PROBLEMAS RESUELTOS
f DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
a) Antes calculamos el tiempo total “T”:
Dinámica Circular
1. Un cuerpo de 1,5 kg de masa recorre una circunferencia de
25 cm de radio con una velocidad de 2 r.p.s. Hallar:
a) La velocidad lineal.
b) La aceleración centrípeta.
c) La fuerza centrípeta aplicada sobre el cuerpo.
Datos:
m=1,5 kg ; R=25 cm =0,25 m
f=2 r.p.s=2 rev/s
v
ω
Encontrar:
a) v=? ; b) aC=? ; c) FC=?
f =
N0 de vueltas 1
=
Tiempo total T
1
1
1vueltas
vueltas .s
ÞT = =
= 0,333
T
f 3 vueltas s
vueltas
T = 0,333s ¿
f =
Calculamos la velocidad angular “ω” en rad/s:
FC a
c
2p
T
2prad
w=
0,333s
R
w=
Solución:
Þ w = 18,868
rad
Resp.
s
a) Calculando la velocidad “v” lineal o tangencial:
® Donde : 1rev = 2prad ; 1rad = 1
Calculamos la velocidad angular “ω” en r.p.m.: (realizando
factor de conversión).
æ rev ö
æ
rad ö
v = ç 2.p.
÷
÷ . (0,25m ). ç 2
rev ø
è
è s ø
m
v = 3,14
Resp.
s
2p
T
2prad
w=
0,333s
w=
w = 18,868
v2
R
2
aC =
(3,14 m s )
0,25m
aC = 39,44
=
9,8596 m 2 s 2
m. m
= 39,44 2
0,25m
s .m
m
Resp.
s2
b) Calculando la aceleración centrípeta “aC”:
aC = w2 .R ® Donde : rad = 1
1
2
æ
aC = (18,868 rad s ) . (0,5m ) = ç 356 2
s
è
m
aC = 178 2 Resp.
s
c) Calculando la fuerza centrípeta “FC”:
FC = m.aC
mö
æ
FC = (1,5kg ). ç 39,44 2 ÷
s ø
è
FC = 59,16N Resp.
rad
Resp.
s
rad
1rev
60 s
rev
x
x
= 180,176
min
s
2p rad 1min
w = 180,176r .p.m. Resp.
b) Calculando la aceleración centrípeta “aC”:
aC =
Þ w = 18,868
® Donde: kg.
m
=N
s2
ö
÷ . (0,5m )
ø
b) Calculando la fuerza centrípeta “FC”:
FC = m.aC
mö
æ
FC = (0,2kg ). ç 178 2 ÷
s ø
è
Þ FC = 35,6N Resp.
2. Una piedra se ata a una cuerda de 50 cm de longitud y se 3. Hallar la aceleración centrípeta de un punto situado en el
hace girar describiendo circunferencias, con frecuencia de
Ecuador. Tómese el radio Ecuatorial igual a 6400 km, y el
3 vueltas por segundo. Calcular:
día sideral de 24 horas.
a) La velocidad angular en rad/s y en r.p.m.
b) La aceleración centrípeta a que está sometido la piedra.
Datos:
Encontrar:
c) La fuerza centrípeta, si su masa es 200 gramos.
R=6400 km =6400000m
aC=?
t=24 h =86400 s
Datos:
piedra
R=50 cm = 0,5 m
Solución:
v
ω
f=3 vueltas/s
* La velocidad tangencial será:
m=200 g= 0,2 kg
FC a
c
2p.R
v=
Encontrar:
T
R
a) ω? ; b) aC=? ; FC=?
Solución:
ø
FÍSICA MECÁNICA 1
÷
v=
283
(2p ). (6400000m )
86400s
ø
Þ v = 465,42
m
¿
s
Lic. Belizario Huanto Ticona
÷
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
v = 2p.R.f
DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
f
6. Un muchacho revolea una piedra en un plano vertical
haciéndola dar una vuelta por segundo,
(m=100 g ; R=1 m). Calcular:
a) La tensión de la cuerda cuando la piedra está en la
parte superior.
b) La tensión en la cuerda cuando la piedra está en la
parte inferior.
c) ¿Cuál es la velocidad angular de rotación mínima para
que la piedra pueda girar sin que la cuerda se afloje?.
* La aceleración centípeta será:
v2
R
aC =
2
(465,42 m s )
aC =
= 0,034
6400000m
aC = 0,034
PROBLEMAS RESUELTOS
m. m
s2. m
m
Resp.
s2
4. Un tren de 100 Tm, toma una curva sin peraltar de 150 m de
radio a una velocidad de 50 km/h. Hallar la fuerza horizontal
ejercida sobre los raíles.
v
Datos:
m=100 g = 0,1 kg
f=1 vuelta/s
R=1 m
aC FC
R
Encontrar:
a) T=? → superior
b) T=? → inferior
c) ω=?
Datos:
m=100Tm=100000kg
R=150m
v=50 km/h=13,89 m/s
Solución:
Encontrar:
FC=?
D.C.L de la piedra
a) Calculando la tensión
“T” en la parte superior:
m
introducción
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
Solución:
aC
FC = m.aC
v2
® Donde : aC =
R
T + m.g = m.aC
(13,89 m s )
v2
= (100000kg ).
R
150m
m. m
FC == 128621,4kg 2
s .m
FC = 128621,4N Resp.
2
T + m.g = m. (2p.f ) .R
FC = m.
2
2
T = m. (2p.f ) .R - m.g = m. é(2p.f ) .R - g ù
ë
û
5. ¿Qué fuerza se ha de aplicar a un cuerpo de 4 kg de masa,
que se mueve a 5 m/s, para que describa una trayectoria
circular de 50 cm de radio?.¿Qué dirección y sentido debe
tener esa fuerza?.
ω
2
T - m.g = m. (2p.f ) .R
2
(
2
2
2
T = m. (2p.f ) .R + m.g = m. é(2p.f ) .R + g ù
ë
û
)
m. m
Þ FC = 200N Resp.
s2. m
La fuerza ha de ser centrípeta, de dirección radial y sentido
hacia el centro de la circunferencia.
ø
w=m.g
T - m.g = m.w .R ® Donde : w = 2p.f
25 m s
(5 m s )
v2
= (4kg ).
= (4kg ).
R
0,5m
0,5m
Lic. Belizario Huanto Ticona
® Donde : aC = w2 .R
2
v2
® Donde : aC =
R
FC == 200kg
T
aC
m
T - m.g = m.aC
R
Calculando la fuerza centrípeta “FC”:
FC = m.
D.C.L de la piedra
å Fy = m.aC
FC a
c
2
2
éæ
1ö
mù
T = 0,1kg. êç 2p.1 ÷ . (1m ) - 9,8 2 ú
sø
s úû
êëè
m
mö
mö
æ
æ
T = 0,1kg. ç 39,48 2 - 9,8 2 ÷ = (0,1kg ). ç 29,68 2 ÷
s
s ø
s ø
è
è
T = 2.97N Resp.
a) Calculando la tensión
“T” en la parte inferior:
v
Solución:
FC = m.aC
w=m.g
® Donde : aC = w2 .R
T + m.g = m.w2 .R ® Donde : w = 2p.f
2
Datos:
m=4 kg
v=5 m/s
R=50 cm=0,5 m
T
å Fy = m.aC
Calculando la fuerza horizontal o centrípeta “FC”:
2
éæ
1ö
mù
T = 0,1kg. êç 2p.1 ÷ . (1m ) + 9,8 2 ú
sø
s úû
êëè
m
mö
mö
æ
æ
T = 0,1kg. ç 39,48 2 + 9,8 2 ÷ = (0,1kg ). ç 49,28 2 ÷
s
s ø
s ø
è
è
T = 4,93N Resp.
÷ ø
284
FÍSICA MECÁNICA 1
÷
PROBLEMAS RESUELTOS
f DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
c) Calculando la velocidad angular “ω” mínima, para ello
å Fx = m.aC
analizamos el revoleo de la piedra; para que la piedra
T .senq = m.aC ec.(3)
tenga una velocidad angular mínima, es cuando la tensión
del hilo en la parte superior se va des aflojando poco a
poco hasta tender a cero, es decir:
Reemplazando ec. (1), (2) en (3):
Identidad
D.C.L de la piedra
v2
Trigonométrica
T
.
sen
q
=
m
.
a
®
a
=
C
C
Trayectoria
R
m
aC
anterior
2
sen 2 q + cos2 q = 1
v
Tensión → T=0
T
.
sen
q
=
m
.
T=0
R
sen 2 q = 1 - cos2 q
w=m.g
0
T + m.g = m.aC
® Donde : aC = w2 .R
0 + m.g = m.w2 .R ® Donde : w = 2p.f
m .g = m .w2 .R
w=
g
=
R
w = 3,13
9,8 m s 2
m
1
= 9,8
= 9,8 2
2
1m
s
m .s
m .g
v2
.senq = m .
cos q
L.senq
2
v
v2
senq.senq =
.cos q Þ sen 2 q =
.cos q
g.L
g.L
* Re emplazando identidad trigonométrica :
1 - cos2 q =
rad
Resp. ® Vel. angular mínima.
s
cos2 q +
v2
.cos q
g.L
v2
.cos q + 1 = 0 ® reempl . datos.
g.L
Datos:
m=2 kg
L=600 mm=0,6 m
v=15 m/s
g=9,8 m/s2
θ
cos
2
(15 m s )
q+
.cos q - 1 = 0
(9,8 m s 2 ). (0,6m )
cos2 q + 38,26.cos q - 1 = 0 ® ec. de 2do grado.
* Aplicando la fórmula de 2do grado :
cos q =
L
ω
cos q =
-b ± b 2 - 4.a.c
2.a
-38,26 ±
2
(38,26 ) - (4 ). (1). (-1) -38,26 ± 38,31
=
2
(2 ). (1)
cos q = 0,025 ® Tomando signo (+)
Encontrar: a) θ=? ; b) T=?
q = cos-1 0,025 Þ q = 88,570 Resp.
Solución:
b) Calculando la tensión “T” de la cuerda, mediante la ec. (2):
a) Mediante la función trigonométrica la
ecuación del radio “R” es:
å Fy = 0
T .cos q - m.g = 0
L
T =
R
T =
Realizando diagrama de cuerpo libre para la esfera:
θ
Ty=T.cosθ
D.C.L de la esfera
Tx=T.senθ
å Fy = 0
T .cos q - m.g = 0
m.g
T =
ec.(2)
cos q
m.g
cos q
(2kg ). (9,8 m s 2 )
cos88,570
8. Una piedra de masa m atada a una cuerda de longitud L
gira en un plano vertical con una velocidad angular
constante ω. Si la diferencia entre la tensión máxima y la
mínima en la cuerda es de 10 N, calcular la masa de la
piedra.
A
Datos:
TMax-TMin=10 N
g=9,8 m/s2
Encontrar: m=?
w=m.g
ø
FÍSICA MECÁNICA 1
÷
Þ T = 785,39N Resp.
285
ø
Plano vertical
θ
R
senq =
L
R = L.senq ec.(1)
ω
L
B
Lic. Belizario Huanto Ticona
÷
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
2
7. Una esfera de acero de 2 kg gira en un círculo horizontal
como se muestra en la figura, con una rapidez constante de
15 m/s, si L=600 mm, determinese:
a) El ángulo θ que forma la cuerda con la vertical.
b) La tensión de la cuerda
DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
f
Solución:
* Sumando fuerzas horizontales:
D.C.L. del sistema
¯ Tensión mínima en el punto “A”:
å Fx = m.aC
A
å Fy = m.aC
aC
TMin + m.g = m.aC ® aC = w2 .L
TMin + m.g = m.w .L ec.(1)
* Recordando:
w=m.g
ω
TMax
aC
¯ Tensión máxima en el punto “B”:
T .senq = m.aC ec.(2)
TMin
L
2
T .senq = m.aC
T .senq = m.w2 .R Þ T .senq = m.w2 .L.senq
w=m.g
T =
2
TMax - m.g = m.aC ® aC = w .L
TMax - m.g = m.w2 .L ec.(2)
calculamos la masa “m”:
m.w2 .L = m.w2 .L
TMin + m.g = TMax - m.g Þ m.g + m.g = TMax - TMin
(2 ). (9,8 m s )
2
=
TMax - TMin
2g
rad ö
æ
T = (0,3kg ). ç 3,14
. (2m ) ® Donde : rad = 1
s ÷ø
è
m
T = 5,92kg. 2 Þ T = 5,92N Resp.
s
b) Calculando el ángulo “θ”, para ello aplicamos la suma de
fuerzas verticales:
å Fy = 0
10kg. m s 2
19,6 m s
T .cos q - m.g = 0 Þ T .cos q = m.g
2
cos q =
m = 0,51kg Resp.
(
)
2
m.g (0,3kg ). 9,8 m s
2,94 N
=
=
T
5,92N
5,92 N
cos q = 0,497 Þ q = cos-1 0,497
9. Una esfera de 300 gramos de masa cuelga de un hilo de
q = 60,20 Resp.
peso despreciable de 2 m de largo. La esfera se hace girar,
como péndulo cónico, en un plano horizontal de 30 r.p.m. El ángulo “θ” también se puede calcular de otra forma, en
determinar:
función de la fuerza centrípeta y el peso:
a) La tensión del hilo durante el movimiento.
b) El ángulo que forma el hilo con la vertical.
F
m .aC w2 .R w2 .L.sen q
tan q = C =
=
=
c) La fuerza centrípeta ejercida.
θ
w
g
g
m .g
d) La velocidad tangencial correspondiente.
T
tan q =
Datos:
m=300 g=0,3 kg
L=2 m
ω=30 r.p.m.=3,14 rad/s
θ
Encontrar:
a) T=? ; b) θ=?
c) FC=? ; c) v=?
Solución:
ω
cos q =
D.C.L. del sistema
a) Mediante la función trigonométrica
la ecuación del radio “R” es:
θ
R
R
senq =
L
R = L.senq ec.(1)
ø
ω
FC
g
9,8 m s 2
=
w2 .L (3,14 rad s )2 . (2m )
θ
w=m.g
cos q = 0,497 Þ q = cos-1 0,497
q = 60,20 Resp.
c) Calculando la fuerza centrípeta “FC”
L
L
w2 .L.sen q
g
senq w2 .L. sen q
=
cos q
g
L
θ
Ty=T.cosθ
introducción
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
10N
m.w2 .L. senq
Þ T = m.w2 .L
senq
2
¯ Igualando ec. (1) y (2), una vez igualado las ecuaciones,
m=
aC = w2 .R ec.(3) ® fórmula.
* Reemplazando ec. (1), (3) en (2):
B
å Fy = m.aC
2m.g = TMax - TMin Þ m =
PROBLEMAS RESUELTOS
FC = m.aC = m.w2 .R = m.w2 .L.senq
T
2
θ
rad ö
æ
FC = 0,3kg. ç 3,14
. (2m ). sen 60,20
s ÷ø
è
m
FC = 5,13kg. 2 Þ FC = 5,13N Resp.
s
(
ω
R FC
Tx=T.senθ
w=m.g
Lic. Belizario Huanto Ticona
÷ ø
286
FÍSICA MECÁNICA 1
)
÷
PROBLEMAS RESUELTOS
f DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
d) Calculando la velocidad tangencial “v”, solo aplicamos la
fórmula:
c) Hallando tensión en el punto "C":
å Fx = m.aC ® aC = w2 .R
v = w.R = w.L.senq
T = m.aC
rad ö
m
æ
v = ç 3,14
. (2m ). sen 60,20 Þ v = 5,45
Resp.
s ÷ø
s
è
(
)
2
rad ö
æ
T = m.w2 .R = (0,4kg ). ç 18,85
. (0,5m )
s ÷ø
è
m
T = 71,06kg. 2 Þ T = 71,06N Resp.
s
Plano vertical
10. Un bloque de 400 gramos de masa está atado a una
cuerda de 0,5 m y se hace girar en un plano vertical a
180 r.p.m.. Calcular la tensión de la cuerda cuando el
bloque se encuentra:
d) Calculando la velocidad tangencial “v” y la velocidad
a) En el punto más alto del círculo.
angular “ω” en el punto A, de acuerdo al problema la
b) En el punto más bajo.
tensión en el punto A es igual a cero, es decir: T=0.
c) Cuando la cuerda está horizontal.
* Hallando la velocidad tangencial "v"
d) Determinar además la velocidad tangencial y angular
necesarias para que la tensión de la cuerda en el punto
en el punto A, donde:T = 0.
A
más alto sea nula.
ω
å Fy = m.aC
Datos:
0
v2
m=400 g=0,4 kg
T + m.g = m.aC ® aC =
L=R=0,5 m
C
R
L
ω=180 r.p.m.=18,85 rad/s
2
0 + m.g = m.
Encontrar:
B
a) T=? → en “A”.
b) T=? → en “B” ; c) T=? → en “C” ; d) V=? ; ω=?
aC
en el punto "A":
å Fy = m.aC ® aC = w2 .R
T = m.aC - m.g = m. (aC - g )
* Hallando la velocidad angular "w"
en el punto A, donde:T = 0.
C
T
aC
T + m.g = m.aC
(
T
w=m.g
aC
å Fy = m.aC
T
0
T + m.g = m.aC ® aC = w2 .R
w=m.g
B
)
0 + m.g = m.w2 .R Þ w2 =
w=m.g
2
éæ
rad ö
mù
T = 0,4kg. êç 18,85
. (0,5m ) - 9,8 2 ú
÷
s ø
s ûú
ëêè
w=
mö
æ
T = (0,4kg ). ç 167,86 2 ÷ Þ T = 67,14N Resp.
s ø
è
w = 4,43
b) Hallando tensión en el punto "B":
2
å Fy = m.aC ® Donde : aC = w .R
T - m.g = m.aC
T = m.aC + m.g = m. (aC + g )
(
T = m. w2 .R + g
)
2
éæ
rad ö
mù
T = 0,4kg. êç 18,85
. (0,5m ) + 9,8 2 ú
÷
s ø
s ûú
ëêè
mö
æ
T = (0,4kg ). ç 187,46 2 ÷ Þ T = 74,98N Resp.
s ø
è
ø
FÍSICA MECÁNICA 1
÷
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
a) Hallando tensión
T = m. w2 .R - g
mö
m2
æ
v = g.R = ç 9,8 2 ÷ . (0,5m ) = 4,9 2
s ø
s
è
m
v = 2.21
Resp.
s
D.C.L. del sistema
A Alto
Solución:
v
m .g.R
Þ v2 =
R
m
g
=
R
m .g
m .R
9,8 m s 2
m
= 19,6
0,5m
m s2
rad
Resp.
s
11. Un motociclista se mueve sobre una autopista de radio
100 m, con un ángulo de peralte de 300. Calcule la máxima
velocidad que puede imprimir el motociclista si éste no
debe salirse del pavimento, donde el coeficiente de
rozamiento dinámico es de 0,3.
Datos:
R=100 m
θ=300
μk=0,3
g=9,8 m/s2
Encontrar: v=?
287
ø
fk
μk
θ
w
Lic. Belizario Huanto Ticona
÷
DINÁMICA CIRCULAR Y ROTACIONAL
Solución:
å Fy = 0
N.cos q - m.N.senq - m.g = 0
N. (cos q - m.senq ) = m.g
Ny=N.cosθ
D.C.L. del sistema
* Verticalmente:
m.g
ec.(1)
cos q - m.senq
* Horizontalmente:
PROBLEMAS RESUELTOS
D.C.L. del bloque
N
N a
C
* Verticalmente:
å Fy = 0
ac
θ
fs=μs.N
Nx=N.senθ
θ fx=μ.N.cosθ
f=μ.N
fy=μ.N.senθ
N=
f
N - m.g = 0
N = m.g ¿
w=m.g
* Horizontalmente:
å Fx = m.aC
w=m.g
å Fx = m.aC
ms .N = m.aC ® Donde : aC =
2
N.senq + m.N.cos q = m.aC ® aC =
v
R
v2
® Donde : N = m.g
R
v2
ms .m .g = m . Þ v = ms .g.R ec.(1)
R
ms .N = m.
2
v
R
N. (senq + m.cos q ) = m.
N=
m.v 2
ec.(2)
R. (senq + m.cos q )
Ahora aplicamos la ecuación de la cinemática M.R.U.V.,
donde v0=0:
introducción
DINÁMICA CIRCULAR
Y ROTACIONAL
* Igualando ec.(2) y (1):
m .v 2
m .g
=
R. (senq + m.cos q ) cos q - m.senq
v=
0
v = v 0 + at .t Þ v = at .t ec.(2)
* Igualando ec.(2) y (1):
R.g. (senq + m.cos q )
at .t = ms .g.R
cos q - m.senq
* Reemplazando datos:
v=
(
)(
(100m ). 9,8 m s 2 . sen300 + 0,3.cos300
0
cos30 - 0,3.sen30
v = 1039,92
m2
s2
Þ v = 32,25
v2
R
)
0
m
Resp.
s
Þ t=
ms .g.R
at
pies ö
pie 2
. 1,5 pies )
24,15 2
2 ÷ (
s ø
è
s
=
3,5 pies s 2
3,5 pies s 2
(0,5 ). æç 32,2
t=
t=
pies . s .s
4,91pies s
= 1,4
Þ t = 1,4s Resp.
2
3,5 pies s
pies . s
12. Un pequeño bloque esta sobre una mesa giratoria que, b) Calculando la velocidad del bloque “v” en ese instante,
aplicando la ec. (1):
partiendo del reposo, gira de tal forma que el bloque
experimenta una aceleración tangencial constante de 3,5
pies/s2. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el
v = ms .g.R
bloque y la mesa giratoria es de 0,5 y su radio 18 pulg,
determinase:
pies ö
pies 2
æ
a) El tiempo que transcurre hasta que el bloque
v = (0,5 ). ç 32,2 2 ÷ . (1,5 pies ) = 24,15 2
s ø
s
è
empieza a resbalar sobre la mesa.
b) La velocidad “v” del bloque en ese instante.
pies
Datos:
at=3,5 pies/s2
μs=0,5
v0=0
R=18 pulg=1,5 pies
g=32,2 pies/s2
Encontrar:
a) t=?
b) v=?
v = 4,91
R
ω
s
Re sp.
Dinámica Rotacional
at
μs
13. Hallar el momento de inercia de una rueda de 8 kg cuyo
radio de giro es de 25 cm.
Datos:
Solución:
m=8 kg
* El momento de inercia es:
R=25 cm=0,25 m
2
Encontrar:
I = m.R 2 = (8kg ). (0,25m )
I=?
Solución:
(
I = (8kg ). 0,0625m 2
a) Calculando el tiempo “t”, para ello realizamos D.C.L.:
ø
Lic. Belizario Huanto Ticona
÷ ø
288
I = 0,5kg.m
2
Resp.
FÍSICA MECÁNICA 1
)
÷