ 4 + 8
res A y B. E n to n c e s :
/. II A || = 2 + 2^3
| | a II2+ IIb I|2+ 2 A * b
= IIa II2+ I| b | | 2 + 2|I a II I I b I I
l l A + B ||2 =
C jc m p lo
8
)
S i el vector A = <-\ 8 , \5 0 > gira
C osG
= 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1
4 5 s en el sentido horario, s e
11A + B 11 = 1
determ ina el vector B = (x , y). Hallar x + y
(<=)
D e m o stra re m o s a h o ra q u e A y B form an un á n gu lo de 120°
Solución. C o m o ||B|| = ||aI| <=> V x : + y ’ = \ 8 + 50
E n efecto, por hipó te sis : l l Al l = | | B| | = | | A + B
S i 11 A + B 11: = 1 «=> 11 A 112+ 2 A • B C o s 0 + 11 B 112 = 1
c=> x : + y 2 = 58
S i:
■=> (1 )2 + 2 11 A 11 II B II C o s 0 + ( I ) 2 = 1
1 + 2(1)(1) C o s G + 1 = 1 => C o s G = - 1/2
V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y)
A- B
C o s 45° =
Il A l l I I B I I
(\5 8 ) (V58)
de donde obtenemos : y = - i (2x + 29)
(2;
FIGURA 1 53
Cjemplo
11
que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3
[
Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego,
en (2) se tiene : y = 7
hallar lo s vectores A y B.
x + y = 10
■
]
S e a n A y B ve ctore s en R 2 , A e s un vector unitario, la su m a de
los c o m p o n e n te s de B e s 31 y el m áxim o valor de A • B e s 41;
Solución. S e a n lo s ve cto re s
A = (x, , y,) y B = < x , , y,>
S i A - B = 11 A11 ||B|| C o s 0 , y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [ - 1 , 1 ] , el valor
[ Ejemplo
de A • B se rá m áxim o c u a n d o C o s 0 = 1 , lu e go :
E n el c u a d r a d o d e la F ig u ra
A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2 + y,2
1.54, el lado m ide a unidades.
Hallar el valor del á n gu lo 0, si P y T s o n p u ntos que
A d e m ás,
trisecan los la d o s del cuadrado.
Su stituye nd o (2) en (1) s e tiene :
Solución. C o m o P y T s o n p u n to s de trise cc ió n ,
de d on d e o b te n e m o s :
en to n ce s : O P =
P or lo que,
(a , a/ 3) y O T = (al3 , a)
S i C osG = — = P P
OT
<=> C o s 0 =
2a 73
(a^W 3)-
FIGURA 1.54
Cjemplo
^
tores e s de 1 20 9
41 = Vx,2 + (31 - x,)2
x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9
ó y, = 40
<=>
B = <40 , -9)
ó
B = <-9 , 40)
1
(3)
4 0 x ,-9 y ,= 4 l
(4)
9x, + 40y, = 41
(5)
D e (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 )
!
10 j
(2)
■
5
0 = are C o s (3/5)
ejemplo
(1)
y, = 31 - x 2
y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 =>
(a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3
IIOPlI IIOTlI
y, = 9
^
D a d o qu e el vector A e s unittario e n to n ce s :x,2 + y,2 =
L u e g o : 11 OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f \ K)
OP • ÓT =
x, + y, = 31
12
’
J
S e a n A y B y C v e c to re s en R J. S u p o n e r q u e 11 A 11 = 1 ,
11 B 11 = 1 y l l c l l = 4 . S i 11A - B + C 11 = 11 A + 2 B + C 11 y el
S e a n A y B vectores unitarios en R :. D e m o stra r q ue la s u m a e s
á ngulo entre A y B m ide 4 5 9, hallar el c o se n o del á n gu lo entre vectores B y C.
un vector unitario si y só lo si el á n gu lo form ado por d ic h o s v e c ­
Solución. S i A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s 0 = *
A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2
D e sarro lla n d o lo s c u a d ra d o s I! A - B + C |: = l ¡ A + 2 B + C l | 2, tenem os:
Capítulo I: Vectores en el plano
56
||A||2 + H
b
||2 + ||C||* + 2 ( - A ’ B + A - C - B - C ) =
U n vector unitario en la dirección y sentido A N e s
M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2+ 2 ( 2 A Sim plificando s e tiene :
E je m p lo
13^
b
+
*
a
c
+ 2B*C)
v= j M - ü =
IIa n II
||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0
= * (1)2 + 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s 0 =
57
Ejercicios de la Sección 1.9
=> C o s 0 = - 1 +- V-2
O
• Coq0 =
■
=> V = ir v II v = (4VÍ3)
2\^3
U •v
II U l I
E n la Figu ra 1.55 , O A C B e s un pa-
_
1.
el c o se n o de 0.
=2(7,V3>
12(1 ,-2>/3) » < 7 ,V 3 ) _ j _
||V il
a/T3(6)
(4VT3)
EJE R C IC IO S : Grupo
ralelogram o. S i O C = (5 , 3 ) , B A =
—)
—)
(-3 , 9) y 0 e s el á n g u lo determ inado por O A y O B 1 , hallar
2V13
"2 6
8
Hallar la m edida del á n gu lo entre los vectores A y B, si A va de P(2 , 5) a Q (4 , 4)
y B va de S ( 3 , -2) a T (2 , 1).
Solución. S i B A = <-3 , 9} => A - B = (-3 ,9 )
(1)
—)
—)
—>
—)
—^
O C = O A + A C , pero co m o A C = O B , e nto n ce s
2.
O C = O A + O B = A + B <=> A + B = (5 , 3> (2)
3.
D e (1) y (2) o b te n e m o s :
—)
—>
S i A B C e s un triángulo tal q u e A C = (4 , 1 ), A B = (-4 , -3 ), hallar el c o se n o del
á n gu lo que form a el vector B C co n el vector unitario j = (0 , 1).
“4
-4
E n un triángulo A B C s e tiene : A C = <-2 , 4) y A B = <3 , -1). Hallar el á n gu lo que
—>
form a el vector B C co n el vector unitario ¡x.
A = <1 . 6) , B = <4 , -3) -=> B x = <3 , 4)
c o s8 =
4.
E n un triángulo A B C s e tiene : A B = (2V6 , 2 \'2 ) y A C = ( \ 6 , -V2). Hallar la
—)
m edida del á n gu lo form ado por B C y el sem ieje positivo de la s a b sc isa s.
5.
E n un plano cartesiano, los puntos A ( r , s ) , B(na + r , nb + s) y C (-m ¿ + r , rrw + s)
A ' B1
=
< ' - 6 > ' < 3 ' 4>
= -2 L
II A || II B ||
(Vi + 3 6 ) (V9 + 16)
5V37
s o n diferentes del origen y m ^ O . n ^ O . Hallar la m edida del á n gu lo form ado
Ejemplo
14j
En el paralelogram o A B C D
de la F igu ra 1.56, s e
por lo s ve cto re s A B y A C .
tie­
6.
ne: ||ÁB II = 6 , I I A D II = 4 , m (< A ) = 6 0 9; M y
N so n p untos m e d ios de los la d o s A B y B C ,
7. C a lcu la r A • B . d on d e A y B s o n los vectores
respectivam ente. Hallar C o s 0 , s a b ie n d o que
d e la F igu ra 1.57 , p ara lo s cuales: 11A11 = 8
II U || = 6 y II V11 = 4 V l3 .
y IIB | | = \ 7 2
Solución. A D = 4 < C o s6 0 ° , Sen60°) = 2 ( 1 , V3)
m an un á n g u lo de 15 0 9 y q ue , 11 A11 = \!48 y
FIGURA 1.56
9.
D M = A M - Á D = (3 , 0) - <2 , 2^3) = (1 ,_-2V3>
V l3
A
(J
L o s ve cto re s A y B form an un á n gu lo de 609,
FIGURA 1.57
sa b ie n d o qu e ||A|| = 5 , | | B | | = 8 , hallar
U n vector unitario en la dirección y sentido de D M e s :
11 D M 11
Yi k
B
II B II = 6
Luego, A M = i - Á B = (3 , 0> y B N = -y A D = <1 , \ f3)
O . - 2V3)
r
8. C a lc u la r 11 A + B 11 s a b ie n d o q u e A y B for­
Á B = 6 ( C o s O ° , SenO°> = 6 ( 1 , 0 )
DM
H allar el á n gu lo que form an el vector A que va de P(-1 , 3) a Q (6 , 4) con el
vector B q ue v a de S ( 5 , -1) a T (2 , -5).
I I A + B l l y | | A - B ||.
u=
yíl3
A n á lo ga m e n te : A N = A B + B N = 6 (1 , 0) + (1 , V3> = (7 , V3)
l
2V3>
10. S e a n A , B y C ve ctore s diferentes de O, y su p u e sto q u e el á n gu lo entre A y C
e s igual al á n gu lo ente B y C, p ara qu é valor de t e s el vector C p erpendicular al
vector D = II B || A + tB.
Capítulo l: Vectores en el plano
58
11.
L o s v e c to re s A y B fo rm a n un á n g u lo d e 1 2 0 9, s a b ie n d o q u e i í A ! I = 3
11
12.
y
Sección 1.10: Descomposición de vectores
23.
U = (A • C ) B - (A • B ) C
Q u é condición d eb en satisfacer los ve ctore s A y B para qu e el vector A + B
El vector A = (x , y) s e obtiene giran d o 6 0 9 al vector B = <-2 , 4 ) en el sentido
S i l l A l l = a y l l B | | = ¿?, d em ostrar que el vector
C =
+
a +b
, b ise c a el
[1.10 ) D E S C O M P O S IC IO N D E V E C T O R E S ____________________
n/3 rad iane s , y la norm a de s u diferencia e s 2 - m ; hallar m.
T re s vectores A , B y C e R : satisface n las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s : I ! A !! =
I I C l l = 5 , 11 B 11 = 1 y 11A - B + C 11 = 11 A + B + C 11. S i el á n g u lo q ue form an
A y B es
17.
D e m o stra r qu e si A y B s o n ve ctore s de igual longitud e n to n ce s el vector A + B
S e a n A y B d o s vectores no n u lo s tales qu e 11 A ■I = I i B 1 1 = m. S i el á n gu lo
entre A y B e s
16.
24.
b ise c a el á n gu lo entre A y B y q u e A - B e s ortogonal a A + B.
án gu lo form ado por A y B.
15.
n/8 , hallar el que form an B y C.
S e a n los ve ctore s A y B en R J. S i d e sd e un punto de vista geom étrico un
vector V del plano p o d e m o s expresarlo, en form a única, c o m o un a s u m a de c o m p o ­
nentes vectoriales r A y tB , q u e s o n m últiplos e sc a la re s de A y B : e n to n ce s s e dice
que s e ha efectuado un a
riales parale los a los ve ctore s A y B (F ig u ­
el á ngulo entre b y c m ide 6 0 e, graficar el vector a + 2 b - 3 c y calcular s u
ra 1 .5 9 ), esto e s :
V = r A + tB
E n el p aralelogram o A B C D de la Figura 1.58
El conjunto p = { A , B } s e llam a b a s e de R :,
s e tienen : |i AB11 = 3 , 11 A D 11 = 6 , m (< A ) =
para c a d a vector V e R :, y lo s n ú m e ro s r y t
6 0 9 , P y Q s o n p untos de trisección de los
s e llam an
la d os A B y B C respectivam ente. Hallar C o s 0
sa b ie n d o q ue 11 U 11 = 4 \ 7 y 11 V 11 = 3 \ 19
19.
descomposición del vector V en s u s c o m p o n e n te s vecto­
D a d o s los vectores unitarios a , b y c tales que el á n gu lo entre a y b m ide 3 0 9 y
longitud.
18.
, V = (A • C ) B - (B • C ) A
D e m o stra r q u e si U y V s o n perpe n d icu lare s , e n to n ce s : C o s p = C o s a C o s y
horario. Hallar el vector A.
14.
L o s á n g u lo s entre los ve cto re s no n u lo s B y C , A y C , A y B s o n a , p y y
respectivam ente , y los ve ctore s U y V están definidos co m o
B 11 = 5 , d e te rm in a r, 11 A + B 11 y 11A - B 11.
bisecte al á n gu lo form ado por los vectores A y B.
13.
59
D a d o s tres vectores no nu lo s en R : , A , B y
componentes escalares de V en
relación a la b a s e p.
S i ocu rre q u e lo s ve c to re s A y B s o n u n i­
tarios y o rto g o n a le s e n to n c e s al co njun to
{ A , B } s e le llam a
conjunto ortonormal.
C. S u p u e sto que el án gu lo q ue form an A y C
e s igual al que form an B y C. D e m o stra r que
C e s ortogonal al vector 11 B 11A - 1 A
20.
B.
L o s ve ctore s A y B form an entre si un á n gu lo de 6 0 9 y el m ód u lo de A e s 6.
Hallar 11 B 11 para que A - B form e co n A un á n gu lo de 3 0 9.
21.
S e dice q ue u na b a s e p e
R* e s un a
base ortonormal si el
conjunto de ve cto re s A y B qu e la constituyen e s un conjunto ortonormal. A sí, la
b a s e p = { A , B } e s una b a s e ortonorm al si ocurre que :
L o s vectores A y B form an un á n gu lo de 3 0 9 . 11A 11 = v 3 y 11 B 11 = 1. Hallar el
á n gu lo que form an los vectores A + B y A - B.
22.
Definición 1.14 Bases ortonorm ales
A •B = 0 ó A •A = l
^------------------- —________ _ _________________________
El punto A (4 , 2) e s un vértice de un trapecio isó s c e le s A B C D , c u y a s b a s e s A B
Por ejem plo , c o n s id e r e m o s el conjunto de ve c to re s { A , B } , d o n d e A =
y C D m iden 10V5 y 4 \ 5 u n id a d e s respectivam ente. S i A B e s paralelo al vector
<4 , -2) y B = <3 , 6). E ste e s un conjunto ortogonal (A • B = 0) y e s por lo tanto una
U = (1 , 2) y el lado Á D e s paralelo al vector V = (-2 , 3 > , hallar los otros vértices
b a se de R :. S in em bargo, n o e s b a s e ortonormal, p u e s lo s vectores A y B no s o n
del trapecio.
unitarios. P a ra obtener un a b a s e ortonorm al b astará
A s í , si
normalizar los vectores A y B.
Sección 1.10: Descomposición de vectores
Capítulo 1: Vectores en el plano
60
A
|| A || "
<4, -2)
<2, -1)
VJ6T4
V5
u _
B
2
I I B ||
’
_
(3 ,6 )
E n el ejemplo anterior s e vió que p = {u,, u ,} , d on d e
= (1 , 2)
V9 + 36
(2 , -1)
u = - — --V5
V5
e n to n ce s el conjunto { u |f u,} constituye u na b a s e ortonorm al en R :.
-v
V
(1 , 2)
- - -
U =
2
V5
e s una b a s e ortonorm al en R 2. E sc rib a m o s el vector V
Indudablem ente existen m u c h a s b a s e s ortonorm ales en R 2, sin em bargo,
= (5 , - I) en térm inos de esta
base. P o r la e cu a ción (1 8 ), s e sig u e qu e :
u na b a s e ortonorm al de sin g u la r im portancia lo constituye la b a s e form ada por los
V = (V • u () u, + (V • o,)
ve cto re s unitarios orto go n ale s ¡ = (1 , 0) y j = (0 , 1). A sí, fijada la b a s e (3 = - i , j >,
llam ada
61
u
base ortonormal canónica, ca d a vector V = (x , y) en R*. de origen O, s e
=
escribe en térm inos de esta b a s e co m o
V = xi + yj
( f
= 4 « , V5 1
E n efecto :
- i «,
>¡5
'
Tam bién, todo vector V e R : s e p ued e e xp re sa r co m o una s u m a de múlti­
V = (x , y) = <x , 0) + <0 , y)
plos e sc a la re s de ve ctore s o rto go n ales no n u lo s que no s e a n unitarios.
= x < I , 0) + y <0 , 1)
= xi + yj
En efecto , si
expresión analítica del vector V, en la
cual lo s n ú m e ro s x e y s o n s u s componentes
escalares y los ve ctore s xi e yj componentes
vectoriales (Figura 1.60)
B
u = —— -
que e s la
y
B1
r i
= —-----— = —— —
ux
I I B II
I I b -HI
v = ( v *—
—
, e n to n ce s en (18) s e tiene
II B II
+ ( v » - B X) —B1 .
[ II B I K I I B | |
\
IIbIIMIbII
que equivale a :
—
\
D efinición 1.15 COMUINACION LINEAL DE VECTORES_____________________
(19)
S i (3 = { A . B } e s una b a s e de R 2, e n to n ce s de dice qu e c a d a
vector V e
R 2 e s una
combinación lineal de los ve ctore s de p , si existen los
n ú m e ro s s y t e R , tales que
EJEM PLO S ILUSTRATIVOS 1
V = s A + t B
v _______________________________________ __________________________ :----------------------- y
S e g ú n e sta definición , si la b a s e p e s ortonormal, todo vector V e R 2, p ued e
e x p re sa rse m ediante u n a y só lo u na co m b in ació n lineal de un par d a d o de vectores
unitarios orto go n ales u y
u ±. E s decir, existe u n a y só lo un a pareja d e e sc a la re s s y
(
fjcm plo
1
t tales que
)
D a d o los ve ctore s V = (-2 ,2 ) y B = < 3,1 ), e xp re sa r V c o m o una
co m b inació n lineal de B y B 1.
V = s
u + t u1
(17)
L o s e sc a la re s s y t p u ed e n ca lcu la rse fácilm en­
Solución. S i B = (3 , 1) ■=> B x = <-1 , 3) y 11B 11 = VTo
Luego, si a p lic am o s la e cu a ción (19) ob te n e m o s :
u y
V • u x , p u e s si u • u 1 = 0 y u • u = u 1 • u 1 = 1,
te to m a n d o lo s p ro d u c to s e s c a la r e s V •
v "
2)
10<3'
0 )
(3 ■ ')
*
( <-2'
2> 1
0
' 3>) <-' ■3>
e n to n ce s en (1 7 ):
V • u = s ( u • u) + t(u1 • ti) *=> s = V • u
V •u1
^
= s ( u • u x ) + t(u 1 • u 1) => l = V • u 1
L u e g o , en (17) s e tiene el siguiente resultado
[ V = (V » u)u + ( V - u > x)
(18)
v = (:ÍL ¡ Í Í ) < 3 ' 0 +
C o m p ro b a c ió n : V = (- y
FIGURA 1.61
, - y ) + (- —
<-• • 3> = — ) = (-2 , 2)
<3 • I> + y < - l .3 )
■
Capítulo I: Vectores en el plano
62
Ejemplo
2 J
E n la Figura 1.62 s e tiene
:
f p l l O X y | | Ó P II = 8
Sección 1.10: Descomposición de vectores
A = 11 A 11 (C os60° , Sen60°) <=* A = <1 ,
n/3)
S i C = (0 , 8 ), los e s c a la re s de C = m A
+ nA1
—>
—>
—►
S i O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor m n.
m = C-A
(2)!
'
L a s co m p o n e n te s de O T s o n (x , x ) , p u e s
IO B S E R V A C I O N
u s a re m o s la e cu a ción (19) para calcular lo s e sc a la re s m y p , esto e s
Ó T 'Ó P 1
1 1 A 112
(2)’
■
V = s A + tB
(1)
S i ocurre que los ve ctore s A y B no s o n ortogonales, los
4(1 , 1) » 4 ( - l , V 3 ) _
}
1
mn
e sc a la re s s y t pueden
B • B 1 = 0 , e n to n ce s en (1) s e tiene :
8
A . A 1 = 0 + t B • A x c=> t =
Por co n siguie n te en (1) :
3 J
’
■ (-V5 . I) _ ,
ca lcu la rse to m a n d o lo s p ro d u cto s e s c a la re s V • A 1 y V • B x , p u e s si A • A x = 0 y
(4\/3 + 1): •
Ejemplo
C - A 1=(0 , 8)
p ued e e x p re sa rse de m ane ra única co m o
C o m o Ó T está e x p re sa d o c o m o u n a co m b in ació n lineal de ve cto re s orto go n ale s ,
(4V3 + 1y
son :
1.7 S a b e m o s , p or la Definición 1.15. q u e cualquier vector V e R 1
=> Ó t = <4 ,4 ) = 4(1 , 1)
4(1 , 1> * 4(^3 , 1)
A x = (-V3 ,l>
m - \ 5 n = 2V3 - >Í3(2) = 0
y = x. La ordenada de P e s y = 11 O P 11 Sen30° = 8(1/2) = 4
11 O P 112
y
= <0.8> • <1 .V3) = 2 = .
11A 11 -
Solución. Ó P = 11 O P 11 < C o s 3 0 ° , Sen30°> = 4 ( V J , 1>
ÓT •ÓP
63
V -A^
B • A1
;
V • B 1 = 0 + s A . B x ■=> s =
j^V = ( a T § x ) A
+
_¥_!_B^
A •B1
[ q ‘~ ^ i ) B )
(2 0 )
E n la F igu ra 1.63 s e tiene lo s
ve c to re s A y B c o n 11A 11 =
f
' y4
2 \3 . S i B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t.
[
Ejemplo
5 j
E n la Figura 1.65 s e m uestran los
Solución. A = 11 A 11 (C o s 60° , S e n 60°) = (V3 , 3)
vectores A, B y C, donde 11 A 11 =
L a s co m p on e n te s de B s o n ( - y , y ) , p u e s
á\
y = -x y c o m o y A = y B = 3 , e n to n ce s B = <-3 , 3).
Luego, u sa n d o los e sc a la re s de la ecu ación (19) ten­
£
3 , 1! B || = 2 , 11 C 11 = 6 y a = 3 0 9. S i C = m A + n B ,
.
J
V
FIGURA 1.63
d re m o s :
hallar m + \3 n .
Solución. L a s co m p o n e n te s de lo s ve ctore s m ostra ­
dos s o n :
s =
t=
B •A
<-3 , 3) • <V3 , 3>
11A 11;
(V 3 T 9 y
B •AJ
(-3 , 3) • (-3 . n/3)
3 -V 3
4
3 + V3
(V3 + 9 ) :
A = (3 , 0> , B = 2<C os 30° , S e n 30°) = <V3 , 1)
}
y C = 6 (C o s 120° , S e n 120°) = <-3 , 3>/3)
Si C = m A + n B , lo s e sc a la re s m y n lo ob ten e m os a
m =
C * BX
A -B 1
Ejemplo
4 ]
= (-3 .3 V 3 ) • (-1 ,V 3 ) = 3 + 9 =
( 3 . 0 ) • <-1 , V3>
*3
m + \3 n = 5
S e a n lo s v e c to re s d e la F ig u ra
n =
1.64, d o n d e II A|| = 2 y11C11 = 8 .
■
C • A± = (-3 , 3 n/3) • ( 0 , 3 ) _ 9V 3 _ , ^
B •A 1
S i C = m A + n A -1 , hallar el valor de m - \ 3 n
Solución.
FIGURA 1.65
partir de la e cu a ció n (2 4 ), e sto e s :
( n/3 , 1) . (0 , 3)
3
El á n g u lo de d irección del ve cto r A e s
Ejemplo
a = 180° - (90 + 30°) = 60° , lu e g o , si
FIGURA 1.64
6 j
Los segmentos orientados y la combinación lineal
E n la Figura 1.66 , A B C D e s un paralelogram o. S i A F = J- A D y
O
Capítulo I: Vectores en el plan a
64
E D = 5 B E , e x p re sa r E F c o m o com b in ación li­ r
7.
/IK /
El objetivo e s e x p re sa r É F en la for­
ma :
EF = m A D + nA B
E n to n c e s en el A E F D s e tiene :
ÉD = É F + F D
E n la F ig u ra 1.70 s e tiene los ve c to re s A , B y C , d o n d e 11A I = 2 \3 . S i C =
m A + n B , hallar el valor d e m - n .
neal de A D y A B .
Solución.
65
Ejercicios de la Sección 1.10
v
■=> É F = É b - F D
A
F
u
8.
E n la F igu ra 1.71 s e tiene : A B 11OY y 11OA 11 = 4. S i O B = m O A + n O A x , hallar
el valor de m - n.
9.
E n la F igu ra 1.72 ,
f/ ' e s u n a recta paralela al eje X y s e tienen los vectores A
y B en R 2 , d o n d e 11 B 11 = 3 \2 . S i A = s B + t B 1 , hallar s . t y l l A - B||.
J
FIGURA 1.66
(1)
D a d o que E D = 5 B E => É D = - | B D = - | ( Á D - Á B )
L u e g o , en (1) s e tiene :
EF =
( A D - A B ) - -=- A D
«=> E F = 4 - Á D - ¿ A B
6
6
FIGURA 1.70
10.
E JE R C IC IO S : Grupo
9
FIGURA 1.71
FIGURA 1.72
E n un tra p e cio A B C D , lo s la d o s p a r a le lo s A B y C D m id e n 9 y 3 u n id a d e s
respectivam ente. S i M e s punto m edio de A B , N e s punto m edio de B C y M N =
n A B + n A D , hallar el valor de m - n.
1.
11.
D a d o los vectores A y B en R ! , dem ostrar que
E n la F igu ra 1.74 s e tiene el p arale logra m o A B C D d ond e E e s punto de trisec­
ción de A B , H e s un punto tal que 3 D H = 4 H E. S i A H = m A D + n A B , hallar los
11 A 112 B = (A • B ) A + ( A 1 - B ) A A
e sc a la re s m y n.
2.
S i A y B s o n d o s ve ctore s en R : , d em ostrar que :
12.
I I a ! I 2 ||b I I 2 = (A • B ) 2 + ( A 1 • B ) 2
3.
Em p le e el resultado del Ejercicio 2 para d em ostrar qu e :
13.
II A 112 || B 112 > (A • B )2
4.
E n el p arale logra m o de la F igu ra 1.73 s e tiene : A E = E C y 4 F D = AF. S i E F =
m A D + n C D , hallar el valor de m + n.
E n la F igu ra 1.75 s e d an los ve cto re s A , B y C , d on d e 11 A 11 = 3 , 11 B 11 = 4 ,
11
C 11 = 6 y
a = 6 0 9. S i C = m A + n B , hallar el valor de m + 2n.
E n la Figu ra 1.67 se tiene los vectores A y B . co n A 11 = 4. S i B = s A + t A 1 ,
hallar el valor de s + t.
5.
—>
—>—>
E n la Figura 1.68 s e tiene (X = 3 0 9 y 11 O M II = 12. S i O N = m O M + n O M 1 , hallar
el valor de m + n.
6.
D a d o lo s ve c to re s de la F igu ra 1.69, hallar el va lo r
de n + V 3 m sa b ie n d o q u e
m A + n A x = C , sie n d o A un vector unitario y I i C ! I = 8
>C
V
FIGURA 1.68
\
FIGURA 1.69
14. S e tiene un trapecio e sc a le n o A B C D , c u y a b a s e m ayo r A D e s el doble de la
b a s e m en o r B C . S e trazan la s d ia g o n a le s A C y B D que s e cortan en el punto P.
S i B P + C P = m (B C + C D ) + n (C B + B A ) , hallar m + n.
15.
S e a A B C D un p a ra le lo g ra m o , tal q u e d o s la d o s no p arale lo s s o n A B = 3 u y
A D = 6 v , d on d e u y v s o n vectores unitarios. S i P e s punto m edio del lado A D
y E e s el punto de intersección de los s e g m e n to s A C y B P ; hallar en térm inos
de u y v los ve cto re s A E y B E .
Capítulo 1: Vectores en el plano
66
Sección l . l l : Proyección ortogonal
67
P R O P IE D A D E S D E L A P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L
í l . 1 l ) P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L
S e a n A y B d o s vectores y B * O. la p roye cció n ortogonal o co m p on e nte
1.
P ro y c (A + B ) = P ro y cA + P ro y cB
2.
P ro yB (rA ) = r P ro y BA
vectorial de A so b re B , denotad a por P ro y BA , e s el vector
Definición 1.12 Componentes Escalares
(21 )
P ro y °A = ( i í i T r ) B
■
A •B
Al núm ero j—^ j ■■ s e d en o m in a
° r ° )
componente escalar del vector
A en la dirección del vector B , sie n d o B * O y s e d enota p o r :
S i a p lic am o s la ecu a ción (21) a (19) , o b te n e m o s
(22)
A = P ro y BA + P ro y B ,A
C o m p °A = T í Í Í T
(23)
G eom étricam ente esta definición significa qu e s e p u e d e construir un triángulo rec­
tángulo cu y a hipo te n usa s e a el vector A y c u y o s catetos contienen a lo s ve ctore s
D ad o que
P ro y BA = (
P ro y BA y P ro y B A . (F igu ra 176).
)
B
— B
B
, s e p u e d e e sta b le c e r la relación
siguiente entre p royección (un vector) y co m p on e nte (un núm ero)
(V r o y BA = (C o m p aA )
(24)
S i C o m p s A > 0 , e n to n ce s la P ro y BA tienen el m ism o sentido de B. del m ism o modo,
si C o m p BA < 0 e n to n ce s la P ro yBA tiene
sentido o p u e sto a B (Figura 1.77). P or
tanto, la co m p o n e n te e sca la r de un vector e s la longitud dirigida u orientada del vec-
R
tor. E sto e s , si - — B
e s un vector unitario , la e cu a ción (24) s e p ued e escribir •
C o m p BA = ± || P ro y A 11
(25)
El sig n o s e d e b e elegir se g ú n q ue B y P ro y BA te ngan o n o el m ism o sentido. A s í para
| O B S E R V A C I O N 1.8
L o s vectores B y P ro y BA s o n p arale lo s de tal m od o que si el
los vectores de la F igu ra 1.77 s e tom a :
C o m p BA = - 1i P ro y BA 11
án gu lo 9 entre A y B e s a g u d o e n to n ce s B y P ro y BA tienen
la m ism a dirección y sentido (Figura 1.76), en tanto q ue si 0 e s ob tuso e n to n ce s B y
Ejemplo
P ro y BA tiene la m ism a dirección y sentido o p u e sto s (F igu ra 1.77)
E je m p lo
1.
Solución.
Partiendo de la ecu ación (21) s e tiene :
) =
H allar la p ro ye cc ió n ortogonal y la c o m p o n e n te e sc a la r del vector
A = (-3 , -4) so b re el vector B = <4 , -2)
Solución.
S i A = <12 , 5) y B = ( - 3 , 4 ) , hallar la P ro y BA
Proy=A = ( <lH(^4)ll=4>) <’3 ' 4
2.
S i B = (4 - 2)
P r° y eA = ( - ~3- ’
( -3 •4> =
f
’ ~2 )) (4 . -2> = - 1
(4 , -2) = (-4/5 , 2/5)
O b te n e m o s la co m p on e nte e sc a la r aplicando (2 3 ), e sto e s
<-3 ' 4>
E n este c a s o v e m o s que P ro y 0A y B so n parale los y tienen se n tid o s o p u e sto s.
B |= V 20 , lu e go , en la e cu a ció n (21) s e
I
r.nm n a - <~3 , -4) • (4 , -2) _ -12 + 8 _
2V 5
tiene :
Capítulo I: Vectores en el plano
68
Sección 1.11: Proyección ortogonal
f Ejemplo
C o m o la C o m p BA < 0 , la P ro y BA y B tienen se n tid o s op u e stos.
____________
-
3 )
2 V 5"
Solución. S i A + B = - (C + D ) => 11 A + B 11 = 11 - (C + D ) 11 c=> a = 11 C + D 11
E le v a n d o al cu a d ra d o s e tiene : a2 = 11 C 1 1 2 + 2 C • D + 11 D 112
C o m p BA = - 11 P ro y BAl I
2.
C o m p B(rA ) = r C o m p BA
a 2 = b2 + 2 C • D + c2 , de d on d e : C • D = \ (a2 - b2 + c2)
L u e go ,
P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R
C o m p c(A + B ) = C o m p cA + C o m p cB
S i A + B + C + D = 0 ,| | A + B | | = a ,| | C | | = 6 y | | D | | = c ,
hallar la C o m p cD
L a norm a de la p royección ortogonal e s : 11 P ro y BA I i = V(-4/5): + (2/5)- = — j -
1.
69
• '• C o m p ' D = ^
------------- f EJEM PLO S ILU STR A TIV O S]------------- ^
Ejemplo
4]
= ¿
(a ;- i: + c ! )
■
S i el vector B form a un á n g u lo de 3 0 9 co n el sem ieje positivo
de las x , 11 B 11 = 2 , C o m p BA = -2 y C o m p B A = 2 ^ 3 ; hallar el
rector A.
Solución. S i B = 11 B 11 < C o s 30°, S e n 30°) = * B = ( V I , 1)
P o r la e cu a ción (2 1 ): A = P ro yBA + P ro y B± A
E je m p lo
1^)
-----------------------
L o s la d o s de un trián gu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A - B. S i
|| A II = 5 ,
II B II =
3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del
<=> A = ( C o mp BA
)
+ (C o m p BlA )
+ ( 2VT) <1*
= (-2)
lado A - B.
Solución. S i C o m p BBA = - |
=>
TT^TT = * 7
’ de d o n d e
1 A = (-2V3 , 2)
A . B = - 15/2
y s i | | A - B ||2 = I I a | | 2 - 2 A - B + M b ||2 = (5 )2 - 2(-15/2) + (3) = 49
11 A - B 11- = 7
( Ejemplo
2 ]
-----------------------
Si A
= (-2 , \ 12) y
S e a el vector C = P r o y B A =
*
L o s la d o s de un triángu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A + B. S i
||aII =
5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n 53 , h a lla r:
0
2 C o m p BA - C o m p A(A + B )
Solución. S i I ! A + B l =: V53
V53 <
<=>
=> II A 112 + 2 A • B + 1 1B i I = 5 .-1
- ¿9
—
(A + B ) * A
| [A | —
Si A
2 C om p A - C om pA(A + B) = 5V2 - 7
(
Bx
II B x ||2 *
U y C 11V , e n to n ce s : U = <-1 , V3> y V = (1 , V3>
Cos 9 =
(jm
AII-+B-A
= ---------- 5
hallar el á n gu lo form ado por los
c °[—
U ~V
Ilullllvll
Ml B ll)
C o m p A(A + B ) =
= (-3 , \ 3 ),
El án gu lo entre U y V e s el m ism o entre A y C , por lo que :
c=£ (5 y + 2 A •
/A-
B
vectores A y P ro y Bi A
Solución.
Ejemplo
5 ]
■
_ 25+10 _ 7
5
-
ije m p lo
6 )
= < - '■ >5) - (I ■ V3) = 1
(2) (2 )
2
^
~
9 = 60-
.
"
D a d o lo s p u n to s A (-1 , 3 ) , B (5 , 6 ) y C (7 , 5 ) ; si P d ivide al
se gm e n to A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del
vector A P so b re el vector BC.
Capítulo 1: Vectores en el plano
70
Solución. S e a el punto
P (x , y). S i
^
Ejemplo
= 2 ■=> A P = 2 P B
8
J
«=> P - A = 2 (B - P)
r
« < x + l, y - 3 > = 2 < 5 -x ,6 -y >
L u e g o , P(3 , 5) =>
o
|
= (k
, -2) y B
= (2 k
,k
+ 2 ),
d o n d e k e R.
d o s opuestos.
x = 3
y = 5
Solución. S i P ro y BA y B tienen se n tid o s o p u e s t o s , e n to n ce s C o m p BA < 0 , esto es,
A- B
, -1 >
P ro y BCÁ P = ( A P *
B C = ( (4 ’ 2)_ L Í - 2 ’
/BC
M l B C l l 2'
'
(V 4 T T ) j
S e a n lo s vectores A
Hallar los va lo re s de k de m od o que P ro y BA y B tengan senti­
A P = P - A = <3 . 5) - <-1 , 3> = (4 , 2)
B C = C - B = <7 , 5) - (5 , 6> = <2
A h o ra :
x + 1= 10 - 2 x ■=>
y . 3 = 12 - 2y «
71
Sección 1.11: Proyección ortogonal
<
0 , pero c o m o 11 B [ I > 0 , implica qu e : A . B < 0
IIB
L ue go :
(2 , -1)
(k ,
-2) •<2k , k + 2) < 0 => 2k- - 2(k + 2) < 0 <=> k: - k - 2 < 0
=> (k + 1)(k - 2)
'
< 0«
(k + 1 < 0
k - 2 > 0) v ( k + l > 0
a
ak
- 2 < 0)
<=> (k < • 1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 )
P ro y B-cA P
[
E je m p lo
7J
= f< 2 ,-l>
S i A. B y C s o n vectores no parale los co n
a) 11 P ro y c(A + B ) 11 <
■
C * O, d em ostra r que
[ E je m p lo
C = (-^ C
_ /A • C + B • C \
llcll
) C ♦ ( J ^ )
(0 ) v (-1 < k < 2) <=> k e < -1 , 2 >
■
S e a n los ve ctore s no nu lo s A. B e R : y r * 0. Estab le ce r el valor
de verdad de las sig u ie n te s afirm aciones
*0
1.
E n efecto, de la definición de proyección ortogonal s e sig u e q u e :
a) P ro y c (A + B , =
9^]
i C o m p cA I + I C o m p cB !
b) P roy sC(rA + B ) = r P ro y cA + P ro yc B , V r , s e R , s
Solución.
»
C
C
1 l i e II
11 A x + B 11 = I I a -
b
MI
2.
P royA(P ro y BA ) = P ro y B(P ro y AB ) .=> A 11 B 1
3.
|C o m p A(A x + B) | < 11 B 11
4.
S i r > 0 ■=>C o m p g iA = - C o m p ^ A -1
5.
S i A + B 1 = A 1 + B «=> A = B
ó
11 A 11 = 11 B 11
Solución.
O b s é rv e s e que el p arénte sis del s e g u n d o m iem bro e s un nú m e ro real y q u e e s
coeficiente de un vector unitario; luego, si n o rm a liza m os a m b o s m ie m b ro s de
1.
D a d o q u e 11 A 11 = 11 A x 11 •=>
11 A 1 + B 11 = 11 ( A 1 + B )1 !!
=
e sta igualdad ob ten d re m os :
11 (A A)X + B x 11
= I I - A + B M I = ll( - l) (A - B x) 11
11
P ro y c<A + B ) || =
= |(-1)| II A - B ^ || = 11 A - B x 11
L u e g o , la afirm ación e s
Ahora, si a p lic am o s al nu m e rad or del s e g u n d o m iem bro la d e sig u a ld a d triangular
verdadera
p ara n ú m e ro s reales, te n d re m o s :
2. ProyA(ProyBA)
l| P ro ^ ( A + B ) l l s 1
W
= Proy8(ProyAB ) «
+ 1 W
*] A =
rtA -B XB-A ),
|| P ro y c(A + B) || < C o m p cA + C o m p cB
[-
*
- r
IIbII: IIaII:
(A ; ? i ; r v
A • B = 0 =>
A •B *0
=
O
P o r tanto , la afirm ación de
c + ( ^ ) c
= r P ro ycA + P ro y cB
<=>
■
3.
A 1 B =* A||BX
A = B , lu e go 11A11 = || B iI
verdadera.
P o r la d e sig u a ld a d de C a u c h y - Sch w a rtz s e s a b e qu e :
7
°] B
f ( B . A ) ( A ; B)l B
La igu ald ad (1) s e cum ple si y só lo si
»
^
1 1 a 1 1 2 1 1 b 11-
Capítulo 1: Vectores en el plano
72
73
Sección 1.11: Proyección ortogonal
B E = 11 B E 11 ( C o s 300°, S e n 300°) =
A • B I < I I a I I 11 B 11 «
J A lB j
Il A l l
< || B 11
<=> ' A - A ^ A - B l
L u e g o . P ro y .-F C = ( ^
A • ( A 1 + B)
a
< 11 B i I
/BE
#
)
' 11 B E I I 2'
4.
C o m p Bi A =
B
jy ~TT\
II B x II
B E = ( a <' ■
V
' ^ > ) a <, . . V5)
a ! (iíT +3)!
1
verdadera
* per0 11 0 1 i I = I B
y A . Bx = - A1 . B
Ejemplo
P o r tanto , la afirm ación e s
J
E n la F igu ra 1.80 . C e s un vector unitario tal que C otg a
= 3 \ 3.
Solución. D a d o C o t g a = 3 V 3 y a en el IV cuadrante , e nto n ce s
Sen a = - — U
2V7
verdadera.
B x = A x + B ■=> A - B =
12
S i A + V = A x , hallar la C o m p vC.
A x • (r B)
11 r B j y
<=> C o m p 0i A = - C o m p iBA x
Si A +
a <1 , - V 3 )
P ro y B-EF C = - | ( l , - V 3 >
Ai . R
L u e g o : C o m p B A = -t c o m o r > 0 => C o m p B A = -
5.
BE =
<=>\ C o m p A( A x + B ) |< 11B 11
I I A II
L u e g o , la afirm ación e s
2a (1/2 , - \Í3/2)
< | |B
y
Cos a =
2V7
S i C = ( C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | <3^3 , -1)
Ax - Bx
«=> (A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • ( A x - B x)
o
(A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • (A
- B )x (A •A x = 0)
=> (A - B ) • (A - B ) = 0
(A • A = 0 <=> A = O )
C o s 75° = C os(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - S e n 45° S e n 30° = ^
<=> A - B = O c=> A = B
L u e g o , la afirm ación e s
S e n 75° = Sen(45° + 30°) = S e n 45° C o s 30° + S e n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3)
verdadera.
■
(\Í3 - 1)
t=> A = 11 A 11 ( C o s 75° , S e n 75°) = ^ | I A 1 1 <V3 - 1 , V3 + 1) = r <V3 - 1 , >/3 + 1)
Luego , si V = A x - A => V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r <V3 - 1 , \Í3 + 1) = 2r (-V3 , -1)
C jc m p lo
10 j
D a d o el vector A = (-4 , 2) y P ro y Bi A - (-3 , 3 ) , su p u e sto que
C o m p Bi A e s positivo , hallar la C o m p BA.
Com p C =
Solución.
C. V
II V i l
S i A = P ro yBA + P ro y a± A
(3V3 , - 1) . 2r (-V3 , -1)
2 r V3 + 1
2V7
7
«=> (-4 , 2) = P ro y BA + (-3 , 3)
c=> P ro y BA = <-l , *l>
D a d o que . C o m p BA = ± 11 P ro y BA
C o m p BA = ±
I , e n to nce s :
+ ( *l); = ± >/2
E n la Figura 1.78 s e o b se rva que B y P ro y BA tienen
Prov„
se ntid o s o p u e sto s , por lo q ue : C o m p 0A = - V2
E je m p lo
11 }
■
D a d o el e x á g o n o regular de lado
A
FIGURA 1.78
a (F igura 1.79), hallar la pro­
yección ortogonal de F C so b re B E.
Ejemplo
2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3>
E n la F igura 1.81 s e tiene : 11 A11 = 2 , A • B = \ 2 11 B 1 1 . S e a V
un vector tal qu e B x + V = B y a el á n gu lo entre A y B. Hallar
Solución. F C = 11 r c 11 < C o s6 0 ° , Sen60°)
=
1 3 ]
ProyvA.
Sección l . l l : Proyección ortogonal
Capítulo I: Vectores en el plano
74
Solución. A = 11 A I ! ( C o s 60°, S e n 60°) = <1 , V3)
[
Ejemplo
15^
La Figura 1.83 e s un trape­
cio rectángulo en d ond e :
B
Solución. 11 A 11 = V5: + 12: = 13
V2
11 H 11 = C o m p i C
S i B = 11 B || ( C o s 105°, S e n 105°)
t=> B = V2 llB | | (1 - V 3 , 1 + V 3 >
Í L || B II (-1 - V 3 , 1 - V3>
D|| = C o m p C =
Il A l l
L u e g o , si V = B - B 1 => V =
.
”
P ro yA =
K r°VvA
^
f-^ V -W
l||v||-/
Il B II <2 . 2>/3> = ^
Il B II (1 , V3> = r (1 , V3)
O ■ r(l
= (< l ' ^ >m
i , ^ )r < l,V 3 >
V
r: (V1
(V 1 +
+ 3)2
1
3)*
14 J
= .<-2 .3 ) » (5 , 12)
13
H
/
V
(¿
°
»
A
FIGURA 1.83
_
B 11 = 11 A 11 - 1| D || = 1 3 - 2 = 11
A re a del trapecio = i ( | | A || + ||B||)||H|| = | ( 1 3 + ll)(3 ) = 3 6 u -
= < 1 ,V 3 )
E je m p lo
Ejemplo
= — * A1
l l Al l
= ( - 2 , 3 ) . (-1 2 , 5) _
= 3
13
H ||
4
c=> B i =
á
A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar s u área.
V2 11 B 11 = 2 1! B 11 C o s a , de d o n d e ,
=
A
r
S i A • B = 11A 11 11 B 11 C o s a , e nto n ce s
Cos a
75
1 6 ) El triángulo A B C e s is ó s c e le s , s ie n d o A ( 4 ,
E n el paralelogram o de la
F ig u r a 1 .8 2 s e tie n e :
Solución.
el lado
desigual. S i P ro y e-cB A = (3 , -1) y P ro y A-cÁ B = f (1 , -7) , hallar
5
los vértices B y C.
D E = É C , m (3 B A D ) = 6 0 9. L a altura relativa a
10) y B C
S i P ro y -cÁ B =
j (l , -7) <=> A C 11 (I , -7 ),
la b a s e Á D e s h. S i el vector M = A B + A E - B D
esto e s , 3 r e R | A C = r ( I ,-7 )
y V = P ro y Al M , hallar la norm a de V en función
c=> C - A = r ( l , -7)
de h.
Solución.
FIGURA 1.82
E n la Figu ra 1.82 s e tiene :
C om o B C = 2 B H
«=> C - B = (6 , -2)
AE = AD + DE y BD = AD - AB
A B = B - A = (-2 ,
Adem ás :
= 2 Á B + D É = 2 Á B + -y A B = j Á B
5 /AB • A D \
II A D l l ~ 2 ' IIÁ D lr
M •AD
/Il A B II
5
2\
II A D l l C o s 60°\
|| A D l l
'
11
<=> B = (4 , 10) + r ( l , -1) - (6 , -2)
E n el
(2)
12) + r ( I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 -7r)
A B ll = | | A C 11
<=> \( r - 6)2 + (2 - 7 r)J = r V i + 49
de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) o b te n e m o s :
C(5 , 3) y B(-1 , 5)
de d o n d e ob te n e m o s :
(1 )
c * B C = 2 P r o y - B A = 2(3 , - I)
=> 8 = (-2 , I2 ) + r ( l , -7)
E
L u e g o , si M = A B + A E - B D «=> M = A B + ( A D + D E ) - (A D - A B )
<=> C = (4 , 10) + r (l , -7)
■
11V11 = -j 11 A B 11
A D H C : h = 11DC 11 S e n 60° = 11 A B 11 S e n 60°
••• l l v l l = t ( 2 r ) h = 5 r
=
h
AB
II =
e je m p lo
1 7 7 ) S e a n A (-3 , 2 ) , B , C (-1, 13) y D lo s vértices d e un rectángulo
tal que A C e s una de s u s d ia go n a le s y Á B e s ortogonal a (4 , -3).
Hallar los vértices B y D.
Solución. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , e n to n ce s un vector unitario en
Sección I. / 1: Proyección ortogonal
Capimio I: Vectores en el plano
76
ÁB
(3 , 4>
la dirección y sentido de A B es: u = ■■■ _ - = — ^—
*
II A B II
5
A d e m á s , si A C = C - A
77
<=> r(3 , 2) = 2 (B - M ) <=> B = 1 <3r - 4 . 2r + 8)
(2)
C M 11T <=> M - C = t(-3 , 2) <=> C = (-2 + 3t , 4 -21)
(3)
N e s punto m edio de B C ■=> 2 N = B + C
«=> Â C = (-1 , 13) -<-3 , 2) = <2 , 11)
=>
2(4 , 2) =
\ (3r - 4 , 2 r + 8) + (-2 + 3t , 4 - 2t)
E n la Figu ra 1.85 s e o b se rva que A B = P ro y uA C
de d onde :
=> Â B =
' l l u l l 27
u = (Â C ‘
r I6 = 3r + 6 t - 8 => r + 2t = 8
<=>
L u e g o : Â B = « 2 , 11) • (3/5 , 4/5» (3/5 , 4/5) = ( 6 , 8 )
Com o
<16 ,8) = <3r + 6t - 8 , 2 r - 4t + 16)
u
-{
8 = 2r - 4t + 16
r - 2t = -4
R e solvie n do el siste m a ob te n e m o s r = 2 y t = 3 , que su stitu ido s en (2) y (3), re sp e c­
B - A = AB
tivamente , e n co n tra m o s B = (1 , 6) y C = <7 , -2)
FIGURA 1.85
=> B = A + Â B = (-3 , 2) + (6 , 8) = (3 , 10)
S i A B = 2(3
S i M e s el punto de intersección de las d ia g o n a le s , e n to n ce s :
,2) => B - A = <6 , 4) => A = <1 , 6) - (6 , 4) = (-5 , 2)
Por tanto, lo s vértices del cuadrilátero s o n : A(-5 , 2 ), B(1 , 6 ), C(7 ,-2) y D(-4 , -4) ■
M = l ( A + C ) = (-2 , 15/2)
T a m b ié n :
Ejemplo
M = -y (B + D) ■=> D = 2 M - B = (-7 , 5)
19
)
E n un triángulo A B C , M(-1 , 6) y N (7 , 1) s o n puntos m ed ios de
los la d o s A B y B C re spectivam ente. A B e s paralelo al vector
P o r tanto , los vértices b u sc a d o s s o n : B(3 , 10) y D(-7 , 5)
V = (2 , 1) y P ro yAlgA B = y y ( 4 , 1). Hallar los vértices del triángulo.
f
Cjemplo
1 íT }
S e a el cuadrilátero A B C D tal qu e M (-2 , 4) y N ( 4 , 2) s o n p u ntos
m ed ios de lo s la d o s Á B y B C respectivam ente ; D M e s paralelo
al ve cto r S = (1 , 4) y C M e s p arale lo al ve ctor T = (-3 , 2 ) y P ro y Al)D N =
(3 , 2).
M - D = s ( l ,4 ) <í => D = (-2 , 4) - s ( l , 4)
D Ñ = N - D = (4 , 2) - (-2 , 4) + s ( l , 4)
(1)
3
(1 )
A M 11 A B y Á B 11 V = (2 , 1) c=> 3 t e R |Á M = t (2 , 1 )
(2)
=> t<2 , 1) - r<4 , -1) = (-8 , 5) <=> { 21 ‘ 4 r = ' 8
^ t+ r = 5
Resolviendo el siste m a ob ten e m os r = 3 y t = 2
Para r = 3 , en (1) s e tiene : A = (-5 , 4)
M e s punto m edio de Á B => M = -L (A + B )
/DN • A B Ia b
MIÁB II1
c=> B = 2 M - A = 2 (-l , 6) - (-5 , 4) = (3 , 8)
(6 + s , -2 + 4s) • r<3 , 2)
r: (\'9 +
L u e g o , N - A = r<4 , -1) <=> A = (7 , 1) - r(4 , -1)
(7 , 1) - r (4 , -1) = (-1 , 6) - 1(2 , 1)
Vi ‘ B
= (6 + s , -2 + 4 s)
f f < 3 , 2>=(
<4 , -1) => Á Ñ 11 (4 , -1) => 3 r e R I Á Ñ = r(4 , -1)
De (1) y (2) s e sig u e q u e :
(3 , 2) *=> Á B 11 (3 , 2 ), lu e go 3 r e R I A B = r<3 , 2)
D M 11 S => 3 s e R l D M = s ( l ,4 )
Si P ro y -Á B =
Por lo que , M - A = t(2 , 1) = * A = (-l , 6 ) - t ( 2 , 1)
Hallar los vértices del cuadrilátero.
Solución. S i P ro y -BD N =
Solución.
) r (3 , 2)
\\
l'
1/
4Ÿ
de d o n d e ob te n e m o s s = 2 , luego en (1) :
%
\
N e s punto m edio de B C => N =
\ (B + C)
= * C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6)
D = (-4 , -4)
C om o M e s punto medio de A B <=> A B = 2 M B
°
[)
J
V.
FIGURA 1.86
Por lo tanto , lo s vértices del triángulo s o n :
A ( - 5 , 4 ) , B(3 , 8) y C ( 1 1 ,-6 )
■
Capítulo I: Vectores en el plano
78
EJERCICIOS ;
2
--------------------------A D = 3 A N
_c
R
a) Hallar r y s tales que : M N = r A D j f s A B
m an un á n gu lo de 120c y I ! A D 11 = 2jJ B A 11 ,
hallar la proyección ortogonal de M N so b re
r
/
5.
S e a n A y B d o s ve c to re s tales q u e A = <5 , -2 ) , C o m p AB = -5 8 y I : B ¡! = 2 9 .
Hallar C o m p BA.
7.
----------------------
v
Solución.
Si M D = 4 B M
S i A e s un vector del m ism o sentido que V = (1 , 2 ) , tal qu e 11 A ¡ I = 50 y 11 B ! I =
2 9 ; hallar C o m p BA.
D
n
l)
ÁD.
a)
D a d o s lo s ve ctore s A = < \3 , -1) y B = (3 , V3 ) , hallar 2 (P ro y BA + P ro y AB )
6.
^
11 B 11 y C o m p BA = 10/3 , hallar la longitud de la diagonal A - B.
4.
/
b) S i adicionalm ente los ve ctore s B A y A D for­
L o s la d o s de un triángulo s o n los vectores A .B y B - A. S i I ! A | = 6 , 11B11
2
FIGURA 1.88
8.
«=> M D = j B D = j ( A D - A B )
y si A D = 3 A N <=> N D = - j A D
9.
«
(1)
M N = ^ A D - ¿
P o r lo que : r = 2/15 y s = - 4/5
b)
Por
la igualdad (1 ) :
P r o y aT>MN
=^
P r o y lT>A"í>
_ J_ a d
" 1 5 A
P e ro : Á B • Á D =
II Á B II II ÁD 11
f
L o s la d o s de un triángulo s o n lo s vectores A .B y A - B, si 11A11 = 10 , 11 B 11 =
\
II Á D II
ÁD -
11 Á
D
y C o m p BA = -5. H allar la longitud de A - B.
L o s la d o s de un triángulo s o n A , B y A + B , tales q u e 11 A
S i II A - B II = 4 , II B II = 3 y C o m p B(A - B) = 22/3 , hallar la norm a de A.
S i D = A + B + C , 11 A 11 = p , 11 B 11 = q , 11 C 11 = r , A * B = p q , A * C = p r y
C o m p BC = r ; hallar la n orm a de D.
(2)
12.
13.
11 ( X ) = i - l I A D 11
14.
S i P ro y BA = <2 , -5 ) , P ro y Bi A = (-3 , 2) y
/A
O \
2.
«=> A = B
b) S ¡ A * 0 , B * 0 y P royBA = P ro y AB => C o m p BA + C o m p AB = 2 11 B I i
(P ro y BA)-L = P r o y ^ A 1
d) C o m p Bi (P ro y BA ) = 0
16.
S i A = (5 , -2 ) y P ro y Bi A = <4 , 1 ), hallar C o m p BA s a b ie n d o q u e C o m p 0i A e s
positivo.
S e a n A , B y C vectores no nu lo s en R 2 y r , s e R. E sta b le ce r si la s sig u ie n te s
17.
p ro p o sicio n e s so n ve rd a d e ras o falsas.
Hallar el á n gu lo form ado por los vectores A y P royBi A , si A = <1 , 2) y B = (1 ,3).
18. L o s v e c to re s A y B de lo n gitu d e s 2 y 3 re sp e ctiva m e n te , form an á n g u lo s de
P ro y BA + P ro y Bi( A - B ) = A
m e d id a s a y p co n el vector C = (1 ,1). S ie n d o O2 < a < 9 0 9 y P < 1 80 9 . Hallar
b)
P ro y A(A + B ) - P ro y AB = A
11
c)
P ro y B(r A + s C ) = (r + s) (P ro yBA + P ro y BC )
d)
P ro yBi A + P r o y A B = O
a)
3.
C o m p c(A + B ) = C o m p cA + C o m p cB
; hallar
Esta b le ce r si la s sig u ie n te s afirm aciones s o n ve rd a d e ra s o falsas.
- C ) - P ro y AB - P ro y AC
c)
=
ll A H
C o m p 8(A - B).
c)
P ro y A(r B) = r ProyAB
B = 2 A + A 1 ; hallar 11 B 11.
S e a 11 A 11 = V 6 5 , 11 A + B 11 = V Í 6 4 , C o m p A( A + B )
EJER C IC IO S : Grupo 10
P r o y A( B
- a , II B II = ¿>, 11 C 11 - c \ hallar C o m p BA.
S iA + B + C = 0 ,B *0 ,| | A | |
^
± (^ ) A D = - ± A D
b)
2 \2
11.
a) P ro y 0i.A = P r o y A B
D e m o stra r que : a)
1!=
10.
15.
1.
I = 3 ,! B
y 11 A + B 11 = V53. Hallar 2 C o m p BA - C o m p A(A + B).
P r° y A-DA B
- - ( ABAD
5 \‘I11I aÁ b
D lIlI 2'
C os60° =
L u e g o , en (2) s e tiene : P ro y A-DM Ñ =
-
=
y 11 B - A 11 = 5 ; hallar C o m p BA * C o m p AB.
6
E n e lA M N D :M N = M D - Ñ D = ¿ ( Á b - A B ) - ¿ A D
79
Grupo 10
S e a n lo s v e c to re s A y B la d o s de un p a ra le lo g ra m o . S i 11 A 11 = 6
P ro y c(A + B) 11 en térm inos de a y p.
19- SiA=3 (nfri) + 4 (Trfrn) yc°mp«iB=2’haiiar|Ai- B|
11 A 11 =
20.
Hallar el vector B sa b ie n d o q ue I ! B
I = 2 \ 2 , A = (-4 , 2 ) , C o m p BA e s positivo
80
Capitulo I: Vectores en el plano
EJERCICIOS ;
Grupo 10
81
y P ro y Bi A = (-3 , 3).
21.
D a d o s los ve ctore s A = (3 , -6 ), B = <3 , 4 ) y C = <21 , 0 ) , hallar los va lo re s de
r y s tales que :
22.
C = r P ro y 8A + s P r o y ^ A
L o s ve ctore s A y B de R : cum plen : 11A11 = 3 \ 5 , B = (-4 , 3 ), P ro y AxB = <-2 , 4)
y C o m p AB > 0.
a) C o n los d atos d ad os, en un plano cartesiano, gráficam ente ubicar los vecto­
res A . A x y P ro y AB.
b) H a lla r , P ro y BA y C o m p A B
23. S e a el triángulo A B C y s e a n Q(1 , 9) y S ( 6 , 2) lo s p u n to s m e d io s d e los la d o s A B
y B C respectivam ente. S i A B 11 (1 , 1 > y P ro y A-gAB =
30.
p + q.
S e a n los vectores A , B e R : , tales que :| A + B|| = \ 1 7 , | | 2 A - B
(B + \ 2 A)
! = \2 6 ,
31.
D a d o un triángulo isó sc e le s A B C (A B = A C ), s e a n M y N p u n to s de trisección de
S e a A B C D un rectángulo (Figura 1.94) tal que 2A~B = Á D y 11 A B 11 =
a ; sean E
y F p u ntos m e d io s de los la d os B C y D C respectivam ente. S i V = Á E + Á C + Á F ,
1 (B - \ 2 A) y el vector V = 5 A + 3 B tienen la m ism a dirección y
hallar el valor de : C o m p A- V + C o m p ^ V .
sentido que el vector (-2 , 1). Hallar P ro y vA.
25.
(4 B A D ) = 6 0 e , 11 A B 11 = a ,
I I Á D I I = 2a , d o n d e a e R - {0 }. S i p = 11P royADÁ C 11 y q = 11 P rb yA8Á C 11 .hallar
(3 t - 1 ) t hallar los vér­
tices del triángulo.
24.
E n el p arale logra m o A B C D de la Figura 1.93 , m
32.
E n el re ctá n gu lo de la F ig u ra 1.95 , H , P y Q s o n p u n to s m edio. Á B = 4 F B ,
O C = 4a
la b a se B C . S i el c o se n o del á n gu lo A e s 1/4, hallar la p royección ortogonal del
, OA - a. S i V = H F + A P + Q C , hallar C o m p ABV + C o m p -.y.
vector A M + A N so b re el vector A C y el vector A C 1.
26.
Se an A = 2u + v y B
= u - 2 v , d on d e u y v s o n
ve cto re s unitarios q ue form an un á n g u lo de 6 0 9 ,
co m o s e m uestra en la Figu ra 1.89. U n trapecio is ó s ­
ce le s O P Q R s e form a de tal m od o qu e u n a d e s u s
—>
b a s e s e s A = O R y uno de s u s la d o s n o parale los e s
FIGURA 1.95
B = OP.
a) C o n referencia a las p o sic io n e s de u y v , graficar
33. S a b ie n d o que P ro yA<ü , b) = <1 , 2 ) y P ro yA(x , y) = (-4 , - 8 > , hallar la norm a de
cu id ad o sa m e n te el trapecio O P Q R .
P ro y A(4í2 - x , 4b
- y).
b) H a lla r , en térm inos de u y v , el vector O Q .
34.
27.
D a d o el e x á g o n o regular A B C D E F de la F igu ra 1.90, cu y o lado m ide 10 unida­
L o s la d o s de un triángulo s o n los vectores A , B y A + B. S i || A I I = 8 ,| | B | | =
6 y ¡ A + B
I = \ 6 8 , h a lla r : C o m p A(A + B ) - 3 C o m p B(A - B).
d e s y el vector V = B D + F C + B C ; hallar 11 P ro y A-pV 11.
35.
28.
D a d o el e x á g o n o regular de lado
a (Figura 1 .9 1 ), en d o n d e G y H s o n puntos
H a lla r el ve c to r A c u y a n o rm a e s 3 \ 5 , sa b ie n d o q u e B = (-4 , 3 ) , P ro y i B =
(-2 , 4) y C o m p AB > 0.
m edios de B C y D E respectivam ente. Hallar la norm a de V, si V = P r o y ^ S A G ) +
P ro y A-F(9AH).
36.
E n la F ig u ra 1.96 el A A B C e s equilátero y C H e s altura. S i C H = (2 , 4) y V =
(V3 , 1 ) , hallar la C o m p vC A.
29.
E n la Figu ra 1.92 , A , B y C s o n tres ve ctore s d e R : tales q ue B e s unitario, C
e s ortogonal a A y A * B = ||A|| (\3/2). Hallar la C o m p A.
37.
E n el e x á g o n o regular de lado 8 u n id a d e s m ostrad a en la Figu ra 1.97 , hallar la
82
Capítulo I: Vectores en el plano
p royección ortogonal de
TEOREMA 1.12 Area del paralelogramo y del triángulo
a) M Ñ so b re M B + B Í)
38.
b) V = Á C + B D - C Ñ so b re M B
El área S de un p aralelogram o , c u y o s la d o s s o n lo s vectores
E n el tra pe cio P Q R S de la F ig u ra 1.98 s e tiene : 11 R Q 11 = 11SP 11 , S (-4 , 2 ),
A y B , e s igual al producto e sca la r d e u n o de ellos p or el ortogonal del otro. E sto
Q (1 0 , 4 ) , P S • P R = 0 y P ro y ¿p P R = (8 , 8). H allar lo s p u ntos A , P y R.
es :
S = |A • B x | = I A 1 • B I
En
p a rtic u la r,
p o r:
S, = | | A . B X | = i - l A x . B|
L o s vértices de un rectángulo A B C D s o n A (-2 , -6 ), C (2 , 6), D (-6 , -2) y B. L o s
(26)
el área del triángulo S, , c u y o s la d o s c o n se c u tivo s s o n los ve cto­
re s A y B e stá d ad o
39.
83
Sección 1.12: Area (leí paralelogramo y del triángulo
r
(27)
EJEM PLO S ILU STRATIVO S^
p u ntos M e D C , N e A B , R e B C , a d e m á s P r o y ^ A D = m(1 , -3) y N M + N R =
(4 , 14). a) Hallar el vértice B.
b) Hallar lo s p u ntos M , N y R.
í
Ejemplo
i
j
S e a n P ( - 3 , 1 ) , Q { 7 , -1) y R ( 5 ,3 ) tres vértices c o n se c u tiv o s de
un paralelogram o. Hallar s u área.
Solución. C o n s id e re m o s elvértice Q c o m o punto inicial de los ve cto re s A y B.
A R E A D E L P A R A L E L O G R A M O Y D E L T R IA N G U L O
Luego, si A = QP => A = P - Q = <-3 , 1) - <7 , -1 >= (-10 , 2)
B = QR
H a cie n d o u so de la p royección ortogonal de un vector so b re otro, e sta m o s
B = R - Q = (5 , 3) - (7 , - I) = (-2 , 4)
P or lo que, si S = |A • B x | <=> S = I <-10 , 2) • <-4 . -2) I = 140 - 4 1 = 36 u-
■
en co n d icio n e s de h ace r otra interpretación geom étrica del producto escalar. P ara
tal efecto c o n sid e re m o s el p arale logram o de la d o s A y B (F igu ra 1 .9 9 ). L la m e m o s
11 C11 a la altura que s e obtiene m ediante la p royección ortogonal de A so b ré B x, de
Ejemplo
2J
m od o que :
Hallar el área del p arale logram o sa b ie n d o q ue s u s d ia g o n a le s
están co n te n ido s en los ve cto re s U = <3 , 3) y V = (5 , -1).
11 C 11 = 11 P ro y 0i A 11 = I C o m p 0 ÍA I
C 11 =
A» BJ
11 B x |
D a d o que el áre a del p aralelogram o e s igual al
Solución.
S e a el p aralelogram o P Q R T m ostrado en la Figura 1.100
E n el A P T Q :
B = A + V = * B - A = V
E n el A P Q R :
B + A = U
D e (1) y (2) o b te n e m o s ;
producto de s u b a s e por s u altura , e n to n ce s
.............................1A • B x |C I = I B
S = l B
11 B x 11
P ero c o m o 11B ! I = I B x 11
S = !A . B x
A s í h e m o s d em ostra d o el siguiente teorem a
A = - L ( U - V ) , B = -L (U + V)
L u e g o , A = (-1 , 2) y B = <4 , 1> ■=> B 1 =
S = I A • B x I = I <-1 , 2) • <-1 , 4) I = 9
84
Capitulo J: Vectores en el plano
Ejemplo
3 )
S e d an lo s p u n to s A (3 , -2 ), B (-3 , 2)
y C (2
, 7). S i P divide al
85
Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo
Igualando las p rim e ras co m p o n e n te s s e tiene :
se gm e n to B C en la razón B P : P C = 2 : 3 ; hallar el áre a del
m = -i- \ m : + n : , de d o n d e : n = V3 m
(1)
triángulo A P C .
S i a (A O P R ) = 10 <=> -i-1 A 1 • B | = 10 .=>
Solución. S e a P(x , y). S i 3 BP = 2 PC , e n to n ce s
3<x + 3 , y - 2) = 2<2 - x , 7 - y)
r 3x + 9 = 4 - 2x <=> x = -I i
<=> i
r
L 3y - 6 = 14 - 2y
y = 4 J
<-1 , <Í3)-<m , n) = 10
=> -m + V3 n = 8
,
..
■=> P( - i , 4)
(2)
R e so lvie n d o (1) y (2) por sim u ltán e a s , o b te n e m o s : m = 4 y n = 4\/3
/. m + V 3 n = 4 + V J (4VJ) =
16
■
L u e g o , si
U = A P = * U = P - A = (-1 , 4) - (3 , -2) = (-4 , 6>
V = A C <=* V = C - A = <2 , 7) - (3 , -2) = <-1 , 9)
f ” ejemplo
^
S = l l u - v 1 ! = - j l<-4 , 6) • <-9,-1)1 = 15 u :
M
■
|a Figura 1.104, O A C B e s un paralelogram o. S i O C = (5 , 3)
—)
y B A = <-1 , 5 ) , hallar el área del triángulo O A B .
Solución. S e a n los vectores : U = O A y V = O B
Ejemplo
4 j
L o s vértices de un triángulo s o n A (2 , -1), B (4 , 2) y C
e
E n el A O B A : B A = U - V
=
E n e lA O A C :
{ (x, ) ly = x - 2 }. S i s u áre a e s 5 u 2 , hallar la s u m a de la s
D e este siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s
o rd e n a d a s de to d os los p o sib le s va lore s del vértice C.
U = JL (Ó C + B Á ) y V =
Solución. S i C (x , y) e <5? <=> C (x , x - 2)
r
S e a n : U = A B = B - A = <2 , 3)
V = AC = C - A = ( x - 2 , x
q
B
L u e go , U = <2 , 4) y V = <3 , -1) => V x = <1 , 3)
fl(A O A B ) = i
u/
S
4 - x = 10 ó 4 - x = -10
A
<=> x = -6 ó x = 14
H a y d o s so lu c io n e s : C(-6 ,-8 ) ó C ( 14 , 12)
v
!'Pe
J
FIGURA 1.102
[ Cjemplo
B (2 , 7 ) , C (8 , 2) , D (6 , -2) y E (2 , -5).
Solución.
5
]
L a F igu ra 1.105 m uestra el p olígo n o
E n la F igu ra 1.103 : a ( A O P R ) =
dividido en tres triángulos de á re a s
10 u 2 , 11 A 11 = 5 y a = 3 0 9. S i B =
S, , S , y S,. T o m a n d o el vértice A c o m o punto
inicial de los ve cto re s R . T , U y V , s e sig u e que:
<m , n ) , hallar el valor e m + v ^ n .
Solución.
H a lla r el á re a del p o líg o n o
d e vé rtice s en A (-2 , 3) ,
y, + y, = 4
C j e m p lo
I U • V x | = 1 | < 2 , 4) • <1 , 3)1 = 7 u2
\
v
P o r tanto , la s u m a de las o rd e n a d a s e s :
\ (Ó C - B Á )
"N
O
s = -i-1 V - U-1-1 <=> 10 = |<x - 2 , x - 1) • <-3,2 )|
de d o n d e : 14 - x I = 1 0 o
OC = U + V
A = 11 A 11 < C o s 30°, S e n 30°)
= ¿ .(< 3 ,1 )
R = A B = <2 , 7) - <-2 , 3) = <4 , 4)
T = A C = <8 , 2 ) - < - 2 , 3) = < 1 0 ,-1 )
B = 11 B 11 < C o s 60°, S e n 60°)
U = A D = <6 , -2) - <-2 , 3) = <8 , -5)
=» <m , n) = \ m : + n-’ ( 1
, ^
)
V = Á E = <2 , -5) - <-2 , 3) = <4 , -8)
FIGURA 1.105
86
Capiiulo I: Vectores en el plano
87
Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo
=>
S, = y | R • T 1 ! = y l <4 , 4) • <1 , 10)1 = 2 2 u :
M - A = <2 , 1) <=> A = M - <2 , 1)= <0 ,4) - <2 , 1)<=>
M = 1 ( A + B ) =>
B = 2M -
A = <-2 , 3>
A = 2<0 , 4) - <-2,
3> =
<2 , 5
S ; = - j |T • U 1 ! = ^ I< 1 0 , - 1 > • < 5 ,8 )1 = 2 1 uN = y (B + C ) c=> C = 2 N - B = 2<5 , 3> - <2 , 5) = <8 , 1>
S , = '1 | U - v 1 ! = -i-l< 8 ,-5 > • < 8 ,4 )1 = 22 li*
P = 1 (C + D) = * D = 2 P - C = 2<2 , -2> - <8 , 1) = <-4 , -5)
S = S ) + S , + S , = 65 u-
=» Á B = < 2 , 5 > - < - 2 , 3 > = < 4 ,2 >
;
Á C = <8 , 1> - <-2 , 3) = <10 , -2>
D A = <-2 , 3) - <-4 , -5> = <2 , 8)
Ejemplo
8^j
La Figura 1.106 e s un trapecio isó s c e le s , en d on d e , A = <1 ,3 )
P or lo qu e :
S = a (A A D C ) + a (A A B C ) =
\ I D A • ÁC-1 ! + \ I Á B • Á C 1 !
y B = <5 , -1). Hallar s u área.
= i | < 2 , 8 > -< 2 , 10)1 + l | < 4 , 2 > - < 2 , 10>| = 56 u-
Solución. S e a n : C = R E = P ro yAi B , S, = a (Q R E F ) y S , = a ( A R E T ) .
/ Ax -B \ Ai_
M 1A 1 112 '
,f(-3 , l> -< 5 , -1>\
10
/
i
( E je m p lo
10 J
'
■
T r e s v é r t ic e s c o n s e c u t i v o s d e u n r e c t á n g u lo A B C D s o n
A (-8 , 4) , B (2 , -2) y C ( 5 , 3). S i P e Á B , Q e C D , R e Á D ,
S, = I A - C x | = | |<1 , 3 ).<| , 3>| = 16 u 2
P Q 1 1 V = <7 , 6) y P Q + P R = <5/3 , 31/3); hallar el vértice D , lo s p untos P , Q , R y el
S , = 4 - 1B • C x I = 1 (| .) | < 5 . - ! > . < ! ,3>| = f u - ’
área del cuadrilátero P R D Q .
Solución.
S = S , + 2 S , = 16 + -y- = 19.2 u :
CD
= B A >=> D = C + (A - B )
c=> D = <5 , 3) + <-8 , 4) - <2 , -2> = <-5 , 9)
S i P Q 11 V
ÁP = tB A
_
Ejemplo
9
J
E n la F ig u ra 1 .1 0 7 s e tiene : M ( 0 , 4) , N (5 , 3) , P (2 , *2) y
DQ = sC D
Solución.
P = A + IB A
P = <-8 , 4) -M <-5 , 3>
(2)
=> Q = D + s C D
(3)
R e sta n d o (3) - (2) ob ten e m os :
r
Q - P = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>
D a d o qu e Q N e s m e d ia n a del tra­
Y1 ‘
M
pecio, e n to n ce s ; Q N 11 A B 11DC
«
L u e g o , en (1 ):
r <7 , 6) = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>
— __ •_
✓
L u e g o ; Q N = N - Q = <5 , 3) - <-3 , - l) = 4<2 , 1)
E n to n c e s , un vector unitario en la dirección de
Á M |<2, I) e s :
i ''
Qf
/■
°l
«
r<7 , 6) + (s - 1)<5 , -3) = <3 , 5>
M ultiplicando e scalarm e n te por <5 , -3)-L y
■
luego por <7 , 6> 1 o b te n e m o s respectiva-
FIGURA 1.108
m ente
u = - 4 ^ — ■=> Á M =11 Á M II u
11 A M 11
«=* AM= V 5 ( ^ - )) = < 2 , 1)
(1)
=> Q = <-5 , 9) + s<-5 , 3)
Q ( - 3 , -1) s o n p u ntos m e d io s de los la d o s de un trapecio A B C D .
Hallar su áre a sa b ie n d o que 11AB 11 = 2 \ 5
c=>Q - P = r <7 , 6)
r = 2/3 y s
- 1 = - 1/3 «=> PQ = -|<7
, 6>
D a d o qu e : P Q + P R = <5/3 , 31/3) <=> P R = <5/3 , 31/3) - <14/3 , 4) = <-3 , 19/3)
i)
J
V
FIGURA 1.107
=> R - P = <-3 , 19/3)
(4)
Capítulo I: Vectores en el plano
88
Adem ás , A R = k A D
(5)
■=> R = A + k A D = (-8 , 4) + k(3 , 5)
R e sta n d o (5) - (2) s e tiene :
17. D a d o s lo s p untos A (2 , -1 ), B (-2 , 3) y C (4 , 6). S i P (x , y) divide al se gm e n to B C
en la razón B P : P C = -2 : 5 , hallar el áre a del triángulo P A B .
R - P = k (3 , 5) - 1(-5 , 3)
18.
<=> (-3 , 19/3) = k <3 , 5) - 1 (-5 , 3)
D a d o s lo s p u ntos A (-3 , -5) , B (3 , 1) y C (2 , 5). S i P (x , y) e s el punto de
trisección, m á s ce rc an o de A, del se g m e n to A B , calcular el área del triángulo
de d o n d e o b te n e m o s : k = 2/3 y t = -1 , lu e go , s = -1 - 1/3 = - 4/3
PCB.
P o r lo tanto : P = <-8 , 4) - l<-5 , 3) = ( - 3 , 1 ) ; Q = (-5 , 9) - ± < -5 , 3) = <5/3 , 5)
19.
R = (-8 , 4) + - j (3 j 5) = <-6, 22/3)
L o s vértices de un triángulo s o n A (3 , -5 ), B (2 , 5) y C e 2? = {(x , y) I y = -2 x }.
S i s u áre a e s de 3.5 u2 , hallar las c o o rd e n a d a s del vértice C.
A re a del cuadrilátero : a (P R D Q ) = a (A P R D ) + a (A P Q D )
20.
L o s vé rtice s de un trián gulo s o n A (x , y) , B (4 , 3) y C (-2 , 6). S i el á re a del
triángulo e s 9 u2 y A e .2? = {(x , y ) I x - 2 y = 4 } , hallar el vértice A.
c=> a (P R D Q ) = i - | P R • P D 1 ! + i |PQ • P D X |
21.
= l| < -3 , J | ).< -8 ,-2 )| + i | < M
89
EJERCICIOS : Grupo I I
85
,4 ).< -8 ,-2 )| = - ^ u -
E n la F igu ra 1.109 , O A B C e s un paralelogram o. S i O B = <1 , 6) y A C = <9 , -2),
hallar el á re a del triángulo A B C .
22. E n la F igu ra 1.110
,a ( A O P T ) = 15 u2 y I ' A I = 10 . S i B = <m , n ) , hallar el valor
de 3m + n.
E JE R C IC IO S : Grupo 11
23.
E n la F igu ra 1.111 , a (A O P T ) = 12 u 2 , II B
II
= 2 \2 . S i P ro y B±A = <x , y ) , hallar
el valor de xy.
E n los ejercicios 1 al 4 , hallar el área del triángulo c u y o s vértices s o n los p untos
d ad os.
1.
A (-5 , 0 ), B(1 , 3 ), C (-3 , -2)
3.
A (2 , - 3 ) , B (4 , 2 ) . C (-5 ,-2 )
2.
A(-3, 4 ) , B (6 . 2 ), C (4 , -3)
4.
A(-1 , 2 ) , B (3 , 5 ) , C ( 5 , 1)
E n los ejercicios 5 al 8 s e dan tres vértices co n se c u tivo s de un paralelogram o,
hallar las c o o rd e n a d a s del cuarto vértice y el área de c a d a paralelogram o.
5.
A (4 . -5 ), B (-2 , 3 ) , C (-3 , 1)
7.
A(-1 , -5 ), B (2 . 1 ), C(1 , 5)
6.
A(-1 , -2 ), B (0 , 1 ), C (-3 , 2)
8.
A (2 , 4) , B (6 , 2 ) ,
C (8 , 6)
E n lo s ejercicios 9 al 12, hallar el áre a del p arale logram o c u y a s d ia g o n a le s so n
24.
S e a V = <-8 , 8) un vector co n punto inicial A (1 3 , 7) y punto terminal B. S i P e s
los vectores dados.
un punto situado por encim a de la flecha que representa al vector V, tal que el
9.
U = <-2 , 3 ) , V = <6 , -1)
11.
U = <11 , - 1 ) , V = < - 2 , 4 )
A A P B e s isó sc e le s de área 8 u 2 , hallar los p u ntos P y B.
10.
U = <5 , -4 ), V = <-1 , -8)
12.
U = <1 , 1 0 ), V =
< 5 ,-2 )
25. S e a el cuadrilátero A B C D de áre a 57/2 u2 . S i A(-1 , 4 ) , B (2 ,3 ) y C ( 4 , -2 ); hallar
D sa b ie n d o que este punto e stá en el eje X
E n lo s ejercicios 13 al 15, hallar el área de los p o líg o n o s c u y a s c o o rd e n a d a s de
s u s vértices s e dan.
26.
S e a el trapecio A B C D de la Figu ra 1.112,
d ond e M ( 1 1/2 ,7/2), N (8 ,6 ), P(9/2 ,13/2)
13.
A (2 , 5 ), B (7 , 1) . C (3 , -4) y D (-2 , 3)
14.
A(1 , 5 ) , B(-2 , 4 ) , C (-3 , -1) , D (2 , -3) y E (5 , 1)
15.
A (-5 , -2 ), B (-2 , 5) , C (2 , 7) , D (5 , 1) y E (2 , -4)
hallar P r o y ^ P N y el á re a del trapecio
16.
S e a n lo s p untos A (3 , 5) , B (k , 2) y C (5 , 1). H allar lo s va lo re s de k tales que
ABCD.
d ic h o s p untos so n vértices de un triángulo de área 1 1u2
y Q (2 , 4) s o n los p u ntos m e d ios de los
la d o s correspondientes. S i 11 DC11 = \ 10,
9Q
Capítulo 1: Vectores en el plano
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
91
A + (-r)B = O
1.13 j D E P E N D E N C IA E IN D E P E N D E N C IA L IN E A L D E V E C T O R E S
S e ha lo grad o una com b inación lineal de A y B igual a O con coeficientes 1 y
*r qu e s o n diferentes de cero , por lo tanto , A y B s o n L. D.
D efinición 1.13
Vectores ¡inealnienle dependientes __________ _______________
S e dice q u e d o s ve cto re s A y B e
R : son
linealmente depen­
dientes (L. D.) si el vector nulo O p u e d e e x p re sa rse c o m o co m b in ació n lineal de
e sto s vectores , e sto e s .
s A + tB = O
Definición 1.14 Vectores linealm ente independientes
D o s ve ctore s A y B e R- , s e dice que s o n linealmente inde­
pendientes (L. I.) si toda co m b in ació n lineal de A y B que e s igual a O implica
que s u s coeficientes s o n n e ce saria m e n te cero. Sim b ólicam e nte :
d on d e por lo m e n o s un coeficiente e s diferente de cero. Sim b ólica m e n te
A y B s o n L .l. <=> s A + i B = 0
<=> s = t = 0
A y B s o n L. D. <=> B s . t e R l s A + t B = 0 . c o n s * 0 ó t * 0
________________________________________________________ __________________________ x
P o r ejem plo , los vectores unitarios orto go n ale s i = (l , 0)y j = <0 ,l) so n
P o r ejem plo , los vectores A = (-1 , 3> y B = <2 , -6) s o n linealm ente d e p e nd ie n te s ,
linealmente inde p en d ie nte s , p u e s si
p u e s si to m a m o s s = 2 y t = 1 (s * 0 y t * 0) , e n to n ce s
s i +tj = O
<=> s (l , 0) + t(0 ,
2 (-1 , 3) + 1 <2 , -6) = <0 , 0)
El vector nulo O con cualquier otro vector B s o n sie m p re linealm ente dependientes,
p u e s si s = 3 , (s * 0) y i = 0 , e n to n ce s : 3 0 + ()B = O
O b sé rv e se qu e A y B s o n vectores parale los y c o m o sa b e m o s, el vector cero O e s
paralelo a cualquier vector. E sto n o s permite caracterizar a d o s ve cto re s linealmente
0)
(s , t) = (0 , 0) <=> s = 0 y t = 0
L o s vectores A = (2 , l) y B = (-1 ,3 ) s o n tam bién linealmente independientes, p u e s
(2 s - 1 , s + 3 1) = (0 , 0) <=* -f “ S 1 ° 1
l» s + 3 t = 0 J
linealmente dependientes si uno
de ellos e s múltiplo e sca la r del otro ; e s d e c ir , si A = r B ó B = r A para un e sca la r
r. E n c o n se c u e n c ia , A y B s o n L. D. p re cisam e n te c u a n d o A y B s o n colineales.
o
s = 0 y t= 0
O b sé rv e se q u e en este c a s o A no e s paralelo a B. E sto tam bién caracteriza a los
vectores linealm ente in dependientes co n otra definición.
S e dice q ue d o s vectores A y B e R : s o n
A
B
G-------------- - --------------> ........ O----------------------------------- ►
linealmente independientes si y só lo si
A y B no s o n linealm ente dependientes, esto es, c u a n d o los vectores A y B no so n
colineales.
TEOREMA 1.3 D o s vectores A y B e R ; s o n linealm ente d ep e ndie n te s si y só lo
si so n paralelos.
v----------------1------------------------------------------------------------------------------ ------------------— >
D em ostración.
/ ---------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------TEOREMA 1.4 D o s ve ctore s A y B s o n linealm ente independientes si y só lo si
A no e s paralelo a B.
D em ostración.
(<=>) D e m o stra re m o s primero si A y B s o n L. D . , e n to n ce s A y B so n paralelos.
E n efecto , si A y B so n L. D. <=> 3 s , l e
S u p o n g a m o s que s * 0 ■=> A = (Si i * 0
R| sA + tB = 0 , c o n s * 0
B , lo cual implica que A
<=> B = (- |-) A , lo que n o s dice que B
(<=>) D e m o stra re m o s ahora que si A
E n efecto, si A
B o
3 re R
A
B e n to n ce s A y B so n L. D.
A = i B <=> A - r B = O
B
si
s A + t B = O => s< 2 , l> + t<-l , 3) = (0 , 0)
dep e n die nte s m ediante otra definición.
S e dice que d o s vectores A y B € R- s o n
l) = (0 ,
(s ,0) + <0 , 0 = <0 , 0)
ó t* 0
(■=>) D e m o stra re m o s prim ero que si A Y\ B e n to n ce s A y B s o n L. I.
E n efecto , s u p o n g a m o s que A >T B y q ue s A + i B = O
Al dividir a m b o s m iem bros de e sta igualdad entre s ó t , te nd rem os :
A = ( - i ) B
ó
B = ( - ^ ) A
<=> A || B
ó
B IIA
(A y B s o n linealm ente d ep endientes) lo que contradice la hipótesis.
P o r lo tanto , A y B s o n linealmente independientes.
Capítulo I: Vectores en el plano
92
(<=>) D e m o stra re m o s que si A y B so n linealmente independientes entonces, A j f B
E n efecto , s u p o n g a m o s que A
B , A * 0 y B * 0
Sección /. 13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
93
Los núm eros s y t p u ed e n ca lcu la rse m ultiplicando e scalarm e n te la igualdad por A 1
y B x , esto e s :
c=> 3 r * 0 A = r B
t=> A + (-r) B = O
A 1 • C = l (A 1 • B)
=> t =
A - L.Q
Ax • B
S e ha lograd o u na com b in ación lineal de A y B igual a O co n coeficientes I y
-r qu e s o n diferentes de cero , lo cual contradice la Definición 1.14. E sto signi­
fica q ue A y B s o n linealmente dep e n die nte s , lo q ue contradice nuevam ente
la hipótesis. P o r lo tanto , A J ÍB .
TEOREMA 1.5 E l teorema de las basesS i A y B s o n vectores linealm ente in de p en d ie n te s del p lan o ,
I
en to n ce s A y B form an u n a b a se de los ve ctore s del plano.
O B S E R V A C I O N E S 1.9
1. Un vector no nulo s e p u ed e e xp re sa r no solam e n te c o m o u n a com b in ación lineal
de d o s ve cto re s o rto go n a le s A y A 1 , sin o q ue A x s e p u e d e reem p lazar por
D em ostración. S e a n A = O Q , B = O R y C = O P
cualquier otro vector que cu m pla la condición d e n o se r paralelo a A.
r
P o r hipótesis A y B s o n lineal­
M
/*
m ente inde p en d ie n te s , e nto n ce s O Q y O R no
so n colineales. P o r el punto P tracem os parale­
las a Ó Q y Ó R de m od o que intercepten a s u s
B/
p ro lo n ga cio n e s en M y N respectivam ente (Fi­
V
2. L o s n ú m e ro s s y i de la e c u a c ió n (28) s e d eno m in a
coordenadas del vector C en
la b a se (3 = { A , B }
3.
/
E n la F igu ra 1.113 p o d e m o s o b se rv a r que el v e c t o r : s A =
.Di , p .
— — JA
/
A "*Q
^
J
FIGURA 1.113
ON = s A y OM = l B
D a d o que :
-= o p
e s la proyección del vector C so b re el vector A sig u ie n d o la dirección de B.
?
gu ra 1.113). L u e g o s e tiene :
^
A esta proyección s e le denota p o r :
fp ro y .A B)C =
) A
_________________ /
O P = O N + N P = O N + O M , e nto n ce s
C = s A + tB
lo que n o s permite afirm ar que C s e representa c o m o una única co m b in ació n lineal
A s í m ism o, el vector
B =
^ )
b
| e s la p royección de C so b re B sig u ie n ­
de A y B y g e n e ra el e sp a c io vectorial R :.
E n s ín te sis , d a d o un par de vectores A y B en R ; , e n to n ce s
a
K
b
«
{ A , B • e s una b a se del e sp a c io R 1
do la dirección de A . y s e le denota p o r :
P ro y (B A)C = (
* g ) B
j
(29a)
La dem ostración del teorem a n o s su gie re la siguiente definición.
P o r lo tanto , en la ecu a ción (28) s e tiene :
Definición 1.15 D o s vectores A y B constituyen u n a base de lo s ve cto re s del
plano s i , todo vector C del plano s e p u e d e e x p re sa r d e m a n e ­
ra única c o m o u n a com b inación lineal de A y B. E s decir
A y B ge n e ra n a R : «
VC €
,3 s , te R IC = s A + tB
c = P r°y,A.8)c
+ P r°y,B.A,c
(30)
Capítulo I: Vectores en el plano
94
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
Ejemplo
95
4)
F ijado el ve c to r C e R : , e n to n c e s C e s e x p re sa b le en form a
^
única , c o m o la co m b in a c ió n lineal de los sig u ie n te s p a re s de
vectores :
a) A = (2/3 , 1/5) y B = (-1 , -3/10)
Ejemplo
1 J
Estab le ce r el valor de verdad de c a d a afirm ación.
A = (-7 , k + 2) y B = <1 - 2 k , 1 ) s e a n linealm ente in d e p e n ­
Solución. S a b e m o s que V C e R 2 , 3 s , t € R I C = s A + t B <=> A K B
dientes.
Luego, bastará co m p ro b a r si c a d a par de vectores d a d o s s o n paralelos
Solución. S a b e m o s que d o s vectores A y B s o n linealmente d ependientes <=> A
o bien , si A • B 1
Luego, si
B,
Existe un único r e R , tal que A = r B <=> A
-3
k e R - { - 3 , 3/2 }
2
J
b) A = r B <=> (3 / 5 ,1 ) = r(-l , 5/3) o
■
S e a n A y B vectores linealmente independientes. P a ra q ué va ­
lores de k tendrem os que C = 3 A - 2 B
B
.-.La afirm ación e s falsa.
ó k= 3/2
P o r lo tanto , A y B s o n linealmente independientes si y só lo s i , k * -3ó k * 3/2 , esto
[ Ejemplo
2/3 = -r => r = -2/3
j
1/5 = (-3/10) r c=> r = -2/3
(-7 , k + 2) • (-1 , 1 - 2 k) = 0 •=> 7 + (k + 2) (1 - 2 k) = 0
es :
a) A = r B <=» (2/3 , 1/5) = r(-l ,-3/10) <=>
= 0
<=> 2 k; + 3 k - 9 = 0 <=> k =
Solución.
b) A = (3/5 , 1) y B = (-1 , 5/3)
H állese los va lore s de k para que los ve cto re s
Luego , J l r e R
Ejemplo
5 )
y D = k A + 4 B s o n L. I.
A = rB
a
/
l
K
3/5 = ' r * * r = ' 3/5
= (3/5) r => r = 3/5
.1 —
B
/ . L a afirm ación e s verdadera.
E x p re s a r el vector C
= (4 , -5) co m o com b in ación lineal de los
vectores A = (-2 , 3 ) y B = (3 , - 1 ) , lue go hallar P ro y(A
D e b e m o s hallar n ú m e ro s s y t , q u e no s e a n sim ultáneam ente cero, de
p r°y(8.A)C y co m p ro b a r la ecu a ción (30).
m odo que s i : s(3 A - 2 B) + t(k A + 4 B) = 0 <=> (3 s + k t)A + ( 4 1 - 2 s)B = O
Solución. H a lle m o s las c o o rd e n a d a s (s , t) de C s e g ú n la b a s e { A
A p lica n d o la ecuación (28) s e
S e g ú n la Definición 1.14 , la d ep e n d e n cia lineal de A y B implica que
3s + k t= 0 y 4 i- 2 s = 0
S=
D e la s e g u n d a e cu a ción , s = 2 t , y sustituye ndo en la prim era e cu a ció n s e tiene :
6 1 + k t = 0 <=> t (6 + k) = 0 o
* A
^ ’ 3> * <4 ’ ~5> =
(1 ,3 ).(-2 ,3 )
t = 0 ó k = -6
Bj
tiene :
.
’
.
A x • C _ (-3 , -2) •
A-l . B ~ ( - '3 , - 2 ) .
D a d o q u e : P ro y (A
B)C = s A = - ü (-2 , 3)
3j
su scep tib le s de form ar u n a b ase. D e m o stra r q u e C = 3 A + 2 B
Ejemplo
6 )
Sean
=
E n efecto , co m p ro b a re m o s que C y D s o n linealm ente inde p en ­
dientes aplicando la Definición 1.14
Si s C + t D = O
=>
s(3 A + 2 B) + t(2 A - 5 B ) = 0
<=*
(3 s + 2 t)A + (2 s - 5 i) B = 0
P o r h ipótesis , A y B so n L. I. , luego aplicand o n uevam ente la Definición
tie n e :
■
S e a n A y B ve cto re s linealm ente in d e p e n d ie n te s y c o m o t a l,
y D = 2 A - 5 B tam bién form an u na base.
D em ostración.
(4 , -5)
2
(3 ,-1 ) = t
y P ro y (BA)C = t B = 2 ( 3 , - 1 )
«=> c = - y - (-2 , 3) + y (3 , -1) = (4 , -5)
Ejemplo
B .
/. C = s A + t B = - y - (-2 , 3) + y (3 , - 1)
C o m o s y t no deben se r a m b o s cero , e n to n ce s lo s vectores C y D s o n linealmente
indep end ientes si k = -6.
11
7
B>C y
Solución.
{A,
,
‘
A2}
, { B , , B J b a s e s de R : y
B, - 3 B r S i
C o m o (m , n) s o n la s c o o rd e n a d a s de A s e g ú n la b a se (A. , A,} , halla­
re m o s las c o o rd e n a d a s de B, y B, s e g ú n e sta m ism a base, esto es, s i :
A, = B, - 2 B , <=» B, =
1.14 se
A,
A , = 3 ( A 1+ 2 B , ) + Í B .
+ 2 B,
(-|)
=> B , = - Í A , t
^
A¡
3 s + 2 t = 0 y 2 s - 5 t = 0 c=> s = 0 , t = 0
P o r lo tanto , C y D so n linealmente independientes.
A =2
. A j = 3 B t + (1/2)BZ y A = m A t + n A 2 , hallar m - n.
■
Su stituye n d o (2) en (1) ob ten e m os :
B |= 1
A : + p A,
(2)
Capítulo I: Vectores en el plano
96
A h o ra .S ¡:A = 2 B , - 3 B ; «
A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
97
■>
S i U y V form an un a b a s e de R 2, m o stra re m o s que: c
A ;)
i) U y V s o n vectores linealmente independientes.
<=>A=— A + — A
13
'
13 -
sU + t V = 0
(m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n =
18/13
t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O
<=> (-4 s - 2 1 , 2 s - 5 t) = O o
{
^fc>Q
-4 s - 2 1 = 0
/
2s-5t = 0
R e so lv ie n d o el siste m a ob te n e m o s , s = t = 0 ,
Ejemplo
7J
= 3 B, - 5 B 2 , y determ ine la s c o o rd e n a d a s del vector A
respecto de la b a s e P’ = { B, , B 2} , si respecto de la b a s e p = {A , , A 2} s o n (2 , -1).
Solución.
R e so lv ie n d o el sistem a de e cu a c io n e s para B, y B, o b te n e m o s la s fór­
m u la s del cam bio de b a s e , esto e s :
R - — A - 1 A
' “ 2 1
2
2
ü)
U y V g e n e ra n a R 2
I
F i g u r a 1.114
=> B . t e R I C = s U + 1 V
Com o x . y e
2
S i (2 , -1) s o n las c o o rd e n a d a s de A respecto de la b a s e p = { A I , A ,}
A = 2 A, - A,
12
b) S i A = r U + t V <=> (1 , 5) = r (-4 , 2) + t (-2 , -5}
<1 , 5> = <-4 r - 2 1, 2 r - 5 1> <=>
<=> 2 A, - A , = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l) A, <=> -J
L
r l.= - 4 r - 2 n
<=* r = — , t = - —
l 5 = 2 r-5 t J
+ t ( | A, - i A,)
r
D e d o n d e o b te n e m o s : s = -1 y
s= -y ~
, t= 24
.
i ) y ¿ í ) , s e sig u e qu e U y V form an un a b a s e de R 2.
S e a n (s , t) las c o o rd e n a d a s de A respecto de la b a s e p’ = {B , , B ,}
=» A = s B ( + t Bj = s ( | A , - Í A , )
^
R <=> 3 t , s e R ¡ C = s U + t V , por lo que U y V ge n e ra n a R 2.
E n c o n se c u e n c ia , de
, e n to n ce s
/
E n efecto , s e a C = ( x , y ) un vector del plano
«=> (x , y> = s(-4 , 2) + t<-2 , -5> <=> { X
4S ” l }
ly = 2s-5tJ
B = — A - — A
’
2_ 2
1 2
s<\ .
por lo que : U y V s o n L. I.
H alle la s fó rm u la s del ca m b io de b a s e , s ie n d o A t = B , - B 2 ,
A
k
p
E n efecto , s e g ú n la Definición 1.14
A=^<-4,2>
2 = Jr ( 5 s + 3 t ) « = > 5 s + 3 t = 4
24 ’
12
- jj< -2 .-5 >
-1 = - -i- (s + t) => s + t = 2
t = 3 , luego (-1 ,3 ) s o n la s c o o rd e n a d a s del vector
A respecto de la b a s e p’ = { B t , B,}.
[ C je m p lo
■
9 ]
El vector A = (-5 , 2 ) s e d e sc o m p o n e en A , I I X y A ? |[ Y.
El vector B = <2 , 1/2) s e d e sc o m p o n e en B, 11 X y B 2 ¡ |Y.
Si X = (2 , 1) e Y = (-2 , -3 ), hallar el valor de (A, + B 2) • ( A 2 + B 2)
Ejemplo
8 )
L o s p untos P(-3 , 4) , Q(1 , 2) y S (-5 , -1) s o n vértices d e un
Solución.
=> (-5 , 2) = m<2 , 1) + n<-2 , -3) <=>
p aralelogram o P Q T S , sie n d o P y T vértices op u e sto s.
a)
M o stra r que los vectores
U =
T S y V = Q T form an una b a s e
b)
E x p re sa r el vector A = <1
,5 )
co m o com b inación de U y V.
Solución. S e a C el centro del p aralelogram o , e n to n ce s
S iA = m X + nY
de R 2.
a)
U = T S = S - T = ( - 5 , - l ) - ( - l , -3> = (-4 , 2>
V
= Q T = T - Q = (-1 , -3) - <1 , 2) = <-2 , -5)
'5 = 2m ' 2n
2 == m - 3 n
19 < 2 ,1 ) y A, = - -2. (-2 , -3)
de d on d e ob te n e m o s : m = -19/4 y n = -9/4 <=* A ( = - J-2.
4
Si B = r X + i Y «=> (2 , 1/2) = r(2 , 1) + t(-2 , -3) <=>
C = - j (Q + S ) = y <-4 , 1> = <-2, 1/2)
T a m b ié n C = - L (P + T ) <=> T = 2 C - P = (-4 , 1) - (-3 , 4) = (-1 , -3>
(
{
2 = 2r-_t
l 1/2 = r - 3t
de d on d e s e tiene : r = 5/4 y i = 1/4 => B, = ¿ ( 2 , 1) y B, = j ( - 2 , -3)
Por lo tanto :
(A, + B , ) . (A, + B,) = (-
1 ) (-2) ( 2 , 1 ) . (-2 . -3) = - 49
Capítulo I: Vectores en el plano
98
Ejemplo
10 J
E n la F ig u ra 1.11 5 s e tiene el p a ra le lo g ra m o A B C D . S i P e s
Ejemplo
12
J
S e tiene el cuadrilátero A B C D . S a b ie n d o que A E = ^ A B y F y
punto m edio de C B , Q D = 7 Q B y si P Q s e e scrib e c o m o una
com b in ación lineal de D C y A D , calcular la s u m a de lo s e sca la re s.
c (1)
PQ = s D C + t A D
G s o n p u ntos de trisección de C D y M e s punto m edio de EF. Al
expresar A M c o m o u n a co m b in ació n lineal de A B , B C y C D , hallar la su m a de todos
\
C
D
los e scalares.
Solución. S e a n m , n y r los e sc a la re s tales que :
A M = m A B + n BC + rC D
E n el A Q B P : P Q = P B - Q B _
= ^1CrñBi -. -1y Q D
pv
=> PQ = y (- AD) * y ( | BD) = - Í A D - I
En el A A E M ; Á M = Á É + É M =
B
A
V
= 1 Á B + i - ( É B + B C + C F)
>
F IG U R A 1.115
i A B + 4 ( 4 A B +■ B C + y C D )
= 4
3
^ DC - ¿ AD
=
S e g ú n (1 ):
s DC + t AD = I
DC - | AD «
(s -
D C + (t + | ) A D = O
D a d o q ue D C y Á D s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s :
s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0
- | A B + ^ B C + -2-CD
¿
O
ó
Lue go , s i : m A B + n B C + r C D = 4 a B +
<=> s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2
11 ]
En el paralelogram o de la Figura 1.116 : A E = - ^ A C , D F = -^-DC
\ B C + -^ C D
= * (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O
C om o A B , B C y C D
[ Ejemplo
\ Á B + \ ÉF
BD
= - y Á D - l ( - D B ) = - - y Á D + | ( Á B - Á í>)
C o m o A B = C D ■=> P Q =
99
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
s o n linealm ente indep end ientes , en to nce s
m - 2/3 = 0 ,
n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 <=> m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6
m + n + r = 4/3
S i É F = m Á B + n Á D , hallar el valor de m + n.
Solución.
E n el cuadrilátero A D F E s e tiene :
Ejemplo
13 J
E n el p arale logram o de la Figu ra
1.118 , P
y Q s o n p untos m e ­
d io s de B C y A B respectivam ente , R D = 3 A R . S i R C s e expre­
sa co m o u n a co m b inació n lineal de P Q y P A , hallar el producto de lo s escalares.
Solución. S e a n m , n e R los e sc a la re s tales que
R C = m PQ + n PA
En el A R D C s e tiene :
RC = RD + D C = 4 Á D + DC = 4 BC + Á B
4
4
■=> m A B + n A D = j A B + -j A D
«=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O
=
-J- (2 BP) + 2 Á Q = y (Q P - Q B ) + 2 Á Q
=
| (Q P - Á Q ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q
C o m o Á B y Á D s o n linealmente in dependientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0
m + n = 1
= - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ
L u e go , s i :
m PQ + n P A = - PQ + y P A
1 00
Capítulo I: Vectores en el plano
Solución. S i A C = A B + B C <=> A B = A C - B C
=> ( m + l)P Q + ( n - 1/2)PA = O
Com o
P Q jfP A
Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores
>=> m + 1 = 0 y n -l/ 2 = U e s m = -I
, n = 1/2
(1)
(2)
E n el A B D C : B C = D C - D B = -i-Á C - D B
m n = -1/2
101
I
Com o el A A B C e s equilátero , el punto H e s tam bién
su baricentro , por lo qu e :
Ejemplo 14 J
S e a A B C D un p a ra le lo g ra m o
, M un p unto s o b re el lado BC.
S i el área del A A B M e s igual a la mitad del áre a del
HB = ¿ DB
c=> D B = 4 H B
cuadriláte­
Lue go , en (2 ):
ro A M C D y A M = r D C + t A D , hallar el valor de r + 3 1.
Solución. S i área ( A M C D ) = 2 áre a ( A A B M )
BC =
A C - HB
Sustituyendo en (1) s e tiene :
t=> área ( A B C D ) = 3 áre a ( A A B M )
áb
L u e g o , (B C ) h = | ( B M ) h
<=*
= Á c - (í
\
B M = -| B C
En el A A B M : A M = Á B + B M = D C +
2á
c
- 1
2 l Tb )'
= I
2
S i n Á c - m iTÍJ = 4 -Á C + ¿ Í? B »
BC
A ± +
m
Si r DC + tÁ D = D C + | .Á D
i . .
n
ác
+ 4 iTb
2
n = i
y m = -|
4 * 2 - 4
3
3
c=> ( r - l) D C + (t - 2/3)ÁD = O
C o m o D C K A D => r - l = 0
=> r = l
y
y
t - 2/3 = 0
t = 2/3
Ejemplo
17 ^
r+3t = 3
E n la F igu ra 1.122 , A B C D e s un p arale lo g ra m o d o n d e M y
s o n p u ntos tales que D N = ^ D C y M e s punto m edio de BC .
Hallar los n ú m e ro s r y s e R , tales que A R = r A C y N R = s NM .
Ejemplo
15^
E n el p aralelogram o A B C D de la F igu ra 1.120 s e cum ple :
AE
ED
1
n - 1
y
AP
AC
1
Solución. E n el A M C N :
S i M = m A P - n A E , d e m o stra r
m
que M = A B
N M = Ñ C - M C = -i-D C -
\ BC
Com o D C = A B y B C = A D
D em ostración. E n efecto , en el A A B C :
=* N M = i- A B - l. A D
Á B = ÁC - BC = ÁC - ÁD
En el cuadrilátero A D N R se tiene :
= Á C - ( Á É + ÉD) = Á C - Á É - E D
ÁR = Á D + DÑ + ÑR = ÁD + -| d C + sÑ M
D e las ra z o n e s d a d a s :
Á C = m .AP y É D = (n - l) Á É
= Á D + -jÁ B +
= * Á B = m Á P - Á E - (n - I ) Á E = m Á P - n A E
M = ÁB
Ejemplo
16 )
■
E n la Figu ra 1.1 2 1, el A A B C e s equilátero. S i A B
don d e H e s el ortocentro , hallar el valor de :
.(*
=n AC
- m HB,
+ « )Á 6
s ( 4- Á B - 4 Á D )
+ (| . -| )A D
(1 )
A h ora , si A R = r A C <=> A R = r ( A B + B C ) = r A B + r A D
De (1) y (2) s e sig u e q u e :
( 4 + -|) a
b
+ (l - 4 )
ad
= r AB + r AD
(2)
Capítulo I: Vectores en el plano
102
EJERCICIOS
E JE R C IC IO S : Grupo 12
■ = > (§ + - § - r ) A B + ( l - - | - r ) A D = 0
Com o
Á B K Á D => ( | + -| - r = o )
a
(l - ■§ - r = o)
o
103
Grupo 12
r = 4/5 ,
s=
2/5
■
E n los ejercicios 1 al 4 , s e a n A y B vectores linealmente independientes. P ara
q ué va lo re s de m tend rem os que C y D s o n linealmente independientes.
L a F ig u ra 1.123 e s u n a p a ra le lo g ra m o , e n elcual M divide al
1.
C = 3 A + (m + 3 )B
se gm e n to B C en la razón 1/3 y N divide a A B en la razón 2/3.
2.
C =A - 2 B
3.
C = (m + 1 )A + B
,
D = 4 A + (m + 1)B
4.
C = 2 A + (m + 2 )B ,
D = 3 A + (m -1 )B
5.
S i A y B form an una b a s e en R : , dem ostrar q u e los vectores C = 5 A - 2 B y D =
E n que razón divide P a D N y A M .
7
Solución. D e s ig n e m o s por r y s la s ra z o n e s en f
"J
que el punto P divide a A M y D N respectivam ente , esto e s : r =
AP
y
s -
3
DP
6.
L o s ve cto re s Á D , D P y P Á s o n L. I . , lu e go :
ÁD + D P + P Á = 0
,
,
D = (m - 4 )A - 4 B
D = 3 A + m B
A + 4 B tam bién form an un a b a s e en R :.
H allar los va lo re s de m para los ve ctore s d a d o s s e a n L. I.
a) A = <m - 5 , 4> , B = <2m , -1}
(1)
A h o ra , el ob je tivo e s e x p r e s a r D P y P A . e n
7.
Fijado el vector C en R - , e n to n ce s C e s e xp re sa b le y en form a única, co m o una
co m b in ació n lineal de los sig u ie n te s p a re s de vectores
FIGURA 1.123
v
b) A = (2 , 2m - 3) , B = <1 - m , -5)
térm inos de Á D y Á B , d o s vectores linealm ente
a) A = (-5 , 10) , B = <3 , -6)
c) A = (V6/2 , -6) , B = <-5/4 , 5^6/2)
independientes.
b) A = (2 , 4) , B = (-1/2 , -1)
d) A = (3 , -1/2) , B = (-12 , -2)
E n el A A N D : Á D = A N + N D = A N - D N <=> D N = A N - A D =
AB - AD
Si s = —
=> D P = s D Ñ => D P = s ( 4 Á B - Á D )
DN
v5
E n el A A B M : Á M = Á B + B M = Á B +
Esta b le ce r el valor de verdad de c a d a afirmación.
(2)
8.
C u á n t a s b a s e s de R- s e p u ed e n obtener co n ellos.
9.
^ BC = AB + ^ A D
D a d o s lo s vectores: A = (1 , 2 ) , B = (-1 , 2 ) , C = (1 , 1 ) , D = (2 , -4) y E = (-3, 6).
Hallar la s c o o rd e n a d a s del vector A = (1 , 2 ) respecto de la b a se p = { ( 2 , -1 ),
<-1 . 1) }-
Si r =
APAM
c=> Á P = r Á M
<=> PA = - r A M = - r Í A B + j A D )
H
(3)
10.
Halle las c o o rd e n a d a s del vector A = (1 , 3 ), respecto de la b a se p = { ( - 2 , 1 ),
<1 , 2 ) } .
Su stitu ye n d o (2) y (3) en (1) s e tiene : A D + s ( | A B - A D ) - r (A B + j A D ) = O
11.
S e a { u . v } u na b a se de R : . u = (1 , 3 ), v = (-5 , 1). S i A = (-2 , 6) y si A = r
==> (l - s - -£ )Á D + ( - | s - r ) A B = 0
a) C o m p ^ A = r
= ° ) A ( A S - T = O)
b) r + t = 5/2
c) u l A 1
Esta b le ce r el valor de ca d a afirm ación
C o m o A D K A B , s e sig u e que :
(l - S - I
u+
t v , e n to n ce s :
f = yj- , s =
JJ
■
12.
Si C = 3
u + 5 v. d ond e { u , v } e s un a b a se de R :, A = 3 u - 5 v , B = - u + — v
5
y C = r A + s B , d on d e
3
J,A . B } e s otra b a se de R : ; determ inar los va lore s de r
y s.
13. D a d o s los ve cto re s A , B y C
, A * B ^ O , s e a P = (C ; A , B ) el vector que
sa tisfa ce la s d o s co n d icio n e s sig u ie n te s :
a)
P (C ; A . B ) e s paralelo al vector A
Capítulo I: Vectores en el plano
104
b)
EJERCICIOS :
Grupo 12
105
P ro y BiP ( C : A . B ) = P ro y Bi C
D e m o stra r q u e : P (C : A , B ) + P (C ; B , A ) = C
14.
S i { A , B , C } c R 2 s o n ve cto re s no n ulo s , s e afirm a :
a) S i { A , B } e s b a s e de R : =* {P r o y BA . P ro y AB } e s b a s e de
R2
b) i A , B , C } e s linealm ente dependiente
c) { A , B } e s b a s e de R 2 >=> A 1 B
Determ inar el valor de verdad de c a d a afirmación.
15.
Halle las fórm ulas del ca m bio de b a s e , sie n d o u, = 3 v, + v 2 , u 2 = 4 v, y determ ine las c o o rd e n a d a s del vector
u respecto de la b a s e
P’ =
{v, ,v 2}
3v 2 ,
23.
y ^
= § ; a) E n qué razón divide P a D N y A M
NB
J
b) C a lcu la r el área del triángulo A P D .
E n el triángulo A B C de la Figura 1.125 , las longitudes de los se g m e n to s B D y
24.
D C s o n 3 y 5 respectivam ente. S i Á D = m Á B + n A C , hallar el valor de m + n.
18.
E n la F igu ra 1.131 , A B C D e s un p arale logram o de 2 2 0 u2 de área.
!= ; = o
MC
^
E n el triángulo A B C de la Figura 1.124 s e tiene, A M : M C = 3 : 4. S i B M = r B A +
t B C , hallar el valor de r + t.
17.
E n el p arale logram o A B C D de la Figura 1.130 s e tiene : B C = 4 B E y F e s punto
m edio d e A C . S i E F = m A C + n A B , hallar el valor de m - n.
si
respecto de la b a s e p = {u, , u 2} s o n (3 , -2).
16.
22.
E n el triá n g u lo A B C de la F ig u ra 1 .1 3 2 s e tiene : A D y C E s o n m e d ia n a s y
P M 11 B A . Hallar m y n tales que A P = m P M + n BC.
S i M y N s o n p u ntos de trisección del lado B C del triángulo A B C (F igura 1.126)
y Á Ñ = m Á C + n A B , hallar el valor de
^
.
25. E n el plano , s e a A B C D un cuadrilátero d a d o y s e a n M y N p untos m e d ios de los
la d o s A B y C D respectivam ente , y s e a n E y F p u ntos m e d ios de los la d os B C y
A D respectivam ente. S i M N n É F = { Q } , (Á B y C D la d os op u e sto s)
a) D e m o stra r que Q A + Q B + Q C + Q D e s el vector nulo
19.
E n la Figu ra 1.127 , A B D C e s un paralelogram o, P punto m edio de C D , E punto
b) S i C D = r M E + s A F , hallar r y s
m edio de B D . S i C B s e e x p re sa c o m o u n a co m b in ació n lineal de A P y A E ,
hallar el producto de lo s escalares.
26. S e a n A , , A 2 ...... A n , n p untos de R :. S i O A , + O A 2 + .....+ O A n s e e x p re sa co m o
co m b in ació n de O A l , A , A 2 , A 2A 3 , ... A^ t A n , hallar la s u m a de los e sca la re s.
20.
E n el cu ad riláte ro de la F ig u ra 1.12 8 s e tiene : E e s p unto m e d io d e A D , F y
G s o n p untos de trisección de B C y M e s punto m edio de EF. S i A M = a A D +
27.
S e a el p a ra le lo g ra m o A B C D de la F ig u ra 1.133. S i P , Q , R y S s o n p u n to s
m e d io s de los la d os y T e s el punto de intersección de O B y P Q , hallar m y n, si
b A B + c B C , hallar el valor de a + b + 3c
AT = m B D + n OC.
21.
E n la F igu ra 1 .1 2 9 , A B C D e s un p arale lo g ra m o , P C = 3 BP. S i B C = m B G +
n A P, hallar el valor de m - n.
28.
La F igu ra 1.134 e s un p aralelogram o en el c u a l , E divide al se gm e n to A C en la
razón 3/2 , F e s punto m edio de B C . E x p re sa r M = D E + A F c o m o com binación
Capítulo I: Vectores en el plano
106
107
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
ción el u s o de un vértice cualquiera c o m o origen de lo s vectores (Figu ra 1.136), en
lineal de A D y A B .
29. E n el triángulo A B C de la F igura 1.135 s e tiene que P , M y N s o n p u ntos m e d ios
—>
—>
—>
de lo s lados. Hallar m y n s i : n N B + n C M = B O .
otros c a so s, el vector de p osición de ca d a vértice o punto fundam ental de ca d a
figura geom étrica. A s í , en la Figu ra 1.137 , el vector de p osición del vértice A se rá
d e sign a d o por a (en n e g rita ), el se g m e n to A B por b - a , el se gm e n to B C por c - b ,
etc.
L o s ejem plos sig u ie n te s darán un a mejor ilustración de lo que s e sugiere.
Ejemplo
1
J
Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan
mutuamente.
D em ostración.
Hipótesis. Sea ABCD un paralelogramo
M punto medio de la diagonal AC
1.14j L O S V E C T O R E S Y L A G E O M E T R IA E L E M E N T A L _______
N punto medio de la diagonal BD
Tesis.
L a s relaciones e sta b lecid a s p ara lo s ve cto re s en R : constituyen instrum en­
tos de sin gu la r im portancia para el tratamiento de ciertos c o n c e p to s de la
Demostraremos que : M = N
En efecto , AM = ^-ÁC «=> m - a = y ( c - a)
Geometría
Elemental. A lg u n a s v e c e s una a prop iad a aplicación de m étod os vectoriales facilita­
rá la interpretación y dem ostración de p ro p o sicio n e s geom étricas.
m = 4 (a + c)
Análogamente , BÑ = \ BD
n = - l ( b + d)
S e d eb e destacar, sin e m b a rgo qu e a v e c e s e s n e ce sa rio el u s o de las
c o o rd e n a d a s ca rte sia n a s para facilitar las dem ostracione s. El em p le o de un siste m a
Por ser A BCD un paralelogramo ;D C = ÁB «=> c - d = b - a
rectangular e s arbitrario en lo qu e s e refiere a la orientación y colocación de los ejes
Sumando a + d a ambos miembros de esta igualdadse tiene
c o o rd e n a d o s y esta relación no h ace perder generalid ad al teorem a.
r
'
^
r
c -d
\
A
+ (a + d) = b-
a
+ (a + d) >=> a + c = b+ d <=> \ ( a
+ c) =
4(b + d)
Por lo tanto , m = n , esto es : M = N
■
b-a
/
aj
a/
A
■
c
v--------------------------------------------------------
FIGURA 1.137
z'
*
2 J
D e m o stra r que el se g m e n to de recta q ue un e lo s p u n to s m e ­
dio s de los la d o s de un triángulo e s paralelo al tercer lado , y su
\
/
O
Ejemplo
\
C
longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.
Dem ostración.
Hipótesis.
--------------------------- J
FIGURA 1.136
E s oportuno resaltar qu e cu a n d o s e u sa n m étod os vectoriales para la d e ­
S e a el A A B C , d on d e M y N s o n p u ntos
m e d io s de la la d o s A B y B C re sp e c tiv a ­
mente.
Tesis.
P ro b a re m o s que MN11 A C y 11 MÑ11 = -A-I |A C 11
m ostración de teorem as, no e s importante ubicar la figura en un a determ inada p o si­
ción en el siste m a coordenado; sin e m b a rgo e s re co m e nd able tener en c o n sid e ra ­
En efecto, A B = 2 A M => b - a = 2(m - a) <=> m = 4 (a + b)
F|GURA 1.139
108
Capítulo I: Vectores en el plano
2B Ñ
A n á lo ga m e n te : B C =
D a d o qu e
MN =
n-m
=>
c - b = 2(n - b)
<=> M N = 4
(b + c) -
co
n = -L(b + c)
-ÿ(a +
Tesis. S e va a d em ostrar que : M Ñ = -i- ( Á D - B C )
b)
En efecto , si
<=> M N = -J¡-(c - a) <=> M N = Í A C
P o r lo tanto , M Ñ
11Á C
y
IIMÑ il = \\I
ÁC
3
]
AM =
BÑ =
11
|AC
<=> m =
y B D ■=> n =
l(b +
A h ora , M N = n - m «=> M N = 4 "(b +
<=> M Ñ = -i-
Ejemplo
109
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
(d - a)
d) -
\{a + c)
d)
4p(a + c)
- i - (c - b) = i (Á D ) - | (B C )
D e m o stra r q ue los p untos m e d io s de los la d o s de un cuadrilá­
M N = -i- ( Á D - B C )
tero s o n los vértices de un paralelogram o.
D em ostración.
Hipótesis. A B C D e s un cuadrilátero , M , N , T y S
Ejemplo
5 JS e a n
s o n p u ntos m e d io s de los lados.
Tesis.
P ro b a re m o s qu e M N 11 S T y M S 11 N T
E n efecto, A M =
BN
=
\ A B ■=> m = \ (a +
4 BC
M , N y R lo s p u n to s m e d io s de los la d o s de un A A B C y
s e a P un punto exterior al triángulo. D e m o stra r que
:
PM + PÑ + PR = PÁ + PB + PC
b)
Demostración.
<=> n _= \I (b + c)
Hipótesis. S e a el A A B C , M , N y R p untos m ed ios de
s u s la d os y P un punto exterior. En ton ce s :
MN
= n - m = \ (b + c) - -JL(a + b) = ÿ (c - a)
L u e g o , M Ñ = 4 -A C «=> M Ñ I I Á C
A s í m ism o : Á S = -i- A D <=> s = -i- (a + d)
y com o : S T =
t- s
=
|(c
m = -±-(a + b) , n = ^ -(b + c) ,
(1)
; CT
PM + PN + PR =
= y CD
t
+ d ) - -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C
=
\ (c + d)
S T lIÁ C
=
(2)
(n -
p) + (r - p)
- p) + ( b + C .p ) + ( a ^ c , p )
FIGURA 1.142
= i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a - p + c - p)
D e (1) y (2) s e d e d u ce que : M Ñ 11 S T y 11 M Ñ 11 = 11 S T 11
A n á lo ga m e n te s e dem u e stra q u e : M S l i N T y 11 M S 11 = II N T
(m - p) +
r = \ { a + c)
= (a -
p) +
11
(b -
p) +
(c -
p)
/. P M + P Ñ + P R = P Á + P B + r c
■
P o r lo tanto , el cuadrilátero M N T S e s un paralelogram o.
Ejemplo
! Ejemplo
4j
6 j
res.
D e m o stra r que en todo trapecio el se gm e n to de recta que une
los p untos m ed ios de las d ia g o n a le s , e s igual a la sem idiferen-
D e m ostrar que las d iagonale s de un rom bo so n perpendicula­
D em ostración.
cia de las b a se s.
Hipótesis.
D em ostración.
Tesis.
Hipótesis. A B C D e s un trapecio , M y N s o n p untos m e d io s de las d ia g o n a le s A C y
En efecto , en el A A B C :
B D respectivam ente.
S e a el rom bo A B C D
P ro b a re m o s que A C 1 B D
ÁC = ÁB + BC
y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C
(1)
Capítulo ¡ : Vectores en el plano
110
C o m o D C = A B (la d o s o p u e sto s de un r o m b o ), e n to n ce s :
BD = BC - ÁB
111
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
En efecto , si Á M = m - a <=> Á M = - i (b + c) - a =
(b + c - 2a)
(2)
B N = n - b <=> B N = -J¡- (a + c) - b = J_(a + 'c - -b )
M ultiplicando e scalarm e n te la s e c u a c io n e s (1) y (2) s e tiene:
Á C • B D = (B C + Á B ) • (B C - Á B )
CP = p -
C P = ± (a + b) - c = i (a + b - 2c)
c =>
= 11 B C 112 - 11 Á B 112 ; pero , 11 B C 11 = 11 Á B 11
P o r lo tanto , A C • B D = 0 «=> Á C ± B D
Sean :
■
= r ,
AM
— -= s
BN
y
—
CP
= i , e n to n ce s la
-
expresión vectorial q ue define al baricentro para ca d a
m ediana e s
AG
Ejemplo
7 J
D e m o stra r por m étod os vectoriales , que un triángulo inscrito
= r AM <=> g = a + r ÁM = a +
(b + c - 2a)
(1)
BG = sBÑ<=>g = b + sBÑ = b + -y(a + c-2b)
(2)
en un se m icírcu lo e s un triángulo rectángulo.
CG
D em ostración.
Hipótesis. S e a el ABA C inscrito en el sem icírculo
A h ora , de
= tC P => g = c + tC P = c+ 4-(a + b-2c)
(1) = (2 ),
: a + -y (b + c - 2a)=b +
s e sig u e que
(3)
(a
+ c - 2b)
de centro O (F igu ra 1.144)
<=> (2 - 2 r - s)a + (r + 2 s - 2 )b + (r - s)c =
Tesis. P o r d em ostrar que B A C e s un triángulo rec­
Com o a . b y c
s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s :
tángulo. B a sta rá probar qu e A B 1 A C
2 - 2 r- s = 0 , r + 2s - 2 = 0 , r - s= 0
E n efecto , en el A A O B : A B = A O + O B
de d o n d e o b te n e m o s : r = s = 2/3
(1)
A n á lo ga m en te , de (1) = (3) s e obtiene : r = i = 2/3
y en el A A O C : A C = A O + O C ,
pero Ó C = - Ó B « = > Á C = Á b - Ó B
O
m e d ia n a s s e interceptan en el punto G a 2/3 de Á M ,B Ñ y CP.
Por tanto , la s
(2)
Multiplicando e scalarm e n te (1) en (2) s e tiene :
I Nota.
Á B • Á C = (Á O + O B ) • (Á 6 - O B )
■
Si sustituimos los valores de r , s ó t en las ecuaciones (1), (2) ó (3),respectivamente,
se obtiene la ecuación vectorial que define al baricentro de un triángulo , esto es :
= ÁÓ • Á O - Á O •Ó B + Ó B • Á Ó - ÓB •ÓB
g =
j (a + b + c)
= 11 Á Ó 112 - 11 Ó B 112
P e ro , 11 Á Ó 11 = 11 O B 11 por se r radios del sem icírculo
.-. Á B • Á C = O => Á B ± Á C
*
■
Ejemplo
9 j
A B C y A ' B ’ C ’ s o n d o s triángulos , G y G ’ s o n s u s baricentros.
D e m o stra r que : A A ’ + B B ’ + C C ’ = 3 G G ’
f Ejemplo
8 J
D e m o stra r q ue la s m e d ia n a s de un triángulo
s e cortan en un
punto cu y a distancia a ca d a vértice e s los d o s tercios de la
distancia que s e p a ra a la m ed ian a de dicho vértice.
Demostración.
E n efecto ,
AA’ =
BB’ =
CC’ = c’- c
S u m a n d o s e tiene : A A ’ + B B ’ + C C ’ =
D em ostración.
Hipótesis. S e a n Á M , B Ñ y C P m e d ia n a s del A A B C
a’- a
b' - b
(a’ + b’+
Por la nota h e ch a en el ejemplo 8 : A A ’ + B B ’ +
c ’) -
(a + b +
CC = 3 g ’ - 3 g
Á Á ’ + B B ’ + C C ’ = 3 (g ’ - g) = 3 G G ’
Tesis.
P ro b a re m o s que
-
AG
BG
CG
2
=—
= —
= -
c)
■
112
Capítulo I: Vectores en el plano
E je m p lo
10 J
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
D e m o stra r q ue en un tetraedro , las lín e a s q u e u n e n lo s puntos
Ejemplo
12 J
m ed ios de los la d os o p u e sto s s e b ise c a n m utuam ente.
D e m o stra r que las tres alturas de un triángulo s e interceptan
en un punto llam ado
D em ostración.
Demostración.
ortocentro.
C o n s id e re m o s el triángulo A B C
Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y s e a n PQ y R T
en el cual tra za m o s la s alturas
d o s lín e a s que unen los p u ntos m e d io s
correspondientes a lo s vértices A y C los c u a le s
de d o s la d os op u e stos.
se interceptan en el punto O. P a ra facilitar los cá l­
Tesis.
culos s u p o n e m o s que este punto e s el origen de
P ro b a re m o s que M = N
E n efecto , tom and o el vértice O co m o origen , la
coordenadas. Al unir O con el vértice B , la p rop o­
e xp re sió n vectorial que define el punto m edio de
sición q u e d a rá d em ostra d a si p ro b a m o s q ue Ó B
M de PQ e s :
es p erpendicular a AC .
m = 1 (Ó P + Ó Q ) = i
En efecto , si O A 1 B C
<=> a • (c - b) = 0
(1)
Ó C1ÁB
=> c - ( b - a ) = 0
(2)
[ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ]
FIGURA 1.146
1
m = -L (Ó Á + Ó B + Ó C )
Ahora , s u m a n d o (1) y (2) n o s da
(1)
a *c -a *b + c *b -c *a
A s í m ism o s , p ara el punto m edio N de R T s e tiene :
n = I (Ó R + Ó T ) = 1
[ ~ (Ó B + Ó C ) + I
D e (1) y (2) s e s ig u e que :
Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C )
m = n <=> M = N.
113
<=> b • (c - a) = 0
==> Ó B • Á C = 0 »
Ó B 1 ÁC.
■
(2)
■
I
Ejemplo
13 j
D e m o stra r q ue las m e d ia t i­
c e s de los la d o s de un trián­
gulo s e cortan en un punto llam ado
E je m p lo
11 }
D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de la s d ia g o n a le s de
D em ostración.
un p aralelogram o e s igual a la s u m a de los c u a d ra d o s d e s u s
excentro.
E n el A A B C tr a z a m o s la s m ediatrices de lo s la d o s A B y BC ,
lados.
las cu a le s s e interceptan en el punto O. U n im o s O
D em ostración. S e a el p aralelogram o A B C D
con P , punto m edio de Á C . P a ra d em ostra r la pro­
Si B D = Á D - Á B
posición b astará probar que O P e s perpendicular
<=> Il B D II = 11 Á D - Á B II
a ÁC.
c=> || B D 112 = 11 Á D I I 2 + 11 A B 112 - 2 Á D • Á B
En efecto , por definición de mediatriz.
(1)
Ó Ñ1BC
y si : Á C = Á D + D C = B C + D C
c=> | | á
c
I|2= I |b
c
||2= ||d
c
II: + 2 B C * d c
(2 )
11 B D 112 + 11 Á C 112 = 11 Á D 112 + 11 Á B 112 + 11 B C 112 + 11 D C I I2 + 2 (B C • D C - Á D *'Á B )
■
(1)
En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ
<=> Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C
D a d o que : Á B = D C y Á D = B C (lados o p u e sto s del p aralelogram o)
Il B D I I 2 + II Ä C l M = I I Ä D II1 + I I Ä B l l * + Il B C 111 + U D O I I 2
<=> Ó M * Á B = 0
= * Ó P • Á B = Ó M • Á B + N ÍP • Á B <=> Ó P • Á B = M P • Á B
S u m a n d o (1) y (2) s e tiene :
«
■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B
En el A O M P : Ó P = Ó M + M P
■=> Ó P * B C = -P Ñ • B C
(2)
La s u m a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + B C ) = M P • Á B - P Ñ • B C
D ado qu e , M P = y B C
y P N = 4 A B , (Ejem plo 2 ) , e n tonces
Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C
■
Capítulo I: Vectores en el plano
114
E je m p lo
1 4 ]
S ¡ A , B , C y D s o n vértices de un cuadrilátero , d em ostrar que
Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental
De (1) y (2) s e sig u e que :
(2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a -
115
c) + 2 r ( d - c)
<=> (2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c) = O
—>
—>
y
D ado que los vectores C D y C A s o n linealmente inde p en d ie n te s
Á B + Á D + C B + C D = 4 PM
de d o n d e P y M s o n p u n to s m e d io s de las
=> (2 - 1 - 2 r = 0)
d ia g o n a le s A C y BD .
R e solvie n do
a
(t - r) = 0
el siste m a ob te n e m o s : t = r = 2/3
■
D em ostración. E n efecto ,
PM = PÀ + ÁB + BM
E JE R C IC IO S : Grupo 13
PM = PÀ + Á D + D M
PM = PC + C B + B M
1.
D e m o stra r que las d ia g o n a le s de un rectángulo s o n de la m ism a longitud.
S u m a n d o o rd e n a d a m e n te e s ta s cuatro
2.
D e m o stra r qu e las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o s o n perpendiculares.
igu a ld a d e s o b te n e m o s :
3.
PM = PC + C D + D M
4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM)
D e m o s tra r q u e el p unto m ed io de la h ip o te n u sa d e un triángulo rectángulo
equidista de los tres vértices del triángulo.
4.
A h o ra , c o m o : P C = - P Â y D M = - B M , e n to n ce s
4PM = ÁB + ÁD + CB + CD
D e m o stra r q u e la s d ia g o n a le s d e un trape cio y la recta q u e u n e lo s p u n to s
m ed ios de los la d o s paralelos, s e cortan en un m ism o punto.
5. D e m o stra r q ue el se g m e n to de recta que une los p u ntos m e d io s de los la d o s no
Ejemplo
parale los de un trapecio e s paralelo a las b a s e s , y s u longitud e s igual a la
1^)
S e a n los puntos no co lin e ales A , B , C y D. S e a O un punto tal
que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. S i s e verifica que b - a =
2 (d - c ) , d em ostrar que el punto de intersección de los s e g m e n t o s A D y B C e s punto
mitad de la s u m a de la s longitudes de las b a se s.
6. D e m o stra r que las m e d ia n a s de los la d os igu a le s de un triángulo isó sc e le s so n
de la m ism a longitud.
de trisección de e sto s se gm e n tos.
7.
D em ostración.
Hipótesis.
Tesis.
A , B , C y D s o n p u ntos no co line ales y b - a = 2 (d - c)
8. D e m o stra r que si las rectas que contienen a d o s la d o s o p u e sto s de un cuadri­
P ro b a re m o s que s i :
r =
PB
CB
l=
y
AP
AD
látero s e interceptan en un punto S , y las rectas qu e contienen a los otros d o s
^
la d o s del cuadrilátero s e interceptan en un punto T , e n to n ce s el punto m edio
r = t = -
=
(b - a) - 1 (d - a)
2 (d - c) - 1 (d - a)
drilátero. (Su g . C o lo q u e el origen en uno de lo s vértices del cuadrilátero).
\
r-
9.
Z\ d\
(Hipótesis)
P o r el artificio de su m a r y restar t c se tiene :
= 2 (d - c) - 1(d - a) + (t c - 1c)
= 2 (d - c) - 1 (d - c) + t(a - c)
= (2 - 1) (d * c) + t(a - c)
S i PB = r C B <=> P B = r(b - c) = rb - r e ,
de la h ipótesis : b = a + 2d-2c
del se g m e n to S T e s colineal con los p untos m e d io s de las d ia g o n a le s del c u a ­
c
E n efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D
c=> p b =
D e m o stra r q ue lo s p u n to s m e d io s de d o s la d o s o p u e sto s de un cuadrilátero y
los p u ntos m e d ios de s u s d ia g o n a le s so n vértices de un paralelogram o.
D e m o stra r q u e la s u m a de los c u a d ra d o s de las d istan c ia s d e un punto cua l­
quiera del plano a d o s vértices o p u e sto s de un rectángulo e s igual a la s u m a de
los c u a d ra d o s d e la s d istan cia s del punto a los otros d o s vértices.
PB
/b
(1)
10.
D e m o stra r la iguald ad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , sie n d o O un
punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los p u ntos m e d io s de los la d o s A B,
i
A
B C y C A , respectivam ente.
11.
FIGURA 1.151
«=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2 r(d - c)
(2)
D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de los la d o s de cualquier cuadrilátero
e xce d e a la s u m a de los cu a d ra d o s de las d ia g o n a le s en cuatro v e c e s el c u a ­
drado de la línea que une los p untos m ed ios de la s diago n ale s.
116
Capítulo I: Vectores en el plano
12.
D a d o s lo s p u ntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S s o n lo s baricentros de los
Sección 1.15: Los vectores y la Física
la su m a vectorial de los vectores de velocidad de c a d a m ovim iento.
triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , d em ostrar q u e P , Q , R y S s o n los vértices
de un paralelogram o.
13.
Otra aplicación s e refiere a las fuerza que actúan so b re u na partícula en el
e spacio ; en este c a s o , a las d iv e rsa s fu e rza s q ue actúan so b re u na partícula s e les
D e m o stra r q u e la s tres bisectrices de los á n g u lo s de un triángulo s e intersecan
en un punto llam ado
incentro.
representa m ediante vectores : F , , F 2 , F 3 ........... F n , e n to n ce s la s e g u n d a ley de
Newton , establece que el m ovim iento de un a partícula e stá descrita por la ecuación
14. D e m o stra r q ue la s u m a de los c u a d ra d o s de la s longitud es de las tres m e d ia n a s
vectorial
m a = F, + F 2 + F 3 + ......... + F n
de cualquier triángulo e s 3/4 de la s u m a de lo s c u a d ra d o s de lo s tres lados.
15.
16.
117
S i en la F ig u ra 1.152 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , d o n d e M y N s o n p u ntos
donde m e s la m a s a de la partícula y a la aceleración. E n e sta ecuación la m a s a m
m e d io s de A B y B C respectivam ente , probar q ue lo s se g m e n t o s D M y D N
e s un e s c a la r , en tanto que la aceleración a e s un vector.
trisecan a la d iago nal A C .
S i e s el c a s o de qu e la partícula e stá en re p o so la s u m a de los vectores de las
E n la F igu ra 1 .15 3 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , tal qu e P , Q , R y S s o n puntos
fuerzas e s cero , esto e s
Fi + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0
q ue dividen a los la d o s Á B , B C , C D y D A , respectivam ente , en la razón 2/1.
D e m o stra r qu e P , Q , R y S so n vértices de un paralelogram o.
,--------------- EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )-------------- ,
I
[ E je m p lo
1^]
U n h om b re sa lta d e s d e un au tom óvil en m a rc h a de m a n e ra
que si el co ch e h u b ie se e sta d o quieto , s u velocidad habría
tenido m agnitud 10 km/h y habría form ado un á n gu lo de 6 0 2 con la dirección al frente
17.
18.
D a d o un triángulo cualquiera , dem ostrar q u e existe otro triángulo c u y o s la d os
del automóvil. S i el c o ch e a v a n z a a 3 0 km/h , con qué velocidad sa le el hom bre del
s o n igu a le s y parale los a la s m e d ian a s de aquel.
automóvil.
E n el triángulo A B C , s e a D el punto m edio de B C . D em ostrar, u s a n d o vectores,
Solución. S e a V, , el vector ve locid ad del c o ­
q u e : 11 A B 112 + 11 A C 112 = 2 11AD 112 + ±
11 B C 112
ch e y V , , el vector velocidad que le
co rre sp o n d e ría al hom bre si el c o c h e h u b ie se
estado quieto.
(1.15) LOS V E C T O R E S Y LA FISIC A _____________________ .____________
E n to n ce s la velocidad real del hom bre e s :
El em pleo de vectores en la F ísica e s frecuente , la fuerza , la aceleración y
L u e g o , V, = 30 < C o s 0o , S e n 0o) = 30 <1 , 0)
v = v l+ v2
la velocidad s e representan m ediante vectores en las q u e la dirección del vector
V, = 10 ( C o s 240°, S e n 240°) = 5 <1 , -V3>
e stá d a d a por la dirección de la cantidad física , en tanto que la m agnitud del vector
Por lo q u e , V = 30(1 ,0 ) + 5 < l , -V 3 > = 5 (7 , -V3>
e s igual a la m agnitud física , en las u n id a d e s aprop iad as.
e s el vector velocidad que d e s e a tener y cu y a m agnitud e s
C u a n d o s e trabaja con ve locid ad e s d e b e m o s tener en cu e nta q u e , en un
m ovim iento q u e e s la co m p osición de va rio s m ovim ientos , el vector d e velocid ad e s
II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h.
■
Capitulo 1: Vectores en el plano
lis
Ejemplo
2j
U n a e rop lan o vue la h acia el n oreste co n u na ve locid ad de 400
millas/h y el viento hacia el su re ste a u n a ve locid ad de 100
millas/h. C u á l e s la velocidad resultante del a e rop la n o , co n respecto a la tierra , y
Sección 1.15: Los vectores y la Física
119
Por lo tanto , el c u rso que d eb e se g u ir el piloto e s : Norte 6o 46 ’ Oeste.
Si I !V
= = p V (V 2 ): + (12 + \ 2): = 25 ^ 3 7 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiem po q ue tardará
en llegar a s u destino e s :
qu e c u rso d eb e se g u ir el piloto.
200
t=
Solución. R e p re se n te m o s por V, el vector velocidad
II V i l
25(6.7)
8
= —
= 1.2 h o ra s
6.7
d ad del ae rop la n o y por V, el vector ve lo­
cidad del viento.
Cjemplo
L a velocidad resultante del a e rop lan o co n respecto a
la tierra e s :
4]
Noreste. R e p re se n ta r y hallar el d esp lazam ie n to resultante del
V = V, + V,
recorrido.
L u e g o , si V, = 400 (C o s 45°, S e n 45°) = 200\Í2 0 , 1)
Solución.
V , = 100 (C o s 315° , S e n 315°) = 50\/2 (1 , -l>
==> V = 50
E n la F igu ra 1.157 :
—>
A P = a representa el d esp la za m ie n to de 3
<2 (4 + I , 4 - 1) = 50 \2 (5 , 3>
L a dirección de la velocidad resultante e s
_ _V_
km hacia el norte.
P Q = b representa el d esp lazam ie n to de 5 km hacia el
= (5 ,3 )
I I V || "
U n autom óvil recorre 3 km h acia el Norte y luego 5 km hacia el
\/34
noreste
—>
A Q = c representa el desplazam iento resultante del re­
e sto e s , si T g a = j = °-6 = * a = 31°
corrido , e s d e c ir :
E n c o n se c u e n c ia , el vector velocidad resultante form a un á n gu lo co n la dirección
E ste de 31°, e s d e c ir , s u dirección y se ntido resultan definidos p o r : E ste 31° Norte ,
c u rso que d eb e se g u ir el piloto.
c = a + b
L a s c o m p o n e n te s de ca d a vector s o n :
a = 3 ( C o s 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3)
®
b = 5 ( C o s 45° , S e n 45°) = -| (>/2 , S2)
Ejemplo
3 ]
'
U n a avioneta p e q u e ñ a v u e la a 1 50 km/h si h a y quietud en
el
aire. Q u é c u rso tendrá q u e se g u ir elpiloto c u a n d o h a y viento
de 2 5 km/h que so p la d e sd e el su ro e ste , y que tiem po tardará en llegar a s u destino
situado a 200 km al norte.
Solución. S e a V I
el vector velocidad de la a vioneta y
C = ( ¿ V2 , 3 + 4 \ 2 ) =
\
(5V2 , 6 + 5^2)
=> 11 c 11 = i - V ( 5 \2 ) : + (6 + 5V2 )2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km.
La dirección de la resultante está d ad a por T g a = -6 *
5V2
Lu e go , la dirección del vector c q u e d a definido p o r :
V, el vector velocidad del viento . E n to n c e s :
Este.61° 35’ Norte.
= 1.846 *=> a = 61° 35’
■
V , = 1 5 0 (0 , 1 ) = 2 5 ( 0 , 6 >
V, = 25 (C o s 45° , S e n 45°)
^2)
Cjemplo
5 ^
V = V, + V, = ^
(\2 , 12 + V2)
A un m aratonista que recorre h a cia el S u r-E s t e a 2 0 km/h , le
parece que el viento so p la hacia el E ste ; pero a un ciclista que
L a velocidad resultante de la avioneta e s
va hacia el E ste a 4 0 km/h , le p arece qu e el viento so p la hacia el Sur. Hallar la
com ponente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que se ñ a la la
12 + \ 2
y s u dirección : T g a = — -j=— -= 9.46 => a = 63° 14’
trayectoria del m aratonista.
Solución.
L u e g o , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46 ’
L a s re p re sen ta cione s de las ve lo cid a d e s s e ilustra en la Figura 1.158 ,
donde
Capítulo I: Vectores en el plano
120
V
Sección 1.15: Los vectores y la Física
= (x , y) e s la velocid ad del viento
Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11 Á B 11 = 5
V m = V e lo cidad del m aratonista
C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5
V c = V e lo cidad del ciclista
F 2 = t C D <=> l l F j l = 1 1| C D 11
V c = 40 ( C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0)
FIGURA 1.158
L u e g o : C o m p V(nV =
+
V aparon«e
=>
<X
<=> 65 = t (13) <=> t = 5
El trabajo W realizado por un a fuerza F al recorrer un e sp a c io S está definido por la
ecuación : W = F • S
=> (x , y) = <10\2 , - I 0V 2 ) + 11ÁB 11 (1 , 0) => y = -10V2
V e
r = 10
Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5 <5 , 12) = 15 (-1 , 6>
A h o ra , teniendo en cuenta q u e : V = V m + V <paftrti
V =
12> «=> 11CD 1 1 = 1 3
Lu e go , si F, = r Á B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| <=> 50 = r (5) «
E n to n c e s V m = 20 ( C o s 45°, - S e n 45°) = <10V2 , -10^2)
A n á lo ga m ente :
121
, >') = (40 , 0) + I I B C || (0 , -1 )
V .V m
<40 , - 10 V 2 ) • ( I 0 V 2 , - 10 V 2)
11 V m 11
V ( 10 V 2): + (- 10 V 2)3
x = 40
Por lo tanto , si
(O b sé rv e s e qu e W e s escalar)
S = P Q = (9 , 5) - (4 , 3) = (5 , 2)
<=> W = 15 (-1 , 6) • (5 , 2) = 105 u n id a d e s de trabajo
Ejemplo
C o rn p VmV = 10(1 + 2 \2 )
8 j
U n S ó lid o de 10 0 kg. d e p e s o
e stá s u s p e n d id o p or el centro
mediante u na cu e rd a , tal c o m o s e indica en la Figura
Ejemplo
6 J
1.160. H allar la tensión T en la cuerda.
S o b r e un só lid o puntual en P actú an tres
fü e rza s co p la n a re s
qu e s e m ue stra en la F igu ra 1.159. Hallar la fuerza ne ce saria
Solución. S e a n 11T, 11 = 11T, 11 = 11T11 , d on d e las
te n sio n e s y el p e s o W e x p re sa d o s en fun­
que s e d eb e aplicar en P para m antener en re p o so al sólido.
FIGURA 1.160
ción de s u s co m p o n e n te s s o n :
Solución. L a s co m p o n e n te s de c a d a fuerza s o n :
T, = 11T I l ( C o s 30°, S e n 30°) = 11T11 (VJ /2 , 1 /2)
F, = 200 ( C o s 30° , S e n 30°) = 100 (V3 , 1)
T, = 11T11 ( C o s 150°, S e n 150°) = 11T 11 (-V3/2 , 1 /2 )
F, = 150 ( C o s 0o , S e n 0°) = 150 (1 , 0)
W = 100 ( C o s 270° , S e n 270°) = 100 (0 , - 1 )
F, = 100 ( C o s 270° , S e n 270°) = 100 (0 , -1)
El siste m a de fu e rza s estará en equilibrio si
L a resultante e s la s u m a de e sta s fu e rza s , esto e s :
T, + T, + W = O
R = F, + F, + F, = 50 (3 + 2^3 , 0)
«=> 11T 11 (V3/2 , 1/2) + 11T 11 (-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1)
t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg.
de d o n d e : 11T11 (0 . 1 ) = 100 (0 , 1 )
C o m o se puede o b s e r v a r , el sentido de R e s el m is­
I|T|| = lOOkg.
m o que F, ; luego la fuerza qu e s e d eb e aplicar al
FIGURA 1.159
sólid o puntual para m antenerlo en re p o so e s - R . e s
d e c ir , el vector op ue sto a R o a F,
[
Ejemplo
■
9
]
S o b re un cuerpo que d e s ­
c a n s a en un p lan o inclina­
do , actúan tres fue rza s : la gra v e d a d G , una
fuerza N de reacción que e s p erpendicular al pla­
Ejemplo
7^)
S e da el siguiente siste m a de fuerza
:
F, de 5 0 kg. qu e actúa
no y una fuerza F de fricción que s e dirige hacia
de A(1 , 5) a B (-3 , 8 ) y F 2 de 6 5 kg. q ue actúa de C (-3 , -5) a
arriba en la dirección del plano. S e define coefi­
D (2 , 7). Hallar la resultante R del siste m a y el trabajo realizado por R al d e sp la za rse
ciente de fricción u , c o m o la razón de 1 1 F 11 a
de P (4 , 3) a Q (9 , 5).
i N
I c u a n d o el á n g u lo \\i de in clin a ción e s tal
FIGURA 1.161
■
122
Capí mio 1: Vectores en el plano
que cuerp o está a punto de deslizarse. D e m o stra r qu e : u = T g
D em ostración.
. EJERCICIOS ;
E JE R C IC IO S : Grupo 14
\\i
E n efecto , u sa n d o la b a s e ortonorm al {5 = {i
, j } , con i en la
dirección del plano inclinado , s e tiene :
1. U n avión recorre 2 0 0 km. hacia el O e ste y luego 150 km. O e ste 60° Norte. Hallar
N = 11 N 11 ( C o s 90° , S e n 90°) = 11 N 11 ( 0 , 1 )
el d esp la za m ie n to resultante , gráfica y analíticam ente.
F = 11 F 11 (C o s 180°, S e n 180°) = 11 F11 (-1 , 0)
2.
A q u é d ista n c ia y en q u é d ire c ció n del p u nto d e p artida s e e n c u e n tra u n a
p e rso n a qu e recorre 20m . hacia el E ste 30° S u r , 50m . hacia el O e ste ; 40m .
G = 11G 11 (C os(270° + y ) , Se n(270° + y ))
hacia el N oreste , y 30m . hacia el O e ste 60° Sur.
= 11 G 11 (S e n y , -Cosvy)
--
F<«-
E sta n d o el cu e rp o en re p oso , e n to n ce s :
3.
U n hom bre qu e s e dirige h acia el S u r a 15 km/h o b se rv a que el viento so p la del
O este. A u m e n ta s u velocidad a 2 5 km/h y le p arece que el viento so p la del
N + F + G = O
Su ro e ste . Determ inar la velocidad del viento a s í c o m o su dirección y sentido.
*=» I I N || + 11F11 <-1 , 0) = - 11 G 11(Sen vj/, - C o s y )
de d on d e : - 1 F 11 = - 11 G 11 S e n y
123
Grupo 14
y
4.
11 N 11 = 11 G 11 C o s vji
D ividiendo e sta s d o s igu a ld ad e s o b te n e m o s :
\\i
F11
Sen
N
Cos y
D o s c iu d a d e s A y B están situ a d a s u n a frente a otra en las d o s orillas de un río
de 8 km. de a n ch o , sie n d o la velocidad del a g u a de 4 km/h. U n hom bre en A
quiere ir a la ciud ad C que s e encuentra a 6 km a g u a s arriba de B y en la m ism a
ribera. S i la em b a rca ció n que utiliza tiene una velocidad m áxim a de 10 km/h y
u = Tg y
d e s e a llegar a C en el m en o r tiem po posible ; qué dirección d eb e tom ar y c u a n ­
to tiem po em plea en c o n se g u ir su propósito.
E je m p lo
10 J
5. Un río tiene 500m . de a n ch o y fluye a una velocidad de 4 km/h. U n hom bre p uede
U n c u e rp o d e w = 5 0 0 Ib. de
p e so está su sp e n d id o c o m o s e
rem ar a u n a velocidad de 3 km/h. S i parte de un punto A y rem a hacia la orilla
indica en la Figura 1.162. Determ inar ca d a una de
opuesta, cuál e s el punto m á s lejano río arriba que p u ed e a lca n za r en la orilla
las fu e rzas que ejercen so b re el punto C.
opuesta. E n que dirección deberá navegar.
S olución. S e a n W , T y Q las fu e rza s que actú an
6 . H allar la resultante de lo s sig u ie n te s d e sp la za m ie n to s : 1 0 m. hacia el Noreste;
en el punto C , c u y a s re p re senta cion e s
20m . h acia el este 30° Norte ; 35m . h acia el Sur.
so n :
7.
W = 500 ( C o s 270°, S e n 270°) = 500 <0 , -l)
D o s fu e rz a s d e m a g n itu d e s 8 y 10 kg. a ctú an so b re u n a partícula a un á n g u lo
de 45°. Hallar la dirección y la m agnitud d e la resultante.
FIGURA 1.162
T = ||T 11 ( C o s 150° , S e n 150°) = 11T11 <-^3/2 , 1/2)
8 . D a d o el sig u ie n te sis te m a d e fu e rz a s : F, de 7 0 kg. q u e actúa de A (2 , 3) a
Q = l l Q II < C o s 0 o , S e n 0°) = 11Q 11 <1 , 0)
B (5 , -1) y F 2 de 3 5 7 kg. que actúa de C (3 , -9) a D (-5 , 6 ). Hallar la resultante R
E sta n d o las fuerza en equilibrio , e n to n ce s
del siste m a y el trabajo realizado por R al d e sp la z a rse de P (5 , -1) a Q (9 , 1).
W + T + Q = O
9.
U n p e s o de 100 kg. esta su sp e n d id o de una cu e rd a flexible de 5m. q ue a d o s
so p o rte s s e p a ra d o s entre si 2m. D eterm inar las fu e rza s resultantes en c a d a
sop orte si el siste m a c o o rd e n a d o s e e s c o g e c o m o s e m uestra en la Figura
1.163.
r
f
I I t I I + llQ ll = 0
■=> 11 T 11 <-\ 3/2 , I/2) + 11 Q 11 (I , 0) = 500 <0 , 1) <=>
V
4 IITII = 500
10. U n p e s o de 2 5 0 kg. d e s c a n s a en un p lan o con inclinación de 30° relativa a la
horizontal (F igura 1.164). E n él actúan una fuerza F, co n una m agnitud de 2 0 0
kg. q u e s e dirige hacia arriba a lo largo de un a recta que form a un á n gu lo d e 20 °
de d on d e ob ten e m os : 11 T11 = 1000 Ib. y I ! Q 11 = 500V3 Ib.
co n el plano ; la fuerza gravitacional F 3 q ue actúa hacia abajo ; una fuerza de
124
Capítulo I: Vectores en el plano
reacción F 2 que actúa perpendicularm ente co n respecto al plano y un a fuerza
F 4 que actúa h acia abajo en la dirección del plano inclinado. Hallar la s fuerzas
F2 y f >
11.
U n barril está so ste n id o so b re un plano inclinado O P por la fuerza F, qu e actúa
paralelam ente al plano y por otra fuerza F 2 qu e actúa p erpendicularm ente a él
(Figura 1.165). S i el p e so W del barril e s de 3 0 0 kg. y el plano form a un ángulo
de 30° con la h o riz o n ta l, hallar I F. ¡| y 11 F 2 11.
R E C T A S
C l
12.
U n cu e rp o de 5 4 0 kg. de p e s o e stá s u sp e n d id o c o m o s e indica en la Figura
P
E l i
I M
I O
2.1 J R E C T A Q U E P A S A P O R D O S P U N T O S
1.166. Determ inar la tensión en c a d a una de las c u e rd a s C A y C B , si a = 30°.
13.
14.
S e levanta un cuerpo de 2 0 0 kg. de p e so a velocidad constante , c o m o s e indica
Al h a ce r el estudio de p u ntos del plano y s u relación co n los vectores resulta
en la Figura 1.167. Determ inar c a d a una de la s fu e rza s ejercidas so b re el punto
útil denotar al vector que va del origen a un punto A del plano m ediante la letra
C , si a = 30° y p = 45°
m ayú scu la A o m in ú scu la a, e scritas en negrita.
U n p e so de 100 kg. está su sp e n d id o de a la m b re s c o m o s e indica en la Figura
E s bien co n ocid o que d o s p u ntos del p lan o definen u n a recta. V e re m o s
1.168. La distancia A B e s 2 0 p ie s . A C m ide 1 0 p ie s y C B = \ 3 pies. Q u é fue rzas
com o s e p u e d e em plear este h e ch o para obtener la e cu a ció n vectorial de u n a recta
'J . E n la F igu ra 2.1 s e m uestra la recta r/ ‘ , q ue contiene a los p u ntos P ^ x , , y,) y
ejercen A C y B C sob re el nu do C ?
P ,(x ,, y , ) , junto co n lo s vectores de p osición P, = ( x ( , y,) y P, = ( x , , y,). N ó te se que
el vector a = P, - P, , tiene u na representación geom étrica que e stá so b re
$ y que
por lo tanto e s paralelo a d icha recta.
r
>
k
*V TiÍ .
FIGURA 1.166
FIGURA 1.167
FIGURA 1.168
'i
V
p\
p.
7
Y*--- O
►\
v
FIGURA 2.2
E n la F ig u ra 2.2 s e m ue stra la m ism a co n figu ra c ió n , exce p to q ue s e ha
a ñ a d id o al punto ge n é rico P (x , y) so b re la recta
W y s e h a tra za do el vector
Capílulo 2: Recias en el plano
126
c o rre sp o n d ie n te P = (x , y). S i P e stá so b re
W , el ve ctor P - P, e s parale lo al vector
a = P . - P , , e n to n c e s p o d e m o s escribir
Solución. S e g ú n la ecu ación (2 ) : x = -2 + t (5 + 2) , y = 3 + t (1 - 3)
r x = -2 + 7 1
¿2? :
de donde ;
P P ^ t ^ - P . )
o bien
127
Sección 2.2: Segmentos de recta
^
2t
son las e c u a c io n e s param étricas c a rte sia n a s de la recta pedida.
5 ’ : P = P 1 + t ( P 1 - P l) , t e
(1)
R
parámetro , por ello a e sta e cu a ció n s e le llam a , ecuación
paramétrica vectorial ordinaria de la recta q u e p a s a por P, y P r
El e sc a la r t e s llam ado
( 2 .2 J S E G M E N T O S D E R E C T A
S i el conjunto de va lo re s perm itidos d e t s e restringe a un intervalo cerrado
[ a , b ] , e n to n ce s la gráfica de la e cu a ción (1) e s un
E j e m p lo
1
)
Hallar la e cu a ción param étrica vectorial de la recta 2? que p a sa
por P,(-3 , 1) y P 2(1 , 4). T rá c e s e un diagram a.
t = 0 <=> P (x , y) = P , ( x , , y,)
—
Solución. U n dibujo previo del ejercicio s e m uestra
t = 1 => P (x , y) = P ;( x , . y,)
en la F igu ra 2.3. L u e g o , si
P or tanto, c o m o s e indica en el F igu ra 2.4 , a
P, = <*3 , 1 ) y Pj = (1 . 4 )
m edida q u e t recorre el intervalo [0 , 1 ] , el p u n ­
=> P , - P , = <1 , 4 ) - < - 3 , 1 > = <4 , 3)
P o r tanto , la e cu a ción param étrica vectorial de
to P (x , y) recorre el s e g m e n to d e recta d e sd e
&,
P ,(x ,, y,) h a sta P , ( x , , y , ) , de m o d o que el s e g ­
se g ú n ( 1 ) e s
-3
2 ?: P = (-3 , 1 ) + t (4 , 3 > , t e
R
■
01 '
mento de recta P, P, q u e d a definida por la e c u a ­
>
-
FIGURA 2.3
| O B S E R V A C I O N 2.1
segmento de recta. E n particular
s i:
Ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta __________
ción
P ,P : = { P € R : |P = P, + t ( P , - P i) , 0 < t < l }
(3)
S i se escribe la e cu a ció n (1) en térm inos del parám etro t y
L o s d e m á s p u ntos de la recta co rre sp o n d e n a
de la s c o o rd e n a d a s de P ( y P. te n e m o s
FIGURA 2.4
valores de t tales q u e , t < 0 y t > 1
& : (x , y) = ( x , , y,) + t ( ( x , , y,) - ( x , , y , ) )
S e p ued e e m p le ar la e cu a ció n ( 1 ) p ara calcular las c o o rd e n a d a s de un punto P que
= < x , , y,> + t<x 2 - x , , y 2 -y ,>
está so b re el se g m e n to P (P. y q ue e stá a u na distancia r d a d a d e P, so b re la m edida
= <x, + t ( x , - x , ) , y, + t ( y 2 - y , ) )
del se g m e n to P , P , , esto e s
E sta ecu a ción vectorial equivale a las e c u a c io n e s
r
$ :
{
L
\
x=
\
x + t (x, ■ x )
y = y, + t (y, - y,)
E s t a s e c u a c io n e s reciben el nom bre de siste m a de
P = P, + r (P , - P f) , 0< r< 1
(4)
(2 )
,16 «
J
ecuaciones paramétricas carte­
A sí , en la F igu ra 2.5 s e o b se rv a q ue a m edida qu e r crece de r = 0 a r = I , con
intervalos de longitud 1/5 , los p u ntos P = P, + r (P, - P :) s e d e sp la za n de P, a P, con
la siguiente rep resentación vectorial
sianas de la recta que p a s a por P, y P,
A = P, + T ( P : - P . )
Ejemplo
2 J
O b te n e r e l s is t e m a d e e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s c a r t e s ia n a s de
la recta que p a s a por lo s p u n to s P,(-2 , 3) y P 2(5 , 1).
b
=
p i
+ -t ( p 1 -
p
i)
C = P, + y ( p , - P,)
d
=
p
,+
t
<p . -
p
.)
128
Capítulo 2: Rectas en el plano
\
r= 0
r = 1/5
P,
r = 2/5
r = 3/5
r«= 4/5
r= 1
R
C
f)
P.
A
129
Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada
A d e m á s de (2) : <7(P,, S) = 11S - P , 11 = y 11 P, - P,
3
y de (3 ):
d(Pt , T) = 11T - P,11 = y l l P j - P ,
Por c o n siguie n te , S y T trisecan al se g m e n to P ,P,
V
FIGURA 2.5
D e e sta m an e ra s e pued e n ubicar p untos q ue dividen al se g m e n to [ P ( , P ] en n
y IIP,
partes iguales.
p ,I
} IIP, - p ,II
E je m p lo
3
}
Hallar las c o o rd e n a d a s de lo s p u n to s de trisección
del s e g ­
m ento de recta c u y o s extre m os s o n P,(-3 ,7) y P 2(4 ,
1).
Solución. S u p o n g a m o s que S y T s e a n los p u n to s d e trisección del se g m e n to P,P„
y que P, - P, = <4, I) - <-3 , 7) = (7 , -6) , e n to n ce s los ve ctore s de posición
2.3 J D IV IS IO N D E U N S E G M E N T O E N U N A R A Z O N D A D A
de lo s p u ntos de este se gm e nto*e stá n re p re se n ta d o s por
r = 1/3
P = (-3 , 7) + r (7 , -6) , r e [0 , I ]
o
■
P,
S e a P un punto cualq uiera so b re un a recta 2? que p a s a por los puntos P, y
r = 2/3
-o
o
S
T
P. y que divide al se g m e n to P ,P, en la razón m/n , esto e s
—o
P:
P .P _ m
P P,
n
S = (-3 , 7) + y <7 , -6) = (-2/3 , 5>
P a ra r = 1/3 ^
(1)
E n ton ce s , la e cu a ció n vectorial qu e define al punto P e s :
y para r = 2/3
T = (-3 , 7> + y < 7 , -6) = (5/3 , 3)
<=>
P o r lo tanto , lo s p untos b u sc a d o s s o n S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3)
^ E je m p lo
4
^
D e m o stra r que lo s p u ntos
^ p ^ l p
P = (— ?— ) P, + (— !2L-) P, , m * - n
\m + n/ 1
\m + n l 2 '
■
j y ^ lp i+ £ p
j
En efecto , de (1) : P, P = ( ™ ) P P ,
■
trisecan al se gm e n to P , P 2.
D em ostración.
= ( ") (P T P .-m
E n efecto , por definición de se g m e n to de recta :
P^P: = { P = P i + r ( P ;- P i) | r e [ 0 1 1]}
(1)
de d on d e : (m + n) P .P = m P ,P, <=> (m + n) (P - P () = m (P. - P ()
t=> (m + n )P - (m + n)P, = m P , - m P ]
Su p ón gase q u e : S = y P , + y P ,
y
T “ yP, + yP,
P = (— 2 — ) P. + í - ^ 11- ) P,
L u e g o , p o d e m o s e s c rib ir:
S = p, + i - p ; - | p ,
\m + n/ 1
=>
S = P1 + 1 (P ,-P ,), l s
[0, I]
\m + n/ 1
, m * -n
(5)
(2)
O B S E R V A C I O N E S 2.2
T = p. + T P; " f P , ~
t
= P, +
t
( P ^ P , ) ' T 6 1 0 ’ 11
(3)
1.
S i m y n tiene el m ism o s ig n o , e s d ecir
™ > 0
, e n to n c e s P e s interior al
se g m e n to P P,.
--^
E n to n c e s , por (1 ), S y T pertenecen al se g m e n to P ,P ,
2.
S i m y n tiene s ig n o s d ife re n te s, esto e s ™ < 0 , e n tonces el punto P e s exterior
r
130
Capítulo 2: Rectas en el plano
131
Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada
E je m p lo
al se g m e n to P P, , y ocurre que :
7
J
S e a n los puntos P ,(-2, 4) y P 2(2 , 6 ), hallar las co o rd e n a d a s del
punto P que divide al se gm e n to P ,P 2 en la razón d ad a 3 : (-5)
a)
b)
SiI ^ I <
I n I
1 , e n to n ce s P estará m á s ce rca de P,
1
Si — >
ln i
1, e n to n ce s P estará m á s ce rca de P,
>=> m = 3 , n = -5 y m + n = - 2
Solución. S i
2
,
Com o la ra zó n e s negativa y
I 3 I
|- -j j < 1 , el punto P
es exterior al se g m e n to P, P, y está m á s cerca de P,.
Ejemplo
5
^
D a d o s los p u ntos P,(-3 , 3) y P 2(2 , 8 ) , hallar el punto P que
P=
divide al se gm e n to P , P ? en la razó n 2 : 3
1
'm + n '
) P , = - ( - 2 , 4 ) + — (2 , 6)
'm + n ' *
-2
-2
{— —
+
= 5<-l , 2 ) - 3 ( 1 ,3 )
- ^ = -r t=> m = 2 , n = 3 y m + n = 5
Solución. S i
= (- 8 , 1 )
C o m o la razón e s positiva , el punto P e stá en el inte­
■
rior del se g m e n to P ,P,
Ejemplo
8
L u e g o , s e g ú n la e cu a ción (5 ) : P = -| P, + -| P,
=> P = | (-3 . 3) + | <2 , 8> = <-1 . 5)
}
U n triángulo tiene por vértices A (-2 , -3) , B (2 , 8 ) y C (5 , 2). P or
el punto D(16/5 , 28/5) que pertenece al lado B C s e traza una
P (-l , 5)
paralela a A B que corta al lado A C en el punto E. Hallar la s c o o rd e n a d a s d e E.
I
Solución. S u p ó n g a s e qu e :
™
c=> n (D - B ) = m (C - D)
<=* n (6/5 , - 12/5) = m (9/5 , - 18/5)
Ejemplo
6
^
D a d o s los p untos P ,(3 , -1) y P 2(1 , 2), hallar el punto P que
de d ond e : 6 n (1 , -2) = 9m (1 , -2) «=>
-^ = y
divide al se gm e n to P , P 2 en la razó n -3 : 2.
C o m o D É 11 B A , e n to n ce s E divide a A C en la m ism a
Solución. E n este c a s o : — = —
•
r
2
n
■=> m = -3 , n = 2 , m + n = -1
C o m o la razón e s negativa y |-
3
—l >
razón , e sto e s , A E : E C = 2 : 3
Pq
j\
1\
1 \
1 \
1
\
1
\
1
\
1
“
1
J
, e n to n ce s
el punto P e s exterior al se g m e n to P ,P, y e stá m á s
cerca de P,. Luego, h a cie n d o u so de la ecuación
c
■
t
(5 ):
1
1
p = ( ^ ) < 3 . - ¡ > + ( ^ ) ( ', 2 >
3
■
FIGURA 2.7
\a
m
\ r* _ 3 / -> _ a\ . 2 /c t \ _ /
^ x
p,
v
n
E JE R C IC IO S : Grupo 15
i \
i \
O ) 1 iV )
I
= -2 < 3 , - I ) + 3 (1 ,2 ) = (-3 , 8)
P o r lo que el punto b u sc a d o e s : P(-3 , 8)
■=> m = 2 y n = 3
Lu e go , h a cie n d o u s o de la ecua ción (5) s e tiene :
Yi k
----------»
1.
H allar la e cu a ció n param étrica vectorial y el siste m a de e c u a c io n e s paramétric a s c a rte sia n a s de la recta que contiene a los p untos d a d o s P, y P 2.
a) P, (4 , - 2) , P 2 (4 , 3)
b) P, (-7 , 2) , P 2 (-3 , -1)
132
Capítulo 2: Rectas en el plano
2.
H allar la s c o o r d e n a d a s de lo s p u n to s de trise cción del s e g m e n to c u y o s extre­
15. E n un triá n g u lo A B C , el p u nto P(4/5 , 5) d iv id e al s e g m e n t o A B en la ra zó n
m o s s o n los p u nto s d a d o s P, y P ? .
a) P, (-3 , 6 ) , P 2 (12 , -15)
A P : P B = 2 : 3. El p u nto Q (2 7 / 5 , 22/5) d ivid e al s e g m e n t o B C en la ra zó n
b) P, (-3 , 7) , P 2 ( 4 , 1 )
B Q : Q C = 2 : 3. El p u nto R (1 4 / 5 , 3/5) d ivid e al s e g m e n t o A C en la ra zó n
3. Hallar la e cu a ción vectorial del se g m e n to q ue une a P,(2 , 5) c o n el punto m edio
del se g m e n to c u y o s extrem os s o n A (5 , 1) y B (7
A R : R C = 3 : 2. H a lla r lo s v é rtic e s del triángulo.
-3)
16.
4.
133
Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta
Hallar la e cu a ción vectorial del se g m e n to que une el punto m edio del se gm e n to
D o s vértices de un triángulo A B C s o n A (2 ,1 ) y B (5 , 3). H allar las co o rd e n a d a s
del tercer vértice C si la intersección de las m e d ia n a s e s G (3 . 4).
de extre m os A (-5 , 2) y B(1 , 6 ) co n el punto q ue e stá a 1/3 d e la d istancia que
se p a ra a R (-2 , 6 ) y T(1 , 9).
5.
O b te n e r la e cu a ción param étrica vectorial del se g m e n to qu e une al punto que
¿ 2.4 J P U N T O S Q U E E S T A N S O B R E U N A R E C T A _____________
está a 2/3 de la distancia que s e p a ra a los p u ntos A ( 8 , -2) y B (2 ,7 ) co n el punto
que e stá a u n a cuarta parte de la distancia que se p a ra a los p untos C(1 , 6 ) y
D (9 , 10).
6 . D e m o stra r que las c o o rd e n a d a s (x , y) y ( x * , y ’) de los p u ntos q u e trisecan el
se g m e n to de e xtrem os P,(x, , y,) y P 2(x2 , y 2) e stá n d a d a s p o r :
x = ^ - ( 2 x, + x 2) , y =
E n la S e c c ió n 2.1 s e vió q ue la ecu a ción vectorial , o q ue el siste m a de
e cu a cion e s param étricas c a rte sia n a s , de u n a recta
W q u e d a determ inada si s e
r£ . E s t a s e c u a c io n e s tam bién s e pueden
c£ y un vector de dirección de 7:
conocen la s c o o rd e n a d a s de d o s p untos d e
determinar si s e c o n o ce n un punto de
Efectivam ente , c o n sid e re m o s la recta
- i ( 2 y, + y 2) ; x ’ = -^ (x , + 2 x2) , y ’ = -|-(yl + 2 y 2)
que p a s a por el punto P ^ x , , y,) y q ue e s paralela
7.
D a d o s lo s p u n to s P ,(-3 , 8 ) y P 2( 12 , -32) , hallar lo s p u n to s q u e d ivid e n al
al vector no nulo a = (h , k ) , (F igu ra 2.10). A h o r a ,
se g m e n to P tP 2 en cinco partes iguales.
s a b e m o s que un punto cualquiera P (x , y) está
8 . S e a n los p u ntos P ,(3 , -2) y P 2(-7 . 8 ), hallar el punto P que divide al se gm e n to
P , P 2 la razón 2 : 3.
sob re
SB si y só lo si el vector P - P, e s paralelo al
vector a , esto e s ,
P - P. = t a
9.
D a d o s los p u ntos P , ( - 7 , 6 ) y P 2(1 , 5 ), hallar el punto P q ue divide al se gm e n to
o bien
P ,P , en la razón (-2 ): 1.
10.
se g m e n to P ,P . e n la razón 3 : (-4).
11. El se g m e n to d e e xtrem os A ( - 2 , -4) y B(1 .0 ) e s dividido por P y Q en la s ra zo n e s
(-3 ): 2 y (-2 ): 3 respectivam ente. Hallar la norm a de P Q .
12.
? = { P (x , y) e R 2 1P = P, + t a }
S i P ,(2 , -3) y P ?(5 , -7) , hallar la s c o o r d e n a d a s del p u nto P q u e d ivide al
U n triá n g u lo tiene p o r v é rtic e s A(-1 , -3) , B (3 , 5) y C ( 5 , -1). P o r el p u nto
La ecu ación (6 ) recibe el nom bre de
(6)
F IG U R A 2.10
ecuación vectorial ordinaria de la recta que
p a sa por P, y e s paralela al vector a. D a d o que la e cu a ción ( 6 ) s e p u ed e escribir en
la form a
& : (x , y) = <x, , y , ) + t(h , k>
el siste m a de e cu a cio n e s param étricas ca rte sia n a s co rre sp o n d ie n te s p ara
</' e s
E ( 1 5/4 ,11/4) del lado B C s e traza una paralela a A C q ue corta al lado A B en el
punto D. Hallar la s c o o rd e n a d a s del punto D.
13.
f: S
L o s vértices de un cuadrilátero s o n A (-4 , 6 ) , B (-2 , -1) , C (8 , 0) y D (6 ,1 1 ).
xX == X.
x. ++ tt h
'
1 y = y, + 1k
r
te R
(7)
Hallar la razón m : n = B P : P D en que la dia go na l A C divide a B D , d o n d e P e s
el punto de intersección de la s d iagonales.
14.
S e a n A (-2 , 5) y B(1 , -2) lo s extrem os del se g m e n to A B y P (x , y) un punto que
resulta de prolongar A B por B. S i B P = 4 A B , hallar las c o o rd e n a d a s de P.
Ejemplo
1
J
H allar la e c u a c ió n vectorial y el siste m a de e c u a c io n e s param étricas c a rte sia n a s de la recta qu e p a s a por P,(2 , 4) y e s
134
Capítulo 2: Rectas en el plano
paralela al vector qu e va de S ( 3 , -1) a T (-1 , 4). Determ inar si el punto A(1 , 5) está
Luego , la recta
so b re dicha recta.
Para el punto S :
Solución.
¡B p a s a por P,(4 , -1) y e s paralela al vector a = (2 , 3>
■=>
S e a S T la representación geom étrica
del vector a. E sto e s , s i :
135
Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta
S - P, = (8 , 5) - (4 , -1) = .(4 , 6)
( S - P ^ • a 1 = (4 , 6> *(-3 , 2> = -12 + 12 = 0
Por lo tanto , ( S - P,) 11 a y e n to n ce s el punto S e stá so b re la recta
a = S T «=> a = T - S = (-I , 4) - (3 , -1) = (-4 , 5>
L u e g o , s e g ú n ( 6 ), la ecu ación vectorial de la rec­
=*
ta e s
f£.
T - P, = (-2 f 2) - (4 , -1) = (-6 , 3)
Para el punto T :
(T - P ) • a 1 = (-6 , 3) • <-3 , 2) = 18 + 6 = 24
*0
Por lo tanto , ( T - P,) Jf a , y e n to n ce s el punto T no e stá so b re la recta
$ : P = (2 , 4) + t<-4 , 5> , t e R
r X = 2 - 4t
y p or (7 ).
X-. {
. le R
7'.
■
El resultado e x p re sa d o en el corolario del T e o re m a 2.1 s e p ued e utilizar para
obtener un sencillo criterio que s e e n u n cia a continuación.
l- y = 4 + 5t
S i A (1
,5) €
% => 3 ! t € R I A = (2 , 4) + t (-4 , 5>
/.
<=> ( I , 5) = <2 - 4 t , 4 + 5 t) <=>
Definición 2.1 Ecuación norm al de una recta
r 1 = 2 - 4 1 «=> t = 1/4
S i a e s el vector de dirección de u n a recta
l 5 = 4 + 5 t => l = 1/5
P o r lo tanto ,c o m o el valor de t no e s único , A e
%
■
punto P,
, e n to n ce s un punto P(.\ , y) e stá so b re
donde n
= a 1 e s el vector norm al de
Existe otra m an e ra m á s sencilla para llegar a e sta co n clu sió n y q u e co n­
siste en la aplicación del corolario del siguiente teorema.
Si
& e s u n a recta que p a s a por el punto P, y e s paralela al
r/ ‘ qu e contiene al
si
$ : n • (P - P.) = 0
(8)
7'. E sta e xp re sió n s e c o n o c e c o m o la
la recta %.
----------- I--------------------------------------- >
ecuación normal de
TEOREMA 2.1
si y só lo
^
vector a , e n to n ce s , s i :
P , e St
(P, - P,) I ! a
' ------------ !_________________________________________________________________________ /
D em ostración. E n efecto , si f£ tiene por ecua ción vectorial
% : P = P, + t a , l e R , e n to n ce s
C o r o la rio .
Si
Hallar la ecu a ción norm al de la recta
9- : /
\ y = 2 -4 1
Solución. La ecuación vectorial de la recta dad a e s , 7 : P = (1 ,2 ) + 1 (3 , -4 ), t e R
S i a = <3 , -4) 11 Sí' ■=> a 1 = n = (4 , 3> e s el vector norm al a 5?
P, e 5? <=> P. = P, + t a , para algú n t e R
^
E j e m p lo
3 I
-------------------------*
Lu e go , se g ú n (8 ) , 5 ? : <4, 3) • ( <x , y> - <1 , 2 ) )
P, - P, = t a <=> (P, - P,) 11 a
o
X e s la recta q ue p a s a por el punto P, y paralela al vector a, entonces:
& : <4 , 3> • <x - 1 , y - 2)
■
P , e J2? <=> ( P , - P.) • ax = 0
Efectivam ente , por el T e o re m a 2.1 , P, e
%«
(P ,-P ,)lla
y
por el T e o re m a 1.8:
E j e m p lo
4 J
(P, - P,) 11 a <=> (P, - P () • a x = 0
U n a recta
2' p a s a p or el punto A (3 k , k - 2) y e s orto go n al al
vector v = (3/k , 3 > , k * 0 ; hallar los valore s de k tales que el
punto B (5 k , k2 - 6 ) esté sob re
C jo m p lo
2
)
Determ inar si los p u ntos S (8 , 5) y T(-2 , 2) e stá n so b re la recta
«.
r x = 4 + 2t
te R
y = -1 + 3 t
Solución.
P o r sim ple inspección. 2 ' : (x , y ) = <4 + 2 1 , - 1 + 3 1)
= <4 , - 1> + t (2 , 3>
Solución. S e a n = v el vector norm al de 2?, e n to n ce s si
B e r£
(B - A ) • n = 0
Lu e go , <2 k , k : - k - 4) • (3/k , 3 ) = 0 o
|O B S E R V A C I O N 2.3
k:’ - k - 2 = 0 »
k = -l
(Def. 2.1)
o k= 2
S i el vector de dirección a , en la ecuación
■
7‘ : P = P, + 1 a e s
un vector unitario , e n to n ce s para cualquier punto P so b re la
136
Capítulo 2: Rectos en e l plano
% , 111 e s la distancia q ue s e p a ra P, de
gráfica de
C
E n lo s ejercicios 4 - 7 , identificar ca d a u n o de los conjuntos en R : dado.
P (F igu ra 2.12)
4.
{(x , y) I x = 2 t + 1 , y = -3 t + 4 , t e R } 6.
{(x , y) I (-2 , 1) * ( x +
5.
{(x , y) |(1 , 2) + t (1 , 1 ), t € [ 0 , 1 ] }
{(x , y) I <-1 , -5) • <x - 2 ,y)
8.
Hallar la ecu ación norm al de la s rectas
E n e fe c t o :
</(P1 , P ) = l | P - P 1ll = II t a II = l t l l l a l l
y c o m o 11 a 11 = 1 ■=>
137
Sección 2.5: Pendiente de una recta
d(P t , P) = 11 1
7.
!B : J
, t e R
b)
c£ :
y = 1 + 5t
F IG U R A 2.12
= 0}
c x = -1 + 2 t
r x = 31
a)
3 ,y -4) = 0 }
J
, te R
* - y = -3 t
En lo s ejercicios 9 - 1 1 , determ inar si las e c u a c io n e s vectoriales d a d a s c o rre s­
p on d en a la m ism a recta o no.
E je m p lo
5
J
D a d a la recta
V : P = (-1 , 6 ) + t (1 , 4 ) , obtener la s co o rd e n a ­
C
J q ue e stán a 2 \Y 7 u n id a d e s de distan­
9.
P = (2 , 1) + t (3 , -1 ), t e R
; P = <2 ,1) + t <-3 , 1 ), t e R
d a s de los p u ntos de
cia del punto S(1 , 14).
Solución. E n prim er lugar v e a m o s de S (l , 14) e stá so b re c£.
P = (-1 , -2) + t (-2 , 4 ) , t e R
11.
P = < 2 , 3 ) + t<-1 , 2 ) , t e R
12. U n a recta
Efectivam ente , S - P, = <1 , 14) - <-1 ,-6> = <2 , 8)
«=* ( S - P,) • a 1 = (2 , 8) • (-4 , 1 ) = -8 + 8 = 0 . L u e g o , el punto S e stá so b re
rJ:.
13.
;
P = <1 , 5) + t <2 , - 4 ) , t e R
rf p a s a por el punto A (2 k -1 ,3 ) y e s ortogonal al vector v = (2, k + 2);
T.
U n a recta
r£ p a s a por el punto S ( 2 k , 3) y e s paralela al vector v = (3 , - 4/k),
k * 0 ; "hallar los va lo re s de k tales qu e el punto
2', otra ecuación de W e s P = <1 , 14) + t / - J — , - 4 = \
' V 17
; P = <1, 0 ) + t <1 , -2) , t e R
hallar lo s va lo re s de k tales que B (7 k , k - 2) esté so b re
O 4)
A h o ra , un vector unitario en la dirección de a e s , u = x ’
V17
Com o S €
10.
24) pertenezca a J2?.
E n lo s ejercicios 1 4 - 1 5 , hallar la s c o o rd e n a d a s de los p u ntos P, y P, que están
\1 7 '
so b re la recta cu y a ecuación param étrica vectorial s e da y q ue e stán a la distan­
S e d e s e a hallar las co o rd e n a d a s de los p u ntos P (x , y) tales que
It l = 2 \T7 «
cia d a d a del punto S dado.
t = 2 V Í7 O t = - 2 VF7
P a ra t = 2 V17 t=> (x, , y,) = (1 , 14) + 2 V i 7 {^ 7=
»
= ^
14.
S o b re
V : P = (4 , -2) + t (1 , 1 ), t e R ; 3 \ 2 u n id a d e s de S ( 4 , -2)
15.
S o b re
ÍC : P = (-3 , 2) + 1 <2 , -1 ), t € R ; 2 \ 5 u n id a d e s de S(1 , 0)
Parat=-2\V
7=
><x,,y!)=<
l , I4>-2\Í7(-J_ , 4=) =(-1,6)
2.5 J P E N D IE N T E D E U N A R E C T A
P o r lo tanto , P,(3 , 22) y P ,(-l , 6) s o n los p u ntos b u sc a d o s.
,,
■
M atem áticam ente s a b e m o s qu e el cociente de la altura y la b a se de un
segm ento recibe el nom bre de
EJER C IC IO S : Grupo 16
E n lo s ejercicios 1 - 3 , d iga si el punto S e stá o no so b re la recta
e cu ación param étrica vectorial s e da.
1.
S(2 ,-1 ),
P = (1 ,2 ) + t(-1 , 3 ) . t e R
2 . S ( 3 , 2 ) , £ : P = (1 , 1) + 1 (2 . -3 ), t e R
3.
S(-1 . 1 ),
SB : P = <-2 . -3> + 1 <1 , 4> . t e R
pendiente del segmento. S i d e s ig n a m o s e sta p end ien­
te por m , s e tendrá e n to n ce s que
m = 5 « u ra
b ase
7' cuya
S i a = (h , k) e s el vector de dirección de u n a recta
P,(x, , y , ) , e n to n ce s
5P que contiene al punto
1 tiene por e cu a ción vectorial
C
V
: P = P, + t <h , k) , t e R
Si s e le a s ig n a a t el valor de I , v e m o s q ue la s c o o rd e n a d a s de otro punto P ,(x ,, y,)
Capítulo 2: Rectas en el plano
138
q ue e stá so b re
& s e p u e d e calcular su m a n d o h y
a = P, - P, = <x 2 - x , , y, *y,>
k a la s c o o rd e n a d a s re sp e ctiva s de P , , esto e s
x, = x, + h
139
Sección 2.5: Pendiente de una recta
s e sig u e qu e de la Definición 2.2 , si x,
, y, = y, + k
c£
, e n to n ce s la pendiente de la recta
está d ad a p o r :
P o r lo tanto , x, - x, = h y y, - y, = k s o n la b a se y
altura del se g m e n to P , P , , y si h
* 0 , e n to n ce s
b) S e dice qu e una recta con un vector de dirección de la form a (h , 0 ), e s u n a
e s la pendiente de P ,P, y d e la recta qu e lo c o n ­
recta
horizontal (paralela al eje X ) y s u pendiente e s : m = — = 0
h
tiene. (F igura 2.13)
c)
S i una recta tiene un vector de dirección de la form a <0 , k ) , se dice qu e la recta
es
vertical (paralela al eje Y ) , y su pendiente m = -jy n o e stá definida.
Definición 2.2 Pendiente de una recta
Definición 2.3 Rectas paralelas
7 e s u n a recta tal q u e u n o de s u s ve c to re s d e d irección e s
(h , k> co n h * 0 , e n to n ce s la pendiente m de la recta X e stá d a d a por
P = P, + s b
Si
D o s re c t a s e n el p la n o ,
m = k
h
V.
% x : P = P, + t a
,
te R
y
:
, s e R , s o n p a r a le la s s i y s ó lo s i s u s v e c t o r e s d e d ire c c ió n
s o n p arale los ; esto e s
7 \ 11 (¡Pz <=> a 11 b
D e e sta definición p o d e m o s afirmar qu e si m e s la pendiente de u n a recta
¿2? si y só lo si (1 , m ) , o bien (1 , k /h), e s un vector de dirección de
T. E sto indica que
E je m p lo
la ecu a ción (6 ) s e p ued e escribir de la form a
2
J
D eterm inar si la recta 2?, q ue p a s a por P ,(3 , 5) y P 2(2 , 8 ) e s
paralela a la recta 5 ?2 qu e p a s a por Q ,(-1 , 9) y Q 2(7 , -15).
W ; p = P i + i <i . m ) , t e R
(9)
Obtener la e cu a ción vectorial de ca d a una.
Solución. El vector de dirección de la recta cí\ e s
a = P, - P, = (2 , 8> - (3 , 5) = (-1 , 3>
E je m p lo
1
}
C a lc u la r la p en d iente d e la recta 5? q u e p a s a p o r lo s p u n to s
P ,(5 , 3) y P 2(2 , - 6 ) , y obtener la e cu a ción param étrica vecto­
y el de
e s : b = Q , - Q, = (7 , -15> - (-1 , 9> = (8 , -24> = -8 <-1 , 3>
O b sé rv e se qu e b = r a => b 11 a , por tanto :
rial de la form a de la ecu ación (9) qu e d escrib a e sta recta.
P, e <5?, => .2?,: P = <3 , 5) + t (-1 , 3) , t e R
Solución. El vector de dirección de la recta b u sc a d a e s
Q ,e
a = P ; - P, = (2 , -6) - (5 , 3) = (-3 , -9)
L u e g o , por la Definición 2.2 : m =
C o m o P,(5 , 3) e
TEOREMA 2.2 S i .5?, : P = P, + t a , t € R y .5?, : P = P, + s b , s e R , entonces:
S ' , e n to n ce s u na ecua ción param étrica vectorial d e 2' e s
= íí\ <=> a 11 b
■
I O B S E R V A C I O N E S 2.4
P u e sto que un vector de dirección de la recta qu e p a s a por P , ( x , , y,) y P ,(x ; , y,)
es
& 2 => # , : P = <-1 ,9 ) + s < -l ,3 ) , s e R
= 3
<2?: P = <5 , 3 > + t ( l ,3 ) , t e R
a)
c£ x 11.2?,
Demostración.
(=>)
P ro b a re m o s que si
En e fe c t o :
S e a Q e 2? , ; tal que Q * P,
7\ =
3?, o
a
11b
■
I
Capítulo 2: Rectas en el plano
140
C o m o 2?, =
SP2 <=> Q e & 2 , y por el T e o re m a 2.1 :
Qe
Qe
L u e g o , la ecu a ción de
S¡PXs e p u ed e e s c r ib ir , & x : P = P 2 + t a , t e R y s i
c o m p a ra m o s co n la ecu ación de J ? , : P = P, + s b , s e
£ x <=> ( Q - P , ) l l a
X2«
141
Sección 2.5: Pendiente de una recta
(Q - P,) 11 b
(<=■) P ro b a re m o s q ue si P, e ,2?, y a 11 b ■=> 2?, = .2?,
E n c o n se c u e n c ia , por transitividad : a 11 b
E n efecto , P. e .2?, y el T e o re m a 2.3 im plican que <#x : P =
(<=) A h o ra p ro b a re m o s q ue si a
b «=> .2?, = .2?,
P2 + t a , t e R
C o m p a ra n d o e sta ecu a ción co n la de J2?,: P = P, + s b , u s a n d o el T e o re m a 2.2
E n efecto , sie n d o Q e .2?, <=> (Q - P.) 11 a
ii
Y
<=> ( Q - P . ) l l b J
P o r tanto
R , y aplicando el
T e o re m a 2.2 , lle g am o s a la co n clu sión de que a ! I b.
y el h e ch o de que a 11 b , o b te n e m o s :
=* Q e
9! x- f £ ,
■
%■
, & x = S&2
C j c m p lo
.
3
)
Si
s.
y 2'2 tienen a m b a s al vector a = ( 3 , 2 ) c o m o vector de dirección.
: P = P, + ta , t e R y «2?2 : P = P 2 + s a , s e R : e n to n ce s
TEOREMA 2.3 S i
r£ xcontienen al punto P,(1 , -5 ), .2?2 contiene a P,(-2 , -3) y 2?
C oinciden a m b a s re c ta s?
P ,e .2?. o
5?, =
\_________________________ :___ !_____ !____:_______________________ /
Solución.
SBXy
Si
tienen el m ism o vector de dirección e n to n ce s s o n paralelas.
C o in cid e rán si y só lo si P, y P. están so b re a m b a s rectas ; esto e s
D em ostración.
(■=>) P ro b a re m o s que si P, e J5?, o
# , = . % , si (P 2 - P,) II a
% x = .5?,
D = B + C y B 11 A => D 11 A <=> C 11 A
((-2 , -3) - (1 , -5 » • (-2 , 3> = (-3 , 2> • (-2 , 3> = 12 * 0
E n to n ce s :
E n efecto ,en el Ejem plo 3 de la S e c c ió n 1.7 , d e m o stra m o s q u e si
(P : - P , ) - a x = 0
Por lo tanto , 2?, y .2?, no coinciden , e s d e c ir , .2?
* Z&2
■
(1)
L u e g o , partiendo de la siguiente identidad
P
4 J
C je m p lo
P, = (P 2 " P |) + ( P - P , )
D eterm inar la pendiente de las sig u ie n te s rectas p arale la s
<£y : P = ( x , , x2) + 1 (2 , b ) , t e R , b > 0 ;
D
y c o m o por h ipótesis P, e r£
B
,si P
e .2?,
5?2 : (3 , -2 b )* [P - (-1 , 5)] = 0
=> (P, - P,) 11 a , por ( 1 ) im plica que
(P - P,) 11 a »
A h o ra
C
(P - P,) 11 a
(2)
Solución. S i a, = <2 , b) e s el vector de dirección de (3 X ■=> m = -y
( P - P , ) l i a , y p or (2)
n
= (3
,
S \ y t 11 &2 = * a, •
<=> (P - P,) 11 a => p € á ?2
vector norm al de 5?,.
= 0 <=> (2 , b) • (3 , -2b) = 0
c=> 6 - 2b: = 0 <=> b = V3
E n c o n se c u e n c ia : <2?, = 5?,
Por definición de
(*=>) S i
-2b) e s el
n
$ . = $ 2 => P, e £ . . Trivial
■
ó
b = -V3
S£x , e le gim o s b = V3
En c o n se c u e n c ia , la pendiente de las rectas 2?, y
& 2 e s , m = V3/2
■
TEOREMA 2.4 S e a n las rectas 2', : P = P ( + t a , t e R y 2?, : P = P 2 + s b , s
e R , e n to n ce s :
E j e m p lo
f£ x = 2*, <=> P 2 e 2', y a : b
5
J
Determ inar el valor de m + n para q ue la s rectas
^
^ 0) + t ( m , 1)1 t e R } y
2?z = {(1/m , 0) + s ( - 2 , n)| s e R }
se an coincidentes.
D em ostración.
( <=$ ) P ro b a re m o s que si
^ ^
SPX= f , => P . e l ' ,
y
Solución. P o r el T e o re m a 2.4 , si & x = <2?, <=> P,
a Ib
E n efecto , si .2?, = 2 \ y d ad o que P, e .2?, <=> P, e
£PX
(Teor. 2.3)
S i P, e
<£x <=> (P, - P,) • a x = 0
e .2?, y a, lia .
(C orola rio del T e ore m a 2.1)
=> « I/m , 0 ) *
<2, 0» • (-1 , m) = 0 <=>
S i a, ' I a, =>
a,• a ,-1 = 0 «=> <m , 1) • <-n , -2) = 0
143
Sección 2.5: Pendiente de una recta
Capífulo 2: Rectas en el plano
142
- 2 , 0>* <-1 , m ) «=> m = 1/2
8
E je m p lo
j
Estab le ce r el valor de verdad de las sig u ie n te s afirm aciones
1. Existe por lo m e n o s un k e R tal q ue «2?, = {(2 ,3) + t (6 k , j
a la recta
<=> -m n - 2 = 0 , d e d o n d e n = - 4
m + n = - 7/2
2. S i
Ejemplo
6
]
D a d a s la s rectas
y
que 2', y
í£2 = {<2x + 2 , -2 x + 1 > + s <-2x2 , 2 x 2 + 2 x ) } . H allar x € R tal
Solución. S e a n at = (x : + x , - 3x*' - 2x + 1) y a, = ( - 2 x * , 2x + 2x) los ve cto re s de
S ia ,*0
<=> (x(x + l ) , ( - 3 x + l ) ( x + 1) > * ( 0 , 0 ) , im plica q u e : x * - l
2?, fl
SBy - {P , + 1 a } un recta n o vertical. S i Q, g f , y SB2 = {Q , + s a } , e n tonces
SB2 * 0
ne ce sario qu e <2?, s e a v e rtic a l, esto e s
7\ y 2*, para x = -1 y x = 0
St\ s e a n coincide n te s , esto e s ,
<¡ex= .2?, <=> P ( € S f\ y a, II a 2
(P, - P,) • a,x = 0
<6 k, 4 - - 3 k) II <0, 1) <=> <6 k , -j - 3 k ) • (-1 , 0) = 0 , de d o n d e : k = 0 e R
a
Lu e go , la afirm ación e s
x= l
SBx = se, «
S e cum plen a m b a s c o n d ic io n e s , lu e go la afirm ación e s
S i a, • a,x = 0 = * <x(x + l ) , ( - 3 x + l ) ( x + l) )*< - 2 x ( x + 1) , - 2x 2) = 0
L u e g o , (x = 1 ó x = -
1/5)
a
x= l
3. S i
II .2?, <=> m, = m , e s d e c ir :
K
7
J
y .2-, s o n no coincidentes si x e R - {-1 , 0 , 1}
H
4. C o m o Q, e 2-, , la s rectas d a d a s s o n p arale la s y n o coincidentes.
SB c u y o s p u n to s equidis­
tan de las rectas 5?, = {(0 , 1 ) + 1 (4 , 2 ) , t € R } y SP2 = {(0 , -5) +
SB, - 0 , por lo q ue la afirm ación e s falsa.
■
Hallar la e cu a ción norm al de la recta
E je m p lo
9
r (4 , 2 ) , r e R }.
L u e g o , si a e s el vector de dirección de
)
S e a n lo s conjuntos : SBy = { P = <-2 + 3 1 ,3 - 1) 11 e R } y
SB2 = {(1 , 3) • (P - <1 , 2 » = 0 I P e R 2}D e m o stra r que SBy y 2 '2
SBy = SB2
Solución. O b sé rv e se que a, = a, = 2 <2 , 1)
Com o
L
Por lo que 2?, |f ,2'2 ; lue go , la afirm ación e s falsa.
Lu e go , .2?, D
E j e m p lo
verdadera.
• ¿-= -4 -k < = > k := - 6 = ^ é k e R
(x = 1) <=> x = 1
P o r lo que , .2? y ,2', s o n coincidentes si x = 1
E n c o n se c u e n c ia ,
SBZ= {(3 , -1) + s<-2 , 2 » .e n to n c e s
(P, - P,) • a ,-1 = 0 y a,||a,
<=> (2 , - 2 ) • (1 , 1 > = 2 - 2 = 0 y a, = - 2(1 , - 1 > = r a, => a 211 a,
ó x = -1/5
4 x 2 (x + 1 ) (x - 1 ) = 0 ; c o m o x * 0 y x * -1 ^
verdadera
2. S i i2P, = {(1 , l) + t(l . -1 )} y
a, • a / = 0
S i (P. - P,) • a,x = 0 => (x + 1 , - 6x + 2) • (- 2 x 2 - 2x , - 2 x 2> = 0
de d o n d e o b te n e m o s :
S¡C\ = {{1 , 2) + r (k , 3 )} y
1. D a d o que «2?, e s un a recta vertical , e n to n ce s p ara q ue .2?, s e a paralela a .2?, e s
S u p o n g a m o s que ¿2?, y
de d on d e : x (x - 1) (5x + 1) = 0 ; c o m o x * 0
2, = 2,
Solución.
y 2>
a, * 0 <=> <-2 x : , 2 x ( x + 1 )> * < 0 , 0>, implica q u e : x * 0
O s e a , n o existen
a>, = « 3 , - 1 ) + s < - 2 , 2 » =>
S í\ = {(7 , 5) + s <1 , - Tj-k)} s o n paralelas.
4. S e a
Sf2 no s e a n coincidentes.
dirección n o n ulo s de
Y
3. Existe por lo m e n o s u n k e R para q ue
SPy = {<x + 1 , 4 x - 1 ) + t(x 2 + x , -3 x 2 - 2 x + 1)}
- 3 k)} s e a paralela
SP2 : x = 0
representan rectas y q ue
7' <=> a = (2 , 1>
S£ e s la paralela m edia de 2? y 2?,, y si P, € 2?, , P, e 2?, y Q e
Demostración.
2'
2? : P = <-2 , 3) + t (3 , - 1), l e R , q ue por definición e s u na recta que
El conjunto
SB : a x • (P - Q ) = 0
J2? : (-1 , 2) • (P - (0 , -2» = 0
SBXs e p ued e escribir de la form a
pasa por P ((-2 , 3) y c u y o vector de dirección e s a = <3 , - 1 )
•=> o = y (P, + P :) = y 1(0 » 1 ) + (0, -5)] = (0 , -2 )
P o r lo qu e , la e cu a ción norm al de la recta b u sc a d a e s
E n efecto , el conjunto
■
J( \ e s la form a norm al de la e cu a ción de u n a recta cu y o punto de p a so e s
P,(l , 2) y cu yo vector de dirección e s
b = <l , 3 >-l = ( - 3 , I) => .2?,: P = (1 , 2) + s(-3 , 1), s € R
Capítulo 2: Rectas en el plano
144
Sección 2.5: Pendiente de una recta
v = a -
O b sé rv e se que a = -b , e sto e s , á?, 11 2?,
A h o ra d e b e m o s verificar que P, 6
y
P, e •#,
€
E n to n c e s , (P, -
P,) 11 b , lue go P , 6 f J t o
Solución. S i 2 \ 1 3?, o
a • b = 0 <=> (4 -
P,) l i a . lue go P, e
lr\ y
E n c o n se c u e n c ia , si
c
k ,k +
3) • (k - 3 , k +
<=* (4 - k) (k - 3) + (k + 3) (k + 2) =
2) = 0
0
s e a que .2?, c
de donde o b te n e m o s , k = 1/2 . L u e g o :a = ^4 - J- , - i + 3^ = -y <1 , 1 )
<=> (P, - P ;) • n, = <-3 , 1 > •<1 , 3> = -3 + 3 = 0
E n to n c e s . (P, -
^ b ; hallar la norm a de v.
<=> (P, - P,) * n, = <3 , - 1 ) • (1 , 3) = 3 - 3 = 0
E n efecto , si P,
Si P e
145
,o
sea : ^ c ^ ,
5?, =>
5?, = í?,
b = < I ' 3 ' í +2> = l < ' 1’ 1>
' '■ *
Por lo que : v = a * y b = y ( l , !)• y { - | , I ) = <7 , 0) «=> ||v|| = 7
--- -------- ---------------- ----- -----\
■
Definición 2.4 Rectas ortogonales __________________________________________ _ j
SPt : P = P, + t a , t e R
e R , s e dice que s o n orto go n ale s si y s ó lo si s u s ve cto re s
D o s rectas en el plano
y
J
C
P = Q, + r b , r
E je m p lo
12
]
R S - {<-1 , 3 ) + 1 <6 , -2 ), t e [0 ,1 ]}
de dirección s o n ortogonales. E sto e s
ÍJ\ i ^ , « a i b
Solución.
l___________________ _________ ____________________ '
S i m, y m ,so n las p en d iente s de
2\ y
tienen la form a , a, = <1 , m,) y a, = (1 ,
m, = - ¿ -
ó
-
; ^ ]
C o m o el punto P t b ise ca al se g m e n to R S
-)
=> P, = <-1 » 3) + - y <6 , 2 = (2 , 2
)
, e n to n ce s s u s v e c to re s de dirección
El vector de dirección de R S e s :
m ;) . L u e g o , si
a, 1 a, «• (1 , m,) • <1 , m,> = 0 »
de d ond e :
Hallar la ecu a ción vectorial de la mediatriz del se gm e n to
b = (6 , -2) = 2 <3 , - 1)
l + m, m, = 0
La mediatriz 3? 1 R S <=> a = b 1 = (1 , 3)
Por lo tanto , s u ecu ación vectorial e s
m: = - ^
E n to n c e s ,
d o s rectas no verticales s o n perpe nd icu lare s si y s ó lo
de u n a e s el
negativo del recíproco de la pendiente de la otra.
^ E je m p lo
10 ^
s i , la pendiente
3 ?: P = (2 , 2) + t(l , 3 ), t € R
j
E je m p lo
D e m o stra r qu e la recta
13
J Hallar la ecu ación de larecta
r£ y qu e contiene a lo s p u n to s Q(-1 , -2)
y R (2 , 2) e s perpendicular a la recta $ 2 q ue contiene a los
p u ntos S (-5 , 7) y T (3 , 1).
c£ que p a s a por el baricentro del
triángulo de vértices A (-2 , 3 ), B (7 , 4) y C (4 , -1) y e s perpendi­
cular de la recta .5?, = {P , + s(-1 , -2) I s e R }. E n qué punto intercepta 3? al eje X ?
Solución. E n la Figu ra 2 .1 5 , B D e s u n a m ediana
D em ostración. E n efecto , s e a a, el vector de dirección de 3?,, e n to n ce s
del triángulo A B C , en d on d e
a, = Q R = R - Q = (2 , 2) - (-1 , -2) = <3 , 4)
D= I( A
+ C )=
Í < 2 , 2 > = <1 , I)
S e a a, el vector de dirección de 3 ?,, e n to n ce s
Si D G = t D B t=>
a, = S T = T - S = <3 , 1) - (*5 , 7) = <8 , - 6>
P u e sto q u e , a, • a, = <3, 4) • <8 , - 6> = 2 4 - 2 4 = 0 => a, l a , ~
3?, 1 3?,
■
G
= D + t (B - D)
es la representación vectorial del baricentro.
Para t = 1/3 (propiedad de la s m e d ia n a s) tendre­
m os que. G = ( l , 1 > + 1 < 6 , 3 > = (3 ,2 > => G (3 , 2)
E j e m p lo
11
7'2 :P - P 2 + r b , r e R,,
d o n d e a = ( 4 - k , k + 3 ) y b = ( k - 3 , k + 2 ) . S i ^ , 1 7 2 y si
S e a n las rectas
: P = P, + 1 a , t e R y
S i 3* 1 i?, <=> a 1 b ■=> a = (-l , - 2 >x = (2 , - I)
Por lo tanto , la ecu a ción vectorial de la recta b u sc a d a e s
Capítulo 2: Rectas en el plano
146
EJERCICIOS :
3.
& : P = (3 ,2 ) + 1 ( 2 , - I ) , t e R
A h o ra , c o m o : <x , y ) = (3 + 2 1 , 2 - 1 ), si y = 0 => 2 - 1 = 0 c=> t = 2
4.
y para t = 2 , s e tiene : x = 3 + 2(2) = 7 = > X - i n t e r s e c c i ó n = ( 7 , 0 )
5.
Grupo 17
147
<2?,:P = <1 , - 2 ) + t < - 2 , - 3 ) t e R
,
P = <9 , 2 ) + r<4 ,-3 ), r e R
: P = <4 , 7 ) + t <-19 , 5 7 ) , t e R
,
: P = <3 , 0) + r <51 , 1 7 ), r e R
D eterm inar la pendiente de las rectas paralelas
= {P , + 1 <a , 6 ) 11 € R , a < 0 } y iZ?2 : < 3 a , -2) • (P - <2 , - 1 )) = 0
6. Determ inar el valor de a + b para la s rectas
Ejemplo 14 J
L o s p untos P ( 12 , 3) y Q (4 , 9) s o n d o s vértices de un cuadrado
P Q R S y tam bién de un triángulo equilátero P Q T , tal co m o se
7.
m uestra en la F igu ra 2.16. Hallar la e cu a ción vectorial de la recta RT.
Solución.
El problem a se reduce a calcular el punto,
: P = <-1 , 0) + t <-a , 1) y
c/ \ : P = <1/b , 0) + a <-3 , b) s e a n coincidentes
Hallar la e cu a ció n norm al de la recta
r/ ' c u y o s p u nto s equ id istan de la s rectas
^ , = {<-1 , 5) + t <3 , - 6 ) 11 e R } y 2 ?j= {<5 , -9) + r <7 , -14) |r e R }
8. S e a n A (2 , 3) y B (-4 , 7) d o s p untos de R :. C u á n t a s de las sigu ien te s e xp re sio ­
de p a s o R y el punto T.
n e s vectoriales representa a la m ediatriz del se g m e n to ÁB.
L u e g o , si Q P = P - Q => Q P = <12 , 3) - <4 , 9)
= <8 . - 6) _
R Q 1 Q P <=> Q - P = Q P 1 <=> R = Q - Q P 1
9.
a)
P = <2t + 1 , 8 + 3 t ) , t €
b)
P = < 2 t-3 ,4 + 3 t),te R
c) P = <5 + 2 t , 1 4 + 3 t ) , t e R
d) P = < 2 t - 1 , 5 + 3 1 ), t e R
Hallar la e cu a ció n vectorial de la m ediatriz del se g m e n to
o . R = <4 , 9) - <6 , 8) = <-2 , 1)
P unto m edio de Q P : M = (1
R
Á B = {<-2 , 3) + t <6 , -4 ), t e [0 , 1 ]}
10.
M ( 8 , 6)
r^ )
L o s e xtre m o s d e u n a de las d ia g o n a le s d e un rom bo s o n S ( 2 , -1) y T (1 4 , 3).
Hallar la e cu a ció n vectorial qu e contiene a la otra diagonal.
L a d o del c u a d ra d o y del triángulo equilátero
11. Determ inar el valor d e m + n para que las rectas á ?,: P = <-1 , 2 ) + 1 <m , 2 ), t € R
llQPlI = V8J+ (-6): = 10
y <?2 = {< 1 / n , 0 ) + r <3 , - n ) , r e R } , s e a n coincidentes.
FIGURA 2.16
Altura del triángulo equilátero : 11MT 11 = 5 \3
QP
1
l l Q P II
_ (8 . -6)
<=> u, = u ,1 =
12.
< 3 ,4 )
'0
H allar la p end iente de la recta q u e p a s a por el origen y por
13.
S i M T = T - M =* T = M + 11 M T 11 u.
S i 5?, = {<a 3 + 3 , - 7 ) + t<1 - a 2 , a ) | t e R } y
!s e
=> T = <8 , 6) + (5V3)
= <8 + 3V3 , 6 + 4V3)
14.
R }, hallar a e N tal que
H allar la
= {<a , 3 a - 7)
+ s< a - 5 , 8-3a)
7!y y (I ’2s e a n rectas coincidentes.
e cu a ció n vectorial de la
circunferencia 7 '= { P e R 2 | |f P || =
R T = T - R = <8 + 3>/3 , 6 + 4V 3 ) - <-2 , 1) = <10 + 3V3 , 5 + 4^3)
elbaricentro del
triángulo d e vértices : A(-1 , -4 ), B(1 , 5) y C (5 , -2)
recta que p a s a por (-3 , 1) y e s tangente a la
2 \2 }
15. S e a n A ( - 3 , 2 ), B , C(-1 , 13) y D los vértices de un rectángulo, tal que Á C e s una
P o r lo tanto , la e cu a ción vectorial de R T e s
de la s d ia g o n a le s y A B e s ortogonal al vector v = <4 , -3). H a lla r :
a)
R T : L = <-2 , 1) + t <10 + 3V3 , 5 + 4>/3) , t € R
16.
L a e cu a ció n vectorial de la recta que contiene a B D .
b) P ro yf- uÁ C
El triángulo A B C e stá d a d o por la s c o o r d e n a d a s de s u s vértices , A (2 , -2) ,
B (6 , 1) y C (-2 , 0). S e necesita :
E JE R C IC IO S : Grupo 17
a)
E sc rib ir la e cu a ció n vectorial del lado A B .
b)
E scrib ir la e cu a ción vectorial de la altura C D y calcular h = 11CD 11
E n los ejercicios 1 - 4 determ inar si la s rectas c u y a s e c u a c io n e s vectoriales se
c)
H allar el á n gu lo 0 entre la altura C D y la m e d ian a B M
d an , s o n : a) p aralelas , b) co incide n te s , c) perpe n d icu lare s , d) oblicuas.
d)
1.
i 2?1 : P = < 3 , - 5 ) + t ( 2 f - 3 ) , t e R
,
: P = <-1 , 1) + r <-6 , 9 ), r € R
2.
2 ?,: P = <2 , -1) + t (-2 , 6) , t e R
,
% 2 : P = <0 , 1) + r <13 , -3 9 ), t e R
E scrib ir la e cu a ció n de las b isectrices
exterior en el vértice A.
(I \ y
de los á n g u lo s interior y
UN
Capítulo 2: Rectas en el plano
149
Ecuaciones cartesianas de la recta
Si P (x , y) e s el punto genérico de la recta 2-, e n to n ce s
( E C U A C IO N E S C A R T E S IA N A S P E LA R E C T A )
(P -R )« n = 0 o
«
2.6 j F O R M A G E N E R A L D E L A E C U A C IO N D E U N A R E C T A
de d ond e o b te n e m o s ,
[<x , y) -<-3 , 2>] • <2 , 1) = 0
(x + 3 , y - 2) *(2 , 1) = 0
J2?:2x + y + 4 = 0
2. S i a = (-1 , 2) => n = (2 , 1 ) = (A , B) <=> A = 2 y B = 1
L a form a ge n e ral de la e cu a ción de u n a recta e s
En to n ce s en la e cu a ción (1 1 ),
te ; A x + B y + C = 0
C o m o R(-3 , 2)
e SP <=> 2(-3) + (2 ) + C = 0 <=> C = 4
d o n d e al m e n o s un o de los coeficientes re ale s A o B e s diferente de cero.
<e : 2x + y + 4 = 0
E n efecto, cualquier vector no nulo que s e a per­
pendicular al vector de dirección de un a recta
£
a)
Se que contiene al punto
P u esto q u e los ve cto re s n, = (A , B) y n, = (-B , A ) s o n perpendiculares, y si so n
respectivam ente n orm a le s a las rectas .2?, y .2?,, s e tiene qu e la s e c u a c io n e s de
P , ( x , , y,), a s í c o m o al vector n = ( A . B ) , norm al a
la form a
£., d on d e A y B e R . uno de los c u a le s e s dife­
Ax + By + C = 0
rente de cero. U n punto P (x , y) está sob re 2 ' si y
só lo si P - P, e s paralelo a
- Bx + Ay + k = 0
£ , e s decir, si só lo si
so n perpendiculares.
íe e s :
(P
P , ) . n = 0 <=* P . n - P. • n = 0 <=>
(12)
d onde A o B e s diferente de cero , s o n e c u a c io n e s ge n e ra le s de d o s rectas que
P - P, e s perpendicular a n. E n to n c e s una e c u a ­
ción de
■
| O B S E R V A C I O N E S 2.5
e s un vector norm al a 2'. E n la Figu ra 2.17 , s e
m ue stra a u na recta
W : 2x + y + C = 0
p . n = P, • n
(10)
b) S i n = (A , B ) e s un vector norm al a u n a recta .2?, e n to n ce s e s tam bién norm al a
cualquier otra recta paralela a
<£. E sta propiedad s e indica por la s e cu a cio n e s
Ax + By + C = 0
P u e sto qu e P = (x , y ) , P, = ( x , , y,) y n = <A , B ) , la e cu a ció n s e p u ed e escribir de la
Ax + By + k = 0
form a
(13)
d onde A o B e s diferente de cero.
(x , y) • (A , B ) = (x, , y,) • (A , B ) <=> A x + B y = Ax, + By,
D a d o que x , , y , , A y B s o n co n sta n te s , el núm ero Ax, + B y , , e s tam bién constante,
y p o d e m o s denotarlo por -C . S e tendrá e n to n ce s que
Ax + Bv + C = 0
C o m o la e cu a ción ( 1 1 ) no contiene ve ctore s s e le d e n o m in a tam bién ,
Ejemplo
2
]
(11)
ecuación
Hallar la ecu a ción general de la recta que p a s a
e s perpendicular a la recta 2?, : 2 x - 5 y + 7
Solución.
por A(1 , 3) y
= 0
L a e cu a ció n (12) establece que la recta b u sc a d a tiene por ecuación
<£: 5x + 2y + k = 0
escalar d e ZC.
I Nota. Si n = (A , B) es un vector normal a una recta 7, entonces a = (-B , A) es un vector de
dirección de 5?. Por consiguiente la pendiente de iT está dada por
m= - —
B
C om o A (l , 3) € te <=> 5 (l) + 2(3) + k = 0 , de d o n d e o b te n e m o s : k = -11
s e : 5x + 2 y -1 1 = 0
■
, si B * 0
Ejemplo
3~ }
H allar la e cu a ción general de la recta q ue p a s a por S (-6 , 2) y
e s paralela a la recta 5?, : 5 x + 6 y - 9 = 0
Ejemplo
1
J
Hallar la ecuación general de la recta qu e contienen al punto
R (-3 , 2) y qu e tiene a a = (1 , -2) c o m o vector de dirección.
Solución.
1.
U s a re m o s d o s m étod os para resolver el p roblem a
D ado que a = (I ,-2) ■=> n = a 1 = (2 , 1)
Solución.
P o r la e cu a ción (1 3 ), la recta b u sc a d a tendrá por ecu ación
JZ'; : 5 x + 6y + k = 0
Ahora , si S (-6 , 2) e
(1 )
=> 5(-6) + 6(2 ) + k = 0 , de d on d e , k = 18
Por lo que , en (1 ), te n d re m o s ,
2?,: 5x + 6y + 18 = 0
■
150
Capítulo 2: Rectas en el plano
151
Ecuaciones cartesianas de la recta
2.8 j F O R M A P E N D IE N T E Y O R D E N A D A A L O R IG E N
2.7 j F O R M A P U N T O P E N D IE N T E
E n la F igu ra 2.19 s e m uestra u n a recta 5?,
ta
& qu e p a s a por el punto P ^ x , , y,). S i P (x , y)
e s un punto ge n é rico de X , e n to n ce s un vector
no vertical q u e corta al eje Y en el p u nto T (0 , b ) ,
direccional de dicha recta e s
b e R. El n ú m e ro b s e llam a la ordenada en el
origen de 7'. S i s e su stitu y e a x, p o r 0 y a y, p o r b
X S
L u e g o , por la Definición 2.2 , la pendiente m de
y - 6 = m (x -0 ) es
% e stá d a d a por
[ig : y = mx + b )
(16)
O'
..........
m = y-y.
x - x,
de d on d e ob te n e m o s ,
i
¡ W .h )
en la e c u a c ió n (1 4) s e ob tiene
a = P - P, = (x - x , , y - y,)
la recta
V
E n la figura 2.18 s e m uestra a u n a rec­
S i en la e cu a ción general A x + B y + C = 0 ,
(14)
4 J
■A
J
F IG U R A 2.19
v = - — x - —
y
B
B
Si c o m p a ra m o s co n la ecu a ción (16) resulta qu e : m = - A/B y
Ejemplo
■—
V
B * 0 , s e d e sp e ja a y en función de x , s e obtiene
$ : y - y, = m(.\ - x ()
a
b = - C/B
Hallar la ecu a ción general de la recta q u e p a s a por P 1 (1 , -3) y
cu yo vector de dirección e s a = (5 , 2)
E je m p lo
Solución. S i h a c e m o s x, = 1 , y, = -3 y m = 2/5 , en la e cu a ció n (1 4) s e tiene
y - (-3) = | (x - 1) <=>
<£ : 2x - 5y - 17 = 0
6 J
C a lcu la r la pendiente y la o rd e n a d a al origen de la recta cu ya
ecuación general e s
<£ : (k - 2 n + 5 )x + (2 k + n - 1 )y + (3 + n - 2 k) = 0
■
sabie ndo q ue p a s a por S(-1 , 2) e intercepta al eje X en T (3 , 0).
I Nota. Si una recta £■ contiene a los puntos P ,(x,, y,) y P,(x, , y , ) , con x, * x , , entonces la
pendiente m de la recta está dada por
Solución. S i S ( - l , 2 ) e á?<=> (k - 2 n + 5) (-1) + ( 2 k + n - 1 ) (2) + (3 +
t= > k + 5 n - 4 = 0
y si T(3 , 0) e
S i s e sustituye e sta e xp re sió n de m en la ecua ción (14) s e obtiene la e cu a ció n equi­
valente
n -2 k) = 0
(1)
<B=> (k - 2 n + 5) (3) + (2 k + n - 1 ) (0 ) + (3 + n - 2 k) = 0
=> k - 5 n + 18 = 0
(2)
R e so lvie n d o (1) y (2) por sim u ltán e a s o b te n e m o s : k = - 7 , n = 11/5
} ' y* =
’ x'>
(15)
£c \ (-7 - ^ + 5 ) x + ( - 1 4 + l ) y + (3 + y + 14) = 0 o
f£ : x
+ 2y - 3 = 0
D e sp e ja n d o y en función de x s e tiene : y = -^ x + -y
E sta e s la e cu a ción carte sian a de
!£ qu e p a s a por d o s p u ntos d ad os.
Lu e go , p or
E je m p lo
5
j
sim p le insp e cción : m = - 1/2 y
b = 3/2
■
Hallar la ecu ación general de la recta que p a s a por los p untos
2.9 J F O R M A A B S C I S A Y O R D E N A D A A L O R IG E N ___________
S (-4 , 3) y T(-2 , - 1 )
Solución. S i en la ecuación (15) s e sustituye x , , y, por la s c o o rd e n a d a s del punto
S (-4 , 3 ), y a x, e y, por las c o o rd e n a d a s del punto T(-2 , -1) o b te n e m o s
E n la F igu ra 2.18 s e m uestra u n a recta no h o riz o n ta l, que intercepta al eje
S(a,0) ,a e R. El núm ero a recibe el nom bre de abscisa al origen de £
Si sustitu im os la s c o o rd e n a d a s de lo s p u n to s S (a , 0) y T (0 , b) en la ecu ación (15)
X en el punto
y - 3 =(-~ ~ j ) (x + 4 « , 2 ? : 2 x + y + 5 = 0
■
152
Capítulo 2: Rectas en el plano
153
Ecuaciones cartesianas de la recta
s e obtiene
8
E je m p lo
y ' 0 = ( ¡ j T j ) (* ' a ) ** b x + a y = ab
J
Hallar la e cu a ción de la recta
9-, en s u form a sim étrica que
p a s a por los p u ntos S(-1 , 3) y T ( 4 , -3)
D ividiendo a m b o s m ie m bros entre
a b resulta
Solución. U n vector de dirección de 9' e s a = S T
c=> a = <4 , -3) - (-1 , 3) = (5 , * 6)
Por lo que el p ar de n ú m e ro s directores s o n : h = 5 y k = -6
E sta e s la ecua ción
abscisa y ordenada al origen de la recta r/'.
Sustituyendo a x, e y , , en la e cu a ció n (1 8 ), p or la s c o o rd e n a d a s del punto S o T , s e
tiene:
E j e m p lo
7
]
origen su m a n -1 , y q ue p a s a por el punto S ( 2 , 2)
S i S (2 , 2 ) e
•
x -4 _ y + 3
5 - 6
Se puede verificar que c a d a u na de e sta s e c u a c io n e s representa a la m ism a recta
reduciéndolas a s u form a general.
Solución. S e a la recta b u sc a d a , 9} : — +
= l
a
b
D a d o qu e
x + 1 _ >’ ~ 3
5
-6
H allar la e c u a c ió n d e la recta c u y a a b s c is a y o rd e n a d a al
9 <=> -=‘
a + _ r = I <=> 2a + 2b = a b
a + b = -1 , e n to n ce s : b = -1 - a
(1)
D a d a u n a e cu a ció n general para u n a recta
9 1s e puede
escribir una e cu a ción equivalente en forma sim étrica iden­
(2)
R e so lv ie n d o ( 1 ) y (2 ) ob ten e m os : a, = - 2 , a , = l ;
| O B S E R V A C I O N E S 2.6
■
tificando un punto P,(x, , y,) que está so b re la gráfica de
9
notando q ue el vector a = <-B , A ) e s un vector de dirección de
b{ = 1 , b, = -2
:A x + B y + C = 0 , y
lagráfica. P o r lotanto,
se tiene q ue la e cu a ció n d e á? en form a sim étrica e s
+ -y = 1
P o r tanto , h ay d o s so lu c io n e s :
<=> ,2?,: x - 2 y + 2 = 0 ó
ó
y
+ -^ -= l
22?,: 2 x - y - 2 = 0
x - x,
-B
■
E je m p lo
2 .1 0 I F O R M A S IM E T R IC A
9
J
Solución.
(19)
r£ : 2 x + 5 y - 1 0 = 0
R e s o lv e m o s la e cu a ción 2x + 5y - 10 = 0 a sig n á n d o le un valor a x , por
ejem plo , x = -5 , s e obtiene : 2(-5) + 5y - 10 = 0 , de d on d e , y = 4 ; luego
9 : P = P ( + ta , i e R
P (-5 ,4) e s un punto de la gráfica de la e cu a ción dada. C o m o A = 2 y B = 5 , e l vector
la s c o m p o n e n te s h y k del vector de d irección a = (h , k) recibe el n o m b re de
números directores de 'I'.
S i P,(x, , y,) e s un punto de
y -y ,
A
Hallar la ecu ación en s u form a sim étrica que s e a equivalente
a la e cu a ció n
D a d a la ecuación param étrica vectorial de un a recta
=
9 , e n to n ce s u n a e cu a ción param étrica vectorial de la
a = (-5 , 2) e s un vector de dirección de
9 '. P o r tanto , la ecua ción en su form a
simétrica e s
cp .•
j,
recta e s :
u
x + 5 _ y -4
$ -
2
<x , y ) = <x, ,y,> + t < h , k>, t e R
| O B S E R V A C I O N 2.7
de d on d e s e obtienen las e cu a c io n e s p aram é tricas ca rte sia n a s
x = x, + Ih
S e p u ed e em p le ar lo s n ú m e ro s directores h y k de una recta
9
, y = y ( + tk
para determ inar
otra form a sim étrica en función de los
á n gu lo s directores a y p (F igu ra 2.20).
d e sp e ja n d o t de ca d a una de e sta s e c u a c io n e s o b te n e m o s
En efecto , re co rd e m o s que la pendiente m = k/h , e n to n ce s a s e puede determ inar
x - x,
y - y,
(18)
a través de la e cu a ción
t
L a e cu a ción (18) recibe el nom bre de form a
simétrica de la ecu a ción de una recta.
y com o
a=
9« = !
(h , k) = (-B , A ) e s el vector d e dirección de la recta
9' : A x + B y + C = 0,
154
Capítulo 2: R ed a s en el plano
e n to n c e s si B * 0 , el á n g u lo de d irección a e stá
d a d o por
T g a = --§B
,
b) S i
'
pp,
= — = | ^
n
2
p = (— 0 — ) P, + ( - H L _ ) p.
'm + n ' 1
'm + n ' 2
(Ec. (5))
0°<a<180°
=> < 4 .5 > -(j |
S i en la ecua ción (14) sustituim os m = T q a = ^ en “
s
Cos a
te n d re m o s
155
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
i
)< -2 , 3 > + (t |
i
)P ,
de d on d e o b te n e m o s P, = (8 , 19/3) <=> P ,(8 , 19/3)
y - y , =C Ü
o s ^a < * - * , >
Ejemplo
P e ro c o m o p = 90 - a «=> C o s p = C o s (90 - a ) = S e n a
2
J
C a lc u la r el á re a del triá n g u lo fo rm a d o p o r la m ediatriz del
se g m e n to A B = {<-1 , -1) + r <6 , -4) , r [0 , 1 ]} y lo s ejes
P o r lo q u e :
c o o rd e n a d o s.
Cos p
y ' y’ = c
^
( x - x') ~
9
X - X,
: ________
Cos a
y - y.
( 20 )
Cos p
Solución.
El punto de p a s o de la m ediatriz e s el punto m edio del se g m e n to A B ,
esto e s : M = (-1 , -1) + y (6 , -4) = (2 ,-3 )
Un vector paralelo a la m ediatriz e s (6 , -4 y- = 2 (2 , 3), lu e go s u e cu a ción vectorial es,
Ejemplo 10
^
SP : P = <2, -3> + 1 ( 2 , 3 > , t € R => & : (x , y> = <2 , 2 t , -3 + 3t>
Hallar la ecu ación sim étrica de la recta q u e p a s a p or S ( - 5 , 3),
y cu yo á n gu lo de dirección
La a b s c is a en el origen lo o b te n e m o s ha cie n d o -3 + 3 1 = 0 «
a s e a 60°.
Solución. S i a = 60° => p = 30°, lue go , lo s c o s e n o s directores de la recta 7' son:
C o s a = 1/2 y
La o rd e n a d a en el origen lo o b te n e m o s hacie ndo : 2 + 2 t = 0 <=> t = -l
C o s p = V3/2
c=>
P o r lo tanto , si sustituim os las c o o rd e n a d a s de S en la e cu a ció n (20) o b ten d re m o s
<j? : x± 5 = y i 3
1/2
t= 1
a = 2 + 2( 1 ) = 4
En ton ce s , p ara este valor d e t :
.
m
b = -3 + 3 ( - l) = -6
Por lo tanto , si S = a ( A A B C ) = 4 - \a b \ <=> S =
\ (4) (- 6) | = 12 u 2
■
V3/2
1
Ejemplo
3
]
E m p le e el m étodo e xp ue sto en el Ejem plo 5 de la S e c c ió n 2.4
----{ M I S C E L A N E A D E E J E M P L O S I L U S T R A T I V O S ) —
p a ra ca lcu la r la s c o o r d e n a d a s de lo s vé rtice s del triángulo
c u y o s la d os tienen los p untos m e d io s R (-3 , 1) , S ( 2 , 3) y T(1 , -1).
Solución.
R e c u e rd e q u e el se g m e n to c u y o s extre m o s s o n los p u ntos m ed ios de
los la d o s de un triángulo e s paralelo al tercer lado del triángulo , y que
Ejemplo
1 J
D a d o s lo s p untos P ,(-2 , 3) y la recta 2? : 3 x - 4 y + 8 = 0 , hallar
a)
El punto P que e s la intersección de ^ c o n la recta que
p a s a por P, y e s p erpend icular a
2'.
b) El punto P 2 tal que el punto P divide al se gm e n to orientado P,P, en la razón r = 3/2.
su longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.
L u e g o , si
T S = S - T = <2 , 3) - (1 , -1> = (1 , 4)
un vector unitario en la dirección de T S e s
=
Solución, a) S e a <2?, la recta que p a s a por P, y e s p erpend icular a 7'. S i n = <3 , -4)
e s la norm al a íC, e n to n ce s n, = (4 , 3) e s la norm al a 7\ , por lo que
s u e cu a ció n general lo ob ten e m os a partir de la e cu a ció n ( 1 0 ) , esto e s :
TS
TS
(» .4 )
llT S H
V 17
y s i A B Ü T S ■=> A B = r ( l ,4)
U n a recta qu e contienen a los vértices A y B e s
P * n , = P, * n, => (x , y> • (4 , 3) = (-2 , 3) • <4 , 3)
<=> 4x + 3y = -8 + 9 <=>
: 4 x + 3y - l = 0
$ D 7 \ = (3x - 4y + 8 = 0) fl (4x + 3y - l = 0) = P (4 , 5)
S?,: P = R + r u TS = (-3 , l> + r
(1)
D a d o q ue I r i e s la d istancia que s e p a ra a A de R
F IG U R A 2.21
156
Capítulo 2: Rectas en el plano
y a R de B , y si
I r I = 11 f s 11 = VT7 o
r = ± \l7
157
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
u
P A = || PÁ||
A h o ra , si A y B e 2* , e n to n ce s en (1) s e tiene :
=> A = P + | | P A | | u = <2, 0> + V 5 ( ^ - ?= ^ ) = <1
r = -VT7 «=> A = (-3 , 1 ) - ( 1 ,4 ) = < - 4 , - 3 )
r = V 17 «=> B = <-3, 1 > + (1 ,4 ) = (-2 ,5 )
t 2)
B P = || B P || u
A n á lo ga m e n te : R T = T - P = <1 , - 1 ) - (-3 , l) = <4 , - 2 ) y l i R T i l = 2^5
=> B = P - 11 B P 11 u = < 2 , 0 > - \ /5 ( ^ ^ )
U n a e cu a ción de la recta que contiene a lo s vértices B y C e s
á y p = s + t URt = <2,3> + i ( 2 - j ^ )
Si
(2)
*->
= < 3 ,-2 >
i-\ - 2 \
a) E c u a c ió n ca rte sia n a de A Q : y - 2 = ( ^ t j ) (x • 1 )
11 1 = I i R T 11 = 2\ 5 , e n to n ce s en (2) s e tiene :
o
t = -2V5 => B = <2 , 3) - 2 <2, -1) = <-2 , 5)
t=
2\5 c=* C = <2 , 3) + 2 (2 , - 1 ) = <6 , 1 )
P o r lo tanto , lo s vértices del triángulo s o n : A(-4 , -3) . B (-2 , 5 ) y C (6 , 1 )
■
A Q : x + 2y - 5 = 0
/ -1 + 2 \
E c u a c ió n ca rte sia n a de B Q : y + 2 = ( 7 _y ) (x - 3)
b) Á B = B - A = (3 , -2) - (1 , 2 ) = (2 , -4) <=> Á B l = (4 , 2)
C jc m p lo
4 ^
Hallar la ecua ción general de la recta c u y o s p u n to s equidistan
de la s re cta s p a r a le la s
B Q = Q - B = <7 , -1) - <3 , *2) = <4 , I)
7 \ : P = (0 , 1) + t (-2 , - 1 ) , t e R y
a ( A A B Q ) = y B Q • Á B - = y <4 , 1 > • <4 , 2> = 9 u 2
■
■^ 2 : (1 . *2) • (P - ( 0 , -5 » = 0.
Solución.
bt y V : y = m x + b, s o n d o s rectas
paralelas, e nto n ce s la ecu a ción de la recta paralela media a
y 2?2
R e cu e rd e que si
está d a d a p o r , , ^ : y = m x +
:y = m x +
6
J
D a d o s los vértices A (-2 ,4 ) y B (6 , -2) de un triángulo A B C , y el
punto de intersección H(1 , 3) de s u s alturas . h a lla r :
<—>
a) La e cu a ció n de la recta A C
b) El vértice C
±-(bl + ¿O
: <x , y) = < -2 t, I • t> <=> 1 = ; y =
L u e g o , si
E je m p lo
y = y x + 1
2?2:<1 , - 2 > . < x , y ) = (l , - 2 ) . ( 0 , - 5 ) * * x - 2 y = 10
Solución, a) S i H B = B - H = <6 . -2> - <1 , 3> = 5<1 . -1)
<=> n. = (1 , - 1 ) e s un vector norm al a la
.0,: y = | x - 5
recta A C cu y a e cu a ción ca rte sia n a lo o b te n e m o s
T '.y = \ x + \ { \ -5) & % : \ - 2 y -A = 0
P o r lo tanto ,
e s la recta c u y o s p untos equidistan de la s d o s rectas d ad a s.
a partir d e :
P • n, = A • n, <=> <x , y ) *<1 , -1) = <-2 , 4>«<1 , -1>
4->
<=> A C : x - y + 6 = 0
b) Á B = B - A = (6 , -2> - <*2 , 4> = 2 <4, -3>
E je m p lo
5
^
Sean :
de
7' la recta co n e cu a ció n 2 x + y - 4 = 0 , P (2 , 0 ) un punto
9 y el punto Q ( 7 , -1). S i A y B s o n p u nto s d e 2?, c a d a un o de
los c u a le s dista \ 5 u n id a d e s de P , h a lla r :
= * n, = (4 , -3) e s un vector norm al a D C
Si
P • n, = H • n, <=> (x , y ) • <4 , -3) = <1 , 3) • <4 , -3>
e s D .C : 4x - 3 y + 5 = 0
a) L a s e cu a cio n e s ca rte sia n a s de las rectas A Q y B Q
A C D D C = { C } => (x - y + 6 = 0) fl (4x - 3y + 5 = 0) = C ( 13 , 19)
b) El área del triángulo A B Q .
So lu ció n . S i V ': 2x + y - 4 = 0 ■=> n = (2 , 1 ) , lu e g o el ve c to r d ire c cio n a l d e rl' e s
a = (-1 , 2) , e n to nce s un vector unitario en d icha dirección e s :
U =
<■ 1 , 2 )
--------- -
V5
E j e m p lo
7
J
S e a n A (0 , 0 ), B y C los vértices de un triángulo ; sa b ie n d o que
B + C = <23 , 7 ), 11 Á B 11 = 5 ^ 5 , 11ÁC II = 13 . B C • <3 , *1) = 0 y
158
Capítulo 2: Rectas en el plano
B C • (O , 1) > O ; hallar la e cu a ció n vectorial d e la recta q u e p a s a p o r C y es
159
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
Luego , S, = a ( A A O B ) =
\ (2)(6) = 6u :
p erpendicular al lado A B .
l i = 4 t=> S , = | ( 6) = 4
4
-
Com o
Solución. S e a n los vértices B(a , b) y C (x , y)
<=> B C = C - B = <x - a , y - b)
D a d o B C »(3 , - 1 ) = 0 => 3x - 3a - y
B + C = (23 , 7) <=> {
+b = 0
Si
(1)
a + x = 23
(2 )
b +y = 7
t=>
C o m b in a n d o las e c u a c io n e s (2) con (1) obte
nem os :
S i 11 Á B 11 =
y = 3x - 31 ,
5?,: -
- a
Y = 1
2
<=> a = 11
I ab\
= 3a
3a2= 3 ó 3a: = -3
a2 = 1 ó a : = -l (N o existe solu ció n real)
ó a = - l y b = -3
FIGURA2.25
Por lo tanto , existe d o s so lu c io n e s
S i 11 Á C 1 1 = 1 3 <=> x 2 + y-’ = 169
< 2?:P = < 1 ,0 > + t(l ,- 3 ) , t e R
= * x 2 + (3x - 3 I) 2= 169
( 1)
<=> a = 1 y 6 = 3
b = -41/5
ó
42
ü.9, 11 í?, => m 2 = m, = -3 , y c o m o m, - - —
Sustituyendo en (1 ):
ó a = 38/5
b= 2
o
*
2
se sig u e q u e : b
a : + b: = 125
<=> a 2 + (3a - 31)-’ = 125 = * 5a2 - 93a + 418 = 0
5^5 =>
s,=
— = — \a b \ <=> ab = 3 ó ab = - 3
Dado que
b = 3a -31
+
b
ó X \ \ P = <-1, 0) + 1 <1 , -3 ), t e R
5 x 2.-9 3 x + 792 = 0
«=> x = 12 ó x = 33/5
Ejemplo 9
<=> y = 5
ó
y = - 56/5
L u e g o , h a y d o s p o sib le s so lu c io n e s : B( 11 , 2 )
ó
B(38/5 , -41/5)
C (12 , 5)
ó
C(33/5 ,-56/5)
C o m o B C • (0 , 1 ) > 0 =>
(x - a , y
-£ )• (0 ,1 ) > 0=> y
-b > 0
<=> y
)
D a d o s el circuncentro D (6 , 1 ) , el ortocentro H ( 3 , -3 ), el vértice
A ( 8 ,1 2 ) y P royAl.ÁD = r(1 , -7 ), r > 0 , de un triángulo A B C ; hallar
las e c u a c io n e s vectoriales de las rectas q u e contienen a lo s la d o s del triángulo.
>b
Solución. L a Figura 2.26 m uestra al triángulo A B C
S e cu m ple s ó lo para la prim era alternativa (5 > 2). E n c o n se c u e n c ia B ( 1 1 , 2) y
al circu n ce n tro D (in te rse cció n de la s
C ( 12 ,5). S i A B = <11 ,2) => A B X = (-2, 1 1 >, por lo q ue la e cu a ció n vectorial de la recta
m ediatrices) y el ortocentro (intersección de la s al­
p e d id a e s
turas).
i2?:P = <12,5) + t< -2,11), te R
■
ÁD =
D - A = (6 , 1) - ( 8 , 12) =
(-2, -11)
S i P r o y A-cÁ D = r ( l , - 7 > , r > 0 => Á C 11 <1 , -7>
E je m p lo
8
J
La recta
Ir \ : P = (1 , 3) + 1 (2
, -6) form a co n lo s ejes c o o rd e n a ­
d o s un triángulo de área S,. S i 7' 2 \ \
c o o rd e n a d o s un triángulo de á re a S 2 tal qu e S ,/ S 2 = 4. H allar la e c u a c ió n vectorial
de 2?2.
Solución.
)<1. -7> = f o .-7)
D a d o que A C = 2 A M <=> A C = 3(1 , -7) = (3 , -21)
<=> C = A + (3 ,-2 1 > = ( 8 , 1 2 )+ (3 , - 2 1 ) = (11 ,-9)
: P = <1 , 3) + t(2 , - 6) ■=> (x , y) = (1 + 2 t , 3 - 6 t)
In te rse ccio nes de
C o n el eje
yAM = ProfeAD =
r yy form a co n los ejes
lr \ con los ejes co o rd e n a d o s.
X : y = 0 <=> 3 - 6 1 = 0 o
t = 1/2
«=» x = i +2(1/2) = 2
H~A = A - H = < 8 , 1 2 ) - ( 3 , - 3 ) = 5(1 ,3)
H C = C - H = <11 , -9) - <3 , -3) = 2 <4 , -3)
P or tanto : Á B ± H C = >
A (2 , 0)
C o n el eje Y : x = 0 ■=> I + 2 t = 0 <=> t = - 1/2
=> y = 3 - 6(-l/2) = 6 <=> B (0 , 6 )
A B : P = A + r H C 1 <=>A B : P = (8 , 12) + r<3 ,4 ) , r e R
B C 1 H A t=> B C : P = C + s H A 1 <=> B C : P = (11 , -9) + s<-3 ,1), s e
A C : P = A + t(l , -7) <=> A C : P = ( 8 , 12 ) + t<l ,-7 ), t e R
R
■
160
Capítulo 2: Rectas en el plano
E je m p lo
1 0 ^
E n un triángulo A B C , el lado B C m ide 5 \ T o ; la m ediatriz del
Ejemplo
11
J
H a lla r la e cu a ció n de la recta
fl
= B ,
= C , la a b s c is a de A e s 3 , .5?,: 3 x - y - 5 = 0 , 11 B C 11 = 5 \T o
vértices del triángulo A B C , b) hallar la e cu a ción ge ne ral de la recta 5? que p a s a por
y el área del triángulo A B C e s 6 0 u2.
E y e s ortogonal a B C (la a b s c is a de A e s positiva).
Solución. S i
Solución. L a F igu ra 2.27 m uestra al A A B C , junto con
X
en A
<=> A e <l\
y si 2?,: 3x - y - 5 = 0 y A(3 , y ) , e n to n ce s
la mediatriz D M y el vértice A co n a b s c is a
3(3) - y - 5 = 0 <=> y = 4 , luego A(3 ,4)
positiva. L u e g o , si
Se a n a = 11 B C 11 = 5nTo ,6 = 1 1 ÁC11 y c = 11ÁB11
P r o y ^ D B = D M = 6 <3 , 4) ^
11 D M 11 = 6\/3: + 4- = 30
C e s punto m edio de D B
11 D B 11 = 2(5\7o) = 10V7Ó
=>
a (A A B C ) = 60 u : ■=> i - be = 60 <=> be = 120
(1)
Por el Te ore m a de P itá go ra s
E n el triángulo rectángulo B M D s e tiene :
I
de pendiente entera ne ga-
tiva q u e n o p a s a p o r el te rce r c u a d ra n te . S i 2?, X J? 3 en A ,
lado A B corta a A C en el punto E (-3 , -5) y a laprolon ga ció n de
B C en D (-1 5 , -21). S i C e s punto m edio de B D y P r o y ^ D B = 6(3 , 4 ) , a) hallar los
161
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
a 2 = b2 + c2 «=> b2+ c2= 25 0 ’
f M B 111 = 11 D B 11 - 11 D M 11 - = ( ÍOVTÓ)*’ - (30)- = 100
(2)
R e so lvie n d o (1) y (2) por sim u ltán e a s o b te n e m o s
=> l l M B l I = 11 Á M || = 10
b = 3V ÍÓ ó b = 4 VTo = * c = 4 V io ó c = 3 vTo
ÍL'Xe s n = (3 , - 1 ),
D É = E - D = (-3 , -5) - (-15 , -21) = 4<3 , 4)
El vector norm al a la recta
U n vector unitario en la dirección de D E e s
i=> u =
DÉ
u = — —— =
11 D E II
5
deAB.
5
C álculo de lo s vértices B y C co n
a) C á lcu lo de lo s vértices del triángulo A B C
D M = 11 D M ||
u1 = (3 , 3) + 10
=> B = (15 ,0)
Á C = ||Á C || u 1 => C = A + ¿ i/ L = ( 3 , 4 ) + 3 V ÍÓ ( ^ = = p ) *=> C = <6 , 13)
= (-5 , 9)
Pendiente de
ux <=* A = M - 11 Á M 11 u x = (3 , 3) - 10 ( ^ - ^ ) = <11 ,-3)
: m ,=
= ‘ V
€ Z
P or la condición del prob lem a s e d escarta e sta solución.
D B = B - D = ( - 5 , 9 ) - ( - 1 5 , - 2 1 ) = 10(1 ,3)
U n vector unitario en la dirección de D B e s : u = — ¡ ü —
_
_
_
'
Il D B II
L u e g o , si C B = 11 C B I u,
C = B - 11 C B 11 u,
Cálculo de los vértices B y C co n
(I ,3 )
V5
Á C = ||ÁC||
V IO
P o r lo tanto , los vértices del triángulo s o n : A ( 1 1 , -3 ), B (-5 , 9) y C ( - 10 , - 6 )
W e s paralelo a D B , e sto e s , si n = (1
b = 4V10 y c = 3V10
Á B = 11 Á B 11 u => B = A + c u = ( 3 , 4 ) + 3 > f í Ó ( ^ p ) c=> B = (12 , 1)
= (-10 , - 6)
= (-5 , 9) - 5 V ÎÔ
b) El vector norm al a la recta
b = 3 V 10 y c = 4 V Í0
Á B = 11 Á B 11 u => B = A + c u = ( 3 , 4 ) + 4 \ 7 o ( ^ p )
u <=> M = D + 11 D M 11 u = ( - ! 5 , - 2 1 ) + 3 0 ( ^ - ^ ) = (3 , 3)
M B = 11 M B 11 ir 1 c=> B = M + 11 M B 11
Á M = 11 Á M 11
e s un vector unitario en la dirección
VIO
Pendiente de al recta
,3 ), e n to n ce s
=> C = A + í»aJ- = ( 3 , 4 ) + 4 V ÍÓ ( ^ = ^ )
=> C = (7 , 16)
(J \ : m, = ^ * \ = - 3 e Z ' <=> n, = (3 , 1)
Por lo tanto , la e cu a ció n general de la recta r£ , lo o b te n e m o s a partir de
s u e cu a ció n norm al e s
P • n 2 = B • n, => ( x , y > - ( 3 , 1) = <12, l ) - ( 3 , 1) <=> 5?,: 3x + y - 37 = 0
: P • n = E • n c * (x , y ) . (1 , 3) = (-3 ,-5 ) - ( 1 , 3)
de d on d e o b te n e m o s la form a general
2? : x + 3 y + 1 8 = 0
■
■
Capítulo 2: Rectas en el plano
E J E R C IC IO S : Grupo 18
1 . Hallar lo s va lore s de k para que la recta f l ? : (4 ,1 ) • [P - (
,
4)] = 0 , forme
con los ejes c o o rd e n a d o s un triángulo de área S = 8 u 2.
2.
Em p lee el m étodo e xp ue sto en el Ejem plo 5 de la S e c c ió n 2.4 para calcular las
c o o rd e n a d a s de lo s vértices del triángulo c u y o s la d o s tienen lo s p untos me­
n
d io s R (0 , 5 ), S ( 2 , 3) y T(-3 , -3).
3.
u
c
n
c
i o
n
»
C a lcu la r el áre a del triángulo form ado por la m ediatriz del se g m e n to
D E
A B = {<-1 , 3) + r <6 , -2 ), r e [0 , 1 j } y los ejes co o rd e n a d o s.
4.
p
C a lc u la r el á re a del triá n g u lo O A Q si 11 O A 11 = 5 ,
(f l
R E C T A
: P = r <4 , 3 > , r e R ,
7'2 : Q = (2 , 5) + s (4 , 3 ), s e R ; d ond e O e s el origen de c o o rd e n a d a s . A y Q
p untos del primer cuadrante so b re la s rectas
5.
y
respectivam ente.
D a d o s lo s p u n to s m e d io s de lo s la d o s de un triángu lo : R (2 , 1 ) , S ( 5 , 3) y
T (3 , -4) , hallar las e cu a c io n e s ca rte sia n a s de s u s lados.
\ 2 A ) D IS T A N C IA D E U N P U N T O A U N A R E C T A D A D A
6 . S e a el triángulo A B C , d o n d e el lado A C m ide 3 \ 1 0 u n id a d e s y s e encuentra
s o b re la recta
rI ‘ : x + 3 y + 2 = 0 . S i el ortocentro del triángu lo e s H (3 , 5) y
D a d a la recta
cu yo vector de direc­
ción e s a , y d a d a s la s c o o rd e n a d a s de P y de
P ro yA0B H =
7.
^ (7 , 1 ), hallar los vértices del triángulo.
A , B y C s o n vértices de un triángulo de área 16 u 2. A (-2 , -1 ), B (5 , 2) y C está
S£ , e n to n ce s la distancia
de P a la recta J2?, den o tad a por d [P , 3 ! ) , e s la
so b re la recta r£ y: (1 , 1 ) • [ P - <2 , 1)] = 0. Hallar el vértice C.
norma de la proyección del vector P - P, en la
algún punto P, so b re
8 . D a d o s los vértices de un triángulo A (1 , - 1 ), B ( - 2 , 1 ) y C (3 , 5 ), hallar la ecuación
vectorial de la perpendicular bajada d e sd e el vértice A a la m ed iana , trazada
d {P , £ ) = II P ro y n(P - P.) 11 = I C o m p n(P - P,) I
d{ P , SB) =
D a d o s d o s vértices de un triángulo A (-1 0 , 2) y B (6 , 4 ) , c u y a s alturas s e cortan
I (P - P,) • n I
(1)
kn
_ X)
\
dirección de la norm al n. (Figura 3.1) E sto e s :
d e sd e el vértice B.
9.
—^
yj
/
oc
FIGURA 3.1
en el punto H (5 , 2 ) , h a lla r: a) L a ecu ación de la recta A C , b) El vértice C.
L a distancia que s e p a ra a P de
10.
El área de un triángulo e s S = 4 u 2 ; d o s de s u s vértices s o n los p u ntos A (2 . 1)
y B ( 3 , -2 ), el tercer vértice C está situado en el eje X. H allar la e cu a ción normal
de la m ed iana que p a s a por C.
11.
7\ : 2 x +
y - 2 = 0. Hallar la ecu a ción vectorial de la recta q ue por C y e s perpendicular
a la recta
7\.
1 2 . S e a n la s rectas 7\ - {(x , y ) e R -| 2 x - y = 5 } y 7'2 = { C + t <11 , 2 )} ; A ( 9 , 13) e
fJ \ , C (2 5 , -3) y el punto B e 7\ D 7'2. Hallar la e cu a ción vectorial d e la recta 7
qu e contiene a la bisectriz del á n gu lo A B C
puntos P, y P, so b re
SB. E n la Figu ra 3.2 s e
ob se rva que
El área de un triángulo e s S = 8 u 2 , d o s de s u s vértices s o n los puntos A(1 , -2).
B (2 . 3) y el tercer vértice C , de o rd e n a d a positiva , e stá en la recta
7' no d e p e n d e de la elección de un punto
particular P, de 5?. E n efecto , to m e m os d o s
P - P 1= (PI - P I) + ( P . P 2)
M ultiplicando e sca la rm e nte a m b o s m ie m b ro s
por n s e tiene :
(P - P,) • n = (P, - P,) • n + (P - P2) • n
= 0 + (P - Pj) • n
. (P -P .)-n
(P - P2) * n
ll nl l
FIGURA 3.2
164
Capítulo 3: Rectas en el plano
Ejemplo 1 )
Hallar la distancia que s e p a ra al punto P (4 , -2) de la recta $
165
Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada
12 + k - 2| _
V lT l
que p a s a por T (5 , -3) y cu y a pendiente e s 1/2.
|2 - 7k + 2 I
<=>
VT+49
I k | _ 14 - 7k
V2
5\Í2
=> 5 1 k I = 14 - 7k I <=> k = 1/3 ó k = 2
Solución. S i m = 1/2 ■=> a = <2 , 1 ) e s el vector direccional de 2?, y n = a 1 = <-I , 2)
e s s u normal.
El vector que va de P a T e s : P T = <5 , -3) - (4 , - 2 ) = <1 , - 1 )
Ejemplo
4 ]
L u e g o , por la fórm ula (1 ):
O b tener las e c u a c io n e s de las rectas qu e s o n paralelas a la
recta
d (P , £ ) =
| (1 ,-1 > « (-1 ,2 > |
_
I -1 - 2 1 _
11 <-1 , 2) 11
-
V5
V5
i Nota. Para hallar una fórmula que permita calcular la d(P
3
r£ : 3 x - 4 y + 10 = 0 y qu e e stá n a 5 u n id a d e s de
Solución.
El prob lem a s e p u ed e re solve r por d o s m étod os
Método 1.
P o r familia de rectas paralelas, qu e en este c a s o tienen la form a
, 7 ) cuando la ecuación de 2 está
dada en la forma general Ax + Bx + C = 0 , se procede de la siguiente manera.
¿:3 x -4 y + k = 0
C om o to d os los p u ntos de
(1)
Sí' equidistan de t , p o d e m o s elegir un punto cualquiera
S u p o n g a m o s que P (x 0 , y0) y P , ( x , , y,) => P - P, = <x0 - x, , y 0 - y ,> , y n = <A , B).
de 2?, d an d o u na so lu c ió n para 3x - 4y + 10 = 0.
S i sustituim os las co m p o n e n te s de e s to s ve ctore s en la fórm ula (1) s e tiene :
Por ejemplo , p ara x = 2 i=> 3(2) - 4 y + 1 0 = 0<=> y = 4 ; lu e go P (2 , 4) e
,k p
o>\ = U x q -x , , y 0 - y , ) - { A , B)|
=
Entonces , si
VA 2 + B 2
I A x 0 + B y 0 - (Ax, + By,) I
t ^^ = 5
d(P , 2?) = 5 <=> ■
de donde o b te n e m o s : I k - i o l = 2 5 <=> k = 35 ó k = -15
V A 2+ B 2
que su stitu idas en ( 1 ) o b te n e m o s la s e c u a c io n e s b u s c a d a s , esto e s
C o m o P,(x, , y , ) € 5? ■=> Ax, + By, + C = 0 <=> C = - (Ax, + By,)
f : 3x - 4y + 35 = 0 ó ( : 3x - 4 y - 15 = 0
Método 2.
A x 0+ B y n + C
(2)
V A 2+ B :
E s el m étodo directo , q u e co n siste en lo siguiente :
D a d a s d o s rectas paralelas
d (7 \,
Ejemplo 2
)
Hallar la distancia del punto P(-2 , 5) a la recta
r£ : 5x
- 12y - 8
te n d re m o s :
L u e g o , si
V(5 )2 + (-12 )2
u
J
)
H a lla r el v a lo r d e k tal q u e el p u nto P (2 , k) s e a e q u id is t a n ­
te de la s re cta s c u y a s e c u a c io n e s s o n á?,
3% : x - 7y + 2 = 0
1 C ,_ C :i
V A 2 + B1
:x+ y- 2 = 0 y
L o s p u ntos A ( x , , y,) y B (x 2 , y 2) so b re la recta
r£ : 5 x - 12y + 15 = 0 , distan 3 u n id a d e s de la recta
: (3 , 4 ) • [ (x ,
y ) - < 0 , 3 ) ] = 0 . Hallar el valor de x, + x 2
Solución. E n r£ xs e tiene : n = <3 ,4 ) y P ,(0 , 3). S i P (x , y) e S£ <=> d(P , c£ \) = 3
Solución. S e debe verificar que d (P , # ',) = d[P , .5?,)
E n to n c e s , por la fórm ula (2) se sig u e que :
(3)
^k ~ 1 0 * = 5 c=> | k - 1 0 1 = 2 5 <=* k = 35 ó k = -15
V3 2 + 4 2
f : 3 x - 4 y + 35 = 0 ó / : 3 x - 4 y - 15 = 0
13
Ejemplo 5
Ejemplo 3
=
SC\ : A x + B y + C , = 0
S£ : 3x - 4 y + 10 = 0 y t. : 3x - 4y + k = 0 s o n d o s rectas p aralelas , e n to n ce s
por la fórm ula (3) :
_ l 5(-2) - 12(5) - 8 1 _ 1 - 1 0 - 6 0 - 8 1
: A x + B y + C, = 0 y
=0
Solución. D a d o que A = 5 , B = -12 y x 0 = - 2 , y n = 5 , ha cie n d o u s o de la fórm ula (2)
//(p
í£
l A x 0 - A x, + B y 0 - By, l
\A : + B2
d(P ,SB ) =
.2?.
0 se a :
l i P l P . ) : ni
11 n I
. 3 ^
l(x .y-3)-< 3.4)| .3
VáÑT2
■
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
166
de d on d e ob ten e m os : 13x + 4 y - 1 2 1 = 15 <=> 3x + 4 y - 12 = 15 ó 3 x + 4 y - 12 = -15
o
3 x |+ 4 y , = 27 ó 3 x , + 4 y, = -3
'21 =■* 5x, - 12y, = -15 ó 5 x , - 1 2 y 2 = -15
Com o A , B
e
Elim inand o
y, e y, del siste m a de e c u a c io n e s (1) y (2) o b te n e m o s
8
E je m p lo
J
H allar el punto sim étrico al punto Q (-2 , -9) re spe cto de la
(1)
(2)
x, = 33/7 y x, = - 12/7 => x, + x 2= 3
recta
f£ : P = (4 , 6) + 1 (5 ,.-2), t e R
Solución. D e la ecu a ción de la recta T s e tiene : P , ( 4 , 6 ) y a = (5 , -2).
U n vector unitario en la dirección de la norm al n = a 1 = (2 , 5) e s :
M
n
u=
(2 ,5 )
Il
6
E je m p lo
]
Hallar el perím etro del triángulo equilátero A B C , si A(-1 , 3)
sa b ie n d o qu e el lado B C e stá contenido en la recta
n II
«=>
d (Q , &) =
= |3 ( 2 ’ " --Z i = ^ -—
V29
11 n 11
QP = P - Q c=* P = Q + Q P = Q +
E n un triángulo equilátero
V29
Si V = Q P , ==> V = (4 , 6) - (-2 , -9) = 3 (2 , 5>
2 ?= {(-2 ,-4 > + t(4 ,3 )| te R}
Solución.
167
Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada
= 3V29
2d{Q , 2') u
P = < -2,-9> + 6 V 2 9 ( - ^ = ¿ ) = (1 0 ,2 1 >
Perím etro del A A B C : 2 p = 3 P. <=> 2 p = 2 V 3 h
h - w . j )
(1)
Por lo tanto , el punto b u sc a d o e s P (10 , 21)
■
FIG U R A 3.5
- l < A ' P il ; n l
II n II
E je m p lo
S í A = (-1 , 3 > , P, = < -2 , -4) y n = <4,3>± = <-3,4>
9
^
D a d a la recta
X : P = (-4 , -1 0 ) + t (5 , 1 2 ), t 6 R , y el p unto
A ( 7 + 12 n3 , 1 6 '
^ h . K l . 7 ) - ( - 3 . 4 > j =5
V(-3 )2 + 4*
P o r tanto , en (1 ), el perím etro e s : 2 p = 10 V3
) , hallar d o s puntos B y C sob re í ? , que
que u n id o s co n A form en un triángulo equilátero. C a lcu la r el área de dicho triángulo.
■
Solución. S i a = (5 , 1 2) e s el vector direccional de
X , e n to n ce s n = (-I2 , 5) e s el vector
E j e m p lo
7
J
L a s rectas
nación. S i
y
2'2 s o n p arale la s , sie n d o a el á n gu lo de incli­
p a s a por P,(a , b) y
p a s a por P 2(h , k ) , hallar la
distancia entre las rectas en térm inos de a y los p u ntos d a d o s , si
Solución.
n = (-S e n
P • n = P, • n <=> (x ,y > . (-12, 5) = (-4 ,-1 0 ) . (-1 2 , 5 )
<=> 5 ?: 1 2 x - 5 y - 2 = 0
La altura del triángulo e s : h =
a
= (C o sa .S e n a )e s
el
d(A , 2')
16(7 + 1 2V 3 )- y (16 - 5 V 3 ) - 2| _ o V 3
ve c to r
V (1 2 )~ + (-5 y
h_
d ire c c io n a l , e n t o n c e s el v e c to r n o rm a l e s
es
ecuación ge ne ral lo o b te n e m o s de
La pendiente de a m b a s rectas e s
m = Tg a = | ® í i a
a
Cos a
L u e g o ,si
norm al y si P, (-4 , -10) e s el punto de p a s o , s u
~~2~
a , C o s a). El vector que va de P, a P,
y com o:
V = P J- P 1 = ( h - a , k - ¿ )
P o r lo q u e : d(HP ,
d( C
I \ , á?,) =
=I Com p V I =
I (h - a , k -
-,7 -
=> / = 1 3
Un vector unitario en la dirección de
-
b) • (-S e n a , C o s a ) I
h =
2' e s : u = —
(5 , 12)
13
FIGURA 3.4
L u e g o : A H = || A H II ir 1 c=> H = A + h u x = A + ( 1 ^ 5 )
=
( j , 8>
\ 'S e n :a + C o s-'a
d ( 5?, , 2>,) = I (a - h) S e n a + (k - b) C o s a I
H C = 11 H C l l u
<=> C = H + (-y) “ = < T . 8> + ( y ) ^ - j T ^
= <6 • l4 >
168
Capítulo 3: Aplicaciones Je la recta
condiciones d a d a s. S i a = ( 3 , 1 ) e s el vector
BH = llBHl|U « B = H - ( | ) U = < ^ . 8 > - 0 < ^ > = O,2>
direccional d e
El á re a del triángulo equilátero e s : S =
•—~
=
4
-- 1
4
u:
169
Sección 3 .1: Distancia de un punto a una recta dada
■
7', e n to n ce s el vector norm al e s
n = (-1 ,3)
Sea V =
P p = (-1 , 4) - (5 , -4) = (-6 , 8)
La m agnitud del lado del cu a d ra d o e s la d istan­
Ejemplo 10
^
S e a P un punto qu e divide al se g m e n to A B en la razón ( - 3 ) : 1,
7'.
cia del punto B a la recta
d on d e A (3 , 2) y B (9 , 6 ). S i por P p a s a u n a recta
7 \ , con
pendiente 3/2 , otra recta 7 \ p a s a por A , tal q u e d {C , 7 ) = 1 0 \ i 3 ; d on d e 7 e s la
recta que contiene al se gm e n to Á B y { C } = ( 7\ n 7\). Hallar a) El punto C ; b) L a s
e c u a c io n e s vectoriales de 7‘1 vJ 7'2
Solución. D a d o q ue | i-l | > j , el punto P e stá m á s ce rca de B , luego s i :
P = ( ñ T T T í)A + ( l í r í T ¡ ) B =* p
= - 5
E n to n c e s la ecuación vectorial de
a
+ 4
b
FIGURA 3.8
í = d (B . * o =
- ^ t t
II n lt
=
II (-1 ,3) 11
Un vector unitario en la dirección de a e s
V 10
B C = 11 B C 11 u co C = B + 3
VTÓ ( % = ^ ) = (-1 ,4 ) + (9 , 3) «=* C (8 , 7)
v lO
7.\ : 3x - 2y - 20 = 0
7't n 7\ ^ C (x, , y,) e 5?,
3x, - 2y, - 20 = 0
(1 )
E je m p lo
12
^
Solución. C o m o los p untos A y B están situ a d o s a un m ism o lado de la recta 7 . s e
halla el punto B ’ , sim étrico de B respecto de la recta 7'.
V I3
c=> 2x, + 3 y , = 130
E s evidente que la su m a
(2)
a)R e so lv ie n d o (1) y (2 ) por sim u ltá n e a s obte­
ÁT + Í B = AT + f B ’
FIGURA 3.7
e s m ínim a . d on d e T e
n e m o s : C (-40 , -70)
2?, = {(3 , 2) + s (43 , 72) I s e R }
5 ?: x + 2 y - 6 = 0 => n = (1 , 2)
■
Un vector unitario en la dirección de n e s
S e a el c u a d ra d o A B C D ; si lo s vértices A y D pertenecen a la
recta
(7 fi A B ’)
La e cu a ció n carte sia n a de la recta d ad a e s
b) C A = A - C = (3 , 2) - (-40 , -70) = (43 , 72)
J
S i la
T en la orilla del río de m od o qu e d icha p e rso n a recorra la m ínim a distancia.
d (C , SP) = 10 V Í3 «=> -2 X|l j yi = 10 VT3
11
un río p ara sa c a r agua.
orilla delrío s e encuentra en la recta 2?: P = ( - 2 , 4 ) + 1 (2 , -1 ), t e R ; ubicar un punto
y - 2 = ( | ^ ) ( x - 3 ) «=> y ' : 2x - 3 y = 0
E je m p lo
U n a p e r so n a tiene q u e ir d e s d e un punto A(1 , 5) h a st a un
punto B (11 , 5 ) pero p a s a n d o por
7 contiene al se g m e n to A B , s u e c u a ­
ción cartesiana e s :
Si
1)
Á D = 11 Á D 11 u = * D = A + 3 \ T Ó ( ^ = U ) = ( 2 , - 5 ) + (9 , 3) => D ( l l ,-2)
' \10 ’
7\ e s
^ , = { < 1 2 , 8 ) + 1(1 ,3/2>| t e R }
Com o
(3
|
de d on d e o b te n e m o s la e cu a ción ge n e ral
S i{ C } =
u=
A = B - 3 VTo ( ^ U ^ ) = (-1 ,4 ) - ( - 3 , 9) ■=> A (2 ,-5)
'V I O
7
Luego : Á B = 11 Á B 11 u 1
= < '2 . 8 >
= 3^
l<' c’. ; 8> "
7' : P = (5 . -4) + t <3 , 1) . t € R y B (-1 , 4) , hallar las
c o o rd e n a d a s de los otros vértices. S e s a b e a d e m á s que : xA < xD y x c < x D.
Solución. La Figura 3.8 m uestra la gráfica de la recta 7 y del cu a d ra d o s e g ú n las
a
n
( 1 , 2)
11 n 11
V5
| .(ll) + 2(5)-6j
\l + 4
= J5
=3^
V5
S i eT b = B - B ’ c=> B ' = B - ETB = B - 11 B l3 11 u
170
Capitulo 3: Aplicaciones de la recta
«=» B ’ = <11 , 5) - 2 (3V5)
171
Sección 3.2: Intersección de rectas
7 2 :Ax + By + C = 0 e s ;
= <5 , -7)
\5
- 1 ) <=> Á B ’ : 3x + y - 8 = 0
E c u a c ió n ca rte sia n a de A B ’ : y - 5 =
(x + 2 y - 6 = 0) D (3x + y - 8 = 0 ) = T ( 2 , 2)
■
12. Hallar los va lo re s de k de m od o tal que la d istancia del punto P(-3 , 2) a la recta
7' \ 5 x - 1 2y + 3 + k = 0 s e a igual a 4 unidades.
13.
Hallar la e cu a ción vectorial de la recta
E J E R C IC IO S : Grupo 19
tercio de la d istancia entre la s rectas
la distancia e s m edida d e sd e la recta
1.
D e s d e el punto P (1 , 2 ) s e trazan d o s la d o s de un triángulo equilátero cuya
b a s e s e halla en la recta
14. Hallar d o s puntos A y B de la recta
15.
Jaim ito tiene q ue ir d e s d e un punto A(1 , 6 ) h a sta el punto B (5 , 10) pero
cia.
<B = {<2 , 1> + 1 a I t e R } e s \ 2. Hallar
17.
L a s rectas
: P = ( 1 0 , 2 0 ) + 1 <1 , a ) , t e R ; # 2 : P <10 , 2 0 ) + r (1 , -a ) , r € R
intersecan al eje X en lo s p u ntos A y B respectivam ente. S i la distancia entre
S e a k un nú m e ro real diferente de cero , P,(2 , 1) un punto y
5?,: k 2 x + (k + 1 )y + 3 = 0 ,
7 ': P = <1 ,2 ) + 1 (3 ,1 >, t e R ; ubicar
un punto T en la orilla del río de m an e ra q ue Jaim ito recorra la m ínim a distan ­
: x + 3y - 6 = 0
la pendiente de .5?, sa b ie n d o que e s positiva.
5.
p a s a n d o por el río que s e halla en la recta
H a lla r el v a lo r d e k tal q u e el p u nto P (k , 4) s e a e q u id ista n te d e la s rectas
La distancia del punto P (7 , 1) a la recta
3\'3,2 + 3\3),
vértices si s e s a b e a d e m á s q ue xc < x B y x B < xA.
16.
4.
7 \ x + y - 8 = 0, tales que si C (6 +
7 : <-3 , 4) • [P - <3 , 9>1 = 0 y A (2 . 2). H allar la s c o o rd e n a d a s de los otros
Z'3= { P I<x - 2 , y + 1>*
<-3 , 1) = 0 } y si d, = d{ O , 7 \) ,d 2 = d ( O . 7 2) y d3 = d ( 0 , 7' 3) , hallar el valor de
: 13x - 9 y - 10 = 0 y
.
S e a el c u a d ra d o A B C D , d o n d e B y C p e rte ne ce n a la recta
2. S i 2?, : 2 x - 5 y + 7 = 0 , 0 2 : P = <1 ,3> + t<-1 , 4 ) , t e R ,
3.
7',
el triángulo A B C resulta equilátero , y encontrar s u área.
V - {<0 , 1> + 1 <-3 , 1>| t e R }. Hallar el perím etro de
dicho triángulo.
7 c u y o s p u ntos s e encuentran a un
7 2 \ 2 x - y + 3 = 0 , si
: 2x - y + 9 = 0 y
A y B e s 3 0 , hallar la distancia del punto A a la recta
7r
x - 2 k y + 7 = 0 , re cta s orto go n ale s. Hallar
< /(P ,. ^ M í p , , * , ) .
6 . S e a n las rectas rJ \ : 2 x + 3 y + 4 = 0 y 7 Z : 3 x + 4 y - 6 = 0. Hallar los p u ntos de
{ 3 . 2 j IN T E R S E C C IO N D E R E C T A S
7‘ q ue distan 2 u n id a d e s de c£ 2.
7.
H allar las e c u a c io n e s de las rectas p arale las a
<J.’ : <3 , 4 ) • [P - <3 , -1>] = 0 ,
d istantes 2 u n id a d e s de ésta.
8 . H allar el sim étrico del punto Q (4 , 8 ) co n respecto de la recta 7 ' : x - y + 2 = 0
9. S e a A B C un triángulo isó sc e le s de la d o s igu a le s A C y B C . S i A (5 , 2 ) , B (1 3 , 8 ),
2 ’ = {P , + t a 11 e R } c o n tie n e a lo s p u n to s m e d io s de lo s la d o s A C y B C ,
11
A C I i = 5 \ 5 ; hallar la distancia de P ,(-1 2 , -9/2) a la recta q u e contiene al
5?, = {P , + l a !t e R } y
Si
y
D e s d e el punto A ( 2 , -3) s e traza un a perpe n d icu lar a la recta
D e m o stra r q u e la d istan cia entre la s rectas p a ra le la s
7\ - {Q , + s b Is e R }
7.\ y 7\ no s o n paralelas implican que a
b no
s o n paralelos. E n to n c e s existen n ú ­
7 ' : 3 x - 4 y = 0.
7 \ : A x + B y + C, = 0 y
s tales
que
Q iP i = Q P + P P i
O se a
A qu é distancia s e halla d icha p erpendicular del punto P (6 , 5).
11.
7\ y 7\ s o n d o s rectas no p arale la s en R : , e n to n ce s se
En efecto , s e a n las rectas no paralelas
m eros t y
lado B C del triángulo.
10.
S a b e m o s que si
intersectan en uno y solam e n te un punto.
P,
D
*
- Q, = s b + t a t=> P - 1 a = Q, + s b
.
.
» n o
^
sbU
Por tanto , el punto P = P - i a = Q 1 +
F IG U R A 3.10
pertenece tanto a 7 com o a 7 \ , y es el punto de intersección de 7
y 7\
172
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
E je m p lo
1
}
H allar la intersección d e la s rectas ^ = { { 2 , 1) + t(1 ,-1> I t e R f
f E je m p lo
3
^
H allar vectorialm ente el punto de intersección de las rectas
de e c u a c io n e s
y 5 ?2 = { ( - 5 , 3 > + s ( 3 , 2 ) | s € R }
Solución.
Prim ero verifiquem os que
Solución.
2>l y /r \ n o s o n p arale los
C o m o (1 , -1 )■*■ • (3 , 2) = (1 , l ) » ( 3 , 2 ) = 3 + 2 = 5 * 0
L u e g o , 3 l , s e R I P = <2 , 1) + t (1 , 1> = <-5 ,
=>
: x + 3y = 7 y
SB2 : 2 x + y = -1
L a e cu a ció n vectorial equivalente al siste m a d a d o e s
(x + 3 y , 2x + y) = (7 , -1) «=> x (1 , 2) + y (3 , 1) = (7 ,-1 )
7 \\\7 < y
3) + s <3 , 2)
173
Sección 3.2: Intersección de rectas
(1)
(1)
Esta ecu ación s e p u e d e re solve r e m p le a n d o el m étodo descrito en el Ejem plo 1.
E s decir , s e e lim in a y m ultip lica n d o a m b o s m ie m b ro s de la e c u a c ió n (1) por
O se a:
l< l , - l > - s < 3 . 2 > = <-7.2>
P a r a e lim in a r s
(2)
<3, l )1 = (-l ,3 )
<=> x (1 , 2) • (-1 , 3) = (7 , -1) • (-1 ,3 )
, t o m e m o s el p ro d u c to e s c a la r d e la e c u a c ió n (2) c o n el vector
x (-1 + 6 ) = (-7 - 3) <=> x = -2
(3 , 2 )1 = (-2 , 3 ), para obtener
Ahora , p ara elim inar x m ultiplicam os e sca la rm e n te (1) por (I , 2 )-1 = (-2 , 1)
1(1 , - 1) • (-2 , 3) * s (0) = (-7 , 2) • <-2, 3> => t = -4
Sustituye nd o
=> y (3 , 1) • (-2 , 1) = (7 , - 1 ) *(-2 , 1)
en (1 ): P = ( 2 , 1) - 4 <1 , -1) = (-2 , 5)
y (-6 + 1) = (-14 - I) <=> y = 3
P a ra c o m p ro b a r este re su lta d o , e lim in e m o s t , m ultip lican do e sc a la rm e n te la
ecu ación (2 ) por <1 , - l )1 = <1 , 1 )
Por lo tanto , el punto d e intersección e s P(-2 , 3)
t (0) - s (3 , 2) • (1 , 1) = (-7 , 2) • (1 , 1) s=> s = 1
L u e g o en (1) :
P = (-5 , 3) + <3 , 2) = (-2 , 5) <=> P(-2 , 5 ) e f , n
■
i Nota. Los ejemplos anteriores ilustran tres de los muchos métodos que existen para hallar
■
la intersección de dos rectas en el plano. De*aquí en adelante . usaremos el
método
directo mostrada en el Ejemplo 1.
E je m p lo
2
J
Hallar la intersección de la recta
(3 , 7) y (9 , 1 0 ), y la recta
Solución.
L o s ve ctore s d ireccionales de i? , y
7\ q u e p a s a por lo s
7'2 q u e p a s a por (2 , - 1 ) y (11
p untos
, 8 ).
7-, s o n respectivam ente
JS i
T y e s la recta qu e p a s a por A (4 , 2 ) y e s p erpe n d icu lar al
vector V = (5 , 3 ) y 7 2 e s la recta que p a s a por B(-1 , -1) y e s
paralela a la recta 7 3 : 10 x - 6 y + 3 = 0 , hallar 7\ f) 7'2.
E je m p lo
4
a = (9 , 10) - (3 , 7) = (6 , 3 )= 3 (2 , I >
Solución. S i í ' , l V = ( 5 t 3) <=> 7\ = {(4 , 2> + t (-3 , 5 ) 11 e R }
b = <11 , 8 > - < 2 , -1) = <9 , 9) = 9 (1 , 1>
Com o
(3 , 7) €
lc\ => 5?, = {(3 , 7) + t (2 , 1) 11 6 R\
(2 , -1) e 5?,
D a d o que
{(2 , - I) + s ( l , 1)1 s e R }
de d ond e :
s (1 , 1)
(1)
2 1 - s = -1
el siste m a o b te n e m o s :
y
t (-3, 5) . ( - 5 , 3 ) = (-5 , -3) *(-5 , 3)
Finalm ente , sustituyendo a m b o s va lo re s en ( 1 ) s e tiene :
= (3 , 7) + 7(2 , l> = (1 7 , 14)
P
= (2 , - 1 ) + 15(1 , 1 ) = (17 , 14)
E n c o n se c u e n c ia , P(17 , 14) e
7 \C \fJ \
(1)
Para elim inar r , m ultipliquem os e scalarm e nte a m b o s m ie m bro s por (3 , 5)x
s = 15
P
7\ y 7\ no s o n p arale los «=> 3 t , r e R tales q ue :
= * t(-3 , 5) - r(3 , 5) = (-5 - 3)
t - s = -8
t= 7 y
D ado q ue
P = (4 , 2> + t (-3 , 5) = (-1 , -1) + r (3 , 5)
t (2 , l ) - s (1 , 1 ) = (-1 , - 8) <=> ( 2 t - s , i - s) = (-1 , - 8)
laigualdad de vectores :
R e so lv ie n d o
(2 , -1) +
, lu e g o b = (3 , 5) e s el ve ctor direccion al de
7 ., e n to n ce s :¡2?, = {(-1 , -1) + r (3 ,5 ) I r e R }
7\ y 7 \ no s o n parale los , e n to n ce s 3 i , s e R , tales q ue
P = ( 3 , 7 ) + t(2 , I ) =
Por
7\ 11 7 \ <=> m, = m,. =
<=> t (15 + 15) = (25 - 9 ) <=> t = 8/15
Su stituye n d o en (1) o b te n e m o s : P = (4 . 2) +
■
(-3 , 5) =
/. 7 \ n 7 : = { P { 12/5, 14/3)}
■
5
)
S e a A B = { P e R J| P = <3, -5) + 1<-6, 4 > , t [ 0 , 1 ]}. Determ inar el
punto de la recta
= {(1 ,-3> + t< -7 ,2 > | te R } q u e equidiste de
los p u ntos A y B.
Solución. L o s p u ntos que equidistan de A y B s e e ncuentran en la recta 7 , , me-
Com o A ( 1 , 0) 6
En
7\ con la recta d ad a SP.
se c c ió n de
El vector norm al al se gm e n to A B e s n = (-6 , 4)1 = (-4 , -6) =
-2 (2 ,
C o m o el vector direccional de la m ediatriz a , e s paralelo a n
FIGURA 3.11
Entonces . A B = B - A = (3 , 6) y B C = C - B = (12 , -6)
3)
<=>a = <2 ,
a (A A B C ) = \ l Á B - B C M = 1 1(3 , 6 > *(6 , I2> = 45 u :
3)
.7- D <5?, <=> 3 l , s e R , tales que
E je m p lo
I = <l , - 3 > + « - 7 , 2 > = < 0,-3> + s< 2 ,3 >
(1)
= * t(-7 , 2) - s (2 , 3) = (-1 ,0 )
8
J
I
t = 3/25
D a d a s las rectas
7 , = {(3 , 6) + 1<1 , 2 )! t e R
s <1 , -1) I s e R }. H allar la e cu a ció n vectorial
p asa por <7\ f|
=> t(*7 , 2>- (-3 , 2) = <-1 , 0>- (-3 ,2 )
Su stitu ye n d o en (1 ):
f\
.7\ , si y = 0 <=> x = 16 => C ( 1 6 ,0 )
2?l = {<0 ,-3) + s <2 , 3) I s e R }
P o r lo que , la ecua ción vectorial de la m ediatriz e s
Si I e
<=> 2 (1) - (0) + k = 0 <=> k = -2
7, D Sr , = (x + 2 y = 16) D (2x - y = 2) = B (4 , 6)
\ (-6 , 4) «=>M (0 , -3)
El punto m edio del se gm e n to A B e s : M = (3 , -5) +
6 )
■
7\) f| (Eje Y ) * 0 , hallar tí.
{
c=>
t(l , 2) • <1 , 1) = (-3 , -3) • (1 , 1> <=> l = -2
S e a la recta b u sc a d a
<=> P (() , 4) e
b
, SP: — + — = \
a
b
+ — = 1 <=>
a
b
u a a o q ue a ^ A U b ) = 4 ■=>
7\
Com o
=0 (0 ,4) = (a , 2a) + s(2 ,
a y b s o n p ositivos
2a + b = ab
1)
L u e go , en (2 ):
“
(3)
ti
T í >-----------\
»x
V
\ao\ = ?> <=> « » = « o uu=-r> FIGURA3.12
=>
ab=8
R e so lvie n d o (3) y (4) o b te n e m o s , a = 2
M ultiplicando escalarm ente a m b o s m ie m b ro s de e sta e cu a ción por <2 , I)-1 obten­
Y
(2)
y l '» - ^ t
7't intercepta al eje Y en el punto P(0 , 4)
2 ) f| (Eje Y ) * 0
A
t(l , 2 > - s < l ,-l> = <-3,-3>
Si P (4 ,2 ) 6 !?'■=> —
D a d o que , (J2?, f|
\ i kY
(1)
«=>
S i x = 0 <=> l + t = 0 «=> t = -l ; lu e go , y = 2 - 2 (-l) = 4
P o r tanto ,
, -1>
Su stituye n d o en (1) s e tiene P ,(l , 2)
Solución. S i =2?, _L 2? => se2: P = (a , 2a) + s<2 , 1>, s e R
E n 2?,: (x , y ) = (l , 2) + t(l , -2) <=>
’V
Solución. S i P, e (2?, D 2 \ ) «=> 3 1 , s e R , tales qu e
7\ : P = (1 , 2) + 1(1 . -2), t e R ; T 2 : P = (a , 2a) +
s b . s e R . S i ^ 2± 5 ?,y (5 ?2 n
la recta que
área 4 u 2.
i = <i , - 3 ) + J L <-7 t 2) = * I (4/25 , -69/25)
S e a n las rectas
7 \ = {(0 ,3 ) +
y
de
7 \ y que form a co n lo s ejes c o o rd e n a d o s p ositivo s un triángulo de
P, = <3 , 6) + t(l , 2) = (0 , 3) + s<l
C je m p lo
A .
7\ : 2x - y - 2 = 0
diatriz del se g m e n to A B . L u e g o , el punto pedido I s e halla en la inter­
t
k
Solución. L a familia de rectas q u e s o n p e rp e n ­
diculares a Z \ tiene la form a
<1,: 2x - y + k = 0
J
E je m p lo
175
Sección 3.2: Intersección de rectas
k
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
r
174
=1
J
(4)
y
b= 4
<=> 7 : 2x + y - 4 = 0 <=> m = -2
d re m o s lo d e se a d o , esto e s
(0 , 4) • (-1 , 2) =
E je m p lo
7
J
(a , 2a) • (-1 , 2 ), de d ond e : a = 8/3
En la Figura
3.11 s e
tiene la recta
: x + 2y -
■
16 =
0 y la recta
7 2 qu e e s p erpendicular a 7 \ y q ue corta al eje X en el punto
A(1 , 0). Hallar el área del triángulo A B C .
P or tanto , ha cie n d o u s o de la e cu a ción (9 ),
7 : P = (I , 2) + t (1 ,-2 ), t e R
7'2
7 \ , sa b ie n d o qu e 7\ p a s a por el punto (1 , 4) y e s ortogonal
al vector ( 3 , 5 ) ; 72 p a s a por el punto (6 , 1) y e s paralela a la recta 7 ' : 5 x - 2 y = 3 ;
E je m p lo
9
)
Hallar el áre a del triángulo determ inado por la s rectas J ? , ,
y
2 3 p a s a por el punto (8 , 6) y e s perpendicular a un a recta de pendiente -7/2.
176
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
Solución.
L a s e c u a c io n e s p aram étricas vectoriales de la s tres rectas s o n
b) En á?,, el vector norm al e s n = <3 , -2) <=* A = n 1 = <2 , 3)
: p = <1 , 4> + 1<-5 , 3 ), : P = (6 , 1> + r ( 2 , 5 ), á ?,: P = <8 ,6 ) + s < 7 ,2)
Si A
g
(c
í \ f|
Si e le gim o s x0 = I => 3(1) - 2y + 1 = 0
r/\ ) <=> 3 r , t g R , tales que
En
A = (1 ,4 ) + t (-5 , 3) = (6 , I > + r <2 , 5)
177
Sección 3.2: Intersección de rectas
(1)
<=> y 0 = 2 <=> P o(l , 2)
g
2\
7': , el vector direccional e s B = (2 , 5) - (-3 , 2) = <5 , 3) y Q l((-3 , 2)
g
S\
Por lo tanto , en la fórm ula obtenida en la parte a ) , te n d re m o s :
<=> t (-5 , 3) - r(2 , 5) = (5 , -3)
M = (-3 , 2) + (
■=* l (-5 , 3> • <3 , 5) = <5 , -3) * ( 3 , 5 ) <=* l = - l
1
' ; | ) <5 . 3) = (-3 . 2 ) 4
Su stituye n d o en (1) o b te n e m o s , A (6 , I)
S i B € ( í?, D
3 l ,s
M ( 1 1/3 ,6)
R , tales que
g
B = <1 . 4) + t (-5 , 3) = (8 , 6) + s (7 , 2)
(2)
=> t <-5 , 3) - s <7 , 2) = (7 , 2)
fcje m p lo
)
t (-5 , 3) • <-2 , 7) = <7 , 2 > • <-2 , 7) c=> t = 0
Su stitu ye n d o en (2) s e tiene :
Si C
=> 3 r , s
g
( ^ | ) (5 . 3> = <11/3 , 6>
s (-2 , 1) I s
B( 1 , 4)
p asa por
R I C = (6 , 1> + r <2 , 5> = <8 , 6> + s(7 , 2>
g
S e a n las rectas
(3)
g
7\ = { ( 4 , 5) + 1 (-3 , 2 ) 11 e R y
= {(5 ,4 ) +
R }. Hallar la e cu a ción general de la recta 7 que
7\ f) ‘J e interseca al eje X en un punto cu y a a b s c is a e s igual a d o s v e c e s
su pendiente.
<=> r<2 , 5> - s(7 , 2> = (2 , 5> => r(2 . 5) • <-2 , 7> = (2 , 5>- (-2 , 7> <=> r = 1
Solución. S i P (x
R e e m p la z a n d o en (3) ob te n e m o s : C (8 , 6)
L u e g o , Á B = <1
, 4> - <6 , 1) = (-5 , 3) y
, y)
fl v , => 3 r , s
g
R , tales que
P = (4 , 5) + t (-3 , 2) = (5 , 4) + s (-2 , 1>
Á C = (8 , 6> - (6 , 1> = <2 , 5)
a ( A A B C ) = 1| Á B •Á C X | = i | <-5 , 3) • <-5 , 2> | = 15.5 u :
g
(1)
=> l (-3 , 2) - s(-2 , 1> = (1 , -1)
■
= * t (-3 , 2) • (-1 , -2) = <1 , -1) • (-1 , -2) <=> I = -1
Su stituye n d o en (1) ob te n e m o s : P = <4 , 5) - (-3 , 2} ■=> P(7 , 3)
E je m p lo 1 0
J
E n el plano , d a d o s los vectores
y
se a M
g
d o s rectas tales qu e P Qe
A y B . no p arale los ; s e a n
7\ , Q 0 g 5?2 , A11 <By , B |f
7\
,y
(5?, fl 2%).
b) U s a n d o lo a n te rio r, para
Solución,
7-, fl Jf \
2' <=> 3 = m (7) + 6 «=> ¿> = 3 - 7 m ; lu e go , ? ' : y = m x + 3 - 7 m
2 interseca al eje X en el punto (x0 , 0) <=> 0 = m xn + 3 - 7 m <=> x() = 7 ™
Por la co ndició n del p roblem a ; x(i = 2 m <=> x0 = 7
T y : 3 x - 2 y + 1 = 0 y rí '7 q ue p a s a por los p u ntos (-3 , 2)
7\ n
g
ít’ b u sc a d a tiene la form a , i ’ : y = m x + f)
C o m o P (7 , 3 ) g
Si
a) M o stra r q u e : M = Q n + ( ^ ° P ° * A ) B
0 V B • A- /
y ( 2 , 5 ) , hallar
La recta
~
= 2m
t=> 2 m : - 7 m + 3 = 0 <=> m = 1/2 ó m = 3
Hay so lu c io n e s :
a) E n la Figura 3.14 : Q M | | B c=» Q M =
<=> M = Q i( + t B
iB
m = l / 2 «=> y = y X + 3 - y
<=> & : x - 2 y -1 = 0
(1)
m = 3 => y = 3x + 3 - 2 1 <=> ? ? : 3 x - y - 18 = 0
■
E n el A M P 1( Q (i: Q M = Q_ P , + P M
M ultiplicand o e sc a la rm e n te a m b o s extre­
m o s de e sta igualdad por
A1 s e tiene :
Q jA • A 1 = Q P • A 1 + 0
12
J
U n a de la s d ia g o n a le s de un ro m b o e stá c o n te n id a en la
recta ?', = {<k - 1 , 5 k - 6) + t(k - 3 , 1 )11 g R } y uno de los la d o s
del m ism o e stá contenido en la recta
t B . A 1 = Q P . A 1 «=> l = -Q,,P,> *
B •A1
Luego , en (1) : M = Q +
E j e m p lo
7 \ = { ( - 4 k , k - 2) + s ( 3 k , k + 1)1 s g R } . S i k > 0
y M (3 k + 1 , 6k) e s el punto de intersección de la s d ia g o n a le s del rom bo , hallar los
B
vértices y el áre a del rombo.
17S
Capítulo 3: Aplicaciones de ¡a recta
Solución. S i P,(k - 1 , 5k - 6) e s el punto d e p a s o y
a = (k - 3 , 1) e s el vector direccional d e
EJERCICIOS :
4. D a d a s la s rectas
7'2 : (-12 , 3) • (P - (0 , 3)) - 0 y 7'3 :^a ,b) +
D a d o q ue k > 0 , s e elige k = 4
6.
P a ra este valor de k s e tiene : M (13 , 24)
D a d o s lo s vértices c o n se c u tivo s de un cuadrilátero A (-3 , 1 ), B (3 , 9) , C (7 , 6)
H allar la e c u a c ió n vectorial de la recta q u e p a s a p o r el punto P,(2/5 , 4/5) y
por el p u nto d e in te rse cció n de la s re cta s
f i^ i i r a h í
* > { < 3 , 1 4 )+ 1(1 , 1)|te R } , SU, = {(-16 , 2) + s(1 2 , 5)1 s e R }
^ fl^ j ^
rJ \ fl &2y s e a perpendicular
y D (-2 , -6) , hallar el punto de intersección de s u s diago n ale s.
de d on d e o b te n e m o s : k-’ + k - 20 = 0 <=> k = 4 ó k = -5
j5?2 :
B t . s e R , tales que
7.
A = (3, 14) + t(l , 1) = (-16 , 2) + s (12 , 5)
(1)
<=> t(l , I ) - s (12 , 5) = (-19 , -12)
Si
8.
M e s punto m edio de A C => M = i ( A + C )
P = (2 , 1) + r (-3 , 4 ), r e R.
SL\ : ( 5 , 3 ) * [ P - ( 0 , 1 ) ] = 0 , hallar la ecuación de la recta 2?, tal que (7 ,0 ) e 7\
Hallar el perím etro del triángulo determ inado por la s rectas
: P = (5 , 4) + 1(-3 , -4 ), t € R ;
Su stituye n d o en (1 ): A = (3 , 1 4)-7 (1 , 1) => A (-4 , 7 )
: P = (4 , -3) + t (1 , 2 ) , t e R y
y {(4 ,k )}6 ^ n « r
=> t(l . I) • (-5 , 12) = ( - 1 9 , - 1 2 ) . (-5 , 12), de d o n d e :t = -7
9. Hallar el punto de la recta
7 2: Q = (5 , 0) + s ( 0 , 4 ), s e R y el eje X.
7 : P = ( - 2 , 0 ) + 1(4 , 3) que e stá m á s ce rcan o al punto
Q ( 3 ,5).
c = 2M -A
10.
<=> C = (26 , 48) - (-4 , 7) <=> C (3 0 ,41)
Com o
,
a *,5.
(2k + 2 , k + 6) • ( - 1 , k - 3) = 0
Si {D } e
^
L y = 2r
t i , t e R. Hallar la e cu a ción de la recta que p a s a por
P~M 11 a <=> P (M • a 1 = 0
e
SP. : S
7\ ,
e n to n c e s
Si {A }
Grupo 20
Hallar la e cu a ció n norm al de la recta
7'2 de pendiente entera negativa , que no
7 \ 1 2', en A , B e ( D 7\),
p ase por el tercer cuadrante : sabie ndo a d e m á s que
r=> ^ , = {(13 , 24) + r ( - l , l ) | r e R >
C e ( # ', fl 2%) , la a b s c is a de A e s 3 ,
7 , : 3 x - y - 5 = 0 , !! B C 11 = 5 \ 1 0 y
=> 3 s , r e R , tales que
D = (-1 6 ,2 ) +
s
( 1 2 ,5 ) = (1 3 , 24) + r(-l , 1)
11. S e a
«=> s(12 , 5) - r(-l , 1) = (29 , 22)
s (12 , 5) • (-1 , -1) = (29 , 22) • (-1 ,-1 )
R e e m p la za n d o en (2 ):
D = (-16 , 2) + 3 (12 , 5) ^
a ( A A B C ) = 6 0 u 2.
(2)
T u n a recta q u e p a s a por la intersección d e
: x + 2 y -1 = 0 y
7'2 : 5 x -
3 y - 18 = 0 , y que form a co n lo s ejes c o o rd e n a d o s un triángulo de área igual
s = 3
a 6 u2. Halle la e cu a ció n de
D (2 0 , 17)
12.
Tam bién : M = -^(B + D) => B = 2 M - D = (26 , 48) - (20 , 17) => B ( 6 , 3 ! )
7' en s u form a simétrica.
S e a A B C D un rom bo tal q ue A (-2 , 1) y la d iago nal B D m ide 2
e stá contenida en la recta
\ l 3 u n id a d e s y
r/ ‘ : 2 x - 3y + 6 = 0. H a lla r :
a) El á re a del rombo.
A re a del rom bo : S = I Á B - B C X | = 1(10 , 2 4 )» (-1 0 , 24)1 = * S = 4 7 6 u :
b)
13.
E J E R C IC IO S : Grupo 20
L a s p end ien te s de las rectas que contienen a los la d o s del rombo.
L a recta
y la recta
<£ : P = (0 , 3 ) + 1(2 , 3 ), t € R contiene a un lado de un paralelogram o,
7\ : P = (0 , 4) + r(1 ,5 ) contiene a u n a de s u s diago n ale s. S i el punto
A (3 , -3) e s un vértice del p arale logram o , halle la e cu a ción vectorial de la recta
1.
Sean
7\ y U\ d o s rectas orto go nales tales q u e 7\ p a s a por (3 , 2) y (2 , 5) y 7 2
p a s a por (2 , 1). Hallar la intersección de a m b a s rectas.
2.
S e a n las rectas 5? : P = <1 , 0 ) + s ( 2 . 1 > , s e R ; &2 : P =
(a , 2a) + tb , t e R. S i
7\ J_ %‘2 y <By n 7'2H (Eje Y ) * 0 , hallar el valor d e a.
3.
7 q u e p a s a p o r la in te rse cció n d e la s rectas
7‘2 : P = (1 , 0) + 1( 6 , 2 ) , t e R , sa b ie n d o que 7 I ! i.
H allar la e c u a c ió n de la recta
,J, = i ( 3 ,2 ) • (P - (0 ,2 )) = 0 } ,
q u e contiene a la otra diagonal.
14.
L a d ista n c ia qu e s e p a ra a u n a recta
7 , q u e p a s a por la intersección de 7 1 :
x - 2 y + 3 = 0 y 7j 2 : x - y - 5 = 0 , del punto Q(1 , 4) e s de 4 unidades. Hallar la
e cu a ción de e sta recta. (D o s solu c io n e s)
________________________ __________________Capítulo 3: Aplicaciones Je la recia
I Nota
3 3 J ANGULO ENTRE DOS RECTAS
181
Sección 3.3: Angulo entre Jos rectas
2. Para aplicar la fórmula (4) y evitar confusiones . es necesario trazar las gráficas
de
¿ÍP, y !?,. Sin embargo , en la Figura 3.17 , se observa que
D e s ig n e m o s por
7 , la recta co n m ayo r inclinación a , , y por 7\ larecta de
m enor inclinación a,. S i e sta s d o s rectas s e cortan , e n to n ce s el á n g u lo 0 entre
a m b a s se define por
p = ti - 0
Tgp = Tg
[n - 0) = - T g 0
Es d e c ir , las tangentes de los á n g u lo s suplem entarios qu e form an d o s rectas
E sta propiedad se p u ed e em plear para hallar el á n gu lo 0 entre
0 = a , - a,
y
<j,, so n igu a le s pero difieren en signo.
7\ y 7\ sin
necesidad de trazar s u s gráfica s , h acie n do u so de la fórm ula
A sí
, la F igu ra 3 .16 , m ue stra un c a s o en q u e el á n gu lo 0 de
7\ y 7 \ es
a g u d o , y la Figura 3.17 , un c a s o en que el á n g u lo 0 e s obtuso.
Tg 0 =
E je m p lo j
m. - m,
m, - m.
1 + m, • m.
1 + m, • m.
Hallar la s e c u a c io n e s de la s rectas qu e p a s a n por el punto P (2 , -1)
y form an c a d a una un á n gu lo de 45° co n la recta
Solución.
7‘ : 2 x - 3 y + 7 = 0.
S e a n m j m , las pen d ien te s de las
re cta s b u sc a d a s.
Si 5 ?: 2x - 3y + 7 = 0 «=> m, = 2/3
Por la fórm ula (5 ):
' '
Tg45°=
a
1 + m • m,
Dond e m e s el valor de m, o el de m,
I
Nota 1 . A la recta d e m enor inclinación
, s e le denom ina
s e mide , en sentido antihorario , el ángulo
llama
recta inicial porque a partir d e ella
0. A la recta de m ayor inclinación y , s e le
m - 2/3
l + (l/3)m
<=> 12 m + 31 = I3 m - 21
recta fin a l . por que allí termina la m edida del ángulo 9.
S i m, y m : s o n las pend iente s de
<=> m, = -1/2 ó m, = 5
7 \ y 7 \ , e n to n ce s por definición
En c o n se c u e n c ia , la s e c u a c io n e s re q u eridas so n
m, = T g a , y m, = T g a ,
En la Figura 3.16 s e o b se rv a claram ente q u e
y + 1 = - j (x - 2) ó
y + 1 = 5(x - 2) <=>
7\ : x + 5v + 3 = 0 ó 7\ : 5x - y - 11 = 0
■
0 = a , - a.
A p licand o tangentes s e tiene
| O B S E R V A C I O N 3.1
T g e = T g (a , - a,) =
FIGURA 3.18
T 9 a .- ~ T 9 a ,
I + T ga , • Tga.,
A n á lo ga m en te , si
L a fórm ula (4) n o s permite hallar el á n gu lo a g u d o o el ob tuso
entre 7 \ y y , en térm inos de s u s re sp e ctiva s pendientes.
7 \ - { P, + i a} y Jr \ - { P , + s b } , s o n las e c u a c io n e s vectoriales de
d os rectas no verticales , e n to n ce s el á n gu lo form ado por 7', y 7 ', e s el ángulo
Tg0 =
m. - m
1 + m. • m.
S i T g 0 > 0 , e n to nce s 0 e s a g u d o , o s e a , 0 o < 0 < 9 0 c
T g 0 = 0 , e n to n ce s 0 = 0 o , implica q ue :
7\ 11 7\ , (m, = m )
T g 0 < 0 , e n to n ce s 0 e s ob tu so , o s e a : 9 0 ' < 0 < I8 0 c
T g 0 = co , e n to nce s 0 = 90°, implica qu e
form ado por s u s ve c to re s d e d irección a y b re spe ctivam ente , y s e determ ina
7\ 1 7 ,, (m • m, = -l)
(4)
m ediante la fórm ula
C os0 =
(6)
l i a M N b II
S i a • b > 0 <=* C o s 0 > 0 , implica qu e 0 e s a g u d o
a • b < 0 <=> C o s 0 < 0 , implica q ue 0 e s obtuso.
182
Capitulo 3: Aplicaciones de la recta
I O B S E R V A C I O N 3.2
S i a y b s o n vectores de igual magnitud, e s decir 11 a 11 = 11 b 11
Los vectores unitarios en la s d irecciones d e C B y
y a * -b , e n to n ce s el vector s u m a a + b divide al ángulo 0
C A s o n respectivam ente :
fo rm a d ' por a y b en d o s partes igu a le s , esto e s , a + b sig u e la dirección de la
(3 , -4)
u=
bisectriz de a y b.
E n efecto , por la fórm ula (6)
C o s a. =
183
Sección 3.3: Angulo entre dos rectas
—
(4 , 3)
y v=
Un vector en la dirección de la bisectriz b u sc a d a e s
a • (a + b)
a ¡i
!a + b ií
lla l
+ a •b
a = ti + v = j ( 7 , -1)
Por lo que s u e cu a ción vectorial e s
i2 ? : P = <I ,6> + t < 7 , - l ) , t e R
■
a + b
+ a •b
b
11 I! a
E je m p lo
+ b
2 ^ )
L o s p u n to s B (6 , 3) , Q (1 0 , 6) y R (-6 , 8) s o n vé rtice s d e un
triángulo. Determ inar la e cu a ción de la recta
b • (b + a)
= C osa ,
II b II l i a + b
L u e g o , si
C o s a , = C o s a 2 => a, = a,
7 'que es p erpe n ­
dicular a la bisectriz del á n gu lo Q B R y que contiene al punto Q
[ •
—)
—^
Solución. S i B Q = Q - B ■=> B Q = <4, 3)
B R = R - B <=> B R = (-1 2 ,5 )
| O B S E R V A C I O N 3.3
S i a y b s o n ve ctore s no n e ce saria m e n te de igual m agnitud y
no p a ra le la s , e n to n c e s
Los ve c to re s unitarios en las d ire c cio n e s de
B Q y B R s o n , respectivam ente
el vector s u m a u + v sig u e la dirección de la
bisectriz del á n g u lo form ado por a y b , d on d e
_ _JL
u =
a
y v.. =_
b
u =
(4 ,3 )
5
y
7
v =
'
(-1 2 , 5 )
13
Luego ,el vector direccional de la bisectriz
7 't
(- 8 , 6 4 )
8 „
o\
a, = u + v = - ^ --------- ( j d . - D
s o n ve c to re s unitarios en la s d ire c cio n e s de a
e s:
y b respectivam ente.
Por lo tanto , la e cu a ción vectorial de la recta
<I’ \ P = Q + ta l1 , t e R o
EJEM PLO S ILUSTRATIVOS \
E j e m p lo ^ 5
}
7' 1 íl' , e s
V : P = <10 , 6> + 1 (8 , 1), t e R
S.\ y 7'2 s o n intercepta­
7', e n to n ce s lo s á n g u lo s alternos inter­
D e m o stra r que si las rectas p arale las
d a s por una se ca nte
nos s o n co n gru e n te s.
Demostración.
ejemplo 1
J
L o s vértices de un triángulo s o n A (9 , 1 2 ), B (4 , 2) y C(1 , 6).
H allar la e cu a ció n d e la bisectriz del á n gu lo A C B del triángulo.
Solución. E n el A A C B de la F igu ra 3.21 s e tiene :
P ro b a re m o s que
u = {5
E n efecto, s u p o n g a m o s que los
vectores de dirección d e
7', 7\ y 7 \ s o n respecti­
vam ente . a , a ( y a.
C B = B - C = ( 4 , 2 ) - ( 1 ,6 ) = (3 , -4)
|| Sí\ => a, = ra,
C A = A - C = <9 , 12) - <1 ,6 ) = 2 ( 4 , 3 )
Dado qu e a e s el á n gu lo form ado por a y a ,
(r > 0)
184
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
■=> C o s a =
a •a
185
Sección 3.3: Angulo entre dos rectas
a • (ra ,)
~
C o s2 a = 2 ( i f ) . ! = ¿
a ll r ila ,
Sea
a • a.
recta 2?. S i 11 u 11 = 1 «=* x 2 + y 1 = 1
lia II lia, II
C osp .
± a > - < 'a => a I M a. Il
a ' a -’
I l a li lla .
= C osa
°
4 ^
Sustituyendo en (1 ):
H allar la s e c u a c io n e s de la s b ise ctrice s d e lo s á n g u lo s
m a d o s por las rectas 7.\
C o s 2 o c = l u T l 'l U o 0 .)!!
de d onde o b te n e m o s y = 7/25
.\ p = a
E j e m p lo
(1)
Un vector unitario en la dirección del eje Y e s (0 , I)
S e a p el á n gu lo form ado por los ve ctore s -a y -a,
^
u = (x , y ) un vector unitario en la dirección de la
: x + y - 3 = 0 y ír ' 2
:2 x - y +
for­
x : + (7/25)- = I <=> x = ± 24/25
C om o la pendiente de la recta
7 es negativa , e n to n ce s x = - 24/25
Si a e s el vector direccional de
7 \ paralelo a u = - ^
6 = 0 ,y
SP : P = <2 , 1) + 1 <-24 , 7 ), t e R.
de la recta p ed id a e s ,
d em ostra r q ue s o n perpe n d icu lare s.
(-24 , 7 ), la ecua ción vectorial
■
Solución. S e a rl \ D 7\ = IQ ( - I ,4 )}
7 \ : P = Q + 1<7 , 1), t e R , Q(1 ,-1) e {.7\ D 7'2H 7 ) , A (8 , 0)
7\ , í/(A , .7 ) = \ To ; 7J e s b isectriz delá n gu lo form ado por 7'y
y 7’2 , sie n d o s u pendiente m en o r que la de 7\. Hallar las e c u a c io n e s vectoriales de
E je m p lo
S i n, = <1 , l> <=> a, = <-1 , l>
6)
Sea
e
n, = (2 , -1) <=> a, = <1 , 2)
En to n c e s , lo s ve cto re s unitarios en las direccion e s
de
7\ y !/', s o n respectivam ente
Solución. S i Q A = A - Q <=> Q A = (8 , 0) - (1 , -l> = (7 , 1)
(1 ,2 )
-------- -ñ
v
v '
L u e g o , 11 Q A 11 = \5 0 y i 1BA11 = VlÓ
<5
L u e g o , los ve ctore s que sig u e n las direccion e s de
la s b ise ctrice s s o n
a, = u + v = -J = r(V 2 V io
P o r lo tanto , s i
En el triángulo rectángulo Q B A :
11QA I I 2 = II Q B I I 2 + 1| B Á ||2
=> (\5 0 ): = |i Q B 11 -’ + (\7Ó )2
yÍ5 , \5 + 2 \Í2> , a = u - v = - 4 = <-V2 - V5 , V5 - 2\¡2)
.
■=> 11 Q B 11 = 2\To
nT ó
2!y : P = Q + ta, <=> 7\ : P = (-! , 4) + t(V2 - \ 5 , \ 5 + 2 ^ 2 ), t e R
S e a u = ( u : , u,) un vector unitario en la dirección de
7>i : P = Q + s a 4 <=> 5?4 : P = (-1 ,4 ) + s(*V 2 - V5 , V5 - 2'fr ) , s e R
la bisectriz
so n las e c u a c io n e s vectoriales de las d o s bisectrices.
P a ra d em ostrar que s o n p erpend iculares , b astará probar q ue a, • a 4 = 0
7'.
Si Q A = Q B + B A
^
FIGURA 3.26
<=> <7 , 1) = 2VTÓ (u, , u 2) + VTÓ < -u ,, u,>
E n efecto : a, ■ a 4 = <V2 - V5 , V5 + 2 \6 ) • <-V2 - V5 , VB - 2 V2)
= -(2 - 5) + (5 - 8) = 3 - 3 = 0 «=>
<7 , 1) = 11 Q B 11 u + 11 B A 11 u 1
7 = 2 \ 10 U * V 10 U,
<=>
1 = 2V10 u, + \ 1 0 u
(3 ^ 1 )
}
\‘10
P or lo q u e la pendiente de la bisectriz e s m = - 1/3
E je m p lo
5 j
Hallar la ecuación de la recta de pendiente negativa qu e p a sa
por el punto Q (2 , 1) y form a co n el eje Y un á n gu lo qu e s e a el
doble del á n gu lo form ado por la recta
7 \ \ 3 x - 4 y - 12 = 0 y el eje X.
,
_
BC
En el A Q B C : T g a = — ^
a
QB
m - m,
<=> ----------- —
1 + m •m,
V ÍÓ
2 \ 10
^
(-1/3)- m :
1 + (-1/3) m,
_ j_
2
de d o n d e o b te n e m o s : m , = -I
D a d o q u e Q(1 , -1) e s el punto de p a so de 7 y 7 '2 , s u s e c u a c io n e s so n
Solución. S i m. = T g a =
3/4 <=s- C o s a = 4/5 y c o m o C o s 2a = 2 C o s ’a - 1
7 ': P = <1 , - 1 > + t<3, - 1 > , t e R ; 7 \ : P = ( l ,-1> + s<1 , - l > , s e R.
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
Ejemplo
7
]
Sección 3.3: Angulo entre dos rectas
..
<=>
El á n gu lo 0 entre la s rectas á?1 : P = A + t a , t € R y J 2 ? 2 : P = C +
s b , s e R , mide 45°. S i { B } =
f| 2 2 , e sta n d o B en el se gu n d o
cuadrante , C ( 0 , 5 ), A B + B C = (1 , 7 ), y la pendiente de 2, e s -3 ; hallar la ecuación
de donde : 2 m : + 3 m - 2 = 0 <=> m = -2 ó m
o
-Si A e 2', c=* A B .! m, , esto e s : A B = r(l , -3)
Caso 2.
P = (5 ,3 ) + s(2 ,1 ) ,S € R
L o s la d o s igu a le s s e encuentran en 2'* y 2',
Á B + B C = (1 , 7) => Á B + (C - B ) = <1 , 7>
=> Á B - B = (1 , 7 ) - ( 0 , 5 ) t=» Á B - B = <1 ,2 )
-r a> t r*
m - mi
T g A = T g C <t=> ----------- - =
1+ m m:
(1)
S i B = (x , y ) , al multiplicar escalarm e nte (1) por <1 , -3)1
se tiene :
-
Á B - <3 , 1> - <x . y > - <3 , 1> = <1 . 2>-<3 , 1>
m ,-m .
+ m. • m
,
y-5
m, = rn
2
X-0
m, + 3
I + 3 m,
m, - m-— 1------1+ m( m
m- 1
1-1/7
l + m
l + l/ 7 « m = 7
Existe una solución. 2 ’ : P = (5 , 3) + r (1 , 7 ), r e R
0 - (3x + y) = 3 + 2 <=> 3x + y = -5
T g 45° =
= 1/2
Hay d o s so lu c io n e s. 2 : P = (5 , 3) + 1(1 ,-2 ), t € R
vectorial de la bisectriz del á n gu lo 0.
Solución.
m - 1
1/7 - m
1 + m “ I + (l/7)m
(2)
Caso 3.
c * m, = - 1/2
>=> x + 2v = 10
L o s la d os igu a le s s e encuentran en las rectas 2 ” y
■=> T g B ” = T g C
(3)
<=>
0
R e so lv ie n d o (2) y (3) ob tene m os
Hay una solución.
x = -4 , y = 7 => B(-4 , 7)
2 '” : P
m: - m
1 + m m,
...l_/7_-.m_
1 + (l/7)m
7\
m, - m :
1 + m. m.
=
1- 1/7
1+ 1/7
J7
31
= (5 ,3) + p (31 , -17), p e R.
FIGURA 3.27
L u e g o . Á B = (1 , 2) + <-4 , 7) = 3<-l , 3 ) y B C = (4 . -2) * 2 (2 ,-1 )
E n to n c e s los ve ctore s unitarios en las direccion e s de
7\ y 7\ s o n respectivam ente:
Ejemplo
, v=
u =
v lO
c=> v - u =
\5
4 = (1 + 2^2 , -3 - V2>
D e s d e el punto C (6 , -4) s e trazan la s rectas 2', y ,2'2 co n pen-
yor q ue el á n gu lo de inclinación de
7', por tanto ,s u e cu a ción e s
2' : P = (-4 , 7) + t (I + 2V2 , -3 - V 2 ) , t e R.
j
pend iente s negativas. El á n gu lo de inclinación de
vTo
e s el vector q u e sig u e la dirección de la bisectriz
9
~
8
^
■
Hallar la e cu a ció n de la recta q u e p a s a p or Q (5 , 3) y form a
un triángulo is ó s c e le s c o n la s re cta s 2 ', : x - y • 1 = 0 y
rJ \. L a recta 7\ determ ina so b re la parte positiva
del eje Y un se g m e n to de 2 u nidades. L a recta 2 ^ determ ina so b re el eje X un
se gm e n to de 38/7 unidades. Hallar la ecu ación de la recta 2", que no cru za el cuarto
cuadrante , tal que form a co n
Ejemplo
7‘2 :
7 \ y 7’2 un triángulo isó s c e le s , co n b a s e en 2 \ de
área 15 u 2.
Solución. El vector direccional de 7\ e s paralelo a :
a, = (6 , -4) - (0 , 2) = 6 (1 , -1)
x - 7y -1 = 0
Solución. S e a n m , m, = I y m, = 1/7 la s p e n ­
d ie n te s de la s re cta s 2; , 7 \ y 2 \
y el de 2 ',, a : a, = (6 , -4) - (38/7, 0) = i . (1 , -7)
por lo que :
respectivam ente. El problem a pre se n ta tres c a ­
= {(6 , -4) + t(l , -1 )1 1 e R } y
2 \ = { ( 6 , - 4 ) + s ( l , -7)1 s e R }
s o s de solució n , d ep e n die n do ca d a c a s o de la
En el triángulo isó sc e le s A B C , la bisectriz
ub icación de los la d o s iguales.
7 \ del
vértice C, tiene s u vector direccional paralelo a :
Caso 1. L o s la d o s igu ale s s e encuentran en 7\
, . . < > ^ ♦ £ ¿ > . 6
0 .-2 )
xl
5\'2
5Y2
y 2'
<=> T g A = T g B <=>
m - m,
m. - m
I + m •m
l + m • m.
FIGURA 3.28
7 \ es m a­
L ue go , el vector de dirección de la recta 2 e s
FIGURA 3.29
ISS
Capitulo 3: Aplicaciones de la recta
Sección 3.3: Angulo entre dos rectas
paralelo al vector <1 , -2)1 = (2 , 1)
m ,- m,
_ _ 24
1 + m. m
Si T g 0 = - y 1
P a ra hallar su e cu a ció n bastará determ inar el punto de p a s o A(x, , y t) o B(x, . y ;).
C o m o Á C ||(1 ,-1 ) o Á C - < 1 , 1> = 0
(6 - x , , - 4 - y,) • (I , 1> = 0 => y, = 2 - x,
m, - 3/4
1 + (3/4)m,
(1)
Por lo q ue ,
B C || (1 , -7> «=> B C • (7 , 1) = 0
(2)
=> (6 - x , , -4 - y,> • (7 , 1) = 0 <=> y, = 38 - 7x,
(3)
A B 11 (2 , 1) <=> (x , - x . , y 2 - y,> - (-1 , 2> = 0 = * -x, + x, + 2y, - 2y, = 0
i- x, + 2(38 - 7 x :) - 2(2 - x,) = 0 = * x, = 5x, - 24
Su stituye n d o en (1) o b te n e m o s :
b) S e a V = C D <=> V = (2 , 7) - (-10 ,-14) = 3 (4 , 7)
S i n e s la norm al a
a ( A A B C ) = 15 u : <=> I
(4)
y ( = 2 6 -5 x,
(5)
c) S i { A } =
|C A . C B X | = 15
7\ y 7\ <=> n = a 1 = (-3 , 4)
•
M#
”
'
r p \ - l V - n l - 1 3 ( 4 . 7 ) . ( - 3 , 4 ) 1 _ 48
*’
“
11 (-3 , 4) 11
~
5
(1 )
<=* r(5 , 3) - 1 (4 , -3) = (12 , 15)
= * r(4 , 3) • (3 , 4) - 0 = (12 , 15) • (3 ,4 ) <=> r = 4
Su stituy e n d o en (1) o b te n e m o s : A = (-10 , -14) + 4 (4 , 3) = (6 , -2) <=* A(6 , -2)
I(5x, - 24 - 6) (38 - 7x, + 4) + (26 - 5x, + 4) (6 - x,) | = 30
S i {: B } =
Efectuando, resulta : 130(x, - 6): | = 30
fl
<=> 3 s , t e R , tales que
(2 )
B = (2 ,.7) + s (4 , 3) = (2 , 1) + t (4 , -3)
- 6 = -1 ó x, - 6 =
1
<=> s (4 , 3) - 1(4, -3) = (0 , -6)
<=> x, = 5 ó x, = 7
ó
II n II
A = (-10 , -14) + r(4 , 3) = (2 , 1) + 1 (4 , -3)
! (x, * 6 , y, + 4) • (y, + 4 , 6 - x,) I = 30
L u e g o , en (2 ): y, = 3 8 - 7 ( 5 ) = 3
‘ "
7\ fl 7\ => 3 r , t e R , tales que
I (x, - 6 , y, + 4) • (x, - 6 , y, + 4)1 1 = 30
c=> (x, - 6)- = 1 <=> x,
, de d o n d e : m. = - 3/4
7\ tiene por e cu a ció n v e c to ria l, 7'.: P = (2 , 1) + t (4 , -3 ), t e R
C o m b in a n d o las e c u a c io n e s (1) y (2) co n (3) s e tiene :
-x
= - —
s(4 , 3)• (3 , 4) - 0 = (0 , -6)• (3 , 4) <=>s
y, = 38 - 7(7) = -11 => B(5 , 3)
ó
B(7 ,
1)
= -I
L u e g o , en (2 ), s e tiene : B = (2 ,7 ) - (4 ,3 ) = (-2 , 4) B(-2 , 4)
S e d esca rta la s e g u n d a alternativa por las c o n d ic io n e s del problem a
.5?: P = (5 , 3) + r (2 , I ), r e R.
E je m p lo
Ejemplo 1 0
)
L a s re c t a s
C (-1 0 , -14) e
, 2P? y S?3 s o n t a le s q u e : i? , 11
7 \ , D (2 , 7) e ¿Z?2 ,
fl
= {A } ,
, m, < 1,
n
7'2 = {B },
M (2 , 1) e s el punto m edio de A B y T g0 = - 24/7; donde 0 e s la m edida del ángulo entre
7\ y 7 \ , 0 e (0 , n). H a lla r : a) L a s e c u a c io n e s vectoriales de 2 * , 7'2 y 7 ’,
b) d( 7\ , 7 2) ; c) L o s puntos A y B.
las rectas
Solución.
S e a E el punto m edio de C D , e n to n ce s
11
}
S e a n . la recta
7". P = ( 7 , 1 2 ) + 1 a , t e R y Q ( 4 , 3) un punto que
7 . P o r Q p a s a n d o s rectas qu e inter-
dista 3 \ 5 u n id a d e s de
7? en los p u ntos A y B (7 . 12) form ando un triángulo isó sc e le s B Q A con
7’. S i B divide al se g m e n to A D de 7‘, en la razón 4/3 , h a lla r: a) L o s puntos
A y D. b) L a e cu a ció n vectorial de 7‘.
sectan a
b ase en
Solución.
La F igu ra 3.31 m uestra una interpre­
tación geom étrica del problem a . d o n ­
r
de s e o b se rv a q ue h a y d o s so lu c io n e s : los trián­
E = I ( C + D) = i ( - 8 , - 7 ) <=* E(-4 , -7/2)
gu lo s isó s c e le s B Q A y B Q A '.
En el A B Q A : Q B = (7 , 12)- (4 , 3) = 3 (1 , 3)
É M = M - E = (2 , 1) - (-4 , -7/2) = | (4 , 3)
C o m o E M I ! y , , el vector direccional de
/ V
m
Lu e go , la pendiente de la recta
rj y 7 \
7\ e s m. = 3
A d e m á s , 11 Q B 11 = 3 \ 10 y ! |Q H 11 = 3 \5
e s a = (4 , 3) ; lue go :
Jf \ :P = (-10, -14) + r(4 , 3 ), r €
7 \ :P = (2 , 7) + s(4 , 3 ), s e R
R
/
FIG U R A 3.30
<=> S e n O =
3 \ 10
= -L
V2
<=> 0 = 45c
Por lo qu e el A B Q A e s rectángulo isó sc e le s
190
C apítulo .?: Aplicaciones de la recta
Tge =
. I + m: m
EJERCICIOS ;
7\ : P = P, + 1 a , t e R , 7'2 : b • (P - P 2) = 0 , s e cortan en P 0. Hallar el
án gu lo entre <2?, y &2 sa b ie n d o que
4. L a s rectas
=» 1 = -í j ü 1 + 3m
de d o n d e , la pendiente de ? ' e s m = 1/2 y s u vector de dirección e s a = <2 , I)
U n vector unitario en la dirección de
(p , - p ¿ - ( p , - p„)-<p , - p!> = l i p 0 ll 2 , y pt, * p , * p*
2' es
5. L o s p u ntos P (2 ,4 ), Q (8 , 6) y R ( 4 , 8) s o n vértices de un triángulo. Hallar la recta
u = _ a _ . ^ i>
H a ll
E n el A B Q A : 11 Á B 11 = 2 11 Q H 11
que e s perpendicular a la bisectriz del á n gu lo P Q R y que p a s a por R.
V5
6.
=6\>5
del triángulo corre spo n die nte al á n g u lo A.
Á B = 11 Á B || u = 6V5 ( ^ = ^ ) = <12 , 6>
7.
S i B - A = (12 , 6) => A = <7, 12)-<12 ,6 ) = < -5 ,6 )
AQ
—
1
—
L o s p u n to s A (4 , 6) , B (8 , 4) y C (6 , 7) s o n lo s vértices de un triángulo A B C .
Hallar en el lado B C el punto Q por d on d e p a s a la bisectriz del á n gu lo A.
___
= -± => 3 A B = 4 B D <=> 3 ( B - A ) = 4 ( D - B )
=> D =
! = a ,
2a. Hallar la ecu a ción de la recta que contiene a la bisectriz interior
L o s vértices de un triángulo s o n lo s p u ntos A , B y C , tales que I A - B
A - C 11 =
^
191
Grupo 21
8. La b a s e A D de un trapecio A B C D e stá contenida en la recta
T : 3x - y + 6 = 0 y
una de s u s d ia g o n a le s A C está contenida en la recta y , : x - y - 4 = 0. S i el
1 B - | A = | < 7 , 1 2 ) - | < - 5 , 6 > = <l6,33/2>
vértice B e s el punto (3 , -5 ), h a lla r : a ) L o s vértices A, C y D ; b) P r o y ^ A C
E n el A B Q A ’ : T g a = — ’ ‘ m - => i =
1 + m, m ’
_m ’ ~ 3 «
i + 3m (
m - = .o
ü-2 = { A + s b s e Ri- e s tal que
7 \ fl 3 2 , s ie n d o C un punto en el IV cu ad ran te , B (0 , 4 ),
A C + B C = <5 , -2 5) y la pendiente de 7' e s -1. hallar la e cu a ción vectorial de la
9. El á n g u lo 0 entre i ? , = { B + t a 11 € R } y
T g 0 = 5/7. S i { C } =
L u e g o , el vector d e dirección de
7-’ e s a ’ = (I , -2) => u ’ = ^
y¡5
bisectriz del á n gu lo 0.
P o r lo qu e si B A ’ = 11 B A ' 11 u ’ => B A ' = 6 \5 ( - ’- '2^ = <6 -12>
v V5 '
10. S e a n las rectas
A n á lo ga m e n te , si
= 1
^
D’=
1 B - 1 A ' c=> D ’ = <5/2 , 21)
11.
b)
E c u a c io n e s vectoriales de 7 y 2? ’
2 = {<7 , 12) + t <2 , l)| t e R }
: P = <1 ,-1> + t < 7 , 1 > , t e R y # 2 :<1 , - 1 > * [ P - < 2 , 1)] = 0. Hallar
7 q u e tiene p en d iente p o sitiv a , p a s a p o r Q (0 , -2) y form a co n 7'y y
T 2 un triángulo isó sc e le s c u y o s la d o s c o n g ru e n te s están sob re 7 \ y V2.
la recta
=> A ' - B = (6 , -12) <=* A ’ = <7, 12) + <6 , -12) = <13 , 0)
H allar la e c u a c ió n de la recta q u e p a s a por el o rige n y e s paralela a la recta
bisectriz , d e m eno r , pendiente del á n gu lo q u e form an la s rectas
y
!7\: P = <1 , 1) + 1<3 , 4 ). t e R y
7 ' - {<7, 1 2 ) + s < l , - 2 ) | s e R }
12.
: P = <2, -1) + s< 4 , 3 ) , s € R
L o s vé rtice s de un triángulo A B C s o n A (-6 .-2 ), B (6 , 1) y C (2 , 4). S e traza la
bisectriz del á n g u lo exterior corre spo n die nte al á n gu lo interno A C B ; la b ise c­
E J E R C IC IO S : Grupo 21
triz interior corta a la p rolongación del lado A B en el punto Q. Hallar las co o rd e ­
n a d a s del punto Q.
1.
S e a n las rectas
7\ : 3 x - 4 y + 6 = 0 y $ 2 : P = <4. 1> + 1<-2 , 4 ), t eR ; hallar
7\
13. D a d a s la s rectas
a) La distancia del punto A (4 , 1) a la recta
b)
2.
3.
La tangente del á n gu lo a g u d o form ado por la s rectas
7 X: P = < 3 , 4 ) + t < 3 , 4 ) y 7 ; :
a) El punto de intersección de 1
( \ y 72
D a d a s la s rectas ;
P = (0 , 14/3) + r<4
7\ : P = P, + t a , t e R , y # 2 : P = Q , + s b , s e R , no paralelas,
d em ostrar q ue las rectas bisectrices de los á n g u lo s q ue form an
7 \ y 7 ? so n
o rto g o n a le s.
,
3 ),14.
h a lla
U r:
n rayo parte del punto A ( - 5 , -2) en dirección del vector a = <2 ,3 ) y s e refleja en
un e spejo plano so b re el eje X en B y luego so b re el eje Y en C. C uál e s la
b) La e cu a ción normal a la bisectriz del á n gu lo a g u d o form ado por la s rectas.
a b s c is a del punto S s i S
D eterm inar la ecuación de la recta que p a s a por el origen de c o o rd e n a d a s y e s
reflejado y tiene ord e n a d a -10.
paralela a la bisectriz del ángulo que form an los vectores a = <3 , 4) y b = <4 -3)
15.
L a s rectas
y
= B + C + D , d o n d e D e stá so b re el último rayo
7' se interceptan en el punto C fo rm an do un á n gu lo 0 , tal que
192
Capítulo 3: Aplicaciones de la recta
T g 0 = 1/2. S i C e s un punto en el cuarto cuadrante, B (0 , 4 ) , A C + B C = <2, -10)
y la pendiente de
7\ e s -1 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
C
J \ : 7 x - y - 6 = 0 y 7 ‘2 : x - y + 2 = 0 , hallar la e cu a ció n de la recta
.7, de pendiente positiva , que p a s a por el punto A (5 , -2) y form a c o n 7\ y 7'2m
triángulo isó sc e le s c u y o s la d o s igu a le s s e e ncuentran en T y y J
r ‘2 , respectiva­
16. D a d a s la s rectas
m ente.
17.
E n el plano R 1 , fijados el punto P. y los ve ctore s A y B no n u lo s y no paralelos,
s e define el conjunto
C = { P e R - P = P 0 + t A + s B , co n t e [0 , 2]
a
s e [-1 , 0 ] }
a) R e p re se n ta r gráficam ente el conjunto C en el plano R :.
b) P a ra P 0 = (1 , 1 ), A = (-2 , 3) y B = (3 , 1 ), ana liza r si el punto P (-4 , 29/6)
4
VECTORES Efl |
El ESPACIO l
J?
pertenece al conjunto C . y hallar la e cu a ción de la recta q ue contiene a la
bisectriz del á n gu lo que form an A y B con vértice en P 3 , d ad o s.
18.
El á n gu lo 0 entre la s rectas
7 \ : P = B + 1a , t e R , y ^ : P = A + s b , s e R , e s
tal q u e T g 0 = 5/7. S i { C } =
7 \ fl 7'2 , sie n d o C un punto del cuarto c u a d ra n te ,
B (0 , 4) , A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de
7 2 e s -1 ; hallar la ecuación
vectorial de la bisectriz del á n gu lo 0.
19.
E n el plano R : , s e a n lo s p u ntos A (-6 , -6 ), B(-1 , 4 ), C (c , -1 ), D (2 , 1) y E , tales
que D e B C , E e A B , los se g m e n to s dirigidos D E y A C s o n p arale los y los
se g m e n to s orientados E B y E C form an un á n g u lo a . U s a n d o ve c to re s , hallar
C o s a.
4.1 ) E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L _________________________
E n la S e c c ió n 1.1 d efinim os el producto ca rte sia n o A x B de los conjuntos
A y B de la siguiente m anera
A x B = {(x ,y )| x e A ,y e B }
Si a plicam os un a definición sim ilar al producto ca rte sia no A x B x C de los conjun­
tos A , B y C , e n to n ce s
A x B x C = {(x , y , z)l x e A , y e B , z
g
C}
donde el sím b olo (x , y , z) representa una terna ordenada. C o m o la s ternas orde­
n a d a s de n ú m e ro s reales s o n el elem ento del producto ca rte sia n o R x R x R , a este
conjunto s e le denota por R ' , e s decir
R ' = {(x , y , z) I x e R . y e R , z e R }
que determ ina lo q u e lla m a re m o s
espacio tridimensional.
Esto e s , q u e d a e sta blecid o un siste m a ca rte sia ­
no de tres d im e n sio n e s, c u y o s ejes s o n la s re c­
tas o rie n ta d a s : X (eje de a b s c is a s ) , Y (eje de
o rd e n a d a s) y Z (cota) , que s e cortan p e rp e n d ic u ­
larm ente en el punto O (origen de c o o rd e n a d a s).
Todo punto en el e sp a c io q u e d a d eterm inado por
la terna (x , y , z ) , d on d e
x : e s la distancia dirigida del punto P al plano Y O Z
y : e s la distancia dirigida del punto P al plano X O Z
z : e s la distancia dirigida del punto P al plano X O Y
194
Capítulo 4: Vectores en el espacio
El conjunto R ' de te rn a s o r d e n a d a s de n ú m e ro s re a le s , junto con las
r \VECTORES EN EL ESPACIO
op e ra c io n e s de s u m a y p rod uctos definidas en el Te ore m a 1.2 , recibe el nombre
de
den o ta d a p or (x , y , z) e s un vector.
S e a n A = (x, , y , , z,) , B = < x . , y , , z,) y
V
espacio vectorial tridimensional so b re el conjunto de n ú m e ro s re a le s R y se
denota por V ;. A lo s ele m e n tos de V, , s e les llam a ve ctore s , por lo q u e , la terna
195
Sección 4.2 : Vectores en el espacio
= (x , y , z) ve ctore s en el e sp a c io y s e a r € R
un e sc a la r , e n to n ce s
Igualdad de vectores: A = B <=> x , = x , , y, = y , , z, = z,
2. Componentes: S i s e representa a V por el se gm e n to orientado A B , entonces
1.
V = <x , y , z) = <Xj - x , , y , - y , , z, - z,)
4.2 j V E C T O R E S EN E L ESPACIO_____________________________________
3.
Longitud o norma : I V ; | = d{A , B) = \ ‘(x, - x,): + (y, - y,): + (z, - z,)-
4.
Vector unitario en la dirección de V : u = ,, ^ I I v I!
E n el e sp a c io , d e n o ta m o s los vectores m ediante la terna o rd e n a d a
5.
V = <x , y , z>
d e n o tá n d o se el
Suma de vectores : A + B = (x, + x 2 , y, + y , , z, + z,)
Opuesto de un vecto r : V A s R ' , 3 (-A) e R ' I A + (-A) = (0 , 0 , 0) = O
7. Producto por un esca la r : r A = {r x , , t y, , r z,)
6.
vector cero por O = (0 , 0 , 0).
Tal c o m o e n el c a s o de R : , un vector en R ' s e
p u e d e e x p re sa r c o m o la s u m a d e c o m p o n e n te s
vectoriales p arale los a los ejes c o o rd e n a d o s. E n
r
R s , i , j y k representan vectores unitarios en las
d ireccione s de la s partes p ositivas de los ejes X ,
Y , Z respectivam ente. E n to n c e s
EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )
¡ = (1 , 0 , 0 ) , j = (0 . 1 ,0 ). k = ( 0 , 0 , 1)
U s a n d o e sto s vectores , la notación con vectores
unitarios canónicos para un vector V = (x , y , z) e s
V
E je m p lo
1
Usando vectores para hallar el extremo de un segmento
J
U n vector q ue va de S a T (5 , -4 , 2) e s d o s v e c e s el vector que
= xi + yj + zk
va de R (2 , -1 , 5) a S. C a lcu la r las c o o rd e n a d a s de S.
c o m o s e m uestra en la Figu ra 4.2
Solución. S e a n
S i s e representa al vector V m ediante el se g m e n to orientado d e sd e A(x, , y, , z,) a
A = S T , B = R S y S ( x , y , z)
L u e g o , A = T - S = <5 , -4 , 2) - <x , y , z) = <5 - x ,-4 - y , 2 - z)
B (x, , y, , z,) , c o m o s e indica en la Figu ra 4.3 ,
B = S - R = (x , y ,z) - (2 , -1 , 5) = (x - 2 , y + I , z - 5)
e n t o n c e s la s c o m p o n e n t e s de V s e o b t ie n e n
r-
re sta n d o la s c o o r d e n a d a s del punto inicial A de
Si A = 2 B <=> -i
las del punto final B , esto e s
5 - x = 2 (x - 2) «=>x = 3
-x
V
-4 - y = 2 (y + 1) •=> y = -2
^
2 -z = 2 (z-5 )< = > z = 4
/. S (3 , -2 , 4)
■
J
V = Á B = <x; - x , , y, - y , , z, - z,)
L a s definiciones que se aplican a los ve ctore s de
E je m p lo
d o s d im e n sio n e s se p u ed e extender d irectam en­
te a los ve ctore s de tres d im e n sio n es. E n el c u a ­
en el e spacio.
J
Usando vectores para hallar un punto perteneciente a un segmento
S e a n A (2 , 3 , -2) y B (6 , -3 , 2). Hallar el punto P que e stá en el
dro siguiente s e re su m e las definiciones y o p e ra ­
c io n e s b á s ic a s co n vectores
2
se gm e n to de recta qu e une A co n B y a 3/4 de d istancia de A a B.
F IG U R A 4.3
Solución. S i P (x , y , z) e A B ■=> A P = ^ A B <=> 4 A P = 3 A B
{ 4x-8=12t=>.\ = 5
4y - 12 = -18 => y = -3/2 >■
4z + 8= 12 => z= 1
J
P(5 , -3/2 , 1)
■
196
Ejemplo 3
197
Sección 4 .2 : Vectores en el espacio
Capítulo 4: Vectores en el espacio
c * (r + 6 s , 5 r - 4 s - 5 t , 3 r - 2 s + 7t) = (2 0, -27 , 35)
Usando vectores para determ inar pinitos alineados
de donde , p or igu ald ad de ve cto re s , o b te n e m o s el siste m a
D e m o stra r que los p u ntos A (-2 , - 7 , 7 ) , B (2 , -1 , 3) y C (4 , 2 , 1 )
r + 6 s = 20
s o n co lin e ale s.
D em ostración.
5 r - 4 s - 5 t = -27
B a sta rá probar que 11AC i ! = I ! A B 11 + 11 B C 11
3 r -2 s + 7 t= 3 5
E n efecto
Á C = < 4 , 2 , I > - < - 2 , :7 ,7 > = 3 < 2 , 3 ; - 2 )
R e so lvie n d o por sim u ltá n e a s s e tiene lo requerido : r = 2 , s = 3 , i = 5
■
9---------------------------------- g------------- g
A B = <2 , -I , 3) - (-2 , -7 , 7) = 2 (2 , 3 , -2>
E je m p lo
B C = ( 4 , 2 , 1) - (2 , -1 ,3 ) = ( 2 , 3 , - 2 )
L u e g o : 11ÁC 11 = 3 \4 + 9 + 4 = 3\;7 7 , 11 Á B
6 ^ )
P o r el punto D (2 , 2 , -1) del lado A B se traza una paralela al
11= 2 \T 7 y
11B C 11 = VT7
D a d o que : 3 V 7 7 = 2 ^ 7 7 + \'T7 t=> 11 Á C 11 = 11 Á B 11+ 11 B C
11
P o r lo tanto , los p u ntos A , B y C s o n co line ales
lado A C y qu e corta al lado B C en E. Hallar la longitud del se gm e n to D E.
Solución.
■
R e s o lv e re m o s el prob lem a hallando la
razón en que el punto D divide al lado AB.
Esto e s , si r =
Cjemplo
4
]
S e a el triángulo de vértices A(-1 ,2 ,2 ), B(4 ,2 ,-3) y C ( 9 ,-3 ,7 ).
Usando vectores para determinar ¡a naturaleza de un triángulo
1
<=> r D B = A D
DB
«=> r ( B - D ) = D - A
D e m o stra r q ue los p u n to s A (3 , 5 , 2 ), B (2 , 3 , -1) y C (6 , 1 , - 1 )
= * 2 r(l , 0 , -1) = 3 (1 , 0 , - 1 ) <=> r = 3/2
s o n vértices de un triángulo rectángulo.
D em ostración.
E n efecto , h alle m os la s c o m - '
"■
S ie n d o D E I ! A C , por el Te ore m a de T h a le s :
§ | = | ® 2(E - C) = 3 (B - E)
p on e n te s de los ve ctore s A B .
FIGURA 4.5
BCyÁC
de d on d e : 5 E = 3(4 , 2 , -3) + 2(9 , -3 , 7) => E = (6 , 0 , 1)
Á B = (2 , 3 , -1) - (3 , 5 , 2> = (-1 , - 2 , - 3 )
Por lo q u e , D E = (6 , 0 , I) - (2 , 2 , -1) = 2(2 , -1 , 1) «=> I! D E 11 = 2>Í6
B C = (6 , 1 , - 1 ) - ( 2 , 3 , - 1 ) = ( 4 , - 2 , 0 )
■
Á C = (6 , 1 , -1) - (3 , 5 , 2) = (3 , -4 , -3)
Luego:
11 B C 11 = \ 16 + 4 + 0 = V2Ó
11
Com o
E j e m p lo
|| A B 11 = vi + 4 + 9 = V 14
7
J
F IG U R A 4.4
e x p ré se n se los ve cto re s A B , B C , C D y D A por m edio de a y b.
Á C 11 = \ '9 + 16 + 9 = V34
(\3 4 ): = ( \ l 4 ) 2 + (V20)2 => 11 Á C 11 ’ = 11 Á B 112 + I ! B C 112
S e cum ple el Teorem a de P itá go ra s , por lo que , el A A B C e s recto en B.
E n el trapecio A B C D la razón entre la longitud de la b a se A D y
d e la b a s e B C equivale a r. S u p o n ie n d o que A C = a y B D = b .
Solución. S i
■
BC
= r
ÁD = r BC
__
__
_
t=> A B + B D = r B C
En el A A B C : Á B = Á C - B C
Cjemplo
5^)
S e a n los vectores A = (1 , 5 , 3 ). B = (6 , -4 , -2 ). C = (0 , -5 , 7)
y D = (-20 , 2 7 , -35). S e requiere elegir los n ú m e ro s r , s y t de
tal m od o qu e los vectores r A . s B , t C y D form en u na línea q u eb rad a ce rrad a , si el
origen de c a d a vector s u c e siv o s e h a ce coincidir co n el extrem o del anterior.
Solución. S i los vectores r A , > B , t C y D constituyen u n a línea q u e b ra d a ce rrad a ,
s u s u m a vectorial debe se r nula , e sto e s
r A + s B + t C + D = 0 <=> r(l , 5 , 3) + s ( 6 , -4 , -2) + t ( 0 , -5 , 7) = -(-20, 27 , -35)
(2)
Á B = Á C - 1 (Á B + B D ) <=> Á B =
r
D e (2 ): B C = Á C - Á B = a -
(1)
1+ r
<=* B C =
1+ r
1+ r
En el A A C D : C D = A D - A C = r B C - a
«=> C D = r ( a ± b \ _ a <=> C D = -LiiLJ*.
' I + r '
1+ r
Finalm ente , d e (1 ): D A = - r B C ■=> D A = - — ^— (a + b)
I + r
■
198
Capítulo 4: Vectores en el espacio
E je m p lo
8
J
M e s el punto de intersección de la s m e d ia n a s del triángulo
Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio
199
7. Si A = (3 , 5 , -1 ), B = (6 , -2 , 3) y C = (-3 , 2 , 0 ), hallar el vector X que sa tisfa ga
la e cu a ción 3 X + 6 A - 5 C = 8 B
A B C , O e s un punto arbitrario del espacio. D e m o stra r que
8. D e m o stra r q ue los p u ntos A (2 , 0 , -1 ), B(1 , 2 , 1) y C (6 , - 1 , 2 ) s o n vértices de
Ó M = j (Ó A + Ó B + Ó C )
un triángulo rectángulo.
D em ostración. La F igu ra 4 .7 m uestra al punto M y
9. S e a n A = ( 2 ,-1 , 5 ), B = (-1 , -2 , 3) y C = (1 ,-1 , 1) tres v e cto re s en R \ hallar un
u na m e d ian a B D . E n to n c e s
vector unitario en la dirección del vector V = A - B + C.
D = y (A + C)
10.
S e a n d a d o s lo s vértices del triángulo A (3 , - 1 , 5 ) , B (4 , 2, -5) y C (-4 , 0 , 3 ) .
H á lle se la longitud de la m ed iana trazada d e sd e el vértice A.
P o r la p ropiedad de las m e d ia n a s
11.
D M = j D B <=> M - D = y ( B - D)
D e te rm ín e n se la s c o o r d e n a d a s de lo s e xtre m o s de un se g m e n to q ue e stá
dividido en partes igu a le s m ediante los p u ntos C (2 , 0 , 2) y D (5 , -2 , 0).
E sto e s : M -
i-(A+ C)
= | B - 1 ( A + C)
de d ond e o b te n e m o s : M =
12.
de intersección de las m ed ian as. E x p re sa r el vector M M ’ m ediante lo s vecto­
(A + B + C)
R e sta n d o el vector O a ca d a extrem o s e tiene :
E n un e sp a c io están d a d o s lo s triángulos A B C y A ’B ’C ’. M y M ’ s o n los p untos
v----------------------------------------- /
FIG U RA 4.7
res A A ’ , B B ’ y C C \
13. E n un p arale logram o A B C D s e d e s ig n a n : A B = a , A D = b. E x p re sa r en térm inos
M - O = y [ (A - O ) + (B - O ) + (C - O)]
<=* O M = - i( Ó A + Ó B + Ó C )
de a y b los ve cto re s M A , M B , M C y M D , d o n d e M e s el punto de intersección
de la s d ia g o n a le s del p arale logram o.
■
14.
S i A , B y C s o n p untos co line ales , hallar el vector A C sa b ie n d o que B s e
encuentra entre A y C ; d on d e A (3 , - 1 , 0 ) , B (4 , 1 , 3) y 11 A C ! I = 3 \ 1 4
E J E R C IC IO S : Grupo 22
15. El se g m e n to de u n a recta limitado por los p u ntos A(-1 , 8 , 3) y B (9 , -7 , -2 ), está
dividido en cinco partes ¡guales por los p u ntos C , D , E y F. Hallar las co o rd e ­
1.
A y B s o n lo s ve c to re s de p o sic ió n de lo s s e g m e n t o s P Q y R S . S i 2 A = 3 B y
n a d a s de e sto s puntos.
P (3 , - 1 , 2 ) , Q (x , y , z ) , R (-2 , 3 , -3) y S ( 2 , 5 , - 5 ) ; hállese el vector A.
2.
El vector V = (-2 , 2 , 6) e s el vector de posición del se gm e n to Á B , cu yo punto
4.3 j D IR E C C IO N D E U N V E C T O R E N E L E S P A C IO _____________
m edio de M (-4 , 3 , 1). Hallar las co o rd e n a d a s de los extrem os del segm ento
ÁB.
A c a d a vector no nulo V = (x , y , z) e R J , le
3.
S e a V = (3 , -6 , 1) el vector de posición del se gm e n to A B y s e a C (6 , - 1 , 2 ) el
punto de trisección , m á s ce rcan o de A , de dicho se gm e n to , hallar las coor­
d e n a d a s de A y B.
4. S e a n A (2 , -1 , 3 ), B (-4 , 5 , 0 ) , C (4 , -1 , 3) y D (4 , 4 , -7). El punto P está a 2/3 de
ángulos
de dirección a. , (i. y , ca d a un o de los c u a le s e s el
co rre sp o n d e u na dirección d ad a por tres
ángulo determ inado por los ejes p ositivo s del s is ­
tema tridim ensional co n el vector V en p osición or­
distancia de A a B y el punto Q está a 3/5 de distancia de C a D . C alcu lar las
dinaria (F igu ra 4.8). L o s á n g u lo s de dirección s e
c o m p on e n tes del vector V que va de P a Q.
elige de m ane ra que s u s m e d id a s estén co m p re n ­
5. D e m o stra r que los puntos A (6 , 3 , 4 ), B (2 , 1 , - 2 ) y C ( 4 , - 1 ,1 0 ) s o n vértices de
un triángulo isó sce le s.
6. D e m o stra r que los p u ntos A (2 , 0 , -1 ), B (3 , 2 , -2) y C (5 , 6 , -4) s o n colineales.
didas en el intervalo [0 , tc]
A los c o s e n o s de los á n g u lo s de dirección
de un vector en R ' s e les llam a
vienen d a d o s por
cosenos directores y
Capítulo 4: Vectores en el espacio
200
C o sa =
í -
II Vil
, C o s ( i=
201
Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio
= ± + 1 + 2 = 2 *
4
2
4
2
I Iv il ' CoSY= l lvll
|
Por tanto , no existe el vector V con tales á n g u lo s d e dirección.
en d on d e : 11V11 = \ 'x ? + y : + z :
E le v a n d o al cu a d ra d o y su m a n d o las e c u a c io n e s (1) , o b te n e m o s
Ejemplo
J
3
O b te ne r un vector V si su norm a e s 14 y tiene sentido contra­
rio al vector c u y a re p re se n ta ció n ge om é trica va de S ( 3 , - 5 , 2 )
C o s :ot + C o s :p + C o s ^ y = 1
a T (5 , -8 , -4).
La e cu a ción (2) n o s permite afirm ar que los c o s e n o s directores de un vector están
íntim am ente re la c io n a d o s , p o r lo q u e , si s e c o n o c e n d o s d e e llo s s e puede
Solución.
E n to n c e s : 11V 11 = V(2): + (-3)2 + (-6)-’ = 7
ca lcu la r el valor a b so lu to del tercero. S i C o s a , C o s p y C o s y s o n lo s c o se n o s
directores de un vector no nulo V = (x , y , z ) , por la s e c u a c io n e s (1) resulta que
S e a A = S T <=> A = <5 , -8 , -4) - <3 , -5 , 2> = (2 , -3 , -6)
Un vector unitario co n sentido o p u e sto al de A e s
u=
u = (C o s a , C o sp . C osy) =
A
=
(2 , -3 , -6)
7
( , ,-*-7-. , -, . - tt , ,, z- n \
x ll vi l
llvll
llvll'
Dado que , V = i V
u
= * V = I 4 ( ~~~ ' y ' ^ ) = (-4 , 6 , 12)
e s el vector unitario qu e tiene la m ism a dirección que V
E j e m p lo
1
)
Ejemplo
O b te n e r lo s c o s e n o s d ire c to re s del ve c to r V q u e v a de
A (2 , -2 , -1) a B (-4 , -5 , 1). D e m o stra r q u e la
4
j
s u m a de los
c u a d ra d o s de los c o s e n o s directores del vector e s igual a 1 y obtener tam bién un
(Nota.
vector unitario en la dirección de V.
Solución.
M ó d u lo del v e c t o r : 11 V11 = V(-6)- + (-3)2 + (2)2 = 7
C osa = - y
C o m o a = p = y , e n to n ce s p or la fórm ula (2) o b te n e m o s :
L u e g o : C o s :a + Cos-’P + C o s 'y =
3
^
^
Si x = 11 A 11 C o s a = * x = 2 \3 (V3/3) = 2
A = (2 , 2 , 2)
= 1
E J E R C IC IO S : Grupo 23
Finalm ente , el vector unitario e s la dirección de V , s e g ú n (3) , e s
u =
C o s ’a = I <=> C o s a = ± V3/3
y dado que a , p y y s o n a g u d o s , e n to n ce s C o s a = \3/3
_ 2
C osy =
C osp =
A || = 2 \ 3
A los vectores unitarios i , j y k se les denomina también versores básicos)
Solución. S i V = Á B <=> V = (-4 , -5 , 1) - (2 , -2 , -1) = (-6 , -3 , 2)
P o r las e cu a cio n e s (1) , los c o s e n o s directores del vector V s o n
H á lle se el vector A que form a co n to d os los tres ve rso re s
b á s ic o s á n g u lo s a g u d o s igu a le s , si
(-6/1 , -3/7 , 2/7)
1.
E n lo s ejercicios sig u ie n te s obtener un vector unitario en la dirección del vector
cu y a representación geom étrica va de S a T.
Ejemplo
2
}
dirección a a = 6 0 ° , p = 45° y y = 150°.
S olución.
a) S ( 2 , - 2 , - 1 ) , T(-4 , - 5 , 1 )
A ve rigu a r si el vector V e R 3 p ued e tener c o m o á n g u lo s de
V e a m o s si la ecu a ción (2) s e satisface p ara e s to s á n gu lo s.
C o s :60° + Cos-’45° + C o s :y = (-|) + ( ~ y ) + ( ' * r j
b) S ( 9 , 2 , -1 ), T (-3 , 5 , - 5 )
2.
S i para un vector A e R \ C o s p = 3/10 y C o s y = 2/5; calcular el valor del ángulo a.
3.
S i para un vector A e R ' , C o s a = 2/11 y C o s p = - 5/11 ; calcular Cosy.
4.
H a lla r un ve ctor V c u y a n o rm a e s 1/2 y tiene el m ism o se n tid o q u e el vector
A = (6 , 1 2 , 4 )
202
Capítulo 4: Vectores en el espacio
5.
H allar el vector V c u y a n orm a e s 7 \ 2 y q ue tiene el se ntid o o p u e sto al vector
203
Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio
TEOREMA 4.1
Propiedades algebraicas del producto escalar
A = (-2 , 5 , -4)
6.
7.
8.
9.
H á lle se el vector X que form a con el ve rso r j un á n gu lo de 60° y co n el versor
S i A . B y C s o n ve ctore s en el e sp a c io y
e ntonces s e verifican la s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s
k , un á n gu lo de 120° , si 11 X 11 = 5\!2
PE, : A • B = B • A
H á lle se el vector X , colineal al vector A = <1 , -2 , -2 > , qu e form a co n el versor
P E 2 : r (A • B ) = (rA) • B = A • (rB)
j un á n gu lo a g u d o y cu y a m agnitud e s 15.
P E 3 : C - ( A + B) = C - A + C * B
H á lle se el vector X , colineal con el vector A = - 3 i - 6 j + 2 k , q ue form a con el
r e s un e sca la r ,
Conm utatividad
(A + B )-C = A - C + B - C
v e rso r k un á n gu lo ob tuso , y cu y a norm a e s 21.
P E 4 : A • A = 11 A I : > 0
U n vector V form a co n los ejes X e Y los á n g u lo s de 60° y 120° respectivam en­
P ES : A •A = 0
A so ciativid ad e sca la r
Distributividad
}
M a g n itu d respecto al producto e sca la r
<=> A = 0
te. Hallar s u s c o o rd e n a d a s sa b ie n d o que su m agnitud e s 2 unidad es.
Las d e m o stra c io n e s s e dejan c o m o ejercicio.
10.
H allar la s c o o rd e n a d a s del punto P , si s u radio vector form a co n los ejes
c o o rd e n a d o s á n g u lo s igu a le s y s u m ódulo e s igual a 3.
11.
1 Nota. Como A • B es un número . la expresión (A • B) • C carece de significado . por ie que
no se considera la asociatividad del producto escalar.
P u e d e fo rm a r un ve c to r c o n lo s e je s c o o r d e n a d o s lo s á n g u lo s s ig u ie n te s
a) a = 4 5 ° , p = 6 0 o , Y = 1 2 0 * )
b) a = 4 5 ° , p = 135° , y = 60° ,
Cjcmplo 1
c) a = 9 0 ° , p = 1 50 ° , y = 6 0 ° ?
12.
D a d o s los ve ctore s A
= <3 , -1
, -2) , B
= <2
, 1 , 4) y
C = (7 , -2 , -1 ), hallar la s u m a de las co m p o n e n te s del vector
P u e d e form ar un vector , co n d o s ejes c o o rd e n a d o s lo s á n g u lo s siguientes
a) a ^ 3 0 ° , p = 4 5 ° ,
J
b) p = 6 0 ° , y = 6 0 ° , c) a = 1 5 0 ° , y = 30° ?
X tal que : A • X = 4 , B * X = 2 y C * X = 4
Solución. S e a el vector X = (x , y , z)
S i A • X = 4 ■=> (3 , -1 , -2) • (x , y , z) = 4 «=> 3x - y - 2z = 4
4.4 j P R O D U C T O E S C A L A R D E D O S V E C T O R E S E N E L E SP A C IO
B • X = 2 ■=> <2 , 1 , 4) • (x , y , z) = 2 <=> 2x + y + 4 z = 2
C • X = 4 <=> <7 , -2 , -1) • < x , y , z> = 4 ■=> 7 x - 2 y - z = 4
R e solvie n d o el siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s : x = 2 , y = 6 , z = -2
S i lo s ve cto re s A y B e R ' se d an m ediante s u s c o o rd e n a d a s
.*. x + y + z = 6
A = ( x , , y , . z,) y B = ( x , , y , , z,)
■
s u producto e s c a l a r , d enotad o por A • B , s e define c o m o sig u e :
A • B = x, x , + y, y, + z, z.
(4)
P o r ejem plo , si A = (-2 , 3 , -5) y B = (1 , - 4 , - 2 ) , e n to n ce s
Ejemplo 2
} S i A = (2 , 1 ,-1 ) y B = (1 , -1 , 2 ), hallar un vector no nulo C e R.
tal q ue : A • C = B • C = 0
Solución. S e a el vector C = (x , y , z)
A * B = (-2 , 3 , -5 )*(1 , - 4 , - 2 ) -
S i A • C = 0 «=> (2 , 1 , - l ) * ( x , y , z) = 0 <=> 2x + y - z = 0
(1)
= (_2)( 1) + 3(-4) + (-5)(-2)
B * C = 0 <=> (1 ,- l , 2 ) * { x , y , z ) = 0 => x - y + 2z = 0
(2)
= - 2 - 1 2 + 10 = -4
S u m a n d o (1) y (2) s e tiene : /. = -3x
Multiplicando (1) por 2 y su m á n d o le (2) o b te n e m o s : y = - 5x
El teorem a siguiente ilustra la s p rop ie d a d e s del producto e sc a la r que se
p u ed e d em ostrar de form a inm ediata a partir de la definición (4)
<=* C = (x , y , z) = (x , -5x , -3x) = x ( l , -5 , -3>
Hay infinitas solu cio n e s. U n ejemplo , para x = I s e tiene
C = (I , -5 , -3)
A h o ra ve re m o s el significado de
■
ángulo entre dos vectores , el cual co n d u ­
ce a otra e xp re sió n para el producto e sc a la r de vectores.
204
Capítulo 4: Vectores en el espacio
4.4.1J A N G U L O E N T R E D O S V E C T O R E S E N R*
Sección 4.4.1 : Angulo entre dos vectores en R'
Ejemplo
4
j
205
Determ inar si los vectores A = (6 , -3 , -9) y B = (-2 , 1 , 3) so n
p a ra le lo s.
El á n gu lo entre d o s vectores A y B no nu lo s
e s el á n g u lo 0 e [0,
ti]
, entre s u s respectivos vecto­
Solución.
R e s o lv e re m o s el problem a aplicand o d o s m étod os
Método 1.
H a cie n d o u s o de la fórm ula (5)
res de p osición n o rm a le s c o m o s e m uestra en la
Cos0=
F ig u ra 4.9 , e sto e s , 0 e s el á n g u lo de m e d id a
(6 , -3 , -9 ) « ( - 2 , 1 , 3 )
=
(V36 + 9 + 8 1 ) (V4 + 1 + 9 )
positiva entre O P y O Q e interior al triángulo deter-
-1 2-3-27
= _,
( 3 \ Ü ) (\Ó4)
C o m o 0 = 180° <=> A |B
m inador por O . P y Q.
C o m o A y B no s o n p a ra le lo s e n to n c e s lo s tres
Método 2.
v e c to re s A , B y A - B tienen re p re se n ta c io n e s
E scrib ie n d o el vector A en la form a : A = r B
E n efecto ,
A = -3(-2,
ge o m é tric a s q u e form an un triángulo. E m p le a n d o
1 , 3) = *
A = -3 B
.*. A = r B £=> A11 B
■
la ley de lo s c o s e n o s s e p ued e d em ostrar qu e :
A- B
C os0 =
(5)
Il A l l || B ||
1 Ejemplo 5
3
J
(-2
,
3
, a)
y
r -2 = r b
A
á n gu lo entre A y B.
11B c=> (-2,3, a),= r <6 , -6 , 2) <=> J
3 = -6r =* r = - 1/2
_
=
2r
L a
„
Solución. A • B = (1 , 2 , 1 ) * < 2 , 1 ,-1 ) = 2 + 2 - 1 = 3
de donde o b te n e m o s :
a = -1 y b = 4
|| B || = V4 + 1 + 1 = Vó
I O B S E R V A C I O N 4 .2
L u e g o , en la fórm ula (5) : C o s 0 =
=
U s a re m o s el m étodo 2 del Ejem plo 4 , e sto e s , si
D a d o s los vectores A = (1 , 2 , 1 ) y B = < 2 ,1 ,-1>, determ inar el
I A I = Vi + 4 + 1 = V6 y
P a ra qué v a lo re s de a y b lo s ve c to re s A
B = (b , -6 , 2) s o n c o lin e a le s?
Solución.
E je m p lo
j
_ •' _ = - => 0 = 60°
(Vó) (V6)
2
Vectores ortogonales
D o s ve cto re s A y B s o n ortogonales , si y só lo si la m edida
del ángulo co m p re ndid o entre ellos e s 90° , esto e s , si y só lo si C o s 0 = 0. D e la
I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores , entonces de la fórmula (5)
fórmula (5) s e obtiene inm ediatam ente que los ve ctore s A y B en R ' s o n perpendi­
(6)
A • B = || A || ||B|| C o s 0
culares si y só lo si A • B = 0
obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.
I O B S E R V A C I O N 4.1
Ejemplo
Vectores paralelos
L a fórm ula (5) e s tam bién válida si los vectores A y B son
rB-B
rB
B
j
D e m o stra r q ue el vector V = (2 , -1 , 3) e s ortogonal a lo s
ve ctore s A = <3 , 0 , -2 ), B = (1 , 8 , 2 ) y C = (1 , -4 , -2).
Demostración. E n efecto , h a lle m os el producto e sc a la r de V co n c a d a uno de los
paralelos , p u esto que con A = r B s e tiene
C os0 =
6
r 11 B 1 1 2
r
I r I ¡ ' B ! 12
r!
S i r > 0 <=> C o s 0 = I y si r < 0 <=> C o s 0 = -1. E n to n c e s los ve cto re s A y B s o n paralelos
si y só lo si 0 = 0 o o 0 = 180°, e s d e c ir , si y só lo si C o s 0 = ± I. L u e g o , la fórm ula (5)
se p ued e aplicar para decidir si d o s vectores no n u lo s s o n p arale los o no.
ve cto re s d a d o s
A • V = (3 , 0 , -2) • (2 , - 1 , 3) = 6 + 0 - 6 = 0
B - V = (l , 8 , 2) * ( 2 , - 1 ,3 ) = 2 - 8 + 6 = 0
C • V = (I , -4 , -2) • (2 , -1 , 3) = 2 + 4 - 6 = 0
Por tanto , V e s ortogonal a los tres vectores d ad os.
■
206
Capitulo 4: Vectores en el espacio
207
Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio
E n e ste ejem plo s e p u e d e o b s e r ­
<=> 2 = x, + x ; , -1 = y , + y 2 , 2 = z, + z,
var que ningún p ar de los tres ve ctore s A . B
y C s o n paralelos. E n realidad , en R ' , e s
p osible obtener un n úm ero infinito de ve cto­
(1)
B • D = 0 => (1 , 2 , -2) • (x : , y , , z,) = 0 <=> x, + 2y, - 2z, = 0
(2)
C l l B => C = r B c * (X | , y, ,z,) = r(l , 2 , - 2 ) <=> x, = r , y, = 2 r , z, = -2 r
(3)
Sustituyendo (3) en (1) s e tiene : x, = 2 - r , y 2 = -1 - 2 r , z, = 2 + 2 r
re s no p aralelos , c a d a uno de los c u a le s e s
Finalmente , su stituye nd o en (2) , o b te n e m o s r = - 4/9
perpendicular a V. (Figura 4.10).
E sto su g ie re que el conjunto de representa-
c = | ( - 1 , - 2 , 2 ) y D = £ ( 2 2 , - 1 , 10)
F IG U R A 4.10
■
cio n e s geo m é tricas de to d os los ve cto re s orto go n ale s a V cüb re el p lan o comple­
tam ente.
1 Nota.
Los términos perpendicular, ortogonal y normal significan , esencialmente la misma
cosa : encuentro en ángulos rectos. Sin embrago , se da preferencia a decir que dos
vectores son ortogonales , dos rectas o planos son perpendiculares y un vector es normal a
una recta o plano dado.
(
E je m p lo
3
J
Hallar un vector unitario p erpendicular al plano form ado por
|
los ve ctore s A = (2 , -6 , -3) y B = (4 , 3 , -1)
Solución. S e a C = (x , y , z) el vector norm al al plano form ado por A y B
S i A ± C ■=> A • C = 0 <=> (2 , -6 , -3) • (x , y , z) = 0 <=> 2x - 6y - 3z = 0
B JL C o
E JE M P L O S ILU STRA TIV O S i-------------- ^
r
Re solvie n do el siste m a para x e y , o b te n e m o s : x = — z
I
e je m p lo
1
J
H allar to d o s los ve c to re s q u e s o n p e rp e n d ic u la re s al plano
B • C = 0 => ( 4 , 3 , -1) • (x , y , z) = 0
^
<=> 4x + 3y - z = 0
y = - - z
C = | -(3 , -2 , 6) = n (3 , -2 , 6 ), n € R - {0 }
6
Por co n siguie n te : u =
n (3 , -2 , 6)— = ± i
I n |\'y + 4 + 36
(3 t _2 , 6)
form ado por los ve cto re s A = (5 , -1 , -2) y B = (2 , 3 , 4).
Solución.
D e s ig n e m o s por C = (x , y , z) u no de lo s ve ctore s b u sc a d o s.
Si C ± A o
C 1 B
(x , y , z ) * (5 , -1 , -2) = 0 «=> 5x - y - 2 z = 0
=> <x , y , z) • <2 , 3 , 4) = 0
*=> 2x + 3y + 4 z = 0
(1)
. (2)
e je m p lo
4 J
El vector V e s p erpendicular a los vectores A = (1 , 1 , 1), B =
(2 , 1 , -1) y form a co n el eje O Z
Multiplicando (1) por 2 y su m á n d o le (2) o b te n e m o s : y = -12x
vector V sa b ie n d o qu e 11V i I = \'56.
Multiplicando (1) por 3 y su m á n d o le (2) resulta : z = (17/2)x
Solución. S e a el vector V = ( x , y , z)
=> C = < x , - I 2 x , H
P o r lo tanto , V = n(2 , -24 , 17), n
x > = - * - ( 2 ,-2 4 , 17)
e R - { 0 } , rep resenta al conjunto de vectores que
s o n p erpend iculares a A y B.
S i A 1 V «=> (i , i , l ) * ( x , y , z) = 0 <=> x +
y + z= 0
B X V <=* (2 , 1 , -1) • (x , y , z) = 0 <=> 2x
+ y -z = 0
Del siste m a d e e c u a c io n e s o b te n e m o s : y = (-3/2)x , z = (l/2)x
E je m p lo
2
^
S i A = (2 , -1 , 2 ) , B = (1 , 2 , - 2 ) , hallar d o s vectores C y D en R \
que sa tisfa ce n la s c o n d ic io n e s sig u ie n te s :
A = C + D , B • D = 0 , C llB .
Solución. S e a n : C = ( x l , y , , z l) y D = ( x . , y , , z , )
S i A = C + D <=> (2 ,-1 , 2) = (x, + x , , y, + y , , z, + z,)
(1)
■
c=> V = ( x , - | x , | x ) =
,
un á n gu lo o b tuso , hallar el
S i | | V | | = V 5 6 = > |-^-| \ 4 + 9 + 1 = V56
y (2 , -3 ,1)
<=>I x I= 4 <=>
x = 4 ó x = -4
D ado que el á n g u lo y e s ob tuso . e n to nce s C o s y < 0 , e sto e s /. < 0
Luego , en (1 ), p ara que z < 0 , d e b e m o s elegir x = -4
V = (-4 ,6 ,-2 )
.
■
208
Capítulo 4: Vectores en el e.ipaci
ejemplo
5
^
209
Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio
D o s vectores A = (2 , -3 , 6) y B = (-1 , 2 , - 2 ) e stá n aplicados
Esto es ; C B = 2 A C <=> B - C = 2 (C - A)
a un m ism o punto. Hallar las c o o rd e n a d a s del vector C , que
dedonde
=> C = ± « - 2 , 4 ; 8) + (8 , -4 , -2)) = <2 , 0 , 2)
d
e d o n d e : C = y1 ( 22 AA + B ) o
tiene Ir m ism a dirección de la bisectriz del á n gu lo form ado por los vectores A y B,
si l| C
D es punto m edio de C B , luego
= 3 \4 2 .
Solución. S e a n : a = -- y - -
y
D = y (C + B) = y « 2 , 0 , 2) + <8 , -4 , -2)) = (5 , -2 , 0)
B) = ;
r
b =
A/
d o s ve ctore s unitarios en las d ireccion e s de A y B
Z
C •D
Si CosG =
jf
<2 , 0 , 2) • (5 , -2 , 0)
0 = are C os(5/\ 58 )
(2%/2 ) ( \ r29)
respectivam ente. E n to n c e s el vector C tiene la m is­
V58
m a orientación del vector unitario u = a + b . esto e s ,
C = r ( a + b) = - 1 < - I , 5 , 4 > = t(-l , 5 , 4 ) , t > 0
/
/
= * I I C || = t \ l + 25 + 16 <=> 3 \4 2 = l\'4 2 => t = 3
C = (-3 , 15 , 12)
f ejemplo
/
/
'
----------------_>
■
E n la Figu ra 4.13 s e tiene el p aralelepíped o de d im ensiones:
O A = 4 , O B = 5 y O C = 3. H allar el c o se n o del
b
^
8 ^
B
FIGURA h.11
I I C || =10.
Solución. H a cie n d o coincidir las aristas O A , O B y
O C con los ejes X , Y , Z , re spe ctiva­
Ejemplo
6
^
L o s ve cto re s A y B form an un á n gu lo 9 = 3 0 ° , sa b ie n d o que
A
| = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el á n gu lo a form ado por los
vectores V = A + B y W = A - B .
Solución. S i C osG =
V3
A- B
IA || II B If
2
mente , de un siste m a carte sia n o tridim ensional ,
se tiene :
«=> C A = <4, 0 , 0) - (0 , 0 , 3) = (4 , 0, -3)
<=> A • B = 3/2
( \ '3 ) ( I )
C D = (4 , 5 ,0 ) - (0 ,0 , 3) = <4, 5 , -3)
V = A + B = > | | V | | J = ||A||J + 2 A - B + | | B l | J = 3 + 2(3/2) + 1 = 7 <=> l l v l l = V T
DE = (0 ,5 ,3 )-< 4 ,5 ,0 ) = < -4 ,0 ,3 )_
V - W = (A + B ) - (A - B ) = 11A 112 - 11 B 112 = 3 - 1 = 2
Ejemplo
C osa = - —
W
IIV ll || W ||
7
c * C o s a = -== o
V7
a = are C o s (2A/7)
■
■
« = -S & II C D
r< 4 ,5 ,-3 )\
- a = ||al| o = V 2 Í
v
\5 0
A n á lo ga m en te : b = 11 b 11
n
V
FIGURA 4.13
a = 1 ( 4 , 5 ,-3 )
<=> b = (-4, 0 , 3)
) = 5 ^ 4 ’^
D a d o el se g m e n to A B , don d e A(-1 , 2 , 4) y B (8 , -4., -2); hallar
IICÁIK " v
el á ngulo C O D , si O e s el ori­
ge n de c o o rd e n a d a s y C y D s o n los puntos de tri­
se cció n del se gm e n to ÁB .
Solución.
>
r
F.
yfV a
s /1 \
/ ¡
r / 1
/
/
1
\
cJ i
\
bJ
f OJ.-B
'
\\
/
/
!/
\
Un vector unitario en la dirección y sentido de C D e s
A n á lo ga m e n te , para W = A - B , o b ten e m os : 11W 11 = 1
L u e g o , si
r
A(4, 0 , 0 ) , B ( 0 , 5 , 0), C ( 0 , 0 , 3), D ( 4 , 5 , 0 ) , E ( 0 , 5 ,3)
.
A- B
á n gu lo form ado
por el ve ctor V = 5 a + b - c y el ve c to r W = (-1 , 2 , 0 ) , si 11 a I = V2 , 11 b 11 = 5 y
r
s
\
L u e go : V = 5 a + b - c = <4 , 5 , -3) + (-4 , 0 , 3) - <8 , 0 , -6) = (-8 , 5 , 6)
r
J
D
C os0 =
S e a 0 la m edida del á n gu lo C O D .
C o m o C y D so n puntos de trisección del
sge m e n to A B , e n to n ce s : -^9- = '-L
CB
2
5
•y
(i
FIGURA 4.12
J
V -w
< -8 , 5 , 6) • <-1 , 2 , 0 )
IIVll II W ||
(\64 + 25 + 36 ) (\ 1 + 4 )
18
,
210
Capítulo 4: Vectores en el espacio
211
Ejercicios de la Sección 4.4
E JE R C IC IO S : Grupo 24
B forma un á n gu lo ob tuso con el vector k = (0 , 0 , 1 ) ; hallar el vector B sa b ie n d o
que s u norm a e s 10 unidades.
1.
D a d o s lo s ve c to re s A = (5 , -2 , 1 >, B = <6 , 1 , -4) y C = <1 , 2 , 1 >, calcular el
17.
producto de la s c o m p o n e n te s de un vector X . tal q u e : A * X = 3 , B * X = 6 2 y
C - X = 15.
18.
2. S i A = (3 , 3, -1) y B = (-1 , -2 , 4 ), hallar un vector n o nulo C e R ’ , tal q u e :
A • C = B • C = 0 . (H a y infinitas solu c io n e s)
l= 1 , | IC l| = 4 y A + B + C =
0,
vector en la dirección de la bisectriz del á n gu lo B A C , si la norm a del vector e s
calcular la sum a
2\2Í.
20.
D a d o : II A II = 11 , 11 B 11 = 23 y II A - B || = 3 0 , h a lla r IIA + B II
un punto , calcular el trabajo realizado por la resultante de e s ta s fu e rza s si el
qu e 11 X
21.
punto de aplicación s e d e sp la za en s u m ovim iento rectilíneo de la posición
A (5 , 3 , -7) a la p osición B ( 4 , -1 , -4). (Su g e re n c ia : Trabajo , W = F • e , e = AB).
H a lla r t o d o s lo s v e c t o r e s
q u e s o n o r t o g o n a l e s a c a d a u n o d e v e c to re s
22.
S i A = <3 , -1 , 2) y B = (1 , 1
D a d o s los ve cto re s A = <3 , 5 , 2) y B = (-4 , 0 , 3 ) , tales qu e A = C + D , sie nd o
S i u y v s o n ve cto re s unitarios de R ' tales que u • v = 1/4 , hallar I
vectores d e R ' tales q u e : d = x b + y c ; x , y e R , d e s unitario y a d e m á s d e s
ortogonal al vector a.
24.
, -4 ), hallar d o s ve ctore s C y D eR ’ qu e satisfacen
las co n d icio n e s sig u ie n te s : A = C + D , B * D = 0 , C
El se g m e n to de u n a recta , limitado por los p u n to s A(-1 , 8 , 3) y B (9 , -7 , -2 ),
está dividido en cin co partes igu a le s p or los p u ntos C , D , E y F . Hallar el
B.
10. El vector A e s ortogonal a los vectores B = <3, 2 , -1) y C = <-1 . 2 ,2 ) y form a con
c o se n o del á n gu lo D O E , d o n d e O e s el origen de co o rd e n a d a s.
25.
el eje O Y un á n gu lo obtuso. Halle el vector A sa b ie n d o que s u m agnitud es
E n la F igu ra 4.14 s e tiene un paralelepíped o de d im e n sio n e s : O A = 3 , O B = 4
y O C = 5. Hallar el á n gu lo que form an los ve cto re s
1 0 V5 :
11.
P a ra qué va lo re s de m , lo s vectores A = (m , -2 , 1 ) y B = 2 m i + m j - 4 k son
o rto g o n a le s.
12.
V = a - 2 b + 2 c + d + e y W = 2 j + k.
26.
E n la F ig u ra 4 .1 5 , A B C D E F e s un cubo. H allar el c o s e n o del á n g u lo form ado
por lo s ve ctore s
S = a, + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 y V = (-1 , 2 , 2).
El vector X e s ortogonal a los vectores A = <2 , 3 , -1) y B = (1 , -2 , 3) y satisface
la condición : X • <2 i - j + k) = -6. H á lle se s u s co o rd e n a d a s.
13.
Hallar el á n gu lo q ue form an el vector A que va de P (4 , -9 , 3) a Q (3 , - 5 , 2 ) con
el vector B que va de R (2 , 4 , -7) a S ( 4 , -1 , -2).
14.
u + v I.
23. D a d o s los ve ctore s a = <2 , -1 , 1), b = <1 , 2 , -1) y c = (1 , 1 , -2) de R ' ; h a lla rlo s
Hallar lo s ve cto re s unitarios que so n n orm a le s al plano d eterm inado por los
p u ntos A (3 , - 6 , 4 ) , B (2 ,1 ,1) y C (5 , 0 , -2).
9.
1=14.
C paralelo a B y ortogonal a D , hallar C y D.
A = (1 , 3 , -2) y B = (2 , -4 , 1).
8.
El ve cto r X e s o rto g o n a l a lo s v e c to re s A = (3 , 2 , 2 ) y B = (1 8 , -22 , -5) y
form a c o n el eje O Y un á n g u lo ob tu so . H a lla r s u s c o m p o n e n t e s s a b ie n d o
6. D a d a s tres fuerza : F, = <3 , -4 , 2 ). F2= <2 , 3 , -5> y F3 = (-3 , - 2 , 4 ) , aplicad as a
7.
B
|| B ||
19. L o s vértices de un triángulo s o n A (-2 , 3 , -1 ), B(1 , 1, 5) y C(-1 , 5 , -3). Hallar el
A• B -f B • C + A • C.
5.
A
I I A ||
S i A y B s o n ve ctore s no n u lo s y no p arale los , d em ostrar que
forma á n g u lo s igu a le s con A y B.
3. S i A + B + C = 0 , | l A | | = 3 , 11 B ! | = 4,|| C || = 6 , hallar A • (2 B - A).
4. S a b ie n d o q u e : 11 A 1= 3 , Í B
L o s vectores A y B form an entre si un á n gu lo de 45° y 11A | = 3. Hallar I B |de
m anera qu e A + B form e co n A un á n gu lo de 30°.
Hallar el c o se n o del á n gu lo 0 entre las d ia g o n a le s A C y B D de un paralelogra­
m o si están d a d o s tres de s u s vértices : A (2 , 1 , 3 ), B (5 , 2 , -1) y C (-3 , 3 , -3).
15. Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector A = (4 , *3 , 1).
16. El vector B e s ortogonal al vector j = (0 , 1 ,0 ) y al vector A = ( - 3 , 8 , 4 ) . S i a d e m á s
FIGURA 4.14
FIGURA 4.15
212
213
Sección 4.5: Proyección ortogonal y componentes
Capítulo 4: Vectores en el
27. El vector A e s ortogonal a los ve cto re s B = (2 , -1 ,3 ) y C = <1 , 0 , -2 ), y forma un
E n particular c o n sid e re m o s las F ig u ra s 4 .17 y 4.18 , en la s que a parecen
á n gu lo a g u d o 'c o n el vector j = (0 , 1 ,0 ). H allar el vector A sa b ie n d o que su
las re p re se n ta cio n e s ge o m é tric a s de lo s ve c to re s no n u lo s A y B y la P ro y BA.
norm a e s 3V6.
Podem os o b se rv a r lo siguiente.
28.
S e a n los ve cto re s A = <1 , m , 5) y B = <-6m , m , 1>. Hallar m de m odo que el
á n gu lo q ue form an A y B sea, respectivam ente , recto , a g u d o y ob tuso , y las
c o m p o n e n te s d e A y B c u a n d o s u producto e sc a la r e s m ínimo.
29.
S e a n A y B ve cto re s en R ' co n V * O y r u n a co n sta n te no nula. D e m o strar que
1. El vector B y la P ro y BA s o n p arale los (colineales)
2.
3.
4.
C u an d o el á n gu lo 0 e s a g u d o , B y P ro y BA tienen el m ism o sentido.
C u a n d o el á n gu lo 0 e s ob tuso , B y P ro y aA tienen se ntid o s o p u e sto s
Si B y P ro y 8A s o n orto go n ale s , e n to n ce s P ro y BA = 0, o s e a . A 1 B
P R O P IE D A D E S .
el vector W = A 30.
B , e s ortogonal a r B.
llB | | a
J
1. P ro y c(A + B ) = P ro y cA + P ro ycB
L o s ve c to re s A , B y C tienen lo n gitu d e s ig u a le s y form an d o s a d o s ángulos
2. P ro yB(rA ) = r P ro y BA
iguales. H allar las c o o rd e n a d a s del vector C , s i A = i + j , B = j + k
3. P ro y tBA = P ro y BA
La
componente o proyección escalar de un vector A so b re otro vector B ,
denotado por C o m p BA , s e e x p re sa m ediante s u m ódulo y el á n gu lo 0 que forma
4.5 j P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L Y C O M P O N E N T E S
con el vector B . por la fórm ula
C o m p BA = 11A 11 C o s 0
La definición de proyección ortogonal de un vector so b re otro v e c t o r , es
Si aplicam os la e cu a ció n (5) a e sta fórm ula ob te n e m o s el n úm ero real
a n á lo g a a aquella que s e h a ce p ara d o s ve ctore s en R-. E sto e s , si A y B e R ' ,
________________________
e n to n ce s:
Com p A =
(7)
P r o y “A = (
^
B
E n efecto , por la F igu ra 4 .16 , h a c e m o s V = P ro y BA y
de un vector unitario en la dirección de B. E sto e s , de la fórm ula (7)
z
ProysA=
A = V + C = rB + C
E fe c tu a n d o el p rod u cto e sc a la r en a m b o s extre ­
A •B = rI B
I
.
B
>=> r =
A* B
B
P r o y BA = ( C o m p BA )
V
Vil n I I 2/
B
(9)
II B ||
FIGURA 4.16
- , y si V = i B => V = f A * B ) B
-
ñfn
entonces la proyección ortogonal y la com p on e nte e stán re la cio n ad o s por
m o s co n B , te n e m o s
D a d o que C y B so n ortogonales , C • B = 0 , por lo que
(8)
Ahora bien , la p roye cció n de A so b re B puede e scribirse c o m o un múltiplo esca la r
r
c o m o V e s múltiplo e sca la r de B p o d e m o s escribir
A - B = ( r B + C ) * B = r| | B | | : + C - B
A -B
¡IB |[
En d onde p o d e m o s o b se rv a r lo siguiente
1.
S i C o m p BA > 0 , e n to n ce s los ve cto re s B y P ro y BA tienen el m ism o sentido
2.
S i C o m p BA < 0 , e n to n ce s B y P ro y BA tienen se n tid o s
op u e sto s.
3.
S i C o m p BA = 0 , e n to n ce s B _L P ro y 0A ,o bien , A 1 B
4.
S i en la e cu a ción (9) to m a m o s m ó d u lo s a a m b o s extrem os ob ten e m os
11 P ro y eA 11 = I C o m p BA
<=* C o m p BA = ± 11 P ro y BA 11
De a q u í que a la co m p on e n te s e le define tam bién c o m o la m agnitud dirigida de la
proyección.
FIGURA 4.17
FIGURA 4.18
214
Capitulo 4: Vectores en el espacio
J E JE M P L O S ILU STR A TIV O S )-
215
Sección 4.5 : Proyección ortogonal)' componentes
IÁ H I = C o m p -g Á P =
AB
«
llA B lI
_34
I Á H | = 2 <3 - 4 ' 2> - 4 < l ' 2 ' 3-) =
4Vl + 4 + 9
(3)
V Í4
Si se sustituye lo s va lo re s de (2) y (3) en (1) resulta
e j e m p lo
1
]
d= a/(2V29 y -
S e d a n lo s vectores A = ( - 2 , 1 , 1 ) , B - ( 1 , 5 , 0 ) y C = 4¡ + 4j-2k.
= y \1 8 2
C a lcu la r C o m p c(3 A - 2 B).
Solución. 3 A - 2 B = <-6, 3, 3> - (2 , 1 0 ,0 ) = <-8 . -7. 3)
4
( ^ e j e m p lo
L u e g o , h a cie n d o u s o de la fórm ula (8) o b te n e m o s
C o m p c(3 A - 2 B) =
(-8 , -7 , 3) • <4 , 4 , -2)
J
S e d an los vértices de un triángulo : A(-1 , - 2 , 4) , B (-4 ,-1 , 2)
y C (-5 , 6 , -4). B D e s la altura del triángulo trazado por el vértice
-3 2 -2 8 -6
B. H állese la s c o o rd e n a d a s del punto D.
\ 16 + 16 + 4
Solución. E n el A A D B : D B = A B - A D
c=> D B = A B - P r o y ^ A B
C jc m p lo
2
)
S e a n los vectores A = ( 5 , 4 , 1 ) y B = ( - 2 , 6 , 3 ) . Hallar un vector
Á B = B - A = (-4 , -1 , 2) - <-1 , -2 ,4 ) = <-3 , l , -2)
C q ue e s ortogonal al vector V = (2 , 1 , 0 ) q u e satisface las
Á C = C - A = <-5 , 6 , -4 > -< -l , -2 , 4 > - 4 < - l , 2 . -2>
c o n d icio n e s : A • C = 1 y C o m p BC = -2/7
ProyB-cA B =
Solución. S e a C = (x , y , z) el vector b u sc a d o
S i C J_ V
o
(x , y , z )*< 2 , 1 , 0) = 0 <=> 2 x + y = 0
=> -X -’ y ’
V4 + 36 + 9
(-1 , 2 , - 2 )
(Vi + 4 + 4 )2
A • C = 1 => <5 , 4 , 1) • (x , y , z) = 1 < = > 5 x + 4 y + z = l
Com p C = - 1
<-3 , 1 , -2) • <-1 , 2 , -2>
= - -| «=> -2 x + 6y + 3 z = -2
7
(1)
de d on d e o b te n e m o s :
(2)
Luego , en (1 ):
r
(1 )
M k
a”
V
' ñ
--------------
FIGURA 4.20
P r o y ^ A B = <-1 , 2 , -2)
J
D B = (-3 . 1 , - 2 ) - <-1 , 2 , -2) = (-2 , - 1 , 0 )
D = B - D B = <-4 , -1 , 2) - (-2 , -I , 0) = <-2 , 0 , 2)
(3)
' '
R e solvie ndo el sistem a de e cu a cio n e s (1 ), (2) y (3), ob ten e m os : x = l , y = - 2 , z = 4
C = <1 , - 2 , 4 >
■
ejemplo
5
J
L o s v é rtic e s d e un triángulo s o n A (2 , -1 , -3) , B(1 , 2 , -4) y
C (3 , -1 , -2). H allar el vector V q u e e s colineal a la altura
bajada del vértice A al lado o p u e sto si s e s a b e que I V 11 = 2 \ 17
Ejemplo
3
)
C a lcu la r la distancia del punto P (3 , 2 , 1)a la recta que p asa
Solución. E n el A B H A : A H = B H - B A
por los p u ntos A (-3 , -6 , -3) y B(1 , 2 , 9)
Solución. L a Figu ra 4.19 m uestra al punto P y la f
recta 2' qu e p a s a por A y B. El punto H
e s el pie de la perpendicular a la recta % bajada
d e sd e P S i d e s la distancia 11 P H 11 , e n to n ce s
" '
B A = A - B = <2,-1 , -3) - <1 , 2 , -4) = (1 , - 3 , 1 )
p
B C = C - B = <3 , -1 , -2) - <1 , 2 , -4) = <2, -3 , 2)
d
D- A
ProyB-cB A =
<1 , - 3 , !)• <2 , -3 , 2)
><
I
MK
B
H
\
V
=
< 2 ,-3 ,2 )
FIGURA 4.21
f
(1)
B
< 2 , - 3 , 2)
(1)
>
(\4 + 9 + 4 ):
por el teorem a de P itá go ra s
d = yí\\ Á P 1 1 2- 1A H 12
c=> A H = P ro y B- B A - B A
Á P = P - A = <3 . 2 , 1> - (-3 , -6 , -3) = <6 , 8 , 4>
=> 11 Á P 11 = 2 \ 9 + 1 6 + 4 = 2V29
Á B = B - A = (1 , 2 , 9) - (-3 , -6 , -3> = 4(1 , 2 , 3)
F ÍG U R A 4.19
3
E n ton ce s , en (1) s e tiene : A H = j y ( 2 , -3 , 2) - <1 , -3 , I) = y y <3 , 4 , 3)
(2)
Un vector unitario en la dirección de A H e s : u = <3 , 4 , 3)
\Í34
216
Capítulo 4: Vectores en el espacio
E J E R C IC IO S : Grupo 25
C o m o V e s colineal co n A H , e n to n ce s : V = 11V 11 u
... V = ( 2 V ¡ 7 )
______ 217
Sección 4 .5 : Proyección ortogonal y componentes
= V 2 (3 ,4 ,3 )
1. S e a n los p u ntos A (2 , 3 , 1 ), B (5 , -9 , 4) y C (6 , -7 , 2). S i P divide al se gm e n to
Á B en la razón A P : P B = 1 : 2 , hallar la norm a d e la proyección Á P so b re el
vector B C .
E je m p lo
6
j
D a d o el triángulo A ( 6 , 8 , 0 ) , B ( - 5 ,7, -10) y C (7 , - 5 , 1 4 ) ; hallar,
a) El pie de la altura que c a e so b re el lado B C .
2. Si A = (4 , - 2 , 1 ) y B = <2, -1 ,4 ), hallar la com ponente del vector V = 3 A - 2 B sob re
el vector W = 2 A + 3 B.
b) L a s co o rd e n a d a s de un punto D, de m anera que A B C D s e a un trapecio isósceles.
3. Si A = (2 , 3 , 1 ) y B = (2 ,1 , -3), calcular la proyección del vector V = 3 A - 2 B sobre
c) El área del trapecio.
el vector W = B - 3 A.
Solución. E n e l A B H A : H A = B A - B H
<=> H A = B A - P r o y ^ B A
4.
(1)
Hallar la co m p on e n te del vector V = (4 , -3 , 2 ) so b re el eje que form a con los
ejes c o o r d e n a d o s d o s á n g u lo s a g u d o s iguales.
B A = A - B = (6 , 8 , 0 ) - (-5 . 7 , -10> = <11 , 1 , 10)
5.
B C = C - B = (7 , -5 , 1 4 )-< -5 , 7 , - 1 0 ) = 12(1 , -1 ,2 )
Hallar la co m p on e n te del vector V = ( \ 2 , -3 , -5) so b re el eje que form a con los
ejes c o o rd e n a d o s O X y O Z los á n g u lo s a = 45° , y = 60° y con el O Y un án gu lo
P ,° y B B A =
< » '■ ; ■ “ » • < '
(V 1 + 1 + 4)-
2>
a g u d o (3.
.
6. S e d an lo s p u ntos A (3 , -4 . -2 ), B (2 , 5, -2). H allar la com p one n te del vector A B
= 5 (1 , - 1 ,2 )
so b re el eje que form a con los ejes c o o rd e n a d o s O X y O Y los á n g u lo s
a) E n (1) s e tiene : H A = ( I I , 1 , 10) - (5 ,-5 , 10) = (6 , 6 , 0)
/. H = A - (6 , 6 , 0) = (6 , 8 , 0) - (6 , 6 , 0) = (0 , 2 , 0)
7.
e s un trapecio is ó s c e le s , II B H II = II E C || ,
C a lc u la r la d istan c ia del punto P (2 , -1 , -4) a la
recta
qu e p a s a por los p u n to s
A (3 , -2 , 2) y B (-9 , -6 , 6).
b) l l B C l l = 12 VI + 1 + 4 = 12 Vó ; 11 B H 11 = 11 P r o y ^ B A 11 = 5 ^ 6
C o m o el cuadrilátero A B C D
a = 60°,
(3 = 120° y co n el eje O Z un á n g u lo o b tu so y.
8.
e n to n c e s
D a d o lo s ve cto re s A = (1 , 2, 3 ). B = (2 , 1 , -3) y C = (3 , -4 , 2 ); hallar todos los
ve cto re s de norm a \ 1 3 9 parale los al vector P ro y AC + P ro y 8C.
11 A D 11 = 11 B C 11 - 2 11 B H 11 = 1 2 \6 - 1 0 \6 = 2V6
(=
U n vector unitario en la dirección de B C e s : t
(1 ,-1 ,2 )
Vó
'(1 , - l ,2)
S i A D 11 B C <=> A D = 11 A D 11 u = 2 \ ó ( ) = (2 ,-2 .4 )
Vó
9.
y | Ia | | = 3 , | | B | | = 6 , | | c ! | = 7
10. L o s vértices de un triángulo s o n los p u nto s A (2 , 3, -1 ), B (5 , 1 , 1) y C (6 , 4 , -2).
H allar un vector V q u e e s colineal a la altura b aja d a del vértice B al lado
o p u e sto si s e s a b e , a d e m á s q ue 11V 11 = 6 .
11.
D = A + <2 , -2 , 4) = (6 , 8 ,0 ) + (2 , -2 ,4 ) = (8 , 6 , 4)
S e d a n lo s vé rtice s del trián gu lo : A(-1 , 3 , 4 ) , B (-5 ,
6 . -4) y C(1 , 2 , 6) ;B D
e s la altura del triángulo trazada por el vértice B. Hallar las co o rd e n a d a s
del
punto D.
c) A re a del trapecio : S = -¿*(11 B C 11 + 11ÁD 11)11 HÁ11
12.
S = ^- (12 Vó + 2 Vó) 6 V2 = 84 V3 u-
Hallar C o m p B A , s i A + B + C = 0
L o s p u n to s A (2 , 7 , 0 ) , B (0 , 4 , 4) y C(1 ,1 ,2 ) s o n lo s vértices de un trapecio
isó s c e le s A B C D tal que Á B e s u na de s u s b a se s. H a lla r :
a)
El pie de la altura C H que c a e so b re A B .
trapecio.
b) El vértice D. c) El área del
218
Capítulo 4: Vectores en el espacio
4.6 j C O M B IN A C IO N L IN E A L D E V E C T O R E S E N R*
219
Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R '
Criterio de Independencia Lineal
T re s ve cto re s A . B y C e R ' , s o n linealm ente in dep end ientes si s e verifican
S e a n lo s ve cto re s no paralelos y no n u ­
las c o n d ic io n e s s ig u ie n t e s
r A + s B + t C = 0 <=> r = 0 , s = 0 , t = 0
los , A , B y C d a d o s en un siste m a tridim ensio­
(8)
nal. S i gráficam ente un vector V del e sp a c io p o ­
d e m o s e xp re sa rlo c o m o una s u m a de c o m p o ­
DEFINICION 4.2 liase y coordenadas de un vector en R '
n entes vectoriales r A , s B y t C , que s o n múlti­
U n a terna o rd e n a d a de ve ctore s no co p la n a re s A , B y C lleva
p los e sc a la re s de A , B y C , e n to n ce s s e dice
base en el conjunto de to d o s lo s vectores geom étricos. S a b e m o s
q ue el vector V s e h a e x p re sa d o c o m o una c o m ­
el nom bre de
binación lineal de los ve cto re s A , B y C (Figura
que todo ve ctor ge o m é trico V p u e d e s e r re p re se n ta d o u n ívo c a m e n te en la
4.23). E s decir
form a
V = r A + s B + tC
V = rA + s B + iC
los n ú m e r o s r , s y t s e d e n o m in a n
A h o ra bien, todo vector V e R ’ s e p u e d e e x p re sa r c o m o un a s u m a de
(9)
co o rd e n a d a s d e l v e c to r V en la b a s e
p = { A , B , C }. M otivo por el cual a la notación (9) s e le d e n o m in a tam bién .
múltiplos e sc a la re s de v e rso re s b á s ic o s : i = <1 , 0 , 0 ), j = (0 , 1 ,0 ) y k = <0, 0 , l>. '
d e sco m p o sició n del vector V s e g ú n la b a s e p.
E n efecto s e a n <x , y , z) las c o m p o n e n te s del vector V , e n to n ce s p odem os
escribir :
V = < x , y , z) = (x , 0 , 0 ) + (0 , y , 0) + ( 0 , 0 , z)
E JE M P L O S ILU STRA TIV O S }
= x (l , 0 , 0 ) + y<0, 1 ,0 ) + z < 0 , 0 , 1)
<=* V = x i + y j + z k
1
r
DEFINICION 4.1 Dependencia e independencia lineal de vectores en R ’
Ejemplo 1 ~ }
S e a d a d o la terna de ve cto re s n o c o p la n a re s A,
= (1
,-2,0),
A 2 = <1 , 2 , -2) y A 3 = (3 , 7 , -5). C a lc ú le se la s c o o rd e n a d a s del
U n siste m a de ve c to re s { A , B , C s e llam a linca/mente
dependiente , c u a n d o , y só lo cu a n d o , lo s vectores A , B y C s o n coplanares , e s
vector A = 2 i - 3 j + k en la b a s e P = {A , , A 2 . A 3i y escribir la d e sco m p o sició n
decir , s o n parale los o coincide n te s a cierto plano (F igu ra 4.24). S e dice que
correspondiente s e g ú n la b ase .
tres ve ctore s A , B y C s
R- , s o n
lineahnente independientes , si y só lo s i , A . B
Solución. S i A, , A, y A , so n ve cto re s no co p la n a re s , e n to n ce s existen r , s , y t e R,
y C no s o n c o p la n a re s (Figura 4.25)
tales q u e : A = r A, + s A, + t A ,
{
2 = r + s + 31
-3 = - 2 r + 2 s + 7t
R e solvie n do el siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s : r = 2 , s 1==- -2
3 yst- =5 1I
Luego , el vector A en la n u e va b a s e s e escribe c o m o ( 2 , - 3 , I) o equivalentem ente:
A = 2 A, - 3 A, + A ,
FIGURA 4.24
FIGURA4.25
E je m p lo
2
j
■
E n el tetraedro O A B C la m e d ia n a A M de la arista A B C se
220
Capitulo 4: Vectores en el espacien
divide p or el punto P en la razón A P : P M = 3 : 7 . Hallar la s c o o rd e n a d a s del vector OP
Resolviendo el siste m a o b te n e m o s : t =
en la b a s e de las a rista s O A . O B y O C .
Solución. S i A E = A
PM
^
AP. _ J_
AM
10
7
Luego, en (1 ):
3
E n el triángulo O A P , s e tiene :
221
Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R '
ÁE = (
llA B lI
llA C ll
IIÁ ÍII +IIÁCII
_ l,1A C l , L - - ) Á B +
ÁB
=
(3)
\ Il aAcB II j .+ |U |r Á C/ | | ' ' ' I IaÁpB II + 11 A C 11
S i Á B = B - A «=> Á B = (2 , I , -2) -<1 , -l , -3> = (I , 2 , 1) => ||ÁB || = \6
O P = O A + A P t=* O P = O A + — A M
Á C = C - A ■=> Á C = ( - 5 , 2 , -6) - (1 , -1 , -3) = ( - 6 , 3 , -3) => 11 Á C 11 = 3 \6
è
P e ro , A M = O M - O A
y c o m o M e s punto m edio de B C , e n to n ce s
A E = j ( l , 2 , I > + ^- (-6 , 3 , -3) = -j ( - 1 , 3 , 0 ) «=> I I A E I I = ^ \ 1 0
Á M = 4- ( Ó B + Ó C ) - Ó Á
Al sustituir en (1) ob ten e m os
Ejemplo
4
J
[
O P = Ó A + ]^ ( y Ó B + y Ó C - ÓA)
S e a n d a d o s los p untos A (2 , 5 , 2) y B (1 4 , 5 , 4 ) ; C e s el punto
de intersección del plano co o rd e n a d o O X Y co n u n a recta
tra­
zada por el punto B paralelam ente a la recta O A . Hallar las c o o rd e n a d a s de C.
“ i7o
Solución. S e a el punto C ( x , y , 0)
° A + To°~B + é ° ~ c_
P or co n siguie n te , la s c o o rd e n a d a s de O P en la b a s e (3 = 'O A , Ó B , Ó C ’- so n
(7/10,3/20,3/20)
E n el triángulo O C B s e tiene :
O B = O C + C B = (x i + y j) + r O A
=> (14, 5 , 4> = x ( l , 0 , 0 ) + y ( 0 , I , 0) + r ( 2 , 5 , 2)
(
E je m p lo
• ~
3
\
J S e a n d a d o s los vértices de un triángulo, A(1 , -1 , -3), B(2 ,1 ,-2 )
y C (-5 , 2 , -6). C a lcu la r la longitud de la bisectriz de s u ángulo
interior en el vértice A.
{
114 —
T
= Ax +
2r
<=>-<
55 == yv +
+ 5r
■=> r = 2
4 = 2r
de d onde o b te n e m o s : x = 10 , y = -5 <=> C ( 10, -5 ,0 )
FIGURA 4.28
Solución. S e a n u y v los vectores unitarios de A B
y A C respectivam ente
Ejemplo
C o m o A E 11 (u + v ) , e n to n ce s 3 t > 0 , tal que
5
J
S e d a n los vectores A = (-2 , 0 , 1), B = (1 .-2 , 0 ) y C = (1 ,1 ,1).
Hallar la proyección ortogonal del vector A en el plano de los
A E = t(u +
v) = t ( - 44 11 —
\ .. A
AB
P II
+
4P )
llA C ll'
(1)
vectores B y C.
Solución. T ra s la d a m o s los ve ctore s A . B y C a un
P o r otro lado : A E = A C + C E = Á C + r C B
a/
(2)
S e a V = P ro y B CA (Proy. de A en el plano de B y C)
C om o los ve ctore s B y C s o n linealm ente inde p en ­
s e g ú n la b a s e form ada por los vectores A B y A C . S ie n d o ú n ica la d e sco m p o sició n
dientes , constituyen una b a s e del vector V , esto e s
de un vector se g ú n la base, te n e m os
3 r , t tales que
V = r B + t C = r ( l , - 2 , 0 ) + t (1 , I , I)
r=
í = IIÁCll
i
n
Figura 4.29.
L a s e c u a c io n e s (1) y (2) representan en si d o s d e s c o m p o s ic io n e s del vector A E
IAB
■\
origen co m ú n , tal c o m o s e indica en la
= Á C + r(Á B - Á C )
= r Á B + (1 - r ) Á C , r > 0
r
A '
cV ^
v
>
>
(1)
A d e m á s , si V e stá en el plano de B y C , e nto n ce s
FIGURA 4.29
n = A - V se rá ortogonal a B y C , e s d e c ir : (A - V) • B = 0 y (A - V) • C = 0
222
¡ Sección 4. 7: El producto vectorial ___________________________________________ 223
Capítulo 4: Vectores en el espacio
10.
A - V = (-2 , 1 ,0 ) * r (l , -2 , 0) - t(l , 1 , 1) = (-2 - r - 1 , 2 r - 1 , I - 1)
=> < - 2 - r - t , 2 r - t , 1 - t ) - ( l , - 2 , 0 ) = 0 <=> t - 5 r - 2 = 0
(2)
(-2 - r - 1 , 2 r - 1 , 1 - 1) • <1 , 1 , 1) = 0 <=> 3 t - r + 1 = 0
(3)
ve c to re s A = (1 , -3 , 0 ) , B = (1 , -1 , 2 ) y C = (0 , 1 , -2).H allar la
proyección ortogonal del vector A en el plano d e lo s ve cto re s B y C.
11. Si A = <1 , 3 , 1 ) y B = < 2 , 0 , -1 ), determ inar un vector C tal q ue { A + B , A - B , C }
R e so lv ie n d o el siste m a (2) y (3) o b te n e m o s : r = t = -1/2
P o r lo tanto , en (1 ):
S e d an lo s
s e a u n a b a s e de R \
V = <-l , l/ 2 ,-l/ 2 )
12.
S e d an lo s
ve cto re s A = <1 , -2 , 0 ) , B = (0 , 1 , 2) y C = <1 , 0 , 1 ) . H á lle se la
proyección ortogonal del vector A en el plano de lo s ve cto re s B y C
E J E R C IC IO S : Grupo 26
4.7 j E L P R O D U C T O V E C T O R IA L ___________________________ ¿
1.- D e m u é stre se q u e para cu a le sq u ie ra v e c to re s d a d o s A . B y C , lo s vectores
A + C . B + C y C - A so n coplanares.
2.
E n la s a p lic ac io n e s de los ve cto re s en el e sp a c io e s frecuentem ente ne-
S e a n d a d o s tres ve c to re s no c o p la n a re s A , B y C. D e m u é s tr e s e que los
>
vectores A + 2 B - C . 3 A - B + C . - A + 5 B - 3 C s o n co planare s.
En esta s e c c ió n s e e stud ia un producto q ue n o s c o n d u c e a dicho vector. S e le
3. S e a n d a d o s tres vectores no co p la n a re s A . B y C. Hallar los va lo re s de X , para 3
vectorial o producto cruz , s e le denota por A x B y su definición que
S e dan tres vectores : A = <3 , -2 , 1 ), B = <-1 , 1 , -2) y C = <2 , 1t -3). Hallar la
d e sco m p o sició n del vector D = <11 , -6 , 5) en la b a s e p = { A , B , C }.
5. S e a n cuatro vectores: A = <2 ,1 , 0 ), B = (1 , -1 , 2 ) , C = <2 ,2 , -1 ) y
Ds
DEFINICION 4.2 E l producto vectorial
(3 , 7, -7). 1
Hallar la d e sco m p o sició n de ca d a u n o de e sto s ve ctore s tom an d o por base
S e a n A y B vectores en R- tales que
i
lo s otros tres.
6.
llama producto
se da a continuación e s puram ente algebraica.
los c u a le s los vectores X A + B + C , A + X B + C , A + B + X C . s o n coplanares.
4.
, cesario construir un vector no nulo que s e a ortogonal a d o s ve cto re s d a d o s A y B.
Fu e ra del plano del p arale logram o A B C D s e h a ele gido un punto O. E n la b ase
A = ü,¡
e ntonces el
.
+a j + a , k y B =6,1 + fc,j + bM
producto vectorial de A y B e s el vector q ue s e define por
A x B = ( a , b3- a yb2)¡ - { a , by - a i b,) j + ( a , b2- a , b,) k
( 10)
de los vectores O A , O B y O C hállese las c o o rd e n a d a s
a) del vector O M , d on d e M e s el punto d e intersección de la s d ia g o n a le s del
Por e je m p lo, si A = < 2,-1 ,3 ) ■=>
p a ra le lo g ra m o .
y B = <3 , 1 .-1 ) => ¿, = 3 ,
b) del vector O K , donde K e s el punto m edio del lado A D .
7.
bz = 1 , b y = - 1
Luego , por la fórm ula (10) s e tiene
S i B (6 , -3 , -2) y C (-2 , 3 , 6 ) s o n p u ntos de R ' , hallar un vector V q ue b ise ca el
A x B = [(-1)(-1) - (3)( 1)] ¡ - [(2)(-1) - (3)(3)] j + [(2)( 1) * (-1 )(3)] k
á n gu lo form ado por los vectores O B y Ó C , d ond e O e s el origen de co orde n a ­
= (1 - 3 ) ¡ - ( - 2 - 9 ) j + (2 + 3 )k
das. (G uía: Ejem plo 3).
= - 2 i + 11 j + 5 k
8. S e a n d a d o s los p untos A(1 , 2, 3 ), B (2 , -2 , 1), C (3 , 0 . 3) y D (1 6 , 10 . 18). E e s
un punto de intersección del plano O A B (O e s el origen de c o o rd e n a d a s) con
9.
a t = 2 , a, = -l , «, = 3
| O B S E R V A C I O N 4.3
C o m o resulta c o m p lic a d o m e m o riz a r la fórm ula (10) , s e
una recta trazada por el punto D p aralelam ente a la recta Ó C . Hallar la s coor­
re com ie nda el u s o de determ inantes de s e g u n d o orden y
d e n a d a s del punto E. (S u g e r e n c ia : D e s a r ró lle se el vector O D s e g ú n una
m atrices de 2 x 3 ; te m a s que se rá n e stu d ia d a s en cap ítu lo s posteriores. P ero dada
b a s e form ada de lo s vectores O A , O B y O C ).
la utilidad de s u e m p le o p ara el cálculo del producto vectorial , e s conveniente
S e a d a d a la terna de ve c to re s no c o p la n a re s A , = (1 , 0 , 0 ) , A 2 = (1 , 1 , 0)
y A 3 = <1 , 1 , 1). C a lc u la r la s c o o r d e n a d a s del v e c to r A = -2 i - k e n la b a se
P = •A, , A 2 , A J y escribir la d e sc o m p o sic ió n corre spon die n te s e g ú n la base.
|
introducir la s s ig u ie n te s id e a s
224
Capítulo 4: Vectores en el espacio
225
Sección 4 .7 : El producto vectorial
N ótese que s e obtuvo el m ism o resultado de la parte a) pero co n sig n o c a m ­
1.
= « A *a
h '
biado , esto e s . A x B = -(B x A)
Ll\ \ s a y
b f'b .
=
-(a fa -a fr )
=
a p 2- a p x
c) F o rm a m o s la matriz :
■
=> A x A -
M =
L2 -I
/ I *1
\ l-l
I" “
3
J
3 |,-|2
3L
12
1 '1
3 |,|2
3l l2
- 'l >
-ll /
= ( 0 , 0 , 0) = O
a2
_ r a\
M =
2. F orm a r la matriz de 2 x 3 :
" U
ay i
Los re su lta d o s de e ste ejem plo s u g ie re n a lg u n a s p ro p ie d a d e s a lg e b ra ic a s del
6, -I
producto vectorial , que entre otras , se a n u ncia n en el teorem a siguiente.
d ond e lo s ele m e n tos de la prim era fila s o n las co m p o n e n te s del vector A y los
e le m e n tos de la s e g u n d a fila so n las co m p o n e n te s del vector B. E n to n c e s , el
■OREMA 4.2
producto vectorial A x B q u e d a definido por
-<
S i A , B y C s o n tres ve ctore s del e sp a c io y r e
( 11)
b, b.
en la que ca d a co m p on e nte e s el valor de un determ inante de s e g u n d o orden,
q ue resulta de elim inar en la matriz M la prim era , s e g u n d a y tercera colum na
respe ctivam ente .
P V .1 : A x (B + C ) = (A x B ) + (A x C )
Distributividad por la izquierda
P V .2 : (A + B ) x C = (A x C ) + (B x C )
Distributividad por la derecha
P V . 3 : r(A x B) = (r A) x B = A x (i B)
a) A x B
,
b) B x A
,
c )A x A
[
N o conm utatividad
P V .5 : A x 0 = 0 x A = 0
31
II
GQ
X
<
2
3
I 1 ’I
2 -11
3
3 -1
3
11! >
P V .9 : 11 A x B 11 - = 11A 11- |¡ B 11 - - (A • B)-
Demostración.
resto de la s d em ostra cion e s.
En efecto , e le va n d o al cu a d ra d o la norm a del vector de la Definición 4.2 s e tiene :
{a:bx - a.b2)2 + {apy - a,¿?,): + {ajb, - aj?i)2
y del producto interno A • B =
= (-2 ,1 1 ,5 )
-< l
\ 3
1
L 2 -I
1
I
31
I2
31
I2
= ((3 -1 ),-(9 + 2 ),(-3 -2 )
= (2,-11 ,-5)
a 21 + a 3’) ( V + b22 + ¿ y ) -
+
aj>: + a A ) 1
(2)
Efectuando las op e ra cio n e s que a p a re cen en los s e g u n d o s m ie m b ro s de (1) y (2)
3 J
1 "'I I3 ''I I3
(1)
a tbt + a i , + a, 6, s e s ig u e que
11 A 1 1 2 11 B 11 - - A - B = (a,- +
M =
(Identidad de La gra n ge )
S e dem ostrará la n o v e n a propiedad. S e dejan c o m o ejercicio el
A x B |- =
= <1 - 3 , -(-2 - 9 ), 2 - (-3)>
F o rm a m o s la matriz :
N o asociativid ad vectorial
1 -1 J
L u e g o , por la fórm ula (11) s e tiene :
M
P V .7 : A x (B x C ) * (A x B ) x C
P V .8 : A x (B x C ) = (A • C ) B - (A • B ) C
i .i
3
=> B x A
A so ciativid ad e sca la r
P V . 4 : A x B = - (B x A )
P V .6 : A x A = O
Ejemplo 1 . D a d o s A = (2 ,-1 , 3) y B = (3 , 1 , -1 > , hallar
b)
R e s un escalar,
e nto n ce s s e verifican la s p ro p ie d a d e s sigu ien te s.
a [ a.
a2 lly
AxB
Propiedades algebraicas del producto vectorial
com probarem os qu e s o n idénticas , por tanto
11 A x B 11 - = 11A 112 11 B 112 - (A • B)=
:i>
226
Capítulo 4: Vectores en el espacio
TEOREMA 4.3
227
Sección 4.7 : /:’/ producto vectorial
S = (base)(altura) = I A
Propiedades geométricas del producto vectorial
S i A y B s o n vectores no n u lo s de R ' y 0 e s el á n g u lo entre A y
S=
! Sen0
B
(13)
I! A x B
B , e nto n ce s s e verifican la s p ro p ie d a d e s sig u ie n te s
1.
A x B e s ortogonal sim ultáneam ente a los ve cto re s A y B
2.
II A x B l I = 11A ! I 11 B 11 S e n 0
3.
A x B = 0<=>A||B
4.
Ax B
| O B S E R V A C I O N E S 4.4
1. La orientación del vector A x B e n relación a la s d ireccion e s de lo s vectores A y
B se b a s a en s u co m p a ra ción co n lo s ve ctore s unitarios i , j y k = i x j de un
= A re a del p arale logram o que tiene a A y a B c o m o la d o s a d ya ce n ­
siste m a c a rte sia n o trid im e n sion a l c o m o s e m u e stra en la F ig u ra 4.31. (S e
tes.
debe d e sta c a r que A y B no s o n n e ce sa ria m e n te perpendiculares). L o s tres
--------------------------------------—----------------------------------------------------------------------------- — .------------------------------------------------------------------------------ 3
D em ostración.
1.
D e m o stra re m o s la primera , se g u n d a y cuarta p rop ie d a d e s y se
sistema positivo o derecho (d e x tró giro ). m ien­
tras que los tres ve ctore s A , B y B x A form an un sistema negativo o izquierdo
deja la tercera co m o ejercicio.
(levógiro)
vectores A . B y A x B form an un
S i A = ( a , , a : , a j y B = ( ¿ , , b: , bx) , e n to n ce s
A - (A x B ) = a,
fl.
a..
b: by ~a :
>
-,
a > +ax a . a:
b2
a.
4 k = ixj
Ax B
B ^
J
El s e g u n d o m iem bro e s el desarrollo de un determ inante de tercer orden
n ----------- U
a, a,
=> A . ( A x B ) =
a,
a ,'
Plano
determinado
por A y B
ay
Bx A
b> K
*,
C o m o el determ inante tiene d o s filas igu a le s s e sig u e q u e :
Plano XY
A **
r
J
V
FIGURA 4.31
A • (A x B ) = 0 <=> ( A x B ) l A
0 >=> ( A x B ) J B
2 . P or la identidad de L a g ra n g e (P V . 9 ) s a b e ­
m os que
S a b e m o s qu e todo vector V e R ' s e p u e d e e x p re sa r c o m o u n a su m a de múlti­
p los e sc a la re s de ve ctore s unitarios orto go n ale s , e sto e s
r
V = (x , y ,z) = x i + y j + z k
I I A x B ||: = || A | | J || B ||: - (A • B ) ;
(1 )
E n to n ce s para d o s vectores A = (a,
S i 0 e s el á n gu lo entre A y B , enton ce s
A • B =| I A 11 I|b|| C o s 0
L u e g o . en ( 1 ) s e tiene :
S
Af
I I A x B 11 •’ = || A I M |B ||2 • || A ||2 1| B 112 C o s-0
i
\
A
AxB
FIGURA 4.30
= 11 A 11 - 11 B 11: ( I - C o s :0)
a2 ay
fe,
b,
i-
(14)
J+
co m p ro b a r c a d a u n o de lo s re su lta d os sig u ie n te s
l l A x B l I = 11A 11 11 B 11 S e n 0
P ara d em ostrar esta propiedad , e m p le a m o s la F igu ra 4.30 que n o s m uestra un
p arale lo g ra m o qu e tiene co m o la d o s a d y a c e n te s a lo s ve cto re s A y B. C o m o
h = I B
=
3. U s a n d o el siste m a positivo (o el de la matriz del producto vectorial) , p o d e m o s
= 11A 11 11 B 112 S e n -0
4.
,a , , a ,)y B = (6, ,b2 ,b y) , el vector A x B definido
en la fórm ula ( 1 1 ) s e p u e d e escribir de la form a
i xj =k
j x ¡ = -k
ixi=0
jx k = ¡
k x j = -i
j xj =0
k xi =j
i x k = -j
k x k =0
í-
k V — X«*
4. C o m o u n a a y u d a para recordar los p rod u ctos vectoriales anteriores h a c e m o s
S e n 0 y el área del p aralelogram o e s
u s o de la perm utación cíclica . que c o n siste en co loca r lo s ve ctore s unitarios i,
I
228
Capítulo 4: Vectores en el espacio
j y k en una circunferencia en sentido antihorario. E n este sentido , el producto
vectorial de d o s vectores co n se c u tivo s , e s el siguiente vector , y el producto
vectorial de d o s vectores co n se c u tivo s , en el sentido horario e s el negativo del
siguiente vector. L o s prod uctos vectoriales de cualq uiera de los ve cto re s unita­
rios i , j o k c o n sig o m ism o tiene c o m o resultado el vector cero.
229
Sección 4 .7 : El producto vectorial
Ejemplo
3
J
?
Hallar el áre a del p arale logra m o que tiene c o m o d ia go n a le s
los vectores u = (5 , -7 , 4) y v = (-3 , 3 , 0)
Solución. S e a n A = P Q y B = P T ,. d o s la d os a d y a ­
r
c e n te s del p arale lo g ra m o
En el A P T O :
y en el A P Q R
A = B + v
"N
R
T
(1)
:u - A + Q R <=> u = A + B
(2)
b/
\ ><^ '
Del siste m a (1) y (2) ob ten e m os
1
A = l ( u + v) y
«y
B = -^-(u - v)
V
1»
Lu e go , A = (l , - 2 , 2 ) y B = < 4 , - 5 , 2 )
Ejemplo
1
El vector C e s orto go n al a lo s v e c to re s A a <2 , -3 , 1) y B =
< 3 ,1
<=> A x B =
, -1). H allar s u s c o m p o n e n t e s si s u n o rm a e s 1 0 \6
-2
2
-5
2
i-
1
2
4
2
A
>
FIGURA 4.33
j+
1
-2
4
-5
, 2 , 1)
u n id a d e s.
Solución. U n vector norm al al plano form ado por A y B e s : n = A x B
<=> n =
-3
1 j. 2
3
1 -1
1
-1
J+
2
-3
3
1
Area del p arale logra m o :
Ejemplo 4
= (3 - I)i - (-2 - 3)j + (2 + 9)k = <2 , 5 , I I )
J
I
L u e g o , s i C = r n => l l c l l = |rl l i n i
S = I AxB
L o s vectores A y B form an Un á n gu lo cu y o c o se n o e s 2 / \ 5 , si
11A 11 = 2 .5 y 11B 11 = 4 , hallar la norm a del vector (2 A - B ) x
(A + 2 B ) .
<=> 10 Vó = I r I \ 4 + 25 + 121 , de d o n d e I r l = 2
Solución. ( 2 A -B ) x ( A + 2 B ) = 2 A x ( A + 2 B ) - B x ( A + 2 B )
C = ± 2 (2 , 5 , 11)
= 2AxA +4 A x B -B x A -2 B xB
= 2(0) + 4 A x B + A x B - 2 ( 0 )
Ejemplo
/
J
2
c=> 11 (2 A - B)
X
( A + 2 B) 11 = 5 11 A
X
B 11 = 5 11 A 11 11 B 11 Sena
= 5(2V5)(4)(l/^ )
Solución. S e a n A = P Q = <1 , 4 , 5 ) - < 2 , 0 , - 3 ) = (-1 , 4 , 8 )
= 40
B = P R = <7 , 2 ,9 ) - <2 , 0 ,-3) = < 5 , 2 , 1 2 )
Entonces, hacie ndo u s o de la fórm ula (14) s e tiene
A xB =
4
8
2
12
i-
-1
8
5
12
j+
-1
4
5
2
Ejemplo
5
J
Sim plificar la e xp re sió n
x = i x (j + k) - j x (i + k) + k x (i + j + k)
= (4 8 - 16)1 - (-12 ~40)j + (-2 - 2 0)k
Solución. A p lica n d o la propiedad PV.1 a c a d a término s e tiene
= 2 (1 6 ,2 6 ,-1 1 )
x = (i x j) + (i x k) - (j x i) - (j x k) + (k x i) + (k x j) + (k x k)
=> 11 A x B 11 = 2 V256 + 6 7 6 + 121 = 18 V Í3
= (k) + ( - j ) - ( - k ) - ( i ) + ( j ) + ( - i ) + (0)
FIGURA 4.32
D a d o que el área del triángulo = 4 (área del paralelogram o)
S = 9 V Í3 u 2
(P V .4 y P V .6 )
=5A x B
H allar el á re a del triángu lo c u y o s vé rtice s s o n lo s
P (2 , 0 , - 3 ) , Q(1 , 4 , 5) y R (7 , 2 , 9 )
(PV.1)
(PV.1)
■
230
Capítulo 4: Vectores en el espacio
C jc m p t o
6
A x ( B x C) = ( A • C ) B - ( A • B ) C
El ve ctor A e s o rto go n a l al eje Y y al ve c to r B = (-3 , 8 , 4 ), y
j
231
Sección 4 .7 : El producto vectorial
Al igu a la r lo s s e g u n d o s m ie m b ro s o b te n e m o s
form a un á n g u lo o b tu so co n el eje Z. H allar la s com ponentes
(A • B ) C - ( B • C ) A = O => ( B • A ) C - ( B
de A sa b ie n d o que s u norm a e s 15 u nidades.
• C) A = O
(PV. 8 )
c=> B x ( C x A) = O
Solución. S i j = (0 , l , 0) e s el vector unitario en la dirección del eje Y , ento n ce s un
( í = ) P ro b a re m o s a h o ra qu e s i : B x ( C x A ) = O ■=> ( A x B ) x C = A x ( B x C )
vector ortogonal a j y al vector B e s
(PV. 8 )
II
Ü0
X
3
II
E n efecto , si B x ( C x A) = O <=> ( A • B ) C - ( B • C ) A = O
1
0
8
4
Luego , s i A = r n i = > l l A
c=>
i-
0
-3
0
4
j+
0
1
-3
8
k = ( 4 , 0 , 3)
=> - ( B • C ) A = - ( A • B) C
=> ( A • C ) B - ( B • C ) A = ( A •C) B - ( A • B ) C
= I r l II n II
(PV. 8 )
=» ( A x B ) x C = A x ( B x C )
15 = I r l V l 6 + 9 , de d on d e
( A x B ) x C = A x ( B x C ) <=> B x ( C x A) = O
C o m o el á n gu lo Y e s ob tuso , e n to n ce s C o s Y = — - —
■
< 0 , implica qu e z < 0
I I A II
P o r lo que se elige , r = -3
E je m p lo
9
j
A = -3 (4, 0 , 3 ) = {-1 2 , 0 , - 9 )
L o s ve ctore s A . B y C sa tisfa ce n la condición : A + B + C = O.
D e m o stra r que A x B
(
= B x C
= C x A , e
in te rp re ta r
geom étricam ente el resultado.
E je m p lo
7
j
D e m o stra r que d o s ve ctore s no n u lo s A y B en R ' s o n parale­
los o co lin e ales , si y só lo si , A x B = O
<=> 0 + A x B - C x A = 0
P ro b a re m o s qu e : A
E n efecto , s i A
( <=>)
lu e go por B , s e tiene
A x ( A + B + C) = A x A + A x B + A x C = A x O
D em ostración.
( x=>)
Demostración. E n efecto , m ultiplicando vectorialm ente la condición d ad a por A y
B => A x B = 0
|B ■=>
A = rB
t=> A x B + 0 - B x C = 0
■=>A x B = (r B) x B = r (B x B)
(PV.3)
<=>
(PV. 6)
A xB = O
P ro b a re m o s ah ora que si A x B = O «=> A
E n efecto , s i A x B = 0 = > l ' A x B
B
y B / O o
i=> A x B = B x C
A x B = B x C = C x A = k
ig u a ld a d e s indican q ue el vector k e s
(Fórm ula 12)
E je m p lo
n
1 Q J
Q u é p o d e m o s e sta blece r p ara los ve ctore s V. , si .
A x V, = A x V 2 = A x V 3 = .......... = A x Vn
A x B = O <=> A 11 B
Solución. S e a : A x V , = A x V , = A x V , = ____ = k
8
J
ortogonal a los vectores A . B y C,
6= 0 o e= n
S e sa b e que si A 11 B ■=> m (<£ A . B ) = 0 o
E je m p lo
(2)
por lo tanto ,é s to s s o n co plan are s.
1=0
Sene = 0 «
(1)
Luego , de (1) y (2) s e d ed uce que
Las últimas
=> 11 A 11|! B 11 S e n e = 0
C om o A ^ O
=> A x B = C x A
(A + B + C )x B = A x B + B x B + C x B = O x B
d on d e k e s un vector co nstan te qu e ,
D e m o stra r que :
(A x B ) x C = A x (B x C ) «
por definición de producto v e c to ria l, e s ortogonal a
B x (C x A ) = O
D em ostración.
los vectores V, , V, , V , .......... V¡. E sto e s , los
vectores Vi s o n coplanares.
( t=>) P ro b a re m o s q ue s i : (A x B ) x C = A x (B x C ) => B x (C x A ) = O
E n efecto , hacie n do u s o de la p rop iedad P V .8 , s e tiene :
(A x B ) x C = (A • C ) B - (B • C )A
Por otro lado , s e d eb e verificar la iguald ad de los
módulos , e s decir
A
! Vi 11 Sena. = 11A 11 I V,|| Sena, = .......=
■
Capítulo 4: Vectores en el espacio
232
de d on d e o b te n e m o s :
11V, 11 S e n a , = I V , 11 S e n a , = . . . . . = d
Sección 4 .7 : El producto vectorial
La dirección de la s a rista s laterales está d ad a por el vector
P o r tanto , co n clu im o s diciendo qu e los extrem os finales de los ve ctore s V¡ están
so b re un a recta
233
c£ paralela al vector A.
0
V = FH x A C =
■
I
0 -7
i-
7
I
I
-7
i +
7
0
l
0
k = 50 < 0 , 1 , 0 )
Un vector unitario , norm al a las b a s e s del cu b o e s , u = <0 , I ,0 )
Ejemplo 11
J
F B = 5 u => B = F + 5 u = (-3 , 2 , 1) + 5 < 0 , 1 , 0) = <-3 , 7 , 1 )
Por lo que :
L o s vectores A , B , C y D están su jetos a las relaciones
A x B = C x D , AxC=BxD
HD = 5 u =* D = H + 5 u
= <4 , 2 , 2) + 5(0 , I , 0) = <4 , 7 , 2)
D e m o stra r q ue lo s ve cto re s A - D y B - C s o n coplanares.
E A = 5 u c=> E = A
D em ostración.
G C = 5 u => G = C - 5 u = <4 , -1 , -5) - 5<0 , 1 , 0) = <4 , -6 , -5)
D e b e m o s probar que : (A - D) x (B - C ) = O
5 o = <3 , - 1 , 2) - 5<0 , I , 0) = <3 , -6 , 2)
E n efecto
(A - D) x (B - C ) = A x (B - C ) - D x (B - C )
=A xB -A xC -D xB +D xC
(PV.1)
(PV.1)
J
Ejemplo 1 4
Una aplicación del producto vectorial
Hallar la distancia del punto P (4 , 6 , -4) a la recta que p a s a
= (A x B + D x C )-(A x C + D xB )
= (A x B -C x D )-(A x C - B x D )
(PV.4)
P o r la s d o s re la cio nes d a d a s , el resultado de a m b o s p arén te sis e s el vector nulo,
por los p untos Q (2 , 2 , 1) y R (4 , 3 , - 1 )
Solución. La F igu ra 4 .36 m uestra la recta 7 que
e sto e s :
tiene a A = Q R co m o vector direccional,
(A - D) x (B - C ) = O - O = O
E n c o n se c u e n c ia , los ve ctore s A - D y B - C so n coplanares.
a Q P co m o representación del vector B y la d istan ­
Ij
cia
d del punto P a dicha recta.
Ahora , por el Teorem a 4.3 (propiedad 2) :
Ejemplo 1 2 ^
II A x
S e a n los vectores A . B y C , tales que
B|| = 11 A 11 11 B 11 Sen©
Pero , en la figura s e o b se rva que : d = 11 B 11 S e n e
(A x B ) x (A x C ) = A ; hallar ( A x B ) x ( B x C ) .
Solución. H a cie n d o A x B = D y por la propiedad P V .8 , s e tiene
D x (A x C ) = A => (D • C ) A
(A x B ) x (B x C ) = D x (B x C ) = (D • C ) B - (D • B )C
(A x B ) x (B x C ) = B
Luego , si
11A x B 11
A = Q R = <4 , 3 , -1> - <2 , 2 , l> = <2 , I , -2>
B = Q P = <4 , 6 , -4) - <2 , 2 , I) = <2 , 4 , -5)
■
II
GQ
X
<
}
d=
D • A = 0 , luego , (D • C ) A = A =s> D • C = l
= U )B -(0 )C
Ejemplo 1 3
= 11 A 11 {d) «=>
L a Figura 4.35 e s un cubo.
S i A (3 , - 1 , 2 ) , C (4 , -1 , -5) ,
F (-3 , 2 , 1) y H (4 , 2 , 2 ) ; hallar las co o rd e n a d a s de
lo s d e m á s vértices.
Solución. Á C = < 4 ,-1 , -5> - <3 , - 1 . 2> = <1 , 0 , - 7 )
F H = < 4 , 2 , 2 > - < - 3 , 2 , 1> = <7 , 0 , 1)
y¡2
L u e g o , ca d a arista del cub o m ide : t = 5 \2 f\ 2 = 5
=> 11 Á C 11 = 11 F H II = Vi + 49 = 5
l
-2
4
-5
II A x
i -
B I
2
-2
2
-5
-i
A n á lo g a m e n te :
o
A x B i
II
P o r el Te ore m a 4.3 , ( A x B ) l A
Entonces :
(D • A ) C = A
FIG U RA 4.36
j+
2
I
2
4
k = <3 , 6 , 6) = 3<1 , 2 , 2 )
+4+4=9
Si re e m p lazam os e sto s valore s en (15) , o b te n e m o s d = 3
I Nota. La Figura 4 3 7 m uestra a un vector fuerza F , que
—)
tiene la representación QP . Si el punto de ap lica­
ción de la fuerza e s P . Entonces F o casion a que un objeto
situado a lo largo de O P rote alrededor de una recta per-
—^
—*
pendicular al plano determinado por O P y QP. El vector
—)
torque , c u y a rep resen tació n de posición e s OT , e s el
(15)
234
Sección 4.7 : El producto vectorial
Capítulo 4: Vectores en el espacio
235
a) R = F, + F, = 2 (3 , -2 , -14)
momento M de la fuerza F alrededor del punto O y está definido por
b) D e sd e que F, y F, no s o n co ncurrentes , M se rá la s u m a d e los d o s m om entos,
M=Ó P x F
—^
La magnitud o módulo del momento M mide la tendencia del vector OP a girar en sentido
-f
antihorario alrededor de un eje dirigido a lo largo del vector torque M.
esto e s ,
M = E B x F ] + E D x F.
|
t=> É B x F, = (-2 , 2 , 0)
x 10<-1
, 2 , 2 ) = 10(4
É D x F, = (2 , 1 , 0) x 8(2 , -3 , -6) = 8(-6 ,
E je m p lo
15
^
,4 ,-2 )
12, - 8)
M = 4(-2 , 34 , -21)
Una aplicación del producto vectorial
■
E n la Figu ra 4 .38 , un torni­
llo en el punto Q se gira al aplicar en el punto P
E je m p lo
una fuerza F de 2 5 Ib. e n un á n gu lo de 70° con
17
J
S i A , B y C
so n ve ctore s de p osición de los vértices de un
triángulo A B C , d em ostrar que
respecto a la llave , la cual m ide 8 pulg. de longi­
A x B + B x C + C x A = 2 Su
tud. C a lcu la r la intensid ad (m ódulo) del vector
donde S e s el áre a del triángulo y
torque ge n e ra d o por la fuerza en el tornillo.
u un vector unitario norm al al plano del triángulo
| ABC.
Solución. El vector torque e stá d a d o por
Demostración. E n efecto , un vector unitario norm al
M = QP xF
al plano del triángulo A B C e s
y la intensidad o m ódulo p o r :
I ! M 11 = 11Q P
A h o ra , por la propiedad 2 del Te ore m a 4.3 : I i M 11 = 11 Q P 11 11 F 11 S e n 70°
= (8) (25) (0.939)
= 187.8
P o r lo tanto , la intensidad del vector torque e s de 187.8 pulg.-Ib.
u =
Á g *A C
==> A B x A C = 11 Á B x Á C 11u
II A B x A C ||
(1)
Por la P rop ie d a d 4 del Te ore m a 4.3 s a b e m o s que el
área del triángulo e s :
S = i 11 Á B x Á C 11 => 11 Á B x Á C 11 = 2 S
E je m p lo
16 j Una aplicación del producto vectorial
Luego , en (1) s e tiene :
A B x A C = 2S u
Com o A . B y C s o n los ve cto re s de posición de lo s vértices del triángulo , entonces:
S e da el siguiente siste m a de fu e rza s : F, de 3 0 kg. que actúa
(B - A ) x (C - A ) = 2 S u <=> B x (C - A ) - A x (C - A ) = 2 S u
( PV. 1)
de A (5 , -1 , -6 ) a B ( 4 ,1 , -4) y F 2 de 5 6 kg. q ue actúa de C (6 ,3 ,2) a D ( 8 , 0 , -4). Hallar
<=> B x C - B x A - A x C + A x A = 2 S u
( PV. 1)
a) La resultante R del siste m a de fu e rza s
c=> B x C + A x B + C x A + 0 = 2 S u
(PV. 6)
b) El
momento resultante respecto al punto E (6 , -1
-4).
A x B + B x C + C x A = 2S u
Solución. L a dirección de la fuerza F l e s :
Á B = (4 , 1 , -4) - <5 , -1 , -6) = (-1 , 2 , 2)
y la de F, e s : C D = (8 , 0 , -4) - ( 6 , 3 , 2) = <2 , -3 , - 6)
F,
=e-
IICDll
Entonces :
El m ódulo de la su m a de d o s ve ctore s e s \ 3 4 , s u producto
e sc a la r e s 4 y su producto vectorial tiene m ódulo 3. Hallar :
Solución.
= —
j
b) El m ódulo de c a d a un o de lo s vectores.
II A B
y si F, = t CD <=> t = —
18
a) El á n gu lo q u e form an d ic h o s vectores
F,
L u e g o , si F = r A B
[ E je m p lo
S e a n A y B los ve cto re s de los c u a le s s e co n o ce n
= 8
F, = I0(-1 , 2 , 2 ) y F, = 8(2 , -3 , -6)
11 A + B 11 = \ 34 , A • B = 4 , 11 A x B 11 = 3
a) D a d o que
AxB
I = 11A I I I I B
I Sene
y
A *B = | |
a
I|||B|| C o s e
dividiendo m iem bro a m iem bro ca d a u na de e s ta s ig u a ld a d e s ob te n e m o s
236
Capítulo 4: Vectores en el espacio
Tg« =
b)
~~
q 11
T ge = l
«
A = (4 , -2 , -3) y B = (0 , 1 , 3 ) , form a co n el v e r so r j un á n g u lo o b tu so y que
9 = arcTg(3/4)
II X II = 2 6 .
S i 11 A + B ! | = V34 => 11 A 11 - + 2 A • B + 11 B 112 = 34
9.
«=> I I A 1 1 2 + 2(4) + 11B 112 = 34 <=> 11 A ||'
(2)
S u m a n d o ( I) + 2(2) s e tiene : ( 11A 11 + 11 B 11 )2 = 36 => | A 11 + 11 B 11 = 6
(3)
10.
11.
12.
x 2 - 6 x + 5 = 0 <=s> x = 1 ó x = 5
ó
|¡ A 11 = 5
y
Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector V = (4 , -3 , 1)
S i A = (2 , 1 , -3) y B = (1 , -2 , 1 ). hallar un vector de m ódulo 5 ortogonal a los
vectores A y B.
C o n o c ie n d o la s u m a (3) y el producto (2 ) , fo rm a m o s la ecuación
I ! B 11 = 5
3) y sa tisfa c e , a d e m á s , la co n d ició n
X • (i + 2 j - 7 k) = 10
<=> (3)-’ = 11 A 112 1 B 112 - (4)2 , de d o n d e : 11 A 11 I B 11 = 5
y
H a lla r la s c o o r d e n a d a s del ve c to r X , si é ste e s o rto g o n a l a lo s v e c to re s
A = (2 , -3 , 1) y B = (1 , -2 ,
+ 11 B ||2 = 26 ( 1 )
P o r la identidad de L a g ra n g e (PV.9) : 11A x B 112 = 11 A 112 11 B 112 - (A • B)
E n c o n se c u e n c ia : ! I A 11 = 1
237
Ejercicios de la sección 4.7
11 B 11 = 1
S i A = (3 , m , -3) y B = (5 , -4 , 1 ) , hallar el valor de m de m od o que B se a
ortogonal al vector V = A x B + 2 A
■
13.
O b te n e r lo s v a lo re s de m y n tales que : (1 . 2 , m) x (1 , n , 2) = (3 , -3 , -1)
14.
D e te rm in a r el v a lo r de m d e m o d o q u e lo s p u n t o s A (2 , 1 , 1 ) , B (4 , 2 , 3) y
E J E R C IC IO S : Grupo 27
C (-2 , m/2 , 3m/2) s e a n colineales.
15. S e a A = (2 , -1 , 2) y C = (3 , 4 , -1). Hallar un vector B tal que A x B = C y A - B = 1
1.
Sim plificar las e x p re sio n e s
16.
a) (A + B + C ) x C + (A + B + C ) x B + (B - C ) x A
L o s ve c to re s A y B so n orto go n ales , si ¡ A
= \3 y ¡ B
= \ 12 , hállese el
valor d e (2 A - 3 B ) x (3 A + B)
b) (2 A + B) x (C - A ) + (B + C ) x (A + B )
17. S e a n A y B v e c to re s ta le s q u e I A i I = 3 , 1! B 11 = 2 6 y
c) 2 i • (j x k) + 3 j • (¡ x k) + 4 k • (¡ x j)
2.
Hallar el área del triángulo q u e tiene por vértices
18.
a) A (1 . 2 , 3 ) , B ( 2 , - 1 , 1 ) y C ( - 2 , 1 , - 1 )
Hallar el área del p arale log ra m o c u y a s d ia g o n a le s e stá n c o n te n id a s en los
vectores
a)
el eje Y un á n g u lo obtuso. S i
b) u = <3 , 4, 2 ) , v = <1 , -2 , - 6 )
por los vectores B y C
V
21.
A
El vector V e s p erpend icular el eje X y al vector A = (5 , -2 . 3) y form a un á n gu lo
\TÍ7.
u - vy
' = ! B
! = 5 y la m (<£ A , B) = rt/4 ; ca lcu la r el á re a de un triángulo
22.
H á lle n se la s c o o r d e n a d a s del ve ctor X , si e s o rto go n a l a lo s v e c to re s
V !=
D a d o tres p u n to s A . B y C , hallar el vector norm al al plano determ inado por
d ic h o s puntos.
23.
D e m o stra r qu e el área del triángulo c u y o s vértices s o n los extrem os de los
ve ctore s p o sició n A . B y C e s
S = l| | ( B - A) x ( C - A) ||
E n un triángulo co n los vértices en A(1 , -1 , 2) . B (5 , - 6 , 2 ) y C(1 , 3 , -1 );
h á lle se la altura h = 11 B D 11.
8.
sa b ie n d o q u e e s ortogonal a los vectores A y B y que V • C = 12
a g u d o co n el eje Z. Hallar las c o m p o n e n te s del vector V sa b ie n d o que
construido so b re los vectores A - 2 B y 3 A + 2 B .
7.
V \ I = 8 4 , hallar la s c o m p o n e n te s del vector V.
b) A = (1 , -2 , 5 ), B = (3 , 0 , -2 ), C = (0 , 2 , 1)
u - 5 v . d onde u y v so n vectores unitarios y la m (<£ u , v) = rt/4.
6. S i
' = 2 y m (<í A . B) = 2rc/3.
a) A = ( - 3 , 2 , 5 ) , B = (4 . 2 , - 1 ) , C = ( 5 , - 1 , 1)
Hallar el á re a del p arale lo g ra m o c u y a s d ia g o n a le s s o n lo s ve c to re s 2
4
A ¡ = \3/4 ,! B
20. D a d o s lo s ve cto re s A = (2 , -3 . 4 ) , B = (1 ,1 , -1) y C = (2 . 3 , -2 ); hallar el vector
4. Hallar un vector V que s e a ortogonal al vector A y paralelo al plano determinado
5.
S e a n lo s ve cto re s A y B tales que
19. El vector V e s ortogonal a los vectores A = (1 , -2 , -3) y B = (-2 . 2 , 5) y form a con
u y v dados.
o = (2 , -1 , 3 ), v = <4 , -3 , -1)
i = 7 2 . H allar
Hallar 11 (2 A + 3 B) x (2 A - 5 B) 11
b) A (2 , -1 , 1), B (3 , 2 , -1) y C(-1 , 3 , 2 )
3.
A xB
A ♦ B . (Su ge re n c ia : U s a r la identidad de Lagran ge ).
24.
D e m o stra r qu e si A . B y C s o n vectores en R ' que tienen el m ism o punto inicial,
e n to n ce s :
( B - A) x ( C - A) = ( A > B ) + ( B x C) + ( C x A)
238
25.
Capítulo 4: Vectores en el espacio
S i A , B y C s o n ve cto re s en R ' , dem u e stre la
identidad de Jacobi
E n vista de que s e
(.Sugerencia : aplique la propiedad P V .8 a c a d a término).
S i lo s ve ctore s A , B y C s e dan m ediante s u s c o o rd e n a d a s
A = <a,
B x ( C x A) = O
determ ina por la fórm ula
D a d o s los ve ctore s A , B , C y D d em ue stre que
( A x B ) • ( C x D) = ( A • C ) ( B • D) - ( A • D ) ( B • C )
28.
,a , ,a x) , B = (bt ,b 2, b j , C = (c ,, c ,,c ,)
el producto mixto ( A B C ) s e
(Sugerencia : aplique la identidad de Ja cob i del ejercicio 25)
27.
m odo
( A B C ) = A • (B x C ) = (A x B ) • C
S i A , B y C s o n ve ctore s en R ’ , d em ostra r q ue
(A xB )xC =A x ( B x C ) «
verifica la identidad A • ( B x C ) = ( A x B ) •C ; para el
producto mixto A • (B x C ) s e em plea la notación abreviada ( A B C ) . D e este
A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = O
26.
239
Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores
<2 ,
a,
(Identidad de Lagrange)
( A B C ) = A • (B x C ) =
«3
(15)
b2 K
C2
D e m ue stre las identidades
a) ( A x B ) x ( C x D) + ( A x C ) x (D x B ) + ( A x D) x ( B x C ) = O
b) ( A
29.
x
B ) 2x (A x C)2 - [ (A
x
B) x (A
x
C ) ] 2 = A 2(A • B • C ) 2
Hallar la distancia del punto P a la recta q ue p a s a por los p u ntos A y B dados
4.8.1) P R O P IE D A D E S D E L P R O D U C T O M IX T O D E V E C T O R E S
a) P (4 , 6 . - 4 ) , A (2 , 1 , 2 ) , B (3 , - 1 , 4 )
b) P(3 , -1 , 5 ), A (3 , -2 , 4 ), B (0 , 4 , 6 )
30.
. 1
PM.1
L o s p untos A(1 , 1 , 1 ) , B (4 , 1 , 1 ) , C (4 , 1 + 3 V 3 , 1) , D(1 , 1 + 3 V 3 , 1 ) y
mixto , e s decir
E(5/2 , 1 + 3 \3/2 , 5) form an una pirám ide de b a s e rectangular A B C D y vértice
31.
La perm utación cíclica (sentido horario) de los v e c ­
tores A , B y C no ca m bia la m agnitud del producto
(A B C ) = (B C A ) = (C A B )
E. Determ inar la distancia del centro de la b a s e a u n a arista lateral.
—)
—)
—)
S e a n P , Q y R tres p u n to s no co lin e ale s d e R ' y s e a n O P , O Q , O R las
D em ostración. E n efecto , por las p ro p ie d a d e s de
los determ inantes s a b e m o s que el valor del determinante
re p re se n ta cion e s de p o sició n de lo s ve c to re s A , B y C , respectivam ente.
ca m b ia de sig n o si s e intercam bian d o s filas. T ra s d o s de tales intercam ­
D e m o stra r que la distancia del origen al p lan o determ inado por lo s tres pun­
b io s , el valor del determ inante no s e altera , esto e s
tos está d ad o por
a,
lA -B x C l
d _
(A B C ) =
11 ( B - A) x ( C - A ) 11
al punto A(-1 , 4 , 2 ) . D eterm inar la m agnitud y lo s c o s e n o s directores del
(C A B ) =
m om ento de la resultante de tales fu e rza s respecto al punto B (2 , 3 , - 1 ) .
D e m o strar que :
y
b.'
*.
ax
b\
= W
c, c2 c3
a, a, a, = ( C A B )
C?
K
c,
, a, a,
= ( -l)J c ,
a
6,
L o s vectores A . B . C y D verifican la s re lacio nes
A xB = CxD
,
C.
32. S e a n d a d a s tres fu e r z a s : F, = <2, -1 , -3). F2= < 3 ,2 , -1) y F3= ( - 4 , 1 ,3 ) aplicadas
33.
a
b] 6,
b] b>
= (B C A )
<V
a.\
flj
.-. ( A B C ) = ( C A B ) = ( B C A )
A xC = B xD
(A - D) x ( B - C ) = O
PM .2
PM.3
( A B C ) = A • (B x C ) = ( A x B) • C = (C x A ) • B
S i V e s el vo lum en de un p aralelepípedo construido so b re los vectores A , B
y C , e n to n ce s
(A B C )-
4 .8 J E L P R O D U C T O M IX T O D E V E C T O R E S
^
V , si la terna (A , B , C ) e s d erech a
l -V , si la terna (A , B , C) e s izquierda
S e den o m in a
producto mixto de una terma ord e n a d a de vectores A , B y C
al núm ero real A • ( B x C).
P M .4
Criterio para los vectores coplanares. S i los vectores A , B y C tienen el
m ism o punto inicial , e nto n ce s pertenecen al m ism o plano si y só lo si
240
Capítulo 4: Vectores en el espacio
^1
(A B C ) =
^3 ^3
bi K
*.
=
= ( 1 0 + 2 ) + ( - 1 0 - 3 ) + 3 ( 4 - 6)
0
= -7
Com o (A B C ) < 0 , la orientación de la terna { A , B , C } e s izquierda (sentido
c, c.
c.
241
Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores
antihorario)
_ A
De la figura adjunta d e d u c im o s qu e la s o rie n ta cio n e s de la s
4.8.2) INTERPRETACION GEOM ETRICA DEL PRODUCTO MIXTO
ternas { B , A , C } y { A , C , B } s o n derechas.
Se deja c o m o ejercicio co m p ro b a r , m ediante la fórm ula (15) ,
que:
U n a interpretación geom étrica del pro­
(B A C ) = (A C B ) = 7
ducto mixto s e obtiene al co n sid e ra r un parale­
lepípedo c u y a s a rista s lo co n stru ye n los vecto­
res A . B y C. V é a s e Figura 4.41. El área de la
Ejemplo
J
2
Estab le ce r si los vectores A , B y C form an un a b a s e en el
b a s e del paralelepípedo e s 11 B x C 11 u n id a d e s
conjunto de to d os lo s ve ctore s , si :
c u a d ra d a s , 11 h 11 e s la longitud de s u altura y si
a) A = (2 , 3 , -1 > , B = (1 , -1 , 3 ) , C = (1 , 9 , - 1 1 )
V u n id a d e s c ú b ic a s e s el volum en de este p a ­
b) A = <3 , -2 , 1 > , B = < 2 ,1 . 2 ) , C = <3, -1 , -2)
ralelepípedo , e n to n ce s
Solución.
Vo lu m e n = (área de la b a se ) (altura)
B a sta rá se g u ir el criterio p ara los ve cto re s coplanares, esto e s
(1 )
=* V = ( llB x C | | )(| | h | )
a) (A B C) =
2
3
1
-1
1
P ero , h = P ro yNA <=> 11 h 11 = |C o m p NA | 11 h 11 =
-1 ,
3 ' = 2(11 - 27) - 3(-11 - 3) + (-1 )(9 + 1)
9- 11
= -32 + 4 2 - 10 = 0
C o m o (A B C) = 0 , los vectores A . B y C s o n co p la n a re s , por lo tanto no pued e n
L u e g o , en (1) s e tiene :
V = ( 11B x C 1 1 ) - A ■
x
I I B x C 11
form ar u n a b ase.
3
(16 )
V = |A • B x C | = |( A B C ) |
b) (A B C) =
-2
1
2
1
2
3
-1
-2
= 3 (-2 + 2) - (-2)(-4 - 6) + 1 (-2 - 3)
= 3 (0) + 2 (-10) - 5 = -25
C o m o (A B C * 0 , los vectores A , B y C s o n linealm entes in dependientes y , por
lo tanto , su sc e p tib le s de form ar una b ase.
■
1
Ejemplo 1
)
S e dan los vectores A
= (1 , -1,3) , B = <-2, 2 , 1) y C = <3, -2 , 5>.
C a lc u la r ( A B C ) y d e te rm in a r la o rie n ta ció n d e la s te rn a s
{A .B .C },{B ,A ,C }y {A ,C ,B }.
Solución.
(A B C) =
-2
2
3 -2
3
1
5
= 1
3
)
D a d o s los ve cto re s no n u lo s , A , B y C y N e R '; si A • N = 0 ,
B * N = 0 y C * N = 0 , d em ostrar que A .B y C s o n linealmente
d e p e n d ie n te s.
D em ostración. B a sta rá probar q ue (A B C) = 0
P o r la fórm ula (15) te n e m os
1 -1
Ejemplo
E n efecto , (A B C) = A • (B x C )
2
-2
l
5
-(- 1 )
-2
3
1
5
+ 3
-2
3
2
-2
Com o B l N y C 1 N o
(1)
( B x C ) II N , esto e s : B x C = r N
Lu e go , en (1) s e tiene : ( A B C ) = A • (rN ) = r ( A - N )
= r (0)
(H ip ótesis)
242
Capitulo 4: Vectores en el espacio
=> (A B C) = O
= ( A B C) [ ( A x B) • C ] = ( A B C ) ( A B C)
E n c o n se c u e n c ia , los ve cto re s A , B y C s o n linealm ente d ependientes.
^ C jc m p lo
4
]
■
S i en lo s ve c to re s A , B y C s e verifica la ley a so c ia tiv a para
( A x B ) • (B x C) x ( C x A) = ( A B C ) :
E je m p lo
7
D e m u é stre c e q ue : ! ( A B C) I < 11 A
}
el p ro d u cto v e c t o r ia l, d e m o stra r q u e lo s v e c to re s A x B . A y
B x C s o n linealm ente d ependientes.
P o r la d e sig u a ld a d de S c h w a rz :
(1 )
[(A x B ) A (B x C )] = (A x B ) • [A x (B x C)]
que
[(A x B) A (B x C)] = ( A x B ) • [(A x B ) x C ]
! ( A B C) I < I A
|S e n (<$ B , C) I < 1
C
BxC
A •B
< I A
B
:
(1)
B x C 11 = 11 B
C i I S e n (<£ B . C ) I y d ado
'= » |lB x C ||¿ |lB ll||C ||
Por lo tanto , en (1) s e tiene :
C o m o el vector ( A x B ) x C e s ortogonal a (A x B ) y a C , e n to n ce s
I ( A B C) I < ! A
B
I C 11
La igualdad ocurre c u a n d o S e n (<$ B , C) = I , e s d e c ir , c u a n d o la m edida del ángulo
[(A x B ) A ( B x C ) ] =0
entre B y C e s de 90°, e sto e s , cu a n d o B
E n c o n se c u e n c ia los ve ctore s A x B , A y B x C s o n linealm ente dependientes.
■
E je m p lo
8
j
± C
■
D e m o stra r que : C • ( A x [A x ( A x B ) ] ) = - 1 A | 2 ( A B C )
Sim plificar la e xp re sió n
Demostración.
x = (A + B) • (B + C ) x (C + A )
Solución.
se sig u e q u e :
Por la P rop ie d a d 2 del Te ore m a 4.3 :
E n el s e g u n d o m iem bro , por (1) s e tiene :
J
B
Demostración. E n efecto , por definición : (A B C) = A • (B x C)
«=* A x (B x C ) = (A x B ) x C
Ejemplo 5
■
E n qu é c a s o s e verificará el s ig n o de ig u a ld a d ?
D em ostración. D a d o que en los vectores A , B y C s e verifica la ley asociativa
A h o ra , el producto mixto :
243
Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores
E n efecto ,
H a cie n d o u s o de la p rop ie d a d e s 1 y 2 del Te ore m a 4.2 , s e tiene :
x = (A + B ) • [(B + C ) x C + (B + C ) x A ]
= (A + B ) • [(B x C ) + (C x C ) + (B x A ) + (C x A)]
. = (A + B ) • [(B x C ) + O + (B x A ) + (C x A)]
(PV. 6 )
(PV. 8 )
A x (A x B) = (A • B) A - (A • A) B
<=> A x [ A x ( A x B); = A x [ ( A • B ) A - ( A • A) B ]
Por lo tanto:
C • (A
x
[A
x
(A
x
= ( A * B ) ( A x A) - 11 A 11 - ( A x B )
(PV.1)
= ( A • B ) (0) - 11A 11: ( A x B )
(PV. 6 )
B ) ] ) = - 11A | : C * ( A x B )
= - II A I I 2 A - ( B x C )
= A • (B x C ) + A • (B x A) + A • (C x A) + B • (B x C) + B • (B x A) + B • (C x A)
P o r el Teorem a 4.3 : A • (B x A ) = A • (C x A ) = B • (B x C ) = B • (B x A ) = 0
(P M .1)
= - 11 A 11 - (A B C)
■
• => x = A • (B x C ) + B • (C x A ) , pero (A B C) = (B C A)
E n c o n se c u e n c ia :
x = 2 (A B C )
Ejemplo 9
Ejemplo
6 J
D e m o stra r que
A y B . el á n g u lo
Solución. P o r la p ropiedad P M . 1 :
E n efecto , s u p ó n g a s e que
= ( A x B )* [(A B C )] C
(A B C ) = C -(A x B )
I ( A B C) I <
!C
(P M .2)
AxB
D a d o que C 1 B y C 1 A , e n to n ce s s e tiene la igualdad
(P V. 8 )
= M • { [ ( B x C ) • A ] C - [(B x C ) • C j A }
= ( A x B ) • { [A • (B x C)] C - [0] A }
I = 6 ,
(A B C) = (C A B)
o
y por la d e sig u a ld a d d e S c h w a rz :
M • ( N x R ) = M • ( N x ( C x A)]
= M • [(N • A ) C - (N • C ) A]
A
I l B l l = 11 C 11 = 3 , calcular ( A B C ) .
Ax B = M , B xC = N , C xA = R
En ton ce s:
El ve ctor C e s p e rp e n d ic u la r a lo s v e c to re s
fo rm a d o por A y B e s igual a 30°. S a b ie n d o q u e
(A x B ) • (B x C ) x (C x A ) = (A B C )2
D em ostración.
J
I (A B C) | =||C || 11 A || II B II S e n 30°
= (3) (6 ) (3) (1/2) = 27
(Teor. 4.3)
(A B C ) = ± 27
■
244
Capítulo 4: Vectores en el espacio
E je m p lo
10
J
D a d o s los vectores A , B , C y D e
245
Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores
= 3(9 + 8) + (6 + 2) + (8 - 3) = 51 + 8 + 5 = * V = 64 iT
R 3 , d em ostrar que
(A x B ) • (C x D) = (A • C ) (B • D) - (A • D) (B • C )
D em ostración. S u p ó n g a s e que A x B = N
- N
E je m p lo
13
J
=> (A x B ) • (C x D) = N • (C x D)
Hallar el volum en del tetraedro c u y a s aristas s o n los vectores
A = <2 ,1 , 3 ), B = <-3 , 0 , 6 ) y C = <4 , 5, -1)
S e g ú n la perm utación cíclica : N • (C x D) = D • (N x C )
Solución. Voi. del tetraedro = 4- (base)(altura)
«=> (A x B ) • (C x D) = D • (N x C ) = - D • (C x N)
= - D • [ C x (A x B ) ]
= - D • [ ( C * B ) A - (C * A)
= - (C • B ) ( D • A ) + (C • A ) (D • B )
h I)
=* V = I ( i | | B x C
B ]
Dado q ue 11 h 11 = Il P ro y NA
I = i C o m p NA
y por la propiedad conm utativa del producto e sc a la r
(A x B ) • (C x D) = (A • C )(B • D ) - (A • D )(B • C )
=>v= l ( l l B x C l l ) l,v ‘ B x n l = - M a - B x C
6
E je m p lo
11
J
L o s v e c to re s d e p o s ic ió n , c o n re sp e c to al o rig e n , de los
p untos P, Q y R s o n A = <3 , - 2 , -1 >, B = (1 , 3 ,4 ) y C = ( 2 , 1 , -2),
respectivam ente. Hallar la distancia del punto P al p lan o O Q R .
Solución.
6
llBxCll
2
l
-3
0
4
5
3
6 = J - | -84 I = 14 u ’
I
6
Re firié n d on o s a la Figu ra 4.42 , v e m o s que
E je m p lo
d = 11 P ro y NA 11 = I C o m p NA I
El volu m en de un tetraedro e s 5 u 3 ; tres de s u s vértices están
14}
en los p untos A (2 , 1 , - 1 ) , B (3 , O , 1) y C (2 , -1 , 3). Hallar las
1A . N| J
i—*v ¿y
B xC =
3
4
1
-2
i-
A • (B x C )|
IN II
llBx cll
1
4
1
3
2
-2
2
1
i+
(1 )
co o rd e n a d a s del
cuarto vértice D si s e s a b e q ue e stá en el eje OY.
Solución. S i el
vértice D está so b re el eje Y , e n to n ce s : D (O , y , 0)
T o m a n d o el vértice A co m o origen , la representación de p osición de
k = 5<-2 , 2 - 1 >
las aristas e stá n d a d a s por los vectores
A . ( B x C ) = 5 < 3 , - 2 , - 1 > . (-2 , 2 , - 1 ) = -4 5
a = AB = (3 , 0 , 1) - <2 , 1 , -1> = <1 ,-1 ,2 )
P o r lo que , en ( 1 ) te n e m os :
b = Á C = <2 , - 1 , 3) - <2 , 1 , - 1 ) = <0 , - 2 , 4)
I - 45 I
d=
= 3
c = A D = <0 , y , 0) - <2 , 1 , -1) = <-2 , y - 1 , 1>
5 \4 + 4 + 1
1
Ahora , si V = -j- I (a b c) I ■=> 5 =
E je m p lo
12
J
6
Hallar el volum en del p arale le pípe d o que tiene por aristas los
vectores A = <3 , -1 , 1 ), B = <2 , 3, -2) y C = <1 , 4 , 3).
Solución.
La m edida del volum en del parale le pípe d o e stá d a d a por
3
V =| A •B xC | =
2
-1
46
-1
0 - 2
-2
y -1
2
4
1
c=> 30 = I 1(-2 - 4 y + 4) - ( - 1)(0 + 8) + 2(0 - 4) |
de d ond e o b te n e m o s : I I - 2y 1 = 1 5 <=> 1 - 2y = 15 ó 1 - 2y = -15
<=> y = -7 ó y = 8
1
En c o n se c u e n c ia , h a y d o s so lu c io n e s : D (0 , -7 , 0)
y
D (0 , 8 , 0 )
1
<=> V = 3
3
-2
4
3
( - 1)
+ 1
E je m p lo
15
)
C o n los vectores a . b y c de R ' e s p osible form ar un paralele-
246
Capítulo 4: Vectores en el espacio
p íp e do de volum en V. Hallar el volu m en del p arale le p íp e d o qu e s e p u e d e formar
a = C D = D - C = <7 , -1 , - 6)
,b = C D = B - C = <-6, 0 ,
con los vectores 2 a - b , 2 a + b , a + 3 c
Solución. S i V = I
=>
V ’= I
7
V = (a b c) = - -6
(a b c ) | = | a - ( b x c ) l = l b - ( c x a ) | = | c - ( a x b ) |
2
(2 a - b) • [(2 a + b) x (a + 3c)] I
= I (2 a - b) • [(2 a + b) x a + 3(2 a + b) x c)] |
-I
-6
0
15
-3
10
15) ; c = C F = <2 ,-3 , 10)
= 117u'
(PV.1)
= I (2 a - b) • [2 a x a + b x a + 6 a x c + 3 b x c ) ] |
(PV.2)
= I ( 2 a - b) • [2(0) + b x a + 6 a x c + 3 b x c ]
(PV.6)
= l 2 a * ( b x a + 6a xc + 3 b x c ) - b * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c )l
P o r definición :
247
Sudón 4 .8 : El producto mixto de vectores
E J E R C I C I O S : Grupo 28
1. Estab le ce r si lo s v e cto re s A , B y C form an u n a b a se en el conjunto de todos los
a • (b x a) = a • (a x c) = 0 y b • (b x a) = b • (b x c) = 0
ve ctore s , s i :
«=> V ’ = | [2(0) + 6(0) + 6 a • (b x c)] - [(0 + 6 b • (a x c) + 3(0)] |
= 16 a • ( b x c ) + 6 b - (c x a) |
a) A = <2, 3 , - 1 ) , B = <1 , -1 ,3 ) , C = <1 , 9 , - 1 1 )
(PV.4)
= 1 2 1(a b c) I = 12 V
b) A = <3 , -2 , 1) , B = <2 , 1 , 2) , C = <3 , -1 , -2)
■
2.
D e m o s tra r q u e p a ra c u a le s q u ie ra A , B y C e n R ' , lo s v e c to re s A - B . B - C
y C - A s o n co plan a re s. C u á l e s el sentido geom étrico de este h e c h o ?
E je m p lo
16
J
L o s p untos A y H , B y E ; C y F , D y G , s o n re sp e ctiva m e n te ,
3.
vértices o p u e sto s de las c a ra s A B C D y H E F G (o p u e sto s) de
un p a ra le le p íp e d o . H a lla r s u v o lu m e n , s a b ie n d o q u e : A ( 4 , 0 , - 1 ) , F (x , y , 0),
C P = (-1 , 3 , 7 > , B D = <13 , -1 , -2 1 ), P F = P royA-FC F = < 3 , - 6 , 3).
Determ inar el valor de k de m od o que los cuatro p u ntos d a d o s . A(1 , 2 , -1) ,
B (0 , 1 , 5 ) , C(-1 , 2 , 1) y D (k , 1 , 3 ) estén situ a d o s en un plano.
4.
D e m o stra r las identidades
a) (A + B + C ) * ( A - 2 B + 2 C ) x ( 4 A + B + 5 C ) = 0
Solución. L a Figura 4.44 m uestra el p aralelepípe­
b) (A + B ) • B x (A + B ) = - (A B C)
do de a cuerd o a los d atos dad os.
c) (A - B ) • (A - B - C ) x (A + 2 B - C ) = 3 ( A B C )
S i P F = P royA-FC F = <3 , -6 , 3) => ÁF11 3<1 . -2 , 1)
{
d) V a . f i e R . A * B x ( C + a A + p B ) = ( A B C )
x -4= t
5.
y - 0 = -21
d o n d e r , s y t s o n n ú m e ro s reales distintos , s o n linealm ente independientes.
6. S e a n lo s ve ctore s A = <r -1 ,1 , r ) , B = <1 , r -1 , r - 2) y C = <1 , r , r). Hallar los
1= t
va lo re s de r para q ue A , B y C s e a n linealm ente independientes.
L u e g o , x - 4 = 1 -> x = 5 , y = -2 => F(5 , - 2 , 0)
P F = <3 , -6 , 3> <=> P = F - <3 , -6 , 3}
F IG U R A 4.44
=> P = <5 , -2 , 0) - <3 , -6 , 3) = <2 , 4 ,
C P = <-1 , 3 . 7 )
D e m o s t ra r q u e lo s v e c to re s A = <1 , r , r2 ) , B = <1 , s , s 2) , y C = <1 , t , t2 ) ,
'
7.
va lo re s d eb e tener k p ara ve cto re s A . B y C s e a n linealmente independientes,
-3)
C = P - < - l . 3 , 7> = <2 . 4 , -3> - <-1, 3 , 7 ) ==> C = <3 , 1
D a d o s lo s ve cto re s A = <2 - k , -2 , 3 ) , B = <1 , 1 - k , 1) y C = <1 , 3 , -1 - k ) ; qué
y que va lo re s d eb e tener k para que s e a n linealmente d e p e n d ie n te s?
,-1 0)
S i las intersección de las d ia g o n a le s A C y B D e s M , e n to n ce s
8 . L o s ve cto re s de p osición , co n respecto al origen , de lo s p untos P , Q y R so n
lo s ve cto re s A . B y C , respectivam ente. Hallar la distancia del punto P al plano
M = | ( A + C) = -|<7 , 1 , - 1 1 ) c=> M D = 4 B D <=> D = M + i B D
OQR.
a) A = <3 , 4, -4 ), B = <-5 , 4 , -2 ), C = <-6 , - 7 , 2 )
<=* D = i < 7 , 1 , - H ) + I < 1 3 , - l , - 2 I ) = <10, 0 , - 1 6 )
b) A = <3 , -1 , -3 ). B = <1 , 0 , 3 ). C = <2 , -2 , 3)
A d e m á s , si B D = <13 , -1 , - 2 1 ) <=> B = D - <13 , -1 , - 2 1 )
= < 1 0 , 0 , - 1 6 ) - <13,-1 , -21) = <-3 , 1 ,5 )
C o n o c id o s los vértices B , C , D y F , p o d e m o s hallar la re p re sen tación d e p osición
de las aristas m ediante los vectores
9.
S i los ve cto re s A , B y C s o n las a rista s de un paralelepípedo , hallar su
vo lum en , s i A = 6 j - 4 k . B = <4 , -2 , 1 ) y C = 4 i + 3 j - 4 k
248
10.
Capítulo 4: Vectores en el espacio
H a lla r el v o lu m e n del te tra e d ro c u y o s v é rtic e s s o n lo s p u n t o s A(1 , 0 , 1 ) ,
B (3 , 1 , 0 ) , C ( - 1 , 0 , -5) y D(-1 , - 1 ,-1 0 )
11.
E n un tetraedro de vértices en A(1 , 1 , 1), B (2 , 0 , 2 ) , C (2 , 2 , 2) y D (3 , 4 , -3),
hallar la altura h = || D E II
12.
D a d o s lo s vé rtice s d e un tetraedro : A ( 2 , 3 , 1 )
, B (4 , 1 , - 2 ) , C (6 , 3 , 7 ) y
D (-5 , - 4 , 8 ) , hallar la longitud de s u altura bajada d e sd e el vértice D.
13.
en
CfPflCIO
rectas
D a d o s los vértices d e un tetraedro : A (2 , - 1 , 1 ) , B (5 , 5 , 4 ) , C (m , 2 , - 1 ) y
D (4 , 1 , m) ; hallar el valor d e m sa b ie n d o qu e s u vo lu m en e s de 3 u3.
14. S i A = (1 , 3 , -1 ), B = (-2 , 4 , 3) y C = (m + 2 , m , m - 2) s o n tres ve cto re s en R \
determ inar los va lo re s de m para qu e el vo lum en del paralelepíped o que se
form a con A , B y C s e a 4 0 u 3.
15.
L a s a ris ta s d e un p a r a le le p íp e d o s o n p a r a le lo s a lo s v e c to re s <1 , 0 , 0 ) ,
(2 , 3 ,0 ) y (-4 , -5 , - 6). S i u n a de la s d ia g o n a le s e s el vector (0 , -4 , -1 2 ), hallar
el volum en del paralelepípedo.
16.
5.1 j E C U A C IO N V E C T O R IA L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C IO
D a d o s los p u ntos P (2 ,1 , 3 ) , Q(1 , 2 , 1 ) , R(-1 , -2 , -2 ) y S (1 , - 4 , 0 ) ; hallar la
m ínim a distancia entre los s e g m e n t o s P Q y R S .
17.
D a d o m * 0 y los ve ctore s no co p la n a re s A . B y C , determ inar el vector V , tal
q ue V x A = V x B y ( V A C ) = m.
Sea
■\
r£ u na recta en R ' tal que contienen a
^
un punto d a d o P ^ x , , y , , z,) y q ue e s paralela a las
Zi L
rep re sen tacion e s de un vector d ad o
S^P
f\y P ,
= (a ,b ,c)
E n to n c e s la recta H' e s el conjunto de p u n to s
a
▼■sa /7 / p .
Y ------------------------- ► Y
o
P(x , y , z) tales qu e P ,P e s paralelo al vector a.
Esto e s
P €
SB <=>
<=>
P ,P = ta
P - P, = t a
V
X
FIGURA 5.1
<=> P = P + t a , i e R
es una
(1)
ecuación paraniétrica vectorial de 7'.
7' s e p ued e escribir c o m o
E nton ce s
f = { P e R '| P = P, + t a , t e R }
E je m p lo
1
j
Hallar la e cu a ció n param étrica vectorial de la recta
p a s a por los p u ntos S ( 2 , 3 , -1) y T (5 , -3 , 1).
Solución. U n vector coincidente co n S T e s
a = S T = <5, -3 , 1 ) - <2 ,3 , - 1 ) = <3, - 6 , 2)
7 que
250
Capitulo 5: Rectas en el espacio
C o m o S e stá s o b re la recta
7 ', e n to n c e s s e g ú n (1) , s u e c u a c ió n paramétrica
<5?: P = <2 , 3 ,-1 ) + t <3 , -6 , 2)
v e c to ria le s
I O B S E R V A C I O N 5.3
■
Segm ento de recta _______________________________________ 1
| O B S E R V A C I O N 5.1
251
Sección 5. /. licuación vectorial de una recta en el espacio
Ecuaciones simétricas de una recta ______ __________________
S i d e sp e ja m o s t de ca d a u n a de las e c u a c io n e s ( 2 ) ob tene­
m os
Tal c o m o en el c a s o de lo s v e c to re s e n R - , si s e restrige el
d o m in io de t , en la e cu a ción ( 1 ) , a un intervalo
cerrado , e n to n ce s la gráfica de la ecua ción e s un
ecuaciones simétricas de la recta 7 . L o s
a ,b , y c s o n los n ú m e ro s directores de 7 , ya que s o n las co m p on e n te s
segmento de recta. •
Las e cu a cion e s (3) reciben el nom bre de
E n p a rticu la r, si 0 < t < 1 , e n to n ce s la gráfica e s el
términos
s e g m e n to ST.
de un vector de dirección de dicha recta.
S e p u e d e identificar a lo s p untos q u e están a una
distancia d a d a de S so b re T eligiendo a p roxim a ­
S i u n a recta e s paralela a un plano , e n to n ce s u n o de s u s n ú m e ro s direc­
FIGURA 5.2
tores e s 0. P o r lo tanto , no tiene e c u a c io n e s sim é tricas de la form a (3 ), p uesto que
dam ente ekparám etrc
uno de los d e n o m in a d o re s se ría cero. P o r ejem plo , si un a recta
7 e s paralela al
plano X Y , pero no a los ejes X e Y (F igu ra 5 .3), e n to n ce s tiene un vector direccional
de la form a
E j e m p lo
2
Solución.
)
(a , b , 0 ), d o n d e a * 0 y b * 0. A u n q u e 7 no tiene e c u a c io n e s de la form a
O b tener las c o o rd e n a d a s de lo s p u ntos qu e trisecan al seg-
(3), si contienen al punto P ^ x , , y, , z,) s e p ued e determ inar m ediante las e cu a cio ­
m entó de e xtrem os S (-6 , 1 , 5) y T (3 , 1 3 , - 1 ) .
ne s
x -x i
El vector direccional de la recta q ue p a s a por S y T e s
a
a = T - S = (3 , 1 3 , -1 > - <-6 , 1 , 5) = <9 , 12, - 6)
t (9 , 12 , -6), t e [0 ,
b
1]
sim p le m e n te la s e c u a c io n e s q u e e x p r e s a n la s d o s c o o r d e n a d a s c o n s t a n t e s
de ca d a p u nto s o b re la recta. A s í si la recta
= <-6 , 1 , 3) + 1 < 9 , 12
, - 6) = <-3 , 5 , 3>
P a ra t = 2/3 c=>C
= (-6 , 1 , 3) + | < 9 , 12
, - 6) = (0 , 9 , 1)
Conclusión.
x = x, , y = y,
Ecuaciones paramétricas cartesianas de una recta ________
S i en la e cu a ció n ( 1 ) e scrib im o s los ve ctore s P . P, y a en
función de s u s c o m p o n e n te s , e n to n ce s
(x , y , z) = ( x , , y , , z,) + t (fl,b ,c )
o bien
<x , y , z) = <x, + tü , y, + t¿>, z, + te)
q ue equivale a las tres e c u a c io n e s c a rte sia n a s
x = x + t a , y = y. + tb , z = z + t c
E s t a s tres e c u a c io n e s reciben el nom bre de
de la recta
S£.
7 , q u e e s p arale la al eje Z , p a s a por
P,(x, , y, , z,) q u e d a e spe cificad a por las e c u a c io n e s
B(-3 , 5 , 3) y C (0 , 9 , 1 ) s o n los p u ntos de trisección del se gm e n to ST
I O B S E R V A C I O N 5.2
1
sus n úm e ros directores s o n 0 , y en lugar de la s e c u a c io n e s sim étricas s e tiene
P a ra obtener los p u ntos de trisección B y C , h a c e m o s : t = 1/3 y t = 2/3
P a ra t = 1/3 «=>B
’
S i u n a recta e s paralela a uno de lo s ejes c o o rd e n a d o s , e n to n ce s d o s de
L u e g o , la e cu a ció n param étrica vectorial del se g m e n to S T e s
S T : P = (-6 , 1 , 3) +
_ y-yi
(2)
ecuaciones paramétricas cartesianas
La recta
rf in te rse ca al p lan o X Y en el punto S (x , , y, , 0 ) c o m o se indica en la
Figura 5.4
252
Capítulo 5: Rectas en el espado
Ejemplo 3
^
Hallar la e cu a ción sim étrica de la recta
.2?
Veamos si P,(0 , 2 , 3) e
qu e p a s a por los
L u e g o , v K a , , o s e a P, e
Solución. El vector direccional de la recta SL’ e s
a = S T = <5 , 3 , - 1 ) - ( 2 , 1 ,-4 ) = ( 3 , 2 , 3 )
Ejemplo 4
2
"
Como v 11 a, «=> ,5?, y 2?, s o n rectas coincide n te s , e s d e c ir , 5?, = .2?, y 2?, fl
3
- {P ,}
ÍL\ y 2', en el e sp a c io no s o n paralelas entonces,
o s o n c o n cu rre n te s
fl 5?, *■0 ) o s e cru za n en el e sp a c io
! O B S E R V A C I O N 5.5 S i d o s rectas
,-3,4)
= {<-3 , 7 , 5 ) + 1 (2 , -1 , 0 ) 11 e R>-
y e s paralela a la recta
7 , y 5?, no s o n coincidentes {2\ fl 2?, = 0 )
.
Hallar la ecuación simétrica de la recta c
£ que p asa por S(1
)
, por tanto ,
Trazam os el vector v = P, - P, = (6 , 1 , -4) - (2 , -1 , 2) = 2(2 , 1 , -3)
c/>• x - 2 _ y - 1 _ z + 4
"
P a ra ello tra za m o s el vector
Veam os a hora si P, e .2?, pertenece tam bién a
e n to n ce s la ecua ción sim étrica de la recta e s
3
, pertenece tam bién a
v = P, - P, = (0 , 2 , 3) - (2 , -1 , 2> = (-2 , 3 , 1> * (2 , I , -3)
p untos S (2 , 1 , -4) y T (5 , 3 , - 1 ).
Com o S e
253
Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio
j t * , n * 2 = 0 ).
!
= {P , + t a 11 e R } y
D a d a s las rectas no p aralelas ,
= {P , + s b I s e R }
y trazado el vector c = P, - P, , e n to n ce s p ara re co n ocer si e sta s rectas s o n c o n c u ­
Solución. L o s n ú m e ro s directores de 2?, s o n , a = 2 , b = -1 y c = 0
rrentes o s e cru zan en el e sp a cio , s e sig u e el siguiente criterio.
E n to n c e s , por (3 ), la ecu ación d e la recta b u sc a d a e s
1.
2 ', y 2?, s o n co ncu rren te s o
(a b c ) = 0
2 . .2 ", y 2 ', s e cruzan en el e sp a c io <=> (a b c) * 0
Ejemplo 6
' 5.2 ) P O S IC IO N E S R E L A T IV A S D E R E C T A S EN E L E S P A C IO
J
7\ = x + 4
D a d a s la s rectas
z - 3 , J2?2 = { ( - 3 , - 2 , 6 > +
-1
1
t (2 , 3 , -4)} y ^ 3 : x = s + 5 , y = - 4 s - 1 , z = s - 4 ; establecer
cuales s o n con cu rrente s o c u a le s s e cru za n en el e spacio. E n el c a s o de que se a n
DEFINICION 5.1 Paralelismo de rectas
concurrentes , hallar el punto de intersección.
D o s rectas .5? = - P = P, + ta 11 s R } y
= <P = Q, + r b l r € R },
Solución. S i
s e dice qu e s o n p aralelas si los ve cto re s de dirección a y b s o n paralelos.
Esto e s
11
1.
** a 11 b
= {(-4 , 0 , 3) + r (1 , 3 , -1)} y
« 5 , -1 , - 4 ) + s (1 , -4 , 1)} ,
e n to n ce s para ca d a par e rectas te n d re m o s :
C o n 2? y 2',
a, = (1 , 3 , - 1 ) , a, = (2 , 3 , - 4 )
c, = P, - p , = (-3 , -2 , 6) - (-4 , 0 , 3) = (1 , -2 , 3)
1
O B S E R V A C I O N 5.4
S i d o s rectas
y
en el e sp a c io s o n p arale la s , entonces,
o son coincidentes ( SPX=
=> (a, a, c,) =
&2) o no se interceptan (.!?', fl 2 \ = 0 )
3
2
3
1
-2
-1
= -22 * 0
-4
3
L u e g o , <2?, y 2?, s e cru zan en el e sp a cio
Ejemplo 5
)
D a d a s las rectas
= {(2 ,
-1 ,2 )
+ 1( 2 , 1 ,
-3 » ,
= {(0 ,2 ,3 ) +
2. P a ra 5?, y
a, = (1 , 3 , -1 > , a, = ( 1 , -4 , 1>
Cj = P, - P, = (5 , -1 , -4) - (-4 , 0 , 3) = (9 , - 1 , -7)
s ( - 4 , -2 , 6 )} y 2?3 = {(6 , 1 , -4) + r( 6 , 3 , - 9 » . Estab le ce r si son
p a ra le la s o coincidentes.
I
3
Solución.
1
-4
L o s vectores de dirección de las rectas d a d a s so n
9
a, = (2 , I , -3> , a, = -2(2 , I , -3) , a, = 3(2 , 1 , -3>
P o r sim ple insp e cció n :
a, 11 a 2 11 a, =>
<B 1111 <l\
P or tanto 2?. y
-1
-I
1 = 42 * 0
-7
7\ s e cruzan en el e sp a c io
254
3.
Capítulo 5: Rectas en el espacio
P a ra S? y S£ y :
a, = <2 , 3 , -4), a, = (1 , -4, 1 >
* , = {<11 , - 3 , 2 ) + r < 2 , 0 , - 1 ) | r e R }
C 3 = P, - P , = (5 , -1 , 4> - (-3 , -2 , 6> = <8 , 1 , - 10)
Solución. S e a T e ( * , f| Si,",) y a, = <2 , 0 , -1>
2
8
P o r lo que ,
S i P e (.5?, f|
S i á ?,: P = (1 , -3 , 2) + r<2 , 0 , -1 ), r e R
3 - 4
1 - 4
(3, a, c,) =
= 0
1
y si T €
1 -10
S T l a, t=> S T • a ] = 0
SU) >=> 3 t , s e R tales que
«=> <2 r - 1 , - 2 , 1 - r) • (2 , 0 , -1 > = 0
(x ,‘y , z> = (-3 , -2 , 6) + t(2 , 3 , -4> = <5,-1 ,-4> + s<l , -4 , 1>
o
SL\ «=> T = <1 + 2 r , -3 , 2 - r)
ST= T- S = <1 + 2r, -3,2 - r)- <2, -1,1) = <2r-1, -2,1 -r)
S£. s o n rectas concurrentes.
y
255
Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio
(1)
de d on d e o b te n e m o s , r = 3/5
bien
Luego : S T = <|--1 , -2 , 1 - } > = | <1 , - 1 0 , 2)
21- s = 8
{
3 1+ 4 s = 1
Com o
a 11 S T *=> a = t <1 , - 10 , 2>.
4 t + s = 10
t= 3
*
R e so lv ie n d o la s
d o s prim eras e c u a c io n e s o b te n e m o s :
y
L u e g o , en (1 ):
<x , y , z> = <-3 , -2 , 6) + 3 < 2 ,3 , -4) «=* P(3 , 7 , - 6 ) e 5?,D
Ejemplo 9
j
DEFINICION 5.2 Perpendicularidad de rectas
D o s rectas
■
Hallar la e cu a ción de la recta que p a s a por el punto S(1 , - 4 , 6 )
y e s p e rp e n d ic u la r, en el e spacio, a la recta
2 \ = { P ( + t a } y SB2 = { P, + s b} s e dice q ue son
= {(3 , 2 , -1) +
r(1 , -1 , 2 )l r e R }
p erpend iculares si lo so n s u s ve ctore s de dirección , e sto e s
2 XLSB2 »
= {< 2 ,-1 , l> + t<l , - 1 0 , 2 > | t e R }
s = -2
Solución.
a lb
S e a n : P,(3 , 2 , -1), a, = <1 , -1 , 2) y v = S P ,
E n to n c e s , v = P, - S = <3 , 2 , -1) - <1 , -4 , 6) = <2 , 6 , -7)
r
Un vector norm al al plano form ado por los ve ctore s
v y a, e s :
Ejemplo 7
J
H a lla r la e c u a c ió n de la re cta S£ q u e p a s a p o r el punto
P ^ , 1 , 2 ) y e s p e rp e n d ic u la r a la s re c ta s 2' t = {<1 , 0 , 2 ) +
r(1 . -2 ,2 » y 5?2= {(2 , 6 , -3) + s (3 , 0
n, = v x a, =
, -1 )}
Solución. S i a, = <1 , -2 , 2) y a, = <3 , 0 , -1 ), y d a d o
que
1
3
P o r lo tanto , la ecu ación b u sc a d a e s ,
k
J
-1
= < 5 ,-1 1 ,-8 )
\
----
2
v /
'
_
\
j
k
1
-12
= 6 <5 , 3 , -1)
5
-11
-8
"^ a r
S
\
\
v
SP ■=> a = (5 , 3 , -1)
J
FIG U RA 5.6
* = { < 1 ,-4 ,6 ) + t < 5 ,3 ,-l)| t € R}
0 -1
■
Ejemplo
Ejemplo 8
1
Com o n, e s paralelo a la recta
-22= 2 i + 7 j - 6 k
Sf : P = <3 , 1 , 2) + t (2 , 7 , - 6), t e R
6 -7
i
P o r la definición de producto vectorial, el vector a e s perpendicular al plano form an­
a = a,xa,=
2
a,V\
k
res a ] y n i e s :
do a, y a , , e n to n ce s
j
j
y un vector norm al al plano form ado por los vecto­
SU L S (\ => a l a , , y tam bién S£ 1 S&2 => a _L a.
i
i
Hallar la ecu a ción de la recta q ue p a s a por el punto S ( 2 ,-1 ,1)
y e s p e rp e n d ic u la r en el p unto de in te rse c c ió n c o n la recta
7' q u e p a s a p o r la in t e r s e c ­
S¿\ = {<5 , -3 , 1) + t <3 , -4 , 7) 11 e R } y
■2*2 — •(4 , 2 , -9) + r (2 ,1, -3) I r e R y e s p erpendicular al plano form ado por * , y %
1 0 ^
H a lla r la e c u a c ió n d e la re cta
c ió n d e la s re c t a s
Capítulo 5: Rectos en el espacio
256
Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio
A B = B - A = <3, l , -3) - <1 , - 2 , - 4 ) = <2 , 3 , 1 )
Solución. S i P, e (J2?, (1 %2) => 3 t , r e R , tales que
< x ,, y , , z,) = <5 , -3 , 1 )+ t <3 , -4 , 7> = (4 , 2 , -9) + r (2, 1 , -3>
257
(2)
Á C = C - A = <5 , 1 , -7) - <1 , -2 , -4) = <4, 3-, -3)
( 1)
r 31- 2r = -1
áq
/ (2 , 3 , 1> • <4 , 3 , -3 )'
ProyA-cA B = () <4 , 3 , -3)
11 <4 , 3 , -3) 112
E n to n c e s : (3t - 2 r , -4 t- r , 7t + 3r> = (-1 , 5 , -10) <=> •< -4t - r = 5
L 7 t + 3 r = -10
R e so lv ie n d o las d o s prim eras e c u a c io n e s o b te n e m o s ,t =
r=
=
-1
P, = <5 , -3 , 1) - <3 , - 4 , 7 ) = <2, 1, - 6>
L u e g o , en (1 ):
S i a e s el vector d e dirección de
e n to n ce s :
?.+ 9 ~3
( 4 , 3 , -3) = - 1 ( 4 - , 3 , -3>(3)
(V16 + 9 + 9 )1
,7 M
1
Sustituyendo (2 ) y (3) en ( 1 ), ob ten e m os :
a = a ] x a,
H B = ^ (3 ,1 5 ,1 9 >
¡
<=> a =
j
k
3 - 4
2
7
= <5 ,2 3 , 11)
Si a e s el vector direccional de la altura H B y c o m o a 11 H B ■=> a = (3 , 15 , 19)
1 -3
Dado q ue B(3 , 1 , -3) pertenece a la altura H B , s u s e c u a c io n e s param étricas s o n
.2?= « 2 , 1 , - 6) + s (5 , 23 , 11 > I s e R>
E je m p lo 1 1 ~ }
S e a n la s re c t a s
SB, = { ( 3
x = 3 + 3t , y = 1 + 151 , z = -3 + 1 9 1
,4 , 0 ) + r (1 , 2 , -1 ) I r e R
y
(^ E je m p lo
13
3? = {<1 ,1 , 1) + s (1 , 0 , 2) I s e R }. H allar lae cu a ció n de una
^
D a d o s lo s vértices de un triángulo
C (-5 , 14 , -3). Hallar las e c u a c io n e s sim étricas de
recta que corta a í ^ e n A . a ^ e n B y a l eje X en C , de m od o q ue A B = B C
del á n gu lo interno del vértice B.
Solución.
rl \ <=> A = (3 + r , 4 + 2 r , -r)
Solución. La Figura 5.9 m uestra al A A B C y la repre­
se2 =» B = <1 + s , 1 , 1 + 2 s)
se nta ción de p osición de la bisectriz BD .
Si A €
Be
C e (Eje
X)
C = <x , 0 , 0)
{
Luego,
B C = (-5 , 14 , -3) - (1 , 2 , 7) = (-6 , 12 , 4 )
r = -1
Los ve ctore s unitarios en las direccion e s de B A y B C
-r + 0 = 2(1 + 2s) c=> s == -1/4
y
labisectriz
B Á = (3 , -1 , 1 ) - ( 1 . 2 , -7) = (2 , - 3 , 6)
j3 + ir + x = 2 ( l + s ) <=> r - 2 s + x = -l
A = (2 , 2 , 1 )
, 2, -7) y
E n to n ce s
D a d o que A B = B C => B e s punto m edio de A C
4 + 2r + 0 = 2( 1 ) o
A (3 , -1 , -1 ), B(1
■
son , re spectivam ente
B = <3/4, 1 , 1/2)
El vector de dirección de la recta
r£ e s
a = B A = A - B = i <5 , 4 , 2)
t
( 2 , - 3 , 6)
j
V4 + 9 + 36
_ (2 , -3 , 6)
7
w_
’
( - 6 , 1 2 , 4)
_ <• 3 , 6 , 2 )
V 3 6 + 144 + ?6
Luego , un vector en la dirección de la bisectriz B D e s
- {<2 , 2 , 1 ) + t<5 , 4 , 2) 11 e R }
b = u + v = - y (1 , - 3 , - 8 )
Ejemplo 1 2 j
D a d o s lo s vértices de un triángulo A(1 , -2 , -4 ), B (3 , 1 , -3) y
Por lo q u e , los n ú m e ro s directores de la bisectriz B D s o n : 1 , -3 y - 8. S i B (l , 2 , -7 )
C (5 , 1 , - 7 ) , hallar las e c u a c io n e s param é tricas de la altura
pertenece a la bisectriz , e n to n ce s s u s e c u a c io n e s sim étricas so n
bajada d e sd e el vértice B al lado opuesto.
Solución.
C o n s id é re s e el A A B C de la F igu ra 5.8 , en d o n d e :
H B = Á B - Á H = Á B - P ro y A-cÁ B
(1)
258
Capítulo 5: Rectas en el espacio
Ejemplo
14
^
L o s á n g u l o s q u e f o r m a n el v e c t o r a c o n
lo s v e c to re s
ortonorm ales (1 , 0 , 0), (0 , 1, 0 ) y <0 , 0 . 1 > s o n 4 5 ° ,
259
Sección 5.2: Posiciones relativas de rectas en el espacio
■=> ( b e d ) =
60° y 60°
4
3
2
-3
respectivam ente. L o s á n g u lo s qu e form an el vector b con d ic h o s ve cto re s so n 45°,
y
= -3 0 *0
7
-i
4 5 c y 90°, respectivam ente. H a lla r : a) El á n gu lo entre a y b. b) L a recta que p a sa por
luego ,
A(1 . 1 , 1) y e s paralelo al vector a + b , sie n d o a y b unitarios.
Dado que lo s v e cto re s de dirección de
s e cru za n en el e spacio.
Solución.
L a e cu a ción que permite e x p re sa r un vector en térm inos de s u módulo
c o p la n a re s (lin e a lm e n te d e p e n d ie n te s ) , tr a z a m o s
y de s u s c o s e n o s directores e s
éstos so b re un p lan o de m od o que s u s p u ntos inicia­
les co inciden co n P (F igu ra 5.10). A d e m á s c o m o í?
a = 11 a 11 ( C o s a , C o s p , C o s Y )
forma á n g u lo s ig u a le s co n J?", y
E n to n c e s :
Luego;
b = I b 1 ! ( C o s 45° , C o s 45 c , C o s 90°) =
a • b = l | | a I I I I b I I (2 + * 2 )
4
~
,,
a
b
, s u vector de direc­
ción e s bisectriz del á n gu lo entre b y c o entre b y -c.
a = I ; a 11 (C os45° , C os60° , C os6 0° ) = Ü A Ü (V 2 , 1 , 1 )
Del m ism o m od o :
X , <2?, y (J \ so n
b
<=> a =
(\2 , \2 , 0> „
( 4 ^ 0 ) + <2.-3.6)= ^
c
5
o a =
=1± £
llbll
4
7
(4,3,0)
(2 , -3 , 6>
2
5
7
35
llcll
Z ' = {(1 , 3 , - 1 ) + 1<19 , 3 , -15)1 l e R } o
a) Si C o s 0 = - - a- * ^
Hall llbil
Co s e = - +
4
<=> e = are C o s
\
4
,7' - {(1 , -2 , 4 ) + 1 (2 , 1, -2) t e R } y lo s p u n to s
P (-2 , 3 , 5) y C (a , b , 2 ), e sta n d o C so b re la recta !£.
a) Hallar la s e c u a c io n e s de las rectas qu e p a sa n por P e intersecan a 7 \ de tal
E je m p lo
, 1)
■
7 , p a s a p o r lo s p u ntos A (2 , 1 . 1) y B (6 , 4 , 1 ) y
otra recta 7'2 p a s a por C(1 , 3 , -1) y D (3 , 0 , 5 ) . S i 7 e s una
recta que p a sa por P(1 , 3 . - 1 ) form ando un m ism o á n gu lo co n 7\ y 7 tal que los
ve ctore s de dirección de las rectas 7 , 7 y y 7’2 s o n linealm ente d e p e n d ie n te s , hallar
la e cu a ción de 7'.
x
Solución.
j
U n a re c ta
L o s vectores de dirección de las rectas
7\ y 7 \ so n
b = Á B = (6 , 4 , I) - (2 , I , f> = (4 ,3 ,0 )
c = C D = (3 , 0 ,5 ) - (1 , 3 , - 1 ) = <2 , -3 , 6)
E n to n c e s s u s e c u a c io n e s ve cto riales s o n
1
S e a la recta
m an e ra que los p untos de intersección disten 9 u n id a d e s de C.
b)
15
hallar la e cu a ció n de la recta q ue p a s a por P y s e a ortogonal a f y a las rectas
o b ten id as en a).
Solución. D a d o qu e C (a , b , 2) e 7 , e n to n ce s
(a ,b , 2 ) = (1 + 2 t ,-2 + t , 4 - 2 t ) .
c=>
{
aU == 1I ++ 2Z tl
Com o
'/,=»{( I , 3 , - 1) + s (2 , -3 , 6) I s e R
|
= -2 + 1
2=
= 4 -- 2t c=
<=>
> 1=1
Un vector unitario en la dirección de
X es
u = _ a — = <2 , l . - 2)
Hall
3
a) A C = 11 A C 11 u <=> A = C - 3 (2 , 1 , -2)
= ( 3 , - 1 , 2 ) - ( 6 , 3 , -6) = ( - 3 , - 4 , 8)
C B = ||CB|| u <=* B = C + 3 ( 2 , 1 , - 2 )
= < 3 , - 1 , 2 ) + ( 6 , 3 , -6) = (9 , 2 , -4)
7 , /K 7 . v e a m o s si s o n co n cu rrente s o s e cru za n en el e spacio.
S e a d = Á C = (I , 3 . -I> - (2 , I , 1) = <-! , 2 , -2)
'v
*= +,
V, = {(2 , I , 1) + r(4 , 3 ,0)1 r e R>
y
& = {{ 1 , 3 , - l ) + t ( 7 , 18, 15) 11 e R>
I
7 : P = (l , I , l) + t ( 2 \ 2 , I + \ 2 , 1), l e R
E je m p lo
(7, 18 , 15)
?.)
e s el á n gu lo entre lo s vectores a y b.
b) D a d o q ue a y b s o n unitarios , e n to n ce s : a + b = (v 2 ,
i
35
P o r co n sig u ie n te :
7\ = {P + t A P } = {(-2 , 3 , 5) + t (1 , 7 , -3)1 1 e R }
5c', = { P + t B P } = { ( - 2 , 3 , 5 ) + t ( - ll , 1 ,9)1 t e R }
260
b)
Capítulo 5: Rectas en el espacio
7 \ requerida q u e no a p a re c e en la F ig u ra 5.11 , p a s a p or P y es
7\ y 7 \ , e n to n ce s s u vector de dirección
La recta
EJERCICIOS :
Grupo 29
11.
7\ y 7 2 rectas en R ’ , tales qu e 7.\ e s paralela a 0 2 : x = V2 y = \ 2 z ,y 7’2
Sean
261
perpendicular al plano ge n e ra d o por
p a sa por el punto Q (-2 ,7 , 13) y por el punto m edio del se gm e n to A B , donde
se rá paralelo a la norm al de dicho plano , esto e s
A(-2 , 3 , 4) y B (3 , -2 , -3). Hallar el á n gu lo q ue form an
_
n = ÁP x BP =
'
I
-II
j
7
k
-3
1
9
12.
= 6 <11 , -7 , 13) «=> a , = <1 1 , -7 , 13)
U n a recta
7' p a s a por el punto A (2 , 1 , 3) y form a co n lo s ve cto re s < 1 , 0 , 0 ) ,
dirección para y , de norm a 1 y dar las e c u a c io n e s param étricas de ésta.
■
13.
H a lla r la e c u a c ió n d e la re cta q u e p a s a p o r la in te rs e c c ió n d e la s re cta s
= {<-1 , 4 , -3) + r <5 , -2 , 2 )} y
perpendicular al plano form ado por
E J E R C I C I O S : Grupo 2 9
14.
x = >
l 2x= z
H a lla r la e c u a c ió n p aram é trica vectorial d e la recta q u e p a s a p o r lo s puntos
S (1 , -2 , -3) y T (2 , - 3 , 2).
15.
P o r los p u n to s A (-6 , 6 , -5) y B (1 2 , -6 , 1) s e h a tra za do u n a recta. Hallar los
3.
''
H a lla r la s c o o r d e n a d a s de lo s p u n to s q u e d ivid e n en 4 p a rte s ig u a le s al
la recta
7.
j
s (0 , 2 , 1) I s e R } y
la recta que corta a
’
Y jJ
1
_
z+ 2
2
S(-1 , -2 , 1 )y e s perpendicular a
7\
71Y
r<1 , 0 , - 2 ) | r e R } , i ^2 = {<3 , 0 , -2) +
7 \ = {<3 , 2 , 0) + t <0 , 3 , 1.) 11 e R }. Hallar la ecuación de
7\ , (J'2 y 7 \ en los p u ntos A , B y C respectivam ente, de
17. D a d o s los vértices de un triángulo A (2 , -1 , -3), B (5 , 2 , -7) y C ( - 7 , 1 1 , 6 ) , hallar
7.
la e cu a ción vectorial de la bisectriz del á n gu lo externo del vértice A.
H allar la e cu a ció n vectorial de u n a recta que p a s a por el punto A (2 . 1 , - 1 ) y
18.
7 \: P = <1 , 1 , 1) + r<2 , 4 , 5 ) , r e R . y 7 \ : eje X.
H allar las e c u a c io n e s sim é tricas de la recta que p a s a por el punto A(-1 , 2 , -3),
e s perpendicular al vector v = <6 , -2 , -3) y s e corta co n la recta
pasa
7> ■ x _ l i = y + 1 = L l l
por el punto C (2 , -3 , -1) y corta perpendicularm ente a '/,. Hallar la ecuación
’'
7 .
19.
D e m o stra r q u e la s re cta s , d a d a s m ed iante s u s e c u a c io n e s p aram é tricas
7\ : x = 2 t - 3 , y = 3 t - 2 , z = - 4 t + 6 y 7'2 : x = t + 5 , y = -4t - 1 , z = t - 4
_ X = ü ll
" -3
4
X + 1l _ yJ +• 3“ __ /.Z - c2.
3
20.
w
y
rj .
2'
cuál d eb e se r el valor de m para q ue
_X_i3 _
m
y jJ ^
4
_
~
e sta s rectas s e a n c o n c u rre n te s?
2
-5
H allar la s e c u a c io n e s sim é tricas de la recta que p a s a por el punto A (-4 , - 5 , 3 )
y- .
S e dan las rectas
■ * +2
' ’
2
3
y s e corta co n las d o s rectas
s o n concurrentes.
7
2
que p a s a por el punto A (-2 , 1 , 3) e s p erpend icular e interseca a
8 . U n a recta V , p a s a por los p u ntos A (2 , -1 , 1) y B (3 , 2 , - 1 ) y otra recta f
10.
fJ¡ . x = _2
„
7
m od o que B s e a el punto de trisección , m á s c e rc a n o de C , del se gm e n to A B .
corta a las rectas
9.
4
7\ = { < 2 , 3 , 2 ) + t< 2 , -1 , 0)| t e R .
: P = <2 , 2 . 1) + t ( 1 , 0 f - 1 ) , t e R . Hallar la e cu a ció n vectorial de
vectorial de
3
16. D a d a s la s re cta s 2?, = {<2 ,-1 , 3 ) +
Hallar la ecua ción de la recta q ue p a s a por el punto A (3 , 0 , -1) y e s perpendi­
cular, en su punto de intersección con la recta
6 . U n a recta
- y + 2 _ 5j_z
2
(en el e sp a cio ) y corta a
se gm e n to de extre m os A (-1 , 2 , 1) y B (7 , 6 , - 1 1 ) .
5.
¿2L = {<1 , - 2 , 0 ) + s<1 ,2 , 1 ) | s e R >
. hallar la ecuación de la recta que p a s a por
Hallar las c o o rd e n a d a s de los p untos de trisección del se g m e n to c u y o s extre­
m o s s o n S (6 , 0 , -3) y T (-6 , 9 , -12).
4.
y
D a d a s las rectas qu e s e cruzan
f/, . x_i ±
p u ntos de intersección de esta recta co n lo s p la n o s co o rd e n a d o s.
= {<-2 , 4 , 13) + s <3 , -1 , -10)} y e s
7 \ y SP2.
Hallar la e cu a ción de la recta q u e p a s a por P (0 ,1 , 1) y corta a la rectas
.7'.: S
2.
7’2.
< 0 , 1 , 0) y < 0 , 0 , 1 ) , á n g u lo s de 4 5 ° , 60° y 7 respectivam ente. Hallar un vector
7', = { P + ta,} = {<-2 , 3 , 5) + t<l I , -7 , 13) 11 e R}
1.
y
-2
-1
..
’
a,a , . . x - 2 _ y + 1 _ z -1
2*
2 3 -5
H a lla r la s e c u a c io n e s p a ra m é tric a s d e la p e rp e n d ic u la r c o m ú n a la s d o s
rectas , d a d a s por las e c u a c io n e s
2
3?1 : x = 3 t - 7 , y = - 2 t + 4 , z = 3 t + 4 y f l ? 2 : x = t + 1 , y = 2 t - 9 , z = - t - 1 2
262
Capítulo 5: Rectas en el espado
Solución. P o r sim ple in sp e cció n , un punto de la recta <B e s T (3 , 2 , -3) y s u vector
2 1 . Hallar el punto sim étrico de P (3 , 2 , 1 ) , respecto de la recta
d e d irección e s a = (2 , - l ,3). E n to n c e s , un vector q u e v a de T a S es:
'/' = {( 1 . 2 , 1) + t (2 , 3 , 2V3)| t e R }
22.
v = T S = (1 , -1 , 2 ) - (3 , 2 , -3) = (-2 , -3 ,5 )
S e a la recta 7 '= { ( 1 , 2 , 3 ) + t ( 1 , -2, 2>l t e R } y los p untos P (3 , 3 , 1 ) y Q ( 2 , r, s),
e sta n d o Q en la recta
7'.
a) Hallar las rectas qu e p a sa n por P e intersecan a
7' , d e tal m an e ra que los
7 y a las rectas obtenidas
i
j
k
2
-1
3
-2
-3
5
y
a 11 = \ !4 + 1 + 9 = \1 4
<=* a x v =
p u ntos de intersección disten 6 u n id a d e s de Q.
b) Hallar la recta que p a s a por P y s e a ortogonal a
263
Sección 5.3 : Aplicaciones de la recta en el espacio
L u e go ,
11 a x v 11 = 4 \ I + 16 + 4 = 4 V 2 Í
= 4 ( 1 , - 4 , -2>
en la parte a).
Finalmente , por la fórm ula (17) :
d { S , 5?) =
= 2^6
■
■vl4
5.3 1 A P L IC A C IO N E S D E LA R E C T A E N E L E S P A C IO
Ejemplo 2
J
Hallar la distancia del punto S ( 5 , -3 , -4) a la recta
<£ : y + 4 = 0 , x + z = 3
TEOREMA 5.1 Distancia entre tttt punto y tina recta en el espacio
La distancia entre un punto S y u n a recta
7 en el e sp a c io viene
Solución.
L a s e c u a c io n e s sim étricas de la recta
d ad a por
P o r insp e cció n , un punto so b re
d ( S , W) =
lia x f S l l
es a = (1 , 0 , - 1 ).
l i a II
Ahora , si v = f S
d o n d e a e s el vector de dirección de la recta
7 " 3
7' e s T ( 0 , -4 , 3) y s u vector de dirección
<=> v = (5 , -3 , -4) - (0 , -4 , 3) = (5 , 1 , -7>
7 y T e s un punto cualquiera de la
<=> a x v =
recta.
i
j
k
1
0
-I
5
D em ostración. S e a la recta / de ecu ación
7 - •P = T + i a i e R :
v
7' s o n : — = — j— , y = -4
Luego , 11 a x v 11 = \ 1 + 4 + I = \'6 y
1
= ( 1 , 2 , 1)
-7
a i I = v I + 0 + 1 = V2
Por tanto , aplicand o la fórm ula (17) ob ten e m os : d { S ,
7') = V3
E n la Figura 5.12 s e o b se rva que la
d( S , 2 ) = Il f S II Sentì
d onde 0 e s el á n g u lo entre
ay
^ " e j e m p lo
T S.
J
D e s d e el p u nto S ( 4 , 5 , - 1 ) s e tra z a u n a p e rp e n d ic u la r a la
recta á? = {(2 , -1 , 1 ) + r(1 , 2 , -2) I r e R }. A qué distancia del
P o r la propiedad 2 del Teorem a 4.3 , te n e m os
P o r tanto ,
3
punto A (5 , 2 , - 2 ) s e halla dicha perpe nd icu lar?
Max T S 11 = Ila || N f S l l SenO
11 a x T S 11 = 11 a ! | d (S , 7 )
Solución. S i .2?,: P = (2 , -1 , 1> + r (1 , 2 , -3 ), r e R ,
por insp e cció n , P 1( 2 , - l , 1 ) y a = (1 , 2 , - 2 )
a xv
d (S , 9 ) =
(17)
TíaTT
SiT€
®x c=>T = (2 + r , - l + 2 r , l - 2 r )
Luego , T S = S - T = (2 - r , 6 - 2 r , 2 r - 2 )
S i S T l a , => ( 2 - r , 6 - 2 r . 2 r - 2 )*(1 , 2 , - 2 ) = 0
e je m p lo
1
j
Hallar la distancia del punto S(1 , -1 , 2) a la recta
_ > -2 _
9' .• *x_-_3 _
2
-1
7.
+3
=> 2 - r + 1 2 - 4 r - 4 r + 4 = 0
r= 2
Por lo que : T = (4 , 3 , -3) y Í S = 2(0 ,J , 1)
Refiriéndonos a la Figura 5.13 , v e m o s que a
IT S
Capítulo 5: Rectos en el espacio
264
•=> a = <0 , 1 , I) e s el vector de dirección de la recta &' 1
Luego : a x b =
¡
j
0
I
1
1
-1
I
Construim os d o s p la n o s parale los p , y p , q ue c o n ­
tengan a la s rectas
S i b = Í A <=» b = (5 , 2 , -2) - (4 , 3 , -3) = (1 ,-1 , 1)
265
Sección 5.3: Aplicaciones de la recta en el espacio
y .2?, respectivam ente. C o m o
la normal n a a m b o s p la n o s , e s perpendicular a lo s
k
=<2 >l,-l)r=>
a x b l = V 6 y !! a l= V 2
d{2\ ,
en d o n d e :
A h o ra , h acie n do u s o de la fórm ula (17) , o b te n e m o s
fJ \ y r£ ,, e n to n ce s
vectores de dirección de
y
v = P ,P ,= P , - P ,
d (A , y ) = 4 1 = V3
V2
= I C o m p nv |
d (t,
=
n = a, x a.
lv.nl = 1(p: - P,) • (a,xa:) I
IlnIÌ
lia, x a,||
FIGURA 5.15
f I
Ejemplo
4
J
Hallar la ecuación de la recta qu e p a s a por el punto P(1 ,-3 ,-4 )
y corta al eje X , sa b ie n d o q u e la d istancia del orige n de coor­
[
d e n a d a s a dicha recta e s 5 unidades.
—>
Solución. S e a n : A (x , 0 , 0 ) , v = P O = <-1 , 3 , 4) y
c=> a x v =
x - I
j
k
3
4
- 1 3
5
^
C a lcu la r la d istancia entre las rectas
a, . x -1
v
a = P A = (x - 1 , 3 , 4 )
¡
E je m p lo
d( 0 , 7‘) =
y de
= x (0, -4
— y + 1 = z-4
y
2‘ 2
-1
1
<B2. P ,(0 ,-1 ,4 ) , a, = <2 ,-1 , 1)
P, - P, = <-l , -l , -l )
,3)
i
4
a, x a, =
5 Ix I
^ 1
a 11
z -5
-1
4
Solución. D e 7\ o b te n e m o s : P ((l , 0 , 5) , a, = <3 , 4 , -1)
I a x v ! | = | x | V0 + 16 + 9 = 5 I x|
Si
y_
3
<=> x = 13
V x : - 2 x + 26
Luego , por la fórm ula (18) :
i
k
3
4 - 1
2
-1
d (2 \ , 2 \) =
= <3, -5 ,-II)
1
K - l ,- 1 , - 1 )-< 3 , -5 , - 1 1 )|
13
\ 9 + 25 + 121
VT55
/. y = { < l , -3 , -4) + 1 <12, 3 , 4 ) 11 e R }
e je m p lo
6
^
TEOREMA 5.2 Distancia entre dos rectas en el espacio
L a distancia entre d o s rectas
7\ y
Hallar la distancia entre las rectas
ST'l : x = 3 t , y = - 4 - t , z = -18 + 4t
y
2?2 : ^ _ ± Z = ^
en el e sp a c io , viene dad a
a, = <3 . -I ,4 )
p or
I
d { 3 \ , Z\) =
d ond e los p u ntos P ( e y , y P, e
, = <3,-1 , 4 )
(P, - P.) • (a, x a,) |
}
' I a, x a j I
C om o a, = a, <=*
7 \ , y a ( , a, s o n los ve cto re s de dirección de
calcular la
7: y CB respectivam ente.
2?, ||
f
; lue go , no e s posible
'/?,
N
P.
d( 7\ , 7\) por la fórm ula (18) .puesto que
a, x a, = 0
V/
d
C o n su lta n d o co n la F igu ra 5.16 , v e m o s que
fJ\
D em ostración.
S e a n las rectas n o p arale las
f¿ \ = { P ( + ( a, |t e R } y 7 \ = {P , + ra, I r e R }
Si V = P, - P, = <-7 , 5 , 9 ) - <0, -4 , -18) = (-7 , 9 , 27)
v
cf/
P,
a,
FIGURA 5.16
y
266
CICIOS :
Capitulo 5: Rectas en el espacio
<=> v x a. =
d( 7
i
j
k
-7
9
27
3
-1
4
7') =
Vxa
ü
11 a. 11
267
Grupo 30
E J E R C IC IO S : Grupo 30
= <63 , 109 , -20)
1.
H allar la d ista n c ia del punto S ( 3 , -1 , 5) a la recta q u e p a s a por lo s p u n to s
A (3 , -2 , 4) y B (0 , 4 , 6 ).
= ^ 16,250 = 25
\'26
2.
Hallar la distancia del punto S(-1 , 2 , 3) a la recta
5? = {<7 , -3 , 0 ) + 1<6 , -2 , 3) 11 e R }
E je m p lo
7
^
3.
D a d a s la s rectas
1 ‘
2
d istan cia entre la s rectas 5?, = {(1 , 2 , -2) + 1 <0 , 4 , 2 ) 11 e R }
y
= x + 4 = 0 , y + z = 6.
Z+ 1
y-1
1
. x+6
H allar la
x-
3 _ y
-1
- t
que s e cru zan en el e sp a cio : determ inar un punto A e
• z=2>
4.
7\ y otro punto B e 7 2 , tales
Hallar la d istancia entre las rectas
, y = 4 , y 2 ? 2:x + 1 =
y -2 = z
que la distancia de A a B se a m ínim a , a s í como, la recta que los contiene.
5.
Solución. S i 2?, = {<-6 , 1 . -1) + r ( 2 , 1 , - 1) I r e R }
a, = <2 , I , - 1 ) y
6. D e s d e el
a, = < 1 , 2 , 0 )
7 que los d eb e se r perpendicular
7\ y 7\ , cu yo vector de dirección e s a = a, x a,
m ínim a , la recta
i
j
Su stitu ye n d o (2 )
' = ( 2 , - 1 , 3)
X
_
v
-2
"
perpendicular
la Figura 5 .1 7 :
B = A + t <2 , - 1 ,
A B = t a<=>
3)
(1)
Be
7\
<=> B = ( 3 , 0 , 2 ) + s ( l , 2 , 0 )
(2 )
Ae
7\
=> A = <-6 , I , -1) + r<2 , I , - 1 )
(3)
y (3) en ( 1 )s e
+ 2
v - 1
1’ y "
v
Y
• x + 1 - y + 1 - z ~^
2 '
1
” 2
-1
cruzan.
b) D eterm inar un punto A e f , y otro punto B e
I( \ , tales qu e la distancia de A
a B s e a m ínim a. Halle dicha distancia.
c) E scrib ir la e cu a ción de la p erpendicular co m ú n a la s rectas 2?, y 3 ?2
2s - r + t= I
9.
r - 3 1 = -3
t= 2
D e m u é stre se que la s rectas
y ^ ; x +7 =
3
A = <-6 , I , -I ) + 3 <2 , I , - 1 ) = <0 , 4 , - 4) => A ( 0 , 4 , - 4 )
B = <3 , 0 , 2) + (1 , 2 , 0) = <4, 2 ,2 ) «=> B ( 4 , 2 , 2 )
y
a) D e m o stra r que la s rectas no s e d isp o n e n en un m ism o plano , e s d e c ir , se
s - 2 r- 2l = - 9
R e so lv ie n d o el siste m a de e c u a c io n e s , o b te n e m o s : r = 3 , s = I
W co m ú n para a m b a s rectas.
Í& ,: Q = (21 , -5 , 2) + s (6 ,-4 , -1 ), s e R. S e ne ce sita :
tiene :
{
3? = { A + t a | l e R } «=>
Z
8 . S e a n d a d a s d o s re ctas .5?,: P = (-7 , -4 ,-3) + r(3 , 4 , -2 ), r e R
<3 , 0 , 2) + s<l , 2 , 0 ) = <-6 , l , -1) + r<2 , I , - l ) + t< 2 ,-l ,3 )
P o r lo tanto:
rp .
H á lle se la distancia d (5 ?, , 5 ?2) entre la s rectas y e sc ríb a se la ecuación de la
0
R e firié n d on o s a
£r - {(1 ,1 ,2 ) +
7. S e a n d a d a s la s rectas qu e s e cru za n ,
k
<=> a =
P (3 , 6 , 7) s e traza una perpendicular a la recta
punto
t <2 , -1 , 3)}. A qué distancia del punto A (4 , 4, 7) s e halla dicha perpendicular.
P a ra que la distancia entre lo s p u n to s A y B s e a
a
y
^ 2 = { < 4 , - 1 , 5 ) + t<1 , - 3 , - 1 ) | t e R }.
y 5?, = { < 3 , 0 , 2) + s<l , 2 , 0) |s e R }
E n to n c e s
H allar la d istancia entre la s rectas
10.
-1,
_ z jJ ?
4
, que p a s a por A (9 , -7 , - 6 ) y B(27/2 , -17/2 , 0),
s o n p a ra |e |a s y h á lle se la distancia d(.2 ?, ,
%2)
Hallar la ecua ción de la recta qu e p a s a por el punto P (-2 , 1 , -3) y corta al eje
Y , sa b ie n d o que la distancia del origen de c o o rd e n a d a s a dicha recta e s V 13
7'= {<0 , 4 , -4) + t <2 . -I , 3 ) | t e R }
u n id a d e s .
11.
H allar la d istan c ia m á s corta entre la s d o s re cta s , en c a d a uno de los c a s o s
s ig u ie n t e s
268
Capitulo 5: Rectas en el espacio
a)
x+ 7
3
_
^~ir~ =
y + 4 _ z + 3
4
- 2
y
b)
y , : x = 2 t - 4 , y = -t + 4 , z = -2 t - 1
c)
7\ : * - + 1 = ^ 5
= zj
_1
.
7.
x - 21
=
y + s
-4
_
z-2
-1
; #2 : x = 4 t - 5, y = - 3 t + 5 , z = -5 t+ 5
ry . ; x = 6 t + 9 > y = .2 t z = .t + 2
1 2 . H allar un punto c u y a s d ista n c ia s a la s rectas 7 \ = .{(3 , 2 , 2 ) + s (1 , 5 , 3 )} y
^2 = {(1 . 0 , 1 ) + t (1 , 2 , 1 )} s e a la mitad de la distancia (m ínim a) de 7\ a 7r
13.
p
Hallar la e cu a ción de la recta que p a s a por A (3 . 4 , 0) y corta al eje Z . sabiendo
i n
que la distancia del origen de c o o rd e n a d a s a d icha recta e s 4 unidades.
7\ : x - 1 = y / 2 = z y 7’z : x = y = z ; hallar un punto P 0 e 7 %y otro
Q 0 e 7 ‘2 , tales q ue la d istancia de P ( a Q s e a m ínim a , a s í c o m o la recta 7 que
n
o
s
e n
«P A C IO
14. D a d a s las rectas
v
los contiene.
6.1 j E C U A C IO N V E C T O R IA L D E U N P L A N O
A s í c o m o en R 2 , la gráfica de u n a e cu a ción de d o s va ria b le s x e y e s una
cu n a , en R ' la gráfica de una e cu a ción en tres va ria b le s x . y . z e s un a superficie.
' La m á s sim ple e s el plano , p u e s su ecu ación e s de prim er g ra d o en tres variables.
E s bien co n ocid o que tres p untos no coli­
neales en el e sp a c io determ inan un plano. B a s á n ­
donos de e ste h e ch o tratarem os de obtener s u e c u a ­
ción vectorial de la siguiente m anera. C o n sid é re se
el plano P que p a s a por p untos A , B y P, , y que
contiene a lo s vectores no parale los a y b , c o m o se
m uestra en la Figura 6.1. Un vector v = P ,P cua l­
quiera del plano s e p ued e escribir c o m o u n a c o m ­
binación lineal de un vector en la dirección de a y
FIGURA 6.1
otro en la dirección de b. E sto e s , si
P (x , y , x) 6 P <=> 3 s , t , e R , tales que
P ,P = s a + tb <=> P - P , = s a + t b
e=> P = P ( + s a + t b
Q u e d a e n to n ce s definido la e cu a ción vectorial del plano P , c o m o el conjunto de
puntos :
p = { P |P = P ( + s a + 1 b , s , t e R }
(1 )
270
Capitulo 6: Planos en el espacio
Ejemplo 1
j
271
Sección 6 .1: Ecuación vectorial de un plano
P (x , y , z) e P <=> P ,P • n = 0
Hallar la ecu a ción param étrica vectorial del plano que contie­
ne a los ve cto re s a = <-1 , 2 , 3 ) , b = <4 , -3 , 5) y p a s a por el
«
(3)
[ (P - P,) • n = 0
punto P,(1 , 0 , 2 ) .
Solución.
La expresión (3) s e c o n o ce c o m o la
S e g ú n la fórm ula (1) , la ecuación vectorial del p lan o e s
P = { P | P =<1 , 0 , 2 > + s<-l , 2 , 3 > + t ( 4 ' , - 3 , 5 ) , s , t € R }
I O B S E R V A C I O N 6.1
■
Ecuación general del plano
O B S E R V A C I O N 6.3
Ecuaciones paramétricas del plano
ecuación norm al del plano P , cu yo punto de
paso e s P r
D a d o que el producto e sca la r de d o s ve ctore s e s un n ú m e ­
S i en la ecuación (1) s e sustituye P = ( x , y , z ) , P, = ( x , , y , , z),
a = (a ( , a 1 , a,) y b = (/>,,
, ¿>?) , o b te n e m o s
V
tb2
(2)
s i:
(P - P,) • n = 0 «
z = z, + sa . + 1 b.
1
V
L a s e c u a c io n e s (2) s o n d efinidas c o m o la s
P • n = P, • n
<=> (x , y , z ) • ( A , B , C ) = ( x , , y , , z,) • ( A , B ,
ecuaciones param étricas del plano,
cu yo punto de p a s o e s P, y e s paralelo a los ve cto re s a y b.
j
C)
<=> A x + B y + C z = A x, + B y, + C z,
Si h a c e m o s D = - (A x, + B y, + C z , ) , ob ten e m os
Is : A x + B y + C z + D = 0
Ejemplo 2
e sca la r o
En efecto , s u p ó n g a s e q u e P = (x , y , z ) , P, = ( x , , y , , z () y n = (A , B , C ) , e ntonces ,
' X = X , + S£2| + tib,
y = y, + s a , +
ro real , s e p ued e em p le ar la e cu a ció n (3) para obtener u n a e cu a ción
cartesiana del plano q ue p a s a por P, y con vector norm al n.
(4)
Hallar la s e c u a c io n e s p a ram é tric as del p lan o q u e p a s a por
que e s la d e n o m in a d a
los puntos R (2 , 1 , 3 ) , S(-1 , -2 , 4) y T (4 , 2 , 1 ) .
Solución. S e a n :
y
a = R S = (-I , -2 ,4 ) - (2 , 1 , 3) = (-3 , -3 , 1)
Ejemplo 3
b = R T = ( 4 , 2 , 1) - <2 , 1 , 3) = (2 , 1 , -2)
Si R( 2 , l , 3 ) e P < = > 3 s , t e R , tales qu e : P = (2 , 1 , 3) + s(-3 ,-3 , 1 + t(2 , 1 , -2).
E n to n c e s , por sim ple insp ección , las e c u a c io n e s p aram é tricas del plano so n
x = 2 - 3 s + 2t
I O B S E R V A C I O N 6.2
ecuación general del plano.
, y = 1 - 3s + 1 , z = 3 + s-2t
J
O b te ne r la e cu a ció n general del plano que p a s a por los punto s R (3 , 2 , 1 ), S(1 , 3 , 2) y T(1 , - 2 , 3 )
Solución. S e a n : a = R S = (l , 3 , 2) - (3 , 2 , 1 ) = (-2, 1 ,1)
■
y b = R Í = (1 , -2 , 3) - (3 , 2 , 1) = (-2 , - 4 , 2 )
L u e go , n = a x b e s el vector norm al al p lan o deter­
Ecuación norm al del plano
m inado por los tres p u n to s d a d o s , esto e s
S i el p la n o P e s p a ra le lo a lo s v e c t o r e s a y b , e n to n c e s
existen infinidad de vectores ortgonales a dicho pía-
.----------------------------------------^
n o y por consiguie nte ortogonales a los vectores a
y b. P o r lo qu e , un vector
normal al plano P se rá el
=> n =
i
j
-2
I
k
1
-2
-4
2
= 2 ( 3 , 1 ,5 )
Sin perder generalid ad , to m a m o s n = (3 , 1 , 5)
vector n = a x b. A h o ra , si P, e s un punto d a d o y P e s
un punto cualquiera del plano , e n to n ce s el vector
S i P (x , y , z) e P <=> (P - R ) • n = 0 <=> P * n = R * n
P ,P e s ortogonal al vector n y del h e ch o que el pro­
<=> (x , y , z ) * ( 3 , 1 , 5) = (3 , 2 , 1) *(3 , 1 ,5 )
de d on d e o b te n e m o s la e cu a ció n
ducto e sca la r de d o s vectores orto go n ales e s cero,
s e tiene :
FIGURA 6.2
P : 3 x + y + 5 z - 16 = 0
272
Capitulo 6: Planos en el espacio
Ejemplo
j
4
H allar la e cu a ció n norm al y la e cu a ció n g e n e ra l d e
P que p a s a por el punto S ( 3 , -3 , 1) y co ntiene a
273
Sección 6 .1 : Ecuación vectorial de un plano
un plano
Ejemplo
6
la recta
J
S e a P un plano que p a s a por P ^ , 4 , 3) y tiene co m o vector
norm al a n = <1 , 2 , 3 ) . Hallar un a e cu a ción vectorial para P.
? ' = { < 2 , 3 , - 1 ) + t<1 , 0 , -1) 11 e R }
Solución. S i P (x , y , z) e P <=> (P - P,) • n = 0 <=> P • n = P, • n
Solución. El punto d e p a so del plano e s S (3 , -3 , 1)
y c o m o contiene a la recta 7 ' , el punto
P, e 7', tam bién p ertenece al plano. L u e g o , el
=> < x , y , z ) - ( l , 2 ,3 ) = <5 , 4 , 3) • (1*, 2 , 3)
de d on d e o b te n e m o s la ecu a ción g e n e r a l,
En tonce s , p ara
vector
P : x + 2 y + 3 z = 22
x = 1 , z = 3 => l + 2 y + 9 = 22 <=> y = 6 => A ( 1 , 6 , 3). € P
x = 1 , y = 0 <=> 1 + 0 + 3 z = 22
a = P S = <3 , -3 , l> - <2 , 3 , - 1 ) = <1 , -6 , 2 >
e s paralelo al plano , tam bién lo e s el vector direc-
7 ' . b = (I
cional de
i
a = f^ A = <l , 6 , 3 ) - < 5 , 4 , 3) => a = <-4 , 2 , 0) = -2 <2 ,-1 ,0)
k
-6
n = a xb =
están c o n te n id a s en dicho plano. E sto e s , si
0 , - 1 ) . E n to n c e s
j
b = P ^ = <l , 0 , 7 ) - < 5 , 4 , 3 ) => b = <-4 , -4 , 4) = -4<1 , 1 , - 1 )
2 ' = < - 6 , 3 , 6 ) = -3 <2 , - 1 , - 2) ‘
-1
0
z = 7 ■=> B( 1 , 0 , 7) e P
Teniendo tres p u ntos no co lin e ales del plano , p o d e m o s hallar d o s vectores que
Por lo qu e , u n a e cu a ción vectorial del plano pedido e s
P = <5 , 4 , 3) + s<2 ,-1 ,0 ) + t<l , 1 , - l ) ; s , t e R
■
S in perder ge n e ralid ad p o d e m o s elegir a n = <2 , -I , -2) co m o el vector normal al
plano.
P (x , y , z) e P
L u e g o , si
<=> P : (P - S ) • n = 0
I
O B S E R V A C I O N 6.4
«=> P : [ P - <3, -3 , 1 ) 1 • <2 , -1 , -2) = 0
e s la e cu a ción norm al del plano. S u e cu a ción ge n e ral lo ob ten e m os
Partiendo de las e c u a c io n e s (3) , (4) y (1) p o d e m o s obtener
de
las e c u a c io n e s n o r m a l, general y vectorial , respectivam ente , de los p la n o s co or­
P - n = s - n <=> < x , y , z > » < 2 ,-1 ,-2 ) = < 3 , - 3 , I > - <2. - 1, -2)
e=> P : 2 x - y - 2 z - 7 = 0
Ecuaciones de los planos coordenados
d e n a d o s.
■
a) P la n o X Y .
E n la Figura 6 .6a : n = k = < 0 , 0 , l ) , a = l , b = j
L a e cu a ció n norm al e s : (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z ) - ( 0 , 0 , 1) = 0
Ejemplo
5
j H allar la e c u a c ió n c a rte sia n a del
rectas
y = -3 + 3 s , z = - 2 s : s e R
Solución.
E c u a c ió n g e n e r a l: y = 0
7 \ \ \ 7 \ ,n o p o d e m o s construir el producto
E c u a c ió n v e c to ria l: P = { P I P = s <1 , 0 , 0) + t <0, 0 , 1) }
p u ntos P, y P, pertenecen al plano , e n to n ce s , s e a
v = p j p , = <4 , -3 , 0) - <2 , 5 , -1) = <2 , -8 , I)
i
n = vxa
=
j
k
' = < 1 3 , 8 ,3 8)
-X
3
P o r lo q u e , si P (x , y , z) e 1* «
P •n = P,
F IG U RA 6.5
<=> <x , y , z) - < 13 , 8 , 38) = <2 ,5 , - 1) • < 13 , 8 , 38)
P : 13x + 8 y + 3 8 z - 28 = 0
E n la Figura 6 .6 b : n = j = < 0 , 0 , 0 ) , a = i , b = k y P,(0 , 0 , 0 )
E c u a c ió n n o r m a l: (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z) • <0 , 1 , 0) = 0
vectorial a, x a , ,p u e s el vector n = O , pero c o m o los
Luego:
E c u a c ió n v e c to ria l, P = { P I P = s <1 , 0 , 0 ) + t <0, 1 ,0 )}
b) P la n o X Z .
P o r insp e cció n , la ecu a ción vectorial de la recta
<¡(>2 e s : Q = <4, -3 ,0 ) + s <4, 3 , - 2 ) ; s e R
S ie n d o
L a e cu a ción general e s : z = 0-
p la n o q u e co n tie n e a las
7\ : P = <2 . 5 , -1 ) + t < -4 , -3 , 2 ) ; t e R y 7 \ : x = 4 + 4 s ,
274
Capítulo 6: Planos en el espacio
E n la Figu ra 6 .6c : n = i = < l , 0 , 0 > , a = j , b = k y P , ( 0 , 0 , 0 )
c) P la n o Y Z .
275
Sección 6 .1 : Ecuación vectorial de un plano
DEFINICION 6.2 Paralelism o y perpendicularidad de dos planos ____________
E c u a c ió n n o r m a l: (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z ) •<! , 0 , 0) = 0
D o s p la n o s s o n p arale los o p erpe n d icu lare s si y só lo si s u s
E c u a c ió n g e n e r a l: x = 0
respectivas norm a le s s o n p arale las o perpendiculares. E s decir , si P , e s un
E c u a c ió n v e c to ria l: P = { P I P = s (0 , 1 , 0) + 1 <0 , 0 , 1 }
plano co n norm al n, y P , e s un plano co n norm al n ; , e n to n ce s
a)
P.llPj o
9
}
n ,x n , = 0
b) P , ± P 2 p> n , * n : = 0
DEFINICION 6.1 Paralelismo y Perpendicularidad de una recia y un plano
U n a recta ST e s paralela a un plano P si y só lo si un vector de
9 ' e s perpendicular a un vector norm al a P. (La recta Jr ! p u ed o o no
estar contenido en P). U n a recta ir e s perpendicular a un p lano P , si y só lo si
E je m p lo
dirección de
a)
Ejemplo 7
}
Solución. Del plano P , se tiene n, = (a , -6 , - 6), y de P , , n , = (2 , b , 3)
7-' y n e s el vector norm al al plano P , e n to n ce s
7 ' 11 P <=> a • n = 0
b)
S i P , II P , <=> n, x n, = O
Í " 1 P <=> a x n = O
Cuál e s el valor de m para que la recta
i
j
a
2
-6 -6
(Definición 6.2a)
k
b
= i(-18 +
6b) - j(3ü + 12) + k (ab+ 12 )
3
X
{
Luego , si <6 è - 18 , - 3 a - 12
s e a paralela al plano P : x - 3 y + 6 z + 7 = 0
Solución.
,ab +
P o r sim ple insp ección o b te n e m o s : a = (3 , m , -2) y n = <1 , -3 , 6)
L u e g o , por la Definición 6 .1 a , si
a y b la s e c u a c io n e s
P , : a x - 6 y - 6 z + 2 = 0 y P 2 : 2 x + ¿ y + 3 z - 5 = 0 , determ inan
planos p arale los.
un vector de dirección de í? e s paralelo a un vector norm al a P . P o r tanto , si a es
el vector de dirección de
D e te rm in a r p a ra q u é v a lo re s ’d e
6b - 18 = 0 f=> b = 3
-3a- 12 = 0 => a = ab+ 12 = 0
?£ 11 P <=> a • n = 0
c * < 3 , m , - 2 ) ' < l , - 3 , 6 ) = 0 <=> m = -3
■
[
Ejemplo 10
^
~
D e m o stra r qu e la e cu a ció n del p lan o q u e p a s a por el punto
P , ( x , , y, , z,) y e s p e rp e n d ic u la r a lo s d o s p la n o s P , : A ,x +
B,y + C ,z + D t = 0 . P 2 : A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 , s e p u e d e representar en la form a
Ejemplo 8
)
J
P a ra que va lore s de a y b , la recta
7
Jr! :
a
4
- 3
e s perpendicular al p lan o P : 3 x - 2 y + ¿ > z + 1 = 0
Solución. P o r insp ección : a = (a , 4 , -3) y n = <3 , -2 , b)
P o r la Definición 6.1b , si
i
■=> a x n =
a
j
-3
3 -2
b
y-y,
A,
b
a
Demostración.
2
,
b2
z - z,
c,
= 0
c2
R e firié n d ono s a la F igura 6.7 , p o ­
d e m o s o b se rv a r que la s n o rm a ­
SU 1 P <=> a x n = O
les a lo s p la n o s P , y P , s o n paralelos al plano P ,
k
4
X - X,
= i (46 - 6) - j (a ¿ + 9) + k (-2a - 12 )
Luego , si : (4¿> - 6 , - a b - 9 , 2 a - 12) = ( 0 , 0 , 0 ) «
por lo qu e n = n, x n, y c o m o cualquier vector conte­
nido en el plano P que va del punto de p a s o P, a un
4b - 6 = 0 <=> b = 3/2
ab- 9 = 0
2a - 12 = 0 «=> a = -6
punto ge n é rico P , e s ortogonal a su norm al , esto
es , si v = P ,P , s u e cu a ción e stará definido por el
producto e sc a la r
v • n = 0 <=} (P - P,) • (n, x n,) = 0
FIGURA 6.7
E sc rib ie n d o el p rod u cto m ixto de ve c to re s en té rm in o s de s u s c o m p o n e n te s ,
tend rem os :
276
Capítulo 6: Planos en el espacio
x-x,
z -z
y-y,
A,
B,
A,
B,
277
Sección 6.2: Distancia de un punto a un plano
14. Encuentre la e cu a ción del plano q ue contiene a la recta ,í? : x = 1 + 2 t , y = -1 +
= 0
c,
3 1 , z = 4 + 1 y al punto A(1 ,-1 , 5)
15.
P a ra qu é va lo re s de
a y b , la recta £c : P = (2 , -1 , 5 ) + t (a , 4 , -3 ), t e R e s
perpendicular al plano P : 3 x - 2 y + ¿ z + 1 = 0
16.
D e m o stra r qu e la e cu a ción del plano qu e p a s a por los p untos P t(x, , y, , z,) y
E J E R C IC IO S : Grupo 31
P ,(x 2 , y 2 , Zj¡) y e s perpendicular al plano P : A x + B y + C z + D -= 0 , s e puede
representar en la form a sigu ien te :
1.
D a d o s los p u ntos M (3 , -1 , 2) y R (4 , - 2 , - 1 ) , hallar la e cu a ción del plano que
x-x,
y-y,
p a s a por M y e s perpendicular al vector M R .
x2 -x,
y2 -y,
A
2 . Hallar la e cu a ció n del plano que p a s a por el punto S ( 3 , 4 , -5) y e s paralelo a
los ve ctore s a = (3 , 1 , - 1 ) y b = (1 , -2 ,1).
3.
1’
5.
X-1
2
_y + 3
4
_
Z
7
U n p la n o p a s a p o r lo s p u n t o s e x t r e m o s d e lo s v e c t o r e s a = <1 , 3 , 1) ,
la s rectas co n curren te s
.X - 1
’
C
p a s a por lo s p u ntos P,(2 , -6 , 4) y P 2(3 , - 7 , 5 )
18.
Hallar la ecu a ción del plano qu e contiene a
<y .
= o
17. Hallar la e cu a ción del plano p erpendicular al plano P , : 4 x - 3 y + 2 z - 9 = 0 y que
Hallar la e cu a ción del plano que p a s a por los p u n to s N (3 , -1 , 2 ) , R (4 , -1 , -1)
y S ( 2 , 0 ,2 )
4.
B
z-z,
z 2 - z,
2'
-1
_ y+3
5
_
D e te rm in a r el v a lo r de m p a ra q u e lo s p la n o s P t : m x - 2 y
b = <4 . 2 , -1) y c = <3 , 0 , -4 ), si é s t o s tienen el o rige n c o m ú n en el punto
'M(1 , - 1 , 2 )
Z
-2
+ 2 z - 7 = 0
y
P 2 : 4 x + m y - 6 z + 9 = 0 s e a n perpendiculares.
6.2 ) D IS T A N C IA D E U N P U N T O A U N P L A N O
6 . Hallar la e cu a ción del plano que p a s a por el punto S ( 2 , -1 , 1) y e s perpendi­
cular a los p la n o s P 1 : 2 x + z + 1 = 0
7.
y P
:y = 0
P e s un plano de ecuación vectorial P = P + ra + s b , r , s e R , y u n a
el vector n. S i P,.y P 2 e P , dem ostrara que n
S e a S un punto del e sp a c io y P un plano ,.
norm al es
1 P ,P 2
normal a P , e n to n ce s la d istancia qu e se p a ra a S
8 . H allar la e c u a c ió n del p la n o qu e p a s a por el o rige n de c o o r d e n a d a s y e s
perpendicular a los p la n o s P, : 2 x - y + 3 z = 1
9.
P a ra qué va lo re s de
de P e s igual a la co m p on e n te del vector V = S - T
sobre n. E sto e s
y P 2:x + 2 y + z = 0
a y b la recta S? : x = 3 + 4 t , y = 1 - 4 t , z = - 3
Si T e s cualquier punto so b re P , y n e s un vector
+ t,está
d( S , P ) = | C o m p nV| =
contenida en el plano P : a x + 2 y - 4 z + ¿> = 0
10.
Un II
(5)
P a ra qué va lore s de A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la
E n la F igu ra 6.8 s e ilustra el h e ch o de que la í/(S , P ) no d e p e n d e de la
recta r£ : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = -2 - 2t.
11.
I (S - T) » n l
Hallar la e cu a ción del plano que p a s a por los p u ntos P,(1 , -1 , -2) y P 2(3 , 1 , 1 )
y e s p erpendicular al plano x - 2 y + 3 z - 5 = 0
elección del punto e sp e cífico T so b re P . L a co m p one n te de V paralela a n e s la
m ism a p ara to d os los p u n to s so b re P. E s decir, p ara cualq u ier otro punto T, s e
tiene
12.
Encuentre la ecua ción del plano que contiene a la s rectas paralelas
5?,: x = -2 + 2 t , y = 1 + 4 t , z = 2 - 1 y
13.
I C o m p n(S - T) | = | C o m p n( S - T , ) |
r£ 2 : x = 2 - 2 t , y = 3 - 4 t , z = 1 + 1
Encuentre la ecu ación del plano que p a s a por A (6 , 2 , -1) y perpendicular a la
recta que e s intersección de los p la n o s
P, : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0 y P 2 : 3 x + 2 y - z + 1 1 = 0
P a r a o b te n e r u n a e x p r e s ió n c a r t e s ia n a d e la d is t a n c ia de S al p la n o
P : A x + B y + C z + D = 0 , c o n s id e r e m o s lo s p u n t o s S ( x , , y , , z , ) , T ( x , , y 2 , z :) y
n = <A , B , C ) u n a norm al al plano P . E n to n c e s , por la fórm ula (5 ):
278
Capítulo 6: Planos en el espacio
,1/c
(S~---------------------\
i>\ _ I S • n - T * n | _ l ( x l , y l , z l) - ( A , B , C ) - < x , , y , , z ^ - ( A , B , C > l
(
\M
) = —
I A x ,, B
i~ =
Ejemplo 2
J
D a d o s lo s p la n o s p a ra le lo s P , : 2 x - 3 y
+
y, , C z, - (A x 2 , B y2, C
279
Sección 6 .2 : Distancia de un punto a un plano
+6z
- 14
=0
y P 2:
4 x - 6 y + 1 2 z + 2 1 = 0 ; determ inar si el punto S ( 3 , - 2 , 5 ) e stá
z:) I
entre d ic h o s planos.
\ A : + B : + C 3 ~~
Solución. U n punto e stará entre d o s p la n o s p aralelos si s u distancia a c a d a plano
C o m o T ( x , , y , , z,) e P «=> A x , + B y , + C z , + D = O => D = -(Ax, + B y , + C z,)
e s m eno r qu e la distancia entre a m b o s planos. L u e g o , h acie n do u so
de las fórm ulas (6 ) y (8 ) te nd rem os
,/(.Q P ) - l A x , , By , , C z , + D|
(6)
\A: + B + C:
S ;ii en la fórm ula (6 ) su stituim os la s c o o rd e n a d a s de S por la s del origen , obtene-
7
\'4 + 9 + 36
14(3) - 6(-2) + 1 2(5 )+ 21
d( S , P :) =
m os
d (0 , P ) =
12(3) - 3(-2) + 6(5) - 1 4 1
¿(S .P ,) =
105
= 7.5
14
V I6 + 3 6 + 1 4 4
O b sé rv e se q u e lo s coeficientes de la s e c u a c io n e s de a m b o s p la n o s s o n propor­
Di
.
lu> L ..■■■■
\ A : + B- + C :
(7)
cionales , e n to n ce s p ara que s e a n igu a le s d e b e m o s multiplicar la ecuación de P,
por 2 , y a s í a p lic a r , la fórm ula (8 ) , esto e s , si
que e s la fórm ula p ara calcular la distancia del origen a un plano. V a lié n d o se de
e sta fórm ula p o d e m o s calcular la distancia ca rte sia n a entre d o s p la n o s paralelos,
E n efecto , s e a n P
: A x + B y + C z + D, = 0 y P , : A x + B y + C z + D , = 0 d o s planos
]
Com o
p a ra le lo s
P o r la fórm ula (7) :
V '
Luego ,
P, , P,) =
d{O . P ) =
. I P ‘I ------ ^ o , P,) = 1 n A 3 + B - ' + C- 2
D> I
___
V A 2 + B- + C-
I D 2 - D,|
.
\A : + B:+ C:
J/n
,, x
|2 1 -(-2 8 )1
'
^
\fl 6 + 3 6 + 1 4 4
^(P, , P 2) =
d(S , P ,) > d( S , P ,) > d( P , , P ,) , el punto S no e stá entre a m b o s p la n o s ■
Ejemplo
3
S i la b a se de un tetraedro e s un triángulo c u y o s vectores so n
j
d( P , , P ,) = d (O , P :) - d (O , P ,) o d( P , , P ,) = d {O , P ,) - d(O , P 2)
R(1 , 3 , -3 ), S (2 , 2, -1) y T (3 , 4 , - 2 ) ; hallar la longitud de la
altura del tetraedro d e sd e el vértice D (2 , 9 , -2) a la base.
d( P
P .=
;
(8)
lD|~ Dr l\ A- + B- + C-’
Solución. S i a = R T = T - R = (2 , 1 , 1)
y
w
(
11
b = R S = R - S = (1 ,-1 ,2)
un vector norm al al plano de la b a se e s
E je m p lo
1
J
Hallar la distancia del punto S ( 5 , - 2 , 3 ) al plano
P = {(2 , -1 , 6 ) + t (1 . 0 , 3) +
Solución.
n = a xb =
s (2 , -2 , 3) I t ;s e R>
P o r sim ple insp ección . un punto so b re el plano P e s T (2 , -1, 6 ) y dos
o
n = axb=
j
k
1
0
3
2 - 2
3
j
k
1
1
-1
2
v /
*
' =3(1,-1,-1)
Sin perder generalidad p o d e m o s e le g ir, n = (1
ve ctore s so b re P s o n , a = <1 , 0 , 3) y b = (2 , -2 , 3)
i
i
2
b , \ ) S
1 , - 1)
V-
v = ( 1 , 6 , 1)
Si v = R D = D - R
\
T
FIGURA 6.9
Luego , u s a n d o la fórm ula (5) ob ten e m os
= ( 6 ,3,-2)
h =
I V • n I = 1 ( 1 , 6 , ! ) » ( ! , - 1 , - 1)1 = 2V3
11 n 11
U n vector q ue va de T a S e s : v = (5 , -2 , 3) - (2 , -1 , 6) = (3 , -1 , -3)
vi + 1 + 1
L u e g o , u sa n d o la fórm ula (5) ob ten e m os
d{ S - P ) = ^ ' , ~l ■ ° ) , <6 ■ 3 ■ ~2)1 _ 21 _ 3
V36 + 9 + 4
7
■
Ejemplo
4
j
O b tener la ecuación del plano que e s paralelo al plano
P , : 3 x - 2 y + 6 z - 9 = 0 , y que e stá a 7 u n id a d e s del origen.
280
Capitulo 6: Planos en el espacio
Solución.
La familia de p la n o s p arale los a P, e s
5.
P : 3 x - 2 y + 6z + k = 0
Si
281
Sección 6 .3 : Intersecciones de planos
Hallar la e cu a ció n del plano que e s paralelo al plano P , : x - 3 y + 5 z - 8 = 0 y
que e stá a 3 u n id a d e s del origen.
(1)
6 . H allar la s e c u a c io n e s de lo s p la n o s p a ra le lo s al p lano P : 2 x - z - 3 = 0 , que
d{O , P ) = 7 , u sa n d o la fórm ula (7) te n d re m o s
están a la distancia 5 u n id a d e s de él.
^
=7
\ 9 + 4 + 36
P o r lo tanto , en ( 1 ) :
<=> |k | = 4 9 <=> k = 49 ó k = -49
7.
P : 3x - 2y + 6 z ± 4 9 = 0
Hallar la ecu a ción del lugar geom étrico de los p u ntos equidistantes de los d o s
p la n o s p arale los P . : 5 x - 3 y + z + 3 = 0 y P 2 : 1 0 x - 6 y + 2 z + 7 = 0
■
8 . H allar la s e c u a c io n e s d e lo s p la n o s q u e d ividen por la mitad lo s á n g u lo s
d ie d ro s fo rm a d o s por los p la n o s co n cu rre n te s
E je m p lo
5
j
Hallar la e cu a ción vectorial de la recta qu e s e encuentra entre
los p la n o s P , : x - 2 y - 2 z = 12 y P ? : x - 2 y - 2 z = 6
9.
H a lla r la d is t a n c ia del p u n to ( - 1 , 1 , -2 ) al p la n o q u e p a s a p o r lo s p u n t o s
Solución. U n plano P paralelo a los p la n o s P, y P , , y entre a m b o s , tiene la forma
P : x - 2y - 2z = k ,
Evidentem ente u n a recta
Vke<6,12>
recta
3 . E sto e s , si x = k , y = -k , z = k <=> A ( k , x = 3k, y = k
El vector de dirección
R(1 ,-1 , 1 ), S ( - 2 , 1 , 3 ) y T (4 , - 5 , 2 )
10. H allar un punto sim étrico de P (3 6 , 2 0 , -17) respecto del plano form ado por las
SB q ue s e encuentra entre los p la n o s P y P. d eb e estar
so b re el plano P. E n to n c e s u b iq u e m o s d o s p u ntos A y B e
, z= 0
P por
rectas
SBy = {<1 , 2 , 3) + 1<0 , 4 , 3)| t e R } y SZ2 : {<1 , -2 , 0) + s < 3 , 0 , 4 ) | s e R }
d o n d e p a sa rá la
k , k)
f6.3 j IN T E R S E C C IO N E S D E P L A N O S _________________________
B (3 k ,k , 0)
de la recta # e s . a = A B = B - A = (2 k ,2k ,-k)
P o r lo tanto , la ecuación vectorial de la recta e s
D o s p la n o s P , : A,x + B j + C ,z + D, = 0 y P , :A ,x + B ,y + C ;z + D, = 0 , c u y o s
•á?:P = < k , - k , k ) + t ( 2 k , 2 k , - k ) , t e R , k e < 6 , 1 2 >
■
recta
E J E R C IC IO S : Grupo 32
SB p e rte ne ce tam bién a a m b o s , s u e c u a c ió n ca rte sia n a o bip lanar su e le
escribirse de la form a
g .
1 . Hallar la distancia del punto S al p lan o P dados.
3.
f A ,x + B ,y + C ,z + D, = 0
L A,x + B ,y + C ,z + D. = 0
a) S ( 4 , -1 ,5 )
,P = {<1 , -3 , 1) + t(2 , 1 , -2> + s (1 , 3 , 4 ) }
b) S ( 4 , 2 , - 3 )
,P = {(1 - 5 s - 6 t , - 2 + 4 s + 7 t , 1 - 2 s + 2 t ) , s , t e R }
una norm al al plano P , , e n to n ce s un vector de
c) S ( 9 , 3 , - 5 )
,P = 2 x + 3 y - 6 z - 15 = 0
dirección de
S i n, e s una norm al al plano P , y n, e s
SB e stá d ad o por
Hallar la distancia entre los p la n e s parale los d a d o s
a) P , : 2 x - y + 2 z + 9 = 0
P , : 4 x - 2 y + 4 /?- 21 = 0
b) P , : 6 x - 1 8 y - 9 z - 2 8 = 0
P 2 : 4 x - 12 y - 6 z - 7 = 0
c) P, : 3 0 x - 3 2 y + 2 4 z - 7 5 = 0
P 2 : 1 5 x - 17 y + 1 2 z - 2 5 = 0
D o s c a ra s de un cu b o e stá n en lo s p la n o s P , : 2 x - 2 y + z - 1 = 0
a = n, x n.
Para determ inar
sob re c£ , s a b ie n d o que perte n e ce tam bié n a
y
S i la b a se de un tetraedro e s un triángulo de vértices R(1 , -2 , 1 ), S (-4 , 2 , - 1 )
y T ( - 5 , 5 , 3 ) ; hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada d e sd e el vértice
D (4 , 2 , -3) a la b ase.
SB vectorialm ente , b astará o b ­
tener al m e n o s las c o o rd e n a d a s de un punto S
P 2 : 2 x - 2 y + z + 5 = 0, calcular el volum en de este cubo.
4.
en u n a recta SB. E s t a recta
recta de intersección de dos planos. C o m o todo punto de la
ve cto re s n o rm a le s no s o n p a ra le lo s s e in te rse ca n
recibe el n om b re de
2.
P ,:2 x -y + 5z + 3 = 0 y
P 2: 2 x - 1 0 y + 4 z - 2 = 0
los p la n o s P , y P . , y si P (x , y , z) representa un
punto cualquiera de
£ en el e sp a c io , e n to n ce s
SB : P = S + t(n,x n :)
es u n a e cu a ción param étrica vectorial de
SB.
282
Capítulo 6: Planos en el espado
ejemplo 1 ^
Hallar la ecuación param étrica vectorial de la recta de inter­
sección de los p lanos P , : x - 2 y + z = 0 y P 2 : 3 x + y + 2 z -7 = 0
Solución. L o s vectores norm ales de a m b o s planos so n n, = (I , -2 , l) y n, = (3 ,l , 2)
283
Sección 6 .3 : Intersecciones de planos
en donde , a = - D/A , b = - D/B y
c = - D/C s o n las m agnitu de s de los se g m e n to s que
el plano P intercepta en los ejes X , Y y Z respectivam ente. La ecuación (9) s e llama
ecuación segmentaria o simétrica del plano.
E n to n c e s un vector de dirección de la recta de intersección e s
a = n]x n , =
i
j
k
l
-2
l
3
Ejemplo 2
y S '2 : y + 3 z + 7 = 0 , x = 0 , respectivam ente. Hallar la ecu ación de dicho plano P.
r£ no e s paralela al plano X Y , y se
p ued e sustituir a z por cero en la s e c u a c io n e s de lo s p la n o s p ara obtener el punto
S de intersección de
Solución. Escrib ie n d o las e c u a c io n e s de rl \ y .2?, en su form a sim étrica , te n e m os
x
7 y el plano X Y . E sto e s , si
z = 0 .=> (x - 2 y = 0 ) fl (3 x + y = 7) = (2 , 1 ) => S ( 2 , 1 , 0)
P o r tanto , la e cu a ción param étrica vectorial de
L a s e c u a c io n e s de la s in te rse ccio n e s de un p lano P co n el
plano X Y y el plano Y Z s o n la s rectas S 1 : 2 x - y - 7 = 0 , z = 0 ,
1 2
C o m o la c o o rd e n a d a z de a no e s cero , la recta
J
= ( - 5 , I , 7)
Entonces lo s ve cto re s de dirección s o n : a, = <1 , 2 , 0) y a, = (0 , -3 , 1)
% es
Z ' : P = <2, 1 , 0 ) + t<-5, 1 , 7 ) , l e R
■
El vector norm al al plano e s ,
O B S E R V A C I O N 6.5
p la n o s c o o rd e n a d o s recibe el nom bre de
traza de
P en e s e p lano coordenado.
Frecuentem ente s e p ued e em plear las tra za s de un
de s u gráfica. E n la F igu ra 6.11 s e m uestra la parte
p lan o
Un punto de
2
k
0
-3
= <2, - 1 ,-3 )
1
e s P,(0 , -7 , 0) y c o m o P, e P , e n to n ce s si P (x , y , z) e s un punto
(P - P,) • n = 0 ■=> (x , y + 7 , z> • <2 , -1 , -3) = 0 <=> P : 2 x - y - 3 z - 7 = 0
■
>
Zi l
P : 2 x + 4 y + 3 z - 12 = 0
(1)
[ ejemplo 3 ^
4(
Hallar la e cu a ción del plano P que e s paralelo al plano c u y a s
in te rse ccio n es co n lo s ejes X , Y y Z s o n 3 , -1 y 2 respectiva­
que e stá en el primer octante.
mente , y que p a s a por el punto S ( 5 , -8 , 3).
L a traza del p lan o P en el p la n o X Y s e obtiene
Solución. P o r la fórm ula (9 ), la e cu a ció n del plano co n a = 3 , ¿ = -1 y c = 2 e s
h aciendo z = 0 en (1). E sto e s
2 x + 4 y = 12 =* x + 2y = 6
>v
P.:f
H a cie n d o x = 0 en (1) ob ten e m os la ecu ación de la
Si P
4y + 3z= 12
Finalm ente , hacie ndo y = 0 en ( 1 ) ob te n e m o s la
ecu ación de la traza en X Z :
j
1
cualquiera de P , implica que
p ara facilitarel trazado
f
de un plano , con ecu ación
traza en Y Z , o s e a :
¡
0
Trazas de un plano
L a intersección de un plano P en el e sp a c io con uno de los
O B S E R V A C I O N 6.6
n = a x a, <=> n =
2 x + 3 z = 12
v
/o
*x
+
+ 4
= 1 <=> p , : 2 x - 6 y + 3 z - 6 = 0
I P , , e n to n ce s la e cu a ción de P tendrá la form a , P : 2 x - 6 y + 3 z + k = 0
Dado que S ( 5 , -8 , 3)
e P <=> 2(5) - 6(- 8) + 3(3) + k = 0 , de d ond e ob tenem os , k = -67
-------------------y
/. P : 2 x - 6 y + 3 z - 6 7 = 0
FIGURA 6.11
■
Ecuación simétrica del plano
S i en la e cu a ción del plano P : A x + B y + C z + D = 0, ninguno
de los coeficientes A . B, C y D e s igual a cero , esta e cu a ció n s e p u ed e transformar
a la form a
ejemplo 4 J
S (-1 , 4 , -1) y T (-1 3 , 2, -10) y que intercepta a los ejes X y Z
se gm e n tos de igual longitud y diferente de cero.
Solución.
(9)
H a lla r la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a p o r lo s p u n to s
Si Ia I = Ic I
P a ra
<=>a =c ó a = -c
a = c , la ecu ación del plano e s
X
V
P :— + v
a
b
7
a
+ — = l
(a)
284
Capítulo 6: Planos en el espacio
Si S(-l
, 4 , -1 ) €
T(-13 , 2 ,
P
<=$> -1
+ 4 - - =1 <=* T
- - =I
a b a
b a
- 10 ) e P - > - —
a
=1 ^
+ | - —
b
a
1.23 = i
P a ra
8. A v e rigu a r para que valor de D la recta g ? ; / 2 x + 3 y z + D
0
L 3x-2y + 2z-6 = 0
9.
a = -44 y b = 88/21
(se s u p o n e que c a d a se g m e n to parte del origen de coorde n adas).
P : — + -7 - - — = 1
a
b
Hallar la e cu a ción del plano que p a s a por el punto S ( 2 , -3 , -4) y que intercepta
en los ejes c o o rd e n a d o s se g m e n to s de igual m agnitud y diferentes de cero
P:2x-21y+2z+88 = 0
a - -c, la e cu a ción del plano e s
^ cQrta
a) el eje X , b) el eje Y , c) el eje Z.
(2)
b a
R e so lv ie n d o (1) y (2) por sim u ltán e a s o b te n e m o s :
L u e g o , en (a.) s e tiene ,
(1)
285
Sección 6.4 : Familia He planos que pasan por la intersección de dos planos
(P)
a
10.
Hallar la s e c u a c io n e s de los p la n o s que p a s a n por S ( 4 , 3 , 2) y que interceptan
en lo s ejes c o o rd e n a d o s se g m e n to s de igual longitud y diferentes de cero.
Si S(-l
v
t4 , - 1 /)
, ,
- 1 a+ 1b +1
a
= 1 <=>
e P «=>
T ( - 13 2 -10) e P <=*
-
—
+ -1+ — = 1
a b a
P o r lo tanto , en ((3) s e tiene ,
¿, = 4
11.
D e m u é stre se que las rectas
r 2 x + 2 y - z -10 = 0
, a =- 6
, d e d on d e o b te n e m o s
’■
L x -y-z-22 = 0
x + 7 _
,y
s o n p arale las y hálle se la distancia d íS?, ,
P : 2 x - 3 y - 2 z + 12 = 0
12.
3
y-5
= z -9
-1
4
SP2)
C a lcula r el á re a del triángulo intersectado en el á n gu lo O X Y por el plano
P : 5 x - 6 y + 3 z + 120 = 0
E J E R C IC IO S : Grupo 33
1.
O b tener una ecu a ción param étrica vectorial de la recta de intersección de los
p a re s de p la n o s c u y a s e c u a c io n e s se dan
a) P , : 2 x + 3 y - z = 0
, P 2: y - 3 z + 4 = 0
b) P , : 3 x + y - z - 6 = 0
, P,: 4 x - 2 y - 3 z + 2 = 0
c) P , : x + y + 3 z - 1 = 0
, P2: 2x-3 y + z-7 = 0
D a d o s d o s p la n o s no p arale los
P, : A,x + B ,y + C ,z + D, = Q y P . : A ,x + B ,y + C ,z + D , = 0
2 . L a s e c u a c io n e s de las inte rse ccion es del plano P co n el plano X Y y el plano YZ
so n
[ 6.4 J F A M IL IA D E P L A N O S Q U E P A S A N P O R L A IN T E R S E C C IO N
D E D O S P L A N O S _______________________ ______________
Sí\ : x - 4 y = 12 , z = 0 ; cl’2: 2 y + 5 z = -6 , x = 0 , respectivam ente. Hallar la
la ecuación de la familia o h az de p la n o s q ue p a s a n por la intersección de P. y
P está d a d a por la ecu ación
ecu a ción del plano P.
3.
P a ra qué valor de m la recta
A (x + B ,)' + C (z + D, + k (A .x + B ,y + C ,z + D.) = 0
X : f 3x-2>+ z+ 3 - 0
g s pa ra je |a a |p|ano
^ 4x - 3y + 4 z+ 1 = 0
(10)
donde k s e d e n o m in a , parámetro de la familia.
P : 2 x -y + m z -2 = 0
4.
Hallar la ecuación del plano que e s paralelo al plano c u y a s in te rse ccio n es con
Ejemplo 1
los ejes X , Y y Z s o n -1 , 3 y 5 respectivam ente , y que p a s a por S ( 0 ,1 , -1)
5. Hallar el volum en de la pirám ide limitada por el plano P : 2 x - 3 y + 6 z = 1 2 y p o r
lo s p la n o s co o rd e n a d o s.
Hallar la ecuación del plano que e s perpendicular al plano P , : 2 x - 2 y + 4 z = 5 y
que intercepta en los ejes co o rd e n a d o s O X y O Y los se g m e n to s
es paralelo al vector v = (5 , -1 , 3).
P o r la fórm ula (10) , el h az de p la n o s e stá d a d o por
5 x - 2 y - z - 3 + k (x + 3 y - 2 z + 5) = 0
(1)
de d on d e o b te n e m o s :
p erpendicular al vector v = (-2 , 1 , 3)
7.
Hallar la ecu ación del plano qu e p a s a por la recta de intersec­
ción de los p la n o s P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 , P 2 : x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y
Solución.
6 . H allar la e cu a ció n del plano q u e intercepta al eje O Z el s e g m e n to c = -5 y e s
J
a = -2 y b = 2/3.
(5 + k)x + (3 k - 2)y - ( l + 2 k)z - 3 + 5 k = 0 ■=> n = (5 + k , 3 k - 2 , -1 - 2 k)
D ado que un m iem bro de la familia e s paralelo al vector v = (5 , -1 , 3 ), entonces
286
Capítulo 6: Planos en el espacio
Sección 6.4 : Familia de planos que pasan por la intersección de dos planos
DEFINICION 6.3 A ngulo diedro entre dos planos
n • v = O => 5(5 + k) - 1(3 k - 2) + 3 (-1 - 2 k) = O c=> k = 6
Su stitu ye n d o en (1) ob te n e m o s la e cu a ción del p lan o b u sc a d o , e sto e s
P : llx+
287
El á n g u lo diedro 0 o < 0 < 180° ,
16 y - 13z + 27 = 0
que form an d o s p la n o s orientados P , A ;x + B ,y +
C (z + D ( = 0 y P , : A ,x + B ,y + C ,z + D. = 0 s e define
como el á n gu lo qu e form an la s n orm a le s a a m b o s
Ejemplo 2 JHallar
la ecu ación del plano q u e pertenece al h a z de planos
P : x - 3 y + 7 z + 36 + k (2 x + y - z - 1 5 )
planos c o m o s e indica en la Figu ra 6.12. Entonces,
= 0
si n, = ( A , , B , , C ,) y n, = ( A j , B , , C 2) , s e tiene
cu ya distancia al origen de c o o rd e n a d a s e s igual a 3
Solución.
P
P o r la fórm ula (7 ), si
lln.ll
: (1 + 2 k)x + (k - 3)y + (7 - k)z + (36 - 15 k) = 0
136 - 15 k|
d {O , P ) = 3
\ (1 + 2 k): + (k - 3 )2 + (7 - k )2
n. • n,
Cos 0 =
D e la ecu ación de la familia de p la n o s d a d a s e tiene
II
n, ||
FIG U RA 6.12
En la F ig u ra 6 .1 2 o b s é r v e s e tam bié n q u e la recta de in te rse cció n .2? s ig u e la
= 3
dirección del vector n = n. x n,.
c=> | 12 - 5 k| = \' 6 k 2 - 1 6 k + 59
de d on d e o b te n e m o s : 19 k 2 - 104 k + 85 = 0 «=> k = 1 ó k = 85/19
[
Ejemplo 4
^
H allar el c o se n o del á n gu lo diedro que form a los p lanos
Su stitu ye n d o en la ecua ción del h a z de p la n o s s e tiene d o s so lu c io n e s
P, : 3 x - 2 y + 6 z + 2 1 = 0
ó
P , : 189x + 2 8 y + 4 8 z - 591 = 0
P,:4x + 2y-6z + 3 = 0 y P,:2x-y + 3z+5 = 0
Solución. P o r sim p le in sp e cció n : n, = (4 , 2 , - 6) y n, = (2 , - 1 ,3)
t=> C o s 0 =
Ejemplo 3
}
A ve rigu a r si el plano P : 4 x - 8 y + 1 7 z - 8 = 0 pertenece a la
( 4 , 2 , - 6) . ( 2 , - 1 ,3)
8-2-18
( V l 6 + 4 + 3 6 ) ( \ '4 + 1 + 9 )
( V 5 6 )(V Í5 )
familia de p la n o s : 5 x - y + 4 z + k ( 2 x - 2 y - 3 z + 2) = 0
Solución.
C os0 = - y
S u p ó n g a s e la familia de p la n o s P , + k (P ,) = 0
E n t o n c e s lo s ve cto re s n o rm a le s de c a d a p la n o s o n : n = (4 , -8 , 17)
DEFINICION 6.4 A ngulo entre una recta y un plano
n, = <5 , -1 , 4) y n, = (2 , 2 , -3).
D a d o s u n a recta
El vector de dirección de la recta de intersección de P , y P , e s :
i
j
k
5 - 1 4
2
El vector de dirección de
f
=(-5,23,12)
2 - 3
j
co n la norm al al plano P.
que
. a = 90° - 0
k
= (-15, 6 49 , 36) = -8
3 (-5 , 2 3 ,1712)
a, = n x n, =
5 - 1 4
El vector de dirección de
y P al co m p le m e n to del á n g u lo q u e form a el
vector de dirección de
En efecto , en la F igu ra 6.13 s e o b se rv a claram ente
la recta de intersección de P y P , e s :
i
c£ : P = P I + t a y
un plano P co n norm al n , s e define el á n gu lo entre
Sen a = C o s 0 =
a •n
(12)
FIGURA 6.13
la recta de intersección d e P y P , e s :
i
j
k
2
2 - 3
= (-10, 446 , 24) = -8
2 (-5 , 2 3 ,1712)
a, = n x n , =
C o m o a 11 a, 11 a , , el plano P pertenece al h a z de p la n o s P , + k P , = 0
Ejemplo 5
r '
J
Hallar el á n gu lo que form a la recta S ? : / 2 x + y * z 3
l x + y + z =1
co n el p lano c o o rd e n a d o X O Y
288
Capítulo 6: Planos en el espacio
EJERCICIOS •
289
Grupo 34
E J E R C IC IO S : Grupo 34
Solución. U n vector de dirección de la recta c£ e s
a = a, xa , = (2 , 1 , -1> x (1 , 1 , l> = < 2 , - 3 , 1)
P a ra el plano X O Y , n = k = (0 , 0 , 1)
S e n a = (2 ’ ,~3
1.
’ °_—
= - L
(V4 + 1 + 9 ) (VT)
3 x - 4 y + z + 6 + k ( 2 x - 3 y + z + 2) = 0
<=> a = are S e n (1/VÍ4)
V Í4
y e s equidistante de los p u ntos S ( 3 , -4 , - 6 ) y T(1 , 2 , 2 )
2.
DEFINICION 6.5 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
Hallar la e cu a ción del plano q ue pertenece a la familia de p la n o s
1 0 x - 8 y - 1 5 z + 5 6 + k(4x + y + 3 z - 1 ) = 0
S e d e n o m in a p roye cció n orto­
go n a l de u n a recta
Hallar la ecu ación del plano que pertenece al h a z de p la n o s
cu ya d istancia al punto S ( 3 , -2 , -3) e s igual a 7.
9P : P = P, + 1 a , so b re un plano
3.
P , de norm al n , a la intersección del plano P con
D e te rm in a r lo s v a lo re s de m y n p a ra q u e el p la n o 5 x + m y + 4 z + n = 0
pertenezca al h a z de p la n o s : 3 x - 7 y + z - 3 + k ( x - 9 y - 2 z + 5 ) = 0
el plano P ] , de ecuación P |= { P | P = P l + ra + s n },
el cual e s perpendicular al plano P.
4.
A v e rigu a r si el plano P : 5 x - 9 y - 2 z + 1 2 = 0 pertenece al haz de p la n o s
2x-3y + z-5 + k(x-2y-z-7) = 0
FIGURA 6.14
5.
H a lla r la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a p o r la re cta d e in te rse c c ió n de lo s
p la n o s P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 y P z : x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y e s p a ra le lo al v e c to r
v=<7,9,17>.
Ejemplo
6
Hallar las e c u a c io n e s d e la proyección de la recta
se
r 5 xx - 4 y - 2 z - 5 = 0
X +
2 z- 2 = 0
6. H allar la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a p or la recta de inte rse cció n d e los
p la n o s 3 x - 2 y + z - 3 = 0 , x - 2 z = 0 y e s perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 = 0
, so b re el plano P : 2 x - y - z - 1 = 0
7.
Solución. D e la recta SP s e tiene , n, = (5 , -4 , -2) y n, = <1 , 0 , 2) y del p la n o P ,
n = (2 , -1 , 1). U n vector de dirección de la recta SP e s
i
a = n. x n, =
5
1
j
k
-4 -2 • =
0
limitado por los p u ntos S ( 2 , 5 , -3) y T (3 , -2 , 2)
8. Hallar la ecu a ción del plano que pertenece a la familia de p la n o s
- 4( 2,3,-1)
3 x - 4 y + z + 6 + k (2 x - 3 y + z + 2) = 0
2
y e s equidistante de los p untos M ,(3 , -4 , -6 ), M 2(1 , 2 , 2 ) .
L a norm al del plano P, form ado por a y n e s
i
a. = a x n =
H allar la e c u a c ió n del p lan o q u e p a s a p or la recta d e inte rse cció n d e lo s
p la n o s P , : 2 x + y - z + 1 = 0 , P 2 : x + y + 2 z + 1 = 0 y e s paralelo al se g m e n to
i
k
2
3
-1
2
- 1 1
9.
4 x + 1 3 y - 2 z - 6 0 + k ( 4 x + 3 y + 3 z - 3 0) = 0
= ( 2 , - 4 , - 8)
y recorta del á n gu lo O X Y un triángulo de áre a igual a 6 u 2
L u e g o , la ecu ación del plano qu e contiene a la recta á ? e s P , : 2 x - 4 y - 8 z + D = 0
10.
E le g im o s un punto cualquiera de 5?, tal c o m o P^O , -7/4 , 1 )
A v e rig u a r si el punto M (3 , 2 , - 1 ) e stá situ a d o en el á n g u lo a g u d o u o b tuso
form ado por los p la n o s P 1 : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 y P a : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0
C o m o P, e P , , e nto n ce s : 2(0) - 4(-7/4) - 8(1) + D = 0 , de d on d e o b te n e m o s D = 1
11.
P , : 2 x - 4 y - 8z + 1 = 0
D a d o que 2?, e ( P fl P , ) , e n to n ce s las e c u a c io n e s de la proyección de
H allar la ecu a ción del plano q ue pertenece al h a z de p la n o s
H allar la e cu a ció n del p lano q ue divide por la m itad el á n g u lo diedro form ado
por los p la n o s P , : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 y P . : 3 x + 2 y - 6 z - 1 = 0 e n que está situado
c£ so b re el
el punto M(1 , 2 , -3).
plano P so n
2x - 4 y - 8z + 1 =0
12.
Hallar en el haz : 2 x - 3 y + z - 3 + k ( x + 3 y + 2 z + 1 ) = 0 u n plano que :
a) s e a paralelo al eje O X
2x - y - z - 1 = 0
13.
;
b) s e a paralelo al eje O Z.
Hallar la s e c u a c io n e s de las p ro ye cc io n e s de la recta
290
Capítulo 6: Planos en el espacio
g y .f 3 x + 2 > / 1
0
s o p re e | p|a no P : x + 2 y + 3 z - 5 = 0
2x- 3y + 2z- 2 = 0
7
l
14.
^ ; / x + 2> 3 / 5 - 0
L 2 x -y + z + 2 = 0
15.
a) C a lcu la r el se n
y com o tam bién S e
S(1 + t , - 2 + 2 t , 3 + 4t)
(1)
P <=> (i + t) + 4 (-2 + 2t) - (3 + 4t) + 5 = 0 <=> t = I
5r- f i P = S ( 2 , 0 , 7 )
■
^ S 0 b re |o s p ia n o s c o o rd e n a d o s
Ejemplo
S e d an el plano P : x + y - z + 1 = 0 y l a recta
particularidad de qu e
x = 1 + t , y = -2 + 2 t , z = 3 + 4 t . S i S e
Por lo t a n t o , en (1) s e t ie n e :
Hallar las e cu a c io n e s de la s p ro ye cc io n e s de la recta
291
Sección 6 .5 : Intersecciones de rectas y planos
2
J
H allar la intersección de la recta
= -■* 1 , c o n la
5 ?: x = 1 ,
3 \ P = (-5 , 1 , 3) + r (2 , -2 ,
3' e P (co m p ru é b ese ). S e pide :
a y la s c o o rd e n a d a s del punto de intersección d e la recta
Solución.
b) Escribir la ecuación de un plano qu e p a s e por la recta
El vector norm al al plano e s : n = (1 , -2
p la n o P : P =
, 3) x <2, 1, -2) = (1, 8 , 5 )
Si P ( x , y , z) e P <=> (P - P,) • n = 0 <=>P • n =
co n el plano, (a e s el á n gu lo entre la recta y el plano).
de d on d e o b te n e m o s la ecua ción general del plano ,
c£ so b re el plano P.
P,
Si S g
P :x + 8y+5z-15 = 0
31- c=> 3 r e R , tal qu e , S = (-5 + 2 r , 1 - 2 r , 3 + 3r)
Pero tam bién
Se
(1)
(-5 + 2 r) + 8 (1 - 2 r) + 5 (3 + 3 r) - 15 = 0 <=> r = -3
P
Por lo tanto en (1) s e tiene : .5? d P = S (-11 , 7 , - 6)
6.5 j IN T E R S E C C IO N E S D E R E C T A S Y P L A N O S _______________
•n
=> < x , y , z ) - < I , 8 , 5) = (1 , 3 , -2) • < 1 , 8 , 5 )
c£ y e s perpendicular
al plano P.
c) Escribir la s e cu a cio n e s de la p roye cció n de la recta
3 ) , r eR , c o n el
( 1 , 3 , -2) + a (1 , -2 , 3) + P (2 , 1 , -2 ), a , (3 e R.
1
■
V e a m o s a h o ra , a lg u n o s ejem plos m ixtos relativos a la e cu a ción del plano y a las
e cu a cio n e s de la recta.
D a d o s una recta
£
c y un plano P en el e sp a c io h a y tres p osib le s configura­
cio ne s (Figura 6.13), o bien la recta e s paralela al plano pero no interseca , o bien
e s paralela pero está com pletam ente contenida en el plano , o bien interseca al
M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^
plano en un sólo punto.
n
E j e m p lo
1
J
H allar la ecu ación del plano que p a s a por el punto S (1 , -2 , 1 )
f x - 2 !y
y + z - 33 = 0
£ : ^ ^+
y e s p erpendicular a la recta
Solución. El vector de dirección de la recta 9? e s la
norm al al plano b u sc a d o , esto e s
L o s d o s ejem plos siguientes ilustran co m o obtener la intersección de una recta 5?
con un plano P.
a = n = n( x n, =
¡
j
1
-2
1
1
k
1 =(1,2,3)
-1
S i P (x , y , z) € P t=> ( P - S ) * n = 0
<=> P * n = S * n
t=> (x , y , z ) * ( l , 2 , 3 > = s ( l , -2 , 1 )-(1 , 2 , 3)
E je m p lo
1
J
Hallar las co ord e n a d a s del punto S de intersección de la recta
= í ± 2 = i^ 3
S o lu c ió n .
y e| p(ano p ;x + 4 y . z + 5 = o.
Las ecuaciones paramétricas de la recta 9- son :
de d o n d e o b te n e m o s la ecuación del plano
P:x+2y+3z=0
■
y -z + 2 = 0
292
Capítulo 6: Planos en el espacio
Ejemplo 2
)
Ejemplo 4
Hallar la p royección del punto S ( 2 , - 1 , 3 ) so b re la recta
293
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
j
<5? : x = 3 t , y = -7 + 5 t , z = 2 + 2 t
Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S (3 . 0 , 2 )
y T (4 . 1 , -1) y q u e e s paralelo a la recta
x - 2 y + z- 2 = 0
x ' :
l 2\ + 3 v - 2 z - 3 = 0
'v
Solución. L a p roye cció n de S so b re la recta c£ e s el r
v .l
pie de la p erpendicular bajada d e S so b re
n
dicha recta , y se encuentra en la intersección d e la
dicular a
Solución. El vector de dirección de la recta 7 e s
()
p
recta con el plano que contiene al punto S y e s p e rp e n ­
X . E sto e s , si
= (2,4,7)
se
P ( x , y , z ) e P =* ( P - S ) * n = 0 <=> P * n = S * n
d ond e n = <3 , 5 , 2) e s el vector de dirección de
Q
&
Se a v = S T = (4 , 1 , 1) - (3 , 0 . 2) = (I , 1 , -3)
= * (x , y , z) • (3 , 5 , 2) = (2 , -1 , 3) • <3 , 5 , 2)
Entonces la norm al al plano P e s
P :3x+5y+2z-7=0
Si Q 6
v.
& <=> 3 1 € R I Qs = ( 3 t , -7 + 5 t , z + 2t)
(1)
FIG U RA 6.17
y
Tam bién Q e P => 3 (31) + 5 (-7 + 5t) + 2 (2 + 2t) - 7 = 0 <=> t = 1
n = v x a = ( l , 1 , -3) x (2 , 4 , 7) = ( 1 9 , - 1 0 , 3)
Si S e P c=> ( P - S ) - n = 0
Su stitu ye n d o en ( 1 ) ob ten e m os la p roye cció n b u sc a d a : Q (3 , - 2 , 4 )
Ejemplo 3
J
Hallar el punto Q sim étrico al punto S ( 4 , 1 , 6 ) respecto de la
¡2?: |
recta
4
a =
j
k
1
-1
-4
2
1
E je m p lo
J
2x + y - 2z + 3 = 0
^
Hallar en el plano P : 2 x - 3 y + 3 z - 1 7 = 0 un punto P de m odo
B(-5 , - 1 4 , 1 7 ) s e a mínima.
Solución.
El p u n to P b u s c a d o s e h a lla e n la
intersección del plano P con la recta
que p a s a por B y A ’ , sim étrico de A respecto al
= 3 <2,-2,1)
plano P.
-2
La recta qu e p a s a por A , p erpendicular al plano P,
tiene por e cu a ción
c£ y ob te n e m o s
C
Í \ : P - (3 , -4 , 7) + r ( 2 , -3 , 3 ), r e R
(x - y + 12 = 0) D (2 x + y + 3 = 0) = (-5 , 7) ■=> P,(-5 , 7 , 0 )
& : x = -5 + 2 1 , y = 7 - 2 1 , Z = t
Si M e
5
q u e la s u m a d e s u s d is t a n c ia s a lo s p u n to s A ( 3 , -4 , 7) y
P a ra hallar un punto P, e .2?, h a c e m o s z = 0 en la
ecua ción biplanar de
P : I 9 x - l Oy + 3 z - 63 = 0
-|2 = 0
Solución. El vector de dirección de la recta c£ e s
1
P-n = S-n
<=> ( x , y ,z )« ( 1 9 , - 1 0 , 3) = (3 , 0 , 2 ) * ( 1 9 - 1 0 ,3 )
í£ => 3 t e R I M = (-5 + 2 1 , 7 - 2 1 , t)
Si Q €
<=* 3 r e R | Q = f ( 3 + 2 r , - 4 - 3 r , 7 + 3r) ( 1 )
(1)
También Q e P c=> 2 (3 + 2 r) - 3 (-4 - 3 r) + 3 (7 + 3 r) - 17 = 0
La ecua ción del plano P que contiene al punto S y e s
de d on d e o b te n e m o s , r = -I ; lu e go en ( 1) : Q = (I , -l , 4)
p erpendicular a
c£ e s :
(P - S ) • a = 0 <=> P •a = S •a
C om o Q equidista de A y A ’ ^
<=> (x , y , z) • (2 , -2 , 1) = <4 , 1 , 6) • ( 2 , - 2 , 1>
=> A = 2( 1 ,-1 , 4) - (3 , -4 , 7) = ( - 1 , 2 , 1 )
<=> P : 2 x - 2 y + z - 12 = 0
Un vector de dirección de la recta que p a s a por B y A e s
Tam bién M e P = * 2 (-5 + 2t) - 2 ( 7 - 2t) + i - 12 = 0 o
Su stitu ye n d o en ( 1 ) ob ten e m os
1= 4
v = B Á ’ = (-l , 2 , I ) - ( - 5 , - 1 4 , 17) = 4(1 , 4 , - 4 )
M (3 , - l ,4 )
y su e cu a ció n vectorial e s
D a d o que M equidista de S (4 , I , 6 ) y Q (x , y , z ) , implica que : M =
<=> 2 (3 , -1 ,4 ) = (x + 4 , y + 1 , z + 6)
Q (2 , - 3 , 2 )
Q = -^-(A + A ’) <=* A ’ = 2 Q - A
\ (Q + S )
<=> x = 2 , y = - 3 , z = 2
Si P e
(J ,: P ( - 1 , 2 , I ) + t (I , 4 , -4 ), t eR
<=* 3 t e R . tal que : P = (-1 + i , 2 + 4 1 , I - 4 1)
(2)
También P e P => 2 (-l + 1 ) - 3(2 + 4t) + 3(1 - 4 i ) - 17 = 0 <=>i = -l
Finalm ente , sustituyendo en (2 ) o b te n e m o s : P(-2 , -2 , 5 )
■
Capítulo 6: Planos en el espacio
294
Ejemplo 6
]
L a p o sic ió n inicial del p u nto M (x , y , z) , e n un m ovim iento
Com o B equidista d e A y C ■=> B = 1 ( A + C) »
uniform e rectilíneo en dirección del vector a = (-2 , 2 , 1 ) es
M 0(1 5 , -2 4 , *1 6 ); la velocidad e s v = 12. T ra s verificar qu e la trayectoria del punto M
295
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
C = 2B-A
=> C = 2 < - 5 , 6 , 3 > - < - 3 , 8 , 5 ) = < - 7 , 4 , 1)
Dirección del rayo reflejado : v = C S = <0 , 2 , 2) - <-7 , 4 , 1 ) = <7 , -2 , 1 )
corta al plano P : 3 x + 4 y + 7 z = 1 7 , h a lla r : a) el punto P de s u intersección , b) la
longitud del se gm e n to M i 3 , c) el tiem po qu e s e n e ce sita para q u e el punto M haga
Por lo tanto , s u e cu a ción vectorial e s
SB = {< 0 , 2 , 2) + t ( 7 , - 2 , 1), t e R }
■
el recorrido d e sd e M 0 h a sta P.
Ejemplo 8
Solución, a) L a ecu ación vectorial de la trayectoria e s
j
S (1 , 4 , -2) y d ista u n a u n id a d d e
<B= {<15 , -2 4 , -16) + 1<-2 , 2 , 1>, t e R }
X «=> P = (15 - 2 t , -24 + 2 t , - 16 + t)
Si P e
(1)
Solución.
* P : x + By + C z + D = 0
Su stitu ye n d o en (1) s e tiene
d{f£ , P ) = 1 <=>
<=> I n •v I = 11 n 11
donde : v = S T = (2 , 6 , 5) - <1
, 4 , - 2) = <1 , 2 , 7>
I I n 11
b) M ¡P = <-25, 16 , 4 ) - < 1 5 , - 2 4 , - 1 6 ) = 20 <-2, 2 , 1)
n = <1 , B , C )
= 20 \ 4 + 4 + 1 = 60
= pj- = 5
Luego : I <1 , B , C ) • <1 , 2 , 7)
u n id a d e s de tiempo.
D ado q ue
rayo lu m in o so parte
ción de la recta ^
del punto A (-3 , 8 , 5) y sig u e
= {<1 , 0 , 1 ) + 1 <-1
(2)
X ± n <=> <2 , -4 , 0) • <1 , B , C ) = 0
o
la direc­
, 2 , 1 ), t e R } , llega al
I = VI + B ; + C *
I 1 + 2B + 7 CI =\1 +B- + C 3
=>
7 J Un
(1)
=1
Si
5 ° n P = P (-2 5 , 1 6, 4 )
Ejemplo
2-4B = 0
Sustituyendo en (2) s e tiene : 192C : + 1 1 2 C + 11 = 0 «
espejo d a d o por el plano P : x + y + z = 4. H allar lá ecuación vectorial del rayo
Si S e P => 1 + 4 B - 2 C + D = 0
reflejado.
Luego , p ara B = 1/2 y C, = -1/8 <=> D, = -13/4
Solución.
i?, c=>
S = <-3 - r , 8 + 2 r , 5 + r)
«=> B = 1/2
C, = - 1/8 ó C , = -11/24
y para B = 1/2 y C : = -11/24 => D, = -47/12
L a ecuación del rayo lu m in o so e s
Por lotanto , su stitu ye n do ca d a u n o de e sto s va lo re s en (1) ob ten e m os
= {<-3 , 8 , 5> + r<-l , 2 , l > , r e R }
Si S e
la recta 5? = {<2 , 6 , 5 ) +
S e a la ecu ación general del plano
de d ond e ob ten e m os , t = 20
c) T ie m p o e m p le ado : i = 1
p a s a por el punto
t(2 , -4 , 0 ), t e R }.
P e P <=> 3 (15 - 2t) + 4(-24 + 2 t) + 7 (-16 + t) = 17
El e sp a c io recorrido e s , e = 11 M 0P
Hallar la e cu a ción ca rte sia n a del plano que
P , : 8 x + 4 y - z - 26 = 0
(1)
ó
P 2: 2 4 x + 12 y - l l z - 9 4 = 0
■
T a m b ié n
S e P <=>
(-3 - r) + (8 + 2 r) + (5 + r) = 4
<=>
En ocasiones en que se hace uso de la ecuación general del plano P :A x +B y +
Cz + D = 0, es aconsejable considerar como la unidad a cualquiera de los coeficien­
tes A , B , C o D , de preferencia A ; con esto se logra eliminar una incógnita y facilitar todas las
(*)
r = -3
L u e g o , en ( 1 ): .5?, fl P = S (0 , 2 , 2)
L a ecu ación de la recta que p a s a por A , p erpend i­
Nota.
operaciones realizables.
cular al plano P , e s :
FIGURA 6.22
J2?,= { < - 3 , 8 , 5 > + s < l , 1 , 1), s e R }
Si B e
Be
<=> B = <-3 + s , 8 + s , 5 + s)
P <=> (-3 + s) + (8 + s) + (5 + s) = 4 «
Su stituy e n d o
en (2) ob ten e m os : B =
(2)
s = -2
<-5 , 6 , 3)
Ejemplo
9
j
H allar la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a a tra v é s d e la recta
£' = {(1 , 8 ,1 > + 1 <1 , - 3 , 1 ) , te R } y form a un á n gu lo de 60° con
el plano P , : 2 x - y + z = 7
296
Capitulo 6: Planos en el espacio
Solución. S e a el plano b u sc a d o P : x + B y + C z + D = O
(1)
Ejemplo 11
J
H allar la e cu a ció n ca rte sia n a de un p lan o qu e contiene a la
cu y a norm al e s n = (1 , B , C )
C o m o J2? c P «=> ( l , . 8 , l ) e P = >
3?cP
recta
1 + 8 B + C + D = 0
(2)
=> a * n = 0 = * <1 , - 3 , !)•<! , B , C ) = 0
<=> l - 3 B + C = O t = > C = 3 B - l
Su stituy e n d o (3) en (2) s e tiene :
U n vector norm al al plano
Si P y P
D = -1 1 B
form an un á ngulo de 60° <=» C o s 60° =
\
2
(VI + B 2 + C : ) ( \4 + 1 + 1)
Si y c P c=> (1 , 2 , - 3 ) e P «=> 1 + 2 B - 3 C + D = 0
t=> <1 , -4 , 2) • <1 , B , C ) = 0 , de d on d e : B = -j (1 + 2 C )
Sustituyendo (3) en (2) s e tiene :
n *n‘
n.
\41
(1)
(2 )
(3)
(4)
D = — (4 C - 3)
d(T , P ) = J L
=> 2(2 - B + C ) = Vó (V I + B 2 + C 2 )
=> Í 1 l ¿ B o £ + D ]
Vi + B : + C 2
_
\41
Sustituyendo en esta e xp re sió n los va lo re s de (3) y (4) resulta la ecu ación
Su stitu ye n d o el valor de (3) s e tiene
180 C 2 + 36 C - 1 1 = 0
2 (2 * B + 3 B - 1 ) = \ 6 (\' 1 + B 2 + (3 B - 1 )2 ) , de d o n d e o b te n e m o s
11
B 2 - 13 B + 2 = 0
L u e g o , en (3) y (4) te n e m os :
P : x + B y + C /. + D = 0 => n = (l , B , C >
Solución. S e a el plano b u sc a d o
También si í c P
P , e s n t = <2 , -1 , 1 )
7' = {(1 , 2 , -3) + 1 (1 , -4 , 2 ) l t e R } y s e encuentra a una
distancia de 8/\41 u n id a d e s del punto T (2 , -4 , -5).
(4)
n
e sto e s
(3)
297
Miscelánea ele ejemplos ilustrativos
C, = 2 ó
D, = -11
B, = 1 ó B : = 2/11
Si C, = 1/6 c=> B, = 1/3 y D, = -7/6 , y si C : = -11/30 => B = 1/15 , D, = -67/30
Luego , en (1) , las e c u a c io n e s de lo s p la n o s b u sc a d o s s o n
C , = -5/11
ó
C, = 1/6 ó - C . = -11/30
P,:6x+2y + z-7 = 0 ó
D, = -2
P , : 3 0 x + 2 y - 11 z - 67 = 0
Su stitu ye n d o en (1) c a d a uno de e sto s va lore s , resultan d o s so lu c io n e s
P , : x + y + 2 . Z - 11 = 0
ó
P , : 11 x + 2 y - 5 z - 22 = 0
Ejemplo 1 2
j
D a d o el plano
P : x - 2 y + 3 z = 0 y l a recta
7\ : x + 4
4
5-z
, y = - 1 ; ha3
llar la e c u a c ió n de la recta q u e p a s a por A (0 , 2 , -1) , e s
E j e m p lo
10
J
Hallar la ecuación del plano que p a s a por A(1 ,3 , 0) y B (4 , 0 , 0 )
y h ace un á n gu lo de 30° con el p lano P , : x + y + z - 1 = 0
Solución.
S e a el plano b u sc a d o , P : x + B y + C z + D = 0
Si A (1 , 3 , 0 ) 6 P => 1 + 3 B + D = 0
paralelo al plano P y corta a la recta
Solución. La norm al al plano P e s n = <l , -2 , 3>
(1)
y !?, = {<-4,-1 ,5 ) + r < 4 , 0 , - 3 ) , r e R } .
(2)
Si P, e
B ( 4 , 0 , 0 ) e P ■=> 4 + D = 0 <=> D = -4 , lu e go en (2 ), B = 1
P o r lo que , en (1) s e tiene , P : x + y + C z - 4 = 0 = > n = ( l , l , C )
(3)
El vector de dirección de la recta
Com o
C o s 30° = ■
II n || 11 n, 11
de d o n d e ob ten e m os :
P o r lo tanto , en
(3)
5 C 2 - 16 C + 2 = 0
7\ «=* P, = <-4 + 4 r , -1 , 5 - 3 r )
7 es a = AP,
<=> a = (-4 + 4 r , -1 ,5 - 3 r ) -< 0, 2 , -l) = (-4 + 4 r ,-3 ,6 - 3r)
L a norm al al plano P , e s n ( = (1 , 1 , 1)
^
7\.
ü =
<U,C).<I,1,1)
2
(\'l + 1 + C J) ( V l + 1 + 1)
C =
V 11 P «=> a • n = 0
«=> (-4 + 4 r , -3 , 6 - 3 r ) • <1 , -2 , 3) = 0
FIGURA 6.24
de d on d e ob ten e m os , r = 4 => a = <12 , -3 , - 6) = 3 (4 , -I , -2)
j (8 ± 3 \6 )
' 7 ' = {<0, 2 , - 1 ) + l <4, - 1 ,-2 ), t e R }
, las e cu a c io n e s de los p la n o s so n
P : 5 x + 5 y + (8 ± 3 V 6 )z - 20 = 0
■
Ejemplo 1 3
J
Hallar las e c u a c io n e s param étricas de la recta que e s parale­
la a los p la n o s P , : 3 x + 1 2 y - 3 z - 5 = 0 y P 2 : 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0,
y que corta a las rectas
Capítulo 6: Planos en el espacio
298
. x + 5
_
y -3 _
-4
”
~2
z+ 1
3
v ™ . X _ i3
Y 2'
-2
y±l
_
Solución. L a s no rm a le s a los p la n o s d a d o s s o n : n, = (1 , 4 , - l ) y
4
P . : - 7 y + 8 z = 47 , cu y o vector de dirección e s
n; = (3 , - 4 , 9 ) y las
e c u a c io n e s vectoriales de las rectas s o n
R}
V : P = P, + 1 a , t e R . la e cu a ción vectorial de la recta b u s c a d a , c u y o vector de
dirección e s
D a d o que :
(a , b , c)
a =
a, = n f x n,
c=> a, = <8 , 1 ,0 ) X <0, -7 , 8) = 8 (1 , - 8 , -7)
El punto de p a s o de
.5?, = {<-5 , 3 , - 1 ) + r (2 , -4 , 3 ), r e R } , .#,= {< 3 ,-1 , 2) + s < -2 ,3, 4 ) , s e
Sea
299
Gruyo 35
C e s la recta d e t e rm in a d a p o r la in te rs e c c ió n d e d o s p la n o s P , : 8 x + y = 7 y
= Z lA
3
EJERCICIOS :
7 \ lo o b te n e m o s de las e c u a c io n e s d e P, y P,. P o r ejem plo ,
para v = -1 , en P ( , x = 1 , y e n P , , z = 5 , por lo que , ( l , - l , 5 ) e
Lu e go ,
C = # , = {<1 , -I , 5) + s (I , -8 , 7)1 s e R }
O b sé rv e se qu e A fl B = 0 (co m p rué b ese ) y A f| C = P (1 , - 1 , 5 ), a m b o s conjuntos
9/ 11P, <=> a * n l = 0 < = > a + 4 f e - c = 0
<&\\P2 t=> a * n , = 0 o
R e so lv ie n d o el siste m a para a y
tienen el m ism o punto de paso. E n to n c e s el plano P form ado por lo s conjuntos B
3 a - 4 ¿ > + 9c = 0
b o b te n e m o s , a = 2c
y C tienen por ecu ación vectorial
y b = 3c/4
c=> a = < -2 c ,3 c / 4 ,c ) = - j < 8 , - 3 , - 4 )
S in perder generalid ad p o d e m o s e le g ir :
Si P ( 6
(X n
«=* p , e
a = (8 , -3 , -4)
=> P, = (-5 + 2 r , 3 - 4 r , -1 + 3 r )
P. e (J2? fl # 2) => P ; e ^
=> P : = <3 - 2 s , -1 + 3 s , 2 + 4s>
C o m o P.P. 11 a «=> P j - P j s k a
■ = > ( 8 - 2 s - 2 r , - 4 + 3s + 4 r , 3 + 4 s - 3 r ) = k ( 8 , - 3 , - 4 )
{
8-2s-2r=8k
y p or Q 0e (A D P )
<=> s + r + 4 k = 4
-4 + 3 s + 4 r = - 3 k
Luego . si Q ()e
«=> 3 s + 4 r + 3 k = 4
£f x ■=> Q u = (7 + 2 t ,-13 - 7 t ,-1 + 9t)
Q0e P o
3
+ 4s-3r=-4k
R e so lv ie n d o el siste m a ob te n e m o s : r = 1 , s = -1 , k =
<=> 4 s - 3 r + 4 k = -3 Por lo que , en
1 <=> P, = (-3 , -1
% : P = <-3 , -1 , 2> + t (8 , -3 , -4) <=> x = -3 + 8 1 , y = -l -3 1 , z =
, 2>
FIGURA 6.25
(7 + 2 1) + (-13 - 7t) - (-1 + 9 t ) + 5 = 0 <=> t = 0
( 1) , ob te n e m o s
Q i( = (7 , -13 , -1)
El vector d e dirección de ? ' e s a = P, Q = Q n - P 0
2-4t■
=> a = <7, - 13 ,-1) - <1 ,-1 . 5) = 6 <1, - 2 ,
<0 = {(\ , -I , 5) + t<l , - 2 , 1)1 t e R }
Ejemplo 14 J
(1)
I)
■
S e a n lo s conjuntos
A = {(x , y , z) e R J I 6 3 (7 - x) = 18(1 3 + y) = -1 4 (z + 1)}
E J E R C IC IO S : Grupo 35
B = {(1 + 2 t , -1 + 3 t , 5 + 5 t > e R 3 I t e R }
C = {(x , y , z) e R-' I 8 x + y = 7 , - 7 y + 8 z = 4 7 }
a) D a r la ecu ación carte sian a de un plano P que co n te n ga a d o s de los conjuntos
1 . H allar la ecu ación del plano qu e p a s a por S(1 , 1, 1) y e s perpendicular a la
d ad os.
recta
b) Hallar un a e cua ción vectorial de un a recta
% paralela a P y c u y a intersección con
A , B y C s e a no vacía.
A=
<2?,: * 1 2 =
= ^ ± 1 <=> <¡Pt = {<7 , -13 , - 1 ) + t <2 , -7 . 9>| t e R }
’ *- x + 2 y + 2 = 5
p a s e por los p untos A (5 . 4 , 6 ) y B(-2 , -17 , -8 ).
3.
Hallar la ecu ación del plano que contiene a los p untos S(1 , 2 , 3) y T (3 , - 1 , 0 )
y q u e e s parale lo a la recta de in te rse cció n d e lo s p la n o s x + y + z - 3 = 0 y
x + 2 y - 3 z + 5 = 0.
B = %^,= {<1 ,-1 ,5> +r<2, 3,5)1 r e R}
•
2 . Hallar el punto Q que e s sim étrico al punto S ( 2 , - 5 , 7 ) respecto de la recta que
Solución, a) L o s conjuntos A , B y C s o n rectas c u y a s re p re sen ta cion e s vectoria­
les s o n las sig u ie n te s
^ . r 2 x x- y- y+ +z z= =í 5
300
Capítulo 6: Planos en el espacio
4.
3? q u e co n tie n e al p u n to S ( 2 , - 5 , 8 ) e s p e r p e n d ic u la r al plano
P : x - 2 y + 3 z - 8 = 0. Hallar las co ord e n a d a s del punto de intersección de X y P.
5.
EJERCICIOS :
*-x0
U n a recta
ü2
17.
a)
para q ue el punto M h a g a el recorrido d e sd e M 0 h a sta P,
el punto P de
c)
la longitud del
Hallar en el plano X O Y un punto P de m od o q u e la s u m a de s u s distancias a
S02 = {(-1 , 3 , 1 ) +
3! u na tercera recta que corta a
ortogonalm ente.
S i P 1 e s el p lan o q ue determ inan J
c !y y r£ 2 , y P 2 e s el plano qu e determ inan
y % ; hallar el c o se n o del á n gu lo que form an P, y P 2.
18. S e a n la s re c ta s i ? , = {<-1 , 3 , 3 ) + s (0 , -1 , 1 ), s € R } ,
r<1 , -1 , 1), r e R } y
Hallar en el plano P : 2 x + 3 y - 4 z - 1 5 = 0 un punto P d e m o d o q u e la diferencia
de s u s d istancia s a los p u ntos A (5 , 2 , -7) y B (7 , -2 5 , 10) s e a m áxim a.
P ara q ue v a lo re s d e A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la
recta 0 : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = - 2 - 2 t
P a ra que va lore s de
19.
a
4
-3
20.
21.
& :
y
y e s per­
pendicular al plano P : 3 x + 2 y - z - 5 = 0
<£ : x = x 0 + a t ,
. x_^2 _ y + 4 _ Z j J
1'
3
-2
2
p ued e representar en la form a
y -y0
z -z 0
b
c
a •
B
Hallar las e cu a cio n e s sim étricas de la recta que p a s a por el punto M 0(3 , -2 , -4)
paralelam ente al plano P : 3 x - 2 y - 3 z - 7 = 0 y q ue corta a la recta
b t , z = z 0 + c t y e s p erpendicular al p lan o P 1 : A x + B y + C z + D = 0 s e
x -x 0
H a lla r la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a p or A(1 , 3 , 0) y B (4 , 0 , 0) y h a c e un
á n gu lo de 30° con el plano P , : x + y + z - 1 = 0
22.
D e m o stra r q u e la e c u a c ió n del p la n o q u e p a s a p o r la recta
A
Hallar la e cu a ció n del plano que p a s a por T (2 , -1 , 0) y form a un á n gu lo de 30°
c o n el eje X.
Hallar la e cu a ció n del p lano qu e p a s a por
y = yo=
H a lla r la e c u a c ió n del p la n o p e rp e n d ic u la r al p la n o z = 2 , q u e c o n te n g a al
punto P,(1 , -3, 4) y h a g a un á n g u lo de 60° co n el plano P : 2 x - \ 3 y + 3 z - 5 = 0
x-2 _ y + 1 _ z-5
a y C la rectaC4 «M/ ------------- — ------- e s perpendicular
al plano P : 3 x - 2 y + C z + 1 = 0
14.
La posición inicial del punto M (x , y , z) en un m ovim iento uniforme rectilíneo ,
se g m e n to M 0P.
los p untos A(-1 , 2 , 5) y B(11 , -16 , 10) s e a m ínim a.
13.
C2
intersección de s u trayectoria co n este plano , b) el tiem po que s e necesita
P:3x+y-2z=0
12.
K
0
e c u a c io n e s del m ovim ien to del punto M y determ inar :
Hallar la proyección del punto S ( 5 , 2 , - 1 ) so b re el plano P : 2 x - y + 3 z + 2 3 = 0.
8 . H allar el p unto Q q u e e s sim é trico al p u nto S (1 , 3 , - 4 ) re sp e c to del plano
11.
=
. c,
dicular bajada del punto M 0 al plano P : 15 x - 16 y - 12 z + 2 6 = 0. Hallar las
y la recta que p a s a por el origen y que e s perpe n d icu lar a P .
10.
z * zo
e s M 0(28 , -3 0 , -2 7 ); la velocidad e s v = 12.5 y la dirección e s la de la p erpen­
6 . Hallar las co o rd e n a d a s del punto de intersección del plano P : 2 x + y + z - 6 = 0
9.
y-y0
b^
O b tener u na e cu a ció n carte sia na del plano qu e contiene al punto S (-6 , 1 , - 3 )
y que e s p erpendicular a la recta c u y o s c o s e n o s directores s o n to d os iguales.
7.
301
Grupo 35
23.
=0
H allar la p royección del punto C (3 , -4 , -2) so b re el plano q ue p a s a por las d o s
re cta s p a ra le la s
C
se,: ^
^
lO
1 5. Hallar la ecu a ción del plano que p a s a por el punto P,(1 , 2 , -3) y paralelo a las
24.
z± 3
=
I
"4
y
X_^
=
lO
y^3
1
=
/+ 3
-^t
H allar el punto Q q u e e s sim étrico al punto P (3 , -4 , - 6 ) co n respecto al plano
que p a s a por los p u ntos P ,(-6 , 1 , - 5 ) , P 2(7 , -2 , -1) y P 3(10 , -7 , 1).
rec, a s ^ : V
16.
= ^
= ¥
Y
= ¥
=
25.
D e m o strar que la e cu a ción del plano que p a s a por el punto P 0(x0 , y 0 , z0) y es
que p a s a por la s rectas
y . r x-2y+3z-5 = 0
paralelo a las rectas
a>. x - xi
1'
a,
H allar el punto Q que e s sim étrico al punto P (-3 , 2 , 5 ) co n re spe cto al plano
y - yi _ z - zi
6,
c,
s e p ued e representar en la form a
C
p . x - xz _ y ~ y 2 _ z - z?
2
a2
b2
c2
l
.
26.
x-2y-4z + 3 = 0
r3 x + y + 3z+7 = 0
’
2'
l 5x-3y + 2z+ 5 = 0
D e m o stra r que la e cu a ción del plano q ue p a s a por la recta
=5?,: x - Xl =
a,
o,
c,
t y e s paralelo a la recta c£'2 : x = x 0 +
a t , y = y 0+ b t ,
302
Capitulo 6: Planos en el espacio
z = z0 +
c t , s e p ued e representa en la form a
x - x,
y - y,
z-z
a
b
b,
e
a,
27.
0
=
Cy
D e m o stra r q u e si d o s rectas
^ . x + xi
_
y - yi
_
z - z.
y
st9 :
X - X;
_
y
^2
~y
2
¿2
_
z - Z?
^2
s e cortan , la e cu a ción del plano en el que e stá n situ a d a s s e p u e d e represen­
tar en la form a siguiente
28.
x-x,
y-y,
a,
6,
z-z,
c.
D e m o stra r q u e la e cu a ció n del p la n o q ue p a s a por lo s p u n to s P t(x, , y , , z,) y
P 2(x2 , y , , z ) y el paralelo a la recta
p resentar en la form a
x-x,
7': x - x 3 _ y - y 3 _ z - z 3
a
b
e
y-y,
a
s e puede re­
z2-z,
b
que x: =
e
5?, : x = x , + d t , y = y , + ¿ ? t , z = z , + c t y 5r'2; x = x 2 + íZt , y = y 2 + M , z = z 2 +ct,
se puede representar en la form a siguiente :
v
x, y2-y,
a
30.
b
v
z,
a , si a > 0. P e ro q ue su c e d e c u a n d o a < 0. N o existe nin gú n n úm ero real que
satisfaga e sta ecu ación p u e s , el c u a d ra d o de todo n úm ero real e s sie m pre p o si­
tivo o cero. P o r tanto , p a ra re so lve r la e c u a c ió n d e b e m o s am p liar el siste m a
num érico o incluir e x p re sio n e s se m e ja n te s a i = \ - l , tal q ue i: = - I. E sta exp re sió n
e s llam ada
z-z,
y-y,
Dentro del c a m p o de los n ú m e ro s reales p o d e m o s hallar n ú m e ro s x tales
=o
D e m o stra r que la ecu ación del plano que p a s a por las rectas paralelas
x-x,
[ 7.1 ) E L C O N J U N T O D E L O S N U M E R O S C O M P L E J O S _________
z-z,
x2 - xi y2-y,
29.
=o
núm ero im aginario o unidad im aginaria. P o d e m o s e n to n ce s investi­
a + b i (llam ados números com plejos), d on d e
gar el conjunto de n ú m e ro s de la form a
=°
e
D e m o stra r qu e la ecuación del plano que p a s a por la recta
7': x = x 0 + a t , y = y0 + b\ , z = zQ+ ct
a y b s e eligen del conjunto de n ú m e ro s reales. E s t o s n ú m e ro s s o n p arejas de
n ú m e ros reales (a , b ) , d on d e el sím b o lo i sirve solam e n te p ara co n se rv a r s e p a ra ­
dos d o s núm eros. E sto e s , si re p re se n ta m o s por C a dicho conjunto , e n to n ce s
te n e m os la siguien te definición formal
y por el punto P,(x, , y, , z,) s e p ued e representar en la form a :
x-x,
y-y,
xt - xo y ,-y 0 z, - zo
a
b
DEFINICION 7.1 Conjunto de los núm eros complejos
z-z,
e
=°
El conjunto de to d os los n ú m e ro s de la form a
a + b i , d o n d e a . b € R e i: = - 1
s e d e n o m in a el conjunto de los números complejos y s e denota por (' . esto e s
C = {(a , b) = a + ¿>i| a , b e R : , i- = -1 )■
V __________________________!_______________ __________________________________________
L o s elem entos del conjunto C s e denotan por la s letras v , w , z , etc. de
m od o q ue si
304
Capítulo 7: Números complejos
zeC
<=*
z = (a ,b) ,a ,b e R
= (c ,d) ,c ,d e R
Demostración d e A .3 : (z, + z ) + z, = z, + (z, + z,)
w e C <=> w
En e fe c to , s e a n : z, = (a , b) , z, =
L a c o m b in a c ió n de lo s n ú m e ro s co m p le jo s c o n lo s n ú m e r o s reales se
llam a
Sección 7. / : El conjunto de los números complejos
sistema de números complejos. E n to n c e s a se m e ja n za co n el estudio desa­
*=> ( z , + z :) + z ; = [(íí ,b) + (c ,d)] + (e ,i)
= (a +c ,b + d) + (e ,1)
rrollado en form a a xiom á tica de lo s n ú m e ro s re a le s c o m e n z a r e m o s por definir
= [
este siste m a en función de lo s n ú m e ro s reales.
f
-— — —
a
=
DEFINICION 7.2 El sistema de núm eros complejos
El siste m a de n ú m e ro s com p lejos e s el conjunto C de todos
(a , b) , p ro visto s de u n a relación de
equivalencia y d o s op e ra cio n e s lla m a d a s de adición y multiplicación . tales
que , para d o s elem entos cu a le sq u ie ra (a ,b) e C y {c , d) e C s e tiene
(a . b) = (c , d) <=> a = c A -b = d
Igualdad :
2 . Adición :
3.
(a , b)
(A so c ia tiv id a d e n R)
(a , b) + [(c + e ) , {d + f )]
(Definición de su m a )
(Definición de su m a )
= z, + (z, + z,)
La s u m a de com plejos e s asociativa.
Demostración de A.4 : 3 ! z € C I V z € C : z + zu =
z
E n efecto , s e a n , z (1 = (x , y) y z = (a , b)
{a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)
Multiplicación :
(Definición de su m a )
e ) , b + (d + f )]
= (a ,b) + [(a ,d) + {e ,i)]
los p a re s o rd e n a d o s de n ú m e ro s reales
1.
(Definición de su m a )
(a + c) + e , [b + d) + f ]
= [ a + (c +
—
( c , d) y z^ = (e , f ) I a , b , c , d , e , f e R
A ve riguare m os qu e va lo re s d eb e n tom ar x e y de m od o q u e : z + z,( = z
(c , d) = (ac - bd , a d + be)
(a , b) + (x , y) = (a ,b)
«=>
(a + x , b + y ) = (a , b)
/ --------------------------------------------- —
(a + x = a) a (b + y = b)
-------------
TEOREMA 7.1 Propiedades de la Adición
P a ra los n ú m e ro s com p lejos z, , z, , z 3 e C , s e cu m ple las
Entonces el elem ento neutro aditivo e s z = (0 , 0). L a unicidad de z resulta de la
unicidad de lo s va lo re s de x e y.
A.1 : V z , , z : e C <=> (z, + z,) e (!
(C la u s u r a )
A.2 : V z , , z , e C <=* z, + z, = z, + z,
z 0 = (0 , 0) e s el elem ento neutro aditivo de C
(C on m uta tivid a d )
z :) + z, = z, + (z. + z.)
(A so ciativid ad )
A .4 : Existencia y unidad del elem ento neutro aditivo z 0 = (0 ,
3
(Definición de igualdad)
t=> (x = 0) a (y = 0 )
s ig u ie n t e s p ro p ie d a d e s
A .3 : V z , , z , , z, e C r=> (z, +
(Definición de su m a )
0)
! z , e C | V z e C ; z + z(J = z
Demostración de A .5 : V z e C , 3 ! (-z) e C I z + (-z) = z 0
E n efecto , s e a n :
z = {a,b)' y -z = ( x , y )
A ve rigu a re m os q ue va lo re s d eb en tom ar xe y , tales q u e : z + (-z) = z
A .5 : Existencia y unicidad del in ve rso aditivo
o
(a , b) + (x , y) = (0 , 0)
P a ra ca d a z e C , existe un único (-z) e C I z + (-z) = z.
r
=> (a + x , ¿> + y) = ( 0 , 0) «
Lu e go , si z = (a , b) o
D em ostración de A .2 : z + z, = z, + z,
En
efecto , s e a n z, =
(a , b) y z, = (c , d) d o s n ú m e ro s co m p le jos
*=$ z, + z, = (a , b) + (c , d) = (a + c , b + a)
= (c + a ,d + b)
= (c,d) + (a ,b) = z : + z,
/.
-z =
La s u m a de n ú m e ros com plejos e s conm utativa.
{
a + x = 0 = > x = -a
b + y = 0 <=> y —-b
-z = (-a , -fc)
[-a , -b) e s el in ve rso aditivo u o p u e sto de z = {u , 6)
S e g ú n esta propiedad , s e p ued e definir la resta , z, - z, por la siguiente relación.
(Def. de su m a)
(C onm utativid ad en R)
(Def. de su m a )
z, - z, = z, + (>z;) )
(1)
306
Capítulo 7: Números complejos
cum plen Ig s sig u ie n te s p ro p ie d a d e s
M.1 : V z , , z, e C ==> z, z, e C
(C la u su ra )
M .2 : V z , , z , e C => z z, = z, z,
Multiplicando (a) p o r a :
(C onm u tativid ad)
M .3 : V z , , z 2 , z, e C «=> (z. z .)z , = z l( z , z <)
(A sociativid ad )
307
a :x - a b y = a
(4) Multiplicando (P) por b :
b:x +aby=.b:
(5) S u m a n d o (3) + (4) s e tiene : (a'- + b2)x = a'- + b: <=> x =
1
(6) Su stituy e n d o en ( p ) :
b + a y = b => y = 0 ,luego : to = (I , 0)
(3)
TEOREMA 7.2 Propiedades de la M ultiplicación
P a ra z, , z ; . z, e C s e
Sección 7 .1 : El conjunto de los números complejos
.\
cü
= (1 , 0) e s el elem ento neutro multiplicativo de C
I Nota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también unidad compleja o
M .4 : Existe ncia y unicidad del elem ento neutro multiplicativo
uno complejo y se denota por I . Esto es to = I = (I ,0)
3 ! a) € C , a * z 0 1 V z e C : z to = z , d o n d e o> = (1 ,0 )
Dem ostración de M .5 : V z e C , z * z( , 3 ! z 1 e C I z z 1 = co
E n efecto . s e a n z = (a , b) y z 1 = (x , y)
(1) S i z z ' = m <=> (a ,b) (x , y) = (I , 0)
ax-by= I
(a x - b y , a y +b x) = ( 1 , 0 ) <=> | a x ^ * 1
(2 )
L a¡y\ + bx = 0
M .5 : Existe n cia y unicidad del elem ento in ve rso multiplicativo
Vz e C , z* z
, B ! z 1 e C l z z •' = w
, M .6 : V z , , z , , z, e C : z,(z, + z.) = z, z, + z, z,
(P ro p ie d a d Distributiva)
D em ostración de M .2 : V z, , z, e C ■=> z, z, = z : z,
E n efecto , s e a n : z, = (a , ¿)
(1)
=>z,z
y z : = {c
-(3)
,d)
x=
, = (a ,b) (c ,d) = { a c - b d , a d + bc)
(Def. de Mult.)
(2)
z ; z, = ( c ,íi) (a ,¿>) =
( c a- d b, c b +da)
(Def. de Mult.)
(3)
=
[ac- bd , a d + bc)
(C onm utatividad en R)
(4)
L u e g o , de (1) y (3 ):
(4)
z, z : = z, z,
z l = (a ,b) , z, = (c ,d) y z, = (x , y)
( 1 ) t=> (z, z :)z? = {ac -bd ,a d + be) (x , y)
=
(4)
(5)
(6 )
(7)
z
w
(2 )
(a , b) y e s único,
(a , b) definido en M.5 se denomina también
(a ,b) { c x - d y , c y + dx)
= (a , b) [(c , d) [x , y)] = z,(z, z.)
P ro b a re m o s que w = (1 , 0 ), s u p o n ie n d o que z
= (a ,b)
z_ _ (a , b)
-4
= ( a , b ) i c , d y = ( ú , 4) ( _ £ _ , _ ^ L . ) = m ± M
(c ,d)
\c +d
c- +d- l
' c- + d -
w
-b) _ / a c + bd
(C , d )
y
(3)
'
C- + d :
be - a d \
’
,
C- + (l‘ I
(4)
C: + d 2 >
(o = (x , y)
Por ejem plo , si z = (5 , 3) y w = (3 , - 1), e n to n ce s s e g ú n la regla (4) para la división
(x , y) = (a ,b)
rf aaxx -- bo yy
(a)
z
l
(P)
w
¡=> ( a x - b y , a y + bx) = (a ,b) <=> ■{
= z (w) = z <w>
De e sta división s e obtiene la regla para dividir d o s n ú m e ro s com plejos :
D em ostración de M. 4 : 3 ! ( o e C l V z e C : z a > = z , (o = (1 ,0)
(2)
a : + b: '
z = (a ,b) y w = (c , d)
=
(a ,b)
, — >
—)
'a - + 6;
relación
[(ac-bd) \ - (ad + bc )y , (ac-bd)y + { ad + bc)x]
( a c x - b d x - a d y - b e y , a c y - b d y + a d x + bcx)
= ( a c x - a d y - b d x - b e y , a c y + a d x - b d y + bcx)
= [ f l ( c x - ¿ y ) - 6(c y + J x ) , a (c y + d x) +b{cx-dy)]
S i z to = z ■=>
z ' = (— 2—
S e g ú n e sta propiedad , s e p ued e definir la división de z entre w por la siguiente
El producto de n ú m e ro s com plejos e s asociativo
(1)
-b
a 2 + b2
recíproco de z. E s costumbre representar a z -i como y
E n efecto , s e a n :
=
..
y=
z = (a ,b) y si z 1 = (x , y) =>
i Nota. El elemento inverso multiplicativo de z =
D em ostración de M .3 : (z, z,)z, = z,(z, z,)
(3)
Luego .si
a
a : + b:
e s el in ve rso multiplicativo de z =
El producto de n ú m e ro s co m p le jos e s conm utativo
(2 )
R e so lv ie n d o el siste m a para x e y o b te n e m o s
=
=a
a yy + by
b \ =b
_
(5 , 3) _
= [(15
* -' 33
9 + 5 \ _ / 6_ _7\
V9 + 1 ’ y + i /
\5 ’ 5/
( 3 ,-1 )
308
Capitulo 7: Números complejos
7.2 ) R
CO M O SU B C O N J U N T O DE
309
Sección 7.3 : Forma cartesiana de un número complejo
(a ,0) = a , V a e R
C
o se a , p o d e m o s afirm ar que A = R y c o m o A c C
V e re m o s a hora la relación que existe entre lo s n ú m e ro s com p lejos y los
<=> R c C
De a q u í s e c o n sid e ra que el siste m a de lo s n ú m e ro s co m p le jos e s u n a am plia­
ción del siste m a de lo s n ú m e ro s reales.
n ú m e ro s reales.
S e a A = {(a , 0) I a
e R c f;} , el conjunto de los com p lejos de parte im aginaria nula.
S e p ued e e stablecer un a co rre sp o n d e n c ia b iu n ívo ca entre A y lo s n ú m e ro s reales
Í 7 . 3 ) F O R M A C A R T E S IA N A D E U N N U M E R O C O M P L E J O
de la siguiente m anera.
L a función / : A •=> R , definida por /[ (a , 0)] =
a , a s ig n a a c a d a com plejo real su
p rim era co m p one n te.
/ es
z, = ( a , , 0) y
invectiva , p u esto q ue si
<=> (a , 0 ) *
Adem ás com o,
/(z,) = / [ ( a , , 0)]
se tiene q ue :
/ es
elem ento
,/
a, *
El núm ero com plejo im aginario c u y a s e g u n d a co m p on e n te
(a ,, 0 ) <=> a , * a ,
a:
unidad imaginaria y s e den o ta por
e s la unidad s e d en o m in a
i = (0 , 1)
/(z,) * /(z,)
V a e R , existe
e s u n a función
DEFINICION 7.3 Im unidad imaginaria
z,*z,
=a, y / ( z , ) = / [ ( a , f 0) ] = a ,
sobreyectiva , p u e s
P o r tanto
z, = ( a , , 0 ) y
[a , ü) e A I f[(a , 0)] = a
biyectiva. E sto e s , V (a , 0) e A le co rre sp o n d e el
Tiene la prop iedad de que si
P = (0 , I) (0 , 1 ) = (0 - 1 , 0 + 0 ) = (-l , 0)
a en los reales , lo cual s e indica escribiend o
{a , 0) <=> a , V a e R
y por la a n a lo g ía de los com plejos reales co n los re ale s
¡- = -1 <=> i =
V e a m o s el com portam iento de las o p e ra c io n e s (2 ) y (3) de la Definición 7.2 en los
conjuntos A y R. S i z, = ( a , . 0) y z , =
z, + z :
z, z, =
S i p e s un núm ero positivo , p o d e m o s u sa r la notación i =
(a : , 0), e n to n ce s
= ( a , , 0 ) + ( a , , 0) = (a, + a , , 0)
( a , , 0) ( a , . 0) = (a,
<=> a, + a,
/ (z, + z,) = / [ ( a , , 0) + ( a , , 0 )] = /[(a, + a 2 . 0)]
\- p =
Eje m p lo s :
a) V^3 = i \ 3
,
Vp
V^p = i Vp
b) V^25 = i V25 = 5 i
Tam bién p o d e m o s u s a r la rotación i2 = -I para obtener d iv e rsa s p otencias de i.
i°=i
= a , + a, = /[(a, , 0) ] + / [ ( a 2 , 0) ] = / ( z , ) + / ( z J)
/ ( z 1 z :) = / [ ( a 1 . 0 ) ( a , I 0 ) ] = / [ ( a |a , , 0 )]
= a 1 a 2 = / [(a I , 0) ]/ [ ( a 2 ,0) ] = / ( z l)/(z,)
C
raíz
cuadrada principal de -p , rep resentada por V-p , esto e s , si
a2, 0 ) <=> a¡ a.
A p lica n d o / a ca d a u na de e sta s o p e ra cio n e s s e tiene
, p ara denotar la
A n á lo g a m e n te
= I
5= i
2 = -l
ft = -l
¡> = j ‘i = (-l)i = -¡
7 = -i
i 4 = i 2i 2 = (-1)(-D = i
!*= 1
z, = (a, .0)
O b s é rv e s e que para c a d a 4 p oten cia s s u c e s iv a s de i s e repiten los m ism o s resul­
z; = (a,,0)
tados. L u e g o , si el exponente de i e s n e N , al efectuar la división entre cuatro se
z, + z, = (a, + a , , 0 )
z l zj.= (a,tfj ,0)
obtiene 4 k + r , d o n d e 0 < r < 4 , e n to n ce s
¡I "n =
_ I¡4k+ r =
_ (/¡i 4
4k\¡
k) i'i _
= (i 4) ir = ( 1 ) i r = i r
E n c o n se c u e n c ia , in s e reduce a u no de los cuatro c o n sid e ra d o s en primer lugar,
s e g ú n el valor que tenga r
E sta a n a lo g ía permite identificar ca d a com plejo real co n el real correspondiente
e s d e c ir , e s válida la igualdad
Ejemplos:
1.
2.
=i
= i° = l
i25 = i 4(61* 1 = i1 = i
ilíS
3. ¡M = i 4(,,, +2 = i2 = -1
4. i87 = i 4(2,) +1 = P = -1
310
Capítulo 7: Números complejos
(a , 0) con
a , p o d e m o s escribir el nú m e ro com plejo z = (a , b) en la form a
U s a n d o la co n ve n ció n de identificar los n ú m e ro s co m p le jos de la form a
el núm ero real
z=
Sección 7.4 : Representación geométrica de los números complejos
( 7 . 4 ) R E P R E S E N T A C IO N G E O M E T R IC A D E L O S N U M E R O S C O M ­
PLEJO S
(a , b) = (a , 0) + (0 , b)
= (a , 0 ) + (6 , 0) ( 0 , 1 )
L a id e a de re p re se n ta r ge o m é trica m e n te un n ú m e ro com plejo e s real­
= (a , 0 ) + ¿ ( 0 , 1 )
mente m uy sim ple. S e p u ed e establecer un a co rre sp o n d e n c ia u n o a uno entre los
/ ----------------- "N
z = a +b ¡
nú m e ros co m p le jos y los p u ntos del plano carte sian o de acu e rd o con el esquem a:
v____________ /
N ú m e ro com p lejo
de form a cartesiana , rectangular , canóni­
ca o binómica de un n úm ero com plejo , de d o n d e a e s s u parte real y b s u parte
Notación q ue s e c o n o ce co n el n om b re
im aginaria , y s e denotan , respectivam ente
a = R e (z) , b = Im (z)
r
Punto del plano
<=>
P (a ,¿)
a + b i co rre sp o n d e a un punto único del plano c u y a s
a , y = b. R e cíp ro ca m e n te , ca d a punto P(a , b) del plano
c o rre sp o n d e a un n ú m e ro único a + b i.
A s í , c a d a n ú m e ro com plejo
El punto P (a , b) recibe el nom bre de
-y
El p la n o d o n d e s u p o n e m o s re p re se n ta d o s lo s afijos
U n a ventaja de escribir los n ú m e ro s co m p le jos en la form a ca rte sia n a e s que la
s u m a y la m ultiplicación s e p u e d e n efectuar sin referirse a la s d e fin ic io n e s en
térm inos d e p a re s ord e n a d os.
(a , b) = a + b i , z, = (c , d) = c + d i para efectuar la
m ultiplicación z, z, d on d e c o n sid e ra m o s los térm in os
punto , afijo o
gráfica del n ú m e ro com plejo a + b i.
z = Re (z) + Im (z) i
v__________ ____________ y
a , b , c , d , i , c o m o si todos
e llo s o b e d e c ie ra n a la s le y e s de lo s n ú m e ro s re a le s y re e m p la za n d o i2 p or -1
te n d ría m o s
de to d o s los n ú m e ro s com plejos se llama plano com­
plejo. El eje O X de este plano contiene to d o s los afijos
de los co m p le jos de la form a (a , 0) = a + O i , e s d e c ir ,
los n ú m e ro s reales. P o r e sta razón recibe el nom bre
de
eje real.
El eje O Y contiene lo s afijos de los n ú m e ro s im a gin a rios p u ro s (0 , b) y s e llama
eje
imaginario. L a línea O P qu e representa la m agnitud del com plejo a + b i s e llama
radio vector.
b i) (c + d i) = a c + ad i + be i + bd i 2
= (ac - bd) + (ad + be) i
= ( a c - b d , ad + bc)
z, z, = (ü +
P o r ejemplo , si
(a, b) = a +b i
co o rd e n a d a s s o n x =
de m od o que p o d e m o s escribir
S i u s a m o s la notación z, =
311
z, = (-2 , 3) y z, = (1 , -2 ), e n to n ce s
i 7.4.1 )
R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A D E L A S U M A Y D IF E R E N C IA
z, z, = (-2 + 3 i) (1 - 2 i) = (-2) (1) + (-2)(-2 i) + (30(1) + (3 i)(-2 i)
= -2 + 4 i + 3 Í - 6 i 2 = 4 + 7i = ( 4 , 7 )
' -
S i e n un p la n o c o m p le jo re p r e s e n t a m o s lo s c o m p le jo s z, = (a,,
b ,) y
z, = (a , , ¿,) p or s u s re sp e c tiv o s ra d io s v e c to re s r, y r, , e n to n c e s el ve cto r s u m a
I OBSERVACIONES
1.
cero. E sto e s , si
2.
z, + z, e s la d ia go n a l del p aralelogram o construido so b re lo s radios ve ctore s repre­
S e dice qu e un núm ero com plejo e s p uram ente r e a l , si s u parte im aginaria
z =
es
(a , 0) =a + Oi <=> Im (z) = 0
se n ta tivo s de lo s s u m a n d o s .
E n efecto , en la Figu ra 7.2
A O D M s A N E P , por tener : O D = N E y M D = P E
S e dice que un núm ero com plejo e s im aginario p uro , si s u parte real e s cero.
E sto e s , si
z = (0 , a) = 0 +
a i ■=> R e (z) = 0
E n to n c e s :
a = O B = O A + A B = O A + N E = O A + O D = a, + a ,
6 = P B = P É + É B = M D + Ñ A =b: + bt
z =
a + b i = (a, + a :) + (6, + b2) i = z, + z,
P a ra la d ife re n cia : z = z, - z, (F ig u ra 7 . 3 ) , c o n st ru im o s el in v e rso aditiva de z , ,
Capitulo 7. Números complejos
312
C C .6 : S i z =
O N ’ , de m od o que :
313
Sección 7.4 : Representación geometrica de los números complejos
a + b i <=> a = R e (z) = \ (z + z)
a
b = Im (z) = ^ (z - z)
O M - O N = O M + O N ’ = O P => z = z. + (-z,)
Demostración de CC. 1:
a) La s u m a de d o s com plejos co n ju g a d o s e s igual al doble de la parte real.
En efecto , z + z =
(a + b i) + (a - b i) = 2a <=> z + z ¡= 2 R e (z)
b) El producto de d o s com plejos co n ju g a d o s e s un núm ero real no negativo.
E n efecto , z z =
(a + b i)(a - b i) = a 2- (b i); = a2+ b2
C o m o a , b e R , s e tiene que (z z) e R
D em ostración de CC.2 :
a
(z z) > 0
U n n úm ero com plejo e s real si y só lo si e s igual a su
c o n ju ga d o .
(z = a) a (z = a) ■=> z = z
S i z = z <=* a + b i = a - b i <=> 2b i = 0. L u e g o , z = a , e sto e s z e R.
ze R
¿i)
L a siguiente definición del
<=> z = a + 0i<=>
conjugado de un n ú m e ro com plejo e s útil en las opera­
Dem ostración de CC.3 :
c io n e s q u e involucran n ú m e ro s co m p le jos
El co n ju ga d o de u na s u m a e s igual a la s u m a de los
c o n ju g a d o s.
DEFINICION 7.4 Conjugado de un núm ero complejo _________________________
d e n o m in a
z = (a,b) y w = (c, d)
(2) S i z + w = (a + c , b + d) <=> z + w = {a + c ,-b -d)
(3) Igualm ente , s i z = (a ,-b) y w = (c ,-d) <=>z + w = (a + c , -b - d)
En efecto, (1) S e a n
S i z = a + b i e s un nú m e ro com plejo , e n to n ce s z = a - b i s e
conjugado com plejo o sim plem ente , co n ju ga d o de z.
G e o m é tricam e n te d o s com plejos c o n ju g a d o s e stá n re­
i J m (z )
7.—a t
Ai
(4)
L u e g o , de (2) y (3) s e sig u e qu e : z
+ w = z+ w
D em ostración de CC.4 : El co n ju ga d o de un producto e s igual al producto de los
p re se n ta d o s por d o s puntos sim étricos respecto del eje
c o n ju g a d o s.
real , c o m o s e ilustra en la Figu ra 7.4
(a , b) y w = (c ,d)
(2) S i z w = ( ac- bd , a d + be) >=> z w = (a c - b d , - ad- be)
(3) S i z = (a - b) y w = (c , -d) <=> z w = ( ac- bd , - ad- bc )
En efecto , (1)
P o r ejemplo , el co n ju ga d o d e z = 3 - 2 i e s z = 3 + 2 i y
o b sé rv e se qu e : z z = (3 - 2 i ) (3 + 20 = 9 - 4 i :
Ke(z)
e n to n ce s con i : = -1 , s e obtiene
(4)
Sean z =
L u e g o , d e (2) y (3 ), s e tiene : z w = z w
z z = 9 + 4 = 13 > 0
El producto de un n ú m e ro com plejo p or s u co n ju ga d o
e s un n úm ero real positivo.
Z-a ¿i
FIGURA 7.4
I Nota.
Una aplicación importante de la conjugación en C es el de la simplificación de la
división de dos números complejos. En efecto , según la propiedad CC.1b , el produc­
to de cualquier complejo y su conjugado es un número real positivo. Entonces consideremos
el problema de encontrar el cociente d e z = a + ¿>¡ y w = c + d i d e l a siguiente manera
TEOREMA 7.3 Propiedades del conjugado de un núm ero complejo
S i z , w e C , e n to n ce s s e cum plen la s p ro p ie d a d e s sig u iente s
C C .1 : a) z + z = 2 R e ( z )
,
b) z z e R
a
(z z )
>0.
Por ejemplo , s i z = 2 + 5 i
C C .2 : S i z = a + o i <=> z = z
CC.3-:
z+w=z+w
C C .4 :
zw = zw
z_ _ z w _ (a +b\)(c - d i) _ (ac + bd) + ( bc- ad) i
ww
(c + d\)(c -d\)
c2+ d2
w
z
C C .5 : S i z e C «=> ( T ) = z
____
y
w = 3- ¡
(2 + 5i)(3 + i)
(6 - 5) + (2+ 15)i
1 + 17-
Capítulo 7: Números complejos
314
—
315
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Solución. H a c ie n d o u so de la identidad (a
M IS C E LA N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S )
+b)2+(a -b): = 2 (a 2 + b2) , s e
_ r 2(4 + i2) i 4 = / 3 \4 _
L-2 i (1 +
+i)-l
i)-J
z= -
Ejemplo
1~~)
S e s a b e q u e (3 . 5) (x
- 1 , 4) = (y - 2
, 5)
+ (3 , -1 ) para
81
_ . 81
((-2
2 ii))2
'vi i - rK
4
tiene
’ 4
+ Oi
ciertos
n ú m e ro s com plejos. Hallar t y u , tales q ue :
E je m p lo
(5 x - 4 , u + t) = ( 3 1 + 1-, *5 y - 1 9 )
4
J
D e m o stra r la identidad
x 4 + 4 = (x -1 - i) (x -1 + i) (x + 1- i) (x + 1+
Solución. Si
( 3 . 5 ) ( x - 1 , 4 ) = ( y - 2 , 5 ) + (3 ,-1 ) o
=> (3 x - 23 , 5 x + 7) = (y + 1 , 4) c=>
y si (5 x - 4
D em ostración. S e s a b e que : (1 + i)2 = 2i y (I - i)2 = - 2i «=>
( 3 x - 3 - 20 , 12 + 5 x - 5) = (y - 2 + 3 , 5 - 1)
=> (*7 , u + 1 ) = ( 3 t + 1 , 1 10 ) <=>
x 4 + 4 = x 4 - (-4) = x 4 - (2 i)2 = x 4- [(1
Factorizando :
1 , 129-1 9 )
r -7 = 3 1 + 1 <=> t = -8/3
u + t = l l 0 » u = 338/3
(1 + i)2= -(1 - i)2
Te niend o en cu e n ta e sto s re su lta d o s p o d e m o s escribir
r 3 x - 23 = y + 1 >=> 3 x - y = 24
{ 5x + 7
x = . 3/5 , y = , l29/5
, u + 1) = (3 1 + 1 , -5 y - 19) <=> (-3 - 4 , U + 1) = ( 3 t +
i)
+ i)2]2
x 4 + 4 = [x: + (1 + i)2] [x 2 - (1 + i)2]
= [x 2 - (1 - i)2] [x 2 - (1 + i)2]
.
■
= (x + 1 - i)(x - 1 + i) (x + 1 + i)(x - 1 - i)
A h o ra , por la propiedad conm utativa del producto en C , ob te n e m o s
x 4 + 4 = (x - 1 - i)(x - 1 + i)(x + 1 - i) (x
Ejemplo
2
+ 1 + i)
D eterm inar el com plejo o ) = 5 z + 2 w 2 + u , sa b ie n d o que
j
z= (1 + i)2++(i1-— • W=TTÍT • u = i75+ K1-')'2iJ3i
Solución. P a ra calcular p oten cia s de
E j e m p lo
5
J
E x p re sa r en la form a binóm ica : z = 1 +
1 +
1 + i y 1 - i , tener p resente lo siguiente :
1+
(1 + i)2 = 1 + 2 i + i2 = 1 + 2 i - 1 = 2 i
Solución.
(1 - i ) 2 = 1 - 2 í + i 2 = 1 - 2 i- 1 = -2 i
E n to n c e s :
(1 -i )4 = [ ( l - i )2]2 = (-2i )2 = 4 i 2 = -4
Luego,
. -
« „ = 1111] =
w
j +2¡
............. .
1
- 8Í 2 - i)
(2t|)(2^
-1 - 1
8Í 2 - i)
—
Z — 1 + --------'---- = 1+ ---------- í—:-------- = I +
8
( l + 2 i) (1 - 2 i)
¡\
=
( 1 , 2)
(1 , 1)
-5(|--2^ >
1+4
= - (2 + i)
=1 + - ^
(3,3)
<=> w 2 = (2 + i)2 = 4 + 4 i + i2 = 3 + 4 i
¡73s ¡4 ‘ i a * 3 . p = . ¡
E n e sto s c a s o s co n vie n e e xp re sa r los com plejos en la form a de par
ord e n a d o y aplicar la regla (4) para la división , e sto e s :
(1 + i)4 = [(1 + i)2]2 = (2 i): = 4 i 2 = -4
-4 - 4
z . — - .
/ 9 j+ 3
(3,1)
\
u = -i + (1 - i ) * i: = - i + ['(1 - i)2]3
= 5 z + 2 w 2 + u = -8(2 + i) + 2(3 + 4 i) + 7 i = - 1 0 + 7 i
n + 2
2-1
l 2
’ 2
\
I
10 ’
^ 3
E je m p lo
3
j
Hallar la forma cartesiana de z =
(3,0
\
6(2,1)
3(2,1)
10 /
_ 2 /6 + 4
8 - 3\ - 4 2
3 V 5
’
5 /
33
i
I Nota. Otras identidades importantes para simplificar operaciones con números complejos
son las siguientes
(2 + i)2 + (2 - i)2
(1 + i)3
1
= 1 + _____ i_____ = 1 + _L0j_ = 2(3^4)
<=> U = -i + (-2 i )' = -i - 8 i 5 = -i + 8 i = 7 i
a)
'
1 + i
a)
(1 + i V 3 )' = (l - i V3)- =-8
b) (V3 + i)3= 8 ¡
y
(V3 - \Y = -8 i
316
Capítulo 7: Números complejos
Cjomplo
6
S i z = -^1=f
(V3 - i)3
' -------------------------'
Solución.
(1 - i) " = (l -¡)4I,° = (1 - i ) 2(l - i) (1 + i)4k
, hallar Im (z2)
= ( - 2 0 ( 1 - i) (-4)k = ( - 2 - 2 0 H ) k
<=> z = (-4)k+l + 0 i
z=
+
-8¡
Luego:
317
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
zJ = 1 ( 1
, k e Z*
= ( 2 0 M L Ü ) = 4 i - ( l + i ) s i (1 ;¡)
- 8i
- 8¡
2
'
- \y = i ( - 2 i) = - 1 ¡ => Im (z 2) = - 1
■
E je m p lo
9
E n C d efinim os la op eración binaria * de la siguiente m anera:
]
z * w = z + w + z w , V z . w e C , h a lla r el va lo r d e z tal q u e
z * (1 + i) = O
^
Ejemplo 7
^
Sea
z =
( - j p - j ) 5 . hallar la form a ca rte sia n a de z
Solución. A p lica n d o la op eración binaria a z * (1 + i) = O , s e tiene :
z + (1 + i) + z (1 + i) = 0.
Solución.
(^ L d -Y = Ü L i V
'V3 + i'
'V3 + i'
= . l ( 3 -2>/3i + i 2)
( 4 i i ) = (iM )
'V3 + i'
V8i /
3 +1
4
1*=(-2 LV =
Vi - i ) L(I • i ) (1 + i)J
, y + 1) + (x , y) (1 , 1) =
v
,
= * ( x + 1 , y + l) + ( x - y
= -i(l -¡V
3)
(Lt!V = r
(x + 1
Si z = (x , y) ■=>
,
v
, x + y) = (0 , 0 ) <=>
(0 , 0 )
r x + 1 + x - y = 0 o 2 x - y + l =0
(1 )
{
'
y + l + x + y = 0 =* x + 2 y + l = 0 (2 )
R e so lvie n d o (1) y (2) o b te n e m o s : x = -3/5 , y = -1/5 => z = (-3/5 ,-1/5)
¡5 = ¡
■
Vl + U
.-. z = - i ( 1 - l ^ ) ¡ = - ^ - i i
■
e je m p lo
10
J . S i w = 2 u + v , v = -u + (1 - i) y u + (1 - i) = 2(1 + i ) ; e fe c tu a r:
z = v--t 2 w - u + 2 i - 1 + u 3 , e x p re sa n d o el resultado en foru2 - w
Ejemplo
8
J
E x p re sa r en la form a rectangular el com plejo
z = (1 + i)n + (1 - i)n
Solución.
1.
Solución. S i ü = - (1 - i) + 2(1 -1) = 1 - i ■=> u = 1 + i
v = - u + (1 - i) = - (1 + i) + (1 - i) t=> v = - 2 i
V e a m o s los c a s o s en que n e s un n úm ero p ar o im par
S i n e s un núm ero par => n = 4 k o
a)
ma de par ordenado.
n = 4k+2
, k€
w = 2 u + v = 2(l - i ) - 2 i = 2 - 4 i <=> w = 2 + 4i
Z*
(1 + ¡)" = (1 + i)4k = (2 i)2“ = (4 i 2)k = (-4)k
Lüe9° : Z = 2 ' 0
(1 - i)n = (1 - i)4k = (-2 i):k = (4 i -y = (-4)k
4 ¡T 0
- 2 ¡) + (1 + ¡);(1 + i)
2i + 4 + 8 i - 1 - i
-|-2l +2 i(l+ i)= - |(l± ll)
2i- 2 - 4 i
=> z = 2(-4)k + 0 i , k e Z *
b)
2i V -4(2 +
(1 + i)" = (l + i)4k‘ 2 = (l + i)- (1 + i)Jk= 2 i( -4 )k
(1 - i ) n = (l - i )4k*2 = (l - i ) - ( l - i)4k = - 2 i(-4)k
= •I
(8 + 20 «=> z = (-6 , -3/2)
—
r T (i— 1}
^
S e a n w , z e C tales q ue , w + z y w z s o n reales. D e m o stra r
<=> z = 0 + Oi
2.
S i n e s un n úm ero im p a r , e n to n ce s : n = 4 k + l
a)
o n = 4k+3
(1 + i)n = (1 + i)n = (1 + i)4k* ' = (1 + i ) ( l + i ) 4k = (l + i) ( - 4 ) k
, k e Z*
e je m p lo
11
qu e w = z.
(1 - i) " = (l - i ) 4k* ‘ = (l - i ) ( I - i)4k= (1 - i) (-4)k
■=> z = 2(-4)k + Oi , k e Z *
b)
(1 + i)n = (1 + i)41“ ’ = (1 + i)2 (1 + i) (1 + i)4k
= ( 2 i) (1 + i) (-4)k = (-2 + 2 i) (-4)k
D em ostración. E n efecto
(1) S e a n : w = a + ¿ i y z = c + d i
(2) E n to n c e s , w +z =(a +c) +(b + d)\ y w z = (ac-bd) + (ad + bc)\
(3) D a d o q u e w + z e s real = * b + d = 0 <=> d = -b
Capítulo 7: Números complejos
31S
w z e s real <=>
ad + be = O >=> a ( - b ) + b e - 0 «=> c = a
z = a - b \ => z = a + b i
_ (w + w) (z - z)
4i
(4) L u e g o , de (3) s e d ed u ce q u e
w = z
E je m p lo
12^]
319
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
m
(w - w) (z + z)
4i
B
/. I m (w z) = R e (w) l m (z) + l m (w) R e (z)
D e m o stra r que V w , z , v e C . s e cum ple :
w l m ( z v ) + z l m ( v w ) + v l m ( w z ) = (0 , 0 )
“
D em ostración. S e a n : w = (a ,b) , z = (c , d) y v = (e , f )
■=> w =
E je m p lo
14
^
R e so lv e r el siste m a : - 2 z, + z 2 = 2 + 3 i
(a , -b) , z = (e , -d) y v = (e , - i )
¡ Z , + 2 Z2=
Efectuand o los p rod u ctos in dica d os entre p arén te sis , te n e m o s :
z v = (c , -d)
{e , f ) = (ce + di , ei - de)
v w = (e , -f )(a
(a + b i) (c f - de) i = (aei - ade)\ + (6 cf - bdé)Y= {bde -¿> c f) + {ac\-ade)\
z lm (vw) = (c
+d\) {be - a i )i = (bce - a c \ )i + (bde - a d \ )i:
= (adi - bde) + {bce-ac\)\
v lm (w z) = {e + f i)
E n la prim era ecuación el co n ju ga d o de a m b o s extrem os e s
,b) = (ae + b i , b e - a \ )
- 2 z ) + z : = 2 + 3¡ <=> - 2 z , + z 2 = 2 - 3 i
(a , -b) (c , d) = (ac + b d , ad- bc)
w z=
L u e g o : w lm (z v) =
Solución.
Multiplicando p o r - l s e tiene : .
2 z t - z , = -2 + 3i
(1 )
Multiplicando p or 2 la se g u n d a e cu a ció n :
2 i z ( + z, = 5 + 2 i
(2)
D e la s u m a (1) + (2) , resulta :
2 (1 + i)z, = 3 + 5 i
(1 )
(2 )
(ad-bc) i = (ade -bce) i + (a di - be i )i:
= ( be i - adi ) + (ade-bee)\
2 +¡
Su stituye nd o en
la
- 2( 2- i-i)
z, = 2 + y i
prim era ecu ación d a d a o b te n e m o s z, , e sto e s :
+
z : = 2 + 3i »
z ; = 6 + 2 i «=> C . S = {(2,1 /2 ), (6 , 2 )} ■
(3)
S u m a n d o (1) + (2) + (3 ), s e tiene finalm ente que :
w lm (z v) + z lm (v w) + v lm (w z) = 0 + Oi = (0 , 0)
I
Ejemplo 1 5
J
R e so lv e r en C el siste m a de e c u a c io n e s
(1 - i) z + 5 iw = 2 i - 7
2z+
E j e m p lo
13
j
D e m o stra r que V w , z e
V. , s e cum ple :
lm (w z) = R e (w) lm (z) + lm (w) R e (z)
D em ostración.
P o r la propiedad C C .6 del T e ore m a 7.3 : lm (z) = z -.—
(3 - 4
i)w = 8 - i
y dar las so lu c io n e s en form a ca rte sia n a o binóm ica.
Solución.
M ultiplicando las prim era e cu a ció n por (1 + i) s e tiene :
(1 + i) ( l - i)z + 5(1 + i ) i w = ( 1 + i)(2i - 7)
<=* 2 z + ( - 5 + 5i)w = - 9 - 5 i
wz-wz
<=> lm (w z) = —
—
v '
2i
2w z - 2wz
= -------p -----4i
E n el n u m e r a d o r, por el artificio de su m a r y restar 2(w z + w z) s e tiene :
. /
2 w z + ( 2w z + 2w z ) - ( 2 w z + w z ) - 2wz
l m (w z) = --------------------------------------------------------
El co n ju ga d o de a m b o s m ie m bro s de la s e g u n d a e cu a ción e s
2 z + (3 + 4 i)w = 8 + i
+ wz- wz4 i
WZ
+
z (w + w) - z (w + w)
= ------- Ti------- +
W Z - W Z +
wz-wz
4¡
. z (w - w) + z (w - w)
Ti
(2)
R e sta n d o (2) - ( 1 ) resulta : (8 - i)w = 17 + 6 i <=> w = 2 + i
Su stitu ye n d o w = 2 - i en la s e g u n d a e c u a c ió n d a d a ob ten e m os
2 z + (3 - 4 i)(2 - i) = 8 - i <=> z = 3 + 5i
_ WZ
(1)
■
320
Capítulo 7: Números complejos
E J E R C IC IO S : Grupo 36
1.
9.
b)
(2 - 5¡)x + (1 + 3 i)y - 8 + 9 i =
c)
(1+ 2 i)x + ( 3 - 5 i)y = 1 - 3 i
10.
e) x(1 - 2 i ) z + y(2 + 3 i)2 _ 2 M ¡
3- 2i
Si
11. S i z, = (-1 ,3 ) , z 2 = (-5 / 3 ,1 ) y z, z 3 = 3 z 2 , hallar z 3 1
1 2 . S i 3 * 2 l- = 4 i + 8 , hallar z en la form a de p ar ordenado.
g) x(3 + 4 i) - y (8 - 3 i)= (2 x i - 10 y + 4) + (4 y i - 2 x + 7 i)
z(2 + i)
13.
E n lo s ejercicios sig u ie n te s , obtener z , d a n d o el re su ltad o en form a de par
14.
o rd e n a d o.
S i z = 1 ( 1 - 3¡) , hallar (1 + z )7 en la form a cartesiana.
E n lo s ejercicios s ig u ie n t e s , e je c ú te n se la s o p e ra c io n e s in d ic a d a s , rep re­
se n ta n d o z en la form a binóm ica.
z = 2 4(i24 + i 19 + i62)3 - 4(1 - i)4 + 3 ( 2 - 3 i)2
b) z =
a) z =
i + i + i
« ■ -(« *)
2 - i 4 + i 10 + i 15
ai + 3 a
c) z =
a +b i
3.
,2 3 = 5 - 4 i \ r3 .
S i z = 1 ( 1 - i v 3 ) , hallar: — ---- 1
2
z +1
z
17 + 6 i
f) 12 [(2x + i) (1 + i) + (x + y) (3 - 2 i) ] =
a)
i , z 2 = 2 + i\ 3
( ^ 7)
= 1 + i
x+ y i
0
S e a n lo s n ú m e ro s c o m p le jo s , z, = 2 -
. . H a lla r : a) R e (w2) , b) Im
z = 3 z, - z 22 + z 3 , hallar Im (z)
1
(1 + i)x + (-2 + 5 i)y = - 4 + 17 i
321
Grupo 36
8. S e a n z = 2(1 + i) + 3(i - 2) y w = ^ J
H á lle n se las so lu c io n e s re ale s de la s sig u ie n te s e c u a c io n e s
a)
2.
EJERCICIOS .
b +b\ + 2a\
ai-b
--------------------------------1 + i ------------ 1^1— ----1 - i -------- 1 ~ '
c) z =
5 + 3i
1+ i+
1 + i + -^ 7
1-1
1 -¡+-#L
3 -1
«■■ u w n
b) z = (6 + 2 iV3) (7 + 7 i) ( 4 V 3 + 1 2 i)
E n los ejercicios siguientes, ejecútense las o p e ra cio n e s m e n c io n a d a s, repre­
d) z = ( \ 2 + i \ 3 )2 - iV 6 + (- 1 + ¡ : f )
se nta d o los re su lta d os en form a carte sia na
15.
( 1 - i )6- 1
(1 + i)6 + 1
c) z =
(—
'1 + V)3
( # * ! ') ■
4.
b)
5.
s e tenga que el cociente
( 3 - i <3?
V z , t z2 ,z 3e C :
V
16.
(V3 + i \ 3 )12
D e m o stra r que :
a)
Q u é relación d ebe existir entre x e y para qu e sie n d o z = x + y i , x e R , y e R ,
te n ga parte real nula.
L a s u m a de d o s n ú m e ro s com p le jos e s 3 + 2 i. L a parte real de un o de ellos e s
2. Hallar d ic h o s n ú m e ro s , sa b ie n d o q u e s u cociente e s im aginario puro.
17.
z,(z 2 + z 3) = z, z 2 + z, z 3
D a d o s los n ú m e ro s : w, = 3 + 2 i , w 2 = 1 + 4 i y s u s afijos M, y M 2 ; s e pide
a)
L a e xp re sió n b inóm ica del com plejo z =
a + b i tal q u e s u s afijos están
a lin e a d o s con M, y M 2 , y la s u m a w 2 + z s e a im aginario puro.
a , b e R , V z e C : (a + b)z = a z + b z
b)
D e m o stra r qu e si z y w so n d o s n ú m e ro s com plejos diferentes , e n to n ce s
La exp re sió n binóm ica del nú m e ro com plejo
z 1 = a, + b1 i tal que la resultan­
te de la s u m a w, + z, , p a s e por el afijo (-3 , 12)
Re
(_ L _ ) vz-w /
Re
1-ÜL-) = 1
\z-w/
18. S i z, = (x , -y) * 0 e C , z 2 =
Y z , z 2 = ( a, b) ; ca lcu la r
6 . D e m o stra r que si z , w e C , e n to n ce s
a 2+
a>
( r h ¡)
*
(
57« )
= ’
19.
b) R e (zw ) = R e (z) R e (w) - Im (z) Im (w)
7. S iz , = (2 ,-1 ) , z 2 = (1 ,3) y z, z3 = 2 z 2 , hallar z3 y
b2.
D e m o stra r que V z e C - { 1 } ,
7n* ^ - 1
V n e Z * : 1 + z + z2 + ............ + z n = = —— y -1
(Su g. S e a S = 1 + z + z 2 + ....... + z n , multiplicar z S , lue go restar z S - S )
z^ ’
20.
Hallar to d os los va lo re s p o sib le s de S = 1 + i + i2 + ........... + in , n € 7/ , n par.
322
Capitulo 7: Números complejos
(Su g. S = I
ih =
1
- ¡'
h=0
21.
7.5.1 J P R O P IE D A D E S D E L M O D U L O D E U N N U M E R O C O M P L E J O
, lu e go an alizar S p ara n = 2 k)
O b te n e r los sig u ie n te s com plejos
a)
P a ra todo z , w e C s e cum ple la s sig u ie n te s p rop ie dade s
100
b)
z = X
VA.1 : El m ódulo de todo n úm ero com plejo e s m ayo r o igual que cero
z = i! ik
I z I > 0 , I z I = 0 <=> z = z 0= (0 , 0)
k=1
k=0
VA.2 : El m ód u lo de todo nú m e ro com plejo e s m ayo r o igual que su parte real y su
E n los ejercicios 2 2 al 33 , resolver el siste m a de e c u a c io n e s
(3 - i)z + (4 + 2 i)w = 2 + 6 i
28.
29.
(3 + i)z + 2 w = 3 + 4 i
(3 - i)z - (1 + 3 i)w = 5 + 5 i
30.
26.
27.
(3 - i)z + (4 + 2 i)w = 1 + 3 i
3 z 2 + iw 3 = 7 i
(2 + i)z + (2 - i)w = 6
31.
3 iz + 2 w - iv = 1 - 2i
z 2i + 2 w 3 = 0
-z - 2 v - iw = -6
( v + 1)2 = - 1
2z -w + v = 6-i
(1 - i ) z - w + (2 + i)v = 3 - 4 i
32.
z=
a + b i => | z l 2 = a 2 + ¿>2
| a l 2 = a 2<=>
| a l 2 < a 2 + í>2
(2)
P ero,
(3)
P o r el p a s o (2 ): I a | 2 < I z 12 *=> |a| < |z|
(4)
D a d o qu e
(5)
D e d on d e s e tiene :
as R
o
a < I a I , y por (3 ): a < I z I
|z I > R e (z)
(1 - i)z + (2 + i)w - v = -i
2 z + (1 - i)w + (1 + 2 i)v = 0
I z | > Im (z)
V A .3 : El m ó d u lo de un com plejo e s igual al m ó d u lo de s u c o n ju g a d o y de su
(1 + i)z + iw + v = 1
2 z + w + (2 - i ) v = 1 + 2 i
33.
\z \ > Im (z)
A n á lo g a m e n te s e d em u e stra qu e :
z + (1 - i)w + (1 + i)v = 3 i
z w = 10 + 11 i
y
E n efecto
(1) S e a
(3 + 2 i)z + (3 - 2 i)w = 8
(4 + i)z + (5 - 3 i)w = 7 + 6 i
25.
|z| > R e (z)
Demostración.
(4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 7
4 i z + (3 + i)w = -4
24.
parte im a gin a ria
(2 - 3 i)z - (1 + i)w = 4 - 3 i
( 3 * i)z + (1 + 2 i)w = 11 + i
(4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 5 + 4 i
23.
323
¡
100
22.
Sección 7.5 : Módulo de un número complejo
in ve rso aditivo
I z I = I z I = I -z I
V A .4 : El producto d e cualquier com plejo por s u co n ju ga d o e s igual al cu a d ra do
z + w + v = 2
z + w = 7 - 3i
i z + 2 w + ( 2 + 3 i ) v = 1 2 + 4i
R e (z) = 3
z - iw + v = 2 i
del m ód u lo
z z = Iz 12
V A .5 : El m ód u lo de un producto de com p lejos e s igual al producto de los m ód u los
| z w| = |zI I w I
V A .6 : El m ód u lo de la s u m a de d o s com p le jos e s m en o r o igual que la s u m a de
: 7.5 ) M O D U L O D E U N N U M E R O C O M P L E J O
lo s m ó d u lo s
Dado z =
Iz + w I < I z l + I w i
a + b i , el módulo o valor absoluto de z e s la raíz cu a d ra d a no
D em ostración.
negativa de la su m a de las partes real e im agir
f
S e denota por
[ I z | = Va3 +
b: )
(1)
Yi k
(5)
z--
G eom étricam ente , el m ódulo de un n úm e ro c o m ­
afijo correspondiente , al origen.
P o r ejemplo , si z- = 4 - 3 i , s e sig u e de la fórm ula (5)
0
S
T
(4)
(5)
(6 )
FIGURA 7.5
(7)
triangular).
E n efecto
I z + w |2 = (z + w)( z + w )
= ( z + w )(z + w )
= z z + zw + w z + w w
= | z |2 + z w + z w + | w |2
= | z l 2 + z w + z w + | w |2
(VA.4)
(C C .3 )
(Prop. Distributiva)
(V A .4 y M.2)
( z w = z w = zw)
C o m o los térm inos centrales s o n com p lejos co n ju ga d o s , e n tonces
|z + w |2 = | z | : + 2 R e ( z w ) + | w |2
>
V.
I z I = V(4y + (-3)-’ <=* r = V 16 + 9 = 5
(3)
¡i
i
i
l
plejo representa la m agnitud del radio vector r del
que
(2)
|
i
(Desigualdad
< I z 12 + 2 1z w I+ |w 12
(C C . 6 )
(VA.2)
(8 )
< | z |2 + 2 | z | | w| + | w |2
(VA .5)
(9)
< | z | 2 + 2 |z||w | + | w |2
(VA.3)
(10) L u e g o : I z + w 12 < ( I z I + I w I )-'
(P ro p ie d a d en R)
(1 1 )
Solución.
E = ( |z + 2 i I + |i (-2 i - z) I ) ( I z - 2 i |)
( I i I = 1 y VA.3)
= ( 2 1z + 2 i I ) ( I z + 2 i I )
= 2 lz + 2 i 12
■
, sie m pre que w # w 0 = (0 , 0 )
w
D em ostración. E n efecto : ( 1 )
(C C .5yV A .5)
= (| z + 2 i| + |z + 2 ¡ |)( |z + 2 i |)
V A .7 : El m ódulo de un cociente e s igual al cociente de lo s m ó d u lo s
lz ‘
( Iz I = I z I)
= (| z + 2 i| + I i I | - z - 2 i | ) ( l z + 2 i|)
|z + w l < I z I + I w I
iz i
w
325
Sección 7.5 : Módulo de un número complejo
Capítulo 7: Números complejos
324
E je m p lo
|
2
j
S i z , w e C , d em ostrar q u e : I z + w |2 + 1z - w| 2 = 2( I z l 2 + |w | 2)
Q u é significado geom étrico tiene e sta identidad?
) w |= I z I
Demostración. A p o y á n d o n o s en la prop iedad V A .4 : I z 12 = z z , s e tiene
(2)
A p licand o V A .5 s e tiene : | ^ -| lw l = lz !
(3)
V ’
P o r lo tanto:
í z + w | 2 = (z + w) ( z + w ) = (z + w) ( z + w )
=
— = — L
|w|
;w l
( 1)
l z - w l 2= ( z - w ) ( z - w ) = ( z - w ) ( z - w )
=
| O B S E R V A C IO N .
zz+zw +w z+w w
Geom étricam ente, el m ódulo o
(2)
zz-z w -w z + ww
Luego, s u m a n d o (1) + (2) , ob te n e m o s
va lo r a b so lu to de un n ú m e ro
|z + w |2 + | z - w |2 = 2 ( z z + w w ) = 2 ( | z |2 + |w-|:)
com plejo significa la distancia entre el origen y el
El significado geom étrico d e la identidad e s el del
afijo correspondiente al complejo. A p lica re m o s e sta
teorema sigu iente : “ L a s u m a de lo s c u a d ra d o s
p rop ie da d p ara hallar la distan cia entre d o s p u n ­
-
r
0
R
de las d ia g o n a le s del p aralelogram o e s igual a la
tos.
jos z. y
En efecto , si P y Q s o n lo s afijos de z y w respecti­
z, respectivam ente (F igura 7.6)
P o r definición de m ódulo , d( P, , P,) = I z I
FIGURA 7.6
O P = I z | y Ó Q = |w |
Q tam bién e s el afijo de z - w
d{P , , P 2) = V(x, - x , ) - + (y, - y ,)2
P,(5 , - 1 ) e s :
P
FIGURA 7.7
J
<=> P Q = |z - w |
C om o O Q = P R y O P = Q R (L a d o s o p u e sto s de un paralelogram o)
■=> O R 2 + P Q : = 2 ( O P 2 + O Q :) <=> lz + w |2 + | z - w |2 = 2 ( l z |2 + |w |2)
I z, - z,l = d( P , . P¡) = V(2 - 5)! + (3 + 1)! = 5
E je m p lo
3
E JE M P L O S ILU STRA TIVO S )
1
Simplificar la expresión : E = ( I z + 2 i I + | 2 - i z l ) ( | z - 2 i
|z |
O R : + P Q : = O Q : + P R 2+ O P 2+ Q R 2
Luego :
P o r e je m p lo , s i z, = 2 + 3 i y z ; = 5 - i , la d is t a n c ia e n tre s u s a fijo s P ,(2 , 3) y
j
0
v
A d e m á s , R e s el afijo de z + w c=> O R = |z + w |
d ( P 1 , P 2) = | z , - z , l = I (x, - x,) + (y, - y,) I
1
'l > '
vam ente , e n to n ce s
D a d o q ue z = z, - z, ■=> I z I = I z, - z.
Ejemplo
7
sum a de los c u a d ra d o s de s u s la d o s”.
S e a n P t( x , , y,) y P ,(x: , y :) lo s afijos de los co m p le ­
Demostración.
j
Si z = ^
l
E fe c tiv a m e n te :
,re R
, d em ostra r q u e !z - ^ i | =
|z-^i|=-J-|4z-3i|
^
(1)
326
Capítulo 6: Planos en el espacio
i(l ' 2 í r ) | =
1+2¡r I
14 z - 3 i I =
Ejemplo 4
J
1 + 2i
| 1 + 2 ¡ r|
(V A .7 ,V A .5 y V A .3 )
= 1 . P o r tanto , e n (1 ): |z - 1 ¡1 = 1
|
4 I 4
E = Iz
+ w - u i + I 21w
-u I + I
En qué co n d icio n e s s e cum ple la ig u a ld a d ?
Demostración. E n e fe c t o :
S i w y z s o n d o s n ú m e ro s com p lejos y u = \ w z , d em ostrar que
z
D em ostración. S e a
li l I 1 - 2 i r 1
| i + 2ir|
327
Sección 7.5 : Módulo de un número complejo
+ u I = Iw I + IzI
+ u
(1)
Iz-wl '=
(z - w) ( z - w ) = (z - w) ( z - w )
(2)
=
(3)
= izr+iw r-(zw +w z)
(4)
=
z z -z w -w z + ww = |z|-zw -w z + lwr
Re(z)<|z|
(6)
|z - w |¿ > I z T
L u e g o , en (4 ):
Com o
(VA.4)
l z | : + |w|*, - 2 R e ( z w )
(5) P ero por V A .2 :
(7)
(VA.4 y C C .3 )
(C C .6 )
■=> R e ( z w ) < |z w I
>=> -2 R e ( z w ) > - 2 1z w
+ I w I ' - 2 1z I I w |
I w I = I w I <=> | z - w l ‘ > ( I z| - 1 w I ) 2 <=> | z - w | > ||zl - 1w11
V e a m o s a hora en q ue co n d icio n e s s e cum ple la igualdad.
z + w - 2Vw z I
«=> E =
I z + w + 2Vwz
= l | ^ - V w i :+ i l ^ + V w l 2
Sean:z =
{a , b) y w = (c , d) <=* I z - w l = V(a -c): + (b - d)2 , 1z I= Va - + b1, 1w | = Ve2 + d:
Entonces si :
= l ( \ z - \ w ) (Vz - \ w ) + l ( \ z + \ w ) ( \z + \ w )
(VA.4)
= | [ (\z - n w ) (\z -
(C C .3)
nw
) + ( \ z + \ w ) ( \ z + \w )]
Efe ctu a n d o la s o p e ra c io n e s in d ic a d a s o b te n e m o s
,
^
D e m o stra r que V z e
C:
a) I z
(b - d) = Va: + b2 + VcJ + d2
Elevando al cu a d ra d o y luego sim plificando térm inos s e llega a la expresión
{ad-bc)2 = 0 ■=> ad = bc <=>
b
12> 2
I R e (z) I I Im (z) I
■
b) \ 2 I z l > I R e (z) |+ |Im (z) I
D em ostración. E n e fe c t o :
Ejemplo 7
}
(1) S e a z = ( x , y ) , d o n d e
(3)
x = R e (z) , y = Im ( z )
-
e=> |z l 3 ¿ 2 1x l' t y |
c=> |2 r > 2| R e (z) I I I m (z) I
(4)
U n triá n g u lo re c tá n g u lo tiene p o r v é rtic e s lo s afijos de los
z 2 = 5 - i. S i la h ip o te nu sa m ide 5
un idad es , hallar el com plejo z 3 cu y o afijo rep resenta al tercer vértice ubicado en el
Solución. S e a n A ( l , l ), B ( 5 , - 1) y C (x , y) lo s afijos
de los com plejos z ] , z, y z 3 respe ctiva­
mente. E n to n c e s
A B = B - A = z - z, = <4 , -2) = 2(2 , - 1)
Lu e go ,
Si ! z ! = \ x ? + y-’ =* I z !' =
x: + y: = I x I ' + Iy I *
z, - z | = 2 \ 4 + l = 2 \ 5
Por el teorem a de P itá go ra s :
(5) D e (3 ):
■=> | z I ' > 2 I x I I y I <=> 2! z I* > I z I + 2 1x I I y I
(6) L u e g o :
2 I z l 2 > ( I x I + I y I) : ■=> V2 I z I >
(7) P or lo tanto :
I x I+ Iy I
\ 2 I z I > I R e (z) I + I Im (z) I
■; CA11 = i z, - z | = V(5): + ( 2 \ 5 ) : = \ 5
Un vector unitario en la dirección de A B e s :
u=
ÁB
= C , _ - l)
z-z.
—
Ejemplo
6
j
■
primer cuadrante.
(2) C o m o ( I x I - 1y I )- > 0 , V x , y e R ■=> I x I : + I y I - > 2 I x I I y I
b)
d
im a gina ria s d e lo s co m p le jo s s o n p ro p o rcio n a le s.
co m p le jos z, = 1 + i y
a)
= 4 = k
Por lo tanto , la iguald ad s e cu m ple , si y só lo si , la s partes reales y las partes
E = 1 1 2 \ w Vw + 2 Vz Vz ] = |\ w I + |\ z |' t=> E = |w | + |z |
Ejemplo 5
V(a - c): +
D a d o s z , w e C , demostrar que : I z - w l > I I z l - I w l l
en to n ce s un vector unitario en la dirección de C A e s :
/|
v = - u =- ' ■-L~
\5
328
Capítulo 7: Números complejos
x = ±
A h o ra , C A = 11 C A 11 v = V5 (- ^ j = ^ ) = - < 1 , 2>
y si A - C = - (1 , 2) <=> C = <1 , !> + <! ,2 ) = (2 , 3) «
• D a d o que
z, = 2 + 3i
V
^
= ±3
, y = ±
ó
L u e g o si w = \ 5 - 12 i ■=> w o = 3 - 2 i ,
^
R e so lv e r la e c u a c ió n : | z | - z = 1 + 2 i , z e C
(i=0 ,
2. z = 8 i c=>
= ± 2
6 = - l 2 < 0 , x e y s e eligen co n distinto sig n o , esto e s
x = 3 , y = -2
gjomplo 8
329
Sección 7.6 : La raíz cuadrada de un número complejo
x = -3
,
y =2
w ( = -3 + 2 i
(Note que w, = -w (()
6 = 8 y Iz I = 8
Solución. S e a z = (x , y)
Com o a = 0
=> \ x 2 + y 2 - (x , y) = ( I , 2) <=> -[ ^x + '
x~ '
L - y = 2 <=> y = -2
Su stitu ye n d o en la prim era ecu a ción s e tiene
x = 3/2
r=>x=y=±
=
± '\ / ^
= ±2
b = 2 > 0 , x e y s e eligen co n el m ism o sig n o . E n to n c e s la s so lu c io n e s
z = (3/2 , -2)
(2 , 2) y (-2 , -2). P o r lo que si w = \ 8 i
3.
z = -9
= > w ii = 2 + 2 i ó
son
w, = -2 - 2 i
■=>a = -9 , 6 = 0 y I z I = 9
7.6 ) LA R A IZ C U A D R A D A D E U N N U M E R O C O M P L E J O _______
E n to n c e s :
S e a el com plejo :
z=a+b\
Com o
cu ya raíz cu a d ra d a e s el com plejo : w = \ z , tal que , w = x + y i
w : = z <=> (x + y i): = a
E n to n c e s , si
Ap lica n d o m ó d u lo s :
I (x + y i)-’ I = I a +
b2 = I z |
w = \^9
X
y * :=
x *2 -- y-’
a
2 x yY = 6
Ejemplo 2
(2)
(3)
-\j - * - = ± 3
■=> w(|= 3 i ó
w, = - 3 i
■
<=>
x = ± V
j
Determ inar algebraicam ente las raíces cuadras de z = 8 + 4 \ 5 i
Solución. S i z = a + 6 i <=> a = 8 , b = 4 \ 5 y I z I = V (8): + (4\5)*’ = 12
(4)
S u m a n d o y luego restando (2) y (3) o b te n e m o s :
S i w = V2 = x + y i ■=> x = ±
|Z!/ ^
Com o
<=> y = ± ^
Z [-—
-yj12 * ** = ± \'To , y = ±
r = -
^2
b > 0 , x e y d eb e n tener el m ism o sign o. L u e g o , si w = x + y i , e n to n ce s
w0 =
-a
y = ±
b i I <=> |x + y i I ' = 'la2 + b:
{
2 y- = I z I
,
(1)
t=> x* + y- = V a 2 +
2 x: = I z I + «
=0
b = 0 , en este c a s o , lo s cuatro p a re s s e reducen a d o s : (0 , 3) y (0 , -3)
L u e g o , si
+b\
x = ±
VTo + i \ 2
, w, =
-VTo - i V 2
son la s ra íce s del com plejo dado.
■
S e obtiene cuatro p a re s de va lo re s reales , de los c u a le s s e se le ccio n a n d o s de
a cu e rd o con la condición (4)
b > 0 , e n to n ce s x e y s e eligen co n el m ism o sig n o
¿i) S i b < 0 . e n to nce s x e y se eligen con distinto signo.
Ejemplo 3
j
R e so lv e r la ecu a ción en C : x 2 + (-2 - 2 i)x = 3 - 6 i
¿ ) Si
Solución, x 2 - 2( 1 + i)x - (3 - 61) = 0 <=> x = (1 + i) ± V(l + i): + (3 - 6 i)
= (l + i ) ± V 3 - 4 i
Ejemplo 1
J
Sea :
Hallar la s ra íc e s c u a d ra d a s de los sig u ie n te s co m p le jos
z = 5 - 1 2 i , z = 8 i , z = -9
S o lu c ió n .
1. S i z = 5 - I 2 i « = > a = 5 , 6 = - 1 2 y I z I = \(5 ): + (-12)-' = 13
Si
=c + d\
c= ± V
,
d = ± V ii^ líL
a = 3 , b = -4 y z = \ (3 ): + (-4)-’ = 5<=> c = ± 2 y t/ = ± l
Com o
b < 0 , e n to n ce s c y d s e eligen de distinto sig n o , esto e s ,
(1)
330
Capítulo 7: Números complejas
V lT T T = ± (2 - i)
Su stituye n d o en (1) s e tiene : x = (1 + i) ± (2 - i)
EJERCICIOS ite las Secciones 7.5 y 7.6
15.
<=> x, = 3
ó
Si w y z
x, = - l + 2 i
g
C , d em ostrar que
I
.-. C . S = {(3 , 0), (-1 , 2)}
16.
331
z - w I 4 + lz + w l 4 + 2 l z 2 - w 2|2 = 4 í( z z ) 2 + (w w )2 + 2 z w z w ]
D a d o s z, , z 2 , w, , w 2 e C , d em ostrar que
I z,w 2 - z2w, |2 = ( I z, |2 + I z2l 2) ( I w, 12 + |w 2 12) - 1z,w, + z2w 2l 2
17.
E J E R C IC IO S : Grupo 37
S i w , z e C , d em ostra r q ue : I 1 - w z 12 - I w - z 12 = (1 - 1w 12) (1 - 1 z 12)
18. S e a n z , , z 2 .........z ne C , tales q u e , |z,| = |z2l = ____ = l z j = 1 . D e m o stra r que
1.
Si w =
|±i
y
z =
, hallar I w + z I
2 S iz = (i + í)(V3- í)(-3+_3í)
(1 -i)(3i)(1 -W3)
|z|
3.
C a lcu la r z 2 , sa b ie n d o que z = - 1-1 + i I + i \ 2
4.
S e a n z = 2(1 - i) + 3(i - 2)
y
z t + z2 + .......+ ZJ =
w = — -—
1 + 21
±
Z,
+ ±
Z2
S e a n z = -2 + 4 i
y
S e a z e C , si s e cum ple , (z + y ) e R , d em ostrar q u e : lm (z) = 0 ó
20.
S e a n w , z , e C y s e a n v2 = w z . D e m o stra r que
|w| + I z l = |
, hallar I w + z I
Iw + 2 + 1 I
I w -z + i I
w = 1 - i , h állese el valor de
Hallar w y z tales que , w + z = 4 + i , w z = 5 + 5 i ,
— =
7.
R e so lv e r la e cu a ció n
8.
D a d o s z, = 4 + 6 i y z 2 = (1 - i)z, , sa b ie n d o qu e z , , z 2y z 3s o n vértices
Iz I = 1
v| + | w ± z + v|
z e s un n úm ero complejo, en to nce s
lz, + z2 + .......+ z j < |z,| + l z 2l + ........+ !z nl
22. S a b ie n d o qu e z y w s o n n ú m e ro s com plejos tales q u e I z I = I w I = 1 , dem ostrar
(1 - i) , I z 12 = 10.
6.
Zn
19.
21. D e m o stra r que si para i = 1 , 2 ......n , c a d a
5.
+ .......+ 1
que
yTw
’
* *w ) ’ e s un im a9 inario P u ro -
: ¡z I + z = 2 + i , z e C
23. S e a n z, , z 2 e C :
de un
triángulo equilátero , hallar Z3.
1 ‘ Z 1 Z2
9. D a d o s z, = 8 + 5 i y z 2 = (5 , 0 ), calcular el com plejo z = (3 , y) que form a co n los
anteriores un triángulo isó sc e le s , de vértice de la d o s igu a le s , el z,.
10.
12.
,
24.
25.
S i z e C , resolver la e cu a ción : i z + i I z - z + 1 = 4 - 2 i , R e (z) > 0
un im aginario puro.
S e a n z, y z2 d o s n ú m e ro s com plejos tales que I z, I = 2 , I z 2 1 = \3 y
z,z2 = 2 i
U n triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los com p lejos z, = 1 + 3i
26.
Determ inar algebraicam ente las raíces cu a d ra d a s de los siguien te s com plejos
y Zj = 5 - 7 i . S i la h ipo te n u sa m ide \/T45 u n id a d e s , hallar el com plejo z 3 cuyo
a )z = -15-8¡
d ) z = -8 + 6 ¡
g ) z = -2 \/3 + 2 i
afijo representa al tercer vértice y que unido al afijo de z 2 form a la h ipotenusa
b )z = 3- 4i
e )z = 5-12i
h ) z = 7 + 24i
c )z = -11+60i
f) z = - 8 - 6 i
D a d o s w t y w 2 tales que I w r| = I w 2l = 1 , w 2 = i w , , d em ostrar q u e V e C
cum ple :
14.
Hallar z | t z 2 e C tales que i z, I = I z 21 = I z, + z 2 1 = 1 , z,z2 e s
. Hallar el valor de I z, + i z2 1.
de dicho triángulo.
13.
' Z’ +
1 + l z , | 2 |z2 |2 - ( z , z 2 + z 2 z,)
b) E n el c a s o a ) : si I z 11 < 1 , d em ostrar que I w I < 1
D e te rm in a r el co m p le jo c u y o afijo e q u id ista de lo s afijos de z, = (-2 , 0)
z 2 = (3 ,3 ) y Zg = (0 , -2)
11.
. d em ostrar q ue : w w =
a) S i w =
1
, se
27.
z = R e ( | - ) w, + R e U - ) w 2
2
S i w y z e C , d em ostra r qu e : I z - w 12 < (1 + I z |2) (1 + 1w |2)
28.
i)z = -1+4\3i
R e so lv e r las sig u ie n te s e c u a c io n e s en C
a) z 2 - (2 + i)z + (3 + i) = 0
c) z 2 - (3 - 2 i)z + (5
b) z 2 - (2 + i)z + (-1 + 7 i) = 0
d) (2 + i)z2 - (5 - i)z + (2 - 2 i) = 0
R e so lv e r en C :
Iz + 2 i I - I iz -2 I = 0
- 5 i) = 0
332
Capítulo 7: Números complejos
Sección 7.7 : Lugares geométricos en C
333
( x , 0 ) - ( 0 . y ) = (0 , 0 ) <=> x (l , 0 ) - y ( 0 , 1) = ( 0 , 0 ) «=> i 2 ? : x - y = 0
7 . 7 ) L U G A R E S G E O M E T R IC O S EN C
E s un a recta que p a s a por el origen de c o o rd e n a d a s y b ise c a al primer y tercer
El término lugar geom étrico s e aplica norm alm ente al conjunto de todos
cu a d ra n te s (F igu ra 7.12)
los p untos que tienen un a característica geom étrica com ún. A s í por ejemplo, son
lu g a re s g e o m é tric o s : la recta , la circu nfe re n cia , la p a rá b o la , la e lip se , etc.
H a cie n d o u s o de la notación de m ódulo , a continuación d e scrib im o s analítica y
ge o m é trica m e n te a lg u n o s de e s to s lu g a re s geo m é tricos.
7 .7 .l) LA L IN E A R E C T A
E je m p lo
1
j
R e p re se n ta r en el plano com plejo la s sig u ie n te s relaciones
a) R e (z) = 3
c) R e (z) + lm (z) = 1
b) lm (z) = 2
b)
Determ inar la e cu a ció n de la recta c u y o s p u ntos equidistan
de d o s p u ntos dad os.
d) R e (z) - lm (z) = z 0
Solución. S e a n P , ( x , , y,) y P , ( x , , y,) lo s afijos
Solución.
a)
ejem plo 2 J
R e (z) = 3 , e s el conjunto de to d o s los p a re s o rd e n a d o s para los c u a le s x = 3 ,
de los com p lejos z, y z, respectiva­
e s d e c ir , e s el lugar geom étrico de lo s afijos de la form a z = (3 , y). L a ecuación
mente , y s e a z = P (x , y) un punto del lu ga r
x = 3 c o rre sp o n d e a la recta paralela al eje im aginario que p a s a por el punto de
geométrico. E n cualquier posición de P s e debe
a b s c is a 3 (Figu ra 7.9)
cumplir qu e
lm (z) = 2 , e s el lugar geom étrico de to d o s lo s afijos para los c u a le s y = 2 , e s
rf(P,,P) = </(P: ,P) => |z - z, I = I z - z J
12 - ( x , , y,) I = I z - ( x , , y,)
d e c ir , L G = { z I z = (x , 2)}. S u gráfica c o rre sp o n d e a la recta paralela al eje real
que p a s a por el punto de ord e n a d a 2 (F igu ra 7.10)
Esta e cu a ció n n o s d escrib e el lugar geom étrico
....
de to d o s lo s afijos de z q u e e q u id istan de los
afijos de z, y z : , y qu e e s la mediatriz del s e g m e n ­
Imi k
Z.
Z;
z.
FIGURA 7.13
to que un e P, y P,.
z.
Por eje m p lo,
si z, = (-1, 3) y z, = ( 3 , 5 )
=> lz - (-1 , 3) I = l z - (3 , 5) I
=> I (x + 1 , y - 3) I = I (x - 3 , y - 5) I
r
?
<=> \'(x + l ) 2 + (y - 3)2 = V(x -3): + (y - 5)2
^
•Re
J
de d on d e o b te n e m o s la ecu a ción de la mediatriz 2? : 2x + y - 6 = 0
■
J
FIGURA 7.10
c)
R e (z) + lm (z) = I , e s el lugar geom étrico de to d os los p u ntos tales que
(x , 0) + (0 , y) = l <=> x( 1 ,0) + y ( 0 , l ) = ( l , 0) «=>
S ':x + y = I
7.7.2) L A C IR C U N F E R E N C IA
E s una recta q ue p a s a por los p untos (1 , 0) y (0 , 1). (F igura 7.11)
L a circunferencia e s el lugar geom étrico de to d o s lo s p untos qu e e quidis­
d)
R e (z) - lm (z) = z 0 , está representado en el plano com plejo por todos los puntos
tales que
tan de un punto fijo llam ado centro.
334_____________ _________________________________ Capítulo 7: Números complejos
Sección 7 .7 : Lugares geométricos en C
S e a n Q (x 0 , y 0) el afijo del com plejo w y P (x , y) el afijo generatriz del com plejo z. Por
punto fijo llam ado
definición
Caso 1.
d( Q , P ) = r t=> | z - w | = r
foco y de una recta llam ada directriz.
El eje de la parábola coincide o e s paralelo con el eje real.
S e a n : P (x , y) el afijo genérico del com plejo
E n to n c e s el conjunto
la directriz; d o n d e p e s la distancia del vértice al foco
n o s d e sc rib e el lu g a r ge o m é tric o de to d o s lo s
de la parábola.
afijos de z a u n a distancia r del punto fijo w. E s
Por definición :d {P , F) =í/(P, D)
d e c ir . A e s una circunferencia de centro w y radio
<=> |z - z, I = I P E + É D | = I R e (z) + p I
r. S i w = z0 = ( 0 , 0 ) , e n to n ce s la ecu a ción co m p le ­
=> I z - (p , 0) I = I x + p I
ja I z - w I = r representa u n a circunferencia co n
E s la e cu a ció n com pleja de la p aráb ola co n vértice
centro en el origen y radio r. E n efecto
en el origen y eje de sim etría coincidente con el eje
I (x , y) - (0 , 0) I = r <=> V(x - O)2 + (y - O)2 = r => x 2 + y 2 = r:
real.
En efecto ,
S e a A = L.G. de los afijos de z ,tales que : | z - 5
y s e a B = L.G. de los afijos
+ 7i|= |iz - 1
de z ,tales que : I z +
1 + 2 iI
+3il
=5.
a) G r a f i c a r A U B , b) H allar A f| B.
- (5 + 7 i) | = I i | |z - (-3 - i) I
<=> I z
- (5 , 7) | = 12 - (-3 , -1) I
(x - p): + y 2 = (x + p):
de d on d e o b te n e m o s :
y 2= 4 p x
Si el vértice coincide co n el punto V (h , k) la ecu a ción tom a la form a
hacia la izquierda.
=> I z - (5 - 7 i) | = |i (z + 3 + i) I
=> I z
v(x - p ): + y 2 = I x + p I
Ele va n d o al cu a d ra d o :
(y - k)2 = 4p(x - h). C u a n d o p > 0 , la cu rva s e abre hacia la d e re ch a y c u a n d o p < 0 ,
Solución. P o r la propiedad V A . 3 :
Caso 2.
El eje de la p arábola e s coincidente o paralelo al eje im aginario.
C o m o en el c a s o 1 te n e m os :
z = P (x , y) , z, = F ( 0 , p) ,
La ecu a ción com pleja representa la m ediatriz del
L u e go
«=> |z - (0 , p) I = I Im (z) +
<=> V(x - 5)2 + (y - 7)2 = V(x + 3)- + (y + l)2
de d on d e o b te n e m o s la mediatriz
í
p I
<=> I z - (0 , p) I = I y + p I
S- : x + y = 4
E s la e cu a ció n com pleja de la p arábola con vértice
E n B : | z - ( - l ,-2)| = 5
en el origen y eje coincidente con el eje im aginario.
C ircunferencia de centro Q (-l , -2) y radio r = 5
=> V(x + 1): + (y + 2)2 = 5 <=>
&: y + p = 0
,si t/(P , F) = </(P , D ) «=> |z - z, I = I P E + E D
se g m e n to q ue une los p u ntos (5 , 7) y (-3 , -1)
En efecto :
re : (x + l) 2 + (y + 2)-’= 25
V x2 + (y - p): = I y + p 1
«=> x 2 + (y - p )2 = (y + p)2
La gráfica de A U B s e m uestra en la F igu ra 7.15
b)
f : x + p = 0,
z ; el foco F(p , 0 ), afijo del com plejo z, y
A = { z l l z - w | = r , r > 0 , w fijo}
Ejemplo 3 J
335
(x - h)2 = 4 p (y - k)
D e A : y = 4 - x , sustituyendo en B : (x + 1)2 + (4 - x + 2)2 = 25
de d o n d e : x 2- 5 x + 6 = 0 o x , = 3 ó x = 2 -)
« * * - . ó y = 2 }---A nBM(3.l,.(2.2)}
x2 = 4 p y
S i el vértice coincide co n el punto V(h ,k ) , la e cu a ción tom a la form a
cu a n d o p > 0 , la cu rva se abre hacia arriba y cu a n d o p < 0 , h acia abajo.
■
E j e m p lo
7.7.3) L A P A R A B O L A
4
J
G raficar el siguiente lugar geom étrico
|iz + 3 - 2 i l = I R e (z) - 4 1
Solución. I i (z - 2 - 3 i ) I = I x - 4 1 <=> I i I I z - (2 , 3) I = I x - 4 I
L a parábola e s el lugar geom étrico de los p untos qu e equidistan de un
=> |z - (2 , 3) I = I x - 4 1
336
Capítulo 7: Números complejos
F o c o de la p aráb o la , F(2 , 3 ); d irectriz,
F orm a analítica
:
337
Sección 7.7 : Lugares geométricos en C
¿ ( F , , F ¡) = l F , - F , l = 1( 3, 1) 1
7 ': x - 4 = 0
V(x - 2 ): + (y - 3 )2 = I x - 4 1
=5 2 c = \' 9 + I = \ T 0 =» c = \T0/2 •
<=> (x - 2 )2 + (y - 3 )2 = (x - 4 )2
C om o
=> (y - 3): = - 4(x - 3)
c < a , el lugar geom étrico e s u n a elipse co n c e n ­
tro en Q = 1 (F, + F,) = (-1/2,5/2), c u ya gráfica s e m uestra
El lugar geom étrico e s u na p arábola con vértice en V(3 , 3)
en la Figu ra 7.20
C o m o 4 p = -4 <=> p = - 1 < 0
L a curva s e abre hacia la izquierda , tal co m o s e m uestra
en la F igu ra 7.18
FIG U R A 7.20
7.7.5) L A H IP E R B O L A ______________________________________
7.7.4) LA E L IP S E
L a hipérbola e s el lugar geom étrico de lo s p u ntos c u y a diferencia de las
La elipse e s el lugar geom étrico de lo s p untos c u y a s u m a de la s distan­
c ia s a d o s p u ntos fijos e s u na constante 2 a
Una hipérbola tiene lo s sig u ie n te s e le m e ntos
E n u n a elipse s e tiene los sig u ie n te s elem entos
Eje m a y o r :
A, A, = 2 a
Eje m e n o r :
6 ,6 , = 2 b
D ista n cia f o c a l: F ,F 2 =
distancias a d o s p u ntos fijos, lla m a do s fo c o s , e s con stan te e igual a 2 a.
Focos :
2c , d ond e F, y F, s o n los
fo co s de la elipse ; de m od o que se cum ple la
A,A, =
Eje co n ju ga d o :
6 ,8 , = 2b
Distancia focal :
F,F. = 2
Q e s el centro d e la elipse ■=> Q = 1 (F, + F,)
Determ inación de su e cu a ció n compleja.
F, y F, los afijos de los com plejos z, y z, respectiva­
FIG U R A 7 .19
plejos z, y z, respectivam ente.
P o r definición : </(P , F,) +
d(P , F,) = 2a
Q = -5- (F, + F,)
S e a P (x , y) el afijo genérico del com plejo z , y s e a n
D eterm inación d e la ecu ación com pleja :
S e a n F ^x , , y,) y F , ( x , , yO lo s afijos de los c o m ­
c
c > a ■=> c2 = a 2+b 2
Centro de la hipérbola :
a 2 = b1 + c2
2a
Eje tra n sv e rso :
D a d o q ue
relación
F , ( x , , y,) y F,(x 2 , y,)
mente.
P or definición : I d( P , F,) - d{ P , F,) I =
<=> |z - z, I + 1z - z,| = 2 a
2a
«=> | l z - z , l - l z - z 2ll = 2 a «
=> 1 2 - ( x , , y,) I + 1 z - ( x , , y,) I = 2 a
11 z - (x, ,y, ) l - l z - ( x , , y 2)ll = 2 a
e s la ecua ción com pleja de una hipérbola.
e s la e cu a ción com pleja de la elipse.
E je m p lo
E je m p lo
Solución,
5
)
Graficar el lugar geom étrico : ! z - 1 - 3 i I +
z - ( l + 3 i) i + I z - (-2 + 2 i) I = 4
c=> | z - (I ,3)| + | z - (-2,2)1 =4
Luego ,
2a = 4 =>
a = 2 ; F (I , 3) y F,(-2 , 2)
z + 2 - 2 iI = 4
J
6
Graficar el lugar geom étrico de lo s afijos z e € , tales que
( l l i z - 3 + 4i| - | z - 2 + 3 i l l - 3 ) ( | z - 1 + 3 i | - lz + 2- 2 l | ) = 0
Solución. S e a A el L.G. de los afijos de z tales q ue | | iz - 3 + 4 i l - l z - 2 + 3 i| | -3 = 0
6
el L.G. de lo s afijos de z tales q u e |z - l + 3 i ! - I z + 2 -
E n A : ||i(z + 3 i + 4 )l - I z - (2 - 3 i ) 11 = 3
338
Capítulo 7: Números complejos
| Nota. Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos de ecuaciones complejas estu­
diadas . están las gráficas de relaciones que involucran desigualdades. Su s repre­
sentaciones en el plano complejo se hacen en idéntica forma tal como se hizo para las gráficas
= * N i 11z - (-4 - 3 i) I - lz - (2 + 3 0 II = 3
=> l l z - (-4, -3)1 - lz - (2 , 3)11 = 3
de d ond e :
339
Sección 7.7 : Lugares geométricos en C
a = 3/2 , F , ( 2 , 3) y F , (-4 , -3)
de relaciones en R 2.
¿(F..F,) = I F, - F, | = |(6,6)1
2c = v'62 + 6: = 6 \2 <=$ c = 3 \2
c > a , el lugar geom étrico e s una hipérbola
Ejemplo
Com o
8 J
R e p re se n ta r e n el p la n o com plejo lo s co njun to s de p u ntos
que sa tisfa c e n a las sig u ie n te s re la cio n e s
(F, + F,) = (-1 , 0)
con centro en Q =
En B :
(1) R, = { z I -2 < lm (z) <
(2) R 2 =
l z - ( l ,-3 ) I = l z - ( - 2 , 2 ) |
E s la e cu a ció n com pleja de la m ediatriz del s e g ­
3}
(3)
R e (z) - 3 lm (z)
< 6}
(4) R 4 =
c£ : 3x - 5y - 1 = 0
■
Tener m u c h o cuid ad o al identificar y graficar lu ga re s geom étri­
c o s c u y a s e c u a c io n e s tienen la form a I z - z, I - I z - z, I = 2 a ,
e s d e c ir , R, e s el conjunto de p u nto s p ara los c u a le s (y > -2)
Identificar y construir la gráfica del L . G . : I z + 3 I - I z - 3 1 = 4
Aparéntem ente s e trata de una hipérbola c o n fo c o s en F,(3 , 0) y F ,(-3 , 0),
Ec u a c ió n de la hipérbola :
a-
:2 a = 4 <=> a = 2 ; 2c = 6 <=> c = 3 =>
-
tt
b~
= I
=>
b2 =
% : 2x - 3y = 6 , incluida la frontera SU. (F igu ra 7. 25)
"\
f
lirij
c2 - a 2 = 5
üc J
y 2 = 4 + \( x - 3): + y :
\
D a d o que , \a
\
\
|
V(x - 3): + y-’ = 3x - 4
> 0 , V a > 0 , e n to nce s
(2 V(x - 3): + y : )2 = (3x - 4)-'
a
i
P o r lo que la e cu a ció n del lu gar geom étrico repre­
se n ta so la m e n te la ram a d e re c h a de la hipérb ola
!
J
° '
(3) L a s gráficas de I z - l l = 2 y l z - l | = 4 s o n d o s circunferencias concéntricas de
i
F,
radios 2 y 4 y centro c o m ú n en Q (1 , 0).
"R e
E n efecto , si lz -
/
3x - 4 > 0
de d on d e se tiene : 5 x : - 4 y 2 = 20 , para x > 4/3
(Figura 7.23)
j
v
\
E le v a n d o al cu a d ra d o o b te n e m o s :
2
lm (z) ~ -2
lm i
\
^Rc
(
N
r
x
t=> V(x + 3): +
lm (z) = 3
R,
Este m ism o resultado lo o b te n e m o s partiendo de la
|z + 3| = 4 - | z - 3 l
k
—
4
e cu a ció n com pleja dada.
x -2
E s decir , e s el conjunto de p u n to s situ a d o s en el se m ip la n o su p e rio r de la
recta
Solución. P o d e m o s e s c rib ir: I z - (-3 ,0 ) I - I z - (3 , 0) I = 4
y con centro Q ( 0 , 0). A d e m á s
(y < 3) , que
rior s o n las rectas y = -2 , y = 3. N o s e incluye la frontera y = 3 (Figu ra 7. 24).
2x - 3y < 6 <=> y >
j
a
c o rre sp o n d e al se m ip la n o que contiene al origen c u y o s b o rd e s inferior y su p e ­
(2) La gráfica de R, e s el conjunto de p untos z = (x , y ) , tales que
p u e s é sta s representan sola m e nte una de las d o s ra m a s de la hipérbola.
7
{ z 11z + 1 | < 4 - 1z - 1 I }
(1) La gráfica de R, e s la intersección de la s gráficas de : lm (z) > - 2 y lm (z) < 3 ;
=> V(x - l) : + (y + 3): = \ ( x + 2); + (y - 2 )2 <=>
Ejemplo
R 3 = { z I 2 < Iz - 1 I < 4}
Solución.
m ento que une a P,(l , -3) y P .(-2 , 2)
! O B S E R V A C IO N .
{ z 12
/
/
/
/
|z J
V
F IG U R A 7.23
l| = 2 «=> | ( x - l
1 1 = 4 <=> I (x - I
, y ) l = 2 <=>: (x - 1 )2
, y) I = 4 <=>( x - 1)2 + y 2=
+ y- =
16
4
,
P o r lo tanto , la gráfica de R. e s el anillo circular co m p re n did o entre las circun­
ferencias
rf \ y
(4) S i I z - (-1 ,0)1 +
,, incluyendo lo s b o rd e s (F igu ra 7.26)
|z - (1 ,0)1 < 4 c=>
2 a = 4 => a =
d { F, , F,) | = |F, - F, I = |(2 , 0) I => 2 c = 2 => c = 1
2; F,(-l , 0) y
F,(l , 0 )
340
Capítulo 7: Números complejos
Com o
a > c , la gráfica de I z + I I + I z - 1 1 = 4 e s una elipse c u y o centro está en
Q = 7 (F, + F,) = (0 , 0). A d e m á s
E c u a c ió n de la elipse :
— +
a*
2
j
D e m o stra r q ue si
= l
<=>
é :—
4
+ —
3
c e s u n a co nstante real positiva , en ton ce s
los afijos de z e C , tales que |
= 1
P o r lo que la gráfica de R ( e s el conjunto de p u ntos que están en el interior de
la elipse
E je m p lo
,a 2= b: + c2 <=> b: = 4 - 1 = 3
b-
341
Sección 7 .7 : Lugares geométricos en C
cunferencia si
|=
c representa una cir­
c * 1 , y un a recta si c = 1.
Demostración. E n efecto , s e a z = (x , y)
f , incluyendo la frontera (Figu ra 7.27)
Si
| 2 ± I| = c
I z - 1I
«=> | z + l | 2 = c 2 | z - l l :
=> (x + l)2 + y 2 = c2 [(x - l) 2 + y 2] <=> (c2 - l) x 2 +
(c2 - l) y 2 - 2(c2 + l)x + c2 - 1 = 0
a x 2 + a y 2-2 (a + 2 ) x + a = 0
2
C om pletando el cu a d ra d o para x resulta : ( x - a~* ~ j + y 2 =
Te ne m o s una circunferencia de centro
c2* 1
Lu e go ,
En (1 ), si
M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^
E j e m p lo
1 ^
3
)
~) ~
* s' a * 0
■
A n a liz a r q u e lu ga r ge o m é tric o re p re se n ta lo s afijos de
z e d a z z + c z + c z + b = 0 , d on d e a ,b e R y c e C
S e a z = x + y i <=> I z 12 = z z = x 2 + y 2 ; x = R e (z) = ^ (z + z )
L u e g o , si a I z I * + c(z + z )
(z + z ') e
~ , 0 j y radio r = V ( ~ q
1
0 ■=> x = 0 , e s u n a recta.
D eterm inar los conjuntos de p u ntos del plano com plejo que
verifican
2
*
c* 1
c = 1 => -2( 1 + 1)x =
Solución.
Ejemplo
+b =
0
<=>
a(x: + y 2) + 2c x + b =
0
«x’+2(|)x+y>=.| « (*+£):+r-=£i^
R
Solución. S e a z = (x , y ) , tal q u e : z * z() = ( 0 , 0 ) y I z I * 0 <=> x 2 + y 2 * 0
El lugar geom étrico e s u na circunferencia de centro (-
^ , o ) y radio r = ^ c ‘
L u e g o ,z + z'' = z + - = x + y i + - X- 'N \z
x* + y-
\
S i (z + z 1) e R
(y
=
0 ó x 2+ y : =
<=> (y = 0
a
e je m p lo
x + y -/
4
)
Hallar el lugar geom étrico que d escrib e el afijo z cu a n d o
z = 1 + i + — -— , re R
1+ n
<=> Im (z + z 1) = 0 , esto e s : y - —
T = 0
x- + y*
de d o n d e ob te n e m o s : y (x : + y- - 1) = 0
<=>
\
x- + y-/
1)
a
a
x: + y2* 0
Solución,
(x 2 + y 2 * 0)
x 2 + y : * 0) v (x 2 + y 2 = 1
a
x 2 + y 2 * 0)
L u e g o , si
a
La gráfica de (z + z 1) e R e s la unión de la gráfica de la
z =
l + i + - — 1 ~ \ ‘— (1 + ri) (1 - ri)
x = 1+
1
I + r2
-—
7
■=> z = fl + — 1 — , I V
1 + r-
7-x
<=> r- = - — x -1
circunferencia de radio r = I y centro z0 = (0 , 0 ), co n la
gráfica del eje real y = 0 , e xcep tuando el origen.
■
FIGURA 7.28
(1)
a = c2 - 1 , s e tiene :
H aciendo
y = |- T T P
= | - r( i T 7 )
y = i-r (x -i)
- r --)
1 + r 2/
lo s
342
Capítulo 7: Números complejos
343
Sección 7.7 : Lugares geométricos en C
Adem ás :
y -1 = - r(x -1 ) => (y - 1)2 = r-’(x - 1)1 = ( I l í . ) ( x - I ) >
(3)
c2 = a 2- b2 <=> 4 = 9 -b 2 <=> b = \ 5
En B : I z + 2 - i I = I i(z - 4 - 5 i) I => I z - (-2 ..-1)1 = I z - (4 . 5) I
L u e g o , B e s la mediatriz del se g m e n to que une los p untos (-2 , -1) y (4 , 5).
de d on d e o b te n e m o s : (y - 1)2 = -(x2 - 3x + 2) *=> (y - l ) 2 = - (x - 3/2)-’ + 1/4
E n e fe c to , si I (x + 2 ), (y + 1) I = I (x - 4 ), (y - 5) I
(x - 3/2)2 + (y - 1)2 = 1/4
El lugar geom étrico e s u n a circunferencia de centro (3/2 , 1) y radio r = 1/2
=> V(x + 2)2 + (y + I )2 = V(x - 4)2 + (y - 5)2 <=> & : x + y = 3
■
(4)
G ráfica de R,
V(x + I) : + (y - 2)2 + \ ( x - 3)2 + (y - 2)2 < 6
Ejemplo
5
J
E s b o z a r la gráfica de la relación
R = { z I llz +
V e a m o s si (0 , 0) e R, <=}• \'l + 4 + V9 + 4 < 6
4 + 3i| - I i z - 2 i + 5l| < 8 }
2 .2 4 + 3.6 < 6
S e cum ple , luego R, e s la totalidad de p u n ­
tos en el interior de la elipse , incluyendo el
borde.
Solución. ||z + 4 + 3i| - | i z - 2 i + 5 11 =1 z + 4 + 3 il - 1i ( z - 2 - 5 i11
= || z - (-4, - 3 ) I -I z - (2, 5 ) 11 = 8
de d ond e :
2a = 8 <=> a = 4 , F,(2 , 5 ), F.(-4 , -3)
(5) G ráfica d e R . : x + y < 3 >=> y < 3 - x
R, e s el conjunto de p u n to s u b ic a d o s en el
rf( F , , F 2) = | F I - F j = 1 (6 ,8 )1
se m ip la n o inferior de la recta f£ , incluyendo
el borde.
2c = V36 + 64 = 10 = * c = 5
C o m o c > a , el lugar geom étrico e s u na hipérbola
c=>
(6)
FIGURA 7.30
La gráfica de R, fl R, s e m uestra en la Figu ra 7.30.
con centro en Q = i ( F , + F,) = (-1 , 1)
Gráfica del conjunto R
Ejemplo 7 ^
S i l l z - ( - 4 , -3)1 - I z - (2 , 5) 11 < 8
Sean , R, = {z I li z + 3 i + 2 1+ Iz - 5 - 6 i I < 12 y
R 2 = {z 11i z - i + 4 I >
3}
Hallar el área de R, fl R 3.
<=> V(x + 4)2 + (y + 3)2 - V(x - 2)2 + (y - 5)2 < 8
Solución.
V e a m o s si (0 , 0) e R
(1)
Construcción de las gráficas de los conjuntos
A : I iz + 3 i+ 2 1 + I z - 5 - 6 i | = 12 y B : | i z - i + 4 | = 3
V42 + 32 - V(-2)2 + (-5)2 < 8
(2)
t=> V25 - V29 < 8 , s e cum ple.
L u e g o , la gráfica de R e s el conjunto de p u ntos u b ic a d o s entre d o s ra m a s de la
hipérbola , incluidos los b o rd e s (F igu ra 7.29)
En A : |i(z + 3 - 2 i) | + |z - 5 - 6 i | = 12 «=> I z - (-3 , 2) | + I z - (5 , 6) | =12
de donde se tiene
: 2a=
12
t=
>a =6
, F,(5 , 6), F,(-3 , 2)
2c = d{F , , F,) = I F, - F, I = I (8 , 4) | = V64 + 16 = 4 ^ => z = 2^5
■
Como c < a , A es una elipse con centro en Q = 4- (F, + F,) = (1 , 4)
Ejemplo
6
)
D a d o s : R, = { z II z + 1 - 2 i I + I i z + 2 - 3 i I < 6} y
c2~ a 2- b2 <=> 20 = 36 - b: => ¿> = 4
R 2 = { z l l z + 2 - i l < l i z + 5 - 4 i | } ; co n stru irla gráfica d e R, H R 2
Solución.
(2)
(1)
(3)
En B : I i(z - 1 - 4 i) I = 3 ■=> I z - (1 , 4) | = 3
C on stru cció n de la s gráfica s de los lu ga re s ge o m é tricos
Luego B es una circunferencia de centro
A : | z + 1 - 2 i I + |iz + 2 - 3 i | = 6
Q(1 ,4) y radio r = 3
y
E n A : | z + 1 -2 i| + | i ( z - 3 - 2 i ) | = 6 => |z - (-1 ,
de d ond e s e tiene :
=*
2 a = 6 *=> a = 3 , F,(3 , 2),
B :Iz + 2 - i I
= Iiz + 5 * 4 i I
2) I + |z - (3 ,
2)I
■=>
(4) Gráfica de
R
, : I z - (-3 . 2) I +
I z - (5 , 6) I <12
=> \ ( x + 3)2 + (y - 2)2 + \ ( x - 5)2 + (y - 6 )2 < 1 2
F,(-l , 2)
2 c = á ( F , , F,) = I F, - F J = |(4 , 0) | = 4
= 6
c=
2
C om o c < a , A e s una elipse con centro en Q = \ (F ( + F,) = (1 ,2)
E s (0 , 0) e
R
,? «
=
»W + 4 +V25 +36 <12
=> V I 3 + \ 6 I < 12 , se cu m p leL.
FIGURA 7.31
344
Capitulo 7: Números compleja
L u e g o , R, e s el conjunto de p untos en el interior de la elipse , incluyendo el
borde.
(5)
Gráfica de R : I z - ( I , 4) | > 3
(x - 1)3 + (y - 4 )2 > 9
de R, fl R 227.
R, = { z| I lm (z) - 5 1> I z + 1 - 3 i I } ; R 2 = { z 11 z - 3 + 2i|
28.
R, = {z 11 |z + 4 i - 3 1 - lz + 5 + 2 i11 < 8 } ; R y = {z 11 i z - 1 + i I < 5 }
29.
R, = { z | | z - 1 - 2 i | + | iz + 6 - 3 i | > 6 } ; R 2 = { z | | z - 2 + 4 i | < 3 }
30.
R, =
E s (0 , 0) e R, c=> ( |)- + (4 ): > 9 , s e cum ple
E n t o n c e s , la gráfica d e R
e s la totalidad de p u n to s u b ic a d o s en la parte
exterior a la circunferencia , incluyendo el borde. P o r lo tanto :
a (R , fl R,) = a(elipse) - a(círculo) =
tüíz¿> -
7C r - = 15 7t u2
345
Sección 7 .8 : Forma polar de un número complejo
■
31.
r
32.
< I iz + 3 i - 4 1}
{ z 11 iz - 2 - i | >I R e (z) - 3 I } ; R 2 = { z 11 z - 2 - 2 i I< 3 }
D o n d e s e halla el afijo de z s i : L o g
- Iz I + 1\ < 2
iz i+ 2
1
S i el afijo del com plejo z d e scrib e I z I = 1
, q u é lu gar d escrib e el afijo del
com plejo w = x + y i , sa b ie n d o a d e m á s que w (z + 1 )2 = 4
E J E R C IC IO S : Grupo 38
E n lo s ejercicios 1 al 12 , identificar el lu gar geom étrico d e los p u n to s que
7.8 ) F O R M A P O L A R D E U N N U M E R O C O M P L E J O ____________
representan los n ú m e ro s com plejos z = x + y i , tales que
1.
Iz l+ Im (z ) = 0
5. | z - 2 + ¡| = 2
9. I z | = l m ( z ) + 1
2.
I z I - R e (z) = 2
6. ! z - z, I = I z - z 2 1
10. I z + 1 - 2 i I + ¡ z - 1 - 2 i I
= 8
3.
z + z = I z 12
7. I z - i I = l z + 2 I
11. 2 z z + (2 + i)z + (2 - i)z =
2
4.
! z - 2 | = 2 1z + 1 | 8. Im ( z 2) = 4
S e a el núm ero com plejo no nulo z = x + y i. C o m o y a s e h a visto , este
13.
14.
1+ z
1 -z
12. I z + i I + |z - i I = 4
número s e p u ed e representar en un plano com plejo por la pareja (x , y). S i traza­
m os la recta d e sd e el origen al punto (x , y ) , h a b re m o s determ inado una distancia
r y un á n gu lo 0 en p osición norm al (m edido en se ntido antihorario). E sto e s , el
punto (x , y) h a sid o representado en térm inos de la s c o o rd e n a d a s p olare s r y 0
a)
Si w =
b)
G raficar el siguiente conjunto
y z = x + y i , hallar R e (w ) e lm (w)
: A=-|z e C
IR e ( =
m ediante la s re la cio n e s
ij-
x = r C os 0 , y = r Sen 0
de m od o qu e s i , z = x + y i , e n to n ce s
D e m o stra r que la ecu ación de la m ediatriz del se g m e n to de recta que determi­
z = r (C o s 0 + i S e n 0)
(6)
nan z, y z 2 está d ad a por
(z2 -z ,)z + (z2 -z ,)z = I z 2 I M
z
,I2
A plicación : Verificar la fórm ula para z, = (-3 . 4) y z 2 = (1 , -2)
Esta representación del com plejo z s e llam a form a
polar o trigonométrica de z , d on d e r e s el m ódulo,
radio vector o norm a , y 0 el a rgum ento o amplitud.
E n lo s ejercicios 15 al 2 6 , hallar el lugar geom étrico de los afijos que repre­
se ntan a los n ú m e ro s com p le jos z = x + y i , q ue sa tisfa ce n a las d e sig u a ld a ­
|O B S E R V A C IO N E S
d e s d ad a s.
1.
15.
lz - i| < 1
19. Iz - 2 | -| z + 2| > 3
23. 11z - 4i| - 1z + 2 i11 > 4
16.
|z - i - 1 I < 1
20. 12 z| > 11 + z 2 1
24. i ¡ z - 5 - i | - |iz + 3 i + 5 11 > 8
17.
|z - 2 1 + lz + 4| < 10
18.
0 < R e (iz) < 1
21. 1 < |z + 2 |< 2
22. I z I > 1 - R e (z)
sim plificada p o r :
2.
25. |z + 1 - 5 i | > | iz + 3 - i |
26. 1 < R e ( 1 ) + lm ( 1 ) < i
El n úm e ro com plejo z = r (C o s 0 + i S e n 0 ) p u ed e s e r re p re sen tada en su form a
z = r C is0
L o s va lo re s de r y 0 s e p u ed e n hallar por las re lacio n es
r = |z I = \'x : +
3.
<=> 0 = a r c T g ( y )
El a rgu m e n to de un n ú m e ro co m p le jo no e s ú n ico , pero s e tom ará co m o
argu m e n to p rin c ip a l:
E n los ejercicios 2 7 al 30 s e dan los conjuntos R, y R 2 , construir la s gráficas
y 2 , Tg0 = y
0 < 0 < 2
k
346
4.
Capítulo 7: Números complejos
L a relación T g 0 = y
C o m o x = 0 e y = -3 (sem ieje im aginario negativo) ■=> T g 0 =
da d o s va lo re s p ara 0 y el á n gu lo q ue s e eligirá se rá el que
= <*> => 0 = 270°
z = 3 C is (371/2)
s e determ ine por los s ig n o s de x e y
5.
347
Sección 7 .8: Forma polar de un número complejo
■
D a d o s d o s com plejo en s u form a p o la r : z = r C is 0 y z, = rt C is 0, , e n to n c e s s i :
z = z
<=> r = r) A 0 |= 0 + 2 k 7 r , k e Z
E j e m p lo
2
J
S i A = { z e e l 1 < I z l < 4 , - j < a r g ( z ) < 7 i } ; graficare identificar
el conjunto A.
E j e m p lo
1
j
Solución.
D eterm inar la form a polar de lo s sig u ie n te s co m p le jos
a) z = -2 + 2 \ 3 i
c) z = 1 + \ 3 i
b ) z = -V 3 -i
d) z = -5 + 0 i
-------------------------------------------
e) z = 3 - 3 \ 3 i
f) z = 0 - 2 i
I z l = 4 . E n to n c e s , A e s un se g m e n to de dicho
anillo qu e parte de 0 = kJA y term ina en 0 = 71. S u
gráfica s e ilustra en la F igu ra 7.33
/
\
ñ
tC
■
a) z = -2 + 2 V 3 i <=* r = I z I = V(-2)a + (2V3): = 4
i
\ O'!)
?
"
,
"
/
\
\
w
V. _
Re
V
P a ra el argu m e n to principal te n e m o s ; x = -2 (negativo) , y = 2V3 (positivo) ,
e n to n ce s 0 term ina en el II cuadrante.
= ^ 5
A
do por las circunferencias ! z 1 = 1 y
Solución.
L u e g o , si T g 0 = ^
Im ¡
1 <| z I < 4 e s un anillo circular form a-
El siguiente teorem a m uestra c o m o determ inar
J
FIGURA 7.33
el producto y el cociente de d o s n ú m e ro s com p lejos c u a n d o é sto s se e xp re sa n en
= - V3 <=* 0 = a rc T g (-V3) = 180° - 60° = 120° = 2 n/3
form a polar.
x
_
z = 4 Cis(2rc/3)
b) z
TEOREMA 7.4 Multiplicación y división de números complejos en la fo rm a polar
= - V3 - i => r = |z I = V(-V3): + (-1): = 2
S i z, = r,(C o s 0, + i S e n 0,) y z, = r ^ C o s 0, + i S e n 0 ;) , d on d e
C o m o x e y s o n a m b o s n e g a tiv o s , el a rg u m e n to p rin cip a l te rm in a e n el 111
cuadrante. E n to n c e s s i T g 0 = —
X
=
.>/3
= ^
3
<=> 0 = 180° + 30° = 210° =
r, = I z, i y r; = |z, I , e n to n ce s
1.
ln/6
z (z, = r,r, lC o s (0 , + 0,) + i Sen(0, + 0,)]
2.
z = 2 C is (771/6)
V ____________________
c)
z = 1 + V J i => r = |z| = V ( l ) : + (V3): = 2 ; T g 0 =
=
V3
C o m o x e y s o n a m b o s p ositivos , el a rgu m e n to figura
en el I cuadrante.
L u e g o , si
d)
0 = 60° =
= i
[c<B(e,-e,) + ¡ senté,-e,)]
:____________ _________________________________________
D em ostración de 1.
z, z, = r, r, (CosO, + i Se n 0 ,) (C osO , + i Se n 0 ,)
n/3 <=> z = C is {n/3)
= r, r, [(C os0, C osO , - Se n 0 , Se n 0 ,) + i (Se n0 , C o sO + CosO, Sen0,)]
z = -5 + Oi «=> r = I z| = \(-5 ): + (0): = 5
= r, r, [C os(0 , + 0,) + i Se n (0 , + 0,)]
C o m o x = -5 (sem ieje real negativo) e y = 0 ^
Tg 0 = 1
= o <=> 0 = 7t
z = 5 C is 71
z, z, = r, r, C is(0, + 0,)
La dem ostración de la parte (2) e s sim ilar y s e deja c o m o ejercicio.
e) z = 3 - 3>/3i => r = |z| = \'(3 ): + (-3V3)1 = 6
| O B S E R V A C IO N E S
D a d o q ue x = 3 (positivo) e y = -3V I ( n e g a t iv o ), el argum e nto 0 term ina en el IV
cuadrante. L u e g o , T g 0 = y
A s í te n e m o s q ue :
1.
El argu m e n to del producto de d o s n ú m e ro s co m p le jos e s igual a la
suma de los
a rg u m e n to s de c a d a complejo.
= - VT «=> 0 = 360 - 60 = 300° = 5 71/3
A rg (z,z;) = 0, + 0, = Arg(z,) + A rg (z :)
z = 6 C is (57t/3)
2.
f) z = 0 - 3 i <=> z = I z I = \ 0 : + (-3)J = 3
El a rgu m e n to del cociente de d o s n ú m e ro s co m p le jo s e s igual a la
de lo s a rg u m e n to s de c a d a complejo.
------
diferencia
Capítulo 7: Números complejos
349
Sección 7 .8 : Forma polar de un número complejo
A r g ( | ; ) = 6 , - 9 : = Arg(z,) - A r g (z :)
5 j
E je m p lo
R e p re sen ta r gráficam ente el lugar geom étrico de los afijos de
lo s co m p le jos q ue cum plen con la relación A rg | 2 ' 2l j = 0 ,
donde
S e a n : z, =
z, = 1 + i y z 2 = -1 + 2 i.
- | i y z 2 = - 2 + 2 \ 3 i ; efectuar en la forma
Solución. S e a n : z = (x , y) y w = z - z polar las sigu iente s op e ra cio n e s : a) z,z2 , b)
Solución. E n z , : r, = I z, I = 3 y Tq 0 = X
1
= ■ '3/2 =
3V3/2
x
Z| ■
—
*2
«
w = ( x - 1) + ( y - 1)i
2-i
-—
V3
= 1 [(2 x - y - 1) + (x + 2y - 3)i]
C o m o x e s positivo e y negativo , el argu m e n to principal term ina en el IV
cuadrante. E n to n c e s : 0, = are T g (-1/V3) = 360° - 30° = 330° = 1 1rc/6
S i A rg (w ) = are T g
P o r lo que :z, = 3 C is( 1 1n/6)
E n z ,:
r2 =
Iz J = 4 y
T g 0, =
^
=
-^ 3
Si
C o m o x e s negativo e y positivo , el argum ento principal term ina e n el II cuadrante.
=°
=> (x + 2y - 3 = 0)
a
(2x - y - I > 0)
<=> (x + 2y • 3 = 0)
a
(y < 2x - 1)
1‘ : x + 2 y - 3 = 0 y 7\ : y = 2 x - 1 , e n to n c e s lo s afijos del lu g a r g e o m é tric o
C
q ue c u m p le n c o n la re la ció n d a d a s e e n c u e n tra n s o b r e la recta .2?, en la re gió n
E n to n c e s : 0, = are T g(-\Í3) = 180° - 60° = 120° = ( 271/3 )
del s e m ip la n o inferior d e la recta r£ , , p u e s y <
P o r lo tanto:
p u nto P ( l , 1 ) 6 á ? , n 2 ' no p erte n e ce al lu ga r ge o m étrico (F ig u ra 7.34).
z, = 4 C is (271/3).
a) z |z, = (3)(4) C is ( ü 71 + -jTc) = 12 C is (^ - 71) = 12 C is (27 1 +
z,z; = 12(Cos90°
2 x - I. E s de s u p o n e r q u e el
■
= 12 C is (7C/2)
+ i Se n 90°) = 12
i
E j e m p lo
6
}
S iz e C | | z -1 l= 1
, 0 < A rg (z - 1 ) <
n ; determ inar A rg (z 2 - z)
en función de A rg(z).
b > z7 =
Í C ís ( l “ 71'
\ n ) = I C i s ( l n ) = \ C is ( |80° + 30°) = | ( * C o s 3 0 ° - i Sen30°)
Solución. El lugar geom étrico i z - 11 = I e s u n a circun­
ferencia concentro en Q (l , 0) y radio r = l.
E n to n c e s , s e a n : 0 = A rg (z ) y a = A rg (z - l ).
El A O Q P e s isó s c e le s , p u e s O Q = Q P = r ; luego
m (< *Q O P ) = m ( < * O P Q ) = 0
E je m p lo 4
)
— ---r iyJ
Efe ctu ar: z = ^
3 ) (C o sO + i SenO )
2Í1
C oosse0 - i S e n fn
2(1 - ii)H(C
6)
A d e m á s , c o m o a = m (<£ Q O P ) + m ( O P Q ) <=> a = 20
S i A rg (z : - z) = A rg (z ) (z - l ) = A r g (z ) + A rg (z - l )
Solución. S e a n : z, = 1 - i \'3 y z, = I - i. E x p re sa n d o a m b o s co m p le jos en la form a
polar y teniendo en cuenta q ue s u s a rg u m e n to s p rin cipa le s term inan
■=> A r g (z : - z ) = 0 + a = 0 + 2 0 = 3 0
A r g ( z - - z ) = 3 A rg (z )
en el IV cuadrante , s e tiene.
P a ra z , : r, = 2 y Tge, = - V 3 o
0, = 360° - 60° = 300° => z, = 2 C is 300°
z , : r: = V2 y T g 0 ; = -1 <=> 0, = 360a - 45° = 315° => z, =
Luego , z =
2_ C ls -'()() (C|s6)
2\2 C is 315° C is (- 0)
z=
■
y¡2 C is 315°
Ejemplo 7
S i l zi|
=8
y Arg[ z(1
+ i)]
= tc/6 , hallar el núm ero com plejo z en
s u form a polar.
_ V2 c ¡ S (300o . 3 , 50) c¡s(0 + 0)
Solución. S i I z i I = 8 <=> I z l |i| = I z l = 8 , esto e s , I z I = 8
2
[C o s (20- 15°) + i Sen(20 - 15°)] =
J
C is ( 20 -
■
y si A rg [z (l + i)] =
^
A rg (z ) + A rg (l + i) =
350
Capitulo 7: Números complejos
c=> A rg (z ) + 5 = 7
4
6
P o r co n siguie n te :
z = 8 C is (-71/12)
Ejem plo 8 J
o
«
Sección 7.9 : Potenciación de números complejos
in
A r9 (z ) = - t t
12
351
(C o s 295° + i S e n 655°) ( C o s (-20) + i S e n 7 0 0 o]
C o s 415° - i S e n 125°
z = 8 C is ( l lrc/12)
■
11.
S i z, = 6 C is 30° , z 2 = 2 C is 10° y z 3 = 3 ( C o s 20° - i S e n 2 0° ), hallar z,z2/ z 3.
12.
H allar la form a polar de :
a)
z = i C is (71/3) + 1
b) z = 1 + i C otg 0 , k < 0 < 371/2
Hallar la form a polar de c a d a núm ero com plejo z tal que
z 2 - 2 + i = (1 - i)3
13.
Escrib ir en la form a polar el resultado de : (6 + 2 i \ '3 ) (7 + 7 i) (4 v3 + 12 i)
14.
S i z = r C is 0 , representar en form a p o la r :
Solución. S i ( z ) := 2 - i + (1 + i):(l - i) = 2- i + (-2 i)( 1 - i) <=> ( z ) - = - 3 i
■=> z = ± V Ô T
Sean
w = -3¡ y 1 P 3 Î
=c + d¡ «
c = ± V lw l^
a
y
(1)
15.
d = ± V l w !,- a
^ z2
S i I z i I = 4 y A rg [ z (1 + i \ 3 ) ] = 7t/4 , hallar el n úm ero com plejo z en s u form a
polar.
a = 0 , b = -3 y I w I = 3 «=> c = d - ± \í3/2
b < 0 , e n to n ce s c y d se eligen d e distinto s ig n o , e sto e s
D a d o q ue
y com o
16.
nTJT = ± (V372 - iV 3/2)
L u e g o , en (1) : z = ± (V3/2 -
i
co m p le jos q u e sa tisfa ce n la relación : A rg ( z - z ' ) = 0
\z, - Z2/
V3/2) <=> z, = V3/2 - i V3/2 ó z, = - V3/2+ i \/372
<=> Z, = V3/2 + i V 3/2 ó z, = - V3/2
L a form a polar de
S i z, = 1 - 2 i y z 2 = 2 + i , graficar el lugar geom étrico de los afijos de n ú m e ro s
17.
- i V3/2
co m p le jos z = x + y i , tales qu e :
c a d a com plejo e s
z , = V 3 C is (71/4) ó z, = V3 C is (57t/4)
L o c a liz a r en un p la n o co m p le jo lo s afijos q u e re p re se n ta n a lo s n ú m e ro s
■
18.
E JE R C IC IO S : Grupo 39
a)
71/6 < A rg (z ) < 2rc/3
c)
n/8 < A rg (z ) < n /2
b)
n/3 < A rg (z + i) < k
d)
n/4 < A rg (z) < 371/4 a | z | > 2 a | z | < 4
a
|z| < 3
G raficar lo s conjuntos
a)
A = {z e C I z = i w 2 , d ond e I w I = 1 y A rg (w ) € [71/6 ,71/4]}
b)
A = {z e C l z = (i/w2) , |w I > 1 y A rg (w ) e [jc/6,7t/3]}
E n lo s ejercicios 1 al 6 , e x p re sa r los n ú m e ro s com p le jos d a d o s en s u form a
p ola r
7.9 J P O T E N C IA C IO N D E N U M E R O S C O M P L E J O S
1 .z = 6 \3 + 6 i
3.
z = -i-(-V3 + i)
5.
z = - 4 + 4 \ f3 i
2.
4.
z = - 5 \3 - 5i
6.
z = - 2\/2 - 2 \'2 i
z = 3 -3 V 3 i
TEOREMA 7.5 E l Teorema de De Moivre
E n los ejercicios 7 al 10 , realizar la operación indicada y e x p re sa r el resultado
en su form a rectangular.
7
(V2 C is 22°) ( 3 C is 84°) (2 C is 27°)
La potencia n -é sim a de un núm ero com plejo en su form a p o ­
lar tiene por m ódulo la potencia n -é sim a d e s u m ódulo , y por a rgum ento el
producto de s u argu m e n to por n. E sto e s , si
z = r C is 0 => z n = r" ( C o s n 0 + i S e n n 0)
(6 C is 35°) (C is 183°)
8
( C o s 133° + i S e n 767°) ( C o s 317° + i S e n 223°)
D em ostración.
C o s 30° - i S e n 30°
g
P o r inducción com pleta , s e a la proposición
P(n) = {n I zn = r C i s n 0 }
( C o s 171° + i S e n 729°) ( C o s 284° + i S e n 1336°)
(1)
P a ra n = 1 => P ( l ) : z '= r 'C i s 0 <=> z = r C i s 0 , e s verdadera
C o s 330° - i S e n 330°
(2)
S u p o n g a m o s que para n = h , la proposición
(7)
Capítulo 7: Números complejos
352
P ( h ) : z h = r h C is h 0 , e s ve rd a d era
(Hip. inductiva)
353
Sección 7.9: Potenciación Je números complejos
e s d e c ir , el Te ore m a de D e M oivre e s válido p ara p oten cias enteras negativas.
D e m o stra re m o s qu e para n = h + 1 , la p rop osición
P(h + 1): z h* 1 = r h+1 C is (h + 1) 9 , e s verdad era
Ejemplo 3
E n efecto
z h ♦1 = z h . z = (r C is 0)h (r C is 0) = (rh C is h 0) (r Q s 0)
(Hip. ind.)
Solución.
^
D a d o z = 1 - i , hallar z -
El com plejo z en su form a polar e s z = V2 Cis(7rc/4)
= rhr [C is (h 0 + 0)] = rh* ' [C is (h + 1)0]
(3)
C o n c lu sió n : S e ha p rob ado que , P(1) e s V
Ejemplo 1
Solución.
)
Si z = - ^
a
<=> z 3 = (V2)-’ C is(- 2 17i/4) = - 1 = j^Cos ^
P(h) e s V <=> P ( h + l ) e s V .
[ e o s (471 +
rc) - i S e n ^
t n ) - i S e n (471 + | * ) ] = £
=
ñ
=
& [ e o s (n + i ) - ¡ S e n ( * + £ ) ] = |
n jJ
[ c o s ( ¿ it ) - i S e n (| ^ )]
+ 1 i , hallar R e (z 20).
E x p re s a m o s z en s u form a polar
y
I z l = r = V(W3/2)> + (l/2)= = 1 ,Tge= ¿
=
^1/2
[■ C o s ( Í - ) + ¡ S e n ( í ) ]
^i
C o m o x < 0 , y > 0 , el argum ento principal term ina en el II cuadrante
o
0 = are T g (-1/V3) =180° - 30° = 150° = 571/6
L u e g o , si z = C is 0 «=> z = 1 Cis(57i/6) <=> z :o = 1:0 C is 20(571/6)
| O B S E R V A C IO N .
S i para un com plejo unitario z = C is 0 a p lic am o s el Teorem a de
(D e Moivre)
D e M oivre , se cum plen la s sig u ie n te s relaciones :
z" = C o s n O + i S e n n O
<=> z™ = C is(8 x 271 + -=-7t) = Cos(27i/3) + i Sen(27i/3)
y
z n = C o sn O - iS e n n O , n e Z
de d on d e s e obtienen
.-.
R e (z 20) = C os(2ti/3) = C o s
= - C os ( * ) = - \
■
C o s n O = ^ (z n + z " )
f Ejemplo 2
J
U s a n d o el T e ore m a de D e M o ivre , d em ostrar la s siguien te s
id e n t id a d e s :
S e n 3 0 = 3 S e n 0 - 4 S e n 30
Sen n 0 = —
(zn - z " )
(9)
E s t a s d o s fó rm u la s s e utilizan p ara e x p re sa r p o te n c ia s de S e n o y C o s e n o en
función de á n g u lo s múltiples.
C o s 3 0 = 4 C o s 30 - 3 C o s 0
D em ostración. S e a el com plejo unitario : z = C o s 0 + i S e n 0
( I z ! = 1)
Ejemplo 4
^
Hallar S e n 50 y C o s 50 en térm inos d e S e n k 0 y C o s k 0 , re sp e c ­
tivamente.
E le v a n d o al cu b o o b te n e m o s :
z } = C o s '0 + C o s ’0 S e n 0 + 3 i : C o s 0 S e n :0 + i S e n ’0
Solución.
E n la s fórm ulas (9 ), para n = 1 s e tiene :
= ( C o s ?0 - 3 C o s 0 Sen-’O) + (3 C o s :0 S e n 0 - Sen'OJi
2
P o r el Te ore m a de D e M o ivre : z ’ = ( C o s 0 + i S e n 0)'' = C o s 3 0 + i S e n 3 0
Luego :
C o s 3 0 + i S e n 3 0 = ( C o s ’0 - 3 C o s 0 S e n :0) + (3 C o s '0 S e n 0 - S e n '0 ) i
C o s 0 = (z + ¿ )
<=> (2 C o sO )5 = (z + | )5
32 C o s 50 = z5 + 5 z ‘
Igu a la n d o las partes reales y las partes im a gin a ria s s e tiene :
+ lO z ^ lJ
+ 1 0 z: ( l )
+ 5 z(^ ) +
C o s 3 0 = C o s 'O - 3 C o s 0( 1 - C o s :0) <=> C o s 3 0 = 4 C o s ;0 • 3 C o s 0
S e n 3 0 = 3( 1 - Se n -0 ) S e n 0 - S e n ’0 = * S e n 3 0 = 3 S e n 0 - 4 S e n 'O
| O B S E R V A C IO N .
■
D a d o un com plejo z = r C i s 0 y un entero positivo n , s e cum ple
z " = r n C is (-n 0 )
(8)
= (z í + f ) + 5(2' + ? ) + i0(z + ? )
= (2 C o s 5 0) + 5(2 C o s 3 0) + 10(2 C o s 0)
.-.
C o s 50 =
~ (C o s 5 0 + 5 C o s 3 0 + 1 0 C o s 0)
16
354
Capítulo 7: Números complejos
A n á lo g a m e n te :
2 ¡S e n 0 = z - i
m últiplos de x , lo siguiente
■=* (2 i S e n 9)5 = (z -
a) S e n 4x
<=> 32 ¡5 S e n '0 =
z- - 5 z ; + 10 z - — + Ar z
z?
355
Sección 7.10: Radicación de números complejos
21.
z'
b) C o s 6x
c) S e n 7x
d) C o s 7x
E x p re sa r m ediante la s p oten cia s de S e n x y C o s x la s sig u ie n te s fu n cion e s de
á n g u lo s m últiplos d e x
= (Z ' z>) ' 5(z’ ' ? ) + l0(z ' í )
a) C o s 5 x
b) C o s 8 x
c )S e n 5 x
d) S e n 7 x
= * 32 i S e n ?0 = (2 i S e n 5 0) - 5(2 ¡ S e n 3 0 ) + 10(2 i S e n 0)
S e n ’0 = - 1 ( S e n 5 0 - 5 S e n 3 0 + IO S e n 0 )
16
22.
Dado
23.
S i z = C is 0 , hallar to d os los va lo re s de 0 p ara lo s c u a le s (z + 1 )2 e s im aginario
■
n e Z+ , d em ostra r q ue (
9 + 1 \ _q 0 s 2
\
' C o tg 0 - 1 /
n0 + i Sen 2 n 0
puro.
E JE R C IC IO S : Grupo 40
E n los ejercicios 1 al 12 , utilice el Teorem a de D e M o ivre p ara hallar la poten­
cia indicada. E x p re sa r el resultado en form a cartesiana.
5.
(2 - 2 i)10 - (2 + 2 i)1
24.
R e s o lv e r:
[(1 + i -'.3)4z ] 2 = (1 - i \ 3 ) 3z
25.
C a lcu la r z 4 en los sig u ie n te s c a s o s
a) z = (-V3 + i)'1 b) z = 4 = ^
’
'
V 3 -i
c) z = ----------- ----------- ,
S e n a + iS e n a
a e R a O < o.< 2 tc
9.
( 7.10 j R A D IC A C IO N D E N U M E R O S C O M P L E J O S ______________
( i ♦i r
3.
(1 ±
1 M )”
6.
7.
10.
( i- i ') '
y¡2 - V3 Y
(V 2 + V3 + i
11.
(!* H '
(-3V3 + 3 i)3
P o r definición , d a d o un n úm ero com plejo z y un entero positivo n , s e dice
que el com plejo w e s raíz n -é sim a de z si y só lo si , w° = z , s e escribe
w = \ z , o bien , w = z l/n
4.
g
("i + Í V 3 )15
( - 1 - i ^ ) 15
O. ----—--- 7TTT--- +
(1 - i) 2
(1 + i)2
El p ro b le m a de c a lc u la r w s e re su e lv e fácilm ente e sc rib ie n d o z y w en form a
12.
(4V2 - 4\/2 i )40
E n los ejercicios 13 a 16 , efectuar y e x p re sa r el resultado en la form a
13.
(2 C is 225°)2 (3 C is 140°)3
(V3 C is 2 5 o)4 (V2 C is 6 0 o)2
15.
a + bi
(v2 C is 4 4 5 o)2 (V6 C is 140°)4
p o l a r , esto e s , si
z = r(C o s0 + i S e n 0 )
y
w = R(Cosvj; + i S e n \\i)
(1)
e n to n ce s por definición de raíz : w n = z
P o r la fórm ula de D e M o ivre :
R n( C o s n vj/ + i S e n n y ) = r(C o s 0 + i S e n 0)
[2 C is (-1 3 0 o)]2 (3 C is 3 4 5 o)2
y por la iguald ad de n ú m e ro s co m p le jos
14.
12 Cis(-30°) ( \ 6 C is 1 3 5 o)2
2 4 C is(-150°) (V § C is 1 0 5 o)2
16
‘
(1
V 3 Í)27
n --\'3i
r _ /1
n
(2 + 2 i)18
\2
V3
:V3
V3¡y
2/
R n = r A n ij / = 0 + 2krc ■=> R = \ r
a
y =
~k
71
L u e g o , en (1 ):
17.
S i z = \ 2 + V3 + i V 2 - V3 , hallar R e (z20)
18.
Sim plificar (1 + w )n , d o n d e w = Cis(27r/3)
19.
....
/1 + S e n x + i C o s x \ 6
Sim p lificar: - — -------- — ------V 1 + S e n x -1 C o s x I
don d e , para k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 , ob te n e m o s los n va lore s de w , que lo
R e p re se n ta r m ediante un polinom io de primer grad o en térm inos de á n gu lo s
E n re su m e n , s e ha d em ostrado el siguiente teorema.
20.
d e sig n a re m o s por w k , k = 0 , 1 , 2 ......... . n - 1 , respectivam ente.
Capítulo 7: Números complejos
356
357
Sección 7.10: Radicación de números complejos
Solución. S i z = l <=> |z | = 1 y 9 = A rg (z ) = 0 <=> w k = \T J^Cis
TEOREMA 7.6 Radicación de núm eros complejos ___________________________
j
T o d o c o m p le jo n o nulo adm ite n ra íc e s n -é s im a s d istin ta s
«=> wk = C o s
d a d a s por
+ i Se n (—
. para k = 0 , 1 , 2
R e e m p la za n d o a k su ce siv a m e n te por 0 , 1 y 2 s e obtiene
Wi = V [ c o s ( 8 ± l M ) + ¡ S e n ( e ± í M ) J
w, = C o s 0 o + i S e n 0o = 1
d on d e k e s 0 , 1 , 2 , .......... n - 1, r = I z | y 0 = A rg(z)
v ____________________________________ _______ ____________________________________
w, = C o s
+ i Sen
= - i
+ ^
!
D a d o que to d a s las ra íc e s tienen el m ism o m ód u lo , é s ta s s e e n cu e n ­
tran so b re u n a circunferencia de centro
el orige n y radio
w.- = C o s ( ^ ) + ¡ S e n ( f ) = . I . f
V 7 , y difieren en el
a rgu m e n to en m últiplos de 2rc/n. P o r e sta razó n , la s d istin ta s n ra íc e s de un
com plejo no nulo , s e identifican geom étricam ente co n lo s vértices de un p olígono
I O B S E R V A C IO N E S
regular inscrito en la circunferencia m encionada.
(1)
L o s afijos de la s ra íce s cú b ica s de la unidad so n
lo s vé rtice s d e un triángulo equilátero inscrito
en la circunferencia de radio I z I = l
1
E je m p lo
J
D e te rm in a r y re p re se n ta r e n un p la n o co m p le jo la s ra íce s
(2)
L a s ra íc e s c ú b ic a s de la u n idad s e encu e ntran igualm ente e s p a c ia d a s con
un a de ellas un á n gu lo igual a a = 2rc/3
quintas de z = -16 - 1 6 v 3 i
(3)
Solución, r = i z ! = 1 6 Vi + 3 = 32 , T g B = V3 «=> 0 = 1 8 0 ° + 60° = 240f;
w, = w. t=> w a + w, + w, = 0
■
D e m od o que s i : - 16 - 16V3Í = 3 2 (C o s 240° + i S e n 240°)
del Teorem a 7.6 , las cinco ra íce s quintas e stán d a d a s por
{ l A Q A ) E C U A C IO N E S C U A D R A T IC A S C O N C O E F IC IE N T E S C O M ­
r240° + 2 k;
w, = "V32 J c is ( 240° * 2 -k - ) ] , p ara k = 0 , 1 , 2 , 3 ,4
PLEJO S
c '
P a ra k = 0 ■=> w(i = 2 C is (48°)
lm,
k = 1 ■=> w, = 2 C is (120°)
W .-—
a x : + bx + c = 0 , tiene por ra íce s
k = 2 <=> w, = 2 C is (192°)
w, = 2 C is (264°)
k = 4 o
w 4 = 2 C is (336°)
x _
-b i \'¿r - 4 ac
2
1
k = 3 o
S a b e m o s q u e u n a e c u a c ió n c u a d rá tica co n co e ficie n te s re a le s
l- S L
E n la Figu ra 7.36 s e m uestra los afijos de las raí­
I I " Rt;
permita resolver u n a ecuación de la form a
y T V I,
c e s quintas de z , qu e s o n vértices del p en tá gon o
a
En e sta se c c ió n y , en idéntica form a , tratarem os de hallar un p ro c e so qu e n o s
A z:+ B z + C = 0 , A ,B ,C € C y A * 0
regular inscrito en la circunferencia de radio r = 2
(1)
C om pleta n do el cu a d ra d o s e tiene
w
N ó te se que la diferencia entre lo s a rgu m e n to s de
J
V
c a d a raíz e s
(2.
FIGURA 7.36
(y — - ^
n
— 360 _
~ 5
~i~)o
^
R
S u p o n g a m o s que : w = z + ^
de m od o que en (2) te nd re m o s :
tjem plo
2
j
Determ inar las ra íce s c ú b ic a s de la unidad.
P ued e ocurrir e n to n ce s que
y
u =
w: = u
R: 4AP
4^
(3)
358
I.
Capítulo 7: Números complejos
359
Sección 7.10: Radicación de números complejos
S i B : - 4 A C = O , e n to nce s u = 0 y la e cu a ción (3) tendrá por so lu c ió n el conjunto
{- B / 2 A } , esto e s , si w : = 0 <=> z = -B / 2A
E n c o n se c u e n c ia , la ecu a ción (1) tendrá por C .S . = {-B / 2 A }
II.
(5)
P o r lo tanto , el conjunto solu ció n e s : {2 - i ,
■
S i B-' - 4 A C * 0 , la ecuación w : = u tiene d o s so lu c io n e s d e n o ta d o s por w ü y w (.
D
Com o w = z +
, en to nce s las so lu c io n e s d e la e cu a ció n (1) se rá n :
2A
B
y — w - ——
1
0
P e ro en la S e c c ió n 7.6 v im o s
S
= -jw 0 - ^
- w(i -
2A
7
B
z = w - ——
2
' 2A
V
y
q u e w, = - w 0 , por tanto , el co njun to s o lu c ió n e s
^ j - ,d o n d e
w0e s
2
( .IO . ) R A IC E S P R IM IT IV A S D E L A U N ID A D __________________
cu a lq u ie ra de
la s d o s s o lu c io n e s
de
S i z = \T = l y
l = C o s 0 + i S e n 0 , e n to n ce s las n -é sin a s ra íce s de la
unidad , s e g ú n el Te ore m a de D e M o ivre , están d a d a s por
wk= C o s ( ^ )
+ i S e n ( ^ p p ) , k = 0 , l , 2 .......... n - l
(1)
w- — B : - 4 A C
S i k = 1 => w, = C o s
4A:
E n re su m e n , h e m o s d em ostra d o el sigu ien te teorem a.
+ i Sen
<=> (w,)“ = C o s
+ i Sen
S e o b se rv a q u e : (w,)“ = w k , k = 0 , 1 , 2 ........ . n - 1
Esto significa q ue to d as las ra íce s de la unidad s o n e x p re sa d a s c o m o
TEOREMA 7.7
El conjunto solució n de la ecu ación
Az
I.
j-
^
j
potencias
de w, , e s d e c ir , w ( ge n e ra to d as la s n -é sim a s ra íce s de la unidad , de aquí que w
+ B z + C = 0 , A 1B , C e < . 1 y A * 0 e s
recibe el n om b re de
raíz primitiva de la unidad de orden n.
En ge ne ral , si w e s la raíz n -é sim a d e la unidad tal qu e s u s potencias
, si B : - 4 A C > 0
w k para k = 0 , 1 , 2 ............ , n - l , s o n diferentes
e nto n ce s s e dice q ue w e s u n a raíz primitiva de la unidad de orden n.
II.
í- —
1 2A
+w , , - —
0
2A
-w, \ , si B 2 - 4 A C * 0
°J
d o n d e w e s u n a de las so lu c io n e s de la e cu a ción : w : =
0
*
En el Ejem plo 2 d ete rm inam os la s ra íce s c ú b ic a s de la unidad
p2 _ j A p
~,
4A-
w = 1 w = - — +
wo 1 » w i
2
2
j
w = - 1
2
2
2
i
de la s c u a le s w, y w, s o n ra íce s prim itivas de la unidad de o rd e n '3 , por q ue para
k = n - 1 ■=* k = 2 , s e tiene
C jc m p lo
3
j
R e so lv e r la ecu ación : z 2 - (3 + 2 i)z + (5 + 5 i) = 0
(«,)-■ = ( - i
+
- i
-
= w, , e s diferente a w.
Solución. S i A = l , B = - ( 3 + 2 i) y C = 5 + 5i , e n to n ce s
(1)
(2)
B*’ - 4 A C = (3 + 2 i)2- 4 ( l ) ( 5 + 5i) = - 1 5 - 8 ¡ * 0
R e s o lv e m o s la ecu ación : w 2 = ^
4A-
<=>w 0 = | - 2 i
(w 2)2 = (- 1 * -^r i) = - y + i = w,
4
ó
—
= - —
4
w, = - l + 2 i
-2 i
, e s diferente a w,
(w0)J = ( 1 ): = I , e s igual
e n to n ce s w0 no e s raíz primitiva de la unidad de orden 3
N ó te se que n = 3 y k = 2 s o n prim o s entre s i , e s d e c ir , m c d (2 , 3) = 1
(3)
E le g im o s una de s u s ra íce s c u a d ra d a s : w„ =
(4)
Luego:
\ - 2i
E n c o n s e c u e n c ia ,
el n ú m e ro d e ra íc e s p rim itivas de la u n id a d de o rde n n se
d ed u ce n del sigu iente teorema.
- ^
+ wu =
+ ( i - 2 i) = 2 - i
360
Capítulo 7: Números complejos
7
TEOREMA 7.8 Raíces prim itivas de la unidad
6 / 1 -i
g
VV3+¡
S e a 0 < k < n . E n to n c e s wk e s u n a raíz primitiva de la unidad de
361
Sección 7.11: La exponencial compleja
11.
orden n , si y só lo s i , n y k s o n c o p rim o s (p rim os entre si).
8/ 1+ j
6 /
V V3 - i
1 -i
4/ 1+ ¡
V 1 + i V3
VV3+Í
S i co0 , co, y co2 s o n to d a s las ra íce s de la e cu a ció n x3 = 1 , hallar el valor de
a)
co02 + co,2 + co32
b)
co0 co, + co0co2 + (0,0)2
12. D e m o stra r q ue si z, e s una raíz cú b ica de z y si 1 , co y co2 s o n las ra íce s c ú b ica s
de la unidad , e n to n ce s z, , z,co , z,co2 s o n las tres ra íce s cú b ica s de z.
Ejemplo
4
j
Determ inar to d as la s ra íc e s de la unidad de orden 6
E n los ejercicios 13 al 16 , halle el conjunto solu ció n de la ecu ación d ada
Solución. L a s ra íce s se x ta s de la unidad e stá n d a d a s por (I) para n = 6 , e sta s son:
wk = C o s
+
i Sen
,k = 0 f l , 3 , 4 , 5
13.
z 2 + ( 1 - 5 i ) z - ( 1 2 + 5i) = 0
15. (z3 - iz 2) - ( 2 + 2 i ) ( z 2 - iz) + 2 ( i z - 1) = 0
14.
z 2 - (3 + 2 i)z + (1 + 3 i) = 0
16.
z 2 + (4 + 3 i)z + (7 + i) = 0
E n los ejercicios 17 al 2 8 . re su e lva la e cu a ción para to d as las ra íce s co m p le ­
P o r el Te ore m a 7.8 , e le g im o s k d e m o d o q u e m c d (k , 6) = 1 , e sto ocurre para
ja s
k = I y k = 5 , e n to n ce s
w, = C o s
+ i Sen
) = C o s 60° + i S e n 60° =
W} = C o s ( ^ ) + i S e n
Ejemplo
5
J
\
^
i
= C o s 300° + i S e n 300° = i - ^
i
17.
z4 + 8
+ 8 i V 3 = 0 21. z4 - 2 z 2 + 4 = 0
18.
z3 + 4
= - 4 iV 3
19.
z6 + 7 z3 - 8 = 0
20.
z3 + 6
29.
S i co e s u n a raíz cú b ica de la unidad , d em ostra r qu e :
(1 - w ) ( 1 - a)2) = 3
D em ostración. E n efecto , si (tí e s raíz cú b ica primitiva de l , e n to n ce s oo2 tam bién
lo
e s , p u e s el mcd(2 , 3) = I
= I - (íd 2 + w) + (ú -
30.
a)
(1 + co2)4 = co
b)
(1 -c o )(1 -c o 2)(1 - co4) (1 - co5) = 9
( 1 - c o + c o 2) ( 1 +
c ú - co2)
=4
a)
S = 1 + 2 c o + 3 c o 2 + ............... + n c o n' 1
b)
S = 1 + 4 c o + 9 c o 2 + ............... + n 2 con ' 1
(1)
«=> co2 + (O = - 1
(1 - w) (1 - w2) =
1 - (-1) +
I = 3
■
7 .1 1 ) LA E X P O N E N C IA L C O M P L E J A ________________________
S i z = x + y i , s e define exponencial de z c o m o
d on d e
E n los ejercicios 1 al 6 , halle to d as las ra íce s que s e indican
L a s ra íce s de z = -8 + 8 \ 3 i
c)
28. 2 i z 2 - 5 z + 7 i = 0
S i co e s u n a raíz n-é sim a de la unidad , hallar el valor de
E JE R C IC IO S : Grupo 10
1.
26. (z + 3)4 = 1 6 ¡
27. z 3 + 2 z 2 - z + 6 = 0
+ 6 i V 3 = 0 24. 1 6z4 = ( z + 1)4
L u e g o , (1 - ío) (I - co2) = 1 - cd2 - co + (tí*
P o r lo q u e , en (1) o b tene m os :
22. z 4 + 4 z 2 + 16 = 0
23. z4 + (2 i - 3 )z 2 + 5 - i = 0
■
D e m o stra r que si w e s raíz cú b ica primitiva de 1 , e nto n ce s
Pero , I + w + tú2 = 0 (Ver Ejem plo 2)
25. z 8 - 3 5 z 4 - 3 6 = 0
4.
exp (z) = e* = e *(C o s y + i S e n y)
ex e s la función exponencial real y e es la b a s e de los logaritm os n e pe ria n os
(e = 2 . 7 1 8 2 8 ......... )
S i z e s un im aginario puro , esto e s , s i x = 0 = * z = y i , lu e go en la exponencial
L a s ra íce s cú b ica s de z = 4 - 4 \ 3 i
com pleja s e tiene :
2.
L a s ra íce s cú b ica s de z = - 8 i
5.
3.
L a s ra íce s quintas de z = 16 - 16 \ 3 i 6.
L a s ra íce s cuartas de z =
2
2
i
L a s ra íce s quintas de z = -16V3 - 16 i
E n los ejercicios 7 a 10 , hálle se las ra íc e s in d ica d a s
.
— + —
exp(y i) =
Com o
ey' = C o s y + i S e n y
el = ( e 'C o s y + i e xS e n y ) <=* e = are T g
<=> 0 = y
/ e* S e n y \
— j = are T g (T g y )
362
Capítulo 7: Números complejos
luego , la relación :
e x p (i0 ) = e 18 = C o s 0 + i S e n e
e s la llam ada fó rm u la
(11)
de E uler o exponencial compleja
S ie n d o la representación de un núm ero com plejo
363
Sección 7.11: La exponencial compleja
=
ex*a [ ( C o s y C o s b - S e n y S e n b) + i ( C o s y S e n b + S e n y Cos¿>)]
=
e '* a [ C o s ( y +b) + i S e n ( y + b)] = ex*a ei{y*b)
ez e'M
(5)
=
z = r (C o s0 + i Sen0)
la fórm ula de E u le r d a lu ga r a u n a re p re se n ta c ió n alternativa d e lo s n ú m e ro s
D em ostración de EC. 4 : \e z I = ex , y = A rg (z ) , d o n d e z = x + y i
com plejos en la form a exp onencial
En efecto , por definición :
z = r e i9
donde,
(12)
\e z I = ex v (C o sy )-1 + (S e n y)-’ = e'
r = |z| y 0 = A rg (z)
E je m p lo s :
Si
z = i = C o s (rc/2) + i S e n (71/2) =» z =<?,(w2)
z = - 1 = C o s 7i + i S e n
n <=> z = e 'K
z = e i0 = e'ZK
z = e'<3,K) =
S i en la fórm ula de E u l e r :
e'° = C o s 0 + i S e n 0
e~m = C o s 0 - i S e n 0
s e sustituye 0 por (:0) s e obtiene :
D e e sta s d o s e c u a c io n e s resultan las identid ades
C o s 0 = i (cie + <r,e)
; Sen 0 = I
(c'e - e
'6)
(13)
(1)
S e a z = x + y i <=>
(2)
Siez= l
Solución.
Hallar C o s 30 en función de C o s k 0
S i C o s © = 42
.
=>
ez = e x + >‘ = ex eiy = ex ( C o s y + i S e n y ) = ex C o s y + i e 'S e n y
ex C o s y + i e 'S e n y = 1
ex Cos y = 1
(3)
P o r iguald ad de com p le jos :
(4)
Com o
(5)
A h o ra , si y = krc c=> C o s y = C o s k r c = ( - l ) k
(6)
L u e g o , en la prim era igu ald ad de (3 ):
(7)
e x = 1 <=* x = 0
P ero e * > 0 < = > k = 2 n - = > - í í
L y
v =
; 2n7t
(8)
P o r lo ta n t o ,
(9)
R e cíp ro ca m e n te , si z = 2 n 71i =>
q ue s o n de m u c h a utilidad en d e m o stra c io n e s de identid ades trigonom étricas.
EJEM PLO .
S eennyy\^
/ ee x' t>
— ------J = are T g (T g y)
ex C o sy
D em ostración de EC. 6 : ez = I <=> z = 2n7ii , V n e Z
e'i{,c/2)
z = - 4 + 4 \ í3 i = 8 Cis(27t/3) <=> z = 8 e'2™
O B S E R V A C IO N .
^
ez = ex C o s y + i e y S e n y <=> 0 = A rg (z) = A r g T g
0 = A rg (z ) = y
z = l = C o s 0 + i S e n 0 <=>
z = - i = Cos(37i/2) + i Sen(37t/2) o
ez = ex(Cos y + i S e n y)
a
e' Sen y = 0
ex * 0 , e n to n ce s , S e n y = 0 <=> y = kft , k e Z
z = x + y i = 2 n 7 ti
e *(-I)k = 1 = ( - i p
<=>
e x = (-l)k
, VneZ
ez =e2n*' = C o s 2 n 7 i + i S e n 2 n r c = 1 + Oi =
(eM+ e '*) «=> C o s '0 = 1 (£1,e + 3£ziWe',tí + 3<?'8 e 'zi9 + c'*)
o
O P E R A C IO N E S E N L A F O R M A E X P O N E N C IA L
A g ru p a n d o térm inos con ve n ie nte m e n te o b te n e m o s
L a s fórm ulas relativas al producto , cociente , potenciación y radicación
C o s '0 = -j [ 4 (e*® + e ',ie) + 4 (£'" + e ’"*)] = -j (C o s 3 0 + 3 C o s 0 )
■
de n ú m e ro s co m p le jos en la form a polar s o n sim ila re s p ara d ic h a s op e ra cio n e s
en la form a exponencial. E sto e s :
P R O P IE D A D E S D E L A E X P O N E N C IA L C O M P L E J A
EC. 1 :
E C .2 :
ez e " = e z"N
1.
E C . 5 : S i y e s real =>
- ^ - = < ? zw
ew
EC. 6 :
ez = \ <=> z = 2nrci , V n e Z
ez =e” <=> z = w + 2k7ii , V k e Z
EC. 3 :
í>z * 0 , V z e C
EC. 7 :
EC. 4 :
\ez I ex , y = A rg (z ) , z = x + y i
E C . 8 : (ez)n = enz , V n e Z
(2)
<=>
ez = t?x( C o s y + i S e n y)
ez e* = [ e * ( C o s y + i S e n y)] [ ^ ( C o s b + i Sen¿>)]
, = e‘*(C o s
2
3.
£l =
z2
íl ^
= Í I lU ^ - «
r, ei9:
V r, /
z n = {re*)n= r " e íne
4. z ,'" = ( r e T = r ,/n^
D em ostración de E C . 1 : ez ew = e 1* w
(1) S e a n : z = x + y i , w = a + ¿>i <=>
z,z, = (r,e1*') (r,e l8;) = r :r, c i<e,* e’J
\e » I = l
b + iS e n b)
í k *y n , n e Z
y
k = 0 , l , 2 ..........n - l
364
Capitulo 7: Números complejos
365
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo 3
p —{ MISCELANEA DE E JE M P L O S ILUSTRATIVOS^----
J
*
Sea z eC , z
z0 , d em ostrar q u e :
( z n) = { z f
D em ostración. S i z = r e ,e ■=> z = r<ri8
L u e g o : z n = rn eine <=> ( z n ) = rn r in8
e je m p lo
1
— __
j
J
S i z = - 7- + ^ r - i
2
2
y w = - ^-
2
~
¡ , hallar z n + w " , donde
2
(1)
re -ie <=> ( z ) n = rne-'n9
z =
P o r lo tanto , de (1) y (2) s e tiene :
(2)
( z n) = ( z ) n
n e s un nú m e ro entero.
Solución.
E x p re s a n d o z y w en s u form a polar ob te n e m o s
z = Cis(2rc/3)
I Ejemplo 4
y w = Cis(4rc/3)
E n to n c e s : z " + w " = C o s ^ ^ ^ j + i S e n
+ Cos
'
+ ¡ Sen
)
J
S e a n z. , z.
y
(1)
eC
. d em ostrar que
C osv|/=
2
Z?\
7
, d onde
e s el á n g u lo co m p re n d id o entre lo s rad io s ve cto re s que
representan a z, y z2
D a d o qu e :
D em ostración.
C o s 120° =
-C o s 60° y C o s 240c = - C o s 60° c=> C o s
= Cos
S e n 120° =
S e n 60° y S e n 240° = - S e n 60°
= - Sen
S e a n lo s com p le jos :
z t =rl eia y z, = r, e*
L u e g o : z, z, = r( r,
<=> S e n
= r^, C is ( a - P)
E n to n c e s : R e ( z 1 z ) = r, r, C o s ( a - p)
P o r lo tanto , en (1 ):
= I z, I I z, I Cos(oc - p)
z" + w" = 2 C os
■
de d ond e s e obtiene : C o s
\\i = ^ e ^Z| z ^
z.
E je m p lo
2
j
Aplicar la potenciación de n ú m e ro s com p lejos p ara e xp re sar
Ejemplo
T g 6 0 en térm inos de T g 6 .
Solución.
5
j
S e a z = x + y i tal que z 39 = 1 y z = 1 ; h a lla r:
R e (z + z 2 + z 3 + . . . . + z 37)
P o r el Teorem a de D e M oivre : C o s 6 0 + i S e n 6 0 = (C o s 0 + i S e n ©)'1
D e sa rro lla n d o la p otencia y lu e go o rd e n a n d o la s p arte s re a le s y las
Solución. S e a S = z + z : + z-1 + . . . . + z ” = z( 1 + z + z- + . . . . + z %)
p artes im a g in a ria s , o b te n e m o s
E n to n c e s : S = z ^ 1 ~ z
C o s 60 + i S e n 6 0 = ( C o s ”0 - 15 C o s 40 S e n :0 + 15 C o s :0 S e n J0 - S e n ' 0 ) +
D e la igualdad de n ú m e ro s com plejos s e sig u e que :
S e n 6 0 = 6 C o s '0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s ’0 + 6 C o s 0 Sen<0
g_
J \ • 1/z2\ _
\ 1 -z
_ Sen60
J ^
91
. P e ro z ,v = z-7z : => 1 = z ,7z 2 <=> z ,7 = 1/z2
Luego :
+ i (6 C o s ‘0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s '0 + 6 C o s 0 S e n - 0 )
C o s 6 0 = C o s 0 - 15 C o s J0 S e n :0 + 15 C o s :0 S e n J0 - S e n ' 0
)
C o s6 0
/
{z + \\ _
V z
_ / x 2+ y 2+ x
A h o ra , d iv id ie n d o c a d a térm ino del n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r d e T g 6 0 entre
"
l
x2+ y 2
-y
;
r (x + l ,y)1_
L ( x , y) J
/
\
xÜ T -i ^
„
I7 ( x + Q x + yx y - y ( x - ) - 1 )\-|
|_\
x 2+ y 2
’
x2+ y 2
IJ
x2+ y 2+ x
R e (S ) "
x 2+ y 2
_
"
C o s ft0 , s e tiene
0=
y
6 T g 0 - 20 T g ’Q + 6 T g 5Q
I - 15 T g :0 + l 5 T g J0 - T g '0
m
Ejemplo 6
)
U n o de lo s vé rtice s de un o c tó g o n o re gu la r co in c id e co n el
afijo del com plejo z = 2 C o s 15° - 2 i S e n 15°. Hallar los vérti­
c e s restantes (o una fórm ula que permita calcularlos).
366
Capítulo 7: Números complejos
Solución.
U n o c tó g o n o regular e s descrito por lo s afijos de la raíz octa va de un
367
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
«
z = 2 Sen (|
+ | ) Cos (£ -
= 2 Sen ( £
+ § ) [ Cos ( J
| ) + 2 i Sen (5 - | ) Sen ( f + «)
determ inado complejo. A h o ra bien , s a b e m o s que los a rgu m e n to s de
ca d a raíz están igualm ente e s p a c ia d a s un á n gu lo a = - ^ =
= 45°
E n to n ce s , si z = [C os(-15°) + i Sen(-15°)] , u n a fórm ula qu e permite calcular los
- 1 ) + ¡Se n ( i - 1 ) ] = 2 Sen ( j ♦ | ) [» *» • « ]
Por un ra zo na m ie nto sim ilar s e dem u e stra que
afijos de c a d a un o de los vértices del o c tó go no e s
w = 2 Sen (|
z = 2[Cos(-15° + 45°k) + i Sen(-15° + 45°k)] , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
Si k = 0
■=>w„ = 2 Cis(-15°)
k = 1
w, = 2 Cis(30°)
,
k = 4
<=> w, = 2
Cis(165°)
,
k = 5
<=> w s = 2
Cis(210°)
k = 2
= * w, Cis(75°)
,
k = 6
=> w h = 2
Cis(255°)
k= 3
i=>w. = 2 Cis(120°)
,
k = 7
=> w 7 = 2
Cis(300°) ■
E je m p lo
7
j
+ | ) [e o s
Por lo qu e :
E je m p lo
- | ) - i Sen ( | - | )
-
= e,n(lt/2’e) = C o s n
9
)
ej
J
= 2 Sen
+ i Sen n ^
D a d o e e R , d em ostrar que si z + y
-
[««*"•«»]
e)
■
= 2 C o s e , e ntonces
a)
z m + y ^ = 2 C o s m e , m € Z*
b)
z m'
D e te rm in ar el total de n ú m e r o s e n te ro s p o sitiv o s n de tres
cifras que verifican la igu ald ad : ( 1 + ^
'
i
Solución. El com plejo z = i +
^
i)
= 1 +
i , en s u form a polar e s z = Cis(7i/3) =
i
Dem ostración. S e a z = r(C o s6 + i S e n e ) <=> z l = -j- (C o s e - i Se n e )
e'm
Luego : z + j
L u e g o , si (e"t/,)n =
eim <=> ^
^ + 2krc
= 2 i Sen me , m e Z *
=
(r + -j-1 ) C o s e
+ i (r - 1 )S e n e
(Igu a ld a d de com plejos)
D a do qu e z + ^1 e s real *=>
■=> Im (z + 1i ) = o
de d ond e s e obtiene : n = 6k + 1 ; c o m o n e s de tres cifras <=> 100 < n < 999
esto e s : 100 < 6 k + 1 < 9 9 9 => 16.5 < k < 166.3 => 17 < k < 166 , k € Z*
D a d o que , por ca d a k existe un n ■=> n = ( 166 - 17) + 1 = 150
Esto e s , s i : ( r -
^ (r - j1 = 0) v (S e n e = 0)
j1 ) S e n e = 0 <=>
■
<=> r = 1 v e = 2k7t
Para r = 1 s e tiene :
E je m p lo
8
J
D e m o stra r que para 0 e [0 ,
( 1 + Sen 0 + i C o s e r
' 1 + Sen e - i C os e '
2 k ) y n n úm ero natural
e o s ; n ( « - e)] + i S e n r n ( £ - e)l
2
n
L
v2
n
=>
me +
y
z m= Cos
me - i S e n me
nem os
a)
zm+ y r =
2 C o s me
E je m p lo
10
J
b)
Si Se na + S e n ¿ + Sene = 0
dem ostrar qu e
Solución. S e a n :
t
z x= C o se - i Se n e
me
z m-
—¡ = 2i S e n
me
■
- 0) =
= 2 S e n (5 + e) c o s ( í . e ) + 2 i S e n ( i . e ) c o s ( i . e )
P o r se r com p le m e ntarios : C o s ( j +
i Sen
Por lo tanto , s u m a n d o y luego restando los e xtrem os d e a m b a s e cu a cio n e s obte­
D em ostración. S e a n : z = 1 + S e n e + i C o s e y w = I + S e n e - C o s e
<=> z = S e n y + S e n e + i S e n
z = C ose + i Sene y
zm= C os
) s Se n (j
'
t
)
y
C osa + C o sb + C o sc = 0 ,
S e n 3 a + S e n 3 6 + S e n 3 e = 3 S e n (a
+ b + c)
A = C o s a + i S e n a , B = C o s b + i Sen¿> , C = C o se + i Se n e
<=* A + B + C = C o s a + C o s b + C o s c + i (S e n a + S e n ¿ + Se n e )
Luego, si A + B + C = 0 ^
[ ( A + B ) + C ] ? = 0 => (A + B )3+ 3(A + B )2C + 3(A + B )C 2 + C 3 = 0
368
Capitulo 7: Números complejos
de donde : (A + B )’ + C ’ + 3 C (A + B) (A + B + C ) = 0 r=> (A + B ) ' + C ' + 3 C (A + B) (0) = 0
D e m od o que : (A + B)* + C- = 0 => A ? + B ; + C- + 3 A B ( A + B) = 0
t=> (OS =
+b+c) + i Se n (a +b+c)]
P o r igualdad de co m p le jos , lo m a n d o la parte im aginaria ob ten e m os
11
* 0 , luego : o)'*
b+
■
(o + 2Í02 + ......... 18(018 +
19(019
Por (1) , la e xp re sió n entre p arénte sis e s igual a cero , por lo q ue :
S(1 -0 )) = - 19(0,g <=> S =
19 (O19
co-1
:
+
m
19
(0-1
+ i z)6
b) lm(1 + iz )6 en su m a s, u sa n d o el Teorem a delbinom io de
N ew ton.
Ejemplo 13 ^
S im p lific a r
2
+
3 (2 )C o sG
(4 )(3 )C o s2 G
(2 0 )(1 9 )C o s1 8 6 sa b ie n d o q u e<?19i0 = 1
Solución, a) S e a 9 = 71/4 <=> i z = i ( C o s 0 + i S e n G ) = - S e n e + i C o s e
<=>
+ 1 = 0 (1)
R e sta n d o s e tiene : S - coS = (1 + <o + co: + . . . . + co17 + co,s) - 19(0W
c)
^Para z = Cis(7t/4), h a lla r: a) El m ódulo y el argum ento de (1
+ co'7 + ....+ (o
R e p re se n te m o s p o r : S = 1 + 2(0 + 30^ + .......... f9<olli
Del Teorem a de D e M o ivre y del producto de com plejos si sig u e que
C je m p lo
t=> (co -1 )(ü)ls + (O17 + ........... + (0 + 1) = 0
Por hipótesis w * 1 = * co - 1
(C os3a + C os36 + C os3c) + i (Sen3a + S e n 3 ¿ + Sen3c) = 3[C os(a
S e n 3 a + S e n 3 ¿ + S e n 3 c = 3 S e n (a +
Demostración. S i (0IV = 1 => (O19 - 1 = 0
(A + B = - C)
==> A , + B ' + C , = 3 A B C
369
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
A= 2 + (3)(2)CosQ
Solución. S e a n :
I + i z = (1 - S e n G ) + i C o s G = (Senrc/2 - S e n G ) + i Sen(rc/2 - Q)
= 2 Cos(3 + Í ) S e n ( i - f ) +2 ¡ S e n ( | . | ) c o s ( | . f )
B =
+
. . . . +
y e '" / 1
+ (4)(3)Cos2G + .......... + (2 0)(19 )C osI 80
(3 )(2 )Se n 0 + (4)(3)Sen2G + ...........+ (2 0 )(I9 )S e n l8 G
=> A + B i = 2 + (3)(2) (C o s 0 + i S e n 0 ) + (4)(3) (C o s 2 0 + i S e n 2 0 ) + .......... +
(20)( 19 )(C o s 180 + i S e n 180)
P o r se r co m p le m e ntarios :
Tom ando el com plejo unitario (0 = C o s 0 + i S e n 0 , p o d e m o s escribir
C o s ( y - ®) = Sen ^
A + B i = 2 + (3)(3)(0 + (4)(3) (O2 + .......... + (20)( 19) (Ol 8
« 1 + ¡ z = 2 Sen ( f - f ) [ c o s ( f + | ) + iSen(f ♦ § ) ]
Lla m an d o z = A + B i , d e b e m o s sim plificar la parte R e (z ) = A
Esto e s , si
T S e n h(7t/8) [Cis(97i/4)]
<=> (l + iz)6 =
z = 2 + (3)(2)<o + (co + (4)(3)co2 + . . . .
c = > ü )z=
P a ra G = k /4 s e tiene : l + i z = 2 Sen(7ü/8) [ Cos(3rc/8 + i S e n (3rc/8)j
<=> z -
(O Z
2(0 +
= 2 + 2 (2)
(3)(2)(02 + . . . .
(O
+ (20)(19)(o,s
+ (19)(18)(0IS + (20)(19)(O|y
+ 3 (2) (O’ + ............ + 19(2)(OIK - (20)( 19)Cü,,í
= 2 (1 + 2 (0 + 3(0-’ + ........... + 19(0,s) - (20)( 19)0)19
P o r lo q ue : M o d ( I + i z)ft = 26 [ '\j 2
) = (2 - V2)- = 20 - I4 \ 2
1Q
Por el Ejem plo 12 , la s u m a entre parénte sis e s S =
, y (o|y = e 19,0 = 1
A r g (l + i z)6 = 971/4 = 225°
=> (1 -(ú)z = 2 Í - ^ - ) - (20)(19) = - 38 (
\ (O - 1/
b)
( l + i z ) A= X
k =0
= X
ks O
( k ) ( l) k (iz )h k
= ¿
( k ) (gi(w:t0))ft' k =
l m ( r + i z ) A= X
k =0
(k )
\ ^
\ (0-1
I
2 = J80 ,
38
(0-1
((O -1 )-
(1)
'
(et*a ei*Y,’k
(O - 1 = C o s 0 - I + iS e n 0 = - 2 S e n 2 ^ + 2 i S e n
X
=
k =0
( k ) S e n ( 6 - k ) (ti/2 + G) = ¿
( k ) c o s ( 6 - k)G
2e'm S e n | (eM2) = 2 ( s e n
L u e go , en (1 ):
z =
C o s^ - = 2 i Se n ® (C o s^ - + i Sen
e W ' 0™
380e-Kwi+«w)
38 g'«**»)
2 Sen(0/2)
4 S e n 2(0/2)
(0-1
2 S e n (0/2)
Por lo que :
A _ R e (z) _ 380 Cos(7t/2 + 0/2) _ 38C o s ( ti + 0) = _ 380 S e n (6/2) +
E je m p lo
12
j
D e m o stra r q ue si (o19 = 1
y
oj
* 1 , e n to n ce s
1 + 2co + 3o)2 + .......... + 19(o18 =
2 Sen(0/2)
4 S e n :(0/2)
2 Sen(0/2)
3 8 C o s0
2(1 - C o s 0 )
19
CD - 1
de d o n d e o b te n e m o s
A = 19 ( 1 ■ - -Q-s 9 - 1)
v i - CosB /
■
370
Capítulo 7: Números complejos
C jc m p lo
14
]
<=> z* * 1 = C o s (k + 1)x + i S e n (k + 1)x
C o n sid e re m o s el com plejo z = C o s x + i S e n x
D a d o n e Z ’ , convertir a producto las s u m a s
a)
371
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
(q ) C o s n G + ( ^ C o s (n - 1)6 + ( 2 ) c o s ( n - 2)0 + ____+ ( p )
L u e g o , en (1 ): A + B i =
I
( J ) z k- '
= z
Z
k =0
b) ( o ) S e n n 0 + ( i ) S e n (n - 1 ) 0 + ( £ ) S e n (n - 2)0 + . . . + ( " )
( k ) ( l) n' k z k
k=0
Por el binom io de N ew ton :
A + B i = z (1 + z)"
E n el Ejem plo 14 ob tuvim os :
Solución. S e a n
:A = (q ) C o s n 0 +
C o s (n - 2)0 + ( " ) C o s (n - 2)0 + . . . + ( " )
(e'nxp-)
(1 + z)" = 2" C o s " ( 4 ) [ e o s p 2 L ) + i S e n ( ^ - ) ] = 2” C o s "
iB = i( | ] ) s e n n 0 + i ( 'i ') c o s ( n - 1)0 + i(^ !)S e n (n - 2)0 + . . . i( ^ )
<=> Z(1 + z)n = (e")2 n C o s n ( y ) (<,’•"v-) = 2 nC o s " ( 4 )
ie ,{n*')%n)
=> A + i B = ( (nJ (C o s n 0 + iS e n n 0 ) + ( " ) [C o s(n - 1)0 + i S e n (n - 1)0] +
A = R e [ z ( 1 + z )"] = 2" C o s 11
Cos
x
■
( " ) [C o s(n - 2)0 + i S e n (n - 2)0] + . . . . + (J¡) (1 + i)
X (k)
=
k)0 + i S e n (n - k)0]
[C o s(n -
E je m p lo
k=0
16
J
D a d o n e Z* , convertir a producto la su m a
C o s 2x + C o s 23 x + C o s 25 x + . . . . + C o s 2(2n - 1)x - ^
T o m a n d o el com plejo unitario z = C o s 0 + i S e n 0 <=> z " ' k = C o s ( n - k) + i S e n (n - k)
E n ton ce s:
A + iB =
Solución. B a s á n d o n o s en la identidad : C o s x = -^ (1 + C o s 2 x) , la s u m a d ad a se
£ (£ ) z " 'k
Ka 0
p u e d e escribir
P o r el binom io d e N ew ton : ( z + l ) n = X
( k ) z n' k ( l ) k = X
k=ü
E sto e s
( £ ) z n-k
n •
k=0
I C o s :(2k - l ) x k= 1
:A + i B = (z + 1)" = ((1 + C o s 0 ) + i S e n 0 ] n
= |^2 C o s : ® + 2 i S e n C o s ®
=
Jn
= j^2 C o s ® ^ C o s ^ + i S e n
H= i
/
2
=>
J0
¿
n
[1 + C o s (2 k - l)2 x]- J1 =
*1 + 1
X
^
¿
C o s - ( 2 k - l)x -
k=I
=
A X
¿
L
C o s ( 2 k - l)2 x
(1)
k=I
C o n sid e re m o s el com plejo unitario z = C o s 2 x + i S e n 2 x =
2nC o s n(0/2) [C os(n0/2) + i Sen(n0/2)]
P o r lo tanto: a) A = R e ( z + l ) " =
2" C o s " ( ® j C o s ( A p j
b) B = Im ( z + 1)" =
2n C o s " ( ^ ) S e n ( A p )
y se an :
n
X
A=
C o s(2 k -l)2 x
y
B=
k=l
X
S e n ( 2 k - I) 2 x
k =1
n
,
■
■=> A + i B =
n
X
[C o s (2 k - l)2 x + i S e n (2 k - l)2 x] =
k= I
A
A+
C onvertir a producto la su m a
C osx + ( ^ C o s2 x + (2 ) C o s3 x + . . . . +
o
/l-z-"\
[ jT ^ l ~
X
k= I
T e n e m o s u n a serie geom étrica de razón
15 j
C o s(2 k - l)2 x -
2 k = i
n
E je m p lo
X
n
z :k, = z
X
z 2(k,>
k= I
z- , lu e go :
r I * C o s 2 n ( 2 x ) - i S e n 2 n (2 x)"|
I - C o s 2 (2 x) - i S e n 2 (2 x)
ZL
J
C o s (n + 1)x
T 2 S e n (2 n x) - 2 i S e n (2 n x) C o s ( 2 n x) "I
“Z L
Solución. S e a n : A =
X
(£)cos(k-l)x
k =0
o A
+ Bi =
y
B=
X
k=o
£
2Sen:2 x - 2 iS e n 2 x C o s 2 x
J
(k)sen(k+l)x
( k ) [ C o s ( k + l)x + i S e n ( k + l)x ]
T - 2i S e n 2 n x ( C o s 2 n x + i S e n 2 n x ) ~| = ( S e n 2 n x ) (C D s 2 n x
L - 2i S e n 2 x ( C o s 2 x + i S e n 2 x )
J
\ Sen2x /
(1)
E nton ces: A = Re(A + i B) = ( f S g a ) C o s2 n x =
+ iS e n 2 n x )
372
L u e g o , en
a
(1): X
'
k .i
C o s :(2k '
1) - H
’
2
f - 2 i S e n n x ( C o s n x + i S e n n x ) ~1 _
=
S ®n4x
4 Sen2x
~Z L
= (
Ejemplo 1 7
j
373
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
Capítulo 7: Números complejos
J
- 2i S e n x ( C o s x + i S e n x)
e n x ~ ) gKn<l>> ^
M>r S e n n x (en‘x) "l
L L
S e n x (e 1*)
J
A = R e (A + i B ) = ( ^ e n x * ) C o s (n + O x
(2)
C onvertir a p roductos
Por hipótesis : (n + l)x =
1 - ( ' 11) C o s 2 x + ( 2 ) C o s 4 x - ( 3 ) C o s 6 x +
L u e g o , en (2 ):
X
Solución. S e a n : A =
(-l)k ( £ ) C o s2 kx, la s u m a dada, y B =
k = <>
X
d e m o d o q u e A + iB =
n <=> n x = 7i - x ■=> S e n n x = Sen(7i - x) = S e n x
. . + (-1)" ( " ) C o s 2 n x
X
A = ( ^ f -n-n— ) C o s
*oG n x •
( -l)k ( k ) S e n 2 k x
k =o
Por lo tanto
(-l)k ( k ) ( C o s 2 k x + i S e n 2 k x )
, en (1 ):
n = -1
n
X
i
Sen-’ k x = -y - — (-1) =
k= I
¿
i
■
-
(1)
k=0
C o n s id e ra n d o el com plejo
z = C o s 2 x + i S e n 2x , s e tiene
Lu e go , en
(1):
X (-l)k(k) zk = X
A + iB =
k =o
y por el binom io de New ton :
Solución.
(¡J) (-z)k(1)n k
S e a el com plejo unitario z = C o s x + i S e n x , d on d e x = 27t/n
F o rm e m o s el com plejo A + i B en función del com plejo z , de m odo tal
k =«o
A + iB = ( - z + l ) n
(2)
que s i :
A = Cos
A h o ra , 1 - z = 1 - C o s 2 x - iS e n 2 x = 2 S e n 2x - 2 ¡S e n x C o s x = - 2 iS e n x (C o s x + i S e n x )
=> I - z =
C alcular: Cos ( l ? ) + 2 Cos ( t ) + ............ * (n ' 1) Cos
Ejemplo 1 9
qu e : z k = C o s 2 k x + i S e n 2 k x
x + 2 C o s 2x + 3 C o s 3x + ........ + (n -
B = S e n x + 2 S e n 2x + 3 S e n 3x + ........... + (n -
2(e M1) S e n x (<?»*) = 2 S e n x (<?'<x■w:>)
A + i B = 2n S e n nx (e
<=>
P o r lo q ue , en (2 ):
A = R e (l - z)n = 2n S e n "x C o s n(x -
n/2)
A + iB =
z + 2 z ! + 3 z -’ + ........ + (n -
z (A + i B) =
■
l )C o s(n - l )x
I ) S e n (n - l )x
I )z" ‘ 1
z 2 + 2 z- + .......... + (n -2) z n’1 + (n - 1)zn
R e sta n d o a m b o s e xtre m o s de la s d o s ig u a ld a d e s o b te n e m o s
(1 - z) (A + i B) = z + z 2 + z- + .... + z n' 1
E je m p lo
18^
D e m o stra r que si (n + 1)x =
n , co n n entero m a y o r que uno
,
n*
1
- (n - 1)zn
= z (l + z + z 2 + . . . . + z n 2) - ( n - l) z n = z
e n to n ce s S e n 2x + S e n 22 x + S e n 23x + . . . +
S e n 2n x =
2
de d on d e :
A + iB =
D em ostración. S e g ú n la identidad , Sen-’x = ( I - C o s 2 x ) , la s u m a d a d a s e puede
n
n
Sen-’kx =
X 1
k=i 2
n
Sean : A =
.~ ^ Z
1- z
0)
n
(I - C o s 2 k x ) = -£ - Jr X C o s 2 k x
2
2 k= i
(1)
x 7
,B =
X Sen2kx
k= l
2iSenCos
y el com plejo unitario z = C o s 2 x + i S e n 2 x
n
= X (C o s 2 k i + i S e n 2 k x ) =
k= I
n
X
k= !
(2)
z - 1 = C o s x - I + i S e n x = - 2 S e n :(x/2) + z i Se n (x/ 2) C o s(x/ 2 ) =
n
X C os2 kx
k= l
=> A + ¡B
(1 - z ) 2
Zz ~ ) • ( n - l)z n
P a ra x = 2n/n s e tiene q ue , z n = 1 . L u e g o , en (1 ): A + i B =
e scrib ir
X
k=i
-r.:- Zy -
'
+ i Sen
J
= 2 (e,K/2) S e n | [í?ix/2] = 2 ( S e n A ) <?'<"2 • x/2>
n
(z )k = z
X
k=I
z “’ 1
= z ( * , * zn)
\ 1 -Z /
_ 2 / 1 - C o s 2nx - i S e n 2nx \ _ z / 2 S e n nx - 2 i S e n nx C o s nx \
\ I - C o s 2x * i S e n 2x /
V
2 Se n -'x - 2 i S e n x C o s x /
L u e g o , en (2 ):
a
w
A + i B = ( — n/
)
\ 2 Sen(x/2) I
e 'm l * v2)
■■■ A ■ Re(A + ' B>= ( 2 l f e ) Cos ( f + ! ) = ( i s i f e ) (•Sen f ) “ - f
■
374
Capitulo 7: Números complejos
E je m p lo
20
J
H allar la s s u m a s : a)
1 - ( ^ ) + ( ^ ) - ( g ) + ..........
375
EJERCICIOS : Gmpo-42
6.
S i z = re'*’ , d em ostra r q u e la parte real de \ z
+ \ z e s 2 a/r
Cos ^
7.
D e m o stra r que cualquiera qu e s e a el com plejo unitario z , e nto n ce s
.
k = 0 ,1 , 2 ...........n - 1 . A d e m á s , hallar la parte real de \ 1 + h 3 + >/1 - i \ 3
b> ( í ) - ( n
3) - ( n
5) - ( n
7) - - - Solución. S e a el núm ero com plejo : z = I + i = V2 C is (7t/4 )
l z * 2 2 l = 2 |S e n ( —
P o r el teorem a del binom io : ( l + i ) n =
X
(k)
)|
( l ) " ‘k (i)n
k=0
8.
« o ♦ ir - (S)i-♦ (?) ¡ ♦ (n
2) ¡! ♦ (",) i’ ♦ (") * (?) i*♦ (n
6) i- ♦ (?) ¡’ ♦ . . .
9.
D e m o stra r q ue : e‘8(1
-e 'u) = ¿ " "( 1 -e ,a)
S i \|/ e s el á n g u lo c o m p re n d id o entre d o s v e c to re s q u e re p re sen ta n
co m p le jos z y w , d em ostrar qu e : z w + z w = 2 | z w | C o s
■
..........
0
=> R e (, + ¡)» -
10.
- { » ) ♦ (1 ) - ( " J ♦ . . .; Im (1 + ¡)"- ( ? ) - (",) ♦ (",) - (<]) +
Pero: Re( 1 + i) = V2 Cos(rc/4) ^
R e ( I + i)n = 2 nQ C o s
(nn /4)
S e a z = x + y i un nú m e ro com plejo
a)
S i z = -1 , d em ostra r q ue no existe un n úm ero real t tal que z =
b)
S i z * -1 y I z I = 1 , hallar el núm ero real t tal que z =
Im (l + i) = V2 Sen(n/4) => lm (l + i)n = 2 n/: Sen(n7t/4)
P o r lo tanto : a)
11.
S i z = 3 + 4i y w = 2 + 6i, hallar el c o se n o
12.
Sean n e
) + ( " ) - ( " ) + ............= 2 n/: C o s (n 7ü/4 )
1*
b> ( 7 ) ' (
3) + ( 5) ~ ( 7) +
• • • • = í 1"1* S e n (nn/4)
E J E R C IC IO S : Grupo 42
1.
\
1
\ * *!
1 - 11
- 11
del ángulo com prendido entre (z - w) y z
V y a e R ; d em ostrar que
(1 + C o s a + i S e n a ) " = 2 n C o s "
13.
a lo s
\\i
|Cos
+ i Sen ( ^ ) J
A n a liza r la ve rdad o fa lse d ad de
a)
S i (o3 = 1 , ü) * 1 , n e Z
b)
S i a)
<=> o)3n + w 3n * 1 + co3n ♦2 = 0
* 1 , co5 = -1 ■=> o)4 - ü)3 + o)2 - ü) + 1 = 0
14.
S i z = 1 + i \ 3 , hallar R e ( z 20)
15.
S i A = { z e C I I z + 2 - 2 \ 3 i I < \ 2 } ; hallar z, e A de m ódulo m áxim o , z 2 e A de
^ +
Escribir en form a e x p o n e n c ia l: z =
(-1 + i \ 3 ) (4 - 4i)
a rg u m e n to m áxim o.
a + b i de z
2.
C alcu lar y e x p re sa r el resultado en la form a
3.
E x p re sa r C o s 4x en térm inos de C o s 4 x y C o s 2 x
4.
E x p re sa r -^ -n-5 - en térm inos só lo de p oten cia s de C o s x
Sen x
17.
H allar R e (z ) , lm (z) , tal que : (z + i)n = i z n ,
5.
R e so lv e r la s e cu a c io n e s :
18.
Sim p lifica r: (1 + i T g x )n + (1 - i T g x )n
19.
D e m o stra r que to d as las ra íce s de la ecu ación
16.
S e a A = { z e C 11/5< I z I < 1 ,71/8 < A rg (z ) <
tc/3 }
, B = { z € C I z e A }. Graficar
D = { i z e C I z e B } , y determ inar la form a polar de z e D de m ódulo m áxim o y
a rg u m e n to m ínim o.
a)
z 3 - — J -' 1 = 0
i\ 3 - 1
c)
(- 4 V 3 - 4) + i (4 ^ 3 - 4) = ^ _ ¡
s o n re a le s y distintas.
b)
(z + 1 - i)3 = 1
n eZ*
d) (i z - 1 )2 - z2 = 0
20.
Si z + 1 = 2 C os
, c a lc u la r: z 9 +
(^
Z )' =
, n e Z*
376
E n b a s e a las e x p re sio n e s de (1 + ¡)n
a)
a)
b)
U s a n d o lo a n te rio r, c a lc u la r :
- ( 1y ) + ( 1g )
D e m o stra r que :
•>
C o s x - ( y ) c o s 2 x + ( £ ) C o s 3 x - ............. + (*1)n ( p ) C o s (n + 1)x
(?:K " )
b) S e n x - ( " ) S e n 2 x + ( 5 ) S e n 3 x - .......... + (-1)n ( ¡ } ) s e n ( n + 1)x
30.
Hallar la s u m a
31.
D e m o stra r q ue :
(S) + . . . . = 1
+ 1
d
ro
(♦ (i)
1+
1+
<=> ( 3n :
("o
( i 1,
) ♦ . . . .
bGn X
c.
0
,
o
o __ 2r*v
n
C o s ( n + l)x S e n n x
S e n 2x + S e n 22 x + ......... + S e n 2n x = — ------------ — ----------------
. = 1 |^2n- 1 - 2 n/2S e n ( M ) ]
c o 6 l*l X
¿L
. 2 n'2 C o s ( — ■)]
32.
) + ...
S e n 2x + S e n 23 x + S e n 25 x + + S e n 2(2n -1)x
( ™) ]
|^2n' 1 + 2 n'2 S e n
= 1 ^2 "
:
. ~
~
. o
n
. C os(n+l)x Sennx
a) C o s 2x + C o s 22 x + .......... + C o s 2n x = — + ------------ — « ---------------
•
b)
cr
377
Grupo 42
D e m o stra r que
(S )'+ 1(?) • (2 )-¡ (S) ■♦ O * ■ • • ' - 2“’ [Cos ( x ) +¡ Sen ( t ) ]
22.
EJERCICIOS .
.
21.
Capitulo 7: Números complejos
D e m o stra r que :
a)
C o s 3x + C o s 32 x + ........... + C o s 3n x =
3 C o s(ü f-!)x S e n (^ )
23.
Hallar la s u m a :
24.
D e m o stra r que
a)
25.
1+
(!!)♦
(r!)
• K
("!
«>
(SK
)
(S) *[ :n9 )
1+
4 S e n (x/2)
b)
- -
l + G) l + l[ ? ) + (io) +
*>
3) + ^ (5 ) * 27 + ( 7 ) + • • • • •
(S)
. .=
1
;[2 » + 2 C o s(n32) * ]
33.
--------= 1 [ 2 " + 2 C
o s (ü ^
)
Cos
*
x
4 S e n (3 x / 2 )
(n + 1) C o s n x - n C o s (n + 1) x -1
4 S e n 2(x/2)
b) S e n x + 2 S e n 2 x + 3 S e n 3 x + .......... + n S e n n x =
+ C o s x + C o s 2 x + C o s 3 x + .......... + C o s n x =
Sen (
)x
— - — - = --------S e n (x / 2 )
(n + 1) C o s n x - n S e n (n + 1)
4 S e n 2(x/2)
34.
Hallar la s u m a : S e n x - S e n 2 x + . . . . + ( - 1 ) " * 1 S e n n x
35.
D e m o stra r que :
S e n (í^ - ^ h
Hallar la su m a
a + C o s(d + & ) + . . . . + C o s (a + ní>) = — - — -f=— —
a)
Cos
b)
S e n a + S e n (a
S e n a - S e n (a + x) + S e n (u + 2 x) - ..........+(-1)n' ’ S e n [a + (n - 1)x]
28.
Sen ( ¿ M )
D e m o stra r qu e :
j i]
D e m o stra r q u e :
1
27.
(* 2 )
a) C o s x + 2 C o s 2 x + 3 C o s 3 x + .......... + n C o s n x =
D e m o stra r qu e :
2
Sen
4 S e n (3x/2)
3 C os ( ^ ) x Sen (^ - )
[2 - + 2 C o s ( M ) j
S e n ( S ± ! ) x S e n (— )
S e n x + S e n 2 x + S e n 3 x + ..........+ S e n n x = ------------------------------- —
Se n (x / 2 )
26.
+
x
S e n 3x + S e n 32 x + .......... + S e n 3n x =
4 S e n (x/2)
. . . . -
Cos ([*¡± 1 )
Hallar la su m a
Sen(o/2)
b
,
Cos
(a +
'
S e n í^ -^ ) b
+b) + . . . . + S e n (a + n ¿) = — sen(fe/2)— ^ e n ( a +
¿'
,
S e n x + ('j’) S e n 2 x + ( 2 ) S e n 3 x + .......... + (n ) ^ e n (n + 1)x
29.
Hallar las s u m a s :
36.
D a d o n e Z , d em ostrar que : 1 + Z (k ) ( ^ o s- ^ x ) = X (k ) 2 " - ,t C o s f ^ W x
k= l
' C o s kx /
k=0
' 2 '
1
É
^
7
379
Capítulo 7; Números complejos
378
I
e ‘° \ n
[ S u g e re n c ia : D e sarrollar 11 + — — - 1 ]
'
uos 0 •
37.
H allar el valor de la su m a :
S=
X p (~1)* ( k ) ( C o s ^ x *)
[ Su g e re n c ia : eis = C o sx (1 + i T g x ) ]
n
38.
U s a n d o n ú m e ro s com plejos , convertir a producto :
n
39.
40.
C a lc u la r: X C o s ( 2k7t ] x . ( s u g e r e n c ia : H a ce r
k= i
\ 2n + 1/
'
R e so lv e r la ecu ación en C : ( “
7 j)
+ (*
u=
2 tí
2n + 1
= 2 Cos a
MOTRICES
I
A
u= ( ^ 7^) )
R e so lv e r la ecu ación : (1 + z)5 = (1 - z)5
42.
D e sarrollar en s u m a s y p rod u ctos :
43.
Hallar el valor de la s u m a :
44.
\
, y m ostrar que
to d as las ra íce s s o n im a gin a ria s puras. ( S u g e re n c ia : H a c e r
41.
r
X
k = 1 Sen O r T T )x
X
k =1
8.1 J IN T R O D U C C IO N
Rt’(6,ie - i)n
L a resolución de siste m a s de e c u a c io n e s lineales m ediante la s técnicas
(- 1 ) * C o s 3( ^ ^ - )
' 51 /
u su a le s de sustitución y de m ultiplicación y su m a , s e dificulta en la m edida en que
aum enta el núm ero de variab le s y s e com plica a ú n m ás, si e s el c a s o q ue el núm ero
H allar el valor exacto de
de variab le s difiere del n úm ero de e c u a c io n e s q ue co nfo rm an el sistem a. D a d o que
<^f3)” ( 1° ° ) - (^3)” (1° ° ) + (V3)“ (1° ° ) - ^Í3)” (1° 0 ) + ______
1
[S u g e re n c ia : D e sarrollar ( v 3 + i)100]
45.
el conjunto solució n de un siste m a s e obtiene op e ra n d o lo s coeficientes y las c o n s ­
tantes num éricas, sin n e ce sid a d de reiterar la escritura de la s variables, p o d e m o s
se ña lar que el establecim iento de ciertas relaciones aplicab les a conjuntos num éri­
D e m o stra r que :
c o s facilitará con sid e rablem e nte el proceso. E n tal sentido el estudio de las matri­
2 "C os (¡3 ) = (g )
. ( " ) (3) + ( J ) (3)= - ( g ) (3)’ + -------- + ( " ) (3 r
I
ces, c o m o un concepto del álgebra lineal, n o s ofrece la alternativa de resolver los
siste m a s lineales aplicando las té cn icas que s e d e scrib e n en este capitulo.
sie n d o n un núm ero entero positivo múltiplo de 4. [Su g . D e sarrolla r (1 + i \ 3 ) n]
46.
S e a P (z ) = z n - z n 1 + z n' 2 - z n 3 + . . . . - 1 , n im p a r , z = C isG , z * -1
8.2 ) D E F IN IC IO N
Hallar la form a polar de P (z). (S u g e re n c ia : U s a r cocie nte s notables)
U n a matriz e s un arreglo rectangular de n ú m e ro s reales o rd e n a d o s en filas
47.
T ra n sfo rm ar a producto : a)
0
48.
49.
X ( k ) (_ 1 ) C o s k 0
k=0
D e m o stra r que : X T g (k x ) S e c ( 2 k x ) =
M
k=i
í
X ( k ) H )k S e n k 0
k= 0
b)
o colum nas.
S o n ejem plos de m atrices los sig u ie n te s arre glos
\
"2
S e n 2 n ~J
C os 2nx C osx
S in u sa r inducción m atem ática , d em ostrar que : ^ X k C o s ( ^ - ^ ) =
^
-3
s
VT"
0
I
-4
I
10
5
,
| S e n a C o s (i T g a ]
,
2a
-b
3c
\
380
Capítulo 8: Matrices
381
Sección 8.4: Igualdad de matrices
L a s m atrices s e denotan, con letras m a yú scu la s, tal c o m o A , B , C , etc. El conjunto
Ejemplo 1 j
Escribir explícitam ente la matriz
de e le m e ntos o co m p o n e n te s de una matriz s e encierra entre p aré n te sis o co rch e ­
A=[<ge
tes y en lo s c a s o s en que no s e u se n ú m e ro s re a le s e spe cífico s, s e denotan con
a)
letras m in ú sc u la s su b in d ic a d a s : a ij 5
,b 11 *,c 11 ’, e s decir
b) B =
[b.j] e K 3* 3 |¿t| = m in ( i, j)
c) C = [ c j € K 2«4 |c„-=i8 + j
f.
a «2
au
Solución.
a ,,
a.,
E scrib ire m o s las co m p o n e n te s de c a d a matriz s e g ú n el orden que tie­
nen y s u correspondiente definición dada.
a)
a = (<g
a u = 2(1) - 1 = 1
fl,, = 2 ( 1 ) - 2 = 0
fl„ = 2(1) - 3 = -1
a n = 2(2) - 1 = 3
a,, = 2 ( 2 ) - 2 = 2
fl„ = 2 ( 2 ) - 3 = 1
A =
I
0
-I
3
21
bu = m in(] , I) = I
br = m in(l , 2) = I
= m in (l
,3) = 1
co m p on e n te y el s e g u n d o la co lu m n a co rre spo ndie n te ; a s í , el elem ento a32 ocupa
= m in(2 , 1) = 1
b:: = m in(2 , 2) = 2
= m in(2
,3) = 2
la tercera fija y la s e g u n d a colum na. E n ge ne ral , el elem ento a,( o c u p a la intersec­
6?|= min(3 , 1) = 1
bn = min(3 , 2) = 2
b}} = m in(3
,3) = 3
b)
L o s s u b ín d ic e s de un elem ento indican . el prim ero la fila en la q ue e stá la
ción de la i-ésim a fila y la j-ésim a colum na.
1 1 1
I Nota.
S e d eb e d estacar qu e una matriz e s un arreglo y c o m o tal no tiene un
valor numérico.
.-. B =
c)
8 . 3 ) O R D E N D E U N A M A T R IZ
c M = 12 + I = 2
c :, =
2- + 1 = 5
El orden o dim e nsió n d e una matriz e stá d a d o por el producto indicado m x
1
2
2
1
2
3
cr = l 2 + 4 = 5
,
c¡2 = I 2 + 2 = 3
Cn = l 2 + 3 = 4
,
,
c22 = 2: + 2 = 6
C,, = 2‘ + 3 = 7
, c,4 =
.-. C =
n, d ond e m indica el núm ero de filas y n el n ú m e ro de co lu m n a s. P o r ejemplo:
2
3
4
5
4
6
7
8
2~ + 4 = 8
r
A =
B =
1
1 2
f
2
-I
1
*8
4
10
5
3
)
e s un a matriz de orden 2 x 3
e s u n a matriz d e orden 2 x 2
8.4 ) IG U A L D A D D E M A T R IC E S
S e dice q ue d o s m atrices A y B s o n igu a le s si s o n del m ism o orden y s u s
co m p o n e n te s co rre sp o n d ie n te s s o n ¡guales, e s decir, si la s m atrices s o n idénticas.
El conjunto de m atrices de orden m x n, co n coeficientes en K (K p ued e se r R o C),
Form alm ente
s e denotará K :nitn, e s decir
(1)
K "-" = (A | A
A sí, en lo s e jem plos anteriores :
A e K ' 1-’ y
B e K !,:
Si A no e s igual a B s e nota : A
*B
382
Capitulo 8: Matrices
Ejem plo 2 J
S e a n las m atrices
x -y
B =
Solución.
V.3 x - Jy
A =
Sección 8.6: Suma de matrices
383
A m x, n e s c u a d ra d a <=> m = n
(at J e K J x í I ü i| = 2 ’ - ( - 1 ) 1 y
E n este c a s o s e dice q ue A e s u n a matriz de orden n x n y s e le representa por
1
3 y
; hallar los valores de x e.y de m odo que A = B
A n> y al conjunto de m atrices c u a d ra d a s s e le den o ta por K n.
au
D e te rm in e m o s los elem entos de la matriz A
P o r ejem plo , A =
a I1 = 2 '- ( - l ) l = 2 + 1 = 3
; a r = 2 ' - (-1): = 2 - 1 = I
a,, = 2 2 - ( - l ) l = 4 + I = 5
; a::
'3
Luego , s i : A =
f x -y
1 ’
5
3
3x - v
- 2 2 - ( - I) 1 = 4 - I = 3
t1 "v
3
O B S E R V A C I O N 8.1
<=> (x - y = 3)
R e so lv ie n d o el siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s : x = 1
a
an
a 23
an
«33
e s u n a matriz d e orden 3 (A e K ’)
,
E n u n a matriz cuadrada, la
(3x - y = 5)
, y = -2
«.2
diagonal principal e s u n a línea
form ada por los ele m e n tos
a w * a n > a n .................... a nn
■
Traza de una m atriz
O B S E R V A C I O N 8.2
8 .5 ^ ) T I P O S D E M A T R I C E S
L a s u m a de lo s e le m e n tos de la d ia go n a l principal de una
M a triz R e c t a n g u la r.
La matriz de orden m x n, co n m ^ n , recibe el nom bre de
matriz rectangular.
11
P o r ejemplo, A =
2
2.
M a triz Fila.
5
0
4
-3
matriz fila o vector fila. Por
D a d a s d o s m atrices A = [ a ij]mxn y B =
La matriz de m filas y un a c o lu m n a recibe el nom bre de
otra matriz C =
Esto e s
________________________________________
A + B = [ flj + [
U n a matriz c u y o s elem entos s o n to d o s n u lo s , e s d e c ir , a ¡f = 0 ,
V i , j , recibe el nom bre de
P o r ejem plo A =
5.
M a triz C u a d ra d a .
ío
0
ol
0
0
0
bti] = [
+ &„]
A =
2x -1
y
, B =
^ 5 -y
2 -x
x + 1
2
Hallar A + C , sa b ie n d o q u e A = B
e s una cero de orden 2 x 3
matriz cuadrada. E sto e s ,
(2)
S e a n la s m atrices
matriz cero o nula.
La matriz que tiene el m ism o n ú m e ro de filas y c o lu m n a s se
llam a
3 J
co
M a triz C e ro .
E je m p lo
■
co
4.
e s una matriz co lu m n a de orden 3 x 1
[ b j mxn, s e llam a su m a de A y B a
Kn tal que
cij=aU
+V V
i •je{1*2«3...........n>
matriz
columna de orden m x 1.
P o r ejemplo , A =
at
8.6 ) S U M A D E M A T R IC E S
4) e s una matriz o vector fila de orden 1 x 4
3. M a triz C o lu m n a .
¿
ui
, e s una matriz rectangular d e orden 2 x 3
L a matriz de orden I x n s e d e n o m in a
I
s e d en o ta por Tr(A). E sto es, si
A = [ a J n => T r (A ) =
e je m p lo :
A = (2
traza. y
Solución. S i A = B <=>
2x - 1 = 5 - y => 2x + y =
=
{
3 - y = x + I =* x + y =
6
2
<
O
II
1.
matriz cu a d ra d a A s e llam a
-2
5 '
4
-1 ,
384
Capítulo 8: Matrices
r
R e so lv ie n d o el siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s : x = 4 , y = -2
7-(-l)
-2-4
5 -(-2 )'
3 -1
0 -3
1- 3
I N ota.
7
-2
-2
5
-i
2
4
-I
-2 + 5
' 7 + (-2)
-1 + 4
’ 5 3 '
3
2 + (-l),
\
8 - 6
7
ii
A- B =
A + C =
385
Sección 8.7: Producto de un escalar por una matriz
2
-3
-2
1
La adición de m atrices e s la ley de co m p o sició n interna qu e h a ce co rre s­
p ond er a d o s m atrices, del m ism o orden, s u sum a . S e denota
8.7 ) P R O D U C T O D E U N E S C A L A R P O R U N A M A T R IZ
D a d o s un a matriz A y un n úm e ro k e K , el producto de k por A s e define por
(A.B)
A + B
(3)
k A = k [ a u] = [k a (J]
P R O P IE D A D E S D E L A A D IC IO N D E M A T R IC E S
C a d a co m p on e n te de A s e multiplica por el e sca la r k
S i A , B y C s o n m atrices del m ism o orden, e n to n ce s s e cu m plen la s si­
Por ejem plo , si k = -2 y A =
gu ie nte s propiedades.
A, : A , B e K r’«n , (A + B) e kmxn
'
A 3 : A + (B + C ) = (A + B) + C
C on m uta tivid a d
kA =
A so c ia tiv id a d
A 4 : A e K ,n<n, 3 0 mxn |A + 0 = 0 + A = A
-I
-5
e n to nce s
' -2 (-2)
-2(2) '
A
, -2 (-1)
-2(-5),
, 2
Elem e nto in ve rso aditivo
D o s m atrices del m ism o orden s e llam an
E j e m p lo
4 j
C a lcu la r la co m b in ació n lineal de la s m atrices
1
conformables re s­
A =
pecto a la s u m a algebraica.
L a s m atrices del m ism o orden o co n fo rm a b le s respecto de
Solución.
i 1
i
y
1 -i
b
=
O b s é rv e s e que los coeficientes de A y B s o n n ú m e ro s com plejos, e n ­
que sujetan a los e le m e ntos que la s co m p on e n. (E sta característica permite d e m o s ­
trar la s p ro p ie d a d e s de la adición de matrices).
, si X = (1 + i) A + (1 - i) B
-i 1
tonces, por (3), s e tiene :
la s u m a algebraica, sig u e n la s m is m a s le ye s de la adición
X = (1 + i)
D iferencia de M atrices
I O B S E R V A C I O N 8.5
-A
10,
E le m e n to neutro aditivo
A 5 : A e K m,n, 3 (-A)e K m x n |A + (-A) = (-A) + A = 0
I O B S E R V A C I Ó N 8.4
2
C la u su ra
A2: A + B = B + A
I O B S E R V A C I O N 8.3
-2
1
i
1
-i
X =
+ (1 - i)
1+i
, 1+i
D a d a s las m atrices A y B del m ism o orden m x n , la dife­
i
1
'i + i
¡(1 + i f
-i
1
1+ i
-i(1 + ¡ ) ,
i-1
-i+1 ,
+
.
i+ 1
1-i
-i-1
1 -i j
rencia entre A y B e s otra matriz C, del m ism o orden, tal que
E j e m p lo
5 J
S e a n la s m atrices : A =
8 -1
3
c =^
4
'
i (1 - i)
1-¡'
k -i(1 - i)
1 -i,
+
' 2 + 2i
„
,B =
0
2
0
2 - 2i >
3
-1 -2
y c =
-1
n xn-[b ti]mtn = [ai r b ,fmxn
resolver la e cu a ción 3/2 (X + A ) = 2 [X + (2 B - C)] + A
P o r ejemplo, si A =
7 -2
5
3
1
0
y
b
=
-1
4
-2
1
3
3
, e n to n ce s
S o lu c ió n .
2
4 -3
Multiplicando por 2 am bos extremos de la ecuación dada se tiene:
3X6
Capítulo 8: Motrices
Sección 8.8: Multiplicación de matrices
í
3 (X + A ) = 4[X + (2 B - C)] + 2 A => X = A - 8 B + 4 C
2. S e a n la s m atrices:
L u e g o , por (3) y (2) s e tiene:
A =
387
~
x-2 y
x
>
3
x-y
' 2
,B =
y+4
3
y c=
4
' -2/3
“s.
-1
-2 '
0
y
S i A = B, hallar A + 3C.
\
,3
4
+
-2 4
-16
8
+
16 .
-4
8
16
-12
=> X =
-12
-17
r--
-1
C\J
8
X =
8,
3. S e a n la s m atrices
" 2x+1
2
x+2
-1
2y
8
x-2z
A =
.
E je m p lo 1 T |
X , Y e K 2x2t donde. A =
Solución.
hallar el valor .v y
R e so lv e r el siste m a de e c u a c io n e s : X - 2 Y = A, 2 X + 3 Y = B,
6
-3
7
4
y B =
12
8
-7
8
4. S i A =
’ 3
5
-2
1
4X+
de d ond e o b te n e m o s : X = 1/7 (3A + 2B) y Y = 1/7 (B - 2A)
3A + 2B =
B - 2A =
18
-9
21
12
12
8
8
-7
4*
24 16
-14 16
42
7
6
-14 -8
0
-1 2
+
-2 1
b
=
2
x+ y
z+3
-1
z-2x
z-5
6
-1
,B =
-2
7
4
-1
y c =
n
1'
10
5
J
, resolver la ecuación
2 (X - 2 B ) = 3 [A + 2 (X - 2B)J + C
5.
6Y = 2B
y
3 -2 y
z.
M ultiplicando por 3 la prim era e cu a ción y p or 2 la se g u n d a , s e tiene:
3X - 6Y = 3A
y *1
z-1
Si
A =
-3
5
2
2
B =
2
3
4
5
y c =
-7
3
2
-1
, re solve r las sig u ie n te s
e cu a cio n e s:
7 '
28
__K
Y —
—
w
A.
14
0
—/ Yi —
6
1
a) 3 (X - 2 A ) = 5 (B - C ) + 2 (X - A - B)
1
4
b) 3 (X - A + B ) = 2 [X - 2 (B + C)] - (X + C )
0
2
-3
0
6. S i A =
' 3
1
-2 '
-7
1
4
_ 8
3
6.
,B =
' 6
7
-5 '
8
4
-2
-1
9
/
y c =
6
3
12
5
k -1 14
1 .
-7 '
-6
resolver la
10 .
ecuación:
P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O D E U N E S C A L A R P O R U N A M A T R IZ
2 (X - 2 C ) = 3 X - C - 2 (A + 2 B - X)
S i A y B € K mxn, y /> y
q s o n n ú m e ro s reales, e n to n ce s
7.
Distributividad respecto a la s u m a de e sc a la re s
E 2 : (p + q )A = p A + q A
Distributividad respecto a la su m a de m atrices
E 3 : p (A + B) = p A + p B
E JE R C IC IO S . Grupo 43
1.
R e s o lv e r el sistem a: 2 X + 3 Y = A, 5 X - 2 Y = B , X , Y s K 2*2
A so ciativid ad e sca la r
E, : p(q A) = (p q )A
Escrib ir explícitam ente la s sig u ie n te s m atrices
a) A = [«,,]€ K 3x21a¡j = i + 2 j
donde, A =
-5
3
16
-6
y B =
16
-4 0 '
21
23
8.8 ) M U L T IP L IC A C IO N D E M A T R IC E S
C o n el objeto de co m p re n d e r mejor el p ro c e so de la multiplicación de d o s
matrices, v e a m o s el siguiente ejemplo.
b) B = [&M] 6 K 3*3 1 6,, = 2 1 - j
c)
C = [ci|] e K 3*4 1c (j = m ax (i, j)
d) D = [</„] e
K « U ,i =
2‘ -(-1 >
U n fabricante de m u e b le s produce tres m o d e lo s de escritorios que llevan
tiradores de metal y c h a p a s e sp e cifica d a s por la siguiente tabla:
3X8
Capítulo 8: Matrices
p it e s — M a S í í
A
C
B
8
6
4
Nrj de chapas
3
2
1
H aciendo u s o de la notación matricial, los d atos y resultado obtenido n o s e xp re sa rá
la m ultiplicación de m atrices del siguiente modo:
partes x modelos.
6
5
8
L la m a re m o s a este arreglo, matriz de
3
X
2
1
/
S i el fabricante recibe p e d id o s en el m e s de A g o sto , 15 del m odelo A, 2 4 del
m odelo B y 17 del m odelo C; y en el m e s de Setiem bre, 2 5 del m od elo A, 3 2 del
m odelo B y 2 7 del m odelo C.
Lla m are m o s a este arreglo, matriz de
✓
15
LO
C\J
Nu de tiradores
389
Sección 8.8: Multiplicación de matrices
24
32
17
27 >
=
332
500
110
166
\
O b s e rv a m o s de inm ediato qu e el núm ero de c o lu m n a s de la prim era matriz
es igual al n úm e ro de filas de la se g u n d a , y c u a n d o esto ocurre s e dice q ue las
modelo x mes.
m atrices s o n
S i el fabricante d e s e a sa b e r d e c u á n to s tiradores y c h a p a s d eb e disponer
conformables para la multiplicación.
M e d ian te re ctá ngulo s que sa tisfa ga n la condición de que el largo del prim e­
c a d a m e s para p od er atender los pedidos, d eb e e n ca ra r el prob lem a del siguiente
ro s e a igual al a n c h o del s e g u n d o p o d e m o s representar el producto efectuado en la
modo:
forma siguiente:
P a ra determ inar el n ú m e ro de tiradores req ueridos en el m e s de A g o s to se
partes x modelos
por el correspondiente elem ento de la prim era co lu m n a de la matriz modelo x mes,
su m a ría el producto de ca d a elem ento de la prim era fila de la m atriz
e sto e s
8 ( 1 5 ) + 6 ( 2 4 ) + 4 (17 ) = 3 3 2
\<—
/.
P a ra e sta b le c e r el n ú m e ro d e c h a p a s re q u e rid a s en el m e s de A g o s t o se
partes x
modelo por el co rre sp o n d ie n te ele m e n to de la prim era c o lu m n a d e la m atriz mode­
lo x mes, e sto e s
su m a ría n el producto de c a d a elem ento de la s e g u n d a fila de la m atriz
P a ra facilitar la co m p re n sió n del producto realizado delinearem os el siguiente
d iagram a
0
3 ( 1 5 ) + 2 ( 2 4 ) + 1(17) = 110
j-ésima
1 columna de ¡i
E n el m e s de Setiem bre el núm ero de tiradores se obtendría su m a n d o el
modelos por el corres­
pondiente elemento de la se g u n d a colum na de la matriz modelo x mes, esto e s
i
i
producto d e ca d a elemento de la primera fila de la matriz partes x
o -----------------------------
-ó
i-ésima fila de A
8(25) + 6(32) + 4 (27 ) = 5 0 0
Y para el núm ero de c h a p a s s e su m a ría n el producto de c a d a elem ento de
partes x modelos por el co rre spo n die n te elem ento de la
se g u n d a co lu m n a de la m atriz modelo x mes, esto e s
la se g u n d a fila de ¡a matriz
c.. elemento
h
de A x li
E n co n se c u e n c ia , u na form a práctica p ara efectuar la m ultiplicación de
m atrices s e p re se n ta en el e sq u e m a siguiente:
25
3 ( 2 5 ) + 2 (32 ) + 1 ( 2 7 ) = 166
32
C o n los re su ltad os o b ten id os p o d e m o s h a ce r el sigu ien te arreglo:
Agosto
Setiembre
N- de tiradores
332
500
N ? de chapas
110
166
Parles'----- Mcs,__.
27
--------3
2
i
J
500'
11°
166 /
Capitulo 8: Matrices
DEFINICION 8.1
Solución.
M ultiplicación de matrices
D a d o q ue A tiene d o s co lu m n a s y B d o s filas, e nto n ce s A e s conform able
co n B y el producto A B e stá definido.
S i A = Kjlm xp y B = [¿ ¡j]pxn* el producto de A
X
B, en
Em p lea nd o el m étodo del producto e sc a la r s e tiene:
este orden, e s la matriz C = [ct|]mxn c u y o s e le m e n tos s e obtienen de lo s e le m e n ­
i
(2.3)
tos A y B sig u ie n d o el desarrollo:
a)
cn = «n*i, + a¿ 2 i + - + üiP brt
P o r e sta definición c a d a elem ento de
391
Sección 8.8: Multiplicación de matrices
AB =
(1.2)
(4 )
ij de C e s la s u m a de lo s p roductos
fo rm a do s al multiplicar c a d a elem ento de la i-é sim a fila de A p or lo s ele m e n tos
co rre sp o n d ie n te s de B, esto e s
b)
j-ésim a co lu m n a de B
-2
(2.3)*
(2.3)
. 1 -
> 4
i
-2
(1,2).
4
(1.2)
1
2 ( 1 )+ 3 (4 )
2 (-2 ) + 3 (1 )
2 (3) + 3(2)
1 (1 )+ 2 (4 )
1(-2 )+2 (1)
1 ( 3 ) + 2(2)
-1
12 '
0
7
9
y
s
E n este ca so , B tiene tres c o lu m n a s y A d o s filas, lu e go B no e s conform able
co n A respecto de la multiplicación y por tanto B A no e stá definido.
i
K
■
R e c o rd a n d o el d esarrollo inicial para establece r la m ultiplicación de matrices, e s
evidente que el último e sq u e m a constituye un procedim iento m uy eficaz para calcu ­
lar el producto de d o s o m á s matrices.
i-ésim a fila de
A
-*
( a ...... a » )
>
if
E je m p lo
2 J Si A =
Si.
-1
3
4
3
1
0
’N
r
B =
J
12
0
15
\
s
-9
3
6
4 - 1 5
2
1
1
y c =
o bien
hallar la matriz
n
(5)
s o n vectores de R p; e n to n ce s el elem ento c i( de la matriz C
e s el producto e sc a la r de la i-ésim a fila de A por la j-ésim a c o lu m n a de B.
I O B S E R V A C I O N 8.7
E! producto de A B está definido si el núm ero de co lu m n a s de
A e s igual al núm ero de filas de B. S i el producto A B está
definido s e dice q u e A e s
conformable con B para la m ultiplicación. N o significa esto
que B s e a n e ce saria m e nte conform able con A respecto d e la multiplicación, toda
ve z que B A p u ed e o no estar definido.
E je m p lo
1 J
S i A = i 2
Y 8 =
4
1
2
’ hallaF:
^
A B ’ b) B A
6
8
4
O
S i A e K mxp y B e K ,,n, las c o lu m n a s d e A y la s filas de B
-2
+
-2
-4
0
-5
=
^
en
I O B S E R V A C I O N 8.6
Sea E = 2A - — - B =
3
CO
Solución.
co
r
y
V
m ; y = 1 , 2 , 3 , ... , n
I\5
1 = 1 , 2 , 3 , . ..
B
f
v
■*— u’ip ^pj
p= 1
2A - —
3
V
^ij
D =
6
0
2
-5
J
392
Capítulo 8: Matrices
i 8.9 ) P R O P IE D A D E S D E LA M U L T IP L IC A C IO N D E M A T R IC E S
393
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices
Ejemplo _ 3 ^
S i A, B y C s o n m a trice s c o n fo rm a b le s p a ra la a dición y
multiplicación, d em ostrar q ue A B + A C = A (B + C )
S i A, B y C s o n m atrices de d im e n sio n e s co n fo rm a b le s respecto de la su m a
y producto, e n to n ce s s e tiene:
M .1:
D em ostración.
A (B C ) = (A B ) C
L a d e m o s t ra c ió n re q u ie re q u e la s m a tric e s B y C s e a n
co n fo rm ab le s respecto de la adición y las m atrices A, B y A, C
A so cia tivid a d
respecto a la multiplicación. E n tonce s, se an: A = [ a j , B = [6k(] y C = [ckj]
M.2:
M.3:
f A (B + C ) = A B + A C
\
De la hipó te sis s e sig u e que:
Distributividad
(A + B) C = A C + B C
AB*BA
AB + AC
v
2.
=
n
(i, ) + S
k-1
M.4:
AB = 0 ^ A = 0 ó
B = 0
(a j (ckl)
k= I
n
=
M.5:
AB = AC ¿
M.6:
3 I € K n co n la propiedad de que para cu alq uier A e K n s e cum ple que:
B = C
II
<
H-«
<
M .1 : A ( B C ) = (A B )
(b^ + ck|)
X
(alk)
k= 1
= ( K J ) (í K +
(I e s la matriz identidad)
D em ostración.
^
AB + AC
])
= A (B + C )
■
C
E n efecto, s e a n A e K pxm, B e K mxn y C e K nxf, d efinid as por
Ejemplo 4 J
A = [« J. B =
(¿g
S e a la matriz
B =
' Cos x
Sen x
y C = [c j
- Sen x
S i A = B 2,
Cos x
n
Si B C = [ ¿ J
=>
d„ = I
y
=>
e lit = £
hallar el valor de a n
( ¡ y ) (c„ )
m
A B = [eik]
(a„) (¿>,k)
Solución.
A = B2 =
¡= i
E n c o n se c u e n c ia , si A ( B C ) =
ín dice s
(/.,] y (A B ) C
= [f.,]. e n to n ce s p ara c a d a p ar de
i, t s e tiene:
m
m
a 22, p ara x = 2 k / 3
Cos x
- Sen x
Sen x
Cos x
N
/
Cos x
-S e n x
Sen x
Cos x
C o s 2x - S e n 2x
-2 S e n x C o s x
2 Sen x C os x
C o s2 x - Sen2 x
n
/« = X K) («y = X (a.¡) X (6(0
i= 1
J = 1k= I
(O
C o s 2x
-S e n 2 x 1
S e n 2x
C o s 2x
= X X («,) (*,k) (cj
jal
ks I
n
m
= 1
1
k = 1 jc |
m
= 1
Luego:
H«,) (*,«)] (C„)
n
1
jal k = I
Ejemplo 5 J
K) = I
(C o s 2x) ( C o s 2x)
=
C o s 2 (4n/3)
=
(-1/2)2 = 1/4
D a d a s las m atrices: A de orden mxn, B de orden nxp y C de
orden rxq. Q u é co n d icio n e s sa tisfa ce n p, q y r para que las
n
K ",) M
a u ü22 =
(««) (<••»,)
m atrices s e a n co nfo rm a b le s respecto de lo s p rod u ctos que s e indican y cuál e s el
k= I
orden de c a d a u n a de las m atrices siguientes:
.• • / ,= *„ »
A (B C ) = ( A B ) C
-
a) A B C
b) A C B
c) A ( B + C )
394
Capítulo 8: Matrices
Solución.
a) S e a A B C = D => A
nxp
Ejemplo 7 j
_ít_
ti
Solución.
= 5 y A2 =
Hallar la matriz A e K2*2 tal que,
El producto A B e stá definido p u esto que el nú m e ro de c o lu m n a s de A e s igual
al núm ero de filas de B. Luego, para que D esté definida s e d e b e cum plir que,
395
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices
S e a la matriz A =
a
b
c
5
7
7
21
28
p = r, entonces:
N ú m e ro de filas de D = núm ero de filas de A
A2 =
=>
N ú m e ro de c o lu m n a s de D = n úm ero de c o lu m n a s de C
a
b
a
b
c
5
c
5
Si
a 2 + be
ab + 5b
ac + 5c
be + 2 5
-í
7
l 21
J
7 ’
28
P o r tanto, D e s una matriz de orden mxq.
P o r iguald ad de m atrices :
S e a A C B = E, entonces: A mxn
b)
B n xp
>*q
=
(1)
ab + 5b = 7
J t
Vz
a 2 + be = 7
E
El producto de A C B e s conform able <=>n = r y q = n
=* b =
S e a A (B + C ) = F, entonces: A mxn ( B ^ + C raq) = F „
(2)
a + 5
21
ac + 5c = 21 => c =
(3)
a + 5
y el orden de la matriz A C B e s E mxp.
c)
7
be + 2 5 = 2 8 => be = 3
(4)
P a ra que s e a p osible la s u m a B + C s e d eb e cum plir que: n = r y p = q
Su stitu ye n d o (4) en (1) ob tene m os:
Luego, si B + C = G => A ^ (G nxq) = F „
a 2 + 3 = 7 => a ! = 4 «
a = 2 ó a = -2
P o r tanto, el orden de la matriz F es: m xq
E n (2) y (3): P a ra a = 2 = > b = 1 , c = 3 ; si a = -2
Ejemplo
6^
D a d a s las m atrices
’ 2
A =
1 '
-1
3
5
-2
S i E = A B C , hallar la s u m a S =
Solución.
1
o
3
2
-1
-4
3
6
1 '
-1
4
5
2
1
2
'
y c =
S e a D = A B => D =
2
1
-1
3
S i E = D C , e n to n ce s c a d a elem ento
2
-1
3
2 -4
-2 ,
'3
=
^ 2
d l( c„
=
(5,
6, -6 )
«(3,
-1,2)
= 1 5 - 6 -
12
=-3
en = d 2(c ,3= (8, 4 , - 1 1 ) « ( 1 , 5 , 2 ) = 8 + 2 0 - 2 2 = 6
¿32
=
cH
=
(-1,
6,
8^
Hallar la matriz P = A B C D , d ond e
1 '
5
1
1
5
2 y
A =
1
1
2
/
0 '
-1
,B =
\
-1
1 0-1 2 0
2
1
1
0
.C =
3
e de la matriz E e s el producto interno de la fila
la matriz D por la co lu m n a j de la matriz C, e sto e s
=
6
- 1 4
be = 3, por lo que
A = |2
3
Ejemplo
1
3) • (6,
4. 1)
= -6 + 2 4 + 3 = 21
S = - 3 + 6 + 21 = 2 4
b = 7/3 , c = 7
/
eu + e23 + e3
. 5
i de
f
, B =
L a s e g u n d a alternativa no sa tisfa ce
=>
Solución.
1
-1
0 '
4 -1
0
1
r i
3
2
0 y
,D =
2
1
0 1 -1 'l
1 -2 2
0 1 0
S e tiene A 3x2 • B 2x5 • C 5x3 • D 3x4 = P 3x4
t_
‘
S ie n d o el p ro d u cto co n fo rm a b le , e fe c t u a m o s p rim e ro el p ro d u c to C D = E, lu e g o
B E = F y fina lm e n te A F = P.
Capítulo 8: Matrices
D =
' 1
2
0
1
0
l 1
1
-2
1
E je m p lo 1 0 J
-1 '
2
0 ,
Hallar todas las matrices, conm utativas co n la matriz
' 3
0
0
A =
1
-1
4
0
1
í 2
1
C =
1
0
k 3
1
0
0
-1
0
3
-1
2
0
1
2
0 1
o ,
f 1
A =
J
i¡
,
0
-1
-1
1
2
'
r 4
2
8
2
, 5
1
-1
4
0
1
0
6
-8
2
1
í 4
.0
-1
-3
8
12
-3
-1
2
1
8
-4
4
-3 '
4
1
f 4
4
8
S e a n las m atrices A =
C =
f 3
0
1
4
-1
2
6
1
2
3
0 1
4
y D =
-2
1
-1
4
r
0 '
-3
7
0
Solución.
-1 J
S e a n las m atrices B € K 3*3 tales que
3
0
0
i
3
0
0
a
d
b
e
c
f
kg
h
i
AB =
= P
/
3
, B =
k8
-2
6
10
-4
1 '
2 ✓
BA =
3
3a + d = 3 a = * d = 0 ,
D =
2
-1
-1 -1 0 2 4
4
26
0
18 14 11
2
3
3
1
4
-2
4
-6
-3
E je m p lo 1
3
A =
= E
c
f
\g
h
i
3
0
1
3
0
1
0
0
3
/
V
C =
-1
0
1
2
4
10
21
-2
0
6
-2
10
10
22
4
1
1
11
3
1
Luego, si P = EF , entonces:
_ 36
22, 1)
= 551
-2, 22, 1)
= 205
-2
S = 2(36) + (551) - 2(205)
= 213
3a + d
3d + g
3b + e
3e + h
3c •+ f
3f + i
3g
3h
3i
3a
3d
a + 3b
d + 3e
b + 3c
e + 3f
3g
g +. 3h
h + 3i
y
N
=
3b + e = a + 3 b = > e = a
3e + h = d + 3 e = > h = d = 0
a
b
0
a
b
0
0
a
,
3c + f = b + 3 c = > f = b
, 3f + i = e + 3 f = > i = e = a
,
3 ¡ = h + 3i=>h = 0
c
, d on d e a, b, c e R
Hal l ar to d as las m atrices de s e g u n d o orden, c u y o s c u a d ra d o s
s o n igu a le s a la matriz nula 0.
= F
Solución.
S e a n las m atrices A e K 2*2 tales que. A =
Si A 2 = 0
21, 10, 3)
=
3h = g + 3 h = > g = 0
2 - 1 0
6 -4
b
e
3g = 3g
B =
1
a
d
1
S e a n los p rod u ctos A B = E y C D = F
-2 10
a
d
C o m o A y B s o n conm utativas, e n to n ce s AB = BA, luego:
0
3
-2
S i P = A B C D , hallar S = 2 p 12 + p )3 - 2 p 23
B =
B =
= F
3d + g = 3 d = * g = 0
Solución.
0
1
3
9
}
-7 i
-1
3
4
1
3
0
= E
■N
2
2
1
397
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices
a
b
c
d
a
0
0
c
0
0
a 2 + be
ab + bd '
0
0
ac + de
be + d 2
0
0
398
Capítulo 8: Matrices
de donde:
a 2 + be
b ( a + d) = 0 «
a c + de =
c ( a + d) = 0 » c
0
b = 0 ó d = -a
= 0 ó d
(O
i
=I
¿
ka 1
i« i
y
c = 0
<*,k ¿ ,k
n
hA
te n d ría m o s nu e vam ente la
H a cie n d o u s o de la propiedad del Ejem plo 12 s e tiene:
matriz nula, por lo que d = -a.
A=
a
b
c
-a
Tr(A B)=I
bu au = I
( I
k= I
k= I
ja l
(</») = T r (D)
d on d e a, b y c s o n n ú m e ro s arbitrarios q u e 'sa tisfa c e n la relación a 2 + b c = 0
n
n
f
D e m o stra r la propiedad: £
D em ostración.
k= 1
i= 1
= -a
n
£
= I
S i en la s e g u n d a y tercera ecuación, b = 0
^
I
=
be + d 2 = 0
[ ejemplo 12
'
n
= 0
a b + bd = 0
399
Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices
X
U-»
= 1
i=l
“,
'
m
T r (A B ) = Tr (B A )
'
ejemplo 14 J
S e a n las m atrices A =
k Í= I
a) T r (A + B ) ,
E n efecto, d e sa rro lla n d o la p rim era su m a to ria d e s d e i = 1
-1
i
2
4
1
y B =
2i
; hallar:
i 1+i
b) Tr ( A B ) ,
c) T r (B A )
h a sta i = m, s e tiene:
’
m
'
( í, ‘ J
” n
=
.3
=
K ,
' n
’
+
a " .
+
a 32
+ C l 3 3 +
m
=
=
-
m
+
ia|
I
i= I
Ejemplo 13 j
. i
+ «12 + f l 13 + -
(«3,
I
ia 1
Í X
i= |
’ n
' n
I
+
a 3¡
... +
j=*
a
+
a
+
J
a J
+
+
K
~
+
22
a
+ <*23 + -
i
. i =1
+
a J
+ (flm, + «m2 + «m3 + -
m
+
+
'
Solución,
a)
+
b)
'-1
AB =
v.
+ O
+
i= 1
5 X
ia |
a.
c)
BA =
=
^mxm ^
1+i
' 1
1+i
2
4
>
2i
i
1+i
r -2
2i '
i
1
v
_
-1-i '
2+4i
4+8i
0
3i
2 +i
5+i
=>Tr ( A + B ) = 5+i
T r (A + B ) = -2 + 4 + 8¡ = 2+8i
y
2i '
'-1
"-1+4i
i '
k.
2+i
9i '
3+4i
T r(B A ) =(-1+4i) + (3+4i) = 2+8i
y
O b s é rv e s e que: T r(A + B ) = Tr(A) + Tr(B ) y T r(A B ) = T r(B A )
15 )
Si A = [
a . ]4x4
y
B = [
b%] 4x4, d o n d e
E n efecto, s e a n la s m atrice s c o n fo rm a b le s re sp e cto de la
^
=
I
k= I
(« * )
(& « )
=>
CM
n
m
i
'1
1, si i = j
a =
B mxn \ x
4
+
m
multiplicación A nxm = [ a, ] y B mxn = [ b j , de m odo que si:
C n*n = >
i '
2
i
D e m o stra r la propiedad: T r (A B ) = T r (B A )
D em ostración.
=
’ -1
«mi
ejemplo
An*n,B m*n
A + B =
(M
I
¡= i
^¡j = ^
=
I
k= I
-1, si i > j ,
0, si i < j
<*ik & k,
-1, si i = j
b. =
i
1, si i < j
.
H allar T r (A B )
0, si i > j
n
^
¡k)
^ k j)
^
^kk
= ^
1=1
^ k ¡ f l ik
Solución.
E scrib ie n d o explícitam ente ca d a matriz s e tiene
400
Capítulo 8: Matrices
'
A =
V
0
1
-1
1
-1
-1
0
0 '
0
0
-1
1
0
-1
-1
1
'
.B
=
>
N.
-1
1
1
1
0
-1
1
1
0
0
-1
1
0
0
0
-1
EJERCICIOS :
401
Gn<p<> 44
>
(h + 1 ) a h
- a 'h+1
a h*’
P (h + 1 ) = A *-’ =
k 0
e s verdadera.
En efecto, va lié n d o n o s de la hipótesis inductiva
ah
A h A = A h*’=
h aM
a
1
a h*’
ah
0
a
0
0
S i A B = C => T r(A B ) = T r ( C ) = c n + c 22 + C33 + c 44
( h + 1 )ah
a h*’
E n co n se c u e n c ia , h e m o s d em ostra d o que:
c lt = « , / „ = ( i , o , o, O ) - (- 1 . 0 , 0, 0) = - 1
P(1) e s V
a
P(h) e s V => P ( h + 1 ) e s V
c » = « w * * = (-1. 1,0, 0 ) . (1 ,-1 . O, 0) = -1 -1 = - 2
c33 = a3 A = (-1’ *1. 1.0) *(1. 1.-1.0) = -1 - 1 -1 =-3
E JE R C IC IO S . Grupo 44
c44 = a 4J 6(4 = (-1 ,-1 ,-1 , 1) • (1. 1, 1 ,-1 ) = -1 - 1 - 1 - 1 = - 4
1. C a lcu la r lo s productos:
T r (A B ) = -10
a)
e je m p lo 1 6 J
1 j , a € R. h á lle se un a form ula p ara A n
Si A = ^
b)
'a
/—
o
A2 =
A3 =
1 '
C0
Solución.
w
y lu e go d em ostra r s u validez por inducción.
0
\
A A2 =
An =
a
y
a2
2a "
0
a2
2.
1
a2
2a '
' a3
3a2
0
a
0
a2
0
a3
n a n‘
0
a"
3
5
0
1
2
0
1
0
2
2
3
3
3
4
7
2
93
-1 2 6
-1
2
, 1
3
1
r
-1
2
1
\
4
1
Hallar a, b, c y d p ara qu e sa tisfa ga n la e cu a ción
>
a
an
-28
38
4
7
c
9
3. S i
1
0
0
0
d
2
f
0
2
-1
2
0
1
y
-3
-1
0
z
X
*N
0
2 0
0 11
1 0 0
0 1 0
' 1
=
0
9
6
8
6
4
'
5
, calcular x + y + z
-3
jk
P a ra probar que la fórm ula e s verdadera, s u p o n g a m o s que: P(n) = A n. L u e g o
si n = 1 = * P(1) = A , en efecto:
A1 =
P a ra n = h, s u p o n g a m o s que P(h) = A h =
a
1
e s ve rd a d era
4. S i
\.
0
a h h a h' ’
0
2
b
1
d
a
-2
c
1 >
3
0
0
3
1 2
0
0
0 0 11
11
-5
5
7
a
1
0
-b /
Hallar el valor de la s u m a S = a + b + c + d
e s ve rdad era
ah
Entonces debem os probar que para n = h + 1, también
5.
Hallar u n a matriz X de orden 2x1 tal que A X = 3X, d on d e A =
1
-2i
402
6.
Capítulo 8: Matrices
D a d a la matriz
A =
2
3
3
2
EJLRCICIOS
403
Grupo 44
r
O
0
1
16. S i
II
CO
>
CM
O
*
0
0
, AB =
A =
-1
1
y BA =
2 ^
's.
2
1
-1
0
•
-3
2
■15
8
2
1
3
1
-1
2
1
2
1
-4
2
-15
7
-2
1
2
1
-3
-5
2
3
y
b) E v a lu a r/ (A,B)
18. S e a n las m atrices
A =
10. S i/ ( x ) = 3 x 2 - 2 x + 5, hálle se el valor del p o lin o m io / (A ) para la matriz
A =
1
-2
3
2
-4
1
3 - 5
11. S i
A =
1
1
0
1
1
0
0
1
s
12. S i
A =
1
2
1
-1
-1
0
S’
2
i B =
5
1
-7
-2
1
3
4
3
2.
1
2
,c =
J
*N
3
6
0
-1
2
4
5
4
3
2
3
-6
'2
1
V. 3
4
, B =
'O
3
7'
^1
8
9/
y c =
3
7
1
2
6
1
1
4
0
- p u + p ,2 + p 23
19. Hallar to d as la s m atrices co n m u tab le s co n la d a d a
2
a)
A =
1
2
3
4
b)
-3
A =
-2
, hallar la s u m a de lo s e le m e n tos de A 5
3
20. Sea
A =
1
1
, hallar la matriz M = A 3 - 2 A 2
S i P = A B C , hallar la su m a : S
*
1
-3
d em ostrar qu e A B = A C (au n qu e B ^ C )
y / (x,y ) = x2 - x y + y2
a) Verificar q ue A y B com utan
1
-1
, hallar (-A )3
r
1
b) (A + B ) (A - B)
•\
iB =
-2
; hallar:
17. S i A =
A =
6-
>
a) (A + B)2
9. S e a n
3
r
(A + B) (A - B) = A 2 - B 2 no s o n ciertas p ara la s m atrices:
f
\
1
1
-1
A =
1
2
1
1
2
15. P a ra la matriz de A =
7. C o m p r o b a r q u e la s id e n tid a d e s a lg e b r a ic a s (A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 y
8. S i A 2 = B 2 =
1
5
, hallar el valor d e A 2 - 4 A
, hallar A 2
“N
2
-1
0
0
-1
B =
-1
-1
2
0
y P = A B C , hallar el valor de la s u m a
. c =
S = / > ,,+ />22 +
1
0
2
1
0
3
0
1
p^
2 1 . H á lle se to d a s las m atrices de s e g u n d o orden, c u y o s c u a d ra d o s s o n igu a le s a la
matriz identidad I 2.
r
0
0
0
1
1
0
0
>*
1
n
CQ
13. S e a n A =
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
hallar A B 2
2 2 . D e term inar u n a fórm ula p ara c a d a u n a de la s s ig u ie n te s potencias, y luego
dem ostrarlo por inducción.
'
c)
a)
14. Si
A =
0
2
0
-2
-2
-2
0
0
2
, hallar A '°
b)
Cos a
Sen a
-S e n a
Cos a
1
0
k 0
'
,n e
Z-
d.)
1
0
1
1
0
-1
1
L o o
1 '
1
1
-1
-1
'
1J
n
, n € Z*
n
,n
g
Z-
404
Capítulo 8: Matrices
--------
f 1
e) S i A
0
1
0
=
0
1
0
1
1
0
1
0
0'
1
0
1
405
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
--
-
-
--------
TEO REM A
S i A e s u na matriz cu a d ra d a de orden n la matriz A + A 1
8.1
, hallar A n
e s simétrica.
Dem ostrador!.
trabajadores calificados en la form a siguiente:
S e a la matriz A = [ai; ], e n to n ce s A ’ = [a ]. S i lla m a m o s B = [¿>i(] a la
matriz A + A ’ p ro b a re m o s que B e s simétrica.
23. U n a c o m p a ñ ía tiene 4 fábricas, c a d a un a em p le a adm inistradores, su p e rv iso re s
En efecto, el elem ento de la fila i y la co lu m n a j de A e s
a y el co rrespondiente de A ’
e s a , por lo tanto:
Fábrica 1
Fábrica 2
F á b rica 3
F á b rica 4
A d m in istra d o re s
1
2
1
1
S u p e r v is o r e s
4
6
3
4
80
96
67
75
h - a* + a*
* 1>
El elem ento de la fila j y co lu m n a i d e A e s
a y el co rrespondiente de A ' e s at¡, de
m odo que:
T ra b aja d ores
.
(2)
De (1) y (2) s e sig u e qu e : ¿>,, = 6,
En c o n se c u e n c ia , B = A + A ’ e s un a matriz sim étrica
S i los adm in istrado re s g a n a n $ 3 5 0 a la se m a n a , lo s s u p e rv iso re s $ 2 7 5 y los
trabajadores $ 200, cuál e s la nóm ina de c a d a fábrica.
8.10.2 )
M A T R IZ A N T IS IM E T R IC A
U n a matriz cu a d ra d a A = [ a. ] para la cual A ’= [ av ] = -A recibe el
8.10
)
M A T R IC E S C U A D R A D A S E S P E C IA L E S
nom bre de matriz
antisimétrica o hemisimétrica.
En u n a matriz c u a d ra d a A antisim étrica s e verifica que
C o n sid e ra re m o s en la s se c c io n e s sig u ie n te s la s m atrices cu a d ra d a s
K j ] = [-« „ ). V i j
que p re se n tan ciertas características que las tipifican, entre otras, d e sta c a re m o s las
sigu ien te s:
Por ejemplo, si A =
8.10.1 )
M A T R IC E S S IM E T R IC A S
D a d a u n a matriz A = [ a j e
(r 00 2 2
-2
0
1
3
X
K n, si ocurre q u e [a,t] = [ a M], V i, j
el c a s o que A = A ’, la matriz A e s sim étrica y tam bién, p ara u n a co n sta n te Á cu a l­
XA e s sim étrica:
P o r ejemplo, si A =
' 2
2
. 4
2
4 '
-6
0
8 -
0
ocurre q ue :
A
' =í
-2
0
-1
0
2
-3
3
"I
1
0
C o m o A ’ = -A , e n to nce s A e s un a m atriz antisimétrica
I O B S E R V A C I O N 8.8
E n un a matriz antisim étrica lo s ele m e ntos d e la d iagonal
principal d e b e n se r cero.
d ire m o s q ue A e s u na matriz sim étrica. S i d e s ig n a m o s co n A ’ a la m atriz [a(l] y si e s
quiera,
-3 '
-1
0
>
, s e tiene : A ’ =
f 2 2
2 -6
v4 0
4 '
0
8 -
^ T E O R E M A 8.2
S i A e s u n a m atriz c u a d ra d a de orden n, la matriz A - A ’ e s
antisimétrica.
__________________________________________________________________________________
Dem ostración.
E n efecto, c o n sid e ra n d o qu e ( A + B )’= A ’ + B ’ s e sig u e que
( A - A ’ )’ = A ’- ( A ' )’ = A ’- A = - ( A - A ' )
C o m o A = A ’, e n to n ce s A e s u n a matriz sim étrica y tam bién
Por lo tanto. A - A ’ e s antisim étrica
XA = (1/2) A =
1
-3
0
'
e s sim étrica
Por ejemplo, si A =
0
-1
2
1
0
3
-2
-3
0
'
=>
A’ =
f
0
1
-2
-1
0
-3
2 1
3
0
406
Capítulo 8: Matrices
-6
4
6
0
y ( A - A ’ )* =
2
0
6
o
CM
0
4
co
O
-2
0 -2
0
= -
Ejemplo 1 ^
2 -4
-2
0
-6
4
6
0
407
S i A, B, C y D s o n m a trice s del m is m o ord e n ta le s qu e
B C = C B = I , A D = D A = I ; hallar u sa n d o p rop ie dade s
a) (A B ) (C D )
Solución,
d e donde, ( A - A’ )’ = - ( A - A’ ) , por lo que, A - A’ e s antisim étrica
T E O R E M A 8.3
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
b) (A + B )2
c) (A + D ) (A -D )
a) (A B ) (C D ) = A [ B (C D ) ]
T o d a matriz cu a d ra d a A s e p ued e d e sc o m p o n e r en la
su m a de u n a matriz sim étrica A . = 1/2 ( A + A ’ ) y otra
(M.1)
= A [ (B C ) D ]
(M.1)
= A [ ID ]
(Dato)
= AD
(M.6)
.-. (A B )(C D ) = I
antisimétrica A = 1/2 ( A - A ’ ).
b)
(A + B )2 = ( A + B ) ( A + B )
= (A + B ) A + ( A + B ) B
(M.2)
A 2 + B A +A B + B 2
(M.2)
=
D em ostración .
U n a matriz A s e p ued e escribir c o m o
A=A+—A
’-~ A
’1/2 ( A + A ’ )’ = 1/2 (
escribiendo,
A
,=
Aco m o
= ( A+D ) A - ( A+D ) D
(M.2)
= A 2 + D A -A D - D 2
(M.2)
= A2+ I - 1-
(Dato)
D2
= A2- D2
matriz
sim étrica y A a e s antisimétrica. E n co n se cue n cia , h e m o s e x p re sa d o a s í la matriz
cu a d ra d a
(A + D ) (A -D )
(A+A
’)+'^“(A-A
’) (1)
A+ A
’) y 1/2 ( A- A
’
- 1/2( A - A ’ )
A
’) y A
a= 1/2 ( A-A
’), e n to n ce s A s e s u na
D a d o que :
1/2 ( A +
c)
Ejemplo 2 J
S i A y B
= a A + p i s o n m atrices del m ism o orden, donde
a y p s o n e sca la re s, d em ostrar que A y B conm utan.
la s u m a de matriz sim étrica y u na antisimétrica, e sto es, en (1)
A = As + Aa
D em ostración.
P o r ejemplo :
1
4
-2
-3
3
-2
. 1
2
4
1
1
1
-3
2
0
k 2
0
4
=
0
3
-3
0
1
-2
( -1
2
0
+
=
A
E n efecto, A B
.
+
As
= ( a A + p I ) A = BA
Aa
ejemplo 3
8.10.3 )
M A T R IZ ID E N T ID A D _____________________________ _
U n a matriz cu a d ra d a de orden n c u y o s elem entos de la d ia go n a l principal s o n todos
u no y los otros elem entos so n to d os ceros, recibe el n om b re de
matriz identidad o
matriz unidad. S e denota generalm ente con I n, esto e s
(6)
I„ = l 5„ ]
A d e m á s : T r ( I n) = n
,
( I n)’ = I„
,
A I = IA
= A (a A + p I )
= a A A + pA I
i
i
1
D e b e m o s p rob ar qu e A B = B A
= A
^
H allar el valor del p o lin o m io / (A ) de la matriz A =
si / (x) = 3 x 2 - 4
Solución.
S i / (x) = 3 x 2 - 4
=> / (A) = 3 A 2 - 41
408
Capítulo 8: Matrices
Ejemplo 4
I
D a d a la fòrm ula
*
U n a matriz cu a d ra d a de la form a D = [ k d.] en la que k puede variar
matriz diagonal. S e representa usu alm e n te por
, V A
k!
k = il
J .
s e define
s e g ú n /', s e llam a
A"
X
, V z e C,
k!
k= 1
eA =
8.10.4 | M A T R IZ D IA G O N A L
Zn
X
e* =
409
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
D = d ia g
{du ,d22,d 33........ d j
y tiene la p ropiedad de que
a)
D e m o stra r qu e
el = e I = e
b) H a lla r á , si
A =
' 0
1
1
0
0
1
0
0
0
D n = diag
'3
Por ejemplo, si
Solución,
D =
a) E n la definición dada, para A = I s e tiene
/
\
k = (i
\
k!
ii
e‘ = X
'
k =o
^
✓
\
I
M *
In
k=0
0 '
0
0
4 ,
D = diag (3, -2, 4)
=> D 2 = diag (9, 4, 16) , D 5 = diag (27, -8, 64)
V
1
= I ¿
l k! J
0
0 - 2
. 0
(dau ,dn22,dnyi........ d nJ
(1)
i k!
e' =
Ahora, en la fórm ula dada, para z = 1 o b te n e m o s :
8.10.5 ]
X
k=0
M A T R IZ E S C A L A R
_________________
k!
U n a matriz cu a d ra d a E = [ k 8 ] = k I n, p ara cualquier constante k,
P o r lo tanto, en (1 ):
b)
e1= I e = e
recibe el nom b re de matriz escalar.
D e sarrolla n d o el s e g u n d o m iem bro de la definición s e tiene :
eA =
_A°
0!
1!
2!
A3
A"
+ ---- + ...+ ----- = I
oo !
3!
+
A
Asi, la matriz
A2
A3
+ ----- + ---- +
5
6
E =
Ejemplo 5 ^
A 2=
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
A 3=
A A2 =
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S e a D = [di(] tal que : dt|= i, si i = j y dl() = 0, si i * j y A = [ a J
tal que :
= i, si i = k y a k=
a, si i * k d on d e A, D e K n. Hallar
A D n, n e Z \
Solución .
1
en la que E = 4 I, e s u n a matriz e sca la r
(2)
D e s u n a matriz d iagonal en la q ue los e le m e ntos de la d iagonal princi­
pal va ría n se g ú n i, esto es: D = diag ( 1. 2, 3,
= e
=> D " = d iag (1 , 2", 3 n, n
n )
n)
A e s u n a m atriz c u y o s e le m e n to s de la d ia g o n a l principal va ria n s e g ú n
los d e m á s e le m e ntos s o n todos a , e sto e s
Luego, en (2) :
eA =
I + A + —
í
A2
s
(?A =
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
+
0
1
1
0
0
1
0
0
0
+
0
0 1/2
0
0
0
0
0
0
=
1
1 3/2
0
0
1
0
0
1/
A =
1
a
a
• • • • •
a
a
2
a
• • • • •
a
a
a
3
•••••
a
i
y
Capítulo 8: Matrices
410
1
a2n
a
a
2 "*'
a3n
a3n
an n
a2n 3 n n’’
an"
Multiplicando suce sivam e n te , por si m ism o, la matriz A ob ten e m os
an"
A5= A
AD" =
.
A9= A
A x A x A x A x A x A x A x A x A . . .
S e o b se rva que :
a
8.10.6 )
411
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
a2n a3n
n"
A9
A i3
=
_
a 4*2*’
A 4*3*1
=
=
A
A
M A T R IZ T R IA N G U L A R S U P E R IO R
Ap<1 =
A4m*'
=
A
A99
A2 A97
=
A2 ( A4*24*1)
L a matriz cuad rada A c u y o s elem entos situado s debajo de la diagonal
principal so n todos ceros, se llama
f 1
P o r ejem plo :
8.10 / O
matriz triangular superior. E sto es, íí =0, si i > j
0
0
3
2
0
3
2
6
2 1
1
2
l 0
0
0
3
A =
=
=
A2 (A)
•. A 99 = A 3
e s u na matriz triangular superior
)
Ejemplo 7 j
Si
A =
-1
0
-1
0
-1
0
0
0
1
, hallar A 25
M A T R IZ T R IA N G U L A R IN F E R IO R
U n a matriz cu a d ra d a A c u y o s ele m e n tos situ a d o s por encim a de la
d iagonal principal s o n to d os cero, s e llam a
E sto es,
A h ora bien :
Solución.
' -1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
A2= A x A =
matriz triangular inferior.
'
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
I
at¡ = 0 , si i < j
Luego, A 3 = A 2 A = I A = A = > p + 1 = 3 < = > p = 2 e s el p eríod o de la matriz A.
P o r ejem plo :
A =
' 1
3
2
0
2
5
0
0
1
0 '
0
0
. 1
3
2
1 ,
A 25 = A 2*12*1 = A
e s u n a matriz triangular inferior
A =
8.10.8 )
M A T R IZ P E R IO D IC A
' 0
D a d a la matriz cu a d ra d a A, si para un núm ero entero y positivo p, ocu­
Solución . A 2 = A x A =
rre que:
(7)
A p+1 = A
s e dice que A e s un a
Ejemplo
6J
matriz periódica, de período p.
A2= A2A =
S i A e s u na matriz cu a d ra d a y periódica tal que A5 = A, hallar
el período y calcular A".
E n ton ce s :
S o lu c ió n .
D e la relación (7), si Ap*' = A5 => p + 1 = 5
p eríod o de la matriz.
o
p = 4 e s el
A4
A5
' 0
1
-1
1
0
1
'
0
0
-1
;
-1
0 '
, calcular A ’00
0
-1
0 '
1
1
1
1
1
1
k 0
0
-1
0
0
-1
-1
-1
-1
' 0
-1
0
0
0
0
1
1
1
k0
0
1
.0
0
-1
=
=
-1
-1
-1 '
0
0
0
0
0
1 ,
’ -1
0
0
-1
0
k 0
0
-1
= A 3A = (-1 ) A = -A
= A 4 A = (-A) A = -A 2
A 6 = A 5A = (-A 2)A = -A 3 = - (-1) = I => A 7 = A 6 A = I A = A
0 '
= -I
,
412
Capítulo 8: Matrices
413
Sección'8.10: Matrices cuadradas especiales
= 7 <=>p = 6 e s el p eríod o de la matriz A
Luego, /> + 1
Ejemplo 11 J
A 100 = A 3 ( A 97 ) = A3 ( A6*’6”1) = A3 (A) = A4 = - A
Determ inar si la matriz
A=
1
1
5
2
e s nilpotente
-2 -1
M atriz ídem potente
I O B S E R V A C I O N 8.9
S i en la fórm ula
matriz A s e llama
ejemplo
S o lic ió n .
9
(7)p = 1, e sto es, A U1 = A 2 = A, e n to n ce s la
ídempotente.
|
Estab le ce r si la matriz
' -1
2
4
1
-2
-4
k -1
2
4
A2= A x A =
A=
' -1
2
1
-2
-4
-1
2
4
4
e s idempote
' -1
2
1
-2
k -1
2
=
4
2
Si
J
A=
1
1
3
0
0
0
6
5
2
6
3
3
9
. -2
-1
-3
-2
-1
-3
. -1
-1
-3
0
A3= A2x A =
,
0
0
0 '
1
1
3
0
0
3
3
9
5
2
6
0
0
0
-3
-2
-1
-3
0
0
0
-1
,
.
= A
4 ,
I O B S E R V A C I O N 8.11
M atriz Involutiva
U n a matriz A tal que A 2 = I, s e llam a
2
-3
-5
-1
4
5
1 -3
-4
y
b
’ -1
3
1
-3
-5
-1
3
5
=
= 0
p = 3
Por lo tanto, A e s un a mattriz nilpotente de indice
4 '
-4
P o r lo tanto, la matriz A e s Ídempotente.
Ejemplo 10
3
. -1
’
1 -2 -4
. -1
1
2
4 1
-1
2
1
5
A2= A x A =
5 '
-3
hallar A 5B 7
ejemplo 12
Determ inar si la matriz
A=
-6
involutiva.
2
2
4 -1
2
3
e s involutiva.
0
’
2
^1
E n to n c e s :
-3 -4
A 5 = (A 2> *A
-1
B2=
1
4
5
2 -3 -5
=
1 -3 -4
-1
4
-3-6
5
= A (A e s Idempotente)
5
-3 -5
3
5
-1
3
5
‘ 1 -3 -5
.-1
3
A 5 B 7=
-1
1
-3 -5 '
4
5
-3 -4 ,
-1
3
-1
=
5
3
5
ejemplo 13 J
= B (B e s Idempotente)
1 -3 -5
.-1
5
1 -3 -5
-1
3
5 ,
A2= A x A =
3
=
-3- 6
2
>2
2
=
4 - 1
3
0.
1
0
0
0
1
0
= I
. 0 0 1 ,
0 '
0
0
0
0
S i A e s una matriz involutiva
b) C a lcu la r la matriz P = 1/2 ( I + A) ( I - A)
0
0
4 - 1
a) D e m o strar que 1/2 (I + A) y 1/2( I - A) so n idem potentes
5
0
0
2
2
Por lo tanto, la matriz A e s involutiva.
B 7 = B (B 2) 3 = B (B )3 = B 2 B 2 = B x B = B 2 =: B
2
Solución.
1 -3 -4
= (A)2 A = (A) A = A 2 = A
3
.-1
Luego :
5
-1
o
t 1
4
co
A2=
2 -3 -5
co
Solución.
-3 -5
Solución.
a)
Sea
B=
1/2 (I+ A ) =>
B2 =
1/4 (I+ A ) (I + A) = 1/4 (I* + I A + A I + A 2)
= 1/4(1 + A + A + I ) = 1/2 (I+ A )
= 0
Com o
,
B2= B e nto n ce s
1/2 (I+ A ) e s idem potente
S e a C = 1/2 (I -A ) => C 2 = 1/4 (I - A ) (I - A ) = 1/4 (I2- I A - A I + A 2)
I O B S E R V A C I O N 8.10
= 1/4 (I - A - A + I) = 1/2 (I - A)
Matriz Nilpotente
U n a matriz A, para el cual
entero y positivo, s e llam a
nilpotente de indice p.
Luego, C 2 = C =>
Ar = 0, sie n d o p un núm ero
b)
1 / 2 (1 - A ) e s idem potente
P = 1/2 (I - A ) (I + A)
= 1/2 (I2+ I A - A I - A 2) = 1/2 (I + A - A - 1) =
0|
414
Capitulo 8: Matrices
| E je m p lo 1 4 ^
415
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
V
S i A y B s o n m atrices involutivas y A B = B A =
I
( o * ) « '’,)
k= 1
que tam bién pertenece a la fila j y co lu m n a i de (A B )'
hallar la traza de la matriz X = ( A + B )2 .
Luego, si (A B )' = C ' =>
cv = £
Solución . X = (A + B) (A + B) = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2
S u p o n g a m o s que
C o m o A y B so n m atrices involutivas => A 2 = B 2 = I
y
' 2
0
0
0
2
0
0
0
2
Luego : X = 2 I + 2 A B =
.
+
6
12
0.
-4
2
4
8
' 8
12
-4
4
, 8
6
=
6 -10 ,
{a¿ (bk)
B ' = [ x j tal que [ x j =
[bJ
A ' = [ y j tal q ue [ y j = [a J
0 ’
4
-8 ,
E n ton ce s:
B 'A != ¿
( x jíy ^ ) = I
( U (**) =
k= 1
k =1
•
(<**)
(K)
y
=
(2)
(A B )' = B ' A '
S e s n la s m atrices
M A T R IZ T R A N S P U E S T A
A =
1
4
,-3
D a d a una matriz A de orden m x n, s e llam a
I
k= I
c o m p a ra n d o (2) co n (1) s e co ncluye que
T r(X ) = 8 + 4 - 8 = 4
8 .1 0 .9 )
(1)
k= I
matriz transpuesta de A, se
Si (A B )'
2
0
1
5
b
1 -3
,
1/2 0 0
3 1/5 0
0 0 1
,
+ X = 2 (B ' + A), hallar la traza de la matriz X
denota A', a la matriz de orden n x m c u y o s ele m e n tos s e obtienen intercam biando
Solución.
las filas por las colum nas.
D e la ecu ación
dada se
tiene: X = 2 A + 2 B 1- B 1A '
U n elem ento cualquiera de la matriz X e s
P o r ejemplo, A =
2
1
-4
3
2
5
, la tra n sp u e sta e s A ’ =
2
3
1
2
-4
5
x.,= 2 a H+ 2 b , - ( b |k ) ( a ^ )
=>
x „ = 2 a „ + 2 b „ - (b 1k) ( a J = 2 (1) + 2 (1/2) - (1/2, 0, 0) (1, 4, -3) = 2.5
X?2 = 2 3 ^ + 2 b 22 - (b2k) ( a J = 2 (0) + 2 (1/5) - (3, 1/5, 0) (2, 0, 1) = -5.6
P r o p ie d a d e s .
S i A ' y B ! s o n , re sp e c tiv a m e n te , la s t r a n s p u e s t a s d e la s
m a t r ic e s A y B, c o n f o r m a b le s r e s p e c t o d e la a d ic ió n y
multiplicación, y
X33 = 2333+ 2 b 22 - (b3k) (ak3) = 2 (-2) + 2 (1) - (0, 0, 1) (1. 5. -2)
.*. T r (X) = 2.5 - 5 . 6 + 0 = -3 .1
X un e sc a la r cualquiera, e n to n c e s s e cu m p len la s sig u ie n te s pro­
p ie d a d e s.
1 5
-3 6 3
2 -4 2
1
' 5
T.1:
( A ') ' = A
T.4:
(A B ) 1= B ' A 1
T.2:
(X A ) 1 = X A 1
T-5:
( I n) ' = In
T.3:
( A + B ) ' = A ’ + B'
= 0
E je m p lo 1 7
S e a n la s m atrices
A =
S i (A ' + B )' = 2 ( X - A 1) + 3B,
y
b
-6
=
. 5
3
-2
1
0
6 -8
hallar la su m a de la s c o m p o ­
nentes de la tercera fila de la matriz X.
E j e m p lo
15J
D e m o stra r la propiedad T.4 :
(A
B
)'= B
'A
'
Solución .
H a cie n d o u s o e las p rop ie d a d e s T.3 y T.1 , s e tiene :
(A ')' + B ' = 2x - 2 A ' + 3 B = * X = 1/2 (A + B ' + 2 A ' - 3 B )
A=[a ] una matriz de orden m x n
B= [b¡t ] u n a matriz de orden n x p
Si hacem os A
B= C, e n tonces C = [cj e s una matriz de orden m x p.
El elem ento de la fila i y la colum na j de A
Be s
D em ostración.
Sean
Luego: x31 = 1/2 (a 31 + b 13 + 2 a 13 - 3 b 3I) = 1/2 [ 2 + 1 + 2 (5) - 3 (5) ] = -1
X32 — 1/2 (a 32 + b 23 + 2 a 23 - 3 b 32) = 1/2 [ -4 + 0 + 2 (3) - 3 (6) ] = -8
X3, = 1/2 ( a * + b M + 2 3 ^ - 3 b „ ) = 1/2 [ 2 - 8 + 2 (2) - 3 (-8) ] = 11
"
X3, + X32 + X 33 = 2
■
416
Capítulo 8: Matrices
-1
’0
Ejemplo 18
J
Si
A=
'
3
2
1
0
3
2
1
y
i
0
U na matriz com pleja e s aquella que tiene c o m o e le m e n tos a los nú m e ros com plejos
'
1 -2
-2
=
b
3
0 -1
417
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
por ejemplo, u n a matriz com pleja e s
y C = (A B ) ' - B,
4
A =
1
3 -i
hallar el valor de la s u m a S = c 21 + c 31 + c 23
3 + i
3
i
1 -i
1+ i
2
y su conjugada, d en o ta d a por A , e s :
S o lu c ió n .
S i C = ( A B ) '- B => C . = ( b J (aik) - b
c2, =
( b j • (a lk) - b2, = (3, 1, -1) • (0, - 1 , 3 ) - (-2) = -2
c31 =
(bk3)• (a lk) - b 31 = (0 ,-2 , 4 ) . (0 ,-1 , 3) - ( 0 ) = 14
c23 =
( b j * ( a j - b * = (3, 1. -1) • (3, 2 , 1 ) - (-2) = 12
A
=
1
3-i
-i
3+i
3
1+i
1-i
2
. i
1
i
3
1-i
3-i
=> ( A )' =
-
3+i
• -i
1+i
=
A
2 -
v e m o s q ue A = ( A ) ', luego, A e s u na matriz hermitiana.
S = -2 + 1 4 + 12 = 2 4
I O B S E R V A C I O N 8.12
Ejemplo 19 |
Dada
la
matriz
4
2
2
10
5
. 4
5
21
A =
4
E n u n a matriz herm itiana lo s e le m e ntos de la d iagonal prin­
cipal s o n n ú m e ro s reales.
, hallar la matriz
8.10.11 ) M A T R IZ IN V E R S A
triangular inferior B, tal q u e : B B 1= A.
S i A e K n, s e dice que A e s inversible si existe un a matriz B tal que
S o lu c ió n . S e a B =
a
0
0
b
c
0
kd
e
f
a
b
d
A B = I ó B A = I, para los que B recibe el nom bre de
0
c
e
B = A D e l m ism o m odo, la matriz A e s la in ve rsa de B y s e escribe, A = B ’.
• > 0
0
f ,
=> B ' =
>
Si
a
b
,d
0
c
0
0
a
0
b
c
d
e
e
f
,0
0
f .
=
V
a*
ab
ab
b2+ c 2
ad
bd + ce
4
ad
bd + ce
=
d 2 + e 2 + f2 ,
4
2
2
10
. 4
5
21
P R O P IE D A D E S .
S i A y B s o n m atrices c u a d ra d a s de orden n, inversibles,
e n to n ce s s e cum plen la s sig u ie n te s p rop ie dade s
5
.
entonces, por la igualdad de m atrices s e tiene
PI.1 : A A ' = A 'A = I
P I. 4 : (A B)*1 = B ’ A-1
P I.2 : (A ’)•’ = A
P I. 5 : (A*)'1 = ( A ’)'
P I.3 : S i A B = B A = I => B = A 1
a2 = 4 ,
ab = 2 ,
ab = 2 ,
b2 + c2 = 10
,
bd + ce = 5
ad = 4
ad = 4 ,
bd + ce = 5
,
d2 + e2 + / 2
= 21
de d ond e o b te n e m o s : a = 2, b = 1, c = 3, d = 2, e = 1,
/ = 4
B =
matriz inversa de A y s e denota,
2
1
0
3
0
0
2
1
4
Ejemplo 2 0 J
D em ostración.
D e m o stra r la propiedad P I.4 : ( A B ) '1 = B -’ A -1
P o r la definición de matriz in ve rsa d e b e m o s probar que
a)
(A B ) ( B ’A 1) = I
y
b) (B ' A 1) ( A B ) = I
E n efecto :
a) (A B ) (B ’A ') = A (B B 1) A 1
8.10.10) M A T R IZ H E R M IT IA N IA
U n a matriz c u a d ra d a y com pleja A s e d e n o m in a
a la tran sp u e sta de su conjugada.
hemiitiana si e s igual
(M.1)
= A ( I ) A ’1
(P ii)
= A A'
(M.6)
= I
(PM)
_________________________________________________________________________________
Capítulo 8: Matrices
418
b) (B -'A -') (A B ) = B-’ (A-’ A) B
= B 1( I )
(M.1)'
B
419
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
= M - X (X 'X J -’X 1+ X [(X 'X J M X ’X J K X 'X J -’X 1
(PI.1)
= M - X ( X ' X ) '1X 1+ X [ 1 1 (X 1X ) '1X*
= B-’B
(M.6)
= m - X (X ' xj-’x ' + x ( x 'x y ’ x '
= 1
(PI.1)
Luego :
M2 =
M => M 3 = M M 2 = M (M ) = M 2 = M
E n co n se cue n cia , de a) y b) s e co ncluye que :
(A B)-’ = B-’ A '1
W = M ?M 2 = (M ) (M ) = M 2 = M
■
.*. S = I + M + M + M + ..+ M = I +
E je m p lo
21J
D em ostración .
f8
E n efecto, por la propiedad PI.1 : A A ’ = I y por T.5 : 11= I
=>
(A A ’)•
=>
(A ’)' A ' = I
■
. 1 0 . 1 IN V E R S A D E U N A M A T R IZ T R IA N G U L A R
S i A e s u n a m atriz tria n g u la r inferior y X s u in ve rsa , c o m o por
= I' = I
definición A X = I, ento n ce s
(A ')'1 s e tiene
0
0
21 22 0
a,. a,„ a.
(A ’)' A ' (A 1)’1 = I (A 1)’1
D em ostración .
pM
D e m o stra r la propiedad P I.5 : (A ’)* = (A*)’1
M ultiplicando a m b o s extrem os por
Ejemplo 22 ^
Mp= M
a_
• • • 0
• • • 0
• • • • 0
• • •
• • •
• • •
1 0
0 1
0 0
0
0
1
•••
• • •
•••
o
o
0
D e m o stra r qu e la inve rsa de u n a matriz, si existe, e s única.
E n efecto, s u p o n g a m o s q u e e x iste
tales que:
A ’
=
E n to n c e s por definición :
B
1
0
Por la multiplicación e igualdad de matrices, el producto de la prim era fila de A por la
y
A -’= C, sie n d o B * C
AB = I
= BA
AC = I
= CA
D e e sta s d o s igu a ld ad e s s e
0
• a
d o s m a tric e s B y C,
prim era co lu m n a de X e s 1, esto e s
(a „ . 0. 0, 0 .............0) • (x „ , x21, X3 , ..................xnl) = 1 =* x n = a „ ’
d ed uce q u e : A B = A C
A h o ra efectuando el producto interno de la prim era fila A co n las c o lu m n a s restantes
de X y aplicando la igualdad, resulta que
e sto es, A B - A C = 0 = * A (B • C ) = 0
D a d o que existe A ’, e n to n ce s A * 0 , por lo que : B - C = 0 = > B = C
x ,2 = x ,3 = x h = .................= X ,n = 0
Lo qu e contradice la hipótesis. E n c o n se c u e n c ia :
L a inve rsa de un a matriz e s única.
Ejemplo 23
^
■
Al multiplicar la se g u n d a fila de A con la s e g u n d a co lu m n a de X, esto e s
( a21, 322’ ^23’ .......... 0 ) *( 0 ' X22' X32’ ........... • Xn2^—1
S i M = I - X ( X 'X ) - ’X ' con X = [ x j nx1 , sim plificar al m áxim o
la s u m a : S = I + M + M 2 + M 3 + ......... + M p, d on d e
pe Z*
^22—3^
D e igual m anera, del producto interno de la s e g u n d a fila de A por la s otras c o lu m n a s
de X s e co ncluye que
Solución.
M 2 = [ I - X ( X ' X ) '1X 1] [ I - X ( X* X)-’ X 1]
= I - X ( X ’ X )•’ X ' - X ( X 1X) 'X ' + [ X (X ' X)-’ X'] [X (X ' X ) 1X']
X21 = ><23 = .................
= X2n = 0
Reiterando el p ro c e so h asta la n-é sim a fila de A p o d e m o s concluir q ue si una matriz
triangular inferior A e s inversible, e n to n ce s :
M
-X (X 'X )-1X ' + X [(X 'X V 'X '] [ X(X* X ) ’X ’]
1.
T o d o s los elem entos de la d iagonal principal d eb e n se r diferente de cero.
420
Capítulo 8: Matrices
2.
L a in ve rsa A-1 e s tam bién u n a matriz triangular inferior.
3.
L o s elem entos de la dia go n a l principal de
A ' s o n los n ú m e ro s
421
Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales
A A 1= I
0
0
1/2
0
=
(a„) \ (a *)-’, (a *)-’, ..............( a J - 1
P o r lo tanto, la ecuación matricial anterior s e convierte en
0
•••
•••
(a,,)-1
0
0 '
0
1
0
0
0
1
P ara calcular x2! s e efetúa el producto e sc a la r d e la s e g u n d a fila de A por la prim era
• •• 0
x21 (a22r •••
0
' 1
••
••
0
co lu m n a de A \ e sto e s
0
0
(-1, 2, 0 ) • ( 1 , x21, x31) = 0 => x21 = 1/2
(8)
A continuación s e efectúa el producto e sc a la r de la tercera fila de A por la primera
co lu m n a de A \ e s d e c ir :
( 1, 2, 3 ) • ( 1, 1/2 , x 31) = 0 = > x3) = -2/3
0
P or a n a lo g ía establece m o s que si A e s u n a
o
• 1
Finalm ente s e calcula el producto e sc a la r de la tercera fila de A por la s e g u n d a
motriz triangular superior , e n to n ce s A
co lu m na de A \ esto e s
( 1, 2, 3 ) • ( 0, 1/2, x , , ) = 0 => x ^ = -1/3
tiene una inversa si y sólo si no existe c e ro s en la diagonal principal; A ’ e s una
matriz triangular superior y para calcular A '1 s e d ebe resolver la e cu ación matricial.
(a,,)'1
••
••
x ,2
(9)
Si
0
0
0
0
( a J ’J
0
0
A=
1
0
0
1/2
1/2
0
-2/3
-1/3
1/3
3
0
0
1
2
0
, 5 -3
5
y
b
=
0
-4
-1
0
5
5
0
0
-2
1
hallar la s u m a de lo s elem entos de la d iagonal principal de la
L a s e cu a cio n e s (8) y (9) n o s permite deducir la inversa de una matriz diagonal (Trian-
matriz M = 3 A '1 - 2 B '1
gular superior e in fe rior), esto e s :
Si
D = diag ( a n , a^, a ^ ............. a nn), e n to n ce s
D 1 = d ia g ( a „ \ a 22\ a 33\ ......... . a nn ’)
Ejemplo 24
J
Solución . C o m o las m atrices A y
B
m „ = 3 (a „ ) ’ - 2 (b „ ) ’
=
3 (1 / 3 )
-
m 22 = 3(a22)-1- 2 ( b 22r
=
3 (1 /2 )
-2 (1 /5 ) =
m 33 = 3(a33) ’ - 2 ( b 33r
=
3 (1 /5 )
- 2 (-1/2) = 8/5
(10)
Determinar, si existe, la in ve rsa de la matriz
s o n triangulares s e tiene :
2 (1/ 2 ) = 0
11/10
T r ( M ) = 11/10 + 8/5 = 2.7
A
Solución .
=
1
-1
0
2
0
0
1
2
3
La matriz A e s inversible, p u e sto que no h a y c e ro s en la d iagonal prin­
cipal. P or la ecuación matricial (8) re so lve m o s la ecu ación :
ejemplo 2 6
^
S i B e s la inve rsa de la matriz
A =
2
0
0
'0
4
•-1
0
0
3
4
5
0
2
3
4
-6
’ b33
■
422
Capítulo 8: Matrices
Solución
EJERCICIOS : Grupo 45
423
A e s una matriz triangular inferior, luego, por la e cu a ció n matricial (8)
1
s e tiene
f
S
2
0
1/2
0
0
0
4
-1
b 21
?1
-1
0
0
3
4
b 3,
b 32
1/2
0
2
3
b «3
-1 / 6 ,
4
-6
b„
b«
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
> 0
0
0
1
A3= A A2 =
3
6
10
1/2 (n-1)n
0
1
0
0
•
•
•
1 /2n (n +1)
3
6
1/2 (n-2)(n-1)
1/2(n-1)n
1
3
1/2 (n-3)(n-2)
1/2(n-2)(n-1)
.
Efectuand o el producto e sca la r de la se g u n d a fila de A por la prim era co lu m n a de B
s e t ie n e :
( 4 , - 1 , 0 , 0 ) •( 1/2, b2), b 31l b41) = 0 => b21 = 2
Luego, para :
b
j= n
3, j = n-3
Del producto e sca la r de la tercera fila A por la s e g u n d a co lu m n a de B s e tiene :
(3 , 4, 5, 0 ) • (0, -1, b32, b42) = 0
2,
=1/2(n-1)n
* 3(0-3) = 1/2 (n - 4) ( n - 3 )
) = * b,, = 1
S = 1/2 (n - 1) n + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 1 = n2 - 4n + 7
*32 = 4/5
D e la matriz B ob ten e m os : b 33 = 1/5
S = 2 + 4/5 + 1/5 = 3
^ Ejemplo
27J
EJE R C IC IO S : Grupo 45
S e a A = [ai(] un a matriz triangular su p e rio r de orden n, tal que
a = 1 si
i < j . D e la matriz
B = A 3, hallar la s u m a d e los
1.
P a ra la matriz
A =
elem entos b para los cuales:
n
a) i = 2, j = n
b) i = 3, j = n-3
c) i = j
k.
1
\
, verificar que A 2 - 2 A - 5 I =6
A =
3
1
v '1
2
1
1
•
•
•
0
1
1
•
•
•
1
decir, A-' = A ' . C om prob ar que la matriz
0
•
0
•
1
•
•
•
1
•
A =
•
•
•
•
0
0
•
•
•
•
•
3.
•
•
1
4. S e a
>
•
n-1
1
0
1
2
3
•
•
n-2
n-1
0
•
0
•
1
•
2
•
•
•
n-3
•
n-2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0
0
0
Cos x
-S e n x
Sen x
Cos x
A =
e s ortogonal. (S u g e re n c ia : P ro b a r que A A ‘ = A 'A = I )
1 0
■1
1
, d em ostrar que A 2 = 2 A - 1 y hallar A n
/•
•
.0
S e dice que una matriz A e s ortogonal, si s u inversa e s igual a su transpuesta, e s
•
•
5.
•
•
0
1
e s u na solució n de la ecuación
A * - 5 A + 71 = 0
1
Al efectuar el producto A A = A 2, o b te n e m o s :
r
1
2
4
3
A2=
3
2. C o m p ro b a r q ue la matriz
Solución . S e g ú n la definición co n struim o s la matriz triangular supe rio r
A =
1
2
D a d a s la s m atrices
A =
f
*\
1
-3
2
5
y B =
(A B )' + X = 2 (B ' + A).
6.
H allar el valor del p olin o m io/ (A) de la matriz A
a) / (x ) = x2 - 3x + 1,
A =
f
1
2
-1 3
N
4
-1
2
6
, hallar X en:
424
Capítulo 8: Matrices
EJERCICIOS : Grupo 45
425
/**
/*
c) / (x ) = x3- 3 x 2 - 2 x + 4,
3
-1
\
1 '
5
0
1
-3 'l
6
2
1
-2
4
r
Sean
. E v a lu a r / (A + B )
A =
y
i
-3
5
-4
1
2
-2
2
‘2 I
1
-1
-1
0^
0 ]
3
1
5
3
1
œ
ii
1
2
-3
<
-2
1
4
A =
J
0
4
-1
10. S e a n las m atrices
A =
2
0
3
-2
-3 .
-3 "
4
-2
y
r 0
3
1
B =
>
-3
2
v2
,B =
17. M ostrar que
-1
2
5
1 'I
2
-4
-1
y
N
i
4
5
0
-1
2
6
2
3
1
2
1
-2
2
0
3
19. S i
3
0
^
A =
A =
CD
II
f
8
6
-2
3
1
9
*2 1
3
2
y la ecu a ción 1/2(X - 3 A ) = (A1- 2 B )' + A ' ; hallar la s u m a de la s co m p o n e n te s de
A =
f
A =
3
2
-1
2
5
0
-1
i
-3
1
r
,
B =
>
Si B' A = C, hallar el valor de la sum a S = x + y + z.
1
2
V.
0 '
0
-1
✓
1
-3
- r
-1
3
4
1
3
4y
0
-1
- r
4
-3
4
3
-3
e s u n a matriz nilpotente de índice 2.
' 4
y B =
4.
3 '
3
s o n matrices involutivas.
-1
0 -1
-4
-4 - 3 .
-5
-8
0
3
5
0
1
2
-1
3
4
0
2
-2
3
.B =
1 ^
6
0
2
2
4
-2
3
0
-1
y c =
2
5
1.5
2
1.5 "
2
2
7.5
-3.5
3
-1
0
4
2
1'
1
1^
,B =
6
-2
3
4
1
-5
\
21
0
y C = ( B A )' + 2A;
-2 ,
21. S e dice q u e u n a m atriz A e s orto go n al si A -’ = A'. C o m p r o b a r si la matriz
A =
1
' 1
-2
-2
1
-2
-2
2 ',
e s ortogonal (S u g e re n c ia : A A 1 = A* A = I).
22. E n u n a p á g in a deteriorad a de un a n tiguo texto s e e n cu e n tra q u e la matriz
X
y
z
-8
5
hallar la s u m a de lo s ele m e ntos de la s e g u n d a fila de la m atriz C.
la s e g u n d a fila y la su m a de las co m p on e ntes de la tercera colum na de la matriz X.
13. S e a n las m atrices
2
-1
2
n
3
5
f*5
3
hallar la matriz M = (AB)' - 2C.
Si
"<
12. D a d a s las m atrices A =
3
6
-2
4 ^
Si
hallar la matriz X, si ( 2 A - 3 B )' - 2 X = B - A
" 2
-1
4
4
-4
hallar la traza de la matriz M = (A + B)2.
r
0
2
-1
4
>
2
1
3
-1
2
y c =
18. S i A y B s o n m atrices involutivas y AB = BA =
-/
ii
CO
0
1
2
11. D a d a s la s m atrices A =
1
-3
0
-2
.-1
2 "
-6
4
hallar la matriz X de la ecu a ción matricial : (A B + 2 X )' = 3 A - 2 B '
4
2
-2
21
2
0
hallar la matriz X, si (A + 4 B - 2 X )' = 3 ( A '- 2 B )
f 1
2
-1
, 1
-1
1
a d os, d an d o en c a d a c a s o la tercera.
r
A =
-4
4
D e m o stra r qu e la s m atrices d a d a s s o n idem potentes y a d e m á s perm utables d o s
2 1
-5
1
16. M o stra r que
D a d a s la s m atrices
-2
3
N
-1
1
d esp ejar X de la ecu ación (A + B + X )' = 2 (A 1- B)
9.
A =
2
-1
s o n idem potentes y perm utables.
co
A =
3
>
" 1
3
-2
2
n
m
D a d a s la s m atrices
A =
4
o
8.
S e a n :/ (x ) = x2 - x + 3,
'3
C\l
7.
A =
2
14. D e m o stra r q ue las m atrices
<
CO
II
b) / (x ) = 8 x 3 + 2 x 2 + x - 3,
11
CD
II
Í-1
A =
y C = (1, -2, 3)
A =
’ 1
0
0
X
0
0
0
y
z
y del producto A 2A ' so lo s e p u e d e leer la última colum na
426
Capítulo 8: Matrices
•
-6
2
-1
•
•
23. D e m o stra r qu e la matriz
A = ^ ^
b j
427
Sección 8 .11: Transformaciones elementales
En los ejercicios 3 3 a 36 determinar, si existen, la s in v e rsa s de las m atrices d a d a s
. H allar x + y + z
N
/■
sa tisfa ce la ecuación:
1
2
4
0
1
2
0
0
1
0
0
0
.-2
3
1
1
x2 - ( a + d ) x + ad - be = 0
\
f
B =
35.
1
0
0
-1
1
0
1
-1
-1
-1
1
1
0
0
0
-1
2
0
0
4
1
0
-2
3
2
6
2
1
0
0
0
3
24. D e m o stra r que s i/ ( X , A) = X ’A X, X, p e C , e n to n ce s :
/ (X X + pY , A) = X / ( X , A) + P / (Y , A)
25. S i A y B s o n m atrices cu a d ra d a s de orden n y A p o s e e inversa, d em ostrar que :
2
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
, 1
0
0
2>
/
N
B =
36.
3 .
(A + B)A-i (A - B) = (A - B )A '( A + B).
8-lT)
26. S i A = B C y A + B = I. hallar A C - C.
-2
-2
-6
-6
1
27. D e m o stra r qu e la matriz
A =
t r a n s f o r m a c io n e s e l e m e n t a l e s
-3
2
9
2
0
-3
_______________
D a d a un a matriz de cualquier orden, s e p u e d e n desarrollar a lg u n a s o p e ­
e s periódica y hallar su período
ra cio n es sim p le s co n la s filas y c o lu m n a s sin ca m b ia r el orden de la matriz. El p rop ó­
sito fundam ental e s el desarrollo de m atrices p ara sim plificar a lg u n o s cálculos y
28. S i B e s la in ve rsa de
29. S e a n la s m atrices
A =
A =
1
0
0
3
2
0
0
0
5
4
3
4
2
3
0
2
1
0
-1
2
1
3
-1
1
1
1
2
0
0
-1
1
2
tam bién a lca n za r resultad os teóricos significativos
, hallar (b13) (b23) ( b j
8.11.1 )
y B=
1
-1
2
1
0
1
1
1
1
0
0
-1
-1
0
1
0
30. S e a
A =
3 - 2 6
3 - 2 6
0 - 2 6
0
0
0
S e a A e K m*n una matriz c u y a s filas s o n F „ F 2, F 3,........ F n y c u y a s
3 1 .Si
a-b
2
3
b-x
a-x
A =
a
32. D a d a la matriz
A =
2.
F A
i
F (X )A
3.
F;(X)A
^ Multiplicación de la fila i de A por un e sc a la r X *
0
M ultiplicación de la fila j de A por un e sc a la r X * 0, y s u m a n d o la fila F.
E sta operación s e representa por el vector de la fila : X F |+ F t
elem entales fila y los tres tipos de o p e ra cio n e s s e denota por
-1
e s u n a matriz sim étrica, hallar A 2
4
1
Intercam bio de d o s filas de A
L a s tra n sform a cione s elem entales co lu m n a s o n a n á lo g a s a las transform aciones
6
b
transformación elemental fila a tres tipos
de o p e ra c io n e s qu e d eno ta re m os p o r : F 1|t F t( j ) y F>(X) para significar
Hallar la s u m a d e los c o m p o n e n te s de la
d iagonal principal de la matriz A '.
1
T R A N SF O R M A C IO N E S ELEM EN T A LES FILA O COLUMNA
c o lu m n a s s o n C „ C 2, C 3; ...... C n. S e llam a
S i C = (A B )1+ A. hallar la s u m a S = c21 + c ^ + c^.
4
0
0
para un mejor estudio de las
matrices. D e sta c a re m o s las tra nsform a cion e s siguientes.
1. C A
Intercam bio de d o s co lu m n a s de A
2.
C (X) A
Multiplicación de u n a co lu m n a i de A por un e sca la r X * 0
3.
C '( X ) A
Multiplicación de la co lu m n a j de A por un e sca la r X * 0 y su m a n d o
lu e g o la c o lu m n a C . E s t a o p e ra c ió n s e re p re se n ta por el vector
co lu m n a X C + C,.
0
0
a
1
hallar A n.
0
0
a
,
C o m p ro b a r la fórm ula obtenida por inducción.
P o r ejemplo, p ara la matriz
A =
0
-4
2 'i
-1
1
3
s e tiene :
Capítulo 8: Matrices
428
1.
Intercam bio de la prim era y s e g u n d a filas
f\í
II
u_~
3
1
,2
2.
0
1
-4
5
1
Sección 8.11: Transformaciones elementales
E je m plo s de m atrices e s c a lo n a d a s re d u cidas
1
0
0
-1
2
0
429
3 ,
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
-2 J
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
4
0
0
1
1
0
2
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
3
3
0
0
0 J
0
0
0
0
1
Multiplicación por -2 la s e g u n d a fila
Ejem plo de m atrices e sc a lo n a d a s
F 2 ( -2 ) =
l
3.
1
-2(3)
1
-2(0)
0
-2(-4)
2
-2(-1)
2
5
1
3
=
1
-6
1
0
0
8
2
2
2
5
1
3 .
,
1
0
5
1
1
3
0
0 , 1
5
M ultiplicando por 2 la s e g u n d a fila y luego s u m a n d o la prim era fila
2(3)+1
2(0)+1
2 (-4 )+ 0
2 (-1 )+ 2
3
0
-4
1
2
5
1
3
F 2’( 2 ) =
.
8 .1 1 .2 )
7
1
-8
0
3
0
-4
-1
, 2
5
1
=
8.11.3 )
3 ,
2
4
J
M A T R IC E S E Q U IV A L E N T E S
D o s m atrices A y B s e d en o m in a n
equivalentes si u n a de ellas s e
M A T R IZ E S C A L O N A D A
d ed u ce de la otra m ediante una s u c e sió n finita de tran sform acion e s elem entales de
línea (fila o colum na).
U n a A e K mxn, cu y a estructura e s d e la form a
m ediante op e ra cio ne s elem entales fila a una matriz en form a e sca lon a d a por filas.
El siguiente ejemplo n o s m uestra que toda matriz de orden m x n puede se r reducida
A =
V*
1
0
0
0
•
•
•
a
0
0
0
•
•
•
b
1
0
0
•
•
•
c
e
0
0
•
•
•
d
f
1
0
•
•
•
•
•
•
•
0
0
0
0
0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
X
1
r filas no nulas
y
z
0
•
•
•
0
^ je m p lo ^ jT j
J
’
A
é
-
Solución
A :
2.
El primer elem ento no nulo de ca d a u n a d e la s r filas no n u la s e s la unidad
E n c a d a una de las r filas no nulas, el n ú m e ro de c e ro s qu e preceden a la
F,<(-2)
unidad crece aritm éticam ente de fila a fila .
4.
1
2
3
2
2
5
4
3
2
3
1
2
1
0
3
2
2
1
4
3
2
-1
1
2
1
0
0
2
2
1
-2
3
2
-1
-5
2
1
0
0
0
2
1
-2
-1
2
-1
-5
-2
1
0
0
0
2
1
-2
0
2
-1
-5
-3
1
0
0
0
2
1
0
0
2
-2
-7
-3
1
0
0
2
1
0
2
-2
1
1
0
0
2
1
0
2
-1
1
0
0
-3
0
0
0
S i existen s filas c u y o s e lem entos s o n ceros, e sta s s e encuentran en la parte
inferior de la matriz
3.
=
>> s filas nulas
s e dice que e s e sc a lo n a d a reducida si la s c o n d ic io n e s sig u ie n te s s e satisfacen.
1.
R e d u cir a la form a e sc a lo n a d a por filas la matriz
T o d a s las co lu m n a s que tiene el primer elem ento diferente de cero, de alguna
fila, tienen ce ro s en to d as la s p o sic io n e s restantes.
S i u n a m atriz c u m p le la s p ro p ie d a d e s 1, 2, y 3, s e dice q u e e s tá e n form a
escalonada.
F3(-1/7)
= B
430
Capítulo 8: Matrices
E x p lic a c ió n .
E n la prim era iteración F 12 s e intercam bió la s e g u n d a fila por la
S o lu c ió n . R e a li z a n d o s u c e s i v a m e n t e la s t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n t a le s
tendrem os:
prim era co n el objeto de que a p a re zc a el 1 en la n u e va prim era fila
y que servirá de pivot, para q ue en la s s u c e s iv a s iteraciones a p a re zc a n c e ro s deba­
jo del 1. A s í en la se g u n d a iteración F ,2(-2) s e m ultiplicacó la prim era fila por -2 y
luego s e s u m o la s e g u n d a fila. E n la cuarta iteración F 14(-2) ya te n e m o s tres ceros
A:
F,
debajo del 1 de la prim era fila y apa re ce en la s e g u n d a fila (0, 1, *1) el elem ento 1
que servirá d e n u e vo pivot para transform ar en c e ro s los ele m e n tos que e stán deba­
jo de él. La quinta y se xta iteración m uestran este proceso . E n la sétim a iteración se
multiplicó por -1 R la tercera fila para obtener (0, 0 ,1 ). Finalm ente, m ediante esta fila
FJ1/2)
pivot y la octava iteración s e logra ce ro s en la última fila.
E n este ejem plo s e a logrado u n a form a e sca lo n a d a , sin em bargo, la matriz
equivalente B obtenida, de este m odo, no e s única, toda v e z que e s p osible efectuar
op e ra cio n e s elem entales co lu m n a y obtener otra form a e sca lon a d a.
I Nota.
431
Sección 8 .1 1: Transformaciones elementales
4
2
1
1
3
-5
-4
7
-2
0
' 1 4 -5
0 2 -4
F,3(-3) 0 -11 22
0 1 -2
2 3 0
'1 4
0 1
0 -11
0 1
0 -5
-3
-2
22
-2
1 4 -3
F23(11) 0 1 -2
0 0 0
F2s(5) 0 1 -2
0 0 0
1
0
3
0
2
10
f24(-D
1
0
0
0
0
4
1
0
0
0
-3
-4
22
-2
10
-3]
-2
0
0
0
=B
La última matriz e sc a lo n a d a B tiene d o s filas no nulas, por lo que:
Una matriz cuadrada A e K n escalonada es una matriz triangular superior,
pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.
P (B )= p (A ) = 2
Anteriorm ente h e m o s visto qu e u n a matriz triangular era inversible si só lo si
no existen c e ro s en la d iagonal principal; e sta característica e s tam bién válida para
F,5(-2)
1 4
0 2
0 -11
0 1
0 -5
Ejemplo
3
J
Hallar el rango de la matriz
A =
las m atrices e s c a lo n a d a s cu a d ra d a s.
25
75
75
25
31
94
94
32
17 43
53 132
54 134
20 48
V e re m o s a continuación las ventajas q ue ofrece la reducción de u na matriz en otra
que tenga form a e sca lona d a.
8.11.4 )
Solución .
R A N G O D E U N A M A T R IZ
A:
El ra n go de una matriz e s igual al n úm ero de filas n o n u la s que quedan
P o r el m étodo de las transform acion e s elem entales s e tiene:
25 31
0 1_
0 1
l o 0
25 31 17 43 '
F4,(-1) 75 94 53 132
0 0 1 2
F,3(-1) l o 1 3 5 J
F,2(-3)
í 250 251
0 0
F?3(-1) w 0 0
F,(1/25) í 01
0
f34(-i )
l 0
*3 4
17 43
2 3
3 5
1 2J
en la última iteración de las s u c e s iv a s tra n sform a cion e s elem entales que s e hacen
con la matriz.
^ (-6 )
S e d e d u c e q u e p a ra ha lla r el ra n g o d e u n a m atriz e s su ficie n te tra n sfo rm a rla a
s u fo rm a e s c a lo n a d a . C o m o d o s m a tric e s e q u iv a le n t e s tie n e n el m is m o rango,
el ra n g o de d ic h a m atriz s e r á igu al ra n g o d e la m atriz e s c a lo n a d a . S i d e s ig n a ­
m o s por
r
el n ú m e ro d e fila s n o n u la s de la m atriz e s c a lo n a d a , e n to n c e s el
5 25
2 3
1 2
1 2,
1 1/5
1 2
0 1
0 0
1
3
?
0,
= B
La última matriz e sc a lo n a d a tiene tres filas no nulas, por tanto
p (B) = p (A) = 3
ra n g o de la m atriz s e d e n o ta
p (A ) = r
| E je m p lo
2 J
Hallar el rango de la matriz
A
=
0 2 -4
1 4 -5
3 1 7
0 1 -2
2 3 0
8 .1 1 .5 )
M A T R IC E S E L E M E N T A L E S
L a m atriz q u e re su lta d e a p lic a r u n a tra n sfo rm a c ió n elem ental de
m atriz ele­
m ental ele línea. L o s s ím b o lo s q u e s e e m p le a n p a ra u n a tra n sfo rm a ció n elelín e a (fila o c o lu m n a ) a la m atriz ide n tid ad I (i recib e el n o m b re de
432
Capítulo 8: Motrices
m ental d e lín e a q u e o rig in a u n a m atriz id e n tid a d s e m u e stra e n el sig u ie n te
433
Sección 8 .1 1: Transformaciones elementales
El resultando anterior n o s su g ie re la siguiente definición
ejem plo.
S i existe una se c u e n c ia de m atrices elem entales
D E F IN IC IO N 8 .2
Ejemplo 4 j
D a d a la matriz
I3 =
1
0
0
1
0 '
0
0
0
1 ,
E ?> E 3................. E m, tales que
, las m atrices elem entales
E mE m • i
s e dice e n to n ce s qu e A e s
E...E..A = B
equivalente por filas a B, y s e escribe
que p o d e m o s obtener, entre otras, son:
A sB
0
1
0
1
0
0
0 ’
0
1
’ 1
0
0
0
1
0
0
0
' 1
= 0
0
0
1
0
=
=
E,(«) =
Intercam bio de la prim era y s e g u n d a filas.
Ejemplo 6J
Multiplición de la tercera fila de la matriz d ia go n a l por
Hallar u n a matriz e sc a lo n a d a equivalente por filas a la matriz
a.
A
=
a
1
1. Intercam biar la prim era y s e g u n d a fila
S e establece la posibilidad de ejecutar, de m ane ra indirecta, un a op e ración e le m e n ­
las filas de la matriz identidad I n y, d e sp u é s, s e premultiplica la matriz A (se multipli­
F,3(-1):
ciado anterior e s el siguiente ejemplo.
1
3
.2
'v
S e a la matriz
A =
-1
1
0
2
3
-1 ,
1
3
-1
1
4
-2
F,3 (-2 ):
P o r lo q u e :
E ,3(2) A =
0
1
0
0
-1
1
2
1
2
0 ,
-1
0
10
1
1
2
0 -4
= B
L a s m atrices elem entales, ob ten id as de I 3, para la s op e ra cio n e s con filas son, re s­
pectivam ente:
e
0
0
1 0
0
1 ,
1 0
1
0
0
S e tiene un a matriz e sc a lo n a d a equivalente por filas a A.
I 3, la matriz elem ental resultante es:
1
0
2
1
2
1
1
Al efectuar la m ism a operación en las co rre sp o n d ie n te s filas de la matriz identidad
E ,3(2) =
-1
1
1
3. Multiplicar la s e g u n d a fila por -2 y su m a r la tercera fila
S i la prim era fila de A s e s u m a d o s v e c é s a la tercera fila s e obtiene la matriz
F,3 (2) A = B =
1
0
1
2. R e sta r la prim era fila de la tercera
ca a la izquierda d e A ) por la matriz elem ental resultante. U n a ilustración del e n u n ­
Ejemplo 5 I
2
1
1
Solución . L a s o p e ra cio n e s elem entales co n filas qu e d eb e n efectuarse son:
Multiplicación de la tercera fila p o r a y su m a n d o a la
se g u n d a fila.
tal en las filas de u na matriz de m x n si, primero, s e ejecuta la m ism a operación en
r
1
-1
1
k 1
o'
a
0
1
12 =
0
1
1
0
0
0
0
0
1
, E ,3(-1) =
1
0
0
1
0
0
-1
0
1
.
E 23(-2) =
1
0
0
1
0
0
0
-2
1
A h o ra bien, la s o p e ra cio n e s para encontrar B por m edio de e sta s m atrices elem en­
11 -1
-1
33 11
, 2
0
22
33
-1 ,
=
11 -1
-1
11
3
. 4
-2
2
3
3 .
2
tales s o n :
3=B
e
,2 -
a
=
f
,2 =
’ 0
1
0
1
0
0
0 ’’ 0 1
0
1 -1
1
1 1
2
1
1
' 1 -1
—
0
1
1
1
1 '
2
1
434
Capítulo 8: Matrices
'
E ,3( - 1 ) - F l2 =
F,3(-1)
1
0
-1
0
1
0
0
0
1
: 1
0
0
1
o
0
=
E 23(-2) . F ,3(-1) = F 23(-2) =
0
-2
1
:
1
' 1
' 1
0
1
-1
1
1
2
1
■1
0
-1
1
1 '
2
0
2
0
0
-1
1
2
2
0
: 1
0
-1
1
1 :
2
=
=
0
0
435
Sección 8.11: Transformaciones elementales
1 ’
C o m o A h a sid o reducida a la matriz e sc a lo n a d a
-4
0
f1
0
-1
2
1
-2
1
-1
0
0
0]
0
0
1
0
1
0
E =
-1
1
2
-2
0
1
1
que no tiene
C o m o resulta laborioso escribir el producto de m atrices c o rre sp o n d ie n te s a cada
cero en la dia go n a l principal, la matriz A e s inversible.
operación fila, e s conveniente utilizar u n a notación a breviada e m p le a n d o un a fle­
C o n tin u a n d o co n la s o p e ra c io n e s elem entales co n filas, n e c e sa ria s para reducir la
cha, so b re el cual se indica la matriz elem ental a d e cu a d a , en b a s e a la cual, las
matriz A a la identidad, s e tiene :
1
í 0
A = 1 -1
1
2]
1
1
F„
1
r i
0
-i
1
1
i
V.
1
r i
0
F ,3(-1)
0
V.
2
1/
X
r
-1
1
1
2
2
0
-1
1
r i
F 23(-2) 0
V
0
1
2
f 23 =
V
y
0 -4
1
-1
1
1
0
0
2
-2
-1
0
1
0
0
1
0
1
0
IN V ER SA DE UNA M ATRIZ PO R E L METODO DE LA S
F?(1/2)
M A TRICES E L E M E N T A L E S (M étodo de G a u s s - Jordán)
s.
1
0
0
1 /2
0
1 /2 '
0
2
-2
-1
0
1
0
0
1
0
1
0
y
f
0
0
1 /2
0
1 /2 '
0
1
-1
-1 /2
0
1 /2
0
0
1
0
1
0
1
8.1 1.6 )
0
TI
to
op e ra cio n e s se representan co m o sig u e
r
El m étodo de G a u s s - Jo rd a n co n siste en lo siguiente:
de orden n x 2n, a ñ adie n do a la d erech a de A u n a matriz unidad. Luego, h aciendo
\
i
-1
0
2
1
1
.0
2
0
A ’=
P a ra la matriz d ad a A de orden n, s e co n stru ye un a matriz rectangular r A = (A 11)
f 32(1)
^
0
1/ 2 '
- 1 /2
1
1 /2
0
1
0
0
0
1 /2
0
1
0
0
0
1
1
= (HB)
y
u so de las transform acion e s elem entales so b re las filas, s e reduce la m atriz r A a la
form a (l I B), lo q ue e s siem pre posible, si A e s inversible. E n este c a s o B = A
No
e s p reciso co n o ce r de an te m an o si A e s inversible. S e p ued e deducir fácilmente si A
f 3
Ejemplo
8
j
4
Hallar A ’ para la matriz A =
2
e s inversible durante las s u c e siv a s tra n sform a cion e s elem entales para hallar la m a­
triz ( I I B). S i uno de los elem entos de la d iago n al principal de la matriz e sc a lo n a d a
E en (E I B) e s cero, e n to n ce s A no e s inversible.
Solución.
F o rm a m o s la matriz r A = (A I I) y e m p le ando el m étodo de G a u s s
Jo rd á n te n d re m o s :
Ejemplo
7
D eterm inar si
A =
' 1
0
1
-1
0
1’
1
1
%
t
e s inversible.
(A 11) =
-1
S i a s í lo fuera, calcular s u inversa.
3
2
1
1
0
0
4
5
2
0
1
0
2
1
4
0
0
1
\
'1
F ,(1/3)
1/3
1/3
0
0'
5
2
0
1
0
2
1
4
0
0
1
y
X
/
r
S o lu c ió n .
2/3
4
Prim ero e fectuam os la s o p e ra c io n e s co n filas para reducir A a una
F,2H )
matriz e sc a lo n a d a E. E m p e z a m o s fo rm ando la matriz r A = (A 11)
F3,(-2)
1
2/3
1/3
0
7/3
2/3
0 -1/3 10/3
1/3
0
O'
-4/3
1
0
-2/3
0
1
F j (3/7)
1
0
0
1/3
0
2/7
-4/7
3/7
0
0
-1/3 10/3
-2/3
0
1
2/3
1/3
1
y
X
-1
1
1
0
o'
0
0
1
0
1
0
1
1
-1
0
0
1
'1
(A 11) =
% V.
" 1
-1
1
1
0
o'
0
0
1
0
1
0
0
2
-2
-1
0
1
F ,3(-1)
y
f.
F ’(-2/3)
^
X
X
1
5/7 -2/7
0
1/7
0'
0
1
2/7
-4/7
3/7
0
0
0 24/7
6/7
1/7
1
4
'1
0
1/7
5/7
-2/7
F 3(7/24) 0
1
2/7
-4/7
3/7
0
0
0 '
0
1 -1/4 1/24 7/24
436
Capítulo 8: Matrices
r
F 3’(-1/7)
F 3j (-2/7)
1
0
0
1
1
0
3/4
0
0
-1/2
1
-1/12
1/24
18
-7
-1
10
-2
1
F42(4)
= (I I B)
7/24
-12
-6
24
-1/24 '
5/12
-1/4
1
A ’=
-7/24
r i
0
-2
1
0
0 -1
0
1
0
-2
1
0
0 -1
0
-1
1
0
-1
0
1
0
4
*7 0 !
0
1
-2
0
0
1 -1
4
2
-1
-1
2
1
0
0
-5
F,3(-3)
0 -1
3
0
1 0
4
-1
-5
3
0
0
0
1
F ,4(*4)
0 -1
3
-1
0
0
4
t 1
0
-2
1
0
0 -1
0
F 43(-5)
F 3(1)
7
F / (1 )
Ejemplo 9 I
Determinar, si existe, la in ve rsa de
1
2
1
A =
6
4
2
4
-1
5
0
1
-2
0
0
1 -1
0
0
1
0
1
1
1
-1
0
1
3
5
0
1
0
-1
6
4
1
0
0
2
4
-1
0
1
0
F,3(1)
.0
6
1
0
0
-8
-9
-2
1
0
8
9
1
0
1
F 23(1)
1
2
2
1
0
0
2
3
1
F 32(2)
0
0
1
0
1
1
1 -1
F 34(-1)
0
0
0
-1 -1
0
2
*2 1
2
6
—y
-1
2
5
0
0
1
e s inversible. P o r lo que :
” 1
6
4
1
0
0
0
-8
-9
-2
1
0
. 0
0
0
-1
1
1 ,
4 '
0
0
0
1
2
3
0
1
0
0
2
3
1
2
0
0
1
0
1
1
1
-1
, o
0
0
1
1
0 -2
-6
' 1
4
F / (1 )
N
0
0
1
\
U s a n d o el m étodo de G a u s s - Jo rd a n s e tiene :
F,2(-2)
0
0
\
1
Solución . S e a la matriz : F A = (A 11) => (A 11) =
4
1
f 1
F 3’(2)
4
2 -5
La matriz e sc a lo n a d a E no tiene cero en la d iagonal principal, luego, la matriz A
r
1
437
Sección 8.11: Transformaciones elementales
F 4(-1)
=
A ’1
.
M ultiplicando por A •’ a m b o s m ie m bro s de la ecuación d a d a s e tiene :
A 1A X = A 1B <=> X = A 1 B
C o m o la matriz e sc a lo n a d a E tiene un cero en su d iago n al principal, la matriz A no
e s inversible.
! E je m p lo
■
10 ^
-6
-26
6
20
•13
S i A = 2 B - 1 => B = 1 /^ (A + I) = 1/2
S e sa b e que la matriz X = [xi(] satisface la e cu a ción A X = B,
en donde:
P o r tanto:
A = 2 B - 1=
22
-17
-1
-6
5
0
-26
20
2
17
-1 3
-1
4
-1
-5
3
171
23
-17
-1
0
3
-1
4
-1
-5
4
X ?t = (a2i) ’ bi4 = 1/2 (2, 3, 1, 2) • (17, -13, -1, 4 ) =
1
x 43 = K ) ' ’ b ,3 = 1/2 0 - °- *2 - ' 6 ) • (*2 6 - 2 0 - 3 - *5 ) = - 1
Ejemplo 11j
R e so lv e r la e cu a ción matricial A X B = C, sa b ie n d o que
M o stra n d o en primer lugar que A e s inversible, determ inar lo s e le m e n tos x24 y x43
'3
-1 '
'5
, B =
J
7
6 '
8
'1 4
h
-2
>s
t
5
O
A =
de la matriz X.
9
16'
10
S o lu c ió n . P a ra determ inar si A e s inversible fo rm a m o s la matriz F A = (A I I) y
Solución .
m ediante las o p e ra cio n e s elem entales te nd rem os qu e :
C\J
CM
(All) =
-6
-17
5
-1
0
k 4
-1
-26
17
1
0
0
0 '
2 0 -13
0
1
0
0
2
-1
0
0
1
0
-5
3
0
0
0
1 ,
'
F 3(-1)
F,,
13
1
0
-2
1
0
0 -1
o'
-17
5
20
-1 3
0
1
0
0
-6 -2 6
17
1 0
0
0
0
0
1
22
,
4 -1
-5
3
0
M ultiplicando por A '1 (izquierda de X) a m b o s m iem bros de la ecuación
matricial s e tiene :
A '1 A X B = A ’ C
=> X B = A ’C
Multiplicando por B ' (derecha de X ) a m b o s extrem os de (1) obtenem os:
,
(1)
438
Capítulo 8: Matrices
X B B ’ = A ' C B ' 1 => X = A ’C B ’
EJERCICIOS : Grupo 46
(2)
2. A =
m atrices rectangulares r A = ( A 1 1 ) y r B = ( B 11 )
( A 11 ) =
F , 2( - 1 ) ,
F ;(1 / 3 )[
( B 11 ) =
F,(-1) [
-1
3
-1
1
0
F,(1/3)
-1/3
1/3
0
5
-2
0
1
F „(1/5)
-2/5
0
1/5
-1/3
1/3
0
1
-1/3
1/3
0
0
-1/15
-1/3
1/5
1
F,(-15)
5
1
0
2
-1
1
5
-3
5
6
1
0
F,(1/5)
6/5
1/5
0
7
8
0
1
F 2(1/7)
8/7
0
1/7
1
6/5
1/5
0
6/5
1/5
0
0
-2/35
-1/5
1/7
1
0
-4
3
0
1
7/2
-5/2
°1
3
2
3
0
-3
-2
s
a2
b2
c2
a
b
c
trices
-3
F (-35/2)
1
7/2
-5/2
F.H-S/S)
=>
J
B 1 =
—
2
7
-5 ,
)
16
9
10,
7
X =
CD
14
-3 ,
-3 J
1
19
2
.4 3
22
50,
-8
6 '
.7
-3 ,
2
4
2
-1
-2
-1
3
5
1
8.
'3
5
1
7
-1
-3
-3
-5
3
2
-5
1
9.
' 1
2
5
^7
3
-1
1
7
5
-3
-1
9
t
de d on d e o b te n e m o s
-i'
00
2
.5
2
4
a3
b3
c3
a4 '
b4
c4
=
r 1
0
0
>
A =
r 1
3
2
-1
-1
2
4
-2
5
4
7
2
-2
1
8
10.
V.
E n los ejercicios 1 a 4, reducir ca d a una de las m atrices a una matriz e sc a lo n a d a
12.
-1 '
4
7
1
f
13.
l
i
1
1
-i
0
0
2
1
1
J
>
II
i
0
-1
A X = B, si
A =
1
,3
CJ
r
" 1
5
6
-1
-5
-6
2
10
12
0 '
0
3
.-1
1
*2
1
,
-6
y
y B =
abe
-(ab + be + ca)
a + b + c
✓
2
1
1
3
3
2
3
2
1
2
4 ^
y B =
201
-2 9 4
128 4
19
40
59
36
36
* 73
98
71
72
147
219
141
-3 8 "
-80
-1 1 8
-72
45
61
32
19
11
25
31
-28
-37
-7
12
13
-18
-43
39 "
50
-11
-55
42
13
29
-55
-68
í 17
24
-67
98
-4 2 8
' 3
5
9 -/
\
>
14.
X A = B, si
A =
3
-2
^ 5
-4
y B =
155
86
52
35
23
1
47
26
16
E n lo s ejercicios 13 a 16, resolver la s e c u a c io n e s m atriciales
m ediante u na s u c e sió n finita de op e ra cio n e s elem entales co n filas. (L a s so lu c io n e s
1. A =
0
0
1
0
1
0
11. ' 24
49
73
47
2
51
3 \ 4
-7
0
1
4
EJER C IC IO S . Grupo 46
que s e d an no s o n ú n ica s ).
5
E n los ejercicios 7 a 12, hallar el ra n go de la matriz d ad a e m p le a n d o el m étodo de
P o r lo que, en (2 ):
X = J2
-1
las tra nsform a cion e s elem entales.
f
6
56
2
2 1
-1
5
probar que A s B
)
7.
-8
1
0
4
4
-1
A '1 =
11
4
f 2
1
11
M ed iante un a su c e sió n finita de o p e ra c io n e s elem entales co n filas, dem ostrar
que:
-3 J
0
=>
5.
)
-1
4
3
2
1
II
<
P a ra hallar las in v e rsa s de A y B por el m étodo de G a u s s - Jordán, co n stru im o s las
f 2
1
-2
439
-1
V. -5
2
6y
y
440
Capitulo 8: Matrices
15.
A X = B, si
1
2
-3
3
2
-4
.2
-1
0
5
3
1
1
-3
-2
>-5
2
A =
y
1
-3
0
co n siste b ásica m e nte en reem plazar el siste m a d a d o por otro equivalente en el que
10
2
7
se p u e d a calcular fácilmente la s raíces. E n tal sentido las transform acion e s elem en­
. 10
7
8
tales a p lic a d a s a la s m atrices sim plifican el d esarrollo de e s ta s y co m o tal, n o s
-8
3
0
-5
9
0
. -2
15
=
b
.
441
Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales
ofrecen la posibilidad de u na ve n ta jo sa a plicación p ara re solve r un siste m a de
16.
X B = B. si
A =
y
=
b
1 ,
e cu a c io n e s lineales.
E n un siste m a de la form a :
0.
+ a,„x„ = b,
17. Hallar la matriz X q ue cum ple la ecuación: ( X - 2 I ) B + 3 C = D
donde,
2
1
5
-3
3
0
. 4
-2
4.
1
0
3
4
-1
1
.0
0
B =
,c =
1
2
1
3
-1
-4
. 5
3
,D =
1.
a „ x , + a„x„ +
4
8
3
-1
2
10
, 12
7
+ a„_ x„ = b„
(1)
5 ,
'
Si
A =
,B =
2 ,
-2
3
0
1
0
0
. 2
1
-1 ,
+ a mn
x
a m,X ,+ a m2 X2 +
, hallar (si e xiste)X tal qu e A X B
n
= bn
con las co n sta n te s reales de e sta s e c u a c io n e s s e p u ed e establecer el siguiente
E n lo s ejercicios 19 a 34, hallar la s in ve rsa s de las sig u ie n te s m atrices, em p le ando
arreglo de m x n.
el m étodo de las tran sform acion e s elem entales.
x
b
-1
0
-z
y
c
1
20. ' 3
0
5
2
3
6
4
3
-4
1
2
3
-3^
1
1
2
.;
2
2
é
22 .
'0
2'
21.
/
0
0
2
1
0
3
7
2
1
1
6
2
-1 '
4
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
3
3
23. ' 2
3
2
4
6
5
3
5
2
-3
24. '1
1
1
2
3
3
3
4
5
14
14
1
V.
4
(2)
'
al q ue llam are m o s
matriz de coeficientes del siste m a (1).
A lo s vectores
í
25. La matriz X = [x(¡ ] sa tisfa ce la ecu ación X A
A = 7B + I =
A =
2
6
5
3
7
4
5
-2
-3
= B, en d o n d e :
í
X =
X> l
•
í
b’
b2
•
03
II
a
1
0
0
<
1
0
0
0
19.
•
. M o stra r que A e s inversible y hallar x23 + x 31.
Xn
.
.
bn
^
vector columna de las incógnitas o vector solución y
vector columna de los términos independientes. P o r lo que el siste m a (1) se puede
llam arem os, respectivam ente,
8.12^ S IS T E M A S D E E C U A C IO N E S L IN E A L E S
representar del siguiente modo:
AX
= B
R e co rd a n d o que la resolución de u n a e cu a ción implica la b ú sq u e d a de
e c u a c io n e s equivalentes m á s sim p le s en los que resulta fácil determ inar la raíz o
Al adjuntar el vector colum na B a la matriz A. s e determ ina una matriz de m x (n+1),
raíces, la aplicación de este criterio a la resolución de siste m a s de e c u a c io n e s linea­
que d e sig n a re m o s por A', a la cual llam are m o s
les su gie re que, el m étodo para hallar el conjunto so lu c ió n de un siste m a lineal
siste m a (1) y s e escribirá del siguiente modo:
matriz aumentada o ampliada del
442
Capitulo 8: Matrices
"
a i2
a„
a22
a21
•
A ' =
•
•
•
•
•
•
•
am
•
•
•
•
•
a mi,
a m2„
•
•
•
•
b) El siste m a de e cu a c io n e s correspondiente e s
b’ 1
b2
•
3 2n
•
•
•
•
•
•
a mn
x,
2x, + x 2 - 3 x 3 = 0
es: A * =
x, + x 2 + x 3 = 2
£
-1
1
1
3
0
1
1
1
2
2
variables principales. D e ja ndo e sta s variab le s principales, en
térm inos de x4, s e obtiene
x, = 3 - 2 x 4 , x 2 = -4 + x4 , x 3 = 2 - 5 x 4
4
2
3
x4 = - 4
C u a n d o e s el c a s o que ca d a una de la s incógnitas x,, x 2 y x 3 inician un a e c u a ­
bm J
\
1
-
x3 + 5 x 4 =
smplo, la matriz au m e n tad a del sistem a de ecua cion e s:
x2 + *3 = 4
. 2x4 =
+
x2
ción, se les llama
x, -
443
Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales
A s ig n a n d o a x4un valor arbitrario t, s e tiene un núm ero infinito de solucio n e s. El
conjunto solu ció n q u e d a definido por las fórm ulas:
x, = 3 - 2 t , x 2 = -4 + t , x 3 = 2 + 5 t <=> X = (3 - 2 t , -4 + t , 2 - 5 t , t)'
✓
T e n ie n d o en co n sid e ra ción q ue la s filas d e un a matriz a u m e n tad a co rre s­
¡ e je m p lo
2 ^
■
R e so lv e r por tra n sform a cion e s e lem entales el siste m a
en
p ond e a las e cu a c io n e s del siste m a asociado , el m étodo p ara re solve r el sistem a,
2 x, = -2
2 x,
la form a qu e s e a suficiéntem ente sencilla (form a e sc a lo n a d a reducida) c o m o para
4x, + 6 x 2
pod er a lca n za r la solució n del siste m a por sim ple insp e cción o, en s u defecto, luego
2 x, + 7 x 2 + 4 x 3 = 24
+
e m p le a n d o matrices, s e su ste n ta en la idea b á sic a de reducir la matriz au m e n tad a a
X3 =
23
de posteriores e ta p a s que sim plifiquen el problem a.
r
L o s sig u ie n te s ejem plos ilustran el procedim iento a se g u ir en la so lu c ió n de
Matriz a u m e n tad a del sistem a:
s iste m a s de e cu a cio n e s lineales.
e je m p lo
1 J
-5
2
-2
4
6
-1
23
.2
7
4
24,
P a ra transform ar e sta matriz a la form a e sc a lo n a d a reducida se p roce­
de del m od o siguiente:
( 1 ) s e ha llevado, m ediante o p e ra cio n e s en las filas, a la form a e s c a lo n a d a reducida
que s e m uestra a continuación, hallar la solu ció n de los siste m a s:
a)
2
S u p o n ie n d o en ca d a uno de los c a s o s sig u ie n te s q u e la matriz
a u m e n tad a de un siste m a de e c u a c io n e s lineales de la forma
1
0
0
A ' =
0
1
0
1
0
1
P a s o 1.
/
7
3
b)
-2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
-1
-4
5
2
3
Localizar en el extrem o izquierdo la co lu m n a que no co n sta e xclu siva ­
m ente de c e ro s (se ñ a la n d o con asterisco).
S o lu c ió n .
a) El siste m a de e cu a cio n e s co rrespondiente e s
P a s o 2.
+ x3 = 7
x,
x2
2
6
-1
-2 '
23
>2
7
4
24,
Intercambiar, si e s necesario, la prim era fila co n otra fila, de tal m anera
risco se a diferente de cero. (E n este c a s o co m o 2 * 0 no e s ne ce sario
X3 = -2
.-. C . S = { x,, x2, x3 } = { 9, 3, -2 }, o bien : X = (9, 3, -2)’
-5
que el elem ento que e stá al co m ie n zo de la co lu m n a se ñ a la con a ste ­
=3
P o r sim ple in sp e cción : X3 = -2, x2 = 3 y en x, + x3 = 7, resulta x, = 9
' 2
4
intercam biar filas).
P a s o 3.
a, enton­
Ma, de m od o qu e el primer elem ento
S i el primer elem ento de la co lum a se ñ a la co n a ste risco e s
ces, multiplicar la prim era fila por
s e a 1 , esto es:
444
Capitulo 8: Matrices
I Nota.
'1
4
k2
P a s o 4.
-5/2
1
6
-1
23
7*
4
24,
-1 ’
El procedim iento esquem ático em pleado para resolver un sistem a de
ecuaciones lineales, se conoce con el nombre de eliminación de Gauss-Jordan.
Ejemplo J
j
R e so lv e r m ediante la elim inación de G a u s s , el sistem a:
S u m a r múltiplos a d e c u a d o s de la prim era fila a la s filas q ue le requie­
ren, de tal form a que la co lu m n a se ñ a la co n asterisco, to d os los ele­
m en tos a excepción del prim ero s e a n cero.
s
1 -5/2
1
-1
1
0
16
-5
27
0
F 23 (-1),
12
2
26 s
V. 0
.0
P a s o 5.
445
Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales
x, +
2x2 - 3x3
x. +
3x„
2x,
+
4x; = 6
x3 - 2 x 4 = 4
5x, = 10
5x2 - 2x3
\
-5/2
1
-1
4
-7
1
12
2
26 /
Solución.
L a matriz au m e n tad a del siste m a es,
F,z(-2) (
p resente en form a e sca lon a d a. E sto es:
f
\
1
-1
1
-7/4
1/4
6
1
13
0
F 3(1/2)
lo
f
J
0
F 23(-6)
lo
1
-5/2
1
-1
1
-7/4
1/4
0
1
0
lo
1
-7/4
1/4
0
23/2
23/2,
F,3(-2) r
5
-2
-5
1 0
2
-3
-4
6
1
2
-3
-4
6
0
1
4
2
-2
0
1
4
2
-2
0
1
4
3
-2
0
0
0
1
0
1
2
-3
0
6
1
0
-11
0
10
0
1
4
0
-2
0
1
4
0
-2
0
0
0
1
f
F 3’(4)
F 32(-2) (
1 -5/2
1
-1
0
1
0
2
l 0
0
1
1
F 32(7/4)
1 /
V 2
6 '
4
1
f 23( - D
'y.
-1
N
1
F 3(2/23)
1 -5/2
-4
-2
.
f
f
P ro se g u ir del m ism o m od o h a sta c o n se g u ir q ue la matriz com pleta s e
-5/2
-3
1
triz au m e n tad a a la form a e sca lon a d a, s e tiene:
el p ro c e so a la subm atriz resultante, d e sd e el p a s o 1.
1
2
3
Sig u ie n d o los p a s o s descritos en el Ejem plo 2 para transform ar la m a ­
D e sta c a r la prim era fila de la matriz co n u n a línea de p u ntos y reiterar
F t(1/4)
1
1
A ' =
y
V0
0
1
0
2,(*2) _
0
El siste m a de e c u a c io n e s correspondiente a e sta
x,
-
\
s
f
11X,
/
0 y
última matriz e sc a lo n a d a es:
=10
O b sé rv e se qu e la matriz com pleta a to m ad o la form a e sc a lo n a d a
X2 +
P a s o 6.
4x3
E m p e z a m o s p or la prim era fila, y a v a n z a m o s h a cia arriba, s u m a r
múltiplos a d e c u a d o s de e sta fila a la s filas q ue e stá n encim a de ella,
=
*2
x4 =
0
R e so lv ie n d o e sta s e c u a c io n e s para las variab le s principales s e tiene:
h a sta c o n se g u ir que la matriz com pleta s e transform e a la form a e s c a ­
x, = 10 + 11 x3 , x2 = -2 - 4 x 3 , x4 = 0
lonada adecuada.
\
_1_ _-5/2
f3’(-D
0
lo
0
-2
1
0
2
0
1
ij
\
F 2’(5/2)
l
1
0
0
0
1
0
3
2
0
0
1
1J
-
Finalm ente a sig n a n d o un valor arbitrario t p ara la variable no principal x3, e sto es,
x3 = t, obtenem os:
x, = 10 + 1 1t
, x2 = - 2 - 4 t
, x3 = t ,
x4 = 0
C o m o la última matriz tiene la form a e sc a lo n a d a reducida, la solu ción
D e c im o s e n to n ce s que el siste m a tiene un n úm ero infinito de solu cio n e s. P o r lo
del siste m a es:
tanto, la notación vertical de la solu ció n del siste m a es:
x, = 3 , x2 = 2 . x3 = 1 => X = (3,2, 1)*
X = (1 0 + 1 1 t
, -2 - 4t
, t , 0 )'
446
: Ejemplo
Capítulo 8: Matrices
4Ì
447
Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales
tes del alimento B y 2z p aquetes del alimento C constituyen 72 u n id a d e s de proteínas,
R e so lv e r el sistem a:
que s e rige por la ecuación:
*
4X4 = 1
2 x4 = 2
n
X
CD
2 x2 +
X3 *
+ 3 x 2 + 7X3 +
- 12 x2 - I I X 3
x + 4y + 2z = 72
A n á lo g a m e n t e , s e g ú n la tabla, p la n t e a m o s el s is t e m a d e e c u a c io n e s p a ra
= 5
carbohidratos y m inerales:
2x + 4y + 4 z = 104
N
Solución .
L a matriz a u m e n m ta d a del siste m a
A' =
' 1
1
-2
3
1
7
-4
2
-12
-11
-1 6
1
2
4x + 2 y + 3 z =
88
La matriz a um e n tad a del siste m a e s
A 1=
-2
1
-4
1
1
-2
1
-4
0
0
5
. 0 -10
6
6
1
0
5
6
6
1
-12
-12
0
0
0
0
6,
fV (2 )r
4 „
„
Ox, + 0 x 2 + 0X3 + 0 x 4 = 6 <=> 0 = 6
F 12(-2 )>
1
I O B S E R V A C I O N 8.13
2
inconsistente. S i por lo m e n o s
h ay u na solución, e n to n ce s s e dice que e s consistente.
dice que el siste m a e s
S u p o n e r q ue la dieta m ínim a vital e s 7 2 u n id a d e s d e proteínas,
104 u n id a d e s de carb ohid ratos y 88 u n id a d e s de m inerales.
U n nutricionista d isp o n e e m p a q u e ta d o s tres tipos de alim entos A. B, y C, qu e por
0
2
32
-40
0
-4
0
k0
0
-5
82 '
1
0
0
8
0
1
0
10
0
0
1
12 .
-4
0
-40
-5
-2 0 0 ,
2
0
1
F 2’( D r
0
1
0
10
> 0
0
1
12,
F,3(-7/2)
F,'(-2),
,
-60 ;
P o r lo tanto, la dieta m ínim a e stá constituida por 8 p a q u e te s del tipo A, 10 p aquetes
del tipo B y 12 p aq u e te s del tipo C.
Ejemplo 6 J
■
U n a fábrica p o se e 5 m á q u in a s que s e utilizan en la producción
de cuatro artículos diferentes A, B, C y D. El núm ero de h ora s
de c a d a m áq u in a e s u sa d a en la p roducción de u n a unidad de c a d a uno de los
cuatro p roductos e s d ad a por la siguiente tabla:
paquete contienen:
Prote ín as
C a rb o h id ra to s
A
1
2
4
B
4
4
2
C
2
4
3
M in e ra le s
E s decir, un paquete del alimento A contiene 1 unidad de proteínas, 2 de carbohidratos
^ ‘""■ '■ - ^ P r o d u c t o
M á q u i n a '" ^ - - ^
A
B
C
D
1ra
7
2
4
3
2da
4
4
4
5
3 ra
10
0
4
7
4ta
9
4
2
11
5ta
10
5
1
13
y 4 de minerales. S e debe entregar a cad a com enzal una dieta m ínim a en un núm ero
entero de paquetes. ¿C u á n to s paquetes de alim entos constituye la dieta m ín im a?
Solución .
72 '
S i un siste m a de e c u a c io n e s lineales no tiene so lu c io n e s
se
Ejemplo
4
F,3(-4 )( , 0 -14
1
Lo q ue e s absurd o, por lo que, el sistem a e s incom patible y ca re ce de solución. ■
72 '
1 04
Efectuand o la s tran sform acion e s elem entales por filas s e tiene :
0
L a última fila co rre sp o n d e a la ecuación
2
4
3
co
,4
r
1
2
00
R e d u c ie n d o Á ' a su form a e sc a lo n a d a s e tiene:
F V H ).
4
4
2
r 1
5y
S e a n x, y, z el núm ero de p aq u e te s de los tres tipos de alim entos A. B,
y C respectivam ente. Entonces, x p aq u e te s del alimento A, 4y p a q u e ­
.
Hallar el núm ero de u n id a d e s que s e d eb e n producir de c a d a un o de los productos
en u na s e m a n a de 5 días, sa b ie n d o que ca d a m áq u in a s e u s a 8 ho ra s diarias.
448
Capítulo 8: Matrices
Solución .
D e s ig n e m o s por x , ,
x2 ,
x3 y x4 el núm ero de u n id a d e s de cada
f
1
0
0
0
0
35 (-1)
artículo A, B, C y D respectivam ente, q ue s e p rod u ce n durante una
s e m a n a de 5 días.
S e g ú n la tabla, la 1ra m áq u in a dedica 7 h o ra s en la producción de u n a unidad del
449
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales
F ,1 (1)
1
5
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
15
0
1
0
5
0
0
1
0
0
0
0
F ¡,(1/5) (
F 21(-1) (
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
2
3
5
0
0
1
✓
producto A, 2 h o ra s en la p roducción de una unidad del artículo B, etc. C o m o en una
se m a n a c a d a m áq u in a trabaja 5 x 8 = 4 0 horas, e n to n ce s la p roducción s e m a n a l de
D e la última matriz o b te n e m o s : x, = 2, x2 = 3, x 3 = 5, x4 = 0
En co n se c u e n c ia , la producción óptim a se m a n a l de la fábrica necesita que s e fabri­
la prim era m áq u ina s e rige por la ecuación:
que 2 u n id a d e s del producto A, 3 del producto B, 5 del producto C y nin gu n o del
7x, + 2x 2 + 4x3 + 3x4 = 40
D a d o que la s m á q u in a s d eb e n trabajar sim ultáneam ente, e n to nce s la producción
producto D.
■
se m a n a l estará d a d a por la solu ció n de las 5 e c u a c io n e s lineales
7 x t + 2 x2 +
4x1+
X
o
10x, +
4X2
9x, +
4X2
10x, +
5X2
4X3
+
3 x 4 = 40
+
4X3
+
S x 4 = 40
+
4X3
8.13 j
+
7X4 = 40
+ 2 x 3 + 11x4 = 4 0
+
X 3 + 1 3 x 4 = 40
La matriz au m e n tad a del siste m a e s
S e a d ad o un siste m a de m e cu a c io n e s lineales co n n incógnitas del tipo
general :
' 7
2
4
3
4
10
9
4
0
4
4
4
2
5
7
11
40
40
40
JO
5
1
13
40,
A '=
D e s p u é s de aplicar las tran sform acion e s s u c e siv a s
f 35(- i
40'
l
F 4s(3/4) ^
= b,
a 21 X , + a 22 X2 + .................. + a 2n
= b2
x , + a m2x2 + ............... + 3 ^
W
xn = bn
) , F 43(-1) > F ,4(-1)
AX = B
(2)
d on d e A = [ a J de orden m x n, X = [ x ] de orden n x 1 y B = [ b ] de orden m x 1. S e
1
-4
2
-4
0
4
4
4
5
40
F ,2H )
-1
-6
-4
-7
F ,3( D
2
2
-2
8
-40
o
5
-3
6
0
1
-4
2
-4
0
J
a t1 x, + a 12 x2 + .................. + a ,n
o bien, en la form a matricial
F 3( - 2 ) , la matriz a um e n tad a s e reduce a:
0
R A N G O D E U N S IS T E M A D E E C U A C IO N E S L IN E A L E S
1
-4
2
-4
0
d eno m in a solució n del siste m a (1) todo vector c o lu m n a de n co m p o n e n te s de X que
(
0
20
-4
21
40
convierte la ecu a ción matricial (2) e s u n a igualdad. Anteriorm ente h e m o s visto que
,
0
-10
-2 -11
-40
F 14(-2)
> ' *r
0
10
-6
16
0
o
5
-3
6
0
consistente o compatible, si tiene por lo m e n o s una so lu ­
ción, de lo contrario s e den o m in a inconsistente o incompatible.
(
1
1
-1
2
0
0
F,3(2)
l
un siste m a s e d eno m in a
J
\
P a ra q ue el siste m a (1) s e a co nsistente e s n e ce sa rio y suficiente que se
verifique :
0
5
-3
6
0
Fo4(-2) ,
0
5
-3
6
0
-10
-2
-11
-40
F ?5H )
r
0
0
-8
1 -40
0
10
-6
16
0
r
0
0
0
4
0
l
0
20
-4
21
40
J
F ?’(1)
l
0
0
8
-3
40
J
S u p o n ie n d o que p (A) = p (A ‘) = r , e s decir, el siste m a e s consistente, en ton ce s
r
1
-1
2
0
]
r
1
1
-1
0
0
]
p ued e ocurrir.
1
0
5
-3
6
0
F ,4(*2)
0
5
-3
0
0
0
0
-8
0
-40
F 3(-1/8)
0
0
1
0
5
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
ü
0
tí
0
40
0
0
1
0
*> J
F43(-1/4)'
F 4( 1/4)
l
F?4(*6) ,
■
J
- »
F s(1/8) i
1
P (A) = p (A 1)
d on d e A ' = (A IB ) e s la matriz au m n e tad a o am p liada del siste m a (1).
1.
Q u e el siste m a (1) tenga una solu ción única. E sto s u c e d e cu a n d o el núm ero
de incógnitas n del siste m a e s igual al rango de la matriz aum entada. Esto es,
si el siste m a tiene n incógnitas, tendrá so lu c ió n ú nica si y só lo si
p (A) = p (A ) = r = n
450
2.
Capitulo 8: Matrices
Q u e el siste m a (1) tenga m á s de una solución. E n este c a s o el n úm ero de
Solución .
In ve stigu e m o s la co n siste n cia del siste m a reduciendo la matriz a u m e n ­
tada ( A I B ) a s u form a e scalonad a, esto e s :
incógnitas del siste m a e s m ayo r que el ra n go de la matriz aum entada. E s
S i ocurre q u e p(A) * p(A'), e n to nce s el siste m a (1) e s inconsistente.
Solución .
F ?(-1/5)
Investigar la co n siste n cia y hallar la solució n del siste m a
x,
2x„
2x,
3x„
3x.
x2
3 x3
+
=
1 -2
2 -3
-1
.3
1
F ,'(2 )
0
F,3(-5)
,0
3
-1
3
1
-3
-2
-1
1
' 1
2
3
-r
0
1
1
-4/5
0
1
1
0
2x3
3
1
2
2
1
1
=
9
9 .
-7
1 -5
-4
0
18 ,
0
18
-3
F»(1/18)i
1
0
.0
3
-1 '
F ,3(*2)
0
-5
-5
4
0
-5
-5
%
0
' 1
2
3
0
1
1
-4/5
0
0
0
4/5
,
F 23(*1)
V.
'u
-7
1 -5
0
0
1
1 Ejemplo 9 J
3
2
.
x, -
x2 +
x3 +
2
6x, - 3x 2 + 4Xg +
4x, - 2x2 +
-4
-3
=
E
S o lu c ió n .
1 ,
c e s p (E) = p ( E ‘) = 3, y co m o A = E, A s E', s e tiene que p (A) = p (A’) = 3, a d e m á s
el núm ero de incógnitas del sistem a e s n = 3, por tanto, el siste m a d a d o tiene so lu ­
ción única.
P a ra determ inar esta solución tra nsform a m o s la última matriz a s u form a e s c a lo n a ­
x4 + 3Xj =
F?(-1)
F4(-1)
8x4
x3 +
+ 3x5 = 9
x4 + 2x. = 1
R e d u cien d o la matriz aum entada (A IB) a s u form a e sca lo n a d a se tiene:
\
1 2
í 26 -1
-3 2 4
6 -3 4 8
1 4 -2
1 1
2 -1 1 2
1 2
0
0
1 2
0
0
1 3
0 0
F,2(*3) 2 -1
F,3(-3) 0 0
0
0
F/(-2) < 0 0
/
F,’(*1) 2 -1
0
0
F?3(-1) n n
f24(*i ), l 0 0
3 2
3
5
3 9
2 1
3 2
4
3
-6
3
4
3
3
0
1
0
2
. 0
0
1
1
x, = 3 , x2 = 2 , x3 = 1
Adem ás
,
Luego, el vector co lu m na solu ción e s : X = ( 3, 2, 1 )'
8 J
0
1
0
0
2
-2
2
3
-4
2
-3
-6 3
-4 -3 )
\
0 -1 -1
2 4 3 =
n -m n
1 0 0 J
-3
E1
C o m o p (E) = p (A I B ) => p ( A ) = p ( A I B ) = 4. por tanto el siste m a e s consistente.
p (A) < n, e n to n ce s hay m á s de un a solu ció n y el n úm ero de variables
libres o p arám etros e s p = n - r
Ejemplo
1
-1
1
-1
■v
E
\
0
✓
2
da reducida
0
= E1
6x, - 3x 2 + 2x3 + 4x4 + 5xs = 3
( AIB ) =
1
-1 '
R e so lv e r el sistem a:
2
-3
O b sé rv e se que las m atrices e sc a lo n a d a s E y E ' tienen 3 filas no n u la s (r = 3), enton­
F3,(7)
Fa2(5)
.
inconsistente.
-2 3
1 -5
^o 5 -7
f
2
D a d o que p (E) = 2 y p ( E ‘) = 3, e n to n ce s p (E) * p ( E 1). P o r lo tanto, el siste m a e s
'i
0
F,2(-2)
F,3(-3)
F „(-1/5)
1
F,2(-1) r
2
=
Re d uciend o la matriz aum entada (A IB) a su form a e sca lo n a d a s e tiene:
>
(A I B ) =
2
valores libres o parámetros.
s e las d e n o m in a
Ejemplo 7
1
, 2
(A IB )=
C o m o r < n, e n to n ce s las n - r incógnitas tom an va lo re s arbitrarios, y a lo s que
f
N
r
decir, el siste m a (1) tendrá m á s de una solución, si y só lo si
p (A) = p (A') = r < n
451
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales
R e so lve r el sistem a
x
+ 2y
+ 3 z = -1
x
-3 y
- 2z = 3
2x
- y
+
z = -2
=>
p = 5 - 4 = 1. T ra n sfo rm a n d o la última matriz
a su form a e sc a lo n a d a reducida s e tiene :
2 -1
FJ-1/10)
F 42(-2)
0
0
l
0
0
0
0
0
1
0
0
0 -1
0 4
1
0
1 0
-1
3
0
]
oj
F32(-4) í 20
0
F3’(Dr l 0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0 -1)
0 3
1 0
0 0J
452
Capítulo 8: Motrices
D a d o que b s e d eb e e x p re sa r c o m o u n a com b inación de U y V, ve re m o s las p osibi­
S i d e sig n a m o s a x. = s c o m o la variable libre, e n to n ce s
2 s - x2 = -1 , x3 = 3
, x4 = 0
E je m p lo 1 0 j
S i el siste m a d ad o : 2x + 3 y -
“
.
x + 5y -
lidades corre ctas que existe en
x5 = 0
Luego, el vector c o lu m n a solu ció n e s X = (s, 2 s + 1 ,
3, 0, 0 )'
■
y
:
P o r lo q u e :
=
(A IB )*
= rU + s V
r = b3 y s = b4 ó r = b4 y s = b3.
r (1, 0, 1, 0)' + s (1, 0, 0, 1)1 ó
= s (1, 0, 1, 0 )' + r (1, 0, 0, 1)*
z - 2w = b?
Si b3 = 0
= > r = b 2 y s = b 4
=> b = rU + s V
- 3 z + 4 w = b4
S i b. = 0
ó
= r(0 , 1 , 0 , 0 ) ' + s ( 1 , 0 , 0 ,
1)' ó
1)'
r = b3 y s = b2
= * b = r (0, 1, 0, 0 ) '+ s (1, 0, 1 ,0 )' = s (0, 1 , 0 , 0 ) ' + r ( 1 , 0 , 0 , 1)'
C u alq u ie ra
de la s s e is p osib ilid a d e s e s correcta, p u e s en ca d a u n a de ellas se
T ra n sfo rm an d o la matriz au m e n tad a (A IB ) a s u form a e sc a lo n a d a se
cum ple la relación b, = b3 + b4. S i e le g im o s b = (1, -1, -2, 3)', en d on d e b,=1, b3= -2 y
tiene:
b4 = 3, v e m o s que tam bién sa tisfa ce dicha relación. P o r lo tanto, elsistem a sig u e
2
1
-1
3
3
5
2
1
-1
1
-2
-3
4
-1
2
-3
1 - 2 - 2
3
1
5 - 1 - 2
2
3 - 1 1
3
1 - 3 4
sie n d o consistente.
®
- b3
b2
¡ Ejemplo 1 1 J
b,
b.
Investigar la consistencia y hallar la solución general del sistem a
x2 +
2x, -
6 x, - 3 x 2 +
F,2(-1)
F ,3(-2)
F,4(-3)
1
0
0
0
-2
7
7
7
-2
3
1 -5
3 .-5
3 -5
'
F 34(-1)
1
0
0
0
F g3(-1)
-b 3
b2 + b 3
b, + 2 b 3
b. +3b .
-2
7
0
0
-2
1
2
0
F,4(-1)
3
-5
0
0
1 - 2 - 2
3
0
7 1-5
b2+ b3
0
0 2
0
b r b2+ b 3
0
0 2
0
2 b 3*b 2+ b 4 J
-b3
1
b2 + b3
b ,' b2 + b3
= E‘
4x, -
S o lu c ió n .
(A IB ) =
-b , + b 3 + b J
V e m o s que p (A) = p (E) = 3 y p (E ') = 4. luego, p ara qu e el siste m a s e a consistente
F 4(-1)
s e debe tener que p (A) = p (AIB), esto es:
-b, + b3 + b4 = 0
=>
b, = b3 + b4
F 3(-1)
b = (b3 + b4, b2, b3, b4)'
=
b2 ( 0, 1 , 0 , 0 ) ' + b3 ( 1,0, 1 , 0 ) ' + b 4 ( 1 , 0 , 0 , 1 )'
(1 )
2x4 +
3x5 = 2
X3 + 4x4 +
5xs = 3
x3 +
2
6 x, - 3 x 2 + 4x3 +
*b 3
F 32( 'l ) [
P o r lo que:
r = b4 y s = b 2
= s (0, 1 , 0 , 0 ) ' + r ( 1 , 0 , 0 ,
=> r = b2 y s = b3 ó
fijas.S i e le g im o s b = (1, -1, -2, 3 )' sig u e sie n d o el
siste m a c o n siste n te ?
S o lu c ió n .
b
z + w = b,
e s consistente, hallar b = ( b,, b 2, b 3, b4 )’ = rU + sV. d o n d e r y s s o n p arám etros libres
y U y V s o n m atrices c o lu m n a s
(1) ha cie n d o b2= 0, b3= 0 y b 4 = 0.
S i h a c e m o s b2= 0, e n to n c e s
-x + 2 y + 2 z - 3 w = b3
3x +
453
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales
2x2 +
x3 +
8x4
+ 13 X5 = 9
x4 +
2xs = 1
R e d u ciend o la matriz aum entada (AIB) a su forma e sca lon a d a s e tiene:
2
3
4
8
13
-2
1
1
2
2
0
0
-1
0
0
1
0
1
2
0
2
3
l 0
0
2
6
6
-1
-3
-3
,4
f 2 -1
0 0
0 0
, 0 0
1
2
4
1* 3
2
3
5
9
2
0
0
r
f
>
p
*24
N
2
0
0
.0
2
0
- r
3
0
0.
3 2
-4 -3
4 3
-3 -4 -3 J
-1
0
0
0
1
-1
1
-1
2
-2
2
-1
0
0
1
0
0 0
3
F
3H-I)
0
l
o
3>
4
4
0 0 -1
1 3 4
0 -1 0
0 0 0
F,2(-3)
F,3(-3)
F,4(-2)
3
1 2
0 0
-1 0 0
F32(3) " 20 0 1 0
0 0 0 1
f3(-D
,0 0 0 0
-1
4
4
0
-1
3
3
oj
-1 -1 '
4 3 =
0 0
0 0,
E‘
O b s é rv e s e que p (E) = p ( E 1) = 3 =» p (A IB ) = 3, lu e go el siste m a e s consistente,
d onde b2, b3 y b4 s o n los p arám etros libres y los ve cto re s c o lu m n a (0, 1, 0, 0)' , ( 1, 0,
1 .0 )' y (1, 0, 0, 1)' form an un a b a se de b.
A d e m á s c o m o n > r, h a y m á s de u n a solu ción y el n úm ero de variables libres o
p arám etros e s p = n - r = 5 - 3 = 2.
454
Capítulo 8: Matrices
455
Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales
D e la última matriz o b te n e m o s :
(A IB ) =
2x, - x2 - x5 = -1 , x3 + 4 x 5 = 3 , x4 = 0
S i d e sig n a m o s p or x, = r , x2 = s a la s variab le s libres, e n to n ce s
1
1
-1
-6
-1
2
a
-b
-1 0
2
1
3
-6
-1
5
-5
2
-5
a-2
-b
1 +2b
b -10
1
-1
0
0
5
0
2
1
3
-1
[ 1
J
2
-1
-b '
1
a
-1 0
2
-5
a-7
-b
1+2b
3 b -9
J
\
; x3 = 3 - 4 ( 1 + 2r - s ) = -1 -8r + 4 s
F 2(-2)
P o r lo tanto, la solu ció n general del siste m a e stá d a d a por le vector co lu m n a
F ,3(-1)
1
0
0
1
-1
2
F „(1/5)
0
1
-1
2r - s - x5 = -1 = * x5 = 1 + 2r - s
X = ( r, s, -1 - 8r + 4s, 0 , 1 + 2r - s )'
E je m p lo 1 2 ^
D a d o el s is t e m a :
x, +
~ ”
+
x, +
g
2x3 = 1
0
x2 + (4a + 2) x3 = 1
2x, + a x 2
+
5x3 = 2
3x, + a x 2
+
7x3 = b
a)
(A IB ) =
V
0
1
a
a
1
2
3
F 23(-a)
f 1
F 24(-a)
0
0
0
0
1
0
0
2
4a+2
5
7
2
4a
1 -4 a 2
1 -4 a 2
1 'i
1
F *(*1 )
f 1
F ,3(-2)
2
b
F ,4(*3)
V.
0
0
0
f 1
1 'i
0
0
b-3
f
34(- i )
^\
0
0
0
0
1
2
4a
1
1
a
a
0
1
0
0
1 'j
0
0
b-3
2
4a
1 -4 a 2
0
✓
S i a * 7 y b * 3, e n to n ce s : p (E) = p ( E ‘) = n = 3, el siste m a tiene solución
S i a * 7 y b = 3, e n to nce s p (E) = 3 y p ( E 1) = 2. co m o p (E) * p ( E 1), el sistem a
c)
S i a = 7 y b = 3. e n to n ce s p (E) = p ( E ’) = 2 < n, luego, el siste m a tiene infinitas
no tiene solu ción (inconsistente).
Ejemplo 14 J
1 ^
0
0
b-3
U n a A g e n c ia de T u rism o está o rga n iza n d o u na e xcu rsión y ha
m ática B á s ic a 2), m ediante las e sp e cifica c io n e s sigu iente s
1.
S e tienen cu p o s para alu m no s m atriculados en M B 2 por primera ve z (grupo A),
s e g u n d a ve z (grupo B). tercera ve z (grupo C ) y ca chim bo s invitados (grupo D).
2.
<=> a
■
c u rsa d o una invitación a los a lu m n o s del c u rso de M B 2 (M ate ­
3.
El siste m a tendrá solu ció n única si y só lo si p (E) = p ( E ‘) = n = 3.
Luego, para q ue p (E) = 3 s e d eb e cum plir q ue 1 - 4 a 2 * 0
b)
so lu c io n e s.
E
que p ( E ‘) = 3 e s n e ce sario que b - 3
= E’
3b -9
0 a-7
v ------- '
única.
Re d uciend o la matriz aum entada (A IB) a su forma e sca lo n a d a s e tiene:
f 1
(1+2b ) / 5
J
E
Hallar los valore s de a y b, para qu e el siste m a tenga solució n única.
Solución .
F 23(1)
S i dejan de asistir los alum nos del grupo A, se podría duplicar el
cupo para los del
grupo B mantenimiento elresto de los cup os y podrían participar 90 personas.
* ± 1/2 y para
4.
= 0 = ^ b = 3. E n co n se c u e n c ia , el sistem a
S i participan de la e xcu rsión los cuatro podrían asistir 7 0 p e rso n a s.
S i dejan d e asistir los a lu m n o s del gru p o C, s e p odría duplicar el cu p o para los
del gru p o A, triplicar el cu p o p ara lo s del grupo B, m anteniendo el cu p o del
tiene solución única
<=> b = 3
y
a e R - {-1/2, 1/2}
gru p o D y en este c a s o p odrían participar 9 0 p e rso n a s. S e pide :
-
a) A n a liza r la com patibilidad del siste m a
E je m p lo 1 3 J
Determ inar para q ue valore s d e a y b, el siste m a de e cu a cio n e s
2x + 3y x -
z =
b) C a lcu la r el m ayo r n úm ero de c a c h im b o s que s e p u ed e n invitar.
1
y + 2z =
-b
x - 6y + az =
-10
S o lu c ió n . S e g ú n las e sp e cifica cio n e s de la invitación, p la n te a m o s el siguiente
sistem a:
se gú n se a el caso, tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene soluciones.
A +
Solución .
0 + 2 B
E sc rib a m o s la matriz a m p liada ( A I B ) y tran sform é m o sla a la forma
e sca lo n a d a .
2A
B + C + D = 70
+3B
+ C +
+ 0 +
D = 90
D=
90
456
a)
Capítulo 8: Matrices
Para analizar la compatibilidad del sistema debemos reducir la matriz amplia­
da (AIB) a su forma escalonada, esto es:
S’
1
0
w2
1
2
3
F32(-2)| f 1
0
0
1
(AIB) =
FV(-1)
F-(1/5)
0
k 0
r 1
0
.
0
0
-1
0
1
r
1
0
70 '
90
90,
1
F , 3(-2)
0
l 0
1
2
1
1
1
-2
1 70 "
1 90
-1 -50 „
3
5
-2
2
3
-1
120'
190
-50 j
r 1
0
1
0
3
-2
5
2 120"
-1 -50
3 190,
3
2
-2 -1
1 3/5
120 '
-50
38,
F 32(2)
' 9
r 1
0
f 3’ (-3) 1 0
Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que x, = O,
x2 = O, ........ xn = O es siempre una solución. Esta solución se conoce como
solución trivial, si existe otras soluciones, a estas se llaman soluciones no triviales.
1
1
1
0
w0
457
Sección 8.14: Sistemas liomogeneos de ecuaciones lineales
0
1
0
0 1/5
0 1/5
1 3/5
A simple vista es posible asegurar que un sistema homogéneo tiene soluciones no
triviales, si es el caso que el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones.
Ejemplo 15j
Resolver el sistema homogéneo
x, - 2xz +
3x, - 5x2 +
6'
= E'
26
38,
3x3 +
x4 = O
4x3 + 2x4 = O
4x, - 9x2 + 1 7 x 3 + 5x4 = O
Solución
Transformando la matriz ampliada (AIO) a la forma escalonada se
tiene:
Vemos que p (E) = p(E') = 3 =* p (A) = p (AIB) = 3; por lo que, el sitema es
compatible o consistente, además como el número de incógnitas (n = 4) es
mayor que el rango, entonces existe más de una solución y el número de
variables libres e s p = n - r = 4 - 3 = 1 .
De la última
matriz : A + 1/5 D = 6
(A IO )
1
-2
3
1
3
-5
4
?
°1
0
4
-9
17
5
0^
O']
=> D
= 5 (6 - A)
1
-2
3
1
B + 1/5 D = 26
=> D
= 5 (26 - B)
0
1
-5
-1
0
C + 3/5 D = 38
=* D = 5 / 3 (3 8 -C )
0
0
0
0
0
F ,3(-4)
-2
3
1
0
1
-5
-1
1°
-1
5
1
r 1
0
-7
-1
0
1
-5
-1
0
0
0
0
fl
F , 2(-3)
p
F 2’ (2 )
°1
0
0y
°1
0
= E'
0
La designación de D como la variable libre permite ver claramente que
A
b)
Como p(E) =p (E1) =2 y el número de incógnitas (n = 4) es mayor que el rango, enton­
< 6 , B < 26 , C < 38
El mayor número de cachimbos que se puede invitar ocurre cuando el grupo B
ces existe infinitas soluciones. El número de variables libres e s p = n - r = 4 - 2 = 2.
deja de asistir, esto es, si B = O, entonces : D = 5 ( 26 - O ) = 130
El sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz E ‘ es
■
x, - 7x3 - x4 = O
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos
constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la forma
Xj, - 5 x 3 - x 4 = O
Si desiganmos a las variables libres por x3 = t, y x4 = t2 , el conjunto solución del
sistema es
x, = 7t, + t2 , x2 = 5t, + t2 , x3 = t, , x4 = t2
y la notación vectorial, solución general del sistema, está representado por el vector
columna
X = (7t, + 12 , 5t, + t2 , t1( y *
= t,(7,5, 1,0)« + t2 (1,1,0,
I O B S E R V A C IO N 8 .1 4
Sea
1)‘B
S c K" un conjunto de todas las soluciones de un
sistema homogéneo. Cualquier base en el conjunto S con­
siste de n - r vectores e , , e ; e n. f . Un sistema de vectores columna E 1. E 2,
.
8.14 ) S IS T E M A S H O M O G E N E O S D E E C U A C IO N E S L IN E A L E S
Capitulo 8: Motrices
458
459
Sección 8.14: Sistemas Iwmogeneos de ecuaciones lineales
........ , E n r , correspondiente al conjunto citado en la base canónica, se denimina
Vem os que p (E 1) = p (A - 1) = 2 < 4 (número de incógnitas), por lo que el sítema tiene
sistema fundamnetal de soluciones. La solución general del sistema homogéneo tiene
infinitas soluciones y existe p = n - r = 4 - 2 = 2 variables libres. De la última matriz
por expresión
formamos el sistema
^ = *1
x,
+ *2 ^2 + ........ + V r ^n-r
donde t,, t2, .......... t n t son constantes arbitrarios o parámetros.
Así, de la solución general del ejemplo anterior podemos hallar el sistema funda­
1
,•
1
, 0
=
0
x, = 8t, - 7t2 , x2 = 6t, + 5t2
7
5
7x4
Designando por x3 = t, y x4 = t2 a las variables libres, entonces
mental de las soluciones básicas :
E.=
- 8X3 +
x2 + 6X3 - 5x4 = 0
Por lo tanto, la solución general de la ecuación matricial está dada por el vector
1
E 2=
columna :
0
X = ( 8t„ -7t2, -6t, + 5t2, t,, g *
= t, (8 , -6, 1,0)' + t2 (-7, 5, 0, 1)>
. 1 -
.
Con la utilización del sistema fundamental, la solución general del ejemplo puede
=' , E, + *aE,.
ser escrita en la forma
"
Determinar el valor del parámetro«, para los cuales el sistema
X = t, E , + t2 E 2
dado tiene soluciones no triviales y hállese estas soluciones
! Ejemplo 16^
Resolver la ecuación matricial A X = X, donde X es una matriz
+ a x2 + 2x3 = 0
columna y
A
M
Solución . Si AX = X
' 2
2
3
4
3
6
4
-3
-4
6
-1
3
24 -18
5
8
2
4
5
5
8
6
-2
24
1
F „(-1/3)
2
1
1
1
,
4
6
6
6
-3
-5
-5
-5 J
F,2(-3) r 1
0
F,3(-4)
0
F ,4(-3)
l 0
1
0
F24(-1)
o
F ’,(-1)
l 0
F23(-1)
4 -3
2
-1
-6
5
-3 -18 15
2 12 -10
0
1
o
0
-8
6
ü
0
7
-5
0
0 J
0
_0
3x 3
0
=
F ,2(*4)
F,3(-2)
1
0
0
a
2
-1 -4<i
-1 -2 a
-1
-1
1
a
0
0
V
1
0
F32(*2)
a
2
*
1 -1/3
1
F 23(2a-1)
<[-2«
■
N
1
0
.0
-1 2
1 -1/3
0 0
F/(1)
,
1
0
k0
0 5/3
1 -1/3
0
0
.
De la última matriz obtenemos : x, + 5/3 X3 = 0 , x2 -1/3 x3 = 0
Si designamos x3 = t, como la variable libre, entonces:
= E‘
2 '
1 a
1
0 -3
0 1 -2a -1
. 2
-1/3
-2/3(«+1) y
el número de incógnitas del sistema e s n = 3. Luego, si
p (A) = 2 -> - 2/3 (a + 1) = 0 c * a = -1
11
1
0
F 3(-1/3)
U
F 4(1/2) f
( 0
F,(-1)
4 -3
6 -4
-2
3
24 -19
■+*
= E'
Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que p (E1) = 2, ya que
1í
2
5
5
8
Xj
r
-3 '
-4
3
-19
UJ
3
4
\ 3
a
-1
1
A =
Se trata de resolver un sistema homogéneo. En este caso bastará hallar el rango
de la matriz (A - 1) reduciéndola a su forma escalonada, esto es
f 1
x, + 7 x 3 = 0
2x, +
S o lu c ió n . Reduciendo la matriz de los coeficientes a su forma escalonada, se tiene:
(A - I ) x = 0
’1
3
4
3
4x, -
x, = (-5/3)1, , x2 = (1/3)t,
X = t, (-5/3, 1/3, 1)' = t,E,
460
Capítulo 8: Matrices
Ejemplo 18 J
A =
2
1
2
-1
5
-3
8
5
formaciones elementales
3 "
6
4.
y X es una matriz columna.
-5
2
4
2
6
-1
-3
-2
-5
2 x, +
x,
5
X3
x4 J
'
x2
J
.
0
0
0
0
)
A '- I =
' 1
0
0
f 23(-D
F24(-2)
l0
2
4
2
6
-1
-3
8
- 2
5
-5
2
0
0
0
3l
F,3(-1)(
13 .
-1
-1
0
0
F 12(-2)>
3 '
2
0
0 ,
F/(-3)f
' 1
0
0
,0
' 1
0
0
k0
F2’(*1)
2
0
0
0
2
0
0
0
5.
2x. + 3x.
3x, + 4 x
0
2+
3
3=
2x = 0
2
+
8.
*3 = 9
x, - 6 x 2 - 5 x
6. 2x,
x., =
x -
J
-1
-1
-1
-2
0
-1
0
0
9.
5
3
2 - 3 x 3= 2 6
2 3= 8
4x
+ x + 4x
5x
-
6x
+
2x 2+ x 3 = 3
x 2- 4 x 3 = 6 2
2x 2+ x 3 = 1 5
2+
2
7 x 2+
x, -
3x
3= 6
12x
-4 x , -
4 ^
= -31
En los ejercicios 10 al 16, investigar la compatibilidad y hallar, si es posible, la solu­
10.
3x, - 2 x 2-
3+
- 4 x ,= -3
x. + x„
= E'
11.
J
2
3+
x, -
x - 4x
1
2+ 5 x 3 +
2+ 3X3 +
x2 + 3 x 3 +
9x -3 x
6x,
- 2x
3x, -
14.
x4 = 3
x3 + 5 x 4= -3
5x
2x, - 3 x 2 +
4 ,
Vemos que p (E‘) = 2 < 4 ( número de incógnitas), entonces hay infinitas soluciones
y el número de variables libres e s p = n - r = 4 - 2 = 2.
9x
4=
4x
4=
14x4 =
+2x2-
2x.
+ 3x2-
-
2
15.
6 x4 = 4
3x,
2x 3 x3 +
x, - 2xz +
2xt - 5x +
22
x, +
2x , +
5
-8
x, - 2x 2 +
x, + 3x2 + 7x3 + 2x 4 = 2
x, - 12x2 - 11x2 - 16x4 = 5
16.
x
■
17
4=
-2 6
3 x 4= 2
3 - 3 x 4= 14
x4 -
3
5 x . + 2x_ + 2 x , = -1 5
-x, +
X2 + 2x3 +
3x, - 3x„ +
= t,(-2, 1 , 0 , 0 ) ' + |2 ( -1,0, 2 , 1 ) ' = t,E, + t2E 2
4=
x. = 18
Xj + x +
x -
2x, - 2x2 +
X = ( -2t,-1,, t, , 2t2 , t2 )'
2+
2x3 + 4x4 = 2
7x,
4x2 +
x3 + 3x4 = 5
5x, +
7x2 - 4x3 -
3x, - 5 x
2x
x3 - 4x4 = 1
Haciendo x2 = t, y x4 = t2 => x, = -2t, - 12 y x3 = 2t2
13.
3
x4 = -1 4
3x + 3x
x, - 3x2 - 2x3
3x.
12.
De la matriz E ‘ formamos el sistema : x,i + 2x,2 + x4 = 0 :' -x,j +2x 4 = 0
Por lo que :
- x
8
ción general de los sistemas dados:
3 '
2
2
0
x3 =
+ x
2 x, + 1 0 x - 4 0 x 3 = -4
x, - 2 X j - 4 x = -3
1 '
2
0
2x.
8x
x +
-9
x ? + 2 x 3 = -10
Como se trata de un sistema homogéneo calculamos el rango de la matriz
' 1
2
1
<3
7.
X = 4
x ,+ x2 + x3 = 2
3 '
8
13
3
x 2 - 3 x 3=
x, - x 2 +
14 ,
Solución . Tomando la transpuesta a cada miembro del sistema dado, se tiene
(X ’ A )' = (X-)« « ( A1 1 ) x = 0
r 1
—
> 21
v 3
461
Grupo 47
En los ejercicios 4 al 9, resolver los sistemas de ecuaciones dados mediante trans­
Resolver el sistema : X 'A = X ', donde
2
2
-1
3
EJERCICIOS:
E JE R C IC IO S . Grupo 47
6x 4=
x, -
x, +
x. = 4
x3 + 3x4 = 2
x, + 3x = 3
x, -
x, = 5
3
En los ejercicios 1 al 3, suponiendo que la matriz ampliada del sistema de ecuaciones
En los ejercicios 17 al 20, investigar la compatibilidad y hallar la solución general de
lineales se ha llevado, mediante transformaciones por filas, a la forma escalonada
que se indica; resolver el sistema.
los sistemas dados.
✓
1
0
,0
2
1
0
-4
-2
1
2
-1
2.
2.
f
1
0
. 0
f.
0
1
0
4
-3
1
7 10 '
-4 -2
1 2 .
3.
1
0
, 0
1
1
0
3
2
1
5
-1
2
-2 '
3
-1 >
17.
3x,
2x,
2 x2 - 5 x a +
2
- 3x +
x, + x.
x
4=
4=
x3 +
5x
-
4x
3
-3
= -3
x, - x 2 - 4 x3 + 0 x 4 = 2 2
19.
x. + x„ -
x, + x„ -
xs = 5
3 + x 4+ 3 x 5= 2
x 3 + 2 x 4+ x 5= 4
2x, + 2 x r - 2 x
-x.
+
3x, + 3 x 2 - 3 x3 + x. + 3x. = 3
462
18.
Capítulo 8: Matrices
4x, + 2x2 - 3x3
x,
=4
- x3
-
=1
2 x4
3x, + 4x2 - 4x, +
20.
x, + x2 - 2x3 +
2x, -
x4 = 0
x2 + 2x3 +
x4 +
3x5 = 1
2x 4+
2
6X5 =
EJERCICIOS :
30. Aclárese si las filas de cada una de las matrices:
N
A =
3x, + 2x2 - 4X3 - 3x4 - 9x5 = 3
2x, - 3x2 + x3 + 3x4 = 1
4x, +
x2 - 2x3 + 4x4 + 12x5 = 4
Xx,+ Xj+ x3+
x, + Xx2 +
x, + x2 +
x, + x, +
22.
x4 = 1
x3 +
23,
(1+X)x,+
x4= 1
x2 +
2x, - x2 + 3 x 3 +
4x4 =
5
-2 4
43
50
9
-1 5
8
5
2
9
2
,B =
,9
-3 0 .
-1 5
9
2
8
\
-20
-3
13
4
2,
5
forman un sistema fundamental de soluciones para el sistema de ecuaciones
3x, + 4x, + 2X3 +
x4 + 6xs = 0
5x, + 9 x r
+ 7x3 + 4x4 + 7x5 = 0
4x. + 3x ,
x +
x, +
x3 =1
x, + x2+
2
1 -11
' 4
-5
-20
x3 =1
x, + ( 1 + X ) x 2 +
Xx3 + x4= 1
x_ + X x,= 1
30
k 4
En los ejercicios 21 al 24, investigar la consistencia y hallar la solución general en
función del valor del parámetro X.
21.
463
Grupo 47
4 11 x 5 =0
6x 2+ 8x 3+
4x5 = 0
5 x4
(1+X)Xg = 1
I Nota .
24.
5x, - 3x2 + 2x3 +
4x4 = 3
4x, - 2Xj + 5x3 + 6x4 =
7
4x, - 2x2 + 3x3 +
7x4 = 1
6x, - 3 x 2 + 7x3 + 8x4 =
9
8x, - 6x2 *
x3 -5x4
Xx, - 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11
Dado un sistema no homogéneo AX = B, la solución general de este
sistema puede obtenerse como una suma de la solución general del correpondiente
sistema homogéneo AX = 0 y una solución particular arbitraria del sistema no homogéneo.
Esto es
X = X0 + t,E, + tjEj + t3Ej + ...........
= 9
7x, - 3x2 + 7x3 + 17x4 = X
En los ejercicios 31 al 34, hállense las soluciones generales de los sistemas no
homogéneos, haciendo uso del sistema fundamental de soluciones de los sistemas
En los ejercicios 25 al 28, hállese el sistema fundamental de soluciones
general de los sistemas dados
y
la solución
homogéneos correspondientes.
31.
25.
2x, - 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0
3x, - 6x2 + 4x3 +
27.
3x, + 4x2 + x3 + 2x4 + 3xs = 0
2x4 = 0
5x, +
7x2 + x3 + 3x4+ 4xs = 0
4x, - 8x2 + 17X3 + 11 x4 = 0
4x, +
5x2 + 2x3 + x4 + 5xs = 0
5=1
x, Xj + x 3+ x 4- 2x s = 0
3x, + 3 x 2- 3X3 - 3 x 4+ 4 x 5= 2
4 x 2+ 5 x 2- 5 x 3 - 5 x 4+ 7 x 5= 3
. 2x, +
x.
x3 -
x4 +
33.
x
2x, - 2x 2+
x, + 2x 2-
3
4+
Xs= 1
x, + x -
2xs = 1
4x, - 10x2 + 5 x3 - 5 x4 +
7x5 = 1
x -
x
2x, - 1 4 x2 + 7 x3 - 7 x4 + 1 1x5 = 1
7x, + 10x2 + x3 + 6 x 4 + 5xr = 0
32.
26.
2x2+
x
3+ 3x4+
5 x. = 0
28.
2
3x,
+
6x,
+ 4x2 + 3x3 +5x4 + 7x5 = 0
x, - x2 +
9x,
+
4x, - 2x? +
3x,
+
6x 2+ 5x3 +7x4 + 9 x 5= 0
2 x ? + 4x3
+ 8x 5= 0
x, + x
- 3x4 - 2x5 = 0
2x 36x 3+
X 4 +
X 5 - X6 =
1
34.
2x, - 2x 2+ 2X3 + x 4- x s + x 6= 1
x,
+ 2x2 + 3 x 3 + 4x4 + 5x5 = 0
x, - 2 x2 - 3 x 3 - 4 x 4 - 5xs = 2
2x2 + 3x3 + 4x4 + 5xs = -1
x4 +
2x 5= 0
3x4 +
xs = 0
35. Una fábrica posee tres máquinas A, B y C, las cuales trabajan en un día, duran­
2xl + 4x2 - 2x3 + 4x4 +
x5 = 0
te 15, 22 y 23 horas, respectivamente. Se producen tres artículos X, Y y Z en
estas maquinas, en un día, como sigue : una unidad de X está en A durante 1
2 9 . Determinar los valores del parámetro a, para los cuales los sistemas dados tiene
hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y está en A
durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad Z está
soluciones no triviales y hállese estas soluciones
en A durante 1 hora, en B durante 2 horas; en C durante 2 horas. Si las máqui­
a)
a2x, + 3x. + 2x3 = 0
ax, -
x2 + x3 = 0
8x, + x2 + 4x3 = 0
b) 2x, + x2 + 3x3 = 0
4x, -
x2 + 7x3 = 0
x, + ax2 + 2x3 = 0
nas se usan a máxima capacidad, durante un día, hallar el número de unidades
de cada artículo que es posible producir.
465
D€T€ftMINftNT€S
9.1 ) DEFINICION
Determinante es un número real o escalar asociado a una matriz cuadrada
A, que se denota p o r:
I A I , det ( A ) , D ( A )
El determinante de una matriz es un sólo número real y su cálculo depende
del orden de la matriz cuadrada en particular. Así, para una matriz cuadrada A de
orden 2 , este número se define como
a IK
D ( A )=
- a l2
a , X a ¡:
Por ejemplo, el determinante de la matriz
D(A) =
4
-3
l
2
— a,, a,, - a,, a,,
A= 4
l
-3
2
(!)
es
= 4 ( 2 ) - l (3) = 8 + 3 = ll
El cálculo del determinante de una matriz de orden 3 es un tanto más complicada,
pues su valor se define como
D(A) =
»u
a».
3ji
3|2
a22
a,<
ao
ai)
3:?
=
au a:. a}} + ai2 a2J a„ + a« a?.’ aU *
aM a a„ - a«2 a,, a,, - a.i au a»
466
Capitulo 9: Determinantes
Se calcula a s í : Uno de los tres sumandos que figuran en el segundo miembro con el
| P R O P IE D A D 2 j
Paridad de las fila s y columnas de un determinante.
signo más es un producto de elementos de la diagonal principal de la matriz A, cada
uno de los otros sumandos es un producto de elementos situados en la paralela a
dicha diagonal y un elemento opuesto del rincón de la matriz ( Figura 9.1 ) y los
sumandos que figuran en el segundo miembro con el signo menos se construye de
467
Sección 9.2: Propiedades de los determinantes
El valor de un determinante no varía si este se transpone,
es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo número.
En efecto, sea A una matriz cuadrada y A ’ su transpuesta:
modo igual, pero esta vez respecto a la segunda diagonal ( Figura 9.2 )
A =
Si
a2,
A' =
CM
aj"
y
r a„
a ,2
a22
=> D(A) — a,, a22 - a21 a 12
"1
✓
\
a2,'
a22
=> D(A’) = a,, a22 - a ,2 â21
P R O P IE D A D 3 ]
.*. D(A) = D(A')
!
J
Si dos líneas (filas o colum nas) de una matriz A son
idénticas, entonces el determinante de la matriz es cero.
En efecto, si
FIGURA 9.1
A=
FIGURA 9.2
P R O P IE D A D 4 J
a
a
b
b
D(A) = (a)(b) - (b)(a) = 0
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces
se cumple :
Por ejemplo, si
A =
su determinante es
a)
Si B es la matriz que resulta de multiplicar una línea de A por un escalar k,
entonces :
D (A)
D(B) = kD(A)
= (2) (4) (-2) + (1) (-4) (3) + (-1) (-3) (5) - (3) (4) (5) - (-3) (-4) (2) - (-1) (1) (-2)
= - 16 -12 + 15 - 60 - 24 - 2 = -91
En efecto, si
Hemos visto que el cálculo del determinante de una matriz de orden 3 se hace un
tanto laborioso y podemos pensar que la obtención del determinante de una matriz
A =
a,,
a ,2
a2i
a22
y
b
rka„
a 12
ka22 a22
=
II
D(B) = kan a22 - ka21 a 12 = k (a,, a22 - a21 a 12) = k
de orden n ofrece ciertas dificultades; por lo que es conveniente estudiar previa­
, entonces :
' a„
a21
mente algunas propiedades del determinante considerado como una función sobre
el conjunto de matrices de orden 2.
Según esta propiedad, un factor común de todos los elementos de una línea
de un determinante puede ser separado como factor del determinante.
(9 .2 ) P R O P IE D A D E S D E L O S D E T E R M IN A N T E S
b)
Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos líneas de A, entonces
D(B) = -D(A)
P R O P IE D A D 1 j Si
A es una matriz cuadrada que tiene una linea ( fila o
columna ) compuesto exclusivamente de ceros, entonces el
determinante de la matriz es cero.
En efecto, si
A = ' a„
a21
a,2
a22
y
a ,2
B=
V.
a 22
a,,'
a21
, entonces
= a ,2 a2, - a22 a M — -(a,, a^ - a21 a,2)
En efecto, si
A =
D ( A ) = (a,, ) ( 0 ) * ( 0 ) ( a I2 ) = 0
.-. D(B) = -D(A)
468
c)
Capítulo 9: Determinantes
Sección 9.2: Propiedades de los determinantes
Si B es la matriz que se obtiene de A al trasladar una de su s líneas p lugares,
de donde obtenemos : C o s ( 8x - 5x ) = 0
469
Solución .
D(B) = D(A)
>
r
A =
an
v a2t
a !2
II
CQ
><
En efecto, si
a22 „
a,, + ka12
a 12
\ a21 + kajj
a22
3,2
3,1
(-3x + 2 - 4 ) - ( -x + 2 - 12 ) < 0
, entonces:
322
312
a22
32,
Ejemplo 3 j
S o lu c ió n .
D(A) =
1
1
1
1
e2 e
tes.
a,, + c,
a2, + c21
12
— (a,, +
c,,)
a22- (a2, +
c,,
a22 - a21 a12 - c21 a,2
+
3,2
a22
a it
321
3,2
322
+
c„
c21
a,2
322
S o lu c ió n .
Sen 5x
Sen 5x
-Cos 8x
Solución .
= 0
Por el desarrollo de un determinsnte de segundo orden se tiene :
C os 8x
Sen 5x
S e n 8x
-C o s 5x
= -C o s 8x C o s5 x - S e n 8x S e n 5x
-3x-2 + x + 1 0 < 0
<=>
<=>
-2x + 8 < 0
x > 4 = > x e < 4 , + <»>
A=
' 1
1
£2
1
1
£ '
£2
£
1
= (1 + £2 + £4) - (e3 + 1 + £3)
1
4
,7
f
i
C os 8x
<=>
D(A) = (->/! i )2 = 3 i2 = -3
ejemplo 4 j
r
Resolver la ecuación
< 0
e = C o s 2/3 k + i Sen 2/3 rc = -1/2 + i (\ 3 / 2 ) =* e2 - e = -V~3 i
E JE M P L O S ILU STRA TIV O S
ejemplo 1 ^
-1
i Sen 2/3 n )2 = C os 4/3 n + i Sen 4/3 n = -1/2 - i V3 / 2
= ( a,, 822 * a2i ai2 ) + ( c,, a22 * ^21 a,2 )
ai1 + c„
32, + C21
2
= e4 - 2 e3 + e2 = (e2 - e)2
e2 = (Cos 2/3ti
a,, a22 +
e
e2
1
c21) a12
a22
=
-1
,
orden.
En efecto
-2
donde e = C o s ( 2td 3 ) + i Sen ( 2:d 3 )
•Si los elementos de una línea de un determinante son iguales a la suma de p
términos, el determinante se puede expresar como la suma de p determinan­
1
X
Cslcular el determinsnte de 13 mstriz
Esta propiedad es útil para calcular determinantes de matrices de cualquier
e)
-2
1
+ 7t/3k,
Por dessrrollo del determinsnte de tercer orden se tiene :
D(B) — a,, a22 + k3,2 a ^ - 32, 3,2 ■ ks,2 322 — 3,, ^22 ~ ^21 ^12
a„ + ka12
a¿, + ka22
3
Resolver Is desigusldsd :
a otra línea, entonces :
CO
Si B es la matriz que resulta cuando un múltiplo de una línea de A se le suma
: Ejemplo 2 j
X
ii
«
D(B) = (-1 )p D(A)
d)
3x = k 71 + 71/2
<=>
entonces :
= 0
Hsllsr el determinsnte de l3 mstriz
A =
3
6
2
5
8
9>
Hsciendo uso de Iss propiedades 4e y 3 se tiene
D(A) =
1
4
7
= 0+
2
5
8
1
4
7
2+1
5+1
8+1
1+1
4+1
7+1
=
1
1
1
1
4
7
2
5
8
1
4
7
D (A) = 0
2
5
8
1
4
7
+
1
4
7
1
1
1
2
5
8
1
1
1
1
1
1
,
470
Capitulo 9: Determinantes
Ejemplo 5
EJERCICIOS:
471
G rupo48
2
3
4
Demostrar la identidad
D(A) =
a, + b,x
a2 + b2x
a3 + b3x
a, - b,x c,
a2 - b2x c2
a3 - b3x c3
=
-2x
a,
a2
a3
b,
b2
b3
c,
c2
c3
38
65
83
25
38
47
Haciendo uso de la propiedad 4d realizamos las siguientes operaciones con las
colum nas:
Dem ostración .
14
-1 2 C ,+ C2
y -14C, + C 3
Sumando la segunda columna a la primera se tiene :
2a,
a, - b,x
2a2
a2 - b2x
c,
c2
2a3
a3 - b3x
c3
=
2a, a, c,
2a2 a2 c2
2a, - b,x c,
2a2 - b2x c2
+
D ( A )= 14
2a3 - b3x c3
2a3 a3 c3
Por la propiedad 3, el primer determinante es cero. Del segundo determinante ex­
2
1
3
4
2
8
-1
7
0
1
0
-1
2
-1
7
0
D(A) = 14
-2C2 + C,
6
8
Finalmente, por el desarrollo del determinante de tercer orden obtenemos :
D(A) = 1 4 ( 0 + 0 + 4 8 - 0 - 0 + 7 ) = 770
traemos los factores 2 y -x de la primera y segunda columnas respectivamente, y
obtenemos :
a, + b,x
a, - b,x
c,
a2 + b2x
a2 - b2x
c2
aa + b3x
a3 - b3x
c3
= -2x
a,
a.
b,
Ci
b2
c2
a.
b3
c3
E JE R C IC IO S . Grupo 48
En los ejercicios 1 al 6 , calcular el determinante de tercer orden
1
Ejemplo 6 j
Demostrar que el determinante de la matriz
A =
1
1
1.
x y
z
^ x2 y2 z2
3
4
-5
Sen a
C os a
a 2+1
a P
a 8
8
7
-2
Sen p
C os P
a p
p2+1
p5
2
-1
8
Sen y
C os y
a 8
p8
82+1
3.
5.
se divide por x - y , x - z , z - y.
D em ostración.
Bastará probar que el D(A) tiene como factores a x-y, x-z y z-y.
En efecto, efectuando las operaciones C, - C 2 y C2 - C 3, obtenemos:
D (A ) =
0
x-y
x2 - y2
0
y-z
y2 - z2
=
1 +i
a+ x
X
X
Sen2a
1
C o s2a
1
0
X
b+ x
X
Sen2P
1
C o s2p
1 -i
0
1
X
X
C + X
Sen28
1
C os28
4.
6.
Hallar el determinante de la matriz
A =
1
1
1
1
1
e
e2
e2
e
si e = C o s ( 4 n / 3 ) + i Sen (4;t/3).
8. Resolver las ecuaciones:
a)
= (x - y) (y - z) (z - x)
A =
28
25
38
42
38
65
56
47
83
La primera columna ( C, ) admite el factor 14, luego, por la propiedad
4a, se tiene :
i
-i
7. Calcular el determinante de la matriz
= (x -y ) (y - z ) [(y + z) - (x + y) ]
Solución .
1
(x - y) (y2 - z2) - (x2 - y2) (y - z)
= (x - y) (y - Z) (y + z) - (x + y) (x - y) (y - z)
Ejemplo 7 ]
2.
3
2
x + 10
X
-X
-1
3
• 1
1
2
9. Resolver la desigualdad :
X
b)
= 0
x + 2
1
5
x+3
x+ 6
1
- 3
-1
-2
x
x+ 1
x+4
x+7
x+2
x+5
x+8
= 0
472
Capítulo 9: Determinantes
10. Demostrar que :
a, + b,x
a2 + b2x
a3 + b3x
a,x + b,
a2x + b2
a3x + b3
c,
c2
c3
= (1 * x2)
a,
a2
a3
b,
b2
c,
c2
b3
c3
Sección 9.3: Existencia de los determinantes
22.
23.
1
1
1
a
b
c
a3
b3
c3
1
1
1
a a2
11. Demostrar que :
=
(a + b + c )
b b2
c c2
(Sugerencia : Muéstrese que la última columna del determinante de partida
puede ser representada en la forma
f
N
/
>
/
>
a3
a2
a
b3
= (a + b+ c )
b2
- ( ab + ac + be )
b
+
, c3 >
> c2.
. c >
y hágase uso de esta representación)
12. Demostrar que el determinante
X
y
y
x +y
X
x + y
x+y
y
x + y
X
\
1
abe
1
. 1,
✓
se divide por
y =
b-a
X2
a
b
a2
b2
1
1
1
, a* b
24
8
32
67
19
21
42
59
39
13
14
108
128
142
15
153
53
53
17
65
81
24
26
138
164
64
3
35
6
12
34
245
1014
427
327
37
543
443
23
26
25
-342
721
621
a
16.
17.
66
18
21
42
14
75
23
16
25
1
a
X
1
a
b
1
= (a + b + c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )
1
a2
a3
1
b2
b3
1
c2
c3
= (a b + ac + b c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )
1
1
1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
= ( ab + be + ca )
np + q
nq + r
nr + p
an + b
bn + c
en + a
nx + y
ny + z
nz + x
1
1
1
= ( 1 + n3 )
a
b
c
a2
b2
c2
a
b
c
p
q
r
x
y
z
E X IS T E N C IA D E L O S D E T E R M IN A N T E S
18.
19.
21.
= (x - a) (x - b)
1
a
1
b
b2
c
c2
y la j-ésima columna.
Verem os inicialmente el caso de los determinantes de las matrices de tercer
orden.
Sea la matriz :
A = [ a,, ] =
au
a2j
^31
a22
a32
a ,3
a23
a33
Las sub matrices correspondientes a la primera columna vienen dadas por
A,, =
Ao, —
A.., —
a2
1
que anotaremos del siguiente modo : Si A = [ a J es una matriz de orden n x m, sea
A,, la sub matriz de orden (n -1) x (n -1) que se obtiené de A al eliminar la i-ésima fila
47
X
1
c
c3
junto de matrices cuadradas de orden n, K " , introduciremos la idea de sub matriz,
En los ejercicios 20 al 25, utilizando propiedades, demuéstrece las identidades
dadas.
20.
1
b
b3
Para demostrar la existencia de los determinantes definidos sobre el con­
X
En los ejercicios 14 al 19. usando propiedades, calcular el valor de cada deter­
minante.
15.
25.
1
a
a3
y
x2 - xy + y2
13. Constrúyase la gráfica de la función :
14.
24.
473
a22
a¡
a32
a:
(Matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera
columna)
a )2
a
a32
a-
a 12
a
(Matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera
a22
a¡
columna)
(Matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera
columna)
= (a - b)(b - c)(c-a)
Ahora bien, definimos el determinante de la matriz A mediante la fórmula:
474
Capitulo 9: Determinantes
D ( A )= a„
a t2
- a,
+ 3-i
a32
a,2
a«
a,3
Sección 9.3: Existencia de los determinantes
(2)
475
k! ( n-k )!
Asi, para la matriz del ejemplo 1, se puede formar C 23 • C 23 = 3 x 3 = 9 menores de
Donde cada término de la sum a es el producto de un elemento de la primera co­
segundo orden
lumna de la matriz por el determinante de la matriz de segundo orden que se
2
1
2
-3
1
-3
obtiene al eliminar la fila i y la primera columna, anotando el signo correspondiente
1
1
1
2
1
2
La suma que define una función determinante sobre el conjunto de las matrices
2
1
2
-3
1
-3
cuadradas de tercer orden se puede escribir como :
5
4
5
5
4
5
a este término.
D(A) — a1t D (A,,) - a21 D (A21) + a31 D (A 31)
Ejemplo
S o lu c ió n .
1
Calcular el determinante de la matriz
(3)
A =
2
1
-3
1
1
2
5
4
5
9.3.2 )
Haciendo uso de la fórmula (3) se tiene :
D(A) =
2 D (A„)
1
2
4
5
=
2
=
2 (5 -8 )
-
1 D (A21)
1
4
-3
5
( 5 + 12)
-
1
1
1
2
1
2
5
4
5
5
4
5
COFACTOR DE UNA C O M P O N EN T E
El cofactor de una componente a ,,, denota por A jjf está definido por
+ 5 D (A31)
+ 5
A IJ = (- 1 )'*i( M „ )
1 -3
1 2
+ 5 (2 + 3 )
E s decir, el cofactor de la componente a,, es el menor M,, con el signo prefijado (-1)**'
= 2
Por ejemplo, para la matriz de tercer orden, A =
La fórmula (3) tiene múltiples generalizaciones, por lo que su discusión requiere el
establecimiento de nuevos conceptos y la introducción de una terminología apropiada.
2 - 1 5
1 3 1
1 3 4 7)
, los m enores y
cofactores correspondientes a las componentes de la primera fila son, respectiva­
mente:
M„ =
3
4
1
7
A ,,= (-1 )'+'
3
4
1
7
Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces el menor del ele­
mento atl se denota por M,, y se define como el determinante de la sub matriz (n-1) x
M 12 =
1
3
1
7
a ,2 = ( -i r 2
1
3
1
7
(n-1) de A que se forma supriminedo todos los elementos de la fila i y todos los
elementos de la columna j.
M., =
1
3
3
4
a í3 = (-1 r 3
1
3
3
4
í 9.3.1 )
M EN O R DE U N A C O M P O N EN T E
I O B S E R V A C IO N 9.1
De una matriz de orden m x n se puede formar C km • C k„
menores de orden k, y de las matrices cuadradas de orden
n se puede formar C kn • C kn menores que k.
C kn es el número de combinaciones de n objetos tomados de k en k, y se calcula por
la fórmula :
= +
= +
3
4
1
7
1
3
1
7
1
3
3
4
Como se puede observar, los signos de cada cofactor está configurado de la si­
guiente manera :
+
—
+
+
—
+
-
+
Capítulo 9: Determinantes
476
Ahora bien, la fórmula ( 3 ):
Sección 9.3: Existencia de los determinantes
477
Las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ) reciben el nombre de expansión o desarrollo de un determi­
nante p o r menores.
D(A) = a n D(A,,) - a2, D (A^) + a31 D(A31)
/
establece que el determinante de la matriz A es el producto interno de los vectores
( a„,
a , , ) • [ ( - 1 )'*’
/■
Ejemplo 2
2
A = 1
3
V.
Hallar el determinante de la matriz
D ( A „ ) , ( - 1 )**' D(AS1) , ( - 1 )’ •' D(A„) ]
\
5
1
7/
de dos formas distintas.
donde los elementos del primer vector, son los elementos de la primera columna de
A y los elementos del segundo vector son los cofactores de los elementos corres­
-1
3
4
S olución .
pondientes a la primera columna de A. E s evidente que este resultando es cierto
Aplicando la expansión por la primera columna, para j = 1, en la fórmu­
la (4), se tiene :
para cualquier fila o columna de A. Podemos afirmar entonces que, el determinante
D (A )= ¿
de una matriz 3 x 3 se puede obtener de 6 maneras diferentes, al tomar las compo­
(-1)'” a„ D(A„)
i= I
nentes de cualquier fila o columna de la matriz y multiplicar cada una de estas
componentes por su cofactor y sumando los resultados.
Enseguida una generalización para determinantes de matrices de n x n en términos
=> D(A) = (-1 )U1 a,, D(A„) + ( -1 )2*1 a2, D(A21) + (-1)3*1 a3, D(A31)
= 2
de determinantes de matrices (n - 1) x (n - 1).
Para cada 1< i < n y cada 1< j < n , se define:
3
1
4
7
-1
5
7
+3
-1
5
3
1
= 2 ( 21 - 4 ) - ( -7-20 ) + 3 ( -1 -15 ) = 13
D(A) = (-1)1*1a„ D(A„) + (-1)2*1a 2| D(A2|) + .... + (-1)"** an| D(An|)
Aplicando la expansión por la primera fila, para i = 1 en la fórmula (5), se tiene:
(Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna )
D ( A ) = ¿ (-1)'*'a,D(A„)
i= •
Haciendo uso de la anotación correspondiente a las sumatorias para los que i varía
=>D(A) = ( - i r a n D (A n) +
de 1 a n, se tiene
D (A )= 2
i =I
-1
4
(-1 )‘*'a H D(A„)
=2
(4)
3
4
1
7
(-1)1*2 a 12 D (AI2) + (-1)1*3 a ,3 D(A,3)
- ( - 1)
1
3
1
7
+ 5
3
4
= 2 (21 -4 ) + (7 -3 ) + 5 ( 4 - 9 ) = 13
Del mismo modo, se tiene que :
D(A) = (-1 y a * D(Aj,) + (-1 )U2 al2D(A¡2) + .... + (-1 )■♦" a,n D (A ln)
------------------------------------ -------- --------
----------------
■
■- -s
( Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila )
Ejemplo 3 j
Calcular el determinante de
A=
Expresando en forma de sumatoria, en las que j varía de 1 a n, se tiene :
D (A )= ¿
(-1)M afl D (A q)
(5 )
¡= i
S o lu c ió n .
Cada una de las sumas (4) es el producto escalar de una columna de A con el vector
Cada una de las sum as (5) es el producto escalar de una fila de A con el correspon­
1
-1
1
2
-1
0
1
0
1
2
1
0
3
0
2
2
Para aprovechar los ceros en la cuarta fila, debemos usar el desarrollo
por filas (5), para i = 4, esto es :
D (A )= £
i=i
cuyos elementos son los cofactores asociados.
diente vector cofactor.
1
3
C om o a42 = a43 = 0
=>
(-1)*’’ a4, D(A«j)
D(A) = ( -1 )4-’ a4, D( A 41) + (-1)4-4 a44 D (A 44)
r
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
Capitulo 9: Determinantes
478
= -2
-1
0
1
3
0
2
1
2
1
1
-1
1
+ 2
-1
0
1
En los ejerciciosn16 y 17, calcular las determinantes, desarrollándolos por la tercera
1
2
1
fila y segunda columna, respectivamente.
16.
Desarrollando el D(A41) por los cofactores de su segunda fila y el D(A44), por los
cofactores de su segunda columna, obtenemos
= 2 (-2 -3 ) = -10
D(A41) = 2 (-1)**
D(A m ) =
2
1
+
= -6
1 (- 1)3
En los ejercicios 1 al 12, empleando desarrollos adecuados por filas o columnas,
1.
-1
0
-1
1
1
2,
ii
<
' 1
2
U
r
2. A =
<
' 1
5. A =
V
A =
V
z'
10. A =
V.
2)
1
1
-1
1
-1
0
2
2>
3. A =
f
S
6. A =
-2
0
2
0
1
-3
1
0
0
0
1
1^
2 3
2 •1
6 2
2 3
-3
-1
1
0
4^
2
0
-5
1
2
0
1
1
8. A =
V
0
0
/•
3
5
11 A =
0
l 6
2
1
0
1
0
-1
-11
2
4/
2
0
1
3
1
2
-1
.4
\
f
f-
7.
1
1
0
1
17.
2
d
3
5
4
2
4
a
2
b
4
3
5
c
d
-1
-3
-2
-4
a
3
0
b
2
0
0
0
c
0
5
19.
1
2
2
3
d
3
d
0
0
2
b
a
c
4
0
5
0
0
20.
0
X
0
0
a
g
y
e
h
0
0
b
0
z
k
0
u
c
d
f
I
0
V
0
0
0
El cálculo del determinante de una matriz de orden n se basa en el método
de reducción del orden del determinante mediante el uso de la propiedad 4d. Los
pasos a seguir son los siguientes:
P a so 1 . Elegir como línea pivot una fila o columna y destacar con un asterisco.
N
P a so 2 . Haciendo uso de la propiedad 4d, se multiplica cada elemento de la
1J
correspondiente de otra línea, se obtenga por lo menos un elemento
igual a cero.
línea pivot por un número tal que al sumar el resultado con el elemento
r
0
0
-4
1
0
-1
2
0
-1
0
9. A =
0
-1
2
2
2
4
0
1
9
2
1
-3
8
1 0 0 0
0 2 -1 0
12 A =
0 0 3 -2
1 0 0 2
0 1 0 0
l 3
1
3
4
1
2
2
1
5
0
1
2
7
2
0
0
-2
>
-1
4
3
c
4
9.4 ) C A L C U L O D E D E T E R M IN A N T E S D E C U A L Q U IE R O R D E N
calcular el determinante de cada una de las matrices dadas.
1]
-1
0
-2
b
0
E J E R C IC IO S . Grupo 49
2
1
1
-3
4
a
3
1
Por lo que, en (1) se tiene : D(A) = -2 (-10 ) + 2 ( -6 ) = 8
'1
A= 2
-1
<
2
En los ejercicios 18 al 20, evalúese los determinantes
18.
-1
1
479
Las anotaciones que se destacan en este paso son, por ejemplo :
a
F, + F2
o
a
C, + C 2
que indican lo siguiente : Los elementos de la fila o columna 1 se multiplicó
por el factor a y el resultado se sumó a los elementos de la fila o columna 2.
P aso 3 . Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta tener un de­
terminante equivalente en que todos los elementos de una misma línea,
excepto uno, sean cero.
En los ejercicios 13 al 15, para las matrices A, formar la matriz A - x l, luego,
P a so 4 . Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto de la
determinar los valores de x que satisfacen la condición D(A - x I ) = 0
'2
2
1’
2
2
0
0
1
1
ii
<
0 0'
1 0
0 2
"3Y—
n
co
<
f1
1
0
N
X
r
1
15. A = -i
0
V
2
1'
1
3
1
2
línea que tiene sus elementos igual a cero, con excepción de uno de
ellos, obteniendo asi un solo determinante de orden n -1.
P aso 5 . Se repite el procedimiento hasta obtener un determinante de orden 2
_
480
Capítulo 9: Determinantes
-4
1J
Calcular el determinante de la matriz
1
7
3
4
6
1 2 - 3 8
Ejemplo 3 J
-2
1
-1
-3
3
7
2
8
10
11 - 3x 17 16
7-x
= 0
14 13
De la propiedad 4e, se sigue que:
Solución .
15
2C, + C 2
1
3
3
4
c
O
+
6
co
1
3
2
2
1
3
2
2
D(A) = 4
-1C ,+ C<
0
7
3
1
0
-2
-4
2
0
0
1
2
Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene
7 -2
3 -4
1
2
0
1
2
-5
1 10
1 16
Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos :
-6
1 13
-2F2+ F3 (
7
-5 '
4 (-1 )2 .3
-2
10
=
7 -2
3 -4
-5 10
4
5
-4 (7 0 -1 0 ) => D(A) = -240
11
11
17
16
7
14
13
1 10
1 16
1 13
2
- X
3
1
( ejemplo
3
-3
-3
k+5
-6
6
-3
k-4
C 2+ C,
C 2+ C 3
k+2
3
0
k+2
k+5
k+2
0
6
k+2
D(A) = (k+2)2
0
1
1
-3 C, + C 2 =
(k + 2 )2
0
k+2
6
0
1
1
Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene
D (A) = (k + 2 )2 (-1)U1
k+2
Luego, si D(A) = 0 => (k + 2)2 (k - 4) = 0 «
1
1
= (k + 2 )2 (k - 4)
k = -2 ó k = 4
II
1
1
0
00
3
k+5
6
<
Q
1
1
0
10
17
16
1
14
13
= 0
0
1
0
-10
-11
1
6
1
3
-5C2 + C,
=0
-10C 2 + c^
-10
6
-11
3
0
-X
1
1 0
1 6
-1
1 3
=0
- x ( - 1)u2
1
6
-1
3
=0
x =4
Hallar el determinante de la matriz
A =
Solución .
Factorizamos k + 2 de la primera y tercera columnas y obtenemos
4 ^
x - 4a
2a - 18x
4x - 4a
x - 4b
2b - 18y
4y - 4b
x - 4c
2c - 18z
4z - 4c
Factorizando 2 y 4 de la segunda y tercera columnas respectivamente,
se tiene:
x - 4a
x - 4b
o
k-1
11
3
=> -( -30 + 6 6 ) + x (3 + 6 ) = 0 o
, hallar los valores de k de
modo que D(A) = 0.
D(A)=
2
k -4 j
X
k+5
-3
-3
-U
-3
co
A =
co
Si
3
- X
Desarrollando ambos determinantes por los cofactores de la primera fila se tiene
1(- 1)U2
' k-1
10
Efectuando las operaciones, en el primer determinante : -C3 + C „ -C3 +C 2 y en el
segundo determinante :-C3 + C 2; resulta que
0
1
3
S o lu c ió n .
11
Factorizando 2 de la primera y tercera filas se tiene
D(A) = (2)(2)
D( A ) = 4
Resolver la ecuación
a -9x
b - 9y
c - 9z
*
x-a
z -c
- C 3 + c, ^
- c 3+ c 2
= 8
-3a
-3b
-3c
-8x
-8y
-8z
x-a
*<
cr
Solución .
4)
481
15 - 2x
2
-2
A=
Sección 9.4: Calculo Je determinantes de cualquier orden
<
i
cr
Ejemplo
6
T
z -c
Factorizamos -3 y -8 de la primera y tercera columnas respectivamente, y obtene­
mos:
Capítulo 9: Determinantes
482
a
b
c
D(A) = 8 (-3) (-8)
a
x -a
y -b
z -c
x
y
z
= 192
c, + c 3r
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
X
X
b
y
y
c
z
z
a b e
D(A) = 2 (-1) (-1)
D(A) = 192 (0) = 0
Luego, por la Propiedad 3:
Ejemplo 5 j
Descomponer en factores el determinante deA =
Factorizando a, b y c de la primera, segunda y tercera columnas res­
S olución .
pectivamente, obtenemos:
D(A) = abe
1
1
1
a
a2
b
b2
c
c2
0
0
1
a -c
a2- c2
b -c
b2 - c2
c
c2
-C3 + C,
-c3+ c 2(
P
x
" x-y-z
Ejemplo 7 j
a b c 'I
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= abe
(b+c) (b-c)
D(A) = abe (a - c) (b - c)
=>
x-y-z
x+y+z
2y
-x-y-z
2z
0
D (A) =
x-y-z
D(A) = (x + y + z)2
1
1
a+c
b+c
Si
a
b
X
2y
2z
1
-1
0
b
q
y
b+c c+a
= 5 y A = q+r r+p
.y +z z+x
c
r
z
a+b
p+q
x+y
, calcular D(A).
x+y+z
0
-x-y-z
1
0
-1
•
x-y-z
F, + F3 = (x + y + z)2
1
x-y+z
1
1
0
0
= (x+y+z)3
0
w,i +1 Co
b+c
q-r
y+z
2b
2q
2y
-c3+ c,
-a
c
r
z
b
c+a
r+p
z+x
a+b
p+q
x+y
C, + C 2
b-a
q-p
y-x
b+c
q+r
y+z
b
---------- *
-C3 + C 2(
=2
-P
-X
b+c
A =
b
. c
\
a
a
a+c b
c a+b .
Solución . Sumando la segunda y tercera filas a la primera fila se tiene :
b-a
q-p
y-x
b-a
q-p
y-x
y
-1
1
, hallar D(A)
2 (b+c)
b
c
D(A) =
q
2y
x-y+z
Calcular el determinante de la matriz
En el determinante de A efectuamos la operación: -C2 + C,
=2
>
= abe (a - c) (b - c) (b - a)
Ejemplo 8 J
D (A) =
'
2y
z-x-y
En el determinante de A efectuamos las operaciones: -C, + C 2, -C, + C 3
D(A) = (x+y+z)2 (-1)u3
Solución .
2x
Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos
D(A)= abe (-1)’
Ejemplo 6 ]
2x
y-x-z
2z
= 2(5) = 10
>
(a+c) (a-c)
’2 y
2z
r
z
C\J
b-c
Solución .
Si A =
q
y
Factorizando x + y + z de la segunda y tercera columna se tiene :
Desarrollando por los cofactores de la primera fila resulta :
a -c
483
q
y
2(a+c)
a+c
c
2 (a+b)
b
a+b
Factorizando 2 de la primera fila y luego efectuando las operaciones elementales
fila: -F2 + F, y -F2 + F3 , obtenemos
D(A) = 2
»
c
b
c-b
0
a+c
-a
a
b
a
*
- F, + F2 = 2
►
c
b
-b
0
a+c
-a
Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene :
Factorizando -1 de la primera columna y por la propiedad 4b, se tiene:
a
b
0
4S4
Capítulo 9: Determinantes
D(A) = 2c
a+c
b
-a
0
+ 2a
b
a+c
-b
-a
= C os2y
= 2c (O + ab) + 2a (-ab + ab + be) = 4abc
Factorizar el determinante de la matriz
A =
y2 z2
xz xy
Efectuando las operaciones C, - C 2 y C 2 - C 3, se tiene
x-y
x2 - y2
yz - xz
D(A) =
y- z
y2- z2
xz- xy
C os x+Sen y
-Cos x+Sen y
Sen x+Sen y
EjemploT T j
S olución .
485
= C o s2y (1+2 Sen x Sen y)
=> D(A) = (V3 / 2)2 [1+2 (1/2) (1/2)] = 9/8
z
y
X2
yz
S olución .
Sen x+Sen y
Luego, parax = y = 7t /6
X
Ejemplo 9 ^
V
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
Si
A =
(b+c)2
b2
(c+a)
c2
c2
a2
, factorizar el D(A).
(a+b)2
Efectuando las operaciones C 2- C, y C 3- C, , se tiene:
z
z2
xy
(b+c)2
a2- (b+c)2
b2
s2
C*
(c+a)2- b2
D(A) =
0
a2- (b+c)2
0
(a+b)2- c2
Factorizando x - y e y - z de la primera y segunda columnas respectivamente,
Factorizando a + b + c de la segunda y tercera columnas resulta :
resulta
D( A )
= (x-y) (y-z)
1
1
x+y
y+z
-C, + C 2
1
= (x-y)(y-z)
-z Cj + C,
xy
-z
0
0
x+y
z-x
-yz
-z
z -x
xy+xz
-yz
= (x -y ) (y -z ) (z -x )
D(A)
xy+xz
z -x
= (x - y) (y z)
= (a + b + c)2
-yz
z -x
xy+xz
= (a + b + c)2
Sea la matriz
A =
0
c2
0
a+b-c
2bc
b2
a-b-c
a-b-c
-2c
-2b
c+a-b
0
0
a+b-c
1
-c
-b
b/c
c+a-b
0
0
F, - (F2 + F3)
(Factorizamos 2 de la primera
fila y be de la de la primera
columna)
= (x-y) (y-z) (z-x) (xy+xz+yz)
Sen x C os y
C o s x C os y
Sen y
-Cos x C os y
Sen x C os y
Sen y
-Cos y
-Cos y
1
calcular el determinante de A para x = y =
Solución .
c+a-b
c2
•
= 2bc(a+b+c)2
l Ejemplo 10^
(b+c)2
b2
k
c/b
= 2bc(a+b+c)2
/6
a+b-c
1
0
0
b/c
a+c
b2/c
c2/b
a+b
c/b
c C, + C 2
bC, + C 3
= 2bc (a+b+c)
a+c
b2/c
c2/b
a+b
Factorizando Cosy de la primera y segunda columnas se tiene
D(A) = C o s2y
= C o s 2y
Sen x
C os x
Sen y
-Cos x
Sen x
Sen y
-1
-1
1
Sen x+Sen y
C os x+Sen y
Sen y
-Cos x+Sen y
Sen x+Sen y
Seny
0
0
1
C 3+ C,
D(A) = 2bc (a + b + c)2 [(a + c) (a + b) - be] = 2abc (a + b + c)3
Co+ Co
0
! E je m p lo 1 2
C a lcu la r el determ inante de la matriz
A =
1-i
2+i
1+i
0
3+2i
2 +i
3-2i
0
486
Capítulo 9: Determinantes
Solución .
4^7
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
Multiplicando la segunda fila por 1-i y la tercera fila por 2-i, se tiene:
0
2
5
(1 -i) (2 -i) D(A) =
1 -i
0
4 - 7i
0
2+ i
5-i
0
0
2
1
-2 F2+ F 3|
1 -i
0
4 - 7i
2+ i
5 -i
-10 +2i
Efectuando la operación -2F3 + F2f obtenemos.
0
0
1
(1 - i) (2 - i) D(A) =
Ejemplo 14
2+ i
25 - 5i
-10 + 2 Í
1 -i
=
0
0
1 b+c-a
1
0
1 c-a-b
D(A) =
Fiinalmente, desarrollando por los cofactores de la primera columna resulta :
(1-i) (2-i) D(A)
2+i
-8 + 1 4 Í
25 - 5i
0
0
a+c-b
c-a-b
1
a
b
a+b
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos
= (1-i) (25-5Í) - (-8+14i) (2+i) = 50 (1-i)
50
D(A) =
2 -i
A =
1
a
b
a+b
Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio­
nes : -C4 + C 2 y -C4 + C 3
Solución .
1 -i
-8 + 14i
4 - 7i
Evaluar el determinante de
1 1
1 b+c
a
1 b
c+a
1 c
c
50(2+i)
4 - i2
b+c-a
0
0
a+c-b
c-a-b
0
D(A) = (-1)’-«
= 10(2+i)
= - (-1)2*3(a+c-b)
b+c-a
c-a-b
D(A) = ( a - b + c ) [ ( c - a - b ) - ( b + c -a )] = -2b (a - b + c)
0
f Ejemplo 13 ^
Solución .
Si
A =
x
y
0
x
1
0
y
y
0
1
x
0
x
y
1 J
1
a
1
1
, calcular D(A)
Ejemplo j D
S iA =
1
1
a
1
1
1
1
a
, descomponer en factores el D(A).
Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera­
ciones elementales : -x C 4 + C 2 y -y C 4 + C 3
D(A) =
S o lu c ió n .
0
0
X
X
X
1-xy
-X2
y
-y2
1-xy
y
-X2
0
0
1
0
X
X
1-xy
y
0
X
= (-ir 4
y
-y2
1-xy
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos
D(A) = -x
x
y
-y2
1-xy
x
+y
y
1-xy
-x2
= -x (x - x2y + y3) + y (-x3 - y + xy2)
D (A ) = -(x2 + y 2)
Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera­
ciones : -a C 4 + C , , -C4 + C 2 , -C4 + C 3
D(A) =
0
1-a
1-a
1-a2
0
a-1
0
1-a
0
0
a-1
1-a
1
1
1
a
= (-1)U4
1-a
1-a
1-a2
a-1
0
1-a
0
a-1
1-a
Factorizando (1 -a) de la primera, segunda y tercera columnas, se tiene :
D(A) = -(1-a)3
1 -1
1
0
1+a 1
0
-1
1
D (A ) = (-1)3*3 (a-1)3
F3+ F 2
1
2+a
-1
1
D(A) = (a-1)3
1
2+a
1+a
-1
1
1
0
0
1
= (a - 1)3 (1 + 2 + a ) = (a+3) (a-1):
488
Capítulo 9: Determinantes
a3
3a2
3a
a2 a2+2a 2a+1
a
2a+1 a+2
1
3
3
Ejemplo _ n r ) s i A =
1^
1
, calcular el determinante de A.
1
1
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene:
2 3 4
3 6 10
4 10 20
5 15 35
D (A) = ( -1 )'+'
Tomando la cuarta fila como línea pivot efectuamos las operaciones
Solución .
489
3 4
3 6
4 10
5 15
-f, + f 2
-p2 + F3|
- f 3 + f 4'
elementales : - F4 + F„ -F4 + F2, -F4 + F3
D(A) =
a3-1
3a2-3
3a-3
0
a2-1
a2+2a-3
2a-2
0
a-1
2a-2
a-1
0
1
3
3
1
a3-1
a2-1
3(a2-1)
3 6
4 10
5 15
= ( -i y
3(a-1)
(a-1)(a+3) 2(a-1)
a-1
2 (a-1)
a-1
1
1
••• D(A) =
1
0
0
-F, + F2
-f2+ f 3
4
5
3
1
1
6
4
5
= 5 -4 = 1
Factorzando (a-1) de la primera, segunda y tercera columnas obtenemos
D(A)
= (a - 1)3
= (a - 1)3
a2+a+1
3(a+1)
3
-3 F3 +F,_
a+1
1
a+3
2
2
1
~2 p3 + F2,
a2+a-2
3(a-1)
0
a-1
a-1
0
1
2
1
= (a-1)3 (a-1)
[ Cjemplo 17 ^
Si
a+2
3
1
1
1
1
1
1
A =
1
Solución .
(a-1)(a+2) 3(a-1)
= (a -1 )3
a-1
Solución .
a-1
= (a-1 )s (a-1) = (a-1)6
1 1 1
C 2, C 3,
C 32 c 42
C 43 C S3
c s4 c 64
1
C 4,
c s2
C 63
c 74
C 5,
c 62
C 73
c 84
Si
A =
x
x
x
d+x
a
0
0
X
0
b
0
X
0
0
-d
-d
c
-d
d+x
=> D(A) =
X
Desarrollando por los cofactores de la primera fi
, calcular el D(A)
D(A)
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6 10 15
1
4 10 20 35
1
5 15 35 70
n!
=a
= ab
r ! (n - r) !
- F, + p 2 .
- f2 + f3 ,
rr
* f3 + f4 ,
- F4 + Fs ,
1
1
1
1
1 '
0
1
2
3
4
6 10
0
1
3
0
1
4 10 20
0
1
5 15 35
, resolver D(A) = 0
Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operaciones : - C4 + C, , -C4 + C 2 » *C4 + C 3
b
0
x
0
X
-d
c
•d
c
-d
d+x
0
- X
d+x
0
-d
b
0
-d
Calculamos las combinaciones mediante la fórmula
C "f =
D (A) =
í ejemplo 18 ^
a+x x
x
x b+x
x
x
x
c+x
x x x
X
+ax
0
-d
c
-d
+ dx
= ab (cd + ex + dx) + ax (0 + cd) + bedx
= abed + (abe + abd + acd + bed ) x
Luego, si D (A) = 0
x = -
abed
ab(c+d)+ cd(a+b)
490
Capítulo 9: Determinantes
Ejemplo 1 9 ]
r a b c di
A = -b a -d c
-c d a -b
-d -c b a
Si
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
S o lu c ió n .
Efectuando las operaciones F, - F2, F2 - F3, F3 - F4, F4 - Fs, se tiene:
, probar que D(A)= (a2+b2+c2+d2)2
De =
Dem ostración . Multiplicando por -a, -b, -c y -d, la primera, segunda, tercera y
cuarta filas respectivamente, se tiene :
D(A) = - - i
abcd
a2 ab
ac
b2 -ab
bd -be
c2 -cd -ac
=
1-a4
a3-a6
a4-a8
a4-a6
a6-a9
a6-a8 a9-a’2
a8
a 12
a8-a12
0
a2-a3
0
a3-a4
1
a4
0
-be
be
-ad
1
0
0
-d
a2+d2
a
cd+ab
a
cd-ab
a2+b2
a
(a2 + d2)(a2 + b2)
(-1)5
1-a
a(1-a)
a2(1-a)
a3(1-a)
1-a2
a2( 1-a2)
a4(1-a2)
a6(1-a2)
1-a3
a3(1-a3)
a6(1-a3)
a9(1-a3)
1
1
1
1
a
a2
a3
a2
a4
a6
a3
a6
a9
1
Ds =
1
a3
a6
a9
a '2
1-a
D5
= a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) (-1)4*'
0
= -a9 ( 1-a)2 ( 1-a2)2 ( 1-a3)2 (1-a4)
1'
a4
a8
a12
a16 >
f,-f2
f 2- f 3
1-a 2
a2-a4
a4-cl6
a6
1-a3
a3-a6
a6-a9
a9
Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene :
1-a2
a(1-a)
a2(1-a2)
a3(1-a3)
a2(1-a)
a4(1-a2)
a6(1-a3)
1
a
F, • F2
1
1
1
1-a
1
a2
a4
f? - f '
1-a2
1-a
a(1-a)
= -a10(1-a)3 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4)
1-a3
0a-a2 a2-a4
1
=>2
a2
a"
= -a9( 1-a)2 ( 1-a2)2 ( 1-a3)2 ( 1-a4) (-1)*♦ '
1
a2
a4
a6
a8
1-a
a-a2
a2-a3
a3
1
= - a • a2 • a6( 1-a)2 ( 1-a2)2 ( 1-a3)2 ( 1-a4)
1
a
a2
a3
a4
0
0
0
a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)
1-a4
a4(1-a4)
a8(1-a4)
a 12(1-a4)
1
1
D(A) = (a2 + b2 + c2 + d2)2
Ejemplo 20 ^
a 16
= a.a2.a3(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)
(cd - ab)(cd + ab)
' 1
1
Calcular el determinante D 5=
1
1
l 1
a 12-a’6
O
0
bd
-ac
-bd
Tomando la primera columna como línea pivot, efectuamos las operaciones ele­
mentales :
(d/a) C, + C 2 y (-c/a) C, + C 3
= (a2 + b2 + c2 + d2)
1-a3
a2-a4
1
1
1
a
•*• D 5 = a 10(1-a)4 (1-a2)3 (1-a3)2(1-a4)
1-a2
a2(1-a2)
LL
0
-ab
-cd
cd
Desarrollando por los cofactores de la primera fila y factorizando b, c y d del determi­
nante resultante obtenemos :
*
-a d -c
1 -d/a c/a
n .A.
a2+ b 2+ c 2+ d 2
D (A )-d -a b
= (a2 + b2 + c2 + d2) -d
-a
b
c -b -a
c
-b -a
D(A) = (a2 + b2 + c2 + d2)
1-a2
a-a2
LL
a2+b2+c2+d2
b2
c2
d2
1-a
0
F i + ( F 2+ F3+ F4)
d2 cd -bd -ad
1
abcd
0
ad
be
491
492
Capítulo 9: Determinantes
P Cjcmplo
21 ^
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
Calcular el determinante de Vandermonde
1
1
1
a,
a ,2
•
•
•
a2
a22
a3
a23
•
•
•
•
•
•
1
a
a2
•
•
•
a ,"*1
a2" 2
a3n‘3
o n*1
...... .....
.....
1
■ a2
ai
•
•
•
— (a2- a,) (a3- a ,)... (an- a,)
1 1 ..................
a 3 a 4 .............
a 32 a 42 .............
•
•
•
•
•
•
a2n'2 a3n2 a4n2 ..........
493
1
a„
a„2
•
•
•
a„n2
= (a2- a,) (a3- a , ).... (an- a,) D n.,
Utilizando la hipótesis inductiva, obtenemos en definitiva
Solución . M ostrarem os que el determinante de Vanderm onde e s igual al
producto de toda clase de diferencias a, - a,, para 1 < j < i < n, cualquiera
| |
Dn = (a2- a,) (a3- a ,).....(a*-a,)
que sea n (n > 2). Realicemos la demostración por inducción.
(a, - a,)
2S j< ¡S n
En efecto, para n=2 tenemos
1
D, =
a2
Dn =
Supongam os que nuestra afirmación se ha demostrado para los determinantes de
Vandermonde de orden (n -1), es decir
D n, =
I I
(a,-a} )
1£ j £ i S n
= a2-a,
(6)
Nota .
El proceso que permite expresar un determinante dado, transformándolo
mediante operaciones elementales por filas o columnas a un determi­
nante del mismo tipo, pero de orden más inferior, se conoce con el nombre de
correlación recurrente.
(a,-a,)
1< j < i < n ■ 1
Ahora bien, mediante las operaciones elementales transformamos el determinate
Ejemplo 22 )
D n del modo siguiente : De la última n-ésima fila sustraemos la (n - 1) -ésima fila,
multiplicada por a, y, en general, sustraemos sucesivamente de la k-ésima fila la
1
a
a2
a3
a4
( k - 1) -ésima multiplicada, por a,. Obtenemos :
1
aj- a,
a*2- a,a2
1
aa- a,
a23-a,a3
1
.........
.........
an- a,
a2n-a,an
D„ =
Descomponer en factores el determinante
Solución .
1
b
b2
b3
b4
1
c
c2
c3
c4
1
d
d2
d3
d4
1
e
e2
e3
e4
Según la fórmula del determinante de Vandermonde
Ds =
I I
(a,-a,)
1 S j< iS 5
' - a,a2n2
i n*1 . o o n-2
l3
«1^3
....................................
o n-1 _ o o n*
«1tín
Para determinar el desarrollo de los factores (a, - a,) observemos que cuando
j = 1 => i = 2, 3, 4, 5 ; j = 2 => i = 3, 4, 5; j = 3 => i = 4, 5; j = 4 => i = 5
Desarrollem os el determinante por los cofactores de la primera columna y s a ­
Luego: D 5 = (a2-a,)(a3-a,)(a4-al)(a5-a,)(a5-a,)(a3-a2)(a4-a2)(a5-a2)(a4-a3)(a5-a3)(a5 - a4)
quem os de todas las columnas los factores comunes. El determinante adquiere
Si en este desarrollo hacemos : a, = a , a2 = b, a3 = c, a4 = d y a5 = e, obtenemos:
la forma :
Ds = (b-a) (c-a) (d-a) (e-a) (c-b) (d-b) (e-b) (d-c) (e-c) (e-d)
■
Capítulo 9: Determinantes
494
tjcmpïo 23 j
A =
0
ab
a+b ab
1 a+b
•
•
•
•
•
•
0
0
Solución .
0
0
ab
•
•
•
0
0
0
0
0
0
0
•
•
•
...
0
0
an - bn
D(A) = (a+b)
1
Ejemplo 24 j
ab
a+b^
1
, a-b
a+b
ab
1
a+b
Dosx
1
0
•
•
•
A =
Solución .
dera, esto es:
(Hipótesis inductiva)
a-b
D(A) =(a+b)
ab
....1 a+b
-
n-1
0
0
•
•
•
0
ab
0
0
0
_. A. ,
( a" - bn )
D(A) = (a + b)
a - b ~ - - ab
0
0
0
0
0
ab
a+b
0
.... 1
2Cosx
1
ab
a+b n-1
0
ab
a+b
d 2=
^ en nx
Sen x
Sen x
(Hipótesis inductiva)
Desarollando el D(A) por los cofactores de la primera columna obtenemos :
2 C os x
1
0
1
2C os x
1
.1
•
•
1
Sen 3x
D(A) = 2 C os x
0
0
0
.
= 4 C o s2x - 1
Sen 3x
Sen x
D »-i
•
0
0
0
Supongam os que para un determinante de orden n -1, esta afirmación es verdade­
ra, esto es :
do el segundo determinante por los cofactores de la primera fila resulta:
ab
a+b
1
0
0
0
De la identidad, Sen 3x = Sen x (4 C o s2x-1), se tiene : 4 C o s2x - 1 =
Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva para el primer determinante y desarrollan­
a+b
1
0
•
•
•
.......
2 C os x
•••
0
a+b
a-b
0
1
2Cosx
•
•
•
1
Entonces, desarrollando el determinante de la matriz A por los cofactores de la
ab
1
•
•
•
0
J
1
2Cosx
1
•
•
•
2 C os x
primera columna se tiene :
0
0
•
•
•
a -b
Por el método de las correlaciones recurrentes, para n = 2 :
d 2=
a+b ab 0
1 a+b ab
•
•
•
0
0
0
0
0
0
gn»1 _
a"'1 - bn
l
a-b
Supongamos que para los determinantes del orden (n-1), esta afirmación es verda­
an - bn
- ab
0
a3 - b3
= (a+b)2 - ab = a2 + ab + b2 =
,
Calcular el determinante de la matriz
Por el método de las correlaciones recurrentes se tiene :
Para n = 2 => D ? =
495
Nuevamente, haciendo uso de la hipótesis inductiva obtenemos :
Sea la matriz A e k", a * b, calcular el D(A), si
a+b
1
0
•
•
•
Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden
n-2
1
1
0
•
•
0
2C osx
1
•
•
0
1
2Cosx
•
•
0
0
0
2 C os x
.1
n-1
2 C o sx
n-1
496
Capitulo 9: Determinantes
Haciendo uso de la hipótesis inductiva en el primer determinante y desarrollando el
EJERCICIOS : Grupo 50
13.
3/2
5/3
4/3
7
-9/2
-8/3
-5/3
-8
-3/2
-2/3
-1
-4
-3
-7/3
-2/3
-5
14.
3/4
1
5/6
2/5
2
-2
-4/3
-4/5
-1/2
3/2
4/3
1/2
-6
8
14/3
12/5
15.
1/3
3
2/3
-1/7
-5/2
-12
-9/2
2/7
2/5
21/5
4/5
-1/7
3/2
15
5/2
3/7
16.
24
51
61
62
80
11
13
11
20
24
13
32
14
7
45
17
40
50
13
57
segundo determinante por los cofactores de la primera fila, resulta :
2C osx
1
1
2C osx
1
0
1
2C osx
Sen n x
D(A) = 2 C os x
. Sen x ,
0
= 2 C os x
0
•
.1 2C os x
' Sen n x '
Sen (n-1)x
Sen x
Sen x
_
n-2
2 Sen nx C os x - Sen(n-1)x
Sen (n+1)x + Sen (n-1)x - Sen (n-1)x
Sen x
_
1
1-i
1
- 1-i
0
-1-i
-1
1+i
-1
S e n (n -1)x
Sen x
4.
-2
7
x+2 x-2
x 8
17-3x
11-4x
8-2 x
2.
=0
26 25
34 33 = 24
22 21
5.
-2
1
x-1
x-3 -X
1
2
1 x+2
1
2
3
-2
2
3
x
3
3.
=0
3 x
4 5
=0
5 6
x -5
X
4
x-3
6.
2
1
-X
2
7 13 10
5 9 7
8 12 11
4 10 6
6
4
7
3
10.
5
1
0
0
0
0
0
6
5
1
6
5
1
0
0
0
6
5
1
0
8.
0
0
0
6
5
11.
3 2
15 29
16 19
33 39
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1 4
2 14
3 17
8 38
1
1
4
1
1
1
1
1
5
1
9.
3
4
6 2x+3 = 7
2
5
1 5 1
1 -1 -4
=0
6 8 1
2 2 x
1
1
1
1
6
4 3
12 27
24 23
48 36
1+i
0
1
1+ 2¡
2-3i
6i
19.
i
1
1+i
-1
-1+i
0
1+2i
-1+2 i 2 i
Cosx
-Senx
0
Senx Cosy
Cosx Cosy
-Senx
Senx Seny
Cosx Seny
Cosy
21.
Sen2a
Sen 2b
Sen 2c
C os 2a
Cos 2b
C os 2c
C os2 a
C os2 b
C os2 c
22.
Cos(a-b)
Cos(a+b)
Sen(a+b)
Cos(b-c)
Cos(b+c)
Sen(b+c)
Cos(c-a)
Cos(c+a)
Sen(c+a)
23.
Sen a
Sen b
Sen c
C os a
C os b
C os c
Sen(a+d)
Sen(b+d)
Sen(c+d)
24.
bc-a2
-bc+ca+ab
(a+b)(a+c)
ca-b2
bc-ca+ab
(b+c)(b+a)
ab-c2
bc+ca-ab
(c+a)(c+b)
25.
a+ x
X
X
X
b+x
X
X
X
c+X
En los ejercicios 26 al 37, calcular los determinantes :
26.
En los ejercicios 7 al 16, calcúlese los determinantes
7.
0
1-i
1-2i
20.
En los ejercicios 1 al 6 , resolver la ecuación dada.
1
x
4
18.
En los ejercicios 20 al 25, calcúlese los determinantesC
a •*:
E JE R C IC IO S . Grupo 50
1.
19
46
56
52
70
En los ejercicios 17 al 19, cálcular los determinantes. <¡
( i= V
\ -1 )
17.
Sen x
De la identidad Sen (a+b) + Sen (a-b) = 2Sen a C os b, se sigue que:
D(A) =
497
1 5
3 16
2 12
4 21
12. 3 6 5
5 9 7
6 12 13
4 6 6
2 5 4
6
8
9
5
5
29.
4
6
7
4
3
1
1
1
a
a3
b
b3
c
c3
-2a a+b
b+a -2b
c+a c+b
32. 1+x 1
1 1-x
1
1
1
1
27.
X
y
y
x+y
x+y
x
x+y
X
y
28. a2+1 ab ac
ab b2+1 be
ac be c2+1
a+c
b+c
-2c
30.
y2+z2 xy
xz
xy x2+z2 yz
xz
yz x2+y2
31.
a2 a2-(b-c)2 be
b2 b2-(c-a)2 ca
c2 c2-(a-b)2 ab
1
1
1
1
1+Z 1
1 1-z
33.
1
1
1
1
34.
0
-a
-b
-c
1
1
1+a
1
1 1+b
1
1
1
1
1
1+c
a
0
-d
-e
b
d
0
-f
c
e
f
0
498
35.
Capítulo 9: Determinantes
1
2-x2
3
3
1
1
2
2
2
2
1
1
3
3
5
9-x2
38. Sea la matriz
A =
36.
a
a
a
b
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
37.
Sen x C os y -a Sen x Sen y
Sen x Sen y a Sen x C os y
C os y
0
1
2
3
d
0
0
c
0
2
b
4
0
a
0
5
0
39. Sea f(x) =
X
1
0
0
X
X
1
1
X
X
0
X
0
1
X
En los ejercicios 45 al 52, calcúlense los determinantes de orden n por el método de
correlaciones recurrentes.
45.
a C os x C os y
a C os x Sen y
-a Sen x
Si D(A) = k Sen x, hallar el valor de k.
, hallar a e R tal que f(a) = 0
1
1
0
n
•
•
0
3n
0
0
0
•
•
0
0
Cos((b-c)/2) Sen((b+c)/2) Cos((b+c)/2) = 1/2 [Sen(b-a)+Sen(c-b)+Sen(a-c)]
3
1
0
•
•
2
3
1
•
•
0
2
3
•
•
0
0
n
•
•
Cos((c-a)/2) Sen((c+a)/2) Cos((c+a)/2)
0
0
0
3
En los ejercicios 40 al 52, usando propiedades de los determinantes, incluyendo
49.
40. Cos((a-b)/2) Sen((a+b)/2) Cos((a+b)/2)
(Sugerencia : Expandir con respecto a la primera columna)
42.
1
0
a2
•
•
1
desarrollos por líneas, demostrar las identidades :
41.
1
ai
0
•
•
0
0
1
1
•
•
47. Cosx
1
0
1 . 2Cosx
1
0
1
2Cosx ...
•
•
•
•
•
•
X
51.
Se n 2a
Sena Cosa
C o s2a
S e n 2b
Senb Cosb
C o s2b
= Sen(a-b) Cosa Cosb + Sen(b-c) Cosb Cose
Se n 2c
Sene Cose
C o s2c
+ Sen(c-a) Cose Cosa
a2+(1-a2C os <p)
ab(1-Cos<p)
ac(1-Cos<p)
ab(1-Cos<p)
b2+(1-b2)Cos <p
bc(1-Cos(p)
ac(1-Cos<p)
bc(1-Cos<p)
c2+(1-c2)Cos <p
499
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
= C o s2 <p
6
5
1
0
•
•
0
2
3
1
•
•
0
0
2
3
•
•
.....
.....
.....
.....
0
0
0
0
•
•
0
0
0
0
•
•
0
0
0
0
0
0
0 0 .....
0 0 .....
3
1
2
3
2
1
0
•
•
1
2
1
•
•
0
1
?
•
•
0
0
0
•
•
0
0
0
2
1
1
2
•
•
1
1
0
•
•
1
1
1+a2
1
•
•
1
7
2
0
•
•
5
7
2
•
•
0
5
7
•
•
0
0
0
•
•
1
1
1
7
48. 1+a,
1
0
•
•
. .. 2Cosx
5
4
0
0
•
•
0
0
0
2
•
•
46.
50.
52.
1
...
1+an
1
3
0
0
•
•
2
4
2
0
•
•
0
3
5
2
•
•
0
0
3
5
•
•
0
0
0
3
•
•
....
...
...
...
0
0
0
0
•
•
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
5 3
2 5
0
0
0
0
•
•
donde a2 + b2 + c2 = 1
43. C o saC o sp - SenaSenp C os0
C osaSenp +SenaC ospC osG
-SenaC osp - CosaSenpCos©
Se n a Sen 6
C o sa C o s0
(Sugerencia: Expandir en términos de la primera fila)
44.
a
b
SenpSenÓ
-Sena.SenP + CosaCospCosG -CospSenB = 1
c
d
a
a+b
a+b+c
a+b+c+d
a
2a+b
3a+2b+c
4a+3b+2c+d
a
3a+b
6a+3b+c
10a+6b+3c+d
- e
a4
—
x
9.5 ) O T R A S A P L IC A C IO N E S Y P R O P IE D A D E S D E L O S
D E T E R M IN A N T E S
Cos0
9.5.1
REG LA DE SARRU S.
Un método práctico para calcular determinantes de tercer orden, es la Regla
de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mis­
mo orden a continuación de la tercera columna. El determinante se calcula suman­
do todos los productos de las componentes que están en las flechas que apuntan
Capítulo 9: Determinantes
50»
hacia la derecha y restándolos todos los productos de los componentes que están
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
f 9.5.2 )
en las flechas que apuntan hacia la izquierda.
i
'•i
D(A)
A'
(-)
> '
**21
a22
■®31
*
i*)
,a„r
32
*
i*)
a..
_a.„
^ a21
3*23
?a'3^
(7)
a22
' a3V. ^ a32^
*(+ )
(+)
ejemplo
1
haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración la
siguiente propiedad.
^
'* ( + >
D(A) = a„ a22 a 33 + a 12 a23 a31 + a 13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a„ a23 a 32
' 1
Hallar el determinante de la matriz A = 2
,4
C A L C U L O D E D E T E R M IN A N T E S M E D IA N T E LA
R E D U C C IO N A L A F O R M A E S C A L O N A D A
El cálculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar
*
V
501
P R O P IE D A D 5^J Si A es matriz triangular (superior o inferior) de orden n,
a i2 3 21 a 33
entonces el D(A) es igual al producto de las componentes que
pertenecen a la diagonal principal, esto es, si
2 10'
3 9
5 11,
ra
12
0
o
^
0
13
a23
a„„
A =
a,n
a2n
a3*
Solución . Disponemos el D(A) como indica el esquema (7):
2
.2
2.
„10.
V
✓ X
3
.9
5; S i ;
D(A)
D(A) = a n a^ a33... ann =
(8)
= (1 )(3)(11) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) - (10)(3)(4) - (1)(9)(5) - (2)(2)(11)
La idea básica de este método consiste en aplicar operaciones elementa­
= 33 + 7 2 + 100- 1 2 0 - 4 5 - 4 4 = -4
ejemplo
2 J
Calcular el determinante de la matriz
A =
y
x+y
y
x+y
X
Puesto que la forma escalonada de una matriz cuadrada es triangular superior o
y
inferior, el D(A) = D(B) se puede calcular aplicando la propiedad establecida ante­
riormente.
x+y
x„
S o lu c ió n .
D(A) =
y
x+y
x *'
X
^X
vl
" x+y
les en las filas de la matriz original A y transformarla a una matriz B que tenga la
forma escalonada.
X
" ^xc "
^ y *'
*V v " "
"•
s N
"*x + y
x+y
X
! Ejemplo 3 ^
Calcular el determinante de
A =
f 1/2
1/2
1 1/2
-1/2
1/2
0 1/2
2/3
1/3 1/3
0
1/3
1 1/3
0
=> D(A) = xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) - (x+y)3 - x3 - y3
= 3xy(x+y) - [x3+3xy(x+y)+y3] - x3 - y3
S o lu c ió n .
Factorizando 1/2 de la primera y segunda filas y 1/3 de la tercera y
cuarta filas, obtenemos:
Capítulo 9: Determinantes
502
D(A) =
(1/2) (1/2) (1/3) (1/3)
1
2
-1
1
0
1
2
1
1
0
1
3
1
0
D(A) = 1 . 2 . 3
! Ejemplo
5]
*
D(A) = (1/36) (-1)3
1
1
0
0
1
3
2
0
1
1
1
-1
1
0
0
0
1
0
1
3
2
-2
1
1
1
-2
2
1
1
0
-3F2+ F 4= (1/36)
0
0
1
1
0
0
2
1
-2
-2
1
2
-2
-5
Fj-F, = -(1/36)
2
1
a = { 0 si '
L 1 si i
Demostrar que D(A) = (n-1) (-1) "-1
D em ostración .
En efecto,
/”
0
1
1
•
A =
•
•
^1
Intercambiando la segunda y tercera filas se tiene
D (A) = -1/36 (-1)
.1
0
0
0
1
1
2
1
0
3
-2
1
1
2
-2
1
D(A) = 1/36
1
1
0
0
2
1
-2
0
construyamos la matriz según la definición dada
N
1
1
1
0
1
1
1
0
1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
1
0
Si tomamos la última fila como línea pivot y le restamos las otras n-1 filas, resulta
ente, aplicando la operación f 3+ f 4 resulta :
1
0
0
0
n = n!
Se a A = [a ] una matriz tal que
Aplicando la Propiedad 4c intercambiamos la primera y cuarta columnas:
1
1
503
que resulta ser el determinante de una matriz triangular, por lo que :
1
1
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1
2
-2
-3
D(A) =
Com o el determinante de la matriz A tiene la forma escalonada, aplicamos la
-1
0
0
•
•
•
0
-1
0
•
•
•
0
0
-1
•
•
•
1
1
1
...
...
....
....
....
1
1
1
•
•
•
0
F ’+ F " ,
F2+Fn
•
•
•
-1
0
0
•
•
•
0
-1
0
•
•
•
0
0
-1
•
•
•
F„,+F,
0
0
0
.... n-1
....
....
....
1
1
1
•
•
•
Propiedad 5 :
D(A) = (1/36) (1) (1) (-2) (-3) = 1/6
Ejemplo 4 j
Solución .
Hallar el determinante de A =
■
1
-1
-1
•
•
2
0
-2
•
•
3
3
0
•
•
n
n
n
•
•
-1
-2
-3
0
Tomando la primera fila como línea pivot, sumamos ésta a todas las
demás filas, y obtenemos
1
0
0
D(A) =
•
•
0
2
2
0
•
•
0
3
6
3
•
•
0
n
2n
2n
•
•
n
••• D(A) = (-1) (-1) (-1)... (-1) (n-1) = (n-1) (-1 y
¡ Ejemplo 6 ^
Calcular el determinante
D,
1
2
3
n-1
1
3
3
n-1
1 '2
• •
5
•
n-1
•
•
•
2
3
2
3
Solución . Tomando como línea pivot la primera columna efectuamos:
- 2C, + C2, - 3C,+ C 3..........- ( n - 1 ) C , + C M ,-n C „
2n-3
n
n-1 2n-1
Capítulo 9: Determinantes
504
D
=
1
1
1
•
•
•
1
1
0
1
0
•
•
•
0
0
0
0
0
•
•
•
0
n-1
X
a
a
a
•
a
•
X
X
•
D =
a
X
a
•
•
•
a
a ....
a ....
x ....
•
•
•
a
a
a
a
•
•
•
X
= [x + (n - 1) a]
1
1
1
•
•
•
1
a
X
a
•
•
•
a
D 8= 4(2a + 7h)
a
a
X
•
•
•
a
a
a
a
•
•
•
X
a
-a
0
0
0
a
-a
0
0
0
a
-a
0
0
0
Dn= [x + (n-1) a]
a
x-a
0
•
•
•
0
a
0
0
•
•
•
x-a
a
0
x-a
•
•
•
0
a
0
0
•
•
0
D h = 4(2a + 7h)
Ejemplo
i ejemplo
8 j
8=
Calcular : D8
a+h
a
-a
•
•
•
a+2 h
0
a
•
•
•
0
0
0
-a
0 ....-a
a
0
a
0
•
•
0
9 ^
Calcular: D n<1=
0
0
a
•
•
0
0
0
0
•
•
0 - 2
h
hx
hx2
•
•
1
h
hx
•
•
• 0
0
0
•
•
a
0
-1
h
•
•
—
= 4 (2a + 7h) a7
7
0 ...
0
1
•
•
hx" hxn-1 hx" 2 hxn3
Solución .
= [x + (n-1) a] (x - a)n°
a
-a
0
•
•
•
a+7h
0
0
•
•
•
a
Efectuando las operaciones : F, + F2, F2+ F3, ...... . F6+ F7, resulta:
Restando la primera fila a todas las demás filas, resulta:
1
0
0
•
•
•
0
a+2h
0
a
•
•
•
0
a+h
a
-a
•
•
•
0
Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos:
Solución . Sumando a la primera columna las otras n-1 columnas, se tiene:
x+(n-1)a
x+(n-1)a
x+(n-1)a
•
•
•
x+(n-1)a
+28h
0
0
•
•
•
0
D =
a
a
a
•
a
a
505
Solución . Sumando a la primera columna las otras 7 columnas se tiene
(n-3) (n-1) = (n-1)!
.-. D n = 1 . 1 . 2 . 3
Calcular: D n =
0
0
0
•
•
•
n-2
0
0
0
2
•
•
•
0
0
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
a+7h
0
0
•
•
•
-a
a
Efectuando las operaciones con las columnnas
n, se tiene :
■xCj+C,, -xC3+ C 2, .....
*
h+x
0
0
•
-1
h+x
0
•
0
-1
h+x
•
0
0
0
•
0
0
0
•
•
0
•
0
•
0
h+x
0
•
h
D n.,=
Luego, por la Propiedad 5, se sigue
ÍWl
: Dn<1 = h (h+x) n
506
Capítulo 9: Determinantes
( Cjemplo 10)
Solución .
Calcular D n =
1
x„
x2
,
•
a
1
a2 a3
a a2
1 a
22
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
an
an-i
a"-2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
XM
Xn2
Xo3
X r>4.
1
Dn = xn'2
1
1
Efectuando las operaciones con las filas
-aF2+ F 1t -aF3+ F 2.........
Xnl
1*ax22
X22"aX33
•
•
0
0
1-ax„
•
•
..
0
0
0
•
•
Xn2
Xn3
”
1
ii
1
0
Dn = (n-1) xn2
(1- a x „)
Ejemplo
1
1
1
X
X
X
X
X
•
•
0
•
•
X
X
0
•
•
0
•
•
X
X
X
X
X
Efectuando las operaciones : F2 'FV F3-
+=5
0
1
1
•
•
1
1
Calcular : D n =
1
0
1
0
1
•
•
•
1
1
0
•
•
•
...
....
....
1
1
1
•
•
•
1
1
1
•
•
•
1
1
1
1
1
1
....
0
1
1
0
-aFn+ Fn,, obtenemos :
••• D n = (1 - axn) (1 - ax22) (1 - a x j ...
Ejemplo 11 Ì
0
1
1
1
1
1
1
•
= (n-1) x " 2 •
•
12)
1
0
0
•
•
•
0
0
1
-1
0
•
•
•
0
0
1
0
1
•
•
•
0
0
c
x, r ax2,
X2l"aX3i
•
•
n-1
1
1
•
•
•
LL
0
1
1
n-1
1
1
•
•
•
uf
D n=
1-ax,,
n-1 n-1 n-1
1
0
1
1
1 .0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
507
......
......
......
......
F,, obtenemos finalmente:
1
0
0
•
•
•
-1
0
1
0
0
•
•
•
= (n-1) xn'2(-1)'v1 ■
0
-1
Sean z = C o s a + i Sen a, 10 = Cos(2ji/n) + i Sen(27t/n).
Hallar Re(l A I), donde A e K n, n = 4 k + 1 y
A =
1
z
z2
•
•
•
of
1
x
•
•
•
z"
z n-1
a/"1 ....
00" ....
1 ....
•
•
•
z n-2
....
(O2
co3
(O4
•
•
•
0)
co2
(ú3
•
•
•
z
1
Solución . Multiplicando por x la primera fila y la primera columna se tiene :
0
X
X
X
X
0
1
1
1
1
X
0
X
X
X
1
0
1
1
1
X
•
X
•
0
•
X
•
X
•
1
•
1
•
0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
*•
•
•
X"
X2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
X
X
X
0
X
1
1
1
0
1
X
X
X
X
0
1
1
1
1
0
sumando las n-1 filas a la primera fila resulta :
Solución .
Efectuando las operaciones con las filas
F, + F?, -z F2 + F3>......, -z F^, + Fn, se tiene:
D(A) =
1
0
•
•
•
tíf
1-Zíün
•
•
•
co"-1
o f-z o f'
•
•
•
O)3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
•
•
•
O)2
(03-Z(02
•
•
•
ÍO
(ü2-Z(ü
•
•
•
1-Z(0n
0
0
otf-zof'
1-zoy
0
ay1'1za)n
(ún-Z(On
1-zcon
508
Capítulo 9: Determinantes
Por la propiedad (5):
D(A) = (1 - zco")"*1
(1)
Dado que, ton= [Cos(2rc/n) + i Sen(2n/n)]n = C os 2n + i Sen 2n = 1 y 4k = n-1,
entonces en (1):
D(A) = (1-z)4k = (1 - C os a - i Sen a)4k
= [2 Sen 2(a/2) - 2i Sen (a/2) C os (a/2)]4k
EJERCICIOS: Grupo 51
509
3
2
2
•
•
•
2
3
2
•
•
•
2
2
3
•
•
•
2
2
2
X
-a
-a
•
•
•
a
X
-a
•
•
•
a
a
z
•
•
•
-a
-a
-a
1
1
1
a,+b,
.....
.....
.....
14.
2
2
2
•
•
•
- '
3
1
2
2
•
•
•
2
2
2
•
•
•
2
2
3
•
•
•
.... ...
........
........
2
2
2
•
•
•
2
2
2
....
n
0
1
1
•
•
•
1
a,
0
•
•
•
1
0
a2
•
•
•
1
0
0
x,
X
x2
x2
x,
•
X
•
= [-2¡ Sen a/2 (Cos a/2 + i Sen a/2)]4k
= (-2)4k i4k Sen4k a/2 (Cos 2k a + i Sen 2k a)
Siendo i4k = 1 => Re( IA I) = 16KSen4k (a/2) C o s 2k a
.
E JER C IC IO S . Grupo 51
En los ejercicos 1 al 6, calcular los determinantes aplicando la Regla de Sarrus
1.
8
-3
1
4.
4
3
1
2
4
7
-3
-2
-7
-1
-6
2
4
5
3
2.
5.
5
8
-5
1
1
1
2
3
2
5
7
8
-1
-2
-1
3.
25
49
64
1
4
16
6.
3
8
2
1
5
25
4
7
-1
1
9
81
En los ejercicios 7 al 12, calcúlese los determinantes de las matrices, reduciendo
primero cada matriz a una matriz triangular superior.
f
7.
10.
/*
f
3l
2
0
0
k1
1
2
4
1
0
1
1
0
-1
0
1
1
1
1
0
-0
4
0
-1
0
-3
6
2
2
1
3
5
4
8.
11.
s
t
s
-1
1
2
[3
1
1
1
1
2
2
0
2
1
4
-1
-1
2
1
3
0
9.
1
-1
1
1
1
2
-1
1
1
2
3
-1
12.
J
4
0
3
-2
6
-3
3
3
8
0
-4
4
2
2
6
2
3
1
2
3
-3
-1
1
0
f
"N
-6
-1
-2
-2 J
N
4
2
0
-5
J
En los ejercicios 13 al 36; calcular los determinantes de n-ésimo orden por reduc­
ción a la forma triangular.
a
a
a
•
•
•
-a
..
..
a 2+ b 2 "
a
a
a
•
•
•
X
16.
an
an
an
•
18.
•
•
•
•
•
•
1
a,
a2
a
-a
0
•
•
•
a+h
a
-a
•
•
•
a+2h
0
a
•
•
•
a+(n-1)h
0
0
•
•
•
0
0
0
a
n
n -1
•
•
-5
-2
8
a2
a2
a,
a,
•
.....
....
....
•
•
•
1
1
a n+b n
•
1
1
1
•
20.
1
2
3
4
•
•
n
... ...
... ...
... . . .
1
0
0
•
•
•
an
•
•
... -• Xn-1
...» ” Xn-1
x n-1
,
•
•
x.
x,
x2
X,
...
..
2
1
2
3
•
•
3
2
1
2
•
•
4
3
2
1
n
n-1
n-2
n-3
•
•
n-1
n-2
n-3
1
Xn
Xn
Xn
•
X
Xn
xn-1
X
•
n -2
3
2
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
X
X
X
0
•
0
•
0
•
1
•
X
•
0
•
X
•
X
•
•
•
•
22.
-1
X
0
0
•
-1
•
X
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0
0
0
-1
0
0
1
X
0
0
0
0
-1
X
1
X
....
..
•
•
X
0
X
X
X
0
Capítulo 9: Determinantes
510
•a,
a7
•
•
•
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
•
•
•
2
1
X
3
2
1
X
X
•
•
•
1
X
1
•
•
•
1
•
•
•
24.
0
0
•
•
•
3n-, -a„
1 1+an
•
•
•
4
3
2
1
•
•
•
5
4
3
2
•
•
•
n
n-1
n-2
n-3
•
•
•
X
X
X
1
26.
•
•
•
3
0
•
•
•
4
0
•
•
•
. n-1
. 0
•
•
•
n
0
•
•
•
0
0
0
0
0
ü
. x
-1
0
1
2
-1
X
•
•
•
0
0
2
X
X
1
X
X
•
•
•
•
•
•
•
•
•
X
X
X
X
...
n
1
X
1
1
1
2
3
... ....
a,+an
a,+an
•
•
•
2
3
..
....
3
..
....
•
•
•
4
•
•
•
4
5
•
•
•
0
n
1
2
..
28.
a
a+h a+2h
a+h a+2 h a+3h
a+2h a+3h a+4h
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a+(n-1)h
1
-1
0
•
•
•
•
•
•
1
1
X
... n
... n-1
... n-2
... n-3
4
3
2
3
2
1
X
a,+a2 ......
0
...
0
3,+a,
•
•
•
•
•
•
an+a2
...
an+a,
0
1
0
0
•
•
•
0
0
b3
•
•
•
0
b,
1-b , b2
-1 1-b2
•
•
•
•
•
•
0
0
1
a+h
a
0
0
0
0
0
0
..
511
a+(n-1)h
a
a+h
•
•
•
a0
a,
a2
-X
0
•
•
•
x .
-X
•
•
•
X
•
•
•
a+(n-2)h
0
0
0
1
X
2x
4x
0
0
0
•
•
•
•- 1A ,
-1
0
0
0
0
•
•
•
1
1
1
1
y
2y
..
a
0
...
0
•
•
•
X
X2
X3 X4
3x2 4x3 5x4
9x2 16x3 25x4
f
co
a,
0
•
•
•
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
y3 y4
4y3 •5y*
bn
1-b
1
2
•
•
•
9.5.3 )
P R O P IE D A D E S M UL1
| P R O P IE D A D 6 )
n-1
D E T E R M IN A N T E DI E UN P R O D U C T O
Si A y B son matrice s de orden n, y A es inversible, entonces:
1
Xn-1
•
•
•
1
X2
X
X3
X2
X4
X3
X
b
b
b
•
•
•
b
xn-1
X2
X
X
1
xn-1
xn-2
•
•
•
•
•
•
P
•
•
•
P
P
P
P
1
1
•
•
•
P
a
P
a
1
1
1
•
•
•
X
a
P
P
a
•
•
•
a
a
30.
X"-2
Xn3
•
•
•
... a
- ... p
P
- ... p
•
•
•
- .... a
0 1
0 X
0 X2
0
0
0
<V
<V
C 22 ...
En efecto, la Definición 8.2 establece que ijna matriz arbitraria A puede representarse por
A = E, E 2 E 3 ..........E m B
c fl"-1 xn
C ,2 ...
<V
Esto es, el determinante de un producto e s igual al producto de los determinantes,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
D (A B ) = D (A ) . D (B )
donde E t, i = 1, 2, 3 ...... m, son matrices elementales y B es una matriz triangular
superior. También sabem os que si A es inversible entonces A es el producto de
32.
1
2
3
•
•
•
•
2
3
3
4
•
•
•
•
5
•
•
•
•
n
n
n ..
4
... n-2 n-1
n
n
... n
•
•
•
•
•
•
•
•
.. ... n-1
n
n
n
n
n
•
•
•
•
n
matrices elementales E, E2 E 3 .....E tn
Por lo que :
AB =
=> D(AB) =
E, E 2 E 3 .......
D(E, E 2 E 3 ...
E,n B)
=
D (E ,).D (E 2 EV E . B )
=
D (E ,).D (E 2) •D(E3 .... E mB)
512
Capítulo 9: Déterminâmes
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
Por inducción se sigue que :
D(AB) = D(E,) • D(E2) • D(E3) .... D ( E J • D(B)
Ejemplo 2
Dado que:
j
D(E,) • D(E2) • D(E3) .... D ( E J = D(E, E 2 E 3 ..... E J = D(A)
combinando estas dos afirmaciones se tiene
513
0
0
0
1
1
1
r 1 1 1
2 3 4
3 6 10
Calcular el determinante de A =
4 9 14
5 15 24
9 24 38
0
0
0
1
5
25
0Ï
0
0
1
9
81
D(AB) = D(A) • D(B)
S olución .
siempre que A sea inversible.
í Ejemplo 1 )
Solución . Si AB =
1
4
0
'2
3
0
'1 - 1
7
1
5
0
0'
0
2
II
CD
*<
Verificar D(AB) = D(A) . D(B), cuando
r
1 -1
1
0
2
1
7
4
0
A= 3
0
0
w5
lo
2j
3'
2
1
=
\
3
2
1,
Por simple inspección, dos submatrices de A que satisfacen la Propie­
dad 7 son :
\
1
1
Í1
' 1
1
1
X = 2
4
3
y Z = 1
5
9
13
6 10,
> 1 25 81 J
1
D(X) =
9 - 1 8
31
1 17
10
0
2y
v
c ,9 - c v
1
0
0
4
2
1
2
10
C a-C v
3
3
7
1
9
31
10
D (AB) =
-1
1
0
8
17
2
2
3
0
1
4
0
Ahora : D(A) =
y D (B) =
=
1
7
5
-1
1
0
3
2
1
40
31
10
F-+F.
2
0
0
2
= 2
F,+F,
-i— V
8
7
5
0 25
1 17
0 2
2
1
3
4
0
1
0
5
2
1
=
25
40
10
D (Z) =
= -170
9
(1)
2
= 2(8-3) = 10
1
0
0
2 v
1
4
8
C :fC l
1
24
80
c„-c,
81
O
O
5
1
Ejemplo 3
J
Calcular el determinante de A =
7
4
8
24
80
0
0
x,
X2
0
0
0
a,
b,
1
1
1
b3
x,
x,2
x,2 x22 0
a3
S o lu c ió n .
b3
y donde X, Y, Z son
A =
submatrices cudradas de A, entonces:
D(A) = D(X) • D(Z)
1
X3
C,
x2
X3
° 2
X 22
x 32
C3
0
0
X 2
3 ^
Haciendo uso de la Propiedad 4c, intercambiamos la tercera y sexta
1
Si A e K", tal que A =
= 128
0
columnas y luego la tercera y sexta filas, y obtenemos:
( P R O P IE D A D 7 )
= 1
1
a2
(2)
Por lo tanto, de(1) y (2) se concluye que : D(AB) = D(A) • D(B)
3
En consecuencia, por la Propiedad 7 : D(A) = (1) (128) = 128
= 8 - 2 5 = -1 7
Luego: D(A) • D(B) = (10)(-17) = -170
2
=
1
—
1
x,
x ,2
1
1
0
0
0
x2
X3
0
0
0
x22
X3 2
0
0
0
X3
x,
a 2
b2
°2
a 3
b 3
C3
x2
x
a22
X32
a,
b<
c,
1
1
1
r-
514
Capítulo 9: Determinantes
Por simple inspección, dos submatrices cuadradas de A son
En efecto, escribiendo la matriz A como producto de matrices elementales E (, se
N
1
1
x, X2
x2 V
L i
X3
1
X =
tiene:
X3
X,
x 22
X
2
*3
*,
1
1
^ X2
, Z=
X 32>
s
0
D(X) =
X 2
1
0
x2-x,
Xa2- * ,2
515
EJERCICIOS: G rupo 52
Por la Propoiedad 6 :
x3-x,
= ( V xi) ( v x,)
A
=
E ,E 2 E3
A'
=
E ’m.......
D(A) =
D (E ,).D (E 2) ....... D ( E J y
D(A') =
D (E > J ....... D (E2‘) . D(E,<)
x 32- x , 2
=
= (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
por lo que:
D(A) = D(X) • D(Z) = (Xg - x,)2 (x3 - x,)2 (x3 - x2)2
Solución .
Calcular el determinante de A =
Ejemplo 5 ]
■
1
1
1 '
1
1-a
1
1
1
1
1
1
1+b
1
1
1-b
'1 + a
Ejemplo 4M \J
D(A) =
a
1-a
0
1
0
1
b
1
0
1
b
1-b
=ab
1
1
0
1
1
1-a
0
1
0
1
1
1
F4-F ,
0
D(A) = ab
1 0
1-a 1
0
0 1 1
0
1
1
1
1
1-a
1
1
1
1-b
0
1
entonces:
D(A) = D(A')
0
X
0
0
0
0
X
0
0
0
0
X
D(A') = D(A) => [D(A)]2 = X*
E JER C IC IO S . Grupo 52
En los ejercicios 1 al 3, para las matrices A y B, compruébese Propiedad 6 :
D(AB) = D(A) . D(B)
P R O P I E D A D 8 ] D E T E R M IN A N T E D E U N A T R A N S P U E S T A
Si A es una matriz cuadrada de orden n y A' es su transpuesta,
X
0
0
0
D(A) = ( a2 + b2 + c2 + d2) 2
1-b
= ab(1 - a - 1) (1 - b -1 ) = a2b2
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
, -d c -b a )
=> D (A1A) = D(A') • D(A) = X 4
Por la Propiedad 7, se sigue que :
D(A) = ab
, calcular el determinante de A.
donde X = a2+ b 2+ c 2+ d 2
Pero, por la Propiedad 8 :
1
1
b c d
a
d -c
-d
a b
c -b a
a -b -c -d
b a -d c
A ’A =
c d a -b
I, d -c b a ,
y
0
1
1
1-b
Si A =
a
-b
-c
-d
Efectuando el producto A 1 A se tiene:
Solución .
Efectuando las operaciones F, - F2 y F3- F4, se tiene:
a
1
0
1
D (E ,).D (E 2) ............D ( E J
D(A') = D(A)
Si intercambiamos filas en el determinante de Z, obtenemos el determinante de X,
C
E' 3 *E'
E'
—2 *—1
1
1.
A=
-1
-1
2
2
4
-1
-9
-2
3
0 -3 -8
1 0 -13
-5
5
3
-2
-6 1
0 -2
1
3
3
5
15
2. A =
-12
9
1
3. A =
a
b
c
d
b
a
d
c
c
d
a
b
d
c
b
a
Capítulo 9: Determinantes
516
' 1 -2
V
-3 -1 1 '
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
B=
0
0
' 1
1
' 1
0'
-2
1.
0
0
3
2
1
0
4
2
1>
B=
V.
1
r
1 1 -1 -i
1 -1 1 -i
1 -1 -1 1 ✓
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
menores que orlan a
se encontrará un menor no nulo de orden k+1 y todo el
procedimiento se repite.
2 i -4
Ejemplo
1
j
3 ' 1
1
1 1 -2
-4
i____ 1 .
0
1 -1 ' 3
j
4 -7
4 -4
Determinar el rango de la matriz A =
En los ejercicios 4 al 6, calcúlese el cuadrado del determinante
4.
1
1 - 1
1- 1
1 - 1 - 1
2
2
1 1
1- 1
2
0 - 3 - 1
1
1
1
1- 1
5.
1
1 - 1 - 1
3 - 7 - 1
1
1 1 1
1 - 1 2
6.
1 1
-
*\
0
2
1
5
1
2
Solución .
Dado que el orden de matriz es de 4 x 5, entonces:
1 3
p (A) < min {4, 5}, es decir, p(A) < 4
1 1 1 - 1
9
517
Fijemos un menor de segundo orden
En los ejerciccios 7 al 10, cálculese el determinante de la matriz A.
r 3
2
5
0
0 '
-1
3
6
0
0
1
-1
2
0
0
10
6
7
8
8
5
9
3
9
4
l
9.5.4 )
8.
0
a
-a
-b
-d
0
b
c
-c
0
-e
0
, d
e
0
0.
6
3
1
12
16
-2 '
1
17
18
-5
3
2
-4
0
0
4
s. 5
1
-2
0
0
2
-3
0
0
A=
.
,
s
f
A =
= -4+6 = 2 * 0
-2
y el menor de tercer orden
-4
M3=
-2
3
1
1
-1
>
/■
10.
-4
M2=
a,
0
0
b2
V* 0
0
c,
d2
b,
0
a2
0
0
d,
0
C2 -
R A N G O D E U N M A T R IZ ___________________________
Supongam os que en la matriz A de orden m x n se han elegido arbi­
trariamente k filas y k columnas, esto es, k min {m,n}. Sabem os que los elementos
que se hallan en la intersección de las filas y columnas elegidas forman una sub
matriz cuadrada de orden k, cuyo determinante se denomina menor de orden k de la
matriz A. El orden máximo r de los menores distintos de cero de la matriz A se llama
rango de ésta, y cualquier menor de orden r, distinto de cero, menor básico.
=2
-2
1
-4
1
-1
1
3
-1
=2-1
= 1*0
Vem os que M 3, que orla a M 2, es también diferente de cero, sin embargo, los meno­
res de cuarto orden que orlan a M son nulos, esto es
2
1
0
4
-4
-2
1
-7
3 i 1
1 1 -4
-ij 3
4 -4
= 0, y
2
1
0
4
-4
-2
1
-7
3 i 0
1 ' 2
-Ij 1
4
5
=0
En consecuencia, el rango de la matriz es 3, y M, es el menor básico.
O B S E R V A C IO N E S
1. Si A es una matriz, no nula, de orden m x n, entonces
0 < p (A) < min {m, n}
2. Si A es una matriz cuadrada, no nula, de orden n, entonces
0 < p (A) < n
3. Si A y B son matrices conformables respecto de la suma A+B, entonces
Para determinar el rango de una matriz A de orden m x n, supongam os que en
esta matriz fué hallado un menor M v * 0. Vam os a considerar sólo aquellos
menores
, que contienen en si (orlan) el menor M k; si todos los menores
citados son nulos, el rango de la matriz es igual a k. De lo contrario entre los
p (A+B) < p (A) + p (B)
4. Si A y B son matrices conformables respecto del producto AB, entonces
p (AB) < min (p(A), p(B)}
Capítulo 9: Determinantes
518
r 1
2
2
3
Hallar x de modo que el rango de la matriz A =
3 x 5
-2
3
Ejemplo 2 ]
3 x"i
4
5
6
x -5
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
519
Podemos observar que para t = 0, los tres primeros determinantes son nulos, pero el
cuarto determinante tiene un valor M 3 = 5 * 0. Por lo que:
a) p (A) = 3, V t e R ,
b) f¡ t e R, tal que p (A) < 3
sea menor que 4.
S o lu ció n .
Por definición, si p(A) < 4 => D(A) = 0, luego, calculamos el determi­
Ejemplo 4 j
Sea la matriz A =[a 1 de orden n, donde a = {
"■
11 1 x si i = j
nante de A efectuando las operaciones: -2C, + C 2, -3C, + C 3.
D(A)
1
0 0
x
2 - 1 - 2
5
3
x-6 -4 6
-2
7x+6 -5
=
=
-1
0
0
x-6
8-2x
5x-24
7
x-8
30
8-2x
5x-24
x-8
30
Hallar los valores de x de modo que 1 < p(A) < n
*
=
-1
-2
5
x -6
-4
6
7
x+6
-5
- X
-
X
- X
0
-1
0
2x-9
x-6
8-2x
12
7
x-8
2x-9
8-2x
12
x-8
2
-1
-2
3
x -6
-4
-2
7
x+6
Solución . Según definición dada, construimos la matriz
r X
1
1
•
•
•
1
X
1
•
•
•
1
1
X
•
•
•
1
1
1
1
1
1
V
....
1
1
1
•
•
•
1'
1
1
•
•
•
X
1
1
X
Calculemos el determinante de A sumando las n-1 filas a la primera para obtener
de donde obtenemos: D(A) = -2x3 + 6x2 + 20x - 48
Si D(A) = 0 => x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0
*=> (x+3) (x-2) (x-4) = 0
«
í Ejemplo 3
)
A =
1
2
5
5
2t
. 7t
2
3
3t ,
1
1
1
1
Como la matriz A es de orden 3 x 4 , existe C 34 C 33 = 4 menores de
orden 3 que se pueden obtener de dicha matriz. Estos son:
3t
5t
7t
3t
5t
7t
1
5
2
1
5
2
2
5
3
t+1
2t
3t
= -15t
= t (7t-25)
3t
5t
7t
1
5
2
2
5
3
2
5
3
t+1
2t
3t
t+1
2t
3t
X
•
b) No es igual a 3
5t
1
•
a) E s igual a 3
t+1
x+(n-1)
1
x+(n-1)
Hallar para qué valores de t el rango de la matriz
3t
S o lu c ió n .
x = -3, x = 2, x = 4
X
x+(n-1)
1
1
1)
•
•
1 ....
1 ....
X ....
•
•
•
1
1
1
1
1 ....
1 ....
1
1
1
•
1
X
1
•
1
1
1
1
1
•
•
•
1
1
1
•
•
•
X
1
1
X
1
1
x+(n-1)
1
1
•
•
....
= (x+n-1)
=> D (A ) = (x + n - 1) (x - I ) " - 1
X
1
1
X
1 0 0
1 x-1 0
1 0 x-1
• • •
• • •
• • •
1 0 0
1 0 0
0 0
0 0
....
0 0
• •
• •
• •
.... x-1 0
....
0 x-1
....
....
520
Capítulo 9: Determinantes
Por consiguiente,
si
si x = 1 => 1 = p (A) < n
De igual manera, para x = -10, p(A) = 3. Por lo tanto, el rango mínimo es 3 cuando
x = -3 y x = -10.
_
si x = 1 - n => 1 < p (A) < n
( Ejemplo 5 ^
Sea la matriz A =
1
1
6
2
EJER C IC IO S . Grupo 53
1
-4
1
X
5
-1
8
2
En los ejercicios 1 al 6, hallar el rango de la matriz A
2
4
2
-1
-2
-1
3
5
1
A =
1
2
5
7
3
-1
1
7
5
-3
-1
9
A =
3
5
1
7
-3
-3
-3
-5
3
2
-5
1
Para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor máxi­
mo, y para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor mínimo. Hallar los
1.
A=
valores de dichos rangos.
Solución .
La matriz cuadrada A es orden 4, por lo que 1 < p (A) < 4.
El rango de A tendrá un valor máximo, p(A) = 4, si el D(A) * 0.
3.
Hallemos el determinante de A efectuando las operaciones:
-2F2 + F,
0
1
0
0
D(A) =
7
-1
8-x
4
-1
1
x+6
0
xF,2 + F,3
9
-4
1-4x
x+8
-2F2 +
-1
x+6
0
f4
7
8-x
4
5.
9
1-4x
x+8
8-x
1-4x
4
+ (x+6)
x+8
7
9
4
x+8
=> (x+3) (x+10) * 0
<=>
x *-3
4
7
\
2J
-1 '
4
7
1v
2
3
0
4
2.
4.
5)
4
-7
1,
6.
2
2
3
A=
1
0
-1
4
-1
0
5
2
1 J
A=
2
0
2
0
0
1
1
1 *
2
0
0
0
2 '
0
1
0 ,
A =
1
0
2
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2'
0
1
0.
\
= 6(x+3) (x+10)
7.
Si D(A) * 0
-2
1
8
En los ejercicios 7 y 8, decir a qué es igual el rango de la matriz A para diferentes
valores de K.
Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos
D(A) =
521
Luego, si x = -3 , entonces, p (E) = p (A) = 3
p (A) < n => D(A) = 0 <=> x = 1 ó x = 1 - n
2
1
-X
2
EJERCICIOS: Grupo 53
3
k
1
2
A =
ó x # -1 0
Esto es, el rango de A tendrá un valor máximo si x € R -{-3, -10}. Cuando el D(A) = 0,
1
4
7
2
1
10
17
4
4
1
3
3
8.
A =
f 1
2
's. 1
k
-1
10
-1
k
-6
2
5
k
entonces p(A) < 4, es decir, si x = -3 y x = -10 el rango de A es menor que 4.
9. Dada la matriz A = [al de orden n, tal que a =
''
Hallemos el rango de A por transformaciones elementales para x = -3
r2
1
A =
3
l 2
1
1
6
2
5
-1
8
2
3 F 2+ F 3
1'
-4
1
-3 .
'1
0
0
lo
1
2
3
l 2
1
-1
0
0
-1
7
32
4
-4 '
9
40
5 ,
-1
5
8
2
-4 Ï
1
1
-3
F 3(1/8)
-F,3 + F.4
-2F.+F,
1 -1 -41
-1
7 9
3 11 13
0 4 5)
-3F,+F,
-2F,+F4
r1
0
0
lo
1
-1
0
0
-1
7
4
0
-4 '
4
5
0 ,
= E
J n' 1’ s ii J
l
1, si ¡ ^ j
Qué valor debe tener n para que el rango de A sea igual a su orden.
En los ejercicios 10 y 11, hallar x para que el rango de la matriz A sea menor que 4.
10.
\
r1
X
X
X
X
1
X
X
X
X
1
X
X
X
X
1 .
A =
S.
f
11.
A =
X
1
0
0
X
X
1
1
X
X
0
>. X
0
1
x ,
X
Capítulo 9: Determinantes
522
( 2
x
12. Sea la matriz A =
x
x
x
3
x
x
x
x
4
x
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
523
matrices elementales tales que:
x
x
x
x
A = E, E 2 E3 ......... E m B
Por lo que :
Hallar x de modo que el rango de la matriz sea : a) máximo , b) mínimo
3
13. Hallar el rango de la matriz A, V x e R, si A =
X
0
2
k -2
4
6
2(x+1)
0
1
14. Determine el rango de la matriz A =
2
l 1
diferentes valores de x.
X
*1
0
0
0
0
-1
2
X
5
7
-6
1
2„
De la hipótesis, D(A) * 0,
3x
0
2x-2x2,
f
se sigue que D(B) * 0
y
si D(B) * 0 si y sólo
si B es inversible. Puesto que A es inversible si y sólo si B lo es, por tanto,
se ha demostrado el teorema.
C orolario
3'
D(A) = D (E ,). D (E2) . D (E J ...........D ( E J . D(B)
Si A es inversible, entonces :
D (A'1) = — -—
D(A)
para
9.5.5 )
D A J U N T A D E U N A M A T R IZ
15. Para qué valores de x el rango de la matriz a toma un valor
Si A= [ai(] es una matriz de orden n, sea
a) máximo, b) mínimo, s i :
2
-1
X
2
5
1
10
-6
1
1
0
0
0
1
A =
T E O R E M A 9.1
X
-1
c ,= W
el cofactor i, j de A, entonces la matriz C = [c] se llama matriz de cofactores de A. Es
decir
Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su deter­
c = [<g =
minante es diferente de cero
v.
Dem ostración.
(=>)
D (A )
Primero demostraremos que si una matriz A es inversible => D(A) * 0
c 11
c21
•
•
•
C12„
n22
•
•
•
c in
c2n
•
•
•
r
r A 11
A21
•
•
•
A 12,
A 22,
•
•
•
A 1n I
A 2n
•
cn i
c n2„
cnn
^ A ni
A n2
A nn J
•
•
La transpuesta C ’ de la matriz de cofactores de A se llama Adjunta de A.
Esta matriz se denota por adj(A), y si A = [cj, entonces
En efecto, supongamos que A es inversible, esto es : A A ' = I
adj(A) = (-1 )u| D(A„)
=>
D(AA ’) = D (I)
=>
D ( A ). D(A ') = 1
(Propiedad 6)
Demostraremos que si D(A)
Si A, B, I son matrices no nulas, de orden n, y r es un escalar,
entonces
Por lo tanto, D(A) * 0
(<=)
Propiedades .
(9)
* o, entonces A es inversible.
AD.1 : adj (In) = !n
A D .5 : adj (rA) = r"’1 adj (A)
AD.2 : adj(A') = (adj(A)]’
A D .6 : 1adj (A) I = I A I - 1
AD.3 : adj(A") = (adj(A)]"
A D .7 : adj(A ') = [adj(A)]1 =
En efecto, supongamos que D(A) * 0
Probaremos que A es equivalente por filas a I (es inversible).
AD.4 : adj(AB) = [adj(B)] [adj(A)]
Recordemos que si B = A, existe una sucesión finita E,, E2, E 3, ....... E mde
_A _
IAI
Capítulo 9: Determinantes
524
rE je m p lo ~ 1
^
f
Demostrar que si A e 1 son matrices de orden n, entonces
---------------
1 Ejemplo
A • adj (A) = I A 11
D em ostración .
a,i
“ •“
•
•
a
V. ni
ain
•
•
•
ann
a,2--....
•
•
an2
--------^
r
A.,
.>
V.
2 J
Dada la matriz
A =
2
2
. 1
3
1
1
4'
1
2>
Solución . Primero calculemos la matriz de cofactores
N
1 1
2
1
2
1
+
1 2
1 2
1 1
3 4
2 4
2 3
' 1
+
C =
1 2
1 2
= -2
1 1
3 4
2 4
2 3
.-1
+
1 1
2
1
2
1
... .. 1
i A.i1i1 ...
, A2, ...- An,
•
•
•
1• 1
•
1• •
•
•
•
•
•
•
A,,
......
1
A|
k
1
...
A,k
•
1• 1
•
•
•
•
•
•
1 1
•
•
•
1* 1
... ' A 1.. ... A
AIn A2n
i p1i
a ,,
a ,2
...
C
<
31n I
320
•
•
•
C
<
A.adj(A) =
En efecto, consideremos el producto
í a" ^12 ....
a21 a22 ....
•
•
•
•
•
•
Sección 9.5: Otras aplicaciones v propiedades de los determinantes
Por lo tanto, la matriz adjunta de A es : adj(A) = C ' =
+ amA )n
a„ A ,i + a,2 a ,2 +
(1)
Si i = j, entonces (1) es el desarrollo por cofactores del D(A) a lo largo de la i-ésima
fila de A (ver ecuación 5). Por tanto, si i * j, entonces los elementos y los cofactores
, calcular la adj(A).
-3
0
6
1
1
-4
1
-2
-1
-3
0
6
1
El elemento que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.adj(A) es:
525
1 -4 J
Examinemos el producto A • adj(A) de este ejemplo
A • adj(A) =
2
2
. 1
3
1
1
4
1
2,
1
-3
. 1
provienen de diferentes filas de A, de donde, el valor de (1) es cero.
-2 -1
0
6
1 -4 ,
=
-3
0
0 -3
.o 0
0
0
=
-3,
-3 I
Hallemos ahora el determinante de A
En consecuencia:
A. adj(A) =
A 1 0
1A l
0
•
•
•
•
•
•
0
0
•
•
•
0
0
•
•
•
0
0
1A l
0
D(A) =
= IA II
2
2
1
3
1
1
4
1
2
= 2(2 -1 )-3 (4-1)+ 4(2-1) = -3
De estos dos resultados podemos escribir
A • adj (A) = I A I I
Si en esta igualdad efectuamos el producto indicado en el segundo miembro, obte­
Por lo que, es posible establecer una fórmula para calcular la inversa de una matriz
inversible.
nemos
A. adj (A) = I A I"
I 9 .5 .6 )
IN V E R S A D E U N A M A T R IZ
Tomando determinantes en ambos extremos resulta
Consideremos primero el caso siguiente.
I A.adj (A) I = I A I" => I A I • I adj(A) I = I A I"
Sea una matriz de segundo orden A =
I adj (A) I = I A I"-'
(AD.6)
, cuyo D(A) * 0
321
322
S e desea hallar una inversa para A, esto es, una matriz
tal como:
526
Capítulo 9: Determinantes
A '1 =
de manera que:
[ Ejemplo 3 ^
(1)
A • A° = A 1• A = I
an
o sea:
X
2
>
. a2i
O
a j
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
Solución .
X
y
i
z
w
_0
Determinar la inversa de la matriz
Primero calculemos: D(A)
0 '
1
2
3
6
10
a „ x + a 12 z = 1
(2)
a,, y + a,2 w = 0
(4)
a2, x + a^ z = 0
(3)
a2, y + a22 w =
(5)
1
10
A '1 = —
2
J
)
2
3
6
10
= 20 - 18 = 2
Solución .
f
-3
Se a
A =
3
-1
5
-2
-2,12
5
x=
2 .
. -6
. *3
3
Resolver la ecuación:
Resolviendo (2) y (3) obtenemos:
1 ,
-1
[5
' 1
x =
-2
2 '
3
4
D(A) = 3(-2) - 5(-1) = -1
z = Por la fórmula (10):
A 1= -
La resolución de (4) y (5) da por resultado:
a.„
y= -
w =
D(A)
Sustituyendo en (1) se tiene que : A '1 =
D(A)
A=
\
12
az2,
a
a -'
{ a2i
T
’2
5
-1 '
-3
Multiplicando cada miembro de la ecuación por A -1 se tiene:
D(A)
2
-1
3
-1
5
-3
5
-2
X =
2
-1
1
2
5
-3
3
4
( A ’A = I )
-a.
lo que nos permite enunciar el siguiente teorema
La matriz
’ -2
co"
D(A)
LO
D(A)
T E O R E M A 9.2
A =
Como el D(A) * 0, por la fórmula (10), se tiene:
Los productos escalares de los vectores fila por los vectores columna nos permite
establecer las ecuaciones siguientes:
x =
=
527
' -1
IX =
tiene una inversa A '1si y sólo
)
J
Si A =
2
-4
-1 '
, -2
3,
y B =
0 '
-2
«
X =
’7
6 '
.9
8 ,
' -1
-4
0'
-2
hallar las matrices C y D tales que A C = B y DA = B.
si el D(A) * o. Además, si D(A) * 0, entonces
=>
(1 0 )
, _a21
__
2
k-2
-1
3 ,
C =
7
6'
, 9
8
(1)
,
311 4
A
Obsérvese que para calcular la inversa de una matriz de segundo orden, basta
hallar el D(A), luego intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar
D(A) =
2
-1
-2
3
= 6 - 2 = 4 => A ’ = 4 4
’ 3
2
1'
2
Multiplicando (2) por A -' (izquierda de B), la ecuación (1) se tiene:
3
.2
1
2 -1
2. . -2 3,
C - —
4
3
1
7
6
C\J
4
CVJ
de signo a los elementos de la otra diagonal.
CD
D(A)
Si A C = B
co
A 1=
S o lu c ió n .
1
=, C
=>
c -- 12
15
16
13
14.
528
Capitulo 9: Determinantes
6~
O)
7
6
c\i
00
1_
4
3
1
OJ
1
CVJ
3
CVJ
co
CV1J
D
1
4
co
Multiplicando (2) por A° (derecha de B), obtenemos:
2 -1
AX = X2 X
(2)
oo
7
1 co
C\J <\l
D(A) = B => D
'
=>
, de donde : D = —
4
19
25.
c) B = [X, X 2] = y
! Ejemplo 6
^
Resolver el sistema:
2
3
X +
X +
1
,2
' 1
Restando (1) - (2) obtenemos :
1
Solución
-1
4
-4
3
Y =
Y =
3
5
2
4
2
-1
-1 '
4
Y =
=>
-5,
y
3 '
’ 1 3 ’
Y =
1
1 -5
1
-9 '
.0
4,
, en (1): X =
X
= 3
x + 2 y'
=>
x + 2y = 3 x = * x = y = > X : =
-2
1
1
1
D(B) = y(-2 -1) =
y
3y
í 3xl
x + 2y
y
l
3*)
= y
*3y
1
-1'
1 ’ -1
-1
-2 t
3
1
1'
2
(2)
(3)
1
Ejemplo
Se a P =
J
Sen °
C os20
C °S 9 ] . Considerar que P = NAN \ donde
Sen 20 J
í 0, si i
A = [aj, de segundo orden, tal que: ait = j . g. . _ .
con X t, X2 raíces de la ecuación D (X I - P) = 0
Multiplicando la ecuación (3) por A 1 (izquierda de A), se tiene:
3
X
2
B1=
i)
' 1
' 11 J , 1
2 '
1
(1)
Sea A =
IY = — —
2 í.-11
1
de donde obtenemos :
11
43
529
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1
24
2
10 J
¡i) N es una matriz de segundo orden, cuyas columnas llamadas Cj *
cumplen la ecuaión matricial: PC , = X ( C
j = 1, 2
a) Hallar Pk, K e Z *
ejemplo 7 ^
A =
Dada la matriz
b) Demostrar que Tr (P2k) = 1 + C os2k 20
c) Hallar P6(n/8)
a) Determinar X tal que D(A - X I) = 0
b) Hallar la matriz X de orden 2 x 1 tal que A X = XX
S olución .
c) Hallar B \ siendo B = [X, X 2] y X es la matriz de la parte (b).
i)
Por la definición dada: A =
Si D(A) = 0
b)
?
2
í X
>
n
0
. 0
X,
ii
II
’ 1
CVJ
>
S o lu c ió n .
X (X - 3) = 0 ^
A X = X, X
de donde: x = -2y => X, =
x
y
' 1.1
1-X
9 '
2
. 1
2-X,
=
y
D(A - X I) = X2 - 3X
=
y
-2
1
0 '
X
X,
’ Sen 20
C o s20
C o s20
Sen20
r X-Sen20
-C os20
-Cos20 '
X-Sen20
y
de donde:
x + 2y
x + 2y
0
r X
0
0
0
Si D (X I * P) = 0 => (X - Sen 20)2 - C o s40 = 0
X, = 0 ó X2= 3
,
*2y
XI - P =
X,
X2 - 2 X Sen20 + Sen40 - C os40 = 0 = > X = Sen20 ±V Sen40 + C os40 - Sen40
=> X = S e n 20 ± C o s20 <=> X. = 1 ó X = -Cos20 => A =
2
1
0
0
-Cos20
Capítulo 9: Determinantes
530
ii)
a
b
Sea N =
c
d
cuyas columnas C *
Si PC, = X, C, =>
de donde :
EJERCICIOS: Grupo 54
S en 20
C o s20 1
C o s20
Sen 20
531
de donde obtenemos : Pk = —
2
a
=
b
1
b)
a Sen2 0 + b C o s2 0 = a => bCos2 0 = a (1 - Sen 2 0) <=> b = a
P 2k =
1+(-1 )2k C o s2k20
Luego, C, =
= a
,a
c)
c
C o s2 0
Sen 2 0 y
.
b
l + í - l p C o s2k20
Tr (P2k) = 1 + C o s2k 20
k 1,
k C o s2 0
1+(-1)k C o sk20
Tr (P2k) = 1/2 [1 +(-1 ) * C o s2k20 + 1+(-1 )a C o s2k 20] = 1+(-1 )2k C os2k 20
1'
Sen20
Si P C 2 = \ C 2
1-(-1)k C o sk20
1-(-1)k C o sk20
1-(-1 p C o s 2^
C o s2k20
a C o s2 0 + b Sen2 0 = b => aC os2 0 = b (1 - Sen 2 0) «=> a = b
a
1+(-1)k C o sk20
P6 (rt/8) =
1
2
1+ C o s6 (n/4)
1-C o s6(ti/4) '
1-Cos6 (ti/4)
1+ C o s6 (n/4)
c
= -Cos2 0
P 6(rc/8) = —
. d,
,
16
2
9
7
7
9
9/8
7/8 '
7/8
9/8
c Sen2 0 + d C o s2 0 = -c Cos2 0 = c Sen2 0 - c C o s2 0 => d = -c <=> c = -d
E JE R C IC IO S . Grupo 54
c C os20 + d Sen2 0 = -d Cos2 0 = d Sen2 0 - d C os2 0 =* c = -d
Luego, C 2 =
a)
-d'
,d
Si P = N A N '1
=d
f
-1
. Por lo que: N =
1
1 -1
1 1
✓
\
K,1'1 = —1=> N
2
1
-1
\
1
1,
1. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =
P2 = (N A N ’) (N A N°) = (N A) (N '1N) (A N 1)
= N A(I) A N -’ = N A 2 N-1
2
0
-1
-3
2
-2
1
0
3
0
-2
2
1
0
-1
2
3
1
4
-1
2
-2
3
1
hallar el valor de la suma S = B ^ + B23 + B
P3 = P P2 = (N A N-’)(N A 2N ’) = N A ÍN '1 N) A 2 N’1
= NA (I) A2 N ’1 = N A 3 N '1
2. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =
Por simple inspección : P k = N A k N°
Ahora:
A2= A A =
1
0
(1)
f
0
-Cos20 _
1
0
>
0
-Cos20,
1
k0
0
C o s220
' 1
0
'
0 -C os320
0
C o s220 y
B „ + B„,
hallar el valor de E =
* B 31
3. Sea A =[a1(] una matriz de orden n, tal que D(A) = 0. Demostrar que A • adj(A) = 0.
' 1
A 3 = A A2 =
0
\
Por simple inspección:
Luego, en (1):
Pk = —
' 1
0
k
0
-Cos20
Ak=
1
0
0
(-1)kC o sk20
' 1
1
1
0
4
4. Dada la matriz A =
1
-2
-2
-2
1
2
1
3
5. Sea la matriz A =
0
' 1
r
(-1)k C o sk20
-1
1
(-1)k*'
C o sk20
1
1
(-I)“*1
C o sk20
-1
1
, hallar A
, si AX = A', hallar 2/3 X*
6. Hallar la suma de los menores valores que pueda tomar x, si se sabe que la
~ 2Cotg x -Cosx ~
no es inversible.
matriz A =
Cosec x Senx
7. Si A B X C = D, donde A, B, C, D, y X son matrices cuadradas del mismo orden,
despejar la matriz X.
3Ì
lj
’B -
9. Resolver el sistema :
1
,3
2
4
X +
1
0
0
1
X +
2X +
10. Resolver el sistema :
1
-3
2
3
2'
1
X =
-1
3
-2
1.
1
-1
Y =
Y =
-4
9
3
2
6
k 2
Y =
3
5
5 '
9
0 -2
6 4
13.
X
15.
4
.3
17.
2
1
3
,-2
-7
-6.
r
5
3
19. Si A =
2
-1
4 -1
0 k2
4
-1 ,
14.
3
5
4
,2
2
-1
-12
= -18
10
9,
16.
2
3
9
,4
2
2
-3
-3
18.
-1
. 2
X —
2
3
, 1
5
1
2
3
2
1J
-3
.B =
f 1
^
1/4
3/2
3/2
13
B'
‘
2l
^ J , determinar la matriz X en la ecuación (AX! + A ’)’ = 3 A - 1
1 ‘
T EO R EM A 9.3
3
7,
------------------------- — ---------
Inversa de una matriz cuadrada de orden n
Si A ese uan matriz inversible. entonces
A ’ = — —-• adj(A)
D em ostración . En efecto, en el Ejemplo 1 de la Sección 9.5.5 , habíamos demos­
trado que
-1
. *5
2
6,
5
-1 1 y
-2, X t 7
6
8
14
9
16
10,
-2
, 3
4
-1,
3
5
12.
4 '
-4 > —
X
22. Si A =
3Y =
X +
3
15
A' BA =
533
siendo B una matriz simétrica, inversible, tal que A B = BA
En los ejercicios del 11 al 18 resolver las ecuaciones matriciales
11.
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
b) B X C = A
a) A X B = C
resolver las ecuaciones :
5
1
R -
<
G
II
A =
C\J
8. Dadas las matrices
01
Capitulo 9: Determinantes
532
-2
-4.
1
2
v
X
-3
. 5
2
-3
3
1.
3
2
1
3
v
A
4
1 0 2
2 - 1 3
y c = -3
. 5
,0 2 3 ,
A • adj(A) = IAI • I
4
-5
, 3 -22.
Dado que A es inversible, IAI * 0, entonces esta ecuación se puede escribir
IAI
adj (A) = I
Si multiplicamos ambos mienbros de esta igualdad por A -1 obtenemos
/
A ’A
IAI
adj(A) = A 1 I => I
5 1
-6 3 ; hallar la matriz
4-14 ,
A 1=
\
adj (A) = A -1 I
' 1 '
adj(A)
\ IAI /
(11)
E = adj (A) - adj (B) -C‘.
TEO R EM A 9.4
Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada
20. Sea la matriz A =
b)
Resolver la ecuación P(x) = 0
c)
Con las raices x,, x^, hallados en b), determinar las matrices B y C de orden
2 x 1 , tales que: AB = x, B , A C = x2 C
21. Determinar la matriz A, triangular superior que satisface:
identidad
D (B )*0
y
Sean A, B e K n, matrices inversibles, esto es, D(A) * 0,
re R. un escalar, entonces se cumple:
1.1: AA-’ = A ’A = I
1.5:
(rA)-’ = r 1 A 1
1.6:
(In)’1 = In
1.3: (A B )1 = B ' A ’1
1.7:
(A")-1 = ( A ’)"
1.4: (A-)> = (A*’)'
1.8:
adj(A ’) = [adj(A)] •
1.2:
11
>
Hallar el polinomio P(x) = IA - x II, x e R , I: matriz
>
a)
Capítulo 9: Determinantes
534
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
6
-11
0
-1
-2
1
La demostración del teorema queda a cargo del lector
Ahora, por la fórmula (11), se tiene que : A;1 = - —
IN o ta .
Si B = [tg = A ’’ => b = _^i_ .siendo
A, = (-1)^' M,,
\
r
Ejemplo 1
Calcular la inversa de la matriz
A =
3
2
l 3
4
3
5
-7
1
, 1
Si A X = A' => X = A 1 A ’ => X = -
5
1
-1 .
-2
-7
■14
2 X’=
En primer lugar calculamos el determinante de A, desarrollando por los
Solución .
cofactores de la primera fila:
r
1
D(A) = 3 (-3 -5) - 4 (-2-3) + 5 (10 -9) = 1 * 0 => BA'1
Ejemplo 3
]
Si A =
Enseguida, calculamos la adjunta de A
1
-1
5
-1
adj(A) =
-8
5
1
29
-18
-3
-11
7
1
S olución.
Dado que A = A'
D(A) =
5
1
A -’ =
Luego, haciendo uso de la fórmula (11):
f
Ejemplo 2
_
'
Se a la matriz
' 1
A = 1
1
2
3
4
29 -11
-18
7
-3
1J
-8
5
V. 1
3
4
3
3
4
4
1
4
3
1
3
+
1
1
3
4
+
2
3
4
3
2
3
3
4
+
1
3
1
2
1
3
1
4
3
1
2
1
1
4
+
1
3
2
3
2
0
a
3 ,
es una matriz simétrica, hallar A '1.
1 a+b 0
2 5 a
b x 3
1
2
0
7 14'
-3 -2
-1 -4.
' 2
o -2
, 0
1
a+b
0
2
5
2
2 b
f b= 0
5 x <=> < a+b = 2 = * a = 2
a 3
I x = a=>x = 2
= 1 (15 - 4) - 2 (6 - 0) = -1
11
-6
4
-6
4
3
-2
-2
1
. Si A X = A', hallar 2X'
' 11
A-’ = -1
-6
l 4
-6
3
-2
4
-2
1
>
-11
6
=
l
-4
I
-7
adj(A) =
X
r
4
3.
X
D(A) = 1 (9 - 16) - 2 (3 - 4) + 3 (4 - 3) = -2
+
a+b
5
1
3
4
adj(A) =
El determinante de A, por los cofactores de la primera fila, es:
S o lu c ió n .
2
wb
1
6 -r
0 -1
2
-2 1 , ,3
535
=
1
6
0
-1
-1
1'
[ Ejemplo 4 j
Hallar, si existe, la inversa de A =
-2
1/
Solución .
La matriz tiene la forma :
A =
X
0
Y
Z
6
-3
2
2
3
1
2
-4
2
\
-1 J
1
2
1
-1
0
0
3
2
0
0
4
3
536
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
Capítulo 9: Determinantes
=> D(A) = D(X) • D(Z) =
2
1
3
2
3
4
2
3
Luego, tomando determinantes en ambos mienbros se tiene:
= (1) (1) = 1
I adj [adj (A)] I = I IAI" 2 A I
Los elementos de la matriz de cofactores son:
= (IAIn'2)n IAI = IAIn(n2) IAI = IAI(f"1)2
A„ = 2
A ,2 = -3
A,3 = 31
A. = -2 3
A * = -1
A 22 = 2
A 23 = -19
A 24= 1 4
r
A ’=
. A I 3dj(A) =
2
-1
0
lo
i Ejem plo
5 )
1
■'í
A « s= 0
5
a 41 = o
A 33 = 3
II
a 32 = o
<
a 31 = o
Ejemplo 6 )
A 34 = '2
_
A.
-
/■
-3 31 -23 ' i
2
-1
2 -19 14
-3
2
=
0
3 -2
31 -19
-4
0
3.
l -23 14
0
0
3
-2
Si A es una matriz de orden n tal que IAI * 0, A 3 = -A,
X g { 0 }, demostrar que: X"-1adj (X A 4) = I
D em ostración .
Si A 3 = -A
=> A 3 A = -A A
=> A 4 = -A2
'v
0
0
-4
3>
Dadas las matrices A. B € K", tales que IAI * 0 y IBI * 0,
demostrar que :
A 3 A '1 = -A A-’ => A 2 A A ’1 = -I
=* A 2 = -I
(2)
De (1) y (2), se sigue que: A4 = I
=> adj (X A 4) = adj(X I) = IX II ( X I) 1
= Xn(X-’ I*1) = X"-’ I
/. X1"1adj(X A 4) = X1-" (X"-1!) = I
b) adj ( A 1) = [adj (A)]-'
c) ladj [adj(A)] I = IAI<"-’>2
\
D em ostra ción .
Ejemplo J J
a) En efecto, por definición de matriz inversa : adj (A) = IAI A '1
adj(AB)
(1)
Como IAI * 0, la matriz A es inversible, por lo que:
a) adj (AB) = adj (B) •adj(A)
=>
537
2
1
5
A -
3 11
5 1
1 1
, hallar la suma de los elementos de
la tercera fila de su inversa.
= IABI (AB)-1
El determinante de A por los cofactores de la primera fila es
Solución .
= IAI IBI (B 1 A-’)
Si
(Teor.9.4: 1.3)
D(A) = 2(5 - 1) - 3(1 - 5) + 1(1 - 25) = -4
Como IAI y IBI son escalares, podemos escribir
Si B es la inversa de A, entonces
adj (AB) = (IBI B 1) (IAI A 1) = adj (B) • adj (A)
b) En efecto, por definición : adj ( A 1)
= IA M ( A 1) 1
S
= IAI'1 ( A 1)“1
-
b 31 + b 32 +
b 33
=
—A,3
13 +
IAI
-24
= [ IAI( A 1) ]•’
(Teor. 9.4: 1.5)
= [ adj (A) ] ’
c) Efectivamente, si
adj(A) = IAI A -1 => adj [adj (A)] =ladj
1
(A)l [adj (A ) ] 1
4
y por las propiedades A D .6 y AD.7 de la matrizadjunta se tiene :
A«
IAI
+
-13
-4
r1
1
k1
7
IAI
= IAI"* A
Solución .
-2 4 + 13 + 7
-4
3
4
3
a) La traza de A 1
adj [adj (A)] = IAI"0 adj ( A 1) = IAI"-1
A 33
IAI
a) P o r definición : adj (A) = IAI A 1
3
3
4
= 1
, hallar :
b) L a matriz A. E s A ú n ic a ?
Capítulo 9: Determinantes
538
Tomando determinantes a ambos extremos se tiene
(i)
ladj (A)l = IIAl A 'l = lA P IA M = IAI2
4
3
V
Ejemplo 10 j
Se sn las matrices AB =
J
' 7
5
a-1
25 '
23
16 y
16
4a-3 3a-6
Solución .
1
1
1
3
4
3
a,,
A =
1 N
lA ’lJ
a,
33,
33,
7
5
* fl-1
=
1
o.
d
7
-1
I 1
-3
1
0
-3 "
0
1✓
N
N
1
4
3
3
4
7
23
25.
1
0
0
1
7
2
4,
1
0
0
1
0
1
0
,0
0
1
2
4>
*3 F i +F ¿ r
-3F.+F,
,
3
1
0
.0
1
1
-f 3+f .
0
1
0
1
0
* F 2+ F ,
\
5
2
4,
>
an = 1
a i2 = 2
a ,3 = 4
=>
•
Del producto escalar de la segunda fila de A por las columnas de B, resulta:
decir, si admite una inversa.
Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y sólo si el D(A) = 0, o en su
3a„
3a„.
defecto, si no admite una inversa.
2 Sen 2x
3
C os 2x Sen 2x
V
modo que A sea singular.
Si A =
, hallar los valores de x de
s
1
0
-F2+ F 1,
,0
de donde obtenemos: 2 C o s22x - C os 2x - 2 = 0 <=> C os 2x = 1/2 ó Cos 2x = -2
2x = 2 k n ± n/3 <=> x = k n ± n/6. k e N
*>3 = 5
33,3 = 16
43,3 = 16
Efectuando opersciones elementsles en Is mstriz sum entsds del sistems, se
N
f
s
1 1
5
' 1 1 0
1
5
1 1 1
-3 F 1
,+F2
¿
1 0
1
1 0
0
3 4 3 16
-F3+ F , 0
-3F,+F,
1 3 .0
1
0
3 4 16.
1,
<3
= 2 S e n 22x - 3 C os 2x = 0
2x
Para la segunda alternativa no existe solución, luego, si
+
+
-
0
1
0
0
0
1
3
1
o
2 Sen 2x
3
C os 2x Sen
+ 4a,
+ 3a,
o
Para que A sea una matriz singular se debe cumplir que D(A) = 0
C o s 2x = 1/2 »
" 1
o
1
o
1
3
.3
Se dice que una matriz A es no singular si y sólo si el D(A) * 0, es
D (A) =
y '
25
16
3a-6,
tiene :
M A T R IC E S N O S IN G U L A R E S
=*
23
16
4a-3
7
+
ai3 =
a i2 +
+ 4 a,2 + 3ai3 = 23
+ 3 a ,2 + 4ai3 = 25
✓
Solución .
3'
3
4,
Efectuando transformaciones elementales en la matriz aumentada del sistema, se
Existe dos soluciones, por tanto A no es única
-------------------
3
4
3
Del producto escalar de la primera fila de A por las columnas de B, obtenemos:
adj(A ') = I A I adj ( A 1)
Calculando la adj(A ') obtenemos finalmente
*N
' 7 -3 -3
0
1
-1
= ±
A - * F <4)
1
0
1-1
3
3
4j
3
4
3
a2
^ 331 33
b) Para determinar la matriz A, aplicamos la propiedad
^
.
1
i
i
Sea A =[a ] una matriz singular de tercer orden, tal que D(A) = 0
3
3
4
.-. T r(A ’) = ± 2 ( 1 + 4 + 4 ) = ±18
Ejemplo 9
=
= ( 464t ) i1 (i 6 -g ) - 3 <4-3) + 3 <3-4)i =
Luego, en (1): IAI2 = 1/64 => IAI = ± 1/8 => A 1 = ± 2
f 9.5.7 )
b
Si A es una matriz singular, hallar el valor de a
3
4
( A 1)-1 = A
539
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
tiene
\
4
1
1>
>
1>
L
a2 , = 3
a2 2 = 1
a2 3 = 1
Finslmente, del producto escslsr de Is tercers fils A por Iss columnss de B, obte­
nemos:
540
C apitulo 9: Determ inantes
^32 + a3
4a,, + 3a3
3a, + 4a,
®31 +
3a„ +
3a,
a - 1
E JER C IC IO S . Grupo 55
-3
3a - 6
En los ejercicios del 1 al 12, por el método de la adjunta, hallar la inversa, si existe,
/*
1
1
a-1
3
4
3
4a-3
3
4
3a-6 ,
. 3
- 3 F ,+ F ,
---- !— i
-3 F 1+F_
3
541
Aa
La matriz aumentada del sistema es
' 1
EJERCICIOS: G rupo 55
1
1
a-1
0
1
0
a
,0
0
1
1
1
0
1
0
a
, 0
0
1
-3 ,
-■ V F , .
-3 .
1
0
0
2 '
0
1
0
a
.0
0
1
■3 ,
\
[
1.
A =
1
-2
1
-2
5
-4
1
-4
6
2.
A =
-1
2
4
4.
A =
6
-6
1
-6
8
-2
2
-3
1
5.
A=
1
2
1
7.
A =
-2
1
2
3
1
-1
4
-2
1
8.
A =
1
0
0
10. A =
1
0
0
0
3
1
0
0
-5
2
1
0
a3, = 2
\
=>
para la matriz A. Comprobar en cada caso que A A 1 = I
-1
0
1
!
= -3
2 -3
1 0
-2 5
3.
A =
2
-1
3
6.
A =
A=
2
1
2
1
2
2
-1
1
-3
2
1
1-1
-1
2
-1
0
-1
2
1
k-1
2
-1
2
r
Luego, A =
1
3
12
2
1
a
4
1
-3 ,
=> D (A ) = 1 (-3-a) -2 (-9-2) + 4 (3 a-2 ) = 1 1a + 11
= 0=>11a + 1 1 = 0
<=> a = -1
X
b
1
1 Ì
b
X
1
1
1
1
X
, 1
1
b
b
x -
Dada la matriz A =
, determinar los valores
f
Para que A sea una matriz no singular es necesario que el D(A) * 0.
x+b+2
1
b
= (x+b+2)
X
0
1-b
x-1
b-1
11
x cr
= (x+b+2) (x-b)
X
= (x+b+2)
0
x-b
0
0
1
b
1
1
C
T
D(A) =
x+b+2 x+b+2
1
X
X
1
b
1
0
1-b
1-b
x-1
(x +
= (x+b+2)
1
b
1
1
1
x
1
1
X
1
1
b
b
X
1
1
x-b 1-b
0 x-1
0 b-1
1-b
b-1
x-1
1) [(X -1 )2 - (b - 1)2]
= (x + b + 2) (x - b) (x - b) (x + b - 2)
En consecuencia, si D(A) * 0
11. A =
13.
f
5 3 1'
-8 3
X
1 -3 -2 = -5 9
k -2 15
k -5 2 1 ,
Calculamos el D(A) sumando las últimas filas a la primera
x+b+2
b
1
1
1 1 1
1 1 -1
1 -1 1
1 -1 -1
12. A =
0
0
3
2
0
o
4
3)
En los ejercicios del 13 al 16, resolver las ecuaciones matriciales
de x tales que la matriz A sea no singular.
Solución .
7
-3
2
1
2 -3
1 2
0 1
=> x * - ( b + 2), x * b , x * 2 - b
-c ,+ c 2
15.
\
1 1 -1
2 1 0 =
1 -1 1,
X
- c ,+ c 3
-c,+c.
1 -1
4 3
1 -2
3'
2
5,
f
f
17. Si A
2
-1
w0
3
1
-1
4
-4
2
f
' 1 2 -3 '
1 -3
14. 3 2 -4 X = 10 2
JO 7
k 2 -1 0.
0'
0
0.
16.
2
y
b
=
2
. 3
1
1
2
0'
7
8„
' 2 -3 1
9 7 6'
2 0 -2
4 -5 2 X 1 1 2 = 18 12 9
. 5 -7 3,
.23 15 11,
.1 1 1 ,
>
1
2
son dos matrices.
-1 ,
Hallar la matriz X tal que: A B X + B' = A.
18. Halle la matriz X que satisface la ecuación matricial 3A + A X = B + C, en donde:
f
N
\
f
f
1 -2
1
1
3 -2
3
12 -5
A =
,B =
2
0
1
1
5 -3
,c =
6 15 -9
-7
2 -4
-2
0
6 -11 y
o j
1 -3
19. S i A 3 = l , hallar adj (a A 5),
a*
0.
542
Capítulo 9: Determinantes
1
2
4
2
3
5
101
9
11
, calcular el valor de
2
1
21. Si B es la inversa de la matriz A =
-1
. 2
suma S = 2b23 + 3b,, + b31
1
3
2
-3
-1
2
1
-1
>
2
-3
, hallar el valor de
-1
4.
f
20. Si B es la inversa de la matriz A =
la suma S = b,2 - 6 b23 + b3).
f
1
2
22. Si A =
3
14
9.5.8 J
26. Si A =
-2
-2
x+6
Cotg x
Cosec x
0
' i
B= 4
6
i
-b
7
' 1
r
4 .c = 1
-d y
v0
1
5
-2
3
1
4
y
b
=
i
0
z
0
4
2
2
-3
La ecuación matricial equivalente al sistema es
x
2j
2
que representamos p o r :
, hallar los valores de x para los cuales 3 A*1,
b2
1
1
1
X
1
1
1
X
1
1
1
X
1
1
1
X
1
1
1
X
1
1
1
1
i yj
A X =C
donde :
A = Matriz de los coeficientes
X = Matriz de las incógnitas
C = Matriz de los términos independientes
es singular, hallar x.
Para despejar la matriz X operamos de la siguiente manera :
Cos(90+x)
Sen(90+x)/Senx
0
1
AX = C
, hallar los valores de x para
=> A-’ A X = A ’C
=> ( A ,A ) X = A-1 C
=> ( I ) X = A 1 C
(Propiedad asociativa)
(Definición de A ’)
(12)
X = A 1C
, hallar los valores de x para los cuales /i A
I Nota .
28. Para qué valores de x, 3 A \ si A =
x
1
Iv 2
3
0
-x
-x
5 . Además hallar A*1.
3)
Para hacer uso de la ecuación (12) y obtener la matriz X, se debe
multiplicar A 1 por la izquierda de C.
Ejemplo
1 J
Resolver el sistema :
3x + 4y = 6
5x + 3y = -1
f
1
a
cr
o
29. Para la matriz A =
1 2 '
2 e
0 -2 /
a,x + b,y = c,
los cuales la matriz A no es inversible.
27. Si A =
,
a2x + b2y = c2
1 x
1
x-3 0 x-1
1 x+2 3
25. Si la matriz A =
3'
6
dy
R E S O L U C IO N D E S IS T E M A S D E E C U A C IO N E S EN
D O S V A R IA B L E S
Si M = A + A' + B \ calcular el valor de la suma S = m12 + m,3 + ma
24. Si A =
2
0
7
hallar a, b, d, e y la matriz X sabiendo que A X = BX -1 y X C = I
y B su inversa, hallar S = 2b33 + b31 + b3
2
23. Dadas las matrices A = 3
1
-2
x-2
6
' a
5
\ 6
30. Dadas las matrices : A =
Sea el sistema :
1 1 1
4 5
6
9 2
3
6 5 6
x+1
-2
3
543
Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1
b
ac
1
c
ab.
, a) Hallar D(A),
b) Calcular A 1.
Solución .
Sea la matriz A =
4
3 )
D(A) = 9 - 20 = -11
544
Capítulo 9: Determinantes
Por la fórmula (10), la inversa ded A es : A 1 = - ---11
r
y por la fórmula (12):
X
k y .
11
545
'
3
-5
+
s
3
-4
6
5
3
-1
11
22
-2
-33
3
adj(A) =
Por lo que, el conjunto solución del sistema es
+
-1
-1
3
1
2
-1
-1
1
2
-1
-1
3
+
2
2
3
1
1
2
-1
1
1
2
-1
3
S = {(-2,3)}
+
+
2
2
-1 X
-1
1
2
2
-1
1
2
2
-1 y
' 2 4 0 1
2
-1 3 5 = 4
, 5 -5 - 5 ,
.0
-1 5
3 -5
5 -5 ,
5
R E S O L U C IO N D E S IS T E M A S D E E C U A C IO N E S E N
T R E S V A R IA B L E S
Luego, la inversa de la matriz A es : A '1 = — 1—
10
X
/
/
X
Sea el sistema
Según la ecuación (13) :
a,x + b,y + c,z = dt
-5
■5J
y
k z
"
2
1
10
4
.
.
0
-1
3
5
5
-5
-5,
2
9
3
10
10
20
30
a2x + b2y + c2z = d2
Por tanto, el conjunto solución del sistema es :
83 x + b3y + c3z = d3
S = {(1,2, 3)}
La ecuación matricial equivalente al sistema es :
b,
b2
c,
C2
b3
C 3.
El siguiente teorema establece una fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones
en n cógnitas. La fórmula en cuestión se conoce con el nombre de Regla de Cramer.
T E O R E M A 9.4
REG LA DE C R A M ER
que representaremos p o r:
Si AX = B es un sistema de n ecuaciones en n incógnitas tal
que D(A) * 0, entonces el sistema tiene solución única y esta dada por
A X = D
donde A, X y D tienen el mismo significado que el dado en la Sección 9.5.8. Enton­
ces, si existe A 1 y si A X = D, si y sólo si
(13)
X = A-’ D
x, = B !
D(A)
.x =
D(AJ
D(A)
Resolver el sistema :
b,
b..
2x - y + 3z = 9
B =
2x - y + z = 3
' 1
S o lu ció n .
Sea la matriz A =
2 -r
2 -1
.2-1
3 => D(A) =1 (-1+3) - 2(2-6) - 1(2+2) = 10
1,
D(A)
donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima
columna de A por los elementos de la matriz.
x + 2y - z = 2
Cjcmplo 2 ]
x "
D e m o s t r a c ió n .
S e a el sistem a :
547
Capítulo 9: Determinantes
546
a,, X,
+
a^ Xg
+
a mXn = bt
+
a2nXn = b2
ejem plo
3 ^
Aplicando la regla de Cramer, resolver el sistema :
2+
2+
x 2+
x, - 2 x
2x, - 3 x
3x,
+
a_, x.
an
n xn = bn
nn n
Solución .
A =
única de AX = B. Luego :
a
ÍA „
X = A 1 B =| — I
adj (A) . B =
A*
•
•
•
K
•
•
•
1
UAI
21
a
... .... -
A„i ]
A n2
•
•
•
b’ 1
b2
•
•
•
D(A.) =
X =
2 -2 3
1 -3 1
9 - 1 2
+
+
D(A) =
= 54 ;
2
1
=
9
+2
(4
1 (-6 + 1)
1
D(A2) = 2
3
2
1
9
3
1
2
- 3) + 3 (-2 + 9)
=18
1 -2 2
D(A3) = 2 -3 1
3 - 1 9
= 36 ;
= 18
Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos :
- B
> =3
D(A)
b2 Aj,
b2 A ^
=
A nn
2„
multiplicando las matrices obtenemos
bi An +
bi A 12 +
=
x
La matriz de los coeficientes es
1
-2
3
2
-3
1
3 - 1 2
Si D(A) * O, entonces A es inversible y, por la ecuación (12), X = A*1 B es la solución
3
3
2x3
3x
+
+
=m>
D(A)
=2
.
x3 = m !
3
D(A)
=1
b n A n,
••• S = {(3, 2, 1)}
bn A„2
IAI
Obsérvese que la columna
U , A,n +
b2 A2n
+ .... +
se desplaza de la primera a la segunda y
bnA nn
después a la tercera columna al resolver para x,, x2 y x3, respectivamente.
Por tanto, el elemento de la fila j-ésima de X es
I Nota .
bi A „ + b2 A2i + ........ + bn A n,
X ,=
regla de Cramer, implica calcular n+1 determinantes de matrices de or­
D(A)
donde el numerador es el desarrollo del determinante de la matriz A obtenida a
partir de A, sutituyendo la j-ésima columna.
/
den n. Debido al gran número de operaciones aritméticas que deben efectuarse, la
regla de Cramer sólo es prática para el cálculo de
2
x,, x ............ x n,
cuando n es
pequeño. Cuando n > 4 se prefiere usar la ténica de la eliminación de Gauss.
\
bi
•
' a >, ’
•
•
La resolución de un sistema de n ecuaciones en n incógnitas mediante la
por el vector
•
•
•
. 3n, .
, bn >
Ejem plo
elsistema :
Xx +
Determinar los valoresde X demodo que el
En consecuencia, para j = 1, 2, 3 , ...... . n
(14)
_____ QIA1_
4 J Dado
S o lu c ió n .
y+ z =
1
x + Xy + z =
X
x+
X2
y + Xz =
sistema tenga solución única .
El determinante de la matriz de coeficientes es :
=
=
X
1
1
1
X
1
1
1
X
1
(X+2) 1
1
X-1
0
0
0
X-1
X+2 X+2 X+2
1
X
1
1
1
X
=
0
= (X+2)
II
•
D(A)
+
548
X-1
0
0
X-1
Capítulo 9: Determinantes
Stciión 9.5. Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1
1
1
a) El sistema tiene solución única.
1
X
1
1
1
X
549
b) La solución del sistema depende de un parámetro.
c) El sistema es inconsistente.
Solución .
(X + 2) (X -
El determinante de la matriz de coeficiente es
Según la regla de Carmer, e! sistema tendrá solución única si el D(A) * 0, esto es, si
D(A) =
X * -2 ó X * 1, o bien si X e R -{-2,1}
2m+1
-m
m+1
m-2
2m-1
m-1
m-2
2m-1
m-1
=
m
-m
m+1
0
m-1
0
m-1
m-2
2m-1
Veamos que sucede cuando X = -2 y X = 1
= m
Para X = -2, la matriz aumentada del sistema es
-2
1
1 -2
, 1 1
1
1
-2
1
-2
4.
F „12
1
-2
> 1
-2 1
1 1
1 -2
-2
1
4,
1
0
0
-2
-3
3
1
3
-3
[^
0
f 2+ f 3
, 0
-2
-3
0
1
3
0
2F, + F2
-F, + F3*
-2
-3
6,
-2 '
-3 = E
3,
Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente, es decir, no existe solución.
1
^ 1 1 1
=
1-
0
0
1
0
0
0
> 1 1 1
1'
0
1
1
0
1
1
m-2
2m-1
= m (m-1)
1
m-2
1 2m-1
= m(m-1)(m+1)
a) Por la Regla de Cramer, el sistema tiene solución única si D(A) * 0, esto es,
si m * 0, m *-1 , o bien si m € R - {0, -1,1}
Para m = 0, la matriz aumentada del sistema es
1
0
1
-2
-1
-2
-1
0
1-1
-1
-1
0 J F.+F„
'1
0
,0
2F,+F.
0
-1
-1
1
0
0
-1 '
-2
-1>
-F +F,
1 0
0 -1
. 0 0
1
0
0
' 1 0
0 0
k 0 -1
1
0
-1
1'
2
-3,
' 1 0
0 -1
.0
0
1
-1
0
1'
-3 = E
2j
-1
-2 = E
1>
Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente
Para X = 1, la matriz aumentada del sistema es
' 1
1
m-1
m-1
0'
N
Para m=1, la matriz aumentada del sistema es
=
E
En este caso, p(A) = p(E) = 1 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas
3
-1
> 1
-1
0
0
2
-1
1
0
1
1>
f
1 0 1
-1
0 -1
. 3 -1 2
1
1
F.+F„
0,
3F.+F.
soluciones. El número de variables libres es 3 - 1 = 2, es decir, la solución del
sistema depende de dos parámetros. Si designamos a y=r, z=s =* x = 1-r-s, y el
conjunto solución para X = 1 es :
Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente
S = {(1-r-s, r, s)}
Para m=-1, la matriz aumentada del sistema es
[ Ejemplo
5 j
Dado el sistema :
(2m+1)x
my
+
(m+1)z
=
m-1
(m-2)x
+
(m-1)y
+
(m-2)z
=
m
(2m-1)x
+
(m-1)y
+
(2m-1)z
=
m
Determ inar para qu é va lore s de m.
-1
1
-3
1-3
-2
-2
-2
-1
-1J
f
-3F,+F
'3 F ,+ F 3
-1 1 0 -2
0 -5 -3 5
0 -5 -3 5j
1 0 -2
0
-5
-3 5 = E
f 2-f 3
l 0 0 0 0J
' -1
Como p(A) = p (E) = 2 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas
soluciones. Numero de variables libres: 3 - 2 = 1
Capítulo 9: Determinantes
550
En consecuencia
EJERCICIOS: Grupo 56
20.
(a+3)x +
551
y+
ax + (a-1)y +
b) El sistema depende de un parámetro si m = -1
3(a+1 )x +
2z = a
21.
z = 2a
ay + (a+3)z = 3
(a+1)x + ay + (2a+3)z = 1
c) El sistema es inconsistente para m = 0 y m = 1
22.
E J E R C IC IO S . Grupo 56
(4a-1)x+
En los ejercicos del 1 al 15, resolver el sistema dado por dos métodos :
24.
a) Estableciendo la ecuación matricial AX = B.
b) Utilizando la regla de Cramer.
1. 5x - 9y = 17
3x - 8y = 5
4. 3x - 5y = 13
2x - 7y = 81
3. xCosb - ySenb = Cose
xSenb + yCosb = Sene
2. 3x + 7y = 25
4x + 5 y = 13
26.
3ax - 6by = ab
28.
7. 2x + y - 3z = -2
x - 2y - 4z = 4
3x + 4y - 5z = -1
10. 3x - 4y - 6z = -16
4x - y - z = 5
x - 3y - 2z = -2
13.
9. 2x - 5y + 2z = -2
8. 3x - y - 2z = 4
2x + y + 4z = 2
4x + 6y -
7x - 2y - z = 4
2x + 7y + 4z = 24
11. 3x + 4 y -
z= 1
4x + 6y + 2z = -3
2x - 2y - 5z = -2
7x + 2y + 3z = 15 14. x + y - 2z = 6
5x - 3y + 2z = 15
2x + 3y - 7z = 16
10x - 11y + 5z = 36
5x + 2 y + z = 16
12. 2x + 3y -
z = 23
z=9
3x + 4y + 2z = 5
x - 6y - 5z = -9
15. 2ax - 3by + cz = 0
3ax - 6by + 5cz = 2abc
5ax - 4by + 2cz = 3abc
En los ejercicios del 16 al 24, investigúese la consistencia y hállese la solución
general de los siguientes sistemas :
16. x + ay + a2z = a3
17. a x +
y+z=4
x + by + b2z = b3
x + by + z = 3
x + cy + c2z = c3
x + 2by + z = 4
18. ax + by + z = 1
19.
x + ay + a2z = 1
x + aby + z = b
x + ay + abz = a
x + by + az = 1
bx + a2y + a2bz = a2b
3ay +
2az = 1
23.
3mx + (3m-7)y+ (m-5)z = m-1
(2m-1 )x + (4m-1 )y +
2mz = m+1
4mx + (5m-7)y + (2m-5)z = 0
(5a+1)x+
2ay + (4a+1)z = 1+a 25. (2a+1)x ay - (a+1)z = 2a
(4a-1)x + (a-1)y + (4a-1)z = -1
3ax - (2a-1)y - (3a-1)z = a + 1
2(3a+1)x + 2ay + (5a+2)z = 2-a
(a+2)x y2az = 2
2(a+1)x +
3y+
az = a+4
(4a-1)x + (a+1)y + (2a-1)z = 2a+2
(5a-4)x + (a+1)y + (3a-4)z = a-1
6. xTgb + y
= Sen(b+c)
x
- yTgb = Cos(b+c)
5. 2ax - 3by = 0
3ax + (2a+1)y + (a+1)z = a
(2a-1)x + (2a-1)y + (a-2)z = a+1
ax + ay + (a+1)z = a
ax + ay + (a-1)z = a
(3a-1)x +
2ax+
2ay + (3a+1)z = 1
2ay + (3a+1)z = 1
(a+1)x + (a+1)y + 2(a+1)z = a2
27. mx + (2m-1)y + (m+2)z = 1
(m-1)y + (m-3)z = 1+m
mx + (3m-2)y + (3m-1)z = 2-m
552
Respuestas a ejercicios propuestos
v Grupo
5
I
553
Operaciones vectoriales
8. <-3, 9); 9 . -2; 10. <-1/3,5/3); 11. P(-2,17/2); 12. P (-9 ,9)
13. <-8/17,15/'17); 14. <-4,3); 15. 5/3; 16. <7 a l3 ; 17. -7
Re/puesta/ o Ejercicio/ Propue/to/
18. 1
nT 85;
Grupo
Grupo
1 J
2 j
6
|
20. < 1 4 ,0>
Vectores paralelos
1. a) A I I B y de sentido opuesto , b) A B y del mismo sentido , c) A11 B y de
sentido op jesto , d) A > f B ; 5. m = -1 ó m = 7/2 ; 6. m = 2 ; 7. a + b = 5
8. 2 V 7 ; 9. A = <±1 , ±2) ; 10. <-4,3); 11. VTÓ/5 ; 12. 1
Coordenadas Rectangulares
1. x = 1 , y = 1 , 2. x = 3 , y = -1 , 3. x = 3 , 4. x = -1 , 5. x = ± 4 , y = ± 2
6. x = ± 4 , y = i : 1 , 7 . S = {(2 , 3), (-2 , -3)} , 8. S = {(-2 ,-3), (3 , 2)}
9. S = 7 , 10. l(-5/2, 9/2) , 11. x = -2 ó x = 6
Grupo
19. 2 < 2 \
13. R(-3 , 2) ó R (7 ,-8 );
14. 5/3;
15. - 1 ( 4 8 , 3 1 ) ;
16. D(5 , 3), 2 nT 7
17. <1/2,-3/2); 18. A(1 , -4) , B (8 , -2) , C (-4 ,16), D(-3 , 2); 19. B P = (a/3, - aJ3)
20. A(14 , 22)
B(-12 , -4) , C(24 , 8); 21. 24
R- como espacio vectorial
Grupo
7 ]
Producto escalar de vectores
b) (1 7,-19) , c) (-16,9) , d) <6,-5/3)
2. a) (1 , -8} , b) <1/2,-2) , c) (-2/3,3); 3. a) r = 4 , s = -3 , b) r = 1/2,
s = 3/2 , c) f l r . s , d) r = -2 , s = -10 ; 4. r = -2 , t = 3/2 ; 5. -2
6. m = 1 , n = 1/2 ó m = -1 , n = 1/4 ; 7. X = (11/5,3)
23. 5 ; 24. <5 ,1 ); 25. m = 5±2>/6; 26. | | < - 3 , 4 > ; 27. C(8 , 7), D(4 , 11)
8. V = {<-2 , -5) ,<-2, 4), (3 ,-5 ) , < 3 ,4 » ; 9. x = 5 , y =-9/2 ; 10. m = -1 ,n = -4
28. B(7 , 3) , D (6 ,5 ); 29. -7.5; 30. a) 7 5 , b) 27/2; 32. A M =<9/2,1>
1. a) <-9,-5)
Grupo
3 l
Representación geométrica de un vector en el plano
1. (3 ,9 ); 2. (-6,-2); 3. (-8 ,3 ); 4. (3 ,3 );
5. (-4 ,3 ); 6. (2 ,-9)
7. (12,-5); 8. (3,-2); 9. A(3/2 , 0), B(9/2 , 2); 10. -21; 11. A (-3 , 7), B(4; 1)
12. (8 ,4 ) ó (6 4 ,2 );
r
Grupo
13.
8.
Grupo
8
]
Angulo entre dos vectores
1. 135°; 2. v5/5; 3. 45°; 4. 120°; 5. 90°; 6. 135°; 7. -48; 8. 2V3
9. V l2 9 y 7; 10. t = - 11A 11 ; 11. V Í9 y 7 ; 12. ||A|| =||B||
13. A = (2\'3-1 , 2 + \'3 ); 15. m = 1 ; 16. InJQ ; 17. V8 + 2V3; 18. 13/2\133
20. 3 ; 21. 0 = are Cos(2/7); 22. B (1 4,2 2 ) , C(1/2 , 85/4) , D(-7/2 , 53/4).
v
4 J
11. u = <24/25, 7/25); 12. m = 1 ó m = -9 ; 13. \2 ; 14. \ 3 ; 15. 2/3
17. 5Ó 2VTÓ ; 18. 5; 19. 4 \2 ; 20. \ 4 1 y \ 3 8 ; 21. <19,22); 22. x = <5,4)
M agnitud y dirección de un vector en R :
1.
V = 2\Í2<Cos 135°, Sen 135°);
3.
V = 2(Cos 150°, Sen 150°);
5.
V = <5/2, 5% 3/2);
9.
V = < 9 ,± 3 V 3 );
4.
2. V = 2(Cos 330°, Sen 330°)
6. V = < 8 , ± 6 ) ; 7 . V = < -12,9); 8. V = V2<-1 f 2)
10.
Grupo
9 )
Descomposición de vectores
V = 2V5<Cos 240°, Sen 240°)
V = < ± 3 ,± 3 \3 );
11.
4. 1 / 2 ; 5
9.
l ( 3 + \ / 3 );
O
6.
8V3;
7.
V 3 /3 ;
8. 1
2
(3 - V3)
s = l ( 3 - V 3 ) , t = - 4 - ( 3 + V 3) , I I A - B II = 3 + V 3 ; 10 . -1/3
6
o
11. m = 3/7 , n = 4/21 ; 12. 4/5;
13.
1;
14. 2/3; 15. Á E = 2 v + u . B E = 2 v - 2 u
Respuestas a ejercicios propuestos
554
Grupo
10
J
Respuestas a ejercicios propuestos
formando un ángulo de 34°28’ con la dirección de la corriente , t = 1h 25m.
Proyección ortogonal________________________________ '
2.
V V F F ; 3. 5; 4. <3 + V 3 , 1 - V 3 > ; 5. -2 V 2 9;
9.
90/2-1);
6. -40; 7. 5/2;
8.
14
10. V69 ; 11. p + q + r; 12. J r (c2 - a2 - fe2) ; 13. 5V2; 14. 12/5
2b
f
15. F F V V ; 16. VTO; 17. 45°; 18. 12 C o sa + 3 C o s p ; 19. 10; 20. (-2,-2)
21. r =-21/5, s = 14/5;
A(-3 , 5) , B(5 , 13) , C(7 , -9); 24. (-8/5 , 4/5); 25. | Á C
26.
00 = ^
u -| v ;
5.
(2000/3)m , 36 °5 2 '; 6. 20.6m , Este 60°15 S u r ; 7.
27. 25; 28. 10a; 29.
y - ^
ÁCX
<312 \ 30. 9a/2; 31. 2Sa/2
10°51’ , 16.6 kg
8.
R = 7(-18 ,37) , w = 14 unidades ; 9. F, = 50<2/V21 ,1) , F2 = 50<-2A21 , 1)
10. F2= 1 4 8 ( 0 ,1 ), F, = 63(-1 , 0); 11. 150 kg. , 150V3kg.
12. 360 \3 kg , 1 8 0 \3 k g . ; 13. 245(1 + V 3 )kg , 200(1 + V3)kg.
22. b) ProyBA = <-12/5 , 9/5) , Com pAÍB = -2V5
23.
555
Grupo
15
J
Recta que pasa p or dos puntos. Segmentos de recta. División de
un segmento en una razón dada.
1. a) i ? : P = <4 , -2) + 1<0 , 5) ; x = 4 , y = - 2 + 5t
b) <£ : P = <-7, 2) + 1<4 , -3) ; x = -7 + 4t , y = 2 - 3t
32.(2 6 \5 + 53)a ; 33. 8 \5 ; 34. 32 ; 35. A = (-6 , -3); 36. 4\'3/3
2. a) S(2 , -1) y T(7 , -8) ; b) S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3)
37. a) <3,W 3) , b) 6<1 , <3) ; 39. a) B(6 , 2) , b) M(-3 , 1), N(-1 , -5), R(5 , 3)
3.
5.
P = <2 , 5) + r<4 , -6) , r e [0
P = <4,4) + r<-1 ,3) , re [0,
8.
P(-3 , 4); 9. P(9 , 4); 10. P(-7 , 9); 11. 2 5 ; 12. D(3/2 , 2); 13.
! Grupo
11 J
Area del paralelogramo y del triángulo
1.
9 u2 ; 2.
24.5 u2 ; 3. 18.5 u2 ; 4. 11 u2 ; 5. D(5 , -3), 20 u2
6.
D(-4 , -1)
, 10 uz ; 7. D(-2 , -1) ,18 u2 ; 8. D(4 , 8) , 20 u2 ; 9.
10.
14.
8 u2
, 1];
1);
P(13 , -30); 15. A(-2 , 3) ,B(5 , 8)
Grupo
16
J
4.P = <-2,4)
7.(0 , 0) , (3
+ r<1
,
,3) ,r e [0 , 1]
-8),
(6 ,-16) y
3/5
, C (6 ,-1 ); 16.C(2 , 8)
Puntos que están sobre una recta
22 u2; 11. 21 u2 ; 12. 26 u2 ; 13. 39.5 u2 ; 14. 40 u2 ; 15. 66 u2
16. k = -1 ó
k = 10 ;
17.
12 u2 ;18. 1 0 u 2 ; 19. C(4 , -8) ó C(9/4 , -9/2)
20. A(10 , 3) ó A ( 4 , 0) ; 21. 14 u2; 22. 0; 23. -36; 24. P(23/3 , 31/3), B ( 5 , 15)
25. D(-5 , 0) ; 26. <3/2 , 3/2) , 20 u2
Grupo
12
J
1.
S e i?"; 2. S
í
S"; 3. S e ü?; 4. Recta que pasa por P,(1 ,4), paralela al
vector a = <2 , -3); 5. Segmento de recta de extremos A(1 ,2) y
6. Recta que pasa por P,(-3 , 4), paralela al vector a = <-1 , -2)
7.
B(2 , 3)
Recta que pasa por P,(2 , 0), paralela al vector a = <5 , -1)
8. a) J2?: (-5, 3) • <x, y -1 ) = 0 , b) J2?: <3 ,2) • <x + 1 , y) = 0
Dependencia e Independencia line al de vectores
9. S i;
1. m = 0 , m = 1 ; 2. m = -6 ; 3. m = 1 , m = -3 ; 4. m = 7/2
14. P,(7, 1) , P2(1 ,-5 );
6.
a) m e R -{5/9} , b) m e
R - { - 1 ,7/2}; 7. F F F V ; 8. 7 ;
10.
16.
<1/5,7/5); 11. F V F ; 12.
1; 17. 1; 18. 3/2; 19.
r = 5/11 , s = 30/11; 14. F V F ;
-4; 20. 5/4; 21. 9/8; 22. 1;
15. (1 ,9 )
23. a) 10/11
y 4/11 , b) a(AAPD) = 40 u2 ; 24. m = -2 , n = 1/3 ; 25. b)
r = -2 , s = 2
26. (n + 1); 27. m = -1/4 , n = 1 ; 28.
M = ^
10. No; 11. S i;
12. k = 1 , k = -8; 13. k = ±4V3/3
15. P,(5 , -2) , P2(-3 , 2)
9. <3,5)
Á D + -| ÁB
29. m = -2 , n = 2/3.
Grupo
17 J
Pendiente de una recta
1. Coincidentes ; 2. Paralelas ; 3. Oblicuas ; 4. Perpendiculares ; 5. m = 3
6.
10.
-4; 7. ¿2?: <2 ,1 ) • (P- (2 , -2» = 0 ; 8. Tres; 9. 3) : P = <1 ,1) + 1<2 , 3), t e R
2 ?:P = <8, 1) + t<-1 ,3 ), te R ; 11. 3.8; 12. m = -1 / 5 ; 13. a = 2
14.
<2?:P = <-3,1) + t<1 , 1 ) t e R ; 15. a) 3 = {<3 , 10) + 1<2 , 1)|te R } , b) <6,3)
16. a) Á B = {<2 , -2) + 1<4 , 3 ) 11 e R } , b) C D = {<-2 , 0) + s<-3 , 4)| s e R} , h = 4
Grupo
14
J
Los vectores y la física
1.
304.1 km , Oeste 25°17’ Norte ; 2.
3.
18 km/h , Oeste 56° 10’ Norte ;
4.
c) Cos0 = 1/VTÔ , d) J2?, = {< 2 ,-2 ) + t < 4 -2 V 5 , 3 + V5)> ,
20.9 m , Oeste 21°30’ Sur
Debe seguir una trayectoria rectilínea
3 \ = {<2 , -2) + s<4 + 2V5 , 3 - <5)}
Respuestas a ejercicios propuestos
556
Grupo
18
Respuestas a ejercicios propuestos
Grupo
Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos
22 J
557
Vectores en el espacio
1. k = -3 ó k = 5; 2. A(-5 , -1) , B(5 , 11) , C(-1 , -5); 3. S = 8/3 u2; 4. 7 u2
1. A = (6, 3 , - 3 ) ; 2. A(-3 , 2 ,-2 ) . B(-5 , 4 , 4 ) ; 3. A(5 , 1 . 1) , B(8 , -5 , 2)
5. 2x - 3y -1 8 = 0 , 5x + y - 28 = 0 , 7x - 2y -1 2 = 0 ; 6. A (-5 , 1), B(2 , 2), C(4 , -2)
4.
7. C(-1 , 4) ó C(27/5 , -12/5); 8. 3 >: P = <1 , -1) + 1<-1 , 4), t e R
ir*
9. a) A C : x - 2y + 6 = 0 , b) C(6 , -6); 10. X : <-1 , 7)* [P - <5 , 0)] = 0
11. 3?: P = (-1 4) +t<2 , 1), te R ; 12. j?*:P = <4,1) + t(1 , 2 ) , te R
V = (6 , -1 , -4); 7. X = <5 ,-12 , 10); 9. u = <4/5 , 0 , 3/5); 10. 7
11. (-1 . 2 , 4 ) , ( 8 ,-4 ,-2 ); 12. ^ (A A + B B ’ + C C ’) ; 13. M A = -M C = - ± (a + 6)
M B = - M D = ^ (a - 6); 14. Á C = < 3 , 6 ,9 ) ;
15. C(1 , 5 , 2) , D(3 , 2 , 1),
E(5,-1 ,0 ), F (7 ,-4 ,-1 )
Grupo
19 J
Distancia de un punto a una recta dada
1. 4\3Ó /5; 2 . 8/7; 3. k = 19/2 ó k = 8/9 ; 4. m = 1/2 ; 5. 12.8
6. P i(64,-44) , P2(4 , -4); 7.
8. P(6 , 6); S . 10^5; 10. 8 ;
13.
: 3x + 4y + 5 = 0 , 2 '2 : 3x + 4v -1 5 = 0
Grupo
23
J
Dirección de un vector en el espacio
1. a) u = 1 ( 6 , 3 , 2 ) , b) u = ^ < - 1 2 , 3 ,-4); 2. a = 30° ó a = 150° ; 3. ±9/11
12. k = -16 ó k = 88
T \ P =<-2 3) + t< 1 ,2 ), te R ; 14. A(3 , 5) , B(9 , -1) , S = 18\/3 u2
15. B(-1 , 6), C (-5,1) , D(-2 , -1); 16. T(4 , 3);
4. V = <3/14 , 3/7 , 1/7); 5. V = <21/5 , -7 , 28/5); 6. X = <± 5 , 5/V2 , -5h¡2)
7.
17. 24
X = <-5 , 10, 10);
8. X = < 9 , 1 8 ,-6 ); 9. V = <1 , -1 . V2) ó V = <1 ,-1 , -V2)
10. P(± V3 , ± \ 3 , ± \ 3 ) ; 11. a) puede , b) no puede , c) puede
12. a) no puede , b) puede , c) no puede.
Grupo
20 j
Intersección de rectas
1. P(16/5 , 7/5) ; 2. a = -1/8 ; 3. .2? = {<0 , 1>* (P - <14/11 ,1/11)) = 0}
Grupo
4. .5? ; i • [ P - <-3 , 2)] = 0 ; 5. 1 (1 ,3 ); 6. $ : P = <2/5 , 4/5) + s<4 , -3), s e R
b) 23/41 y 29/37;
13.
x
+ — - L
= 1 ; 12. a) 2 u 2 ,
-6 ± 6V2
2 ± 2 \2
21 J
E l producto escalar de dos vectores en el espacio
7. V = n<1 ,1 , 2), n e R- { 0 } ; 8. u = ±<6 , 3 , 5)/V7Ó; 9. C = 1<-1 , -1 , 4),
O
D = § <5 , -1 , 1); 10. A = <12 ,-10, 15); 11. m = - 1 ó m = 2
r/ '2 : P = <3 , -3) + s<5 , -3) ; 14. .^ = {< 1 3 ,8 ) +
t<4 , 3 ) 11 e R } ó r£ ' = {<13 , 8) + s<1 , 0 ) l s e R }
Grupo
i
1. -240; 2. Un ejemplo : C = <10, -11 , -3); 3. 2 ; 4. -13; 5. 20; 6. 13
7. <2?, : P = <7 , 0) + 1<9, -10) , t e R ; 8. 12; 9. (18/5,21/5)
10. #2 : <3 , 1). [P - <12 , 1)] = 0 ; 11.
2
24
12.
X = <-3 , 3 , 3);
13. 150°; 14. 15/7V85; 15. u = ± i <3 , 4 . 0)
16.
B = <-6 , 0 , -8); 17. 3(\2 + \6 ) ; 19. V = <8 , 4 , 2); 20. X = <-4 , -6 ,-12)
A ngulo entre dos rectas
21 • C = ¿ < 2 4 . 0 ,-1 8 ) , D = ^L<51 ,5 , 6 8 ) ; 22. 5/2; 23. </= ±
1.
a) 14/5, b) 11/2; 2. a) (8 , 32/3) , b)
3.
2? = {<-1/5 , 7/5) • P = 0} ; 4. 90°; 5.
<B : P = <4 ,8) + t<1 - <2 , -3 - 2<2)
6. áf?:P = A + t(C + 2 B - 3 A ) ; 7. Q(20/3 , 6) ; 8. a) A(-5 , -9), C(5 , 1), D(1 , 9)
b) < 1 2 ,6 );
24. V91/14; 25. 135°; 26. V 6/6; 27. A = < 2 , 7 , 1 ) ; 28. m = 1 ó m = 5,
m < f^ó m > 5 , 1 < m < 5 , A = <1 , 3 , 5 ) , B =<-18, 3 , 1 )
30.
C = < 1 ,0 , 1) ó C = <-1/3, 4/3,-1/3)
9. í 5 = {<4 , 20) + r<1/\2 + 1/V37 , -1/V2 - 6 \3 7 )}
10. SP: P = <0,-2) + t< 2 ,1 ) ,t e R ;
14. -35/3; 15.
<o , 1 ,1)
T : (-1 , 1) • [P - <8 , 32/3)] = 0
11.
2 ': P = t<-1 , 1), t e R ; 12. Q (1 8 ,4 )
V : P = <4 , -8> + t<1 + <2 , W2 - \ 5 ) , t e R ; 16.
¿ ? : P = <5,-2) +
Grupo
25 ^
Proyección ortogonal y componentes
t<1 ,2). te R ; 17. b) Si P e C , W \ P = <1 ,1) + t < - 2 V ÏQ + 3 \ 'Ï3 , 3 V Ï3 + V Ï3 )
1.
3; 2. 10/3; 3. <16/5,32/5,0); 4. V3; 5. -3; 6. -5; 7. \ 4422/11
t € R ; 18.
8-
± ^
5? : P = (4 , -20) + t<V2 + \ 37 , -6^2 - \3 7) , t e R ; 19. 2/VÏ3
< -7 ,-2 , 15);
9.
1/9;
10. V = <-2 , 4 , -4);
11.D(-7 , 6 ,-2)
Respuestas a ejercicios propuestos
558
12. a) H(2/29 , 119/29 , 112/29), b) D(83/29 , 110/29 . -50/29) , c) S =
Respuestas a ejercicios propuestos
559
x = 2 + V 2 t , y = 1 + t , z = 1+t;
u2
13. $ = {<4 , 2 , -7) + 1<22 , 56 , 1)}
14. ^ = {<0, 1 , 1) + t<1 ,0 , 1)1 te R } o # = {< 0 ,1 , 1) + t(3 , -4 , -1)11 e R}
Grupo
26
J
15. X - {<-1 ,-2 ,0 ) + t<-1 . 6 , 4)|te R} ; 16. 31 = {<3 , -1 , 1) + 1<0 , 13 , 3) 11 e R)
Combinación line al de vectores en R '
2. X = 0 ,1 , 2 ; 4. D = 2A - 3B + C ; 5. D = 2 A - 3 B + C , C = - 2 A + 3 B + D.
B = |
a
+ 1
c
- 1
d
.A = |
b
- 1
c
+ 1
d
17. S? = {<2 , -1 , -3) + t<6 , -1 , -7 )I te R } ; 18. X : * ± 1 - 'L 2 l = 1 ± 3
2 - 3
6
19. 31 \ * ± 1 = y + 5 _ z_^3
U
¿.
-I
; 6. a) <1/2.0, 1/2),
b) <1 ,-1/2 , 1/2) ; 7. < 2 , 0 ,2 ) ; 8. E(-19 , 10 , -17) ; 9. A = - 2 A 1 + A 2- A 3
21. Q =
10. <-2 ,-3/5 , 6/5) ; 12. <3/2 , -1 , -1/2)
Grupo
27 j
(-9 , 74 , 25 + 16 V§) ; 22. a)
= {<3, 3 , 1 ) + r<1 , -7, 8)> .
2?3 = {<3 ,3 , 1) + 1<2 , 6 , 5)| t e R}
E l producto vectorial
a) 2 A x B , b) A x C , c) 3 ;
2. a) 5 \ 3 u 2 , b) | V 3 5 u 2;
b) 15 u2 ; 4. a) <17, -37 ,25) , b) < 3 , 1 4 ,5 );
7.
y :x = 2 t - 5 , y = -3t-t-1 , z = 4t
5f'2= { < 3 , 3 , 1)+ r<-3 , 1 ,0 )} , b)
Grupo
1.
. 20
5. 3\2/2 ;
5; 8. <-6 , -24 , 8} ; 9. < 7 , 5 , 1>; 10. ± 1 ( 3 , 4 , 0 ) ;
30 j
Aplicaciones de la recta en el espacio
3. a) 5\^3 u2
6.
11.
50\2
1. V34/7 ; 2. 7 ; 3. 5; 4. 4V2; 5. V l3 ; 6. V i l ;
m = 3 ; 13. m = 5 / 3 , n = 1/3; 14. m = -2 ;
17. ± 3 0 ;
22.
< 1 ,1 ,1 )
15. <1 , -1 , -1 ); 16. 66
18. 12; 19. <8. -2 ,4 ) ; 20. < -2 ,1 2 ,1 0 );
n=AxB+BxC+CxA;
21. < 0 , 9 ,6 )
29. a) 3 , b) V34/7 ; 30. 12/5
V21
£
c = {<-3/7 ,1 , -2/7) + 1<2 ,1 ,4)} ; 8. b) A(-1 ,4 , -7), B ( 3 , 7 ,5 ) ,d(SBy, 2Q= 13
c) SB - {<-1 , 4 , -7) + 1<4 , 3 , 12)11 e R } ; 9. 2 5 ;
12.
7. d { % . , X ,) = - á =
t<2, 6,3)1 te R} ; 11. a) 13 , b) 3 , c) 7;
13. SBy = {<3 , 4 , 0) + t<9 , 12 . 20)} ,
10. X = {<-2 , 1 , -3) +
12. P(43/12 , 31/6 , 15/4)
= {<3 , 4 , 0) + s<9 , 12 , -20)}
14. Q 0(1 , 1 , 1 ) , P0(3/2, 1 , 1/2) , Sf = {<3/2 , 1 , 1/2) + t<1 ,0 ,-1 )}
32. \6 6 , 1/V66 , -4/V66 , -7/\66
Grupo
2 8 ) E l producto m ixto de vectores
J ----- ----------------------------------1. a) N o , b) S i; 3. k = 2 ; 6. r = R - {-V 2 , V2} ; 7. L. I. <=> k e R - {-2 ,1 , 3}
L. D. <=> k e {-2 , 1 , 3} ; 8. a) 6 , b) 3; 9. 8 0 u 3 ;10. 4 u3 ; 11. h = 3\'2
12. h = 11 ; 13. m = 3 ó m = 5/2 ; 14. m = 17/11 ó m = -23/11; 15. 288 u3
16 3V2
16.
dS¿,' 17
l f.
Grupo
29 j
Grupo
1.
31 J
Planos en el espacio
x - y - 3z + 2 = 0; 2. x + 4y + 7 z + 1 6 = 0 ; 3. 3x + 3y + z - 8 = 0
4.
43x + 3y - 14z - 34 = 0 ; 5. m = 6; 6. x + 2 z - 4 = 0 ; 8. 7 x - y - 5 z = 0
9.
a = 3 , ¿> = -23; 10. A = -3 ,B = 9/2; 11. 4 x - y - 2 z - 9 = 0; 12. x + y - z + 3 = 0
13.
x - 1 0 y - 1 7 z -4 3 = 0 ; 14. 3 x - 2 y - 5 = 0;
17. x + 2 y + z - 1 8 = 0;
/
Vv = m(A
(A-~-gl
BC )
Grupo
Rectas en el espacio
32 J
15. a = -6 , ¿»= 3/2
18. x - 1 1 y + 7 z - 1 = 0
Distancia de un punto a un plano
1. i ? = {<1 , -2 , -3) + 1<1 , -1 , 5) 11 € R } ; 2. (9 ,-4 , 0) , (3 , 0 ,-2) , (0 , 2 ,-3)
1. a) 2 , b) 6 , c) 6 ; 2. a) 6.5 , b) 5/6 , c) 1/2; 3. 8 u2 ; 4. 6
3.
5. x - 3y + 5z ± 3 \'35 = 0 ; 6. 2x - 2y - z ± 18 = 0 ; 7. 20x - 12y + 4z + 13 = 0
A(2 , 3 , -6) , B(-2 , 6 ,-9 ); 4. (1 , 3 , -2) , (3 , 4 , -5) , (5 , 5, -8)
5. 2? = {< 3 ,0 ,-1 ) + r<1 ,2 ,3 )1 re R } ; 6. W : P =<-1 , 2 , 4) + r<1 ,1 , 1>, re R
7.
: P = <2 ,1 , -1) + 1<13,8 , -8), t e R ; 8.
: P = <2 ,-1 ,1) + 1<-1 , 11 ,16), t e R
10. m = 3 ; 11. 6 = are C o s í 3 8 ' ^ 2 ) =57°18’ ; 12. a = <V2/2 , 1/2 ,1/2),
' 6 V 9Ì 1
8. 3x - 6y + 7z + 2 = 0 , x + 4y + 3z + 4 = 0 ; 9. 4; 10. Q(-28 ,-16 , 31)
J
Grupo
Intersecciones de planos
5.
8.
V = 1/6 la
= 8 u 3 ; 6. 2x - y - 3z - 15 = 0 ; 7. x - 3 y - 2 z + 2 = 0
a) - 4 , b ) 9 , c ) 3;
9. x + y + z + 5 = 0;
x + y - z - 5 = 0 ; 11. 25;
Grupo
34 J
10. x + y + z + 1 = 0 , x - y + z - 3 = 0
12. 240 u2
F am ilia de planos que pasan p o r la intersección de dos planos
3. a) z = 2 + i , b) z = 5 - 4i , c) z = -1 + 0i , d) z =
11. V
6.
11 x - 2y - 1 5z - 3 = 0; 7. 9x + 7y + 8z + 7 = 0; 8. x - 2y + z - 2 = 0, x - 5y + 4z = 20
9.
4 x - 3 y + 6 z - 12 = 0 , 12x-49y + 6z + 21 = 0 ;
15. a) S e n a = 1/VT5, M(1 ,-6 ,-4), b) 3x - y + 2z - 1 = 0 , c)
18. 1 ;
{ x+>' z+ 1 °
L 3x - y + 2z -1 = 0
w
= £ < 8 .-15); 24. z == 2 + 3i , w = 1 - i ; 25. z = ± \y¡2 ,
W == -1 -i, v = 3;
32. z = 2 - i , w = -2 + i , v = -1 + i ; 33. z = i,w = 2 i,v = 2 -3 i
Grupo
37 J
M ódulo y raíz cuadrada de un número complejo
1. V2/2 ; 2. V2; 3. 4 ¡; 4. V370/5 ; 5. 3/5; 6. w = (1 , 2) , z = (3 ,-1)
z = (3/4,1); 8. z3 = (7 + 2 \3 , 4 + 3^3) ó z3 = (7 - 2V3 , 4 - 3V3)
9. (3 ,2) ó (3 .8 ); 10. (7/8 , 7/8); 11. z = (2 ,-2 ); 12. z3 = (6 , 5) ó z3 = (-4, 1)
1. 4x + 3y - 5z - 2 = 0 ; 2. Q(4 . 1 ,-3); 3. 9x + 13y - 7z -1 4 = 0
4.
(0 ,-1 .2 ); 5. x + y + z + 8 = 0 ;
6. ( 2 , 1 , 1 ) ; 7. Q (-5 ,1 ,0 ) ; 8. Q (-5 ,1 ,0)
9.
P(3 , - 4 ,0 );
11. A = -3 , B = 9/2 ; 12. a = - 6 , C = 3/2
13. x - 8y - 13z + 9 = 0 ;
.
’
Miscelánea de ejemplos ilustrativos
10. P(-1 , 3 ,-2 );
3 5 ( 3 7 ’ 73)
28. Z = 2 + i , w = 1 - 2 i ; 29. z = 1 , w = i ; 30. z = 2 + i , w = 2 - i ; 31. z = 1 - i ,
7.
35 J
S = i ; 21. a) 1 , b) -1 ; 22. z = 1 + i , w = i
W := i( - 1 ± ii/ 3 ) , v = -1 ± i ; 26. z = 1 , w = i , v = 2i ; 27. z = 3 + 2 i , w = 4 - i
N
01
v:
J x-8y + 5z - 3 = 0 . 1 4 / 7x *y + 1 = 0 . r 5x - z -1 = 0
y= 0
t x + 2y + 3z - 5 = 0 ’ ' L
z=0' t
b) z = 672(-1 + i ) , c) z = 8 - 2i.d ) ;z = 0 + ín6 ; 15. x2 + y2 = 1
16. W := 2 + (1 + V3)i , z = 1 + (1 - >/3)i; 17. a) z = (-1 , 6) , b) z, = (-4 , 8)
10. M está situado dentro del ángulo
11. 23x - y - 4z - 24 = 0 ; 12. a) 9y + 3z + 5 = 0 ,b ) 3 x - 9 y - 7 = 0
C\J
14. a)
23. z =
todos los planos del haz de planos que pasan por esta recta.
Grupo
- f f +0i
= (-2/17,-9/17); 12. z == (17/100 , -6/100); 13 . z = - — + — ¡
16
16
+
co
La recta de intersección de los planos I*, y I»2 es paralela
al vector V = (7 , 9 , 17); por lo tanto , a la condición del problema satisfacen
obtuso;
x = -4/11 , y = 5/11 ; d) x = 2/5,y = -1/5
e) x = -13/7 , y = 5/7 ; t) x = 1/3 , y = 1/4 ; g) x = 2 , y = -3
2. a) z = (1 , -12),
, c) z = (1 , 1). d) z = (1/2, 3/2), e) z = (-1/2, 3/2)
II
N
No pertenece ; 5.
b) x = 3, y
7. V = (2 ,-2 ) , Z31= (1/4, 1/4); 8. a) -3/25 , b) -9/17; 9. Im(z) = -3; 10. 1
1. x -2y + z - 2 = 0 , x - 5y + 4z - 20 = 0; 2. 2 x - 3 y - 6 z + 19 = 0; 3. m = -5 ,n = -11
4.
E l conjunto de los números complejos
CT
N
II
O
t<2 . 1 , - 1 ) ; 2. x - 4 y - 1 3 z - 12 = 0; 3. m = -2; 4. 15x - 5y - 3z + 2 = 0
1. a)
J
CO
II
>>
C\J
II
X
1. a) P = <1 ,0.4/3) + t<-9, 6 ,2 ), b) P = (1 ,3 ,0 ) + 1(-1 , 1 , -2), c) P = <2,-1 ,0)+
36
cn
ii
33
ÍO
0
Grupo
561
Respuestas a ejercicios propuestos
11
ro
Respuestas a ejercicios propuestos
560
15. 9x + 11y + 5z -1 6 = 0 ; 17. x = 28 - 7.5t , y = -3 0 +
26. a)
w= ± (1- 4i) , b) w = ± (2 - i) , c) w = ± (5 + 6i) , d) w = ± (1 + 3 i ) ,
e)
w= ± (4
+ 3i)
, f)
w = ± (1 - 3i) , g) w = ± ( \ 2 - \ 3 + i \2 + \3 )
h)
w= ± (4+ 3i) , i) w = ± (\3 + 2i) ; 27. a) z, = 1 + 2i , z2 = 1 - i ;
b)
z,= 3 - i, z2 = -1 + 2 i ; c) z, = 2 + i , z2 = 1 - 3 i ; d) z, = 1 - i , z2 = | (2 - i)
8t , z = -27 + 6t , a) P(-2 ,2 ,-3 ) , b) desde t, = 0 hasta t2 = 4 , c) M 0P = 50
J
19. V6/3; 20. x - 1 = 0 , x - 4>/3 y - (1 + 12 \3 ) = 0 ; 21. x ± \3 y - (2 ± \3) = 0
Grupo
22. 5x + 5y + (8 ± 3 V 6 )z -2 0 = 0;
1. Eje imaginario para y < 0 ; 2. Parábola y2 = 4(x + 1);
25. Q(1 , 2 , - 2 ) ;
23. # : ^
26. Q(1 , - 6 , 3 )
b
-o
y
; 24. (2 ,-3 ,-5)
38
Lugares geométricos en C
3. Circunferencia de
centro Q(-1 ,0) y r = 1 ; 4. Circunferencia de centro Q(-2 , 0) y r = 2
5. Circunferencia de centro Q(2 , -1) y r = 2 ; 6. Mediatriz del segmento z,z2
7. Una recta : 4x + 2y + 3 = 0 ; 8. Hipérbola equilátera : x y = 2 ; 9. Parábola:
x2 = 2y + 1; 10. Elipse con focos en F,(1 ,2) y F2(-1 ,2), semiejes, a = 4, b = 2\3
Respuestas a ejercicios propuestos
562
11. Circunferencia de centro Q(-1 , 1/2) y r = 3/2 ; 12.
■j . x2 * y2
2y
13. a) Re(w)= ——
^ 2 , Im (w)= ——
Respuestas a ejercicios propuestos
Elipse: 4 x 2 + 3 y 2 = 12
b) ^
; b) Circunferencia de centro Q(1/2,0)
y centro Q ( 0 ,1); 16. El interior de la circunferencia de radio 1 y centro Q(1 ,1)
b) C o s8x - 28 C o s6x Sen 2x + 70 C o s 4x S e n 4x - 28 C o s 2x Sen 6x + S e n 8x
19. Interior de la rama izquierda de
la hipérbola de focos F,(2 , 0) y F2(-2 , 0), semieje real a = 3/2
y 2 = 4 , f t no pertenece al anillo ;
c)
5 Senx C o s4x -1 0 S e n 3x C o s 2x + S e n 5x
d)
7 C o s 6x Senx - 35 C o s4x S e n 3x + 21 C o s 2x
S e n sx - S e n 7x
23. 0 = krc ó 0 = k7t - 7t/2 ; 24. {(o , 0) , - L (1 , V3)} ; 25. a) —j- (-1 +- V3) ,
64
32
20. Interior de I z - i I = \2 y I z + i I = \2 , excepto la región común
21. Anillo encerrado entre las circunferencias
(- Sen 7x + 7 Sen 5x -
21. a) C o s5x - 10 C o s 3x S e n 2x + 5 C o s x S e n 4x
17. El interior y el borde de la elipse con focos en F,(2 , 0) y F2(-4 , 0), semiejes :
a = 5 y b = 4; 18. La franja-1 < y < 0 ;
(Cos 6x + 6 C os 4x + 15 C o s 2x + 1 0 ) ,c)
21 Sen 3x + 35 Sen x) , d) — (Cos 7x + 7 C os 5x+ 21 C os 3x + 35 C os x)
64
14. Mediatriz : 2 x - 3 y + 5 = 0 ; 1 5 . El interior y el borde de la circunferencia de radio
1
563
: (x + 2 )2 + y 2 = 1 y /í?2: (x + 2)2 +
b>
22. La parábola D = {(x , y) I y2 > 1 - 2x}
b -* -*
23. El interior y el borde de las dos ramas de la hipérbola de centro Q(0 , 0) y
semiejes : a = 2 y b = \'5 , focos : F,(0 , 4) y F 2(0 , -2) ; 24.
El interior de
las dos ramas de la hipérbola con centro en Q(1 , 2) y focos en F,(-3 , 5) y
F2(5 , -1), semiejes : a = 4 , b = 3 ; 25. El semiplano superior y el borde de
la recta x + 4y = -4 ; 26.
Región comprendida en el interior y borde de la
Grupo
41
J
Radicación de números complejos
1. ± (V3 + i), ± (-1 + i\ 3); 2. 2 i , W3 - i , V3-i ; 3. 2 C ís ^
-^
71) , k = 0, 1,2,3,4
4. 2 Cís(5jc/9), 2 Cis(11ti/9), 2 Cis(17nJ9) ;5. ^ + l ¡ . - ^ + l ¡ . - ^ - l i , ^ - l i
circunferencia V ,: (x - 2)2 + (y + 2)2 = 8 y la parte exterior a la circunferencia,
6. 2 Cis(77i/30) , 2 C ís (19 tc/30) , 2 Cis(3l7t/30) , 2 Cis(43n/30) , ^"3 - i
: (x - 1)2 + (y + 1 )2 = 2 , excepto el origen y el borde de
31.
En el interior de la circunferencia de centro (0 , 0) y radio r = 5
7. (1/'\2) C is| — i 5^ k71) , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ;
8. ( 1 / ^ ) Cis ( 1- ^ L ^ 24k7t)
32. Parábola : y 2 = 4(1 - x)
k = 0, 1 , 2 , 3 , 4 . 5 , 6 , 7 ;
Grupo
39 j
9. (1/^2) Cis ( 1 ^ L ± J ^ M )
k = 0 i i i 2 t3 , 4 , 5
Form a p olar de un número complejo
10. "‘2 Cis ( 7I-t 4284 k K ) , k = 0 , 1 , 2 , 3 ; 11. a) 0 , b) 0 ;
13. {2 + 3 i,-3 + 2i}
1. z = 12 Cis 30°; 2. z = 6 Cis 300°; 3. z = Cis 150°; 4. z = 10 Cis 210°
14. { 1 + i , 2 + i};
15. {0, 1 + i , 1 + i } ;
16. {-1 + i , -3 - 4i>
5. z = 8 Cis 120° ; 6. z = 4 Cis 315°; 7. -1 - i ; 8. 1 (1 + ¡V3); 9. 1 {-<2 + i <2)
17. { ± (1 + V3) , ±(-V 3 + i)} ; 18.
10. l ( V 3 - i ) ;
Cis (270°-6); 13. .672 V2 Cis(37t/4); 14. i Cosec 0 ; 15. z = 4 Cis(1l7i/12)
Grupo
40 j
1. 1(-1 - i V 3 );
6. 1 + 0 i ;
2. 1 ( - 1 + H 3 ) ;
3.29(1 -¡V 3 );
7. 0 + 64¡ ; 8. -64 + Oi ; 9. - 1 + 0 i ;
4. (2
10.
19. {1 ,-2, 1(-1 ± \ 3 i ) , 1 ± i \ 3 } ; 20. wk = \~12 Cis
21• { * O í r )
Potenciación de números complejos
- V3)12 + O i; 5.
0 - 2 ,6i
k = 0 , 1 ,2
23.
± ( V
■
;
-Q +
, k = 0 , 1 ,2
22- « 1 ± w 5 » • (-i ±>^3)>
^
1+ Oi ; 11. -e^ + Oi
12. 840 + 0i ;
13. -V3 + i ; 14. - 1 + 0 i ;
18. Cis(n
; 19. -Cos 6x + i Sen 6x ; 20. a) 1 (Cos 4x - 4 C o s 2x + 3),
O
tc/3)
wk = 2 Cis|240_±_2k7i j
11. 2(1 + i V 3 ); 12. a) z = \ 2 - \ 3 Cis 75° , b) z = IC o s e c 0 l
15. 1 - ¡V 3 ; 16. 1 + i ; 17. 2 ’9
24. {1 , - 1 / 3 , - 1 ( 1 ± 2 i) } ;
k = 0 , 1,2,3;
26.
25. wk= V6 Cis(kn/2) ó wk = Cis ( - ± - ^ 7í),
wk = 2 Cis
2 + 2k7t) - 3 , k = 0 , 1 , 2 , 3
564
27.
Respuestas a ejercicios propuestos
{3 , I (-1 ± 7 ¡)> ;
28. {¡,-7 ¡/ 2 };
30. a) S ic o = 1
565
Respuestas a ejercicios propuestos
2nS e n n(0/2) Sen(n0/2) , n im par; b) -2 n S e n n(0/2) Cos(n0/2) , n p a r ,
=> S = | ( n + 1),
2nS e n n(0/2) Cos(n0/2) , n impar.si co5* 1 <=> S =
s
"
Grupo
, b) Si co = 1 c=> S = ^ (n + 1) (2n + 1), si co * 1
n2co2 - 2 n(n +
1)co + n(n + 2 )
(co - 1)3
42 j
Miscelánea de Ejemplos Ilu s tra íh
(e“*'3) ; 2.
M atrices
3
1. a) A = 4
5]
ri
, b) B = 3
15
7J
43
6
[7
ri 2 3 4]
,
c)
C
=
2 2 3 4 , d) D =
1
5J
[3 3 3 4,
0 -1]
2
6
^
= 2 '21(-1 + i V 3 ) ; 3. ~ (Cos 4x + 4 C os 2x + 3);
4.
16 C os4x -1 2 C o s2x + 1 ; 5. a) w0 = Cis 70° , w, = Cis 190° , w? = Cis 310C
b) w0 = i,w, = | + (1 + ^ ) i , w2 = - | +(1 -
^ ) i ; c)
a) v , b)
f-9 101
[ 7 -4 J
w0 = 2 Cis 100°
w, = 2 Cis 220° , w2 = 2 Cis 340°, d) ^ (1 ± i) ;6. \2 , -2
>/5/5 ; 13.
>Í2 , V2
v;
/
3 1 3)
5 3 5
9 7 9
U 7 15 17J
1.
z
J
Grupo
10.
b) t = T g(| ) = a /-1 ‘ C o s e . t1
v 1 + C os 0
17.
Re (z) = 1 Cotg ( J L +
, im(Z) = - 1 ; 18. 2 /p o sn x ; 20. -2
w
2
a V 4n
n /
v '
2
C os"x
4
6.
X=
5. a) X =
’ 29
-4 'l
>-6
28 J
, b) X =
6 10.5'
'3
7-1'
6
15
1
0
6
4, :
i ) ■ v '
( i . : )
14. -2’9
Grupo
44 J
Propiedades de ¡a m ultiplicación de matrices
' 5'
21.
b)32 ; 23.
2n
[a + |
IX ] Sen |
( ■ ? ) J_V 2 / s ¡ n es par
f(nnnn)\,;•27.
\ 2 /
27 C 0__
S It
1 6* J
C o s (x/2)“ “ ‘
s
3 <n - 1 V2
Sen [a +
x l C o sf-^ -)
------------- — ----------------- , s in es impar; 28. 2n C o snf M Sen
C os (x/2)
\2l
\
29.
a) 2 " S e n "(| ) C o s [ nTt' *
30
H.
2
Sen 4x_ . 34
4 Sen 2 x
1. a) ^
2) * ] . b) 2 "S e n "(| ) Sen [ ( n 2 ) gX ~n,t]
S e n (ü ± ^ )x C o s (!f)
------ 2 ----------- \_2_/ n ¡mpa r .
C os (x/2)
W
Sen
46. P(z) = — c
-2)/ Cos n f\ —
4
ID-+1
^5
11.
28; 12. I3 ; 13. B :
19. a) B =
2/
(e/2) ~ Cis(^~2~^) ’ 47* a) 2nSen n(0/2) C o s (n8/2), n p a r,
, c
= 0 , á = -2; 3. 6; 4. 0
c)
0
.0
23.
a
2b
-3b a + 3byJ
e R , b) B = í a
1-5 b
’1 -n
n | ( n + 1)'
• -n
1
. d) 0 1
0
1
.
.0 0
[ $ 17,450
$ 2 1 ,5 5 0
21 -23 15'
-13 34 10
-9 22 25
14. 512A; 15. 0; 16. 9 A ; 18. 282
{ a b1
, „ , . , l
h 00
x f1
, a , b e R . donde a 2 + be = 1 ; 22. a)
Le -a )
lo
1
, 4 ^ 4 ,co = ei2n/5; 42. X (¡J)Sen(n- k)ü =
(0+1
k= 0
- i )
í 2- fl = 1 , ¿ = -6
y. *i¿ ; m ,i ¡ a >»
, npar ; 37. S = Tg"xCos(3rcn/2); 38. S e n | ^ - j
(O2 + 1
b)
)x
2 I
21.
39. 1/2; 41. 0, ^
(0+1
j,
,3 5.
C os ( 0 | J ) x S e n ( M )
C os (x/2)
°
$ 14,575
^
l.a.kR ;
a + 9b)
n <0 m fC osna -S e n n a -]
, b)
1 J
LSenna C o sn a J
a (n -3 )l
, e) 2 A " ' 1
-n
1
$ 16,450]
,
20. -3
Respuestas a ejercicios propuestos
Respuestas a ejercicios propuestos
566
Grupo
Grupo
45^1
47 J
567
Sistemas de ecuaciones lineales
M atrices cuadras especiales
1. X = ( 4 , 3 , 2 ) '; 2. X = (2 - 3 r , 4 + r , 2 - r , r)‘; 3. X = (-4 - 4 r , 5 + 5 r ,-1 - 2 r , r)'
4.Í1
l-n
4. X = (2 , -1 , 1)*; 5. X = (-1 , 3 , - 2 ) '; 6. X = (-1 , 5 ,-2)'; 7. X =
° j ; 5 . Í 12 ' 2° Ì ; 6. a) í ’3 2 1. b) f 26 127l , c ) f*4 8 ]; 7 . f 1° *7 ]
1J
121 -6 J
1-1 -lJ
1254 661J ll2 -16J
L 35 1oJ
21 8 7 '
5 18 -2 ; 10.
-2 15 -131
8 . 14
.-8
-3
9.
7
9
.4
7 -1
13. S = 2;
18. 4;
-1
12. 2 y 23;
11. X = ( r , -13 + 3 r , -7 , 0)';
0.5 -8.5 -9 -5
-4.5 -3.5 0.5 -3
-2 0,
-3
. 4
11; 30. 1/4 ; 31.
7
.-3
a" n a n-'
-3 '
7
an
0
5 ; 32.
5 10,
14
0
.0
'l/2 -2 7/2
1 0 0'
0 1 -3/2
1 -1 0
; 36.
0 0 1/2
0 -1 0
0 ■0
^0
0 0 -1y
0 0 0 '
0
-1 0 0
; 35.
0
0 1 0
s0
1/2,
0 0
17.
X = (-1 , 3 , - 2 , 2)'; 18. X = (3 , 2 , 4 ,-1)'; 19.
20.
X = (1 , 2 r , r , - 3 s , s ) '; 21. Si ( X - 1) (X + 3 ) * 0
X = ( r , s , r + s -1 , 3 ,-1)'
=> X = (1
A+ o
22. Si X = 8 «=> X = (t,, 4 + 2 t, - 2 t2 , 3 - 2 12 , t2) '. Si X * 8 ^
.
-5/6
-1/6
-1/6
1/3
,1 , 1 ,1)'
Si X = 3 , inconsistente. Si X = 1 <=> X = (1 - 1, - 12 , - 13 , t,, t2 , t3)'
f
f ( n - 1 ) t f " - 2'
n a "*1
an
12. Inconsistente; 13. Inconsistente
14. X = (2 - s , 3 + 2 s , -5 + 2s , s ) '; 15. X = (2 , 3,-1 ,-2)’ ; 16. X = ( 1 + s , s , 3 , - 1 ) '
19. 21,; 20. 16; 22. 4 ; 26. -A ; 27. 2
6
' 1/2
'1 0 0 0 '
0
-2 1 0 0
; 34.
33.
0
0 -2 1 0
v-1/4
^6 -1 -1
-2 -11 9.5 ; 11.
.-9 2.5 -5.5-
8. X = ( - 1 , 2 , 3 ) '; 9. X = (-12 , -18 , -5)'; 10. X = (-1 , 3 ,-2 , 2)‘
3'
-7
-5
' 4
1 '
10
0
(3 , 4 ,-2)'
X = (0 , 4 - 2 1,,
3 - 2 t2 , t2) '; 23. Si X = -3 , inconsistente , si X = 0 => X = (1 - 1, - 12 , t,, t2)'
24.
Si X * 0 , el sistema es inconsistente. Si X = 0 <=* X = (-3/2 , -5/2)'
25. X =t,(1 ,0 ,-5/2, 7/2)' + 12(0, 1 , 5 , - 7) ' ;
26. X = t,(1 , 0 , 0 , -9/4 , 3/4)1+
t^O, 1, 0, -3/2 ,1 /2)' + 13(0,0 .1 ,-2,1)'; 27. X = t,(-3,2,1, 0, 0 ) '+ t2(-5, 3, 0, 0,1)'
28.
X = t,(-1 , 1 , 0 , 0 , 0)' + t2(6 , 0 , -5/2 ,1,3)»;
29.a) a = 2 , X = t,(1 , 0 , -2)‘
a = -4, X = t2(1 , -24/5 , 4/5)* , b) a = -1 , X = t,(-5 , 3 , 1/3 , 1)1
30. Las filas de la matriz A no lo forman , mientras que las filas de la matriz B sí. Si
C fup o
46 )
1. < 1 1 -1Ì
0 1 0
0 0 -1
Transformaciones elementales
2. '1
0
2
4
1
9
0
.0
0
1
'6
15.
0
0
Lo
-3
1
12
-2
3 -2
3
0
0
0
0
lo
0
0
0
13. f -1 - 1 Ì;
1 2 3J
-38
6 ; 17. 1 72 108
-72 82
9
8
j
1
5
4.
0,
5
23.
■
1
4
191
8
111
43 99 -159 )
-18'
'-115
110
-64
50
-60
26
7
5
-10
6
2
. 10
-10
3
1
24.
sistema de partida.
31. X = (1/3,1/3,0,0,0)' + 1,(0, 1 ,1 ,0, 0)' + 12(0 ,1 , 0, 1 ,0)' + y i/ 3 ,-5 / 3 ,0 ,0 ,1 )'
14. Í3 -2
15 -4,
18- 16
-75 J
averiguar que : a) el rango de A (de B , respetivamente) es igual a 5 - r , b) las
filas de la matriz A (de B respectivamente) constituyen las soluciones del
0
0J
9
423
5 12
2 0 . r -7
3 - 2 - 5
1-59
-V
4
75 Ì
41 -30 -69
1
3 -4 4 -2
-3 4 - 5
3
0
3'
c
2
1
0
2
0-1
0 0
3 -3
4
'1
-be - y
b
0
0Ì
10. 2 ; 11. 3 ; 12. 2 ;
48
el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es igual a r , se debe
'1
2
0
0
lo
-1 x - a b a&c + a y -ex + 2Ì
19.
22.
4 5'
2 1 2 ; 16.
.3 3 3
3
1
0
0
^ ,,
.0 0v 0
7. 2 ; 8. 3 ; 9. 3;
3l
6
3. '1 -1
0 0
0 0
y o , 0 , 0 . 1,1 ,o )' + t4(o, o, 0 , - 1 , 0 , 1)'
2 -14
1 2
20
32. X = (1/3 , -1/3 , 0 , 0 , 0 , 0)' + t,(1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0)' + t2(-1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0)' +
8
2
-8
21. r-1 3 -7 20'
-7 -3 5- 1 0
9
13
1 1
1'
'1
1
-1
-1
1 1
4 1 - 1 1 -1
1.
J ■1 -1
3 - 3 3
3-3
25.
6
1
33. X = (2/3 , 1/6 , 0 , 0 , 0)' + t,(0 , 1/2 , 1 , 0 , 0)' + t2(0 , -1/2 , 0 , 1 , 0 ) ' +
t3(1/3 , 5/6 , 0 , 0 , 1)'
34. X = (1, -1/2, 0, 0, 0)' + t,(0. -3/2, 1, 0, 0)' + t2(0, -2, 0, 1,0)' + 13(0, -5/2, 0, 0, 1)'
35. x = 3 , y = 4 , z = 4
Grupo
48 j
Propiedades de los determinantes
1. 0; 2. -2; 3. Sen(a - p) + Sen(P - y) + Sen(y- a ) ; 4. abe + \(ab + be + ea)
5. a 2 + P2 + / + 1 ; 6 . 0 ; 7. 3V3i; 8. a) x = -4 ± V 2 2 ,b ) x e R ; 9. x 6 (-6 , -4)
13. Una parábola y = (x - a) (x- b )\ 14. 32; 15. 273; 16. -43; 17. -252
18. -11,000; 19. -29 x 1 o 5
Respuestas a ejercicios propuestos
56«
i Grupo
4 9 j
Respuestas a ejercicios propuestos
569
33. (-1)ní"*1»«(nh)"-, I a + i ( n - 1 ) ] ; 34. (a0 + a, + a 2 + .... + a n)xn ; 35. 1
Existencia de los determinantes
1. 6; 2. 2 ; 3. 1; 4. 2; 5. -5; 6. -20; 7. 8 ; 8. 4; 9. 45;
10. 48
36. 2 x 3 y (x - y )6
11. 223; 12. -38; 13. { 1 , 2 } ; 14. { 1 , 0 , 4 } ; 15. { 0 , 2 } ; 16. 8a + 156 + 12c - 19c/
17. 2 a - 8 b + c + 5d] 18. a b e d ; 19. a b c d \
20. x y z u v
Grupo
! Grupo
50 ]
Cálculo de determinantes de cualquier orden
16.
0; 8. 6; 9. 704; 10. 665; 11. 394; 12. 5; 13. 1; 14. 1; 15.
100;
Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes
1. 2 4 ; 2. 18; 3. (a + b + c + d) (a + b - c - d ) ( a - b + c - d) ( a - b - c + d) \ 4. 256
7. 210; 8. 220; 9. ( b e - c d ) 2
10. ( a, a2- b , b 2) ( c , c 2 - d yd2)
5. 78,400; 6. 64;
1. {-4/3,3}; 2. {3/2,4}; 3. {2,5/2}; 4. { 18} ; 5. { - 3 , 2 , 4 } ; 6. {-10,-3}
7.
52 J
1/3
17. 2 - 2 i ; 18. 6; 19. i; 20. 1; 21. 0; 22. Sen(c - a) Sen (c - b)
Sen ( a - b ) ]
23. 0;
Grupo
24. 3(a - b) (b - c) ( c - a ) (a + b + c ) (ab + a c + b c )
53 )
Rango de una matriz
25. (ab + bc + c a ) \ +abc ; 26. (a -b) (b -c) (c - a) (a +b + c ) ; 27. -2(x3 + y 3)
1. 2; 2. 3; 3. 3 ; 4. 3 ; 5. 3; 6. 3; 7. P(A) = 2 si k = 0 y P(A) = 3 si k * 0
28. 1 + a 2 + b2+ c 2 ; 29. 4 ( a + b ) (a + c) (b + c) \ 30. 4 x 2 y 2 z2
8. P(A) = 3 , V k e R ; 9. D(A) = 2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) n' 1* 0 <=> n > 3
31. (a2 + b2 + c2) (b - a) (c - a) ( c- b ) (a + b + c ) 32. x2 z 2 ; 33. abed
10. D(A) = (3x + 1) (1 - x)3 «=> D(A) = 0 <=> x = -1/3 , x = 1 ; 11. D(A) = (4x2 -1) «=>
34. ( a f - b e + c d ) 2 \ 35. -3(x2 -1) (x2 - 4); 36. ( a + b ) ( a - b ) 3; 37. abed
38.
k = -a2 ; 39. a = 1/2 ; 45. -a, a2 ----- an (^ - +
47.
C osn x ; 48.
2
n+ 1
D(A) = 0 <=> x = ± 1/2; 12. a) x e R - {0 , 2 , 3} , b) x = 0 , x = 2 , x = 3
13. Si x * 0 , P(A) = 3 ; si x = 0 , P(A) = 2 ; 14. Si x = 3 , P(A) = 2 ; si x * 3 , P(A) = 3
15. P(A) = 4 , V x e R - {-13 , 3} ; P(A) = 3 , para x = -13 , x = 3
a, a , a n (-1 + + . . . . + 1 - ) ; 49. 2 " + 1 -1
" \ a t a2
anj
-
i
+ . . . . + J -J ; 46.
50. 1 ( 5 " * 1- 2 n + 1) ; 51. 9 - 2 n + 1 ; 52. 5(2n' ’) - 4 (3n 1 )
O
v Grupo
54J
C álculo de determ inantes mediante la reducción a la fo rm a
4.
100; 5. 6; 6. 0 ; 7. 2 ; 8.
-128; 9. -72
10.
275; 11. -8; 12. 48; 13. 2n + 1 ; 14. -2 (n -2 )!;1 5 . 1 [(x + a )n + (x-a)"]
10.
16.
.a i V . . . a n ( ; l + 3 U
14.
18.
(x - x,) ( x - x 2) --- (x - xn) ;
21- i r r
-------- - i ) ;
17. b X K - -
K
19. £ [ 2a + (n - 1)h] a " ' 1; 20. (-1)n 1 (n + 1)2n 2
( T i ? 1 22- ( n - i ) ( - i r v - * ;
( x -1 )2
23.
2
e) • - t í
X = (s
4
3 =
]; 15. X
" ( í
] ; 19. E = 2 ' s
o) B = i [ ' 2
8
; b) x, = 1, x 2 = 4 ;
.a, ( J . + A + . . . . + ± )
24. ÍL±1 + 4 ^ 1 ; 25. (-1)n- ’x " - 2 ; 26. (-1)n [ (x - 1)n - x n]
1
-x
(1 - x)2
27. (i,
18.
x = (s
r>o ¿
425; 2. 1; 3. 20;
4/3 -2/3'
J; 6. 5ti/3; 7. B ’ A*1D C 1
-2/3.
>2
8. a ) X = i ( 3
b) X
4]
37 -51J ’
X
II
_1
A.
escalonada
1.
± \
’ 36 [
rt
51 ]
in
II
LU
1. S = 4 ; 2.
Grupo
Inversa de una m atriz de segundo orden
.
¡ 29. o - x ^ -
30. (x - 1)n ; 31. (a - (3)n‘2 [Xa + (n -2) X(3- (n - 1) ab] ; 32. n(-1)«<n-’V2
) ' M
i v
); 21.
a— « a
570
Respuestas a ejercicios propuestos
1.
55
14 8
3'
8
3
2
1.
5
2
-5
-1
7
2.
2
1
0
1
-4
-3]
1
-5
■1
6
-3
4
4
-3'
8
-1
-3
10
-7
6
-5
1
2
.8
-6
5.
110
6- 7 - 1 4
U
3
f 1 -3
10. 0
0
0
6
9.
2
5
10
0
5J
3 - 4
n
-225 -274 -76
17. X - . 1 366 446 122
6
48
56 20.
-3
2
1
2
15. X = -4
.3
3
3,
.-5
!
6
18 J
-2
12.
0
3
Si b = 0 y a = -2 , el sistema es inconsistente.
7
19. D(A) = a(a - í>). Si D(A) * 0, x = 5 ^ - U
b-a
1
2 -1 0 01
-3
2 0 0
31 -19 3 -4
14 -2 3 J
0'
5 -2
Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro.
1 -2
1-23
2
18. D(A) = f>(a-1)(a + 2 ) . S i D ( A ) * 0 , x = z = ,
, y = , , ah + * ' *
(a -1)(a + 2)
o(a - 1)(a + 2)
1
1
1'
16. X = 1
2
3
2
3
1
0.
19. an' 1(l4 | )
\ IA /
11 1.
20. S = 10
C\J
II
X
56
1* { ( 7, 2 ) } ;
J
D(A) = a 2(a - 1). Para a = 0 y a = 1 el sistema es inconsistente
21 . D(A) = -2 a . S i a * 0 , x = 1 - a , y = a , z = 0. S i a = 0 , x = 1 , z = 0 , y = arbitrario.
22.
D(A) = (a - 1 )2 (a + 1). Si a = 1 , la solución dependen de un parámetro.
Si a = -1 el sistema es inconsistente.
23.
D(A) = -m(m + 2). Para m = -2 y m = 0 el sistema es inconsistente.
la solución depende de un parámetro.
25.
D(A) = 3(a + 1)(a - 1)2 . Si a = -1 el sistema es inconsistente. Si a = 1 la
27.
5x
-6x
x2 + 6 -3,
30. fl = 1 I 6 = 2 I d = 1 , í = 2
3. {(C os (c - b ) , Sen (c -6 )} ; 4. {(1 6 ,7 )}
5. {(-6 , -2¿í/3)} ; 6. {(Cosò Cose , C os¿ Sene')} ; 7. {(2,-3, 1)}; 8. {(2, 6,-2)}
{ ( 3 , 2 , 1 ) } ; 10.
{(2 ,-2 , 5) } ; 11. {(-2 , 3/2 .-1)} ; 12. {(-1 , 3 ,-2)}
13.
{ ( 2 , - 1 , 1 ) } ; 14.
{(3. 1, - 1) } ; 15. {(be ,ac ,ab)}
16. D(A) = (a - b ) (a - c) (c - b). Si a , b y c son todos distintos , x = a b c , z = a +b +c
y = -(ab + be + ac). Si entre a , b y c hay dos iguales las soluciones dependen
de un parámetro. Si a = b = c las soluciones dependen de dos parámetros.
S(A)=¿>(1 -a). Siè(1 - a ) * 0 , x = ^ ±
y = 1 z = 2 a b jiA t± A
b(a -1 )
b '
b(a -1 )
D(A) = m(m - 1) (m + 2). Si m = 1 , m = -2 , el sistem a es inconsistente. Si
m = 0 ,
28.
9.
17.
20.
7
-x
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
2. { ( - 3, 5) } ;
a( b- a)
Si a = b = 1 J a s soluciones dependen de dos parámetros.
Si a = 0 , el sistema es inconsistente
5x x2 - 9 15'
c(a +6) -c -1.
Grupo
, 2=
26. D(A) = (a -1 )(a - 2)(a - 3). Si a = 2 y a = 3 el sistema es inconsistente. Si a = 1,
la solución depende de un parámetro.
' a(b +c) -a -1 '
b(a + c) -b -1
a( a- b)
solución depende de dos parámetros.
II
X
X
n
9
= -2, x = 0 ; 25.
27. x = 1 , x = 4; 28. 3 A 1V x e R , A 1 = — 1
6x? + 21
29. D(A) = (a -b)(a -c)(c - b ) , A ■’ =
, y=
24. D(A) = a(a - 1)(a + 1). Si a = -1 y a = 1 , el sistema es inconsistente. Si a = 0,
’ 14 -8 -1'
-17 10 1
.-19
8
0
11 -1 -1
3'
4
10
1 1
1 1 - 1 -
4
21. S = 2 ; 22. S = 5; 23. S = 5.1 ; 24. x
26. x = k7T + 5 ;
8.
1 - 1 1 -
1J
l
ri
5
’6
—
L
OO
X
II
W
5
8
n
X
4
.7
10
1-2
0
3'
2
7
11 -381
0 0
1
1
1 - 2 7
es inconsistente.
> 2 2 1
-1 -4 J
2 1
r3
-1-5
1
'-5
571
Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro. Si b = 0 el sistema
Inversa de una m atriz (Método de la adjunta)
X
II
í Grupo
Respuestas a ejercicios propuestos
la solución depende de un parámetro.
D(A) = (a - 1)2(a + 1). Si a = -1 , el sistema es inconsistente. Si a = 1 , la
solución depende de dos parámetros.
BIBLIOGRAFÍA
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10. P RO B LEM A S DE LAS MATEMÁTICAS S U P E R IO R E S
V. Bolgov - B. Deminovich. Editorial Mir - Moscú
Ediciones