Решение задачи на введение субсидии
Задача 1. На рынке установились следующие функции спроса и предложения:
𝑄𝑑 = 200 − 0,5 × 𝑃
𝑄𝑠 = −50 + 2 × 𝑃
Определите:
1. Устойчиво ли равновесие?
2. Определите ситуацию на рынке, если государство установило фиксированную цену в размере
30 ден.ед.
3. Параметры равновесия
4. Излишки потребителя и производителя
5. Общественный выигрыш
6. Определите новую функцию, если государство выплачивает субсидию производителю в
размере 10 ден.ед. за единицу произведенной продукции
7. Новые параметры равновесия
8. Новые излишки потребителя и производителя
9. Новый общественный выигрыш
10. Выигрыш потребителя и выигрыш производителя
11. Потери общества
12. Общий размер субсидии
13. Излишняя нагрузка от субсидии
РЕШЕНИЕ
1. Устойчиво ли равновесие?
Для определения устойчивости равновесия необходимо найти производную функций
спроса и предложения и сравнить их, т.е. найти:
𝛼 = 𝑄𝑑′
𝛽 = 𝑄𝑠′
Полученные данные сравниваем по модулю и если получим:
|𝛼| = |𝛽| - то на рынке установится устойчивое неравновесие
|𝛼| > |𝛽| - то на рынке установится устойчивое равновесие
|𝛼| < |𝛽| - то на рынке установится неустойчивое равновесие
В нашем случае получаем:
𝛼 = 𝑄𝑑′ = (200 − 0,5 × 𝑃)′ = −0,5
𝛽 = 𝑄𝑠′ = (−50 + 2 × Р)′ = 2
|−0,5|‹|2|, т.е. |𝛼|‹|𝛽| - на рынке установится неустойчивое равновесие
2. Определите ситуацию на рынке, если государство установило фиксированную цену в
размере 30
Найдем объем спроса и предложения при установленной Pфикс = 30
1
𝑄𝑑 (30) = 200 − 0,5 × 30 = 185
𝑄𝑠 (30) = −50 + 2 × 30 = 10
По результатам видно, что 𝑄𝑠 < 𝑄𝑑 на величину (185-10=175), т.е. на рыке производитель
предложит 10 единиц товара, а потребители захотят купить 185 единиц товара, т.е. продукции для
всех потребителей не хватает, что говорит об установлении дефицита на рынке в размере 175
единиц товара.
3. Параметры равновесия
Для определения параметров равновесия (равновесной цены (P*) и равновесного объема (Q*))
необходимо определить точку, в которой графики спроса и предложения пересекутся, т.е. 𝑄𝑠 =
𝑄𝑑 , получим
200 − 0,5 × 𝑃 = −50 + 2 × 𝑃
2,5 × 𝑃 = 250
𝑃∗ = 100
Для определения равновесного объема необходимо полученную равновесную цену подставить в
уравнение или спроса, или предложения, т.е.:
𝑄 ∗ = 200 − 0,5 × 100 = 200 − 50 = 150
Построим график:
Судя по данным в условии задачи, спрос и предложение представляют собой линейные функции,
графики которых строятся по двум точкам.
а) Для построения спроса необходимо найти параметры спроса, т.е. две точки: цену спроса
(максимальную цену, при которой объем равен нулю) и объем спроса (максимальный объем, при
котором цена равна нулю)
Первая точка:
𝑄𝑑 = 0, т.е. 200 − 0,5 × 𝑃 = 0
200 = 0,5 × 𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 400
Вторая точка:
𝑃=0
𝑄𝑑 = 200 − 0,5 × 0
𝑄𝑑𝑚𝑎𝑥 = 200
Для построения предложения необходимо найти параметры предложения, т.е. цену предложения
(минимальную цену, при которой предложение равно нулю) ИЛИ объем предложения
(минимальный объем, при котором цена равна нулю), т.е.
если 𝑃 = 0, то
𝑄𝑠 = −50 + 2 × 0 = −50
2
Учитывая, что объем производства отрицательным быть не может, то данная точка не существует
(соответственно не существует в данном случае и объем предложения), тогда найдем цену
предложения:
Первая точка:
𝑄𝑠 = 0,т.е. −50 + 2 × 𝑃 = 0
50 = 2 × 𝑃
𝑃𝑚𝑖𝑛 = 25
Вторая точка – точка равновесия, которую мы нашли ранее: 𝑄 ∗ = 150, 𝑃 ∗ = 100
4. Излишки потребителя и производителя
ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ ИЗЛИШЕК (излишек потребителя, дополнительная выгода) разница между ценой, которую потребитель готов заплатить за товар (Pmax), и той, которую он
действительно платит при покупке (P*). Дополнительное удовлетворение, или полезность,
получаемая потребителями благодаря тому, что фактическая цена, которую они платят за благо,
ниже той цены, которую они были бы готовы заплатить, принимает форму потребительского
излишка. Излишки потребителя находятся как площадь треугольника PmaxEP* по формуле: 𝐶𝑆 =
1
2
1
× 𝑄 ∗ × (𝑃𝑚𝑎𝑥 − 𝑃∗ ) = 2 × 150 × (400 − 100) = 22500
ИЗЛИШЕК ПРОИЗВОДИТЕЛЯ - разница между реальной ценой товара (P*) и той
минимальной стоимостью, которую согласен получить за него производитель (Pmin). Излишек
производителя – дополнительные доходы, извлекаемые производителями в результате того, что
цена на его благо превышает цену, по которой они готовы продавать это благо на рынке. Излишки
3
1
производителя находятся как площадь треугольника P*EPmin по формуле: 𝑃𝑆 = 2 × 𝑄 ∗ × (𝑃∗ −
1
𝑃𝑚𝑖𝑛 ) = 2 × 150 × (100 − 25) = 5625
5. Общественный выигрыш
Общественный выигрыш – это совокупный выигрыш покупателей и продавцов, т.е.:
Общественный выигрыш = 𝐶𝑆 + 𝑃𝑆 = 22500 + 5625 = 28125
6. Определите новую функцию, если государство выплачивает субсидии производителю в
размере 10 ден.ед. за единицу произведенной продукции
Учитывая, что дотация вводится на каждую единицу товара, производитель снизит цену на
sb ден.ед., т.е. 𝑃𝑠𝑏 = 𝑃 − 𝑠𝑏, найдем обратную функцию предложения, выразив из функции 𝑄𝑠 =
−50 + 2 × 𝑃, цену (P), получим:
𝑄𝑠 = −50 + 2 × 𝑃
2 × 𝑃 = 𝑄𝑠 + 50
𝑃=
𝑄𝑠 + 50 𝑄𝑠
=
+ 25
2
2
Теперь подставим получившуюся формулу:
𝑄𝑠
𝑄𝑠
+ 25 − 10 =
+ 15
2
2
𝑃𝑠𝑏 = 𝑃 − 𝑠𝑏 =
Теперь проведем обратные преобразования и найдем 𝑄𝑆𝑡 :
𝑃𝑠𝑏 =
𝑄𝑠
+ 15
2
2 × 𝑃𝑠𝑏 = 𝑄𝑠 + 15 × 2
𝑄𝑠 = −15 × 2 + 2 × 𝑃𝑡
𝑄𝑆𝑠𝑏 = 2 × 𝑃 − 30
7. Новые параметры равновесия
Для определения параметров равновесия (равновесной цены (P*) и равновесного объема (Q*))
необходимо определить точку, в которой графики спроса и предложения пересекутся, т.е. 𝑄𝑠 =
𝑄𝑑 , получим
200 − 0,5 × 𝑃 = 2 × 𝑃 − 30
2,5 × 𝑃 = 230
∗
𝑃𝑠𝑏
= 92
Для определения равновесного объема необходимо полученную равновесную цену подставить в
уравнение или спроса, или предложения, т.е.:
∗
𝑄𝑠𝑏
= 200 − 0,5 × 92 = 200 − 46 = 154
Построим график:
4
Как уже отмечалось ранее, судя по данным в условии задачи, спрос и предложение
представляют собой линейные функции, графики которых строятся по двум точкам. Нанесем на
первый график новую функцию предложения.
Для построения предложения необходимо найти параметры предложения, т.е. цену
предложения (минимальную цену, при которой предложение равно нулю) ИЛИ объем
предложения (минимальный объем, при котором цена равна нулю), т.е.
если 𝑃 = 0, то
𝑄𝑆𝑠𝑏 = 2 × 0 − 30 = −30
Учитывая, что объем производства отрицательным быть не может, то данная точка не
существует (соответственно не существует в данном случае и объем предложения), тогда найдем
цену предложения:
Первая точка:
𝑄𝑠 = 0, т.е. 2 × 𝑃 − 30 = 0
30 = 2 × 𝑃
𝑃𝑚𝑖𝑛 = 15
∗
∗
Вторая точка – точка равновесия, которую мы нашли ранее: 𝑄𝑠𝑏
= 154, 𝑃𝑠𝑏
= 92
8. Новые излишки потребителя и производителя
Точка E (𝑄 ∗ = 150, 𝑃∗ = 100) представляет рыночное равновесие до введения субсидии.
Вследствие введения субсидии в размере sb (10 ден.ед.) с единицы проданной продукции линия
предложения сдвигается вниз на величину субсидии (S→Ssb), так как теперь каждая единица
проданной продукции обходится производителям на sb (10) денежных единиц дешевле. Объемы
∗
спроса и предложения уравниваются в точке Esb при цене 𝑃𝑠𝑏
, из которой производителю
5
∗
достается РS = 𝑃𝑠𝑏
+ 𝑠𝑏. Таким образом, с введением субсидии снизилась цена для покупателей
∗
(𝑃∗ →𝑃𝑠𝑏
) и увеличилась для производителей (𝑃∗ →РS ). В результате увеличились и объем спроса,
и объем предложения, так что новое равновесное количество оказалось больше первоначального
∗
(𝑄 ∗ →𝑄𝑠𝑏
).
Обратим внимание на то, что цена для продавцов увеличилась не на всю величину
субсидии: РS − 𝑃∗ < 𝑠𝑏. Из-за повышения рыночной цены часть субсидии в размере (𝑃𝑡∗ − 𝑃∗ )
досталась потребителю.
Таким образом, после введения субсидии потребительский излишек соответствует
∗
площади треугольника PmaxEsb𝑃𝑠𝑏
и находится по формуле:
𝐶𝑆𝑠𝑏 =
1
1
∗
∗ )
× 𝑄𝑠𝑏
× (𝑃𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝑠𝑏
= × 154 × (400 − 92) = 23716
2
2
Излишек производителей соответствует площади треугольника РSAPmin
𝑃𝑆𝑠𝑏 =
1
1
∗
× 𝑄𝑠𝑏
× (𝑃 𝑠 − 𝑃𝑚𝑖𝑛 ) = × 154 × (102 − 25) = 5929
2
2
9. Новый общественный выигрыш
Общественный выигрыш – это совокупный выигрыш покупателей и продавцов, т.е.:
Общественный выигрыш𝑠𝑏 = 𝐶𝑆𝑠𝑏 + 𝑃𝑆𝑠𝑏 = 23716 + 5929 = 29645
10. Выигрыш потребителя и выигрыш производителя
До введения субсидии потребительский излишек соответствовал площади PmaxEP*, а после
∗
его введения - площади PmaxEsb𝑃𝑠𝑏
, т.е. выигрыш потребителей соответствуют площади
∗
прямоугольной трапеции 𝑃𝑠𝑏
EsbEP* и находятся по формуле:
𝐶𝑆𝑠𝑏 − 𝐶𝑆 = 23716 − 22500 = 1216
Излишки производителей увеличились с величины, представленной площадью P*EPmin, до
величины, соответствующей площади РSAPmin, т.е. выигрыши производителей соответствуют
площади прямоугольной трапеции P*ЕАРS и находятся по формуле:
𝑃𝑆𝑠𝑏 − 𝑃𝑆 = 5929 − 5625 = 304
11. Потери общества
Площадь треугольника EsbEA представляет чистые потери общества вследствие введения
налога:
1
1
∗
× (PS −𝑃sb
) × (Q∗sb − Q∗ ) = × (102 − 92) × (154 − 150) = 20
2
2
12. Общий размер субсидии
∗
Величина полученных субсидий (Sb) соответствует площади прямоугольника 𝑃𝑠𝑏
EsbAPS и
находится по формуле:
∗
Sb = sb × Q∗sb = 10 × 154 = (PS − 𝑃sb
) × Q∗sb = (102 − 92) × 154 = 1540
6
13. Излишняя нагрузка от субсидии
.
𝑆𝑏 − Общий выигрыш = 𝑆𝑏 − (Впотр + Впр) = 1540 − (1216 + 304) = 20
ЗАДАЧИ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ:
Задача 2.1. Определите (см. страницу 1):
если
а. на рынке установились следующие функции спроса и предложения: 𝑄𝑑 = 200 − 𝑃, 𝑄𝑠 =
2 × 𝑃 − 50, 𝑃фикс = 40 ден.ед., 𝑠𝑏 = 20 ден.ед. за единицу произведенной продукции
б. на рынке установились следующие функции спроса и предложения: 𝑄𝑑 = 800 − 4 × 𝑃, 𝑄𝑠 =
5 × 𝑃 − 50, 𝑃фикс = 100 ден.ед., 𝑠𝑏 = 10 ден.ед. за единицу произведенной продукции
в. на рынке установились следующие функции спроса и предложения: 𝑄𝑑 = 20 − 𝑃, 𝑄𝑠 = 3 × 𝑃,
𝑃фикс = 5 ден.ед., 𝑠𝑏 = 10 ден.ед. за единицу произведенной продукции
7