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Elemania
ELEMANIA
Digitale - Forme canoniche
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Forme canoniche
Data una tabella di verità si dicono forme canoniche due procedimenti standard per trovare
un'espressione logica (non minima) corrispondente.
Prima forma canonica: somma dei prodotti
Per rappresentare una generica tabella di verità mediante la prima forma canonica bisogna:
considerare solo le righe della tabella in corrispondenza delle quali l'uscita vale 1;
ognuna di tali righe corrisponde a un prodotto logico AND (detto mintermine) di tutte le
variabili, prese negate se valgono zero e dirette se valgono uno;
l'uscita è data dalla somma logica OR di tutti i mintermini così individuati.
Facciamo un esempio. Consideriamo la seguente tabella di verità:
ABCU
0 00 0
0 01 0
0 10 1
0 11 0
1 00 1
1 01 0
1 10 1
1 11 0
Consideriamo tutte le righe(tre) in corrispondenza delle quali l'uscita vale 1 e scriviamo per ognuna
di esse il mintermine corrispondente:
L'espressione logica in forma canonica si ottiene facendo la somma (OR) dei mintermini trovati:
U = A.B.C + A.B.C + A.B.C
Non è difficile verificare che questa espressione logica corrisponde alla tabella data.
Seconda forma canonica: prodotto delle somme
Per la seconda forma canonica bisogna:
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considerare solo le righe della tabella in corrispondenza delle quali l'uscita vale 0;
ognuna di tali righe corrisponde a una somma logica OR (detto maxtermine) di tutte le
variabili, prese negate se valgono uno e dirette se valgono zero;
l'uscita è data dal prodotto logico AND di tutti i maxtermini così individuati.
Sempre con riferimento alla tabella precedente, la seconda forma canonica è la seguente:
U = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Un modo forse più semplice per ricordare e scrivere la seconda forma canonica, consiste nel
considerare la somma negata dei mintermini di tutte le righe in cui compare uno zero. Nel nostro
esempio si avrebbe:
U = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Non è difficile verificare (usando i teoremi di De Morgan) che le due scritture sono equivalenti.
In generale la prima forma canonica è preferibile (produce un'espressione logica più ridotta)
quando, come in questo caso, il numero degli uno in uscita in tabella è inferiore al numero degli
zeri; in caso contrario, se gli zeri sono più degli uno, la seconda forma canonica è preferibile.
Semplificazione della prima forma canonica
La scrittura in una delle due forme canoniche consente di trovare abbastanza rapidamente una
espressione logica corrispondente a una tabella di verità, ma non garantisce affatto che tale
espressione sia anche quella minima.
Infatti in generale è spesso possibile (usando i teoremi dell'algebra booleana) procedere a ulteriori
riduzioni della forma canonica. Per esempio, considerando la prima forma canonica:
U = A.B.C + A.B.C + A.B.C
raccogliendo C (inverso della proprietà distributiva) abbiamo:
U = (A.B + A.B + A.B).C
da cui procedendo ancora a raccogliere A nella parentesi tonda:
U = (A.B + A.(B + B)).C
ma essendo B + B = 1 (assioma del completamento):
U = (A.B + A.(1)).C
da cui ancora:
U = (A.B + A).C
da cui infine usando il secondo teorema dell'assorbimento abbiamo:
U = (A + B).C
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Non è difficile verificare che quest'ultima espressione corrisponde ancora alla tabella di verità di
partenza.
Semplificazione della seconda forma canonica
Facendo riferimento sempre alla stessa tabella, supponiamo ora di utilizzare la seconda forma
canonica. Il calcolo risulta un po' più complesso in questo caso per il fatto che nella nostra tabella di
verità ci sono più 0 che 1 e dunque la prima forma canonica è preferibile. Abbiamo dunque:
U = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Possiamo raccogliere A+B fra i primi due termini e A+C fra gli ultimi due:
U = (A+B+C.C).(A+B+C).(A+C+B.B)
da cui possiamo eliminare i prodotti logici che contengono una variabile e la sua negazione (che dà
sempre zero come risultato):
U = (A+B).(A+B+C).(A+C)
Adesso raccogliamo A fra i primi due termini:
U = (A+B.(B+C)).(A+C)
da cui, applicando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
U = (A+B.B+B.C)).(A+C)
Semplificando:
U = (A+B.C).(A+C)
e svolgendo i prodotti:
U = A.A+B.C.A+A.C+B.C.C = B.C.A+A.C = (B.A+A).C
Da cui infine, applicando il teorema dell'assorbimento, abbiamo:
U = (B + A).C
Come si vede abbiamo riottenuto la stessa espressione logica a cui eravamo arrivati usando la
prima forma canonica, anche se in questo secondo caso la semplificazione è stata un po' più
laboriosa.
Una delle maggiori difficoltà che lo studente incontra semplificando la seconda forma canonica è che
le operazioni di raccoglimento della somma rispetto al prodotto non sono intuitive, in quanto non
hanno nessuna corrispondenza con l'algebra ordinaria. Un metodo per aggirare il problema consiste
nello scrivere la seconda forma canonica come normale somma dei prodotti e negando poi tutta
l'espressione:
U = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
A questo punto è possibile procedere con la semplificazione dell'espressione sotto il segno di
negazione:
U = A.B.(C + .C) + A.B.C + A.C.(B+B) =
= A.B. + A.B.C + A.C =
= A.(B+B.C) + AC =
= A.(B+C) + AC =
= A.B+A.C + AC =
= A.B+C (A+A) =
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= A.B+C
A questo punto possiamo infine applicare il teorema di De Morgan e ottenere di nuovo la nostra
espressione minima:
U = A.B+C = (A + B).C
Un metodo standard per la ricerca automatica dell'espressione AND-OR minima di una tabella
di verità è quello delle mappe di Karnaugh.
Online Karnaugh Map: un sito per la sintesi automatica delle tabelle di verità col metodo
delle mappe di K.
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