INTRODUÇÃO AO
CÁLCULO
PROFESSORES
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
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O SEU LIVRO
NA VERSÃO
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EXPEDIENTE
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de
Matos Silva Filho Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva Pró-Reitor de Ensino
de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James Prestes, Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pós-graduação Kátia
Coelho Diretoria de Cursos Híbridos Fabricio Ricardo Lazilha Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de
Design Educacional Paula R. dos Santos Ferreira Head de Graduação Marcia de Souza Head de Metodologias Ativas
Thuinie M.Vilela Daros Head de Recursos Digitais e Multimídia Fernanda S. de Oliveira Mello Gerência de
Planejamento Jislaine C. da Silva Gerência de Design Educacional Guilherme G. Leal Clauman Gerência de Tecnologia
Educacional Marcio A. Wecker Gerência de Produção Digital e Recursos Educacionais Digitais Diogo R. Garcia
Supervisora de Produção Digital Daniele Correia Supervisora de Design Educacional e Curadoria Indiara Beltrame
FICHA CATALOGRÁFICA
Coordenador(a) de Conteúdo
Antoneli da Silva Ramos
Projeto Gráfico e Capa
Arthur Cantareli, Jhonny Coelho
e Thayla Guimarães
Núcleo de Educação a Distância. MASSAGO, Issao; SUGUIURA,
Tiago Peres da Silva.
Editoração
Lucas Pinna Silveira Lima
Introdução ao Cálculo.
Issao Massago; Tiago Peres da Silva Suguiura.
Design Educacional
Amanda Peçanha
Maringá - PR.: UniCesumar, 2020. Reimpressão 2023.
Revisão Textual
Cindy Mayumi Okamoto Luca
Ilustração
Natália Scalassara
Welington Vainer
Bruno Cesar Pardinho
Fotos
Shutterstock
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ.
216 p.
“Graduação - EaD”.
1. Cálculo 2. Números 3. Equações. EaD. I. Título.
Impresso por:
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
ISBN 978-65-5615-062-8
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
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BOAS-VINDAS
Neste mundo globalizado e dinâmico, nós trabalhamos com princípios éticos e profissionalismo, não somente para oferecer educação de
qualidade, como, acima de tudo, gerar a conversão integral das pessoas ao conhecimento.
Baseamo-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emocional e espiritual.
Assim, iniciamos a Unicesumar em 1990, com
dois cursos de graduação e 180 alunos. Hoje,
temos mais de 100 mil estudantes espalhados
em todo o Brasil, nos quatro campi presenciais
(Maringá, Londrina, Curitiba e Ponta Grossa) e
em mais de 500 polos de educação a distância
espalhados por todos os estados do Brasil e,
também, no exterior, com dezenas de cursos
de graduação e pós-graduação. Por ano, produzimos e revisamos 500 livros e distribuímos
mais de 500 mil exemplares. Somos reconhecidos pelo MEC como uma instituição de excelência, com IGC 4 por sete anos consecutivos
e estamos entre os 10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos educadores soluções inteligentes para as necessidades de todos. Para continuar relevante, a
instituição de educação precisa ter, pelo menos,
três virtudes: inovação, coragem e compromisso com a qualidade. Por isso, desenvolvemos,
para os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as quais visam reunir o melhor do ensino
presencial e a distância.
Reitor
Wilson de Matos Silva
Tudo isso para honrarmos a nossa missão, que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, formando profissionais cidadãos
que contribuam para o desenvolvimento
de uma sociedade justa e solidária.
TRAJETÓRIA
PROFISSIONAL
Me. Issao Massago
Possui graduação em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de
Jandaia do Sul (1990) e em Ciências - Habilitação Plena em Matemática pela Fundação Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari (1992). É mestre em
Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2015) e atua como professor
da disciplina de Matemática na rede pública estadual do Paraná. Sempre se preocupou com o processo de construção de conhecimentos matemáticos e procura
atualizações em tecnologia educacional.
http://lattes.cnpq.br/5103036905790051
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2015) e
mestrado em Bioestatística pela mesma instituição (2017). Atualmente, é professor
mediador do curso de Licenciatura em Matemática da Unicesumar.
http://lattes.cnpq.br/4322415939992048
A P R E S E N TA Ç Ã O
DA DISCIPLINA
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Seja bem-vindo(a)! Este material foi elaborado especialmente para que você inicia o estudo
de alguns conteúdos relacionados à disciplina de Cálculo. Embora a relação dos conteúdos
abordados possa parecer um pouco estranha para aqueles que já tiveram algum contato com
essa disciplina, este material pode auxiliar no estudo das disciplinas de Cálculo. Pensando nisso, a ideia é introduzi-lo de forma simples, mantendo o foco e sem perder o rigor matemático.
Vale lembrar, ainda, que os conteúdos devem ser compreendidos, e não decorados. A aquisição plena de conhecimentos ocorre somente quando conseguimos incorporá-los e, para
isso, precisamos acompanhar e reconstituir os raciocínios apresentados, de maneira que
possamos compreendê-los. Dessa forma, você deve focar na análise e na compreensão das
regras, das propriedades e, até mesmo, de algumas fórmulas, ao contrário de simplesmente
decorá-las, assim como muitos costumam fazer.
Temos plena consciência das possíveis dificuldades que você pode encontrar, ao mudar a forma
como encara a matemática, já que demoramos alguns anos de atuação, como professores dessa
disciplina, até começarmos a abandonar a forma tradicional de estudá-la e passarmos a vê-la
como algo que reserva muitas surpresas e margens para discussão. Além disso, precisamos ter
domínio pleno dos conteúdos abordados e da capacidade de analisar cada situação apresentada, para que possamos transmitir o conteúdo de forma segura e que facilite a vida daqueles
que dependem de nós para aprender a matemática. Assim, além da aquisição dos conteúdos
matemáticos, começaremos a mudar um pouco a visão que temos acerca dessa disciplina.
Para facilitar o estudo, este material foi dividido em cinco unidades: na primeira, estudaremos os polinômios, as equações e as inequações; na segunda, as frações algébricas, pois,
para resolvermos muitas situações-problema, precisaremos de um novo tipo de equação;
já na terceira, a progressão aritmética e a progressão geométrica, dois tipos de sequências;
na quarta, a trigonometria, a qual, às vezes, é vista como algo de difícil compreensão ou até
um pouco confuso, mesmo que, comumente, esse fato se deve à falha na forma como é
apresentada para aqueles que precisam estudá-la; e, finalmente, na quinta, estudaremos os
números complexos, a unidade imaginária, suas formas de representação e propriedades.
Esperamos que este material auxilie sua formação acadêmica e contribua, também, para
sua prática docente, ao assumir uma sala de aula (se você ainda não é, será futuro(a) colega
de trabalho), para que, juntos, possamos sonhar com a melhoria da qualidade do ensino da
matemática, nesse país. Além disso, não podemos deixar de lhe desejar um bom estudo,
pois este material só terá valor na mão de alguém como você, que procura novos horizontes.
ÍCONES
pensando juntos
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e
transformar. Aproveite este momento!
explorando ideias
Neste elemento, você fará uma pausa para conhecer um pouco
mais sobre o assunto em estudo e aprenderá novos conceitos.
quadro-resumo
No fim da unidade, o tema em estudo aparecerá de forma resumida
para ajudar você a fixar e a memorizar melhor os conceitos aprendidos.
conceituando
Sabe aquela palavra ou aquele termo que você não conhece? Este elemento ajudará você a conceituá-la(o) melhor da maneira mais simples.
conecte-se
Enquanto estuda, você encontrará conteúdos relevantes
online e aprenderá de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar
Experience para ter acesso aos conteúdos online. O download do aplicativo
está disponível nas plataformas:
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CONTEÚDO
PROGRAMÁTICO
8
UNIDADE 01
POLINÔMIOS,
EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
UNIDADE 03
67
TRIGONOMETRIA
UNIDADE 05
NÚMEROS
COMPLEXOS
150
UNIDADE 02
FRAÇÕES
ALGÉBRICAS
UNIDADE 04
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
E PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
FECHAMENTO
45
122
182
CONCLUSÃO GERAL
1
POLINÔMIOS, EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
PROFESSORES
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Polinômios • Equações polinomiais
• Sistemas de equações • Inequações
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Identificar e efetuar operações que envolvem polinômios • Definir equações e resolvê-las • Construir
sistemas de equações e resolvê-los • Identificar as inequações e resolvê-las.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à primeira unidade do nosso livro!
Iniciaremos o nosso estudo, tratando de polinômios, equações e inequações. Apesar de existirem relações entre os assuntos, cada um apresenta
suas particularidades e, portanto, necessitam de alguns cuidados.
As equações, os sistemas de equações e as inequações estão presentes
no nosso cotidiano, mesmo que, às vezes, não atribuímos muita atenção.
Simples compras envolvem equações, pois certa quantia em dinheiro, geralmente, cédulas de alto valor, são trocadas por mercadorias, as quais retornam um pequeno valor em espécie, nesse caso, o troco. As inequações,
que alguns acreditam que servem somente como desafios matemáticos,
também estão diretamente ligadas à nossa vida. Utilizamos as inequações
com frequência quando precisamos analisar se o dinheiro que possuímos
seria o suficiente para comprar certa quantia de mercadorias, por exemplo.
Assim, mesmo que alguns alunos, principalmente os da Educação
Básica, tenham certa rejeição a esses conteúdos, eles não devem ficar em
segundo plano. Talvez, a rejeição apresentada por alguns se deve ao fato
de não haver uma relação desses conteúdos ao cotidiano e de não existir
a realização da comprovação da validade de fórmulas ou de raciocínios,
devido à falha ou à ausência de contextualização e/ou demonstração.
Verificamos que os conteúdos matemáticos vieram para solucionar os
problemas do cotidiano, mesmo que tenham se tornado “pedras no sapato” para alguns alunos. Para minimizar esse problema, estudaremos tais
assuntos a partir de uma ótica diferente, para que você incorpore mais um
pouco de conhecimento. Bom estudo!
UNIDADE 1
1
POLINÔMIOS
Iniciaremos o nosso estudo sobre polinômios a partir de sua definição. Assim,
como a raiz – poli – do próprio nome diz, o polinômio é composto por vários
termos, isto é, uma soma de monômios de graus diferentes, não admitindo expoentes fracionários, nem negativos. Portanto, podemos defini-lo como:
n
ai xi an xn an1 xn1 an2 xn2 a2 x2 a1 x1 a0 ,
i 0
Observação:
i
n
ai xi lê-se somatória de ai xi , com i variando de 0 a n .
i 0
O que é, no entanto, somatória? A somatória nada mais é do que a soma de vários
termos que seguem características definidas, variando a partir de um valor até
i
outro. No caso apresentado, a condição é ai x e i varia a partir de um determi-
nado valor (neste caso, 0 ) até outro (neste caso, n ). Por exemplo, se n = 5 , temos:
5
ai xi a5 x5 a4 x 4 a3 x3 a2 x2 a1 x1 a0 x0 .
i 0
Nesse caso, o índice i de ai indica a ordem do coeficiente, isto é, indica a ordem
i
do termo, enquanto o índice i de x indica o valor do expoente.
10
Dessa
forma,
o
polinômio
apresentado
5
ai xi a5 x5 a4 x 4 a3 x3 a2 x2 a1 x1 a0 x0 é de grau 5 (ou de 5º grau).
UNICESUMAR
O grau de um polinômio é determinado pelo maior dos expoentes da variável.
i 0
Observação: caso algum(ns) ai for(em) 0 , geralmente, não escrevemos esse(s)
termo(s).
Agora, estudaremos um pouco as operações que envolvem os polinômios.
Adição e subtração de polinômios
Considerando os polinômios
p1 an x n an1 x n1 an2 x n2 a2 x2 a1 x1 a0 , n e
p2 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2 b2 x2 b1 x1 b0 , m tal que n > m , temos:
p1 p2 (an x n an1 x n1 an2 x n2  a2 x2 a1 x1 a0 )
(bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0 )
an x n an1 x n1 an2 x n2  am1 x m1 (am bm ) x m
(am1 bm1 ) x m1 (am2 bm2 ) x m2  (a2 b2 ) x2
(a1 b1 ) x1 (a0 b0 )
Exemplo
1:
Considerando
os
polinômios
p1 4 x7 9 x6 4 x5 x 4 2 x3 6 x2 8 e p2 2 x 4 4 x3 x2 7 x 5 ,
procedemos da seguinte maneira para determinar a sua soma:
p1 p2 (4 x7 9 x6 4 x5 x 4 2 x3 6 x2 8) (2 x 4 4 x3 x2 7 x 5)
4 x7 9 x6 4 x5 (1 2) x 4 (2 4) x3 (6 1) x2 7 x (8 5)
4 x7 9 x6 4 x5 3 x 4 6 x3 7 x2 7 x 3
11
UNIDADE 1
Observação: é usual omitirmos o coeficiente 1 dos termos de polinômios.
A diferença entre polinômios é determinada de forma análoga à da soma dos polinômios, tendo em vista que toda subtração pode ser transformada na adição do minuendo com o polinômio oposto do subtraendo. Entretanto o que é polinômio oposto?
O polinômio oposto é aquele cujo sinal de cada termo é oposto do polinômio dado.
6
5
4
3
2
Exemplo2:Considerandoospolinômios p1 x 7 x 2 x 5 x 6 x 15 x 3
7
6
5
3
2
e p2 4 x x 4 x 4 x 6 x x 10 , procederemos da seguinte maneira
para determinarmos a diferença entre o primeiro e o segundo polinômio:
p1 p2 ( x6 7 x5 2 x 4 5 x3 6 x2 15 x 3) (4 x7 x6 4 x5 4 x3 6 x2 x 10)
( x6 7 x5 2 x 4 5 x3 6 x2 15 x 3) (4 x7 x6 4 x5 4 x3 6 x2 x 10)
4xx7 (1 1) x6 (7 4) x5 2 x 4 (5 4) x3 (6 6) x2 (15 1) x (3 10)
4 x7 3 x5 2 x 4 9 x3 12 x2 14 x 13
Para determinarmos o grau da soma dos polinômios, temos duas situações:
a) Se o grau dos polinômios envolvidos for diferente, o grau da soma dos
polinômios será o maior grau verificado.
b) Se o grau dos polinômios envolvidos for igual, o grau da soma dos polinômios será o maior grau de termos não opostos.
3
2
3
2
Exemplo 3: Considerando p1 5 x 6 x 15 x 3 e p2 4 x 6 x x 10 ,
o grau da soma p1 + p2 é 3 , pois o grau de p1 e p2 são iguais e os primeiros termos
3
3
de p1 e p2 não são opostos, isto é, 5 x 4 x .
4
3
2
Exemplo 4: Considerando os polinômios p1 6 x 5 x 6 x 15 x 3 e
p2 6 x 4 5 x3 6 x2 x 10 , o grau da soma p1 + p2 é 2, pois os termos de
2
2
maior grau que não são opostos são 6 x 6 x , tendo em vista que os termos
de grau 4 e 3 desses polinômios são opostos.
12
Recorremos à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para
determinarmos o produto, assim como podemos observar a seguir:
UNICESUMAR
Multiplicação envolvendo polinômios
a) Multiplicação de polinômio por monômio: nesse caso, multiplicamos
cada termo do polinômio pelo monômio.
3
2
Exemplo 5: Considerando p1 7 x 5 x 3 x 1 e p2 = 2 x , procedemos da
seguinte maneira:
p1 p2 7 x3 5 x2 3 x 1 2 x
7 x3 2 x 5 x2 2 x 3 x 2 x 1 2 x
7 2 x31 5 2 x21 3 2 x11 1 2 x
14 x 4 10 x3 6 x2 2 x
Observação: na multiplicação da potência de mesma base, conservamos a base
a
b
a b
e adicionamos os expoentes, isto é, x x x .
b) Multiplicação de dois polinômios: para a multiplicação de dois polinômios, aplicamos a propriedade distributiva em todos os termos. Por
exemplo: considere os polinômios
p1 an x n an1 x n1 an2 x n2 a2 x2 a1 x1 a0 , n e
p2 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2 b2 x2 b1 x1 b0 , m .
Assim, teremos:
13
UNIDADE 1
p1 p2 anxn +an-1xn-1 +an-2xn-2 + +a2x2 +a1x1 +a0
anxn bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0 an-1xn-1 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0 an-2xn-2 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0  a1x1 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0 a0 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0 bm x m bm1 x m1 bm2 x m2  b2 x2 b1 x1 b0
Ou seja, multiplicamos cada um dos termos do primeiro polinômio com todos
os termos do segundo e, em seguida, adicionamos os termos de mesmo grau.
3
2
Exemplo 6: Considerando os polinômios p1 7 x 5 x 3 x 1
p2 x2 4 x 7 , procedemos da seguinte forma:
e
7x3 x2 4 x 7 -5x2 x2 4 x 7 3x x2 4 x 7 1 x2 4 x 7 7 x3 x2 7 x3 4 x 7 x3 7 5 x2 x2 5 x2 4 x 5 x2 7 3 x x2 3 x 4 x 3 x 7 1 x2 1 4 x 1 7 p1 p2 7x3 -5x2 +3x +1 x2 4 x 7
7 x5 28 x 4 49 x3 5 x 4 20 x3 35 x2 3 x3 12 x3
12 x2 21x x2 4 x 7
7 x5 28 5 x 4 49 20 3 x3 35 12 1 x2
21 4 x 7
7 x5 33 x 4 72 x3 46 x2 17 x 7
14
UNICESUMAR
Observação: o grau do produto de dois polinômios ou de polinômio por monômio é igual à soma de seus graus.
Divisão de polinômios
Para a divisão de dois polinômios, temos duas situações:
a) Divisão de polinômio por monômio: dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Observação: na divisão de potências da mesma base, subtraímos o expoente do
a
b
divisor pelo expoente do dividendo, isto é, x x xa
x
b
x a b .
6
4
3
2
Exemplo 7: Para determinarmos o quociente do polinômio 9 x 5 x 6 x 8 x
2
pelo monômio 3 x , procedemos da seguinte maneira:
9 x6 5 x 4 6 x3 8 x2 3 x2 9 x6 5 x 4 6 x3 8 x2
3 x2
9 x6
5x4
6 x3
8 x2
3 x2 3 x2 3 x2
5
8
3 x 6 2 x 4 2 2 x 3 2 x 2 2
3
3
5
8
3 x 4 x2 2 x 3
3
3 x2
Observação: quando o expoente for igual a 0, sua potência é igual a 1 , isto é,
a x0 a 1 a
b) Divisão de polinômio por polinômio: procedemos de acordo com o
exemplo a seguir:
3
2
Exemplo 8: Dividiremos o polinômio 10 x 11x 27 x 20 pelo binômio
2x + 5 :
15
UNIDADE 1
10 x3
11x2
10 x3
27 x
2x
20
25 x2
5 x2
14 x2
27 x
+14x 2
35 x
5
7 x
4
8 x 20
8 x 20
0
Observação: quando o resto da divisão é 0 , dizemos que é uma divisão exata.
5
4
2
Exemplo 9: Ao dividir o polinômio 20 x 58 x 97 x 25 x 17 pelo po2
3
2
linômio x 3 x 1 , obtemos o quociente 20 x 2 x 26 x 17 , assim como
podemos observar a seguir:
20 x5
20 x5
58 x 4
0 x3
60 x 4
2 x 4
2 x4
97 x2
25 x
17 x2
20 x3
20 x3
20 x3
97 x2
6 x3
2 x2
26 x3
95 x2
25 x
26 x3
78 x2
26 x
17 x2
17 x2
51x
51x
3 x
1
2 x2
17
17
0
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista à resolução detalhada
desse problema no vídeo.
16
26 x
17
Apresentamos um exemplo cuja divisão resultou em resto igual a 0 , mas isso não
ocorre sempre. Uma das maneiras para determinarmos o resto é efetuar a divisão,
mas existe uma maneira de verificarmos esse fato por meio de divisibilidade, quando o divisor for um binômio do tipo a x b . Para isso, consideramos x UNICESUMAR
3
Observação: pelo fato de que não existia um termo com o expoente x no
3
exemplo anterior, ele foi substituído por 0 ⋅ x .
b
e
a
determinamos o valor numérico do dividendo, o qual será o resto da divisão.
Para finalizar esse conceito, surge o Teorema do Resto, que diz o seguinte:
Teorema (do resto): o resto da divisão de um polinômio P ( x) pelo binômio
a x b é igual ao valor numérico desse polinômio para x b
P r .
a
b
, ou seja,
a
3
2
Exemplo 10: O resto da divisão do polinômio 3 x 7 x 5 x 2 pelo binômio
x + 3 é igual a −35 . De fato, considerando x 3
x 3 0 x 3 , temos:
P(3) 3 3 7 3 5 3 2 35
3
2
Observação: o símbolo matemático “ ⇒ ” lê-se “implica” e significa que uma situação
resulta em outra verdadeira. Como anteriormente afirmado, x 3 0 resulta em
x 3 .
17
UNIDADE 1
3
2
Exemplo 11: O resto da divisão do polinômio 10 x 11x 70 x 20 pelo binô-
mio 2 x − 5 é igual a 70 . De fato, como 2 x 5 0 2 x 5 temos:
3
2
5
5
5
5
P 10 11 70 20
2
2
2
2
125 25 5
10 11 70 20
8 4 2
625 275
175 20
4
4
70
pensando juntos
Você refletiu sobre o raciocínio que dá suporte à teoria de resto?
18
x
5
,
2
POLINOMIAIS
UNICESUMAR
2
EQUAÇÕES
As expressões matemáticas em que ocorrem igualdade entre polinômios são
chamadas de equações e algumas são bem conhecidas por todos. As equações
que trabalharemos nesta unidade são as de 1º grau e de 2º grau.
Quando dizemos “vamos resolver uma equação”, estamos a determinar o(s)
valor(es) da variável, tal que a expressão matemática se torne verdadeira.
Equação do 1º grau
O polinômio envolvido nessa igualdade possui grau 1 , ou seja, sua representação
é da forma a x b 0 . Esse tipo de equação é muito presente em nossa vida.
Vamos pensar em algumas situações:
Exemplo 12: Ao comprar uma roupa, você utiliza uma nota de R$100, 00 e
recebe uma nota de R$20, 00 de troco. Instantaneamente, você responde que
essa roupa custou R$80, 00 . No entanto, ao apresentar a equação x 20 100 ,
19
UNIDADE 1
nem todos respondem que x = 80 , além de demorar mais para chegar ao resultado. Para resolvê-la, podemos proceder da seguinte forma:
x 20 100
x 20
os lados da equação
20
100
20 Adicionamos ( 20) em ambos os lados da equação
x 80
Exemplo 13: Se estivermos em uma mercearia e verificarmos que 4 pacotes de
doces custaram R$20, 00 , sem dúvida, a resposta é que cada pacote custou
R$5, 00 . Entretanto qual é o raciocínio utilizado?
Considerando o valor do pacote de doces como x , temos:
4 x 20
1
1
4 x 20 Multiplicamos ambos os termos por
4
4
4 20
x 4 4
x5
1
4
Exemplo 14: Para resolver a equação 4 x 8 2 x 2 , adicionaremos −8 e −2x
em ambos os lados da equação. Assim, temos:
4x 8 2x 2
4 x 8 2 x 8 2 x 2 2 x 8 4x 2x 8 8 2x 2x 2 8
2 x 6
Prosseguindo, multiplicaremos ambos os lados por
20
1
. Assim, temos:
2
x
UNICESUMAR
1
1
2 x 6 2
2
2 x 6
2
2
x 3
Equação do 2º grau
O polinômio envolvido nesse tipo de equação é aquele cujo maior expoente é de
2
grau 2. Sua representação geral é ax bx c 0 , com a ≠ 0 . Uma das maneiras
mais conhecidas e utilizadas para resolver uma equação do 2º grau é por meio da
Equação de Bháskara (ou fórmula quadrática), dada da seguinte maneira:
b b2 4 ac
x
2a
No entanto, às vezes, a origem dessa fórmula não é comentada com os alunos,
mesmo que a sua demonstração não seja difícil. Assim, vale a pena tentar compreendê-la. Vamos lá!
Primeiramente, vamos considerar uma equação geral do 2º grau dada por:
ax2 bx c 0
tal que a, b, c  e a 0 .
Agora, adicionaremos −c em ambos os membros da equação, mantendo a
sua igualdade:
ax2 bx c c 0 c ax2 bx c
O próximo passo é multiplicar ambos os membros por
1
. Assim, temos:
a
21
UNIDADE 1
ax2 bx a1 c a1 1
1
1
ax2 bx c a
a
a
a x2 bx c
a
a
a
bx c
x2 +
a
a
(I)
Agora, precisamos utilizar uma técnica chamada completar quadrado. Ela consiste, basicamente, em adicionar termos em sua equação para que ela se torne um
2
2
2
produto notável. Logo, como sabemos que x b x 2bx b , temos:
2
b b2
2 bx
x
x
+
,
2a a 4a2
Note que a parte em negrito é exatamente o que temos em nossa equação. Então,
resta-nos, apenas, acrescentar a última parte para que possamos transformar a
nossa equação em um produto notável.
2
Assim, ao adicionar b 4 a2 para ambos os membros da nossa equação I ,
é possível realizar a transformação do primeiro membro no produto notável
2
b x :
2a bx b2 c b2 x +
a 4 a2 a 4 a2 2
bx b2
4 ac b2
x 2 a 4a
4a2
2
2
b b2 4 ac
x 2a 4a2
22
2
b2 4 ac
b x
.
2a 4a2
UNICESUMAR
Prosseguindo, extrairemos a raiz quadrada em ambos os termos:
Todavia, como:
b2 4 ac
4a2
b2 4 ac
4a2
b2 4 ac
,
2a
Temos:
x
b2 4 ac
b
.
2a
2a
Agora, isolando a variável x , adicionaremos -
x
b
em ambos os membros:
2a
b b b2 4 ac b - - ,
2a 2a 2a
2a O que resulta em:
x
b b2 4 ac
2a
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, vejamos, no vídeo, alguns
exemplos de equações do segundo grau.
23
UNIDADE 1
A equação do 2º grau também pode ser resolvida pelo método de fatoração,
quando existir(em) raiz(es) real(is), tendo em vista que:
x x1 x x2 x2 x1 x2 x x1 x2
Assim, se x − x1 e/ou x − x2 for igual a 0 , a equação anterior, - dada por
x2 x1 x2 x x1 x2 0 , torna-se verdadeira, isto é, x1 e x2 são os valores
procurados, ou melhor, são as raízes da equação do 2º grau.
A partir dessa equação, ainda verificamos que, se x1 e x2 são as raízes da
equação, então, constatamos que o termo
termo
c
é o produto das raízes. Ou seja:
a
b
é oposto da soma das raízes e que o
a
x1 x2 b
a
e
x1 x2 c
.
a
2
Exemplo 15: A equação do 2º grau x 5 x 6 0 pode ser resolvida da seguinte maneira:
-51e c = 6 . Logo, sabemos que a
Note que, para essa equação, temos: a 1, b = soma das duas raízes da equação se dá por:
b
a
5
x1 x2 1
x1 x2 5
x1 x2 24
UNICESUMAR
Além disso, sabemos que o produto das duas raízes se dá por:
c
x1 x2 a
6
x1 x2 1
Agora, precisamos saber quais são os dois valores cuja soma é 5 e o produto é
6 . Logo, constatamos que esses números são x1 = 2 e x2 = 3 , os quais são as
raízes da equação.
Observação: note que podemos reescrever a equação, em termos de suas raízes,
da seguinte maneira:
x2 5 x 6 0 x 2 x 3 0
pensando juntos
Você já percebeu que muitos recorrem à fórmula para determinar o conjunto solução da equação do 2º grau, mesmo que exista o processo de fatoração. O que leva
a essa escolha?
25
UNIDADE 1
3
SISTEMAS DE
EQUAÇÕES
Um sistema de equações é formado por um conjunto de equações que apresentam
mais de uma incógnita. Se possuirmos 2 incógnitas, precisamos de duas equações;
se possuirmos 3 incógnitas, precisamos de 3 equações e, assim, sucessivamente.
Para resolver um sistema, é necessário encontrar valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Para tanto, existem algumas maneiras de se
resolver um sistema de equações, este assunto veremos adiante.
Dizemos que um sistema é do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas variáveis. O conjunto
solução para um sistema de equações é dado por um par de valores que satisfaça
as equações simultaneamente.
Método da substituição
Para esse método, primeiramente, resolvemos uma das equações em termo de
uma das variáveis. Por exemplo, se uma das equações for 3 x y 2 , fazemos
y 2 3 x. Então, substituímos essa expressão na segunda equação, obtendo uma
equação somente dependendo da variável x . Após resolvermos essa equação e
encontrarmos o valor da variável x , retornamos a uma das equações para encontrarmos o valor da variável y .
26
UNICESUMAR
3 x 2 y 16
Exemplo 16: Resolva o sistema .
7 x y 19
Pelo fato de que, na segunda equação, a variável y não é multiplicada por nenhum valor, vamos isolá-la na equação, obtendo:
7 x y 19
y 19 7 x
Substituiremos esse valor da variável y na primeira equação. Assim, obtemos:
3 x 2 y 16
3 x 2 19 7 x 16
3 x 38 14 x 16
11x 22
x2
Agora que encontramos o valor de x , vamos substituí-lo em qualquer uma das
equações, a fim de encontrarmos o valor de y . Substituindo em y 19 7 x , temos:
y 19 7 x
y 19 7 2
y 19 14
y5
Logo, constatamos que a solução para esse sistema de equações é 2, 5 , isto
é, x = 2 e y = 5 .
Método da adição
Basicamente, o método da adição consiste em somarmos as variáveis semelhantes de
ambas as equações, com o intuito de obtermos um resultado igual a zero. Em outras
palavras, realizando uma adição (ou subtração) entre as equações, a ideia é que uma das
variáveis seja “cancelada”, pois, assim, podemos encontrar o valor da segunda variável.
27
UNIDADE 1
x 2 y 17
Exemplo 17: Resolva o sistema dado por .
x 2 y 11
Note que, se somarmos as duas equações, o termo com a variável y se cancelará,
restando somente a variável x . Assim, temos:
x 2 y 17
x 2 y 11
2x 0 y 6
Agora, podemos encontrar o valor da variável x :
2x 0 y 6
2x 6
6
x
2
x3
Nesse momento, realizamos o mesmo procedimento do exemplo anterior: substituímos o resultado obtido em uma das equações, a fim de obtermos o valor da
variável y :
x 2 y 17
3 2 y 17
2 y 17 3
2 y 14
14
y
2
y 7
Logo, constatamos que a solução para esse sistema de equações é dada por
3, 7 , isto é, x = 3 e y = 7 .
28
Analisando o sistema, não conseguimos realizar uma soma que, diretamente,
elimine uma das variáveis. Então, o que podemos fazer é multiplicar uma das
equações por um valor que resulte em algo desejável. Nesse caso, multiplicaremos
a primeira equação por −2 , obtendo:
4 x 3 y 2
8 x 2 y 12
2 UNICESUMAR
4 x 3 y 2
Exemplo 18: Resolva o sistema .
8 x 2 y 12
8 x 6 y 4
8 x 2 y 12
Agora, podemos realizar a soma entre as duas equações. Assim, obtemos:
8 x 6 y 4
8 x 2 y 12
0 8 y 16
A partir disso, podemos encontrar o valor de y :
8 y 16
16
y
8
y 2
Substituindo esse valor em qualquer uma das equações originais, temos:
4 x 3 y 2
4 x 3 2 2
4 x 6 2
4x 4
4
x
4
x 1
Portanto, o conjunto solução desse sistema de equações é 1, 2 ou x = 1
e y 2 .
29
UNIDADE 1
Exemplo 19: A diferença de idade entre dois primos é de 4 anos e o produto de
suas idades é 221 . Qual é a idade de cada um?
Vamos denotar a idade dos primos x e y . Pelo fato de que a diferença entre eles
é 4 e o produto é 221 , temos o seguinte sistema:
x y 4
x y 221
Isolando a variável x na primeira equação, temos:
x y 4
x 4 y
Agora, substituindo-a na segunda equação, temos:
x y 221
4 y y 221
4 y y 2 221
y 2 4 y 221 0
Resolvendo essa equação por meio da Equação de Bháskara, obtemos:
y
b b2 4.a.c
2a
4 16 4 1 (221)
2 1
4 900
y
2
4 30
13
y1 2
y 4 30 17
2
2
y
Pelo fato de que estamos tratando de idades, consideraremos y = 13 . Agora, substituindo o valor na primeira equação, temos:
30
x 13 4
x 17
Logo, constatamos que as idades dos primos são 13 e 17 anos.
UNICESUMAR
x y 4
explorando Ideias
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650
a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na
cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um
escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.
Fonte: Silva ([2020], on-line)¹.
anotações
31
UNIDADE 1
4
INEQUAÇÕES
Às vezes, deparamo-nos com a situação em que precisamos pensar se o dinheiro que temos seria, ou não, suficiente para comprar certa quantidade de produtos. Essa situação, sem dúvida, é um dos exemplos das inequações, pelo fato
de envolver polinômios e desigualdades. Assim, podemos definir as inequações
como expressões matemáticas que envolvem polinômios e desigualdades como
, , ou ≤ .
Caro(a) aluno(a), a seguir, estudaremos as inequações polinomiais do 1º e
do 2º grau.
Inequação do 1º grau
Para determinarmos o conjunto solução das inequações polinomiais do 1º grau,
em muitos casos, procedemos de forma análoga à das equações.
Exemplo 20: Para determinarmos o conjunto solução da inequação, definida
por 3 x 2 11 , procedemos da seguinte forma:
32
1
1
3x 9 3
3
x3
UNICESUMAR
3 x 2 (2) 11 (2)
3x 9
Assim, S x  | x 3 .
Exemplo 21: para determinarmos o conjunto solução da inequação definida por
4 x 7 6 x 15 , procedemos da seguinte maneira:
4 x 7 6 x 6 x 15 6 x 2 x 7 7 15 7 2 x 8
2 x 8
1
2 x 1 8 1
2 x 8
1
1
2 x 8 2
2
x 4
Assim, S x  | x 4
Observação: ao multiplicar ambos os membros de uma inequação por 1 ,
invertemos o sentido do sinal da desigualdade.
Inequação do 2º grau
Uma inequação do 2º grau na incógnita x é uma expressão que pode ser escrita
em uma das seguintes formas:
33
UNIDADE 1
ax2 bx c 0
ax2 bx c 0
ax2 bx c 0
ax2 bx c 0
Para resolvermos uma inequação do 2º grau, devemos, inicialmente, estudar o
sinal da expressão correspondente à equação obtida, trocando-se a desigualdade pela igualdade. Ao localizarmos as raízes da equação, estudamos o sinal da
equação correspondente.
Veremos dois casos de inequações do 2º grau.
Inequação-produto
Considere a seguinte inequação do segundo grau:
x2 2 x 8 0
Fatorando o primeiro termo da desigualdade, temos:
x 2 x 4 0
Assim, transformamos um polinômio de grau 2 em um produto de polinômios de grau 1 . Como sabemos que o produto de dois termos é positivo quando
ambos são positivos ou quando ambos são negativos, constatamos que a solução
dessa inequação-produto é o conjunto de todos os x reais, tais que:
x 2 0 e x 4 0
ou
x 2 0 e x 4 0 .
Para o primeiro caso, temos x 2 0 x 2 e x 4 0 x 4 . Analisando esses intervalos, temos:
34
UNICESUMAR
x≥2
x 4
---------------------------------------------------------------------------------------x 2 e x 4
Portanto, para essa opção, temos x ≥ 2 .
Por outro lado, para a segunda opção, temos x 2 0 x 2
x 4 0 x 4 . Analisando esses intervalos, temos:
e
x≤2
x 4
---------------------------------------------------------------------------------------x 2 e x 4
Portanto, para essa opção, temos x 4 . Logo, o conjunto solução para a inequa2
ção x 2 x 8 0 é S x  | x 2 ou x 4 ou S (, 4] [2, ) .
Observação: note que realizamos, primeiramente, a interseção entre os intervalos de uma mesma condição 0 ou 0 , para, posteriormente, unirmos
os resultados.
35
UNIDADE 1
Inequação-quociente
Observe que as seguintes inequações apresentam um quociente de polinômios
de 1º grau:
x 1
0,
x 1 0
x 1
x 1
0, 3 x 2 0
3x 2
2x 1
0, x 4 0
x4
2x 3
0, x 2 0
x2
A maneira de resolvermos esse tipo de inequação é semelhante ao visto
nas inequações-produto. Isto é, analisamos os sinais das equações polinomiais
de 1º grau envolvidas e, depois, analisamos o sinal do produto ou quociente,
lembrando as regras de sinais para números reais.
Exemplo 22: Determine os valores de x ∈ , tal que:
x 1 2
.
x2
Primeiramente, observamos que x ≠ -22, para que a expressão faça sentido.
Temos duas opções para o termo x + 2 :
I - Se x 2 0 , segue que x 1 x 2 2 .
II - Se x 2 0 , segue que x 1 x 2 2 .
2
Para (i), temos x 3 x 2 2 0 , ou, ainda,
x2 3 x 0
Isto é:
36
x x 3 0 .
feita para x 3 e x > 0 . Analisando os intervalos, temos
UNICESUMAR
Observe que as raízes da equação são: x = 0 e x 3 , e a inequação é satis-
x 3
x>0
--------------------------------------------------------------------------------------x 3 e x 0
Além disso, a condição do item (I), de que x 2 0 que a solução para o item (I) é x > 0 ou 0, .
Para o item (II), segue da mesma forma que:
x 2 , implica
x x 3 0
A inequação, nesse caso, é satisfeita para 3 x 0 . Entretanto a condição
do item (ii) indica que devemos ter x 2 . Assim, constatamos que a solução
para esse item é:
3 x 2 ou
3, 2 .
Logo, a solução da inequação dada é a união entre as duas soluções:
3, 2 0, .
Observação: para o caso de uma inequação-produto ou inequação-quociente
na qual o resultado desejado é ou , devemos nos recordar que os sinais dos
termos devem ser opostos para que o produto entre dois termos seja negativo.
Em outras palavras, é necessário analisar os casos em que um termo é positivo
e o outro é negativo, e vice-versa, para, depois, realizar a união dos resultados.
37
UNIDADE 1
38
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), chegamos ao final de nossa primeira unidade. Nós acabamos
de estudar partes importantes e fundamentais para todo o decorrer do curso:
os polinômios, as equações (e seus sistemas) e as inequações. Algumas pessoas
não gostam dos polinômios por considerá-los abstratos. No entanto dão suporte
aos demais conteúdos, tendo em vista que os polinômios estão envolvidos nas
equações e nas inequações.
Além disso, alguns confundem e/ou não diferenciam a expressão “resolver
equações” de “efetuar operações matemáticas”. Entretanto ao resolvermos uma
equação, estamos determinando o(s) valor(es) da variável, que, na maioria
dos casos, é representada pela letra x , a fim de que a igualdade se torne verdadeira. Para tanto, recorremos ao processo que consiste em isolar a variável
dos valores numéricos.
Para os primeiros exemplos que estiver realizando e ao passar para seus alunos, é interessante que você indique quais operações são inseridas para que se
consiga isolar a variável, seja uma multiplicação, seja uma adição/subtração de
um termo. Depois de muita prática e de já compreender a importância desse passo, as indicações não são mais necessárias e as resoluções se tornam mais diretas.
Os sistemas de equações apresentam uma variedade imensa de aplicações
no dia a dia. Muitos dos problemas enfrentados por todos utilizam duas ou mais
variáveis e, por isso, saber resolver sistemas de equações se torna fundamental.
Resolver inequações de 2º grau pode parecer trabalhoso, mas com bastante
prática, resolução de vários exemplos e dedicação, essa atividade se torna algo
tranquilo, pois somente é necessário analisar as possibilidades para o sinal de
cada uma das equações de 1º grau e, depois, unir os resultados.
Caro(a) aluno(a), você deve ter notado que várias demonstrações foram apresentadas no decorrer desta unidade, tendo em vista que as demonstrações são
tão importantes quanto à contextualização. Esperamos que você tenha gostado
dessa forma de apresentação de conteúdo. Até a próxima unidade!
na prática
1. Analise as afirmativas, a seguir, e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F) para as Falsas:
( ) O grau da soma de dois polinômios sempre será igual ao maior grau dos polinômios envolvidos nessa adição.
( ) O grau da diferença entre dois polinômios sempre será igual ao menor grau
verificado entre os polinômios envolvidos nessa subtração.
( ) O grau do produto de dois polinômios sempre será igual à soma dos graus de
seus fatores.
( ) O grau do quociente de um polinômio por outro sempre será igual à diferença
entre o grau de dividendo e do divisor.
A sequência correta é:
a) V, V, V, V.
b) V, F, F, F.
c) F, V, V, V.
d) F, F, V, V.
e) F, F, F, F.
2. Analise as afirmativas, a seguir, e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F) para as Falsas:
( ) O conjunto solução de uma equação polinomial de 2º grau apresenta até dois
valores reais distintos.
( ) O conjunto solução da equação polinomial de 2º grau sempre apresenta um ou
dois valores reais distintos.
( ) Para determinar as raízes de uma equação polinomial de 2º grau, deve-se igualar
a equação por 0.
( ) O conjunto solução de uma inequação polinomial de 2º grau sempre será um
intervalo ou conjunto vazio.
A sequência correta é:
a) V, V, V, V.
b) V, F, V, V.
c) F, F, F, V.
d) F, F, V, F.
e) F, F, F, F.
39
na prática
3. Quanto às equações, analise as afirmativas a seguir:
I - Uma equação do 1º grau é um polinômio de 1º grau cujo maior expoente da
variável é 1.
não ad-
II - Uma equação do 2º grau do tipo
mite raízes opostas.
III - O método de fatoração permite resolver todos os tipos de equações do 2º grau,
mesmo aquelas que não admitem raízes reais.
É correto afirmar que:
a) Apenas, a afirmativa I está correta.
b) Apenas, a afirmativa II está correta.
c) Apenas, a afirmativa III está correta.
d) Apenas, as afirmativas I e II estão corretas.
e) Apenas, as afirmativas I e III estão corretas.
4. Uma pessoa aumentou igualmente os lados de um jardim retangular de 5 metros
por 3 metros e sua área passou para 35 m2. Cada lado desse jardim foi aumentado
em quantos metros?
5. Uma companhia de táxis cobra
R$4, 00
de taxa fixa mais
R$0, 75
para cada qui-
lômetro rodado. Um cliente fez uma corrida com essa companhia de táxis e pagou
R$50, 00 . Qual é a equação que representa esse valor?
6. Um cinema cobra
R$18, 00
a entrada inteira e
R$9, 00
380 ingressos, arrecadanR$5985, 00 . Determine quantos ingressos de cada tipo foi vendido.
seção de lançamento de um novo filme, foram vendidos
do um total de
a meia-entrada. Para uma
40
na prática
7. João quer construir uma cerca retangular em sua fazenda. Ele deseja que a cerca
tenha, pelo menos,
180
m de perímetro. Se a cerca tem
20
m de largura, quantos
metros a cerca deve ter de comprimento?
8. Um objeto é lançado para cima com uma velocidade dada pela equação V
em que
t
80 32t ,
é dado em segundos e a velocidade em metros por segundo. Quando a velo-
cidade desse objeto estará entre
32
e
64
metros por segundo?
9. A Secretaria de Saúde de uma cidade realiza a vacinação contra Pólio e Sarampo.
Cada vacina de Pólio é constituída por
tituída por
2
4
doses e cada vacina de Sarampo é cons-
doses. Ano passado, a Secretaria de Saúde realizou
60
vacinações, o
que consistiu em um total de 184 doses. Quantas vacinas de Pólio e quantas vacinas
de Sarampo a Secretaria realizou no ano passado?
10. Encontre o conjunto solução da inequação
41
3 x 6 5 x 7 0 .
aprimore-se
De acordo com Miguel (1993), Clairaut, em 1741, demonstrava interesse em utilizar
a História da Matemática no ensino e na aprendizagem da matemática. Contudo,
existem poucos materiais instrucionais que podem auxiliar os professores a utilizarem a História da Matemática como um recurso metodológico de ensino (BROLEZZI, 1991; MENDES, 2006; MIGUEL, 1993). Apesar da dificuldade de utilização desses
materiais, os resultados de estudos recentes mostram que a História da Matemática
pode ser utilizada de duas maneiras distintas no ensino e na aprendizagem da matemática, ou seja, explícita e implícita (FERREIRA; RICH, 2001 apud DAMBROS, 2006).
Nesse sentido, a utilização da História da Matemática, de uma maneira implícita,
pode funcionar como um eixo orientador para auxiliar os professores a entenderem
algumas dificuldades dos alunos, que estão relacionadas com o ensino de um determinado conteúdo matemático, por exemplo, funções. Entendemos que essa abordagem pode resultar em uma antecipação dessas dificuldades pelos professores.
Em outra perspectiva, podemos empregar a História da Matemática, de uma maneira explícita, por meio da utilização de situações-problema que ocorreram no decorrer da história. Dessa maneira, podemos nos apropriar desses problemas para
oferecer situações históricas semelhantes àquelas ocorridas na história, porém,
adaptadas para outros contextos socioculturais. Então, a História da Matemática
funciona como um pano de fundo na preparação das aulas, pois não há uma preocupação com o detalhamento da história do conteúdo matemático a ser estudado.
42
aprimore-se
Por exemplo, comparando os procedimentos utilizados na antiguidade para o
trabalho com os números negativos, percebe-se que esses números apresentaram muitos obstáculos de entendimento pelas civilizações daquela época. Nesse
sentido, as civilizações europeias demoraram para aceitar os números negativos,
enquanto que a civilização chinesa utilizou barras pretas para representá-los e barras vermelhas para representar os números positivos, facilitando, dessa maneira, o
trabalho operacional com esses números. Assim, historicamente, os números negativos tiveram impactos diferentes em culturas distintas, pois o seu desenvolvimento
dependeu do contexto local e das ideias matemáticas que foram desenvolvidas em
grupos culturais específicos (RADFORD, 1997).
Então, é de suma importância que percebamos a influência dos aspectos culturais no desenvolvimento do conhecimento matemático, pois existe a necessidade
de que a cultura seja considerada como um fator relevante para o processo de elaboração de atividades matemáticas baseadas na perspectiva Sociocultural da História da Matemática.
Fonte: Oliveira, Viana e Rosa (2013).
43
eu recomendo!
livro
Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções
Autor: Gelson Iezzi e Carlos Murakami
Editora: Atual
Sinopse: o livro é uma coleção consagrada, ao longo dos anos, por
oferecer ao estudante o mais completo conteúdo de matemática
elementar. Este volume apresenta os seguintes tópicos: conjuntos e funções. Além disso, é composto por teoria e exercícios de
aplicação, testes de vestibulares atualizados, selecionados criteriosamente e ordenados por grau de dificuldade, acompanhados das respostas correspondentes.
Há, ainda, uma série de artigos sobre história da matemática, relacionados aos
temas abordados.
conecte-se
Como resolver inequação do 2º grau
É uma ótima videoaula que mostra a forma de resolver inequações do 2º grau.
https://www.youtube.com/watch?v=4nWOEQns2iw
44
2
FRAÇÕES
ALGÉBRICAS
PROFESSOR
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Expressões algébricas em forma
de fração • Expressões algébricas • Equações fracionárias • Sistemas com equações fracionárias
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Conceituar variáveis e expressão algébrica • Definir, exemplificar e operar expressões algébricas •
Identificar o conceito de equação algébrica • Resolver sistemas e problemas com equações algébricas.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a)! É notória a importância da matemática no dia a dia das
pessoas, pois ela está presente em muitos lugares, desde a contagem de
moedas para se comprar uma dúzia de pães franceses, até na escolha das
roupas que usaremos, já que devemos relacionar a roupa com o local, a
temperatura e as combinações que podemos fazer. Tudo isso é fazer matemática no dia a dia.
Obviamente, nem toda a matemática pode ser descrita de forma algébrica. Algumas vezes, basta utilizarmos o raciocínio lógico para se resolver
um problema, como uma coleção de informações essenciais que servem de
base para um raciocínio (premissas) e as quais, se estudadas, levam-nos a
uma conclusão, por exemplo. Entretanto, é bom saber que nem toda coleção de premissas nos leva a uma conclusão.
Em nossa primeira unidade, apresentamos o conceito de equações polinomiais, mas quem garante que essas expressões matemáticas garantem o
estudo de todas as situações possíveis? Por exemplo, quando uma incógnita
se encontra presente no denominador de uma fração, será que podemos
ter uma solução? A resposta é sim, pois, em nossa segunda unidade, apresentaremos o conceito de equações fracionárias ou frações algébricas, ou
seja, aquelas que apresentam incógnita no denominador.
Trata-se de um tema importante e relevante, pois corresponde a um tópico que fará parte de sua vida profissional, como professor de Matemática
no Ensino Fundamental e, algumas vezes, até no Ensino Médio ou, ainda,
no Ensino Superior, nas disciplinas de exatas.
Assim, cabe a você, enquanto futuro educador, dedicar-se à identificação de frações algébricas, assim como a sua simplificação, na adição, na
subtração e por que não na multiplicação dessas expressões, além estender
esse conceito para sistemas de equações fracionarias, pois também é uma
possibilidade que apresentaremos nesta unidade. Portanto, explore, investigue e dedique-se. Um forte abraço e mãos à obra!
FORMA DE FRAÇÃO
UNICESUMAR
1
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EM
Antes de começarmos a falar sobre o conteúdo de nossa unidade, precisamos
relembrar alguns conceitos importantes. Vamos lá?
Definição: denomina-se variável a letra que representará qualquer número ou
um conjunto de números, ou seja, é um símbolo representativo (incógnita) capaz
de representar o número de um conjunto.
Ao expandirmos esse conceito, misturamos as variáveis com outros números
e operações aritméticas, como 2 x 2 ( x 3) , por exemplo, e acabamos representando uma expressão. Tais expressões são chamadas expressões algébricas.
Note que, nessa expressão, temos uma variável, x , números conhecidos, 2 e 3 ,
e operações aritméticas também conhecidas, a soma e a multiplicação.
47
UNIDADE 2
2
EXPRESSÕES
ALGÉBRICAS
Agora que já retomamos o conceito de expressão algébrica, analisaremos um caso
específico, quando as expressões envolvem frações. Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 1:
1 a −b
x
a⋅x
,
, 2
.
,
x b − 2 x 2 x y y2 2 ⋅ b ⋅ y
Perceba que, em todos os casos, temos números conhecidos, variáveis cujo valor
não conhecemos (uma ou mais variáveis) e operações aritméticas. É comum,
também, o fato de que todos os casos apresentam variáveis no denominador das
frações. Por isso, essas expressões recebem o nome de frações algébricas.
Algo muito importante e que deve ser destacado é: nunca podemos ter o
valor zero no denominador de uma fração. Pelo fato de que temos variáveis nos
denominadores de nossas frações, precisamos estar atentos aos valores que essas
variáveis podem assumir. Por exemplo, na fração algébrica 1 x, sabemos diretamente que x ≠ 0 , pois x é o único elemento do denominador e, portanto, deve
ser diferente de zero. Vejamos outros exemplos.
Exemplo 2:
I48
x
. Nesse caso, a expressão no denominador é x −1 . Precisamos enx −1
x 1 0
+ 1
x 1 1 0 1
UNICESUMAR
contrar qual é a restrição que deve acontecer:
x 1
Logo, a restrição é que x deve ser diferente de 1 .
n
. Aqui, a expressão no denominador é m − 3n . Isto é, possuímos
m − 3n
II -
duas variáveis distintas. Isso demonstra que a restrição de uma das variáveis está ligada à restrição da outra. Novamente, sabemos que o denominador deve ser diferente de zero. Assim, temos:
+ 3n m 3n 0
m 3n 3n 0 3n m 3n
Logo, a restrição é m ≠ 3n . Por exemplo, se n = 1 , sabemos que m não
pode assumir o valor 3 .
III -
y
2
x −1
2
. Nesse exemplo, a expressão no denominador é x − 1 , a qual é
uma expressão do segundo grau. Podemos reescrever essa expressão,
2
utilizando produto notável, como x 1 x 1 x 1 . Assim, a res-
trição de nosso denominador deve ser:
x 1 x 1 0
x 1 0 e x 1 0
x 1
e
x 1
Ou seja, temos duas restrições para nossa variável: x não pode ser 1 e
não pode ser −1 .
49
UNIDADE 2
pensando juntos
Você sabia que as frações algébricas estão muito presentes em nosso dia a dia? Imagine
que você está abastecendo R$100, 00 de combustível e que o preço de um litro de com-
bustível é
x reais: assim, seu carro receberá 100 x litro de combustível. Essa é uma conta
que fazemos constantemente e nem percebemos!
Simplificação de frações algébricas
Quando queremos realizar a simplificação de uma fração, dividimos tanto o numerador quanto o denominador pelo mesmo número diferente de zero. Isso equivale a “cancelar” os fatores em comum, obtendo uma fração mais simples, como:
15
3 5
3
20 2 2 5 4
42
2 3 7
1
2 2 252 2 3 7 6
Com o mesmo procedimento em mente, podemos realizar simplificações de
frações algébricas, quando há algum fator em comum, não nulo, no numerador
e no denominador.
Exemplo 3:
I-
II -
4 x y2
6 x2 y
2 2 x y y 2 y
2 3 x x y 3 x
x2 y 2
. Note que o numerador é uma diferença entre dois quadrados,
x y
2
2
logo, podemos reescrever como x y x y x y . Assim, temos:
50
x y
8b − 4b2
III . Constatamos que 4b é um fator comum das parcelas do nu2b
UNICESUMAR
x y x y x y
merador, portanto, podemos colocá-lo em evidência e simplificar:
2
4 b 2 b 8b 4b2
2b
2 b
2 2 b 1
4 2b
Adição e subtração de frações algébricas
As operações de adição e subtração com frações algébricas são realizadas da
mesma maneira que adicionamos ou subtraímos números na forma fracionária:
■ Obtemos frações equivalentes e de mesmo denominador.
■ O denominador comum poderá ser o produto ou o MMC dos denominadores.
Exemplo 4:
i-
1
3 2
. Vamos realizar essa operação, usando o produto dos deno2x 4 y 3
minadores:
1
3 2 12 y 18 x 16 x y
2x 4 y 3
24 x y
2 6 y 9 x 8 x y 2 12 x y
6 y 9 x 8 x y
12 x y
51
UNIDADE 2
ii -
1
x
2
. Vamos realizar essa operação, utilizando o MMC:
x y x y2
x y x
1
x
2
x y x y2 x y x y 2x y
x y x y
2x y
x2 y 2
2
2
Observação: note que x y x y x y , ou seja, os denominadores
x − y e x y x y possuem um termo em comum. Isso quer dizer que
mmc x y, x y x y x y x y . Em outras palavras, quando
queremos calcular o MMC entre duas expressões algébricas e ambas possuem
um termo em comum, não é necessário realizar o produto entre elas.
Multiplicação de frações algébricas
A operação de multiplicação, envolvendo frações algébricas, ocorre do
mesmo modo como multiplicamos números em forma de fração. Vejamos
alguns exemplos:
Exemplo 5:
3 x 8 y 2 3 x 2 8 y y
6 y
I4 y 7 x3 4 y 7 x x x 7 x2
3
6 x y x y 6 x y x y
6 x y
x y
3y
II - 2
x y 2 2 x x y x y 2 x x y x y 2 x x y
Observação: é necessário sempre estar atento às restrições. Para o exemplo I),
sabemos que x, y ≠ 0 . Para o exemplo II), sabemos que:
52
x2 y2
x y
UNICESUMAR
x2 y 2 0 x2 y 2
Além disso, x ≠ 0 .
Divisão de frações algébricas
Da mesma maneira que ocorre com as outras operações, a divisão de frações
algébricas também se dá de modo similar: multiplica-se a primeira fração pelo
inverso da segunda fração.
Exemplo 6:
4 xy 4 x 4 xy
5 z y5
:
z
z2 5z
z 2 4 x
x2 4
x2 2 x
x2 4 2 y 1 x 2 x 2 2 y 1 x 2
:
2
II x 2 x y 2 y 1 x 2 x y x2 2 x
x 1 2 y x x 2 x
I-
4 xy
2
4 xy 4 x
= z .
Observação: lembre-se que 2 :
4x
5z
z
5z
Potenciação de frações algébricas
Assim como nos casos anteriores, o cálculo de potências de frações algébricas
ocorre da mesma maneira. Vejamos alguns exemplos:
2
2x 2 x 4 x2
I- 3y 3 y 2 9 y2
ab
II - 3x 2
2
2
3x 9 x2
3x 2
ab
a b 2 a2 2ab b2
ab
3x 1
2
53
UNIDADE 2
3
EQUAÇÕES
FRACIONÁRIAS
Denominamos equação fracionária toda fração que possui, ao menos, uma variável no denominador:
I-
45
=4
3x
II -
23( x 3)
0
4x
Resolução de equações fracionárias
I-
54
3 2 1
, x *
4 x 3
5x
x
II -
24
24
5
x
1
x2 1
2
, para x 3 e x 3
x 3 x 3 x 9
x x 3
x2 3 x
1
x 3
x 3
Reduzir ao mesmo denominador (mmc).
x2 1
x 3 x 3
Eliminar o denominador.
x2 1
x 3
x2
x2 9
x 3
x 3 x 3
x 2
x2 x2 3 x x
2x
2
x
x2 1
x
x x 3
x 3 x 3
x
UNICESUMAR
3 2 1
Reduzimos ao mesmo denominador.
4 x 3
9 x 24
4x
Realizamos a soma do lado esquerdo.
12 x 12 x 12 x
9 x 24 4 x
Eliminamos o denominador.
12 x
12 x
9 x 24 4 x
9x 4x
24
2
2
2
1
55
UNIDADE 2
4
SISTEMA COM EQUAÇÕES
FRACIONÁRIAS
Neste tópico, apresentaremos um caso particular dos sistemas de equações que
estudamos, na Unidade 1, deste livro. Aqui, as equações que aparecem no sistema
são equações fracionárias, isto é, possuem pelo menos uma variável no denominador. Vejamos, por meio de exemplos, como devemos solucionar um sistema
de equações fracionárias:
Exemplo 7:
21
2x
y 3 5
I- .
1
2
5
x y 1 6 x
O primeiro passo é impor as restrições: para a primeira equação, temos y ≠ 0 ,
enquanto, para a segunda equação, temos x ≠ 0, y ≠ 1 . Isto é, para o nosso sistema, as restrições são x ≠ 0, y ≠ 0, y ≠ 1 .
Agora, é necessário reescrever o sistema, de forma que as equações estejam
na forma ax by c . Em outras palavras, devemos reduzir o denominador a
um termo comum e realizar a simplificação:
56
10 x 6 y 0
1
2
5
x y 1 6x
5 y 1
1 6 y 1
2 6x
6 x y 1 6 x y 1 6 x y 1
UNICESUMAR
2 x 3 21
y 1 5
10 x 15 y 21 y
5y 5y
5y
10 x 15 y 21 y
10 x 15 y 21 y 0
6 y 1 12 x 5 y 1
6 y 6 12 x 5 y 5
12 x 6 y 5 y 5 6
12 x y 1
10 x 6 y 0
.
Agora, resolvemos o sistema resultante: 12 x y 1
10 x 6 y 0
12 x y 1 6 10 x 6 y 0
72 x 6 y 6
82 x 6
6
x
82
3
x
41
Precisamos, então, verificar as restrições. Assim, como
10 x 6 y 0
10 3
6y 0
41
30
6y
41
30
y
246
5
y
41
3
5
5
≠ 0, ≠ 0 e
≠1,
41
41
41
3 5
a solução do sistema é o par ordenado , .
41 41 x y 60
II - 5 9 8 , sabendo que x y 675 .
x y 15
57
UNIDADE 2
Note que as restrições são x ≠ 0 e y ≠ 0 . Assim, reduziremos a equação que
possui uma fração algébrica a um denominador comum:
5 9 8
x y 15
75 y 135 x 8 xy
15 xy 15 xy 15 xy
xy
75 y 135 x 8 
xy 675
135 x 75 y 8 675
135 x 75 y 5400
15 9 x 5 y 360
x y 60
. Vamos resolvê-lo pelo
Isso resulta, então, no sistema dado por 9 x 5 y 360
método da substituição:
x y 60
y 60 x
9 x 5 y 360
9 x 5 60 x 360
9 x 300 5 x 360
4 x 60
x 15
y 60 x
y 60 15
y 45
explorando Ideias
No século XVI, o astrônomo polonês Nicolaus Copernicus trocou a visão tradicional do
movimento planetário centrado na Terra por um em que o Sol estava no centro e os planetas giravam em torno dele, em órbitas circulares. Embora o modelo de Copérnico estivesse muito próximo de predizer o movimento planetário corretamente, existiam discrepâncias. Todavia o problema foi resolvido pelo matemático alemão Johannes Kepler, que
descobriu que as órbitas planetárias não eram círculos, mas elipses. Kepler descreveu o
movimento planetário por três leis, sendo que uma delas pode ser representada por uma
equação fracionária, evidenciando, assim, uma constante
de Kepler, a qual só depende da massa do Sol.
58
k , conhecida como a constante
T2
r3
k
As leis de Kepler não se aplicam somente aos planetas orbitando o sol, mas a todos os
UNICESUMAR
T 2 kr 3 ou
casos em que um corpo celestial orbita outro sob a influência da gravitação e, até mesmo,
estrelas orbitando outras estrelas.
Fonte: o autor.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a)! Chegamos ao fim de mais uma unidade, a segunda de um total
de cinco, em que conceitos importantes foram apresentados e, talvez, até relembrados. Contudo, isso não demonstra que eles são menos importantes, pois, para
um bom desenvolvimento da matemática, é preciso ter uma base teórica sólida. É
como um ditado: uma casa construída sobre a areia não é resistente como uma casa
construída sobre a rocha. Assim, a sua dedicação é essencial para que isso aconteça.
Esta unidade foi importante para que você descobrisse ou relembrasse que as
equações polinomiais não se limitam apenas as apresentadas na unidade anterior,
pois também podemos ter incógnitas no denominador de uma fração e, por que
não, no expoente de um número. Esse conceito será apresentado (ou relembrado),
futuramente, em outras disciplinas.
Aqui, também foi possível notar que, mesmo mais complexas, as equações fracionarias também fazem parte de nosso cotidiano, podendo aparecer no dia a dia e sendo
importantes na execução de uma tarefa ou apresentação de um resultado. Portanto,
saber como elas funcionam e se aplicam é essencial para a nossa vida docente.
Outro ponto importante foi perceber que os sistemas de equações podem utilizar as equações fracionárias, com algumas restrições, é claro. Não só, mas que podemos utilizar alguns métodos já vistos para resolvê-los e que novos métodos surgem
a partir disso, assim como é o caso do artifício de mudança de variáveis. Dessa
forma, torna-se importante saber como utilizá-los e em que momento aplicá-los.
Portanto, cabe agora a você, aluno(a), revisar os temas apresentados, refazer
os exemplos citados e treinar os exercícios propostos a seguir, pois, como um
bom matemático, também devemos treinar os nossos conhecimentos, por meio
da realização de exercícios, para fixação do conteúdo. Não se esqueça de assistir
às aulas conceituais, uma vez que se tratam de um importante recurso de estudo
e fixação da matéria. Está preparado(a) para a nossa próxima unidade? Espero
que sim! Um forte abraço e até a próxima.
59
na prática
1. Escreva cada uma das frações algébricas com as respectivas restrições ao denominador:
a) Numerador: dez.
Denominador: o dobro de um número real qualquer.
b) Numerador: o sucessor de um número natural qualquer.
Denominador: o triplo desse número.
c) Numerador: um número real qualquer.
Denominador: esse número aumentado em um.
2. Apresente a restrição que devemos fazer ao denominador, para que cada fração
algébrica represente um número real:
a)
x
.
x −1
b)
y
.
2x + 6
c)
d)
x
2
x −1
.
x
.
x− y
3. Simplifique as frações algébricas:
a)
x + xy
.
x + xz
b)
a3
.
a 2
c)
2 y 2 − 10 y
.
y −5
60
na prática
d)
a 3 b3
a3 a2b ab2
.
4. Por meio de frações algébricas, apresente o perímetro e a área de uma região re-
x
y
tangular cujo comprimento corresponde a
e a largura a
2
y
.
5. Resolva as seguintes equações fracionárias:
a)
b)
c)
3 2 3
x 5 4
2
2
x 4
x 0 .
1
x2
x 2;
1
2
3
2
x 3 x 9 x 3
x 2 .
x 3;
6. Uma torneira enche um tanque em
9
x 3 .
horas e outra enche o mesmo tanque em
horas. Juntas, elas enchem o tanque em
4
horas. Descubra o número
que a segunda torneira demora para encher o tanque.
61
x
x
de horas
aprimore-se
NEM SÓ ÁLGEBRA, NEM SÓ ARITMÉTICA
Este artigo se inspira na linha de que se pode ensinar matemática, no primeiro grau,
por meio de dados simples, tirados de fatos da vida cotidiana, evitando que um simbolismo exagerado leve à fuga do concreto e ameace tornar as aulas enfadonhas.
Acreditamos que, ao partir de situações concretas, impedimos que o aluno se
escravize às operações e às regras, estimulando-o a refletir sobre um problema, e
não somente sobre quais operações executar para resolvê-lo.
Nessa direção, apresentamos sugestão de novo enfoque para 5 problemas que,
nessa ou noutra versão, são comumente estudados em sala de aula. Tentaremos,
ainda, mostrar, nos exemplos, como um desenho da situação descrita em um problema pode ajudar na busca da solução.
Exemplo 1: Calcular dois números, dadas sua soma e diferença.
Sabendo que, para determinar o menor deles, basta dividir por 2 a diferença dos
números dados, o estudante poderá sair-se bem em um exame. Mas o que restará
quando a regra tiver sido esquecida?
Nossa sugestão é apresentar o problema numa situação concreta: Mário e Roberto têm, juntos, 45 bolinhas. Mário tem 7 bolinhas a mais do que Roberto. Quantas bolinhas tem cada um?
Pode-se encenar o problema dando a dois alunos da classe 45 objetos (bolinhas,
feijões, ou o que estiver ao alcance) e pedir que eles os dividam entre si, nas condições do problema. A classe toda será convidada a participar e todas as sugestões
serão analisadas. Eventualmente, a classe perceberá que dando, inicialmente, ao
Mário, as 7 bolinhas que ele possui a mais do que Roberto e, em seguida, repartindo
em partes iguais as bolinhas restantes, o problema estará resolvido.
Posteriormente, pode-se dar ao problema um tratamento mais abstrato: Se x for
o número de bolinhas de Roberto,
x x 7 45 x 62
45 7
19 .
2
aprimore-se
O desenho pode ser um grande auxiliar no ensino de matemática, mesmo fora da
geometria. Quem já não viu o problema folclórico:
Exemplo 2: Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo inteiro?
O seguinte desenho fala por si:
um tijolo
meio
tijolo
1 kg
Se um quilo está no lugar de meio tijolo, meio tijolo pesa um quilo. Logo, o tijolo
pesa 2 quilos.
x
"Algebrizando": x 1 x 2 .
2
Observação final:
Durante muitos anos, no primeiro grau, predominavam as seguintes atitudes:
■ Até a 5.ª série, problemas eram resolvidos com o uso, apenas, da aritmética.
■ Da 6.ª série em diante, com a introdução da álgebra, os problemas passavam
a ser resolvidos, exclusivamente, por processos algébricos.
A nossa opinião é que o raciocínio aritmético (nos exemplos, apoiado por figuras)
deva continuar sendo cultivado, mesmo após a introdução da Álgebra, ou seja, no
primeiro grau, nem só álgebra, nem só aritmética.
Fonte: Viotto (1990).
63
aprimore-se
livro
Tudo é matemática - 8º ano
Autor: Luiz Roberto Dante
Editora: Ática
Sinopse: coleção que ensina matemática por meio de exemplos e
situações-problema inteligentes e criativos. Inicia-se, no primeiro
capítulo, revendo o que aprendemos, para uma eficaz revisão de
conteúdos estudados. A teoria é apresentada com destaque, por
meio de explicações sempre ligadas a exemplos do cotidiano dos alunos. Além
disso, atividades e problemas seguem as explicações para trabalhar imediatamente os conceitos. Todos os exercícios estão em rigorosa ordem de dificuldade:
do mais fácil ao mais complexo.
filme
O homem que viu o infinito
Ano: 2016
Sinopse: o filme retrata a história de Srinivasa Ramanujan, um
matemático indiano que fez importantes contribuições para o
mundo da matemática, para a teoria dos números, a série e frações contínuas.
64
anotações
anotações
3
TRIGONOMETRIA
PROFESSORES
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Triângulo retângulo e Teorema de
Pitágoras • Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Ciclos trigonométricos • Leis trigonométricas
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Identificar os triângulos retângulos e aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações-problema
• Definir as principais razões trigonométricas no triângulo retângulo e resolver situações-problema que
as envolvem • Resolver situações-problema que envolvem o ciclo trigonométrico • Conhecer as leis dos
senos e dos cossenos, envolvendo triângulos quaisquer, e resolver situações-problema que as envolvem.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), bem-vindo(a)! Nesta unidade, estudaremos trigonometria. Para tanto, iniciaremos o nosso estudo, caracterizando o triângulo
retângulo. Aproveitando, avançaremos para o Teorema de Pitágoras, demonstrando-o a partir de duas óticas: a primeira é a de nosso costume e a
segunda é uma maneira mais elaborada.
Após a nossa familiarização com os triângulos retângulos, estudaremos
a trigonometria, o foco de estudo desta unidade. Como de costume, partimos da definição de cada uma das razões trigonométricas e, em seguida,
demonstraremos as relações entre elas. Para demonstrarmos as relações entre várias razões trigonométricas, recorremos às semelhanças de triângulos.
Depois, avançaremos para a determinação das razões seno, cosseno e
tangente dos ângulos notáveis, que são de 30º, 45º e 60º, tendo em vista que
não devemos, apenas, decorar os valores, mas precisamos ter noção de como
esses valores foram determinados. Para determinarmos os valores dessas razões trigonométricas, recorremos novamente às semelhanças de triângulos.
Posteriormente, estudaremos os ciclos trigonométricos conhecidos
como trigonometria na circunferência. Nos ciclos trigonométricos, compreenderemos o sinal de cada uma das razões trigonométricas e a redução
ao 1º quadrante. Para isso, precisamos nos lembrar das simetrias e dos
ângulos complementares e suplementares.
Por fim, estudaremos duas leis trigonométricas, isto é, a lei de senos e
a lei de cossenos para triângulos quaisquer. Essas duas leis trigonométricas permitem a resolução de algumas situações-problemas que envolvem
razões trigonométricas em triângulos quaisquer. Atente-se para o fato de
que a sua demonstração envolve semelhanças de triângulos, mais especificamente, de triângulos retângulos, tendo em vista que as razões trigonométricas são razões verificadas entre os lados de um triângulo retângulo.
Caro(a) aluno(a), desejamos-lhe um bom estudo!
TEOREMA DE
pitágoras
UNICESUMAR
1
TRIÂNGULO RETÂNGULO E
Antes de iniciarmos o estudo da trigonometria propriamente dita, compreenderemos um pouco o triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
Ao dividirmos um retângulo por uma das diagonais, obtemos dois triângulos
semelhantes, assim como podemos observar na figura a seguir:
ou
Figura 1 – Obtenção de dois triângulos a partir da divisão de um retângulo / Fonte: os autores.
69
UNIDADE 3
Por ser exatamente a metade de um retângulo, podemos observar que o maior
ângulo de cada um dos triângulos é de 90º graus. O lado oposto ao ângulo reto
(ângulo de 90º ) do triângulo retângulo, nesse caso, o que era diagonal, é o lado
de maior medida e é chamado hipotenusa. Os lados adjacentes ao ângulo reto,
que eram os lados do retângulo, são chamados catetos.
Teorema de Pitágoras
A partir da medida de dois lados de um triângulo retângulo, podemos determinar
a medida do terceiro lado por meio de Teorema de Pitágoras:
h2 c12 c22
Sendo:
h : hipotenusa,
c1 : cateto 1 , e
c2 : cateto 2 .
2
2
2
Observação: alguns escrevem o Teorema de Pitágoras como h c C . No
entanto, não podemos usar letra maiúscula para representar o segmento de reta,
como o cateto. O pior é associar o C ao cateto de medida maior, uma vez que nem
sempre conhecemos as medidas de ambos os catetos.
Alguns demonstram a validade do Teorema de Pitágoras, construindo um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e os catetos medem 4 cm e 3
cm, assim como é observável na figura a seguir:
5 cm
3 cm
4 cm
Figura 2 – Construção de um triângulo retângulo / Fonte: os autores.
70
UNICESUMAR
Em seguida, constroem-se 3 quadrados cujas arestas são cada um dos lados deste
triângulo retângulo, assim como é mostrado a seguir:
A = 25 cm2
5 cm
3 cm
A = 9 cm2
4 cm
A = 16 cm2
Figura 3 – Três quadrados são formados a partir de um triângulo retângulo / Fonte: os autores.
Podemos observar que a área do quadrado maior, isto é, a área do quadrado cuja
aresta é a hipotenusa do triângulo, equivale à soma das áreas de quadrados cujas
arestas são iguais aos catetos do mesmo triângulo.
Essa relação também pode ser observada na figura a seguir:
A = 3.125π cm2
5 cm
3 cm
A = 1.125π cm2
4 cm
A = 2π cm2
Figura 4 – Formam-se três metades de círculo a partir de um retângulo / Fonte: os autores.
71
UNIDADE 3
Entretanto, no Ensino Superior, precisamos mostrar que o Teorema de Pitágoras
é válido para todos os triângulos retângulos. Dessa forma, faremos assim como
é evidenciado no exemplo a seguir:
C
β
α
B
A
Figura 5 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
Marcamos o ponto D , de forma que DB seja a altura do triângulo em relação à
base AC , assim como é visível na figura a seguir:
C
β
D
α
α
A
β
B
Figura 6 – Dividimos o triângulo retângulo em dois por meio de sua altura / Fonte: os autores .
Observação: denotaremos por AB , o segmento de reta entre os pontos A e B ,
e denotaremos por AB , a medida desse segmento de reta.
Verificamos que  ABC ,  ADB,  BDC são semelhantes pela relação AAA
(ângulo, ângulo, ângulo), isto é, todos os ângulos correspondentes são congruentes:
72
B
β
C
β
UNICESUMAR
C
β
α
α
B
A
A
α
D
B
D
Figura 7 – Triângulos semelhantes com ângulos congruentes / Fonte: os autores.
Observação: ângulos congruentes significam ângulos com a mesma medida.
Pelo fato de que as razões entre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes são proporcionais, ao comparar ABC e ADB , temos:
AB AD
AC AB
AC AD AB
2
Comparando ABC e BDC , temos:
BC DC
AC BC
AC DC BC
2
Assim:
AB BC AC AD AC CD AC AD DC 2
2
Como AD CD AC , substituindo AD + CD por AC , temos:
73
AB BC AC AC 2
2
2
AB BC AC UNIDADE 3
2
2
O que equivale a:
AC AB BC 2
2
2
.
Pelo fato de que no ABC , AC é hipotenusa h , AB é um dos catetos c1 e BC é outro cateto c2 , fazendo as substituições, temos:
h2 c12 c22 .
pensando juntos
Alguns recorrem à soma das áreas de quadrados, enquanto outros empregam a soma de
semicírculos, para mostrar a validade do Teorema de Pitágoras. Será que podemos usar
outras áreas, como a de triângulos equiláteros ou de pentágonos?
74
NO TRIÂNGULO
retângulo
UNICESUMAR
2
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Primeiramente, estudaremos as razões seno, cosseno e tangente. Para isso, analisemos o triângulo retângulo a seguir:
hipotenusa
cateto oposto ao ângulo α
α
cateto adjacente ao ângulo α
Figura 8 – Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência tal que a hipotenusa do triângulo é igual ao raio da circunferência / Fonte: os autores.
75
UNIDADE 3
Começaremos com a razão seno, que é a razão entre o cateto oposto ao ângulo
dado e a hipotenusa.
Exemplo 1: na figura apresentada a seguir, temos:
3 cm
2 cm
α
Figura 9 – Triângulo retângulo com hipotenusa igual a 3 cm e cateto oposto igual a 2 cm
Fonte: os autores.
Cateto Oposto
2
sen a = , tendo em vista que sen a =
.
3
Hipotenusa
Já a razão cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo dado e a hipotenusa.
Exemplo 2: na figura:
5 cm
α
4 cm
Figura 10 – Triângulo retângulo com hipotenusa igual a 5 cm e cateto adjacente igual a 4 cm
Fonte: os autores.
temos cos a =
76
Cateto Adjacente
4
.
, tendo em vista que cos a =
5
Hipotenusa
2
Utilizaremos a observação anterior para introduzirmos a principal relação existente entre seno e cosseno, a qual é conhecida como a Relação Fundamental
da Trigonometria. Ela é dada por:
UNICESUMAR
2
Observação: note que sen a sen a .
sen 2 a cos2 a 1
.
Demonstração: façamos a demonstração da relação fundamental, partindo do
seguinte triângulo retângulo, sabendo que 0º < a < 90º :
C
α
A
B
Figura 11 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
A partir disso, temos:
sen a Cateto Oposto
BC
sen a Hipotenusa
AC
e
cos a Cateto Adjacente
AB
cos a .
Hipotenusa
AC
Portanto, temos:
77
UNIDADE 3
BC sen a AC
e
AB cos a AC .
Já sabemos que é válido o Teorema de Pitágoras. Então, vamos aplicá-lo no
triângulo ABC :
AC AB BC 2
2
2
.
Agora, substituiremos os valores encontrados para BC e AB :
AC cos a AC sen a AC 2
2
2
AC cos2 a AC sen 2 a AC 2
2
2
1
Multiplicando todos os termos por AC
2
, temos:
1 cos2 a sen 2 a
A razão tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo dado e o cateto adjacente
ao mesmo ângulo, que resulta em razão entre a razão seno e a razão cosseno, ou seja:
Cateto Oposto
Cateto Oposto
sen a
Hipotenusa
=
=
tg a =
.
cos a Cateto Adjacente Cateto Adjacente
Hipotenusa
Demonstração: observe a figura a seguir:
78
UNICESUMAR
C
α
A
B
Figura 12 – Triângulo retângulo e circunferência tal que o raio da circunferência é igual ao
cateto adjacente ao ângulo α / Fonte: os autores.
=
Na figura apresentada, sabemos que tga
BC sen a
=
.
AC cos a
Para mostrar a validade da razão anterior, construiremos a altura CD em relação
à base AB . Em seguida, denominamos o ângulo de 90º − a como b :
C
β
α
α
A
D
B
Figura 13 – Altura construída no triângulo retângulo e circunferência tal que o raio da circunferência é igual ao cateto adjacente ao ângulo α / Fonte: os autores.
79
UNIDADE 3
Verificamos que ABC e ACD são semelhantes por AAA (ângulo, ângulo,
ângulo), pelo fato de todos os ângulos correspondentes serem congruentes:
C
D
α
α
β
B
A
A
β
C
Figura 14 – Semelhança de triângulos por congruência de todos os ângulos / Fonte: os autores.
Como as razões entre os lados correspondentes de dois triângulos formam uma
proporção, temos:
tga
=
Multiplicando CD e AD por
BC CD
=
.
AC AD
1
, temos:
AC
CD
1
CD CD
AC AC .
tga AD AD 1
AD
AC AC
Como
CD
AD
= sen a e
= cos a , temos:
AD
AC
tg a =
80
sen a
.
cos a
UNICESUMAR
Exemplo 3: na figura:
3 cm
α
5 cm
Figura 15 – Triângulo retângulo com cateto adjacente igual a 5 cm e cateto oposto igual a 3 cm
Fonte: os autores.
3
Assim como já estudamos, temos tg a = .
5
Agora, estudaremos um pouco mais as três razões trigonométricas, que são: secante, cossecante e cotangente.
A razão secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente ao ângulo
a , isto é, a razão inversa da razão cosseno:
sec a =
Hipotenusa
,
Cateto Adjacente
Que equivale a:
sec a =
1
.
cos a
Demonstração: considere o triângulo retângulo apresentado a seguir:
C
α
A
B
Figura 16 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
81
UNIDADE 3
Construindo a altura DB em relação ao lado AC , temos:
C
D
β
α
β
α
A
Figura 17 – Construção da altura
B
DB
do triângulo retângulo / Fonte: os autores.
C e BDC
 , ACB
 e BCD
 , e B AC e
Assim, verificamos congruências entre A B
 . Portanto, ABC e BDC são semelhantes por AAA :
C BD
C
β
C
β
α
A
α
B
B
Figura 18 – Semelhança de triângulos com todos os ângulos iguais / Fonte: os autores.
Como sec a =
82
Hipotenusa
, temos:
Cateto Adjacente
1
BC AC BC
BC 1
sec a AB BD BD 1
BD
BC BC
1
sec a BD
BC
D
UNICESUMAR
Agora, como
BD
= cos a , temos:
BC
sec α 1
1
.
BD cos α
BC
A razão cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo a ,
isto é, a razão inversa da razão seno:
cossec a =
Hipotenusa
,
Cateto Oposto
Que equivale a:
cossec a =
1
.
sen a
Demonstração: considere o triângulo retângulo exposto a seguir:
C
α
A
B
Figura 19 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
Construindo a altura DB em relação ao lado AC , temos:
83
UNIDADE 3
C
D
β
α
β
α
A
Figura 20 – Construção da altura
B
DB
no triângulo retângulo / Fonte: os autores.
 e ADB
 , ACB
 e ABD
 ,e
Dessa forma, verificamos congruências entre ABC
B AC e B AD . Portanto, ABC e ADB são semelhantes por AAA :
C
B
β
β
α
A
α
B
A
Figura 21 – Semelhança de triângulos com todos os ângulos iguais / Fonte: os autores.
Como cossec a =
84
Hipotenusa
, temos:
Cateto Oposto
D
Agora, como
UNICESUMAR
1
AC AB
AB 1
cossec a BC BD BD 1
BD
AB AB
1
cossec a BD
AB
AB BD
= sen a , temos:
AB
cos sec α 1
1
.
BD sen α
AB
A razão cotangente é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo a e o cateto
oposto ao mesmo ângulo, isto é, a razão inversa da razão tangente:
cotg a =
Cateto Adjacente
,
Cateto Oposto
Que equivale a:
cotg a =
1
.
tg a
Demonstração: considere o triângulo retângulo apresentado a seguir:
C
α
A
B
Figura 22 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
85
UNIDADE 3
Construindo a altura DB em relação ao lado AC , temos:
C
D
β
α
β
α
A
Figura 23 – Construção da altura
B
DB no triângulo retângulo / Fonte: os autores.
 e ADB
 , ACB
 e ABD
 ,e
Dessa forma, verificamos congruências entre ABC
B AC e B AD . Portanto, ABC e ADB são semelhantes por AAA :
C
B
β
β
α
A
α
B
A
Figura 24 – Semelhança de triângulo com todos os ângulos iguais / Fonte: os autores.
Como cotg a =
Cateto Adjacente
, temos:
Cateto Oposto
1
AD AB AB
AD 1
cotg a BC BD BD 1
BD
AD AD
1
cotg a BD
AB
86
D
BD
= tg a , temos:
AD
cotg a UNICESUMAR
Agora, como
1
1
.
BD tg a
AD
Tabelas de razões trigonométricas dos ângulos
notáveis
Determinaremos os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis, isto
é, dos ângulos de 30º , 45º e 60º .
Para tanto, começaremos com o sen 30º :
C
30°
A
B
Figura 25 – Triângulo retângulo com ângulo
Â
igual a
30º / Fonte: os autores.
 = 60º , marcamos D sobre AC , de forma que BCD se
Pelo fato de que BCA
torne um triângulo equilátero, assim como podemos observar na figura a seguir:
C
60°
60°
60°
30°
A
Figura 26 – Construção do triângulo equilátero
30°
B
CDB no triângulo retângulo / Fonte: os autores.
87
UNIDADE 3
É perceptível que ABD é um triângulo isósceles. Assim, AD e BD são congruentes e, consequentemente, BC , CD, BD e AD são congruentes. Portanto,
verificamos que AC 2 DC 2 BC .
Como sen a =
Cateto Oposto
, temos:
Hipotenusa
sen 30º BC
1
BC
AC 2 BC 2
Para determinarmos o valor de sen 45º , consideremos a figura a seguir:
C
45°
B
A
Figura 27 – Triângulo retângulo com ângulo
 igual a 45º / Fonte: os autores.
Pelo fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º ,
 180º 90º 45º 45º . Assim, ABC é um triângulo isósceles de base
ACB
AC . Portanto, AB e BC são congruentes:
C
45°
45°
A
B
Figura 28 – Verificação que se trata de um triângulo isósceles / Fonte: os autores.
88
AC AB BC 2
2
BC BC 2
2 BC 2
2
2
UNICESUMAR
Assim, temos:
AC 2 BC
2
AC 2 BC
Como sen a =
Cateto Oposto
, temos:
Hipotenusa
sen 45º BC
1
2
2
BC
.
2
AC
2 BC
2 2
Para determinarmos o valor de sen 60º , consideremos a figura a seguir:
Figura 29 – Triângulo retângulo com ângulo
Â
igual a
60º / Fonte: os autores.
Construímos DBC simétrico ao ABC em relação ao lado BC , assim como
podemos observar na figura a seguir:
89
UNIDADE 3
C
30° 30°
60°
60°
A
B
D
Figura 30 – Construção de um triângulo simétrico ao apresentado na Figura 29 / Fonte: os autores.
Pelo fato de que ADC é um triângulo equilátero, temos AC , AD e CD con-
gruentes. Além disso, como AB e BD são congruentes e AB BD AD ,
temos AB = AC .
2
Agora, como AC
AB BC 2
2
2
AC 2
2
AC BC
2 AC 2
BC
2
2
BC
2
BC BC 90
BC 2
2
AC AC 2
2
BC
4
BC
AC
, temos:
2
, e AB =
4
AC 2
4 AC
3 AC
4
2
4
3 AC
C
2
4
3 ( AC )2
4
3 AC
2
2
Cateto Oposto
, temos:
Hipotenusa
BC
sen 60º AC
3 AC
2
AC
UNICESUMAR
Como sen a =
3 AC
3 AC 1
3
2
.
2
2
AC
AC
1
Para determinarmos os valores de cossenos de ângulos de 30º , 45º e 60º , procedemos de forma análoga ao de seno desses ângulos ou, ainda, podemos recorrer
à relação entre o seno e o cosseno.
Para determinarmos os valores de tangente desses ângulos, determinamos a
razão entre seno e cosseno por tg a = sen a .
cos a
91
UNIDADE 3
Assim:
Ângulo ( a )
Razão
30º
45º
60º
sen a
1
2
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
1
2
tg a
3
3
1
3
Tabela 1 – Razões trigonométricas de ângulos notáveis / Fonte: os autores.
Finalizamos, assim, a apresentação e a construção da tabela das razões trigonométricas dos ângulos notáveis. Conhecer essa tabela e a sua construção ajuda e
facilita grande parte dos cálculos, envolvendo trigonometria.
pensando juntos
Constatamos que, ao dobrar a medida do ângulo de
para
92
30º , isto é, ao aumentar de 30º
60º , não foi dobrada a razão seno. Você já pensou no por quê?
TRIGONOMÉTRICOS
UNICESUMAR
3
CICLOS
Construiremos a circunferência cujo centro é o ponto de origem, assim como é
visualizável na figura a seguir:
3
2
1
O
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Figura 31 – Circunferência de raio 2 e centro na origem do plano cartesiano / Fonte: os autores.
93
UNIDADE 3
Verificamos que os eixos cartesianos, isto é, o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes:
2º quandrante
1º quandrante
3º quandrante
4º quandrante
Figura 32 – Um círculo possui 4 quadrantes / Fonte: os autores.
Você se lembra das razões trigonométricas estudadas?
F
E
2º quandrante
C
1º quandrante
B
D
O
3º quandrante
A
4º quandrante
H
G
Figura 33 – Razões seno e cosseno apresentadas no ciclo trigonométrico / Fonte: os autores.
94
Cateto Oposto
, a hipotenusa é a medida do raio da
Hipotenusa
circunferência, AE e BF são positivos e CG e DH são negativos, verificamos
UNICESUMAR
Pelo fato de que sen a =
que o valor de seno no 1º e 2º quadrantes é positivo, enquanto no 3º e 4º quadrantes é negativo.
Analogamente, o valor de cosseno no 1º e 4º quadrantes é positivo, enquanto,
no 2º e 3º quadrantes, negativo. Consequentemente, o valor da tangente no 1º e
3º quadrantes é positivo e no 2º e 4º quadrantes, negativo.
Assim:
Sinal
de
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
seno
+
+
–
–
cosseno
+
–
–
+
tangente
+
–
+
–
Quadro 1 – Sinal das razões trigonométricas em cada quadrante / Fonte: os autores.
No próximo tópico, será apresentada a redução ao 1º quadrante. É uma ferramenta que nos permite transpor uma razão trigonométrica para ângulos presentes no
primeiro quadrante, com o intuito de agilizar e facilitar seus cálculos.
Redução ao 1º quadrante
Quando o ângulo pertencer ao 2º, 3º ou 4º quadrante, podemos reduzi-lo ao 1º
quadrante:
a) Redução do 2º quadrante para o 1º:
Observe a figura a seguir:
95
UNIDADE 3
B
180° α
α
O
A
Figura 34 – Triângulo inscrito no 2º quadrante da circunferência cujo raio é a hipotenusa do
triângulo / Fonte: os autores.
Vamos refletir os pontos A e B em relação ao eixo das ordenadas e, em seguida,
construiremos um triângulo simétrico ao OAB , assim como o apresentado na
figura a seguir:
B1
B
180° α
180° α
A
O
A1
Figura 35 – Construção de um triângulo simétrico ao apresentado na Figura 34 / Fonte: os autores.
96
No 2º quadrante, temos:
UNICESUMAR
 180º a .
Assim, verificamos que AB = A1 B1 e AO = A1O quando A1 OB
1
■ sen a é positivo: se 90º < a < 180º , temos sen a sen 180º a .
■ cos a é negativo: se 90º < a < 180º , temos cos a cos 180º a .
■ tg a é negativo: se 90º < a < 180º , temos tg a tg 180º a .
b) Redução do 3º quadrante para o 1º:
Observe a figura a seguir:
α
A
α 180°
O
B
Figura 36 – Triângulo inscrito no 3º quadrante da circunferência cujo raio é a hipotenusa do
triângulo / Fonte: os autores.
Vamos refletir os pontos A e B em relação ao ponto de origem e, em seguida, construiremos um triângulo simétrico ao OAB , assim como é visível na
figura a seguir:
97
UNIDADE 3
B1
A
α 180°
α 180°
O
A1
B
Figura 37 – Construção de um triângulo simétrico em relação à origem / Fonte: os autores.
 a 180º .
Assim, verificamos que AB = A1 B1 e AO = A1O quando A1 OB
1
No 3º quadrante, temos:
■ sen a é negativo: se 180º < a < 270º , temos sen a sen a 180º .
■ cos a é negativo: se 180º < a < 270º , temos cos a cos a 180” .
■ tg a é positivo: se 180º < a < 270º , temos tg a tg a 180º .
c) Redução do 4º quadrante para o 1º:
Observe a figura a seguir:
98
UNICESUMAR
α
A
O
260° α
B
Figura 38 – Triângulo inscrito no 4º quadrante da circunferência cujo raio é a hipotenusa do
triângulo / Fonte: os autores.
Vamos refletir o ponto B em relação ao eixo das abscissas e, em seguida,
construiremos um triângulo simétrico ao OAB , assim como é visualizável
na figura a seguir:
B1
360° α
O
A
360° α
B
Figura 39 – Construção de um triângulo retângulo simétrico / Fonte: os autores.
99
UNIDADE 3
Assim, verificamos que AB = AB1 e possui lado comum
 = 360”- a .
AOB
1
AO ,
quando
No 4º quadrante, temos:
■ sen a é negativo: se 270º < a < 360º , temos sen a sen 360º a .
■ cos a é positivo: se 270º < a < 360º , temos cos a cos 360º a .
■ tg a é negativo: se 270º < a < 360º , temos tg a tg 360º a .
Assim, para resumirmos, observe o quadro a seguir:
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
sen a
sen 180º a sen a 180º sen 360º a cos a
cos 180º a cos a 180º cos 360º a tga
tg 180º a tg a 180º tg 360º a Quadro 2 – Regra de redução ao 1º quadrante / Fonte: os autores.
Observação: outra unidade usada para medir os ângulos é o radiano, sendo:
1⋅ p rad = 180” .
Consequentemente,
p
3⋅p
rad = 270” , e 2 p rad 360º .
rad = 90º ,
2
2
Exemplo 4:
Determine a medida do cosseno, sabendo que o ângulo mede
2p
rad.
3
p 2p
2p <
<p
Pelo fato de que sabemos que 2 3
e queremos calcular cos ,
3 concluímos que esse ângulo está no 2º quadrante. Assim:
100
UNICESUMAR
1 p 1
2p2p 22pp2p pp 2p cos
pp cos
cos
º 1 cos 60º coscos
cos
cos
60
cos
pcos
cos
cos
º60
2 3 2
2
3 3 33 3 33 3 conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
pensando juntos
As razões trigonométricas nos triângulos retângulos sempre são positivas. No entanto os
valores nos ciclos trigonométricos podem ser negativos. Já pensou o que leva a esse fato?
anotações
101
UNIDADE 3
4
LEIS
TRIGONOMÉTRICAS
pensando juntos
Neste material, foram empregadas AB para representar o segmento da reta e AB para distância. Todavia existem outras representações para o segmento de reta. Você as conhece?
Caro(a) aluno(a), agora, estudaremos duas leis trigonométricas: a lei do seno e
a lei do cosseno.
Lei do seno
Considerando ABC , temos:
102
.
UNICESUMAR
BC
AC
AB


sen ACB
sen B AC
sen ABC
Demonstração: considere um triângulo qualquer inscrito em uma circunferência como a apresentada a seguir:
C
A
B
Figura 40 – Triângulo qualquer inscrito em uma circunferência / Fonte: os autores.
Em seguida, traçamos o diâmetro da circunferência BD e o chamamos de d ,
assim como é demonstrado na figura a seguir:
C
D
d
A
B
Figura 41 – Construção do diâmetro da circunferência e de um novo triângulo retângulo
Fonte: os autores.
 são congruentes. Pelo fato de que:
Verificamos que B AC e BDC
103

 Cateto Oposto de BDC ,
sen BDC
Hipotenusa
UNIDADE 3
Temos:
 CB
sen BDC
d
 são congruentes. Logo:
Entretanto, sabemos que B AC e BDC
 CB sen B AC
sen BDC
d
d sen B 
AC CB
d CB
.
sen B 
AC
Agora, traçamos o diâmetro da circunferência CE e o chamamos de d1 , assim
como é visualizável na figura a seguir:
C
d1
A
B
E
Figura 42 – Construção do diâmetro da circunferência e de um novo triângulo retângulo
Fonte: os autores.
 e AEC
 são congruentes. Pelo fato de que:
Verificamos que ABC
104
Temos:
UNICESUMAR

 Cateto Oposto a AEC ,
sen AEC
Hipotenusa
 AC .
sen AEC
d1
 e AEC
 são congruentes. Logo:
No entanto sabemos que ABC
 AC sen ABC

sen AEC
d1
 AC
d1 sen ABC
d1 AC
.

sen ABC
Finalmente, traçamos o diâmetro da circunferência AF e o chamamos de d2 ,
assim como é visualizável na figura a seguir:
C
F
d2
A
B
Figura 43 – Construção do diâmetro da circunferência e de um novo triângulo retângulo
Fonte: os autores.
 e AFB
 são congruentes. Pelo fato de que:
Verificamos que ACB
105
UNIDADE 3

 Cateto Oposto a AFB ,
sen AFB
Hipotenusa
Temos:
 AB .
sen AFB
d2
 e AFB
 são congruentes, temos:
Contudo como sabemos que ACB
 AB sen ACB

sen AFB
d2
 AB
d2 sen ACB
d2 AB
.

sen ACB
Agora, como d= d=
1 d2 , sabemos que:
BC
AC
AB
.


sen ACB
sen B AC
sen ABC
Exemplo 5:
Para determinarmos a medida de AB no triângulo a seguir:
106
UNICESUMAR
C
45°
9cm
60°
x
A
Figura 44 – Triângulo com ângulos de
60º
e
B
45º / Fonte: os autores.
Procedemos, assim, como é exposto a seguir:
x
9
sen 60º sen 45º
9
x
3
2
2
2
3 x 9 2
2
2
3 x 9 2
x
Multiplicando
9⋅ 2
por
3
9 2
3
3
, temos:
3
x
9 2 3
3
3
9 2 3
3
3 6
107
UNIDADE 3
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
Lei do cosseno
Em relação ao cosseno, considerando o triângulo ABC , verificamos que:
a)
b)
c)
2
2
2
 .
AB AC BC 2 AC BC cos ABC
2
2
2
BC AB AC 2 AB AC cos B AC .
AB AC BC 2
2
2
 .
2 AC BC cos ACB
Demonstração: para demonstrar as afirmativas (a), (b) e (c), precisamos
analisá-las no triângulo acutângulo (todos os ângulos menores que 90º), no
triângulo retângulo e no triângulo obtusângulo (um dos ângulos maior que
90º), respectivamente:
a)
AB AC BC 2
2
2

2 AC BC cos ACB
é válida para o
triângulo acutângulo. Para tanto, observe o triângulo a seguir:
B
A
C
Figura 45 – Triângulo com três ângulos diferentes / Fonte: os autores.
108
A
UNICESUMAR
Construímos a altura BD em relação à base AC , assim como é demonstrado
na figura a seguir:
B
C
Figura 46 – Construção da altura BD no triângulo retângulo / Fonte: os autores.
2
2
2
Pelo fato de que h c1 c2 , verificamos que:
BC BD CD 2
2
2
BD BC CD 2
2
2
e
AB BD AD 2
2
2
BD AB AD 2
2
2
Assim, temos:
AB AD BC CD 2
2
2
2
AB BC CD AD .
2
2
2
2
Contudo, como sabemos que AD AC CD e
AD AC 2
AC 2
2
2
2 AC CD CD , substituindo AD
2
por
2
2 AC CD CD , temos:
109
AB BC CD AC 2 AC CD CD 2
2
2
AB AC BC 2 AC CD .
UNIDADE 3
2
2
2
2
2
BC Agora, multiplicaremos 2 AC CD por . Logo, temos:
BC
AB AC BC 2
2
2
BC AC
2
2
BC 2 AC CD BC 2 AC BC CD .
BC CD 
Pelo fato de que cos BCD , temos:
BC AB AC BC 2
2
2

2 AC BC cos BCD
 e ACB
 são congruentes, temos:
Além disso, como BCD
AB AC BC 2
b)
2
2
AB AC BC 2
2
2

2 AC BC cos ACB

2 AC BC cos ABC
é válida para o
triângulo retângulo. Para tanto, observe o triângulo a seguir:
110
A
UNICESUMAR
B
C
Figura 47 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
AC BC Note que AB
2
2
2
. Além disso, pelo fato de que cos 90º = 0 e
 é um ângulo reto, temos cos ACB
 0 e, consequentemente,
ACB
 0.
2 AC BC cos ACB
 ao teorema de Pitágoras, temos:
Assim, somando 2 AC BC cos ACB
AB AC BC 2
c)
2
2
BC AB AC 2
2
2
 .
2 AC BC cos ABC
2 AB AC cos B 
AC é válida para o
triângulo obtusângulo. Para tanto, observe o triângulo a seguir:
A
C
B
Figura 48 – Triângulo obtusângulo / Fonte: os autores.
111
UNIDADE 3
Construímos a altura AD em relação à base BC , assim como é demonstrado
na figura a seguir:
A
B
D
C
Figura 49 – Construção da altura DA do triângulo / Fonte: os autores.
Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que:
AB BD AD 2
2
2
AD AB BD 2
2
2
e
AC CD AD 2
2
2
AD AC CD 2
2
2
Assim, temos:
AB BD AC CD 2
2
2
2
AB AC CD BD .
2
2
2
2
No entanto, pelo fato de que BD BC CD e
BD BC 2
2
2
2 BC CD CD , fazendo essa substituição, temos:
AB AC CD BC 2 BC CD CD 2
2
AC BC 2 BC CD .
2
112
2
2
2
2
Agora, como
AC
, temos:
AC
AC 2 BC CD AC 2
2
CD AC BC 2 BC AC AC AB AC BC 2
UNICESUMAR
Multiplicando o termo 2 BC CD por
2
2
CD cos ACD
 , temos:
AC AB AC BC 2
2
2
 .
2 BC AC cos ACD
 e ACD
 são ângulos suplementares, isto é, a soma
Entretanto sabemos que ACB
 180º ACB
 e, consequentemente:
desses ângulos é igual a 180º , ACD
 cos 180º ACB

cos ACD
 .
cos ACB
Assim:

AB AC BC 2 BC AC cos ACB
2
2

AC BC 2 AC BC cos ACB
2
2
2
Por (a), (b) e (c), verificamos que:
AB AC BC 2
2
2

2 AC BC cos ACB
É válido para todos os tipos de triângulos.
113
UNIDADE 3
Exemplo 6:
Para determinarmos a medida de AB da figura a seguir:
C
60°
6cm
4cm
A
B
Figura 50 – Triângulo de lados 4 cm e 6 cm / Fonte: os autores.
Procedemos da seguinte maneira:
Pelo fato de que
AB AC BC 2
AC = 4 , BC = 6 e cos 60º =
2
2

2 AC BC cos ACB
e
1
, temos:
2
AB 2
4 2 62 2 4 6 16 36 24
28
1
2
AB 28
2 7 cm
explorando Ideias
Dois triângulos são semelhantes, quando:
Dois ângulos são congruentes (AA): pelo fato de que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º, se dois ângulos forem congruentes, o terceiro ângulo também será
congruente. Assim, neste material, foram considerados três ângulos congruentes (AAA).
114
os três ângulos são congruentes.
Dois lados correspondentes forem proporcionais e o ângulo formado por eles for congruente (LAL): neste caso, os dois ângulos restantes também serão congruentes.
Para ver a demonstração, acesse o link: http://cmup.fc.up.pt/cmup/mecs/Geometria/se-
UNICESUMAR
Três lados correspondentes forem proporcionais (LLL): se três lados forem proporcionais,
melhanca%20de%20triangulos.pdf.
Fonte: os autores.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), chegamos ao final de mais uma unidade de estudo. Aqui, aprofundamos a nossa compreensão acerca das principais razões trigonométricas e
iniciamos o estudo com a caracterização do triângulo retângulo. Após a caracterização, avançamos para a demonstração do Teorema de Pitágoras, a partir de duas
óticas: a primeira é bastante simples e com certa limitação, enquanto a segunda
é mais elaborada. Além disso, a primeira é indicada para iniciantes, enquanto a
segunda é recomendada para aqueles que cursam licenciatura em Matemática,
assim como você, já que é mais elaborada e válida para todas as situações.
Em seguida, estudamos as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Para tanto, definimos e demonstramos as principais razões trigonométricas e
suas relações. Para essas demonstrações, recorremos à semelhança de triângulos
por AAA (ângulo, ângulo, ângulos) e por LLL (lado, lado, lado). Em outras palavras, todas essas demonstrações seguem o mesmo raciocínio, o que facilita o
acompanhamento dos raciocínios apresentados.
Mesmo que alguns decorem os valores das razões trigonométricas de ângulos
notáveis, que são os ângulos de 30°, 45° e 60° , precisamos ter a preocupação,
quanto à origem desses valores. Assim, a nossa preocupação é a demonstração,
tendo em vista que nenhum conhecimento matemático surgiu do nada, isto é,
os conhecimentos matemáticos foram construídos, sistematicamente, ao longo do tempo, o que permite a sua reconstituição e demonstração. Em seguida,
avançamos para o estudo dos ciclos trigonométricos. Para isso, recorremos às
semelhanças de triângulos e às reduções ao 1º quadrante.
Finalmente, estudamos as leis do seno e do cosseno, demonstrando-as. Mesmo que, aparentemente, essas leis não dependam do triângulo retângulo, elas são
demonstradas por meio da semelhança de triângulos, em especial, de triângulos
retângulos. Esperamos ter contribuído com sua formação acadêmica e profissional.
115
na prática
1. Analise atentamente as relações a seguir e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F)
para as Falsas:
( )
sen 2 a 1 cos2 a .
( )
cos a =
( )
cotg a =
1
.
sec a
cos a
.
sen a
A sequência correta é:
a) F, F, F.
b) F, V, F.
a) V, F, F.
b) V, F, V.
c) V, V, V.
2. Sabendo que a hipotenusa mede
2⋅ 5
cm e um dos catetos mede o dobro do
outro, determine a medida dos catetos.
3. Observe a figura a seguir e determine a medida de
AC :
C
6 cm
45°
30°
B
A
4. Um quadrado de
mede
8
cm de lado foi transformado em um losango e um dos ângulos
60º . Determine a área desse losango.
116
na prática
3 = 1.732 ):
5. Observe a figura a seguir e determine a sua área (considere
C
45°
A
30°
B
21 cm
6. Prove a validade da fórmula da área do triângulo equilátero
l2 3 A
4 por
meio do Teorema de Pitágoras e por meio da razão trigonométrica, sabendo que
área do triângulo, a partir de sua base e altura, é dada por
A
bh
.
2
7. Analise atentamente as relações a seguir e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F)
para as Falsas:
( ) A razão inversa da razão tangente é a razão cotangente.
( ) A razão inversa da razão seno é a razão cosseno.
( )
sec2 a cossec 2a 1 .
( )
cotg a =
cos a
.
sen a
A sequência correta é:
a) F, V, F, F.
b) V, V, F, V.
c) V, F, F, V.
d) V, F, V, V.
e) V, V, V, V.
117
na prática
8. Prove a relação
tg 2a sec2 a 1 .
9. Analise atentamente as afirmativas a seguir:
I - Se
sen a < 0
e
tg a > 0 , a
II - Se
cos b > 0
e
cotg b > 0 , b
III - Se
sec g > 0
e
cossec g > 0 , g
está localizado no 4º quadrante.
está localizado no 1º quadrante.
está localizado no 2º quadrante.
É correto o que se afirma em:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
10. Uma pessoa de
3
m de altura, a qual está em pé, vê a janela do último andar de
um prédio ao ângulo de
ao ângulo de
60º . Ao afastar 50
m do local que estava, vê a mesma janela
30º . Sabendo que o chão é horizontal, qual é a altura aproximada da
janela em relação ao chão?
118
aprimore-se
Para considerar a gênese, devemos discutir qual é o significado que daremos ao
termo Trigonometria. Se o tomarmos como a ciência analítica estudada atualmente,
teremos a origem no século XVII, após o desenvolvimento do simbolismo algébrico.
Porém, se o considerarmos para significar a geometria acoplada à Astronomia, as
origens remontarão aos trabalhos de Hiparco, no século II a.C., embora existam
traços anteriores de seu uso. Se o considerarmos, ainda, para significar literalmente
medidas do triângulo, a origem será no segundo ou terceiro milênio antes de Cristo.
Estudar a história da trigonometria também permite observar o surgimento e o
progresso da Análise e da Álgebra, campos da Matemática nela contidos de forma
embrionária. A trigonometria, mais que qualquer ramo da matemática, desenvolveu-se no mundo antigo a partir de necessidades práticas, principalmente ligadas à
Astronomia, Agrimensura e Navegação.
Os primeiros indícios de rudimentos de trigonometria surgiram tanto no Egito
quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de
triângulos semelhantes. No Egito, isso pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind, que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84
problemas, dos quais quatro fazem menção ao seqt de um ângulo. Ahmes não foi
claro ao expressar o significado dessa palavra, mas, pelo contexto, pensa-se que o
seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, cotangente do ângulo OMV.
Na construção das pirâmides, era essencial manter uma inclinação constante
das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a razão entre afastamento horizontal e a elevação vertical.
Os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só no Egito, mas também
na Babilônia. Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia, tanto por razões religiosas quanto pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio. É
impossível estudar as fases da lua, os pontos cardeais e as estações do ano sem
usar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala.
Um importante conceito no desenvolvimento da Trigonometria é o conceito de ângulo
e de como efetuar sua medida, uma vez que ele é fundamental em diversas situações,
como na compreensão das razões trigonométricas em um triângulo retângulo (números
que dependem dos ângulos agudos do triângulo e não da particular medida dos lados).
Fonte: Costa (2003).
119
eu recomendo!
conecte-se
Apresentação: este vídeo mostra como determinar as razões trigonométricas de ângulos notáveis por meio do triângulo retângulo.
https://www.youtube.com/watch?v=77xJJaZsMxA
Apresentação: este vídeo mostra algumas aplicações das leis trigonométricas para
resolução de situações problemas.
https://www.youtube.com/watch?v=m8jWcX2KWlY&list=PL7RjLI0hJPfDqx_Zm0gVbplDp-1jHB1z1&index=8
Apresentação: este vídeo é destinado aos professores do Ensino Médio e trata sobre
as funções trigonométricas.
https://www.youtube.com/watch?v=NiyX_hTl3tw
Apresentação: um bom material para aqueles que desejam se aprofundar nos estudos da trigonometria de forma elaborada.
http://www.sites.uem.br/profmat/reges_gaieski.pdf
Apresentação: uma boa sugestão para conhecer um pouco da história da trigonometria, soma e diferença de ângulos e suas razões trigonométricas.
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm
120
TABELAS DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Por meio da calculadora científica, podemos determinar as razões trigonométricas a
seguir, considerando a ordem para o seno, cosseno e tangente do referido ângulo:
a
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
19º
20º
21º
22º
23º
24º
25º
26º
27º
28º
29º
30º
31º
32º
33º
34º
35º
36º
37º
38º
39º
40º
41º
42º
43º
44º
45º
sen a
0,0174
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
cos a
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
tg a
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1
a
46º
47º
48º
49º
50º
51º
52º
53º
54º
55º
56º
57º
58º
59º
60º
61º
62º
63º
64º
65º
66º
67º
68º
69º
70º
71º
72º
73º
74º
75º
76º
77º
78º
79º
80º
81º
82º
83º
84º
85º
86º
87º
88º
89º
sen a
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
cos a
0,6947
0,6820
0,6691
0,6561
0,6428
0,6293
0,6157
0,6018
0,5878
0,5736
0,5592
0,5446
0,5299
0,5150
0,5
0,4848
0,4695
0,4540
0,4384
0,4226
0,4067
0,3907
0,3746
0,3584
0,3420
0,3256
0,3090
0,2924
0,2756
0,2588
0,2419
0,2250
0,2079
0,1908
0,1736
0,1564
0,1392
0,1219
0,1045
0,0872
0,0698
0,0523
0,0349
0,0174
UNICESUMAR
ANEXO I
tg a
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7320
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3558
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2708
3,4874
3,7320
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6362
57,2900
121
4
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
E PROGRESSÃO
geométrica
PROFESSORES
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Sequências numéricas • Progressão
aritmética • Progressão geométrica
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir sequências numéricas • Definir progressão aritmética e resolver situações envolvendo-a • Definir
progressão geométrica e resolver situações envolvendo-a.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à quarta unidade do nosso livro! Nela,
estudaremos as sequências numéricas, em especial, a progressão aritmética
e a progressão geométrica, as quais são conhecidas, por alguns, como PA
e PG, respectivamente.
Pelo fato de que a PA e a PG são apresentadas de forma sistematizada
somente a partir do Ensino Médio, pode ser que você chegue a pensar que
o nosso primeiro contato com elas ocorre somente a partir daquele nível de
ensino. No entanto nosso primeiro contato com a PA ocorre antes mesmo
da escolarização formal, isto é, ao aprender a contar, tendo em vista que
um número natural, a partir do segundo, possui uma unidade a mais em
relação ao número natural anterior. Quanto à PG, nosso primeiro contato
ocorre quando começamos a multiplicar vários fatores iguais, isto é, geralmente, antes da formalização da potenciação. Além disso, é perceptível que,
ao iniciar o estudo da PA e da PG propriamente ditas, alguns se preocupam
demasiadamente com a aplicação de fórmulas, esquecendo-se de suas demonstrações, o que torna a resolução um processo puramente mecânico.
Mesmo que alguém chegue a pensar que as demonstrações sempre
são difíceis, muitas dessas fórmulas podem ser demonstradas com muita
facilidade, assim como acontece com a fórmula da soma de alguns termos
consecutivos de uma PA, a qual é conhecida como fórmula de Gauss.
Dessa forma, iniciaremos o nosso estudo sobre a progressão aritmética,
definindo-a e analisando alguns exemplos, a fim de facilitar a sua familiarização com os conteúdos a serem estudados. Em seguida, iniciaremos as
demonstrações das fórmulas usuais, tendo em vista que a apropriação de
conhecimentos só será concretizada quando compreendermos o mecanismo empregado na resolução. Além do mais, como de costume, serão
apresentados alguns cuidados que precisamos ter, ao resolvermos situações
que envolvem a PA. Por último, estudaremos a PG de forma análoga à PA.
Bons estudos!
UNIDADE 4
1
SEQUÊNCIAS
NUMÉRICAS
A sequência numérica é uma sucessão numérica em que seus elementos
são denominados termos, os quais são representados entre parênteses e
separados por vírgula.
Exemplo 1:
1,1, 2, 5, 8
1, 3, 5, 7, 9 2, 3, 5, 8,12,17, 25,
7, 35,165,
Chamamos seus termos de 1º termo, 2º termo, 3º termo, assim sucessivamente, e
os representamos por a1 , a2 , a3 , .
No exemplo 1, 3, 5, 7, 9 , temos:
=
a1 1;=
a2 3=
; a3 5=
; a4 7; a5 = 9 .
Além disso, uma sequência pode ser finita ou infinita, assim como podemos
observar a seguir:
124
UNICESUMAR
Exemplo 2: 2, 3, 5, 8 e 1, 2, 3, , 200 são exemplos de sequências finitas, por
possuírem uma quantidade finita de termos.
Já a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, é uma sequência infinita, por possuir uma
quantidade infinita de termos.
pensando juntos
Você sempre consegue identificar o primeiro e o último termo de uma sequência?
2
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
A progressão aritmética (PA) é um tipo de sequência bastante comum e, de certa
forma, temos contato com alguns de seus exemplos desde criança. Em outras
palavras, começamos a ter contato com esse tipo de sequência assim que aprendemos a contar e, em seguida, com a tabuada.
As crianças aprendem a contar 1, 2, 3, , que nada mais é que do que um
exemplo da PA ou de uma tabuada:
125
UNIDADE 4
2 1 2;
2 2 4;
2 3 6;
...
que resulta em PA 2, 4, 6, .
Caro(a) aluno(a), sendo assim, iniciaremos o nosso estudo sobre a PA.
Fórmula geral da PA
Uma sequência numérica é denominada progressão aritmética, ou PA de primeira ordem, quando cada um de seus termos, a partir do segundo, for igual à soma
do termo anterior, com a razão dessa sequência representada por r . Consequentemente, cada um dos termos em uma PA, a partir do penúltimo, é igual ao termo
posterior, subtraindo a razão dessa sequência representada por r .
Exemplo 3: na PA 11, 13, 15, 17, 19 , temos a1 = 11 e r = 2 . Assim:
a1 11
a2 a1 r 11 2 13
a3 a2 r 13 2 15
a4 a3 r 15 2 17
a5 a4 r 17 2 19.
O que equivale a:
a1 11
a2 a1 r 11 2 13
a3 a2 r a1 r r a1 2r 11 2 2 15
a4 a3 r a1 2r r a1 3r 11 3 2 17
a5 a4 r a1 3r r a1 4 r 11 4 2 19.
126
a1 11;
a2
a3
a20
a1 r 11 2 13;
a 2 r 13 2 15;
…
a19
UNICESUMAR
Exemplo 4: caso queira, podemos determinar o a20 (vigésimo termo) da
PA 11, 13, 15, 17, 19 , assim como é demonstrado a seguir:
a18 r
a19 r
45 2
47;
47 2
49.
Exemplo 5: considerando que o vigésimo primeiro termo a21 de uma PA é
igual a 97 e sua razão é igual a 3 , podemos determinar o décimo oitavo termo,
caso assim preferir, do modo como é exposto a seguir:
a21 97;
a20 a21 r 97 3 94;
a19 a20 r 94 3 91;
a18 a19 r 91 3 88.
Observação: já pensou em determinar o a1000 (milésimo termo) por meio do
procedimento anterior? Quanto tempo levaria para determinar esse termo e qual
é a chance de não haver erros?
Para minimizar o erro e otimizarmos o nosso tempo, recorremos à fórmula
a seguir para determinarmos o último termo procurado de uma PA:
an am n m r ,
Sendo:
an : último termo em estudo.
am : primeiro termo em estudo.
n : índice do último termo em estudo.
m : índice do primeiro termo em estudo.
r : razão ou diferença.
127
UNIDADE 4
Demonstração: considerando n > m , sabemos que an an1 r . Além disso,
pelo fato de que an1 an2 r , substituindo an−1 por an2 r , temos:
an an1 r an2 r r an2 2r
Como an2 an3 r , substituindo an−2 por an3 r , temos:
ana3n3 ana2n2 2r2r ana3n3 rr2r2r ana3n3 3r3.r
Repetindo esse processo, temos:
an ani i r , i  e an( nm) ann m am .
Assim, verificamos que:
an an( nm) n m r am n m r
Observação: por meio dessa fórmula, podemos determinar, além do último
termo em estudo, o primeiro termo, a quantidade de termos em estudo e a razão
da PA em estudo, desde que tenha apenas um elemento desconhecido.
Exemplo 6: podemos determinar o oitavo termo da PA 52, 55, 58, 61,, assim
como é demonstrado a seguir:
a=
n a=
8 ?
am= a=
1 52
=
n 8=
, m 1, r = 3
Pelo fato de que a fórmula geral da PA é an am n m r , substituindo os
valores, temos:
a8 52 8 1 3
a8 52 21
a8 73.
Observação: para determinarmos a razão de uma PA de 1ª ordem, basta subtrair
qualquer termo do seu termo sucessor.
Exemplo 7: considerando que o vigésimo termo a20 de uma PA é igual a 97
e a sua razão é igual a 4 , podemos proceder assim como é exposto a seguir, para
determinarmos o décimo segundo termo a12 dessa PA:
128
a=
m a=
12 ?
UNICESUMAR
Identificando os termos, temos:
a=
n a=
20 97
=
n 20
=
, m 12, r = 4
Pelo fato de que a fórmula geral da PA é an am n m r , substituindo
os valores, temos:
97 a12 20 12 4
97 a12 8 4
97 a12 32
a12 65
Exemplo 8: podemos determinar a1 de uma PA cujo a10 = 204 e a32 = 6 ?
Para isso, precisamos determinar r antes da aplicação da fórmula geral da
PA: assim, identificando os termos, temos:
a=
n a=
32 6;
a=
m a=
10 204;
n = 10;
r =?
Pelo fato de que a fórmula geral da PA é an am n m r , substituindo
os valores, temos:
6 204 32 10 r
6 204 22 r
22r 198
1 Multiplicando ambos os lados por , temos:
22 1 1 22 r 198 22 22 r 9
Para determinarmos a1 , temos:
129
UNIDADE 4
an a32 6;
am a1 ?;
n 32, m 1, r 9.
Substituindo os valores na fórmula geral da PA:
6 a1 32 1 9 6 a1 31 9 6 a1 279
a1 285
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
Soma dos termos consecutivos da PA
Já parou para pensar em quanto tempo levaria para efetuar a seguinte adição:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + 100 ? Se pararmos e analisarmos o problema, talvez não
demore tanto tempo.
Conta a história que a turma de Gauss, na escola, era bastante inquieta e,
certa vez, seu professor decidiu dar uma atividade que deveria envolvê-los por
algum tempo. O professor pediu aos seus alunos que fizessem a soma de todos os
números naturais, entre 1 e 100 . Surpreendentemente, o menino Gauss conseguiu concluir a atividade em poucos minutos. O professor conferiu os cálculos e
verificou que Gauss havia acertado. Pediu-lhe, então, que explicasse como havia
feito as contas de forma tão rápida e Gauss prontamente mostrou a sua ideia.
Ele observou que, ao somarmos o primeiro número da sequência com o último,
obtemos o resultado de 101 , e que, ao somarmos o segundo número com o penúltimo, também obtemos 101 como resultado e assim por diante. Ele também
notou que isso ocorria 50 vezes durante toda a sequência de números. Logo,
Gauss fez a simples conta: 50 101 5050 .
130
UNICESUMAR
A fórmula para determinarmos a soma dos termos consecutivos da PA
é dada por:
a a S 1 n n
2
Sendo:
S : soma dos termos de uma PA.
n : índice do último termo.
1 : índice do primeiro termo.
a1 : primeiro termo em estudo.
an : último termo em estudo .
Demonstração: considere a soma dos termos da PA:
n
S
ai
a1 a2 a3
i 1
. . . an
2
an
1
an .
Note que podemos escrever essa soma de duas maneiras:
S1
S2
a1 a2 a3
an
an
1
an
...
an
3
an
2
e
an
3
...
2
an
an
1
a3 a2 a1
Agora, façamos a soma de S1 e S2 :
S1 S2
a1 an
a2
an
1
...
an
2
a3
an
1
a2
an
a1
No entanto note que os termos a1 an , a2 an1 , an2 a3 e todos os
demais são equidistantes, ou seja, suas somas são iguais a a1 + an . Logo, podemos
reescrevê-los da seguinte maneira:
S1 S2
a1 an
a1 an
a1 an
...
a1 an
a1 an .
Pelo fato de que são n termos, essa soma se repete n vezes. Portanto:
131
UNIDADE 4
S1 S2 a1 an n
Contudo note que S1 e S2 representam a mesma soma dos termos de uma PA,
logo, são iguais. Assim sendo, temos:
2 S a1 an n
S
a1 an n
2
Exemplo 9: queremos determinar a soma dos 200 primeiros termos da
PA 5, 8, 11, . Dessa forma, procedemos assim como é demonstrado a seguir:
Primeiramente, determinamos o a200 . Utilizaremos a fórmula geral da PA
an am n m r , em que am é o primeiro termo e an é o último. Assim, temos:
a200 5 200 1 r
a200 5 199 3
a200 602
Para determinarmos a soma dos 200 primeiros termos dessa PA, procedemos
assim como pode ser visualizado a seguir:
(a1 an )
n
2
5 602
S
200 2
S 5 602 100
S
S 60700
Exemplo 10: para determinarmos a soma de 16 18 20 L 794 796 798,
procedemos assim como é demonstrado a seguir, tendo em vista que as grandezas
que estão sendo somadas formam a PA 16, 18, 20, L , 794, 796, 798 . Portanto, determinamos a quantidade de termos dessa PA e, em seguida, determinamos a soma.
Pelo fato de que a1 = 16 , an = 798 e a razão é r = 2 , sabemos, por meio da
fórmula geral da PA, que:
132
798 16 n 1 2
798 2n 14
2n 784
n 392
UNICESUMAR
an am n m r
Assim, para determinarmos a soma dos 392 primeiros termos dessa PA, procedemos da seguinte maneira:
(a a )
S 1 n n
2
(16 798)
392
S
2
814
S
392
2
S 407 392
S 1559544.
anotações
133
UNIDADE 4
3
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
A progressão geométrica (PG) é outro tipo de sequência bastante comum e que,
de certa forma, temos contato com alguns exemplos, ainda, no Ensino Funda1
2
3
mental, em forma de potências do tipo 5 5, 5 25, 5 125, ..., o que resulta
na PG 5, 25,125, ... .
Caro(a) aluno(a), sendo assim, iniciaremos o nosso estudo sobre a PG.
Fórmula Geral da PG
Uma sequência numérica é denominada PG de primeira ordem, quando cada
um de seus termos, a partir do segundo, for produto do anterior e da razão q diferente de 0 . Consequentemente, cada um de seus termos em uma PG, a partir
do penúltimo, é igual ao quociente do termo posterior e da razão dessa sequência,
a qual é representada por q .
134
UNICESUMAR
Exemplo 11: na PG 2, 6, 18, 54, 162 , temos a1 = 2 e q = 3 . Assim:
a1 2;
a2 a1 q 2 3 6;
a3 a2 q 6 3 18;
a4 a3 q 18 3 54;
a5 a4 q 54 3 162,
O que equivale a:
a1 2;
a2 a1 q 2 3 6;
a3 a2 q a1 q q a1 q 2 2 32 2 9 18;
a5 a4 q a3 q q a1 q3 q a1 q 4 2 34 2 81 162.
a4 a3 q a2 q q a1 q2 q a1 q3 2 33 2 27 54;
Exemplo 12: caso queira, podemos determinar o a9 (nono termo) da
PG 3, 6, 12, ... , assim como é demonstrado a seguir:
a1 3;
a2
a3
a1 q 3 2 6;
a2 q 6 2 12;
...
a8
a9
a7 q 192 2 384;
a8 q 384 2 768.
Exemplo 13: considerando que o décimo segundo termo a12 de uma PG é
igual a 45927 e sua razão é igual a 3 , podemos determinar o oitavo termo, caso
assim preferir, da seguinte maneira:
135
UNIDADE 4
a12 = 45927;
a12 45927
=
= 15309;
3
q
a11 15309
=
= 5103;
a=
10
3
q
a10 5103
= 1701;
a9 ==
3
q
a9 1701
=
= 567.
a=
8
q
3
a=
11
Já pensou em determinar o a30 (trigésimo termo) por meio do procedimento
anterior? Quanto tempo levaríamos para determinarmos esse termo e qual é a
probabilidade de não haver erros?
Para minimizarmos o erro e otimizarmos o nosso tempo, recorremos à fórmula a seguir para determinarmos o último termo procurado de uma PG:
an am q nm .
Sendo:
an : último termo em estudo.
am : primeiro termo em estudo.
m : índice do primeiro termo em estudo.
n : índice do último termo em estudo.
q : razão ou quociente .
Demonstração: considere n > m e seja an an1 q . Pelo fato de que sabemos
que an1 an2 q , substituiremos an−1 por an2 q na fórmula anterior. Dessa
forma, temos:
an an1 q an2 q q an2 q2 .
De maneira análoga, sabemos que an2 an3 q . Logo, substituindo an−2 por
an3 q , temos:
an an2 q2 an3 q q2 an3 q3 .
Repetindo esse processo, temos:
136
Além disso, como o termo n m indica o último termo menos o primeiro, ou
seja, o i - ésimo termo, sabemos que an( nm) ann m am .
Portanto:
UNICESUMAR
an ani qi , i  .
an am q nm
Observação: por meio dessa fórmula, podemos determinar, além do último
termo em estudo, o primeiro termo, a quantidade de termos em estudo e a razão
da PG em estudo, desde que essa sequência apresente termos consecutivos ou a
quantidade de termos em estudo for par.
Observação: para o caso em que m = 1 , ou seja, o primeiro termo a ser analisado
é o primeiro termo da sequência, sabemos que a fórmula geral pode ser reescrita
n 1
da seguinte forma: an a1 q .
Exemplo 14: podemos proceder da seguinte forma para determinarmos o oitavo
termo de uma PG de razão igual a 3 e o primeiro termo igual a 5. Identificando
os termos, temos:
a=
n a=
8 ?
am= a=
1 5
q=3
nm
Pelo fato de que a fórmula geral da PG é an am q
, temos:
a8 a1 q81
a8 5 37
a8 5 2187
a8 10935.
Observação: para determinarmos a razão de uma PG de primeira ordem, basta
dividir qualquer termo por um termo imediatamente anterior a ele.
137
UNIDADE 4
Exemplo 15: considerando que o vigésimo termo a20 de uma PG é igual a
6144 e a sua razão é igual a 2 , podemos proceder como a seguir para determinarmos o décimo quarto termo a14 dessa PG:
Identificando os termos, temos:
a=
n a=
20 6144
a=
m a=
14 ?
q=2
nm
, temos:
Pelo fato de que a fórmula geral da PG é an am q
6144 a14 22014
6144 a14 26
6144 a14 64
6144
64
a14 96
a14 Soma dos termos consecutivos à PG
Já parou para pensar em quanto tempo levaria para efetuar a seguinte adição:
7 21 63 ... 137781 413343 1240029 ? Se alguém respondeu que a soma resultaria 1860040 em pouco tempo, provavelmente, essa pessoa possui conhecimento da regra da soma dos termos consecutivos de uma PG.
A fórmula para determinarmos a soma dos termos consecutivos da PG é
dada por:
Sn a1 138
(1 q n )
,
(1 q )
q 1
UNICESUMAR
Em que:
Sn : soma dos n termos consecutivos.
a1 : primeiro termo.
q : razão da PG.
n : índice do último termo a ser somado.
Demonstração: para realizarmos essa demonstração, consideraremos a PG
a1 , a2 , a3 , a4 , , an2 , an1 , an , . Seja Sn , a soma dos n primeiros termos
da PG, logo, temos:
Sn a1 a2 a3  an1 an
(I)
Agora, multiplicaremos todos os termos da soma I pela razão q . Assim:
Sn q a1 q a2 q a3 q  an1 q an q
( II )
Entretanto sabemos que podemos reescrever cada termo como an an1 q .
Portanto, faremos esse rearranjo dos termos, começando pelo a2 a1 q :
Sn q a1 q a2 q a3 q an1 q an q
a2
Sn q a 2 a 2 q a3 q an1 q an q
a3
Sn q a2 a 3 a3 q an1 q an q
( III )
Sn q a2 a3 a3 a n-1 q an q
an
Sn q a2 a3 a3 a n an q
Agora, subtrairemos as equações ( III ) e ( I ) , isto é, faremos ( I ) − ( III ) :
Sn Sn q a1 an q
Sn 1 q a1 an q
( IV )
139
UNIDADE 4
Para podermos finalizar, precisamos nos recordar do termo geral de uma PG, o
qual é dado por:
an a1 q n1 a1 qn
q
Se multiplicarmos a fórmula por q , teremos:
an q a1 q n
Substituindo essa equação em ( IV ) , temos:
Sn 1 q a1 a n q
Sn 1 q a1 a1 q n
Sn 1 q a1 1 q n
Sn a1 (1 q n )
(1 q )
Exemplo 16: para determinarmos a soma dos 9 primeiros termos da PG
5,10, 20, , podemos proceder assim como é demonstrado a seguir:
Identificando os termos, temos:
S9 = ?
a1 = 5;
q = 2.
Logo:
(1 q n )
Sn a1 (1 q )
S9
S9
1 29 5
1 2 1 512 5
1
S9 5 511
S9 2555.
140
Na soma dos termos consecutivos da PG, temos q ≠ 1. Você já pensou no motivo dessa
condição?
UNICESUMAR
pensando juntos
Exemplo 17: podemos proceder assim como é demonstrado a seguir para
determinarmos a soma de 7 + 21 + 63 +  + 137781 + 413343 + 1240029, tendo
em vista que as parcelas a serem somadas formam uma PG. Para isso, precisamos determinar n:
Identificando os termos, temos:
an = 1240029;
a1 = 7;
=
q
21
= 3.
7
n 1
Pelo fato de que an a1 q , temos:
1240029 7 3n1
1240029 7 3n 31
7 3n
1240029 3
Multiplicando ambos os membros por
3
, temos:
7
3 3n 7 3
1240029 7
3 7
531441 3n
No entanto, fatorando 531441 , temos:
141
UNIDADE 4
312 3n
n 12
Prosseguindo:
S12 = ?
a1 = 7;
q = 3.
Logo:
(1 q n )
Sn a1 (1 q )
S12
1 312 7
1 3 S12 7 S12
S12
1 531441
2
3720080
2
1860040.
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
Exemplo 18: podemos proceder do modo como é apresentado a seguir para
determinarmos a soma dos 7 primeiros termos da PG 4, 20, 100, 500, :
142
UNICESUMAR
Identificando os termos, temos:
S7 ?
a1 4;
q
20
5
4
Pelo fato de que a fórmula da soma dos termos consecutivos da PG é
Sn a1 (1 q n )
, substituindo os valores, temos:
(1 q )
S7
1 (5)7 4
1 (5) 1 (78125) 4
6
78126
6
S7 52084
4
explorando Ideias
Mesmo que a maioria da soma dos infinitos termos das sequências seja convergente
para
ou
, a soma de infinitos termos dessa PG, em que é verificada a condição
1 q 1 , converge a um número, tendo em vista que q n converge a 0 quando q
aproxima de
. Assim, quando
determinada por S
a1
.
1 q
1 q 1 , a soma de infinitos termos da PG pode ser
Para mais informações, acesse: https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/p-g/formula-da-soma-dos-termos-de-uma-pg-infinita/.
Fonte: os autores.
143
UNIDADE 4
144
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), chegamos ao final de mais uma unidade. Nela, aprofundamos o
nosso estudo sobre a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG),
ambas de primeira ordem. Iniciamos com a caracterização de cada uma delas,
tendo em vista que a identificação desse tipo de sequências é fundamental para
a escolha do processo de sua resolução.
Após a caracterização, assim como ocorreu nas unidades anteriores, avançamos para a demonstração de fórmulas, seguida de alguns exemplos, a fim de
concretizar a aquisição de conhecimentos. A apresentação das demonstrações
dessas fórmulas possui uma importância muito grande e não se mantém apenas
para essa disciplina: é algo que deve se tornar comum durante todo o curso de
Matemática e toda a sua carreira acadêmica.
Do mesmo modo como fora frisado nos demais conteúdos estudados nas
unidades anteriores, devemos tomar alguns cuidados para não cometermos
erros. Além disso, para resolvermos os exercícios que envolvem esses tipos de
sequências, muitas vezes, recorremos aos conhecimentos já adquiridos, como o
das equações do 1º grau.
Dessa forma, aqueles que não dominam os conteúdos já estudados, independentemente do nível de ensino, podem encontrar dificuldades em resolver
algumas situações-problemas apresentadas. Em outras palavras, as sequências de
conteúdos apresentados na matemática foram pensadas para alcançar níveis cada
vez mais elevados de conhecimentos e, pelo fato de que os conteúdos devem ser
assimilados, e não decorados, precisamos nos preocupar com as demonstrações.
Portanto, pensar em outra possibilidade de demonstração de algumas fórmulas,
como a da soma dos termos de uma PA, pode ser uma boa opção para mudar a
sua maneira de estudar a matemática.
Caro(a) aluno(a), esperamos ter contribuído com a sua formação.
na prática
1. Observe as sequências a seguir:
I-
33, 16, 1, 18,
II -
1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5 III -
141,137,133,129 IV -
1, 2, 4, 7 São exemplos de PA de primeira ordem:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II e IV.
2. Uma pessoa, ao determinar a razão da PA finita de
e o último é
457 , procedeu da seguinte maneira:
21 termos cujo primeiro é 37
457 37
21
420
r
21
r 20
r
No entanto o resultado obtido está incorreto. Onde está o erro?
n primeiros termos de uma PA finita é igual a 205, a1 = 7
r = 3 . Determine o termo an dessa PA.
3. Verificou-se que a soma de
e
4. Meu amigo pegou uma madeira e a cortou em
7
pedaços para serem os sete de-
graus de uma escada. Considerando que o comprimento dos degraus forma uma
PA, bem como o fato de que o primeiro degrau mede
145
80
cm e o último mede
50
na prática
cm, qual deve ser o comprimento mínimo de madeira, se a cada corte que fizer na
0, 5
madeira perde-se
5. Considerando que
cm?
x + 4, 2 x + 7
e
4x + 6
são os três primeiros termos de uma
PA infinita, escreva essa sequência.
6. Determine a razão de uma PA que possui, como termos consecutivos, os valores
50 x 4, 10 x2 4
e
52 x + 2 , sabendo que essa razão é um número natural.
7. Observe atentamente as sequências a seguir:
I-
256, 128,
64, 32,
II -
1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5 III -
6,12, 24, 36 IV -
1 1 1 1 , , , 3 9 27 81 São exemplos da PG de 1ª ordem:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II e IV.
8. Uma pessoa, ao somar os
esqueceu de adicionar
10
primeiros termos da PG cujo
a5 . Qual é a soma encontrada?
9. Quantos valores múltiplos de
4
existem de
1
a
146
e cuja
q=2,
85968 ?
10. O terceiro termo de uma progressão geométrica é
contre a sua razão.
a1 = 5
10
e o sexto termo é
80 . En-
aprimore-se
Para resolver situações-problemas que envolvem PA e PG, a calculadora reduz consideravelmente o tempo de cálculo. No entanto alguns professores ainda resistem
quanto ao uso dessa ferramenta na sala de aula. Assim, surge a necessidade de
analisar o uso da calculadora como recurso didático. Vamos lá:
A calculadora tem como principal finalidade a resolução de operações de forma
rápida e eficiente. Rivaliza com o cálculo escrito, com os algoritmos, os procedimentos de cálculo. Por incômodo que possa parecer, uma simples maquininha de R$
1,99 substitui todo o ensino das continhas, que não raro, ocupa uma grande parte
do tempo de sala de aula nos diversos níveis de instrução. Para que possamos nos
convencer da utilidade das maquininhas de calcular em sala de aula, devemos, antes, repensar a utilidade dos algoritmos.
Antes de iniciarmos a discussão, devemos nos perguntar: o que é um algoritmo? De uma forma simplificada podemos afirmar que nada mais é do que uma
sequência de passos para se realizar determinada tarefa. No âmbito da matemática utilizamos o termo algoritmo para designar um procedimento que nos permite
resolver uma operação.
Constitui-se crença infundada a afirmação de que com o uso da calculadora os
alunos deixariam de raciocinar. Ora, ao realizar milhares de contas na mão, o aluno
não estará fazendo mais que exercitar um procedimento, não estará raciocinando.
É possível, inclusive, e isso não é raro, que mesmo fazendo contas com perfeição o
aluno não tenha a menor ideia de porquê de tal algoritmo funcionar.
Infelizmente, na escola, enfatiza-se o cálculo escrito como se dele dependesse
o desenvolvimento da habilidade de cálculo do aluno. É importante salientar que a
habilidade de cálculo está sustentada por quatro pilares:
1. Escrito: realizar as quatro operações com compreensão.
2. Estimado: saber fazer estimativas.
3. Na calculadora: saber operar com destreza uma máquina de calcular.
4. Mental: saber realizar contas sem utilização de papel ou máquina.
147
aprimore-se
A calculadora, além de ser um dos pilares, pode ser útil no desenvolvimento dos
outros. Embora possa parecer estranho, sua utilização pode auxiliar o aluno a compreender melhor os algoritmos.
Do nosso ponto de vista, é lamentável que muitos professores dediquem um tempo enorme para ensinar algo que pode ser substituído por uma máquina, deixando de
abordar problemas reais, apenas porque os alunos “ainda não sabem as continhas”.
É incoerente com qualquer propósito educacional alunos que terminem o ensino médio dominando as quatro operações não conseguirem decidir entre duas
ofertas, por exemplo, se é melhor comprar um pacote de fraldas com 40 unidades a
R$ 15,00 ou um pacote com 30 unidades a R$ 13,00. Em classes menos favorecidas,
uma decisão como essa pode significar um pedaço de carne a mais na mesa.
Além desse aspecto utilitário, a calculadora pode ser utilizada para explorar conceitos matemáticos em que seu próprio uso é o efeito problematizador.
Assim como qualquer recurso didático, o uso da calculadora requer planejamento e objetivos claros. Do nosso ponto de vista, existem dois momentos em que ele é
recomendável e necessário: quando tratamos de números reais e nas explorações
de conceitos matemáticos.
Fonte: Rolkouski (2013).
148
eu recomendo!
livro
A Matemática do Ensino Médio
Autor: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo
Wagner e Augusto César de Oliveira Morgado
Editora: SBM
Sinopse: este livro, escrito para professores do Ensino Médio e
estudantes de licenciatura em Matemática, aborda os principais
assuntos estudados na segunda série do Ensino Médio. Assim,
a obra possui duas partes bem distintas. A primeira é dedicada à Matemática
Discreta, contendo o estudo de Progressões (com aplicações à Matemática Financeira), entre outros. Já a segunda parte do livro é dedicada à Geometria Espacial e
tem duas preocupações principais.
Comentário: ler o capítulo 1.
conecte-se
Para compreender um pouco sobre termos e soma da progressão aritmética de ordem superior:
https://issuu.com/logusmao/docs/pa_de_ordem_n
Conheça a proposta de ensino de progressões aritméticas de ordem superior, no Ensino Médio, apresentada por Wilhian Alexander Ferreira Lima:
https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=93375
149
5
NÚMEROS
COMPLEXOS
PROFESSOR
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Tópico do plano 01 • Tópico do
plano 02 • Tópico do plano 03 • Tópico do plano 04.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Definir unidade imaginária e números complexos • Compreender a representação de um número
complexo e suas propriedades na forma algébrica • Definir números complexos e suas propriedades na
forma geométrica • Identificar a representação de um número complexo em sua forma trigonométrica
ou polar e compreender as suas propriedades.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), bem-vindo(a) à quinta unidade! Até agora, você sempre
soube que não poderia calcular a raiz quadrada de um número negativo. Ao
encontrar as raízes de uma equação do segundo grau cujo delta era menor
do que zero , dizíamos não haver raízes reais. Isso se dá, pois não havia
números que fossem negativos após elevá-los ao quadrado. Todo número
era positivo após essa operação. Agora, entretanto, você pode calcular a
raiz quadrada de um número negativo, mas esse processo envolve o uso
de um novo número.
Nesta unidade, definiremos e compreenderemos os números complexos
e suas características. É importante que você, caro(a) aluno(a), consiga compreender todas as propriedades e aplicações dos números complexos em diferentes contextos. Em muitos aspectos, esse estudo não se difere de qualquer
outro conjunto, mas há muitas particularidades e é preciso estar atento(a).
Iniciaremos a nossa unidade com a definição de um número complexo,
passando por algumas operações e a definição de conjuntos dos números
complexos. Depois, será introduzido o conceito de unidade imaginária,
suas implicações no conjunto e algumas formas de representação de números complexos.
Dentro das diferentes formas de representação, iniciaremos com
a sua forma algébrica, passando por sua representação geométrica e finalizando com a sua forma trigonométrica. Lembre-se que, para cada representação, existem diversas propriedades e conceitos.
Além disso, será afirmado que os números complexos são formados
por duas partes: a parte real e a parte imaginária. A parte real é formada
por um número dentro do conjunto dos números reais, enquanto a parte
imaginária é um conceito mais abstrato e que nos permite realizar a raiz
quadrada de um número negativo.
O surgimento dos números complexos é importante para as áreas
mais aplicadas da matemática ou até mesmo na álgebra. Eles podem ser
aplicados em muitos aspectos do dia a dia, especialmente nos aparelhos
eletrônicos e no eletromagnetismo.
UNIDADE 5
1
NÚMEROS
COMPLEXOS
Iniciaremos o nosso estudo definindo o que é um número complexo. Para tanto,
ele será denotado por z , que é um par ordenado x, y de números reais. A
partir dessa definição, já temos a noção de que o conjunto dos números reais
está contido no conjunto dos números complexos. No entanto qual é o conjunto
dos números complexos?
Chamamos de conjunto dos números complexos (e denotamos por  ), o conjunto
dos pares ordenados de números reais – em símbolos, temos: z x, y | x, y – para os quais estão definidas as seguintes propriedades:
I - Igualdade de dois números complexos:
Sejam z1 a, b e z2 c, d . Temos:
z1 z2 a, b c, d a c e b = d
II - Adição de números complexos:
Sejam z1 a, b e z2 c, d . Temos:
z1 z2 a, b c, d a c, b d 152
UNICESUMAR
III - Multiplicação de números complexos:
Sejam z1 a, b e z2 c, d . Temos:
z1 z2 a, b c, d ac bd , ad bc .
pensando juntos
Como se relaciona o conjunto dos números complexos
tos conhecidos,
,
, I,
,
em relação aos demais conjun-
?
Exemplo 1: sejam z1 5, 3 e z2 1, 1 dois números complexos, determine
a soma z1 + z2 e o produto z1 ⋅ z2 .
Encontraremos, primeiramente, a soma. Assim:
z1 z2 5, 3 1, 1
= 5 1, 3 1 z1 z2 6, 2 Agora, o produto:
z1 z2 5, 3 1, 1
5 1 3 1 , 5 1 3 1
5 3, 5 3 z1 z2 8, 2 Observação: note que um número complexo z x,0 é identificado com o
número real x . Isso significa que o conjunto dos números reais é um subconjunto dos números complexos . E se tivermos, porém, um número
complexo z1 0, x ? O que difere o conjunto dos números complexos do
conjunto dos números reais? É nesse momento que introduzimos o conceito
de unidade imaginária.
153
UNIDADE 5
Unidade imaginária
Chamamos de unidade imaginária e indicamos pela letra i , o número complexo dado por 0, 1 . Sua propriedade básica é:
i 2 1 .
De fato, temos:
i 2 i i 0, 1 0, 1 0 0 1 1, 0 1 1 0 1, 0 1 .
Dessa propriedade, surge um fato muito utilizado nos números complexos e que
o diferencia dos números reais: i 1 .
2
Exemplo 2: resolva a equação do segundo grau z 2 z 2 0 .
Encontraremos as raízes dessa equação, utilizando a Fórmula de Bháskara:
b b2 4 a c
z
2a
2 4 4 1 2
2
2 4 (1)
2
2 4 i 2
2
2 2 i
2
z 1 i
Logo, sabemos que as raízes são z1 1 i e z2 1 i .
154
ALGÉBRICA
UNICESUMAR
2
FORMA
Assim como já fora exposto, um número complexo pode ser escrito de algumas
formas distintas. A primeira maneira de se representar um número complexo
será segundo a sua forma algébrica.
Todo número complexo z x, y pode ser escrito na sua forma algébrica como:
z = x +yi
tal que i é a unidade imaginária.
Note que, se z = ( x, y ) , temos:
x, y x, 0 0, y x, 0 y,0 × 0,1 x yi .
Observe que a parte destacada em negrito é dada por:
y, 0 0,1 y 0 0 1, y 1 0 0 0, y .
Por outro lado:
0,1 y, 0 0 y 1 0, 1 y 0 0 0, y .
Observação: o número real x é chamado de parte real de z e o número real y
é chamado de parte imaginária de z . Em símbolos, temos:
x = Re( z ) e y = Im( z ) .
155
UNIDADE 5
Exemplo 3: para o número complexo z 2 x 5i , sabemos que Re( z ) = 2 e
Im( z ) 5 .
Note que, sob a perspectiva da forma algébrica, as propriedades dos números
complexos são mais práticas do que por meio do uso do par ordenado exibido.
De acordo com Dias (2014), os números complexos são objetos coerentes, isto
é, a soma de dois números complexos é um número complexo, assim como o
produto. Veremos como ficam essas propriedades de igualdade, adição e multiplicação de números complexos sob a forma algébrica.
I - Igualdade de dois números complexos:
Sejam z1 a bi e z2 c di . Temos:
z1 z2 a bi c di a c e b = d .
II - Adição de números complexos:
Sejam z1 a bi e z2 c di . Temos:
z1 z2 a bi c di a c b d i .
III - Multiplicação de números complexos:
Sejam z1 a bi e z2 c di . Temos:
z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i .
Exemplo 4: dados z1 1 i e z2 2 i , calcularemos:
I - z1 + z2
z1 z2 1 i 2 i 1 2 1 1 i
3 2i
II - z1 − z2
z1 z2 1 i 2 i 1 2 1 1 i
1
156
IV - z1 ⋅ z2
3
3
2 z1 z2 2 1 i 2 i 5
5
3
3 2 1 2 2 1 i
5
5 6 3
2 2 i
5 5
16 13
i
5 5
UNICESUMAR
3
III - 2 z1 + z2
5
z1 z2 1 i (2 i )
1 2 1 1 1 1 1 2 i
1 3i
Propriedades dos números complexos
A seguir, exibiremos algumas propriedades muito importantes para os números
complexos.
a) Leis comutativas para a adição e a multiplicação:
Sejam z1 , z2 ∈  , há:
·
z1 z2 z2 z1
De fato, dados z1 a bi e z2 c di , temos:
z1 z2 a bi c di a c b d i
c a d b i
c di a bi ·
z1 z2 z2 z1
z2 z1
157
UNIDADE 5
Essa prova fica como exercício.
b) Leis associativas para a adição e a multiplicação:
Sejam z1 , z2 , z3 ∈  , há:
·
z1 z2 z3 z1 z2 z3
Sejam z1 a bi, z2 c di e z3 e fi , então:
z1 z2 z3 a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i
a c b d i e fi z1 z2 z3
·
z1 z2 z3 z1 z2 z3
Fica como exercício essa prova.
c) Lei distributiva da multiplicação em relação à adição:
Sejam z1 , z2 , z3 ∈  , há:
·
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
De fato, sejam z1 a bi, z2 c di e z3 e fi , então:
Conjugado de um número complexo
Já sabemos que um número complexo é formado pela parte real e pela parte
imaginária. Denomina-se conjugado de um número complexo z a bi , o
número complexo z a bi . Note que a mudança ocorre apenas no sinal da
parte imaginária. Após alguns exemplos, apresentaremos uma aplicação para o
conjugado de um número complexo.
158
a) z 2 7i
Se z 2 7i , sabemos que z 2 7i .
UNICESUMAR
Exemplo 5: determine o conjugado de cada um dos números complexos a seguir:
b) z 2 4i
Se z 2 4i , sabemos que z 2 4i .
c) z 5 3i
Se z 5 3i , sabemos que z 5 3i .
d) z 7 i
Se z 7 i , sabemos que z 7 i .
Observação: note que, se multiplicarmos um número complexo pelo seu conjugado, obteremos somente a parte real do número complexo. Em outras palavras,
se z a bi e z a bi , temos:
z z a bi a bi a a b b a b b a i
a2 b2 ab ba i
Como a, b ∈  , sabemos que ab = ba . Portanto:
z z a 2 b2 .
Com essa informação, podemos introduzir o conceito de divisão entre números complexos.
Divisão entre números complexos
Para calcularmos
z1
, z2 ≠ 0 , basta multiplicarmos o numerador e o denominar
z2
pelo conjugado do denominador. Isso transformará essa divisão em uma divisão
por um número real.
159
UNIDADE 5
Exemplo 6: dados z1 a bi e z2 c di 0 , temos:
z1 z1 z2 (a bi ) (c di ) ac bd bc ad i .
z2 z2 z2 (c di ) (c di )
c2 d 2
Exemplo 7: sejam z1 3 2i e z2 1 i , calcularemos a sua divisão:
z1 3 2i
z2 1 i
3 2i 1 i
1 i 1 i
(3 2) (3 2)i
(1 1) (1 1)
5i
2
5 1
i
2 2
Potências de i
2
Assim como já fora exposto, i 1 , o que mostra um comportamento interessante, caso aumentemos o valor da potência. Vejamos a seguir:
■
■
■
■
■
■
■
■
■
160
i0 = 1
i1 = i
i 2 1
i 3 i 2 i 1 i i
i 4 i 3 i i i i 2 1 1
i5 i 4 i 1 i i
i 6 i 5 i i i i 2 1
i 7 i 6 i 1 i i
i 8 i 7 i i i i 2 1 1
Observação: pelo fato de que os resultados se repetem em ciclos de 4 , poden
4qr
i r , r 4 , em que r é a divisão
mos escrever esse resultado como i i
de n por 4 .
UNICESUMAR
Podemos notar que os resultados se repetem em ciclos de 4 .
Exemplo 8: calcule:
23
3
a) i i i
Primeiramente, faça a divisão de 23 por 4 . O resto dessa divisão é 3 , isto é,
23 4 5 3 . Logo, basta utilizar o valor do resto da divisão.
100
0
b) i = i = 1
Note que 100 dividido por 4 dá resto 0 , isto é, 100 4 25 0 .
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
161
UNIDADE 5
3
REPRESENTAÇÃO
GEOMÉTRICA
A primeira maneira exibida de se ilustrar um número complexo é por meio
2
de um par ordenado z a b , tal que a, b ∈  . Isto é, a, b   
, que é o plano cartesiano.
Então, considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e
um ponto p de coordenadas a, b . Podemos notar que há uma forte relação
entre os pontos do plano e os números complexos.
Dessa forma, a representação geométrica de um número complexo
z a, b a bi é feita em um plano cartesiano xOy de coordenadas ortogonais (ou retangulares), denominado Plano Complexo (ou Plano de
Argand-Gauss).
162
Eixo imaginário
P
z = (a, b) = a + bi
ρ = |z|
b = ρ sen(θ)
Eixo real
θ
Ο
UNICESUMAR
b
a = ρ cos(θ)
a
Figura 1 – Exemplo de plano complexo / Fonte: o autor.
De acordo com o plano complexo, alguns elementos são definidos. Entre eles, estão:
■ O eixo Ox é o eixo com a parte real.
■ O eixo Oy é o eixo imaginário.
Módulo de um número complexo
O módulo de um número complexo z é a distância entre a origem e o ponto
P a, b . Além disso, é representado por r = z , tal que r a2 b2 , resultado que segue, diretamente, do Teorema de Pitágoras.
Exemplo 9: determine o módulo de z 3 4i .
r 32 42 9 16 25 5 .
163
UNIDADE 5
Argumento de um número complexo
Chama-se argumento de um número complexo z a bi, z 0, 0 , o ângulo q em radianos 0 θ 2π , o qual é formado pelo vetor entre o ponto de
origem e o ponto a, b , com o semieixo real positivo tal que:
cos θ a
a
;
2
2
ρ
a b
senθ b
b
.
ρ
a 2 b2
Exemplo 10: determine o argumento do número complexo z 1 3i .
2
De fato, temos a = 1 e b = 3 e r 1 3
2
1 3 4 2 .
Logo:
a 1 ρ 2 π
θ rad 60”
3
3
b
senθ 2 ρ
cos θ Portanto, arg z= θ=
164
π
rad = 60º .
3
OU POLAR
UNICESUMAR
4
REPRESENTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
A terceira forma de representação de um número complexo que será apresentada é sob a forma trigonométrica ou polar. Para definirmos essa representação,
partiremos da forma geométrica já apresentada.
Dado um número complexo z a bi não nulo, com argumento q , temos:
cos θ a
a ρ cos θ
ρ
e
senθ b
b ρ senθ .
ρ
Portanto, z a bi a ib ρ cos θ iρ senθ . Isto é:
z ρ cos θ i senθ .
Essa é a forma trigonométrica ou polar de representação de um número complexo z .
165
UNIDADE 5
Observação: substituindo q na forma trigonométrica por θ 2k π , tal que
k ∈  , o número complexo z não se altera, pois os argumentos q e θ 2k π são congruentes. Em outras palavras, θ 2k π representa um número inteiro
de voltas completas, tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo, no
ciclo trigonométrico.
Assim, é comum usar a forma trigonométrica de um número complexo de
uma maneira geral, a qual é dada por:
z ρ cos θ 2k π i sen θ 2k π .
Para esse caso, os valores de θ 2k π são os argumentos de z e q é dito argumento principal de z .
Exemplo 11: obtenha a forma trigonométrica do número complexo z 3i e,
na sequência, faça a sua representação geométrica.
2
2
De fato, temos: a = 0 e b 3 . Logo, r 0 3 9 3 .
Portanto:
a 0
0 ρ 3
3π
rad 270” .
θ b 3
2
senθ 1
ρ 3
cos θ Assim, temos:
3p 3p
z 3 cos
i sen 3 cos 270º i sen270º .
2
2 Podemos ver a sua representação gráfica na figura a seguir:
166
UNICESUMAR
y
3π
θ=
2
x
rad = 270°
ρ=3
z = –3i
Figura 2 – Representação gráfica / Fonte: o autor.
Multiplicação de números complexos
Agora, veremos que existe uma interpretação geométrica para a multiplicação
de números complexos. Para isso, consideraremos dois números complexos
z1 , z2 tais que:
z1 ρ1 cos θ1 i senθ1 e
z2 ρ2 cos θ2 i senθ2 .
Fazendo z1 ⋅ z2 , obtemos:
167
UNIDADE 5
z1 z2 ρ cos θ1 i senθ1 ρ2 cos θ2 i senθ2 ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 i senθ2 i senθ1 cos θ2 i senθ1 i senθ2 ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 senθ1 senθ2 i cos θ1 senθ2 senθ1 cos θ2 Todavia, sabemos que:
cos q1 q2 cos q1 cos q2 senq1 senq2
e
sen q1 q2 cos q1 senq2 senq1 cos q2 .
Portanto:
z1 z2 ρ1 ρ2 cos θ1 θ2 i sen θ1 θ2 .
Observação: note que arg z1 z2 arg z1 z2 .
Geometricamente, podemos representar o módulo do número complexo
z1 z2 r1 r2 por:
168
ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 i senθ2 i senθ1 cos θ2 i 2 senθ1 senθ2 ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 i senθ2 i sen‚ 1 cos θ2 senθ1 senθ2 UNICESUMAR
z1z2
y
z2
θ1
z1
θ1 θ2
O
x
Figura 3 – Representação geométrica do módulo do número complexo z1 z2 / Fonte: o autor.
Observação: em particular, quando um número complexo z é multiplicado por
i , significa realizar, no ponto que representa o número complexo z , uma rotação
positiva de
p
rad = 90º .
2
Divisão de números complexos
Da mesma forma que podemos fazer a multiplicação de números complexos sob
a ótica trigonométrica, o mesmo processo pode ser feito para a divisão.
Sejam z1 ρ1 cos θ1 i senθ1 e z2 ρ2 cos θ2 i senθ2 com ri ≠ 0 .
Fazendo a divisão, obtemos:
w
z1 ρ1
cos θ1 θ2 i sen θ1 θ2 .
z2 ρ2 De fato, para demonstrarmos esse resultado, devemos mostrar que, ao multiplicar w por z2 , obtém-se z1 :
169
UNIDADE 5
ρ1
ρ2
w z2
cos θ1 θ2
i sen θ1 θ2
z2
ρ2 cos θ2 i senθ2
Já aprendemos como é feita a multiplicação entre dois números complexos. Logo, temos:
w z2 ρ1
ρ2 cos θ1 θ2 θ2 i sen θ1 θ2 θ2 ρ2
ρ1 cos θ1 i senθ1 z1
Portanto:
z1 ρ1
z
ρ
cos θ1 1 θ2 1 i sen
θ1 θ1 θ2θ2 i sen θ1 θ2 .
cos
z2 ρ2
z2 ρ2 z Observação: note que arg 1 arg z1 arg z2 .
z2 Potenciação de números complexos (De Moivre)
Dado o número complexo z p cos q i senq não nulo e um número inteiro
n , temos:
z n ρ n cos n θ i sen n θ .
De fato, provaremos em três etapas:
1. Para n = 0 ou n = 1 . A fórmula segue de maneira intuitiva:
z 0 ρ 0 cos 0 θ i sen 0 θ ■
170
1 cos 0 i sen0 1 1
1
UNICESUMAR
z1 ρ1 cos 1 θ i sen 1 θ ■
ρ cos θ i senθ z
2. Para n inteiro maior do que 1 . Decorre, diretamente, sobre a multiplicação de números complexos exibida:
z n z
z
z
ρ
ρ
ρ
cos
θ
θ
θ
sen
θ
θ
θ
i
n fatores
n fatores n fatores n fatores ρ n cos n θ i sen n θ *
3. Para n negativo. Vejamos: seja n m , com m  :
z n ρ cos θ i senθ ρ cos θ i senθ n
m
1
ρ cos θ i senθ 1
m
zm
1
ρ m cos m θ i sen m θ Sabemos que cos 0 i sen0 1 . Logo:
171
UNIDADE 5
cos 0 i sen0 ρ cos m θ i sen m θ cos 0 i sen0 1
m
ρ cos m θ i sen m θ m
1
ρm
cos 0 m θ i sen 0 m θ ρ m cos m θ i sen m θ ρ n cos n θ i sen n θ 4
Exemplo 12: dado o número complexo z 3 i , calcule z .
=
a
Sabemos que
=
3, b i e r 2
3 11 4 2 . Assim:
a
3
π
ρ
2 θ rad 30”
6
b 1 senθ ρ 2 cos θ Logo, temos:
z 4 24 cos 4 30º i sen 4 30º 16 cos 120º i sen 120º 1
3
16 i 2 2
8 8 3i
Radiciação de números complexos
Seja z ρ cos θ i senθ , z 0 , queremos calcular:
n
172
z n ρ cos θ i senθ ,
O problema de calcular a raiz n-ésima de um número complexo z se dá na
resolução da equação:
UNICESUMAR
Em que n ∈  tal que n ≥ 2 .
wn z n z w .
Fazendo w ω cos ϕ i senϕ , temos:
n
ω cos ϕ i senϕ ρ cos θ i senθ .
Utilizando a fórmula de De Moivre:
wn ω n cos n ϕ i sen n ϕ ρ cos θ i senθ Pelo fato de que números complexos iguais possuem módulos iguais e argumenn
tos congruentes, sabe-se que: ω = ρ e n ϕ θ 2k π, k  .
Então:
ω=nρ e ϕ
Logo:
θ 2k π θ 2k π
.
n
n
n
w ω cos ϕ i senϕ θ 2k π θ 2k π n ρ cos .
i sen n n Portanto:
w n z
θ 2k π θ 2k π n ρ cos i sen .
n n 173
UNIDADE 5
Assim, é possível calcular n raízes distintas para z . Para tanto, basta fazer
k 0, 1, 2, 3,  , n 1 , pois, a partir disso, elas se repetem. Vejamos:
■ k 0j 0
, ( j é argumento de w );
n
■ k 1ϕ θ 2π
n n
■ k 2ϕ θ 4π
n n

■ k n 1 ϕ θ 2(n 1)π
.
n
n
Note que esses valores de j não são congruentes, pois estão todos no intervalo 0, 2p . Isso quer dizer que dão origem a n valores distintos para w .
Exemplo 13: calcule
z , quando z 1 .
2
De fato, n 2, k 0.1, a 1 e b = 0 . Então, sabemos que r (1) 0 1 .
Logo:
a 1
1
ρ 1
θ πrad 180”.
b 0
senθ 0 ρ 1
cos θ Ou seja:
p 2k p p 2k p w 1 cos i sen 2 2 Portanto, temos:
174
p
p k 0 w0 1 cos i sen 1 0 i 1 i .
2 2
UNICESUMAR
Para
Para
p
p
k 1 w1 1 cos p i sen p 2
2
3p 3p 1 cos i sen 2 2 1 0 i 1 i
Assim, as raízes quadradas de z 1 são i e −i .
conecte-se
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista ao vídeo no QRCode, o
qual apresenta a resolução desse problema.
explorando Ideias
Você conhece a fórmula de Euler? Ela é, talvez, uma das fórmulas matemáticas mais conhecidas e é considerada a mais bela por muitos. A Fórmula de Euler, ou Identidade de
Euler, reúne os possíveis cinco números mais importantes da matemática:
Isso tudo em uma simples igualdade:
0, 1, i, e, π.
eiπ +1 = 0
A demonstração dessa fórmula pode ser acessada no link a seguir: https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html.
Fonte: o autor.
175
UNIDADE 5
176
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, tratamos um pouco sobre os números complexos. Entretanto por que devemos estudar tais números e passar esse conhecimento adiante?
Por mais de 2500 anos, matemáticos foram obcecados em obter as raízes
de equações polinomiais. Essa luta para encontrar as raízes de equações cada
vez mais complicadas é uma das grandes vitórias do pensamento humano.
Durante os primeiros anos dessa “batalha”, se matemáticos, no processo de resolução de uma equação, chegassem ao ponto que envolvesse a raiz quadrada
de um número negativo, tal pessoa simplesmente pararia o seu cálculo, pois tal
expressão não tinha sentido.
Após anos de muito estudo, as definições e as propriedades necessárias foram
completadas e, agora, temos a solução para as equações que produzem raízes
quadradas de números negativos, além de várias outras aplicações para os números complexos, principalmente, no eletromagnetismo. Sendo assim, definimos o
conceito de número complexo no nosso livro, por meio da apresentação de suas
características principais e das suas várias formas de representação.
Começamos a unidade, identificando um número complexo sob a forma de
um par ordenado. Posteriormente, apresentou-se a sua forma mais usual, a forma
algébrica, por meio da exposição da característica fundamental dos números
complexos: a unidade imaginária. A partir desse momento, apresentaram-se operações entre números complexos e a ideia de conjugado de um número complexo
e as propriedades da potenciação da unidade imaginária.
Ao apresentar a representação geométrica dos números complexos no plano
complexo ou Argang-Gauss, introduziu-se o conceito de módulo e argumento, definições importantes para as propriedades vindouras. Novamente, foram
expostas as operações entre números complexos sob a forma geométrica. Para
finalizar a unidade, ensinou-se a representação trigonométrica dos números
complexos, introduzindo as propriedades de potenciação (De Moivre) e a radiciação de números complexos.
Embora esse assunto seja tratado com “medo” pelos professores ao transpô-lo
aos seus alunos, é importante perceber que suas propriedades são de fácil compreensão e que, às vezes, é melhor tratá-lo com mais esmero, a fim de captar a
atenção dos discentes.
na prática
1. Encontre as raízes da equação
2. Exiba o número complexo
2 z 2 8 z 16 0, z  .
z 1 3i
na forma de par ordenado, na forma geo-
métrica e na forma trigonométrica.
3. Calcule as seguintes potências de i:
a)
i 33 .
b)
i 999 .
4. Determine o conjugado dos seguintes números complexos:
a)
1− i
.
i
b)
1 2i
.
2i
5. Determine o valor real de
a
para que o número complexo
seja um imaginário puro.
6. Determine o valor real de
b
para que o número complexo
um número real.
177
7a
z 12 2i
31
b
z 5 3i
3
seja
na prática
7. Seja z1
2i
e z2
2 3i , calcule z1 + z2
8. Determine
i 0 + i1 + i 2 + i 3 +  + i 2015 .
9. Para todo
z ∈  , mostre que:
a)
z z 2 Re( z ) .
b)
z z  .
e z1 ⋅ z2 .
10. Calcule as seguintes potências, utilizando a regra de De Moivre:
a)
1 i 4 .
b)
1 3i .
3
178
aprimore-se
Quando um professor entra na sala de aula e diz que iniciará o estudo dos números
complexos, os alunos pensam que são números, no mínimo, muito complicados. Ao
saber que também existem números chamados de imaginários, os alunos dirão que
tais números, por serem imaginários, não existem. Portanto, para que estudá-los?
Resolver equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da
história. Os matemáticos antigos da Babilônia já conseguiam resolver algumas equações do 2º grau baseados no que, hoje, chamamos de “completamento de quadrado”.
Os matemáticos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matemática, resolviam alguns tipos de equações do 2º grau com régua e
compasso. A conquista da Grécia por Roma praticamente acabou com o domínio da
matemática grega. Com o fim do Império Romano e a ascensão do cristianismo, a
Europa entrou na Idade das Trevas e o desenvolvimento da matemática ficou nas
mãos dos árabes e dos hindus.
Os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em álgebra e Bháskara é o
nome que imediatamente vem à nossa memória quando falamos de equações do
2º grau. Dependendo da equação, poderia acontecer que o número ∆ = b²−4ac fosse
negativo. Entretanto, isso não perturbava muito os matemáticos da época. Nesse
caso, eles simplesmente diziam que o problema não tinha solução.
A Aritmética e a Geometria tiveram origens independentes, mas, com o tempo,
foram sendo descobertas relações entre números e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas para definir posições de pontos no plano e no espaço já havia
sido utilizada no século III a.C. por Apolônio, em seus trabalhos sobre secções cônicas.
No entanto, foi na primeira metade do século XVII que os geniais matemáticos franceses, Pierre de Fermata e René Descartes, inventaram, independentemente e quase
simultaneamente, o que, hoje, conhecemos por Geometria Analítica. Fermat não se
preocupou em publicar suas ideias, ao contrário de Descartes, que, no apêndice de
seu mais famoso livro Discurso Sobre o Método de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar a
Verdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que é considerado a pedra fundamental da Geometria Analítica.
179
aprimore-se
Com o domínio da Geometria Analítica, Descartes estudou, entre outras coisas,
as equações algébricas. Em uma passagem do Discurso do Método, Descartes escreveu a seguinte frase: “nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes, elas são imaginárias”.
Por esse motivo, até hoje o número
é chamado de número imaginário, ter-
mo que se consagrou juntamente com a expressão “número complexo”. Infelizmente, são designações um tanto inadequadas e subjetivas para objetos matemáticos.
Depois de Bombelli, em 1530, outros personagens importantes da história da
matemática deram contribuições ao desenvolvimento da teoria dos números complexos, dentre os quais estão o matemático francês Abraham De Moivre, amigo de
Isaac Newton, e os irmãos Jacques e Jean Bernoulli. Todavia, quem fez o trabalho
mais importante e decisivo sobre o assunto foi Euler.
Fonte: Cerri e Monteiro (2001).
180
eu recomendo!
livro
Trigonometria – Números Complexos
Autor: Manfredo Perdigão do Carmo, Augusto César Morgado e
Eduardo Wagner
Editora: SBM
Sinopse: este livro é um texto de apoio utilizado nos cursos de
aperfeiçoamento para professores de Matemática do segundo
grau, um programa organizado pelo Instituto de Matemática
Pura e Aplicada (IMPA), com patrocínio de VITAE, Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social. Assim, a obra apresenta elementos de trigonometria e de números
complexos, dando destaque às relações naturais entre esses tópicos.
181
181
conclusão
conclusãogeral
geral
conclusão
conclusão
geral
geral
Caro(a) aluno(a), neste material, você teve contato com alguns dos conteúdos já
vistos na Educação Básica. No entanto a percepção desses assuntos, em muitos
casos, diferiu-se daquele nível de ensino, tendo em vista que este material foi preparado, especialmente, para você que está cursando licenciatura em Matemática.
Para isso, deu-se atenção redobrada nas demonstrações das fórmulas e das propriedades que contribuem para o resgate da origem dos conteúdos e possibilitam
a sua compreensão plena.
Outra preocupação foi com o uso de linguagem de fácil compreensão, para facilitar o estudo daqueles que buscam novos conhecimentos. Esse fato não isenta
a responsabilidade dos autores, quanto à escolha dos conteúdos e da forma de
apresentá-los, tendo em vista que o uso da linguagem de fácil compreensão não
pode prejudicar a qualidade de ensino, mas deve contribuir para melhor assimilação dos conteúdos, inclusive, por aqueles que, ainda, não estão familiarizados
com termos específicos da disciplina de Matemática. Assim, mesmo com o olhar
um pouco diferente do tradicional, isto é, do tecnicista, assegurou-se a qualidade
de ensino que devemos oferecer para aqueles que sacrificam seu precioso tempo
em busca de novos horizontes.
Além disso, várias observações feitas, ao longo do desenvolvimento deste material, poderão ser levadas, inclusive, aos alunos da Educação Básica. Assim, é importante compreender a validade de algumas fórmulas e as suas propriedades, para
que possa mostra-las aos alunos, pois você, se ainda não é, será professor(a) de
Matemática. Outra sugestão é a construção de sua linha de raciocínio que ajudará
em sua formação acadêmica e em sua preparação profissional.
Esperamos ter correspondido a sua expectativa e ter contribuído para lhe aproximar da concretização do sonho em adquirir conhecimentos suficientes para assumir uma sala de aula e em conquistar o título de licenciado(a) em Matemática pela
conceituada Unicesumar.
182
182
referências
CARMO, M. P. do; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. Trigonometria: números complexos. 5. ed.
Rio de Janeiro: SBM, 2001.
CERRI, C.; MONTEIRO, M. S. História dos Números Complexos. São Paulo: Instituto de Matemática e Estatística da USP, 2001. E-book (13 p.). Disponível em: ime.usp.br/~martha/caem/
complexos.pdf. Acesso em: 1 abr. 2020.
DIAS, N. L. Pequena introdução aos números. Curitiba: Intersaberes: 2014.
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: trigonometria. 9. ed. Rio de Janeiro: Atual,
2013.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
LIMA, E. L. Números e funções reais. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
COSTA, N. M. L. da. A História da Trigonometria. Educação Matemática em Revista, São Paulo,
p. 60-69, 1 mar. 2003.
MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; ZANI, S. C. Progressões e Matemática Financeira. 3. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2005.
OLIVEIRA, D. P. A.; VIANA, M. da C. V.; ROSA, M. Um pouco da história das funções: algumas
sugestões de atividades práticas para a sala de aula. Bolema, Rio Claro, v. 27, n. 46, p. 513529, ago. 2013.
ROLKOUSKI, E. Tecnologias no ensino de matemática. Curitiba: Intersaberes, 2013.
VIOTTO, V. M. Nem só álgebra, nem só aritmética. Revista Professor de Matemática, Dois
Córregos, v. 16, 1990. Disponível em: http://rpm.org.br/cdrpm/16/8.htm. Acesso em: 25 mar.
2020.
ZANELLA, I. A.; ZANELLA, M. S. Introdução ao Cálculo. Maringá: Unicesumar, 2016.
REFERÊNCIAS ON-LINE:
¹Em: mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/historia-das-equacoes.htm. Acesso em: 24
mar. 2020.
183
gabarito
UNIDADE 1
1. Alternativa D.
I. Falso. Tome, por exemplo,
p ( x) x3 x
e
q ( x) x3 x2 , que possuem grau
3 . Assim, temos p ( x) q ( x) x3 x x3 x2 x2 x , que possui grau 2 .
II. Falso. Pode-se utilizar o mesmo exemplo do item anterior.
III. Verdadeiro.
IV. Verdadeiro.
2. Alternativa B.
I. Verdadeiro.
II. Falso. Podem-se obter soluções com nenhuma raiz real.
III. Verdadeiro.
IV. Verdadeiro.
3. Alternativa D.
4.
Pelo fato de que, anteriormente, os lados mediam
3
e
5
metros, e ambos foram
aumentados igualmente, podemos dizer que o aumento mediu
palavras, ou novos lados medem
3+ x
e
Como sabemos que a nova área é igual a
x
5 + x , respectivamente.
metros. Em outras
35 , obtemos a seguinte equação:
(3 x) (5 x) 35
15 3 x 5 x x2 35
x2 8 x 20 0
Encaremos as raízes dessa equação, utilizando a Fórmula de Bháskara. Para isso, temos:
184
gabarito
x
8 82 4 1 20 2
8 64 80
2
8 144
2
8 12
2
8 12 4
x1 2 2 2
x 8 12 20 10
2
2
2
No entanto, como tratamos de medidas, não podemos utilizar a raiz
tanto, temos
x = 2 , ou seja, os lados aumentaram em 2
metros.
x2 10 . Por-
5. A taxa inicial é o nosso termo independente e o valor a cada quilômetro é multiplicado pela variável, que mede exatamente a quilometragem percorrida. Logo, a equação
é dada por:
4 0, 75 x 50
x e de meias-entradas por y .
R$5985, 00 , isto é:
6. Vamos denotar a quantidade de ingressos inteiros por
Assim, sabemos que o total arrecadado foi de
18 x 9 y 5985
Além disso, sabemos que, no total, foram vendidos
380
ingressos. Em outras pala-
vras, todos os ingressos de entrada inteira somados com todos os ingressos de meia-entrada são
380 , isto é:
x y 380 .
Assim, obtemos o sistema:
18 x 9 y 5985
x y 380
185
gabarito
Assim,
x na segunda equação e substituindo na primeira, temos y = 95 .
x = 285 . Portanto, foram vendidas 285 entradas inteiras e 95 meias-entradas.
x
o comprimento da cerca, sabemos que o perímetro de um retângulo é dado
Isolando a variável
7. Seja
por:
2 ⋅ largura + 2 ⋅ Comprimento . Se a cerca tem 20 m de largura e sabemos que o
perímetro deve ter, pelo menos,
180
m, temos:
2 x 2 20 180
2 x 40 180
2 x 40 40 180 40
2 x 140
1
1
2 x 140 2
2
x 70
Portanto, a cerca deve ter comprimento maior ou igual a
8. Queremos saber quando (ou seja, o tempo
e
64
70 m.
t ) a velocidade do objeto estará entre 32
32 e
metros por segundo, ou seja, quando a velocidade será maior do que
menor do que
64 . Como temos a fórmula da velocidade, temos:
32 80 32t 64
32 80 32t 64 80
1 32 1 1 1 48 32t 16 32 32 32 1, 5 t 0, 5
48 32t 16
Assim, constatamos que o objeto estará entre 32 e 64 metros por segundo entre 0,5
segundo e 1,5 segundos depois do lançamento.
186
gabarito
9. Vamos denotar de
de Saúde e de
foram
60
S
P
a quantidade de vacinas contra Pólio dadas pela Secretaria
a quantidade de vacinas contra Sarampo. Sabemos que, no total,
vacinas, logo, temos a nossa primeira equação:
sabemos que cada vacina de Pólio são
doses, e que, no total, foram dadas
184
4
P S 60 . Além disso,
2
doses e cada vacina de Sarampo são
doses. Isso nos dá a nossa segunda equação
e podemos escrever nosso sistema de equações:
P S 60
4 P 2 S 184
Para resolver esse sistema, vamos isolar
P
na primeira equação e substituí-lo na segunda:
P S 60
P 60 S
4 P 2 S 184
4 60 S 2 S 184
240 4 S 2 S 184
2 S 56
S 28
Assim, substituindo esse valor na primeira equação, constatamos que foram realizadas
28
vacinas contra Sarampo e
32
vacinas contra Pólio nessa Secretaria de Saúde.
10. Como temos um produto entre dois termos menor do que
0,
precisamos
analisar os sinais de seus termos, tais que possuam sinais contrários. Isto é:
3 x 6 0 e 5x-7<0
ou
3 x 6 0 e 5x-7<0 .
Analisando o primeiro caso, temos:
3 x 6 0 3 x 6
1
3
1
1
3 x 6 3
3
x2
187
gabarito
e
1
5
5x 7 0 5x 7
1
1
5x 7 5
5
7
x
5
Assim, para o primeiro caso, a solução é a interseção desses intervalos. Isto é:
7
7
, , 2 , 5
5
Agora, precisamos analisar o segundo caso. Temos:
3 x 6 0 3 x 6
1
3
1
1
3 x 6 3
3
x2
e
5x 7 0 5x 7
1
5
1
1
5x 7 5
5
7
x
5
Assim, para o segundo caso, a solução é a interseção desses intervalos. Isto é:
7 , 2, 2, .
5 188
gabarito
Para finalizar, precisamos unir as duas possibilidades. Portanto, o conjunto solução da
inequação é:
7
7
S x  | x ou x 2 , 5
5
2, UNIDADE 2
1.
a.
10
2x
b.
x +1
3x
em que
x≠0.
c.
x
x +1
em que
x 1 .
em que
x≠0.
2.
a.
O denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
x 1 0
x 1
b.
O denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
2x 6 0
2 x 6
6
x
2
x 3
189
gabarito
c.
O denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
x2 1 0
x2 1
x 1
x 1 e x 1
d.
O denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
x y 0
x y
3.
a.
x 1 y 1 y
.
x 1 z 1 z
b.
A fração é irredutível, portanto, não é possível simplificar.
c.
2 y y 5
2y .
y 5
2 2
2
ab+bb2) aabb a b a b a b(a2 - b)a.a(ab2b+a ab
d.
.
2
2
aa a b a a2 ab b2 a a2 aab
a bb a b
a
4. Sabemos que a região retangular é dada da forma:
2/y
190
x/y
gabarito
Assim, o perímetro pode ser representado da forma:
x 2 x 2 x 2 x 2 2x 4
.
y y y y
y
y
Por fim, a área pode ser apresentada da forma:
x 2 2x
y y y2
.
5.
a.
60
8 x 15 x
20 x 20 x 20 x
60 8 x 15 x
8 x 15 x 60
7 x 60
60
4
4
x
ou x 8 ou x 8
7
7
7
2
1
x 2
2
x 2
x 2 x 2
x 2 x 2
x 2 x 2
b.
2 x 2
x 22
x0
191
gabarito
1
2
3
x 3 x 3 x 3 x 3
3 x 3
x 3 2
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
c.
x 3 2 3x 9
x 3x 2 9 3
2 x 10
10
x
2
x5
6.
1 1 1
9 x 4
4x
36
9x
36 x 36 x 36 x
4 x 36 9 x
4 x 9 x 36
5 x 36
36
1
x h ou x 7 h ou x 7h e 12 min
5
5
UNIDADE 3
1. Alternativa E.
( V ) Utilizando a Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
sen 2 a cos2 a 1
sen 2 a cos2 a cos 2± 1 cos 2±
sen 2 a 1 cos2 a
192
gabarito
(V)
1
cos a
sec a cos a 1
1
cos a sec a
(V)
cotg a sec a 2. Sabemos que
1
1
1 cos a cos a
.
tg a sen a 1 sen a sen a
cos a
h 2 5 cm e que c1 2 c2 . Logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h2 c12 c22
2 5
2
2 c2 c22
2
4 5 4 c22 c22
20 5 c22
c22 20
5
c2 4
c2 2 cm
Portanto,
c1 2 c2 c1 4 cm.
3. Sabemos que, pela Lei dos Senos, temos:
AC
BC
.

sen ABC
sen B AC
Assim:
193
gabarito
AC
sen 30º
AC
1
2
6
sen 45º
6
2
2
1
6
AC 2
2
2
3
AC 2
2
2
2
AC 3 2 2
AC 3 2 cm
4. A transformação de quadrado para losango ocorre da seguinte forma:
D
D
D
C
8 cm
A
8 cm
60°
A
C
A
E
B
B
194
8 cm 30°
B
C
gabarito
Sabemos que a área de um losango é dada por
d1 = AC , d2 = BD
x
são suas diagonais. Então, se=
AL d1 d2
2
, em que
d1
d
y DE
= 2
e=
2
2
AE
=
,
fazendo os procedimentos mostrados na figura, temos:
sen 30º x
1 x
x 4.
8
2 8
e
cos 30º Portanto, sabemos que
3 y
y
y 4 3 .
8
2
8
d1 2 x d1 8
AL e
d2 2 y d2 8 3 . Assim, temos:
88 3
2
32 3 cm2
5. Primeiramente, construiremos a altura
CD
em relação à base
AB ,
assim como
demonstra a figura a seguir:
C
h
45° x cm
A
(21-x) cm
21 cm
30°
B
195
gabarito
Sabemos que
tg a =
Cateto Oposto
, logo, temos:
Cateto Adjacente
tg 45º I.
tg 30º II.
h
h
1 x h;
x
x
h
h
3
21 x
3 21 x
3h
21 x
3
3h 3
21 x
3 3
x 21 3 h
Dessa forma, como
h=x
e
x 21 3 h , temos:
h 21 3 h
h 3 h 21
h 1, 731 h 21
2, 731 h 21
h 7, 69 cm
Logo, resta-nos calcular a área, a qual é dada por:
A
196
Base h 21 7, 69
80, 74 cm2 .
2
2
gabarito
6.
1º.
Por meio do Teorema de Pitágoras, considere o triângulo equilátero a seguir:
C
l
h
l
2
A
D
B
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
l
l h 2
2
2
h2 l 2 l2
4
3l 2
4
3l 2
4
h
2
l 3
.
2
Logo, a área do triângulo é dada por:
l h
A
2
l
l 3
2
2 l 3.
2
4
197
gabarito
2º.
Por meio da razão trigonométrica, considere o triângulo a seguir:
C
l
h
60°
l
2
A
Sabemos que
sen a =
D
Cateto Oposto
. Logo, temos:
Hipotenusa
sen 60º h
3 h
l 3
h
.
l
2
l
2
Portanto, a área do triângulo é dada por:
A
l h
2
l
l 3
2
2 l 3.
2
4
7. Alternativa C.
(V)
198
B
1
1
1 cos a
cotg a
tg a sen a 1 sen a
cos a
gabarito
(F)
1
= cossec a
sen a
( F ) Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos:
sen 2 a cos2 a 1
Multiplicando todos os termos por
sen 2 a
2
sen a
1
sen 2 a
, temos:
cos2 a
2
sen a
1
sen 2 a
1 cotg 2a cossec 2a
Por outro lado, novamente, partindo da Relação Fundamental da Trigonometria, agora, multiplicando todos os termos por
sen 2 a
cos2 a
1
cos2 a
cos2 a
cos2 a
, temos:
1
cos2 a
tg 2a 1 sec 2a
Portanto:
sec2 a cossec 2a cotg 2a tg 2a 2.
(V)
cotg a 1
1
1 cos a cos a
.
a
sen
tg a
1 sen a sen a
cos a
199
gabarito
8. Pelo fato de que
sen 2 a cos2 a 1 , ao multiplicar todos os termos por
temos:
sen 2 a
2
cos a
cos2 a
2
cos a
1
cos2 a
tg 2a 1 sec 2a
tg 2a sec2 a 1
9. Alternativa B.
I.
Errado:
sen a 0 tg a 0 II.
3º ou 4º quadrantes.
3º quadrante.
Correto:
cos b 0 1º ou 4º quadrantes.
cotg b 0 III.
1º ou 3º quadrantes.
Errado:
sec g 0 1º ou 4º quadrantes.
cossec g 0 1º ou 2º quadrantes.
10. Visualizando o esquema, temos o seguinte triângulo retângulo:
200
1
cos2 a
,
gabarito
h
60°
30°
50 m
Sabemos que
tg a =
x
Cateto Oposto
. Logo:
Cateto Adjacente
tg30º h
50 x
3
h
3 50 x
3
50 x h
3
50 3
3x
h
3
3
3x
50 3
h
3
3
50 3 3
x h 3 3
x
3h 50 3
3
Por outro lado, temos:
201
gabarito
tg 60º h
x
h
x
3
h
x
3
A partir disso:
h 3h 50 3
3
3
h 3h 50 3
h 25 3
Agora, precisamos lembrar que a pessoa tem
3
metros de altura e, por isso, preci-
samos somar esse valor à altura encontrada. Portanto, a altura do prédio é:
H 25 3 3 26 3 m.
UNIDADE 4
1.
I.
33, 16,1 , 18, .
Fazendo
16 33 17, 1 16 17, 18 1 17 .
uma PA de razão
202
r = 17 .
Portanto, trata-se de
gabarito
II.
1 1 23
1
1 1 1 1 , , , , . Note que 3 2
6
6
2 3 4 5 e
1 1 34
1
. As4 3
12
12
sim, podemos afirmar que não se trata de uma PA.
III.
141,137,133,129 .
Fazendo
137 141 4, 133 137 4, 129 133 4 . Portanto, tratar 4 .
-se de uma PA de razão
IV.
1, 2, 4, 7 . Note que 2 1 1 , mas 4 2 2 . Logo, não se trata de uma PA.
2. Se uma PA possui
21
termos, existem
somada ao primeiro termo
3. Sabemos que
20
20
termos após o primeiro, ou seja, a razão é
vezes, e não
21 vezes assim como foi feito.
an a1 (n 1) r . Assim, temos:
an 7 (n 1) 3
7 3n 3
an 3n 4
Agora, também sabemos que a soma dos
S
n
primeiros termos de uma PA é dada por:
(a1 an )
n .
2
Substituiremos o valor de na fórmula da soma dos termos:
203
gabarito
Sn a1 3n 4 n
2
7 3n 4 n
205 2
410 3n2 11n
3n2 111n 410 0
Resolveremos essa equação do segundo grau por meio da Bháskara:
n
b b2 4 ac
2a
11 121 4 3 410 23
11 50441
6
11 71
n
6
60
n1 6 10;
n 82
2
6
Contudo, como não podemos ter uma quantidade de termos negativos, sabemos
que
n = 10 . Portanto, an 3n 4 an 3 10 4 a n = 34 .
=
n
4. Sabemos que
7
204
7=
, a1 80, a7 = 50 . A partir disso, constatamos que a soma dos
primeiros termos da PA é dada por:
gabarito
S7 a1 a7 7
2
80 50 7
2
455.
Agora, se são
7
pedaços, são necessários
corte, no total, são perdidos
neira deve ser
5.
6
cortes e como se perde
0, 5 cm em cada
6 0, 5 3 cm. Portanto, o comprimento mínimo da ma-
455 3 458 cm.
De fato, sejam
a1 x 4, a2 2 x 7
e
a3 4 x 6 . Agora, para que esses valo-
res formem uma PA, sua razão deve ser:
r1 a2 a1 2 x 7 ( x 4) x 3
r2 a3 a2 4 x 6 (22 x 7) 2 x 1
Mas sabemos que r1
= r2 .
x 3 2x 1
x4
Logo, temos:
Portanto:
a1 = 4 + 4 = 8;
a2 = 2 × 4 + 7 = 15;
a3 = 4 × 4 + 6 = 22.
Logo, trata-se de uma sequência com primeiro termo igual a
8
e razão
r =7.
205
gabarito
6. De fato, sejam
an1 50 x 4, an 10 x2 4
e
an1 52 x 2 . Agora, para que
esses valores formem uma PA, sua razão deve ser:
r1 an an1 10 x2 4 (50 x 4) 10 x2 50 x 8
r2 an1 an 52 x 2 (10 x2 4) 10 x2 52 x 2.
Todavia, sabemos que r1
= r2 . Logo, temos:
10 x2 50 x 8 10 x2 52 x 2
20 x2 102 x 10 0
1
2
10 x2 51x 5 0
Resolveremos essa equação do segundo grau por meio da Bháskara:
b b2 4 ac
2a
51 2601 4 10 (5)
2 10
51 2401
20
51 49
x
20
100
x1 20 5;
x 2 1 .
2 20 10
x
1
. Substituiremos esses valores nos an ' s
10
para encontrar a sua razão. Assim, substituindo primeiramente x1 , temos:
Logo, obtivemos as raízes
206
x1 = 5
e
x2 =
gabarito
r1 an an1 10 x2 50 x 8 r1 10 52 50 5 8 8
Agora, para
x2 , temos:
r2 an an1 10 x2 50 x 8
2
1
1
r 2 10 50 8
10 10 1
r2 5 8
10
1 50 80
10
31
10
Note que
r2 =
31
10
não é um número natural, então, não obedece à hipótese do
problema. Portanto, a razão é
r =8.
7.
I.
II.
256, 128, 64, 32, . Note que:
128
1
64
1 32
1
1
;
;
. Portanto, trata-se de uma PG de razão q .
256
2 128
2 64
2
2
1 1 1 1 , , , , .
2 3 4 5 disso, como
1
Note que
3 12 2
,
1
3 1 3
2
1
mas
2 3
≠ , é sabível que não se trata de uma PG.
3 4
4 13 3
.
1
4 1 4
3
Além
207
gabarito
III.
6,12, 24, 36 . Note que
12
36 3
= 2 , porém
= . Logo, como existem razões
6
24 2
diferentes, não se trata de uma PG.
IV.
1 1 1 1 , , , . Note que:
3 9 27 81 1
9 13 1;
1
9 1 3
3
uma PG de razão
1
1
27 1 9 1 ;
81 1 27 1
. Portanto, trata-se de
1
27 1 3 1
81 1 3
9
27
q=
1
.
3
8. Primeiramente, descobriremos qual é o termo
an a1 q
n 1
a5 .
Para isso, sabemos que
. Assim, temos:
a5 5 251
a5 5 16
80.
Agora, encontraremos a soma dos
10
Sn S10 S10
primeiros termos da PG:
a1 1 q n
1 q
5 1 210
208
1 2
5 1 1024 S10 5115
Portanto,
S10 a5 5115 80 5035
gabarito
9. Note que os números múltiplos de
4
formam a seguinte PA:
4, 8, , 85964, 85968 Isto é, podemos notar que a razão é dada por:
sabemos que o primeiro termo é
zão é
an an1 4 . Em outras palavras,
a1 = 4 , o último termo é an = 85968
e que a ra-
r = 4 . Logo, basta utilizarmos a fórmula do termo geral:
an a1 n 1 r
85968 4 n 1 4
85968 4 4 n 4
859968
n
4
n 21492
10. Para calcular o termo seguinte de uma PG, basta multiplicar o termo anterior pela
razão da PG. Portanto, para calcular dois termos a frente, basta multiplicar pelo quadrado da razão e, para calcular três termos a frente, basta multiplicarmos pelo cubo
da razão. Logo, se a PG é dada por
a1 , a2 ,10, a4 , a5 , 80 , temos:
a6 a3 q3
80 10 q3
q3 8
q 2.
209
gabarito
UNIDADE 5
1. Resolveremos a equação, utilizando a Fórmula de Bháskara. Assim:
z
b b2 4 ac
2a
8 82 4 2 16
22
8 64 128
4
8 64
4
8 64 (1)
4
8 64 i 2
4
8 8i
4
8 8i
z1 4 2 2i
z 8 8i 2 2i
2
4
2. Primeiramente, se
z 1 3i , sabemos que, escrito na forma de par ordenado,
esse número é dado por:
z 1, 3
.
Na forma geométrica, é dado assim como mostra a imagem a seguir:
210
gabarito
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
z1 = -1 - 1.73i
-2
-3
Para escrevermos na forma trigonométrica, precisamos encontrar o módulo e o argumento. Dessa forma, temos:
r
12 3
2
4 2
e
cos θ
senθ
a
ρ
-
b
ρ
3
2
1
2
θ
4π
rad
3
240”
z ρ cos θ i senθ 2 cos 240º i sen 240º .
211
gabarito
3.
a.
33 por 4 . Efetuando essa divisão, sabemos
33 4 8 1 , isto é, a divisão possui resto 1 . Logo, temos:
Primeiramente, precisamos dividir
que
i 33= i1= i .
b.
Efetuaremos a divisão de
999
por
4 . Assim, obtemos 999 4 249 3 . 3 e, portanto:
Logo, sabemos que a divisão possui resto
i 999 i 3 i 2 i 1 i i .
4.
a.
1 i i 1 i i i i 2 i 1
i 1
i 1 .
2
2
i i
(1)
1
i
i
b.
1 2i (2 i ) (1 2i ) (2 i ) 2 i 4i 2i 2 2 5i 2 5i
i.
2 i (2 i ) (2 i ) (2 i )
4 (1) 5
4 i2
5. Basta fazermos
Re( z ) = 0 . Assim, temos:
7a
7a
372
12 0 12 7 a 31 12 a .
31
31
7
6. Basta fazermos
Im( z ) = 0 . Desse modo, temos:
b
b
3 0 3 b 6 .
2
2
212
gabarito
7. Note que
z1 2 i
e
z2 2 3i . Assim, temos:
z1 z2 2 i 2 3i 2 2 1 3 i
■
4 4i
z1 z2 2 i 2 3i 2 2 1 3 2 3 2 1 i
■
4 3 6 2 i
1 8i
8. Note que
i 0 i1 i 2 i 3 1+ i -1- i = 0
e mais:
i 4 i5 i6 i7 i3 i i2 i3 i3 i3 i2 i2 i3
i i 1 (i ) i (i ) 1 (1) (i ) 1 i 1 i
0
Dessa forma, notamos que, em grupos de
dividido por
4
sempre dá resto
2015 4 503 3 .
1
2
i i i  i
termos, a soma é
0
e o último termo
3 . Agora, note que dividindo 2015
por
4 , temos:
Portanto, sabemos que todos os elementos da soma podem
ser agrupados em grupos de
0
4
2015
4
termos, os quais possuirão soma igual a
0.
Logo,
0.
213
gabarito
9. Seja
z a bi
e
z a bi . Logo, temos Re( z ) = a
e
Im( z ) = b . Assim:
a.
a bi a bi a a b b i 2 a 2 Re( z )
b.
a bi a bi a2 abi abi b2i2 a2 b2 
10. A fórmula de De Moivre é dada por:
a.
z n ρ n cos n θ i sen n θ .
Primeiramente, precisamos calcular o módulo de
z , isto é:
r 12 12 2
a
1
2
2
ρ
2 2 2
π
θ rad 45”
4
b
2
2
1
senθ 2 ρ
2 2
cos θ Portanto, temos:
1 i 4 2
4
cos 4 45º i sen 4 45º 4 cos 180º i sen 180º 4 1 0 4
214
gabarito
b.
r (1)2 ( 3 )2 4 2
1
a
2
ρ
2π
rad 120”
θ 3
b
3
senθ ρ
2 cos θ Dessa forma, temos:
1 3i 3
23 cos 3 120º i sen 3 120º 8 cos 360º i sen 360º 8 1 0 8
215
anotações