norma
española
UNE 58132-2
Febrero 2005
TÍTULO
Aparatos de elevación
Reglas de cálculo
Parte 2: Solicitaciones y casos de solicitaciones que deben
intervenir en el cálculo de las estructuras y de los mecanismos
Lifting appliances. Rules for the design. Part 2: Design stresses and stress cases for the calculation of
structures and mechanisms.
Appareils de levage. Règles de calcul. Partie 2: Sollicitations et cas de sollicitations à considerer dans le
calcul des mecanismes et des structures.
CORRESPONDENCIA
OBSERVACIONES
Esta norma anula y sustituye a la Norma UNE 58132-2 de septiembre de 2000.
ANTECEDENTES
Esta norma ha sido elaborada por el comité técnico AEN/CTN 58 Maquinaria de
Elevación y Transporte cuya Secretaría desempeña AEM.
Editada e impresa por AENOR
Depósito legal: M 9167:2005
LAS OBSERVACIONES A ESTE DOCUMENTO HAN DE DIRIGIRSE A:
 AENOR 2005
Reproducción prohibida
C Génova, 6
28004 MADRID-España
39 Páginas
Teléfono
Fax
91 432 60 00
91 310 40 32
Grupo 20
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
S
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
-3-
UNE 58132-2:2005
ÍNDICE
Página
1
OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN .........................................................................
4
2
NORMAS PARA CONSULTA..........................................................................................
4
3
SOLICITACIONES Y CASOS DE SOLICITACIONES ...............................................
4
3.1
Solicitaciones a considerar en el cálculo de las estructuras.............................................
4
3.2
Casos de solicitaciones a considerar en el cálculo de las estructuras..............................
15
3.3
Influencias sísmicas.............................................................................................................
17
3.4
Solicitaciones a considerar en el cálculo de los mecanismos............................................
17
3.5
Casos de solicitaciones a considerar en el cálculo de los mecanismos ............................
18
4
CORRESPONDENCIA CON OTRAS NORMAS...........................................................
21
ANEXO A
ANEXO B
ARMONIZACIÓN ENTRE LAS CLASES DE UTILIZACIÓN
DE LAS MÁQUINAS Y DE LOS MECANISMOS..............................................
22
CÁLCULO DE LAS SOLICITACIONES DEBIDAS A LAS
ACELERACIONES DE LOS MOVIMIENTOS HORIZONTALES.................
27
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
-4-
1 OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN
Esta norma proporciona las reglas que han de seguirse para la definición y la combinación de solicitaciones que se han
de considerar en el cálculo de las estructuras y de los mecanismos de los aparatos de elevación en general con
excepción de las grúas móviles; de los aparatos de elevación accionados a mano y los polipastos.
2 NORMAS PARA CONSULTA
UNE 58112-1 − Grúas y aparatos de elevación. Clasificación. Parte 1: General.
UNE 58112-3 − Grúas y aparatos de elevación. Clasificación. Parte 3: Grúas torre.
UNE 58112-4 − Grúas y aparatos de elevación. Clasificación. Parte 4: Grúas de pluma.
UNE 58112-5 − Grúas y aparatos de elevación. Clasificación. Parte 5: Grúas puente y pórtico.
UNE 58113 − Grúas. Acción del viento.
UNE 58118 − Aparatos de elevación. Código y métodos de ensayo.
UNE 58121 − Aparatos pesados de elevación. Aparatos de elevación distintos a las grúas móviles y grúas flotantes.
Exigencias generales relativas a la estabilidad.
UNE 58132-1 − Aparatos de elevación. Reglas de cálculo. Parte 1: Clasificación. Símbolos y denominaciones utilizadas.
3 SOLICITACIONES Y CASOS DE SOLICITACIONES
3.1 Solicitaciones a considerar en el cálculo de las estructuras
Mediante el cálculo de las estructuras se determinan las tensiones producidas en un aparato durante su funcionamiento.
Para la realización de este cálculo, se deben considerar las solicitaciones siguientes:
a) Las solicitaciones principales actuando sobre la estructura del aparato supuesto inmóvil, en el estado de carga más
desfavorable.
b) Las solicitaciones debidas a los movimientos verticales.
c) Las solicitaciones debidas a los movimientos horizontales.
d) Las solicitaciones debidas a los efectos climáticos.
A continuación se examinan las diversas solicitaciones, los coeficientes de mayoración a adoptar y el método práctico
de llevar a cabo los cálculos.
En lo sucesivo se define como:
a) Carga de servicio: Peso de la carga útil, más el peso de los accesorios (aparejos, ganchos, vigas de carga, cuchara, etc,...).
b) Peso propio: Peso de las piezas que actúan sobre un elemento, con exclusión de la carga de servicio.
3.1.1 Solicitaciones principales. Las solicitaciones principales comprenden:
a) Las solicitaciones debidas a los pesos propios de los elementos SG.
b) Las solicitaciones debidas a la carga de servicio: SL.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
-5-
UNE 58132-2:2005
Los elementos móviles se suponen en la posición más desfavorable.
Cada elemento de estructura debe calcularse para la posición del aparato y el valor de la carga elevada (comprendida
entre cero y la carga de servicio) que dé lugar en el elemento considerado a las tensiones máximas.
En algunos casos la tensión máxima puede corresponder a la ausencia de la carga de servicio.
3.1.2 Solicitaciones debidas a los movimientos verticales. Estas solicitaciones provienen del levantamiento más o
menos brusco de la carga de servicio, de las aceleraciones (o deceleraciones) en el movimiento de elevación y de los
choques verticales debidos a la rodadura sobre las vías.
3.1.2.1 Solicitaciones debidas a la elevación de la carga de servicio. Se tiene en cuenta las oscilaciones provocadas
por la elevación de la carga, multiplicando las solicitaciones debidas a la carga de servicio por un factor llamado
"coeficiente dinámico Ψ".
3.1.2.1.1 Valores del coeficiente dinámico Ψ. El valor coeficiente dinámico Ψ a aplicar en las solicitaciones debidas a la
carga de servicio viene dada por la expresión:
ψ = 1+ ξ VL
donde
VL
es la velocidad de elevación en m/s y
ξ
un coeficiente experimental, resultando de numerosas mediciones efectuadas en diferentes tipos de aparatos.
Se toma:
ξ = 0,6 para las grúas puente y pórtico.
ξ = 0,3 para las grúas de pluma.
El valor máximo de la velocidad de elevación a considerar para la aplicación de esta fórmula es de 1 m/s.
Para velocidades superiores, el coeficiente dinámico permanece constantes.
El valor del coeficiente ψ a aplicar en los cálculos no puede ser inferior a 1,15.
Los valores de ψ se dan en función de las velocidades de elevación VL según la figura 1.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
-6-
Fig. 1 − Valores de ψ = f (VL)
NOTA − El coeficiente ξ indicado, es diferente según se trate de grúas puente y pórtico o de grúas pluma.
El coeficiente dinámico ψ es, a igualdad de los demás factores, menor, cuando la fuerza de elevación actúa sobre un
elemento de la estructura que presenta una cierta flexibilidad, como en el caso de las grúas de pluma, elemento éste que
es siempre como rígido.
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede ampliar la aplicación del coeficiente ψ determinado para las grúas de pluma a
otros aparatos, como por ejemplo, los pórticos con parte en voladizo, para los casos de cálculo correspondientes a la
carga actuando sobre el voladizo, y se debe aplicar el valor ψ previsto para las grúas puente, a aquellos casos de cálculo
en que la carga se aplica entre las patas del aparato, cuya rigidez en esta parte puede ser comparable a la de una viga de
grúa puente.
3.1.2.2 Solicitaciones debidas a las aceleraciones (o deceleraciones) de los movimientos de elevación y a los choques
verticales debidos a la rodadura sobre las vías. El coeficiente Ψ tiene en cuenta la elevación más o menos brusca de
la carga de servicio, que constituye el choque más importante. Las solicitaciones debidas a las aceleraciones (o deceleraciones), del movimiento de elevación se desprecian, así como las reacciones verticales debidas a la rodadura sobre
las vías correctamente montadas.
NOTA − Se supone que las uniones de los raíles, están en buen estado. Los inconvenientes presentados por un mal estado del camino de rodadura,
son tan sensibles sobre los aparatos de elevación tanto para la estructura como para los mecanismos, que hacen necesario fijar en principio
que las juntas de los carriles, deban mantenerse en buen estado, al no estar considerado ningún coeficiente de choque que tenga en cuenta
los deterioros producidos por las juntas defectuosas. La mejor solución para los aparatos rápidos es la de soldar a tope los carriles de
rodadura a fin de suprimir completamente los choques debidos al paso sobre las juntas.
3.1.2.3 Caso particular. Para ciertos aparatos, las solicitaciones debidas al peso propio y aquellas debidas a la carga
de servicio son de signos contrarios, y conviene en este caso comparar la solicitación "aparato en carga", con la
aplicación del coeficiente dinámico Ψ sobre la carga de servicio y la solicitación "aparato vacío", teniendo en cuenta las
oscilaciones provocadas al depositar la carga que se toma en consideración, de la manera siguiente:
Llamemos:
SG el valor algebraico de las solicitaciones debidas al peso propio.
SL
el valor algebraico de las solicitaciones debidas a la carga de servicio.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
-7-
UNE 58132-2:2005
Se determina la solicitación total mayorada, al depositar la carga por la expresión:
SG − SL
F Ψ − 1I
H 2 K
que conviene comparar con las solicitaciones "aparato en carga" determinadas por la expresión:
SG + Ψ SL
calculándose el elemento con el más desfavorable de estos dos valores.
NOTA − Esta fórmula está basada en el hecho de que el coeficiente dinámico determina el valor de la amplitud máxima de las oscilaciones que se
originan en la estructura en el momento de la elevación de la carga. La amplitud de esta oscilación tiene por valor:
SL ( Ψ − 1)
Cuando se deposita la carga, se admite que la amplitud de la oscilación que se origina en la estructura es la mitad de la
provocada en el momento de la elevación.
El estado de carga final, es por lo tanto en este caso:
SG − SL
F Ψ − 1I
H 2 K
que se debe comparar al estado de carga:
SG + Ψ SL
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
-8-
Fig. 2 − Curva de elevación y descenso de la carga cuando SL y SG son de signos contrarios
3.1.3 Solicitaciones debidas a los movimientos horizontales
3.1.3.1 Reacciones transversales debidas a la rodadura. El ejemplo que a continuación se indica representa un
método para analizar las cargas debidas a la oblicuidad.
3.1.3.1.1 Modelo de aparato. Para poder estimar los esfuerzos tangenciales entre las llantas de las ruedas y los
carriles, así como los existentes entre los medios activos de guiado, debidos ambos a la oblicuidad del aparato de
elevación, es necesario establecer un simple modelo mecánico de traslación. Se supone el aparato desplazándose a
velocidad constante y desprovisto de accionamiento antioblicuidad.
El modelo se compone de "n" pares de ruedas en línea, en donde "p" pares están acoplados. Un par individual (i) de
ruedas puede definirse como acoplada (c) mecánica o eléctricamente, o montada independientemente (I) una de la otra
tal y como se indica en las combinaciones posibles de ruedas presentadas en sentido transversal en la figura 3. Esta
última condición es igualmente válida en el caso de mecanismos simples independientes.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
-9-
UNE 58132-2:2005
Fig. 3 − Diferentes combinaciones de pares de ruedas
Las ruedas se colocan en posiciones geométricas ideales de una estructura rígida del aparato de elevación trasladándose
sobre un carril rígido. Se consideran en este modelo despreciables las diferencias de diámetros de las ruedas. Las ruedas
estarán fijas (F) o móviles (M) con relación al desplazamiento lateral. El grado de libertad lateral puede, por ejemplo,
asegurarse mediante un brazo articulado.
En la figura 4 las posiciones relativas de los pares de ruedas respecto a la posición de los medios de guiado en la parte
delantera del aparato en traslación vienen expresadas por la distancia di.
NOTA − Cuando se utilicen ruedas con pestaña en lugar de un dispositivo de conducción externo, d1 = 0.
Se supone que las fuerzas de la gravedad debidas a la masa del equipo cargado (mg) se sitúa a una distancia µl del carril 1
y se reparten regularmente entre las n ruedas situadas a cada lado del camino de rodadura del aparato de elevación.
Fig. 4 − Posiciones de los pares de ruedas
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 10 -
3.1.3.1.2 Relación entre las fuerzas tangenciales y los desplazamientos. Es, en cualquier caso necesario adoptar una
relación entre las fuerzas tangenciales y los desplazamientos correspondientes que se producen entre la rueda y el carril.
De hecho, la rueda transmite al carril el par de arrastre (My) y su desplazamiento está limitado por el sistema (aparato de
elevación y camino de rodadura) que se desliza en las direcciones lateral y longitudinal [u(ux, uy)]; de las fuerzas
tangenciales correspondientes (Fx, Fy) actuando sobre el aparato de elevación (véase figura 5).
Fig. 5 − Fuerzas tangenciales y desplazamientos
En general, existe una relación entre las distancias de deslizamiento (ux, uy), la distancia teórica de rodadura rΨ, la carga
de rueda FZ y las fuerzas tangenciales (Fx, Fy), tal y como se indica en las siguientes ecuaciones:
Fx = fx (sx, sy, pc, estado de la superficie) · FZ
Fy = fy (sx, sy, pc, estado de la superficie) · FZ
Los coeficientes de rozamiento de la rueda (fx, fy) dependen del deslizamiento, es decir, de la relación entre el deslizamiento y las distancias teóricas de rodadura (sx = ux /rΨ; sy = uy /rΨ); de la presión de contacto entre la rueda y el carril (pc)
y del estado de la superficie del carril. Para simplificar el cálculo pueden utilizarse las relaciones empíricas siguientes:
LM b g OP , para s ≤ 0,015
Q
N
L d−250. s i OP , para s ≤ 0,015
fy = 0,3 M1 − e
Q
N
fx = 0,3 1 − e
−250. s x
x
y
y
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 11 -
UNE 58132-2:2005
3.1.3.1.3 Cargas debidas a la oblicuidad (marcha atrás). Se supone que el modelo de aparato de elevación se
traslada a velocidad constante inclinado un ángulo α, tal y como se indica en la figura 6. El aparato de elevación puede
ser dirigido bien mediante dispositivos externos o bien mediante las pestañas de las ruedas.
Fig. 6 − Cargas actuantes sobre el aparato de elevación en posición oblicua
Una fuerza de guiado Fy está equilibrada con las fuerzas tangenciales de las ruedas Fx1i; Fy1i; Fx2i; Fy2i debidas al giro del
aparato de elevación alrededor del polo instantáneo de deslizamiento. Con el máximo deslizamiento lateral sy = α al
nivel del dispositivo de guiado y la distribución lineal de deslizamiento lateral syi entre el dispositivo de guiado y el polo
instantáneo de deslizamiento, las fuerzas de oblicuidad correspondientes pueden calcularse de la forma siguiente:
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 12 -
a) Distancia "h" entre el polo instantáneo de deslizamiento y los medios de guiado.
(
Para los sistemas F/F, h = pµµ ' l 2 +
(
Para los sistemas F/M, h = pµl 2 +
∑ d2i ) / ∑ di
∑ d2i ) / ∑ di
donde
p
es el número de pares de ruedas acopladas;
µ
es la distancia entre el polo instantáneo de deslizamiento y el carril 1;
µ'
es la distancia entre el polo instantáneo de deslizamiento y el carril 2;
l
es la vía del aparato;
di
es la distancia entre el par de ruedas i y los medios de guiado.
b) Esfuerzo Fy de guiado
Fy = υfmg
donde:
υ = 1 - Σdi / nh
para los sistemas F/F;
υ = µ' (1 - Σdi / nh)
para los sistemas F/M;
f = 0,3 (1 − e-250α)
donde α < 0,015 rad;
mg = fuerza de la gravedad debida a la masa del aparato cargado;
n = nº de ruedas del aparato de elevación a cada lado del camino de rodadura.
3.1.3.1.4 Fuerzas tangenciales Fx y Fy
Fx1i = ξ1ifmg
Fy1i = υ1ifmg
Fx2i = ξ2ifmg
Fy2i = υ2ifmg
donde f y mg se dan en el apartado 3.1.3.1.3b) anterior.
ξ1i; ξ2i; υ1i; υ2i, se dan en la tabla 1.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 13 -
UNE 58132-2:2005
Tabla 1
Valores de ξ1i; ξ2i; υ1i y υ2i
Combinaciones de pares
de ruedas (véase figura 3)
ξ1i = ξ2i
CFF
µµ'l/nh
IFF
0
CFM
µµ'l/nh
IFM
0
υ1i
F
H
d
µ'
1− i
n
h
υ2i
I
K
F
H
d
µ
1− i
n
h
I
K
0
3.1.3.1.5 Ángulo α de oblicuidad. El ángulo α de oblicuidad que debe ser ≤ 0,015 rad, debe elegirse teniendo en
cuenta el juego entre los medios de guiado y el carril así como una variación dimensional razonable debida al uso de las
ruedas del aparato de elevación y el carril. Dicho ángulo α se determinará de la forma siguiente:
α = αg + αw + αt
donde
αg = sg/wb
es la parte del ángulo de oblicuidad debida al juego de los medios de guiado;
sg
es el juego de los medios de guiado;
wb
es la distancia entre los medios de guiado;
αw = 0,1(b/wb)
es la parte del ángulo de oblicuidad debida al desgaste;
b
es la anchura de la cabeza del carril;
αt = 0,001 rad
es la parte del ángulo de oblicuidad debida a las tolerancias.
3.1.3.2 Efectos del choque, ST. Se consideran dos casos:
a) que el choque se produzca sobre la estructura;
b) que el choque se produzca sobre la carga suspendida.
3.1.3.2.1 Choque sobre la estructura. Se deben distinguir dos casos:
a) aquel en que la carga suspendida puede balancearse;
b) aquel en que unas guías rígidas impiden el balanceo de la carga.
3.1.3.2.1.1 En el primer caso se aplican las reglas siguientes:
1) Para velocidad de desplazamiento horizontal inferior a 0,4 m/s no se tiene en cuenta el efecto de colisión.
2) Para la velocidad de desplazamiento superior a 0,4 m/s se tienen en cuenta las reacciones provocadas en la
estructura por el choque sobre los topes.
3) Se admite que el tope es capaz de absorber la energía cinética del aparato (sin carga de servicio) a una fracción de la
velocidad nominal de traslación de 0,7 Vt.
4) Los esfuerzos que resultan en la estructura se calculan en función de la deceleración que el tope utilizado impone al
aparato.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 14 -
En caso de velocidades elevadas, (superiores a 1 m/s) la utilización de ralentizadores entrando en acción en la proximidad de los extremos de los caminos de rodadura se autoriza con la reserva de que la acción de estos ralentizadores se
ejerza automáticamente y que ellos impongan al aparato una deceleración efectiva, reduciendo en cualquier circunstancia antes de la llegada a los topes la velocidad de traslación a la velocidad reducida prevista.
Es este caso se toma como valor de Vt para el cálculo del tope la velocidad reducida obtenida por la acción del ralentizador.
Se debe utilizar un dispositivo seguro y eficaz. Un simple interruptor de final de carrera que corta la corriente del motor
de traslación es insuficiente para considerar el choque a la velocidad reducida.
3.1.3.2.1.2 En el segundo caso en que la carga no puede balancearse, se comprueba el efecto de colisión de la misma
manera, pero teniendo en cuenta, en este caso, el valor de la carga de servicio.
3.1.3.2.2 Choque sobre la carga suspendida. No se consideran los choques debidos a las colisiones de la carga con
obstáculos fijos nada más que para los aparatos en los que la carga está guiada rígidamente. En este caso se toman en
consideración las solicitaciones provocadas por tal choque.
El cálculo de estas solicitaciones puede hacerse considerando el esfuerzo horizontal capaz de provocar el levantamiento
de dos de las ruedas del carro, aplicado a la altura de la carga.
3.1.4 Solicitaciones debidas a los efectos climáticos. Las solicitaciones debidas a los efectos climáticos son las que
resultan de la acción del viento, de las sobrecargas de la nieve y de las variaciones de temperatura.
3.1.4.1 Efecto del viento. Véase lo indicado en la Norma UNE 58113 excepto para las condiciones de fuera de
servicio que a continuación se detallan.
3.1.4.1.1 Viento fuera de servicio. Se trata de un viento (tempestad) máximo para el cual el aparato de elevación
estará concebido para permanecer estable en las condiciones fuera de servicio, indicadas por el fabricante. La velocidad
varía con la altura del aparato sobre el nivel del suelo circundante, el emplazamiento geográfico y el grado de
exposición a los vientos predominantes. Para los aparatos de elevación utilizados al aire libre, la presión del viento
teórico normal y la velocidad correspondiente para las condiciones "fuera de servicio" se indican en la tabla.
Tabla 2
Presiones fuera de servicio
Altura sobre el suelo
Presión del viento
fuera de servicio
Velocidad aproximada equivalente
del viento fuera de servicio
m
N/m2
m/s
0 a 20
800
36
20 a 100
1 100
42
más de 100
1 300
46
Para calcular las cargas debidas al viento en las condiciones "fuera de servicio", la presión del viento puede ser considerada
constante en el intervalo de altura vertical que figura en la tabla 2. Alternativamente la presión teórica del viento sobre el
extremo superior del aparato de elevación puede ser considerado como constante toda la altura del aparato.
Si los aparatos son instalados fijos o utilizados durante largos períodos en un punto donde las condiciones de viento son
excepcionalmente severas, los citados valores pueden ser modificados por acuerdo entre el usuario y el fabricante
teniendo en cuenta un estudio de los datos meteorológicos locales.
Para ciertos tipos de aparatos donde la pluma puede ser rápidamente bajada (tales como las grúas torre replegables por
medio de un mecanismo incorporado) el viento fuera de servicio puede no considerarse a condición de que el aparato
sea definido para ser replegado a cada final de jornada de trabajo.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 15 -
UNE 58132-2:2005
3.1.4.2 Sobrecarga de nieve. No se tienen en cuenta las sobrecargas de nieve en el cálculo de los aparatos de elevación.
3.1.4.3 Variaciones de temperatura. Las solicitaciones debidas a las variaciones de temperatura no se consideran
más que en casos particulares, entre otros, cuando los elementos no pueden dilatarse libremente.
En estos casos se toma como límite de temperatura extrema de - 20 ºC a + 45 ºC.
3.1.5 Solicitaciones diversas
3.1.5.1 Cargas soportadas por los accesos y pasarelas. Para el dimensionado de las pasarelas de acceso, cabinas de
conducción, plataformas, etc. se consideran como cargas concentradas:
a) 3 000 N para los accesos y pasarelas de mantenimiento donde pueden depositarse materiales;
b) 1 500 N para los accesos y pasarelas destinados únicamente al paso del personal;
c) 300 N de empuje horizontal sobre las barandillas y rodapiés.
Estas cargas no se tendrán en cuenta en el cálculo de las vigas.
3.2 Casos de solicitaciones a considerar en el cálculo de las estructuras
Se consideran en los cálculos tres casos de solicitaciones:
Caso I: Servicio normal sin viento.
Caso II: Servicio normal con viento límite de servicio.
Caso III: Solicitaciones excepcionales.
Calculadas las diversas solicitaciones según se indica en el apartado 3.1, se tiene en cuenta cierta probabilidad de
superar la tensión calculada debido a imperfecciones de cálculo o a imprevistos, mediante la aplicación de un coeficiente de mayoración γc dependiente del grupo en el que está clasificado el aparato.
Los valores de este coeficiente se indican en el apartado 3.2.4.
3.2.1 Caso I. Aparato en servicio sin viento. Se consideran las solicitaciones estáticas debidas al peso propio SG, las
solicitaciones debidas a la carga de servicio SL multiplicadas por el coeficiente dinámico Ψ y los dos efectos
horizontales más desfavorables SH entre los definidos en el apartado 3.1.3 con exclusión de los efectos de choque.
El conjunto de estas solicitaciones, deberá multiplicarse por el coeficiente de mayoración γc especificado en la tabla 1, o sea:
γc(SG + ΨSL + SH)
En el caso en que la traslación sea un movimiento de situación, no utilizado normalmente para los desplazamientos de
las cargas, el efecto de este movimiento no se combina con otro movimiento horizontal. Es el caso, por ejemplo, de una
grúa de puerto que una vez situada efectúa las operaciones de manutención en un punto fijo.
3.2.2 Caso II. Aparato en servicio con viento. A las solicitaciones del caso I se añaden los efectos del viento límite
de servicio SW definido en el apartado 4.1 de la Norma UNE 58113 (véase la tabla 1), y en caso necesario, la
solicitación debida a la variación de temperatura, resultando:
γc(SG + ΨSL + SH) + SW
NOTA − Los efectos dinámicos de aceleración y deceleración no tienen los mismos valores en el caso II que en el caso I, porque al soplar el viento
los tiempos de arranque o de frenado no son los mismos que con el viento en calma.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 16 -
3.2.3 Caso III. Aparato sometido a solicitaciones excepcionales. Las solicitaciones excepcionales corresponden a
los siguientes casos:
a) aparato fuera de servicio con viento máximo;
b) aparato en servicio bajo el efecto de un choque;
c) aparato sometido a los ensayos previstos en la Norma UNE 58118.
Se considerará la mayor de las combinaciones siguientes:
a) solicitación SG debida al peso propio aumentada con la SW máx. debida al viento máximo fuera de servicio (incluidas
las reacciones de los anclajes);
b) solicitación SG debida al peso propio y SL debida a la carga de servicio a la que se añade el mayor de los efectos de
choque ST previstos en el apartado 3.1.3.2;
c) solicitación SG debida al peso propio aumentada en la mayor de las dos solicitaciones Ψρ1SL y ρ2SL siendo ρ1 y ρ2
los coeficientes de mayoración de la carga nominal prevista en los ensayos dinámicos (ρ1) y estáticos (ρ2) definidos
en los apartados 3.3.2.3 y 3.3.1.3 de la Norma UNE 58118.
Estos tres casos se expresan por las relaciones:
a) SG + SW máx.
b) SG + SL + ST
1)
c) SG + Ψρ1SL o SG + ρ2SL
NOTAS
1
Conviene señalar que las verificaciones previstas en c) no son aplicables más que en el caso en que la carga de servicio, en el supuesto de que
actúe sola, provoque tensiones de sentido opuesto a la resultante del peso propio, en tanto en cuanto la carga de ensayo estático impuesta no
sobrepase 1,5 veces la carga nominal. (Véase la Norma UNE 58121).
2
En el caso de utilizar dispositivos de ralentización previo al choque sobre el tope, en las condiciones previstas en el apartado 3.1.3.2.1, se tomará
ST la mayor de las solicitaciones resultantes, sea la deceleración provocada previamente por el ralentizador, sea la impuesta finalmente por el
tope.
3.2.4 Elección del coeficiente de mayoración γc. El valor del coeficiente de mayoración γc, depende del grupo en que
está clasificado el aparato. Viene indicado en la tabla 3.
Tabla 3
Valor del coeficiente de mayoración γc
Grupo del aparato
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
γc
1,00
1,02
1,05
1,08
1,11
1,14
1,17
1,20
1) Se tendrán en cuenta las solicitaciones producidas por la carga de servicio, pero se despreciarán los efectos del balanceo producidos por el
choque, ya que este balanceo no solicita la estructura más que cuando prácticamente han sido absorbidos los otros efectos.
Esta norma no es aplicable a las cargas guiadas rígidamente que no pueden balancear.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 17 -
UNE 58132-2:2005
3.3 Influencias sísmicas
Como regla general, no es preciso verificar las estructuras de los aparatos de elevación bajo los efectos de los seísmos
en España.
Sin embargo, si una disposición reglamentaria lo exigiera, o la especificación particular lo prescribiera, podrán aplicarse
en las regiones sometidas a seísmos, reglas o recomendaciones particulares.
Esta exigencia debe ser suministrada al fabricante por el usuario de la instalación quien debe entregar los espectros
sísmicos correspondientes.
3.4 Solicitaciones a considerar en el cálculo de los mecanismos
Los mecanismos están sometidos a dos clases de solicitaciones:
a) Las solicitaciones (representadas por el símbolo SM) que dependen directamente de los pares ejercidos sobre los
mecanismos, por los motores o por los frenos.
b) Las solicitaciones, (representadas por el símbolo SR) que no dependen de la acción de los motores o de los frenos,
sino que están determinadas por las reacciones ejercidas sobre las partes mecánicas y no equilibradas por un par
actuando sobre los árboles motores.
Por ejemplo, en un movimiento de traslación: las solicitaciones que provienen de la reacción vertical sobre las ruedas de
rodadura, así como los esfuerzos transversales que actúan sobre el eje de la rueda pero que no se transmiten a los
elementos del mecanismo motor.
3.4.1 Solicitaciones de tipo SM. Las solicitaciones de este tipo a considerar son:
a) Solicitaciones SMG que corresponden al desplazamiento vertical del centro de gravedad de los elementos móviles del
aparato distintos de la carga de servicio.
b) Solicitaciones SML que corresponden al desplazamiento vertical de la carga de servicio, definida ésta en el
apartado 3.1.
c) Solicitaciones SMF que corresponden al rozamiento en los casos en que no haya sido tenido en cuenta en el cálculo
del rendimiento del mecanismo.
d) Solicitaciones SMA que corresponden a las aceleraciones o deceleraciones del movimiento.
e) Solicitaciones SMW que corresponden al efecto del viento límite admitido para el aparato en servicio.
3.4.2 Solicitaciones del tipo SR. Las solicitaciones de este tipo a considerar son:
a) Solicitaciones SRG debidas al peso propio de los elementos que actúan sobre la pieza considerada.
b) Solicitaciones SRL debidas a la carga de servicio definida ésta en el apartado 3.1.
c) Solicitaciones SRA debidas a las aceleraciones o deceleracionees de los diferentes movimientos del aparato, o de sus
elementos, calculados según el apartado 3.1.3.1, en tanto en cuanto la magnitud de estas solicitaciones no sea
despreciable con relación a las solicitaciones SRG y SRL.
d) Solicitaciones SRW debidas al viento límite de servicio SW (véase el apartado 3.1.4.1) o al viento límite fuera de
servicio SW máx. (véase apartado 3.1.4.1.1) siempre que el orden de magnitud de estas solicitaciones no sea
despreciable.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 18 -
3.5 Casos de solicitaciones a considerar en el cálculo de los mecanismos
Se consideran en los cálculos tres casos de solicitaciones:
Caso I: Servicio normal sin viento.
Caso II: Servicio normal con viento.
Caso III: Solicitaciones excepcionales.
Para cada uno de estos casos se determina una solicitación máxima que sirve de base en los cálculos.
En los casos en que el aparato no está sometido a la acción del viento, los casos I y II se confunden.
Una vez calculadas las distintas solicitaciones según se indica en el apartado 3.4, para tener en cuenta la probabilidad de
superar la tensión calculada, debido a imperfecciones del cálculo o a imprevistos, se mayorarán aquellas mediante la
aplicación de un coeficiente γm dependiente del grupo en el cual está clasificado el mecanismo. Los valores de γm
dependiente del grupo en el cual está clasificado el mecanismo. Los valores de γm se dan en la tabla 4.
Tabla 4
Valores del coeficiente de mayoración γm
Grupo del mecanismo
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
γm
1,00
1,04
1,08
1,12
1,16
1,20
1,25
1,30
3.5.1 Caso I. Servicio normal sin viento
3.5.1.1 Solicitaciones tipo SM. La solicitación máxima SMmáx.I del tipo SM (véase apartado 3.4) se determina
combinando las solicitaciones SMG, SML, SMF y SMA según la relación:
d
i
S Mmáx.I = SMG + SML + SMF + SMA γ m
NOTA − No es preciso considerar la combinación de los valores máximos de cada uno de los términos de esta relación, sino los valores más
desfavorables que pueden producirse durante el servicio.
3.5.1.2 Solicitaciones del tipo SR. La solicitación máxima SRmáx.I del tipo SR (véase apartado 3.4) se determina
combinando las solicitaciones SRG, SRL y SRA según la relación:
d
i
S Rmáx.I = SRG + SRL + SRA γ m
siendo aplicable la nota del apartado 3.5.1.1.
3.5.2 Caso II. Servicio normal con viento
3.5.2.1 Solicitaciones del tipo SM. La solicitación máxima SMmáx.II del tipo SM (véase apartado 3.4) se determina
combinando las solicitaciones SMG, SML y SMF con una de las dos combinaciones siguientes:
a) La solicitación SMA y la solicitación SMW8 corresponden a la presión de un viento de 80 N/m2.
b) La solicitación SW25 corresponde a la presión de un viento de 250 N/m2.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 19 -
UNE 58132-2:2005
Se tomará el mayor de los valores dados por las relaciones siguientes:
d
i
S Mmáx.II = SMG + SML + SMF + SMA + SMW8 γ m
o
d
i
S Mmáx.II = SMG + SML + SMF + SMW25 γ m
siendo aplicable la nota del apartado 3.5.1.1.
3.5.2.2 Solicitaciones del tipo SR. La solicitación máxima SRmáx.II del tipo SR (véase el apartado 3.4) se determina
combinando las solicitaciones SRG, SRL y SRA así como SRW25 correspondiente a la presión de un viento de 250 N/m2 lo
que viene dado por la expresión:
d
i
S Rmáx.II = SRG + SRL + SRA + SRW25 γ m
siendo aplicable la nota del apartado 3.5.1.1.
3.5.3 Caso III. Solicitaciones excepcionales
3.5.3.1 Solicitaciones del tipo SM. La solicitación máxima SMmáx.III del tipo SM (véase el apartado 3.4), se determina
considerando la solicitación máxima que el motor puede transmitir al mecanismo, teniendo en cuenta las limitaciones
que resultan de las condiciones prácticas de funcionamiento.
Los valores de SMmáx.III se precisan en el apartado 3.5.4.
3.5.3.2 Solicitaciones del tipo SR. Las consecuencias de una sobrecarga debida a un choque o un atascamiento, son
mucho menos graves para un mecanismo que para una estructura. Por ello se toma como solicitación excepcional la
prevista en el apartado 3.2.3 resultando:
S Mmáx.III = SRG + SRWmáx.
En el caso de que existan medios suplementarios de anclaje o de atirantado para asegurar la inmovilización o la estabilidad por el viento fuera de servicio, conviene tener en cuenta, llegado el caso, la acción de estos dispositivos sobre los
mecanismos.
3.5.4 Aplicación de las consideraciones precedentes al cálculo de SM. De hecho, los mecanismos de los aparatos de
elevación contribuyen a la realización de:
a) desplazamientos puramente verticales del centro de gravedad de las masas móviles (por ejemplo, movimientos de
elevación);
b) desplazamientos puramente horizontales para los cuales el centro de gravedad del conjunto de las masas móviles se
desplaza horizontalmente (por ejemplo, movimientos de traslación, giro o cambio de alcance de una pluma
equilibrada);
c) movimientos combinando una elevación del centro de gravedad de las masas móviles con un desplazamiento
horizontal (por ejemplo, cambio de alcance de una pluma no equilibrada).
3.5.4.1 Movimientos de elevación. Para las solicitaciones del tipo SM, la fórmula se reduce a:
d
i
Casos I y II: S Mmáx.I = SML + SMF γ m
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 20 -
Se desprecia en este caso la solicitación debida a la aceleración de elevación que es pequeña con relación a SML.
d
Caso III: S Mmáx.III = 1,6 SML + SMF
i
Teniendo en cuenta lo indicado en el apartado 3.5.3.1 se admite que las solicitaciones máximas que pueden ser
transmitidas a los mecanismos de elevación están limitadas en la práctica a 1,6 veces la solicitación SMmáx.
NOTA - En un movimiento de elevación es imposible en una utilización normal, transmitir al mecanismo esfuerzos
superiores a los que resultan de la elevación de la carga, siendo despreciables los efectos de la aceleración.
Un esfuerzo mayor, sólo puede producirse por una falsa maniobra (mala evaluación de la carga, etc.).
Teniendo en cuenta la experiencia adquirida en numerosos años de práctica con los aparatos de elevación más diversos,
se admite que el coeficiente 1,6 da una seguridad suficiente. Es preciso hacer notar que conviene evitar el empleo de
motores sobredimensionados.
3.5.4.2 Movimientos horizontales
Caso I: La fórmula se reduce a:
d
i
S Mmáx.I = SMF + SMA γ m
Caso II: Se toma el mayor de los valores siguientes:
d
i
S Mmáx.II = SMF + SMA + SMW8 γ m
o
d
i
S Mmáx.II = SMF + SMW25 γ m
Caso III: Se toma para SMmáx.III la solicitación correspondiente al par máximo del motor (o del freno), salvo que las
condiciones de funcionamiento limiten el par efectivamente transmitido, bien por patinar las ruedas sobre los railes o
por medios de control apropiados (acoplamiento hidráulicos, limitador de par, etc.). En estos casos se toma el valor
efectivamente transmitido.
NOTA − Así como en el caso del movimiento de elevación, los esfuerzos transmitidos al mecanismo están limitados por la carga elevada, en los
movimientos horizontales, el par máximo del motor siempre puede ser transmitido al mecanismo salvo que exista limitación mecánica. Es
por lo que se admite un modo diferente de evaluación de los valores de SMmáx.III según se trate de un movimiento de elevación o de otro
movimiento.
3.5.4.3 Movimientos combinados
Casos I y II:
Para los casos I y II se determina la solicitación SMmáx.II (o la SMmáx.I en los no sometidos a la acción del viento) por la
aplicación de las fórmulas generales definidas en los apartados 3.5.11 y 3.5.2.1.
Caso III:
Se puede tomar como valor máximo SMmáx.III la solicitación producida por la aplicación del par máximo del motor. Este
valor a menudo muy elevado es siempre aceptable porque favorece la seguridad.
Sin embargo, debe considerarse cuando la potencia empleada para la elevación de los centros de gravedad de las masas
móviles es despreciable con relación a la potencia necesaria para vencer las aceleraciones o los efectos del viento.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 21 -
UNE 58132-2:2005
Cuando por el contrario, los efectos de las aceleraciones o del viento son despreciables con relación a los efectos del
desplazamiento vertical de los centros de gravedad de las masas móviles, este valor es excesivamente elevado y se
puede calcular SMmáx.III por la fórmula:
SMmáx.III = 1,6 SMmáx.II
Entre estos dos límites extremos se debe examinar cada caso particular en función del motor elegido, de su modo de
arranque y del valor relativo de las solicitaciones debidas a los efectos de inercia y del viento por una parte y a la
elevación de los centros de gravedad por otra.
En todo caso, cuando las condiciones de funcionamiento limiten el par efectivamente transmitido al mecanismo (véase
apartado 3.5.4.2), este par límite se tomará como valor máximo si es inferior a los valores anteriormente definidos.
4 CORRESPONDENCIA CON OTRAS NORMAS
Esta norma es equivalente a la Norma FEM 1001:1987 + MOD 1:1998 (Cuaderno nº 2 y Cuaderno nº 9).
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 22 -
ANEXO A (Normativo)
ARMONIZACIÓN ENTRE LAS CLASES DE UTILIZACIÓN
DE LAS MÁQUINAS Y DE LOS MECANISMOS
A.1 Este anexo se propone indicar una vía que permita deducir en numerosos casos la clase de utilización de los
mecanismos de la máquina en su conjunto y de ciertos parámetros que caracterizan el servicio.
El punto de partida es la duración media tmc (en segundos) de un ciclo de elevación tal como se define en la Norma
UNE 58112-1, apartado 3.1. Éste es por lo tanto el tiempo necesario para realizar todas las maniobras de tal ciclo.
La duración total de utilización T de la máquina, expresada en horas, viene dada por la relación:
T=
Nt mc
3 600
donde
N representa el número de ciclos de elevación que define la clase de utilización del aparato.
A.2 La tabla 5 proporciona los valores de T para las duraciones de ciclos de 30 s 480 s en función de la clase de
utilización del aparato. El número de ciclos de elevación considerado es el número máximo correspondiente a esta clase
de utilización, reducidos sin embargo estos valores respectivamente a 15 625, 31 250 y 62 500 para las clases U0, U1
U2 a fin de reducir el número de valores diferentes para T.
Para cada mecanismo, se determina a continuación, la relación αi entre la duración de utilización del mecanismo
considerado durante el ciclo de elevación y la duración media tmc de este ciclo.
A.3 La tabla 6 detalla las duraciones totales de utilización Ti del mecanismo en función de la duración total de
utilización de la máquina y ello para diversos valores clásicos de la relación αi. Esta tabla indica además, la clase de
utilización del mecanismo. Las diversas clases se representan por zonas en escalera.
Basta por lo tanto, con fijar la clase de utilización de la máquina mediante la tabla 1 de la Norma UNE 58112-1, la
duración media del ciclo de elevación y los valores de αi para fijar las clases de utilización de los mecanismos.
A.4 Las curvas de la figura 7 permiten fijar inmediatamente las clases de utilización de los mecanismos en función de
estos tres parámetros.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 23 -
UNE 58132-2:2005
Tabla 5
Duraciones totales de utilización (T) de las máquinas de elevación en horas
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 24 -
Tabla 6
Duración total de utilización Ti (en horas) de los mecanismos en función de T y de αi
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 25 -
UNE 58132-2:2005
Fig. 7 − Clases de utilización de las máquinas y de los mecanismos
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 26 -
A.5 Ejemplo de aplicación
Grúa de puerto con gancho.
La clase de utilización de la máquina será U5.
Un ciclo de elevación comprende las operaciones siguientes:
a) elevación de la carga;
b) traslación;
c) giro;
d) descenso;
e) desenganche de la carga;
f) subida en vacío;
g) giro;
h) traslación;
i) descenso en vacío;
j) enganche de una nueva carga.
La duración de ejecución media del ciclo se estimará en 150 s.
Las relaciones αi se estimará como sigue:
a) elevación (subida y descenso)
: αi = 0,63
b) giro (2 sentidos)
: αi = 0,25
c) traslación (id.)
: αi = 0,10
La tabla 5 proporciona para la clase U5 y tmc = 150 s:
T = 20 835 h
La tabla 6 proporciona, con T = 20 835 h, para los diversos mecanismos las duraciones totales Ti y las clases de
utilización siguientes:
a) elevación
(αi = 0,63): Ti = 13 126 h
T7
b) orientación
(αi = 0,25): Ti = 5 209 h
T5
c) traslación
(αi = 0,10): Ti = 2 084 h
T4
De las curvas de la figura 7 se obtienen inmediatamente las mismas conclusiones partiendo de la ordenada tmc = 150 s
(línea de trazos).
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 27 -
UNE 58132-2:2005
ANEXO B (Normativo)
CÁLCULO DE LAS SOLICITACIONES DEBIDAS A LAS
ACELERACIONES DE LOS MOVIMIENTOS HORIZONTALES
B.1 Método de cálculo
B.1.1 Definiciones. En lo sucesivo se definirá como:
v a la velocidad de régimen horizontal del punto de suspensión de la carga, ya sea al final del período de aceleración,
ya sea al principio del período de frenado, según se considere un fenómeno de aceleración o de frenado;
F una fuerza horizontal ficticia, teniendo igual dirección que v, que se aplica al punto de suspensión de la carga y que
produce el mismo efecto sobre el movimiento considerado que el par acelerador o decelerador aplicado por el motor
o el freno.
B.1.2 Procedimiento operatorio. Se calcularán sucesivamente las magnitudes siguientes:
B.1.2.1 Masa equivalente (m): La inercia de todas las partes móviles, diferentes a la carga, en el movimiento previsto,
es sustituida por una masa equivalente m, que se supone concentrada en el punto de suspensión de la carga y
suministrada por la relación:
I ⋅ ω 2i
m = mo + ∑ i i 2
v
donde
mo
es la masa del conjunto de los elementos, diferentes de la carga, que soportan el mismo movimiento de traslación
pura que el punto de suspensión de la carga;
Ii
es el momento de inercia alrededor del eje de rotación, de una parte que gira durante el movimiento previsto;
ωi
es la velocidad angular de la parte citada alrededor de su eje de rotación. Esta velocidad corresponde a la velocidad
de traslación v del punto de suspensión de la carga.
La suma, se extiende a todas las partes en rotación (estructura, mecanismo, motor, etc.) durante el movimiento previsto.
Sin embargo, para los mecanismos propiamente dichos, se puede despreciar la inercia de otros elementos distintos a los
directamente solidarios al eje motor.
B.1.2.2 Aceleración o deceleración media jm
jm =
F
m + m1
donde
m1
es la masa de la carga propiamente dicha.
B.1.2.3 Duración media de aceleración o de deceleración Tm
Tm =
v
jm
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 28 -
B.1.2.4 Fuerzas de inercia media. Se calculará para cada elemento material en movimiento, la aceleración
correspondiente a la aceleración jm en el punto de suspensión de la carga. Multiplicando esta aceleración por la masa de
dicho elemento, se obtiene la fuerza de inercia media que soporta.
En particular para la carga propiamente dicha, esta fuerza de inercia Fcm será igual a:
Fcm = m1 jm
B.1.2.5 Período de oscilación T
T1 = 2 π
1
g
donde
l
es la longitud de suspensión de la carga, cuando ésta se encuentra en la posición superior que puede alcanzar, sin
que sea necesario, sin embargo, considerar los valores de "l" inferiores a 2,00 m.
g es la aceleración debida a la gravedad.
B.1.2.6 Valor de µ
µ=
m1
m
Cuando el sistema que acciona el movimiento, controla la aceleración o la deceleración y la mantiene a un valor
constante, se toma µ = 0 cualesquiera que fueren las masas m y m1.
B.1.2.7 Valor de β
β=
Tm
T1
B.1.2.8 Valor de Ψh. Con los valores obtenidos para µ y β, se busca en el diagrama de la figura 9 el valor
correspondiente de Ψh.
B.1.2.9 Fuerzas de inercia a considerar en los cálculos de la estructura. Las fuerzas de inercia que tienen en cuenta
los efectos dinámicos, y que conviene, por lo tanto, considerar en los cálculos de estructura, se obtienen como sigue:
a) fuerza de inercia debida a la carga: ΨhFcm;
b) fuerza de inercia sobre las partes móviles diferentes de la carga: el doble de las fuerzas de inercia medias.
B.2 Justificación del método de cálculo
Un aparato de elevación es un sistema físico que lleva esencialmente:
− masas concentradas (carga útil, contrapeso ...) y repartidas (vigas, cables, ...);
− uniones elásticas entre estas masas (vigas, cables).
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 29 -
UNE 58132-2:2005
Si tal sistema, partiendo de un estado de equilibrio, se somete a una solicitación variable, no tiende de forma progresiva
hacia un nuevo equilibrio incluso si la nueva solicitación es constante. Realiza por el contrario, un movimiento
oscilatorio más o menos complejo en torno a este nuevo estado de equilibrio. Durante este movimiento, las diversas
solicitaciones y tensiones internas del sistema pueden sobrepasar, notablemente, los valores que admitirían si el sistema
estuviera en equilibrio estático bajo la influencia de la nueva solicitación.
Tal situación se presenta durante la aceleración y deceleración (frenado) de un movimiento horizontal de un aparato de
elevación. Así, si partiendo de una posición de reposo, una máquina o una parte de máquina inicia un movimiento de
traslación o de rotación, los diversos elementos de este sistema soportan aceleraciones y se someten por tanto a las
fuerzas de inercia. Cuando se alcanza la velocidad de régimen la aceleración se anula, las fuerzas de inercia desaparecen
y la solicitación externa experimenta una nueva variación.
El ángulo recorrido por un sistema de rotación (por ejemplo, la parte giratoria de una grúa) durante el tiempo de
aplicación de las fuerzas de inercia, es generalmente pequeño. Sin cometer un error apreciable, se podrá entonces
considerar que cada uno de los puntos recorre un trayecto rectilíneo durante este período. Como por otra parte, no existe
diferencia de principio entre el tratamiento de un movimiento de traslación y el de un movimiento de rotación, se
considerará a continuación el movimiento de traslación con mayor detalle (apartado B.2.1) y se limitará a una pequeña
nota (apartado B.2.2) el movimiento de rotación.
B.2.1 Cálculo de las solicitaciones en el caso de un movimiento de traslación
B.2.1.1 Datos generales. Para fijar las ideas, se estudiará el caso del frenado del movimiento de traslación del conjunto
de un puente grúa, llevando este una carga suspendida en su cable de elevación. Los otros casos de la práctica pueden
tratarse de manera totalmente análoga.
Designamos (véase la figura 8) por:
m1:
La masa de la carga suspendida.
m:
La masa total del puente grúa propiamente dicho incluida la del carro (véase, sin embargo, más adelante
una observación relativa a la inercia del motor y a la de los mecanismos que accionan el movimiento).
x:
Una coordenada que determina la posición del puente grúa a lo largo de su camino de rodadura, x
representará más exactamente la coordenada del punto de suspensión del cable de elevación con relación a
un eje paralelo a la dirección de traslación.
x1:
Una coordenada que determina la posición del centro de gravedad de la carga suspendida, con relación a un
eje de igual dirección, sentido y origen que el eje de las x.
z = x1 - x:
Una coordenada que expresa el desplazamiento relativo en el plano de la carga con relación al puente grúa.
B.2.1.1.2 Supongamos que en el instante t = 0 el puente se mueve en el sentido positivo del eje de las x a la velocidad v
y supongamos además que la carga está en reposo relativo con relación al puente.
F z = z' = 0 con z' = dz I
H
dt K
B.2.1.1.3 Si se aplica el freno al mecanismo de traslación en el instante t = 0, hará aparecer desde este instante, una
fuerza de frenado horizontal, paralela al eje de las x pero de sentido opuesto a éste, en cada punto de contacto entre una
rueda motriz y su carril de rodadura. Admitamos, para mayor facilidad, que el carro esté colocado en medio de las vigas
principales del puente; se puede admitir entonces por razón de simetría, que la fuerza total que aparece en cada uno de
los carriles de rodadura es la misma. Designemos su proyección sobre el eje x como F/2 (siendo F > 0), de manera que
la fuerza de frenado total que actúa sobre el sistema en movimiento (puente aumentado con su carga) sea igual a F en
valor absoluto.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 30 -
Si el sistema se compone de masas rígidamente ligadas entre si, resultaría una deceleración de valor absoluto jm dada
por la relación:
jm=
F
m + m1
(1)
Fig. 8
B.2.1.1.4 No se puede sin embargo olvidar que F encuentra su origen en el par aplicado al mecanismo de traslación, el
cual debe no solamente frenar la inercia de traslación del puente y de la carga, sino igualmente, la inercia de rotación
del motor de accionamiento y de los mecanismos intermedios. Generalmente, se puede despreciar la inercia de rotación
de todos los elementos distintos a los solidarios al eje del motor. En numerosos casos, sin embargo, la inercia de estos
últimos ha de ser tenida en cuenta y la relación (1) no será válida mientras no se haya incorporado a m una masa
equivalente me, definida por la relación:
mev2 = Imω2m
(2)
donde
Im
es el momento de inercia de todos los elementos solidarios del eje del motor (incluido, evidentemente, el motor
en sí);
ωm
es la velocidad angular del motor correspondiente a la velocidad de traslación v del puente.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 31 -
UNE 58132-2:2005
B.2.1.1.5 Bajo la influencia de la deceleración jm el cable de suspensión no puede mantener su posición vertical. Su
nueva posición de equilibrio está inclinada sobre la vertical un ángulo αm determinado por la relación:
j
α m = arctg m
g
(3)
donde
g es la aceleración debida a la gravedad. En este caso, el cable ejerce una fuerza horizontal sobre el puente, cuya
proyección Fcm sobre el eje de las x se da por:
Fcm = m1 jm
(4)
En realidad, el sistema no es rígido, la deceleración no es constante y no viene dada por (1), la carga y su cable de
suspensión realizan un movimiento oscilatorio y la fuerza horizontal desarrollada por el cable sobre el puente puede
tomar valores muy diferentes a (4).
B.2.1.1.6 Por un razonamiento análogo, se puede deducir que la deceleración del sistema hace aparecer fuerzas de
inercia que actúan sobre cada elemento material que constituye el puente y el carro propiamente dichos, pero que a
consecuencia de la elasticidad de las vigas, este sistema realizará un movimiento oscilatorio durante el cual las
tensiones experimentarán fluctuaciones que es necesario tener en cuenta.
En los dos apartados siguientes, trataremos sucesivamente el efecto de las fuerzas de inercia sobre la carga y sobre las
vigas.
B.2.1.2 Efecto de las fuerzas de inercia sobre la carga
B.2.1.2.1 Para la determinación del movimiento realizado por la carga tras la aplicación del freno, se puede despreciar
el movimiento del punto de suspensión, debido a la flexibilidad de las vigas en un plano horizontal. La amplitud de este
movimiento es, en efecto, muy pequeña, con respecto a la amplitud del balanceo de la carga. Los cálculos podrán
efectuarse por tanto, considerando el puente como un sistema indeformable.
B.2.1.2.2 La proyección Fc sobre el eje de las x de la fuerza ejercida por el cable sobre el puente está determinada por
la relación:
x −x
z
Fc = m1 g 1
= m1 g
1
1
(5)
donde
l
es la longitud de suspensión de la carga. Se observa que Fc es proporcional al desplazamiento z de la carga con
relación a su posición de equilibrio inicial, como si se tratase de una fuerza de recuperación elástica.
B.2.1.2.3 Las ecuaciones del movimiento se inscriben:
x −x
m1x' ' 1 = m1 g 1
1
(6)
x −x
mx' ' = m1 g 1
−F
1
(7)
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 32 -
sin embargo, suponiendo x = 0 para t = o, las condiciones iniciales son las siguientes:
para t = 0
x1 = x = 0
(8)
x'1 = x' = v
(9)
z = x1 - x = 0
(10)
z' = x'1 - x' = 0
(11)
g
= ω12
1
(12)
m1 g
⋅ = ω 22
m 1
(13)
ω21 + ω22 = ω2r
(14)
F
= jo
m
(15)
x'' + z'' + ω21 z = 0
(16)
x'' - ω22 z = - jo
(17)
z'' + ω2r z = jo
(18)
se tiene
Las ecuaciones (6) y (7) se convierten entonces en:
de donde:
La solución de estas ecuaciones, con las condiciones iniciales (8) a (11) se obtiene por:
z=
x' = v −
jo
ω2r
ω 21
2
ω r
b1 − cos ω tg
r
jo t −
ω22
j
⋅ o sin ω r t
ω r ωr
2
(19)
(20)
En las cuales la expresión completa de x no nos interesa directamente, por lo que se obtiene:
jo
ω2 r
= zm
(21)
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 33 -
UNE 58132-2:2005
B.2.1.2.4 Se aprecia entonces fácilmente que zm es la posición de equilibrio que puede ocupar la carga durante una
deceleración constante del puente, igual al valor jm definido por (1), es decir, para la deceleración que se obtendría
aplicando la fuerza de frenado F a la masa total (puente y carga) en movimiento, suponiendo que esta masa formara un
conjunto rígido. Al valor z = zm del desplazamiento de la carga, corresponde la fuerza horizontal Fcm, definida por la
condición (4), ejercida por el cable sobre el puente. La comparación de las relaciones (5), (19) y (21), muestra entonces
que se obtiene:
Fc = Fcm(1 - cosωrt)
(22)
si la fase de deceleración del puente tiene una duración td tal que:
ωrtd ≥ π
(23)
se aprecia que Fc alcanza por momentos el doble de Fcm, es decir, que su valor máximo Fcmáx. viene dado por la relación:
Fcmáx. = 2 Fcm
(24)
B.2.1.2.5 Si no se cumple la condición (23), esto significa que el puente se ha parado antes de que la carga haya
alcanzado su desplazamiento máximo z = 2 zm. Sin embargo, tras la parada del puente, la carga continuará, por lo
general, realizando un movimiento oscilatorio, el cable continuará desarrollando una fuerza horizontal variable sobre el
puente y es conveniente buscar el valor máximo que puede alcanzar.
Es fácil verificar que el movimiento de la carga, tras la parada del puente se deduce por la expresión:
z = z d cos ω1 ( t − t d ) +
z' d
sin ω1 (t − t d )
ω1
(25)
donde
zd = zm (1 - cosωrtd)
(26)
z'd = ωrzmsinωrtd
(27)
donde
td es el valor positivo más pequeño de t que anula la expresión (20) de x'.
B.2.1.2.6 El valor máximo Fcmáx. tomado por Fc viene dado entonces por la relación
Fcmáx. = Fcm
(1 − cos ω r td ) 2 +
ω2r
ω 21
sin 2 ω r t d
(28)
En general:
Fcmáx.
= Ψh
Fcm
(29)
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 34 -
Para la determinación de Ψh es práctico introducir las magnitudes siguientes:
a) Tm =
v
jm
Es la duración que tendría la fase de ralentización del puente grúa si la deceleración fuera constante y el sistema móvil
indeformable.
b) T1 =
2π
ω1
Es el período de oscilación del sistema pendular formado por la carga suspendida (puente parado).
c)
T1 = 2 π
1
g
Se puede verificar que Ψh sólo depende de los dos parámetros sin dimensión µ y β definidos por las relaciones:
µ=
m1
m
(30)
β=
Tm
T1
(31)
y que se obtienen muy fácilmente. Se observará que la relación (20) puede escribirse:
LM
MN
x' = v 1 −
(ω r t ) + µ sin (ω r t )
2 πβ 1 + µ
OP
PQ
(32)
y que por consiguiente se obtiene:
(ω r t d ) + µ sin (ω r t d )
=1
2 πβ 1 + µ
(33)
Esta ecuación permite determinar el valor ωrtd que hay que introducir en la relación (28).
B.2.1.2.7 La figura 9 da los valores de Ψh en función de β, para algunos valores de µ (la curva µ = 0 se explicará más
adelante en el apartado B.2.4).
Si µ < 1, (lo que es el caso general para los movimientos de traslación de puente, tales como el del ejemplo tratado), el
análisis del problema muestra que Ψh no puede en ningún caso sobrepasar 2. Este valor se alcanza durante la fase de
deceleración del puente, si se cumple la condición (23), o lo que es igual, si β alcanza o sobrepasa cierto valor crítico
βcrít. función de µ. Más allá de este valor crítico, Ψh permanece constante e igual a 2, cualquiera que sea β.
Si µ > 1, (lo que puede darse para los movimientos de traslación del carro, donde m representa sólo la masa del carro, o
en los movimientos de giro), el mismo análisis muestra que, siempre supuesto que β alcance o sobrepase cierto valor
crítico, βcrít. función de µ, Ψh puede sobrepasar 2 y alcanzar un máximo dado por:
Ψh =
2+µ+
1
µ
(34)
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 35 -
UNE 58132-2:2005
Este máximo sólo puede alcanzarse efectivamente durante el movimiento pendular de la carga tras la inmovilización de
su punto de suspensión. El valor crítico βcrít. es tal que la parada del puente se produce antes de que se cumpla la
condición (23), o también antes de que Fc, alcance 2 Fcm. Sin embargo, cualquier valor de β superior a βcrít. origina la
realización de la condición (23) y Fc pasa necesariamente por el valor 2 Fcm, de donde Ψh > 2. Se observará además, que
si β > βcrít. se ha calculado tomando para v la velocidad de régimen máximo del movimiento, un frenado a partir de la
velocidad inicial:
β crit
v
β
conduce necesariamente al valor máximo de Ψh proporcionado por la relación (34). Es por lo que, en la figura 9, los
valores de Ψh se han mantenido constantes para β > βcrít.
Fig. 9 − Ψh = f(β)
B.2.1.2.8 En lo que respecta a la elección de T1, hay que señalar que el peligro de alcanzar valores elevados para Ψh es
tanto mayor cuanto más corta es la longitud de suspensión de la carga l, pues β alcanza entonces más rápidamente su
valor crítico. Por tanto, se efectuarán los cálculos suponiendo la carga en las proximidades de su posición más alta. En
la práctica l estará situado generalmente en un campo que oscile de 2 m a 8 m. La tabla siguiente proporciona el valor
de T1 para algunos valores de l.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 36 -
Tabla 7
1
(m )
T1
(s)
2
2,84
3
3,47
4
4,01
5
4,49
6
4,91
7
5,31
8
5,67
B.2.1.9 Queda por examinar la influencia de la fuerza horizontal Fcmáx. sobre el estado de las solicitaciones soportadas
por la estructura.
Esta fuerza se manifiesta realmente y los elementos que deben transmitirla directamente, tales como el carro, han de
calcularse para resistirla. La configuración de la solicitación que actúa sobre la viga en su conjunto, merece, sin
embargo, cierta atención.
B.2.1.2.9.1 Consideramos primero el caso en que Fcmáx. se manifiesta antes de que el puente esté inmovilizado. No hay
que considerar éste como una viga apoyada en sus dos extremos y solicitada en su centro por la fuerza Fcmáx.. No hay
que olvidar que cada uno de los dos apoyos sólo puede transmitir una reacción F/2. Los esquemas sucesivos de la figura
10 ilustran cómo hay que considerar el problema. El esquema "a" representa el estado de equilibrio ideal, para el cual el
sistema soporta en su conjunto una deceleración jm (o sea una aceleración x" = - jm) y para la que el cable desarrolla una
fuerza Fcm. Cada elemento material dm del sistema soporta entonces una fuerza de inercia jm dm. El esquema "a" es la
superposición del esquema "b" y del esquema "c". "b" se refiere a la solicitación debida a las fuerzas de inercia sobre el
puente propiamente dicho (tema que será tratado en el apartado B.2.1.3) y "c" da lugar al efecto de la solicitación
procedente del cable. De hecho, la fuerza real desarrollada por el cable no es la fuerza Fcm que figura en el esquema "c",
sino la fuerza:
Fcmáx. = ΨhFcm
(35)
Como los apoyos (ruedas frenadas) no son capaces de aumentar su reacción, el exceso de fuerza (Ψh - 1)Fcm sólo puede
provocar una aceleración suplementaria x" dada por:
x' ' = ( Ψh − 1)
Fcm
m
(36)
que da lugar a una carga repartida - x" dm sobre todos los elementos materiales del puente. El esquema "d" representa
pues la configuración de la solicitación que hay que tener en cuenta para el cálculo de las vigas.
B.2.1.2.9.2 Consideramos a continuación el caso de que Fcmáx. se manifieste cuando el puente esté ya inmovilizado.
Esta vez las ruedas frenadas no deben ya dedicar una parte de la reacción de que son capaces, a recuperar las fuerzas de
inercia sobre el puente y, en general, deberán considerarse como fijas. La viga, desde ese momento, ha de calcularse
como apoyada en sus dos extremos y solicitada en su centro por Fcmáx.. Este último caso es prácticamente el único a
tener en cuenta, incluso cuando Fc alcanza su máximo 2Fcm antes de la inmovilización del puente, esta fuerza puede
aparecer todavía durante el movimiento pendular que sigue a la parada.
Todas las consideraciones anteriores permanecen válidas, si en lugar de considerar una fase de frenado, se considera
una fase de arranque del puente que le conduzca, por un par motor constante, de la parada a una cierta velocidad de
régimen.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 37 -
UNE 58132-2:2005
B.2.1.3 Efecto de las fuerzas de inercia sobre la estructura. En el apartado anterior, la estructura se ha supuesto
perfectamente rígida. En realidad, posee cierta elasticidad y lleva a cabo por tanto, igualmente un movimiento
oscilatorio durante el período de frenado y tras la parada. Debido a que la estructura se compone esencialmente de
masas repartidas y no simplemente concentradas, la determinación teórica del movimiento es, por lo general, muy
difícil. Sólo podría justificarse para máquinas muy grandes, donde las fuerzas de inercia representan un papel
apreciable.
Fig. 10
En la mayoría de los casos, basta representar la estructura como un sistema oscilante simple, que posee fuerzas de
recuperación proporcionales al alargamiento y que soporta la aceleración del conjunto del sistema de referencia con el
que se relaciona. En virtud de la observación realizada como consecuencia de la expresión (5), se pueden tomar aquí
consideraciones paralelas a las desarrolladas en el apartado B.2.1.2. Sin embargo, el período propio de las oscilaciones
(comparable al período T1 del apartado B.2.1.2) es siempre bastante más corto que el de una carga suspendida.
Frecuentemente, sólo sobrepasa algunas décimas de segundo. De ello se deduce que el parámetro comparable a β
sobrepasa siempre el valor crítico βcrít. y que hay que tomar uniformemente Ψh = 2, aplicándose este coeficiente a las
solicitaciones de inercia calculadas con la deceleración media jm. Sólo podrá haber excepción a esta regla para las fases
de frenado excesivamente breves, tales como las resultantes del frenado de un movimiento de traslación de baja
velocidad, con patinado de la ruedas sobre los carriles.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
UNE 58132-2:2005
- 38 -
Al tener los movimientos de oscilación de la estructura una frecuencia elevada, los valores máximos de las solicitaciones resultantes se superponen, por instantes, a los que proceden de la carga.
B.2.2 Cálculo de las solicitaciones en el caso de un movimiento de giro. Para un movimiento de giro, se pueden
desarrollar consideraciones análogas a las del apartado B.2.1. Para calcular el efecto de las fuerzas de inercia sobre la
carga, basta determinar m por la relación:
mv2 = Iω2
(37)
donde
v
es la velocidad lineal horizontal del punto de suspensión de la carga;
I
es el momento de inercia de todas las partes en movimiento (estructura, mecanismos, motor) referida a un eje
determinado.
ω
es la velocidad angular de este eje correspondiente a la velocidad v anterior.
B.2.3 Cálculo de las solicitaciones en el caso de un movimiento de cambio de alcance. Para un movimiento de
cambio de alcance, se pueden desarrollar consideraciones análogas. Basta determinar m por la relación:
mv2 = 2T
(38)
donde
v
es la velocidad lineal horizontal del punto de suspensión de la carga,
T
es la energía cinética total de las masas en movimiento, cuando la velocidad lineal horizontal del punto de
suspensión de la carga es igual a v.
B.2.4 Sistemas con regulación de aceleración. En algunos sistemas de accionamiento, tales como ciertos dispositivos
de grupo Ward-Leonard o de accionamiento hidráulico, los valores de las aceleraciones y deceleraciones están
impuestos por las características propias del sistema y se mantienen constantes, independientemente de las condiciones
externas. El balanceo de la carga no perturbará las condiciones de aceleración o de deceleración del aparato o de la parte
de la máquina en movimiento.
En el ejemplo que hemos tratado en el apartado B.2.1 se supone que x" es una constante dada. Por medio de la ecuación
(16) y de los desarrollos resultantes, es fácil demostrar que en este caso:
Ψh = 2 sin βπ
para β ≤ 0,5
Ψh = 2
para β > 0,5
(39)
Tal situación se obtendría igualmente suponiendo la masa m1 infinitamente pequeña respecto a m, de tal manera que no
pueda perturbar el movimiento de ésta (condición 39). La curva límite que se obtiene haciendo tender µ hacia cero, se
ha representado en la figura 9 por la curva µ = 0.
Las consideraciones del apartado B.2.1.3 no experimentan ninguna modificación.
B.2.5 Conclusiones
Conociendo el par o la fuerza de frenado o de aceleración, se empezará por calcular la deceleración o aceleración media
jm, que se obtiene suponiendo las diversas estructuras perfectamente rígidas y la carga concentrada en su punto de
suspensión. Con esta aceleración, se calculan las fuerzas de inercia que actúan tanto sobre la carga como sobre los
diversos elementos de la estructura. Para tener en cuenta la elasticidad de las diversas uniones, estas fuerzas se
multiplican después por cierto coeficiente Ψh.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
- 39 -
UNE 58132-2:2005
Para las fuerzas de inercia que actúan sobre las estructuras, se tomará uniformemente Ψh = 2, salvo en el caso excepcional mencionado en el antepenúltimo párrafo del apartado B.2.1.3, a condición de que se pueda justificar debidamente
esta disminución.
Para las fuerzas de inercia que actúan sobre la carga, se calculará la masa m (incorporando si fuera necesario, la masa
equivalente a la inercia del motor y de los mecanismos) y se determinará la duración media de deceleración o de
aceleración Tm partiendo de la velocidad de régimen máxima del movimiento. El valor de T1 resulta de la longitud en
suspensión de la carga en su posición superior y es, por lo tanto, conocido. Se puede entonces determinar los parámetros
µ y β (para un sistema de regulación de aceleración se toma µ = 0) y la figura 9 proporciona el valor correspondiente de
Ψh. En casi todos los casos, la fuerza máxima aparece o puede aparecer tras la finalización de la fase de frenado o de
arranque previsto. Su acción sobre la estructura se obtiene por la aplicación de las reglas ordinarias de la estática.
Se observará que los cálculos desarrollados en el apartado B.2.1 suponen la carga en reposo relativo (z = z' = 0) en el
instante inicial t = 0. Si no fuera éste el caso, el movimiento del sistema queda afectado y Ψh puede alcanzar valores
considerablemente más altos que los que hemos fijado.
Tal situación puede presentarse, por ejemplo, cuando un movimiento se frena, por aplicaciones repetidas y discontinuas
del freno o cuando se efectúan movimientos sucesivos a intervalos bastantes próximos. El método de cálculo indicado
anteriormente no tiene nada de excesivo, y existen casos particulares en los que deberá aplicarse con cierta prudencia.
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID
Dirección
C Génova, 6
28004 MADRID-España
Teléfono 91 432 60 00
Fax 91 310 40 32
AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIV.CARLOS III DE MADRID