Uploaded by Mateusz Markowski

Podstawy wytrzymałości materiałów

advertisement
Sylwester Kłysz
PODSTAWY
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
WYDAWNICTWO INSTYTUTU TECHNICZNEGO WOJSK LOTNICZYCH
WARSZAWA 2015
Sylwester Kłysz
REDAKCJA TECHNICZNA
mgr inż. Krzysztof BUBRZYK
ADIUSTACJA I KOREKTA
mgr Magdalena MALCZEWSKA
ŁAMANIE TEKSTU
Elżbieta MAKSYMOWICZ
PROJEKT OKŁADKI
Adam LATOSZEK
Piotr TARASIEWICZ
© Copyright by Wydawnictwo Instytutu Technicznego Wojsk Lotniczych, wyd. I, 2015 r.
ISBN 978-83-61021-45-02
WYDAWNICTWO INSTYTUTU TECHNICZNEGO WOJSK LOTNICZYCH
01-494 Warszawa 46, skr. poczt. 96, ul. Księcia Bolesława 6
Drukowano w Instytucie Technicznym Wojsk Lotniczych
Podstawy wytrzymałości materiałów
SPIS TREŚCI
Wstęp ........................................................................................................................7
1. Elementy wytrzymałości materiałów ...................................................................9
1.1. Odkształcenie ...............................................................................................9
1.2. Naprężenie .................................................................................................12
1.3. Cykl naprężenia ..........................................................................................16
1.4. Współczynnik asymetrii cyklu .....................................................................17
1.5. Osiowy stan obciążeń ..................................................................................19
1.6. Dwuosiowy stan obciążeń............................................................................22
1.7. Trzyosiowy stan obciążeń ............................................................................25
1.8. Rozeta tensometryczna ................................................................................30
1.9. Związki konstytutywne ...............................................................................31
1.10. Właściwości wytrzymałościowe materiału ....................................................34
1.11. Statyczna próba rozciągania .........................................................................42
1.12. Granica proporcjonalności i granica sprężystości ...........................................45
1.13. Granica plastyczności ..................................................................................45
1.14. Granica plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń...................................47
1.15. Naprężenie w przekroju netto .......................................................................48
1.16. Naprężenia resztkowe..................................................................................50
1.17. Naprężenia dopuszczalne .............................................................................59
1.18. Naprężenie niszczące ..................................................................................60
1.19. Obciążenie/naprężenie graniczne ..................................................................60
1.20. Obciążenie nośne ........................................................................................61
1.21. Wytrzymałość na rozciąganie.......................................................................61
1.22. Wytrzymałość na rozciąganie w dwuosiowym stanie obciążeń .......................61
1.23. Wytrzymałość na ściskanie ..........................................................................62
1.24. Znormalizowana wytrzymałość ....................................................................62
1.25. Szybkość odkształcania ...............................................................................64
1.26. Plastyczność/ciągliwość ..............................................................................64
1.27. Moduł sprężystości .....................................................................................65
1.28. Moduł sprężystości postaciowej, moduł Kirchhoffa .......................................68
3
Sylwester Kłysz
1.29. Moduł sprężystości objętościowej, moduł Helmholtza ...................................70
1.30. Współczynnik Poissona ...............................................................................72
1.31. Wydłużenie ................................................................................................72
1.32. Przewężenie ...............................................................................................73
1.33. Współczynnik tłumienia drgań .....................................................................73
1.34. Współczynnik stratności ..............................................................................74
1.35. Rozszerzalność cieplna ................................................................................75
1.36. Temperatura zeszklenia ...............................................................................78
1.37. Pełzanie .....................................................................................................79
2. Charakterystyki wybranych materiałów .............................................................81
2.1. Metale .........................................................................................................81
2.2. Ceramika i szkło ...........................................................................................81
2.3. Polimery i elastomery ...................................................................................83
2.4. Kompozyty ..................................................................................................84
2.5. Laminat z włókien szklanych/metalowych ......................................................85
2.6. Wykres doboru materiałów ............................................................................87
2.7. Materiały lotnicze .........................................................................................91
Załącznik ..............................................................................................................101
Wykaz skrótów ................................................................................................101
Jednostki miar...................................................................................................104
Słowa kluczowe polsko-angielskie......................................................................108
Słowa kluczowe angielsko-polskie......................................................................112
Literatura .............................................................................................................116
4
Podstawy wytrzymałości materiałów
moim wnuczkom
Oliwii, Kornelii i Zuzannie
Sylwester Kłysz
Podstawy wytrzymałości materiałów
Wstęp
Na temat wytrzymałości materiałów napisano już wiele. Publikacje te
omawiają mniej lub bardziej rozwinięte zagadnienia wytrzymałości materiałów –
zależnie od tego, na którym obszarze autorzy bardziej skupili się w swoich
pracach. Mam nadzieję, że również ta książka znajdzie swoich czytelników.
Liczba dostępnych w internecie materiałów źródłowych w zakresie
wytrzymałości materiałów jest obecnie tak duża, a dostęp do nich tak ułatwiony,
że mogłoby się wydawać, iż nie ma już potrzeby publikowania kolejnych pozycji
w tym już rozpoznanym obszarze. A jednak zaleta tej książki (jaką jej subiektywnie przypisuję) – w postaci skondensowanej prezentacji wiedzy, zawierającej
najbardziej istotne i praktycznie przydatne informacje, w stosunkowo wąskim, ale
spójnym obszarze merytorycznym – wydaje mi się wystarczającym powodem,
aby przygotować taką pozycję literaturową dla zainteresowanych tą tematyką
czytelników.
Książka przedstawia moje subiektywne spojrzenie na wybrane zagadnienia
wytrzymałości zmęczeniowej materiałów, podane w sposób nieskomplikowany,
bez nadmiernego aparatu matematycznego – przez co w mojej ocenie staje się
przystępniejsza dla szerszego grona czytelników, w szczególności takich, którzy
zaczynają swoją drogę naukową i szukają podstaw teoretycznych w zwartej,
skondensowanej i objaśniającej postaci. Mam więc nadzieję, że książka będzie
przydatna np. dla studentów.
Struktura książki jest hasłowa – omawia wybrane zagadnienia, które tworzą
pewien zwarty obszar tematyczny z zakresu badań wytrzymałościowych i analiz
trwałości elementów konstrukcji. W wielu miejscach wprowadziłem odnośniki
angielskie do podstawowych terminów omawianych w książce – co, jak sądzę,
powinno być przydatne dla czytelników, którzy zajmują się tym obszarem nauki,
i pozwoli im łatwiej poruszać się w analogicznej literaturze anglojęzycznej. Na
końcu zamieściłem wykaz wybranych indeksów/haseł występujących w treści
książki – dla ułatwienia w posługiwaniu się książką i wyszukiwaniu miejsc,
w których można znaleźć wzmiankę lub bliskie skojarzenie na dany temat. Na
wykresach (w większości znanych już z literatury) wprowadziłem element
kolorystyczny, z intencją zobrazowania tendencji na nich pokazywanych (np. od
stanu bezpiecznego do krytycznego) lub wskazania najważniejszych fragmentów
rysunków – co, jak sądzę, także może być pomocne w zrozumieniu istoty
omawianych zagadnień.
7
Sylwester Kłysz
Niniejsza książka stanowi część cyklu wydawniczego z obszaru nauki, jakim
zajmują się pracownicy Instytutu Technicznego Wojsk Lotniczych, swoistego
kompendium wiedzy dotyczącej inżynierskiego wspomagania procesu
eksploatacji statków powietrznych.
Składam podziękowanie współpracownikom, którzy często także nieświadomie, acz w dobrej wierze, pozytywnie przyczynili się do powstania tej książki
lub nadania jej końcowej formy i treści.
Szczególne podziękowania kieruję do prof. dr. hab. inż. Jerzego Lewitowicza oraz prof. dr. hab. inż. Yevhena Kharczenki, którzy na etapie wydawniczym
swoimi cennymi uwagami w recenzjach przyczynili się do poprawienia
czytelności, przejrzystości redakcyjnej i zwartości merytorycznej oraz wnieśli
pozytywny wkład w ostateczną postać tej książki.
Sylwester Kłysz
8
Podstawy wytrzymałości materiałów
1
ELEMENTY
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
1.1. Odkształcenie
Zmiana jednostkowa wymiaru (dimension) lub kształtu (shape) przekroju
poprzecznego ciała materialnego, spowodowana oddziaływaniem zewnętrznym –
odniesiona do wyjściowego wymiaru Lo lub kształtu, tj. odpowiadającego
początkowi badań lub pomiarów, określana jest jako odkształcenie inżynierskie
(engineering strain):
e=
∆L Lu − Lo Lu
=
=
−1
Lo
Lo
Lo
(1.1)
Odkształcenie całkowite (global strain) jest sumą odkształceń cząstkowych
(partial strain), chwilowych przyrostów względnych, odniesionych do bieżącej
długości próbki L:
ε=∑
dL
L
(1.2)
Przy założeniu małych przyrostów dL odkształcenie rzeczywiste (true
strain) można zapisać w postaci:
Lu
L
dL
= ln u
Lo
Lo L
ε= ∫
(1.3)
i jest ono definiowane jako logarytm naturalny stosunku długości odcinka pomiarowego w chwili obserwacji Lu do długości wyjściowej odcinka Lo (rys. 1.1).
9
Sylwester Kłysz
Rys. 1.1. Definiowanie odkształceń
Stąd zależność między odkształceniem rzeczywistym i inżynierskim:
ε = ln (1 + e )
(1.4)
Zmiana liniowego wymiaru ciała na jednostkę długości, spowodowana
obciążeniem rozciągającym lub ściskającym, jest nazywana odkształceniem
liniowym (linear strain). Składowa odkształcenia liniowego w płaszczyźnie
równoległej do osi próbki to odkształcenie osiowe/podłużne (axial/longitudinal
strain), a składowa w płaszczyźnie prostopadłej to odkształcenie poprzeczne
(transverse/lateral strain).
Między tymi odkształceniami istnieje zależność opisana wzorem:
ε=
ν σ
σ εd
−
− s
E ν p ν pE
(1.5)
gdzie:
σ
– naprężenie wywołujące odkształcenie;
ε, εd – odkształcenie podłużne i poprzeczne;
νs, νp – współczynnik Poissona (Poisson ratio) w zakresie sprężystym
i plastycznym;
E
– moduł Younga (Young modulus).
Stosunek ε/e jest współczynnikiem koncentracji odkształceń (strain
concentration factor) Kε.
Tangens zmiany kątowej, powstałej w wyniku obciążenia, między dwiema
liniami wyjściowo prostopadłymi do siebie w danym punkcie ciała to
odkształcenie kątowe/ścinania/postaciowe (angular/shear/shape strain).
10
Podstawy wytrzymałości materiałów
Średnie odkształcenie określone na odcinku pomiarowym, dużym
w porównaniu np. z odległością międzyatomową, to makroodkształcenie
(macrostrain), a określone na odcinku porównywalnym z odległością międzyatomową, to mikroodkształcenie (microstrain).
Odkształcenie jest wielkością bezwymiarową (nondimensional value), często
jednak wyrażane jest w mm/mm, m/m lub w procentach. Odkształcenie związane
ze wzrostem mierzonego wymiaru jest traktowane jako dodatnie, jeśli wymiar
ulega zmniejszeniu odpowiednie odkształcenie jest ujemne.
W zakresie małych deformacji sprężysto-plastycznych obowiązuje zasada
addytywności (additive principle) odkształceń:
ε = ε spr + ε pl
(1.6)
gdzie εspr = σ/E, jest odkształceniem sprężystym (elastic strain), dla którego
stosuje się prawo Hooke’a (Hooke’s law), a odkształcenie plastyczne (plastic
strain):
(1.7)
ε pl = ε − ε spr
jest opisywane wg zależności Ramberga-Osgooda (Ramberg-Osgood equation):
1/ n
σ
ε pl =  
K
gdzie:
(1.8)
K – współczynnik wytrzymałości statycznej (static strength coefficient);
wartość K odpowiada naprężeniu σ, dla którego εpl = l;
n – wykładnik umocnienia statycznego (static/strain hardening
exponent); wartość n odpowiada tangensowi kąta nachylenia liniowego odcinka wykresu w układzie logarytmicznym logσ - logεpl.
W danym punkcie ciała stan odkształceń (strain state) jest definiowany
przez sześć składowych (strain component) odniesionych do układu osi
współrzędnych – trzy liniowe (zazwyczaj osiowe) i trzy kątowe (ścinające).
Odkształcenia związane z działaniem naprężeń normalnych/stycznych nazywa się
odkształceniami normalnymi/stycznymi (normal/tangential strain).
Dla obciążeń wieloosiowych (multiaxial loading) odkształcenia związane
z każdym z przyłożonych obciążeń sumują się – sumaryczne odkształcenie
wylicza się wg zasady addytywności z naprężeń głównych σ1, σ2, σ3 (principal
stress) z uwzględnieniem współczynnika Poissona v:
11
Sylwester Kłysz
ε1 =
1
(σ1 − ν(σ 2 + σ 3 ) )
E
(1.9)
ε2 =
1
(σ 2 − ν(σ1 + σ 3 ) )
E
(1.10)
ε3 =
1
(σ 3 − ν(σ1 + σ 2 ) )
E
(1.11)
W badaniach mechanicznych nie są rozważane odkształcenia wynikające
np. z termicznego wydłużania (odkształcenia termiczne, thermal strain) i zmiany
wywołane wilgotnością – jako nieistotne dla problemu.
1.2. Naprężenie
Intensywność sił lub składowych siły w punkcie ciała, działających na
powierzchnię przechodzącą przez ten punkt. W badaniach rozciągania, ściskania
i ścinania przewidzianych w wymaganiach technicznych dla produktów naprężenie (stress) jest obliczane na podstawie wyjściowego wymiaru przekroju
poprzecznego próbki lub elementu (initial net section) – nazywane jest
naprężeniem inżynierskim S (engineering stress). W testach na rozciąganie
i ściskanie osiowe naprężenia, obliczane na podstawie rzeczywistego przekroju
poprzecznego próbki (real net section) w momencie obserwacji, noszą nazwę
naprężeń rzeczywistych σ (true stress).
Naprężenia wyznaczone zgodnie z teorią sprężystości dla przekroju
nominalnego (nominal net section), bez uwzględniania wpływu naprężeń
wytworzonych przez geometryczne nieciągłości, takie jak otwory, rowki, zmiany
profili itp., to naprężenia nominalne (nominal stress).
Naprężenie inżynierskie (nominalne), jako stosunek siły P do poprzecznego
początkowego przekroju Ao, na który działa siła, określa wzór:
S=
P
Ao
(1.12)
Przy założeniu nieściśliwości materiału (material incompressibility), tzn. że
odkształca się on bez zmiany objętości:
Ao Lo = Au Lu
12
(1.13)
Podstawy wytrzymałości materiałów
gdzie:
Ao, Lo – początkowe pole przekroju i długość elementu;
Au, Lu – pole przekroju i długość elementu po odkształceniu,
można zapisać zależność między naprężeniem rzeczywistym i inżynierskim:
σ=
P
= S (1 + e )
Au
(1.14)
Stosunek σ/S określa współczynnik koncentracji naprężeń (stress concentration factor) Kσ.
Składowa naprężenia prostopadła (perpendicular component) do płaszczyzny
przekroju, na który działają siły, to naprężenie normalne (normal stress) – składowa styczna (parallel component) to naprężenie styczne/tnące (tangential/cut
stress) (rys. 1.2). Naprężenie ścinające na przekroju poprzecznym wywołujące
skręcanie to naprężenie skrętne (torsion stress).
Naprężenie w elemencie, który jest w spoczynku, w stanie równowagi
i w jednorodnej temperaturze, gdy nie działają na niego siły zewnętrzne
i masowe, to naprężenie resztkowe (residual stress).
Rys. 1.2. Definiowanie naprężeń: a) normalnych; b) stycznych; c) wyrażonych za pomocą
składowych siły; d) stycznych komplementarnych
13
Sylwester Kłysz
Naprężenia działające na poszczególne ściany elementu można rozłożyć na
składowe równoległe do trzech wzajemnie prostopadłych krawędzi hipotetycznego sześcianu (X1, X2 i X3).
Każdej składowej przypisuje się symbol σij, w którym pierwszy wskaźnik
i oznacza ścianę, na którą naprężenie działa, a drugi wskaźnik j kierunek jego
działania (rys. 1.3; i, j - 1, 2, 3).
Rys. 1.3. Oznakowanie naprężeń: σij oznacza naprężenie działające na ścianę i
(prostopadłą do osi i), równolegle do osi j; σii jest naprężeniem normalnym;σij (i ≠ j) jest
naprężeniem stycznym
Dziewięć składowych naprężeń (stress component) σij, odpowiednio
zestawionych w macierz, tworzy tensor naprężeń (stress tensor):
 σ11 σ12

~
σij =  σ 21 σ 22
σ
 31 σ 32
σ13 

σ 23 
σ 33 
(1.15)
który opisuje całkowicie stan naprężenia w dowolnym punkcie danego elementu.
Wyrazy leżące na przekątnej tensora (σ11, σ22, σ33) reprezentują naprężenia
normalne. Dodatnie naprężenia normalne są naprężeniami rozciągającymi
(tension stress), a ujemne – naprężeniami ściskającymi (compresion stress).
Naprężenia te na równoległych przekrojach są takiej samej wielkości, lecz mają
przeciwne zwroty.
14
Podstawy wytrzymałości materiałów
Wyrazy nieleżące na przekątnej tensora przedstawiają naprężenia ścinające
(shear stress). Naprężenia styczne są komplementarne (complementary stress),
tzn. zachodzi zależność σij = σji – w stanie równowagi nie zachodzi obrót elementu, wobec czego tensor naprężeń zawiera tylko sześć składowych niezależnych.
Przy zmianie orientacji układu współrzędnych składowe tensora naprężeń
przyjmują nowe wartości. Istnieje taka orientacja, przy której naprężenia styczne
dają się zredukować do zera, a zatem tensor naprężeń przyjmuje wówczas postać:
 σ11 0

~
σii =  0 σ 22
 0
0

0 

0 
σ 33 
(1.16)
i odpowiadające tej orientacji naprężenia normalne (oznaczone zwyczajowo jako
σ1, σ2 i σ3) noszą nazwę naprężeń głównych (principal stress). Zwykle przyjmuje
się takie ich oznaczenie, aby σ1>σ2>σ3.
Zależnie od konfiguracji tych naprężeń wyróżnia się następujące stany
naprężeń (stress state):
 jednoosiowy (uniaxial stress state), gdy dwa z trzech naprężeń głównych równe są zero;
 dwuosiowy (biaxial stress state), gdy jedno z trzech naprężeń głównych
równe jest zero;
 trzyosiowy (triaxial stress state), gdy żadne z trzech naprężeń głównych
nie jest równe zero.
Jeżeli wszystkie trzy naprężenia główne są równe (σ1=σ2=σ3=σh), to mówi
się, iż jest to hydrostatyczny stan naprężeń (hydrostatic stress state).
Tensor naprężeń głównych może być rozłożony na dwie części składowe:
 σ1

0
0

0
σ2
0
0   1 3 (σ1 + σ 2 + σ 3 )
 
0
0  =


0
σ3  
0
1
3
(σ1 + σ 2 + σ 3 )
0


0
+
1 (σ + σ + σ )
3
1
2
3 
0
0
0
 σ1 − 1 3 (σ1 + σ 2 + σ 3 )



+
0
σ 2 − 1 3 (σ1 + σ 2 + σ 3 )
0


1
0
0
σ 3 − 3 (σ1 + σ 2 + σ 3 )

15
(1.17)
Sylwester Kłysz
Pierwsza część przedstawia wówczas naprężenie hydrostatyczne (hydrostatic stress) o trzech jednakowych składowych:
σh =
1
3
(σ1 + σ 2 + σ 3 )
(1.18)
Część druga jest zwana naprężeniem dewiacyjnym lub naprężeniem zredukowanym (deviation/reduced stress) o trzech składowych:
σ d, i = σ i − σ h
(1.19)
Składowa hydrostatyczna wywołuje zmianę objętości obciążonego elementu
(dilatation, dilatational strain, volumetric strain), lecz nie powoduje zmiany
kształtu, odkształceń postaciowych (shear strain), zniekształcenia (deformation,
non-dilatational strain). Naprężenie hydrostatyczne nie wywołuje płynięcia
plastycznego materiału, nawet gdy jest bardzo duże. W przeciwieństwie do tego
składowa dewiacyjna naprężenia nie powoduje zmiany objętości, wywołuje
natomiast zmianę kształtu i płynięcie plastyczne.
1.3. Cykl naprężenia
Najmniejszy fragment przebiegu naprężenie-czas (stress-time function),
który jest powtarzalny w sposób ciągły i okresowy w widmie obciążenia (load
spectrum) lub jego części – dotyczy głównie widm obciążeń stałoamplitudowych
(constant amplitude load spectrum, CA load). W przypadku widm obciążeń
nieregularnych (w tym losowych), w których nie można wyodrębnić
powtarzających się cyklicznie fragmentów, za cykl naprężenia (stress cycle)
przyjmuje się każdy najmniejszy fragment przebiegu naprężenie-czas zawarty
między sąsiednimi ekstremami (minimami lub maksimami) naprężeń.
Największa/najmniejsza algebraicznie wartość naprężenia w danym cyklu to
naprężenie maksymalne/minimalne (maximum/minimum stress, peak & valley
stress). Średnia algebraiczna wartości naprężenia maksymalnego i minimalnego
w danym cyklu obciążenia to naprężenie średnie (mean stress, Sm, σm).
Traktowane ono jest jako składowa stała cyklu obciążenia (load constant
component) w przypadku obciążeń stałoamplitudowych:
S m = 1 2 (S max + S min )
(1.20)
Wielkość zmiany naprężenia od jego wartości średniej to amplituda
naprężenia, naprężenie zmienne (alternating stress, Sa, σa) – połowa różnicy
16
Podstawy wytrzymałości materiałów
między naprężeniem maksymalnym i minimalnym w danym cyklu obciążenia.
Traktowana jest w przypadku obciążeń stałoamplitudowych jako składowa
zmienna cyklu obciążenia (load varying component):
S a = 1 2 (S max − S min ) = S max − S m = S m − S min
(1.21)
Określona liczba cykli obciążenia przy stałej amplitudzie i wartości średniej
naprężeń to blok obciążeń (cycle block).
Różnica między algebraicznymi wartościami naprężenia maksymalnego
i minimalnego w danym cyklu obciążenia to zakres naprężeń (stress range, ∆S):
∆S = S max − S min = 2 S a
(1.22)
Większość oszacowań trwałościowych elementów lub konstrukcji podlegających zmiennoamplitudowym obciążeniom (variable amplitude load spectrum,
VA load) jest prowadzona w oparciu o lokalne naprężenia (local stress) zmierzone
doświadczalnie jedynie w wyznaczonych miejscach. To wymaga przedstawienia
obciążeń eksploatacyjnych (service load) w danym elemencie w postaci naprężeń
zmiennoamplitudowych.
Zmiennoamplitudowe obciążenia są z definicji nieregularne i nie mogą być
przedstawiane jako proste cykle naprężeń – do analiz trwałościowych niezbędne
jest przekształcenie ciągu zmiennoamplitudowego naprężeń w cykle naprężeń,
np. przy pomocy znanych procedur zliczania cykli (cycle counting method).
Wówczas naprężenia przyjęte do zdefiniowania cykli naprężeń nie są dokładnie
tymi samymi, co naprężenia w kolejnych wierzchołkach przebiegu obciążeń
(peak & valley load). Także wyznaczony taką procedurą cykl naprężeń nie musi
koniecznie występować w danej sekwencji obciążeń eksploatacyjnych (load
sequence).
W przypadku wystąpienia uplastycznienia materiału podczas obciążania,
lokalne wartości amplitud naprężeń (i odkształceń) są różne od zadanych.
1.4. Współczynnik asymetrii cyklu
Stosunek algebraicznych wartości naprężenia minimalnego do maksymalnego w danym cyklu obciążenia:
R=
S min
S max
17
(1.23)
Sylwester Kłysz
Wartości współczynnika asymetrii cyklu (stress ratio) R = –1 i R = 0 są
powszechnie przyjmowane w stałoamplitudowych testach zmęczeniowych. Gdy
R > 0, naprężenia Smin i Smax są jednocześnie rozciągające (tension stress) lub
ściskające (compresion stress) i o konkretnych warunkach obciążenia w danym
cyklu mówi znak zastosowanego obciążenia.
Cykl obciążeń przy naprężeniach o wartości średniej Sm = 0 to cykl naprężeń
przemiennych/wahadłowych (reversed stress cycle). Dla takiego cyklu zachodzą
równości:
S m = 0; S max = S a ; S min = − S a ; R = −1
(1.24)
Cykl obciążeń rozciągających przy naprężeniach o wartości minimalnej
Smin = 0 to cykl naprężeń odzerowych/pulsacyjnych (repeated tensile stress cycle).
Dla takiego cyklu zachodzą równości:
S min = 0; S m = S a ; S max = 2 S a ; R = 0
(1.25)
Dla łączonych elementów klejonych, np. elementów z łatami kompozytowymi (patched specimen), wprowadza się efektywny współczynnik asymetrii
(effective stress ratio):
Reff =
gdzie:
ST
(S min + ST )
(S max + ST )
(1.26)
– termiczne naprężenie resztkowe (thermal residual stress):
ST =
t R E R E P ∆T (α P − α R )
(t P E P + t R E R )
(1.27)
∆T
– różnica między temperaturą utwardzania (adhesive cure
temperature) i użytkowania (operating temperature) kleju;
tR, tP – grubości elementu i łaty;
ER, EP – moduły Younga materiału elementu i łaty;
αR,αP – współczynniki rozszerzalności termicznej (thermal expansion
coefficient) materiału elementu i łaty.
Efektywny współczynnik asymetrii cyklu Reff jest większy od R i zmienia się
przy stałym R wraz z poziomem obciążeń w cyklu:
18
Podstawy wytrzymałości materiałów
Reff =
(RS min + ST ) = (RK σ S nom + ST )
(S max + ST ) (K σ S nom + ST )
(1.28)
gdzie Kσ – współczynnik koncentracji naprężeń (stress concentration factor).
1.5. Osiowy stan obciążeń
W pręcie o nominalnym przekroju poprzecznym Q (nominal cross section),
rozciąganym siłami P działającymi wzdłuż jego osi (axial force, uniaxial loading
condition) – w przekroju Aα nachylonym pod kątem α do kierunku działania
obciążenia (rozumianym jako kąt nachylenia normalnej n do płaszczyzny
przekroju Aα, dodatni liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) – powstaje
układ dwu składowych sił (rys. 1.4):
 N prostopadłej do przekroju, wywołującej naprężenie normalne (normal
stress) σα = Ν/Αα;
 T równoległej do przekroju, powodującej powstanie naprężeń stycznych
(tangential stress) τα = Τ/Αα.
Rys. 1.4. Rozkład sił w przekroju pręta pod działaniem sił obciążających P
Ponieważ:
N = P cos α,
T = P sin α,
Aα =
Q
cos α
to w oparciu o proste związki trygonometryczne zachodzi:
19
(1.29)
Sylwester Kłysz
P cos α cos α
1 + cos 2α
= σ cos 2 α = σ
Q
2
P sin α cos α 1
τα =
= σ sin 2α
Q
2
σα =
(1.30)
Powyższe zależności można zobrazować na wykresach (rys. 1.5 i 1.6).
Rys. 1.5. Naprężenia normalne σα i styczne τα w układzie kartezjańskim dla
jednoosiowego stanu naprężeń
Rys. 1.6. Naprężenia normalne σα i styczne τα w układzie biegunowym dla jednoosiowego
stanu naprężeń
Traktując (1.29) i (1.30) jako równania parametryczne (parametric equation)
funkcji τα = f(σα), gdzie parametrem jest kąt α, po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu obu równań otrzymamy:
[σ α − 0,5σ]2 = [0,5σ]2 cos 2 2α
[τα ]2 = [0,5σ]2 sin 2 2α
20
(1.31)
Podstawy wytrzymałości materiałów
które po dodaniu stronami prowadzą do równania funkcji:
[σ α − 0,5σ]2 + τα2 = [0,5σ]2
(1.32)
której wykresem jest tzw. koło Mohra (Mohr’s circle) dla naprężeń (rys. 1.7).
Promień tego koła wynosi r = τα, max = 0,5σ, a współrzędne środka wynoszą
C (0,5σ, 0).
τα+π/2
Rys. 1.7. Naprężenia normalne σα i styczne τα na kole Mohra dla jednoosiowego stanu
obciążeń
Po analizie zmienności wartości naprężeń normalnych σα i stycznych τα
w funkcji kąta α określającego położenie normalnej do płaszczyzny przekroju Aα
względem osi pręta, stan naprężenia (stress state) w pręcie poddanym
jednoosiowemu stanowi obciążenia można uogólnić wnioskami:
 naprężenia normalne w przekrojach równoległych są równe σα = σα + π;
 naprężenia styczne w przekrojach prostopadłych są sobie równe
τα = τα + π/2, tzw. naprężenia komplementarne;
 w przekrojach, w których naprężenia normalne osiągają ekstremum
σ = 0, σ = σ1, naprężenia styczne są równe zero;
 istnieje tylko jeden przekrój 2α = π, w którym oba naprężenia są równe
zero.
21
Sylwester Kłysz
1.6. Dwuosiowy stan obciążeń
Stan obciążenia elementu, w którym jego składowe (load component)
odnoszone są do wzajemnie prostopadłych kierunków X1, X2 i X3 układu
współrzędnych prostokątnych, charakteryzują się albo dodatnim, albo ujemnym
naprężeniem w kierunkach X1 i X2, a naprężenie w kierunku X3 jest zerowe –
(biaxial/two-dimensional loading condition), zwany także płaskim stanem
naprężeń (plane stress state).
Stosunek naprężeń w obu kierunkach B = σ1/σ2 jest nazywany współczynnikiem dwuosiowości (biaxial ratio).
Wyniki badań w warunkach dwuosiowego stanu obciążenia przyjęło się
przedstawiać w postaci tzw. wykresu dwuosiowego naprężenia-odkształcenia
(biaxial stress-strain diagram). Wykres taki jest podobny do wykresu naprężenieodkształcenie w próbie rozciągania, jednak dla każdego badania zazwyczaj jest
prezentowane tylko maksymalne (algebraicznie większe) naprężenie główne
(principal stress) i odkształcenie. Gdy przeprowadza się badania tego samego
materiału przy różnych współczynnikach dwuosiowości, otrzymane krzywe mogą
być wykreślone jednocześnie, tworząc „rodzinę” krzywych, jako dwuosiowe
naprężenie-odkształcenie. Na rys. 1.8 pokazano taki wykres dla materiału
izotropowego (isotropic material) – linia przerywana obrazuje przesuniętą
równolegle styczną do liniowego odcinka wykresu (offset line) wyznaczającą
umowną granicę plastyczności materiału (biaxial yield stress). W przypadku
materiału anizotropowego (anisotropic material) krzywa dla danego współczynnika dwuosiowości nie pokrywa się z krzywą dla odwrotnego współczynnika
dwuosiowości 1/B, także granice plastyczności są różne w tym przypadku.
Rys. 1.8. Typowe wykresy dwuosiowe naprężenie-odkształcenie dla materiałów
izotropowych
22
Podstawy wytrzymałości materiałów
Zaleca się, aby na wykresach wskazać kierunek odniesienia dla współczynnika dwuosiowości B = 0 (reference direction). Kierunek odniesienia jest dla
wyrobów płaskich kierunkiem wzdłużnym (walcowania) (longitudinal direction,
rolling direction), a dla powierzchni obrotowych (rur, stożków itp.) kierunkiem
obwodowym (circumferential direction).
Do analiz definiuje się dwuwymiarowy stan naprężeń (biaxial stress state),
jako określony naprężeniami głównymi (principal stress) σ1, σ2 (rys. 1.9).
Rys. 1.9. Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała poddanego
dwuosiowemu stanowi obciążeń
Rzutując wszystkie siły na płaszczyzny, równoległą i prostopadłą do
dowolnie wybranego przekroju A, równania równowagi sił (equations of
equilibrium) mają w tym przypadku postać:
2
2
∑ Pprostop = −σ1 cos α − σ 2 sin α + σ α = 0
∑ Prównol = −σ1 sin α cos α + σ 2 sin α cos α + τ α = 0
(1.33)
stąd po przekształceniach:
σ α = σ1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α = 0,5(σ1 + σ 2 ) + 0,5(σ1 − σ 2 )cos 2α
τ α = (σ1 − σ 2 )sin α cos α = 0,5(σ1 − σ 2 )sin 2α
(1.34)
Powyższe zależności można zobrazować wykresami (rys. 1.10 i 1.11).
Oba równania parametryczne (parametric equation) funkcji τα = f(σα), gdzie
kąt α jest parametrem, po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu przyjmują postać:
[σα − 0,5(σ1 + σ 2 )]2 = [0,5(σ1 − σ 2 )]2 cos 2 2α
(1.35)
2
τ α2 = [0,5(σ1 − σ 2 )] sin 2 2α
23
Sylwester Kłysz
Rys. 1.10. Naprężenia normalne σα i styczne τα w układzie kartezjańskim dla
dwuosiowego stanu naprężeń
Rys. 1.11. Naprężenia normalne σα i styczne τα w układzie biegunowym dla dwuosiowego
stanu naprężeń
oraz po dodaniu stronami prowadzą do zależności:
[σ α − 0,5(σ1 + σ 2 )]2 + τα2 = [0,5(σ1 − σ 2 )]2
(1.36)
Wykresem tej funkcji jest koło Mohra dla naprężeń, którego promień jest
równy r = 0,5(σ1 – σ2), a współrzędne środka wynoszą C (0,5(σ1 + σ2), 0).
Wizualizację naprężeń normalnych σα i stycznych τα w dwuosiowym stanie
obciążeń dla konkretnych wartości naprężeń głównych σ1 i σ2 przedstawia
rys. 1.12.
24
Podstawy wytrzymałości materiałów
Rys. 1.12. Naprężenia normalne σα i styczne τα na kole Mohra dla dwuosiowego stanu
obciążeń
1.7. Trzyosiowy stan obciążeń
Stan obciążenia elementu, w którym jego składowe odnoszone są do
wzajemnie prostopadłych kierunków X1, X2 i X3 układu współrzędnych
prostokątnych, i istnieją albo dodatnie albo ujemne naprężenia w tych kierunkach
(triaxial loading condition). Jest więc uogólnieniem płaskiego stanu naprężenia,
gdy na ścianki elementu działają naprężenia główne (principal stress) σ1, σ2, σ3.
Rozważając w trójwymiarowej przestrzeni dowolnie wybrany punkt
obciążonego elementu, znajdującego się pod działaniem złożonego stanu
naprężeń (complex state of stress), definiuje się dziewięć składowych naprężeń
tego stanu, z których trzy są składowymi normalnymi, a sześć stycznymi:
 σ11 τ12

~
σij =  τ21 σ 22
τ
 31 τ32
τ13 

τ23 
σ33 
(1.37)
Składowe naprężeń w dowolnym punkcie leżącym na płaszczyźnie ABC tak
zorientowanej w przestrzeni, że normalna n do tej płaszczyzny tworzy z osiami
układu kartezjańskiego kąty nx, ny, nz, a płaszczyzna ABC tworzy z osiami
układu kąty, których cosinusy kierunkowe (direction cosine) wynoszą (rys. 1.13):
25
Sylwester Kłysz
k = cos(nx)
l = cos(ny )
m = cos(nz )
(1.38)
można zapisać w postaci symetrycznego tensora drugiego rzędu (second order
tensor) w trójwymiarowej przestrzeni (rys. 1.14):
σ1n = σ11k + τ12 l + τ13 m
σ 2 n = τ 21k + σ 22 l + τ 23 m
(1.39)
σ 3n = τ 31k + τ 32 l + σ 33 m
Rys. 1.13. Stan naprężeń w punkcie na
dowolnie zorientowanej płaszczyźnie
Rys. 1.14. Wektor σn i jego składowe
Składowe σ1n, σ2n, σ3n tworzą wektor σn o wartości:
σ 2n = σ12n + σ 22 n + σ 32n
(1.40)
który w ogólności nie jest prostopadły do płaszczyzny ABC. Wektor ten można
również rozłożyć na dwie składowe: normalną σα i styczną τα do płaszczyzny
ABC (rys. 1.15):
(1.41)
σ n = σα + τα
gdzie składowa normalna do płaszczyzny ABC jest opisana równaniem:
σ α = σ1n k + σ 2 nl + σ3n m
26
(1.42)
Podstawy wytrzymałości materiałów
Rys. 1.15. Relacja między wektorami σn oraz σα i τα
Naprężenia normalne σα i styczne τα w płaszczyznach o dowolnym
nachyleniu można również opisać za pomocą kół Mohra.
Dla przekroju płaszczyzną równoległą do osi X1 naprężenie σ1 nie wpływa
na naprężenia σα i τα przynależne temu przekrojowi – są one zależne tylko od
naprężeń σ2, σ3 i mogą być wyznaczone z koła Mohra dla odpowiedniego
dwuosiowego stanu naprężeń (rys. 1.16).
Rys. 1.16. Koło Mohra dla przekroju płaszczyzną równoległą do osi X1
Równanie określające koło naprężeń w tym przypadku ma postać:
[σ α − 0,5(σ 2 + σ3 )]2 + τα2 = [0,5(σ 2 − σ3 )]2
(1.43)
W podobny sposób naprężenia σα i τα w przekrojach równoległych do osi X2
i X3 przedstawiają koła Mohra (rys. 1.17) opisane wzorami:
27
Sylwester Kłysz
[σ α − 0,5(σ1 + σ3 )]2 + τα2 = [0,5(σ1 − σ3 )]2
[σ α − 0,5(σ1 + σ 2 )]2 + τα2 = [0,5(σ1 − σ 2 )]2
(1.44)
Rys. 1.17. Koła Mohra dla przekrojów płaszczyznami równoległymi do osi X2 i X3
które po naniesieniu na jeden wykres (rys. 1.18) dają obraz spełniający w analizie
trójwymiarowego stanu naprężenia podobną rolę, jak pojedyncze koło Mohra dla
stanu dwuwymiarowego.
Rys. 1.18. Koło Mohra dla trójosiowego stanu naprężeń
28
Podstawy wytrzymałości materiałów
Dla przekrojów nachylonych pod dowolnym kątem do trzech osi odpowiadające im naprężenia σn i τn są równe współrzędnym punktów leżących
w polu zakreskowanym między trzema kołami.
Największe naprężenie styczne w tym przypadku jest co do wartości równe
promieniowi największego z kół na tym wykresie i wynosi:
τ max =
σ1 − σ 3
2
(1.45)
Składowe σn i τn można wyznaczać metodą graficzną, korzystającą
z konstrukcji koła Mohra. Wartości naprężeń σn i τn w przekroju, którego
normalna tworzy z osiami naprężeń głównych kąty α, β, γ, wyznacza się
w następujący sposób (rys. 1.19):
Rys. 1.19. Sposób określenia naprężeń σn i τn na płaszczyźnie ABC pochylonej
w stosunku do naprężeń głównych pod kątami α, β, γ
 po wykreśleniu kół Mohra odkłada się kąty α w lewo i γ w prawo od
prostopadłych wystawionych z punktów A, C, opisujących odpowiednio
naprężenia σ1 i σ3;
 od przecięcia z dużym kołem wyrysowanych wcześniej ramion kątów
(punkty D i E) kreśli się łuki DF i EF, zataczane w środkach kół małych
O2, O3; przecięcie tych łuków w punkcie F wyznacza stan naprężeń na
interesującej płaszczyźnie;
29
Sylwester Kłysz
 aby określić kąt β nachylenia interesującej płaszczyzny w stosunku do osi
y, kreśli się łuki FG i FH w lewo i prawo promieniem równym odległości
O1F do punktów przecięcia z małymi kołami (punkty G i H); uzyskane
punkty przecięcia łączy się z punktem B; kąty β mierzone w lewo
i w prawo od prostopadłej wystawionej z σ2 (punkt B) do wykreślonych
linii to kąty nachylenia interesującej płaszczyzny w stosunku do osi y.
1.8. Rozeta tensometryczna
Układ pomiarowy elektrycznej tensometrii oporowej wykorzystujący
zmiany rezystancji tensometrów ∆R/R w wyniku ich odkształcania. Zmiana
rezystancji tensometru jest proporcjonalna do odkształcenia tensometru
i równocześnie odkształcenia materiału, na którym jest naklejony ten tensometr.
Układ tensometrów połączonych na badanym materiale w rozetę (rys. 1.20)
pozwala m.in. na pomiar odkształceń i naprężeń głównych (principal
strain/stress) w materiale.
Rys. 1.20. Rozeta tensometryczna prostokątna umieszczona na badanym elemencie
Na podstawie zmierzonych przez tensometry odkształceń ε0, ε45, ε90,
odkształcenia główne wyznacza się z zależności:
ε1, 2 =
ε 0 + ε 90
2
±
2
2
(ε 0 − ε 45 )2 + (ε 45 − ε90 )2
30
(1.46)
Podstawy wytrzymałości materiałów
a kąt pierwszego kierunku głównego z zależności:
tg (2ϕ) =
2ε 45 − (ε 0 + ε 90 )
ε 0 − ε 90
(1.47)
Wartości naprężeń głównych wynoszą wówczas:
σ1 =
E (ε1 + νε 2 )
1 − ν2
(1.48)
σ2 =
E (ε 2 + νε1 )
1 − ν2
(1.49)
gdzie v jest współczynnikiem Poissona, a E modułem Younga badanego
materiału.
1.9. Związki konstytutywne
Zależności między składowymi tensora naprężeń i tensora odkształceń,
charakteryzujące dany materiał. Dla ciał izotropowych, liniowo-sprężystych
związkiem konstytutywnym (constitutive law) jest prawo Hooke’a (Hooke’s law),
o ogólnej postaci:
σ ij = λε kk δ ij + 2µε ij
(1.50)
gdzie λ i µ są stałymi Lamego (Lame constant).
Podstawiając za µ = G = E/2(1+ν) i λ = νE/(1+ν)(1-2ν), gdzie E jest
modułem Younga, a ν jest współczynnikiem Poissona, związek ten przyjmuje
postać:
σ ij =
E
νE
ε ij +
ε ii δ ij
1+ ν
(1 + ν)(1 − 2ν)
(1.51)
W przypadku ciał plastycznych (ductile material) ze wzmocnieniem związek
konstytutywny jest równaniem Ramberga-Osgooda (Ramberg-Osgood equation),
o ogólnej postaci:
31
Sylwester Kłysz
1

3  (3 / 2 sij sij ) 2
ε ij = α
2 
R pl

gdzie:





n −1
sij
(1.52)
R pl
Rpl – granica plastyczności (yield strength, yield stress, plastic limit);
sij – składowe dewiatora naprężeń (stress deviator) sij = σij – (skk/3)δij;
α – stała materiałowa.
Klasyczna mechanika ciała stałego wymaga do pełnego opisania zagadnienia
wyznaczenia po dziewięć składowych tensora naprężeń σji i odkształceń εij
(stress/strain tensor) oraz trzy składowe wektora przemieszczeń ui. Zgodnie
z teorią bezmomentową – zakładającą, że z danym punktem w przestrzeni nie są
związane momenty sił, oba tensory są symetryczne, tzn. σij = σji oraz εij = εji.
Oznacza to, że niezależnych jest tylko sześć składowych w obu tensorach
i zmniejsza to liczbę zmiennych do 15.
Przy założeniu, że składowe tensora odkształceń są bardzo małe, związek
między nimi i składowymi wektora przemieszczeń można zapisać w postaci
liniowej:
∂u j
1  ∂u
ε ij =  i +
2  ∂x j ∂xi
 1
 = ui , j + u j ,i
 2

(
)
i = 1,2,3
(1.53)
Oba opisane związki konstytutywne dają 12 równań, więc niezbędne są
jeszcze trzy związki do wyznaczenia wszystkich zmiennych σji, εij i ui.
W przypadku zagadnień statycznych są nimi równania równowagi
(equilibrium equation) ośrodka ciągłego, o postaci:
σ ij , j + ρf i = 0
gdzie:
(1.54)
fi – są składowymi wektora sił masowych (mass force vector);
ρ − jest gęstością materiału.
W przypadku zagadnień dynamicznych są nimi równania ruchu (equations
of motion) lub inna forma zasady zachowania pędu ośrodka ciągłego, o postaci:
σ ij , j + ρf i = ρ
32
∂ 2 ui
∂t 2
(1.55)
Podstawy wytrzymałości materiałów
W zależności od tego, czy analizowane zagadnienie rozpatrujemy w:
 naprężeniach, tj. najpierw wyznaczamy naprężenia, potem odkształcenia, a na końcu przemieszczenia, czy
 przemieszczeniach, tj. najpierw wyznaczamy przemieszczenia (przekształcając równania równowagi lub ruchu, do postaci sformułowanej w przemieszczeniach), potem odkształcenia, a na końcu naprężenia,
sprowadza się ono do rozwiązania, odpowiednio:
 układu równań Beltriamiego-Michella, o ogólnej postaci:
σ ij ,kk +
2( λ + µ )
λ
δ ij σ pp ,kk + (ρf i ) , j + (ρf j ) ,i = 0
σ kk ,ij −
3λ + 2µ
3λ + 2µ
(1.56)
i wiąże się z koniecznością zastosowania równań zgodności odkształceń
de Saint-Venanta (εmkiεnrjεij,kr = 0), ze względu na nieokreśloność stałych
całkowania przy całkowaniu równań wiążących εij i ui,
lub
 układu równań Naviera, o ogólnej postaci:
µui , jj + (λ + µ)u j ,ii + ρf i = ρ
∂ 2u
∂t 2
(1.57)
z modyfikacjami wynikającymi np. z płaskiego stanu naprężeń (plane
stress, p.s.n.) lub płaskiego stanu odkształceń (plane strain, p.s.o.).
Postać ww. układów równań zależy także od przyjętego układu współrzędnych. Przykładowo zagadnienie płaskie w układzie biegunowym opisują:
 równania równowagi, o postaci:
∂ (rσ r ) ∂σ Θr
+
− σΘ = 0
∂r
∂Θ
∂σ Θ ∂ (rσ rΘ )
+
+ σ Θr = 0
∂Θ
∂r
(1.58)
 równania wiążące odkształcenia z przemieszczeniami, o postaci:
εr =
∂u r
u
1 ∂u Θ
1 ∂u r ∂u Θ u r
, εΘ = r +
, ε Θr =
+
−
∂r
2r ∂Θ 2∂r 2r
r r ∂Θ
 liniowe równania konstytutywne, dla p.s.n., o postaci:
33
(1.59)
Sylwester Kłysz
εr =
1
(σ r − νσ Θ ), ε Θ = 1 (σ Θ − νσ r ), ε rΘ = 1 σ rΘ
E
E
2µ
(1.60)
 liniowe równania konstytutywne, dla p.s.o., o postaci:
εr =
1
((1 − ν)σ r − νσ Θ ), ε Θ = 1 ((1 − ν)σ Θ − νσ r ), ε rΘ = 1 σ rΘ (1.61)
2µ
2µ
2µ
 równanie równowagi odkształceń, o postaci:
∂ 2 ε Θ 2∂ε Θ ∂ 2 (2ε rΘ ) ∂ε rΘ
∂ε
∂ 2ε r
− r =0
+
−
−
+
2
2
2
2
r∂r
r∂r∂Θ
r∂r
∂r
r ∂Θ r ∂Θ
(1.62)
1.10. Właściwości wytrzymałościowe materiału
Zestaw charakterystyk materiałowych, określonych dla materiałów znormalizowanych w odniesieniu do składu chemicznego (chemical constitution) i obróbki
cieplnej (heat treatment), opisanych w normach zakładowych lub państwowych –
traktowanych jako wielkości dopuszczalne (design allowable), które są niezbędne lub
powszechnie wykorzystywane do projektowania konstrukcji.
Sposób wykorzystania powyższych właściwości (strength properties of
material) zależy od typu rozważanej konstrukcji i jest określony w szczegółowych wymaganiach konstrukcyjnych (structural requirement) agencji zatwierdzających lub certyfikujących (procuring or certifying agency) dany wyrób.
Zwyczajowo do sprecyzowania wymagań projektowych ustala się
minimalną liczbę wielkości określonych właściwości materiałów. Wartości tych
własności, charakterystyczne dla temperatury pokojowej (room-temperature, RT),
przedstawiane jako dopuszczenia projektowe, są wyszczególniane jako elementy
jednej z czterech rodzajów baz danych: typowej, A, B lub S (Typical-, A-, B-, Sbasis value). W szczególności bazy te zawierają:
 baza typowa: charakterystyczną wartość własności dla danego
materiału, określoną jako wartość średnią (mean value, average value)
bez oceny statystycznej (statistical assurance) tej wartości;
 baza typu S: minimalną wartość własności dla danego materiału,
określoną przez rządowe przepisy lub normy branżowe. Dla szczególnych produktów, np. obrabianych cieplnie przez użytkownika (utwardzanych i starzonych (hardened & tempered, age hardened) do osiągnięcia określonej wytrzymałości), może zawierać także określone
34
Podstawy wytrzymałości materiałów
wymaganie kontroli jakości (quality-control requirement), ale ocena
statystyczna związana z tą wielkością nie jest znana;
 baza typu B: własności, dla których wymaga się, aby 90% populacji
wartości było równe lub przekraczało statystycznie wyznaczoną wartość
(statistically calculated mechanical property value), na poziomie ufności 95% (confidence level);
 baza typu A: własności, dla których wymaga się, aby 99% populacji
wartości było równe lub przekraczało statystycznie wyznaczoną wartość, na poziomie ufności 95%.
Przydatność do bezpośredniego obliczenia własności projektowych
konstrukcji w oparciu o ww. własności i wysoka jakość danych w wymienionych
bazach zapewniona jest dzięki ciągłemu procesowi weryfikacji uprawnień
(capability process) dostawców danego rodzaju materiałów i produktów.
Wszystkie dostępne, oryginalne dane z badań materiałowych wykonanych przez
producentów i dostawców materiałów wyspecyfikowanych w wymaganiach
rządowych, przemysłowych lub branżowych są uwzględniane w wyznaczaniu
wartości stanowiących zawartość poszczególnych baz.
Właściwości mechaniczne, dla których wartości obliczone są bezpośrednio
z danych pomiarowych związanych z tą właściwością, są nazywane właściwościami określonymi bezpośrednio (directly calculated property). Metody statystyczne, minimalne wymagania odnośnie danych oraz procesu dochodzenia do
wartości podstawowych klasy A i B dla tych własności mechanicznych są opisane
w odpowiednich przepisach – w tabeli 1.1 przedstawiono zestawienie odpowiednich norm ASTM.
Wielkością pochodną jest własność mechaniczna (derived mechanical
property), którą wyznacza się poprzez jej związek z własnością ustaloną
(established property). Wielkością pochodną może być np. wytrzymałość na
rozciąganie (tensile strength) dla różnego kierunku ziaren (grain direction) –
wyznaczona z wytrzymałości dla ustalonego kierunku, lub może to być inna
wielkość wytrzymałościowa (strength property) (określona dla ściskania,
ścinania) albo wytrzymałość na rozciąganie w innej temperaturze. Są one
przedstawione w jednostkach naprężenia, w tablicach projektowych własności
mechanicznych (design mechanical-properties table) lub w formie graficznej –
w procentach własności mechanicznej określonej w temperaturze pokojowej
(percentage units of the room temperature strength property).
Dla wielkości tablicowych wskazuje się zarówno jednostki wymiarowe
(dimensional unit), jak i odnośne ww. bazy wartości podstawowych (data basis).
Metody obliczeń wielkości pochodnych są także omówione w odpowiednich
przepisach.
35
Sylwester Kłysz
Tabela 1.1. Wykaz wybranych norm ASTM do wyznaczania właściwości mechanicznych
materiałów
Właściwość
Weryfikacja maszyn do
badań
(Testing machines
verification)
Norma
ASTM E 4
Practices for Force Verification of Testing
Machines
ASTM E 8
Rozciąganie
(Tension)
Rozciąganie
w podwyższonej
temperaturze
(Tension – Elevated
Temperatures)
Ścinanie
(Shear)
Przewężenie
(Reduction in Area)
Wydłużenie
(Elongation)
Ściskanie
(Compression)
Test Method for Tension Testing of Metallic
Materials
ASTM E 345 Standard Test Methods of Tension Testing
of Metallic Foil
ASTM A 370 Standard Test Methods and Definitions for
Mechanical Testing of Steel Products
ASTM B 557 Test Methods of Tension Testing Wrought
and Cast Aluminum- and Magnesium-Alloy
Products
ASTM E 602 Standard Test Method for Sharp-Notch
Tension Testing with Cylindrical Specimens
ASTM E 646 Standard Test Method for Tensile StrainHardening Exponents (n-Values) of Metallic
Sheet Materials
ASTM E 740 Standard Practice for Fracture Testing with
Surface-Crack Tension Specimens
ASTM E 1450 Standard Test Method for Tension Testing
of Structural Alloys in Liquid Helium
ASTM E 21
Recommended Practice for Elevated
Temperature Tension Tests of Metallic
Materials
ASTM B 769
Test Method for Shear Testing of Aluminum
Alloys
Standard Test Method for Shear Testing of
Thin Aluminum Alloy Products
Test Method for Tension Testing of Metallic
Materials
Test Method for Tension Testing of Metallic
Materials
Compression Testing of Metallic Materials
Standard Practice for Compression Tests of
Metallic Materials at Elevated Temperatures
with Conventional or Rapid Heating Rates
and Strain Rates
ASTM B 831
ASTM E 8
ASTM E 8
ASTM E 9
ASTM E 209
36
Podstawy wytrzymałości materiałów
cd. tabeli 1.1
Pełzanie i zrywanie
(Creep and Rupture)
ASTM E 139
ASTM E 111
Moduł sprężystości
ASTM E 1875
podłużnej przy
rozciąganiu/ściskaniu
(Elastic Modulus –
ASTM E 1876
Tension & Compression)
Rozmiar ziarna
(Grain size)
Współczynnik Poissona
(Poisson Ratio)
Współczynnik
rozszerzalności cieplnej
(Coefficient of thermal
expansion)
Ciepło właściwe
(Specific Heat)
Moduł sprężystości
podłużnej przy ścinaniu
(Elastic Modulus – Shear)
Progowy współczynnik
intensywności naprężeń
(Threshold Stress
Intensity Factor)
Odporność na pękanie
w p.s.o.
(Fracture Toughness –
Plane Strain)
ASTM E 112
ASTM E 132
ASTM E 517
Recommended Practice for Conducting
Creep, Creep-Rupture, & Stress-Rupture
Tests of Metallic Materials
Test Method for Young’s Modulus, Tangent
Modulus, and Chord Modulus
Standard Test Method for Dynamic Young’s
Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s
Ratio by Sonic Resonance
Standard Test Method for Dynamic Young’s
Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s
Ratio by Impulse Excitation of Vibration
Standard Test Methods for Determining
Average Grain Size
Test Method for Poisson’s Ratio at Room
Temperature
Standard Test Method for Plastic Strain
Ratio r for Sheet Metal
ASTM E 228
Test Method for Linear Thermal Expansion
of Solid Materials with a Vitreous Silica
Dilatometer
ASTM D 2766
Test Method for Specific Heat of Liquids
and Solids
ASTM E 143
Test Method for Shear Modulus at Room
Temperature
ASTM E 1681
Standard Test Method for Determining
a Threshold Stress Intensity Factor for
Environment-Assisted Cracking of Metallic
Materials
ASTM E 399 Test Method for Linear-Elastic Plane-Strain
Fracture Toughness KIc of Metallic Materials
ASTM E 1221 Standard Test Method for Determining
Plane-Strain Crack-Arrest Fracture
Toughness, KIa of Ferritic Steels
ASTM E 1290 Standard Test Method for Crack-Tip
Opening Displacement (CTOD) Fracture
Toughness Measurement
ASTM E 1304 Standard Test Method for Plane-Strain
(Chevron-Notch) Fracture Toughness of
Metallic Materials
ASTM C-1421 Standard Test Method for Determination of
Fracture Toughness of Advanced Ceramics
at Ambient Temperature
37
Sylwester Kłysz
ASTM E 1820 Standard Test Method for Measurement of
Fracture Toughness
Odporność na pękanie
w p.s.n.
ASTM E 561
(Fracture Toughness –
Plane Stress). Krzywa R
(R curve)
Wytrzymałość
ASTM E 466
zmęczeniowa
wysokocyklowa
(Fatigue – Load Control)
ASTM E 606
Wytrzymałość
ASTM E 2207
zmęczeniowa
niskocyklowa
(Fatigue – Strain
ASTM E 2368
Control)
Standard Test Method for K-R Curve
Determination
Recommended Practice for Constant
Amplitude Axial Fatigue Tests of Metallic
Materials
Recommended Practice for Constant
Amplitude Low Cycle Fatigue Testing
Standard Practice for Strain-Controlled
Axial-Torsional Fatigue Testing with ThinWalled Tubular Specimens
Standard Practice for Strain Controlled
Thermomechanical Fatigue Testing
ASTM E 647 Test Method for Measurement of Fatigue
Crack Growth Rates
ASTM C 1368 Standard Test Method for Determination of
Rozwój pęknięć
Slow Crack Growth Parameters of
zmęczeniowych
Advanced Ceramics by Constant Stress(Fatigue Crack Growth)
Rate Flexural Testing at Ambient
Temperature
ASTM E 1457 Standard Test Method for Measurement of
Creep Crack Growth Rates in Metals
ASTM E 1681 Standard Test Method for Determining
a Threshold Stress Intensity Factor for
Environment-Assisted Cracking of Metallic
Materials
ASTM G 30
Standard Practice for Making and Using UBend Stress-Corrosion Test Specimen
ASTM G 34
Test Method for Exfoliation Corrosion
Pękanie w warunkach
Susceptibility in 2XXX and 7XXX Series
naprężeń korozyjnych
Aluminum Alloys (EXCO Test)
(Stress Corrosion
ASTM G 39
Standard Practice for Preparation and Use of
Cracking)
Bent-Beam Stress-Corrosion Test Specimens
ASTM G 129 Standard Practice for Slow Strain Rate
Testing to Evaluate the Susceptibility of
Metallic Materials to Environmentally
Assisted Cracking
ASTM G 47
Test Method for Determining Susceptibility
to Stress-Corrosion Cracking of High
Strength Aluminum Alloy Products
38
Podstawy wytrzymałości materiałów
Zliczanie cykli
ASTM E 1049 Standard Practices for Cycle Counting in
zmęczeniowych
Fatigue Analysis
(Fatigue cycle counting)
ASTM E 10
Standard Test Method for Brinell Hardness
of Metallic Materials
ASTM E 18
Standard Test Methods for Rockwell
Hardness and Rockwell Superficial
Hardness of Metallic Materials
ASTM E 92
Standard Test Method for Vickers Hardness
Twardość
of Metallic Materials
(Hardness)
ASTM E 103 Standard Test Method for Rapid Indentation
Hardness Testing of Metallic Materials
ASTM E 110 Standard Test Method for Indentation
Hardness of Metallic Materials by Portable
Hardness Testers
ASTM E 448 Standard Practice for Scleroscope Hardness
Testing of Metallic Materials
ASTM E 74
Standard Practice for Calibration of ForceKlasyfikacja
Measuring Instruments for Verifying the
ekstensometrów
Force Indication of Testing Machines
(Classification of
ASTM E 83
Method of Verification and Classification of
extensometers)
Extensometers
ASTM E 468 Standard Practice for Presentation of
Constant Amplitude Fatigue Test Results for
Metallic Materials
ASTM E 1761 Standard Guide for Recommended Formats
for Data Records Used in Computerization
Przetwarzanie danych
of Fatigue and Fracture Data of Metals
(Data processing)
ASTM E 1823 Terminology Relating to Fatigue and
Fracture Testing
ASTM E 1942 Standard Guide for Evaluating Data
Acquisition Systems Used in Cyclic Fatigue
and Fracture Mechanics Testing
ASTM E 380 Standard Practice for Use of the
Jednostki
International System of Units (SI) (the
(Units)
Modernized Metric System)
Stosowanie danych o innych właściwościach i charakterystykach, takich jak np.
odporność na kruche pękanie (fracture toughness), wytrzymałość zmęczeniowa
(fatigue strength), wytrzymałość na pełzanie (creep strength), naprężenie niszczące
(rupture strength), szybkość propagacji pęknięcia zmęczeniowego (fatigue crack
propagation rate), odporność na pękanie korozyjne naprężeniowe (resistance to
stress corrosion cracking), oraz informacji (np. metod empirycznych i wzorów, za
pomocą których oblicza się wytrzymałości elementów konstrukcyjnych lub części
39
Sylwester Kłysz
składowych), które nie stanowią wielkości dopuszczeń projektowych zatwierdzonych
przez odpowiednie władze lub zawartych w przepisach – nie jest obowiązkowe
w procesie projektowania.
Zazwyczaj tylko wytrzymałość na rozciąganie (tensile ultimate) i granica
plastyczności (yield strength) określone dla ustalonego kierunku badań (specified
testing direction) są wyznaczane wg wymagań bazy A i B – są wielkościami bazy A
i B (A- and B-basis value). Wytrzymałość na rozciąganie, granica plastyczności,
wydłużenie (elongation) i przewężenie (reduction of area) (dla niektórych stopów) są
standardowo wyszczególniane w przepisach rządowych lub normach branżowych –
są więc wielkościami bazy S (S-basis value).
Własności wytrzymałościowe określane na podstawie ich relacji względem
ww. ustalonych własności wytrzymałościowych na rozciąganie (tensile property),
są własnościami pochodnymi (derived property), a stosowana przy tym procedura
do ich wyliczania zwana jest procedurą stosunkową (ratioing procedure).
Dotyczy to w szczególności własności odniesionych do ściskania, ścinania,
zginania lub ściskania kontaktowego (compression, shear, bending or bearing
property), które mogą być określane poprzez ustalone proporcje względem
własności odniesionych do rozciągania i na tej podstawie mogą być traktowane
jako posiadające ten sam poziom ufności (assurance level) co odpowiednie
własności z baz danych A, B i S.
Praktyczne zalecenia (practice regarding) dotyczące ww. baz danych
w odniesieniu do prezentacji własności projektowych w temperaturze pokojowej
(room-temperature design property) są następujące:
 własności projektowe wytrzymałości na rozciąganie i granicy plastyczności są
prezentowane jako wartości bazy danych A, B lub S; wartości z bazy danych A,
które są większe od odpowiednich wartości z bazy danych S, są prezentowane
jako przypisy (footnote) w tabelach własności (property table) i nie są
rekomendowane do ogólnego wykorzystania w projektowaniu, jeśli nie jest to
wyraźnie wskazane w szczegółowych wymaganiach; wartości z bazy danych A,
które są mniejsze lub równe od odpowiednich wartości z bazy danych S,
zastępują odpowiednie wartości z bazy danych S;
 wydłużenie i przewężenie są prezentowane jako wartości bazy S;
 jeśli prezentowana jest wartość własności wytrzymałościowej (strength
property) z bazy danych A, odpowiednia wartość z bazy danych B jest
również podawana;
 dane projektowe dla wszystkich innych własności, takich np. jak moduł
sprężystości (elastic modulus), współczynnik Poissona (Poisson ratio), własności
zmęczeniowe, pełzaniowe i fizyczne (fatigue, creep & physical property), są prezentowane jako wielkości bazy danych typowej, jeśli nie jest wskazane inaczej.
40
Podstawy wytrzymałości materiałów
Przykładowe własności mechaniczne prezentowane jako projektowe
własności mechanicznych w temperaturze pokojowej (room-temperature design
property), z uwzględnieniem właściwej terminologii rekomendowanej w Military
Handbook przedstawia tabela 1.2.
Tabela 1.2. Przykład prezentacji własności mechanicznych wg MIL-HDBK-5H
Własność
(Property)
Jednostka
(Unit)
Tensile Ultimate Strength
Tensile Yield Strength
Compressive Ultimate Strength
Compressive Yield Strength
Shear Ultimate Strength
Shear Yield Strength
Bearing Ultimate Strength
Bearing Yield Strength
Elongation
Total Strain at Failure
Reduction of Area
ksi
ksi
ksi
ksi
ksi
ksi
ksi
ksi
percent
percent
percent
Oznaczenie
(Symbol)
Minimalna wartość
Wartość
w temperaturze
szczególna lub
pokojowej
typowa
Ftu
TUS
Fty
TYS
Fcu
CUS
Fcy
CYS
Fsu
SUS
Fsy
SYS
Fbru
BUS
Fbry
BYS
e
elong.
ef
strain at failure
RA
red. of area
Wielka litera F, pisana pochyło z dolnym indeksem, służy wyłącznie do
oznaczenia minimalnej wartości projektowej – przyjęcie tego oznaczenia dla
wielkości dotyczącej pojedynczego, indywidualnego testu (individual test value)
może prowadzić do nieporozumień lub zamieszania i powinno być unikane. Brak
przy oznaczeniu danej własności indeksu dotyczącego kierunku (directionality
symbol), dla którego dana własność zastała wyznaczona, oznacza, że prezentowane własności dotyczą wszystkich kierunków krystalograficznych, ziaren
mikrostruktury (grain direction) – przy założeniu, że wszystkie wymiary
próbki/elementu konstrukcji przekraczają minimalną wielkość (np. 2,5 cala wg
MIL-HDBK-5H).
W ogólnym przypadku oznaczenia prezentowanych własności mogą być
uzupełnione o wspomniany symbol (np. Ftu(L), Ftu(T), Ftu(LT), Ftu(ST)) –
właściwy dla stopów obrabianych plastycznie (wrought alloy), nie stopów
odlewniczych (casting alloy), gdzie:
 L oznacza kierunek podłużny (Longitudinal direction), równoległy do
głównego kierunku obróbki plastycznej metalu lub kierunku ułożenia
włókien struktury metalu;
41
Sylwester Kłysz
 T oznacza kierunek poprzeczny (Transverse direction), prostopadły do
głównego kierunku obróbki plastycznej metalu lub kierunku ułożenia
włókien struktury metalu;
 LT oznacza kierunek długo-poprzeczny (Long-Transverse direction),
w którym kierunek poprzeczny ma największy wymiar, często zwany
kierunkiem po szerokości (width direction);
 ST oznacza kierunek krótko-poprzeczny (Short-Transverse direction),
w którym kierunek poprzeczny ma najmniejszy wymiar, często zwany
kierunkiem po grubości (thickness direction).
1.11. Statyczna próba rozciągania
Podstawowy rodzaj badań wytrzymałościowych metali i ich stopów do
wyznaczenia charakterystyk materiałowych takich jak: moduł Younga (Young
modulus), granica plastyczności (yield stress), granica wytrzymałości (ultimate
strength), przewężenie (reduction of area), wydłużenie (elongation). Przeprowadzana na próbkach standardowych przy określonej prędkości odkształcania
(strain rate). Badania w podwyższonych temperaturach (elevated temperature)
mogą być prowadzone przy dużych lub małych szybkościach odkształcenia,
szczególnie w przypadku gdy chodzi o stwierdzenie podatności materiału do
przeróbki plastycznej.
W czasie badania (tension test) pomiarom zazwyczaj podlegają wartości:
siły obciążającej, odkształceń podłużnych i/lub poprzecznych. Zależność
zadanego obciążenia/naprężenia w funkcji wywołanego w próbce wydłużenia lub
odkształcenia nosi nazwę wykresu/krzywej statycznego rozciągania (static tensile
curve, stress-strain curve) (rys. 1.21) i może być opisana zależnością RambergaOsgooda (Ramberg-Osgood equation):
ε = ε spr + ε pl
σ σ
= + 
E K
1
n
(1.63)
gdzie:
εspr, εpl – składowa sprężysta i plastyczna odkształcenia;
E
– moduł Younga; E = tg(α);
Fsp, Fpr – siła odpowiadająca granicy sprężystości (elastic limit) i proporcjonalności (proportional limit);
– siła odpowiadająca granicy plastyczności (yield stress);
Fe
– siła odpowiadająca granicy wytrzymałości (strength limit);
Fm
– siła odpowiadająca wytrzymałości przy zerwaniu (fracture
Fu
stress).
42
Podstawy wytrzymałości materiałów
Rys. 1.21. Wykresy rozciągania dla
materiałów: a) wykazujących wyraźną
granicę plastyczności, b) bez wyraźnej
granicy plastyczności
Pole pod krzywą statycznego rozciągania jest równe całkowitej gęstości
energii odkształcenia (global strain energy density) przy zerwaniu, tzw. energii
zgromadzonej w materiale na jednostkę objętości. Gęstość energii sprężystej
odkształcenia (elastic energy density) określa wzór:
σ f σ 2f
1
=
W fs = σ f
2
E 2E
(1.64)
a gęstość energii plastycznej odkształcenia (plastic strain energy density) wzór:
εf
εf
0
0
W fp = ∫ σdε p = ∫ Kε np dε p =
43
1
σfεf
1+ n
(1.65)
Sylwester Kłysz
Często stosowany jest przybliżony wzór Gillemota (Gillemot equation):
W fp = (Re + 2 Rm )
gdzie:
ε m Rm + σ f
+
ε f − εm
3
2
(
)
(1.66)
Re – granica plastyczności materiału;
Rm – wytrzymałość na rozciąganie materiału;
εm – odkształcenie plastyczne odpowiadające wytrzymałości na rozciąganie;
K – współczynnik wytrzymałości statycznej (static strength coefficient);
n – wykładnik umocnienia statycznego (static/strain hardening exponent);
εf – odkształcenie rzeczywiste plastyczne w chwili zerwania (failure strain);
σf – naprężenie rzeczywiste w chwili zerwania (failure stress).
Inna postać równania opisującego krzywą statycznego rozciągania to tzw.
krzywa uogólniona (generalised curve):
εE σ 1  σ
=
+ 
σ n σ n m  σ n



m
(1.67)
gdzie:
σn – naprężenie, gdy styczny moduł (tangent modulus) jest równy połowie
modułu sprężystości Younga;
m – stała materiałowa charakteryzującą kształt krzywej.
W oparciu o współrzędne (εR, σR), (ε’R, σ’R), dwóch punktów odniesienia
(reference strain/stress) leżących na krzywej statycznego rozciągania, oba
parametry można wyznaczyć z zależności:
ε
m = log 'R
 εR

σ
 / log 'R
σ


 R
1
 mε R E  (1−m )

σ n = σ R 
 σR 

,


(1.68)
Dokładność wyników uzyskiwanych w oparciu o krzywą uogólnioną zależy
od tego, jak blisko naprężeń, które mają być wyznaczane, leżą naprężenia
odniesienia wykorzystane do wyznaczania krzywej – największa dokładność jest
wówczas, gdy naprężenia wyznaczane mieszczą się pomiędzy (σR, σ’R).
44
Podstawy wytrzymałości materiałów
1.12. Granica proporcjonalności i granica sprężystości
Granicą proporcjonalności (proportional limit, Rp) jest największa wartość
naprężenia, przy którym materiał ma zdolność do pozostania bez odchylenia od
proporcjonalności między naprężeniem a odkształceniem (prawo Hooke’a).
Ponieważ precyzyjne wyznaczenie tego punktu na krzywej naprężenieodkształcenie (stress-strain curve) jest praktycznie niemożliwe, przyjęło się
zakładać wystąpienie małej wartości trwałego odkształcenia (small value of
permanent strain), a jako granicę proporcjonalności wyznaczać odpowiadającą
mu wartość naprężenia (w przecięciu z krzywą naprężenie-odkształcenie). Zaleca
się podawać wybraną wartość tego trwałego odkształcenia „offsetowego”
(permanent strain offset value) w przypadku stosowania tej granicy proporcjonalności, np. R0,05.
Granica proporcjonalności przy ścinaniu (proportional limit in shear, Fsp)
reprezentuje graniczną wartość naprężenia ścinającego (limiting value of shear
stress), dla którego wzory oparte na założeniu doskonałej sprężystości (perfect
elasticity) materiału mogą być stosowane. Wielkości tej nie można wyznaczyć
bezpośrednio z testów skręcania. Dla większości materiałów stosunek granicy
proporcjonalności przy ścinaniu do granicy proporcjonalności przy rozciąganiu
(proportional limit in tension) wynosi w przybliżeniu 0,55.
Liniowa zależność między naprężeniem i odkształceniem charakteryzuje
sprężyste własności materiału (elastic material property) – wytrzymałość
(strength) i sztywność (stiffness). Największa wartość naprężenia, przy którym
materiał ma zdolność do pozostania bez trwałych odkształceń (plastic strain,
permanent strain) po całkowitym usunięciu naprężenia to granica sprężystości
(elastic limit, Re).
1.13. Granica plastyczności
Pierwsze naprężenie podczas testu, przy którym występuje zjawisko
nieciągłości plastycznej (plastic discontinuity), tj. następuje wzrost odkształceń
bez wzrostu naprężeń. Dla niektórych stali wykresy rozciągania wykazują ostre
załamanie dla naprężenia poniżej wytrzymałości na rozciąganie (ultimate
strength). Przy tym naprężeniu materiał znacznie się rozciąga bez wzrostu
naprężenia (plastic flow stress) – tzw. półka plastycznego płynięcia, a naprężenie,
przy którym to występuje, traktuje się jako rzeczywistą granicę plastyczności
(yield point, Rx, yield stress, yield strength σy, σYS). Większość metali nieżelaznych i większość stali o dużej wytrzymałości nie wykazuje tego załamania,
45
Sylwester Kłysz
ale stopniowy wzrost naprężeń wraz z odkształceniem, tak że nie występuje dla
nich wyraźna granica plastyczności.
Ponieważ trwałe deformacje (permanent deformation) o znacznej wartości
nie są pożądane w większości konstrukcji, zazwyczaj przyjmuje się arbitralną
wartość odkształcenia trwałego (arbitrary permanent strain), którą uznaje się za
dopuszczalną do ogólnego stosowania. Wartość tego odkształcenia (offset strain)
została ustalona na poziomie 0,2%, a odpowiadające mu naprężenie nazywa się
umowną granicą plastyczności (offset yield strength, proof stress). Praktycznie
można ją wyznaczyć z wykresu rozciągania przez wykreślenie prostej
równoległej do prostoliniowej (sprężystej) części krzywej, przechodzącej przez
punkt reprezentujący naprężenie zerowe i ustalone odkształcenie trwałe.
Zazwyczaj określa się ją jedną z metod:
 ustalonego przesunięcia/odchylenia (np. o 0,2%) odkształcenia trwałego
– naprężenie określane jako punkt przecięcia krzywej naprężenieodkształcenie z linią wykreśloną na wykresie (specified offset yield
strength), o nachyleniu równym modułowi sprężystości, przesuniętą
o ww. określoną wartość odkształcenia lub
 ustalonego odkształcenia np. 0,5% przy obciążeniu – dla elastomerów, polimerów i wysokowytrzymałych materiałów może być niezbędna większa wartość dla przekroczenia granicy sprężystości (specified extension under load yield strength) – naprężenie określane jako
punkt przecięcia krzywej naprężenie-odkształcenie z linią poprowadzoną równolegle do osi naprężeń, z określonej ww. wartości na osi
odkształceń.
Średnia wartość umownej granicy plastyczności i wytrzymałości na
jednoosiowe rozciąganie materiału σY = (σYS + σTS)/2, określana jest jako
efektywna granica plastyczności (effective yield strength) – przyjmuje się, że
lepiej reprezentuje wpływ oddziaływań plastycznych na parametry testów
zmęczeniowych i udarowych.
Granica plastyczności przy ścinaniu (yield stress in shear, Fsy) jest zazwyczaj uzyskiwana z testów skręcania, nie jest ściśle właściwością podstawową,
ponieważ może zależeć od kształtu badanej próbki. W takich przypadkach zaleca
się, aby traktować ją jako wskaźnik i stosować tylko w odniesieniu do próbek,
które są geometrycznie podobne (geometrically similar specimen) do tych,
z których badań uzyskano wyniki testów. Wartości wytrzymałości przy ścinaniu
zamieszczone w tablicach własności w temperaturze pokojowej dla blach ze
stopów aluminium i magnezu oparte są zazwyczaj na testach ścinania typu
przebicia (punching test), chyba że zaznaczono inaczej. Dane dla kształtowników
o dużych przekrojach uzyskuje się głównie w testach ścinania ze sworzniem (pin
shear test). Dane dotyczące ścinania dla innych stopów uzyskuje się również
46
Podstawy wytrzymałości materiałów
z testów ścinania ze sworzniem, oprócz przypadków, kiedy grubości materiału są
za małe.
Granica plastyczności przy ścinaniu może być oszacowana w oparciu
o własności wytrzymałościowe przy rozciąganiu i ściskaniu (tensile & compressive
strength property), w następujący sposób:
Fsy =
Fty ( L) + Fty ( LT ) + Fcy ( L) + Fcy ( LT )
gdzie:
Ftu(L) –
Ftu(LT) –
Fty(L) –
Fty(LT) –
Fcy(L) –
Fcy(LT) –
–
Fsu
4
⋅
2 Fsu
Ftu ( L) + Ftu ( LT )
(1.69)
wytrzymałość na rozciąganie, kierunek L;
wytrzymałość na rozciąganie, kierunek LT;
granica plastyczności przy rozciąganiu, kierunek L;
granica plastyczności przy rozciąganiu, kierunek LT;
granica plastyczności przy ściskaniu, kierunek L;
granica plastyczności przy ściskaniu, kierunek LT;
wytrzymałość na ścinanie.
1.14. Granica plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń
O ile granica plastyczności przy rozciąganiu jest definiowana jako
naprężenie jednoosiowe (naprężenie w stanie jednoosiowym), odpowiadające
albo umownemu odkształceniu trwałemu równemu 0,2% (offset yield strength),
albo rzeczywistemu odkształceniu trwałemu (permanent strain), wyznaczone
z krzywej rozciągania naprężenie-odkształcenie – to granicę plastyczności
w stanie dwuosiowym (biaxial yield stress, Rx) definiuje się jako maksimum
naprężenia głównego (principal stress) przy odkształceniu umownym
wynoszącym 0,2%, wyznaczonego z krzywej naprężenie-odkształcenie dla
stanu dwuosiowego (biaxial stress-strain curve).
W projektowaniu konstrukcji lotniczych i pocisków często spotyka się
współczynniki dwuosiowości B (biaxial ratio) inne od tych stosowanych
w badaniach w stanie dwuosiowych obciążeń (biaxial testing). Przy
interpolacji na pośrednie współczynniki dwuosiowości, wartości granicy
plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń są obrazowane jako obwiednia
granic plastyczności (biaxial yield-stresses envelope), jak przedstawiono na
rys. 1.22.
47
Sylwester Kłysz
Rys. 1.22. Obwiednia granic plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń
W celu przygotowania obwiedni redukuje się najpierw dane do postaci
bezwymiarowej (nondimentional form) – procent granicy plastyczności przy
rozciąganiu w jednoosiowym stanie obciążeń w określonym kierunku odniesienia
(specified reference direction), a następnie do tych danych dopasowuje się
krzywą regresji (a best fit curve). Do celów projektowych wartości granicy
plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń uzyskuje się w wyniku pomnożenia
wartości granicy plastyczności w jednoosiowym stanie obciążeń dla określonego
materiału przez współrzędne tej krzywej (w procentach) właściwe danym
współczynnikom dwuosiowości B.
Przy wyborze (zatwierdzaniu) danych do projektowania (approving data to
design) dotyczących granicy plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń zaleca
się wykorzystywanie lokalnej wartości współczynnika dwuosiowości (local
biaxial ratio). Wówczas, mimo że element może mieć obciążenie całkowite ze
współczynnikiem dwuosiowości równym jedności, w każdej swobodnej (nieobciążonej) krawędzi lub otworze, lokalny układ naprężeń jest jednoosiowy, a lokalny współczynnik dwuosiowości wynosi albo zero, albo nieskończoność.
Podobne założenie stosuje się do materiału znajdującego się w pobliżu
obciążonych otworów (np. na nity, śruby (loaded rivet/bolt)) oraz w przypadku
nieciągłości w przekroju poprzecznym, np. pojawiających się na skutek wewnętrznych elementów usztywniających (integral stiffener).
1.15. Naprężenie w przekroju netto
Naprężenie w krytycznym przekroju konstrukcji (dangerous section), właściwe
dla konkretnych warunków obciążeniowych i geometrycznych, w szczególności
48
Podstawy wytrzymałości materiałów
w warunkach wystąpienia pęknięcia (crack). Niezależnie od rodzaju przyłożonego
obciążenia, pęknięcie w próbce lub elemencie konstrukcji wywołuje dwie składowe
naprężenia w przekroju netto (net section stress, Sn):
 osiową (axial stress), wynikającą z redukcji pola przekroju poprzecznego w wyniku wystąpienia pęknięcia;
 zginającą (bending stress), wywołaną wszystkimi siłami działającymi na
próbkę/element z niesymetrycznym pęknięciem (szczególnie nieprzenikającym na wskroś próbki/elementu (not throughout crack), powierzchniowym (surface crack), eliptycznym (elliptical crack) i narożnym
(corner crack)), wyznaczoną względem niepękniętej części próbki/elementu (remaining uncracked ligament),
których maksymalna wartość sumy jest naprężeniem w przekroju netto. Ogólna
postać tego naprężenia jest następująca:
Sn =
P MC
+
An
In
(1.70)
gdzie:
An – pole powierzchni przekroju netto (net section area);
P, M – wypadkowa siła (resultant force) i moment zginający (bending
moment) działające w przekroju netto;
C
– ramię działania momentu zginającego;
– moment bezwładności (moment of inertia) przekroju netto.
In
Dla oceny czy w tym przekroju wystąpiło lokalne uplastycznienie (local
plasticity) naprężenie w przekroju netto jest porównywane z granicą plastyczności
(yield stress) lub naprężeniem płynięcia (flow stress) danego materiału. Analizy
obliczeniowe prowadzone w warunkach przekroczenia tych wartości dają wyniki
niekonserwatywne (nonconservative result) i należy wówczas uwzględnić
zmniejszenie odporności materiału na pękanie Kc (fracture toughness) po jego
uplastycznieniu.
W przypadku próbek rozciąganych siłą P średnie naprężenie rozciągające
(average stress) w przekroju netto zawierającym pęknięcie wynosi:
σ net =
gdzie:
P
A
(1.71)
A = B(W-a) dla próbek o nominalnym przekroju prostokątnym BxW;
A = πd2/4 dla próbek o nominalnym przekroju okrągłym o średnicy d.
49
Sylwester Kłysz
W przypadku próbek zginanych momentem M naprężenie rozciągające we
włóknach przekroju netto zawierającego pęknięcie (fiber stress) wynosi:
σ net =
6M
B(W − a )
2
(1.72)
Dla próbek podlegających rozciąganiu i zginaniu naprężenie rozciągające
w przekroju netto zawierającym pęknięcie wynosi:
– dla próbki CT (compact tension specimen):
σ net =
–
B(W − a )
2
(1.73)
dla próbki typu C (C-shaped specimen):
σ net =
gdzie:
2 P(2W + a )
2 P(3 X + 2W + a )
B(W − a )
2
(1.74)
a – długość pęknięcia (długość karbu lub długość karbu wraz z nadpęknięciem (precrack));
X – przesunięcie osi obciążenia w próbce typu C (loading hole offset).
Wskaźnik ważności/wiarygodności danych (validity ratio, Rv) w każdym
punkcie pomiarowym rejestrowanym podczas testu, określający, czy naprężenia
w przekroju netto przekraczają granicę plastyczności materiału, jest opisany
wzorem:
– dla próbki CT
8rpl
σ
4
(1.75)
Rv = net =
=
σYS W − a π
– dla próbki M(T)
σ
P
(1.76)
Rv = net =
σYS σYS B(W − a )
1.16. Naprężenia resztkowe
Naprężenia resztkowe (residual stress) występują w konstrukcji/elemencie/
próbce nie poddanym obciążeniom zewnętrznym (external load) – dlatego na50
Podstawy wytrzymałości materiałów
zywane są także naprężeniami wewnętrznymi (internal stress), traktowane jako
pozostałość po niejednorodnych deformacjach plastycznych w materiale
(inhomogeneous plastic deformation). Taka definicja jest interpretowana analogicznie jak w odniesieniu do naprężeń zewnętrznych i słuszna w skali makro.
W skali mikro deformacje plastyczne wykazują inny sposób niejednorodności –
proces deformacji może być różny między poszczególnymi ziarnami mikrostruktury i wewnątrz ziarna może być skoncentrowany na kilku pasmach poślizgu
(slip band).
Rozciągające naprężenia resztkowe i ściskające naprężenia resztkowe
(tension/compresion residual stress) występują zawsze razem – wobec braku
obciążeń zewnętrznych musi nastąpić zbilansowanie rozkładu naprężeń w analizowanym obszarze/konstrukcji/elemencie (rys. 1.23), co oznacza, że rozkład ten
musi spełnić warunek równania równowagi (equilibrium equation):
t/2
∫ σ res dy = 0
(1.77)
−t / 2
a także wobec braku zewnętrznych momentów sił – warunek:
t/2
∫ yσ res dy = 0
(1.78)
−t / 2
Rys. 1.23. Przykładowy rozkład naprężeń resztkowych
W obecności statycznych obciążeń zewnętrznych σs sumaryczne naprężenia
wynoszą:
(1.79)
σ = σ s + σ res
W obecności cyklicznych obciążeń zewnętrznych σc = σm,c ± σa,c sumaryczne
naprężenia wynoszą:
51
Sylwester Kłysz
σ a = σ a ,c ,
σ m = σ m,c + σ res
(1.80)
tj. naprężenia resztkowe nie wpływają na amplitudę naprężeń cyklicznych (stress
amplitude), modyfikują jedynie wartość naprężeń średnich (mean stress).
Powstawanie naprężeń resztkowych wyjaśnia prosty model teoretyczny
dwóch rozciąganych prętów o niejednakowej długości (rys. 1.24). Przyłożona
poprzez sztywne zamocowanie siła zewnętrzna P wywołuje jednakowe wydłużenie ∆l obu prętów – ale ze względu na różne długości prętów ich odkształcenia są różne. Krótszy pręt jest bardziej odkształcony, przenosi więc
większe obciążenia (P1 > P2) i od pewnego poziomu obciążeń może zostać
odkształcony plastycznie (punkt A), podczas gdy pręt dłuższy pozostanie przy
mniejszych co do wartości odkształceniach w zakresie sprężystym (punkt B).
Odciążenie w tym momencie układu nie sprowadzi obu prętów do stanu
wyjściowego, ponieważ pręt krótszy jest odkształcony plastycznie.
Rys. 1.24. Model objaśniający powstanie naprężeń resztkowych
Zerowe obciążenie zewnętrzne oznacza w tym przypadku, że P = P1+P2 = 0
czyli P1 = -P2, co zachodzi w punktach A’ i B’ symetrycznie położonych
względem osi poziomej. Tak więc w pręcie krótszym utworzy się stan
z naprężeniami resztkowymi ściskającymi (jako bardziej odkształcony stał się
dłuższy niż w stanie wyjściowym i w punkcie A’ pozostał pod ujemnym
obciążeniem), a w pręcie dłuższym z naprężeniami resztkowymi rozciągającymi
(nie zdążył powrócić do długości początkowej, pozostając w punkcie B’ pod
dodatnim obciążeniem) – o tych samych wartościach bezwzględnych. Naprężenia
resztkowe powstały w wyniku plastycznej deformacji jednej części układu dwu52
Podstawy wytrzymałości materiałów
prętowego, czyli w wyniku niejednorodności deformacji plastycznej w analizowanym układzie.
Analogiczna sytuacja zachodzi w:
– elementach zginanych, gdy zewnętrzne warstwy ulegają większym
odkształceniom w porównaniu do warstw wewnętrznych (rys. 1.25),
Rys. 1.25. Naprężenia resztkowe wytworzone w wyniku plastycznego zginania
–
elementach z koncentratorem naprężeń (stress concentrator), gdy
lokalnie naprężenia mogą przekroczyć granicę plastyczności, utworzyć
strefy plastyczne (plastic zone) i po odciążeniu wywołać ściskające
naprężenia resztkowe (compressive residual stress) – powodując jednocześnie, że w pozostałym obszarze elementu, gdzie naprężenia były
poniżej granicy plastyczności, utworzą się resztkowe naprężenia rozciągające (tension residual stress) – sumarycznie w całym przekroju
bilansując stan naprężeń do zera (rys. 1.26),
Rys. 1.26. Naprężenia resztkowe w dnie karbu
53
Sylwester Kłysz
–
elementach poddanych kulowaniu (shot peening) lub powierzchniowemu walcowaniu (surface rolling), gdy wytwarzana jest na określonej
grubości/głębokości warstwa plastycznie umocniona, a resztkowe
naprężenia ściskające (compressive residual stress) wywołują wygięcie
(warpage) elementu po zakończeniu kulowania (rys. 1.27),
Rys. 1.27. Naprężenia resztkowe wytworzone w wyniku kulowania
–
elementach poddanych rozpychaniu plastycznemu otworów (hole
expansion, cold working), gdy wytwarzana jest warstwa zdeformowana
plastycznie wokół otworu i powstają resztkowe styczne naprężenia
ściskające (tangential compressive residual stress) (rys. 1.28),
Rys. 1.28. Powstawanie naprężeń resztkowych w wyniku rozpychania otworu
54
Podstawy wytrzymałości materiałów
–
elementach hartowanych (quenching), gdy w wyniku różnej prędkości
chłodzenia warstwy zewnętrznej elementu w porównaniu do prędkości
chłodzenia wewnątrz elementu wytwarzane są na zewnątrz ściskające
naprężenia resztkowe (compressive residual stress), a wewnątrz elementu naprężenia rozciągające (tension residual stress) (rys. 1.29),
Rys. 1.29. Różne prędkości chłodzenia podczas hartowania – powstawanie naprężeń
resztkowych
–
elementach spawanych, gdzie w wyniku chłodzenia od temperatury
topnienia (melting temperature) materiał kurczy się, ale w obszarze
ograniczonym przez sąsiedztwo chłodnego materiału, wytwarzając
wzdłuż spoiny rozciągające naprężenia resztkowe (tension residual
stress) (rys. 1.30),
Rys. 1.30. Rozkład naprężeń resztkowych w połączeniu spawanym
55
Sylwester Kłysz
–
elementach z naklejanymi jednostronnie nakładkami naprawczymi
(bonded strap) lub wzmacniającymi, wykonanymi z materiałów
kompozytowych lub metalowych (np. GLARE (fibre-metal laminate),
GFRP (glass fibre reinforced polymer), stopów tytanowych lub aluminiowych), gdzie w wyniku wtórnego zginania (secondary bending)
powierzchnia swobodna nakładki ulega ściskaniu, a powierzchnia
klejona rozciąganiu (rys. 1.31).
Rys. 1.31. Rozkład naprężeń resztkowych w elemencie z nakładką
Ponieważ rozciągające naprężenia resztkowe są groźne ze względu na
obniżenie trwałości zmęczeniowej (fatigue life) i przyspieszenie procesów
korozyjnych elementów konstrukcji, stosuje się metody ich usuwania, m.in.
w postaci:
 obróbki termicznej (heat treatment), szczególnie prowadzącej do procesu
rekrystalizacji struktury (recrystallization) – np. wyżarzanie (annealing)
w odpowiednio wysokiej temperaturze;
 dodatkowego kulowania (shot peening) – tam gdzie ew. pogorszenie
jakości warstwy wierzchniej (chropowatość, nierówności) nie jest przeszkodą;
 cyklicznego plastycznego deformowania rozciągającego na niskim
poziomie (small plastic strain stretching) i sprężystego odciążenia.
56
Podstawy wytrzymałości materiałów
W przypadku połączeń klejowych wypadkową wartość sztywności
uwzględniającą moduły sprężystości i przekroje poprzeczne materiałów nakładek
(En, An) i podłoża (Ep, Ap) określa łączny współczynnik sztywności µ (global
stiffness ratio):
∑ En An
(1.81)
µ=
E p Ap + ∑ En An
Dla nakładek wykonanych z materiału GLARE, kompozytu polimerowego
GFRP i stopu tytanu Ti-6Al-4V klejonych w temperaturze pokojowej, bez
wywoływania naprężeń resztkowych, na podłożu próbki SENT ze stopu
aluminium 7085, łączny współczynnik sztywności przyjmuje wartości z przedziału 0,02÷0,16 – jego wpływ na przebieg propagacji pęknięć przedstawia
rys. 1.32. Efekt opóźnienia rozwoju pęknięcia (crack growth retardation) w tym
przypadku nie jest wynikiem ograniczenia rozwarcia pęknięcia (crack opening)
w obecności nakładki, lecz w wyniku lokalnej redukcji naprężeń w podłożu
próbki (substrate stress reduction).
Efekt ten występuje, gdy wierzchołek pęknięcia jest na odcinku od ok. 5 mm
przed nakładką do ok. 20 mm za nakładką, gdzie różnice prędkości propagacji
pęknięć (crack growth rate) odpowiadających różnym nakładkom zanikają.
Rys. 1.32. Wpływ współczynnika sztywności na przebieg propagacji pęknięcia
w próbkach z nakładkami
Rys. 1.33 przedstawia rozkład podłużnych naprężeń resztkowych (longitudinal residual stress) w rejonie nakładki klejonej w podwyższonej temperaturze.
W przypadku nakładki tytanowej naprężenia resztkowe są znacznie większe niż
w przypadku kompozytowej.
57
Sylwester Kłysz
Rys. 1.33. Rozkład podłużnych naprężeń resztkowych w rejonie nakładki klejonej
Naprężenia resztkowe powstają wskutek różnicy współczynników rozszerzalności cieplnej (coefficient of thermal expansion, dla aluminium jest większy
niż dla tytanu i kompozytów), sztywności (stiffness) i grubości materiałów nakładek i podłoża. Przy zerowych naprężeniach resztkowych podczas klejenia
w temperaturze 120oC, w procesie utwardzania kleju przy spadającej temperaturze naprężenia resztkowe rozwijają się pod nakładką i wokół niej – ich poziom w materiale podłoża opisuje wzór:
σ res =
(
)
∆T α n − α p En E p t p
En t n + E p t p
(1.82)
gdzie:
∆T
– zmiana temperatury od temperatury klejenia do temperatury
pokojowej;
αn, αp – współczynniki rozszerzalności cieplnej nakładki i podłoża;
En, Ep – moduł Younga materiału nakładki i podłoża;
tn, tp – grubość nakładki i podłoża.
Obecność naprężeń resztkowych w tym przypadku również wywoduje efekt
opóźnienia rozwoju pęknięć (crack growth retardation, delay effect) – im
mniejsze naprężenia resztkowe, tym większy efekt opóźnienia. Wraz z zagłębianiem się pęknięcia w obszar nakładki różnice w prędkościach propagacji
pęknięcia (crack growth rate) w porównaniu z propagacją bez nakładki stają się
większe. Efekt ten jest uzależniony od geometrii badanej próbki (np. typu SENT
lub M(T)), gdyż różne są w nich rozkłady pól naprężeń resztkowych indukowanych w wyniku cykli temperaturowych (thermal cycle) podczas procesu
klejenia na gorąco.
58
Podstawy wytrzymałości materiałów
1.17. Naprężenia dopuszczalne
Naprężenia, które można zadać elementowi konstrukcji bez obawy naruszenia
warunku wytrzymałości i warunku sztywności, ustalone w zależności od własności
materiału (głównie minimalnej wytrzymałości na rozciąganie, tzw. wytrzymałości
doraźnej (casual strength) dla materiałów kruchych i plastycznych lub granicy
plastyczności (yield strength) dla materiałów plastycznych) i charakteru obciążeń
(stałych lub zmiennych/zmęczeniowych).
Naprężenia dopuszczalne (permissible stress) w przypadku obciążeń stałych
wyznacza się ze wzorów:
σ dop =
gdzie:
Re
k pl
σ dop =
lub
Rm
k kr
(1.83)
kpl – współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów plastycznych;
kkr – współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów kruchych,
a w przypadku obciążeń cyklicznych/zmęczeniowych ze wzoru:
σ dop =
gdzie:
Sf
(1.84)
k zm
Sf – granica zmęczeniowa (fatigue limit) materiału odpowiednia do rodzaju obciążeń (rozciąganie/ściskanie, zginanie, skręcanie/ścinanie)
oraz współczynnika asymetrii cyklu R (stress ratio);
kzm – współczynnik bezpieczeństwa dla obciążeń zmęczeniowych.
Przyjmuje się następujące średnie wartości współczynników bezpieczeństwa
(safety factor) – tabela 1.3.
Tabela 1.3. Średnie wartości współczynników bezpieczeństwa
Stal, staliwo
kpl
kkr
kzm
Żeliwo
szare
Stopy
miedzi
3÷4
2÷2,3
3,5÷4
3,4÷3,6
2,9÷3,1
3,9÷5,1
59
Stopy aluminium
3,5÷4
4,2÷5,3
Sylwester Kłysz
Tabela 1.4. Oszacowanie wartości granicy zmęczeniowej materiału w oparciu o wartość
wytrzymałości materiału Rm
Obciążenie
Rozciąganie
Ściskanie
Zginanie
Skręcanie/
Ścinanie
R
Stal, staliwo
Żeliwo szare
Stopy miedzi
Stopy
aluminium
0
(0,55÷0,63)Rm
(0,42÷0,60)Rm
(0,48÷0,52)Rm
(0,46÷0,50)Rm
-1
(0,28÷0,40)Rm
(0,29÷0,34)Rm
(0,26÷0,30)Rm
(0,23÷0,27)Rm
-∞
(0,55÷0,63)Rm
(1,42÷2,40)Rm
(0,48÷0,52)Rm
(0,46÷0,50)Rm
0
(0,66÷0,75)Rm
(0,57÷0,63)Rm
(0,59÷0,67)Rm
(0,58÷0,66)Rm
-1
(0,42÷0,48)Rm
(0,38÷0,42)Rm
(0,33÷0,37)Rm
(0,32÷0,36)Rm
0
(0,46÷0,50)Rm
(0,45÷0,51)Rm
(0,32÷0,36)Rm
(0,32÷0,35)Rm
-1
(0,22÷0,25)Rm
(0,30÷0,34)Rm
(0,19÷0,22)Rm
(0,18÷0,21)Rm
Do obliczeń „specjalnych” przyjmuje się wartość współczynników bezpieczeństwa wg zaleceń.
Granica zmęczeniowa (fatigue limit) materiału jest oczywiście mniejsza od
wytrzymałości materiału przy obciążeniach stałych (tensile strength, ultimate
strength, Rm) i można ją oszacować w oparciu o wartość wytrzymałości zgodnie
ze wzorami podanymi w tabeli 1.4.
1.18. Naprężenie niszczące
Naprężenie rzeczywiste normalne w najmniejszym przekroju poprzecznym
próbki w chwili rozpoczęcia niszczenia (fracture stress, Ru) lub jej zerwania w statycznej próbie rozciągania. Zazwyczaj stosowane w teście rozciągania próbek bez
karbu. Obliczane dla nominalnego pola przekroju próbki.
1.19. Obciążenie/naprężenie graniczne
Maksymalne zaprojektowane obciążenie (load/stress limit) dla określonych
warunków eksploatacji, np. dla warunków naziemnych (ground condition), dla
krytycznych warunków w locie (flight condition), dla prędkości krytycznej
(critical speed). W odniesieniu np. do kabin ciśnieniowych jest to:
 maksymalne robocze ciśnienie różnicowe związane ze spodziewanym
ciśnieniem aerodynamicznym dla symulowanych krytycznych warunków lotu, lub
60
Podstawy wytrzymałości materiałów
 115% roboczego ciśnienia różnicowego związanego z zewnętrznym
ciśnieniem aerodynamicznym dla lotu przy przeciążeniu 1g, lub
 robocze ciśnienie różnicowe związane z zewnętrznym ciśnieniem
aerodynamicznym dla lotu przy przeciążeniu 1g powiększone o przyrost
ciśnienia wywołany tolerancją zaworu.
1.20. Obciążenie nośne
Obciążenie ściskające na powierzchni przylegania współpracujących części
(bearing load), w szczególności w podporach, podparciach, łożyskach i innych
elementach nośnych konstrukcji.
1.21. Wytrzymałość na rozciąganie
Maksymalne naprężenie rozciągające, jakie materiał jest w stanie wytrzymać.
Jest obliczane z maksymalnego obciążenia podczas testu rozciągania i nominalnego
pola przekroju próbki (tensile strength, ultimate strength, Rm). Naprężenie
odniesione jest do wyjściowej powierzchni przekroju poprzecznego (original crosssectional area) badanej próbki, bez uwzględnienia zwężenia poprzecznego (lateral
contraction) przekroju, który rzeczywiście występuje w trakcie badania. Wytrzymałość na rozciąganie jest powszechnie uznawana jako kryterium wytrzymałości materiału stosowanego w konstrukcjach, ale w analizach wytrzymałościowych często ważniejsze są inne własności wytrzymałościowe.
1.22. Wytrzymałość na rozciąganie w dwuosiowym stanie
obciążeń
Najwyższe nominalne naprężenie główne (nominal principal stress)
osiągnięte w próbkach o danej konfiguracji (kształcie), badanych przy ustalonym
współczynniku dwuosiowości (biaxial ratio).
W odróżnieniu od wytrzymałości na rozciąganie w jednoosiowym stanie
obciążeń, wytrzymałość na rozciąganie w dwuosiowym stanie obciążeń (biaxial
ultimate strength) jest często silnie zależna od geometrycznej konfiguracji
elementu (geometrical configuration). Tak więc, dane odnośnie wytrzymałości na
rozciąganie w dwuosiowym stanie obciążeń, uzyskane z badań określonych
elementów (np. cylindrycznych przewodów, płaskich blach, połączeń nitowych
itp.), powinny ograniczać się wyłącznie do zastosowań tych elementów.
61
Sylwester Kłysz
Metoda przedstawiania danych dotyczących wytrzymałości na rozciąganie
w dwuosiowym stanie obciążeń jest podobna jak w przypadku granicy
plastyczności w dwuosiowym stanie obciążeń. Gdy dostępne są nominalne
odkształcenia odpowiadające wytrzymałości na rozciąganie w dwuosiowym
stanie obciążeń, są one podawane jako funkcja współczynnika dwuosiowości.
1.23. Wytrzymałość na ściskanie
Wyniki statycznych prób ściskania (compresion test) są wykreślane w postaci
wykresów naprężenie-odkształcenie, podobnych jak dla rozciągania, a poszczególne własności mechaniczne przy ściskaniu (oprócz tych, które związane są
z granicą wytrzymałości) w podobny sposób odnoszą się do własności mechanicznych przy rozciąganiu.
Dla większości powszechnie stosowanych materiałów konstrukcyjnych
współczynniki sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu są w przybliżeniu równe
(lub nieznacznie wyższe dla ściskania). Prawie każdy kawałek materiału, o ile nie
jest bardzo krótki, pod wpływem obciążeń ściskających ma tendencję do
wyboczenia się (buckling) jak pręt, a obciążenie przy zerwaniu zwykle zależy od
relacji długości próbki do wymiarów jej przekroju poprzecznego. Pęknięcie pręta
nie wystąpi, gdy jest on bardzo krótki w porównaniu z wymiarami przekroju
poprzecznego lub kiedy jest utwierdzony bocznie przez ograniczenia zewnętrzne.
Wartość wytrzymałości na ściskanie (compressive strength, ultimate
compressive strength, Fcu) niektórych metali wyznacza moment ich pęknięcia
(cracking) pod wpływem ściskania. Jednakże większość metali jest tak plastyczna
(ductile material), że uszkodzenie przy ściskaniu nie występuje. Zamiast pękania,
materiał płynie i puchnie tak, że zwiększający się przekrój ciągle wytrzymuje
wzrastające obciążenie. Dla takich materiałów, które nie posiadają arbitralnego
kryterium, określenie wartości wytrzymałości na ściskanie jest prawie niemożliwe.
W przypadku metali do przeróbki plastycznej powszechną praktyką jest założenie,
że wytrzymałość na ściskanie jest równa wytrzymałości na rozciąganie.
1.24. Znormalizowana wytrzymałość
Interpretacja wytrzymałości jako użytecznego parametru służącego do
porównywania różnych materiałów jest uzależniona od rodzaju materiału –
przyjmowana jest jako granica plastyczności w przypadku metali i polimerów,
wytrzymałość na ściskanie dla ceramiki, wytrzymałość na rozdarcie dla elastomerów, wytrzymałość na rozciąganie dla kompozytów i drewna.
62
Podstawy wytrzymałości materiałów
Za wytrzymałość znormalizowaną (normalized strength) przyjmuje się stosunek
ww. wytrzymałości σf do modułu Younga danego materiału. Linie znormalizowanej
wytrzymałości σf /E występują na wykresach doboru materiałów (materials selection
diagram) jako szereg prostych, równoległych odcinków (rys. 1.34).
[GPa/(Mg/m3)]
Rys. 1.34. Wykres doboru materiałów: Sztywność właściwa – Wytrzymałość właściwa
Polimery techniczne mają znormalizowaną wytrzymałość w zakresie
0,01÷0,1. Można je uznać za nadzwyczaj mocne, gdyż wartości osiągane przez
metale są przynajmniej dziesięciokrotnie mniejsze. Nawet materiały ceramiczne
poddane naprężeniom ściskającym nie są tak mocne. Przy rozciąganiu są one
znacznie słabsze (ok. 15 razy).
Kompozyty i drewno, podobnie jak najlepsze metale, leżą na linii odpowiadającej stosunkowi σf /E = 0,01.
Elastomery, dzięki wyjątkowo małym wartościom modułu Younga, mają
wartości σf /E większe niż jakiekolwiek inne materiały: 0,1÷10.
Materiały ceramiczne leżą w prawym górnym rogu wykresu – mają zatem
wyjątkową sztywność i wytrzymałość na jednostkę masy.
63
Sylwester Kłysz
Kompozyty są grupą materiałów o właściwościach wytrzymałościowych najkorzystniejszych z punktu widzenia praktycznego stosowania (jest to jeden
z powodów ich zwiększającego się wykorzystywania w technice lotniczej i astronautyce). Z kolei pozycja metali jest pod tym względem gorsza z powodu ich
stosunkowo dużej gęstości (przeciwnie niż lekkich polimerów).
1.25. Szybkość odkształcania
Obciążenia eksploatacyjne konstrukcji mogą powodować stany, w których
odkształcenia są stałe, oraz takie, w których odkształcenia raptownie się zmieniają.
Zmiany szybkości odkształcania (strain rate change) wpływają na krzywą wykresu
naprężenie-odkształcenie (stress-strain curve), wytrzymałość na rozciąganie (ultimate
tensile strength) oraz w przypadku niektórych materiałów na plastyczność (ductility).
Z tej przyczyny, tam gdzie jest to możliwe, dla wybranych metali zamieszcza się
informacje lub dane odnoszące się do wpływu szybkości odkształcania. Dane te
stosują się wówczas tylko do podanej wartości lub do szybkości wynoszącej 1% na
sekundę, którą uważa się za maksymalną szybkość, jaka może pojawić się
w konstrukcji samolotu lub pocisku (pomijając efekty nuklearne).
Jeśli nie ustalono inaczej, można przyjąć dla wybranych materiałów, że
szybkość odkształcania do granicy plastyczności zawiera się pomiędzy 0,1 i 1%
na minutę. Po osiągnięciu granicy plastyczności można zakładać, że szybkość
testowania do zniszczenia (granicy wytrzymałości) wzrasta do szybkości, która
nie przekracza 50% na minutę. Uważa się, że zmiany właściwości w tym zakresie
szybkości odkształceń są zbyt małe, aby miały znaczenie w projektowaniu.
Większość szybkości odkształceń wykorzystywanych do wyznaczania granicy
plastyczności powinna zawierać się pomiędzy 0,3 i 0,7% na minutę.
1.26. Plastyczność/ciągliwość
Zdolność materiału do odkształcania plastycznego przy obciążeniach
mniejszych od niszczących, zwykle określana przy pomocy wydłużenia
(elongation) lub przewężenia (reduction of area) ze statycznej próby rozciągania.
Poza tym plastyczność (ductility) może być określona z głębokości odcisku kulki
w teście odciskania, promienia lub kąta zgięcia w teście zginania lub jako
plastyczność zmęczeniowa z odpowiedniego, stałoamplitudowego niskocyklowego testu zmęczeniowego. W teście cyklicznych obciążeń ściskających określana jest kowalność (forgeability).
64
Podstawy wytrzymałości materiałów
1.27. Moduł sprężystości
Wielkość charakteryzująca reakcję materiału na sprężyste obciążenie zewnętrzne
określonego rodzaju. Przy obciążeniu jednoosiowym (uniaxial load) odkształcenie
w kierunku przyłożonego naprężenia zmienia się wraz z tym naprężeniem. Stosunek
naprężenia do odkształcenia ma stałą wartość w zakresie odkształceń sprężystych
materiału i zmniejsza się, gdy występuje odkształcenie plastyczne.
Modułem sprężystości (modulus of elasticity, elastic modulus) jest odwrotność współczynnika proporcjonalności we wzorze wyrażającym prawo Hooke’a
(Hooke’s law) – wartość stosunku naprężenia do odpowiadającego mu odkształcenia poniżej granicy proporcjonalności materiału, nachylenie prostoliniowej (zakres sprężystości) części wykresu naprężenie-odkształcenie – zwykle
wyrażany w MPa, GPa lub GN/m2.
Dla materiałów, które nie wykazują prostoliniowej zależności naprężenieodkształcenie można używać następujących określeń:
 początkowy moduł styczny (initial tangent modulus) – nachylenie krzywej naprężenie-odkształcenie w początku układu współrzędnych;
 moduł styczny (tangent modulus of elasticity) – nachylenie krzywej
naprężenie-odkształcenie dla określonego naprężenia lub odkształcenia;
 moduł siecznej (secant modulus of elasticity) – nachylenie siecznej
poprowadzonej z początku układu współrzędnych do określonego
punktu krzywej naprężenie-odkształcenie;
 moduł cięciwy (chord modulus of elasticity) – nachylenie cięciwy poprowadzonej między dwoma punktami krzywej naprężenie-odkształcenie.
Dla rozciągania (tension) oznaczany jako E – moduł sprężystości wzdłużnej,
moduł Younga (Young modulus, elastic modulus, longitudinal modulus of
elasticity, coefficient of direct elasticity).
Dla ściskania (compression) oznaczany jako Ec – moduł ściśliwości, moduł
ściskania, (modulus of compression).
Dla obciążeń hydrostatycznych (hydrostatic load) oznaczany jako K – moduł
Helmholtza (Helmholtz modulus), moduł sprężystości objętościowej (modulus of
volume elasticity, bulk modulus of elasticity).
Dla ścinania (shear) i skręcania (torsion) oznaczany jako G – moduł
Kirchhoffa (Kirchhoff modulus), moduł sprężystości poprzecznej lub moduł
sprężystości postaciowej (rigidity modulus, modulus of elasticity in shear, shear
modulus, modulus of elasticity in torsion, torsion modulus).
Dla materiałów izotropowych zachodzą związki:
G=
E
2(1 + ν )
65
(1.85)
Sylwester Kłysz
K=
E
3(1 − 2ν )
(1.86)
gdzie ν jest współczynnikiem Poissona (Poisson ratio).
Dla materiałów o niejednorodnej strukturze (np. kompozytów lub platerowanych stopów aluminium (clad aluminum alloy)) mogą wystąpić w zakresie sprężystym dwa odcinki liniowej zależności naprężenie-odkształcenie i wówczas dwie
różne wartości współczynnika sprężystości. Współczynnik sprężystości początkowy
lub pierwotny (initial or primary modulus) jest zazwyczaj średnią ze współczynnika
sprężystości rdzenia i współczynnika sprężystości warstwy plateru (matrycy i osnowy kompozytu). Ma on zastosowanie tylko do obciążeń na poziomie granicy
proporcjonalności plateru (proportional limit of the cladding) i przykładowo dla
blachy platerowanej (clad sheet) 2024-T3 jest to poziom około 40 MPa, a dla
blachy platerowanej 7075-T6 do 70 MPa. Początkowy współczynnik sprężystości
ma zastosowanie głównie do badań zmęczenia niskoamplitudowego o wysokiej
częstotliwości (low amplitude, high frequency fatigue). Nie jest on jednak zalecany
do stosowania w ogólnej analizie naprężeń lub projektowaniu konstrukcji. Powyżej
tego poziomu obciążeń następuje krótki zakres przejściowy i materiał wykazuje
wtórny współczynnik sprężystości (secondary modulus) aż do granicy proporcjonalności materiału rdzenia/matrycy – jako nachylenie drugiego odcinka prostoliniowego wykresu.
Na skutek oddziaływań niesprężystych wartości modułów sprężystości
wyznaczone z nachylenia krzywej naprężenie-odkształcenie są zaniżone (często
dwukrotnie, a nawet i więcej razy) w stosunku do wartości modułów wyznaczonych metodami dynamicznymi, polegającymi np. na wzbudzeniu drgań własnych
w belce albo drucie lub na wyznaczeniu prędkości rozchodzenia się fali dźwiękowej (sound wave) w materiale. W przypadku materiału izotropowego (isotropic
material) między modułami sprężystości zachodzą przybliżone zależności
G ≅ 3/8E i K ≅ E oraz następujące związki:
E
K
G
ν
E
K
G
E
3𝐾(1 − 2𝜐)
2𝐺(1 + 𝜈)
𝐸
3(1 − 2𝜈)
𝐸
2(1 + 𝜈)
3𝐾 + 𝐸
6𝐾
K
3𝐾(1 − 2𝜈)
2(1 + 𝜈)
3𝐾 + 2𝐺
2(3𝐾 + 𝐺)
66
2𝐺(1 + 𝜈)
3(1 − 2𝜈)
G
𝐸 + 2𝐺
2𝐺
E, K, G
9𝐾𝐺
3𝐾 + 𝐺
𝐸𝐺
3(3𝐺 − 𝐸)
3𝐾𝐸
9𝐾 − 𝐸
Podstawy wytrzymałości materiałów
Moduł Younga E większości materiałów zależy od dwóch czynników:
sztywności wiązania międzyatomowego i gęstości wiązań na jednostkę powierzchni. Wiązanie chemiczne, podobnie jak sprężyna, charakteryzuje się
sztywnością k o jednostce N/m. Moduł Younga w przybliżeniu wynosi k/r0,
gdzie r0 jest „wielkością atomu” (r3 jest średnią objętością atomu lub jonu).
Szeroki zakres zróżnicowania wartości modułu sprężystości jest przede
wszystkim związany ze zróżnicowaniem wartości k. Wiązanie kowalencyjne jest
sztywne (k = 20÷200 N/m). Wiązania metaliczne i jonowe charakteryzują się
nieco mniejszymi wartościami k (15÷100 N/m). Diament ma bardzo duży moduł
Younga, ponieważ atomy węgla są małe (co daje dużą gęstość wiązań) i są bardzo
silnie wiązane (k = 200 N/m). Metale charakteryzują się dużym modułem Younga
dzięki gęstemu upakowaniu atomów. Wiązania są silne, chociaż nie aż tak jak
w diamencie.
W polimerach występują jednocześnie silne wiązania kowalencyjne (takie jak
w diamencie) oraz słabe – wodorowe, tj. wiązania Van der Waalsa (k = 0,5÷2 N/m).
Słabe wiązania umożliwiają znaczne odkształcanie polimerów, powodując zmniejszenie wartości modułu E tych materiałów do poziomu rzędu 1 GPa.
Materiały o modułach Younga mniejszych niż ta wartość to elastomery lub
pianki. Spowodowane jest to możliwością swobodnego poruszania się segmentów
łańcucha polimeru (temperatura zeszklenia Tg (glassy temperature) leży poniżej
temperatury pokojowej) oraz zdolnością łańcucha do obrotów wokół jego wiązań
pojedynczych. Małe moduły pianek są związane ze zginaniem się ścianek ich
komórek pod wpływem obciążania materiału, umożliwiającym duże przemieszczenia pod wpływem obciążenia materiałów.
Moduły Younga materiałów inżynierskich przybierają wartości od 0,01 GPa
(pianki o małej gęstości) do 1000 GPa (diament); natomiast gęstości materiałów
mieszczą się w przedziale 0,1÷20 Mg/m3 (rys. 1.35).
Prędkość rozchodzenia się fal sprężystych w materiale oraz częstotliwość
drgań własnych wykonanych z niego elementów są proporcjonalne do (E/ ρ) m .
Wielkość (E/ρ)m jest prędkością podłużnej fali w cienkim pręcie – na rysunku
są naniesione linie odpowiadające jednakowym wartościom (E/ρ)m – prędkość
fali podłużnej waha się od poniżej 50 m/s dla miękkich elastomerów, do ponad
104 m/s w materiałach ceramicznych.
Aluminium i szkło z powodu małej gęstości przekazują drgania z dużą
prędkością, pomimo małego modułu Younga. Prędkość dźwięku w piankach nie
jest mała, na co wskazywałby ich niewielki moduł sprężystości, gdyż kompensuje
to ich mała gęstość. W drewnie dźwięk rozchodzi się z małą prędkością
w kierunku prostopadłym do włókien, natomiast wzdłuż włókien znacznie
szybciej (w przybliżeniu tak jak w stalach) – właściwość tę wykorzystuje się
m.in. w konstruowaniu instrumentów muzycznych.
67
Sylwester Kłysz
Rys. 1.35. Zakresy zmienności modułów Younga E i gęstości ρ materiałów inżynierskich
1.28. Moduł sprężystości postaciowej, moduł Kirchhoffa
Stosunek kąta odkształcenia postaciowego (shear strain) γ do naprężenia τ
w przypadku jednorodnego ścinania (shear stress) – odwrotność współczynnika
proporcjonalności we wzorze wyrażającym prawo Hooke’a (Hooke’s law) dla
czystego ścinania. Jest zależny od rodzaju materiału (składu, struktury, odmiany
polimorficznej) oraz temperatury i ciśnienia – nie zależy od prędkości
odkształcania. Moduł Kirchhoffa (Kirchhoff modulus, shear modulus, G) jest
ok. 2÷3-krotnie mniejszy od modułu Younga.
Stan czystego ścinania (shear state) można uzyskać np. w płaskim stanie
naprężenia (plane stress state) przy działaniu na element konstrukcji głównych
naprężeń (principal stress): σ1 = τ i σ2 = -τ. W wyniku takiego obciążenia początkowo kwadratowa ściana hipotetycznej kostki materiału (ABCD na rys. 1.36)
o boku równym jedności zamieni się w romb (A’B’C’D’).
68
Podstawy wytrzymałości materiałów
Odkształcenia względne dla występującego w tym przypadku płaskiego stanu
naprężenia wynoszą:
1
(σ1 − νσ 2 ) = 1 + ν τ
E
E
1
−1− ν
ε 2 = (σ 2 − νσ1 ) =
τ
E
E
ε1 =
a)
(1.87)
b)
Rys. 1.36. Czyste ścinanie wywołane naprężeniami głównymi σ1 = σ = τ i σ2 = -σ = -τ:
a) schemat obciążenia i odkształceń, b) odpowiednie koło Mohra
czyli:
ε = ε1 = ε 2 =
1+ ν
τ
E
(1.88)
Długości przekątnych rombu B’D’ i A’C’ będą równe:
B′D′ = 1 − ε
A′C ′ = 1 + ε
(1.89)
Ponieważ miarą odkształcenia postaciowego jest kąt γ, o jaki zmniejszyły się
początkowo proste kąty <BAD i <BCD lub powiększyły się kąty <ADC i <ABC
rozpatrywanej kostki sześciennej, a kąt <OA’D’ = π/2-γ, stąd:
 π γ  1− ε
tg  −  =
 4 2 1+ ε
69
(1.90)
Sylwester Kłysz
a wykorzystując wzór na tangens różnicy kątów i przyjmując, że kąt γ jest bardzo
mały (tzn. tg(γ/2) ≈ γ/2), zachodzi:
γ
1−
π γ
2
tg  −  =
 4 2 1+ γ
2
(1.91)
Porównując oba powyższe wzory otrzymamy:
ε=
1+ ν
γ
τ=
2
E
(1.92)
i ostatecznie kąt odkształcenia postaciowego γ, opisany prawem Hooke’a dla
czystego ścinania, wynosi:
γ=
τ
τ
=
E
G
2(1 + ν )
(1.93)
Wyrażenie w mianowniku, zależne od stałych materiałowych modułu
Younga E i współczynnika Poissona ν, jest stałą materiałową, oznaczaną przez G
– współczynnik (moduł) sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa):
G=
E
2(1 + ν )
(1.94)
1.29. Moduł sprężystości objętościowej, moduł Helmholtza
Stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości materiału w przypadku
wszechstronnego izotermicznego ściskania/sprężania, obciążenia hydrostatycznego (hydrostatic load, hydrostatic pressure) – odwrotność współczynnika proporcjonalności we wzorze wyrażającym prawo Hooke’a (Hooke’s law).
Zmiana objętości elementarnego prostopadłościanu o początkowych wymiarach dxl, dx2, dx3, poddanego działaniu przestrzennego stanu naprężenia wynosi:
70
Podstawy wytrzymałości materiałów
V − Vo dx1 (1 + ε1 )dx2 (1 + ε 2 )dx3 (1 + ε 3 ) − dx1dx2 dx3
=
= (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) − 1
Vo
dx1dx2 dx3
(1.95)
Pomijając małe drugiego i trzeciego rzędu, jako składowe nie wpływające
istotnie na wartość wyrażenia można zapisać:
V − Vo
= ε1 + ε 2 + ε 3
Vo
(1.96)
Wykorzystując uogólnione prawo Hooke’a o postaci:
ε1 =
1
(σ1 − ν(σ 2 + σ3 ))
E
(1.97)
ε2 =
1
(σ 2 − ν(σ1 + σ3 ))
E
(1.98)
ε3 =
1
(σ3 − ν(σ1 + σ 2 ))
E
(1.99)
względną zmianę objętości dla hydrostatycznego obciążenia σ1 = σ2 = σ3 = -p
można wyrazić jako:
V − Vo 1
3p
(1 − 2ν )
= (1 − 2ν )(σ1 + σ 2 + σ 3 ) = −
E
Vo
E
(1.100)
Tak więc względną zmianę objętości wyrażoną w funkcji wywołującego ją
ciśnienia, opisaną prawem zmiany objętości, można zapisać jako:
V − Vo
p
=−
Vo
K
(1.101)
gdzie K jest współczynnikiem sprężystości objętościowej, stałą zależną od E i ν,
modułem Helmholtza (Helmholtz modulus, bulk modulus):
K=
E
3(1 − 2ν )
71
(1.102)
Sylwester Kłysz
1.30. Współczynnik Poissona
Wartość bezwzględna stosunku odkształceń poprzecznych (transverse strain,
lateral strain) do odpowiadających im odkształceń podłużnych (longitudinal strain,
axial strain) powstałych w wyniku jednorodnie rozłożonego rozciągającego
naprężenia osiowego (axial stress) o wartości poniżej granicy proporcjonalności
materiału (proportional limit).
W przypadku materiałów anizotropowych można mówić o kilku wartościach
współczynnika Poissona (Poisson ratio, ν) dla materiału, zależnie od kierunku pomiaru odkształceń. W zakresie sprężystym obciążeń (elastic range) jest wielkością
w przybliżeniu stałą, dla naprężeń powyżej granicy proporcjonalności (elastic limit)
jest zależny od poziomu naprężeń/odkształceń i czasami zwany jest współczynnikiem
zwężenia poprzecznego (lateral contraction ratio).
Przy obciążeniu wieloosiowym (multiaxial loading), odkształcenia wynikające z przyłożenia każdego z naprężeń są addytywne – zatem odkształcenia
w każdym z głównych kierunków (principal direction) należy obliczać, biorąc
pod uwagę wszystkie z naprężeń głównych (principal stress) i współczynnik
Poissona.
1.31. Wydłużenie
Przyrost długości odcinka bazowego próbki ∆l poddanej rozciąganiu,
względem tej długości bazowej (gauge length, lo) – najczęściej ustalonej dla
próbek o przekroju prostokątnym (np. 50 mm) lub równej 4-krotności średnicy
próbki o przekroju okrągłym (poza próbkami spawanymi)). Sprecyzowanie
długości pomiarowej można znaleźć w stosownych wymaganiach technicznych.
Wydłużenie (elongation, A)
∆l = l – lo
(1.103)
może być określane zarówno w chwili zniszczenia próbki, jak i po jej zniszczeniu
– zależnie od wymagań właściwych dla badanego materiału. Dla metali
zazwyczaj wyznaczane jest po zerwaniu próbki, dla plastików i elastomerów
w chwili zerwania. Mimo że jest najczęściej stosowanym wskaźnikiem
ciągliwości (indicator of ductility) materiału, jego pomiar może być bardzo czuły
na parametry przeprowadzanego testu, takie jak grubość i wielkość odcinka
bazowego próbki, przez co wynik pomiaru może silnie zależeć od tych
zmiennych.
72
Podstawy wytrzymałości materiałów
1.32. Przewężenie
Różnica między początkowym polem przekroju poprzecznego (original
cross sectional area, do) a polem najmniejszego przekroju rozciąganej w teście
statycznym próbki (minimum cross sectional area, du), wyrażona w procentach
początkowego pola przekroju poprzecznego. Może być określane zarówno
w chwili zniszczenia próbki, jak i po zniszczeniu, zależnie od wymagań właściwych dla badanego materiału. Zazwyczaj dla metali wyznaczane jest po
zerwaniu próbki, dla plastików i elastomerów w chwili zerwania.
Przewężenie (reduction of area, Z)
Z=
do − du
⋅ 100%
do
(1.104)
jest miarą ciągliwości (measure of ductility) materiału, mniej czułą na parametry
przeprowadzanego testu, ale jest trudniejsze do stosowania w przypadku elementów o cienkich przekrojach.
1.33. Współczynnik tłumienia drgań
Bezwymiarowa miara zdolności materiału do pochłaniania energii drgań
sprężystych. Jeżeli materiał jest poddany naprężeniu w zakresie sprężystym, to
zmagazynowana energia sprężysta (elastic energy) na jednostkę objętości wynosi
(rys. 1.37):
ε max
σ2
(1.105)
U = ∫ σdε = 1
2 E
0
a po odciążeniu strata energii wynosi:
∆U = ∫ σdε
(1.106)
i współczynnik tłumienia drgań (damping vibration coefficient) jest zdefiniowany
jako:
∆U
(1.107)
η=
2πU
Wartość współczynnika η jest zwykle zależna od częstotliwości zmian
obciążenia. Innymi miarami tłumienia są:
 pojemność tłumienia właściwa (damping capacity) D = ΔU/ U;
 logarytmiczne dekrementy tłumienia a (logarytm stosunku kolejnych amplitud
drgań) (logarithmic damping decrement);
73
Sylwester Kłysz
 opóźnienie/przesunięcie fazowe (phase lag) między naprężeniem a odkształceniem δ;
 współczynnik rezonansu (resonance coefficient) Q.
Rys. 1.37. Model pochłaniania energii drgań sprężystych
Jeżeli tłumienie jest małe (η < 0,01), między wymienionymi wielkościami
zachodzą zależności:
D a
1
(1.108)
= = tgδ =
η=
2π π
Q
Zależności powyższe nie są spełnione dla dużego tłumienia.
1.34. Współczynnik stratności
Miara tłumienia wewnętrznego w materiale, gdy konstrukcja jest poddawana
drganiom. Metale, szkła, ceramika w odpowiednich warunkach wykazują niskie
tłumienie lub tarcie wewnętrzne (internal friction). Współczynnik stratności (loss
coefficient) określa spadek amplitudy drgań wywołany mechanizmami charakteryzowanymi przez własności materiałowe. Przykładowa zależność opisująca współczynnik stratności może mieć postać:
η=
( )
ln 10 3
2πft30
(1.109)
gdzie f jest analizowaną częstością drgań, a t30 określa czas, w którym następuje
spadek amplitudy drgań o 30 dB.
74
Podstawy wytrzymałości materiałów
Niektóre z mechanizmów tłumienia są związane z procesami mającymi
określoną stałą czasową (attenuation constant) – straty energii powstają zatem
w pobliżu charakterystycznej częstotliwości. Inne, nazywane tłumieniem wywołanym
histerezą sprężystą (resilient histeresis vibration damping), są związane z mechanizmami niezależnymi od czasu, a absorpcja energii zachodzi przy wszystkich
częstotliwościach.
W metalach duża część tłumienia wywołanego histerezą sprężystą jest związana
z ruchem dyslokacji – jest ono duże w miękkich metalach, takich jak ołów i czyste
aluminium. Stopy z dużą zawartością składników stopowych (brązy, stale
wysokowęglowe) mają małą stratność, ponieważ atomy składnika występującego
w roztworze stałym „kotwiczą” dyslokacje (dislocation anchorage). Wyjątkowo dużą
stratność stwierdza się w stopach Mn-Cu, co jest związane z przemianą martenzytyczną wywołaną odkształceniem, oraz w magnezie, na co ma wpływ odwracalne
bliźniakowanie. Duży zakres wartości współczynnika stratności wynika z możliwości
stwarzanych przez dodatki stopowe (alloying component) i obróbkę plastyczną na
zimno (cold working).
Ceramika inżynierska charakteryzuje się słabym tłumieniem, ponieważ
wyjątkowo duży opór sieci, „kotwiczy” dyslokacje już w temperaturze pokojowej. Z drugiej strony porowate materiały ceramiczne zawierają liczne mikropęknięcia, a na skutek tarcia ich powierzchni następuje rozproszenie energii
w czasie obciążenia (podobnie zachodzi silne tłumienie w niektórych żeliwach).
W polimerach poddanych obciążeniu siłami zewnętrznymi odcinki łańcuchów ulegają poślizgowi względem siebie, co powoduje rozpraszanie energii.
Łatwość tych poślizgów zależy od stosunku temperatury do temperatury zeszklenia (glassy temperature) polimeru Tg. Gdy T<Tg, drugorzędowe wiązania są
„zamrażane”, moduł sprężystości jest duży, a tłumienie relatywnie słabe.
1.35. Rozszerzalność cieplna
Miara zjawiska rozszerzania się ciał stałych w czasie ich nagrzewania – ze
wzrostem temperatury następuje rozsuwanie się atomów i zwiększanie ich
średniej odległości. Wiązanie między parą atomów (atomic bond) zachowuje się
jak sprężyna o liniowej charakterystyce (gdy względne przemieszczenie atomów
jest małe) powyżej pewnej wartości odpowiada sprężynie o nieliniowej
charakterystyce. Większość wiązań usztywnia się, gdy atomy zbliżają się do
siebie, natomiast gdy oddalają się – sztywność wiązania maleje; wiązania
zachowują się zatem nieharmonicznie. Drgania cieplne atomów (atomic thermal
vibration), nawet w temperaturze pokojowej, powodują znaczne przemieszczenia.
75
Sylwester Kłysz
Miarą tego efektu jest współczynnik cieplnej rozszerzalności liniowej (thermal
expansion coefficient):
α=
1 dl
l dT
(1.110)
gdzie l jest liniowym rozmiarem materiału.
Polimery mają duże wartości α, w przybliżeniu dziesięciokrotnie większe
niż metale i stukrotnie większe niż materiały ceramiczne. Wynika to z silnie
nieharmonicznego charakteru wiązań Van der Waalsa w polimerach.
Diament, krzem i krzemionka mają wiązania kowalencyjne o małym stopniu
nieharmoniczności (tzn. są one prawie liniowo-sprężyste nawet przy dużych
odkształceniach), co jest przyczyną ich małych współczynników cieplnej rozszerzalności liniowej.
Kompozyty, mimo że często mają polimerową osnowę, mogą mieć małe
wartości współczynnika α, ponieważ są zbudowane z włókien wzmacniających
(szczególnie węglowych) wydłużających się nieznacznie.
Jeśli w czasie grzania lub chłodzenia elementów uniemożliwi się ich
swobodne rozszerzanie się i kurczenie wywoła to naprężenia cieplne (thermal
stress) w tych elementach. Zależą one od współczynnika cieplnej rozszerzalności
liniowej α oraz od modułu Younga E materiału według wzoru:
α=
γ G ρcυ
3E
(1.111)
gdzie:
γG – stała Gruneisena; jej wartość zmienia się w zakresie 0,4÷4, dla
większości ciał stałych jest bliska 1;
ρcv – objętościowe ciepło właściwe (volumetric specific heat).
Diament, mający największy moduł Younga, charakteryzuje się jednym
z najmniejszych współczynników cieplnej rozszerzalności liniowej; elastomery
o najmniejszym module Younga wydłużają się najbardziej.
W niektórych materiałach o małej liczbie koordynacyjnej (coordination
number, c.n.) (krzemionka czy materiały o strukturze regularnej typu diamentu
lub blendy cynkowej) poprzeczne absorbowanie energii jest uprzywilejowane.
Prowadzi to do małych (nawet ujemnych wartości) γG i małego współczynnika
cieplnej rozszerzalności liniowej α. Inne materiały, jak np. Invar, kurczą się,
tracąc właściwości ferromagnetyczne po nagrzaniu powyżej temperatury Curie
(Curie temperature), a także wykazują rozszerzalność cieplną bliską zeru
76
Podstawy wytrzymałości materiałów
w wąskim zakresie temperatury (jest to przydatne w aparaturze precyzyjnej i przy
połączeniach metal-szkło).
Moduł Younga materiału zmienia się proporcjonalnie do jego temperatury
topnienia (melting point) Tm:
E≈
gdzie:
1000kTm
Ω
(1.112)
k – stała Boltzmana;
Ω – objętość atomu,
co prowadzi także do wyrażenia w postaci:
α≈
γG
100Tm
(1.113)
Oznacza to, że współczynnik cieplnej rozszerzalności liniowej zmienia się
odwrotnie proporcjonalnie do temperatury topnienia oraz że odkształcenie cieplne
ciał stałych tuż przed stopieniem zależy tylko od wartości γG, która jest w przybliżeniu stała. Dzięki temu jest to zależność przydatna przy szacowaniu lub
sprawdzaniu wartości współczynnika cieplnej rozszerzalności liniowej.
Gdy zmiany wymiarów pod wpływem działania ciepła są dostatecznie duże,
powodują odkształcenie plastyczne, pękanie lub wyboczenie sprężyste (elastic
buckling).
Rozróżnia się naprężenia cieplne spowodowane zewnętrznymi ograniczeniami (np. pręt sztywno zamocowany na końcach) od takich, które pojawiają się
bez udziału czynników zewnętrznych, a jedynie w wyniku występowania
w materiałach gradientów temperatury (temperature gradient). Niezależnie od
rodzaju, naprężenia te zwiększają się wraz z iloczynem αE – naprężenie ∆σ
powstające przy zmianie temperatury o 1°C w układzie nieswobodnym lub
naprężenie na 1°C spowodowane nagłą zmianą temperatury powierzchni
w układzie swobodnym, jest wyrażone zależnością:
∆σ =
1
αE
C
(1.114)
gdzie C jest równe 1 dla więzów (constraint) jednoosiowych, (1 - v) dla więzów
dwuosiowych lub szybkiego chłodzenia i (1 - 2v) dla trójosiowych więzów (v –
współczynnik Poissona).
77
Sylwester Kłysz
Omawiane zmiany naprężeń osiągają znaczne wartości (ok. 1 MPa/K)
i mogą powodować płynięcie, kruche pękanie, odpryskiwanie lub wyboczenie
materiału przy nagłym nagrzaniu lub chłodzeniu.
1.36. Temperatura zeszklenia
Temperatura, w której następuje przejście ze stanu ciekłego lub plastycznego
do szklistego w wyniku przemiany fazowej drugiego rzędu, tj. nie towarzyszy jej
dający się zmierzyć energetyczny efekt cieplny, ale można ją zaobserwować jako
nagłą zmianę pojemności cieplnej (heat capacity) – zwana również temperaturą
witryfikacji.
Można ją wyznaczyć jako punkt przegięcia na zależności zmiany pojemności cieplnej wraz z temperaturą. W praktyce temperaturę zeszklenia (glassy
temperature, glass transition, vitrification temperature, Tg) wyznacza się zwykle
metodą skaningowej termografii różnicowej. Temperaturę zeszklenia można też
ustalić na podstawie nagłej zmiany lepkości, przyjmując zwykle jako granicę
1012 Pa·s. Temperatura zeszklenia jest jedną z ważniejszych wielkości charakteryzujących właściwości plastyczne szkieł, termoplastycznych tworzyw sztucznych oraz elastomerów.
Polimery wykazują znaczące różnice w przebiegu krzywych rozciągania
oraz własnościach wytrzymałościowych w temperaturach poniżej i powyżej
temperatury zeszklenia (rys. 1.38).
Rys. 1.38. Przebiegi krzywych naprężenie-odkształcenie dla polimeru dla temperatury
niższej i wyższej od temperatury zeszklenia Tg
78
Podstawy wytrzymałości materiałów
1.37. Pełzanie
Powolne odkształcanie materiału, zależne od czasu działania obciążenia oraz
od temperatury. Intensywność odkształcenia wzrasta po ogrzaniu metalu do
temperatury powyżej 1/3 Tm temperatury topnienia (melting point), a ceramiki
powyżej 2/3 Tg temperatura zeszklenia (glassy temperature). Prędkość odkształcania przy pełzaniu (creep strain rate) w danej temperaturze T i pod wpływem
naprężenia σ wyraża się równaniem:
n
•
 σ  −
ε = A  e kT
 σ0 
gdzie:
Q
(1.115)
n, A – wykładnik i współczynnik kinetyczny; zależne od rodzaju materiału
i mechanizmu pełzania;
Q – energia aktywacji (activation energy) danego mechanizmu pełzania;
σ0 – naprężenie wstępne, związane z rozmiarem ziarna materiału (grain size);
k – stała Boltzmana.
Mechanizm pełzania (creep) zależy od temperatury i poziomu naprężeń –
dyfuzja masy (bulk diffusion, Nabarro-Herring creep), ruch dyslokacji (dislocation
climb), poślizg wspierany ruchem dyslokacji (climb-assisted glide), dyfuzja atomów
i wakansów przez granice ziaren (grain bondary creep, Coble creep), poślizg aktywowany termicznie (thermaly activated glide), poślizg poprzeczny (cross-slip).
W początkowej fazie w wyniku umocnienia przez zgniot (work hardening)
pełzanie charakteryzuje się stosunkowo dużą szybkością odkształcania, malejącą
jednak z czasem (rys. 1.39).
Rys. 1.39. Krzywe pełzania w różnych temperaturach
79
Sylwester Kłysz
Następnie prędkość odkształcania osiąga minimum i przez dłuższy czas
pozostaje w przybliżeniu stała (steady-state creep) – jest to efekt równowagi
między umocnieniem i odprężaniem/uplastycznianiem termicznym (thermal
softening, annealing). W końcowej fazie prędkość odkształcania rośnie wykładniczo wraz z naprężeniem w wyniku przewężenia i tworzenia się szyjki na
próbce (necking).
80
Podstawy wytrzymałości materiałów
2
CHARAKTERYSTYKI
WYBRANYCH MATERIAŁÓW
2.1. Metale
Materiały odznaczające się relatywnie wysokimi wartościami modułów
sprężystości (elastic modulus). Ich właściwości mechaniczne (mechanical
property) mogą być podwyższane nie tylko przez obróbkę cieplną i mechaniczną
(thermal & mechanical treatment), ale już w procesie wytapiania – przez
wprowadzanie odpowiednich dodatków stopowych (alloy addition).
Metale mają dużą gęstość, ponieważ są zbudowane z ciężkich, gęsto
upakowanych atomów.
Cechą charakterystyczną metali jest ciągliwość (ductility), zwykle umożliwiająca ich odkształcanie, a więc stosowanie obróbki plastycznej (plastic
forming).
Stopy metali, które odznaczają się wysokimi wskaźnikami wytrzymałościowymi (np. stale sprężynowe) cechuje mniejsza ciągliwość – mogą się odkształcać
w stopniu mniejszym niż 2%. Jednak nawet w takim przypadku metale odkształcają się plastycznie przed pęknięciem, a ich przełom jest ciągliwy (ductile
fracture surface). W ciągliwości metali w dużej mierze należy upatrywać
przyczyny ich odporności na zmęczenie (fatigue resistant).
Ze wszystkich materiałów inżynierskich metale są najmniej odporne na
korozję (corrosion resistant).
2.2. Ceramika i szkło
Ceramika i szkło (ceramics, glasses), podobnie jak metale, odznaczają się
dużymi wartościami modułów sprężystości (elastic modulus), jednak w odróżnieniu od metali są kruche (brittle material). Przejawia się to tym, że w próbie
81
Sylwester Kłysz
rozciągania (tension test) powstają w nich przełomy kruche (brittle fracture
surface), a w przypadku ściskania – ulegają rozkruszaniu (crush).
Zniszczenie ceramiki przez ściskanie (rys. 2.1) wymaga zastosowania
przynajmniej piętnastokrotnie większych obciążeń niż przez rozciąganie –
przyjmuje się, że wytrzymałość na ściskanie jest miarą wytrzymałości ceramiki.
W przypadku np. polimerów ta różnica sięga tylko ok. 20%.
Większość materiałów ceramicznych ma mniejszą gęstość niż metale, w ich
skład bowiem wchodzą lekkie atomy tlenu, azotu lub węgla. Ciało stałe
zbudowane nawet z najlżejszych, luźno upakowanych atomów ma gęstość nie
mniejszą niż ok. 1 Mg/m3. Materiały o mniejszej gęstości to pianki – o komórkowej budowie z dużym udziałem porów.
Rys. 2.1. Różnice w przebiegach krzywych naprężenie-odkształcenie dla ceramiki
poddanej rozciąganiu i ściskaniu
Ceramika nie jest ciągliwa, cechuje się zatem małą odpornością na lokalne
spiętrzenie naprężeń (stress concentration) powstające przy krawędziach porów
i mikropęknięć (microcrack) i na naprężenia działające lokalnie (np. w miejscach
mocowania). W materiałach ciągliwych natomiast lokalne spiętrzenia naprężeń
mogą być stosunkowo łatwo zmniejszane (relaksowane) (stress relaxation) przez
lokalne odkształcenie plastyczne materiału, powodujące bardziej równomierne
rozłożenie działającego obciążenia. Umożliwia to wykorzystanie materiałów
ciągliwych w warunkach oddziaływania obciążeń statycznych niewiele mniejszych niż ich granica plastyczności (yield stress). Takich możliwości nie dają
ceramika i szkło.
82
Podstawy wytrzymałości materiałów
Materiały kruche zawsze wykazują duży rozrzut wytrzymałości (endurance
scatter), która zależy od objętości materiału poddanego obciążeniu i czasu,
w jakim to obciążenie działa na materiał.
Jeżeli podczas próby rozciągania materiału ceramicznego występują
trudności ze skutecznym uchwyceniem próbki, wytrzymałość materiału można
wyznaczyć w próbie zginania (bending test). Wówczas umowna wytrzymałość na
zginanie odpowiada maksymalnemu naprężeniu działającemu na powierzchni
zginanej próbki, przy którym uległa ona nagłemu pęknięciu. Naprężenie to
powinno odpowiadać wytrzymałości na rozciąganie, jednak dla ceramiki może
być ono większe niż wytrzymałość wyznaczona w próbie rozciągania (współczynnik ok. 1,3) ze względu na mniejszą objętość materiału poddaną naprężeniu
o maksymalnej wartości oraz mniejsze prawdopodobieństwo występowania wad
(porów, pęknięć); ponieważ tylko przy czystym rozciąganiu wszystkie wady
znajdują się w polu działania maksymalnych naprężeń.
W porównaniu z metalami, materiały ceramiczne na ogół nie są łatwe do
zastosowania jako tworzywa konstrukcyjne. Odznaczają się dużą sztywnością
(stiffness), twardością (hardness), odpornością na ścieranie (abrasion hardness)
(stąd ich zastosowanie m.in. na narzędzia skrawające), zachowywaniem wytrzymałości w wysokich temperaturach (hot strength), odpornością na korozję
(corrosion resistant) – stanowią grupę ważnych materiałów inżynierskich.
2.3. Polimery i elastomery
Polimery i elastomery (polimers, elastomers) można usytuować, w porównaniu z metalami i ceramiką, na drugim krańcu spektrum materiałów inżynierskich.
Moduły sprężystości (elastic modulus) polimerów mają wprawdzie małe
wartości, w przybliżeniu pięćdziesiąt razy mniejsze niż metali, jednakże ich wytrzymałość może być porównywalna z metalami. W konsekwencji ugięcie sprężyste polimerów może być bardzo duże.
Polimery charakteryzują się małą gęstością, gdyż przede wszystkim zawierają atomy węgla (ciężar atomowy 12) i wodoru, tworzące liniowe łańcuchy oraz
dwu- lub trójwymiarowe siatki.
Polimery mogą płynąć (material flow) pod wpływem stałego obciążenia,
nawet w temperaturze pokojowej (room temperature). Oznacza to, że wyroby
polimerowe poddane obciążeniu mogą z czasem przyjmować ostateczny kształt
różny od początkowego.
Właściwości polimerów zależą silnie od temperatury, np. polimer odznaczający się dobrą wytrzymałością i zdolnością do odkształcenia sprężystego
83
Sylwester Kłysz
w temperaturze 20°C może stać się kruchy już w temperaturze 4°C, a płynąć
plastycznie w temperaturze 100°C.
Polimery nie mają użytkowych właściwości wytrzymałościowych (mechanical
property) w temperaturach wyższych niż 200°C. Pomimo tych ograniczeń są cennym
materiałem inżynierskim. Cechują się porównywalnym z metalami stosunkiem
wytrzymałości do gęstości (strength/weight ratio), są szczególnie przydatne do
wykonywania (nawet w jednej operacji) wyrobów o bardzo skomplikowanych
kształtach. Można je barwić, co w połączeniu z dokładnością wymiarową formowania zapewnia ograniczenie do minimum lub nawet wyeliminowanie konieczności
stosowania dodatkowych obróbek wykańczających.
Generalnie odporność polimerów na kruche pękanie (fracture toughness)
jest mniejsza niż ceramiki technicznej – polimery są jednak szeroko stosowane
jako materiały konstrukcyjne, a ceramika z etykietą „kruchości” jest traktowana
ze znacznie większą ostrożnością.
Polimery są odporne na korozję i odznaczają się niskimi wartościami
współczynnika tarcia.
Elastomery mają pod względem wytrzymałości wyjątkowe właściwości –
jest ona zbliżona do wartości modułu Younga E, gdyż wielkość modułu sprężystości podłużnej nie jest związana z mechanizmem rozciągania wiązań, ale ze
zmianami entropii (entrophy change) splątanych łańcuchów cząsteczek w czasie
odkształcenia materiału.
Prawidłowa decyzja podjęta w trakcie procesu projektowania wyrobu
odnośnie do wyboru materiału polimerowego umożliwia skuteczne wykorzystanie
tych właściwości.
2.4. Kompozyty
Kompozyty (composites) są materiałami inżynierskimi, w których można
jednocześnie wykorzystać pożądane cechy poszczególnych tworzących je komponentów i ograniczyć wpływ cech niepożądanych tych komponentów. Są one
lekkie, sztywne, ale jednocześnie wytrzymałe, mogą być też odporne na obciążenia udarowe (impact loading).
Większość dostępnych obecnie w praktyce inżynierskiej kompozytów jest
wytwarzana przy zastosowaniu polimerowej osnowy – epoksydowej lub poliestrowej, w której znajdują się umacniające materiał włókna szklane (fibre glass),
węglowe (carbon fibre) lub z Kevlaru. Ze względu na mięknięcie polimeru
(softening) kompozyty z osnową polimerową nie mogą być stosowane w temperaturach przekraczających 100oC, najlepsze własności mają natomiast w temperaturach pokojowych (room temperature).
84
Podstawy wytrzymałości materiałów
Ponieważ komponenty kompozytów są drogie, a technologie wytwarzania
kompozytów i elementów z nich wykonanych – bardzo skomplikowane, kompozyty powinny być stosowane tylko wtedy, kiedy racjonalnie wyważy się argumenty: z jednej strony – pożądany zespół właściwości, a z drugiej – koszty związane z wytwarzaniem kompozytów.
2.5. Laminat z włókien szklanych/metalowych
Laminat z włókien szklanych/metalowych (fiber-metal/fiber-glass laminate)
posiada strukturę składającą się z kilku warstw sklejonych w jeden arkusz,
zawierającą wysokowytrzymałe włókna szklane/metalowe osadzone w pośrednich warstwach klejowych (adhesive layer).
Geneza powstania takich materiałów wywodzi się z potrzeby wprowadzenia
alternatywnego do wymagań filozofii tolerancji uszkodzeń (damage tolerance
approach) rozwiązania wprowadzającego do eksploatacji materiały o wysokim
stopniu odporności na propagację pęknięć (crack growth resistance). W koncepcji
tolerancji uszkodzeń istotne jest, aby pęknięcia nie wzrastały zbyt szybko, tak by
możliwe było wykrycie uszkodzenia struktury podczas okresowych przeglądów
(periodic inspection). Natomiast laminaty z włókien szklanych/metalowych z założenia miały mieć podwyższoną wewnętrzną własność materiałową (inherent
material property) odporności na rozwój pęknięć, poprzez możliwość opóźnienia
propagacji pęknięć (crack growth retardation) lub ich zatrzymywania (crack arrest).
Początki rozwoju laminatów sięgają lat 70. XX w. Pracowano nad nimi
w Delft University of Technology. Początkowo zaadoptowano w tym celu włókna
aramidowe (aramid fiber), tworząc w połączeniu z płytami aluminiowymi
laminaty o nazwie ARALL (Aramid Reinforced ALuminium Laminate). Kolejnym
rozwiązaniem były laminaty szklane GLARE (GLAss REinforced), CARALL
(CARbon ALuminum Laminate) oraz laminaty z grubych płyt typu CentrAl.
Odrębnym rodzajem pod względem koncepcji projektowania, techniki
wytwarzania i własności materiałowych są materiały kompozytowe w postaci
matrycy epoksydowej (epoxy matrix) z długimi włóknami, głównie węglowymi
(carbon fibre) o wysokiej wytrzymałości i sztywności, zwane czarnymi kompozytami (black composite).
Porównując trwałość propagacyjną aluminiowych próbek z laminatu i próbek
litych (solid material), można stwierdzić większą trwałość dla próbek z laminatu
oraz większą trwałość w warunkach płaskiego stanu naprężeń (próbka cienka,
pojedyncza warstwa z włóknem) niż dla płaskiego stanu odkształceń (próbka gruba,
wiele warstw z włóknami) (rys. 2.2). Znaczny wzrost trwałości propagacyjnej
w przypadku pęknięć niewskrośnych (part-through crack) (powierzchniowych,
85
Sylwester Kłysz
ćwierćeliptycznych) w próbkach z laminatu w porównaniu do próbek litych wynika
nie tylko z faktu, że warstwy klejowe stanowią bariery dla propagacji pęknięć
w kierunku grubości próbki. Rozwój pęknięć odbywa się początkowo tylko
w pierwszej warstwie laminatu, znacznie wolniej niż dla laminatu z pojedynczą
warstwą, ponieważ występuje znaczne ograniczenie otwierania się pęknięcia (crack
opening) w pierwszej warstwie, gdy warstwy kolejne pozostają jeszcze niepęknięte
(rys. 2.3).
Rys. 2.2. Porównanie trwałości propagacyjnej próbek z laminatu i próbek litych
86
Podstawy wytrzymałości materiałów
Rys. 2.3. Krzywe rozwoju pęknięć niewskrośnych w próbkach z laminatu jednoi wielowarstwowego
W konsekwencji do czasu zainicjowania się pęknięcia w kolejnej warstwie
laminatu pęknięcie rozwija się w warunkach zmniejszania się współczynnika
intensywności naprężeń (K decreasing test) ze wzrostem długości pęknięcia.
Przyspieszenie propagacji pęknięcia następuje dopiero w wyniku inicjacji
pęknięć w kolejnych warstwach laminatu – punkt przegięcia PP krzywej a-N.
W przypadku pęknięć wskrośnych (through crack) propagacja pęknięć
odbywa się równocześnie we wszystkich warstwach laminatu (simultaneously
growth).
2.6. Wykres doboru materiałów
Wykres przedstawiający wybraną właściwość materiałów (material property)
w zestawieniu z inną, rodzaj mapy, na której jest zobrazowane w jakich obszarach
mieszczą się właściwości różnych grup materiałów, jak i poszczególnych materiałów.
W oparciu o takie wykresy łatwo można przeprowadzać dla różnych materiałów
porównanie kombinacji poszukiwanych właściwości z przewidywanymi – w ramach
procedur doboru materiałów i metod wytwarzania elementów i urządzeń.
Ponieważ działanie i funkcjonalność jakiejkolwiek części lub urządzenia
rzadko zależą tylko od jednej właściwości materiału, właściwości materiałów
87
Sylwester Kłysz
limitują rodzaj i zakres ich stosowania. Na ogół jest to kombinacja istotnych
w danym przypadku właściwości – w projektowaniu lekkich konstrukcji istotny
jest np. stosunek wytrzymałości do gęstości lub sztywności do gęstości
(strength/weight ratio) lub odporności na pękanie do gęstości (rys. 2.4).
Rys. 2.4. Wykres doboru materiałów: Odporność na pękanie – Gęstość
Każda właściwość materiału inżynierskiego ma charakterystyczny zakres
wartości – w przypadku właściwości takich jak moduły sprężystości, wytrzymałość, przewodność cieplna, jest on dość szeroki i w przybliżeniu obejmuje
zwykle pięć rzędów wielkości. Zakres wartości na osiach wykresu doboru
materiałów (materials selection diagram) jest tak dobierany, aby objąć wszystkie
materiały, od najlżejszych, najdelikatniejszych pianek do najwytrzymalszych
i najcięższych metali.
Dane dla określonego rodzaju materiałów (np. polimerów) skupiają się
w pewnym obszarze wykresu i są obwiedzione liniami zamkniętymi. Stosunek
o ustalonej wartości obu własności występujących na wykresie może być
88
Podstawy wytrzymałości materiałów
przedstawiony w postaci linii prostej o odpowiednim nachyleniu – przy jednakowej podziałce na obu osiach nachylenie wynosi 45o. Dzięki temu linie te łączą
ze sobą materiały o jednakowej wartości określonej w ten sposób charakterystyki.
Przykładowo na wykresie doboru materiałów: moduł Younga E – gęstość ρ, linie
odpowiadają stałej prędkości dźwięku w materiale, gdyż prędkość podłużnej fali
akustycznej (accoustic wave) w tym przypadku określa równanie:
E
v =  
ρ
1/ 2
(2.1)
które po zlogarytmowaniu prowadzi do równania linii prostej, wobec tego można
na wykresie wykreślić rodzinę równoległych linii ukośnych, łączących materiały,
w których fale podłużne rozchodzą się z jednakową prędkością.
Właściwości materiałów inżynierskich uwzględniane w procesie projektowania i doboru materiałów można podzielić na następujące grupy:
 ogólne – cena (względna), ciężar, gęstość, wygląd;
 mechaniczne – moduły sprężystości, naprężenie (granica plastyczności,
wytrzymałość), ciągliwość/wiązkość, odporność na kruche pękanie, współczynnik tłumienia drgań, współczynnik zmęczenia;
 cieplne – przewodność cieplna, współczynnik wyrównania temperatury,
ciepło właściwe, temperatura topnienia, temperatura zeszklenia, współczynnik rozszerzalności cieplnej liniowej, odporność na szoki cieplne,
odporność na pełzanie;
 cierne – stała Archarda;
 korozyjne/utleniające – szybkość korozji, stała parabolicznej szybkości
utleniania.
Zakres wartości danej właściwości dla materiału może być wąski, np. moduł
Younga miedzi tylko o kilka procent różni się od wartości średniej, w zależności
od czystości, tekstury i innych podobnych cech tego metalu, zdarza się, że jest
szeroki, np. wytrzymałość korundu może zmieniać się nawet ponad 100-krotnie
pod wpływem zmian porowatości, wielkości ziarna itp. Obróbka cieplna i odkształcenie plastyczne mają zasadniczy wpływ na wartość granicy plastyczności,
zdolność tłumienia drgań i odporność na pękanie metali, natomiast stopień
krystaliczności i usieciowania – na moduł sprężystości polimerów. Właściwości
silnie zależne od struktury pojawiają się na wykresach w formie wydłużonych
pęcherzyków – znaczne ich pionowe wydłużenie odpowiadające pojedynczym
materiałom ukazuje wpływ np. dodatków stopowych, umocnienia odkształceniowego, wielkości ziarna, porowatości itp. na wytrzymałość.
89
Sylwester Kłysz
Dużą rozpiętość wartości niektórych własności można wytłumaczyć oporem
sieci krystalicznej (crystal lattice resistance), tzw. naprężeniami Peierlsa, utrudniającym odkształcenie przez plastyczne ścinanie. W kryształach plastyczne
ścinanie jest związane z ruchem dyslokacji (dislocation motion). Metale są miękkie,
ponieważ wiązanie metaliczne w małym stopniu zwiększa opór stawiany ruchowi
dyslokacji. Duża twardość ceramiki wynika z bardziej zlokalizowanego charakteru
wiązań kowalencyjnych i jonowych, które unieruchamiają dyslokacje. W odniesieniu do ciał stałych, niemających struktury krystalicznej, możemy natomiast
mówić o energii jednostkowego (elementarnego) odkształcenia plastycznego (strain
energy of plasticity) – względnego poślizgu dwóch segmentów łańcucha polimeru
lub poślizgu skupisk (klastrów) jonów w strukturze szkieł.
Zróżnicowanie wytrzymałości tych materiałów wynika z podobnych przyczyn jak w przypadku oporu sieci krystalicznej; jeśli elementarny etap odkształcenia plastycznego wymaga zerwania mocnych wiązań (jak np. w nieorganicznych szkłach), materiał będzie wytrzymały, jeśli natomiast dotyczy to
zniszczenia słabych wiązań (jak np. wiązania Van der Waalsa w polimerach),
wytrzymałość makroskopowa takiego materiału będzie mała. Materiały ulegające
zniszczeniu na skutek pękania zachowują się w ten sposób, gdy opór sieci
krystalicznej lub jego odpowiednik w strukturach amorficznych jest tak znaczny,
że pękanie materiałów następuje wcześniej niż możliwe jest ich płynięcie. Gdy
opór stawiany ruchowi dyslokacji przez sieć krystaliczną jest niewielki, materiał
może być umocniony przez wprowadzenie dodatkowych przeszkód – w metalach
będą to atomy pierwiastków stopowych (alloying element), cząstki drugiej fazy
(metallic phase), granice ziaren (grain boundary) lub nawet dodatkowe dyslokacje (umocnienie odkształceniowe) (strain hardening). W przypadku polimerów
umocnienie uzyskuje się przez wytwarzanie wiązań poprzecznych (sieciowanie)
(crosslinking) lub zorientowanie łańcuchów w procesie wyciągania wysokowytrzymałych włókien z polimerów liniowych (stretching). Jednak dalsze umocnienie materiału charakteryzującego się dużym oporem sieci krystalicznej jest
zbyteczne i problemem staje się zmniejszenie skłonności materiału do kruchego
pękania (brittle cracking).
Ważnym zastosowaniem wykresu doboru materiału jest użycie go do doboru
materiałów na lekkie konstrukcje o ograniczonym odkształceniu plastycznym.
Zaznaczone linie przewodnie (leading line) umożliwiają wytypowanie materiałów
na lekkie pręty, kolumny, belki i płyty oraz na ruchome części, w których ważną
rolę odgrywają siły bezwładności.
90
Podstawy wytrzymałości materiałów
2.7. Materiały lotnicze
Materiały o szczególnych własnościach, głównie wysokowytrzymałe (ultra
high strength material), które są w stanie przenosić przewidywane w eksploatacji
samolotów obciążenie (expected service load) – charakteryzują się wysokim
stosunkiem wytrzymałości do wagi (strength/weight ratio) i wytrzymałości do
objętości (strength/volume ratio) w krytycznych obszarach konstrukcji (critical
structural area).
Ze względu na złożoną konstrukcję samolotów i specyfikę widm obciążeń
eksploatacyjnych, zastosowanie materiałów na elementy krytyczne (critical
component) wymaga znacznego wysiłku badawczego do określenia ich własności
zmęczeniowych, aby zapewnić bezpieczne i ekonomiczne użytkowanie samolotów aż do wycofania z eksploatacji. We współczesnych konstrukcjach lotniczych są to przede wszystkim:
 Stopy aluminium 2014-T6, 2024-T62, 2024-T851, 2124-T851, 7075-T6,
7075-T651, 7079-T651; obróbka termiczna T6 (peak-aged temper) jest
stosowana w stosunku do stopów 7xxx ze względu na to, że gorzej poddają się
one obróbce T8 (artificially-aged temper), która jest stosowana głównie do
stopów 2xxx i wymaga obróbki plastycznej na zimno (cold working) między
hartowaniem (quenching) i starzeniem (ageing), zwiększając przez to wytrzymałość poprzez wzrost gęstości dyslokacji (dislocation density) i przyczyniając się do wytrącania większej liczby, równomiernie rozłożonych
cząstek wtórnych (secondary particles precipitation) w strukturze materiału.
Praktyczny kompromis w tym przypadku ma zastosowanie – ze względu na
niższą odporność na pękanie (fracture toughness) i wytrzymałość zmęczeniową (fatigue resistance) obróbek T8 ze sztucznym starzeniem (artificiallyaged), częstym rozwiązaniem w przypadku stopów 2xxx są naturalnie starzone
(naturally-aged), nisko wytrzymałościowe (lower-strength) obróbki T3 i T4.
Stop 2024-T851 wyżarzony odprężająco i sztucznie starzony (stress relieved
and artificially aged) posiada podwyższone własności odporności na korozję
naprężeniową (stress corrosion) i zmęczenie korozyjne (corrosion fatigue),
jednak poddany sztucznemu starzeniu staje się wrażliwy na uszkodzenia
korozyjne (susceptible to corrosion damage) i podatny na inicjowanie
(vulnerable to fatigue originating) tego typu uszkodzeń; ma niższą
wytrzymałość w temperaturze pokojowej ale wyższą w wyższych temperaturach eksploatacyjnych niż stopy serii 7xxx. Stop 7079-T651 unikany
w najnowszych konstrukcjach lotniczych, nie jest dalej wytwarzany; stosowany na elementy niepoddawane podwyższonym temperaturom eksploatacyjnym, np. elementy kadłuba czy podwozie samolotu; wykazuje najmniejszą
odporność na korozję wśród stopów aluminium stosowanych w konstrukcjach
91
Sylwester Kłysz
lotniczych. Najbardziej przydatne dla przemysłu lotniczego stopy aluminium
pochodzą z grupy 2000 i 7000. Główne składniki stopowe (major alloying
element) dla stopów aluminium i ich wpływ na własności aluminium przedstawia tabela 2.1.
Tabela 2.1. Główne składniki stopowe i ich wpływ na własności stopów aluminium
Grupa stopu
aluminium
(alloy type)
Pierwiastek
Wpływ
1000
Aluminium
99% min.
Dobra odporność na korozję (corrosion resistance),
wysoka przewodność termiczna i elektryczna
(thermal conductivity, electrical conductivity), niskie
własności mechaniczne (mechanical property)
Miedź
Wysokie własności mechaniczne (mechanical
property), zwiększona granica plastyczności (yield
strength), dobrze rozpoznany i szeroko stosowany
w lotnictwie
Mangan
Dobra obrabialność (workability, machinability)
i spawalność (weldability), wysoka odporność na
korozję (corrosion resistance), średnia wytrzymałość
4000
Krzem
Niska temperatura topnienia (melting point), dobra
spawalność (weldability), dobra odporność na korozję (corrosion resistance), szczególnie w okrętownictwie
6000
Magnez/Krzem
Dobra tłoczność (formability) i odporność na korozję (corrosion resistance), średnia wytrzymałość
7000
Cynk
Najwyższa wytrzymałość, stosowany na silnie obciążone elementy, wręgi, podłużnice konstrukcji lotniczych
2000
3000
Elementy konstrukcji wykonane z aluminium i jego stopów są szeroko
stosowane w lotnictwie i innych środkach transportu. Materiały te są obecnie
jednymi z praktyczniejszych metali ze względu na swoje własności – w szczególności są łatwe do wytworzenia, nie są toksyczne, stosunkowo wytrzymałe,
odporne na korozję przemysłową i morską. W kolejnych tabelach przedstawiono
oznaczenia i własności wybranych stopów aluminium.
92
Podstawy wytrzymałości materiałów
Tabela 2.2. Gatunki aluminium i stopów aluminium do przeróbki plastycznej
Oznaczenie poprzednie
PN-79/H-82160
PN-79/H-88026
AR1
A00
A0
A0E
A1
A1E
A2
PA33
PA6
PA24
PA30
PA7
PA23
PA1
PA5
PA16
PA43
PA20
PA2
PA11
PA13
PA38
PA45
PA4
PA47
PA9
Oznaczenie aktualne
PN-EN 573-3:1998
PN-EN 573-4:1997
Oznaczenie
Oznaczenie symbolami
numeryczne
chemicznymi
(cecha)
(znak)
Aluminium
EN AB-1199
EN AB-Al 99,99
EN AW-1080A
EN AW-Al 99,8(A)
EN AW-1070A
EN AW-Al 99,7
EN AW-1370
EN AW-EAl 99,7
EN AW 1050A
EN AW-Al 99,5
EN AW-1350
EN AW-EAl 99,5
EN AW-1200
EN AW-Al 99,0
Stopy aluminiowo-miedziowe
EN AW-2014
EN AW-AlCu4SiMg
EN AW-2017A
EN AW-AlCu4MgSi(A)
EN AW-2117
EN AW-AlCu2,5Mg
EN AW-2618A
EN AW-AlCu2Mg1,5Ni
EN AW-2024
EN AW-AlCu4Mg1
EN AW-2124
EN AW-AlCu4Mg1(A)
Stopy aluminiowo-manganowe
EN AW-3103
EN AW-AlMn1
EN AW-3004
EN AW-AlMn1Mg1
EN AW -3105
EN AW-AlMn0,5Mg0,5
Stopy aluminiowo-magnezowe
EN AW-5005A
EN AW-AlMg1(C)
EN AW-5019
EN AW-AlMg5
EN AW-5251
EN AW-AlMg2
EN AW-5754
EN AW-AlMg3
EN AW-5083
EN AW-AlMg4,5Mn0,7
Stopy aluminiowo-magnezowo-krzemowe
EN AW-6060
EN AW-AlMgSi
EN AW-6061
EN AW-AlMg1SiCu
EN AW-6082
EN AW-AlSi1MgMn
Stopy aluminiowo-cynkowe
EN AW-7020
EN AW-AlZn4,5Mg1
EN AW-7075
EN AW-AlZn5,5MgCu
93
Sylwester Kłysz
Tabela 2.3. Porównanie oznaczeń wybranych stopów aluminium w różnych krajach
Kraj
Ozn. norm
Austria
OENORM
Belgia
NBN
Chiny
GB/T
Francja
AFNOR
Hiszpania UNE
Holandia NEN
Indie
IS
Japonia
JIS
Niemcy
DIN
WGL
WL
2024
AlCuMg2
AlCu4Mg1
2024 / 2A12
A-U4G1
L-3140
Al-Cu4Mg1
AlCu4,5Si0,9Mn0,8Mg
3.1255
PA33
AlCu4SiMn
Polska
PN
RPA
SA, SABS
Rosja
GOST
Szwajcaria SNV
Turcja
TS
AA
USA
ASTM
2014
AlCuSiMn
AlCu4MgSi
2014
A-U4SG
L-3130
Al-Cu4SiMg
24345
2014
3.1254
20141
Al-Cu4SiMg
1380
AK8
AlCu4SiMn
AlCuSiMn
2014
BB241
UNI
UE
EN
7075
AlZnMgCu1,5
6061
A-GSUC
L-3420
Al-Mg1SiCu
65032
6061
AlMg1SiCu
7075
A-Z5GU
L-3710
6061
7075
76528
2024
7075
AlCuMg2
3.4364
3.1354
AlZnMgCu1,5
3.1355
3.3214
3.4364, 3.4374
PA7
PA9
PA45
AlCu4Mg1A
AlZn6Mg2Cu2
AlMg1SiCu
AlCu4Mg2
AlZn5,5MgCu
20241
60610
Al-Cu4Mg1 Al-MgSiCuMn
1160
AD-33
W95
D16
AlCu4Mg1,5
AlZn6MgCu1,5
AlCuMg2
AlMg1SiCu
AlZnMgCu1,5
2024
9002/3
L97
L98
9002/4
9006/2
9007/2
P-AlCu4,4SiMnMg
P-AlCu4,4MgMn
P-AlMg1SiCuCr
P-AlZn5,8MgCuCr
W. Brytania BS
Włochy
6061
H15
H20
AW-AlCu4SiMg AW-AlCu4Mg1 AW-AlMg1SiCu AW-AlZn5,5MgCu
Tabela 2.4. Fizyczno-mechaniczne własności wybranych stopów aluminium
Gęstość (Density)
[g/cm3] / [lb/in3]
Twardość
(Hardness) Brinell
Twardość
(Hardness) Knoop
Twardość
(Hardness)
Rockwell A
Twardość
(Hardness)
Rockwell B
2014-T6
2014-T651
2024-T4
2024-T351
2124-T851
6061-T6
6061-T651
7075-T6
7075-T651
2,8 / 0,101
2,78 / 0,1
2,78 / 0,1
2,7 / 0,0975
2,81 / 0,102
135
120
128
95
150
170
150
161
120
191
50,5
46,8
48,9
40,0
53,5
82
75
79
60
87
94
Podstawy wytrzymałości materiałów
cd. tabeli 2.4
Twardość
155
137
(Hardness) Vickers
Granica wytrzymałości
(Ultimate Tensile
483 / 70000 469 / 68000
Strength)
[MPa]/[psi]
Granica plastyczności
(Tensile Yield Strength) 414 / 60000 324 / 47000
[MPa] / [psi]
Wydłużenie
(Elongation)
13
19-20
[%]
Moduł Younga
(Young Modulus)
72,4 / 10500 73,1 / 10600
[GPa] / [ksi]
Współczynnik
Poissona
0,33
0,33
(Poisson Ratio)
Granica zmęczeniowa
(Fatigue Strength)
124 / 18000 138 / 20000
[MPa] / [psi]
Odporność na pękanie
26 / 23,7 (S-L)
(Fracture Toughness)
19 / 17,3 32 / 29,1 (T-L)
[MPa√m] / [ksi√in]
37 / 33,7 (L-T)
Obrabialność
(Machinability)
70
70
[%]
Moduł Kirchoffa
(Shear Modulus)
28 / 4060
28 / 4060
[GPa] / [ksi]
Wytrzymałość na
ścinanie
290 / 42000 283 / 41000
(Shear Strength)
[MPa] / [psi]
Ciepło właściwe
(Specific Heat
0,88 / 0,21 0,875 / 0,209
Capacity)
[J/g°C] / [BTU/lb°F]
Przewodność cieplna
(Thermal Conductivity) 154 / 1070
121 / 840
[W/mK]/ [BTUin/hrft°F]
Temperatura topnienia
507-638 /
502-638 /
(Melting Point)
945-1180
935-1180
[°C] / [°F]
Solidus
507 / 945
502 / 935
[°C] / [°F]
Liquidus
638 / 1180
638 / 1180
[°C] / [°F]
95
146
107
175
483 / 70000
310 / 45000
572 / 83000
441 / 64000
276 / 40000
503 / 73000
8
12-17
11
73,1 / 10600
68,9 / 1000
71,7 / 10400
0,33
0,33
0,33
125 / 18100
96,5 / 1400
159 / 23000
26 / 23,7 (S-L)
26 / 23,7 (T-L)
32 / 29,1 (L-T)
29 / 26,4
20 / 18,2 (S-L)
25 / 22,8 (T-L)
29 / 26,4 (L-T)
70
50
70
27 / 3920
26 / 3770
26,9 / 3900
295 / 42800
207 / 30000
331 / 48000
0,882 / 0,211 0,896 / 0,214 0,96 / 0,229
151 / 1050
167 / 1160
130 / 900
502-638 /
935-1180
582-652 /
1080-1205
477-635 /
890-1175
502 / 935
582 / 1080
477 / 890
638 / 1180
652 / 1205
635 / 1175
Sylwester Kłysz
cd. tabeli 2.4
Temperatura
odprężania (Annealing
Point)
[°C] / [°F]
Temperatura
przesycania (Solution
Point)
[°C] / [°F]
Temperatura starzenia
(Aging Temperature)
[°C] / [°F]
413 / 775
413 / 775
413 / 775
413 / 775
413 / 775
502 / 935
256 / 493
493 / 920
529 / 985
466-482 /
870-900
160 / 320
160 / 320
191 / 375
160 / 320
121 / 250
 D6AC, stal średnio węglowa niskostopowa (medium-carbon low alloy steel);
główny problem stanowi rozwój pęknięć zmęczeniowych (fatigue crack growth)
od wżerów korozyjnych (corrosion pit), gdyż pitting jest najgroźniejszą formą
korodowania tej stali; badania wykazują rozbieżności między modelami materiału
a laboratoryjnym zachowaniem się tej stali w warunkach progowego rozwoju
pęknięć i opisu współczynnika intensywności naprężeń (stress intensity factor) dla
małych pęknięć (small crack); charakteryzuje się stosunkowo dobrą spawalnością
(weldability), zwiększoną odpornością na pękanie (fracture toughness) i udarnością (impact resistance) w temperaturze ujemnej, w porównaniu do innych stali
wysokowytrzymałych; wykazuje duże zmienności odporności na pękanie, co jest
jednym z istotniejszych czynników wpływających na trwałość zmęczeniową tego
materiału, szczególnie w zakresie powyżej stabilnego wzrostu pęknięć (steady
state crack propagation rate, stage II); ma dobrą zdolność hartowania na wskroś
(through-harden) dla relatywnie grubych elementów i minimalizacji zniekształceń
podczas obróbki termicznej (heat treatment); wykazuje nieznaczny wpływ metody kształtowania materiału na elementy konstrukcji, np. kucie/walcowanie
(forming/rolling), jak również wpływ temperatury w zakresie do 80°C na prędkość rozwoju pęknięć zmęczeniowych; nie wykazuje różnic przebiegu korozji
zmęczeniowej (corrosion fatigue) w warunkach laboratoryjnych i w środowisku
paliwa lotniczego – dla niektórych rodzajów paliwa stwierdzono, że nasycenie
paliwa wodą (water saturation) nie ma istotnego wpływu na przebieg rozwoju
pęknięć; progowa wartość współczynnika intensywności naprężeń (threshold
stress intensity factor) silnie zależy od środowiska i asymetrii cyklu obciążeń
(stress ratio) – przyjmując wartości od 2 do 8 MPa.m0,5.
 Ti–6Al–4V, stop tytanu (także oznaczany jako Ti6Al4V, Ti 6-4 oraz grade 5),
mikrostruktura ma istotny wpływ na wytrzymałość zmęczeniową tego stopu;
mikrostruktura jest kształtowana fazą stałą stopu w czasie obróbki plastycznej
(forging) lub tłoczenia (extruding). Obróbka powyżej temperatury przejścia
(transus temperature) faz α+β i β prowadzi do powstania struktury Wid96
Podstawy wytrzymałości materiałów
manstättena (Widmanstätten microstructure) o gruboziarnistej mikrostrukturze
(coarse microstructure). Najczęściej stosowana obróbka plastyczna prowadzona
jest poniżej temperatury przejścia faz, gdy struktura fazy α+β nadaje się do
rozdrobnienia (refinement) w wyniku późniejszej obróbki termicznej (heat
treatment). Jako stop odlewniczy (cast alloy) posiada strukturę o dużych ziarnach
i wykazuje słabą wytrzymałość. Obróbka plastyczna i termiczna prowadząca do
struktury o dobrych własnościach wytrzymałościowych jest skuteczna dla
elementów o małych rozmiarach i blach. Plastyczność (ductility) stopu wzrasta
wraz ze wzrostem temperatury wyżarzania (annealing temperature) i osiąga
maksimum przy ok. 900°C, jednak w tej temperaturze stop staje się podatny na
utlenianie (oxidation), dlatego zazwyczaj wyżarzanie przeprowadza się w temperaturze ok. 700oC. Wytrzymałość stopu podnosi się znacznie przez przesycanie
(solution treatment) w ok. 950°C, hartowanie (quenching) w wodzie i starzenie
(ageing).
Tabela 2.5. Fizyczno-mechaniczne własności wybranych materiałów
AISI 4340
Gęstość (Density)
[g/cm3] / [lb/in3]
AISI 4130
7,85 / 0,284 7,85 / 0,284
D6AC
Ti6Al4V
7,78 / 0,281
4,43 / 0,16
Twardość (Hardness)
Brinell
217
197
422
334
Twardość (Hardness)
Knoop
240
219
463
363
Twardość (Hardness)
Rockwell B
95
92
115
111
Twardość (Hardness)
Rockwell C
17
13
45
36
Twardość (Hardness)
Vickers
228
207
442
349
Granica wytrzymałości
(Ultimate Tensile Strength)
[MPa]/[psi]
745 / 108000 670 / 97200 1483 / 215000 950 / 138000
Granica plastyczności
(Tensile Yield Strength)
[MPa] / [psi]
470 / 68200 435 / 63100 1379 / 200000 880 / 128000
Wydłużenie (Elongation)
[%]
22
25,5
97
12
14
Sylwester Kłysz
cd. tabeli 2.5
Przewężenie (Reduction
of Area) [%]
50
60
40
36
205 / 29700
205 / 29700
220 / 32000
113,8 / 16500
Współczynnik Poissona
(Poisson Ratio)
0,29
0,29
0,33
0,342
Moduł Kirchoffa (Shear
Modulus) [GPa] / [ksi]
80 / 11600
80 / 11600
86 / 12500
44 / 6380
Moduł Younga
(Modulus of Elasticity,
Young Modulus
[GPa] / [ksi]
Ciepło właściwe
(Specific Heat Capacity)
[J/g°C] / [BTU/lb°F]
Przewodność cieplna
(Thermal Conductivity)
[W/mK]/ [BTUin/hrft°F]
0,475 / 0,114 0,477 / 0,114 0,485 / 0,116 0,5263 / 0,126
44,5 / 309
42,7 / 296
30 / 208
6,7 / 46,5
Stale i stopy aluminium ulegają niszczeniu przez pitting, który prowadzi do
pękania w warunkach korozji naprężeniowej (stress corrosion cracking) zanim mechanizm niszczenia nie przejdzie w pękanie zmęczeniowe (fatigue cracking) lub
zmęczenie korozyjne (corrosion fatigue). Nieprzewidywalny charakter pękania w warunkach korozji naprężeniowej stwarza w związku z tym potencjalne zagrożenie dla
konstrukcji.
W wielu wysokowytrzymałych stopach aluminium (a także w stali D6AC)
pękanie w warunkach korozji naprężeniowej (stress corrosion cracking) zachodzi
zazwyczaj międzykrystalicznie (intergranular), podczas gdy w warunkach zmęczenia
korozyjnego (fatigue corrosion) śródkrystalicznie (transgranular), jednak w warunkach niskoczęstotliwościowego obciążenia te ostatnie propagują wzdłuż uprzywilejowanie zorientowanych granic ziaren (favorable oriented grain boundary), zarówno międzykrystalicznie, jak i w sposób mieszany między- i śródkrystalicznie.
System znakowania stopów aluminium według Aluminum Alloy jest
następujący:
 pierwsza cyfra – identyfikuje typ stopu aluminium (alloy type);
 druga cyfra – identyfikuje przeróbkę stopu (alloy modification); dawniej
stosowano litery;
 trzecia i czwarta cyfra – identyfikuje czystość aluminium (aluminum
purity) danego stopu.
98
Podstawy wytrzymałości materiałów
System znakowania materiału w odniesieniu do stanu materiału i zastosowanej obróbki cieplnej jest następujący:
– Stan materiału (H-Temper)
 H1 – umocniony (strain-hardened);
 H2 – umocniony i częściowo ulepszony (strain-hardened and partially
annealed);
 H3 – umocniony i stabilizowany w niskotemperaturowej obróbce (strainhardened and stabilized by low-temperature thermal treatment).
Cyfry po H1, H2 lub H3 identyfikują:
 2 – ¼ twardości;
 4 – ½ twardości;
 6 – ¾ twardości;
 8 – pełna twardość;
 9 – extra twardość.
– Obróbka cieplna (T-Temper)
 T1 – chłodzenie z podwyższonej temperatury podczas wytwarzania +
naturalne starzenie do stanu trwałej stabilności (cooled from an elevated temperature shaping process and naturally aged to a substantially
stable condition);
 T2 – wyżarzanie (annealing), tylko dla produktów odlewanych (cast
product);
 T3 – przesycenie + zgniot na zimno (solution heat-treated and then
cold worked);
 T4 – przesycenie + naturalne starzenie do stanu trwałej stabilności
(solution heat-treated and naturally aged to a substantially stable
condition);
 T5 – chłodzenie z podwyższonej temperatury podczas wytwarzania +
sztuczne starzenie (cooled from an elevated temperature shaping process and then artificially aged);
 T6 – przesycenie + starzenie sztuczne (solution heat-treated and then
artificially aged);
 T7 – przesycenie + wyżarzanie stabilizujące (solution heat-treated and
then stabilized);
 T8 – przesycenie + zgniot na zimno + starzenie sztuczne (solution
heat-treated, cold worked, and then artificially aged);
99
Sylwester Kłysz
 T9 – przesycenie + starzenie sztuczne + zgniot na zimno (solution
heat-treated, artificially aged, and then cold worked);
 T10 – chłodzenie z podwyższonej temperatury podczas wytwarzania +
starzenie sztuczne + zgniot na zimno (cooled from an elevated temperature shaping process, artificially aged, and then cold worked).
Dodatkowe cyfry oznaczają:
 Tx51 – odprężanie przez rozciąganie (stress relieved by stretching);
 Tx510 – stan bez dodatkowych prostowań po odprężaniu (receives no
further straightening after stretching);
 Tx511 – stan po dodatkowych niewielkich prostowaniach po odprężaniu do spełnienia wymagań normy (receives minor straightening after
stretching to comply with standard tolerance);
 Tx52 – odprężanie przez ściskanie (relieved by compressing);
 Tx54 – odprężanie przez złożone rozciąganie i ściskanie (stress
relieved by combined stretching and compressing).
Przykładowo wobec tego:
 T351 oznacza materiał po obróbce przesyceniem + zgniotem na zimno
+ odprężeniem (rozciąganie odprężające, 1÷3% odkształcenia trwałego);
 T651 oznacza materiał po obróbce przesyceniem + starzeniem
sztucznym + odprężeniem;
 T851 oznacza materiał po obróbce przesyceniem + zgniotem na zimno
+ starzeniem sztucznym + odprężeniem.
100
Podstawy wytrzymałości materiałów
Załączniki
Wykaz skrótów
AA
AFNOR
AISI
AMS
ANOVA
ANSI
AS
ASA
ASME
ASTM
ATD
BS
BSI
BUS
BYS
CA
CAL
CCC
CFC
CFRP
CFR
CIC
CL or L
CMC
CNT
CP
CPCP
CRES
CSS
CTE
CYS
DEF STAN
DIN
DMTC
DS
DSC
– Aluminum Alloy
– Association Francaise de NORmalisation standard
– American Iron and Steel Institute
– Aerospace Materials Specification
– ANalysis Of VAriance
– American National Standards Institute
– Aerospace Standard
– American Standards Association
– American Society of Mechanical Engineers
– American Society for Testing and Materials
– Anthropomorphic Test Dummy
– British Standards standard
– British Standards Institution
– Bearing Ultimate Strength
– Bearing Yield Strength
– Constant Amplitude
– Composites Atlantic Limited
– Carbon/Carbon Composites
– Carbon Fiber Composite
– Carbon Fiber Reinforced Polymer
– Code of Federal Regulations
– Corrosion Inhibiting Compound
– Center Line
– Ceramic Matrix Composites
– Carbon NanoTube
– Commercial Purity material
– Corrosion Prevention and Control Plan
– Corrosion REsistant Steel (stainless steel)
– Cruciform Static Specimen
– Coefficient of Thermal Expansion
– Compressive Yield Strength
– DEFense STANdard
– Deutsches Institut für Normung standard
– Defence Materials Technology Centre
– Detail Specification
– Differential Scanning Calorimeter
101
Sylwester Kłysz
EDM
– Electrical Discharge Machining
EDS
– Energy Dispersive X-ray Spectroscopy
EMD
– Engineer and Manufacturing Development
FBG
– Fiber Bragg Grating sensor
FEA
– Finite Element Analysis
FFT
– Fast Fourier Transform
FML
– Fiber Metal Laminates
FOS
– Fiber Optic Sensor
FRP
– Fiber Reinforced Polymer
GFRP – Glass Fiber Reinforced Polymer
GLARE – GLAss-fiber REinforced aluminum alloy laminate
HE
– Hydrogen Embrittlement
IM
– Intermediate-Modulus
ISO
– International Standards Organization
IT
– Isothermal Transformation diagram
JIS
– Japanese Industrial Standards Committee standard
KtDLS – stress concentration Design Limit Stress
LA
– Laboratory Air condition
LD
– Literature Data
LF
– Low Frequency
LMC
– Least Material Condition
LME
– Liquid Metal Embrittlement
LSAP – Local Strain Analysis Procedure
MDS
– Military Defense Standards
MKS
– Metric System
MMC – Maximum Material Condition
MMC – Metal Matrix Composites
MMPDS – Metallic Materials Properties Development and Standardization
MPS
– Minimum Performance Standards
MS
– Military Standard/Specification
M(T)
– Middle Tension specimen
NAS
– National Aerospace Standard
PDF
– Probability Density Function
PMBM – Probabilistic Material Behavior Model
PMC
– Polymer Matrix Composites
RA
– Reduction of Area
R.H.
– Relative Humidity
RMS
– Root-Mean-Square
RT
– Room Temperature
RTO
– Research and Technology Organization
RTOTR – Research and Technology Organization Technical Report
SA/V
– Surface Area to Volume ratio
102
Podstawy wytrzymałości materiałów
SD
– Standard Deviation
SEE
– Standard Error of Estimate
SEM
– Scanning Electron Microscope
SGL
– Strain Gouge Location
SI
– Systeme International d’unites
SM
– Standard-Modulus
SR
– Stress Ratio
SUS
– Shear Ultimate Strength
SYS
– Shear Yield Strength
TM
– Technical Memorandum
TSO
– Technical Standard Order
TUS, UTS – Tensile Ultimate Strength
TYS
– Tensile Yield Strength
UHV
– Ultra High Vacuum
UNI
– Ente Nazionale Italiano di Unificazione standards
US
– Ultimate Strength
USCS
– United States Customary System
UV
– UltraViolet
VA
– Variable Amplitude
YS
– Yield Stress
ASSY
b/ep
CDRILL
CRS
CYL
DIA
EXT
INT
MATL
PATT NO.
R lub Ra
REQD
SH
SPEC
SQ
SURF
TOL
VOL
%CE
– assembly
– boron/epoxy composite
– counterdrill
– centres
– cylinder or cylindrical
– diameter
– external
– internal
– material
– pattern number
– radius
– required
– sheet
– specification
– square
– surface
– tolerance
– volume
– degree of cold expansion
AVG
CBORE
CHAM
CSK
c.o.v.
DRG
FIG.
LG
OL
PORM
REF
SCR
SK
SR
STD
THRU
UL
WT
103
– average
– counterbore
– chamfered
– countersink
– coefficient of variation
– drawing
– figure
– long
– overload
– plus or minus
– reference
– screwed
– sketch
– spherical radius
– standard
– through
– underload
– weight
Sylwester Kłysz
Jednostki miar
in (inch)
Długość
(length)
in
ft (foot)
yd (yard)
in2
Powierzchnia
(area)
in2
in2
ft2
in3
in3
ft3
Objętość
(volume)
gal (UK) (gallon)
gal (UK)
gal (UK)
gal (US)
lbf (pound force)
pdl (poundal)
Siła
(force)
dyn (dyne)
tonf (UK ton-force)
kgf (kilogramme-force)
25,4
0,0393701
0,0254
39,3701
0,3048
3,28084
0,9144
1,09361
645,16
1,55000 . 10–3
0,64516 . 10–3
1,55000 . 103
6,4516
0,155000
0,09290304
10,7639
16387,064
61,0237 . 10–6
0,016387064 . 10–3
61023,7
0,0283168
35,3147
4,54609
0,219969
4,54609 . 106
0,219969 . 10–6
4,54609 . 10–3
219,969
3,78541
0,264172
4,44822
0,224809
0,138255
7,23301
10 . 10–6
100 . 103
9964,02
0,100361 . 10–3
9,80665
0,101972
104
mm (millimetre)
m (metre)
m
m
mm2
m2
cm2 (centimetre)
m2
mm3
m3
m3
l (litre)
(= dm3)
mm3
m3
1
N (Newton)
N
N
N
N
Podstawy wytrzymałości materiałów
0,45359237
2,20462
14,5939
0,0685218
1016,05
0,984207 . 10–3
907,185
1,10231 . 10–3
27679,9
36,1273 . 10–6
27,6799
36,1273 . 10–3
16,0185
62,4278 . 10–3
0,292640 . 10–3
3417,17
lb (pound)
Masa
(mass)
slug (slug)
ton (UK)
( = 2240 lb)
ton (US)
( = 2240 lb)
lb/in3
Gęstość
(density)
lb/in3
lb/ft3
Masowy
moment
bezwładności
(mass moment
of inertia)
lb . in2
0,0421401
23,7304
lb . ft2
0,3048
3,28084
0,44704
2,23694
1,609344
0,621371
0,514444
1,94384
0,514773
1,94260
ft/s
mph (miles per hour)
Prędkość
(velocity)
mph
International knot
(=1852 m/h)
UK knot
Jednostki
złożone
0,112985
8,85075
2,86981 . 10–3
348,455
6,42839
0,155560
175,127
5,71015 . 10–3
6894,76
0,145038 . 10–3
6,89476 . 10–3
0,145038 . 103
6,8946
0,145038
lbf . in
lbf . in2
tonf . in2 (UK tonf)
lbf/in
lbf/in2 = psi
lbf/in2 = psi
ksi
(=103 . lbf/in2)
105
kg (kilogramme)
kg
kg
kg
kg/m3
Mg/m3
(= g/cm3)
kg/m3
kg . m2
kg . m2
m/s
m/s
km/h
m/s
m/s
N.m
N . m2
N . m2
N/m
N/m2
(= Pa (Pascal))
MN/m2
(= MPa)
MN/m2
Sylwester Kłysz
15,4443
0,064749
100
0,01
3386,39
0,295300 . 10–3
249,089
4,01463 . 10–3
133,322
7,50062 . 10–3
1098,84
0,910047 . 10–3
1,09884 . 10–3
0,910047 . 103
1,09884
0,910047
0,64516 . 10–3
1,55000 . 103
92,90304 . 10–3
10,7639
0,112985
8,85075
1,35582
0,737562
253,086
0,00395123
1055,06
0,947817 . 10–3
1,05506
0,947817
1899,11
0,526563 . 10–3
1,89911
0,526563
20441,8
48,9194 . 10–6
6230,68
0,160496 . 10–3
tonf/in2 (UK tonf)
mbar (millibar)
inHg (inch of mercury)
0oC
inH20 (inch of water)
4oC
torr
lbf/in3/2
lbf/in3/2
103 . lbf/in3/2
(= ksi . in1/2)
in2/s
ft2/s
in . lbf
ft . lbf
in . tonf (UK tonf)
Btu
Btu/s
Chu (centigrade heat
unit)
Chu/s
Chu/(ft2 . s)
Chu/(ft . s . K)
MN/m2
N/m2
N/m2
N/m2
N/m2
N/m3/2
MN/m3/2
(= MPa . m1/2)
MN/m3/2
m2/s
m2/s
J (Joule)
(= N . m)
J
J
J
kW (kilowatt)
J
kW
W/m2
W/(m . K)
Meh (mechanical
equivalent of heat)
(= N . m/J)
1400,7
0,713929 . 10–3
ft . lbf/Chu
Meh
778,169
1,285068 . 10–3
ft . lbf/Btu
106
Podstawy wytrzymałości materiałów
Przeliczanie twardości metali
Skale temperatur
Zero absolutne
(Absolute zero)
Celsius
Fahrenheit
Kelvin
Rankine
–273,15°C
–459,67°F
0K
0°R
Temperatura zamarzania wody Temperatura wrzenia wody przy
przy ciśnieniu 1 atmosfery
ciśnieniu 1 atmosfery
(Freezing point of water
at one atmosphere)
0°C
32°F
273,15K
491,67°R
(Boiling point of water
at one atmospnhere)
100°C
212°F
373,15K
671,67°R
Dla tych samych wartości temperatur w skali Celsiusa (C), Fahrenheita (F),
Kelvina (K) i Rankina (R) zachodzi:
C F − 32 K − 237,15 R − 491,67
=
=
=
5
9
5
9
107
Sylwester Kłysz
Słowa kluczowe polsko-angielskie
amplituda naprężenia
bazy danych A, B, S
blok obciążeń
cykl naprężeń/obciążeń
dewiator naprężeń
alternating stress
A-, B-, S-basis values
cycle block
stress/load cycle
stress deviator
dwuosiowy stan naprężeń
biaxial stress state
dyssypacja energii
efektywny współczynnik asymetrii
cyklu
energia odkształcenia
GFRP
GLARE
energy dissipation
16, 52
34-35, 40
17
16-18
32
15, 22-27, 33, 47, 61,
68, 85
73, 76
effective stress ratio
18
strain energy
glass fibre reinforced polymer
fibre-metal laminate
yield stress, yield strength, yield
point, plastic limit
43, 73
56, 57, 84, 85
56, 57, 85
32, 40-50, 53, 59, 62,
64, 82, 89
proportional limit, elastic limit
42-46, 65, 66, 72
42, 62-64, 89
granica zmęczeniowa
strength limit
fatigue limit, fatigue strength,
endurance limit
jednoosiowy stan naprężeń
uniaxial stress state
granica plastyczności
granica proporcjonalności, granica
sprężystości
granica wytrzymałości
kierunek długo-poprzeczny
kierunek krótko-poprzeczny
kierunek obwodowy
kierunek odniesienia
long-transverse direction
short-transverse direction
circumferential direction
reference direction
longitudinal direction, rolling
kierunek podłużny
direction
kierunek poprzeczny
transverse direction
koło Mohra
Mohr’s circle
koncentracja naprężeń/odkształceń
stress/strain concentration
konserwatyzm szacowania trwałości conservative result
kruchość na zimno
cold-brittleness
kryteria zniszczenia
failure criteria
krzywa naprężenie-odkształcenie
stress-strain curve
kulowanie
łata kompozytowa
materiał anizotropowy
materiał izotropowy
materiał kruchy
Ramberg-Osgood curve,
Ramberg-Osgood equation
shot peening
patched specimen
anisotropic material
isotropic material
brittle material
materiał plastyczny
ductile material
model opóźnień
moduł cięciwy
moduł Helmholtza
retardation model
chord modulus of elasticity
Helmholtz modulus
krzywa Ramberga-Osgooda
108
59, 83, 92
10, 15, 19-21, 46, 47,
65, 72
42, 47
42
23
23, 47, 72, 85
23, 41, 47
42
21, 24, 29, 69
19, 53, 82
49
83
61-63
11, 22, 34, 42-47, 62,
64-66, 78, 81
11, 31, 42, 44
54, 56
18, 56
22, 72
22, 31, 65
12, 59, 78, 81, 83, 90
16, 31, 59, 62, 64, 81,
94
57, 58, 85
65
65, 70, 71
Podstawy wytrzymałości materiałów
naklejane nakładki naprawcze
naprężenie dewiacyjne
Kirchhoff modulus, shear
modulus
secant modulus of elasticity
Helmholtz modulus, bulk
modulus of elasticity, modulus of
volume elasticity
rigidity modulus, modulus of
elasticity in shear, torsion
modulus
Kirchhoff modulus, modulus of
elasticity in shear, rigidity
modulus, shear modulus
tangent modulus
modulus of compression
elastic modulus, coefficient of
direct elasticity, longitudinal
modulus of elasticity, Young
modulus
bonded strap
deviation stress
naprężenie główne
principal stress
naprężenie hydrostatyczne
naprężenie komplementarne
naprężenie krytyczne
naprężenie niszczące
naprężenie normalne
naprężenie osiowe
naprężenie płynięcia
naprężenie resztkowe
naprężenie rozciągające
naprężenie rzeczywiste
naprężenie skrętne
obróbka cieplna
obróbka plastyczna na zimno
obwiednia granic plastyczności
odkształcenie
odkształcenie główne
hydrostatic stress
complementary stress
critical stress
fracture stress
normal stress
axial stress
flow stress
residual stress
tension stress
true stress
torsion stress
tangential/cut/shear/ transverse
stress
compresion stress
mean stress
remaining uncracked ligament
service load
random loading
complex load
VA load, variable amplitude
loading
heat treatment
cold working
biaxial yield-stresses envelope
strain
principal strain
odkształcenie osiowe
axial/longitudinal strain
moduł Kirchhoffa
moduł siecznej
moduł sprężystości objętościowej
moduł sprężystości poprzecznej
moduł sprężystości postaciowej
moduł styczny
moduł ściskania
moduł Younga
naprężenie styczne
naprężenie ściskające
naprężenie średnie
niepęknięta część próbki
obciążenie eksploatacyjne
obciążenie losowe
obciążenie złożone
obciążenie zmiennoamplitudowe
109
65, 68, 70
65
65, 70, 71
65
65, 68, 70
44, 65
62, 65
10, 18, 31, 42, 46, 57,
63-68, 76, 81-83, 88,
89
18, 56-58
16
11, 15, 22, 25, 30, 68,
72
16, 65, 70
14
48, 60
42, 60
13, 14, 19, 21, 24, 29
49, 72
49
13, 18, 50, 56-57
14, 18
12, 44
13, 65
13, 14, 19, 21, 24, 29,
65, 68
14, 18, 62
16, 18, 49, 52
49, 85
17, 64
16
15, 16, 25, 72
17
34, 56, 81, 94, 99
41, 56, 81, 83, 94
47, 48
9, 42-47, 64, 79, 81, 82
11, 30, 72
10, 11, 16, 30, 42, 65,
72
Sylwester Kłysz
odkształcenie rzeczywiste
odporność materiału na pękanie
opóźnienie rozwoju pęknięcia
osiowy stan obciążeń
otwór
pełzanie
pęknięcie eliptyczne
pęknięcie narożne
pęknięcie powierzchniowe
transverse strain, lateral strain,
shear strain
true strain
fracture toughness
crack growth retardation
uniaxial loading condition
hole
creep
elliptical crack
corner crack
surface crack
plastyczność
ductility
płaski stan naprężeń
plane stress
płaski stan odkształceń
połączenie klejowe
połączenie sworzniowe
prawo Hooke’a
prędkość odkształcania
prędkość propagacji pęknięcia
próba statycznego rozciągania
próbka CT
plane strain
bonded joint
lug joint, pin joint
Hooke’s law
strain rate
fatigue crack growth rate
tensile test
Compact Tension specimen
Middle-Cracked Tension
specimen
Single Edge Notch Tension
specimen
C-shaped specimen
patched specimen
geometrically simmilar
specimens
odkształcenie poprzeczne
próbka M(T)
próbka SENT
próbka typu C
próbka z kompozytowymi łatami
próbki podobne geometrycznie
p.s.n.
plane stress
p.s.o.
przewężenie
rozkład naprężeń
rozpychanie otworów
równanie Ramberga-Osgooda
sekwencja obciążeń
składowe naprężeń/odkształceń
stan czystego ścinania
stan hydrostatyczny naprężeń
plane strain
net section, nominal net section,
cross section, initial net section
reduction of area
stress distribution
cold working, hole expansion
Ramberg-Osgood equation
load sequence
stress/strain component
pure shear state
hydrostatic stress state
stan naprężeń
stress state
strefa plastyczna
sztywność
tensor naprężeń/odkształceń
trwałość zmęczeniowa
plastic zone
stiffness, rigidity
stress/strain tensor
fatigue life, fatigue endurance
przekrój netto
110
10, 11, 16, 42, 68-72
9, 44
39, 49, 83, 87-94
57-58, 85
15, 19, 49, 65
12, 48, 54
39, 79, 89
49, 85
49
49, 85
31, 62, 64, 73, 80, 81,
82, 94
15, 22-27, 33, 47, 61,
68, 85
33, 85
18, 57, 85
46
11, 31, 45, 65, 68-70
42, 64, 68, 79, 80
57-58
22, 42-44, 60-64, 73
50
50
57
50
18
46
15, 22-27, 33, 47, 61,
68, 85
33, 85
12, 19, 49, 61, 73
40-42, 64, 73, 80
51, 55-58
54
11, 31, 42
17
10-22, 25-32, 42, 48
68, 70
15, 65, 70
11, 15, 19-29, 33, 47,
52, 53, 61, 68, 70,
85
53
45, 57-59, 63, 83, 85, 87
14, 26, 31, 32
17, 56, 85-94
Podstawy wytrzymałości materiałów
triaxial stress state, multiaxial
loading
uplastycznienie materiału
material plasticity
CA load, constant amplitude load
widmo obciążeń stałoamplitudowych
spectrum
wielkość bezwymiarowa
nondimensional value
współczynnik asymetrii cyklu
stress ratio
współczynnik bezpieczeństwa
safety factor
współczynnik dwuosiowości
biaxial ratio
współczynnik koncentracji
stress concentration factor, strain
naprężeń/odkształceń
concentration factor
trzyosiowy stan naprężeń
współczynnik Poissona
współczynniki rozszerzalności
termicznej
współczynnik wytrzymałości
statycznej
wyboczenie próbki
wydłużenie
wykładnik umocnienia
statycznego/cyklicznego
wykres doboru materiałów
wykres/krzywa statycznego
rozciągania
wytrzymałość na rozciąganie
wytrzymałość na ściskanie
wytrzymałość na ścinanie
wytrzymałość zmęczeniowa
wzór Gillemota
zasada podobieństwa
związki konstytutywne
11, 15, 25, 28, 72
17, 49, 80
16, 18, 64
11, 47, 73
17, 59, 94
59
22, 47, 48, 61
10, 13, 19
Poisson ratio
10, 11, 31, 40, 66,72,
77, 92, 94
thermal expansion coefficient
18, 58, 75-77, 89
static strength coefficient
11, 44
buckling
elongation
static/cyclic hardening exponent,
strain hardening exponent
materials selection diagram
62, 77
40, 42, 64, 72
static tensile curve
22, 42-45, 64-66
tensile strength, ultimate strength
ultimate compressive strength
shear strength
fatigue strength, fatigue limit,
endurance limit
Gillemot equation
similarity principle, similitude
rule
constitutive law
34, 40-47, 59-64, 82-94
47, 62, 82
46
111
11, 44
63, 87-90
39, 56, 60, 85, 91, 94
44
46
31-33
Sylwester Kłysz
Słowa kluczowe angielsko-polskie
A-, B-, S-basis values
alternating stress
anisotropic material
axial strain
axial stress
bering load
biaxial ratio
biaxial stress state
biaxial yield-stresses envelope
bonded joint
bonded strap
brittle material
buckling
bulk modulus of elasticity
CA load
chord modulus of elasticity
circumferential direction
cold working
Compact Tension specimen
complementary stress
complex load
compresion stress
conservative result
constant amplitude load spectrum
constitutive law
crack growth retardation
creep
cross section
C-shaped specimen
cut stress
cyclic hardening exponent
deviation stress
ductile material
ductility
effective stress ratio
elastic limit
elongation
endurance limit
energy dissipation
failure criteria
bazy danych A, B, S
amplituda naprężenia
materiał anizotropowy
34-35, 40
16, 52
22, 722
10, 11, 16, 30, 42, 65,
odkształcenie osiowe
722
naprężenie osiowe
49, 72
obciążenie nośne
61
współczynnik dwuosiowości
22, 47, 48, 61
15, 22-27, 33, 47, 61,
dwuosiowy stan naprężeń
68, 85
obwiednia granic plastyczności
47
połączenie klejowe
18, 57-58, 85
naklejane nakładki naprawcze
18, 56-58
materiał kruchy
12, 59, 78, 81, 83, 90
wyboczenie próbki
62, 77
moduł sprężystości objętościowej
65
widmo obciążeń stałoamplitudowych 16, 64, 18
moduł cięciwy
65
kierunek obwodowy
23
obróbka plastyczna na zimno,
41, 54, 56, 81, 83, 94
rozpieranie plastyczne otworu
próbka CT
50
naprężenie komplementarne
14
obciążenie złożone
15, 16, 25, 72
naprężenie ściskające
14, 18, 62
konserwatyzm szacowania trwałości 49
widmo obciążeń stałoamplitudowych 16, 64, 18
związki konstytutywne
31-33
opóźnienie rozwoju pęknięcia
57-58, 85
pełzanie
39, 79, 89
przekrój poprzeczny netto
12, 19, 49, 61, 73
próbka typu C
50
13, 14, 19, 21, 24, 29,
naprężenie styczne
65, 68
wykładnik umocnienia cyklicznego 11, 44
naprężenie dewiacyjne
16
16, 31, 59, 62, 64, 81,
materiał plastyczny
94
31, 62, 64, 73, 80, 81,
plastyczność
82, 94
efektywny współczynnik asymetrii
18
cyklu
granica proporcjonalności, granica
42-46, 65, 66, 72
sprężystości
wydłużenie
40, 42, 64, 72
granica zmęczeniowa
59, 83, 92
dyssypacja energii
73, 76
kryteria zniszczenia
61-63
112
Podstawy wytrzymałości materiałów
prędkość propagacji pęknięcia
trwałość zmęczeniowa
granica zmęczeniowa
57-58
17, 56, 85-94
59, 83, 92
wytrzymałość zmęczeniowa
39, 56, 60, 85-94
GLARE
naprężenie płynięcia
naprężenie niszczące
odporność materiału na pękanie
próbki podobne geometrycznie
wzór Gillemota
GFRP
obróbka cieplna
moduł Helmholtza, moduł
sprężystości objętościowej
otwór
rozpychanie otworów
prawo Hooke’a
naprężenie hydrostatyczne
stan hydrostatyczny naprężeń
przekrój netto
materiał izotropowy
moduł Kirchhoffa, moduł
sprężystości postaciowej
56, 57, 85
49
42, 60
39, 49, 83, 87-94
46
44
56, 57, 84, 85
34, 56, 81, 94
lateral strain
odkształcenie poprzeczne
longitudinal direction
longitudinal modulus of elasticity
kierunek podłużny
moduł sprężystości wzdłużnej
longitudinal strain
odkształcenie osiowe
long-transverse direction
lug joint
material plasticity
materials selection diagram
mean stress
Middle-Cracked Tension specimen
modulus of compression
modulus of volume elasticity
Mohr’s circle
multiaxial loading
net section
nominal net section
nominal load/stress
nondimensional value
normal stress
patched specimen
plane strain
kierunek długo-poprzeczny
połączenie sworzniowe
uplastycznienie materiału
wykres doboru materiałów
naprężenie średnie
próbka M(T)
moduł ściskania
moduł sprężystości
poprzecznej/postaciowej
moduł sprężystości objętościowej
koło Mohra
trzyosiowy stan naprężeń
przekrój poprzeczny netto
nominalny przekrój poprzeczny netto
obciążenie/naprężenie nominalne
wielkość bezwymiarowa
naprężenie normalne
łata kompozytowa
płaski stan odkształceń, p.s.o.
10, 11, 16, 42, 68, 69,
72
23, 41, 47
65
10, 11, 16, 30, 42, 65,
72
42, 47
46
17, 49, 80
63, 87-90
16, 18, 49, 52
50
62, 65
plane stress
płaski stan naprężeń, p.s.n.
fatigue crack growth rate
fatigue life, fatigue endurance
fatigue limit, fatigue strength,
fatigue strength, fatigue limit,
endurance limit
fibre-metal laminate
flow stress
fracture stress
fracture toughness
geometrically simmilar specimens
Gillemot equation
glass fibre reinforced polymer
heat treatment
Helmholtz modulus
hole
hole expansion
Hooke’s law
hydrostatic stress
hydrostatic stress state
initial net section
isotropic material
Kirchhoff modulus
modulus of elasticity in shear
113
65, 70, 71
12, 48, 54
54
11, 31, 45, 65, 68-70
16, 65, 70
15, 65, 70
12, 19, 49, 61, 73
22, 31, 65
65, 68, 70
65
65
21, 24-29, 69
11, 15, 25, 28, 72
12, 19, 49, 61, 73
12, 19, 49, 61, 73
12
11, 47, 73
13, 14, 19, 21, 24, 29
18, 56
33, 85
15, 22-27, 33, 47, 61,
68, 85
Sylwester Kłysz
plastic limit
granica plastyczności
plastic zone
strefa plastyczna
Poisson ratio
współczynnik Poissona
principal strain
odkształcenie główne
principal stress
naprężenie główne
pure shear state
Ramberg-Osgood curve
Ramberg-Osgood equation
reduction of area
reference direction
remaining uncracked ligament
residual stress
retardation model
granica proporcjonalności, granica
sprężystości
stan czystego ścinania
krzywa Ramberga-Osgooda
równanie Ramberga-Osgooda
przewężenie
kierunek odniesienia
niepęknięta część próbki
naprężenie resztkowe
model opóźnień
rigidity
sztywność
proportional limit
rigidity modulus
rolling direction
safety factor
secant modulus of elasticity
service load
shear modulus
moduł sprężystości postaciowej/
poprzecznej, moduł Kirchhoffa
kierunek podłużny
współczynnik bezpieczeństwa
moduł siecznej
obciążenie eksploatacyjne
moduł sprężystości postaciowej,
moduł Kirchhoffa
32, 40-42, 45-50, 53,
59, 62, 64, 82, 89
53
10, 11, 31, 40, 66, 72,
72, 77, 92, 94
11, 30, 72
11, 15, 22, 25, 30, 68,
72
42-46, 65, 66, 72
68, 70
11, 31, 42, 44
11, 31, 42
40-42, 64, 73, 80
23, 47, 72, 85
49, 85
13, 18, 50, 56-57
57, 58, 85
45, 57-59, 63, 83, 85,
87
65, 68, 70
23, 41, 47
59
65
17, 64
65, 68, 70
shear strain
odkształcenie poprzeczne
shear strength
wytrzymałość na ścinanie
shear stress
naprężenie styczne
short-transverse direction
shot peening
similarity principle
similitude rule
Single Edge Notch Tension
specimen
kierunek krótko-poprzeczny
kulowanie
metoda/zasada podobieństwa
zasada podobieństwa
10, 11, 16, 42, 68, 69,
72
46
13, 14, 19, 21, 24, 29,
65, 68
42
54, 56
46
46
próbka SENT
57
static hardening exponent
współczynnik wytrzymałości
statycznej
wykres/krzywa statycznego
rozciągania
wykładnik umocnienia statycznego
stiffness
sztywność
strain
strain concentration
strain energy
odkształcenie
koncentracja odkształceń
energia odkształcenia
wykładnik umocnienia
statycznego/cyklicznego
static strength coefficient
static tensile curve
strain hardening exponent
114
11, 44
22, 42-45, 64-66
11, 44
45, 57-59, 63, 83, 85,
87
9, 42-47, 64, 79, 81, 82
19, 53, 82
43, 73
11, 44
Podstawy wytrzymałości materiałów
strain rate
strength limit
stress concentration factor
stress deviator
stress distribution
stress limit
stress ratio
prędkość odkształcania
granica wytrzymałości
współczynnik koncentracji naprężeń
dewiator naprężeń
rozkład naprężeń
naprężenie graniczne
współczynnik asymetrii cyklu
stress state
stan naprężeń
stress/load cycle
stress/strain component
stress concentration
stress/strain tensor
cykl naprężeń/obciążeń
składowe naprężeń/ odkształceń
koncentracja naprężeń
tensor naprężeń/odkształceń
stress-strain curve
krzywa naprężenie-odkształcenie
surface crack
tangent modulus
pęknięcie powierzchniowe
moduł styczny
tangential stress
naprężenie styczne
tensile strength
wytrzymałość na rozciąganie
tensile test
tension stress
próba statycznego rozciągania
naprężenie rozciągające
współczynniki rozszerzalności
termicznej
naprężenie skrętne
kierunek poprzeczny
thermal expansion coefficient
torsion stress
transverse direction
transverse strain
transverse stress
triaxial stress state
true strain
true stress
ultimate compressive strength
ultimate strength
uniaxial stress/load state
42, 64, 68, 79, 80
42, 62-64, 89
10, 13, 19
32
51, 55-58
60
17, 59, 94
11, 15, 19-29, 33, 47,
52, 53, 61, 68, 70,
85
16-18
10-22, 25-32, 42, 48
19, 53
14, 26, 31, 32
11, 21, 34, 42-47,
62-66, 78, 81
49, 85
44, 65
13, 14, 19, 21, 24, 29,
65, 68
34, 40-47, 59-64, 8294
22, 42-44, 60-64, 73
14, 18
18, 58, 75-77, 89
13, 65
42
10, 11, 16, 42, 68, 69,
odkształcenie poprzeczne
72
13, 14, 19, 21, 24, 29,
naprężenie styczne
65, 68
trzyosiowy stan naprężeń
11, 15, 25, 28, 72
odkształcenie rzeczywiste
9, 44
naprężenie rzeczywiste
12, 44
wytrzymałość na ściskanie
47, 62, 82
34, 40-47, 59-64, 82wytrzymałość na rozciąganie
94
10, 15, 19-21, 46, 47,
jednoosiowy stan naprężeń/ obciążeń
65, 72
VA load, variable amplitude
loading
yield stress, yield strength, yield
point
obciążenie zmiennoamplitudowe
17
granica plastyczności
Young modulus
moduł Younga
32, 40-42, 45-50, 53,
59, 62, 64, 82, 89
10, 18, 31, 42, 46, 57,
63-68, 76, 81-83,
88, 89
115
Sylwester Kłysz
Literatura
1. Ashby M.F., Jones D.R.H.: Materiały inżynierskie. WNT, Warszawa 1995.
2. ASTM A370-05 Standard Test medtods and definitions for mechanical testing of steel
products.
3. Avallone E.A., Baumeister T., Sadegh A.M.: Marks’ standard handbook for
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
mechanical engineers. 11th ed., McGraw-Hill Companies Inc., New York 2007.
Avenback B.L., Felbeck D.K., Hahn G.T., Thomas D.A.: Fracture. The MIT Press,
pp. 1-66, 1959.
Bansal R.K.: Strength of materials. Ed. Fourth, Goswami Associates, Delhi 2010.
Bhowmick A.K., Stephens H.I.: Handbook of elastomers. Marcel Dekker, New York
1988.
Budliński K.: Engineering materials. Properties and selection. Prentice Hall,
Englewood Cliff 1979.
Chaboche J.L.: A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories.
Int. J. of Plasticity, pp. 1642-1693, 2008.
Cheremisinoff N.P.: Handbook of ceramics and composites. Marcel Dekker, New
York 1990.
Chodorowski J., Ciszewski A., Radomski T.: Materiałoznawstwo lotnicze. Oficyna
Wyd. PW., Warszawa 1996.
Ciszewski B., Przetakiewicz W.: Nowoczesne materiały w technice. Bellona,
Warszawa 1993.
Demerc M.Y.: Expert system. Applications in materials processing and manufacture.
TMS Publications, Comonwealth Drive, Warrendale, Penn, USA, 1991.
Dobrzański L.A.: Metaloznawstwo i obróbka cieplna stopów i metali. Wyd. Pol.
Śląskiej, Gliwice 1995.
Dobrzański L.A.: Podstawy kształtowania struktury i własności materiałów
metalowych. Wyd. Pol. Śląskiej, Gliwice 2007.
Dobrzański L.A. i in.: Leksykon materiałoznawstwa. Wyd. Verlag Dashofer,
Warszawa 2010.
Dowling N.E.: Mechanical behavior of materials. Engineering methods for
deformation. Fracture and Fatigue. Prentice-Hall, 2006.
Dowling N.E., Prasad K. S., Narayanasamy R.: Mechanical behavior of materials:
Engineering methods for deformation, fracture, and fatigue. in: Yielding and Fracture
under Combined Stresses, 3rd edition, Ch. 7, Pearson Prentice HalL Washington
2009, pp. 241-243.
Hicks T.G. editor-in-chief, 4th ed.: Standard handbook of engineering calculations.
McGraw-Hill Companies Inc., 2004.
Huber M.: Właściwa praca odkształcenia jako miara wytężenia materiału.
Czasopismo Techniczne, Lwów 1904.
Kocańda S., Szala J.: Podstawy obliczeń zmęczeniowych. PWN, Warszawa 1991
116
Podstawy wytrzymałości materiałów
21. Kollar L.P., Springer G.S.: Mechanics of composite structures. Cambridge University
Press, pp. 480, 2003.
22. Lewis G.: Selection of engineering materials. Prentice Hall, New Jersey 1990.
23. Li J.-F., Peng Z. W., Li C. X., et al.: Mechanical properties, corrosion behaviors and
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
microstructures of 7075 aluminum alloy with various aging treatments. Trans.
Nonferrous Metals Soc. China, 18, No. 4, pp. 755-762, 2008.
Łagoda T.: Energetyczne modele oceny trwałości zmęczeniowej materiałów
konstrukcyjnych w warunkach jednoosiowych i wieloosiowych obciążeń losowych.
Studia i Monografie, Politechnika Opolska, Z.121, s.148, 2000.
Manson S.S.: Metal fatigue damage-mechanism, detection, avoidance and repair.
STP 495, pp. 5-57, 1971.
Matous K., Geubelle P.: Multiscale modeling of particle debonding in reinforced
elastomers subjected to finite deformations. Int. J. for Numerical Methods in
Engineering, Vol. 65, pp. 190-223, 2006.
McDowell D.L.: Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials. Materials
Science & Engineering R-Reports. 62(3): pp. 67-123, 2008.
Metallic materials properties development and standardization. MMPDS-04, Federal
Aviation Administration, 2008.
Ozturk F., Sisman A., Toros S. i in.: Influence of aging treatment on mechanical
properties of 6061 aluminum alloy. Mater. Design, 31, pp. 972-975, 2010.
Patnaik S., Hopkins D.: Strength of materials: A new unified theory for the 21st
century. Butterworth-Heinemann, Oxford 2003.
Pilkey W.D., Pilkey D.F.: Peterson’s stress concentration factors. 3rd revised edn.
John Wiley & Sons, 2008.
Przybyłowicz K.: Metody badawcze w metaloznawstwie. Wyd. AGH, Kraków 1991.
Roark R.J., Young W.C.: Formulas for stress and strain. Ed. 5, McGraw Hill,
London 1976.
Schijve J.: Fatigue of structures and materials. Springer Science+Business Media,
B.V., 2009.
Seweryn A.: Modelowanie rozkładów naprężeń i przemieszczeń w otoczeniu
wierzchołka karbu trójkątnego w płaskich zagadnieniach teorii sprężystości. I cz.I i II,
Rozpr. Inż., 38, s. 351-396, 1990
Seweryn A., Mróz Z.: On the criterion of damage evolution for variable multiaxial
stress state. Int. J. Solids Struct. 35, s. 1599-1616, 1998
Seymour R.B.: Reinforced plastics. Properties and applicaations. ASM Int., Metals
Park, Columbus, Ohio 1991.
De Silva L.F.M., Adams R.D.: Techniques to reduce the peel stresses in adhesive
joints with composites. Int. J., Adhes. Vol. 27, No. 3, pp. 227-235, 2007.
Stephens R.I., Fatemi A., Stephens R.R., Fuchs H.O.: Metal fatigue in engineering.
Second edition. John Wiley & Sons, New York 2001.
Suresh S., Mortensen A.: Functionally graded metals and metal-ceramic composites.
Pt. 2. Thermomechanical behavior. Int. Mater. Rev., 42, No. 3, pp. 85-116, 1997.
Tada H., Paris P.C.: The stress analysis of cracks handbook. ASME Press, New York
2001.
117
Sylwester Kłysz
42. Van Griethuysen A.J. (Ed.): New applications of materials. Sci. and Tech.
Publications Ltd, Haga 1987.
43. Vlot A.: Glare, history of the development of a new aircraft material. Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht 2001.
44. Vogelesang L.B.: Fibre metallaminates – The development of a new family of hybrid
45.
46.
47.
48.
49.
50.
materials. Plantema Memorial Lecture, Proceedings ICAF Symposium, Lucerne.
EMAS Publishing, UK 2003.
Waterman N., Ashby M.F.: Elsevier materials selector. Elsevier, Amsterdam 1991.
Weeton J.W., Peters D.M., Thomas K.L.: Engineers guide to composite materials.
ASm Inc., Columbus, Ohio 1987.
Weibull W.: A statistical theory of the strength of materials. Proc. Roy. Swed. Inst.
Eng. Res., Vol. 151, pp. 1-45, 1939.
Yu M.H.: Advances in strength theories for materials under complex state in the 20th
century. Appl. Mech. Rev., Vol. 55, pp. 169-218, 2002.
Yu M.H.: Unified strength theory and its applications. Springer, Heidelberg-Berlin
2002.
Żuchowska D.: Polimery konstrukcyjne: wprowadzenie do technologii i stosowania.
WNT, Warszawa 1995.
118
Download