MATEMÁTICA I
Módulo
1
Algebra
UNIVERSITAS
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MATEMÁTICA I
Esquema de Contenidos
Representación gráfica
Módulo 1
Conjuntos
Operaciones de unión, intersección,
diferencia y complemento.
Producto cartesiano.
Números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.
Números reales
Unidad de Aprendizaje 1
Representación en la recta numérica. Intervalos.
Propiedades y operaciones
Ecuaciones e inecuaciones.
Polinomios
Operaciones
Definición
Dominio y codominio. Restricciones
Funciones
Representación gráfica.
Clasificación.
Función Inversa.
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MATEMÁTICA I
Unidad de Aprendizaje
1
Conjuntos, funciones y polinomios
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MATEMÁTICA I
Introducción
A través de nuestra experiencia enseñando matemática hemos identificado áreas de dificultad en la aritmética que le impiden al estudiante el comprender ciertos conceptos algebraicos. Por esta razón esta primera unidad discutiremos temas de la Aritmética y de la teoría de conjuntos.
De acuerdo con nuestro método, al analizar cada concepto, cada propiedad, partimos del
análisis de ejemplos, y luego la generalizaremos, creemos así que este proceso ayuda con
mayor claridad a adquirir el nuevo concepto.
En Matemática consideramos de gran importancia la ejercitación, porque entendemos que
los ejercicios fijan los temas que se estudian.
Luego de este repaso de la aritmética introduciremos los diferentes conjuntos numéricos
con sus operaciones: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales. Presentaremos
las funciones, su representación gráfica, muy usada en otras disciplinas, los exponentes
enteros, fraccionarios, radicales y logaritmos, los polinomios y sus operaciones y las ecuaciones lineales dando una introducción a la cuadrática. Todos estos temas tan relacionados
con situaciones no solo de otras disciplinas, sino también en la vida cotidiana.
Incluiremos también una autoevaluación donde usted podrá medir su aprovechamiento e
identificar las áreas en las que aún tiene dificultad. Esto le indicará que debe estudiarlas
nuevamente. Al final de este módulo encontrará las respuestas a los ejercicios propuestos y
a la autoevaluación.
Objetivos
Para concretar esta propuesta, usted tendrá que:
•
•
•
•
•
•
•
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Poder usar correctamente los símbolos matemáticos.
Representar las cinco operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento y
producto cartesiano de conjuntos.
Reconocer y aplicar las leyes fundamentales de la aritmética.
Efectuar las operaciones de la aritmética en el orden correcto.
Llevar a cabo operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
Definir y utilizar correctamente el concepto de función.
Trazar la gráfica de una función.
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MATEMÁTICA I
Símbolos matemáticos: algo para recordar
Para poder hablar correctamente en esta materia deberá conocer su lenguaje. Para ello nos
valemos de los símbolos matemáticos que a continuación desarrollaremos:
∈ : pertenece
∉ : no pertenece
∪ : unión
∩ : intersección
⊆ : incluye
⊄ : no incluye
{ } : conjunto
⇒ : entonces o implica
⇔ : sí y solo sí
/ : tal que
∀ : para todo
∃ : existe
φ : conjunto vacío
A x B: producto cartesiano
f(A): imagen del conjunto A a través de la función f
f -1(B) imagen inversa a B originada por f
N :conjunto de números naturales
Z :conjunto de números enteros.
Q :conjunto de números racionales.
I : conjunto de números irracionales.
R : conjunto de números reales.
> :mayor que
< : menor que
≥ : mayor o igual que.
≤ : menor o igual que unión
= :igual
≠ :desigual
∞ : infinito
Estas serán las notaciones y los símbolos matemáticos que desarrollará a lo largo de este
módulo. Algunos serán conocidos y otros no, solo tendrá que volver a esta página cuando le
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MATEMÁTICA I
resulten incomprensibles algunos conceptos expresados de esta manera. Luego se irá familiarizando con los mismos hasta lograr incorporarlos a su lenguaje. Recuerde que está
aprendiendo un nuevo lenguaje, pero con voluntad, podrá resolver las situaciones, hasta
hacerlo parte de su lenguaje cotidiano.
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MATEMÁTICA I
Introducción a los conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos los cuales se denominan elementos o miembros
del conjunto y estos a su vez se dicen que pertenecen al conjunto. Por ejemplo, podemos
hablar de un conjunto de libros en un estante, el conjunto de los instrumentos musicales, el
conjunto de los números mayores a 11, etc.
El conjunto a su vez contiene elementos o está constituido por ellos. La clasificación de los
elementos de un conjunto con respecto a uno dado tiene dos reglas:
1) Los elementos de un conjunto son distintos unos a otros.
2) Es posible distinguir aquellos elementos que pertenecen al conjunto de aquellos que no.
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A,B,C y sus elementos con letras minúsculas.
Represente un conjunto escribiendo sus elementos entre llaves, y separados entre comas.
Por ejemplo: el conjunto de la vocales: V={ a,e,i,o,u}
El conjunto de los números naturales N={ 1,2,3,4,5,6,7..}
Usted tiene que tomar la precaución al escribir los elementos de un conjunto dentro de las
llaves.
Por ejemplo, los conjuntos: A={MATE }
y B={M,A,T,E }
Importante: Son diferentes, mientras que el conjunto A esta formado por un elemento, la
palabra MATE y el conjunto B esta formado por cuatro elementos, las letras M,A,T,E.
Los elementos del conjunto B pueden escribirse en cualquier orden, así:
B={ M,A,T,E}
C={A,M,T,E}
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MATEMÁTICA I
Resultan ser iguales, no interesa el orden en que fueron escritos, pero si que sean los mismos elementos.
También ocurre con la repetición de un elemento, por ejemplo:
D={ 1,2,3 }
B={ 1,2,3,3 }
Son iguales, ambos tienen tres elementos distintos, los números 1,2 y 3.
Otra precaución que Ud. debe tener en cuenta es el uso de las llaves. Por ejemplo los conjuntos:
E={ a,b }
F={{a,b}}
Importante: No son iguales. El conjunto E tiene dos elementos: las letras a y b, mientras
que el conjunto F tiene un elemento el conjunto formado por {a,b}
Es necesario también tener un conjunto que carece de elementos, que lo denominamos el
conjunto vacío o nulo. Este se simboliza con φ
ó {0} ó {}.
Así como existen conjuntos que podemos enumerar todos sus elementos, hay otros que no.
Para dichos conjuntos escriba varios de sus elementos que le permitan tener la regla de
formación de los mismos e indicar al final puntos suspensivos
Por ejemplo: Los números impares positivos: I={ 1,3,5,7,9,.........}
Los meses del año :A={ Enero,Febrero, ...........Noviembre, Diciembre}
Hay dos formas de representar a los conjuntos. Una es la que Ud. ha visto, es decir, enumerando los elementos, es decir por extensión, y otra es por comprensión. En esta última necesita una propiedad que le permita describir sus elementos. Por ejemplo:
A={ x / x es un numero par } = {2,4,6,8........ }
B={ x / x son las estaciones del año} ={otoño, invierno, primavera, verano}
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MATEMÁTICA I
Es decir, C ={x/x tiene la propiedad t } . Esto se lee el conjunto C esta formado por los
elementos x tal que los elementos x cumplen con la propiedad t, donde t describe la propiedad en cuestión.
Para indicar que un elemento esta en el conjunto se usa la notación a ∈ A, que se lee a
pertenece a A. Si un elemento no pertenece se indica a ∉ A.
Por ejemplo:
H={ a,b,c,d,e }.
a ∈ H, j ∉ H, d ∈ H,
Con frecuencia utilizaremos el conjunto de los números Naturales, simbolizado con la letra
N,y que esta formado por : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9....}.
y los números enteros ,simbolizado con la letra Z, que están formados por:
Z={ .....-2,-1,0,1,2,3,.......} que Ud. los estudiará mas adelante con detenimiento.
Es importante destacar que los N forman parte de los Z.
Decimos entonces que los N están contenidos o incluidos en los Z.Dicha relación es muy
importante y nos permite definir la relación de inclusión:
Un conjunto A esta incluido en un conjunto B si todo elemento de A es elemento de B.
Y lo simbolizamos con A ⊆ B, cuando A no este contenido en B utilizara A ⊄ B. Dicha
relación podemos representarla mediante los diagramas de Venn:
B
A
Si A ⊆ B decimos entonces que A es un subconjunto de B.
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MATEMÁTICA I
Debe prestar atención en esto, la ⊆
y ⊄ son relaciones entre conjuntos y no entre
elementos de un conjunto que se indican con ∈ o ∉ ,que indican si un elemento pertenece o no al conjunto.
Por ejemplo: los números impares positivos están incluidos en los N,pero no todos los N
son impares: I ⊆ N y N ⊄ I.
Otro ejemplo:
A={2,3,4,5} y N={1,2,3,4,5....} entonces A ⊆ B
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos es decir si A=B
entonces A ⊆ B y B ⊆ A, ya que los elementos son los mismos, lo simboliza A=B y
son diferentes si existe un elemento que pertenece a un conjunto y no al otro, lo simboliza
A ≠ B.
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos usualmente hay una restricción sobre los
elementos considerados y por esto se dice que todo conjunto es subconjunto de algún conjunto previamente definido que se denomina: universo. Se denota con la letra U.
Operaciones
Se pueden definir nuevos conjuntos utilizando varias reglas sencillas partiendo de dos o
más conjuntos.
Unión
Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B, es el conjunto {x / x ∈ A o x ∈ B }. En donde se interpreta que x pertenece al menos a uno de los
dos conjuntos. La disyunción o que se usa en esta definición significa: uno de los dos o
ambos.
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MATEMÁTICA I
Su representación en diagramas de Venn:
Por ejemplo:
Sea
Sea
Sea
Sea
A={1,2,3,4}
C={a,b,c,d}
E={x/x ∈ N y
F={vocales}
x <5}
B={-1,0}
D={a,f }
P={x/x=2n y n ∈ N}
G={consonantes}
A∪B ={-1,-0,1,2,3,4}
A∪B ={a,b,c,d,f}
A∪B ={1,2,3,4}
A∪B ={alfabeto}
Intersección
Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada A ∩ B es el conjunto { x/x ∈ A y x ∈ B} .En este caso asegura la verdad en los dos enunciados.
Es decir, la intersección de A y B, es el conjunto formado por los elementos que tienen en
común A y B.
Su representación en diagramas:
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MATEMÁTICA I
Por ejemplo:
Sea
Sea
Sea
Sea
A={ 2,4,6,8 ....}
P={2,4,6,8,..}
A={médicos }
C={ c,a,s,a}
B={ 6,7,8,9}
B={1,3,5,7,9...}
B={empleados de un hospital}
D={ a,u,t,o,s}
A ∩
A∩
A ∩
A∩
B={6,8 }
B= { }
B={ médicos}
B={a,s }
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos, la diferencia que se denota A-B es el conjunto {x/x ∈ A y x
∉B}
La representación de A-B es:
La representación de B-A :
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MATEMÁTICA I
Por ejemplo:
Sea A={ 1,2,3,4}
Sea A={ 1,2,3,....,7,8}
B={ 4,5,6,7 }
P={2,4,6,8,..}.
A-B={1,2,3} y B-A={5,6,7}
A-P={1,3,5,7} y P-A={10,12,14,...}
Complemento
Dado un conjunto A, podemos representar su inclusión en un conjunto universal U:
U
A
En este diagrama puede diferenciar al conjunto A, pero también al conjunto U-A
(recuerde que U representa al conjunto Universal). A este último conjunto se lo denomina
complemento de A. Resulta ser que el complemento no es otro que el conjunto de todos los
elementos de U que no pertenecen a A,se denota ∼ A o cA.
Por ejemplo:
Sea U={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Entonces cA={ 1,2,4,5,7,8,9}
Sea N={ 1,2,3,4,5,6,7,8,..}
Entonces cN={1,3,5,7,9....}.
A={ 3,6}
cB={3,4,7,8,9}
B={ 1,2,5,6}
P={2,4,6,8,...}
Producto Cartesiano
El edificio Torre de Marfil tiene un departamento por piso y el encargado Oscar tiene un
tablero dividido en 10 casillas, donde debe colocar la correspondencia de cada familia y no
equivocarse.
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Entonces memoriza lo siguiente:
La familia Pérez vive en el 1er. piso.
La familia López vive en el 2do piso.
La familia García vive en el 3er. Piso.
La familia Runa vive en el 4to. Piso.
La familia Piro vive en el 5to. Piso
Y así sucesivamente.
Al final termina escribiendo: (Perez,1), (Lopez,2) ,(Garcia,3),(Runa,4),(Piro,5),............
Así considera los pares compuestos por una familia-un piso,y aplica el criterio de ordenación, toma el primer elemento: familia y un segundo elemento :piso.
En matemática (x,y), constituye un par o dupla, donde x es el primer elemento e y es el
segundo elemento y es lo que llamamos par ordenado.
Dados dos conjuntos A y B podemos formar un tercer conjunto llamado el producto cartesiano de los dos conjuntos A y B,el cual se denota AxB:
AxB= { (x,y)/ x∈ A y y∈ B }
Así, AxB es el conjunto que consiste en todos los pares ordenados (x,y),donde la primera
componente x es un elemento de A y la segunda y es un elemento de B.
Por ejemplo:
Sea A={ 1,2,3}
B={ 4,5,6}
Entonces AxB= {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}
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MATEMÁTICA I
Si hacemos BxA vemos que no es lo mismo.
BxA={ (4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)}
"
Actividad 1
Conjuntos
1) Complete la siguientes tabla:
{x/x es un numero natural menor que 9}
{2,4,6,8,...}
{x/x es múltiplo de 5 }
{1,3,5,7,.....99}
{x/x∈ N y x<8}
2) Complete los blancos con ∈ o ∉
a) A={ 21,22,23,24,25,26,27}
1)
2)
3)
4)
20
22
28
{21,23}
b) B={x/ x N y x>4 y x<11}
A
A
A
A
1) 11
2) 4
3) 5
4) {7,8,9}
B
B
B
B
3) Complete los blancos con ⊆ o ⊄
a) {2,4,6,8,....}
b) {{2,3}}
c) {11,12,13,14,15}
d) {1,3,5,7,....}
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N
{2,3}
Z
N
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MATEMÁTICA I
4) Sea A = {1,2,3,4,...10}
B = { 2,4,6,8,10}
C = {3,5,7}, resuelva:
a) A∩ B
b) BUC
c) A - B
d) A - (BUC)
e) B - (A ∩ C)
f) (AUB) – (A ∩ C)
5) Sea A = { 1,2,4,6 }
B = {2,3,5,6,9}
C = {1,7,8,10}
1) A ∩ B =
a) {1,2,4,6,7,8,10}
b) {
}
c) {1}
d) {2,6}
2) B U C=
a) {1,2,3,5,6,7,8,9,10}
b) {1,2,3,4,5,6,9}
c) { }
d) {2,3,5,6,9 }
3) A-B =
a) { 2 }
b) {1,4 }
c) A
d) {2,4,6 }
4) B-A =
a) {
}
b) B
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MATEMÁTICA I
c) {2 }
d) {3,5,9}
5) B - (AUC) =
a) {3,5,9}
b) {
}
c) {4,8,10}
d) {1,2,4,6}
6) (AUC)-(B ∩ C)=
a) {φ }
b) A ∩ C
c) AUC
d) BUC
6) En los siguientes diagramas de Venn, indique el área sombreada correcta correspondiente a A ∩ B, donde A ⊆ B
a)
b)
c)
7) En los siguientes diagramas de Venn indique el área sombreada correcta a AUB donde
A∩ B = { }
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MATEMÁTICA I
a)
b)
c)
8) Dados A={ 1,2,3} y B= {1,4},efectúe AxB y BxA. Verifique que AxB es distinto que
BxA.
9) Sea U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={7,8,9}.B={1,2,3,7,8}, halle:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
cA
cB
c(cA)
c(cB)
c(AUB)
c(A ∩ B)
10) Verifique con los conjuntos del ejercicio anterior que:
a) c(A ∩ B)= cAU cB
b) c(AUB)= cA ∩ cB.
Números Reales
Los números naturales, como entes matemáticos, utilizados no sólo en el desarrollo de la
Matemática, sino como elementos de uso en la vida cotidiana del hombre, datan de los primeros tiempos históricos.
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MATEMÁTICA I
Números Naturales ( N )
Son los números que aprendemos naturalmente han surgido por la necesidad del hombre de
contar distintos elementos de acuerdo a sus urgencias. Así el conjunto de los números Naturales es:
N={1,2,3,4,5.....} este es un conjunto formado por números naturales.
Como verá el conjunto de los números naturales tiene un primer elemento: el 1.
De ahora en más, siempre que hablemos de números naturales los indicaremos con la letra
N.
Su representación gráfica sobre la recta es
1 2 3 4 5 6
Números Enteros ( Z )
A los números Naturales se le agregaron el cero y los opuestos a los naturales, es decir los
números negativos, así:
Z ={......-4,-3,-2,-1,0,1,2,3....} quedando así formado el conjuntos de los números enteros.
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MATEMÁTICA I
A este conjunto de números los indicaremos con la Z, y su representación gráfica sobre la
recta es
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Notación: cuando Ud. quiera indicar solamente los números enteros positivos indique Z+,
si solamente quiere indicar los enteros negativos Z-, y si además a alguno de estos subconjuntos quiere agregarle el cero, indicará: Z+o = Z+∪{0}
Z-o = Z-∪{0}
También puede expresar a los Números Enteros de la siguiente forma
Z = Z+∪{0}∪ZZ = N∪{0}∪Z- = No∪ZObserve que también puede indicar a los Naturales como Z+ .
Números Racionales ( Q )
¿Recuerda usted los números fraccionarios como por ejemplo ¾ , ½ .1/5?, es decir el conjunto formado por los cocientes no exactos. Este conjunto de números fraccionarios más el
conjunto de los Z forman el conjunto de los Q o sea de los números Racionales.
Vea el siguiente conjunto, sus elementos son números racionales.
Q = {....-3, -3/2, -1, -1/2, 0 , 1, 5/2, 3...} es un conjunto cuyos elementos son números racionales
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MATEMÁTICA I
Es decir que
Q =Z∪{fraccionarios}
Recuerde que: -
Las fracciones con denominador 1 representan a los números enteros.
Ej. 7/1=7
-
El denominador de una fracción nunca puede ser cero. Pues no puede
dividir por cero
-
Las fracciones de denominador 10 o cualquiera de sus múltiplos, se expresan normalmente como decimales con coma, por ejemplo:
9/10=0,9
435/100=4,35
57631/1000=57,631
En general a un número racional lo puede indicar como la fracción: a/b y b≠0 , que al hacer
la división común entre a y b Ud. obtiene una expresión decimal del número racional.
La representación sobre la recta es:
-3 -3/ 2 -1 0 1
3/ 2 3
Usted sabe como se suman, restan, multiplican y dividen fracciones, pero tal vez no recuerda cómo se procede. Pues bien , hagamos un ejemplo de cada operación para refrescar su
memoria.
Suma
Puede darse el siguiente caso: * 4/5+9/5= 13/5
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MATEMÁTICA I
Aquí tiene la suma de dos números racionales con igual denominador (5), y obtiene como
resultado otro número racional con el mismo denominador (5) y el numerador es la suma de
los numeradores dados. Expresado en letras: a/b+c/b=(a+c)/b
y tenga en cuenta que
siempre b≠0.
* O bien el siguiente: 7/3 +4/5= 7.5 + 4.3 = 35 + 12 = 47
3.5
15
15
Aquí tiene una suma con distintos denominadores, está la suma de los mismos previamente
reducidos a mínimo común denominador.
Resta
Con la resta de números racionales se procede igual que con la suma pero, cuidado con el
signo.
Así 5 _ 7 = -2
3 3
3
Multiplicación
Regla de los signos
¿ Recuerda el famoso recitado mental: más por más, más......más por menos, menos....?
Véalo una vez más y recuerde que tanto en el producto como en el cociente de dos factores
se cumple la siguiente regla:
a) Cuando los factores son de igual signo, el resultado es positivo.
+. +=+
-.- =+
22
+/+ = +
-/- =+
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MATEMÁTICA I
b) Cuando los factores son de signos distintos, el resultado es negativo.
+.- =-.+ =-
+/- = -/+ =-
¿ Podría usted decir con toda tranquilidad que si hay un número impar de factores negativos, el resultado es negativo, y que si hay un número par de factores negativos, el resultado
es positivo? Si, verdad?
Para multiplicar dos o más números racionales usted debe multiplicar primero todos los
elementos de los numeradores y éste número va a ser el numerador del resultado y luego
todos los elementos de los denominadores, que va a ser el denominador del resultado. No
olvide tanto el numerador como en el denominador aplicar la regla de los signos para la
multiplicación.
Ejemplo: 5 . 8 . = 40
7 3
21
Véalo en letras así se va familiarizando con ellas a . b = a . b
c d
c.d
c y d tienen que ser distintos de 0.
Recuerde siempre que
División
Para dividir un número racional por otro, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Es decir:
-4 : 5 =
3 7
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-4 . 7 = -28
3 5
15
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MATEMÁTICA I
Con letras es: a : b = a . d = a . d
c d
c
b
c.b
Esto es lo que comúnmente decimos: ...en la división de fracciones se multiplica cruzado...
En todas las operaciones se obtiene siempre como resultado otro número racional.
Números Irracionales
(I)
Los números irracionales son aquellos que dan por resultado números de infinitas cifras
decimales no periódicas, es decir que no se repite la sucesión de los decimales en ningún
momento.
Ejemplo:
√2 = 1,414213.........
π = 3,1415926535....
√3 = 1,732050.......
e = 2,7182818284.....
Sobre estos ejemplos intente representarlos en la recta numérica.
Números Reales ( R )
El conjunto de los números reales es la unión de todos los números vistos. Es decir la unión
de los Racionales y los Irracionales.
Por lo tanto R = {-2, -√2, -1, 0, π,} es un conjunto cuyos elementos son números reales.
R = { {Q} , { I }} o bien R = Q ∪ I
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UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
La representación en la recta es la misma recta. Es decir son todos los puntos . Por eso se la
llama recta real.
A manera de síntesis vea el diagrama de la página siguiente, y fíjelo.
Naturales
N
N0 = Z+0
{0}
Enteros
Z
-
Racionales
Q
Z
Fraccionarios
Reales
R
Irracionales
I
Representación en la recta numérica
Intervalo Cerrado
Dados dos números reales a y b, se llama intervalo cerrado [a;b] a todos los elementos que
están entre a y b , inclusive a y b.
[a;b] = {x/x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b}
Preste atención a los signos de desigualdad, en este caso van acompañados con el igual.
Esto le indica que debe tomar los valores a y b.
Sobre la recta :
a
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b
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MATEMÁTICA I
Veamos un ejemplo:
[3;6] es un intervalo cerrado, pues está definido entre corchetes. Este intervalo cerrado le
está indicando que tome todos los números reales que están entre 3 y 6,incluso 3 y 6
También lo puede expresar como A= {x/x∈R ∧ 3 ≤ x≤ 6}
3
6
Intervalo Abierto
Se llama intervalo abierto (a;b) a todos los elementos que están comprendidos entre a y b,
sin ser “a” ni “b”.
(a;b) = {x/x ∈ R ∧ a< x < b }
¿ Puede indicar qué ocurre con los signos de desigualdad ?
Sobre la recta:
a
b
Ejemplo: (1;4) = { x/x ∈ R ∧ 1< x < 4 }
Es decir, que el intervalo abierto ( 1 ; 4 ) son todos lo números reales que están entre 1 y 4 ,
pero usted, no puede tomar ni el 1 ni el 4.
Intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha
( a ; b ] ¿Podría definirlo?
Intervalo semicerrado a izquierda o semiabierto a derecha
[ a ; b ) ¿Podría definirlo y representarlo sobre la recta real?
Intervalos infinitos
Son los conjuntos del tipo:
A= {x/x∈R ∧ x >5}
B = {x/x∈R ∧ x ≤10}
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UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Utilizamos el símbolo de infinito “∞” , por lo tanto A = (5;+∞)
y B = (-∞;10]
Observe que el símbolo infinito se cierra o se abre con un paréntesis.
Veamos los siguiente ejemplos:
a) Sea [-3;+∞)
Expresado en forma de conjunto es: A= {x/x∈R ∧ x ≥ -3}
Representado gráficamente:
-3
b) Sea el conjunto A = {x/x∈R ∧ -2 < x ≤ 1}
En forma de intervalo: ( -2;1]
Gráficamente:
-2
1
Cuerpo de los Números Reales
Para mayor comodidad y simplicidad todas las propiedades que hacen que un conjunto
constituya lo que en álgebra se denomina cuerpo, las va a encontrar sintéticamente en el
siguiente cuadro.
Propiedades de la Adición y de la Multiplicación
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MATEMÁTICA I
Nombre de la propiedad
Para la adición
Para la
Multiplicación
Ley d e Co mp osición in - a +b r epr esen ta un nú me ro r eal
terna
ún ico
Con mu tativ a
A soc ia tiva
E l e me n to N eu tr o
E l e me n to in v er so
D istr ibu tiva del p roducto
r esp e c to d e la ad ic ión
a + b = b + a
a.b representa un núme ro real ún ico
a.b = b .a
( a + b ) + c = a + ( b + c )
( a . b ) . c = a . ( b . c)
1 es e l e l e me n to n eu tr o
0 es e l e l e me n to n eu tr o p ar a l a
p ar a la mu l t ip l ic a c ió n
s u ma y a q u e : 0 + a = a + 0 = a
pu es:1.a = a.1= a
El inverso mu ltip licativ o
Ex is te un n ú mero re a l ú nico – a ,
d e a es 1 /a s i a≠ 0 pues:
tal qu e: a + (-a) = ( - a) + a = 0
a .1 /a = 1 /a . a = 1
a . (b + c) = a.b + a. c
( b + c ). a = b .a + c.a
A continuación podrá comprobar las propiedades anteriores, pero ahora con números.
Nombre de la propiedad
Ley de Composición interna
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Elemento inverso
Distributiva
28
Para la adicion
Para la
Multiplicacion
3 + 5 = 8 siempre obtiene un n°
real
7+2=9
3 .7 = 21 el resultado es
siempre un real
4 . 8 = 32
3+5=5+3
7.4=4.7
(2+5)+6=2+(5+6)
(2 . 5 ) . 3 = 2 . ( 5 . 3)
1 es el elemento neutro para la
0 es el elemento neutro en la suma
multiplicación pues:1.4 = 4.1=
0+8=8+0=8
4
Si tiene el n° 3, el inverso para la Si tiene el n° 4, su inverso multisuma es –3 pues
plicativo es ¼ pues
3 + (-3) = (-3) + 3 = 0
4 .1/4 = 1/4 . 4 = 1
5. (4 + 3) = 5.4 + 5.3
(7 + 8). 2 = 7.2 + 8.2
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Valor Absoluto o Módulo
El valor absoluto o módulo de un número es el mismo número si éste es positivo o cero, y
el opuesto si es negativo. Se simboliza x y se lee módulo de x.
x si x ≥ 0
x=
-x si x< 0
Ejemplo
 4 = 4
;  -2 = 2 ;  -7 = 7
pre un número no negativo.
Por lo tanto, el módulo de un número real es siem-
Vea los siguientes teoremas sobre módulo, pero no se impaciente, sólo son los enunciados.
1) ∀x: x ≠ 0 ⇒ x > 0
2) ∀x : x= -x
Ejemplo : 6= -6 = 6
3) ∀x : -x≤ x≤ x
Ejemplo: -3≤ 3≤ 3
-3 ≤ 3 ≤ 3
4) ∀x ∀z : x .z = x.z
Ejemplo: 4 .5 = 4.5
20 = 4. 5 ⇔ 20 = 20
5) ∀k >0 ∀x x≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k
Ejemplo : x≤ 4 ⇔ -4 ≤ x ≤ 4
UNIVERSITAS
29
MATEMÁTICA I
Es el intervalo cerrado [-4;4]
6) ∀k >0 ∀x
x≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ -k
Ejemplo : x≥ 5 ⇔ x ≥ 5 ∨ x ≤ -5
Expresado en forma de intervalos, sería: (-∝ ;-5] ∪ [5; +∝)
7) ∀a ∀b: a +.b ≤ a+b Desigualdad triangular
Ejemplo a: 4 +.9 ≤ 4+9 aquí se verifica la igualdad
b: -2 +.4 ≤ -2+4
2 ≤ 2+ 4 ⇔ 2 ≤ 6 aquí se verifica el signo menor
Observación importante
Si a > 0, √a es el símbolo que indica la raíz cuadrada positiva del número a. Tenga en
cuenta que para todo número real b la √b2 no necesariamente es igual al número b, pues
puede probarse que:
∀ b∈R : √b2 = b
Potenciación
Potencia: En la expresión bn ( se lee: b elevado a n o a la n-ésima potencia) ,b es la base, n
es el expontente y bn es la potencia.
bn = b .b .b . b . b ....b
n factores b
30
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Ejemplos
1) 43 = 4.4.4= 64
2) 71 = 7
3) (3/2) 3 = (3/2). (3/2). (3/2) = 27/8
Recuerde que:
* todo número real distinto de cero elevado a la cero es igual a 1. Si b≠0 , b0 = 1
* Si n es un número entero positivo y b ≠ 0, entonces b-n = 1 .
bn
Ej.: 2-3 = 1 = 1
23
8
Lo estudiado hasta ahora sobre exponentes, le permitirá hablar de potencias y seguramente
concluirá con lo siguiente:
-que cuando la base es positiva, el resultado siempre será positivo.
-que cuando la base es negativa: 1) si el exponente es par, el resultado será positivo.
2) si el exponente es impar, el resultado será negativo.
Ejemplos: 32 = 9
(-2)2 = 4
25 = 32
(-2)3 = -8
También tenga siempre presente la importancia de poner paréntesis, pues observe lo siguiente:
( -2 )2 = 4
UNIVERSITAS
pero
- 22 = - 4
31
MATEMÁTICA I
Propiedades y operaciones
Propiedades de los exponentes
Dados dos enteros m y n , y dos números reales cualesquiera a y b, se definen las siguientes
propiedades resumidas en el siguiente cuadro.
n
m
b .b = b
n
b =b
bm
n+m
n-m
b≠0
( b n)m = bn.m
n
n
(a.b) = a .b
(a/b)n = an
bn
n
b≠0
32 . 34 = 32+4= 36
46 = 46-3 = 43
43
( 42)3 = 42.3 = 46
Producto de potencias de igual base,
los exponentes se suman
Cociente de igual base los exponentes
se restan.
Una base elevada a más de una potencia, el resultado es la misma base elevada al producto de los exponentes
(3.7) 2 = 32 .72
( 5x) 3 = 53 . x3
La potencia es distributiva con respecto
al producto.
(4/3)8 = 48/38
(x/2)3 = x3/23
La potencia es distributiva con respecto
al cociente.
Cuando el exponente es una fracción,
am/n = n√am
81/3 = 3√8 = 2
la base queda elevada al numerador de
3/4
4
3
4
3 = √3 = √27 la fracción,y esto bajo una raíz de índice igual al denominador de la fracción.
Radicación
Hasta aquí ha podido calcular la potencia sabiendo cuál es la base y el exponente. Piense
ahora cómo encontrar la base, conociendo la potencia y el exponente. Vea:
Si X3 = 24 entonces
32
X = 3√24
pues
(3√24)3 = 24
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Definición: Si n es impar y a es un nº R entonces (n√a) n = a
Si n es par y a ≥0 entonces (n√a) n = a
Preste atención a lo siguiente:
2n
√-4 no es un número real.
No existe en los reales raíz de índice par de un número negativo.
Expresado en símbolos es: si a < 0 y n ∈ N ⇒2n√a ∉ R.
Todas las propiedades vistas para exponentes son válidas para la radicación.
Le acercamos una ayuda para el uso de la calculadora:
INV
y
x
Shift
y1/x
xy
y
√x
Ejemplos
5
√2 = 32 verifique con su calculadora
3
√0,01 =............
3
√-64 = -4
Logaritmos
Definición :
Ejemplo::
UNIVERSITAS
loga b = c ⇔ ac = b
log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8
33
MATEMÁTICA I
Generalmente se toma la base 10. A estos logaritmos de base 10 se los llama “decimales”
y se los simboliza log x . Pero también se usan mucho los logaritmos de base e =
2,7182818....., llamados logaritmos “naturales”, y se simbolizan con “ln x” .
Propiedades
1) Si a ambos miembros de una igualdad de números se les aplica un logaritmo de la misma
base, se obtiene otra igualdad de números.
a = b ⇒ log a = log b
2) La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. En general con
respecto a ninguna operación matemática.
log (a + b ) ≠ log a + log b
log (a - b ) ≠ log a - log b
3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
log (a . b ) = log a + log b
4) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos
log (a / b ) = log a - log b b ≠0
5) Con la potenciación y con la radicación vea que ocurre
log an = n . log a
y
logn√a = 1/n . log a
Y tenga en cuenta los siguientes casos particulares:
1)
logb b = 1 ⇔ b1 = b
el logaritmo de la base es siempre 1
2)
logb 1 = 0 ⇔ b0 = 1
el logaritmo de 1 es 0 cualquiera sea la base
34
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
3)
loga 0 = no existe ⇔ a? = 0
4) El logaritmo de un número negativo no existe, y tampoco los logaritmos de base 1
Ejemplos
a) 24 = 16 ⇔ 4 = log2 16
b) 103 = 1000 ⇔ 3 = log10 1000
c)
2x.x - 4 = 1 ⇔ 2x.x - 4 = 20 entonces (considerando que si en una igualdad las bases son
iguales, los exponentes también lo son.) resulta x2 – 4 = 0 de donde obtengo x1= -2
y x2 = 2
d) log4 64 = 3 ⇔ 43 = 64
e) log5 1 = 0 ⇔ 50 =1
f) log3 ( 9 . 27 ) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5
g) log6 36-3 = -3. log6 36 = (-3) . ( 2 ) = -6
"
Actividad 2
Conjunto de números
Señale si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones.
1)El número -2 es un número natural.
2) El conjunto de los números enteros negativos está incluido en el conjunto de los racionales
3) -23 < -25
4) {0}∈ Q
5) [ -3 ; 1) su representación es
UNIVERSITAS
-3
1
35
MATEMÁTICA I
6) 0,3 > 0,4
7) 60 = 0
8) ( 3+2)3 = 33 + 23
9) (-4)1/2 = no tiene solución en R
10) El módulo de un número siempre es positivo
11)ln e = 1
12)ln 1= 1
Descomposición Factorial
Traiga a su memoria algunos de los ya famosos casos de factoreo. Le ayudamos.
Factor común
Sea un polinomio, que es una suma algebraica de términos que contienen letras y números
pueden estar elevados a distintos exponentes, y en todos sus términos aparece una misma
letra, puede expresar ese polinomio como el producto de esa letra común por el resultado
que le quedo de dividir cada término por ese factor común.
Ejemplo
3x6 + 2x4 – 6x2 = x2 ( 3x4 + 2x2 - 6 )
recuerde que siempre puede verificar.
Aplique la propiedad distributiva en el segundo miembro para llegar a lo mismo del primer
miembro.
Trinomio cuadrado Perfecto o Cuadrado de un Binomio
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
En palabras: el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer elemento, más el
duplo del primer elemento por el segundo, más el cuadrado del segundo elemento.
36
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Ejemplo: ( x + 5 ) 2 = x2 + 2x5 + 52 = x2 + 10x + 25
Recuerde que a y b deben ir con su signo por ejemplo:
( x - 2 ) 2 = x2 + 2x(-2) + (-2)2 = x2 - 4x + 4
Cuatrinomio Cubo Perfecto o Cubo de un Binomio
( a + b )3 = a3 +3 a 2 b + 3 a b 2 + b3
Ejemplo
( x – 3 )3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
Diferencia de Cuadrados
( a + b ). ( a – b ) = a2 - b2
Ejemplo:
(x – 5 ). ( x + 5 ) = x2 – 25
Ecuaciones
Ecuaciones de Primer Grado con una incógnita
En matemática la relación de igualdad se usa continuamente, pero no siempre con el mismo
significado. Usted debe diferenciar cuando se trata de una identidad o de una ecuación.
UNIVERSITAS
37
MATEMÁTICA I
Las identidades se demuestran y las ecuaciones se resuelven. Esto último es lo que no interesa ahora.
¿ Qué es resolver una ecuación?
Pues bien, veamos. Una ecuación es una igualdad donde aparecen tanto números como
letras, estas últimas son las incógnitas, y es el valor de esas incógnitas justamente el que
tenemos que hallar, utilizando todas las herramientas que usted ya conoce.
Es decir , resolver una ecuación es encontrar el valor , o los valores de la incógnita que hacen que se verifique la igualdad. Puede ocurrir que la ecuación no tenga solución. Si la tiene, siempre es un número finito de soluciones, esto depende del grado de la ecuación. Si es
una ecuación de segundo grado , tendrá dos soluciones; si es de tercer grado, tendrá tres
soluciones; si es de primer grado, tendrá una; y así sucesivamente.
La expresión general de una ecuación de primer grado con una incógnita es:
ax+b=0
y a≠0 pues es el término lineal que le indica el grado de la ecuación.
y “ b” es el término independiente
Por ejemplo x + 5 = 2 aquí el grado es uno, tiene única solución y es:
x = -3
pues -3 + 5 = 2. No se olvide de verificar.
Recuerde que:
- Si se suma un mismo número a ambos miembros de una ecuación, sus
soluciones no cambian.
- Si se multiplica (o divide) por un mismo número (distinto de cero) a
ambos miembros de una ecuación sus soluciones no cambian.
Ejemplos:
a) x – 7 = 3 ⇒ x = 3 + 7 = 10 la solución es x = 10 Verifique, no se olvide.
b) ¾ + 5x = -1 ⇒ 5x = -1 –3/4
x = (-1 –3/4 ) : 5
x = - 7/25
38
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
c) |x -1| =2
Cada vez que aparece módulo ,tengo que aplicar la definición o las propiedades de módulo.
Si
Si
x – 1> 0 ⇒ x –1 = 2 ⇒ x = 3
x – 1 < 0 ⇒ -(x –1) = 2
-x + 1 = 2 ⇒ -x =2 – 1 ⇒ x = -1
Verifique, reemplazando las dos soluciones que obtuvo en la ecuación original, y vea si se
cumple la igualdad.
Veamos |3 –1 | = 2
|2| = 2
|-1 –1 | = 2
| -2 | = 2
d) 2x-1 = x - 3x + 2
3
2
3
¿ Qué hacemos aquí ?
Mostramos “un procedimiento”, pero no es el único, usted puede aplicar otro si así lo desea.
Un dato a tener en cuenta es que cuando tenemos una ecuación, casi siempre, lo primero
que hacemos es igualar a cero.
Preste atención a lo siguiente: cuando una ecuación está igualada a “0”, se debe verificar
que el denominador no sea “0”. Si así fuera no tiene resolución.
Entonces:
2x-1 - x + 3x + 2 = 0
3
2
3
Sacamos común denominador 6:
2( 2x – 1) – 3x + 2(3x + 2) = 0
6
En nuestro ejemplo lo anterior no se cumple por lo que la resolución continúa de la siguiente forma:
UNIVERSITAS
39
MATEMÁTICA I
2( 2x – 1) – 3x + 2(3x + 2) = 0
4x –2 –3x + 6x +4 = 0 ⇒ 7x + 2 = 0
⇒ 7x = -2 ⇒ x = -2/7
Realice la verificación.
Ecuaciones de Segundo Grado con una incógnita
Estas ecuaciones son de la forma
ax2 + bx +
Término cuadrático
c
=0
y a≠0
T. Independiente
Término lineal
Ejemplo 1
x2 – x - 6 = 0 Hallar los valores de “x” que satisfacen esta ecuación es encontrar las raíces.
En este caso como la cuadrática está completa, aplicamos lo que usted ya conoce con el
nombre de fórmula resolvente.
Veamos:
x12 = -b ± √ b2 – 4ac
2a
obtenemos x1 = 3 y
x2 = -2
Estas soluciones son correctas pues si reemplazamos en la ecuación original por ejemplo
por 3:
32 - 3 – 6 = 9 – 9 = 0
40
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Y si reemplazamos por la otra raíz: (-2)2 -(-2) –6 = 0
4 +2 -6 =0
Se le pueden presentar distintos casos, veamos :
1) Si ( b2 – 4ac ) = 0 entonces obtiene un solo valor de x, lo que significa que las raíces
son reales y coincidentes.
Ejemplo : x2 –2x + 1= 0
2) Si ( b2 – 4ac ) < 0
x12 = 2 ± √ (22 – 4.1.1) = 2/2 =1
2
obtenemos x1 = x2 = 1
No tenemos solución en reales. Significa que no existen valores de x
que satisfagan la ecuación
Ejemplo : x2 –x + 2 = 0
x12 = 1 ± √ (12 – 4.1.2)
2
= 1 ± √ (– 7) =
2
no existe solución en reales,
pues no existe la
raíz cuadrada de
un nº negativo.
3) Si ( b2 – 4ac )> 0 obtenemos dos valores de la incógnita, como en el Ejemplo 1
4) Si la cuadrática no está completa ocurrirá que:
a) ax2 +c = 0 aquí directamente despejamos x, y no le conviene, por simplicidad solamente, no por que esté mal, aplicar la resolvente. Tenga mucho cuidado con la raíz
cuadrada.
Recuerde que √x2 = |x| es decir, si llegó por ejemplo al siguiente resultado:
x2 = 16 ⇒ aplique raíz cuadrada a ambos miembros √x2 =√(16/25)
25
Esto es: |x| = 4/5 entonces obtenemos x1 = 4/5
y
x2 = - 4/5
UNIVERSITAS
41
MATEMÁTICA I
b) O bien : ax2 + bx = 0 en estos casos le conviene sacar factor común .Vea un ejemplo
con números.
4x2 –2x = 0 factor común 2x ( 2x – 1 ) = 0 le queda un producto igualado a cero,
por lo tanto ó un factor es cero ó el otro es cero, de decir
2x = 0
x=0
ó
ó
2x – 1 = 0
x=1/2
Vea la siguiente ecuación
y tengo aquí las dos soluciones.
x + 11 = 7 – 9 – 8x
x
x2
Aparece aquí la incógnita en el denominador, por lo tanto ¡ ojo ! que el denominador nunca
puede ser cero. Bien, igualemos primero la ecuación a cero.
x + 11 - 7 + 9 – 8x = 0 luego, sacamos común denominador x(x + 11) – 7x2 + 9 – 8x = 0
x
x2
x2
Tiene que aclarar que x≠0 y ahora iguala el numerador a cero:
x (x + 11) – 7x2 + 9 – 8x = 0
x2 + 11x –7x2 +9 –8x = 0
-6x2 + 3x +9 = 0
Aplicando la resolvente va a encontrar
x1 = -1 y x2 = 3/2
Verifique siempre el o los resultados. No se olvide, ya que esto hace también a la familiarización con la materia y específicamente con los temas.
Ahora puede y debe hacer los ejercicios propuestos. En matemática no basta con leer y recordar definiciones o propiedades, en matemática hay que ejercitar, practicar los ejercicios,
42
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
en fin pensar y razonar. Permítanos proponerle algo: tenga paciencia, que así va a lograr sus
objetivos.
"
Actividad 3
Ecuaciones
1) x +5 = 0
2) 6x – 3/2 =0
3) x2 – 25 = 0
4) 6x2 – 32 = 2x2 + 4
5) 3x2 + 5x = 2x2 – 11
6) x2 – 4x + 3 = 0
7) 3x2 – 17x = - 10
8) x – 1/x = x – 16
9) 9/x –x/3 = 2
10) x +8 - 2 =
x–8
24
x–4
11) (x – 1) ( x – 9) = 0
12) (x – 5) (x +16) = 0
13) √( 2x + 3) = 5
14) x – 3 = x + 2
x
x+3
15) |x –1| = 1
16) | 2x –5 | = -1
3
17) | -2x + 3 + 4 | = 0
5
UNIVERSITAS
43
MATEMÁTICA I
18) 2 (√x )6 – 4 = 12
19) |x2 – 3x | = 2
20) -2 + |x2 –3x + 1| = -2
21) ( x – 2) ( x + ½) +1 = 0
22) log x = 2
23) log3 x = 2
24) log x + log 5 = 1
25) ln x = 0
26) log (3x +1) = 2
27) 42x = 1
28) 5-2x + 4 = 1
29) log (5 – x) – 2log ( 5 – x) = 0
30) log2 | x2 – 3x| = 1
31) | √ ( x2 –3x + 2)| + 1 = log 10
Inecuaciones
A diferencia de las ecuaciones, las inecuaciones son desigualdades, es decir intervienen los
signos de “< , > , ≤ , ≥” para relacionar el primer miembro con el segundo. Y además una
inecuación tiene infinitas soluciones. El conjunto solución se expresa en forma de intervalos. Los procedimientos para resolver una inecuación son los mismos que los de ecuaciones, salvo, y atención a esto que es muy importante: cada vez que multiplique por “ – 1 “
una inecuación , “cambia el sentido de la desigualdad”
Se preguntará por qué, pues bien, vea lo siguiente:
2 < 5 esto es verdadero, ahora si multiplicamos ambos miembros por –1 resulta -2 < -5
¿es verdadero?
44
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
No. Lo correcto es -2 > -5 .
Tenga siempre en cuenta y no se olvide de : 1) Entre dos números positivos es menor el de
menor valor absoluto. 7 < 12
2) Entre dos números negativos es menor el de
mayor valor absoluto. –9 < -3
Veamos algunos ejemplos de inecuaciones
1) x + 1 < 4
x < 4 – 1 entonces x < 3 La solución o el conjunto solución es (-∞;3) ¿Recuerda por
qué van paréntesis y no corchetes?
2) 2x –6 ≥ 3x + 1
Igual que con ecuaciones traemos todo al primer miembro y después despejamos la variable en este caso x.
2x – 3x – 1 – 6 ≥ 0
luego
-x –7 ≥ 0
-x ≥ 7
Aquí está el problema, pues para eliminar el menos de la x , multiplica a ambos miembros por -1 , entonces no se olvide de cambiar el sentido de la desigualdad.
x ≤ -7 Por lo tanto el conjunto solución es. S= (-∞; 7]
3) 4 ≤ -2x + 5 ≤ 8
En este caso se encuentra con tres miembros, pero no se haga problema porque se procede de la misma forma que con dos. Es decir si tenemos que sumar, restar, multiplicar
o dividir, lo tengo que hacer en los tres miembros a la vez . Vea
4 - 5 ≤ -2x + 5 - 5 ≤ 8 – 5
-1 ≤ -2x ≤ 3
Tenemos que dividir por –2 para dejar solita a la x, entonces lo hacemos en los tres
miembros, sin olvidarnos que también estamos dividiendo por –1 , pues -2= (-1) . 2
UNIVERSITAS
45
MATEMÁTICA I
Resulta
-1 ≥ -2x ≥ 3
-2
-2
-2
entonces
El conjunto solución S= [-3/2 ; 1/ 2]
4) | x | ≤ 4
1/2 ≥ x ≥ -3/2
1/2
-3/2
En estos casos, recurra a las propiedades de módulo o valor absoluto, ¿ las
recuerda? Para este caso es | x | ≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k
-4
4
Aquí entonces:
-4≤ x ≤ 4 el conjunto solución S = [ -4 ; 4 ]
5) | -6 + 3x | > 2
Aquí puede aplicar nuevamente otra de la propiedades de módulo que
sería la siguiente
|x |>k ⇔ x > k
∨
x < -k
-6 + 3x > 2
∨ -6 + 3x < -2
3x > 8
∨
3x < 4
x >8/3 ∨
x<4/3
El conjunto solución es
S = (-∞; 4/3) ∪ (8/3 ;+ ∞ )
)
4/3
(
8/3
Tenga en cuenta que tanto el ejemplo 4 y 5 se pueden resolver también aplicando la definición de módulo.
4) Otro problema que se le puede presentar es : le plantean encontrar la solución a un producto ya sea positivo (>0 ) o negativo (<0). Veamos:
46
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
a)
( x + 3) ( x –2 ) <0
Usted puede trabajar teniendo en cuenta la regla de los signos, en este caso le piden que el
producto sea negativo, entonces debe analizar “ + . – “ y “ - . +”.Es decir el producto de
un factor positivo y el otro negativo y considerar la otra posibilidad, el primer factor negativo y el segundo positivo. Así
1) Si x + 3 >0
∧ x–2<0
∧
x > -3
x<2
(
esto es (-3 ;2 )
)
-3
2
2) Si x + 3 < 0 ∧ x –2 > 0
x < -3
∧
x>2
esto es φ por lo tanto la solución de la inecuación es:
S = (-3 ;2 )
No se olvide, verifique. En estos casos tome cualquier número de la solución y reemplácelo en la inecuación original.
b) (x – 1) (x + 2) ≥ 0
Haga el mismo procedimiento que con el ejemplo a), teniendo en cuenta que ahora le piden
que el producto sea positivo. ( +.+ o - . -)
1) Si (x – 1) ≥ 0 y (x + 2) ≥ 0
[ [
-2
2) (x – 1) ≤0 y (x + 2) ≤0
y
x ≤ -2
[
UNIVERSITAS
-2
1
[
x ≤1
-2
[
1
S1 = [1; +∞)
[
x ≥ 1 y x ≥ -2
1
S2 = (-∞; -2]
S = S1 ∪S2 = = (-∞; -2] ∪ [1; +∞)
47
MATEMÁTICA I
Verifique siempre, tome un valor cualquiera de la solución y reemplácelo en la inecuación original, y deberá por supuesto si la solución es correcta, verificar la inecuación.
"
Actividad 4
Inecuaciones
Resuelva las siguientes inecuaciones:
a) 5x + 2 > x – 6
b) x2 < 5x
c) 13 ≥ 2x – 3 ≥ 5
d) | x – 3 | ≤ 4
e) | x – 3 | ≥ 4
f) (x – 2) ( x + 4) < 0
g) (2x – 1) (x + 1) < 0
h) | 2x2 –1 | < 0
i) | 2x2 –1 | > 0
j) 3x2 + 6x – 9 ≥ 0
48
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Polinomios
Recuerde que las expresiones algebraicas se clasifican en...
Enteras: la variable x esta elevada a un numero N0 .
Por ejemplo :2-x , x2 + 3x,-x3-2x+1.....
Racionales
Fraccionarias : las variables tienen exponente negativo o sea que están dividiendo
Por ejemplo: (x+2)-2,3x-1/x, 3/x-1,....
Irracionales
⇒ la variable esta elevada con exponente fraccionario:
Por ejemplo: x-3 x1/ 2 ,4 x-3/2+2
Trascendentes ⇒ incluyen también logaritmos, seno, coseno y la
variable puede estar también como exponente.
Por ejemplo: tgx+cos x, 4-2sen3x, 4x+3,...
Se llama polinomio a toda suma algebraica de monomios. Estos monomios reciben el nombre de términos.
Toda Expresión del tipo:
p(x)= an x n+ a
n-1
x n-1 + .......+ a 2 x2 +a 1x+ a 0
recibe el nombre de polinomio y se lee así: el polinomio p de x es igual a “a sub-n” por “x
a la n”, más “a sub-ene menos uno” por “x a la ene menos uno” más ...... más “a sub-dos”
por “x al cuadrado” más “a sub-uno” por “x a la uno” más “a sub-cero ( note que este último término va multiplicado por x a la cero que es igual a uno que no se escribe). Existe
entre los sub-índices y los exponentes la relación de ser iguales.
UNIVERSITAS
49
MATEMÁTICA I
p(x) es un polinomio de variable x ; an, an-1 ,....a2,a1 ,a0 se llaman coeficientes del polinomio
y toman el valor de cualquier numero real.. Los sub-índices pertenecen al conjunto de los
naturales. Al igual que los exponentes de las x.
Por ejemplo:
p(x)= 2x3+3x-1
q(x)= x2+4x-2
r(x)= -5x+4x4.
s(x)=6x-2
Elementos de un polinomio
Se llama grado del polinomio al mayor exponente al que esta elevada la variable, en nuestro
caso x,
Del ejemplo anterior:
gr p(x)=3
gr q(x)= 2
gr r(x)= 4
gr s(x)= 1
Se llama coeficiente principal al coeficiente del término que determina el grado.
Del ejemplo anterior:
De p(x) es 2 ,de q(x) es 1 , de r(x) es 4 , de s(x) es 6
Un polinomio esta completo si está escrito de manera que aparezcan todos los términos
cuyo exponente es menor que el exponente del término que determina el grado. Si el polinomio es incompleto le agregamos nuevos términos que deben llevar como coeficiente 0,
para no alterar el valor del polinomio.
En los ejemplos anteriores los polinomios p(x) y r(x) están incompletos pero se los puede
completar así:
p(x) =2x3 +0 x2 +3x –1
r(x)= 0-5x+0x2+4x3
50
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Un polinomio esta ordenado si lo esta según las potencias de x ya sea en forma creciente o
decreciente es decir, cuando los exponentes de la misma van aumentando o disminuyendo
término a término. En general la forma más usada es la decreciente. Si ordenamos a r(x)
queda:
r(x)=4x3-5x
Igualdad de Polinomios
Dos polinomios son iguales si los términos semejantes ( recuerde que son aquellos que tienen la misma y variable afectada por el mismo exponente) son iguales.
Por ejemplo, calcule “k” sabiendo que los polinomios p(x)= x3+k x2-1 y q(x)= x3-3x2-1 son
iguales.
Como son iguales, lo son término a término con lo cual nos queda:
kx2 = -3x 2
entonces k =-3
Operaciones con expresiones algebraicas enteras
Suma y resta de polinomios
Teniendo en cuenta que todo polinomio es una suma algebraica de números, para sumar o
restar dos o más polinomios deben formar otro polinomio cuyos términos sean todos los
términos de los polinomios sumandos. Cuando en el resultado final figuren términos semejantes, se debe hacer la suma (o resta) de ellos de acuerdo con la definición. Recordemos
que dos términos son semejantes cuando las mismas letras están afectadas por los mismos
exponentes, así:
1) 2ax ; -3ax; 4 ax; son términos semejantes
2) 4x3; -2x3; x3
son términos semejantes.
UNIVERSITAS
51
MATEMÁTICA I
Si los quiere sumar :
1) 2ax-3ax+4ax= 3ax
2) 4x3 -2x 3 +x 3= 3x3
Lo mismo ocurre con los polinomios. Se suman (o restan)los coeficientes de los términos
semejantes, es decir los que tienen la misma parte literal (o sea las letras con los mismos
exponentes)
Por ejemplo:
p(x)= x3+ x2+2x+3
y
q(x)= x2 +7x-2
p(x)+q(x)= x3 +x 2 +2x+3+x 2+7x-2= x 3 +2x2 + 9x +1
Multiplicación de polinomios
a) Multiplicación de un término por un polinomio:
Se obtiene un nuevo polinomio que resulta de multiplicar cada término del polinomio dado,
por el término. Es decir Ud. debe aplicar la propiedad distributiva, por ejemplo:
p(x)= 3x y
q(x)= 2x2 +4x –7
p(x)+q(x)=3x.( 2x2+4x-7)= 3x.2x2+3x.4x+3x.(-7)=6x3 +12x2 –21x .
b) Multiplicación entre polinomios:
Para poder multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos
los del otro polinomio (prop. distributiva) y luego se reducen los términos semejantes.
Por ejemplo:
q(x) = x-2
p(x) = x2+3x-1
p(x).q(x) = (x2+3x-1).(x-2) = x2.(x-2) +3x.(x-2) –1.(x-2) = x2.x+x2.(-2)+3x.x+3x.(-2)+
+(21)x+(-1).(-2) = x3-2x2+3x2-6x-x+2 = x3+x2 –7x +2.
Combinemos ambas propiedades vistas, por ejemplo
p(x) =x2-2x+2
52
q(x)= 2x-1
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
a) p(x)-2q(x)= x2-2x+2 –2 (2x-1) = x2-2x+2-4x+1= x2-6x+3
b) 3.p(x).q(x) = 3.(x2-2x+2).(2x-1) = (3x2-6x+6) . (2x-1) = 3x2.2x + 3x2.(-1) + (-6x).2x +
(-6x).(-1)+6.2x+6.(-1)= 6x3 –3x2 -12x2+6x+12x-6= 6x3 -15 x 2 +18x-6
División de polinomios
Dado un polinomio p(x) llamado dividendo, completo y ordenado según las potencias en
forma decreciente y otro polinomio q(x),llamado divisor, completo y ordenado de la misma
forma anterior, se denomina cociente c(x) a un polinomio tal que multiplicado por el divisor mas otro polinomio r(x) llamado resto de por resultado el polinomio dividendo.
Notación:
p(x)
q(x)
r(x)
c(x)
⇔ p(x)= q(x).c(x) +r(x)
Para poder efectuar la división el grado de p(x) debe ser mayor que el de q(x), y se deja de
dividir cuando el grado de r(x) sea menor que el de q(x).
Cuando el resto es igual a 0, se dice que el cociente es exacto y que el polinomio dividendo
es divisible por el polinomio divisor.
Efectuemos la siguiente división:
p(x) = x3-2x2+3x+6
y
q(x) = x+3
1) Se ordenan y completan los polinomios, en este caso ya los tiene y efectúa el cociente
del primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
x3-2x2+3x+6
x+3
x2
UNIVERSITAS
53
MATEMÁTICA I
2) Se multiplica el cociente hallado por todos los términos del divisor y el resultado se
resta del dividendo.
x3-2x2+3x +6
- x3 –3x2
-5x2+3x+6
x+3
x2
3) Se divide el primer término de la resta hallada (-5x2) por el primer divisor (x) y luego
se multiplica el nuevo término del cociente por todo el divisor y su producto se le resta
del nuevo dividendo, como se hizo antes. La operación así continua hasta hallar una
resta donde el grado sea menor que el grado del divisor.
x3 – 2 x2 + 3 x + 6
x3 - 3 x2
-5x2 + 3 x + 6
5x2 +15 x
-
x+3
x2 – 5 x + 18
18 x + 6
-18 x -54
-48
El cociente es igual a : c(x)= x2 –5 x +18 y el resto es igual a r(x)= -48. Note la relación
entre los grados del resto y del divisor.
Otro ejemplo:
p(x)= -1/2 x3
-1/2 x3 +0x 2 +0 x +0
1/2 x3 +4 x2
q(x) = ¼ x +2
¼ x+2
-2x2 + 16 x – 128
4 x2 + 0 x+ 0
-4x2 –32x
-32 x +0
32 x+256
256
54
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Regla de Ruffini
Mediante esta regla se pueden efectuar las divisiones de un polinomio por otro de la forma
(x+a) o (x-a), donde a ∈ R.
Vamos a ver el procedimiento con un ejemplo:
p(x)= -3x4 +2x3 –x +4
y q(x)= x+2
Primero completamos y ordenamos los polinomios en forma decreciente:
q(x)= x+2
p(X)= -3x4 +2x3 +0x2 –x +4
Segundo hacemos q(x) igual a 0 y despejamos x :
x+2=0 ⇒ x=-2
3)Trabajamos con los coeficientes de los términos de p(x), lo colocamos uno seguido del
otro en orden, formando una tabla:
-3
valor
despejado -2
-3
2
0
-1
4
6 -16
32 -62
8
31
-16
-58
Primero bajamos el –3, lo multiplicamos por el (-2) este resultado (6) se lo sumamos al
siguiente coeficiente ,da 8; este resultado lo multiplicamos por (-2) se lo sumamos al siguiente coeficiente ,dá –16; volvemos a multiplicar por –2 y lo sumamos al siguiente coeficiente, da 31 y este resultado lo multiplicamos por –2 y lo sumamos al siguiente, dá –58.
¿Cómo traducimos estos resultados?
El ultimo numero –58 es el resto de la división, r(x)= -58. Si hubiese dado 0, se trata de un
cociente exacto.
UNIVERSITAS
55
MATEMÁTICA I
Los otros valores representan los coeficientes del cociente, lo que se obtiene es un polinomio de un grado menos que el dado:
C(x) = -3 x3 +8 x2-16x+31.
Si lo resolvemos por el método de Ruffini o por el método de la división de polinomios, el
resultado es el mismo, usted lo puede verificar. En Matemática, aunque emplee distintos
métodos, el resultado permanece invariante, es decir, siempre debe dar lo mismo.
Si q(x) es de la forma :q(x)= bx+a o q(x)= bx-a, el procedimiento también se puede aplicar.
Pero al cociente hay que dividirlo por b, para obtener el verdadero cociente.
Otro ejemplo:
P(x)= x2 –4x +4
q(x)= 2x-4
Los polinomios están completos y ordenados.
Despejamos x de q(x) ⇒ 2x-4=0 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2
1
2
1
-4
4
2
-4
-2
0
El cociente es c(x)= x - 2 .Pero dijimos que debemos dividirlo por b ,o sea por 2 ⇒
c(x)= (x –2) /2 = x/2 –1 y r(x)=0.
Algoritmo de la división
El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
56
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Dividendo
divisor
D= d.c+ r
resto
cociente
Si el resto es 0 ,ya vimos que la división es exacta, es decir, D es divisible por d ⇒D=d.c
En el caso anterior:
p(x)= (x-2).(x/2-1) .
Teorema del Resto
Dados dos polinomios, el resto de la división de p(x) por x-a es p(a).
Tomamos el valor despejado de x en x-a y lo reemplazamos en p(x).
Por ejemplo, aplicar el teorema del resto a:
p(x)= x3+x2-4x-4 para ver si es divisible por x+1.
x+1=0 ⇒ x=-1
P(-1)= (-1)3 +(-1)2 - 4 (-1) –4 = -1+1+4-1=0
Es decir que x=-1 es raíz del polinomio. Son válidas también todas las propiedades de
factoreo en reales.
Se dice que a es raíz de p(x) ⇔ p(a)=0
Ejemplo: Para que valores de k ∈ R, x=2 es raíz de p(x)= x3+2x2 –4x +k
Se puede resolver aplicando el t.del resto o por Ruffini. Si aplicamos el primero:
p(2)= 23+2.22-4.2+k= 8+8-8+k=-8+k,como 2 es raíz: p(2)=0 ⇒ +8+k=0 ⇒ k= -8
Entonces p(x)= x3+2x2-4x-8
UNIVERSITAS
57
MATEMÁTICA I
Por Ruffini seria:
2
1 2
2
1 4
-4 k
8 8
4
k+8
r = k+8, para que sea raíz R=0 ⇒ k+8=0 ⇒ k=-8.
Recuerde que para resolverlo no debe usar los dos métodos, utilice uno u otro.
Otro ejemplo: ¿Cuál es el resto de dividir p(x)= 2x3 –3x +4 por x+1 ?
Usamos el teorema del resto : x+1=0 ⇒ x=-1
p(-1)= 2.(-1)3-3.(-1)+4= -2+3+4= 5 y este es el resto de la división.
Descomposición factorial o Factorización de polinomios
en Reales.
Factorizar un polinomio es expresar al mismo como producto de sus raíces.(siendo R=0)
Para factorear polinomios a partir de sus raíces primero debemos hallarlas, entonces igualamos a 0 el polinomio y resolvemos.
Cuando un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces reales ( iguales o distintas y no
complejas)se lo puede expresar así:
P(x)= a. (x-x1). (x-x2).(x-x3) .... (x-xn)
donde a es el coeficiente principal de p(x) y x1 ,x 2,x3 ,...,x n son las raíces.
58
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Vea algunos ejemplos:
a) p(x)= 3x2-4x+1
Halle las raíces: 3x2-4x+1=0.
Aplicando la formula de la ecuación cuadratica: x1-2=
-b +-√ b2 –4.a.c
2.a
obtenemos que las raíces son x1= 1 y x2 =1/3.
A p(x) lo escribimos como: p(x) = 3. (x-1). (x-1/3)
b) p(x)=x3+x2-2x
No podemos usar la formula anterior para determinar las raíces, ya que esta es válida únicamente para ecuaciones de segundo grado ¡no lo olvide!
Como x esta en todos los términos sacamos factor común:
p(x)= x .(x2+x-2) , esto significa que x =0 es una raíz, debemos encontrar las otras dos, ya
que como el polinomio es de 3er. Grado, tenemos 3 raíces. Como nos quedo una ecuación
de 2do. Grado dentro del paréntesis, aplicando la formula tenemos que:
x1= -2 y x2 = 1, entonces la factorización de p(x) es:
p(x) = x. (x+2). (x-1)
c) p(x)= -x3+x2+4x-4
Debemos hallar las raíces, pero no existe una formula para hallarlas para polinomios de
grado mayor a dos. En el ejemplo anterior utilizamos primero un caso de factoreo.
Para encontrarlas lo podemos hacer por tanteo o aplicando el teorema de Gauss. Este matemático de origen alemán determinó la forma de hacerlo, veamos:
UNIVERSITAS
59
MATEMÁTICA I
Teorema de Gauss – Relación entre los coeficientes
Si el polinomio real p(x),de grado n, con coeficientes enteros, admite una raíz racional p/q
entonces p es divisor del termino independiente y q lo es del coeficiente principal.
Es decir, dado un polinomio primero buscamos los divisores del termino independiente
luego los divisores del termino principal, si hay una raíz racional tiene que ser una de las
combinaciones:
Divisor. Term indep.
p
=
Divisor .term.princ.
q
son las posibles raíces, una vez halladas todas las combinaciones hay que reemplazar en
p(x) hasta encontrar una y comenzar a factorizar el polinomio.
Por ejemplo:
Determinar, si existen raíces racionales de:
P(x)= 8x3+10x2-11x+2
Si existen raíces racionales, debe ser p divisor de 2 y q divisor de 8.
Los divisores de 2 son : 1,-1,2 y –2
Los divisores de 8 son : 1,2-1,-2,4,-4,8y –8
Las posibles raíces son : { 1,-1,1/2,-1/2,1/4,-1/4,1/8,-1/8,2,-2}, de las 10 combinaciones (las
que se repiten se ponen una vez),solo 3 son raíz de p(x) y son : -2,1/2,1/4 y en consecuencia la factorización o descomposición factorial es:
P(x)= 8. (x+2). (x-1/2). (x-1/4)
60
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Ahora si puede resolver el ejemplo
3) P(x)= -x3+x2+4x-4
Los divisores de -4 son : 1,-1,2,-2,4,-4
Los divisores de -1 son : 1 y –1
Formamos p/q: { 1,-1,2,-2,4,-4}
De las combinaciones posibles resultan raíces : 1,2,-2
Por lo tanto p(x)= -1 (x-1). (x-2). (x+2)= -(x-1).(x-2).(x+2)
"
Actividad 5
Polinomios
1) Sean los polinomios:
P(x)= 3x5 –2x3+x2-5x-1
y q(x)= 2x4-3x2 –x+5
Determine si son verdaderas:
a) gr (P+Q) = grP + gr Q
b) gr(P-Q) = gr P- gr Q
2) Sean p= 3x3 +4x2+5x-1 y q(x)= 2x2+6x+8
Calcule :
a) P+Q
b) P-Q
c) P.Q
UNIVERSITAS
61
MATEMÁTICA I
d) P/Q
e) 3P-Q
3) Dado p(x)= x4-5x-7x2+1,determine aplicando el teorema del resto, si es divisible por:
a) x + ½
b) x+1
c) x-2
4) Halle las raíces de :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x2-1
3x2-6x
x2+2x+1
x2+3x+2
x3-x2-2x
x3-x
5) Dado 2x2-3x3-1+ ½ x decir si 1/3 es raíz.
6) Calcule el resto de (x4-13x2+2) : (x+4)
7) ¿Para que valores de k, ,x= -1 es raíz de p(x)= 2x3-3x2-2x+k?
8) ¿Para que valores de k el resto de la división de 3x3-6x+k : (3x-9) es 64.?
9) Verifique que el resto de la división de –x4+3x2-3 por (x-1) es –1
10) Verifique que la factorización en R de x3-3x2+x-3 es (x2+1). (x-3)
11) Aplicando Ruffini calcule el cociente y el resto de la división de:
a) 3x4+5x3+3x-1 por (x+1)
b) –4x3+x2
por (x+1/2)
c) x+x4+x3+x2
por (x+1)
12) Aplique el teorema de Gauss para hallar las raíces de:
62
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
a) 4x4-24x3+52x2-48x+16
b) 8x3+22x2-7x-3
Funciones
Relaciones
El Algebra, mediante las incógnitas de las ecuaciones planteadas en los problemas, le ayudará a estudiar y a resolver situaciones concretas de la vida diaria, que le dan como resultado valores fijos. Pero, también se presentan valores que cambian con el tiempo y con las
condiciones, por ejemplo en los laboratorios, en el área comercial etc., para eso es necesario
establecer relaciones entre las variables involucradas, tales como: la relación que establece
como varía la perdida o ganancia de una fábrica cuando varía un determinado producto o
como varía la venta de pasajes en micro en época de vacaciones.
De estas relaciones establecidas nos interesan en particular aquellas relaciones entre variables que son las funciones.
Ya ha visto usted que es un par ordenado, definimos que es una relación:
R es una relación de A en B ⇔ R ⊆ AxB.
Si consideramos al conjunto de todos los pares ordenados de AxB tales que el primer elemento esta vinculado con el segundo por alguna propiedad, el subconjunto AxB, define una
relación de A en B.
Por ejemplo, el orden en el conjunto de los números N esta dado por la relación ser menor
que definida de N en N. En este caso A y B son los mismos, es decir N.
Otro: dados A={ 8,11} y B={ 7,8,9,10,11} y la relación ser menor que ,de A en B,el conjunto R sería:
R={ (8,9),(8,10),(8,11)}
UNIVERSITAS
63
MATEMÁTICA I
Dominio e imagen de una relación
Sea R una relación de A en B. Se llama dominio, se lo indica DR ,al conjunto formado por
todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.
DR ={x / x ∈ A y (x,y) ∈ R }
La imagen de la relación R es el conjunto formado por todos los segundos elementos de los
pares ordenados que pertenecen a R.
IR={ y / y ∈ B y (x,y) ∈ R }
En el ejemplo anterior: DR= {8} y IR={9,10,11}
Definición
Una función es una relación de A en B tal que cumple con que a cada elemento del dominio
le corresponde uno y solo un elemento de la imagen. Es decir que cumple con dos condiciones, la de existencia y unicidad. A los elementos del dominio se los designa en general
con X y a los elementos de la imagen, también llamada codominio se los designa en general
con Y.
La función, o sea, las reglas u operaciones que debe aplicar a cada uno de los elementos del
dominio para obtener una única imagen que le corresponde en el codominio se indica con f,
y ella esta representada por operaciones aritméticas u otra ley de formación establecida.
Las notaciones mas usadas para indicar que se aplica la función f a un valor x para obtener
el de y son :
y = f(x)
f: x → f(x).
Considere los siguientes conjuntos y determine si es o no función:
Siendo A={1,2,3} y B={a,b}
64
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
a) Si es función, cumple con la definición.
A
B
1
2
3
A
1
2
3
a
b
B
1
2
3
a
b
c) Si es función, cumple con la definición.
A
b)No es función, pues el 3 no tiene imagen.
B
a
b
d) No es función por que el 2 tiene dos
imágenes distintas.
A
1
2
3
a
b
B
Funciones escalares
F:A → B/ y =f(x) es una función escalar si y solo si A ⊆R y B ⊆ R ,siendo R los números reales.
Por ejemplo:
F: R→ R / f(x)= x+1
F: N→ Z / f(x) = x
F: R→ R / f(x) = x2-2x+1
Para poder definir una función debe indicarse cual es el dominio, el codominio y la ley de
correspondencia.
Por ejemplo:
a) Dada f:R → R / f(x)= x3-2x+1,halle para x=0,1,2,-1 y –2 los valores de f(x):
UNIVERSITAS
65
MATEMÁTICA I
x
0
1
2
-1
-2
f(x)
03-2.0+1 = 1
13-2.1+1= 0
23-2.2-1=5
(-1)3-2(-1)+1=2
(-2)3-2(-2)+1=-3
b) Si g: R → R / g(x)= 2x2-1,calcule:
1)
2)
3)
4)
g(2x)= 2 (2x)2-1=8x2-1
g(x2)= 2 (x2)2-1= 2x4-1
g(x-1)= 2 (x-1)2-1= 2(x2-2x+1)-1= 2x2-4x+2-1= 2x2-4x+1
g(-x)= 2 (-x)2-1= 2x2-1
Funciones usuales
1) Función constante
f es una función constante si y solo si ∃ k ∈ R / ∀ x: f(x) = k
Su gráfico es una recta horizontal:
k
Por ejemplo y= 2
2
66
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
2) Función lineal
f es una función lineal sobre R si y solo si ∀ x: f(x) = ax + b y a ≠ 0
Su gráfico es una recta, donde b:es la ordenada al origen, a: la pendiente o inclinación de la
recta y x la variable independiente.
b
y=ax+b
Por ejemplo: y= 2x –1
y = 2x –1
1
1
• -1
3) Función cuadrática
f es una función cuadrática si y solo si ∀ x: f(x) = ax2+bx+c, donde a,b,c pertenecen a los
reales, y a ≠ 0
La gráfica es una parábola.
UNIVERSITAS
67
MATEMÁTICA I
Si a es positivo la gráfica mira hacia la y positivas
Si a es negativo la gráfica mira hacia las y negativas.
Las coordenadas del vértice las encontramos así:
xv = - b / 2.a e yv = a x v2 + b xv + c
Si a esta función le busca los ceros o raíces tendrá los puntos donde la gráfica corta al eje
x. Si no tiene raíces reales significa que no corta al eje x , que está por encima o por debajo
del eje x, dependiendo del valor de a. Recuerde lo visto en ecuaciones cuadráticas.
Por ejemplo:
a) f:R → R / f(x)= x2 +2x –8
Sacamos la coordenada del vértice: xv= -2/2 =- 1 , yv=(- 1)2 +2.(-1)-8= - 9
Las coordenadas son V: (-1, -9)
Veamos si corta al eje:hacemos x2 +2x-8=0, si resuelve la ecuación da x= 2 y x=-4.
Es decir que, la gráfica corta al eje x en 2 y –4. Como a= 1, es positiva, la gráfica mira hacia las y positivas.
Observe la tabla que se encuentra en la hoja siguiente...
Realicemos la tabla:
68
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
x
y
0
1
2
3
-1
-2
-4
-8
-5
0
7
-9
-8
0
-4
2
V: (-1,-9)
4) Función valor absoluto
f es la función modulo o valor absoluto si y solo sí :∀ x: f(x)= | x |
Su gráfico está formado por las bisectrices del primer y segundo cuadrante.
5) Función signo
La función signo está definida por la siguiente regla:
∀ x: f(x)= sgn x = | x | / x .
UNIVERSITAS
69
MATEMÁTICA I
Su gráfico esta formado por dos semirectas horizontales, cada una sin su origen, pues esta
excluido el 0 del su dominio.
1
-1
Dominio de una función
Recuerde que el dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que
puede tomar x.
Por ejemplo:
f(x)= 2x-4
g(x)= x2-x+5
h(x)= x3-2
Df= R
Dg=R
Dh=R
En el caso de funciones escalares el Df=R, pero a veces es preciso tomar subconjuntos de
los reales para la existencia de la función.
Vea los siguientes casos...
a) f es una función que tiene las x en el denominador, en este caso debe pedir que el denominador sea distinto de 0,pues sino ese valor (o valores) no tendría imagen y por lo
tanto no sería función. Por ejemplo:
1) f(x)= 1/x
70
x≠o, entonces Df= R-{0}, pues si x es igual a cero f(0) no está definida.
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
2) h(x)= x+1
2x-3
2x-3≠o ⇒ 2x≠ 3 ⇒ x ≠ 3/2
Entonces Dh = R-{3/2}
3) g(x)= 2x+1
x2-4
x2 – 4 ≠o ⇒ x2 ≠ 4 ⇒ x ≠ √ 4⇒ x ≠ +-2
Entonces Dg= R –{2;-2}
4) k(x)=
x2- 3x + 2 ≠o ⇒ x ≠ 2 y x ≠1
x
x2-3x +2
Entonces Dh= R-{1,2}
b) Funciones logarítmicas:
Por definición de logaritmo, la condición de existencia es que el argumento sea positivo, o
sea mayor que 0.
f(x)= log x
→
x> 0 → Df= (0,∞ )
⇒
Dg=( -3 , ∞ )
x+3>0
h(x)= ln (x – 2 )
x-2 > 0 ⇒ x > 2 →Dh= (2,∞ )
k(x)= 2x / ln x
UNIVERSITAS
x > -3
→
g(x)= log (x+3)
( ln x ≠ 0 y x > 0) tiene dos condiciones una por estar en el denominador y otra por la existencia del logaritmo
71
MATEMÁTICA I
Por lo tanto:
x ≠ 1 (aplicando definición de log.) y x > 0; de la unión de ambas condiciones resulta que Dk= (0,1) ∪ (1,∞ )
c) Función módulo
Si el módulo se encuentra en el numerador, no es necesario hacer nada, si en cambio se
encuentra en el denominador, deberá ser tratado como en el caso a).
f(x)= | x |
Df=R
g(x) = 2 / | x |
| x | ≠ 0 Dg= R-{0}
h(x) = 3x / | x +1 | | x + 1 | ≠ 0 , x + 1 ≠ 0 ,x ≠ -1; Dh=R -{ -1 }
c) Funciones con raíces cuadradas
Por definición de existencia en reales, lo que está dentro de la raíz debe ser positivo o 0, si
estuviera en un denominador solo necesitamos la condición de ser positivo.
f(x)= √ x-4
x–4≥ 0 , x≥4
Df= [4,∞ )
g(x) = 3x-1
√ x-4
x–4>0,x>4
Dg= ( 4, ∞)
Representación gráfica de una función escalar
Se denomina gráfica de una función escalar al conjunto:
G = { (x,y) / (x,y) ∈ R2 e y= f(x) }
cuya representación es el conjunto de puntos (x,y) del plano cartesiano tal que y es imagen
de x a través de f.
72
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Por ejemplo a) f : R → R / f(x)= 2 x
x
f(x)
0
1
0
2
efectuamos la tabla . Dos puntos determinan una recta ,que es la gráfica
de una ecuación lineal o primer grado.
2
y = 2x
• 1
b) g: Z → Z / g(x)= -x+1
x
0
1
2
-1
-2
g(x)
Como el dominio son los enteros no se traza la recta,
sino que la gráfica esta representada por los puntos.
1
0
-1
2
3
UNIVERSITAS
73
MATEMÁTICA I
c) K : N → N / k(x) = x +1
x
k(x)
1
2
3
2
3
4
como el codominio son los N también marque punto y no una recta
d) S: [ -2; 2 ] → [ 0, 4 ] / s(x)= x2
La gráfica por ser una cuadratica es una parábola.
x
s(x)
0
1
2
-1
-2
0
1
4
1
4
4
y=x2
-2
74
2
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Intersección con los ejes coordenados
La intersección del gráfico con el eje y, si existe, es {0,f(0)} y la intersección del gráfico
con el eje x ,si existe es el conjunto de los x que anulan la función,(es decir, las raíces o
ceros de la función), a es cero de una función:⇔ f(a)= 0.
Por ejemplo, determinamos las intersecciones con los eje de
a) f:R→R / f(x)=-x+4
Si x=0 tiene la intersección con el eje y : y= 0+4 → y=4
Si y=0 tiene la intersección con el eje x : 0= -x+4 → x= 4
Por lo tanto la gráfica corta al eje y en 4 y al eje x en 4.
b) g :R→R / g(x)=-x2+1
Si x=0 : y= 0+1 →
y=1 .Si y=0 :
0= - x2+1 →
x2 = 1 →
x= +- 1
La gráfica corta al eje y en 1 y al eje x en 1 y –1.
a)
b)
(0,4)
y=-x+4
(4,0)
(0,1)
(-1,0)
(1,0)
y=-x2+1
UNIVERSITAS
75
MATEMÁTICA I
Funciones pares e impares
En algunos casos puede facilitarse el trazado del gráfico de una función, teniendo en cuenta
las condiciones de simetría que se pueden presentar
a) Simetría respecto del eje de coordenadas
Por ejemplo: f: R → R / y=x2
Usted a esta gráfica ya la conoce.
Observe que todos los números opuestos tienen la misma imagen. Se dice que la función es
par:
f es par ⇔ ∀x ∈ Df: f (x) = f (-x)
b) Simetría respecto del origen de coordenadas
Por ejemplo: f: R → R/ y = x 3
y= x3
Las imágenes de números opuestos son números opuestos. Se dice que la función es impar:
f es impar ⇔ ∀x ∈ Df: f (x) = - f (-x)
Para analizar si una función es par o impar, su dominio debe ser un intervalo simétrico con
respecto al origen de coordenadas. Hay funciones que no presentan paridad, es decir, no
son pares ni impares.
76
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Clasificación de funciones
Funciones inyectivas
Considere los conjuntos A= { 0,1,2,3}, B= { 3,4,5,6,7} y la función f:A→B /
f(x)= x+3
A
B
0
1
2
3
3
4
5
6
7
Observe que a elementos distintos del dominio tienen imágenes diferentes, es decir:
x1≠ x2 ⇒ f( x 1) ≠ f(x2). Toda función que cumple con esta condición es inyectiva.
Gráficamente se da cuenta que es inyectiva, si trazando rectas paralelas al eje x corta a la
gráfica en un solo punto, si lo hace en mas puntos no es inyectiva.
UNIVERSITAS
77
MATEMÁTICA I
Por ejemplo:
a) f(x)= 4x
•
•
y=4x
•
Es inyectiva, pues si traza rectas paralelas al eje x, corta a la gráfica en un solo punto
b) f(x)= x2
No es inyectiva, pues las rectas paralelas al eje x cortan a la gráfica en dos puntos.
•
•
•
78
•
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Funciones sobreyectivas
Considere los conjuntos A={ 0,1,2,3,4}, B={ -1,0,1,2,3} y la función f:A →B / f(x)= | x |-1
A
B
0
1
-1
2
4
3
1
0
2
3
Todo elemento de B es imagen de un elemento de A, es decir Codf=B y el recorrido de f
que indica
Rec f = B, entonces el recorrido y el codominio coinciden. El recorrido es el conjunto formado exclusivamente por la imágenes que toman x a través de f.
Toda función que cumple esta condición se llama sobreyectiva o suryectiva.
Por ejemplo:
a) f:R → R / f(x)= x2, no es sobreyectiva pues, Codf= R y el RecF = R+
b) f:R → R / f(x) = 4x, es sobreyectiva pues, Codf=R y el Recf=R.
Funciones biyectivas
Todas las funciones que cumplen con ambas condiciones, inyectivas y sobreyectivas, se
denominan biyectivas.
Por ejemplo...
UNIVERSITAS
79
MATEMÁTICA I
a) f: R→ R / f(x)= x – ½
•
(1/2;0)
•
•
(0;-1/2)
•
f (x) es inyectiva pues si trazamos rectas paralelas al eje x corta a la gráfica en un solo
punto y es sobreyectiva pues el Codf=R y el Recf=R,es decir coinciden.
b) f: R→ R / f(x)= x3
También es biyectiva, por la misma razón anterior.
f: R→ R / f(x)= e x
80
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
(0;1)
Es inyectiva pues las rectas paralelas cortan en un solo punto a la gráfica, pero no es sobreyectiva, pues el Codf = R, pero el Recorrido de la función esta formado por los reales positivos, por lo tanto no es biyectiva.
Restricción de una función escalar
La función f :R →R / y= x2 no es inyectiva, como lo puede demostrar en el gráfico. Las
rectas paralelas cortan a la gráfica en dos puntos diferentes.
Pero si considera la función f * :R+0 → R / f *(x)= x2 si es inyectiva.
Observe que el dominio de esta nueva función esta incluido en el dominio de f.
Se dice que f * es la restricción de f al conjunto R+0 .
Entonces f *: C → B es la restricción de f: A → B al conjunto C si y solo si C⊆A y f *⊆ f.
Cualquier restricción de una función inyectiva es una función inyectiva.
Lo mismo ocurre si una función no es sobreyectiva. Se efectúan las restricciones del codominio que debe coincidir con el recorrido, así Codf = Recf, y Codf* ⊆ Codf.
Por ejemplo...
a) f: R→ R / y= x2 –2x+5
x v = -(-2)/ 2 , x v = 1
yv = 12 –2.1 +5= 4
2
x –2x +5 = 0, no tiene raíces reales, entonces no corta al eje
UNIVERSITAS
81
MATEMÁTICA I
V ( 1;4)
No es inyectiva, como lo vemos en el gráfico, ni tampoco sobreyectiva, ya que Codf= R y
el Recf= [ 4,∞ ), por lo tanto no es biyectiva.
Si efectúa una restricción donde f*: [ 1,∞ ). → [ 4,∞ ), la función resulta ser biyectiva.
Note que toma un arco de parábola, si tomo el otro también resulta ser biyectiva.
b) f : R→ R / y= e x
La función es inyectiva, pero no sobreyectiva, como lo vio antes. Si el Codf *= Recf=R+
la convertimos en sobreyectiva ,por lo tanto f* : R → R + es biyectiva.
(1,0)
c) f: R→ R / y= |x|
82
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
La función no es inyectiva, como lo ve en el gráfico y tampoco sobreyectiva ya que el
Codf=R y Recf= R+.
Si efectúa la restricción f*: R+→ R+ resulta ser biyectiva.
"
Actividad 6
Relaciones y Funciones
1) Dado A={ -1,2,1,4} y B={ a,b} efectuar:
a) AxB
b) BxA
c) AxA
d) BXB
2) Determine cuales de las siguientes relaciones son función, justifique las respuestas.
a) A={1,2,3,4} B={a,b,c}
f1: A→B / f1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)}
f2: A→B / f2={(1,a),(2,a),(3,a)}
f3:B→B / f3={(a,b),(c,a),(b,a)}
f4: B→A / f4={(a,2),(b,1),(c,3)}
b) f5 :R→R / f5= 2-4x
UNIVERSITAS
83
MATEMÁTICA I
f6 :Z→R / f6= 2-4x
f7 :N→R / f7= 2-4x
f8 :R→R / f8= 6x / (x –1)
3) Siendo
a) f(x)= x2-3x+5 halle :f(0),f(3),f(-3),f(2x) y f(x-1)
b) g(x)= x3-x halle : g(0),g(a),g(-5),g(x+1)
4) Indique dominio y codominio adecuados a funciones escalares tales que:
a) f(x)= 3x+4
b) f(x)= 2
c) f(x)= 1/x
d) f(x)= 1
x+3
e) f(x)= x2-2x+3
3x-1
f) f(x)= √ x+2
g) f(x)= √ x-5
h) f(x)=
3
√ 2x-1
i) f(x)= log (x-6)
j) f(x)= log (x+3)
k) f(x)= log (3x+5)
l) f(x)=
2x
log x
ll) f(x)=
-4
2
x +x –6
84
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
m)f(x)= 3x+9
x2+x-6
n) f(x)=
2
|x-8|
ñ) f(x)=
3
x2 –2x+2
o)f(x)=
2x3+4x2 –9
4x
p) f(x)= x3 –3x2 +log 5.
5) Realice el gráfico de las siguientes funciones, indique dominio y codominio:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
y= -2x+1
y=-x
y=3x-2
y=x2-x-2
y= x2-3x
y= x2-2x-3
y= | x-1|
y= |x+2|
y=x3+1
6) Halle las intersecciones con los ejes coordenados:
a)
b)
c)
d)
y= x2-3x+1
y=x2-5x+6
y= 4x-3
y= -2x-1
7) De las funciones del ejercicios 5) analice cuales son biyectivas, si es necesario efectúe
las restricciones para que resulten biyectivas.
UNIVERSITAS
85
MATEMÁTICA I
Clave de corrección de las actividades
Unidad de aprendizaje 1
Actividad 1 (Conjuntos)
1) a){ 1,2,3,4,5,6,7,8 }
b) { x / x ∈ N y x es par }
c){5,10,15,20,....}
d) {x/ x es impar y menor a 100}
e) {1,2,3,4,5,6,7}
2) a) 1) ∉ , 2) ∈ ,3) ∉.4) ∈
b)1) ∉, 2) ∉ ,3) ∈,4) ∈
3) a) ⊆ ,b) ⊄ c) ⊆ d) ⊆
4) a) {2,4,6,8,10}
b) {2,3,4,5,6,7,8,10}
c) {1,3,5,7,9}
d) {1,9}
e) {2,4,6,8,10}
f ) {1,2,4,6,8,9,10}
5) 1) d), 2) a), 3) b),4) d), 5) a), 6) c).
6) c)
7)
b)
8) AxB= {(1,1),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4)}
BxA= [(1,1),(1,2),(1,3),(4,1),(4,2)(,4,3)}
9) a) {1,2,3,4,5,6}
b) {4,5,6,9}
c) A
d) B
86
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
e){4,5,6}
f) {1,2,3,4,5,6,9}
Actividad 2 (Conjunto de números)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) F
8) F
9) V
10) V
11) V
12) F
F
V
F
V
V
F
Actividad 3 (Ecuaciones)
1) x = -5
2) x = 1/4
3) x1 =5 y x2 = -5
4) x1 =3 y x2 = -3
5) No existe solución en R
6) x1 =1 y x2 = 3
7) x1 =2/3 y x2 = 5
8) x = 1/16
11) x1 =1 y x2 = 9
12) x1 = 5 y x2 = -16
13) x = 11
14) x = -9/2
15) x1 =0 y x2 = 2
16) No existe solución en R
17) x = 23/2
18) x = 2
22) x = 100
23) x = 9
24) x= 2
25) x= 1
26) x =33
27) x= 0
28) x = 2
29) x = 4
19) x1 =3+√17 y x2 = 3-√17
2
2
x3 =1
9) x1= -9 y x2 = 3
y
x4 = 2
20) x1 = 3+√5 y x2 = 3-√5
2
2
30) x1 =2 y x2 = 1
x1 =3+√17 y x2 = 3-√17
2
2
10) x1 = -8
y
x 2= 12
21) x1 =0
x1 = √ 3/2
UNIVERSITAS
y
x2 = 3/2
31) x1 =2 y x2 = 1
y x2 = - √ 3/2
87
MATEMÁTICA I
Actividad 4 (Inecuaciones)
a) S: (-2;+∞)
b) S: (0;5)
c) S: [4;8]
d) S: [-1;7]
e) S: (-∞;-1]∪[7;+∞)
f) S: (-4;2)
g) S: (-1;1/2)
h) No existe solución
i) R
j) S: (-∞;-3]∪[1;+∞)
Actividad 5 (Polinomios)
1) a) y b) falso.
2) a) 3x3+6x2+11x+7
b) 3x3+2x2-x-9
c) 6x5+26x4+58x3+60x2+34x-8
d) c(x)= 3/2 x- 5/2 y r(x)= 8x+19
e) 9x3+10x2+9x-11
3) a) y c) no, b) si
4) a) x = 1 o
b) x = 0 o
c) x = -1
d) x = -2 o
e) x = 0,
f) x = 0,
x = -1
x= 2
x = -1
x =-1,
x = 1,
x= 2
x = -1
5) falso
6) R = 50
7) k = -3
8) k = 1
11) a) c(x)= 3x3+2x2-2x+5
b) c(x)= -4x2+3x-3/2
c) c(x)= x3 +x
88
y r(x) = -6
y r(x)= ¾
y r(x)= 0
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
12) a) x=1, x=1, x= 2, x=2
b) x= ½ , x= -1/4, x= -3
Actividad 6 (Relaciones y Funciones)
1) a) {(-1,a),(2,a),(1,a),(4,a),(-1,b),(2,b),(1,b),(4,b)}
b) {(a-1),(a,2),(a,1),(a,4),(b,-1),(b,2);(b,1);(b,4)}
c) { (-1,-1),(-1,2),(-1,1),(-1,4),(2,-1);(2,2);(2,1);(2,4),(1,-1),(1,2),(1,1);(1,4),
(4,-1);(4,2),(4,1),(4,4)}
d) {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
2) f1,f3,f4, f5,f6,f7 : si , f2,f8 : no
3) a) f(0)= 5, f(3)= 5,f(-3)= 23, f(2x)= 4x2-6x+5, f(x-1)= x2-5x+9
b) g(0)=0,g(a) = a3-a ,g(-5)=-120,g(x+1)= x3 +3x2 +2x
4) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l )
ll)
m)
n)
ñ)
o)
p)
Df=R
Df= {2}
Df= R –{0}
Df= R-{ -3}
Df= R- {1/3}
Df= [-2,∝ )
Df= [5,∝ )
Df= (1/2, ,∝ )
Df= (6,∝ )
Df= (-3,∝ )
Df = (-5 /3,∝ )
Df = (0,1) ∪ (1,∝ )
Df= R- {2.-3}
Df= R- {2,-3}
Df= R –{8}
Df=R
Df=R
Df=R
UNIVERSITAS
Codf=R
Codf= R
Codf=R
Codf= R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
Codf=R
89
MATEMÁTICA I
5) a)
b)
(0,1)
(1,-1)
c)
d)
(1,1)
(0,-2)
V:(1/2,-9/4)
e)
f)
0
3
-1
V:(1,-4)
V(3/2,-9/4)
g)
h)
V(1,0)
90
3
V:( -2,0)
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
1
i)
En todos los casos el Df= R y el Codf=R
6) a) x=3+√5 x= 3-√5
2
2
b) x=2 x=3 y=6
c) x=3/4 y=-3
d) x= -1/2 y= -1
y= 1
7) a) b) c) i) son biyectivas.
d) f* : [ ½; ∞ ) → [ -9/4,∞ )
e) f* : [3/2, ∞ ) → [ -9/4,∞ )
f) f* : [1, ∞) → [ -4, ∞)
g) f* : [1, ∞) → [ 0, ∞)
h) f* : [-2, ∞) → [ 0,∞ )
UNIVERSITAS
91
MATEMÁTICA I
Autoevaluación
1) Sea A = { x/ x ∈R ∧ 0< |3 – x|< 2 }
B = { x/ x ∈Z ∧ -1≤ x < 8 }
Determine : a) El conjunto A
b) El conjunto B
c) A ∩ B
2) Sea p(x) = x4-6x3 + 8x2 + ( h+k )x – (h-k)
Calcule h y k suponiendo que p(-1) = 14 y
p(-2) = 80
3) Resuelva
log 6 – log 4(x.x +x –3) = log 24
4) Dada f: A→R / f(x) = x2 + 4x – 21
a) Hallar A, es decir el dominio de la función y la intersección con los ejes.
b) Si los tuviera, encuentre eje y vértice.
c) Clasifique la función ( inyectiva y sobreyectiva) y en caso necesario hacer las restricciones necesarias para que la función sea biyectiva.
92
UNIVERSITAS
MATEMÁTICA I
Clave de corrección
Ejercicio Puntaje
1
1.a
2
1.b
1
1.c
2
2
1
3
1
4
4.a
1
4.b
1
4.c
1
Respuesta
Puntaje
de corrección
(1;3)∪(3;5)
B={-1; 0; 1; 2; 3;
4;5;6;7}
A ∩B= {2;4}
h= ½
k =29/2
x1 = 1 y x2 = -2
Df: R ; corta en
y=-21 y en x1 =-7
y x2 =3
Eje x= -2
Vértice ( -2;-25)
No inyect. No sobrey.
D*= [-2;+∞)
Rec*=[-25;+ ∞)
Nota final
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MATEMÁTICA I
Cierre
Con este Módulo I pretendemos que usted repase y traiga a su memoria los conocimientos
de conjuntos, números reales, polinomios y funciones. No sólo eso, sino que además y como ya lo expresamos en la introducción, a medida que el conocimiento avanza en una disciplina, se necesitan elementos, símbolos que representen situaciones cada vez más complejas. Y en este módulo hemos apuntado a que no se quede sólo con definiciones, sino que
avance en el proceso del razonamiento. Seguramente si ha llegado hasta esta instancia, podrá continuar con el segundo módulo, y si esto ocurre, sus objetivos y los nuestros están
cumplidos.
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MATEMÁTICA I
Bibliografía
ROJO, Armando, Algebra I, Editorial : El Ateneo, Buenos Aires
RABUFFETTI, Hebe, Introducción al Análisis Matemático (Cálculo I), Editorial: El Ateneo
REPETTO, Celina,Manual de Análisis matemático,1ra. Parte,Ed.Macchi.
Para hacer todo tipo de consultas básicas, investigue en cualquier texto de Matemática correspondiente al 1º,2º ,3º y 4º nivel del Secundario o de la EGB y polimodal.
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