PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS DE VALORACIÓN DE
FRONTERA
LEYES DE: COULOMB Y DE GAUSS
CONGIGURACIÓN GEOMÉTRICA CONOCIDA.
Forma integral de la ley de Gauss
Forma diferencial de la ley de Gauss
⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑸=∮𝑫
𝒅𝑺
⃗ ∙𝑫
⃗⃗ = 𝝆𝒗
𝛁
𝑺
CONOCIDA:
LA CARGA (Q) (o su distribución)
HALLAR:
⃗⃗
1. 𝑬
⃗
2. ⃗𝑫
3. 𝝋
4. C
CONOCIDAS:
LAS CONDICIONES DE FRONTERA (CF)
HALLAR:
1. 𝝋
⃗⃗ , 𝑫
⃗⃗
2. 𝑬
3. 𝑸 ( 𝑜 𝑠𝑢 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛)
4. C
ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE
MEDIO
No-homogéneo
𝜺 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
Ecuación de
Poisson
𝝆𝒗 ≠ 𝟎
⃗𝛁 ∙ 𝜺𝛁
⃗ 𝝋 = −𝝆𝒗
Ecuación de
Laplace
𝝆𝒗 = 𝟎
⃗𝛁 ∙ 𝜺𝛁
⃗𝝋=𝟎
Homogéneo
𝜺 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
⃗𝛁𝟐 𝝋 = −
𝝆𝒗
𝜺
⃗𝛁𝟐 𝝋 = 𝟎
𝟏
⃗𝛁𝟐 𝝋 = − ⃗𝛁𝝋 ∙ ⃗𝛁𝜺
𝜺
SOLUCIÓN
GENERAL
ajustada
a las
condiciones
de frontera
(CF)
LA CARGA EN EL VOLUMEN
𝝆𝒗 = 𝟎
Ecuaciones de
Laplace
𝝆𝒗 ≠ 𝟎
Ecuaciones de
Poisson
Mayoría de los casos
• Aire
• Vacío
• Dieléctricos comunes y corrientes
Gases ionizados
• Nube tormenta
• Efecto corona
• Tubos de vacío
• Tubos de rayos catódicos
• Propulsión iónica
Diodos semiconductores
Modelos magnetohidrodinámicos, etc.
TEOREMA DE LA UNICIDAD
Un problema electrostático con una configuración dada y unas
condiciones de frontera establecidas, tiene UNA y solo UNA
solución
PROCEDIMIENTO GENERAL PARA APLICAR LAS ECUACIONES DE
POISSON Y DE LAPLACE
1. Analizar las características del dieléctrico
• 𝜌𝑣
• 𝜀
para escoger la ecuación adecuada
2. En el sistema de coordenadas acorde a la simetría, hallar la
solución general en potencial, por doble integración
3. Aplicar las condiciones de frontera (CF) para encontrar la
solución particular