Suponga que le preguntamos a cualquier
adulto que usa la app Tiktok si él/ella ha
publicado alguna vez un video en la app.
La respuesta puede ser SI o NO (Éxito o
Fracaso).
Podemos usar la Distribución Bernoulli
para modelar este escenario.
Distribución de Bernoulli ( el caso más simple de una Binomial )
Tiene sólo 2 posibles resultados, 1 (éxito) y 0 (fracaso) de un sólo ensayo.
1, con
probabilidad p
X=
1 siempre va asociado
con un evento de
riesgo
El éxito y fracaso no son
juicios de valor.
Cualquier resultado único
puede definirse como éxito.
0, con probabilidad
1-p
Es muy útil en varios escenarios:
Partes defectuosas de manufactura
Resultado de un examen médico.
Ahora extendamos esto a una encuesta de 25 adultos elegidos
aleatoriamente.
Podemos definir una variable aleatoria X la cual cuenta el número de
éxitos ( por ejemplo, el número de adultos que respondieron SI)
Por ejemplo x = 10 significa que 10 adultos respondieron SI.
Esta variable aleatoria X corresponde a una Distribución Binomial
con dos parámetros:
n= 25
p
probabilidad de postear un video
En varias situaciones un experimento
puede tener sólo dos posibles resultados éxito o fracaso.
Estos experimentos se pueden modelar
usando la Distribución de Probabilidad
Binomial.
La Distribución Bernoulli es un caso
especial de la Distribución Binomial con
un sólo ensayo.
n=1
Si X es una variable aleatoria binomial basada en n ensayos y con una
probabilidad de éxito p, entonces:
2
● x éxitos, cada uno con probabilidad p.
● Primer éxito con prob. p, segundo éxito con prob. p,...
● Si asumimos que todos los n ensayos son independientes,
entonces puedo multiplicar las probabilidades.
● Entonces p ⨯ p ⨯ p … x (equis) veces.
● ¿Podemos contar el número de formas en que puedo
escoger 10 personas que contestaron SI de n = 25 ?
x = 10
“ Combinación de n en x”
1. Cada ensayo es independiente de los otros
ensayos.
2. El número de ensayos n es fijo.
3. Hay dos posibles resultados (éxito o fracaso) para
cada ensayo.
4. La probabilidad p de un éxito es la misma en cada
ensayo.
En un mes de 30 días, ¿cuál es la probabilidad de que
llueva en más de 10 días, si en promedio el cambio a
lluvioso en un día dado es del 20% ?
Si asumimos que:
1.
2.
El evento de lluvia en un día particular es independiente de que llueva el día
anterior.
La probabilidad de lluvia no incrementa ni disminuye a lo largo de un mes.
Entonces podemos usar la Distribución Binomial con
n = 30
y
para calcular la probabilidad.
p = 0.2
Los supuestos 1 y 2 en el ejemplo no son estrictamente válidos,
pero permiten un cálculo directo que podría ser “suficientemente
bueno” para efectos prácticos.
“Todos los modelos están equivocados, pero algunos
modelos son útiles”
-George Box
El 80% de todos los visitantes del Museo Lavista acaban
comprando souvenirs en la tienda de souvenirs del Museo. El
próximo domingo, si se elige una muestra aleatoria de 10
visitantes:
1. Encuentre la probabilidad de que cada visitante termine
comprando en la tienda de souvenirs.
2. Encuentre la probabilidad de que un máximo de 7 visitantes
compren recuerdos de la tienda de recuerdos.
Comprobemos primero
distribución binomial.
si
satisfacemos
los
supuestos
de
la
1. Solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso) para cada
prueba: un visitante comprará recuerdos de la tienda de recuerdos
o no (sí o no).
2. El número de intentos (n) es fijo: hay 10 visitantes en la muestra.
3. Cada prueba es independiente de las otras pruebas. Es razonable
suponer que la actividad de compra de los visitantes es
independiente.
4. La probabilidad de éxito (p) es la misma para cada ensayo - La
probabilidad de éxito de cada visitante es 0.8.
~0.11
P(X=10)
~0.68
P(X≤7)
~0.11
~0.32
P(X>7)
~0.68
~0.11
~0.32
~0.68
~0.11
~0.32
~0.68
~0.11
~0.32
~0.68
~0.11
~0.32
~0.68
~0.11
~0.32
~0.68
~0.11
~0.32
Ejercicios HAESE:
1. 5% de los focos eléctricos están defectuosos en la fabricación. 6
focos se eligen aleatoriamente para probarse, con cada uno
siendo reemplazado después que el siguiente es elegido.
Determine la probabilidad de que:
a. 2 sean defectuosos
b. Por lo menos 1 sea defectuoso
2. Los registros muestran que 6% de los artículos ensamblados en
una línea de producción están defectuosos. Una muestra aleatoria de
12 artículos es seleccionada con reemplazo. Encuentre la probabilidad
de que:
a)
b)
c)
d)
Ninguno tenga defectos.
Máximo 1 tenga defectos.
Por lo menos 2 tengan defectos.
Menos de 4 tengan defectos.
3. El servicio de autobús local no tiene buena reputación. El autobús
de las 8 am llega tarde a la estación en promedio 2 días de cada 5.
Para cualquier semana del año tomada aleatoriamente, encuentre la
probabilidad de que el autobús de las 8 am llegue a tiempo:
a)
b)
c)
d)
Todos los 7 días.
Sólo los lunes.
En cualquier grupo de 6 días
Al menos 4 días.
4. En un examen de opción múltiple hay 10 preguntas. Cada pregunta
tiene 5 opciones, una de las cuales es correcta. Raj sabe
absolutamente nada acerca de la materia, y adivina cada respuesta al
azar. Dado que la calificación aprobatoria es 70%, determine la
probabilidad de que Raj apruebe el examen.
5. Un virus infeccioso de gripe se está esparciendo por la universidad.
La probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga gripe la
próxima semana es de 0.3. El Sr. Vázquez tiene una clase de 25
estudiantes.
a) Calcule la probabilidad de que 2 o más estudiantes de la clase del
Sr. Vázquez tengan gripe la próxima semana.
b) Si más del 20% de los estudiantes tienen gripe la próxima
semana, se tendrá que cancelar un examen. ¿Cuál es la
probabilidad de que el examen sea cancelado?
6. Durante una temporada, un jugador de basketball tiene una tasa de
éxito en tiro desde la línea de tiro libre de 85%. En un juego el jugador
hace 20 tiros desde la línea de tiro libre.
Encuentre la probabilidad de que el jugador sea exitoso con:
a) Todos los 20 tiros
b) Por lo menos 18 tiros.
c) Entre 14 y 17 tiros (inclusive).
7. Martina vence a Jelena en 2 juegos de un total de 3 en el tenis.
¿Cuál es la probabilidad de que Jelena gane un set de de tenis 6
juegos a 4?
Pista: ¿Cuál es el score que tendría que haber después de 9 juegos?
8. Una moneda balanceada se arroja 200 veces. Encuentre la
probabilidad de obtener:
a) Entre 90 y 110 caras (inclusive)
b) Más de 95 caras pero menos de 105 caras.
9. a) Encuentre la probabilidad de sacar 2 números seis con un par de
dados.
b) Suponga que un par de dados se arroja 500 veces. Encuentre la
probabilidad de arrojar entre 10 y 20 dobles seis (inclusive)
10. Shelley debe pasar a través de 15 semáforos en su camino al trabajo.
Ella tiene una probabilidad de 0.6 de tener luz roja en cualquier semáforo.
Si se para en más de 11 semáforos, ella llegará tarde al trabajo.
a) Encuentre la probabilidad de que Shelley llegue tarde al trabajo en un
día dado.
b) Encuentre la probabilidad de que Shelley esté a tiempo en el trabajo
cada día de una semana de 5 días.
c) Shelley quiere incrementar la probabilidad de b) a un mínimo de 80%.
Ella decide irse de casa un poco más temprano, así que tendría que
para en 12 semáforos para llegar tarde. ¿Logró su objetivo? Justifique
su respuesta.
11. Una unidad de agua caliente depende de 20 componentes solares
para su fuente de poder, y operará mientras al menos 1 de los 20
componentes esté trabajando. La probabilidad de que un componente
solar individual falle en un año es de 0.85. Se puede considerar que la
falla de un componente solar es independiente de los otros componentes.
a) Encuentre la probabilidad de que la unidad de agua caliente falle en 1
año.
b) Encuentre el número más pequeño posible de componentes solares
requeridos para garantizar que un servicio de agua caliente como éste
esté operando al final de un año con una probabilidad de al menos
0.98.
Ejercicios Mendenhall
3.26 Un fabricante de bebidas lácteas bajas en calorías desea comparar
el sabor de una nueva fórmula (B) con el de la fórmula convencional (A).
Cuatro catadores reciben tres vasos en orden aleatorio, dos de ellos
contienen la fórmula B y el otro la A. A cada catador se le pide que indique
cuál vaso contenía la bebida que más le agradó. Suponga que las dos
preparaciones tienen la misma presentación. Si X es el número de
catadores que indican su preferencia por la nueva fórmula.
a) Encuentre la función de probabilidad de X
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de los cuatro
catadores prefieran la nueva fórmula
Ejercicios Mendenhall
3.28 La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad
gastrointestinal es de 0.8. Suponga que se sabe que 20 personas
contraen la enfermedad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen 14 pacientes?
b) ¿Qué probabilidad existe de que se recuperen por lo menos 10?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen por lo menos 14, pero no más
de 18?
d) ¿Qué probabilidad hay de que se recuperen 16 como máximo?
Ejercicios Mendenhall
3.32 La probabilidad de que una nueva técnica quirúrgica tenga éxito es
de p. Suponga que se realizan cinco operaciones y que los resultados son
independientes uno de otro.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones tengan éxito si
p=0.8?
b) ¿Qué probabilidad hay de que cuatro operaciones tengan éxito si
p=0.6?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos tengan éxito si p=0.3?
Ejercicios Mendenhall
3.44 Se descubrió que a determinada concentración una sustancia
química, encontrada en aguas contaminadas, resultó mortal para 20% de
los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20
peces en un tanque de agua que contiene esta concentración del químico.
a) Encuentre la probabilidad de que sobrevivan 14 peces.
b) Calcule la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan.
c) Encuentre qué probabilidad existe de que cuando mucho sobrevivan
16.
d) Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes.
Ejercicios Mendenhall
3.45 De los donadores de sangre de una clínica, 80% tiene el factor Rh
presente en el torrente sanguíneo.
a) Si se elige al azar a cinco voluntarios, ¿qué probabilidad hay de que a
lo sumo cuatro tengan el factor Rh?
b) ¿Cuál es la cantidad mínima de donadores que debemos elegir si
deseamos estar por lo menos 90% seguros de que por lo menos
cinco de los escogidos tienen el factor Rh?
X
4
3
3
3
3
3
P(X=0)+
-P(X=0)
de P(X=0),
…o bien usar tablas …
-
=
P(X≤18)-P(X≤13)=P(14≤X≤18)