S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
1
Aritmética modular. Números Primos
15/Septiembre/2023
Sergio A. Carrillo
sacarrillot@unal.edu.co
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Operaciones con congruencias
2
Recordemos que a ≡ b (mod m) si m|(b − a).
Teorema
Sean a, b, c, d ∈ Z y m ∈ N+ tales que a ≡ b (mod m) y
c ≡ d (mod m). Entonces
a + c ≡ b + d (mod m),
ac ≡ bd (mod m).
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Ejemplos
3
50 + 41 ≡ 1 + 6 ≡ 7 ≡ 0 (mod 7).
501 · 22 ≡ 3 · 4 ≡ 12 ≡ 0 (mod 6).
57 ≡ (52 )2 · 52 · 5 ≡ 252 · 25 · 5 ≡ 72 · 7 · 5
≡ 49 · 35 ≡ 4 · (−1) ≡ 5 (mod 9).
La idea es dar la respuesta en el conjunto {0, 1, . . . , m − 1},
módulo m.
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Números Primos
Un número p ∈ N+ es primo si p > 1 y sus únicos divisores son 1 y
p. Es decir, si d|p,
entonces d = 1 o p.
4
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Comprobando que un número es primo
Los números que no son primos se llaman compuestos.
Proposición
Si n ∈ N no es primo, existe al menos un divisor d|n tal que
√
2 ≤ d ≤ n.
Por tanto, para comprobar que n es primo basta con dividir a n
√
por números m ≤ n.
5
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Teorema fundamental de la Aritmética
Teorema
Si n ∈ N+ , n ≥ 2 es puede escribir de forma única como producto
de potencias de primos.
Ejemplo
▶
▶
▶
▶
6 = 2 · 3.
44 = 22 · 11.
100 = 22 · 52 .
450 = 11 · 41.
▶
▶
▶
▶
641 = 641.
999 = 33 · 37.
1024 = 210 .
1223 = 1223.
▶ 1994 = 2 · 997.
▶ 360881 =
509 · 709.
6
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
¿Cuantos primos hay?
Teorema (Euclides)
Existen infinitos números primos.
El número primo más grande que se conoce es
282589933 − 1
y tienen 24862048 dı́gitos.
▶ http://compoasso.free.fr/primelistweb/page/prime/
liste_online_en.php
▶ https://en.wikipedia.org/wiki/Largest_known_
prime_number
7
S. Carrillo — Aritmética modular. Números Primos
Construcción de primos
▶ (Mersenne) Mp = 2p − 1, con p primo.
▶ (Euclides) Dados p1 , . . . , pr primos, considere (p1 · · · pr ) + 1.
▶ (Iterativo) Fije N ≥ 2 y considere N1 = N (N + 1),
N2 = N1 (N1 + 1), N3 = N2 (N2 + 1), · · ·
8