CONTENIDO PROGRAMÁTICO
GUÍA PARA PRESENTAR ETS
UNIDAD DE APRENDIZAJE: ELECTROMAGNETISMO
UNIDAD TEMÁTICA: I CAMPO ELECTROSTÁTICO Y LEY DE GAUSS.
I.1 Carga eléctrica.
I.1.1 Conservación y cuantización de la carga. Modelos atómicos hasta el cuántico,
experimento de Millican y descripción de los métodos de electrización.
I.2 Ley de Coulomb (cargas puntuales).
I.2.1 Fuerza electrostática entre dos cargas puntuales. Ley del inverso al cuadrado.
I.2.2 Fuerza electrostática en sistemas de cargas puntuales (Principio de superposición y la
relación con la cinémática y dinámica de la partícula).
I.3 Campo electrostático (cargas puntuales).5
I.3.1 Campo electrostático producido por una carga puntual. Líneas de campo.
I.3.2 Campo electrostático generado por un sistema de cargas puntuales. (Principio de
superposición y movimiento de cargas en campos electrostáticos uniformes).
I.3.3 Campo electrostático generado por distribuciones continuas de carga. (carga lineal finita,
anillo y disco). 4
I.3.4 Ley de Coulomb para distribuciones continuas de carga. (carga lineal finita, anillo y disco).
I.4 Flujo electrostático y ley de Gauss.
I.4.1 Flujo eléctrico.
I.4.2 Ley de Gauss. Aplicaciones de la Ley de Gauss: esferas uniformemente cargadas
conductoras y no conductoras.una línea infinita de carga, plano infinito
de carga, esferas y cilindros cargados conductores y dieléctricos.
UNIDAD TEMÁTICA: II POTENCIAL ELECTROSTÁTICO.
II.1 Potencial electrostático y diferencia de potencial.
II.1.1 Diferencia de potencial en sistemas discretos de carga.
II.I.2 Potencial electrostático para un desplazamiento infinitesimal y debido a un sistema de
cargas puntuales.
II.1.3 Energía potencial electrostática y Trabajo realizado en el movimiento cargas puntuales
en una región de campo electostático.
II.I.4 Energía potencial electrostática y Trabajo realizado para formar configuraciones discretas
de cargas puntuales.
II.2 Potencial electrostático y diferencia de potencial para distribuciones continuas de carga en
cuerpos como: (varilla delgada finita, anillo, disco, esferas conductoras y no conductoras, plano
infinito, varilla delgada infinita y cilindros conductores y no conductores).
II.3 Superficies equipotenciales.
II.4 Gradiente potencial electrostático.
UNIDAD TEMÁTICA: III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA.
III.1 Capacitancia.
IIII.1.1 Cálculo de capacitancia para los capacitores de placas planas paralelas, esféricos y
cilíndricos.
III.1.2 Agrupamientos de capacitores: serie, paralelo y mixto.
III.1.3 Almacenamiento de energía en capacitores.
. III.1.4 Geometría del capacitor y dieléctricos.
III.2 Corriente eléctrica, resistencia, densidad de corriente y resistividad.
III.3 Ley de Ohm.
III.3.1 Intercambio y conservación de la energía en un circuito eléctrico simple (Potencia y
efecto Joule).
III.4 Agrupamientos y circuitos de resistencias en serie, paralelo y mixto.
III.4.1 Fuerza electromotriz y los circuitos simples de corriente directa.
III.4.2 Circuitos resistivos y las Reglas de Kirchhoff (Leyes de conservación de la carga y la
energía).
III.4.3 Circuitos RC, carga y descarga de un capacitor.
UNIDAD TEMÁTICA:
IV
CAMPO MAGNÉTICO (FUENTES E INTERACCIÓNES).
IV.1 Campo magnético.
IV.1.1 Fuerza Lorentz (debido a un campo magnético y campos cruzados).
IV.1.2 Fuerza magnética de un conductor con corriente.
IV.1.3 Momento dipolar magnético (Torca o momento de un par magnético).
IV.2 Ley de Ampere.
IV.2.1 Ley de Biot-Savart. Campo magnético (conductor lineal finito, espiras y bobinas planas).
IV.2.2 Ley de Ampere. Campo magnético (conductor infinito, solenoide y toroide con corriente).
IV.2.3 Fuerza magnética entre conductores con corriente.
IV.3 Ley de Faraday.
IV.3.1 Flujo magnético.
IV.3.2 Ley de Faraday y ley de Lenz.
IV.3.3 Generador de ca.
IV.3.4 Fuerza electromotriz de movimiento.
IV.4 Inductancia.
IV.4.1 Autoinductancia e inductancia mutua.
IV.4.2 Circuitos RL,LC y RLC.
IV.4.3 Corriente alterna.
IV.4.3.1 Fasores y corrientes alternas.
IV.4.3.2 Resistencia y reactancia.
IV.4.3.3 Circuito de corriente alterna RLC serie.
IV.4.3.4 Potencia en circuitos de corriente alterna.
IV.4.3.5 Resonancia en circuitos de corriente alterna.
IV.4.4 Transformadores.
Bibliografía:
- Serway-Jewett. Física para ciencias e ingeniería. Vol. 2. Décima edición. Editorial CENGAGE Learning.
- Sears y Zemansky. Física Universitaria. Vol. 2. 13a edición. Editorial PEARSON.
- Tipler-Mosca. Física para la ciencia y la tecnología. Vol. 2. 6a edición. Editorial REVERTÉ.
-- Resnick-Halliday-Krane. Física Volmen 2. 5ª edición. Editorial CECSA.
-- Wolfgang Bauer-Gary D, Westfall. Física para ingeniería y ciencias. Volmen 2. Segunda edición. Editorial
Mc Graw Hill Educación.
UNIDAD TEMÁTICA I: CAMPO ELÉCTRICO
Y LEY DE GAUSS
I.1. CARGA ELÉCTRICA, ELECTRIZACIÓN Y
CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.
1.1.1 Carga y materia. Conductores y aisladores.
1.1.2 Conservación y cuantización de la carga.
1.- Un cuerpo neutro adquiere una carga eléctrica
negativa de -12 nC, determine el número de electrones
adquiridos en el proceso de electrización.
R: N = 7.5 X 1010 electrones.
2.- En algún proceso de electrización un conductor
inicialmente neutro, adquiere una carga de 8 mC,
determinar el número de electrones y la masa que el
conductor cede en dicho proceso.
R: N = 5 X 1016 electrones y m = 4.55 X 10-14 kg.
3.- Una esfera maciza de aluminio tiene un radio de 2 cm,
determina el número de átomos que la conforman,
sabiendo que la densidad del aluminio es de 2.7 X 103
kg/m3 y la masa molar de este elemento es de 26.982 g.
R: Na = 2.02 X1024.
4.- Dos pequeños objetos, A y B están fijos en un sitio y
separados por una distancia de 2 cm. El objeto A tiene
una carga de +1.00 μC y el objeto B, una de -1.00 μC.
¿Cuántos electrones es necesario retirar de A y colocar
en B a fin de que la fuerza eléctrica entre ellos sea de
atracción con una magnitud de 45 N?
R: N = 2.56 X 1012 electrones.
5.- Dos esferas conductoras idénticas, 1 y 2, portan igual
cantidad de carga, están fijas y separadas por una
distancia grande en comparación con su diámetro. Se
repelen una a la otra con una fuerza eléctrica de 90 mN.
Suponga ahora que una tercera esfera idéntica 3, está
sujeta a un barra aislante e inicialmente neutra, se pone
en contacto con la esfera 1, luego con la esfera 2 y que
finalmente se separa. Calcule ahora la magnitud de la
fuerza que experimenta cada esfera.
F
1
2
5.- Un pequeño bloque de cobre tiene una masa de 8 g,
si el número atómico de este elemento es 29 y su masa
molar es de 63.54 g. Determinar: (a) La carga total
positiva en el bloque. (b) La carga total negativa en el
bloque. R: a) 351 687.76 C y b) -351 687.76 C.
6.- ¿Cuántos electrones es necesario retirar de una
moneda de plata inicialmente neutra para obtener 3.8 μC
de carga? R: N = 2.375x1013 electrones.
7.- Una esfera metálica tiene una carga de +8 μC ¿cuál
es su carga neta luego de que se le añaden 6 x 1013
electrones? R: q = -1.6 X 10-6 C.
I.2 LEY DE COULOMB (Cargas puntuales)
1.- ¿Qué exceso de electrones ha de colocarse sobre
cada una de dos pequeñas esferas idénticas y separadas
3 cm, si la fuerza de repulsión entre ellas ha de ser 10-19
N? R: N = 625 electrones.
2.- Al principio, dos pequeñas esferas son neutras y
están separadas por una distancia de 0.50 m. Suponga
que de una esfera se retiran 3.0 x 10 13 electrones y se
depositan en la otra. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
electrostática que actúa sobre cada esfera? Representa a
la fuerza eléctrica en cada esfera. R: F = 0.83 N.
3.- Dos pequeñas esferas idénticas se colocan de forma
que sus centros se encuentren separados 0.3 m;
considerando que las cargas de estas esferas son de
12 nC y -16 nC. a) Determine la fuerza electrostática que
ejerce una carga sobre la otra. b) Hallar la carga
resultante sí se conectan dichas esferas con un alambre
conductor.
3
paso 1
inicio
2
1
4.- Un cilindro macizo de oro tiene un radio de 5 cm y una
longitud de 20 cm, determina el número de átomos que lo
conforman, si la densidad del oro es de 19.3 X 103 kg/m3
y la masa molar de este elemento es de 196.967 g.
R: Na = 9.27 X 1025.
2
1
-F
3
F’
1
paso 2
2
-F’
fin
6.- Cada una de dos pequeñas esferas está cargada
positivamente; siendo la carga total 52.6 µC. La magnitud
de la fuerza de repulsión es de 1.19 N cuando las esferas
están separadas 1.94 m. Encontrar la carga de cada una
de las esferas. R: q1 = 40.23 μC y q2 = 12.58 μC.
7.- Dos esferas conductoras idénticas, con cargas de
signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de 0.300
N cuando las separa una distancia de 60.0 cm. De
repente las conecta un alambre conductor delgado, que
después se quita; posteriormente las esferas se repelen
por una fuerza de 0.060 N. ¿Cuál era su carga inicial?
8.- Cuatro cargas puntuales se localizan de la siguiente
manera: q1 = - 8 nC en (-3,5) m, q2 = 4 nC en (6,4) m,
q3 = 7 nC en (-3,-5) m y q4 = -2 nC en (3,-2) m. Calcule
la fuerza neta sobre: a) q1 y b) q3.
R: a) F1 = 2.39  10-9 N ˆi - 4.13  10-9 N ˆj.
y b) F3 = 1.4  10-9 N ˆi + 5.2  10 -9 N ˆj.
9.- Tres cargas puntuales están distribuidas como se
indica: q1 = 9 µC en (-2,-4,6) m, q2 = -6 µC en (4,-5,3) m y
q3 = -3 µC en (6,3,-5) m. Determine la fuerza neta que
experimenta: a) q1 y b) q2.
ˆ y
R: a) F1= 9.89 mN ˆi - 1.1 mN ˆj - 5.42 mN k.
•
ˆ
b) F2 = -9.56 mN ˆi + 0.71 mN ˆj + 5.53 mN k.
10.- Tres cargas puntuales idénticas, cada una de
magnitud q están colocadas sobre los vértices de un
triángulo isósceles con su altura orientada verticalmente;
considerando que la altura del triángulo es de 6.0 cm y la
base de 4.0 cm y sí además se sabe que la magnitud de
la fuerza electrostática resultante sobre la carga
localizada en el vértice superior es 0.12 N, determinar el
valor de la carga. R: 1.6 X 10-7 C.
1
11.- Cinco cargas iguales Q están igualmente espaciadas
en un semicírculo de radio R como indica la figura,
determine la fuerza neta en la carga q localizada en el
centro del semicírculo.
y
Q
Q
R
Q
q
x
18.- Dos esferitas idénticas están suspendidas por hilos
de longitud L están fijos a un punto común en el techo
como se muestra en la figura. Las esferas tienen una
masa m y al inicio están neutras colgando directamente
hacia abajo. Si se cargan positivamente con igual carga,
separándose entre sí formando un ángulo θ con la
vertical. (a) Demostrar que la carga q está dada por
q = 2L sen θ mgtan  / K (b) Si m = 12 g, L = 48 cm, K
es la constante eléctrica y θ = 8°, que valor tiene la carga
q.
Q
Q
12.- Dos partículas con cargas positivas idénticas están
separadas por una distancia de 2.60 x 10-2 m,
Inmediatamente de ser soltadas, la partícula 1 tiene una
aceleración instantánea cuya magnitud es 4.60 X 103
m/s2, mientras que la partícula 2 tiene una aceleración
instantánea cuya magnitud es 8.50 X 10 3 m/s2. La
partícula 1 tiene una masa de 6.00 X 10-6 kg.
Encuentre (a) la carga sobre cada partícula y (b) la masa
de la partícula 2. R: a) q = 4.5x10-8 C, b) m2= 3.2x10-6 kg.
13.- Una carga puntual de - 2.5 μC se localiza en el
origen, otra carga de 6 µC está en (1, 0.5) m. Calcule las
coordenadas x e y de la posición en la que un electrón
estaría en equilibrio. R: (-1.81, -0.905) m. R: d = 1.64 m.
14.- Una cuenta con carga q1 = 1.27 µC está fija en su
sitio al final de un alambre que forma un ángulo de θ =
51.3° con la horizontal. Una segunda cuenta con masa
m2 = 3.77 g y carga de 6.79 µC se desliza sin fricción por
el alambre. ¿Cuál es la distancia d a la que la fuerza de
gravedad de la tierra es equilibrada por la fuerza
electrostática entre las dos cuentas? Ignore la interacción
gravitacional entre las dos cuentas.
15.- Dos esferas pequeñas idénticas tienen una masa m
y una carga q; se les coloca en un tazón de material
aislante sin fricción y de radio R; como se muestra en la
figura. Las esferas al llegar al reposo se encuentran
separadas una distancia R, determine la carga de cada
esfera.
R
R
R
qq
q
16.- Una carga Q está colocada en cada uno de los
vértices opuestos de un cuadrado de lado a. Otra carga q
está situada en cada uno de los otros dos vértices;
considerando que la fuerza electrostática sobre Q es 0. a)
Encontrar la relación entre Q y q, b) ¿Podría elegirse a q
tal que la fuerza coulombiana resultante sobre cada
carga sea 0? R: Q = 2 2 C.
17.- Dos esferitas idénticas están suspendidas por hilos
de 0.25 m de longitud que están fijos a un punto común
en el techo. Las esferas tienen una masa de 8.0 x 10-4 kg
y al inicio están neutras, colgando directamente hacia
abajo. Luego, se cargan positivamente con cargas
iguales, separándose entre sí formando un ángulo de 36º
entre los hilos. Determine (a) la carga en c/u y (b) la
magnitud de la tensión en los hilos.
R: (a) q = 82x10-9 C y (b) T = 8.243x10-3 N.
L
L
θ
θ
19.- Un cubo de lados a tiene una carga puntual q en
cada esquina. Calcule la fuerza eléctica en cualquiera de
las cargas, debido a las demás.
20.-Dos
cargas puntuales positivas e iguales son
sostenidas y están separadas a un distancia fija 2a. Se
coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a
la línea que une a las cargas y a la mitad entre ellas.
Determine el radio R del círculo en este plano en el cual
la fuerza que experimenta la carga de prueba alcanza su
valor máximo. R: R = a / 2.
q
R
a
q
a
I.3 CAMPO ELECTROSTOSTÁTICO (Cargas
puntuales)
1.- Cuatro cargas se colocan de la siguiente manera:
q1 = -5C en (-3, 4) m, q2 = 3 C en (0, 2) m, q3 = -4 C
en (2, 0) m y q4 = 9 C en (1, -3) m. (a) ¿Cuál es el
campo neto en el punto P (1, 2) m? (b) ¿Qué aceleración
instantánea experimentará un electrón en ese punto?
R: a) EP = 28207.47 N/C ˆi - 2193.65 N/C ˆj .
b) a = -4.95X1015 m/s 2 ˆi + 3.86 X 1014 m/s 2 ˆj .
2.- Tres cargas puntuales están distribuidas en el espacio
como se indica: q1 = 9 µC en (2,4,6) m, q2 = -6 µC en
(-4,5,-3) m y q3 = -3 µC en (-6,3,5)m. Determine el campo
eléctrico neto generado por las cargas en los puntos:
a) (8,6,2) m y b) (-8,-6,-6) m.
3.- Los lados de un triángulo equilátero miden 0.15 m.
En sus vértices hay cargas de q1 = -9 μC, q2 = +8 μC y
q3 = +2 μC, como se muestra en la figura. Encuentre el
campo eléctrico neto en el baricentro de triángulo.
R: EC = 6.2 MN/C ˆi + 16.6 MN/C ˆj
q1
q2
q3
2
4.- La carátula de un reloj tiene las cargas puntuales
negativas –q, -2q, -3q, … , -12q fijas en las posiciones de
los numerales correspondientes. Las manecillas no
perturban el campo. ¿A qué hora el horario apuntará en
la misma dirección del campo eléctrico en el centro de la
carátula?
5.- En la figura que se muestra a continuación ambas
cargas son positivas y de igual intensidad de carga.
Demostrar que en el punto P la magnitud del campo
resultante ER está dado por: E = ke 2q/L2, suponiendo
que L ›› a, y ¿Cuál es la dirección del E ?
q
a
L
11.- Un electrón con rapidez inicial v0 = 1.6 X106 m/s
va al interior de un campo eléctrico uniforme entre las
placas paralelas como se muestra en la figura, el campo
eléctrico fuera de las placas es nulo. El electrón ingresa
al campo en un punto equidistante entre las dos placas.
(a) Si el electrón apenas libra la placa superior al salir del
campo, encuentre la magnitud del campo eléctrico (b)
Suponga que el electrón es sustituido por un protón con
la misma rapidez inicial v0. ¿Golpearía el protón a alguna
de las placas? Si el protón no golpea alguna de las
placas, ¿cuáles serían la magnitud y dirección de su
desplazamiento vertical a medida que sale de la región
comprendida entre las placas?
R: (a) E = 364 N/C y (b) y = - 2.72 µm.
+++++++++++++++
+ v0
P
a
q
-
6.- La figura muestra una carga q1 = 1 x 10-6 C. A 10 cm
se localiza otra carga q2 = 2 x 10-6 C. ¿En qué punto a lo
largo de la línea que une a las cargas es nula la
intensidad de campo eléctrico? R: x = 0.041m.
10 cm
q2
q1
7.- Una partícula cuya carga es de –2 x 10-9 C recibe la
acción de una fuerza eléctrica dirigida verticalmente hacia
abajo de 3 x 10-6 N en un campo eléctrico uniforme.
Encontrar (a) La intensidad del campo eléctrico (b) La
fuerza eléctrica ejercida sobre un protón dentro de ese
campo. R: a) E = 1500 N/C ˆj ; b) F = 2.4 X 10 -16 ˆj .
8.- En una región situada entre dos placas cargadas
opuestamente existe un campo eléctrico uniforme. Un
electrón se suelta desde el reposo de la superficie de la
placa cargada negativamente y golpea la superficie de la
placa opuesta, situada a 1.95 cm en 14.7 ns. a) Hallar la
rapidez del electrón con la que golpea la placa, b)
Encontrar la magnitud del campo eléctrico.
9.- Encontrar la aceleración de un electrón en un campo
eléctrico uniforme de 1 x 106 N/C, además del tiempo que
tardaría partiendo del reposo, en alcanzar una rapidez a
la décima parte de la rapidez de la luz.
R: a = 1.7 X 1017 m/s2 justifica la dirección con un sistema
de referencia y b) t= 1.76 X 10-10s.
10.- Dos placas metálicas y paralelas tienen una
separación de 6.00 cm, hay un campo eléctrico uniforme
entre ellas, como se muestra en la figura. Se libera un
protón de la placa positiva y al mismo tiempo un electrón
de la placa negativa, sin considerar la fuerza atractiva
entre las particulas determine la distancia desde la placa
positiva a la cual las partículas pasan una al lado de la
otra.
Placa
positiva
+
Placa
negativa
E
-
E
1cm
________________
__
2 cm
12.- Un protón se mueve en dirección horizontal con
rapidez de 4.5 X 105 m/s. Entra a una región de campo
eléctrico uniforme vertical hacia arriba con magnitud de
9.6 X103 N/C. Calcule: a) el tiempo que tarda el protón en
recorrer 5 cm horizontalmente. b) su velocidad vertical
después de haber recorrido dicha distancia. c) La
velocidad que tiene en el recorrido mencionado.
R: (a) t = 1.11 X10-7 s, (b) vy = 1.02 X105 m/s y
(c) v = 4.5 x105 m / s ˆi + 1.02x10 5 m / s ˆj.
13.- Como se muestra en la figura, un electrón es
lanzado con una velocidad de v0 = 4.85 X 106 m/s con un
ángulo de Ө = 40°, en una región de campo eléctrico
uniforme cuya magnitud es de 2000 N/C, si d = 2 cm y
L = 6 cm ¿a cuál de las placas golpeara y en qué
posición horizontal?
_______________
____
v0
d
E
Ө
++++++++++++++
L
I.4. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuciones uniformes de carga)
1.- Una carga Q positiva está distribuida de manera
uniforme a lo largo del eje x, de x = 0 a x = a. Una carga
puntual positiva q se localiza en la parte positiva del eje x,
en x = a + r, una distancia r a la derecha del final de Q,
como se muestra en la figura. (a) Calcule las
componentes en x y y del campo eléctrico producido por
la distribución de carga Q en puntos sobre el eje x
positivo, donde x > a. (b) Calcule la fuerza que la
distribución ejerce sobre q. (c) Demuestre que si r >> a,
la magnitud de la fuerza en el inciso (b) es
aproximadamente Qq/4πƐ0r2. Explique cómo se obtiene
este resultado.
y
r
Q
+++++++++++++
a
q
+
x
3
2.- En la figura, la carga positiva Q = 7.81 pC está
distribuida uniformemente a lo largo de una varilla
delgada no conductora de longitud L = 14.5 cm. ¿Cuál es
el campo eléctrico producido en el punto P, a una
distancia R = 6.00 cm de la varilla a lo largo de su
bisector perpendicular? R: EP = 12 448. 51 N/C ˆj
8.- En la figura una varilla no conductora “semi-infinita”
(es decir, infinita sólo en una dirección) tiene densidad de
carga uniforme λ. Demuestre que el campo eléctrico E P
en el punto P forma un ángulo de 45° con la varilla y que
este resultado es independiente de la distancia R.
+++++++++++++++++++++
R
R
+++++++++++++++++++++
L
P
3.- Determine la fuerza eléctrica neta en q3 = 6 µC debido
a las cargas: λ = -9 µC/m y q1 = 8 µC, ver figura:
R: F3 = -16.2 N ˆi + 1 080 N ˆj
y[cm]
q3
_ _ _ _ _ _ λ_ _ _ _ _ _
+
x[cm]
_
4
6
-2
+q
1
4.- Suponer que la varilla mostrada en la figura tiene una
densidad uniforme de carga positiva λ en su mitad
superior y una densidad uniforme de carga negativa -λ en
su mitad inferior. Calcule la fuerza neta que opera sobre
ˆ
la carga q1. R: F1 = - (q1 /2 0 )[1/y - 1/(y 2 + L2 /4)½ ] k.
z
L/2
+
q1
9.- Una varilla aislante de 14 cm de longitud cargada
uniformemente se dobla hasta darle una forma
semicircular, como se ve en la figura. La varilla tiene una
carga total de -7.50 µC. Calcule el campo eléctrico en 0,
el centro del semicírculo. R: E = 21.6 MN/C ˆj.
y
y
R
x
0
10.- Calcula el campo eléctrico en el origen pero ahora
colocando la varilla semicircular en forma vertical sobre el
segundo y tercer cuadrante.
11.- En la figura dos varillas de plástico curvas, una con
carga +Q y la otra con carga –Q, forman un círculo de
radio R = 8.5 cm en el plano xy. El eje x pasa por ambos
puntos de conexión y la carga está distribuida de manera
uniforme en ambas varillas. Si Q = 15 pC, ¿cuál es el
campo eléctrico producido en el centro del círculo?
R: E = -23.8 N/C ˆj.
y
x
+Q
-L/2
R
5.- Determine la fuerza eléctrica neta en q0 = 8 nC cuya
posición es (0,5,0) cm, debido a un anillo con carga
uniforme λ = - 9 nC/m y radio 2 cm. El anillo se coloca de
manera paralela al plano xz, haciendo coincidir su centro
en el origen. R: F0 = - 2.61 X 10-5 N ˆj.
6.- Realizar lo mismo que en el problema anterior pero
remplazando el anillo por un disco del mismo radio y
carga, pero de signo opuesto.
7.- Una línea cargada como la del problema 2 se extiende
desde y = 2.5 cm hasta y = -2.5 cm. La carga total
distribuida uniformemente en la línea es -9 µC. (a)
Calcule el campo eléctrico sobre el eje x en x = 10 cm. (b)
¿La magnitud del campo eléctrico que calculo en el inciso
anterior es mayor o menor, que el campo eléctrico a 10
cm de una carga puntual que tiene la misma carga total
de esa línea de carga finita. (c) Realice la misma
comparación de campo eléctrico, considerando en primer
lugar un anillo cuyo perímetro sea de la longitud de la
carga lineal con su centro en el origen y colocado
paralelamente al plano yz. Luego para un disco con el
mismo radio del anillo y colocado en la misma posición.
x
0
-Q
12.- La figura muestra tres arcos circulares centrados en
el origen de un sistema de referencia. En cada uno de los
arcos la carga uniformemente distribuida se dá en los
términos de Q = 2.00 µC. Los radios se dan en términos
de R = 10.0 cm. ¿Cuál es el campo eléctrico neto en el
origen debido a los tres arcos?
R: E0 = -1.15 MN/C ˆi - 1.15 MN/Cjˆ
y
+9Q
3R
-4Q
2R
R
0
+Q
x
4
13.- En la figura se observa una varilla delgada no
conductora fija, cuya densidad lineal de carga es λ = -6
nC/m y longitud L = 45 cm. Si una pequeña esfera de
masa m = 3.0 g se coloca a una distancia R = 20 cm de
la varilla a lo largo de su bisector perpendicular. ¿Cuál
será la carga que debe tener la esferita para mantenerse
en reposo en dicha posición? R: q = -1.21 X 10-4 C.
R
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
L
I.5. FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
1.- Un campo eléctrico uniforme de 2000 N/C dirigido
horizontalmente a la derecha como se muestra en la
figura, atraviesa un prisma rectangular, determine el flujo
sobre las tres superficies si S1, S2 y S3; tienen por lados
40 cm por 10 cm, 40 cm por 15 cm y 10 cm por15 cm
respectivamente.
6.- Un campo eléctrico es E = 200 N/C ˆi para x > 0 y
E = -200 N/C ˆi para x < 0. Un cilindro circular recto de
20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en
el origen y su eje está situado a lo largo del eje x de
modo que una de las caras está en x =10 cm y la otra
en x = -10 cm. Calcule: a) El flujo saliente que atraviesa
cada cara circular. b) El flujo que atraviesa la parte lateral
del cilindro. c) El flujo neto saliente que atraviesa toda la
superficie cilíndrica. d) La carga neta en el interior del
cilindro. R: a)  = 1.57 Nm2/C, b)  = 0 Nm2/C,
c)  = 3.14 Nm2/C y d) q = 2.78  10-11 C.
7.- Dos cargas eléctricas q1 = 4 µC y q2 = - 10 µC se
encuentran dentro de la superficie cerrada s 1, fuera de
esta superficie se encuentran las cargas q 3 = 9 µC,
q4 = 1 µC y q5 = 2 µC, que a su vez están encerradas en
la superficie esférica s2 y por último fuera de la superficie
esférica se encuentran las cargas q6 = 8 µC, q7 = - 5 µC y
q8 = -2 µC encerradas por la superficie cubica s 3 como se
muestra en la figura: Determine el flujo neto a través de
cada superficie cerrada. R: 1 = - 677 966.1 Nm2/C, 2 =
677 966.1 Nm2/C y 3 = 790 960.45 Nm2/C.
- q7
S1
E
S3
S2
30°
2.- Realizar lo mismo que el problema anterior,
considerando que el flujo eléctrico ahora se dirige
verticalmente hacia arriba.
3.- Un campo eléctrico uniforme dado por:
N
E = a ˆi + b ˆj + c kˆ   intersecta una superficie plana de
C
2
área A (m ). ¿Cuál es el flujo a través del área si la
superficie se encuentra: a) en el plano YZ, b) en el plano
XZ y c) en el plano XY.
4.- En un campo eléctrico uniforme E = 2 kN/C ˆi . (a)
¿Cuál es el flujo eléctrico a través de un cuadrado de 10
cm de lado cuyo plano es paralelo plano yz? (b) ¿Cuál
es el flujo eléctrico que atraviesa el mismo cuadro si la
normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje x?
R: a)  = 20 Nm2/C y b)  = 17.32 Nm2/C.
5.- Un cubo de aristas de 1.4 m está orientado como se
muestra en la figura en una región de campo eléctrico
uniforme. Encuentre el flujo eléctrico a través de la cara
derecha si el campo eléctrico expresado en N/C, está
dado por:(a) -2 ĵ y (b) 6 î .
R: a)  = -3.92 Nm2/C y b) cero.
z
s1
+ + q3 q1 q2
+
+ s2
+ q4 q5
q6
s3
q8
-
8.- Medidas cuidadosas del campo eléctrico en la
superficie de una caja negra indican que el flujo saliente
neto a través de la superficie de la caja es 6 kN m2/C. a)
¿Cuál es la carga neta en el interior de la caja? b) Si el
flujo neto a través de la superficie de la caja fuese cero,
¿podría concluir de que no hay ninguna carga en el
interior de la caja? ¿Por qué sí o por qué no?
R: a) q = 5.3x10-8 C.
9.- Una carga puntual Q se coloca justamente en el
centro de curvatura de una superficie semiesférica de
radio R. a) Encontrar el flujo eléctrico a través de dicha
superficie, b) Suponga que la superficie considerada en
el inciso a) es ¾ de la superficie esférica, hallar el flujo a
través de esta superficie.
10.- Una carga puntual q está colocada a una distancia
d/2 sobre la línea perpendicular a una superficie
cuadrada de lado d; suponga que esta línea pasa por el
centro de la superficie, hallar el flujo eléctrico a través de
dicha superficie.
10.- Un cono de radio R de base y altura h se encuentra
en una mesa horizontal. Un campo horizontal E penetra
el cono, como se muestra en la figura. Determinar el flujo
eléctrico que entra en el lado izquierdo del cono.
E
y
x
h
R
5
11.- Se coloca una carga puntual Q en el centro de una
superficie cúbica de lado a. Encontrar el flujo eléctrico a
través de esta superficie considerando que la carga es
negativa. Resuelva el problema cuando Q es positiva y
está colocada en uno de los vértices del cubo; en tal caso
calcular el flujo eléctrico a través de la superficie cúbica.
12.- Un cascarón esférico de radio R rodea a una carga q
localizada en su centro como se muestra en la figura.
Demuestre que el flujo eléctrico a través de una tapa
circular de medio ángulo θ es:
q(1-cos)
=
θ
20
R
17.- Utilizando el modelo de Thomson (actualmente
caduco) considere un átomo que consiste en dos
electrones, cada uno con carga –e, inmersos en una
esfera de carga +2e y radio R. En el equilibrio, cada
electrón está a una distancia d del centro del átomo,
como muestra la figura. Calcule la distancia d en términos
de las propiedades del átomo.
+2e
-e
d
d
-e
-e
R
-e
-e
q
13.- Una sola carga puntual q = +2 C está en el origen.
Una superficie esférica de 3 m de radio tiene su centro en
el eje x en el punto x = 5 m. a) Dibujar las líneas de
campo eléctrico correspondientes a la carga puntual.
¿Hay líneas que entran en la superficie esférica? b)
¿Cuál es el número neto de líneas que salen de la
superficie esférica, recordando que el número de las que
entran es un flujo negativo? c) ¿Cuál es el flujo neto del
campo eléctrico debido a la carga puntual que atraviesa
a la superficie esférica?
R: a) si, b)  = 22 619.5 Nm2/C y c) cero, explique.
14.- Se tiene una corteza esférica conductora de 8 cm de
diámetro con una carga de 4 C, ¿cuál es el campo
eléctrico en los puntos de la esfera que coincidan con los
ejes positivos x,y y z? a) Dentro de la esfera. b) A 2 cm
sobre su superficie. c) En un punto muy próximo a su
superficie. R: a) cero,
ˆ
b) E = 10 MN/C ˆi, E = 10 MN/C ˆj y E = 10 MN/C k.
c) E = 22.5 MN/C ˆi, E = 22.5 MN/C ˆj y E = 22.5 MN/C kˆ .
15.- Una esfera no conductora de radio 6 cm posee una
densidad volumétrica de carga uniforme  = 450 nC/m3.
Calcule la carga total de la esfera y determine el campo
eléctrico en los puntos coincidentes con los ejes positivos
x,y y z a. a) r = 2 cm, b) r = 5.9 cm, c) r = 6.1 cm y
d) r = 10 cm. R: Q =4.07x10-10 C
a) E = 339.16 N/C ˆi, E = 339.16 N/C ˆj y
E = 339.16 N/C kˆ
b) E = 1 kN/C ˆi, E = 1 kN/C ˆj y 1 kN/C kˆ .
c) E = 984.41 N/C ˆi, E = 984.41 N/C ˆj y
E = 984.41 N/C kˆ .
d) E = 366.42 N/C ˆi, E = 366.42 N/C ˆj y
E = 366.42 N/C kˆ .
16.- Una carga Q positiva está distribuida de manera
uniforme sobre cada uno de los dos volúmenes esféricos
con radio R. Una esfera de carga está centrada en el
origen y la otra en x = 2R, como se muestra en la figura.
Encuentre el campo eléctrico neto debido a estas dos
distribuciones de carga en los siguientes puntos sobre el
eje x: (a) x = 0; (b) x = R/2; (c) x = R; (d) x = 3R.
y
18.- Para la distribución de carga que se muestra en la
figura adjunta y considerando que a = 5.0 cm, b = 20.0
cm & c = 25.0 cm. Además suponga que la magnitud del
campo eléctrico en un punto a 10.0 cm del centro tiene
un valor de 3.6 x 103 N/C radialmente hacia adentro;
mientras que el campo valuado en 50.0cm es 2.0 x 102
N/C radialmente hacia afuera, con esta información
encuentre: a) La carga en la esfera aislante de radio a, b)
La carga en la coraza conductora, de radio interior b, c)
La carga total en la superficie externa de la distribución
de carga.
c
a
b
19.- Una esfera conductora sólida de radio R tiene
una distribución uniforme de carga, con una densidad
ρ = ρsr/R donde ρs es una constante, y r la distancia del
centro de la esfera. Demuestre que a) la carga total en la
esfera es Q = πρsR3 y b) la magnitud del campo eléctrico
dentro de la esfera está dado por: E = K Qr2/R4.
20.- a) Una esfera aislante con radio a tiene una
densidad de carga uniforme ρ. La esfera no está centrada
en el origen, sino en r = b. Demestre que el campo
eléctrico en el interior de la esfera está dado por:
E = (r − b) / 3 0 . b) Una esfera aislante de radio R tiene
un agujero esférico de radio a ubicado dentro de su
volumen y cn centro a una distancia b del centro de la
esfera, donde a<b<R, en la figura se muestra una
sección transversal de la esfera. La parte sólida de la
esfera tiene una densidad volúmetrica de carga uniforme
ρ. Obtenga el campo eléctrico E dentro del agujero y
demuestre que E es uniforme en todo el agujero.
[sugerencia: use el principio de superposición y el
resultado del inciso a).]
y
b
R
R
R
R
x
a
x
6
21.- Una esfera aislante de radio R tiene una densidad de
carga volumétrica como función de r, dada por ρ(r) = Ar2;
con A constante y r < R, donde r se mide
aproximadamente desde el centro de la esfera. a) Hallar
una expresión para el campo eléctrico para r < R, b)
Calcular el campo eléctrico en magnitud para r>R.
Suponga que la carga total es Q
27.- Un cilindro cuya longitud es de 12 m y un radio de 6
cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme 
= 300 nC/m3. Si su eje coincide con el eje x y sus caras
circulares con x = 6 m y x = -6 m. Calcule la carga total
del cilindro y el campo eléctrico en el punto coincidente
con el eje z negativo:
ˆ
R: Q = 4.07 X 10-8 C y E = -1 017.88 N/C k.
22.- Dos placas idénticas con cargas opuestas se
encuentran paralelas al plano yz, la positiva está en el
origen del eje x y la negativa en x = 8 cm. Determine el
campo resultante en los puntos: (a) x = 6, (b) x = -6
28.- Una carga de 6 nC se coloca uniformemente sobre
una hoja cuadrada de material no conductor de 20 cm de
lado en el plano yz. Calcule: a) La densidad de carga .
b) El campo eléctrico a la derecha y a la izquierda de la
hoja. c) Se coloca la misma carga sobre un bloque
cuadrado conductor de 20 cm de lado y 1 mm de
espesor ¿Cuál es la densidad de carga ()? (Admitir que
la carga se distribuye por sí misma de modo uniforme en
las superficies del bloque cuadrado).
d) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico justo a la
derecha y a la izquierda de cada cara del bloque?
R: a)
=1.5x10-7 C/m2, b) E = 8 474.58 N/C ˆi y
E = - 8 474.58 N/C ˆi c)  = 7.4x10-8 C/m2
R: a) E = /0 ˆi y b) cero.
23.- Dos grandes placas metálicas de área 1 m2 están
colocadas de frente. Su separación es de 5 cm y tienen
cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores;
debido a ello generan un campo eléctrico de 55 N/C entre
ellas. a) ¿Cuál es la carga eléctrica en las placas? b)
¿Qué ocurre con el campo eléctrico entre las placas si no
son de signos opuestos pero con carga de igual valor?
R: a) Q = 4.8710-10 C y b) cero
24.- Una moneda está en una región de campo eléctrico
externo de 1.6 k N/C cuya dirección es perpendicular a
sus caras. Calcular: (a) La densidad de carga en cada
cara de la moneda suponiendo que son planas. (b) Si el
radio de la moneda es de 1 cm, ¿cuál es la carga neta en
una cara? R(a)  = 28x10-9 C/m2 y b) Q = 8.9x10-12 C.
25.- La figura siguiente representa una sección a través
de un tubo metálico largo de pared delgada de radio R,
que tiene una densidad de carga en su superficie.
Deducir expresiones de E para diversas distancias r
perpendiculares al eje del tubo, suponiendo que:  = 2 x
10-8 C/m y R = 3 cm. (a) considerando a r  R, (b) r  R y
(c) r = R.
R: (a) E = 2Kλ/r para r > R y (b) cero para r  R
y (c) E = 12 000 N/C para r = R.
eje
R
26.- La figura siguiente muestra en sección a dos largas
cortezas cilíndricas, concéntricas de radios a y b. Las
cortezas tienen cargas iguales y opuestas con una
densidad de carga lineal . Usando la Ley de Gauss,
demostrar: a) E = 0 para r  a. b) Entre los cilindros E
está dada por: E = λ /2 0r.
eje
a
b
d) E = 4 197.74 N/C ˆi y E = - 4 197.74 N/C ˆi
29.- Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme
de  = -1.5 C/m es paralela al eje y en
x = -2 m, una
carga puntual de 1.3 C está localizada en el punto A
cuyas coordenadas son (1, 2) m. Determinar el campo
eléctrico en el punto P de coordenadas (2, 1.5) m.
R: E = 1 621.83 N/C ˆi - 4185.92 N/C ˆj.
30.- Una placa conductora tiene una densidad de carga
superficial  = 7 x 10-8 C/m2 si se suspende una carga
positiva de 3 g por medio de un hilo como se muestra en
la figura. Determine la carga eléctrica q. R: 1.31 X10-6 C.
+
+
+
+10°
+
+
+
q
31.- Resuelva el problema anterior pero ahora sustituye a
la placa conductora por una corteza cilíndrica de 50 cm
de longitud, con la misma σ, con su eje vetical y radio de
8 cm. La carga q se suspende respecto a la superfie
exterior de la corteza.
UNIDAD
TEMÁTICA
ELÉCTRICO.
II:
POTENCIAL
II.1. POTENCIAL ELÉCTRICO Y DIFERENCIA
DE POTENCIAL.
1.- Tres cargas puntuales están en el eje x, q1 en el
origen, q2 en x = 3 m y q3 en x = 6 m. Calcular el
potencial en el punto (0,3) si: (a) q1 = q2 = q3 = 2 μC
(b) q1 = q2 = 2 μC y q3 = -2 μC (c) q1 = q3 = 2 μC y q2 = -2
μC. R: a) V = 12925.92 volts, b) V = 7559.36 volts y
c) V = 4440.64 volts.
7
2.- En la siguiente figura encuentre los puntos para los
cuales: (a) V = 0 y (b) E = 0. Considérese solamente
puntos en el eje x tómese a d = 1 m.
d
-q
-3q
3.- Una partícula con carga +q está en el origen. Una
partícula con carga -2q está en x = 2.00 m sobre el eje x.
¿Para qué valores finitos de x el potencial eléctrico es
cero?
4.- Dos cargas q1 = 8 C y q2 = 6 C se encuentran en los
puntos x = 3 cm y x = 9 cm respectivamente. Determine:
a) El potencial eléctrico en los puntos A (4, 3) cm y
B (-2, 4) cm. b) La diferencia de potencial del punto A al
punto B. c) La energía potencial que tendrá una carga de
prueba de 6 nC en el punto B. d) El trabajo que se
requiere para trasladar esta carga de prueba desde el
punto B al punto A. R: a) VA=3´181034.48 V y
VB=1´586534.46 V
b) VAB=1´594500.02V,
c) UB=0.0095J y d) W = 0.0096J.
5.- Un campo eléctrico uniforme tiene el sentido x
negativo. Los puntos a y b están en el eje x, a en x = 2
m y b en x = 6 m (a) ¿Es positiva o negativa la diferencia
de potencial Vb – Va? (b) Si el valor de Vb – Va es 1x105
V, ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico?
R: a) respuesta conceptual y b) E = 25 000 N/C.
6.- En la figura, un campo eléctrico uniforme de magnitud
325 V/m está dirigido en la dirección negativa y. Las
coordenadas del punto A son (-0.200, -0.300) m, y las del
punto B son (0.400. 0.0500) m. Calcule, utilizando la
trayectoria señalada, la diferencia de potencial (VB - VA)
y
B
x
A
7.- Una esfera pequeña con masa de 2.5 g cuelga de
una cuerda entre dos placas verticales paralelas
separadas por una distancia de 6.00 cm, como muestra
la figura. Las placas son aislantes y tienen densidades de
carga superficial uniformes de +σ y –σ. La carga sobre la
esfera q = 7.6 µC. ¿Qué diferencia de potencial entre las
placas ocasionará que la cuerda forme un ángulo de 25°
respecto a la vertical?
25°
q
6.00 cm
II.1.1 Energía potencial eléctrica
1.- Los puntos A, B y C están en los vértices de un
triángulo equilátero de 3 m de lado. Cargas iguales
positivas de 2 μC están en A y B. a) ¿Cuál es el
potencial del punto C? b) ¿Cuánto trabajo realiza la
fuerza eléctrica al trasladar una carga positiva de 5 μC,
por medio de una fuerza externa, desde el infinito hasta C
manteniendo fijas las otras cargas? c) Responder a los
incisos (a) y (b) si la carga situada en B se sustituye por
una carga de -2 µC. R: a) V = 12 000 V, b) W = -0.06 J.
2.- Las cargas mostradas en la siguiente figura, están
fijas en el espacio. Calcule el valor de la distancia x, de
modo que la enrgía potencial eléctrica del sistema sea
cero.
x
14.6 cm
25.5 nC
17.2 nC
-19.2 nC
3.- Una carga puntual q1 = 2.40 μC se mantiene
estacionaria en el origen. Una segunda carga puntual q2
= -4.20 μC se mueve del punto (0.150,0) m, al punto
(0.250,0.250) m. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza
eléctrica sobre q2? R: W = -0.348 J.
4.- Una carga puntual q1 se fija en el origen. Se coloca
una segunda carga q2 en el punto a, si la energía
potencial eléctrica del par de cargas es +5.4 X 10-8 J.
Cuando la segunda carga se mueve del punto a al punto
b, la fuerza eléctrica sobre la carga realiza un trabajo de
-1.9 X 10-8 J. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del
par de cargas cuando la segunda carga se mueve del
punto a al punto b? R: U = 7.3 x 10-8 J.
5.- En moléculas de cloruro de sodio gaseoso, el ion cloro
tiene más de un electrón que un protón, y el ion sodio
tiene un protón más que un electrón. La distancia
aproximada entre estos iones es de 0.236 nm. ¿Cuánto
trabajo se requiere para incrementar la distancia entre
entre estos iones hasta 1.00 cm? R: W = 9.76 eV.
6.- Una carga puntual positiva +q está localizada en el
punto x = -a. (a)¿Cuánto trabajo se necesita para llevar
una segunda carga puntual igual y positiva +q desde el
infinito a x = +a? (b) Si tenemos dos cargas iguales
positivas en x = -a y x = +a, ¿cuánto trabajo se requiere
para trasladar una tercera carga –q desde el infinito hasta
el origen? (c) ¿Cuánto trabajo es necesario para mover la
carga –q desde el origen hasta el punto x = 2a a lo largo
de una trayectoria semicircular?
+q
+
-a
0
+q
+
+a
2a
7.- Una carga puntual q1 = 4.60 μC se mantiene fija en el
origen. Una segunda carga q2 = 1.20 μC con masa de
2.80 X 10-4 kg se coloca en el eje x, a 0.250 m del origen.
a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del par de
cargas? (considere U = 0 cuando las cargas tengan
separación infinita). b) La segunda carga puntual se
libera del reposo. ¿Cuál es su rapidez cuando su
distancia al origen es i) 0.500 m; ii) 5.00 m; iii) 50.0 m?
R: a) U = 0.199 J, b) i) v = 26.66 m/s, ii) v =36.75 m/s y
iii) v = 37.61 m/s.
8
8.- Una esfera metálica pequeña tiene una carga q1 =
-3.4 µC y se mantiene fija mediante soportes aislantes
como se muestra en la figura. Una segunda esfera
metálica también pequeña de carga q2 = -6.8 µC y masa
de 3 g es proyectada hacia q1. Cuando las cargas están a
una distancia de 1.50 m una de otra, q2 se mueve hacia
q1 con una rapidez de 18 m/s. Suponga que las dos
esferas pueden considerarse como cargas puntuales y
que se ignora la fuerza de gravedad. a) ¿Cuál es la
rapidez de q2 cuando las esferas están a 0.500 m una de
la otra? b) ¿Qué tan cerca de q1 llega q2?
R: a) v = 11.79 m/s, b) d = 0.333 m.
ʋ =18 m/s
q2
q1
1.50 m
9.- Demuestre que la cantidad de trabajo requerida para
colocar cuatro partículas idénticas con carga Q en las
esquinas de un cuadrado de lado s es igual a:
W = 5.41 K Q2/s.
10.- ¿Qué trabajo se requiere para colocar desde el
infinito tres cargas como se indica? a) q1 = q2 = 2 μC y
q3 = -2 μC, colocadas en los vértices de un triángulo
isósceles de 5, 5 y 2 cm de lados.
b) q1 = q3 = 2 μC y
q2 = -2 μC, colocados en los vértices de un triángulo
escaleno de 2, 4 y 5 cm de lados.
R: a) W = -0.36 J, b) W = -1.98 J.
11.- Hallar la energía electrostática para colocar una
carga puntual en cada uno de los vértices de un
pentágono de lado a; para facilitar el álgebra suponga
que las cinco cargas son idénticas. Posteriormente
encontrar el potencial electrostático en el centro del
pentágono
12.- Dos superficies conductoras planas, cargadas y
paralelas, están separadas por una distancia d = 1.00 cm
y producen una diferencia de potencial ∆V = 625 V entre
ellas. Un electrón se proyectó desde una superficie
directamente hacia la segunda. ¿Cuál es la rapidez inicial
del electrón si se detiene precisamente en la segunda.
13.- Un plano infinito con densidad de carga
superficial σ = + 25 μC/m2 se encuentra en el plano yz.
(a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico expresada
en N/C? ¿En volts por metro? ¿Cuál es la dirección de E
para valores positivos de x? (b) ¿Cuál es la diferencia
de potencial Vb – Va cuando el punto b se encuentra en x
= 20 cm y el punto a está en x = 50 cm? (c) ¿Cuánto
trabajo se necesita para que un agente externo traslade
a una carga qo = + 1.5 nC del punto a al b?
R: (a) E = 1 412 429.38 N/C o E =1 412 429.38 V/m,
(b)Vab = 423 728.81 V y (c) W = 6.36 x 10-4 J
14.- ¿A través de qué diferencia de potencial debe pasar
un electrón para que adquiera una rapidez de 3 x 10 6
m/s? R: V = 25.6 V.
15.- Dos placas conductoras paralelas poseen
densidades de cargas iguales y opuestas de modo que el
campo eléctrico entre ellas es aproximadamente
uniforme. La diferencia de potencial entre dos placas es
de 500 V y están separadas por una distancia de 10 cm.
Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la
placa negativa. (a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico
entre las placas? ¿Cuál placa está a potencial más
elevado, la positiva o la negativa? (b) Hallar el trabajo
realizado por el campo eléctrico sobre un electrón que se
mueve desde la placa negativa hasta la placa positiva.
Expresar la respuesta en joules y en electrón volts. (c)
¿Cuál es la variación de energía potencial del electrón
cuando se mueve desde la placa negativa hasta la
positiva? ¿Cuál es la energía cinética cuando llega a la
placa positiva? R: a) E = 5000 V/m, b) W = 8x10-17 J,
W = 500 eV y c) U = -8x10-17 J, K = 8x10-17 J.
16.- Un electrón se acelera a través de una diferencia de
potencial de 1 volt. ¿Cuánto aumenta su energía
cinética? Repita el problema pero ahora considere un
protón. R: electrón ΔK = 1.6 x 10-19J = 1 eV y para el
protón = ΔK = 1.6 x 10-19J = 1 eV.
17.- Un campo eléctrico uniforme de valor 2 kN/C está en
la dirección x positiva. Se deja en libertad una carga
puntual q = 3 μC inicialmente en reposo en el origen. a)
¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando está en
x = 4 m? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial
de la carga desde x = 0 hasta x = 4 m?
R: a) K = 0.024 J, b) U= -0.024 J.
II.1.2 Potencial electrostático y diferencia de
potencial para distribuciones continuas de
carga
1.- Una varilla delgada como la que se muestra en la
figura tiene una densidad de carga uniforme λ,
Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en el
punto Q a un costado y en el punto P que se encuentra a
una distancia r sobre su bisectriz.
P
Q
+++++++++++++++++++++
L
a
2.- El potencial eléctrico en el interior de un conductor
esférico cargado de radio R está dado por V = K Q/R y el
potencial eléctrico en el exterior está dado por V = K Q/r.
A partir de Er = -dV/dr determine el campo eléctrico: a) en
el interior y b) en el exterior de esta distribución de carga.
3.- ¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia y = 0.85
m a lo largo de la bisectriz perpendicular de un alambre
delgado con longitud 20 m y con una carga distribuida
uniformemente Q = 3.50 X 10-7 C?
R: V = 969.92 V
4.- Considere un anillo de radio R con carga total Q
distribuida uniformemente en su perímetro ¿Qué
diferencia de potencial hay entre el centro del anillo y un
punto de su eje a una distancia 3R del centro?
Q 1

−1 .
R: V = k 
R  10 
9
5.- Un alambre con una densidad de carga lineal
uniforme λ se dobla como se muestra en la figura.
Determine el potencial eléctrico en el punto 0.
R: V0 = Kλ[2 ln(3) + π]
6.- Un conductor esférico tiene un radio de 14.0 cm y una
carga de 26.0 μC. Calcule el campo eléctrico y el
potencial eléctrico a las siguientes distancias del centro:
a) r = 0, b) r = 0.10 m, c) r = 0.20 m y d) r = 0.14 m.
7.- Una hoja infinita tiene una densidad superficial de
carga de 3.5 μC/m2. ¿A qué distancia están entre si los
planos equipotenciales cuya diferencia de potencial sea
de 100 V? R: d = 5.06x10-4 m
8.- Una carga lineal infinita de densidad lineal λ = 2.5
µC/m se encuentra sobre el eje z. Determinar el potencial
a distancias de (a) 3 m, (b) 6 m y (c) 9 m. de la línea,
suponiendo que V = 0 a 4 m.
R: (a) V = 12 946.69 V, b) V = -18 245.93 V y c) V = -36
491.86 V.
9.- Una carga de 9 x 10-7 C se distribuye uniformemente
sobre una corteza esférica de 15 cm de radio. (a) ¿Cuál
es la magnitud del campo eléctrico justo en el exterior de
la corteza y justo en el interior de la misma? (b) ¿Cuál es
el potencial eléctrico justo en el exterior de la corteza y
justo en el interior de la corteza? (c) ¿Cuál es el potencial
eléctrico en el centro de la corteza y el campo eléctrico
en dicho punto?
10.- Un conductor de radio R1 está cargado a 20 kV.
Cuando se conecta mediante un fino y largo alambre a
una segunda esfera conductora situada lejos de la
primera esfera, su potencial cae a 12 kV. ¿Cuál es el
radio de la segunda esfera?
11.- Los centros de dos esferas metálicas de radio 10 cm
están separados 50 cm sobre el eje x. Las esferas son
inicialmente neutras, pero una carga Q se transfiere de
una esfera al otra, creando una diferencia de potencial
entre las esferas de 100V. Un protón se libera desde el
reposo en la superficie de la esfera positivamente
cargada y se mueve hacia la esfera cargada
negativamente. ¿Cuál es la energía cinética del protón
justo en el instante en que choca con la esfera de carga
negativa? ¿A qué rapidez choca conta la esfera
negativa?
12.- Dos conductores esféricos cargados, de radios R1 =
12 cm y R2 = 7 cm, están separados por una distancia
muy grande y conectados por un alambre conductor
largo y delgado, como se ve en la figura. Una carga total
Q = 120 nC se sitúa en una de las esferas y se permite
que el sistema alcance el equilibrio electrostático. (a)
¿Cuál es la carga de cada esfera? (b) ¿Cuál es campo
eléctrico cerca de la superficie de cada esfera? (c) ¿Cuál
es el valor del potencial eléctrico de cada esfera?
(Suponer que la carga en el cable de conexión es
despreciable).
13.- Una esfera metálica centrada en el origen tiene una
densidad superficial de carga σ = 24.6 nC/m 2. En r = 2.0
m, el potencial es de 500 V y el módulo del campo
eléctrico es 250 V/m. (Asumir que el potencial es cero
lejos de la esfera). (a) Determinar el radio de la esfera
metálica. (b) ¿Cuál es signo de la carga de la esfera?
(Explique la respuesta).
14.- Un anillo delgado con carga uniforme tiene un radio
de 20 cm y carga total de 35 nC. Se coloca un electrón
sobre el eje del anillo a una distancia de 25 cm de su
centro y queda restringido a permanecer sobre ese eje.
Después se libera el electrón desde el reposo. (a)
Describa el movimiento posterior del electrón. (b)
Determine la rapidez del electrón cuando alcanza el
centro del anillo. R: a) MAS, b) v = 14.44 Mm/s.
15.- Un disco de radio R figura tiene una densidad de
carga superficial no uniforme σ = Cr donde C es una
constante y r se mide a partir del centro del disco a un
punto en la superficie del disco. Determine por
integración directa el potencial en P.


x
V = KC R x 2 + R2 + x 2 ln

2
2
R + x +R 

II.2 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
1.- Una carga puntual q = 1/9 C está en el origen.
Considerando el potencial cero para r = ∞, situar
superficies equipotenciales a intervalos de 20 V desde el
infinito hasta 100V y hacer un esquema a escala. ¿Son
equidistantes las superficies? R: r20V = 50 000 000 m,
r40v = 25 000 000 m, r60V = 16 666 666.67m, r80v = 12 000
000 m y r5 = 10 000 000 m.
2.- Una carga puntual q1 = +6e está fija en el origen de un
sistema coordenado rectangular, y una segunda carga
puntual q2 = -10e está fija en x = 9.60 nm, y = 0. Con V =
0 en el infinito, el sitio de todos los puntos en el plano xy
con V = 0 es un círculo centrado en el eje x, como se
muestra en la figura. Determine (a) la posición de xc el
centro del círculo (b) el redio R del círculo. (c) ¿Es
también un círculo el equipotencial V = 5 V?
y
V=0
R
x
q1
q2
x
c
10
II.3 GRADIENTE DE POTENCIAL ELÉCTRICO
1.- El potencial eléctrico en una región del espacio viene
dada por: V(x,y,z) = (2 V/m2 )x 2 + (1 V/m 2 )yz
Determina el campo eléctrico en el punto x = 2 m, y = 1 m,
ˆ
z = 2m. R: E = -8 V/m ˆi - 2 V/m ˆj - 1 V/m k.
2.- En cierta región del espacio el potencial eléctrico
es V(x,y,z) = Axy - Bx 2 +Cy, donde A, B y C son
constantes positivas. a) Calcule las componentes x, y y z
del Campo eléctrico. b) ¿En qué puntos el potencial
eléctrico es cero? R: a) Ex = Ay – 2Bx, Ey = Ax, Ez = 0
3.- El potencial debido a una carga puntual q en el origen
KQ
se puede escribir como: V(x,y,z) =
2
x + y 2 + z2
a) Calcule Ex, Ey y Ez. b) Demuestre que los resultados
del inciso a) concuerdan con la ecuación de campo
eléctrico para una carga puntual.
4.- El potencial eléctrico en una región entre x = 0 y
x = 6.00 m es V = a + bx, donde a = 10.0 V y b = -7 V/m.
Para x = 0, 3.00 m y 6.00 m, determine: a) el potencial
eléctrico y b) el campo eléctrico.
UNIDAD TEMÁTICA III: CIRCUITOS DE
CORRIENTE CONTÍNUA.
III.1. CAPACITANCIA.
1.- Un capacitor esférico está formado por dos esferas
metálicas concéntricas, cuyos radios son R1 y R2. La
esfera interna tiene una carga de Q, y la esfera externa –
Q, determine:(a) La diferencia de potencial entre las
esferas. (b) La capacitancia.
R: a) Vba = kQ (rb – ra /rarb), b) C = 4πЄ0 rarb/(rb – ra).
2.- Un capacitor esférico con aire entre sus placas, de
radios interior y exterior son de 7cm y 14 cm
respectivamente. a) Calcule la capacitancia del
dispositivo. b) ¿Qué diferencia de potencial debe
aplicarse entre las esferas para obtener una carga de 4
μC en el capacitor?
3.- Un cable coaxial tiene un cilindro conductor interno
rodeado por un cascarón cilíndrico, también conductor.
Cada uno tiene ± λ densidad de carga lineal. Calcule la
capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial si
su conductor interno tiene 1.5 mm de radio y su
conductor externo tiene 4.5 mm de radio interno.
R: Vba = 2kλln (rb/ra), C = ℓ / 2k ln (rb/ra), C/ ℓ = 50.61 pF/m.
4.- A través de los dos cilindros conductores colineales
que se muestran en la figura se aplica una diferencia de
potencial de 100 V. El radio del cilindro exterior es 15.0
cm, el radio del cilindro interior es 10.0 cm y la longitud
de los dos cilindros es 40.0 cm. ¿Cuánta carga se aplica
a cada uno de los dos cilindros? ¿Cuál es la magnitud del
campo eléctrico entre los dos cilindros?
5.- Dos capacitores con placas paralelas, C1 y C2, se
conectan en serie a una batería de 96.0 V. Las placas de
ambos capacitores tienen un área de 1.00 cm 2 y una
separación de 0.100 mm; C1 tiene aire entre sus placas,
y el espacio entre las placas de C2 está lleno de
porcelana (constante dieléctrica de 7.0 y resistencia
dieléctrica de 5.70 kV/mm). a) Después del cargado,
¿cuáles son las cargas sobre cada capacitor? b) ¿Cuál
es la energía total almacenada en los dos capacitores?
c) ¿Cuál es el la magnitud del campo eléctrico entre las
placas de C2?
R: a) Q1 = Q2 =743.4 X 10-12 C, b) U = 35.68 nJ, c ) E =
120 KV/m.
6.- Considere diversas combinaciones de tres capacitores,
cada uno con una capacitancia de 2 μF. (a) Dibuje un
agrupamiento para obtener la máxima capacitancia
equivalente (b) Dibuje un circuito para obtener la
capacitancia equivalente más pequeña. (c) Dibuje un
circuito para obtener una capacitancia equivalente a 3 μF.
7.- Dibuje como se deben conectar cuatro capacitores de
2 μF para obtener una capacitancia total de:
a) 8 μF (b) 2 μF (c) 0.5 μF.
8.- Un grupo de capacitores idénticos se conecta primero
en serie y después en paralelo. La capacitancia
combinada en paralelo es 100 veces mayor que la
correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos
capacitores existen en este grupo? R: n = 10.
9.- Para reparar una fuente de poder de un amplificador
estereofónico, un técnico en electrónica necesita un
capacitor de 100 μF capaz de soportar una diferencia de
potencial de 90 V entre las placas. Lo único que el
técnico tiene disponible es una caja de cinco capacitares
de 100 μF, cada uno con una capacidad de voltaje
máxima de 50 V ¿puede utilizar el técnico una
combinación de estos capacitores que tenga las
características apropiadas? y, de ser así, ¿cuál será el
voltaje máximo a través de cualquiera de los capacitores
utilizados? (no es necesario que el técnico utilice todos
los capacitores de la caja)
10.- En la figura cada capacitor C3 = 3 F y C2 = 2 F.
Determine:
a) La capacitancia equivalente de la red entre los puntos
a y b.
b) La carga en cada uno de los capacitores a los puntos
a y b, cuando Vab = 900 V.
c) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vcd cuando hay 900
V entre a y b?.
a
C3
C3
C3
C3
C2
C2
C2
b
c
C3
d
C3
11
b)
C
Q[C]
C
Q[C]
C
Q[C]
C1
900μ
C4
600μ
C7
900μ
C2
300μ
C5
200μ
C8
300μ
C3
100μ
C6
100μ
C9
100μ
15.- Considere el circuito que se muestra en la figura,
donde C1 = 6.00 μF y C2 = 3.00 μF y V = 20 V. Primero
se carga el capacitor C1, cerrando el interruptor S1.
Después este interruptor es abierto, y el capacitor
cargado se conecta al otro descargado cerrando S 2.
Calcule la carga inicial adquirida por C1, así como la
carga final en cada uno de los capacitores.
11.- En la figura cada capacitor C1 = 4 F y C2 = 3 F,
determine: (a) La capacitancia equivalente. (b) La carga y
la diferencia de potencial en c/u de los capacitores.
R: (a) Ceq = 1043/330 μF.
C2
ΔV
C1
S1
C1
C1
C2
18 V
C2
C1
C2
C2
C2
C1
C1
R: b)
C
Q[C]
V[V]
C1
24.39 μ
8.13
C2
35.52 μ
8.13
C3
29.61 μ
9.87
C4
5.23 μ
1.13
C5
5.23 μ
1.74
C6
5.23 μ
1.31
C7
5.23 μ
1.74
C8
4.58 μ
1.53
C9
4.58 μ
1.53
C10
12.2 μ
3.05
C11
27.27 μ
6.82
12.- Un capacitor de 10 μF se carga totalmente
conectándolo a una batería de 12 V. Después se
desconecta el capacitor de la batería y se conecta un
capacitor inicialmente descargado, con capacitancia
desconocida C. El voltaje resultante entre las placas de
cada capacitor es de 3 V. ¿Cuál es la capacitancia de C?
R: C = 30F.
13.- Se cargan dos capacitores: uno de 25 μF y otro de
40 μF conectándolos a través de baterías individuales
de 50 V. Determine la carga resultante de cada capacitor.
A continuación, se desconectan los capacitores de sus
baterías respectivas y se conectan uno con el otro, con
cada placa negativa conectada con otra placa positiva.
Calcule la carga final de cada capacitor, y la diferencia
de potencial final entre las placas del capacitor de 40
μF. R: inicio: Q25μF = 1.25 mC y Q40μF = 2 mC.
final: V = 11.54 volt , Q25μF = 288.5 μC; Q40μF = 461.5 μC.
14.- Un capacitor de 1.00 μF se carga primero
conectándolo a una batería de 10 V. Después se
desconecta de la batería y se conecta en paralelo a un
capacitor de 2 μF inicialmente neutro. Determiné la carga
resultante de cada capacitor.
R: Q1μF = 3.33 μC y Q2μF = 6.67 μC.
C2
S2
16.- El dieléctrico que ha de usarse en un capacitor de
placas paralelas tiene constante dieléctrica de 3.30 y
rigidez dieléctrica de 1.6X107 V/m. Su capacitancia debe
ser de 2.25 X 10-12 F y soportar una diferencia de
potencial máxima de 6000 V. ¿Cuál es el área mínima
que deben tener las placas del capacitor?
R: A = 2.9 X 10-5 m2.
17.- Para construir un capacitor de placas paralelas
dispone de un par de placas de cobre, de una hoja de
mica (espesor de 0.10 mm, K = 5.4), una hoja de vidrio
(espesor de 0.20 mm, K = 7.0) y una lámina de parafina
(espesor de 1.0 cm, K = 2.0). Si quiere conseguir la
máxima capacitancia, ¿cuál hoja debe colocar entre las
placas de cobre?
18.- El espacio entre las placas paralelas de un capacitor
está ocupado por dos bloques dieléctricos, uno con
constante K1 y otro con constante K2, como se indica en
la figura. Cada bloque tiene un espesor d/2, donde d es la
distancia entre las placas. Demuestre que la capacidad
es:
2 A  K K 
C= 0  1 2 
K1
d/2
d  K1 + K 2 
K2
d/2
19.- El espacio entre las placas de un capacitor de placas
paralelas está ocupado por dos bloques dieléctricos, uno
con constante K1 y otro con constante K2, como se indica
en la figura. El espesor de cada bloque es el mismo qu la
separación d entre las placas, y cada uno llena la mitad
de volumen entre ellas Demuestre que la capacidad es:
 A(K1 + K 2 )
C= 0
2d
K2
K1
d
20.- En la figura adjunta se muestra un capacitor
experimental con un objeto metálico de espesor b, que se
puede mover libremente sin llegar a tocar las placas
exteriores del capacitor, demuestre que la capacitancia
equivalente es la que se indica aclarando que A es el
área de las placas exteriores e interiores del objeto
metálico y d la distancia que separa las placas exteriores.
 A
C= 0 ;
d−b
b
d
12
21.- Determinar la capacidad del condensador de placas
paralelas indicado en la figura:
 A  2K K + K1K3 + K 2K3 
R: C= 0  1 2
.
2d 
K1 + K 2

Aa
d
K1
K2
K3
22.- Un condensador de placas paralelas rectangulares
de longitud a y anchura b posee un dieléctrico de igual
anchura insertado parcialmente una distancia x entre las
placas como se muestra en la figura. (a) Determinar la
capacidad en función de x. Despreciar los efectos de los
bordes. (b) Comprobar que la respuesta ofrece los
resultados esperados para x = 0 y x = a.
b
K  bx
 ba
R: a) C= 0 (K − 1)x + a  , b) C= 0 , C= 0 .
d
d
d
8.- Si 3.25 x 10-3 kg de oro se depositan sobre un
electrodo negativo de una celda electrolítica, en un
periodo de 2.78 h ¿qué cantidad de corriente atraviesa la
celda en ese periodo? Suponga que los iones de oro
portan una unidad elemental de carga positiva.
R: i = 159 mA.
9.- Una línea de transmisión de alto voltaje de 200 km
de longitud y de 2 cm de diámetro porta una corriente
estable de 1000 A. Si el conductor es de cobre, con una
densidad de carga libre de 8.25 x 1028 electrones por
metro cúbico, ¿cuánto tiempo (en años) le llevará a un
electrón recorrer la longitud total del cable?
R: 26.66 años.
10.- Suponga que desea fabricar un alambre uniforme a
partir de 1 g de cobre. Si el cobre tiene una resistencia de
0.5  y si todo el cobre se va a usar, calcule su longitud y
su diámetro. R: a) ℓ = 1.82 m y φ = 2.8 x 10-4 m.
11.- Calcule el diámetro de un tramo de 2 cm de filamento
a
b
d
de tungsteno (ρ = 5.5 X 10-8 Ω • m) que está dentro de
una bombilla eléctrica pequeña si su resistencia es de
0.05 Ω. R: φ = 1.67 x 10-4 m
K
x
III.2. CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA,
DENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA Y
RESISTIVIDAD.
1.- Si existe una corriente de 80 mA en un alambre
metálico ¿cuántos electrones pasan por una sección
transversal dada del alambre en 10 min? Dibuje las
direcciones de la corriente y el movimiento de los
electrones. R: N = 3 x 1020.
2.- La compresora de un acondicionador de aire toma
90 A al arrancar. Si el tiempo de arranque es de 0.5 s
¿cuánta carga pasa por la sección transversal de área
del circuito en este tiempo? R: Q = 45 C.
3.- Una carga total de 6 μC pasa a través de una
sección transversal un área de un alambre en 2 s. ¿Cuál
es la corriente del alambre? R: i = 3 x 10-6 A.
4.- En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un
electrón en el estado de energía más bajo se mueve con
una rapidez de 2.19 x 103 m/s en una trayectoria circular
cuyo radio es de 5.29 x 10-11 m. ¿Cuál es la corriente
efectiva asociada con este electrón en órbita?
R: i = 1.05 x 10-6 A.
5.- Si en un alambre de cobre la magnitud de la velocidad
de arrastre de los electrones libres es de 7.84x10 -4 m/s,
¿cuál es el campo eléctrico en el conductor?
6.- En un cinescopio específico, la corriente media del
haz es de 60 μA ¿cuántos electrones inciden en la
pantalla cada segundo? R: N = 3.75 x 1014.
7.- Un alambre de aluminio con una sección transversal
de 4 x 10-6 m2 porta una corriente de 5 A. Encuentre la
rapidez de arrastre de los electrones en el alambre.
(Suponga que por cada átomo se suministra un electrón).
R: v =1.3 x 10-4 m/s.
12.- La cantidad de carga q (en mC) que ha pasado a
través de una superficie de área igual a 2.00 cm 2 varía
como función del tiempo según la ecuación q = 4t 3 + 5t2 +
6t, donde t está en segundos. a) ¿Cuál es la corriente
instantánea que pasa a través de la superficie en t = 2.00
s? b) ¿Cuál es el valor de la magnitud de la densidad
de corriente para t = 1.00 s?
13.- Una corriente eléctrica está definida por la ecuación
I(t) = 100 sen (120 πt), donde I está en amperes y t en
segundos. ¿Cuál es la carga total que genera esta
corriente desde t = 0 hasta t = (1/240) s?
14.- Se determinó que una diferencia de potencial de 12
V es necesaria para producir una corriente de 0.4 A en un
alambre de 3.2 m y radio uniforme de 0.4 cm determine:
a) La resistencia del alambre. b) Su resistividad.
R: a) R = 30 Ω, (b) ρ = 4.7 x 10-4 Ω·m.
15.- Un alambre de 50 m de longitud y 2 mm de diámetro
se conecta a una fuente con una diferencia de potencial
de 9.11 V y se encuentra que la corriente es de 36 A.
Suponga una temperatura de 20°C, mencione el material
del que está hecho el alambre usando una tabla de
resistividad y coeficientes de temperatura.
16.- El alambre calibre dieciocho con diámetro de 1.024
mm. Calcule la resistencia de 15 m de alambre de cobre
(ρ = 1.7 X 10-8 Ω • m) de calibre 18 a 20oC. R: R = 0.31 Ω.
17.- ¿Qué calibre de alambre de aluminio tiene la misma
resistencia por unidad de longitud que un alambre de
cobre calibre 12?
18.- Los lados de un bloque rectangular de cobre (Cu =
1.7x10-8  • m) tienen longitudes de 10, 20, y 40 cm. Si el
bloque está conectado a una fuente de 6 V a través de
las caras opuestas del bloque rectangular, calcule la
corriente máxima y la corriente mínima que puede
trasportarse.
R: imax = 282 352 941.2 A y imin = 17 647 058.82 A.
13
19.- Una bombilla de filamento de tungsteno tiene
resistencia de 19  en frío y 140  cuando está caliente.
¿A qué temperatura el filamento está caliente, si al inicio
la temperatura era de 20°C. R: T = 1435.2º C.
20.- Un alambre de plata tiene resistencia de 10 Ω a
20oC ¿cuál es su resistencia a 40oC? No tome en cuenta
los cambios de longitud ni de la sección transversal
de área originados por el cambio de temperatura ( ρ =
1.59 X 10-8 Ω • m,  = 3.8x10-3 ºC-1). R: R = 10.76 Ω.
21.- A 20 oC un resistor de carbono se conecta a una
batería 5 V, su resistencia es de 200 Ω y = -0.5 X10-3
ºC-1 ¿cuál es la corriente cuando la temperatura del
carbono aumenta a 80o C? R: i = 25.8 mA.
22.- Un tramo de cobre con longitud de 34,5 m (Cu =
1.7x10-8  • m,  = 3.9x10-3 ºC-1) a 20oC tiene radio de
0.25 mm. Si se aplican 9 V entre sus extremos, determine:
(a) La corriente que pasa por el mismo. (b) Si se calienta
el alambre a 30oC y se mantiene la diferencia de
potencial de 9 V ¿cuál es la corriente resultante del
alambre? R: a) i = 3.01 A, b) i = 2.9 A.
23.- A 40oC, la resistencia de un segmento de alambre
de oro ( = 3.4 X 10-3 ºC-1) es de 100 Ω. Cuando se
coloca el alambre en un baño líquido, su resistencia
disminuye a 97 Ω, ¿cuál es la temperatura del baño?
R: T = 30.58 ºC.
24.- Por un conductor de 10 m de longitud y una
resistencia de 0.2 Ώ circula una corriente de 5 A.
Determine: a) La diferencia de potencial en los extremos
del conductor. b) La magnitud del campo eléctrico del
conductor. R: a) V = 1 V, b) E = 0.1 V/m.
25.- Un resistor conectado a 120 V un resistor transporta
una corriente de 0.5 A, calcule la corriente que transporta
si: a) Se reduce el voltaje de operación a 90 V. b) Se
eleva el voltaje a 130 V. R:a) i = 0.375 A, b) I = 0.54 A.
26.- Una persona percibe un choque eléctrico leve si la
corriente a lo largo de la trayectoria que recorre el pulgar
y el dedo índice es menor de 80 μA. Compare el máximo
voltaje permisible sin choque eléctrico entre el pulgar y el
dedo índice con una resistencia de piel seca de 4 x 10 5
Ω y una resistencia de piel húmeda de 2000 Ω.
R: V1 = 32 V y V2 = 0.16 V
27.- Por un conductor de 1.2 cm de radio uniforme fluye
una corriente de 3 A debida a un campo eléctrico de 120
V/m ¿cuál es su resistividad? R:  = 1.81 x 10-2 m.
28.- Un resistor se construye con una barra de carbón si
su sección transversal de área es de 5 mm2. Cuando se
aplica una diferencia de potencial de 15 V entre los
extremos de la barra hay una corriente de 4 X 10-3 A,
calcule: a) La resistencia de la barra. b) Su longitud.
R: a) R = 3 750 , b) L = 535.71 m.
29.- Una densidad de corriente de 6.00 X 10-13 A/m2
existe en la atmósfera donde el campo eléctrico
(debido a nubarrones cargados en la vecindad) es el de
100 V/m. Calcule la conductividad
eléctrica de la
atmósfera de la Tierra en esa región. R:  = 6 x 10-15
(m)-1.
III.3. LEY DE OHM E INTERCAMBIO DE
ENERGÍA ELÉCTRICA EN UN CIRCUITO
SIMPLE (POTENCIA Y EFECTO JOULE).
1.- Una línea de transmisión de alto voltaje con una
resistencia de 0.31 Ω / km transporta 1 kA, comenzando
a 700 kV, a lo largo de una distancia de 160 km, calcule:
a) ¿Cuál es la pérdida de potencial debido a la
resistencia de la línea? b) ¿Qué fracción de la potencia
transmitida representa esta pérdida?
R: a) P = 49.6 MW, b) 0.07.
2.- La potencia que se suministra a un televisor en blanco
y negro típico es de 90 W, cuando está conectado a una
diferencia de potencial de 120 V, ¿cuánta energía
eléctrica consume este aparato en 1 hora? R: E = 324 kJ.
3.- ¿Un cable de cobre ( = 1.7x10-8 •m) debe
transportar una corriente a 300 A con una pérdida de
potencia de 2 W / m. ¿Cuál debe ser el radio del cable?
R: r = 15.6 mm.
4.- El elemento de calor en un calefactor es de tungsteno,
 = 5.5x10-8  • m, el calefactor de 1500 W tiene 3 m de
largo, y el resistor se conecta a 120 V. ¿Qué área tiene la
sección transversal del alambre? Suponga una
temperatura de 20 oC. R: A = 1.72X10-8 m2.
5.- Un tostador funciona con 600 W, cuando se conecta
a 120 V, ¿qué corriente eléctrica conduce el tostador y
cuál es su resistencia? R: i = 5 A y R = 24Ω.
6.- Un televisor a color toma alrededor de 2.5 A cuando
está conectado a120 V. ¿Cuánto tiempo se requiere para
que consuma la misma energía que el modelo en blanco
y negro, es decir, 1 hora? R: t = 1080 s.
7.- Un tostador tiene un elemento calefactor hecho de un
alambre de nicromo, se conecta primero a una fuente
cuya diferencia de potencial de 120 V (el alambre tiene
una temperatura de 20º C) y la corriente inicial es de 1.8
A; sin embargo la corriente empieza a disminuir al ir
calentándose. Cuando el tostador alcanza la temperatura
máxima a la que funciona, la corriente disminuye hasta
1.53 A, determine: (a) La potencia que el tostador
consume cuando se encuentra a su temperatura de
funcionamiento. (b) La temperatura
máxima
del
elemento calefactor. R: (a) P = 183.6 W y (b) T = 460°C .
8.- Un alambre C y uno D se hacen de diferentes
materiales y tienen longitudes LC = LD = 1.0 m. La
resistividad y diámetro del alambre C son 2.0x10 -6Ω·m y
1.0 mm y los del alambre D son 1.0 X 10-6 Ω·m y 0.50
mm. Los alambres se unen como se ve en la figura, y una
corriente de 2.0 A se establece en ellos. ¿Cuál es la
diferencia de potencial eléctrica entre a) los puntos 1 y 2
b) los puntos 2 y 3? ¿Cuál es la razón a la que se disipa
energía entre c) los puntos 1 y 2 d) entre los puntos 2 y
3?
C
D
LC
1
LD
2
3
14
Agrupamiento en serie y paralelo de
resistencias.
1.- En el circuito de la figura, calcule (a) la tasa de
conversión de la energía interna (química) a energía
eléctrica dentro de la batería (b) la tasa de disipación de
la energía eléctrica en la batería (c) la tasa de disipación
de la energía eléctrica en el resistor externo.
R: (a) P = 24 W, (b) P = 4 W y (c) P = 20 W.
1Ω
7.- Calcule la resistencia equivalente entre los puntos:
(a) F y H. (b) F y G. R: (a)Req = ½ R, (b) Req = 5R/8.
F
R
R
G
R
12 V
a
·c
·
R
R
H
·b
·d
5Ω
2.- (a) En la figura ¿qué valor debe tener R para que la
corriente en el circuito sea de 50 mA?. Suponga que
Ɛ1 = 2.0 V, Ɛ2 = 3.0 V y r1 = r2 = 3.0 Ω (b) ¿Con qué
rapidez aparece la energía interna en R?
R: (a) R = 14 Ω, (b) P = 35 mW.
8.- Si se conecta un óhmetro entre los puntos a y b en
cada uno de los circuitos que se ilustran ¿cuál será la
lectura? R: a) Req = 18.73 Ω y b) Req = 7.5 Ω.
a)
b
50 Ω
25 Ω
75 Ω
ε1 ε2
r1
100 Ω
a
r2
50 Ω
40 Ω
R
3.- Cuando el interruptor S está abierto, el voltímetro de
la batería da una lectura de 3.08 V. Cuando se cierra el
interruptor, la lectura del voltímetro cae a 2.97 V, y la del
amperímetro es de 1.65 A. Determine la fem, la
resistencia interna de la batería y la resistencia del
circuito R. Suponga que los dos instrumentos son
ideales, por lo que no afectan el circuito.
R: Ɛ = 3.08 V, r = 0.07 Ω y R = 1.8 Ω.
V
ε
r
R
A
S
4.- Con tres resistores de 2 Ω, 3 Ω y 4 Ω determine 7
valores de resistencia que pueden obtenerse mediante la
combinación de uno o más resistores. Tabule las
combinaciones en orden de resistencia creciente.
5.- Dos resistores conectados en serie tienen una
resistencia equivalente de 600 Ω. Cuando están
conectados en paralelo, su resistencia equivalente es de
15 Ω. Determine la resistencia de cada uno de ellos.
6.- En el circuito mostrado, determine: a) La corriente en
la resistencia de 20 Ω. b) La diferencia de potencial entre
los puntos a y b. R: a) I = 227 mA, b) Vab = 11.71 V.
10.0 Ω
a
25 V
7Ω
60 Ω
b
30 Ω
45 Ω
9.- Tres resistores de 100 Ω están conectados como se
muestra en la figura. La potencia máxima que puede ser
entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de
25.0 W.
a) ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima
que se puede aplicar a las terminales a y b? b) para la
diferencia de potencial determinada en el inciso a) ¿cuál
es la potencia entregada a cada resistor? c) ¿Cuál es la
potencia total entregada? R: a) Vmax = 100 V, b) P = 25 W
y c) P = 66.67 W.
100 Ω
100 Ω
a
b
100 Ω
10.- Una batería de 6.00 V suministra corriente al circuito
que se muestra en la figura. Cuando el interruptor de
doble posición S está abierto la corriente en la batería es
de 1.0 mA, cuando el interruptor se cierra en la posición
a, la corriente en la batería es de 1.2 mA y cuando se
conecta en la posición b la corriente es de 2.0 mA.
Determine las resistencias: R1, R2 y R3.
R1
6.00 V
20.0 Ω
10 Ω
a
20 Ω
10.0 Ω 10 V b
5.0 Ω
5.0 Ω
b)
S
R2
a
b
R2
R3
15
11.- Cuando se cierra el interruptor S en el circuito de la
figura, ¿la resistencia equivalente entre los puntos a y b
aumenta o disminuye? Establezca su razonamiento.
Suponga que la resistencia equivalente cambia en un
factor de 2. Determine el valor de R.
R
90.0 Ω
a
10.0 Ω
S
b
10.0 Ω
90.0 Ω
Leyes de Kirchhoff (principio de conservación de la
carga y la energía). Nota: Resolver los problemas
como lo establece la bibliografía recomendada en los
planes y programas de estudio para esta Unidad de
aprendizaje.
1.- Determinar la corriente en cada rama del siguiente
circuito:
5Ω
8Ω
3Ω
Respuesta problema 1
846 mA hacia abajo de la resistencia de 8 Ω
462 mA hacia abajo de la rama central
1.31 2
AA
hacia arriba en la rama derecha.
Respuesta problema 2
III.
I.
R [Ω]
I[A]
P[W]
R [Ω]
I[A]
P[W]
3
0.89
2.37
1
1
1
4
0.67
1.78
2
3
18
6
1.56
14.52
3
2
12
Respuesta problema 3
II.
I1[A]
I1[A]
Ɛ[V]
R
I[A]
P[W]
0.714
1.286
12.57
1
2.5
6.25
Respuesta problema 4
2
2.5
12.5
I[A]
Ɛ1[V]
Ɛ2[V]
3
0.25
0.125
8
36
54
4
2.25
10.125
R=9Ω
4.- En el circuito mostrado, encuentre (a) la corriente en
el resistor de 3.00 Ω (b) las fem desconocidas Ɛ1 y Ɛ2 (c)
la resistencia R. Note que se dan tres corrientes.
1Ω
1Ω
R
12 V
Ɛ1
4V
2.- En los siguientes circuitos, determine: a) La corriente
y su circulación en cada resistencia. b) La potencia
disipada en cada resistor.
I.
7V
5V
1Ω
3Ω
2Ω
II.
8V
4Ω
6Ω
3Ω
5A
3A
5.- Determine la corriente en cada una de las ramas del
circuito mostrado en la figura.
2.00 Ω
4 V R2 = 2 Ω
R1 = 1 Ω
3.00 Ω
9.00 Ω
3.00 Ω
1.00 Ω
1.00 Ω
1.00 Ω
R3 = 2 Ω
R4 = 2 Ω
4.0 V
8.0 V
4V
6.- Si R = 1.00 KΩ y ε = 250 V en la figura, determine la
dirección y magnitud de la corriente en el alambre
horizontal entre a y e. R: i = 50 mA.
III.
3Ω
6Ω
4Ω
12 V
R
b
12 V
ε
3.- El amperímetro mostrado en la figura marca una
lectura de 2.00 A. Calcular I1, I2 y ε.
I1
Ɛ2
7Ω
5Ω
15 V
4R
d
2ε
3R
a
e
7.-Para el circuito mostrado en la figura, calcule a) la
corriente en la resistencia de 2.00 Ω y b) la diferencia de
potencial entre los puntos a y b.
A
I2
2R
c
4.00 Ω
12.0 V
2Ω
2.00 Ω
Ɛ
b
a
8.0 V
6.00 Ω
16
Circuitos RC
1.- Una batería de 6 V y resistencia interna despreciable
se utiliza para cargar un condensador de 2 µF a través de
una resistencia de 100 Ω. Hallar (a) la corriente inicial, (b)
la carga final y (c) el tiempo necesario para obtener un
90% de la carga final.
R: (a) i0 = 0.06 A, (b) Q = 12 µC y (c) t = 460.5 µs.
2.- Un capacitor de 10.0 µF se carga mediante una
batería de 10.0 V a través de una resistencia R. El
capacitor alcanza una diferencia de potencial de 4.00 V
en un intervalo de tiempo de 3.00 s después de
comenzar la carga. Encuentre R.
R: R = 587 284.56 Ω
3.- Un condensador de 2.00 nF con una carga inicial de
5.10 µC se descarga a través de una resistencia de
1.3 kΩ. (a) Calcular la corriente en la resistencia 9.00 µs
después de conectar dicha resistencia a las terminales
del condensador. (b) ¿Qué carga permanece en el
condensador después de 8.00 µs? (c) ¿Cuál es la
corriente máxima en la resistencia?
R: (a) i = 61.51 mA, (b) q = 235 nC y (c) imax = 1.96 A.
4.- En el circuito RC de las figuras, R = 1.00 MΩ,
C = 5.00 µF y Ɛ = 30.0 V. Calcular (a) la constante de
tiempo y (b) la carga máxima en el condensador después
de cerrar el circuito. (c) Si el interruptor se cierra en t = 0,
calcular la corriente en la resistencia 10.0 s más tarde.
R: (a) RC = 5 s, (b) qmáx = 150 µC y (c) i = 4.06 µA.
R
R
C
C
Є
S
S
Є
5.- En el circuito los dos capacitores están cargados al
principio a 45 V. (a) ¿Cuánto tiempo después de cerrar el
interruptor S el potencial a través de cada capacitor se
reducirá a 10 V? (b) En ese momento, ¿cuál será la
corriente? R: (a) t = 4.21 ms y (b) i = 124 mA.
s
15 µF +
-
7.- Un capacitor de 10.0 μF se carga mediante una
batería de 10.0 V a través de una resistencia R. El
capacitor alcanza una diferencia de potencial de 4.00 V
en un intervalo de tiempo de 3.00 s después de
comenzar la carga. Encuentre R.
8.- El circuito de la figura tiene dos resistores, R1 = 2 kΩ
y R2 = 3 kΩ, y dos capacitores, C1 = 2 µF y C2 = 3 µF,
conectados a una batería cuya fem es Ɛ = 120 V. Si los
capacitores no contienen carga antes de que se cierre el
interruptor S, determine las cargas q1 y q2 de los
capacitores C1 y C2, respectivamente, después de cerrar
el circuito. (Sugerencia: Primero reconstruye el circuito
para transformarlo en RC simple con un solo resistor y un
solo capacitor en serie, conectados a la batería y
después determine la carga total Q, almacenada en el
circuito)
R: q1 = 0.4qn = 240 µC (1 – e(-1000t/6)) para el capacitor de
2 µF y q2 = 0.6qn = 360 µC (1 – e(-1000t/6)) para el capacitor
de 3µF.
R1
C1
R2
C2
Є
S
9.- Un capacitor de 2 nF con una carga inicial de 5.10 μC
se descarga a través de una resistencia de 1.30 kΩ. a)
Calcule la corriente en la resistencia 9.00 μs después de
que la resistencia se conecta entre las terminales del
capacitor. b) ¿Cuál es la corriente máxima en la
resistencia?
10.- Los valores de los componentes de un circuito RC en
serie sencillo que contiene un interruptor son C = 1.00
μF, R = 2.00 MΩ, y ε = 10.0 V ver figura. Después de
10.0 s de que es puesto el interruptor en a, calcule a) la
carga del capacitor, b) la corriente en la resistencia, c) la
rapidez a la cual se está almacenando la energía en el
capacitor y d) la rapidez a la cual se entrega energía de
la batería.
C
a
+ 20 µF
-
b
50 Ω
I
R
ε
30 Ω
6.- Considere un circuito RC en serie para el cual R
= 1.00 MΩ, C = 5.00 μF, y ε = 30.0 V (figura). Determine
a) la constante de tiempo del circuito y b) la carga
máxima en el capacitor después de que el interruptor se
mueve hacia a, conectando el capacitor a la batería. c)
determine la corriente en la resistencia 10.0 s después
de haber puesto el interruptor en a.
11.- El condensador que se muestra en la figura está
inicialmente descargado. Determinar la corriente que
atraviesa en la batería: a) Inmediatamente después de
cerrar el interruptor. b) Un largo tiempo después de cerrar
el interruptor. R: (a) i0 = 3 A y (b) i = 1 A.
S
4Ω
C
a
12 V
b
8Ω
6 µF
R
ε
17
12.- El circuito de la figura ha estado conectado un largo
periodo. (a) ¿Qué diferencia de potencial tiene el
condensador? (b) Al desconectar la batería ¿qué tiempo
tarda el condensador en descargarse hasta la décima
parte de su voltaje inicial?
R: (a) V = 6 V y (b) t = 8.29 µs.
8Ω
1Ω
1 µF
10 V
4Ω
2Ω
13.- En el circuito todos capacitores están descargados al
principio, la batería y el amperímetro son ideales. Calcule
la lectura del amperímetro (a) inmediatamente después
de haber cerrado el interruptor S y (b) mucho tiempo
después de que se cerró el interruptor.
R: (a) i0 = 938 mA y (b) i = 606 mA.
25 Ω
.
75 Ω
15 µF
25 Ω
100 V
10 µF
2.- Un deuterón es una partícula nuclear formada por un
protón y un neutrón unidos entre sí por fuerzas nucleares.
La masa del deuterón es de 3.347 x 10 -27 kg y su carga
es de + 1 e. Se ha observado que un deuterón
proyectado dentro de un campo magnético cuya
densidad de flujo es de 1.2 T viaja en una trayectoria
circular de 300 mm de radio. ¿Cuál es la rapidez del
deuterón? R: v = 17 209 441.29 m/s
3.- Una partícula alfa (+2 e) se proyecta en un campo
magnético de 0.12 T con una rapidez de 3.6 x 106 m/s
¿Cuál es la fuerza magnética sobre la carga en el
instante en que la dirección de su velocidad forma un
ángulo de 35º con el campo magnético?
ˆ
R: F = -7.9  10-14 N k.
4.- Se deja caer una pelota de 150 g que contiene 4 x 10 8
electrones excedentes hacia un pozo vertical de 125 m.
En el fondo del pozo la pelota entra de súbito en un
campo magnético uniforme horizontal con magnitud de
0.250 T en dirección de este a oeste. Si la resistencia del
aire es despreciablemente pequeña, encuentre la fuerza
magnética que este campo magnético ejerce sobre la
pelota cuando acaba de entrar al campo.
R: F = 7.93 x 10 -10 N al sur.
20 µF
S
50 Ω
25 Ω
A
15 Ω
14.- Los condensadores del circuito están inicialmente
descargados. (a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente
suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor
S? (b) ¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería
después de un tiempo largo? (c) ¿Cuáles son las cargas
finales sobre los condensadores?
R: (a) i0 = 3.42 A, (b) i = 962 mA y (c) Q10µF = 260 µC y
Q5µF = 130 µC.
10 µF
15 Ω
10 Ω
5 µF
50 V
S
UNIDAD TEMÁTICA IV:
CAMPO
MAGNÉTICO
(FUENTES
INTERACCIONES).
IV.1. CAMPO MAGNÉTICO.
6.- Un electrón con una velocidad de 5 x 105 m/s a un
ángulo de 60º al Norte del campo B dirigido al Este. El
electrón experimenta una fuerza de 3.2 x 10-18 N dirigida
verticalmente hacia abajo ¿Cuáles son la magnitud del
campo magnético y la dirección y sentido de la velocidad?
R: B = 4.62  10-5 T con una dirección y sentido de la
velocidad a 60º al sur del oeste.
7.- Un cañón electrónico dispara electrones en un campo
magnético que está dirigido directamente hacia abajo.
Determine la dirección de la fuerza que el campo ejerce
sobre el electrón para cada una de las siguientes
velocidades del electrón: a) Horizontal y hacia el norte. R:
al este. b) Horizontal y a 30º al oeste el norte.
R: a 30º al norte del este.
12 Ω
15 Ω
5.- Un protón se mueve perpendicularmente a un campo
magnético B uniforme a una rapidez de 1·107 m/s y
experimenta una aceleración de 2.00·10 13 m/s2 en la
dirección positiva del eje x cuando su velocidad está en la
dirección positiva del eje z. Determine la magnitud y
dirección del campo magnético.
E
FUERZA LORENTZ
1.- Un protón es lanzado de derecha a izquierda en un
campo magnético de 0.4 T dirigido verticalmente hacia
arriba. Si la rapidez del protón es de 2 x 106 m/s ¿cuál es
la fuerza que el protón experimenta debido al campo
ˆ
magnético? R: F = -1.28  10-13 N k.
8.- Una carga q = -2.64 nC se mueve con velocidad de
2.75 x 106 m/s î . Hallar la fuerza que actúa sobre la
carga si el campo magnético es: (a) B = 0.48 T ˆj.
(b) B = 0.65 T ˆi + 0.65 T ˆj. (c) B = 0.75 T ˆi.
ˆ
(d) B = 0.65 T ˆi + 0.75 T k.
-3
ˆ b) F = -4.71 10 -3 N k,
ˆ
R: a) F = -3.5  10 N k,
-3
c) F = 0 y d) F = 5.4  10 N ˆj.
9.- Un campo magnético uniforme de valor de 1.28 T
está en la dirección y sentido positivo del eje z. Hallar la
fuerza que actúa sobre un protón si su velocidad es:
ˆ
a) v = 3.5 Mm/s ˆi. b) v = 2.5 Mm/s ˆj. c) v = 6.5 Mm/s k.
ˆ
d) v = 3 Mm/s ˆi + 4 Mm/s ˆj - 6 Mm/s k.
18
10.- Un protón se mueve en una órbita circular de radio
de 65 cm perpendicular a un campo magnético uniforme
de valor 0.75 T. (a) ¿Cuál es el período correspondiente
a este movimiento? (b) Hallar la magnitud de la velocidad
del protón. (c) Hallar la energía cinética del protón.
R: a) T= 8.7 x 10-8 s, b) V= 46, 706,586.83 m/s y
c) K= 1.82 x 10-12 J.
11.- Una partícula alfa (carga + 2 e) se mueve en
trayectoria circular de radio 0.5 m, en el interior de un
campo magnético de 1 T. Hallar (a) El periodo. (b) La
magnitud de la velocidad. (c) La energía cinética (en
electronvoltios) de la partícula alfa. Si la masa es de 6 x
10-27 kg. R: a) T= 11.7 x 10-8 s, b) v= 26, 666,666.67 m/s
y c) K= 1.33 x 107 eV.
12.- Un electrón en el punto A de la figura, tiene una
rapidez v0 de 1.41 x 106 m/s. Calcule a) El campo
magnético que hará que el electrón siga la trayectoria
semi-circular entre A y B, y b) el tiempo requerido para
que el electrón se mueva de A a B. R: a) B 1.6 x 10-4 T
hacia la página y b) t = 1.11 x 10-7 s.
v0
A
-
10 cm
B
13.- Un electrón de energía cinética de 45 KeV se mueve
en una órbita circular perpendicular a un campo
magnético de 1 T. (a) Hallar el radio de la órbita. (b)
Hallar la frecuencia y el período de movimiento.
R: a) r = 7.2x10-4 m y b) f = 2.8x1010 Hz, T= 3.56 x 10-11 s.
14.- Un protón se mueve con una velocidad
v = 2x10 6m/s ˆi - 4x10 6m/s ˆj + 1x10 6m/s kˆ en una región
en donde el campo magnético es:
ˆ a) ¿Cuál es la
B = 1x10 −4T ˆi + 2x10 −4T ˆj - 3x10 −4T k.
magnitud de la fuerza que experimenta el protón? b)
¿Qué radio describiría?
R: a) F = 1.95 x 10-16 N, b) r = 127.83 m
15.- Un haz de protones se mueve a lo largo del eje x en
su sentido positivo con una velocidad de 12.4 km/s a
través de una región de campos cruzados equilibrados
con desviación nula. a) Si existe un campo magnético de
valor 0.85 T en el sentido positivo del eje y, hallar el valor
y dirección del campo eléctrico. b) ¿Se verán desviados
los electrones de la misma velocidad por estos campos?
Si es así, ¿en qué dirección y sentido?
ˆ
R: a) E = -10,540 N/C k.
16.- Un protón (con carga = +e y masa = mp), un
deuterón (con carga = +e y masa = 2m p) y una partícula
alfa (con carga = +2e y masa = 4m p) son acelerados
mediante una diferencia de potencial común. Cada una
de las partículas entra en un campo magnético uniforme
B con una velocidad en dirección perpendicular a B . El
protón se mueve en una trayectoria circular de radio r p.
Determine los radios de las órbitas circulares del
deuterón rd, y de la partícula alfa ra, todos ellos en función
de rp.
17.- Un selector de velocidad está constituido por los
campos eléctrico y magnético que se describen mediante
las expresiones E = Ez kˆ y B = By ˆj , siendo B = 15 mT.
Determine el valor de E tal que un electrón de 750 eV
trasladándose a lo largo del eje x positivo no se desvíe.
FUERZA DE AMPERE:
1.- Un trozo de alambre de 12 cm conduce una corriente
de 4 A formando un ángulo de 41º al norte de un campo
B dirigido al Este. ¿Cuál deberá ser la magnitud del
campo B para que produzca una fuerza de 0.5 N sobre el
alambre? ¿Cuál es la dirección de la fuerza?
R: B = 1.59 T verticalmente hacia abajo.
2.- Una corriente, i = 15 A, fluye a lo largo del eje x
positivo y en dirección perpendicular a un campo
magnético. El conductor experimenta una fuerza
magnética por unidad de longitud de 0.12 N en dirección
y negativa. Calcule la magnitud y la dirección del campo
magnético en la región por la que la corriente pasa.
ˆ
R: B = 8 mT k.
3.- Un alambre transporta una corriente estacionaria de
2.40 A. Una sección recta de alambre tiene 0.750 m de
largo y está sitiado en la dirección del eje x dentro de un
ˆ Si la corriente
campo magnético uniforme, B = 8 mT k.
está orientada en dirección +x, ¿cuál es la fuerza
magnética sobre la sección de alambre?
R: Fˆ = - 14.4 mN ˆj.
4.- Un
segmento
de
conductor
recto
i = (2.5 A) (3 cm ˆi +4 cm ˆj) se encuentra en un campo
magnético uniforme de 1.5 T î . Determinar la fuerza que
ˆ
actúa sobre el conductor. R: F = -0.15 N k.
5.- Un segmento de conductor recto de 2 m de largo
forma un ángulo de 30º con un campo magnético
uniforme de 0.5 T. Hallar la fuerza que actúa sobre el
conductor si por él circula una corriente de 2 A.
R: F = 1 N (define la dirección).
6.- Un alambre largo conduce una corriente de 6 A en
una dirección 35º al Norte de un campo magnético de
0.04 T dirigido hacia el Este ¿Cuáles son la magnitud y
la dirección de la fuerza sobre cada centímetro del
alambre? R: F/ℓ = 1.38  10-3 N/cm vertical hacia abajo.
7.- Un conductor suspendido por cables flexibles, como
se muestra en la figura, tiene una masa por unidad de
longitud de 0,040 kg/m. ¿Qué corriente debe existir en el
conductor para que la tensión en los cables sea cero,
cuando el campo magnético es de 3.60 T hacia dentro de
la página? ¿Cuál es dirección requerida para la
corriente?
X X X XX X X X X X
X X X XX X X X X X
B
X X X X X X X X X X
19
13.- Una barra de cobre de 1.5 kg de masa descansa
sobre dos rieles horizontales y paralelos separados una
distancia de 0.95 m y porta una corriente de 13.2 A de
un riel al otro. El coeficiente estático fricción es de 0.58.
Hallar la magnitud de la inducción de campo magnético
para que la barra se deslice. Con velocidad constante.
8.- Una varilla de cobre delgada y horizontal tiene 1 m de
largo y su masa es de 50 g. ¿Cuál es la corriente mínima
en la varilla capaz de conseguir que flote sobre un campo
magnético horizontal de 2 T? R: i = 0.245 A.
9.- En la figura, el cubo tiene 40.0 cm de arista. Cuatro
segmentos rectos de alambre – ab, bc, cd y da – forman
una espira cerrada que transporta una corriente I = 5.00
A en la dirección mostrada. Se sitúa la espira en un
campo
magnético
uniforme,
de
valor
ˆ
B = 0.0200 T j. Determinar la fuerza magnética en cada
segmento.
14.- Una espira de una sola vuelta con forma de
triángulo rectángulo, tiene una corriente de 4 A; sus lados
miden 50,120 y 130 cm. Si está en un campo magnético
uniforme de 75 mT de magnitud y dirección paralela a la
corriente del lado de 130 cm. (a) Halle la fuerza
magnética sobre cada lado de la espira (b) Calcula la
fuerza magnética neta.
R: (a) F130 = 0; F120 = -0.138 N kˆ y F50 = 0.138 N kˆ y (b)
y
F = 0.
B
a
d
15.- En la figura, el campo magnético es uniforme con
una magnitud de 0.6 T dirigido hacia fuera de la página.
El conductor tiene un segmento recto de 20 cm, alineado
perpendicularmente al plano de la figura a la derecha,
con corriente de 20 A en sentido contrario al campo
magnético; seguido de un semi-círculo con radio de 15
cm y, por último, otro segmento recto de 40 cm, paralelo
al eje x (como se indica). Obtenga la fuerza magnética
total sobre estos tres segmentos de alambre.
I
b
x
c
z
y
10.- La tierra tiene un campo magnético de 0.60 x 10-4 T
que apunta en dirección 75º por debajo de la horizontal
en un plano norte-sur. Un alambre recto de 10 m de largo
conduce una corriente de 15 A.
a) Si la dirección de la corriente es horizontal hacia el
este, ¿cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza
magnética que se ejerce sobre el alambre?
b) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza si
la dirección de la corriente es vertical y hacia arriba?
R: a) F = 9 mN en la línea norte-sur a 15º sobre la
horizontal y b) conceptual.
11.- Un alambre con una masa por unidad de longitud de
1 g/cm se coloca sobre una superficie horizontal cuyo
coeficiente de fricción de 0.20. El alambre conduce una
corriente de 1.5 A hacia el Este mientras se desplaza
horizontalmente hacia el Norte. ¿Cuáles el campo
magnético vertical más pequeño que permite que el
alambre se mueva de esta manera?
R: B = 13 mT verticalmente hacia abajo.
12.- Un alambre en forma de semicírculo de radio R,
transporta una corriente I. El circuito está sobre el plano
xy, en un campo magnético uniforme dirigido a lo largo
del eje y (negativo) como se indica en la figura. Calcule
la fuerza magnética sobre la parte recta del alambre y
sobre la parte curva.
B
I
I
x
ℓ
I
I entra
x
Momento magnético de una espira o una bobina
(torca 0 momento de un par magnético)
1.- Por una bobina de 40 vueltas fluye una corriente de 2
A como se muestra en la figura. Si el campo magnético
tiene una intensidad de 0.25 T. Determine el momento de
torsión sobre la bobina. R:  = 0.24 N  m ˆj
B = 0.25 T
N
i
S
12 cm
B
10 cm
I
I
I
2.- El eje de un solenoide que tiene 750 vueltas de
alambre forma un ángulo de 34º con un campo de 5 mT.
¿Cuál es la corriente si el momento de torsión es de 4
N· m en ese ángulo? El área de cada vuelta de alambre
es 0.25 m2. R: i = 7.6 A.
20
3.- Un alambre conductor se dobla en forma de cuadrado
con una longitud de 6 cm para cada lado y se sitúa en el
plano xy Si tiene una corriente de 2.5 A ¿cuál es el
momento del par que actúa sobre el conductor si existe
un campo magnético de 0.3T? (a) En la dirección z (b) En
la dirección x. R:  = 0 y (b)  = -2.70 N  m ˆj. .
IV.2. LEY DE AMPERE.
x DE BIOT-SAVART:
LEY
1.- La corriente en el conductor de la figura es 8 A. Hallar
el campo neto en el punto P debido a cada segmento del
conductor. R: B = -2.26  10-4 T kˆ .
2 cm
4.- Repetir el problema anterior para el caso en que el
alambre se doble en forma de triángulo equilátero de
lado 8 cm. R:  = 0 y (b)  = -9.75 N  m ˆj.
1 cm
8A
5.- ¿Cuánta corriente se necesita para producir un
momento de torsión máximo de 0.8 N·m en un solenoide
que tiene 800 vueltas de 0.4 m2 de área? La densidad
flujo magnético es de 3 mT ¿Cuál es la posición del
solenoide dentro del campo? R: i = 0.833 A.
6.- Una bobina rectangular de 20 vueltas tiene lados de
12 y 5 cm y circula una corriente 0.15 A como se muestra
en la figura. Calcule el momento de torsión alrededor de
la línea de sujeción que actúa sobre la bobina. R:
ˆ
 = 6.87 mN  m k.
z
P
1 cm
2.- Calcular el campo magnético en un punto P situado a
una distancia x de la esquina de un alambre
infinitesimalmente largo doblado en ángulo recto, como
se muestra en la figura. El alambre transporta una
corriente estacionaria I.
R: B = µ0I/4πx, entrante al plano.
x
I
i
I
B = 0.7
T
y
57°
3.- Un conductor muy largo que transporta una corriente I
y se dobla en la forma indicada en la figura. Determinar
el campo magnético neto en el punto P. R:
ˆ
B = (4.81 X 10 −7 N/A 2 )(i/a) k.
x
7.- Una bobina circular con 20 vueltas de alambre se
encuentra en un campo magnético uniforme de 0.5 T de
modo que la normal al plano de la bobina forma un
ángulo de 60º con la dirección de B. El radio de la bobina
es de 4 cm y por ella circula una corriente 3 A determine:
a) La magnitud del momento magnético de la bobina y b)
La magnitud del momento del par ejercido sobre la
bobina. R: a) μ = 0.3 Am2 y b)  = 0.13 N·m.
8.- Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de 6
y 8 cm y circula una corriente 1.75 A. Está orientada
como se indica en la figura. Si el alambre situado en el
plano xy forma un ángulo de 37º con el eje y como se
indica, (a) ¿qué ángulo forma el vector unitario normal
n̂ con el eje x? (b) Expresar n̂ en función de los vectores
unitarios î y ĵ (c) ¿Cuál es el momento magnético de la
bobina? y (d) Determinar el momento del par que actúa
sobre la bobina cuando se sitúa en un B = 1.5 T ˆj.
R: a) θx = 323º, (b) n̂ = 0.8 ˆi - 0.6 ˆj ,
I
a
P
a
2a
4.- Un conductor está formado por una espira circular de
radio R y dos secciones largas y rectas, tal y como se
muestra en la figura. El alambre descansa sobre el plano
del papel y transporta una corriente I. Hallar una
expresión de campo magnético en el centro de la espira.
I
c)  = 0.336 Am2 ˆi - 0.252 Am2 ˆj y d)  = 0.504 N  m kˆ
z
5.- Una espira circular de 50 mm de radio se encuentra
en el mismo plano que la página y conduce una corriente
de 15 A en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Está sumergida en un medio cuya permeabilidad relativa
3, ¿cuáles son la magnitud y dirección de la inducción
magnética en el centro de la espira?
i
B
37°
x
y
21
ˆ
R: B = 5.65  10-4 T k.
6.- Una espira circular de 240 mm de diámetro conduce
una corriente de 7.8 A. Si la sumergimos en un medio de
permeabilidad relativa 2, ¿cuál será la inducción
magnética en el centro? R: B = 8.17  10-5 T.
7.- Una espira conductora de longitud L transporta una
corriente I. Comparar la magnitud del campo magnético
en el centro de la espira para los casos en que: (a) Se
trata de una circunferencia. (b) Un cuadrado y (c) Un
triángulo equilátero. ¿Cuál campo es mayor?
R: (a) B = (3.95 x 10-6 N/A2) (I/ℓ),
(b) B = (4.53 x 10-6 N/A2) (I/ℓ) y
(c) B = (5.4 x 10-6 N/A2)(I/ℓ).
en dirección positiva de los ejes coordenados. ¿En qué
punto el campo combinado es igual a cero?
4.- Cuatro conductores largos y paralelos transportan
cada uno una corriente de 4 A. La figura muestra los
conductores vistos desde un extremo. La dirección de la
corriente es hacia fuera de la página en los puntos A y B
(indicado por puntos). Calcule la magnitud y dirección del
campo magnético en el punto P, en el centro del
cuadrado de 0.2 m por lado. R: B = 1.6  10 -5 ˆj.
A
C
8.- Determinar el campo magnético en el punto P de la
ˆ
figura. R: B = -2.36  10 −5 T k.
B
r = 20 cm
p
15 A
Ley de Ampere:
1.- Como se muestra en la figura dos alambres muy
largos conducen corrientes de 7 A, uno a lo largo del eje
x, y otro una corriente de 6 A a lo largo del eje y. ¿Cuál
es el campo magnético en el punto P situado en x = 4 m
ˆ
y = 3 m? R: B = 1.66  10-7 T k.
0.2 m
P
D
0.2 m
5.- Los dos alambres que se muestran en la figura
conducen corrientes de 5 A en direcciones opuestas y los
separa una distancia de 10 cm. Determine el campo
magnético neto en: (a) Un punto a la mitad del camino
entre los alambres, (b) El punto P1, es decir, 10 cm a la
derecha del alambre del lado derecho y (c) En el punto P2,
esto es, 20 cm a la izquierda del alambre del lado
izquierdo.
R: (a) B = -4  10 -5 T kˆ , (b) B = 5  10-6 T kˆ y
(c) B = 1.67  10-6 T kˆ
5A
y
5A
P2
P (4,3) m
6A
20 cm
2.- Dos conductores paralelos transportan corrientes en
direcciones opuestas, como se muestra en la figura. Un
conductor transporta una corriente de 10 A. El punto A
es el punto medio entre los alambres, y el punto B esta 5
cm a la derecha de la corriente de 10 A. I se ajusta de
manera que al campo magnético en B sea cero.
Determine: a) El valor de la corriente i. b) El valor del
campo magnético en A.
R: a) i = 30 A y b) B = 1.6  10 -4 T kˆ
10 A
A
10 cm
10 cm
x
6A
I=
P1
B
10 cm
6.- Mediante la Ley de Ampere demuestre que la
magnitud del campo magnético a una distancia r < R
medida desde el eje del conductor recto con corriente es:
 ir
B= 0 2
2 R
7.- Considere un alambre cilíndrico largo de radio R que
transporta una corriente i distribuida uniformemente en su
sección transversal. ¿En cuáles dos distancias desde el
eje del alambre la intensidad del campo magnético
producido por la corriente equivale a la mitad del valor en
la superficie?
8.- La figura muestra una sección transversal de un
conductor cilíndrico hueco de radios a y b, que
transportan una corriente i uniformemente distribuida. a)
Por medio de la espira circular amperiana mostrada,
verifique que B(r) en el intervalo b < r < a está dado por:
0i
r 2 − b2
B=
2(a2 − b2 ) r
a b
r
3.- Un alambre recto y largo coincide con el eje x y otro
coincide con el eje y. Cada uno lleva una corriente de 5 A
9.- Un solenoide de longitud 3 cm y de radio 1.2 cm con
300 vueltas transporta una corriente de 2.6 A. Determinar
22
la intensidad de campo magnético sobre el eje del
solenoide en su interior. R: B = 0.33 T.
10.- Un solenoide con núcleo de aire de 50 cm de
longitud cuenta con 4000 espiras. Calcule la intensidad
del campo magnético en su interior cuando existe una
corriente de 0.25 A en las espiras. R: B = 0.0025 T.
11.- Un solenoide de 30 cm de longitud y 4 cm de
diámetro tiene un devanado de 400 vueltas de alambre
enrolladas estrechamente en un material no magnético.
Si la corriente en el alambre es de 6 A, calcule la
inducción magnética a lo largo del centro del solenoide.
R: B = 0.01 T.
18.- Como se muestra en la figura, dos alambres
paralelos están separados cm y llevan una corriente de 6
y 4 A respectivamente. Calcúlese la fuerza sobre 1 m de
alambre D si las corrientes son: (a) paralelas y (b)
antiparalelas. R: (a) F = -4.8  10 -5 N ˆi.
(b) F = 4.8  10-5 N ˆi.
C
10 cm
12.- Un solenoide con núcleo de aire y con 2000 espiras
tiene una longitud de 60 cm y un diámetro de 2 cm. Si
una corriente de 5 A pasa por él, ¿cuál será la magnitud
de la densidad de flujo en su interior? R: B = 0.021 T.
13.- Un alambre de gran longitud lleva una corriente de
20 A, a lo largo de un eje de un solenoide de gran
longitud. El campo debido al solenoide es de 4 mT.
Encuentre el campo resultante en un punto a 3 mm del
ˆ
eje del solenoide. R: B = 4 mT ˆi + 1.3 mT k.
16.- Dos alambres paralelos están separados por una
distancia de 10 cm y cada uno conduce una corriente de
10 A. (a) Si las corrientes tienen la misma dirección,
determine la magnitud de la fuerza por unidad de
longitud que uno de los alambres ejerce sobre otro y (b)
Repita el problema con las direcciones opuestas.
R: (a) F/ℓ = 2  10-4 N/m y (b) F/ℓ = 2  10-4 N/m.
17.- Dos conductores largos y paralelos transportan
corrientes en la misma dirección, como se muestra en la
figura. El conductor A transporta una corriente de 150 A y
se mantiene firmemente en su posición; el conductor B
transporta la corriente IB y se le permite deslizarse hacia
arriba y abajo (paralelo a A) entre un conjunto de guías
no conductoras. Si la densidad de la masa lineal del
conductor B es de 0.10 g/cm, ¿qué valor de la corriente IB
dará por resultado un equilibrio cuando la distancia entre
los dos conductores es de 2.5 cm? R: iB = 81.67 A.
4A
6A
19.- Considere tres alambres paralelos, rectos y largos
que se observan en la figura. Encuentre la fuerza que
experimentan 25 cm de longitud del alambre C.
C
14.- Un toroide con núcleo de aire y devanado uniforme
tiene 750 espiras. El radio del círculo que pasa por el
centro del devanado es de 5 cm. ¿Qué corriente en las
espiras producirá un campo de 1.8 mT en el círculo
central? R: i = 0.6 A.
15.- Un toroide de radio interior de 1 cm y radio exterior
de 2 cm posee 1000 vueltas de conductor y transporta
una corriente de 1.5 A. (a) ¿Cuál es la magnitud del
campo magnético a una distancia a 1.1 cm del centro? y
(b) ¿A 1.5 cm del centro? R: (a) B = 0.027 T y (b) B =
0.02 T.
D
G
D
3 cm
5 cm
30 A
10 A
20 A
20.- Dos alambres fijos paralelos y largos, A y B, se
encuentran separados 10 cm y llevan una corriente de
40 y 20 A respectivamente, en direcciones opuestas.
Determine el campo resultante:(a) En una línea a medio
camino entre los alambres y paralelo a ellos, (b) En una
línea a 8 cm del alambre A y a 18 cm del alambre B y (c)
¿Cuál es la fuerza por metro sobre un tercer alambre
largo, a la mitad del camino entre A y B y en su propio
plano, cuando éste lleva una corriente de 5 A en la
misma dirección que la corriente en A?
ˆ (b) B = 7.8  10-5 T kˆ y
R: (a) B = 24  10 -5 T k,
(c) F/ = -12  10-4 N/m ˆi.
IV.3. INDUCCIÓN MAGNÉTICA.
Flujo magnético
1.- Un campo magnético uniforme de 0.8 T atraviesa una
superficie circular paralela al plano xz como se indica en
la figura, determina el flujo magnético en la superficie. R:
Φ = 0.07 Wb. y
IA
A
B
128°
IB
B
R = 20 cm
z
x
A
23
x
2.- Una superficie circular de 3 m de radio, se encuentra
paralela al eje xz cuyo centro se encuentra en el origen,
si el vector perpendicular al área se dirige hacia el eje y
positivo. Determina el flujo si: a) B = 0.3 T ˆi,
b) B = -0.3 T ˆj y c) B = 0.65 ˆi - 0.4 T ˆj.
6.- Un campo magnético uniforme de 0.75 T se dirige
verticalmente hacia arriba y atraviesa la superficie
semiesférica mostrada en la figura. Determine el flujo
magnético que atraviesa dicha superficie, considerando
los datos de la figura en metros. R: Φ = 58.9 Wb
z
R: a) Φ = 0 Wb, b) Φ = -11.31 Wb yc) Φ = 11.31 Wb.
5m
3.- Determina el flujo magnético sobre la superficie
cuadrada que se muestra en la figura. Es paralela al
plano yz y pasa por el punto x = 4 cm. Si el campo es:
a) De 0.4 T dirigido hacia el eje x positivo.
b) De 0.4 T dirigido hacia el eje x negativo
c) De 0.4 T dirigido verticalmente hacia arriba
d) De 0.4 T dirigido verticalmente hacia abajo
e) De 0.4 T y forma un ángulo de 60º sobre el eje x
R: a) Φ = 6.4 x 10-4 Wb, b) Φ = -6.4 x 10-4 Wb,
c) Φ = 0 Wb, d) Φ = 0 Wb y e) Φ = 3.2 x 10-4 Wb.
5m
5m
x
y
7.- Un alambre cilíndrico muy largo de radio R conduce
un corriente i distribuida de manera uniforme a través de
la sección transversal del alambre. Calcule el flujo
magnético a través del rectángulo que tiene un lado L
que se extiende a lo largo del centro del alambre, y otro
lado de longitud R, como se indica en la figura.
4 cm
A
4 cm
4 cm
x
i
z
4.- El campo magnético en cierta región es de 0.128 T,
en dirección del eje +z en la figura. a) ¿Cuál es el flujo
magnético a través de la superficie abcd? b) ¿Cuál es el
flujo magnético a través de la superficie befc? c) ¿Cuál es
el flujo magnético a través de la superficie aefd? d) ¿Cuál
es el flujo magnético neto a través de las cinco
superficies que encierran el volumen sombreado?
R
L
8.- (a) Calcular el flujo magnético que atraviesa la espira
rectángular mostrada en la figura. (b) obtener la solución
del problema para a = 5.0 cm, b = 10 cm, d = 2,0 cm y I =
20 A.
a
y
b
30 cm
40 cm
e
b
a
30 cm
c
I
f
d
x
z d
Ley de Faraday.
50 cm
5.- Un campo magnético uniforme con una magnitud de
2000 G es paralelo al eje x. Una espira cuadrada de lado
5 cm forma un ángulo Ө con el eje z, como se muestra en
la figura. Determinar el flujo magnético a través de la
espira cuando (a) Ө = 0°, (b) Ө = 15°, (c) Ө = 30°,
(d) Ө = 45°, (e) Ө = 60°, y (f) Ө = 90°.
5 cm
5 cm
3.- Una bobina cuadrada que tiene 100 vueltas con un
área de 0.044 m2 se coloca de modo que su plano sea
perpendicular a un campo magnético uniforme de 4 mT.
B
Ө
fem media.
1.- El flujo que pasa por una bobina de 200 espiras
cambia de 0.06 a 0.025 Wb en 0.5 s. La bobina está
conectada a una lámpara eléctrica y la resistencia
combinada es de 2 Ω. ¿Cuál es la fem inducida promedio
y que corriente promedio se está suministrando al
filamento de la lámpara? R: Ɛ = 14 V, I = 7 A.
2.- Una bobina de alambre de 8 cm de diámetro tiene 50
vueltas y está colocada dentro de un campo B de 1.8 T.
Si el campo B se reduce a 0.6 T en 0.002 s, ¿cuál es la
fem inducida? R: Ɛ = 150.8 V
y
z
y
x
24
La bobina gira hasta una posición paralela al campo en
un lapso de 0.3 s. ¿Cuál es la fem inducida?
R: Ɛ = 58 mV
4.- Una bobina 120 vueltas tiene 90 mm de diámetro y su
plano está en posición perpendicular a un campo
magnético de 60 mT generado por un electroimán
cercano. Cuando la corriente del electroimán se
interrumpe y el campo desaparece, una fem de 6 V es
inducida en una bobina. ¿Cuánto tiempo tarda el campo
en desaparecer?
5.- Una bobina con área de 0.2 m2 tiene 80 espiras de
alambre y está suspendida de manera que su plano es
perpendicular a un campo magnético uniforme. ¿Cuál
tendrá que ser la densidad de flujo necesaria para
producir una fem promedio de 2 V cuando la bobina gira
hasta una posición paralela al campo en 0.5 s?.
fem instantánea.
1.- En la figura el flujo magnético en la espira crece
conforme la relación ΦM = (6 mWb/s2)t2 + (7 mWb/s)t.
a) ¿Qué valor absoluto tiene la fuerza electromotriz
inducida en la espira cuando t = 2.0 s?. b) ¿Cuál es el
sentido de la corriente que pasa por el resistor?
4.- Un campo magnético es perpendicular al plano de una
espira circular de 10.4 cm de diámetro, hecha de un
alambre de cobre (diámetro = 250 mm). a) Calcule la
resistencia del alambre ρ = 1.7 X 10-8 Ω • m. b) ¿A qué
velocidad debe cambiar el campo magnético con el
tiempo para que en la espira aparezca una fuerza
electromotriz inducida y produzca una corriente de 9.66
A?
1.- La corriente en el alambre largo y recto AB que se
ilustra en la figura va hacia arriba y se incrementa en
forma estable a razón de di/dt. a) En el instante en que la
corriente es i, ¿cuáles son la magnitud y dirección del
campo magnético a una distancia r hacia la derecha del
alambre? b) ¿Cuál es el flujo dΦB a través de la banda
angosta y sombreada? c) ¿Cuál es el flujo total a través
de espira? d) ¿Cuál es la fem inducida en la espira? e)
Determine el valor numérico de la fem inducida si a =
12.0 cm, b = 36.0 cm, L = 24.0 cm y di/dt = 9.60 A/s.
R: a) B = µ0 i / 2π r hacia la página, b) dΦB = (µ0 i / 2π r)L
dr, c) ΦB = (µ0 i L / 2π) ln (b/a), d) Ɛ = (µ0 L/ 2π) ln (b/a)
(di/dt).
i
dr
B
r
B
a
A
L
b
i
R
2.- El campo magnético de una espira de una vuelta con
16 cm de radio y con 8.5 Ω de resistencia cambia con el
tiempo según se muestra en la figura. Calcule la fuerza
electromotriz de la espira en función del tiempo, Suponga
intervalos de tiempo a) t = 0 a t = 2 s; b) t = 2 s a t = 4 s;
c) t = 4 s a t = 8 s. El campo magnético (uniforme) es
perpendicular al plano de la espira.
1.0
B [T] 0.5
2
0
4
t [s]
6
8
3.- Una espira de acero plano y circular de radio 75 cm se
encuentra en reposo en un campo magnético uniforme,
cuya vista de perfil se muestra en la figura. El campo
cambia con el tiempo, de acuerdo a la expresión B(t) =
(1.4 T) e-(0.057s-1)t. a) Calcule la fem inducida como función
del tiempo. b) ¿Cuándo la fem inducida es 1/10 de su
valor inicial? c) Determine el sentido de la corriente
inducida en la espira, viendo esta última desde arriba.
B
60°
7.- Una bobina de 4 cm de radio contiene 500 espiras, y
está colocada en un campo magnético uniforme que
varía con el tiempo de acuerdo con B = (0.0120 T/s)t + (3
X 10-5 T/s4)t4. La bobina está conectada a un resistor de
600 Ω, y su plano es perpendicular al campo magnético.
Se puede ignorar la resistencia de la bobina. a)
Encuentre la magnitud de la fem inducida en la bobina
como función del tiempo. b) ¿Cuál es la corriente en el
resistor en el momento t = 5 s.
9.- Un alambre de 0.15 m de longitud se desplaza a una
velocidad constante de 4 m/s en una dirección que forma
un ángulo de 36º con un campo magnético de 0.4 T. El
eje del alambre es perpendicular a las líneas de flujo
magnético ¿Cuál es la fem inducida?
10.- Un trozo de alambre de 90 mm se mueve con una
velocidad ascendente de 35 m/s entre los polos de un
imán. El campo magnético es de 80 mT dirigido a la
derecha. Si la resistencia del alambre es de 5 mΩ,
¿cuáles son la magnitud y el sentido de la corriente
inducida?
11.- Una barra de cobre de 30 cm de longitud está
colocada perpendicularmente a un campo magnético de
0.8 T y se mueve en ángulo recto respecto al campo con
una rapidez de 0.5 m/s. Determínese la fem inducida en
la barra.
12. Como se muestra en la figura, una varilla de metal
hace contacto con una parte de un circuito y lo completa,
25
es decir, lo cierra. El circuito es perpendicular a un campo
magnético de 0.15 T. Si la resistencia es de 3 Ω, ¿Cuál
es la magnitud de la fuerza necesaria para mover la
varilla como se indica con una rapidez constante de 2 m/s?
x
x
x
x
xB
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 m/s
50 cm
x
16.- Una barra conductora de longitud ℓ gira cor rapidez
angular constante ω alrededor de un extremo en un plano
perpendicular a un campo magnético uniforme B como
se muestra en la figura. (a) demostrar que la diferencia
de potencial entre los extremos de la barra es ½ Bωℓ2. (b)
Sea θ el ángulo formado por la barra que gira y la línea
discontinua, el cual viene dado por θ = ωt; demostrar que
el área barrida por la barra durante el tiempo t es ½ ℓ2θ.
(c) Calcular el flujo Φm que atraviesa el área del apartado
anterior y aplicar la ley de Faraday Ɛ = -dΦm/dt para
demostrar que la fuerza electromotriz generada por el
movimiento de la barra es ½ Bωℓ2.
x
x Un xsolenoide
x
xde longitud
x
x de 25
x cm y radio 0.8 cm
13.posee 400 vueltas y se encuentra en un campo
magnético externo de 600 G que forma un ángulo de 50º
con el eje del solenoide. (a) Determinar el flujo magnético
a través del solenoide. (b) Determinar la magnitud de la
fem inducida en el solenoide, si el campo magnético
externo se reduce a cero en 1.4 s.
14.- En la figura hay un campo magnético en la dirección
x, con B = 0.20 T y una espira de alambre en el plano yz.
La espira tiene un área de 5 cm2 gira alrededor de la
línea CD como eje. El punto A gira hacia los valores
positivos de x desde la posición indicada. Si la línea AE
gira 50º a partir de la posición que se muestra en un
tiempo de 0.20 s. a) ¿Cuál es el cambio en el flujo a
través de la espira? b) ¿Cuál es la fem promedio
inducida? c) ¿Fluirá la corriente inducida de A a C o de C
a A en la parte superior de la espira?
y
x
x x
ω
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x ℓ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
17.- Una barra de masa m se desliza sin rozamiento
sobre unos railes conductores en una región de campo
magnético uniforme B dirigido hacia la página. Un
agente externo empuja la barra manteniéndola a
velocidad constante v 0 hacia la derecha. En el tiempo t =
0 se suprime súbitamente la fuerza externa y la barra se
desacelera debido a la fuerza magnética. Determinar la
rapidez final v de la barra en función del tiempo.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x Bx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
ℓ
D
x
C
z
x
x
x
B
x
R
v
x
x
18.- Un generador desarrolla una fem de 120 V y tiene
una diferencia de potencial de 115 V en sus terminales
cuando la corriente de la armadura es de 25 A. ¿Cuál es
la resistencia de la armadura?
E
15.- Una espira rectangular de 10 cm por 5 cm y con una
resistencia de 2.5 Ω se mueve por una región de campo
magnético uniforme de B = 1.7 T, como en la figura, con
velocidad constante cuya magnitud v = 2.4 cm/s. El
extremo delantero de espira entra en la región de campo
magnético en el instante t = 0. (a) Hallar el flujo que
atraviesa la espira en función del tiempo y dibujar un
gráfico del mismo. (b) Hallar la fem y la corriente inducida
en la espira en función del tiempo y dibujar un gráfico de
ambas. Despreciar cualquier autoinducción de la espira y
ampliar los gráficos desde t = 0 hasta t = 16 s.
20 cm
B
v
x
20.- Un generador produce una fem máxima de 24 V
cuando la armadura gira a 600 rpm. Suponiendo que
ninguna otra cuestión cambie, ¿cuál será la fem máxima
cuando la armadura gire 1800 rpm?
IV.4. INDUCTANCIA.
10 cm
5 cm
19.- La bobina de un generador gira con una frecuencia
de 60 Hz y desarrolla una fem máxima de 170 V. La
bobina tiene 500 espiras, cada una con un área de 4 x
10-3 m2. ¿Cuáles son la magnitud del campo magnético
dentro del cual gira la bobina?
INDUCTANCIA MUTUA:
1.- Dos bobinas tienen inductancia mutua M = 3.25 Χ 10-4
H. La corriente i1 en la primera bobina aumenta con una
razón uniforme de 830 A/s. a) ¿Cuál es la fem inducida
en la segunda bobina? ¿Es constante? b) Suponga que
la corriente descrita está en la segunda bobina y no en la
primera. ¿Cuál es la fem inducida en la primera bobina?
R: a) Ɛ = -0.27 V b) Ɛ = -0.27 V.
26
2.- Un solenoide de 10.0 cm de largo y 0.400 cm de
diámetro se enrolla uniformemente con 800 espiras. Una
segunda bobina con 50 espiras se enrolla alrededor del
solenoide en su centro. ¿Cuál es la inductancia mutua de
la combinación de las dos bobinas? R: M = 6.32 µH.
3.- Dos bobinas están devanadas alrededor de la misma
forma cilíndrica, colocadas una al lado de la otra cuyos
ejes de ambas coinciden a lo largo de una misma recta.
Cuando la corriente en la primera bobina disminuye a una
razón de -0.242 A/s, la fem inducida en la segunda tiene
una magnitud de 1.65 Χ 10-3 V. a) ¿Cuál es la inductancia
mutua del par de bobinas? b) Si la segunda bobina tiene
25 espiras, ¿cuál es el flujo através de cada espira
cuando la corriente en la primera bobina es igual a 1.2 A?
c) Si la corriente en la segunda bobina aumenta a razón
de 0.360 A/s, ¿cuál es la fem inducida inducida en la
primera bobina?
a) M = 6.82 mH, b) Φ2 = 3.27 Χ 10-4 V•s c) Ɛ1 = -2.45 mV.
4.- Una bobina en forma de solenoide con 25 espiras de
alambre está devanada en forma compacta alrededor de
otra bobina con 300 espiras. El solenoide interior tiene
25.0 cm de longitud y 2.00 cm de diámetro. En cierto
momento, la corriente en el solenoide interior es de 0.120
A y aumenta a una razón de 1.75 Χ 10 3 A/s. Para este
momento, calcule a) el flujo magnético medio a través de
cada espira del solenoide interno; b) la inductancia mutua
de los dos solenoides; c) La fem inducida en el solenoide
exterior al modificar la corriente en el solenoide interior.
R: a) Φm = 5.68 Χ 10-8 Wb; b) M = 2.37 Χ 10-5 H;
c) Ɛ2 = -0.04 V.
5.- Dos solenoides toroidales están embobinados
alrededor de la misma forma de manera que el campo
magnético de uno pasa a través de las espiras del otro.
El soleniode 1 tiene 700 espiras, y el solenoide 2 tiene
400. Cuando la corriente en el solenoide 1 es de 6.52 A,
el flujo medio a través de cada espira del solenoide es de
0.0320 Wb. a) ¿Cuál es la inductancia mutua del par de
solenoides? b) Cuando la corriente en el solenoide 2 es
de 2.54 A, ¿cuál es el flujo medio a través de cada espira
del solenoide 1?. R: a) M = 1.96 H, b) Φm = 7.11 mWb.
INDUCTANCIA O AUTOINDUCTANCIA:
1.- En el instante en que la corriente en un inductor
aumenta a razón de 0.0640 A/s, la magnitud de la fem
autoinducida es 0.0160 V. a) ¿Cuál es la inductancia del
inductor? b) Si el inductor es un solenoide con 400
espiras, ¿cuál es el flujo magnético medio a través de
cada espira, cuando la corriente es de 0720 A?
2.- Una bobina circular tiene un radio de 10.3 cm y consta
de 34 vueltas de alambre muy compactas. Un campo
magnético producido externamente de 2.62 mT es
perpendicular a dicha bobina. a) Si no hay corriente en la
bobina, ¿Cuál es el número de conexiones de flujo? b)
Cuando la corriente en la bobina es 3.77 A en cierta
dirección se observa que desaparece el flujo neto a
través de ella. Calcule la inductancia de la bobina.
R: a) Φ = 2.62 mWb, b) L = 20.8 mH.
3.- El inductor del problema anterior tiene una inductancia
de 0.260 H y conduce una corriente en el sentido
indicado. La corriente cambia a una tasa constante. el
potencial entre los puntos a y b es Vab = 1.04 V, con el
punto “a” a mayor potencial ¿La corriente aumenta o
disminuye? B) Si la corriente en t = 0 es de 12 .0 A, ¿cuál
es la corriente en t = 2.00 s?
4.- La inductancia de una bobina compacta de 400
vueltas es 8.0 mH. Calcule el flujo magnético en la bobina
si la corriente es de 5 mA.
5.- Un solenoide largo y recto tiene N espiras, área de
sección transversal uniforme A y longitud ℓ. Demuestre
que la inductancia de este solenoide está dada por la
 N2 A
. Suponga que el campo magnético
ecuación: L = 0
es uniforme dentro y cero fuera del solenoide. (La
respuesta será aproximada pues en realidad B es menor
en los extremos que en el centro. Y la respuesta es en
realidad un límite superior de la inductancia.)
6.- El inductor de la figura tiene una inductancia de 0.260
H y conduce una corriente en el sentido que se ilustra y
que disminuye a una tasa uniforme di/dt = -0.0180 A/s. a)
Calcule la fem autoinducida. b) ¿Cuál extremo del
inductor está a mayor potencial, a o b y explique porqué?
i
a
L
b
7.- Un solenoide se enrrolla con una sola capa de
alambre aislado de cobre (diámetro, 2.52 mm). Mide 4.10
cm de diámetro y 2 m de largo. ¿Cuál es la inductancia
por metro en el solenoide cerca de su centro? Suponga
que los alambres contiguos se tocan y que el espesor del
aislante es insignificante. R: L/ℓ = 0.261 mH/m.
8.- Un inductor de 10.0 mH conduce una corriente I = Imáx
sen ωt, con Imáx = 5.00 A y ω/2π = 60.0 Hz. ¿Cuál es la
fem autoinducida como función del tiempo?
R: Ɛ = 18.85 V cos[(377 rad/s) t].
9.- Una fem de 24 mV es inducida en una bobina de 500
vueltas en el instante en que la corriente es de 4.00 A y
está cambiando a razón de 10.0 A/s. ¿Cuál es el flujo
magnético que pasa a través de cada vuelta de la bobina?
R: Φ = 1.92 Χ 10-5 Wb
10.- Cuando la corriente un solenoide toroidal cambia a
razón de 0.0260 A/s, la magnitud de la fem inducida es
de 12.6 mV. Cuando la corriente es igual a 1.40 A, el flujo
medio a través de cada espira del solenoide es de
0.00285 Wb. ¿Cuántas espiras tiene el solenoide?
R: N = 238 espiras.
11.- Un toroide tiene un radio mayor R y un radio menor r,
y está estrechamente enrollado con N vueltas de de
alambre, si R>>r, el campo magnético en la región
encerrada por el alambre del toroide, de área de sección
tranversal A = π r2 , es esencialmente el mismo que el
campo magnético de un solenoide que ha sido doblado
en un gran círculo, de radio R. Modele con un campo
magnético uniforme de un solenoide largo y demuestre
que la autoinductancia de dicho toroide es
aproximadamente igual a
 N2 A
L  0
2R
27
CIRCUITOS RL:
1.- Considere un circuito RL con resistencia R = 1.00 MΩ
e inductancia L = 1.00 H que es alimentado por una
batería de 10.0 V. a) ¿Qué valor tiene la constante de
tiempo del circuito? b) si el interruptor se cierra en el
instante t = 0, ¿cuál es la corriente justo después de ese
instante?¿Justo después de de 2.00 μs?¿cuándo ha
transcurrido bastante tiempo?
2.- Una batería de 35.0 V con resistencia interna
insignificante, un resistor de 50.0 Ω y un inductor de 1.25
mH con resistencia despreciable están conectados en
serie con un interruptor abierto. El interruptor se cierra de
forma súbita. a) ¿Cuánto tiempo después de cerrar el
interruptor la corriente a través del del inductor alcanzala
mitad de su valor máximo? b) ¿Cuánto tiempo depués de
cerrar el interruptor la energía almacenada en el inductor
será la mitad de su valor máximo?
3.- En el circuito de la figura R = 120.0 Ω, L = 3.00 H y Ɛ
= 40.0 V. Una vez cerrado el interruptor, ¿en cuánto
tiempo la corriente en el inductor llega a 300 mA?
7.- La corriente crece a razón de 3.60 A/s en un circuito
RL con R = 3.25 Ω y L = 440 H. ¿Cuál es la diferencia de
potencial a través del circuito en el momento en que la
corriente en el circuito es de 3.00 A?
8.- En la figura, ξ = 100 V, R1 = 10.0 Ω, R2 = 20.0 Ω, R3 =
10.0 Ω y L = 2.0 H. Determine los valores de i 1 e i2. a)
Inmediatamente después de cerrar el interruptor S. b)
Mucho tiempo después de hacerlo. c) Inmediatamente
después de volver a abrirlo.
i1
Ɛ+
-
i2
V1
R
Ɛ +-
+
-
4.- En el circuito de la figura, una batería suministra una Ɛ
= 18.0 V y R1 = 6.00 Ω, R2 = 6.00 Ω y L = 5.00 H. Calcule
cada inciso inmediatamente después de que se cierra el
interruptor: a) la corriente que fluye hacia afuera de la
batería; b) la corriente por R1; c) la corriente por R2; d) la
diferencia de potencial a través de R1; e) la diferencia de
potencial a través de R2; f) la diferencia de potencial a
través de L y g) la razón de cambio de la corriente a
través de R1.
50.0 V
L
75.0 Ω
A2
V3
10.- En el circuito que se aprecia en la figura, el
interruptor S se cierra en el instante t = 0. Determine la
lectura en cada instrumento de medición justo después
de cerrar S. b) ¿Cuál es la lectura de cada instrumento
mucho después de cerrar S?
40.0 Ω
10.0 Ω
5.0 Ω
+
25.0 V -
10.0 mH 15.0 Ω
20.0 mH
A2
5.- La corriente en un circuito RL se reduce de 1.16 A a
10.2 mA en 1.5 s inmediatamente después de sacar la
batería del circuito. Si L es 9.44 H, calcule la resistencia
R del circuito.
6.- En el circuito de la figura, una batería suministra una Ɛ
= 18.0 V y R1 = 6.00 Ω, R2 = 6.00 Ω y L = 5.00 H. Calcule
cada inciso inmediatamente después de que se cierra el
interruptor: a) la corriente que fluye hacia afuera de la
batería; b) la corriente por R1; c) la corriente por R2; d) la
diferencia de potencial a través de R1; e) la diferencia de
potencial a través de R2; f) la diferencia de potencial a
través de L y g) la razón de cambio de la corriente a
través de R1.
Ɛ+
-
R1
R2
A3
A4
A1
11.- En el circuito que se ilustra en la figura, el interruptor
ha estado abierto durante un largo tiempo y se cierra de
repente. N la batería ni los inductores tienen ninguna
resistencia apreciable. a) ¿Qué lecturas tienen el
amperímetro y voltímetro justo después de que se ha
cerrado S? b) ¿Qué lecturas tienen el amperímetro y
voltímetro después de que se ha cerrado S durante
mucho tiempo? c) ¿Qué lecturas tienen el amperímetro y
voltímetro después de 0.115 ms que se ha cerrado S?
S
+
-
L
V4
A1
S
R2
V2
50.0 Ω
R1
S
A3
100.0 Ω
15.0 mH
S
L
S
L
R2
9.- En el circuito que se muestra en la figura, determine la
lectura en cada amperímetro y voltímetro a) justo
después de haber cerrado el interruptor S, y b) después
de que S ha estado cerrado durante mucho tiempo.
S
Ɛ +-
R3
R1
S
50.0 Ω
12.0 mH
V
18.0 mH
20.0 V
25.0 Ω
15.0 mH
A
28
12.- En el circuito que se ilustra en la figura, el interruptor
S se cierra en el instante t = 0, sin carga inicial en el
capacitor. a) Determine la lectura de cada amperímetro y
voltímetro inmediatamente de cerrar S. b) Determine la
lectura en cada instrumento de medición después de que
ha trancurrido mucho tiempo. c) Calcule la carg máxima
en el capacitor. d) Dibuje una gráfica cualitativa del
voltímetro V2 como función del tiempo.
V1
S
40.0 V +-
A3
50.0 Ω
5.0 mH
V2
A2
100.0 Ω
V5
12.0 mF
50.0 Ω
V3
V4
A4
A1
ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO:
1.- Un inductor que se utiliza en una fuente de energía
eléctrica de cd tiene una inductancia de 12.0 H y
resistencia de 180 Ω. Conduce una corriente de 0.300 A.
a) ¿Cuál es la energía almacenada en elcampo
magnético? b) ¿A qué tasa se desarrolla la energía
térmica en el inductor? c) ¿La respuesta del inciso b)
significa que la energía del campo magnético disminuye
con el tiempo? Explique su razonamiento.
2.- Un solenoide toroidal lleno de aire tiene un radio
medio de 15.0 cm y área de sección transversal de 5.00
cm2. Cuando la corriente es de 12 A la energía
almacenada es de 0.390 J. ¿Cuántas espiras tiene el
devanado?
3.- La energía magnética almacenada en un conductor es
25.3 mJ cuando la corriente es 62.0 mA. a) Calcule la
inductancia. b) ¿Qué corriente se requiere para que la
energía magnética cuadruplique esa cantidad?
4.- Un solenoide de 25 cm de longitud y área de sección
transversal de 5.00 cm2, contiene 400 espiras de alambre
y conduce una corriente de 80.0 A. Calcule: a) el campo
magnético en el solenoide; b) la densidad de energía en
el campo magnético si el solenoide está lleno de aire; c)
la energía total contenida en el campo magnético de la
bobina (suponga que el campo es uniforme); d) la
inductancia del solenoide.
5.- Un solenoide de 85.3 cm de largo tiene una superficie
transversal de 17.2 cm2. a) Calcule la densidad de
energía del campo magnético dentro del solenoide.
b)Determine la energía total almacenada en el campo
magnético dentro de este solenoide. (prescinda de los
efectos externos.)
6.- Una batería de 10.0 V, un resistor de 5.00 Ω y un
inductor de 10.0 H están conectados en serie. Después
de que la corriente en el circuito alcance suvalor máximo,
calcule a) la potencia que suministra la batería, b) la
potencia que se entrega al resistor, la potencia que se
entrega al inductor y d) la energía que se almacena en el
campo magnético del inductor.
7.- Una bobina plana de alambre tiene una inductancia de
40.0 mH y una resistencia de 5.00 Ω. Está conectada a
una batería de 22.0 Ven el instante t = 0. Considere el
momento cuando la corriente es de 3.00 A. a) ¿Con qué
rapidez entrega la energía la batería? b) ¿Cuál es la
potencia entregada al resistor? c) ¿Con qué rapidez se
almacena energía en el campo magnético de la bobina?
d) ¿Cuál es la correspondencia entre estos tres valores
de potencia? ¿Esta correspondencia también es
verdadera
en
otros
instantes?
Explique
la
correspondencia en el momento inmediatamente
después de t = 0 y en un momento muchos segundos
más tarde.
CIRCUITOS LC:
1.- Un capacitor de 2.00 μF se carga por completo al
conectarlo con una batería de 12.0 V. El capacitor
cargado por completo se conecta después a un
inductorde 0.250 H. Calcule a) la corriente máxima en el
inductor y la frecuencia de oscilación del circuito LC.
2.- La frecuencia de oscilación de un circuito LC es de
200.0 kHz. En t = 0, el capacitor tiene su carga máxima
positiva en su placa inferior. Decida si cada una de las
siguientes afirmaciones es falsa o verdadera, respalda tu
respuesta mediante calculos con los modelos
matemáticos correspondientes. a) En t = 2.50 μs, la carga
sobre la placa inferior del capacitor tiene su valor máximo
negativo. b) En t = 5.00 μs, la corriente en el circuito está
en su valor más alto. c) En t = 2.50 μs la energía en el
cicuito está almacenada por completo en el inductor. d)
En t = 1.25 μs la mitad de la energía en el circuito está
almacenada en el inductor.
3.- La corriente que varía con el tiempo en un circuito LC
donde C = 10.0 μF está dada por i(t) = (1.00 A)sen(1 200t)
Donde t está en segundos. a) En qué instante después
de t = 0 la corriente alcanza su valor máximo? b) ¿Cuál
es la energía total del circuito? c) ¿Cuál es el valor de la
inductancia L?
4.- Un capacitor de 10 μF se carga por completo por
medio de una batería de 12.0 V y luego se desconecta de
la batería, dejando que se descargue a través de un
inductor de 0.200 H. Encuentre las tres primeras veces
cuando la carga sobre el capacitor es es 80 μC, tomando
t = 0 como el instante en que el el capacitor se conecta al
inductor.
5.- Un circuito LC consta de un inductor de 1.00 mH y un
capacitor cargado por completo. Luego de 2.10 ms, la
energía almacenada en el en el capacitor es la mitad de
su valor original. ¿Cuál es el valor de la capacitancia?
6.- Un capacitor de 4.00 mF está conectado en serie a un
inductor de 7.00 mH. La corriente máxima en los
alambres entre el capacitor y el inductor es 3.00 A. a)
¿Cuál es la energía eléctrica total en este circuito? b)
Escriba una ecuación para la carga sobre el capacitor
como función del tiempo, en el supuesto de que el
capacitor está cargado por completo en t = 0.
7.- Para el circuito LC de la figura, L = 32 mH y C = 45.0
μF. El capacitor está cargado a q0 = 10.0 μC, el
interruptor se cierra en t = 0 s, ¿en qué instante la
energía almacenada en el capacitor primero es igual a la
energía almacenada en el inductor
29
C
L
S
8.- En el circuito que se ilustra en la figura, ni la batería ni
los inductores presentan una resistencia apreciable, los
capacitores están inicialmente descargados, y el
interruptor S ha estado mucho tiempo en la posición 1. a)
¿Cuál es la corriente en el circuito? b) Ahora se acciona
repentinamente el interruptor a la posición 2. Calcule la
carga máxima que recibirá cada capacitor y cuanto
tiempo se requerirá para obtener esa carga a partir del
momento en que fue accionado el interruptor.
S
+
75.0 V -
15.0 mH
125.0 Ω
5.0 mH
25.0 μF
35.0 μF
CIRCUITOS RLC:
1.- Un circuito contiene un capacitor de 4.50 nF y un
inductor de 4.00 mH. Si cierta carga se coloca
inicialmente en el capacitor, se produce una corriente
oscilatoria con frecuencia angular ω 0. ¿Con qué factor
cambia esta frecuencia angular si un resistor de 1.00 kΩ
se conecta en serie con el capacitor y el inductor?
2.- Un capacitor de 2 μF se carga por completo cuando
está conectado a una batería de 12.0 V. Luego, el
capacitor cargado por completo se conecta en serie a un
resistor y a un inductor: R = 50.0 Ω, L = 0.200 mH.
Calcule la frecuancia amortiguada del circuito resultante.
3.- ¿A qué frecuencia un capacitor de 10.0 μF tiene una
reactancia XC = 200 Ω?
4.- Un capacitor con capacitancia C = 5 • 10-6 F está
conectado a una fuente de alimentación CA Cuyo valor
máximo es de 10.0 V y f = 100 Hz. Encuentre la
reactancia del cazpacitor y la corriente máxima del
circuito.
5:- Un circuito en serie contiene un resistor de 100.0 Ω,
un inductor de 0.500 H, un capacitor de de 0.400 μFy una
fuente de fem que varia con el tiempo que suministra
40.0 V. a) ¿Cuál es la frecuencia angular de resonancia
del circuito? b) ¿ Qué corriente fluye por el circuito a la
frecuencia de resonancia?
6.- Determine la contante de fase y la impedancia del
circuito RLC mostrado en la figura cuando la frecuencia
de la fuente de fem que varía con el tiempo es 1.00 kHz,
C = 100 μF, L = 10.0 mH y R = 100 Ω.
L
C
R
ΔV
CORRIENTE ALTERNA.
FASORES Y CORRIENTES ALTERNAS.
1.- La placa en la parte posterior de cierto escáner de
computadora indica que la unidad consume una corriente
de 0.34 A de una línea de 120 V a 60 Hz. Determine: a)
la corriente eficaz (rms), b) la amplitud de corriemte, c) la
corriente media y d) el cuadrático medio de la corriente.
R: a) Irms = 0.34 A, b) I = 0.48 A, c) I = 0,
d) (i2)med = 0.12 A2.
2.- Una corriente sinusoidal i = I cosωt tiene un valor rms
Irms = 2.10 A. a) ¿Cuál es la amplitud de la corriente? b)
La corriente se hace pasar por cierto circuito rectificador
de una onda completa. ¿Cuál es la corriente de valor
medio rectificada? c) ¿Qué es mayor Irms o Ivmr? Explique
utilizando gráficas de i2 y de la corriente rectificada.
R: I = 2.96 A, b) Ivmr = 1.88 A,
3.- El voltaje entre las terminales de una fuente de
energía de ca varia con el tiempo de acuerdo a la
ecuación ʋ = V cosωt. La amplitud de voltaje es V = 45 V.
¿Cuáles son a) la diferencia de potencial cuadrática
media, Vrms? y b) la diferencia de potencial media entre
las dos teminales de la fuente de energía?
R: a) Vrms = 31.82 V, b) Vmed = 0.
RESISTENCIA Y REACTANCIA.
1.- Un capacitor de 2.20 µF está conectado a una fuente
de ca cuya amplitud de voltaje se mantiene constante a
60.0 V, pero cuya frecuencia varía. Determine la amplitud
de la corriente cuando la frecuencia angular es de a) 100
rad/s; b) 1 000 rad/s; c) 10 000 rad/s. Muestre los
resultados de los incisos a) a c) en una gráfica de log I en
función de log ω.
R: a) I = 0.0132 A, b) I = 0.132 A, c) I = 1.32 A.
2.- Un inductor de 5.00 H con resistencia insignificante
está conectado a la fuente de ca de 60.0 V. Determine la
amplitud de la corriente cuando la frecuencia angular es
de a) 100 rad/s; b) 1 000 rad/s; c) 10 000 rad/s. Muestre
los resultados de los incisos a) a c) en una gráfica de log
Ien función de log ω.
R: a) I =0.12 A, b) I = 0.012 A, c) I = 0.0012 A.
3.- Una capacitancia C y una inductancia L operan a la
misma frecuencia angular. a) ¿A qué frecuencia angular
tendrán la misma reactancia? b) Si L = 5.00 mH y C = 3.5
µF, ¿cuál es el valor numérico de la frecuencia angular
del inciso a), y cuál es la reactancia de cada elemento?
R: a) ω = 7 559.29 rad/s, XL = XC = 37.79 Ω.
4.- En cada circuito descrito a continuación, una fuente
de voltaje de ca que produce una corriente i = I cosωt se
conecta a un elemento adicional de circuito. a) La fuente
de ca está conectada a las terminales de un resistor R.
Elabore las gráficas de la corriente en el circuito y la
diferencia de potencial entre las terminales del resistor,
como funciones del tiempo, correspondientes a dos ciclos
de oscilación. Dibuje las dos curvas juntas, en los
mismos ejes, para que pueda compararlas. b) Haga lo
mismo que en el inciso a), pero suponga que el resistor
se sustituye por un inductor L. Construya las mismas
gráficas que en el inciso a) sólo que esta vez
considerando al inductor en vez del resistor. c) Haga lo
mismo que en el inciso a), pero suponga que el resistor
30
se sustituye por un capacitor C. Elabore las mismas
gráficas del inciso a) sólo que ahora considerando al
capacitor en vez del resistor. d) Elabore un diagrama de
fasores para cada uno de los casos anteriores.
5.- a) Calcule la reactancia de un inductor de 0.450 H a
frecuencias de 60.0 Hz y 600 Hz. b) Calcule la reactancia
de un capacitor de 2.50 µF a las mismas frecuencias. c)
¿A qué frecuencia la reactancia de un inductor de 0.450
H es igual a la de un capacitor de 2.50 µF?
R: a) XL = 169.65 Ω y 1696.46 Ω, b) XC = 1061.03 Ω y
106.1 Ω, c) f = 150.05 Hz.
6.- a) ¿Cuál es la reactancia de un inductor de 3.00 H a
una frecuencia de 80.0 Hz? b) ¿Cuál es la inductancia de
un inductor cuya reactancia es de 120Ω a 80.0 Hz? c)
¿Cuál es la reactancia de un capacitor de 4.0 µF a una
frecuencia de 80.0 Hz? d) ¿Cuál es la capacitancia de un
capacitor cuya reactancia es de 120Ω a 80.0 Hz?
R: a) XL = 1 507.96 Ω, b) L = 0.238 H, c) XC = 497.36 Ω y
d) C = 16.58 μF.
7.- Inductor de radio. Se desea que la amplitud de
corriente a las terminales de un inductor de 0.450 mH
(parte de los circuitos de un receptor de radio) sea de
2.60 mA cuando a través del inductor se aplica un voltaje
sinusoidal con amplitud de 12.0 V. ¿Cuál es la frecuencia
que se requiere? R: f = 1.6 MHz.
8.- Capacitor en una cocina. El sistema eléctrico de un
refrigerador contiene un capacitor de arranque. Se aplica
un voltaje con amplitud de 170 V y frecuencia de 60.0 Hz
a las terminales del capacitor para producir una corriente
de 0.850 A a través del capacitor. ¿Cuál es la
capacitancia C que se necesita? R: C = 13.26 μF.
9.- Un resistor de 250 Ω está conectado en serie con un
capacitor de 4.80 µF. El voltaje en las terminales del
capacitor es ʋC = (7.60 V) sen [(120 rad/s)t]. a) Determine
la reactancia capacitiva del capacitor. b) Obtenga una
expresión para el voltaje ʋR entre las terminales del
resistor.
R: a) XC = 1 736.11 Ω, b) ʋR = (1.09 V) cos [(120 rad/s)t].
10.- Un resistor de 150 Ω está conectado en serie con un
inductor de 0.250 H. El voltaje entre las terminales del
resistor ʋR = (3.80 V) cos [(720 rad/s)t]. a) Obtenga una
expresión para la corriente del circuito. b) Determine la
reactancia inductiva del inductor. c) Obtenga una
exresión para el voltaje ʋL en las terminales del inductor.
R: i = (0.0253 A) cos [(720 rad/s)t], b) XL = 180 Ω
c) ʋL = (-4.56 V) sen [(720 rad/s)t].
CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA RLC SERIE.
1.- Usted tiene un resistor de 200 Ω, un inductor de 0.400
H y un capacitor de 6.00 µF. Suponga que toma el
resistor y el inductor y construye un cicuito en serie con
una fuente de voltaje que tiene una amplitud de 30.0 V y
una frecuencia angular de 250 rad/s. a) ¿Cuál es la
impedancia del circuito? b) ¿Cuál es la amplitud de la
corriente? c) ¿Cuáles son las amplitudes de voltaje en las
terminales del resistor y en las terminales del inductor? d)
¿Cuál es el ángulo de fase ɸ del voltaje de fuente con
respecto a la corriente? e) Construya el diagrama de
fasores.
R: a) Z = 223.6 Ω, b) I = 0.134 A, c) VR = 26 83 V y
VL = 13.4 V, d) ɸ = 26.54°.
2.- (a) Para el circuito R-L del circuito del problema
anterior, construya la gráfica de ʋ, ʋR y ʋL en función de t,
que vaya t = 0 a t = 50.0 ms. La corriente está dada por
i = I cosωt, por lo que ʋ = V cos(ωt+ɸ). b) ¿Cuáles son
los valores de ʋ, ʋR y ʋL en t = 20.0 ms? Compare ʋR + ʋL
con ʋ en ese instante. c) Repita el inciso b) para t = 40
ms.
3.- Repita el el ejercicio 1 pero considerando que el
circuito consiste sólo en el capacitor y el inductor en serie.
Para el inciso c), calcule las amplitudes de voltaje a
través del capacitor y a través del inductor.
R: a) Z = 566.67 Ω, b) I = 0.053 A, c) VL = 5.3 V y
VC = 35.3 V, d) ɸ = -90°.
4.- Repita el el ejercicio 1 pero considerando que el
circuito consiste sólo en el resistor y el capacitor en serie.
Para el inciso c), calcule las amplitudes de voltaje a
través del resistor y a través del capacitor.
R: a) Z = 696.02 Ω, b) I = 0.0431 A, c) VR = 8.62 V y
VC = 28.73 V, d) ɸ = -73.3°.
5.- Para el circuito R-C del ejercicio anterior, elabore la
gráfica de ʋ, ʋR y ʋL en función de t, que vaya t = 0 a t =
50.0 ms. La corriente está dada por i = I cosωt, por lo
que ʋ = V cos(ωt+ɸ). b) ¿Cuáles son los valores de ʋ, ʋR
y ʋL en t = 20.0 ms? Compare ʋR + ʋC con ʋ en ese
instante. c) Repita el inciso b) para t = 40 ms.
6.- El resistor, el capacitor, el inductor y la fuente de
voltaje descritos en el problema 1 están conectados de
manera que forman un circuito L-R-C en serie. a) ¿Cuál
es la impedancia del circuito? b) ¿Cuál es la amplitud de
la corriente? c) ¿Cuál es el ángulo de fase del voltaje de
la fuente, con respecto a la corriente? d) ¿Cuáles son las
amplitudes de voltaje a través del resistor, del inductor y
del capacitor? e) Explique cómo es posible que la
amplitud de voltaje sea mayor a través del capacitor que
a través de la fuente.
7.- a) Para el circuito L-R-C del ejercicio anterior, elabore
la gráfica de ʋ, ʋR y ʋL en función de t, que vaya t = 0 a
t = 50.0 ms. La corriente está dada por i = I cosωt, por lo
que ʋ = V cos(ωt+ɸ). b) ¿Cuáles son los valores de ʋ, ʋR
y ʋL en t = 20.0 ms? Compare ʋR + ʋC con ʋ en ese
instante. c) Repita el inciso b) para t = 40 ms.
8.- En un circuito L-R-C en serie, el voltaje rms entre las
terminales del capacitor es de 90.0 V, y entre las
terminales del inductor es de 50.0 V. ¿Cuál es el valor
rms de la fuente?
9.- Se tiene un resistor de 200 Ω, un inductor de 0.400 H,
un capacitor de 5.00 μF y una fuente de ca de frecuencia
variable con amplitud de 3.00 V. Se conectan los cuatro
elementos para formar un circuito en serie. a) ¿A qué
frecuencia será máxima la corriente en el circuito? ¿Cuál
será la amplitud de corriente a esta frecuencia? b) ¿Cuál
será la amplitud de la corriente a una frecuencia angular
de 400 rad/s? A esta frecuencia, ¿el voltaje en la fuente
se adelanta o se atrasa en relación con la corriente?
31
10.- Un circuito L-R-C en serie se construye usando un
resistor de 175 Ω, un capacitor de 12.5 μF y un inductor
de 8.00 mH, todos conectados a una fuente de ca que
tiene una frecuencia variable y una amplitud de voltaje de
25.0 V. a) ¿A qué frecuencia angular la impedancia será
mínima y cuál será su valor? b) A la frecuencia angular
del inciso a), ¿cuál es la corriente máxima a través del
inductor? c) A la frecuencia angular del inciso a),
determine la diferencia de potencial a través de la fuente
de ca, el resistor, el capacitor y el inductor en el instante
en que la corriente es la mitad de su valor positivo más
grande. d) En el inciso c), ¿cómo están relacionadas las
diferencias de potencial entre las terminales del resistor,
inductor y capacitor con la diferencia de potencial entre
las teminales de la fuente de ca?
11.- Defina la reactancia X de un circuito L-R-C como:
X = XL - XC. a) Demuestre X = 0 cuando la frecuencia
angular ω de la corriente es igual a la frecuencia angular
de resonancia ω0. b) ¿Cuál es el signo de X cuando ω >
ω0? c) ¿Cuál es el signo de X cuando ω < ω 0? d)
Grafique X en función de ω.
POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA.
1.- La potencia de cierto reproductor de CD que opera a
120.0 V rms es de 20.0 W. Suponga que el reproductor
de CD se comporta como una resistencia pura, calcule a)
la potencia instantánea máxima, b) la corriente eficaz
(rms) y c) la resistencia del reproductor.
2.- Un circuito L-R-C en serie, con L = 0.120 H, R = 240
Ω y C = 7.30 μF, conduce una corriente rms de 0.450 A
con una frecuencia de 400 Hz. a) ¿Cuáles son el ángulo
de fase y el factor de potencia de este circuito? b) ¿Cuál
es la impedancia del circuito? c) ¿Cuál es el voltaje rms
de la fuente? d) ¿Cuál es la potencia media que entrega
la fuente? e) ¿Cuál es la taza media a la que la energía
eléctríca se convierte en energía térmica en el resistor? f)
¿Cuál es la tasa media a la que se disipa le enrgía
eléctrica (es decir , se convierte en otras formas) en el
capacitor? g) ¿Y en el inductor?
3.- En un circuito L-R-C en serie, los componentes tienen
los siguientes valores: L = 20.0 mH, C = 140 nF y R =
350 Ω. El generador tiene un voltaje rms de 120 V y una
frecuencia de 1.25 kHz. Determine a) la potencia
suministrada por el generador y b) la potencia disipada
en el resistor.
4.- Un circuito en serie de ca contiene un resistor de 250
Ω, un inductor de 15 mH, un capacitor de 3.5 μF y una
fuente de potencia de ca con amplitud de voltaje de 45 V
que opera a una frecuencia angular de 360 rad/s. a)
¿Cuál es el factor de potencia en este circuito? b) Calcule
la potencia media entregada a todo el circuito. c) ¿Cúal
es la potencia media aportada al resistor, al capacitor y al
inductor?.
5.- a) Demuestre que para un circuito L-R-C en serie, el
factor de potencia es igual a R/Z (sugerencia; use el
diagrama de fasores de la siguiente figura. b) Demuestre
que para cualquier circuito de ca, no sólo uno que nada
más contenga una recistencia pura, la potencia media
entregada por la fuente de voltaje está dada por P med =
Irms2R.
Diagrama de fasores para el caso XL > XC
El fasor de voltaje de la fuente la suma
vectorial de los fasores VR, VL y VC.
El fasor de voltaje del
inductor
va
90°
adelante del fasor de
corriente.
VL = IXL
VL - VC
V = IZ
Todos los elementos
del circuito tiene
elmismo fasor de
corriente.
I
VR = IR
El fasor de voltaje del
El fasor de voltaje del
resistor está en fase con el
capacitor va con un
VC = IXC fasor de corriente.
retraso de 90° con
respecto al fasor de corriente.
Por lo que siempre es antiparalelo
al fasor VL.
RESONANCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE
ALTERNA.
1.- En un circuito L-R-C en serie, R= 300 Ω, L = 0.400 H y
C = 6.00 X 10-8 F. Cuando la fuente de ca opera a la
frecuencia de resonancia del circuito, la amplitud de la
corriente es de 0.500 A. a) ¿Cuál es la amplitud de
voltaje de la fuente? b) ¿Cuál es la amplitud de voltaje de
entre las terminales del resistor, entre las terminales del
inductor y entre las terminales del capacitor?
2.- Un circuito L-R-C en serieconsiste en una fuente con
amplitud de voltaje de 120.0 V y frecuencia angular de
50.0 rad/s. un resistor con R = 400 Ω, un inductor con L =
9.00 H, y un capacitor con capacitancia C. a) ¿Para qué
valor de C será máxima la amplitud de la corriente en el
circuito? b) Cuando C tiene el valor calculado en el inciso
a), ¿Cuál es la amplitud del voltaje entre las terminales
del inductor?
3.- En un circuito L-R-C en serie, R= 150 Ω, L = 0.750 H y
C = 0.0180 μF. La fuente tiene una amplitud de voltaje V
= 150 V y una frecuencia igual a la frecuencia de
resonancia del circuito. a) ¿Cuál es el factor de potencia?
b) ¿Cuál es la potencia media que entrega la fuente? c)
Se sustituye el capacitor por otro con C = 0.0360 μF y se
ajusta la frecuencia de la fuente al nuevo valor de
resonancia. En esas condiciones, ¿cuál es la potencia
media que entrega la fuente?
4.- Un circuito en serie consiste en una fuente de ca de
frecuencia variable, un resistor de 115 Ω, un capacitor de
1.25 μF y un inductor de 4.50 mH. Calcule la impedancia
de este circuito cuando la frecuencia angular de la fuente
de ca se ajusta a a) la frecuencia angular de resonancia;
b) el doble de la frecuencia angular de resonancia; c) la
mitad de la frecuencia angular de resonancia.
5.- En un circuito L-R-C en serie, R= 400 Ω, L = 0.350 H y
C = 0.0120 μF. La fuente tiene una amplitud de voltaje V
= 150 V y una frecuencia igual a la frecuencia de
resonancia del circuito. a) ¿Cuál es la frecuencia angular
de resonancia del circuito? b) El capacitor es capaz de
manejar un voltaje máximo de 550 V. Si la fuente de
voltaje opera a la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la
amplitud máxima de voltaje que puede tener si no debe
rebasarse el voltaje máximo del capacitor?
32
6.- En un circuito L-R-C en serie, L = 0.280 H y C = 4.00
μF. La amplitud de voltaje de la fuente es de V = 120 V. a)
¿Cuál es la frecuencia angular de resonancia del circuito?
b) Cuando la fuente opera a la frecuencia angular de
resonancia, la amplitud de la corriente es de 1.70 A.
¿Cuál es la resistencia R del resistor? c) A la frecuencia
angular de resonancia, ¿Cuáles son los máximos de
voltaje entre las terminales del inductor, el capacitor y el
resistor?
TRANSFORMADORES.
1.- Un transformador conectado a una llínea de ca de 120
V (rms) debe suministrar 12.0 V (rms) a un dispositivo
electrónico portátil. La resistencia de la carga en el
secundario es de 5.00 Ω. a) ¿Cuál debe ser la razón
entre las espiras del primario y del secundario del
transformador? b) ¿Qué corriente rms debe suministrar el
secundario? c) ¿Cuál es la potencia media que se
entrega a la carga? d) ¿Qué resistencia conectada
directamente a la línea de 120 V consumiría la misma
potencia que el transformador? Demuestre que ésta es
igual al producto de 5.00 Ω por el cuadrado de la razón
entre las espiras del primario y el secundario.
2.- Un transformador conectado a una línea de ca de 120
V (rms) debe suministrar 13 000 V (rms) para un anuncio
de neón. Para reducir el peligro de una descarga, se
inserta un fusible en el circuito primario, el cual se funde
cuando la corriente rms en el circuito secundario rebasa
los 8.50 mA. a) ¿Cuál es la razón entre las espiras del
primario y el secundario del transformador? b) ¿Cuál es
la potencia que debe suministrarse al transformador
cuando la corriente rms en el secundario es de 8.50 mA?
c) ¿Cuál es la corriente nominal que debe tener el fusible
en el circuito primario?
3.- Un transformador consta de 275 devanados primarios
y 834 devanados secundarios. Si la diferencia de
potencial a través de la bobina primaria es de 25.0 V, a)
¿cuál es el voltaje a través de la bobina secundaria? y b)
¿cuál es la resistencia de carga efectiva de la bobina
secundaria si está conectada a través de un resistor de
125 Ω?
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