В.С. Лубенцова
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И МЕТОДЫ В ЛОГИСТИКЕ
Самара 2008
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.С. Лубенцова
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И МЕТОДЫ В ЛОГИСТИКЕ
Под редакцией В.П. Радченко
Утверждено редакционно–издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара
Самарский государственный технический университет
2008
ББК 65.50.73
УДК 65807(075.8)
Л 82
Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук Л.А. С а р а е в
канд. физ.-мат. наук Л.Г. В о л к о в а
Лубенцова В.С.
Л 82 Математические модели и методы в логистике: учеб. пособ. /
В.С. Лубенцова. Под редакцией В.П. Радченко. – Самара. Самар. гос. техн.
ун-т, 2008, –157 с.: ил.
ISBN 978-5-7964-1140-7
Изложена теоретическая концепция логистических систем, организационные структуры и методы математического анализа таких систем в области производства, транспорта, управления запасами, передачи информации.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика».
ББК 65.50.73
УДК 65807(075.8)
Л 82
ISBN 978-5-7964-1140-7
 Лубенцова В.С., 2008
 Самарский государственный
технический университет, 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 1. Общая характеристика логистики и факторы её
развития. Основные объекты изучения логистики . . . . . . . .
Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Развитие логистики как науки и ее практическая реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Факторы, определяющие развитие логистики как экономической науки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Логистический подход к проблемам управления потоковыми процессами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Понятие логистической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Виды логистических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Материальный поток, его измерители. Классификация материальных потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Логистическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Логистическая цепь и логистическая операция . . . . . . . . . .
1.9. Научная база логистики и методология . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 2. Многокритериальная оптимизация в логистике.
Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Включение всех целевых функций в ограничения . . . . . . . .
2.2. Метод последовательных уступок (метод главного критерия) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Метод экспертных оценок. Непосредственное назначение
коэффициентов веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Оценки точности параметров в баллах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Статистический метод экспертных оценок . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Метод бинарных (парных) соотношений . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Пример решения задач методом экспертных оценок . . . . . .
7
8
8
8
9
11
12
13
13
14
20
20
21
23
23
23
26
31
31
33
34
36
37
3
ГЛАВА 3. Производственная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Толкающие и тянущие системы управления материальными потоками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 4. Методы сетевого планирования и управления . .
Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Элементы сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Временные параметры сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Распределение ограниченных ресурсов при построении
сетевого графика. Последовательный метод . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Параллельный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 5. Логистика складирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Операции, выполняемые на складе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Определение оптимального количества складов в зоне обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Методы определения места расположения склада на обслуживаемой территории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Складские запасы и емкость склада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Определение складских запасов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Решение задачи определения вместимости контейнерного
терминала с использованием модели «гибели и рождения» . . . .
4
40
40
40
41
46
46
46
49
54
58
59
59
61
67
67
67
68
69
70
72
72
79
82
82
5.8. Выбор между организацией собственного склада и использованием услуг наемного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Логистические центры. Состав типичного регионального
центра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Логистические центры в России . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Интеграция России в мировую логистическую сеть . . . . .
ГЛАВА 6. Транспортная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Сущность и задачи транспортной логистики . . . . . . . . . . . . .
6.2. Логистический подход к организации транспортного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Выбор транспортного средства с учетом логистики . . . . . . .
6.4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона . . . . . . . . . . . . .
6.6. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке . . . . . . .
6.7. Приложение алгоритма о максимальном потоке к решению
транспортной задачи по критерию времени . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. Задача нахождения кратчайшего пути . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Решение задачи методом Форда-Фалкерсона . . . . . . . . . . . .
6.10. Нахождение общей медианы графа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11. Расчет надежности сетей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 7. Логистический подход к управлению автотранспортным предприятием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Статистическая вероятность безотказной работы и коэффициент безопасности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Характеристика марковских процессов . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Анализ возможных состояний автомобиля . . . . . . . . . . . . . .
88
89
90
91
93
93
93
94
95
97
101
101
103
109
111
111
113
114
117
121
121
121
123
125
5
7.4. Информационная база прогнозирования транспортных услуг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Расчет коэффициента выпуска автомобилей и коэффициента технической готовности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Описание процесса функционирования группы автомобилей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Использование метода динамики средних для определения
средних численностей состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. Определение годового пробега и провозных возможностей
автомобиля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 8. Информационная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Информационный логистический поток . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Информационные логистические системы (Информационные технологии в логистике) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Классификация информационных систем . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Принципы построения информационных систем в логистике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Использование открытых информационных технологий в
логистических информационных системах . . . . . . . . . . . . . . . . .
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
127
133
133
134
138
138
142
149
149
149
150
151
151
152
152
157
Введение
Логистика как новое научное направление получила развитие в
нашей стране в последние десять лет. До последнего времени главным аспектом изучения теории логистики были ее терминология и
понятийный аппарат. Однако вторая и не менее важная часть теории
логистики — методология в настоящее время представляет собой
набор отдельных моделей (методов, алгоритмов), практически не
систематизированных и недостаточно подробно изученных. Наиболее актуальной проблемой на современном этапе развития является
формирование моделей и методов управления логистическими процессами.
Настоящее учебное пособие написано в форме двухчасовых
лекция и имеет основную цель, во-первых, познакомить студентов с
существующими подходами к классификации потоков, их систематизации и формализации и, во-вторых, изучить наиболее интересные,
с практической точки зрения, математические модели и алгоритмы,
их реализацию в задачах управления экономическими процессами,
которые могут быть использованы специалистами по управлению
логистическими процессами в различных областях. Часть из этих
моделей реализуется в лабораторном практикуме.
Для лучшего понимания и усвоения учебного материала данного
курса необходимы знания в таких областях как теория принятий решений, методы и модели оптимизации, системный анализ, теория
массового обслуживания, теория графов.
Описанные в данном курсе математические модели и алгоритмы
взяты из литературных источников [1-14], приведенных в библиографическом списке.
7
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЛОГИСТИКИ
И ФАКТОРЫ ЕЁ РАЗВИТИЯ.
ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГИСТИКИ
ЛЕКЦИЯ 1
1.1. Развитие логистики как науки и ее практическая
реализация
Логистика как наука и как сфера практических знаний вызывает
в последнее время всё более возрастающий интерес. Менеджеры по
логистике являются одной из наиболее востребованных позиций на
рынке труда и являются целью для любой компании.
Логистика – это наука о планировании, организации, управлении
и контроле движения материальных и информационных потоков в
пространстве и во времени от их первичного источника до конечного
потребителя.
Логистика хотя и имеет глубокие исторические корни, тем не
менее, сравнительно молодая наука. Бурное развитие она получила в
период Второй мировой войны, когда была применена для решения
стратегических задач и чёткого взаимодействия оборонной промышленности, тыловых снабженческих баз и транспорта с целью своевременного обеспечения армии вооружением, горюче-смазочными
материалами и продовольствием. Постепенно понятия и методы логистики стали переносить из военной области в гражданскую.
Расширение сферы применения логистики, которое наблюдается
в 80-е особенно в 90-е гг., объясняется в первую очередь, развитием
оптимальных методов управления материальными потоками. Логистика позволяет существенно сократить временной интервал между
приобретением сырья и полуфабрикатов и поставкой готового продукта потребителю, способствует резкому сокращению материальных запасов, ускоряет процесс получения информации, повышает
уровень сервиса.
Деятельность в области логистики многогранна. Она включает
управление транспортом, складским хозяйством, запасами, кадрами,
организацию информационных систем, коммерческую деятельность
и многое другое.
Принципиальная новизна логистического подхода – органичная
взаимная связь, интеграция выше перечисленных областей в единую
материалопроводящую систему. Иными словами, цель логистического подхода – сквозное управление материальными потоками.
8
Опыт промышленно развитых стран и передовых компаний показывает, что логистике принадлежит стратегически важная роль и в
современном бизнесе. Внедрение методов логистического менеджмента в практику бизнеса позволяли фирмам значительно сократить
товарные запасы, ускорить оборачиваемость оборотного капитала,
снизить себестоимость продукции, обеспечивать наиболее полное
удовлетворение потребностей покупателей в отношении качества
товара и сопутствующего сервиса.
Термин «логистика» происходит от греческого слова «logistike»
– искусство вычислять, рассуждать. В период Римской империи существовали служители, которые носили титул «логисты» или «логистики»; они занимались распределением продуктов питания.
По мнению ряда западных учёных, логистика выросла в науку
благодаря военному делу. Создателем первых научных трудов по
логистике принято считать французского военного специалиста начала XIX в. Джомини, который утверждал, что логистика включает
такой широкий круг вопросов, как планирование, управление, снабжение, определение места дислокации войск, а также строительство
мостов, дорог и т.д. Приоритетное значение вопросам логистики
придавалось в армии Наполеона.
Существует также математическое направление в логистике. Так
в 1904 г. на философской конференции в Женеве термин «логистика»
был закреплен за математической логикой. Логистика развивалась и
в России. Ещё в начале XX в. петербургские профессора путей сообщения издали труд «Транспортная логистика». На его основе были
построены модели перевозки войск, их обеспечения и снабжения.
Эти модели получили практическое применение при планировании и
проведении ряда компаний русской армии в ходе Первой мировой
войны. В 60 гг. XX века начинает развиваться экономическое направление логистики.
1.2. Факторы, определяющие развитие логистики
как экономической науки
Необходимость применения логистики в экономике определяется рядом причин, среди которых можно выделить следующие:
– усложнение системы рыночных отношений и повышение требований к качественным характеристикам процесса распределения;
– создание гибких производственных систем;
9
Оно связано с заменой традиционных конвейеров роботами, что
привело к значительной экономии живого труда и созданию гибких
производственных структур, сделавших работу по изготовлению небольших партий рентабельной.
Появилась возможность для крупных предприятий перестраивать свою работу с массового производства на мелкосерийные с минимальными издержками. Малые же фирмы обрели шансы повысить
свою гибкость и конкурентоспособность.
В свою очередь, работа по принципу «малыми партиями» повлекла соответствующие изменения в процессе обеспечения производства материальными ресурсами и сбыта готовой продукции. Во
многих случаях поставки больших объёмов сырья и конечной продукции стали не только не экономичными, но и не нужными. В связи
с этим отпала необходимость иметь большие склады, ёмкости на
предприятиях и возникла потребность в транспортировке грузов небольшими партиями, но в более жёсткие сроки. При этом возросшие
расходы на перевозку покрывались за счёт сокращения складских
издержек.
При этом ряд факторов способствовал созданию возможностей
для развития логистики. К ним, прежде всего, относятся:
– использование теории систем и компромиссов для решения
экономических задач;
– ускорение научно-технического процесса в коммуникациях,
внедрение в хозяйственную практику фирм ЭВМ последних поколений, используемых в сфере товародвижения;
– унификация правил и норм по поставке товаров во внешнеэкономической деятельности, устранение различного рода импортных и
экспертных ограничений, стандартизация технических параметров
путей сообщения, подвижного состава и погрузочно-разгрузочных
средств.
В чем заключается принципиальное отличие логистического
подхода к управлению материальными потоками от традиционного
подхода?
Большинство определений трактуют логистику как науку и
практику управления материальными потоками. Однако это деятельность осуществлялась человечеством с давних времен. Принципиальное отличие логистического подхода к управлению материальными потоками от традиционного заключается в выделении единой
функции управления прежде разрозненными материальными пото10
ками: в технической, технологической, экономической и методологической интеграции отдельных звеньев материалопроводящей цепи
в единую систему, обеспечивающую эффективное управление сквозными материальными потоками. При этом следует иметь в виду, что
в настоящее время в России за практической деятельностью по
управлению материальными потоками закрепилось название «логистика» вне зависимости от того, насколько эта деятельность соответствует логистической идее.
Основными объектами изучения логистики являются:
– логистические издержки;
– информационный поток;
– материальный поток;
– логистическая система;
– логистическая функция;
– логистическая цепь;
– логистические операции.
1.3. Логистический подход к проблемам управления
потоковыми процессами
Сущность логистического подхода к управлению материальными потоками состоит в интеграции отдельных участков логистического процесса в единую систему, способную быстро и экономично
доставить необходимый товар в нужное место. Сложность здесь заключается в том, что в рамках единой системы необходимо объединить различные субъекты с различными экономическими интересами.
В целом логистическая оптимизация материального потока —
это комплекс математических задач, в результате решения которых
может быть создана интегрированная материалопроводящая система,
обеспечивающая экономический выигрыш только за счёт качественного изменения управления материальным потоком. Логистический
подход предполагает необходимость решение задач в области техники, технологии, экономики и математики, т.е. логистика, представляет единство элементов,
ЭКОНОМИКА
представленных на рисунке.
ТЕХНОЛОГИЯ ЛОГИСТИКА МАТЕМАТИКА
Результатом функционирования логистиТЕХНИКА
11
ческой системы является наличие нужного изделия в нужном количестве в нужное время в нужном месте с минимальными затратами.
1.4. Понятие логистической системы
Понятие системы является базовым понятием логистики. Система в общенаучном понятии представляет собой такую взаимосвязанную организованную совокупность элементов, которая обладает качествами, не свойственными отдельным составляющим её элементам.
При этом некоторая совокупность объектов представляет собой
систему лишь при наличии следующих свойств:
– целостность и делимость: система состоит из элементов, выступающих как единое целое, но в то же время её можно разделить
на подсистемы и отдельные элементы;
– наличие связей между элементами;
– организованность: система должна быть определёнными образом структурирована;
– интегративные качества: наличие у системы таких качеств, которые не свойственны ни одному из её элементов.
Примеры систем: автомобиль, университет, авторучка, мобильный телефон и т.д. Для представления объекта как системы используют системный подход. При этом различают внутреннюю и внешнюю среду системы, а также вход и выход.
Схематическое представление объекта в виде системы представлено на рис. 1.1.
вход
взаимодействие
с внешней средой
Управляющий
элемент системы
выход
элементы системы
Р и с. 1.1
Если имеют место материальные потоки, то всегда имеется какая-то товаропроводящая (логистическая) система, которой присущи
12
следующие признаки и свойства.
1. Элементами логистической системы являются: транспортные
предприятия, склады, предприятия оптовой и розничной торговли,
перегрузочная и перевозочная техника и др. Причем элементы логистической системы можно рассматривать на макро- и микроуровне.
2. Квалифицированный персонал обеспечивает связи между отдельными элементами. Так на макроуровне основу связи составляет
договор, а на микроуровне элементы связаны внутрипроизводственными отношениями.
3. Связи между элементами более или менее упорядочены.
4. Логистическая система обладает качествами, которыми не обладает ни один элемент в отдельности. Это, во-первых, способность
поставить нужный товар в нужное время и место, необходимого качества с минимальными затратами, во-вторых, способность адаптироваться к изменяющимся условиям внешней среды.
ЛЕКЦИЯ 2
1.5. Виды логистических систем
Логистические системы делят на макро- и микрологические.
Макрологистические системы формируются на уровне государства, межгосударственных, межрайонных связей.
Микрологистические системы создаются на уровне предприятия, организации и являются подсистемами макрологистических
систем (принцип матрёшки). Примеры, отражающие оба эти понятия: через склад оптовой торговой базы проходит 10 000 т. грузов в
год (микрологистика); страны Европейского сообщества формируют
единый внутренний рынок (макрологистика); ежегодно грузооборот
транспортного комплекса России составляет до 10 млрд.т. (макрологистика); грузооборот склада в 15 раз превышает средний запас
(микрологистика). При этом критерии оптимизации у макро- и микрологистических систем различны.
Для предприятия в качестве критериев оптимизации его функционирования в рыночной среде используются минимум издержек,
максимум объём продаж, завоевание максимальной доли рынка и др.
В макрологистических системах критериями являются экологические, социальные, военные цели, хотя критерий минимума издержек
также используется.
Кроме того, в зависимости от наличия посредников в системе
13
продвижения товара различают три вида логистических систем:
– система с прямыми связями: материальный поток проходит
непосредственно от производителя к потребителю, минуя посредников (в настоящее время встречается редко):
ПОТРЕБИТЕЛЬ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬ
СИСТЕМА
С ПРЯМЫМИ СВЯЗЯМИ
– эшелонированная система (в таких системах имеется хотя бы
один посредник):
ПРОИЗВОДИТЕЛЬ
ПОСРЕДНИК
ПОТРЕБИТЕЛЬ
– гибкие логистические системы (здесь движение материального потока от производителя к потребителю может осуществляться
как напрямую, так и через посредников):
ПОТРЕБИТЕЛЬ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬ
ПОСРЕДНИК
1.6. Материальный поток, его измерители.
Классификация материальных потоков
Материальный поток является основным объектом исследования, управления и оптимизации в логистике.
Материальный поток – это грузы, товары, рассматриваемые в
процессе приложения к нему различных операций и отнесенные к
временному интервалу. Под операциями понимается разгрузка, перевозка, сортировка, укладка на хранение и т.д. Размерность материального потока представляет собой дробь, в числителе которой указана единица измерения груза (штуки, тонны и т.д.), а в знаменателе
– единица измерения времени (сутки, месяцы, год и т.д.).
Качественный состав потока меняется по мере продвижения по
цепи. Вначале между источником сырья и первым перерабатывающим предприятием перемещаются, как правило, массовые однородные грузы: сырая нефть, железная руда, уголь, сахар-сырец, зерно и
т.д. В конце цепи материальный поток представлен товарами, готовыми к потреблению: бензин, мука, фасованный сахар и др. Между
отдельными производствами, цехами перемещаются различные детали, заготовки, полуфабрикаты. Для того чтобы управлять материаль14
ным потоком, необходимо знать его характеристики и размеры. Измерителями материального потока являются:
– масса груза или количество мест, объём, род груза;
– расстояние транспортировки (км);
– направление движения (место отправления, место назначения);
– партионность – масса или количество мест груза, подлежащих
отправке за один раз, на одном транспортном средстве в одном направлении (например, материальный поток при перевозке на данном
морском судне при работе между определёнными пунктами составляет 60000 т/год, при этом партионность груза составляет 30 000 т);
– время движения и время стоянки в пунктах перевалки или запасы на производстве .
Материальные потоки образуются в результате деятельности
различных предприятий и организаций. Причём ключевую роль в их
управлении играют следующие предприятия и организации:
– транспортные предприятия и экспедиторские компании;
– предприятия оптовой торговли;
– посреднические предприятия;
– предприятия – изготовители (склады сырья и готовой продукции, на которых выполняются разнообразные логистические операции).
Материальные потоки можно классифицировать по нескольким
признакам.
По первому признаку – отношению к логистической системе материальные потоки делятся на внешний, внутренний, входной и выходной.
Внешний поток протекает во внешней для предприятия среде.
При этом имеются в виду не все потоки, а лишь те, которые имеют к
данной организации какое-либо отношение. Например, внешним будет поток сырья для перерабатывающего предприятия, пока он не
доставлен на его склад. При поступлении на склад и движении в
рамках предприятия он будет являться внутренним для данного
предприятия. При входе на предприятие он будет называться входящим, а после переработки и поставки со склада готовой продукции
— выходящим.
Второй признак классификации — количественный. По этому
признаку потоки делятся на массовые, крупные, средние и мелкие.
Массовым считается поток при его транспортировке несколькими
транспортными средствами, например, железнодорожный состав,
15
несколько десятков автомашин; крупные потоки — несколько вагонов, машин; средние — одиночные вагоны, автомобили; мелкие —
количество груза, недостаточное для загрузки одного транспортного
средства.
ВНУТРЕННИЕ ПОТОКИ
ВХОДНОЙ ПОТОК
СЫРЬЕ, МАТЕРИАЛЫ
ПРЕДПРИЯТИЕ
(ПЕРЕРАБОТКА СЫРЬЯ
ВЫХОДНОЙ ПОТОК
ГОТОВАЯ ПРОДУКЦИЯ
ВНЕШНИЕ ПОТОКИ
Третий признак. По удельному весу материальные потоки делят
на тяжеловесные, легковесные, причём примерами первых могут
служить металлы, руда, а вторых лесные грузы, табачные изделия и
др.
Четвёртый признак. По консистенции грузов - материальные потоки навалочных, наливных и генеральных грузов. Первые перевозятся без тары: зерно, сахар-сырец, уголь и др.; вторые — нефть и
нефтепродукты, сжиженные газ, вино и др.; третьи — в таре, контейнерах, ящиках, к ним относятся также металлы и техника. Понятие
потока (П) тесно связано с понятием запасов (З), которые друг без
друга не могут существовать. Итак, поток представляет собой совокупность объектов, воспринимаемую как единое целое и измеряемую
в абсолютных единицах, как процесс, происходящий на некотором
временном интервале. Между статическими величинами запасов и
динамическими характеристиками потоков существует тесная взаимосвязь:
П характеризует процесс изменения З:
dЗ
П=
,
dt
З отражает результат накопления потока, т.е.
t2
З = ∫ Пdt .
t1
Для описания потоков и работы с ними необходима хотя бы самая простая классификация, которую целесообразно выстраивать по
нижеследующим признакам.
1. По отношению к рассматриваемой системе:
16
– внутренние потоки циркулируют внутри системы p ∈ S , где
p – поток; S – рассматриваемая система;
– внешние потоки – поступают в систему извне и/или покидают
ее пределы, p1 < S1 , p2 > S2 .
2. По степени непрерывности:
– непрерывные потоки – в каждый момент времени на траектории потока перемещается определенное количество объектов:
P = ∫ f ( t ) dt ;
– дискретные потоки – образуются объектами, перемещаемыми
с интервалами
n
P = ∑ Pi .
i =1
3. По степени регулярности:
– детерминированные потоки – характеризуются определенностью параметров в каждый момент времени:
P = f (t ) ;
– стохастические потоки – характеризуются случайным характером параметров, которые в каждый момент времени принимают определенную величину с известной степенью вероятности:
Pf = ∑ Pfi = 1 ,
где Pf – вероятность состояния потока.
4. По степени стабильности:
– стабильные потоки – характеризуются постоянством значений
параметров в течение определённого промежутка времени:
P = f ( t ) = const, t1 < t < t2 ;
– нестабильные потоки – характеризуются флуктуационным характером изменения потока:
P = f ( t ) ≠ const .
5. По степени изменчивости:
– стационарные потоки – характерны для установившегося процесса, их интенсивность является величиной постоянной:
n
λ = = const ,
t
где λ – интенсивность потока; n – количество прошедших единиц;
t – временной период;
17
– нестационарные потоки – характерны для неустановившегося
процесса, их интенсивность меняется в течение определенного периода времени:
λ = f ( t ) ≠ const .
6. По характеру перемещения элементов потока:
– равномерные потоки – характеризуются постоянной скоростью
v перемещения объектов, т.е. в одинаковые отрезки времени t объекты проходят одинаковый путь; интервалы начала и завершения движения объектов также равны:
S = vt ;
– неравномерные потоки – характеризуются изменением скорости перемещения, возможностью ускорения, замедления, остановки в
пути, изменения интервалов отправления и прибытия
S = vt , v ≠ const .
7. По степени периодичности:
– периодические потоки – характеризуются постоянством параметров или постоянством характера их изменения через определённый интервал времени Т:
ρ = f (T ) ;
– непериодические потоки – характеризуются отсутствием закономерности изменения параметров потока
ρ = f (t j ) , t j ≠ T .
8. По степени соответствия изменения параметров потока заранее заданному ритму:
– ритмические потоки;
– неритмические потоки.
9. По степени сложности:
– простые (дифференцированные) потоки состоят из объектов
одного вида ρ ∈ { ρ j } ;
– сложные (интегрированные) потоки объединяют разнородные
объекты:
n
ρ = ∑ ρi .
i =1
10. По степени управляемости:
– управляемые потоки – адекватно реагирующие на управляющее воздействие ri со стороны, управляющей системы:
18
ρ= f
({r }) ;
j
– неуправляемые потоки – не реагирующие на управляющее
воздействие:
ρ= f
({r }) .
j
Вышеизложенные принципы классификации потоков являются
общепринятыми. Такая классификация в основном даёт возможность
изучать потоки, рассматриваемые в логике, и применять адекватный
им механизм регулирования. Однако по мере роста числа потоков и
их напряжённости в сферах производства и обращения может возникнуть потребность подразделения потоков ещё по двум признакам.
11. По степени упорядоченности элементов потока:
– ламинарные потоки – в них взаимное перемещение составляющих потока отсутствует либо носит целенаправленный характер;
они имеют регулярный характер и способны меняться во времени
лишь при изменении внешних условий или управляющих воздействий. Для характеристики потоков с данной точки зрения необходимо
ввести следующие понятия:
1) вязкость (η ) – свойство потока сопротивляться перемещению
одной части его элементов относительно другой под воздействием
внешней среды;
2) внутреннее трение (τ ) – характеристика изменения скорости
потока относительно разных слоев его элементов (возникает при перемещении элемента потока относительно друг друга):
∆v
τ =η
,
∆n
где ∆v – изменение скорости потока при перемещении в направлении, перпендикулярном направлению движения потока, на величину
слоя элементов потока ∆n ;
3) текучесть (ϕ ) – характеристика скорости перемещения одинакового слоя данного потока под влиянием внешней среды; эта величина, обратная вязкости η :
1
ϕ= ;
η
– турбулентные потоки – характеризуются хаотическими взаимными перемещениями элементов потока, вызывающими флуктуаци19
онные изменения практически всех показателей потока и существенно затрудняющими процесс управление потоком.
12. По степени соответствия изменения параметров потока заранее заданному ритму:
– ритмические потоки;
– неритмические потоки.
1.7. Логистическая функция
Логистическая функция – это укрупненная группа логистических операций, направленная на реализацию целей логистических
систем.
Логистическая система должна устойчиво работать при допустимых отклонениях параметров и факторов внешней среды (например, при колебаниях рыночного спроса на конечную продукцию, изменениях условий поставки или закупки материальных ресурсов,
транспортных тарифов и т.д.).
При значительных колебаниях стохастических факторов внешней среды логистическая система должна приспосабливаться к новым условиям, меняя программу функционирования, параметры и
критерии оптимизации.
1.8. Логистическая цепь и логистическая операция
Под логистической цепью понимают последовательность этапов
прохождения материального потока от источника сырья до потребления готовой продукции. Логистическая цепь состоит из звеньев.
Основные звенья логистической цепи включают:
– поставку сырья, материалов, полуфабрикатов;
– хранение сырья и продукции;
– производство товаров;
– отправка товаров со складов готовой продукции потребителю
и т.д.
Каждой операции по продвижению материального потока соответствуют определенные издержки, которые несут конкретные звенья логистической цепи, т.к. эти издержки относятся к сфере логистики, их называют логистическими издержками. К таковым относятся:
– погрузочно-разгрузочные операции;
– перевозка и экспедирование грузов;
20
– хранение груза;
– сбор, хранение и передача информации о грузе;
– расчёты с поставщиками и покупателями;
– страхование грузов;
– таможенное оформление грузов и т.д.
В промышленности логистические издержки составляют
10 – 15% суммарных затрат на производство и реализацию продукции, в торговле – 25% и выше.
1.9. Научная база логистики и методология
Научную базу логистики составляет широкий спектр дисциплин:
– математика (теория вероятностей, математическая статистика,
теория случайных процессов, теория оптимизации, теория матриц,
функциональный анализ);
– исследование операций (линейное, нелинейное, динамическое
программирование, теории игр, теория массового обслуживания,
управление запасами, методы имитационного моделирования, сетевого планирования и др.);
– техническая кибернетика (теории больших систем, прогнозирование, общая теория управления, теория автоматического регулирования, теории графов, идентификации, информации, связи, расписаний, оптимального управления и др.);
– экономическая кибернетика и экономика (методы экономического прогнозирования, маркетинг, менеджмент, стратегическое и
оперативное планирование, производственный (операционный)
менеджмент, бухгалтерский учёт, управление проектами, инвестициями, экономика и организация транспорта, складского хозяйства,
торговли и др.).
Уже это простое перечисление показывает, какой огромный научный потенциал, накопленный человечеством за предыдущие десятилетия, используется в современных логистических исследованиях
и разработках.
При анализе и синтезе логистических систем основными методологическими принципами являются:
1) системный подход, который заключается в рассмотрении всех
элементов логистической системы как взаимосвязанных и взаимодействующих для достижения единой цели управления; отличительной особенностью системного подхода является оптимизация функ21
ционирования не отдельных элементов, а всей логистической системы в целом;
2) принцип общих затрат, т.е. учёт всей совокупности издержек;
критерий минимума общих логистических затрат является одним из
основных при оптимизации логистических систем;
3) принцип глобальной оптимизации; при оптимизации проектируемой логистической системы необходимо согласование локальных
целей звеньев (элементов) системы для достижения глобального оптимума;
4) принцип логистической координации и интеграции; в процессе логистического менеджмента необходимо достижение согласованного интегрального участия всех звеньев логистических систем в
управлении потоками при реализации целевой функции;
5) принцип моделирования и информационно -компьютерной
поддержки; при анализе, проектировании и оптимизации объектов и
процессов в логистических системах широко используются различные модели: математические, экономико-математические, графические, физические, имитационные и др. Реализация логистического
менеджмента невозможна без соответствующей информационно –
компьютерной поддержки;
6) принцип разработки необходимого комплекса подсистемы,
обеспечивающих процесс логистического менеджмента: технической, экономической, правовой, кадровой, экологической подсистемы и др.;
7) принцип всеобщего управления качеством; обеспечение надежности функционирования и высокого качества работы каждого
элемента логистической системы для обеспечения общего качества и
услуг, поставляемых конечным потребителям.
22
ГЛАВА 2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
В ЛОГИСТИКЕ
ЛЕКЦИЯ 3
Критерием эффективности реализации логистических функций
является степень достижения конечной цели логистической деятельности, выраженной шестью правилами логистики:
1) груз …… нужный товар;
2) качество …… необходимое качество;
3) количество …… в необходимом количестве;
4) время …… должен быть доставлен в нужное время;
5) место …… в нужное место;
6) затраты …… с минимальными затратами.
Эти правила определяют многокритериальный характер математических моделей в логистике.
Рассмотрим, каким образом решаются такие задачи средствами
математического программирования. В многокритериальных задачах
математическая модель имеет несколько целевых функций, причём
некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие –
минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого компромиссного (субоптимального) решения задачи, в котором
значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы
приближены к экстремальным значениям.
Нахождение компромиссного решения относится к многокритериальным задачам оценки оптимальности.
В настоящее время подобные задачи математически недостаточно разработаны и на практике решаются разными методами.
2.1. Включение всех целевых функций в ограничения
Рассмотрим целевые функции
n

F
=
 1 ∑ c j x j → max,
j =1


n
 F = d x → min
∑
2
j j

j =1
при ограничениях
n
n
∑∑ a x
j =1 i =1
ij
j
≤ bi , x j ≥ 0 .
23
Решаем задачу по каждому показателю отдельно и находим
F1max , F2 min . Теперь формулируем ограничения в виде:
 n
∑ c j x j + F1max xn +1 ≥ F1max ,
 j =1
 n
∑ d j x j − F2 min xn +1 ≥ F2 min ,
 j =1
 n
∑ aij x j ≤ bi , x j ≥ 0, i = 1, m, j = 1, n,
 j =1
а новая целевая функция записывается в виде
W = xn +1 → min .
Математическая модель будет аналогичной в случае нахождения
компромиссных решений задач, имеющих три целевые функции и
более.
Пример. Фирма выпускает 2 вида изделий по цене 2 денежных
единиц (д.ед.) и 3 д.ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия 2 типа не менее 1 тыс. ед. в год.
Для производства изделий используют материалы А и В, запасы которых составляют 18 и 15 т. соответственно. Для изготовления 1 тыс.
изделий норма расхода материала А для изделий I вида составляет 3
т., а для II вида – 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В
расходуется: для изделия I вида 5 т., для изделия II вида – 3 т. Найти
оптимальное решение по производству изделий I и II видов, чтобы
прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными,
а себестоимость минимальной.
Решение. Исходные данные задачи сведем в табл. 2.1.
Т а б л и ц а 2.1
Материалы
A
B
Спрос
Цена
Себестоимость
Обозначим:
24
Норма расхода т/т. ед.
I
II
3
5
5
3
≥ 1 т. ед.
2 д. ед.
3 д. ед.
1
2
Запасы материала (т)
18
15
x1 – количество изделий 1-го вида;
x2 – количество изделий 2-го вида.
Математическая модель имеет вид:
 F1 = x1 + x2 → max,

 F2 = 2 x1 + 3 x2 → max,
 F = x + 2 x → min,
1
2
 3
при ограничениях:
3x1 + 5 x2 ≤ 18,
 +
5 x1 3 x2 ≤ 15,
(2.1)

 x2 ≥ 1,
 x1 , x2 ≥ 0.
Графически область, задаваемая неравенствами (2.1), представлена на рис. 2.1.
х2
5
3,6
1
В(1,31; 2,81)
А(2,4; 1)
0
х1
3
6
Р и с. 2.1. Область допустимых
решений
Используя пакет «Поиск решения» в Excel, найдем решение для
каждой целевой функции:
x1опт = (1, 31, 2, 81) ;
x 2опт = (1, 31, 2, 81) ;
x 3опт = ( 0; 1) ;
F1max = 4,125 ; F2 max = 11,063 ; F3max = 2 .
Математическая модель нахождения компромиссного решения:
25
W = x3 → min ,
 x1 + x2 + 4,125 x3 ≥ 4,125,

 2 x1 + 3 x2 + 11,063x3 ≥ 11,063,
 x1 + 2 x2 − 2 x3 ≤ 2,

при ограничениях: 3x1 + 5 x2 ≤ 18,
5 x + 3 x ≤ 15,
2
 1
 x2 ≥ 1,

 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Решая задачу на ЭВМ, используя пакет «Поиск решения» в
Excel, получим xкомп = (1,07;1) , F1 = 2,07 ; F2 = 5,14 ; F3 = 3,07 .
2.2. Метод последовательных уступок
(метод главного критерия)
Суть метода в том, что одну из оптимизируемых функций принимают в качестве целевой функции, а для других задают некоторые
предельные значения граничных условий. Задачу решают в нескольких вариантах, которые отличаются друг от друга предельно задаваемыми значениями.
Пример. Пусть исходные данные представлены в табл. 2.2.
Т а б л и ц а 2.2
Характеристики
Продукция
(Стоимость)
Качество
(Трудоёмкость)
Ресурсы:
Трудовые
Расход ресурсов на
ед. продукции
I
II
III
Располагаемые ресурсы
7
12
13
—
9
7
10
—
0,2
0,3
0,4
35
Материальные
0,5
0,4
0,3
42
Финансовые
0,6
0,8
1,2
100
Требуется найти планы, оптимальные по объему выпуска про26
дукции, прибыли и её качеству.
Решение. Численно оценивать качество выпускаемой продукции
трудно и не всегда возможно. Однако часть его оценивают одним
числом – трудоёмкостью, измеряемой в единицах человеко - времени.
Объём измеряется в рублях (можно валовой, реализованной продукцией).
Математическая модель имеет вид:
x1 – количество продукции 1-го вида;
x2 – количество продукции 2-го вида;
x3 – количество продукции 3-го вида.
Пусть
Об = 7 x1 + 12 x2 + 13x3 → max
– объем выпускаемой продукции,
9 x1 + 7 x2 + 10 x3 ≥ K зад ,

0, 2 x1 + 0,3x2 + 0, 4 x3 ≤ 35,

0,5 x1 + 0, 4 x2 + 0,3 x3 ≤ 42,
0,6 x + 0,8 x + 1, 2 x ≤ 100,
3
1
2

 x j ≥ 0.
Первая постановка задачи: Об = f ( K ) , K – качество выпускаемой продукции,
K = 9 x1 + 7 x2 + 10 x3 → max ,
7 x1 + 12 x2 + 13x3 ≥ Об зад ,

0, 2 x1 + 0,3x2 + 0, 4 x3 ≤ 35,

0,5 x1 + 0, 4 x2 + 0,3 x3 ≤ 42,
0,6 x + 0,8 x + 1, 2 x ≤ 100,
3
1
2

 x j ≥ 0.
Вторая постановка задачи: K = f ( Об ) .
Таким образом, рассматриваются две постановки задачи:
1) максимизация объёма при обеспечении качества не ниже заданного значения;
2) максимизация качества при обеспечении объёмов не меньше
заданного значения.
27
Результаты решения этой задачи при разных К приведены
в табл. 2.3, где П1(X1) – количество продукции I-го вида, П2(X2) – количество продукции II-го вида, П3(X3) – количество продукции III-го вида.
Анализ результатов даёт возможность сделать следующий выводы.
Т а б л и ц а 2.3
Характеристики
Кзад
К
Об
П1(X1)
П2(X2)
П3(X3)
Резерв ресурсов:
трудовых
материальных
финансовых
1
Неогран.
830
1340
0
90
20
0
0
4
Варианты
2
900
900
1284
14
62
34
0
0
1,2
3
970
970
1198
31,7
29,5
47,8
0,7
0
0
1. Повышение требований к качеству продукции приводит к
уменьшению объёма её выпуска. Действительно, в варианте 1, когда
на уровень качества не накладывается никаких требований, достигнут максимальный объём выпуска продукции Об = 13140 , при этом
качество K = 830 . По мере увеличения требований к качеству величина Об уменьшается и при K зад = 970 достигает значения 1198.
2. В зависимости от требований к качеству продукции меняется
структура плана. Так, в варианте 1 продукция вообще не выпускается, так как она даёт наименьший объём.
3. Дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурсами. При этом материалы всегда используются полностью.
В вариантах 1 и 2 увеличение выпуска продукции лимитирует
(кроме материалов) ещё и рабочая сила, т.к. её резервы равны нулю,
в то время, как финансы используются не полностью.
В варианте 3 трудовые ресурсы используются не полностью.
В этой постановке задачи максимизировался объём выпускаемой
продукции, при этом делались уступки по предельным допустимым
значениям её качества.
Возможна другая постановка задачи. Максимизируется качество
продукции при наложении ограничений на объём её выпуска. Ре28
зультаты решения
в табл. 2.4:
задачи
во
второй
постановке
приведены
Т а б л и ц а 2.4
Характеристики
Обзад
Об
K
П1(X1)
П2(X2)
П3(X3)
Резерв ресурсов:
трудовых
материальных
финансовых
4
не огран.
1108
1028
48,6
0
59
Варианты
5
1180
1108
981
35
23,8
50
1,7
0
0
6
1260
1260
930
20
50
40
0,9
0
0
0
0
0
Анализ результатов дает возможность сделать выводы.
1. При реализации требований по увеличению объёма выпуска
ухудшается качество продукции.
2. В варианте 6 достигнуто полное использование всех ресурсов.
При этом качество оказывается на самом низком уровне.
Следовательно, постановка задачи максимального использования ресурсов без дополнительных ограничений не всегда целесообразна.
Заметим, что полное использование всех видов ресурсов может
быть только в задачах малой размерности, как в данном примере.
В реальных задачах распределения ресурсов всегда есть ресурсы, которые используются не полностью. Объединив результаты,
приведенные в табл. 2.3 и 2.4, можно построить зависимость объёмов
выпуска продукции от её качества (табл. 2.5).
Т а б л и ц а 2.5
Вариант
K(F2)
Об(F1)
1
830
1340
2
900
1284
6
930
1260
3
970
1198
5
981
1180
4
1028
108
29
На основании этих данных построим зависимость Об=f(K)
(рис. 2.2).
Об
1300
1200
1100
1000
900
0
600 700 800 900 1000
K
Р и с. 2.2. График зависимости объема
от качества
С помощью графика (рис. 2.2) можно решать два вида задач.
1. По заданному качеству продукции К выявить возможный объём её выпуска Об.
2. По заданному объёму определить возможное качество К. Таким образом, за качество продукции надо платить уменьшением объёмов её выпуска. В связи с этим задача максимизации объема Об при
максимизации качества К не может быть выполнена. Возможно найти лишь компромиссное решение.
Эта задача в общем виде записывается следующим образом:
n

Об
c j x j → max,
=
∑

j =1

n

 K = ∑ s j x j ≥ K зад ,
j =1

 n
∑ aij x j ≤ bi ,
 j =1

 d j ≤ x j ≤ D j , i = 1, m, j = 1, n;
30
n

=
K
s j x j → max,
∑

j =1

n

Об = ∑ s j x j ≥ Об зад ,
j =1

 n
∑ aij x j ≤ bi ,
 j =1

 d j ≤ x j ≤ D j , i = 1, m, j = 1, n.
В результате решения должны быть получены зависимости:
в первом случае Об = f ( K зад ) , во втором – K = f ( Об ) .
Таким образом, применяя метод последовательных уступок,
сложно установить зависимость объёма выпуска продукции от качества и на основании этой зависимости выбирать связанные между
собой оптимальные значения параметров Об и К. Следовательно,
реализовать оптимальное решение можно лишь при строгом соблюдении зависимости между этими параметрами. А такой зависимостью является получаемая в результате применения метода последовательных уступок графическая зависимость, представленная на
рис. 2.2. Не вызывает сомнения, что этот метод можно обобщить на
случай большого числа параметров. Если стоит задача максимизации
по к параметрам, то один из них следует принять в качестве целевой
функции, а в остальные ввести ограничения.
ЛЕКЦИЯ 4
2.3. Метод экспертных оценок.
Непосредственное назначение коэффициентов веса
Этот метод основан на построении единого (интегрального) показателя эффективности посредством суммирования произведения
имеющихся показателей на соответствующие весовые коэффициенты
(коэффициенты важности показателей).
Одним из распространенных методов определения степени относительной важности является назначение коэффициентов веса, которые, как правило, находят с помощью методов экспертных оценок.
Назначение коэффициентов веса с помощью экспертизы представляет собой, по существу, обычное обсуждение, с той лишь разницей,
что свое мнение эксперты выражают не словами, а цифрами. Методы
31
экспертных оценок достаточно широко распространены в спорте,
например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать
неприемлемым коллективное мнение специалистов при принятии
оптимальных решений. Методов определения экспертных оценок
достаточно много. Рассмотрим метод непосредственного назначение
коэффициентов веса. Согласно этого метода каждый i-тый эксперт
для каждого к-того параметра должен назначать коэффициент α ik
таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных
одним экспертом для различных параметров, равнялась единице:
n
∑α
k =1
ik
= 1, i = 1, n ,
где n – число экспертов.
Результаты экспертизы сводятся в табл.2.6.
Т а б л и ц а 2.6
Эксперт
1
…
i
…
n
αk
1
a11
Параметры
…
k
a1k
ai1
aik
aiK
1
an1
a1
ank
ak
anK
aK
1
…
K
a1K
∑
1
В качестве коэффициента веса к-го параметра принимают среднее значение по результатам экспертизы всех экспертов:
1 n
α k = ∑ α ik = 1 .
n i =1
Например, нас интересует сравнительная важность двух параметров: объёма выпуска продукции и её качества. Пусть для экспертизы пригласили 8 человек. Результат экспертизы приведён
в табл. 2.7.
Здесь значения экспертных оценок α1 = 0,75 , α 2 = 0, 25 .
Если k ≥ 3 , то, как показывает опыт, удовлетворение требования
n
∑α
k =1
k
= 1 затруднено. Для того чтобы избежать выполнения этого
требования, можно определить коэффициенты другими методами.
32
Т а б л и ц а 2.7
n
Эксперт
Об
∑α
К
k =1
1
2
3
4
5
6
7
8
ak
0,8
0,9
0,7
0,7
0,6
0,8
0,7
0,8
0,75
0,2
0,1
0,3
0,3
0,4
0,2
0,3
0,2
0,25
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.4. Оценки точности параметров в баллах
В этом случае каждый i-тый эксперт назначает каждому к-му
параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный параметр оценивают более высоким баллом, при этом различным параметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экспертизы заполняется табл. 2.8.
Т а б л и ц а 2.8
Эксперт
1
…
i
…
n
1
β11
Параметры
… k …
β1k
K
β1K
βi1
βik
βiK
βi
βn1
βnk
βnK
βn
∑
β1
Для каждого эксперта определяется сумма:
n
∑β
k =1
ik
= βi
и находятся значения коэффициентов веса:
β
α ik = ik .
βi
Эти данные представляют строку для i-того эксперта; аналогично
определяются значения весовых коэффициентов для остальных экс33
пертов.
Здесь данные экспертизы оформляются в виде табл. 2.9 и 2.10.
Т а б л и ц а 2.9
Параметр
1 2 3
6 5 9
10 8 4
5 8 9
Эксперт
1
2
3
n
4
7
9
3
∑β
k =1
k
27
31
25
Т а б л и ц а 2.10
Эксперт
1
2
3
аk
1
0,22
0,32
0,2
0,25
Параметр
2
3
0,19 0,33
0,25 0,13
0,32 0,36
0,25 0,27
αk =
n
4
0,26
0,3
0,12
0,23
∑α
k =1
k
1
1
1
1
1 n
∑αik .
n k =1
2.5. Статистический метод экспертных оценок
В результате опроса экспертов принимают среднее значение
экспертных оценок. Такой подход не учитывает разброса оценок, даваемых каждым экспертом в отдельности, а разброс является показателем того, что-либо вопрос поставлен недостаточно однозначно,
либо признаком некомпетентности экспертов, либо следствием и того и другого. Вместе с тем, неучёт разброса экспертных оценок может привести к неправильным выводам.
Для исключения этого недостатка необходимо исходить из того,
что оценка, данная отдельным экспертом, представляет собой реализацию случайной величины и поэтому обработка результатов экспертизы должна производиться по правилам действий со случайными
величинами. Проведение экспертизы рассматривается на примере
определения коэффициентов веса α i параметров xi . Определение
34
экспертных оценок ведётся следующим образом:
1) каждый эксперт должен независимо от других выразить количественно важность параметров x1 , x2 ,..., xk , придав коэффициентам
веса α1 , α 2 ,..., α k соответствующие положительные значения таким
n
образом, чтобы
∑α
k =1
ik
= 1 , i – число экспертов, к – число параметров;
2) приведенные результаты эксперимента свести в таблицу;
3) по результатам произведённой экспертизы для каждого коэффициента веса найти оценку математического ожидания:
n
 [d ] = 1 α ,
M
∑
k
ik
n i =1
затем определить отклонение в оценке каждого эксперта от оценки
математического ожидания:
 [α ]
∆ ik = α ik − M
ik
и составить новую табл. 2.11;
Т а б л и ц а 2.11
Эксперт
1
2
…
i
…
n
Параметры
…
∆i2
∆12
∆22
αi1
α11
α21
∆i1
∆11
∆21
αi2
α12
α22
αi1
∆i1
αi2
∆i2
αn1
∆n1
αn2
∆n2
αik
α1k
α2k
∆ik
∆1k
∆2k
…
αik
∆ik
…
αnk
∆nk
4) обсудить результаты проведенной экспертизы, предоставить
слово для обоснования своей оценки в первую очередь тем экспертам, у которых отклонения наибольшие; с помощью вопросов и общей дискуссии добиться устранения возможного недопонимания того, что имеется в виду под оцениваемыми параметрами;
5) провести повторную экспертизу, результаты которой свести в
таблицу экспертных оценок, но без столбцов со значением ∆ik; затем
по данным таблицы определяются оценки математического ожидания и оценки дисперсий:
35
(
)
n
 [α ] = 1
 [α ] 2 ,
D
α ik − M
∑
k
ik
n − 1 i =1
которые сводятся в табл. 2.12:
Т а б л и ц а 2.12
α1
M[α1]
D[α1]
αk
M[αk]
D[αk]
…
…
…
αK
M[αK]
D[αK]
…
…
…
При обработке окончательных результатов экспертизы для характеристики степени согласия мнения исследователей о ранжировке
коэффициентов веса вычисляют коэффициент конкордации:
2
 n 
1

12∑  ∑  α ik − k ( k + 1)  
2

j =1  j =1 
, 0 ≤W ≤1,
W=
2
3
n (k − k )
k
k – число рассматриваемых параметров, n – число экспертов.
2.6. Метод бинарных (парных) соотношений
Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения,
их можно сравнивать попарно, т.е. методом попарных соотношений.
Например, пусть задано 5 параметров x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Каждый iтый эксперт назначает парные соотношения:
1, если k − тый параметр важнее j − того,
γ kj = 
0, в противном случае
и для i- того эксперта составляется табл. 2.13, причем
5
5
∑∑ γ
j =1 k =1
kj
= 10 .
Определяем экспертную оценку
5
αk =
∑γ
k =1
5
5
kj
∑∑ γ
k =1 j =1
kj
для i-того эксперта. В результате получим α1 = 0,3 ; α 2 = 0, 2 ; α 3 = 0 ;
36
α 4 = 0,3 ; α 5 = 0,3 .
Т а б л и ц а 2.13
Сравниваемые
параметры
x1
x2
x3
x4
x5
5
x1
x2
x3
x4
x5
∑r
—
1
0
0
0
0
—
0
1
1
1
1
—
0
1
1
0
0
—
0
1
0
0
1
—
3
2
0
3
2
j =1
kj
Из последней строки нижней таблицы видно, что, несмотря на
отсутствие, казалось бы, какой-либо закономерности в оценках, данных экспертами, все параметры имеют примерно одинаковую относительную важность.
Приведенные методы определения коэффициентов веса дают
возможность получить достаточно достоверные исходные данные,
позволяющие оценить важность каждого оптимизируемого параметра.
2.7. Пример решения задачи методом экспертных оценок
Вернёмся к задаче многопараметрической оптимизации, которая
представляет собой попытку найти некоторый компромисс между
теми параметрами (целевые функции), по которым требуется оптимизировать решение. Возможной реализацией такого компромиссного подхода является формирование специальной функции. При этом
компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим
требованиям: оптимизируемые параметры (целевые функции),
имеющие, как правило, различную размерность, должны быть приведены к безразмерной форме, максимизируемые параметры входят
со знаком плюс, минимизируемые – минус:
K
x
F = ∑ α k k → max .
xkn
k =1
В этой целевой функции оптимизацию производят по K параметрам. Безразмерность параметров обеспечиваем введением нормирующей величины xkn , а степень компромисса назначается с помощью коэффициентов α k .
37
Нормирующая величина может задаваться различными способами. В одном случае значение нормирующей величины xkn принимается из какого-нибудь утверждающего документа, например, технического задания. Если такой утвержденной величины нет, то можно решить задачу оптимизации при максимизации этой величины,
т.е. F = Fmax , и полученное в результате оптимизации значение Fk*
принять за нормирующее: Fk* = Fкн . Коэффициенты веса назначаются
n
при условии
∑α
k =1
k
= 1 с помощью экспертных оценок.
Для рассмотренного выше примера целевая функция записывается следующим образом:
K
Об
F = α1
+ α2
→ max .
Об н
Kн
В качестве нормирующих значений Об н и K н принимаем их
максимальные значения, полученные в результате оптимизации отдельно по каждому параметру: Об н = 1340 , K н = 1028 . Математическая модель задачи имеет вид:
Об
K
F = α1
+ α2
→ max ;
1340
1028
Об = 7 x1 + 12 x2 + 13 x3 ;
 K = 9 x + 7 x + 10 x ;
1
2
3

0, 2 x1 + 0,3x2 + 0, 4 x3 ≤ 35;
0,5 x + 0, 4 x + 0,3 x ≤ 42;
1
2
3

0,6 x1 + 0,8 x2 + 1, 2 x3 ≤ 100;

 x1 ≥ 0, j = 1,3.
Результаты решения этой задачи при различных значениях коэффициентов веса α1 и α 2 приведены в табл. 2.14.
Анализ табличных данных даёт основание сделать нижеследующие выводы.
1. С точки зрения объёма выпускаемой продукции наиболее выгодным является 1 вариант. По мере снижения коэффициента веса α1
её выпуск уменьшается. Самой невыгодной является продукция П1,
которая при α1 вообще не производится.
38
2. Наиболее выгодной с позиции качества является продукция
ПЗ. Наиболее невыгодной – П2, которая при α 2 = 1 не выпускается.
3. Для обеспечения дальнейшего роста объёма выпуска продукции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для
повышения качества продукции – материальные и финансовые.
Т а б л и ц а 2.14
Характеристики
α1
α2
F
Об(F1)
К(F2)
П1(X1)
П2(X2)
П3(X3)
Резерв ресурсов:
трудовых
материальных
финансовых
Варианты
1
2
3
1
0,5
0
0
0,5
1
100 94,4 100
1340 1260 1108
830
930 1028
0
20
49
90
50
0
20
40
59
0
0
4
0
0
0
1,7
0
0
Данные расчёты показывают, как влияют назначенные коэффициенты веса на результат. Таким образом, зная желаемый компромисс, следует принять коэффициенты веса, которые определяют полученное решение.
39
ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЛОГИСТИКА
ЛЕКЦИЯ 5
3.1. Общие понятия
Материальный поток на своём пути от первичного источника
сырья до конечного потребителя проходит ряд производственных
звеньев. Управление материальным потоком на этом этапе имеет
свою специфику и носит название производственной логистики.
Целью производственной логистики является оптимизация материальных потоков внутри предприятий. Участников логистического процесса в рамках производственной логистики связывают внутрипроизводственные отношения.
К производственным логистическим системам можно отнести:
– промышленное предприятие;
– оптовое предприятие;
– узловую грузовую станцию;
– узловой морской порт.
Производственные логистические системы можно рассматривать на макро- и микроуровнях. В первом случае производственные
логистические системы выступают в качестве элементов макрологистических систем. Они задают ритм работы этих систем, являются
источником материальных потоков.
На микроуровне производственные логистические системы
представляют собой ряд подсистем, находящихся в отношениях и
связях друг с другом и образующих определенную целостность: закупка, склады, запасы, производство, транспорт, информация, сбыт,
кадры. Эти подсистемы обеспечивают вхождение материального потока в систему, прохождение внутри неё и выход из системы.
В производственной логистике основной задачей является упорядочение материальных потоков, которое позволяет сократить:
1) простои станочного оборудования;
2) время межоперационного хранения деталей;
3) затраты труда на изготовление деталей.
В результате снижаются общая длительность производственного
периода и сумма замороженных на это время средств. Например, по
опубликованным данным, в средней автомобильной фирме США
согласно статистике запасы деталей, находящихся в изготовлении,
составляет примерно 500 долл. в расчете на один выпускаемый автомобиль, а в аналогичной японской фирме только 77 долл. за счет ис40
пользования более прогрессивной системы управления «Канбан».
При математическом моделировании производственного процесса приходится решать большое число задач логистического характера, например:
– оптимизация состава станочного парка для каждого из производственных участников;
– оптимизация графика запуска деталей в производство;
– расчёт длительности производственного цикла при обработке
партии деталей и его сокращение за счет интенсивности;
– оптимизация размера партии деталей;
–оптимизации качества продукции;
– выполнение доставки «точно в срок».
3.2. Толкающие и тянущие системы управления
материальными потоками
Управление материальными потоками в рамках производственных логистических систем может осуществляться двумя различными
способами.
Первый вариант носит название «толкающая система» и представляет собой систему организации производства, в которой предметы труда, поступающие на производственный участок, непосредственно этим участком у предыдущего технологического звена не
заказываются. Материальный поток «выталкивается» получателю по
команде, поступающей на предыдущее звено из центральной системы управления производством (см. рис. 3.1).
Покупатель
заказ
товара
Система управления, формирующая задание для всех отделов и цехов
Склад
сырья
Цех №1
…
Цех № N
Цех
сборки
Р и с. 3.1
41
Толкающие модели управления потоками характерны для традиционных методов организации производства. Возможность их
применения для логистической организации производства появилась
в связи с массовым распространением вычислительной техники. Эти
системы, первые разработки которых относятся к 1960 гг., позволили
согласовывать и оперативно корректировать планы и действия всех
подразделений предприятия – снабженческих, производственных и
сбытовых – с учетом постоянных изменений в реальном масштабе
времени. Результаты внедрения таких систем можно образно охарактеризовать фразой: «Теперь мы можем разработать план производства, на который нам требовались недели, за несколько часов».
На практике реализованы различные варианты толкающих систем, известные под названием МРП (МРП-1, МРП-2). МРП – это
планирование потребности в материалах. Эти системы характеризуются высоким уровнем оптимизации управления, позволяющим реализовывать следующие основные функции:
– обеспечивать текущее регулирование и контроль производственных запасов;
– в реальном масштабе времени согласовывать и оперативно
корректировать действия различных служб предприятия — снабженческих, производственных, сбытовых.
В современных вариантах систем МРП решаются также различные задачи прогнозирования. В качестве метода решения задач широко применяются имитационное моделирование и другие методы
исследования операций.
Второй вариант организации логистических процессов на производстве носит название «тянущая система» и представляет собой
систему организации производства, в которой детали и полуфабрикаты подаются на последующую технологическую операцию с предыдущей по мере необходимости (см. рис. 3.2). Здесь центральная
система управления не вмешивается в обмен материальными потоками между различными участками предприятия, не устанавливает
для них текущих производственных заданий. Производственная программа отдельного технологического звена определяется размером
заказа последующего звена. Центральная система управления ставит
задачу лишь перед конечным звеном производственной технологической цепи.
На практике к тянущим внутрипроизводственным логистическим системам относят систему «Канбан» (в переводе с японского –
42
карточка), разработанную и реализованную фирмой «Тойота» (Япония). Система «Канбан» не требует тотальной компьютеризации
производства, однако она предлагает высокую дисциплину поставок,
а также высокую ответственность персонала, так как централизованное регулирование внутрипроизводственного логистического процесса ограничено. Система «Канбан» позволяет существенно снизить
производственные запасы, ускорить оборачиваемость оборотных
средств, улучшить качество выпускаемой продукции.
заказ товара
Система управления
материал
Склад
сырья
детали
заготовка
Цех №1
заказ на материал
Покупатель
Цех № N
заказ на заготовку
готовые
изделия
Цех
сборки
заказ на детали
материальный поток
информационный поток
Р и с. 3.2
Тянущая система имеет некоторые преимущества перед толкающей, так как персонал отдельного цеха в состоянии учесть гораздо больше специфических факторов, определяющих размер оптимального заказа, чем это могла бы сделать центральная система
управления.
К сильным сторонам МРП относятся:
1) уменьшение объёмов запасов, что даёт экономию денег, площадей, складских работ;
2) повышение скорости оборачиваемости запасов;
3) повышение качества обслуживания потребителей, поскольку
нет задержек, вызываемых нехваткой материала.
43
Таким образом, МРП улучшает общие показатели деятельности
организации:
– коэффициент использования оборудования;
– производительность;
– качество обслуживания;
– скорость реагирования на изменившиеся рыночные условия.
К недостаткам МРП можно отнести:
1) большой объём информации и необходимых вычислений, наличие сложных систем;
2) отсутствие резерва для покрытия ошибок, то есть не предусмотрено страхование запаса;
3) негибкость.
3.3. Качественная и количественная гибкость
производственных процессов
Производство в условиях рынка может укрепить свои позиции
лишь в том случае, если оно способно быстро реагировать на изменение спроса. До 70-х гг. XX века предприятия решали эту задачу за
счёт наличия на складах запасов готовой продукции. В настоящее
время логистика предлагает адаптироваться к изменяющимся условиям за счёт запаса производственных мощностей.
Запас производственной мощности возникает при наличии качественной и количественной гибкости производственных систем. Качественная гибкость обеспечивается за счёт наличия универсального
обслуживающего персонала и гибкого производства.
Количественная гибкость может обеспечиваться за счёт резерва
рабочей силы и резерва оборудования. В условиях конкуренции поступление заказов от потребителей является непредсказуемым и может изменяться, т.е. возрастать и уменьшаться и приобретать новые
качества. Удовлетворять такие колебания потребительского спроса
только за счёт наличия товарных запасов невозможно.
Основная задача логистики на производстве – это организация
движения материальных потоков между производственными единицами с тем, чтобы минимизировать производственные издержки.
Однако существуют такие виды межоперационных запасов, которые
не могут быть сведены к нулю, так как они обуславливаются самой
сущностью технологического процесса. В этом случае речь должна
44
идти об их наилучшем использовании. Идеальным решением в этом
случае является система JIT (just in time) – «точно в срок».
JIT была внедрена как способ сокращения запасов, что позволило некоторым организациям сократить запасы на 90 %. Кроме того,
JIT дала ряд других выгод, таких как:
– сокращение площади, на которой выполняются работы (до
40%);
– уменьшение затрат на снабжение (до 15 %);
– снижение инвестиций в запасы и т.д.
Концепция «точно в срок» реализуют и система МРП, и система
«Канбан».
45
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ 6
Сетевые методы планирования и управления относятся к классу
процедур, которые широко используются для решения задач упорядочения, координации и оптимального управления сложными комплексами работ. Эти методы стали возможными лишь при использовании современной электронно-вычислительной техники с применением экономико-математических методов.
Сетевые методы представляют комплекс работ, направленных на
достижение намеченной цели, реализуются в виде сетевого графика,
отображающего взаимосвязь между отдельными работами, параметры и последовательность выполнения работ.
4.1. Элементы сетевого графика
Сетевой график представляет собой ориентированный ацикличный граф, в котором дуги соответствуют работам комплекса, а вершины событиям.
Графом G ( x, u ) называется объект, представленный множеством вершин x и множеством связей между вершинами u . Один из
способов представления графа – графический (рис. 4.1).
Вершины графа обозначаются
прямоугольниками или кружками,
3
1
связи между ними – стрелками. Направленную связь называют дугой, а
граф, имеющий только направленные
связи, называют ориентированным.
2
4
Если направление связи не играет роли, вершины соединяют ненаР и с. 4.1
правленными связями – ребрами.
Граф, имеющий только ненаправленные связи, называют неориентированным.
Путём в ориентированном графе G называют такую последовательность дуг S = ( u1 , u2 ,..., uk ) , в которой конец каждой предыдущей
дуги совпадает с началом следующей.
Иногда каждой дуге ui приписывают некоторое число l ( ui ) , на46
зываемое длиной дуги (или весом дуги). Обычно длины дуги показывают над дугой (рис. 4.2).
Петлей или циклом называют таl (U i )
кую
связь, которая начинается и заВ
А
канчивается в одной и той же вершине
(рис. 4.3).
Р и с. 4.2
При планировании производственных процессов часто встречаются задачи поиска так называемого
критического пути в сетевом графике. Сетевой график представляет
собой ориентированный граф, в котором, как правило, одна исходная
вершина (обычно подразумевающая начало производственного процесса) и одна конечная вершина (её используют для обозначения
окончания производственного процесса).
Сетевой график обладает
U4
той
особенностью,
что все пуU1
ти
в
нем
возможны
только в
2
1
одном направлении, а именно,
от начальной вершины к коU2
U3
нечной. Каждая вершина соот3
ветствует некоторому этапу
производственного процесса.
Каждая дуга такого ориентиР и с. 4.3
рованного графа показывает
порядок выполнения этапов. Вес дуги показывает время, требуемое
для перехода от одного этапа работ (законченного результата) к другому этапу (законченному результату). В сетевом графике также возможны дуги с нулевым весом. Они показывают лишь, что одну
работу нельзя выполнить до окончания другой.
В сетевых графиках представляет интерес так называемый критический путь.
Он показывает общее время выполнения всего проекта и наиболее важные работы, задержка выполнения которых приводит к срыву
срока окончания проекта.
Сетевой график выполняется с соблюдением определённых правил.
В частности, он должен иметь только одно исходное состояние
(источник сети) и одно конечное (сток сети) – окончание работы
комплекса. Прежде чем строить сети, надо составить подробный
список работ комплекса, в отношении каждой работы выяснить её
47
технологические связи с другими работами, место работы в комплексе, конечные результаты (события) каждой работы.
В сетевом графике дугами изображается работа.
Работа – это определенный процесс, который может иметь различное содержание. Прежде всего , это реальные хозяйственные и
технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов
для их осуществления. Но под работой подразумеваются и процессы,
требующие только затрат времени. Например, сушка материалов,
процесс твердения бетона требует не материальных затрат и трудовых ресурсов, а определенного времени.
Наконец, работами называют и процессы, не требующие затрат
ни времени, ни ресурсов. Это так называемые зависимости или фиктивные работы. Они показывают, что какое-либо событие не может
совершиться раньше какого-либо другого. На сетевых графиках их
изображают пунктирными линиями
Событие – это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких работ. Оно фиксирует момент времени, когда выполнены все работы, входящие в это событие, и могут
быть начаты все непосредственно следующие работы. На сетевых
графиках события обозначаются кружками либо другими геометрическими фигурами.
Различаются следующие терминологические события сетевого
графика:
– исходное событие – результат, в отношении которого условно
предполагается, что он не имеет предшествующих работ;
– завершающее событие – результат, в отношении которого
предполагают, что он является конечной целью выполнения всего
комплекса работ;
– начальное событие – событие, непосредственно предшествующее данной конкретной работе;
– конечное событие – событие, непосредственно следующее за
данной работой.
Путь сетевого графика – любая последовательность работ, связывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие
исходное и завершающее события, считаются полными, а все другие
пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.
Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, назы48
вается критическим путем.
Работы и события, лежащие на критическом пути, называются
соответственно критическими работами и критическими событиями.
Критический путь – это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса.
Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ,
отображенная сетевым графиком, равна продолжительности критического пути. На графике критический путь выделяется жирной линией.
4.2. Временные параметры сетевого графика
С каждым событием i сетевого графика ассоциируется два срока наступления события: ранний срок наступления события t p ( i ) и
поздний – tп ( i ) .
Если принимать i = 1 , т.е. считать, что номер исходного события
равен 1, то t p (1) = 0 . Обозначим продолжительность выполнения работы ( i, j ) сетевого графика t ( i, j ) .
Тогда ранние сроки наступления событий могут быть определены по формуле:
t p ( j ) = max t p ( i ) + t ( i, j ) 
(4.1)
для всех работ ( i, j ) . Для того, чтобы формализовать процесс вычислений, следует пронумеровать события сетевого графика таким образом, чтобы для всех работ ( i, j ) сетевого графика выполнялось условие i < j . Это может быть достигнуто при использовании следующих
правил нумерации:
1) исходному событию присвоить номер 1;
2) пометить все работы, выходящие из пронумерованных событий;
3) пронумеровать события, в которые входят только помеченные
работы.
Пункты 2 и 3 повторять до тех пор, пока не будут пронумерованы все события.
Соблюдение приведенных правил при нумерации событий даёт
возможность определить по формуле (4.1) значения ранних сроков
наступления событий в порядке возрастания их номеров, начиная с
49
первого.
Поздний срок наступления события i определяется по формуле:
tп ( i ) = min tп ( j ) − t ( i, j ) 
(4.2)
для всех работ ( i, j ) . Определение поздних сроков наступления событий начинается с i = n , где n – номер завершающего события сетевого графика. При этом принимаем tп ( n ) = t p ( n ) , а поздние сроки
определяются по формуле (4.2) в порядке убывания номеров событий.
После того, как найдены ранние и поздние сроки наступления
событий сетевого графика, можно определить критические работы,
образующие один или несколько критических путей. Работа является
критической, если временные параметры её начального и конечного
события удовлетворяют следующим трем условиям:
t p ( i ) = tп ( i ) ,
t p ( j ) = tп ( j ) ,
(4.3)
t p ( j ) − t p ( i ) = tп ( j ) − tп ( i ) = t ( i , j ) .
Работа сетевого графика характеризуется следующими временными параметрами:
– ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения её
начального события:
tрн ( i, j ) = tр ( i ) ;
(4.4)
– поздний срок окончания работы равен позднему сроку свершения её конечного события:
tпн ( i, j ) = tп ( j ) ;
(4.5)
– поздний срок начала работы равен позднему сроку ее окончания минус ее продолжительность:
tпн ( i, j ) = tп ( j ) − t ( i, j ) ;
(4.6)
– ранний срок окончания работы равен раннему сроку начала
работы плюс ее продолжительность:
tро ( i, j ) = tр ( i ) + t ( i, j ) .
(4.7)
Полный резерв времени – это максимально возможный запас
времени для выполнения данной работы сверх продолжительности
самой работы при условии, что в результате такой задержки конечное для данной работы событие наступит не позднее, чем в свой
50
поздний срок:
Rп ( i, j ) = tп ( j ) − tр ( i ) − t ( i, j ) .
(4.8)
Свободный резерв времени – это запас времени, которым можно
располагать при выполнении данной работы в предположении, что
предшествующее и последующее события этой работы наступают в
свои самые ранние сроки:
Rc ( i, j ) = tр ( j ) − tр ( i ) − t ( i, j ) .
(4.9)
Рассмотрим сетевую модель. Пусть какой-то комплекс работ
реализуется графом. Продолжительности выполнения каждой работы
даны у стрелок. Определим временные параметры событий и найдем
критический путь сетевого графика (рис. 4.4). Здесь аi – необходимые ресурсы.
Р и с. 4.4. Сетевой график
Все необходимые расчеты выполним непосредственно, пользуясь рисунком. Кружки, соответствующие событиям, разделим на 4
сегмента, в верхнем будем писать номер i события, в левом – tр ( i ) ,
в правом – tп ( i ) , а в нижнем – резерв времени события:
R ( i ) = tп ( i ) − t р ( i ) .
(4.10)
Решение начинаем с нумерации событий в соответствии с правилами, приведёнными выше. Далее определяем ранние сроки наступления события, начиная с исходного, для которого полагаем
tр (1) = 0 .
Переходим к событию 2. В него входит только одна работа
51
(1, 2), поэтому:
tр ( 2 ) = tр (1) + t (1, 2 ) = 7 .
В событие 3 входят 2 работы, поэтому:
tр ( 3) = max tр ( i ) + t ( i,3)  = max ( 0 + 2 ) , ( 7 + 4 )  = 11 ,
i =1,2
tр ( 4 ) = tр ( 3) + t ( 3, 4 ) = 11 + 3 = 14 ,
tр ( 5 ) = max tр ( i ) + t ( i,5 )  = max ( 7 + 8 ) , (11 + 1) , (14 + 0 )  = 15 ,
i = 2,3,4
tр ( 6 ) = max tр ( i ) + t ( i,6 )  = max (14 + 2 ) , (15 + 5 )  = 20 .
i = 4,5
Определяем поздние сроки наступления событий, начиная с завершающего.
Полагаем
tп ( 6 ) = tр ( 6 ) = 20 ,
tп ( 5 ) = tп ( 6 ) + t ( 5,6 ) = 15 ,
tп ( 4 ) = min tп ( j ) − t ( 4, j )  = min (15 − 0 ) , ( 20 − 2 )  = 15 ,
i =5,6
tп ( 3) = min tп ( j ) − t ( 3, j )  = min (15 − 3) , (15 − 1)  = 12 ,
i = 4,5
tп ( 2 ) = min tп ( j ) − t ( 2, j )  = min (12 − 4 ) , (15 − 8 )  = 7 ,
i = 3,5
tп (1) = min tп ( j ) − t (1, j )  = min ( 7 − 7 ) , (15 − 2 )  = 0 .
i = 2,3
Условиям (4.З) соответствуют работы (1,2), (2,5) и (5,6). Эти работы являются критическими и образуют критический путь сетевого
графика, соединяющий исходное событие с завершающим и определяющий продолжительность работ всего комплекса.
Сетевой график дает четкое представление о взаимосвязи работ
и порядке их следования, однако он неудобен для определения состава работ, который должен выполняться в каждый момент времени. Поэтому рекомендуется после расчета временных параметров
сетевого графика построить линейный график выполнения работ,
каждая из которых изображается параллельным оси времени отрезком. Длина отрезка равна продолжительности выполнения работы.
Время, в пределах которого могут выполняться некритические работы, показывается пунктиром. Линейный график выполнения работ
имеет вид, представленный на рис. 4.5.
52
работа
(5,6)
(4,6)
(3,5)
(3,4)
(2,5)
(2,3)
(1,3)
(1,2)
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
Р и с. 4.5
t
Сетевые методы анализа и управления позволяют упорядочивать
работы комплекса таким образом, что в конечном счете комплекс
будет завершен при условии соблюдения данной последовательности
выполнения работ. Кроме того, для выполнения комплекса работ необходимы ресурсы, наличие которых гарантирует физическую реальность комплекса. Ресурсы, как правило, ограничены, вследствие
чего на последовательность выполнения работ накладываются дополнительные ограничения, связанные с наличием свободных ресурсов в данный момент времени.
Определение временных параметров и работ, нахождение критического пути сетевого графика – это только часть планирования,
следующим этапом является проверка физической реализуемости
проекта.
Отправной точкой этого этапа является определение общей потребности в ресурсах для каждого единичного интервала времени.
Для решения этой задачи лучше всего воспользоваться, линейным
графиком выполнения работ с указанием потребности каждой работы в необходимых ресурсах.
Процедура распределения ресурсов заключается в планировании
начала выполнения работы в соответствии с условиями предшествования и наличием свободных ресурсов.
53
4.3. Распределение ограниченных ресурсов
при построении сетевого графика. Последовательный метод
При построении сетевого графика необходимо учитывать наличие ресурсов, т.к. одновременное выполнение некоторых операций
из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и
другими видами ресурсов иногда оказывается невозможным. Именно
в этом отношении представляют ценность полные резервы времени
некритических операций. Сдвигая некритическую операцию в том
или ином направлении, но в пределах её полного резерва времени,
можно добиться снижения максимальной потребности в ресурсах.
Однако даже при отсутствии ограничений на ресурсы полные резервы времени обычно используются для выравнивания потребностей в
ресурсах на протяжении всего срока реализации программы работ.
Это означает, что работы удастся выполнить более или менее постоянным составом рабочей силы.
Процедура распределения ресурсов заключается в планировании
начала выполнения работ, в соответствии с условиями предшествования и наличием свободных ресурсов. Для реализации этой процедуры разработано несколько методов. Одним из основных является
последовательный метод.
Суть метода заключается в том, что ресурсы, выделенные для
выполнения работы, закрепляются за этой работой до её окончания.
Ограниченность ресурсов приводит к тому, что не все работы, начало которых возможно, могут быть начаты одновременно. В подобных ситуациях необходимы критерии, позволяющие отдать предпочтение той или иной работе. Соображения, определяющие принимаемые решения, могут быть сформулированы как следующее правила
предпочтения:
1) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наименьший полный резерв времени (при прочих равных условиях);
2) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наибольшее число ресурсо-дней (при прочих равных условиях);
3) направить ресурсы на выполнение работы, использующей
наибольшее количество ресурсов (при прочих равных условиях);
4) направить ресурсы на выполнение работы с меньшим номером.
При этом необходим контроль времени, в течение которого потребление ресурсов соответствует их плановому распределению. Так
54
как ресурсы закрепляются за работой на весь срок её выполнения, то
изменение количества свободных ресурсов будет происходить в дискретные моменты времени, соответствующие окончанию той или
иной работы.
Для фиксации таких моментов введём понятие текущего времени. В начальный момент значение текущего времени принимается
равным нулю. Затем текущее время становится равным времени
окончания первой работы, второй и т.д.
В связи с этим может быть предложена следующая последовательность распределения ресурсов. Формируется список работ, которые могут быть начаты по условиям предшествования. В соответствии с правилами предпочтение для этих работ определяются приоритеты, указывающие, в какой последовательности распределяются
свободные ресурсы. Работы, для которых были выделены ресурсы,
фиксируются как выполняемые, и среди них находится та, которая
будет закончена раньше всех остальных. Время окончания этой работы определяет новое значение текущего времени, а свободные ресурсы пополняются за счет высвободившихся ресурсов. При каждом
измерении текущего времени производится корректировка временных параметров работ, после чего множество работ, которые могут
быть начаты, пополняется за счёт работ, ранние сроки которых равны текущему времени, а из множества выполняемых работ исключается выполненная. Описанная процедура циклически повторяется до
тех пор, пока все работы не будут выполнены. Время окончания последней работы определяет время выполнения всего комплекса.
Рассмотрим, например, сетевой график, для которого был найден критический путь 1–2–5–6 (рис. 4.6).
Р и с. 4.6. Критический путь
55
Задача распределения ресурсов может быть сформулирована
двояко:
1) определить время выполнения всего комплекса работ при заданном количестве ресурсов;
2) определить необходимое количество ресурсов для выполнения комплекса работ в заданные сроки.
В любой постановке рассматриваемой задачи решение должно
начинаться с определения разумного начального приближения.
Поступим следующим образом. Определим ресурсо-дни для каждой работы и просуммируем. Найденную сумму разделим на длительность выполнения комплекса, в результате чего получим среднее
число единиц ресурса, необходимое ежедневно. При этом следует
учитывать два момента:
– во-первых, полученное число должно быть целым, поскольку
ресурсы (люди, машины) измеряются, как правило, только целыми
числами;
– во-вторых, среднее число требуемых ресурсов должно быть не
меньше, чем потребность в них любой работы, иначе некоторые работы никогда не смогут быть выполнены.
В рассматриваемом примере минимальное число ресурсов (людей), необходимых для выполнения комплекса работ, в первом приближении равно 111/20=5,5 ~ 6 (рис. 4.7). Этого достаточно для выполнения любой работы комплекса.
Полный резерв времени показывает, насколько может быть увеличена сумма продолжительности всех работ.
Свободный резерв времени – это максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы при условии, что все события наступают в ранние сроки. Как
следует из табл. 4.1 для выполнения всего комплекса работ при уровне ресурсов, равном 6, требуется 30 дней, что в полтора раза
превышает срок, определяемый только технологическими условиями. На диаграмме (рис. 4.7) показано ежедневное распределение ресурсов.
Очевидно, что оно крайне неравномерно. Если требуется сократить длительность выполнения комплекса работ, необходимо увеличивать уровень используемых ресурсов. Решение с использованием
семи единиц ресурса дает длительность выполнения комплекса 25
дней (табл. 4.2, рис. 4.8). Для достижения минимально возможной
длительности выполнения, равной 20 дням, потребуется 10 единиц
ресурсов (табл. 4.3, рис. 4.9).
56
Т а б л и ц а 4.1
Р и с. 4.7. Диаграмма распределения ресурсов за 30 дней
Т а б л и ц а 4.2
Р и с. 4.8. Диаграмма распределения ресурсов за 25 дней
57
Рассмотренный при решении примера эвристический метод оптимизации по времени комплекса работ, когда ресурсы ограничены,
не минимизирует время выполнения комплекса работ, но обеспечивает достаточно хорошее приближение к нему.
Т а б л и ц а 4.3
Р и с. 4.9. Диаграмма распределения ресурсов за 20 дней
Возможна и иная постановка задачи: какие дополнительные ресурсы, и в какие работы следует вложить, чтобы общий срок выполнения комплекса не превышал заданный, а стоимость дополнительных ресурсов минимизировалась.
4.4. Параллельный метод
Исполнитель может выбрать метод ежедневного распределения
ресурсов. Каждый день он решает, какая работа наиболее важная и,
соответственно, распределяет ресурсы. В расчет принимаются только
те операции, которые могут выполняться в текущей день, а также
имеющиеся на этот день ресурсы. Ресурсы распределяются только на
58
один день. На следующий день можно не использовать ресурсы на
прежних работах даже если они не завершены. Они будут завершены
в последующие дни.
Чтобы решить вопрос о важности работ, руководитель ежедневно распределяет приоритеты между ними, исходя из необходимости
завершения всего комплекса работ в кратчайший срок. Кроме того,
он отдает предпочтение уже начатым работам, а также принимает во
внимание количество ресурсов, требующихся для работы. Такая ситуация анализируется параллельным методом. Правила предпочтения для работ (при условии завершения всех предшествующих им
работ) состоят в следующем:
1) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наименьший резерв времени (при прочих равных условиях);
2) направить ресурсы на выполнение уже начатой работы (при
прочих равных условиях);
3) направить ресурсы на выполнение работы, требующей наибольшего числа единиц ресурсо-дней (при прочих равных условиях);
4) направить ресурсы на выполнение работы, требующей наибольшего числа единиц ресурсов на день (при прочих равных условиях);
5) рассмотреть последовательность работ.
В начале и в конце каждого рабочего дня все ресурсы считаются
свободными.
В первый рабочий день приоритет определяется резервом времени (чем меньше резерв, тем выше приоритет). Распределение ресурсов производится ежедневно и вид распределения может также
изменяться ежедневно. В начале каждого дня, когда происходит распределение ресурсов, некоторые работы уже закончены, другие закончены частично, остальные ещё не начаты. Приведенные выше
правила предпочтения используются для распределения ресурсов
между работами, находящимися в стадии выполнения, а также теми,
которые могут быть начаты.
ЛЕКЦИЯ 7
4.5. Учет стоимостных факторов
при реализации сетевого графика
Стоимостные факторы при реализации сетевого графика учитываются путем определения зависимости «затраты – продолжитель59
ность» для каждой операции. При этом рассматриваются прямые затраты, а косвенные типа административных или управленческих расходов не принимаются во внимание.
На рис. 4.10 показана линейная зависимость стоимости операции
от её продолжительности. Точка B ( DB , CB ) , где DB – продолжительность операции, а CB – её стоимость, соответствует нормальному режиму выполнения операции. Продолжительность операции
можно уменьшить (сжать), увеличив интенсивность использования
ресурсов, а, следовательно, увеличив её стоимость. Однако существует предел (минимальная продолжительность операции). За точкой
А вдоль линии ВА, соответствующей этому пределу (точка максимально интенсивного режима), дальнейшее увеличение интенсивности использования ресурсов ведет лишь к увеличению затрат без сокращения продолжительности операции. Этот предел обозначается
точкой A ( DA , C A ) .
затраты
СА
СВ
0
затраты
А точка максимального
интенсивного режима
В точка
нормального
режима
DВ
DА продолжительность
СА
СВ
0
точка максимального
А интенсивного режима
В
точка
нормального
режима
DВ
DА продолжительность
Р и с. 4.10. Зависимость затраты–продолжительность
Линейная зависимость «затраты–продолжительность» принимается из соображения удобства, так как её можно определить для любой операции по двум точкам нормального и максимальноинтенсивного режимов, т.е. по точкам А и В. Использование нелинейной зависимости «затраты–продолжительность» существенно
усложняет вычисления. Поэтому иногда нелинейную зависимость
можно аппроксимировать кусочно-линейной, когда операция разбивается на части, каждая из которых соответствует одному линейному
отрезку. Следует отметить, что наклоны этих отрезков при переходе
от точек нормального режима к точке максимально интенсивного
60
режима возрастают. Если это условие не выполняется, то аппроксимация не имеет смысла.
Определив зависимость «затраты–продолжительность» для всех
операций сети, принимают нормальную продолжительность. Далее
рассчитывается сумма затрат на все операции сети при этой продолжительности работ.
Чтобы добиться сокращения продолжительности выполнения
работ при возможных затратах, необходимо максимально «сжать» ту
критическую операцию, у которой наклон кривой «затраты–
продолжительность» наименьший.
В результате сжатия критической операции получают новый календарный график, возможно, с новым критическим путем. Стоимость работ при новом календарном графике будет выше стоимости
работ по предшествующему графику. На следующем этапе этот новый график вновь подвергается сжатию за счет следующей критической операции с минимальным наклоном кривой «затратыпродолжительность» при условии, что продолжительность этой операции не достигла минимального значения.
Подобная процедура повторяется, пока все критические операции не будут находиться в режиме максимальной интенсивности.
Полученный таким образом оптимальный календарный график соответствует минимуму прямых затрат.
4.6. Обоснование привлекательности проекта
по выпуску продукции
Для финансирования проектов по строительству и наладке изготовления конкурентоспособной продукции в большинстве случаев
фирмам требуются инвестиции. Включение в проект материалов с
оптимизацией сетевых моделей в части обоснования сроков возврата
инвестиций делают проект более привлекательным и способствует
принятию инвестором положительного решения.
Задача.
Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентоспособной продукции. Для преобразования цеха (участка) под выпуск этой продукции необходимо выполнить:
1) подготовку технического задания на преобразование участка
(30 дней);
61
2) заказ и поставку нового оборудования (60 дней);
3) заказ и поставку нового электрооборудования (50 дней);
4) демонтаж старого и установку нового оборудования (90 дней);
5) демонтаж; старого и установку нового электрооборудования
(80 дней);
6) переобучение персонала (30 дней);
7) испытание и сдачу в эксплуатацию оборудования для производства продукта (20 дней).
Ожидается, что производительность после ввода новой линии
составит 20 т. продукции в смену. Прибыль от реализации составит
0,5 (д. ед.) в смену. Деньги на покупку и преобразование участка в
размере 2000 тыс. д. ед. взяты в банке под 20% годовых (из расчета
1500 тыс. д. ед. на закупку оборудования и 500 тыс. д. ед. на работу
по демонтажу старого оборудования и установку нового оборудования). Затраты на проведение работ в нормальном и максимальных
режимах указаны в таблице 4.4:
Т а б л и ц а 4.4
Работа
1(0,1)
2 (1,2)
3 (1,3)
4 (2,4)
5 (3,4)
6 (1,4)
7 (4,5)
Итого
Нормальный режим
продолжизатраты,
тельность,
тыс. д. ед.
дн.
30
20
60
40
50
30
90
70
80
60
30
25
20
20
360
265
Максимальный режим
продолжизатраты,
тельность,
тыс. д. ед.
дн.
25
30
45
60
40
40
70
100
65
70
20
35
17
25
282
350
Наклон
2
1,3
1
1,5
0,7
1
1,7
Определить, через какое время может быть возвращен кредит в
банк?
Решение.
1. Составим график проведения работ:
0
30
1
60
2
50
3
90
4
80
5
30
6
На проведение переоборудования необходимо 360 дней.
62
20
7
2. График можно улучшить, выполняя некоторые работы параллельно, как это показано на рис. 4.11.
Р и с. 4.11
Введем обозначения для работ:
( 0,1) – подготовка технического задания;
(1, 2 ) – заказ и поставка нового оборудования;
(1,3) – заказ и поставка нового электрооборудования;
(1, 4 ) – переобучение персонала;
( 2, 4 ) – установка нового оборудования;
( 3, 4 ) – установка нового электрооборудования;
( 4,5) – сдача в эксплуатацию новой линии.
Критический путь ( 0,1) , (1,2), (2,4), (4,5) составляет
200 дней.
График улучшился на 360 − 200 = 160 ед. Через 200 дней после начала работ предприятие истратит 1500 тыс. д. ед. на приобретение оборудования и 265 тыс. д. ед. на его установку и сдачу в эксплуатацию
(табл. 4.4). В наличии у предприятия останется
2000 − 1500 − 265 = 235 тыс. д. ед.
3. Построим график изменения кредита в зависимости от времени получения прибыли предприятием (рис. 4.12).
Для построения графика изменения кредита в зависимости от
времени составим уравнение. Через 360 дней после выдачи банком
кредита под 20% годовых долг предприятия составит 2400 тыс. д. ед.
Поэтому известны две точки этой прямой A ( 0, 2000 ) и
B ( 360, 2400 ) . Согласно уравнению прямой, проходящей через две
точки, имеем:
63
10 x − 9 y + 18000 = 0 .
(4.11)
Найдем уравнение прибыли предприятия. Известно, что через
200 дней у предприятия осталось от кредита 235 тыс. д. ед. Через 100
дней после начала работ выпуска продукции предприятие получит
прибыль:
0,5 ⋅ 20 ⋅ 100 = 1000 тыс. д. ед.,
и у него будет в наличии:
235 + 1000 = 1235 тыс. д. ед.
Стоимость (т.д. ед.)
3000
В(360, 2400)
кредит
прибыль
2000
А(0, 2000)
Д′(257, 1160)
1000
0
С(200, 235)
С′(157, 160)
0
Д(300, 1235)
400 Время (дни)
Р и с. 4.12. Зависимость стоимость – время
100
200
300
Таким образом, для нахождения уравнения прибыли мы имеем
две точки C ( 200, 235 ) , D ( 300, 1235 ) . Тогда уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
10 x − y − 1765 = 0 .
(4.12)
Решая совместно уравнения (4.11) и (4.12), определим время, когда кредит может быть возвращен в банк:
10 x − 9 y + 18000 = 0  y = 2471 д.ед.
→

10 x − y − 1765 = 0
 x = 424 дн.
4. График выполнения работ можно сжать за счет выполнения
некоторых операций в максимально интенсивном режиме. Вычислим
наклоны кривой «затраты – продолжительность» для каждой операции. Результаты расчетов сведем в таблицу 4.5:
Учитывая наклоны кривой «затраты – продолжительность»,
производим сжатие операций (0,1), (1,2), (2,4), (3,4), (4,5), что отображено на рис. 4.13.
64
Т а б л и ц а 4.5
Операция
(0,1)
(1,2)
(1,3)
(2,4)
(3,4)
(1,4)
(4,5)
Наклон
2
1,3
1
1,5
0,7
1
1,7
2
70
45
0
25
30
1
50
4
17
5
65
3
Р и с. 4.13
Новый график имеет 2 критических пути: (0,1), (1,2), (2,4), (4,5)
и (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) с продолжительностью 157 дней. Таким образом, критический путь сокращен с 200 до 157 дней, а это значит,
что предприятие начинает производить продукцию через 157 дней
после начала работ. Однако за «сжатие» критического пути предприятию придется заплатить, следующие суммы:
( 0,1) : 30 − 20 = 10 тыс. д. ед.;
(1, 2 ) : 60 − 40 = 20 тыс. д. ед.;
( 2, 4 ) :100 − 70 = 30 тыс. д. ед.;
( 3, 4 ) : 70 − 60 = 10 тыс. д. ед.;
( 4,5) : 25 − 20 = 5 тыс. д. ед.
Таким образом, «сжатие» этих работ обойдется предприятию в
75 тыс. д. ед.
График изменения кредита в зависимости от времени остается
прежним.
Найдем новое уравнение прибыли. Через 157 дней после начала
работ у предприятия осталось от кредита:
65
2000 − 1500 − 265 − 75 = 160 тыс. д. ед.
Через 100 дней после начала выпуска продукции предприятие
получит прибыль
20 ⋅ 0,5 ⋅ 100 = 1000 тыс. д. ед.,
и у него будет в наличии 1000 + 160 = 1160 тыс. д. ед.
Таким образом, для нахождения уравнения прибыли имеем две
точки – C ′ (157, 160 ) и D′ ( 257, 1160 ) . Вновь используя уравнения
прямой, проходящей через две точки, имеем
10 x − y − 1410 = 0 .
(4.13)
Решая совместно систему уравнений (4.11), (4.13), определим
время, когда кредит может быть возвращен:
10 x − 9 y + 18000 = 0  y = 2426, 25 д.ед.
→

10 x − y − 1410 = 0
 x = 384 дн.
Таким образом, через 384 дня предприятие может вернуть кредит в банк, т.е. оно их вернет раньше на 424 − 384 = 40 дней.
При нормальном режиме работы критический путь составляет
200 дней, стоимость работ 265 тыс. д. ед. Критический путь уменьшен до 157 дней, минимальная стоимость работ составляет
265 + 75 = 340 тыс. д. ед. при максимальном режиме.
66
ГЛАВА 5. ЛОГИСТИКА СКЛАДИРОВАНИЯ
ЛЕКЦИЯ 8
5.1. Основные понятия
На пути движения материального потока важной частью на пути
цепей поставок являются склады.
Эффективность логистической системы зависит не только от совершенствования и интенсивности промышленного и транспортного
производства, но и складного хозяйства.
Современный крупный склад – это сложное техническое сооружение, состоящее из многочисленных взаимосвязанных элементов,
имеет определенную структуру и выполняет ряд функций по преобразованию материальных потоков, а также накоплению, переработке
и распределению грузов между потребителями. Учитывая это, склад
можно представить как сложную систему.
В то же время склад является элементом более высокого уровня
– логистической цепи, которая и формирует основные требования к
складной системе, устанавливает цели и критерии её оптимального
функционирования.
Основное назначение склада – концентрация запасов, их хранение и обеспечение бесперебойного и ритмичного выполнения заказов
потребителей. Все организации имеют запасы.
Запасы могут возникнуть в любой точке цепи поставок, где материальный поток приостанавливается или нарушается. Большинство
организаций стараются хранить запасы на складах. На практике этими складами могут быть и открытые участки, где такое сырье как
уголь, руда и овощи хранят в кучах; или современные сооружения,
обеспечивающие необходимые условия для хранения, скажем, замороженных продуктов и деликатесов. Базы данных, содержащих запасы информации, также можно рассматривать как совокупность запасов знаний и квалификаций. Таким образом ,склады – место хранения любых материалов. Специалисты используют несколько разных
терминов для складов, чаще их называют распределительными или
логистическими центрами. Существуют и другие названия – транзитный центр, терминал и др.
Реальность такова, что каждая организация хранит запасы, чтобы иметь резерв в момент разбаланса спроса и предложения. И пока
организациям необходимо хранить запасы материалов, им требуются
склады. Склады – это важная часть большинства цепей поставок.
67
По типу больших внешних систем, взаимодействующих через
склады, объекты складского назначения можно классифицировать на
следующие большие классы:
– производство – склад –транспорт:
П ⇔ C ⇔ T ;,
– транспорт – склад – производство:
T⇔C⇔П;
– транспорт 1 – склад – транспорт 2:
T1 ⇔ C ⇔ T2 ;
– производство 1 – склад – производство 2:
П1 ⇔ C ⇔ П 2 .
По сочетанию различных видов транспорта прибытия и отправления продукции возможны более 200 типов складов.
5.2. Операции, выполняемые на складе
Логистические функции складов реализуются в процессе осуществления отдельных логистических операций. Комплекс выполняемых складских операций на различных складах неодинаков.
В общем, состав складских операций представляет собой следующую последовательность:
– разгрузка транспорта;
– приемка товара;
– размещение на хранение (укладка в стеллажи, штабели);
– отборка товаров из мест хранения;
– комплектование и упаковка;
– погрузка;
– внутрискладское перемещение грузов.
Наиболее тесная связь склада с остальными участниками логистического процесса имеется при осуществлении операций с выходными материальными потоками, т.е. при выполнении погрузочноразгрузочных работ. Технология выполнения этих работ зависит от
характера груза, типа транспортных средств, а также от вида используемых средств механизации.
Следующей существенной операцией является приемка грузов
по количеству и качеству. В процессе приемки происходит сверка
фактических параметров прибывшего груза с данными товарносопроводительных документов.
На складе принятый по количеству и качеству груз перемещают
68
в зону хранения. Товар со склада предприятия оптовой торговли может доставляться заказчику силами этого предприятия. Тогда на
складе необходимо организовывать отправочную экспедицию, которая будет накапливать подготовленный к отправке товар, и обеспечивать его доставку покупателю.
В настоящее время организации пытаются перемещать материалы через цепь поставок быстро, поэтому роль складов изменилась.
Сейчас они скорее рассматриваются как промежуточные пункты,
через которые материалы перемещаются как можно быстрее.
Поскольку их значение в долгосрочном хранении товаров снизилось, они стали удобным местом для выполнения ряда других работ. Они, например, считаются лучшим местом для сортировки материалов, их упаковывания и объединения.
5.3. Определение оптимального количества складов
в зоне обслуживания
Решение по развитию складской сети необходимо принимать на
основе анализа полной стоимости, что означает учет всех экономических изменений, возникающих при изменении количества складов
в логистической системе.
Проблема определения оптимального количества заключается в
следующем: если количество складов на обслуживаемой территории
меньше оптимального, то транспортные расходы по доставке товара
потребителю будут большими. Если же количество складов будет
чрезмерно велико, то при снижении транспортных расходов на доставку потребителям повысятся эксплуатационные расходы на содержание складов, затраты на доставку товаров на склады, а также затраты на управление всей системой распределения. Поэтому для
принятия решения об использовании оптимального количества складов необходимо проанализировать зависимость стоимостных факторов от числа складов. Стоимостные факторы включают в себя нижеследующие расходы.
1. Транспортные расходы.
При увеличении количества складов возрастают расходы, связанные с доставкой товара на склады, а расходы, связанные с доставкой со складов потребителям, снижаются. Суммарные расходы, как
правило, уменьшаются.
2. Расходы на формирование запасов.
69
Суммарный запас в распределительной системе при увеличении
количества складов возрастает. Это происходит из-за увеличения
страхового запаса (он необходим на каждом складе).
3. Расходы, связанные с эксплуатацией складского хозяйства и
управлением складской системой.
При увеличении количества складов расходы, связанные с их
эксплуатацией и управлением, возрастают, но менее низкими темпами, чем растет число складов. Причиной этого является эффект масштаба и компьютеризация системы управления.
4. Потери продаж, вызванные удалением склада от потребителей
(в случае небольшого числа складов).
При сокращении количества складов среднее расстояние до обслуживаемых пунктов возрастает. Это означает, что потребителю
сложнее самому приехать на склад и подобрать ассортимент. Следовательно, потери продаж при увеличении числа складов снижаются.
На основании вышеприведенных зависимостей минимизируются
общие затраты и соответствующее им число складов .
5.4. Методы определения места расположения склада
на обслуживаемой территории
Задача размещения складов может формулироваться как поиск
оптимального (или близкого к оптимальному) решения. Наукой и
практикой выработаны методы решения задач обоих видов. Рассмотрим их более подробно.
1. Метод полного перебора.
Этот метод относится к сетевым методам. Задача выбора оптимального места расположения склада решается полным перебором и
оценкой всех возможных вариантов размещения распределительных
центров с помощью методов математического программирования.
Однако этот метод является достаточно трудоемким и количество
переменных в нем растет по экспоненте по мере увеличения масштабов сети.
2. Эвристические методы.
Эти методы менее трудоемки. Они являются субоптимальными
или близкими к оптимальным. В их основе лежит человеческий опыт
и интуиция. Метод базируется на предварительном отказе от большого количества очевидно неприемлемых вариантов. Опытный специалист-эксперт анализирует транспортную сеть региона, и непри70
годные варианты исключаются из задания. Для оставшихся спорных
вариантов расчеты выполняются по полной программе.
3. Метод определения центра тяжести системы распределения.
Данный метод основан на вычислении центра тяготения склада к
определенным потребителям, т.е. распределительный склад будет
располагаться в определенной точке ближе к крупным покупателям.
Для применения этого метода необходимо нанести на карту района
обслуживания координатные оси и найти координаты точек, в которых размещены потребители материального потока, например, магазины.
Координаты центра тяжести грузовых потоков, т.е. точек, в которых может быть размещен склад, определяются по формулам:
n
X скл =
∑Q x
i i
i =1
n
∑Q
,
(5.1)
,
(5.2)
i
i =1
n
Yскл =
∑Q y
i =1
n
i
i
∑Q
i =1
i
где Q – грузооборот i -того потребителя, ( xi , yi ) – координаты i того потребителя, n – количество потребителей.
Точка территории, обеспечивающая минимум транспортной работы по доставке, в общем случае не совпадает с найденным центром
тяжести, но находится недалеко. Подобрать приемлемое место для
склада позволяет последующий анализ возможных мест размещения
в окрестностях найденного центра масс.
4. Метод пробной точки.
Пусть на участке АС имеется четыре потребителя А, В, С, D.
А(20 т)
B(10 т)
C(30 т)
D(30 т)
Месячный объём завоза товара указан в скобках в тоннах.
Вводится понятие пробной точки отрезка. Пробной точкой отрезка называется любая точка отрезка, не принадлежащая его концам.
71
Поиск оптимального места положения распределительного центра начинается с крайнего левого конца всего обслуживаемого участка. Вначале анализируется отрезок АВ. На данном отрезке ставят
пробную точку и подсчитывают сумму объемов заказа товаров находящихся слева и справа от точки (20, 70). Если число справа больше
(>), чем слева, то переходят к следующему отрезку ВС(30, 60). Если
объём заказа окажется меньше (<), то принимается решение о размещении склада в начале отрезка. Отрезок CD(60, 30) слева от пробной точки С.
Объёмы слева и справа совпадают.
В этом случае распределительный центр может быть в любой
точке отрезка MN.
L(40)
N(20)
M(30)
P(50)
(70, 70)
Для определения указанным методом оптимального места для
размещения распределительного центра узла транспортной сети
прямоугольной конфигурации, следует нанести на карту района координатные оси, ориентированные параллельно дорогам. Присваивая
ординатам и абсциссам потребителей соответствующие значения,
можно найти приемлемое место расположения распределительного
центра.
ЛЕКЦИЯ 9
5.5. Складские запасы и емкость склада
Емкость склада – это величина постоянная и определяется его
размерами, способами и параметрами складирования грузов.
Количество хранящихся грузов или запасы грузов на складе –
это величина переменная и зависит от закономерностей и сочетания
параметров грузопотоков прибытия грузов на склад и отправления
грузов со склада. На складах готовой продукции промышленных
предприятий и перевалочных складах на магистральном транспорте в
системах мультимодальных перевозок (на железнодорожных станциях, в морских и речных портах) запасы грузов I могут колебаться от
0 до полной вместимости склада Е (рис. 5.1).
72
I
E
0
i-1 i i+1 i+2 t (сутки)
1 2 3
Р и с. 5.1. Изменение запасов грузов на перевалочных станциях
На складах торговых предприятий и материальных складах промышленных предприятий запасы грузов I могут колебаться от полной емкости склада Е до некоторого минимального страхового запаса (рис. 5.2).
I
E
Iст
0
1
2
3
i-1
i
i+1
t (сутки)
Р и с. 5.2. Изменение запасов грузов на складах
торговых предприятий
Страховой запас на складах этого типа I ст – это минимальное
количество грузов, которое всегда должно быть на складе из условия
надежного снабжения потребителей. Характер колебаний складских
запасов грузов зависит от закономерностей прибытия и отправления
грузов со склада, которые могут быть описаны вероятностностатистическими методами, и в результате анализа сочетаний этих
двух стохастических процессов могут быть выведены закономерности изменения складских запасов грузов. На основании этих исследований можно установить, какую емкость должен иметь склад, чтобы эффективно перерабатывать поступающие грузопотоки и органи73
зовывать отправляемые со склада грузопотоки.
Основными параметрами емкости и грузопотоков склада являются:
Qi – готовой грузопоток склада по прибытию, т./год;
E – емкость или вместимость склада, т.;
τ хр – срок хранения грузов на складе, сутки;
Tг – число суток работы склада в году;
Qс – средний суточный грузопоток по прибытию т./сутки;
η – оборачиваемость грузов на складе, ед./год:
T
η= г .
(5.3)
τ хр
Так как грузопотоки имеют неравномерный, стохастический характер, потребную мощность склада следует определять на основе
вероятностно-статистических методов, которые учитывают вероятностный характер и случайные колебания грузопотоков прибытия и
отправления грузов и отражают стохастический, неравномерный характер изменения складских запасов грузов под действием этих грузопотоков.
Рассмотрим один из методов.
Грузопоток прибытия груза на склад задают в виде распределения:
 Q1п
Q2п
...
Qkп 
п
Q =
,
п
п
п
 P ( Q1 ) P ( Q2 ) ... P ( Qk ) 
где Qiп – отдельные возможные значения суточного грузопотока
прибытия грузов на склад; P ( Qiп ) – соответствующие вероятности
появления этих значений суточного грузопотока прибытия. Аналогично суточный грузопоток выдачи (отправления) задают в виде распределения:
 Q1в
Q2в
...
Qkв 
в
Q =
.
в
в
в
 P ( Q1 ) P ( Q2 ) ... P ( Qk ) 
Распределения суточных грузопотоков прибытия и отправления
грузов со склада формируются на основе методов математической
статистики.
Количество случайных значений грузопотоков прибытия k и
74
отправления i зависит от закономерностей этих грузопотоков. Если
эти распределения подчиняются некоторым стандартным законам
распределения (нормальному, показательному, Пуассона, Стьюдента,
Фишера и т.д.),то они могут быть представлены в виде соответствующих формул.
Сумма вероятностей возможных значений суточных грузопотоков в их распределениях должна равняться единице, т.к. эти значения
грузопотоков образуют полную группу событий:
∑ P ( Q ) = 1,
(5.4)
∑ P ( Q ) = 1.
(5.5)
n
i =1
n
j =1
n
i
в
j
Расчетное значение складских запасов (для торгового или снабженческого склада, или емкости склада для перевалочного склада на
магистральном транспорте) определяется как некоторое n -ое случайное событие, представляющее собой сочетание случайных объемов прибытия Qin и выдачи Q вj грузов:
I n = I 0 + Q nj − Q вj ,
(5.6)
где I 0 – страховой запас (для снабженческого склада) или резерв емкости (для перевалочного склада).
Страховой запас для торгового снабженческого или производственного технологического склада определяется соотношением
в
п
I 0 = Qmax
− Qmin
.
(5.7)
Резервная емкость перевалочного склада на магистральном
транспорте определяется по формуле:
п
в
I 0 = Qmax
− Qmin
(5.8)
п
п
В этих формулах Qmax
и Qmin
– максимальный и минимальный
объемы суточного прибытия грузов в исходных распределениях грув
в
зопотоков, a Qmax
и Qmin
– максимальный и минимальный объемы
выдачи грузов со склада в этих исходных распределениях.
Вероятность того, что на складах будет содержаться n-ый запас
грузов, определяется по формуле:
P ( I = I n ) = P ( Qin ) ⋅ P ( Q вj ) , n = 1, kl ,
(5.9)
где P ( Qin ) , P ( Q вj ) – вероятности того, что на склад в n-ом сочета75
нии грузопотоков прибудет соответственно Qin и будет выдано грузов Q nj .
В результате всех возможных сочетаний прибытий грузов Qin на
склад и выдачи со склада Q вj из исходных распределений грузопотоков и определения вероятностей этих сочетаний P ( I n ) формируется
распределение вероятностей складских запасов (для снабженческих
складов) или резерва емкости (для перевалочного склада на магистральном транспорте):
I2
I kl 
...
 I1
I =
 , n = 1, kl ,
 P ( I1 ) P ( I 2 ) ... P ( I kl ) 
где запасы грузов ранжированы в возрастающем порядке от I1 = I min
до I kl = I max . Кроме этого должно выполняться условие:
kl
∑ P ( I ) = 1.
i =1
n
(5.10)
Распределение запасов представляем в виде табл. 5.1, в которой
определяем накопленную вероятность (интегральную функцию распределения) F ( I n ) . Возможные запасы грузов на складе расположены в порядке возрастания от минимального значения до максимального значения.
Далее следует обработка статистических данных по складским
запасам, которая представлена в табл. 5.1.
Т а б л и ц а 5.1
Номер запаса
Запасы In
Вероятность P(In)
1
2
…
n-1
n
n+1
…
kl
I1=Imin
I2
…
In-1
In
In+1
…
Ikl
P(I1)
P(I2)
Накопленная
вероятность F(In)
F(I1)= P(I1)
F(I2)= F(I1) + P(I2)
P(In-1)
P(In)
P(In+1)
F(In-1)= F(In-2) + P(In-1)
F(In)= F(In-1) + P(In)
F(In+1)= F(In) + P(In+1)
P(Ikl)
1
F(Ikl)= F(Ikl-1) + P(Ikl)
∑
76
Вероятностный складской запас грузов определяется с помощью
доверительной вероятности (надежности оценки), которую в обычных инженерных расчетах рекомендуется принимать в пределах
[ P ] = 0,95 ÷ 0,97 .
По таблице находим n -ый интервал, в который попадает доверительная вероятность:
[ P ] ∈  F ( I n ) ; F ( I n+1 )  или F ( I n ) < [ P ] < F ( I n+1 ) .
Если получилось, что доверительная вероятность равна одному из значений интегральной функции распределения [ P ] = F ( I n ) ,
то емкость склада (вероятностный складской запас) I * = E = I n .
По данным табл. 5.1 строим функцию распределения (рис. 5.3):
F(I)
1
B
F(In+1)
D
[P]
F(In)
A
In
E
C
I*
In+1
I
Р и с. 5.3. Функция распределения
Вероятностный складской запас I * определяем в интервале
[ I n , I n+1 ] по формуле линейной интерполяции
I * = I n + ∆I .
(5.11)
Из подобия треугольников ABC и ADE следует
AE DE
DE
=
⇒ AE =
AC ,
AC BC
BC
77
∆I = AE =
[ P] − F ( In ) I − I .
( n +1 n )
F ( I n +1 ) − F ( I n )
(5.12)
Таким образом, расчетный складской запас средств
{
}
E = I * P ( I ≤ I * ) = [ P] = In +
[ P] − F ( In ) I − I .
( n+1 n )
F ( I n +1 ) − F ( I n )
(5.13)
Емкость склада Е принимается равной запасу хранения грузов
I , определенному из условия, что вероятность того, что текущий запас
хранения грузов на складе I ≤ I * , равна доверительной вероятности
[ P] .
После определения вероятностного складского запаса можно определить срок хранения грузов на складе и другие характеристики.
Для математического ожидания грузопотока прибытия грузов по
заданному распределению этого грузопотока имеем
*
M Q п  = ∑ Qiп P ( Qiп ) .
k
i =1
Срок хранения грузов на складе определяется по формуле:
τ хр =
I*
.
M [Q п ]
(5.14)
Годовой грузопоток прибытия грузов на склад:
Qг = M Q п  Tг ,
где Tг – число суток работы склада в году.
Коэффициент неравномерности прибытия грузов:
п
Qmax
Kп =
.
M Q п 
Коэффициент неравномерности выдачи грузов со склада:
в
Qmax
Kв =
.
M Q в 
(5.15)
(5.16)
(5.17)
Оборачиваемость грузов на складе:
Q
η = *г .
(5.18)
I
Приведенный здесь вероятностно-статистический метод опреде78
ления складских запасов и емкости складов вполне соответствует принципам логистики по обоснованному сокращению запасов грузов,
снижению емкости складов в логистических системах, экономии ресурсов и т.д.
5.6. Определение складских запасов
Пусть заданы распределения суточного прибытия грузов на
складах (табл. 5.2)
Т а б л и ц а 5.2
Qп
P(Qп)
100 150
0,3 0,4
∑ Pi = 1
200
0,3
и суточного отправления (выдачи грузов) со склада (табл. 5.3).
Т а б л и ц а 5.3
Qв
P(Qв)
70
0,1
145 160
0,4 0,4
P
∑ i =1
210
0,1
Доверительная вероятность определения складских запасов (емкости склада) [ P ] = 0,95 . Математическое ожидание суточного грузопотока прибытия грузов на склад равно:
M Q п  = 100 ⋅ 0,3 + 150 ⋅ 0, 4 + 200 ⋅ 0,3 = 150 т/сутки,
а математическое ожидание суточного грузопотока оптравления грузов со склада:
M Q в  = 70 ⋅ 0,1 + 145 ⋅ 0, 4 + 160 ⋅ 0, 4 + 210 ⋅ 0,1 = 150 т/сутки.
Здесь средние суточные грузопотоки прибытия и отправления совпадают (но это не обязательно).
Определим первоначальный (страховой) запас грузов
I n = max Q п − min Q в = 200 − 70 = 130 .
(5.19)
Рассчитаем возможные запасы грузов на складе и их вероятности:
1) I1 = 130 + 100 − 70 = 160 т. P ( I1 ) = 0,3 ⋅ 0,1 = 0,03 ,
79
I 2 = 130 + 100 − 145 = 85 т. P ( I 2 ) = 0,3 ⋅ 0,4 = 0,12 ,
2)
I 3 = 130 + 100 − 160 = 70 т. P ( I 3 ) = 0,3 ⋅ 0,4 = 0,12 ,
3)
I 4 = 130 + 100 − 210 = 20 т. P ( I 4 ) = 0,3 ⋅ 0,1 = 0,03 ,
4)
I 5 = 130 + 150 − 70 = 210 т. P ( I 5 ) = 0,4 ⋅ 0,1 = 0,04 ,
5)
I 6 = 130 + 150 − 145 = 135 т. P ( I 6 ) = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16 ,
6)
I 7 = 130 + 150 − 160 = 120 т. P ( I 7 ) = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16 ,
7)
I 8 = 130 + 150 − 210 = 70 т. P ( I 7 ) = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16 ,
8)
I 9 = 130 + 200 − 70 = 260 т. P ( I 9 ) = 0,3 ⋅ 0,1 = 0,03 ,
9)
10) I10 = 130 + 200 − 145 = 185 т. P ( I10 ) = 0,3 ⋅ 0,4 = 0,12 ,
11) I11 = 130 + 200 − 160 = 170 т. P ( I11 ) = 0,3 ⋅ 0,4 = 0,12 ,
12) I12 = 130 + 200 − 210 = 120 т. P ( I12 ) = 0,3 ⋅ 0,1 = 0,03 ,
I min = I 4 = 20 т.,
I max = I 9 = 250 т.
Составляем вариационный ряд (табл. 5.4).
Т а б л и ц а 5.4
I
P(I)
20
0,03
70
0,16
85
0,12
120
0,19
135
0,16
160
0,03
170
0,12
185
0,12
210
0,4
260
0,03
∑P =1
i
Формируем таблицу интегральной функции распределения
складских запасов грузов и находим в таблице значения интегральной функции распределения, между которыми попадает заданная
доверительная вероятность [ P ] = 0,95 , [ P ] = 0,95 ∈ [ 0,93;0,97 ]
(табл. 5.5):
0,95 − 0,93
I * = P ( I ≤ I * ) = 0,95 = 185 +
( 210 − 185) ≈ 198т.
0,97 − 0,93
Для срока хранения грузов на складе имеем
{
}
τ хр =
80
I*
198
=
= 1,32 суток.
п
M Q  150
Т а б л и ц а 5.5
№ запаса
Случайный
запас грузов
Вероятность
запаса грузов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
70
85
120
195
160
170
185
210
260
0,03
0,16
0,12
0,19
0,16
0,03
0,12
0,12
0,04
0,03
Интегральная
функция распределения
0,03
0,19
0,31
0,5
0,66
0,69
0,81
0,93
0,97
1
Примечание
искомый
интервал
Годовой грузопоток прибытия грузов на склад при работе склада
в году T = 260 суток, поэтому
Qг = M Q п  T = 150 ⋅ 260 = 39000 т/год.
Оборачиваемость грузов на складе
260
1
Т
η=
=
≈ 200
.
год
τ хр 1,32
Коэффициент неравномерности прибытия грузов:
п
Qmax
200
Kп =
=
= 1,33 .
п
M Q  150
Коэффициент неравномерности выдачи грузов со склада:
в
Qmax
210
Kв =
=
= 1, 4 .
в
M Q  150
Для определения расчетного складского запаса и обоснования
установления потребной вместимости склада применяют также метод
имитационного моделирования складов на ЭВМ. Он заключается в
том, что многократно имитируют прибытие и отправление со склада
различных транспортных партий грузов, объемы и время прибытия и
отправления которых подчиняются некоторым известным вероятностным закономерностям. В результате в памяти ЭВМ формируется распределение имеющихся складских запасов, по которому также на ос81
нове заданной доверительной вероятности можно определить расчетный складской запас или емкость склада.
ЛЕКЦИЯ 10
5.7. Решение задачи определения вместимости
контейнерного терминала с использованием
модели «гибели и рождения»
Во многих случаях для определения такой важной характеристики как вместимость грузообрабатывающего предприятия (склад,
терминал, логистический центр) используют математический аппарат систем массового обслуживания.
Контейнерный терминал рассматривается как открытая система
массового обслуживания (СМО) с ожиданием рис. 5.4.
входящий
поток
выходящий
поток
накопитель
блок
обслуживания
Р и с. 5.4. Открытая система массового обслуживания
Терминал рассматривается как многоканальная СМО, причем
под блоком обслуживания понимается место размещения некоторой
транспортной партии, в частности, контейнеров. Состояние СМО с
ожиданием определяется числом контейнеров, находящихся в зоне
хранения (целые неотрицательные числа). Процесс перехода из состояния в состояние является марковским процессом.
При этом следует учитывать, что изменение состояния имеет две
причины:
1) поступление новых контейнеров из входящего потока;
2) уход обслуженных контейнеров из зоны хранения.
Изменение состояния по первой причине обладает Марковским
свойством, поскольку входящий поток является простейшим. Посту82
пление контейнеров в зону хранения на любом отрезке времени не
зависит от того, сколько контейнеров поступило до начального момента этого отрезка. С другой стороны, если в какой-то момент времени контейнер покидает зону хранения, то вероятность окончания
обслуживания не зависит от того, сколько длилось хранение. Таким
образом, изменение состояния СМО по второй причине также обладает Марковским свойством. В связи с этим можно определить вероятности переходов. Переход из состояния q в состояние q + 1 за время t связан с поступлением одной партии груза (одного контейнера) в
систему. Эта вероятность определяется законом Пуассона
Pк ( t ) =
( λt )
k!
k
e( − λ t )
(5.20)
и при k = 1 она равна
Pк ( t ) = λ te( − λt ) ,
(5.21)
где λ – интенсивность входящего потока.
Длительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью обслуживания µ :
∞
P ( tобсл > 1) = ∫ µ e− µt dt = e − µt .
(5.22)
t
Если k – число занятых мест зоны хранения в q-ом состоянии, а
п – общее число мест в зоне хранения, то число занятых мест зоны
хранения при q ≤ n равно q и при q ≥ n равно n .
Вероятность того, что за время t ни одно из занятых мест не освободилось, равна
P0 ( t ) = ( e − µt ) .
k
(5.23)
Следовательно, для q ≤ n имеем
83
Pq , q +1 ( t ) = λ te − λt ( e− µt ) .
q
(5.24)
Учитывая известное разложение функции e x , имеем
e − λt = 1 − λ t + o ( t ) ,
(e )
− µt q
= e − qµt = 1 − q µt + o ( t ) .
(5.25)
(5.26)
Тогда
Pq , q +1 ( t ) = λ t (1 − λ t + o ( t ) ) (1 − q µ t + o ( t ) ) = λ t + o ( t ) .
(5.27)
Аналогично, при q ≥ n имеем
Pq , q +1 ( t ) = λ t (1 − λ t + o ( t ) ) (1 − nµ t + o ( t ) ) = λ t + o ( t ) ,
Pq ,q −1 (t ) = nµt + o(t ) .
(5.28)
Переход q → q − 1 связан с отсутствием поступлений контейнеров в зону хранения и уходом из зоны хранения одного контейнера.
При q ≤ n имеем
Pq , q −1 ( t ) = e − λt ( e− µt )
q −1
Cq1 µ te − µt = q µ t + o ( t ) ,
(5.29)
Аналогично, при q ≥ n : Pq , q −1 ( t ) = nµ t + o ( t ) .
Таким образом, функционирование рассматриваемой СМО описывается процессом «гибели и рождения». При этом
λk = λ ,
k µ , при k ≤ n,
µk = 
 nµ , при k ≥ n.
Граф состояний такой системы имеет вид, представленный на
(рис. 5.5).
Здесь: q0 – зона хранения терминала пуста;
84
q1 – в зоне хранения находится один контейнер;
q2 – в зоне хранения находится два контейнера;
…………………………………………………………
qn – в зоне хранения находится n контейнеров (свободных мест
нет).
λ
q0
λ
q1
μ
λ
λ
q2
2μ
λ
qk
3μ
kμ
λ
qn
nμ
Р и с. 5.5. Граф состояний процессов «гибели-рождения»
В соответствии с теорией массового обслуживания финальные
вероятности в процессах «гибели и рождения» находятся из соотношений:
1

,
 P0 =
∞ λ λ ...λ
0 1
j −1

1+ ∑
(5.30)
j = 0 µ1 µ 2 ...µi


λ λ ...λ
 Pj = P0 0 1 j −1 , j ≥ 1.
µ1µ 2 ...µi

После подстановки λk и μk в (5.30) получим финальные вероятности при k ≤ n :
λ
λ
λ
λk
P ( qk ) =
⋅
⋅ ... ⋅ = k Po ,
(5.31)
k µ ( k − 1) µ
µ µ k!
а также при k ≥ n :
λ
λ λ
λ
λ
λk
⋅ ... ⋅
⋅
⋅
⋅ ... ⋅ = k
Po .
(5.32)
nµ
nµ nµ ( n − 1) µ
µ µ n !k
Так как процесс обслуживания заявок в рассматриваемом случае
представляет собой пребывание груза в зоне хранения в течение
1
среднего времени τ хр , то интенсивность выходного потока µ =
.
τ хр
Вероятность того, что в зоне хранения терминала будет находиться
k партий груза ( k < n ) , равна:
P ( qk ) =
85
P ( qk ) =
λ kτ хрk
P ( q0 ) .
(5.33)
k
Вероятность того, что зона хранения груза будет заполнена полностью:
λ nτ хрn
(5.34)
P ( qn ) =
P ( q0 ) .
n
Вероятность того, что зона хранения грузов заполнена не полностью, и вновь прибывшая партия может быть обслужена, равна:
λ kτ хрk
(5.35)
P (k < n) = 1 −
P ( q0 ) .
k!
n
Так как
∑ P ( q ) = 1 , то
i =1
k
−1
1
1
1 n n

P ( q0 ) = 1 + λτ хр + λ 2τ хр 2 + λ 3τ хр 3 + ... +
λ τ хр  =
2!
3!
n!!


1
=
.
(5.36)
n
Ik
1+ ∑
k =1 k !
Здесь I = λτ хр – средний запас грузов в зоне терминала.
Стоящее в знаменателе (5.36) выражение при достаточно большом n представляет собой ряд Маклорена для функции e I , поэтому
приближенно можно считать
1
P ( q0 ) = I ,
(5.37)
e
1
P ( q0 ) = I ,
(5.38)
e
Для контейнерных терминалов интенсивность входящего потока
определяется достаточно большим числом – количеством поступающих контейнеров λ = 150 ÷ 300 , и формула Пуассона (5.38) аппроксимируется формулой нормального распределения с параметрами
σ k = I и mk = I :
( )
−
1
P ( qk ) =
e 2I .
(5.39)
2π I
По этой формуле были построены графики распределений колиk −I
86
2
честв фактически хранящихся контейнеров k при разной средней
вместимости зоны хранения терминала (рис. 5.6). На рис. 5.7 представлены зависимости интегральной функции распределения от числа хранящихся контейнеров при разной средней загрузке терминала:
n
F ( qk ) = ∑
k =1
1 −(
e
2π I
k−I )
2I
2
.
(5.40)
Р и с. 5.6. Графики распределений количеств фактически хранящихся
контейнеров при разной средней вместимости площадки
Рис. 5.7. Зависимость интегральной функции распределения F ( k )
от числа фактически хранящихся контейнеров при разной средней
вместимости площадки
87
Построенные графики дают возможность определить потребную
вместимость терминала с заданной доверительной вероятностью. Из
графиков видно, что средний запас грузов на складе соответствует
наиболее вероятному запасу, однако он может быть превышен. С
увеличением размера терминала абсолютная величина возможного
отклонения действительного количества хранящегося груза от среднего значения увеличивается. При доверительной вероятности
p = 0,95 относительное отклонение не превышает 15 ÷ 20 %.
5.8. Выбор между организацией собственного склада
и использованием услуг наемного
Логистическая цепь может быть организована с использованием
собственных складов или складов общего пользования. Выбор между
организацией собственного склада и использованием для размещения запаса склада общего пользования относится к классу задач «сделать или купить».
Методика принятия решения представлена на рис. 5.8.
затраты
руб./год
Z
F3
F2
F1
0
Гб грузооборот
Р и с. 5.8. Зависимость затрат от грузооборота
График функции Z строится на основании рыночных цен за хранение товаров на наемном складе:
Z – зависимость затрат по хранению товаров на наемном складе
от объема грузооборота;
88
F1 – зависимость затрат на грузопереработку на собственном
складе от объема грузооборота;
F2 – зависимость условно-постоянных затрат собственного
склада от объема грузооборота;
F3 = F1 + F2 – зависимость суммарных затрат на хранение товаров на собственном складе от объема грузооборота;
Г б – грузооборот «безразличия», при котором расходы на хранение на собственном и наемном складе равны.
График функции F2 параллелен оси абсцисс, так как принимаем,
что условно-постоянные затраты не зависят от грузооборота. Они
включают расходы на аренду складского помещения, амортизацию
техники, оплату электроэнергии, заработную плату управленческого
персонала и специалистов.
Вопрос об использовании собственного склада возникает, если
объемы грузооборота выше Г б . Решение принимается на основе сопоставления разности затрат по использованию собственного и наемного складов с капитальными вложениями, необходимыми для
организации собственного склада.
5.9. Логистические центры. Состав типичного
регионального центра
В последнее время большинство логистических операций во
всем мире осуществляется в логистических центра. Различаются два
типа логистических центров:
– региональные,
– логистические центры предприятия.
Региональные логистические центры имеют второе более точное
название – «мультимодальные грузовые терминалы». Как правило,
это крупные, хорошо оснащенные предприятия, предназначенные
для оказания услуг другим предприятиям. Спектр их услуг обычно
очень широк, поэтому региональные логистические центры имеют
большое число различных подразделений, предназначенных для их
оказания. Региональные логистические центры обычно специализируются на массовой переработке грузов по заказам различных компаний.
Логистические центры предприятий (компаний) очень многообразны. И структура зависит от профиля и размеров предприятия. На
89
мелких предприятиях это может быть небольшая группа специалистов-логистиков и 2-3 компьютера. На крупных фирмах (предприятиях) это подразделения с многочисленным штатом и значительным
количеством техники, объединенных в локальную сеть с выходом в
Интернет. Главная трудность создания логистических центров заключается в остром дефиците высококвалифицированных кадров. По
этой причине многие небольшие предприятия предпочитают не создавать собственные центры, а пользуются услугами региональных
логистических центров.
Ядром логистического центра является его информационноаналитический центр, который осуществляет управление всеми информационными, финансовыми и материальными потоками, циркулирующими в нем. Другими основными подразделениями логистических центров являются:
– крупные складские помещения, оборудованные приспособлениями для погрузки, разгрузки и комплектации грузов;
– открытые контейнерные площадки;
– железнодорожная станция, обеспечивающая подачу вагонов
непосредственно к различным складам и контейнерным площадкам;
– морской или речной порт;
– площадки для ожидания разгрузки и погрузки автомашин;
– парк авто- и электропогрузчиков, обеспечивающих перевозку
контейнеров международного стандарта;
– парк кранов, которые используются для судов, не приспособленных для горизонтального способа погрузки;
– административные здания со вспомогательными помещениями;
– служба связи;
– служба безопасности, обеспечивающая сохранность материальных ценностей и безопасность как сотрудников логистических
центров, так и их клиентов.
Региональные логистические центры не всегда имеют полный
перечень перечисленных подразделений. В зависимости от конкретных условий, уровня спроса часть из них может отсутствовать.
5.10. Логистические центры в России
В 1998 г. в Санкт-Петербурге образовался транспортный логистический центр, при содействии которого предполагалось сократить
90
время прохождения груза через пограничные переходы в 2 и более
раза. Учредителями данного центра является ассоциация экспедиторов Санкт-Петербурга, региональные таможенные структуры и ассоциация пользователей электронной передачи данных. В России сейчас формируются два крупнейших логистических центра:
– Санкт-Петербургский логистико-терминальный центр «Шушары» мощностью до 3 млн.т/год или около 2,5 млрд.долл. товарооборота. Площадь 100 – 110 га, предлагаемый срок окупаемости 6,5 – 8
лет. Примыкает к Московскому шоссе, находясь на пересечении железнодорожных путей и автодорог в непосредственной близости
порта Сантк-Петербург и аэропорта «Пулково».
– «Московский терминал». Программа логистического центра на
10 – летний период оценивается в 2,5 млрд. долл. при сроке окупаемости в 5, 6 лет. Предполагаемая чистая прибыль 7,5 млрд.долл.
Планируется также строительство следующих логистических
центров:
– В республике Татарстан. Республика Татарстан расположена
на пересечении крупных транспортных путей и поэтому является
удачным местом для размещения логистических центров. Судоходные пути по Волге и Каме связывают его со многими городами в
России. В республике находится стратегически важный перекресток
железнодорожных магистралей.
– В порту Находка. Через этот порт проходят значительные по
объему грузопотоки. На настоящее время выполнено техникоэкономическое обоснование, разработан проект и начато строительство. Стоимость проекта сравнительно невелика, так как уже имеется
хорошо оборудованный порт и железнодорожная станция. Основные
проблемы
связаны
с
формированием
информационноаналитического центра.
– В Ростове-на-Дону. Данный центр предназначен для обслуживания большей части Юга России.
5.11. Интеграция России в мировую логистическую сеть
Одним из основных приоритетов внутренней и внешней политики России в современных условиях является ускоренная интеграция
её торгового и транспортного комплексов в мировое логистическое
пространство, создание благоприятных условий для свободного перемещения товаров, услуг, капитала, рабочей силы. На решение этих
91
задач нацелен ряд президентских программ («Дороги России»,
«Внутренние водные пути России»), федеральные программы («Возрождение Волги», «Возрождение торгового флота России» и т.д.).
В 1994 г. на Второй Общеевропейской конференции по транспорту, состоявшейся на острове Крит, определены девять трансъевропейских коридоров между Западом и Востоком Европы.
Достигнутые результаты в реализации девяти критических коридоров были рассмотрены на Третьей Общеевропейской конференции в Хельсинки в 1997 г., а также на Международной Евроазиатской конференции по транспорту в мае 1998 г. в Санкт-Петербурге.
Наиболее приоритетными направлениями развития комбинированных перевозок являются:
1) направление Север – Юг: Балтика (Санкт-Петербург и окружающие порты) – центр (Москва и прилегающие области) – Черное
море (Ростов-на-Дону, Новороссийск, Туапсе);
2) направление Запад – Восток: Берлин – Варшава – Минск –
Москва – Нижний Новгород с выходом в Сибирь и Юго-Восток;
3) направление Южное: Волго – Донской транспортный коридор, соединяющий регионы Черного, Азовского и Каспийского морей.
Основная логистическая задача, реализуемая международными
транспортно- логистическими системами, – согласование режимов
производства и потребления с сервисным режимом подачи транспортных средств, пограничной и таможенной разработкой, хранением, переработкой и распределением продукции.
92
ГЛАВА 6. ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА
ЛЕКЦИЯ 11
6.1. Сущность и задачи транспортной логистики
Значительная часть логистической операции на пути движения
материального потока от первичного источника сырья до конечного
потребителя осуществляется с помощью различных транспортных
средств. Затраты на выполнение этих операций составляют до 50
процентов общих затрат на логистику.
Транспорт представляет собой систему, состоящую из двух подсистем: транспорт общего и необщего использования.
Транспорт общего использования обслуживает сферу обращения
и населения. Его часто называют магистральным. Понятие транспорта общего пользования охватывает: железнодорожный транспорт,
водный (морской и речной), автомобильный, воздушный, трубопроводный.
Транспорт необщего пользования включает внутрипроизводственный транспорт, а также транспортные средства всех видов, принадлежащие не транспортным предприятиям.
Транспорт органично вписывается в производственные и торговые процессы. Поэтому транспортная составляющая участвует во
многих задачах логистики. Вместе с тем существует достаточно самостоятельная транспортная область логистики.
К задачам транспортной логистики в первую очередь относят
задачи, решение которых усиливает согласованность действий непосредственных участников транспортного процесса. К таким задачам
относятся:
– обеспечение технического соответствия участников транспортного процесса (техническое соответствие означает согласованность как внутри отдельных видов, так и в межвидовом разрезе, которая позволяет работать с контейнерами, пакетами);
– технологическая сопряженность – подразумевает применение
единой технологии транспортировки, прямые перегрузки, бесперегрузочное сообщение;
– экономическая сопряженность – это общая методология исследования конъюнктуры рыка и построения тарифной системы, означающие согласование экономических интересов участников
транспортного процесса;
– использование единых систем планирования (разработка и
93
применение различных планов графиков для различных видов транспорта);
К задачам транспортной логистики также относят:
– создание транспортных коридоров;
– выбор вида транспорта;
– выбор маршрута транспортировки грузов;
– составление расписаний.
6.2. Логистический подход к организации
транспортного процесса
Существуют два основных подхода к организации транспортного процесса:
– традиционный;
– логистический, с участием оператора мультимодальной перевозки.
При традиционном подходе единая функция управления сквозным материальным потоком отсутствует. Согласованность звеньев в
вопросах продвижения информации и финансов низка, так как некому координировать их действия. Традиционный подход к смешанной
перевозке представлен на рис. 6.1.
Отправитель
груза
Экспедитор
№1
1-ый вид транспортировки
2-ой вид транспортировки
Экспедитор
№2
Получатель
Р и с. 6.1. Схема традиционного подхода к смешанным перевозкам:
информационный и финансовый потоки;
материальный поток.
При логистическом подходе к смешанной перевозке появляется
новый участник транспортного процесса — единый оператор мультимодальной перевозки. Наличие единого оператора создает возможность планировать продвижение материального потока и добиваться заданных параметров на выходе. Логистический подход к
смешанной перевозке приведен на рис. 6.2.
94
Единый оператор мультимодальной перевозки
Отправитель
груза
Экспедитор
№1
1-ый вид транспортировки
2-ой вид транспортировки
Экспедитор
№2
Получатель
Р и с. 6.2. Схема логистического подхода к смешанным перевозкам
6.3. Выбор транспортного средства с учетом логистики
Выбор вида транспорта, оптимального для конкретной перевозки, определяется информацией о характерных особенностях различных видов транспорта с точки зрения логистики.
Автомобильный транспорт традиционно используется на короткие расстояния (раньше 50 – 100 км, сейчас 200 – 300 км.). Одно
из основных преимуществ — высокая маневренность. Этот вид
транспорта обеспечивает регулярность поставки, а также возможность поставки малыми партиями. Здесь, по сравнению с другими
видами, предъявляются менее жесткие требования к упаковке товара.
Груз может доставляться от «дверей до дверей» с необходимой
степенью срочности. Основными его недостатками являются:
– сравнительно высокая себестоимость перевозок;
– возможность хищения груза и угона автотранспорта;
– сравнительно малая грузоподъемность;
–экологически неблагоприятен.
Железнодорожный транспорт.
Преимущества:
– хорошая приспособленность для перевозки различных партий
грузов при любых погодных условиях;
– возможность доставки груза сравнительно быстро на большие
расстояния;
– невысокая себестоимость перевозки.
К недостаткам железнодорожного транспорта следует отнести:
– ограниченное количество перевозчиков;
– низкая возможность доставки к пунктам потребления, т. е. при
отсутствии подъездных путей железнодорожный транспорт должен
дополняться автомобильным.
Морской транспорт является основным (самым крупным) перевозчиков в международных перевозках.
Его основные преимущества – низкие грузовые тарифы и высо95
кая провозная способность.
К недостаткам относят его низкую стоимость, жесткие требования к упаковке и креплению грузов, малую частоту отправок, зависимость от погодных и навигационных условий.
Кроме того, морской транспорт требует создания сложной портовой инфраструктуры.
Речной транспорт.
Основное преимущество – низкие грузовые тарифы. При перевозках грузов весом 100 т на расстояние более 250 км этот вид транспорта – самый дешевый.
К недостаткам относят малую скорость доставки, низкую доступность в географическом плане.
Воздушный транспорт.
Основное преимущество – большая скорость, возможность достижения отдельных районов, высокая сохранность грузов. К недостаткам относят высокие грузовые тарифы и зависимость от метоусловий.
Трубопроводный транспорт.
Обеспечивает низкую себестоимость при высокой пропускной
способности. Степень сохранности на этом виде транспорта высока.
Недостатком является узкая номенклатура подлежащих транспортировке грузов.
Выделяют шесть основных факторов, влияющих на выбор вида
транспорта. В табл. 6.1 дается оценка различных видов транспорта по
каждому из этих факторов.
Единице соответствует наилучшее значение. Экспертная оценка
значимости различных факторов показывает, что при выборе транспорта в первую очередь принимают во внимание:
– надежность соблюдения графика доставки;
– время доставки;
– стоимость доставки.
Данные таблицы могут служить лишь для приближенной оценки
соответствия того или иного вида транспорта условиям конкретной
перевозки.
96
Т а б л и ц а 6.1
Надежность
соблюдения
графика
3
4
3
2
2
3
4
2
5
2
4
2
1
3
1
3
4
1
5
1
1
5
5
5
1
3
5
4
4
2
Стоимость
перевозки
Частота отправлений
Железнодорожный
Водный
Автомобильный
Трубопроводный
Воздушный
Время доставки
Вид транспорта
Способность
перевозить
разные грузы
Способность
доставлять
грузы в любую геогр.
точку
Факторы, влияющие на выбор транспорта
6.4. Потоки на сетях. Постановка задачи
о максимальном потоке
Теория потоков возникла первоначально в связи с разработкой
методов решения задач, связанных с рациональной перевозкой грузов. Схема доставки груза представляется в виде графа, по ребрам
которого проходит поток этого груза. Позднее обнаружилось, что к
задаче о максимальном потоке сводятся и другие важные оптимизационные практические задачи, такие как:
– задачи отыскания минимального по стоимости плана выполнения комплекта работ при заданной его продолжительности;
– задачи определения максимального количества информации,
которая может быть передана по разветвленной сети каналов связи
из одного пункта в другой;
– задачи об оптимальных назначениях;
– различные задачи организации снабжения;
– задачи, связанные с наиболее экономным строительством
энергетических сетей, нефте- и газопроводов, железных и шоссейных
дорог (и другие прикладные задачи).
Основным в теории потоков является понятие сети.
Сеть – это конечный граф без циклов и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины I , которая является
входом (истоком) графа, к вершине S , являющейся выходом (стоком) графа.
97
Для наглядности будем представлять, что по ребрам ( i, j ) сети
из истока I в сток S направляется некоторое вещество (груз, ресурс,
информация и т. д.).
Ребрам сети присваивается одна или несколько числовых характеристик.
Общее количество вершин будем обозначать n . Максимальное
количество rij вещества, которое может пропустить за единицу времени ребро ( i, j ) , называют его пропускной способностью. В общем
случае rij ≠ rji . При этом первое число – пропускная способность от
вершины i к j , второе – в противоположном направлении.
Пропускные способности сети (рис. 6.3) удобно задавать квадратной матрицей n -го порядка. Поскольку rii = 0 , на главной диагонали этой матрицы стоят нули (см. табл. 6.2).
Количество вещества, проходящее через ребро ( i, j ) в единицу
времени, называется потоком по ребру ( i, j ) xij .
1
(1,1)
2
(3,5)
I
(4,2) 2
(2,7) 2
1
4
5
(6,6)
4
(4,1)
0 (3,9)
(5,8)
3
4
3
Р и с. 6.3. Граф сети
Т а б л и ц а 6.2
i, j
1
2
3
4
5
6
98
1
0
5
6
7
0
0
2
3
0
0
0
1
0
3
6
0
0
9
0
1
4
2
0
9
0
2
0
5
0
1
0
4
0
8
6
0
0
4
0
5
0
6
S
Произвольно задавать n 2 чисел нельзя. Они должны подчиняться определенным ограничениям, о которых речь впереди. А пока будем считать, что если поток из вершины i в вершину j равен xij то
поток из вершины j к вершине i равен − xij , т. е.
xij = − x ji .
(6.1)
Если поток по ребру xij меньше его пропускной способности, то
есть xij < rij , то ребро
( i, j )
называется ненасыщенным, если же
xij = rij – насыщенным.
Совокупность X = xij потоков по всем ребрам ( i, j ) сети называют потоком по сети или просто потоком.
Из физического смысла грузопотока следует, что поток по каждому ребру не может превышать его пропускаю способность:
xij ≤ rij .
(6.2)
Понятно, что для любой вершины, кроме источника I и стока
S , количества вещества, поступающего в эту вершину, равно количеству вещества, вытекающего из него, то есть
n
∑x
j =1
ij
= 0, i ≠ I , S .
(6.3)
Это условие называется условием сохранения потока, в промежуточных вершинах потоки не создают и не исчезают — отсюда
следует, что общее количество вещества, вытекающего из источника
I , совпадает с общим количествам вещества, поступающего в сток
S , то есть
n
n
j =1
i =1
f = ∑ xIj = ∑ xiS ,
(6.4)
где i – начальные вершины ребер, входящих в S ; j – конечные вершины ребер, исходящих из I .
Линейную функцию f называют мощностью потока на сети.
Учитывая вышеизложенное, задачу о максимальном потоке
можно сформулировать следующим образом: найти совокупность
X * = { xij* } потоков xij* всем ребрам сети ( i, j ) , которая удовлетворяет
условиям (6.1) – (6.3) и максимизирует линейную функцию (6.4).
Это типичная задача линейного программирования.
99
Заметим, что числа xij образуют квадратичную матрицу n -того
порядка, на главной диагонали которой стоят нули, а элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны по величине и
противоположны по знаку.
Отсюда следует, что задать поток X = { xij } на сети – означает
задать n 2 , чисел удовлетворяющих условиям (6.1) – (6.3).
Рассмотрим, как организовать какой-нибудь поток на сети
(см. рис. 6.3).
С этой целью рассмотрим, например путь 1 - 2 - 5 – 6 (см.
рис. 6.3) – это полный путь от источника к стоку. Ребро (2,5), лежащее на этом пути, не позволяет пропустить больше 1 единицы вещества. Следовательно, поток по указанному пути мощностью в 1 ед.
будет допустимым: x21 + x25 = ( − x12 ) + x25 = ( −1) + 1 = 0 .
На пути 1 - 4 - 5 - 6 можно пропустить 2 ед. вещества (лимитирующим является ребро 1 - 4).
На пути 1 - 3 - 6 можно пропустить 4 ед. вещества.
В результате потоки по ребрам равны: x12 = 1 , x13 = 4 , x14 = 2 ,
x25 = 1 , x36 = 4 , x56 = 1 + 2 = 3 , а по остальным ребрам сети потоки
равны нулю.
В соответствии с формулой (6.4) мощность сформированного
потока
f = x12 + x13 + x14 = x36 + x56 = 7 ед.
Чтобы ответить на вопрос, будет ли этот поток максимальным,
необходимо его исследовать, а пока запишем сформированный поток
в виде матрицы (табл. 6.3).
Т а б л и ц а 6.3
i, j
1
2
3
4
5
6
100
1
0
-1
-4
-2
0
0
2
1
0
0
0
-1
0
3
4
0
0
0
0
-4
4
2
0
0
0
-2
0
5
0
1
0
2
0
-3
6
0
0
4
0
3
0
ЛЕКЦИЯ 12
6.5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона
Пусть дана некоторая сеть. Разобьем множество вершин сети на
два не пересекающихся подмножества А и В так, чтобы исток I попал
в подмножество А, а сток S – в подмножество В. В этом случае говорят, что на сети произведен разрез, отделяющий источник I от стока
S. В результате произведенного разбиения вершин появятся ребра
( i, j ) , конечные точки которых окажутся в разных подмножествах.
Совокупность ребер ( i, j ) , начальные точки которых принадлежат
подмножеству А, а конечные – подмножеству В, называют разрезом
сети и обозначают A B .
На схеме (рис. 6.4) в скобках указана пропускная способность в
обоих направления, число потоков по ребру. Стрелкой указано направление положительного потока. На сети произведены два разреза
I и II.
I
II
2
(3,3)
1
(1,4)
4
2
(2,8)
(5,5)
(7,9)
5
4
(6,7)
(4,2)
4
3
Р и с. 6.4. Разрезы на сетях
При разрезе I вершины сети оказались разбитыми на подмножества А (1,2) и В (3,4,5), а ребрами, образующими разрез, стали (1,3),
(1,4) и (2,4). При разрезе II – А(1,2,3,4), В(5), а образующие ребра
(3,5) и (4,5).
Введем важные для дальнейшего изложения определения.
Величина
R = ( A | B ) = ∑ ∑ rij ,
(6.5)
i⊂ A j⊂ B
представляющая собой сумму пропускных способностей rij , называ101
ется пропускной способностью разреза.
Пусть на сети задан поток X = { xij } и произведен разрез ( A B ) .
Величина
X ( A | B ) = ∑ ∑ xij ,
(6.6)
i⊂ A j⊂ B
представляющая собой сумму потоков xij по всем ребрам разреза,
называется потоком через разрез.
Для разреза I:
R ( I ) = r13 + r14 + r24 = 6 + 2 + 1 = 9,
X ( I ) = x13 + x14 + x24 = 4 + 2 + 1 = 7.
Для разреза II:
R ( II ) = r45 + r35 = 4 + 5 = 9,
X ( II ) = x45 + x35 = 3 + 4 = 7.
Если на сети задан поток X = { xij } и произведен разрез A B , то
хотя бы одно ребро любого полного пути, ведущего из источника I в
сток S, будет обязательно принадлежать разрезу A B .
При этом величина потока по любому пути не превышает пропускную способность каждого его ребра, поэтому величина X суммарного потока, устремленного из источника I в сток S, не может
превысить пропускную способность любого разреза сети, то есть
(6.7)
∑ ∑ xij ≤∑ ∑ rij .
i⊂ A j⊂ B
i⊂ A j⊂ B
Оказывается, если удаётся построить на сети поток X = { xij } ,
величина которого равна пропускной способности некоторого разреза A B , то этот поток будет максимальным, а разрез A B обладает
минимальной пропускной способностью.
В самом деле, пусть для потока X = { xij } и разреза A B выполняется равенство
∑ ∑ x =∑ ∑ r
i⊂ A j⊂ B
*
ij
i⊂ A j ⊂ B
ij
,
(6.8)
но максимальным является не X * , а поток X = { xij } ; в таком случае
поток через разрез A* B* потока X% будет больше потока через этот
102
же разрез X * , то есть
∑ ∑ x% ≤∑ ∑ x
i⊂ A j⊂ B
или
ij
*
ij
i⊂ A j⊂ B
∑ ∑ x ≤∑ ∑ r
i⊂ A j⊂ B
*
ij
i⊂ A j⊂ B
*
ij
(6.9)
,
(6.10)
что противоречит неравенству (6.5).
Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.
Теорема Форда-Фалкерсона.
На любой сети максимальная величина потока из источника I в
сток S равна минимальной пропускной способности разреза, отделяющего I от S.
Эта теорема имеет важное прикладное значение.
6.6. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке
Пусть на сети задан некоторый поток X = { xij } . Разобьем все
вершины сети на два подмножества А и В следующим образом: к
подмножеству А отнесем исток I и все вершины i, достижимые из I
хотя бы по одному пути, состоящему из ненасыщенных ребер; к
подмножеству В отнесем все остальные вершины, то есть такие, которые нельзя достичь по ненасыщенным ребрам.
При этом возможны следующие случай:
1) сток S ∉ A ;
2) сток S ∈ A .
Рассмотрим оба этих случая.
Случай 1. Если S ∉ A , то S ∈ B , поэтому построенное разбиение
является разрезом A B . По условию разбиения для любой вершины
i ∈ A существует путь из I в i, состоящий из ненасыщенных ребер, а
для любой вершины j ∈ B такого пути нет. Отсюда следует, что любое ребро ( i, j ) разреза A B ( i ∈ A , j ∈ B ) будет насыщенным (иначе
j принадлежало бы А), то есть xij = rij . Просуммировав эти равенства
по всем i ∈ A , j ∈ B , получим
∑ ∑ x =∑ ∑ r
i⊂ A j⊂ B
ij
i⊂ A j ⊂ B
ij
.
(6.11)
В равенстве (6.11) слева X – величина потока через разрез, спра103
ва – пропускная способность разреза A B . По теореме ФордаФалкерсона следует, что поток X = { xij } является максимальным.
Случай 2. Если S ∈ A , то существует путь из ненасыщенных ребер, ведущий из I в S. По ребрам этого пути можно пропустить дополнительный поток величиной ∆ = min {rij − xij } . Потоки xij по всем
остальным ребрам сети остаются прежними. В результате мощность
суммарного потока возрастает на величину ∆ . Это будет новый поток X 1 = { xij1 } .
Объединяя оба рассмотренных случая, можно предположить
следующий алгоритм построения максимального потока.
1. Построить некоторый начальный поток X = { xij } .
2. Организовать процедуру составления подмножества А вершин, достижимых из источника I по насыщенным ребрам. Если в
этом процессе сток S не попадает в подмножество А, то построенный
поток максимальный и задача решена. Если же S попал в А, по перейти к пункту 3 алгоритма.
3. Выделить путь из I в S, состоящий из ненасыщенных ребер и
увеличить поток xij по каждому ребру этого пути на величину
∆ = min {rij − xij } , где минимум берется по ребрам ( i, j ) упомянутого
пути. Тем самым будет построен новый поток X 1 = { xij1 } . После этого
надо возвратиться к пункту 2 алгоритма.
При выполнении пункта 3 на каждом шаге по крайней мере одно
из ненасыщенных ребер становится насыщенным (именно то, которое соответствует ∆ ), а поскольку число ребер в сети конечно, через
конечное число шагов максимальный поток будет построен.
Пример.
Рассмотрим
сеть,
(2,2)
3
представленную на рис. 6.5.
2
(4,6)
2
Матрица R пропускных способ5
(1,5)
(7,3)
ностей данной сети задана табл. 6.4.
1
2
I 1
3 (5,7)
(8,3)
1
В соответствии с пунктом 1 ал(4,9)
горитма на сети необходимо сфор(2,5)
(4,6)
6 S
мировать какой-либо начальный по2
4
2
ток. Примем в качестве такого потока X 0 , в котором по пути 1–3–5–6
Р и с. 6.5
104
перемещают 2 единицы (по ребру (3,5) больше пропустить нельзя).
Т а б л и ц а 6.4
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
3
6
5
0
0
2
7
0
8
9
5
0
3
4
8
0
0
2
0
4
2
4
0
0
3
6
5
0
1
2
8
0
7
6
0
0
0
4
5
0
По пути 1–2–5–6 имеем 1 единицу: здесь лимитирующим является ребро (2,5); по пути 1–4–6 имеем 2 единицы. При этом ребро
(1,4) становится насыщенным. Матрица потока X 0 приведена
в табл. 6.5:
Т а б л и ц а 6.5
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
-1
-2
-2
0
0
2
1
0
0
0
-1
0
3
2
0
0
0
-2
0
4
2
0
0
0
0
-2
5
0
1
2
0
0
-2
6
0
0
0
2
3
0
Определим мощность потока:
f = x12 + x13 + x14 = 5 ,
f = x46 + x56 = 2 + 3 = 5.
Приступим к пункту 2 алгоритма. Составим матрицу ( R − X 0 ),
(
)
элементы которой rij − xij0 позволяют судить о насыщенности ребер
сети. Насыщенным ребрам будут соответствовать нулевые элементы,
а ненасыщенным – ненулевые (табл. 6.6).
Зная матрицу R − X 0 , можно сформулировать подмножество А
вершин, в которые можно попасть из истока I, двигаясь по ненасыщенным путям (пункт 2 алгоритма), а также выделить (если поток
X 0 не оптимален) эти пути и с их помощью увеличить мощность
105
потока.
Т а б л и ц а 6.6
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
4
8
7
0
0
2
6
0
8
9
6
0
3
2
8
0
0
4
0
4
0
4
0
0
3
8
5
0
0
0
8
0
10
6
0
0
0
2
2
0
Вершины подмножества А выделяют из всего подмножества
вершин постепенно, начиная с I. С этой целью просматривают первую строку матрицы R − X 0 и выписывают номера i1 , i2 ,..., ik вершин,
соответствующих ненулевым элементам строки. Это и будут вершины, в которые можно попасть из источника I, перемещаясь по ненасыщенным ребрам. Будем записывать полученные таким образом
вершины в виде I || i1 , i2 ,..., ik и называть подобную запись списком
вершины I. Далее рассматривают каждую из вершин ik полученного
списка и составляют для нее аналогичным образом свой список. При
этом вершины, встречающиеся в прежних списках, повторно не выписываются.
Если в этом процессе сток S не встретится, то поток максимален
и задача решена, если же при составлении очередного списка в нем
появится сток S, поток не максимален и мощность его можно увеличить.
В рассмотренном примере I = 1, S = 6. В первой строке матрицы
R − X 0 в список вершины 1 войдут вершины 2, 3– 1 || 2, 3; для вершины 2 – 2 || 4; для вершины 3 – 3 || •; для вершины 4 – 4 || 5, 6.
Получили набор списков. Сток S = 6 попал в список одной из
вершин. Значит , поток X 0 не максимален и существует путь из источника I в сток S (из 1 в 6), состоящий из ненасыщенных ребер.
Построение ненасыщенного потока большей мощности начинаем с последнего ребра этого пути ( i n −1 , S ) , где i n −1 – вершина, в список которой попал сток S. Ребром ( i n − 2 , i n −1 ) является ребро (2,4),
ребром ( I , i 1 ) – ребро (1,2). Таким образом, путь из истока в сток по
106
ненасыщенным ребрам пройдет через вершины 1, 2, 4, 6.
После выделения ненасыщенного пути из истока I в сток S остается c помощью матрицы R − X 0 определить величину
∆ = min {rij − xij } , на которую нужно увеличить поток по каждому
ребру ( i, j ) выделенного пути, чтобы получить новый поток X 1
мощности, большей на ∆ единиц.
В нашем примере по ребру (1,2) можно дополнительно пропустить 6 единиц; по ребру (2,4) – 4 единицы; по ребру (4,6) – 2 единицы. Значит, поток по всему пути 1–2–4–6, составленному из указанных ребер, можно увеличить на величину ∆ = min {6, 4, 2} = 2 (единицы).
Для построения матрицы нового потока X 1 к соответствующим
элементам матрицы X 0 прибавляют найденное значение ∆ = 2 и
возвращаются к пункту 2 алгоритма (табл. 6.7, 6.8).
Т а б л и ц а 6.7
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
–3
–2
–2
0
0
2
3
0
0
–2
–1
0
X1
3
2
0
0
0
–2
0
4
2
2
0
0
0
–4
5
0
1
2
0
0
–3
6
0
0
0
4
3
0
Т а б л и ц а 6.8
R − X1
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
6
8
7
0
0
2
4
0
8
11
6
0
3
2
8
0
0
4
0
4
0
2
0
0
3
10
5
0
0
0
8
0
10
6
0
0
0
0
2
0
При этом величина f :
107
f = 2+3+ 2 = 7 .
Приведем списки вершин по ненасыщенным путям:
1 || 2, 3,
2 || 4,
3 || • ,
4 || 5,
5 || 6.
Сток S оказался в подмножестве А, а путь, ведущий к нему, содержит ребра (1,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,5 ) , ( 5,6 ) ; тогда
∆ = min ( 4,2,8,2 ) .
Новый поток X получается путем увеличения соответствующим элементом потока X 1 . Соотвествующие вычисления приведены
в табл. 6.9 и 6.10.
2
Т а б л и ц а 6.9
i, j
1
2
3
4
5
6
1
0
-5
-2
-2
0
0
X2
2 3
5 2
0 0
0 0
-4 0
-1 -2
0 0
4
2
4
0
0
-2
-4
5
0
1
2
2
0
-5
6
0
0
0
4
5
0
Списки вершин по ненасыщенным путям:
1||2, 3,
2||3,
3 || • .
Т а б л и ц а 6. 10
R− X2
i, j
1
2
3
4
5
6
Здесь имеем f = 9 .
108
1
0
8
8
7
0
0
2
2
0
8
13
6
0
3
2
8
0
0
4
0
4
0
0
0
0
5
10
5
0
0
0
6
0
12
6
0
0
0
0
0
0
Далее, списки вершин по ненасыщенным путям:
1 || 2, 3,
2 ||•,
3 || • .
Сток 6 не попал в подмножество А вершин, достижимых из источника 1 по ненасыщенным путям. Значит, поток X 2 максимален.
Остается нанести его на сеть с указанием направления потоков по
отдельным ребрам (рис. 6.6).
3
2
2
5
1
1
5
2
2
5
4
2
4
6
4
Р и с. 6.6
Используя список, выделим подмножества А и В, на которые
оказалось разбитым множество всех вершин: А={1, 2, 3}, В={4, 5, 6}.
Отсюда можно выписать ребра, образующие разрез А | В минимальной пропускной способности: (1, 4); (2, 4); (2, 5); (3, 5). В итоге получим:
f = 2 +1+ 4 + 2 = 9 .
6.7. Приложение алгоритма о максимальном потоке
к решению транспортной задачи по критерию времени
Приложением задачи о максимальном потоке является транспортная задача по критерию времени.
Пусть известны запасы груза ai
спрос b j
( j = 1,n ) потребителей B
j
( i = 1,m )
у поставщиков Ai ,
и tij – время поставки груза (не-
зависимо от объема поставки) по маршруту Ai — B j . Требуется составить план перевозок, при котором спрос, реализуемый за минимальное время, удовлетворяется полностью.
109
Если суммарный запас груза совпадает с суммарным спросом, то
есть
m
n
i =1
j =1
∑ ai = ∑ b j ,
(6.12)
то задачу называют закрытой, в противном случае – открытой.
Составим математическую модель задачи. Обозначим через xij
количество груза, планируемое к перевозке из i-го пункта поставки в
j-ый пункт потребления. Через t – время наиболее продолжительной
перевозки. Оптимальным будет план ( x11 , x12 ,..., xmn ) , самая продолжительная перевозка которого минимизируется. Модель закрытой
задачи имеет вид
min t = max tij ,
(6.13)
n
∑x
j =1
ij
m
∑x
i =1
ij
x ij > 0 ,
{
(6.14)
= ai , i = 1,m ,
(6.15)
= b j , j = 1,n ,
(6.16)
xij ≥ 0 .
(6.17)
Как видно, целевая функция является нелинейной. Обратные перевозки не предполагаются.
Решаем задачу сведением ее к задаче о максимальном потоке.
Для этого строится сеть с m+n+2 вершинами, из которых m вершин соответствуют поставщикам Ai, а n – потребителям Bj, две оставшиеся соответствуют истоку I и стоку S.
Пропускные способности ребер полагают равными:
rIAi = ai , rAi I = 0 , rB j S = b j , rSB j = 0 , rAi B j = rB j Ai = ∞ .
(6.18)
У ребер ( Ai , B j ) проставляют времена tij доставки груза. Время
доставки по ребрам
( I , Ai )
и
(B ,S )
j
считаются равными нулю:
t IAi = t B j S = 0 . Граф транспортной сети приведен на рис. 6.7.
110
t11
A1
(a1,0)
I
∑ ai
(ai,0)
(am,0)
B1
t1j
(b1,0)
t1n
ti1
tij
Ai
tin
Bj
(bj,0)
tm1 tmj
Am
tmn
S
∑ bj
(bn,0)
Bn
Р и с. 6.7. Граф транспортной сети
После построения сети отыскивается поток заданной мощности:
f max = ∑ ai = ∑ b j ,
(6.19)
при котором max tij достигает минимальной величины. В процессе
этого поиска при наличии альтернативы исключаются из рассмотрения маршруты с более продолжительными поставками. Решение заканчивается, когда замена более продолжительных маршрутов менее
продолжительными невозможна.
Другими приложениями задачи о максимальном потоке являются:
– задача определения максимальной пропускной способности
трубопровода для транспортировки груза угольной пульпы от угольных шахт к электростанциям;
– определение максимальной пропускной способности (максимального потока) сети трубопроводов для транспортировки сырой
нефти от буровых скважин до нефтеперегонных заводов и целый ряд
других задач.
ЛЕКЦИЯ 13
6.8. Задача нахождения кратчайшего пути
Задача состоит в нахождении связанных между собой дорог на
транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную
длину от исходного пункта до пункта назначения.
Введем обозначения: d ij – расстояние на сети между смежными
111
узлами i , j ; u j – кратчайшее расстояние между узлами i , j ; u1 = 0 .
Формула для вычисления u j :
кратчайшее растояние




до
предыдущего
узла
i


U j = min 
 = min ( ui + dij ) .
плюс
расстояние
между


 узлом j и предыдущим узлом i 
Из этой формулы следует, что кратчайшее расстояние u j до узла j можно вычислить лишь после того, как определено кратчайшее
расстояние до каждого предыдущего узла, соединенного дугой с узлом j . Процедура завершается, когда получено u j последнего звена.
Пример. Рассмотрим граф, представленный на рис. 6.8.
5
2
2
11
10
1
5
6
7
4
7
9
4
3
1
6
Р и с. 6.8
Определить кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7.
Решение. Найдем минимальные расстояния:
u1 = 0 ,
u3 = u1 + d12 = 0 + 2 = 2 ,
u3 = u1 + d13 = 0 + 4 = 4 ,
u4 = min {u1 + d14 ; u2 + d 24 ; u3 + d34 } = min {0 + 10;2 + 11; 4 + 3} = 7 ,
u5 = min {u2 + d25 ; u4 + d 45 } = min {2 + 5;7 + 8} = 7 ,
u6 = min {u3 + d36 ; u4 + d 46 } = min {4 + 1;7 + 7} = 5 ,
u7 = min {u5 + d56 ; u6 + d67 } = min {7 + 6;5 + 9} = 13 .
Минимальное расстояние между узлами 1 и 7 равно 13, а соот112
ветствующий маршрут содержит узлы 1–2–5–7.
К такой задаче сводится целый ряд задач, таких как:
– задача о замене оборудования;
– построение критического пути в сетевых графиках;
– построение сетей максимальной надежности;
– рациональное размещение пунктов обслуживания и т.д.
Существует ряд алгоритмов нахождения кратчайшего пути. Из
них самыми известными являются:
– алгоритм Дейкстры;
– алгоритм Флойда;
– алгоритм Форда-Фалкерсона.
Алгоритм Дейкстры разработан для нахождения кратчайшего
пути между заданным исходным узлом и любым другим узлом сети.
Алгоритм Флойда более общий, поскольку он позволяет одновременно найти минимальные пути между любыми двумя узлами
сети.
6.9. Решение задачи методом Форда-Фалкерсона
Остановимся подробнее на алгоритме Форда-Фалкерсона.
Алгоритм может быть использован для нахождения кратчайших
путей на графах, если вести поиск от некоторой вершины до всех
остальных вершин. Алгоритм относится к числу итерационных.
При расчете графов на ЭВМ информацию о графе удобно хранить в матричном виде. Граф обычно задается с указанием длин дуг,
поэтому записывается матрица весов дуг. Такая матрица квадратная
с числом строк (столбцов), равным числу вершин графа. На пересечении i-ой строки и j-го столбца в ней ставится:
– 0, если i = j (либо это отсутствующая петля, либо длина дуги
равна 0);
– l , если имеется связь u ( i, j ) из вершины i в вершину j , где
l – длина дуги из i в j ;
– ∞ , если нет связи из i в j .
При практической реализации на ЭВМ вместо ∞ можно использовать достаточно большое число.
В качестве примера рассмотрим граф, изображенный на рис. 6.9.
113
1
4
3
3
4
5
1
5
3
2
2
5
Р и с. 6.9
Здесь матрица смежности вершин имеет вид
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0


V = 0 0 0 1 0 ,


0 0 0 0 1 
 0 1 1 0 0 
матрица весов дуг –
 0 5 4 7 10 
∞ 0 1 4 7 


[Сmin ] = ∞ 8 0 3 6  ,


∞ 5 5 0 3 
∞ 2 3 6 0 
а матрица кратчайших путей –
 0 5 4 ∞ ∞
∞ 0 1 ∞ ∞ 


[Сmin ] = ∞ ∞ 0 3 ∞  .


∞ ∞ ∞ 0 3 
∞ 2 5 ∞ 0 
6.10. Нахождение общей медианы графа
Обозначим через q – числовую характеристику – вес вершин
графа.
114
Пусть граф является, например, моделью процесса транспортировки деталей между станками механического участка. Тогда под
весами вершин можно понимать производительность станка (число
обработанных деталей в ед. времени) или пропускную способность
железнодорожного узла.
Внешним передаточным числом W1 вершины с номером 1 графа
называется результат выражения:
W1 = Cmin (1,1) q1 + Cmin (1, 2 ) q2 + ... + Cmin (1, k ) qk ,
(6.20)
где k – число вершин графа, Cmin (1, j ) – элементы 1-ой строки мат-
рицы кратчайших путей [Cmin ] .
Если внешние передаточные числа всех вершин графа записать в
виде вектор-столбца [W ] , а веса вершин в виде вектор-столбца [ q ] ,
то
(6.21)
[W ] = [Cmin ] ⋅ [ q ] .
Внешней медианой графа будем называть вершину графа, для
которой внешнее передаточное число минимально.
Внутренним передаточным числом t1 вершины с номером 1 графа называется результат выражения:
t1 = Cmin (1,1) q1 + Cmin ( 2,1) q2 + ... + Cmin ( k ,1) qk .
(6.22)
Если внутренние передаточные числа всех вершин графа записаны в виде вектор-столбца [t ] , то можно записать:
[t ] = [Cmin ] ⋅ [ q ] ,
T
где [Cmin ] – транспонированная матрица [Cmin ] .
T
(6.23)
Внутренней медианой графа называется вершина, для которой
внутреннее передаточное число минимально.
Если сложить два вектора [W ] и [t ] , получим новый вектор:
(6.24)
[ f ] = [W ] + [t ] .
Минимальный элемент вектора [ f ] указывает своим индексом
на номер вершины, которую называют общей медианой графа G .
Таким образом, общая медиана графа характеризуется минимальной суммой внутреннего и внешнего передаточных чисел.
Пример. В цехе имеются 5 участков, объединенных в сеть посредством транспортных связей. Каждый участок производит неко115
торую продукцию и нуждается в обслуживании (настройке) инструментом. Инструмент доставляется на участок настройки немедленно
после обнаружения погрешности. Сведения об относительной производительности участков [ q ] и расстояниях между ними даны на графе (рис. 6.10). Где следует выбрать место для участка настройки,
чтобы временные затраты на транспортировку были минимальными?
5
2
4
3
4
6
1
10
3
15
5
Р и с. 6.10
Требуется выбрать из 5 участков один, для которого транспортировка от него и обратно наиболее выгодна. Относительная потребность в настройке будет считаться пропорциональной производительности.
Матрица весов дуг графа – модели механического цеха, имеет
вид:
 0 3 10 ∞ ∞ 
 3 0 ∞ 5 ∞


[С ] = 10 ∞ 0 6 15 .


∞ 5 6 0 4 
 ∞ ∞ ∞ 4 0 
Матрица кратчайших путей –
 0 3 10 8 12 
 3 0 11 5 9 


[Сm×n ] = 10 11 0 6 10 ;


8 5 6 0 4
12 9 10 4 0 
матрица весов вершин –
116
2
3
 
[ q ] = 1  ;
 
5 
 3 
матрица внешних передаточных чисел –
 9 + 10 + 40 + 36   95 
 6 + 11 + 25 + 27   69 

  
[W ] = [Cmin ] ⋅ [ q ] =  20 + 33 + 30 + 30  = 113 ;

  
 16 + 15 + 6 + 12   49 
 24 + 27 + 10 + 20   81 
матрица внутренних передаточных чисел –
 0 3 10 8 12   2   95 
 3 0 11 5 9   3   69 

    
[t ] = 10 11 0 6 10 ⋅ 1  = 113 .

    
 8 5 6 0 4   5   49 
12 9 10 4 0   3   84 
Тогда вектор-столбец f задается в виде:
190 
138 


f = [ w] + [t ] =  226  .


 98 
162 
Минимальный элемент вектора f равен 98, поэтому необходимым
свойством будет обладать участок 4 (рис. 6.10), которому в модели
на графе соответствует общая медиана.
6.11. Расчет надежности сетей
При решении этой задачи на графе каждой дуге ставится в соответствие надежность перемещения груза по дуге сети (т.е. вероятность безотказной работы).
Рассмотрим пример. Исследуется система перемещения груза по
117
городским улицам. Служба движения располагает статистическими
данными о вероятности безаварийного проезда автотранспорта по
той или иной улице в том или ином направлении.
Задача моделируется графом (рис. 6.11), вершины которого –
перекрестки (или характерные объекты, с помощью которых можно
описать путь перемещения грузов).
Р1
Р2
Р3
Р и с. 6.11
Веса дуг – вероятности безаварийного проезда.
Требуется определить вероятности безаварийного проезда по
тому или иному пути, т.е.вероятность безопасного перемещения по
пути (см. рис. 6.11), которая определяется произведением вероятностей
Ps = P1 ⋅ P2 ⋅ P3 .
(6.25)
Учитывая, что нас интересует максимально безопасный путь,
потребуем, чтобы Ps = max .
Прологарифмируем выражение (6.25):
ln ( Ps ) = ln ( P1 ) + ln ( P2 ) + ln ( P3 ) .
(6.26)
С учетом того, что вероятности безопасного проезда находятся в
интервале от 0 до 1, ln ( Pi ) < 0 .
Путь с вероятностью безопасного проезда близкой к 1 имеет отрицательный, близкий к 0, логарифм.
Наоборот, если путь отличается малой вероятностью безаварийного проезда, логарифм его отрицателен и близок к бесконечности.
Если же все значения логарифмов вероятностей безаварийного проезда умножить на (–1), тогда путь с малой вероятностью безаварийного проезда будет иметь очень большую положительную величину
(на графе – ∞ ), а путь с высокой вероятностью безаварийности будет характеризоваться малой положительной величиной.
Следовательно, для поиска пути с максимальной безаварийностью можно применить алгоритм поиска кратчайшего пути на заданном графе.
Дуги такого графа будут характеризоваться логарифмами вероятностей безотказного проезда, умноженными на (–1).
Проиллюстрируем вышеизложенное.
118
Пример. Исследуется система перемещения груза по городским
улицам. Имеются статистические данные о вероятности безаварийного проезда автотранспорта по той или иной улице в том или ином
направлении.
Задача моделируется графом (рис. 6.12), вершины которого –
перекрестки или характерные объекты, с помощью которых можно
описать пути перемещения грузов. Веса дуг – вероятности безаварийного проезда.
Требуется определить вероятности безаварийного проезда по
тому или иному пути.
2
0,4
0,5
0,3
1
0,8
0,9
5
3
0,5
0,7
4
Р и с. 6.12
Решение.
Составим матрицу [C ] :
1 0, 4 0,8 0,7 0 
0 1 0,3 0 0,5


[С ] = 0 0 1 0 0,9 .


0
1 0,5
0 0
0 0
0
0
1 
Проведем нижеследующие вычисления:
119
∞ 
 0 0,9153 0, 2231 0,3567
∞
0
1.204
∞
0,6931

∞
∞
0
0,1054  .
− ln ( C )  =  ∞


∞
∞
0
0,6931
∞
 ∞
∞
∞
∞
0 
Согласно алгоритма Форда-Фалкерсона, имеем:
 0 0,92(2) 0, 22(3) 0,36(4) 0,33(3) 
∞
0
1, 2(3)
∞
0,69(5) 

∞
0
∞
0,11(5)  .
− ln ( C )  =  ∞


∞
∞
0
0,69(5) 
∞
 ∞
∞
∞
∞
0 
Элементы полученной матрицы умножаем на (–1) и находим антилогарифм. В результате получаем матрицу вероятностей безаварийного проезда:
1 0, 4(2) 0,8(3) 0,7(4) 0,72(3) 
0
1
0,3(3)
0
0,5(5) 

1
0
0,9(5)  .
[ R ] = 0 0


0
0
1
0,5(5) 
0
0
0
0
0
1 
Например (см. рис. 6.12), максимальная вероятность безаварийного проезда по пути 1–3–5 равна 0,8·0,9=0,72.
120
ГЛАВА 7. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИЮ
АВТОТРАНСПОРТНЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЛЕКЦИЯ 14
7.1. Статистическая вероятность безотказной работы
и коэффициент безопасности
Производственная программа автотранспортного предприятия
включает производственные программы по эксплуатации и по техническому обслуживанию (ТО) и ремонту подвижного состава.
Для расчета производственной программы по эксплуатации подвижного состава используются два вида информации, характеризующие, с одной стороны, условия и интенсивность эксплуатации
автомобилей, а, с другой, – определяющие их техническое состояние.
Первый вид информации включает результаты моделирования плана
выполнения транспортных услуг – показателей перевозочного процесса: время движения на маршруте, продолжительность погрузоразгрузочных работ, продолжительность смены и т.д.
Второй вид информации, определяющий техническое состояние
автомобилей, включает периодичности проведения ремонтнопрофилактических воздействий (периодичности ТО-1, ТО-2, капитальных ремонтов), время простоя в ТО и ремонте, сроки службы
автомобилей и агрегатов, перечень стратегий проведения ремонта
подвижного состава и т.д. Вопросы методического и программного
обеспечения прогнозирования этих показателей рассмотрены в работе [5].
Основными итоговыми показателями расчета производственной
программы по эксплуатации подвижного состава являются коэффициент технической готовности, коэффициент выпуска, годовые пробеги автомобилей и провозные возможности автопредприятия
(ATП). Величина провозных возможностей АТП в значительной степени зависит от коэффициента выпуска автомобилей.
Коэффициент выпуска автомобилей, по существу, является вероятностью безотказной работы автомобилей. Действительно, вероятность безотказной работы это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. Статистически вероятность безотказной работы P(t) определяется отношением количества оставшихся работоспособных объектов N(t) к моменту наработки t
к общему числу объектов N(0):
121
P (t ) =
N (t )
N ( 0)
=1−
N ( 0) − N (t )
N (0)
=1−
r (t )
N ( 0)
,
(7.1)
где r ( 0 ) – количество отказавших объектов к моменту t.
Коэффициент выпуска автомобилей представляет собой отношение количества эксплуатирующихся к моменту t автомобилей Aэ
к общему количеству автомобилей в парке Acn – состав парка:
Апр
А
А − Аэ
aв = э = 1 − сп
=1−
,
(7.2)
Асп
Асп
Асп
где Апр – количество автомобилей, которые к моменту t простаивают
по различным причинам (находятся в ремонте, ТО-2, без водителя,
без шин, бездорожье, др.).
Простое сравнение формул (7.1) и (7.2) позволяет говорить о
том, что коэффициент выпуска автомобилей и вероятность безотказной работы автомобилей — понятия идентичные.
Безопасность работы общественного транспорта можно выразить через вероятность безотказной работы Q ( ∆T ) – свойство подвижного состава выполнять все свои рабочие функции (сохранять
работоспособность) на маршруте движения в заданных пределах в
течение определенного периода времени.
Используя теорию вероятности, выведем формулу определения
вероятности безотказной работы.
Если на маршруте l эксплуатируется Ni количество подвижного
состава l-го вида общественного транспорта и за период времени ∆T
mi из них выйдет из строя, то вероятность появления отказа подвижного состава на данном маршруте будет:
m
Pil ( ∆T ) = il .
(7.3)
N il
Согласно теории вероятности подвижной состав на маршруте
может находиться в двух состояниях: быть работоспособным или
неработоспособным. Тогда сумма их вероятностей
Pil ( ∆T ) + Q ( ∆T ) = 1 .
(7.4)
Отсюда вероятность безотказной работы на данном маршруте l равна:
122
mil N il − mil
=
.
(7.5)
N il
N il
Показатель безопасности i-го вида общественного транспорта на
маршруте l определяется по формуле:
Qilφ ( ∆T )
Si′ = НОМ
,
(7.6)
Qil ( ∆T )
Qil ( ∆T ) = 1 − Pil ( ∆T ) = 1 −
где QilНОМ ( ∆T ) – номинальная безотказность работы i-того вида
транспорта на маршруте l за определенный период времени ∆T . Номинальная безотказность работы принимается на основании существующих нормативных документов или устанавливается с использованием статистической отчетности работы i-того вида подвижного
состава на маршруте l за предыдущие плановые периоды времени
∆T .
7.2. Характеристика марковских процессов
Для моделирования коэффициента выпуска автомобиля воспользуемся аппаратом марковских дискретных случайных процессов
с непрерывным временем.
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским процессом (или «процессом без последействия») если он
обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0
вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от её состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от
того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как
развивался процесс в прошлом).
Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы S1 , S 2 , S3 … можно
перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит
в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) переходит из одного состояния в другое.
Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в
любой (наперёд неизвестный) случайный момент времени t.
На рис. 7.1 представлен граф состояний системы S.
123
Si
λji
λij
Sj
Sn
……
Р и с. 7.1. Граф состояний системы S
Здесь λij – известные плотности вероятности перехода для всех пар
состояний Si , S j ; n – число состояний. В общем случае λij = λij ( t ) :
λij = lim
Pij ( ∆t )
,
(7.7)
∆t
где Pij ( ∆t ) – вероятность того, что система, находившаяся в момент
∆t →0
времени t в состоянии Si , за время ∆t перейдет в состояние S j ,
i≠ j.
Зная размеченный граф состояний (граф с известными плотностями вероятности перехода), можно определить вероятности состояний как функции времени:
P1 ( t ) , P2 ( t ) ,..., Pn ( t ) .
(7.8)
Эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям
(ДУ) определённого вида, так называемым уравнениям Колмогорова:
dPi ( t )
= −∑ λij Pij ( t ) + ∑ λij Pj ( t ) .
(7.9)
dt
j
j
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько
стрелок связано с данным состоянием.
Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член
имеет знак «–», если в состояние – знак «+».
Каждый член равен произведению плотности перехода, соответ124
ствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
Решая эти уравнения, мы получим вероятности (7.8).
7.3. Анализ возможных состояний автомобиля
Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретными состояниями S0 , S1 ,..., S n , которая переходит из состояния в состояние под влиянием случайных событий (отказов). На стадии планирования работы автомобиля целесообразно рассматривать следующие состояния, в которых он может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями:
S0 – исправен, работает;
S1 – находится в капитальном ремонте (КР);
S2 – проходит ТО-2;
S3 – находится в текущем ремонте (ТР);
S4 – исправен, не работает по организационным причинам (без
водителя, без шин, без запасных частей);
S5 – не работает, снятие агрегата для отправки в капитальный
ремонт;
S6 – не работает, списание агрегата, замена на новый;
S7 – исправен, не работает (выходные и праздничные дни);
S8 – списывается.
Надо отметить, что в настоящее время вышеперечисленные состояния автомобиля планируются при разработке годовой программы работы АТП, при этом состояния S3 , S5 , S6 объединяются в одно состояние – «находится в ТР».
Для анализа процесса эксплуатации автомобиля как случайного
процесса с дискретными состояниями удобно воспользоваться геометрической схемой – так называемым графом состояний (рис. 7.2).
Граф состояний изображает возможные состояния автомобиля и
его возможные переходы из состояния в состояние. На рис. 7.2 через
λij и µij обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля
из состояния Si в состояние S j . Например, λ03 – плотность вероятности перехода автомобиля из состояния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ремонте».
125
μ10
λ08
S8
λ01
S0
λ07
S7
μ20
μ70
λ02
λ06
μ60
S6
S1
S2
μ30
λ05
S5
λ03
μ50
λ04
μ40
S3
S4
Р и с. 7.2. Граф состояний автомобиля
Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например,
потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные
или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет
марковским, а плотности вероятности перехода λij в непрерывной
цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий,
переводящего систему из состояния Si в состояние S j .
Рассматриваемые состояния автомобиля S j характеризуются
средним числом дней пребывания автомобиля в каждом состоянии
Дj. Показатели Дj находят отражение в статистической отчетности
АТП. Отношение
Дj
Pj =
,
(7.10)
Дk
где Д k – число календарных дней в году, можно трактовать как вероятность нахождения автомобиля в j-м состоянии.
Для определения расчётов необходимо знать значения интенсивностей перехода λij и µij то есть, характер их изменения. Эти
данные могут быть получены в результате статистической обработки
большого информационного материала.
126
7.4. Информационная база прогнозирования
транспортных услуг
Исходная статистическая информация, необходимая для определения λ0i ( L ) – интенсивности перехода из 0-го в i состояние;
µio ( L ) – интенсивности перехода из i-го в нулевое состояние; Ni(L) –
средней численности автомобилей, находящихся в состоянии i; lc –
среднесуточного пробега, может быть получена следующим образом. Величина среднесуточного пробега автомобилей, как правило,
определяется в результате моделирования перевозочного процесса. В
противном случае расчет может быть осуществлен с использованием
комплекса трендовых моделей прогнозирования, тогда в качестве
исходной информации используются динамические ряды среднесуточного пробега, полученные в результате обработки статистического материала конкретного АТП. Прогнозные расчеты пополнения
парка могут быть выполнены по различным методикам.
Распределение автомобилей по возрастным группам, определение среднего пробега с начала эксплуатации в каждой возрастной
группе и начальных численностей состояний (на начало планируемого периода) может быть проведено в следующей последовательности.
Распределение автомобилей по возрастными группам (по пробегу с начала эксплуатации) проводится путем определения номера
возрастной группы j, в которую попадает k-й автомобиль с данным
пробегом с начала эксплуатации Lн.э.
и подсчета числа автомобилей
r
Aj, попавших в эту группу:
 Lн.э. 
j= k .
(7.11)
 ∆L 
Средний пробег с начала эксплуатации для автомобилей j-й возрастной группы Lн.э.
определяется по формуле средней арифметичеk
ской величины. В принятых выше обозначениях она имеет вид
Aj
Lн.э.
=
r
∑L
k =1
Aj
н.э.
r
.
(7.12)
Далее подсчитывается число автомобилей N ij в j-й возрастной
127
группе, находящихся в i-м состоянии ( i = 1 ÷ 8 ) .
Вероятности i-го состояния автомобилей j-й возрастной группы
на начало планируемого периода определяются по формуле
N ij
Pij =
.
(7.13)
Aj
Остановимся теперь на определении параметров λ и µ модели
функционирования автопарка. Важность этого вопроса состоит в
том, что заданием множества параметров обеспечивается возможность получения различных альтернативных вариантов изменения
характеристик состояний автопарка (в том числе, P0 ( L ) = α B ,
P0 ( L ) + P4 ( L ) + P7 ( L ) = K ТГ ), так как совокупность временных характеристик состояний парка определяется уровнем параметров модели.
Анализ формирования уровня каждого параметра необходимо проводить на основе статистической информации конкретного АТП.
Интенсивность λ01 ( L ) «исправен – капитальный ремонт (КР)
автомобиля» будет зависеть от числа КР, которые предполагается
провести за период эксплуатации до списания:
F
λ01 ( L ) = ∑ ϕ j ( L ) ,
(7.14)
j =1
где ϕ j ( L ) – плотность распределения ресурса автомобиля до f -го
капитального ремонта.
Исходной информацией для моделирования ϕ f ( L ) могут служить:
– нормативные данные, откорректированные с учетом возраста
подвижного состава;
– статистические данные АТП о наработках до КР.
Последние наиболее объективно отражают сложившуюся практику
использования автомобилей.
Если полнокомплектный ремонт автомобилей не проводится, то
λ01 ( L ) = 0 .
Фактором, объясняющим уровень параметра λ01 ( L ) , является
ресурс до КР автомобиля, варьируя который, можно установить рациональные сроки службы автомобиля.
Интенсивность λ02 ( L ) «исправен – технической осмотр (ТО-2)»
128
определяется по формуле:
∞
λ02 ( L ) = ∑ f i ТО-2 ( L ) ,
(7.15)
i =1
где f i ТО-2 ( L ) – плотность распределения до i-го ТО-2.
Зная закон распределения f i ТО-2 ( L ) пробега до i-го ТО-2 и используя метод статистического моделирования, можно определить
поток ТО-2 и его изменение в зависимости от пробега с начала эксплуатации. Поток попадания автомобилей в ТО-2 стабилизируется,
начиная с определенного пробега L* , величина которого зависит от
модели автомобиля. На интервале пробега от 0 до L* поток ТО-2
может быть аппроксимирован, на интервале ( L* , ∞ ) интенсивность
λ02 ( L ) определяется по формуле:
λ02 ( L ) =
1
.
(7.16)
L
Основным фактором, объясняющим уровень λ02 ( L ) , является
периодичность проведения ТО-2.
Информационное, методическое и программное обеспечение
оценки периодичности проведения ТО-2 подробно рассмотрено [5].
Интенсивность λ03 ( L ) «исправен — текущий ремонт» представляет собой суммарный параметр потоков отказов деталей автомобиля, лимитирующих надежность (ДЛН) и приводящих к целодневным
простоям при устранении их отказов:
ТО-2
F
λ03 ( L ) = ∑ ω f ( L ) ,
(7.17)
j =1
где ω f ( L ) – параметр потока отказов f-ой детали, F – число ДЛН,
приводящих к целодневным простоям при устранении их отказов.
Параметр потока отказов деталей ω f ( L ) – основная характеристика нестационарного потока отказов – является фактором, объясняющим уровень λ03 ( L ) – средний возраст эксплуатации совокупности автомобилей определенной модели.
Отметим, что при отсутствии данных о параметрах распределений всех деталей, лимитирующих надежность автомобиля, параметр
потока отказов автомобиля λ03 ( L ) для прогнозирования коэффици129
ента выпуска можно моделировать, используя информацию о распределении наработки на отказ агрегатов автомобиля. Под отказом
агрегата здесь следует понимать замену неисправной детали, входящей в данный агрегат, в ходе текущего ремонта, которая требует разборки агрегата и приводит к целодневным простоям автомобиля в
текущем ремонте. Статистическая информация об отказах агрегатов
может быть получена на АТП из имеющейся отчетности.
Интенсивность λ04 ( L ) «исправен – исправен, простаивает по организационным причинам (нет водителя, нет шин, бездорожье и т.
п.)» можно принять постоянной величиной, зависящей от времени
простоя автомобилей по организационным причинам. Определяются
дни простоя по организационным причинам на основании статистической отчетности АТП. При установлении конкретной величины
λ04 ( L ) необходимо проанализировать простои автомобилей по причинам отсутствия работы, водителя, необеспеченности шинами, топливом, запасными частями и так далее, и разработать мероприятия
по снижению или устранению этих простоев.
Интенсивность λ05 ( L ) «исправен – снятие агрегата для отправки
его в КР» (агрегатный метод ремонта) определяется по формуле
M
K
kp
λ05 ( L ) = ∑∑ ϕ km
( L) ,
(7.18)
m =1 k =1
kp
где ϕkm
( L ) – плотность распределения наработки до k-го капитального ремонта агрегата, k = 1 ÷ K ; М – число учитываемых агрегатов
автомобиля. Величина λ05 ( L ) представляет собой параметр потока
отказов автомобиля, связанных с капитальным ремонтом (КР) его
агрегатов. Объясняющие уровень интенсивности λ05 ( L ) факторы –
параметры распределений пробегов до КР агрегатов автомобиля.
Интенсивность λ06 ( L ) «исправен – замена агрегата при списании» определяется по формуле
M
N
λ06 ( L ) = ∑∑ ϕ ncp ( L ),
(7.19)
m =1 n =1
где ϕncp ( L ) – плотность распределения наработки до списания n-то
агрегата, М – число учитываемых агрегатов. Величина λ06 ( L ) представляет собой параметр потока отказов автомобиля, связанных со
130
списанием его агрегатов.
Интенсивность λ07 ( L ) «исправен – исправен, не работает (выходные и праздничные дни)» можно принять постоянной величиной,
зависящей от времени простоя в выходные и праздничные дни. Учитывая, что большинство организаций грузоотправителей и грузополучателей в указанные дни, как правило, не работают, важным мероприятием, влияющим на уровень λ07 ( L ) , является согласование с
грузоотправителями режима работы подвижного состава в местах
погрузочно-разгрузочных работ.
Интенсивность λ08 ( L ) «исправен – списание автомобиля» определяется по формуле
f ( L)
λ08 ( L ) = c
,
(7.20)
1 − Fc ( L )
где f c ( L ) , Fc ( L ) – функция и плотность распределения пробега автомобиля до списания.
Объясняющими уровень λ08 ( L ) факторами являются параметры
распределения пробега автомобиля до списания.
Интенсивности восстановления µ10 и µ 20 не зависят от пробега
и принимаются равными обратным величинам времени нахождения
автомобиля в КР и ТО-2 соответственно.
Интенсивность восстановления µ30 определяется временем простоя автомобиля в ТР. Потребность в ТР выявляется в результате наблюдения за работой автомобиля на линии, в процессе контрольно–
диагностических работ и выполнения ТО. Поскольку возникновение
неисправностей, устраняемых при ТР, относится к категории случайных событий, то дать исчерпывающую конкретную количественную
характеристику данному виду ремонта не представляется возможным. Поэтому объем работ ТР и время на его проведение определяются (планируются) посредством удельных норм трудоемкости и
времени простоя на 1000 км пробега. Нормативы удельного времени
простоя в ТР устанавливаются статистически для подвижного состава одного типа при пробеге с начала эксплуатации, составляющем
50-75% пробега до первого КР.
Данные нормативы объема работ и времени их выполнения корректируются в зависимости от пробега с начала эксплуатации. Время
простоя автомобиля за одну постановку его в ТР можно определить,
131
разделив нормативное время простоя в ТР на параметр (интенсивность) потока отказов, связанных с ним, на одном и том же интервале пробега с начала эксплуатации автомобиля.
Рассчитанное таким образом время простоя автомобиля за одну
постановку его в ТР по интервалам пробега с начала эксплуатации
используется для определения интенсивности перехода «текущий
ремонт – исправен» на данных интервалах пробега µ30 j :
µ30 j =
1
,
dj
(7.21)
где d j – время устранения одного отказа на j-м интервале.
Полученные результаты могут быть аппроксимированы. Используемые в данных расчетах нормативы простоя автомобиля в ТР
не учитывают фактическую обеспеченность АТП производственнотехнической базой, уровень организации ТО и ремонта и ряда других
факторов. Это снижает реальность прогноза коэффициента выпуска.
Поэтому в основу определения µ30 ( L ) целесообразно положить фактические данные о времени простоя в ТР автомобилей исследуемого
АТП. Число отказов (заявочных ремонтов) автомобилей также устанавливается на основании статистической отчетности предприятия.
Фактическое время простоя автомобилей в ТР включает в себя и
время простоя в ожидании ремонта из-за отсутствия необходимых
запасных частей. Варьируя время простоя в ТР из-за отсутствия запасных частей, а, значит, и величину µ30 ( L ) , можно количественно
оценить изменение величины коэффициента выпуска автомобилей
α B в зависимости от обеспеченности АТП запасными частями и проанализировать влияние снабжения АТП запасными частями на конечные результаты работы предприятия.
Интенсивности восстановления µ 40 ( L ) , µ50 ( L ) , µ60 ( L ) , µ70 ( L )
можно приять постоянными величинами, не зависящими от пробега
L и определять по фактическому времени простоя на основании статистических данных конкретного АТП.
Для прогнозирования производственной программы АТП необходима информация о технико-эксплуатационных показателях работы подвижного состава. Эти данные получают по результатам моделирования перевозочного процесса. Вся информация разделяется на
постоянную, используемую для всех АТП, и переменную, включаю132
щую данные для каждого конкретного предприятия. Выделяются два
вида информации: нормативно-справочная и статистическая. Результаты обработки первичной статистической информации используются для прогнозирования параметра и ведущей функции потока отказов, коэффициента выпуска, которые, в свою очередь, образуют информационную базу для прогноза показателей производственной
программы АТП и прогноза потребности в материальных ресурсах,
необходимых для обеспечения прогнозируемой программы. При
этом характеристики нестационарного потока отказов представляют
собой постоянную информацию для АТП, имеющих близкие условия
эксплуатации, а коэффициент выпуска прогнозируется для каждого
конкретного парка дифференцированно по возрастным группам автомобилей каждой марки.
Исходная информация отличается значительным разнообразием
и большим объемом. Решение задачи прогнозирования производственной программы и необходимого материально-технического обеспечения с последующей экономической оценкой затрат на производство транспортных услуг практически можно реализовать только с
использованием ЭВМ.
ЛЕКЦИЯ 15
7.5. Расчет коэффициента выпуска автомобилей
и коэффициента технической готовности
Вероятности состояний автомобиля P1 , P2 ,..., Pn как функции
пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями
и непрерывным временем удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям (уравнениям Колмогорова), записываемым в виде:
n
n −1
∂P0 ( L )
= −l c ∑ λ0i ( L ) P0 ( L ) + ∑ µi 0 ( L ) Pi ( L ) ;

i =1
i =1
 ∂L
..........................

 ∂Pi ( L )
(7.22)

= −l c λ0i ( L ) P0 ( L ) − µi 0 ( L ) Pi ( L ) ;
 ∂L
..........................

 ∂Pn ( L )
 ∂L = −l c λ0 n ( L ) P0 ( L ) i = 1... n − 1,
133
где Pi ( L ) – вероятность нахождения автомобиля в i-том состоянии,
λ0i ( L ) – интенсивность перехода автомобиля из нулевого в i-тое со-
стояние, µ0i ( L ) – интенсивность перехода из i-того в нулевое со-
стояние, l c – коэффициент, отражающий связь между наработками в
километрах пробега (среднесуточный пробег).
Число уравнений в системе ДУ (7.22) зависит от числа состояний автомобиля. Вероятность нахождения автомобиля в состоянии
«исправен, работает» P0 ( L ) представляет собой коэффициент выпуска α В ( L ) , а сумма вероятностей P0 ( L ) + P4 ( L ) + P7 ( L ) – коэффи-
циент технической готовности автомобиля kТГ .
Поскольку большинство интенсивностей перехода зависят от
пробега, то решение системы (7.22) производится с помощью методов численного интегрирования.
Согласно расчётам, проведённым на основе статистических данных эксплуатации автомобиля, все потоки, переводящие автомобиль
из состояния в состояние, являются пуассоновскими или сводятся к
ним путём рассмотрения процесса эксплуатации на малых интервалах пробега (1-2 тыс. км) и корректировки исходного потока отказов
деталей для исключения последствия. Таким образом, процесс, протекающий в системе, является марковским.
7.6. Описание процесса функционирования
группы автомобилей
Необходимо учесть, что для расчета производственной программы АТП необходимо зачастую определять показатели работы
группы автомобилей определенной модели jj-го возраста (коэффициент выпуска и годовой пробег автомобиля jj-ой возрастной группы).
Для описания процессов, протекающих в системе транспортного обслуживания, воспользуемся специальным математическим аппаратом – теорией непрерывных марковских цепей. Этот аппарат даёт
возможность составить линейные дифференциальные уравнения для
вероятностей состояний, а также линейные алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний, отражающих относительное время пребывания в каждом из них.
В случаях, когда число состояний велико, и требуется найти
средние значения характеристик процесса, используют «метод дина134
мики средних». Удобство его заключается в том, что, зная возможные состояния одного (условного) автомобиля, можно моделировать
процесс функционирования группы из любого числа автомобилей.
Схема, изображающая процесс работы условного автомобиля
определенной модели, аналогична схеме (рис. 7.2) лишь с той разницей, что через λij и µij обозначены средние интенсивности потоков
событий, переводящих группу автомобилей из состояния Si в состояние S j и наоборот. При этом каждое состояние характеризуется
средней численностью автомобилей N j ( t ) , находящихся в нем в
момент времени t.. Очевидно, что для любого t сумма численностей
всех состояний равна общей численности автомобилей исследуемой
группы:
n
N = ∑ N j (t ) .
(7.23)
j =0
Величина N j ( t ) для любого t представляет собой случайную величину, а вообще, при меняющемся t – случайную функцию времени.
Зная граф состояний и соответствующие интенсивности перехода λij и µij , определим средние численности автомобилей
N 0 ( L ) , N1 ( L ) , N 2 ( L ) ,..., N n ( L ) как функции пробега L.
Согласно графу состояний система дифференциальных уравнений для средних численностей состояний запишется следующим образом:
n
n −1
∂N 0 ( L )
=
−
l
N
L
λ
L
+
µi 0 ( L ) N i ( L ) ,
(
)
(
)

∑
∑
c 0
0i
i =1
i =1
 ∂L
..........................

 ∂N i ( L )
(7.24)

= −l c N 0 ( L ) λ0i ( L ) P0 ( L ) − µi 0 ( L ) N i ( L ) ,
 ∂L
..........................

 ∂N n ( L )
 ∂L = −l c N 0 ( L ) λ0 n ( L ) .
Отношение
N0 ( L )
равно коэффициенту выпуска автомобилей опреN
деленной модели на пробеге L с начала их эксплуатации, а отноше135
 N 0 ( L ) + N 4 ( L ) + N 7 ( L ) 
ние 
– коэффициенту технической готовN
ности автомобилей.
Рассмотрим все потоки событий, переводящие условный автомобиль из состояния в состояние. Характер потока отказов автомобиля, переводящего условный автомобиль из состояния «исправен,
работает» в состояние «находится в текущем ремонте», не изменяется. При определении его величины учитывается возрастная структура автомобилей данной модели.
Как указывалось, наработка до первого капитального ремонта
автомобиля подчиняется нормальному закону распределения с коэффициентом вариации 0,1 – 0,33. Вместе с тем следует отметить значительное абсолютное рассеивание пробегов до первого капитального ремонта автомобиля в исследуемых группах подвижного состава.
Размах между минимальным и максимальным пробегами может
составить примерно пробег, равный среднему пробегу до первого
капитального ремонта этих автомобилей.
Таким образом, поток событий, который переводит автомобиль
в состояние «капитальный ремонт», протекает на значительном интервале пробега. В этом потоке интенсивность λ01 ( L ) (среднее число
событий в единицу пробега) зависит от пробега, то есть поток является нестационарным.
Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1-2 тыс. км)
интенсивность λ01 ( L ) меняется сравнительно медленно. В этом случае закон распределения наработки до капитального ремонта можно
приближенно считать показательным, а интенсивность λ01 ( L ) при-
нимать равной среднему значению λ01 ( L ) на этом интервале. Аналогичные утверждения справедливы относительно потоков отказов,
переводящих условный автомобиль в состояния «капитальный ремонт агрегата», «списание агрегата».
Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей исследуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (суперпозиции) потоков «ТО-2» этих автомобилей. Как показывают расчеты,
распределение интервала пробега между событиями в этом потоке
подчиняется показательному закону. Можно предположить, что поток «ТО-2» исследуемых автомобилей является пуассоновским, при
этом вероятность попадания на участок L ровно m событий выража136
ется формулой
 ( λ L )m  − λ m
 e , m = 0,1,... ,
(7.25)
Pm = 
 m! 


где λ – интенсивность потока, отк/1000 км.
Проверим наличие этого свойства у потока «ТО-2» условного
автомобиля. Средний поток «ТО-2» условного автомобиля можно
получить путем случайного прореживания общего потока событий;
каждое событие (ТО-2 конкретного автомобиля) независимо от дру1
гих с вероятностью P =
(N – число автомобилей в исследуемой
N
группе) сохраняется в потоке, а с вероятностью (1 − P ) – «выбрасывается» (Р – преобразование потока). В результате этой операции
λ
получим пуассоновский поток с интенсивностью λ P = . ДействиN
тельно, все свойства исходного потока при Р – преобразовании сохраняются, а интенсивность умножается на Р.
Для подтверждения этого и доказательства того, что общий поток «ТО-2» автомобилей исследуемой группы является пуассоновским, рассчитаем число возможных ТО-2 автомобилей Mercedes на
любом интервале пробега и сравним с фактическим числом проведенных ТО-2 в группе. Допустим, что поток ТО-2 условного автомобиля является пуассоновским, тогда количество возможных ТО-2
автомобилей исследуемой группы на интервале можно определить
по формуле
mm
N ТО-2 = ∑ Pm ,
(7.26)
i =1
где N – число автомобилей в исследуемой группе (N=47 шт.), Рm –
вероятность проведения m ТО-2 автомобиля (условного) на пробеге
L, m = 1, 2,..., mm . Верхняя граница m = mm устанавливается в зависимости от величины интервала L. Средняя интенсивность потока
ТО-2 условного автомобиля равна
1
1
λ=
=
= 0,129 (отк./1000км).
(7.27)
N ∆L 47 ⋅ 0,164
Результаты расчета сведены в табл. 7.1.
137
Т а б л и ц а 7.1
Количество ТО-2 автомобилей Mersedes по интервалам пробега
Величина интервала, тыс. км
30
Число ТО-2, шт.
Ошибка, %
расчетное
среднее фактическое
3,89
4
2,75
Согласно данным табл. 7.1 поток ТО-2 условного автомобиля
исследуемой группы с достаточной степенью точности согласуется с
пуассоновским.
Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, является условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот
момент, когда происходит первое событие данного потока, то совершенно все равно, продолжается ли после этого поток отказов или
прекращается; судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае,
когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток отказов является пуассоновским.
Поток отказов автомобиля, связанный со списанием, является
нестационарным, так как пробег до списания подвижного состава
подчиняется закону распределения, отличному от показательного.
Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1–2 тыс. км) интенсивность отказов меняется сравнительно медленно, в таком случае закон распределения событий можно приблизительно считать
показательным и для описания процесса эксплуатации автомобиля
использовать марковскую схему.
Характер остальных потоков событий, связанных с процессом
работы группы автомобилей, не изменяется.
.
ЛЕКЦИЯ 16
7.7. Использование метода динамики средних
для определения средних численностей состояний
Из вышеизложенного следует, что все средние потоки, переводящие условный автомобиль из состояния в состояние, либо пуассоновские, либо сводятся к ним путем рассмотрения процесса эксплуатации на малых интервалах пробега (1–2 тыс. км) и корректировки
138
исходного потока отказов деталей для исключения последействия.
Это позволяет использовать метод динамики средних для описания
процесса эксплуатации группы автомобилей.
В табл. 7.2 приведены формулы для расчета основных интенсивностей перехода λij и µij . Для решения системы дифференциальных уравнений (7.24) необходимо задаться начальными численностями состояний Ni(L), i = 0,...,8 , а также знать величину среднесуточного пробега l C .
Значения параметров λ03 ( L ) , λ05 ( L ) , λ06 ( L ) модели (3.2) могут
быть определены двумя способами. Согласно первому способу, полученные значения параметров потока отказов автомобиля, связанных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием
его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимостями вида
n )
λ01 ( L ) = e( 1
,
где x – пробег автомобиля с начала эксплуатации, тыс. км, i – номер
состояния, в котором находится автомобиль, i = 3, 5, 6.
α +α x +...+α x
n
Т а б л и ц а 7.2
Интенсивности перехода λij и µ ij для расчета комплексных
показателей надежности автомобилей Mersedes
Интенсивность
Исправен капитальный ремонт
Формула, принятая в расчете
F
λ01 ( L ) = ∑ ϕ k ( L )
i =1
λ01 ( L ) =
Исправен проходит ТО-2
 k −m 

σ 
1 −
e
2πσ
F
λ02 ( L ) = ∑ f ТОi ( L )
i =1
( )
λ02 ( L ) = L ТО
−1
Примечания
Плотность распределения
наработки до к-го капитального ремонта автомобиля –
ϕk ( L ) , m = 50, σ = 5
f ТОi – плотность распределения наработки до i-го
ТО-2;
средняя периодичность
ТО-2, L ТО = 10 тыс. км
139
Исправен –
находится в ТР
F
F
Lинт
λ03 ( L ) = ∑ ω f ( L ) =
f =1
Исправен – простаивает по организационным причинам
(без водителя и т.п.)
Исправен капитальный ремонт агрегата
λ04 ( L ) = ρ ( Д ) ,
(
λ04 ( L ) = l с T пр
N
λ05 ( L ) = ∑ ω
m =1
λ05 ( L ) =
краг
n
)
−1
( L) ,
A
Lинт
Исправен – списание
агрегата
λ06 ( L ) = ∑ ωmкраг ( L )
Исправен – не работает (праздничные и
выходные дни)
λ07 ( L ) = ρ ( L ) ,
N
m =1
Продолжение табл. 7.2
ωi ( L ) – параметр потока
отказов f-й детали по интервалам пробега
F=35 – число ДЛН авт.
шт.;
Lинт = 100 тыс. км.
Тпр – среднее время между простоями,
Тпр = 7дн.;
l с = 0,164 тыс.
км
–
среднесуточный пробег
ωnкраг – параметр потока
отказов автомобиля, связанный с кап. ремонтом
его агрегатов
A=5 шт. – число агрегатов
ωmкраг – параметр потока
отказов автомобиля, связанный со списанием агрегатов;
N — число агрегатов
T вых = 7 дн. – среднее
время между простоями;
λ07 ( L ) = l с T вых
l с = 0,164 тыс. км –
среднесуточный пробег
Исправен – списание λ ( L ) = f ( L ) 1 − F ( L )  , Fc ( L ) , f c ( L ) – функция
08
c
c


автомобиля
и плотность распределеL − L0
λ08 ( L ) =
ния наработки до списаδ2
ния автомобиля; принято
L > 270 тыс. км
распределение Рэлея
δ 2 = 1600 тыс. км
Капитальный ремонт – исправен
140
(
)
( )
µ10 ( L ) = T кр
−1
−1
T кр = 20 дн. – средняя
продолжительность капитального ремонта
ТО-2 – исправен
( )
µ 20 ( L ) = T ТО
−1
TТО = 1 дн.
Находится в ТР –
исправен
Простаивает по организационным
причинам – исправен
Капитальный ремонт агрегата – исправен
Списание агрегата –
исправен
Исправен, не работает (праздничные и
выходные дни) –
исправен, работает
µ30 ( L ) = η ( L )
( )
( L ) = (T )
µ30 ( L ) = TТ
µ 40
−1
−1
П
( )
µ50 ( L ) = Tкр а
( )
( L ) = (T )
µ60 ( L ) = Tрс
µ70
пр
−1
−1
−1
Продолжение табл. 7.2
T ТО – средняя продолжительность ТО-2
T Т = 1 дн. – средняя продолжительность ТР
TП = 1 дн. – средняя продолжительность простоя
Tкр а = 8 дн. – средняя
продолжительность простоя при снятии агрегата
Tрс = 8 дн. – среднее время замены агрегата
Tпр = 3 дн. – средняя
продолжительность простоя
Ошибка аппроксимации при небольших n бывает высокой и может достигать 10–20%. Это один из главных недостатков первого
способа, существенно снижающий точность последующих расчетов
годового пробега. Указанный недостаток можно исключить.
Согласно второму способу, параметры λ03 ( L ) , λ05 ( L ) , λ06 ( L )
задаются дискретно для каждого интервала пробега и являются постоянными величинами на каждом заданном интервале пробега, составляющем 10–20 тыс. км, но значения этих параметров меняются в
течение пробега с начала эксплуатации автомобиля скачкообразно от
одного интервала к другому.
Метод динамики средних может быть использован и для определения коэффициента выпуска автопарка, состоящего из автомобилей разных моделей.
Указанная задача может быть решена двумя способами. Первый
состоит в рассмотрении изолированного процесса эксплуатации совокупности автомобилей одной модели, второй – функционирования
многомарочного парка в целом. В этом случае без принципиальных
141
изменений может быть использован изложенный выше способ, разница будет только в том, что число дифференциальных уравнений
увеличится в n раз, где n – число моделей подвижного состава, обслуживаемых на одних и тех же постах ТО и ТР. Использование метода динамики средних для определения коэффициентов технической готовности и выпуска разномарочного парка позволяет учесть
ограниченное количество постов для проведения ТО и ТР.
При определении коэффициентов технической готовности и выпуска разномарочного парка автомобилей необходимо разбить все
модели подвижного состава, эксплуатирующегося в АТП, на группы,
включающие автомобили тех моделей, которые обслуживаются на
одних и тех же постах ТО-2 и ТР. Для каждой группы моделей подвижного состава строится единая система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование соответствующей группы
автомобилей.
7.8. Определение годового пробега и провозных
возможностей автомобиля
На основе полученных данных о коэффициенте выпуска автомобиля необходимо определить его годовой пробег. Решить эту задачу
можно двумя способами. Первый способ состоит в следующем: полученные значения коэффициента выпуска автомобиля аппроксимируются по некоторой теоретической кривой. Кривая может иметь вид
прямой, экспоненты, гиперболы и т.д. Полученную зависимость
α B ( L ) подставляют в рекуррентное соотношение вида
(
LГ jj = L jj − L0 jj
)
2
L jj
= 365l c
∫ α ( L ) ∂L ,
Bjj
(7.28)
L0 jj
где α Bjj ( L ) – теоретическая зависимость коэффициента выпуска автомобиля jj-го возраста данной модели от пробега с начала эксплуатации, l c – среднесуточный пробег автомобиля данной модели. Решая это уравнение относительно L jj , находим пробег автомобиля
данной модели jj-го возраста на конец года. Годовой пробег LГ jj равен:
LГ jj = L jj − L0 jj .
(7.29)
Основным недостатком данного метода определения годового
142
пробега LГ jj является необходимость сглаживания полученных значений коэффициента выпуска α B по интервалам пробега L и обращение к численному интегрированию при дальнейшем решении.
Чтобы избежать этой проблемы, был выбран способ определения годового пробега LГ jj , позволяющий устранить указанный недостаток. Суть его заключается в следующем.
В ходе решения системы дифференциальных уравнений определяем коэффициент выпуска α B через интервал пробега ∆L , равный
1000 км. Таким образом, известны значения α B на начало года и через каждую тысячу километров пробега в течение года для автомобилей каждой jj-ой возрастной группы:
( ) (
) (
)
(
)
α B L0 jj , α B L0 jj + ∆L , α B L0 jj + 2∆L , ..., α B L0 jj + k ∆L ,...,
где jj = 1,..., hh, k = 1, 2 .
Период рабочего времени ДР, за который автомобиль выполнит
пробег, равный 1000 км, равен:
∆L
ДР =
,
(7.30)
lc
где К интервалов пробега, равных ∆L , автомобиль выполнит за ДКкjj
календарных дней, определяемых формулой:
k
ДК kjj = ∑ ∆ДК kjj ,
(7.31)
i=1
где ∆ДК kjj – период календарного времени, в течение которого автомобиль jj-ой возрастной группы реализует k-тый по счёту интервал
пробега, равный ∆L .
Годовой пробег автомобиль выполняет за ДК календарных дней,
ДК = 365 дн. Допустим, что на 365-й день величина годового пробега
автомобиля попадает в k-тый по счету интервал ∆L (рис. 7.3).
Годовой пробег автомобиля LГ jj (см. рис. 7.3) складывается из
(k – 1) интервалов ∆L , и величины ∆l jj , соответствующей какой-то
части k-го по счету интервала ∆L :
LГ jj = ( k − 1) ∆L + ∆l jj ,
(7.32)
143
ДК(k–1)jj
ΔДКkjj
ΔДКkjj
L0jj
1
2
ΔL
K
…
Δl
K
K–1
Р и с. 7.3. Временная эпюра случайной ситуации, сложившейся
при определении годового пробега Lrjj автомобиля jj-возрастной
группы
Определим величину ∆l jj . Для этого рассчитаем число календарных дней ∆ДК , за которые автомобиль выполнит пробег ∆l jj :
∆ДК jj = ДК-ДК ( k -1) jj ,
(7.33)
K −1
где ДК ( k -1) jj = ∑ ∆ДК kjj .
k =1
Пробег автомобиля ∆l jj -го возраста за период ∆ДК kjj определяется по формуле:
(
)
(
)
∆l jj = ∆ДК kjj l c α B L0 jj + ( K − 1) ∆L + α B L0 jj + K ∆L  / 2 .


Расчёт производится для всех возрастных групп каждой модели
подвижного состава. Предлагаемый способ определения годового
пробега позволяет снизить ошибку, получаемую в ходе аппроксимации данных α B ( L ) , на 10 – 16%, и тем самым повысить достоверность прогнозов годового пробега.
Блок-схема расчета годового пробега была реализована в среде
MathCad.
В соответствии с данной блок-схемой проводились ретроспективные расчеты годового пробега автомобилей Mersedes, результаты
сравнивались с фактическими значениями годового пробега и с результатами расчета, проведенного с использованием формулы (7.28).
Результаты сведены в табл. 7.3.
144
Т а б л и ц а 7.3
Расчет годового пробега автомобилей различными способами
Модель
автомобиля
Mersedes
Фактическое значение годового пробега
49700
Расчетные значения
годового пробега
первый
второй
способ
способ
54102
46497
Ошибка, %
первый
способ
8.8
второй
способ
6.8
Провозные возможности автотранспортного предприятия определяются по формулам:
n
m
P = ∑∑ qiγ i β i Lij ,
(7.34)
i =1 j =1
n
Q=∑
i =1
Pi
,
l cpi
(7.35)
где Lij – годовой пробег автомобиля j-го возраста i-ой модели, тыс.
км, qi – грузоподъемность автомобиля i-той модели (т), γ i – коэффициент использования грузоподъемности автомобиля i-той модели, β
– коэффициент использования пробега автомобиля i-той модели, l cpi
– среднее расстояние перевозки тонны груза, км, Pi –грузооборот,
выполняемый автомобилями i-той модели, тыс. км, Q – объем перевозок АТП, тыс. т, Р – грузооборот АТП, тыс. км.
Результаты прогноза коэффициентов выпуска, годовых пробегов, провозных возможностей служат основанием для расчета остальных показателей производственной программы по эксплуатации
подвижного состава. Определение последних показателей производится по общеизвестным аналитическим формулам.
Исходными данными для расчета производственной программы
по ТО и ремонту подвижного состава являются производственная
программа по эксплуатации и информация, определяющая техническое
состояние
автомобилей
(периодичности
ремонтнопрофилактических воздействий, время проведения ТО и ремонтов,
стратегии проведения ремонта, показатели долговечности агрегатов
145
и автомобилей и т.д.). Используя информацию о техническом состоянии автомобилей, моделируются параметры модели (7.24) функционирования парка подвижного состава, при этом, в частности, определяются ведущие функции потоков ТО, ТР, КР. Данная информация
используется
для
определения
числа
ремонтнопрофилактических воздействий (РПВ) по каждой модели подвижного состава с учетом его возраста. Количество РПВ определяется по
формулам:
ТО − 1: N ТО-1 = ΩТО-1 ( Lk ) − Ω ТО-1 ( L0 ) ,
ТО − 2 : N ТО-2 = ΩТО-2 ( Lk ) − Ω ТО-2 ( L0 ) ,
KP:
N KP = Ω KP ( Lk ) − Ω KP ( L0 ) ,
(7.36)
где N ТО-1 , N ТО-2 , N КР – количество ТО-1, ТО-2 и КР автомобильных
агрегатов соответственно, ед.; L0 , Lk – пробег автомобиля с начала
эксплуатации на начало и конец года, тыс. км; ΩТО-1 ( L0 ) , ΩТО-1 ( Lk ) –
значение ведущей функции потока ТО-1 на начало и конец года, ед.,
ΩТО-2 ( L0 ) ; ΩТО-2 ( Lk ) – значение ведущей функции потока КР авто-
мобильных агрегатов на начало и конец года, ед.; Ω КР ( Lk ) , Ω КР ( L0 )
– значение ведущей функции потока КР автомобильных агрегатов на
начало и конец года, ед.
Расчет величины N КР производится по всем основным агрегатам автомобиля данной модели. Количество списаний и замен автомобильных агрегатов выполняется аналогично.
Общая программа работ по ТО и ремонту в человеко-часах определяется исходя из рассчитанных вероятностей нахождения автомобилей в состоянии ТО-2, ТР, КР, списания агрегата (замена на новый) и продолжительности работы в течение суток рабочих, выполняющих ТО и ремонт подвижного состава. При этом расчеты проводятся по каждой модели подвижного состава и с учетом их возраста.
Прогнозируемые значения трудоемкостей ТО и ремонта вычисляются по формулам:
146
ТО − 2 : TТО-2 = Д k
P2 ( L jj ) + P2 ( L0 jj )
2
P3 ( L jj ) + P3 ( L0 jj )
TсмТО-2 ,
ТР :
TТР = Д k
KP:
 P5 ( L jj ) + P5 ( L0 jj ) P6 ( L jj ) + P6 ( L0 jj ) 
 TсмТР ,
+
Tкр = Д k 
2
2


2
TсмТР ,
(7.37)
где TТО-2 – годовая трудоемкость ТО-2 автомобилей jj-го возраста
данной модели, чел-ч; TТР – годовая трудоемкость ТР автомобилей jjго возраста данной модели, чел-ч; Tкр – годовая трудоемкость КР аг-
регата автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; P2 ( L jj ) ,
P2 ( L0 jj ) – вероятности нахождения автомобиля в состоянии ТО-2 на
начало и конец года соответственно; P3 ( L jj ) , P3 ( L0 jj ) – вероятности
нахождения автомобиля в состоянии ТР на начало и конец года соответственно; P5 ( L jj ) , P5 ( L0 jj ) – вероятности нахождения автомобиля
в состоянии «не работает, снятие агрегата для отправки в КР» на начало и конец года соответственно; P6 ( L jj ) , P6 ( L0 jj ) – вероятности
нахождения автомобиля в состоянии «не работает, списание агрегата, замена на другой» на начало и конец года соответственно; TсмТО-2 –
продолжительность работы в течение суток рабочих, выполняющих
ТО-2, ч; TсмТР – продолжительность работы в течение суток рабочих,
выполняющих ТР и КР агрегатов, ч; L0 jj , L jj – пробег с начала эксплуатации автомобиля jj-го возраста на начало и конец года соответственно, тыс. км.
Прогнозируемые величины трудоемкостей ЕО и ТО-1 вычисляются по формулам:
EO : Teo =
L jj − L0 jj
teo ,
l c kM
ТО − 1 Т ТО −1 = Т ТО-1tТО −1 ,
(7.38)
(7.39)
147
где l c – среднесуточный пробег автомобиля, тыс. км; Teo – годовая
трудоемкость ЕО автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч;
Т ТО −1 – годовая трудоемкость ТО-1 автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; k M – коэффициент, учитывающий регулярность
моечных работ; teo , tТО −1 – нормативные трудоемкости одного обслуживания ЕО и ТО-1 соответственно, откорректированные с учетом поправочных коэффициентов, чел-ч.
Кроме работ по ТО и ремонту подвижного состава, на АТП выполняются вспомогательные работы: ТО и ремонт оборудования, ремонт и изготовление нестандартного оборудования, уборка цехов,
ТО и ремонт электрооборудования и т.д. Трудоемкость вспомогательных работ учитывается с помощью коэффициента к общему объему работ по ТО и ремонту подвижного состава (k= 1,2 ÷ 1,3).
148
ГЛАВА 8. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЛОГИСТИКА
ЛЕКЦИЯ 17
8.1. Информационный логистический поток
В основе управления материальными потоками лежит обработка
информации, цирукулирующией в логистической системе. В связи с
этим одним из ключевых понятий логистики является понятие информационного потока.
Информационный логистический поток – это совокупность сообщений, циркулирующих в логистической системе, между логистической системой и внешней средой, которые необходимы для управления и контроля за выполнением логистических операций. Информационный поток может существовать в виде бумажных и электронных документов.
Информационный поток может опережать материальный, следовать одновременно с ним или после него. При этом поток информации может быть направлен как в одну сторону с материальным, так и
в противоположную:
– опережающий информационный поток во встречном направлении содержащий, как правило, сведения о заказе;
– опережающий информационный поток в прямом направлении
– это предварительные сообщения о предстоящем прибытии груза;
– одновременно с материальным потоком идет информация в
прямом направлении о количественных и качественных параметрах
материального потока;
– вслед за материальным потоком во встречном направлении
может проходить информация о результатах приемки груза, разнообразные претензии и подтверждения.
Информационный поток характеризуется следующими показателями:
1) источником возникновения,
2) направлением движения
3) скоростью передачи и приема,
4) интенсивностью потока и др.
Исходя из этого, управлять потоком можно следующим образом:
– изменяя направление потока;
– изменяя скорость передачи информации;
– ограничивая или увеличивая поток информации.
Измеряется информационный поток количеством обрабатывае149
мой или передаваемой информации за единицу времени – плотностью потока. Это может быть количество документов или количество
информации, измеряемых в байтах.
По плотности информационные потоки делятся на:
– малоинтенсивные (до 1 Мб/сек),
– среднеинтенсивные (1-2 Мб/сек),
– высокоинтенсивные (свыше 2 Мб/сек).
8.2. Информационные логистические системы
(Информационные технологии в логистике)
Информационные логистические системы – это определенным
образом организованная совокупность взаимосвязанных средств вычислительной техники, различных справочников и необходимых
средств программирования, обеспечивающая решение тех или иных
задач по управлению движением материального потока.
Информационные системы можно подразделить на две подсистемы:
– функциональную,
– обеспечивающую.
Функциональная подсистема состоит из совокупности решаемых
задач, сгруппированных по признаку общности цели.
Обеспечивающая подсистема включает в себя следующие элементы:
– техническое обеспечение, т.е. совокупность технических
средств для обработки и передачи информационных потоков;
– информационное обеспечение, которое включает определенные периодически обновляемые справочники (в том числе, и нормативные документы), классификаторы, кодификаторы;
– программное обеспечение, позволяющее решать задачи управления материальными потоками, обрабатывать тексты, получать
справочные данные.
Формирование информационной системы – это сложный и многоэтапный процесс, в котором используются достижения современных информационных технологий, новейшие компьютерные системы.
Это делает возможным успешное руководство производственными процессами на основе применения адекватной информационной техники, методов и форм информационного обеспечения логи150
стической системы в целом.
8.3. Классификация информационных систем
На уровне отдельного предприятия информационные системы
можно классифицировать следующим образом:
– плановые,
– текущие,
– оперативные.
Плановые информационные системы создаются на административном уровне управления и служат для принятия долгосрочных решений стратегического характера. Среди задач, решаемых плановой
системой, могут быть:
– создание и оптимизация звеньев логистической цепи;
– управление условно-постоянными данными;
– общее управление запасами;
– управление резервами и др. задачи.
Текущие информационные системы создаются на уровне управления складом или цехом и служат для обеспечения отлаженной работы логистических систем.
Здесь решаются следующие задачи:
– детальное управление запасами (определение мест складирования);
– распоряжение внутрискладским транспортом;
– отбор грузов по заказам и их комплектование и другие задачи.
Оперативные информационные системы создаются на уровне
исполнителей. Это так называемый режим работы в реальном масштабе времени, который позволяет получить необходимую информацию о движении груза в данный момент и своевременно выдавать
административные и управляющие воздействия на объект управления.
8.4. Принципы построения информационных систем
в логистике
При построении логистических информационных систем на базе
ЭВМ необходимо соблюдать определенные принципы.
1. Принцип использования аппаратных и программных модулей.
Под аппаратным модулем понимается функциональный узел радиоэлектронной аппаратуры. Программный модуль — некоторой
151
программный элемент, выполняющий определенную функцию в общем программном обеспечении.
Соблюдение принципа использования программных и аппаратных модулей позволяет:
– обеспечить совместимость вычислительной техники и программного обеспечения на разных уровнях управления;
– повысить эффективность функционирования логистических
информационных систем;
– снизить стоимость информационных систем и ускорить их построение.
2. Принцип возможности поэтапного создания системы.
Логистические информационные системы являются постоянно
развивающимися системами. Это значит, что при их проектировании
необходимо предусмотреть возможность постоянного увеличения
числа объектов автоматизации, расширения состава реализуемых
системой функций и количества решаемых задач. Следует иметь в
виду, что определение этапов создания системы оказывает большое
влияние на ее последующее развитие и эффективное функционирование.
3. Принцип четкого установления мест стыка.
В местах стыка материальный и информационный потоки переходят через границы ответственности отдельных подразделений
предприятия или через границы предприятия. Обеспечение плавного
преодоления мест стыка является одной из важных задач логистики.
4. Принцип гибкости системы с точки зрения специфических
требований конкретного применения.
5. Принцип приемлемости системы для пользователя.
ЛЕКЦИЯ 18
8.5. Использование открытых информационных технологий
в логистических информационных системах
Современная система глобальных коммуникаций, поддерживающих функционирование сети Интернет и мобильной связи, существенно влияет на всю логистическую деятельность.
Успешное функционирование информационных технологий определяется следующими условиями.
1. Распределенная компьютерная техника. Каждый участник
управленческого процесса является самостоятельным рабочим ме152
стом и частью общей системы одновременно.
2. Программное обеспечение.
3. Развитие коммуникаций.
4. Беспроводные технологии.
5. Средства мультимедиа. Особенности информационных технологий на базе мультимедийных ПК – это:
– распознавание речи;
– трехмерные изображения;
– объемный звук.
6. Развитие Интернет (Internet). Internet обусловил появление
следующих тенденций в области информационного обеспечения логистических систем:
– локальные Сети и Internet позволили создать глобальное информационное пространство и расширили сферу общения;
– появилась глобальная информационная среда, резко изменившая взаимоотношение между бизнес-партнерами со всеми вытекающими экономическими, социальными и политическими последствиями;
– реальные деньги постепенно уступают место расчетам в электронной форме.
Применительно к логистическим информационным системам
Internet может играть разную роль.
1. Применение Internet в качестве средства поиска информации и
заказа каких-либо товаров и услуг. Это достаточно пассивный способ
существования в Internet. Он позволяет получать новую информацию, экономить время, но возможности Internet гораздо шире.
2. Включение Internet в цепочку продажи товара или услуги в
качестве «помощи для основного бизнеса». На этом уровне структура самого бизнеса сохраняется, a Internet хотя и играет вспомогательную роль, но позволяет значительно повысить его эффективность.
3. Выделение Internet в самостоятельный бизнес. В этом случае
среда Internet является товаром или услугой и предлагает операции,
которые можно производить в системе электронного бизнеса:
– демонстрация товаров,
– возможность заказа покупателем выбранных позиций,
– оплата товара,
–автоматическая передача сформированного заказа исполнителю,
153
– упаковка и доставка товара,
– выписка счета и квитанции.
Если речь идет о торговле информацией (например, доступ к
банкам данных), некоторыми видами программного обеспечения,
персональной доставкой новостей, то весь цикл купли-продажи может быть приведен в «сетевом» варианте.
Встал вопрос о создании виртуальных организаций.
Виртуальная организация – это доверительная временная кооперация нескольких, как правило, независимых партнеров, обеспечивающая повышенный интерес у потребителей благодаря оптимизации системы производства благ. Пространство виртуализации включает 3 категории явлений:
1) виртуальный рынок,
2) виртуальная реальность,
3) виртуальные организационные сети.
Под виртуальным рынком понимают предполагаемые Internet
коммуникационные и информационные услуги коммерческого назначения. Основными требованиями виртуального рынка являются:
– свободный доступ к рынку и равноправие партнеров,
– добровольное участие и подверженность рыночных событий
влиянию участников,
– виртуальные повышение прозрачности рынка с одновременным снижением различий в степени информированности партнеров.
Виртуальная реальность – это имитация процессов исследования
и производства, которое одновременно является и средой и инструментом. В качестве инструмента оно позволяет интуитивно выстроить сложные структуры, в качестве среды – дает возможность мысленно представить продукт, здания, машины, рабочие места, оборудование до того как они обретут реальное существование. Внутриорганизационные сети охватывают широкую гамму с использованием
средств телекоммуникаций, а также работ с применением банков
зданий или сетей знаний. Их общим признаком является объединение в единую сеть отдельных сотрудников с помощью современных
информационных и коммуникационных технологий. Пионерами в
этой части виртуальной организации труда являются компании IBM,
Simens, а также крупные консультационные предприятия и банки.
Примером является виртуальное транспортное предприятие. В
его состав входят все участники транспортного процесса: перевозчики, экспедиторы, терминалы, подрядчики и т.д. Причем каждый из
154
них сохраняет свою юридическую и финансовую самостоятельность.
Каждый участник выполняет определенные функции, тем самым
вкладывает свои ресурсы в выполнение общего обслуживания.
Виртуальное транспортное предприятие можно рассматривать
как набор модулей, собранных из множества стандартных модулей.
Каждый модуль, выполняя свои функции, обеспечивает достижение
общей цели логистической системы, высокое качество обслуживания, а именно:
– комплексность обслуживания,
– высокую гибкость для адаптации к изменениям рыночной
конъюнктуры,
–экономичность за счет сокращения расходов, так как транспортные операции выполняются специализированными модулями.
Условно схема виртуального транспортного предприятия представлена на рис. 8.1.
Р и с. 8.1. Схема виртуального транспортного предприятия
На основе анализа спроса потребителей на транспортные услуги
и различных предложений от участников транспортного рынка организатор системы доставки определяет, какие участники должны входить в систему доставки и какие функции должны выполнять. Конкретная система доставки грузов формируется как реализация соот155
ветствующих спросу предложений на основе предпочтений организатора при преследовании конкретной его цели. В качестве цели системы доставки можно принимать такие показатели, как удовлетворение потребности потребителей, максимизация общей прибыли, минимизация общих логистических затрат, повышение надежности
системы, снижение экологических воздействий и т. д.
Итак, задачу формирования интегральной системы доставки
грузов можно сформулировать как задачу подбора необходимых
модулей из множеств существующих на рынке стандартных модулей
для удовлетворения определенных требований конкретного потребителя в конкретное время и достижения поставленной цели.
156
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аникин, Б.А. Логистика: тренинг и практикум: учеб. пособ. / Б.А.
Аникин [и др.]. М.: Проспект, 2007. 439 с.
2. Интегрированная логистика накопительно-распределительных
комплексов (склады, транспортные узлы, терминалы): учебник / Под ред.
Л.Б. Миротина. М.: Экзамен, 2008. 445 с.
3. Корпоративная логистика. 300 ответов на вопросы профессионалов
/ Под общей и научной редакцией В.М. Сергеева. М.: ИНФРА-М, 2004.
976 с.
4. Курицкий, Б.Я. Оптимизация вокруг нас / Б.Я. Курицкий. Л.: Машиностроение. Ленингр. отделение, 1989. 144 с.
5. Лукинский, В.С. Логистика автомобильного транспорта: концепция,
методы, модели / В.С. Лукинский [и др.]. М.: Финансы и статистика, 2000.
280 с.
6. Маликов, О.Б. Склады и грузовые терминалы / О.Б. Маликов. СПб:
Бизнес-пресса, 2005. 560 с.
7. Модели и методы теории логистики: учеб. пособ. 2-е изд. / Под ред.
В.С. Лукинского. СПб.: Питер, 2007. 448 с.
8. Радионов, А.Р., Радионов, Р.А. Логистика: нормирование сбытовых
запасов и оборотных средств: учеб. пособ. / А.Р. Радионов, Р.А. Радионов.
М.: Проспект, 2006. 416 с.
9. Родкина, Т.А. Информационная логистика / Т.А. Родкина. М: Экзамен, 2001. 286 с.
10. Таха Хэмеди А. Введение в исследование операций. 6-е изд. / Перевод с англ. М.: Вильямс, 2001. 912 с.
11. Транспортная логистика: учеб. пособ. / Под общей ред. Л.Б. Мирошина. М.: Эказмен, 2002. 512 с.
12. Уотерс, Д. Логистика. Управление цепью поставок / Д. Уотерс. М.:
ЮНИТИ-ДАИА, 2003. 503 с.
13. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации и принятий решений: учеб.
пособ. / И.Г. Черноруцкий. СПб.: Лань, 2001. 384 с.
14. Чудаков, А.Д. Логистика: учебник / А.Д. Чудаков. М.: РДП, 2001.
480 с.
157
ЛУБЕНЦОВА Вера Степановна
Под редакцией Радченко В.П.
Математические модели и методы в логистике
Печатается в авторской редакции
Подп. в печать 04.08.08
Формат 60х841/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. п. л. 9,2.
Уч. изд. л. 9,12. Тираж 150 экз. Рег. №362. Заказ № 504
_______________________________________________________________________
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
443100. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус.
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета
443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8