Chapitre I:
Vecteurs gaussiens-Mouvement Brownien
Probabilités II
5ème annéeDS
A.U:2022-2023
Probabilités II
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Vecteurs gaussiens
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Vecteurs gaussiens
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Mouvement Brownien
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Vecteurs gaussiens
Vecteurs gaussiens
Définition
On dit qu’un vecteur aléatoire X = (X1 , · · · , Xd ) est un vecteur gaussien si, pour
tout a = (a1 , · · · , ad ) ∈ Rd , la variable aléatoire réelle aX est une variable
aléatoire gaussienne.
Autrement dit, toute combinaison linéaire de X est gaussienne.
Par linéarité de l’espérance et par bilinéarité de la variance on a :
E [a.X ] = a1 E [X1 ] + · · · ad E [Xd ] = a.E [X ],
et
Var [a.X ] =
d X
d
X
ai aj Cov (Xi , Xj ),
i=1 j=1
avec Cov (Y , Z ) = E (YZ ) − E (Y )E (Z ) = E [(Y − E (Y ))(Z − E (Z ))].
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Vecteurs gaussiens
Vecteurs gaussiens
Notons par Γ , avec Γij = Cov (Xi , Xj ), la matrice de variance covariance du
vecteur X et m, avec mi = E (Xi ), son vecteur moyenne. La fonction
caractéristique de X est donnée par :
1 t
1
E (e iuX ) = exp{iE (u.X ) − Var (u.X )} = e iu.m− 2 u Γu .
2
La fonction caractéristique (et donc la loi) ne dépend que du couple (m, Γ). On dit
dans ce cas que X suit la loi N(m, Γ).
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Vecteurs gaussiens
Vecteurs gaussiens
Exemple :
Si X1 , · · · , Xd sont des variables gaussiennes centrées réduites indépendantes alors
X = (X1 , · · · , Xd ) est un vecteur gaussien centré de matrice de variance
covariance égale à la matrice identité de Rd .
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Vecteurs gaussiens
Vecteurs gaussiens
Exemple :
Si X1 , · · · , Xd sont des variables gaussiennes centrées réduites indépendantes alors
X = (X1 , · · · , Xd ) est un vecteur gaussien centré de matrice de variance
covariance égale à la matrice identité de Rd .
En effet : pour a ∈ Rd , par indépendance, la fonction caractéristique de a.X est :
Φa.X (t) = E [e ita.X ] =
d
Y
j=1
E [e itaj .Xj ] =
d
Y
e−
(taj )2
2
t2
t
= e − 2 a .a
j=1
Donc la variable aléatoire a.X suit la loi gaussienne centrée de variance at .a.
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Vecteurs gaussiens
Vecteurs gaussiens
Remarque ! !
Il ne suffit pas que X1 et X2 soient des variables gaussiennes réelles pour que
(X1 , X2 ) soit un vecteur gaussien. Ce résultat est vrai dans le cas particulier où X1
et X2 sont indépendantes.
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Stabilité du caractère gaussien par transformation linéaire
Si X est un vecteur aléatoire à valeurs dans Rd et Y = a + MX avec a ∈ Rn un
vecteur constant et et M une matrice de taille n × d, alors toute combinaison
linéaire des coordonnées de Y est combinaison linéaire des coordonnées de X à
une constante près :
pour b ∈ Rn ,
b.Y = b.a + (M t .b).X .
Donc si X est gaussien, alors Y est aussi gaussien.
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Vecteurs gaussiens et indépendance
Proposition
Les coordonnées d’un vecteur gaussien X = (X1 , · · · , Xd ) sont indépendantes si et
seulement si sa matrice de variance covariance Γ est diagonale.
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Convergence en loi de vecteurs aléatoires
Définition
On dit que (Xn , n ≥ 1) suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd converge en
loi vers X variable aléatoire à valeurs dans Rd si, pour toute fonction continue et
bornée f : Rd → R
lim E [f (Xn )] = E [f (X )].
n→+∞
Théorème
Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd . Cette suite
converge en loi vers X si et seulement si, pour tout u = (u1 , · · · , ud ), on a :
lim E [e iu.Xn ] = E [e iu.X ].
n→+∞
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Convergence en loi de vecteurs aléatoires
Théorème : TCL multidimensionnel
Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd indépendantes
suivant toutes la même loi que X . On suppose que E [|X |2 ] < ∞. Alors
√ 1
n (X1 + · · · + Xn ) − m .
n
converge en loi vers un vecteur gaussien centré de matrice de variance-covariance
Γ.
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Stabilité des vecteurs gaussiens par convergence en loi
Proposition
Soit (Xn )n une suite de variables gaussiennes réelles qui converge en loi vers X .
Alors X est gaussienne.
Corollaire
Soit (Xn )n une suite de vecteurs gaussiens à valeurs dans Rd qui converge en loi
vers un vecteur X . Alors X est gaussien.
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Plan
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Processus Stochastique
Définition
On appelle processus stochastique à temps continu à valeurs dans un espace
(E , E), une famille (Xt , t ≥ 0) de variables aléatoires à valeurs dans E définies sur
un espace de probabilité (Ω, A, P).
Remarque : L’indice t ∈ [0, +∞[ représente le temps. Notons que l’on peut
associer, à chaque ω ∈ Ω, une trajectoire :
t → Xt (ω).
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Processus Stochastique
Définition
Un processus (Xt , t ≥ 0) à valeurs réelles (E = R) est dit :
1
continu si les trajectoires t 7→ Xt (ω) les sont.
2
stationnaire (au sens faible) si ∀h ≥ 0, (Xt+h )t≥0 et (Xt )t≥0 ont la même loi.
3
4
à accroissements indépendants si ∀n ∈ N∗ et 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn , les
accroissements Xt1 , Xt2 − Xt1 , · · · , Xtn − Xtn−1 sont des v.a.r indépendantes.
à accroissements stationnaires si ∀t, h ≥ 0, Xt+h − Xt a même loi que Xh − X0
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Mouvement Brownien
Mouvement Brownien
Définition
Un processus stochastique (Bt , t ≥ 0) à valeurs réelles est dit un mouvement
brownien (standard) s’il vérifie les quatre propriétés suivantes :
B0 = 0.
Pour tout s ≤ t, l’accroissement Bt − Bs suit la loi gaussienne centrée de
variance t − s (Processus à accroissements stationnaires).
si 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn , les accroissements Bt1 , Bt2 − Bt1 , · · · , Btn − Btn−1
sont indépendants. (Processus à accroissements indépendants).
En dehors d’un ensemble de probabilité nulle, les trajectoires t → Bt (ω) sont
continues.(Processus continu).
Notons que (i) et (ii) implique que Bt = Bt − B0 suit la loi gaussienne centrée de
variance t dont la densité est
x2
1
√
e − 2t .
2πt
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Mouvement Brownien
Mouvement Brownien
Théorème
Si (Xt , t ≥ 0) est un processus continu à accroissements indépendants et
stationnaires alors il existe deux constantes réelles r et σ t.q. ∀t ≥ 0,
Xt − X0 = rt + σBt
avec (Bt , t ≥ 0) un mouvement brownien.
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Mouvement Brownien
Mouvement Brownien
Exemple
Si on souhaite modéliser le cours (St )t≥0 d’une action par un processus continu
strictement positif à accroisements relatifs
St
St − Su
=
− 1,
Su
Su
u≤t
indépendants et stationnaires, donc Xt = ln(St ) est un processus continu à
accroissements indépendants et stationnaires.
Dans ces conditions, d’aprés le théorème précédent, il existe deux constantes
réelles r et σ et un mouvement brownien (Bt )t≥0 t.q.
∀t ≥ 0, St = S0 exp(σBt + rt).
Ce modèle d’actif est appelée modèle de Black-Sholes.
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Mouvement Brownien - Régularité des trajectoires
Une propriété importante du mouvement brownien est le manque de régularité des
trajectoires. Nous admettrons le théorème suivant
Théorème
Soit (Bt , t ≥ 0) un mouvement brownien, alors, en dehors d’un ensemble de
probabilité nulle, il n’existe aucun point où la trajectoire est différentiable.
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Mouvement Brownien - Régularité des trajectoires
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Mouvement Brownien
Caractère gaussien du mouvement brownien
Nous avons vu que si (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien alors Bt suit une loi
gaussienne. Une propriété plus forte est vérifié par le processus (Bt , t ≥ 0) : c’est
un processus gaussien.
Définition
On dit qu’un processus (Xt , t ≥ 0) est un processus gaussien, si pour tout entier n
et pour tout n−uplet, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < +∞, le vecteur (Xt1 , · · · , Xtn ) est
un vecteur gaussien.
Théorème
Un mouvement brownien est un processus gaussien.
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Caractère gaussien du mouvement brownien
Théorème
Soit (Bt , t ≥ 0) un processus gaussien centré continu t.q.
∀s, t ≥ 0,
Cov (Bs , Bt ) = min(s, t).
Alors (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien.
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