2 Theoritical background
2-1 Principe d’inclusion équivalente d’Eshelby
Le problème d’Eshelby, tel qu’il est indiqué par la figure 2-a, est la situation où une inclusion
élastique 𝜴𝒊 avec un module de rigidité 𝑪𝑖𝑖𝑗𝑘𝑙 est insérée à l'intérieur d'une matrice infinie et
élastique 𝜴𝒎 ayant différent module de rigidité 𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 . L'ensemble (inclusion et matrice) est
soumis à une déformation uniforme 𝝐0𝑖𝑗 liée au champ de contrainte 𝝈0𝑖𝑗 .
Pour résoudre ce problème, Eshelby a introduit le concept "d'inclusion équivalente" en
remplaçant l'inclusion hétérogène par une autre inclusion homogène de même forme et
avec l'ajout d'une déformation libre équivalente 𝛜∗𝒊𝒋 ; afin d’obtenir le même champ de
contrainte et de déformation que celles produites par l'inclusion hétérogène (Fig. 2.b).
La déformation ajoutée peut refléter une transformation de phase au sien du matériau ou
une dilatation thermique, et est exprimée comme suit:
0 , ∀ 𝑋 ∈ 𝜴𝒎
𝛜∗𝒊𝒋 (𝑿) = {𝛜∗ , ∀ 𝑋 ∈ 𝜴
𝒊
𝒊𝒋
(1)
Dans le cas de la figure 2.a ; la différence du comportement élastique entre la matrice et
l’inclusion perturbe le champ de contrainte et de déformation totale, respectivement, par
les valeurs σdij (X) et ϵdij (X). Dans ces conditions la distribution des contraintes et de
déformations totale au sien du solide V sont décrites par les équations suivantes :
𝝈𝑖𝑗 (𝑿) = 𝛔0𝑖𝑗 + 𝝈𝑑𝑖𝑗 (𝑿)
(2)
𝝐𝑖𝑗 (𝑿) = 𝝐0𝑖𝑗 + 𝝐𝑑𝑖𝑗 (𝑿)
(3)
La contrainte σij (X) et sa déformation correspondante ϵij (X) sont corrélées respectivement
m
i
au tenseur de rigidité de la matrice Cijkl
et de l’inclusion Cijkl
par la relation :
0
𝑑
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)) ,
𝝈𝑖𝑗 (𝑿) = {
𝑪𝑖𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐0𝑘𝑙 + 𝝐𝑑𝑘𝑙 (𝑿)) ,
𝑋 ∈ 𝜴𝒎
𝑋 ∈ 𝜴𝒊
(4)
m
i
Dans cette relation les modules de rigidité Cijkl
et Cijkl
sont donnés par l’expression
suivante :
𝑪𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝜹𝑖𝑗 𝜹𝑘𝑙 + 𝜇(𝜹𝑖𝑘 𝜹𝑗𝑙 + 𝜹𝑖𝑙 𝜹𝑗𝑘 )
(5)
Où:
𝜆=
𝐸𝜈
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
𝜇=
𝐸
2(1 + 𝜈)
Figure. 2 : Principe d’homogénéisation ou "d'inclusion équivalente" d’Eshelby.
En appliquant le principe de l’inclusion équivalente d’Eshelby ; il devient alors possible
d'exprimer le champ de contrainte totale par :
0
𝑑
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)) ,
(𝑿)
𝝈𝑖𝑗
={
0
𝑑
∗
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿) − 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)) ,
∀ 𝑿 ∈ 𝜴𝒎
∀ 𝑿 ∈ 𝜴𝒊
(8)
Le tenseur d'Eshelby Sijkl qui a été défini dans son travail original [10] et le plus détaillé par
Mura dans sa référence [5] ; permet de relier la déformation ϵdij dans l'inclusion à la
déformation libre ϵ∗ij ; par la relation ϵdij (X) = Sijkl ϵ∗kl (∀ X ∈ Ωi ) ; d’où l'expression du
champ de contrainte totale devient :
𝝈𝑖𝑗 (𝑿) = {
0
𝑑
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)) ,
∀ 𝑿 ∈ 𝜴𝒎
0
∗
∗
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝑺𝑘𝑙𝑚𝑛 𝛜𝑚𝑛 (𝑿) − 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)) ,
∀ 𝑿 ∈ 𝜴𝒊
(9)
La comparaison de l’Eq.9 et Eq.4 conduit à la relation fondamentale suivante qui corrèle
l’inhomogénéité à la matrice:
0
∗
∗
𝑪𝑖𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐0𝑘𝑙 + 𝑺𝑘𝑙𝑚𝑛 𝛜∗𝑚𝑛 ) = 𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝝐𝑘𝑙 + 𝑺𝑘𝑙𝑚𝑛 𝛜𝑚𝑛 − 𝝐𝑘𝑙 ),
∀ 𝑿 ∈ 𝜴𝑖
(10)
Si le champ de contrainte σ0ij et de déformation ϵ0ij sont donnés, nous pouvons employer
l’Eq.10 pour résoudre le champ de déformation libre ϵ∗ij dans l’inclusion Ωi .
2.2 Condition de saut à travers l’interface matrice/inclusion
Vu que la contrainte σij (X) est discontinue à travers l’interface Ω, quand la déformation libre
ϵ∗ij est connue; Mura et Cheng [36] ont déduit la contrainte du saut ∆σij (X) à travers
l'interface Ω, par l’expression suivante:
𝑚
𝒊𝒏
∗
𝑚
∗
∆𝝈𝑖𝑗 (𝑿) = 𝝈𝒐𝒖𝒕
𝒊𝒋 − 𝝈𝒊𝒋 = 𝑪𝑖𝑗𝑘𝑙 [−𝑪𝑝𝑞𝑚𝑛 𝝐𝑚𝑛 (𝑿)𝑴𝑘𝑝 𝒏𝑞 𝒏𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)], ∀ 𝑿 ∈ 𝜴
(11)
Où:
𝑴𝑘𝑝 =
𝒏𝑘 𝒏𝑝
1
[𝜹𝑘𝑝 −
]
𝜇𝑚
2(1 − ν𝑚 )
(12)
Dans l'Eq.12, nk et np sont les projections du vecteur unitaire n sur les axes xk et xp , tel
qu’indiqué par la figure.3.
δij est l’opérateur delta de Kronecker, μm et νm sont respectivement le module de
cisaillement et le coefficient de Poisson de la matrice Ωm .
Figure. 3 : Vecteur de position d’un point M dans le plan x1 = 0 (n1 = 0).
Vu que la contrainte de saut représente la différence entre la contrainte juste en dehors de
out
l’inclusion σout
et la contrainte au sien de l’inclusion σin
à
ij
ij ; le champ de contrainte σij
travers l’interface Ω peut être donnée par :
𝑖𝑛
𝑚
∗
𝑚
∗
𝝈𝑜𝑢𝑡
𝑖𝑗 = 𝝈𝑖𝑗 + 𝑪𝑖𝑗𝑘𝑙 [−𝑪𝑝𝑞𝑚𝑛 𝝐𝑚𝑛 𝑴𝑘𝑝 𝒏𝑞 𝒏𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 ]
(13)
Il est devenu évident que pour un champ de déformation libre ϵ∗ij donné dans une inclusion
encastrée dans un milieu isotrope, et soumis à un champ de contrainte σ0ij , que l’Eq.13 peut
être employer pour résoudre le champ de contrainte σout
ij autour de l’inclusion.
2-3 Cas d’une inhomogénéité sous forme de cavité sphérique
Si l’inhomogénéité Ωi est considéré comme une cavité sphérique de rayon ρ ; ses
caractéristiques νi , μi et λi peuvent être négligés, et selon l’Eq.5, le tenseur de rigidité de
i
cette cavité devient nul (Cijkl
= 0). Ainsi; σin
ij = 0 et les Eqs.(10) et (13) peuvent être,
respectivement réduites à :
0
∗
𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 [𝝐𝑘𝑙 + (𝑺𝑘𝑙𝑚𝑛 − 𝑰𝑘𝑙𝑚𝑛 )𝛜𝑚𝑛 ] = 0
(14)
Et:
∗
𝑚
∗
𝝈𝑖𝑗 = 𝑪𝑚
𝑖𝑗𝑘𝑙 [−𝑪𝑝𝑞𝑚𝑛 𝝐𝑚𝑛 (𝑿)𝑴𝑘𝑝 𝒏𝑞 𝒏𝑙 + 𝝐𝑘𝑙 (𝑿)]
Où: 𝑰𝑘𝑙𝑚𝑛 est le tenseur unitaire d’ordre quatre.
∀𝑿∈𝛀
(15)