ESTATÍSTICA I
MÓDULO 2
CADERNO DE ENUNCIADOS
ASSUNTO
Probabilidade e Modelagem probabilística
1. Temos que 𝑃(𝐺) = 0,5, 𝑃(𝐻) = 0,4 e, 𝑃(𝐺 ∩ 𝐻) = 0,1(veja o diagrama abaixo).
G
H
0,4
0,3
0,1
0,2
Calcule:
a) 𝑃(𝐺|𝐻)
b) 𝑃(𝐻|𝐺)
c) 𝑃(𝐻 𝑐 )
d) 𝑃(𝐺 ∪ 𝐻)
e) 𝑃(𝐺 ∪ 𝐻 𝑐 )
f) Os eventos 𝐺 e 𝐻 são mutuamente exclusivos? Explique.
g) Os eventos 𝐺 e 𝐻 são independentes? Explique.
2. Sejam A e B dois eventos quaisquer associados a um espaço amostral, onde P(A)=1/2, P(B)=1/3 e P( A  B)
=3/4. Calcule:
a) P(A c  B) , em que Ac é o complementar de A
b) P(A c  B c ), em que Bc é o complementar de B
3. Na tabela abaixo, apresenta as distribuições conjuntas e marginais dos eventos A, A c, B e Bc. Por exemplo,
P(A) = 0,10, enquanto P(AB) = 0,04.
A
Ac
Total
B
0,04
0,08
0,12
Bc
0,06
0,82
0,88
Total
0,10
0,90
1,00
Verifique se A e B são independentes.
4. Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos
estudantes são mulheres. Se um estudante é escolhido aleatoriamente:
a) Qual a probabilidade de que ele estude matemática?
b) Se o estudante escolhido estuda matemática, então qual a probabilidade de que seja uma mulher? E de que
seja um homem?
1
ESTATÍSTICA I
5. Num processo eletivo 55% dos votantes são homens. Sabe-se que dentre os homens 40% preferem o
candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60%
preferem A, 25% preferem B e o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o
candidato A, qual a probabilidade deste voto ser de uma mulher?
6. Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobrerepresentadas neste grupo, pois
constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as mulheres.
7. Analisando-se o comportamento de um ativo da BOVESPA num determinado período, verificou-se que em
60% dos dias ele sofre valorização. Sabe-se que a probabilidade de valorização desse ativo quando a bolsa
americana sobe é de 72%, enquanto que a probabilidade de valorização desse ativo quando a bolsa americana
não sobe é 35%.
a) Sorteado um dia ao acaso do período em análise, qual é a probabilidade da bolsa americana ter subido?
b) Sorteado um pregão do BOVESPA no qual o ativo se valorizou, qual é a probabilidade da bolsa americana
ter subido?
8. Dos investidores de um grande banco de varejo, 60% investem em fundos de renda fixa e 40% em outros
investimentos. Em investindo em outros investimentos, isto é, não sendo um fundo de renda fixa, a probabilidade
de investir num fundo de ações é de 30% enquanto que para os que investem em renda fixa esta probabilidade
diminui para 10%.
a) Qual a probabilidade de um investidor escolhido ao acaso ter investimentos em fundos de ações?
b) Se um investidor escolhido ao acaso tem investimentos em fundos de ações, qual a probabilidade de ser
um investidor de renda fixa?
9. Na região Sudeste do país, muitas fazendas acabaram com o
plantio de culturas de grãos e frutas, afetando também a pecuária de
leite e de corte, para aderir ao plantio de cana-de-açúcar incentivado,
principalmente, por dez grandes usinas da região.
Dessa forma, toda cana cultivada nessa região é destinada, de forma
homogênea, a essas grandes usinas, deixando-as com a mesma
quantia de produção.
No Triângulo Mineiro, estão localizadas quatro dessas grandes
usinas, as quais serão identificadas aqui como usinas: A, B, C e D.
Cada uma dessas usinas divide, a seu critério, parte da cana para o processo de fabricação de álcool e a outra
parte, para o processo de fabricação do açúcar.
O que se sabe sobre essas quatro usinas é que da fabricação total da usina B, 65% é de álcool. Já da produção
total da usina C, 55% é de açúcar. Além disso, de todo o álcool produzido por essas quatro usinas localizadas
no Triângulo Mineiro, 41,5% é produzido pelas empresas A ou D.
a) Qual o percentual de fabricação no Triangulo Mineiro que não é de álcool?
b) De toda a fabricação de açúcar no Triângulo Mineiro, qual a probabilidade de ter sido produzido pela usina
B?
2
ESTATÍSTICA I
10. De forma geral, quando uma mulher realiza um exame laboratorial de sangue para verificar se está grávida
ou não, existe uma probabilidade de erro associada ao resultado desse exame. Uma mulher grávida pode ter o
resultado do teste negativo indicando que não está grávida, assim como uma mulher que não está grávida por
ter o resultado do teste positivo indicando gravidez.
A Clínica Florescence está desenvolvendo um novo método clínico de constatação de gravidez, focando,
principalmente, na redução desses dois erros comparados com o teste anterior.
O que essa clínica identificou para esse novo teste é que as probabilidades de ocorrência desses dois erros se
dão da seguinte forma:
• Se a mulher está grávida, a probabilidade de o teste acusar um resultado negativo é de 5,9%;
• Se a mulher não está grávida, a probabilidade de acusar um resultado positivo é de 3,8%;
• Entre as mulheres que fazem esse exame clínico, nessa Clínica Florescence, apenas 14,1% delas não
estão grávidas.
Perguntas:
a) Quando uma mulher que fez o exame de gravidez com esse novo método verifica que o mesmo deu um
resultado positivo, qual a probabilidade dela de fato estar grávida?
b) Com o método clínico antigo, essa probabilidade era da ordem de 98%. Você acha que o novo método é
mais eficaz? Justifique.
11.. (PSUB 2021_02) A Ipec (Inteligência em Pesquisa e Consultoria Estratégica) realizou uma pesquisa sobre
vegetarianismo em fevereiro de 2021.
Uma das perguntas da pesquisa foi: “Por vontade própria, deixo de comer carne pelo menos 1 vez por semana.”
As opções de resposta para essa pergunta eram “Sim”, “Não” ou “Talvez” e, ainda, os entrevistados foram
segmentados nas seguintes classes sociais “A/B”, “C” ou “D/E”.
Entre todos os entrevistados: 20% pertenciam à classe social A/B, 28% à classe D/E e, o restante à classe C.
Entre os entrevistados da classe C, 51% disseram que não deixam de comer carne pelo menos 1 vez por
semana por vontade própria. Já entre os entrevistados da classe D/E, 49% disseram que deixam de comer
carne pelo menos 1 vez por semana por vontade própria. Por fim, entre os entrevistados que disseram que
deixam de comer carne pelo menos 1 vez por semana por vontade própria, 51,9% eram da classe social C e
30,4% eram da classe D/E.
Se um entrevistado é selecionado aleatoriamente e é uma pessoa da classe social C, qual é a probabilidade
dela ter respondido que deixa de comer carne pelo menos 1 vez por semana por vontade própria?
Responda com valor numérico em decimal, com vírgula e ARREDONDAMENTO de 4 casas decimais.
12. As tabelas abaixo descrevem o número de horas necessárias para que funcionários com treinamento de
30 horas e de 60 horas levam para realizar uma tarefa. Sabe-se que 60% dos funcionários participaram do
treinamento de 30 horas e 40% do treinamento de 60 horas.
Distribuição do número de horas que um funcionário que recebeu 30 horas de treinamento leva na
execução de uma tarefa
x
1
2
3
P(X=x |30 horas de trein.)
0,3
0,3
0,4
Distribuição do número de horas que um funcionário que recebeu 60 horas de treinamento leva na
execução de uma tarefa
X
1
2
3
P(X=x |60 horas de trein.)
0,5
0,3
0,2
3
ESTATÍSTICA I
Escolhido um funcionário ao acaso, qual é o tempo médio para execução da tarefa? E a variância?
13. (PI 2021_02) No aplicativo NineNine, o número médio de viagens que um motorista faz em um dia de
trabalho é igual a 25 viagens, com variância igual a 64.
Se cada viagem rendesse uma gorjeta de 2 reais ao motorista, qual o ganho esperado de gorjeta e respectiva
variância em um dia de trabalho?
Responda cada valor numérico com vírgula (sem a unidade de medida) e ARREDONDAMENTO de 4
casas decimais.
14. (PI 2020_01) O número de peças produzidas em um ciclo de produção de uma fábrica pode ser modelado
por uma variável aleatória com esperança (média) 150 peças e variância 36 peças 2. Foi criado um procedimento
para que o número de peças produzidas dobre. Seja Y a variável aleatória que representa o número de peças
produzidas no novo procedimento. Então, escolha a alternativa correta:
(a) Var(Y) = 72
(b) Var(Y) = 36
(c) Var(Y) = 144
(d) Var(Y) = 38
15. (PI 2020_01) O número de pacientes atendidos em um ambulatório em um dia pode ser modelado por uma
variável aleatória com esperança (média) 80 e variância 100. Em um futuro breve, prevê-se um aumento diário
de mais 10 pacientes atendidos. Seja Y a variável aleatória que representa o número diário de pacientes
atendidos a partir da próxima semana. Então, escolha a alternativa correta:
(a) Var(Y) = 100
(b) Var(Y) = 110
(c) Var(Y) = 1000
(d) Var(Y) = 10000
16. (PI 2020_01) O número de computadores vendidos diariamente em uma loja física, pode ser modelado por
uma distribuição com média 22 computadores e variância 16 computadores 2. Com o fechamento das lojas
físicas e o início do isolamento social, essa empresa passou a vender via internet. Ainda assim, a expectativa
é que as vendas de computadores caiam à metade. Seja Y o número de computadores vendidos após o
fechamento das lojas físicas e o início do isolamento social. Então, escolha a alternativa correta:
(a) Var(Y) = 4
(b) Var(Y) = 16
(c) Var(Y) = 8
(d) Var(Y) = 1
17. (Adaptação de PI 2020_01) No início de 2020, o número de peças produzidas em um ciclo de produção de
uma fábrica podia ser modelado por uma variável aleatória com esperança (média) 150 peças e variância 36
peças2. No 2º semestre de 2020, havia sido criado um procedimento para que o número de peças produzidas
dobrasse e ele foi bem-sucedido. No início de 2022, foi criado um novo procedimento que possibilitará um
acréscimo de 10 peças produzidas por ciclo de produção em relação ao 2º semestre de 2020. Seja Y a variável
aleatória que representa o número de peças produzidas no novo procedimento. Então, escolha a alternativa
correta:
(a) E(Y) = 160
(b) E(Y) = 300
(c) E(Y) = 600
(d) E(Y) = 310
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ESTATÍSTICA I
18. Suponha que 40% dos empregados de uma grande empresa estejam a favor de sua representação sindical,
e que se peça resposta anônima a uma amostra aleatória de 10 empregados. Assuma que haja independência
entre os empregados quanto a representação sindical. Responda:
a) Qual a probabilidade de, no máximo, 8 empregados responderem favoravelmente à representação sindical?
b) Qual o número esperado de empregados favoráveis à representação, entre os 10 pesquisados?
c) Se a pesquisa fosse realizada entre 1000 empregados, qual seria o desvio padrão dessa amostra?
19. Uma loja de departamento deseja decidir se aceita ou não um lote de 50 itens de um certo produto. Admita
a existência de 2 itens defeituosos neste lote. Você foi contratado para criar um mecanismo de controle e decidiu
que a inspeção de uma amostra de 5 peças, sem reposição, seria suficiente. Você utiliza a seguinte regra de
decisão: se no máximo um item for defeituoso o lote é aceito. Qual a probabilidade de que o lote seja aceito?
20. Os professores Fábio Orfali e Tadeu da Ponte dispõem de um arquivo com grande número de questões de
Álgebra do tipo múltipla escolha, com 5 alternativas por questão, um das quais correta. Para compor um teste,
eles sorteiam ao acaso, sem reposição, questões desse arquivo e ministram a seus alunos. Suponha que o
aluno Philipe responda corretamente se ele sabe a questão ou responda, ao acaso, se ele não sabe a questão.
Ainda, Philipe, que é um aluno muito estudioso, sabe 70% das respostas das questões do arquivo dos
professores Da Ponte e Orfali. Sendo assim,
a) Qual a probabilidade de Philipe acertar uma questão sorteada pelos professores?
b) Se Philipe errou a questão sorteada pelos professores, qual a probabilidade de que realmente ele não saiba
a resposta?
c) Suponha que os professores componham uma prova com 10 questões sorteadas desse tal arquivo, qual a
probabilidade de Philipe errar no máximo 2 questões?
21. (Quizz 2011_02) Uma das responsabilidades da área de Tecnologia da Informação (TI) de uma empresa é
controlar o fluxo de mensagens eletrônicas e detectar a presença de SPAMs (mensagens não desejadas). A
empresa Mauro, & Falchetti tem, atualmente, 850 funcionários e, por consequência, 850 endereços eletrônicos
(e-mails) individuais cadastrados. Os responsáveis pela área de TI dessa empresa detectaram que a
probabilidade de um funcionário receber SPAMs, diariamente, no seu e-mail individual é de 8% e que estes são
enviados de forma independente para cada funcionário da empresa.
Num dia qualquer, em que pelo menos um funcionário recebeu SPAMs no seu e-mail individual entre 40
funcionários selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de cinco deles terem recebido SPAMs no seu
e-mail individual?
22. Um livreiro descuidado mistura 4 exemplares defeituosos junto com outros 16 perfeitos de um certo livro
didático. Quatro alunos vão a essa livraria para comprar este livro (não necessariamente no mesmo momento)
e que não haverá reposição desse livro no estoque.
a) qual a probabilidade de que 3 levem livros defeituosos;
b) qual a probabilidade de, após a visita destes alunos, restarem o mesmo número de defeituosos na livraria?
E de não restar nenhum?
23. (PI 2020_01) Uma epidemia viral tem sobrecarregado o pronto socorro de um hospital especializado no
tratamento de problemas respiratórios de qualquer natureza.
A probabilidade de um paciente estar contaminado pelo vírus é da ordem de 25%. Desses pacientes
contaminados, 20% necessitam de internação. Dos pacientes não contaminados com o vírus, apenas 5%
necessitam de internação. Admita independência entre os pacientes.
a) Qual a probabilidade de um paciente que vem ao pronto socorro necessitar de internação?
b) Prevê-se, em um dia, a chegada de 20 pacientes no pronto socorro. Há, diariamente, 4 leitos disponíveis
para internação. Qual a probabilidade desses leitos serem insuficientes?
5
ESTATÍSTICA I
c) Prevê-se, em um dia, a chegada de 20 pacientes no pronto socorro. Há, diariamente, 4 leitos disponíveis
para internação. Ao ler um relatório sobre o desempenho do hospital, o gestor descobriu que em um dia, pelo
menos 3 leitos para esse tipo de paciente foram ocupados, qual a probabilidade dos leitos disponíveis para
esses pacientes terem sido suficientes nesse dia?
d) Há, atualmente, 50 pacientes internados por problema respiratório. Desses, 18 apresentam o vírus. Serão
sorteados aleatoriamente 20 pacientes diferentes para se submeterem a um novo tratamento para problemas
respiratórios. Qual a probabilidade de que exatamente 10 tenham o vírus?
Dê cada resposta ARREDONDANDO para 4 casas decimais. Considere probabilidade em decimal (e não em
percentual).
24. (PF 2011_01) Uma das grandes preocupações do comércio varejista é com relação ao custo gerado pela
devolução de mercadorias. A empresa TemAqui possui 260 lojas espalhadas na Grande São Paulo, tendo cada
loja a taxa de 20 devoluções por quinzena.
Observação: Para cada item, descreva a variável aleatória e sua respectiva distribuição.
a) Se uma loja tiver devolução de mercadorias em um determinado dia, qual a probabilidade de serem até duas
devoluções?
b) Para minimizar as devoluções de mercadorias feitas pelos clientes, a empresa TemAqui dará um bônus de
R$ 15,00 para cada loja que não tiver devolução de mercadorias em um dia; dará R$ 9,00 se cada loja tiver
uma ou duas devoluções em um mesmo dia e deixará sem bônus nos demais número de devoluções de
mercadorias. Qual o bônus diário esperado para cada loja?
c) Considere que uma amostra sem reposição de 10 lojas da TemAqui foi selecionada aleatoriamente. Qual ou
quais são as suposições necessárias para modelar, por uma distribuição binomial, a variável número de lojas
com até duas devoluções em um único dia entre as 10 (n) selecionadas? Justifique sua resposta.
25. (PI 2020_01) Uma pequena empresa de doces saudáveis estava se preparando para a Páscoa, que ocorreu
no último domingo. Para se preparar adequadamente, ela fez um estudo e verificou que um grupo de
funcionários consegue decorar, em média, 10 ovos de páscoa de brownie e doce de leite vegano a cada 30
minutos.
Admita que haja independência na produção de ovos de páscoa de brownie e doce de leite vegano decorados
pelos funcionários e, ainda, que a probabilidade de conseguir decorar um ovo deste tipo é a mesma para
qualquer intervalo de tempo de mesmo tamanho.
Para os itens (a) e (b), dê cada resposta ARREDONDANDO para 4 casas decimais. Considere
probabilidade em decimal (e não em percentual).
(a) Qual é a probabilidade desse grupo de funcionários conseguir decorar no máximo 2 ovos de páscoa de
brownie e doce de leite vegano em 10 minutos?
(b) A empresa quer estabelecer a meta de decorar pelo menos 3 ovos de brownie e doce de leite vegano em
um intervalo de 10 minutos de trabalho. Para verificar a situação atual da produção, um fiscal verificou quanto
ovos de brownie e doce de leite vegano foram decorados nos 10 minutos iniciais em cada dia de trabalho.
Admita independência entre a produção dos diferentes dias. Considerando cinco dias de trabalho, Qual é a
probabilidade de que a meta tenha sido atingida em pelo menos 1 dia?
Para item (c), dê cada resposta ARREDONDANDO para 2 casas decimais.
6
ESTATÍSTICA I
(c) Há 2 semanas da Páscoa o gerente achou que a quantidade de ovos de brownie e doce de leite vegano que
este grupo de funcionários conseguia decorar em 30 minutos não era adequada e solicitou que eles se
esforçassem mais. Faltando uma semana para a Páscoa, ele verificou que esse grupo de funcionários havia
conseguido aumentar 2 unidades produzidas a cada 30 minutos, porém, isto ainda não era suficiente para
atender à demanda da Páscoa. Assim, ele solicitou que além do aumento já obtido, esse grupo de funcionários
aumentasse a produção deste tipo de ovo de páscoa a cada 30 minutos em 70%. Qual deve ser a média e a
variância do número de ovos de brownie e doce de leite vegano produzidos a cada 30 minutos se eles
conseguirem atender à exigência do gerente?
26. (Adaptação de PF 2020_02) A central de atendimentos de uma operadora de cartão de crédito recebe
denúncias de roubo de cartões a uma taxa de 4 ligações por hora, no período matutino, em dias úteis. Ainda,
em dias úteis, no período vespertino, a taxa se altera para 5 ligações por hora e, no período noturno, essa taxa
se altera para 1 ligação a cada 2 horas. Admita que haja independência entre as ligações de denúncias de
roubo de cartões recebidas nesta central de atendimento e que a probabilidade de receber uma ligação de
denúncia é a mesma para qualquer intervalo de tempo de mesmo tamanho em cada período (matutino,
vespertino ou noturno).
Sabendo que no período matutino ocorreram pelo menos 3 ligações de denúncias de roubo de cartões nesta
central de atendimento em 1 hora, a probabilidade de terem ocorrido no máximo 4 ligações deste tipo em 1 hora
no período matutino é, aproximadamente:
(a)
31,58%
(b)
36,08%
(c)
39,07%
(d)
51,28%
(e)
Nenhuma das anteriores
27. (PF 2020_02) A Sorveteria Frio Delícia atende, em média, seis consumidores por hora aos finais de semana.
E, em dias úteis, os atendimentos caem para uma média de três consumidores por hora. Admita que haja
independência entre os atendimentos na sorveteria e que a probabilidade de um consumidor ser atendido é a
mesma para qualquer intervalo de tempo de mesmo tamanho em cada período (final de semana ou dias úteis).
Sabendo que, em um final de semana, pelo menos 4 clientes foram atendidos em uma hora na sorveteria, a
probabilidade de no máximo 5 clientes terem sido atendidos em uma hora neste final semana na sorveteria é,
aproximadamente:
(a)
26,89%
(b)
29,45%
(c)
34,69%
(d)
76,21%
(e)
Nenhuma das anteriores
28. O preço X de um produto é considerado uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade
dada por:

kx 3 se 1  x  3;
f (x) = 

0 para qualquer outro
valor
de x
7
ESTATÍSTICA I
onde k é uma constante positiva. Responda:
a) Qual o preço esperado e a variância do preço deste produto?
b) Qual a probabilidade do preço ser menor que 1,5? E que 1,2?
c) Qual a probabilidade do preço ser maior do que 1,2 sabendo que é menor do que 1,5?
d) Qual é o preço mediano de venda desse produto?
29. Uma certa liga é formada da fundição do chumbo com outro metal. A porcentagem do chumbo nesta liga X - é uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de probabilidade:
 3 −5
 10 x(100 − x ), se 0  x  100
f ( x) =  5
0, para quaisquer outros valores de X
Supondo que o lucro obtido na venda dessa liga, por unidade de peso, (L) seja dado pela função: L = 10 + 0,4X.
Calcule o lucro esperado por unidade.
30. Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em mil reais) é uma v.a. X com f.d.p.
1
 1
 10 x + 10 , 0  x  2
 3
9
f ( x ) = −
x+
, 2x6
20
 40
 0, x  0 ou x  6

a) Qual a renda média (em mil reais) nessa localidade?
b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a $3.000,00?
c) Qual a renda mediana (em mil reais) nessa localidade?
31. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha
que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo (150,300). Suponha que o custo para
produzir um galão de petróleo seja C 1 reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200 o, o produto
obtido é vendido a C2 reais; se a temperatura for superior a 200 o, o produto é vendido a C3 reais. Qual o lucro
esperado por galão?
32. Uma empresa está preocupada com o tempo que leva para atender o pedido de seus clientes. A função
densidade de probabilidade abaixo descreve esse tempo (em horas)
2e −2 x ; se x  0
f ( x) = 
se x  0
0;
a) Qual é a probabilidade de um atendimento durar mais do que 1 hora?
8
ESTATÍSTICA I
b) Considerando-se os próximos 10 pedidos, qual é a probabilidade de exatamente 4 durarem mais de 1 hora?
Que suposições você fez para resolver este item?
33. Em dias chuvosos, um camelô da Rua Abílio Soares vende guarda-chuvas; em dias ensolarados ele vende
frutas. Usualmente chove em 20% dos dias. Quando ele vende guarda-chuvas seu faturamento diário segue
uma distribuição exponencial com média 30 reais e, quando ele vende frutas o faturamento segue uma
exponencial de média 15 reais.
a) Num dia de chuva, qual é a probabilidade do camelô faturar pelo menos R$ 25,00?
b) Se ele faturou pelo menos R$ 25,00, qual é a probabilidade de ter chovido?
c) Qual é faturamento diário esperado desse camelô (em reais)?
34. Muitas pessoas que dependem do atendimento de uma central de telemarketing ficam insatisfeitas com este
serviço. Ciente deste problema a empresa está realizando um estudo. Durante um período registrou o tempo
que os clientes aguardam para serem atendidos. Verificou-se que esse tempo de atendimento tem distribuição
Exponencial com média 10 minutos.
a) As pessoas geralmente ficam insatisfeitas se o tempo de espera for superior a 7 minutos. Qual é a
probabilidade disto acontecer?
b) Considerando os próximos 12 clientes, qual é a probabilidade de no máximo 2 ficarem insatisfeitos? Admita
independência entre os clientes.
c) Suponha que uma melhoria no atendimento da central reduza a média do tempo de atendimento, mas a
distribuição permanece exponencial. Qual deve ser esta média para que apenas em 10% dos atendimentos as
pessoas fiquem insatisfeitas?
35. A central de relacionamentos de uma empresa está sendo reformulada devido à elevada insatisfação de
seus clientes com relação ao tempo de espera para atendimento. Com base em informações extraídas de seu
banco de dados, a empresa constatou que o tempo de espera para atendimento de um cliente segue uma
distribuição Exponencial com média igual a 32 minutos.
a) Um cliente fez uma reclamação a um jornal, escrevendo ser um absurdo a demora de mais de 1 hora para
que ele fosse atendido pela central de relacionamentos da empresa. A empresa se defendeu explicando que o
caso deste cliente havia sido uma exceção. Com base na distribuição do tempo de espera para atendimento de
um cliente dado no enunciado, pode-se dizer que a empresa tem razão? Por quê? Justifique sua resposta com
argumentos probabilísticos. Respostas sem justificativa serão ignoradas.
b) Após meses de treinamento e reformulação do sistema da central de atendimentos, a empresa constatou
que o tempo de espera para atendimento de um cliente, em minutos, segue a seguinte função densidade de
probabilidades:
f(t) =
8.100 − t 2
, t  0, 90 
486.000
9
ESTATÍSTICA I
Pode-se dizer que o tempo médio de espera para atendimento de um cliente diminuiu? Por quê? Justifique sua
resposta. Respostas sem justificativa serão ignoradas.
36. (PF 2020_01) Em uma população, o tempo médio de recuperação de pacientes que contraem um vírus é
da ordem de 1,8 semanas se for um caso considerado não grave ou 7,4 semanas se for um caso grave. Admita
que o tempo de recuperação siga uma distribuição exponencial.
Para os itens (a) e (b), dê cada resposta ARREDONDANDO para 4 casas decimais. Considere
probabilidade em decimal (e não em percentual).
a) Qual a probabilidade de uma pessoa com caso grave da doença se recuperar em menos de 3 semanas?
b) Dez pacientes com casos graves da doença estão internados em um hospital. O tempo de recuperação é
independente entre os pacientes. Qual a probabilidade de pelo menos 2 deles se recuperarem em menos de 3
semanas?
Para item (c), dê cada resposta ARREDONDANDO para 2 casas decimais.
c) O custo do tratamento depende da gravidade da doença e é proporcional ao tempo de recuperação. Admita
que este custo seja de $1 mil por semana se o caso for não grave e de $5 mil por semana se for um caso grave.
Um médico atende a 2 pacientes com casos não graves da doença e 1 com caso grave. Admita independência
entre os tempos de recuperação. Qual o gasto total esperado com o tratamento desses três pacientes? E o
desvio-padrão desse gasto?
37. (PF 2020_01) O gerente de um banco estava analisando os depósitos realizados mensalmente pelos
clientes de sua agência. Os clientes banco são segmentados em duas categorias A e B, sendo 70% deles do
tipo A. Então, o gerente decidiu analisar o valor de depósito bancário mensal entre os clientes de cada uma
destas categorias.
Para os clientes da categoria A, o gerente verificou que o valor de depósito bancário mensal (em mil reais)
pode ser modelado pela função densidade de probabilidade abaixo:
𝑓 (𝑥 ) = {
𝑐(2 − 𝑥 ), 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Já para os clientes do tipo B, o valor de depósito bancário mensal (em reais) pode ser modelado por uma
distribuição normal com média R$1000 e desvio-padrão R$200.
Responda:
Para item (a), dê a resposta ARREDONDANDO para 2 casas decimais (sem colocar a unidade de medida).
a) Qual é o valor mínimo de depósito bancário mensal (em reais) de 20% dos clientes da categoria B com
maiores valores de depósito?
Para item (b), dê a resposta ARREDONDANDO para 4 casas decimais.
b) Sorteado um depósito ao acaso entre os clientes deste banco, verificou-se que o valor era superior a R$1500.
Qual é a probabilidade do depósito sorteado ser de um cliente da categoria B?
10
ESTATÍSTICA I
38. Os retornos diários das ações de uma empresa podem ser modelados através de uma distribuição normal
com média 0,08 e desvio-padrão 1,50. Sempre que um retorno estiver acima de 3,08 ou abaixo de
–2,92,
este dia é considerado de grande movimento.
a) Qual é a probabilidade de um dia ser considerado de grande movimento?
b) Em 100 dias escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade de se observar mais do que 5 dias de grande
movimento? Admita independência entre os dias.
c) Se um retorno é maior do que 0,6, qual é a probabilidade do dia ser de grande movimento?
39. Quanto maior o IDH (índice de desenvolvimento humano) de um município, melhores tendem a ser as
condições de vida de sua população. O IDH dos municípios paulistas segue uma distribuição aproximadamente
normal com média 0,78 e desvio-padrão 0,03. Os 10% piores municípios em relação ao IDH são classificados
como carentes.
a) Qual é o IDH máximo dos municípios carentes?
b) Se um município tiver IDH menor do que a média, qual é a probabilidade de não ser carente?
c) O governo estadual lançou um programa de desenvolvimento para elevar a média do IDH dos municípios
paulistas. A meta é que pelo menos 95% dos municípios tenham IDH superior a 0,75. Admitindo que o desviopadrão não sofre alteração e que o IDH continue tendo uma distribuição normal, se a política der certo, qual
deve ser o IDH médio desses municípios?
40. (PF 2010_02) Na região Centro-Oeste do país, três usinas de álcool estão funcionando na bacia pantaneira
com autorização do Governo Federal. O lucro total gerado por essas três usinas pantaneiras é função da receita
total e do custo total. Por mês, sabe-se que a receita total segue uma normal com desvio padrão R$ 100 mil e
o custo total é fixo em R$ 300 mil. Responda:
a) Qual é a receita média total (em milhões de reais) para que, num mês qualquer, o lucro total fique acima de
R$ 1 milhão com probabilidade igual a 67%?
b) Os 35% melhores meses em relação ao lucro total gerado por essas três usinas pantaneiras foram
consequências de ótimas safras de álcool. Qual é o pior lucro total (em milhões de reais) num mês de ótima
safra de álcool?
41. (PF 2010_02) O instituto de pesquisa de mercado Known Profile contratou a empresa Data Express para
que seus agentes (pessoas treinadas para aplicar pesquisas) enviem os dados coletados a partir de seus
dispositivos portáteis (smartphones) diretamente para um servidor central. O valor diário cobrado pela Data
Express é fixo desde que a transmissão de dados diária feita pelos agentes esteja entre 670 KB e 730 KB
(limites de especificação – em kilobytes); caso exceda, será cobrado 15% mais caro por cada KB excedente.
Rose Jolie, gerente do instituto Known Profile, tem diversos problemas para resolver decorrente da contratação
da Data Express.
Primeiramente, há suspeita de elevado custo com esse contrato causado pela quantidade indevida de dados
transmitidos diariamente para o servidor. É importante ficar claro que uma transmissão de dados acima de 730
KB por dia gera alto custo para a Known Profile por causa do serviço adicional cobrado mais caro; e transmissão
11
ESTATÍSTICA I
diária abaixo de 670 KB gera custo adicional para a Known Profile por pagar algo que não é utilizado. Com
relação à qualidade do serviço oferecido pela Data Express, os agentes dizem que, usualmente, transmitir
dados para o servidor geral é um processo demorado e que é comum acontecerem erros durante essa
transmissão, tornando-a ainda mais morosa.
Para entender melhor todos esses problemas, Rose pediu para um analista de dados da Known Profile fazer
um relatório contendo uma análise descritiva das diversas variáveis relacionadas a esses problemas.
Baseada numa amostra de 30 dias consecutivos, esse relatório apontou os seguintes resultados.
A quantidade média de dados transmitidos diariamente (em KB) é igual a 715 KB, com desvio padrão de 36 KB.
O número de erros acontece numa taxa de 3 a cada 100 KB enviados para o servidor central. Ainda, quando
há erros na transmissão de dados, a variância do tempo para transmitir 10 KB é igual a 144 segundos2; caso
contrário, essa medida de dispersão cai para 64 segundos2 para transmitir 10 KB.
O relatório ainda concluiu que a distribuição normal é adequada para modelar a variável quantidade de dados
enviados diariamente. O número de erros por KB pode ser modelado por uma Poisson e, por fim, havendo erro
ou não na transmissão de dados, o tempo para transmitir 10 KB segue uma distribuição exponencial.
Responda:
a) Com as informações do relatório, Rose Jolie deve concluir que ela tem problema de elevado custo causado
pela quantidade indevida de dados transmitidos diariamente? Justifique sua resposta de formas clara, sucinta
e objetiva.
b) Se forem feitas algumas mudanças no uso do serviço contratado da Data Express, alterando a quantidade
média de dados transmitidos diariamente (em KB) para o ponto central dos limites de especificação (670 KB e
730 KB), mas sem alterar a variabilidade dessa variável, o possível problema de Rose Jolie com o elevado
custo causado pela quantidade indevida de dados transmitidos diariamente será resolvido? Justifique sua
resposta de formas clara, sucinta e objetiva.
Rose Jolie preocupada com as reclamações dos agentes da Known Profile, faz as seguintes perguntas:
c) Se houve erro numa transmissão de dados com exatamente 10 KB, qual a probabilidade de terem ocorridos
exatamente dois erros?
d) Numa transmissão de dados com exatamente 10 KB, qual a probabilidade do agente demorar mais do que
10 segundos para finalizá-la?
e) De uma grande lista de agentes contratados pela Know Profile, Rose Jolie deseja entrevistar um agente que
não se deparou com erros ao transmitir 120 KB. Seu objetivo é entender o procedimento para transmissão de
dados feito por esse agente para, talvez, adota-lo como padrão da empresa. Se ela sortear aleatoriamente
agente por agente até encontrar o primeiro com a característica que procura, em qual extração ela espera
encontrar esse agente?
12
ESTATÍSTICA I
42. (PF 2011_01) O preço de compra, em reais, de cada unidade da matéria-prima M1 não é fixo (único), pois
pode variar de região para região brasileira. Neste caso, assuma que o preço de M1 pode ser modelado por
uma distribuição normal com média 15 reais e desvio padrão 3 reais.
a) Qual é o menor valor cobrado pela matéria-prima M1 (em reais) referente aos 39% dos locais mais careiros?
b) Um determinado produto, que será lançado no mercado, é composto por três unidades de mesmo valor da
matéria-prima M1. Ainda, na fabricação desse produto, há um custo fixo de 30 reais por produto produzido. O
valor comercializado de cada produto será definido para que se tenha um lucro de 35% sobre o valor da etiqueta.
Encontre a esperança, variância e distribuição do valor (em reais) comercializado de cada produto.
43. (PF 2011_01) Uma importante indústria de alimentos, Healthy Food, tem grande parte de seus custos
relacionados às despesas com devolução de alguns fretes devido horário de entrega fora do acordado com os
clientes.
O período acordado com os clientes é recebimento dos fretes até às 7 horas da manhã.
Baseado numa amostra de 25 dias úteis, um relatório apontou os seguintes resultados:
▪ O tempo médio para entrega de um frete é de 1 hora e 25 minutos (ou 85 minutos); e
▪ A variável tempo para entrega de um frete segue uma distribuição exponencial.
a) A distribuição exponencial é considerada uma distribuição assimétrica positiva (ou à direita). Utilizando a
variável tempo para entrega de um frete, mostre que a média é maior do que a mediana.
b) Qual a probabilidade de um frete que saiu de Healthy Food às 5 horas e 45 minutos da manhã ser devolvido?
44. (PF 2020_01) O índice de satisfação de clientes de uma franquia segue uma distribuição normal com média
70 e desvio-padrão 8. Clientes com índice de satisfação abaixo de 70 são classificados como clientes de risco.
Sabe-se que o nível de satisfação de um cliente é superior a 65, qual a probabilidade de ser um cliente de risco?
Assinale a opção que mais se aproxima da sua resposta.
(a) 0,236
(b) 0,320
(c) 0,471
(d) 0,680
(e) 0,891
45. (PF 2020_01) O índice de congestionamento no horário de pico em um município pode ser modelado por
uma distribuição normal com média 35km e desvio-padrão 4km. Dias com nível de congestionamento superior
a 32,5km são classificados como dias demandantes. Em um determinado dia, o nível de congestionamento foi
inferior a 35km, qual a probabilidade de ser um dia demandante? Assinale a opção que mais se aproxima da
sua resposta.
(a) 0,236
(b) 0,320
(c) 0,471
13
ESTATÍSTICA I
(d) 0,529
(e) 0,891
46. A tabela abaixo traz a distribuição conjunta dos ganhos, em pontos percentuais, de duas aplicações
financeiras.
Y
X
-5
0,35
0,15
-1
1
5
0,05
0,45
a) Determine a covariância entre X e Y.
b) Um investidor aplicou R$1000,00 em Y e R$500,00 em X. Qual é o seu ganho esperado (em R$) e a
respectiva variância (em R$2)?
47. Um estudo realizado em uma faculdade envolvendo todos os alunos da graduação apresentou os resultados
relacionados com a frequência nas aulas e a nota final dos alunos que cursaram a disciplina. A tabela abaixo
apresenta os resultados encontrados:
Y: Nota final
0
6
9
70
0,05
0,12
0,35
90
0,20
0,13
0,15
a) Qual é a nota média dos alunos que assistiram 70% das aulas?
b) Qual é a correlação entre as variáveis? Você esperava este valor? Por quê? Respostas sem justificativas
serão ignoradas.
X: frequência (%)
48. Empresas em certa região contam com duas linhas de financiamento: uma com taxa de 5% a.a. e outra com
taxa de 20% a.a., dependendo do histórico de crédito. Sabe-se que 1/3 das empresas pagam juros de 5%.
Destas, metade é familiar. No grupo de empresas que paga 20% de juros, 75% é familiar. Pergunta-se: qual a
taxa de juros média (em % a.a.) paga pelas empresas familiares naquela região?
49. Considere a seguinte distribuição:
Valores de Y
Valores
de X
1
2
3
0
0
1/3
0
1
1/3
0
1/3
P(X=x)
1/3
1/3
1/3
P(Y=y)
1/3
2/3
1
Calcule a Cov(X, Y). X e Y são independentes?
14
ESTATÍSTICA I
50. Baseando-se nas projeções de preço da unidade de duas matérias primas, M 1 e M2, pretende-se estudar a
viabilidade econômica do lançamento de um certo produto, que leva essas matérias primas na sua composição.
A seguir, encontra-se a função de probabilidade conjunta dos preços, por unidade, em dezenas de reais, das
duas matérias primas supracitadas.
M2
2
4
7
5
0,10
0,10
0,00
M1
10
0,00
0,20
0,20
15
0,00
0,20
0,20
a) Quanto se espera pagar pela matéria prima M 1, sabendo que o valor pago pela matéria prima M 2 foi de 70
reais? Qual o desvio padrão?
b) Se na fabricação de cada produto entrar na composição 3 unidades de mesmo valor de M 1 e 2 unidades de
mesmo valor de M2 e que, ainda há um custo fixo de 50 reais, por unidade produzida, por qual valor se espera
comercializar o produto para que se tenha um lucro de 25% sobre o valor da etiqueta?
51. (PF 2021_02) A tabela abaixo apresenta a distribuição de probabilidades conjunta entre duas variáveis
aleatórias X e Y, que aqui, vamos assumi-las como variáveis aleatórias discretas.
Para maior compreensão, considere as seguintes definições para essas variáveis discretas:
X: percentual de assentos parlamentares que um país teve ocupados por mulheres em um determinado
ano, cujo valores são 10%; 20%; 30%; 40%; ou 50%; e
Y: número médio de filhos que um país apresentou em um determinado ano, cujo valores são 1; 2; 3; 4;
ou 5.
Pergunta:
Qual a probabilidade de um país ter, em média, menos do que 3 filhos, em um determinado ano, se o
percentual de assentos parlamentares ocupados por mulheres em tal país valer mais do que 30%?
Responda com valor numérico em decimal, com vírgula e arredondamento de 4 casas decimais
obrigatoriamente.
52. Um empresário está estudando o lucro mensal do seu negócio. Ele sabe que esse lucro é uma função de
alguns fatores mensais: preço de venda por unidade fixo de 85 Reais; demanda (variável aleatória com média
550 e desvio padrão 20); consumo de energia (variável aleatória com média 2500 Reais e desvio padrão 100
Reais); e um custo fixo de 10000 Reais. Ele sabe também que as variáveis demanda e consumo de energia
apresentam covariância de 1120. Em um determinado mês, qual o lucro esperado e seu respectivo desviopadrão?
15
ESTATÍSTICA I
53. Uma pessoa irá comprar uma camisa e uma calça. Os dois produtos serão adquiridos numa mesma loja. O
preço médio da camisa é $45,00 e seu desvio-padrão $3,00. O preço médio da calça é $60,00 e seu desviopadrão $5,00. Sabe-se ainda que a correlação entre os preços da camisa e da calça é da ordem de 0,25. Qual
o gasto esperado dessa pessoa e seu desvio-padrão?
54. O custo médio de fabricação de uma máquina é de $100 mil com um desvio-padrão de $10 mil. Cada
máquina, em média, é vendida por $140 mil com um desvio-padrão de $25mil. A correlação entre o custo de
fabricação e o preço de venda é de 0,80.
a) Qual o lucro esperado e seu desvio-padrão?
b) Admita que seja vendida apenas uma máquina por vez e que haja independência entre os preços de venda
de diferentes máquinas. Em 4 vendas de máquinas não necessariamente com o mesmo preço, qual a receita
total esperada e seu desvio-padrão?
55. (PF 2021_02) O custo médio de fabricação de um produto é de R$5 com um desvio-padrão de $2. Cada
produto, em média, é vendido por x reais com um desvio-padrão de $3. Ainda, há um custo fixo de R$0,50 de
embalagem por unidade do produto. Admita independência entre os custos de fabricação entre diferentes
unidades do produto e entre os valores de venda entre diferentes unidades do produto. Ainda, por simplicidade,
admita independência entre os custos de fabricação e os preços de venda de um produto. Qual deve ser o valor
de venda unitário esperado do produto para que o lucro unitário esperado seja de R$12?
Responda com valor numérico SEM A UNIDADE DE MEDIDA, com vírgula e arredondamento de 2 casas
decimais.
56. (PF 2021_02) O custo médio de fabricação de um produto é de R$8 com um desvio-padrão de $5. Cada
produto, em média, é vendido por x reais com um desvio-padrão de $3. Ainda, há um custo fixo de R$2,50 de
embalagem por unidade do produto. Admita independência entre os custos de fabricação entre diferentes
unidades do produto e entre os valores de venda entre diferentes unidades do produto. Ainda, por simplicidade,
admita independência entre os custos de fabricação e os preços de venda de um produto. Qual é o desviopadrão do lucro com a venda de 4 unidades do produto, admitindo que eles não são vendidos necessariamente
pelo mesmo valor e que não tiveram necessariamente o mesmo custo de fabricação?
Responda com valor numérico SEM A UNIDADE DE MEDIDA, com vírgula e arredondamento de 2 casas
decimais.
57. (Quizz 2011_02) Entre os diversos fundos de investimentos financeiros que um banco oferece, John River,
um dos investidores desse banco, deseja que seu dinheiro tenha um rendimento de acordo com o retorno obtido
por uma carteira formada pelos fundos X, Y e Z. Esta carteira terá os fundos X e Y igualmente ponderados com
35% cada e o restante ficará no fundo Z. Seguem abaixo algumas informações (não expressas em percentuais)
sobre os retornos mensais desses três fundos de investimentos:
Fundo de investimento X: média 0,0199 e desvio padrão 0,0752.
Fundo de investimento Y: média 0,0072 e desvio padrão 0,0159.
Fundo de investimento Z: média 0,0081 e desvio padrão 0,0182.
Todos esses fundos são independentes entre si, com exceção dos fundos Y e Z. O coeficiente de correlação
entre os fundos Y e Z é 0,75. Calcule o desvio padrão desta carteira previsto para o próximo mês
16
ESTATÍSTICA I
Faça a suposição de que um passado recente é uma boa previsão para um futuro próximo. DEIXE TODOS OS
RESULTADOS TEÓRICOS EXPLICITAMENTE DEMONSTRADOS NA SUA RESOLUÇÃO.
58. (Quizz 2011_02) Em uma determinada loja de roupas, o lucro esperado na venda de uma calça jeans é de
R$ 58,00, com um desvio-padrão associado a essa variável de R$ 12,00. Ainda, a venda de cada calça jeans
ocorre de maneira independente uma das outras, já que cada pessoa compra o modelo que mais lhe agrada
independente do gosto das outras pessoas. Se em uma semana, essa loja vende 135 peças de calças jeans e
tem um lucro total esperado de R$ 7.830,00, determine o respectivo desvio padrão associado ao lucro total.
DEIXE TODOS OS RESULTADOS TEÓRICOS EXPLICITAMENTE DEMONSTRADOS NA SUA RESOLUÇÃO.
59. (Quizz 2011_02) Uma pesquisa estudou o número de TVs por família de classe social média baixa da cidade
de São Paulo, cujos valores observados para essa variável foram 0 (mínimo), 1 ou 2 (máximo) televisores por
família da classe em questão. Baseando-se em resultados dessa pesquisa, a probabilidade de uma família de
classe média baixa da cidade de São Paulo possuir uma TV é 37% e de possuir duas TVs é de 40%. Essa
pesquisa também estudou o número de carros por família de classe social média baixa da cidade de São Paulo,
cujos valores observados para a variável também foram 0 (mínimo), 1 ou 2 (máximo) carros por família.
Associando essas duas variáveis (número de carros e número de televisores por família de classe média baixa
da cidade de São Paulo), os responsáveis pela pesquisa apontaram os seguintes resultados. Do total de famílias
de classe média baixa da cidade de São Paulo, 31% têm dois carros. Ainda entre todas as famílias da classe
em questão da cidade de São Paulo, 7% possuem um televisor e dois carros. Entre as famílias que não possuem
televisor em casa, 21,7% possuem apenas um carro. Entre as famílias de classe média baixa da cidade de São
Paulo que possuem um televisor, 32,4% possuem um carro. Apenas entre as famílias da classe social em
questão que possuem dois televisores, 20,0% não possuem carro. Entretanto, de todas as famílias de classe
média baixa da cidade de São Paulo que não possuem carro, 36,6% não possuem televisor.
Qual é o número médio de televisores entre as famílias de classe social média baixa da cidade de São Paulo
que possuem automóvel?
60. O custo de fabricação de uma máquina pode ser modelado por uma distribuição normal com média $100
mil e desvio-padrão $10 mil. Já o preço de venda de cada máquina é modelado através de uma distribuição
normal com média $140 mil. A correlação entre o custo de fabricação e o preço de venda é de 0,8.
a) Qual deve ser o desvio-padrão do preço de venda para que em 95% das vendas o preço seja maior que $90
mil?
Independente de sua resposta ao item (a), admita que o desvio-padrão do preço de venda seja de $25 mil.
b) Qual é a probabilidade de termos um lucro maior que $50 mil? Considere que o lucro também pode ser
modelado através de uma distribuição normal.
c) Sempre que o preço de venda ultrapassa $150 mil a equipe de vendas recebe um bônus. Sabe-se que um
consumidor pagou menos de $180 mil na aquisição da máquina. Qual é a probabilidade da equipe de vendas
ter ganhado o bônus?
d) Admita que seja vendida apenas uma máquina por vez e que haja independência entre os preços de venda
de diferentes máquinas. Em 4 vendas de máquinas não necessariamente com o mesmo preço, qual a
probabilidade da receita total obtida com as vendas ser maior que $550 mil?
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ESTATÍSTICA I
61. Uma empresa recebeu uma verba total de R$50.000,00 para executar 4 projetos. Sabe-se que num projeto,
o gasto tem média igual a R$12.000,00 com desvio padrão R$1.000,00. Suponha que a distribuição Normal
aproxime bem os gastos de um projeto e que os gastos em diferentes projetos sejam independentes.
a) Qual a probabilidade do gasto total da empresa não exceder a verba total recebida pelos 4 projetos (que não
terão necessariamente o mesmo gasto), sabendo que até o momento o gasto total com os 4 projetos já
ultrapassou R$49.000,00?
b) Destes 4 projetos, qual a probabilidade de que em pelo menos 3 deles a empresa gaste menos de
R$12.500,00?
c) Quanto a empresa deveria receber para executar estes 4 projetos (que não terão necessariamente o mesmo
gasto), de maneira que o valor recebido tenha apenas 5% de probabilidade de não ser suficiente para cobrir os
gastos?
62. Um órgão estatal classifica a gasolina de acordo com a quantidade de álcool adicionado à mesma. Segundo
esse órgão, a gasolina está fora das especificações se a quantidade de álcool adicionado à gasolina for superior
a 30%. A distribuidora de combustível PR afirma que a quantidade média de álcool adicionada à sua gasolina
segue uma distribuição normal com média 25% e desvio padrão de 4%.
a) Caso os testes realizados no carregamento apontem que a gasolina está dentro das especificações do órgão,
qual a probabilidade da gasolina ter mais de 20% de álcool?
b) A distribuidora BX está negociando com o posto. Segundo ela, a quantidade de álcool adicionada à sua
gasolina segue uma distribuição normal com média 28% e desvio padrão 2%. Além disso, sabe-se que há
independência entre as quantidades de álcool adicionado à gasolina das duas distribuidoras. Qual a
probabilidade da gasolina da distribuidora BX ter menos álcool do que a da distribuidora PR?
63. (PSUB 2020_02) Com a proximidade do Natal, Amanda decidiu comprar roupas de presente para 3 amigos:
Henrique, Julia e Bruno. Ela realizará a compra em uma mesma loja virtual: para os rapazes comprará uma
camisa para cada (não necessariamente iguais) e para Julia, um vestido.
O preço de uma camisa nessa loja segue uma distribuição aproximadamente normal de média $60,00 e desviopadrão $5,00. O preço de um vestido nessa loja segue uma distribuição aproximadamente normal de média
$100,00 e desvio-padrão $10,00. Sabe-se ainda que há independência entre os preços de uma camisa e de um
vestido nessa loja.
Sabendo que Amanda gastou pelo menos $200 com a compra dos 3 presentes nessa loja virtual, qual é a
probabilidade do gasto total ter sido de no máximo $250? Considere que o gasto total com a compra dos 3
presentes também segue uma distribuição aproximadamente normal.
DIGITE SUA RESPOSTA JÁ EM % ARREDONDADO COM DUAS CASAS DECIMAIS. NÃO COLOQUE O
SÍMBOLO DE "%".
64. Uma grande empresa decide construir um shopping center. O Shopping visa atingir um público alvo de alta
renda, formado por famílias com renda familiar anual superior a US$75.000,00.
Um dos problemas a serem enfrentados é a escolha do local onde o prédio será construído. Por razões técnicas
foram pré-selecionados dois locais. No primeiro, havia sido realizado um censo e sabe-se que a renda familiar
média na região é de US$65.000,00, com um desvio-padrão de US$14.000,00. Além disso, percebeu-se que a
renda familiar comportava-se aproximadamente como uma distribuição normal.
18
ESTATÍSTICA I
a) Sabendo que na região residem em torno de 20.000 famílias e utilizando as informações acima, quantas
devem fazem parte do público alvo do Shopping?
No segundo local não existe nenhuma informação disponível sobre a renda das famílias residentes. Por isso,
torna-se necessário a extração de uma amostra de famílias.
Por limitações econômicas, só foi possível extrair uma amostra de 200 famílias. Os dados encontram-se na
planilha Shop do arquivo Shop.xls. Antes de realizar qualquer análise inferencial é necessário conhecer o
comportamento da amostra.
b) Esses dados poderiam ser modelados através de uma distribuição normal? Por quê?
c) Admita a existência de 10.000 famílias nessa região. Caso a decisão seja sua, em que local você construiria
o shopping? Por quê?
65. (PF 2010_02) Entre os diversos fundos de investimento financeiro que um banco oferece, quatro são de
grande procura por investidores. Segue abaixo, informações sobre os possíveis retornos diários (em %).
Fundo de investimento 1 (X1): segue uma distribuição normal com média 0,30% e desvio padrão 0,50%.
Fundo de investimento 2 (X2): segue uma distribuição normal com média 0,20% e desvio padrão 0,40%.
Fundo de investimento 3 (X3): segue uma distribuição normal com média 0,15% e desvio padrão 0,20%.
Fundo de investimento 4 (X4): segue uma distribuição uniforme entre os intervalos -0,25% e +0,35%.
Todas essas variáveis são independentes entre si, com exceção das variáveis X 1 e X2. O coeficiente de
correlação entre X1 e X2 é 0,50.
Responda:
a) Entre os investidores desse banco que escolhem só X 3 ou só X4 como fundo de investimento, 73% optam
por X3. Escolhendo, ao acaso, um desses investidores, qual a probabilidade de amanhã o retorno gerado pelo
seu investimento ser negativo?
b) Para a próxima segunda-feira, qual a probabilidade do fundo de investimento X 3 ter retorno superior ao do
fundo X2?
Para responder os próximos itens desta questão, considere também as informações abaixo.
John River, um dos poucos investidores desse banco com aplicação acima de 1 milhão de reais, deseja que
65% do seu dinheiro renda de acordo com o retorno obtido da média dos fundos X1 e X2 e o restante renda pelo
fundo X3. Mary River, esposa de John e dona de uma herança paterna, deseja dividir seu dinheiro aplicando
40% e 60% nos fundos X3 e X4, respectivamente.
Responda:
c) Qual a probabilidade de, em um dia, a carteira de aplicação de John River render acima de 0,3%? Considere
que o retorno diário da carteira de John River segue uma distribuição normal.
d) É óbvio que Mary River sabe que uma carteira com maior risco pode gerar maiores retornos positivos por
causa da grande variabilidade desses retornos. Mas ela também sabe que, se o momento for de recessão, essa
carteira de alto risco pode gerar, com maior probabilidade, retornos negativamente altos. Mary River disse ao
seu marido que a carteira dela tem risco mais baixo do que a carteira montada por ele. De alguma forma,
verifique se Mary River está certa.
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