UNIVERSITE DE TUNIS
INSTITUT SUPERIEUR DE GESTION
Série 1
Matière : Technique d’optimisation
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur IR2 par :
2
f x, y = x4 + y4 - 2 x - y
(
)
(
)
1. La fonction f est-elle convexe sur IR2 ?
2. Déterminer les points critiques de f et préciser leur nature.
Exercice 2
Soit
f
la fonction définie pour tout
couple
(X, Y)
de
IR2 par :
f ( X,Y) = 2X2 + 2Y2 + 2XY - X -Y
1. (a) Calculer les dérivées partielles premières de f .
(b) En déduire que le seul optimum de f est A (1/6, 1/6).
2. Montrer que A est le minimum global de f sur IR2.
3. On considéré la fonction g définie pour tout couple (x, y)
de IR2 par :
g( x, y) = 2e2 x + 2e2 y + 2ex+y - ex - ey . En déduire que g possède un minimum
global sur IR2 et préciser en quel point ce minimum est atteint.
Exercice 3
Un industriel produit simultanément 2 biens A et B dont il a le monopole de la production et de la
vente dans un pays. Soit x la quantité produit du premier bien et y la quantité produite du second.
Les prix PA et PB auxquels il vend les biens A et B sont fonction des quantités écoulées selon les
relations :
PA = f (x)
PB = g(y)
Le coût de production total des quantités x et y est une fonction c(x, y). Le Bénéfice de l’entreprise
si elle vend les quantités x et y est donc la fonction :
π(x, y) = x f (x) + y g(y) − c(x, y)
Dans chacun des cas suivants, trouvez les quantités qui maximisent le bénéfice de l’entreprise, la
valeur maximale du bénéfice ainsi que les prix de vente de chacun des biens
a) PA = 1− x
PB = 1− y
c(x, y) = xy
b) PA = 28 − 3x
PB = 22 − 2y
c(x, y) = x2 + 3y2 + 4xy
Exercice 4
Soit a Î IR2 . On définit fa ( x, y) = x2 + y2 + axy- 2x- 2y.
1. Pour quelles valeurs de a, la fonction fa ( x, y) est-elle convexe ?
2. Déterminer les solutions qui maximisent la fonction fa ( x, y) lorsque a =0, lorsque a =-2 et
lorsque a=2.
Exercice 5
Déterminer les extrema des fonctions suivantes et préciser la nature des solutions obtenues :
f ( x, y) = x3 + 3xy2 -15x-12y
g( x, y, z) = -5x2 +10x+ xz- 2y2 + 4y+ 2yz- 4z2
h( x, y) = x4 + y4 - x2 y2 - y2
Exercice 6
Une entreprise fabrique deux modèles de petites voitures, les modèles X et Y. Le modèle X, le plus
abordable, se vend à 1 dinar la pièce. Quant au modèle Y, beaucoup plus sophistiqué, il se vend
à 3 dinars. Le coût de fabrication est donné par la fonction suivante :
C ( x, y) = 5x2 + 5y2 - 2xy- 2x-1000
Où x est le nombre de petites voitures du modèle X et y est le nombre de petites voitures du modèle
Y. On suppose que les jouets fabriqués sont tous écoulés sur le marché.
( )
1. Soit ( x, y) Î IR+* . Déterminer le profit P(x, y) réalisé par l’entreprise lorsqu’elle a vendu x
2
jouets de modèle X et y jouets de modèle Y.
( )
2
2. Étudier la convexité de la fonction P sur IR+* .
3. Trouver la répartition optimale entre les modèles de type X et Y permettant de maximiser le
profit quotidien. Calculer dans ce cas le profit réalisé.