Polycopié-Mécanique-Analytique-Mendas

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE HASSIBA BENBOUALI DE CHLEF FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE Polycopié de cours du module : MECANIQUE ANALYTIQUE 3ème Licence Génie Mécanique, Option : Construction Mécanique Fait par : Dr. MENDAS Mohammed Maître de Conférences A 2017-2018 Avant-propos Ce polycopié de mécanique analytique est à la base destiné aux étudiants de 3ème année licence, filière Génie Mécanique, spécialité : Construction Mécanique. Les chapitres traités dans ce manuscrit sont ceux du programme adopté, après harmonisation des programmes, par le Comité Pédagogique National du Domaine Sciences et Technologie (CPNDST). Il est le fruit de plusieurs années de préparation du cours de mécanique analytique. Anciennement, ce module, a été enseigné aux étudiants de cycle classique (construction mécanique), après aux masters non-harmonisés de mécanique pour qu'il devient un module pour 3ème année licence. Il est aussi un outil aux étudiants en projets de fin d'études en master ayant comme thème étude dynamique des systèmes mécaniques. Deux parties sont développées : une première partie dédiée à la dynamique des solides rigides et éléments de cinétique. La deuxième partie constitue les principaux chapitres et éléments de la mécanique analytique. Dans cette partie, chaque chapitre introduise le suivant. Donc, ils sont liés dans un but d'étudier la dynamique des systèmes mécaniques à partir du concept de base des déplacements et principe des travaux virtuels (utilisable pour les problèmes de la statique et de la dynamique) jusqu'au principe d'Hamilton passant par les équations de mouvement de Lagrange. Pour faciliter, aux étudiants, la compréhension de la mécanique analytique, les systèmes mécaniques pris comme exemple sont soit des points matériels ou des solides. Pour traiter un problème de la dynamique des systèmes mécaniques, en premier lieu, les étudiants sont appelés à revoir les notions de la mécanique rationnelle et quelques outils mathématiques simples et de base. En suite, d'étudier les théories et méthodes de la mécanique analytique utilisant des concepts des liaisons de différents types, des paramètres de mouvement généralisés. Le polycopié est déposé pour l'année universitaire 2017/2018 et son contenu évoluera avec les années. Je tiens à remercier vivement les experts ayant accepté pour revoir le contenue de ce polycopié. J'espère qu'il sera un bon document de cours pour tous et s'il y aura un manque ou une insuffisance dans une partie ou autre, je serai disponible pour le soulever. Dr. Mohammed Mendas Notations utilisées E = T+U : Energie totale Fi : Force appliquée au point i 𝐻 𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡 = 𝑘𝑗=1 𝑝𝑗 𝑞𝑗 − 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 : Fonction d'Hamilton (hamiltonienne) [I] : Tenseur d'inertie 𝐼𝑥𝑥 , 𝐼𝑦𝑦 et 𝐼𝑧𝑧 moments d'inertie par rapport aux axe x, y et z K : degré de liberté 𝐾 : Vecteur moment cinétique 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 = 𝑇 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 − 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 : Fonction de Lagrange (lagrangienne) 𝑀𝑧 : Moment des forces autour de l'axe z 𝑝𝑖 : Vecteur quantité de mouvement P : Puissance 𝑄𝑗 : Force généralisée 𝑄 : Vecteur forces généralisées 𝑄𝑗∗ : Force généralisée non-potentielle 𝑟𝑀 : Vecteur de position du point M 𝑟𝑖 : Vecteur vitesse du point M 𝑟𝑖 : Vecteur accélération du point M 𝑅𝑖 : Force réactive de liaison 𝑅 𝑞, 𝑞 , 𝑝𝜑 , 𝑡 : Fonction de Routh 𝑇 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 : Energie cinétique 𝑇𝑅𝑜𝑡 : Energie cinétique de rotation 𝑇𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠 : Energie cinétique de translation 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 : Energie potentielle 𝑉𝑀/𝑅 : Vitesse du point M dans le repère R 𝑊: Travail 𝑟i : Vecteur de déplacement relatif du point i A : Travail virtuel qj : Déplacement virtuel en coordonnées généralisées xi, yi, zi : déplacements virtuels en coordonnées cartésiennes P : Puissance virtuelle  : Vecteur vitesse de rotation Sommaire Avant-propos Notations i ii Partie A : Complément de mécanique du solide Chapitre 1 Dynamique du solide rigide 1.1 Concepts principaux de la dynamique 1.2 Lois de Newton 1.3 Principes de Newton 1.4 Principe de la gravitation universelle 1.5 Système d'unités utilisées en mécanique 1.6 Référentiels en mécanique 1.7 Position d'un point dans un référentiel 1.8 Vitesse d'un point 1.9 Champ de vitesses 1.10. Types de mouvement 1.10.1 Translation pure 1.10.2 Quantité de mouvement et forces en translation 1.10.3 Energie cinétique et variation de l'énergie cinétique 1.11 Mouvement plan d'un solide 1.11.1 Rotation d'un solide rigide autour d'un axe fixe 1.11.2 L'énergie cinétique (TRot) 1.11.3 Le moment cinétique (L) 1.11.4 Travail (W) et Puissance (P) 1.11.5 Impulsion angulaire et conservation du moment cinétique 1.12 Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe dans l'espace 1.12.1 Les vitesses linéaire et angulaire 1.12.2 Le moment cinétique 1.12.3 Energie cinétique T 1.12.4 Axes principaux d'inertie 1.12.5 Moment cinétique, L, et Energie cinétique, T, par rapport aux axes principaux 1.12.6 Equations de mouvement d'Euler avec les axes principaux d'inertie 1.12.7 Equations de mouvement d'Euler avec les angles d'Euler 1.13 Angles d'Euler 1.14 Autre type d'angles d'orientation d'un solide 1.15 Mouvements à force centrale 1.15.2 Quelques propriétés importantes du champ de force centrale 1.15.3 Equation de mouvement d'une particule dans un champ de force centrale 1.15.3.1 Première formule de Binet 1.15.3.2 Deuxième formule de Binet 1.15.4 Energie potentielle d'une particule dans un champ central 1.15.5 Conservation de l'énergie 1.16 Exercices Exercice 1 Angles d'Euler Exercice 2 Force centrale 1 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 11 14 14 15 16 16 18 19 19 20 20 20 Chapitre 2 Elément de cinétique 2.1 Centre de masse 2.2 Moment cinétique 2.3 Théorème de l'énergie cinétique 2.4 Théorèmes du moment cinétique par rapport à un axe 2.4.1 Moment cinétique et énergie cinétique dans le repère de König 2.4.2 Variation du moment cinétique et de l'énergie cinétique dans le repère de König 2.5 Tenseur d'inertie 2.5.1 Relations importantes entre moments d'inertie 2.5.2 Matrice de tenseur d'inertie 2.6 Axes principaux et centraux d'inertie 2.7 Théorème de Huyghens 2.8 Théorème de Stainer (théorème des axes parallèles) 2.9 Energie cinétique d'un solide en mouvement composé 2.10 Recherche des moments d'inertie principaux 2.11 Méthode pratique pour calculer les éléments d'inertie 2.12 Equilibrage statique et dynamique d'un solide en rotation 2.12 Exercices Exercices 1 Tenseur d'inertie Exercice 2 Exercice 2 Tenseur d'inertie Exercice 3 Equilibrage d'un solide en rotation Exercices non résolus 23 24 25 26 26 29 29 30 30 32 33 34 34 35 36 36 37 37 39 41 46 47 Partie B : Mécanique Analytique Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique 3.1 Introduction 3.2 Degré de liberté 3.3 Définitions importantes 3.4 Déplacement virtuel 3.5 Classification des liaisons 3.6 Equations des liaisons 3.6.1. Liaisons géométriques-non stationnaires 3.6.2. Liaisons cinématiques non intégrables 3.7 Coordonnées généralisées et coordonnées cartésiennes 3.8 Liaisons unilatérale et bilatérale 3.9 Forces de liaisons (ou actions de contact) 3.10 Exercices Exercice 1 Degré de liberté e équations des liaisons Exercice 2 Equations des liaisons 48 48 49 50 51 52 52 55 56 57 57 58 58 59 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels 4.1 Introduction 60 4.2 Déplacements réels et déplacement virtuels 60 4.3 Liaisons parfaites 61 4.4 Relations entre déplacements virtuels en coordonnées cartésiennes et ceux en coordonnées généralisées 62 4.5 Vitesse virtuelles 4.6 Principe des travaux virtuels et des puissances virtuelles 4.6.1 Règle Importante 4.7 Exercices Application du principe des travaux virtuels Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 4.8 Exercices non résolus 63 64 67 68 68 69 69 70 Chapitre 5 Principe de D'Alembert 5.1 Introduction 5.2 Principe de d'Alembert 5.3 Formulation mathématique 5.4 Remarques importantes sur le principe de D'Alembert 5.5 Exercices d'application Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 71 71 72 73 74 74 76 77 Chapitre 6 Equation de Lagrange de première espère 6.1 Mise en équation (principe de D'Alembert) 6.2 Forces réactives 6.3 Exercices Exercice 1 Exercice 2 79 80 80 80 81 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 7.1 Introduction 7.2 Classification des systèmes mécaniques 7.2.1 Système scléronomé et rhéonome 7.2.2 Système conservatif et non- conservatif 7.2.3 Système mécanique holonome 7.3 Déduction des équations de Lagrange 7.4 Energie cinétique exprimée par les coordonnées généralisées 7.5 Mouvement des systèmes holonomes dans un champ de force de potentiel 7.5.1 Energie potentielle du système et forces généralisées 7.5.2 Variation de l'énergie mécanique totale 7.6 Forces généralisées non-potentielles 7.7 Mise en équation par l'équation de Lagrange 7.8 Quantités de mouvement généralisées 7.9 Intégrale premier des équations de Lagrange 7.10 Exemple de traitement d'un système non holonome 7.11 Equations de Lagrange avec les forces impulsives 7.13 Exercices Exercice 1 Choix des Coordonnées généralisées Exercice 2 Equations de transformation coordonnées cartésiennes 83 83 84 84 84 84 87 89 90 91 92 92 93 94 95 97 98 98 99 Exercice 3 Classification des systèmes mécaniques Exercices 4 Equations de Lagrange (utilisation de l'énergie cinétique) Exercices 5 Equations de Lagrange (utilisation de l'énergie cinétique) Exercice 6 Equation de Lagrange 2ème espèce pour un système non-holonome Exercice 7 (Equation de Lagrange 2ème espèce pour un système non-holonome) Exercice 8 Force impulsive 7.14 Exercices non résolus Exercice 1 Exercice 2 99 100 101 105 107 108 110 110 110 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 8.1 Introduction 8.2 Principe d'Hamilton 8.3 Fonction de Hamilton (le Hamiltonien) 8.3.1 Règle et procédure pour écrire la fonction et les équations d'Hamilton 8.3.2 Cas spéciaux de la fonction 8.4 Principe vibrationnel d'Hamilton 8.5 Transformations canoniques et fonctions génératrices 8.5.1 Fonctions génératrices 8.5.2 Exemple d'application 8.6 Equation d'Hamilton-Jacobi 8.7 Coordonnées cycliques - Equation de Routh 8.8 Exercices Exercice 1 Sur le hamiltonien et les équations de mouvement d'Hamilton Exercice 3 Equation de mouvement canonique de Hamilton et de Routh Exercice : Equation d'Hamilton-Jacobi 8.9 Exercices non résolus Références bibliographiques 112 113 115 117 117 118 119 120 121 121 122 124 124 126 130 130 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Chapitre 1 Dynamique des solides rigides ‫ديناميكا ألاجسام‬ ‫الصلبة‬ Rigid solids Dynamic 1.1 Concepts principaux de la dynamique La mécanique est une science qui étudie les conditions de repos ou de mouvement d'un système mécanique soumis à des sollicitations. Elle peut être divisée en trois grands axes:  Mécanique des corps rigides, qui ne change pas de forme sous l'action des forces extérieures  Mécanique des corps déformable, qui changent de forme (dimension) sous l'action des forces extérieures  Mécanique des fluides. Les phénomènes étudiés dans la mécanique sont limités, mais ils forment la majorité des phénomènes courants et traités dans le domaine de l'engineering. Le graphique suivant, dessiné sans échelle, montre le domaine d'application des lois de la dynamique de la mécanique classique. C: vitesse de la lumière dans le vide = 3.108 m/s C Mécanique quantique relativiste Mécanique relativiste Cosmologie relativiste C/10 Mécanique quantique 10-15 Mécanique classique 10-10 Cosmologie 1015 Dimension en m Dans le cas où la position et la vitesse d'un solide, de masse donnée, peuvent être déterminées seulement par la position et la vitesse d'un point de ce solide, donc le solide est 1 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides nommé point matériel. Le mouvement du point matériel est une translation complètement déterminé par le mouvement de l'un de ses points géométrique. Lorsqu'un ensemble de points, dans lequel les distances restent constantes au cours du mouvement, est nommé corps solide ou simplement solide. Un système mécanique est l'ensemble des points matériels et/ou des solides dans lequel le mouvement de chaque point ou corps dépend du mouvement des autres éléments du système. 1.2 Lois de Newton Dans la mécanique des solides indéformables, il connu que la loi de Newton (1962-1727) est la formulation de base des sciences appliquées en ingénierie, qui reste toujours valide, pour la détermination du mouvement d'un système mécanique. Les concepts fondamentaux utilisés sont : l'espace, le temps, la masse et la force.  L'espace est associé à la notion de position d'un point, dans cet espace, on peut qu'observer les points sans pouvoir établir des relations mathématiques. Donc, cet espace est associé à un référentiel formé par une origine et axes de directions données. Ces axes sont appelés coordonnées du point (c'est l'espace mathématique). Il est muni d'un produit scalaire (norme) et a une structure d'espace vectoriel euclidien. C'est donc, dans cet espace que les modèles de mouvement sont établis.  Le temps est défini par sa mesure à l'aide d'une horloge physique. Il est modélisé par un espace affine de dimension 1 orienté.  La masse permet de caractériser et de comparer les différents corps. La masse possède un nombre positif invariable.  La force est caractérisée par une grandeur, une direction et un point d'application. Elle est indiquée par un vecteur. La force est utilisée pour indiquer un effort caractérisant les actions mécaniques Le mouvement, l'espace et le temps constituent les concepts fondamentaux de la mécanique classique L'étude des mouvements des systèmes mécaniques repose sur les six principes fondamentaux suivants : 1- Principe du parallélogramme des forces : deux forces agissant sur un point matériel peuvent être remplacées par une résultante obtenue par le traçage de la diagonal du parallélogramme dont les cotés sont formés par les deux forces données. 2- Principe du glissement des forces (de transmissibilité des forces) : les conditions d'équilibre d'un solide soumis à une force ne sont pas modifiées si on la fait glisser sur sa ligne d'action. 2 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Le mouvement d'un système mécanique est causé par des interactions mécaniques. Ces interactions entre corps peuvent se manifester soit par contact direct (forces réactives) soit à distance (forces attractives ou forces répulsives). Les forces appliquées à un système mécanique sont dites forces intérieures ou forces extérieures. Les forces agissantes entre les éléments du même système sont dites force intérieures, tandis que les forces agissantes entre éléments du système et un autre élément se trouvant en dehors du système sont dites forces extérieures. 1.3 Principes de Newton 1er principe : si la résultante (la somme) des forces agissantes sur un point matériel est nulle, le point restera au repos (si initialement était au repos) ou il sera animé d'un mouvement rectiligne uniforme (si, initialement, il était en mouvement). Dans un référentiel galiléen, les six (06) équations écrites à partir de ce principe sont appelées équations de Newton. 2ème principe (Principe fondamental de la dynamique -PFD-) : si la résultante (la somme) des forces agissantes sur le point matériel n'est pas nulle, donc le point a une accélération proportionnelle à la force résultante et dans la direction de celle-ci. Ce principe est formulé comme suit : 𝑑 𝑑𝑡 𝑚∙𝑣 = 𝐹 = 𝐹 ou encore 𝐹 = m 𝑎 (1.1) avec F : résultante (la somme) des forces agissantes sur le point, m : la masse du point et a : son accélération. Domaines d'application : Calcul d'efforts sur les pièces mécaniques, Robotique, Trajectoires des planètes, fusées, satellites, Aérodynamique, … 3ème principe : les forces d'action et de réaction entre deux corps en contact ont la même grandeur, la même ligne d'action mais de sens opposés. 1.4 Principe de la gravitation universelle : lorsque deux corps de masse M et m s'attirent mutuellement avec les forces F et F' égale et opposées dont la grandeur F est donnée par : 𝐹=𝐺 𝑀𝑚 𝑟2 (1.2) avec G=6,65 10-11 Nm²kg-²: est la constante de la gravitation universelle et r : est la distance qui sépare les deux corps. 3 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 1.5 Système d'unités utilisées en mécanique Le tableau suivant présente les principales grandeurs utilisées dans le domaine de la dynamique du solide. Grandeur Nom Symbole Accélération Mètre par seconde au carré m/s² Angle Radian rad Accélération angulaire Radian par seconde au carré rad/s² Vitesse angulaire Radian par seconde rad/s Superficie Mètre au carré m² Masse volumique Kilogramme par mètre cube kg/m3 Energie Joule J ou kJ Force Newton N Fréquence Hertz Hz (1/s) Moment d'une force Newton - mètre Nm Puissance Watt W Pression Pascal Pa Vitesse Mètre par seconde m/s Volume (solide) Mètre cube m3 Volume (liquide) Litre L Travail mécanique Joule J 1.6 Référentiels en mécanique Dans la mécanique des solides, les formules mathématiques décrivant leurs mouvements sont établies dans un référentiel, noté R, donné nécessaire à son repérage. Il est l'espace euclidien entrainé par l'observateur. Dans ce référentiel, on choisi, une fois pour toute, l'axe de temps et l'origine associé aux axes de positionnement des points. Dans le domaine de la dynamique des solides, il faut utiliser un référentiel dans lequel les lois de Newton sont valables*. Ce référentiel est nommé galiléen ou référentiel absolu. Ici, il ne faut pas confondre entre référentiel et repère. Le référentiel peut être associé à plusieurs repères. Comme exemples de repères galiléens, il y a :  Repère de Copernic (héliocentrique) défini par le centre de masse du système solaire et trois directions définies par des étoiles fixes; 4 Chapitre 1  Dynamique des solides rigides Repère céleste (géocentrique) : défini par le centre de masse de la terre et trois directions définies par des étoiles fixes;  Repère terrestre (pratique) : repère lié à la surface de la terre. En pratique, le troisième axe du repère est relatif à la verticale du lieu et orienté vers le haut. Les deux premiers axes définissent le plan horizontal. Dans ce repère, la rotation de la terre est donc négligée. 1.7 Position d'un point dans un référentiel Soit un point M mobile par rapport à un référentiel R (Oxyz) de base (𝑖, 𝑗, 𝑘 ) et d'origine O. La position du point est donnée par le vecteur de position : z M z(t) 𝒓(t) O x(t) x y(t) y 𝑟𝑀 (t)=𝑂𝑀(𝑡)= 𝑥𝑀 (t)𝑖 + 𝑦𝑀 (t)𝑗 + 𝑧𝑀 (t)𝑘 (1.3) Les fonctions de temps x(t), y(t) et z(t) sont connues et continues et différentiable en fonction du temps. La trajectoire M(t) est l'ensemble des points de l'espace occupés par le point M quand le temps t varie. 1.8 Vitesse d'un point La vitesse du point M dans le même repère est définie comme : 𝑉𝑀/𝑅 = 𝑑𝑟 𝑀 (𝑡) 𝑑𝑥 𝑀 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦 𝑀 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑧𝑀 (𝑡) 𝑑𝑡 ⟹ 𝑟𝑀 𝑡 = 𝑥𝑀 𝑡 + 𝑦𝑀 𝑡 + 𝑧𝑀 𝑡 (1.4) 1.9 Champ de vitesses Le champ de vitesse des points d'un solide est noté par Vt qui à tout point P du solide associe le vecteur vitesse 𝑉(P,t) de la particule du solide dont la position à cet instant est le point P. 1.10. Types de mouvement En général, le mouvement plan d'un solide est composé d'un mouvement de translation d'un point fixe du solide (généralement est le centre de masse) et d'un mouvement de rotation autour d'un axe à travers le point fixe qui n'est limité en direction. 5 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 1.10.1 Translation pure : Un corps (solide) est animé d'un mouvement de translation par rapport au repère donné R, si à chaque instant t, tous les points du solides ont le vecteur de vitesse par rapport à R :  le temps t et  deux points A et B rigidement liés d'un solide S, on a : 𝑉𝐴/𝑹 𝑡 = 𝑉𝐵/𝑹 𝑡 (1.5) A partir de cette relation, les vitesses de tous les points d'un solide sont déterminées au même instant. Dans ce cas, le solide est animé d'un mouvement rectiligne. Si la vitesse est constante, on a donc un mouvement de translation rectiligne uniforme 𝑉𝐴/𝑹 𝑡 = 𝑉𝐵/𝑹 𝑡 + 𝐴𝐵⋀ΩS/R ⇒ 𝐴𝐵⋀ΩS/R = 0 ⇒ ΩS/R = 0 Et inversement, si ∀𝑡, ΩS/R = 0 ⇒ 𝑉𝐴/𝑹 𝑡 = 𝑉𝐵/𝑹 𝑡 1.10.2 Quantité de mouvement et forces en translation La quantité de mouvement d'un point matériel, i, est un vecteur appliqué égal au produit de la masse du point par son vecteur vitesse à l'instant donné, on l'exprime par : 𝑝𝑖 = 𝑚𝑖 𝑣𝑖 (1.6) 𝒎𝒊 La deuxième loi de Newton prend une forme 𝒗𝒊 𝒑𝒊 vectorielle : 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑝𝑖 = 𝑑𝑡 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = 𝐹 (1.7) Pour un solide de masse M en translation sa quantité de mouvement et aussi : 𝑝𝑆 = 𝑀𝑣𝐺 1.10.3 Energie cinétique et variation de l'énergie cinétique L'énergie cinétique d'un solide de masse M en translation est exprimée : 1 𝑇 = 2 𝑀𝑣² (1.8) Le travail produit par une force est égal à la différence entre l'énergie cinétique finale et initiale, on écrit : 𝑣1 𝑚𝑣 𝑣0 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑟1 𝐹 𝑟0 1 1 ∙ 𝑑𝑟 = 2 𝑀𝑣1 ² − 2 𝑀𝑣0 ² (1.9) 1.11 Mouvement plan d'un solide Un solide rigide est un système de points matériels se trouvant à des distances qui ne changement pas sous l'action des efforts appliqués. Un mouvement d'un solide est plan 6 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides lorsque tous les points du solide se déplacent dans un même plan donné ou dans des plans parallèles. Par conséquent, les points de solide restent à des distances fixes sur le plan de mouvement. Si durant un déplacement, tous les points du solide sur une même ligne restent fixés, ce déplacement est dit une rotation autour d'un axe (une ligne). Par contre, si durant un déplacement tous les points du solide rigide se déplacent selon des lignes parallèles l'une à l'autre, le mouvement est dit une translation. 1.11.1 Rotation d'un solide rigide autour d'un axe fixe Le mouvement le plus simple d'un solide après y la translation pure est la rotation autour d'un vi axe fixe (Figure ci-contre). Le chemin d'une yi particule du solide mi positionné au point (xi, yi ri  , zi ) est un cercle de rayon ri² = xi² + yi². la O vitesse vi de cette particule est donnée comme : 𝑣𝑖 = 𝑟𝑖  = 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2  mi i xi x Rotation d'un solide rigide autour le l'axe z Où  est la vitesse angulaire du solide. A partir de cette figure, on peut donner les composantes de la vitesse vi comme suit : 𝑥𝑖 = −𝑣𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑖 = −𝑦𝑖 𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 𝑐𝑜𝑠𝑖 = 𝑥𝑖 𝑧𝑖 = 0 Si l'angle i est comme il est indiqué sur la figure ci-dessus, la vitesse 𝑣𝑖 de la particule mi peut être déterminée de l'équation vectorielle : 𝑣𝑖 =  × 𝑟𝑖 , avec  = 𝑘 (1.10) La rotation d'un solide autour d'un point fixe O avec une vitesse de rotation , le mouvement rapporté à un référentiel Oxyz, la relation Chasles-Euler s'applique à tous les points du solide et, donc, à tous les points du repère lié au solide, ainsi que aux extrémités des vecteurs unitaires. Les dérivées par rapport aux temps des vecteurs unitaires s'écrivent comme suit 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑗 =  × 𝑖, 𝑑𝑡 =  × 𝑗, 𝑑𝑘 𝑑𝑡 =×𝑘 (1.11) 1.11.2 L'énergie cinétique (TRot) dans le cas de rotation d'un solide est : 1 𝑇𝑅𝑜𝑡 = 2 Où : 𝐼𝑧 = 𝑖 𝑖 1 𝑚𝑖 𝑣𝑖2 = 2 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 = 𝑖 𝑖 1 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 2 = 2 𝐼𝑧 2 (1.12) 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2 est le moment d'inertie par rapport à l'axe z. 7 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 1.11.3 Le moment cinétique (L) d'un solide en rotation autour de l'axe de rotation : Le moment de la quantité de mouvement est : 𝐾 = 𝑟𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣𝑖 (1.13) le résultat de ce produit vectoriel des deux vecteurs perpendiculaires a donc une composante selon l'axe z qui est : 𝐾 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 𝑥𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2  = 𝑚𝑖 𝑟𝑖2  (1.14) 1.11.4 Travail (W) et Puissance (P) Si Mz et la valeur de moment appliqué sur le corps sous l'influence d'une force F appliquée en un point A, le travail en rotation pour un angle de rotation d est : dW = Mz d Le travail total en rotation d'un angle 1 avec une vitesse angulaire 1 à un angle 2 avec une vitesse angulaire 2 est la différence dans l'énergie cinétique en rotation comme suit : 𝑊= 2 1 𝑀𝑧 𝑑 = 1 𝐼 2 2 𝑧 2 − 1 𝐼 2 2 𝑧 1 (1.15) et la puissance développée est P = Mz , tel que  est la vitesse angulaire 1.11.5 Impulsion angulaire et conservation du moment cinétique L'intégrale dans le temps du moment : 𝒥 = 𝑡2 𝑀𝑧 𝑑𝑡 𝑡1 est dite impulsion angulaire. L'impulsion angulaire est égale à la variation du mement cinétique : 𝑡2 𝑡1 𝑀𝑧 𝑑𝑡 = 𝐿2 − 𝐿1 (1.16) Le moment cinétique est conservé lorsque le moment appliqué est nul. Correspondance entre mouvement de translation et mouvement de rotation Translation le long de l'axe x Rotation autour de l'axe z Quantité de mouvement linéaire, px = mv Moment cinétique, Kz = Iz Force, px = m𝑣 Moment, Mz = Iz 1 Energie cinétique, TTrans =2 𝑚𝑣² Travail, 𝑊 = 𝑥2 𝐹 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥 Puissance, 𝑃 = 𝐹𝑥 𝑣 1 Energie cinétique, TRot =2 𝐼𝑧 ² Travail, 𝑊 = 2 1 𝑀𝑧 𝑑 = 1 𝐼 2 − 2 𝑧 2 1 𝐼 2 2 𝑧 1 Puissance, P = Mz , Remarque : Le moment d'inertie est analogue à la masse : il donne l'inertie de rotation relative à un axe fixe. La masse donne l'inertie de translation d'un solide. 8 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 1.12 Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe dans l'espace En général, le mouvement plan d'un solide est composé d'un mouvement de translation d'un point fixe du solide (généralement le centre de masse) et d'un mouvement de rotation autour d'un axe à travers le point fixe qui n'est limité en direction. Le nombre de degré de liberté d'un solide dans l'espace est de six (06). Donc six coordonnées sont nécessaires pour déterminer le mouvement. En général, on choisi trois (03) translations du point fixe dans le solide et trois (03) rotations (par exemple : angles d'Euler) qui déterminent la rotation du solide autour du point fixe. 1.12.1 Les vitesses linéaire et angulaire d'un solide autour d'un point fixe est : 𝑣𝑖 = 𝑟𝑖 =  × 𝑟𝑖 1.12.2 Le moment cinétique est : Choisissons un repère Oxyz fixe, on écrit : 𝐾 = 𝐿 𝑥 𝑖 + 𝐿𝑦 𝑗 + 𝐿𝑧 𝑘 et (1.17)  = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘 Le moment cinétique est : 𝐾 = (1.18) 𝑚𝑖 𝑟𝑖 ×  × 𝑟𝑖 , on obtient donc : 𝐾𝑥 = 𝐼𝑥𝑥 𝑥 + 𝐼𝑥𝑦 𝑦 + 𝐼𝑥𝑧 𝑧 𝐾𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 𝑥 + 𝐼𝑦𝑦 𝑦 + 𝐼𝑦𝑧 𝑧 𝐾𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 𝑥 + 𝐼𝑧𝑦 𝑦 + 𝐼𝑧𝑧 𝑧 Les quantités𝐼𝑥𝑥 , 𝐼𝑦𝑦 et 𝐼𝑧𝑧 sont les moments d'inertie par rapport aux axe x, y et z respectivement. Les quantités 𝐼𝑥𝑦 , 𝐼𝑥𝑧 …𝐼𝑧𝑦 sont les produits d'inertie. Ces quantités seront développées dans le chapitre 2. 1.12.3 Energie cinétique T : l'énergie cinétique en rotation est : 𝑇= 1 2 𝐼𝑥𝑥 𝑥 ² + 𝐼𝑦𝑦 𝑦 ² + 𝐼𝑧𝑧 𝑧 ² + 2𝐼𝑥𝑦 𝑥 𝑦 + 2𝐼𝑥𝑧 𝑥 𝑧 + 2𝐼𝑦𝑧 𝑦  𝑧 (1.19) 1.12.4 Axes principaux d'inertie Soient les trois axes perpendiculaires ayant comme origine le point fixe O dans le solide tournant avec le solide et par rapport auquel les produits d'inertie sont nuls. Ces trois axes sont appelés axes principaux d'inertie. Une propriété de ces axes est que si le solide rigide tourne autour d'eux, le moment cinétique a la même direction de la vitesse de rotation (𝐾 ∥  ), donc le produit vectoriel est égal à zéro. On obtient donc : 𝐼𝑥𝑥 − 𝐼 𝑥 + 𝐼𝑥𝑦 𝑦 + 𝐼𝑥𝑧 𝑧 = 0 9 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 𝐼𝑦𝑥 𝑦 + 𝐼𝑦𝑦 − 𝐼 𝑦 + 𝐼𝑦𝑧 𝑧 = 0 𝐼𝑧𝑥 𝑦 + 𝐼𝑧𝑦 𝑧 + 𝐼𝑧𝑦 − 𝐼 𝑧 = 0 Ce système aura une solution autre que 𝑥 = 𝐼𝑥𝑥 − 𝐼 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 𝑦 = 𝑧 = 0, si 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 − 𝐼 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 =0 𝐼𝑧𝑦 − 𝐼 Qui aboutit à une équation algébrique de troisième degré donnant trois solutions réelles : 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 appelés les moments d'inertie principaux. 1.12.5 Moment cinétique, K, et Energie cinétique, T, par rapport aux axes principaux : Si on pose 1 , 2 et 3, K1, K2 , et K3 valeurs des vitesses angulaire et des moments cinétiques par rapport aux axe principaux, on alors : K1= I11, K2= I22 , K3= I33 (1.20) L'énergie cinétique par rapport aux axes principaux est aussi donnée : 1 𝑇 = 2 𝐼1 1 ² + 𝐼2 2 ² + 𝐼3 3 ² (1.21) 1.12.6 Equations de mouvement d'Euler avec les axes principaux d'inertie Il est souhaitable de trouver la description du mouvement d'un solide rigide par rapport aux coordonnées qui coïncident avec les axes principaux qui sont fixés dans le solide et tournant avec le solide. Si on pose M1, M2 , et M3 et 1 , 2 et 3, les moments des forces extérieures et les vitesses de rotation par rapport aux axes principaux, les équations de mouvement sont données par : 𝐼1 1 + 𝐼3 − 𝐼2 2 3 = 𝑀1 𝐼2 2 + 𝐼1 − 𝐼3 1 3 = 𝑀2 (1.22) 𝐼3 3 + 𝐼2 − 𝐼1 1 2 = 𝑀3 Ces équations sont appelées équations d'Euler. 1.12.7 Equations de mouvement d'Euler avec les angles d'Euler Soit un solide fixé à un point O et soient x, y, et z axes principaux centraux. La position instantanée du solide dans un repère RO(OxOyOzO) est donnée par les angles d'Euler (voir le paragraphe suivant) comme : Une rotation de vitesse angulaire instantanée  autour de l'axe fixe vertical zO : la précession du solide. 10 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Une rotation de vitesse angulaire instantanée  autour de l'axe fixe horizontal du nouveau repère : la nutation du solide Une rotation de vitesse angulaire instantanée  autour de l'axe principal d'inertie du solide z ayant une vitesse angulaire  +  : la rotation propre du solide Les composantes du moment cinétique sont : KC = I1ωx𝒊+I2ωy𝒋+I3ωz𝒌 Où I1, I2, et I3 sont les moments d'inertie principaux du solide. Les trois équations scalaire du mouvement en rotation du solide sont : ΣMx = I1αx −(I2−I3)ωyωz ΣMy = I2αy −(I3−I1)ωzωx (1.23) ΣMz = I3αz−(I1−I2)ωxωy Ces équations sont appelées équations de mouvement d'Euler. 1.13 Angles d'Euler Les trois angles d'Euler permettent de trouver l'orientation d'un solide ou d'un repère final R2(Ox2y2z2) de nouvelle base de base (i2,j2,k2) (Figure -d) en rotation par rapport à un repère initial R1(Ox1y1z1) de base (i1,j1,k1) (Figure -a) et ayant le même origine O. z1 z1 z z  z2  z z   x1  y1 O (a) x1 x (b) O y1 x O y  (c) x y  y2  y  y y O z  x (d) x  x2 Angles d'Euler. Ces trois angles sont : 1. Première rotation avec un angle  (appelé angle de précession) autour de l'axe z1 (Figure b) qui transforme le repère initial à un premier nouveau repère R(Oxyz1). Rot.(z1,  ) : R1(Ox1y1z1) R(Oxyz1). Le changement de base du nouveau repère par rapport au repère initial est : i=i1cos + j1sin j=j1cos - j1sin k1 11 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Avec une forme matricielle : 𝑖 𝑖 𝑖1 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 0 𝑗 = −𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 0 ∙ 𝑗1 = 𝑅(𝑧1 ,  ) ∙ 𝑗 𝑘 0 0 1 𝑘1 𝑘1 (1.24) 2. Deuxième rotation avec un angle  (appelé angle de nutation) autour de l'axe des x du nouveau repère (Figure -c) qui transforme le premier nouveau repère R(Oxyz1) à un deuxième nouveau repère R (O x y z). Rot.( x , ) : R(Oxyz1) R (O x y z). Le changement de base du nouveau repère par rapport au repère initial (figure ci-dessus) est : i j= jcos + k1sin k= k1cos - k1sin Avec une forme matricielle : 𝑖 𝑖 𝑖 1 0 0 𝑗 = 0 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑗 = 𝑅(𝑥 , ) ∙ 𝑗 𝑘 0 −𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑘 (1.25) 3. Troisième rotation avec un angle  (appelé angle de rotation propre) autour de l'axe des z du nouveau repère (Figure -d) qui transforme le deuxième nouveau repère R (O x y z) à un troisième nouveau repère R (O x y z) et qui sera le repère Rot.( z , ) : R (O x y z)  R (O x y z). Le changement de base du nouveau repère par rapport au repère initial (figure ci-dessus ) est : i= icos + jsin j=- isin+ jcos k Avec une forme matricielle : 𝑖 𝑖 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 0 𝑗 = −𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 0 ∙ 𝑗 = 𝑅(𝑧 , ) ∙ 𝑗 𝑘 𝑘 0 0 1 𝑘 (1.26) Il se trouve donc que chaque repère est tourné par rapport à un repère déjà tourné. Donc la relation de changement de base de repère R2 par rapport à R1 est obtenue par les produits de ces trois matrices de transformation comme suit 𝑅 = 𝑅(𝑧1 ,  ) ∙ 𝑅(𝑥 , ) ∙ 𝑅(𝑧 , ) On remplace par ces matrices, on aura : 12 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 𝑐𝑜𝑠 𝑅 = −𝑠𝑖𝑛 0 𝑠𝑖𝑛 0 1 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 0 0 0 𝑐𝑜𝑠 0 ∙ 0 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ −𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 0 0 1 0 −𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 0 0 1 𝑅= 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 −𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 −𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 − 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 −𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 (1.27) Ce modèle géométrique est appelé Modèle Géométrique Direct (MGD). On peut l'écrire : 𝑃1 = 𝑅 𝑃2 D'où : 𝑃𝑥1 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑃𝑦1 = −𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑃𝑧1 −𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 − 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛 −𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑃𝑥2 𝑃𝑦2 𝑃𝑧2 (1.28) Tel que : 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) est le vecteur de position d'un point du solide dans le repère R1 (position à rechercher) et 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 est le vecteur de position du point dans le repère R2 (position donnée). Les éléments de cette matrice de transformation sont appelés cosinus directeurs. La transformation inverse permet de déterminer les angles d'Euler à partir de ces cosinus directeurs comme suit :  Si zz  1 :  = atan2(zx, -zy),  = acos zz,  = atan2(xz, yz)  Si zz = 1 :  = (1- zz)/2,  + zz  = atan2(yx, xx) Les angles  et  sont indéterminés N.B. La fonction atan2(x,y) 13 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 𝑎𝑡𝑎𝑛2 𝑦, 𝑥 = 𝑦 𝑡𝑎𝑛−1 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑥 𝑦 𝑡𝑎𝑛−1 +  𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑒𝑡 𝑦 ≥ 0 𝑥 + −  2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0  𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0 2 𝑖𝑛𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛é 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 = 0 1.14 Autre type d'angles d'orientation d'un solide : En plus des angles d'Euler, on trouve les angles roulis (angle ), tangage (angle ) et lacet (angle ). Ces angles utilisés par les anglo-saxons (appelé roll, pitch et yaw) et par les industriels. Ces angles sont obtenus par la rotation successive par rapport aux axes du repère initial. La matrice de transformation est obtenue par le produit : R = Rot(x1, )*Rot(y,  ) * Rot(z, ). 1.15 Mouvements à force centrale F=f(r)r1 1.15.1 Définition : Une force appliquée sur un point matériel y est dite centrale, si sa ligne d'action passe à chaque instant par un point fixe, O, appelé centre des forces. P m r  O x y La force centrale est toujours dirigée du point m vers l'avant ou bien à partir d'un point fixe O. Son amplitude (module) dépend uniquement de sa distance r par rapport au point O.Cette force est appelée force centrale ou champ de force centrale avec comme centre de force O. La force F = f(r) 𝑢𝑟 , tel que 𝑢𝑟 est le vecteur unitaire dans la direction de r. Cette force centrale est une force d'attraction vers le centre O ou bien de répulsion à partir du centre O selon si f(r) < 0 ou f(r) > 0 respectivement. 1.15.2 Quelques propriétés importantes du champ de force centrale Si une particule (point matériel) déplace dans un champ de force centrale, les propriétés suivantes sont vérifiées : 1. Le chemin (ou l'orbite) de la particule doit être curviligne plan. C'est-à-dire, la particule déplace sur un plan. 2. Le moment cinétique de la particule est conservé (Constant). 14 Chapitre 1 3. Dynamique des solides rigides le vecteur de position (ou vecteur rayon) dressé du centre O jusqu'à la particule m balai des aires égales dans des durées égales. C'est-à-dire, la variation du temps dans le changement de l'aire est constante (appelé loi des aires). Comme exemples, il y a la force gravitationnelle, interaction électrostatique (Force de Coulomb) et Force de rappel d’un ressort. Si l'origine du repère choisi se confond avec le centre des forces, la force centrale, F, est exprimée par : 𝒓 𝐹 = 𝐹 𝑟, 𝑡 ∙ 𝑢𝑟 = 𝐹 𝑟, 𝑡 ∙ 𝑟 (1.29) Tel que r est le rayon vecteur du point d'application m de la force, r son module (rayon polaire de m), F est la projection de la force F sur la direction du rayon vecteur (valeur algébrique de la force). 𝑢𝑟 est le vecteur unitaire; 𝑂𝑚 𝑢𝑟 = 𝑂𝑚 , donc : 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑂𝑚 (1.30) Les forces centrales constituent un champ de forces centrales. Le cas le plus pratique est celui où la force F dépend uniquement de la distance r, donc F = F(r) et 𝐹 = 𝐹(𝑟) ∙ 𝑟 0 avec 𝑟 0 = 𝒓/𝑟 est le vecteur unité du rayon polaire du point d'application de la force. On dit d'un tel champ de forces centrales qu'il est symétrique sphérique. Puisque la trajectoire décrite par le point matériel sous une force centrale est une courbe plane. Donc, une courbe contenue dans le plan qui passe par le vecteur vitesse initiale du point et par le centre O. On considère ce plan comme repère Oxy (Figure ). y P (r, ) m) r 𝑉 F(X,Y)  O x Les projections X et Y de la force centrale F sont alors : 𝑥 𝑋 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝐹 𝑟 𝑌 = 𝐹𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐹 𝑦 𝑟 Le travail élémentaire de la force 𝐹 pour un déplacement réel 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑑𝑦 ∙ 𝑗 s'écrit : 𝑑𝐴 = 𝐹, 𝑑𝑟 = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 = 𝐹 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 𝐹 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 15 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Car, si on dérive 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 on obtient : 𝑟𝑑𝑟 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 On sait que F(r)dr est la différentielle d'une fonction de force U(r) qu'est égale à : 𝑈 𝑟 = 𝐹 𝑟 𝑑𝑟 (1.31) Donc 𝐹 𝑟 𝑑𝑟 est une différentielle totale d'une fonction à deux variables x et y. 1.15.3 Equation de mouvement d'une particule dans un champ de force centrale En vertu de la première propriété de la force centrale, la trajectoire d'une particule dans un champ de force centrale se trouve sur un plan. Soit ce plan comme xy et les coordonnées polaires de la particule sont (r et ). 1.15.3.1 Première formule de Binet (Jacques Binet : mathématicien et astronome français 1786-1856) L'équation de mouvement est trouvée, appliquant la loi de Newton selon la direction du vecteur r, par la manière suivante : 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜑 2 𝑢𝑟 + 𝑟𝜑 + 2𝑟𝜑 𝑢𝜑 = 𝑓(𝑟)𝑢𝑟 Donc par comparaison des deux membres de cette équation on obtient : 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜑 2 = 𝑓(𝑟) 𝑚 𝑟𝜑 + 2𝑟𝜑 =0 De cette dernière équation, on a alors : 𝑟𝜑 + 2𝑟𝜑 = 0 ⇒ 𝑟𝜑 = −2𝑟𝜑 ⇒ 𝜑 −2𝑟 = 𝑟 𝜑 Après une première intégration, on aura : 𝑟²𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑕 Ce ci confirme les deux propriétés (2 et 3) de la force centrale Tel que : 𝑟 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ,𝑟= 𝑑²𝑟 ,𝜑= 𝑑𝑡² 𝑑𝜑 𝑑²𝜑 et 𝜑 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡² 𝑉 r(t+t) P 90°  r m r(t) d  O x On appelle une vitesse aréolaire (‫( )المساحي‬attention ce n'est pas aléatoire) d/dt d'un point P la limite du rapport de l'aire  balayée par son rayon vecteur r (figure suivante) à l'intervalle de temps correspondant t, lorsque t0. 16 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Tel que : 𝑑𝜍 ∆𝜍 = lim 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 Le module d'un produit vectoriel de deux vecteurs est égal au double de l'aire du triangle construit sur les vecteurs à multiplier, c'est-à-dire : 2∆𝜍 = 𝑟, ∆𝑟 Donc le double de la vitesse aléatoire est égal à : 2 𝑑𝜍 ∆𝑟 = lim 𝑟, 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 = 𝑟, 𝑣 = 𝑀𝑜𝑚0 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑑 Veut dire que le double de la vitesse aréolaire est égal au module du moment de la vitesse du point par rapport au centre O. Dans le cas de mouvement plan en coordonnées polaires, la vitesse aréolaire, pour un élément d'aire, est égal à des infiniment petits du second ordre près : ∆𝜍 = 1 2 𝑟 ∆𝜑 2 Tel que  est l'accroissement de l'angle polaire  pendant le temps t . Par définition, on a : 𝑑𝜍 1 1 𝑑𝜑 = lim 𝑟 2 ∆𝜑 = 𝑟 2 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 2 2 𝑑𝑡 La première formule de Binet s'exprime alors : Soit un point matériel P de masse m soumis à une force centrale, donc le théorème de la variation du moment cinétique sous sa forme vectorielle ramène à une intégrale première : 𝑴𝒐𝒎0 𝑚𝑣 𝑡 = 𝑴𝒐𝒎0 𝑚𝑣 0 Puisque le vecteur de moment cinétique du point par rapport au centre O conserve une direction inchangée, donc la trajectoire do point P se trouve dans un plan fixe perpendiculaire au vecteur 𝑴𝒐𝒎0 𝑚𝑣 0 . Par conséquent, on peut écrire : 2 𝑑𝜍 = 𝑴𝒐𝒎0 𝑣 0 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑡 L'intégrale de cette dernière relation est appelée intégrale des aires ou constante des aires. En coordonnées polaires, cette intégrale des aires s'écrit : 𝑟2 𝑑𝜑 𝑑𝑡 = 𝑴𝒐𝒎0 𝑣 0 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑐 (***) Où le signe de la constante c est positif ou négatif suivant que l'angle polaire  du point mobile m augmente ou diminue. Le carré de la vitesse du point est déterminé comme suit : 𝑣2 = 𝑑𝑟 2 𝑑𝑡 + 𝑟2 𝑑𝜑 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑟 2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 𝑑𝑡 1 + 𝑟 2 𝑟2 𝑑𝜑 2 𝑑𝑡 17 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Appliquons l'intégrale des aires (relation ***), ce qui donne : 𝑑𝜑 = 𝑐/𝑟 2 𝑑𝑡 Ce qui ramène à la première formule de Binet : 𝑣2 = 𝑐2 1 𝑑𝑟 2 𝑟 2 𝑑𝜑 + 1 𝑟2 1 = 𝑐2 𝑑 𝑟 𝑑𝜑 2 1 + 𝑟2 (1.32) Cette formule exprime le carré de la vitesse du point en fonction de l'inverse se son rayon polaire (r) et de la dérivée de cet inverse par rapport à l'angle polaire (). 1.15.3.2 Deuxième formule de Binet Quant le point matériel se déplace dans un champ de forces centrales, le théorème de la variation de l'énergie cinétique s'écrit comme suit : 𝑑 1 𝑚𝑣 2 = 𝐹𝑑𝑟 2 On divise cette relation par d et on remplace v² par son expression de la première formule de Binet et faisons la dérivation on obtient : 1 𝑑 𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑟 𝑑 𝑚𝑐² 𝐹 = 𝑑𝜑 𝑑𝜑 2 2 1 1 1 1 𝑚𝑐² 𝑑 𝑟 𝑑² 𝑟 1𝑑 𝑟 + 2 = 2 +2 𝑟 2 𝑑𝜑 𝑑𝜑² 𝑟 𝑑𝜑 1 1 𝑑𝑟 𝑑² 𝑟 1 1 𝑑𝑟 = 𝑚𝑐² − − 𝑟 𝑟² 𝑑𝜑 𝑟² 𝑑𝜑 𝑑𝜑² Après avoir divisé par dr/d, on obtient la deuxième formule de Binet 1 𝐹= 𝑚𝑐 ² 𝑑² − 𝑟² 𝑑𝜑𝑟² 1 +𝑟 (1.33) Cette formule permet de déterminer la force en fonction de la trajectoire r=r(). Donc, elle permet de résoudre un problème semblable au problème fondamental de la dynamique. 1.15.4 Energie potentielle d'une particule dans un champ central Le champ de force centrale est conservatif. Donc, l'énergie potentielle, U(r), dépend uniquement du vecteur de position r comme suit : 𝑈 𝑟 = − 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 (1.34) Les constantes d'intégration sont à déterminer à partir des conditions limites. Comme exemple, à r = 0 on a : U(r) = 0 et aussi, si r∞ on a : U(r) = 0. 18 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 1.15.5 Conservation de l'énergie Avec les coordonnées polaires (r et ), l'énergie totale, E, de la particule (Energie cinétique + Energie potentielle) est comme suit : 𝐸= 1 1 𝑚 𝑟 2 + 2𝑟𝜑 2 + 𝑈 𝑟 = 𝑚 𝑟 2 + 2𝑟𝜑 2 − 2 2 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = Puisque il a été montré précédemment que le moment cinétique est constant (𝑟²𝜑 𝑕), d'où : 𝐸= 1 1 𝑚 𝑟 2 + 2𝑟𝜑 2 + 𝑈 𝑟 = 𝑚 2 2 1 𝐸= 𝑚 2 On remplace par : 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 𝑑𝑡 2 𝑑𝑟 𝑑𝑡 2 + 2𝑟 𝑑𝜑 + 2𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝜑 𝑑𝑡 2 − 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 2 − 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 𝑕 = 𝑟² 𝑚𝑕² 𝐸= 2𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝜑 2 + 𝑟² − 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑚 2 𝑕² 𝑟 + 2 − 2 𝑟 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 On pose u=1/h, on obtient : 𝑑𝑢 𝑑𝜑 2 + 𝑢² = 2(𝐸 − 𝑈) 𝑚𝑕² 1.16 Exercices Exercice 1 Angles d'Euler On donne les coordonnées d'un point quelconque dans le repère en rotation R2 comme 𝑃2 = (𝑥2 = 2, 𝑦2 = −4, 𝑧3 = 12 On cherche la position de ce point dans le repère R1 après deux rotations successives par les angles d'Euler :  =45° et  = 45°. Réponse : En utilisant la matrice de transformation avec des angles d'Euler, on a alors : 𝑃𝑥1 𝑃𝑦1 = 𝑃𝑧1 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 − 𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑠𝑖𝑛0 −𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 + 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑠𝑖𝑛0 𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑠𝑖𝑛0 −𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑠𝑖𝑛45 − 𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 −𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑠𝑖𝑛0 + 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 𝑠𝑖𝑛45 ∙ 𝑠𝑖𝑛45 −𝑐𝑜𝑠45 ∙ 𝑠𝑖𝑛45 𝑐𝑜𝑠45 2 −4 12 = 19 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides 2 2 2 ∙1− ∙ ∙0 2 2 2 2 2 2 = − ∙1+ ∙ ∙0 2 2 2 1 ∙0 2 2 2 2 = − 2 2 2 2 2 ∙ − ∙ ∙1 2 2 2 2 2 2 2 − ∙0+ ∙ ∙1 2 2 2 2 ∙1 2 − −1 2 2 ∙ 2 2 2 2 2 −5 − ∙ 2 2 10 2 2 1 2 2 1 1 −4 − 2 2 12 2 2 0 2 2 Donc la position de ce point après ces deux rotations dans le repère initial R1 est : 2 1 ∙ 2 − 1 −4 + ∙ 12 = 10 + 2 2 2 𝑃𝑥1 = 𝑃𝑦1 = − 2 1 1 ∙ 2 + −4 − ∙ 12 = −8 − 2 2 2 2 𝑃𝑧1 = 0 ∙ 2 + 2 2 −4 + ∙ 12 = 2 2 4 Exercice 2 Force centrale Si on considère que le mouvement d'un point matériel P de masse m est soumis à la loi de gravitation universelle par une grande masse M fixe au point O. La force d'attraction centrale est alors : 𝐹 = −𝑘 𝑀∙𝑚 𝜆∙𝑚 𝑢=− 2 𝑢 2 𝑟 𝑟 Tel que  est une constante (=k.M) et 𝑢 est le vecteur unitaire suivant la direction 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑢 = 𝑂𝑃 Le travail de cette force d'attraction de l'infini à P est alors : 𝑟 𝐴= 𝑟 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = −𝜆 ∙ 𝑚 ∞ ∞ 𝑢 𝑢 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝑢 = −𝜆 ∙ 𝑚 𝑟2 𝑟 ∞ 𝑑𝑟 𝜆 ∙ 𝑚 = 𝑟2 𝑟 On choisi le potentiel U0=U(∞)=0 On obtient alors : ∆𝑈 = 𝑈0 − 𝑈 = 𝐴 ⟹ 𝑈 = −𝐴 = − 𝜆∙𝑚 𝑟 20 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides On utilisant les coordonnées polaire (r, ), le vecteur de position de m est : 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ⟹ 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 Et aussi : 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟 ∙ 𝜃 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 ∙ 𝜃 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 ⟹ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 0 0 Les composantes de l'accélération parallèle et perpendiculaire à 𝑟 sont : Composante parallèle 𝑎𝑟 = 𝑎 ∙ 𝑢 = 𝑟 − 𝑟𝜃 2 𝑑𝑢 1 𝑑 Composante perpendiculaire 𝑎𝜃 = 𝑎 ∙ 𝑑𝜃 = 2𝑟 ∙ 𝜃 + 𝑟𝜃 = 𝑟 𝑑𝑡 𝑟 2 𝜃 On applique la loi de mouvement dans la direction de 𝑑𝑢 𝑑𝜃 , on aboutit alors à : 1 𝑑 𝑚 ∙ 𝑎𝜃 = 𝑚 ∙ 𝑟 𝑑𝑡 𝑟 2 𝜃 = 0 car la force 𝐹 est perpendiculaire à 𝑑𝑢 𝑑𝜃 . Donc, on a une intégrale première 𝑟 2 𝜃 = 𝑐𝑡𝑒 Ce qui correspond à la loi aréolaire, le module de la vitesse aréolaire est : 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∧ 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 ∙ 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 𝑟∧𝑣 = = 𝑟² ∙ 𝜃 La détermination de la trajectoire du mouvement, on exprime l'accélération 𝑎𝑟 en fonction des coordonnées r et  ainsi que de leurs dérivées comme suit : 𝑑𝑟 𝐴2 𝑎𝑟 = 𝑟 − 𝑟𝜃 = − 𝑑𝑡 𝑟 3 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Où : 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 𝜃 = 𝑑 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝜃 𝑑𝜃 𝜃= 𝐴2 𝑟2 𝑑 𝑑𝑟 1 𝑑𝜃 𝑟2 𝑑𝜃 𝐴2 𝑑² = − 𝑟 2 𝑑𝜃 ² 1 𝑟 Ce qui donne la deuxième formule de Binet 𝑎𝑟 = 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = − 𝐴2 𝑑² 1 1 + 2 𝑟 𝑑𝜃² 𝑟 𝑟 D'après la loi de mouvement dans la direction radiale : 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑟 ⇒ − 1 𝜆 𝑑² Etant : 𝑟 ≠ 0 ⇒ 𝐴2 = 𝑑𝜃 ² 1 𝑟 𝜆∙𝑚 𝐴2 𝑑² 1 1 = −𝑚 + 2 2 𝑟 𝑟 𝑑𝜃² 𝑟 𝑟 1 +𝑟 21 Chapitre 1 Dynamique des solides rigides Dont la solution générale est : 1 𝜆 = 2 + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃0 ) 𝑟 𝐴 Tel que les constantes B et 0 sont à déterminer en fonction des conditions initiales. Donc : 𝑟= 𝐴2 𝜆 𝐴2 1 + 𝐵 𝜆 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃0 ) Et 𝐴2 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃 − 𝜃0 ) 𝜆 𝑟= 𝐴2 1 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃0 ) 𝜆 2 On pose les conditions initiales comme suit : 22 Chapitre 2 Eléments de cinétique Chapitre 2 ELEMENT DE ‫يفاهيى حىل عهى‬ CINETIQUE ‫انحركة‬ Element of Kinetic Dans le mouvement d'un corps rigide contraint à tourner autour d'un axe fixe ou à se déplacer parallèlement à un plan fixe, la direction des axes ne change pas. Dans les cas plus généraux de mouvement à corps rigide que nous abordons dans ce chapitre, la direction de l'axe peut varier. Comparé au chapitre précédent, l'analyse ici est considérablement plus impliquée. En effet, même dans le cas d'un corps en rotation libre sur lequel aucune force externe n'agit, le mouvement, comme nous le verrons, n'est pas simple. 2.1 Centre de masse a) Système discret (cas de plusieurs points matériels) Soit un système "S" de n points matériels de masses : m1, m2, m3,…, mn Le vecteur position du centre de masse de ce système est alors : 𝑟𝐺 = 𝑛 𝑖=1 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 𝑛 𝑚 𝑖=1 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 =𝑚 𝑟1 Sa vitesse est : 𝑉𝐺 = 𝑛 𝑖=1 𝑚 𝑖 𝑉 𝑖 𝑛 𝑚 , 𝑖=1 𝑖 Système "S", masse, m z (2.1) mi m2 m1 𝑟𝑖 G 𝑟 2 𝑟𝐺 m3 𝑟3 O (2.2) y x Figure 2.1 b) Système continu (cas d'un solide "S") Solide "S", masse, dmM z 𝑟𝐺 = 𝑆 𝑂𝑀 𝑑𝑚 𝑆 𝑑𝑚 𝒓𝑮 (2.3) O avec 𝑆 G x 𝑑𝑚 = 𝑚 , y Figure 2.2 23 Chapitre 2 Eléments de cinétique Cas particuliers  ds = dm 1) Solide à une dimension (Distribution linéaire) : On pose  = dm : masse linéaire (kg/m) et ds : un élément de longueur. ds 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) ⟹ 𝑑𝑠 = 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑡 2) Solide à deux dimensions (Distribution surfacique) : On pose ds = dm : masse surfacique (kg/m²) et ds : un élément de surface =dxdy 𝑢𝑥 𝑢 + 𝑣𝑥 𝑣 = 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝜕𝑥 ⟹ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝑢𝑥 𝑢 + 𝑣𝑥 𝑣 = 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝑢𝑦 𝑢 + 𝑣𝑦 𝑣 = 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 L'élément d'aire sur une surface quelconque est : 𝑑𝑆 = 𝜕𝑂𝑀 𝜕𝑂𝑀 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑂𝑀 𝜕𝑂𝑀 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑣 2 𝑑𝑢𝑑𝑣 3) Solide à trois dimensions (Distribution volumique) : dv=dm, avec est la masse volumique (kg/m3) et dv est un élément de volume, tel que dv = dxdydz 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝜕𝑥 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤) ⟹ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕𝑣 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑤 2.2 Moment cinétique On considère RO (O,x0, y0, z0) : un repère fixe, R (G,x, y, z) : un repère lié au solide, 𝑉G : la vitesse du centre de masse G du solide et  : vitesse angulaire du solide. Le moment cinétique par rapport au point G dans le repère lié au solide R (G, x, y, z) est exprimé comme : 𝐾𝐺 = 𝜌 ∧ 𝑣 ∙ 𝑑𝑚 𝑚 24 Chapitre 2 Eléments de cinétique 𝒗 z z0 Solide "S", masse, M dm x 𝝆 G 𝒓 𝑹 𝒓𝑮 𝒓𝑨 𝒓𝑨𝑮 𝒗𝑮 A O x0 y y0 Figure 2.3 Où 𝑣 = 𝑟 = 𝑣𝐺 + 𝜔 ∧ 𝜌 Ce qui ramène à : 𝐾𝐺 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑚 ∧ 𝑣𝐺 + 𝑚 𝜌 ∧ 𝜔 ∧ 𝜌 𝑑𝑚 = 𝑚 𝜌 ∧ 𝜔 ∧ 𝜌 𝑑𝑚 𝑚 Par conséquent : 𝐾𝐺 = 𝑚 𝜌2 ∙ 𝜔 − 𝜌 ∧ 𝜔 ∧ 𝜌 𝑑𝑚 = 𝐽𝐺 𝜔 (2.4) Rappelons ici que 𝜌 est le vecteur de position de l'élément dm dans le repère lié au solide R (G, x, y, z). Ceci permet de dire que le moment cinétique 𝐾𝐺 est une fonction linéaire de la vitesse angulaire 𝜔 du solide. Pour déterminer ce moment cinétique, il faut donc déterminer la matrice 𝐽𝐺 dite matrice d'inertie ou tenseur d'inertie. 2.3 Théorème de l'énergie cinétique En vertu de la loi fondamentale de la dynamique (PFD) sous la forme suivante : 𝑚 ∙ 𝑑𝑣 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑡 On multiple scalairement par 𝑣 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑚 ∙ 𝑣 ∙ 𝑑𝑣 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 L'intègre le long de la trajectoire du point ramène à : 25 Chapitre 2 1 2 Eléments de cinétique 1 2 𝑚 ∙ 𝑣 2 − 2 𝑚 ∙ 𝑣0 = La quantité Et 𝐴 = 𝑟 𝐹 𝑟0 𝑟 𝐹 𝑟0 ∙ 𝑑𝑟 (2.5) 1 𝑇 = 2 𝑚 ∙ 𝑣 2 est appelée Energie cinétique du point matériel ∙ 𝑑𝑟 est le travail de la force 𝐹 le long de la trajectoire. On écrit alors le théorème de la variation de l'énergie cinétique : 𝑑 𝑑𝑡 1 𝑚 2 ∙ 𝑣 2 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 (2.6) Énoncée : la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel est égale au travail effectué par la force totale appliquée au point le long de la trajectoire décrite par le point. Dans le cas général, le travail de la force ne dépend pas du chemin parcouru et ne dépend que des positions initiales et finales, déterminées par les vecteurs 𝑟0 et 𝑟. Dans ce cas le champ des forces 𝐹 est conservatif ayant un potentiel U, tel que : 𝜕𝑈 𝐹 = − 𝜕 𝑟 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 (2.7) Le travail de forces 𝐹 s'exprime donc : 𝐴= 𝑟 𝐹 𝑟0 ∙ 𝑑𝑟 = − 𝑟 𝜕𝑈 𝑟0 𝜕 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑈 𝑟0 − 𝑈 𝑟 = 𝑈0 − 𝑈 (2.8) Ce qui permet de conclure que au cours du mouvement une partie de l'énergie cinétique se transforme en une énergie potentielle et réciproquement. On appliquant le théorème de l'énergie cinétique sur un champ de force conservatif, on obtient : 𝑇 − 𝑇0 = 𝑈0 − 𝑈 D'où : 𝑇 + 𝑈 = 𝑇0 + 𝑈0 = 𝑐𝑡𝑒 (2.9) 2.4 Théorèmes du moment cinétique par rapport à un axe Pour système de n points matériels, le moment cinétique d'un point matériel mi de vecteur position 𝑟i et vitesse 𝑣i par rapport à un centre O, noté KO, la somme géométrique des moments cinétiques de tous les points du système par rapport à ce même centre, on écrit : 𝐾0 = 𝐾1 + 𝐾2 + ⋯ + 𝐾𝑛 = 𝑛 𝑖=1 𝑟𝑖 , 𝑚𝑖 𝑣𝑖 (2.10) Le produit 𝑟𝑖 , 𝑚𝑖 𝑣𝑖 est un produit vectoriel du vecteur position 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑧𝑖 𝑘 par vecteur quantité de mouvement 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑘 . On écrit aussi le moment cinétique de tous les points d'un système mécanique par rapport à l'axe Oz est alors : 26 Chapitre 2 𝐾0𝑧 = Eléments de cinétique 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑜𝑚𝑂𝑧 𝑚𝑖 𝑣𝑖 (2.11) En vertu de la relation (2.10), on alors : 𝑛 𝐾0 = 𝑛 𝑟𝑖 ∧ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = 𝑖=1 𝑖=1 𝑖 𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑑𝑡 𝑗 𝑦𝑖 𝑑𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑑𝑡 𝑘 𝑧𝑖 𝑑𝑧𝑖 𝑚𝑖 𝑑𝑡 La composante du moment cinétique par rapport axes 'axe Ox, Oy et Oz est donc : 𝑛 𝐾0𝑥 = 𝑑𝑧𝑖 𝑑𝑦𝑖 − 𝑧𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝐾0𝑦 = 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑛 𝐾0𝑧 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 − 𝑥𝑖 𝑑𝑧 𝑖 (2.12) 𝑑𝑡 𝑑𝑦𝑖 𝑑𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑡 C'est-à-dire : 𝐾0𝑧 = 𝑃𝑟𝑜𝑗/𝑂𝑧 𝐾0 Le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe Oz par exemple s'écrit : 𝑑𝐾0𝑧 𝑒𝑥𝑡 . = 𝐾0𝑧 = 𝑀𝑂𝑧 𝑑𝑡 On remarque bien dans ce théorème qu'il n'y a pas des forces réactives des liaisons parfaites. 2.4.1 Moment cinétique et énergie cinétique dans le repère de König On appelle un repère de König le repère Rk (G,𝑖,𝑗,𝑘 ) centré en G et en translation par rapport au repère RO(Oxyz). En plus du repère inertiel RO, on considère un autre repère R' (G,𝑥′,𝑦′,𝑧′) lié au système (ou solide) "S" et dont l'origine se trouve dans le centre de masse du système et les axes x' , y' et z' sont parallèles aux axes du repère RO (axes de König). z z0 mi G y (xi,yi,zi) et (x'i,y'i,z'i) 𝐹 i{Xi,Yi,Zi} x x0 O Figure 2.4 y0 27 Chapitre 2 Eléments de cinétique Le repère Rk est donc animé d'un mouvement de translation (en général non rectiligne et non uniforme). Le mouvement du système par rapport au référentiel R' (G,𝑥′,𝑦′,𝑧′) s'appelle mouvement par rapport au centre de masse. Soit un point P de masse mi de coordonnées dans RO : xi, yi, zi et dans R' : x'i, y'i, z'i, on donc : xi = xG + x'i , yi = yG + y'i et zi = zG + z'i avec i = 1, n (2.13) Les coordonnées du centre de masse dans RO sont : 1 𝑥𝐺 = 𝑀 1 1 𝑚𝑖 𝑥𝑖 , 𝑦𝐺 = 𝑀 𝑚𝑖 𝑦𝑖 et 𝑧𝐺 = 𝑀 𝑚𝑖 𝑧𝑖 avec 𝑀 = 𝑚𝑖 Et Les coordonnées du centre de masse dans R' sont évidemment nulles, on écrit alors : 𝑚𝑖 𝑥′𝑖 = 𝑚𝑖 𝑦′𝑖 = 𝑚𝑖 𝑧′𝑖 = 0 Le moment cinétique du système de points matériels par rapport au repère fixe (par exemple à Oz), on a d'après la formule (2.13) et la formule (2.12), on peut écrire : 𝐾0𝑧 = 𝑚𝑖 𝑥𝐺 + 𝑥′𝑖 ∙ 𝑦𝐺 + 𝑦′𝑖 − 𝑦𝐺 + 𝑦′𝑖 ∙ 𝑥𝐺 + 𝑥 ′𝑖 Après développement des produits, on obtient : 𝐾0𝑧 = 𝐾′0𝑧′ + 𝑀 𝑥𝐺 𝑑𝑦 𝐺 𝑑𝑡 − 𝑦𝐺 𝑑𝑥 𝐺 𝑑𝑡 = 𝐾′0𝑧′ + 𝑚𝑜𝑚𝑂𝑧 𝑀𝑣𝐺 = (2.14)  𝐾0𝑧 = 𝐾′𝐾𝑜𝑛𝑖𝑔 + 𝑟0 ∧ 𝑀𝑣𝐺 Tel que : 𝐾′𝐺𝑧′ = 𝑥′𝐺 𝑑𝑦′ 𝐺 𝑑𝑡 − 𝑦′𝐺 𝑑𝑥′ 𝐺 (2.15) 𝑑𝑡 𝐾 ′𝐺𝑧′ = 𝐽𝐺 (𝑆) ∙ 𝐺𝑧 Le vecteur rotation instantanée de R'/ RO est tel que :  ′𝑂 = ′𝐺𝑥 𝑖′ +  ′𝐺𝑦 𝑗′ +  ′𝐺𝑧 𝑘′ 𝐾 ′𝐺𝑧′ 𝐴 = −𝐹 −𝐸 −𝐹 𝐵 −𝐷 −𝐸 −𝐷 𝐶 ′𝐺𝑥 ′𝐺𝑦 ′𝐺𝑧  𝐾 ′𝐺𝑧′ = 𝐴 ′𝐺𝑥 − 𝐹  ′𝐺𝑦 − 𝐸 ′𝐺𝑧 𝑖′ + −𝐹  ′𝐺𝑥 + 𝐵 ′𝐺𝑦 − 𝐷 ′𝐺𝑧 𝑗′ + −𝐸  ′𝐺𝑥 − 𝐷  ′𝐺𝑦 + 𝐶  ′𝐺𝑧 𝑘′ (2.16) Ce théorème s'énonce comme : le moment cinétique d'un système de points matériels par rapport à un axe Oz fixe est égal à la somme du moment cinétique du système 𝐾′0𝑧′ par rapport à l'axe Gz' du repère mobile parallèle à l'axe fixe Oz et du moment par rapport à l'axe fixe Oz de la quantité de mouvement totale du système, appliqué au centre de masse. Autrement dit, le moment cinétique du système de points matériels dans son mouvement absolu est égal au moment cinétique de celui-ci dans les axes de König plus le moment de la 28 Chapitre 2 Eléments de cinétique quantité de mouvement absolu (la lasse du centre de masse est égale à la masse du système (solide). Si les liaisons imposées au système de points sont holonomes, bilatérales, parfaites et permettent des déplacements virtuels suivants :  Une translation du système, à la façon d'un solide rigide, dans les directions Ox et Oy  Une rotation du système, à la façon d'un solide rigide, par rapport à l'axe fixe Oz. De même pour l'énergie cinétique, on a : 1 1 𝑇 = 𝑇′𝐺 + 2 𝑀𝑣𝐺2 = 𝑇′𝐾𝑜𝑛𝑖𝑔 + 2 𝑀𝑣𝐺2 (2.16) Dans laquelle : 1 𝑇′𝐺 = 2 𝑚𝑖 𝑑𝑥′ 𝑖 2 𝑑𝑡 + 𝑇′𝐾𝑜𝑛𝑖𝑔 =𝑇′𝐺 = 𝑑𝑦′ 𝑖 2 𝑑𝑡 1 2 + ′𝐺𝑥 𝑑𝑧′ 𝑖 2 𝑑𝑡 ′𝐺𝑦 1 =2 ′𝐺𝑧 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝐴 −𝐹 −𝐸 𝑥 ′𝑖 + 𝑦 ′𝑖 + 𝑧 ′𝑖 −𝐹 𝐵 −𝐷 −𝐸 −𝐷 𝐶 (2.17) ′𝐺𝑥 ′𝐺𝑦 ′𝐺𝑧 L'énergie cinétique T du système de points matériels dans son mouvement absolu est égale à la somme de son énergie cinétique 𝑇′𝐺 dans son mouvement rapporté aux axes de König et de l'énergie cinétique du centre de masse du système dans son mouvement absolu (la lasse du centre de masse est égale à la masse du système (solide). Cas particulier : Pou un solide ayant un point O fixe dans RO, on a : 𝐾0𝑧 = 𝐽𝑂 (𝑆) ∙ 𝑂𝑧 Et 𝑇0𝑧 = 1  𝐽 (𝑆) ∙ 𝑂𝑧 2 𝑂𝑧 𝑂 2.4.2 Variation du moment cinétique et de l'énergie cinétique dans le repère de König Le mouvement du système est déterminé par le théorème : 𝑑𝐾′ 𝐺𝑧 ′ 𝑑𝑡 = 𝑛 𝑒𝑥𝑡 𝑖=1 𝑚𝑜𝑚𝐺𝑧′ 𝐹𝑖 (2.18) La variation de l'énergie cinétique du système 𝑑𝑇′𝐺 = 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑑𝑥′𝑖 + 𝑌𝑖 𝑑𝑦′𝑖 + 𝑍𝑖 𝑑𝑧′𝑖 (2.19) Si les liaisons imposées au système de points sont holonomes, bilatérales, parfaites, stationnaire (scléronomes) et permettent des déplacements virtuels suivants :  Une translation du système, à la façon d'un solide rigide, dans les directions Ox et Oy  Une rotation du système, à la façon d'un solide rigide, par rapport à l'axe fixe Oz 29 Chapitre 2 Eléments de cinétique La différentielle de l'énergie cinétique 𝑇′𝐺 dans son mouvement dans le repère de König est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces extérieures et intérieures dans les déplacements relatifs réels. 2.5 Tenseur d'inertie Le moment d'inertie d'un solide de masse M est donnée par trois manières suivantes : Moment d'inertie par rapport à un point : 𝐽𝑂 = 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝑆 𝑆 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 (2.20) Moment d'inertie par rapport à un axe, par exemple par rapport à l'axe Ox : 𝐽𝑂𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑆 (2.21) De la même manière pour les deux autres axes Oy et Oz. Moment d'inertie par rapport à un plan, par exemple par rapport à l'axe Oxy : 𝐽𝑂𝑥𝑦 = 𝑆 𝑧 2 𝑑𝑚 (2.22) De la même manière pour les deux autres plans Oyz et Oxz. z y x Par rapport à un point (O). M M r r O z z M O y O x r x y Par rapport à un axe (Ox). Par rapport à un plan (Oxy). Figure 2.5 Les trois manières de définir un moment d'inertie d'un solide. 2.5.1 Relations importantes entre moments d'inertie 1ère relation La somme des moments d'inertie d'un solide par rapport aux trois axes Ox, Oy et Oz liés au même point O d'un repère orthonormé Oxyz est égale au double du moment d'inertie de ce solide par rapport au point O et on écrit alors : 2𝐽𝑂 = 𝐽𝑂𝑥 + 𝐽𝑂𝑦 + 𝐽𝑂𝑧 (2.23) 30 Chapitre 2 Eléments de cinétique 2ème relation : la somme des moments d'inertie par rapport à deux plans est égale au moment d'inertie du solide par rapport à l'axe d'intersection de ces deux plans. On écrit alors : 𝐽𝑂𝑥 = 𝐽𝑜𝑥𝑧 + 𝐽𝑜𝑥𝑦 𝐽𝑂𝑦 = 𝐽𝑜𝑦𝑧 + 𝐽𝑜𝑥𝑦 (2.24) 𝐽𝑂𝑧 = 𝐽𝑜𝑥𝑧 + 𝐽𝑜𝑧𝑦 2.5.2 Matrice de tenseur d'inertie Le moment d'inertie d'un solide "S", déterminé par rapport à un point ou axe AA' ou encore par rapport à un plan, est donné : 𝐽𝐴𝐴 = 𝑆 𝑟 2 𝑑𝑚 (2.25) Où r est la distance séparant l'élément de volume de masse dm par rapport au point, axe ou plan considéré. En général, on écrit le moment d'inertie d'un solide : J = Md² dans laquelle d est le rayon de giration du solide de masse M. Si on utilise le produit matriciel, le moment cinétique s'écrit alors : 𝜌 2 ∙ 𝐼 − 𝜌 ∘ 𝜌 𝜔 𝑑𝑚 = 𝐽𝐺 𝜔 𝐾𝐺 = 𝑚 D'où : 𝜌 2 ∙ 𝐼 − 𝜌 ∘ 𝜌 𝑑𝑚 𝐽𝐺 = 𝑚 Que l'on développe comme suit : 2 𝐽𝐺 = 2 ⟹ 𝐽𝐺 = 𝑥 0 0 1 0 − 𝑦 𝑥 𝑧 0 1 𝑥 +𝑦 +𝑧 −𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥2 −𝑧𝑥 −𝑥𝑧 −𝑥𝑧 2 𝑥 + 𝑦2 𝑚 𝑦2 + 𝑧2 −𝑦𝑥 −𝑧𝑥 1 0 0 2 2 𝐽𝑥 𝑑𝑚 = −𝐷𝑦𝑥 −𝐷𝑧𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑚 −𝐷𝑥𝑦 𝐽𝑦 −𝐷𝑧𝑦 −𝐷𝑥𝑧 −𝐷𝑦𝑧 𝐽𝑧 (2.26) La matrice d'inertie est alors symétrique et Jx, Jy et Jz sont les moments d'inertie par rapport aux axes (x, y, z) liés au solide et Dxy, Dxz,…,Dzy sont les produits d'inertie. Le tableau suivant 31 Chapitre 2 Eléments de cinétique résume les expressions de ces moments d'inertie pour trois cas : système discret, système continu et le cas d'un solide. Système discret Système continu Cas d'un solide (3D) 𝑛 𝐽𝑥𝑥 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2 𝐽𝑥𝑥 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 + 𝑧𝑖2 𝐽𝑦𝑦 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2 𝐽𝑧𝑧 = 𝑖=1 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝐽𝑥𝑥 = 𝜌 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑉 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝐽𝑦𝑦 = 𝜌 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑉 𝑆 𝑛 Moments 𝐽𝑦𝑦 = 𝑖=1 𝑆 𝑆 𝑛 d'inertie 𝐽𝑧𝑧 = 𝑖=1 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑆 𝐽𝑧𝑧 = 𝜌 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑉 𝑛 𝐽𝑥𝑦 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝐽𝑥𝑦 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑧𝑖 𝐽𝑥𝑧 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 𝐽𝑦𝑧 = 𝑖=1 Produits 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝐽𝑥𝑦 = 𝜌𝑥𝑦𝑑𝑉 𝑥𝑧𝑑𝑚 𝐽𝑥𝑧 = 𝜌𝑥𝑧𝑑𝑉 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝐽𝑦𝑧 = 𝜌𝑦𝑧𝑑𝑉 𝑆 𝑛 𝐽𝑥𝑧 = 𝑖=1 d'inertie 𝑆 𝑛 𝐽𝑦𝑧 = 𝑖=1 𝑆 Tableau 2.1 Moments d'inertie et Produits d'inertie d'un système mécanique. Remarques importantes : a) Les moments et produits d'inertie sont toutes indépendantes du temps. b) Le calcul des intégrales ne pose pas de problèmes dans son principe. En pratique, dans le cas de solides complexe les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur (CAO), comme par exemple Solidworks, effectuent automatiquement et numériquement tous ces calculs. c) On a souvent intérêt à calculer le tenseur d'inertie dans une base où le solide représente une certaines symétrie. Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de symétrie, en faisant le changement de variable z → -z dans les intégrales et en utilisant la propriété de définition, que : Jxz = Jyz = 0. 2.6 Axes principaux et centraux d'inertie On appelle axes principaux d'inertie en O, les trois axes d'un système orthonormé tel que la matrice d'inertie soit orthogonale. On peut toujours trouver un système orthogonal des 32 Chapitre 2 Eléments de cinétique vecteurs propres de la matrice d'inertie. Ces vecteurs propres déterminent les trois axes centraux d'inertie passent par le centre de masse (G) du système mécanique. Donc le tenseur central d'inertie dans le repère des axes principaux devient : ⟹ 𝐽𝐺 𝐴 = 0 0 0 𝐵 0 0 0 𝐶 (2.27) Tel que : A, B et C sont les moments principaux d'inertie dans le trièdre des axes principaux. On peut donc toujours trouver un système orthogonal de vecteurs propres de la matrice d'inertie. Ces vecteurs propres déterminent les axes principaux centraux d'inertie liés au solide et forment un repère R (u,v,w). Pour trouver ces axes on peut utiliser la méthode suivante : Soient les trois valeurs propres 1, 2, 3 tel que 1 2 3 Dans le repère des axes principaux R (u,v,w), les moments principaux d'inertie (A, B et C) sont donc, les moments d'inertie sont : Ju = 1 =A= 𝑚 𝑣 2 + 𝑤² 𝑑𝑚 Jv = 2 =B= 𝑚 𝑢2 + 𝑤² 𝑑𝑚 Jw = 3 =C= 𝑚 𝑢2 + 𝑣² 𝑑𝑚 (2.28) Les produits d'inertie sont : Duv =Duw = Dvw = 0 Le calcul des éléments du tenseur d'inertie s'obtient toujours par des intégrales multiples. Pour simplifier le calcul, il est utile d'utiliser les règles suivantes : 1. Si Oz est l'axe de révolution d'un solide on aboutit aux mêmes résultats. De plus, en faisant le changement de variable (x;y) → (-y;x) correspondant à une rotation de /2. On montre que Jxy = 0 et que Jxx = Jyy : Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d'inertie, et que les deux premiers moments principaux d'inertie sont égaux. 2. Lorsque le solide a un plan de symétrie, la normale à e plan détermine un axe principal. Par exemple, si le plan de symétrie est xz, les deux produits d'inertie centraux sont nuls, c'est-à-dire : Dxy=Dyz=0. 3. Si le solide a deux plans de symétrie, donc tous les trois axes principaux sont déterminés. 4. Il est parfois utile d'utiliser des moments d'inertie par rapport à un plan des coordonnées : 33 Chapitre 2 Eléments de cinétique 𝐽𝑥𝑦 = 𝑆 𝑧²𝑑𝑚 , 𝐽𝑦𝑧 = 𝑆 𝑥²𝑑𝑚, 𝐽𝑦𝑧 = 𝑆 𝑦²𝑑𝑚, Ou par rapport au centre de masse : 𝐽𝐺 = 𝑥 2 + 𝑦² + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑚 Ces moments d'inertie n'interviennent pas dans la dynamique et ils servent à déterminer les moments d'inertie par rapport aux axes comme suit : 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥𝑧 + 𝐽𝑥𝑧′ , 𝐽𝑦 = 𝐽𝑦𝑧 + 𝐽𝑦𝑥 ′ , 𝐽𝑧 = 𝐽𝑧𝑥 + 𝐽𝑧𝑦 et 𝐽𝐺 = 𝐽𝑥𝑦 + 𝐽𝑦𝑧 + 𝐽𝑦𝑧 et etc… 2.7 Théorème de Huyghens Si l’on note JG le moment d’inertie d'un solide par rapport à un axe (∆), passant par le centre d’inertie G du solide, alors on peut en déduire le moment d’inertie de ce solide par rapport à un axe (∆'), parallèle à (∆) et distant de ce dernier de l, en écrivant : J∆' = JG + m l ² Où : m est la masse totale du solide Le moment d'inertie J∆' par rapport à un axe (∆') = au moment d'inertie du solide par rapport à un axe passant par son centre de gravité (JG) + le produit de sa masse totale par le carré de la distance qui sépare les deux axes qui doivent être parallèles. 2.8 Théorème de Stainer (théorème des axes parallèles) Le moment d'inertie d'un solide de masse M (JOz) par rapport à un axe quelconque Oz (l'axe Oz est parallèle à l'axe Gz') est égal à son moment d'inertie (JGz') par rapport à l'axe Gz' passant par son centre de masse G augmenté du produit de la masse du solide par le carré de la distance d entre les deux axes (Figure 2.6 ). On considère un système d'axes orthogonaux Oxyz d'origine O et le système d'axes centraux Gx'y'z' d'origine G parallèles aux précédents. Notons 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 les coordonnées du centre de masse G dans le système Oxyz. Les coordonnées de l'élément dm du solide s'écrivent alors : x=x'+𝑥 y=y'+𝑦 z=z'+𝑧 34 Chapitre 2 Eléments de cinétique  ' z' Figure 2.6 d z M G O y' x' x 𝒛 𝒚 𝒙 y Le théorème de Stainer s'écrit : Jx=Jx'+𝑚 𝑦 2 + 𝑧 2 Jy=Jy'+𝑚 𝑥 2 + 𝑧 2 (2.29) Jz=Jz'+𝑚 𝑦 2 + 𝑥 2 Nous pouvons écrire le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe quelconque ( ) en relation avec l'axe (') passant par le centre de gravité (G) du solide comme suit : J = J' +Md² (2.30) 2.9 Energie cinétique d'un solide en mouvement composé Utilisant les paramètres géométriques signalés sur la figure de la page 24, l'énergie cinétique d'un solide se déplaçant avec un mouvement de translation et de rotation est : 𝑇= 1 2  𝑇 = 𝑣𝐺 ² 𝑚 1 2 𝑣 2 𝑑𝑚 = 𝑚 1 2 𝑑𝑚 + 𝑣𝐺 ⋅  ∧ 𝑚 𝑣𝐺 +  ∧  2 𝑑𝑚  ⋅ 𝑑𝑚 + 1  ∧  ∧  𝑑𝑚 2 Sachant que le moment statique par rapport au centre de masse est nul : 𝑆𝐺 = 𝑚  ⋅ 𝑑𝑚 = 0, donc : 1 1  𝑇 = 2 𝑚𝑣𝐺 ² + 2 1 1 𝑇 𝑇 2 ∙ 𝐼 −  ∘  ⋅  ⋅ 𝑑𝑚 = 2 𝑚𝑣𝐺 ² + 2  𝐽𝐺  (2.31) Ce résultat montre que l'énergie cinétique d'un solide en mouvement de rotation et translation est égale à la somme de son énergie cinétique (TTranslation) de la translation de vitesse 𝑣𝐺 du centre de masse plus son énergie cinétique de la rotation (TRotation) autour de son centre de masse. T = TTranslation + TRotation 35 Chapitre 2 Eléments de cinétique Maintenant, pour n'importe quel point A du solide (voir figure page 24), l'énergie cinétique exprimée en fonction de la vitesse de ce point est :  𝑇= 1 2 𝑚 𝑣𝐴 +  ∧ 𝑅 = 2 ⋅ 𝑑𝑚 1 𝑚𝑣 ² + 𝑣𝐴 ⋅  ∧ 2 𝐴 1 𝑅 ⋅ 𝑑𝑚 +  ∙ 𝑅 ∧  ∧ 𝑅 𝑑𝑚 2 On a aussi le moment statique pour le point A : 𝑆𝐴 = 𝑚 𝑅 ⋅ 𝑑𝑚, d'où : 𝑚 𝑅 ∧  ∧ 𝑅 𝑑𝑚 = 𝐽𝐴 ∙  = 𝐿𝐴 Est le moment cinétique par rapport au point A et 𝐽𝐴 est la matrice d'inertie par rapport au même point A. On a alors : 1 2 1 2 𝑇 1 2 𝑇 1 2 𝑇 𝑇  𝑇 = 𝑚𝑣𝐴 ² +  𝐽𝐴  + det 𝑣𝐴 , , 𝑆𝐴 = 𝑚𝑣𝐺 ² +  𝐽𝐺  Si, pour un cas particulier, le point A est fixe et se confond avec le centre de masse G, 𝑆𝐴 = 𝑆𝐺 = 𝑚 𝑅 ⋅ 𝑑𝑚 (2.32) 1 𝑇 𝑇 𝑇 = 2  𝐽𝐴  (𝑣𝐴 = 0) Remarque : Pour déterminer l'énergie cinétique, il est donc préférable de choisir un point fixe ou bien le centre de masse. En vertu de la figure de la page 24, la relation entre les deux matrices d'inertie 𝐽𝐴 et 𝐽𝐺 se produit comme suit : On a : 𝐽𝐴 = 𝑅2 ∙ 𝐼 − 𝑅 ∘ 𝑅 ⋅ 𝑑𝑚 = 𝑟𝐴𝐺 +  2 ∙ 𝐼 − 𝑟𝐴𝐺 +  ∘ 𝑟𝐴𝐺 +  ⋅ 𝑑𝑚 On obtient donc le théorème de Steiner : 𝐽𝐴 = 2 ∙ 𝐼 −  ∘  ⋅ 𝑑𝑚 + 𝑟𝐴𝐺 ² ∙ 𝐼 − 𝑟𝐴𝐺 ∘ 𝑟𝐴𝐺 ⋅ 𝑚 Finalement, on écrit que : 𝐽𝐴 = 𝐽𝐺 + 𝐽𝐺𝐴 (2.33) Tel que : 𝐽𝐺𝐴 est la matrice d'inertie d'un point quelconque du solide de masse m en G par rapport au point A. 2.10 Recherche des moments d'inertie principaux Pour rechercher les valeurs des moments d'inertie principaux I1, I2 et I3 d'un solide on procède de la manière suivante : 1. Calcul des valeurs propres : Si on a la matrice d'inertie du solide 36 Chapitre 2 Eléments de cinétique 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝐺 = 𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧 𝑅𝐺 2. On écrit l'équation équation suivante : 𝐽𝑥 − 𝐼 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦 − 𝐼 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧 − 𝐼 =0 3. On obtient une équation polynomiale de degré 3. Sa résolution permet de déterminer trois solutions I1, I2 et I3 qui caractérisent les moments d'inertie principaux. Si I1 = I2  I3 le solide est de type cylindrique il possède un axe de répétition matérielle. Exemples : parallélépipède à base carrée, cylindre, …) Si I1 = I2 = I3 le solide est sphérique ou cubique. Dans ce cas la matrice initiale est déjà diagonale. 2.11 Méthode pratique pour calculer les éléments d'inertie Pour un solide, on commence tout d'abort de choisir l'origine O du repère par rapport auqel la matrice d'inertie est recherchée. Il est adéquat de rechercher le centre de masse du solide et le choisir comme origine (utilisation du thèorème de Huygens).  Décomposer le solide en solides élémentaires. Pour chaque solide élémentaire :  Rechercher la matrice centrale diagonale relative au centre de masse IG  Appliquer la rotation des axes pour trouver la matrice IO  Utiliser le thèorème de Huygens pour trouver IO 2.12 Equilibrage statique et dynamique d'un solide en rotation L'équilibrage des éléments tournants est très recherché dans les études des machines tournantes. Cela évite des problèmes d'instabilité (vibrations) de ces machines et évite la fatigue des paliers de guidage des éléments en rotation. Le déséquilibrage des éléments en rotation dans une machine génère donc des vibrations (bruits), affecte le confort et la précision et conduit à l'usure et la fatigue prématurée des paliers. En pratique, à cause des tolérances imposées pour le montage des éléments, l'équilibrage ne peut être jamais achevé. Pour remédier à ce problème, les éléments sont équilibré préalablement dans des bancs spéciaux avant qu'ils soit montés. 37 Chapitre 2 Eléments de cinétique Soit un repère fixe Ro (xo,yo,zo), tel que l'axe zo est l'axe de rotation du solide et soit un autre repère R1(u,v,w) attaché au solide tel que les axes u,v,w sont des axes principaux centraux d'inertie et que le centre des masses se trouve dans le plan (xo,yo) (Figure (a)). zo zo w (a) zo w (c) O O u (b) G G yo u yo u G v xo xo v w O yo G xo v Figure 2.7 En vertu de la loi fondamentale de la dynamique, on a alors : 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎𝐺 = 𝑚 𝜀 ∧ 𝑟𝑂𝐺 − 𝜔2 ∙ 𝑟𝑂𝐺 (2.34) 𝑀𝐺 = 𝐽𝐺 ∙ 𝜀 + 𝜔 ∙ 𝐾𝐺 = 𝐾𝐺 (2.35) La condition pour laquelle le solide se trouve en équilibre statique est que la résultante ( 𝐹 = 0 ⇒ 𝑎𝐺 = 0) des extérieures soit nulle, donc : 𝜀 ∧ 𝑟𝑂𝐺 − 𝜔2 ∙ 𝑟𝑂𝐺 = 0 Sachant que les composantes 𝜀 ∧ 𝑟𝑂𝐺 et 𝜔2 ∙ 𝑟𝑂𝐺 sont respectivement l'accélération tangentielle et normale d'un point du solide dans le repère fixe Ro. Etant donné que ces composantes sont perpendiculaire l'une à l'autre. Ce qui ramène à que : 𝑟𝑂𝐺 = 0 = 𝑒. Donc la condition nécessaire de l'équilibrage statique est que le centre de masse G du solide doit être sur l'axe de rotation et l'excentricité e = 0 (Figure (b)). En plus de l'équilibrage statique, pour que le solide soit totalement équilibré, il faut aussi vérifier l'équilibrage dynamique. Donc, en plus que ( 𝐹 = 0), il faut que la résultante des moments ( 𝑀𝐺 = 0) soit aussi nulle. On ajoute à la condition précédente : 38 Chapitre 2 Eléments de cinétique 𝑀𝐺 = 𝐾𝐺 = 0 ⇒ 𝐾𝐺 = 𝐽𝐺 ∙ 𝜀 = 𝑐𝑡𝑒 Sachant que le vecteur de moment cinétique 𝐾𝐺 est parallèle au vecteur de vitesse angulaire du solide 𝜔 donc : 𝐾𝐺 = 𝐽𝐺 ∙ 𝜀 = 0 ⇒ 𝜀 = 0 La condition que le vecteur de moment cinétique 𝐾𝐺 est parallèle au vecteur de vitesse angulaire du solide 𝜔 implique que 𝜔 soit parallèle à l'un des axes principaux centraux d'inertie (Figure (c)). Conclusion : Il y a deux conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibrage statique et dynamique d'un solide en rotation. Ces conditions sont 𝑎𝐺 = 0 et 𝜀 = 0. Pour aboutir à ces conditions nécessaires, il faut que l'un des axes principaux centraux d'inertie coïncide avec l'axe de rotation. 2.12 Exercices Exercices 1 Tenseur d'inertie Soit une pièce en acier indiquée sur la figure suivante. Calculer le moment d'inertie par rapport aux axes de référence. La masse volumique de l'acier est 7850 kg/m 3 et les dimensions indiquées sont en mm. y 63,5 76,2 A 25,4 50,8 x 152,4 50,8 B z 50,8 50,8 Réponse : Les masses du prisme et des deux cylindres sont : Prisme : M =  V =7850 10-9(50,8*50,8*152,4) = 3,09 kg Chaque cylindre : m =  V =7850 10-9(3,14*(25,4)²*76,2) = 1,21 kg 39 Chapitre 2 Eléments de cinétique Moments d'inertie Les moments d'inertie sont calculés à partir du tableau comme suit : Moment d'inertie du prisme 1 1 𝐽𝑥 = 𝐽𝑧 = 12 𝑀 152,42 + 50,82 = 12 3.09 152,42 + 50,82 = 6640 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 𝐽𝑦 = 1 1 𝑀 50,82 + 50,82 = 3.09 50,82 + 50,82 = 1329 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 12 12 Chaque cylindre (on applique le théorème de Stainer) : 1 1 𝐽𝑥 = 𝑚𝑅² + 𝑚𝑦 2 = 𝑚 25,4² 2 2 + 𝑚 50,82 = 1 1,21 25,4² 2 + 1,21 50,82 = 3520 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 1 1 𝑚 3𝑅² + 𝑕² + 𝑚𝑥 2 = 𝑚 3 ∙ 25,4² + 76,22 + 𝑚 63,52 12 12 1 = 1,21 3 ∙ 25,4² + 76,22 + 1,21 63,52 = 5670 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 12 1 1 𝐽𝑧 = 𝑚 3𝑅² + 𝑕² + 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑚 3 ∙ 25,4² + 76,22 + 𝑚 63,52 + 50,82 12 12 1 = 1,21 3 ∙ 25,4² + 152,42 + 1,21 63,52 + 50,82 = 8800 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 12 𝐽𝑦 = Finalement les moments d'inertie de toute la pièce s'obtiennent on additionnant les moments trouvés 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑒 + 2 ∙ 𝐽𝑥 𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 = 6640 + 2 ∙ 3520 = 13,68 103 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 𝐽𝑦 = 𝐽𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑒 + 2 ∙ 𝐽𝑦 𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 = 1329 + 2 ∙ 5670 = 12,67 103 𝑘𝑔 𝑚𝑚² 𝐽𝑧 = 𝐽𝑧 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑒 + 2 ∙ 𝐽𝑧 𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 = 6640 + 2 ∙ 8800 = 24,2 103 𝑘𝑔 𝑚𝑚² Exercice 2 On considère un cylindre de rayon, R, de hauteur, h, et de masse m (Figure ) Le cylindre présente des plans de symétrie parallèles aux axes Gx, Gy et Gz. Ces axes constituent des principaux centraux. Les moments d'inertie par rapport à ces axes se déterminent par la façon suivante: 𝐽𝐺𝑧 = 𝐽𝑧𝑧 = 𝑚 𝑟 2 𝑑𝑚 Sachant que : l'élément de masse dm=dV=hdS =h2rdr tel que  est la masse volumique du cylindre On remplace dans l'expression de 𝐽𝐺𝑧 , d'où : 40 Chapitre 2 𝐽𝐺𝑧 = 𝑟 0 Eléments de cinétique 𝑟 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑕 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜌 ∙ 𝑕 ∙ 2𝜋 𝑟=𝑅 𝑟4 4 𝑟=0 , z Elément de surface (dS) R dr r h/2 dz h G h/2 x y ⟹ 𝐽𝐺𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑕 ∙ 2𝜋 𝑅4 4 , Sachant aussi que : 𝜌 = 𝑚 𝑉 𝑚 = 𝜋𝑅2 ∙𝑕 On remplace dans la dernière expression de 𝐽𝐺𝑧 , on écrit alors : ⟹ 𝐽𝐺𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑕 ∙ 2𝜋 𝑅4 𝑚 𝑅4 𝑅4 = ∙ 𝑕 ∙ 2𝜋 = 𝑚 4 𝜋𝑅2 ∙ 𝑕 4 2 Les moments d'inertie par rapport à Gx et Gy sont comme suit : 1ère méthode 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑚 Avec : dm=dV=2x dxdz ⟹ 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑚 𝑦 2 ∙ 𝑑𝑚 + 𝑚 𝑧 2 ∙ 𝑑𝑚 𝑚 Or et en vertu de la deuxième relation (relations importantes) on sait que : 𝑦 2 ∙ 𝑑𝑚 + 𝑚 𝑥 2 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑚 𝐽𝐺𝑧 𝑅4 =𝑚 2 4 41 Chapitre 2 Eléments de cinétique Et aussi : +𝑕/2 2 𝑧 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑚 −𝑕/2 =𝑚 𝑧3 𝑧 ∙ 𝜌 ∙ 𝜋𝑅 𝑑𝑧 = 𝜌 ∙ 𝜋𝑅 3 2 2 +𝑕/2 2 = 𝜌 ∙ 𝜋𝑅2 −𝑕/2 𝑕3 𝑚 𝑕3 2 = ∙ 𝜋𝑅 3 ∙ 4 𝜋𝑅2 ∙ 𝑕 12 𝑕3 12 Finalement on obtient : 𝐽𝑥𝑥 = 𝐽𝑦𝑦 = 𝑚 𝑅4 𝑕3 𝑅 4 𝑕3 +𝑚 =𝑚 + 4 12 4 12 2ème méthode : on utilisant les coordonnées cylindriques. d  x Elément de surface y x dS=rddr dr r y G z y rsin (x² + z²)=(r² sin² + z²) R G z r sin z h/2 dz h/2 h ⟹ 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑚 𝑉 2𝜋 ⟹ 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛²𝜃 + 𝑧 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑧 𝑅 0 +𝑕/2 0 −𝑕/2 2𝜋 𝑅 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛²𝜃 + 𝑧 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑧 +𝑕/2 =𝜌 0 0 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛²𝜃 + 𝑧 2 𝑑𝑧 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ∙ −𝑕/2 Tel que : +𝑕/2 −𝑕/2 𝑧3 𝑟 𝑠𝑖𝑛²𝜃 + 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑧 + 3 2 2 +𝑕/2 2 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑕 + −𝑕/2 𝑕3 12 42 Chapitre 2 Eléments de cinétique Et 𝑅 0 𝑕3 𝑟 4 𝑕3 𝑟 2 𝑟 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑕 + 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑕 ∙ + 12 4 12 2 𝑟=𝑅 2 Et aussi : 2𝜋 0 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑕 ∙ 𝑅4 4 + 𝑕3 𝑅2 12 2 𝑑𝜃 = 𝑅4 2𝜋 𝑕 0 4 = 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑕 ∙ 𝑟=0 ∙ 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 2𝜋 𝑕 3 𝑅 2 0 12 2 𝑅 4 𝑕3 𝑅 2 + 4 12 2 ∙ 𝑑𝜃 On sait que : 2𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 On obtient donc : 2𝜋 0 𝑕 ∙ 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 2𝜋 𝑕 3 𝑅 2 0 12 2 2𝜋 0 2𝜋 ⇒ 𝑕∙ 0 2𝜋 ⟹ 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 0 0 2𝜋 0 𝑕 3 𝑅2 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 12 1 1 1 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 2 2 2 𝑅4 𝑠𝑖𝑛²𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 4 𝑅 =𝜌 𝑕 𝑕 ∙ 𝑑𝜃 = 2 ∙ +𝑕/2 2𝜋 0 2 ∙ 2𝜋 2𝜋 0 = 2𝜋 𝑕3 𝑅 2 1 𝑅4 𝑕3 𝑅 2 ∙ 𝑑𝜃 = 𝑕 ∙ 2𝜋 + 2𝜋 12 2 2 4 12 2 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛²𝜃 + 𝑧 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑧 −𝑕/2 1 𝑅4 𝑕3 𝑅 2 1 𝑅 4 𝑕3 𝑅 2 𝑅 4 𝑕3 2 2𝜋 + 2𝜋 = 2𝜋𝜌 𝑕 + = 𝜋𝜌 𝑕 + 𝑅 2 4 12 2 2 4 12 2 4 12 𝑚 Or on sait que : 𝜌 = 𝜋𝑅2 𝑕 ⟹ 𝐽𝐺𝑥 = 𝐽𝑥𝑥 = 𝐽𝑦𝑦 == 𝜋𝜌 𝑕 𝑅 4 𝑕3 2 𝑚 𝑅 4 𝑕3 2 𝑅 2 𝑕2 + 𝑅 =𝜋 2 𝑕 + 𝑅 =𝑚 + 4 12 𝜋𝑅 𝑕 4 12 4 12 Finalement on peut écrire la matrice d'inertie de ce cylindre comme suit : 𝑚 𝐽𝐺 = 𝑅 4 𝑕3 + 4 12 0 0 0 𝑚 𝑅 4 𝑕3 + 4 12 0 0 0 𝑅4 𝑚 2 𝑅𝐺 Exercice 2 Tenseur d'inertie Soit un solide homogène de masse m = 140 kg et de volume V comme le montre la figure suivante : 43 Chapitre 2 Eléments de cinétique c c/2 b/2 a/2 b a Géométrie d'un prisme cubique évidé. Travail demandé : 1- le centre de masse G du solide, 2- le tenseur d'inertie par rapport au point O, 3- le tenseur d'inertie central, 4- les axes principaux centraux d'inertie. Données : a= 0,2 m, b = 0,4 m, c= 0,6 m Réponse : 1- Centre de masse : Sachant que la masse du solide est m = 140 kg et que son volume est V. On considère le grand prisme (non-évidé) de coté 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 et de masse m1 et volume V1 et le petit prisme de cotés 𝑎 2 𝑏 𝑐 ∙ 2 ∙ 2 de masse m2 et volume V2. On a alors : Le volume du grand prisme est alors : 𝑉1 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Le volume du petit prisme est : 𝑉2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 𝑎∙𝑏∙𝑐 8 = Le volume du solide est alors : 𝑉 = 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑉1 − On a : 𝜌 = 𝑚 𝑉 = 𝑚1 𝑉1 = 𝑉1 8 𝑉1 8 7 = 8 𝑉1 𝑚2 𝑉2 Ce qui donne les masses des deux prismes m1 et m2 𝑉1 𝑉1 8 =𝑚 = 𝑚 = 160 𝑘𝑔 7 𝑉 7 𝑉 8 1 1 𝑉1 1 𝑉2 𝑚2 = 𝑚 = 𝑚 8 = 𝑚 = 20 𝑘𝑔 7 𝑉 7 8 𝑉1 𝑚1 = 𝑚 44 Chapitre 2 Eléments de cinétique On attache au centre O du grand prisme non-évidé le repère (O,xO,yO,zO). Par rapport à ce repère, les coordonnées de centre de gravité du petit prisme (G) sont donc: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥𝐺 = 4 , 𝑦𝐺 = 4 , 𝑧𝐺 = 4. Les coordonnées de centre de gravité (xOG, yOG, zOG) du solide m (grand prisme évidé du petit prisme) sont donc : 𝑥𝑂𝐺 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑋𝐺1 − 𝑚2 ∙ 𝑋𝐺2 160 ∙ 0 − 20 ∙ 4 𝑎 = = =− 𝑚 140 28 De la même manière pour 𝑌𝐺 et 𝑍𝐺 , on trouve : 𝑏 𝑐 𝑦𝑂𝐺 = − 28 et 𝑧𝑂𝐺 = − 28 Repères : Repère OXOYOZO est attaché au centre du prisme non-évidé Repère G1X1Y1Z1 est attaché au centre de masse du prisme évidé. Les axes X 1, Y1 et Z1 sont centraux mais ils ne sont pas axes principaux d'inertie. Repère G1X2Y2Z2 est formé par les axes principaux centraux d'inertie du prisme évidé. z1 z2 zO c c/2 y2 G G2 O yO y1 a/2 b/2 a b x1 xO x2 2. Le tenseur d'inertie par rapport au point O sera comme suit : Le moment d'inertie du grand prisme (prisme non-évidé) de masse m1 par rapport à l'axe xO est : 1 𝐽𝑥0 = 𝑚1 𝑦𝑥20 + 𝑧02 𝑑𝑚 = 𝐽𝑥10 𝑧0 + 𝐽𝑥10 𝑦0 (1) 45 Chapitre 2 Eléments de cinétique Ici l'exposant (1) indique le grand prisme non évidé de masse m1 et l'indice (2) indique le petit prisme de masse m2. Tel que : 𝐽𝑥10 𝑦0 = 𝑚1 +𝑐/2 𝜌 −𝑐/2 𝑧 2 𝑑𝑚 = ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧 2 𝑑𝑧 = 𝜌∙𝑎∙𝑏∙𝑐 3 12 = 𝑚 1 ∙𝑐 2 12 (voir aussi le tableau page ) De même pour 𝐽𝑥10 𝑧0 = 𝑚 1 ∙𝑏 2 (2) 12 En vertu de la relation (1), on obtient : 1 𝐽𝑥0 = 𝑚 1 ∙𝑐 2 12 + 𝑚 1 ∙𝑏 2 12 = 𝑚 1 ∙ 𝑏 2 +𝑐 2 (3) 12 Et aussi : 1 𝐽𝑦0 = 1 𝐽𝑧0 = 𝑚 1 ∙ 𝑎 2 +𝑐 2 (5) 12 𝑚 1 ∙ 𝑎 2 +𝑏 2 (6) 12 En utilise donc le théorème de Stainer comme suit : Par rapport à un axe donné, le moment d'inertie du solide (prise évidé) = Le moment d'inertie du solide (prise non-évidé) - Le moment d'inertie du solide (petit prise). 1 2 𝐽𝑥0 = 𝐽𝑥0 − 𝐽𝑥0 = D'où : 𝐽𝑥0 = 𝑚 𝑏 2 +𝑐 2 12 𝑚1 ∙ 𝑏2 + 𝑐 2 𝑚2 𝑏2 𝑐 2 𝑏2 𝑐 2 − + + 𝑚2 + 12 12 4 4 16 16 , par analogie on obtient aussi 𝐽𝑦0 = 𝑚 𝑐 2 +𝑎 2 12 = et 𝐽𝑧0 = 𝑚1 ∙ 𝑏2 + 𝑐 2 12 𝑚 𝑎 2 +𝑏 2 12 De la même manière pour les produits d'inertie : 1 2 𝐽𝑥0𝑦0 = 𝐽𝑥0𝑦0 − 𝐽𝑥0𝑦0 = 0 − 0 + 𝑚2 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑚 𝑎𝑏 𝑎𝑏 = −𝑚2 =− = −𝑚 44 16 7 16 112 Et de même pour : 𝑎𝑐 112 𝑏𝑐 = −𝑚 112 1 2 𝐽𝑥0𝑧0 = 𝐽𝑥0𝑧0 − 𝐽𝑥0𝑧0 = −𝑚 1 2 𝐽𝑦0𝑧0 = 𝐽𝑦0𝑧0 − 𝐽𝑦0𝑧0 A.N. Moments d'inertie 𝐽𝑥0 = 140 0.42 + 0.62 = 6.06 𝑘𝑔 𝑚² 12 𝐽𝑦0 = 140 0.62 + 0.22 = 4.67 𝑘𝑔 𝑚² 12 𝐽𝑧0 = 140 0.22 + 0.42 = 2.33 𝑘𝑔 𝑚² 12 46 Chapitre 2 Eléments de cinétique Produits d'inertie 𝑎𝑏 0.2 ∗ 0.4 = −140 = −0.1 𝑘𝑔 𝑚² 112 112 0.2 ∗ 0.6 𝐽𝑥0𝑧0 = 𝐽𝑧0𝑥0 = −140 = −0.15 𝑘𝑔 𝑚² 112 0.4 ∗ 0.6 𝐽𝑦0𝑧0 = 𝐽𝑧0𝑦0 = −140 = −0.3 𝑘𝑔 𝑚² 112 𝐽𝑥0𝑦0 = 𝐽𝑦0𝑥0 = −𝑚 Finalement on écrit le tenseur d'inertie du solide (prisme évidé) de masse m = 140 kg par rapport au repère R0(x0,y0,z0) 𝐽𝑥0 𝐽0 = 𝐽𝑦0𝑥0 𝐽𝑧0𝑥0 𝐽𝑥0𝑦0 𝐽𝑥0𝑧0 𝐽𝑦0 𝐽𝑦0𝑧0 𝐽𝑧0𝑦0 𝐽𝑧0 𝑅0 6.06 = −0.1 −0.15 −0.1 −0.15 4.67 −0.3 −0.3 2.33 𝑘𝑔 𝑚² 𝑅0 3 Recherche du tenseur d'inertie central : Le tenseur d'inertie central sera déterminé dans un deuxième R1(x,y,z) repère lié au centre de gravité, G, du solide (prisme évidé) de position différente au centre O (centre du prisme non évidé) du repère R0(x0,y0,z0). Les axes x, z et z du repère R1 sont tous parallèles à ceux du repère R0. De la même manière que précédemment, on applique toujours le théorème se Stainer. Les moments d'inertie dans le repère R1 seront alors : 2 2 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥0 − 𝑚 𝑦0𝐺 + 𝑧0𝐺 = 𝑚 𝑏2 + 𝑐 2 2 2 − 𝑚 𝑦0𝐺 + 𝑧0𝐺 12 𝑚 𝑏2 + 𝑐 2 = −𝑚 12 1 − 𝑏 28 2 1 + − 𝑐 28 2 = 𝑚 𝑏2 + 𝑐 2 1 1 − 2 12 28 = 5.97 𝑘𝑔 𝑚² De la même manière, on écrit : 𝐽𝑦 = 𝑚 𝑎2 + 𝑐 2 1 1 − 2 = 4.59 𝑘𝑔 𝑚² 12 28 𝐽𝑦 = 𝑚 𝑎2 + 𝑏2 1 1 − 2 = 2.3 𝑘𝑔 𝑚² 12 28 Les produits d'inertie seront aussi comme suit : 𝐽𝑥𝑦 = 𝐽𝑦𝑥 = 𝐽𝑥0𝑦0 − 𝑚 ∙ 𝑥0𝐺 ∙ 𝑦0𝐺 𝑎𝑏 𝑎 = −𝑚 −𝑚 − 112 28 𝑏 1 1 − = −𝑚𝑎𝑏 + 28 112 28 2 = −0.11 𝑘𝑔 𝑚² 47 Chapitre 2 Eléments de cinétique Et de la même manière pour les deux autres produits d'inertie : 2 𝐽𝑥𝑧 = 𝐽𝑧𝑥 1 1 == −𝑚 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ + 112 28 2 𝐽𝑦𝑧 = 𝐽𝑧𝑦 1 1 == −𝑚 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ + 112 28 = −0.17 𝑘𝑔 𝑚² = −0.34 𝑘𝑔 𝑚² On écrit alors le tenseur d'inertie central dans le repère lié au centre de gravité du solide G. 𝐽𝑥 𝐽𝐺 = 𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧 𝑅𝐺 5.97 = −0.11 −0.17 −0.11 −0.17 4.59 −0.34 −0.34 2.3 𝑘𝑔 𝑚² 𝑅𝐺 4. Tenseur d'inertie central dans le repère des axes principaux Il s'agit ici de déterminer les axes principaux du repère R2(G, x2,y2,z2) par les directions propres 𝑃𝑖 de la matrice 𝐽𝐺 , tel que : 𝐽𝐺 ∙ 𝑃𝑖 = 𝜆𝑖 ∙ 𝑃𝑖 Lorsque les vecteurs propres 𝑃𝑖 sont des vecteurs unitaires, les valeurs propres 𝜆𝑖 déterminent les moments d'inertie par rapport aux directions principales centrales d'inertie, donc les moments d'inertie centraux principaux. On procède donc comme suit : On multiple l'équation précédente par le transposé de la matrice d'inertie (𝑃𝑖𝑇 ), on obtient alors : 𝜆𝑖 = 𝑃𝑖𝑇 ∙ 𝐽𝐺 ∙ 𝑃𝑖 =∙ 𝐽𝑖 On écrit : 𝐽𝐺 − 𝐼 𝜆𝑖 ∙ 𝑃𝑖 =∙ 0 Pour trouver les solution et si 𝑃𝑖 ≠ 0, il faut donc : 𝑑𝑒𝑡 𝐽𝐺 − 𝐼 𝜆 =0 On remplace par la matrice de tenseur d'inertie centrale, 𝐽𝐺 on obtient : 5.97 − 𝜆 −0.11 −0.17 −0.11 4.59 − 𝜆 −0.34 −0.17 −0.34 = 0 2.3 − 𝜆 La solution exprimée dans l'ordre croissant comme suit 1>2>3 est comme suit : 1 = 6 kg m²= Jx2, 2 = 4.63 kg m² = Jy2, 3 = 2.24 kg m²= Jz2 La matrice des moments d'inertie centraux principaux est alors : 48 Chapitre 2 Eléments de cinétique 6 0 0 𝐽𝐺 = 0 4.63 0 0 0 2.24 𝑘𝑔 𝑚² 𝑅𝐺 Exercice 3 Equilibrage d'un solide en rotation Soit un disque de masse m et de rayon R qui tourne autour d'un axe vertical zo (Figure ). La distance entre le centre de masse G et l'axe de rotation est e et l'angle compris entre l'axe de révolution du disque et l'axe de rotation zo est l'angle . 1- Déterminer les réactions dans les paliers A zo w et B A 𝑹A 2- Déterminer ces réactions: a- Si e = 0 (Equilibrage statique), R  m et b =0,3 m y yo G Données : la vitesse de rotation  est 30°, e= 5 mm, R= 0,1 m, h = 24 mm, a= 0,2 v  a b- Si e = 0 et  = 0 (Equilibrage dynamique). constante = 20 rd/s, la masse m = 6 kg,  = z O b e h 𝑹B 𝑃 = 𝑚𝑔 B Réponse  La réaction 𝑅𝐴 aura donc deux composantes : selon l'axe x (𝑅𝐴𝑥 ) et l'axe y (𝑅𝐴𝑦 )  La réaction 𝑅𝐵 aura donc deux composantes : selon l'axe x (𝑅𝐵𝑥 ), l'axe y (𝑅𝐵𝑦 ) et l'axe z (𝑅𝐵𝑧 ) Les trois repères choisis sont : Ro (xo,yo,zo) : repère fixe (Galiléen) R1 (u,v,w) : Repère lié au solide, tel que les axes u,v,w sont des axes principaux et centraux R (x,y,z) : Repère lié au solide dont l'origine est le centre de masse G mais l'axe z est vertical. Le tenseur d'inertie du disque par rapport à sont repère R1 (u,v,w) (pour les calculs voir dans la section des moments d'inertie) s'écrit : 49 Chapitre 2 Eléments de cinétique 𝐽𝑢 𝐽𝐺 = 0 0 0 𝐽𝑣 0 0 0 𝐽𝑤 1 𝑚𝑅² 2 = 𝑅1 0,015 = 0 0 0 0 0 𝑚 𝑕² + 𝑅² 4 3 0 0 0 𝑚 𝑕² + 𝑅² 4 3 0 0,015 0 0 0 0,03 𝑅1 𝑘𝑔 𝑚² 𝑅1 Détermination des réactions RA et RB dans les paliers : le calcul de ces réaction est réalisé dans le repère R1. 𝐹𝑥 = 𝑅𝐴𝑥 + 𝑅𝐵𝑥 = 0, 𝑦 𝑦 𝐹𝑦 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0 Exercices non résolus Exercice 1 z Une tige AOB, articulée en O de longueur l z1 y1  B m, R (OA=OB=l /2) de masse négligeable, porte à ses extrémités A et B deux sphères homogènes de rayon R, de centres A et B et de masse m. La tige O y x fait un angle  avec l'axe vertical Oz du repère A m, R fixe RO(Oxyz). On considère un repère R1(Ox1y1z1) lié à la tige AB comme il est indiqué sur la figure ci-contre. La tige tourne autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire constante z =  = constante. 1. Déterminer le nombre de degré de liberté et indiquer le type et les équations des liaisons. 2. Utiliser le théorème du moment cinétique pour déterminer le moment par rapport au point O et les réactions de l'articulation O. On donne : Le moment d'inertie d'une sphère/axe passant par son centre de gravité est : JG 𝟐 = 𝟓 m R² 50 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Chapitre 3 ‫مفاهيم أساسية‬ Notions fondamentales en mécanique ‫في امليكانيكا‬ analytique Fundamentals in Analytical Mechanics ‫التحليلية‬ 3.1. Introduction Ce chapitre est une présentation générale des éléments essentiels pour l'étude du mouvement d'un système mécanique. Ce système est formé par un ensemble de points matériels et/ou de solides. Leur mouvement est gêné, d'une part, par les actions mutuelles à l'intérieur du système, et, d'autre part, par les liaisons imposées au système. L'objectif de ce chapitre est d'étendre l'étude dynamique d'un point matériel à un système de points matériels 3.2. Degré de liberté (k) Pour un système mécanique constitué de n points matériels : M1, M2, ..., Mi, ...., Mn soumis à un système de forces: F1, F2, ..., Fi, ..., Fn de projections dans le système cartésien (oyez) : Fi = Xi ·𝑖 + Yi ·𝑗 + Zi ·𝑘 (i = 1, n). (3.1) On suppose que le système est gêné par un nombre m (m<3·n) de liaisons (contraintes ou empêchements) de mouvement. Le nombre de degré de liberté (k) de ce système dans une configuration spatiale est donc : (3.2) k = 3·n - m Le chiffre 3 indique 3 translations selon les trois axes (Ox, Oy et Oz). Dans la même configuration, un solide aura un nombre de degré de liberté : k = 6·n - m (3.3) Le chiffre 6 indique 3 translations selon les trois axes Ox, Oy et Oz + 3 rotations autour des mêmes axes. Lorsque un système mécanique donné est constitué de n1 points matériels et n2 solides, le nombre de degré de liberté est donc : k = 3· n1 + 6·n2 -m (3.4) 51 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Le nombre de degré de liberté représente le nombre des mouvements indépendants requis pour déterminer complètement la configuration d’un système. Il détermine, aussi, le nombre des coordonnées généralisées. Exemples de détermination de degré de liberté : Déterminer le nombre de degré de liberté pour les cas suivants :  Une particule se déplace sur une courbe spatiale : Dans ce cas, une courbe est décrite par les équations x=x(s), y=y(s) et z=z(s), tel que s est un paramètre, donc la particule a un seul degré de liberté. Sa position est déterminée par le paramètre s.  Cinq particules se déplacent librement sur un plan : Chaque point possède deux degrés de liberté. Donc le nombre total de degré de liberté est 5*2 = 10.  Cinq particules se déplacent librement dans l'espace : Chaque point possède trois degrés de liberté. Donc le nombre total de degré de liberté est 5*3 = 15.  Deux particules attaché par une barre rigide se déplace sur un plan : le nombre de degré de liberté est k = 2*2 - 1 =4.  Un solide rigide : Se déplace librement dans l'espace : il possède 6 degrés de liberté : 3 degrés de liberté de translation de son centre de masse + 3 degrés de liberté de rotation autour des trois axes passant par son centre de masse. On peut aussi déterminer le nombre de degré de liberté d'un solide dans l'espace par considérer trois points non-colinéaires de ce solide à des distances fixes l'un par rapport à l'autre. Donc pour ces 3 points matériels et trois liaisons holonomes, on a : k = 3* 3 - 3 = 6. Fixé par un point dans l'espace : le mouvement est complètement spécifié si on connaît le coordonnées de deux points (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2), où le point de fixation est pris comme origine des coordonnées. Puisque le solide est rigide, on doit avoir 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑦12 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 et 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑦22 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 et aussi 𝑧1 − 𝑧2 2 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 à partir desquels les coordonnées peuvent être déterminée. Donc le nombre de degré de liberté est égal à 3. 3.3. Définitions importantes Point matériel (particule) un point qui a une masse m. On parle de point matériel lorsque les dimensions du système sont considérées négligeables devant les distances du mouvement. Solide est un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles sont fixes occupant un espace géométrique (dans ce cours, les corps sont supposés indéformables). 52 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Système mécanique : est un ensemble de points matériels et/ou de solides Système libre : inexistence de liaisons (exemples : points matériels k= 3·n degrés de liberté dans l'espace. Corps libres peuvent se mouvoir en toutes directions (k =6·n degrés de liberté). Système non libre (ou gêné) : existence de liaisons (k< 3·n ou k< 6·n). Un corps est dit gêné (lié) s'il ne peut se mouvoir que selon des directions déterminées ou s'il est tenu immobile. Liaison : est une limitation (empêchement ou contrainte) imposée aux positions ou aux mouvements d'un système mécanique. En général, les liaisons sont connues et ne dépendent pas ni des forces agissantes, ni des conditions initiales du mouvement. Les liaisons sont matérialisées par des surfaces, triangles, des appuis, des articulations,... Coordonnées généralisées : coordonnées représentant un mouvement réel du système mécanique. Elles sont des variables indépendantes qui déterminent complètement la position du système. Elles sont des variables réelles, qui ne correspondent pas toutes à des coordonnées cartésiennes (par exemple : angles, positions relatives), et permettant de décrire ce système. Les coordonnées généralisées sont indiquées par q1, q2, …, j,...qK. Elles ne sont pas forcément des distances mais elles peuvent être aussi des angles. 3.4 Déplacement virtuel : Un déplacement virtuel 𝑟i a lieu pendant un intervalle de temps nul (hors du temps, t = 0 ). Il est un déplacement théorique d'un système mécanique qui est atemporel, infinitésimal, ne respecte pas obligatoirement les forces appliquées, mais respecte ses liaisons. Ce déplacement correspond à un déplacement de chaque vecteur position, 𝑟𝑖 , d’une quantité 𝑟i à un instant t donné. Alors un déplacement réel d𝑟i, est une translation qui se produit dans le temps infiniment court non nul dt. Pour le iième point on écrit alors : Déplacements virtuels : 𝑟i = xi·𝑖 + yi·𝑗 + zi·𝑘 (3.5) avec xi, yi et zi sont appelés variables des coordonnées ou variables de situation. Déplacements réels : d𝑟i = dxi·𝑖 + dyi·𝑗 + dzi·𝑘 (3.6) avec dxi, dyi et dzi sont appelés différentielles des coordonnées. 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont des vecteurs unités des axes Oxyz. 53 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Remarque importante : le déplacement virtuel désigne un déplacement imaginé et quelconque d'un point matériel, qui peut ou ne peut pas être réalisable, être réel, possible ou non. Ce déplacement virtuel décrit toute forme de déplacement et inclut le déplacement réel. 3.5. Classification des liaisons En mécanique analytique, on appel liaisons (contraintes ou limitations de mouvement) imposées au mouvement d'un système mécanique quelconque (Figure ). Les liaisons sont supposées connues à priori et ne dépendent ni des forces agissantes, ni des conditions initiales du mouvement. Mécaniquement, les liaisons sont dues aux corps matériels et les forces qu'ils exercent sont appelées réactions. Alors pour tout solide lié, il est possibles de remplacer les liaisons par des réactions et de considérer ce solide comme libre mais soumis à l'action des forces appliquées et des réactions des liaisons (Figure ). Efforts extérieurs Corps en mouvement F B RAx A RB RAx Liaison RAx A (a) M RB B RAx (b) Figure 3.1 Schématisation des liaisons et de ses réactions d'un système mécanique. D'une manière générale, une liaison imposée mécaniquement par l'application de certains efforts de liaison, correspond mathématiquement à des contraintes qui portent :  Soit sur les coordonnées on parle alors de liaisons holonomes sous la forme f(xi,yi,zi, t) = 0;  Soit à la fois sur les coordonnées et sur les vitesses on parle alors de liaisons non holonomes sous la forme f(xi,yi,zi,𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ,t) = 0; Les différents types des liaisons sont présentés sur l'organigramme suivant : Type des liaisons Géométrique (Holonome) Intégrable Cinématique (Non holonome) Non intégrable Stationnaire (indépendante du temps) -Scléronom Non stationnaire (Dépendante du temps) Rhéonome Figure 3.2 Type des liaisons dans un système mécanique. 54 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Systèmes non holonomes : un système matériel contenant au moins une liaison non holonome est dit non holonome. Le système d’équations différentielles de mouvement de ce système n’est pas intégrable. Exemples :  Une perle se déplace sur un fil circulaire : est liaison holonome, puisque la perle est attachée au fil  Une particule (point matériel) qui glisse sur un plan incliné : la liaison est holonome tant que la particule est contrainte de déplacer le long d'une surface du plan inliné,  Une particule glisse à partir du sommet d'une sphère : est liaison non-holonome, car après une certaine position sur la sphère, la particule quitte la sphère. Dans ce cas, on peut savoir si la liaison est holonome ou non comme suit : on suppose que r est le vecteur de position de la particule par rapport au centre de la sphère et que a est son rayon : si r  a la liaison est non-holonome et si r = a la liaison est holonome. 3.6. Equations des liaisons Les liaisons sont mises en fonction, selon les manières suivantes : 3.6.1. Liaisons géométriques-non stationnaires (holonomes-rhéonomes): Le système décrit est ouvert et permet les échanges d'énergie. Les fonctions fa (a =1, A) dépendent explicitement du temps elles sont de nombre A et de forme : Forme vectorielle : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 , 𝑡) = 0 ave i =1, n et a = 1, A et puisque 𝑟𝑖 (𝑡) = 𝑟𝑖 (𝑞1 , … , 𝑞𝑖 , … . , 𝑞𝑛 , 𝑡) on obtient la forma scalaire suivante : Forme scalaire A équations f1(q1,q2,…, qj,…,qk, t) = 0 avec a f2(q1,q2,…, qj,…,qk, t) = 0 =1, A fa(q1,q2,…, qj,…,qk, t) = 0 (3.7) …………………… fA(q1,q2,…, qj,…,qk, t) = 0 Tel que q1,…, qk sont les coordonnées généralisées décrivant le mouvement du système mécanique considéré. On peut aussi les écrire dans le système des coordonnées cartésiennes comme suit : 55 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique f1(x1, y1, z1, x2, y2, z2,…, xi, yi, zi,…, xn, yn, zn, t) = 0 f2(x1, y1, z1, x2, y2, z2,…, xi, yi, zi,…, xn, yn, zn, t) = 0 A équations …………………………… avec i =1,n fa(x1, y1, z1, x2, y2, z2,…, xi, yi, zi,…, xn, yn, zn, t) = 0 et a =1, A (3.8) …………………………… fA(x1, y1, z1, x2, y2, z2,…, xi, yi, zi,…, xn, yn, zn, t) = 0 Lorsque les liaisons sont indépendantes du temps (liaisons holonomes-scléronomes), ces fonctions deviennent : Forme vectorielle : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 ) = 0 f1(q1,q2,…, qj,…,qk) = 0 f2(q1,q2,…, qj,…,qk) = 0 …………………… Forme scalaire : fa(q1,q2,…, qj,…,qk) = 0 avec a =1, A …………………… fA(q1,q2,…, qj,…,qk) = 0 Elles décrivent alors un système physique fermé, sans échange d'énergie avec le milieu extérieur. Les forces qui s'y appliquent répondent au principe d'action et de réaction. C'est le cas du système conservatif. Exemples 1. Soient deux points (1 et 2) d'une barre de longueur h dans z2 l'espace. Selon le système cartésien on montre que le système des (2) 𝑟2 z1 deux points (donc n = 2) une seule liaison est imposée par la O distance l constante (longueur de la barre l) reliant les deux points. On peut écrire alors : k = 3·2 - 1 = 5 z 𝑙 (1) 𝑟1 x1 x2 x y1 y2 y L'équation de cette liaison holonome (géométrique) est comme suit: Forme vectorielle : Soient 𝑟1 , 𝑟2 vecteurs positions des deux points (1) et (2) respectivement (Figure ). On a donc 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑙 d'où l'équation de cette liaison est : f(𝑟1 , 𝑟2 )= 𝑟2 − 𝑟1 − 𝑙 = 0 56 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique Forme scalaire : Sachant que : 𝑟1 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘 et 𝑟2 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘 tel que 𝑖, 𝑗 𝑒𝑡 𝑘 sont les vecteurs unitaire du repère cartésien Oxyz. f1(x1,x2, y1,y2, z1,z2)=(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2 - l2 = 0 est une liaison géométrique stationnaire (holonome-scléronome). Car la distance l est constante dans le temps. Le nombre des coordonnées généralisées est égal au nombre de degré de liberté et donc ce nombre est 5. q1, q2,…., q5 2. Le même système mécanique précédent mais les deux points sont astreints de rester sur le plan Oxy. Le nombre de degré de liberté sera donc : Avec une configuration spatiale : k =3n - m= 3.2-3 =3 car, dans ce cas on 3 liaisons : la liaison l (distance fixe) et que z1 = 0 et z2 = 0 (d'où m = 3) Avec une configuration plane : k =2n - m= 2.2 - 1=3 (dans ce cas, on a une seule liaison qu'est la distance k fixe) 3. Un point sur une surface on aura k =3·1 - 1= 2 ou bien k =2·1 - 0 = 2 4. Un point sur une courbe on aura : Configuration spatiale : k =3·1 - 2= 1 ou bien Configuration plane : k =2·1 - 1= 1 ou bien encore Configuration linéaire : k =1·1 - 0 = 1 5. z Un solide S de centre de gravité G et fixé par deux points α (α et β) (Figure ) dans l'espace peut réaliser un seul degré de liberté : la rotation autour l'axe oz. G On a donc cinq liaisons (m = 5) comme suit : 𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 = 0 𝑒𝑡 𝑧𝐺 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 En plus, les rotations autour des axes Ox et Oy sont illuminées. 6. β x y Soit une sphère, de rayon R, qui roule sans glisser sur un plan incliné et soit l'angle de rotation de la sphère  dont le centre de gravité de la sphère est repéré par l'abscisse y. écrire l'équation de la liaison de la sphère avec le plan. 57 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique  Le roulement de la sphère sans glissement implique que : 𝑑𝑦 𝑑𝜑 =𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 G Cette équation est différente à l'équation des liaisons holonomes, car elle contient des éléments différentiels. Mais, on remarque qu'on peut facilement intégrer cette équation et on obtient : y = R  + C (C est une constante). Ce qui ramène à une équation d'une liaison holonome scléronome : f(y)= y - R  - C=0 3.6.2. Liaisons cinématiques non intégrables (non holonomes) : Une liaison cinématique s’exprime par des équations contenant les paramètres et leurs dérivées premières, liés entre eux. Les équations des liaisons cinématiques proviennent, généralement, du contact entre deux solides et de l’hypothèse de roulement sans glissement. Elles sont de nombre β et de forme : a. Cas de liaison non holonome (non intégrable) rhéonome (non stationnaire) on a : Forme vectorielle : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 , 𝑡) = 0 a11𝑞1 + ... + a1i𝑞i + ... + a1n𝑞n + c1 = 0 a21𝑞1 + ... + a2i𝑞i + ... + a2n𝑞n + c2 = 0 Forme scalaire …………………….. B équations ab1𝑞 1 + ... + abi𝑞i + ... + abn𝑞n + cb = 0 b = 1, β ………………. aB1𝑞1 + ... + aBi𝑞i + ... + aBn𝑞n + cB = 0 b. Cas de liaison non holonome (non intégrable) scléronome (stationnaire) on a : Forme vectorielle : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 ) = 0 Ces équations permettent de déterminer la position des éléments du système mécanique pour n'importe quel instant (t). en plus, elles déterminent aussi les déplacements élémentaires possibles compatibles avec les liaisons. Si on A liaisons géométriques, donc on A équations de liaison sous la forme : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 , 𝑡) = 0 La dérivée par rapport au temps de cette fonction donne les vitesses possibles comme suit : 𝑟𝑖 = 𝑑𝑟𝑖 𝑑𝑡 = 𝑣𝑖 58 Chapitre 3 𝜕𝑓𝑎 𝜕𝑓𝑎 𝜕𝑟𝑖 Notions fondamentales en mécanique analytique 𝑟 𝜕𝑟𝑖 𝑖 + 𝑑𝑟𝑖 + 𝜕𝑓𝑎 𝜕𝑓𝑎 𝜕𝑡 𝜕𝑡 = 0 et on multiple cette équation par dt on obtient : 𝑑𝑡 = 0 (3.9) Pour les liaisons cinématiques non intégrables et non stationnaire (non holonome rhéonome) de forme vectorielle : 𝑓𝑎 (𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 , 𝑡) = 0 𝑔𝑏𝑖 𝑟𝑖 , 𝑡 𝑟𝑖 + 𝑔𝑏 𝑟𝑖 , 𝑡 = 0 (3.10) Par conséquent, avec les conditions dynamiques (forces et moments agissants), on détermine les déplacements réels (ou vitesses réelles). Donc parmi les déplacements possibles on doit choisir le seul mouvement du système sous l'effet de ces forces agissantes. Alors le mouvement réel est un mouvement possible. 3.7. Coordonnées généralisées et coordonnées cartésiennes On considère un système mécanique "S" de n particules comme suit : {S} = {P1, P2, …,Pi,…, Pn} le vecteur position du n'importe quel particule est : 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑧𝑖 𝑘 avec i=1,n Dans une configuration spatiale, ce système nécessite donc (3n) degrés de liberté. Pour analyser le mouvement on a besoin de : 𝑥1 = 𝑥1 (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 ) 𝑦1 = 𝑦1 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 𝑧1 = 𝑧1 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 ………………… 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 ) 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 𝑧𝑖 = 𝑧𝑖 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 …………………… 𝑥3𝑛 = 𝑥3𝑛 (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 ) 𝑦3𝑛 = 𝑦3𝑛 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 𝑧3𝑛 = 𝑧3𝑛 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞3𝑛 Les liaisons sont généralement le résultat de contact entre solides et limitent leurs mouvements. L'équation de liaison représente la cinématique du contact. Pour une surface lisse, cette équation est : f(x,y,z,t) = 0 ou f(q1,q2,…, qj,…,qk) = 0 tel que f est deux fois dérivable. On peut donc écrire : 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 𝜕𝑞 𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑞𝑗 … 𝜕𝑞 𝑞𝑘 + 𝜕𝑡 avec j=1,k 1 2 𝑗 𝑘 59 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique La contrainte de vitesse est donc : 𝑎𝑥 𝑥 + 𝑎𝑦 𝑦 + 𝑎𝑧 𝑧 + 𝑎0 = 0 Liaison parfaite : On dit que les liaisons sont parfaites, si la somme des travaux élémentaires des réactions de ces liaisons est nulle pour tout déplacement virtuel. On écrit alors : 𝑛 𝑖=1 𝑅𝑖 , 𝛿𝑟𝑖 = 𝑛 𝑖=1 𝑅𝑥𝑖 𝛿𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑖 𝛿𝑦𝑖 + 𝑅𝑧𝑖 𝛿𝑧𝑖 = 0 (3.11) La liaison parfaite est aussi appelée liaison polie ou sans frottement. Remarques sur les liaisons : La difficulté dans l'étude des systèmes mécaniques présentant des liaisons se trouve dans le calcul des efforts de liaisons a priori inconnus. Cependant les liaisons mécaniques que l'on introduit dans les systèmes sont, en général, conçues via l'usage de lubrifiants et de dispositifs mécaniques adéquats (roulements à billes, etc...), de façon à dissiper le minimum d'énergie. On fera donc très souvent l'hypothèse des liaisons parfaites ou idéales. 3.8. Liaisons unilatérale et bilatérale Si la liaison entre 2 solides est telle qu'ils ne peuvent pas rompre le contact entre eux, mais qu’ils peuvent quand même se déplacer l’un par rapport à l’autre, la liaison est dite bilatérale. Si par contre les 2 solides peuvent se séparer la liaison est dite unilatérale (Les liaisons unilatérales se traduisent par des inégalités (Ex : zG > 0, tel que G est le centre des masses). Si la liaison se fait avec des obstacles, les positions de ces obstacles sont soit des constantes, soit des fonctions connues du temps (sinon on les intègre dans le système à étudier). Les équations de liaison tiennent compte de ces données. 3.9. Forces de liaisons (ou actions de contact) Parmi les forces extérieures d'un système mécanique, il y a celles qui ne s'exercent que sur les frontières du système. On appelle ces forces, forces de liaisons ou actions de contact. En général, elles sont inconnues et difficiles à modéliser. Un exemple de force extérieure qui ne soit pas une force de liaison est constitué par le poids (de chaque particule puis par sommation du système). 60 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique 3.10 Exercices Exercice 1 Degré de liberté e équations des liaisons Deux points matériels de même masse m sont liés par une barre rigide de longueur h et de masse négligeable. Ce système de points matériels se déplace sur un plan vertical (Oxy) de manière que la vitesse de centre des masses G du système reste constamment parallèle à la barre reliant les deux masses. Déterminer le nombre de degré de liberté et écrire les équations des liaisons. Réponse Le nombre de degré de liberté est calculé comme suit On a donc 2 points matériels sur un plan et deux liaisons : 1ère liaison : les deux points sont liés par une tige rigide. C'est une liaison géométrique indépendante du temps (barre rigide et la liaison est constamment imposée) imposée sur la position des deux points. Donc c'est une liaison holonome-scléronome y m 𝑕 h G 𝑽G m 𝑟2 𝑟1 O x 2ème liaison : est imposée sur la vitesse du centre des masses du système. C'est une liaison cinématique qui reste imposée à tout instant, donc, elle scléronome. Pour savoir si cette liaison cinématique intégrable ou non, il faut donc écrire son équation. Le nombre de degré de liberté est alors : Mouvement de points matériels sur un m= 2 liaisons plan k = 2*n - m =2 *2 - 2 = 2 n = 2 points matériels Le calcul du nombre de degré de liberté peut se réaliser dans une configuration spatiale comme suit : k = 3*n - m Mais ici le nombre des liaisons m sera augmenté par deux. Car ces deux points sont liés au plan Oxy et leur mouvement selon l'axe Oz est interdit (z1 = z2 = 0). 61 Chapitre 3 Notions fondamentales en mécanique analytique On obtient donc : k = 3*2 - 4 = 2, le même nombre de degré de liberté déjà obtenu avant. Equations des liaisons : 1ère liaison (holonome-scléronome) : f(𝑟𝑖 ) = 0 Forme vectorielle : f(𝑟i) = 0 = 𝑟2 - 𝑟1 =𝑕 Forme scalaire : (x2-x1)² + (y2-y1)² =h² 2ème liaison : liaison cinématique stationnaire : f(𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 ) = 0 Forme vectorielle : le vecteur 𝑕 est parallèle à la vitesse de G (𝑉𝐺 ). Donc leur produit vectoriel est égal à zéro. On écrit alors : 𝑟2 − 𝑟1 ⋀𝑉𝐺 = 0 1 Tel que : 𝑉𝐺 = 2 𝑟1 + 𝑟2 Ce qui ramène à 𝑓 𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 = 𝑓 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟1 , 𝑟2 = 𝑟2 − 𝑟1 ⋀ 𝑟1 + 𝑟2 =0 Forme scalaire : 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 + 𝑥1 = 0 C'est une équation d'une liaison cinématique non-intégrable-stationnaire (non-nolonomescléronome). Remarque : On remarque bien que le temps d'intervient pas dans les équations des deux liaisons d'une manière explicite, mais il intervient dans ces équations d'une manière implicite (dans les coordonnées 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 et dans les vitesses 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 . Exercice 2 Equations des liaisons On considère une roue, de rayon r, qui roule sans glissement sur un plan Oxy. La roue ne peut ni glisser ni pivoter et son plan reste perpendiculaire au plan de mouvement. Le mouvement de cette roue par rapport au plan Oxy, on considère un point de contact roue-plan de coordonnées (x,y) qui dépendent de l'angle  entre le plan de la roue et l'axe des x et de l'angle  de rotation de la roue autour de son axe. Donc on a : 𝑥 = 𝑟𝜑𝑐𝑜𝑠𝜓  z 𝑦 = 𝑟𝜑𝑠𝑖𝑛𝜓 G On remarque que ces deux équations ne sont pas intégrables, donc elles constituent des liaisons non-holonomes qu'on peut écrire sous les formes suivantes : f(x,y, 𝑥 , 𝑦)=𝑥 − 𝑟𝜑𝑐𝑜𝑠𝜓 = 0 x  f(x,y, 𝑥 , 𝑦)=𝑦 − 𝑟𝜑𝑠𝑖𝑛𝜓 = 0 62 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels Chapitre 4 Principe des ‫مبادئ الشغل‬ Principle of travaux virtuels ‫الافتراض ي‬ Virtual Works 4.1 Introduction Le calcul variationnel en mécanique a une longue histoire qui remonte à Galilée et à d'autres physiciens de son temps qui ont étudié le problème d'équilibre de la statique avec le principe du travail virtuel (ou déplacement virtuel) auquel Lagrange et D'Alambert donnent des formes mathématiques unifiées et concises. Ce principe est considéré comme le plus fondamental de la mécanique à partir duquel les lois fondamentales de la statique et de la dynamique peuvent être parfaitement comprises. Le principe du travail virtuel dit que le travail total effectué par toutes les forces agissant sur un système en équilibre statique est nul sur tous les déplacements virtuels possibles qui sont cohérents avec les contraintes du système. Supposons un cas simple d'une particule en équilibre sous n forces Fi (i=1,2,…n),, nous avons 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 𝛿𝐴 = = 0, et imaginons un petit déplacement de la particule, le principe stipule : 𝑛 𝑖=1 𝐹 𝛿𝑟𝑖 =0 (4.1) Ce principe de la statique a été étendu à la dynamique par D'Alembert dans le principe de Lagrange-d'Alembert donné par : 𝛿𝐴 = 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 − 𝑚𝑎 𝛿𝑟 = 0 (4.2) où m est la masse et 𝑎 est l'accélération de la particule. Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les systèmes dynamiques se déplacent selon l'équation newtonienne. 4.2 Déplacements réels et déplacement virtuels Tout système mécanique se trouvant en équilibre a tendance de rester immobile. Cependant, on peut imaginer ou causer un petit déplacement. Parce que ce déplacement ne survient pas en réalité, il est, donc, appelé déplacement virtuel. On appelle déplacement virtuels (possibles) d'un système mécanique tous déplacements infiniment petit des points du système, compatibles avec les liaisons imposées 'déplacement possible) et se produisent au même instant. En d'autres termes, un déplacement virtuel du 63 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels système est un des déplacements élémentaires de ses points (lorsque les points se déplacent de leurs positions qu'ils occupaient à l'instant donné en des positions infiniment proches), qui respectent les liaisons imposées. Soient xi, yi, zi les coordonnées dans le repère Ox du iième point Mi du système. Le vecteur position, 𝑟i, de ce point est alors : 𝑟i = xi·𝑖 + yi·𝑗 + zi·𝑘 Le déplacement virtuel de ce point est exprimé par le vecteur: 𝑟i = xi·𝑖 + yi·𝑗 + zi·𝑘 (4.3) Tel que 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unités des axes du repère orthonormé inertiel Oxyz et xi, yi et zi sont les projections du vecteur déplacement virtuel 𝑟i sur ces axes. Ces projections sont appelées variation des coordonnées (ou variables de situation). Lorsqu'il s'agit d'un solide S dans le même repère sa position est localisée par six (06) coordonnées généralisées (qj): Trois translations de son centre de masse G : xG, z'  yG et zG et de trois rotations (angles d'Euler) : ,  S z et  autour des trois axes du repère Oxyz (voir A figure ). La position de n'import quel point A du 𝑟𝐺 solide dans le repère Oxyz est sous la forme: 𝑘 𝑖O𝑗  y' G  x' y x 𝑟(xG, yG, zG, ,  ,  ) =𝑂𝐺 + 𝐺𝐴= xG· 𝑖 +yG · 𝑗 +zG· 𝑗+ 𝐺𝐴 Les angles d’Euler permettent la transformation du référentiel OXYZ en référentiel Oxyz, parallèle à Gxyz. Les angles ,  et  sont appelés angles d’Euler. Ils portent des noms liés à leurs applications en Astronomie :  est l’angle de précession,  est l’angle de nutation et  est l’angle de rotation propre. 64 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels 4.3 Liaisons parfaites On dit que les liaisons sont parfaites si la somme des travaux élémentaires des réactions de ces liaisons est nulle pour tout déplacement virtuel. On peut donc écrire : 𝑛 𝑖=1 𝑅𝑖 , 𝛿𝑟𝑖 = 𝑛 𝑖=1 𝑅𝑥𝑖 𝛿𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑖 𝛿𝑦𝑖 + 𝑅𝑧𝑖 𝛿𝑧𝑖 = 0 (4.4) Tel que : 𝑅𝑥𝑖 , 𝑅𝑦𝑖 et 𝑅𝑧𝑖 sont les projections des vecteurs forces de réaction 𝑅𝑖 des liaisons selon les trois axes du repère cartésien Oxyz et xi, yi et zi sont les projections du vecteur déplacement virtuel du point matériel i selon les mêmes axes. Une liaison parfaite est aussi appelée polie ou sans frottement. 4.4 Relations entre déplacements virtuels en coordonnées cartésiennes et ceux en coordonnées généralisées Pour un système mécanique constitué de n points matériels et gêné par m liaisons imposées. Les coordonnées cartésiennes sont exprimées en fonction des k paramètres indépendants q1,q2,…, qj,…,qk (coordonnées généralisées ou déterminantes) par la manière suivante: 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑘 ) 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑘 avec i= 1, n 𝑧𝑖 = 𝑧𝑖 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑘 Par conséquent, les projections des déplacements virtuels dans le repère cartésien xi, yi et zi d'un point i sont exprimées en fonction des variations des coordonnées généralisées comme : 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 xi=𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞𝑘 1 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑦 yi=𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞𝑘 1 2 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑧 zi=𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞𝑘 1 2 𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑦 D’où on écrit: xi= 𝑘 𝜕𝑥 𝑖 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑦 𝛿𝑞𝑗 yi=𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞𝑘 1 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 𝑘 (4.5) 𝜕𝑧 zi=𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞𝑘 1 2 𝑘 Remarques 65 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels  Le déplacement virtuel est une comparaison entre deux positions voisines au même instant. Donc est un vecteur qui ne représente pas forcément un déplacement.  Le temps fixe est imposé aux déplacements virtuels.  Un déplacement virtuel peut être un déplacement proprement dit ou un angle de rotation. 4.5 Vitesse virtuelles Soit un point (P) libre dans l'espace, donc de 3 degrés de liberté avec 3 coordonnées généralisées: 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 Et de vecteur de position : 𝑟 𝑡, 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 En vertu de la notion des déplacements virtuels on peut aussi utiliser le concept des vitesses virtuelles, on écrit alors l'expression de la vitesse du point (P) : 𝑉𝑃 = 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 = + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞3 3 Et comme pour les déplacements virtuels, le temps est considéré fixe, donc : 𝜕𝑟 =0 𝜕𝑡 Alors : 𝑉𝑃∗ = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 = 𝜕𝑞 𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑞2 + 𝜕𝑞 𝑞3 = 1 2 3 𝜕𝑟 3 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 Si on remplace 𝑞𝑗 par qj* on écrit la vitesse virtuelle : 𝑉𝑃∗  = 𝜕𝑟 3 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗∗ (4.6) Si qj sont des angles donc qj* sont des vitesses de rotation. Illustration des déplacements virtuels et des vitesses virtuelles Soit le point matériel mi qui peut se déplacer aux deux points B ou C (voir figure). Si on considère à l'instant t deux déplacements infinitésimaux 𝑑𝑟𝑖′ et 𝑑𝑟𝑖′′ compatibles avec les liaisons imposées, ou bien deux vitesses 𝑟𝑖′ et 𝑟𝑖′′ d'un point matériel mi A 𝑑𝑟𝑖′ 𝑑𝑟𝑖′′ B (𝛿𝑟 t+dt) 𝑖 C (t+dt) tel que : 𝑑𝑟𝑖′ = 𝑟𝑖′ 𝑑𝑡 et 𝑑𝑟𝑖′′ = 𝑟𝑖′′ 𝑑𝑡 Dans le cas des liaisons géométriques non-stationnaires, on obtient donc : 66 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels A partir de l'équation 1 (chapitre 1) 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑟𝑖′ + 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑡 𝑑𝑡 = 0 et 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑟𝑖′′ + 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑡 𝑑𝑡 = 0 Dans le cas des liaisons cinématiques non-intégrables, on obtient donc : A partir de l'équation 2 (chapitre 1) 𝑔𝛽𝑖 𝑑𝑟𝑖′ + 𝑔𝛽 𝑑𝑡 = 0 et 𝑔𝛽𝑖 𝑑𝑟𝑖′′ + 𝑔𝛽 𝑑𝑡 = 0 Sachant que la différence des deux déplacements est un déplacement virtuel, c'est-à-dire : 𝛿𝑟𝑖 = 𝑑𝑟𝑖′ − 𝑑𝑟𝑖′′ Les équations des deux types de liaisons auront une forme plus simple : 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 pour les liaisons géométriques non-stationnaires 𝑔𝛽𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 pour les liaisons cinématiques non-intégrables Avec i =1,n α =1, α0 β =1, β0 Par la même manière avec les vitesses, on peut écrire : 𝛿𝑟𝑖 = 𝑟𝑖′ − 𝑟𝑖′′ 𝑑𝑡 ≈ 𝑟𝑖 𝑑𝑡 ≈ 𝑣𝑖 𝑑𝑡 D'où : 𝑟𝑖 ≈ 𝑣𝑖 = 𝑟𝑖′ − 𝑟𝑖′′ cela vaut que la vitesse virtuelle est la différence entre deux vitesses possibles. On peut donc simplifier les équations des liaisons 𝜕𝑓𝛼 𝜕𝑟𝑖 𝑟𝑖 = 0 et 𝑔𝛽𝑖 𝑟𝑖 = 0 La différence entre les déplacements possibles et virtuels est que chaque déplacement possible peut devenir réel en fonction des forces agissantes. Mais, le déplacement virtuel n'est qu'un déplacement fictif (imaginaire) qui peut être ou ne peut être réalisable. Il toute forme de déplacement et même le déplacement réel. Un déplacement virtuel 𝛿𝑟𝑖 a lieu pendant un intervalle de temps nul (𝛿𝑡 = 0). Car en réalité à l'instant (t+dt) le point mi se trouve soit en B ou en C. 4.6 Principe des travaux virtuels et des puissances virtuelles La méthode connue d'étude d'équilibre d'un système des corps rigides est exprimée comme étant la résultante de toutes les forces extérieures appliquées sur ce système étant nulle. Une autre méthode différente qui présente des avantages dans la recherche de l'équilibre des systèmes mécaniques. Cette méthode est basée sur le travail d'une force proposé par Jean Benoulli (1717). 67 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels Travail d'une force : Considérons un point matériel en A décrit une trajectoire curviligne sous l'action une force F variable en module et en direction. Le déplacement réalisé par A et 𝑑𝑠 formant un angle α avec la force 𝐹 . Tel que 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 et 𝑑𝑠 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 = 2 Le travail mécanique élémentaire δA réalisé par cette force est le produit scalaire du vecteur force 𝐹 par le vecteur déplacement 𝑑𝑠 (Figure ), on écrit alors : 𝐹 δA=(𝐹 , 𝑑𝑠 ) = F·ds·cos(𝐹 , 𝑑𝑠 )=F·ds·cosα = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 α 𝑑𝑠 A Pour le iième point matériel de masse mi d'un système mécanique, la résultante de toutes les forces est la somme de la résultante des forces extérieures, 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 et celle des forces intérieures, 𝐹𝑖𝐼𝑛𝑡 , écrite comme suit : 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 + 𝐹𝑖𝐼𝑛𝑡 (4.7) En vertu de la loi de la dynamique, on a : 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 + 𝐹𝑖𝐼𝑛𝑡 = 𝑚𝑖 𝑎𝑖 (4.8) tel que ai est son accélération. Ainsi donc et en vertu de la troisième loi de Newton, les forces intérieures agissant dans une même solide se font mutuellement équilibre. Alors on aura 𝐹𝑖𝐼𝑛𝑡 = 0. L'équation (4.8) se ramène à : 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 = 𝑚𝑖 𝑎𝑖 ⇒ 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 = 0 (Principe de D'Alembert) Or on peut deviser la résultante des forces extérieures en force actives connues, 𝐹𝑖𝐴 et la résultante des réactions de liaisons (forces réactives ou passives), 𝑅𝑖 , tel que : 𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 = 𝐹𝑖𝐴 + 𝑅𝑖 = 𝑚𝑖 𝑎𝑖 On peut encore écrire : 𝐹𝑖𝐴 + 𝑅𝑖 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 = 0 Si on multiple cette dernière équation par le vecteur de déplacement virtuel, 𝛿𝑟𝑖 (4.9) ou par le vecteur de vitesse virtuelle, 𝛿𝑟𝑖 et pour tous les points matériels du système on obtient : Le principe des travaux virtuels 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖𝐴 + 𝑅𝑖 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 (4.10) Le principe des puissances virtuelles : 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖𝐴 + 𝑅𝑖 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 (4.11) 68 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels Si les liaisons sont considérées parfaites, donc : Les travaux virtuels des réactions des liaisons 𝑛 𝑖=1 𝛿𝐴𝑅 = 𝑅𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 (4.12) Les puissances virtuelles des réactions des liaisons 𝑛 𝑖=1 𝑅𝑖 𝛿𝑃𝑖 = 𝛿𝑟𝑖 = 0 (4.13) Ce qui ramène à : 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖𝐴 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 et 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖𝐴 − 𝑚𝑖 𝑎𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 Principe des travaux virtuels : Soit un système mécanique de n points matériels soumis à des liaisons stationnaires, bilatérales et parfaites. Considérant un point de ce système soumis à l'action de plusieurs forces 𝐹1 , 𝐹2 … 𝐹𝑛 . On suppose un déplacement virtuel (hypothétique), δs, qui représente un déplacement infiniment petit du premier ordre différent au déplacement réel, ds. Le travail de chacun des forces 𝐹1 , 𝐹2 … 𝐹𝑛 réalisé le long des déplacements virtuels δs, est appelé travail virtuel donné comme suit: 𝛿𝐴 = 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝛿𝑠 + 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝛿𝑠 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑛 𝛿𝑠 = 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼1 + 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑛 𝛿𝑠 Ce point se trouve en équilibre, si seulement si, les travaux virtuels des forces appliquées s'annulent pour tout déplacement virtuel de ce point. Dans le cas des corps rigides est en équilibre, la somme des travaux virtuels des forces extérieures appliquées au corps rigide (ou un système de n points matériels) est nulle pour tout déplacement virtuel à partir de la position d'équilibre considérée. Et on écrit : 𝛿𝐴 = 𝑛 𝑖=1 𝛿𝐴𝑖 = 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 , 𝛿𝑟𝑖 (4.14) 𝑛 = 𝐹𝑥 𝛿𝑥 + 𝐹𝑦 𝛿𝑦 + 𝐹𝑧 𝛿𝑧 = 0 𝑖=1 En utilisant les relations de transformation entre coordonnées cartésiennes et coordonnées généralisées suivantes: Soit un système de n points matériels (i=1,n) de k degrés de liberté. On a donc k coordonnées généralisées, qj (j=1,k). Les relations de transformation sont comme suit : 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝛿𝑥𝑖 = 𝛿𝑞1 + 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝛿𝑞 = 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞𝑘 𝑘 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑥𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 69 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝛿𝑥𝑖 = 𝛿𝑞1 + 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝛿𝑞 = 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞𝑘 𝑘 𝜕𝑧𝑖 𝜕𝑧𝑖 𝜕𝑧𝑖 𝛿𝑥𝑖 = 𝛿𝑞1 + 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝛿𝑞 = 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞𝑘 𝑘 𝑘 𝑗 =1 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑦𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝜕𝑧𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 Les travaux virtuels de toutes les forces actives dans le système est : 𝑛 𝑛 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑋𝑖 𝛿𝑥𝑖 + 𝑌𝑖 𝛿𝑦𝑖 + 𝑍𝑖 𝛿𝑧𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑘 = 𝑋𝑖 𝑖=1 𝒏 𝑗 =1 𝑘 = 𝑋𝑖 𝒊=𝟏 𝑗 =1 𝜕𝑥𝑖 𝛿𝑞 + 𝑌𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑦𝑖 𝛿𝑞 + 𝑍𝑖 𝛿 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑧𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑧𝑖 + 𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 𝛿𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 Mathématiquement on peut permuter entre les deux sommes par rapport à i et par rapport à j, on découle alors à : 𝑛 𝛿𝐴 = 𝑘 𝒏 𝛿𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑗 =1 𝒊=𝟏 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑧𝑖 𝑋𝑖 + 𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 𝛿𝑞𝑗 = 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝑘 𝑄𝑖𝑗 𝛿𝑞𝑗 𝑗 =1 Où 𝑄𝑖𝑗 est appelée force généralisée correspondante à la coordonnée généralisée qj, elle est exprimée : 𝑘 𝑄𝑖𝑗 = 𝑋𝑖 𝑗 =1 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑧𝑖 + 𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 On a donc pour un point matériel quelconque : 𝛿𝐴 = 𝑘 𝑗 =1 𝑄𝑗 𝛿𝑞𝑗 = 𝑄1 𝛿𝑞1 + 𝑄2 𝛿𝑞2 + ⋯ + 𝑄𝑘 𝛿𝑞𝑘 (4.15) 4.6.1 Règle Importante On peut aussi écrire : 𝑄𝑗 = 𝛿𝐴𝑗 𝛿𝑞 𝑗 avec laquelle on peut utiliser la règle permettant la détermination de la force généralisée Qj correspondante à qj comme suit : Il suffit de donner au système un déplacement virtuel δqj≠0 et que tous les autres déplacements virtuels sont nuls : δq1= δq2 =…= δqj-1 = δqj+1 = δqj+1 =… δqk=0 4.6.2 Remarques importantes sur le principe des travaux virtuels  Ce principe est applicable à condition que le système soit fixe à l'instant initial. Pour d'un système soit en équilibre, il faut que tous ses points soient en équilibre. 70 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels  Ce principe est aussi applicable à un système de plusieurs corps rigides rigidement liés ou forment entre eux des liaisons géométriques bilatérales, stationnaires et parfaites.  La méthode des travaux virtuels est limitée pour les problèmes où la géométrie du système permet de relier facilement les différents déplacements.  Lors de l'application de la méthode des travaux virtuels, on ne considère que les forces qui produisent un travail. Si les déplacements sont compatibles avec les liaisons imposées. En tout cas les forces à éviter sont: a) les réactions aux appuis, b) les forces internes aux liaisons, c) les force appliquées par des cordes et des câbles inextensibles. 4.7 Exercices Application du principe des travaux virtuels Exercice 1 Ce principe est largement utilisé dans les études des mécanismes formés par un ensemble de corps rigides. Dans cette partie des applications, nous allons étudier quelques exemples suivants: 1- soit le mécanisme à levier ABC de la figure suivante utilisé pour fixer un corps en bois. On cherche la réaction Q de ce corps lorsqu'on applique une force P par le levier. Le mécanisme est supposé sans frottement (liaisons parfaites). P On remarque que mécanisme fonctionne avec un seul degré de liberté. la coordonnée généralisée est l'angle de rotation . Les coordonnées cartésiennes des points d'application des forces B et C sont :Point A est fixe, donc 𝛿𝑟𝐴 = 0 et sa réaction est : 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 Point B : 𝑟𝐵 = 𝑥𝐵 𝑖 + 𝑦𝐵 𝑗 tel que : xB = 2lsin et yB = 0 La force appliquée en B s'écrit : 𝐵 = −𝑄𝑖 + 𝑁𝑗 Point C : 𝑟𝐶 = 𝑥𝐶 𝑖 + 𝑦𝐶 𝑗 tel que : xC = lsin et yC = lcos La force P appliquée en C s'écrit : 𝑃 = 𝑃𝑥 𝑖 + 𝑃𝑦 𝑗 = −𝑃𝑗 Pour un déplacement virtuel , les déplacements virtuels cartésiens sont donc : C l  A l  B δxc y C P δyC δ yC C' A B Ax B' Q x Ay δxB N xc xB Point A : xA = yA = 0 Point B : 𝛿𝑥𝐵 = 𝜕𝑥 𝐵 𝛿𝜃 𝛿𝜃 = 2𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝛿𝜃 et yB = 0 71 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels Point C : 𝛿𝑥𝐶 = 𝜕𝑥 𝐶 𝛿𝜃 𝛿𝜃 = −𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝛿𝜃 et yC = -lsin La somme des travaux virtuels des forces dans le mécanisme est : 𝛿𝐴 = 𝐴, 𝛿𝑟𝐴 + 𝑃, 𝛿𝑟𝐶 + 𝐵, 𝛿𝑟𝐶 = 0 + −𝑃. 𝛿𝑦𝐶 + −𝑄. 𝛿𝑥𝐵 = −𝑃. −𝑙sin − 𝑄. 2𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝛿𝜃 𝛿𝐴 = 𝑃sin − 2𝑄𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑙𝛿𝜃 Avec les conditions d'équilibre du mécanisme (principe des travaux virtuels), on écrit A=0 et on obtient donc : Q = ½Ptan Exercice 2 Soit une force P appliquée au point A de la manivelle d'une presse à vis et soit le point B le point d'application de la force résistante Q du corps comprimé (Figure ). On demande de 2l  P A A P Mz déterminer les conditions d'équilibre de la machine (on considère que la machine est parfaite -sans frottement-). Q Si on donne au système un déplacement virtuel  >0 faisant un B déplacement du point A p=l et du point B de q>0 du plateau de la presse. Le principe des travaux virtuels s'exprime : 𝛿𝐴 = 2 ∙ 𝑃, 𝛿𝑝 + 𝑄, 𝛿𝑝 = 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝑙 ∙ 𝛿𝜑 − 𝑄 ∙ 𝛿𝑞 = 0 z et on considère que le pas de la vis est h par conséquent : 𝛿𝑞 = 𝑕 𝛿𝜑 2𝜋 On porte cette dernière expression dans l'équation du principe des travaux virtuels on obtient donc la condition d'équilibre qui sera vérifiée lorsque : 𝑃= 𝑄∙𝑕 𝑄∙𝑕 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑀𝑧 = 2𝑃𝑙 = 4𝜋 ∙ 𝑙 2𝜋 Exercice 3 Pour un système de n points matériels soumis à des liaisons holonomes (géométriques), scléronomes (stationnaires), bilatérales et parfaites et on suppose que ce système est soumis seulement aux poids. On aura donc : les composantes des forces selon les axes Ox et Oy sont : Xi=Yi=0 et il reste que la composante verticale Zi=-mig (avec i=1,n). On applique le principe des travaux virtuels on aura donc: 𝑛 𝛿𝐴 = −𝑔 𝑛 𝑚𝑖 𝛿𝑧𝑖 = 0 = 𝛿 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑧𝑖 = 𝛿𝑀𝑧𝐺 𝑖=1 72 Chapitre 4 Principe des travaux virtuels où M est la masse totale =m1+m2+…+mn et zG est la composante verticale du centre de gravité du système. On a alors la position d'équilibre pour 𝛿𝑧𝐺 = 0 ⇒ 𝑧𝐺 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ceci est le principe de Torricelli. Quand le système de corps rigides pesants gênés par des liaisons géométriques, bilatérales, stationnaires et parfaites se trouve en équilibre, la cote de son centre de gravité a une valeur extrémale (constante). 4.8 Exercices non résolus Exercice 1 y A m Une masse m est placée en A et reliée par deux barres rigides sans masse aux points O et B. RO Les barres (OA = AB = L) sont articulées entre O Ry L L B P  M elles en A, le support de l’articulation O est x Fapp fixe et le patin articulé en B, de masse M, peut glisser sans frottement le long d’un axe horizontal (Figure ci-contre). Les articulations sont supposées parfaites. 1. Déterminer le degré de liberté et exprimer les équations des liaisons. 2. Utiliser le principe des travaux virtuels pour trouver l’angle  pour lequel le système se trouve en équilibre. Exercice 2 d a Le système mécanique S de la figure 1 est constitué de trois tiges rigides AB, CD et CE de 𝑭𝟏 masses négligeables. Ces tiges sont articulées en B, C, D et E avec des liaisons parfaites (Sans b A E B 𝑭 D A2 c C frottement). Le système se trouve en équilibre sous l'action des deux forces extérieures F1 et F2. Appliquer le principe des travaux virtuels pour déterminer la force F2 en fonction de la force F1. Figure 1 73 Chapitre 5 Principe de d'Alembert Chapitre 5 Principe de ‫مبدأ دال مبار‬ d'Alembert Principle of D'Alembert 5.1 Introduction Lorsque nous étudions le mouvement d'un solide rigide par loi du mouvement de Newton ou bien son équilibre dynamique, nous obtenons toujours équations qui contiennent toutes les forces agissant sur le solide, y compris les forces de contrainte. Cette procédure peut être lourde pour les systèmes de masses ponctuelles ou de plusieurs solides. Par conséquent, dans ce chapitre nous allons prendre connaissance d'un principe, appelé principe de D'Alembert, qui conduit à des équations de mouvement qui ne contiennent pas les forces de contrainte. Ce procédé est particulièrement avantageux lorsque les forces de contrainte n'ont pas besoin d'être déterminées. Dans la suite nous nous limiterons aux mouvements où le frottement sec ne se produit pas. 5.2 Principe de d'Alembert (1743) Durant un déplacement virtuel, la somme des travaux de l'ensemble des forces de contrainte (des liaisons) est nulle pour tout moment. A partir de ce principe et de la loi fondamentale de la dynamique (PFD), le formalisme mathématique de la mécanique analytique par les équations de mouvement de Lagrange sont démontrées. Ce principe est aussi connu par le principe des travaux virtuels. On appelle un travail virtuel le travail fourni au système lors d'un déplacement infinitésimal de ses coordonnées généralisées. Exemple : Si un solide posé sur une table dont il y a que la réaction normale de la table, donc cette réaction ne fournira pas de travail. Principe Pour un point matériel lié (existence des liaisons), le principe de d'Alembert est qu'en ajoutant la force d'inertie (I) à toutes les forces connues (appelées actives) (F) et réactions (appelées passives) de liaison (R) appliquées au point matériel, on obtient à chaque instant un système de forces en équilibre. D'une manière générale, ce principe s'écrit comme suit : Fa(Forces actives) + FR(Force réactives - ou Forces des liaisons-) + FI(Force d'Inertie) = 0 74 Chapitre 5 Principe de d'Alembert Il faut noter ici que les forces actives et réactives sont réellement appliquées alors que la force d'inertie est fictive. Il convient, en particulier, pour la détermination des forces réactives. Dans les études des problèmes dynamiques, le principe de d'Alembert permet de réduire le nombre des équations à résoudre. Pour un système de points matériels, Pi (i = 1, n) soumis à des liaisons holonomes (géométriques), bilatérales et scléronomes (stationnaires), ce principe est aussi utilisé on l'appliquant à chaque point comme suit : 𝑛 𝑖 𝐹𝑖 + 𝑛 𝑖 𝑅𝑖 + 𝑛 𝑖 𝐼𝑖 =0 (5.1) Ces dernières équations s'écrivent aussi en termes de projection sur les axes du repère choisi. Le nombre des équations est donc multiplié par le nombre des axes en fonction du domaine d'étude). 5.3 Formulation mathématique Lors de l'application de la loi fondamentale de la dynamique (loi de Newton) ou bien la relation d'équilibre dynamique, nous obtenons une équation qui contient les forces extérieures actives et réactives (forces des liaisons). Dans certaines situations, cette méthode peut être délicate pour un système mécanique de points matériels ou de solides. Dans une situation où il n'est pas nécessaire de connaitre les forces réactives, le principe de d'Alembert est donc plus adéquat et introduit comme suit : 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝐹 𝐼 = 𝐹 𝐴 + 𝐹 𝑅 (5.2) Tel que : 𝐹 𝐴 : Résultante des forces extérieures actives, 𝐹 𝑅 : Résultante des forces des liaisons, 𝐹 𝐼 = 𝑚𝑎 : Force d'inertie. En utilisant la notion des déplacements virtuels et le principe de d'Alembert : 𝛿𝐴 = 𝐹 𝑅 ∙ 𝛿𝑟 = 0 (Produit scalaire de la force par le déplacement virtuel) (5.3) En utilisant les deux dernières équations, on obtient donc : 𝐹 𝐴 − 𝑚𝑎 ∙ 𝛿𝑟 = 𝐹 𝐴 − 𝐹 𝐼 ∙ 𝛿𝑟 = 0 (5.4) On introduit donc 𝛿𝑈𝐴 le travail virtuel des forces actives et 𝛿𝑈𝐼 le travail virtuel des forces d'inertie, on peut écrire : 𝛿𝐴 𝐴 + 𝛿𝐴𝐼 =0 (5.5) Cette équation forme le principe de d'Alembert et le principe des travaux virtuels. Elle ne contient aucune force réactive. 75 Chapitre 5 Principe de d'Alembert Enoncé : le mouvement d'un point matériel aura lieu lorsque la somme des travaux virtuels des forces extérieures actives appliquées et des forces d'inertie est nulle pour tous déplacements virtuels. Ce principe est aussi valide pour un système de points matériels avec des liaisons rigides (holonomes). Pour un ensemble de points matériel et par analogie avec l'équation (5.2) on écrit : 𝐴 𝑅 𝑚𝑖 𝑎𝑖 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖 = 𝐹𝑖 + 𝐹𝑖 et i =1,n (5.6) Pour un déplacement virtuel, on a donc : 𝑅 𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0 (5.6) On multiple l'avant dernière équation par 𝛿𝑟𝑖 et on ajoute la dernière équation, on aura alors : 𝐴 𝐹𝑖 − 𝑚𝑖 𝑟𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 0 (5.7) Si on introduit aussi : 𝐴 𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 𝛿𝑈 𝐴 (5.8) Et −𝑚𝑖 𝑟𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 = 𝛿𝐴𝐼 (5.9) Aboutit aussi à l'équation (5.4). Le principe des travaux virtuels relie la variation d'énergie totale au travail des forces extérieures. C'est le principe déterminant l'équilibre à chaque instant d'un système mécanique soumis aux forces appliquées à chaque point. 5.4 Remarques importantes sur le principe de D'Alembert 1. Ce principe des travaux virtuels est aussi valide pour les corps rigides. Si le système mécanique possède plusieurs degré de liberté, le nombre de déplacements virtuels indépendants est égal au nombre de degré de liberté. Le nombre des équations formants le principe des travaux virtuels est aussi égal au nombre des degrés de liberté. 2. Les forces de liaison qui apparaissent dans une liaison rigide ne contribuent pas aux forces généralisées agissant sur le système : leur travail virtuel est donc nul. 3. Tout déplacement virtuel peut être décomposé comme une somme d'une translation du centre de masse et d'une rotation infinitésimale autour d'un axe passant par le centre de masse. 76 Chapitre 5 Principe de d'Alembert 5.5 Exercices d'application Exercice 1 Soit un système mécanique constitué d'une masse cubique m1 attachée à un fil (flexible, inextensible et de masse négligeable) entouré sur une roue de masse m2 et de moment d'inertie Ic (Figure 5.1). Déterminer la loi de mouvement par : 1. La loi fondamentale de la dynamique (de Newton), 2. Le principe de des déplacements virtuels pour écrire l'équation du mouvement de la roue sachant qu'elle roule sans glissement. Réponse La figure suivante présente le système mécanique à étudier et les forces extérieures agissantes sur ce système. Ces forces sont :  Les forces de poids P1 et P2,  La tension du fil T constant (fil inextensible, flexible et de masse négligeable),  La réaction normale du sol contre la roue N et la force de frottement Ff  Les forces d'inertie : de la roue ( 𝐼𝑐 ∙ 𝜑 ) du à la rotation de sa masse ( 𝑚2 ∙ 𝑥 ) due à la translation selon l'axe horizontal x et de la masse cubique ( 𝑚1 ∙ 𝑦) due à la translation selon l'axe vertical y. Ces forces d'inertie sont de sens négatif à celui du mouvement.  m2, Ic Ic 𝜑 T Ic 𝑥 ri T C T ra P2=m2g m1𝒚 T m1 Ff N x y P1=m1g Figure 5.1 La condition d'équilibre de la roue (loi de newton)  Translation selon l'axe x : 𝐹𝑥 =T - Ff- 𝑚2 ∙ 𝑥𝑐 = 0 (1)  Translation selon l'axe y : 𝐹𝑦 = m2g - N = 0 (2) 77 Chapitre 5  Principe de d'Alembert 𝑀/𝑐 = 𝐹𝑓 ∙ 𝑟𝑎 + 𝑇 ∙ 𝑟𝑖 − 𝐼𝑐 ∙ 𝜑 = 0 Rotation de la roue : (3) La condition d'équilibre de la masse cubique  Translation selon l'axe y : 𝐹𝑦 = m1g - T- 𝑚1 ∙ 𝑦 = 0 (4) Or, la roue roule sans glissement, donc xc= ra. 𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙  𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙  Et puisque le fil est inextensible, donc y = (ri +ra)   𝑦 = 𝑟𝑖 + 𝑟𝑎 ∙   𝑦 = 𝑟𝑖 + 𝑟𝑎 𝑟𝑎 ∙  La combinaison de ces équations abouti à : 𝑥𝑐 = 𝑚 1 𝑚 1 𝑟𝑎 𝑟 𝑖 +𝑟𝑎 𝑔 𝑟 𝑖 +𝑟𝑎 2 +𝑚 2 𝑟𝑎2 +𝐼𝑐 La condition d'équilibre de la roue par le principe de D'Alembert Puisque les forces des liaisons (force normale et frottement statique, force sur le tambour, force dans le fil) ne nécessitent pas besoin être calculée, le système peut être traité avec le principe du travail virtuel plutôt qu'avec la loi de Newton. Le mouvement du système est caractérisé par la translation x et la rotation  de la roue et une translation verticale de lasse cubique. Le système possède un degré de liberté. La coordonnée généralisée est l'angle de rotation  de la roue. On peut donc écrire : 𝛿𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙ 𝛿𝜑 et 𝛿𝑦 = 𝛿𝑥𝐴 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝛿𝜑 Sachant que : 𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙ 𝜑 et 𝑦 = 𝑥𝐴 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝜑  et que : 𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙ 𝜑 et 𝑦 = 𝑥𝐴 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝜑 Le travail virtuel de toutes les forces et moments appliqués est comme suit : 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴𝑖 = 𝑃1 𝛿𝑦 + 𝛿𝐴𝐼 = 𝑚1 𝑔𝛿𝑦 − 𝑚1 𝑦𝛿𝑦 − 𝑚2 𝑥𝑐 𝛿𝑥𝑐 − 𝐼𝑐 ∙ 𝜑𝛿𝜑 = 0 On remplace donc par les expressions de 𝛿𝑦 , 𝛿𝑥𝑐 , 𝑥𝑐 et 𝑦 on aura alors : 𝛿𝐴 = 𝑚1 𝑔 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝛿𝜑 − 𝑚1 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝜑 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝛿𝜑 − 𝑚2 𝑟𝑎 ∙ 𝜑𝑟𝑎 ∙ 𝛿𝜑 − 𝐼𝑐 ∙ 𝜑𝛿𝜑 = 𝑚1 𝑔 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 − 𝑚1 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 ∙ 𝜑 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 − 𝑚2 𝑟𝑎 ∙ 𝜑𝑟𝑎 − 𝐼𝑐 ∙ 𝜑 𝛿𝜑 ⇒ 𝛿𝐴 = 𝑚1 𝑔 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 − 𝑚1 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 Si 𝛿𝜑 ≠ 0 ⇒ 𝑚1 𝑔 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 − 𝑚1 𝑟𝑎 + 𝑟𝑖 D'où : 𝜑 = 2 2 + 𝑚2 𝑟𝑎 2 + 𝐼𝑐 𝜑𝛿𝜑 = 0 + 𝑚2 𝑟𝑎 2 + 𝐼𝑐 𝜑 = 0 𝑚 1 𝑔 𝑟𝑎 +𝑟 𝑖 𝑚 1 𝑟𝑎 +𝑟 𝑖 2 +𝑚 2 𝑟𝑎 2 +𝐼 𝑐 𝑚 1 𝑟𝑎 +𝑟 𝑖 Puisque : 𝑥𝑐 = 𝑟𝑎 ∙ 𝜑 = 𝑟𝑎 ∙ 𝑔 qui représente le même résultat 𝑚 1 𝑟𝑎 +𝑟 𝑖 2 +𝑚 2 𝑟𝑎 2 +𝐼𝑐 trouvé précédemment par la loi de Newton. 78 Chapitre 5 Principe de d'Alembert Exercice 2 Soit une roue de masse m1 et de moment d'inertie IA) qui roule (m1, IA ) sans glissement sur un plan incliné et liée à un cube de masse r A m2 par un fil, inextensible et de masse négligeable, entouré sur une poulie de masse négligeable (Figure ). Utiliser le  principe de D'Alembert pour déterminer l'accélération de la m2 x2 masse m2. Réponse : Pour appliquer le principe de D'Alembert on va considérer seulement les forces actives qui produisent un travail mécanique. Ces forces sont les poids P1 et P2 et les forces d'inertie de la roue (m1𝑥 A= m1𝑥 2, IA) et celle de la masse m2 (m2 𝑥 2). Le système possède un seul degré de liberté. La coordonnée généralisée choisie est q = la translation de la masse m2 = x2. Puisque la roue roule sans glisser donc sa rotation  = xA/r = x2/r, d'où :  = x2/r et  = 𝑥2 /𝑟 (a) On communique au un déplacement virtuel x2. 𝑵 Sachant que le fil est inextensible et de masse  négligeable et que la masse de la poulie est IA  xA r A m2 𝑥 2 =x2 négligeable, donc les tensions dans le fil sont m1𝑥 A= égales et la somme de leurs travaux virtuels est m1𝑥 2 nulle pour tout déplacement virtuel. On néglige les forces de frottement plan-roue 𝑷1 x2  𝑷2 /2 +  Figure 5.2 Le travail virtuel de la réaction du plan incliné contre la roue est nul (𝑁 ⊥ 𝛿𝑥𝐴 ). La somme des travaux virtuels de toutes les forces actives est : A=Ai = A1(P1) + A2(P2) + A2(m1𝑥 A) + A3(IA) + A4(m2 𝑥 2) = 0 D'où : 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴𝑖 = 𝑃1 , 𝛿𝑥𝐴 + 𝑃2 , 𝛿𝑥2 + 𝐼A , 𝛿 + 𝑚1 𝑥A , 𝛿𝑥𝐴 + 𝑚2 𝑥2 , 𝛿𝑥2 = 0 Tenant compte des relations dans (a). 79 Chapitre 5 𝑃1 ∙ 𝛿𝑥𝐴 cos Principe de d'Alembert  2 +  + 𝑃2 ∙ 𝛿𝑥2 − 𝐼A , 𝛿 − 𝑚1 𝑥A ∙ 𝛿𝑥𝐴 − 𝑚2 𝑥2 ∙ 𝛿𝑥2 = −𝑚1 𝑔 ∙ 𝛿𝑥2 sin  + 𝑚2 𝑔 ∙ 𝛿𝑥2 − 𝐼A  ∙ = −𝑚1 𝑔 ∙ sin  + 𝑚2 𝑔 − Si 𝛿𝑥2 ≠ 0 ⇒ −𝑚1 𝑔 ∙ sin  + 𝑚2 𝑔 − 𝐼A 𝑟2 𝛿𝑥2 − 𝑚1 𝑥2 ∙ 𝛿𝑥2 − 𝑚2 𝑥2 ∙ 𝛿𝑥2 𝑟 𝐼A + 𝑚1 + 𝑚2 𝑥2 𝛿𝑥2 = 0 𝑟2 + 𝑚1 + 𝑚2 𝑥2 = 0 Finalement l'accélération de la masse m2 est : ⇒ 𝑥2 = 𝑚2 − 𝑚1 ∙ sin  𝑔 𝐼A + 𝑚1 + 𝑚2 𝑟2 Exercice 3 L'articulation A du quadrilatère articulé OABC dont le coté OC est fixe, est soumise à une force P agissant sous 90° par rapport à OA (Voir figure 5.3). On demande de déterminer la force Q appliquée à l'articulation B sous 60° par rapport à CB si les angles OAB = 150° et ABC = 90° pour laquelle le système soit à l'équilibre. Réponse Le système mécanique contient deux points matériels (A et B) (n = 2). Ce système est soumis à trois liaisons holonomes qui sont les distances fixes OA, AB et BC (m =3). B 𝑟A A  𝑟B 60° 90° P 150° Q 90° 60° 90° O C Figure 5.3 Le nombre de degré de liberté dans une configuration plane est alors : k = 2*n - m =2*2 -3 =1 Le mouvement du système est déterminé par une seule coordonnée généralisée qu'est une rotation de la barre OA. Les barres sont considérées rigides et que les frottements dans les articulations sont négligeables. Donc, les liaisons sont parfaites et la somme des travaux virtuels de leurs réactions est nulle pour tout déplacement virtuel non nul. Condition d'équilibre du système pour un déplacement virtuel 0 est exprimée par la somme des travaux virtuels des deux forces P et Q comme suit : 80 Chapitre 5 Principe de d'Alembert 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴𝑖 = 𝑃 , 𝛿𝑟𝐴 + 𝑄, 𝛿𝑟𝐵 = 0 Avec 𝛿𝑟𝐴 = 𝑂𝐴𝛿 on utilisant le théorème de projection des déplacements des deux extrémités d'une barre par rapport à la barre elle-même, on écrit : 1 Projection (𝛿𝑟𝐴 )/AB = Projt(𝛿𝑟𝐵 )/AB  𝛿𝑟𝐴 𝑐𝑜𝑠60° = 𝛿𝑟𝐵 = 2 𝑂𝐴 D'où : 𝛿𝐴 = 1 3 𝛿𝐴𝑖 = 𝑃 ∙ 𝛿𝑟𝐴 + 𝑄 ∙ 𝛿𝑟𝐵 𝑐𝑜𝑠150° = 𝑃 ∙ 𝑂𝐴𝛿 − 𝑄 ∙ 𝑂𝐴 2 2 = 𝑃 −𝑄∙ Finalement, et si 𝛿 ≠ 0 ⇒ 𝑄 = 4 3 𝑃 3 𝑂𝐴𝛿 = 0 4 est la valeur de la force Q en fonction de la force P pour que le système est en équilibre statique. 81 Chapitre 6 Equations de Lagrange de première espèce Chapitre 6 Equations de ‫معدالت الغرانج من‬ Lagrange's Lagrange de ‫الصنن ألاألال‬ Equations of First première espère Kind 6.1 Mise en équation (principe de D'Alembert) Soit un système mécanique non-holonome de n points matériels et soient α0, β0 le nombre des liaisons holonomes et non-holonomes respectivement. Le nombre de degré de liberté k est donc k =3n-α0-β0. Le mouvement de ce système peut être déterminé par un système d'équation constitué de l'équation de D'Alembert et des équations des liaisons sous la forme suivante: 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 − 𝐹𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 𝑛 (6.1) n ∂f α i=1 ∂r δri = 0, α = 1, α0 (6.2) n i=1 g β i δri = 0, β = 1, β0 (6.3) i La loi du mouvement est exprimée comme 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 (𝑡). Dans le repère cartésien Oxyz, ce système aboutit à un nombre d'équation 3(1+ α0+β0). On multiple l'équation (2) par les constantes (-α) etl'équation (3) par les constantes (β) et on somme les trois équations (1)+(2)+(3). Le résultat sera une seule équation comme suit: 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 − 𝐹𝑖 − 𝜕𝑓𝛼 𝛼0 𝛼=1 𝜆𝛼 𝜕𝑟 𝑖 − 𝛽0 𝛽=1 𝜇𝛽 𝑔𝛽 𝑖 𝛿𝑟𝑖 = 0 (6.4) Les constantes α et β sont appelées multiplicateurs de Lagrange. Sachant que le degré de liberté est k =3n- α0-β0, on peut donc choisir arbitrairement un point quelconque d tel que 𝛿𝑟𝑑 ≠ 0 pour i=d et 𝛿𝑟𝑖 = 0 pour i≠d (i,d=1,n). L'équation du mouvement (6.4) s'exprime par la façon suivante : 𝑚𝑑 𝑟𝑑 = 𝐹𝑑 + 𝜕𝑓𝛼 𝛼0 𝛼=1 𝜆𝛼 𝜕𝑟 𝑖 + 𝛽0 𝛽=1 𝜇𝛽 𝑔𝛽 𝑖 (6.5) Le nombre d'inconnues se trouve donc augmenter par les multiplicateurs de Lagrange α et β. Cependant, En plus de cette dernière équation, on aura besoin de (α0+β0) autres équations. Les équations manquantes seront les équations des liaisons. Alors, le système d'équations à résoudre est : 82 Chapitre 6 Equations de Lagrange de première espèce 𝑚𝑖 𝑟𝑖 = 𝐹𝑖 + 𝜕𝑓𝛼 𝛼0 𝛼=1 𝜆𝛼 𝜕𝑟 𝑖 + 𝛽0 𝛽=1 𝜇𝛽 𝑔𝛽𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 (6.6) 𝑓𝛼 𝑟𝑖 , 𝑡 = 0, 𝛼 = 1, 𝛼0 (6.7) 𝑔𝛽 𝑖 𝑟𝑖 , 𝑡 ∙ 𝑟𝑖 + 𝑔𝛽 𝑟𝑖 , 𝑡 = 0, 𝛽 = 1, 𝛽0 (6.8) Ce système d'équations différentielles (équations (6), (7) et (8)) constitue les équations de Lagrange de première espèce utilisable pour déterminer non seulement le mouvement 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 (𝑡) d'un système mécanique holonome et non-holonome mais aussi les multiplicateurs de Lagrange α et β. 6.2 Forces réactives On connaissant les valeurs de des multiplicateurs de Lagrange, on peut même déterminer les réactions des liaisons, tel que : 𝑅𝑖 = 𝜕𝑓𝛼 𝛼0 𝜆 𝛼=1 𝛼 𝜕𝑟 𝑖 + 𝛽0 𝛽 =1 𝜇𝛽 𝑔𝛽 𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 (6.9) Cette dernière équation permet aussi d'exprimer le sens physique des multiplicateurs α et β. 6.3 Exercices Exercice 1 Soit une sphère homogène de rayon R qui roule sans glissement sur le plan OXY fixe avec une vitesse angulaire . Déterminer les équations des liaisons, leurs types et le nombre de degré de liberté. Réponse Le mouvement de la sphère est limité par une liaison géométrique (holonome), stationnaire (scléronome) : zG - R = 0 Et par une liaison cinématique 𝑣𝐼 = 𝑣𝐼 +  ∧ 𝑟𝐺𝐼 z 𝑧   G x 𝑣𝐺𝑥 𝑣𝐺𝑦 I 𝑥  y 𝑣𝐺 𝑦 83 Chapitre 6 Equations de Lagrange de première espèce Tel que I est le point de contact sphère-plan, on a alors  ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑅 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 0 𝑣𝐼 = 𝑦 +  ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ∧ 0 = 𝑦 − 𝑅 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 = 0 −𝑅 0  ⋅ 𝑐𝑜𝑠 0 Ce qui ramène à deux équations de liaison cinématique (la vitesse d'un point de contact sphère plan est égale à zéro) : 𝑥 − 𝑅 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 = 0 𝑦 − 𝑅 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 = 0 Qui représentent deux équations des liaisons cinématiques non intégrables stationnaires -nonholonomes-scléronomes). Le nombre de degré de liberté est alors k = 6*1 -1-2=3 Exercice 2 Dans cet exercice, on reprend le système mécanique des deux points du chapitre 3 (paragraphe 3.6.2) soumis seulement à la force de pesanteur. Déterminer la loi de mouvement de chaque point matériel. Réponse Deux liaisons donc sont imposées au système : une y liaison holonome-scléronome d'équation : 𝑕 Forme vectorielle : f(𝑟i) = 0 = 𝑟2 - 𝑟1 =𝑕 h Forme scalaire : (x2-x1)² + (y2-y1)² -h² = 0 𝑽G Nombre des liaisons holonomes est 0 = 1 et une liaison non-holonome-scléronome d'équation : Nombre des liaisons nonholonomes est 0 = 1 m m G m𝑔 𝑟2 𝑟1 m𝑔 x On aura besoin donc de déterminer seulement deux O multiplicateurs de Lagrange  et  Forme vectorielle : 𝑓 𝑟𝑖 , 𝑟𝑖 = 𝑓 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟1 , 𝑟2 = 𝑟2 − 𝑟1 ⋀ 𝑟1 + 𝑟2 = 0 Forme scalaire : 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 + 𝑥1 = 0 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 + 𝑥1 = 0 𝑔𝛽 𝑖 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑡 𝑔𝛽 𝑖 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑡 84 Chapitre 6 Equations de Lagrange de première espèce Le nombre des inconnues à déterminer est donc égal à 6 et qui sont : les lois de mouvement x1, y1, x2 et y2 ainsi que les deux constantes (multiplicateurs de Lagrange) :  et . On aura besoin donc de six équations qui sont comme suit : Les équations de mouvement de Lagrange de première espèce s'écrivent pour chaque points matériel comme suit : 𝛼0 𝑚𝑖 𝑟𝑖 = 𝐹𝑖 + 𝛼=1 𝜕𝑓𝛼 𝜆𝛼 + 𝜕𝑟𝑖 𝛽0 𝜇𝛽 𝑔𝛽 𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 𝛽 =1 𝑚 ∙ 𝑥1 = −2𝜆 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜇 𝑦2 − 𝑦1 (1) m ∙ y1 = −2λ y2 − y1 − μ x2 − x1 − mg (2) m ∙ x2 = +2λ x2 − x1 − μ y2 − y1 (3) m ∙ y2 = +2λ y2 − y1 + μ x2 − x1 − mg (4) Les deux équations restantes sont les équations des liaisons (x2-x1)² + (y2-y1)² -h² = 0 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 + 𝑥1 = 0 (5) (6) A partir des équations (1) à (4), on obtient : m λ = − 2h² x1 x2 − x1 + y1 + g y2 − y1 (7) m (8) m (9) m (10) λ = + 2h² x2 x2 − x1 + y2 + g y2 − y1 μ = − h² x1 y2 − y1 + y1 + g x2 − x1 μ = − h² x2 y2 − y1 + y2 + g x2 − x1 (8)-(7)  x2 + x1 x2 − x1 + y1 + y2 + 2g y2 − y1 = 0 (10)-(9)  x2 − x1 y2 − y1 + y2 − y1 x2 − x1 = 0 85 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce ‫معادالت الغرانج‬ ‫من الصنن الثاني‬ Lagrange's Equations of Second Kind 7.1 Introduction L'approche de la dynamique classique proposée jusqu'ici a été l'application directe des lois de mouvement de Newton. Dans un cette approche, le mouvement d'un solide ou d'une particule peut être prédit simplement en intégrant les équations du mouvement. Cependant, pour les systèmes complexes de particules ou de corps rigides, il n'est pas toujours facile de déterminer les équations de mouvement pour chaque composant. Dans ce chapitre, l'approche lagrangienne de la dynamique classique est développée. Cette approche est basée sur deux propriétés scalaires d'un système, son énergie cinétique et son travail. Cela conduit à une méthode générale pour la résolution des problèmes de la dynamique des systèmes mécaniques qui contiennent un certain nombre de corps rigides connectés entre eux d'une manière ou d'une autre, mais qui peuvent se déplacer l'un par rapport à l'autre. Dans l'approche traditionnelle chaque élément devrait être traité séparément en termes de forces agissant sur elle. Cependant, l'approche lagrangienne permet de considérer un système dans son ensemble. Les équations de mouvement pour un système de masses ponctuelles peuvent souvent être formulées d'une manière sensiblement plus facile lorsque des coordonnées spécifiques sont utilisées. Puis, en refondant d'une manière appropriée le principe du travail virtuel (Chapitre 4), on obtient les équations dites de Lagrange de 2ème espèce. Dans la suite, nous déduirons ces équations où nous nous limiterons à des systèmes avec des contraintes holonomes ou des forces internes qui peuvent être dérivées d'un potentiel (par exemple la force d'un ressort). 7.2 Classification des systèmes mécaniques Les systèmes mécaniques peuvent être classés selon si ils sont holonomes ou non-holonomes, scléronomé (stationnaires) ou rhéonome (non stationnaires), conservatifs ou non-conservatifs. 86 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 7.2.1 Système scléronomé et rhéonome ‫نظاو يستقر زينيا و غير انًستقر زينيا‬ Dans plusieurs systèmes mécaniques, le temps t n'intervient pas explicitement dans les équations reliant les coordonnées généralisées à la position du système (équations (7.1)). Dans ce cas, le système est appelé scléronome. Dans d'autres cas, où le temps intervient explicitement dans les équations des liaisons, ce système est dit rhéonome. 7.2.2 Système conservatif et non- conservatif ‫نظاو ييكانيكي يحافظ و غير انًحافظ‬ Si toute les forces agissant sur le système mécanique sont dérivables d'une fonction de potentiel (ou énergie potentielle) U, le système est classé conservatif. Autres cas, le système est dit non-conservatif. 7.2.3 Système mécanique holonome ‫نظاو ييكانيكي تاو (كايم) انتقيد‬ La plupart des systèmes mécaniques peuvent être considérés comme holonomes. La configuration du système est déterminée par k paramètres indépendants. Soit le mouvement d'un système mécanique de n point matériel mi, le nombre de degré de liberté k=3n-m. la position d'un point i de ce système en coordonnées cartésiennes est: xi = xi (q1, q2,…, qk, t) yi = yi (q1, q2,…, qk, t) (7.1) zi = zi (q1, q2,…, qk, t) Les coordonnées généralisées (q1, q2,…, qk) sont réelles, indépendantes, géométriques et individuelles. Le système de forces appliqué sur le iième point est : 𝐹𝑖 = 𝑋𝑖 𝑖 + 𝑌𝑖 𝑗 + 𝑍𝑖 𝑘 (7.2) 7.3 Déduction des équations de Lagrange ‫استنتاج يعادالت الغرانح‬ On sait que les déplacements virtuels en coordonnées cartésiennes s'écrivent comme suit : ‫يعدالت تحىيم األحداثيات انكرتسية بدالنة األحداثيات انًعًًة‬ et 𝛿𝑥𝑖 = 𝜕𝑥 𝑖 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑗 , 𝛿𝑦𝑖 = 𝑘 𝜕𝑦 𝑖 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑗 𝛿𝑧𝑖 = 𝜕𝑧 𝑖 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 (7.3) En vertu de l'équation générale de la dynamique on écrit : 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑 2 𝑥𝑖 𝑑𝑡 2 − 𝑋𝑖 𝛿𝑥𝑖 + 𝑚𝑖 𝑑2𝑦𝑖 𝑑𝑡 2 − 𝑌𝑖 𝛿𝑦𝑖 + 𝑚𝑖 𝑑 2 𝑧𝑖 𝑑𝑡 2 − 𝑍𝑖 𝛿𝑧𝑖 (7.4) 87 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce On porte dans dernière équation les expressions de δxi, δyi et δzi, on obtient : 𝑛 𝑚𝑖 𝑖=1 𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 𝑗 =1 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑦𝑖 𝛿𝑞𝑗 + 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝑛 − 𝑘 𝑚𝑖 𝑋𝑖 𝑖=1 𝑗 =1 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑦𝑖 𝑑𝑧𝑖 𝛿𝑞𝑗 + 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑥𝑖 𝛿𝑞 + 𝑌𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑧𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝜕𝑦𝑖 𝛿𝑞 + 𝑍𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑧𝑖 𝛿𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 Les transformations du premier terme sont comme suit : On sait que : xi=xi(qj,t), yi=yi(qj,t), zi=zi(qj,t) avec i=1, n et j=1, k Donc : 𝑥𝑖 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 = 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑡 + 𝑘 𝜕𝑥 𝑖 𝑗 =1 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 (7.5) 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑡 On peut aussi écrire : 𝜕𝑞 𝑖 = 𝜕𝑞 𝑗 𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 𝜕𝑞 𝑖 (7.6) 𝑗 D'autre part : 𝜕𝑥𝑖 𝜕 𝜕𝑥𝑖 = + 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 𝑘 𝑗 =1 𝜕𝑥𝑖 𝑞 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑘 2 = 𝜕 𝑥𝑖 + 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 𝑗 =1 2 𝜕 𝑥𝑖 𝜕 𝜕𝑥𝑖 𝑞𝑗 = + 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕 𝑗 =1 avec i=1, n et j,d=1, k 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 = 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑞 𝑗 (7.7) 𝑑𝑡 On remplace dans le 1er terme : 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝑥𝑖 = + 𝑥𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 ⟹ 𝑑𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝑑 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 ⟹ 𝑑𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑗 𝑑 = 𝑑𝑡 1 2 𝜕 𝑥 𝑖2 𝜕𝑞 𝑗 𝜕 − 𝜕𝑞 1 𝑗 𝑥2 2 𝑖 (7.8) Et on porte ces expressions 1er terme +2ème terme = 0, on obtient alors : 𝑘 𝑗 =1 𝑑 𝜕 𝑑𝑡 𝑞𝑗 𝑛 𝑖=1 1 𝑚 𝑥 2 + 𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2 2 𝑖 𝑖 𝑛 − 𝑋𝑖 𝑖=1 𝜕 − 𝑞𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑦𝑖 𝜕𝑧𝑖 + 𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝑛 𝑖=1 1 𝑚 𝑥 2 + 𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2 2 𝑖 𝑖 𝛿𝑞𝑗 = 0 Tel que : 88 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑛 1 𝑖=1 2 𝑚𝑖 𝑇= 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2 = 𝑛 1 2 𝑖=1 2 𝑚𝑖 𝑣𝑖 (7.9) Exprime l'énergie cinétique du système mécanique en mouvement absolu. et 𝑄𝑗 = 𝜕𝑥 𝑛 𝑖=1 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑋𝑖 𝜕𝑞 𝑖 + 𝑌𝑖 𝜕𝑞 𝑖 + 𝑍𝑖 𝜕𝑞 𝑖 est la force généralisée correspondante à la coordonnée 𝑗 𝑗 𝑗 généralisée qj. 𝑑 𝑛 𝑖=1 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑇 − 𝜕𝑞 − 𝑄𝑗 𝛿𝑞𝑗 = 0 (7.10) 𝑗 Et aussi : 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑇 − 𝜕𝑞 = 𝑄𝑗 𝑗 (7.11) est l'équation de Lagrange de 2ème espèce. Tel 𝑄𝑗 est la force généralisée 𝜕𝑟 𝑄𝑗 = 𝐹𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝑗 (7.12) On a obtenu, donc, k (nombre de degré de liberté) équations indépendantes avec k inconnues (qj, j=1,k). Pour déterminer le mouvement d'un système holonome on aura besoin de k = 3n - α0 équations différentielles du type de Lagrange de 2ème espèce. Alors qu'on aura besoin de k= 3n + α0 équation de Lagrange de 1ère espèce. Les avantages des équations de Lagrange de 2ème espèce est que ces équations sont des équations scalaires et pour les écrire on n'aura besoin que des expressions de l'énergie cinétique et du travail virtuel des forces actives en fonction des coordonnées généralisées. Si on pose 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑗 , 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑗 et que 𝑄 = 𝑄1 , 𝑄2 , … , 𝑄𝑗 . La loi de mouvement d'un système holonome à k degré de liberté peut être complètement déterminée par les équations de Lagrange sous la forme : 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝜕𝑇 − 𝜕𝑞 = 𝑄 (7.13) Tel que : T est l'énergie cinétique du système et 𝑄 est le vecteur de forces généralisées correspondantes aux k coordonnées généralisées. L'avantage des équations de Lagrange, qu'elles peuvent être appliquées avec n'importe quelles coordonnées choisies de telle sorte que l'énergie cinétique est aussi exprimée par ces coordonnées choisies. 89 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce En revanche, dans l'approche newtonienne, si les coordonnées ne sont pas cartésiennes, des difficultés apparaissent souvent dans l'évaluation des composantes de l'accélération. Cependant, même en utilisant l'approche lagrangienne, on constate que dans tout problème particulier, certains systèmes de coordonnées donnent lieu à des équations qui sont plus faciles à intégrer que d'autres. Les aptitudes d'utilisation des équations de Lagrange résident dans le choix d'un système de coordonnées approprié. On peut facilement montrer que pour un système simple, tel qu'un système avec une particule ou un seul solide rigide, les équations de Lagrange se réduisent aux équations qui auraient pu être obtenues à partir d'une application plus directe des équations du mouvement. Dans de tels cas, les équations scalaires particulières pour le mouvement peuvent être obtenues aussi facilement par l'une ou l'autre méthode. Cependant, l'avantage pratique des équations de Lagrange peut être observé dans des systèmes plus compliqués qui contiennent plusieurs particules ou corps rigides, en particulier lorsque ceux-ci sont connectés d'une manière ou d'une autre. Dans une application directe des équations de mouvement plus traditionnelles, chaque composant devrait être traité séparément en fonction des forces qui agissent sur lui, et cellesci doivent inclure les forces des liaisons relatives aux autres composantes. Cependant, dans l'approche lagrangienne, le système peut être traité dans son ensemble et seules les forces qui produisent un déplacement virtuel doivent être considérées. 7.4 Energie cinétique exprimée par les coordonnées généralisées ‫انطاقة انحركية بدالنة اإلحداثيات انًعًًة‬ Pour le i ième point matériel de vecteur position : 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 (𝑞𝑗 , 𝑡), l'énergie cinétique est : 𝑇= 1 𝑚 𝑟2 2 𝑖 𝑖 1 𝜕𝑟 𝑖 2 𝜕𝑞 𝑗 = 𝑚𝑖 𝑞𝑗 + 𝜕𝑟 𝑖 2 (7.14) 𝜕𝑡 Après élévation au carré, on aura donc : 1 𝜕𝑟 𝜕 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑖 𝑗 𝜕𝑡 𝑇 = 2 𝑚𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝑞𝑗 . 𝑞𝑑 +𝑚𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝑗 𝑑 ⇒ 𝑇 = 𝑇2 + 𝑇1 + 𝑇0 avec 1 𝑞𝑗 + 2 𝑚𝑖 j,d =1,k 𝜕𝑟 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 + 𝜕𝑟 𝑖 𝜕𝑡 2 1 = 2 𝑎𝑗𝑑 𝑞𝑗 ∙ 𝑞𝑑 + 𝑎𝑗 𝑞𝑑 + 𝑎0 (7.15) Tel que T2, T1 et T0 sont des fonctions respectives de second, de premier et de zéro degré des vitesses généralisées 𝑞𝑗 et que : 90 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑎𝑗𝑑 = 𝑚𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 𝑗 𝜕𝑟 𝑑 𝑎𝑗 = 𝑚𝑖 𝜕𝑞 𝑖 ∙ 𝜕𝑟 𝑖 𝑗 1 𝑎 0 = 2 𝑚𝑖 (7.16) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑟 𝑖 𝜕𝑡 Remarque : L'énergie cinétique d'un système dynamique est donc une fonction quadratique des vitesses généralisées avec des coefficients qui sont fonction des coordonnées généralisées et du temps. Quelques cas particuliers  Si le système est holonome-scléronome : 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 𝑞𝑗 ⇒ 𝜕𝑟 𝑖 𝜕𝑡 = 0 ⇒ 𝑎𝑗 = 𝑎0 = 0 et 𝑇1 = 𝑇0 = 0 Donc l'énergie cinétique de ce système est une fonction homogène quadratique des vitesses 1 généralisées : 𝑇 = 𝑇2 = 2 𝑎𝑗𝑑 𝑞𝑗 ∙ 𝑞𝑑 On introduit la matrice A des coefficients 𝑎𝑗𝑑 comme suit : 𝑎11 𝐴= ⋮ 𝑎𝑘1 ⋯ 𝑎1𝑘 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑘𝑘 L'énergie cinétique sous forme matricielle est alors : 𝑇2 = Tel que 𝑞𝑇 1 𝑇 𝑞 ∙𝐴∙𝑞 2 est le vecteur transposé de 𝑞 et puisque 𝑎𝑗𝑑 = 𝑎𝑑𝑗 donc AT=A  Si 𝑞 = 0 (𝑞1 = 𝑞2 = ⋯ = 𝑞𝑗 = 0 donc T2 = 0 et déterminant de A detA=det(𝑎𝑗𝑑 )≠0  Si detA = 0 ⇒ le système d'équations aura une solution impossible alors que: 𝑇2 = 0 𝑠𝑖 𝑞 = 0. Ce qui impossible. Or on a : 𝑎𝑗𝑑 𝑞𝑑 ∙= 0 et l′on multiple par 𝑞𝑑 𝑎𝑗𝑑 𝑞𝑗 ∙ 𝑞𝑑 = 2 ∙ 𝑇2 = 𝑚𝑖 𝜕𝑟 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑑 2 𝜕𝑟 ce qui implique que 𝜕𝑞 𝑖 𝑞𝑑 = 0 est la matrice des 𝑗 coefficients Jacobien (J), tel que : 𝐽= 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 1 𝜕𝑞 1 𝜕𝑞 2 ⋮ 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑞 1 𝜕𝑞 2 ⋯ ⋱ ⋯ 𝜕𝑥 1 𝜕𝑞 𝑘 ⋮ (7.17) 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑞 𝑘 91 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce Puisque les k colonnes de J sont indépendants, le rang () de la matrice J est : = 𝜕𝑟 Donc le système 𝜕𝑞 𝑖 𝑞𝑑 = 0 aura une seule solution 𝑞1 = 𝑞2 = ⋯ = 𝑞𝑘 = 0 𝑗 7.5 Mouvement des systèmes holonomes dans un champ de force de potentiel ‫حركة نظاو ييكاتيكي تاو انتقيد داخم يدال قىي خهدية‬ Soit un système holonome point matériel i soumis à une force active Fi exercée seulement en fonction de la position du point : Xi=Xi(xi,yi,zi) Yi=Yi(xi,yi,zi) (7.18) Zi=Zi(xi,yi,zi) On dit que le point évolue dans un champ de force Xi,Yi, Zi. Si ce champ de force ne dépend que de la position initiale (P1) et initiale (P2) et non de l'espace parcourue par le point on dit que le champ de force dérive d'un potentiel. Le travail élémentaire de la force Fi est la z P1 différentielle exacte d'une fonction 𝑈(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 , 𝑡) = 𝑈 𝑟𝑖 , 𝑡 ⟹ 𝛿𝐴 = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 𝑑𝑈 On dit que les forces dérivent d'un potentiel car 𝑑𝑈 = 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝜕𝑈 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑈 P2 𝜕𝑧 x 𝜕𝑈 𝐹𝑖 = − = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖 𝑈 = −∇𝑖 𝑈 𝜕𝑟𝑖 y Le travail de cette force active est : 𝑟 𝑊= 𝑟0 𝑟 𝐹𝑖 ∙ 𝑑𝑟𝑖 = − 𝑟0 𝜕𝑈 𝑑𝑟 = 𝑈0 − 𝑈 𝜕𝑟𝑖 𝑖 ⇒ 𝑈0 = 𝑈 + 𝑊 (7.19) On remarque bien que :  La fonction de potentiel U est déterminée par le travail W des forces actives,  Au cours du mouvement du système, une partie du potentiel initial U0 se transforme en travail mécanique W,  La fonction potentielle U exprime l'aptitude du système à faire du travail mécanique. 7.5.1 Energie potentielle du système et forces généralisées ‫انطاقة انكاينة ننظاو و انقىي انًعًًة‬ Pour le même système mécanique précédent, on a 𝑈 𝑟𝑖 𝑞𝑗 , 𝑡 , 𝑡 = 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 92 𝑑𝑧 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce ⇒ 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑖 = = −𝐹𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑟 𝜕𝑈 On sait que la force généralisée est : 𝑄𝑗 = 𝐹𝑖 𝜕𝑞 𝑖 ⇒ 𝑄𝑗 = − 𝜕𝑞 𝑗 𝑗 𝜕𝑈 En forme vectorielle, on écrit alors : 𝑄 = − 𝜕𝑞 (voir au chapitre 4 page ? comment sont déterminées les forces généralisées Par conséquent, l'équation de Lagrange de seconde espèce, dans le cas où toutes les forces ont un potentiel U (dérivent d'un potentiel) sera alors : 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕𝑞 − 𝜕𝑇 𝜕𝑞 =− 𝜕𝑈 (7.20) 𝜕𝑞 Par l'introduction de la fonction : 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 = 𝑇 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 − 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 (7.21) Appelée fonction de Lagrange (le Lagrangien) ou le potentiel cinétique. La fonction 𝑇 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 est l'énergie cinétique du système mécanique. Elle est fonction des coordonnées, 𝑞𝑗 , et des vitesses, 𝑞𝑗 , généralisées ainsi que du temps t. La fonction 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 est l'énergie potentielle du système. Cette fonction dépend uniquement des coordonnées généralisées et du temps. l'équation de Lagrange pour un système mécanique holonome soumis à des liaisons parfaites et toutes les forces actives dérivent d'un potentiel devient comme suit : 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝐿 − 𝜕𝑞 = 0 (7.22) Remarque importante Si les forces 𝐹𝑖 ont une fonction de potentiel, donc le vecteur de forces généralisées 𝑄 aura aussi une fonction de potentiel dans un espace de n dimensions. 7.5.2 Variation de l'énergie mécanique totale durant le mouvement d'un système holonome ‫انتغير في انطاقة انكايهة خالل حركة نظاو تاو انتقيد‬ L'énergie mécanique totale E d'un système mécanique holonome est : 𝐸 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 = 𝑇 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 + 𝑈 𝑞𝑗 , 𝑡 = 𝑇0 + 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑈 (7.23) Sa variation est donc : 93 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑑𝐸 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑑𝑈 = 𝑞𝑗 + 𝑞𝑗 + + 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 𝑑𝑡 Où : 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 = 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑗 𝑑 𝜕𝑇 𝑞𝑗 − 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 ⇒ 𝑑𝐸 𝑑 𝜕𝑇1 𝜕𝑇2 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑑𝑈 = 𝑞𝑗 + 𝑞𝑗 − − 𝑞𝑗 + + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 𝑑𝑡 On considère que : 𝜕𝑇2 𝜕𝑞 𝑗 𝑞𝑗 = 𝜕 12 𝑎 𝑖𝑗 ∙𝑞 𝑖 ∙𝑞𝑗 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑇 𝑞𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 ∙𝑞𝑖 ∙ 𝑞𝑗 = 2𝑇2 et 𝜕𝑞1 𝑞𝑗 = 𝜕 𝑎 𝑗 ∙𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑗 𝑗 𝑞𝑗 = 𝑎 𝑗 ∙𝑞𝑖 = 𝑇1 Si on remplace dans l'équation de Lagrange (7.22) on aura : 𝑑𝐸 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑈 = 2𝑇2 + 𝑇1 − 𝑄𝑗 𝑞𝑗 + + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡 Dans le cas général, les forces généralisées peuvent avoir un potentiel ou non et on écrit : 𝜕𝑈 𝑄𝑗 = − 𝜕𝑞 + 𝑄𝑗∗ (7.24) 𝑗 Tel que 𝑄𝑗∗ sont les forces généralisées non-potentielles, par conséquent : 𝑑𝐸 𝑑 𝑑 𝑑𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑇 =2 𝑇2 + 𝑇1 + 𝑇0 + 𝑈 − 𝑇1 + 2𝑇0 − + 𝑞𝑗 − 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑡 Rappelant que 𝐸 = 𝑇2 + 𝑇1 + 𝑇0 + 𝑈 et sachant que : 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑑 = 𝑑𝑡 𝑇1 + 2𝑇0 + 𝜕𝑈 𝜕𝑡 𝑑𝑈 𝑑𝑡 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝑗 𝜕𝑡 = 𝜕𝑞 𝑞𝑗 + on déduit finalement : 𝜕𝑇 + 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 − 𝜕𝑡 (7.25) Quelques cas particuliers :  Pour un système holonome scléronome, donc T1=T0=0 et T2≠0 par conséquent : 𝑑𝐸 𝜕𝑈 = + 𝑄𝑗∗𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑡  Si les forces actives ont un potentiel inchangé dans le temps (U=U(qj), on dit que le potentiel est conservatif, donc 𝜕𝑈 𝜕𝑡 = 0 alors la variation de l'énergie totale est due à la puissance des forces non-potentielles et non-conservatives, de ce fait : 𝑑𝐸 = 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 𝑑𝑡 Si toutes les forces actives proviennent d'un potentiel indépendant du temps (𝑄𝑗∗ = 0), donc 𝑑𝐸 = 0 ⇒ 𝐸 = 𝑇 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑡 le système est dit conservatif. 94 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 7.6 Forces généralisées non-potentielles )‫(انقىي انًعًًة غير الخهدية‬ En vertu de la relation : 𝑑𝐸 = 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 𝑑𝑡 La puissance des forces non-potentielle peut être nulle, positive ou négative.  Si les forces non-potentielles sont nulles 𝑃𝑗∗ = 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 = 0, on a donc des forces gyroscopiques qui ne modifiernt pas l'énergie totale du système.  Si les forces non-potentielles sont négatives 𝑃𝑗∗ = 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 < 0, les sont des forces de dissipation, car leur présence diminue (consomme) l'énergie totale du système.  Si les forces non-potentielles sont positives 𝑃𝑗∗ = 𝑄𝑗∗ 𝑞𝑗 > 0, ces forces augmentent l'énergie totale. Elles sont appelées forces excitatrices. Généralement, elles sont des forces périodiques en fonction du temps. 7.7 Mise en équation par l'équation de Lagrange Les équations de Lagrange de première espèce pour n point matériels et 0 liaisons nonholonomes s'expriment aussi en fonction de l'énergie cinétique (T) du système mécanique par la manière suivante : Les  0 équations des liaisons holonomes ou non-holonomes ont la forme : k j=1 Aβj dq j + Aβ dt = 0 Équivalentes à : k j=1 Aβj q j + Aβ = 0 (Équations des liaisons non-holonomes) avec  =1,  0 Tel que : 𝐴𝛽𝑗 = 𝜕𝑟 𝑖 𝑘 𝑗 =1 𝑎𝛽𝑗 𝜕𝑞 , 𝑗 et 𝐴𝛽 = (7.26) 𝜕𝑟 𝑖 𝑘 𝑗 =1 𝑎𝛽𝑗 𝜕𝑡 Notons que les équations holonomes ayant la forme : 𝑓(𝑟𝑖 , 𝑡) = 𝑓 𝑞𝑗 , 𝑡 = 0 (voir chapitre ? page ) peuvent écrite sous une forme différentielle : 𝜕𝑓 𝑗 𝜕𝑞 𝑗 𝑑𝑞𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡 = 0 (7.27) Evidemment, on doit avoir 0 < k. les équations (10) peuvent être intégrables ou non. Si elles ne sont intégrables, les liaisons (les contraintes) sont dites non-holonomes (non-intégrables). Autrement, elles sont holonomes (intégrables). Dans les deux cas, les équations de Lagrange s'expriment : d ∂T dt ∂q j d ∂T dt ∂q j ∂T ∂T − ∂q = Q j + μ1 Aβj + μ2 Aβj + ⋯ avec j =1, k j − ∂q = Q j + μ1 Aβj + μ2 Aβj + ⋯ = Q j + j β0 β=1 μβ Aβj (7.28) 95 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce La détermination du mouvement est à réaliser par la résolution d'un système d'équations constitué des équations de mouvement de Lagrange (11) et des équations des liaisons (10). Ce système contient (k + m) équations différentielles. Avec m= nombre des liaisons holonomes et non-holonomes (m=0 +  0). Ces équations différentielles sont de second, premier et zéro ordre Les inconnues du système d'équations (10) et (11) sont les k coordonnées généralisées et les constantes  ( = 1 à m) sont appelées multiplicateurs de Lagrange. ‫يضاعفات الغرانح‬ Si toutes les forces dérivent d'un potentiel, ce système d'équations s'écrit en terme du lagrangien comme : Le lagrangien est exprimée : 0 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , , 𝑡 = 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 + =1  (𝑡) 𝑓 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 Et l'équation de mouvement de Lagrange est : d dt ∂L ∂q j ∂L − ∂q = μ1 Aβj + μ2 Aβj + ⋯ = j β0 β=1 μβ A βj (7.29) Remarque importante : Les équations de mouvement (12) avec les équations des liaisons (10) constituent les équations de Lagrange applicables pour la détermination de mouvement d'un système holonome ou non-holonome. 7.8 Quantités de mouvement généralisées (Generalized Momenta or generalized impulse) )‫(كمية الحركة المعممة‬ On définie la quantité de mouvement généralisée, 𝑝𝑗 , associée à la coordonnée généralisée, 𝑞j , par : ∂T 𝑝𝑗 = ∂𝑞 j (7.30) Cette quantité est aussi appelée moment conjugue. Si le système est conservatif, cette quantité est aussi, en fonction du lagrangien L = T - U et égale à : 𝑝𝑗 = ∂L ∂𝑞 j (7.31) Remarque : On note ici que si la coordonnée généralisée, 𝑞j , est un déplacement donc 𝑝𝑗 est une quantité de mouvement équivalente à mv. Si 𝑞j est un angle, donc 𝑝𝑗 est un moment cinétique (angulaire) équivalent à I. 96 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 7.9 Intégrale premier des équations de Lagrange ‫انتكايم األول نًعادالت الغرانح‬ Dans certains cas, parmi les équations de mouvement ont une forme de première intégrale simple. Généralement, ce-ci peut être interprété physiquement. Les intégrales expriment les composantes du moment linéaire, des composantes du moment angulaire et de l'énergie. Dans l'approche lagrangienne, les composantes de la quantité de mouvement généralisée peuvent inclure des composantes de moment linéaire et angulaire selon le choix des coordonnées généralisées. Or, les équations de Lagrange indiquent que la variation des composantes de la quantité de mouvement généralisée est égale aux composantes de force généralisées correspondantes qui doivent inclure les forces virtuelles qui résultent du choix des coordonnées. Pour un système holonome à k degrés de liberté, les équations de Lagrange peuvent être écrites sous l'une ou l'autre forme suivante : ∂T De l'équation (7.20) on a : 𝑝𝑗 = 𝑄𝑗 + ∂𝑞 , avec j = 1, k 𝑗 (7.32) ∂L Et de l'équation (7.22) on a aussi : 𝑝𝑗 = ∂𝑞 (7.33) 𝑗 On remarque bien que si le deuxième membre de ces deux équation égal à zéro, la quantité de mouvement généralisée est donc constante. On peut alors dire que : Si un système holonome de k degrés de liberté soit :  L'un des k coordonnées généralisée n'apparait pas explicitement dans l'expression de l'énergie cinétique et la force généralisée correspondante est nulle. Ou bien :  La fonction lagrangienne (L) qui caractérise le système ne contient pas explicitement un des k coordonnées généralisées, donc, la quantité de mouvement généralisée correspondante est constante. On remarque bien que ce résultat est facile à appliquer et peut immédiatement indiquer les constantes de la quantité de mouvement (moment linéaire) et du moment cinétique (angulaire) qui se produisent dans le système. Cependant, on peut également voir que ce résultat dépend, dans une certaine mesure, d'un choix approprié de coordonnées généralisées. Ceci illustre encore le fait qu'une bonne application de l'approche lagrangienne réside dans le choix adéquat des coordonnées appropriées. 7.10 Exemple de traitement d'un système non holonome ‫يثم تبياٌ يعاندة نظاو غير يقيد‬ Considérer le mouvement de roulement d'un disque mince uniforme, de rayon a, sur un plan horizontal rugueux. On peut supposer que, en dehors de la force gravitationnelle, les seules 97 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce forces externes agissant sur le disque sont les forces réactionnelles du plan qui agissent au point de contact. Dans le mouvement de roulement, le point de contact est instantanément stationnaire, et les forces agissant à ce point ne fonctionnent donc pas. Il s'ensuit que le mouvement de roulement considéré ici est conservateur. Il convient ici d'utiliser les coordonnées angulaires d'Euler , ,  pour décrire l'orientation du disque, et les coordonnées cartésiennes x y, z pour définir la position de son centre de masse. L'angle  est l'inclinaison du disque par rapport au plan horizontal,  définit la rotation angulaire autour de la verticale et  la rotation angulaire autour de l'axe de symétrie qui est perpendiculaire au plan du disque. Ces angles sont illustrés à la figure suivante. Les six coordonnées définies ci-dessus ne sont pas clairement indépendantes. Pour commencer, le fait que le disque roule sur un plan horizontal implique que la position du centre de masse du disque par rapport au plan horizontal est : z = a sin (a)    Figure Disque mince roulant sur un plan horizontal. C'est une liaison holonome donnant la relation entre la coordonnée z et la coordonnée . En fonction des cinq autres coordonnées, le lagrangien du disque est alors 𝐿 𝑥, 𝑦,  , , , 𝑥 , 𝑦,  , , , 𝑡 = 𝑇 𝑥, 𝑦,  , , , 𝑥 , 𝑦,  , , , 𝑡 − 𝑈 𝑥, 𝑦,  , , , 𝑡 ⇒ 𝐿 𝑥, 𝑦,  , , , 𝑥 , 𝑦,  , , , 𝑡 = + 1 𝑚 𝑥2 + 𝑦2 2 + 11 11 𝑚𝑎² 1 + 4𝑐𝑜𝑠²  + 𝑚 ∙ 𝑎²𝑠𝑖𝑛² ² 24 24 1 𝑚 ∙ 𝑎² ² + 𝑐𝑜𝑠 ² − 𝑚𝑔 ∙ 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4 En tenant compte que le disque roule sans glissement, Il est commode de définir  comme l'angle entre le plan vertical contenant l'axe de symétrie du disque et le point de contact, et le 98 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce plan vertical y = 0. En considérant le mouvement du point de contact, on peut alors voir que la condition de roulement conduit aux deux équations de contrainte suivantes : 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑦 − 𝑎 𝑠𝑖𝑛 ∙  = 0 (b) 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 ∙ 𝑦 − 𝑎 ∙  − 𝑎 𝑐𝑜𝑠 ∙  = 0 (c) Ces deux équations ne sont intégrables et donc elles constituent deux équations des liaisons non-holonomes. En tout on a donc 3 liaisons (une holonome, équation (a) et deux nonholonomes, équations (b) et (c)), ce qui rend le système à trois (03) degrés de liberté. Choisissant les coordonnées généralisées : q1 = x, q2 = y, q3 = , q2 =  et q2 =  . A partir des équations des liaisons et sachant que =1 à 5 et j = 1 à 2 , les coefficients Aj sont : A11 = cos, A12 = sin , A13 = -a sin, A13 = 0 et A15 = 0 A21 = sin, A22 = -cos , A23 = 0, A23 = -a cos et A25 = 0 Puisque nous avons deux liaisons non-holonomes, nous avons donc deux multiplicateurs de Lagrange 1 et 2. Les équations de mouvement de Lagrange s'écrivent : En vertu de sa forme générale : d ∂𝐿 ∂𝐿 − = μ1 Aβj + μ2 Aβj + ⋯ = d𝑡 ∂𝑞j ∂𝑞𝑗 β0 μβ Aβj β=1 On a : d ∂𝐿 d𝑡 ∂𝑥 d ∂𝐿 d𝑡 ∂𝑦 d ∂𝐿 2 d ∂𝐿 d 1 − ∂  = d𝑡 4 (e) 𝑚𝑎² 1 + 4𝑐𝑜𝑠²  + 𝑚𝑎²𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛 ∙ ² − 1 4 𝑚𝑎²𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠 ∙ ² + 𝑚𝑎²𝑠𝑖𝑛 ∙  ² + 𝑐𝑜𝑠 + 𝑚𝑔𝑎cos𝜃 = −𝜇1 𝑎sin𝜃 ∂𝐿 d𝑡 ∂  d (d) − ∂𝑦 = 𝑚𝑦 = 𝜇1 sin − 𝜇2 cos ∂𝐿 d𝑡 ∂  1 ∂𝐿 − ∂𝑥 = 𝑚𝑥 = 𝜇1 cos + 𝜇2 sin ∂𝐿 d𝑡 ∂  ∂𝐿 d 1 ∂𝐿 d 1 − ∂  = d𝑡 − ∂  = d𝑡 1 𝑚𝑎²𝑠𝑖𝑛² ∙  + 2 𝑚𝑎²𝑐𝑜𝑠 ² + 𝑐𝑜𝑠 4 2 𝑚𝑎² ² + 𝑐𝑜𝑠 (f) = −𝜇2 𝑎cos𝜃 = −𝜇2 𝑎 (g) (h) Le système d'équations différentielles à résoudre contient donc ces cinq équations de Lagrange (d) à (h) plus les équations des liaisons (b) et (c). Cependant, on a seulemeny trois degré de liberté, sept équations pour sept variables à déterminer : x, y, ,  ,  , 1 et 2. Des équations de mouvement (d) et (e), on aura : 𝜇1 = 𝑚 𝑥 cos + 𝑦sin (i) 𝜇2 = 𝑚 𝑥 sin − 𝑦cos (j) 99 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce On remarque bien que ce résultat montre, dans ce cas étudié, la signification physique des multiplicateurs de Lagrange 1 et 2 qui représentent des forces de réaction du plan contre le disque selon la direction horizontale et tangentielle au point de contact disque-plan. La dérivation des équations des liaisons permet l'élimination des variables x et y, on écrit : 3 =  + 𝑐𝑜𝑠 On remplace dans les équations (i) et (j), on obtient : 𝜇1 = 𝑚𝑎 sin + ² cos + 3  (k) 𝜇2 = 𝑚𝑎 3 −   sin (l) On remplace ces deux dernières équations dans les trois équations restantes de mouvement (f), (g) et (h), on aboutit à : 𝑔 5 = 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠 ∙ ² − 6𝑠𝑖𝑛 ∙ 3 ∙  − 4 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 ∙  = 2 3 −  ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙  33 = 2𝑠𝑖𝑛 ∙  ∙  Ces trois équations décrivent le mouvement du système en fonction des trois variables ,  et . Il apparait, de ce résultat, que la solution analytique de ces équations n'existe pas. Les méthodes numériques de résolution par des techniques d'approximation peuvent être utilisées pour résoudre ce système d'équation. 7.11 Equations de Lagrange avec les forces impulsives ( ‫الدفعية‬ ‫)يعادالت الغرانج يع القوة‬ Une force grande force appliquée avec une durée très courte est considéré impulsive. Puisque sa durée est tellement faible qu'elle ne change pas la position du système, autrement dit, la variation des coordonnées est négligeable. On suppose qu'un système est soumis à une force impulsive, on a alors : lim∆𝑡→∞ 𝑡+∆𝑡 𝑡 𝐹(𝑡 ′ )𝑑𝑡′ = 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑡 = 𝑃𝑣 (7.34) Tel que Fv est la force impulsive et Pv est l'impulse. Puisque la durée d'impact de la force est très courte, et que le déplacement reste constant. Donc le lagrangien est présentée seulement par l'énergie cinétique d'une courte durée tel que 𝜕𝑇/𝜕𝑞 est aussi négligeable alors que on peut considérer sur les vitesses varient instantanément. On écrit alors : 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑗 = 𝑄𝑗 (7.35) Après intégration de cette équation de Lagrange de t à t + t on obtient : 100 Chapitre 7 ∆ 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑗 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑡+∆𝑡 𝑄𝑗 𝑡 = 𝑑𝑡 (7.36) D'où on peut dire que la variation de la quantité de mouvement généralisée est égale à l'impulse généralisée. C'est-à-dire : (Quantité de mouvement généralisée) = impulse généralisée 7.13 Exercices Exercice 1 Choix des Coordonnées généralisées Donner l'ensemble des coordonnées généralisées nécessaires pour déterminer complètement le mouvement pour les cas suivants : y x m x O l1 b a 1 x (x1,y1) m1 l2 2 y a) Particule se déplace sur une b) Cylindre sur un plan incliné ellipse (x2,y2) m2 c) Double pendule Figure 7.1 Systèmes mécaniques. Réponse a) la particule m sur l'ellipse a les coordonnées (x, y). Cependant, on a l'équation de l'ellipse : 𝑥2 𝑎2 𝑦2 + 𝑏 2 = 1 et à partir de cette équation on remarque que l'une des coordonnées (x ou y) est déterminer en fonction de l'autre. Donc, une seule coordonnée généralisée à adopter : soi x ou y. les équations de transformation. D'une autre manière ces coordonnées peuvent être transformées par x = cos  et y = sin . La coordonnée  est une coordonnée généralisée qui détermine complètement la position de la particule. b) la position du cylindre sur le plan incliné peut être complètement déterminée par la distance x du centre de masse et l'angle de rotation . Si on néglige le glissement, la distance x est reliée à la rotation du cylindre . Donc, la coordonnée généralisée est soit x ou  . Si il y a glissement, deux coordonnées généralisées sont nécessaires x et  . c) Deux coordonnées 1 et 1 déterminent complètement les positions des deux masses m1 et m2 et peuvent être considérées comme coordonnées généralisées. 101 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce Exercice 2 Equations de transformation coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées généralisées Pour le système mécanique de la figure 7.1-c, écrire les équations de transformation des coordonnées et des déplacements virtuels. On a : Pour les coordonnées du point matériel m1 x1 = l1 cos 1 et y1 = l1 sin 1 Les déplacements virtuels sont : 𝛿𝑥1 = 𝜕𝑥 1 𝛿1 = −𝑙1 𝑠𝑖𝑛1 et 𝛿𝑦1 = 𝜕 1 Pour les coordonnées du point matériel m2 𝜕𝑦1 𝜕 1 𝛿1 = 𝑙1 𝑐𝑜𝑠1 x2 = l1 cos 1 + l2 cos 2 et y2 = l1 sin 1 + l2 sin 2 Les déplacements virtuels sont : 2 𝛿𝑥2 = 𝑗 =1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝛿𝑞𝑗 = 𝛿1 + 𝛿 == −𝑙1 𝑠𝑖𝑛1 − 𝑙2 𝑠𝑖𝑛2 𝜕𝑞𝑗 𝜕 1 𝜕2 2 Et 2 𝛿𝑦2 = 𝑗 =1 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝛿𝑞𝑗 = 𝛿1 + 𝛿 == 𝑙1 𝑐𝑜𝑠1 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠2 𝜕𝑞𝑗 𝜕1 𝜕 2 2 Exercice 3 Classification des systèmes mécaniques Classer les systèmes mécaniques suivants s'ils sont : 1) scléronomes ou rhéonomes, 2) holonomes ou non-holonomes, 3) conservatifs ou non-conservatifs. a) Une sphère roule à partir du haut d'une sphère fixe : système scléronome (la liaison ne dépend pas explicitement du temps. Non-holonome, car la sphère qui roule quitte la sphère fixe à un certain point. Système conservatif, car la seul force est la force de gravitation qui dérive d'une fonction de potentiel. b) Un cylindre roule sans glissement sur un plan rugueux et incliné d'un angle  : scléronome, holonome et conservatif. c) Une particule déplace sur une surface intérieure avec un coefficient de frottement  d'un paraboloïde de révolution ayant son axe vertical et le sommet vers le bas : scléronome, holonome et non-conservatif (existence d'une force non-conservative qu'est la force de frottement). Exercices 4 Equations de Lagrange (utilisation de l'énergie cinétique) Soit un cylindre homogène A, de masse m1 et de rayon r enroulé et suspendu par un fil flexible, inextensible et de masse négligeable. L'autre extrémité de ce fil est liée à un cube B 102 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce de mase m2 pouvant se déplacer sur un plan horizontal (Figure ci-dessous). La poulie en C n'a pas de masse. En supposant qu'à l'instant initial le système se trouve au repos. A l'aide des équations de Lagrange de 2ème espèce, déterminer : a) L'accélération angulaire du cylindre, les accélérations des deux mases et le coefficient de frottement nécessaire au mouvement de la masse m 2. b) la tension du fil. m2gf B C m2 r x m1 A y φ m1g Réponse Le cube B se déplace en translation selon l'axe Ox et le cylindre A réalise une rotation φ plus une translation y selon l'axe Oy. Soient, donc, x le déplacement de la masse m2 et y le déplacement de la masse m1. Ces déplacements constituent les coordonnées généralisées q1=x et q2=y. Le déplacement du cylindre est y=x+rφ et sa vitesse est 𝑦 = 𝑥 + 𝑟𝜑 et celle du cube B est 𝑥 . L'énergie cinétique du système est alors : 1 1 1 T(x,y,𝑥 , 𝑦, t)=T1(Cylindre A) + T2(Cube B) = 2 𝑚1 𝑦 2 + 2 𝐽1 𝜑 2 + 2 𝑚2 𝑥 2 1 Avec 𝐽1 = 2 𝑚1 𝑟 2 est le moment d'inertie du cylindre par rapport à son axe de rotation, x, y, 𝑥 , 𝑦 sont les coordonnées et les vitesses généralisées et 𝜑 = 𝑦 −𝑥 𝑟 est sa vitesse angulaire. L'énergie cinétique sera donc : T(𝑥, 𝑦, 𝑥 , 𝑦, 𝑡) = 1 1 𝑚1 𝑦 2 + 𝑚1 𝑦 − 𝑥 2 4 2 1 + 𝑚2 𝑥 2 2 Le système est soumis à la force de pesanteur du cylindre (m1g) et à la force de frottement due à la liaison plan-cube B (m2g.f). Les travaux virtuels de ces forces sont donc : 2 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴1 𝑃1 + 𝛿𝐴2 𝑃2 = 𝑄𝑗 𝛿𝑞𝑗 = 𝑄1 𝛿𝑥 + 𝑄2 𝛿𝑦 = −𝑚2 𝑔𝑓𝛿𝑥 + 𝑚1 𝑔𝛿𝑦 𝑗 =1 On obtient donc : 𝑄1 = −𝑚2 𝑔𝑓 et 𝑄2 = 𝑚1 𝑔 Les équations de mouvement de Lagrange du système sont : 103 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑑 1 − = 𝑄1 ⇛ 𝑚2 𝑥 − 𝑚1 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑞1 𝜕𝑞1 𝑑𝑡 2 = −𝑚2 𝑔𝑓 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑑 1 − = 𝑄2 ⇛ 𝑚1 𝑦 + 𝑚1 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑞2 𝜕𝑞2 𝑑𝑡 2 = 𝑚1 𝑔 Soit : 1 1 𝑚1 + 𝑚2 𝑥 − 𝑚1 𝑦 = −𝑚2 𝑔𝑓 (1) 2 2 𝑥 − 3𝑦 = −2𝑔 (2) La résolution des deux équations donne les accélérations comme suit : 𝑥= 𝑚 1 −3𝑚 2 𝑓 𝑚 1 +3𝑚 2 𝑔 et 𝑦 = 𝑚 1 +2𝑚 2 −𝑚 2 𝑓 𝑚 1 +3𝑚 2 𝑔 L'accélération angulaire du cylindre sera donc : 𝜑 = 𝑦 −𝑥 𝑟 = 2𝑚 2 1+𝑓 𝑚 1 +3𝑚 2 𝑟 𝑔 Pour le mouvement du cube B, parce que le système était fixe à l'instant initial, il est donc nécessaire que son accélération soit : 𝑥 > 0 donc 𝑥 = 𝑚 1 −3𝑚 2 𝑓 𝑚 1 +3𝑚 2 𝑔 > 0 ⟹ 𝑚1 − 3𝑚2 𝑓 > 𝑚 0 ⟹ 𝑓 < 3𝑚1 2 La tension du fil, K, est déterminé on utilisant la loi du mouvement du cylindre A (ou du cube B), on a donc : 𝑚1 𝑦 = 𝑚1 𝑔 − 𝐾 ⟹ 𝐾 = 𝑚1 𝑚2 1 + 𝑓 𝑔 𝑚1 + 3𝑚2 Exercices 5 Equations de Lagrange (utilisation de l'énergie cinétique) On considère un système mécanique constitué de deux roues identiques (1) et (2), de rayon r, montées sur le même arbre (3) de masse négligeable autour duquel, elles peuvent tourner sans frottement. Les deux roues sont fixées aux deux extrémités d'un ressort d'élasticité c0 roulent sans glissement sur un plan horizontal (Figue dans la réponse). 1. Trouver l'énergie cinétique du système, 2. Ecrire les équations du mouvement et déterminer le mouvement du système avec les conditions initiales suivantes: à t = 0, 1 = 0, 2 = 0, 1 = 0, 2 = 0. Tel que : 1 et 2 sont les angles de rotation des roues (1) et (2) respectivement. Les deux roues ont les mêmes moments d'inertie principaux centraux par rapport aux axes de révolution (axe x) et radial (axe z ou axe y) qui sont : Ix et Iy =Iz. 104 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce Réponse z 1. L'énergie cinétique du système, l Puisque les deux roues sont identiques et écrire les deux matrices d'inertie dans le repère Oxyz de ces roues comme suit : 𝐼𝐺1 = 𝐼𝑥 𝐼𝑧 𝐼𝑥 G2 O 1 m 𝐼𝐺2 = 𝐼𝑧 𝐼𝑧 G1 3 et 2  1 symétriques par rapport aux axes x et z, on peut 2 x m 𝐼𝑧 Dans le même repère Oxyz, les vitesses de rotations sont : Roue 1 : 1 = 1  et Roue 2 : 2 = 2  Tel que 1 et 2 sont les vitesses de rotation des deux roues par rapport à l'axe x et  est la vitesse de rotation par rapport à l'axe z (mêmes vitesses de rotation pour les deux roues). Le système mécanique a deux degrés de liberté 1 et 2 qui représentent respectivement la rotation des roues 1 et 2 par rapport à l'axe x, (q1=1 et q2=2). On pose 𝑉𝐺1 et 𝑉𝐺2 vitesses de centre de masse des roues 1 et 2 tel que : = 𝑉𝐺2 − 𝑉𝐺1 𝑟 = 2 − 1 𝑙 𝑙 On obtient donc : 1 1 = 𝑟 𝑙 2 − 1 et 1 = 2 𝑟 𝑙 2 − 1 L'énergie cinétique du système s'écrit alors : 𝑇 = 𝑇𝑅𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑜𝑢𝑒 1 + 𝑇𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑜𝑢𝑒 1 + 𝑇𝑅𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑜𝑢𝑒 2 + 𝑇𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑜𝑢𝑒 2 𝑇 1 , 2 , 1 , 2 , 𝑡 = 1 1 1 1 𝑇 𝑇 1 𝐼𝐺1 1 + 𝑚𝑉𝐺1 2 + 2 𝐼𝐺2 2 + 𝑚𝑉𝐺2 2 2 2 2 2 𝑇 1 , 2 , 1 , 2 , 𝑡 1 = 2 2 𝐼𝑥 1 + 2 2 𝑟 +2 𝑙 2 𝐼𝑧 2 −  1 2 1 + 𝑚𝑟² 1 2 + 2 2 2 105 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑇 1 , 2 , 1 , 2 , 𝑡 = 1 𝑟 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 1 2 + 2 2 + 2 𝑙 2 2 − 1 2 2. Equations du mouvement et déterminer le mouvement du système avec les conditions initiales On a les équations de Lagrange : 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕 1 𝑑 𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕 2 𝜕𝑇 𝜕𝑈 − 𝜕  = 𝑄1 = − 𝜕  1 𝜕𝑇 𝜕𝑈 − 𝜕  = 𝑄2 = − 𝜕  2 (a) 1 (b) 2 Tel que l'énergie potentielle élastique du ressort due aux différences de rotation des deux roues U est : 2 − 1 𝑈= 2 2𝑐0 On développe dans l'équation de mouvement, on aura : Equation (a) 𝑑 𝜕𝑇 𝑑 = 𝑑𝑡 𝜕1 𝑑𝑡 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 1 − 2 𝑟 𝑙 2 = 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 1 − 2 𝑟 𝑙 2 𝐼𝑧 2 −  1 𝐼𝑧 2 −  1 𝜕𝑇 =0 𝜕1  − 1 𝜕𝑈 =− 2 𝜕1 𝑐0  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 1 − 2 𝑟 𝑙 2 𝐼𝑧 2 −  = 1 2 − 1 𝑐0 Equation (b) 𝑑 𝜕𝑇 𝑑 = 𝑑𝑡 𝜕1 𝑑𝑡 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 2 + 2 𝑟 𝑙 2 = 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 2 + 2 𝑟 𝑙 2 𝐼𝑧 2 −  1 𝐼𝑧 2 −  1 𝜕𝑇 =0 𝜕2  − 1 𝜕𝑈 =+ 2 𝜕2 𝑐0 106 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑟 𝑙  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 2 + 2  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² + 2 −2 𝑟 2 𝑙 𝑟 2 𝑙 𝑟 2 𝐼𝑧 1 − 2 𝑙 𝑙 𝐼𝑧 2 −  =− 1 𝐼𝑧 2 − 𝑟 2 𝐼𝑧 1 + 𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² + 2 2 2 −1 𝑐0 =0 𝑐0 2 −1 𝐼𝑧 2 + 2 − 1 𝑐0 (c) =0 (d) Si on réalise les deux opérations : Equation (c) + équation (d)  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² 1 + 2 = 0  1 + 2 = 0 Equation (c) - équation (d)  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² + 4 𝑟 2 𝑙 1 − 2 − 2 𝐼𝑧 2 −1 𝑐0 =0 Utilisant maintenant les conditions initiales : à t = 0, 1 = 0, 2 = 0, 1 = 0, 2 = 0. On a donc : 1 + 2 = 0  1 + 2 = 0t  2 = 0t - 1 et 2 = −1 On remplace dans l'une des équations (c) ou (d), on aura : dans 𝑐  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² + 2  𝐼𝑥 + 𝑚𝑟² + 4 Tel que : 𝐴² = 𝑟 𝑙 𝑟 𝑙 2 2 𝑟 𝑙 𝐼𝑧 1 + 2 𝐼𝑧 1 + 2 𝐼𝑧 1 − −1 + 0 𝑡 − 1 𝑐0 =0 2 0 𝑡 1 1 =  1 + 𝐴²1 = 𝐴²0 𝑡 𝑐0 𝑐0 2 2 𝐼𝑥 +𝑚𝑟 ²+4 𝑟 2 𝐼𝑧 𝑙 𝑐0 C'est une équation différentielle de 2ème degré avec second membre non nul. La solution totale est égale à la solution homogène + la solution particulière (revoir la méthode de résolution des équations différentielles de 2ème degré). La solution trouvée est : 1 1 = 2 0 𝑡 − = 𝑟 𝑙 0 1 𝐴 sin𝐴𝑡 et 2 = 2 0 𝑡 + 2 − 1 = 0 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑡 et  = 𝑟 0 𝐴 sin𝐴𝑡 0 𝑟 𝐴 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑡 Exercice 6 Equation de Lagrange 2ème espèce pour un système non-holonome Une tige AB de masse M glisse sur le plan Oxy de telle manière que le vecteur de vitesse de centre de masse G de la tige reste constamment parallèle à la tige AB. 1. Déterminer le mouvement de la tige, 2. Calculer la réaction du plan. 107 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce Réponse Une tige sur un plan peut avoir au maximum 3 degrés de y 𝑽G liberté. Puisque on une seule liaison non-holonome (0 =1). G La tige a 3 degrés de liberté : deux translations selon les deux  axes Ox et Oy et une rotation . Deux coordonnées généralisées qui sont : O x q1 = xG, q2 = yG et q3 = L'énergie cinétique, T, de la tige est : 1 1 𝑇 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 , 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 , 𝑡 = 𝑀 𝑥𝐺2 + 𝑦𝐺2 + 𝐼𝐺 𝜑² 2 2 Et puisque 𝑉𝐺 ∥ 𝐴𝐵 Et 𝑉𝐺 = 𝑥𝐺 𝑖 + 𝑦𝐺 𝑗 et 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝜑𝑗 Donc : 𝑉𝐺 ∧ 𝐴𝐵 = 0 ce qui ramène à 𝑥𝐺 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑦𝐺 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0 c'est l'équation scalaire de la liaison non-holonome. Sachant que le nombre des coordonnées généralisées est k = 3 et le nombre des liaisons nonholonomes est 0 =1 et comparant cette équation avec la forme générale de l'équation d'une liaison non-holonome (équation 11), on a donc : 𝐴𝛽𝑗 = 𝐴11 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝐴12 = −𝑐𝑜𝑠𝜑 , 𝐴13 = 0 et Qj = 0 Les équations de Lagrange sont donc : d ∂T dt ∂x G ∂T d ∂T dt ∂𝑦 G − ∂x − Q1 + μ A11 = 0 (a) G ∂T − ∂𝑦 − Q 2 + μ A12 = 0 (b) G ∂T ∂𝑥 G d = M𝑥G ⇒ dt 𝑀𝑥G = 𝑀𝑥G , ∂T ∂T ∂𝑦 G d et ∂𝜑 = 𝑀𝜑 ⇒ dt 𝑀𝜑 ∂T ∂x G = 0, ∂T ∂y G d = 𝑀𝑦G ⇒ dt 𝑀𝑦G = 𝑀𝑦G = 𝑀𝜑 ∂T = 0 et ∂φ = 0 Avec : Q1 et Q2 sont les forces généralisées correspondantes aux coordonnées généralisées q1 = xG et q2 = yG respectivement. Ces deux forces généralisées sont égales à zéro. On remplace dans les équations (a) et (b) on aura donc : Pour xG on a : 𝑀𝑥G − 0 − 0 + μ A11 = 𝑀𝑥G + μ sinφ = 0 (a) Pour yG on a : 𝑀𝑦G − 0 − 0 − μ A12 = 𝑀𝑦G − μ cosφ = 0 (b) Pour  on a : 𝐼𝐺 𝜑0 − 0 − 0 − μ 0 = 𝐼𝐺 𝜑0 = 0 (c) 𝑥𝐺 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑦𝐺 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0 (d) 108 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce De l'équation (c), on a : 𝜑 = 𝜑𝑡 + 𝜑0 On prend : (a) / (b), on trouve que 𝑥G 𝑦G sin φ = − cos φ et avec (d) : 𝑦G sin φ 𝑥 𝑦 = cos φ  𝑦 G = − 𝑥 G 𝑥G G G Equations (a), (b) et (d) :  𝑥G ∙ 𝑥G + 𝑦G ∙ 𝑦G = − μ 𝑥G ∙ sinφ − 𝑦G ∙ cosφ = 0 𝑀 (e) On a le vecteur d'accélération du centre G des masses 𝑎𝐺 ⊥ 𝑉𝐺 Des équations (d) et (e) : 𝑥G = 𝑣0 cos𝜑 , yG = 𝑣0 sin𝜑 et 𝑣0 = constant D'où : 𝑥G = 𝑦G = 𝑣0 0 𝑣0 0 sin 𝜑 − sin𝜑0 + 𝑥G0 cos 𝜑 − cos𝜑0 + 𝑦G0 𝑣 𝑣 Par conséquent : 𝑥c = 𝑥G0 − 0 sin𝜑0 et 𝑦c = 𝑦G0 + 0 cos𝜑0 0 0 2. Calcul de la réaction du plan. Des équations (a) et (b) on a : 𝑀𝑥G = −μ sinφ et 𝑀𝑦G = μ cosφ  μ = 𝑀𝑣0 0 Et la réaction du plan sur la tige est : 𝑹 = −𝑀𝑣0 0 sin𝜑0 𝑖 + 𝑀𝑣0 0 cos𝜑0 𝑗 + 𝑀g𝑘 Exercice 7 (Equation de Lagrange 2ème espèce pour un système non-holonome) Une particule de masse m se déplace sans frottement sous z l'influence de la gravitation sur la surface intérieure d'un paraboloïde de révolution x² + y² = az qui considérée lisse (pas de frottement) (Figure ci-contre). Trouver l'équation m de mouvement. z Réponse Les coordonnées et les vitesses cartésiennes de la particule y en fonction des coordonnées et des vitesses cylindriques (, , z) sont : x =  cos   𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙  x y =  sin   𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 z=z𝑧= 𝑧 La vitesse de la particule est exprimée comme : 109 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑉² = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Tel que : 𝑥 2 = 𝜌²𝑐𝑜𝑠²𝜙 + ²𝜙²𝑠𝑖𝑛²𝜙 − 2𝜌 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑦 2 = 𝜌²𝑠𝑖𝑛²𝜙 + ²𝜙 ²𝑐𝑜𝑠²𝜙 + 2𝜌 𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑧² = 𝑧² D'où : 𝑉² = 𝜌² + ²𝜙² + 𝑧 2 Le lagrangien en coordonnées cylindriques est alors : 𝐿 ,  , 𝑧 , 𝜌, 𝜙, 𝑧, 𝑡 = 𝑇 ,  , 𝑧 , 𝜌, 𝜙, 𝑧, 𝑡 − 𝑈 ,  , 𝑧, 𝑡 𝐿 ,  , 𝑧 , 𝜌 , 𝜙 , 𝑧 , 𝑡 = 1 𝑚 𝜌² + ²𝜙² + 𝑧 2 − 𝑚𝑔𝑧 2 En vertu de l'équation de la liaison citée dans l'exercice x² + y² - az = 0 En coordonnées cylindriques s'exprime comme : f(, , z )=² - az = 0 Et les déplacements virtuels : 2 - az = 0 On pose q1 =  , q1 =  et q1 = z et rappelons que: k j=1 Aβj q j 𝜕𝑟 𝑖 𝑘 𝑗 =1 𝑎𝛽𝑗 𝜕𝑞 𝑗 + Aβ = 0 et 𝐴𝛽𝑗 = Donc : A11 = 2, A12 = 0 et A13 = - a En vertu des équations de mouvement de Lagrange : d ∂L ∂L − = dt ∂q j ∂q j β0 μβ Aβj β=1 On alors : d ∂L dt ∂ − d ∂L dt ∂ d ∂L dt ∂z ∂L = μ1 2 ∂ − − ∂L =0 ∂ ∂L = −μ1 𝑎 ∂z Si on développe dans ces équations de mouvement et de la liaison, on aura : d dt ∂L ∂ d dt d dt ∂L ∂z d = dt 𝑚  ∂L =𝑚 d = dt 𝑚²𝜙 ∂ d = dt 𝑚𝑧 = 𝑚𝑧 et et et ∂L = m 𝜙 ² ∂ ∂L ∂ =0 ∂L ∂z = −𝑚𝑔 110 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 f(, , z )=² - az = 0 𝜕   + 𝜕   + 𝜕𝑧 𝑧 = 2 + 0 − 𝑎𝑧 = 0 k Aβj q j + Aβ = 0 j=1 Si on remplace dans les équations de mouvement avec l'équation de la liaison on obtient le système d'équations de mouvement suivant : 𝑚  − 𝜙² − 2μ1  = 0 (a) 𝑑 𝑚 𝑑𝑡 ²𝜙 = 0 (b) 𝑚𝑧 + 𝑚𝑔 + μ1 𝑎=0 (c) 2 − 𝑎𝑧 = 0 (d) La résolution de ce système d'équations différentielles permet donc la détermination des lois de mouvement (t) (t) et z(t) ainsi que la constante 1. Exercice 8 Force impulsive Les deux semblables barres de messe masse m (voir figure dans la réponse) sont attachées en B et déplacées vers la droite avec une vitesse V. Le bout A impact une butée rigide. Déterminer le mouvement des deux barres immédiatement après l'impact. On suppose qu'il n'y a ni frottement ni vibrations résiduelles et que l'impact est complètement élastique. Réponse La figure suivante présente les paramètres cinématiques lors de l'impact du système : A A a 𝑥1 1 a B 1 B V a 𝑥1 2 a 2 C C (a) (b) L'énergie cinétique du système est donnée par : 111 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑇= 𝑚 2 𝑚 2 𝐼 2 𝐼 2 𝑥 + 𝑥 + 𝜃 + 𝜃 2 1 2 2 2 1 2 1 Le travail virtuel produit par la force d'impact en A est : A = F(-dx1 + ad1) L'équation de la liaison de la vitesse du point B est : 𝑥1 + 𝑎𝜃1 = 𝑥2 − 𝑎𝜃2 (a) Dans sa forme différentielle est comme suit : dx1 - dx2 + ad1 + ad2 = 0 Il y deux manières d'utilisation de l'équation de liaison : l'une est utilisée pour élimer une des variables dans l'énergie cinétique et l'autre est pour utiliser les multiplicateurs de Lagrange. Aucune des deux est plus avantageuse que l'autre, on utilise donc la deuxième. Le terme supplémentaire ajouté à l'expression du travail virtuel est : ( dx1 - dx2 + ad1 + ad2). L'expression du travail virtuel est alors : A = F(-dx1 + ad1) + ( dx1 - dx2 + ad1 + ad2) Appliquons les équations de Lagrange pour les forces impulsives, on aura : 𝑚 𝑥1 − 𝑉 = − 𝐹𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 (b) 𝑚 𝑥2 − 𝑉 = − 𝑑𝑡 (c) 𝐼 1 = 𝑎𝐹𝑑𝑡 + 𝑎𝑑𝑡 (d) 𝐼 2 = 𝑎𝑑𝑡 (e) 𝑥1 + 𝑎𝜃1 = 𝑥2 − 𝑎𝜃2 (f) Il y a donc six (06) inconnues mais cinq (05) équations y compris l'équation de la liaison. On a donc besoin d'inclure le caractère élastique de l'impact. Ce ci implique qu'au point de contact la vitesse d'approche d'impact est égale à la vitesse de recule. On exprime ce là : 𝑉 = 𝑎𝜃1 − 𝑥1 (g) Alternativement, on peut appliquer la conservation de l'énergie cinétique avant et après l'impact, on obtient : 𝑚𝑉² = 𝑚𝑥12 + 𝑚𝑥22 + 𝐼𝜃12 + 𝐼𝜃22 (h) Cette dernière équation ramène au même résultat que l'avant dernière équation. Il peut être remarqué que  est la force impulsive en B. On peut éliminer l'impulse des équations de (b) à (e) pour avoir : 𝑚 𝑥2 − 𝑉 𝑎 + 𝐼𝜃2 = 0 (l) On ajoute trois fois l'équation (c) à la somme des équations (b) et (e) on obtient : 112 Chapitre 7 Equations de Lagrange de deuxième espèce 𝑚 𝑥1 − 𝑉 𝑎 + 3𝑚 𝑥2 − 𝑉 𝑎 + 𝐼𝜃1 + 𝐼𝜃2 = 0 (m) Les équations (f) , (g), (l) et (m) constituent un système de quatre équations avec quatre inconnues : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝜃1 et 𝜃2 qui peuvent être facilement déterminées. 7.14 Exercices non résolus Exercice 1 a) Déterminer le nombre de degré de liberté d'un point matériel se déplaçant sur une sphère de rayon R et écrire les équations des liaisons. b) Soit, sur un plan vertical Oxz, un système mécanique de trois points matériels de mêmes masses, m, dont deux points sont liés par une tige de longueur fixe l. Déterminer le nombre de degré de liberté du système, indiquer les coordonnées généralisées et donner son Lagrangien. c) Un cylindre roule sans glisser sur un plan incliné par rapport à l'horizontal d’un angle . On demande de : 3. Déterminer le nombre de degré de liberté et indiquer le type des liaisons et écrire leurs équations. 4. Ecrire son Lagrangien et ses équations de mouvement. Exercice 2 Soit un cylindre plein homogène de masse m, de hauteur h, de rayon R, mobile sur une table horizontale. Son centre d'inertie G, dont la position dans le repère fixe R(O,x,y,z) est donnée par 𝑂𝐺 = 𝑟, a une vitesse 𝑣. Le mouvement du cylindre autour de G résulte d'une rotation  autour de l'axe vertical et d'une rotation autour de l'axe du cylindre . Soit le repère attaché à G R1(G,𝑢1 , 𝑣1 , 𝑘1 ). 1- Donner la matrice d'inertie du cylindre dans le repère R1, 2- Donner le moment cinétique en G du repère R1 et en O du repère R(O,𝑖0 , 𝑗0 ), 3- Exprimer les liaisons et calculer le nombre de z  𝒌𝟏 degré de liberté, θ 4- Choisir les coordonnées généralisées, 𝒗𝟏 5- Trouver le lagrangien du système. 6- Ecrire les équations de mouvement de Lagrange Moment d'inertie du cylindre par rapport à : son axe est 1 2 𝑚𝑅 2 un axe vertical au cylindre est 1 12 y G On donne :  x 𝒖𝟏  𝑚 3𝑅2 + 𝑕2 113 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Chapitre 8 Equations du ٌ‫يعادالت هايهتى‬ Hamilton's mouvement de ‫نهحركة‬ Equations of Hamilton Motion ‫حاالت األنظمة تامة القيد مع قوى جهدية‬ Cas des systèmes holonomes dans un champ de forces de potentiel Holonomic systems in potential forces field 8.1 Introduction Dans le principe de Hamilton pour un système mécanique, les variations possibles sont l'ensemble des déplacements virtuels qui ont été considérés dans le quatrième chapitre. Les positions des points matériels du système à tout moment peuvent être considérées comme déplacées de petites quantités arbitraires ri (i = 1, 2, ..., n) à partir des positions ri (i = 1, 2, ..., n) qu'elles occuperaient réellement dans le mouvement. Ces déplacements virtuels sont considérés réalisés sans variation de temps, mais ils peuvent eux-mêmes varier avec le temps. Il convient d'exiger que les déplacements virtuels ri soient des fonctions continues et différentiables du temps. C'est alors, il est possible de considérer la variation des positions ri + ri comme une variable du système, de la même manière que les vecteurs de position ri en fonction du temps qui détermine le mouvement réel du système. En utilisant cette approche, la vitesse des particules dans le mouvement varié à tout moment peut être donné par les expressions 𝑟i + 𝑟i (i = 1, 2, ..., n), où : 𝑑 𝛿𝑟𝑖 = 𝑑𝑡 𝛿𝑟𝑖 (8.1) Cependant, il faut noter qu'on utilisant cette approche, les déplacements virtuels ne respectent pas forcement les liaisons du système. Si le système est non-holonome, la liaison nonholonome n'est pas respectée durant le mouvement du système. Dans ce cas, la variation dans la position n'est considérée comme changement géométrique de la position. Pour les systèmes holonomes, les déplacements virtuels doivent respecter les liaisons holonomes et la variation dans la position est dans ce cas un changement géométrique. 114 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Il est donc possible de considérer l'énergie cinétique T du système pour une variation de la position. C'est une variation entre la nouvelle énergie cinétique et celle actuelle dans le même instant t comme suit : 𝛿𝑇 = 1 2 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 + 𝛿𝑟𝑖 2 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 − 𝑟𝑖2 = (8.2) 8.2 Principe d'Hamilton L'intégrale de cette énergie cinétique durant tout le mouvement à partir de l'instant initial t = t0 à l'instant final t est obtenue par la technique d'intégration par partie comme suit : 𝑡 𝛿𝑇 𝑑𝑡 𝑡0 = 𝑛 𝑡 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 𝑡 0 − 𝑡 𝑡0 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 𝑑𝑡 (8.3) On introduisant l'hypothèse que les déplacements virtuels sont égaux à zéro aux positions initiale et finale. Donc : t = t0 et t = t1  ri = 0, i = 1, 2, ..., n Ce ci implique que la variation de la position du système est entre les mêmes configurations initiale et finale au même temps que dans l'actuel mouvement. Donc le premier terme de l'équation ci-dessus est égal à zéro. Le terme qui reste peut être simplifié par l'introduction de l'équation de mouvement pour chaque point matériel : 𝑚𝑖 𝑟𝑖 = 𝐹𝑖 avec i = 1, 2, ..., n Tel que : 𝐹𝑖 est la résultante des forces. On peut donc réécrire l'équation précédente comme : 𝑡 𝑡0 𝛿𝑇 + 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 𝑑𝑡 = 0 (8.4) C'est le principe d'Hamilton pour un système dynamique. On remarque bien que seules les forces qui travaillent dans un déplacement virtuel doivent être incluses dans l'équation ci-dessus. Si ces forces sont en outre conservatrices, ou du moins dérivées d'une fonction potentielle, il est alors possible d'introduire une fonction potentielle U telle que : 𝛿𝑈 = − 𝑛 𝑖=1 𝐹𝑖 ∙ 𝛿𝑟𝑖 (8.5) Dans ce cas et pour les systèmes holonomes soumis aux forces actives 𝐹𝑖 dérives d'un potentiel 𝑈 𝑟𝑖 , 𝑡 on peut donc introduire la fonction de Lagrange (Lagrangien) en fonction des coordonnées et des vitesses généralisées et du temps sous la forme suivante : 𝐿 𝑞 ,𝑞 ,𝑡 = 𝑇 𝑞 ,𝑞 ,𝑡 − 𝑈 𝑞 ,𝑡 (8.6) Le principe d'Hamilton pour un tel système est donné sous la forme : 115 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 𝑡 𝛿𝐿 𝑑𝑡 𝑡0 =0 (8.7) De plus, si le système est également holonome, de sorte que seuls les mouvements géométriquement possibles doivent être considérés, il est alors possible de réécrire l'équation ci-dessus : 𝛿 𝑡 𝐿 𝑑𝑡 𝑡0 =0 (8.8) C'est la forme usuelle du principe d'Hamilton : Pour un système holonome dont le mouvement peut être décrit par une fonction Lagrangienne L, l'intégrale 𝑡 𝑡0 𝐿 𝑑𝑡 a une valeur stationnaire par rapport aux mouvements possibles géométriquement voisins ayant les mêmes configurations aux temps t = t0 et t = t1. Dans la dérivation du résultat ci-dessus, il a été seulement montré que l'intégrale du lagrangien a une valeur stationnaire par rapport avec les mouvements voisins. Dans la plupart des applications, cependant, il est habituellement trouvé que cette valeur stationnaire est un minimum, bien que des exceptions se produisent. Il est donc important de souligner que le principe d'Hamilton n'est pas toujours un principe strict minimum. On peut également voir à partir de la dérivation ci-dessus que le principe d'Hamilton est essentiellement une forme intégrée de l'équation fondamentale. Une caractéristique importante du principe d'Hamilton, est qu'il est indiqué sans référence à un système particulier de coordonnées. Enfin, il faut souligner que, bien que le principe de Hamilton soit d'un intérêt théorique considérable, il a peu de valeur pratique applications. Les paramètres 𝑞 , 𝑞 , 𝑡 sont appelés coordonnées Lagrangiennes. Ils déterminent l'état de mouvement instantané du système, tandis que le mouvement dans le temps est déterminé par l'équation de Lagrange : 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝐿 − 𝜕𝑞 = 0 (8.9) qui constitue un système d'équations différentielles de second ordre de nombre égal au nombre de degré de liberté k. Hamilton a transformé ces équations pour avoir un système d'équations différentielles de premier ordre, mais cette fois de nombre doublé (2k). Pour déterminer l'état de mouvement du système, à la place de la vitesse généralisée𝑞 , Hamilton a proposé l'utilisation de la notion de la quantité de mouvement généralisée (moment conjugué ou encore impulsion généralisée), tel que : 116 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 𝑃= 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝑇 = (8.10) 𝜕𝑞 Exemple : Pour un point matériel libre, m, on a donc 𝑞 = 𝑟 . Son énergie cinétique est : 1 𝑇 = 2 𝑚𝑞2 et 𝑝 = 𝜕𝑇 𝜕𝑞 = 𝑚𝑞 (quantité de mouvement) Dans le cas d'un système où les forces ont un potentiel ordinaire ou un potentiel généralisé, la fonction de Lagrange de second ordre des vitesses généralisées : L=L0 + L1 + L2 = L0 + L1 + T2 avec 𝐿2 = 𝑇2 = 12𝑞𝑇 ∙ 𝐴 ∙ 𝑞 = 12𝑎𝑗𝑘 ∙ 𝑞𝑗 ∙ 𝑞𝑘 est exprimée dans la paragraphe? du chapitre ? et 𝐿1 = 𝐵𝑇 ∙ 𝑞 = 𝑏𝑗 ∙ 𝑞 (l'exposant T indique le Transposé) Pour un système holonome : 𝑎𝑗𝑘 = 𝑎𝑗𝑘 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑘 , 𝑡 𝑒𝑡 𝑏𝑗 = 𝑏𝑗 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑘 , 𝑡 alors 𝑝 = 𝜕𝐿 𝜕𝑞 = 𝜕𝑇2 𝜕𝑞 + 𝜕𝐿1 𝜕𝑞 = 𝐴𝑞 + 𝑏 Sachant que : detA = det(ajk)≠0 (det : indique déterminant) donc on peut écrire : 𝑞 = 𝐴−1 𝑝 − 𝑏 (8.11) Les variables hamiltoniennes 𝑞, 𝑝, 𝑡 déterminent un espace de (2k+1) dimensions, nommé l'espace des phases, dans lequel le mouvement du système est représenté par une trajectoire décrite par un point géométrique. 8.3 Fonction de Hamilton (le Hamiltonien) Les «équations canoniques» de Hamilton constituent une autre façon d'exprimer les équations dynamiques du mouvement d'un système ayant k degrés de liberté, il existe 2 k équations hamiltoniennes du premier ordre comparées à k équations lagrangiennes du second ordre. Pour traiter la plupart des problèmes, la méthode hamiltonienne est moins pratique que le lagrangien. Cependant, dans certains domaines les équations de Hamilton et le point de vue hamiltonien sont d'une grande importance. Pour déterminer le mouvement d'un point matériel dans l'espace réel, Hamilton introduit une fonction spéciale dite fonction de Hamilton (ou simplement le Hamiltonien) sous la forme suivante : 𝐻 𝑞 , 𝑝, 𝑡 = 𝑝 𝑇 𝑞 − 𝐿 𝑞 , 𝑞 , 𝑡 (8.12) Qu'on peut aussi l'écrire comme : 𝐻 𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡 = 𝑘 𝑗 =1 𝑝𝑗 𝑞𝑗 − 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 (8.13) 117 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 𝜕𝐿 𝜕𝑇 𝑗 𝑗 Avec : 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞 = 𝜕𝑞 est la quantité de mouvement généralisée (moment conjugué) correspondante à la coordonnée 𝑞𝑗 tel que :  Si qj est une longueur  pj est une quantité de mouvement linéaire,  Si qj est un angle  pj est un moment cinétique (moment angulaire). En vertu de l'expression de l'énergie cinétique 𝑇 = 12𝑞𝑇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑞 on a : 𝐿 𝑞 , 𝑞 , 𝑡 = 𝑝 𝑇 𝑞 − 𝐻 𝑞 , 𝑝, 𝑡 (8.14) Et si on remplace dans l'équation de mouvement de Lagrange on obtient : 𝜕𝐻 𝜕𝐿 𝜕𝐻 𝑝 + 𝜕𝑞 = 0 et 𝜕𝑝 = 𝑞 − 𝜕𝑃 = 0 d'où on tire les équations canoniques de Hamilton suivantes : 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝐹𝑞 − 𝑝 = − 𝜕𝑞 et ou bien 𝐹𝑞 𝑗 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝𝑗 ,𝑡 𝜕𝑞 𝑗 − 𝑝𝑗 = 𝑞= (8.15) et 𝑞𝑗 = 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝 𝑗 ,𝑡 𝜕𝑝 𝑗 (8.16) Qui déterminent 2k équations différentielles de premier ordre. Remarque importante Sachant que 𝐻 = 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡  𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝜕𝐻 𝑞 + 𝜕𝑃 𝑝 + 𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝜕𝑝 𝜕𝐻 𝜕𝐻 − 𝜕𝑝 𝜕𝑞 + 𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝑡 Alors la dérivée totale de H par rapport au temps est égale à la dérivée partielle. Si H est indépendante du temps donc : 𝑑𝐻 𝜕𝐻 = = 0 ⇒ 𝐻 𝑞, 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑡 𝜕𝑡 Dans ce cas le système est nommé système conservatif généralisé et la fonction H est une intégrale première des équations du mouvement appelée intégrale d'énergie généralisée. 8.3.1 Règle et procédure pour écrire la fonction et les équations d'Hamilton 1. Ecrire la fonction lagrangienne L = T - U. Déterminer T et U, 𝜕𝐿 2. Faire les dérivées 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞 , 𝑗 3. Résoudre ces équations simultanément pour chaque 𝑞𝑗 en fonction de 𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡 et éliminer les vitesses généralisées 𝑞𝑗 de la fonction hamiltonienne, H, pour avoir H seulement en fonction de 𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡 , 4. Pour avoir les équations d'Hamilton faire les dérivées : 𝑞𝑗 = 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝 𝑗 ,𝑡 𝜕𝑝 𝑗 et dans chaque fois on obtient 𝑞𝑗 . De même, effectuez la différenciation 𝐹𝑞 𝑗 − 𝑝𝑗 = 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝𝑗 ,𝑡 𝜕𝑞 𝑗 .. Nous avons donc 2k équations du premier 118 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton ordre ne sont que les forces généralisées connues, trouvées de la manière habituelle sauf que les forces conservatrices non inclues. 8.3.2 Cas spéciaux de la fonction H Cas a Si toutes les forces sont conservatives avec celles fonctions de potentiel dans le temps, 𝐹𝑞 𝑗 = 0 et par conséquent : 𝑞𝑗 = 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝 𝑗 ,𝑡 𝜕𝑝 𝑗 et 𝑝𝑗 = − 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝𝑗 ,𝑡 𝜕𝑞 𝑗 Cas b Si dans le système il n'y a pas de coordonnées de mouvement ou bien liaisons (le temps t n'intervient pas dans les équations de transformation, Cas c : Si le système est conservatif 𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 0 et si toutes les forces dérivent d'un potentiel, 𝐹𝑞 𝑗 = 0 donc : H = T + U = ET= Energie totale. Cependant 𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸𝑇 𝑑𝑡 = 0 d'où : H = T + U = ET= constante. Cas d : Si le système est conservatif appliquées 𝐹𝑞 𝑗  0 alors : 𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝑡 𝑑 𝑇+𝑈 𝑑𝑡 = 0 et autres forces que les forces potentielles sont = 𝑘 𝑗 =1 𝐹𝑞 𝑗 𝑞𝑗 . Donc, on dit que la variation dans le temps de l'énergie totale (T + U = ET) est égale à la puissance fournie par les forces nonpotentielles. 8.4 Principe vibrationnel d'Hamilton Soit un système holonome à k degrés de liberté dans un champ de forces de potentiel. Dans l'intervalle de temps t1  t  t2 et par l'intermédiaire de l'intégrale : 𝑆= 𝑡1 𝐿𝑑𝑡 𝑡2 (8.17) Où L est le Lagrangien du système mécanique considéré et S est appelée action Lagrangienne entre les instants t1 et t2. Sachant que 𝐿 = 𝐿 𝑞𝑗 , 𝑞𝑗 , 𝑡 et 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 (𝑡) donc l'action S est une fonction qui dépend des fonctions 𝑞𝑗 (𝑡) don elle dépend du mouvement du système (autrement dit pour déterminer l'action S il est donc nécessaire de déterminer le mouvement). 119 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Ces mouvements 𝑞𝑗 (𝑡) peuvent être représentés z dans une configuration à (k+1) dimensions de Trajectoires possibles P1 Trajectoire réelle coordonnées (q1, q2,…, qk,t) (Figure ). Quelle est, donc, parmi les trajectoires possibles, P2 qu'est réelle? x La réponse est obtenue par le champ de forces actives agissant sur le système y D'où le principe de Hamilton : La trajectoire réelle du système mécanique considéré correspond à un extrémum (minimum) de l'action Lagrangienne S par rapport à toutes les trajectoires voisines et possibles qui partent de P1 vers P2. En d'autres termes, parmi toutes les trajectoires possibles, le système pourrait suivre de P1(à t1) vers P2(à t2) une trajectoire pour laquelle l'intégrale (8.17) est extrémale (maximale ou minimal). Ce principe permet d'écrire : 𝛿𝑆 = 𝑡1 𝛿𝐿𝑑𝑡 𝑡2 =0 (8.18) Soit : 𝛿𝑆 = 𝑡 1 𝜕𝐿 𝑡 2 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝐿 𝛿𝑞𝑗 + 𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑗 𝑑𝑡 = 0 (8.19) 𝑗 Qu'est le principe vibrationnel. 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝑗 𝑗 𝑑𝑡 Sachant que : 𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑗 = 𝜕𝑞 𝑑 𝛿𝑞𝑗 = 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑗 𝑑 𝛿𝑞𝑗 − 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑗 𝛿𝑞𝑗 ⇒ On porte cette expression dans l'équation (8.19) et sachant que 𝛿𝑞𝑗 = 0 à t1 et t2  𝛿𝑆 = 𝑡1 𝑡2 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 − 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗 𝛿𝑞𝑗 𝑑𝑡 = 0 Si on choisit un déplacement quelconque 𝛿𝑞𝑑 ≠ 0 𝑠𝑖 𝑑 = 𝑗 et 𝛿𝑞𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑑 ≠ 𝑗 On obtient les équations de Lagrange comme suit 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 − =0 𝜕𝑞𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑑 Cas particuliers  Pour le cas particulier d'un système qui n'est pas conservatif (les forces agissantes n'ont par un potentiel) et d'après le principe de D'Alembert on a : 𝛿𝑆 = 𝑡1 𝛿𝑇 + 𝛿𝑊 𝑑𝑡 = 0 𝑡2 120 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Et puisque 𝛿𝑟𝑖 𝑡1 = 𝛿𝑟𝑖 𝑡2 𝑡2 = 0 et on considère 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝛿𝑟𝑖 𝑡 1 = 0  Si les forces ont un potentiel U  𝛿𝑊 = −𝛿𝑈  𝑡1 𝛿𝑆 = 𝛿𝑇 − 𝛿𝑈 𝑑𝑡 = 𝑡2 𝑡1 𝛿𝐿𝑑𝑡 𝑡2 8.5 Transformations canoniques et fonctions génératrices La facilité dans l'obtention des solutions de la plupart des problèmes en mécanique dépend de l'utilisation des coordonnées généralisées. Par conséquent, il est souhaitable d'étudier les transformations d'un ensemble de positions et quantités de mouvement (moment conjugués) à un autre. C'est-à-dire, si on a les anciennes coordonnées et quantité de mouvement généralisées qj et pj alors Qj et Pj sont les nouvelles coordonnées et quantité de mouvement généralisées, la transformation est comme suit : A la place des anciennes variables qj et pj on introduit des nouvelles variables : Qj = Qj(qj, pj,t) et Pj = Pj(qj,pj,t) (8.20) Tel que les équations de mouvement restent des équations canoniques. Une transformation est canonique si : 𝑝𝑗 𝑑𝑞𝑗 = 𝑃𝑗 𝑑𝑄𝑗 (8.21) Donc on réalise une transformation par l'utilisation d'une fonction K de manière à ce que 𝑑𝑃 𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝐾 = − 𝜕𝑄 et 𝑗 𝑑𝑄𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝐾 = 𝜕𝑃 (8.22) 𝑗 Dans ce cas les nouvelles variables Qj et Pj sont des coordonnées canoniques. 8.5.1 Fonctions génératrices En vertu du principe d'Hamilton, une transformation canonique doit satisfaire les conditions que 𝑡1 𝛿𝐿𝑑𝑡 𝑡2 et 𝑡1 𝛿ℒ𝑑𝑡 𝑡2 soient extremums et que : 𝛿 𝑡1 𝛿𝐿𝑑𝑡 𝑡2 = 0 et 𝛿 𝑡1 𝛿ℒ𝑑𝑡 𝑡2 =0 Ceci est satisfait si il existe une fonction F appelée fonction génératrice tel que : 𝑑𝐹 𝑑𝑡 =𝐿− ℒ (8.23) Dans le principe des moindres actions et que la transformation est canonique à condition que : on a : 𝑘 𝑗 =1 𝑝𝑗 𝑞𝑗 − 𝐻 𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡 = 𝑘 𝑗 =1 𝑷𝑗 𝑸𝑗 𝑑𝑭 − 𝑲 𝑸𝑗 , 𝑷𝑗 , 𝑡 + 𝑑𝑡 (8.24) 121 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Avec F est une fonction 𝐹 𝑞𝑗 , 𝑸𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑷𝑗 , 𝑡 et que : 2 𝑑𝑭 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 = 𝐹 2 − 𝐹(1) ne change pas et aussi que : 𝑑𝑭 = 𝑑𝑡 𝜕𝐹 𝑞 + 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑗 𝜕𝐹 𝑝 + 𝜕𝑝𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝜕𝐹 𝑄 + 𝜕𝑄𝑗 𝑗 𝜕𝐹 𝜕𝑭 𝑃𝑗 + 𝜕𝑃𝑗 𝜕𝑡 𝑗 Où 𝐹 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑡 est appelée fonction génératrice de la transformation. En principe, il existe quatre fonctions génératrices des coordonnées 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑡 comme suit : 1- 𝐹 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑡 = 𝐹1 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 l'équation de base est satisfaite lorsque : 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞1 𝑃𝑗 = − 𝜕𝑄1 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝑃𝑗 2- 𝐹 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑡 = − Donc : 𝐹1 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 + 𝑘 𝑗 =1 𝑃𝑗 𝑄𝑗 𝜕𝐹1 𝐾=𝐻+ 𝑗 𝜕𝑡 𝑄𝑗 + 𝐹2 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 = 𝐹2 𝑞𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑡 l'équation de base est satisfaite lorsque : 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞2 𝑄𝑗 = 𝜕𝑃2 𝑗 3- 𝐹1 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 − 𝑘 𝑗 =1 𝑃𝑗 𝑄𝑗 𝐾=𝐻+ 𝑗 𝜕𝐹2 𝜕𝑡 = 𝐹3 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 l'équation de base est satisfaite lorsque : 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑃𝑗 = − 𝜕𝑄3 𝑞𝑗 = − 𝜕𝑝3 𝑗 4- 𝐹1 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 − 𝑘 𝑗 =1 𝑝𝑗 𝑞𝑗 − 𝑗 𝑘 𝑗 =1 𝑃𝑗 𝑄𝑗 𝜕𝐹3 𝐾=𝐻+ 𝜕𝑡 = 𝐹4 𝑞𝑗 , 𝑄𝑗 , 𝑡 l'équation de base est satisfaite lorsque : 𝜕𝐹 𝑄𝑗 = 𝜕𝑃4 𝑗 𝜕𝐹 𝑞𝑗 = − 𝜕𝑝4 𝑗 𝐾=𝐻+ 𝜕𝐹4 𝜕𝑡 8.5.2 Exemple d'application Dans le cadre classique on a le Lagrangien d'un système mécanique : 𝐿= 1 𝑚𝑣 2 − 𝑈(𝑥) 2 L'énergie totale de la particule : 𝐸= 1 1 𝑚𝑣 2 + 𝑈 𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 − 𝐿 = 𝑚 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 − 𝑚𝑣 2 − 𝑈(𝑥) 2 2 On introduit le moment conjugué de v noté p tel que : 𝑝 𝑥, 𝑣 = 𝜕𝐿 𝑥,𝑣 𝜕𝑣 8.6 Equation d'Hamilton-Jacobi Parmi les transformations canoniques utilisées pour résoudre certain problème de mécanique, il y a celles donnent des nouvelles coordonnées (cycliques ou négligeable) permettant de trouver des solutions aux équations de mouvement. 122 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Si on peut trouver une transformation canonique qui aboutit à une fonction génératrice K=0, donc les nouvelles variable 𝑃𝑗 et 𝑄𝑗 sont constantes (𝑃𝑗 et 𝑄𝑗 sont des coordonnées négligeables). Cependant, par une transformation on peut trouver 𝑝𝑗 et 𝑞𝑗 par lesquelles on détermine le mouvement du système. L'équation d'Hamilton-Jacobi est : 𝜕𝑆 𝜕𝑡 𝜕𝑆 + 𝐻(𝑞𝑗 , 𝜕𝑞 , 𝑡) = 0 (8.25) 𝑗 C'est équation différentielle partielle d'ordre un de variables 𝑞𝑗 sa solution donne la fonction 𝑆(𝑞𝑗 , 𝑗 , 𝑡) qui s'appelle la fonction principale d'Hamilton. Cette fonction génère l'unique transformation canonique dans laquelle K(𝑃𝑗 , 𝑄𝑗 ,t) =0. C'est-à-dire qui transforme les coordonnées 𝑞𝑗 et 𝑝𝑗 aux nouvelles coordonnées canoniques constantes 𝑃𝑗 , 𝑄𝑗 (tel que : 𝑞𝑗 , 𝑗 𝜕𝑆 des valeurs constantes). De la relation 𝑄𝑗 = 𝜕  = 𝑗 , on trouve les anciennes coordonnées. 𝑗 Si la fonction 𝑆(𝑞𝑗 , 𝑗 , 𝑡) est l'intégrale de l'équation d'Hamilton-Jacobi, dans laquelle les 𝜕𝑆 quantités de mouvements généralisées correspondantes dans la fonction H sont remplacées 𝜕𝑞 𝑗 où 𝑗 (j =1 à k) sont des constantes arbitraires, alors les solutions des équations canoniques d'Hamilton sont données par : 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑗 𝑗 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞 , (j =1 à k), 𝑗 = 𝜕  , (j =1 à k) Les constantes 𝑗 sont un ensemble quelconque de constantes indépendantes d'intégration trouvées dans la résolution de l'équation d'Hamilton-Jacobi. En pratique, ces constantes ont une signification physique. 𝜕𝑆 Par l'introduction de k constantes 𝑗 (1 ……𝑘 ), les équations 𝑗 = 𝜕  peuvent être arrangées 𝑗 pour obtenir la solution 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 𝑗 , 𝑗 , 𝑡 , j =1 à k. Puisque 𝑃𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑗 La solution de l'équation d'Hamilton-Jacobi permet de déterminer la fonction S de laquelle on détermine les quantités de mouvement généralisées de : 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑗 𝑗 𝑗 𝑝𝑗 = 𝜕𝑞 , 𝑄𝑗 = 𝜕𝑃 = 𝜕  (8.26) On trouve donc les anciennes coordonnées généralisées en fonction de 𝑗 , 𝑗 , 𝑡. 8.7 Coordonnées cycliques - Equation de Routh, (Routh : Math. Anglais, 1831-1907) Dans certains cas il arrive qu'une fonction de Lagrange déterminée pour un système mécanique donné, ne dépende que d'une partie des coordonnées généralisées. Ces 123 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton coordonnées (q1, q2,…,qm) sont appelées coordonnées positionnelles, tandis que les coordonnées qui n'interviennent pas dans la fonction Lagrangienne (φm+1, φ m+2,…, φk) sont appelées coordonnées cycliques ou coordonnées négligeables. En introduisant les vecteurs des coordonnées positionnelles et cycliques : Coordonnées positionnelle : 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 𝜑 = 𝜑𝑚+1 , 𝜑𝑚+2 , … , 𝜑𝑘 Coordonnées cycliques : On obtient l'équation de Lagrange des coordonnées cycliques: 𝑑 𝜕𝐿 =0 𝑑𝑡 𝜕𝜑 Donc la quantité de mouvement généralisé correspondante aux coordonnées cycliques est constante : 𝑝𝜑 = 𝜕𝐿 𝜕𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (8.27) Alors chaque coordonnée cyclique détermine une intégrale première. On utilisant les coordonnées positionnelles et cycliques, on obtient la fonction Lagrangienne comme suit: 1 1 𝐿 = 2 𝑞𝑇 𝐴𝑝 𝑞 + 2 𝜑 𝑇 𝐴𝑐 𝜑 + 𝜑 𝑇 𝐵𝑞 + 𝑏 𝑇 𝜑 + 𝑎0 (8.28) Tel que Ap, Ac et B, les vecteurs 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 ainsi que le scalaire a0 sont des fonctions connues des coordonnées positionnelles 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 et du temps t. Si on remplace l'équation (2) dans l'équation (1) on obtient : 𝑃𝜑 = 𝐴𝑐 𝜑 + 𝐵𝑞 + 𝑏 (8.29) On suppose que le déterminant detAc ≠ 0 on aura donc les vitesses cycliques 𝜑 = 𝐴−1 𝑐𝜑 − 𝐵𝑞 − 𝑏 𝑐 (8.30) De la même façon que dans le cas de la fonction de Hamilton, on introduit la fonction de Routh (R) qui dépend des coordonnées et des vitesses positionnelles : 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 et 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 des quantités de mouvement généralisées 𝑃𝜑 = 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 et du temps t comme suit : 𝑅 𝑞, 𝑞 , 𝑝𝜑 , 𝑡 = 𝑝𝜑𝑇 𝜑 − 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝜑, 𝑡 (8.31) Donc : 𝐿 𝑞 , 𝑞 , 𝜑, 𝑡 = 𝑝𝜑𝑇 𝜑 − 𝑅 𝑞, 𝑞 , 𝑝𝜑 , 𝑡 (8.32) A partir de l'équation de mouvement de Lagrange, on aura donc: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑅 𝜕𝑞 𝜕𝑅 − 𝜕𝑞 = 0 (8.33) 124 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Est une équation différentielle de type Lagrange et pour les coordonnées cycliques : 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝑝 = − 𝜕𝜑 et 𝜑 = − 𝜕𝑝 (8.34) 𝜑 Qui sont des équations différentielles de type de Hamilton. On dit alors que le mouvement du système en fonction des coordonnées cycliques est un mouvement caché indépendant du mouvement déterminé par les coordonnées positionnelles intervenant dans le lagrangien. Après la résolution des équations (8.31), on obtient : 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 𝑐 , 𝑐𝑗 , 𝑐𝑗′ , 𝑡 avec j = 1, m et  = m+1 à k Le mouvement caché est déterminé par : 𝜕𝑅 𝜕𝑅  = 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 𝑐′ = 𝜕𝑐 𝑑𝑡 + 𝑐′   (8.35) Tel que  = m+1 à k et le nombre total des constantes d'intégration est : (k+m) +(k -m)=2k 8.8 Exercices Exercice 1 Sur le hamiltonien et les équations de mouvement d'Hamilton 1. On considère un projectile de masse m comme un point matériel et on néglige la résistance de l'air. Son lagrangien dans un repère cartésien est : 𝐿= 1 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑚𝑔𝑧 2 Puisque on 3 degrés de liberté et 3 coordonnées généralisées : 𝑞1 = 𝑥, 𝑞1 = 𝑦 et 𝑞1 = 𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 D'où : 𝜕𝑥 = 𝑚𝑥 = 𝑝𝑥 , 𝜕𝑦 = 𝑚𝑦 = 𝑝𝑦 , 𝜕𝑧 = 𝑚𝑧 = 𝑝𝑧 (a) De plus toutes les forces dérivent d'un potentiel, alors : H=T+U= 1 2𝑚 𝑝𝑥 2 + 𝑝𝑦 2 + 𝑝𝑧 2 + 𝑚𝑔𝑧 (b) Les équations d'Hamilton sont comme suit : 𝑞𝑗 = 𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝 𝑗 ,𝑡 𝑝𝑗 = − 𝜕𝑝 𝑗  𝜕𝐻 𝑞 𝑗 ,𝑝 𝑗 ,𝑡 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝐻 𝑥 = 𝜕𝑝 = 𝑥 𝜕𝐻 𝑝𝑥 𝜕𝐻 𝑝𝑦 𝑦 𝑚 , 𝑦 = 𝜕𝑝 = 𝑚 𝜕𝐻 𝑝𝑧 𝑧 𝑚 et 𝑧 = 𝜕𝑝 = 𝜕𝐻 (c) 𝜕𝐻  𝑝𝑥 = − 𝜕𝑥 = 0, 𝑝𝑦 = − 𝜕𝑦 = 0 et 𝑝𝑧 = − 𝜕𝑧 = −𝑚𝑔 (d) On dérive les équations (c) par rapport au temps, on aura : 𝑑 𝑑 𝑚𝑥 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑑𝑡 𝑝𝑥 = 𝑝𝑥 = 0, 𝑚𝑦 = 𝑝𝑦 = 0 et 𝑚𝑧 = 𝑝𝑧 = 0 (e) On remarque facilement que les équations dans (a) et dans (c) sont les mêmes. En plus les équations dans (e) sont les mêmes relations qu'on peut trouver par la loi de Newton ou bien 125 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton par les équations de Lagrange. Donc pour ce cas étudié, les équations d'Hamilton ne présentent pas des avantages. Exercice 2. Le système suivant illustre la forme générale prise par les moments conjugués 𝑝𝑗 et x r1 que le fait de trouver une expression pour H k1 n'est pas toujours aussi simple. Pour un double r2 pendule avec des masses 𝑚1 et 𝑚2 suspendues à  m1 des ressorts hélicoïdaux sans masse et ayant des k2  constantes k1, k2 et un mouvement plan. Soient 𝑟1 et 𝑟1 et les longueurs des ressorts. m2 y Les coordonnées généralisées décrivant le mouvement du système sont les coordonnées polaires qui sont : 𝑞1 = 𝑟1 , 𝑞2 = 𝑟2 , 𝑞1 =  et 𝑞1 =  Energie cinétique du système : Position de la masse 𝑚1 sont :  𝑥1 = 𝑟1 sin , 𝑦1 = 𝑟1 cos   𝑥1 = 𝑟1 sin  + 𝑟1  cos , et 𝑦1 = 𝑟1 cos  − 𝑟1  sin  . Position de la masse 𝑚2 sont :  𝑥2 = 𝑟1 sin  + 𝑟2 sin , 𝑦2 = 𝑟1 cos  + 𝑟2 cos   𝑥2 = 𝑟1 sin  + 𝑟2 sin  + 𝑟1  cos  + 𝑟2  cos ,  𝑦2 = 𝑟1 cos  + 𝑟2 cos  − 𝑟1  sin  − 𝑟2  sin , 𝑇= 1 1 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 𝑣22 2 2 Avec : 𝑣12 = 𝑥1 ² + 𝑦1 ² et 𝑣22 = 𝑥2 ² + 𝑦2 ² 1  𝑇 𝑟1 , 𝑟2 ,  , , 𝑟1 , 𝑟2 ,  , , 𝑡 = 2 𝑚1 + 𝑚2 𝑟1 2 + 𝑟1 2  2 2 1 + 2 𝑚2 𝑟2 2 + 𝑟2 2  + 2 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2  cos  −  + 2 𝑟1 𝑟2  − 𝑟2 𝑟2  sin  −  Energie potentielle : 𝑈 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑒 + 𝑈é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 1  𝑈 𝑟1 , 𝑟2 ,  , , 𝑡 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑟1 𝑐𝑜𝑠 + 𝑚2 𝑔𝑟1 𝑐𝑜𝑠 − 2 𝑘1 𝑟1 − 𝑙1 2 1 − 2 𝑘2 𝑟2 − 𝑙2 2 Tel que 𝑙1 et 𝑙2 sont les longueurs au repos des deux ressorts. Le lagrangien du système est donc : 126 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 𝐿 = 𝑇−𝑈 = 1 2 𝑚1 + 𝑚2 𝑟1 2 + 𝑟1 2  2 1 2 + 𝑚2 𝑟2 2 + 𝑟2 2  + 2 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2  cos  −  2 + 2 𝑟1 𝑟2  − 𝑟2 𝑟2  sin  −  + 𝑚1 + 𝑚2 𝑔𝑟1 𝑐𝑜𝑠 + 𝑚2 𝑔𝑟1 𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑘1 𝑟1 − 𝑙1 2 2 1 − 𝑘2 𝑟2 − 𝑙2 2 2 Par conséquent : 𝜕𝐿 = 𝑝𝑟1 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 cos  −  − 𝑚2 𝑟2  𝑠𝑖𝑛  −  𝜕𝑟1 𝜕𝐿 = 𝑝𝑟2 = 𝑚2 𝑟2 + 𝑚2 𝑟1 cos  −  + 𝑚2 𝑟1  𝑠𝑖𝑛  −  𝜕𝑟2 𝜕𝐿 𝜕 = 𝑝 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑟12  + 𝑚2 𝑟1 𝑟2  cos  −  + 𝑚2 𝑟1 𝑟2 sin  −  𝜕𝐿 𝜕 = 𝑝 = 𝑚2 𝑟12  + 𝑚2 𝑟1 𝑟2  cos  −  − 𝑚2 𝑟2 𝑟1 sin  −  Les quantités de mouvement généralisées (moments conjugués) 𝑝𝑟1 et 𝑝𝑟2 sont des quantités de mouvement linéaires (unité kg m/s). Alors que Les quantités de mouvement généralisées (moments conjugués) 𝑝 et 𝑝 sont des moments cinétiques (quantités de mouvement angulaires) (unité kg m²/s). Exercice 3 Equation de mouvement canonique de Hamilton et de Routh Une barre prismatique, homogène, de longueur  l et de masse m1 tourne avec une vitesse angulaire  autour d'un axe vertical. Sur cette m c m1 barre tournante (Figure ci-contre) peut se déplacer sans frottement un point matériel de masse m lié par un ressort est r0. r l On demande de : 1. Déterminer le nombre de degré de liberté et choisir les coordonnées généralisées 2. Ecrire les équations différentielles hamiltoniennes du mouvement. 3. Montrer les coordonnées cycliques et écrire les équations de mouvement de Routh. Réponse 1. Degré de liberté du système : 127 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton On un solide (barre) de longueur l et de masse m1et une particule (point matériel) de masse m, donc : Dans l'espace on peut écrire : k = 61 + 31 - m On considère un repère fixe Oxyz attaché au bâti, la barre est libre de tourner autour de l'axe vertical Oz, donc elle liée avec 5 liaisons. Le point matériel peut translater le long de la barre, mais il ne peut pas translater selon l'axe vertical. Sa position est déterminée en fonction de la rotation de la barre  et de la déformation du ressort r. Donc on 7 liaisons pour tout le système et alors on obtient : k = 61 + 31 - 7 =2 z  l m c m1 r O x y xm =r sin O xm =r cos x  r y Les coordonnées généralisées qui représentent le mouvement du système sont donc la rotation () autour de l'axe vertical Oz de la barre avec le point matériel et la translation (r) du point matériel le long de la barre. On écrit : q1 =  et q2 = r 2. Les équations différentielles hamiltoniennes du mouvement L'énergie cinétique est alors : 𝑇 = 𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑒 + 𝑇𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑒 = 1 1 𝐽1 ∙ 2 + 𝑚 𝑟 2 + 𝑟² ∙ 2 2 2 128 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Sachant que le moment d'inertie d'une barre par rapport à son extrémité est : 𝐽1 = 1 𝑚 1 ∙𝑙 2 𝑇=2 3 1 1 ∙ 2 + 2 𝑚 𝑟 2 + 𝑟² ∙ 2 = 2 𝑚 1 ∙𝑙 2 3 𝑚 1 ∙𝑙 2 3 + 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ 2 + 𝑚𝑟 2 L'énergie potentielle du système : on a que celle du ressort (Energie potentielle élastique). Tel que : 𝑈= 2 1 𝑟 − 𝑟0 2 𝑐 Toutes les forces appliquées au système sont des forces conservatives, donc le hamiltonien est : 𝑚 1 ∙𝑙 2 1 H = T + U= 2 3 1 𝑟−𝑟0 2 + 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ 2 + 𝑚𝑟 2 + 2 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑕 Les équations de mouvement généralisées sont : Nous avons deux degrés de liberté, donc deux coordonnées généralisées : q1 =  et q2 = r et deux vitesses généralisées 𝑞1 =  et 𝑞2 = 𝑟 𝑃𝑟 = 𝑃 = 𝜕𝐿 𝜕𝑇 𝑃𝑟 = = 𝑚𝑟 𝑟 = 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑚 𝑃 𝜕𝐿 𝜕𝑇 𝑚1 ∙ 𝑙 2 = = + 𝑚 ∙ 𝑟²   = 2 𝑚1 ∙ 𝑙 𝜕  𝜕 3 3 + 𝑚 ∙ 𝑟² Le hamiltonien en fonction des variables hamiltoniennes est : 2 1 𝐻 𝑟, , 𝑃𝑟 , 𝑃 , 𝑡 = 2 = 2 𝑃 𝑚1 ∙ 𝑙 + 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ 3 𝑚1 ∙ 𝑙 2 3 + 𝑚 ∙ 𝑟² 𝑃 ² 1 1 𝑃𝑟2 1 𝑟 − 𝑟0 + + 2 𝑚1 ∙ 𝑙 2 2𝑚 2 𝑐 3 + 𝑚 ∙ 𝑟² 𝑃𝑟 +𝑚 𝑚 2 1 𝑟 − 𝑟0 + 2 𝑐 2 2 Les équations canoniques d'Hamilton s'écrivent : 𝑚 ∙𝑃 ² 𝜕𝐻 𝑃𝑟 = − 𝜕𝑟 = 2 𝑚 1 ∙𝑙 2 +𝑚∙𝑟² 3 𝜕𝐻 𝑃𝑟 𝑟 𝑚 𝑟 = 𝜕𝑃 = − 𝑟−𝑟0 𝑐 𝜕𝐻 𝑃 = − 𝜕  = 0  𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑐 𝜕𝐻  = 𝜕𝑃 =  𝑃 𝑚 1 ∙𝑙 2 +𝑚∙𝑟² 3 129 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Nous avons obtenue donc deux intégrales premières. Le résultat 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 montre que le moment cinétique du système est constant. 3. Les coordonnées cycliques et les équations de mouvement de Routh. Nous avons le lagrangien du système mécanique : 𝐿 𝑟, , 𝑟, , 𝑡 = 𝑇 𝑟, , 𝑟, , 𝑡 − 𝑈 𝑟, , 𝑡 = 𝑚1 ∙ 𝑙 2 1 𝑟 − 𝑟0 + 𝑚 ∙ 𝑟² ∙ 2 + 𝑚𝑟 2 − 3 2 𝑐 1 2 2 On remarque bien que la coordonnée généralisée  n'intervient pas dans cette fonction lagrangienne, donc il s'agit d'une coordonnée cyclique (négligeable). Le moment conjugué (la quantité de mouvement généralisée) est : 𝑐 𝜕𝐿 𝑚1 ∙ 𝑙 2 𝑃 = = + 𝑚 ∙ 𝑟²  = 𝑐   = 𝑚1 ∙ 𝑙 2 𝜕 3 3 + 𝑚 ∙ 𝑟² La fonction de Routh s'écrit : 1 1 𝑟 − 𝑟0 𝑅 𝑟, , 𝑟, 𝑐 , 𝑡 = 𝑐  − 𝑚𝑟 2 + 2 2 𝑐 2 D'après l'équation (8.31) 𝑑 𝜕𝑅 𝜕𝑅 − =0 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝜕𝑞  𝑚𝑟 − 𝑐 ²∙𝑟 𝑚 1 ∙𝑙 2 +𝑚∙𝑟² 3 1 1 + 𝑐 𝑟 = 𝑐 𝑟0 Qui constitue une équation différentielle de deuxième ordre utilisable pour déterminer le mouvement du point matériel 𝑟 𝑐 , 𝑐𝑟 , 𝑐′𝑟 , 𝑡 par rapport à la barre tournante indépendamment de celle-ci. Le mouvement caché su système est : 𝜕𝑅  = 𝜕𝑐 𝑑𝑡 + 𝑐′ =  𝑐 𝑚 1 ∙𝑙 2 +𝑚∙𝑟² 3 𝑑𝑡 + 𝑐′ Exercice 4 : Equation d'Hamilton-Jacobi On considère le mouvement d'un point matériel sous l'action d'une force dirigé vers un point fixe et sa valeur varie inversement au carré de la distance du point matériel du point fixe. Utilisant les coordonnées polaires r et , les énergies cinétique et potentielle sont données : 1 2 𝑇 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟² 2 et 𝑈 = − 𝑚µ 𝑟 Les moments conjugués sont : 𝑝𝑟 = 𝑚𝑟 et 𝑝 = 𝑚𝑟² La fonction d'Hamilton est donc conservée. 130 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton Exercices non résolus Exercice 1 On considère le système représenté sur la  figure ci-contre. Un losange plan ABCD peut tourner autour d’un axe vertical z tel que le point A est fixé à l’axe et le point C peut se déplacer librement le long de l’axe z. Deux masses m sont fixées aux points B et D et un ressort de raideur k et de longueur au repos l0 (on prend z l0=0) relie les points A et C. Les tiges (chacune de longueur a), le ressort et les points A et C sont considérés sans masses. Les angles du losange sont variables et le système est soumis à la pesanteur. On note  l’angle mesurant la rotation autour de l’axe z et l’angle  entre les tiges et l’axe z. Ecrire : 1. Le lagrangien du système. 2. Les équations de mouvement de Lagrange. 3. Les équations canoniques de Hamilton. 131 Chapitre 8 Equations du mouvement de Hamilton 132 Références bibliographiques N° Titre 1 Engineering Mechanics 3, Dynamics Auteur(s) Edition D. Gross, W. Hauger, Springer J. Schröder Wolfgang A. Wall, S. Govindjee, N.M.J. Woodhouse Springer Année 2011 Seven edition, Grant Brooks/Cole T. Fowles, George L. Cassiday Andy Ruina, Rudra Oxford Pratap University Press J. B. Griffiths Cambridge University Press ‫مكتبتة الرشد اسماعيل حسانينة؛ أبو النور‬ ‫عبدهللا؛ فؤاد سيد‬ Friedrich Pfeiffer Springer 2005 2 Introduction to Analytical Dynamics 3 Analytical Mechanics 4 Introduction to Statics and Dynamics 5 The theory of classical dynamics 6 ‫انًيكانيكا انتحهيهية‬ 7 Mechanical System Dynamics 8 Mechanical Systems, Classical Alan Jeffrey Models Volume III: Analytical Mechanics Lagrangian and hamilyonian M. G. Calkin Mechanicsn Solutions to the exercices Springer 2009 2015 2008 2008 2009 World Scientific Publishin Co.Pte. Ltd. R.K. Shukla and A. New Age 10 Mechanics Srivastava Inter. (P) Ltd., Publishers McGraw-Hill 11 Schaum's Outline of Theory and Dare A. Wells Problems of Lagrangian Dynamics 1999 12 Schaum's Outline of Theory and Murray R. Speigel Problems of Theoretical Mechanics V. Starjinski 13 Mécanique Rationnelle McGraw-Hill 1982 Edition MirMoscou OPUAlger OPUAlger Springer 1984 SpringerVerlag SpringerVerlag 1994 9 14 Cours de Mécanique, Tome 1 Mécanique newtonienne 15 Cours de Mécanique, Tome 2 Mécanique analytique 16 Principles of Analytical System Dynamics 17 Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems 18 Analytical Mechanics Jozsef Hering Jozsef Hering Richard A. Layton Javier Garcia de Jalón and Eduardo Bayo A. I. Lurie 2006 1967 1992 1992 1998 2002 133

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