Laboratorio No. 2 Modelamiento Matemático de Sistemas Físicos Brayan Erasmo Atis Tarapues (218160021, bryanat96@udenar.edu.co), Cristian Camilo Cerón Delgado (218160085, cristianceron@udenar.edu.co), Brayan Aldair Chamorro Tonguino (218160090, brayanchamorro@udenar.edu.co ). • Resumen—Se desarrollo el modelo correcto que describa la relación correcta entre sistemas físicos, y encontrar la analogía circuital que facilite el análisis su análisis así afianzando las habilidades matemáticas. MODELO MATEMÁTICO Recordando que: ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = ∑ 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 Palabras clave—Modelamiento, sistemas físicos, análisis, modelamiento matemático. I. Para la masa 1 (𝑚1 ) INTRODUCCÍON 𝑑 2 𝑥1 (𝑡) + 𝐾(𝑥1 (𝑡) − 𝑥3 (𝑡)) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥1 (𝑡) 𝑑𝑥3 (𝑡) +𝑐( − ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑀1 U n Sistema Dinámico es un sistema en el cual hay almacenamiento de energía y disipación de está, por lo que el estudio es de mucha importancia para el desarrollo de la ingeniería, estos sistemas se pueden representar mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, que se determina a partir de un modelo matemático, en este informe se trabajara las analogías de los sistemas mecánicos, hidráulicos y térmicos con los sistemas electrónicos, esto nos ayudara a comprender mejor la respuesta de un sistema. II. III-A. • 0 = 𝑀2 𝑑 2 𝑥3 (𝑡) 𝑑𝑥3 (𝑡) 𝑑𝑥1 (𝑡) + 𝐾(𝑥3 (𝑡) − 𝑥1 (𝑡)) + 𝑐 ( − ) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (2) • OBJETIVO Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso de Sistemas dinámicos para obtener el modelo matemático de algunos sistemas mecánicos, sistema térmico, y sistema hidráulico así su sistema eléctrico equivalente. III. (1) Para la masa 2 (𝑚2 ) DESARROLLO SISTEMA MECÁNICO Sistema mecánico 1 dos masas Para la masa 1 (𝑚1 ) 𝑑 2 𝑞1 (𝑡) 1 + (𝑞1 (𝑡) − 𝑞3 (𝑡)) 𝑑𝑡 2 𝐶 𝑑𝑞1 (𝑡) 𝑑𝑞3 (𝑡) +𝑅( − ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖1 (𝑡) 1 𝑣(𝑡) = 𝐿1 + ∫(𝑖1 (𝑡) − 𝑖3 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝑅(𝑖1 (𝑡) − 𝑖3 (𝑡)) 𝑑𝑡 𝐶 (3) Para la masa 2 (𝑚2 ) 𝑣(𝑡) = 𝐿1 0 = 𝐿2 𝑑 2 𝑞3 (𝑡) 1 𝑑𝑞3 (𝑡) 𝑑𝑞1 (𝑡) + (𝑞3 (𝑡) − 𝑞1 (𝑡)) + 𝑅 ( − ) 2 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 = 𝐿2 Figura 1. Sistema Mecánico de dos masas ANALOGIA CIRCUITAL POR MALLAS 𝑑𝑖3 (𝑡) 1 + ∫(𝑖3 (𝑡) − 𝑖1 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝑅(𝑖3 (𝑡) − 𝑖1 (𝑡)) 𝑑𝑡 𝐶 (4) Con las ecuaciones (3) y (4) se llegan al circuito mostrado en la siguiente figura 0 = 𝐿2 𝑑 2 𝑞1 (𝑡) 1 𝑑𝑞1 (𝑡) 𝑑𝑞2 (𝑡) + (𝑞1 (𝑡) − 𝑞2 (𝑡)) + 𝑅 ( − ) 2 𝑑𝑡 𝐶2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖1 (𝑡) 1 + ∫(𝑖1 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝑅(𝑖1 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡)) 𝑑𝑡 𝐶2 (8) 0 = 𝐿2 Para 𝑚2 • Sistema mecánico 2 Doble amortiguación 0 = 𝐿1 𝑑 2 𝑞2 (𝑡) 1 1 + (𝑞2 (𝑡) − 𝑞3 (𝑡)) + (𝑞2 (𝑡) − 𝑞1 (𝑡)) 𝑑𝑡 2 𝐶1 𝐶2 𝑑𝑞1 (𝑡) 𝑑𝑞2 (𝑡) +𝑅( − ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖2 (𝑡) 1 + ∫(𝑖2 (𝑡) − 𝑖3 (𝑡))𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶1 1 + ∫(𝑖2 (𝑡) − 𝑖1 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝑅(𝑖1 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡)) 𝐶2 (9) Para 𝑓(𝑡) 0 = 𝐿1 • 1 (𝑞 (𝑡) − 𝑞2 (𝑡)) 𝐶1 3 1 𝑣(𝑡) = ∫(𝑖3 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡)) 𝐶1 𝑣(𝑡) = MODELO MATEMÁTICO ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = ∑ 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 Análisis en 𝑚1 No hay fuerzas externas (10) Con las ecuaciones (8), (9) y (10) se llega al circuito mostrado en la figura siguiente 𝑑 2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) + 𝑘2 (𝑦(𝑡) − 𝑥(𝑡)) + 𝑏 ( − ) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (5) Análisis en 𝑚2 0 = 𝑀2 0 = 𝑀1 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) + 𝑘2 (𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)) + 𝑏 ( − ) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 + 𝑘1 (𝑥(𝑡) − 𝑢(𝑡)) (6) III-B. • SISTEMA HIDRÁULICO Sistema hidráulico tanques en cascada Analizando donde se aplica 𝑓(𝑡) punto A 𝑓(𝑡) = 𝑘1 (𝑢(𝑡) − 𝑥(𝑡)) (7) • ANALOGÍA CIRCUITAL POR MALLAS 𝑦(𝑡) ⟶ 𝑞1 (𝑡), 𝑥(𝑡) ⟶ 𝑞2 (𝑡), 𝑢(𝑡) ⟶ 𝑞3 (𝑡) Para 𝑚1 𝐴1 : Área del tanque 1 𝐴2 : Área del tanque 2 • 𝐴1 : Área del tanque 1 𝐴2 : Área del tanque 2 MODELO MATEMATICO • 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 + 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 MODELO MATEMATICO 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 + 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 Análisis Tanque 1 𝑑ℎ1 (𝑡) ℎ1 (𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝐴1 + 𝑑𝑡 𝑅 (11) Se tiene 𝑥2 = ℎ1 (𝑡) 𝑅1 Análisis Tanque 𝐴1 𝑑ℎ1 (𝑡) ℎ1 (𝑡) − ℎ2 (𝑡) ℎ1 (𝑡) 0 = 𝐴1 + + 𝑑𝑡 𝑅1 𝑅3 (17) Análisis Tanque 𝐴2 (12) Análisis tanque 2 𝑞𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐴2 𝑑ℎ2 (𝑡) ℎ2 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝐴2 + 𝑑𝑡 𝑅2 𝑑ℎ2 (𝑡) ℎ2 (𝑡) − ℎ1 (𝑡) ℎ2 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅1 𝑅2 (18) (13) • Remplazando el valor de 𝑥2 ℎ1 (𝑡) 𝑑ℎ2 (𝑡) ℎ2 (𝑡) = 𝐴2 + 𝑅1 𝑑𝑡 𝑅2 • (14) ANÁLOGIA CIRCUITAL POR NODOS ANÁLOGIA CIRCUITAL POR NODOS Análisis Tanque 𝐴1 𝑑𝑣1 (𝑡) 𝑣1 (𝑡) − 𝑣2 (𝑡) 𝑣1 (𝑡) 0 = 𝐶1 + + 𝑑𝑡 𝑅1 𝑅3 (19) Para el tanque 1 𝑖𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐶1 Análisis Tanque 𝐴2 𝑑𝑣1 (𝑡) 𝑣1 (𝑡) + 𝑑𝑡 𝑅1 𝑖𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐶2 (15) Para el tanque 2 𝑣1 (𝑡) 𝑑𝑣2 (𝑡) 𝑣2 (𝑡) = 𝐶2 + 𝑅1 𝑑𝑡 𝑅2 (16) Con las ecuaciones (15) y (16) se llega al circuito mostrando en la siguiente figura. Con las ecuaciones (19) y (20) se llega al circuito mostrando en la siguiente figura. III-C. • 𝑑𝑣2 (𝑡) 𝑣2 (𝑡) − 𝑣1 (𝑡) 𝑣2 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅1 𝑅2 (20) SISTEMA TÉRMICO Sistema hidráulico de dos tanques 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇2 : corresponden a las temperaturas en cada medio. 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 : corresponden a las capacitancias de cada medio. 𝑖𝑖𝑛 (𝑡) = 𝑖𝐶1 + 𝑖𝑅12 + 𝑖𝑅13 + 𝑖𝑅11 𝑅11 , 𝑅12 , 𝑅13 , 𝑅14 , 𝑅15 : corresponden a las resistencias de cada medio. Para el medio B • MODELO MATEMÁTICO 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 + 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 0 = 𝐶2 𝑑𝑉2 (𝑡) 𝑉2 (𝑡) − 𝑉1 (𝑡) 𝑉2 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅14 Análisis medio C (28) 𝑑𝑇1 (𝑡) 𝑇1 (𝑡) − 𝑇2 (𝑡) 𝑇1 (𝑡) − 𝑇3 (𝑡) 𝑞𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐶1 + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅13 𝑇1 (𝑡) − 𝑇0 (𝑡) + 𝑅11 (21) Análisis medio B 𝑑𝑇2 (𝑡) 𝑇2 (𝑡) − 𝑇1 (𝑡) 𝑇2 (𝑡) − 𝑇0 (𝑡) 0 = 𝐶2 + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅14 (22) Análisis medio A 𝑑𝑇3 (𝑡) 𝑇3 (𝑡) − 𝑇1 (𝑡) 𝑇3 (𝑡) − 𝑇0 (𝑡) 0 = 𝐶3 + + 𝑑𝑡 𝑅13 𝑅15 (23) Como 𝑇0 hace que el sistema sea un sistema no lineal, es necesario hacer un cambio de variable. 𝑇𝐶 = 𝑇1 − 𝑇0 𝑇𝐵 = 𝑇2 − 𝑇0 𝑇𝐴 = 𝑇3 − 𝑇0 𝑑𝑇𝐶 𝑑𝑇1 (𝑡) = , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑇𝐵 𝑑𝑇2 (𝑡) = , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 = 𝐶3 (29) Con las ecuaciones (27), (28), y (29) se llega al circuito mostrado en la figura siguiente. IV. • 𝑑𝑇𝐶 (𝑡) 𝑇𝐶 (𝑡) − 𝑇𝐵 (𝑡) 𝑇𝐶 (𝑡) − 𝑇𝐴 (𝑡) 𝑇𝐶 (𝑡) + + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅13 𝑅11 (24) 0 = 𝐶2 • 𝑑𝑇𝐵 (𝑡) 𝑇𝐵 (𝑡) − 𝑇𝐶 (𝑡) 𝑇𝐵 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅14 (25) Cambio de variable en medio A 0 = 𝐶3 𝑑𝑉3 (𝑡) 𝑉3 (𝑡) − 𝑉1 (𝑡) 𝑉3 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅13 𝑅15 0 = 𝑖𝐶3 + 𝑖𝑅13 + 𝑖𝑅15 𝑑𝑇𝐴 𝑑𝑇3 (𝑡) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Cambio de variables en medio B • Para medio A 𝑇𝐶 − 𝑇𝐵 = 𝑇1 − 𝑇2 𝑇𝐶 − 𝑇𝐴 = 𝑇1 − 𝑇3 𝑇𝐴 − 𝑇𝐶 = 𝑇3 − 𝑇1 Cambio de variable en medio C 𝑞𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐶1 0 = 𝑖𝐶2 + 𝑖𝑅12 + 𝑖𝑅14 𝑑𝑇𝐴 (𝑡) 𝑇𝐴 (𝑡) − 𝑇𝐶 (𝑡) 𝑇𝐶 (𝑡) + + 𝑑𝑡 𝑅13 𝑅15 (26) ANÁLISIS CIRCUITAL POR NODOS Para medio C 𝑑𝑉1 (𝑡) 𝑉1 (𝑡) − 𝑉2 (𝑡) 𝑉1 (𝑡) − 𝑉3 (𝑡) 𝑉1 (𝑡) 𝑖𝑖𝑛 (𝑡) = 𝐶1 + + + 𝑑𝑡 𝑅12 𝑅13 𝑅11 (27) • CONCLUCIONES Es de gran utilidad las analogías entre sistemas mecánicos, hidráulicos y térmicos con los circuitos eléctricos, porque mediante la representación en circuitos eléctricos podemos observar el comportamiento que tendrían esos sistemas por medio de mediciones de corrientes y voltajes. Por definición los sistemas dinámicos son aquellos que almacenan energía, esta generalidad es la que permite las analogías entre sistemas físicos y eléctricos. Realizar el modelo matemático de un sistema es muy importante, esto se debe a que podemos variar las especificaciones del sistema para poder llegar a un resultado deseado sin la necesidad de generar altos gastos.
