24/11/18
Modelos para la planeación
del transporte
Carlos Alberto Moncada
Aristizábal.
Modelos de Distribución de Viajes
1
24/11/18
Modelos de Distribución de Viajes
• Métodos de Factor de Crecimiento
• Modelos Sintéticos de Distribución
• Maximización de la Entropía
• Distribución y Elección Modal Conjunta
• Consideraciones Prácticas
• Modelos Incrementales
Contexto: Viajes Externos e Internos
Métodos de
factor de crecimiento
Modelos y matrices de viaje internas
2
24/11/18
Definiciones y Notación
• Letras minúsculas: vij, oi, dj indican observaciones
• Mayúsculas, valores que se intenta modelar
– Vijkn son viajes entre i y j de personas tipo n por el modo k;
– Oi y Dj son, respectivamente, número total de viajes que se
originan en la zona i y que son atraídos por la zona j.
• La suma sobre sub- o super-índices se indicará por
omisión, por ejemplo:
Vijn = Σk Vijkn
V = Σij Vij y
v = Σ ij vij
Matriz de Viajes
1
…
N
V1N
Oi = Σ jVij
O1
…
V2N
O2
…
V3N
O3
V NN
…
ON
DN
Σi Oi = Σj Dj
2
V12
3
V13
…
V23
V 33
1
V 11
2
V21
3
V31
V 22
V32
N
VN1
VN2
VN3
Dj = Σ i Vij
D1
D2
D3
…
…
…
3
24/11/18
Métodos de Factor de Crecimiento
Factor de Crecimiento Uniforme: Vij= f ⋅ vij
•
1
Matriz del año base
2
3
oi
4
1
5
50
100
200
355
2
50
5
100
300
455
3
50
100
5
100
255
4
100
200
250
20
570
dj
205
355
455
620
1635
4
oi
Suponiendo 20% de
crecimiento (f =
1,20)
■
■
1
La nueva matriz es
2
3
1
6
60
120
240
426
2
60
6
120
360
546
3
60
120
6
120
306
4
120
240
300
24
684
dj
246
426
546
744
1962
Métodos de Factor de Crecimiento
Método simplemente acotado: Vij= ai ⋅ vij
Matriz del año base
1
2
3
oi
4
Objetivo
Razón
1
5
50
100
200
355
400
1.13
2
50
5
100
300
455
460
1.01
3
50
100
5
100
255
400
1.57
4
100
200
250
20
570
702
1.23
dj
205
355
455
620
1635
1962
1.20
Aplicando las razones de crecimiento por origen
Nueva matriz
1
2
3
4
oi
Objetivo
1
5.6
56.3
112.7
225.4
400
400
2
50.5
5.1
101.1
303.3
460
460
3
78.4
156.9
7.8
156.9
400
400
4
123.2
246.3
307.9
24.6
702
702
1962
1962
dj
257.8
464.6
529.5
710.1
4
24/11/18
Métodos de Factor de Crecimiento
Método doblemente acotado: Vij= ai bj vij
1
Matriz
base
2
3
Σi
4
Objetivo
Razón
1
5
50
100
200
355
400
1.13
2
50
5
100
300
455
460
1.01
3
50
100
5
100
255
400
1.57
4
100
200
250
20
570
702
1.23
Σj
205
260
1.27
355
400
1.13
455
500
1.10
620
802
1.29
1635
Objetivo
Razón
1962
1.20
1.20
Tras tres iteraciones para todos los orígenes y todos los destinos (3x3)
1
2
3
4
Σi
Objetivo
Razón
1
5.2
44.1
98.2
254.2
401.85
400
1.00
2
45.3
3.8
84.8
329.1
462.99
460
0.99
3
77.0
129.5
7.2
186.6
400.34
400
1.00
4
132.4
222.6
309.8
32.1
696.82
702
1.01
1962
1962
Σj
260.0
Objetivo
Razón
260
1.00
400.0
400
1.00
500.0
802.0
500
1.00
802
1.00
Métodos de Factor de Crecimiento
•
•
•
•
El algoritmo de solución del método doblemente acotado fue desarrollado
por Kruithof (1937) para tráfico telefónico, por Furness (1965) para tránsito
vial y, finalmente, por Bacharach (1970) para matrices input-output; hoy se
denomina Ajuste Bi-Proporcional
Consiste simplemente en ajustar filas y columnas en forma sucesiva; puede
demostrarse que – salvo casos especiales – converge a una solución única
rápidamente
Una desventaja de los métodos de F. de C. es que necesitan datos de muy
buena calidad (matriz a priori ) a pesar de sus deficiencias
Pero su defecto más importante es que las predicciones no se ven
afectadas por cambios en los costos de transporte; por ejemplo,
introducción de nuevos modos o nueva infraestructura
¿En qué caso el método de Furness (ABP)
no converge a una solución única?
5
24/11/18
Métodos de Factor de Crecimiento
• Si las matrices reales tienen muchos ceros puede haber
problemas
• Por ejemplo, consideremos la siguiente matriz original
1
2
1
5
2
3
4
Oi
Objetivo
Razón
50
100
200
355
400
1,13
0
50
0
0
50
460
9,20
3
50
100
5
100
255
400
1,57
4
100
200
250
20
570
702
Dj
1,23
155
400
355
320
1230
260
400
500
802
1,68
1,00
1,41
2,51
Objetivo
Razón
1962
1.60
1,20
Métodos de Factor de Crecimiento
Tras tres iteraciones por origen y tres por destino (3x3), es fácil ver que la solución no ha
convergido
1
1
2
2
4,2
0,0
5,7
324,6
3
4
Oi
Objetivo
77,2
0,0
374,6
0,0
461,68
324,59
400
460
3
4
76,9
21,0
7,2
346,8
451,83
400
178.9
48.8
415.6
80.6
723.89
702
Dj
260,0
400,0
500,0
802,0
1962
1962
260
1,00
400
1,00
500
1,00
802
1,00
Objetivo
Razón
■
■
Razón
0,87
1,42
0,89
0,97
La fila 2 es la culpable, ya que el valor máximo para su única
celda no-cero es 400 (columna 2) pero su objetivo es 460
Es importante distinguir entre ceros al azar (muestreo) y
ceros estructurales
6
24/11/18
Métodos de Factor de Crecimiento
Es posible obtener una solución reemplazando el cero en la celda (2,4); si
colocamos ahí un 5, después de tres iteraciones completas se obtiene:
1
2
3
Oi
4
Objetivo
Razón
1
4,8
11,5
90,1
302,2
408,57
400
2
0,98
0,0
265,8
0,0
175,2
441,00
460
3
1,04
85,4
41,1
8,1
270,7
405,17
400
4
0,99
169,9
81,7
401,8
53,9
707,25
702
0,99
802,0
1962
1962
Dj
260,0
400,0
500,0
260
400
500
802
1,00
1,00
1,00
1,00
Objetivo
Razón
■
■
■
Esta solución tiene mucho mejores propiedades de convergencia
Así, la solución depende fuertemente de los errores de muestreo
En general, una convergencia lenta podría deberse a problemas
asociados a la localización de ceros en la matriz “a priori”
Modelos Sintéticos de Distribución
■
Modelo gravitacional
•
Permite incorporar el efecto de la distancia (costo)
•
P es la población en el origen (i) o destino (j); K es un factor de
ajuste y d es la distancia (C, costo generalizado) entre i y j
•
El uso del cuadrado de la distancia fue rápidamente cuestionado;
eventualmente se generalizó a n, un valor a ser estimado a partir de
datos observados; también se reemplazó poblaciones por viajes
•
El modelo se desarrolló originalmente para estudiar inmigración;
Casey (1955) fue el primero en usarlo para predecir tráfico.
Vij =
•
K Pi Pj
(dij )
2
o, mejor, Vij =
K Oi D j
(Cij ) n
Notar que tal como está escrito, el modelo no es internamente consistente
7
24/11/18
Modelos Sintéticos de Distribución
Una forma más general para el modelo gravitacional es:
Vij = Ai Oi Bj Dj f(Cij)
!
donde la función de costo f puede tomar variadas formas:
•
•
•
•
f(Cij) = exp (-β Cij)
f(Cij) = (Cij )-n
f(Cij) = (Cij )-n exp (- β Cij)
función exponencial
función de potencia
función combinada
Ai y Bj son factores de balance; garantizan el cumplimiento de las
restricciones sobre totales de viajes en cada origen y destino y, por ende,
un modelo internamente consistente.
Modelos Sintéticos de Distribución
Función de costo exponencial
exp(-Beta*costo de viaje)
1,00
0,90
Beta
0,80
0,70
0,025
0,60
0,010
0,50
0,005
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
50
100
150
200
250
Costo de viaje (min generalizados)
8
24/11/18
Modelos Sintéticos de Distribución
Función de costo de potencia
1,20
0,1 C**-n
1,00
n
0,80
0,6
0,60
1,2
2,2
0,40
0,20
0
50
100
150
200
250
Costo de viaje (min generalizados)
Modelos Sintéticos de Distribución
Función de costo combinada
2,00
1,80
Function de costo
1,60
1,40
1,20
n=0,7; β=0,02
1,00
n=1,0; β=0,02
0,80
n=1,8; β=0,052
0,60
0,40
0,20
0,00
0
50
100
150
200
250
Costo de viaje (min generalizados)
9
24/11/18
Ejemplo de Operación
Beta =0,05
1
2
3
4
Dj
exp(-βCij)
1
2
3
4
Σi
Matriz de Costos (min)
1
2
3
30
110
180
120
30
120
170
130
50
240
180
80
260
400
500
1
0,2231
0,0025
0,0002
0,0000
0,2258
Ratio 1962/0,67
2
0,0041
0,2231
0,0015
0,0001
0,2288
3
0,0001
0,0025
0,0821
0,0183
0,1030
4
220
190
70
50
802
Objetivo
Oi
400
460
400
702
1962
4
0,0000
0,0001
0,0302
0,0821
0,1124
Σj
0,2274
0,2282
0,1140
0,1005
0,6700
2928,36
Ejemplo de Operación
La matriz de partida para las operaciones de balanceo es el producto de la
matriz “a-priori” anterior (i.e. la formada por los valores exp(-β Cij)) y el factor de
expansión: 2928,36 = 1962/(Σij exp(-β Cij)).
Notar diferencia con modelo de F. de C. doblemente acotado y rol de vij en
determinar el valor óptimo de β (calibrar el modelo).
Base
1
1
2
3
653,37
11,97
0,36
0,05
665,74
400
0,60
2
7,26
653,37
7,26
0,22
668,10
460
0,69
3
4
0,60
4,40
240,36
88,42
333,78
400
1,20
0,02
0,36
53,63
240,36
294,37
702
2,38
Σi
661,24
670,10
301,61
329,05
1962,00
260
0,39
400
0,60
500
1,66
802
2,44
Objetivo
Razón
4
Σj
ObjetivoRazón
10
24/11/18
Ejemplo de Operación
Tras tres iteraciones doblemente acotadas (y recordar que se
está ignorando la “estructura” de la matriz en el año base), se
obtiene:
Beta = 0,051
1
2
3
4
Total
2
3
257,93 10,61
0,81
1,91 386,54 10,86
0,15
2,45 338,85
0,01
0,40 149,48
260
400
500
4
0,11
0,33
125,75
675,81
802
Total
269,46
399,64
467,21
825,70
1962
Como se puede ver, los objetivos todavía no se cumplen en forma
razonable, pero se van acercando.
Modelos Sintéticos de Distribución
Vij = Ai Oi Bj Dj f(Cij)
!
•
Multiplicando Oi y Dj por los factores de balance también es posible escribir
el modelo de otra forma (como modelo triproporcional):
Vij = ai bj f(Cij)
•
Para la versión doblemente acotada, se necesita que el modelo satisfaga
los dos conjuntos de restricciones, y de aquí se tiene que:
Ai = (Σj Bj Dj f(Cij))-1
Bj = (Σi Ai Oi f(Cij))-1
•
En las versiones simplemente acotadas un conjunto de factores de
balance, Ai o Bj, se hace igual a uno. Por ejemplo, en un modelo acotado a
orígenes Bj = 1,0 para todo j, y el conjunto restante de factores se calcula
más simplemente como:
Ai = (Σj Dj f(Cij))-1
11
24/11/18
Variación de la matriz con ß (tras 3x2 iteraciones)
Notar que todas las columnas tienen razón = 1,0 tras estas iteraciones
ß= 0,025
ß= 0,010
0.025
1
2
3
4
1
236.97
18.74
3.26
1.03
0.010
1
2
3
4
1
157.39
58.45
22.90
21.26
0.0050
1
2
3
4
ß= 0,005
2
98.43
200.09
47.55
53.93
3
19.10
64.23
224.09
192.58
3
63.87
106.30
138.28
191.55
4
10.03
15.93
194.03
582.00
4
73.47
90.58
194.27
443.68
Total
323.54
417.35
437.23
783.88
Ratio
1.24
1.10
0.91
0.90
Total
393.16
455.42
403.00
710.42
Ratio
1.02
1.01
0.99
0.99
1
104.51
67.03
38.26
50.21
2
96.73
145.16
64.53
93.58
3
82.87
112.52
117.03
187.57
4
115.54
135.03
180.33
371.11
Total
399.65
459.74
400.15
702.47
Ratio
1.00
1.00
1.00
1.00
1
62.19
63.38
50.44
83.99
2
85.54
103.33
78.23
132.90
3
98.27
116.35
104.41
180.96
4
154.00
176.94
166.92
304.14
Total
400.00
460.00
400.00
702.00
Ratio
1.00
1.00
1.00
1.00
0.0010
1
2
3
4
ß= 0,001
2
57.44
318.45
15.85
8.26
Modelos de Distribución Sintéticos
Distribución de longitud de viaje (DLV) para diferentes valores de β; se
elige el que mejor replica la DLV observada
DLV para diferentes valores de ß
1400,0
1200,0
1000,0
Viajes
800,0
600,0
400,0
200,0
0,0
1-40
41-80
81-120
121-160
161-200
201+
-200.0
Intervalo de longitud de viajes (min generalizados)
ß=
0,0250
0,0100
0,0050
0,0010
12
24/11/18
Modelos Sintéticos de Distribución
•
Como se ve, el parámetro de dispersión β tiene gran influencia en
determinar la DLV de la matriz resultante
•
β debe ser calibrado con datos observados para reproducir la DLV
•
Existen diversos métodos alternativos para esto (tanto basados en datos de
una encuesta domiciliaria, como provenientes de una buena matriz
estimada a partir de distintas fuentes)
•
Un buen punto de partida para β
es 1/(costo o longitud promedio)
– Obviamente β no es transferible; además,
-1
– β no es adimensional, sus unidades son costos
•
β refleja la importancia de los costos generalizados en determinar la matriz
final, por ejemplo:
– β = 0 genera un modelo de factor de crecimiento doblemente acotado,
indiferente a variaciones en los costos generalizados de viaje
– un β muy grande genera soluciones que minimizan los costos de viaje; equivale
a una solución de Programación Lineal (PL)
Modelos Sintéticos de Distribución
Solución obtenida para un valor de β grande
0.050
1
2
3
4
Total
1
257.93
1.91
0.15
0.01
260
2
10.61
386.54
2.45
0.40
400
3
0.81
10.86
338.85
149.48
500
4
0.11
0.33
125.75
675.81
802
Total
269.46
399.64
467.21
825.70
1962
Ratio
1.48
1.15
0.86
0.85
• Es posible que existan problemas de convergencia pues la solución tiende
a poner la mayoría de los viajes en intervalos de costo bajo
• Una matriz 4 x 4 no tiene suficiente variedad en los costos como para
producir una buena DLV
• Sin embargo, para matrices de tamaño real la DLV debiera acercarse a la
correspondiente a la solución de PL
• β sugiere un factor de dispersión que se aleja de soluciones del tipo “todo o
nada”
13
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Maximización de la Entropía
Se definen estados micro, meso y macro, asociados a viajes individuales,
celdas de la matriz Vij y restricciones sobre totales de viaje (Oi y Dj). Se
supone que todos los estados micro son igualmente probables
Como ejemplo consideremos el caso más simple posible: dos zonas con
dos viajeros en cada una, A1 y A2 en la primera, y B1 y B2 en la otra.
Las condiciones macro son, obviamente, que se generan dos viajes en
cada zona y que cada una de ellas atrae también dos viajes:
Origen/Destino
A
B
Total
A
2
B
2
Total
2
2
4
Maximización de la Entropía
Es fácil ver que el estado macro anterior sólo es consistente con los
siguientes tres estados meso:
Primer Estado Meso
Origen/Destino
Estados Micro
A
B
Total
A
0
2
2
0
A1 A2
B
2
0
2
B1 B2
0
Total
2
2
4
Segundo Estado Meso
Origen/Destino
Estados Micro
A
B
Total
A
2
0
2
A1 A2
0
B
0
2
2
0
B1 B2
Total
2
2
4
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Maximización de la Entropía
Estados Micro
A1
A2
B1
B2
A1
A2
B2
B1
Tercer Estado Meso
Origen/Destino
A
B
Total
A
1
1
2
B
1
1
2
A2
A1
Total
2
2
4
B1
B2
A2
A1
B2
B1
Maximización de la Entropía
Se busca encontrar la solución (estado meso) más probable (esto
es, que tenga mayor número de estados micro), consistente con la
información macro; este es, claramente, el tercero en nuestro
ejemplo. Para esto, en general, se debe:
Maximizar log W = log V ! - Σij(Vij log Vij - Vij)
sujeto a las restricciones:
Oi - Σj Vij = 0
!
Dj - Σi Vij = 0
Definiendo el Lagrangiano:
L = log W + Σi α'i {Oi - Σj Vij} + Σj α"j {Dj - Σi Vij}
se obtiene la solución Vij = ai bj; esto es, un método de F. de C.
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Maximización de la Entropía
Añadiendo una restricción de costo (C es el costo total del sistema):
Σ
ij
Vij Cij – C = 0
al Lagrangiano anterior, se tiene:
L = log W + Σi α'i {Oi - Σj Vij} + Σj α"j {Dj - Σi Vij} + β {C-ΣijVijCij}
Derivando e igualando a cero, queda:
∂L = - log Vij - α'i - α"j - β Cij = 0, por lo tanto:
∂Vij
!
Vij = exp (-α'i - α"j - β Cij) = exp(-α'i) exp(-α"j) exp(-β Cij)!
Ai Oi
Bi Di
Así, un simple cambio de variables permite llegar a:
Vij = Ai Oi Bj Dj exp (-β Cij )
Maximización de la Entropía
•
Como la restricción de costo no es directamente observable, su multiplicador de
Lagrange β se deja como parámetro de calibración del modelo
•
Si la restricción de costo (lineal) se reemplaza por:
C' - Σij Vij log Cij = 0
se obtiene la siguiente versión del modelo gravitacional (MG)
Vij = AiOiBjDj exp (-β‘ log Cij) = AiOiBjDj (Cij )
-β‘
•
Se ve que la función de potencia y también otras formas, son posibles
•
Maximización de la entropía está relacionada con otros formalismos de generación
de modelos, como minimización de la información. De hecho, incluso la Teoría de la
Utilidad Aleatoria (que analizaremos más adelante) puede ser usada para generar
formas funcionales como el MG, esto es, modelos de tipo logit.
•
Notar, no obstante, que ninguna garantiza que el MG sea “correcto”.
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Ventajas de la Maximización de la Entropía
•
Es un marco conceptual que permite utilizar herramientas de Programación
Matemática para estudiar las propiedades de los modelos/problemas
•
Formular al MG como un programa matemático (maximizar la entropía
sujeto a restricciones lineales), facilita la prueba de convergencia a una
solución única
•
Si las restricciones definen un espacio de soluciones factible se puede
demostrar que la solución es única en β
– en términos prácticos se requiere que ΣiOi = ΣjDj = V
– notar que tener muchas celdas vacías no es problema para MG
•
Notar que la solución no es única en los coeficientes Ai y Bj; si todos se
multiplican por una constante, el resultado no cambia; no obstante, esto no
tiene importancia práctica.
Distribución y Elección Modal Conjunta
Hasta ahora no hemos considerado modo (k) ni tipo de persona (n),
pero las matrices pueden ser del tipo Vijkn como se mencionó antes.
Un MG muy famoso fue propuesto por Wilson (1970) para el Estudio
de Transporte SELNEC; su expresión era:
~
C ijn
Donde los viajes estaban acotados por tipo de persona en el origen,
y se permitió que la función de costo dependiera del tipo de persona.
%)
O B D
exp(de
− β Cpersona
Los costos compuestosV = A por
tipo
n son una función de
kn
los costos generalizados Cij .
n
ij
n
i
n
i
n
j
j
n
ij
Si postulamos:
Vijkn = Ain Oin B j D j exp(− β n Cijk )
entonces, como Vijn = Σk Vijkn haciendo la suma obtenemos:
17
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Distribución y Elección Modal Conjunta
Así, los términos comunes (Ain, Oin, Bj, Dj) se cancelan y obtenemos:
∑ exp(− β
n
n
Cijkn ) = exp(− β nC%
ij )
k
Tomando logaritmo y re-arreglando se llega a la expresión:
1
⎧
⎫
n
C%
log ⎨∑ exp(− β nCijkn ) ⎬
ij = −
βn
⎩k
⎭
kn
ij
∑V
k
n
= AinOin B j D j ∑ exp(− β nCijkn ) = Vijn = AinOin B j D j exp(− β nC%
ij )
k
que fue utilizada en SELNEC. Cabe mencionar que entonces se pensaba que la
forma de la función de costo compuesto era un tema asociado a la calibración del
modelo; otras formas consideradas eran el costo mínimo (Mink(Cijkn)) y el promedio
ponderado (Σk Cijkn Pijkn); la última tenía problemas de consistencia y fue rápidamente
abandonada. La proporción de viajes que elige el modo k, Pijkn, está dada por:
Pijkn =
Vijkn
k 'n
ij
∑V
=
k'
exp(− β nCijkn )
∑ exp(−β
n
Cijk ' n )
k'
Distribución y Elección Modal Conjunta
De hecho no fue hasta Williams (1977) que se entendió, correctamente,
que en un modelo consistente la forma de la función de costo compuesto
es consecuencia de una adecuada especificación del modelo y no un
grado de libertad de la calibración.
Pero, mucho antes, Wilson había notado que el modelo de distribución y
elección modal conjunta anterior sufría un problema potencial debido a
que se estaba pidiendo que el parámetro β jugara dos roles diferentes:
– Primero, actuar como factor de dispersión para la distribución
– Segundo, actuar como factor de dispersión para la elección modal
Por esto, en SELNEC se definió al modelo combinado asi:
Vijkn = Vijn Pijkn = Vijn
exp(−λ n Cijkn )
∑ exp(−λ
n
Cijk ' n )
k'
donde λn es un nuevo factor de dispersión para la elección modal; si
resulta igual a β n la expresión original de SELNEC está correcta.
18
24/11/18
Distribución y Elección Modal Conjunta
Williams fue un poco más lejos. Usando la Teoría de la Utilidad Aleatoria
reformuló el modelo conjunto (D-EM) como una especificación donde no
sólo el costo compuesto tiene forma única, sino que la secuencia de los
sub-modelos está determinada por las magnitudes relativas de λ y β. De
hecho, la forma correcta del costo compuesto es muy cercana, aunque
crucialmente diferente, a la del modelo SELNEC:
1
~
⎧
⎫
Cijn = − n log ⎨∑ exp (−λn Cijkn )⎬
λ
⎩k
⎭
y si la estructura D-EM es apropiada, se debe cumplir la siguiente
relación entre los parámetros:
β ≤λ
En particular, si β = λ, la estructura D-EM (que tiene una forma logit
jerárquica) colapsa a la forma más simple (logit multinomial) donde
ambos sub-modelos operan en forma simultánea. Finalmente, si β > λ,
se debe probar la estructura alternativa, esto es, elección modaldistribución (EM-D).
Consideraciones Prácticas
•
Matrices con muchos ceros, ya sea verdaderos o debidos a
problemas de muestreo; este problema afecta a modelos de tipo bi
y/o tri proporcional
– Plantar valores pequeños (0,5 viajes?) en las celdas vacías
•
Tratamiento de zonas (y viajes) externas
– Usualmente se utilizan técnicas biproporcionales (Furness)
•
Los viajes intrazonales no son bien representados por el MG
– Es conveniente modelarlos en forma separada
•
Modelación para distintos propósitos de viaje
– Viajes obligados (trabajo, estudio) → modelo doblemente acotado
– Otros viajes
→ modelos simplemente acotados
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Consideraciones Prácticas
•
El MG no es capaz de capturar relaciones especiales entre zonas
– Por ejemplo, que puedan haber crecido al mismo tiempo
– Si una empresa construye viviendas para sus empleados, puede existir una
conexión especial con una zona de atracción
•
En tales casos se puede recurrir a factores tipo K, por ejemplo:
Vij = KijAiOiBjDj exp(-βCij )
!
•
Sin embargo, un exceso de factores K va a atentar contra la capacidad de
predicción del modelo
•
Por lo tanto deben usarse con sumo cuidado y sólo si hay razones válidas
para creer que tales relaciones interzonales vayan a permanecer a futuro
•
Los factores K están relacionados con otras formas de modelo, por
ejemplo los de tipo incremental o “pivot-point”.
Modelos Incrementales
•
•
Los modelos incrementales (o de pivot point) constituyen una
herramienta de modelación simplificada, basada en modelar
cambios a partir de una base observada
Consideremos una formulación logit para la proporción observada
de viajeros que usa el modo a en el año base (0):
exp( β Ca0 )
P =
Σ k exp( β Ck0 )
0
a
Ck0 es el costo generalizado de viaje por el modo k en el año base
Notar que en esta expresion se asume que β es negativo.
20
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Modelos Incrementales
•
La razón entre la proporción de viajeros en el modo a en los años 1 (futuro),
y 0 está dada por:
Pa1
exp( β Ca1 ) Σ m exp( β Cm0 ) exp{β (Ca1 − Ca0 )} Σ m exp( β Cm0 )
=
=
Pa0 Σ k exp( β Ck1 ) exp( β Ca0 )
Σ k exp( β Ck1 )
1
■
Pa1 =
Utilizando un pequeño truco algebraico, nos queda:
Pa0 exp{β (Ca1 − Ca0 )}
Pa0 exp{β (Ca1 − Ca0 )}
=
⎛
⎛
P0 ⎞
⎜
∑k ⎜⎜ exp( β Ck1 ) Pk0 ⎟⎟
1
Pk0
⎜ exp( β Ck )
k ⎠
⎝
∑
⎜ Σ exp( β C 0 ) exp( β Ck0 )
Σ m exp( β Cm0 )
k
m
⎜ m
Σ m exp( β Cm0 )
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Pa0 exp{β (Ca1 − Ca0 )}
∑ Pk0 exp{β (Ck1 − Ck0 )}
k
Modelos Incrementales
Con lo que la expresión final del modelo logit
incremental es:
Pa0 exp{( β (Ca1 − Ca0 )}
P =
∑ Pk0 exp{( β (Ck1 − Ck0 )}
1
a
k
Notar que los resultados dependen fuertemente de haber
identificado correctamente las proporciones de mercado iniciales.
Este tipo de modelos es muy útil para hacer predicciones rápidas
y cuando se trata de preservar lo más posible la información
proveniente de una buena encuesta.
21
24/11/18
Modelos Incrementales
También es posible plantear una versión incremental del MG, en su versión simplemente
acotada a orígenes. Acá Gi es el número total de viajes generados en la zona i , y bj son
factores de crecimiento que reflejan cambios en las atracciones en j
1
ij
V =
Gi Vij0 b j exp{β (Cij1 − Cij0 )}
0
id
∑V
bd exp{β (Cid1 − Cid0 )}
d
Esto es equivalente a tener un conjunto completo de factores K,
que permite reproducir exactamente la matriz de viajes original
Requiere una estimación razonable de β a partir de información
sobre la distribución de longitud de viajes en el año base.
Para terminar
•
La distribución de viajes es probablemente el eslabón más débil en la
modelación de demanda por transporte
•
Nunca se ha probado que los MG se ajusten muy bien a los datos; por
ejemplo, en un experimento sobre 28 áreas urbanas en Canadá, se
encontró que a nivel de celda el GM tenía errores del orden de 75 a 100%;
sin embargo, esto no debiera sorprender ya que
•
Las matrices “verdaderas” no son muy verdaderas tampoco
•
Así, las comparaciones deben hacerse a un nivel más agregado (por
ejemplo, áreas o municipalidades) y ahí al MG le va mejor
•
Por otro lado, no hay muchas alternativas
•
El método incremental tiene la “ventaja” de preservar más de la información
contenida en una buena matriz inicial
•
Algunos errores en las matrices de viaje se compensan en la etapa de
asignación… pero no siempre.
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