תוכן העניינים: פרק 3 ................................. ................................ ................................ 1 מבוא לאלגברה 3 ..................... ................................ ................................ מספרים מכוונים3.......................................................................................................... : סיכום כללי3 ................................................................................................................................................ : שאלות4 .......................................................................................................................................................: חזקות ושורשים עם מספרים מכוונים6............................................................................. : סיכום כללי6 ................................................................................................................................................ : שאלות7 .......................................................................................................................................................: סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים7.......................................................................... : סיכום כללי7 ................................................................................................................................................ : שאלות8 .......................................................................................................................................................: שברים פשוטים ועשרוניים8............................................................................................. : סיכום כללי8 ................................................................................................................................................ : אחוזים9........................................................................................................................ : שאלות9 .......................................................................................................................................................: כפל וחילוק שברים12 ...................................................................................................... : סיכום כללי12 .............................................................................................................................................. : שאלות12 .....................................................................................................................................................: חיבור חיסור שברים13 .................................................................................................... : סיכום כללי13 .............................................................................................................................................. : שאלות14 .....................................................................................................................................................: בעיות יסודיות באחוזים16 ...............................................................................................: סיכום כללי16 .............................................................................................................................................. : שאלות16 .....................................................................................................................................................: חזרה על תבניות מספר17 ................................................................................................ : סיכום כללי17 .............................................................................................................................................. : שאלות17 .....................................................................................................................................................: כינוס איברים18 ............................................................................................................. : סיכום כללי18 .............................................................................................................................................. : שאלות19 .....................................................................................................................................................: פישוט ביטויים ע"י פתיחת סוגריים20 ...............................................................................: סיכום כללי20 .............................................................................................................................................. : שאלות20 .....................................................................................................................................................: www.bagrut.co.il 1 פישוט ביטויים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר21 .......................................................... : סיכום כללי21 .............................................................................................................................................. : שאלות22 .....................................................................................................................................................: פירוק לגורמים של ביטויים אלגברים23 ............................................................................ : סיכום כללי23 .............................................................................................................................................. : שאלות23 .....................................................................................................................................................: פירוק הטרינום25 ........................................................................................................... : סיכום כללי25 .............................................................................................................................................. : שאלות25 .....................................................................................................................................................: שברים אלגברים26 ......................................................................................................... : סיכום כללי26 .............................................................................................................................................. : שאלות27 .....................................................................................................................................................: כפל וחילוק של שברים אלגבריים28 .................................................................................. : סיכום כללי28 .............................................................................................................................................. : שאלות29 .....................................................................................................................................................: חיבור וחיסור של שברים אלגברים29 ................................................................................ : סיכום כללי29 .............................................................................................................................................. : שאלות30 .....................................................................................................................................................: שברים כפולים32 ............................................................................................................ : סיכום כללי32 .............................................................................................................................................. : שאלות32 .....................................................................................................................................................: תשובות סופיות33 .......................................................................................................... : www.bagrut.co.il 2 פרק 1 מבוא לאלגברה מספרים מכוונים: סיכום כללי: מספרים מכוונים הם מספרים שיכולים לקבל סימן חיובי או שלילי ,כגון: • בקניון גדול ישנן קומות ,4 ,3 ,2 ,1וכן חניונים הממוקמים בקומות -2 ,-1ו.-3- • גובה פני הים מוגדר להיות 0מטרים .העיר חיפה נמצאת כ 103-מטרים מעל פני הים בעוד שים המלח נמצא בגובה -426מטרים. כללים: • כאשר מחברים שני מספרים בעלי סימנים זהים ,מחברים את המספרים עצמם והסימן נשאר. • כאשר מחברים שני מספרים בעלי סימנים מנוגדים ,מחסירים את המספרים זה מזה (הקטן מהגדול) וסימן התוצאה כסימן המספר הגדול מביניהם. • כפל וחילוק יתבצע בשני חלקים: oביצוע הפעולה על המספרים עצמם. oקביעת הסימן של התוצאה באופן הבא: ▪ כפל או חילוק של שני מספרים בעלי אותו סימן -התוצאה תהיה חיובית. ▪ כפל או חילוק של שני מספרים שוני סימן -התוצאה תהיה שלילית. הערה: אם יש רצף של מכפלות (או חילוקים) ,סימן התוצאה תלוי במספר הפעמים שבהם מופיע סימן שלילי ( .)-אם הסימן מופיע מספר זוגי של פעמים התוצאה חיובית ,ואם הוא מופיע מספר אי-זוגי של פעמים אזי התוצאה שלילית. www.bagrut.co.il 3 שאלות: )1סמנו את המספרים הבאים על ציר המספרים בהתאמה: 1 1 1 1 , 4 , 1 , −5 , − , 2 , 0 , , −2 2 3 2 2 )2חשבו את ערכי הביטויים הבאים: א3 + 2 . −3 ב−3 − 2 . ג3 − 2 . ד−3 + 2 . ה−1 − 4 . ו7 + 10 . ז−6 + 5 . ח−7 + 3 . )3חשבו את ערכי הביטויים הבאים: א5 + 7 − 23 + 1 . ב5 − 8 −12 + 17 . ג3 − 14 + 2 + 6 . ד−4 − 11 + 2 + 9 . ה6 − 21 + 3 − 7 . ו−7 − 13 + 5 − 3 . )4חשב את ערכי הביטויים הבאים: א4 9 . ב4 ( −7 ) . ג( −6 ) ( −5) . ד( −5) ( −3) . ה( −2 ) 8 . ו( −8) 5 . ז( −2 ) ( −3) ( −3) . ח2 3 3 . ט( −2 ) 3 ( −3) . י( −2 ) ( −3) 3 . יא2 3 ( −3) . יב( −2 ) ( −3) ( −3) ( −2 ) . יג( −1) ( −2 ) ( −4 ) 2 . www.bagrut.co.il יד. 1 ( −2 ) ( −4 ) 2 4 )5מהו הסימן של תוצאת המכפלה בכל מקרה: א( −2 ) ( −4 ) ( −3) ( −10 ) ( −6 ) ( −5) . ב( −1) 2 4 ( −3) ( −10 ) 6 ( −5) . ג( −1) 2 4 ( −3) ( −10 ) ( −6 ) ( −5) . ד( −1) 2 4 ( −3) ( −10 ) 6 5 . )6חשבו את ערכי הביטויים הבאים: א( −25) : ( −5) . ב( −30 ) : 3 . ג40 : ( −10 ) . ד( −32 ) : ( −4 ) . ה( −6 ) :18 . ו4 : ( −16 ) . )7חשבו את ערכי הביטויים הבאים: − 60 א. 12 42 ב. −6 32 ג. −4 − 12 ד. −3 )8מה התוצאה של כל אחת מהפעולות הבאות: א0 : 5 . ב( −2 ) 0 . ג0 ( −3) 4 . ד6 : 0 . ה0 + 4 . ו0 − 4 . www.bagrut.co.il 5 חזקות ושורשים עם מספרים מכוונים: סיכום כללי: הגדרה: פעולת החזקה היא צורה מקוצרת שמייצגת פעולת כפל של אותו מספר בעצמו מספר פעמים .סימון החזקה הוא באופן הבא: a n = a a a ... a n כאשר aנקרא הבסיס ו n -נקראת החזקה. הערות: • כאשר הבסיס חיובי ,התוצאה תמיד תהיה חיובית ללא קשר האם החזקה היא זוגית או אי-זוגית. • כאשר הבסיס שלילי ,התוצאה תהיה חיובית אם החזקה היא זוגית ושלילית אם החזקה היא אי-זוגית. הגדרה: פעולת השורש היא הפוכה לפעולת החזקה והיא מאפשרת למצוא את בסיס החזקה. סימון השורש הוא באופן הבא: a n כאשר aנקרא הבסיס ו n -נקרא סדר השורש. הערות: • שורש למספר זוגי יכול להיות מסדר זוגי או אי-זוגי. • שורש למספר שלילי יכול להיות מסדר אי-זוגי בלבד. www.bagrut.co.il 6 שאלות: )9חשב את ערכי הביטויים הבאים: א32 . ב33 . 3 ג( −3) . 3 ד( −2 ) . ה4 3 . ו34 . 3 ז( −5) . ח104 . ט− ( −3) . י−54 . יא−43 . יב− ( −2 ) . 4 6 )10חשב את ערכי הביטויים הבאים: 3 א−27 . ג−16 . 4 ה− 4 81 . ב625 . 4 ד−32 . 5 ו− 3 1000 . סדר פעולות חשבון עם מספרים מכוונים: סיכום כללי: סדר פעולות חשבון: • פעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור. • פעולות חזקה ושורש קודמות לפעולות כפל וחילוק. • סוגריים קודמים לכל. www.bagrut.co.il 7 שאלות: )11חשב את ערכי הביטויים הבאים: א81 + 3 23 − 40 : 8 . ג. 2 ב: 9 − 2 ( −4 2 ) . 2 )( −3 ד3 + 4 −3 + 4 ( −2 ) + 10 + 6 . ) 144 − 20 : 4 + 3 ( −2 4 3 ה( −3) : ( −9 ) − 5 ( −2 ) . ו− 9 + 52 : ( −4 − 1) − 24 :12 3 . ז−25 : ( −8) + 4 2 − 3 5 . ח−27 + 4 32 − 2 33 . ט6 ( −1)4 − 10 ( −1)3 ( −1)5 . יא+ 2 15 − 20 : ( 4 + 3 2 ) . 3 י. ) 3 () 64 2 ( −4) − 5 243 3 (8 − )32 (8 − 2 3 ) 3 − 72 ) ( −4 (5 2 שברים פשוטים ועשרוניים: סיכום כללי: הגדרה כללית: השבר הוא חלק מתוך השלם .מקובל לסמן שבר באמצעות קו שבר המפריד בין המונה (החלק העליון) למכנה (החלק התחתון) באופן הבא: מונה מכנה ישנם שלושה סוגים אפשריים של שברים: • שבר פשוט – בו המונה קטן מהמכנה (ולכן תמיד יהיה קטן מ.)1- • שבר מדומה – בו המונה גדול מהמכנה (יהיה גדול בערכו מ.)1- • שבר מעורב – המכיל שילוב של מספר שלם ושבר כלשהו. www.bagrut.co.il 8 שבר עשרוני: שבר שהמכנה שלו הוא מספר המהווה כפולות של 10כגון... 1000 ,100 ,10 : שבר עשרוני מיוצג ע"י נקודה עשרונית אשר מבדילה בין החלק שלם לחלק השברי באופן הבא: שברים שלמים כדי להמיר שבר פשוט לשבר עשרוני המכנה צריך להיות בכפולות של .10 אחוזים: הגדרה: 1 השבר 100 מוגדר להיות אחוז אחד ומסומן באופן הבא.1% : 145 45 יכתב , 45% :והשבר באופן זה השבר 100 100 יכתב.145% : שאלות: )12צבע את החלקים המתאימים בכל עיגול: 1 א .צבע 2 מהעיגול 1 ב .צבע 6 מהעיגול 3 ג .צבע 8 מהעיגול 2 ד .צבע 5 מהעיגול www.bagrut.co.il 9 )13כתוב את השבר המתאים לחלקים הצבועים בכל אחד מהמקרים הבאים: ב .שבר: א .שבר: ד .שבר: ג .שבר: )14הרחב את השברים הבאים: 1 א .השבר: 2 3 ב .השבר לפי מכנה ,10לפי מכנה ,25לפי מכנה .60 5 5 ג .השבר לפי מכנה ,16לפי מכנה ,32לפי מכנה .88 8 לפי מכנה ,4לפי מכנה ,18לפי מכנה .40 )15צמצם את השברים הבאים ככל הניתן: 25 א. 30 10 ב. 30 35 ה. 56 24 42 ו. 6 24 ג. 4 ד. 20 33 ח. 121 36 ז. 48 )16המר את השברים המדומים הבאים לשברים מעורבים: 20 א. 3 − 19 ב. 4 34 ה. 6 − 50 7 www.bagrut.co.il ו. 12 5 22 ד. 5 47 ז. 8 60 ח. 9 ג. − 10 )17המר את השברים המעורבים הבאים לשברים מדומים: 2 א. 3 1 5 ב. 6 3 ג. 1 2 4 1 ד. 4 6 3 ה. 4 11 5 ו. 8 −2 ז. 2 7 −6 7 ח. 9 12 )18קבע איזה שבר גדול יותר בכל אחד מהמקרים הבאים: 7 7 ב .או 8 6 4 3 או א. 10 10 ג. 2 5 או 6 3 5 7 או ד. 18 12 )19המר את השברים העשרוניים הבאים לשברים פשוטים מצומצמים או מעורבים: ד0.34 . ג0.007 . ב0.07 . א0.7 . ה0.304 . ו0.65 . ז1.2 . ח1.02 . ט1.42 . י3.5 . יא6.03 . יב5.125 . )20המר את השברים הבאים לשברים עשרוניים: 3 א. 10 3 ב. 100 3 ג. 1000 23 ד. 1000 2 ז. 5 4 ח. 25 9 יב. 16 1 ה. 2 ו. 7 ט. 50 3 י. 20 7 יא. 8 3 7 טו. 8 1 יג. 10 9 3 4 1 יד. 5 4 1 טז. 16 −4 )21כתוב את השברים הבאים בצורתם העשרונית (היעזר במחשבון וכתוב עד 3ספרות אחרי הנקודה העשרונית): 2 א. 3 www.bagrut.co.il 5 ב. 6 3 ג. 7 2 ד. 11 11 )22המר מאחוזים לשברים פשוטים: ב32% . א25% . ה120% . ו5% . ג64% . ד80% . ז300% . ח150% . )23המר משברים פשוטים לאחוזים: 3 א. 4 1 ב. 8 ג. 11 ה. 40 70 ו. 125 5 ז. 6 4 5 7 ד. 20 4 ח. 9 כפל וחילוק שברים: סיכום כללי: • כשכופלים שני שברים יש לכפול מונה במונה ומכנה במכנה. oבמידה ומדובר במספר שלם הכופל שבר ,יש לכפול אותו במונה. oבמידה ומדובר בשברים מעורבים ,יש להפוך אותם תחילה לשברים מדומים ורק אז לבצע את פעולת הכפל. • כדי לחלק שברים ,יש לכפול את השבר הראשון בהופכי של השבר השני. oהופכי של שבר מסוים מתקבל ע"י החלפת המונה במכנה. שאלות: )24חשב את ערכי הביטויים הבאים: 3 3 א . 5 4 4 ד. 5 3 3 1 1 2 ז. 5 4 3 י. 4 5 www.bagrut.co.il 2 5 ב . 7 6 2 8 ג. 9 10 6 12 ו 5 . 25 2 ה. 3 1 2 ח3 4 . 2 5 4 יא. 53 3 2 ט3 2 . 7 5 יב. 43 5 12 )25חשב את ערכי הביטויים הבאים: 2 4 א: . 5 9 2 ד. 9 8: 2 ז: 5 . 5 3 7 : ג. 25 10 3 1 : ב. 4 2 2 ה. 3 5 ו: 3 . 6 10 : 2 3 2 :1 ט. 5 15 3 5 ח3 : 5 . 4 8 חיבור חיסור שברים: סיכום כללי: כפולה משותפת מינימלית: בהינתן זוג מספרים aו , b -המספר הקטן ביותר אשר תוצאת חלוקתו במספרים הנ"ל מניבה מספר שלם נקרא הכפולה המינימלית שלהם. הערות: • כפולה מינימלית יכולה להיות גם עבור יותר משני מספרים. • הכפולה המינימלית תהיה המכנה המשותף בעת פעולות חיבור וחיסור של שברים. כללי החיבור והחיסור של שברים: • חיבור וחיסור של שברים בעלי אותו המכנה מתבצע על המספרים שבמונה בלבד כאשר המכנה נשאר כפי שהוא. 2 − 3 −1 2 3 2 + 3 5 = דוגמא= : = , + 7 7 7 7 7 7 3 7 2 7 = . − • חיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שונים מתבצע ע"י פעולת מכנה משותף. 3 10 3 − 10 7 2 1 6 5 6 + 5 11 = − =− = = , + = + דוגמא: 12 12 12 12 5 3 15 15 15 15 www.bagrut.co.il 5 6 1 4 = . − 13 • חיבור של שבר עם מספר שלם יתבצע באופן ישיר. 1 4 1 4 דוגמא. 3 + = 3 : חיסור של שבר ממספר שלם יתבצע ע"י הוצאת שלמים מהשבר. 3 דוגמא: 4 1 4 4 4 1 4 .3− = 2 − = 2 12 1 11 3 דרך נוספת היא ע"י העברת המספר השלם לשבר מדומה− = = 2 : 4 4 4 4 1 4 = .3− • חיבור וחיסור של שברים מעורבים יתבצע ע"י העברתם לשברים מדומים תחילה. 17 13 17 6 13 5 102 + 65 167 17 = + + = = =5 דוגמא: 5 6 30 30 30 30 30 1 6 2 5 = .3 + 2 ניתן גם לפצל ולבצע את פעולת החיבור (או החיסור) של המספרים השלמים תחילה, ולאחר מכן לבצע את הפעולה עבור השברים. דוגמא. 2 − 5 = ( 2 − 5) + − = −3 + − = −3 + = −2 : 4 3 4 3 12 12 12 12 7 4 5 3 1 9 1 3 שאלות: )26מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של המספרים הבאים: ג 3 .ו5- ב 2 .ו4- א 2 .ו3- ה 4 .ו10- ו 4 .ו6- ז 5 ,3 .ו10- ד 6 .ו10- ח 3 ,2 .ו8- )27חשב את ערכי הביטויים הבאים: 1 3 א+ . 5 5 5 2 + ב. 9 9 4 9 + ג. 13 13 7 7 + ד. 8 8 7 3 ה− . 8 8 ו. 2 5 − ז. 12 12 2 6 ח− . 5 5 2 5 6 ט+ + . 8 8 8 7 8 6 + − י. 15 15 15 www.bagrut.co.il 8 7 − 9 9 14 )28חשב את ערכי הביטויים הבאים: 1 4 א+ . 2 3 3 1 + ב. 5 10 4 1 − ג. 6 12 3 5 ד− . 6 8 5 7 2 ה+ + . 4 2 8 7 6 3 + + ו. 3 5 10 4 1 1 − + ז. 7 6 2 1 2 3 ח+ − . 4 8 5 )29חשב את ערכי הביטויים הבאים: 5 א. 6 2+ 1 5 2 + ג. 4 6 5 ב. 6 2− 1 5 2 − ד. 4 6 2 1 ה3 + 4 . 3 4 ו. 5 1 2+ − ז. 6 9 3 1 8 −1 + ח. 4 5 20 7 1 5 −6 8 2 )30חשב את ערכי הביטויים הבאים: 1 3 1 א 1 − + 2 . 2 4 3 ב. ג. ד. ה. 3 2 1 1 2 : + 2 − 14 7 3 4 5 5 3 2 2 − 6: 11 4 5 4 9 6 1 2 : + 5 10 7 6 5 3 2 1 : + 3 6 4 3 4 www.bagrut.co.il 15 בעיות יסודיות באחוזים: סיכום כללי: נוסחה לביצוע חישובים עם אחוזים: תמורת האחוז = שלם אחוז 100 למשל ,בהינתן גודל שלם ,120אשר יש לחשב כמה הם 40אחוזים ממנו ,נקבל לפי 40 הנוסחה120 = 48 : 100 ,כלומר :תמורת האחוז 40מהגודל 120היא .48 שאלות: )31בכיתה 30תלמידים 60% .מתוכם בנות. א .כמה בנות בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )32בכיתה 28בנות המהוות 70%מכלל התלמידים בכיתה. א .כמה תלמידים בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )33מחיר בגד-ים הוא .₪ 300בסוף העונה הוא נמכר ב 20%-הנחה. א .מהו מחירו בסוף העונה? ב .מה גודל ההנחה? )34מחיר ההשקה של בושם מסוים הוא .₪ 500לאחר מכן מועלה מחירו ב.8%- א .מה מחירו הסופי? ב .מה גודל ההתייקרות? )35מחיר ליטר דלק הוא ₪ 5לליטר .בחנוכה מוזל מחירו ב.7%- בפסח מועלה מחירו ב .7%-מה מחירו בסוף השנה? )36מוצר מסויים מתייקר בסוכות ב .12%-בפורים מוזל המוצר ב.12%- מחירו בסוף השנה הוא .₪ 394.24מה מחירו בתחילת השנה? www.bagrut.co.il 16 )37ענה על השאלות הבאות: א .באולם קולנוע 200צופים ,מתוכם 176בנים .מה אחוז הבנים בקהל? ב .בכיתה 30תלמידים ,מתוכם 18בנות .מה אחוז הבנות בכיתה? ג .מחיר מוצר התייקר מ ₪ 80-ל .₪ 120-בכמה אחוזים התייקר המוצר? ד .מחיר מוצר הוזל מ ₪ 120-ל .₪ 80-בכמה אחוזים הוזל המוצר? ה .מחיר מוצר התייקר מ ₪ 150-ל .₪ 200-בכמה אחוזים התייקר המוצר? ו .מחיר מוצר מוזל הוזל מ ₪ 200-ל .₪ 150-בכמה אחוזים הוזל המוצר? חזרה על תבניות מספר: סיכום כללי: משתנה הוא סמל המתאר כמות או גודל כלשהם אשר אינם ידועים ועשויים להשתנות. תבנית מספר היא ביטוי אלגברי אשר מכיל משתנה (או משתנים). ניתן להציב במשתנים ערכים מספריים שונים ולקבל תוצאות שונות עבור תבנית המספר עצמה. במתמטיקה ,תפקידה של תבנית המספר הוא להביע גודל מסוים אשר לערכו יש משמעויות שונות .דוגמא לכך היא :קנייה של xפריטים ,אשר כל אחד עולה 3שקלים ,יניבו תבנית מספר של 3 xאשר מייצגת את הסכום הכולל של הפריטים. שאלות: )38חשב את ערכי הביטויים האלגבריים הבאים עבור ה x -הנתון: ב x 2 + 3 x .כאשר x = 2 א 2 x + 5 .כאשר x = 3 ג − x 2 + 2 x + 3 .כאשר x = 5 ד − x 2 − 9 x + 5 .כאשר x = 5 ה x 3 + 1 .כאשר x = −2 ו 4 − x 3 .כאשר x = −1 ז ( x + 1)( 2 − x ) .כאשר x = 4 ח x 2 ( 3 x − 4 ) .כאשר x = 3 )39חשב את ערכי הביטויים האלגבריים הבאים עבור ה x -הנתון: 1 א 27 x5 − 2 x 3 + x .כאשר 3 www.bagrut.co.il =x 2 1 1 ב x 2 + x + 6 .כאשר 3 3 2 x=− 17 )40הצב את הערכים המספריים במקום הפרמטרים וחשב את ערך תבנית המספר: אa 2 + 2ab + b 2 . עבור. a = 3 , b = −5 : ב+ 3x 2b . 2 )( x − 3 ג− x 3 − 2 xy + y 4 . 4 ד− a 2 . ) ( a − 2c a עבור. x = 5 , b = −1 : עבור. x = −2 , y = −1 : עבור. a = 2 , c = −2 : ה. 4a 2 − 3b c עבור. a = −1 , b = 2 , c = −4 : ו. c − 3a 1 עבור c = 13 , a = −1 :ועבור: 3 p3 + 2 q + 1 ז. m = . c = 82 , a עבור. p = −5 , q = 48 , m = 3 : כינוס איברים: סיכום כללי: תבניות אלגבריות יכולות להכיל איברים רבים ולכן נרצה לכנס אותם על מנת לפשט את התבנית .כדי לכנס איברים ניקח את כל קבוצת האיברים מאותו הסוג ונחבר את המקדמים שלהם .דוגמא. 3 x + 6 x − 5 x = ( 3 + 6 − 5 ) x = 4 x : איברים שונים נבדלים זה מזה בערך התבנית האלגברית שלהם. כך 3x :שונה מ 4 y -ושונה מ . 2xy -באותו האופן ,האיברים xו x 2 -הם שונים. www.bagrut.co.il 18 :שאלות :) כנס איברים דומים41 5x + 7 x − 4 x .א 9 x 2 − 2 x 2 − 3x 2 − 2 x 2 .ב x 2 y − 3 yx 2 + x 2 y .ד −10 xy + 15 xy + xy − 2 yx .ג 2 x 2 − 3m 2 − x 2 + 3m 2 .ו 8a 2 + 10a − 5a 2 − 11a + a 2 .ה mn 2 + 4m 2 n + 6n 2 m − 10nm 2 + mn 2 .ח 3 xy + y − 30 y + 6 yx − 7 y .ז y 2 + x2 − 5x2 + 5 y 2 + 4 x 2 − 6 y 2 .י −6 + x3 + 4 − 3x3 + 17 x3 − 17 .ט 5 xy + 2 x − 3 yx − x + 1 .יב 7 x 2 − 3x − 4 x + 2 .יא x + xy + y − 6 yx − 6 y − 6 x .יד 3 − x − x 2 + 4 x + 5 x 2 − 12 .יג ab 2 + 6ba 2 − 6b + 16a 2b + 3b − 6b 2 a .טז mn + n − 5m + 5nm −14n + 3m .טו 4 x 2 z + 6 xz 2 − 6 − xz 2 + 12 + 10 zx 2 .יח z3 − 4 z 2 + 7 − z3 − 8 + 8z 2 .יז x3 − 3x − 4 x 2 + 2 x + x3 + x 2 − 2 x3 .כ 2 − x3 − 3 − 4 x 2 + 2 x + x3 + x 2 − 2 .יט 12 x 2 y3 + 13a 2 − 20 x 2 y 3 + 2a 2 .כב 2a 2b + 3x2 y + 5a 2b + 10 x2 y .כא 2 y 2 − 4 x3 y 2 − 10 y 2 − x3 y 2 .כג 2a 2b + 2b + 3a 2 + 5b .כה −12 x2 + 2 y 2 + 3x2 y + 14 xy 2 − 5xy 2 − 6 y 2 + 2 xy + 11x 2 + x 2 y − 9 xy .כז −2 x3 y + 5x2 − 4 yx3 − 6 x2 .כד 5a 2b − 8ab 2 + 20a 2b − 14ab 2 .כו 21x3 y3 + x2 y 2 − 3xy3 + x3 y − 15x 2 y 2 − 7 x3 y + 12 x3 y 3 − 4xy 3 + 4xy 3 − 6x3 y .כח 19 www.bagrut.co.il פישוט ביטויים ע"י פתיחת סוגריים: סיכום כללי: בעת ביצוע כפל בין שני איברים יש לכפול את המקדמים בנפרד ואת האותיות (משתנים) בנפרד. כלל הפילוג: • . a ( b + c ) = ab + ac • . ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd שאלות: )42פשט את הביטויים הבאים: ב−4 x ( −7 x ) . א2 x 3x . ג. )− 2 x ( − 4 x ) ( − 3 ה3a 3 ( −2a 2 ) . ו. b2 2 ד. 8m 2 4m 3 זa 3b . ח. −b 4b2 טab ( −2a 2b ) . 4 a 2 7b 2 )43פשט את הביטויים הבאים ע"י פתיחת סוגריים: א2 ( 3 x − 4 ) . ב2 ( −3x + 5 x − 1) . 2 ג( 7 x − 2 ) 4 . ד(1 − 2 x )( −2 ) . ה. )a ( 3a − 1 וb ( b2 − 3b + 4 ) . ז. )2 x ( 5 x + 3 ח5 x ( x 2 + 2 x − 3) . ט3t 2 ( 4t − t 2 + 6 ) . www.bagrut.co.il י. 5 4d 4 − 3d ) d ( 2 20 )44פשט את הביטויים הבאים: א5 x + ( 3 x − 2 ) + ( −4 − 2 x ) . ג. ה. ו. ) 8 − ( 2 x − 5) − ( 4 x + 2 ד. −6 x − ( −3 x − 1) − ( −7 − 4 x ) + 1 (3 − 2x + 4) 2 + 3 ( x − x ) − 6 ( 7 − 5x ) + 4 x − ( y + 1 − 2 y ) + 6 ( 5 y − 6 ) − ( − y − 4 ) 3 + 5 ( y + 1) − 7 2 2 2 2 )45פשט את הביטויים הבאים: א( x − 1)( x + 2 ) . ג( 3 − x )( x + 4 ) . ה. ב. ) 7 x + ( −4 x − 5 ) + 3 x + ( − 1 + 7 x )3 ( 4 x + 1)( 2 x − 3 2 3y2 ב( x + 3)( x − 7 ) . ד( 3x + 4 )( 5 x + 1) . ) −2 ( 3 x − 1)( 5 − 2 x ו. )46פשט את ערכי הביטויים הבאים: א( x − 1)( x + 3) + 2 ( 3 − x ) . ב( a + 4 )( a − 2 ) − ( a + 5 )( a − 3) . ג( 2m − 3)( 4m + 3) + 5 ( 2m2 − 6 ) . ד− x 2 y 2 ( x3 y + x 2 ) + 2 xy ( 2 x3 y − x 4 y 2 ) . פישוט ביטויים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר: סיכום כללי: • נוסחת ריבוע של סכום/הפרש. ( a b ) = a 2 2ab + b2 : 2 • נוסחה להפרש ריבועים. ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 : www.bagrut.co.il 21 :שאלות :) פשט את הביטויים הבאים47 2 ( 4 x + 5) .ג 2 ( x + 2 ) .ב 2 ( x + 5) .א 2 ( 5 x + 2 y ) .ו 2 ( 7x + y ) .ה 2 ( 6 x + 2 ) .ד (x 3 (x + 2 y 2 x ) .ט 2 2 (x + y 2 ) .ח 2 2 + 7) 2 .ז :) פשט את הביטויים הבאים48 2 ( 5 − x ) .ג 1 x − 5 3 2 ( x − 6 ) .א 2 ( x − 2 ) .ב 2 2 .ו 1 3x − .ה 2 ( x 2 y 2 − 7 ) .ט 2 3 x − y .ח 5 2 ( 6 x − 1) .ד 2 2 ( 3 + x )( x − 3) .ב 2 ( 3m − 2n ) .ז :) פשט את הביטויים הבאים49 ( x − 5 )( x + 5 ) .א ( 5 − 7 x )( 7 x + 5) .ד ( 3x − 1)( 3x + 1) .ג 1 1 5 y − x x + 5 y .ו 4 4 1 1 x + 6 x − 6 .ה 2 2 (3a b 2 3 − 4 )( 3a 2b3 + 4 ) .ח ( x − 5 )( 5 x − 1) + 2 ( 4 + x ) .ב − ( y + 3x )( y − 3x ) + ( y − 3x ) 2 .ד (x 2 + y )( x 2 − y ) .ז :) פשט את הביטויים הבאים50 ( x + 1)( x + 2 ) − 3x .א x ( 2 x − 1)( 2 x + 1) − 4 x 2 ( x + 1) .ג x ( x + 3) − ( 6 + x )( 6 x + 2 ) − ( x + 2 ) .ה 2 −5 ( x + 7 )( x − 7 ) + 3 ( 2 x + 5)( 5 − x ) + ( x + 1) 22 2 .ו www.bagrut.co.il פירוק לגורמים של ביטויים אלגברים: סיכום כללי: פירוק לגורמים הוא פעולה הפוכה לפתיחת סוגריים – נרצה להוציא את הגורמים המשותפים לאיברים מחוץ לסוגריים. • פירוק לגורמים ע"י הוצאת איבר אחד משותף: oהוצאת מספר משותף: ). 2 x − 8 = 2 ( x − 4 oהוצאת אות משותפת: ) . x 2 − 12 x = x ( x − 12 oהוצאת מספר ואות יחד: ) . 3x 2 − 21x = 3x ( x − 7 • פירוק לגורמים ע"י נוסחאות הכפל המקוצר: oנוסחת הבינום של ניוטון: oנוסחה להפרש ריבועים: 2 ) . a 2 2ab + b2 = ( a b ) . a 2 − b2 = ( a + b )( a − b שאלות: )51פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף: א3x − 12 . ב6 y − 4 . ג20 − 8a . ד4a 3 + 8b . ה75m 2 + 25m + 15 . ו40a 2 − 8b 2 + 64c 2 . )52פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף: אy 2 + 5 y . ב3 x − 11x 3 . ג6 y 2 + 5 y 3 + 4 y . www.bagrut.co.il 1 7 1 5 דa − a + a 3 . 2 4 23 )53פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף: ב3t + 12t . א2 x 2 − 8 x . 2 ג5n 3 − 20n 2 + 50n . ה4 x 2 y 2 + 16 x 2 y − 20 xy 2 . ד8 y 2 + 6 y 3 − 2 y 4 . ו. 27mn − 3n 2m + 9n 3m )54פשט את הביטויים הבאים ע"י שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר: בx 2 + 12 x + 36 . אx 2 + 10 x + 25 . גy 2 − 18 y + 81 . דy 2 − 22 y + 121 . ה4 x 2 + 4 x + 1 . ו16 y 2 − 8 y + 1 . ז9 x 2 − 24 x + 16 . ח25 x 2 + 70 x + 49 . )55פשט את הביטויים הבאים ע"י שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר: אr 2 − 25 . בx 2 − 81 . ג25 y 2 − 49 . ד121x 2 − 1 . הx 2 y 2 − 4 . ו9 y 4 − 169 x 4 . )56פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר: בx 3 − 10 x 2 + 25 x . אy − y 3 . גm 4 − 1 . www.bagrut.co.il ד196 x 4 − 140 x 3 + 25 x 2 . 24 פירוק הטרינום: סיכום כללי: טרינום משמעו תלת איבר מהצורה ax 2 + bx + c :כאשר b , aו c -הם מספרים כלשהם. שיטת הטרינום מאפשרת לפרק את תלת האיבר ל 4-איברים ע"י פיצול האיבר bx לשני איברים באופן כזה שמאפשר להוציא גורם משותף. הכלל הוא למצוא שני מספרים m1 ,ו , m2 -שמקיימים m1 m2 = ac :ו. m1 + m2 = b - לאחר מכן ניתן לפרק את הטרינום. ax 2 + bx + c = ax 2 + m1 x + m2 x + c : השלב האחרון הוא הוצאת גורם משותף מכל זוג. ax 2 + m1 x + m2 x + c : הערה: במקרה שנוסחת השורשים ידועה ,ניתן להיעזר בה כדי למצוא את המספרים m1ו m2 -באופן −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac = , m2 = m1ולאחר מכן ניתן לכתוב את הטרינום הבא: 2a 2a −b = m1 = m2אז כמכפלה . ax 2 + bx + c = a ( x − m1 )( x − m2 ) :אם קיים פתרון (שורש) אחד 2a נכתוב ax 2 + bx + c = a ( x − m1 ) :ואם לא קיימים פתרונות אז לא קיים פירוק כלל. 2 שאלות: )57פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום: בx 2 − 8 x + 15 . אx 2 + 5 x + 4 . 3 x 2 − 11x + 6 ד. 2 x 2 + 7 x − 15 ה. ז. 2 x2 + x − 6 חx 2 − 18 x + 81 . ג. 2 x − 33 x + 62 ו. 6 x2 + 5x + 1 טx 2 + 2 x + 8 . )58פרק את הביטויים הבאים ע"י שימוש בנוסחת השורשים. הערה :במידה ולא למדת על נוסחת השורשים התעלם משאלה זו. בx 2 + 5 x + 4 . א6 x 2 + 5 x + 1 . ג4 x 2 + 20 x + 25 . www.bagrut.co.il ד3x 2 − x + 20 . 25 שברים אלגברים: סיכום כללי: הגדרה: שבר אלגברי מורכב משתי תבניות ,אשר אחת מחלקת את השנייה. x +1 3x 4 , 2 , דוגמא לשברים אלגבריים: x + 2 x + 1 x − x3 . במקרה בו המכנה הוא מספר ,לא מדובר בשבר אלגברי מכיוון שניתן לכתוב את 3x + 5 3 5 הביטוי ללא צורך בחילוק בין ביטויים שונים כגון= x + : 4 4 4 . תחום הגדרה של שבר: היות ושבר אלגברי הוא תבנית אשר יכולה לקבל ערכים שונים בעת הצבות שונות, חשוב להגביל את המספרים שניתן להציב באופן כזה שלא תתקבל חלוקה באפס. 1 דוגמא :השבר x+4 1 0 לא מוגדר כאשר x = −4מכיוון שמתקבל. : במקרים אלו נדרוש תנאי על המשתנה אשר יכתב באופן הבא x −4 :ומשמעו היא ש x -יכול לקבל על ערך מספרי אפשרי למעט ,-4מכיוון שבמקרה זה השבר לא מוגדר. כלל צמצום שברים אלגברים: ניתן לצמצם שברים אלגברים ע"י הבאת המונה והמכנה למכפלה של ביטויים. במידה וקיימות פעולות החיבור והחיסור בין איברים שונים לא ניתן לבצע צמצום של איברים דומים בין המונה והמכנה .להלן מספר דוגמאות הנוגעות לצמצומים: 2 x + 8 2 ( x + 4 ) 2 1 = = • צמצום ע"י הוצאת גורם משותף= 2 : x+4 1 x+4 . )3 ( x − 5 3x − 15 3 1 3 = = = • צמצום ע"י נוסחת כפל מקוצר: x − 10 x + 25 ( x − 5) 2 x − 5 x − 5 2 . x 2 − 2 x − 3 ( x + 1) ( x − 3) x − 3 = = . 2 • צמצום ע"י פירוק טרינום: x − 3x − 4 ( x + 1) ( x − 4 ) x − 4 www.bagrut.co.il 26 שאלות: )59מצא את תחום ההגדרה של השברים האלגבריים הבאים: x+4 א. x+3 5 ב. x−6 x+7 ג. 2x − 8 ד. x2 + 1 x2 − 4 x 3 ה. x + 2x + 1 ו. x2 x2 − 4 2 ז. 6 y − y2 4 8x − 2 ח. 3x − 15 x 2 + 12 x 3 )60צמצם את השברים הבאים (במידה ולא ניתן צמצם הסבר מדוע): a−x ב. a ax א. a ג. x +1 ד. y +1 a − ax a 6x 6y x ה. x+ y ו. x2 y ז. xy 2 x2 + y2 ח. x2 y2 4x 2 y ט. xy 3x 2 י. x2 + 3 )61צמצם את השברים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף וכתוב את תחום הגדרתם: 3 x + 12 א. x+4 m 2 + 4m ב. 4m + 16 2a − 12 ג. a 2 − 6a x 2 − 5x ד. 15 − 3x 3 − 18 y 2 ה. 6 y2 − 1 ז. 3y y − 3y2 www.bagrut.co.il 3 ו. 4 x3 − 2 x2 6x − 3 3z 3 − 12 z 2 + 4 z ח. z 2 + 5z 27 )62צמצם את השברים הבאים ע"י פירוק לגורמים וכתוב את תחום הגדרתם: x 2 + 10 x + 25 א. 2 x + 10 8n − n 2 ב. n 2 − 16n + 64 z3 − 4z 2 ג. 2 z 2 − 16 z + 32 4m 2 + 20m + 25 ד. 4m 2 + 10m 18 y 2 − 24 y + 8 ה. 2 y − 3y2 ו. a 3 + 4a 2b + 4ab 2 3ab + 6b 2 )63צמצם את השברים הבאים ע"י טרינום ריבועי וכתוב את תחום הגדרתם: x+2 א. x − 3 x − 10 m 2 − 12m + 32 ב. m−4 4 y − 10 ג. 2 y 2 + y − 15 3z 2 + 26 z + 16 ד. 3z + 2 2 x 2 + 5 x − 36 ה. x3 + 9 x2 ו. x2 + 4 x + 4 ז. x 2 + 5x + 6 x 2 − 14 x + 49 ח. x 2 + x − 56 3a 2b − 10ab2 + 3b3 ט. −3a 3b + 11a 2b2 − 6ab3 m3n − m2 n 2 − m2 + mn י. 2m2 n3 + mn 2 − 3n 9n 2 − 12n 4 + 5n − 6n 2 כפל וחילוק של שברים אלגבריים: סיכום כללי: כפל שברים יתבצע ע"י הכפלת כל מונה בנפרד והכפלת כל מכנה בנפרד. חילוק שברים יתבצע ע"י לקיחת ההופכי של שבר המחלק וביצוע פעולת כפל. )x ( x + 1 x +1 x x +1 x 1 = = = • דוגמא לכפל שברים: 2 2 2 x 3x + 3 x 3 ( x + 1) 3x ( x + 1) 3x . 1 4 x 12 )4 x y 2 + y 4 x y ( y + 1) x ( y + 1 = = = . : 2 • דוגמא לחילוק שברים: y y +y y 12 3 y 12 3 www.bagrut.co.il 28 שאלות: )64פשט את הביטויים הבאים: x 9 ב. 3 x2 x x א . 3 8 ג. 5 y2 3 ד. 40 x 7y 2 ה. 3x + 9 + 3x ) 2 (x ו. 6x2 20 5a + 25 − 25 ) 2 (a y + 4 y 2 − 16 ח. y 2 + 16 2 y + 8 w2 − 9 w2 ז. w 2w + 6 z 2 + 30 z + 225 12 ט. 6 z + 90 2 z − 10 י. 5n 2 2n 2 + 44n + 242 n 2 + 4n + 4 n 2 − 121 n+2 n )65פשט את הביטויים הבאים: x x : א. 8 6 ג. 1 6a y 5 : ב. 25 y 5 ד: a 2 . 6a a2 : 5d − 15 ה. 5d − 3d ) : 2 (d y 2 + 8 y + 16 y 2 − 16 ז. : 8 y2 7 y2 ו. t 3t : t+4 t+4 a 2 − 64 a + 8 : ח. a 2 − 36 a + 6 חיבור וחיסור של שברים אלגברים: סיכום כללי: ביצוע פעולת החיבור והחיסור תתבצע באופן זהה לשברים מספריים. נרצה להרחיב את השברים כך שהמכנה של שניהם יהיה זהה ,ולאחר מכן נחבר את המונים. כדי להרחיב את השברים נעזר בפעולת מציאת מכנה משותף. לשם כך נעזר בפירוקים השונים כדי להביא את הביטויים שבכל מכנה לצורתם המופשטת. www.bagrut.co.il 29 דוגמא לחיבור שברים בעלי אותו מכנה: 1 x + 1 1 + ( x + 1) x + 2 + = = x x x x דוגמא לחיבור מספר לשבר אלגברי: )2 ( x + 2 2 ( x + 2) + 3 2 x + 7 3 3 = + = = x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 2+ דוגמא לחיבור שברים עם מכנים שונים (ע"י פעולת מכנה משותף): 1 1 x x +1 x + x +1 2x + 1 = + + = = )x + 1 x x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1 דוגמא לחיבור שברים ע"י שימוש בפירוק לגורמים (כדי למצוא מכנה משותף מינימלי): 1 3 1 3x 1 + 3x + = 2 + 2 = 2 x − 3x x − 3 x − 3x x − 3x x − 3x 2 דוגמא לחיבור שברים ע"י נוסחאות הכפל המקוצר (כדי למצוא מכנה משותף מינימלי): ) 3 ( x + 3) − 2 ( x − 3 3 2 3 2 x + 15 − 2 = − = = 2 2 2 )x − 6 x + 9 x − 9 ( x − 3 )( x − 3)( x + 3 )( x − 3) ( x + 3 ) ( x − 3) ( x + 3 2 שאלות: )66פשט את הביטויים הבאים: a a −5 + א. 6 6 5 4x + 3 + ב. x x x − 2 3 + 4x + ג. x +1 x +1 7z 4z z+3 − − ד. 2z − 3 2z − 3 2z − 3 www.bagrut.co.il 30 :) פשט את הביטויים הבאים67 1 5 − .א ab bc 1 5 4 + + .ב xy yz xz − 5 x +1 + .ד x xy 2 3 2 − z ( z − 3) z ( z − 2 ) c ad 2b − + ab bc cd 1 .ו ( y + 1) 2 + .ג 3 .ה y +1 :) פשט את הביטויים הבאים68 1+ 3− 3 .ב y2 1− 1 1 + .ד x 3x 2+ x z 3− y 1 + 2 + −3 .ו 9 yz 3 y x 12 xz 2 2 .א x 2 .ג x +1 a +1 3− a − − 3 .ה a2 4a :) פשט את הביטויים הבאים69 3 1 + .א x +1 x 4 3 − .ב y+2 y a +1 3 + a+2 a 1 2 3 + − .ד z + 3 3z z .ג :) פשט את הביטויים הבאים70 24 4 + .א a −9 a+3 3 2 + .ב x − 16 ( x + 4 )2 2 2 3z z + 0.5 − 2 .ד z + 4z + 3 z + 2z + 1 y ( y − 2) 2 2a + 3 a+3 + 2 2a + 15a + 7 a + 14a + 49 2 + 3y .ג 4 − y2 .ו x −1 2 + 2 .ה x + 3x − 40 − x + 8 x − 15 1 2 3b + − 2 .ח a − b a + 2b a + ab − 2b 2 x 9− x + 2 .ז x − 3 x − 8 x + 15 2 31 2 www.bagrut.co.il )71פשט את הביטויים הבאים: 4 x2 9 x +1 + א. x 8 x + 1 18 x 2 ב. + 1 x 7 x + 14 7 6 y−4 3y − 4 : 3− 2 ג. 2 y y 63 y − 8 y + 16 2 1 6 x3 + 2 x − 4 ד. 3 x − + : x2 x x2 2 2x +1 3x + 1 18 x + 3 − ה. : 2 2 2 20 x − 28 x − 3 30 x − 17 x − 2 6 x − 13x + 6 שברים כפולים: סיכום כללי: a שבר כפול מורכב באופן הבאb : c d a a c a d ad = .b = : = כאשר מתקיים: c b d b c bc d נובע מכאן כי ניתן לצמצם ביטויים בין שני המכנים או שני המונים בלבד. שאלות: )72פשט את הביטויים הבאים: 4x א. 12 x y +1 ב. 2y + 2 5 t 2 − 81 9t 2 ד. 6t + 54 3y3 − y2 25 ה. y2 3− y ו. t 2 − t − 20 ח16t + 8 . 25 − t 2 2t + 1 1 x −4+ x טx + 1 . )1 − 3 x ( x + 1 5x + 5 ז. 8c 2 3c3 − 9c 2 − 12c 40 15c + 15 www.bagrut.co.il ג. 5 t 30t 2 4x x +1 8 2 x + 2x + 1 32 תשובות סופיות: )1להלן מערכת הצירים: )2א5 . ו17 . ב-5 . ז-1 . ג1 . ח.-4 . ד-1 . ה-5 . )3א-10 . ב2 . ג-3 . ד-4 . ה-19 . )4א36 . ו-40 . יא-18 . ב-28 . ז-18 . יב36 . ג30 . ח18 . יג-16 . ד15 . ט18 . יד.16 . ה-16 . י18 . )5א+ . ב+ . ג- . ד.- . )6א5 . ב-10 . ג-4 . ד8 . )7א-5 . ב-7 . ג-8 . ד.4 . )8א0 . ב0 . ג0 . ד .לא מוגדר ה4 . )9א9 . ז-125 . ב27 . ח10000 . ג-27 . ט-81 . )10א-3. ב5 . ג .לא מוגדר ד-2 . )11א28 . ז5 . ב33 . ח-21 . ג19 . ט-16 . 1 ה. 3 ד-8 . י-625 . ד-37 . י-44 . − ו.-18 . 1 ו. 4 ו.-4 . ה64 . יא-64 . ו.81 . יב.-64 . ה-3 . ו.-10 . ה31 . יא20 . ו-14 . )12תשובה מודגמת בסרטון. 1 )13א. 5 4 18 40 , , )14א. 8 36 80 www.bagrut.co.il 1 ב. 6 2 ג. 3 3 ד. 4 30 75 180 , , ב. 50 125 300 .− . 80 160 440 , , ג. 128 256 700 33 1 ב. 3 5 )15א. 6 3 ז. 4 1 ד. 5 1 ג. 4 5 ה. 8 3 ח. 11 −6 3 ב. 4 4 5 2 ח. 3 6 2 )16א. 3 7 ז. 8 23 ב. 6 5 )17א. 3 44 ז. 7 − 2 ג. 5 2 ד. 5 2 4 25 ד. 4 9 ג. 2 4 )18א. 10 7 ב. 6 5 ג. 6 7 )19א. 10 7 ב. 100 7 ג. 1000 17 ד. 50 1 1 ח. 50 1 21 ט. 50 1 1 י. 2 3 )20א0.3 . ז0.4 . יב0.5625 . ב0.03 . ח0.16 . יג9.1 . ג0.003 . ט0.14 . יד3.2 . ד0.023 . י0.15 . טו4.875 . )21א0.6 . ב0.83 . ג0.428 . ד0.18 . 1 )22א. 4 8 ב. 25 16 ג. 25 4 ד. 5 1 ח. 2 ז3 . )23א75% . ז83.333% . 9 )24א. 20 3 ז. 5 3 www.bagrut.co.il 4 ה. 6 1 ו. 7 −5 −7 21 ו. 8 47 ה. 4 − 115 ח. 9 7 ד. 12 1 ז. 5 4 ו. 7 13 ו. 20 38 ה. 125 3 יא. 100 6 ה0.5 . יא0.875 . טז-4.0625 . 1 ה. 5 1 1 יב. 8 5 ו0.75 . 1 ו. 20 1 ב12.5% . ג80% . ד35% . ה27.5% . ו56% . ח44.444% . 5 ב. 21 2 ח. 5 15 8 ג. 45 8 ט. 35 2 ד. 5 8 2 64 י. 125 ה4 . 2 ו. 5 4 יא. 125 4 יב. 5 34 2 12 6 ג. 35 9 )25א. 10 1 ב. 2 2 ז. 25 2 ח. 3 ט2 . )26א6 . ז30 . ב4 . ח24 . ג15 . ד30 . 4 )27א. 5 7 ב. 9 ג1 . 3 ד. 4 1 ז. 4 1 − 4 ח. 5 1 7 ב. 10 5 )28א. 6 19 ז. 21 5 )29א. 6 − 1 ח. 10 2 2 1 ח. 20 11 )30א. 24 2 ה15 . 1 ה20 . ו12 . 1 ה. 2 1 ו. 9 3 י. 5 1 ד. 8 − 5 ו. 6 ה5 . 3 − 1 ג. 12 1 1 ב. 10 1 7 ג. 12 1 ב. 6 13 ז. 18 5 ט. 8 ד36 . 5 ו. 18 3 5 ד. 12 1 11 ה. 12 7 5 ו. 8 − − 1 3 ג. 4 −13 )31א 18 .בנות. ב 12 .בנים. )32א 40 .תלמידים. ב 12 .בנים. )33א₪ 240 . ב₪ 60 . )34א₪ 540 . ב₪ 40 . 5 ד. 6 2 5 ה. 18 3 ₪ 4.9755 )35 ₪ 400 )36 )37א88% . ב60% . ג50% . ד33.33% . ה33.33% . ו25% . )38א11 . ז-10 . ב10 . ח45 . ג-12 . ד-65 . ה-7 . ו5 . 10 )39א. 27 22 ב. 27 www.bagrut.co.il 5 35 1 .ה 2 644 .ד -37 .ז x2 .ו 4a 2 − a .ה 15 x 3 − 19 .ט 0 .י 4 x 2 + 3x − 9 .יג 14 x 2 z + 5 xz 2 + 6 .יח − x 2 y .ד 5 .ג .ג 8mn 2 − 6nm 2 .ח −6a 5 .ה 4 z 2 − 1 .יז −5 x − 5 y − 5 xy .יד −3 x 2 + 2 x − 3 .יט .כ −8 y 2 − 5x3 y 2 .כג −8x2 y3 + 15a 2 .כב 2a 2b + 3a 2 + 7b .כו .כה − x2 − 4 y 2 + 4 x2 y + 9 xy 2 − 7 xy .כז −24x 2 .ג 28x 2 .ב 6x 2 .ט 28a 2b 2 .ח 3ab .ז 28x − 8 .ג −6 x 2 + 10 x − 2 .ב . ח10 x 2 + 6 x .ז b3 − 3b 2 + 4b .ו −2 + 4x .ד 32m 5 10d 5 − 7.5d 2 −3x 2 + 33 x − 28 .ז .יא −2a 3b 2 5 x 3 + 10 x 2 − 15 x 9 xy − 36 y 7 x2 − 7 x + 2 −3x 2 − x .ד 8x .) א41 .יב 2 xy + x + 1 33x3 y3 − 14 x 2 y 2 − 3xy 3 − 12 x3 y .כח .ו .ב −13n − 2m + 6mn .טו 25a 2b − 22ab 2 −2b5 2x 2 .טז −5ab 2 + 22a 2b − 3b −6x3 y − x 2 .כד 4 .) א40 9 : הצבה שניה,4 : הצבה ראשונה.ו 4xy 7a 2b + 13x 2 y .כא -71 .ב .ה x + 9 .ד .י −6 x + 11 .ג .) א42 6 x − 8 .) א43 3a 2 − a .ה 12t 3 − 3t 4 + 18t 2 .ט 13x − 6 .ב 6 x − 6 .) א44 10 y 2 + 32 y − 27 .ו − x 2 − x + 12 .ג x 2 − 4 x − 21 .ב x2 + x − 2 12 x 2 − 34 x + 10 .ו 24 x 2 − 30 x − 9 .ה 15 x 2 + 23 x + 4 18m 2 − 6m − 39 .ג 7 .ב x2 + 3 .) א46 16 x 2 + 40 x + 25 .ג .ב x 2 + 10 x + 25 .) א47 25 x 2 + 20 xy + 4 y 2 .ו 49 x 2 + 14 xy + y 2 .ה 36 x 2 + 24 x + 4 .ד x6 + 4 x 4 y 2 + 4 y 4 x 2 .ט x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 .ח x 4 + 14 x + 49 .ז −3x5 y 3 + 3x 4 y 2 .ד 36 x2 + 4x + 4 .) א45 .ד www.bagrut.co.il 25 − 10x + x 2 1 2 1 x − 3 x + 25 .ו 9 3 9a 4b6 − 16 9x2 −1 x4 − .ג x 4 − y 2 .ז .ח x 2 − 12 x + 36 .) א48 1 .ה 4 36 x 2 − 12 x + 1 .ד 6 2 9 2 x y+ y .ח 5 25 9m 2 − 12mn + 4n 2 .ז 9 x 2 − 3x + x 4 y 4 − 14 x 2 y 2 + 49 .ט 25 − 49x 2 .ד .ב x2 − 4 x + 4 .ג x2 − 9 25 y 2 − .ב 1 2 x .ו 16 x 2 − 25 .) א49 1 2 x − 36 .ה 4 −4x 2 − x .ג 5 x 2 − 24 x + 13 .ב x2 + 2 −10 x 2 + 17 x + 321 .ו −6 x 2 − 39 x − 16 .ה 18 x 2 − 6 xy .ד 4 ( 5 − 2a ) .ג 2 ( 3 y − 2 ) .ב 8 ( 5a 2 − b2 + 8c 2 ) .ו 5 (15m2 + 5m + 3) .ה y ( 6 y + 5 y 2 + 4 ) .ג x ( 3 − 11x 2 ) .ב .) א50 3 ( x − 4 ) .) א51 4 ( a3 + 2b ) .ד y ( y + 5 ) .) א52 1 1 a 3 a 4 − a 2 + 1 .ד 4 2 5n ( n 2 − 4n + 10 ) .ג 3t ( t + 4 ) .ב 3mn ( 9 − n + 3n2 ) . ו4 xy ( xy + 4 x − 5 y ) .ה 2 ( y − 11) .ד 2 ( y − 9 ) .ג 2 ( x + 6 ) .ב 2 ( 5x + 7 ) .ח 2 ( 3x − 4) .ז 2 ( 4 y − 1) .ו ( 5 y + 7 )( 5 y − 7 ) .ג ( x + 9 )( x − 9 ) .ב + 13x 2 )( 3 y 2 − 13x 2 ) .ו ( xy + 2 )( xy − 2 ) .ה (3 y 2 (m 2 + 1) ( m + 1)( m − 1) .ג x ( x − 5) .ב 2 2 x ( x − 4 ) .) א53 2 y 2 ( 4 + 3 y − y 2 ) .ד 2 ( x + 5) .) א54 2 ( 2 x + 1) .ה ( r + 5)( r − 5) .) א55 (11x + 1)(11x − 1) .ד y (1 + y )(1 − y ) .) א56 x 2 (14 x − 5) .ד 2 37 ( x − 2 )( x − 31) .ג ( x − 3)( x − 5 ) .ב ( 3x + 1)( 2 x + 1) .ו ( 3x − 2 )( x − 3) .ה ( 2 x − 3)( x + 5 ) .ד . אין פירוק.ט 2 ( x − 9 ) .ח ( x + 2 )( 2 x − 3) .ז ( x + 1)( x + 4 ) .) א57 www.bagrut.co.il . אין פירוק.ד x0,x4 .ד 2 ( 2 x + 5) .ג ( x + 1)( x + 4 ) .ב 1 1 6 x + x + .) א58 3 2 x 4 .ג x 6 .ב x −3 .) א59 y 0 , y −1 , y 1 .ז x −2 , x 2 x −1 .ה .ו x 0 , x 1 , x 4 1 − x .ג לא ניתן לצמצם.ב x .ו y לא ניתן לצמצם.ה לא ניתן לצמצם.ד לא ניתן לצמצם.י 4x .ט לא ניתן לצמצם.ח 2 , a 0, 6 .ג a m , m −4 .ב 4 x .ז y 2x2 1 , x .ו 3 2 −3 , y z2 , z 4 .ג 2 ( z − 4) a ( a + 2b ) , b 0, a −2b .ו 3b x .) א60 3 , x -4 1 .ה 6 3z 2 − 12 z + 4 , z 0, −5 .ח z +5 n , n 8 .ב 8−n − .) א61 x , x 5 .ד 3 3 , y 0,3 .ז y ( y − 3) x+5 , x −5 .) א62 2 2(2 − 3y) 2m + 5 5 2 , m 0, − .ד , y 0, .ה 2m 2 y 3 2 5 , x −3, .ג y +3 2 m −8 , m 4 −3n 1 4 , n − , .ו 2n + 1 2 3 .ב 1 , x 5, −2 .) א63 x−5 x−4 , x 0, −9 .ה x2 x−7 , x 7, −8 .ח x+8 m (m − n) 3 , mn 1, − , n 0 .י n ( 2mn + 3) 2 z +8 , z − 2 .ד 3 x+2 , x −2, −3 .ז x+3 3a − b , a 0 , b 0, a 3b , 2b 3a .ט a ( 2b − 3a ) 2x .ה 3 9x .ד 20 35 .ג y 3 .ב x 10n ( n + 11)( n + 2 ) .י n − 11 z + 15 .ט z −5 y 2 − 16 .ח 2 y 2 + 32 w ( w − 3) .ז 2 38 .ח x2 .) א64 24 4 ( a − 5 ) .ו www.bagrut.co.il 1 .ו 3 5 .ד 6a 3 d 2 .ה y2 .ב 125 6a 3 .ג 3 .) א65 4 7 ( y + 4) .ז 8 ( y − 4) a −8 .ח a−6 1 .ד c 2 d − a 2 d 2 + 2ab 2 .ג abcd 1 ( z − 2)( z − 3) 5x + 1 .ג x +1 4x + 8 .ב x 2a − 5 .) א66 6 z + 5x + 4 y .ב xyz 3y + 4 .ו ( y + 1) 2 c − 5a .) א67 abc −5 y 2 + x + 1 .ד xy 2 .ה 2x + 4 .ג x +1 y2 + 3 .ב y2 4 x 2 y + 12 z 2 + 9 y 2 − 3 y 3 − 126 xy 2 z .ו 36 xy 2 z −11a 2 + a + 4 .ה 4a 2 a 2 + 4a + 6 .ג a ( a + 2) y −6 .ב y ( y + 2) x−2 .) א68 x 9x − 2 .ד 3x 4x +1 .) א69 x ( x + 1) − 2y (4 − y) ( y − 2) ( y + 2) 2 4 ( a 2 + 6a + 6 ) ( a + 7 ) ( 2a + 1) 2 5x + 4 .ג ( x − 4 )( x + 4 ) 2 .ו 4 .) א70 a −3 .ב x 2 − 6 x − 13 .ה ( x + 8)( x − 5)( x − 3) ( 4 z + 3)( z − 1) .ד 2 2 ( z + 1) ( z + 3) x−3 .ז x−5 3 .ח a + 2b 1 .ה 3 (10 x + 1) ( 3 y − 1)( 3 − y ) 25 .ה 147 y 2 − 594 y + 8 .ג 126 ( y − 4 ) 1 .ד 2 39 x .ב 7 x +1 .) א71 2 x2 .) א72 3 t −9 .ד 54t 2 1 .ג 6t 3 2.5 .ב 5 .ט x t+4 .ח −8 ( t + 5) c .ז c−4 . 4 z + 21 .ד 3 z ( z + 3) x ( x + 1) .ו 2 www.bagrut.co.il
