ALGEBRA Y GEOMETRIA I - Apunte Teórico - 1° Cuatrimestre 2020
Unidad I: Números reales. La recta real. Operaciones con reales y sus Propiedades. Orden y desigualdades.
Intervalos reales, representación gráfica. Valor absoluto de un número real: propiedades. Ecuaciones e
inecuaciones con reales incluyendo (o no) valor absoluto. Sumatoria.
En esta unidad nos proponemos: comprender cómo se compone el conjunto de los números
reales, reconocer elementos de los conjuntos:
, resolver correctamente
operaciones con reales aplicando las propiedades, hallar conjunto solución de ecuaciones con
reales, comprender el concepto de intervalos y resolver operaciones conjuntistas entre ellos,
hallar conjunto solución de inecuaciones con reales, comprender el concepto de valor absoluto
de un número real, su definición y sus propiedades. Resolver ecuaciones e inecuaciones con
valor absoluto. Hacer correctamente la interpretación geométrica del valor absoluto de un
número. Utilizar correctamente el símbolo de sumatoria para expresar una suma en forma
resumida y también desarrollar sumatorias que están en su forma resumida.
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Comenzamos…
El concepto de número real ha ido tomando forma, a lo largo del tiempo, producto de sucesivas
ampliaciones de los conjuntos numéricos que se fueron conformando por las necesidades que
presentaba la cambiante actividad del Hombre y la operatoria que se iba incorporando.
El primer conjunto numérico (que no tenía la simbología de los números actuales) fue el conjunto
de los números positivos, no decimales que ahora conocemos como conjunto de Números
Naturales
. Estos respondían a la necesidad del Hombre de registrar los objetos que eran de
su propiedad.
Luego, cuando el Hombre forma comunidades y se hace sedentario surge el comercio entre
aldeas vecinas. Ahí aparece la necesidad de registrar números negativos (por deudas) y el cero
cuando las deudas eran canceladas. Este conjunto numérico sería el que hoy llamamos Números
Enteros
.
Casi por la misma época y por las mismas razones surge la necesidad de crear números no
enteros, es decir decimales. Pensemos que se podía necesitar “un kilo y medio de verdura” o
“medio litro de una bebida”. Entonces el conjunto numérico se amplia y llegamos a lo que hoy
llamamos Números Racionales
. Para el desenvolvimiento de la población, bastaba hasta
estas épocas las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división
Llegada la civilización griega y su sistema educativo, que separaba el conocimiento en sus
instituciones educativas para las carreras humanísticas o para las carreras referidas a ciencias
exactas y naturales toman vigor dos operaciones nuevas: potenciación y radicación. Con éstas
nuevas operaciones aparecen los números irracionales (números indicados como raíces que no
tienen un resultado exacto ni tampoco periódico. Por ejemplo: √
√ etc). En esta etapa se
contaba con los números naturales, enteros, racionales e irracionales, los cuales completan el
conjunto numérico que hoy conocemos como de Números Reales
.
Observemos que entre los números Racionales y los Irracionales no hay intersección, ya que
ningún número puede ser racional e irracional a la vez. En cambio, sí puede suceder que un
número sea racional, entero y natural a la vez.
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El esquema que muestra el conjunto de números reales con sus sucesivas ampliaciones es el
siguiente
1) Conjunto de Números Naturales
El conjunto de números naturales está compuesto de la siguiente forma:
{
}
Se puede observar que tiene primer elemento (el número uno) pero no cuenta con último
elemento.
Además, cada número natural tiene su siguiente, el cual se obtiene sumándole una unidad al
anterior.
Ejemplo: el siguiente del 3 es el 4 (que resulta de sumar uno al tres)
En general el siguiente de un número natural
es
.
Por otro lado, en el conjunto de números naturales, las operaciones de SUMA y
MULTIPLICACION son cerradas.
Esto es:
Obs: una operación se dice CERRADA en un conjunto numérico si se cumple que operando dos
elementos del conjunto, su resultado sigue perteneciendo al conjunto de origen
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Al conjunto de números naturales podemos, también, representarlo sobre una semi-recta
numérica de la siguiente forma:
2) Conjunto de Números Enteros
El conjunto de números enteros,
negativos. Es decir:
, surge de la unión de los números naturales, el cero y los
{ }
A este conjunto se lo representa en una recta numérica
y se conforma de la siguiente manera:
{
}
El conjunto de números enteros no tiene primer elemento ni último elemento. Cada número
natural pertenece al conjunto de números enteros, por lo cual diremos que:
En
el
conjunto
de
números
enteros,
son
CERRADAS,
las
operaciones
de
SUMA,
MULTIPLICACION y también la DIFERENCIA.
Una característica de los números enteros es que cada uno de ellos cuenta con su opuesto, tal
que al sumarlos nos da por resultado el número cero. Esto es:
Por esta característica es que podemos decir que hacer la Resta entre dos números enteros
consiste en Sumar al primero el Opuesto del Segundo. En símbolos sería:
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3) Conjunto de Números Racionales
El conjunto de números racionales se define de la siguiente manera:
{
}
Bajo esta definición el número
√
porque √
pues
, en cambio el número
.
Observando detenidamente la definición de un número racional podemos notar que pide como
requisito que sea
. Esto es porque NO ESTA DEFINIDA LA DIVISION POR CERO.
Es decir que la frase
La fracción
no tiene sentido matemático
se llama IRREDUCIBLE si los números
NO TIENEN DIVISORES COMUNES
excepto el uno y el menos uno.
Por otro lado, todo número racional
tiene una única representación como fracción irreducible
y con denominador positivo.
Ejemplo: la fracción
NO ES IRREDUCIBLE pues entre 6 y 15 hay un divisor común que es el
número 3. Y, por otro lado, la representación de esa fracción como fracción irreducible existe y
es la fracción .
Es decir las fracciones
y
son FRACCIONES EQUIVALENTES pero la segunda es la
expresión SIMPLIFICADA de la primera.
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Simplificar cada una de las siguientes fracciones:
a)
b)
c)
2) Completar los casilleros para que resulten fracciones equivalentes:
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3) Unir cada fracción del conjunto de la izquierda con su equivalente del conjunto de la derecha
En el conjunto de los números racionales las operaciones de SUMA, RESTA, MULTIPLICACION y
DIVISIÓN son CERRADAS, excluyendo la división con divisor igual a cero la cual no está definida
como se vio anteriormente.
Una característica de este conjunto numérico es que: dados dos números racionales
siempre se encuentra otro racional entre ellos.
Sean
tales que
, si consideramos al número
Es decir que encontramos un número racional
considerados
,
podemos notar que:
que se encuentra entre los otros dos
Dicho de otro modo:
Esta característica se conoce como propiedad de DENSIDAD de
de
, es un CONJUNTO DENSO.
. Es decir que
, a diferencia
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Hallar un número racional
2) Hallar un número racional
entre
y
entre
¿cuántos números racionales podríamos encontrar que verifiquen esta condición?
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Analicemos, ahora, las relaciones de inclusión que se cumplen entre:
Podemos pensar que todo número entero es un racional, ya que todo número entero (excepto el
0),
, puede escribirse como fracción cuyo denominador es un uno. Esto es:
{ }. Entonces se verifica que:
Por el mismo razonamiento, cada número natural es entero y también es racional. Entonces se
cumple que:
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Dar un ejemplo de un número
a) Que sea entero pero no natural
b) Que sea entero y racional
c) Que sea natural, entero y racional a la vez
d) Que sea racional pero no entero
e) Que sea natural pero no entero
2) Marcar con una
en el casillero de cada conjunto numérico al cual pertenece cada número
dentro de la siguiente tabla
4) Conjunto de Números Irracionales
Los números irracionales son expresiones con infinitas cifras decimales, no periódicas, que no
cuentan con ningún criterio de formación. Es decir que son números que no tienen una
expresión racional de la forma .
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Son ejemplos de números irracionales los siguientes:
√
√
Entre los conjuntos
no hay elementos comunes, es decir ningún número es racional e
irracional a la vez, por otro lado la unión de los números racionales con los irracionales da por
resultado todo el conjunto de números reales.
En símbolos:
5) Conjunto de Números Reales
Al conjunto de números reales se lo representa en la llamada RECTA NUMERICA, que tiene
todos y cada uno de sus puntos asignados a un número real. Es decir la recta numérica (Recta
real) se encuentra ORDENADA y COMPLETA.
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Graficar la recta numérica y representar en ella, el siguiente conjunto de números reales:
{
}
En el conjunto de números reales definimos dos operaciones: SUMA y PRODUCTO. Ya hemos
dicho de ellas que son cerradas en .
Analizaremos, ahora, las propiedades que ellas verifican:
1) CONMUTATIVIDAD
1.a) Para la SUMA:
1.b) Para el PRODUCTO:
2) ASOCIATIVIDAD
2.a) Para la SUMA:
2.b) Para el PRODUCTO:
3) EXISTENCIA DE NEUTRO
3.a) Para la SUMA:
3.b) Para el PRODUCTO:
4) EXISTENCIA DE INVERSOS
4.a) Para la SUMA:
4.b) Para el PRODUCTO:
{ }
{ }
5) DISTRIBUTIVIDAD DEL PRODUCTO (DIVISION) CON RESPECTO A LA SUMA (RESTA)
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6) UNIFORMIDAD
6.a) Para la SUMA:
6.b) Para el PRODUCTO:
7) ELEMENTO ABSORBENTE
8)
POTENCIACION
Sea
y
, definimos la potencia n-esima del número
Por ejemplo:
Llamaremos “base” al número
, de la siguiente forma:
y “exponente” al número
Extenderemos esta definición para un exponente entero cualquiera analizando la siguiente tabla:
Luego de haber completado la tabla propuesta podemos concluir lo siguiente:
i)
{ }
Diremos que todo número (excepto el cero), elevado a la cero da por resultado uno
{ }
ii)
( )
Diremos que: para calcular una potencia de exponente negativo se debe invertir la base y
calcular la potencia como si fuera un exponente positivo. Esto para todos los casos, excepto para
el número cero
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Por ejemplo:
( )
(
)
(
)
Analizaremos, ahora, las propiedades que se verifican en la potenciación:
1) NO ES CONMUTATIVA
2) NO ES ASOCIATIVA
3) NO ES DISTRIBUTIVA LA POTENCIA RESPECTO DE LA SUMA NI DE LA RESTA
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
a) Buscar los contraejemplos adecuados para comprobar que no se cumplen las tres
propiedades mencionadas
b) Ya que hemos visto que
del binomio
, deducir la expresión correcta para el cuadrado
4) ES DISTRIBUTIVA LA POTENCIA, RESPECTO AL PRODUCTO Y AL COCIENTE. Esto es:
( )
Observemos, en este punto, la importancia de los paréntesis con un ejemplo:
en cambio:
( )
PROPIEDADES DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Sean
, entonces:
1)
Si tenemos un PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE, el resultado es la misma base
elevada a la SUMA de los exponentes
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2)
Si tenemos una DIVISION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE, el resultado es la misma base
elevada a la RESTA de los exponentes
3)
Si tenemos una POTENCIA DE OTRA POTENCIA, el resultado es la misma base elevada al
PRODUCTO de los exponentes
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
a) Calcular:
( )
= ………
( )
b) Hallar el valor de :
c) Considerando que
son números reales no nulos y utilizando propiedades de
potencias de igual base, simplificar la siguiente expresión, dejándola escrita con exponentes
positivos
(
)
RADICACION
La Radicación es la operación contraria a la potenciación. Si consideramos
y
además
, diremos que la raíz n-esima del número será el número , Si y solo sí
Es decir: √
Por ejemplo: √
√
Llamaremos “índice” al número
( )
y “radicando” al número
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Veamos distintos casos:
a) Tomemos una raíz de índice impar y radicando positivo como por ejemplo: √ . Notemos
que hay una única respuesta posible:
√
b) Tomemos una raíz de índice impar y radicando negativo como por ejemplo: √
Notemos que hay una única respuesta posible:
.
√
c) Tomemos una raíz de índice par y radicando positivo como por ejemplo: √
Observemos que, en este caso, hay dos posibles respuestas :
√
.
√
d) Tomemos una raíz de índice par y radicando negativo como por ejemplo: √
. En esta
situación no podemos encontrar un número que elevado al cuadrado nos dé por resultado
ya que los exponentes pares dan por resultado números positivos
Podemos concluir, entonces, que las raíces de índice impar dan por resultado una única solución
(conservando el signo del radicando), las raíces de índice par y radicando positivo dan dos
posibles resultados (de los cuales tomaremos SOLO EL POSITIVO) y las raíces de índice par y
radicando negativo NO TIENEN SOLUCION ENTRE LOS NUMEROS REALES. Estas últimas raíces
tienen solución en el campo de los números complejos (los cuales incluyen a los números
imaginarios) que no son objeto de estudio del programa de esta materia.
Analizaremos, ahora, las propiedades que se verifican en la radicación, (considerando raíces de
índice impar o bien índice par y radicando positivo, en cuyo caso se considerará la respuesta
positiva de la mencionada raíz):
1) NO ES CONMUTATIVA
2) NO ES ASOCIATIVA
3) NO ES DISTRIBUTIVA LA RADICACION RESPECTO DE LA SUMA NI DE LA RESTA
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
Buscar los contraejemplos adecuados para comprobar que no se cumplen las tres propiedades
mencionadas
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4) ES DISTRIBUTIVA LA RADICACION, RESPECTO AL PRODUCTO Y AL COCIENTE. Esto es:
√
√
Ejemplos:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
a) Calcular:
√
√
√
= ………
√
√
b) Hallar el valor de :
√
√
√
√
√
√
√
√
√
c) Aplicando la distributividad de la radicación con el producto, unir con una flecha las
expresiones de la izquierda que sean equivalentes con las de la derecha
d) Calcular:
√
√
√ – √
√
–√
√
√
√
√
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Toda raíz puede ser considerada como un exponente fraccionario según la siguiente definición:
Dados
,
Ejemplos:
√
√
, diremos que: √
√
√
√
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
Considerando que
son números reales no nulos y utilizando propiedades de
potencias de igual base, simplificar la siguiente expresión, dejándola escrita con exponentes
positivos
√
(
√
)
LOGARITMACION
Dados
definiremos
El número es la BASE DEL LOGARITMO, el número es el ARGUMENTO y el número es el
resultado.
Observemos que buscar el logaritmo de un número, en una base dada, consiste en buscar el
exponente adecuado para que al elevar la base a ese exponente dé por resultado el argumento.
Veamos ejemplos para familiarizarnos con la definición de logaritmo:
a)
b)
(Recordemos el efecto que produce el exponente negativo
c)
(Recordemos propiedad de todo número elevado a la uno)
d)
(Recordemos propiedad de todo número elevado a la cero)
e)
√
(Recordemos el efecto que produce el exponente
fraccionario)
f)
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ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
Reflexionar con los compañeros y sacar conclusiones acerca de por qué se piden las
restricciones que se piden en la definición de logaritmo
Logaritmo Decimal:
Se llama logaritmo decimal al logaritmo que tiene base 10. Cuando no está especificada la base
del logaritmo consideraremos que se trata de logaritmo decimal.
Es decir:
Logaritmo Natural o Nepperiano:
Se llama logaritmo natural al logaritmo que tiene base el número , que es un número irracional.
Este logaritmo se escribe de la siguiente forma:
.
Es decir:
Analizaremos, ahora, las propiedades que se verifican en la logaritmación, considerando que los
reales
cumplen los requisitos para permitir que pueda ser real la operación planteada:
1)
2)
( )
3)
4)
5)
6)
Esta última propiedad enunciada es la que permite hacer el “cambio de base” adecuado
para utilizar la calculadora
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Utilizando fórmula de cambio de base, calcular:
2) Hallar los
a)
b)
que son solución de las siguientes ecuaciones:
( )
c)
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ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad que contiene una (o más) incógnitas y de la cual tiene sentido
buscar su DOMINIO DE VALIDEZ.
Es decir:
La igualdad:
La expresión:
En cambio:
no es ECUACION pues no cuenta con incógnitas
no es ECUACION pues no contiene igualdad
sí es ECUACION
Frente a una ecuación nuestro objetivo es encontrar el valor que la verifica. Ese valor es la
SOLUCION de la ecuación y puede suceder que una ecuación tenga: UNA solución, NINGUNA
solución o INFINITAS soluciones.
Para resolver una ecuación (entendiendo que “resolver” es hallar el conjunto solución de la
misma) utilizaremos todas las propiedades estudiadas hasta ahora.
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Hallar el conjunto solución para cada una de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2) Resuelvan los siguientes problemas:
a) La suma de dos números es -21 y el segundo número es el doble del primero. ¿Cuáles son
los números?
b) Juan pagó $50 por 3 cajas de tornillos y 5 de clavos. En el mismo local, Guillermo compró
5 cajas de tornillos y 7 de clavos y pagó $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de tornillos y
cada caja de clavos?
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c) Calculen el perímetro del Triángulo rectángulo ABC
INTERVALOS DE NUMEROS REALES
Sean
tales que
llamaremos INTERVALO ABIERTO:
, al conjunto de
números reales comprendidos entre ellos, sin considerar a los números extremos
{
}
Es decir que:
Representado el intervalo sobre la recta numérica quedaría de la siguiente forma:
Sean
tales que
llamaremos INTERVALO CERRADO:
, al conjunto de
números reales comprendidos entre ellos, considerando a los números extremos
{
}
Es decir que:
Representado el intervalo sobre la recta numérica quedaría de la siguiente forma
Sean
tales que
llamaremos INTERVALO SEMI-ABIERTO:
, al
conjunto de números reales comprendidos entre ellos, sin considerar al primer elemento y
considerando el último elemento
{
}
Es decir que:
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Representado el intervalo sobre la recta numérica quedaría de la siguiente forma:
Sean
tales que
llamaremos INTERVALO SEMI-CERRADO:
, al
conjunto de números reales comprendidos entre ellos, considerando al primer elemento y sin
considerar al último elemento
Es decir que:
{
}
Representado el intervalo sobre la recta numérica quedaría de la siguiente forma:
En todos los casos los números
son llamados “extremos”
Existen, también, los llamados Intervalos Infinitos. En estos intervalos, uno de los extremos es el
símbolo infinito y nos indica que (según el caso) no existe el primer elemento o bien el último.
{
}
Esto es:
Gráficamente, representado sobre la recta numérica, quedaría de la siguiente forma:
{
}
Gráficamente, representado sobre la recta numérica, quedaría de la siguiente forma:
{
}
Gráficamente, representado sobre la recta numérica, quedaría de la siguiente forma:
{
}
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Gráficamente, representado sobre la recta numérica, quedaría de la siguiente forma:
Podemos decir, a esta altura, que el conjunto de números reales
números comprendidos entre
, o sea que
, es el conjunto de los
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Representar
en
la
misma
recta
numérica
los
siguientes
intervalos:
 ¿cuáles serán los números reales que pertenecen a la unión de los dos primeros?
 ¿cuáles serán los números reales que pertenecen a la intersección de los dos primeros?
 ¿cuáles serán los números reales que pertenecen a la intersección del primero con el
tercero?
 ¿cuáles serán los números reales que pertenecen a la unión del segundo con el tercero?
2) Indicar, en cada caso, si la proposición es Verdadera (V) o Falsa (F)
El número real pertenece al intervalo
El número real
pertenece al intervalo
El número real √ pertenece al intervalo
El número real
pertenece al intervalo
El número real (-2) pertenece al intervalo
OPERACIONES CONJUNTISTAS ENTRE INTERVALOS DE NUMEROS REALES
Dado que los intervalos de números reales son CONJUNTOS, podemos establecer entre ellos las
operaciones entre conjuntos que son:
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UNIÓN: El resultado de la Unión de dos intervalos es un intervalo que contiene a los elementos
de uno o del otro.
Ejemplo:
Representamos la situación en la recta numérica, de la siguiente forma:
INTERSECCIÓN: El resultado de la Intersección de dos intervalos es un intervalo que contiene
a los elementos que pertenecen a AMBOS intervalos simultáneamente.
Ejemplo:
Representamos la situación en la recta numérica, de la siguiente forma:
Existe un conjunto especial, llamado “Vacío” que se nombra con el símbolo
como el conjunto que NO contiene ningún elemento.
y se define
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS:
Resolver las siguientes operaciones entre intervalos representando, cada caso, en la recta
numérica:
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a)
d)
b)
e)
{ }
c)
f)
RELACION DE ORDEN ENTRE LOS NUMEROS REALES - INECUACIONES
Ya hemos caracterizado al conjunto de números reales y hemos visto que es un conjunto
completo, denso. Ahora estableceremos una relación de orden entre sus elementos y notaremos
que es un Cuerpo, Ordenado y Completo.
Dados dos números reales,
la recta numérica.
, diremos que
si
se encuentra a la izquierda de
en
Esto significa que:
Por ejemplo:
y la diferencia
y la diferencia
es positiva
es positiva
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Escribir un número real, no entero, que sea menor que 1 y mayor a
situación?
. ¿cuántos hay en esta
2) Escribir un número negativo, que pertenezca al intervalo
que sea mayor que
.
¿cuántos hay en esta situación? Si la consigna hubiera pedido un entero negativo con esas
mismas condiciones ¿cuántos habría?
3) Escribir un número positivo, que sea menor que
¿cuántos hay en esta situación?
Definición: Una inecuación es una desigualdad que contiene incógnitas. El objetivo, frente a una
inecuación, es hallar el conjunto de valores reales que la satisfacen.
Por lo dicho, la desigualdad:
es.
no es una inecuación, tampoco la expresión:
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lo
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En cambio la expresión:
es una inecuación.
Así como necesitábamos de las propiedades que gozan las igualdades para encontrar los
valores que verifican una ecuación, ahora necesitaremos conocer las propiedades de las
desigualdades para resolver una inecuación.
Analizamos, ahora, las propiedades que posee la relación de orden establecida y las que verifica
con respecto a las operaciones definidas entre los números reales.
Ley de Tricotomia: Esta propiedad enuncia que, cualesquiera sean los números reales
verifica entre ellos, una y solo una de estas tres relaciones:
, se
Ley Transitiva: Esta propiedad enuncia que, si un número real es menor que otro y, a su vez,
éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero. En símbolos sería:
Ley de Consistencia del orden con la suma: Esta propiedad enuncia que, si un número real es
menor que otro y le sumamos (a ambos) otro número real, la relación de orden queda
conservada. En símbolos:
Ley de Consistencia del orden con el producto: Esta propiedad enuncia que, si un número real
es menor que otro y le multiplicamos (a ambos) otro número real POSITIVO, la relación de orden
queda conservada. En cambio si le multiplicamos (a ambos) otro número real NEGATIVO la
relación de orden queda en sentido contrario.
En símbolos:
En cambio
Ley de Orden de los inversos: Esta propiedad enuncia que, si un número real es menor que otro,
su inverso será mayor que el inverso del otro.
En símbolos:
Ley de Orden de los cuadrados: Esta propiedad enuncia que, si un número real es menor que
otro, su cuadrado será menor que el cuadrado del otro, cuando ambos sean POSITIVOS pero, en
cambio, su cuadrado será mayor que el cuadrado del otro, cuando ambos sean NEGATIVOS.
En símbolos:
En cambio:
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Regla de los signos: Esta propiedad enuncia que, si el producto entre dos números reales da
resultado POSITIVO, se nos pueden presentar dos situaciones que son: ambos factores positivos
o ambos factores negativos.
En símbolos:
En cambio, si el producto entre dos números reales da resultado NEGATIVO, se nos pueden
presentar dos situaciones que son: primer factor positivo y segundo negativo o, primer factor
negativo y segundo positivo
En símbolos:
Todas las propiedades enunciadas valen para el caso de
o de
, haciendo las excepciones
con respecto al cero cuando corresponda.
La regla de los signos enunciada para el producto también es válida para la división,
exceptuando el caso en que el divisor sea cero.
En símbolos:
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a)
c)
b)
d)
e)
VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
El valor absoluto de un número real , se escribe entre barras | | y representa la distancia que
hay desde ese número real hasta el cero. Siguiendo ese criterio, diremos que:| |
unidades de distancia entre el número y el cero. Pero también |
|
porque hay
pues hay
unidades
de distancia entre ese número y el cero.
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Observemos esta definición sobre la recta numérica:
La primer observación importante que podemos hacer, conociendo este criterio, es que el
VALOR ABSOLUTO de un número real SIEMPRE SERA POSITIVO ya que indica una distancia
entre el número y el cero.
La definición matemática del valor absoluto de un número real es la siguiente:
| |
{
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Si te informan que el valor absoluto de un número desconocido es siete, ¿cuál es ese
| |
número?
2) Si te informan que el valor absoluto de un número desconocido es MENOR que
2
unidades. ¿Puede ser un 6 el número desconocido? Justifica la respuesta. ¿Qué números
cumplirán esa condición?
3) Si te informan que el valor absoluto de un número desconocido es Mayor que 4 unidades.
¿Puede ser un 1 el número desconocido? ¿Puede ser 7 el número desconocido? Justifica la
respuesta. ¿Qué números cumplirán esa condición?
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
Propiedad del igual: Esta propiedad enuncia que, si el valor absoluto de un número real es un
valor
entonces ese número es o es su opuesto
.
| |
En símbolos:
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Propiedad del menor: Esta propiedad enuncia que, si el valor absoluto de un número real es
MENOR que un valor
entonces ese número pertenece al intervalo
.
| |
En símbolos:
Propiedad del mayor: Esta propiedad enuncia que, si el valor absoluto de un número real es
MAYOR que un valor
entonces ese número es mayor que o es menor que su opuesto
|
|
En símbolos:
Propiedad del valor absoluto de un producto: Esta propiedad enuncia que, el valor absoluto de
un producto de números reales es el producto de los valores absolutos de esos números reales.
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| | | |
En símbolos: |
Propiedad del valor absoluto de un cociente: Esta propiedad enuncia que, el valor absoluto de
un cociente de números reales (excepto cuando el denominador es cero) es el cociente de los
| |
valores absolutos de esos números reales. En símbolos: | |
| |
Igualdad de valores absolutos: Esta propiedad enuncia que, si el valor absoluto de un número
real es igual al valor absoluto de otro número real, esto significa que el primero es igual al
segundo o que el segundo es el opuesto del primero.
| | | |
En símbolos:
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) |
|
b)
|
c) |
c) Si
e) |
que verifique la ecuación: |
|
d) |
|
2) Resolver:
a) Si
indicar si existe
b) Si
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calcular el valor de
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
indicar cuál es el valor de
en la ecuación |
|
|
|
|
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INTERPRETACION GEOMETRICA DEL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
La distancia entre dos números reales
se calcula de la siguiente forma, dependiendo de la
relación que exista entre ellos. Es decir:
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, en la recta estarían representados así:
Entonces la distancia entre ellos será
, en la recta estarían representados así:
Entonces la distancia entre ellos será
Resumiendo, la distancia entre esos dos números quedaría:
{
Por otro lado nos plantearemos la definición del valor absoluto |
|
|
| obteniendo lo siguiente:
{
Es decir : |
|
{
{
Por lo cual concluiremos que:
|
| , la distancia entre
es igual al valor absoluto
de la diferencia
El número
será llamado “Centro” y la distancia la nombraremos como “Radio”
Esta idea nos ayudará a resolver ecuaciones e inecuaciones pensando en el concepto de
distancia.
Ejemplo: Hallar los
que verifican que: |
En este caso, el centro es el número
números reales que se encuentren a
Los números que se encuentran a
|
y el radio es el número . Significa que buscamos los
unidades del centro que es el número
unidades del número
son dos: el
y el
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Ejemplo: Hallar los
que verifican que: |
|
Significa que buscamos los números reales que se encuentren a menos de
unidades del
centro que es el número
Entonces los números que verifican lo pedido forman el siguiente intervalo:
Ejemplo: Hallar los
que verifican que: |
|
Significa que buscamos los números reales que se encuentren a mas de
que es el número
unidades del centro
Entonces los números que verifican lo pedido forman el siguiente intervalo:
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
Escribir como expresión de valor absoluto los números que conforman el siguiente intervalo:
a)
b)
SUMATORIA
Es frecuente, en matemática, que aparezcan sumas algebraicas en las cuales los sucesivos
términos tienen una ley lógica de formación. Es decir guardan una relación entre ellos.
Por ejemplo, nos puede interesar encontrar el resultado de la siguiente suma:
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Notamos, aquí, que los números que conforman sus términos son todos múltiplos de cuatro, es
decir los une una cierta “relación”. Esto nos indica que cada uno de ellos se obtiene
multiplicando al número cuatro por los naturales:
Observemos lo dicho:
El símbolo “Sumatoria” que se denota con la letra griega Sigma mayúscula
presencia de suma de varios términos (hasta pueden ser infinitos….)
, nos indica la
Aparece, también, un “índice” o contador que es el número que va variando sucesivamente para
ir obteniendo los elementos que van a ser sumados. A éste índice suele conocérselo como
. En nuestro caso son los naturales:
Luego, la suma que pretendemos calcular nos quedaría resumida con la siguiente notación:
La expresión se lee: “Sumatoria, para
multiplicar cada por el número 4”.
variando de 1 a 6 de los
, en nuestro caso obtenidos al
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El valor inicial del índice (en nuestro ejemplo el número 1) es llamado “Limite inferior” mientras
que el valor final del índice (en nuestro ejemplo el número 6) es conocido como “Limite
superior”.
Analicemos, ahora otro ejemplo. Desarrollemos la siguiente sumatoria: ∑
∑
Como puede observarse, se ha obtenido cada término de la suma, haciendo variar el índice.
Este índice tenía límite inferior en el número 3 y límite superior en el número 7.
Un vez conocidos cada uno de los elementos, se procede a sumar y se obtiene un resultado.
Podemos decir, entonces que:
∑
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Desarrollar cada sumatoria y calcular el resultado:
∑ (
)
∑
∑
2) Escribir las sumas algebraicas presentadas utilizando la notación de sumatoria
a)
c)
b)
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ANÉCDOTA DE LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS
Relata la historia que cuando Carl Friedrich Gauss, tenía 10 años, su profesor de matemática le
impuso una tarea para mantenerlo ocupado, supuestamente, por un largo rato…
Esta tarea consistía en sumar todos los números desde el 1 hasta el 100.
O sea, la suma sería algo como esto:
Confiado en que el niño estaría ocupado durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus
otras tareas….
Para su asombro, a los cinco minutos, el pequeño Gauss tenía hecho el cálculo, que daba un
total de 5.050 (cifra correcta)
¿Qué fue lo que llevó al niño a llegar tan rápidamente al resultado?
Observó que si sumaba el primer número (1) con el último (100), la suma le daba 101. Además
si sumaba el segundo (2) con el penúltimo (99) también le daba 101. Sumando el tercero (3)
con el antepenúltimo (98) también daba 101….
Concluyó, entonces, que este resultado se repetiría la mitad de las veces, o sea 50 veces. Esto
lo llevó a hacer solamente la cuenta: 101 . 50 = 5050!!!
Esta observación y ese procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de los “n”
primeros números consecutivos
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
La sumatoria verifica las siguientes propiedades:
1) El resultado de la sumatoria, para el índice variando de 1 hasta n, de una constante es igual al
producto de la constante por el índice. En símbolos:
∑
Demostración:
∑
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Ejemplo:
∑
2) El resultado de la sumatoria, para el índice variando de 1 hasta n, del producto de una
constante por los términos consecutivos es igual al producto de la constante por la sumatoria
de los términos. En símbolos:
∑
∑
Demostración:
∑
∑
Ejemplo:
∑
∑
3) El resultado de la sumatoria, para el índice variando de 1 hasta n, de un binomio es igual a la
suma de ambas sumatorias. En símbolos:
∑
∑
∑
Demostración:
∑
∑
∑
Ejemplo:
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∑
∑
∑
Obsérvese que las propiedades que acabamos de enunciar tienen límite inferior en 1,
característica que no siempre sucede así. Veamos cómo procederemos si la sumatoria no
comenzara en el número 1.
Ejemplo: Calcular la siguiente sumatoria: ∑
∑
∑
∑
ACTIVIDADES PARA FIJAR CONCEPTOS
1) Calcular:
∑
𝑖
𝑛
2) Sabiendo que: ∑ 𝑖
𝑖
𝑛
𝑛
, calcular:
∑ 𝑖
𝑖
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