TEL223 Ingeniería de tráfico
en telecomunicaciones
VA discretas utiles para Ing. trafico
Cesar A. Santiváñez, Ph.D.
csantivanez@pucp.edu.pe
Repaso de variables aleatorias (VA)
- Consideremos un experimento en el que lanzamos una
moneda 3 veces.
- El resultado de cada lanzamiento es independiente y
puede resultar en cara (C) o sello (S).
- El “universo”del experimento consta de 8 posibles
“outcomes” (realizaciones).
- En base a este experimento, podemos definir las VAs:
X1: 1 si el primer lanzamiento es Cara (C), y 0 en caso contrario
X2: 1 si el segundo lanzamiento es Cara (C), y 0 en caso contrario
X3: 1 si el tercer lanzamiento es Cara (C), y 0 en caso contrario
X4: numero de veces que sale Cara (C)
X5: numero de intentos hasta que sale la primera Cara (C)
D. Chavez & C. Santivanez
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Outcome X1
X2
X3
X4 X5
SSS
0
0
0
0
inf
SSC
1
0
0
1
1
SCS
0
1
0
1
2
SCC
1
1
0
2
1
CSS
0
0
1
1
3
CSC
1
0
1
2
1
CCS
0
1
1
2
2
CCC
1
1
1
3
1
X1, X2, y X3 son VA Bernoulli
X4 es una VA Binomial
X5 es una VA Geometrica
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Distribución de Bernoulli
D. Chavez & C. Santivanez
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Distribución de Bernoulli
PMF:
E{X} = p, Var{X} = pq
Distribuciones Relacionadas
•Si X 1 , X 2 , X 3 , … , X n son n variables aleatorias identicamente distribuidas
con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito p en
todas, entonces la variable aleatoria
X=X1+X2+⋯+Xn
presenta una distribución binomial de probabilidad.
X∼B(n,p)
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Distribución Binomial
• Asociada al numero de exitos de n “Bernoulli trials”
• PMF de una VA Bi(n,p):
• E{X} = np
• Var{X} = npq
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Numero combinatorio, repaso
(x + y)N =
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(x + y)
(x + y)
(x + y)
(x + y)
…
(x + y)
(x + y)
(x + y)
(x + y)
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=
N
Σ ( k ) xk yN-k
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Distribución Binomial
Ejemplo
•En una memoria RAM, el 80% de los bytes almacenados es correcto y
el 20% restante está corrupto. De un grupo de 4 bytes leído al azar,
¿cuál es la probabilidad de que el grupo tenga 2 bytes correctos?
•n = 4
•p = 0.8
•q = 0.2
•Bi(4, 0.8)
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Distribución geométrica
la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de
probabilidad discretas siguientes:
•la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli
necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
•la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del
primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
•PMF (primer caso):
P(X = k) = p qk-1 , k>= 1
X: numero de experimentos hasta que aparece el primer éxito (>= 1).
p: probabilidad de éxito, q: probabilidad de fracaso
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Distribución geométrica: primer caso
Prueba:
P( X = τ + k | X > τ ) =
=
P( X = τ + k, X > τ ) P( X = τ + k)
=
P( X > τ )
P( X > τ )
pqτ +k−1
∞
∑ pq
k−1
pqτ +k−1
= τ
pq (1− q)−1
k=τ +1
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k−1
k−1
=
q
(1−
q)
=
pq
= P( X = k)
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Distribución geométrica
Ejemplo1::
En un buffer de memora el 60% de los bits son “1”, calcular la
probabilidad de extraer el 1er “1” a la cuarta ocasión que leemos un
bit del buffer.
•Definir éxito: se lee un “1”.
•k = 4
•p = 0.60
•q = 0.40
•=(0.60)=(0.60)=0.0384
P(X = 4) = 0.6 (0.4)4-1 = (0.6)(0.4)3 = 0.0384
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La distribución de Poisson
• Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de
una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto período de tiempo
(Siméon-Denis Poisson, 1838 ).
• Se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con
probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
• La distribución de Poisson es definida por un parámetro: lambda (λ).
Este parámetro es igual a la media y la varianza. A medida que
lambda aumenta, la distribución de Poisson se acerca a una
distribución normal.
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La distribución de Poisson
• La función de probabilidad de la distribución de Poisson es
•k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la
probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
•Esta asociada al conteo de eventos
•λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que
ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado
tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la
probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,
usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
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Ejemplo (Poisson)
• Estamos investigando la
confiabilidad de una tecnología de
radioenlace innovadora. Los
registros de error de transmisión
indican una media de cinco (5) bits
errados por megabit. El número de
errores está distribuido conforme a
la distribución de Poisson, y se
quiere calcular la probabilidad de
exactamente 0,1,2,3 y 4 bits errados
en una transmisión de 106 bits.
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• Aplicando la fórmula anterior:
•
•
•
•
•
P(0) = (e-5) (5)0/0! = 0.00674
P(1) = (e-5) (5)1/1! = 0.03370
P(2) = (e-5) (5)2 /2! = 0.08425
P(3) = (e-5) (5)3 /3! = 0.14042
P(4) = (e-5) (5)4 /4! = 0.17552
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La distribución de Poisson
Una variable sigue una distribución de Poisson si se cumplen las
siguientes condiciones:
1.Los datos son conteos de eventos (enteros no negativos, sin
límite superior).
2.Todos los eventos son independientes.
3.La tasa promedio (de llegadas) no cambia durante el período
de interés (tiempo entre llegadas iid exponencial).
Lambda = 3
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Lambda = 10
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¿Qué es la tasa de ocurrencia?
• La tasa de ocurrencia es igual a la media (λ) dividida entre la dimensión del
espacio de observación.
• Es útil para comparar conteos de Poisson recolectados en diferentes espacios de
observación.
Ejemplos
• La central telefónica A recibe 50 llamadas telefónicas en 5 horas y la central
telefónica B recibe 80 llamadas en 10 horas.
• No se puede comparar directamente estos valores, porque sus espacios de
observación son diferentes.
• Debe calcularse la tasa de ocurrencia para comparar estos conteos.
• La tasa de la central telefónica A es (50 llamadas / 5 horas) = 10 llamadas/hora.
• La tasa de la central telefónica B es (80 llamadas / 10 horas) = 8 llamadas/hora.
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Aplicacion: Programa concurso
• El concursante elige una puerta entre 4 opciones.
• El presentador anuncia la apertura de una de las puertas no selecionadas
• Ahora, con solo 3 puertas cerradas, le propone al concursante que cambie de
puerta
• Que es mejor, que cambie de puerta o se quede con la que elegio inicialmente?
• Cual es la probabilidad de ganar si cambia de puerta?
• Cual es la probabilidad de ganar si se queda en la misma puerta?.
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