Lógica
Matemática
Profa. Dra.
Elisângela
Silva Dias
Semântica
Lógica Matemática
Bibliografia
Semântica
Profa. Dra. Elisângela Silva Dias
elisangelasd@ufg.br
Instituto de Informática
Universidade Federal de Goiás
Introdução
Lógica
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Profa. Dra.
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Proposições
Sintaxe e
semântica
Interpretação
Tabelasverdade
Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Definição 1 (Proposições)
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas.
Exemplo 1
1
Brasília é a capital do Brasil (V).
2
Eu gosto de Lógica Matemática (V).
3
Plutão é um planeta do sistema solar (F).
4
Todo elefante é azul (F).
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Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Princípios ou axiomas da lógica clássica
Princípio da identidade
Toda proposição é idêntica a si mesma.
Ex.: P é P.
Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo.
Princípio do terceiro excluído
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não existindo
um terceiro valor que ela possa assumir.
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Condicional
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Bibliografia
Proposições simples
Proposições simples são sentenças declarativas (palavras ou
símbolos) que exprimem um pensamento sentido completo.
Elas também são conhecidas como sentenças atômicas,
átomos ou subfórmulas.
Não contêm nenhuma outra proposição como parte
integrante de si mesma.
Elas são representadas por letras minúsculas do alfabeto da
língua portuguesa.
Exemplo 2
p: “Hoje é segunda-feira”.
q: “Hoje está chovendo”.
r: “Carlos tem uma moto”.
s: “O número 25 é par”.
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Bibliografia
Proposições compostas
Também são conhecidas como moleculares ou fórmulas.
São formadas pela composição de duas ou mais
proposições (subfórmulas).
São representadas por letras maiúsculas do alfabeto da
língua portuguesa ou letras gregas.
Exemplo 3
Seja p a proposição “Hoje é segunda-feira” e q a proposição
“Hoje está chovendo”.
P1 : “Hoje não é segunda-feira” (P1 = ¬p).
Q1 : “Hoje é segunda-feira e está chovendo” (Q1 = p ∧ q).
R: “Hoje é segunda-feira ou está chovendo” (R = p ∨ q).
S: “Se hoje é segunda-feira, então está chovendo”
(S = p → q).
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Bibliografia
Conectivos
São palavras utilizadas para formar proposições compostas
a partir de proposições simples.
Exemplo 4
Negação: ¬ (não, é falso que, não é verdade que).
Conjunção: ∧ (e).
Disjunção: ∨ (ou).
Disjunção exclusiva: ⊕ (ou exclusivo, ou . . . ou).
Condicional: → (se . . . então, implica).
Bicondicional: ↔ (se e somente se).
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Sintaxe e semântica
Os símbolos sintáticos definem as fórmulas.
As fórmulas estão associadas a significados semânticos.
Temos dois mundos: o sintático e o semântico.
O mundo sintático é constituído pelos símbolos do alfabeto
e as fórmulas consideradas apenas como concatenações de
símbolos que representam afirmações.
O mundo semântico é onde se define o significado dos
símbolos e fórmulas do mundo sintático.
Analogia: língua portuguesa.
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Sintaxe e semântica
Esta visão é importante na Computação, pois o
computador é uma máquina estritamente sintática, sendo
necessário dar um significado ou semântica aos símbolos
por ela manipulados.
Além disso, o ato de programar pode ser considerado como
a tradução de um conhecimento semântico para um
programa sintático que é manipulado pela máquina.
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Interpretação
O significado ou semântica dos elementos sintáticos é
determinado por uma função I, denominada Interpretação.
Essa função associa cada fórmula a um valor de verdade
“verdadeiro” ou “falso”, que é representado,
respectivamente, por V e F .
Como as fórmulas possuem apenas dois tipos de
significados, a Lógica Proposicional é denominada de
lógica bivalente.
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Definição 2 (Função binária)
Uma função é binária se seu contradomínio possui apenas dois
elementos.
Definição 3 (Interpretação)
Uma interpretação I é uma função binária tal que:
o domínio de I é constituído pelo conjunto das fórmulas da
Lógica Proposicional;
o contradomínio de I é o conjunto {V, F };
dado um símbolo proposicional p, então I[p] ∈ {V, F }.
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Tabelas-verdade
As regras semânticas são representadas por tabelas,
denominadas tabelas-verdade.
São tabelas com todos os valores lógicos ou interpretações
possíveis das proposições simples.
A interpretação da fórmula depende unicamente da
interpretação das proposições simples componentes,
ficando por elas univocamente determinados.
As tabelas-verdade têm 2n linhas, onde n é a quantidade
de proposições simples.
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Definição 4 (Negação)
Seja p uma proposição. A negação de p, denotada por ¬p
(e também por pĚ„ ou ∼ p), é a sentença “não é o caso de p”.
A proposição ¬p é lida como “não p”. O valor de verdade
da negação de p (¬p) é o oposto do valor de verdade de p.
Sejam φ e ψ fórmulas. Se φ = ¬ψ, então
I[φ] = I[¬ψ] = V , se I[ψ] = F e
I[φ] = I[¬ψ] = F , se I[ψ] = V .
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Tabela-verdade da negação de uma fórmula
ψ
F
V
¬ψ
V
F
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Exemplo 5 (Negação)
Seja a proposição p: “Hoje é sexta-feira.”
A negação de p é:
¬p: “Não é o caso de hoje ser sexta-feira.”
A negação pode ser expressa:
¬p: “Não é verdade que hoje é sexta-feira.”
¬p: “Hoje não é sexta-feira.”
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Definição 5 (Conjunção)
Sejam p e q proposições. A conjunção de p e q, denotada
por p ∧ q, é a proposição “p e q”.
A conjunção (p ∧ q) é verdadeira quando ambas
interpretações são verdadeiras, e falsa em qualquer outro
caso.
Pode ser expressa por palavras como: mas, todavia,
contudo, no entanto, visto que, enquanto, além disso,
embora.
Sejam φ, ψ e γ fórmulas. Se φ = (ψ ∧ γ), então
I[φ] = I[ψ ∧ γ] = V , se I[ψ] = V e I[γ] = V e
I[φ] = I[ψ ∧ γ] = F , se I[ψ] = F e/ou I[γ] = F .
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Tabela-verdade para a conjunção de duas fórmulas
ψ
F
F
V
V
γ
F
V
F
V
ψ∧γ
F
F
F
V
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Traduzindo
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Exemplo 6 (Conjunção)
Seja a proposição p:“Hoje é sexta-feira.”
Seja a proposição q: “Hoje está chovendo.”
Então, p ∧ q: “Hoje é sexta-feira e está chovendo.”
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Definição 6 (Disjunção)
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Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
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Seja p e q proposições. A disjunção de p e q, denotada por
p ∨ q, é a proposição “p ou q”. Também é conhecida como
disjunção inclusiva.
A disjunção (p ∨ q) é falsa se as interpretações de p e q são
ambas falsas, e verdadeira em qualquer outro caso.
Sejam φ, ψ e γ fórmulas. Se φ = (ψ ∨ γ), então
I[φ] = I[ψ ∨ γ] = V , se I[ψ] = V e/ou I[γ] = V e
I[φ] = I[ψ ∨ γ] = F , se I[ψ] = F e I[γ] = F .
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Traduzindo
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Tabela-verdade para a disjunção de duas fórmulas
ψ
F
F
V
V
γ
F
V
F
V
ψ∨γ
F
V
V
V
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Disjunção
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Precedência
Traduzindo
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Exemplo 7 (Disjunção)
Seja a proposição p:“Hoje é sexta-feira.”
Seja a proposição q: “Hoje está chovendo.”
Então, p ∨ q: “Hoje é sexta-feira ou está chovendo.”
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Definição 7 (Disjunção exclusiva)
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Tabelasverdade
Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
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Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Sejam p e q proposições. A disjunção exclusiva de p e q,
denotada por p ⊕ q, é a proposição “p ou exclusivo q”.
A disjunção exclusiva é verdadeira quando as
interpretações de p e q são distintas e falsa quando as
interpretações são idênticas.
Sejam φ, ψ e γ fórmulas. Se φ = (ψ ⊕ γ), então
I[φ] = I[ψ ⊕ γ] = V , se I[ψ] 6= I[γ] e
I[φ] = I[ψ ⊕ γ] = F , se I[ψ] = I[γ].
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Bicondicional
Precedência
Traduzindo
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Tabela-verdade para o ou exclusivo de duas fórmulas
ψ
F
F
V
V
γ
F
V
F
V
ψ⊕γ
F
V
V
F
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Negação
Conjunção
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Condicional
Bicondicional
Precedência
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Exemplo 8 (Disjunção exclusiva)
Seja a proposição p:“Hoje é sexta-feira.”
Seja a proposição q: “Hoje está chovendo.”
Então, p ⊕ q: “Ou hoje é sexta-feira ou está chovendo.”
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Disjunção
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Bicondicional
Precedência
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Definição 8 (Condicional)
Sejam p e q proposições. A proposição condicional p → q
é a proposição “se p, então q”.
A condicional é falsa quando a interpretação de p é
verdadeira e a interpretação de q é falsa e é verdadeira em
qualquer outro caso.
Dizemos que p é a hipótese (ou antecedente ou
premissa) e q é a conclusão (ou consequente ou
consequência).
Sejam φ, ψ e γ fórmulas. Se φ = (ψ → γ), então
I[φ] = I[ψ → γ] = V , se I[ψ] = F e/ou I[γ] = V e
I[φ] = I[ψ → γ] = F , se I[ψ] = V e I[γ] = F .
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Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Podemos expressar:
p implica q;
Sempre que p, temos q;
p é suficiente para q;
q é necessário para p;
q se p;
p somente se q.
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Bicondicional
Precedência
Traduzindo
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Bibliografia
Podemos expressar:
p implica q;
Sempre que p, temos q;
p é suficiente para q;
q é necessário para p;
q se p;
p somente se q.
Tabela-verdade para a condicional de duas fórmulas
ψ
F
F
V
V
γ
F
V
F
V
ψ→γ
V
V
F
V
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Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Exemplo 9 (Condicional)
Seja a proposição condicional “Se Marcos passar no teste de
Lógica Matemática, então irá ao cinema no sábado”.
p é “Marcos passar no teste de Lógica Matemática”.
q é “irá ao cinema no sábado”.
Se Marcos não passar no teste, independente se ele vai ou
não ao cinema, não podemos afirmar que a proposição
é falsa.
Se Marcos passar no teste e for ao cinema, a proposição é
verdadeira.
Se Marcos passar no teste e não for ao cinema, a
proposição é falsa.
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Interpretação
Tabelasverdade
Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
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Bibliografia
Definição 9 (Bicondicional)
Sejam p e q proposições. A proposição bicondicional
(p ↔ q) é a proposição “p se e somente se q”.
Ela é verdadeira sempre que p e q têm o mesmo valor de
verdade e é falsa em qualquer outro caso.
É uma abreviação de (p → q) ∧ (q → p).
Sejam φ, ψ e γ fórmulas. Se φ = (ψ ↔ γ), então
I[φ] = I[ψ ↔ γ] = V , se I[ψ] = I[γ] e
I[φ] = I[ψ ↔ γ] = F , se I[ψ] 6= I[γ].
Lógica Proposicional
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Podemos expressar:
se p então q e vice-versa;
Semântica
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Sintaxe e
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Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
p é necessária e suficiente para q;
p sse q (p iff q).
Lógica Proposicional
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Podemos expressar:
se p então q e vice-versa;
Semântica
Proposições
Sintaxe e
semântica
Interpretação
Tabelasverdade
Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
p é necessária e suficiente para q;
p sse q (p iff q).
Tabela-verdade para a bicondicional de duas fórmulas
ψ
F
V
F
V
γ
F
F
V
V
ψ↔γ
V
F
F
V
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Bicondicional
Precedência
Traduzindo
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Bibliografia
Exemplo 10 (Bicondicional)
Seja a proposição bicondicional “Marcos será aprovado se e
somente se obtiver nota maior ou igual a 7,0 no teste de
Lógica Matemática”.
1 Se Marcos não obtiver nota maior ou igual a 7,0
e for reprovado, a proposição é verdadeira.
e for aprovado, a proposição é falsa.
2
Se Marcos obtiver nota maior ou igual a 7,0
e for reprovado, a proposição é falsa.
e for aprovado, a proposição é verdadeira.
Tabelas-verdade
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Tabelasverdade
Negação
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Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Relembrando as prioridades entre os operadores lógicos
Operador
¬
∧
∨
→
↔
Prioridade
1
2
2
3
3
Traduzindo sentenças
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Precedência
Traduzindo
Sentenças
Exemplo 11 (Sentença em português)
Seja a sentença em português: “Um aluno de Lógica
Matemática será aprovado somente se obtiver nota maior
ou igual a 6,0 e obtiver frequência mínima de 75% das
aulas”. Como traduzi-la em expressões lógicas?
Tradução
1
Utilize variáveis para cada sentença da proposição:
use p para “um aluno de Lógica Matemática será
aprovado”;
use q para “obtiver nota maior ou igual a 6,0”; e
use r para “obtiver frequência mínima de 75% das aulas”.
Bibliografia
2
A sentença pode ser representada por:
p → q ∧ r.
3
Por que a expressão q ∧ r → p não está correta?
Traduzindo sentenças
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Disjunção
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Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Exemplo 12 (Sentença em português)
Expresse a sentença “A resposta automática não pode ser
enviada quando o sistema está sobrecarregado”, usando
conectivos lógicos.
Tradução
p: “a resposta automática pode ser enviada”.
q: “o sistema está sobrecarregado”.
Logo, ¬p representa “a resposta automática não pode ser
enviada”.
A sentença pode ser representada por: q → ¬p.
Traduzindo sentenças
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Conjunção
Disjunção
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Bicondicional
Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Exercício 1
Traduza a sentença em português “Você pode acessar a
internet a partir deste campus somente se você é um
expert em computação ou não é um novato” para uma
expressão lógica equivalente.
Tradução
p: “você pode acessar a internet a partir deste campus”.
q: “você é um expert em computação”.
r: “você é um novato”.
¬r: “você não é um novato”.
A sentença pode ser representada por: p → (q ∨ ¬r).
Traduzindo sentenças
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Precedência
Traduzindo
Sentenças
Bibliografia
Exercício 2
Traduza a sentença em português “Você pode pular de
paraquedas se você tem autorização de seus pais ou se
tem mais de 18 anos” para uma expressão lógica equivalente.
Tradução
p: “você pode pular de paraquedas”.
q: “você tem autorização de seus pais”.
r: “você tem mais de 18 anos”.
A sentença pode ser representada por: (q ∨ r) → p.
Referências bibliográficas
Lógica
Matemática
Profa. Dra.
Elisângela
Silva Dias
Semântica
Bibliografia
Referências
ALENCAR Filho, Edgard de,
Iniciação à Lógica Matemática.
Editora Nobel, 1990.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; SOUZA Filho, Oswaldo Melo,
Introdução à Lógica Matemática.
Editora Cengage Learning, 2012.
GERSTING, J. L.
Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
5a. edição, Editora LTC, 2004.
ROSEN, K. H.,
Matemática Discreta e suas aplicações.
6a. edição, Editora McGraw Hill, 2009.
SOUZA, João Nunes de,
Lógica para Ciência da Computação e áreas afins.
3a . edição, Editora Elsevier, 2015.
SCHEINERMAN, Edward R.
Matemática Discreta, Uma introdução.
Thomson Pioneira, 2003.
