Parte I: sistemi Single Input Single Output (SISO)
Alex Caon alex.caon@phd.unipd.it
June 11, 2021
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Outline
1
Studio dei sistemi dinamici
2
Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
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Studio dei sistemi dinamici
Cos'è un sistema dinamico (1/2)
Sistema: oggetto costituito da più elementi interconnessi che evolve come un tutto (Treccani).
Sistema dinamico: sistema che evolve nel tempo seguendo le leggi della dinamica (equazioni di Newton
o equazioni di Lagrange).
Quindi per quello che ci riguarda, un sistema dinamico è descritto da un'equazione del tipo:
F = m · ẍ
con x la posizione, m la massa e F la forza.
Oppure, nel caso di un corpo rotante:
T = J · θ̈
con θ la posizione angolare, J l'inerzia e T la coppia.
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Studio dei sistemi dinamici
Cos'è un sistema dinamico (2/2)
Piccolo esempio: carrello eccitato da una forza non costante.
m · ẍ(t) = F0 · sin(t)
Trovare la posizione del carrello al tempo t è abbastanza facile: basta integrare due volte l'equazione
sopra.
sin(t)
Cosa succede se la forza esterna è più complicata? magari del tipo F = F0 · √
.
3 2
t +2
Attenzione: la dinamica non è lineare, quindi non si può usare la sovrapposizione degli eetti.
Questo è quello di cui ci occuperemo in questa prima parte del corso.
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Studio dei sistemi dinamici
Studio nel dominio del tempo (1/3)
Dall'esempio del carrello si può capire che un sistema dinamico è descritto da un'equazione del tipo:
an
d n y (t)
d m u(t)
dy (t)
du(t)
+
a
y
(t)
=
b
+ b0 u(t)
+
·
·
·
+
a
+ · · · + b1
0
m
1
n
n
dt
dt
dt
dt
dove u(t) è l'input (una forza, una coppia, ecc.) e y (t) è l'output (uno spostamento, un angolo, ecc).
Se m = n il sistema è proprio, se m > n il sistema è strettamente proprio.
L'evoluzione del sistema (quindi la soluzione all'equazione dierenziale precedente) è la somma due
evoluzioni temporali: l'evoluzione libera yl (t) e l'evoluzione forzata yf (t):
y (t) = yl (t) + yf (t)
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Studio dei sistemi dinamici
Studio nel dominio del tempo (2/3)
Evoluzione libera yl (t)
E' l'evoluzione nel tempo del sistema causato solo dalle condizioni iniziali (CI) in cui esse si trova. Si
calcola risolvendo l'equazione dierenziale omogenea associata:
an
con
d n y (0)
dt n
d n y (t)
dy (t)
+ · · · + a1
+ a0 y (t) = 0
dt n
dt
· · · dydt(0) note.
Se limt→∞ yl (t) = 0, si dice che il sistema è
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asintoticamente stabile.
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Studio dei sistemi dinamici
Studio nel dominio del tempo (3/3)
Evoluzione forzata yf (t)
E' la risposta del sistema ad un input partendo da condizioni iniziali nulle.
Se |u(t)| < M ⇒ |yf (t)| < N,
stabile.
t > 0 si dice che il sistema è
BIBO (Bounded Input Bounded Output)
La risposta forzata di un sistema si ottiene calcolando:
la risposta impulsiva del sistema
modi elementari
w (t) = d0 δ0 (t) +
r µX
i −1
X
i=1 k=0
z
}|
{
t k λi t
di,k e δ−1 (t)
k!
la risposta impulsiva è combinazione lineare dei modi elementari con λi le radici dell'equazione
caratteristica del termine a primo membro.
applicando l'integrale di convouzione alla risposta impulsiva:
Z t+
yf (t) = [w ⊗ u] (t) :=
w (t − τ )u(τ )dτ
0−
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Studio dei sistemi dinamici
Trasformata di Laplace (TdL)
La Trasformata di Laplace permette di "trasportare" lo studio della dinamica del sistema nel dominio
delle frequenze.
La trasformata di Laplace di una funzione f è denita da:
Z +∞
L [f (t)] := F(s) =
e −st f (t)dt
0+
dove s è un numero complesso
s = σ + jω
L'Antitrasformata di Laplace trasforma l'equazione dalla variabile s a quella con la variabile t
Z +∞
1
f (t) = L−1 [F(s)] :=
e st F(s)ds
2π 0+
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Studio dei sistemi dinamici
Proprietà della TdL (1/2)
Nota: quella che abbiamo denito noi si chiama TdL
La TdL è lineare e gode di altre proprietà:
unilatera
perché è denita tra 0 e +∞.
trasforma la derivazione e l'integrazione in funzioni razionali (solo per condizioni iniziali nulle)
n
Z
d
1
n
L
f (t) = s F(s), L
f (t)dt = F(s)
n
dt
s
permette di calcolare i valori iniziali e nali della TF
lim f (t) = lim sF(s),
s→0
t→+∞
lim f (t) = lim sF(s)
t→0+
s→∞
il prodotto di convoluzione diventa:
L [[f ⊗ g ] (t)] = F(s) · G(s)
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Proprietà della TdL (2/2)
Per esempio, un'equazione nel dominio del tempo come:
3
d 3y
d 2x
dx
+
5
=
7
−
4
+4
dt 2
dt
dt 3
diventa, nel dominio delle frequenze:
3s 2 X (s) − 4sX (s) + 5 = 7s 3 Y (s) + 4
Nota: le trasformate di segnali come sin(•), cos(•), exp(•) e loro combinazioni si trovano facilmente in
letteratura.
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Funzione di Trasferimento (1/3)
La funzione di trasferimento (TF) di un sistema è data da:
W (s) =
INPUT
output
input
W
OUTPUT
Nel caso dell'equazione di Newton applicata ai corpi rotanti è
θ
1
= 2
T
Js
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Funzione di Trasferimento (2/3)
Tramite la trasformata di Laplace le funzioni di trasferimento diventano espressioni razionali nella variabile
complessa s . Supponiamo di avere la seguente equazione della dinamica (x è l'input e y l'output):
3
dy
d 2y
d 2x
dx
+
5
=
7
y
sin(
3
t)
+
8
−
9
−
4
dt 2
dt
dt
dt 2
Applichiamo la TdL ai due lati (ricordare che la TdL è lineare) e otteniamo:
3s 2 X (s) − 4sX (s) + 5 =
21
Y (s) + 8sY (s) − 9s 2 Y (s)
9 + s2
da cui la TF del sistema:
W (s) =
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Y (s)
=
X (s)
21
2
9+s 2 + 8s − 9s
2
3s − 4s + 5
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Funzione di Trasferimento (3/3)
Possiamo scrivere la TF W (s) nel seguente modo:
W (s) =
bm s m + bm−1 s m−1 + · · · + b0
an s n + an−1 s n−1 + · · · + a0
In cui:
i termini che annullano il numeratore sono detti zeri semplici o complessi
i termini che annullano il numeratore sono detti poli semplici o complessi
gli zeri e i poli in 0 si dice che sono nell'origine
Dato che: W (s) = L[w (t)], dalla teoria sappiamo che: un sistema è BIBO stabile ⇐⇒ tutti i suoi modi
k
elementari di,k tk! e λi t sono convergenti ⇐⇒ Re(λi ) < 0. Questo porta a dire che tutti i poli di W (s)
devono essere nel semipiano sinistro del piano complesso.
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Studio nel dominio delle frequenze
La TdL permette di studiare la dinamica di un sistema. Praticamente:
si trasforma l'equazione del sistema con la TdL;
si studia il sistema nel dominio delle frequenze e se ne trova la soluzione;
si ritrasforma la soluzione nel dominio del tempo tramite l'antitrasformata di Laplace (viene fatto
automaticamente da Matlab).
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
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Rappresentazione di Bode della TF (1/2)
Data la TF:
W (s) =
bm s m + bm−1 s m−1 + · · · + b0
an s n + an−1 s n−1 + · · · + a0
scomponendo i due polinomi otteniamo la rappresentazione di Evans:
W (s) = KE
(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm )
(s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pm )
In cui:
i termini che annullano il numeratore sono detti zeri semplici o complessi
i termini che annullano il numeratore sono detti poli semplici o complessi
gli zeri e i poli in 0 si dice che sono nell'origine
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Rappresentazione di Bode della TF (2/2)
Dalla rappresentazione di Evans, mettendo in evidenza gli zeri e i poli nell'origine, raggruppando i fattori
di secondo grado complessi coniugati e mettendo in evidenza le molteplicità dei fattori, otteniamo la
forma di Bode:
µ̄j
Q
ξj
µj Q
s2
(
1
+
sτ
)
1
+
2
s
+
2
j
j
j
ω
ω
KB
nj
nj
W (s) = ν Q
µ̄i
s
µi Q
ξi
s2
i 1 + 2 ωni s + ω 2
i (1 + sτi )
ni
Questa scrittura della TF viene detta rappresentazione di
propria rappresentazione nei diagrammi di Bode.
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Bode.
Infatti ogni singolo termine ha una
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode (1/2)
I diagrammi di Bode di ampiezza e fase sono un metodo graco per capire come si comporta il sistema
dinamico. Infatti ci dicono in quale punto del piano complesso è il polo o lo zero.
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Diagrammi di Bode (2/2)
I graci sono bi-logaritmici. Quello delle ascisse rappresenta il logaritmo delle frequenze ed è diviso in
decadi : una decade è un intervallo di frequenze [ω1 , ω2 ] tale che log(ω2 /ω1 ) = 1
Il graco dell'ampiezza è in Decibel, quindi, per uno zero semplice, vale che
|W (s)| = 20 log(1 + sτ )µ = µ20 log(1 + sτ ) = µ20db/decade
Per un polo semplice vale che
|W (s)| = 20 log(1 + sτ )−µ = −µ20 log(1 + sτ ) = −µ20db/decade
Per gli zeri o i poli complessi coniugati la pendenza è doppia.
Il graco della fase si ricava con la funzione arg (•). Per uno zero semplice la fase è +µ90deg , per un
polo semplice è −µ90deg . Per zeri e poli complessi coniugati la fase raddoppia.
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode Zero e Polo semplici
Zero e polo semplice in ω = 10
con molteplicità µ = 1
W1 (s) =
s
1 + 10
10
W2 (s) =
10
s
1 + 10
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode Polo nell'origine
Due poli nell'origine con diversa molteplicità:
1
W1 (s) =
s
1
W2 (s) = 2
s
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode Polo semplice con molteplictà > 1
Confronto tra due poli semplici in ω = 10
con molteplicità µ1 = 1 e µ2 = 2
W1 (s) =
W2 (s) =
1
1 + 0.1s
1
(1 + 0.1s)2
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode Polo complesso coniugato (1/2)
Polo comlesso coniugato con molteplicità
µ=1
W (s) =
200
s 2 + 0.1s + 10
2
Trasformando nella forma (1 + 2 ωξn s + ωs 2 )
n
si ottiene:
W (s) =
20
1 + 0.01s + 0.1s 2
da cui, uguagliando i termini:
ωn =
√
10,
1
ξ= √
2 103
.
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode Polo complesso coniugato (2/2)
L'ampiezza del picco di risonanza dipende
dal valore dello smorzamento ξ .
Per valori di ξ < 0.5 non c'è picco di risonanza.
ξa = 0
ξb = 0.0158
ξc = 0.1581
ξd = 0.5
ξe = 1.5811
La p
posizione del picco di risonanza è ωr =
ωn 1 − 2ξ 2
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode TF composte (1/2)
Se un TF è di grado superiore a 2, la si potrà sempre scomporre in più polinomi di grado inferiore:
Wtot (s) = W1 (s) · W2 (s). In questo caso il diagramma di Bode di Wtot è composto dalla somma dei
diagrammi di Bode dei due polinomi. Questo perché le funzioni log(•) e arg (•) godono della proprietà:
log(A · B) = log(A) + log(B)
arg (A · B) = arg (A) + arg (B)
W1
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W2
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Rappresentazione graca della trasformata di Laplace
Diagrammi di Bode TF composte (2/2)
Diagramma di Bode di una TF composta:
W1 (s) =
W2 (s) =
100
1 + 0.1s
10
s 2 + 0.1s + 10
Wtot (s) = W1 (s) · W2 (s)
log(Wtot ) = log(W1 · W2 )
log(Wtot ) = log(W1 ) + log(W2 )
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