Урок
20
МНОЖЕННЯ Й ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ.
ПІДНЕСЕННЯ РАЦІОНАЛЬНОГО ДРОБУ ДО СТЕПЕНЯ
1. Перевірка домашнього завдання.
2. Повтори інформацію в рамочці. Відтвори з пам’яті.
Раціональний вираз — це вираз, складений зі скінченної кількості чисел
і букв за допомогою знаків дій додавання, віднімання, множення, ділення,
а також дужок.
Раціональні вирази поділяють на цілі та дробові.
Наприклад:
x
7
y
; 2x; 5 + a — цілі вирази;
;
— дробові вирази.
7
x x+5
 Обведи вирази, які є дробовими.
n ( 2m + 3 )
8
1
1
; 6a : 8 ; 0,1x : y ; n −
; − c2 + ;
2
5
x −8
5
3
(x
2
)
− y2 ;
y
.
3y − 1
 Запиши по три приклади цілих виразів:
а) з однією змінною: б) з трьома змінними: 3. Виконай усно.
а) Назви вирази, на які можна скоротити дріб
б) Скороти дріб
a 3b2
.
a 4b
8c5
на c; c2 ; c3 ; c4 ; 4c; 2c2 ; 4c4 .
12c4
4. Заповни таблицю.
x
0
–1
1
2
4x
4−x
4:x
x
4
4
x + 0,5
x2 − 4
85
5. Зведи алгебраїчні дроби до найменшого спільного знаменника.
17x
11
а)
і
3x − 3
6x − 6 б)
b −2
a+2
і
ab + 2a
2b + b2 6. Пригадай за інтелект-картою, як виконують множення, ділення та піднесення до степеня раціональних дробів. Перевір себе за картою знань 28А.
ДІЇ НАД АЛГЕБРАЇЧНИМИ ДРОБАМИ
Піднесення до степеня
n
An
 A
,
=
 
B
Bn
де A і B — многочлени
стандартного вигляду;
B ≠ 0 ; n — натуральне
число.
Множення
A C
A⋅C
,
⋅
=
B D B⋅ D
де A, B, C і D — многочлени стандартного
вигляду; B ≠ 0 , D ≠ 0 .
Ділення
A C
A D A⋅D
,
:
=
⋅
=
B D B C
B⋅C
де A, B, C і D — многочлени стандартного
вигляду; B ≠ 0 ; C ≠ 0 ;
D ≠ 0.
 Спрости вирази.
x − 3 x2 − 4 x2 + 3x + 9
а)
⋅
⋅
=
2x + 4 x3 − 27
x2 − 2x
б)
a2 − 16
ab − 2b
a−4
⋅ 2
:
=
2
2a − a a + 8a + 16 4b
7. Розв’яжи задачу.
Майстер виготовив 60 деталей за той самий час, за який учень виготовив
36 деталей. Скільки деталей виготовляв учень за 1 год, якщо майстер за 1 год виготовляв на 10 деталей більше?
8. Виконай самостійну роботу 6.
86
УРОК 20
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
I. Повтори навчальні одиниці, вивчені на уроці, щоб розповісти їх під час перевірки домашнього завдання.
II. Перевір себе. Виконай тестові завдання.
1. Познач цілий вираз.
b
А
;
2
В a : b ;
2. Скороти дріб А
Б
Г
6a2b3
.
8a4b2
3b
;
4a
Б
2b2
;
a
(2 + a ) : b .
3b2
;
4a2
3b
; Г інший варіант відповіді: ______.
4a2
2
3. Поділи дріб на a2 .
a
2
А 2a; Б
;
a3
2
В
; Г інший варіант відповіді: ______.
a
В
4. Знайди НСД ( x3 y2 ; x5 yz3 ).
А
Б
В
Г
x 3 y2 ;
x3 y ;
x 3 y2 z ;
інший варіант відповіді: ______.
III. Виконай у робочому зошиті.
1. Зведи алгебраїчні дроби до найменшого спільного знаменника.
3c
c+3
x −2
2y
а)
і
;
б)
і
;
2
2
xy − y
xy + y
cd + d
cd − d
4 − 2x + x2
2−x
в)
і
.
2
2x − x
2x + x2
2. Спрости вираз.
b2 − 10b + 25 b2 − 25 b + 5
а)
;
:
⋅
5b − 10
2b − b2 5b
a3 + 8 a2 + 4a + 4 a2 − 2a + 4
:
:
.
3a − 6
a2 − 4
a2 − 2a
3. Розв’яжи задачу.
Легковий автомобіль проїхав 450 км, а вантажний — 350 км за той самий час.
З якою швидкістю їхав легковий автомобіль, якщо його швидкість на 20 км/год
більша за швидкість вантажного автомобіля?
б)
87
Урок
21
КОРИГУВАННЯ ТА ВІДПРАЦЮВАННЯ НАВИЧОК
З ТЕМИ «МНОЖЕННЯ Й ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ.
ПІДНЕСЕННЯ РАЦІОНАЛЬНОГО ДРОБУ ДО СТЕПЕНЯ»
1. Перевірка домашнього завдання.
2. Аналіз самостійної роботи 6.
3. Пригадай за інтелект-картою, як виконують множення, ділення та піднесення до степеня раціональних дробів. Перевір себе за картою знань 28A.
ДІЇ НАД АЛГЕБРАЇЧНИМИ ДРОБАМИ
Піднесення до степеня
n
An
 A
,
=
 
B
Bn
де A і B — многочлени
стандартного вигляду;
B ≠ 0 ; n — натуральне
число.
Множення
A C
A⋅C
,
⋅
=
B D B⋅ D
де A, B, C і D — многочлени стандартного
вигляду; B ≠ 0 , D ≠ 0 .
Ділення
A C
A D A⋅D
,
:
=
⋅
=
B D B C
B⋅C
де A, B, C і D — многочлени стандартного
вигляду; B ≠ 0 ; C ≠ 0 ;
D ≠ 0.
 Виконай дії.
a + b d2c
а)
=
⋅
c a+b 2
 −3a2b 
б) 
=
 c4 
kc4 kc
в) 3 : 3 =
b
b
г)
a2 − b2 3d 4
=
⋅
d4
a+b 5
 a 2 b3 
д)  −
=
c 

е)
4 ( a + b ) a 2 − b2
:
=
a3
a7
4. Виконай завдання.
I рівень (A)
1) Виконай множення.
4x y
⋅
=
y2 2x 7 p6
в)
⋅ 22 p3 =
11
2
2
a − b 6a
д)
=
⋅
4
a+b а)
88
24x2 y 35a2
⋅ 2 =
15a
x
5
4a + 4b 12c
г)
=
⋅
6c3
3a + 3b б)
2) Подай вираз у вигляді дробу.
2
 3x2 
а)  −
=
 y  3
 a5 b 
б)  2  =
 c  3
 2b4 
в)  − 3  =
 3c  3) Виконай ділення.
18 16
а)
:
=
m 9 m3 б)
x + 2y x + 2y
: 4 2 =
a 2b
ab
в)
3m2
9
:
=
7 14m г)
3a − 6
1
:
=
a − 4a + 4 a + 2 д)
4x2 − 20x
: ( x − 5) =
5x6
2
II рівень (B)
1) Виконай множення.
xy − y2 2x
а)
⋅ 3 =
6
y
б)
4x5 y6 15a9
⋅
=
5a7 8xy6 в)
x2 − 49 x2 − 25
⋅
=
x2 − 5x x2 + 7x г)
a − 5 7a + 21
⋅
=
3a + 9 5a − a2 2) Подай вираз у вигляді дробу.
2
 a + b
а)  − 2  =
 x y 3
 2x3n 
б)  4n  , якщо n ∈ N:
 y 
3
 2a5 
в)  − 3  =
 3b  89
3) Виконай ділення.
54a4 p5
а) 27a8 p10 :
=
7k3
2
x − 1 9x − 9
б)
:
=
6x + 6y 4x + 4y в)
a3 + 27 a2 + 3a
:
=
a −1
2a − 2 III рівень (C)
1) Виконай множення.
10a2 − 60a + 90 a3 + 1
а) ⋅
=
8a2 − 8a + 8 5a2 − 45 3x3 0,1m3
б) 20m ⋅
⋅
=
10m10 9x9
5
2) Подай вираз у вигляді дробу.
2
3
 5a4b3   2x4 
а)  −
=
⋅ −
 3x7   5a2b7   5a6 ( x + y ) 
б)  −
 =
2x


3
3) Виконай ділення.
7x4 y10 42x2 y5 11y3x8
а) =
:
:
18m2n 33m5n6 6xm4
xn +2 yn xn −1yn +1
б) n −3 : 2n −3 , якщо n ∈ N:
a
a
a3 − b12
4a2 + 4ab4 + 4b8
в) 6
=
:
6x − 54y12
6x3 + 18y6
4) Знайди значення виразу x2 +
9
3
, якщо x + = 8 .
2
x
x
 Робота з корекційними картками 3 (А–В–С).
90
УРОК 21
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
I. Повтори навчальні одиниці, вивчені на попередніх уроках.
II. Виконай тестові завдання.
( )
4
1. Піднеси до степеня a2b ⋅ b3 .
А a6b4;
Б a8b3;
В a8b7;
Г інший варіант відповіді: __________.
2. Виконай множення 4a + 2b
6
.
⋅
8
2a + b
3
;
2
(2a + b) ⋅ 3 ;
Б
4
3
В
(a + 2b) ;
4
Г інший варіант відповіді: __________.
А
3. Виконай ділення 5 p6 :
25 p18
.
3m
3m
;
5 p3
3m
Б
;
5 p12
5 p12
В
;
3m
Г інший варіант відповіді: __________.
А
III. Виконай у робочому зошиті.
1. Спрости вираз.
mn3 − m2n
а)
;
mn
a2 + ab
б)
;
ab
x2 + 6x + 9 x2 + 7x
в)
;
⋅
x
x+3
г)
2a2 + 18 3a2 + 27
.
:
a2 − 9
9 − a2
2. Розв’яжи задачу.
Мотоцикліст проїжджає 270 км за той самий час, що велосипедист 150 км.
Знайди швидкість велосипедиста, якщо вона на 20 км/год менша від швидкості
мотоцикліста.
91
Урок
22
ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ
З ОДНАКОВИМИ ЗНАМЕННИКАМИ
Рахунок та обчислення — основа порядку в голові.
Йоганн Генріх Песталоцці
1. Прочитай епіграф. Поясни, як ти розумієш вислів відомого швейцарського педагога Песталоцці.
2. Розглянь інтелект-карту. Пригадай, як виконують додавання та віднімання звичайних дробів. Наведи приклади.
ДОДАВАННЯ/ВІДНІМАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ
З однаковими знаменниками
a b a±b
± =
c c
c
З різними знаменниками
a d ac ± bd
± =
b c
bc
 Сформулюй алгоритм додавання та віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками. Перевір себе за допомогою презентації.

3. Обчисли усно. Запиши відповідь.
5 1
3 2
а) + =
б) + =
7 7 ____
5 5 ____
в)
8
5
−
=
10 10 ____
г)
18 11
−
=
49 49 ____
4. Запам’ятай інформацію в рамочці. Відтвори з пам’яті.
Додавання/віднімання раціональних дробів виконують аналогічно додаванню/
відніманню звичайних дробів.
Алгоритм додавання/віднімання раціональних дробів
1.  Залиши знаменник той самий.
2.  Додай/відніми чисельники поданих дробів та отриману суму/різницю
запиши в чисельнику.
3.  Скороти отриманий дріб, якщо це можливо.
A B A±B
± =
C C
C
 Обчисли за зразком.
2a 3a 2a + 3a 5a
Зразок:
.
=
+
=
7
7
7
7
5a 2a
а)
+
=
11 11 a 2a
в)
+
=
7 7 14b2 9b2
д)
−
=
5
5
3p p
−
=
21 21 5
7
1
г)
−
−
=
3m 3m 3m б)
3 p2 7 p2
е)
−
=
10c 10c  Виконай завдання алгебраїчного тренажера 2.
92
5. Обчисли за зразком.
3a − b 2a − 3b 3a − b + (2a − 3b) 3a − b + 2a − 3b 5a − 4b
Зразок:
.
+
=
=
=
11
11
11
11
11
а)
2a − 1 a + 4
+
=
2
2
б)
c + 3 5c
+
=
2
2 в)
3n − k 5n + 2k
+
=
7
7
г)
m m− p
+
=
p
p
6. Пригадай інформацію в рамочці. Відтвори з пам’яті.
Знак «–» перед дужками змінює знак кожного доданка на протилежний.
–(a + b – c) = –a – b + c
 Обчисли за зразком.
11x − 5 11x − 7 11x − 5 − (11x − 7) 11x − 5 − 11x + 7 2
Зразок:
.
−
=
=
=
23
23
23
23
23
а)
8x − 3 7 − 8x
−
=
y +1
y +1 б)
6k + 1 3 − 2k
−
=
4−n 4−n в)
2d + 1 d − 7
−
=
c −3 c −3 г)
x + c x − 2c
−
=
3a
3a
7. Пригадай за картою знань 10А формули скороченого множення. Виконай дії за зразком.
x2
16
x2 − 16 (x − 4)(x + 4)
= x+4.
Зразок:
−
=
=
x−4 x−4
x−4
x−4
а)
x2
y2
−
=
x+y x+y б)
5p
5q
+ 2
=
2
p −q
p − q2 в)
b
5
+ 2
=
b − 25 b − 25 2
2
m2
n2
г)
−
=
m+n m+n 93
8. Пригадай інформацію в рамочці. Відтвори з пам’яті.
Тотожністю є рівність, правильна за будь-яких допустимих значень змінної.
Заміна виразу тотожно рівним йому виразом є тотожним перетворенням.
До тотожних перетворень належать розкриття дужок, винесення спільного
множника за дужки, зведення подібних доданків.
Довести тотожність означає встановити, що два вирази тотожно рівні.
 Доведи тотожність.
b2
2b2 + 1 2(2b2 + 1)
а)   2
+ 2
−
= −1 ;
b +1 b +1
b2 + 1
3c2 + 4 2(c2 + 2) c2 + 3
б)   2
−
+
= 1.
2c + 3 2c2 + 3 2c2 + 3
9. Доведи, що вираз:
x2 − 3
5x − 1
x+6
а)
−
+
4
4
(x − 2)4
(x − 2)
(x − 2)
додатних значень;
2 − y2
7 − 5y
4−y
−
−
4
4
(y − 3) (y − 3) (y − 3)4
від’ємних значень.
б)
94
при всіх допустимих значеннях змінної набуває
при всіх допустимих значеннях змінної набуває
УРОК 22
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
I. Переглянь презентацію та повтори навчальні одиниці, вивчені
на уроці, щоб розповісти їх під час перевірки домашнього завдання.
II. Перевір себе. Виконай тестові завдання.
1. Познач вираз, що є алгебраїчним дробом.
7
А
;
b
b +7
Б
;
7
b2 − 2b + 4
В
;
7
7 − 2d
Г
.
7
2. Визнач, яка з рівностей є тотожністю.
А 2 · x = 2;
Б 3c – c = 3c;
В ab = ba;
Г a + c = 2ac.
1
6
3. Чому дорівнює сума дробів та ?
7
7
А 1;
Б 7;
6
В
;
7
Г інший варіант відповіді: ___________.
4. Познач хибну рівність.
А –(a – b) = –a + b;
Б –(a – b) = –a – b;
В –(a + b) = –a – b;
Г –(–a + b) = a – b.
III. Виконай у робочому зошиті.
Виконай додавання/віднімання раціональних дробів.
x−y x+y
m+3 m −3
а)
;
б)
;
+
+
z
z
n
n
5a + 4 8 − 4a
a
1
в)
;
г)
;
+
−
23
23
a −1 a −1
7 + z2 3z2 + 9
c
3
д)
;
е) 2
;
−
+ 2
z+5
z+5
c −9 c −9
a2
9
y2
25x2
ж)
;
з)
;
−
−
y − 5x y − 5x
a −3 a −3
2
2x
и)
.
−
2
1 − x 1 − x2
95
ВІДПОВІДІ
Урок 13
32
24
9. а) 4,8 крб; б) 7 км/год; в) 14 км/год; г) t =
.
+
x
−
2
x
+
2
ДЗ Розділ ІІІ. 2. 1 год 15 хв.
Урок 14
ДЗ Розділ ІІІ. 3. 2 год.
Урок 15
3−a
3
ДЗ Розділ ІІІ. 1. а)
; б) 5; в)
.
3+ a
2+ a
3. Побудувати графік y = x + 2, x ≠ –2.
ДЗ Розділ ІІІ. 3. 25 місць.
Урок 16
Урок 18
4
7. .
9
ДЗ Розділ ІІІ. 3.
3
.
7
Урок 19
y −3
1
a
3a3
ДЗ Розділ ІІІ. 1. а)
; б)
; в)
; г)
. 3. а) 4; –6; б) 0; –2; в) коре7
7
x
−
2
b
8
b
нів немає.
Урок 20
7. 15 деталей.
ДЗ Розділ ІІІ. 3. 90 км/год.
Урок 21
ДЗ Розділ ІІІ. 2. 25 км/год.
Урок 22
8k − 2
d+8
c
16x − 10
6. а)
; б)
; в)
; г)
.
4−n
y +1
c−3
a
Урок 23
2a + 1
1 + 2a
1
3x − 2
5a − 1
5x
6. а)
; б)
; в) 2; г)
. 8. а)
; б)
; в)
.
2a − 1
2a − 1
4−x
3x + 2
5a + 1
x−y
ДЗ Розділ ІІІ. 3. 80 пакетів.
Урок 24
ДЗ Розділ ІІІ. 2. 6 жердин, 25 голубів.
128