UMSA
EMI
UCB
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de difusión sin permiso previo del autor.
Propiedad intelectual protegida por el Registro
Nc 4 - I - 807 - 99 del Registro Nacional de Propiedad
intelectual del Ministerio de Educación.
SsU¡ntrm
Av. Hugo EsFada Ne
Teléfonbs: 22 85
La Paz - Bolivia
26 fMinafloresJ
93 . 24 25 38
PROLOGO
El propósito de esta obra: "ALGEBRA MODERNA" es quc los
e.
"r.li;urlcs ,ic primer
año de universidad, de institutos superiores y todos aquellos que deseen ariquirir los
primeros conocimientos sobre la estructuración de los conceptos matemáticos básicos,
puedan conocer las técnicas de la lógica, los conjuntos, las relaciones;'funciones, las
estructuras algebraicas, la inducción matemática, combinatoria, números complejos y el
álgebra de Boole.
El libro está redactado con la claridad necesaria para que los estudiantes puedan asimilar
con facilidad parte del lenguaje de las matemáticas actuales. Las definiciones están
expuestas con sencillezy van seguidas de ejemplos que facilitan su totai comprensión.
Al final de cada capítulo
se proponen una serie de ejercicios ordenados secuenci:r: rente
de acuerdo ai grado de dificultad.
Finalmente, deseo expresar mi más sincero agradecimiento al Ing. R. Gabr'lei Mejía M.
y al Ing. Carlos A. Barroso V. También manifestar mi gratitud a los señores doccntes
del departamento de Ciencias Exactas de la Universidad Católica Bohriana. de la
Escuela Militar de Ingeniería
y de la Universidad Mayor de San
Audre's. porque cn
mayor o menor medida aportaron para'que esta obra sea una realidad. Es de .iusticia citar
aquí a la Srta. Silvia Rejas, agradeciéndole por su valiosa colaboración con la difícil
tarea de transcribir textos de matemática. Asimismo. quiero expresar
personal de la imprenta SOIPA LTDA., en particular a su gercllte y a
s
mi gratitud
al
- cii, ir.L.
l:L
¡\1.l'j'C)R
INDICE
CAPITULO
I
LÓGICA
l.
2.
Introducción
2.I
1
Proposiciones
I
Definición
2
2.2 Notaciones y Conectivos lógicos
2
Operaciones proposicionales
Negación
J
3.
3, I
3.2 Conjunción
3.3 Disyunción
3.4 Implicación o condicional
3.5 Doble implicación o bicondicional
3.6 Disyunción exclusiva
4.
4. I
4.2
Fórmulas proposicionales
Tabla de valores de verdad
Clasificación de fórmulas proposicionales
4.2.1
4.2.2
4.2.3
Tautología
Contradicción
Contingencia
4.3 Equivalencialógica
4.4 Ejemplos adicionales
5.
Algebra de proposiciones
5.1 Leyes lógicas
5.2 Simplificación
6.
6.1
Circuitos lógicos
7.
.l
.2
en serie y en paralelo
Circuitos en serie
Circuitos en paralelo
8.
I
l.
?.
2.1
3.
i. I
3.2
4.
5,I
52
8
9
l0
l0
ll
ll
t2
l3
t4
l6
20
20
20
2t
29
2q
30
TEORÍA DE CONJUNTOS
Introducción
Concepto y notación de conjunto
Notación de conjuntos numéricos
Determinación dc un conjunto
Por extensión
Por corrrprensión
Relac iones entre conj untos
Inclusiórr de conjuntos
Igualdad de conjuntos
5.3 Conlunto
6.
ó. I
8
Funciones proposicionales y su cuantificación
Funciones proposicionales
Conjuntos especiales
4.1 Conjunto unitario
4.2 Conjunto vacío
4.3 Conjunto universal
5.
7
24
25
8.2 Cuantificadores
Ejercicios
CAPITULO II
6
Inferencia lógica
7.1 Reglas de inferencia
8.
5
I5
de formulas proposicionales
6.1 Circuitos
6. I
3
4
de partes
Operaciones entre conjuntos
Unión de conjuntos
6.2 lntersccción de conjrrntcrs
6.3 Conrplenlento de un con-iunto
4',t
4'7
48
48
48
49
49
49
s0
50
5l
5l
52
52
5i
54
54
55
_56
6.5 Diferencia simétrica
de conjuntos
Leyes de operaciones con conjuntos
Cardinal de un conjunto
8.1 Propiedades
Producto cartesiano
10. Partición de un conjunto
7.
8.
9.
Ejercicios
CAPITULO III
57
58
6t
62
65
68
70
RELACIONES
L
2.
Relaciones
3.
Dominio, imagen, relación inversa
4.
Composición de relaciones
lntroducción
2.1 Definición
3.1 Dominio de R
3.2 Imagen de R
3.3 Relación inversa
4.1 Propiedades de la composición de relaciones
5.
Relaciones definidas en un conjunto
de las relaciones
5.1. I Relaciones reflexivas
5.1.2 Relaciones no reflexivas
5. I .3 Relaciones arreflexivas
5. I .4 Relaciones simétricas
5.1.5 Relaciones no simétricas
5. I .6 Relaciones asimétricas
5. 1 .7 Relaciones transitivas
5. I .8 Relaciones no transitivas
5. I .9 Relaciones atransitivas
5. l. l0 Relaciones antisimétricas
Relaciones de equivalencia
6.1 Clases de equivalencia
6.2 Conjunto de índices
6.3 Conjunto cociente
Relaciones de orden
7.1 Relaciones de orden amplio
7.1.1 Relaciones de orden parcial y total
7.2 Relaciones de orden estricto
7.3 Diagrama de Hasse
7.4 Elementos extremos de un conjunto ordenado
7.4.1 Primero y último elemento
7 .4.2 Elementos maximales y minimales
7.4.3 Cotas inferiores y superiores
7.4.4 Mínima cota superior y máxima cota inferior
5.1 Propiedades
6.
7.
8.
Ejemplosadicionales
Ejercicios
80
80
82
84
84
84
85
87
88
90
9l
92
92
93
93
94
94
95
96
96
97
102
t04
105
107
I l5
l5
t7
l8
l19
t22
t22
122
t23
t23
t25
i28
CAPITULO IV FUNCIONES
l.
2.
Funciones
3.
Composición de funciones
Introducción
2.1 Definición
2.2 Definición
3.1 Definición
4.
Clasihcación de funciones
4.1 Función inyectiva
138
138
138
139
r4l
142
t43
143
4.2 Función sobreyectiva
4.3 Función biyectiva
5.
t44
145
148
Funciones inversas
5.1 Definición
5.2 Función identidad
5.3 Propiedades
6.
CAPITULO
V
t49
r49
t49
Imagen directa, imagen inversa
150
Ejercicios
!53
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Introducción
Leyes de composición interna
Propiedades de las leyes de composición interna
3.1 Asociatividad
3.2 Conmutatividad
158
158
159
159
l.
2.
3.
3.3
3.4
3.5
3.6
4.
5.
5.1
5.2
5.3
5.4
6.
Existencia de elemento neutro
Existencia de inversos en una ley interna con neutro
Regularidad de un elemento respecto de una ley interna
Distributividad de una ley de composición interna respecto de otra
Ley de composición externa
Estructurasalgebraicas
Estructura de semigrupo
Estructura de grupo
Estructura de anillo
Estructura de cuerpo
.
Homomorfismo
6.1 Isomorfismo
6.2 Homomorfismo de anillos
6.3 Núcleo e imagen de un homomorfismo
Ejercicios
160
160
160
r60
I t53
165
166
lú6
i67
169
t72
175
i15
'i
-1
178
180
CAPITULO VI INDUCCIÓN MATEMÁTICA
l.
2.
3.
4.
5.
Introducción
El principio delbuen orden
Principio de inducción matemática
Método de inducción matemática
Notación de sumatoria y productoria
5.1 Propiedades
6.
Ejemplosadicionales
Ejercicios
i85
185
i86
186
r89
iq0
l9l
t98
CAPITULO VII COMBINATORIA
L
l.l
Principios básicos del conteo
Principio de multiplicación
1.2 Principio de adición
2. Factorial de un número
2.1 Propiedades de los factoriales
3.
3. I
Permutaciones
Permutaciones simples
3.2 Permutaciones circulares
3.3 Permutaciones con repetición
4. Variaciones
4.1 Variaciones simples
4,2 Yariaciones con repetición
5. Combinaciones
5.1 Combinaciones simples
'2rt3
:t
i):,
204
245
205
20r,
2ú{
20t
2'i
21,|,
21,.!
¿
2
i:l
i:l
2;
.:
5.2 Combinaciones con repetición
5.3 Propiedades
6.
218
220
Binomio de Newton
22t
6.1 Propiedades
223
225
Ejercicios
CAPITULO VIIINÚMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
l.
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Números complejos
Operaciones fundamentales
236
237
237
Adición
Sustracción
238
239
239
Multiplicación
División
Propiedades
241
241
242
Módulo y sus propiedades
Forma polar de un número complejo
Forma exponencial
Teorema de D'Moivre
Raíces de un número complejo
Exponencial y logaritmación compleja
243
245
246
249
253
Ejercicios
CAPITULO
IX
ÁLCPSRA BOOLEANA
l.
2.
lntroducción
Álgebra de Boole
2.1 El principio de dualidad
2.2
3.
3.1
3.2
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
5. I
265
265
266
Propiedades del álgebra de Boole
Funciones booleanas
Propiedades
Formas normales disyuntiva y conjuntiva
Redes de puertas lógicas
266
267
268
272
276
277
Función AND
Función OR
27'7
Inversor NOT
277
Función OR-EXCLUSIVE
2'77
Funciones NAND y NOR
Mapas de Karnaugh
Funciones incompletamente especificadas
278
280
286
Ejercicios
288
'.'Jo ,¡L Ll Lo^l," Lln 0", ,o^o
Jn/rn, olnlinnh; n/nrolo
",".1rrn0,
,o*
"/
ogno, ,/o,o, armoniota,
/o onln, nítilo ,o^o /o ninrn
L
l/onro ,orr- n/ hrrnnh, p-fnn/o y lerena ,o^o n/
Ji/ignntn y renerola
ro*
/oo
/ogo,
n/'orroyo".
//lon
CnopnJ
CAPITULO
I
LOGICA
T.
INTRODUCCIÓN
La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas de| razonamiento
humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no.
Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje
ordinario. introduciendo símbolos
y
conectivos lógicos
en la
construcción de
proposiciones.
Dado que las proposiciones son la base del razonamiento lógico, que consiste en decidir
la validez de una idea en base a enunciados que previamente fueron aceptados, veremos
a continuación el concepto de proposición, su simbolización y conectivos icgicos.
Posteriormente
se
estudiarán
las
operaciones proposicionales, leyes lógicas,
aplicaciones a circuitos lógicos e inferencia lógica.
2.
PROPOSrcIONES
Consideremos las siguientes oraciones:
a)
Tome dos aspirinas
b)
¿Habla usted inglés?
c)
2 es un número primo
d)
3 es mayor que
e)
El sol saldrá mañana
5
Se trata de cinco oraciones diferentes, una orden. una interrogativa y tres declarativas,
De las dos primeras no podemos decir que sean verdaderas ni falsas. Mientras, de las
tres últimas,
que son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. A
estas oraciones se denomina proposiciones.
ALGEBRA
[Jna proposición es toda oración o enunciado respecto de
la cual
se puede decir si es
verdadera o falsa, pero no ambas alavez. Es decir, toda proposición está asociada a un
valor de verdad, la cual puede ser verdadera o bien falsa. Así, si una proposición
es
V y si es falsa, se dice que su valor
de
verdadera. se dice que su valor de verdad es
verdad es F.
Ejemplo: il
2.2.
A
valor de verdad de las siguientes proposiciones es:
a)
"El símbolo del agua
b)
"2
es
c)
"2
es un número
NOTACIONES
Y
es H2O"
múltiplo de 3"
V
F
primo"
V
CONECTIVOS LÓGICOS
las proposiciones simples o genéricas (llamadas también atómicas) se acostumbran
denotar con las letras minúsculas p, g, r,.... Así, por ejemplo,
p : "21 es divisible por 7".
q'.*32-l-23"
r : "El hombre
A partir de proposiciones simples
es el arquitecto de su
propio destino"
se pueden generar otras proposiciones simples o
compuestas utilizando ciertas constantes proposicionales llamados conectivos lógicos,
tales como: el conectivo "no". se denota
conectivo
conectivo
"-"; el conectivo "y". se denota "A"; el
"o". se denota "v ": el conecti'v'o "si .... entonces...", se denota "-+";
"si y sólo si". se denota "+--)" y el conectivo "o" excluyente. se denota "v".
el
LOGICA
J.
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Llrtla una cl dos proposiciones. cLlyos valores de verdad se conocen- las operaciones
entrs proposiciones tratan de generar otras proposiciones
y
caracferizar la proposición
resultante a trar'és de su valor de verdad.
Estas son: La negación. conjunción, disyunción. implicación, doble irnplicación
y
la
disvunción exclusir,'a.
3.1.
NEGACION
"no p" que se escribe -p,
La negación de la proposición "p" es la proposición
tabla de valores de verdad es:
Ejemplo:
La negación de la proposición
p:
CS
-p:
" todo estudiante
es educado"
" no todo estudiante
es educado"
" hay estndiantes que no son educadcs".
-p:
la cual es V, ya que p es Il
o bien
Ejemplo:
La negación de la proposición
q:
es
o bicn
c()llo q cs V
-q:
-'cl :
cr.r
" tres es mayor que dos"
"3 no es nlayol'que dos"
"
n() cs cicrto
cstc c¿ls(). -c¡ cs li.
clr.re-
-i es nlavor que 2"
cuya
4
ALGEBRA
3.2.
Se llama conjunción de dos proposiciones,
uniéndolas por medio del conectivo
" y ",
py
a la proposición que se obtiene
q,
se escribe
pAqfselee"pyq",
cuya tabla
de valores de verdad es:
REGLA
La conjunción de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando las
proposiciones componentes son verdaderas, en otro caso es falsa (F).
Ejemplo:
La conjunción de las proposiciones
p:
q:
es p ^ q:
"3 es mayor que 2"
"3
"3
divide a 6"
es mayor que 2 y
divide a 6 ",
la cual es V, ya que las proposiciones p y q son verdaderas
Ejemplo:
La proposición compuesta
" 2 es un número par y primo"
es la conjunción de las proposiciones simples
p:
q:
"2 es un número par"
" 2 es un número primo"
dos
LOG¡CA
3.3.
DISYUNCIÓN
Se llama disyunción de dos proposiciones,
uniéndolas
por medio del conectivo "o",
se
p y q, a la proposición que se obtiene
escribe p v q y se lee "p o q" (inclusivo),
cuya tabla de valores de verdad :s:
REGLA
La disyunciórr de dos proposiciones es falsa (F) si las dos proposiciones componentes
son falsas, en otro caso es verdadera (V).
Ejemplo:
La disyunción de las proposiciones
p: " 15 es múltiplo de 5"
q: " 15 es múltiplo de 2"
es p v q: " 15 es múltiplo de 5 o de 2"
la cual es
Ejemplo:
V,
ya que p es V.
La proposición compuesta
" Carlos es un buen jugador o es muy afortunado"
es la disyunción de las proposiciones simples
p:
q:
" Carlos es un buen jugador"
" Carlos es muy afortunado"
luego, la proposición compuesta se simboliza p v q
ALGEBRA
3.4.
I MPLICAC I ON O CON D IC I ONAL
Se llama implicación o condicional de dos proposiciones, p
obtiene uniéndolas por medio del conectivo:
lee
" si
q",
p, entonces q" o "p implica
y q, a la proposición que se
" si... entonces... ", se escribe p + q y se
En el esquema p -+ q llamaremos a la primera
proposición (p) antecedente y a la segunda (q) consecuente, cuya tabla de valores de
verdad es:
REGLA
La implicación de dos proposiciones es falsa (F), solamente cuando el ante:edente
verdadero y el consecuente es falso, en otro caso es verdadera (V).
Ejemplo:
La proposición compuesta
"si un material
se calienta entonces se
dilata"
es la implicación de las proposiciones
p:
" Un material
q:
" El material
se caliente"
(antecedente)
dilata"
(consecuente)
se
luego, la proposición compuesta se
Ejemplo:
simboliza p +
q
Sean las proposiciones:
p:
q:
" Antonio viaja a Europa"
" Antonio perdió
entonces la
sus documentos",
proposición q -+ -p
" si Antonio perdió
es:
sus documentos entonces no viaja a Europa"
LOGICA
.I.5. DOBLE IMPLICACIÓN
O BICONDICIONAL
Se llama doble implicación o bicondicional de dos proposiciones, p y q, a la proposición
que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo: "... si y sólo si...''. se escribe p <-> q
,v se lee
"p si t' sólo si q'', cuya tabla de valores de verdad es:
REGLA
La bicondicional de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando l;rs do:
proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es falsa (F)
Ejemplo:
la proposición compuesta
" A Juan
se le otorgará una beca si y sólo si obtiene un promedio ntayor
¿r
60 puntos"
es la bicondicional de las proposiciones:
p:
q:
" A Juan se le otorgará una beca"
" Juan obtiene un promedio mayor
luego la proposición conrpuesta se
Ejemplo:
a 60 puntos"
simboliza
p <+ q
Sean las proposiciones
p:
q:
"rsta ley será aprobada en esta sesión"
"Esta ley' es apol'ada por la mayoría"
luego la proposición
-
p ++
-q
es:
" Esta ley no será aprobada en esta sección si y sólo si no es apoyada por
la mayoría"
8
3.6.
ALGEBRA
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Se llama disyunción exclusiva de dos proposiciones, p y q
obtiene uniéndolas por medio del conectivo
"o"
excluyente,
, ala proposición que se
se escribe p v q y se lee
"p o q" en sentido excluyente (p o bien q), cuya tabla de valores de verdad
es:
REGLA
La disyunción exclusiva de dos proposiciones es falsa (F) cuando las dos proposiciones
componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es verdadera (V).
q
NOTA: Es cierto que p v
Ejemplo:
equivale a la negación de p
e q.
La proposición compuesta
" la capital
de Bolivia esLaPaz o Sucre"
es la disyunción exclusiva de las proposiciones:
p:
q:
" La capital
de
Bolivia
" La capital
de
Bolivia es Sucre"
es
La Paz"
luego la proposición compuesta se simboliza p
v g, pues
se excluye la
posibilidad de que se cumplan ambas proposiciones.
4.
TÓNPTANIS PROPOSrcIONALES
Una fórmula proposicional es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos
que simbolizaaunaproposición compuesta o molecular. Por ejemplo, las siguientes son
fórmulas proposicionales
:
p^(qv-p), (-p+q)nr, py(-p+r)
LOGICA
Fjemplo:
Simbolizar la siguiente proposición
"
si Pablo no ha venido entonces no ha recibido
la
carta o no está
interesado en el asunto".
[-as ploposiciones simples que componen son:
p:
q:
r:
" Pablo ha venido"
" Pablo ha recibido la carta"
" Pablo está interesado en el asunto"
luego. la proposición compuesta se simboliza
4,1.
- p -+ (- q v .- r)
TABLA DE V.ALORES DE VERDAD
El valor de vc'rdad de una fórmula proposicional depende de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen. Es decir. se debe analizar todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las proposiciones qlre la componen. las cuales se
dan en las primeras columnas. Por tanto, si en una fórmula proposicionar intervienen
"n" proposiciones sinrples diferentes, entonces en la tabla de valores de verdad habrá
combinaciones diferentes. Así, para dos proposiciones se tiene 22
conrbinaciones de V y
Ejemplo:
F Para tres, 2J :8
la
proposición dada intervienen
entonces se analizará 23
posibles
combinaciones. etc.
Constnrir la tabla de verdad de la proposición ^ p
Como en
- 4
2n
:8
--) (- q y
.- r).
3 proposiciones
renglones. Esto es:
sinrples.
l0
ALGEBRA
Luego, los valores de verdad de la fórmula proposicional se encuentran en la
columna R.
4.2,
CLASIFICACIÓNDE TÓNAUNLSPROPOSTIONALES
Las fórmulas proposicionales (las proposiciones compuestas) se clasifican, según
sus
valores de verdad, en Tautología, Contradicción y Contingencia.
4.2.1 TAUTOLOGIA Es una fórmula proposicional que es verdadera para cualquier
valor de verdad de las proposiciones que la componen.
ll
LOGICA
Ejemplo:
La tabla de verdad
d. [(- p -+ q) - q ] -+ p. es:
^
p
q
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F'
t
rA*--l
Y
Según la columna "
F
V
V
V
V
!-l
F
V
F
V
V
F
R", la fórmula dada es una tautología.
4.2.2. CONTRADICCIÓN Es una fórmula proposicional que es falsa para cualquier
valor de verdad de las proposiciones que la componen.
Ejemplo:
La tabla de verdad de la formula proposicional
(-p-+
9)
e (-pn-q) , es:
(-p -+ q) <> (-p
A
-q)
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
p
q
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
ró---l
-,1,_
L-*ó*--,
Según la columlta " It". la forntula dada es una contradicción.
4.2.3 COi\TINGENCIA Es
contradicción.
Llna
fónlula proposicional qLrc no es tautología
ni
t2
ALGEBRA
Latablade verdad de ( p<->- q )y.- ( pn q
Ejerlplo:
)
. es:
p
q
p
V
V
V
F
F
F
F
V
V
\/
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
e
----) (
Segirn la columna
-q ))
p
v
I*A-¿
q
¿
"R", la fórmula dada es una contingencia. ya que no
es
tautología ni contradicción.
4.3
EQUIVALENCIA tOetC,q
Dos fórmulas proposicionales se dice que son lógicamente equivalentes si slrs tablas de
verdad son idénticas,
Usaremos
el
o
símbolo
sus valores de verdad son los mismos en cada renglón.
" ="
para expresar
la
equivalencia entre dos fórmulas
proporcionales.
Ejemplo:
latabladeverdaddelasfórrnulas p<>q
p<+q y
-(p v q)son:
luego, las formulas dadas son equivalentes. Es decir, p <+ q
=- ( p y q )
T
OGICA
4,4
l3
EJEMPLOS ADICIONALES
lrlenrplo:
jabiendo que los valores de verdad de las proposiciorles
p. q.
r
son,
respectivamente, V, F. V, determinar el valor de verdad de
-[-(p-+ - r) n (- q v --p )] <+ -[r -+ - (- p v - q)]
Sot-t-lcloN: Sustitul'endo
p
:
los valores de verdad de las proposiciones:
V. q = F )' r: V. según las reglas de las operacic,ncs proposicionales.
se obtiene el
valor de verdad de la proposición dada. como sigue:
e -[r+ - (- p v - q)]
-[-(V-+ - V),,.. (-F v - V )] e -[V -+ - (- V v - F)]
-[-(p-+ - r) n (- q v -
-[-(V-+
F) n (V
"
p )]
F )] <+
-[V -+ -
(F vV)]
-[-F nV] <+ -[V-+ - V]
-[V nV] <+ -[V-+
F]
-V<+-F
F <+V:F
fijemplo:
Sabiendo que -(p
SOLUCIÓN:
En primer lugar determinaremos los valores de verdad de
las
proposiciones simples. p y q. Esto es, si
es
q) es F y que r es v, obtener el valor de verdad de:
^[(-p n q) -+ -r] <+ -(p v -q)
v.
-(pn-q)
Luego, según la regla de la conjunción, p y
-q
es F. entonces
son
v.
de clon<le q es F.
Por tanto, los valores de verdad de ras proposiciones p.
respectivamente, V, F, V,
En consecuencia. el valor de verdad de la proposición clada es:
[(-p n q) --+ -r] <+ -(p v --q)
[{-Y
" F) -+ - \,1 <+ -(V v -F)
[(F nF) --+ FJ <+
+ Iil .+ -F
V<+V:V
[F
-
1\t vV)
p^-q
q
' r
son,
l4
ALGEBRA
Ejemplo:
Seanp y q proposiciones cualesquiera,
-(r v -
s) es
[(-p
SOLUCION: Si -(rv
-
ry
sproposicionestales que
V. Determinar el valor de verdad de
¡
r)
e
(q v s)] -+ -(p v q)
s) es V, entonces
rv -
Por tanto, tenemos r = F, s =V,
s es F,.de donde
py
ry -s son F, y s es V.
q proposiciones cualesquiera.
Luego, la proposición dada resulta
[(-p n F) e (q v V)]
Según las reglas de
la
+
-(p v q)
conjunción, disyunción
y
de la implicación
tenemos
lFeVl -+-(pvq)
F-+-(pvq):V
Ejemplo:
Sabiendo que p es F y que q es una proposición cualesquiera, determinar
el valor de verdad de la proposición x.
Tal que (-p -+ x ) -+ (p
"-q)
sea verdadero.
SOLUCION: Si p es F. entonces la proposición dada resulta
:(-F-+x)+(Fn-q)
:(V+x)+F
Para que esta última expresión resulte verdadero, según
implicación, el antecedente debe ser F, es decir V-+ x
:
la regla de
F, de donde x
debe ser F.
5.
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Son operaciones lógicas que se realizan en una fórmula proposicional, aplicando
adecuadamerrte ciertas reglas básicas llamadas leyes lógicas. Es decir, al igual que en
álgebra básica donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en
lógica también existe la necesidad de sinrplificar fórmulas proposicionales complejas, a
través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas. que a continuación se listan.
l5
LOGICA
5.1.
LEYES LOGICAS
Son fórmulas proposicionales lógicamente equivalentes, estas son:
l)
Leyes de idempotencla:
pa p = p
pvp=p
2)
Leyes conmutativas:
p^ q= q^p;
pvq:qvp
3)
Leyes asociativas:
4)
Leyes de negación:
(pnq)n r = pA (q n r)
(pvq)vr = p v (qv r)
-(-p) = p
pn-p=F
PV-P:V
;
pAv:p
PVF:P
s)
Leyes de identidad:
6)
Leyes de De Morgan:
7)
Definición de implicacron:
p-+q=-pvq
8)
Leyes distributivas:
p^(qvr):(pnq)v(pnr)
-(pnq)=-pv-q
-(pvq)=-p^-q
pv(qAr):(q_tq)n(Pvr)
9)
Leyes de absorcton:
p^(pvq)=p ;pv(p^q)=p
p^F:F ;p
l0)
:.u=u
i;:
p<->q=(p+q)n(q-+p)
16
s.2.
ALGEBRA
sIMpLrFICActóttt on
rónuut¿s pRoposrcroNALEs
Se trata de trasformar una fórmula proposicional en otra equivalente a ella pero lo más
reducida posible. Para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las leyes lógicas.
Así mismo, deben especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizados.
Ejemplos:
a)
En cada uno de los siguientes incisos, simplificar la proposición dada:
p^(q"-q)
q v - q: V por la ley de negación
Simplificar:
como
(1,. neg. )
luego se tiene:
p^(qv-q):pr'V
= P , según la ley de
b)
Simplificar
como
identidad
(L. ident.)
: -qv(-pnp)
-p ^ p = F, según la ley de negación
(L. neg.)
luego se tiene:
-qv(-p^p):-qvF
:-q
c)
Simplificar
, según la ley de
identidad (L.ident.)
: -(p^-q)vq
Por la leyde De Morgan(L. D
M),
-(
pn
-q) =-p v q
luego se tiene:
-(pn-q)vq=(-pvq)vq
- - p v (q v q), según la ley asociativa (L.asoc.)
= - p v q , según la ley de idempotencia (L. Idem.)
d)
Simplificar
: - (p -+ - q) p
^
Por la definición de implicación ( d.imp.), p -+
luego se tiene:
-(p-+-q)np = -(-pv-q)^p
- q: - pv-
q
l7
LOGICA
Según laLey de De Moigan
(L.D.M.),-(-pv-q) =
Por tanto,
p
^
q.
-(p+-q)np = (pnq)np
= (p n p ) n q, según la Ley asociativa (L.asoc.)
= p ^ g , según la ley idempotencia (L.ldem)
e)
Simplificar
: q^(-p+-q)
Por definición de implicación (D.Imp.),
-p + - q = p v - q
luego se tiene:
q^(-p+-q) =q^( pv-q)
= (q
n
q ) , según la Ley distributiva (L.dist)
^
F, según la ley de negación (L. Neg.)
^ p) v
(L. ident)
= q ^ p, según la ley de identidad
Simplificar: (.p+q) ¡(pv-q)
por la definición de implicación (D. Imp), - p -+q = p v q
= (q
0
-
p)v (q
luego se tiene:
(-p+q)
^(pv-9)
=
(pv
= pv (q
q) n
^-
(pv-q)
q), según la Ley distributiva (L. dist.)
= p v F , según la ley de negación
= p , según la ley de idempotencia
g)
(L. neg.)
(L. Idem)
: pv - (p + r)
como p+ r : - p v r, según definición de implicación (D.Imp.)
Simplificar
luego
pv- (p+r): pv-(-pvr)
: pn(pn-r),según la L. de De Morgan (L.D.M)
= p , según la Ley de absorción
(L. Abs)
l8
ALGEBRA
h)
Simplificar
como
p
: qv(p+-q)
+ - q = -pv - q, según definición de implicación
(D. Imp.)
luego se tiene:
qv(p+:O=qv(-pv-q)
- q) v -p, según la ley asociativa
= V v - q , según la Ley de negación
(q v
V, según laLey de absorción
i)
p^[qv(p^-q)]
p^[qv(pn-q)l =pA[(qvp)n(qv-q)]
pn(qvp)
=p
(L. Abs.)
-(p^q)n(p+q)
-(pnq)n(p+q) = (- pv-q)n(-pvq)
= - pv(-q n q)
L.dist
L.ident
L.abs.
simplificar:
- pvF
=- p
=
k)
(L. Neg.)
Simplifican
=
j):
(L. Asoc.)
Simplificar:
L.D'M,D.imp.
L.dist
L.neg.
L.ident.
[(p^-q)v(p^q)]+(-p^-q)
[(pn-q)v(pn q)]+(-pn-q)=[p^(-qvq )]+( -p
^-q)
pnV]+(-p^-q)
=[
= p+(-p^-q)
L.dist.
L.neg.
L.ident.
=_rrv(-p^-q) HJ
l9
LOGICA
l):
simplificar: Iq^(q-+ -p)] -+-(Pnq)
[q,.(q-+-p)]-+ -(p n q) =[qn (- q v - p)]-+ (- p v = [( q ^
-
q) v (q n
: IFv(qn-p)]
- p)]-+(- p v - q)
-+
(-pv-q)
L.dist.
L.neg.
L.ident.
-(q^-p)v(-pv-q)
= (-qvp)v(-p"-q)
= (-qv-q)v(pv-p)
: -qVV
D.imp.
=V
L. abs.
(q
=
Simplificar:
L'D'M,
- p)l + (- p', -.q)
=
m)
q)
^
L. D.M.
L. asoc.
L.idem, L neg.
[-p^(q+p)]v[(pv-q)n(qvp)]
[-p n (q+p)] v [ (p v-q) n ( q " p)] = [-p ^ (-q v p)] v [p v (-q n q)]
D.imp. L.dist
= [(-p ^ -q) v (-p n p)] v [p v
F]
:- [(-pn-q)vF] vp
= (-pn-q)v p
= (-prp)n(-qvp)
:- V^(-qvp)
= -qvp
Ejemplo:
Determinar una proposición X, tal que [(
L.dist., L.neg.
L.neg.,L.ident.
L.ident.
L.dist.
L.neg
L.ident
-x -+ p)n x] v (p 4 q ) = q
SOLUCION: Simplificando la proposición del primer miembro se tiene
[(xvp)nx] v(p n q)=q
xv(p ¡ g)=q
D.lmp.
L.abs.
[-uego. para que se verifique la equivalencia. la proposición x debe ser q
o su equivalente, pues
qv(pnq)=q
L.
abs.
ALGEBRA
20
6.
crRcurros tóetcos:
Un circuito, con un interruptor, puede cstar "abicr'to" o "ccrraclo". Cuando el interruptor
está abierto no permite el paso de corriente. mientras c¡ue cuando está cerrado sí lo
permite. Si asociamos una proposición a cada interruptor, intuitivamente, vemos que en
el álgebra de circuitos la V de tal proposición indica el interruptor cerrado y F
intemrptor abierto. Así, el circuito lógico que representa a una proposición p
Si p es V, se
tiene: #
el
es:
pasa la corriente
P:V
Si p es V, se
tiene:
r
Y
no pasa la corriente
P:F
6.1. CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
Las operaciones proposicionales se pueden representar mediante circuitos lógicos con
tantos intemrptores como proposiciones que la componen, combinados en serie o en
paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.
6.1.1.
CIRCUITOS EN SERIE La conjunción de dos proposiciones (p n q) está
representada por un circuito lógico en serie. Esto es:
pq
p y q conectados. en serie.
Este circuito permite el paso de coniente únicamente si p y q son
V (o están cenados).
Así, se obtiene la tabla de verdad de la conjunción de dos proposiciones, p y q.
2t
LOGICA
6.1.2.
CIRCUITOS EN PARALELO La disyunción de dos proposiciones (pvq) está
representada por un circuito lógico en paralelo. Esto es:
q
p y q conectados en paralelo.
Este circuito no permite el paso de corriente únicamente
si p y q son F (o
están
abiertos). Por lo cual, la tabla de verdad de la disyunción de dos proposiciones, p y q, es:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
pv
ALGEBRA
OBSERVACIÓN El conectivo lógico "y"
(,r.) equivale a conexión en serie, mientras el
conectivo lógico "o" (rr) equivale a conexión en paralelo.
Ejemplo:
Representar el circuito lógico
de
p
-+
q.
Comop-+q=-pv9,
luego el circuito lógico que representa es:
q
Ejemplo:
Representar el circuito lógico de p
Como:p<+q
=(p+ q)n(q-+
e
q.
p)
=(-pvq)n(-qvp),
luego el circuito lógico que representa es:
q
Ejemplo:
Representar el circuito lógico de p v q.
Como
pyq =-(p<+q)
=-[ (p+ q)n(q-+
p)]
=-[(-pv q)^(-qv p)]
:-(-pv q)n-(-qv p)
= (p^- Ov(qn- p),
luego el círculo lógico que representa es:
p-ql_
q-p
LOGICA
23
Ejemplo:
Escribir la proposición correspondiente
al sgte. circuito y simplificar.
q
-t)
I
,_
-p
q L_
,___l
-r
-p
SOLUCION: La proposición correspondiente
al circuito dado
-
se obtiene como sigue:
p y q están conectadas en serie, se simboliza
por: _ p ,r q,
- r y _p están conectados en serie, se simboliza por: _ , _ p,
^
(- p n q ) v (- r n - p) están conectados en paralelo,
se simboliza:
(-p n q ) v (-r
conectados
y frnalmente, q y [(_ p n q v (_ r A _ p)]
)
esrín
^ -p)
en serie, se simbolizapor: q
q ) v (_r _p)J
^ [(_p
^
Simplificando, se obtiene
q^ [(-p^q)v(-r^-p)J=q
A[-pn(qv-r)]
=-p A[qn(qv-r)J
=-P ^q
^
L.dist.
L.conm. L.asoc
L.abs.
Por tanto, el circuito equivalente será:
-Pq
Ejemplo:
obtener
la
simplificar:
proposición correspondiente
al
siguiente circuito, y
ALGEBRA
24
SOLUCION: En primer lugar, se determinarála proposición correspondiente al circuito
dado. Esto es:
q y ^ p están conectados en paralelo, se simboliza: q
(q v
py
-
-
v-p
p) y r están conectados en serie, se simboliza: (q v
q están conectados en seriq, se simboliza: p
Finalmente, (q
v - p)n r y (p
simboliza:
^-
^-
- p)n r
q
q) están conectados en paralelo,
se
[(qr-p)nr] v(pn-q)
Simplifi cando, se obtiene
L.D'M.
[(qv -p)nr] v(p ^ -9)= [-(pn-q) nr]v(p ^ -q)
= [-(pn-q)v(pn -q)]n [rv(p n -q)] L.dist.
:Vn[rv(p -q)]
I-.neg.
:
^
rv(p
-q)l
^
L.Ident.
Por tanto el circuito equivalente es
7.
INFERENCIA TÓEIC,I
Se debe entender por inferencia lógica a un razonamiento en el que a partir de un
conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado
conclusión. Un razonamiento es válido sí, y solamente sí, la conjunción de las premisas
implica la conclusión, o la conclusión es consecuencia de las premisas. Es decir, si las
premisas sr¡n todas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas
lógicamente han de ser verdaderas. Sin embargo, si una o más de las premisas es falsa,
Ia conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la conclusión puede ser
verdadera o falsa.
LOGICA
25
Cuando Q es consecuencia
(c
remlsas Pt, P2,..., Pn, se escribe:
premisas
conclusión
Esto significa que la siguiente implicación es una tautología.
(PrnPzA...AP")
7.1
+
Q
REGLAS DE INFERENCIA
Se le llaman reglas de inferencia a todo argumento universalmente correcto (o tormas,
correctas de razonamiento) que representan métodos generales de razonamiento válido.
Las siguientes son formas correctas de razonamiento:
l)
MODUS PONENDO PONENS (PP): Es un método (Modus), que ahrma (ponens)
el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente de la implicación
p +q
p
q
2)
MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT): Es
el método (Modus), que negando
(tollendo) el consecuente, se puede negar (Tollens) el antecedente de la implicación.
p+
q
-q
3)
-p
MODUS TOLLENDO PONENS (TP): Es
el
método (modus), que negando
(tollendo) un miembro de una disyunción se afirma (ponens) el otro miembro.
26
ALGEBRA
a)
pvq
pvq
b)
-p
{
q
Ley del silogismo hipotético (SH)
p +q
q +r
p
+r
Ley de simplificación (LS)
a)
p^q
b)
p
Ley de conjunción (LC)
p
o9
p^q
Ley de adición (LA)
p
PVA
Dilema constructivo (DC)
p+q
r+t
pv
r
qvt
Dilema destructivo (DD)
p+q
r-+t
-qv-t
-p v-r
p^q
27
LOGICA
En las deducciones
o
demostraciones formales se deberá justificar cada paso de
inferencia haciendo referencia a la regla particular de inferencia que permite aquel paso.
Se indica esta regla poniendo la abreviatura de su nombre a la derecha del paso de
inferencia. Es también necesario indicar los números de las líneas en la inferencia de las
que se ha deducido cada paso.
En cada uno de los siguientes ejemplos se demostrará que la conclusión indicada
consecuencia lógica de las premisas dadas.
-
Ejemplo: Demostrar:
l) -p+r
2)t
3) q+-r
4) p-+-t
s)
6)r
7)
-p
-q
Ejemplo: Demostrar : r
q
2,4
I,5
3,6
TT
PP
TT
l)
2)
3)
4)
5)q
6)
7)r
q+-p
-t
pv
r
-q+t
2,4TT
-p
I,5 PP
3,6 TP
Luego la conclusión es
-q
Luego la conclusión es r
Ejanplo: Demostrar:
tnU
Ejemplo: Demostrar : D n G
l)
2)
3)
4)
5)
6)p
7)
8)
9)t
l0)
1)
2)
3)
4)
r+-p
-q+S
-SvU
rvt
p^-q
-q
-r
s
s)
5LS
5LS
1,6
4,8
2,7
TT
TP
PP
CvD
(BvE)-+F
Av B
-FvG
C-+-A
6)A3LS
7)B3LS
8) -C
9) D
l0) BvE
5,6
1,8
7
TT
TP
L.A
es
28
ALGEBRA
r) u
12\ tnu
3.10
l
9,ll
Luego la conclusión es t n
U
TP
I
l)
F
2,10
t2) G
13) DnG
LC
r
4,tt
PP
TP
9,12
LC
Luego la conclusión es D n G
Ejemplo:
l)
2)
3)
4)
Demostrar:x*3 v
x*2*5 v 2x=6
x:3 +
x'F2=
5
2x-2:8+2x+6
2x-2:8
x>2. Ejemplo: Demostrar: I<yn y * 4
l) x>yvx<4
2) (x<4vy<4)+(x<yny I 4)
3) x>y-)x:4
4) x+4
5)
6)
7)
8)
2x+6
3,4 PP
x+2+5
1,5 TP
x+3
2,6 TT
x+3vx>2 7 LA
Luegolaconclusiónesx +3vx>2
Ejemplo:
5)
6)
7)
8)
x/y
x<4
x<4vy<4
x<yny*4
3,4
1,5
6
2,7
Luegolaconclusiónesx <y
TT
TP
LA
PP
ny *
4
Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio
partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad entonces Juan no vio
partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en
el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto Andrés estaba
en el edificio en el momento del crimen.
Sean las proposiciones
p:
q:
r:
s:
t:
"el reloj está adelantado"
" Juan llegó antes de las diez"
" Juan vio partir el coche de Andrés"
"Andrés dice la verdad"
"Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen"
LOGICA
29
Luego la demostración es:
2)
p-+(q^r)
s-+-r
3)
svt
4)
p
5)
q^r
6)
q
7)
r
8)
-S
e)
t
l)
Por tanto la conclusión
t:
1,4 PP
5LS
5LS
2,7 TT
3,8 TP
es:
"Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen"
entonces el razonamiento es válido.
8.
FUNCIONES PROPOSICIONALES
8.1.
F U NC I ON ES P RO POS IC IO NA LES
Y
SA CUANTIFICACIÓN
Una función proposicional en una variable X es toda expresión en la que X representa al
sujeto u objeto perteneciente a cierto conjunto. La cual se convierte en proposición para
cada especificación de
proposición al sustituir
X. Es decir, si P(X) r1s una expresión que se convierte en
la variable X por un objeto matemático, se dice que P es una
función proposicional. Asimismo hay funciones proposicionales con más de una
variable.
Ejemplo:
Si nos referimos a los números naturales
P
(X): "X es el divisor
y,
sea la función proposicional
de 12", es claro que la expresión : "X es divisor
de 12" no es una proposición ya que no podemos decir nada acerca de su
verdad o falsedad mientras no se especifique a X. Sin embargo, para cada
asignación dada al sujeto X dicha expresión es una proposición.
\LGEBL\
30
Es decir, son proposiciones:
(2): " 2 es divisor de 12"
P (3): " 3 es divisor de 12"
P (5): "5 es divisor de 12"
P
Ejemplo:
(v)
(v)
(F), etc.
Dada la función proposicional en dos variables.
P (X,
Y):
"X
es mayor que
Y"
siendo X y Y números enteros . Entonces para cada particularización de
valores de X y Y se tiene las proposiciones:
(2.5):
P (-2.-5):
P (5,1):
P
8.2.
'' 2 es ma\ or que 5"
"-2 es mavor que --5"
(F)
''5 es mavor que
(\/).
1"
(\')
etc.
CUANTIFICADORES
A 1:afir de funciones proposicionales
se puede obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado de cuantificación. Para ello, introducimos los símbolos V
y 3, llamadós cuantificadores
universal
y
existencial, respectivamente. Los cuales
asociados a la variable x expresan lo siguiente:
V x, para expresar "para todo x", o "cualquiera que sea x"
3 x, para expresar "existe algún x, tal que", o "existe al menos un x, tal que"
Si p(x) es siempre Lrna proposición verdadera, para cualquiera que sea el
objeto
matemático que sustituye a x, entonces se podrá escribir:
Y
x:
p(x), se )ee "para todo x, se verifica p(x)"
Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera, al sustituir x por al menos un cierto
objeto matemático, entonces se podrá escribir:
I x/
p (x), se lee "existe algún x, tal que se verifica p(x)"
t-a negación de estas funciones proposicionales cuantificadas, para cada caso) son:
(Vx:p(x)):lx/-p(x)
-(lx/p(x))=Vx:-p(x)
3l
LOGICA
Ejemplo:
Sea la proposición:
"Todo el que estudia triunfa"
La traducción equivalente de esta proposición es
"Cualquiera que sea la persona, si estudia entonces triunfa"
luego,
si
(x): x
q(x): x
p
y
se
tiene
V
x:
estudia
triunfa,
p (x) -+ q (x),
la simbolización de la proposición dada.
Ejemplo:
La negación de la proposición del ejemplo anterior será:
-(Vx: p(x)+q(x)) = 1xl -(p(x)-+q(x))
= 1xl -(-p(x)vq(x))
= 1xl p(x)n-q(x)
que quiere decir:
" existen personas que estudian y no triunfan"
Ejemplo:
Consideremos
la
siguiente proposición general relativa
a todos
números primos:
"Existe algún número primo que es par"
Si x denota a un número primo cualquiera, y llamando:
p (x) : "x es
par",
se tiene que 3
(- p (x) : x es impar).
x / p (*), se lee "existe algún x, tal que se verifica p (x)"
o bien "existe algún número primo que es par"
luego, la negación de esta proposición será:
-(lx/p(x))=Vx:-p(x)
se lee "para todo x, se verifica
- p (x)"
o bien "todo numero primo es impar"
los
ALGET]ItA
32
Ejemplo: Dcrnoslrar: -l(-2)r < -2
Si
L
2.
VxVI : (x<- l nl'>
Yz'. z<-l-+z)
l )-_>
x)'<x
>l
-2< -l
Der:iostración 4.
:' J.
6.
7.
8.
-2< -l-+1-2)r >l
1 z =-')
(-2)2>
3.4 PP
I
-l n(-2)r >l
(-2<-l n(-2)r>l)+ -2(-2)? <-2
-2(-2f <-2
-2 <
Leonardo De Pisa
1175 - 1250
3.5 L.C
I,X:
6.7 PP
-2.y:(-2)2
LOGICA
JJ
EJERCICIOS
Simbolizar cada una de las proposiciones siguientes:
L
"El gordo Alberto vive para comer y nocome para vivir".
2.
"I-a decisión dependerá deljuicio o la intuición, y no de quién pagó más".
3.
"Si esta planta no crece. entonces necesita más agua o necesita mejor abono".
4.
"El juez lo sentencia a Octavio si y solo si el fiscal puede probar su culpabilidad
o el testigo no dice la verdad".
5.
"Si una sustancia
orgánica se descompone, entonces sus componentes
se
transforman en abono y fertilizan al suelo".
6.
Sean p, q y r los siguiente enunciados:
p:
:
r:
q
Estudiaré matemática
Iré a mi clase de computación
Estoy de buen humor
Escriba en lenguaje común las oraciones que corresponden a los siguientes
enunciados:
a)--p¡q;
b)r+(prq);
c)-r-)(pv-q);
Determinar, por medio de una tabla de verdad,
d)(-pnq)er
si cada una de las siguientes
proposiciones es una tautología, contradicción o contingencia.
7.
[(-p^-q)-+P] v(pnq)
R: contingencia
ALGEBRA
34
8.
[(p-+-q)np] y(-pnq)
R: contingencia
9.
[(- p y - q)n(p -+ - q)]v -(-peq)
R: tautología
r0.
[(p n q)vlpn(- p v q )]] y -(p -+-q)
R: contradicción
ll.
{[p -+ (q
12.
(-py-r)+>[-(pnq)v-r]
13.
t (- p v q )n (q -+ r)
14
[(-
p
"
l5
[(r-+
-
Sean
q y s proposiciones
¡ - p) ] n - q]+>-(p " q)
R: contingencia
l+ - (p ^ - r)
q)+ - r] e I rn -(p v p)n(p
R: tautología
R: tautología
q) ]
R: contradicción
+-q) ]v[ (- p +r)n(- q +p)]
cualesquiera, p
y
R: tautología
r .proposiciones tales que
- ( p r - r) es
verdadera. Hallar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
16.
17.
Sean
a)
-(pn-q)-+-(svr)
b)
[ (-
a)
Ip-+(q^s)]y(-q-+r)
b)
[ ( r v q ) -+ (p,. s) ] -+ (- q y s)
py r
rn q)y - p ] -+ -[
(p n s ) v
-
r]
R:F
R:
R:
R:
proposiciones cualesquiera. q y sproposicionestalesque
falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
l8
a)
[(p"-q)ns]+-(-rvs)
R
V
F
V
- (-
q n s) es
LOGICA
b)
19. a)
)
[(-pnq)-+^r]y-(pvs)
R:
[(-p"s)-+(q^r)]e(p-+-q)
t(q-+p)v(-p^r)l¡[(p+s)v-r]
R:
R:
Hallar el valor de verdad de las proposicion€s p, g,
t
(-p-+q)v-(rn-s)
-(r-+-p)n(-q^s)
esfalsa
21. a)
b)
(-pnq)+(-r+s)
-(r+-p)+(-qvs)
esfalso
22. a)
b)
-
23.
r) n
-
esfalso
(q
Si las implicaciones (p n
-
V
esverdadera
+- s)
-[(r^-q)-+(-p+s)]
-
F'
r y s, sabiendo que:
20. a)
b)
(p v
\'
q)
es el valor de verdad de p y de
es verdadera
esverdadera
+q y
(p n q) -+
r?
-r
son verdaderas, ¿cuál
Determinar cuales de las siguientes formulas son lógicamente equivalentes?
24. I: (pv-q)-+-p
II: (p-+q)v(pnq)
III: (p <+ - q) -+(- p ^ q)
25. I: -(p-+q)e[(pvq)^-q]
II: [(-p¡-q)v-q]+>-t0vq)nql
III: [-q,..(-p'rq)]<+-(-p-+q)
R: F, V
tu.
ALGEBRA
p es F y que q es una
Sabiendo que
proposición cualquiera, determinar el valor de
verdad de la proposición x. tal que:
26.
[x+
27.
[x v (p
28.
[(p+
(p
^
^
q)]+
p
-q)] <+(- pv q)
q) <+ x] v -(p n
q)
sea F
R:F
seaV
R: V
V
R:F
sea
Simplifrcar las proposiciones siguientes:
29.
(p<+q)v(-pvq)
30.
t (- p v q ) n ( -q -+ p) I -+ (p n
31.
lq
32.
[ ( q + p) n ( -p
33.
(q+p)+[(pvq)+(q^-p)]
34.
[
35.
(-p'q)+[pn-(pn-q)]
36.
Iq
37.
[ (p -+
R:
-
q)
+(pnr) I " [-p-+(pnr)]
(p+
-'
q)
+
q)
]+ - (p v-
+ ( -pn -q)
(rn
-
q)]
+
[(q
^
]
^[
(-p
- p)+r]
r) n - p ] v [( p v q) + r]
-pvq
R:-q
R: p
q)
R:
:p
R:-p
n q)v p]
R:pn-q
R: p
R:v
R:
-pvr
LOGICA
37
+ - q) v [ (p + r) n-
r)
R:qv-p
38.
-
39.
[ (p +
40
lp+(pn-q)ln[(pvq)+p]
R:-q
4t
t-(pvq)+(-pn-q)l+r
R: r
42.
[ ( r-+ p )
(p
-r) +p
+
] n [ -p -+
(p n
]
- (p v -q)
(p n r) ] + [ (rv q) -+ (-
R:p
]
r^q)
]
43. t(-q+r)n-(qn-r)l+[G-+p)¡(p-+-r)]
q v p -+
n
r)]
" - ) - ] [q -(p+
44.
[(p
45.
[(pn
46.
t
47.
[( p +
- r )+ -p] +
48.
[ (p -+
r)
49.
t(-p<+q)nrl v Irn(py-q)]
- q) v (q n r) ] " t(qv
(-pnq) v (pn-q)
+>
I
r)n
- rl
v-(-p +q)
[pn
(-q+ r)]
(p n r) ] n [ (p
+ -q)+q]
R:-r
R:-r
R:pnq
R: F
R:
-pv-q
R:p
R:pnq
R: r
Determinar una proposición x, tal que:
50.
[^x+(qnx)] n(p+q)=-p
51.
[
(x+
p) n( q v
-x)] v (p n - x) =q
R:-p
R:
-q
ALGEBRA
38
52. [(x+q)+x] n(-q+ -p)=p^q
R:p
Construir el circuito lógico que representa a cada una de las proposiciones siguientes:
53. p +q
54. p <+q
55. pyq
[-qv (-pnq)]] n(pvq)
56.
{ (p¡-q)v
57.
{
[pn(qvr)] v(p^-r) ] n(-prr-q)
58.
{
t(pv9)n(-pvr)lv[(pnq)v(-r^-q)]
59. {[-rn(prrq)]v [(-p.rr)n(-qv-r)]]
]n(pvqvr)
n
[-pv(qnr)
]
Escribir la proposición que caracteriza a cada uno de los siguientes circuitos lógicos, y
simplificar:
q-p
61.
R:
-pn-q
LOGICA
39
62.
R:pv
63
R: -p nq
64.
R:pnq
65.
R:pnq
66.
r
67.
!r
R: r
n-q
___J_
-p
,------J-r-l
-p
__J____________J__
)
R:q
40
ALGEBRA
68.
R: p
n-r
69.
p
R:
-pv-q
Por medio de una tabla de valores de verdad, justificar la validez de los siguientes
razonamientos:
70.
a)
p+q
-p+r
b)
p
r+q
-r
-Í
7t.
a)
-p v-q
pv-q
ro-q
pv -r
b)
-p +q
-r +-q
-(pn-t)
-r
t
En cada uno de los siguientes ejercicios, demostrar la conclusión dada haciendo el uso
de las reglas de inferencia.
72.
a)
Demostrar:
u A-v
b)Demostrar:GnF
LOGICA
4t
l.
2.
3.
4.
5.
v+-p
p^-t
l.
2.
3.
4.
5.
s+t
q+u
sv(qnr)
73. a)
Demostrar:
74. a)
l. x=y v x<y
2. (x<3Ay=x+l)-+y*8
3. x=3 v y:8
4. x*y ,r. y=x+l
5. xi3+x*y
Demostrar:rvs
b)
l. p+-C
2. An-B
3. (-pvq)+(rnt)
4. BvD
5. A+(Cv-D)
75. a)
76. a)
x:3 v y < 2
b)
x+3 vy+l
b)
x:3+y/-3
x:ynx*y
x*5 vy<3
x=y+(x=y+2vx<5)
x=Y+2+xcY
C+B
-D+(EnF)
An-B
(AnE)+G
Cv-D
Demostrar: y *2 ny >2
2.
2.
3.
4.
5.
f 2+xl2
x*5vy*2
x:y+3ny<4
y
(y>2^y<4)+x>5
x#y+3vx>2
Demostrar:rvs
l.
2.
3.
4.
5.
p+-A
-q+B
-p+r
Av-B
q+r
Demostrar:
Demostrar:x=5vz>5
l.
2.
3.
4.
5.
l.
2.
3.
4.
5.
Demostrar: svt
l.
2.
(p+r)+(-AvB)
p+q
b)
x+1+zfx
x<6 v x:3
x=3+z>x
x<6+z>x
x:5 v x*7
-pvq
(AnB)+-(r+-s)
t+-s
Demostrar:
l.
2.
42
ALGEBRA
3.
4.
5.
77. a)
3.
4.
5.
B-+s
q-+r
-A-+s
x<6
x>yv x<6
x>y+x>4
x>4 -)x:5
x<6+x:5
(x:5vz>x)+y<z
x>y-+y *z
Demostrar:
l.
2.
3.
4.
5.
6.
b)
r -+t
p-+A
p -+B
Demostrar: x>4
l.
2.
3.
4.
5.
6.
x>y v y:3
x>4-+yr'l
x>y+x>4
x:y+yll
x >y v x= y
y:3 -+ y>l
Demostrar la validez de los siguientes razonamientos:
78.
Si ta ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno
del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y habita en
el océano. Por tanto, habita en el océano y no necesita branquias.
79. Si la enmienda
la
no fue aprobada entonces la constitución queda como estaba. Si
constitución queda como estaba, entonces
no podemos añadir
nuevos
miembros al comité, Podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe
se retrasará un mes. Pero el informe no se retrasará un mes, Por tanto, la
enmienda fue aprobada.
80.
Negar las siguientes proposiciones:
a)
Vx: p(x)v-q(x):
c)
Vx:
p(x) -+ q (x)
;
b)
lx/p(x)v-q(x)
b)
lx
/ p(x)
e - q (x)
LOGICA
81.
43
Expresar
las
siguientes proposiciones
en forma simbólica, negarlas, y
retraducirlas al lenguaje común:
a)
b)
El cuadrado de todo número entero
es mayor que
l.
Existen números naturales cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del
siguiente.
c)
d)
e)
D
g)
h)
82.
Hay jóvenes que no estudian ni trabajan.
Todo el que estudia triunfa.
Ningún cuento de hadas es una historia cierta.
Ninguna cosa es alavez redonda
Nadie es totalmente juicioso o totalmente estúpido.
Existe algún número real que es menor que su parte entera
Deducir las siguientes conclusiones de las premisas dadas, dando una
demostración formal completa en la forma típica.
a)
Demostrar:3+4<3+7 b)
Demostrar: 3<5
l. Vx: x<2+6 -+ x< 3+7
1.
y+4<2+6
3+4t2'+5
Vx: (x<4 n4<5) ->x<
2. Yy: y+4>2+5v
2. Yy: -4<-y
3.
3.
4.
a
5
y< 4
4<5
-4<-3
EJERCICIOS VARIOS
Sabiendo que p es F y que q y r son proposiciones cualesquiera, determinar el valor de
verdad de la proposición x, tal que:
83.
[(- p n x) y (p n- q)]e -(p-+
r)
sea
V
R: F
84
[(-pv r)+> -(- x -+ p)] y (q-+
-p)
sea
V
R:V
44
85.
ALGEBRA
[(p-+ -q)<+(x v p)]-+
-(r+
-p)
R: V
sea F
Simplificar las siguientes proposiciones:
86.
{[p n ( q + r )]
87.
t(
88.
lq n ( s -+ q) I y [ (p^-q ) v (-p ^q ) v (p-+r) v (p¡+
89.
{(p¡ -q)v
-
p
^
-
^
q ) <+
-
[ p -+ (q n
-
(p
(q
e
- r )] ]v
-+ p ) I y { ( p
q)
v
{(p n q ) v [( p n r )n (q v
^
-
q)
v
-
r)
- [(pn- q)v(q+
- [ (q -+ p ) v ( r +
s
)
]]
R:
p)
pnq
R:q
]]
R:-q
q) ]
] ] y t q ^ (p -+q ) l
R:p
Determinar una proposición x , tal que:
90.
x+(p<+x)=pvq
91.
[(p y
v x) = p v -x )+ x]
^(q
92.
[(r n
x)e(x + r)] n [q +(-p
R:- q
^
q
x )] = p
R:
^
-
q
-q
R:p
Obtener las proposiciones correspondientes a los siguientes circuitos y simplificar:
93.
pq
/_J_
-p
-q
R:p
LOGICA
45
94.
-q
R: -pv-r
95.
Determinar una proposición x, la más simple de manera que el circuito lógico
siguiente:
sea equivalente al
circuito:
L___,_)
--]--o_lq
Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos siguientes:
96
a)
Demostrar:x<6vz>6
l. (x< 7 n x=5)-+(z>x v y<z)
2.x<6+(x=5nx<7)
b)
-(x:yvy / l)
l.Y * l-+(y< I vy:l)
2.(x+3
^x / 3)-+x=0
Demostrar:
ALGEBRA
3.x>y-+- (y<zvz>x)
4. x
>4 -+ (x= 5 nx<
I I
4. x >3 + x*y
3.y+ I ny
7)
5.x>y-+x>4
6.x>yvx<6
97. a)
98. a)
5.x=3-+x+y
6.x*0
2. Y> l<+xcy
Demostrar:5+2*.4+3 b)
Demostrar:
l.Vx:x+2>4vx+l<7
2.Yy:5 +y < 4+3 -+ 5+y
3.5+l*.7
99.
-(x I ynx* l)
-(x<ynx= l) b)
l.(x:y-+y=0)-+ x=0
2.(x= 0vxY=0)-+Y=0
3.x=y+x I y
4.y=0<+x*y
Demostrar:
f4
Demostrar:
l.(x
3.
y>
I
(x*2yuy > l)-+ x<
I
< I v.xy<0)-+
4.x=2y-->x<y
3f3+4
l.VxVy:x>y+y/x+3
2. VuVv: u-3 <v + 3 *v>u
3. (3+3)-3<4
Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Mi padre me alaba si yo estoy orgulloso de mi mismo. O me va bien en deportes
o no puedo estar orgulloso de mi mismo. Si estudio bastante, entonces no me va
bien en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante.
100.
Epiménides de Cnosos (siglo
VI a. de C.) decía "Todos los cretenses
son
mentirosos y yo soy cretense, luego miento".
Alguien a la vista de ello, Íazona como sigue:
Si Epiménides mintió en lo que dijo, entonces los cretenses no eran mentirosos,
luego Epiménides, por ser cretense, no era mentiroso y, consecuentemente, no
mintió en lo que dijo, Se llega así, pues, a una contradicción. ¿Este razonamiento
es correcto?.
CAPITULO
II
CONJUNTOS
I.
INTRODUCCION
En este capítulo se estudian los conceptos básicos de la teoría intuitiva de conjuntos,
nolaciones, subconjuntos, sus operaciones
y
sus aplicaciones. Para alcanzar los fines
prácticos que nos interesan se completa con bastante cantidad de ejemplos ilustrativos.
2,
CONCEPTO
Y
NOTACIÓN DE CONJUNTO
En el lenguaje corriente, empleamos el vocablo conjunto para referirnos a
una
pluralidad o colectividad de objetos que se consideran agrupados formando un todo. Por
ejemplo, conjunto de alumnos de una clase; conjunto de letras del abecedario; conjunto
de escritores nacionales, etc.
De esta noción de pluralidad contrapuesta a la de singularidad ha surgido el concepto
matemático de conjunto. Los ejemplos recién mencionados bastan por ahora para tener
una idea de dicho concepto. Lo esencial de dichas situaciones es la presencia
de
elementos o miembros del conjunto, los mismos se les denota usualmente por letras
minúsculas como a, b, c,...,
y los conjuntos se denotan por lo común
mediante letras
mayúsculas como A, B, C, ....
Otros símbolos de uso frecuente son:
"1
"
" para expresar "tal que"
e"
pafa expresar que un elemento pertenece a un conjunto.
"< " para expresar "menor que".
" >"
para expresar "mayor que".
Para simbolizar que "x pertenece a
escribirá x É A.
A"
se escribirá
x e A, y la negación de ésta se
48
ALGEBRA
Ejemplo:
Si el conjunto A está formado por los elementos a,b, c y d, escribimos
A:
{a, b, c, d}
Su representación en diagrama de Venn es:
a
bc
d
Por tanto, la V o F de cada una de las siguientes expreslones es:
aeA,esV be A,esV ceA,esV deA,esV
eÉA,esV {a}eA,esF {b,c}eA,esF AÉA,esV
2.1.
NOTACIÓN DE CONJANTOS NUMÉRICOS
Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:
Conjunto de los números enteros
Atr: {1,2,3,...
}
Z = {...,-2,-1,0,1,2.3, ... }
Conjunto de los números racionales
a
= { ...,-1,?,0,r,r,...\
¡
= {.,.,t5, n,r, ^4j,...\
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números irracionales
t' s'3""
)
Conjunto de los números reales, que se denota por R, está formado por la unión de los
números racionales e irracionales
3.
DETERMINACION DE UN CONJANTO
Un conjunto puede ser determinado de dos maneras: por extensión y por comprensión
3.1.
POR EXTENSIÓN Se dice que un conjunto está determinado por extensión sí y
solo sí se nombran todos los elementos que lo constituyen. En este caso se escriben sus
elementos entrp dos llaves.
49
CONJUNTOS
Ejemplo:
A:{2,4,6,
El conjunto
8,
l0}
está escrito por extensión, ya que se pueden enumerar uno a uno todos los
elementos del conjunto.
3.2.
POR COMPRENSIÓN Se dice _que un conjunto está determinado por
comprensión sí y solo si se da la propiedad o propiedades que carccteúzan a todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto
de los números naturales menores a cinco definido por
comprensión puede escribirse B
:
{xeN
Los números naturales menores a 5 son:
/x
<5\
1,2,3 y 4,
por tanto, la determinación por extensión es: B :
Ejemplo:
{ 1,
2,3, 4\
A: { xeZlx2:3 x }
x2 : 3 x
la ecuación
Escribirporextensión:
Resolviendo
x'-3x:o
x
(x-3):0
X:0,
Por lo tanto, por extensión resulta:
se
4.
obtiene
x=3
A = {0, 3}
CONJUNTOS ESPECIALES
Llamaremos conjuntos especiales
a aquellos conjuntos que se caracterizan por
el
número de elementos, entre ellos tenemos: conjunto unitario, conjunto vacío. conjunto
universal,
4.].
CONJUNTO UNITARIO
Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento.
50
ALGEBRA
Ejemplo:
Los
conjuntos A: { x I x2 :0\
B:{x eNlx?=4\
son unitarios
Estos
4.2.
por tener un sólo elemento.
son: A:{0} y B:i2}
CONJANTO VACúO
El conjunto nulo o vacío
Es decir,
0
:{
Ejemplo:
es aquél conjunto que carece de elementos,
y se denota por 0.
}
los conjuntos
A:{xeZlx2:-l\
B:{xeNlx<0}
Son conjuntos vacíos, por no existir valores de
x
que satisfagan las
condiciones de cada conjunto.
4.3.
CONJANTO UNIVERSAL
El conjunto universal, llamado también universo o referencial, es un conjunto de cuyos
elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos. Se denota por U.
Ejemplo:
Si el conjunto universal es
Entonces el conjunto
se puede escribir
A
:
U:
U,2,3,4,.5,6\
A = {x I -2 <x < 4}
{
1,2,3, 4)
U: {0, +1 ,+2,+3, +4, +5, *6},
elconjunto B: {x l-2<x<4}
Sin embargo, si
se convierte en
B
:
{-2,-1, 0, 1,2, 3, 4\
Nótese que un cambio en el universo puede cambiar un conjunto
CONJUNTOS
51
RELAC IONES ENTRE CONJUNTOS
Se sabe que el símbolo
e
(pertenencia) se utiliza para relacionar un elenrento corl un
conjunto. Asimisrno, se puede relacionar dos conjuntos definidos en un mismo universo.
Los cuales se definen a continuación.
5,1,
Sean
INCLUSIÓN DE CONJUNTOS
A y B dos conjuntos definidos en un mismo universo.
Se dice que
A está incluido
en B, o que A es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen
al conjunto B; se denota por A
a
A" o bien "A
c
es subconjunto de
B, que se lee "A está incluido en B" o bien "B incluye
B"
AcB+>Vx:xeA->xeB
En símbolos:
Su diagrama de Venn es:
OBSERVACIONES:
l)
La relación de pertenencia (e) relaciona un elemento a un conjunto. mientras
que la relación de inclusión
2)
3)
(c ) relaciona
dos conjuntos.
El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto.
Todo conjunto está incluido en sí mismo.
rcrnplo:
Sean los
conjuntos:
A:{l ,2,3,5,7)
B
:{2,4, 5,6,8\
c:{2,
5}
Los valores de verdad de las siguientes proposiciones son:
ALGEBRA
52
CcA,
CcB,
AcB,
BcC,
$cA,
AcA,
5.2.
2cC,
2eC,
5eA,
4eB,
CeA,
$eA,
esV
esV
esF
esF
esV
esV
€S
€s
€s
€s
€s
€s
F
V
V
V
F
F
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que dos conjuntos,
A y B, son iguales si A
c B y B c A. Es decir, si ambos
conjuntos est¿in formados por los mismos elementos.
En
símbolos:
Ejemplo:
A=B <+A cB nB c A
Sean los conjuntos:
A={xlx2-3x+2:0}
B:{xeN/x<3}
resolviendo la ecuación *2
setiene
portanto
- 3x * 2 = 0
x= l,
A={1,2}
los números naturales menores a 3 son
luego
CON,TUNTO
Iy2
B:
En consecuencia, A =
5..3.
x:2
B,
{1,2 }
ya que tienen los mismos elementos.
DE PARTES
Dado un conjunto A, se entiende por conjunto de partes de
todos los subconjuntos de A, y se denota por P(A).
símbolos:
Obien:
En
: {X lX c A }
XeP(A)eXcA
P
(A)
A al conjunto formado por
CONJUNTOS
53
Es decir, si se consideran todos los subconjuntos de A, ellos dan origen a un nuevo
conjunto, que se llama conjunto de partes de A. El número de elementos del conjunto
partes de A es 2', endonde
Ejemplo:
rz
es el número de elementos de A.
Determinar el conjunto dc partes de:
A:
{a, b, c}
Como A tiene 3 elementos, entonces
23
:8
el conjunto de partes de A tendrá
elementos, que son todos los subconjuntos de A. Estos son:
0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A
Por
tanto:
P
(A): { 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A }
Ahora, desde el punto de vista de la pertenencia y la inclusión, damos los
valores de verdad de las siguientes expresiones:
a eA
,
{a}eA ,
a cA
,
,
{a}c A
,
O eA
,
O cA
A eA
,
A cA
,
o €0
,
{{a}} cP(A),
,
,
,
esF
esF
a eP(A)
{a} e P (A)
{a} c P (A)
eSY
{a,b}eP(A)
gSV
esF
esF
{0} c P (A)
,
,
,
,
esV
esV
0 cP(A)
0 eP(A)
A eP(A)
A cP(A)
,
,
esV
{c}
,
eSF
esV
esF
esV
esF
c
P (A)
esV
esF
eSV
esV
esF
esV
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS :
En esta sección se analizarán varias operaciones que combinan dos o más conjuntos
mediante reglas bien definidas para formar nuevos conjuntos.
conjuntos se
A
esta combinación de
le llaman operaciones entre los mismos, y son: unión,
intersección,
complementación, diferencia, diferencia simétrica y combinaciones de las mismas.
ALGEBRA
54
6.1.
UNIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado,por todos los
elementos de A o de B. Se denota por A [J B.
: { x/x e Avx e B}
Esdecir: x e (AUB)<>x e Avx e B
Ensímbolos: AUB
Su representación en diagrama de Venn es
donde la parte sombreada es A U B
Ejemplo:
A: {3, 5, 6}
B: {1,2,3,7}
C: {2,3,4,5\,
Entoncessecumpleque: AUB: {1, 2,3,5,6,7\
AUC: {2,3,4,5,6\
Sean los
conjuntos
BUC:
{ 1,2,3,4,5,7\
Obsérvese que los elementos que están en ambos conjuntos se cuentan
una sola vezen la unión.
6.2.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Dado los conjuntos
A y B, la intersección de los conjuntos A y B
es el conjunto
formado por los elementos qLle son comunes a los dos conjuntos dados, es decir que
pertgnecen
a A y a B.
Se denota
por Af-lB
Ensímbolo: AllB: lx/x e Anx e B)
xe (AlB)++x€Anxe B
Obien:
CONJUNTOS
55
Su representación en diagrama de Venn es
U
A
Donde la parte sombreada
Ejemplo:
Sean los
es A []g
conjuntos A ={a,
B:{c,
Los elementos comunes
P(A
Sean los
f}
d, e, f, g}
aAyB son e y
el conjunto de partes de A
Ejemplo:
b, e,
I
entonces:
Afl B:{e, f,}, y
fl B es
n B) = {0, {e}, {0, {e, f}}
conjuntos A = {1,3,5,7\
B = {2,4, 6, 8}
Estos conjuntos,
A y B, no tienen elementos comunes luego la
intersección de ambos conjuntos es vacío.
Esdecir: AflB={ }=0,
En consecuencia los conjuntos A y B son disjuntos.
Por tanto, dos conjuntos cuya intersección es vacía se llaman disjuntos.
Es
decir:
6,3.
Sea
A y B son disjuntos
<+Afl B = 0
COMPLEMENTO DE UN CONJANTO
A un conjunto definido
en un universo U, el complemento de
A
es el conjunto
formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por: At.
Ensímbolos: A': { x e U /xeA}
A.={x/xeAl
xeAt<+xÉA
obien
ALGEBRA
56
El rlragrlnra
clc
Vcnn correspondiente
es:
Donde la parte sombreada es A
Ejemplo:
Sean los
conjuntos U :
{I
,2, 3, 4. 5, 6,7 , 8,9\
A: {1,3,4,5.7.9\,
B: {2, 4,5.6,7,9}
Según la definición,
Es decir,
A'
está formado por
A.:
2,6, 8 y B' por l, 3, 8.
{2, 6, 8},
B'= {1,3,8}
Entonces A'nB':{8}
P(A.['lB.):{0,{S}}
6.4.
DI FERENCIA DE CONJANTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de conjuntos
formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.
En símbolos
o bien
Luego se
:
A-B={x/xeAnxÉB}
xe(A-B)exeA^ xeB
verificaque: A-B:
El diagrama de Venn correspondiente
A l^'lB'
es:
A - B es el conjunto
CONJUNTOS
57
Donde la parte sombreada es A
De ¡rrodo sinrilar se clcllne B
-
-
B
A como sigue:
B-A:{x/xeBnxeA}
Ejemplo:
Sean los
conjuntos
U:
t
a, b, c, d, e,
f, g, h, i)
A={a,b,d,e,g,i}
B:{a,d,f,g,h,i}
[.os elementos de A que no están en B son : b, e,
A-B=
entonces
{b, e}
Mientras los elementos de B que no están en A
son: f, h,
B_A={f,h}
luego
Además:
At= { c, I h}
Bt= { b, c, e}
Entonces
AnB'={b,e}
BnA'={lh}
Obsérveseque A-B:AllB'
B-A= B0A'
6.5.
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, cualesquiera de un universo U, la diferencia simétrica entre
estos conjuntos es un conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero
no a ambos. También se puede definir como la unión de los conjuntos A-B y B-A. Se
denotaporA 1B.
rB:(A-B)u(B-A)
En símbolos:
A
o bien
A rB=(Ar-l Bt)u(BnAc)
o bicn:
A
rB=(AuB)- (AnB)
58
ALGEBRA
El diagranra de Venn correspondiente
es:
Donde la parte sombreada es A.1 B
Ljemplo:
Sean los coniuntos
: {1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9)
A: [ 2.4.5. ó.8.9)
u
B:
A-B={2,6}.
donde
B-A:{1.3}.
(A - B) u (B - A): (r.2. 3. 6),
'luego
entonces
{1,3.4.5.8.9}
A.r B = (A-B) U (B- A) : {1. 2. 3, 6}
Además
cc
B=12,6.7)
A={1,3,7},
de donde
AnB'=12.6\
BnA'={
1,3}
: {t,2,3,6)
entonces A¿B:(Ang')U(BnA) : {1,2,3,61
luego
(A n B') U (B n A')
Por otra parte
AfJS: {1 ,2,3.4.
A0B:
luego
-
5, 6. 8, 9}
{4, 5, 8,9}
B): {1,2,3.6}
Entonces AsB=(AUB)-(AnB):[,2.3,6]
(A U B) - (A n
LEYES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS
P.rrr¡ rcfbrencia posterior, damos aquí una lista de las leyes más importantes que rigen
l.r\ ()pL'raciones con conjuntOs
CONJUNTOS
59
l)
Leyes de idempotencia
A(-lA = A,
AflA = A
2)
Leyes conmutativas
AUB=BuA,
AflB=B0n
3)
Leyes asociativas
4)
Leyes distributivas
5)
Leyes de absorción
6)
Au(BUc¡= (AuB)UC
An(Bnc):(AnB)nc
An(BuC):(AnB)u(AnC)
Au(Bfic¡= (AuB)n(Auc)
An(AUC):A,
Au(Af^lC¡=4
AUU:U,
Afl0=ü
B)'= A'l'lB"
(AnB)'= A'UB'
Leyes de De Morgan
(A U
Leyes de complemento
AIJAc= IJ,
AllAc: q, (A')':A
Af^lB':A-B, U':0,0':U
8)
AU0=A, A0U:A
Leyes de identidad
A continuación
se detallan los ejercicios
ilustrativos para el uso de estas leyes.
Ejemplo: Demostrar: (A U B') n (A U B): A
(A u B' ) n (A U B) = A u (B. n B)
L. Dist.
=AUO
L. Cmp
_A
L. Idnt.
60
Ejemplo:
ALGEBRA
Demostrar:
AU(B-A)=AUB
AU(B-A)=AU(BnA)
:(AuB)n(AuA')
:(A
L. Cmp.
L. Dist.
U B)Tl U
L. Cmp.
=AUB
Ejemplo:
L. Idnt.
Demostrar: [(A'U B) -A] n (AUB) = B - A
[(A'uB) -A] n (AuB) = [(A'u B) n A'] n (AUB) L.Cmp.
=
[A'] n (AuB)
L. Abs.
=(A.fln)u(A.nB)
L. Dist.
=0u(A.nB)
= A'0B
L. Cmp.
L. Idnt.
:B_A
Ejemplo:
Demostrar:
L. Cmp.
(A'-B)UtB-(B-A)l=B
(A'- B') u t B - ( B -A ) l=[A' n (B' )'] U tB -(B nA)l
:[A'nB]utBn(BnA).1
:(A'n B) u tB n (8. u (A).)l
L. Cmp.
L. cmp.
L. D'M.
:(A'nB)utBll(B'uA)l
L. cmp.
:(A.
L. dist:
N B ) U [B N
=(A'n
B')
U (B NA)]
B ) u tou(B nA)l
=(A'nB)u (BnA)
L. cmp.
L. Idnt.
=B O(A'UA)
=B 0U
L.dist.
=1,
L.ident
L. cmp.
6l
CONJUNTOS
Ejemplo: Demostrar: [A a(B - A)] - B:
[A a(B -A)]
-
B
-B
nA' )] 0 e'
: [A
:
A
L. cmp.
^(B
{[An (BnA)'] U t(B []A' ) nA']] flB" D.dif.simt
= {[An (B'uA)] U Fn
(A'nA)l]
A'l] 0e'
={(A us)n(AuA')}ns'
:{(A Uslnu}ns'
nB' L.DM,L.asoc
= {[A ] u tB n
:(A uB)0 s'
:(A nB)u(BnB')
: (A-B) U
O
=A-B
L.abs, L.idmp
L.dist.
L.comp.
L.ident.
L. dist.
L. comp
L. ident.
Nótese que en cada ejemplo se han demostrado la igualdad de dos conjuntos, y en cada
paso de la demostración se anotan las leyes que fueron aplicadas.
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Sea
A un conjunto finito definido en un conjunto universal U. Se llama "cardinal de A"
al número de elementos de A y se denota por r1(A).
Ejemplo:
Sean los
conjuntos A = { a, b, c, d, e}
B:
{0,
l,2, {0,1}, {1,2},0}
c={}:0
Entonces el cardinal de cada conjunto es:
n (A)
:
n (B)
-- 6, pues consta de seis elementos
n (C)
:
5, pues consta de cinco elementos
n (0) : 0, pues carece de elenrentos
ALGEBRA
62
8.1.
PROPIEDADES
Sean A, B, C tres conjuntos dados, entonces:
l) n(A-B):n(A)-n(AnB)
2) n (A¿B):rt (AUB)-q (Al-1B)
3) n (AUB)=n (A)+n (B)-n (Al-lB)
4) n (AUBUC) : n (A)+n (B)+n (C)-n (AflB)-n (A0C))-n (BnC) + n (AflBllC)
Ejemplo:
Sean los
conjuntos:
U:
{-2, -1,0.
1,2,3,4,5,6,7,8,9)
^: .;.::.;;.',
I
C:{xeU/0<x<7}
Hallar
n(A-B), n(AtB), n(B'¡C') y q(AUBUC)
SOLUCIÓN: Tales conjuntos por extensión
se convierten en
A: {-1,0, l},
B: {-2, -1, 0, I ,2,31,
C:
Entonces
{0, 1,2.3,4,5,6\. n
(c):7
Bt = {4, 5,6, 7, 8, 9}
r (B'):6
C, = {-2,-1,7,8,9}
11
AnB:{-1,0,1}
AnC:{0, l}
BnC:{0, 1,2,3\
B. n C.: {7, g, 9}
AnB[.lC={0.t}
luego
(A): 3
n (B):6
n
(C'):
n (A n
5
B):3
n (A n c):2
n(BnC):4
n (B'n C') = 3
n(AnBnC):2
Por tanto sc tiene
n (Ar1
B)-
n (A) - rl (A0 B) = 3 -
i
(.\18) = rl(AUB) - rl(,\llB) = r1(.,\)
=0
- ¡(t))- Itl(AllB)
=3
r1(t)'1¡''¡: rl(u'UC'')- 11(R''1C'¡: r1{B')rr11C')-lrl(B'lC')
:
*
6 - 213¡ =
3
6-5-2(3) =
-5
CONJUNTOS
63
n(AUBUc):¡(A)+¡(B)+n(c)-n(A0B)-q(A0c)-n(Bnc)+n(A[lB0c):l+0+z-3-2-4+2:e
Estos resultados se pueden observar en el siguiente diagrama de Venn.
Ejemplo:
En una encuesta a 120 electores sobre sus candidatos favoritos,
se
determinó que:
66
electores tienen preferencia por el candidato A, 50 por candidato B,
50 por C,27 porlos candidatos A y C, 30 por A y B,
2l por B y C, y 20
no tienen preferencia por ninguno de los tres candidatos.
a) Cuántos electores tiene preferencia por los tres candidatos?
b) Cuántos prefieren a los candidatos A o B, pero no a C?
c) Cuántos prefieren a dos de los candidatos?
SOLUCION:
Sean los conjuntos
U:
A:
B:
C:
:
universo de electores
electores que tienen preferencia por el candidato
electores que tienen preferencia por
"B"
electores que tienen preferencia por
"C"
En diagrama de Venn:
"A"
ALGEBRA
iil\4ER Ir,,fE'fODO:
ir-uúrn el
problema: r1 (A):
n (A[lC)
:
66, q (B): 50, q (C): 50
27.
\(AnC) :
n ( AIJBUC
):
27.
tl(B¡C)
:
2l
100
iuego. aplicando las propiedades de cardinalidád de conjuntos y las leyes que rigen las
operacioues con conjuntos se obtienen:
a)
los electores que tienen preferencia por los 3 candidatos son v
como n(AUBUC):
b)
: n(AnBnC)
r1(A)+n(B)+q(C)-n(A0B)-n(A0C)-r¡(BflC)+n(A0B0C)
100 : 66+50+50-30-27 -21 + v
de donde v : 12
los electores que prefieren A o B pero no C, son
x
* )'*'
r-rc¡
:
lq (A) + n (B) -n (AnB)l - n ((Anc) U (Bnc))
(B)-q (AnB)- [n (AnC) + n (B0C)-n
:66+_s0_30 [27 +2t_121
n (A) + n
(AnBnC)]
-50
c)
electores que prefieren a dos de los candidatos son:
Y
*
"
+
-
:';,Tl,'i';il:lix 1#,l1en'
- "r
:30*27+21_3(12)
42
SEGUNDO MI:TODO
[)c la rc¡rrcscntación cn cliagranra de Vcnn. sc obtienen:
ll oC
Porcl cancliclatoA
Porcl candidatoB'
I)or el cancliclato Cl
Porloscaltrliclatos,\.
I
;
:
::'r:,ff]-il,^rr)
,
X+Y+Z+ U+V'f W+ 1-:100 (l)
X+Y+U+V : 66 (2)
Y+Z+V+W:50 (3)
l-l + y + W +'f : 50 (4)
CONJUNTOS
U+V:27
Y+V:30
V+W:21
PorloscandidatosAyC
PorloscandidatosAyB
PorloscandidatosByC
(5)
(6)
(7)
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
5en2:
X+Y+(U+W):66;
X+Y+ 27 :66
(Y+V)+Z+W:50
30 +Z + W: 50
6en3:
x+Y :39 (8)
7en4
Z+W
:20
(e)
(V+W)+U+T:50
2l+U +T:50
U
8,9y10enl:
+ T:29
(10)
( x+Y)+(z+w
)+(u+T)+v :100
39 + 20 + 29 +v :100
Y=12
de5,6yTseobtienen:
luegodeS,
Por
gylOseobtienen: T :
tanto: a)
b)
c)
9.
U:15;Y:18;W=
14;
X
9
: 2l; Z : ll
Y : 12 electores
X+Y+Z:50electores
U+Y+W:42electores
PRODUCTO CARTESIANO
Producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos
los pares ordenados (x, y) tal que la primera componente x pertenece a A y la segunda y
a
B. Se denota por AxB.
Ensímbolos
Obien
SiB:A,entonces
AxB:i(x,y)/xeA n ye B)
(x,y)eAxB +> xeA n yeB
AxA:A2:{(x,y)/x
e
Any e A}
66
Ejemplo:
ALGEBRA
Seanlosconjuntos
A:
B:
{ 2,4,6}
{1,3
}
El producto cartesiano A x B es :
AxB
:
{(2,1) , (2. 3), (4, l), (4. 3), (6, l). (6, 3)}
Gráficamente se puede representar como sigue:
En la abscisa se anotan los elementos del primer conjunto
y en la ordenada los
elementos del segundo conjunto.
Por tanto el producto cartesiano no es conmutativo. Es
decir:
AxB
*
BxA
Si A v B son finitos, el cardinal del producto cartesiano resulta:
r¡ (AxB) = q (BxA)
Ejemplo:
Sea
:I
(A) n (B)
A: {2,3,4\
Entonces AxA=A2= {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2), (3,3), (3,4),(4,2),(4,3), (4,4)}
Dedonde q (AxA)=n
(A2):3.3=9
La representación cartesiana de A2 es:
CONJUNTOS
Ejemplb;
67
Sean
A y B los intervalos de números reales
A:{x eRla<x<b}=]a,b]
B:{y eRlc<y<d}:Ic,dI
Entonces se tiene
AxB:l a,blx Ic,d[: {(x,y) eR 2 I a<x<b n c<y<d)
Su representación cartesiana es
Ejemplo:
Sean los conjuntos
: {x e R I -l <x32) : f-l,2)
B : {y e R I -2<x <2} =l-2,21
A
Entonces se tiene
AxB = {(x,y) e R2
l-l
< x <2 n -2
Su representación cartesiana es
<x <2\
68
ALCEBRA
Ejemplo:
Demostrar: (A U B)x C: (A x C) U (B x C)
SOLUCION:
Sea (x, y) el par ordenado que peftenece al producto cartesiano
(A [J B)xC. Es decir:
,*,'] . t(AuB)xcr
:i:,1:ili;:.
<+
(xeA n yeC) v (xeB n yeC)
v
<+ (x,
y)e(AxC)
€> (x,
y)e [(AxC) U (BxC)]
(x, y)e(BxC)
Hemos aplicado, sucesivamente: definición de producto cartesiano,
definición de unión de conjuntos, distributividad de proposiciones,
dehniciones de producto cartesiano y de unión de conjunto.
Luego se concluye que
(AUB)xC=(AxC)U(BxC)
N.
PARTICIÓN DE AN CONJUNTO
Una partición de un conjunto
vacíos Al,
,A,2,
A no vacío es una colección de los subconjuntos
no
..., de A tales que:
l)
A¡0A¡=0 sii+j
(mutuamentedisjuntos)
2)
ArUAzU....:A
(la unión es A)
A los subconjuntos A¡ se les llama celdas o bloques de la partición. Por ejemplo,
siguiente diagrama muestra una partición de un conjunto A en cinco bloques.
el
CONJUNTOS
69
Ejemplo: Sea
A = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Consideremos los siguientes subconjuntos de A
Ar : {a, c, €, f, B, h}
A¡ = {a, b, c, d}
,
,
A¿
Az= {a, c, e, g}
= {b, d-} ,
As: {f, h}
Entonces {Ar, A¡} no es una partición ya que Al 0 A¡
*
0.
Por otra parte, {A¡, As} no es una partición ya que A¡ U As + A.
Pero {A¡, Aa} si es una partición de A, pues Ar 0
A¿:
0
y Ar U A+ = A. Asimismo, {Az, Ac, A5} es una partición de A.
Cottfried Wilhehn, Baron von
Leibniz (1646 - l716)
70
ALGEBRA
EJERCICIOS
l.
Escribir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos
A={xeNllcxlT}
B:{xeN/-l<-x<9}
C={x eZl(x+l)2:4y
D: { x /x2:2xl
E={x/x3=x}
2.
Escribir por extensión los conjuntos:
A:{x eTJl-3<x<3} y B={xeU/x2eU}
paraloscasosenque: a)U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9\
b) U
3.
{-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9)
Si A, B y U son los conjuntos del ejercicio anterior, hallar para cada inciso:
An
4.
:
B, A u B, A - B, B - A, A ¿ B
Sean los
conjuntos:
yA' a B'.
A: {0, 0}
,B:{_1,0, l}
C={a,b,c,d}
D={a,e,i,o,u}
Determinar:
a)
el número de elementos o el cardinal de los conjuntos P(A), P(B) , P(C) y
P(D).
b)
c)
d)
los conjuntos P(A), P(B), P(C) y P(D).
los conjuntos P(AnB). P(P(AnB)), P(A) nP(B)
los valores de verdad de las siguientes expresiones:
ó: {0}.
0e0,
es
es
0e0,
0c0.
es
es
7t
CONJUNTOS
0.A.
0 e {0}.
A.
es
0cA,
0 c {ó},
AcA,
{0} eP(B),
es
{0}cP(B),
CS
es
{c
ES
P(A),
es
{Q}c P(A),
CS
P(C).
es
{a,b}cP(C),
ES
es
B
es
{D} c P(D),
Ae
$e
P(A),
{{}
e
{a.b}
e
P(B),
D e P(D),
Be
5.
es
es
Dados los conjuntos
U:{a,
Hallar:
P(A),
c
P(B),
ES
CS
CS
CS
:
b, c, d, e, f, g,
h}, A:{u,
c, d, f,
h}, B:{b,
c, e,
f},
C:{u-, c, d, c'}
a) At, Bt, C'.
b) A n
B" B rl A'. (A-B) u (B-A)
c) (A a B)-A, P[(A a B) n
A']
d) P[(A-B) n (BnA')], PIP((A-B) n
6
ES
(BnA'))l
Determinar los elementos de A y B sabiendo que el universo
es
U: {1,2,3,4,5,6,7,8}, A¡B: {1,2,3,4,5} y Bt: {1,4,7\
7.
Determinar los elementos de A, B y del universo U sabiendo que
A U B: {4, b, c, e, f, g, h}
8
Si A = {a, b, c,
d} , B:
, A n B: (a.e} y B'=
{d, X, y} y
{c, d. g,
C: {a,y,z\.
¿Cuántos subconjuntos no vacíos tiene el conjunto (A
¿Cuántos el conjunto A
n (B U C)
i}
n B) U C?
I{:
1.5. -i
72
ALGEBRA
9.
Determinar la expresión quc rcprcscntu la ¡rartc sombreada en cada uno de los
siguientes diagramas:
a)A
b)
c)
d)
e)
10.
0
Dados tres conjuntos A, B y C tales que satisfacen los enunciados siguientes:
lro. AcBcC ,
2do SiXeC+XeA
Determinar, cual de los siguientes enunciados es falso?
a)AnB:C,b)AUB:C,
ll.
Sean
c)AnB*A,
A y B dos conjuntos en un universo, tales que
(A-B)u(B-A)=AUB
se
d)C-B:O
verifica:
CONJUNTOS
73
Determinar, cuál de los siguientes enunciados es falso?
a¡
'
'
A'0 B = B,
b)
A' ['l B =A', c) A nB = o, d) A c B'
Usando leyes o propiedades de conjuntos, demostrar la equivalencia de las siguientes
proposiciones:
12.
(A n B) u (A-n¡:4
13.
[(A-B)UB]-A=B-A
14.
A-(A'B): A f'lB
15.
B-[A-(A-B)] = B-R
16,
(AUB)-(C-A)=AU(B-C)
17.
[A
18.
(AnB)-(AfrC)=An(B-C)
le.
[A-(B u c)] u (A n B) u (A n c)= A
20.
(A-B)U(B-A)=(AUB)-(AnB)
21.
(AUB)-(A¿B)=A0B
22.
(A0B)¿(BnC)=(A^C)ns
23.
(AUB)¿(BUC):(AaC)-B
-
(B-C)] UC : ( A- B) U C
ALGEBRA
74
24.
BcA<+AUB:A
25.
AcBnAcCeAc(B0C)
26.
P(A)UP(B)cP(AUB)
27.
P[(AnB)uC)] =P(Auc)nP(Buc)
28.
(A f-lB)x C = (A x C) n (B x C)
29.
(A-B)xC:(AxC)-(BxC)
30.
Si A y B denotan dos conjuntos cualesquiera, simplificar
{(AUB)nl(B-A)U(AnB)l}n
31.
SiAcB yAl'lC:O,
tAU(AUB)'l
simplificar
t(Anc')-sl utBu(A-c)l
32.
Sean los
conjuntos
R: B
U: {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9\
A:{xeU/2*eU}
B={x eUll <x<7}
C:{xeU/fi
eU}
Hallar:n(B-A),n(AaC),r1(B'¡C') y n [(AUqnB].
33.
Sabiendoque:
n (A
a)
R:AflB
R: 3,4,7y3
AcC, Bc C,n(C):100,q(AUB):70,
¡ B):20 y rl (B) - n (A):2.
Hallar:
n[(C-A)nB] ,b)nt(C-B)nAl
R:26
24
CONJUNTOS
34.
75
Sean los conjuntos,
A y B, tales que A¡B tiene l0 elementos y A U B tiene
elementos. Cuántos elementos tiene A
35.
fl
25
B?
Dados los conjuntos, A y B, tales que A U B tiene 18 elementos y A
fl B tiene
7
elementos. Cuántos elementos tiene AtB?.
36.
En una encuesta a 100 estudiantes a cerca de los hábitos de lectura, se determinó
los resultados que se muestran en un diagrama de Venn.
donde:
H:
L:
M:
estudiantes que leen historia
estudiantes que leen Literatura
estudiantes que leen Matemática
Determinar el número de estudiantes que leén:
37.
a)
Historia
b)
solamente Historia
c)
Historia y Matemática
d)
Historia y Matemática pero no leen Literatura
e)
Literatura o Matemática pero no leen Historia
f)
ninguna
En cierta competencia, todos los alumnos gustan de Aritmética, algunos
de
Física y otros de Química.
Si 350 gustan de Aritmética y Física.y 470 de Química o Aritmética, cuántos no
gustan de
38
Física?
R: 120
Supongo que Alvaro toma huevos o tocino (o ambos) para su desayuno cada
mañana durante
el mes de enero. Si come tocino
mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos l,tocino?
26 mañanas
y
huevos
17
R:
12
ALGEBRA
76
39.
Un grupo de 70 personas ejecutan trabajos manuales utilizando tres materiales:
barro, madera y cartulina.
Se sabe que todos utilizan barro,29 ufilízan madera,40 cartulina y l
l
emplean
los tres materiales. Cuantos utilizan únicarnente barro?
40.
R:
12
De 33 personas que viajaron a Europa, 15 visitaron Francia, 16 visitaron
Inglaterra, 16 visitaron Suiza, 5 visitaron Francia y Suiza, 5 visitaron Inglaterra y
Suiza, y 2 los tres países.
a)
b)
c)
4l
Cuántos visitaron únicamente Francia?
R: 6
Cuántos visitaron Inglaterra o Suiza pero no Francia?
R: l8
Cuántos visitaron Francia y Suiza pero no Inglatena?
R:
3
Una mesera tomó una orden de 57 hamburguesas: 22 con cebolla, 29 con
mostaza
y 25 con
mostaza;
salsa de tomate. De éstas,
l0 tenían sólo cebolla y 15 sólo
7 de las hamburguesas tenía sólo cebolla y
mostaza
y 3 los tres
ingredientes. Realice un diagrama de Venn y determine:
42.
a) Cuántas hamburguesas llevaban salsa y mostaza solamente?
R: 4
b) Cuántas sólo llevaban salsa?
R:
c) Cuiíntas hamburguesas llevaban cebolla o mostaza, pero no salsa?
R:32
16
Un ingeniero que dirige la construcción de un edificio de tres plantas, distribuye
el personal de la siguiente manera: 43 trabajan en la primera planta, 58 en la
tercera planta, 16 en la primera
y
segunda planta, 22 en la primera
y
tercera
planta, 7 trabajan en las tres plantas. Si 52 trabajan en una sola planta y 37 en
dos plantas alavez pero no en las tres, Cuántos trabajan
a)
b)
c)
d)
en la primera y segunda, pero no en la tercera,
R: 9
en la segunda o tercera pero no en la primera,
R: 53
únicamente en la primera? y
R:
cuántos trabajan en total?
R: 96
12
CONJUNTOS
43.
Un Club deportivo consta de 85 socios, de los cuales 43 practican futbol, 46
basket, 41 tenis,45 practican sólo un deporte ,v 5 practican los tres deportes.
Cuántos socios del Club practican exactamente dos
deportes?
44.
y B: {1, 3, 5}
A: {a, b, c, d}
Hallar: a)AxB, b)BxA, c)AxA, d)BxB
45.
Seanlosconjuntos:
Sean los
R: 35
conjuntos:
A: {x e Rl -l <x<3}
B:{yeRl-2<y.2\
Determinar y representar: A x B, B x A,
AxA y B x B
EJERCICrcS VARIOS
-
46.
Sean A y B dos conjuntos incluidos en un mismo conjunto universal.
Cuál de las siguientes expresiones es incorrecto?
a)Afl B'cA, b)A¿B cAUB,
47.
Sean
c)
(AflB)'cA¡B,OBnA'cA¡B
A, B y C tres conjuntos no vacíos incluidos en un mismo conjunto
universal. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) Si
Ac (B UC) n A0C = O + A c B
b)SiAcB'nCcA+Bf-lC:O
c) Si
(An B)'
d) si (A U B)
=A
¡B n AnBn
c A ¡B
^
C + O -+ C
c (AU B)
(A U B) nC É O + A nBft C + O
48. Si A y B denotan dos conjuntos cualesquiera, determinar el valor de verdad de
las siguientes afi rmaciones
.
3,I (B):4y\ (AUB):5, entoncesr'¡ (P (AnB))=4
b) Si n (A) :2, r'¡ (B) : 3, entonces el número máximo de elementos de
a) Si n (A) =
P(A) U P(B) es l2'
ALGEBRA
78
c)
SiA0B'+O,n (A):3 yn (B)=4,
entonces n
(P(BnA'))=2
Si A y B denotan dos conjuntos cualesquiera, demostrar las siguientes igualdades:
49. (B-A)^(C-A)=(BaC)-A
50.
(A
- B)'o
(A
- C)'= (A a B) fle
Simplificar las expresiones siguientes:
sr.
:'.
n
{t(AuB)-(c-A)l t(Ane>(A-c)l}
52.
{t(A u B) n (B -
53.
{tc u (B-A)l n F - (c uA )'l'} u
54.
{l(A-B) u (B'-A)I-B} u {B-t(A 0 s) u
55.
t(A u B') a (B-A)l'u t(A n B)'
56.
{[(A'n
57.
{[(A'-B) u (B'-A')]' u [A A (A'u B)']] A (B - A)'
58.
En un certamen científico escolar 34 estudiantes recibieron premios por
cfl
B) A (A-B)]'
u(B-cf
R: B.UC
u t c- (A"n B)l'}- (c - B)
-
R: BUC
B
G{ u
iR:A'
B)'l}
(B - A)l
n [(A - B)'- (A u B)]]
R: B'
A
R:B-A
A'
proyectos cientÍficos. Se dieron 14 premios
proyectos de química
R: BUC.
R: (A n B)'
sus
a proyectos de biología. 13
y 2l a proyectos de fisica. Si 3 estudiantes
a
recibieron
premios cn las tres áreas. ¿,Cuántos recibieron premios exactanente en: a) una
sola área?. b) dos áreas?
R: 23,8
TEORIA DE CONJUNTOS
59.
79
Pa¡a estudiar la calidad du un producto se consideran tres tipos de defectos
A, B
y C, como los más importantes. Se anaiizaron 120 productos con los siguientes
resultados:
49 productos tienen el defecto A,
48 productos tienen el defecto B,
49 productos tienen el defecto C,
6l
productos tienen exactamente un solo tipo de defecto,
7 productos tienen los tres tipos de defectos, y el resto de los productos uo
presentan ningún tipo de defectos. Determinar:
a) Cuántos productos tienen dos tipos de defectos?
b) Cuantos productos no tienen
60.
defectos?
R:32;20
En una encuesta a 180 estudiantes se halló que: 62 se comportan bien, 12.5 son
inteligentes,
I44 son habladores, 106 son
e
habladores
inteligentes, 22
estudiantes se comportan bien y no son inteligentes, 13 se comportan bien y no
son habladores,
l5
se comportan bien
y son habladores, pero no son inteligentes.
a) Curintos de los 180 estudiantes entrevistados no son inteligentes, no son
R: l0
habladores ni se comportan bien?
b) Cuántos estudiantes se comportan bien o son inteligentes, pero no habladores?
R:26
"Tal como le había iluminado toda su üda, también ahora el
entendimiento iluminó ese instante de la existencia de Juan
Gaviota. Tenían raz6n, é1 era
c
paz de volar más a1to".
R. Bach
c¿piruLo nr
RELACIOIYES
I.
nvrnooucctóttt
En este capítulo nos proponemos precisar en términos matemátrcos el concepto y la
la relación. Asimismo, desarrollaremos distintas
definición de
propiedades de las
relaciones que nos permitirán advertir que ciertas relaciones referentes a cuestiones muy
distintas pueden sin embargo tener caracteres análogos. Por últirrro, estudiaremos dos
tipos de relaciones especialmente importantes: las relaciones de equivalencia y de orden.
2.
RELACIONES
En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se habla de
diversas
relacrones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia
y
de
semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de
conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. Por esto, es necesario formular la
noción general de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una
regla, fórmula
o
propiedad. Así, por ejemplo, consideremos
el conjunto A de
las
materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los
créditos de las
rr
,terias sin laboratorio, es decir:
A:
{u, b, c, d,
Es claro que los elementos de
e}
y
B:
{4,
5,6,7\
A quedan asociados con los del conjunto B mediante la
propiedad.
P(x, y) : "x tiene crédito y"
Es decir, una relación R consiste en todos los pares ordenados (x,
y) A x B tales que x
tiene crédito y, Esto es, si en un semestre determinado y para un cstutjrante cn particular
queda establecido el siguiente esquema (diagrama de Venn).
8l
RELACIONES
o4
o5
o6
o7
entonces la relación o correspondencia es el conjunto de pares ordenados
R:
{(u,6), (b,5), (c,5), (e,7)}
Nótese, que la materia d no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que la
materia tiene laboratorio y su crédito es mayor a los citados en B.
la relación establecida es sencillamente un
A x B, es decir, R c A x B.
Nótese también que
producto cartesiano
subconjunto del
En gráfico cartesiano se tiene:
AxB
7
6
5
4
abcde
'-)
Es claro que la relación establecida no es única ya que
se
relaciones (correspcndencias) entre los conjuntos A y B.
Ahora consideremos los conjuntos:
A: {1,2,3\ ,
siendo
R:
B:
{a, b,
c}
{(1, b) , (2, b) , (3, c)}
y
RcAxB,
puede establecer otras
ALCEBRA MODERNA
82
En este caso R es una relación que no se puede describir mediante una regla, fórmula o
propiedad. pues
se trata simplemente de Lln subconjunto de AxB
elegido
arbitrariamente.
Por tanto. una relación
o
correspondencia entre dos elementos pertenecientes,
respectil'amente. a dos conjuntos dados, A y B. se puede definir como sigue:
2.1 DEFINICIÓN Sear-r A y B dos conjuntos.
Una relación R de
A en B es
cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Es decir:
R es una relación de A en B
Se dice que
"x está relacionado con y por R" y
Si (x, y) É R, si puede escribir
Ejemplo:
*ly
se escribe
{1.2.3\ y
B:
A=
Entonces
AxB
luego.
R: {(l.a). (2.b). (3. b)}
es una relación de
R
c A x B.
x R y sí (x, y) e R.
, y se lee "x no está relacionado con y por R".
Sean
:
<?
{a, b}
{(1, a), (1, b), (2. a), (2,b), (3, a), (3, b)}
A en B, ya que R c AxB
En gráfico cartesiano se tiene
L______v-_______
Sin embargo
BxA:
luego,
S:
{(a, l), (a,2), (a,3), (b, l), (b,2), (b,3)}
{(a,3), (b,
es una relación de B en
l)}
A, pues S c BxA,
y en gráfico cartesiano se tiene
^{
RELACIONES
Ejemplo:
83
Seanlosconjuntos
El producto
A:{1.2} y
cartesiano
B:{a,b}
AxB = {(1, a), (1. b), (2, a). (2, b)}
t2
S¡J
A
Las relaciones que es posible definir entre estos conjuntos,
o
son
subconjuntos de AxB, son las siguientes:
Rr
:0
R2
= {(1, a)}
R3
= {(1, b)}
&:
{(2, a)}
R5: {(2, b)}
Re: {(1, a), (1, b)}
Rz:
Rs
{(1, a),(2,a)\
= {(1, a), (2, b)}
Re: {(1. b). (2, a)}
Rro = [(1. b), (2. b)]
R¡ = {(2.a), (2, b)}
Rr:: {(1, a). (l,b). (2. a)}
Rr¡: {(1, a).(1. b). (2. b)}
Rp: {(1.a),(2, a), (2. b)}
Rrs
:
{(1. b), (2. a), (2, b)}
R¡¡,: AxB
Observación En general, si A tiene n elementos y B tiene r¡ elementos. entonces AxB
tiene nm elementos. y el conjunto de pares de
existen
A x B tiene 2""' elementos. es decir.
2""' slrbconiuntos de A x B. o lo que es lo misnro. es posible defi¡ir 2,,,,,
relacionesenAyB.
At-CE,I]RA MODERNA
84
3.
Si R
DOMINIO,IMAGEN,RELACIÓN INVERSA
c
AxB es una relación de A en B. existen dos inrportantes coniuntos asociados
esta relación: dominio e imagen de R.
A continuación
a
se darán las definiciones de estos
conjuntos y de la relación inversa.
3.1
DOMINIO DE
elementos en
R
El dominio de R.
qLre se escribe
D(R). es el conjunto de
A que están relacionados con algirn elemento en B. En otras palabras. el
D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los
pares (x.
y) e R. Es decir
D(R):{xeA/(x.y)eR}
.
3.2
R El Imagen (rango o recorrido) de R. qLre se escribe I(R). es el
conj'urto de elementos en B que son los segr-rndos elementos de los pares (x. y) c R.
IMAGEN DE
esto es. todos los elementos en B que están relacionados con algirn elenlento en A. Es
decir
I(R): {y e B/(x.y) e R}
Ejemplo:
Seanlosconiuntos
A: fl.3.5.7.9) -v
Se define la siguiente relación R (divisor) de
B:{2.4.6.8)
A en B:
xR1'exly
la relacitln cs un subconiurtto clc Axll. \'perl.enecen a c-lla los
ordcrrldos (x.
r)
R
talcs r¡uc
r |1. x cliiiclc a 1'. cs clccir
= l(r. l). (r. +). (r. 6). (1. 8). (-3. 6))
l:rrtonccs D(lt): í1.i) I
I:n diaqranl¿t sc tictrc
I(R):
i2. -1.6.8]
pares
RELACIONES
85
B=l(R)
2
4
6
8
Ejemplo:
Sean los
conjuntos
A: {1,2,3,4,5\ y
Se define la siguiente relación R (mayor que) de
B:
{5, 6,7,8,9}
A en B:
xRy<+x>y
la relación es un subconjunto de AxB y está formado por los
ordenados (x, y) tales que x>y. Pero ningún elemento de
ninguno de B. En este caso se obtiene la relación varía
R:{ }:0
Por tanto,
3.3
D(R):0 y
I(R)
:
A
$.
pares
es mayor que
Es decir
0
RELACION INWRSA La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en
B es la relación R'l de B en A que se define como
R'r = {(y, x) / (x, y) e R}
(y,x)eR'r e(x,y)eR
O bien
Ejemplo:
SeanlosconjuntosA:
Se define R
c AxB
{1,2,3,4)
y
B = {3,4, 5}
mediante
xRy<+x*y=6
la relación R de A en B está formada por los pares ordenados (x. y) tales
que x
* y:
6, esto es
R
= {(t ,5), (2.4). (3.3)}
luego-la:elación inversa es
ALGEBRA MODERNA
86
R-r
:
{(5, 1), (4,2), (3,3)}
En diagrarna de Venn se tiene
7
l.
2.
J
4.
La representación gráficacartesiana de estas relaciones R y R-l es:
AxB
Ejemplo:
Sean los
conjuntos
A: {* e A// I < x < 5}
B: {x e Zl*'-3*2+2x:0\
Se define la relación R
c AxB mediante
xRY e3lx+Y
a)
b)
c)
Definir A, B y R por extensión
Representar en forma cartesiana AxB y R
Determinar R-l
SOLUCION: a) El conjunto A está formado por los naturales'mayores a
iguales a 5.
I y menores
A: {2,3,4,5\
y B tiene como elementos a los enteros que satisfacen la ecuación
estos son
r'-3*2+2x:o
x (x -2) (x -l):0
X:0, x:2 y
B: {0, 1,2}
X:l,entonces
o
RELACIONES
87
la relación R de A en B está formada por los pares ordenados (x, y) tales
que x + y sea divisible por 3.
R:
{(2, l), (3,0), (4,2), (5, 1)}
b) la representación en forma cartesiana de AxB y R es:
c)
la relación inversa R-l de B en A es
R-r
:
{(1, 2), (0,3), (2,4), (1, 5)}
COMPOSrcIÓN DE RELACIONES
Sea R una relación de
A en B, y
S una relación de
RcAxB
A partir de estas relaciones
B en C. Es decir
y
ScBxC
se puede definir una relación de
A
en C, llamada
composición entre R y S, mediante
S
Obien
"R:
{(x,z)
l)y eB n (x,y) e R n (y,z) e S}
(x,z)eS.R <>3yeB n (x,y)e R n (y,z)e
S
Así, la relación SoR asocia a un elemento de D(R) con uno de I(S). En diagrama de
Venn se tiene
A
R
Y. -z
7
ALCEBRA MODERNA
88
Ejemplo:
Sean los conjuntos
A:
{0.
Se definen las
C: {0,3,5,7}
.2,4} y
R c AxB y S c BxC mediante
ySz<>z:y+l
,
B:
1,2.3} .
relaciones
xRyey:2x
{-l
a)
b)
DeterminarRy
c)
Determinar el dominio y la imagen de las tres relaciones
S
porextensión
Definir la composición SoR
SOLUCIÓN: a) La relación R
tales que
c AxB está formada
y:2x,
tales que
.:
por los pares ordenados (x, y)
esto es
R = {( I .2), (2,
la relación S
c AxC por extensión
4)\
,
c BxC tiene como elementos a los pares ordenados (y, z)
y+1, esto es
S: {(-t,0),
(2,3), (4.5)}
b) La relación compuesta SoR
c AxC está determinada así:
0. \
1.
2._
------->-
3.
luego se
d)
t------>
l
tiene
A
SoR: {(1, 3), (2,5)\
El dominio y la imagen de las relaciones R, S y S"R son:
D(R)
: {1,2}, t(R) :
{2, 4}
D(S): \-1,2,4) , I(S): {0,3,5}
D(S.R)
4.1
:
{ 1,
2}
y I(S.R)
:
{3, 5}
PROPIEDADES DE LA COMPOSrcIÓN DE RELACIONES Sean R, S y T
relaciones entre ciertos conjuntos. La composición de relaciones admite las siguientes
propiedades:
RELACIONES
89
i)
ii)
(T.S).R: f.(S.R)
(s " R)-'
:
R-ro S-t
Demostración de la propiedad ii)
Sean las relaciones R
c AxB y
S
(2, x)e(S.R)-' <> (x, z) e
<+
Por tanto.
resulta
I
c
BxC. En efecto
S.R
def. de inversa
ye Bn(x, y)eR n (y, z) e S
def. de comp. de relaciones
<+ 3 ye Bn(y, x)e R-l n (2, y)
eS-l
def. de inversa
e
a
eR'r
Ley conmutativa
3 ye Bn(z,y)es-'
(2, x) e R-l
(S " R)-l
:
.
,,..
(y, x)
S-l
def. de comp. de relaciones
R-'o S-'
-a demostración de la propiedad i) queda como ejercicio.
ljemplo:
Sean los
conjuntos
A: {-2, -1.0,l,2l
B: {2,3,4,5)
C : {-1, 1,3,5,7}
Se def-lnen Ias relaciones R
c AxB y
xRy<> y:xz+2,
S
c
BxC mediante
ySz e z:2y-3
a)
Determinar R, S y SoR por extensión
b)
Determinar R-|, S-1, (S . R)-' y R-'o S-' po. extensión
SOLUCIÓN: a) Si la relación R c AxB
está detinida como
R: {(x. y) I y:x2 +2},
por extensión
R: {(-1, 3), (0. 2), (1, 3)}
Si la telación
S c BxC está definida como
S : {(y, z) I z.:2y - 3},
por extensión
S : {(2. l).(¡. 3).(4. 5). (5. 7)}
Sabiendo que
S'l{: [(x.z)/ 31eBn(x. y)e R n (v. z) e S]
Entonces
S.R: l(-1.:).(0. l). (1.3))
ALGEBRA MODERNA
b) Según la definición de la relación inversa, se tiene
R-¡
S-r
= {(3, -l),(2,0), (3, l)}
:
{(1
,2),(3,3), (5, 4),(7,5)l
(S. R)-' : {(3,
-1), (1,0), (3,
l)}
Según la definición de la composición de relaciones, ie tiene
-|
-l
R 'o S ' {(z,x) / 3 yeBn(2, y)eS-r n (y, x) €R''}
:
-t-l
R . S = {(1,0), (3, -l),
(3,
l)}
Nótese, que se verifica (S " R)''
:
R-'o S-'
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Sea
R una relación de A en B. Si A y B son iguales, se dice que R
c AxA es una
relación definida en A. En adelante nos limitaremos a este caso.
Ejemplo: Sea A:{1,2,3,4\
Se define la relación R
c AxA mediante
xRy <+ y:x v y:zx
esdccir, R={(x,y)ly=x v y:2x\
Entonces R: {(1, l), (2,2), (3,3),(4,4),
El diagrama cartesiano de esta relación
El diagrama de Venn
es
es
(1, 2), (2, 4)l
9l
RELACIONES
Ejemplo:
En el conjunto l? de números reales se define la relación R mediante
xRY e x2-x:Y2 -Y
Así, la relación R es un subconjunto de fr x
fr:
R' , y está formada
por
los pares ordenados (x, y) de números reales que satisfacen a
x2_x:y2_y
obien (x-y)(x+y-l):0
es decir, y: x v y: l-x
Entonces R= {(x, y). R2 I y:xv
y= l-x}
luego, el gráfico cartesiano de esta relación es
5.1
Sea
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
R una relación definida en A, es decir, RcA2. Estas relaciones
satisfacen ciertas propiedades que expondremos en esta sección.
generalmente
ALGEBRA MODERNA
5.1.1 RELACIONES REFLEXIVAS Una relación R en un conjunto
A
se denomina
reflexiva sí cada elemento x de A está relacionado consigo mismo. Es decir,
Res reflexivae V x : x e A
Ejemplo:
Sea
A = {u, b, c, d}
y
+
x
Rx
sea
R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, d)}
Entonces R es una relación reflexiva, ya que cada elemento de
A.
relacionado consigo mismo.
En diagrama de Venn se tiene
5,1.2 RELACIONES NO REFLEXIVAS Se dice que una relación R en un c(,,r.,nto A
es no
reflexiva si existe algún elemento de A que no está relacionado consigo .r..nrr.).
Es
decir,
Resnoreflexiva <> 3 x/x e A
Ejemplo:
Sea A:
R:
{a, b, c,
d}
y
nx f.
x
sea
{(a, a), (b, b), (c, d), (d, a), (b, d)}
Entonces R es una relación no reflexiva, pues existen dos elementos de A
que no están relacionados consigo mismo. Esto es, ceA pero
pero d f. d.
En diagrama de Venn se tiene
c!. c y deA
RELACIONES
93
5.1.3 RELACIONES ARREFLEXIVAS Una relación R, definida en un conjunto A. es
arret'lexiva si ningiur elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,
Resarreflexiva <+ V x : x e A
Ejemplo: Sea A:
{a, b, c,
d}
+
xfl. x
y sea
R = {(a, c), (b, d). (c, b)}
Entonces R es una relación arreflexiva, ya que ningún elemento de A está
relacionado consigo mismo.
En diagranra de Venn se tiene
5.1.4 REL/ICIONES SIMETRICAS Una relación R en un conjunto
A es simétrica
si
cualquiera que sea el par (x, y) que pertenece a la relación, entonces el par (y, x)
también pertenece. Es decir,
Res simétrica<+ Vx Vy e A : x Ry
+
y
Rx
ysea
Ejemplo: Sea A:{1,2,3.4\
R : {(1, 4). (2. 2). (2,3), (3. 2). (4. I )}
Entonces R es una relación simétrica, ya que cada elemento en R tiene su
simétrico. es decir. son verdaderas las siguientes afirmaciones:
lR4<+4Rl
e
2R3
3R2
En diagrama de Venn se tiene
I
,r)
94
ALGEBRAMODERNA
Además se tiene
R-'
:
{(4, l), (2,2), (3,2), (2,3), (1, 4)}
:
R
Observe que si R es simétrica, R y R-r son iguales. En diagrama de Venn
estr: quiere decir que siempre que haya una flecha de x
a
y, hay otra de y
a
X.
5.1.5 RELACIONES NO SIMÉTRICAS Una relación R, definida en un conjunto A, es
no simétrica si existe algún par (x, y) en la relación, pero su transpuesta (y, x) no
pertengce a ella. Es decir,
Res no reflexiva<> 3 x 1 y I
Ejemp.lo:
Sea A:{1,2,3,4\
R
:
{(I
xRy n y f, x
ysea
, l), (2, 4), (3, I ), (4, 2), (4, 3))
Entonces R no es simétrica, ya que
3Rl n I R3
4R3 n 3N,4
En diagrama de Venn se tiene
5.1.6 RELACIONES ASIMÉTRICAS Se dice que una relación R en un conjunto A es
asimétrica si un par (x, y) pertenece a la relación, entonces su transpuesta (y, x) no
pertenece a ella. Es decir,
R es no asimétrica <> V x V y : x Ry
Ejemplo:
Sea A:{1,2,3,4\
R
:
{(1, 3),
(1 ,
ysea
4), (2, 4), (3,2)I
= y f,
x
RELACIONES
95
Entonces R es una relación asimétrica, pues ningún par ordenado en R
tiene su simétrico, es decir, se verifican las siguientes afirmaciones:
lR3=+3Él
2R4+ 4í2
R4+4
;
I
;
3R2+21,3
É
I
En diagrama de Venn se tiene
5.1.7 RELACIONES TRANSITIVAS Una relación R, definida en un conjur'to A.
es
transitiva si, cualesquiera que sean los pares ordenados (x, y) y (y, z) que pertenecen
la
a.
relación, entonces el par ordenado (x, z) también pertenece a ella. Es decir,
R es transitiva <+ V x V y V
Ejemplo:
Sea
A = {u, b, c, d}
z: x R y
^
yR
z+ xRz
y sea
R = {(u, b), (a, d), (b, d), (c, c)}
Entonces R es una relación transitiva, pues se verifican las siguientes
afirmaciones:
aRbnbRd+aRd,esV
cRcncRc+cRc,esV
En diagrama de Venn se tiene
ALGEBRA MODERNA
5.1.8 RELACIONES NO TRANSITIVAS La relación R en un conjunto
es no transitiva si existen pares (x, y)
A
se dice que
y (y, z) que pertenecen a R pero el par (x, z) no
pertenecen a ella. Es decir,
R es no transitiva <>
Ejemplo:
Sea A:
{a, b, c,
d}
I
x1y3
y
z/x Ry
^
yRz
t x f,z
sea
R = {(a, a), (b, d), (c, b), (d, a)}
Entonces R es una relación no transitiva, ya que
bRdndRaperob Éu
cRd¡bRdperoc f.d
En diagrama de Venn se tiene
5.1.g RELACIONES ATRANSITIVAS Una relación R en un conjunto
-'
A
se llama
atransiliva si, cualesquiera que sean los pares (x, y) y (y, z) que pertenecen a la relación,
..
entonúes el par (x, z) no pertenece a ella. Es decir,
R es atransitiva <> V x V y Y
Ejemplo:
Sea
A = {a, b, c,
R:
d}
y
z: x Ry
^
sea
{(a, d), (b, c), (c, b), (d, b)}
Entonces R es una relación no transitiva, ya que
aRdndRb=a f.b,esV
bRcncRb=b Ib,esV
cRbnbRc+c f.c,esV
dRbnbRc=d f.c,esV
En diagrama de Venn se tiene
yRz
= x $.2
RELACIONES
97
5.1.10 RELACIONES ANTISIMÉTRICAS Dada una relación R en un conjunto
A
se
denomina antisimétrica si todo par (x, y) y su transpuesta (y, x) pertenecen a la relación,
entonces x es igual a y. Es decir,
Res antisimétrica<+ V x V y : x Ry n y Rx
Ejemplo: Sea A: {1,2,3,4\
y
y sea
R = {(1, 2), (2,2), (3,4),
Entonces
+ x:
(4,l)\
R es una relación antisimétrica, ya que se verifican las
siguientes proposiciones, para todo par de elementos diferentes ¿n R:
lR2n2Rl=l:2,esV
3R4n4R3=+3=4,esV
4Rl¡lR4+4:l.esV
Son verdaderas porque los antecedentes son F. es decir.
2Rl,4R3ylR4sonF.
En diagrama de Venn se tiene
AI,GEBRA MODERNA
98
Ejemplo:
Sea A:{1,2,3,4,51
R
a)
b)
:
ysea
{(1, 2), (1, 3), (4, 2), (4, 5)}
Formar el diagrama de R.
Clasificar R.
SOLUCION: a) El diagrama que corresponde a R es
I
ol,
\
b) La relación R cumple las siguientes propiedades
i)
Como ningún elemento en
A
está relacionado consigo mismo, la
relación es arreflexiva.
ii)
La relación es asimétrica porque para todo par (x, y) que pertenece
a
la relación, se observa que su transpuesta (y, x) no pertenece a ella.
Es decir, son V las siguientes proposiciones:
1R2=2y,1
4R2=2l-4
iii)
;
;
lR3=3
É1
4R5=5 F4
Ya que no es posible encontrar elementos x,y, z en A tal que x R y n
y R z, se concluye que R es transitiva. Es decir, que la implicación
xRy n y R z
iv)
=
x R z resultaV porque el antecedente es F.
La relación es antisimétrica, pues para todo par (x, y) en R se verifica
que:
lR2n2R1=l:2,esV
lR3¡3Rl=l:3,esV
4R2n2R4=4:2,esV
4R5n5R4=4:5,esV
Son verdaderas porque los antecedentes son F, ya que 2 R 1,3 R 1,2 R 4
y5R4sonF.
99
RELACIONES
Ejemplo:
A: Aü el conjunto de los números naturales y sea.
Sea
R= {(x,y) e A2lx<y}
a)
b)
Representar R.
Clasificar R.
SOLUCIÓN: a) La representación cartesiana de R es
b) Las propiedades que cumple R soñ:
i)
iD
Six e A/=x(x
Si x
Ry +
x.
+x Rx, Resreflexiva
y, no necesariamente se sigue que y
<x
(salvo si
x=y), por lo cual R es no simétrica.
iii) Si x Ry
iv)
Ejemplo:
Si x
Ry
^
^
yR
z+x
y Rx
=
Sy
n y 1z+x<
x Sy n y < x
+
z+ x R z, R es transitiva.
x = y, R es antisimétrica.
En Z, conjunto de los enteros se define R mediante
x
a)
b)
Ry
e2lx-y
Representar R.
Clasificar R.
SOLUCION: a) La relación R
R:
{(x,
se puede
escribir como
Y). 22 lx-y=2k, ke Z}
Esta relación está representada por los puntos (x, y) tal que x
y:x-2kparaciertoke Z.
-
y
: 2k o
100
ALGEBRA MODERNA
),>
I
<o
b) Las propiedades que cumple son:
i) SixeZ+
ii)
iii)
si
k:0e2,= xRx, Resreflexiva.
=2lx-y, o x-y:2kparacierto k eZ, + y -x:2(-k) =
Si x R y
2ly
2lx-x, ox-x:2k
-x =
Si xRy n
y R x, la relación es simétrica.
yRz+2lx-y n2ly-2, o x-y:2k1 ny-z:2k2 para k1 y k2 eZ.
Sumando estas ecuaciones. se obtiene
x
- z:2
(k1
+ k2), como k¡ + k2 e Z,
=
2lx
- z=
x R z, la relación
es transitiva.
iv)
SixRy
que x
:
^
yRx =2lx-y ¡
Zly -x.nonecesariamentesesigue
y, ya que existen enteros diferentes como 6 y 2 tal que 2l 6-2
n2l2-6,
es decir. 6
R2 n 2 R 6 = 6:
2 es F.
Por lo cual, la relación es no antisimétrica.
Ejemplo:
En fr, vamos a considerar la relación binaria R definida mediante
xRy<>x<y<x+3
a)
Representar R
b) Clasificar R.
l0l
RELACIONES
SOLUCIÓN: a) La relación R se puede escribir como
R:
{(x, y) e R2 I y,
*^
y <x + 3)
Entonces su representación gráfica será:
/.+
t
b) Según se puede comprobar, se verifica que:
i) Six e fr+x(x(x+3
reflexiva.
ii)
SixRy
+xRxparatodo
(y <x*3, no necesariamente
=x
xe-R, larelaciónes
se sigue que
y
<x <y+3,
ya que esto se verifica solamente para x=y. Por tanto la relación es
no simétrica.
iii) SíxRy^yR z =xSy<x+3 ny <z<y +3
(
= x z <x+6= x R zparaalgunos
Como lRlnlR2+lR2esV
x,y, z e R
3R4n4R5+3R5esV,etc.
Pero 3 x I
yizlx Ry¡ y Rzn xl,z
Como 3R4n4R6pero3 f.6
o
2R4n4R5pero2V,5
Por tanto, la relación es no transitiva.
iv) SixRy n yRx+x<y<x+3 A y<x<y+3+x:y,la
reHóíón es antisimétrica.
t02
6.
ALGEBRA MODERNA
REL/ICIONES DE EQUIVALENCIA
Una relación binaria R, definida en un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Generalmente una relación de equivalencia se denota por
pará indicar que
- y" y se lee "x es equivalente
relacionado con y (x R y) se escribe "x
Ejemplo: Sea A={1,2,3,4}
R = {(1,
"-";
x
está
a y".
ysea
l), (1, 2), (2, l), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\
Entonces R es una relación de equivalencia, ya que se verifica que:
i) VxeAsecumplex-x(o xRx),esdecir, I -1, 2-2,3-3
4
ii)
-
4 son V, luego la relación es reflexiva.
Six
-y + y -x
(si x
Ry
+ yRx), es decir, si un parordenado
pertenece a la relación, su transpuesta también pertenece.
l-2=2-l
esV
luego la relación es simétrica.
iii)
y
Si x
- y ^ y - z+ x -
z,es decir
l-lnl-2+l-2
l-2n2-l+l-l
l-2n2-2=l-2
2-lnl-l=2-l
2-lnl-2+2-2
2-2n2-1+2-l
luego la relación es transitiva.
El diagrama de Venn
es
esV
esV
esV
esV
esV
esV
t03
RELACIONES
Ejemplo:
Consideremos en
x
a)
b)
-
y <+ x
Z
"-" definida mediante
la relación binaria
-y
es
múltiplo de 3.
Probar que es de equivalencia.
Representar la relación
SOLUCIÓN: a) La relación
-
"-".
se puede escribir como
-y = 3k, paraalgún k e Z
o bien -: {(x, y) e Zl x-y: 3k, k e Z}
x
-ye
x
Luego, para probar que "-rr es de equivalencia se debe verificar que:
i) Six e Z + x-x:0:3(0),esmúltiplode
3
= X-X,
larelación
es reflexiva.
ii)
Si
x-y + x-y:3k, ke Z = y-x=3(-k),
-ke
Z+y-x,
la relación es simétrica.
iiD Síx-y A y-z= x-y:3k1,
+
k1 e
x-z=3(k¡+k2),
Z ¡y-z:3k2, k2e Z
k¡+k2 e Z= x-2,
la relación es transitiva.
Por tanto, la relación
b) Para cada k e
-
es de equivalencia.
Z se determina el siguiente conjunto discreto de puntos
sobrelarectay=x-3k.
104
ALGEBRA MODERNA
6.]
Sea
CLASES DE EOUIVALENCIA
"-"
una relación de equivalencia definida en un conjunto
A+ó y sea ¿ e A. La clase
de equivalencia de a (que contiene a a) se define corno el conjunto de todos los x de A
tales que sean equivalentes al ¿. Se denota esta clase de equivalencia por
Ko,lal o a
.
Kr:{xeAlo-x\
Nótese que como
-
es reflexiyd, ú
- a paratodo a e A de modo que a € Ka. Por tanto,
Ko nunca es vacía. Obsérvese asimismo que todas las clases de equivalencia
son
subconjunto de A. y son disjuntos dos a dos.
Teorema Si ó pertenece a la clase de equivalencia de a, entonces la clase
de
equivalencia de ó y la de a son idénticas, es decir.
beKo>Kó:Ko
Este teorema mllestra que una clase de equivalencia queda determinada por cualquiera
de sus elementos, llamado representante de la clase. Asimismo se puede afirmar que dos
elementos son equivalentes sí y solo sí estos elementos son miembros de la misma clase
de equivalencia.
Ejemplo: Sea A : {1,2,3,4, 5\ y sea -
una relación de equivalencia en A
definida como sigue
-:
{(l ,t),(2,2).(3,3), (4.4), (5,5), (1,2),(2,1). (4,5), (5.4)}
a) Representar la relación en un diagrama de Venn.
b) Determinar las clases de equivalencia.
SOLLTCIÓN: a) El diagrama de Venn
es
\3
RI]LACIONES
105
t')
La clase de equivalencia de I es el conjunto de todos los elementos de
A que son equivalentes a l. Esto
K¡
:
es
{1,2}
Asimismo, la clase de equivalencia de 2 es K2
de
donde
Kr = Kz
:
{1,21,
: ll.2\
Análogamente se obtiene que
Kt: Ks:
(4. 5)
Entonces, en este caso. los representantes de cada clase son:
Por tanto. se tiene tres clases de equivalencia. Kr,
l, 3 y 4.
K¡ y K¡, que son
subconjuntos de A. Las cuales forman una partición de A como sigue:
flK+:K¡IKr: 0 )' Kr U X.¡ U Kr=A.
Nótese también que si dos elementos de A son equir alentes. cstos
ObserrcsequeK¡ l^lK:=Kr
pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Entonces. el conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto
lt -
e'S !m?
partición de A. Es decir. que ulla relación de equi.,,alencia sobre un conjunto ,,\ prorluce
una partición de dicho conjrnto.
CONTUNTO DE íNDICES
6.2
Sea
A + $ un conjunto dotado de una relación de cquivalcncia. Sc clenontirra conjunto
cie
índices a un conjunto lormado por los represent¿urtcs clc cada clasc'clc equir¿rlr'ucia. [:s
decir.
l=' la e A / K,, es Lnr¿r clase cic cc¡uiralcucia
cn r\)
ALGEBRA MODERNA
106
Así, en el ejemplo anterior el conjunto de índices es
I: {1,3,4\
Ejemplo: En el conjunto A :
{a, b, c, d, e} se define una relación de equivalencia
mediante:
-:
{(a,a),(a,c),(a,e),(b,b),(b,d),(c,a),(c,c),(c,e),(d,b),(d,d),(e,a),(e,c),(e,e)}
Hallar las clases de equivalencia y conjunto de índices.
/n \
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn
es
Entonces, la clase de equivalencia de c, de c y de e son idénticas, esto es
Ko--K.:K.:
{a,c,e}
Asimismo, las clases de equivalencia de b y de d son iguales, esto es
Ku: K¿:
El
representante de
{b, d}
la primera clase puede ser ¿, c o e, digamos
a.
Mientras el representante de la segunda clase puede ser b o d, escogemos
b. Por tanto, se tiene dos clases de equivalencia, Ko y Ku, y el conjunto
de índices es
I:
{a, b}.
El diagrama de Venn de A y las clases de equivalencia son
Nótese que las clases de equivalencia forman una partición de A.
RELACIONES
6.3
Sea
-
107
CONJUNTO COCIENTE
una relación de equivalencia en un conjunto A. El conjunto de todas las clases de
equivalencia de los elementos de A se llama conjunto cociente de A por
A/-.
-.
se escribe
Es decir.
Al-:{K"/ael}
Obsérvese qr,re las clases de equivalencia son. por una parte. subconiuntos de
otra. elernentos del conjunto A I
Eiempro:
A. y por
-.
"::i;ll l;;;ll,;,,, il,j, ili,',;;'*T.-;:T.l,como
Hallar: las clases de equivalencia, el conjunto de índices y el conjunto
cociente.
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn
es
Luego, la clase de equil'alencia de los elementos 1. 2 y 4 son idénticas. es
decir,
Kr: Kz: K.r: [1" 2.4)
la clase de equivalencia de 3 es
K¡ = {3}
Entonces, se tiene clos clases de equivalencia.
{1.2. a} y {3}
Si escogemos a
I
conro representante dc la primera clast y, 3 es cl único
rcpresentante de la scgunda clase. el conjunto cle indices es
¡= tr.3)
ALGEBRA MODERNA
108
El
conjunto cociente. que está formado por todas las clases
de
equivalencia es
,
A
t-:
t\
Kr, K¡)
:
{{ 1.2.4}, {3}}
Teorema Toda partición de un conjunto A permite definir en éste una relación
equivalencia
"-"
de
en la que las clases de equivalencia son los bloques de la partición.
Si {Al. Az, ...} es una partición de A. entonces
equitalencia de A. En donde la relación de cl,'
a
-
segúttl el teorema cada
Ai es una clase de
iuncia se define como sigue:
b <> a y b sott llrienrbros del nlismo bloque
Ejemplo: SeaA: {1,2,3.4}, y sea { il). {2. 3'4)}
unaparticióndeA.
Determinar Ia relacióri de equivalencia correspondiente -* en A.
SOLUCIÓN: Ya que las clases de equivalencia de los elementos de A son los bloques
de la partición. se tiene
Kr
:{1).
K2: {2.3, 4\
En diagrama de Venn es
A partir dc la clellltici(rn de l¿r clase de c'quivalencia y el hecho de que es urla relación cle cqr.rivalencia. se tiene qtre
-:
[(r.
1
). (2. 2). (2. 3).
lz. 1). (3. 2). (-]. 3). (3. 4). (1. 2). (4. 3). (4. 4)]
tal conlo sc nr.tcstl'¿t etr cl scgtttlclo cliagranta de Velrn.
t09
RELACIONES
Ejemplo:
Sea A:
{3,4,5,6,7\.
Se deñne una relación R en
A nrediante
xRy <+ 3lx-y. (3dividex-y)
a)
b)
Demuestre que R es de equivalencia.
c)
Determine el conjunto cociente A I
Determine las clases de equivalencia.
-.
SOLUCIÓN: La relación R puede escribirse como
R:
{(x.y) e A2l3lx-y)
Por extensión se tiene
R = {(3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7). (3.6). (6.3), (4.7). (7.4)i
El diagrama de Venn correspondiente es
CD@
0l)
@U
a)
La relación R cunrple las siguientes propiedade's:
i)
Sí x e A
+3 I x-x
=+xRx.paratodox e A.
Es decir. cada elemento de A está relacionado consigo ¡nisnro. la
relación es ref'lexiva.
iil
Six
Ry>3 Ix-), +3 i y'.-x+ )'R\.paratodo(x.)) e lt.
Así.tenenros 3R6=6It3
4R7 + 7R4
csV
esV
la relación R es sinrétrica.
iii)Síx Ry n
[']s
1,Rz
dccir.
=
-i R
3ix-y,
3n
n 3i¡-z = 3lx-z= x I{z
3 fl (r
4R7 n 7lt4
la rclació¡r R es transitiva.
=
-i It
(r
=.lR-l
cs V
cs\/
ll0
ALGEBRA MODERNA
Por tanto, R es de equivalencia y se denota por
b)
-.
La clase de equivalencia de los elementos 3 y 6 son idénticas,
K3: Ko: {3,6}
la clase de equivalencia de los elementos 4 y 7 son iguales,
I(4: K7: {4,7\
la clase de equivalencia de 5 es
Ks: {5}
c)
El conjunto cociente es
:
A I - = { K¡, K¿, Ks}
El conjunto de índices
Ejemplo:
{ {3,
I = {3,4, 5}
En Zse define una relación de equivalencia
x-y € 5l*-y
a)
b)
c)
6}, {4, 7}, {5} }
-
mediante
(5dividex-y)
Determine las clases de equivalencia.
Determine el conjunto de índices.
Determine el conjunto cociente
SOLUCIÓN: La relación
-
Z I -.
puede escribirse como
-:{(x,y)eZ2l5lx-y}
Esto significa que dos enteros son equivalentes sí y sólo sí la diferencia
de éstos es divisible por 5, o es múltiplo de 5.
a)
La clase de equivalencia de 0 es
Ko = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...} = {5k
la clase de equivalencia de
Kr
:
{
..., -9,
I
lk e Z}
es
-4,1,6,1l, ...} : {5k + | lk e Zl
la clase de equivalencia de 2 es
Kz
:
{..., -8, -3,2,7,12,
...\: {5k + 2 lk e Z\
La clase de equivalencia de 3 es
K¡:
{..., -7,-2,3,8,
13,...}: {5k+ 3lk e Z}
La clase de equivalencia de 4 es
ITELACIONES
III
K¿: {..., -6,-1,4,9,14,...}
:
{5k + 4 I k e
Z}
Asimismo, tenemos que
: K-t¡: K-5 : K5 : ...
Kt = ... : K-9 = K-4 = K6: ...
K2: ... : K-8 = K-3: K7: ...
K0:
...
Po, tunto, existen cinco clases de equivalencia Ko, Kr, Kz, K3, Ka, eue
forman una partición de Z.
b)
El conjunto de índices es
I:
c)
I,2,3,4}
{0,
El conjunto cociente
Zl -:
Ejemplo:
En
fr
{ Ko, Kr, Kz, K¡,
&}
se define una relación R mediante
xRy
a)
b)
es
e
lx-11
:ly-ll
Demuestre que R es de equivalencia.
Representar R.
c)
Determine las clases de equivalencia.
d)
Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.
SOLUCIÓN: La relación R puede escribirse como
R:
a)
{(x, y) e
fr2llx-
1l
: ly- ll}
La relación R cumple las siguientes propiedades:
i)
Si
ii)
SixRy+lx-ll :ly-ll +ly-ll :lx-ll
xe R2 +lx-ll =lx-ll:+xRx,
larelaciónesreflexiva.
=+ yRx,
la
relación es simétrica.
iii) Si xRy n yRz
+
lx-t¡ = ly-ll
x R z, la relación es transitiva.
" ly-ll = lz-ll + lx-t¡ = lz-tl +
112
ALGEBRA MODERNA
Por tanto, la relación R es de equivalencia y se denota por
b)
La relación
e
-
es el conjunto de puntos
(x-1)2: (y-l)2
Así,
-:
{(x, y)e
e
(x,y)eF,
-.
tales que lx-l
l:ly-l
I
(x-y)(x+y_2):0 c> x : y v x-ty:2.
R' I *:
y v x+y:2)
c) La clase de equivalencia de un elemento ¿ e R es
:{xe Rlx-a}:{xe .Rlx:u v x:2-a}
: { a,2 - s},para todo a > 1.
El conjunto de índices es I: [1, * [
El conjunto cociente es ,R / - : {K, / a e [, oo []
Kd
d)
Ejemplo:
En
22
se define una relación R mediante
(x, y) R (a, b) <>
a)
x:
a
Demuestre que R es de equivalencia.
b) Determine las clases de equivalencia
c) Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.
SOLUCIÓN:
a)
La relación R es de equivalencia sí y sólo sí cumple las propiedades:
i)
ii)
Si (x, y)eZ2+ x : x = (x, y) R(x, y). Resreflexiva.
= x: a= a: x + (a,b) R (x,y), Res simétrica.
iii) Si (x,y)R(a,b) n (a,b)R(u.v) = x=a A a:u + x:u (x,y)R(u,v),
=
Si (x,y) R(a,b)
R es transitiva.
il3
RELACIONES
-.
Por tanto, la relación R es de equivalencia y se denota por
b)
La clase de equivalencia de un elemento (¿. 0)e
Ktu,o)
c)
:
{(x. y) e 22 / (a, 0)-(x. y)i
:
22
es
l(x. ,') e Z1 I a:
x\¡
El conjunto de índices es
I:{(¿,0)laeZl
El conjunto cociente
es
22 l-:{Ktn,o¡lneQ
Ejemplo:
En R
2
se define una relación R mediante
¡ *y: a*b
(x. l') R(a, b) <+
SOLUCIÓN:
d)
e)
Determine las clases de equivalencia
0
Determine el conjunto de índices y el conjunto cociente.
a)
La relación R es de equivalencia sí y sólo sí cumple las propiedacles:
Demuestre que R es de equivalencia.
i)
Si (x, y)e.Ii
ii)
Si (x.y)R(a.b)3;1+y:a*b+a*b:x*y+(a.b)R(x.y
iii)
Sí (x.y)R(a.b) n (a.b)R(u.v)
2
=
x*y = x*y
=
(x,y) R (x.y), R es reflexiva.
). R es simcítrica.
+
x+y:a+b n ¿*[:¡¡*r''
=
(x,y)R(u,v), R es transitiva.
Por tanto. la relación R es de equivalencia y se denota por
b)
:
{(x,y) e ,ri2i (4.0)-(x.r-)}
El conjunto de índices
El conjunto cociente
Ejemplo:
-.
es [ :
es
.R2
:
{(x. y) e
1lrla =r+}')
{(4, 0) / a e .R}
I
-:
{Klo, o¡ I a e .R\
2
En -R se define una relación R mediante
(x,y)R(a,b) <+ xy:ab
a)
b)
c)
x+\':tr*v
2
La clase de equivalencia de un elemento (4. 0) e -R es
K¡a,o)
c)
=
Probar que R es de equi,u'alencia.
Obtener las clases de equivalencia
Detelninar un coniunto de índices 1'el conjunto cociente.
tt4
SOLUCIÓN:
\LGEBRA MODERNA
a)
La relación R es de equivalencia, ya que se verifica que:
i)
ii)
Si (x, y)e ftt
= * y: xy +
Si (x,y)R(a,b)=x y:a
(x,y) R(x,y), Res reflexiva.
b=a b:x y=(a,b)R(x,y), R es simétrica.
iii) Sí (x,y)R(a,b) n (a,b)R(u,v) = x y:a b ¡ a b:ü v + x y:u v
b)
(x,y)R(u,v), R es transitiva.
=
La clase de equivalencia de un elemento (a, b)e R
K(o,o)
:
:
{(x, y) e .R' l(*,y)R(a, b)}
{(x, y) e
fr' l*y:
:
k}, donde
2
es
{(x, y) e
k:
Unconjunto de índiceses
El conjunto cociente es
Ejemplo:
Sea
A:
{0, 1,2,3} y
B:
I
:
{(¿, b) e
R2 I
-:
{1,2\. En P(A)
fr2lb:
{K(o, t¡ I
se
abl
¿b
Esta clase de equivalencia es una hipérbolapantodo
c)
fr'l*y:
k e ft.
¡a¡¡
(a,b) e I}
define la siguiente relación
mediante
XRY<+Xf^lB=Y[]B
a)
b)
Muestre que es una relación de equivalencia.
Describa sus clases de equivalencia.
c) Obtener un conjunto de índices y el conjunto cociente.
SOLUCIÓN: a) La relación R es de equivalencia, yaque se verifica que:
i) Si X e P(A) +Xlt g :Xl^lB + XRX, Resreflexiva.
ii) Si XRY + XlB : Y[lB = YflB = X0B =YRX, R es simétrica.
iii) Sí XRY n YRZ = XflB : Y['lB n YllB = ZñB = X¡B : Z1B
b)
=XRZ,Restransitiva.
Las clases de equivalencia son
Ka
: { XeP(A)/XnB=O},
K{,): { xePlR)/XnB:{l}}
K{z}: { xe rqe¡/xnB={2}}, Klr,zr: {
c)
es
El conjunto cociente es
Un conjunto de índices
I:
{0,
P(A) /
xeplR)/xllB:{1,2}}
{l}, {2}, {1,2}}
- = { Ko, K1r¡, K1z¡, Ktr,zl}
RELACIONES
7.
I 15
RELACIONES DE ORDEN
Es frecuente en matemática y en la actividad corriente tener que considerar conjuntos
cuyos elementos aparecen en cierto orden; tales como, por ejemplo. el conjunto de días
de la semana, el conjunto de tareas que deben realizarse para construir una casa, el
conjunto de números naturales, etc. Ahora estableceremos con toda generalidad el
concepto de conjunto ordenado, destacando las propiedades que reflejan la esencia
matemática de dicha noción de orden,
Cuando queremos referirnos a un orden cualquiera sin precisar a cual, usaremos el
término genérico "preceder". Así, una relación definida en un conjunto por
x R y <+ "x precede a y"
se dice que es de orden amplio o estricto,
(x, y son comparables)
y en cada caso, es de orden parcial o total,
según se cumplan las propiedades que se citan a continuación.
7.1
RELACIONES DE ORDEN AMPLIO
Una relación R en un conjunto A se llama relación de orden amplio, o simplemente
relación de orden. si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es decir,
i) Sí
xeA+xRx
ii) Sí
xRynyRx=+x:y
iii) Sí
xRynyRz+xRz
Ejemplo: Sea A : {1,2,3} y seaR unarelación definidapor x R y <> x < y
Entonces la relación R es de orden amplio, ya que cumple las
propiedades:
i) Si xeA = x(x =) xRx.Resreflexiva.
ii) Si xRy^yRx :+ xlyny(¡,:)X:y,Resantisirnétrica.
iii) xRynyRz = x<yAys z+ x(z- xRz,Restransitiva.
La relación R por extensión se tiene
R= {(1. l), (2.2). (3.3), (1.2). (1,3), (2,3)}
116
ALGEBRA MODERNA
El diagrama de Venn
es
Obsérvese que todos los elementos de
A son comparables dos a dos por
la relación de "menor o igual".
Ejemplo:
Sea A
: {1,2,3,4} y sea R una relación definida por
xRyexly
Entonces
R es una relación de orden amplio, ya que cumple
las
propiedades:
i)
Si x e
A=x lx=xRx,
ii)
Six Ry^ yRx
-
Resreflexiva.
x ly r. y lx
iii) Si x Ry n y Rz =
xly n ylz
=x:y,
Res antisimétrica.
=xlz = x Rz, Res transitiva.
La relación R por extensión se tiene
R
:
{(
1, 7), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ( 1, 2), (1, 3),
El diagrama de Venn
(
l, 4), (2, 4))
es
Obsérvese que existen elementos de
A que no son comparables por la
relación de "divisor". Esto Es, 3 y 4 e A pero 3fi y ap son F.
t17
RELACIONES
7.1.1 RELACIONES DE ORDEN PARCIAL Y TOTAL
Sea R una relación de orden amplio definida en un conjunto A.
l)
Cuando todos los elementos de A son comparables dos a dos, el orden se llama total.
Es decir, sí
xÉy + xRy v yRx
Por ejemplo, la relación del ejemplo anterior, en donde ésta se define por "menor o
igual"
(l),
es de órden amplio
y total, ya que todos los elementos de A
son
comparables por dicha relación.
2) Cuando existen pares de elementos de A que no son comparables, el orden se llam¿i
parcial. Es decir,
fx,fylxfly^yRx
Por ejemplo, la relación del ejemplo anterior, en donde ésta se define por "divisor",
es de orden amplio y parcial, ya que existen elementos como 2
y
y 3 de A tales que
213
312 son F.
Por tanto. la palabra "parcial" en estos conjuntos significa que algunos elementos
podrían no ser comparables.
Ejemplo:
Sea A = {a, b, c}. En P(A) se define la relación de inclusión por
XRYeXcY
Entonces la relación de inclusión es de orden amplio
y parcial. )'a que
cumple las propiedades:
i) Si X e P(A) +X cX+X RX. Resreflexiva.
ii) Si XRY n YRX + XcY n YcX + X:Y. R es anrisimétrica.
iii) Si XRY n YRZ = XcY n YcZ > XcZ + XRZ, R es transitiva.
Por olra parte. este orden amplio es parcial. pues existen pares
de
conjuntos de P(A) que no son comparablcs por la relación de inclLrsitin.
Porejumplo {a} y {bi.vaque
[a)c [b) I lb] c {a} son F.
r
ALGEBRA MODERNA
18
En
Ejemplo:
Z
la relación "menor o igual" es de orden amplio y total. Pues. sí
xRy <+ x < y. entonces:
i) Si xe Z=x<x=xRx.Resrellcxiva.
ii) Si x Ry ^ y Rx = x ly n y < x + x:y,R
iii) Si x R y ^ y R z = x < y A y <z- x1z)
es ahtisimétrica.
x R z. R es transitiva.
Pero este orden aniplio es total. )'a qlle todos los enteros son comparables
dos a dos por la relación de "nlenoro igual". O sea, sí
x+y = x<y v y<x= xRy v yRx
7.2
RELACIONES DE ORDEN ESTRICTO
Una relación R deflnida en un conjunto
A
se llama relación de orden estricto si
es
arref'lexiva. asiurétrica ), transitiva. Es decir.
i)
ii)
iii)
Al igual
Sí
Sí
Sí
xeA=x(x
xRy=*Ry
xRy'nyRz=xRz
que el órden arnplio. el orden estricto puede ser parcial o total. Es decir. el
orden estricto es parcial si existe por lo menos algirn par de elementos de A que no solt
comparables por dicha relaciór-r. en caso contrario el orden estricto es total.
Ejemplo:
En
.'\' la relación
de "mellor" es de orden estricto y total, pues dicha
relación. definida por x R
i)
Sí
ii)
Sí x
y <> x < y, cumple las propiedades:
xe A =xdx=xNx.Resaneflexiva.
Ry-)'
d
x=y
iii) Sí x R y ^ y R z -x
Por otra partc. si x
Kx.Resasimétrica.
<y
^
y
<z-
x<z
=
x R z. R es transitiva.
+y = x < y v y < x - x R y v y R x, es decir. todos
lcls nirnreros naturales son conrparahles dos a cJos por la relación de
"r'l'lcnor".
RELACIONES
I 19
Ejemplo: Sea A:
R:
{a, b, c,
d}
y
sea R una relación dada
por
{(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d)}
Entonces la relación R es de orden estricto
y parcial, puer, cumple las
propiedades:
i)
Sí x e
A +'x
R x, cada elemento de A no está relacionado consigo
mismo. R es aneflexiva.
ii)
Sí
xRy+y $.x,esdecir,siaRb+b l,^,uRc+c
ÉasonV.
R es asimétrica.
iii) Sí xRynyRz +xRz,
esdecir, sí aRbnbRd= aRd,
siaRcncRd+aRdsonV.
R es transitiva.
Por otra parte, existen pares de elementos de A que no están relacionados
porR, tales como by c e A, yaque b Rc y c Rb sonF.
7.3
DIAGRAMA DE HASSE
Consideremos un sistema fenoviario con diversos ramales como se indica en el
siguiente esquema, donde los puntos A, B, C, D, E, F, G y H representan las diversas
estaciones.
F
Si un tren sale de la estación A, pasará antes por la estación B que por C o D, de manera
que podemos decir, por ejemplo: A es anterior a B, ésta es anterior a cualquiera de las
demás, C es anterior a F, E y G, pero no es anterior a D (ni a H) ni es D anterior a C (ni
a F), Por tanto, el
esquema en consideración representa
al conjunto de
estaciones
ordenadas por la relación de "anterioridad". Esquemas o diagramas eomo éste se ilarnan
de Hasse.
t20
ALGEBRA MODERNA
Dada cualquier relación de orden (estricto
o no) podemos representar un
conjunto
ordenado mediante un diagrama, llamado de Hasse, similar al del sistema ferroviario.
Obsérvese que en el ejemplo considerado, los subconjuntos de estaciones
{A, B, C, F},
{A, B, C, E, G}, {A, B, D, E, G} Y {A, B, D, H}, así como cualesquiera de los
subconjuntos de éstos, constituyen cadenas respecto a la relación de "anterioridad", esto
es, sobre cada uno de esos subconjuntos la relación citada induce un orden total.
Ejemplo: Sea A:
por
{2,3, 4,6,9, 12,36} y sea R una relación de divisor definida
xRy e xl
Entonces esta relación es de orden amplio
y parcial, pues cumple las
propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por otra parte, existen
pares de elementos de
A que no están relacionados por la relación
de
"divisor".
El diagrama de Hasse correspondiente
es
4
Donde. cada uno de los
subconjuntos:
{2, 4, 72,36}, {2, 6, 12,36},
{3, 6, 12.36} y {3, 9, 36} constituyen una cadena respecto a la relación
de "divisor". Es decir, cada uno de estos subconjuntos son totalmente
ordenados por
la relación citada. Sin embargo, el conjunto A
queda
parcialmente ordenado por la misma relación.
Ejemplo:
Sea A : {1,2,4,6,
definida por
18, 20,36t\
y
sea
R una relación de divisor,
xRyexly
Es fácil comprobar que esta relación es de orden amplio y parcial. El
correspondiente diagrama de Hasse es
t2t
RELACIONES
l.-----r
Entonces
lcs
subconjuntos totalmente ordenados
por la relación
de
"divisor" (cadenas) son:
{1,2,4,20}, {1,2,4,36}
y U,2,6,18,
36}
Por otra parte, el conjunto A resulta parcialmente ordenado por la misma
relación.
Ejemplo:
En
A:
{0, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}--}, consideramos la rclación
de inclusión definida por
XRY
<+
XcY
Entonces esta relación es de orden amplio y total. pues
i) -SixeA+Xc X=XRX, Resreflexiva.
ii) Si X RYn YRX=X c Yn Y c X +X:
iii) Si XRY n YRZ + XcY n YcZ>XcZ=+
Y. Res anrisirnrirrica.
XRZ. R es transitiva.
Además, en cada par de elementos cualesquiera de A. uno de ellos está
incluido en el otro.
El correspondiente diagrama de Hasse es
Obsérvese, que
el diagrama de Hasse nuestra una sola
cadena. esto
significa que todos los elementos de A son comparables por la relación
de inclusión
relacíon.
y
que es un conjunto totalmente ordenado por la urisma
t22
ALGEBRA MODERNA
Ejemplo: En A : {3, 4,5,6,7,8,9\ se considera la relación de "mayor"
definidapor xRy <+ x>y
Entonces
R es una relación de orden estricto y total, pues todos
los
elementos de A son comparables por dicha relación. Así, el diagrama de
Hasse correspondiente es:
9876s43
.----_-->'.---->>._______).+--++aF+>.
Por tanto, el conjunto
A
resulta totalmente ordenado por la relación de
"mayortt.
7.4.
Sea
ELEMENTOS EXTREMOS DE AN CONJUNTO ORDENADO
A un conjunto ordenado por una relación de orden R (estricto o no), y
se denota por
(A, R).
7.4.1. PRIMERO Y ULTIMO ELEMENTO
Un elemento xeA se llama primer elemento de A sí precede a todos los demás. Es decir
xeAeselprimerelemento <> c€A
+
xRc
Un elemento ye A se llama último elemento si todo elemento de A precede
a
y. Es decir
y e A es el último elemento <> c é A =+ c Ry
7.4.2. ELEMENTOS
MINIMALES
Y
MAXIMALES
Un elemento m e A se llama minimal si no existe un elemento distinto que lo preceda
(antecede). Es decir
meAesminimal <+VceA:cRrn
= m:c
Un elemento n e A se llama maximal si no existe en A un elemento distinto que lo siga.
Es decir
n e Aesmaximal
e Vc e A : ¡¿Rc + n:
c
RELACIONES
123
7.4.3. COTAS INFERIORES Y SUPERIORES
Un elemento aeA es una cota inferior del subconjunto
de
XcA sí precede a todo elemento
X. Es decir
a
e
Aes cotainferiorde
XcA <+ c € X +
Un elemento óeA es una cota superior del subconjunto
de
XcA
a Rc
sí sigue a todo elemento
X. Es decir
b e Aes cotasuperior de XcA <> c € A => c R á
7.4.4
MíNIMA COTA SUPERIOR V II'*íXIA,q COTA INFERIOR
Un elemento s e A se llama mínima cota superior (supremo) del subconjunto
XcA
sí es
el primer elemento del conjunto de las cotas superiores.
Un elemento
i e A se llama
máxima cota inferior (ínfimo) del subconjunto
XcA
sí es el
último elemento del conjunto de las cotas inferiores.
Ejemplo:
Sea el conjunto
"divisor", que
A = {2, 3, 4, 6, 9, 12,36} ordenado por la relación
es de orden
de
amplio y parcial, cuyo diagrama de Hasse es
Si B = {2, 4, 6, 12\ es un subconjunto de A, entonces se tiene que: El
primer elemento
y el minimal de B son 2, el último
elemento
y
el
maximal es 12, cota inferior y el ínfimo son 2, cotas superiores son 12 y
36,y el supremo es 12.
Ejemplo:
Sea el
conjunto
A
: { 1,3,4,9,12,24,36\ ordenado por
la
relación de divisor, la cual es de orden amplio y parcial, y cuyo diagrama
de Hasse es
t24
ALGEBRA MODERNA
El primer elemento de A es l, ya que es el único elemento que es divisor
de todos los demás, pero éste también es el minimal, cota inferior y el
ínfimo. Carece de último elemento, de cota superior y el supremo, pero
tanto 24 como 36 son maximales.
Ejemplo:
Sea el conjunto
A = { I,2,3, 4, 5,6,7} ordenado por la relación
de
"menor", que es de orden estricto y total, y cuyo diagrama de Hasse es
t234567
El primer elemento y minimal de A es
-H+#.--------->.->o
es 7. Como tanto I < I y 7 <7
l,
el último elemento y maximal
son F, entonces carece de cota inferior,
ínfimo, cota superior y supremo.
Ejemplo:
Sea el
conjunto
A
: { I,2,3, 4,5, 6,7} ordenado
"menor o igual", que es de orden amplio
por la relación de
y total, y cuyo diagrama de
Hasse es
El primer elemento de A es l, que es también minimal, cota inferior e
ínfimo. Análogamente, el último elemento 7, que a su vez es maximal,
cota superior y supremo.
RELACIONES
r25
8. EJEMPLOS ADICIONALES
Ejemplo: Sean A, B conjuntos con r'¡(A) :4. Si existen 4096 relaciones de A en B,
determinar q(B).
SOLUCIÓN: Como el producto cartesiano AxB tiene q(A) ' n(B)
donde
n:
n(B), el número de relaciones de A en B
:
4n elementos,
es
24":4096
de
Ejemplo:
donde
La relación
n:3
vacia, R : 0, definida en un conjunto A+{ verifica las
propiedades:
i)
Si
xeA
+
xF x
es
V, ya que el consecuente de la implicación es V.
La rehción vacía es arreflexiva
ii)
Si x
Ry = y Rx es V, yaque
el antecedente de laimplicacióri es F.
La relación vacía es simétrica.
iiD SixRy A yRz = xRzesV,pueselantecedentedela
implicación es F. La relación vacía es transitiva,
iv) SixRy A yRx + x:yesV,pueselantecedentedela
implicación es F. La relación vacía es antisimétrica.
Ejemplo:
Dado un
conjunto A: {x,, x2, ...,xn}, donde n(A2) : n', de modo que
huy 2n'relaciones sobre A. ¿Cuántas de ellas son reflexivas?
At:A, UA,donde A,: {(x,,xi)/ I <i<n}
Ar: {(x,, x,) li+j i > 1, j ln}, se tiene n(A,): n y
^
SOLUCIÓN: Siescribimos
n(Az) = q(A2)
- n(Ar):
n2
-
n.
una telación R sobre A es reflexiva sí y solo sí
A, con cada uno de los 2n2-n subcon¡untos de A,
A,c
R, así, la unión de
es una relación reflexiva.
Es decir
VB
c
Az : R.: Ar U B es una relación reflexiva.
Por tanto, existen
2n2-n
y
relaciones reflexivas sobre A.
126
Ejemplo:
ALGEBRA MODERNA
Dado un
conjunto A : {x,,
x2t
...,xn}, en donde se puede definir
2n2
relaciones binarias. ¿Cuántas de estas relaciones son simétricas?
SOLUCIÓN: Al igual que en el ejemplo anterior
A,:
{(x,,
x,)i I <i<n}
Como n(Az)
n';
:
n2
- n:
y
escribimos
Az: {(x,, x,) li+
A1
: A, U Az, donde
j xi21, j sn}
n (n - l), un entero par, el conjunto A, contiene
subconjuntos {b¡} de la forma {(x,, x.,), (x,, x¡)} donde
1< i < j < n. Así, asociando tales elementos en Az se tiene
Al
= {b¡ /1< i < j S n},
ry@;)=
r\¿/2
n'^
n
Una relación R sobre A es simétrica sí y solo sí R = B, U Bz, donde 81,
uno de los 2n subconjuntos de A, y B, es uno de ¡o,
de
subconjuntos
Al.
Por tanto, existen 2n- 2I@'-''t
Ejemplo:
2i("-'l
€S
- 2I@'z+n) relaciones simétricas sobre A.
Si R y S son dos relaciones transitivas en A, demuestre que R
transitiva.
SOLUCIÓN: Como R y
S son dos relaciones transitivas, entonces se tiene
x(MS)y n y(MS)z
e
(x, v) e
(MS) n (y, z) € (RnS)
= (x,y)eR n (x,y)eS n (y,z)eR n (y,z)e S
= xRy n xSy ^ yRz n ySz
= (xRy n yRz) n (xSy n ySz)
= xRz n xSz + (x,z)eR n (x,z)eS
= (x, z) e (RflS) + x(RflS)z
Por tanto, la relación R[lS también es transitiva.
fl S es
t2'l
RELACIONES
Ejemplo:
y S dos relaciones de orden amplio y parcial definidas en los
conjuntos A y B, respectivamente. Es decir, (A, R) y (B, S) son dos
Sean R
conjuntos parcialmente ordenados por dichas relaciones. En
AxB
se
define una relación T mediante
(x,y) T (a,b) <+ xRa n ySb
Demuestre que T es de orden amplio y parcial.
SOLUCIÓN: Considerando que R y
i)
ii)
Sí (x,y) e
S son de orden amplio y total, se tiene
AxB +
=
xeA n yeB
=
xRx n vSy
(x,y) T (x,y), T es reflexiva.
Si (x,y) T(a,b) n (a,b) T
(x,y) +xRan
ySb n aRx n bSy
=r (xRa n aRx) n (ySb n bSy)
3¡¡=a A y:b = (x,y):(a,b)
T es antisimétrica.
iii) Si (x,y) T(a,b) n (a,b) T (u,v) = xRan ySb n aRunbSv
+ (xRa n aRu) n (ySb n bSv)
=xRu n ySv
e (x, y) T (u, v), T es transitiva.
Si3xia lxÉu^af,x A ly3b lV fibnb $y
+ I (x,y) 3 (a,b) / (x,y) f(a,U) A (a,b) f (x, y)
"La preparación profesional es el más seguro de los
bienes de la vida, saber algo con perfección, es
poseer en sí mismo, la hacienda del porvenir. La
vida ha deiado de ser la ciencia de los sabios, para
ser el arte de los preparados",
Man Césped
128
ALGEBRA
MODERNA
EJERCICIOS
l.
sean los conjuntos A = {1, 3, 5}, B
:
{xeAr/
1<
x 361,y
sea R una relación de
A
en B definida por
xRy e x7y-2
,
2.
a)
b)
Representar AxB y R.
c)
Determinar R-r.
Definir R por extensión.
Sean los conjuntos A
= {1, 2,3, 4, 5), B : {2, 3, 6),y
sea R una relación de
B definida por
xRy <) x+y
espar.
a) Determina¡ R y Kt por extensión.
b) Representar AxB y R.
o) Determinar dominio e imagen de R.
3.
Dados los
conjuntos A= {xeZl (*'-2)2 =x')
B={xeA//lcx<5}
B: lxeZl
y las relaciones R c AxB y S c BxC
xRy <+ x
4.
*y
es
-3< x < 3)
se definen mediante
múltiplo de
5,
yRz <+
a)
b)
Definir R y
c)
Determinar el dominio y la imagen de las tres relaciones.
d)
Determinar (S"R)'r
S
por extensión.
Definir la composición S " R
En A
:
y
c
AxC por extensión.
R-roS-r.
{2; 3, 6,7, 9} se define una relación R mediante
xRy
<+
xly
3ly+z
A en
I
I
t29
RELACIONES
a)
b)
c)
Determinar R por extensión.
Obtener el gráfico cartesiano de A'2 y R.
Mostrar R en un diagrama de Venn.
5. En R se definen las siguientes relaciones:
a) xRy e *':f
b) xRy e (x-l;z:1y+1)2
c) xRy <+ lxl :ly-21
Obtener los gráficos cartesianos de estas relaciones.
6.
Determine todas las relaciones posibles en cada uno de los siguientes conjuntos:
a)A:0,
b)
B:
{1},
c)
C:
{1,2\
En cada uno de los siguientes ejercicios, determine las propiedades que cumple la
relación R definida en A
7.
:
{a, b, c, d, e}.
Si R :{(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e)}
R
reflexiva,
simétrica,
transitiva, antisimétrica.
8. Sí
R:
{(a,b), (b,d), (c,e), (e,c)}
R arreflexiva,no simétrica,
atransitiva, no antisimet.
9. Si
R:
{(a,d), (b,e), (c,c), (e,b). (d,a)}
R
no reflexiva,
simétrica,
no transit., no antisimet.
10.
Sí
R:
{(a,b). (a,d). (c,b), (e,d)}
R
arreflexiva, asimétrica,
transitiva, antisimétrica.
ll. En el conjunto A: {1,2,3,4,5} se define la siguiente relación
xRy <+ 3lx+y
a)
Definir R por extensión.
b) Formar el diagrama de R.
c) Clasificar R.
R: no refiexiva,
simétrica,
no transitiva. no antisinlet.
r30
ALGEBRA MODERNA
12. En el conjunto
A:
{
1,2,3,4, 5} se define una relación por
xRy <+ 3lx-y
a) Definir R por extensión.
b) Formar el diagrama de R.
c)
Probar que la relación es de equivalencia.
d)
e)
Determinar las clases de equivalencia
R:
{1,
4\,{2,51,13\
Obtener un conjunto de índices y el conjunto cociente.
13. En el conjunto
A = {0, 1.2,3,4}
se considera la siguiente relación
x R y <+ lx
-21:lV -21
a)
b)
Definir R por extensión, y formar su diagrama.
c)
Obtener las clases de equivalencia.
d)
Determine la correspondiente partición de A.
Demuestre que la relación es de equivalencia.
14. Sea
R: {{0,4},{1,3}, {2}}
A = {a, b, c, d, e}, y sea { {a}, {b, c}, {d, e} } una partición de A. Determinar la
relación de equivalencia correspondiente en A.
15.
El conjunto
UI,2,3), {4}, {5}} es una partición de A : {1,2,3,4,5\.
Determinar
la relación de equiva.lencia correspondiente en A.
16. En
Zse
considera la siguiente relación
xRy e 3lx-y
a)
b)
Determinar las clases de equivalencia R ; {3k/keZ} , {3k+l/keZl, l3k+2/kez}
c)
Determinar un conjunto de índices y el conjunto cociente.
17. En
Probar que es de equivalencia.
Zse
define la siguiente relación, mediante
xRY <+ x'-*:Y2-Y
l3l
RELACIONES
a)
Demuestre que es de equivalencia.
b) Obtener las clases de equivalencia
R:Ko= la,l-al
c) Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente.
R:l=laeZ la2ll
18. En
Zse define la relación R mediante
xRy <+ (x+1)2:(y+1)2
a)
Demuestre que es de equivalencia.
b) Determine las clases de equivalencia
R:
c) Obtener un conjunto de índices y el conjunto cociente.
gll={qeZa2-l\
19. En
fr
lq = la,.a-2\
se considera la siguiente relación
xRy <+ *2:y2
a)
Proba¡ que es de equivalencia., y representar R.
IQ:
b) Obtener las clases de equivalencia.
R
c) Obtener un conjunto de índices y la partición de fr.
R: I=[0,
20. En
ft
se considera la siguiente
{a, -al
o
I
relación
xRy
a)
:
€ *2+x:f
+y
Demuestre que es de equivalencia, y representarla.
IC:
b) Determine las clases de equivalencia
R
c) Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente.
R:l=[--,@[
:
{a,-l-a\
I
2
21. En
fr se define
la relación R mediante
xRy €) x2..,'3y=y2+3x
a)
Probar que es de equivalencia., y representarla.
b) Obtener las clases de equivalencia.
R:K"= la,3-al
c) Obtener un conjunto de índices y el conjunto cociente.
R:
J
I=[-,@[
2
t32
ALGEBRA MODERNA
22.En fr se define una relación R mediante
xRy e l2x-11=l2y-ll
a) Demuestre que es de equivalencia, y representar
-b) Determine las clases de equivalencia
c) Determine
23.En
A:
R.
un conjunto de índices y la partición de
R : Ko: {a,1-a\
I
R:l:[-,@[
rR.
2
[-1, 1] se considera la siguiente relación
xRy <+ lxl :lyl
a) Probar que es de equivalencia, y representarla.
b) Obtener las clases de equivalencia
c) Obtener un conjunto de índices y la partición de A.
24.En A
:
R:Ku= {a,-al
R:l=[0, l[
[-1, 5] se define la relación R por
xRy e (x -2)2=(y-2)'
a) Demuestre que es de equivalencia, y representarla.
b) Determine las clases de equivalencia
c) Determine un conjunto de índices y la partición de A.
25. En
ft
2
y:
b
a) Probar que es de equivalencia.
b) Determinar las clases de equivalencia
c) Obtener un conjunto de índices y el conjunto
R : K1o. ¡¡ : {(x,y) /
cociente.
y:b}
R:l: {(O,b)/b e-R}
se considera !a siguiente relación
(x,y)R(a.b)
a)
R:l:[2,5[
se define la relación binaria R mediante
(x,y) R (a,b) <+
26.En .\"2
l-a}
R : Ko = {a,
e.1+y:a+b
Ivfuestre que es una relación de equivalencia.
b) Obtener las clases de equivalencia
R : K1,
c) Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente.
e¡: {(x,y)el:r/
x+y=a}
R:l={(a.O)/ae$
RELACIONES
r33
27. Et't 22 se def-rne la siguiente relación
(x,y)R(c,b)
<+x*b:y*a
a) Denruestre que es una relación de equivalencia.
b) Detemrine las clases de equivalencia
R : K,,, ot= l1x,y)eZti,v-x-r,)
c) Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente. R:l:{(u,0),taeZ
28. En
Z2
se considera la siguiente relación,
definida por
(x,y)R(a.b) exb:ya
a) Muestre que es una relación de equivalencia.
b) Obtener las clases de equivalencia
c) Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente.
29. Sean
A:{1, 2,3,4\ y B:{2,3}.
R:
K1,, trt=
u|'
R: I = {(0.0)i
En P(A) se define la siguiente relación mediante
XRY <+ XllB:YnB
a)
b)
c)
Muestre que es una relación de equivalencia.
Describa sus clases de equivalencia.
Determine un conjunto de índices y el conjunto cociente.
30. Sean
R y S relaciones definidas en un conjunto A. Sí R y' S son reflexivas.
demuestre que R
31. Sean
I
S
y R U S son reflexivas.
R y S relaciones definidas en un conjunto A. Sí R I' S son transitivas,
demuestre que R l-l S es transitiva.
32. Sea R una relación detlnida en un conjunto A. Demuestre que la relación R U R-r es
sintétrica.
33. Il¡r
A:
{2.3.4.5.6. 7.8 j
se considera la relación de
xRy <+ x>1,
"ma¡'or" delinida por
t34
a)
ALGEBRA MODERNA
Probar que la relación es de orden estricto y total.
b) Encuentre su diagrama de Hasse.
34. Sea A
:
{
1,2,3,6,9,18,241y
sea R una relación definida sobre
A, mediante
xRy <+ xly
a)
Probar que es de orden amplio y parcial.
b) Trace el correspondiente diagrama de Hasse.
c) Determine los elementos minimales y maximales.
35.
El diagrama dirigido de una relación R sobre el conjunto A
R:
:
l;
18,24
{1, 2, 3,4} es como
sigue:
a)
Verifique que R
es una relación de orden
amplio y parcial.
b) Encuentre su diagrama de Hasse.
c) Determine los elementos minimales y maximales.
36. Definir por extensión la relación de divisor en el conjunto A
R: l;2,4
:
{2,3,4,6,9,12,18,36},
y determinar, si existe: último elemento, minimales, maximales, una cota superior y
una inferior.
37. Sea A: { 1,2,3}, y sea R una relación de inclusión sobre A.
a)
b)
Probar que es una relación de orden amplio y parcial.
c)
Determine maximales y minimales.
Encuentre su diagrama de Hasse.
RELACIONES
135
EJERCICIOS VARIOS
38. Para cada una de las siguientes proposiciones acerca de las relaciones sobre un
conjunto A,
n(A)': n, determine si la proposición
es
V o F. Si es falsa, de un
contraejemplo.
a)
b)
Si R es una relación reflexiva en A, entonces 11(R) > n.
Si R es una relación en A y n(R)
)
n, entonces R es reflexiva.
c) Si Ry S sonrelaciones enAy Rc S, entonces S es reflexiva + Res reflexiva.
d) SiRy S sonrelacionesenAy R c S, entonces Res reflexiva= S esreflexiva.
39. Demuestre que, si R y S son relaciones de equivalencia en A, entonces R
n S es una
relación de equivalencia en A.
40. Sea el conjunto
A:
{2,3, 6, l_2, I 5 } . En A
xRy e 2lx-y
se definen las siguientes relaciones
xSy e 3lx-y
a)
Probar que las relaciones R, S y R
b)
Obtener la partición correspondiente a R, S y R
41. Sean R
0
S son de equivalencia.
0
S.
y S relaciones en un conjunto A . Si R y S son asimétricas,
áemuestre o
refute que R ['l S y R U S son asimétricas.
42.SeanRySrelacionesenunconjuntoA.SiRySsonantisimétricas,pruebeorefute
que R
ll S v R U S son antisimétricas.
43. ¿Qué tiene de incorrecto el siguiente argumento?
Sea
A un conjunto y R una relación sobre A. Sí R es simétrica y transitiva, entonces
R es reflexiva.
136
ALGEBRA MODERNA
44.Parcn
(A):5,
¿Cuántas relaciones R sobre A existen? ¿Cuiintas de estas relaciones
son simétricas?.
45. En Af2 se considera la siguiente relación, definida mediante
(x,y)R(a,b)
exb:ya
a) Probar que es de equivalencia.
b) Obtener las clases de equivalencia
c) Obtener un conjunto de índices y la partición de M.
R:K1",u¡:{(x,y)eAl2/ay=bx}
R:
I={(a,b)e.v'l tvtctla,u¡=t
¡
46. En Atr2 se define la siguiente relación, mediante
(x,y)R(a,b)
eax:by
a) Demuestre que es de equivalencia.
b) Determine las clases de equivalencia
r)
R:K1o,uy:{(x,y)eA/2/by:ax}
Obtener un conjunto de índices y la partición de M, n,t=11o,b)eN2/b<anMcD(a,b)=l )
47. Sea
A un conjunto no vacío y B un subconjunto fijo de A. En P(A)
se define la
siguiente relación, mediante
XRY .s
a)
b)
XIB:Yng
Probar que es de equivalencia.
Determine las clases de equivalencia, un conjunto de índices
cociente.
48. En A'se define la siguiente relación, mediante
x
a)
b)
Ry e
Verifique que la relación
*
v
-2" paraalgún
es de equivalencia.
Determine las clases de equivalencia
neZ
y el conjunto
t37
RELACIONES
49. Sean
R y S dos relaciones de equivalencia definidas en los conjuntos
respectivamente. En AxB se define una relación T mediante
(x,y)T(a,b)
exRa n ySb
Demuestre que la relación T es de equivalencia.
50. En Z se define la relación R mediante
xRy € x-y
esunenteroparnonegativo
Demuestre que es de orden amplio y parcial,
Federico Guillerrno Bessel
(1784- r846)
AvB,
CAPITULO
IV
FUNCIONES
I.
INTRODUCCIÓN
En este capítulo nos concentraremos en un tipo especial de relación llamado función, o
relación funcional. Las funciones intervienen en el álgebra, la trigonometría, el cálculo y
en las ciencias de la computación. Sin embargo, aquí se estudiarán las funciones desde
el punto de vista de la teoría de conjuntos (incluyendo las funciones finitas); también se
estudiarán sus propiedades básicas
y
luego se explicarán algunos tipos especiales de
funciones.
2.
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función
f
de A en B, que se escribe.¡f : A -+ B
y se lee'f es una función o aplicación de A en B", es un subconjunto de AxB tal que
todo xeA está relacionado a
un solo elemento yeB. Es decir,
en una función no
se
tienen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente. Así, pues, toda
función/es una relación especial de A en B.
Dado un par (x, y)
e/se escribe V:-f (x) y se dice que y es la imagen de x por.¡f, o que
y es el valor de;f en x, o bien que/transforma x en y.
2.1
DEFINICIÓN
.;f es una
función o aplicación de A en B sí y sólo si;f es una
relación entre A y B, que satisface las siguientes condiciones:
i)
ii)
ef
(x,y) E f n(*,2) ef + y:z
V x e A,
I
y e B / (x, y)
FUNCIONES
2.2
139
DEFINICION
codominio
def.El
Para la función
f
: A -+
B, A es ei dominio def y B es el
subconjunto de B formado por los elementos imágenes de todos los
miembros de A, se llama "imagen de-f' , y se denota por I
Ejemplo:
Sean
f:
A=
{1,2,3,4\ y
B
:
{u, b, c,
d}
(/).
y sea
{(1, a), (2, b), (3, b), (4, c)}
Entonces.,¡f es una función, ya que ningún elemento de
A
aparece como
primer elemento de dos pares ordenados diferentes. Así, se tiene
f (I): o
f (2):b
El diagrama correspondiente
f (3):b
-f
(4):
c
es
oa
o!
oc
od
El dominio de/es D U) : A, el codominio de/es Cod (fl = B y la
imagen de/es r a: {a, b, c}. obsérvese que el elemento b e B aparece
como segundo elemento de dos diferentes pares ordenados
del
Esto no
causa conflicto con la definición de una función. por tanto. dos elementos
diferentes de A pueden tener la misma imagen en B.
Ejemplo:
SeanA: {a, b, c, d} y B : {1,2,3} y seanlasrelaciones
R: {(a, 2), (b,3), (c, l)} V S : {(a, l), (a, 3), (b, 2), (c,2), (d, 3)}
Entonces el diagrama correspondiente para cada relación es
ol
ol
o)
c)
o3
ol
ALGEBRA MODERNA
140
Ninguna de estas relaciones es una función de
A en B, por diferentes
causas. La relación R no es una función de A en B, ya que
elDf
+ A. Sin
embargo, R es una función del conjunto {a, b, c} en B.
La relación S no es r"rna función. ya que contiene dos pares ordenados
(a,1)
y (a,3), donde sus plimeros elcmentos son iguales para imágenes
diferentes,
lo
que hace que no se cumpla con la definición de una
función.
Ejemplo:
Sea/:Z-+Zdefrnidapor
f (x):
x2-2
Esto es, ;f consta de todos los pares ordenados de la forma (*,
x e Z.
Entonces cada
par, por lo tanto D f
y
:
xeZ
*t
_2) para
aparece como el primer elemento de algún
Z.Asimismo, si (x, y)
:,/(x) : *'-2
,
entonces y: z
Por tanto. ;f es una función; la
subconjunto de 22.
Z
e
/ y
z:,f
(x, z)
e;[ se tiene
(x) -- x'-2
representación cartesiana
No es posible representar completamente
a
es un
-f, por ser Z un conjunto
infinitol sin enrbargo. la representación de algunos puntos nos sugiere
corlrportanliento de dicha función.
el
r4l
FI.]NCIONES
F.jem¡rlo:
Sea
g: /?-+ /?dclinida
por
g (x): xr-2
Su represcntación es un sr"rbconjuuto continuo cle ./i
2.
consiste en una
¡larábola del plano.
Obsérvese que las funciones/(del ejernplo anterior)
) g son clilcrentes.
alrnque están igualmente definidas. Es decir. aunque se nlantenga la ley
de correspondencia o asignación. al variar el donlinio o codonlinio. la
li¡nción cambia.
CO]W POSICIÓN
3.
Searr
/:
A -+
B v g:
el dcrnrinio de g (o bien
A en C llamada
DE FUNCIONES
B -+ C dos lunciones tales que cl codonrinitr cic ,f coincidc. con
I(ll
:
D(S)):
pr,rcde-
entonces de'llnil'se una
función cornpuesta de ;f
t)Lle \'¿r
firncitill
Sf
de
)' g . conro se llluestra cn cl siguicnte
diagrarla.
A
'8f(x)) - (s:/)(x)
AI,CEBRA MODERNA
42
].1 DEFINICIÓN Lacomposición de las lunciones/:A +
:trnción g.-f :A-+B definidapor
(g'"f)
)adas las f'turciones;f
B
yg:
A
+
B es la
(x) = g (f(x) ) Para todo x e A
:A+
B, g: B + C. h: C -+D.secumplelpasociatividaddela
:omposición.
h . (g ".f): (h " g)
"f
Jonde la igualdad signitica que ambos miembros representan la misma función de A en
D.
Por otra parte. la composición de funciones no es conmutativa, es decir
g"f +f"g
Ejemplo:
A: {1.3.5}, B= {-4, -5,-6,-7\, C: {2,4,6}.ysean
/:A+B y g:B+C definidaspor
"f: {(1, -5), (3, -5), (5, -7)} , g= {(-4,2), (-5,4), (-6,6), ('7,6)}
Sean
Entonces resulta
g
o
f
= {(1, 4), (3,4), (5, 6)}
El diagrama coffespondiente
Obsérvese que la función
es
g ..¡f existe. ya qlre I
función.,¡f" g no existe porque I (g
Ejemplo:
) C n.
Sean las funciones
f : ill -+ ill
g: ll--> R
:
- 2x
tal queg(x):2x- I
tal q,r.re/(x)
x2
A c B. Sin
eurbargo. la
FUNCIONES
I43
f y -f " g se definen por
G ./) (x):g(/(x)):g (xr - 2x):2 (x2- 2x) - I :2x2 -4x - I
:"f (g (x)):/(2x - l): 12x - I \2 -2 \2x- l) :4xr - 8x + 3
U/bg ) (x)
E¡rtonces. las fiurciones courpuestas g
4.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
4.1
FUNCION INYECTIVA Sea
/:A
"
-+ B una función.
Se dice que;f es inyectiva,
o Luro ¿l uno si cacla clemerlto )' € B es intageu de un solo elemento x € A. Es decir.
f:A+
Besinyectiva
eVxr Vxze A:/(x¡):f (x) -
X¡
:
X2
Una nranera alternativa de expresar esta condición es
f
Ejemplo:
: A -+ B es inyectiva <+ Vx1 Vx2 e
A:xr *x2+f
A: [-1,0, l, 2\, B: {-1.0,3,5,8},
y
g : A -+ B. tales que
/: A+B
,f (x) : x2+2x
I (x) = xl-2x
Sean
(xr) *,f (x:)
y sean
,
f:
Entonces
rrcl, -1), (0,0), (1.3), (2,8))
s= {(-1.3).(0.0). (1.-l). (2,0)}
Fin diagrama se tiene
A
A
B
.0
5
.8
La función/es inyectiva, pues cada elemento de B es imagen de un solo
elemento de
A. Si bien el elernento 5 e B no es imagen de rringún
elenlento de A. esto. rro quita el carácter de inyectividad
Es claro que la lirnción
g
ctel
no es irrycctiva. \'a quc cxiste un clcrncrrto de
B quc es inragen clc dos clc:lnentos de A. [:sto
9(o):8(2):o
c-s
141
ALGEBRA MODERNA
Eiemplo:
Sea f
: .tl
-+
-/ (x) =
[t
x-l
una función tal que
2..1
la función/es inyectiva porque,
si
"f(xr):f (x)
x, -l
2x, +l
x,
-l
2x, +l
- l) (2x2 + l) = (xz - l) (2x¡ + l)
I x¡ x2 +xt -2x:- I :2 xt Xz*xz-2x¡ - I
3 x¡ :3 x2
(\r
Xl:Xl
elttonces
4.2
/'-¿
.\'CIO,\ SOBREYECTIVA Sea /: A -+ B una fi¡nción.
Se dice que.,¡f es una
tirncitin,sol'rrcvr'ctiva. si 1' solo si todo c'lemento del codominio B es imagen de por lo
n'lcnos un clenrento de
A. Esto significa que;f es sobreyectiva cuando el conjunto
inrigcncs cs []. ,\sí. se define
o l'ricrr
eVyeB.f xe A/"f(x):l
./': .,\ -+ B es sobre¡'ectiva e I (fl: g
lij cnr¡r lo:
Sean
.f:A-+
f
>,
Bessobre.vectiva
A:
[-1.0. 1.2)
g fr.¡nciones
f : i!t.
s:
B: (1.2.3.4].
de A en B. tales que
1
). (0. 2). (1. 3). (2. 4))
l(-1. -i). (0. l). ( l.-l). (1. -+))
l:rr cliagrama se ticnc
A
.
y sean
de
FUNCIONE'
'O-'
[)onc1c.
I
A
=. í l. 2. 3.
41 1
l-a lilltci(rn;f'cs sobt'crcctiva.
inrzrge-n cle
¡-rucs
I (g
I []. j. 4l
I (f¡ =, ll o toclo clclrerto de Il
es
ptlr lo nrcnos un clcnrcrllo dc A. Vficntras. la firnción g no es
sobrelectiva porquc I (g ) + B. cs decir. cxiste un elenrento de U qllc llo
es imagen de ningiur elc'nrento de
A. o bien sobra un elencnto dc B.
Ejenrplo: Sea f : l? -+ .tl una lunción tal que
.f(x):1x-l)'r+l
la ftnción es sobreyectiva.
pr.res
o *=itr-l+l
)':(x-l)t+l
entonces V)'e.1?. Ix=f-+l
tal qr-re
f
(x)
:f (/F
+
l) :
(VF+l
-l )'r + I
:
),
4.3 FaNCI0N BIYECTIVA Sea / : A -+ B una función. Se dice que / es Lrna
función biyectiva, si / es invectiva y sobreyectiva (o una correspoudencia biunír'oca
entre A y' B). Esto significa qlle para todo ¡r e B hay exactamente un solo
,f lx)
:
1'. [:s decir.
f
:
x e A tal que
-
A -+ B es bil'ectiva <> ;f es inyectir,a y sobrevectir,a.
La negación de biyectividad es
f : A --> B no es bi¡'ectiva e
I:f
;fno
es inl,ectiya o
;fno
es
sobrc'eclira.
errrplo: Sea -f : l-L .c [ -_> [-2. -[ una f Lrnción tal qr,re
,ftx):xl+2x- I
pu.¿ I que
f sca bivectii'a es sulicientc probar qLrc cs inr cctii ¿r )
sobreyectiva.
i)
Sean Xl
),x2 e [-1. cc I
"f
-x/*2x¡-l
talcs quc
(xr): /'(r:)
-r,t-lr.-l
146
ALGEBRA MODERNA
-*r) :
(xr -xz) (x¡ + x2) + 2 (x¡
(xr
-
x:) (xr * xz + 2):
-x2):0 +
o bien Xr * xz + 2:0
(x¡
0
g
Xt
:X2
: x2: -l que está en
Esta úrltima ecuación se cumple solamente para x¡
D/
en consecuencia, ;f es inyectiva.
ii) f es sobreyectiva,
pues
y:x2+2x-l
<> x=-ltJl+2
entonces Vy e l-2,*[, ] x=-1+,t¡:2
.f(x)
Por tanto,
: f(-l+ tF.z) : (-l + Ti¡'z
/es
Para determinar si
Sean x¡
(-t+.{y +z) - I :
y
biyectiva.
Ejemplo: Sea f : R -+ R
f(*):2e-*-l
i)
+2
talque
una función tal que
/es biyectiva se tiene
] x2 € ,R
"f (*r)
tales que
: .f (xz)
- l:2
2 e-*t :2
2 e-*t
g- Xrt:e
e-*z
-
I
e-*2
¿
- X.
=
Xl=X2
en consecuencia es inyectiva,
ii) /no
es sobreyectiva, ya que
y:2e-*-l
<> x=-lnlY+l)
"^[2)
se observa que no todo elemento del codominio
algún elemento del dominio. Es decir,
Por tanto, ;f no es biyectiva.
I(f):
]-1,
(y e R) es imagen de
- [ * Cod A:
R.
FUNCIONES
Ejemplo:
141
Si
/:A+B y g:B-+C sonbiyectivas,demuestreque
g" f : A-+Cesbiyectiva.
SOLUCIÓN: De acuerdo con la definición de biyectividad debemos probar que g ..if es
inyectiva y sobreyectiva.
i)
Sean x¡
/ x2 € A
(s
tales que
"f) (xr): (s.f)
(xz)
según la definición de composición
I
(,r(xr)
): s U $))
Por ser g inyectiva se tiene
"f(xr):f(xz)
Por ser/inyectiva resulta
Xl:X2
En consecuencia, g o.if es inyectiva.
ii)
Según la definiciótr,
g o;f es sobreyectiva si para todo zec
xeA tal que G ""/) (x) : z.Enefecto,
como
existe
g : B -+ C es sobreyectiva,
Yze C, lylSS):z
Dado que y € B, por ser;f : A -+ B sobreyectiva
lxeAl"f(x):y
de donde (g . -Í) (x) : G (,f (x)) : g (y) : z
Entonces, Yze C,f x eAl(g.fl(x):z
En consecuencia, g o .¡f es biyectiva.
Ejemplo:
Si
f :A-+ B y g:B-+C
sonfuncionestalesque
inyectiva, demuestre que ;f es inyectiva.
SOLUCIÓN: Sean x¡
/ x2 € A
tales que
f (x,): f
(xz)
la imagen de este elemento de B por g es
g("f(xr)):g(,rr*r))
g" f: A-+Ces
ALGEBRA MODERNA
148
Por definición de composición se tiene
(9."f) (xr) = G ""f)
(xz)
Por ser g ".¡/"inyectiva resulta
Xl:X2
En consecuencia, f es inyectiva.
Ejemplo:
Si./:A-+B y g:B-+C
sonfuncionestalesque
g" f :A+Ces
sobreyectiva. demuestre que g es sobreyectiva.
SOLUCIÓN: Por ser
g. f sobreyectiva se tiene
Yze C,3x eAl(9.fl(x):z
Por definición de composición (g"f) (x)
Entonces Y
z,)
y € B lS$):g(f
:
g ("f (x)) = z, dondef (x)= yeB
(x\):z
Por tanto. g es sobreyectiva.
FUNCIONES INVERSAS
Tocla función
-'
f : A -+ B es una relación. Entonces la relación inversa / .s un
subconjunto bien definido de BxA. Sin embargo.f
de B en A. Por ejemplo. sean A
función tal que -/(x)
Entonces
Se ve
:
x2
:
{-1, 0,
-t
no es necesariamente una función
1,2\.B = {-1, 0, 3}, y sea f: A -+ B una
- 2x, es decir,
f :
f -l :
{(-1,3), (0,0), (1, -l), (2,0)}
{(3,
-l).(0, o). (-1. l), (0.2)}
I
que,F no es Llna función de B en A, ya que (0,0) l,(0,2) pertenecen a¡-'. Es
Jecir. que un elemento del dominio de
/-l
tiene dos imágenes diferentes de A.
FUNCIONES
149
5.1
DEFINICIÓN Sea
B en A
(/ -l : B -+ A) si y solo si ;f es biyectiva.
Ejemplo: Sea f
:
R
f
:
A -> B una función. Entonces
+R
.f-' ,runa
función de
una función biyectiva definida por
"f(x):2x-3
Entonces, de
de
y: 2x-3 se obtiene * = tl'
2
donde
-f
-'
(*)
-
=
f-t
(y)
x+3
2
luego se tiene que:
(f
:*
.f -') (*) =,f(,f-' (*)):¡[x+3):
"12) ,(+)
\ 2 ) -,
(f
-' "-f\(x):"f-'
Ejemplo: Sea f
:
R ->
(,f
R*
(*)
:¡-t
12x-
3): (-;t):,.
una función biyectiva definida por
"f(x)=2e-2*
Entonces de
y:
2e-2* seobtiene
Enconsecuencia
5.2
f-',
R.
*=-Iúl)=
2 \2)
\J'
'f-'(y)
+.R es ,F-'(*)=-1,"[;J
- \- /
FUNCIÓN IDENTIDAD La función que asigna a cada elemento de A el
mismo elemento, se llama función identidad en A. Es decir.
Ia:A -+ A
5..'
PROPIEDADES
l:)
Sea
f:A->
talque
I¡(x)=x
Bunafuncióncualquiera..vscan
11:A-+A y'l¡¡:B+B
funciones identidad en A y en B. rcspcctivamente. Entonces se tic'ne
las
AI,GEBRA MODERNA
150
y
ls"f:.f
(Ie
Es decir,
.
("/.
2:)
Sea
.¡f :
A
+
fol¡,=.f
(x):
Ie " ("f(x)): (x)
"f
In) (x) :"f (In (x) ) = (x)
"f
"f )
B una función invertible, tal que
f',gJ
A, entonces
-l
-l
f "f :Ix y f"Í :IB
SiB:A,resulta f'" f: f of-' :lo
3:)
Sea¡f : A-+B y
g:
B
+C
funcionesinvertibles. Entonces
(f" g)-t:g-'o f
IMAGEN DIRECTA, IMAGEN INWRSA
Sea f : A+ B y Ar c A, se llamaimagen de Ar por /el
conjunto de las imágenes
de todos los elementos de Ar. Es decir,
e B/l x e A¡ n
"f(x):y}
"f1er): {y
e"F(Ar) <+'
Para toda función .¡f se tiene (O) : 0.
y
o bien
3 x e A1
I y:f
(x)
"f
A
Sea f : A+
tales que
o bien
"f
B y Br
c B. Se llama
imageninversáde B¡
(x) e B. Es decir,
-l
Í (Br):{xeAlf(x)EBr}
-l
x ef 13r) <+ /(x) e B¡
por/el conjunto de los xeA
l5l
FT]NCIONES
Ejemplo:
A: {-3, -2, -1,0, 1,2,3\, B:{0, 1,2,3,4,5},
Sean
/:
A -+
B
ysea
x+lxl
tal que
"f(x)=;
Entonces la imagen de:
Ar
:
{-3,
-2,-I} c A
A2: {0} c A
A¡: {1,2,3\ c A
es .f (nr): {0} c B
es f (¡z): {0} c B
es f6t): {1,2,3}c B
La imagen inversa de:
:
cB
es
Í-l
Bz: {3,4, 5} c B
es
f -l tazl: {3} c A
es
"f
Br
B¡:
Ejemplo:
{
1,2,3\
{4, 5}
c
B
(Br): {1,2,3)
-t
c
A
(83):{}:0
Sea f:R+R
definidapor .f(x)=x2-3
Entonces las imágenes inversas de los siguientes subconjuntos del
ccdominio son:
ü ft (l-*,-3[)={xe R tf(x)e]-o,-3[]
ALGEBRA MODERNA
152
pero ,f(x)e]--,-3[ <+ x2-3.-3
<> x2<0. queesF.
entonces f' (l-o.-3 [)=O
b) J-' ( t-3. 3 I ): {x e .1i I "f(x)e [-3, 3 ] ]
estoes. ,f(x)et-3.-3 1 <+ -j<x2-3<3
<+ 0<x2<6
<+ x2<6
<+ lxl < .,6<+ -,,6<*< G
<+ x€[-G,G]
resulta. f'
")
ft
U- 3, 3 I ): [- G ,'.6 ]
(l 3,- [)= {x e trl l,f(x)
e ] 3,o [ ]
setiene, .f(x)e]3,o[ <+ *2-3>3
<+
c)
l*l
e
*tG rr*.-G
x2r
t
6
16
<+ x€l-*,-vttU lG,-[
luego. ftC3,-[)=]--,-JoI U ]G,-[
Ejemplo:
f:A-+B ylossubconjuntos B¡ cB,BzcB.
Demuestre que
.f-'(B, U B:):-f-'(8,) U ,f-'(gr)
Enefecto *.¡-'1B' UBz) e ,f(x)e(BrUBz)
<+ "f (x) e B¡ v /(x) e B2
<+ x. .rt ' (Br) v x e¡-r 1B2¡
e * . (.f-' (Br) U ,f -' (er))
Sean
En consecuencia,
,F-'(g'
[J
Bz):-f-'(B,) U ,r-'(gr)
FUNCIONES
r53
EJERCICIOS
l.
A: {-1. 1.2.3} V
B: {-1.2.5,71 , y sean las relaciones
R : {(-1, -1 ), (1, -l), (2, 2). (3, 7 )l S : {(-1, 7), (1, -l), (2, -l), (2, 2). (3, 5)}
Sean
a)
b)
Determine si cada una de estas relaciones es una función o no.
Si es una función determine su imagen.
2. SeaA:í-2.-1.1.3) yB:{-2.1.3,ó) .ysea
,f(x):xt-3
Representar y clasificar ;[
3.
4.
/: \'-+ .\- una función tal que f (x):
Representar y clasificar f
Sea
Sea
/:
Sea
/:
-R
R: biyectiva
Z unafuncióntalque f(x):2x+
y clasificar /.
-? J? una función tal
Representar y clasificar
que
"f
(x)
:
talque
- 2x
Z-->
Representar
5.
xt
/:A+B
1
R: inyectiva
2x +
1
;f.
R: biyectiva
Para cada una de.las siguientes funcionesf
: Z -+ Z.
determine cuáles de ellas son
inyectivas y cuales son sobreyectivas. Si la función no es sobrevectiva. detern'rine la
imagen I (;l;.
6.
7.
8.
a),f(x)=2x-l
a)f (x):*2-3
a)-f (x): *3 - I
9. Sean A: {1,2,3.41 .
b)"/(x):2-x
b) f (x):x2 +2x
b),f (x) : 1x+1)r -
B:
f: A-->B y g: B-+C
{a.b.
c} y
dadaspor
I
C:
lw. x.},, z.) . y sea
154
ALGEBRA MODERNA
f :
Halla¡:
10.
Sean f,
{(1, a), (2, a), (3, b), (4,
y g:
R-+ fr
Hallar:
y
g
:
R+,R
definidaspor
4x-l ,
g(*l=T
(f "g )(x) , (g".f)(x) , f
A:{1,2,3,41
-f
:
{(a, x), (b, y), (c, z)}
g. f ,IA, IG) y I(g".1)
-f(x):2x2-
ll.Sea
c)}
,y f:A-+A
rz¡
, ge) , (f
dadapor
{(1,2), (2,2), (3,1), (4, 3)}
Determina¡ f"f
12.Sea f:R+R
,
-f
"f "Í
"g)o , (g"f)tzt
f of ol:of
,
f(t)=2+
(f "f"J)(x), (f .f"f"J)8)
definidapor
Hallar (f"Í)(x) ,
13.Sea f:R-+ff talque
tal que g(x) = -it.(?)
,f(x)=2e-%,
ysea
a) Determinar si "f y g son biyectivas.
b) Si "f y g son invertibles, hallar sus inversas.
14. Sea
/:
Atr-+ A/ tal que
g : A -+ Atr definida por
Hallar
15. Sea
/(x) :
g:
2x. Si
A
:
{l ,2,3,4\ y
{(1, 2), (2,3), (3, 5), (4, 7)}
.f " g.
f, g, h : Z-+
Z
definidas por
sixesimpar
g(x)=2x, á(*):i9
sl xespar
u
Halla¡: a)f"g,gof, f"h, g" h, f.(g" h),(f.g).h
b)Í"f .f "-f, g"g"gog,
h"h"h"h
f(x¡:x*1,
g:ff-+ft
FUNCIONES
definidapor./(x):{2x+l si
f:Z+N
16.sea
a)
b)
r55
' l-z* si
x>0
x<0
Demuestre que ;fes biyectiva.
Determine
/-r.
17.Sean A:{0, 1,2,3,4,5},
definida
por
B:
{5,
6,7,8,9\ , y sea /: A +
B
6), (1, 6), (2,7), (3,5), (4,8), (5, 8)}.
"lt= {(0,
Hallar la imagen inversa para cada uno de los subconjuntos del codominio:
B¡:{5,7},
18.
Sea
82={7,9), 83:{6,8}, Ba={7,8}, 85:{7,8,9}
A: {1,2,3,4,5}, ysea f : A-+ Adefinidapor
f : {(1,4), (2,1), (3, 4), (4,2), (5, 3)}
Hallar: "ft(2),ft(4),.f-t(s),f-t({4,5}),.f-'({ t,2, 3}), .ft({3,4, 5})
19. Sea
f : R+ frdefinidapor
:
,f (x)
x2
- 2. Determinar la imagen inversa para
cada uno de los siguientes subconjuntos del codominio:
Br:]- @,-2f , Bz: [-2,2), B¡:]
20.
Sean
+ R y g: R+.R
y
-f (x): 3x-2
-"f :
R
Halla¡: f-',
21.
2,
*L.
R:{-21;[-2,2);]--,-2l tJl2,al
definidas por
g (x): x3 + I
g-t, fog, g-to.f-t, (f "g)-'
Sean f : R+ l-1, I I definidapor ,f (x):
-,o
a)
Probar que es biyectiva.
b) Hallar ,f-'(*)
22.
Sea f : A + B, y sean Ar, Az c A, demuestre que
a) A¡ c Az ? f (A) c.f (Az)
156
ALGEBRA MODERNA
b)
c)
23.
"f(Ar
"f
¡J
Az) =
"f(Ar) U ¡1nz)
(Ar fl Az) c (Ar)
"f
Sea
a) B1
.,¡f
:
A -+
B,
¡ ¡(Az)
y sean Bl, Bz
c
B, demuestre que
c Bz + .f-' (g') c ,f-r (Bz)
: ,f-' (g') U ,f-' (gr)
b)
,f-'
q
f-t (Br fl Bz): f-'(Br) lr .f-' (sr)
d)
,f-r
(Br U Bz)
1er
- Bz) = .f-'(Br) - f-t (gr)
24.Sean f,g:R-+R talesque
,f(x):+,
&r
(x):'+
Hallar (ft"g)(x)
R:x
(f"g)(x)= g:
25.Sean f,g:R-+R talesque ,f(x)=
T,
Hallar
26.
g
(x).
Sean f,g: R+ R talesque (g.Í)f*l= #,
Hallar
"f
entonces g
g(x)
l2x + 5
t2
:'Uf
R.-9x
(x).
4
2T.Demuestrequesi
28.
*.
"
.f
/:
A -+ B
y g : B -+ C son funciones inyectivas,
es inyectiva.
Demuestrequesi /: A + B y g : B -+ c
entonces g ",F es sobreyectiva.
son funciones sobreyectivas,
FUNCIONES
29.
157
Seanlasfunciones
inyectiva. entonces
30.
;f
/:
A
+B y
g : B + C.
Demuestre que, si
g
".f
es inyectiva.
/: A + B y g : B -+ C. Demuestre que, si g".f
sobreyectiva. entonces g es sobreyectiva.
Seanlasfunciones
3l.Sean /:A+B y g:B+C.
ft (x, y)
Demuestre
que
h
es
:
es biyectiva si
ysea ft:AxC+BxDtalque
("f (x), g (V))
y sólo si
f yg
Blaise Pascal (1623
son biyectivas.
- 1662)
es
c¿pir(rLo v
LEYES DE COMPOSICION Y
E S TRU C TU RAS ALG E B RAI CAS
I.
INTRODUCCION
Por aritr-nética se sabe que la suma es Llna operación binaria en el conjunto l\r'de los
números naturales. Es decir. la suma de dos elementos de -Arda como resultado un tercer
elemento de IY denominado suma. Así. en símbolos se tiene
Va.be .\r= a+be .Y
Esta idea también se cumple para la operación de multiplicación, pues el producto de
dos números naturales es otro número natural. Así, se dice que
la
suma
y
la
multiplicación son operaciones binarias en ¡\
A continuación
se precisa este concepto de operación binaria desde el punto de vista de
una función la ctral se conoce como una ley de cornposición interna.
Posteriormente se definen las leyes de composición externa
y estructuras
algebraicas.
con vistas a su utilización en la estructura de espacio vectorial.
2.
LEYES DE COMPOSrcIÓN INTERNA
Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A es una operación binaria que
asocia
a
cada par ordenado de elementos de
A un único elemento de A. Dicho
brevemente. una ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A es toda
función de AxA en A.
símbolos
Esdecir
En
r. es una
ley interna en A
ae Anbe A
e
* : AxA
=
A
= a*be A
Por ejemplo. la adición es una lcy ittterna crt el conir-rnto
A de los núrmeros
enteros
cares, pues. la suma de dos números entcros pares es otro núlnrero entero par. Pero. esta
LEYES DE COMPOSICION Y ESI'RUC-IURAS AI.CI:BRAICAS
r59
operación no es ulla ley interrra cn el coniunto [J clc los nú¡leros entcros inrpares, ya que
la suma de dos números enteros impares tlo es ult clttcro tmpar.
Esdecir. si
esto significa. si
si
Pero.
estoes. si
Ejemplo:
ae Anbe A
= a+be A
2 e A n4 e A - 2+4: (r e A
aeBnbeB+a+beB
3e Bn5eB = 3+5:8eB
La tabla adjunta. que define una cierta operación binaria o ley interna en
el conjunto
A:
{a, b, c, d}.
{<
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
debe leerse así: Para cada par ordenado (x. y) de AxA se encuentra x {. y
en la intersección de la
b*c:d
El hecho de que
*
sea una
,
fila x
y la comuna y. Por ejemplo
c*d:b,
d*b=a , d'rd:c ,
etc.
ley interna en el conjunto A, se dice que el conjunto A
es
cerrado con respecto a la operación *.
3.
PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSrcIÓN MTTN¡V,q
Consideremos
a
,k una ley de composición interna en el conjunto A, es decir.
,r.:AxA -+
3.1
A
ASOCIATIVIDAD
Una ley interna * en A es asociativa
si
(a+b)'r,c
:
a+(b*c) para cualesquiera a, b y c eA.
r60
ALCEBRA MODERNA
3.2
CONMUTATIVTDAD
Una ley de cornposición intema
paratodo
3.3
a.byce
r<
en A es conmutativa
si se verifica que a*b :
b*a
A.
EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO
LIn coniunto A está dotado de elemento neutro con respecto a una ley interna + sobre A
siexisteunelementoe
3.4
e
Aconlapropiedaddeque e *
a:a* e: a paratodo
a e A.
EXISTENCIA DE INVERSOS EN UNA LEY INTERNA CON NEUTRO
Sea un conjunto
elenrento
A que posee el elemento neutro e con respecto a una ley interna *. Un
a'e Asedicequeesinversode ae A si
a*a':a''oa:e
Teoremas
I : El elemento nelltro.
si existe. de un conjunto A con respecto a una ley interna *
sobre A es único.
II :
Sea *, una ley interna sobre un coniunto
A. Si un elemento a e A admite inverso
respecto de la ley *, entonces dicho inverso es único.
J.5
REGULARIDAD DE UN ELEMENTO RESPECTO
DE ANA LEY INTERNA
La regularidacl de un elemento a € A respecto dc cierta lef interna * en A consiste en
quc es sinrplil'icable a iz-quicrcla
l:s
dccir.
ae
A
r
a clcrccha cn los dos nrientbros de una igualdad.
cs regular rcspcct() dc + sr
a'¡b:a*c
=
b,=c v
h*a:c*a
=
b:c
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Ejernplo:
En el conjunto
Z de los números enteros
se
161
define * por medio de
a*b:2a+2b
Estudiar las propiedades y la existencia de elementos regulares.
SOLUCIÓN: El problema consiste en analizar las propiedades de * en Z
i)
.
Asociatividad: Sean a, b, c eZ, entonces por definición de * se tiene
: (2a+2b)*c
:2 (2a+2b)+2c,: 4a+ 4b + 2c (l)
a*(b*c) : a'r(2b+2c)
:2a* 2 (2b+2c):2a* 4b + 2c (2)
De (l) y (2) resulta (axb)*c + ax(b+c), la ley * no es asociativa
(a*b)*c
ii)
Conmutatividad: Sean
a. b € Z . Aplicando la ley * y
conmutatividad de la adición en
Z,
se
la
verifica
a,¡b :2a+2b:2b+2a:b*a
iii) Existencia de neutro: Si existe e e Z tal que, para todo a e Z,
entonces debe verificarse a d, e : a
Por la ley i., resulta
2a * )s : 4
Resulta entonces que no existe neutro
iv)
e
en
Z, ya que
e
: -t
e
Z
Elementos de Zque admiten inverso respecto de +.
Si a e Z
admite inverso. entonces debe existir
a' e Z. tal que
a*a':e
I-uego, los elementos de
Z no admiten inverso porque no existe
neutro.
v)
Elementos regulares: Sea a
a+b: a*c
2a+2b :2a+2c
2b :2c
e 2í
entonces
162
ALGEBRA MODERNA
b:c
*
Por ser
una ley conmutativa en
Ztambién
se
verifrca
b*.a:c*a = b:c
Luego, todos los enteros son regulares o simplificables respecto de
Ejemplo:
Estudiarlaspropiedadesde
SOLUCIÓN: Estamos interesados
en
*: Q'-+ Q
analizar
talquea*
*,.
b:a*b_2ab
las propiedades de esta ley
de
composición en @.
i)
Asociatividad: Sean a, b, y c
e Q,luego se tiene
(a*b)*c :(a+b-2ab)*c
:(a*b-2ab) +c-2 (a+b -2ab)c
:a*b +c-2ab-2ac-2bc+4abc
(1)
a*(b*,c) = a'r(b + c -2bc)
:
a
+ (b + c - 2bc)
-2a (b+ c -
2bc)
= a * b + c -2bc -2ab -2ac 1- 4abc
De (1)
ii)
y (2) resulta
(a*,b)'rc
:
a*(b'rc)
(2)
, la ley * es asociativaen
Conmutatividad: Paracualesquiera a,b
Q.
e Q,setiene
b =a*b _2ab =b+ a _2ba=b * a
Por lo que * es una ley conmutativa en Q
a*
.
iii) Existencia de neutro: Si e es neutro en A respecto de *, entonces
debeverificarse a* e: a,paÍatodo a e Q.
Por la definición de '*, se obtiene
a*e-2ae:a
e(l-2a)=g
e
Si
Por
a:
!.setiene a+e:
2
tanto,
e:0
=0,
si
u*L
!*0: !+0-Zf ',2'
1lO: I
2 2
2
es neutro en @ respecto de +.
2
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
iv)
r63
Elementos de @que admiten inverso respecto de
Si a e .o admite inverso,
entonces debe existir
*..
a' e Q, tal que
a*at:e
es
decir
Luego,
al a' -2aa':0
a'(l-2a):-u
si u* !,
resulta
u' =
Es decir, todos los racionales distintos
,h
de 1
2
admiten invérso
respecto de *.
v)
Elementos regulares: Sea a
e @, entonces
se
tiene
a*b: a*c
a+b-2ab: a1-c-Zac
b
(l - 2a): c (l -2a)
I
Si a+: ,resulta b=
2
c
Por tanto, todos los racionales distintos
de f ,on regulares respecto
2
de 'r.
3.6
DISTRIBUTIVIDAD
DE UNA LEY DE COMPOSrcIÓN
INTERNA
RESPECTO DE OTRA
Sean
*y.
dos leyes de composición interna en un mismo conjunto A. La ley o 5s ¿¡..
distributiva a izquierda respecto de 'r si
a.
(b r
c):
(a " b) + (a o c) para cualesquiera a, b, c e A
y se dice distributiva a derecha respecto de 'r si
(b * c)
o
a:(b
o
a) * (c o a) paratodo a,b, c e A
164
ALGEBRAMODERNA
Si se verifican la distributivid¿. ' a izquierda y a derecha, se dice simplemente que
o es
distributiva respecto a *.
Ejemplo:
En el conjunto
B:
Q
-
{0} , números
definen las leyes de composición interna
aob:2ab y
racionales menos el cero, se
"y*
mediante
u*b=ulb
2
Investigar las distributividades de o respecto de *.
SOLUCIÓN:
Como
a
" (b *
c):2a (b*c)
:2u(Y:):
\2 )
(a " b)*(a o r)
:
(l)
(t)
ab+ac
(2)
*
(a"b)+(a'c)
2
2ab+2ac
Entonces de
u.
ub
=
y (2) resulta
¿o(b*c):(aob)*(a"c)
luego o
es
distributiva a izquierda respecto de *.
Asimismo, la distributividad a derecha se verifica, pues la ley intema
conmutativa. Por tanto, se dice simplemente
que o
o es
es distributiva
respecto de *.
Ejemplo: En el conjunto fr
de los números reales se definen las leyes
composicióninterna o
y*
mediante
y
a"b:*b2
a*b:a*b
Investigar las distributividades de o respecto de *.
SOLUCIÓN: Sean
a, b,
ce
fr, entonces
¿o(b*
O:* @*c)2
: u'(b +
")'
(l)
de
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
: (a.b) + (a"c)
: a2b2 + a2c2 : a2 (b2 + cz)
De(l)y(2)resulta a. (b * c)*(a"b),r,(ao
165
(a"b) * (aoc)
e)
c). Análogamente
verificaque (b't c). a* (b o a) * (c o a). Portanto,
respecto de
4.
o no es
se
distributiva
*,.
LEY DE COMPOSrcIÓN EXTERNA
Una ley de composición se denomina externa, cuando se opera con elementos de dos
conjuntos. Es decir, dados los conjuntos
K y A,
se entiende por ley de composición
extema a toda aplicación del conjunto K x A en A, en donde K se denomina conjunto de
operadores o escalares.
En símbolos se tiene
" o " es ley externaenA con operadores en K <+
Por ejemplo, el producto ordinario de números
"."
o:
es una ley de composición extema en
ccon escalares en R. Es decir, Rx C-> C o bien, si creft
Esto significa,
si o = -2 y z=
Ejemplo:
sean F2
-l+l2i
=
Kx A -+ A.
y zec= s.. z: az e C.
a.z= -2(-l+2i):2 - 4i e C.
y ft, conjuntos de polinomios de segundo grado y de números
reales, respectivamente.
Definimos una ley de composición externa en F2 con escalares reales,
mediante
t a2x2¡: o % + c[ a¡x * u. d2x2
paratodo crefr y &o*arx+azx2 eFz
cr' (a.
*
alx
La definición anterior es una ley de composición externa en F2 con
escalares en R, pues la imagen de la operación de dos elementos. uno de
fry
otro de F2, es un elemento de F2.
166
ALGEBRAMODERNA
Ejemplo:
Ahora cotrsideremos
'l?ot
y
.R, conjuntos de vectores en
el espacio y de
números reales, respectivamente.
Definimos una ley de composición externa en
ft
3
con escalares en R,
mediante
cr.(x.y.z):(crx,cry,c-z),
Vcre
fr y (x,y,)eN.
Así, se tiene el producto de un escalar por un vector, y se efectúa
multiplicando cada componente del vector por el escalar
5.
cr.
ESTRUCTARAS ALGEBRAICAS
Se denomina estructura algebraica a todo conjunto no vacío en el que se han definido
una
o más leyes de composición interha y,
eventualmente, leyes de composición
externa.
Según sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición, se tienen
los dif-erentes tipos de estructuras algebraicas, como ser: Estructura de semigrupo,
grupo. grupo abeliano, anillo y de cuerpo.
5.,I"
Sea
ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO
A un conjunto no vacío, en el que
Se dice que el conjunto A,
se ha definido una ley de composición interna *.
junto con la operación * es un semigrupo y se representa por
(A, *), si y sólo si la ley * es asociativa, esto es
(a'*b)*c
: a*(b*c)
para cualesquiera a, b,
ce
A.
Si además, aunque no es necesario, dicha ley es conmutativa, entonces el semigrupo
se
llama conmutativo.
Si dicha ley tiene elemento neutro en A. se dice que el semigrupo tiene unidad.
Ejernplo:
En el conjunto 'V de los números naturales se define la operación *,
mediante
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
a
* b : a+ b + 2
167
paracualesquiera a, b e
Af
Determinar si A/ posee estructura de semigrupo con respecto a esta
operación.
SOLUCIÓN: Para que el conjunto Atr tenga estructura de semigrupo con respecto a la
operación ,*, debe verificarse la propiedad asociativa, esto es
(a*b)*c =(a*b)*c+2
: (a* b+2) -r c+2: a*b+ c + 4 (l)
a*(b*c):a+(b*c)+2
: a+ (b + c +2) *2: a+ b + c + 4 (2)
De (l) y (2) resulta (a'r b) + c : a * (b * c) y es asociativa respecto de *.
Entonces
A/
posee estructura de semigrupo respecto de +.
Además, se verifica la propiedad conmutativa, pues
a*b:a+b+2:b+a*2:b*a
Por tanto, A/posee estructura de semigrupo conmutativo respecto de *.
Esto equivale a decir que el par (Ad *) es un semigrupo conmutativo.
5.2
ESTRUCTURA DE GRAPO
Sea G un conjunto no vacío, en el que se ha definido una operación interna
o ley
de
composición interna *. Se dice que el conjunto G, junto con dicha operación +, tiene
estructura de grupo
y
se representa por (G,
*), si y sólo si cumplen las siguientes
propiedades
i)
Asociatividad, esto es
(a*b)*c
ii)
: a'r(b*c)
para cualesquiera a, b,
ce
G.
Existencia de elemento neutro o identidad, es decir, existe elemento neutro
para dicha ley, tal que
e
168
ALGEBRAMODERNA
a r. e: e'F
iii)
a: a
paratodo a e G.
Existencia de inverso, es decir, todo elemento
tiene su inverso
a
de G con respecto a la ley *
a' en G, tal que
d*v':at*a:e
Si además se verifica que la ley es conmutativa en dicho conjunto, es decir
a'¡b:b* a
paracualesquiera a,b e G.
entonces se dice que (G, *.) es un grupo abeliano conmutativo.
Ejemplo: En el conjunto Q de los números racionales se define la ley de
composición interna *, mediante
a*b
: a+b- j
paracualesquiera a,b e Q.
Determinar si el conjunto Q posee estructura de grupo abeliano con
respecto a esta operación.
SOLUCIÓN: Para que el conjunto
Q tengaestructura
de grupo abeliano con respecto a
la operación *, tienen que verificarse las siguientes propiedades:
i)
Asociativa
(a+b)*c:(a*b)+c- |
:(a+b- +l+c- l:a*b+c- I
a+(b*c):a+(b*c)- |
(l)
:a+(b+c- l)- l' :a+b+c-l
(2)
De (l) y (2) resulta (a * b) * c: a * (b'r.c). Así se verifica la propiedad
asociativa.
ii)
Existencia de elernento neutro. Se ve que existe un elemento
ee Q. tal que
a+e:a
estoes
parctodo
a+e- l:a
ae
í-).
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTLJRAS ALGEBRAfCAS
e:
169
]
Análogamente se prueba que + es neutro a izquierda.
iii)
Existencia de inversos. Es decir, existe un a' en Q tal que
a*a':e
paracadaadeQ
estoes a*a'-+=+
a' : I -a
De modo análogo se prueba que es inverso a izqr.rierda.
iv)
Conmutativa.
a*b:a+b_*:b+a_!:b*a
Por tanto el conjunto Ocon respecto a la operación *, o el par ('O *),
tiene estructura de grllpo abeliano.
¡
5..]
Sea
+
ESTRUCTARA DE ANILLO
A un conjunto no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición interna
y o respectivamente.
Se dice que el conjunto A junto con estas dos operaciones
tiene estructura de anillo,
y
se representa por
*,
o
(A, *, o), si se cumplen las siguientes
condiciones:
1.
El conjunto A posee estructura de grupo abeliano con respecto a la ley x. Es decir.
(A, *)
2.
es un grupo abeliano.
El conjunto A tiene estructura de semigrupo con respecto a la segund& ley "o". pslo
ES:
'
(A, ") es un semigrupo.
3.
Se cumple, además, que en el conjunto
a la primera
*. Esto
A la segunda ley "o"
es distributiva respecto
es,
¿.(b*c): (a"b)*(a.c)
A
(b*c).¿: (b"a)*(c"a)
.
V a, b, c
e
A
170
ALGEBRA MODERNA
Si, con respecto a la segunda operación
"o",ld ley
es conmutativa, el
anillo (A, *, o) se
y si existe elemento neutro o identidad respecto a la
denomina anillo conmutativo,
segunda ley "o" entonces se denomina anillo con identidad o unitario.
Si las leyes de composición son la adición "+" y multiplicación "." habituales, estas
condiciones se traducen en:
l. (A, +¡
2. (A,
.)
es un grupo abeliano
'
es un semigrupo
3. El producto
"."
Ejemplo:
En el conjunto
es distributivo respecto a la suma
suma
Z
"*".
de los números enteros se definen las operaciones de la
"+" y producto "." que son habituales.
Cuál es la estructura que define a
Z?
SOLUCIÓN: En primer lugar, estudiemos las propiedades que cumplen la operación
"+" en el coryunto Z.
Asociativa. Se curnple esta propiedad, pues
(a+b)+c
: a+(b+c) para cualesquiera
a,b, c e Z.
Existencia de eleurento neutro. El neutro parala operación suma
"*"
en
el conjunto Zes:
a-|e:a-,
entoncese:0.
Existenciadel inverso. Paratodo a e Z,existe otro -a e Ztalque
¿+(-a):0.
Conmutatividad. Se cumple esta propiedad, ya que
¿*f :f *¿
Luego, el conjunto
paracualesquiera a,b e Z.
Z
con respecto a la operación suma
(2, +) tiene
estructura de grupo abeliano.
Ahora estudiemos las propiedades que presenta la multiplicación en el
conjunto Z.
Asociativa. Si se curnple, ya que
la b)'c
: a'(b'c)
e
abc:
abc
t7t
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Existencia de elemento neutro. Se cumple esta propiedad porque:
a'e:a,
entoncese:leZ.
Por tanto, el conjunto
Z
con respecto a la multiplicación
(2, .) tiene
estructura de semigrupo conmutativo.
Finalmente, comprobemos que la segunda operación es distributiva con
respecto a la primera. Esto es, que se verifican:
a.(b+c):a.b+a.c
(b+c) . a: b'a
para
*
c.a
cualesquiera a,b, c e Z.
En consecuencia, el conjunto
producto
Ejemplo:
Z
con las operaciones de la suma
y
el
(2, +,.) tiene estructura de anillo conmutativo con identidad.
Para el conjunto
Z,
de los enteros se llama relación de "congruencia
módulo 6" a la relación de equivalencia definida por
x-y
<>
6lx-y
Sus clases de equivalencia son:
={61(/KeZ\
l=Kr ={6K+llKeZ}
2=Kz = {6K+ 2lKe Z}
0=Ko
El conjunto cociente
3=K¡ ={6K+3lKe Z\
4=Ka ={6K+4lKeZ}
5 = Ks = {6K+ 5lKe Z\
se denota por
ft,
es decir,
4: { 0,1,2,3, 4, 5 }
EnZdefinimos + y como
á+5=a+b y
á.6=a.b,paracualesquier
Por ejemplo, 2+3
a,beZu
=2+3 = 5 e Zu
=1 =7 e Z u,puesT e i = K,
4+5 = 4+5 =9 = 3 e Zo,puesg e 3 = K¡
3+
4=3+4
3.5 = 3.5 = l5 = 3 e Zu,puesl5 e 3 = K¡
t72
ALGEBRA MODERNA
Es fácil probar que (Za. +.
') es un anillo conmutativo con unidad,
la
demostración se deja al lector.
5.4
Sca
ESTRLICTURA DE CLIERPO
K un coujunto no vacío en el que
cltte el corr.iunto
se han
definido dos operaciones "+" y "o". Se d-ice
Kiunto con estas dos le¡,es de composición intern?. *, c.tiene estructura
Je cuerpo )'se r"epreselltapor(K.*. '). si sc cumplen las sieuientes condiciones:
1.
Con respecto a la ley x. el conjunto K tiene estructura de grupo abeliano. Esto es
(K.
?.
Con respecto a la ler'
*)
es grupo abeliano.
""". cl coniunto K. menos el neutro de la primera ley. tiene
estructura de grupo abeliano. Es dccir
(K-le).
,)
cs grLlpo abeliano
donde e es el neutro de la prirncra
3.
lcr
x.
La se-uunda le\' "o" es distribLrtir a con respecto a la prinrera + en el con junto K.
Si las leles de composición interna que se han det'inido en el coniunto
"-"
1.
I( son la suma
r' la multiplicación "." habitualcs. estas condiciones se traducerr en'
(K.
*)
2.(K- í0i. ')
es snrpo abeliano
es grLrpo abc-liano
3. El producto es distributivo resps-cto a la sunra.
F.ierlplo:
Clasificanroslassiguic'ntcstcnt¿ls:
a) (,\. +.')
tro cs ctlcrpo. pucs no curnplen las condiciones
[:rt la ¡'rritttcra no cristc ncutr() ¡rara la srnna
elcrlclltos dc
,\'
c¿u'ccclt clc invcrso
"*"
l) 1,2).
y en la segunda. los
nrultiplicativo.
b) (2. l.') lto cs cucrpo. puL.s no sr'cr¡nrplc la condición 2). Esto.
porLluc los nú¡nrcros cntcr'()s c¿lrcccn dc iuvcrso nrultiplicativo.
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
c) (Q, +, .) es un cuerpo,
173
+) y (Q - {0}, .) son grupos
abelianos, y el producto es distributivo respecto a la suma en el
conjunto
Ejemplo: Sea A:
pues (@
@.
{x e
Rlx:a-b Ji,u,b e 8\
Determinar si (A, +, .) es un cuerpo.
SOLUCIÓN: En primer lugar, comprobaremos
multiplicación
"."
si las operaciones suma "+)' y
son leyes de composición interna en A. Para esto
precisa que la suma
y multiplicación de dos números cualesquiera
se
del
conjunto A dé como resultado otro elemento de A.
Estoes,
seanx:a-b.F, y:c-d.6 e a
entonces x *y: (a-b.'6) * (c-dJll: (a+c)-(b+d).5 e a
x ' y: 1a-u
Jl) (c-d .6 ) :
(ac + 3bd)- (ab+bc)
JJ e e
luego, + y ' son leyes de composición interna en A.
Ahora, estudiemos las propiedades que cumplen la operación "+" en el
coni_unto A.
Sean x:a-b,,6, y:c-d16, z:f -g J1 e A.
(x + y) i z :(a-b16*.-d'.6) + f- g .6
: a - b .5 * (. - d .'5 + f - g .,,5 ) : x + (y + z)
Asociativa.
Existencia de elemento neutro. Existe e e A, tal que
x+e:x,
entonces e:0+0
J3
Existencia del inverso. Para todo x e A, existe otro
xtx':e
entonces x':-(a-b.61:
Conmutativa. Para
x+
-a+
x'e A. tal que
b,6
x.y e A se tiene
! =a-bui3+c-dJi =c-cl.iJ*u-b vJ:r'*x
174
ALGEBRA MODERNA
Luego, el conjunto
A con respecto a la operación "+" (A, +) tiene
estructura de grupo abeliano.
Ahora estudiemos las propiedades que presenta la multiplicación en el
conjunto A.
Asociativa. El producto en A es asociativo, por ser A un subconjunto de
Á, donde se sabe que la multiplicación
es asociativa.
Existencia de elemento neutro. Si existe e € A, tal que
(a-b.6)'.=a-b^[,
entonces e=l-0^6
Existencia del inverso. Para todo x e A, existe otro x-le A, tal que
x.*-t:e
(a
- b^6) *-t : l- 0.6
entonces
xl
en donde a y
b
Conmutativa.
\-
=( -u -)-l--'"
a2 +3b2 (a2 +3b2 J t"' *hJJ'
a-b-E=u,*b.q
'
son distintos de cero.
El producto en A es conmutativo, por ser A
un
subconjunto de fr, en donde la multiplicación es ley conmutativa.
Por tanto, el conjunto A, menos el neutro aditivo, con respecto a la
multiplicación
(A- {0}, .) tiene estructura de grupo abeliano.
Finalmente, comprobemos que el producto es distributivo con respecto a
la suma. Consideremos x, y,
z e A.
x . (y + z) = (a-b.6 ). ("-¡ ^6 +f-e .Jl ) : (a-b JI ) t(c+f)-(d+s) ..6 l
:
x.y-f x.z
:
:
[a (c+f¡ + 3b (d+g)]
(a-b ,6 ) (.-d .6
ac
*
3bd
-
- [b (c+0 + a (d+g)].6
)*
1a-b ,6 )
(r- g Jll
(ad+bc) .,6 + af + 3bg
-
(bf+ag).,6
: [a (c+f + 3b (d+g)] - tb (c+f¡ + a (d+g)l ,6
(l)
(l)
Q)
resulta x ' (y + z) = x'y + x'z
En consecuencia, el conjunto A con las operaciones de la suma y
De
y (2)
producto (A,
*,
.) tiene estructura de cuerpo.
el
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
6.
Sea
t75
HOMOMORFISMO
A un conjunto dotado de una operación interna * y B un conjunto dotado de una
operación intema o. Se dice que una función
en (B,
f : A --+ B es un homomorfismo
de (A, *)
.) si la imagen del compuesto de dos elementos de A es igual a la compuesta de
las imágenes de esos elementos en B. Es decir,
.¡f es
un homomorfismo de (A, *) en (8, .) <> Vx¡ Vx2 e
A:f
(x1r,x2):.,¡f (x¡) "_f (xz)
(A, *)
(B, ")
.lx¡*x2) :.¡(xr)./(xz)
sea
z
dotado de la suma habitual
y
,R dotado de
f : Z+ R tal que/(x) : 3*.
En efecto, si x¡, x2 e Z ) xfty2 E /
la multipricación
habitual, y sea
(2,
+)
=;f(x¡+x2)
:
3xl+x2
:
3x1.3\2
:.f(xr) f
.
(,R,.)
.-f
(xr):
3*t
.f (xr):3*2
xr+x2):3xr.3x2
Por consiguiente,;fes un homomorfismo de
:.f (x)f
(2, +) en (.R, .).
(x
Gz)
t76
ALGEBRA MODERNA
Ejemplo:
En
ft,
dotado de la multiplicación habitual,
definida pot .f (x)
:
xn ,
n e tV
la función
f : R -+ R
es un homomorfismo de
R sobre sí
mismo (o endomorfismo), pues si Xl, X2 e /Rentonces
,f
(xr): x'n
,f
(x¡
.l(xz):
xz"
Xln . xz''
:,/(xr) .f
,
xz) :1x¡.xz)"
:
(xz)
(R,.)
xro-------------- > ..f (x,) : xr"
x2 o-------------D
f (xr) : xt'
.
6.1
ISOMORFISMO Cuando la función "f que establece un homomorfismo
biyectiva. se dice que ;f es un isomorfismo.
Ejemplo:
,y f : lf
Sean (-R*, .) , (J?, +)
En efecto,
/es
-+
.,R tal
que
/(x):
un homomorfismo, pues
si x¡. x2 e .H entonces
,f
(xr):
ln
f (n'x):
Ahora, si x¡, x2 e
xr ,
-f
(x2): ln x2
ln (x¡.xz): ln x1 + ln
.If
es 1al que
"f(xr):f
Iux¡
(xz)
:lnx2 +
Xr
luego. ;f es inl,ectiva.
Asimismo ;f es sobreyectiva.
Vye ,Ii,lx=e!
/(x) -,f(c')
I:n consccL¡errcia
x2:;f (x1) +"f (xz)
)/¿l
tal que
= l,'r c- ): )'
/es
qlle
biy'cctiva.
:x:
ln x.
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
t77
Por lo tanto, se trata de un isomorfismo de (ft", .) en (R, +¡.
Ejemplo:
Sea
(ft
+) el grupo de los números reales bajo la adición y sea
grupo de los números reales bajo la multiplicación. Sea
definida por
'
/(x) :
(,ff,
.) el
f : R + ff
e -*.
Entonces se demostrará que
/es
un isomorfismo.
Si x¡, x2 e .R es tal que
"/(x,):f
(xz)
t-xl -t-x2
Xl :X2
=
Así /es inyectiva.
Porotraparte Vy e ,R",f x:-lnytalque
:f
: . -(-rn v) :
:
y
Dados dos anillos (A, +, ') V (B, +, .) . se dice que una
f
-f (x)
entonces
/es
(-ln y)
e
In Y
biyectiva.
Por tanto, ;f es un isomorfismo.
6.2
HOMOMORFISMO DE ANILLOS
:
A -+ B es un homomorfismo
de (A, +, .) en (B, +, .) si, para cualpsquiera X¡, X2 e A, se verifica que
f
(x7+x2):-f(xr) +"f (x)
El homomorfismo de anillos
función
f
:
y
(A, +, .) -+ (B,
f (xt.x):-f
(xr).,f(xz)
*, ') se dice que es un isomorfismo
si la
f :A-+ Besunabiyección.
El homomorfismo de cuerpos tiene la misma definición que los homomorfismos
de
anillos.
Ejemplo:
Consideremos los anillos
(2, +. ) y (2, +, .) , donde la suma y
producto de Z se definen como
a+b=a+b v
á.6=i.b.
si á.6eZu
el
178
ALGEBRAMODERNA
Def-rnauros
f : Z-+ 7a,mediante.¡f(x): x , (x=K*)
Entonces. para cualesquiera x¡.x2
e Z.
.l(x,+x,)= xr+xr = Xr*X: = /(x,)+ l'(xr)
.l'(x,'x,) = Xr .X: = Xr'X t =.[(x,)../(x,)
Por consiguiente.;f es un homomorfismo.
6.3
Sean
NÚCrcO E IMAGEN DE
TJN
HOMOMORFISMO
(A. *).(8. .) dos estructuras, y sea /:A+B un homomorfismo de (A, *) en (B, ").
Entonces.
"Núcleo del horpomorfismo
f : A -> B es la totalidad
de los elementos de A, cuyas
imágenes por .¡[son iguales al neutro de B". Es decir,
N
(/) = {x e A I f (x): e'} .e'es el neutro de B.
"lmagen del homornorfismo¡f : A -+ B es la totalidad de las imágenes de los elementos
de
A". Es decir.
Í(f):
{y e
B/l x e A¡ n /(x)=y}
(A.*)
+.') y (8. +.'). el neutro e'= 0 e B. Portanto
Si las estlucturas son dos anillos (A,
N(/):{xeA//(x)=0}
Ejemplo:
Sean los grupos
definida por
Entonces
.,¡f
))
(/i-.
+¡ y (.Ii. +). y sea la función
/(x, y):
2x
-
3y
es un honromorfismo, pues
f:
tl- -+ .ll
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Para
u:
(x, y) , v
:
(zt,
b) e
./i2
t79
se tiene
/(u+v) :.f (x*a, y+b)= 2 (x+a) - 3 (y+b)
(2x-3y) + (2a-3b)
"f(x,
El núcleo de
N
y)
(/):
b):"|r(u) +"f (v)
{x e R' I ¡1*,y):0}
y:?*
3
consecuencia, N (/): {(x, 1*',
J
La imagen de
| (f)
(a,
/es
Esdecir 2x-3y:0 =
En
+f
:
. R' l*€ R}
/es
{z e R /l (x, y)
.
.R'
rr.
f(x,y) :
z}
decir, 2x - 3y : z e.R, para todo (x, y) eft'
Por tanto, I (.0: R
Es
"E[ ñ,om6re reffexítto se yroyone A cala. ínstante e[
yrobhma le fa vífa; ef ñombre le accíón fo resueft,e a
cala ínstante. ¿.Qtté meíia entre /bs dos'/ 'Ltn fazo
i.nvisihfe y sí.n embarflo recrl, hecho en _flLlrte cle rctztin r¡
le vofuntaf,
que se lTama pyenerot(mente caracter".
franz lamayo
ALGEBRA MODERNA
r80
EJERCICIOS
l.
Sean
I y P
los conjuntos de los números naturales impares
respectivamente. Es
decir
I: {1,3,5,7....\
P
"*",
la adición o suma
2.
= {2,4, 6,'8, ...}
L es una ley de composición interna en
l-=
enteros.
conjunto de los números naturales
En el conjunto
y Z:
conjunto de los números
R:NO, SI
Al
de los números naturales, se deftne la siguiente operación *:
Dados a y b cualesquiera pertenecientes a
Ai
a*b:ab+l
(l *2)*(3*,2) y
I *(2't3),
a) Hallar: (l *2)*3,
b) ¿Dicha ley es asociativa?, ¿es conmutativa?.
4.
I ? ¿ y en P ? R:No, sl
La resta o sustracción "-", ¿ es una ley de composición interna en .A/? ¿ y en Z?
Siendo
3.
y de pares,
Se define la ley de composición interna
* en el conjunto A
(2'*3)*(2*
l)
R: No, Sl
:
{0, 1,2,3} mediante la
tabla siguiente:
+
0
I
2
3
0
0
I
2
J
I
I
2
J
0
2
2
J
0
_t
J
0
I
")
Si a y b son dos elenrentos de A. el rcsr.rltado de operar a con b se halla en la
intersección de la l'ila a con la colunrna b.
a)
Hallar 3*(2'r
I
).
(3,r
l)*2.
(0+2)i.(2,r,3)
v (3*0)'r(2*2)
b) ¿, Dicha ley es connlutatil'a ? ),¿, posee elerncnto neutro ?
c) ¿, Es asociativa ? y ¿, posee elemento inverso 'l
n: Sl. e=0. Sl, Sl
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCI'URAS
5.
ALGEBRAICAS
En el conjunto (2 de los números racionales, se dellne la operación
I 8I
i.
mediante
a*b:a*b
2
¿ Qué propiedades cumple dicha operación
?
R: conmutativa y elementos regulares
': 6. 'En el conjunto Z, de los números enteros, se establece la siguiente operación
*:
a*b:a(b+l) + b(ar.l)
¿,
Qué propiedades cumple dicha operación
?
R: asociativa, conmutativa. con neutro e-0, y elernentos regulares.
7.
En el conjunto O, de los números racionales, se definen las leyes de composición
interna*Yomediante'
y aob:3ab
u*b=^*b
3
Investigar las distributividades de
o
respecto de
8. En el conjunfo Z, de los números enteros,
*.
se define la
R: es distributiva.
ley de composición interna i
mediante
a*b:
Probar que el par
9.
a
(2, *) es semigrupo.
En el conjunto i?, de los números reales. se deflne la operación'¡ mediante
a*b:
0
Determinar si el par (.R, *) es semigrupo conmutattvo.
10. En el
conjunto./i de los números reales.
* que asignaa cadapar
á
y b de
liel
se considera la ley de composición interna
rnínimo de los dos. Es decir.
a*b: min Ia. b)
Determinar si el par ( /i. *) es senrigrr-rpo connrutalrvo.
I82
I
ALGEBRAMODERNA
l. En el conjunto -R", de los números
reales positivos, se establece la operación *
mediante
a*b
-
,6
aU
Determinar si el par (.R". *) es grupo abeliano.
12. Demostrar
que el par
2. +)
es grupo abeliano, siendo el conjunto de pares
(ft
ordenados de números reales. y la suma definida por
(a. b) + (c, d)
:
(a+c, b+d)
13. En el conjunto R2, se ccnsidera la operación
(a, b) ,r (c,
Caracterizar la estructura que posee el par
14. Sea
A un conjunto no vacío,
* definida por
d):
(a, d)
(frt, *).
en el que se han definido dos operaciones,
* y "o"
respectivamente. Si (A, +) es un grupo abeliano, y se define "o" mediante
aob=0
entonces veriflcar que la terna (A. 1. o) es un anillo conmutativo.
15. Comprobar
Siendo
22
que Ia
terna (22,
+,
o¡
es un anillo conmutativo con identidad.
el conjunto de pares ordenados de números enteros,
* la suma habitual y
"o" definida por
(a. b¡ " (c,
16.
Sea A = {x e
.:R
cuerpo siendo "+"
I x: a_
)
l¿r
b',i7,
d):
a. b
(ac. ad + bc)
€ p}. Detertninarsi laterna(A, +,')
esun
sunra 1'prodLrcto habituales.
7. Sea (G, *) un grlrpo, l)emostrar c¡uc si a 1,tr pertenecen a G. entonces se verifica
(a+'b)':b'*a'
LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
183
18. Sea (G, *) un grupo. En G se define la operación "o" mediante
aob:b*a
Demostrar que (G, o) es un grupo.
19.
SeaG: O- { - l} Definimos laoperaciónbinariaenGcomo
aob:a+b+ab
Demuestre que (G, o) es un grupo abeliano.
20. En
Zse
define la operación binaria o como a o b: a + b +1.
Demuestre
que (2, ") es un grupo abeliano.
2l.Determine si el conjunto
a: {a+,[1A I a,b e Z]
es un anillo con la suma y
producto usuales.
22. Sea A
es un
23. Sea
:
{
1,2} y P (A) el conjunto
de partes de
A. Demuestre que (P (A), A, f-l )
anillo conmutativo con identidad.
AunconjuntoyP(A) el conjuntodepartesdeA. ¿Es(P (A),U, n) unanillo?.
Z junto con las operaciones binarias * y o definidas
a*b:afb-l
aob:a+b-ab
,
24. Considere el conjunto
a)
Demuestre que
b)
Es conmutativo este anillo?
c)
Es un anillo con identidad?
25. Sean n,
es un
m
por
(2, *, o) es un anillo
enteros frjos. Encuentre todos los valores de n, m para los que
(2, *, ")
anillo con las operaciones binarias
a*b:a+b-u
,
aob:a+b-mab
R:
l,l;-1,-l
IE4
ALGEBRA MODERNA
26. En el conjunto Q se define las operaciones binarias
a,*b:a+b+7
Denruestre qrrc (
'.7.La fiurción
anillos'l
f
(l
*.
* y o. rnediante
aob=a+b+ 3!
7
o) es un cuerpo.
: (2. +..)
+ (2.+..) dada por.F(x) = 2x es un homomorfismo
R:
8. Encuentre el nircleo del homomorfisino de anillos
de
No
(Z +, .) y (2,s, +, .), donde
f : Z + 7a es tal que -/t(r) = x.
9. Sean
+
(A.+. .) y (8.+. '). dos anillos. Si C = AxB. definimos
las operaciones binarias
)' ' mediante
(x.y) * (a, b): (x+a. v+b)
(x. y) "
(a.b):
o) es un
anillo.
(ax. by)
a)
Demuestre que (C.
b)
c)
Si A y B son conmutativos. demuestre que C es conmutativo.
¡.
Si A tiene elemento unidad u y B tiene elemento unidad v. cual es el elemento
unidad (o identidad) de C?.
d)
Si A ¡' B son cuerpos. es C también un cuerpo?.
.Si (.l\.+.').(8.+..) )'(C.+..)sonanillos.\' .f : A-+B
htrnlomorfisnrcls clc anillos. demuestre cluc la composicióng
honlonlorf isrltl clc aniIIo:;.
y g:B -+ C sorr
cf : A + C es un
CAPITULO VI
185
INDUCCION MATEMATICA
L
INTRODUCCIÓN
En este capítulo examinaremos una de las propiedades fundamentales que se halla
presente en
el conjunto de los
demostrar algunas fórmulas
números naturales. Esta propiedad nos permitirá
o teoremas matemáticos mediante una técnica
llamada
inducción matemática, o inducción completa.
A continuación
enunciaremos los principios en los que se basa fundamentalmente el
método de inducción matemática.
2.
EL PRINCIPrc DEL BUEN ORDEN
El principio del buen orden establece que cualquier subconjunto no vacío de números
naturales contiene un elemento mínimo, o primer elemento.
Entonces según est-e principio se puede decir que todo subconjunto no vacío de números
naturales tiene primer elemento.
Ejemplo:
Sea
A :{2,4,6, 8}. Entonces el elemento mínimo o primer elemento
2,pues
Vx
Asimismo, si B
VxeB,
:
e
A,
es
2<x.
{3, 5, 7 ,9} entonces 3 es el elemento mínimo, ya que
3<x.
Teorema Sea Atrel conjunto de los números naturales y A un subconjunto de A{ tal que
i)
ii)
lperteneceaA.
Si k pertenece a A, entonces
k+l
pertenece a A.
Entonces, A es el conjunto de los números naturales.
Es decir, todo subconjunto de A/que contiene al 1, y al siguiente de k
siempre que incluya al k, es igual a AI
ALGEBRA MODERNA
186
En símbolos:
AcN A i)1eA
ii)keA+k+1eA
3.
PRINCIHO DE INDUCCIÓN MATEM/íTICA
Sean n e Atr
y
P (n) una proposición matemática abierta, y que se desea demostrar que
P (n) es verdaderaparatodo
i)
ii)
n e A[ Supóngase que
P (1) es verdadera; y
Siempre que P (k) sea verdadera (para algún
k e AD, entonces
P (k+1) será verdadera;
Entonces el principio de inducción matemática establece que P (n) es
verdadera para todo n e
Af
Por consiguiente, si se quiere probar la validez de una proposición P (n) para todas las
neA{
se deberá probar primero que la proposición es verdadera para algún valor de n,
digamos k, y luego hay que demostrar apoyándose en esta hipótesis, la proposición es
también verdadera para k
+I
que representa el siguiente valor posible de n. Si se logra
esta demostración, se completa con el siguiente razonamiento: Ya que la proposición es
verdadera para n
:
entonces vale para
4.
1, entonces es verdadera para
tr: 3, y así sucesivamente
n:2;
análogamente, si vale para
t
= 2,
para todo valor entero positivo de n.
MÉToDo DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
El método de inducción matemática para demostrar una proposición matemática consta,
en esencia, de los tres siguientes pasos:
l.
Verificar que la proposición es verdadera para tr
: l,
o para el primer valor
admisible de n.
2.
Partiendo de la hipótesis de que la proposición es verdadera para algún valor de
n, digamos k- demostrar que también es verdadera para n : k +
l.
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
3.
187
Comprobado que la proposición es cierta para
sigue que también es cierta para n
:
n:
1 en el paso
l,
del paso 2
2, entonces es cierta para n
:
3y
se
así
sucesivamente para todos los valores enteros y positivos de n.
A los pasos I y 2 se conocen como la base de la inducción, mientras que el paso 3 se
conoce como paso inductivo. o consecuencia de
Ejemplo:
I y 2.
Demuestre por inducción matemática que para todo n
1.2 + 3.4 + 5.6
+ ... + (2n-l) (.2n):
]3
{n+f )
)
I,
(an-l)
SOLUCIÓN: Sea P (n) el enunciado dado. En este caso el primer valor aC;nisible
n:I.
I
.
Entonces se tiene
Para D =
P
es
l,
la proposición
(n): l'2+3.4+ s.6+... +(2n- l) (2n):
se convierte en P
(l) : I .2 = !
]
{n+r) (an-l)
(2) (3)
3
2:2
2. Si suponemos que el resultado
es cierto para n
P(k): I .2 + 3.4+ 5.6 + ... + (2k-1) (2k)
:
k, es decir,
: ltO*t) (4k-l) es verdadera.
-)
Para establecer la verdad de P
(k+l), necesitamos probar
r.2 + 3.4+ 5.6 +...+ (2k+l ) (2k+2):
(k
1l)
J
G+2) (4k+3)
Sumando a ambos miembros de P (k) el término
1.2+3. 4+
s.
6+... +(2k-
l')(2k)+(2k+
I
)(2k+2):f
que
k+I, se obtiene
t* t ICOO- I )+(2k+ I
luego el segundo miembro de esta última proposición resulta
IJJrr.*tl (4k-r)
+ (2k+1x 2k+2¡
: qP [k(4k-r) + 6(2k+l)]
- (k+l)[4kt-k+l2k+6]
J
1
)
(2k+2)
188
ALGEBRA MODERNA
=
(t_t
l)
¡+k2
+ I lk + 6l
: Ej l) (k+2) (4k+3)
-
J
lo que establece la verdad de P (k+l).
el principio de inducción
3. En consecuencia, por
proposición P (n) es verdadera para todo n e
Ejemplo:
Demuestre que para cualquier n e
A/,
3
2n+l
matemática, la
Af
* I es divisible entre 4.
SOLUCIÓN: En efecto,
l.
Si n =
l,
la proposición es verdadera, pues
3
2.
2*l +
I
:
3
3
+ I :28 :4.7,es divisible por 4.
Supongamos que la proposición es cierta para
n : k, es decir,
la
hipótesis es
3
2k+l
+I
:4
.q , para algún q e
Z
basados en ello. probemos que es cierto para n =
321k+r¡+¡
k+l
*l:32k+3+l
=
32k+3
-
2k*l
32k+l + 13
+ l)
-32k+r(32-t¡++q
:4'
:4'
(2.3 tu*'
*
q)
Q', donde g' :2.32k+l + q e
Z
lo que establece la verdad de la proposición para n = k + L
3.
Ejemplo:
Por tanto, la proposición resulta cierta para todo n e
,'\i
Por el nlétodo de inducción matemática. demuestre que
x
2"
- )'r'' es divisible
entre x + y para todo n e A"
SOL[J('IÓN: l. Para n: I tenclnos 1xl -),r) / (x+l') = X - ),. con lo cual se,u,erifica
pascl l.
el
r89
INDUCCION MATEMATICA
2.
Suponiendo que la proposición es verdaderapara r: k, es declr
'
zr
t*
* - y : (x+/) q, donde q es un polinomio entero.
2(k+l)
2(k+l)
Ahora debemos probar que x
también es divisible entre
-y
x+y.Enefecto,
x
2( k+ I
)
-Y' k- ) :x 2k+2-Y
2(
I
2k+2
: (*2k*, - yt* *t ) + (y2k x2 - y2k*2)
: *t (*t* - y'*) * yt* (*t -y')
:(x+y)[x2q+y,k(x-V)]
:
(x
* y) q' , donde q' es un polinomio entero
lo cual muestra que x2(k+l)-y2(k+l) entre x +
3.
y
es exacta.
En consecuencia, por el principio de inducción, la proposición
es
verdadera para todo n.
5. NOTACION DE SUMATORIA
Y
PRODUCTORIA
En muchas situaciones es conveniente introducir una notación que represente la suma de
una sucesión de términos en una forma abreviada. Así, el símbolo que denota una
sumatoria es I. Por ejemplo, la suma de z términos tales como
representarse por
Z"
.Es decir,
fo,
e1*6¡'¡or*...i(ttt
= at + ai + ai +...+ (r,,. donde la letra i. llanrada
índice de la suma. toma sucesivamente todos los valores enteros positivos de
inclusive.
Ejempro:
u)
)
I
,=!
Qi -t)=(z.t-t)+(z
.z-t)+(z t-t)+(z a-l)+(z s-r)
:1+3+5+7+9
b)
-(-r) -{+l
,+.(-l)'-.1+(-l)'"+
,l
i(-r)'-'.
i+l =(-l)' l+l
2+l
i+l
,i
l214
-2i45
puede
I
an
ALGEBRA MODERNA
190
Ejemplo:
Expresar como sumatorias las siguientes sumas:
a) I + 4 + 9 + 16 +25 + 36= 12 +22 + 32 + 42 + 52 + e' :
fr'
i=l
r57313579
b) -+l+-+-+-=-+-+-+-+45223456
2
_2.t-t +2.2-t +2.3-t +2.4-t +2.5-l
l+l
2+l 3+l 4+l 5+l
_$z¡-t
fr
c)
:.i.?.fr
=
t+t
('. ;).(,.
l.(,. ;).(..*)
( t\(
t\(
r)
r\(
j
j
['. / J+[z+ ).['. FJ.lo. )
4/
r\
=Il ¡*al
=
#\'
z')
Otra notación útil, llamada productoria, es la que representa al producto de una sucesión
de términos en una forma breve. El símbolo que denota a una productoria es
f]. Por
ejemplo, el producto de z términos tales como dt 'oz'a3' ....a, puede representarse por
n
llo,'
l=l
Ejemplo:
6
")
b)
fl
i
=r'2.3.4'5.6
4
-¡)= (8 -0X8 -r)(a-z)(s -3X8 -4) = s'7 .6. s. 4
ll(s
i=0
5.1. PROPIEDADES
1.
f@,+ó,)=
r=l
*iu,
io,
¡=l
r=l
t9l
rNDUccróN MATEMÁncn
2.
o, = kLo, , donde ft es constante.
Z*
r=l
¿t'
r=l
3.
ft
=kn
, siendo /r una constante
l=t
4.
Ejemplo:
t"rüo, =f
Log a, ,paratodo
a¡
>0
Demuestre que para cualquier n € Ad
iii=r= t+2+3+...+n = 1(n+l)
2'
SOLUCIÓN:
l. Para r:
1, la proposición abierta
P(n):ii=f2'1n+r¡
i=r
Se convierte en P
(l),
Ii
=
jtr+l)
= 1,
por lo que P (l) es verdadera.
2. Supongamos que la proposición es cierta para
P (k):
itr=l = lft*tl
2'
n:
k, es decir,
esverdadera
Ahora, para establecer la verdad de P (k+l), necesitamos mostrar que
i'-i
=
E+(k+2)
/-
Sumando a ambos miembros de P (k) el término k+1, se obtiene
f
t
*(k +l) =
i=l
l,u
+
l) +(k +l)
\1, _ (k+l)(k+2)
,oLt
-
z
lo cual muestra la verdad de P (k+l)
3. Por tanto, por el principio de inducción, la proposición es verdadera
paratodon e Af
192
Ejemplo:
ALGEBRA MODERNA
Demuestre por inducción matemática que para todo n e
It'
i=r
SOLUCIÓN:
^{
+3r +...+nt = 1(n+l)(2n+1)
= 12 +22
6'
Sea la proposición abierta
P
1. Para tr
Li'
Íó
(n) :
=
1(n*l)(2n+l)
: I , la proposición
P (l)
: Ii'lr
abierta se convierte en
=l(r*lX2+1)
Í6
=t
por lo que P (1) es verdadera.
2. Supongamos ahora la verdad de la proposición para n : k, es decir,
P
(k) :
kV
)i' =|Ct+1)(2k+l)
esverdadera
A partir de esta hipótesis debemos probar la verdad de
P
(k+r),
ii'
i=r
- G+l)(k+
2)(2k+3)
6
Si sumamos a ambos miembros de la hipótesis el término k+1,
se
obtiene
it'
r=l
*(k+l)'?
!t' =E+
Í6
_ (k + l)
6
-
(k+l)
6
=5
Ó
Co+l)(2k+l) + (k+l)2
[r1zr+l) + 6(k+r)]
bF
*7 k +t)
(k+2x2k+3)
lo que establece Ia verdad de P (k+l).
3. En consecuencia. por el principio de inducción, la proposición es
verdadera para todo n e
jV
INDUCCION MATEMATICA
Ejemplo:
193
Obtener la suma de los
n
primeros términos de la serie
l'2+2'3+3.4+4.5+...
SOLUCIÓN: Cada término de la serie es igual al producto de dos
números
consecutivos. Por tanto, el término de lugar n es igual a n (n+l). Entonces
la suma de los n primeros términos se escribe como
*l) = l. 2 +2.3 +3. 4 + 4. 5 +...+ n(n +l)
iili
i=l
Ahora aplicando
demostradas,
Ii
y
la
propiedad
)i2,
se obtiene
iili*l)
i=l
6.
I y
+i) =
=
+l)(2n+1) +
?,n
las sumas
It' *ii
=i(i2
i=l
considerando
]f"*l) = ;
(n
+l)(n+2)
EJEMPLOS ADICIONALES
Ejemplo:
Obtener la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.
SOLUCIÓN: La suma de los cuadrados de los n primeros naturales es
12 +22
+ 32
!"'
Consideremos
de donde
Si
x:n
x:n-l
x=n-2
x:2
-vl
+
+ n2
: It'
i=l
- l)3 = *3 - 3x2 + 3¡ x3-(x-l)':3x2-3x+l
n3-(n-l)':3n2-3n+l
(n-l)' - (n-2)3 : 3 (n-l)2 - 3(n-l) + I
(x
1
(n-2)3 -(n-3)3 =3(n-2)2
23
- 13 :3.22 - 3.2 + |
13
-
03
:3.1 2 -
3.1 + I
-3(n-2)+
I
ya
ALCEBRA MODERNA
194
Sumando:
n3:3
i=t
n3=3
dedonde,
y
Ejemplo:
resulta
-lii * ir
ii'
i=t
i=t
n(Tl) *n
ii'_¡
i=r
2
, tit:n3-n*¡ n(n=*l) -'n(n+lX2n+l)
i=r22
n(n +
!I2Hl)
t i' :
16
Obtener la suma de los cubos de los
r
primeros números aturales.
SOLUCIÓN: En efr cto
13+23
33+...+nt:it'
i=l
Por
setiee
si x=n +
x=n-l
x=r2 +
(x-l)n=x4-4x3+6x2 4x+l
x4-(x-l)o=4x3-6x2 4x-1
n4-(n- l)n= 4n3 -6n2 4n- I
(n-l)n-(n-2)a =4(n-l)3 -6 (n-l)2 +4(n-l)- I
(n4)a
-(n-3)o:4(ré)3 -6(rn12 +4(n-2)- I
:
x=2 +
x=l +
24-14 =4.23 -6.2'
+4'2-l
14-04=4.13-6.12+4.1-l
Sumando: no=+Iir -6tt'*+ii-ir
i=t
i=t
i=r
n4:4ii,
i=r
de
donde,
i-r
_6 lEl_t+A.l_) +4
62
l(ll-U _n
oii' : no+ n +n(n+l)(2n+lf2n(n+l) = n21n+1¡2
i=l
TNDUCCIÓN MATEMÁTICA
195
desPejando I,' :
i=,
Ejemplo:
Obtener la suma de
n2
(n+l)2
+r)-1'?
- [n(n
4 -L
2 j
los n primeros términos de una serie, cuyo término
n-simo es n2 14n - 3¡.
SOLUCIÓN: La suma pedida es
=itot'-3i')
ii'1+i-3)
i=l
i=l
Por la propiedad
I y 2 de la sumatoria, y conociendo
t iit
it'
i=l
i=l
, ,"
obtiene
itot'-3i')=+Ii'-¡it'
i=l
i-l
i=l
-a-
, n2(n+1)2 J-. n(n+l)(2n+l)
46
=n(n+t,[*"+r)-'+)=9
I
i
I
pj.mplo:
Los números de Fibonacci se definen en forma recursiva como
i)Fs=0
,
Fl:l;
y
ii) Fn = Fn-r * Fn-2, para todo entero n ) 2
Entonces los primeros números de Fibonacci son
n:0 +
n=l +.
n=2 +
Ahora
se
Fo=0
Fl=l
Fz=FlaFo:l
n=3 +
n=4 +
n=5 +
tiene
F6+F¡=0+l:l=F¡-l
Fe+F¡
4F2:0+ I + | =2=F¿-
Fo+Fr +F2rF¡
:0+
I+I
*2:
I
4= Fs- I
F¡=Fz*Fl:2
F¿:F¡*F2=I
Fs=F¿aFl=5,etc.
t96
ALGEBRA MODERNA
luego, se puede conjeturar que
VneN
Ia, =Fn*z-l
r=0
la demostración de esta conjetura por inducción matemática es
l.
Para n
:
l, resulta
I
Ip,
=
Fo
+F,
=0+l =l
r=0
2.
:R -l
Supongamos verdadera para
k
IP,
= Fu*,
i=0
-l
verdadera
k, es decir,
-l
Ahora para el caso en que
[¿t)*
n:
=Fr*z
n: k*l, se tiene
r*., = (F,*z -r)+ Fn*,
k+l
Ip,
=(F**,
*Fu*,)-l
i=0
= Fr.*¡ -l = {¡*,¡*z
-l
lo que prueba que es cierta para n : kf I
3. Por tanto, por el principio de inducción, la conjetura
verdadera para todo n e Al
Ejemplo:
Sean L6,
Lt,L2,...
i) Lo:2
ii)
Ln
:
Ln-l
dada
es
los números de Lucas, donde
,
Lr
* Ln-2,
:l;
y
para todo entero n > 2
Entonces los primeros números de la sucesión de Lucas son
n=0 +
n:l +
n:2 :+
Lo=2
Ll=l
Lz:LtaLo=3
n:3 =+ Lt=Lz*Lt:4
n:4 +
Lq:Lt*Lz:7
n:5 =
L5:La*L¡:ll,etc.
Ahora se tiene
Lt2:l:lx3-2:LtLz-2
L12
+L22 =
12
+
32: l0:3x4
-2:LzLt-2
TNDUCCTóN
MATEMÁnce
L12
t97
¡Lt2:
+L22
12
+
32
+ 42:26:4x7
-2:LsLt-2
de donde, se puede conjeturar que
It,'=LnLn*r-2
,=0
Su demostración por inducción matemática es
l.
Para n
= l,
se tiene
I
-Lr'=12 =lx3 -2=LtLz-2
Ifi'
i=l
2.
Supongamos verdadera para
k
Ir,'
= LnLu*,
i=l
n:
esverdadera
k, es decir,
-2
luego para el caso en que n = ¡+1, se tiene
(l
tt)
*
I,,u., =
k+l
If1
(L*Lu*, -2) +L2u*,
=(LoL**, +L2o*,¡-2
i=l
= Lk*r (Lu + L**,)
-2
lo que prueba que es cierta para n:
-2
=Lu*rL¡*,
3.
k+l
En consecuencia; por el principio de inducción, la conjetura dada
verdadera para todo n e
AI
"El que aprende y aprende
y no practica lo
apnende. es como el que ara
siembra."
y ara y
que
nunca
es
.
r98
ALGEBRA MODERNA
EJERCICIOS
En cada uno de los ejercicios siguientes, demuestre por el método de inducción
matemática que la proposición dada es verdadera para todo n e
l. Ii
i=l
=
l+2+3+...1n
=
n(n + l)
2. ZfZi+ l) = 3 + 5 + 7 +...+(2n + l) = n(n + 2)
i=l
3. Itrt -l)
r=l
4.
itrt
i=r
= 2+
5
+8+...+(3n-l) - n(3n+l)
2
n(3n-l)
-2)=l+4+ 7 +,.+(3n-2) 2
5. ltot - 3) = I + 5 + 9 +... + (4n - 3) = n(2n - 1)
6. ti(i+l) =l+3+6+...*n(n+l)
Hu226
7. It'=
i=r
12
+22 +32 +...+n2
-
_ n(n+lXn+_2)
n(n+1X2n+l)
6
,=,t2)+23+33 +...+n'=l*i*t')'
8. I,'=
13
A/
INDUCCION MATEMATICA
9. Iio
i=l
ro.
=
14
iili+t)
i=r
+2t
+ 3a +... + no =
t99
n(n + l)(2n + l)(3n2 + 3n
- l)
30
= l'2+2.3+3. 4+...+n(n+l)
-
n(n
+lXn+2)
3
i(i +2) = l'3+ 2. 4 +3'5 +...+ n(n +2) =n(n+lX2n+7)
6
Á
.A'
,lól
17.
f
S.
I
I + I * I
=
fri(i+lXi+2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5
n
i
ti=l
1
t
=2t +22 +23 +...+2n =2n*t
iiZ =l'2
i=l
n(n+3)
n(n+l)(n+2) 4(n+l)(n+2)
-2
+2.22 +3.23 +...+n .2' =2+(n-l)2"*
200
f
l. iil'
i=l
ALGEBRA MODERNA
= 1.3r +2'32 + 3'33 +... + n.3n =
Jh*tr'-l)3'.l
22"
+ 5 es divisible entre 3.
32n
+ 7es divisible entre 8.
42"
- | es divisible entre 3.
23. Demuestre que para todo n € ,Ad 23"
- | es divisible entre 7.
20. Demuestre que para todo n e
21. Demuestre que para todo n €
22. Demuestre que para todo n €
24. Demuestre que para todo n €
25. Demuestre que para todo n e
26. Demuestre que para todo n €
^q
^q
^d
^{
Nl
10n*r
+ 10n + I
32n+r
*
2n*2 es
32n+2
*
26n*l es divisible entre I 1.
*
les divisible entre 3.
^{
27. Demuestre que para todo n €
¡{
22tt+t
28. Demuestre que para todo n e
Al
7n*2
29. Demuestre que para todo n e
Al
72n
30. Demuestre que para todo n e
AI
22n+t
es divisible entre 3.
divisible entre 7.
+ 82n*l es divisible entre 57.
+ l6n- I
-
9n2
es divisible entre 64.
+ 3¡
-
2 es divisible entre 54.
31. Demuestre que para todo n € N; n3 + 1n+l¡3 + (n+2)3 es divisible entre 9.
32. Demuestre que para todo n €
Ai
.+*+
/32t
Oj
es un entero.
INDUCCION MATEMATICA
201
33. Demuestre que para todo n € Ad x'n - y'n es divisible entre x
34. Demuestre que para todo n €
A{
*2n+l
* y2n*l es divisible
35. Demuestre que para todo n € A{ *2n-l
- ytn-' .,
36. Determine el entero positivo n para el
que
- y.
entre x + y.
divisible entre x
2n
- y.
:l
Iii=l = Ii'
i=l
37. Los números de Fibonacci se definen en forma recursiva como
i)
Fo:o
ii)
Fn
:
Fn-t
Fr: l;
,
* Fn-2,
y
para todo entero n
)
2
a) Escriba los l0 primeros números de Fibonacci
b) Obtener las siguientes sumas
'I
23456
Ip,',
Ip,',
IE',
IF,',
Ie,',
Ie,'
i=l
i=t
i=l
i=t
i=t
i=t
c)
Demuestre que para todo n e
Ia,'
AI
= FnFn*r
i=l
38. La sucesión de los números de Lucas se definen en forma recursiva como
i) Lo:z
ii)
a)
Ln
,
Lr: l:
y
: Ln-t * Ln-2, para todo entero n > 2
Escriba los primeros l0 números de Lucas.
b) Para n e A{demuestre que
it,
i=l
= Ln*z
c) Para n e A{ demuestre que Ln : Fn-r
39. Demuestre que para todo n €
i Et
^q
=
*
-l
Fn+r
t;,
202
AI,GEBRA MODERNA
40. Demuestre que para todo n
e ,'\i lt-t)'F, = [.'r,,_, -
I
r=l
4l . Considerando las cuatro ecuaciones siguientes
l:l
2+3+4:1+8
5+6+7+8+9:8+27
10 + 1l + 12+ l3 + 14 + 15 * 16: 27 + 64
Conjeture la fórmula general sugerida por estas cuatro ecuaciones y demuestre su
conjetura por el método de inducción rnatemática.
42. Considerando las siguientes seis ecuaciones
l: I
l_4 : _(l +2)
l-4+ 9 : I +2+3
l_4+9_16:_(l +Z+3+4)
| -4+9 -16+25 : I +2+3 +4+5
| - 4 + 9 - 16 +25 -36 = - (l +2 + 3 + 4+ 5 + 6)
Conjeture la fórmula general sugerida por estas seis ecuaciones
y
demuestre su
conjetura por el método de inducción matemática.
Calcular las siguientes sumas
43
i(2i-l)' =l' +32 +5r +.,.+(2n-l)2
44
>Qi -1)t = l' + 3t + 5t +... + (2n - l)r
4). +llllln =__+_
1.2 2.3 3'4
Íi(i+l)
n(n+l)
R,n21zn2 - t¡
R._
n+l
CAPIT(TLO WI
203
COMBIIYATORIA
PRINCIPrcS BÁSICOS DEL CONTEO:
1.
t.
I.
Sea
PRINCIPrc DE MULTIPLICACIÓN :
A :{d1dr,...,a,} un conjunto de rz elementos y B:{b,,br,...,b"} otro conjunto de z
elementos, si la idea es elegir aleatoriamente un elemento de cada conjunto para un fin
determinado, entonces el número de opciones o alternativas de efectuar esta elección
está dado
por m n.
Luego, este principio se puede generalizar para más de 2 conjuntos, es decir, si A,,
Ar,...,Ak son /< conjuntos finitos
y
cuyo número de elementos son Dr,
respectivamente, entonces el número de opciones
tomando un elemento de cada conjunto es igual
Ejemplo:
a:
D2,...,Dk,
o alternativas de formar un grupo
D¡ . n2 ... n ¡
Supongamos que Mauricio desea comprar un par de medias y le ofrecen
cuatro marcas
y
seis colores diferentes. Cuántas opciones de compra
tiene?
SOLUCION: Tenemos dos conjuntos de especificaciones:
m:4
y colores diferentes C = { c,, c2, c1, c 4,c5, c6}, n :6
marcas diferentes M
= {m r: lrt zr ln ¡, ffi o\,
de las cuales, Mauricio debe especificar o elegir uno de cada conjunto, es
decir, una marca y un color.
Por tanto, tendrá m n.:.4.6
Ejemplo:
:
24 opciones de compra.
Un conductor de un automóvil tiene 3 rutas posibles para ir de la ciudad
A a la ciudad B y para ir de la ciudad B a la ciudad C tiene 4 rutas
posibles
y
finalmente para ir de la ciudad C a la ciudad D tiene 6 rutas
ALGEBRA MODERNA
204
posibles. Si para
ir
desde
AaD
debe pasar necesariamente por las
ciudades B y C, cuántas rutas posibles tiene el conductor?
SOLUCION:
m
: 3 rutas
n=
r=6rutas
4 rutas
El conductor para ir de A a D necesariamente debe tomar una ruta del
tramo
AB,
una del tramo BC y una del tramo
total de rutas para ir de A a D es m n r
1.2.
:
CD. Por tanto, el número
3' 4. 6 : 72
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si dos decisiones (u operaciones) son mutuamente excluyentes (que no pueden ocurrir
ambos simultáneamente), donde la primera decisión se puede tomar de nr maneras y la
segunda de
r¿
Ejemplo:
maneras entonces una o la otra se puede tomar de m
+n
maneras.
Una persona puede viajar de A a B en tren o en ómnibus. Si
rutas para el tren
y 5 rutas para el ómnibus, de cuántas
hay cuatro
formas puede
hacer el viaje?
SOLUCION:
m:4
rutas para el tren
.B
n:
5 rutas para ómnibus
Es claro, si la persona decide viajar en tren ya no viaja en ómnibus o
viceversa. Luego la elección de un medio de transporte es mutuamente
COMBINATORIA
205
excluyente. Por tanto, por el principio de adición dicha persona puede
viajar de m + n = 4
2.
Sea
*
:
5
9
formas.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
n un número
entero positivo, el factorial de n, que se denota por nt., es igual al
producto.de todos los enteros consecutivos de
n!
Por
:
I
hasta ¿ inclusive. Es decir,
n'(n-l)'(n-2)... 3'2'1, para n > I
ejemPlo:
'ut
r:'rrtr:r'=
5l
2.1
a)
b)
u
: 5.4.3.2.1 :
120
PROPIEDADES DE LOS FACTORULES
por
definición:
0! =1
factorial de un número se puede expresar como:
n!
O
bien
(n
Observaciones:
n.(n-l)!
+l)!= (n+l) . n!
(n+m)! + n!
(n.m)!
Ejemplo:
:
*
m!
*n! .m!
Calcular:
7t 5! 7.6.5.4t 5.4.3t 7.6.5 5.4
=_
4131.
2t3t
4!3!
=_._
213t.
3!
_7.6.5 .5.4 =7.5.5.2
3.2.1 2.r I I
Ejemplo:
Calcular
r0!
l0 .9 .8! l0 .9
=-=-¡-31
.8!
2l
=3_(0
l0
,9
9!+8! 9.8!+8! (9+l)8! 9+l
-=
l0 .9
l0
206
ALGEBRA MODERNA
Ejemplo:
Hallar el valor de x en:
yt(x + 2)3
- ?t
x!+(x + l)!+ (x + 2¡t.
SOLUCIÓN: Por la propiedad: (n+l)! = (n * l) n!, se tiene
xt(x
+21
x!+(x + l)x!+(x
ffi
xl(x
+2\x +l)xt
+2)'
=3!
(x + 2)3
(x+2)[+(x+l)]
(" +2)t=
(x + 2)2 =
3.
=3!
=3!
37,x+2=31, x=4
PERMUTACIONES
Se llaman permutaciones a las diversas ordenaciones o arreglos que pueden formarse
con todos los elementos diferentes de un conjunto.
3.1
PERMUTACIONES SIMPLES
Son los diferentes arreglos que pueden formarse con todos los elementos
u objetos
distintos de un conjunto, cuya diferencia entre estos arreglos está dada solamente en el
orden en que están colocados.
El número de permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos está dado por:
Po=n!
COMBINATORIA
Ejemplo:
207
a) Cuiintos números de 4 dígitos distintos se pueden escribir con los
números: 2,3,4y
5?
b) Cuántos de ellos son pares?
SOLUCION: a) Los números de 4 dígitos que pueden escribirse con los números 2,
3,
4 y 5, son arreglos diferentes de estos números. Pues, los números
como 2345, 3245, 4235, etc. son permutaciones de los
4
números
dados.
Por lo tanto, se tiene
Pa= !,1
:
4.3.2.1
:24 números.
b) En este caso los números serán pares si el dígito de las unidades
es
ocupado por los números 2 ó 4. Cuando el dígito de las unidades es 2,
los tres dígitos restantes serán ocupados por 3,4 y 5
2
Entonces se tiene P3
:3! = 6 números
pares
Cuando el dígito de las unidades es 4, los tres dígitos restantes serán
ocupados por2,3 y 5.
4
Entonces se tiene Pr
Por tanto,
Ejemplo:
SOLUCION:
a)
b)
a)
:
3
!
:
en total se tiene
6 otros números pares.
2P3=)'Jt = 12 números pares.
De cuántas maneras distintas pueden alinear 8 personas en una fila?
Si 3 de ellas deben estar juntas, de cuántas formas pueden alinear?
Una posible formación de las 8 personas es
a
42
d3
da
d5
¿klazlas
Como no hay condiciones, entonces el número total de formas de
alinear es
Ps:8! = 40320
ALGEBRA MODERNA
208
b)
Podemos suponer que
o¡ d2 d3 permanecen juntas y
pueden
considerarse como un solo objeto, es decir:
Í11
72
d3
Con lo que el número de objetos se reduce a 6, y se tiene
Pe
=
6!
alineaciones distintas.
Ahora bien, en cada uno de estas, las 3 personas que están juntas
internamente pueden permutarse entre
sí, originando Pi =
3!
alineaciones distintas.
Entonces el número total es Pu P,
Ejemplo:
:
6! 3 ! : 720. 6
:
4320
De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 4 libros de
Algebra, 3 de Estadística y 2 de Física, en los siguientes casos:
a)
b)
c)
Si los libros de Algebra deben estar juntos?
Si los libros de cada materia deben quedar juntos?
Si los libros de Física no deben estar juntos?
SOLUCION: a) Consiierando los 4 libros de Algebra como un solo objeto,
se tienen 6
objetos que pueden ordenarse de P6: 6! maneras. Pero en cada uno de
estos, los libros de Algebra pueden ordenarse de
Pa: 4! maneras.
tanto. el número total de ordenaciones es 6! 4t. : 17280.
Por
b) Considerando los libros de cada materia como un solo objeto, tenemos
P3:3!
grupo se pueden permutar de Pq : 4!, P3 :
3 objetos que pueden ordenarse de
maneras, pero en cada
3! y P2 =
)t
maneras,
respectivamente, Por tanto. el número total de ordenaciones es
3! 4! 3t
c) Primero
2l:1728.
se ordenan todos los
libros sin restricción de Pe : 9l maneras.
COMBINATOzuA
209
Enseguida se ordenan todos los libros, con la condición de que los
libros de Física queden juntos, de Ps Pz :
81
2! maneras.
Finalmente, el número total de ordenaciones donde los libros de Física
no queden juntos es de 9!
3.2.
-
8! 2! :282240 maneras.
PERMUTACIONES CIRCULARES
Son los diferentes arreglos que pueden formarse con n objetos distintos de modo que no
hay ni primero ni último objeto, pues se hallan alrededor de un círculo, o forman una
figura plana cerrada.
El número de permutaciones circulares distintas que pueden formarse con n objetos
distintos es dado por
P1n-t)
Ejemplo:
= (n-l)!
De cuántas formas diferentes pueden sentarse 6 personas alrededor
de
una mesa circular, si a) no hay condiciones?
b) dos de ellas deben estarjuntas?
SOLUCION: a) Una posible formación de las 6 personas
es:
Como no hay condiciones, entonces el número total
de formas
distintas que pueden sentarse las 6 personas alrededor de la mesa es
Po-r
:
(6-l)!
:5! =120
b) Consideremos a las dos personas juntas como una sola.
ALGEBRA MODERNA
210
Luego, se tiene 5 objetos para ordenar en círculo, que se puede hacer
de
Ps-r
: 4l
maneras. Pero
las dos personas
consideradas
internamente pueden permutarse entre si deP2:2! maneras.
Por tanto, el número total de formas que pueden sentarse las
6
personas alrededor de una mesa circular con dos dé ellas juntas es
P s-r Pz
Ejemplo:
:
41
2, =
24'2:
48
Ahora, supóngase que las seis personas del ejemplo anterior son
3
hombres y 3 mujeres. Se requieren ordenar a las seis personas alrededor
de la mesa de forma que queden alternados entre hombres
Cuantas disposiciones distintas se pueden
SOLUCION: Si H¡, Hz
real¿
y
mujeres.
¿ar?
y Hl son los hombres y Mr, Mz y M3 son las mujeres, y
consideremos que H1 es la persona que nos sirve de referencia como en la
siguiente figura:
Entonces a partir de esta consideración se observa que las 3 mujeres
pueden permutarse en las tres posiciones señaladas de P3
:
3
! maneras,
mientras los dos hombres restantes pueden permutarse de P2
maneras. Por tanto, el número total de disposiciones diferentes es
3! 2r.: 6 . 2:
12
:
21.
COMBINATORIA
3.3.
211
PERMUTACIONES CON REPETICION
Son ordenaciones diferentes que pueden formarse con n elementos de un conjunto. de
los cuales uno de ellos se repite
n1 v€c€S.
otro n2 veces, etc. Es decir,
{a,a...a,b,b,...b,...,d,a,...d\
, siendo
\-J
\-----vJl--vntveccs
¡1l
* nz *
... nk = n
tllw(cr
f,|vcccÍ
El número de permutaciones de n elementos con repetición viene dado por
Dnt ,tr2, ,nk
"
Ejemplo:
-
nl'
n'l'n'1"'nol
De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas,
azules
y4
negras en una
fila, si las bolas del mismo color no
2
se
distinguen entre si?
SOLUCION:
Se
tiene
:
rrr
3 bolas blancas
nz= 2 bolas azules
.
n3:4 bolas negras
entotal
:ol1nz+n¡:9bolas
rr
luego, el número de maneras distintas que pueden ordenarse
P]'''o
'
Ejemplo:
es
9l
= 3t2l4t =1260
a) De cuántas formas diferentes pueden ordenarse las letras de la palabra
TRABAJAR?
b) En cuántas de estas, las letras A,
están juntas?
SOLUCION: a) Se trata de permutaciones de 8 letras de las cuales 3 son A, 2 son R, el
resto son a
l.
Por tanto se tiene
2r2
ALGEBRA MODERNA
pr,2'r,r'r
=
=
==$3!2!l!l!l!
3360 formas
b) Para que las cuatro A queden juntas, se debe considerar a estas como
un solo elemento. Así, se permutan solo 6 letras de las cuales 2 son R.
Por tanto, el núrmero de permutaciones en las que las cuatro
juntas
están
es
Pul'2't't't
4.
A
=
:;;Íl;:;=360
l!2!M!1!
VARIACIONES
Se llaman variaciones a cada uno de los arreglos u ordenaciones que se hagan tomando
un número determinado de objetos o elementos de un coniunto.
4,1
VARIACIONES SIMPLES
Son las diferentes ordenaciones que pueden formarse con
/
objetos tomados de z
objetos distintos de un conjunto.
El número de todos los arreglos o variaciones que pueden formarse con n elementos
distintos disponibles tomados de r en r está dado por
'n'r
Ejemplo:
-
nt.
(n
-r)t
Las variaciones de las tres letras a, b y c. tomadas de dos en dos, son:
ab, ba, ac) ca, bc y cb. Luego se tiene 6 variaciones o arreglos diferentes.
porfórmula
Ejemplo:
v,, =
1:}¡=
3!
=
6
De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 7 personas en una banca,
con capacidad para 4 personas?
COMBINATORIA
213
SOLUCION: Como en la banca sólo pueden sentarse 4 de las 7 personas, entonces
trata de arreglos o variaciones de las 7 personas tomadas de
se
4 en 4.
Luego. el número total de nlaneras diferentes que pueden sentarse es:
7l
7l
l/r.r=t
+=-=840
' (7-4)t
3!
Ejemplo:
a) Hallar cuántos números de 4 dígitos distintos se pueden formar con los
números 3,4-5,6,7,8?.
b) Cuántos de estos números son impares?
SOLUCION: a) Los números de 4 dígitos distintos
se escriben tomando
4 números de
los 6 dados, es decir, 3456,5346,7835,8436, etc.
Entonces se trata de variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4.
Luego, según la definición de variaciones se obtiene
360 números de 4 dígitos
' =-q
(6-4)!= I2l =
vo.,
b) Los números son impares si el dígito de las unidades es ocupado por
los dígitos 3, 5 o 7, en este caso.
Es decir, si el dígito de las unidades es ocupado por 3, quedan 4,5,6,7,8
para ocupar los tres dígitos restantes.
J
entonces se tiene V
5.3
números impares.
Análogamente, cuando el dígito de las unidades es ocupado por 5 y luego
poÍ 7,,se obtiene V5 3 números impares en cada caso.
Por tanto, en total se tiene
3Vr.
51
5l
3.60: 180 núrmerosimpares
=3 (s
---"'3)!= 3':.=
2l
-
2t4
4.2.
ALGEBRA MODERNA
VARIACIONES CON REPETICION
Son aquellos arreglos o variaciorrcs de
r
objetos de
cuando cada ob.ieto puede repetirse una, dos
n objetos diferentes disponibles,
o más veces hasta r en cualquier
ordenamiento.
El núrmero de todos los arreglos con repetición de r objetos que pueden formarse a partir
de
n objetos dados
Ejemplo:
es:
VR,,.,
:
n'
Ilallar cuántos núrmeros de
3
dígitos se pueden formar con los números
3. 4. 5^ 6.7,
a) Si los dígitos no pueden repetirse?
b) Si los dígitos pueden repetirse?
SOLUCION: a) Los números de
3 dígitos distintos (sin repetición) que pueden
formarse con los números
3,4,5,6 y 7 son: 345,346,753,efc.
Por tanto, son variaciones de los 5 números dados tomando de 3 en
3
sr {t
V.--=+-:-60
J'r (s 3)! 2l
-
Es decir, se pueden formar 60 números
b) Si los dígitos pueden repetirse, como 545.344.555.776.333. etc.
Es decir. el dígito de las centenas puede ser ocupado por cualquiera de
los números dados. el dígito de las decenas lo nrismo y el de las unidades
de igual forma. Luego, los números formados son
VRn.,
:
n',
siendo n
VRs.¡:53:
Ejemplo:
Con los números:
:
5yr=3
125 números
1,2,3,4.5,
¿Cuántos números distintos de tres dígitos
se pueden formar, para los cuales a) los tres dígitos sean distintos;
lo menos dos dígitos sean idénticos?
b) por
215
COMBINATORIA
SOLUCIÓN:
a)
Un número en el cual los tres dígitos son distintos es una ordenación
de los tres números elegidos de los cinco que se dan. Entonces,
se
tiene
V:.¡ =
5r
;.=
UO números
b) Si se permite la repetición de dígitos,
se tiene
VRs.¡:53:125números
Entonces los números de tres dígitos en los cuales dos por lo
menos son idénticos, son
VRs.¡-Vs.s:125 -60:65
5.
COMBINACIONES
Se denominan combinaciones a los grupos diferentes que pueden formarse tomando
algunos objetos de un número de objetos distintos disponibles, de modo que dos
cualesquiera de estos grupos difieran solamente en algún objeto.
COMBINACIONES SIMPLES
5.1
Son las diversas formas de selección que se pueden hacer de
r
objetos de los n objetos
distintos dados, sin tener en cuenta el orden de los mismos, y de manera que no puede
haber dos grupos con los mismos elementos. Es decir, las combinaciones de
partir de
z
objetos distintos, es obtener todos los subconjuntos de
r
r objetos,
a
objetos de los n
dados.
El número de combinaciones o selecciones de r elementos que pueden formarse a partir
de
n elementos distintos es dado por
nt
c-n'¡ =l') = (n-r\lrt
ItJ
donde
(n\
I I es el número de combinaciones
\.r/
,
de los n elementos tomados de r en r.
2t6
Ejemplo:
ALGEBRA MODERNA
Las combinaciones de las cuatro letras a, b, c y d, tomadas de dos en dos
son :
(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d).
luego se tiene 6 combinaciones diferentes.
Por fórmula:
Co.,
(+\
'
-l
-lr)-l-
al
-!r
-7r=6
@-M- r2t
y (b,a) son una misma combinación (se prescinde
Obsérvese que (a,b)
del orden), mientras que ab y ba constituyen dos variaciones distintas
(interesa el orden)
Ejemplo:
4
Cuántos grupos de
alumnos se pueden formar con
l1
alumnos
aventajados para representar a su colegio en un concurso de matemática?
SOLUCION: Como se trata de formar posibles grupos de 4 miembros (no importa el
orden), entonces se trata de selecciones o combinaciones de I I alumnos
tomados de 4 en 4.
Por tanto, el número de posibles grupos que pueden formarse es:
C,,,
Ejemplo:
=[t;)=
Cuántos grupos de
.,+4a
=#,=330
2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con
5
hombres y 7 mujeres?
SOLUCION: Para formar grupos de
seleccionar
2
2 hombres y 3 mujeres, primero
hombres cualesquiera de los
5
posibles,
se puede
de .,, = (;)
formas. En seguida se selecciona 3 mujeres de las 7 posibles, O.
.,,
=
[])
formas.
Finalmente el número total de grupos de 2 hombres
pueden formarse es
(',.,
('',,
, =l
Is)lz)
s!
ll lIz]l.¡,]
7t
-
3!2!
4!31
= 350
y 3 mujeres
que
COMBINATORIA
Ejemplo:
21'7
Un club de 9 miembros desea elegir un comité de deportes de 3 personas.
a) De cuántas formas se puede elegir este comité?
b) Suponga que dos miembros del club, A y B, no se entienden.
entonces A y B juntos no deben formar parte del comité. ¿De cuántas
maneras se puede formar el comité?.
SOLUCIÓN: a) Como no existen restricciones, se puede elegir o seleccionar tres
de
entre los 9 miernbros. en
_ Ilq)= et-' :
-e -r -
C..
[¡]
I
68!
S4formas diferentes
b) las posibilidades son: no participa A ni participa B, o participa A pero
no B. o participa B y no A. Entonces se tiene
f
t). f t).lt)=
f.3,1
Ejemplo:
12) \2)
7!
7t 7;
*
* =77rormas
4t3t 5!21 st2!
Considerando los números
a)
Cuántos números de 4 dígitos, que contengan dos pares y dos impares
distintos,
b)
c)
d)
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
se pueden
formar con los números dados?
Cuántos de ellos contienen a 5?
Cuántos de ellos son múltiplos de 5?
Cuántos de ellos son múltiplos de 5 y contienen a 2?
SOLUCIÓN: El conjunto de números que
)xisten
t;)
se considera consta de 5 impares y 4 pares.
formas de seleccio nar
2 impares v la)ro..nu,
12)
¿.
seleccionar 2 pares. Además, cada 4 números así seleccionados se
pueden ordenar de 4! maneias. Entonces se pueden formar
ls\/+\
sr 4l
r )o'= -;;;o'=1440
l,\-,/I\-,/
b)
números
En este caso se tiene la siguiente situación de impares y pares:
5
=
{I,3,7,9} y {2,4,6,8}
ALGEBRA MODERNA
218
Como
5 es uno de los componentes, el otro impar se puede
seleccionar
"n
[i)
y los dos pares en
maneras
cada cuatro números se puede ordenar en
4!
[1;
-*.tas.
Luego
I\z[aneras. Entonces se
pueden formar
[i)(i)c)
= 4' 6' 24
=
576númerosquecontienena
5
Un número es múltiplo de 5, si el dígito de las unidades es igual a 5.
+
5
U,3,7,9\ y {2,4,6,8}
Al igual que en b) los restantes
pueden seleccionar
números, un impar
." l1l t' li)
ul
12)
y dos pares,
se
maneras, respectivamente. Luego
cada tres números se pueden ordenar en 3! maneras, ya que 5 debe
quedar fijo. Entonces se pueden formar
(il;)'
d)
= 4' 6' 6 = t44númerosmúrtiprosde 5
Ahora se tiene
2
5
+
U,3,7,9) y {4,6,8}
Como 2 y 5 son parte de los 4 dígitos, sólo se necesita seleccionar dos
números, un impar
y un par. Luego los tres números
se pueden
ordenar en 3 ! formas, pues 5 debe quedar fijo. Entonces se obtienen
[ili),
= 4' 3' 6 = T2numeros múltiplosde 5 v contienen a 2.
5.2. COMBINACIONES CON REPETICIÓN
El número de combinaciones de r objetos tomados de los z objetos dados, de manera
que estos obietos pueden repetirse. está dado por
COMBINATOzuA
Ejemplo:
219
Las combinaciones con repetición de los cuatro elementos a, b, c
y
d,
tomados de dos en dos son:
(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(c,d),(d,d)
luego se tiene l0 combinaciones diferentes.
Según la fórmula se
Ejemplo:
( q z t\
5l
tieneCRt,z =l * z
)= 3,J,=ro
Cuántos términos tiene un polinomio completo y homogéneo de grado 4
con2 variables?
SOLUCION: Sean x e y las variables. Como el polinomio es homogéneo, todos los
términos son de grado 4. Es decir, en cada término
la
suma de los
exponentes de las variables debe ser igual a 4. Por tanto, el número total
es el de combinaciones con repetición de los 2 elementos (variables)
:2 y r: 4, se tiene
(z*q-t\ s!
cRz,a=[ +
=t
)=,
tomados de 4 en 4, es decir, para n
térmtnos'
de modo que r puede ser superior a n cuando se permiten repeticiones.
El polinomio puede expresarse así:
P(x,y) = ax4 +bxj y +cx' y' + dxyt + eyo
Ejemplo:
;
a,b,c,d,e
r
0
Seis estudiantes de primer curso se detienen en una tienda de helados,
donde cada uno puede escoger un helado entre los 5 sabores disponibles.
Cuántos pedidos diferentes se pueden hacer?
SOLUCION: Aquí interesa cuántos se compran de cada tipo y no el orden en que se lo
compran, de modo que el problema es de selecciones o combinaciones
con repetición. Es decir, combinaciones con repetición de los 5 sabores
tomados de 6 en 6. Por tanto, el número de pedidos distintos es
ls*o-t\
CRS,O=[
lo!
O )=O
=210f.ormas.
220
ALGEBRA MODERNA
5.3. PROPIEDADES
rr'
l') = v("-t\
['J-i['-rJ
z (;).(,i,)=(;ll)
i.
tt(:)=[;),entonces
4'
tt
Ejemplo:
(n\
[rJ
=
(m\
[, j
r:tbm=r*t.
,entonces n = m
Demostrar que.
[:).[:.,)=[;ll)
SOLUCION: Segrur la definición de número combinatorio
se tiene:
("\
nt J--nt
r rf rlr'\ r
[t,/ [r+1/ (n-r)trl (n-r-1)!(r+l)!
(n-r)(n-r -1)!r! (n-r -l)!(r +l)r!
r)
nt(r +l) + nl(n
=(n-r)(n-r-l)!(r+l)r!
_ nl(r +l + n - r)
+l)!
(n+l)!
(ta-r)!(r
- (n
Ejemplo:
_
+l)
(n -r)!(r + 1)!
+t)
nt(n
-[n
=
- r)t(r+ t¡i [r * rJ
Halla¡ el valor de x en:
(,, _ r) _
[z
)
(,;,0
)
=
(,;,0)_
[,,;
r)
COMBINATORIA
221
SOLUCION: Aplicando la propiedad del ejemplo anterior o propiedad 2, se tiene:
("; '). ('";') = (';'o ). (';'')
(T')=[';")
Entonces, por la propiedad 4 resulta
2x-l:x * 11
x: 12
Ejemplo:
Hallar los valores de x en
(,1'_,) .
:
(,i'_,) . (,:*_,)= [,': -)
SOLUCION: Aplicando la propiedad 2 se tiene
(,i'_,).(, :_,).(,:_,) = (.'i-)
(,11,) .(,:^_,)
=
(.'j.)
I"')_frs\
[z'-r.J=['*+.J
Luego, aplicando la propiedad 3 resulta
2x-l:xt4
ó
, X:5
15:(2x-l)+(x+4)
15:3x+3 , x:4
Por tanto los valores de x son 4 ó 5
6.
BINOMIO DE NEWTON
Si a y á son números reales diferentes de cero y n un entero positivo, entonces:
(a +
b)'
=
[;)"'
.(i)"-' u .(i)o'
r . .(:),
Siendo, los términos primero, segundo, tercero, ..., k-esimo término:
ALGEBRA MODERNA
222
n=
[;),', =(ln',, ti =(:)"'u', =(i -r)o*"u'-"
t2
tL
Luego el término general del desa¡rollo es:
tk*t
(n\
=l'i)t'-rur ,
donde
&:0,
1,2r...,n
Por tanto, usando la notación sumatoria, se tiene:
(a+b).=h(i)""r
Ejemplo:
Halla¡ el coeficiente de xre en el desarollo de
SOLUCION: Por el término general
tk*t
' ("3-O)''
se tiene:
(n\
=l';)",-rur
=11t[4)''*,-,,,*
[r ,l.r'l
=f1') ','i-1, (-r)0"*
\k 1"u-''
= 11')r,,-
\t)-
r
(-r)o
\
xsk-26
Para que el exponente de x sea igual a 19 se tiene:
5k-26:
5k:45,
19
k=9
luego, el coeficiente de xle es:
(f)'' -(-r)' =[l')",-',e :- tt44o
Ejemplo:
En el desarrollo de:
14.
-!-)'
r 'z*)
I
Halla¡ el término independiente de x.
COMBINATORIA
22
SOLUCION: Por el término general
se tiene:
(n\
tr..,
=l.o)",_rbo
t )*
=(n\(2,,')'-*l
l.tJ[ t ) \2,)
.,,_,r I
= ln )f ¿),_n r
-[¿]t
tJ
2k/
_(e\(
=
2'\o-o l
,,_,*
l.tll.tj t'
Por la condición del término independiente se tiene:
l8-3k:0, k:6
luego, el término independiente es:
"
=(:)(?)' +=
k
6.1. PROPIEDADES
1.
El desanollo completo de la potencia de un binomio tiene (n+l) términos.
2.
Los términos equidistantes de los extremos tienen igual coeficiente binomial.
').
('\=(
Esdecir.'\k)
'
\"-k)
3.
Los términos centrales en el desarrollo de un binomio (a + b)n, son:
f1*,
2
t
4.
.
5.
' ti t? es P¿u'
n*t ó t r*3
22
, si n es impar.
En el desarrollo de un multinomio (x¡ a xz +...+x)n,el número de términos
está dado
por:
CR,,n
En el desarrollo de un multinomio (x¡
P\'n,.
',n,
xi,xi,...xi,
t
xz
+...Ix)',
,donde nt
*
nz
el término general es
+... + lrr:
n
ALGEBRA MODERNA
Ejemplo:
+ -!)"
""-'l.¿
*)
Hallar el término central en el desarrollo de (
.
SOLUCION: Por la propiedad 3 y el término general, se tiene:
't*
=f 0* =(?:)tá)'(-+)''
x'o
f, zo'1l-a-
[10/ 2'
Ejemplo:
_
46184
-.,0
8
En el desarrollo de (u + x + y + z¡tq,ha\lar:
a) Númer de términos.
b) El coeficiente de ut ,2 y2 ,'.
SOIUCION: a) Por la propiedad 4, el número de términos en el desarrollo del
multinomi dado
es:
CR,.,,,
l++lo-t\ l- I'::3l
=286
-I
=CRt''o-[
lo
b) Por la propiedad 5, el coeficiente de
p,rt,nt,n:,n+ _: p2,2,2,r
o
No en¡eñar
=
J-uror
u2 x2
yt ,2 es
Zr.Zr.Zqt=1g900
a un honbre que esLá áispuetLo a
aprender es desaprovechar a unhonbre,
Vnseñar a quien no esLá dispuesLo a aprender es
nalqasLar las palabraso
,
Confucto
COMBINATORIA
225
EJERCICIOS
1. Si
, hallar
2. Si
, hallar
R:6
3. Si
, hallar
R:56
4.
Simplificar:
fr,
(4!+2)3(4!)!
- (4!+2)t+@!+I)!+(4!)!
-
5. Simplificar:
6. Simplificar la
R:
n"*t (n - l)l
expresión
R:n
("+l)!
R:26
@ -1ti'';1;v'
E
15
: 5.5!+4-41+3.31+2.2!+1.1!
R: 6!-l
7. Calcular x en:
-'
-'
(i;'). [i;').(;).[i,.') -[3 J = (il J
R:20
8. Calcular x en:
[i -,)
9.
.
[] ).(:: ).(:_ (i:,)
o)
=
R:
8;9
De la ciudad A a la ciudad B hay 4 caminos diferentes y de la ciudad B a la
ciudad C hay 3 caminos diferentes. De cuántas maneras se podrá ir de A a C?
226
ALGEBRA MODERNA
10.
Si cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada una
de las 3 áreas: biblioteca, mantenimiento y personal. Cuántas oportunidades de
ernpleo hay disponible?
ll
Hay 5 candidatos para presidente de un club, 4 para vicepresidente y 2 para
secretario. De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos?
12
E,n una pared están clavadas 4 perchas. De cuántas maneras diferentes se pueden
colgar de ellas 3 chaquetas, una en cada percha?
l3
Rt24
Cuatro viajeros llegan a una ciudad en que hay cinco hoteles. De cuántas
maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel
diferente?
l4
R:120
De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo
que uno de ellos debe de estar, a) en el centro, b) en uno de los extremos?
R:720,1440
I
.).
De cuántas maneras pueden ordenarse en un estante 6 libros diferentes de modo
que, a) dos de ellos estén siempre juntos, b) dos de ellos no queden juntos?
B':240,480
16.
De cuántas formas diferentes pueden ordenarse en un estante 4 textos diferentes
de Algebra, 3 de cálculo y 2 de Física de modo que los textos de cada materia
estén juntos?
17.
R:1728
De cuántas maneras pueden ordenarse l0 hojas de examen si deben quedar de tal
manera que la hoja mejor contestada y la peor no queden juntas?
R:8.9!
COMBINATORIA
18.
227
De cuántas maneras pueden.
sentarse
? peruanos. 3 argentinos y 4 bolivianos
alrededor de una mesa circular si. a) no hay' restricciones, b) los de la misma
nacionalidad estén juntos?
l9
)k4.40320,s76
Un grupo de 5 profesores y 5 estudiantes van a
sentarse
de manera que
aparezcan alternados. Calcular el número de formas en que esto puede hacerse
si,
a) se sientan en fila, b) se sientan alrededor de una mesa redonda?
R:28800; 2880
20.
Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plara y
4
de bronce. De cuántas
maneras pueden distribuirse entre 9 personas, si a cada persona le corresponde
una y sólo una?
2t.
R:1260
a) De cuántas maneras se pueden ordenar las letras en la palabra MAMPARA?
b) Cuántas disposiciones del inciso a) tienen Ias tres A juntas?
22.
R: 420,60
Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay 7 hoteles. De cuántas maneras
pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel diferente? R:210
23.
De cuántas maneras se pueden elegir un presidente, un secretario y un tesorero
en un club formado por
24.
1l
miembros?
R: 990
Obtener el número de palabras de cuatro letras que pueden formarse con 7
consonantes diferentes y 4 vocales diferentes, si las consonantes y vocales deben
ir alternadas y no se permite repetición.
25.
Considere los
números
2,
R:
1008
3,5,6,7,9.
a) Cuántos números de tres dígitos distintos se pueden formar con los
números dados?
b) Cuántos de estos números son impares?
R:
seis
120
R: 80
ALGEBRA MODERNA
228
26
c) Cuántos son múltiplos de 5?.
R:20
d) Cuántos son menores que 400?
R:40
Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números:
Cuántos de estos números son
27.
pares?
R: ó0,24
Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los números 0, 1,2,3, 4, 5,
6. 7. 8. 9? Cuántos de estos números son
28
impares?
R:4s36;2240
Hallar cuántos números comprendidos entre 2000 y 7000, con todos sus dígitos
distintos. se pueden formar con los números: 0,
l,
2, 3. 4, 5, 6, 7 y 81, Cuántos
de estos números son pares?
29.
1,2,3,4,5?,
Con seis números:
1.2,3,4,5,6.
R: 1680,924
¿Cuántos números distintos de tres dígitos se
pueden formar, para los cuales,
a)
b)
30.
Los tres dígitos sean distintos?
Por lo menos dos dígitos sean idénticos?
Cr"rántos partidos
pafticipan 16
31
R:120
R:96
de fútbol se jugarán en un campeonato local, en el que
equipos?
R:
De una urna que contiene 4 bolas blancas. 2 negras y 3 rojas, se extraen 5 bolas
al azar. De cuántas maneras se pueden obtener a) 2 blancas,
b) 3 blancas, c) por lo menos 3 blancas. d) a lo mucho
32
120
I
negra y 2 rojas,
2rojas?
R:36;40;45;ul
Un club de l0 miembros desea elegir un comité de diversiones de tres personas.
a) De cuántas maneras puede elegirse este comité?
b) Suponga que dos nlienrbros del club rlo se entienden.
R:120
entonces juntos no
pueden lornrar cl conritcr. ¿,De cuántas lbrnras se puede formar el comité?
R: l12
COMBINATORIA
33.
229
De cuántas maneras se puede formar un comité de cuatro personas elegidas de
un grupo de seis hombres y seis muieres.
si
el comité debe contener
hombres que mujeres?
34
más
R:
Una urna contiene 6 bolas blancas
y 5 negras. Halle
el
135
número de fonnas
posibles de seleccionar 4 bolas de la urna si:
a)
b)
c)
35.
Son de cualquier color?
R: 330
Son dos blancas y dos negras?
R:
Todos son del mismo color?
150
R: 20
Para formar un compuesto se dispone de 6 sustancias del tipo
A y de 8 del tipo
B. El compuesto requiere 3 del primer tipo y 4 del segundo. De cuántas maneras
puede realizarse la experiencia en los siguientes casos?
a) Sin restricciones;
36.
R:
b) Una sustancia determinada deI tipo A debe ser incluida.
R: 700
c) Dos sustancias déterminadas del tipo B no puede incluirse.
R: 300
Considere 3 vocales incluyendo
Iaay
7 consonantes incluyendo la b.
a) Cuántas palabras de 5 letras. que contengan 2 vocales
distintas, se pueden formar con las letras
y 3 consonantes
dadas?
b) Cuántas de ellas contienen a b?
R: 12600
R: 5400
b?
c) Cuántas de ellas empiezan con
R: t080
d) Cuántas de ellas empiezan con a y contienen a b?
37.
1400
R: 720
Una pastelería ofrece cinco tipos distintos de pasteles. Si se supone que hay al
menos una docena de cada tipo al entrar en la pastelería. de cuántas formas se
podrá seleccionar una docena de
38.
pasteles?
Cuántos términos tiene un polinornio completo
a)
es de grado
2 con 4 variables?
r
R: lszo
honrogéneo. si:
R: l0
ALGEBRA MODERNA
230
b)
39.
40.
es de grado 4 con 3 variables?
R: l5
de: (" - +)'
Hallar el onceavo término del desarrollo
Determinar
desarrollo
¿.
x
R.-l00l
x
de modo que la suma de los términos tercero y sexto del
/ -t
\7
i -2rl
[2 )
f
sea
"
4t.
Hallar el término independiente del desarrollo a.,
42
Hallar el término en *'del desarrollo a"(
43.
Determinar el lugar que ocupa el término en x7 del desarrollo del binomio
(Ji. #)''
,' * !'l't
l'/
R: 795 x3
R:
Hallar el lugar que ocupa el término del desarrollo
tffi. rF)'
45.
46.
del
que contiene x e y elevados a la misma potencia.
Hallar el término central del desarrollo de
(V:- iL)''
Hallar:a,Pyn
t7
binomio
R:
t¡6
715
R._
( J¡ Jzr)
En el desarrollo del binomio (x*+yp)n, el término décimo es 55
4
R:5
(;'t.?r)''
44.
I
R:0,
igual a cero.
2
x2a y72.
R:12;8;ll
COMBINAT'ORIA
231
47. El siguiente binonlio
posee 16 términos. hallar
el término onceavo de
v
su
35
R : 3003-i6
desarrollo:
x
48.
Hallar el término decirnotelcero del clcsarrollo del binomio (rr
" "'"1.--:)'$-)
sabiendo que el coeflciente binonrial del tercer término es 105.
49.
En el desarrollo de
(
\"
-;j'
[-t
los coeficientes binómicos de los términos cuarto
y decimotercero son iguales. Hallar el término que no contiene
50.
R: 455 x-l
x.
R:3003 aro
La suma de los coeficientes de los términos primero, segundo y tercero del
/
desarrollo de I
I
xt *
rt \n
" a46. Hallarel término qLle no contiene ax.
x)I ., igual
R:
51.
Para qué valores de n los coeficienies de los términos segundo, tercero
y cuarto
del desarrollo del binomio (l+x)n forman una progresión aritmética?
52.
En la expresión
tu
(r'lr' * +
, ú)
|
hallar
R:7
x para que el tercer término
desarrollo del binomio valga 240.
53.
Determinar
x en la expresión
84
del
R:2
('O.+lt,
vj/
\
sabiendo que en el desarrollo del
binomio la relación entre el séptimo término contado desde el principio y el
séptimo término contado desde ei final
54.
a) Hallar el coeficiente de x2 yt to
uut.
I6
"n(x+y+z)e.
R:9
R:
1260
232
ALGEBRA MODERNA
b) Cuántos términos distintos aparecen en la expresión del inciso a)?
R: 55
Demostrar las siguientes igualdades:
55.
56
[:).[l).[;).
.(:)=,'
t;) tl) . [;) -
. ,-,,"[;)=
'
EJERCICIOS VARIOS
57.
Simplificar la expresión
58.
Los automóviles Buick se producen en 4 modelos, de 12 colores, 3 potencias de
R: 7!
motor y 2 tipos de transrnisión.
a) Cuántos automóviles diferentes pueden fabricarse?
b) Si uno de los colores disponibles es el azul. Cuántos automóviles distintos,
de colol'azul. se pLleden f.abricar?
c)
Si una potencia dc rnotor es V-8. CLrántos automóviles azules distintos tienen
motor
59
V-8'?
R: 288,24,8
De cuántas maneras pueden ordenarse los símbolos a. b, c. d. e, e. e, e, e,
de
modo que: a) las cinco c cluccleniuntas. b) tres e siempre estén juntas. c) ninguna
e sea ad1'acentc a otr¿r?
R: 120,840,24
60. En un lugar clonde venden hambur_r¡uesas se advierte al
cliente que
su
hamburguesa pucclc ir con toclo lcl siguiente o sin ello: salsa de tomate. nlostaza.
ma\'o11esa. lcclruga. tonl¿rtc.
harlburguesas s()u ¡rositrlcs'?
ccbolla 1 pcpinillo. Cuántos tipos dif'erentes
R:
de
128
COMBINATORIA
6l
--)
a) Dc cuáutas r.u¿urcl'as pueden colocarse 7 personas alrededor de una mcs
c
irc trlur'.'
b) ('ur.intas clisposiciories sou posiblcs si 3 personas insislen en sentarsc.juntas'.)
R: 72(),
62
l{'
De cuántas fornlas se pueden seleccionar un equipo de balonccsto ctc cincc
persr)nas de entre 12 jugadores posibles? ¿,Cuántas selecciones inclulcn al más
débil
63
r al más firerte cie los.jugadores?
lt:7e2.120
Lin sábado. cuando iban de compras, Silvia y 1'eresa vieron a dos honlbres
alejarse en autornóvil de la fachada de una joyería. justo antes de que sonara una
alanna corltra robos. Auuque todo ocurrió muv rápido. cuando fuc'ron
interrogadas las dos.ióver-res. pr.rdieron dar a la policía la si-uuiente información
acerca de la placa (que constaba dc dos letras seguic'las de cuatro dígitos) del
automóvil
qr"re hu1'ó.
una O o Lrna Q.
Teresa estaba segura cle que la segunda letra de la placa era
¡ que el úrltin'ro dígito era un 3 ó un 8. Silvia dijo que la primera
letra de la placa era Lrna C o una G
1"
que el priurer dígito era definitivamente un
7. ¿Cr-rántas placas diférentes tendrá que verificar la policía?
64.
R: 800
Un estudiante tienc clue responder siete preguntas de un cuestionario de diez. De
cuántas fornras pucde hacer su selección si: a) no hay,'restricciones: b) debe
respondc-r ncccsari¡,urcnte a las dos primeras preguntas: c) debe responder a tres
prcguutas conr() nríninro de las cinco primeras'?
65
Ctln 7
conson¿rr.ltcs
r
R:120,56,1
-l r ocales. cuántas palabras pueden
lbnlarse. conteltiendo
cada trna 3 ctrlson¿rntes 1 2 r'ocales?
66
Consiclere los núrnreros
a)
l.
2. 3. 4.
-5.
l0
R: 25200
6. 7. 8. 9.
Cttántos núuncros dc -5 dígitt)s. qLle contcnsan clos
distintos.-su pucdcn lilrnlar coll ltls ltúultcros
¡lllcs
r[arlos'.'
\
trcs iurparcs
lt:
7200
ALGEBRA MODERNA
234
b) Cuántos de ellos contienen a 5?
67.
R: 4320
c) Cuártos de ellos son nlúrltiplos de 5?
R: 864
d) Cuántos de ellos son múltiplos de 5 y contienen a 2?
R: 576
a) De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra ROTATORIO?
b) Cuántas ordenaciones del inciso a) tienen las tres
o
juntas?
c) Cuántas ordenaciones del inciso a) no tienen las o adyacentes?
R: 15120,1260,6300
68.
De cuántas maneras puede distribuir un profesor ocho pasteles de chocolate y
siete de canela entre cuatro de sus alumnos, a) de modo que cada uno reciba al
menos un pastel de chocolate; b) si cada uno quiere como mínimo un pastel de
cada tipo?
69.
R: 4200, 525
Dada la siguiente lista de números: -5, -4, -3. -2, -1,
1,2,3,4,
se seleccionan
cuatro números. De cuántas maneras se pueden hacer las selecciones de modo
que el producto de los cuatro números resulte positivo
y a) los números sean
distintos; b) cada número se puede seleccionar hasta cuatro
70.
a)Hallarelcoeficientedex2
veces?
y'z'en(ru*!*l*r)'o
[ 32 )
b) Cuántos términos distintos aparecen en la expresión del inciso
71.
R: ó6,255
R:35
a)?
R: 286
En los siguientes ejercicios, hallar el número de soluciones enteras no negativas
para la ecuación dada:
xz:5
a) x¡ + xzl xt:7
a) x1 +
72.
x2:7
,
b) x¡ +
,
b)xl +xz*x¡*x¿: l0
Hallar el equivalente de la siguiente suma:
R:6,E
R: 36,286
COMBINATORIA
fk=l
73.
Calcular x
235
O.O!=
en:
l.
1!+
2.2t+3 .3!+ ... +
n.nl
2+2.21+3.3!+4.41+...+(x+2).(x+2)r.
R: (n+l)!
:22t.
-
R:le
Demostrar las siguientes igualdades:
74
(;).
7s
(l). ,(;).,(;)
76.
'(l)*,'[;).
.
.,'(i)=
''
. .(:)= .,.-,
) l, entonces:
(2"\ ( zn\_t(zn+z\
=
[ , .,J.[,-tJ
)
Demuestre que si /, es un entero con n
il,t
77
.
Demuestre que si n
y
con
nt r ) 2, entonces:
).[,"-,)=(":')
Calcular la siguiente suma:
78. i
uo=,
ft =l*2*1*...*'
(n + l)!
1k +l¡l 2t 3! 4l
R:rn
tt-
1n
"El hombre es un ser
en
busco de signif icodo"
Plotón
I
I
* r)r
CAPITT]LO
Wil
xúptnnos coMPLEJos
YSUS OPERACIO.YES
I.
NUMEROS COMPLEJOS
Se sabe que todo núrnero real tiene la propiedad de que su cuadrado es un número real
no negativo.
Por tanto, la ecuación cuadrática
*' + I :
0 no tiene solución en el conjunto de los
números reales. No obstante. es posible extender el conjunto de los números reales a un
conjunto mayor. llamado coniunto de los números complejos, mediante el cual se podrá
resolver cualquier ecuación cuadrática. Para ello. la unidad imaginaria se define como
t=
JJ
, con la propiedad de que
i
I
=
-l
El conjunto de númerosde laforma x+yi,dondexyJ, sonnúmeros reales
e
i=
rF,
recibe el nombre de conjunto de los números complejos . Los números reales x e y en la
expresión
7: x * yi. se conocen respectivamente, como parte real y parte imaginaria de
z . Se escribe
Re(z):x, Im(z):y.
Por ejemplo,
si , =? -1i.
32rz
.,rton.es Re(:)
:? ,
Im(z¡ =
-1
: ¿ *ái son iguales si y solo si tienen iguales
las partes real e imaginaria. Es decir, x : e !' : b.
El conjugado de unnúmero cornplejo z:x+yi es ::x-_yi , obien x+yi yx-yison
Dos números complejos
z/: x + yi
y zz
,
números complejos conjugados. Por ejemplo,
el conjugado de
siguientes números complejos es:
Si
Si
Si
Si
Si
z:2+3i.elttonces z=2-3i
z:3- 4i.entonces z=3+4i
z:-5-i. entonces 3=--5+i
z=2i entonces z=-2i
z= -3
entonces z = -3
cada uno de los
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
2.
237
OPERACIONES FANDAMENTALES
Las cuatro operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se denominan
las operaciones fundamentales. Cuando estas operaciones se efectúan con los números
complejos, podemos proceder como en el álgebra de números reales, con la excepción
deque
i2:-I
.
Para dos números cornplejos cualesquiera zr
: x * yi, zt L o + ói, se definen las cuatro
operaciones fundamentales como sigue:
2.1. ADICIÓN
La suma de dos o más números complejos se obtiene sumando separadamente
partes reales e imaginarias, como sigue:
zt +
Ejemplo:
zi
= (x
+ yi)+(a + bi)=
(x +
")+
(y
* t)
Efectuar las adiciones indicadas.
a)
zt+22+23,b)
Sabíendo
z,+f,+zo c)
l,+zr+zo
que zt =2-3i, z, =L+i, ,, = -f,., Zt =2
SOLUCIÓN:
a) z,+ 22, z, =(2.-zi)+(;.r).(-;)
=(r*;).[-3
+, -
;)' =
b) z,+4+4=Q-ti).[]).O
i-i,
=2-3i*1*
222=q-1i
c) 4*',*zo=tF).[-;).0, =:-,-i*r=]-],
las
ALGEBRA MODERNA
238
2.2.
SUSTRACCIÓN
Para restar un número complejo del otro, se resta las partes reales
separadamente.
- zz -
(x + yi)
-
(a + bi) = (x
-
a) + (y
- b)i
Efectuar las sustracciones indicadas.
a) zt-zz,
b) 22-23,
c)
2' -2,
d) 2,-t,,
e) @-Q,-r.),
D
(2a+ zr)-2it,
Sabiendo
SOLUCIÓN:
imaginarias
Así tenemos
zt
Ejemplo:
e
a)
zl
b)
z2
,, =L-¡,
z, = -)¡
t-,
l-(.t-'J-[-
=( L -,) o3
c)
,,
d)
7
e)
que
2)
[ -r*1)-
(2, +
4)-
Q,
(;
-tl-t-r'
*( -r- l'), = 1 -lt
z¡:-z-1¡
=(
-z,=tr ü
zt = -2i
2
i)=zr-:.i=-L+3i
-,,) = ¿ - ¡ a ¿,
-l=-
Q)f
3¡^5¡l
=--+-+2+--='*3i
2222
0
(2
z, + r,¡
- z¡ r,
-
i) +
zt71
7-2¡l=lt - zt + 2il- 2i(-2-
= lz(+
i) = r + 4i -t = 4i
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
2.3.
El
239
MTILTIPLICACIÓN
producto de dos números complejos se obtiene multiplicando como binomios
ordinarios, como sigue:
zp2=(x+yi)(a+bi)=(xa-yb)+(xb+ya)i
Ejemplo:
Efectuar las operaciones indicadas.
a) ztzz , b)
Sabiendo
SOLUCION:
a)
que
zt
zr4
=-l+2i
,
, c) ,rz, - (2, Zz
=-2-i
,
z,
tr),
=2-j2
,, ,, =
(-t + 2)1-f,i) = (- I + 2i)(-2 + i)
= -l(-2+ i) +2i(-2+ i) = 2- i - 4i +2i
= (2 - 2) + (-l - 4)i =0 - 5i = -5i
b) tr4 =e2 - i)(2 - 22
') =(-2 - i)e + !.¡
=-2(2*l)-¡(z+l)=
' 2' '- z'
4-i-2i+l
-"2
=-
!-2,
J'
2
c) tr4-Qr- tr)= zrTr- zt+ 22
Q-;)Q- ,5-(t+2l+1Ti¡
Q-;)e*i)*t-2i+(-2+í)
++!+ l-2i-2+i:13 -,
44
2.4.
DIWSIÓN
Al dividir dos números complejos, siendo el divisor distinto de cero, puede obtenerse
el
cociente multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado
del divisor, y
se obtiene:
ALGEBRA MODERNA
240
zt _ztz2 _G+yi)(a-bi)
_la-xb.
=*1*y!
z, zaz. @+bi)@-n-7
+ü- o\ü'
Ejeinplo:
Expresar cada una de las siguientes expresiones en la forma binómica de
los números complejos:
a)'
2 b) 3i
l-2i'
2-i'
c)
2-3i
l+2i
SOLUCION:
_\ 2 _ 2(I+2i) _2+4i_2,4,
u)
rlt- (r-rrxr+n- l+4 - 5 - 5'
b) *__;#r=#=_i.Í,
4 7.
-\ 2-3i _(2-3i)(t-2i) _2-4i-3i-6 _
L)
--t-5'
l.2t- (r+u)(raD- l+4
-Ejemplo: Expresar
complejos.
1+i 2-i
t=t1_¡
en la forma binómica de los números
ta2,
SOLUCION: Aplicando las propiedades de operaciones fundamentales,
(l
- _ + ;)(l + i)
(1-,Xl+,)
- i)(t -2i)
(1+2i)(t-2i)
(2
l+2i+i2 2-4i-i+2i2
t-t' - t-(2D2
l+2i -l 2-5i -2
l+l
1+4
2i -5i =i+i=2i
=::25
se obtiene:
24t
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
2.5
PROPIEDADES
Si
l.
z¡
zt +2.
2.
zt
: x * yi.
22: a *
-(x +a) -
(y +
bi.
entonces se tiene
b)i=(x -
:
yr) + (a
-bi)=zt
+2.,
- yr) - (a - bi) = a -;
3. ry, =(xa-yb)-(xb+ya)i = xa-yb-xbi-yai
-
zz = (x
-
a)
-
(y
-
b)i
(x
: x(a - bi) - yi(a - bi) = (x - yi)(a -bi) = zt z,
4.
t;)
xa+yb ya-xb_. xa+yb-yal+xbi
=......'...................................._
a2+bt at+b2-
_ a(x
-
yf) + b(x
Z,Z,
=-
a:+b2
- y,) _ (x -
yf)(a + bi)
Z'rZ,
-tr"
--_:-.:
zzzz-4z )
Por otra parte. es fácil ver que
Refz)
Ejemplo:
-z+2
z
Im(z) =
z-z
2
En la siguiente ecuación, hallar el complejo z.
14:E+l
SOLUCIÓN: Aplicando las propiedades indicadas
se tiene
=E+l
z +3i=-iz+l
21t+i¡=l-3i
2 -Ti
-3i _ (l - 3rxl -,) = _7 _2i
'; =tl+i
2
Entonces resulta z =
-l - 2i = -l + 2i
UÓOUTO ySUS PROPIEDADES
El módulo de un número complejo z = x *
yi
se define como el número real
positivo,
ALGEBRA MODERNA
242
l'l=,p
+
¡
ltl' = rz
o bien
por ejemplo, el módulo del número complejo
z: -3 + 2i es
Vl=l-3+2\= (-3)'+22
Por otra parte si z¡
y 22 son dos
=JÑ=JiJ
números complejos, son válidas las siguientes
propiedades
l.
2.
J.
4.
Sea
FORMA POI.AR DE UN NÚMERO COMPLEJO
P un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo z = x + yi,
como se muestra en la figura
l.
Por trigonometría; en el trirlngulo rectiíngulo OAP se
tiene: x :rcos 0, y :rsen0
donde
Fig.
I
.=.FT* I :lzl se llamamódulo dee ;
y el ringulo 0 =
arct¡I
se llama argumento de z.
z:xlyi:r cos 0 + i r sen 0: r (cos 0 + I sert 0 )
De donde z : r (cos 0 + i sen 0), se llama la forma polar del número complejo; r y 0 se
Portanto,
llaman coordenadas polares.
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
Ejemplo:
243
Hallar el módulo, el argurnento y la forma polar del número complejo
z
,22
-
-__
v5
L
3.
_,
SOLUCION: Al representar gráficarnente el número complejo dado, tenemos
, arctglX = -60o
0: 180'-60o = 120o, ya que está en el segundo cuadrante.
Por lo tanto,, : -+*1, =.F(cosl20o+isent2Oo)
Argumento
5.
La
FORMA EXPONENCIAL
ecuación
eio
= cos? + isend,
que define la expolencial compl
€1a
ei
t p*u todo valor real de 0, se conoce como la
fórmula de Euler.
La fórrnula de Euler permite expresar un número complejo en forma exponencial, como
sigue:
Zt
:
x+
yi
-
4
(cosá, + isen 0r) = r,r't'
zz = a + bi = rr(cos?, + i sená, ) = rre't,
Por tanto,
siguientes:
,el
producto
y el cociente
zlzz = rre'e' rrete'
-
de estos números en la forma polar son
1r1rg¡(e'*o'l
las
ALGEBRA MODERNA
244
=
[cos(P, + d, )+ isen(á,
rr12
z, _ rre'o' _ rl
;46=
Ejemplo:
Hallar
a
r1
t+
^,1er-or¡
zt
=I-lf¡t
(-.F)'
_a
-z-
,
r) =
trfff+i=2,
entonces
-
z1
,
-60o
= l80o
zl
b)
ztzz
0l =
0.,
I
- or) *isen(á, - or)l
[cor(a,
a)
si
ár
k'
Sabiendo que
SOLUCION:
*
Z,¡=-u[+f
*os+
= -60o
, por estar en el cuarto cuadrante
arctg--16 =-3oo
-./J
30o = 150o , por estar en el segundo cuadrante
ztZ2 = r,r, [cos(á, + 0.,)+ isen(9' +
0.)]
= 4[cos 90o + I sen 90"]
= 4(o + i)= 4¡
"
z)
-"ra [cor(a, -or)*isen(á, -er)l
= l[cor(- 2l o")+ i sen(- 2l o")]
,Ei
22
NUMERÓS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
6.
245
TEOREMA DE D'MOIVRE
Por la fórmula de Euler, tenemos:
z =-x + yi = r(cos? + i sen 0) = ,e'"
Por tanto, la potencia enésima del número complejo z es:
z" = (x + yi)" = r" (cos/+ isená)' = r'
z" = rn (cos n0 + i
sen
n0)
e"'o
'
Esta última relación se llama teorema de De Moivre.
Ejemplo:
Calcular (-1- rf3,')t usando el Teorema de De Moivre y expresar el
resultado en la forma binómica
SOLUCION: Primero expresamo s z =
-7-.6¡
en la forma polar y luego aplicamos
el Teorema de De Moivre. Así tenemos.
r =.,ftlt)'
d = l80o
_E
+GJj)' =z .
+60 =240"
arctg "
-l
=60o
, por estar en el 3er cuadrante
,' :r'(cos70+isenTd)
= 2t (cosl680o + isen I 680')
Ejemplo:
= 2t (cos 240'+isen
240') , por trigonometría
=
-64(t + J3¡)
I "5)
^,(
2
;-;')=
Calcular
[-
tr#
SOLUCION: Sean zt = J1
, y expresar el resultado en la forma rectangular.
-i y
Zz
=l+
,,5¡
ALGEBRA MODERNA
246
entonces ,, = 'l-+l
=2 ,
r, = ,[+3
=2 ,
por
tanto
6
lt 6i6e,
€
z)4
f,4€t40.
', =
ó
= ![cos1O 0t
r)
es
decir. ('n
"lf
0z= arctg
ftó
r.)
= UO"
;
o,¡60,-4er'¡
4o
40,) + i sen(6d,
- tI =!@rr-420")+
(t. Jul
=
7.
-
-
0t= arctg*
"J¡ = -¡O'
- 40)f
isen(-420")]
o(!-€r)
2) =2-2Jii
[2
N.qiCTS DE UN NÚMERO COMPLEJO
Ahora consideremos la radicación o extracción de raíces de un número complejo.
Recordando que los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera no
se alteran
si el ángulo se aumenta o disminuye en un múltiplo entero positivo de 360o.
Por tanto, para cualquier número complejo, si
k
es un entero no negativo se puede
escribir
z = r(cos?+ ¡send) = r[cos(0 + k360")+ isen(d + k360')]
Extrayendo laraízenésima en ambos miemdros y por el Teorema de D'Moivre tenemos
,J
Luego, haciendo
distintas de z.
+ *too")
* k360')-l
* ,r.nlá
i"-''1"""l.
=,,G1
"or(0 n
,'"""(
,
))
k:0, l,2. .... (n - l) sucesivamente, obtenemos las ¿ raíces enésintas
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS
Ejemplo:
OPERACIONES
247
Hallar las cuatro raíces cuartas de z=-2+Z-,ll¡
y
representarlas
gráficamente.
SOLUCION: El módulo y el argumento del número complejo dado son:
,=r[(
=4
g = lg0o
t
- 60o = 120o,
Por la fórmula
delaniz
arcts2.'6
--2 -69.
ya que está en el segundo cuadrante.
enésima tenemos
* *1"*(*#*)
=
., -''(
*T*)]
Asignando sucesivamente a lc los valores 0, 1,2,3, obtenemos las cuatro
raíces pedidas:
k
=0
,wo =Jj[cos3O.+isen30o]
=fr$
k
=l
,wt =.,/7[cosl20o + isenl2O
*!et*
Jl¡)
,w2 =.8[cos2l0o + isen2lg
* -{<$
*,>
k=2
k=3 ,w! =.8[cos300o + isen300 +
*r,
*rt-.rf¡¡l
Estas raíces se representan en el plano complejo, como sigue:
248
ALGEBRA MODERNA
Obsérvese que estas raíces están igualmente espaciados a lo largo de la
circunferencia de centro en el origen y radio .D . Rritnirmo, obsérvese
que la suma de todas las raíces es igual a cero. Esto es
WO*WlaWZ+W¡:0
Ejemplo:
Hallar las seis raíces sextas de la unidad.
SOLUCIÓN:
Sea z: l,entonces r: I y 0:0o
l:cosk360"+isenk360"
luego,
= .o5 Ey+
'66
uú
si
:
j sen
Ey,
:
k:0 3
wo
k:1 ?
wr = cos 60o
k:2 ?
wz:
k:3 3
w¡ = cos 180" + i sen l80o :
cos 0o + i sen0o
1
k = o, 1,2,3, 4,
+ 0i
f i sen 60": 1*€,
22
cos l20o
I
* i sen I20o: --+
.,6
22-
-l+0i
k=4 3 w¿: cos 240o + i sen 240o: _1_.F
22
k: 5 =
w5
:
coS 300"
+ i sen 300o =
I
..6.
22
I
5
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
8.
EXPONENCIAL
Sea z: x-l yi
Y
249
LOGARITMACIÓN COMPLEJA
cualquier número cornplejo. Entonces, la exponencial compleja
se
define como
et:
ex+Yi
: e*
-
ex
eYj: e* (cos y + I sen y)
,
:
donde
le'l
Ejemplo:
Sea z= 2 - 5i. Entonces
e': e2-si - e2 e-5i: e2 q.os 5 - i sen 5):2.1
Se sabe
o bien
drg (e')
y
que z: x-ryi: r (cos 0 * i sen 0): r e'e
z : r (cos (0+2nk) * I sen (0+2nk)) -..
+
7.1 I
(0+2rk)
En donde 0 está en radianes y k puede ser cualquier entero.
Entonces
Cuando k
:
ln
z:
(e+2rk)) :
ln (r e
ln r +
l(e+27rk)
k
e
Z.
0, se tiene el valor principal de ln z, es decir
lnz:lnr+i0
Ejemplo: Sea z:3 - Jj i.
r
=.f.1-S¡
Entonces
=2:/5,
e = aÍctg
-Lrad.
6
luego
lnz:tn(3 - .6 ¡)=ln(2 JJ)+t(El valor principal
y z2dos números complejos tales que
ztz2 se determina como sigue:
6
keZ
es
tnz: ln(3 - JJ ¡l: tne Jj)
Sean z¡
! +2rk),
21
-L6
¡
*0. Entonces la cxponencial
conrple.ia
250
Haciendo * = zt4,
ALGEBRA MODERNA
y aplicando logaritmo
natural se tiene
ln w =
Por definición de logaritmo
resulta
g¡
o bien
- gz2lnzl
Zl4 -
Ejempto: Sean zt=l_i
--
4lnzl
y
"z2lnzl
4=l+i.
Hallar elcomplejozfz
SoLUcIÓN:Comorl=lzlI:@=¿,'0I=arctg(-l)=.f,,^a.
Entonceslnzl=ln
luego
z2tnz1
=
(I
-
Por tanto z1z2
=
Siendo el valor
z1z2=
Ejemplo:
SOLUCIóN:
"tn,[i+!
Hallar ln
Como
z,
Ji *,t_
+2nk),
z2ln z1
*1
Jt+
=g
0n
-2nk
(cos (rn
"rn'Q
f,
principal
(cos (rn
E_ir*i
2'
_znx)+A^
J,
_
I
+2nk)i
Jl - lo *znu,t
J, -i+2nk)*
r
sen (rn
z= -1- '6,
2
si
-2r*)+(rn
Z
ke
^li * + f, *znk)]=(ln Ji *
[
+i)[tn
"
i
JI_
'
i sen
h Ji _! *znlr)l
4
f,n=0.9_
arctg
r.3,
=!
+-%3
-,tri,,
r = lzl =
0=r *
tn z
=r"
!
=
[-
* ^ü
:
por encontrarse en tercer
cuadrante
*'J =,",.,(+ +2d,)=,(+
+2d,)
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
251
Siendo el valor principal
nz:
Ejemplo:
¡!
J
Hallar el valor principal de la exponencial
SOLUCION: En efecto
Jti
-.6*;
t -^fg,
22
4
luego se tiene
- 6)'*l-1)' =, o=n*L=
2)\2)
6
f=
-
.F
{12
2 -11=
2) rr, ¡l?+zo*\=
\6
,/ \6
logaritmo natural en la expresión dada
= -¡n(- #
!i) = -,,"1- €2 - r)2) =
Ir-Jli,
=?*2r¡
6
[
keZ
ión de logaritmo resulta
l!+z¡.
e6
alor principal
'lr
e
Ejemplo:
6 = 39.06
Hallar el valor principal de z en
ALGEBRA MODERNA
252
SOLUCIÓN: Aplicando Iogaritmo natural a ambos miembros de la ecuación dada
tiene
(valor principal)
(valor principal)
Entonces resulta
/\
-'l\.¡Ll=nJ1-¡L
6i
4
despejando se obtiene
,=i9lnJ7+i=1+¡1mz
tT227r
Leonhard Euler ( 1707
-
1783)
se
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
253
EJERCICIOS
En cada uno de los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas:
f
_
\/
\
-:
(Jr +;fit+ Jri)-
R:2+3i
(-z+t)
2.
(lr *,l-tif -(r *.,f0,)
3.
(+
4.
zt(s
5.
(r-¡Xz+i[l-zt)-zo
R:l+i
6.
l+i2l
l-t l+i
-+
R:l+ i
7.
8.
9.
10.
R:-2
- si\z+ ei)+ (l - zi[l - si)
+tzi)+(z +:;)(s +7i)+(:
i
r2l
+J-e¡
R:27
+
+i[s -rzi)
-l0i
R: 28 + 23i
R:l+i
l-2i 2-i
5i
l-8r l3r
2
l+i
8+i 3+2i l-t
Ji *Ji¡ I
'12-J3i l-t
-(l+i)2
3
l+i
* I +2+i6
3-i t-2i
R: l-i
l+i
I
I
l.
(3-i)(2+i)
)
l+r
l-t
ALGEBRA MODERNA
254
12.
R: l-i
13.
R:-1+5i
2
14.
15.
16.
l+5i 3+2i l+i
3+4i+-+3-4i
2-i 2+i
5i
(l + r)2
.4
t+t
^
¿-t
.5
R: I -i
-l +2i
l-,
t7.
18.
5+i
R: -l -t
.9
+¡
.16
I
.10 .t5
:
+t -t
R:2+2i
t
(2i-it)'(¡-3i-'¡'i'
R: lOi
(i +2i-t ¡'13i + i-'¡'
19.
(2 +
t7
)(2 +
X-3 + i'¡13 + i" ¡
ie
,(l
20.
q
1l +
i'¡3
-
R: -9 + l3i
3r)
-Q+t ),.+(r+re¡o
R: -3+2i
1l+2i7 )3
21.
R:
h-t)-'-rl
*411+i-'¡-'
22.
kt
* r-' -t-'
l+i
|
+4(-l + i-')-'
R:
-l+ i
a
I
i
:
2s5
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
0-t)-'-(t+i)-'
23.
l-t
]'
R: -3
- 4(l -,-' )-'
24.
+i
R: I -i
I
R: I +i
25.
t,
l-
26.
l+i
R:1-i
l-t
27.
i+i2 +i3 +ia +i5 + i6 +i7 +it +ie +ilo
R: -l+i
28
i-t +i-2 +i-3 + i-4 _i-s +i-ó +i-? +i-8 +i-e +i-r0
R: -l-i
29
. Si:
4=24+22122=0-D -2r,4+(l-t)=2(i+¡)
calcular , =t, t?t, - t, +'(Zrl)+
23 -zl
p._11++i)
zrt
2
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el complejo z:
30.
(2-i)z =(t+2i)z
31.
(l+2i)z = 5it (2-3i)
R: -2 +i
R: -7+4i
256
32.
JJ.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
ALGEBRA MODERNA
z+2i=I-iz
R'3-i
¿ -l¡ =7T2
*.-5+i
l-2i
2
2
l+i7
R:3-j
1*.f¡¡ _ ',6*¡
R:^[+r
z2'
l+i * 2=0+i\2
z-l
x,f,rz-i>
I 2+i
z-i l+i
-+--'¿-,
2+i
i +--¿
z+2i 1+i
R: I
R:1-i
1-t 3-2i l+i
5-i 2-iz =-3+2i
zi
-2
l-t
zi
R:
13-2i
+l
l-t
@lt) _ 2+i
zi
+2i
R'3-j
-2 I-2i
2
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar los valores reales a y b que cumplan con
la relación dada:
42.
(4+2i)a+(3-3i)b:13+i
43.
(3a- i)(2 + i) - (a- biXl + 2i) :
R:2, I
2
¡i
R: 1,2
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
44. 2(ai- 5b+2) +2i(ai+2b+
45.
Sr
2+i
z,l^ -
5-t
-
-
3) +
l-i
i:a(3 +4i)-b(8-3i)
' 2+i'
Z¡ -
257
calcular lz,
¡
R: 2, -3
n'l
+ zrl
JZ
-
* ¡X,.6 - ¡I-
¡¡
46.
Sr
,-
(r
47.
Sr
71:
-l + i
":
Ei-lz¡l,calcular
¡¡)
3r(l-rxl-v3r)
,
R: ..D
calcular lzl
lzl,*
y
R:2, -4i, -16
za
Expresar los siguientes números complejos en su forma polar:
48. a)
49.
+J-Z¡
a) 6--r
22
s0. a)
'51.
_"1-Z
a)
z¡61-t_+ ¡)
/)
b)
b)
-
-.6i
r
€-1I
b)
t-
b)
-2i
J1¡
2i
En cada uno de los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas:
'.E (.ot 90o + i sen 90o)
52.
3 (cos 45o + ¡ sen 45')
53.
(cos 280o + i sen 280') ' 4 (cos 50o + i sen 50o)
R:2 (.,F - ¡l
54.
4 (cos 20o + i sen 20o) . (cos 100o + f sen l00o)
R:2(l+f ¡
R: 3 (-1+ i)
A.LGEBRA MODERNA
258
55.
56.
2(cos I 30o+i sen I 30o )
n
3(cos 70o+i sen 70o )
2(cos 80o+i sen 80o )
3(cos 40o-i sen 40o )
'J*1
33
n'-1*l
3J3
En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular Ia potencia indicada usando el
Teorema de Moivre.
57.
[.8(cos
45o
R:8(l-i)
+ isen45')]7
58. [.D ("or 150o + i sen 150")]8
R: 8 (-l
+Jt
se. (Jr -146
R:
60 (-t-.f2 ,)"
[2
)
t)
123
1-
n:-i(t+Jri¡
/
61.
R :2(l
-\
-./:i¡
R:-4(l*^f¡,)
R:.8+i
63.
64 (i-+')'
n
'
-|(J3.i)
NI^IEROS COMPLEJOS y
SUS OPERACIONES
(:.+)'(a'
6s
66
259
*' j(r-.6,.)
[".eJ'(-q)'
R
6i
22
R:2- "E¡
R:
-l
69.
R,-2+1i
44
70
t+j -[+)'
R:.13¡
(.-E-J
71. (str".tstno\-'
En cada uno de los siguientes
representarlas gráfi
camente
72. {
.,1ñ-i
73. a)
,,F
R:4sen-r
ejercicios, calcular
b)
v-15-8t
3tr
a (_t+i)
las raíces que se indican
y
260
ALGEBRA MODERNA
b)
fi
tt-
b)
d-8:Tf3ú
a)
'Ji
b)
q¡
Si
cD,,,co1,a.t
74.
a)
75.
a)
76.
77.
.6*
t- ^l-l¡
¿
/-
(a,,+alr\
-\
l-l
Hallar:
78.
Si
Si
5
o
Iar')
ú)n,a1,a2
+ alr)a
(a,, +
a, ,cor',cD2'
-Ol
arr)3
son las tres raíces cúbicas de la unidad imaginaria,
Hallar:
80.
Sean
';(t*
son las tres raíces cúbicas de la unidad,
(a1,,
Hallar:
79.
son las tres raíces cúbicas de la unidad,
^;(-r+",6i)
ú)s,a1,ú)2 son las tres raíces cúbicas de la unidad,
Demostrar:
a)
Ao+CD)*Crlr=Q
b)
(to*a;,)3+l=0
c)
(au+rr,)t-@t=0
d)
lll
(Dr, (0t
-+-+--0
(D.)
J-ri)
NUMEROS COMPLE.IOS Y SUS OPERACIONES
261
Resolver los siguientes sisterlras de ecuaciones en conrple.io:
8t. [{t+i)2, +iZ. -
-3+2i
R:
l(2+i)z +(2-i)2, =2¡¡
i)2,= 4-3i
82.
[<z-.ii)2,-(l
83.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en complejo:
Lt¡
+
- i)2, + (l + 2i)2, =11¡
a)
R:2+i ; l-2i
¡
(Z-r-i)(Z-I+i)(Z+t+i)(Z+l-i):
R: 1;i; -l; -i
5
b) z'-(z-i)z+(3-i¡:s
84.
Calcular:
85.
Simplificar:
86.
Hallar
87.
88.
z
5f76 _3i2s8
+
i343 +i5533t
+
Hallar x , ! ert
R:1+i; l-2i
4i327
_gie32 +
4fl
i2s42 +i4t2:/oo
i-5r + i-24? +i-328
de modo
,* (#)'
de modo
-l+i;2+i
que:
,"u un número real
R:0
R:
-2
R:-:.3
¿.
3
z +z¡\-'
+ -((.6*¡J
-3+yi
n,];-s'.5
Hallar un número complejo cuyo cuadrado sea igual al conjugado de dicho
número.
*,*(-r +,6i)
ALGEBRA MODERNA
262
89.
Sean
Zr y Z2dos números complejos, demostrar que:
a) Xe(zr2t +2rzr)= ",2, +2t2,
b) tm(2r2, -Zrzr)= r,2, -Zrz,
Determinar ln z de los siguientes complejos
91.
b)
z: -2
90.
a)
z:-2i
I
Z:- -.f3r'
2
Deter,minar los valores principales de las exponenciales siguientes
92.
a)
.
I -2i
b)
cr)'
93.
a)
(l+r)'
b)
(l -
94.
a)
(.6-¡)'/'
b)
(-l+
R: en,
R.
r)o'
..3 r)'/'
e-nl4+rln
R. el
ti
InlGiln2
,
,
enl2
"-7n*iln4
a2trl3-iln2
Hallar el valor principal de z en los siguientes casos
95. a)
e''': | -
i
b)
96.
a)
b)
97
a)
b)
e-'': -l- i
R: -ln
r- 7r 5r
-:44i: - "! +¡lnJl
J2
R'3,-t
J--¡ L vn2
44 llr
t5 3
--i-ln2
84r
NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES
263
EJERCICrcS VARIOS
98.
Efectuar las operaciones que se indican:
;
t00
u)
Iro
k=0
b)
t00
fl;,
[=l
R: l, -l
Efectuar las siguientes operaciones que se indican:
ss [-;.f,,)".(-;-f,)"
roo. lii:"_'_:,.i1.]",
\ l+cosa-¡sena
)
r0r. ll.*'".::::il'
(l+sena-icosa)
102.
(o
R:2
<a <i\nez.
R:cosnd+isenna
-2t'"-e'
,'\ (0. a <!),nez.
R: cos(na
¡\'vvsr
-y¡-isen(na-y¡
2
2
Hallar el valor de x para el cual las expresiones siguientes sea un número
R:15,-1
2
ro3. si
104.
.
,
=
Jt
*,
I + r/3i
calcular:
,[zV
,
22 y
zn
*'rl(tt.f¡,);-r
Sean we, 'vrt,'t!2las tres raíces cúbicas de la unidad, efectuar las siguientes
operaciones:
trr)t *(.0 *r, -*r)t
b) (r,)o *(rr)o +(r,rr)-'
a) (wo -wt
c) (wo -wt
rrr\(ro +w, -wr)
R: -16
R: 0
R: 4
264
-
ALGEBRA MODERNA
105. Sean wo , w'.1ere'2las tres raíces cúbicas de la unidad imaginaria, efectuar las
siguientes operaciones
")
106.
:
(,;l -' (,;)' . (,;l
R:-3
b)
(,,n
)' * (,;)' * (,, )'
R:0
.)
(r,o
,',)' *(riorr)'
R: 0
*(r,*r)'
Demuestre que
(l +t)(l+ 6i)(coscr*lsen u):2
,E lro, (a+ I 05")+isen(cr+l 05")]
107. Demuestre que
108.
l+ itga
I- itga
: cos2dr
+¡tg")
\l-itga )
= cos Zna
Demuestre que
ft
109.
i sen2a
+ isen2na
Sabiendo que n es un entero múltiplo de 3, demostrar que:
- É,)" =,
z)
I10. sea z = (J6 + J-D+ (G - Ji¡¡
que
Zn
sea
imaginario puro.
"f,[ tabnto se lesarroffn
corriente
lef mun[o".
, hallar los numeros naturales
n
para
R: 6(l+2k),k =0,1.2...
c,qpiruLo
u
265
ALGEBRA BOOLEANA
r.
nvrnooucctóN
El concepto moderno de álgebra abstracta fue desarrollado por el matemático inglés
George Boole en su estudio de los sistemas abstractos generales, opuestos a los casos
particulares de tales sistemas. En su obra publicada en i854. An Investigation of the
Lows
of
Thought, creó un sistema de lógica matemática en términos que ahora
llamamos álgebra booleana.
A partir de 1938 Claude Elwood
Shannon, desarrolló el álgebra de las funciones de
conmutación y mostró su relación con el álgebra de la lógica.
ALGEBRA DE BOOLE
Sea B un conjunto con al menos dos elementos. Se denomina álgebra de Boole a una
estructura algebraica que admite dos operaciones binarias n y
v
en B, y una operación
unitaria: la complementación, que verifican los siguientes axiomas:
1.anb:bna
avb':bva
son conmutativas
,
2.(av b) vc: a v (b v c). (anb) A c: an (b n c)
son asociativas
3. an (b v c): (anb) v (an c), av (b n c): (avb) n (av c) sondistributivas
4.Vae B, anl:a,
avO:a
ExistenneutrosenB,respectode Ayv
que se denotan con
I y 0, respectivamente.
5. Todo a e B admlte un complemento a , tal
av a :
Ejemplo:
I
an a
que
:0
Si U es un conjunto, entonces el conjunto P (U), de las partes de U. con
las operaciones la unión e intersección, constituyen un modelo de álgebra
266
AI.GEBRA MODERNA
de Boole, pues con
v: \J, A:
r.t, se -satisface los axiomas
1,2,3 y 4
por teoría de conjuntos, siendo el 0 y el mismo conjunto U los neutros
para dichas operaciones. Además todo subconjunto de
complemento que satisface el axioma 6, es decir, sí A
y
AUA:U
2.1
c
U
admite un
U,
AnA:Q
EL PRINCIPrc DE DUALIDAD
Se denomina proposición dual correspondiente a una proposición del álgebra de Boole,
a la que resulta de ella cambiando
v por n y vicevers4,
así como 0
por
1
y viceversa. Por
ejemplo, son duales las siguientes proposiciones
av(bna) <> an(bva)
an(bv0) e av(bnl)
(0vl)Aa <> (1n0)va
2.2
PROPIEDADES DEL ÁTENNN.q DE BOOLE
Para cualquier álgebra booleana (B,
l.
2.
3.
ava:a
avl:l
av
4.
ñ5=á,r6
5.
d.:
(a n
a^.a:a
an0=0
,
b):
an(avb):a
a,
a¡E=áv6
,
a
v, n), si a, b e B, entonces
=0
I
0 =1
,
A.hora se definirá una importante álgebra de Boole que será la base en las siguientes
iecciones.
r
Sea
B = {0, 1}, ysean
v:+ y A :'
las operaciones binarias suma
producto lógico, respectivamente, definidas como sigue:
+
0
I
0
0
I
I
I
0
1
0
0
0
I
0
I
267
ALGEBRA BOOLEANA
Ademássetiene 0:1,
1:0
Así pues, es fácil demostrar que el conjunto B junto con las operaciones indicadas es un
álgebrade Boole. Asimismo el conjunto
Bn:
{(ar, h.,...,an) I ai e B, i
:1,2,..., n} es
un algebra de Boole.
y
b: (br, b2,...,bn)
Si &: (&1, h.,..., an) e Bn
entonces a*b=(a¡f b1, aztbz,...f an*bn)
a.b
:
e
Bn
(al bt, azbz, ..., anbn)
a = (al ,a2,..., -\
dn)
Ademiis, los neutros en Bn para las operaciones + y . , respectivamente, son
(0, 0, ...,
3.
0) y
(1, 1, ...,
l)
FUNCIONES BOOLEANAS
Sea B :
} y sea Bn como se definió anteriormente. Una función definida
como .¡f : Bn + B es una función booleana, o de conmutación. Estas funciones
{0,
I
pueden vérse como funciones de n variables, donde cada uno de ellas toma sólo valores
0
y l. A
estas variables se denominan variables booleanas.
Ejemplo:
Sea
.¡f :
83
Encuentre
+
B, tal que -f
(x,y,z):xz+
y (se escribe xz en vezdex.z)
el valor de la función booleana, para cada una de las
23
posibles asignaciones a las variables x,y, z.
SOLUCIÓN: Primero construyamos una tabla con las 8 posibles combinaciones
de
ceros y unos (Idem a unaiabla de verdad en lógica).
Luego, considerando la definición anterior para la suma
y
lógico, se obtiene los valores de la función booleana como sigue:
producto
268
ALGEBRA MODERNA
X
v
Z
xz
f:xz-lv
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
I
0
0
I
I
0
I
0
0
0
1
0
0
I
0
I
I
I
0
I
I
0
I
I
Nota: la definición anterior indica
0+0:0
0'0:0
Para n e Z,sean
0*l:l+g:l
0.1:1.0:0
,
,
,
,
1+1:1
l.l:l
f ,g: Bn-+B dosfuncionesbooleanasdelasnvariablesbooleanas
Xl, X2, ..., Xn. Entonces definimos, que:
i)
/y
g son iguales si tienen el mismo valor para cada una de las
2n posibles
asignaciones a las n variables.
ii)
el complemento de
-f
iii)
/es
la función booleana definida sobre Bn conlo
(xr,x2)..., Xn ) = Í(x,x2,...,
la suma y el producto de
/y
xn )
g, respectivamente, como
(f + 9 (xr, xz, ..., xn) :f (xt,x2, .,., xn) + g (xr, x2, ,.., Xn)
$9
(xt, xz, ..., xn)
:"f (xt X2, ..., xn) .g (xr, Xz, ..., Xn)
3.1
PROPIEDADES
Sean
f , g, h : Bn -+ B funciones booleanas
arbitrarias. y sean x. y,
z
las variables
booleanas arbitrarias. Las propiedades que satisfacen estas funciones y' las variables
booleanas son:
l.deldempotencia
"f+f :f
f'f:f
x+x:x
x'x:x
AI-CEBRA BOOI-EANA
269
r.cotrnrutativas f+S:S+f'
x*y:y*x
x'y:y'x
f's:s'f
3.
asociativas f + (S+ h):Qf + g)+ It
f.@.h):(f.s).h
x + (y
distributivas f + (S.h):Q[+ g).(f + h)
f.@+ h):(f.g)+ (f.h)
5.deabsorción f+ f .g:f ,f .(f+g):f
4.
f*I:I , f.0:0
6. de cornplemento f :f
f+f :l
f "f :0
T.deDeMorgan f *S=i.g, -f .g=i *i
8.deldentidad f+0:f ,f .l:f
+z): (x+y)+z
x.(y.z):(x.y).2
x + (y .z): (x+ y)(x+ z)
x.(y+ z):(x. y)+ (x-z)
x+(x.y):x , x.(x+y):x
x*l:l , x.0:0
x:x
x*x=l
x'x:O
**y=* t, *.y=i+i
x*0:X,
X.l:x
Nota: El símboiu 1 denota la función booleana constante cuyo valor es siempre
la función cuyo único valor es 0, es decir 0 y
I
l, y 0 es
e B.
Ejemplo: Demuestreque x*xy:x+y
SOLUCIÓN: Por la propiedad distributiva
se tiene
x* x y:(x+ x)(x+y)
=l(x+y) :x+y
Ejemplo: Simplificar .f (x,y,z):x (x+ y) r
7 t-yz
SOLUCIÓN: Por las propiedades distributiva, de conrplernento
y de absorción se
obtiene
r(x'Y'"
:;
i;Y,,;; I
:;?,
+y
: y+2
270
ALGEBRA MODERNA
Ejemplo: Simplificar f (x,y,z,l)
*Í
=xyu + xzu *
ü* yz+ x2
SOLUCIÓN: Por las propiedades asociativa, distributiva y de absorción
f
(x,y, z,u)
:
se tiene
t yz* x (zu+ z)
= xyu +xy ü t yz* x@+2) (u +-)
xyu +
xy u
=xyu+xyü *yz+x(u+7)
=xyu+xyü ryztxu+xZ
=xu(y+l)+xyü+yz+xZ
:xu*Xyu +yz*xz
:x(u+yu)*yzrxz
: x (u +y) (u +ü) + yz+ x2
= x (u
+y) + yz*xz
:xuf xy +yz*xz
: xu * x (y+ z) + yz: xu * xyz I yz
: xu * (x + yz) (fr+ V4= xu + x* yz
:xlyz
Auora consideremos el p^.rceso de encontrar una función booleana a partir de una tabla
de valores dada.
Ejemplo:
Obtener las fórmulas. para las funciones
f, g : 82 + B dadas en la
siguiente tabla de valores
X
v
.f(x, y)
g (x, y)
0
0
0
I
0
I
0
0
I
0
I
I
I
1
0
0
ALGEBRA BOOLEANA
271
SoLUCIÓN: Según la tabla de valores la función ;r' resulta I cuando x :
f
(x,
De la misma forma la función
g
da el valor
parax=l e y:0,porloque
Ejemplo:
y): x y
0 en los demás casos. Entonces
I ey: 0y
.
: 0 e y = 0, luego
g(x,y): x y *x y.
I
para x
f , Bt -+ B dada en la
Obtener una fórmula para la función booleana
siguiente tabla de valores
f
(x,y, z)
X
v
z
0
0
0
0
0
0
1
1
0
I
0
0
0
I
I
0
0
0
I
0
I
0
I
I
0
I
I
I
I
0
I
Q xy
z
Q xyz
Cxy z
SOLUCIéN: En la tabla de valores vemos que la columna de
i y r,xy ,,
f(x,y,z): x y z+iyz+xy,
cuales se expresan
Ejemplo:
como x y z,
Obtener una fórmula para la función booleana
v
z
0
0
0
-f (x,y, z)
I
0
0
I
I
0
I
0
0
0
I
I
I
0
0
0
0
I
0
I
I
0
I
I
I
I
€x+y
tiene tres unos, los
respectivamente. Así,
f
siguiente tabla de valores
x
f
+2
€ i+y+z
€x+y+,
t 83
+
B dada en la
272
ALGEBRA MODERNA
SOLUCIÓN: Un método diferente a la anterior consiste en considerar los ceros que
tienen en la colulna de
/.
x+y+z y x +y+ z,
Los tres ceros se expresan como x
* y * z,
respecttvaurente.Así,
,f(*.y,2):(x+ y.+z)(x +y+z) (x +y+
3.2
se
2)
FORfuIAS NORMALES DISYUNTIVA Y CONJUNTIVA
Para cualquier
ne
].
si /es una función booleana sobre las n variables Xr
X2, ..., Xn,
entonces se dice que:
i)
Una representación de ;f como una suma de productos es una forma normal
disyuntiva (f.n.d.) dc
I
Por ejemplo,
-f
la función
f
esfá en
(x,y,z): x Y z{ xY z *xY
z
la f.n.d. porque cada una de las variables X,y,z aparice
(a
veces complementada, a veces no) en cada uno de los productos (o términos).
Cada producto se denomina mintérmino.
ii)
Una representación de
conjuntiva (f.n.c.) de
I
;f como un producto de sumas es una forma normal
Por ejemplo,
"f(x.i.z):(xf ) +z)(x +y+z) (x +1,+ 7)
la función
f
está en
la f.n.c. pues está expresada como un producto de términos,
cada uno de los cuales es una suma de 'u'ariabies individuales. unas veces
complementada
y
otras no. Cada término.
o suma completa.
se denomina
maxténnino.
Jjemplo:
Encuentre la f.n.d. r, f.n.c. de
valore
s
/: Ilr -+ B clacla en la siguicnte tabla de
ALGEBRA BOOLEANA
213
X
v
z
-f (x, y, z)
0
0
0
0
I
I
0
0
2
0
I
3
0
1
Nro. Decimal
equivalente
I
0
0
I
4
0
0
I
5
0
1
0
6
I
0
I
7
1
I
0
SOLUCIÓN: La función/depende de tres variables. Cada una de las 23 comLinaciones
de ceros
y
unos representa a un número decimal, se conoce como el
número binario equivalente. Es decir,
Q=000, l=001 ,2=010,3=017,4= 100,5=l0l ,6=110
Luego, la función
/
y 7:111.
tiene valores uno en las ñlas que corresponden a los
números 0, 1, 3, 4 y 6, y que pueden ser expresados como
Nro. Decimal
xyz
equivalente
001
I
I
2
010
0
J
011
4
100
0
5
6
7
Así, laf.n.d.
de/
es
000
f
0
lll
0
1
f :>
I
Qxy
2
z
/(x, y,z)=(xV2 )+(i yz)+(xyz)+(x y2¡+1xyZ¡.
Esta función puede expresarse también como
donde
t?xyz
Cxy
l0l
l l0
€ \v_'
€ xyz
m (0, I ,3, 4,6),
m indica la sumatoria de mintérminos.
274
ALGEBRAMODERNA
Ahora para obtener la f .n.c. de
de
l,
f
consideremos los ceros en la columna
que en total son tres y correspollden a los números
2,5 y 7. Estos
se
pueden expresar como
f
xyz
Nro. Decirnal
eouivalente
0
000
I
001
I
2
010
J
0ll
0
4
100
I
I
5
t0l
0
6
110
I
lll
7
Así, la f.n.c.
de;f
a?
Q y+y+z
e i+l +Z
0
es f (x,y, z): (x+y+z)
x+f+z
(x +y+;)(*+V*2)
Asinrismo se puede escribir como
llu
,f=
donde
Ejenrplo:
llIrrt indi.a
(2. s,7),
la productoria de maxtérminos.
Para una función booleana de cuatro variables las 2a combinaciones de
ceros y unos y la equivalencia con los números decimales se muestra en
la siguiente tabla:
x
v
z
u
0
0
0
0
0
0
)0=0000
2
0
0
0
I
0
r
J
U
U
4
0
0
0
0
I
I
I
0
0
0
I
I
0
0
0
0
0
0
Nro. Decimal
equ ivalente
0
5
6
7
8
9
l0
11
12
l3
l4
l5
0
Equivalencias
decimal - binario
t
l -- 0001
2:0010
)3=0011
)4=0100
)5=0101
)6=0110
0
)7=0lll
)8= 000
-t 9: l00l
)10= 010
0
0
0
)t2:
I
0
I
I
0
til:
)13
=
011
r00
l0l
>14: ll0
=llll
ALGEBRA
BOOLEANA
Ejemplo:
Sea
275
;f : Br -+ B tal
a) la f.n.d. y
/
SOLUCIÓN: a) la función
que
como
/
Im.
f
(x, y,
z): xy r
b) la f.n.c. y
¡
xy
z*
como
z . Obtener:
fIM
depende de tres variables booleanas. Entonces podemos
escribir de nuevo cada término como sigue:
i) xy: xy (z+z):xyz+xyZ (multiplicamospor z+, :l)
ii) x y z: xy z (el término está completo, no falta ninguna variable)
tú: :0+y)2:vi * vi:(x+i)y2 +1x+i¡y2
:xyz -t xyz + xy z * xy z
Por la propiedad de idempotencia para +, la f.n.d. de
-f(x,y,z)
:
xyz+ xy2 + xy z+
;f
resurn
iy2 + xy 2 + i
y
Z
Obtendremos seguidamente el número decirnal correspondiente a cada
término;
xyz:lll=7,
xy2 :ll0=6,
xyz: l0l =5
xyz'.010=2, xyZ:100=4, iV2:000=0
Por lo que podemos
escribir ¡= Im (0, 2, 4,
5
, 6, 7)
b) De la representación anteric'(suma de mintérminos)
se tiene que
¡: llvr qr, l¡
luego, los el.rivalentes en binario de los maxtérminos
l=.101
:x-ry*z
y
En consecuencia, la f.n.c. de
f(x,Y,z):
Ejemplo:
Sea
/:
Ba
-> B tal que
Obtener:
I y 3 son
3=0ll:x+y+z
/
es
(x +y + 2) ( x +V
f (x,y,z,tt):
a) la f.n.c. y ;f como
fIM,
(x
+i+
* 2¡.
z) (x + y + u)(2 + u¡
b) la f.n.d. y .if como
Im
276
ALCITI]RA MODERNA
SOt-l.rCION: a)
la
tunción
/
ciepcncle
de cuatro variablcs boolcanas.
l'.ntonccs
esclibirnos cacla fhctor clel proclr.rcto colno siguc:
i)x+\'+z:x+)'*z*ttL¡
: 1x+ )'+z+u) (x+ y +z+ u )
(por la prop.distributiva)
ii)x+)'*u:x+yr tt-rz:-:(x+ y+z+
u) (.r
(sutllanlostrLr:0)
ry+ :
+u)
iii) : +u:r'),+-- +u:(y+: +uXy+:+u):(xx*y*: *u) (xx+)-r- --. Ll)
:(x+\'+ : +uX x *!+: +trXx+ y +: +u)( a * r r-: +tt)
En consecuenci¿r. ¡ror
lar
propiedad de idenrpotencia tencrlos
./1r.r.z.Lr)'-(\-)'-z+ttxx+\'=z-rt )1r-r-zr'tr)(x+\'r--r-LIXXi-)'-:i.tl)( \'-Y'!:+uX\'\'---'tl
El núunero decimal correspondiente
(x+y+z+¡) : 0100 : 4.
(x+ y
a cada
maxtérmino
(
r + ),+: *Lr) : 1110 =
de
donde
.F:
es
*z*tt) : 0l0l = 5 . (x+r'+z+u)'
(x+v+:+t¡): 0010 = 2 . (x+y+;+¡r): l0l0 =
10,
)
99¡¡Q
=0
(x+)'+--+u):0110 = 6
14
llvt
(0,2,4,5, 6. lo.
14)
b) De la representación anterior (ploducto de uraxtérnrinos) se tiene
7= Im
(1. 3. 7. 8. 9. I
l.
12. 13. 15)
Ahora. los equivalentes en binario de cada rnintérmino son
1=0001:x)':u.
tl=1000:x\ :u.
ll = ll00 :x1,: u.
Por tanto. la f.n.d. de'
3=0011:xyzu. 7=0lll:xyzu
9=1001 :xy :Lr. ll=l0ll :xizu
13 = I l0l :xy': Lr. I-i = llll :x¡zu
;f
c's
./(r.¡.2.u):r)--tr *x)ztr *ryzul'x)--u+.Jtt'' +rt'zt¡ +r-rlu*r-r.tr *rrztr
4.
RIiDES DE I>LIERTAS I-ÓGIC,4S
I-a int¡-lot'tltttciu tlc las linlcitlllcs [rotrlcunits. o dc ctlnnlutacitin. raciica
irn¡rlcrrcrttae itirt por nrctlio tlc ¡-rucrLus ltisictrs (rlis¡rositir os clcctltinicos).
c11 su
ALGEBRA BOOLEANA
2',7',|
4.1 ^FUNCIONAND
lógico de dos variables
El símbolo del dispositivo que puede realizar
x e y. asimismo
el producto
el dispositivo que realice el produito lógico de
muchas variables están representados por:
Puerta AND de dos entradas
4.2
FUNCIÓN
OR
lógica de dos variables
Puerta AND de entradas múltiples
La representación del dispositivo que realiza la
x e y, también del dispositivo
suma
que realiza la suma lógica de
muchas variables se indican en las siguientes figuras:
xtl
:+
X¡
Xr
x+Y
X
Puerta OR de entradas múltiples
Puerta OR de dos entradas
4.3
t+X)+...+Xn
X,,
INVERSOR (NOT) Un inversor es una puerta lógica que tiene solamente una
entrada y una salid4, donde la salida es el complemento lógico de la entrada. El símbolo
lógico de un inversor está representado en la siguiente figura:
4.4
FaNCION OR-EXCLUSIVE
Se llama función or-exclusive a
operación binaria que se representa por el símbolo @. y se define como
x@y:xy + xy
Cuya tabla de valores es
x@y
X
0
0
0
0
1
I
0
1
I
0
la
278
ALGEBRA MODERNA
El símbolo para una puerta
qr.re
forma la función or-exclusive de dos variables
de
cntrada es el de la siguiente figura
4.5
FUI\,¡Crc.!VES NAND Y
NOR
Se llama función NAND al complemento
de la firnción.AND. es decir. para dos variables x e
y
xy y se lee
se escribe
"NOT x ,{ND y'". Esta operación NOT-AND abreviadamente se denomina NAND.
Análogamente. la función NOR es el complemento de la función OR, es decir, x + y
qlrr- se lee
"NOl- x OR
y'".
[.os sínrbolos para representar una puerta NAND y una puerta NOR se muestran en las
sir.tuicntes tiguras
x\\
,\O_-
I ./-
.,
Puerta NAND
E
jemlrlo: Sea f
Nro
,
Puerta NOR
Bt -+ B. Para la función
f
cuyatabla de valores es
X
v
z
f
0
0
0
0
0
0
2
0
I
0
a
J
0
1
I
4
1
0
0
0
I
Decimal
x+v
equivalente
0
5
6
Encontrar:
Q xyz
0
I
a) la f.n.d.
1
?xy2
0
Qxy
0
7
( xyz
0
i' simplificar (minimizar)
b) una red de puertas lógicas
z
279
ALGEBRA BOOLEANA
SOLUCIÓN: a) la f.n.d. de .,¡f resulta
f (x,y,z)= xyz+ iy7 +xyZ +xY
2
luego, por las propiedades de las variables booleanas se obtiene
f (x,y,z) = i y z+ iyZ + x2 (Í + y)
= xtz+iy2 +xZ
= xyz+(xy +$2 : it z+ (l+x)
: *yz+(y+ x)2:¡yz+yZ +x2
Así, una suma minimal de productos para
/
(y
+$
Z
puede ser:
D f(x,Y,z)= xYz+Y2 +xZ
ii) f (x,Y,z) = (x +Y)z + (x + Y)7
iii) f(x,Y,z)=(x+Y)@z
b) las redes de puertas para cada caso i), ii) y iii), respectivamente, son:
x
z
x
v
z
X
v
z
280
ALCEBRA MODt,t{NA
Ejemplo:
Encontrar ul'la red dc p,.rertas para la f t¡nción boolcana
¡= Inr
(3. 4. 5.
7.9.
13. 14, I 5)
SOI,UCION: Considerando cl orden dc las variablcs corlto
xyzu.
7=0lll:xvzu.
l.l=lll0:x1'zu.
x.y.z, u. Se tiene que
iylu. -5=0101 : iylu.
9=1001:xylu. 13=ll0l:xy:u
l-5=llll :xyzu
3=0011 :
4=0100:
c'lc cloncic
/(x.1.2.u)-- x )
zutry: r¡ 'rxy:Ll+xy,zn*xy;n*xy
zulxy'zLr*xyzu
Pol' las propiedades de las variables booleanas. una suma minimal
de
¡rroduclos para .f resulta
,f(x. l'. z. u) : xzu(1'+y) +
xy:
(u +u)
* x:
tt( 1,*y) + xy'z( ¡ +u)
: XZLI-f XY: f x:u+xyz
Por talrto. una red de puertas lógicas es
5.
TTAPAS DE KARIVAUGH
I)ara la sinr¡rliflcación 1 nrinirnizacióu rlc tirncioncs lroolcanas cc)u uo nr¿is
de
SEIS
ral'iahlcs. Ltsantos Ltn nlótoclo grírfico llanr.r.lo nrupa rle Karnarrgh. cle'sarrutllaclo er-r l9-:3
1-lol
\1a'-rricc Kanluruh.
l'.xanrinanlos cl ¡rt'intct'c¿tso dotrclc
csc tlnlct-l
./
cs
rru liurcitirr clc clos. ariablc-s.
cligantos
\ e \. cl'l
ALGEBRA BOOLEANA
281
l-
JX
)*
v
En cada casilla se escribe el número decimal correspondiente.
Alascasillasquecorrespondenax:1señalamosconx,ylasquecorrespondenax:0
con x. Análogamente se procede con las columnas. Por ejemplo, el mapa de Karnaugh
para la función
booleana .f :Z^(0,
Se representa colocando
2, 3) es
I en las casillas
correspondientes a los mintérminos
0,2 y
3,
Luego agrupamos mayor cantidad de 1 que son adyacentes como se muestra en la tabla
de valores. Así, se obtiene que la segunda fila corresponde a
columna corresponde a
y (y:0).
Por tanto, la función
"f(x,y):x+
/
x (x:l) y la primera
simplificada
es
y
La red de puertas es
Ahora, consideremos el caso donde
digamos x, y,
z
en ese orden.
f
es una función booleana de tres variables,
282
ALGEBRA MODERNA
/a--;---)
,---;u---- t
z
yz
x
0l
00
l0
11
0
0
I
4
5
2
3
);
1
6
).
Examinemos Ias regiones correspondicnte a cada variahle
\
yz
r'zl
ñ1,,
0l
I
q-l
K
X
l,i:l,.li
X
y)'z
lr.lc-rn¡-rio: Encontrar una representación como
suma minimal de productos para la
función booleana
f :E^(0,
1.3,4,7)
SOLIICION: El correspondiente mapa de Karnaugh
Donde, los
I
se muestra en la siguiente
de las casillas 0 y 4 producen
producen xz y los
I
yz, los I de las casillas I y 3
de las casillas 3 y 7 producenyz. Por lo tanto, como
suma minimal de productos,
"f
la red de puertas es
figura
(x, y.
z.): t,z + xz+
yz
ALGEBRA BOOLEANA
283
Ahora, consideremos el mapa de Karnaugh para el caso de una función booleana de
m
cuatro variables, donde la distribución de variables en el orden
la siguiente tabla.
x,y,z, u se presenta en
u
ztt
X
00
00 0l
11
0
10
3
2
0l
4
5
7
6
t2
t3
l5
t4
8
9
u
l0
11
l0
ZZ
las casillas que corresponden a cada variable son
00 01
00
0l
ll
10
1l
10
284
ALGEBRA MODERNA
00 01
Ejemplo:
ll
00 0l ll l0
l0
00
00
0t
01
11
l1
10
10
Obtener una representación como suma minimal de productos para la
función booleana
f :E^
(1,2,3, 6, g,
ll, 12, 14)
SOLUCIÓN: EI correspondiente mapa de Karnaugh
xu
xy\
0l
00
00
0
se muestra en la siguiente tabla
10
11
\1
--'.---r
1
2
0l
ll
4
f
:
1
l3
l-i
l0
\'
e
I
l0
8
Las casillas con mintérminos
1.3.9 f ll
son adyacentes
y nos da el
producto yu. las casillas con mintérminos 2 v 6 nos da el producto xzu
y las casillas con mintérminos l2 y 14 produce xyu. Por tanto, tenemos
que
f (x,y,z,v): yu+ xzu *xyu
la red de puertas es
285
ALGEBRA BOOLEANA
Ejemplo:
Una función booleana de cinco variables es expresada como
f
(x,y,z, u, v) = I- (0, 1,3, 4,5,g,11, 16, 17,1g,25,27,28,31)
Minimizarla mediante un mapa de Karnaugh.
SOLUCIÓN: El correspondiente mapa de Karnaugh
X:
x=0
uv
z
00
I
r-l__
0l
'll
ri
J
l2
8
lt
l3
t
10
I
lll
00 l0l
l0
il
2
1A
7
6
20
l5
l4
I
t0
t'1
2l
23
22
1
tl
24
l0
l8
Q)
I
9
se da en la siguiente tabla
29
30
U
,,7
26
Las casillas con mintérminos 1,3,9,11,17,19,25,27 nos da el producto
z
v. Las casillas con mintérminos 0,
l,
mintérminos 28 produce xyz u v
16
.
Por tanto, encontramos
f (x,y,z,tJ,v)=
. Las
y 17 nos da el producto yZü. Las
27 y 3l produce xyuv. La casilla con
casill{s con mintérminos 0,
casillas con mintérminos
l, 4 y 5 nos da el producto xy[
zv + xyü
+ Vli
+ xyuv + xyzü v
286
ALGEBRA MODERNA
X
v
z
u
5.1
FUNCIONESINCOMPLETAMENTEESPECIFICADAS
En la práctica, muchas veces se desea escribir en su forma más simple una función
.¡f
cuyo valor para algunas combinaciones de las variables es indiferente. Para tales casos,
las salidas no son especificadas y se dice que la función
f
está especificada de manera
incompleta.
Ejemplo:
Realiza¡ la síntesis de una función .¡f de cuatro variables x, y, z y u cuya
tabla de valores corresponda a la de la siguiente tabla:
Nro.decimal
f
X
v
z
u
0
0
0
0
0
I
I
2
0
0
0
I
I
0
0
0
I
I
0
0
I
I
0
0
0
0
I
0
I
0
I
equivalente
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
I
I
I
I
0
8
0
1
0
0
0
9
0
0
I
0
I
0
0
I
I
I
I
0
0
I
x
x
x
0
I
X
I
I
I
I
0
x
x
l0
1l
l2
l3
l4
l5
I
I
I
I
ALGEBRA BOOLEANA
287
donde aparece una "x" para el valor de .¡f en los últimos seis casos. Estas
combinaciones de las variables
restricciones externas, por
no se presentarán, debido a
ciertas
lo que el valor de "f en estos casos es
indiferente.
Por lo tanto, escribimos
f :Z^(0,
1, 3, 6, 9) + d(10, I
1,12,13, 14, l5)
donde d (10, ll,12,13,14,15) denota los seis casos de indiferencia.
Para buscar una expre ión como suma minimal de productos para .f,
podemos usar cualquiera o todas estas condiciones de indiferencia en el
proceso de simplificación.
Utilizamos el mapa de Karnaugh y obtenemos
.f
(x,y-z,t)= yu*yzu + xyzu
Por tanto, la red de puertas resulta
x
z
u
288
ALGEBRA MODERNA
EJERCICIOS
En cada uno de los siguientes ejercicios
-f
es una función booleana. Simplificar la
función dada.
l.
R:xy+z
,f(x.y.z)=xy*xyz
)'. z) : (x
2.,f(x.
+v)i
+ xz+
i
R:
x*z
3. "f(x.y.z.u): R+xu+yz
R:x(y+z¡
4.
R:
xy+xZ+[
R:
xryz
.f (x.y,
z.u): (x+y[;+q[
5. f (x,y.z.u):Xy +yztxz *xu
:
yi
6.
,f (x, y. z, u)
7.
Obtener una fórmulapara las funciones booleanas cuyas tablas de valores se dan
xyu
+ xy u +yzu + xz+
R:xz+y
a continuación.
z
X
x,y,z
z
X
0
I
0
0
0
0
I
0
0
0
I
I
0
0
0
I
0
0
0
0
0
0
I
I
0
0
0
I
0
I
0
I
0
I
x.y.z
0
I
I
I
0
0
0
0
I
I
0
I
0
0
0
I
a) Como suma de productos.
b) Como producto de sumas,
ALGEBRA BOOLEANA
8.
Sea
-f , Bo -+
289
B
una función booleana, cuya tabla de valores es
X
v
Z
f (x, v, z, u)
u
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
0
0
I
0
I
0
0
0
I
I
I
0
I
I
I
0
0
0
0
0
0
I
0
0
I
I
0
0
I
I
0
0
0
0
I
I
I
0
0
I
0
0
0
1
1
I
I
I
0
0
0
0
0
0
I
0
I
Encuentre la forma normal disyuntiva (f.n.d.) de
9.
Considere la función booleana de tres
obtener:
10.
1
l.
variables
.f (x, y, z)
:
x .t yz
a) la f.n.d. y
/como
Im
R:
Im (3,4,5,6,7)
b) la f.n.c. y
/como
ffM
n:
llv
Considere la función booleana de tres
obtener:
I
variables f
(x, y, z)
: x (i
(0, l, 2)
+ r)
a) la f.n.d. y
/como
Im
R:
Im (4,5,7)
b) la f.n.c. y
/como
IIM
R:
llv
(0, 1,2,3,6)
variables f (x, y, z) = xy + * t + xy z)
obtener: a) la f.n.d. y /como Im
R: Im (0, l, 5, 6, 7)
Dada la función booleana de tres
b) ia f.n.c. y
/como
IIM
n: llv (2,3,4)
290
ALGEBRA MODERNA
12. Sea f,B' -+B tal que "f{*,t.z.u):(x+r-+z)
Determine:
l3
llv
a) la f.n.c. y ;f como
fIM
R:
b) la f .n.d. y ;f como
Ln
R:Im(2,3.7,8,9,
(0, r, 4. 5. 6, I z, 13)
I 0, 1 l, 14,
1
5)
Sea f ,Bt -+B tal que ,/'(x.y, z,v):(xyz+zu)(x+ x yz)
Deterrrrine:
a) la f.n.c. y
¡conro
b) la f.n.d. y /como
t4
(x+ y *u)(y +z)
IIM
n:lIV(O.l .2,4,5,6.7,8,9,10,12,13)
Im
R:
Im
(3, 11, 14, 15)
Considere la función booleana de tres variables
-f
(x,y,z): x+y +xz
Expresar coÍno suma minimal de productos y construir una red de puertas
R:x+Yz
15.
Dada la función booleana de cuatro variables
f (x,y,z,rr): (x+yz) (y + zu)
Expresar como suma minimal de productos y construir una red de puertas
R: xy
16.
* xzu*Yz
Dada la función booleana de cin;o variables
-f
(x,y,z,
u,
v): (x+yz; (yvlu)
Expresar como suma minimal de productos y construir una red de puertas
R:
Para cada una de las siguientes redes lógicas, exprese la salida
r ariables de entrada. Luego
f
yu*xuv*zuv
en términos de las
utilice la expresión de la salida para simplificar la red dada.
291
ALGEBRA BOOLEANA
17.
x
v
f
R:
x+y
18. x
v
R: x +y
t9.
X
v
R:yxz
En cada una de los siguientes ejericios construya un mapa de Karnaugh para las
funciones cuyas tablas de valores se dan a continuación. Luego, expresar.,¡f como suma
minimal de productos.
292
ALGEBRA MODERNA
2t.
a)
x.y.z
z
X
0
0
0
0
0
I
0
0
0
I
I
0
0
z
X
0
0
I
I
I
b)
0
0
0
0
0
0
I
I
I
0
0
I
0
0
0
I
1
I
I
0
0
0
I
0
0
0
0
0
I
I
x.y.z
0
1
22
a)
xvzu
x.v.z.u
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x,y,z,u
XYZI)
b)
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
0
0
I
0
0
I
0
I
I
0
0
0
I
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
0
0
0
I
0
I
I
I
I
I
0
0
I
0
I
I
I
0
0
I
I
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
0
0
0
I
0
0
0
I
I
I
I
I
0
I
0
0
I
0
0
I
0
I
0
I
0
I
I
0
I
I
I
0
0
0
0
0
I
0
I
I
0
0
0
I
I
I
I
0
I
I
0
0
0
0
Para cada de las siguientes funciones, use un mapa de Karnaugh para encontrar una
representación como suma minimal de productos.
23. f (x,y,z) : Im (0,2,4,7)
24.
,f (x, y. z)
: Im
(1. 2, 5. 6)
R: x z + y z +xyz
R:
yz*yz
ALGEBRA BOOLEANA
25. f (x,y,z,\):Xm
293
(5,6,8,11,12,13,14,15) R: xZ ü
26. f (x,y, z,v): Im (7,9,10,1l,l4,l5)
R: xz
27. f(x,y,z,t):Xm(0,1,2,3,6,7,14,15)
R:
* yiu+xzu+yzi
* xyu *
yzu
xy +yz
28. f (x,y,z, u, v) = Irn (1,2,3,4,I0,17, 18, 1g,22,23,27,28,30,
R:
31)
xyzüv +xyzv + xZuv + yiv+xyu*xuv
29. f (x,y,z, u, v): Xrn (0,3,5, 7,8,!2,13, 15 16,21,23,24,28,29,31)
R:
iyuv+xüv +2ui
+zv
Encuentre una representación como suma minimal de productos para cada una de las
si
guientes fu ncione_s boo leanas incompletamente especi ficadas.
30.
.f(x,y,z,rr):Xm(1, 3,5,7,9)+d(10, I 1,12,13,14, l5)
R:u
31. f (x,y,z,u): Im (0, 5, 6, 8, 13, 14) + d (4, 9, 11)
R:
yZ[*y7u+yzi
I
32.
-f
(x,y,z, u, v): Irn (0,2,3,4,5,6,12,1g,20,24,28) + d (1, 13, 16,29,31)
R:
xü u * Í7uv+
itt
+ xzü
BIBLIOGRAFíA
A. LENT'IN.
.1.
RlVAtjD.
Álgebra
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Editorial Aguilar
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Editorial La Floguera
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EN
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CONTENIDO
.
I
1
LCGICA
2
TEORIA D'E CONJUNTOS
3
RELACIONES
4
FUNL]IONES
5
LEyES DpitEdyposrcroN y
ES
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T-RIICTURA $ A LGE B RA rCA
6
INDUCCION MATEMATTCA
7
COMBINATORIA
8
NUMERqS COMPLEJOS
S
9
US OPERACIONES
ALGEBRA BOOLEANA
Y
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Depósito legal |rfc' 4- l -8p7-99