VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L'ESPACE Le cours sur les bases de la géométrie dans l’espace : https://youtu.be/aostYZK5jkE I. Vecteurs de l’espace 1) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … 2) Translation Définition : Soit π’ β un vecteur de l’espace. On appelle translation de vecteur π’ β la transformation βββββββββ qui au point π associe le point π’, tel que : ππ′ = π’ β. Remarque : Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du parallélisme, de l’orthogonalité, du milieu, … 3) Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace Définition : Soit π’ β , π£ et π€ ββ trois vecteurs de l’espace. Tout vecteur de la forme πΌ π’ β +π½π£+πΎπ€ ββ , avec πΌ, π½ et πΎ réels, est appelé combinaison linéaire des vecteurs π’ β , π£ et π€ ββ . II. Droites de l’espace 1) Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls π’ β et π£ sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est aΜ dire qu’il existe un nombre réel π tel que π’ β = ππ£ . 2) Vecteur directeur d’une droite Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit π΄ un point de l’espace et π’ β un vecteur non nul de l’espace. La droite d passant par π΄ et de vecteur directeur π’ β est l’ensemble des points π tels que Propriété : Deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs π’ β et π£ sont parallèles si et seulement si les vecteurs π’ β et π£ sont colinéaires. Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 1 III. Plans de l’espace 1) Direction d’un plan de l’espace Propriétés : Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d’un plan. 2) Caractérisation d’un plan de l’espace Propriété : Soit un point π΄ et deux vecteurs de l'espace π’ β et π£ ββββββ = π₯ π’ L'ensemble des points π de l'espace tels que π΄π β + π¦ π£, avec π₯ ∈ β et π¦ ∈ β est le plan passant par Remarque : Dans ces conditions, le triplet Démonstration : βββββ et π£ = π΄πΆ βββββ . - Soit deux points π΅ et πΆ tel que π’ β = π΄π΅ π’ β et π£ ne sont pas colinéaires donc (π΄ ; π’ β , π£ ) est un repère du plan (π΄π΅πΆ). Dans ce repère, tout point π de coordonnées (π₯, π¦) est tel que ββββββ π΄π = π₯ π’ β + π¦ π£. - Réciproquement, soit π un point de l'espace tel que ββββββ π΄π = π₯ π’ β + π¦ π£. Soit π le point du plan (π΄π΅πΆ) de coordonnées (π₯, π¦) dans le repère (π΄ ; π’ β , π£). Alors ββββββ π΄π = π₯ π’ β +π¦π£ ββββββ ββββββ et donc π΄π = π΄π. π et π sont confondus donc π appartient à (π΄π΅πΆ). Remarque : Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Propriété : Deux plans déterminés par le non colinéaires sont Démonstration : Soit deux plan P et P' de repères respectifs (π΄ ; π’ β , π£ ) et (π΅ ; π’ β , π£). - Si P et P' sont confondus, la démonstration est triviale. - Dans la suite P et P' ne sont pas confondus. Supposons que P et P' possède un point π en commun. Alors dans P, on a : ββββββ π΄π = π₯ π’ β + π¦ π£, où (π₯, π¦) sont les coordonnées de π dans P. ββββββ Et dans P', on a : π΅π = π₯′ π’ β + π¦′ π£, où (π₯′, π¦′) sont les coordonnées de π dans P'. βββββ Donc π΄π΅ = (π₯ − π₯′) π’ β + (π¦ − π¦′) π£ donc π΅ appartient à P. Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 2 Donc le repère (π΅ ; π’ β , π£) est un repère de P et donc P et P' sont confondus ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. P et P' n'ont aucun point en commun et sont donc parallèles. Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l’un des plans sont respectivement colinéaires aΜ deux vecteurs non colinéaires de l’autre. IV. Positions relatives de droites et de plans de l’espace 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont d1 et d2 sont d1 et d2 sont strictement parallèles d1 et d2 sont confondus d1 et d2 sont non coplanaires Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 3 Exemple : ABCDEFGH est un cube. - Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même (EFG) et sont sécantes en G. - Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même (ADG) et sont parallèles. - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires. plan plan 2) Positions relatives de deux plans Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles. P1 et P2 sont sécants P1 et P2 sont sécants suivant la droite d P1 et P2 sont parallèles P1 et P2 sont strictement parallèles P1 et P2 sont confondus Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 4 Exemple : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. - Les plans (BCG) et (BCE) sont sécants suivant la droite (BC). - Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles 3) Positions relatives d'une droite et d'un plan Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles. d et P sont sécants d et P sont sécants en un point I d et P sont parallèles d est incluse dans P d et P sont strictement parallèles Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 5 Exemple : ABCDEFGH est un cube. - La droite (GI) et le plan (ABC) sont sécants en I. - La droite (EG) est incluse dans le plan (EFG). - La droite (EG) et le plan (ABC) sont parallèles. V. Bases et repères de l’espace 1) Vecteurs coplanaires et bases de l’espace Définition : Trois vecteurs sont à un même plan. s'ils possèdent des représentants appartenant Propriété : Trois vecteurs π’ β , π£ et π€ ββ de l’espace sont coplanaires, s’il existe un couple de réels (π₯ ; π¦) tel que π’ β = π₯π£ + π¦π€ ββ . Application : Démontrer que 4 points sont coplanaires Vidéo https://youtu.be/9baU60ZNioo β trois vecteurs non coplanaires. Propriété : Soit π, π et π β. Pour tout vecteur π’ β , il existe un unique triplet (π₯ ; π¦ ; π§) tel que π’ β = π₯π + π¦π + π§π Démonstration : - Existence : Soit βββββ π΄π΅ un représentant de π’ β. (π΄ ). Soit P le plan de repère ;π ;π βββββ Si π΅ appartient à P alors π΄π΅ se décompose suivant les vecteurs π et π. Supposons que π΅ n'appartient pas à P. β. Soit d la droite passant par π΅ de vecteur directeur π β n'est pas colinéaire avec π et π, la droite d coupe le plan P en un point πΆ. Comme π βββββ = π΄πΆ βββββ + πΆπ΅ βββββ . On peut écrire π΄π΅ βββββ π΄πΆ appartient au plan P donc il existe un couple (π₯ ; π¦) tel que βββββ π΄πΆ = π₯π + π¦π. β β βββββ βββββ πΆπ΅ est colinéaire avec π donc il existe un réel π§ tel que πΆπ΅ = π§π. β. Il existe donc un triplet (π₯ ; π¦ ; π§) tel que βββββ π΄π΅ = π’ β = π₯π + π¦π + π§π Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 6 - Unicité : On suppose que l'on ait les deux écritures distinctes : β = π₯′π + π¦′π + π§′π β π’ β = π₯π + π¦π + π§π β = β0. Alors (π₯ − π₯′)π + (π¦ − π¦′)π + (π§ − π§′)π Supposons que l'une au moins des trois différences n'est pas nulle, par exemple : π§ − π§′ ≠ 0. ′ ′ β = π₯ −π₯ π + π¦ −π¦ π et dans ce cas, les vecteurs π, π et π β seraient coplanaires. Ce qui est Donc π π§−π§′ π§−π§′ exclu. Les trois différences π₯ ′ − π₯, π¦ ′ − π¦ et π§ ′ − π§ sont donc nulles. β trois vecteurs non coplanaires de l’espace. Définition : Soit π, π et π β ). On appelle base de l'espace le triplet (π, π, π 2) Repère de l'espace β trois vecteurs non coplanaires. π est un point de l'espace. Définition : Soit π, π et π β ). On appelle repère de l'espace le quadruplet (π ; π, π, π Remarques : - π est appelé l'origine du repère. π₯ β donne les coordonnées (π¦) du point π. ββββββ = π₯π + π¦π + π§π - La décomposition ππ π§ π₯ β donne les coordonnées (π¦) du vecteur π’ - De même, la décomposition π’ β = π₯π + π¦π + π§π β. π§ Chapitre 5 TSpé Cours Espace : vecteurs, droites et plans de l’espace 7
